【传统文化+大单元教学】小学数学 | 中华优秀传统数学文化视域下进阶性大单元教学设计——以“平面图形的面积”为例

[摘要]大单元是实现核心素养整体性、阶段性、一致性辩证统一的有效方式，中华优秀传统数学文化蕴含的核心概念和思想方法是开展进阶性大单元教学设计的重要参照。文章阐述学习进阶的内涵，以及中华优秀传统数学文化与小学数学教学的进阶性表现，并以“平面图形的面积”为例，剖析中华优秀传统数学文化蕴含的核心概念和思想方法，探讨其对进阶性大单元构建的启示。在此基础上，从教学目标制订、教学路径建构、教学活动设计等三个方面展开教学设计，以期促进中华优秀传统数学文化与数学学习的深度融合，助力学生在进阶性大单元学习中发展数学核心素养。

[关键词]传统数学文化；学习进阶；大单元教学；平面图形的面积

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出，核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同表现。[1]数学学习与数学核心素养发展是整体性与阶段性的辩证统一，是以一致性为前提的进阶性活动，而大单元教学是其有效载体。大单元既包括在集中一段时间内教学的单元，也包括不集中时间教学，分布在不同的学段和学时中，但指向同一个（组）大概念的单元。[2]数学史能够揭示学科本质，与前沿教育理念相结合，如单元整体教学、学习进阶等可以拓展数学史的研究边界，落实新课标中继承和弘扬中华优秀传统文化的要求。[3]中华优秀传统数学文化（以下简称“传统数学文化”）是数学史的重要组成部分。将传统数学文化作为进阶性大单元教学的参考指南，有助于教师立足历史全局统筹教学内容，准确把握其蕴含的核心概念和思想方法，并以恰当的素材和形式，体现教学活动的连续性和进阶性。在教学实践中，两个问题需要特别关注：一是如何理解进阶性的内涵及其在传统数学文化与大单元教学中的表现？二是如何基于传统数学文化中的核心概念与思想方法，构建进阶性大单元教学路径并进行教学设计?

（一）学习进阶的内涵

学习进阶是指在一个较大时间跨度内，学生对某一学习主题的思考、理解与实践活动，从简单到复杂、从低水平到高水平、从新手到专家逐步发展的过程。4]新课标强调，要依据核心素养的内涵和不同学段的主要表现，结合具体的教学内容，全面分析主题、单元和课时的特征。[1]85教师从学习进阶的视角审视、解读数学内容，有利于整体把握内容之间的关联，厘清不同知识之间的内在逻辑，从而帮助学生实现由浅入深、由表及里的学习。

（二）传统数学文化中的进阶性

数学知识更新迭代具有进阶性。因此，承载数学知识的数学史与传统数学文化具有进阶性，以数学知识为主要内容的数学教学也应呈现以整体性、一致性为前提的进阶性。传统数学文化蕴含于数学名著、文物古迹、史书典籍等诸多载体之中，其中数学名著极具代表性。《九章算术》是经典数学名著，刘徽注释时注重核心概念的提炼及其对具体内容的统摄作用。刘徽将今有术称为都术，以其统摄各类不同形式的比例问题，并认为这一都术可以告往知来、举一反三。在注释各种平面图形面积计算方法时，刘徽基于长方形面积算法提出核心定义“凡广从相乘谓之幂”，将其他平面图形直接或间接转化为广从相乘的长方形进行比较与关联。由此可见，刘徽重视各个领域的核心概念，并将各类具体内容看作基于核心概念的不同进阶形式。从历史视角来看，传统数学文化发展体现出基于核心概念和思想方法的进阶性。刘徽之后的数学家继承其思想，善于运用从具体问题提炼的统摄性原理和方法，推动数学学科向不同主题不断演进。这既是传统数学文化的传承，也展现出同一主题数学内容在不同时代的进阶性发展轨迹。

（三）小学数学教学中的进阶性

数学教学设计与实施的进阶性，主要受教学内容表现形式与学生认知水平的共同影响，即同一主题下的教学内容在不同阶段的抽象程度和表现形式不同，学生认知水平呈阶段性发展。数学知识具有一脉相承、一以贯之的内在关联，小学数学大部分教学内容均围绕以一致性为前提的进阶性学习展开编排，如整数、小数、分数的四则运算定律，不同学习阶段中数的表现形式与实际运用情况虽各异，但运算定律的本质始终不变。因此，大单元并非若于自然单元的简单组合，而是形式分离、本质统一且在不同阶段具有不同表现形式的进阶性整体。当前教学注重单元内各课时内容整体架构与设计，小学数学教学应立足高位，把握单元关联，以核心概念和思想方法为主线，提升不同年级、不同学段相关单元之间的关联度，破解时间跨度造成的认知断层，构建同一主题下的进阶性大单元。

