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2.4 基本不等式及其应用(一)教案
【按：这是2009年10月我在上海市北中学执教公开课的教案。那时，今天课上这些孩子还没有出生，时间能过得这么快吗？今天又要上这节课，重读旧稿，教材内容有变，但思考未老。】
教学目标
1. 掌握两个基本不等式的结构特点及其推导的过程，并明确等号成立的条件；能用基本不等式判断一些简单的不等关系。 2. 在利用变量代换和不等式变形推导公式和公式应用的过程中，体验恒成立不等式网络的构建过程，体会数学化归思想；在借助形的直观性来理解基本不等式的过程中体会数形结合思想。 3. 在利用基本不等式解决问题的过程中，体验登高望远的成功喜悦，激发探索与创造的热情。
教学重点
1. 基本不等式的理解。 2. 通过变量代换或利用不等式的基本性质将基本不等式进行变形应用。
教学难点
1. 对“当且仅当”和基本不等式成立的条件的准确理解。 2. 基本不等式的变形应用。
教学过程
一、设置问题情境，引入新课
问题：直角三角形的两直角边为 ，斜边与正方形的边长相等。问：四个这样的直角三角形能否填满这个正方形（图1、图2、图3）？
设计意图：图2是我国古代用于证明勾股定理的弦图的一个局部，也是在我国召开的国际数学家大会的会标。以弦图引入新课，是为让学生对基本不等式从形上加以认识。
二、讲解新课
1. 基本不等式1
对任意实数 和 ，有
当且仅当 时等号成立。
说明：“当 时等号成立”是指：；
“仅当 时等号成立”是指：。
“当且仅当 时等号成立”是指：
设计意图：此处把“当”和“仅当”分开提问，将难点分散，有助于学生对“等号成立条件”的理解。
练习：用 、、、 填空：
(1)
(2)
(3)
说明： 成立。
设计意图：恒不等式 对 中有且仅有一个是负数的情况放得太宽了，这时不等式可加强为 。
通过对 与 关系的思考，使学生对基本不等式的应用方案：合理的变量代换或结合不等式的性质加以推理有了初步的体验。在对不等式强弱的比较中，感受数学的奇异美。
小结得到基本不等式的基本方法，要求学生用变量代换的方法得到新的恒不等式，引出基本不等式2（图4）。
设计意图：逐步展示图4中的内容，通过知识的梳理，让学生进一步明确基本不等式1和基本不等式2是怎么来的，可有哪些用处，怎么用基本不等式。
图中虚线为学生给出了用好基本不等式的方向——用不同的量代换公式中的字母，得到新的恒不等式。
2. 基本不等式2
对任意正数 ，有
当且仅当 时等号成立。
说明：
(1) 、 分别叫做 的算术平均值和几何平均值。基本不等式2就是指：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值。
(2) 基本不等式2的几何意义是直角三角形斜边上的高不大于斜边的中线；或半弦不大于半径（图5）：
(3) 对 成立，若 ，则 。
练习：
1. 用 、、、 填空：
(1) 当 时，。
(2) 当 时，。
(3) 。
(4) 。
设计意图：在公式的应用中，逐步认识到用基本不等式带来的方便，体味登高望远的喜悦。在 中填“”，在 中填“”，通过对比，初步体会基本不等式中“等号成立条件”的应用。
2. 你能通过变量代换或不等式的基本性质创造几个恒成立的不等式吗？
设计意图：目的在于培养学生的创新意识。
思考题：
1. 判断下列不等式是否恒成立
设计意图：通过判断 是否成立，让学生认识到用 要满足条件 。通过判断 是否成立让学生认识到公式的灵活应用。初一看， 可以由 平方得到，但由于 的符号未知，所以不能用基本不等式2。但不能用基本不等式2直接推出 ，不能说明 不成立。由基本不等式1可得 对任意实数 成立。
2. 某人买了 A、B 股票各 10 万元，A 股票第一天的增长率是 ，第二天的增长率是 。B 股票两天的增长率都是 。问：在这两天，哪只股票涨得多？
设计意图：这个问题的用意在于感受基本不等式在社会生活中的应用，即说明
有两种方法，一种是把左右两边展开，即证
即证
另一种是把 看成整体，证明
三、小结与作业（略）
反思
1. 《基本不等式及其应用（一）》这节课要学会代两个公式：，。看起来，这并不是很难的事。但我在第一个班级上课的效果不太理想，上课学生听得懂，可课后作业不会做。备课组的其他老师也有同样的感叹：“现在的学生怎么了，公式都不会代！”
究其原因，主要有二：
第一，以前学的公式基本上是恒等式。而此处的公式是恒不等式，不仅要学生瞻前：关注公式中字母存在的条件；还要顾后：不等式中等号成立的条件。就是说代这个公式要注意的问题比较多。
第二，不用这个公式，也能用过去熟悉的方法——做差比较法求解。学生没有体会到代公式的方便，对新学的知识有潜在的排斥。
2. 考虑到课堂教学时间的限制，对结论“若 ，有 ”，我本不打算在本节课内讲。作了这样的预设：“若 ， 是负数， 是不成立的，那么 的取值范围是什么呢？这个问题在课后同学们可以继续思考。”但学生并没有完全遵从我的预设，在课堂进入“请同学们创造几个恒不等式”这个环节时，有同学给出了结论 ，许多同学迫不及待的去证明这个结论。
下课铃声响了，一位同学突然提出：“老师股票也可能下跌，如果 是负数， 成立吗？”
虽然这些问题的讨论打乱了我原来的方案，没有时间进行计划中的课堂小结，但正是学生的精彩发言，让我看到了学生主动发展的愿望，说明他们喜欢上了基本不等式！
2009.10