文档文本内容
专题 03 函数图像与方程问题
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 作图
利用描点法作图的步骤
(1)确定函数定义域；
(2)化简函数解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；
(4)描点并作出函数图象.
1．（25-26高三上·云南怒江·期末）已知函数(1)在所给坐标系中，画出 的图象.
(2)求 ， 的值.
【答案】(1)
(2) ；
【分析】（1）分段作出函数图象即可；
（2）利用分段函数求函数值即可；
【详解】（1）作出函数 的图象如图所示：（2）
2．（25-26高三下·全国·期末）作出下列各函数的图象：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合反比例函数图象，及图象的平移变换即可作出图象；
（2）写出函数的分段形式，结合二次函数图象，及图象的翻折变换即可作出图象；
（3）写出函数的分段形式，结合指数函数图象，及图象的平移，翻折变换即可作出图象．
【详解】（1）由 ，
其图象可看作由函数 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以 的图象如下图所示：
（2）由 ，
所以 的图象如下图所示：
（3）对于 ，其图象可看作由函数 的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个
单位长度得到，
而 ，其图象可由 的图象保留 时的图象，然后将该部分关于y轴对称得
到，则 的图象如下图所示：3．（25-26高三下·全国·期末）作出下列各函数的图象：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合二次函数的图象，及图象的翻折即可作出图象；
（2）结合对数函数的图象，及图象的平移，翻折即可作出图象．
【详解】（1） 的图象可由函数 的图象保留 轴上方的部分不变，将 轴下方
的部分翻折到 轴上方得到，如下图所示：
（2） ，其图象可由 的图象向左平移1个单位长度，再保留 轴上方部分不变，将
轴下方部分翻折到 轴上方得到，如下图所示：4．（25-26高三下·全国·课堂例题）求函数 的单调区间、极值，并画出函数的大致图象.
【答案】递增区间 ，递减区间 ，极大值 ，极小值
，
【分析】求导，根据导数计算即可求解.
【详解】函数求导可得 ，令 ，得 ， ，
当 时， ，当 时， ，
取得
取得极
单调递增 单调递减 极小 单调递增
大值
值所以，函数 递增区间 ，递减区间 ，极大值 ，极
小值 ，
其函数图象大致如下：
5．（25-26高三下·天津滨海新区·期中）给定函数 ．
(1)判断函数 的单调性，并求出 的极值；
(2)画出 的大致图象；
(3)求出方程 的解的个数．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值.
(2)
(3)当 时，解的个数为 ；当 或 时，解的个数为 ；当 时，解的个数为 .
【分析】（1）求导分析函数单调性，进而求解极值；
（2）结合单调性和极值画出简图；
（3）结合函数图象分类讨论解的个数.【详解】（1）对 求导可得： ，
因为 恒成立，因此：
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
因此 在 处取得极小值，极小值为 ，无极大值.
（2）当 时， ， ，所以 ，
当 时， ， ，所以 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，所以 ，
（3）方程 的解的个数等价于 与 的交点个数，结合图象可得：
当 时，解的个数为 ；
当 或 时，解的个数为 ；
当 时，解的个数为 .
6．（25-26高三下·山东枣庄·期中）已知函数 .(1)判断函数 的单调性，并求出 的极值；
(2)在图中画出函数 的大致图象.
【答案】(1) 的单调增区间是 ，单调减区间是 ， 有极大值1，无极小值.
(2)
【分析】（1）求出导数，由导数的正负确定单调性，确定极值点，计算出极值.，
（2）结合（1）中的单调性作图，注意变化趋势.
【详解】（1）由已知 ，
时， ，函数递增， 时， ，函数递减，
所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 ，
有极大值且极大值为 ，无极小值.
（2） ， ， 时， ，
时， ，且 时， ，
因此图象如下：题型02 函数图象的变换
利用图象变换法作图的步骤
(1)平移变换
①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到y＝f(x＋a)的图象；y＝f(x－a)(a＞0)
的图象可由y＝f(x)的图象向右平移a个单位长度而得到.
②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到y＝f(x)＋b的图象；y＝f(x)－b(b＞0)
的图象可由y＝f(x)的图象向下平移b个单位长度而得到.
总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”.
(2)对称变换
①y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)三个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于y轴、x轴、原点对
称.
② 若函数 的图像关于直线 对称，则对定义域内的任意 都有 或
（实质上是图像上关于直线 对称的两点连线的中点横坐标为 ，即
为常数）；若函数 的图像关于点 对称，则对定义域内的任意 都有
③函数 与 的图像关于 对称.
(3)翻折变换
①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴
上方，上方的部分不变.
②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)
在y轴左边的图象，右边的部分不变.
(4)伸缩变换
①要得到y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A>1时)或缩(A<1时)到原来的A倍.
②要得到y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的
倍.
7．（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数 的图象，只需要把 图象上所有的点
（ ）
A．横坐标变为原来的 （纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．向右平移1个单位（纵坐标不变）
D．向上平移2个单位（横坐标不变）
【答案】A
【详解】因为 ，
所以要得到 的图象，只需要把 图象上所有的点横坐标变为原来的 （纵坐标不
变）.
8．（2026·北京·三模）将函数 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数
的图象．再将 的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数 的图象重合．则
可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】将 横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得 ，
将 向右平移1个单位长度，所得图象恰好与 的图象重合，可得 ，
选项A： ，故A错误；选项B： ，故B错误；
选项C： ，故C正确；
选项D： ，故D错误.
9．（25-26高三·全国·一轮复习）函数 的图象如图所示，那么函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数 的图象可由 先关于 轴对称，再向右平移两个单位得到，
结合各选项，可知只有C选项的图象符合．
10．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上的
所有的点（ ）
A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度
B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度
C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度
D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度
【答案】A【详解】把函数 的图象的所有的点保持 不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数 的图象，
向左平移1个单位长度得到函数 的图象.
11．【多选】（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数 ，则图乙中的图象对应
的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据函数 ， 与函数 的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得．
【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数，
对于A： 的图象是保持 在 轴右侧的图象并将右侧图象沿着 轴翻折，而乙图中在 轴
右侧的图象发生改变，故A不合题意；
对于B： 的图象是保持 在 轴上方的图象并将下方的图象沿着 轴翻折,而乙图中在
原点附近的图象均在 轴下方，故B不合题意；
对于C：当 时， ，即乙图中在 轴右侧的图象可由甲图中在 轴左侧的图象翻折
得到，
又 为偶函数，图象应关于 轴对称，故C符合题意；
对于D： 可由 关于 轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意.
12．（25-26高三下·河北邢台·开学考试）已知函数 的图象如图所示，则 的图象为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 与 图象关于y轴对称，得 的图象为A选项.
