第23讲三角函数的综合应用（知识清单+3典例精讲+5方法技巧+分层训练）（学生版）_数学_一轮复习_2027年高考数学一轮更新中_52027年高考数学一轮复习讲义培优练（全国通用）

第 23 讲三角函数的综合应用
（知识清单+3 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3年考查情况 题型 分值
三角恒等变换、三角函数图象与性质、同角三角函数关系 选择、填空 5分
题
两角和差公式、二倍角公式、三角函数单调性、解三角形综合 选择、填空 5分
题
二倍角公式、正余弦定理、函数图象平移与奇偶性综合 选择题 5分
核心高频：三角恒等变换、图象性质、解三角形综合 选 择 、 填 5分/12分
空、解答题
【知识点01】同角三角函数基本关系
sin2⁡α+cos2⁡α=1
sinα
tan⁡α= (cos⁡α≠0)
cosα
适用场景：已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值的化简与求值问题。
π 3
【例1】已知 α∈(0, )，sin⁡α= ，求 tan⁡α 的值。
2 5
【知识点02】诱导公式（化简必备）
口诀：奇变偶不变，符号看象限
sin⁡(π−α)=sin⁡α,cos⁡(π−α)=−cos⁡α
π π
sin⁡( −α)=cos⁡α,cos⁡( −α)=sin⁡α
2 23π
【例2】化简求值：sin⁡( +α)+cos⁡(π+α)
2
【知识点03】两角和与差公式
sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β
tan⁡α±tan⁡β
tan⁡(α±β)= .
1∓tan⁡αtan⁡β
【例3】求 sin⁡15∘ 的精确值。
【知识点04】二倍角公式
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α
cos⁡2α=cos2⁡α−sin2⁡α=2cos2⁡α−1=1−2sin2⁡α
2tan⁡α
tan⁡2α=
1−tan2⁡α
3 π
【例4】已知 sin⁡α= ，α∈(0, )，求 cos⁡2α。
5 2
【知识点05】降幂与升幂公式（最值专用）
1−cos⁡2α
sin2⁡α=
2
1+cos⁡2α
cos2⁡α=
21±sin⁡2α=(sin⁡α±cos⁡α) 2
【例5】化简函数：f(x)=sin2⁡x，并求其最小正周期。
【知识点06】辅助角公式
asin⁡x+bcos⁡x=❑√a2+b2sin⁡(x+φ)
b
tan⁡φ= ，最大值❑√a2+b2，最小值−❑√a2+b2
a
【例6】求函数 f(x)=sin⁡x+cos⁡x 的最大值与最小正周期。
【知识点07】正弦型函数图象性质
函数：y=Asin⁡(ωx+φ)+k(ω>0)
2π
最小正周期：T= ，振幅：A
ω
π
【例7】求 y=2sin⁡(2x− ) 的最小正周期与最大值。
6
【知识点8】三角函数综合压轴题型
三角恒等变换+函数最值、单调性、区间值域、解三角形周长与面积最值综合。π
【例8】已知函数 f(x)=2sin2⁡x+2cos⁡x−3，求函数在x∈[0, ]上的最大值。
2
【题型一】三角恒等变换化简与求值
【例1】（2026·河南开封·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【例2】（多选）（2026·安徽滁州·三模）已知 ， ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（2026·海南海口·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求角A；
(2) 是 的角平分线，且 ．当 取最小值时，求此时 的面积．【变式1】（2026·湖南湘西·三模）已知 ，则 （ ）
A．-4 B． C． D．
【变式2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， ，
，则 _______.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知 为锐角三角形，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的最小值．
【题型二】三角函数图象与性质综合
【例4】（2026·湖南株洲·三模）若函数 与函数 图象的对称中
心完全一致，则 （ ）
A． B． C． D．
【例5】（多选）（2026·安徽合肥·三模）已知函数 为奇函数，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．将 的图象向右平移 个单位可得到函数 的图象
C． 在区间 上单调递增D．直线 是曲线 的一条对称轴
【例6】（2026·重庆·二模）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期；
(2)若曲线 关于直线 对称，求 以及 的值域．
【变式1】（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数 在 上的大致图象如图所示，则 的最
小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·江西·模拟预测）已知 ，函数 与 的图象相交，若相邻的三个
交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则 ________．
【变式3】（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数 ，点 是 图象的一个对称中
心.
