多磊4元得黯给黑
九
年
级
SHUXUE
.
咽
PEIYOU XIN FANGFA
黄东坡著
食在传统与现代之间选择融合
食在经典与时尚之间寻找平衡
食在能力与素养之中锤炼思维
食在思想与文化之中启迪心智
‘，~豆
..ï~ 或以
4告挥
I ~ 湖北人fo ';:.J.後#
. •
数学培优
@@@ WEENm 九年级
"培优新方法丛书"自2002年出版发行以来深受广大师生的欢迎，
累计发行数百万册，畅销大江南北，成为全国许多重点中学开展学科
课外活动的教辅读物。
"培优新方法丛书"与教学需求同步，
与学习
需求同步，与教育改革大潮同步。
黄东坡
数学教育学硕士，国家级骨干教师，中国数学奥林匹克
高级教练。多年来关注数学和数学教育的发展，致力于中考数学和奥
林匹克数学的研究。代表作"培优新方法丛书"
"探究应用新思维丛
书"
"学科精英大视野丛书"和
《带你发现数学之美》陆续出版，多
年来深受广大师生欢迎，畅销千万册，成为全国许多重点中学开展学
科课外活动的教辅读物。
比优新方法丛书〉
数学培优新方法
一年级
数学培优新方法
二年级
数学培优新方法
三年级
数学培优新方法
四年级
数学培优新方法
五年级
数学培优新方法
六年级
数学培优新方法
七年级
数学培优新方法
八年级
f.~'1!言黯撞撞部'i"iIF"'Jl医重量1.\.
物理培优新方法
八年级
物理培优新方法
九年级
化学培优新方法
九年级
爱与恨的初中平面几何
七年级
爱与恨的初中平面几何
八年级
爱与恨的初中平面几何
九年级
优与雅的初中代数七年级
优与雅的初中代数八年级
优与雅的初中代数九年级
语文读写培优新方法
七年级
语文读写培优新方法
八年级
语文读写培优新方法
九年级
英语读写培优新方法
七年级
英语读写培优新方法
八年级
英语读写培优新方法
九年级
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暴器回圃E圆圆
天猫旗舰店
责任编辑朱子飞
封面设计刘舒扬
I S 日N 978 - 7- 216-10 28 0-3 '
定价: 49.00元
安7位现
_.. . ,._'
数学讲堂
~1vI{，~;llE:m丛书
UANGOONGPO
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九
年
级
SHUXUE
PEIYOU XIN FANGFA
黄东坡著
‘,.;:_ .;ïl 先rjII.~告搭
I <G湖北λ /.t必#
掌握大逻辑
把握大趋势
一一二十年典藏版修订说明
2022 年，"新方法"将度过它的二十岁生日，二十年是生命的标尺，测得光阴在再、时代变迁;二
十年，是华彩的乐章，回荡对数学教育理想的精神诉求。
二十年里，随着课程标准的实施，学科核心素养的提出、中国高考评价体系的形成，对数学教
育、数学学习方式的认识发生了根本变化。思想的碰撞，观念的交锋，对新理念的向往与践行，对
优秀传统的坚持与守望，有迷茫、困惑、阵痛，但更多的是推开晾望数学教育的新的窗口扑面而来
的清新、愉悦与美丽。
二十年来，"新方法"以行进的姿态走在路上，与教学要求同步，与学习需求同步，与教育改革
大潮同步:价值引领，素养导向，知识为基，能力为重。高擎数学文化的大旗，反映数学的工具与文
化的两种品格，彰显数学的人文与科学的双重属性。整合知识、总结技巧、提炼方法、渗透思想，给
数以百万计的读者以精神引领，帮助他们理解和掌握知识、感悟思想方法、锤炼思维、磨确心智、提
升观念、丰富情感。
在"新方法"即将迎来它的二十岁生日之际，我们推出修订后的"二十年典藏版"，在保留经典
内容、问题的基础上，从局部与整体、宏观与微观、抽象与具体三个维度，增添新的专题，补充新的
问题。在以下方面作出了进一步完善:扩大问题的选材范围，揭示问题的相关背景，探索问题的有
效深度，思考问题的多样解法，研究问题的发展变化。为顺应"双减"政策减轻学生学业负担，体现
素质教育导向的要求，"新方法"在上一版基础上进行了精炼优化，文字更简洁，题目更典型，更有
利于提升学生的学习效率。
同时，我们将丛书整体升级为双色版，字体、字号、行空等均符合《儿童
青少年学习用品近视防控卫生要求》的规定，能为读者提供更舒适的使用体验。
二十年，只争朝夕，弹指一挥间，让人想起侯健的《二十年)) : "二十年是一首老歌/有人呐喊/有
人轻吟/有人颤抖着嘴唇/什么腔调都没关系/至少我们还在一起。"
二十年后的"新方法"又站在新的起跑线上:
是现实的，也是理想的，
