【大连育明高中考题】

已知函数     (1) 若   ，求  的单调区间；

     (2) 若  且  有两个极值点，分别为 和   ，求  的最小值。

【解答】

(1) 若  时，求  的单调区间

当    时，

对其求导： 令   ，得   或

①当    时，  ，即   ，   单调递增；

②当    时，  ，即  ， 单调递减；

③当    时，  ，即  ，   单调递增。

所以，  的单调递增区间为    和 ，单调递减区间为  。

(2) 求   的最小值

首先求导： 令   ，可得由题意， 是该方程的两个实根，根据韦达定理有： 由  可得代入 的表达式中化简： 将  代入上式，得：同理可得： 因此，所求式子为： 令  上式化为关于  的函数： 对   求导得： 由第 (1) 问的证明过程可知（或构造函数证明），当    时，   恒成立。

所以，即  在  上单调递减。

接下来求   的取值范围： 对关于的二次型进行配方： 因为平方项非负，所以

当且仅当   且  ，即 时， 取最大值

因为  ，所以   的最大值为  ，即

因为  在   上单调递减，所以当    时，   取得最小值： 或者代入化简后的式子： 所以  的最小值为

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