（一）基于传统数学文化的大单元进阶路径

1.传统数学文化蕴含的核心概念和思想方法

在大单元教学内容的进阶性分析中，教师应重视并凸显核心概念和思想方法的作用。核心概念是可以把领域或主题内甚至跨越不同领域、不同主题的更为基本的概念、方法和问题联系起来的具有支配性的概念。[5]数学思想方法是思考数学问题和从数学角度思考问题的思想和方法。[6]传统数学文化经历漫长的发展沉淀，是挖掘、凝练、承载核心概念和思想方法的重要素材。

《九章算术》及其刘徽注充分体现核心概念和思想方法的价值。以“平面图形的面积”为例，不论是多边形，还是作为曲边图形的圆和圆环，刘徽均通过“以盈补虚”的出入相补原理将其面积计算转化为“广从相乘”的基本形式。其中，“凡广从相乘谓之幂”为面积的核心概念；出入相补（以盈补虚）蕴含的转化思想为思想方法；极限思想作为特殊的数学思想方法，主要运用于圆的转化与面积公式推导。依托上述核心概念和思想方法，刘徽将三角形“半广以乘正从”和梯形“并踵、舌而半之，以乘正从”的面积算法归为“中平之数乘正从”，以此类比长方形的长×宽。对于圆，刘徽通过割圆术将其分割为若于小三角形，累加小三角形面积，以“半周半径相乘”的面积算法类比长方形的长×宽。对于圆环，刘徽则将其类比以内圆为上底、外圆为下底的梯形，将面积算法“并中外周而半之，以径乘之”归为“中平之数乘正从”，同化为长方形的长×宽。

《九章算术》及其刘徽注的论述可提炼出相应图示，结合图示进行分析可直观发现和理解传统数学文化视域下单元知识内容兼具外在形式的进阶性与内在本质的一致性（如图1）。这些图示也是数学教学过程中帮助学生直观理解平面图形面积形式进阶性和本质一致性的重要素材。

2.核心概念和思想方法对进阶性大单元构建的启示

大单元的内容分析、主线提炼和阶段划分，要求教师解读传统数学文化中的相关内容，挖掘其中的核心概念和思想方法，由此突破单一自然单元的内容局限，将分散在不同学段、不同单元的相关教学内容整合为本质统一的整体，实现进阶性大单元的结构化构建。

以“平面图形的面积”为例，面积度量的本质是单位面积的累加，面积大小表现为单位面积个数的多少。这一本质虽不会因图形形状变化而改变，但得到不同图形面积的方式存在差异。例如，长方形和正方形可直接分为若干度量单位(小正方形），并通过矩形模型（每行个数×行数）得到面积；三角形等多边形可转化为长方形来计算面积；圆则需要同时借助极限思想和转化思想才可转化为其他图形来计算面积。刘徽关于平面图形面积的研究，始终围绕“凡广从相乘谓之幂”这一核心概念，密切联系各类平面图形的特点，将面积计算分为直接广从相乘、以盈补虚后广从相乘、运用割圆术与以盈补虚后广从相乘等三个不同阶段和形式，以此解读各类图形的面积公式。《九章算术》及其刘徽注与“平面图形的面积”大单元高度契合，彰显核心概念和思想方法，体现学习内容的进阶性。

综上所述，围绕核心概念和思想方法，“平面图形的面积”大单元依据知识内容所处学段、表现形式及教学定位，构建进阶框架（如图2）。其中，基础单元聚焦理解核心概念和基本模型，进阶单元渗透思想方法和原理策略，高阶单元指向核心概念和思想方法的迁移应用以及对核心概念本质形成深度理解，构成认知闭环。三个阶段划分既符合学生从直观到抽象、从简单到复杂的认知发展规律，又贴合知识本身从统一本质到形态各异的进阶逻辑，使学生在逐层深入的学习中，把握学习内容的核心本质。同时，这一进阶框架能够帮助教师清晰把握不同学段教学内容的深度与广度，明确每个阶段的教学重心，为教学目标、教学路径与教学活动设计提供切实依据。