(1)求 ；
(2)设函数 ，求 的最大值和单调递增区间.【题型三】三角函数区间最值与值域问题
【例7】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知角 与 的终边关于 轴对称，且 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【例8】（2026·河北·模拟预测） 在区间 上的值域为______．
【例9】（2026·宁夏·模拟预测）已知函数 的图象的相邻两个对称中心之
间的距离为 ．
(1)求 的值；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）把函数 的图象向右平移 个单位长度，可以得到函数 的图
象，则 在 上的最小值为（ ）
A． B． C． D．【变式2】（2026·河北廊坊·一模）已知函数 在区间 上的最大值为 ，其中 ，
则函数 的值域为________．
【变式3】（2026·海南儋州·一模）已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数 的解析式及其图象的对称轴方程；
(2)若函数 的图象可由函数 的图象上所有的点向右平移 个单位得到，求当 时，函数 的值域．
【解题大招01】角的配凑与整体代换技巧
解决给值求值问题，优先观察已知角与未知角的关系，利用和、差、倍、互补、互余关系配凑角度，规避盲目
求单角，简化运算。
常用配凑关系：2α=(α+β)+(α−β)、α=(α+β)−β
3 π 5 π
【例1】已知 cos⁡(α+β)= ，sin⁡(β− )= ，且 α,β 为锐角，求 cos⁡(α+ )。
5 4 13 4
【解题大招02】弦切互化与齐次式化简技巧
sinα
对于分式、整式二次齐次式，利用tan⁡α= ，cos⁡αcos2⁡α上下同除以或将弦式转化为切式，快速求值。
cosα
sin⁡α+cos⁡α
【例2】已知 tan⁡α=2，求 的值。
sin⁡α−cos⁡α【解题大招03】降幂+辅助角标准化技巧
所有三角函数二次式，统一套路：y=Asin⁡(ωx+φ)+k降幂公式降次 → 合并同类项 → 辅助角公式标准化为 ，
可解决周期、最值、单调区间所有问题。
1−cos⁡2α 1+cos⁡2α
核心公式：sin2⁡α= ,cos2⁡α=
2 2
asin⁡x+bcos⁡x=❑√a2+b2sin⁡(x+φ)
【例3】化简 f(x)=2sin2⁡x+2cos⁡x 并求最大值。
【解题大招04】三角函数图象平移“提系数”易错规避技巧
函数左右平移x只针对未知数 ，若 x 带有系数，必须先提出系数再平移，是高考高频易错点。
π
【例4】将 y=sin⁡2x 的图象向左平移 个单位，求平移后解析式。
6
【解题大招05】整体代换求单调区间、对称轴技巧
针对 y=Asin⁡(ωx+φ)，将 ωx+φ 看作整体，结合基础正弦函数性质求解，x杜绝直接对判断单调性。
π
【例5】求 y=sin⁡(2x− ) 的单调递增区间。
3
【基础过关】（共8题）
一、单选题
1．（2026·福建福州·模拟预测）当函数 取得最小值时， （ ）A． B． C． D．
2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，则 的一个对称中心的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·河南信阳·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
4.（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的最小值为
B．点 是函数 图象的一个对称中心
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
三、填空题
5．（2025·重庆·三模）函数 在 上的值域为________.
6．（2026·河北张家口·一模）已知锐角 满足 ，则 的值为______．
四、解答题
7.（2025·广东清远·一模）已知函数 的最小正周期为 ．(1)求 及 ；
(2)若 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，求 在区间 上的值域．
8．（2026·四川眉山·模拟预测）已知向量 .设 .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)记 的内角 所对的边分别是 ，已知 的面积为 ，求 的长.
【拔高选练】（共6题）
一、单选题
1．（2026·重庆渝中·二模）若 ，将 的图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的
倍，得到 的图象，则 在区间 的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2026·河北邢台·三模）已知 ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2026·河南·模拟预测）已知函数 ，则下列选项正确的有（ ）
A．函数 是偶函数
B． 是函数 的最小正周期
C．直线 是函数 的图象的一条对称轴
D．函数 的值域为
三、填空题
4.（2026·河南周口·三模）若函数 是偶函数，则当 的最小正周期最大时，
________．
5. （2026·广东广州·三模）设 ，当 时， 的取值范围是________；
当x取一般值时 的取值范围是_________．
四、解答题
6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小正周期及对称轴方程；
(2)若函数 的最大值为1，求使 成立的 的取值范围.【错题复盘】（共5题）
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2026·湖南怀化·三模）已知函数 在区间 上单调递增，直线 为
的图象的一条对称轴，则方程 在区间 上所有不相等的实数根之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2026·江苏常州·三模）已知函数 ，则（ ）
A． 为函数 的一个周期 B． 的最小值为
C． 在区间 上单调递增 D． 的图象关于直线 对称
三、填空题
4．（2026·河北承德·模拟预测）已知 ， ，且 ， ，则
的值为_______．
四、解答题
5.（2026·陕西·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 的值域；
(2)若 ，求 在 上的所有零点；(3)若对于满足 的所有 ，都存在 使得 ，求正实数 的最小值.