13．（25-26高三上·北京通州·期末）函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象与 关
于 轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出与 关于 轴对称的函数，再将所得函数的图象向左平移一个单位，即可求解.
【详解】设与 关于 轴对称的函数为 ，且 为函数 的图象上任一点，则 关于 轴的对称点为 ，所以点 在 的图象上，
则 ，又 的图象向左平移一个单位得到 ，所以 ，
故选：B.
14．【多选】（25-26高三上·浙江宁波·期末）以下两个函数 与 ，其中 可以通过 平移
得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】分析函数的平移，伸缩，对称变换即可.
【详解】对于选项 ，两个函数斜率不同，不能通过平移得到，故 错误.
对于选项 ， ，是对 向左平移 个单
位，再向上平移四个单位得到的，故 正确.
对于选项 ， ，
则 ，所以可将 向左平移 个单位即可得到 ，故 正确.
对于选项 ， ，是对 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，故 正确.
故选：题型03 根据实际问题作函数的图象
1. 建模：梳理题干变量关系，列出函数解析式；
2. 限定定义域：结合实际场景，自变量只能取正数、整数或有限区间；
3. 分析图像特征：实际问题常只有第一象限图像，间断离散点、递增/递减、存在最值；
4. 绘图要点：坐标轴标注实际含义，离散点只画实心点，无延伸虚线，结合增减趋势画图。
15．（2025高三上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，
发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中 轴表示该学生离家的距离， 轴表示所用的时间，下列图象与该
同学走法相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案.
【详解】依题意可知， 关于 的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误；
由于该同学是先走后跑，所以 关于 的函数图象上升速度是先慢后快，故A错误，C正确.
故选：C
16．（22-23高三上·安徽黄山·开学考试）已知边长为1的正方形 ， 为 边的中点，动点 在正
方形 边上沿 运动，设点 经过的路程为 ， 的面积为 ，则 关于 的函数
的图像大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求 与 的函数关系式，进而可得结果.
【详解】当动点 在正方形 边上沿 运动时，
则 的面积为 ；
当动点 在正方形 边上沿 运动时，
则 的面积为 ；
当动点 在正方形 边上沿 运动时，
则 的面积为 ；
所以 ，所以A正确，BCD错误；
故选：A.
17．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线 在初始位置与等边 的底边重合，之后 开始在平面上按逆
时针方向绕点 匀速转动（转动角度不超过 ），它扫过的三角形内阴影部分的面积 是时间 的函数．
这个函数的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点 ，连接 ，设等边 的边长为 ，求得 ，令
，其中 ，结合导数，即可求解.
【详解】如图所示，取 的中点 ，连接 ，因为 为等边三角形，可得 ，
设等边 的边长为 ，且 ，其中 ，
可得 ，
又由 的面积为 ，可得 ，
且 ，
则 的面积为 ，
令 ，其中 ，
可得 ，所以 为单调递增函数，又由余弦函数的性质得，当 时，函数 取得最小值，
所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
结合选项，可得选项C符合题意.
故选：C.
18．（23-24高三上·安徽·期中）向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻
画容器中水的高度与时间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案.
【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C选项的图象符合条
件，
故选：C.
19．（25-26高三下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，
骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用 ， 分别表示乌龟和兔子所行的路程， 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.
【答案】④
【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加；
对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚
于乌龟到达终点，故符合题意的是④.
题型04 给出函数确定图象
确定函数的图象主要用排除法. 要抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左
右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置. ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势. ③从周期性，
判断图象的循环往复. ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 同时要善于抓住图象的特征，定量计算：
从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题.
20．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数 的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】 ，且定义域为R，
所以 为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，D项，
并且在y轴右侧， 趋近于0时， ，故 ，
故只有选项 满足题意.
21．（2026·天津西青·三模）已知函数 在区间 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图像的对称性和特殊点的函数值判断.
【详解】因为 ,因此 是奇函数，图像关于原点对称，
排除选项 C（偶函数图像，关于 轴对称）；
当 时，分子 ，分母 ，
因此 ，选项 B 中 时函数值为负，矛盾，排除 B；
取 ，计算的值接近 8，说明 附近函数值仍接近 8，
选项 A 中 的函数值和8相差比较大，排除 A；
因此，只有选项 D 符合所有特征.
22．（2026·天津北辰·三模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得 为奇函数，再结合 ，即可得到答案.
【详解】由函数 ，可得其定义域为 ，关于原点对称，
且满足 ，
所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项；
又由 ，可排除C选项，所以选项A符合题意.
23．（2024·河北衡水·模拟预测）函数 在区间 上的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性排除C，D；利用复合函数的单调性排除B.
【详解】易知函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，排除C，D；
当 时，令 ，则 ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递增，
所以 在区间 上为增函数，且 ，
又 在区间 上为增函数，且 ，
所以 在区间 上为增函数，排除B．
24．（2026·山东枣庄·三模）函数 的部分图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD.
【详解】定义域为 ， ，
则 是偶函数，排除A选项；
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，排除CD选项.
题型05 给出图象确定函数
由图选式，一般通过图象体现出的性质利用排除法筛选. 与由式选图类似，主要用奇偶性、单调
性、特值、极限等综合分析.
25．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B； 的图象特征判断D；
【详解】图像中函数与 轴有两个交点（即两个零点），
选项A ， 只有1个零点 ，选项C， 没有零点，因此排除A、C.
图像中 时，函数值趋近于0，选项D ，当 时， ，不符合趋势，排
除D.
选项B： ，零点为 （两个零点，一负一正，符合图像）；
时， ， ，且 时， ，符合图像左半部分趋势；
时， ， ， 时 ，符合；
时， ，求导得 ，可得 时函数先增后减，且 时，指数函数增长快于多
项式， ，完全符合图像特征.
26．（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】A选项，由正弦函数的周期性可得原函数图象和坐标轴有无数个交点排除A项；B选项，对函数
求导，判断单调性和函数图象趋势即可判断；C选项，对所给函数的奇偶性进行判断即可；
D选项，判断所给函数的定义域即可.
【详解】A选项，取 ，则令 ，解得： ，其中 ，即： 和 轴有无
数个交点，所以A错误；
B选项，取 ，则 ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
故 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ，所以当 时， ，当 时， ，所以B正确；
C选项，取 ，则函数定义域为 ，且 ，所以 是偶
函数，所以C错误；
D选项， ，由 可得 ，由图知，D错误.
