每日一题第2866题(2026年全国高中数学联赛A卷一试填空7)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联A卷的一试填空题的第7题，难度中等。

下面的答案是直接抄的官方答案，不过有的同学可能对取整或小数部分不熟悉，对前面的n换n-m想不到。这里给出另外一个思路。

首先肯定还是根据对称性设m≤n，等于的时候很简单，直接看m<n的时候，这时候能得到0<m/n<1，在0到1之间，小数部分是多少不知道，但是知道取整是0，所以干脆先把小数部分变成取整，也就得到了m/n-[m/n]+n/m-[n/m]=m/n+n/m-[n/m]，也就是t+1/t-[t]，其中t=n/m，最大是30，又大于1，所以前半部分的t+1/t是递增的，就差[t]这部分了。

那么就考虑分段讨论，分(1,2)，[2,3)，[3,4)，……，当然不可能分29种情况挨个讨论，直接算[k,k+1)，得到f(t)=t+1/t-k，这时由递增可以得到最大趋于f(k+1)=1+1/(k+1)，也就是说当k越小的时候，这个最大值可能最大，所以优先考虑t∈(1,2)的时候，接下来的做法就和下面答案的最后两行一样了。

得到t∈(1,2)的最值后，比较一下这个最值和后面区间的极限最大4/3比较一下，就可以得到这个最大值631/435>4/3，所以最大值就是631/435。