是厚重的，也是轻盈的，
是理性的，也是热烈的，
是成熟的，也是年轻的。
黄东坡
2022 年
1 月于武汉
........cgiu
"‘
a史
)j
代
巢
'份份
回追问求根公式
/ 2
出乎其外
/ 4
因根的检测器
/ 7
判别式法
/ 9
回充满活力的韦达定理
/ 12
听音辨鼓
/ 14
囚一元二次方程的应用
/ 17
倍角三角形
/ 18
目构造方程的妙用
/ 23
异曲同工
/ 24
囚一兀二次方程的整数解
/ 27
视角视野
/ 29
回可化为一元二次方程的方程(组) / 31
配方法
/ 33
回抛物线
/ 36
对称性忠、考
/ 38
回二次函数的应用
/ 42
运动与变量
/ 45
回二次函数与二次方程
/ 49
系统化原理
/ 52
田代数最值
/ 56
逐步调整法
/ 58
......... 统计与
概卒
~~协
回概率初步
/ 62
简约思维
/ 64
"‘
金
f司)j
‘ 图形
~~~
回图形的旋转
/ 68
旋转相似变换
/ 71
.1
aE军噩噩噩1'>>\-
.2
回锐角二角函数
/ 77
固圆的基本性质
/ 84
回转化灵活的圆中角
/ 90
回直线与圆
/ 98
国二角形的内切圆
/ 105
回圆中比例线段
/ 112
因辅助圆
/ 119
因几何最值
/ 126
回几何定值
/ 134
"‘
综
囡抛物线与特殊二角形
/ 143
囡抛物线与特殊四边形
/ 148
困抛物线与图形面积
/ 153
因抛物线与相似二角形
/ 158
因抛物线与角的关系
/ 163
因抛物线与圆
/ 168
·与圆相关的计算
/ 172
.运动路径
/ 180
参考答案
/ 187
A
o
与
将
三角法
/ 79
回归出发点
/ 86
"圆"形毕露
/
92
最大视角
/ 100
从内心出发
/ 107
托勒密定理
/ 114
"圆"满解决
/ 121
谋动而后定
/ 129
不变量与不变性
/ 138
痪
þl>þl>þl>
解题策略
/ 145
怎样审题
/ 150
如何转化
/ 154
不动点
/ 160
转译与构造
/ 164
说"悟" / 169
-4
,,",
数与代数*
正确的看法是，数学不仅拥有真，而且拥有非凡的美一一一种像雕塑
那样冷唆而朴素的美，一种无须我们柔弱的天性感知的美，一种不具有绘
画和音乐那样富丽堂皇的装饰的美，然而又是极其纯净的美，是唯有最伟
大的艺术才具有的严格的完美.
一一罗素
~~~知识纵横嘎嘎嘎
-b 士/lF石7
求根公式町，2 =
内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的
2α
全部代数运算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时
有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美.
撞撞。"…
一部代数史就
:
是研究方程、讨论
方程根的历史.一元
:
三次方程或更高次
数的方程，是否也
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次
:
如一元二次方程有
方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，所以解题时往往不是
j
求根公式?
16 世纪
去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形代换，从而使问题易于解决意大利数学家卡当
解题时常用到变形降次、整体代人、构造零值多项式等技巧与方法.
阿贝尔0802- 1829) ，挪威数学家，自
16 世
纪以来，随着三次、四次方程陆续解出，人们把目
光落在五次方程的求根公式上，然而近三百年的
探索一无所获，阿贝尔证明了五次代数方程一般
不存在求根公式，解决了这个世纪难题.
~~~例题求解嘎嘎嘎
圃~O
(1)方程2010x 2 +2011计1=0 的解为
(广东省中考题)
(2) 设α
，b 是整数，方程工2 +ax +b =0 的一个根是.)4-2/3 ，则a+b
的值是
(四川省竞赛题)
..2
:
给出了三次和四次
:
方程的公式解; 19
:
世纪20 年代，挪威
:
数学家阿贝尔意识
到一般的四次以上
:
方程没有公式解;
大约又过了十年，
法国数学家伽罗瓦
:
彻底回答了这个问
:
题，并创立群、环、
:
域等概念，深刻影
:
响着物理学、现代
;
数学的发展.
