欧洲高中生的数学,到底能差到什么程度?

今天又是批改数学试卷的一天。

看着学生做的数学试卷，一口老血差点喷出来。

班上一共9个学生，这次考试满分64分，一个考了4分，一个考了5分。要不是班上还有几个成绩不错的学生，我真的要怀疑是不是自己教得有问题了。

先简单介绍一下背景。

今年除了继续教IB的AI HL（应用与解释高等数学），我还开始教AA SL（分析与方法标准数学）。

我们学校高中开设AA HL、AI HL和AA SL三种IB数学。从我们学校学生的实际选课情况来看，数学能力和课程难度大致呈现AA HL > AI HL > AA SL的梯度。

简单来说，数学比较好、以后想读工程等专业的学生基本去了AA HL；选择AA SL的学生则大多对数学兴趣不大，未来想读的专业对数学要求也比较低。

我们学校其实算是当地比较好的学校，入学需要笔试和面试，高中成绩在全国排名也比较靠前，只是学校的优势更偏语言和人文学科。再加上数学比较好的学生基本都去了AA HL，所以今年开始教AA SL以后，我第一次集中接触到了一批数学基础相对薄弱的高中生。

一开始我以为，他们只是跟不上高中数学的进度。

毕竟进入高中以后，课程突然快了很多，几乎每天都在学习新的知识。

直到最近连续批完几个班的试卷，我才发现：

好像不是这么回事。

真正让我“吐血”的不是他们不会现在正在学的高中数学，而是他们犯下的很多错误，一路往前追，可能要追到小学。

下面随便放几个最近批卷时看到的“迷惑行为”：

看完这些，我觉得问题可能根本不在高中。

这些错误五花八门，体现出了学生对最基础的数学概念缺乏深入的理解。

他们缺少的可能不只是练习，而是一个能够支撑后续学习的数学认知体系。

而这个体系，是应该从小学阶段开始一点一点建立起来的。

于是我开始思考：为什么到了高中，他们的数学基础还会这么薄弱？

根据我的观察，我觉得和这里小学、初中阶段的数学学习方式有一定关系。

首先是数学课本身不算多。比如我们学校二年级一周有3节数学课，艺术课也是3节。小学阶段考试不多，家庭作业也比较少，平时接触的题目整体比较基础，很多时候最难也就是教科书习题的程度。

这和我小时候经历的数学学习方式差别非常大。

在我的印象里，国内的数学教科书更多是用来学习基本概念的，学完以后还有大量练习，而且题目的变化和难度会继续往上走。以前上学时做的很多题真的是“九转十八弯”，不仅需要逻辑，有时候还需要一点想象力才能找到突破口。

但我并不觉得这就说明“题做得越多，数学教育越好”。

恰恰相反，我自己就不是一个靠大量刷题学好数学的人。

我从小学习数学，更多依靠的是理解。很多时候只要我真正理解了一个数学概念，就能够直接把它运用到不同的题目里。我也从不刻意去死记公式，因为在我看来，很多公式都可以通过已有的知识和逻辑重新推导出来。我记得初中的时候我不记得一元二次方程的求根公式，于是我每次做题时就推导一遍公式，估计推了几十遍我才记下来。但或许正是这样的学习习惯，让我的数学基础非常扎实。

所以我一直觉得，在小学阶段，“为什么”比“怎么做”更加重要。

老师在教学生一个“怎么做”之前，自己首先应该清楚“为什么这样做”，然后再想办法通过图形、实物、实际操作或者不同的情境，让孩子真正理解这个“为什么”。

这也是为什么我觉得小学数学看起来简单，其实一点都不好教。

爱沙尼亚的小学阶段很多课程是由班主任教授的，一个老师可能同时教授数学、语言、艺术等不同学科。尽管小学数学老师不需要懂多么高深的数学，但是老师要对基础的数学有足够深入的理解。

因为会做一道题、知道为什么这样做，以及能够让一个八岁的孩子也理解为什么这样做，其实是三件完全不同的事情。

如果老师自己只是记住了某种算法，那么教给学生的很容易也只是：“这种题就是这样做。”