27．（2026·四川成都·二模）已知函数 的图象如图所示，则其解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图像，结合函数的性质逐项判断即可求解.【详解】对于A， 的图像是一条直线，故A错误；
对于B， 的定义域为 ，
又 时， ，所以 ，故B错误；
对于C， 对数函数在 单调递增，满足题意，故C正确，
对于D ， 的定义域为 ，又 ，
由 ， ，所以 ，故D错误.
28．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 取值情况判断B；由 时函数值情况判断C；由 的值判断D；分析函数性质判断A.
【详解】对于B，函数 的定义域为R，而给定图象对应函数中 ，B不是；
对于C，函数 ，当 时， ，此时图象在 下方，C不是；对于D，函数 ， ，其图象过点 ，D不是；
对于A，函数 ，定义域为 ，
，函数 为奇函数，图象关于原点对称，
当 时， ；当 时， ，A可能是.
29．（2026·天津·一模）已知函数 的部分图象如下：
则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】因为无法通过五点作图得出具体函数图像，所以本题使用奇偶性，特殊值逐项排除得出答案.
【详解】A选项： ，为偶函数.题中图像为奇函数，所以A不
可能.
C选项：同A选项判断方法也可判断C选项 为偶函数，C错误.
D选项：因为 ，当 足够大时，显然不满足图像显示最后一部分由负到正的急剧递增，且当时， ，与图像矛盾.
B选项：从奇偶性，特殊值角度分析均有可能满足，因此图像解析式可能为 .
题型06 由函数图象确定参数范围
由函数图象，研究其性质，进而确定参数值或范围，体现了由形到数的思维.
30．（2026·江西宜春·一模）已知关于x的方程 有两个不相等的实数解，则正实数m的取
值范围是______.
【答案】
【分析】换元令 ，可得 ，根据题意结合指数函数单调性分析可知 ，整理可得
，结合导数的几何意义分析求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
令 ，可得 ，
原题意等价于关于t的方程 有两个不相等的实数解，
若 ，则 在定义域内单调递增，
可知方程 不可能有两个不相等的实数解，不合题意，所以 ，
可得 ，原题意等价于 与 有2个不同的交点，因为 ，可知 与 必有一个交点 ，
且 ，令 ，解得 ，
当 ，由图象可知 与 有2个不同的交点，
所以正实数m的取值范围是 .
31．（2026·河南焦作·一模）已知函数 若方程 恰有2个实根，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】 时， ，则 ，
令 得 ，令 得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， 时， ，故 ，
当 时， 单调递增，且 ，
画出 的图象如下：方程 恰有2个实根，即 与 有2个交点，
则 ，则实数 的取值范围是 .
32．（2026·重庆万州·三模）若直线 与函数 的图象的公共点构成的集合为 ，直线
与函数 的图象的公共点构成的集合为 ，且 只有 个元素，则 的取值范围是
_________________
【答案】
【分析】利用导数研究 的单调性及极值，作出 的大致图象，转化为 与图象有2个交
点，数形结合即可得解.
【详解】由指数函数性质知， 在 上单调递减，且值域为 ，
的定义域为 ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
则 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，
所以 ，作出 的大致图象，如图，当 只有 个元素时，即直线 与 的图象总共有2个交点，
由图象可知， 的取值范围是 .
33．（2026·安徽滁州·三模）已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是_________．
【答案】
【分析】要使分段函数 的值域为 ，需两段函数值域衔接覆盖全体实数，即满足 部分的最小值
不大于 部分的上界 .
【详解】当 时， ，这部分值域为 ；
当 时， ， 是增函数，这部分值域为 ，
要使整个函数的值域为 ，则 ，
画出 和 的图像，可知两个函数的交点为 和 ，且当且仅当 时， 成立，
因此 的取值范围是 .题型07 利用图象研究函数的性质
函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具. 数形结合应以快、准为前提，充分利用
“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透.
34．（2026高三·全国·专题练习）函数 的图像如图所示，其中点 ， ， ， 的坐标分别为 ，
， ， ，则下列说法不正确的是（ ）
A． 的定义域是
B． 的值域是
C．
D．只与 的一个值对应的 值的范围是
【答案】B
【详解】由图可知： 的定义域是 ，值域为 ，故A正确，B错误，
，C正确，
当 和 时，此时 的图像只有一个交点，故只与 的一个值对应的 值的范围是 ,D正确.
35．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数 则图象上关于原点对称的点有
（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【详解】点 关于原点的对称点为 ，即 时， ，
已知函数 ，
，
当 时， ，方程 图象有两个交点；
当 时， ，方程 图象有1个交点；
综上，图象上关于原点对称的点有3对．
36．（2026·山东德州·模拟预测）已知 ， ， 为两两不相等的正数，设函数 ，则
（ ）
A． 没有零点 B． 有唯一零点C． 至多有一个零点 D． 至少有一个零点
【答案】C
【分析】整理可得 ，令 ， ，可得 ，分类讨论 与1的大小，结合函
数图象分析判断.
【详解】因为 ， ， 为两两不相等的正数，
令 ，可得 ，
令 ， ，则 ， ，且 均不为1，可得 ，
若 ， ，分别作出 ， ，
可知 与 只有一个交点，即 有唯一零点；
若 一个大于1，一个小于1，不妨设 ， ，分别作出 ， ，
可知 与 没有交点，即 没有零点；若 ， ，分别作出 ， ，
可知 与 只有一个交点，即 有唯一零点；
综上所述： 可能没有零点，至多有1个零点，故C正确.
题型08 利用图象解不等式
与指、对、幂混合型函数相关的不等式问题，常通过数形结合转化为函数图象的交点和在交点两侧
图象的上、下位置关系来求解.
37．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数 的图象如图所示，则关于x的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据图像关于 对称，可得 ，结合图像即可求解.
【详解】由题可得 ，由于图像关于 对称，所以 ， ，
得 ， ，
所以不等式 ，即 的解集为 .
38．（25-26高三下·上海浦东新·阶段检测）如图所示为函数 的图象，则不等式 的解集为
________.
【答案】
【分析】根据图象得到函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而求得不等式
的解集．
【详解】由图象可知， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
故当 ， 时， ，当 时， .
原不等式等价于 或 ，则 或 .
所以不等式 的解集为 .
39．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知函数 的定义域是 ，其图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 可得 或 ，利用指数函数的单调性与图象可得出原不等式
的解集.
【详解】因为函数 的定义域为 ，由 可得 或 ，
解不等式组 ，结合图形可得 ，得 ，
解不等式组 ，结合图形可得 ，得 .
综上所述，不等式 的解集为 .
故选：B.
