关于垂心向量性质的一道习题

已知  为  的垂心，且满足向量等式 ，求  的值.

选项：A. 　B. 　C. 　D. .

破题第一反应：把起点统一！「四心」与向量结合的问题，先把分散在三个顶点上的向量，全部搬到同一个起点  上——垂直关系立刻变成「点积为零」.

令  为坐标原点，记 . 由题设 ，可得 .

注意： 都是以  为起点的向量，所以要求的角度 ，正是向量  与  的夹角.

 是垂心，意味着三条高线交于一点 ，三条边的垂直关系即

把它们写成向量点积，就是

把括号展开，分别得到 、、，于是三个两两内积竟然全部相等！记这个公共值为 ，即

这是全题最关键的一步：一个「垂心」，直接把三个内积拧成了一根绳上的 .

把向量等式  两边分别与  点乘，并代入上式中的 ：

再与  点乘：

（顺手还能得到 ，三者完全一致.）这里立刻看出  必为负数——否则模长的平方非负，等式根本立不住.

目标回到夹角公式：

把前面的结果代进去：

因为 ，有 ，于是

所以 ，答案选 .

这道题之所以清爽，靠的是两条可以复制的习惯：① 起点归一——遇到多向量，先把它们统一到同一个起点；② 几何条件向量化——「垂直」一律翻译成「点积为零」，顺藤摸瓜就能得到两两内积相等. 两者一结合，再花哨的系数也能被线性方程轻松消化.

留一道思考题：若把「垂心 」换成「重心 」，等式  还可能成立吗？欢迎在评论区聊聊你的判断.