第三章 正文+习题（1）

这一章主要介绍了 正弦定理、塞瓦定理、梅涅劳斯定理 和 位似变换。

正弦定理 主要是提供了一个角和边之间转化的桥梁，通常在三角法里面非常常用。

它一般结合的是利用面积计算的 “共边模型”。

如上图，

本质上就是一种转化比例的方法。

然后 塞瓦定理 和 梅涅劳斯定理 非常出名，我也就不详细展开了，主要就是要注意计算之前要观察好，如果边的比例不方便计算，就要使用角元的形式进行计算！

塞瓦定理 有一个比较常用的特殊情况：

，， 三线共点 ，那么 。

证明：由 塞瓦定理，

所以

证毕！

上述模型我喜欢称之为 “塞瓦中点模型”。

如果和上面的 共边模型 相结合，还能得到一个有趣的构型：

由于

同理另外两边。

而由 塞瓦定理，

所以

前面直接抵消了，此即

值得注意的是，这个结论不止在平面上成立，如果你还能把上面那个图看成立体的（如下），那么上述结论依然成立。

此时的每个角都是立体意义上的角，不是平面上的，但是结论依然成立。

如果底下是梅涅劳斯的构型也是一样的，就不赘述了。

然后 位似变换 主要就是在圆与圆之间比较常见，比如 “九点圆” 的处理。（就比如今年高联）

其实我认为，这里面更重要的是 “欧拉线”。

主要重要的是这一点：

证明：

【法一】：

如图，显然

而

所以由相似易得

证毕。

【法二】：

熟知

所以

结合

一样可知

证毕。

注： 这个结论一般也叫做 “卡诺定理”。

接下来我们就开始分析习题：

证明：易知

所以由 塞瓦定理，由于

所以 ，， 三线共点！

证明：显然

（因为它们都垂直于 ）

而

（或者也可以用 卡诺定理，）

所以四边形  为平行四边形。

证明：（这个其实也是 共边模型 面积法的应用）

注意到

将三者相加，显然为 。

分析：这题有很多相似条件，最后也是一个类似于 “塞瓦线”（三角形内交于一点的三条线）的构型。

因此在这种纯直线系的题目里面，我们可以考虑直接进行三角计算和 共边模型 暴力拆解；

当然看到含中点的塞瓦线，也可以联想到前面我说的那个 “塞瓦中点模型”，尝试去倒两边的比例，证明相等也可以。

证明：

【法一】：

即证

其中

而显然

所以易得 （由 “手拉手模型” / “相似买一送一”）

因此

此即

所以

从而

证毕。

【法二】：

由 “塞瓦中点模型”，原命题等价于证明

也就是要证明：

而易得

所以上式显然成立！