题型09 函数图象的综合应用
(1)利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方
程解的个数.(2)利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交
点，根据题意结合图像写出答案
(3)利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻
找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
40．（24-25高三上·天津和平·阶段检测）已知函数 ，若方程
有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】画出 的图象，令 ，根据函数图象可得 有两个不等实根 ，且
有两个整数根， 有三个整数根，数形结合得到 ，此时两个整数根分别为2和-16，
数形结合 三个整数根中，必有一个小于2，只有 满足要求，故 ，求出五个整数根分别为
，得到答案.
【详解】画出 的图象，如下：
令 ，则 ，
根据 的图象可知，要满足题意必须 有两个不等实根 ，且 有两个整数根， 有三个整数根，
结合图象，当 与 相切时满足要求，
根据对勾函数性质得， 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ，故 ，
又 ，其在定义域内单调递减，
令 ，解得 ，
故 时，有两个整数根，分别为2和-16，
由图象可知， 三个整数根中，必有一个小于2，
显然只有 满足要求，此时 ，故 ，
令 ，解得另一个根为4，
又 ，解得 ，
故五个整数根分别为 ，
所以最大整数解和最小整数解之积为 .
故选：B
【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层
函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，
即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
41．（25-26高三·全国·一轮复习）对于实数 ， ， ，记 为 ， ， 中的最大者，例如：
， ．若非负实数 ， 满足 ，则 的最
小值为_____．
【答案】36【分析】方法一：令 ，根据 的定义，通过配凑系数法，结合条件
，求得 的最小值；
方法二：由 消元，转化为 ，并在同一坐标系下画出函数其图象，找
到最低点即得答案.
【详解】方法一：（配凑系数法）令 ，则 ．
为非负实数，且 ，
，因此 ．
且当 时，
的最小值为36.
方法二：（转化为一元函数）由 得 ，
令 ，则 ，在同一坐标系下画出函数
的图象，如图．则函数 的图象是图中的实
线部分，显然点 是图象的最低点．
42．（23-24高三下·上海浦东新·阶段检测）设定义在 上的偶函数 满足 ，它在
区间 上的图像为如图所示的线段 ，则方程 的最大实数根的值为_________．【答案】
【分析】由 的奇偶性及对称性可得 周期性及图象，由 可得 ，求方程
的根即求 交点的横坐标，观察图象可得转化为求 （ ）即可.
【详解】由图象知，设 的方程为 ，则 ，
则 的方程为： （ ），
又因为 是偶函数，
所以当 时，则 ，
所以 ，
由 ，可得 的图象关于直线 对称，
又 ，所以 ，
所以 的周期 ．
因为 ，所以 ，
则方程 的根为 交点的横坐标.
则作出函数 和 的大致图象如图，由图象知 ， ， ，
则当 时，方程 取得最大根，
当 时， ， ，
由 得 ，即 ，
解得 （舍）或 .
故答案为： .
题型10 求函数的零点
三种通用解法：
1. 代数解方程：令 ，直接解方程，方程实数解即为零点；
2. 图像法：画出 图像，图像与 轴交点横坐标为零点；
3. 转化交点法：变形 ，求 与 交点横坐标；
注：零点是实数，不是点，写数值而非坐标。
43．（2026·上海徐汇·二模）函数 的零点是__________.
【答案】0【详解】令 ，即 ，解得 ，
所以函数 的零点是0.
44．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）函数 的一个零点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令 （ ），
则 （ ），
符合该式的有 .
45．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）函数 在 上的零点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】代入选项，结合正弦函数的单调性与诱导公式，逐一验证即可.
【详解】对于A： ，由于 在 单调递增，
故 ，故 不是 的零点，故A错误；
对于B： ，由于 在 单调递增，
故 ，故 不是 的零点，故B错误；
对于C： ，
由于 在 单调递增，故 ，
故 不是 的零点，故C错误；对于D： ，故D正确.
故选：D.
46．（25-26高三上·安徽淮北·期中）写出函数 的所有零点______.
【答案】2
【分析】利用对数函数与二次函数的性质一一计算零点即可.
【详解】对于方程 ，可得其根为 ，均不满足 ，故舍去；
又函数 单调递增，且 ，满足题意.
零点为2.
题型11 确定零点所在的区间
确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位
置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两
端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与 轴的交点来确定．
47．（2026·甘肃嘉峪关·三模）函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 是增函数， 是增函数，所以函数 是增函数.
又 ，
所以由零点存在性定理可得，函数 的零点所在的区间为 .
48．（2026·天津·模拟预测）方程 的根所在区间为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】原方程的根等价于函数 的零点，先判断 单调递增，然后利用零点存
在性定理逐一判断即可.
【详解】原方程的根等价于函数 的零点， 的定义域为 ，
函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增，
因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点，
，
因此 时， ，无零点，A 选项错误；
，因此 时， ，
无零点，B选项错误；
，
因为 ，因此 ，
此时 且 ， ，根据零点存在定理，存在 ，使得 ，
即方程的根在区间 内，C选项正确；
，
结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误.
49．（2026·陕西西安·模拟预测）函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可.
【详解】由题意可知函数的定义域为 ，
又因为 与 在 均单调递减，
所以 在 均单调递减且连续，
因为 ， ，
所以函数的唯一零点所在区间为 .
50．（2026·广东深圳·模拟预测）已知 ，则 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求得 的零点为 ，再由对数函数性质判断即可.
【详解】令 的 值即 的零点．
而 ，即 ， ，
而 ，所以 ，
所以函数 的零点就是 ， ．
要比较 与 的大小，等价于比较2与 的大小，等价于比较 与 大小，
显然 ， ， ．
51．（2026·天津·二模）函数 的一个零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论
【详解】 定义域为 ， ，
令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，
其中 ，故 ， ， ，
由零点存在性定理可得函数 的一个零点所在区间为 ，
其他选项均错误.
52．（24-25高三上·四川宜宾·期末）函数 的零点在下列区间内（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数 的单调性，结合函数的零点存在定理判断即可．
【详解】函数 在定义域 上连续，且为增函数，
又 ，
，
故函数 的零点在区间 内.题型12 判断函数零点个数
（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）
才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：一种是转化成函数图像与 轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个
数。如判断 型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数
和 的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几
个不同的值，就有几个不同的零点．
53．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 则函数 的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】令 并结合各段解析式所在的定义域即可求解.
【详解】当 时，解 得 或 （舍），此时有1个零点，
当 时，解 得 ，此时有1个零点，所以 共有2个零点.
54．（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线 与 的交点的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】在同一直角坐标系中作出函数 与 的图象，可得答案.
【详解】在同一直角坐标系中作出函数 与 的图象，如图所示：所以曲线 与 的交点的个数为 个.
55．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时，
，则方程 的实数根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解.