思路点拨
对于(1) ，由2010 - 2011 十1=0 知原方程必有一根为一1，即
有因式什1，故可用因式分解法解;对于(2) ,J4-2J3 =13- 1，把13 -1 代
人原方程，建立α
，b 关系式.
圃'
已知α 2 一切+1=0 ，那么句2 一切一2 十一旦τ=(
I •
a 2
A.3
c. 3)5
D.6)5
("五羊杯"邀请赛试题)
思路点拨
求出α 的值再代人计算，则计算繁难，解题的关键是利用根
B. 5
的定义及变形，使多项式降次，如α 2 一切=-1 ，α 2 十1=3α 等.
蝠'
设方程工2 一12x 一11-4=0 ，求满足该方程的所有根之和
(重庆市竞赛题)
思路点拨
通过讨论，脱去绝对值符号(有时也用到绝对值性质，如t=
IxI
2 =lx 2 1) ，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.
[锐'
已知三个不同的实如，b ，c 满足α -b 十c=3 ，方程工2+ω +
-1c ~1囚-
主al童。。。…
一元二次方程
:
常见的变形形式有:
(1)把方程ω 2 +
bx+c = O(a 手0) 直
: 接作零值多项式
:
代换;
(2) 把方程ax 2 +
: bx+c=O(a 手0) 变形
:
为ω 2 =-bx-c ，代
:
换后降次;
(3) 把方手呈阳2 十
: bx+c=O(α 手0) 变形
:
为ax 2 +bx =-c 或
ax 2 +c= 一缸，代换后
1=0和工2 十bx+c=O 有一个相同的实根，方程X 2+X+ α=0 和工2 + CX 十b=
: 使之转化关系或整体
。也有一个相同的实根.求a
，b ，c 的值.
:
地消去工.
(全国初中数学联竞赛题)
解公共根问题
分析与解
这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根人手的基本策略是:当
: 方程的根有简单形
为叙述方便，该题设中的四个方程依次为①②③④.
公
当
用
;
j
解
，
J
求
时
等
示
相
表
根
式
共
得
减
相
式
两
nunu
-
-
一
-
1ta-
FL
++
α
α
G
，
。
+
十
α
α
f
l
l
d
i
-
-
、
m
m
川
α
为
根
共
公
的
②
程
方
和
①
程
方
设
c-1
α
王-b.
同理可得，方程③和方程④的公共根为卢=2
4=1
注意到方程①的两根之积为1，则卢也是方程①的根，从而扩+ψ+1=0.
又卢2+卢+α=0 ，两式相减，得(α- 1)卢=α
1.
若α=1 ，则方程①无实根，这与方程①有根矛盾，所以a 手1.
λ 卢=1 ，α= 1.于是α =-2 ，b+c=- 1.
又α -b 十c=3 ，:.b= 一3 ，c=2.
: 方程的根不便于求
:
出时，可设出公共
: 根，设而不求，通过
; 消去二次项寻找解
: 题突破口.
.3
.~室主且温aI
[~[Ð 已知α 是正整数，如果关于工的方程x 3 +(α 十1 7) x 2 十(38-
a) x - 56=0 的根都是整数，求α 的值及方程的整数根.
(全国初中数学联赛题)
分析与解
..• 1 十(α+17) 十(38-a)-56=0 ，
λ x =l 为原方程的一个根，从而原方程可化为
( x -1) [x 2 +
(α + 18) x 十56J = 0,
·.· z 为整数，
.·. 方程t 十(α 十18)x+56=0
①的判别式，6. =(α + 18) 2 - 224 必为完
全平方数.
设(α + 18) 2- 22 4 = m 2 (m 为非负整数) ，则(α 十18) 2 - m 2 二224 ，即
(a 十m 十18)(α -m 十18) =224=112 X 2=56 X 4=28 X 8.
又α + m+18 与α - m 十18 具有相同的奇偶性，且α +m + 18注α -m +
18 ，a + m 十18 >18 ,
(α 十m + …
2 , ita +叫
卅叫
m肘川
+忖18
或斗
αm 十18=2
I α -m 十18=4
(α 十m 十18=28 ，
或4
la - m + 18= 8 ,
解得(
或{二:
又G 为正整数，所以{:二::'
或{:工
或{:二::
当α = 3 9 时，方程①的根为一1 和一5 6;
当α = 12 时，方程①的根为一2 和一28 .