学生可能记住了步骤，也可能考试能做对，但他脑子里并没有真正建立起这个数学概念。

当然，我也不认为理解了就完全不需要练习。

尤其对于小学生来说，一定量的练习非常必要。今天理解了，不代表一个星期以后还能熟练运用；在老师引导下会做，也不代表题目换一种形式以后还能独立解决。

所以我觉得比较理想的数学学习应该是：

先理解，再通过适量的练习去巩固理解。

中国学生从小学开始大量做题，确实很容易形成非常强的运算熟练度。即使有些学生对背后的概念理解得没有那么深入，大量练习也足以让他们在基本运算上很少出错。

但这种熟练有时候也会掩盖概念理解上的漏洞——会做，却不一定知道为什么。

而我现在接触到的一些学生，可能恰恰是另一种情况：

概念理解不够深入，练习量又不够。

两个问题叠加在一起，到了高中以后，基础的漏洞就全部暴露出来了。

说到这里，我突然觉得数学学习其实特别像盖楼。

首先要有稳固的地基，然后通过柱、梁、楼板等结构构件相互连接，形成一个完整的受力体系，才能继续往上建。

数学也是一样。

小学阶段学习的数感、加减乘除、分数、比例等基本概念，就像一栋楼的地基。

而这些概念之间的逻辑关系，就像梁和柱，把不同的知识点连接起来。

当学生真正理解了这些知识之间的联系，再通过适量的练习不断巩固，就相当于逐渐形成了一个稳定的知识结构。

有了这样的基础，才能继续往上学习代数、函数、微积分等更复杂的内容。

所以数学并不是一堆孤立的公式，而是一套相互联系、层层发展的逻辑体系。

如果前面的知识只是死记硬背，没有真正理解，那么就像盖楼时有些梁柱没有连接好，看起来好像已经建成了一层，但整个结构其实并不稳固。

等到继续往上盖，问题就会逐渐暴露出来。

这也是为什么我现在教高中数学，有时候却不得不回头重新解释小学和初中阶段的知识。

如果地基有问题，光在顶楼修修补补，是解决不了根本问题的。

而我现在面对的挑战，就是一边要按照高中课程的进度继续往上盖楼，一边还要想办法修补下面那些早已存在的漏洞。

对于我们学校初中阶段的数学学习，我其实也比较了解。从去年开始我就给一个需要特殊帮助的九年级孩子上一对一数学课。每次上课前，我都会和他的数学老师沟通他们目前在学什么，这节课的学习任务是什么，所以我比较了解他们的学习进度和难度。

九年级一周有4节数学课。他们一个章节往往会学很长时间，比如解一元二次方程就已经学了快两个月了，而且一直在做比较基础的题。

但到了高中，画风突然变了。

几乎每节课都要推进新的知识点，课堂上没有多少时间留给学生慢慢做题，大部分练习都需要在课后独立完成。

所以我有时候会觉得：

前面九年一直在慢慢走，到了高中却突然要求他们跑起来。也难怪他们难以适应高中的上课进度。

不过写到这里，你也许会好奇，这些数学这么差的学生以后怎么办？还能上大学吗？

根据我的观察，我其实一点都不担心他们上不了大学。

我们学校本身就是需要通过笔试和面试才能进入的学校。一个学生数学不好，并不代表他的学习能力差。他可能语言特别好，可能擅长历史、文学、艺术，也可能在其他领域有完全不同的天赋。

而申请本地大学的竞争远不如中国大，申请流程也不同。这里一般有笔试面试两个环节，对于那些“偏科”的学生来说，这样的申请制度似乎并不会影响他们“考大学”。

我认识的本地朋友中就有人高中数学很差，却一路读到了语言和人文学科的博士；还有人高中数学曾经只考过个位数（满分100），后来照样读到了历史学博士。

我其实很庆幸他们生活在这里，即使数学不好也不影响他们在其他领域大放异彩。

作为数学老师，我当然希望每个学生都能真正理解数学，而不只是勉强考个及格。

但是，数学成绩并不是衡量一个学生能力的唯一标准。一个数学成绩很差的学生，可能在语言、历史、文学、艺术或者其他领域有着非常出色的能力。

如果他未来选择的专业不需要太多数学知识，那么高中阶段的数学成绩，未必会成为他人生道路上的重大障碍。

对于我现在教的这些学生来说，有些人可能只需要把数学学到符合毕业和大学录取要求的水平，就已经足够了。

写到最后，我突然觉得，自己对学生的期待其实也有些矛盾。

每次批改试卷，看到那些令人哭笑不得的错误，我还是会忍不住着急。

明明是那么基础的数学概念，为什么到了高中还没有理解？

明明只需要稍微思考一下，就能发现答案根本不合理，为什么他们没有意识到？

但换个角度想，这些孩子也许在我不擅长的领域，有着远远超过我的能力。

也许多年以后，他们早就忘记了怎么解二次方程，却依然能够拥有充实而精彩的人生。

所以，作为数学老师，我当然希望他们真正学好数学；但作为一个成年人，我为他们感到庆幸，他们的未来不只由数学成绩决定。