【详解】由 ，知函数 的一个周期为2．
因为方程 等价于 ．
令 ，又当 时， ，
由此作出函数 与 的图象，
如图所示．因为 ， ， ，
所以 和 的函数图象交点个数为4，故方程 有4个实数根．
56．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为 的函数 满足 ，当 时， ，
则当 时，函数 的零点个数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据递推关系可得 的解析式，将问题转化为函数 与直线 交点个数问题，
采用数形结合的方式可求得结果.
【详解】 ， ， ， ， ，
， ；
函数 的零点个数等价于函数 与直线 的交点个数；
作出 与 的图象如下图所示，
结合图象可知：当 时， 与 在每个区间 上有且仅有一个交点，则当
时， 与 共有 个交点；
当 时， 与 没有交点，即当 时， 与 没有交点；
当 时， 与 有且仅有一个交点 ，即当 时， 与 有且
仅有 个交点；
当 时， ， ，二者没有交点，即当 时， 与 没有
交点；
综上所述：当 时，函数 的零点个数为 个.57．（25-26高三上·安徽淮北·期末）函数 是由 图像向左平移 ，横坐标变为原来的 变
换得到，则 与函数 的交点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】求出变换后的函数解析式，再根据两者的图像可判断交点的个数.
【详解】由图像变换可得 ，
当 时， ，故 在 为增函数，
当 时， ，故 在 为减函数，
当 时， ，故 在 为增函数，
当 时， ，故 在 为减函数，
设 ，则 ，
， ，
，
而当 时， ，
在同一个坐标系中画出两个函数图像知有4个交点，由图可得两个函数的图像有4个交点.题型13 已知函数零点求值
1. 零点定义转化：零点 满足 ，代入解析式构造含参数方程；
2. 多零点问题：多个零点分别代入，联立方程组求解参数；
3. 二次函数零点：可用韦达定理（根与系数关系）快速建立等式，简化计算。
58．（24-25高三上·广东广州·阶段检测）函数 的零点为1，2，则不等式 的解
集为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【分析】根据三个二次的关系可得系数的值，进而可得一元二次不等式的解集.
【详解】因为函数 的零点为1，2，所以方程 的根为 ，
由根与系数关系得 .
所以不等式 即为 ， ，
所以不等式的解集为 或 .
故选：D.
59．（2025·云南楚雄·模拟预测）若函数 恰好有一个零点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意直线 与曲线 相切，切点坐标为 ，然后求 和 即可.
【详解】令 ，可得 .因为函数 恰好有一个零点 ，所以由指数函数图象可知，直线 与曲线 相切.
易知 ，设切点坐标为 ，则 ，解得 .
又切点 在切线 上，所以 ，
所以 .
故选：B
60．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知 是函数 的零点，则 的
最小值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．5
【答案】B
【分析】依题意可得 ，从而得到 或 ，再分 、 两种情况讨论，分别求出
的最小值，即可得解.
【详解】因为 是函数 的零点，
所以 ，即 ，则 或 ，
解得 或 ，
当 时 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ；
当 时 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ；
又 ，综上可得 的最小值为 ，此时 ， .
故选：B
61．（24-25高三下·贵州黔东南·期中）已知 是函数 的零点，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】结合零点的定义及指数与对数的相互转化求解即可.【详解】由题意可得， ，则 ，
则 ，所以 .
故选：D.
62．（2025·云南曲靖·一模）已知 是函数 的零点， 是函数 的
零点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2025
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，利用函数 得单调性可得 ，运算得解.
【详解】由题可得 ，可得 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，则 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由题得到 ，构造函数 并根据
单调性得到 .
题型14 根据零点所在的区间求参数的取值范围
根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．63．（25-26高三上·全国·期末）若函数 在区间 上存在一个零点，则实数 的取值范
围是（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数零点的判定定理及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】当 时， ，在 上没有零点，不符合题意；
当 时， 为一次函数，
函数 在区间 上存在零点的充要条件为 ，
即 ，
即 ．解得 或 ．
故选：
64．（25-26高三上·上海·阶段检测）若函数 在区间 上存在零点，则常数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知 在区间 上单调递增，再根据零点存在性定理求解即可.
【详解】因为函数 与 在区间 上均为单调递增函数，
所以函数 在区间 上单调递增，
因为函数 在区间 上存在零点，所以 ，解得 .
所以常数 的取值范围为
故选：C
65．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数 的零点 ，则整数 的值
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由函数单调性和 即可由函数零点存在性定理求解.
【详解】 和 均为单调递增函数，
所以 在 上也为单调增函数，
因为 ，
所以函数 的零点在区间 上，
又函数 的零点在区间 上，
所以 .
故选：C.
66．（25-26高三上·浙江台州·期末）若函数 在区间 各恰有一个零点，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分离参数 ，转化为求两函数图像交点的问题，画出 在区间 的图
像即可.【详解】因为 在区间 各恰有一个零点，所以 在区间 各有一个解，
当 时， ，故 可化为 ，
令 ， ，则问题转化为 与 在 各有一个交点.
设 ，
，
时， ，
故 ， 在 单调递增，
又 ，所以 时， ， ， 在 单调递增.
时，设 ，
故 在 上单调递增，
又 ，故存在 使 成立，
， ， 单调递减； ， ， 单调递增.
又 ， ，所以存在 使 成立，
， ， 单调递增； ， ， 单调递减.
又 ,
所以 大致图像如图所示，故 的取值范围为
故选：A.
67．（24-25高三上·黑龙江·阶段检测）设函数 在区间 上存在零点，则 的最小
值为（ ）
A．0 B．e C． D．1
【答案】A
【分析】设零点为 ，则 在直线 上，根据 的几何意义将问题转化为点到直
线的距离问题，利用导数求解可得.
【详解】设零点为 ，则 ， 在直线 上，
的几何意义为点 到原点距离的平方，
其最小值为原点到直线 的距离 的平方， ，
设 且 ， ，
所以 在 单调递减，所以 ．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：关键在于利用几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后利用导数求解即可.
题型15 根据函数零点的个数求参数的取值范围已知零点个数求参数范围问题的主要解法：直接法、分离参数法、数形结合法.一般情况下，常利用
数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移
项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用
数形结合思想，求得相应的结果．
68．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知方程 恰有四个不等实根，则 的取值范围为
_____.
【答案】
【详解】令 ， 的图象如图所示，
由题知 与 有四个不同的交点，由图知 ，
所以 的取值范围为 .
69．（25-26高三下·江苏盐城·期末）若函数 有三个零点，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【分析】利用导数求出函数的极大值与极小值，再利用三次函数的图象特征求解.