综上所述，当α = 39 时，原方程的三个根为1，一1 和一5 6;
当α = 1 2 时，原方程的三个根为1 ，- 2 和一28.
出乎其外
入乎其内，方见生机;出乎其外，故有高致.
有些问题表面上是方程的问题，却需从等式变形的视角去思考;有些
复杂的方程却有简单的根的表达式;有些高次方程通过选择主元可化为二
次方程.
出乎其外，表现的是视角的转换、灵活的思维.
.4
主!ãl章
。0 0.. •
一元二次方程
a x 2 + bx + c = 0
(α 手0) 的根有下列
基本结论:
(1 ) 若有无理
数根，则无理数根
必成对出现;
(2 ) 若α 十b+
c = 0 ，则方程必有
一根为
1 ;若
a
b +c= O ，则方程必
有一根为一1.
对于例
5 ，由方
程系数特点，发现1
为一隐含的根，为高
次方程转化为一元
二次方程解的讨论
:
创造了条件，这是解
题的关键; 还可转换
视角，将原方程整理
为关于α 的较低次
数的方程，读者不妨
一试.
阿贝尔被视为
挪威民族英雄，挪威
皇宫有一他的尊雕
像，这是一个大元畏
的青年形象，他的脚
下踩着两个怪
物一一一分别代表五
次方程和椭圆函数.
[fCø
(1)已知a
，b 是方程x 2 - x - 3 = 0 的两个根，则代数式2α 3 十
b 2 +3α 2 - l1 a-b+5 的值为
(江苏省扬州市中考题)
(2) 设走二三0 ，解方程工3 + 2kx 2 + k 2 x + 9走+ 27=0 .
( 上海交通大学自主招生试题)
思路点拨
对于(1) ，利用根的定义，变形降次，如a 2 = α +3 ，a 3 =a 2 +
3α=α+3+3α=4α+3; 对于(2) ，原方程是关于工的二次方程，若视走为主
元，则可整理得关于走的一元二次方程.
~~~学为训练嘎嘎嘎
••
1. (1)若x=O 是方程(m-2)x 2 +3x 十m 2 十2m-8=0 的解，则m=
-重型..
iã'量
。00
• ••
历史不会忘记
这位杰出的数学
家，为了纪念阿贝
尔诞辰
200 周年，
挪威政府于
2003
年创立了一项数学
奖一一一阿贝尔奖.
(湖北省荆州市中考题)
(2) 己知α ，卢是方程工2 -3x-4=0 的两个实数根，则α 2 +州一切的值为一一一一一·
(山东省淄博市中考题)
2. 若一元二次方程αx 2 =b(ab > O) 的两个根分别为m+1 与2m-4 ，则主=
G
一一一一一一一
( 山东省济宁市中考题)
3. 我们知道方程x 2 +2x-3=0 的解是x] =1 ，工2 =-3 ，现给出另一个方程(2x+3) 2 +2(2x 十3) 一
3=0 ，它的解是(
) .
A. xj=l
，工2 =3
B. x ] = 1 ,X 2 = - 3
C . x ] =-1
，x 2 二3
D. Xj=- l, x 2=-3
(浙江省温州市中考题)
ι 有两个一元二次方程M:ax 2 +bx+c=0 ，N
: cx 2 +bx+ α=0 ，其中α+c 手0 ，α 手c ，以下四个结
论中，错误的是(
).
A. 如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根
B. 如果方程M 两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同
C 如果5 是方程M 的一个根，那么t是方程N 的一个根
D. 如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x=l
19
5. 己知实数m 满足m 2 -3m+l=0 ，求代数式m2+~一的值.
m ~ +2
(湖南省株洲市中考题)
(江苏省镇江市中考题)
.5
a
f& ~ ffl i1t fJi回
6. 试求方程工2-2x-4Ix 一1
1 +4=0 的所有实数根的和.
(浙江省宁波市高中预录试题)
••
7. 若实数a ，b 满足(4α +4b) (4α +4b 一2)-8=0 ，则α 十0=一一一一一·
(内蒙古自治区呼和浩特市中考题)
8. 已知α ，b 是方程工2-4x+m=0 的两个根，b ，c 是方程工2 -8x +5m 二0 的两个根，则m=
(山东省竞赛题)
9. 方程x 2 -20131 x 1 + 2014 = 0 的所有实数解的和为(
).
A. -2013
B. 0
C. 2013
D. 2014
(四川省竞赛题)
10. 用[xJ表示不大于z 的最大整数，则方程x 2 - 2 [xJ - 3=0 的解的个数为(
) .
