初中数学解题技巧——怎样化简二次根式并运算之双向有理化:分母有理化+分子有理化

本讲是第 8 讲多项式分母有理化的延伸拓展。

除了熟悉的分母有理化，分子有理化是拉开分差的关键技巧，常用来根式比较大小、裂项相消，两种有理化依托平方差共轭变形，需要根据题型灵活选择变形方向。

分母有理化是把分母的根号去掉；分子有理化方向相反，给分子分母同乘共轭式，把分子的根号去掉、保留分母根号。 

两者底层都依靠平方差公式，没有固定优先顺序，看题目的目标按需选择变形方向。

分母为：1/[(√a)±(√b)]，同乘：√a∓√b共轭式，分母化为a-b

(√a)-(√b)=(a-b)/[(√a)+(√b)]

把根式差转化为分式形式，最适合大小比较

共轭式只改变中间加减符号；分子、分母必须同步乘同一个式子，分式值不变。

1. 审题：判断目标 —— 需要去掉分子根号，还是去掉分母根号；

2. 找共轭式：调换中间 “+、−” 符号；

3. 同步变形：分子分母同时乘以共轭式；

4. 平方差展开，把其中一侧化为有理数；

误区 1：方向用反，题目要求分子有理化，习惯性做成分母有理化 

正解：先看问题，比较大小优先分子有理化；分母带根号优先分母有理化 

误区 2：只给分子或者只给分母乘共轭式，破坏分式相等关系 

正解：分式性质，必须两边同乘 

误区 3：共轭式符号写错，平方差算成和 

正解：[(√a)-(√b)][(√a)+(√b)]=a-b，不是 a+b

误区 4：有理化之后忘记约分，式子没有化成最简 

正解：有理化只是变形手段，最后一定要检查约分

1、把2/[(√6)-(√2)]分母有理化

【解析】

同乘共轭式(√6)+(√2)，分母化为6-2

【答案】

解：原式

={2[(√6)+(√2)]}/{[(√6)-(√2)][(√6)+(√2)]}

={2[(√6)+(√2)]}/4

=[(√6)+(√2)]/4

2、把(√5)-2分子有理化

【解析】

同乘(√5)+2，分子用平方差化为 1。

【答案】

解：(√5)-2={[(√5)-2][(√5)+2]}/[(√5)+2]=(5-4)/[(√5)+2]=1/[(√5)+2]

3、比较(√7)-(√6)与(√6)-(√5)的大小

【解析】 

分别分子有理化，变成同分子 1，利用 “分子相同，分母越大分数越小” 比较。

【答案】

解：(√7)-(√6)=1/[(√7)+(√6)]

(√6)-(√5)=1/[(√6)+(√5)]

∵[(√7)+(√6)]＞[(√6)+(√5)]

∴1/[(√7)+(√6)]＜1/[(√6)+(√5)]

即(√7)-(√6)＜(√6)-(√5)

4、化简：1/{[√(n+1)]+(√n)}

【解析】 

分母有理化，得到可直接裂项的简洁形式

【答案】

解：原式

={[√(n+1)]-(√n)}/{{[√(n+1)]+(√n)}{[√(n+1)]-(√n)}}

=[√(n+1)]-(√n)