【详解】函数 的定义域为R，求导得 ，
当 或 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因此函数 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ，由函数 有三个零点，得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
70．（2026·全国二卷·高考真题）若函数 有两个零点，则 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】方法一：令 ,则 即 ， ,转化为一元二次方程
有两个正根的问题.
方法二：把函数 有两个零点转化为方程 有两个实数根的问题，再转化
为 ,即函数 与函数 交点问题.
【详解】令 ，得 ，即 ，
方法一：
令 ，则 ，即 ， ,
则一元二次方程 有两个正根，
那么 ，
所以， 的取值范围是 .
方法二：
设 ，那么设 ，则 ，
由于 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，根据函数图象可知，函数 有两个零点，则 的取值范围是 .
71．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数 在定义域上恰有三个零点，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对分段函数分段考虑各段上的零点情况，将问题转化为 在 上必须有2个
零点的情况，结合数形结合思想列出不等式求解即得.
【详解】①当 时， ，则 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，而 ，
由零点存在定理得，函数 在 上有且只有一个零点；
② 时， ，该二次函数的图象开口向上，对称轴为 ，
要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使 在 上要有2个零点，
即需使 在 上有两个不相等的实数根，
即 ，解得 ，综上可得 .
72．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知关于x的方程 有两个不等实根，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意即方程 有两个不相等的实根，然后通过研究 单调性，
图像可得答案.
【详解】由题意即方程 有两个不相等的实根，令 ，则
，
因 ,则 在R上单调递增，所以问题等价于 有两个不相等的实
根，
即直线 与 图像有两个交点， ， .
得 在 单调递增，在 单调递减，
， ， 时 ， 时 ，
据此可得 大致图像如下，由图像得 ．73．（2026·湖北黄冈·二模）已知函数 有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 有两个零点，则方程 有两个实根，
即 有两个实根，即直线 与函数 的图象有两个交点.
结合函数 的图象，可得 ，
所以 的取值范围是 .
题型16 与零点相关的比较大小问题
与函数零点有关的函数值比较大小，可以通过函数性质结合零点存在性定理确定，也可考虑在同一
平面直角坐标系中画出图象，根据交点及图象位置关系确定.
74．（2026·福建福州·三模）已知 ，则 的大小关系不可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】由 ，得 ，转化为函数
与 ， 与 ， 与 图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各
个交点的位置关系，从而进行判断.
【详解】 ， ， ,
， ， ；
即转化为函数 与 ， 与 ， 与 图象的交点问题.
分别画出 ， ， ， ， ， 的图象，如图所示：
由图可知， 与 的图象交于 两点， 与 的图象交于 两点， 与
的图象交于 两点；同时 .
对于A， 时，满足 ，故A正确；
对于B， ，不满足 ，故B错误；
对于C， ，满足 ，故C正确；
对于D， ，满足 ，故D正确.
75．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数 ， ， 的零点依次
为a，b，c，则（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断 的范围.
【详解】 是 上的增函数， ， ，
因此零点 ，即 .
令 ，得零点 .
是 上的增函数， ， ，因此零点
，即 ，
综上可得大小关系： .
76．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数 ， 与 的零点
分别为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间 ， ，
即可求解.
【详解】因为 ，所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
由零点存在定理， 的零点 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，因为 ， ，
由零点存在定理， 的零点 ，
因为 ，令 ，得 ，
当 时， ，函数 在 内单调递增，
当 时， ，函数 在 内单调递减，
当 时， ，函数 在 内单调递增，
因为 ， ，
因此， 时，函数 没有零点，
又因为 ，
由零点存在定理， 的零点 ，
因为 ，
所以 .
77．（2026·湖南湘西·三模）已知 分别为函数
的零点，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可.
【详解】由 ，得 ，则函数 与 的图象的交点横坐标就是 ；
由 ，得 ，则函数 与 的图象的交点横坐标就是 ；
由 ，得 ，则函数 与 的图象的交点横坐标就是 ．作出函数图象如图，可知 ．
78．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 的零点分别为
，则 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果.
【详解】由 及 得 ，
由 及 得 ，
由 及 得 ，
由函数 的零点分别为 ，
可得函数 ， ， 与 图象交点的横坐标分别为 ，
在同一坐标系中分别作出函数 ， ， ， 的图象如图，
由图知题型17 求零点的和
1. 二次函数型：两根之和用韦达定理 ；
2. 对称函数型：图像关于直线 对称，成对零点之和为 ；
3. 分段/复合函数：先找出全部零点，分组利用对称性求和再相加；
4. 周期函数零点：结合周期规律，批量计算零点总和。
79．（2026·北京朝阳·一模）已知函数 （ ），则 的所有零点之和为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ，而 ，则 ，
所以 的所有零点之和为 .
80．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数 ，则函数 所有零点之和为
（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】B
【分析】利用导数证明函数 的单调性，然后利用零点存在定理说明零点的存在性，最后证明函数
为奇函数，根据奇函数图象的对称性即可得出结论.
【详解】由题意知 ， ，所以 在 和 上单调递增，
又因为 ，当 时， ，所以 在 上必存在唯一的零点，
因为 ，
所以 为奇函数，则 在 上必存在唯一的零点，
根据奇函数图象的对称性，可知 的所有零点之和为 .
故选：B
81．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）函数 的所有零点之和为
______________
【答案】12
【分析】函数的零点转化为图象的交点来解决，在同一坐标系下画出 和 的函数
图象，根据函数图象的对称性以及交点个数可得答案.
【详解】由 可得 ，设 ， ，
则函数 的零点个数等价于 与 的交点个数.作出两函数
的图象如下.
因 ，即函数 关于直线 对称，
对于 ，由 ，解得 ，
即函数 也关于 对称. 即两函数的图象均关于直线 对称.又因 的最小正周期为 ， 且当 时， ，
而对于 ， ，且 在 上单调递增，
所以当 时，两函数图象无交点，由图知，两函数在 上有4个交点；
再由图象对称性可知，两函数的图象共有 个交点，且关于直线 对称，
故 的 个零点之和为 ．
故答案为：12.
82．（2025高三·全国·竞赛）已知 ，则 在 上所有根的和为
_____.
【答案】60
【分析】首先确定两个函数的相同的对称中心，再根据两个函数图象的交点个数，以及交点的对称性，即
可求解.
【详解】因为 ，
所以 的图象关于点 对称，而函数 的图象也关于 对称，
在同一直角坐标系内作出两函数的图象，如图所示：
由图象可知这两个函数图象 上有10个交点，即共有5对关于 对称的点，
所以方程 在 上所有根的和为 ．
故答案为：83．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数 的图象关于点 对称，则函
数 的零点之和为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】求出函数 的定义域，结合导数确定函数的单调性及零点个数，再利用对称性求出零点和.
