【高中数学竞赛】复数在数学竞赛中的应用

在高中阶段学生们接触了有关复数的一些简单概念,基本掌握了复数具有的代数、几何、三角、指数四种形式.这四种形式所蕴含的实际意义以及各自的运算规律沟通了数学竞赛中代数、三角、几何等模块之间的联系.本文通过近几年的一些竞赛题阐述复数方法在代数、三角、几何问题中的运用与解题技巧.

1、单位根与三角恒等式

先利用复数的三角形式将表达式中的三角函数转化为复数形式,再通过复数的恒等变换可以证明相应的三角恒等式.尤其结构中出现连续的征式2kπ/n或2kπ/n (k∈{1, 2 ,... , n-1})时,往往可利用单位根进行求解.这类问题在大学的自主招生考试中经常出现.

 可见，复数的引入使得多项式问题有了新的处理工具。对于一些多项式方程,可以利用复数相等的充分必要条件转化为实数问题求解,有时也可以以模为突破口,先求模后求复数.

3、复数运算几何意义的简单应用

复数的几何意义构建了代数与几何之间的互相联系,利用复数研究几何问题的关键在于如何构造恰当的复平面,进而建立几何元素的复数表示，并借助复数的运算来探究几何问题的解决方案。

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