七下习题11.1:8元地铁票能坐多远?三题讲清不等式

教材原题｜习题11.1 拓广探索

10. 某市地铁票收费标准如下： 不超过6 km，3元；超过6 km到12 km（含），4元； 超过12 km到22 km（含），5元；超过22 km到32 km（含），6元； 超过32 km部分，每增加1元可再乘坐20 km。 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了8元，设他乘坐地铁的里程为x km，用不等式表示x的范围。

11. 有一个两位数，如果把它的个位上的数a和十位上的数b对调，那么什么情况下得到的两位数比原来的两位数大？什么情况下得到的两位数比原来的两位数小？什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？

12. 已知三个正整数a、b、c满足a＜b＜c，且1/a＋1/b＋1/c＝1，求a、b、c。

同学们，这三道题看起来分别在讲地铁、数位和分数，其实都在训练一种本领：把文字中的大小关系变成数学条件。我们既要会算，更要说明边界在哪里、哪些情况必须排除。

先猜一猜

花8元坐地铁，能不能只说“不超过72千米”？把个位与十位交换，是不是一定变大？三个整数的倒数和等于一，难道只能不断试数？带着这三个疑问往下看。

01 · 找上界，也要找进入这一档的下界

第10题：8元对应哪个里程区间？

先找收费表中的起点：6元最多乘坐32千米。再加1元，7元最多乘坐32＋20＝52千米；再加1元，8元最多乘坐52＋20＝72千米。

但“最多72千米”只说出了上界。按题目收费标准，恰好52千米属于7元这一档，超过52千米才进入8元档。因此答案是52＜x≤72，单位为千米。

52不能取，72可以取。在数轴上，52处画空心圆，72处画实心圆，中间连起来。这一空一实，正好把“超过”和“包含”的区别画出来。

不要把“花8元”理解成“恰好走72千米”

同一个票价对应一段里程，并不是每一千米都单独收费。比如60千米和72千米都在8元档，52千米却仍在7元档。本题按所列标准正常计费理解，不考虑多买票等额外情形；这张表是题设，不是现实城市的票价查询。

02 · 先按数位表示，再看新数减原数

第11题：原数为什么是10b＋a？

题目把个位上的数字叫a，把十位上的数字叫b，所以原数是10b＋a，对调后的数是10a＋b。不要因为字母a排在前面，就把它当作十位。

比较两个数，最直接的办法是作差：新数−原数＝（10a＋b）−（10b＋a）＝9（a−b）。差的正负，就决定新数比原数大还是小。

当a＞b时，差为正，新数较大；当a＜b时，差为负，新数较小；当a＝b时，差为零，两个数相等。

例如原数37，对调成73，个位7大于十位3，所以变大；原数82对调成28，所以变小；原数55对调后不变。例子帮助理解，作差则解释了所有符合条件的情况。

个位是0时，还能得到“两位数”吗？

不能。原数十位b只能取1至9，个位a可以取0至9；但题目要求对调后仍是两位数，就还需要a不为0。例如30交换后写成03，其数值是3，已经不是两位数。讨论大小时，要同时照顾题目对数位的要求。

03 · 用大小关系排除整段范围

第12题：先确定最小的整数a

因为b、c都是正整数，它们的倒数都大于零，所以a不可能是1，否则三个倒数的和就会大于1。

再看a能不能至少是3。由a＜b＜c可知，1/b和1/c都小于1/a，因此三个倒数的和严格小于3/a。如果a≥3，那么3/a≤1，倒数和就小于1，与题意矛盾。

所以a既不能是1，也不能是3及以上的整数，只能是2。注意这里是“严格小于”：后两个分母比a大，不能把三个分数都当成同样的大小。

确定a以后，怎样继续锁定b、c？

代入a＝2，得到1/b＋1/c＝1/2。因为b＜c，所以1/c＜1/b，于是1/2＜2/b。两边乘正数2b，得b＜4。

又因为b＞a＝2，而且b是整数，所以只能取b＝3。再代入，1/c＝1/2−1/3＝1/6，因此c＝6。

检验：2＜3＜6，且1/2＋1/3＋1/6＝1。因此唯一答案是a＝2、b＝3、c＝6。这里的唯一性来自前面逐步排除了其他整数，并不是试到一组就停止。

为什么乘2b时，不等号方向不变？

因为b是正整数，2b必然是正数。不等式两边同乘正数，大小关系保持不变；若乘的是负数，则必须改变不等号方向。本题用到的是前一种情况，不能把这一点省成“随便交叉相乘”。

名师点拨｜为什么先研究最小的分母？

在正数范围内，分母越大，倒数越小。最小的分母对应最大的分数，所以用它可以估计整个和的上界。如果连这个放大后的和都不够大，原来的和就更不可能达到目标。先控制最小的分母，再研究剩下两个，原来看似没有尽头的试数，就变成了几步有依据的排除。这里一定要保留“正数”这个条件，不要把规律不加区分地套到负数上。

名师方法｜读边界、作差、缩范围

分段收费题，把每个端点能否取到写清楚；数的大小比较题，先正确表示，再通过作差判断；整数探索题，先利用大小关系限定范围，再找整数并代回检验。方法不同，核心都是让每一步有依据。

当堂检测

1. 按题设标准，7元对应怎样的里程范围？ 2. 原数46交换数位后增大多少？ 3. 第12题中，为什么不能只凭试出2、3、6就说答案唯一？

想好再看：32＜x≤52；增大18；还需要证明其他正整数不可能满足条件。

内容依据：新人教版七年级下册数学第十一章《不等式与不等式组》第129页及续页，习题11.1“拓广探索”第10—12题。

把边界讲清，把理由写全，答案才站得住。