【详解】函数 ，由 ，得 或 ，
而 ，则 ，
即 是函数 图象的对称中心， ，
函数 在 上单调递减，而 在 上单调递增，
则函数 在 上单调递减，令函数 ，
求导得 ，函数 在 上单调递减，
因此函数 在 上单调递减，当 从大于2的方向趋近于2时， ，
，则函数 在 上有唯一零点，
由对称性知函数 在 有唯一零点，两个零点和为2，
所以函数 的零点之和为2.
故选：B
84．（2025高三·全国·专题练习）若 是 的零点， 是 的零点，那么 的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】解法1：根据函数零点，可得 ①， ②，整理①可得
，令 ，代入可得 ，与②对比，可得 ，即 ，
可求.
解法2：由题意得 ， ，令 ，则 ， ，利用 与
的图象关于直线 对称，即可求解.
【详解】解法1：
根据题意，可得 ①， ②，
所以 ， ，即 ，
令 ，代入上式得 ，
所以 ，即 ，
而 在 上为增函数，
故与②式比较得 ，于是 ，即 .
故选：C．
解法2：
令 ，化简得 ，
令 ，化简得 ，
令 ，则 ， ，故 为 的解， 为方程 的解，
由于 与 的图象关于直线 对称，故 ，所以 ．
故选：C．
题型18 嵌套函数的零点问题
多层零点由外向内逐层拆解：
1. 设内层 ，原零点 等价于 ，先解出 的所有取值；
2. 对每一个 ，解方程 ，统计每个方程实数解个数；
3. 全部解合并即为嵌套函数总零点；
核心：分层转化，先外层、后内层，避免混淆内外变量。
85．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数 ，若 的零点
个数为 ，则实数 取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】画出 的图象，结合函数的图象可得方程 的解 、 满足 ，根据根分
布可求实数 取值范围．
【详解】根据解析式知 的图象如图所示：由题意， 有4个不相等的实数根，
设 ，结合图象可知 有两个不等实根，
设此关于 方程的解为 、 ，其中 均不为零且 ．
由题设可得关于 的方程 和 共有4个不同的解， ，
故 不能都大于2，不能都小于等于1，
故 （舍）或 或 （舍）．
令 ，其开口向上，
需满足 ，即 ，解得 .
86．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数 ，若函数 有8个
不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分析函数 ，作出函数大致图象，分析函数 ，把零点问题转化为关于 的方程有2个不同的根 和 ，且关于 的方程 分别有4个不同的根，进而结合判
别式和韦达定理构造方程组，并分情况讨论求出实数 的取值范围．
【详解】当 时， ，开口向下，对称轴为 ，
；
当 时， ， ，函数在 单调递减，在 单调递增；
作出 的大致图象如下，
设 ，则关于 的方程 有2个不同的根 和 ，
且关于 的方程 分别有4个不同的根．
不妨设 ，则关于 的方程 需满足： ，
①若 ，则 ，故 ，
且 ，即 ，
解得 ；
②若 ，则 ，此时 ，符合题意，故 ．
87．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数 ．若关于 的方程 有4个不同的实数
根，则实数 的取值范围为_____．【答案】
【分析】利用换元法，将多层复合方程拆解为外层和内层方程，通过分析外层方程根的分布，反推参数的
取值范围.
【详解】已知 ，其值域为 ，
令 ，则原方程 可化为 ，即： ，
设该方程的两根为 （ ），要使 有4个不同实根，需满足：
有两个不同的实根 ，这两个根 均大于 .
即 有两个不同实根，则Δ=4+4a>0⇒a>−1
设 ，要使 的两根均大于 ，需满足：
其中g(−1)=(−1) 2−2(−1)−a=3−a>0⇒a<3.
同时，当 时， ，
若 ，则 是方程 的一个根，此时 仅有1个根，
有2个根，总根个数为3，不符合题意.
当 时，f(t)=−1⇒t=1（二重根），此时 有2个不同实根，总根个数为2，不符合题意.
综上， 的取值范围为 .
88．【多选】（2026·海南·模拟预测）设函数 的定义域为 ，且 ，则
（ ）
A．函数 的值域为
B．函数 在 上单调递减C．方程 有3个不同的解
D．若方程 有10个不同的解，则
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，求出函数 ，分段求出值域判断A；确定单调性判断B；求出方程的解判断
C；转化为一元二次方程，并利用其根的分布列式求解判断D.
【详解】依题意，当 时， ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，
对于A，当 时， ；当 时， ；当 时，
，函数 的值域为 ，A错误；
对于B，当 时， 在 上单调递减，B正确；
对于C，由选项A及 ，得 或 ，解得
或 ，方程 有3个不同的解，C正确；
对于D，观察图象，令 ，方程 有10个不同的解，
等价于方程 在 内各有一个实数根，
因此 ，解得 ，D正确.题型19 函数零点的综合应用
零点综合常融合单调性、奇偶、图像、参数、不等式：
1. 零点作为分界点划分单调区间，求解函数不等式；
2. 已知零点个数结合图像求参数范围；
3. 结合对称、周期求区间内零点和、零点个数；
4. 实际应用：利用零点求解最值、盈亏平衡点、交点临界值。
89．【多选】（2026·山西忻州·模拟预测）设函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是 的最小值点
B．方程 有且仅有一个实根
C．若 ，则方程 有三个实根
D． 在R上有最大值
【答案】ABC
【分析】求出函数 的导数，确定单调区间及对应的函数值集合，再逐项分析判断即可.
【详解】函数 ，求导得 ，当 或 时， ；
当 时， ，函数 在 上单调递减，函数值集合为 ，
在 上单调递增，函数值集合为 ，在 上单调递减，函数值集合为 ，
对于A， ，因此 是 的最小值点，A正确；对于B， ，直线 与函数 的图象仅有一个交点，方程 有且仅有一个实根，B正确；
对于C，当 时，直线 与函数 的图象有三个交点，则方程 有三个实根，C正确；
对于D，当 时， ，函数 在R上无最大值，D错误.
90．【多选】（2026·湖北·三模）已知函数 ，则（ ）
A． 一定有零点
B．曲线 与直线 恒有3个交点
C．若 有3个零点，则它们的和为0
D．曲线 上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形
【答案】AC
【分析】对于A，运用零点存在定理即可证明；对于B，联立得到方程，将条件转化为方程有三个解，讨
论方程的解的个数即可；对于C，设出零点，将函数写成因式乘积的形式，展开与原函数对应系数相等即
可；对于D，求出函数的对称中心，利用菱形的对角线性质转化为直线和函数的交点个数问题.
【详解】对于A，若当 ， ，当 ， ，
根据零点存在定理，至少存在一个 ，使得 ，故A正确；
对于B，若曲线 与直线 恒有3个交点，
则 有三个根，整理得 ，
解得 或 ，
当 即 ，此时只有一根.当 即 ，此时有三个根，故B错误；
对于C，若 有3个零点，设三个零点分别为 ，
则 ，
又因为 ，系数对应相等，
则有 ，故C正确；
对于D，因为 ，
所以 关于点 对称，
若对于任意的 总存在直线 与函数 交于三个点 ，
同时 与函数 交于三个点 ，
此时根据对称性得 且相互平分，所以四边形 为菱形.
联立 ，整理得 ，
因为 ，所以 要有两个解，
所以
同理 ，得到 ，
若 ，两个不等式矛盾，所以D错误.
91．【多选】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数 ，若函数
有三个互不相等的零点 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．实数 的取值范围是B． 的单调递减区间为 ，
C．
D．函数 有4个零点
【答案】BCD
【分析】作出函数 的图象，结合图象逐一判断即可．
【详解】作出函数 的大致图象，如图．
对于A，因为函数 有三个互不相等的零点，则函数 与 的图象有三个不同的交点．
结合图象可得 ，故A不正确．
对于B，由函数 的图象可知其单调递减区间为 ， ，故B正确．
对于C，由函数 的图象可知 ，且 ，所以 ，
即 ，所以 ，故C正确．
对于D，设 ，则 ．
令 ，由函数 的图象，得 或 ．
当 ，即 时，则 ，解得 ；
当 ，即 时，所以 或 ，解得 或 或 ，
所以函数 有4个零点，故D正确．92．【多选】（2026·福建·三模）已知 为定义在R上的偶函数，且 的图象关于直线 对称，
当 时， ，则（ ）
A．
B．
C．关于x的方程 恰有3个不同的实数解
D．不等式 的解集为
【答案】BD
【分析】由对称性即可判断A选项，结合对称性和偶函数特征可推导出函数的周期随即判断B 选项，根据
周期性以及函数的值域可判断只有在 时才可能存在解，分段求解即可判断C选项，结合函数值域以及
正弦函数性质可判断D选项.
【详解】因为 为定义在R上的偶函数，所以 ，
又因为 的图象关于直线 对称，所以 ，
所以 ，所以A错误；
因为 ，所以 ，
所以B正确；
因为 ，所以函数 是周期为4的周期函数，
当 时， ，所以在 ， ，
所以当 ， ，结合周期性可知函数 恒成立，
对于方程 ，由于 ，所以仅当 时可能存在解，
当 时， ，解得 或 ，当 时，由 且 ，可得 ，所以
，解得 或3，
当 时， ，因为 ，所以无解，
综上所述，关于x的方程 恰有4个不同的实数解，所以C错误；
因为 ，所以 等价于 ，当 时，不等式也成立，
但 的点只有 ，这些点也满足 ,
解得 ，所以解集为 ，D正确.
题型20 用二分法求方程的近似解
(1)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点
所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x 的近似值的一般步骤如下：
0
①确定零点x 的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
0
②求区间(a，b)的中点c.
③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(i)若f(c)＝0(此时x＝c)，则c就是函数的零点；
0
(ii)若f(a)f(c)<0(此时x∈(a，c))，则令b＝c；
0
(iii)若f(c)f(b)<0(此时x∈(c，b))，则令a＝c.
0
④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④.
93．【多选】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的有（ ）
A． B．C． D．
【答案】ACD
【分析】利用二分法知识对选项中的函数逐一判断即可.
【详解】对于选项A：函数 在 上单调递增，有唯一零点 ，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，A正确；
对于选项B：因为 ，故不能用二分法求零点的近似值，B错误；
对于选项C：因为 ， ，且函数 在 上连续，故可以用二分法求函数 在
上零点的近似值，C正确；
对于选项D：当 时，令 ，解得 ，
当 时，令 ，解得 ，
且根据一次函数性质知函数值在零点两侧异号，故能用二分法求零点的近似值，D正确；
故选：ACD
94．【多选】（24-25高三上·河南濮阳·期末）下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据二分法的定义结合零点存在性定理逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为 和 在 上连续且单调递增，所以 在 上连续且单调递
增，
所以 ，无零点，不能使用二分法，故A正确；
对于B， ，当且仅当 时取等号，又零点左右函数值同号，不能使用二分法，故B正确；
对于C，因为 和 在 上连续且单调递增，所以 在 上连续且单调递增，
因为 ，所以可以使用二分法，故C错误；
对于D， ，无零点，不能使用二分法，故D正确．
故选：ABD．
95．【多选】（23-24高三上·浙江宁波·阶段检测）某同学利用二分法求函数 的零点时，
用计算器算得部分函数值如表所示：
则函数 的零点的近似值（精确度0.1）可取为（ ）
A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58
【答案】BC
【分析】先确定函数的单调性，再根据零点存在定理及精确度确定零点所在区间，即可得解.
【详解】因为函数 在其定义域上单调递增，结合表格可知，
方程 的唯一近似解在 ， ， ， 内，
又精确度0.1，
所以方程 的近似解（精确度0.1）可取为 ， .
故选：BC
96．【多选】（24-25高三上·全国·课后作业）用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是 ，
则第三次所取的区间可能是（ ）
A． B．
C． D．【答案】AD
【分析】由二分法求解步骤即可判断.
【详解】第二次所取的区间可能为 ，第三次所取的区间可能为 ，
．
故选：AD
97．【多选】（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数 ，其中 ， 为某确定常
数，运用二分法研究函数 的零点时，若第一次经计算 且 ，则（ ）
A．可以确定 的一个零点 ，满足
B．第二次应计算 ，若 ，第三次应计算
C．第二次应计算 ，若 ，第三次应计算
D．第二次应计算 ，若 ，第三次应计算
【答案】AB
【分析】二分法是基于零点存在定理的一种求根的近似值（有可能求出精确值）的方法，二分法的每一步
都要满足零点存在定理的条件，结合二分法的理论即可得解.
【详解】对于A选项：由题意第一次经计算 且 ，因此由零点存在定理可知存在
满足 ，
故A选项符合题意.
对于B选项：第二次应计算 ，若 ，又 ，所以有 ，满足零点存在定
理，所以第三次应计算 ，故B选项符合题意.
对于C选项：第二次应计算 ，若 ，又 ，所以有 ，满足零点存在定
理，
所以第三次应计算 ，故C选项不符题意.
对于D选项：第二次应计算 ，而不是计算 ，故D选项不符题意.
故选：AB.