A.1
B.2
C.3
D.4
( 全国初中数学联赛题)
11. 已知方程x 2 - 3x - 1=0 的两根也是方程x 4 + ax 2 + bx 十c= O 的根，求α + b - 2c 的值.
(全国初中数学联赛题)
12. 设工是实数，不大于工的最大整数叫作z 的整数部分，记作[x] ，如[1.2J = 1，[3J= 3 ，[- 1.3J= - 2.
s 一[11+ 「
1
1
+[1
f[90S]
(10 Xll- 1)2l ' r01 X 12-1)2l
10 X ll
I
I
ll X 12
I
2016 X 2017
叫关于工的方和2 -2x-3 =叫于]
( 上海市复旦附中自主招生试题)
13. 已知X l ,X2 ，X3 ( Xl <X 2<X 3 ) 为方程x 3 - 3x 2 + (α +2 ) x- a=0 的三个实数根，求4X l - xi 十
z i 所有可能值.
(白俄罗斯数学竞赛题)
..6
我没有试图直接解决某一物理问题，而只是试图寻求某种优美的
数学.
一一-狄拉克
~~~知识纵横嘎嘎嘎
撞撞。00.. •
在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性:如是否有实数根，
运用判别式解
有几个实数根，根的符号特点等.我们形象地说，判别式是一元二次方程根的
; 题，需要注意的是:
"检测器"，在以下方面有着广泛的应用:
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性.
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数的值或参数的取值范围.
通过判别式，证明与方程相关的代数问题.
(1)解含参数
的二次方程，必须
注意二次项系数不
为0 的隐含制约;
( 2 ) 在解涉及
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问
:
多个二次方程的问
题、最值问题题时，需在整体方
狄拉克，英国物理学家，是剑桥大学继牛顿、麦
克斯韦之后的又一代宗师，是数学美坚定的信仰者
与追求者. 狄拉克于
1 956 年访问莫斯科大学，他遵
照这所大学的传统，他在黑板上的题词被永久地保
存下来. 他在黑板上写的是
" 一个物理学定律必须
具有数学美
"
~~~例题求解嘎嘎嘎
睛'
关于Z 的方程2kx 2 + (8走十l) x = -8k 有两个不相等的实数
根，则走的取值范围是
( 广东省竞赛题)
思路点拨
利用判别式建立关于走的不等式组，注意走# 0 的隐含制约.
法、降次i肖元等方
法思想的引导下，
综合运用方程、不
等式的知识.
莎士比亚曾
说"简洁是智慧的
灵魂，冗长是肤浅
的藻饰"
"1
aE军军~理~! . 1L~fA
琪'
若实数α ，b 满足jG-ab十川=0 ，则α 的取值范围是(
A. a $.二-2
B . α :;;;; - 2 或α 二三4
C.a 二三4
D. -2 :;;;;α :;;;; 4
(" (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
思路点拨
原等式可整理成关于b 的一元二次方程.
函'
已知关于工的方程工2 一(走+2)x+2走=0.
(1)求证:无论走取任何实数值，方程总有实数根.
(2) 若等腰三角形ABC 的一边长α=1 ，另两边长b ，c 恰好是这个方程
的两个根，求LABC 的周长.
(湖北省荆门市中考题)
思路点拨
对于(1)只需证明A二三0; 对于(2) ，由于未指明底与腰，须分
b=c 或b ，c 中有一个与α 相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出
b ，c 的值.
圃'
应的3 个根.
设方程Ix 2 +ax 1=4 只有3 个不相等的实数根，求α 的值和相
(重庆市竞赛题)
思路点拨
去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程.原方程
只有3 个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零.
[~[ø 已知(x - Z) 2 -4(x - y) (y -
Z) 二0 ，求证:2y=x 十z .
(江苏省无锡市竞赛题)
分析
本例可按以下不同思路探索:
(1)从变形条件等式切人.
(2) 条件等式在形式上类似"b 2 一句c" ，从构造一元二次方程人手.
i正日月1
运用恒等变形证明.
由(x - z ) 2 -
4 (x - y ) (y - z ) = 0 ，得x 2 +2xz + Z 2- 4xy 一
4yz+4y 2=0 ,
即C x+z) 2 -4y(x+z) 十4y 2 =0 ，得[CX + Z)_2yJ 2 =0 ，
.·. z 十z=2y.
.8
iã~畜
。00...
涉及等腰三角
:
形的考题，需要分
:
类求解，这是命题
: 设计的一个热点，
: 但这类题不一定每
;
个均有多解，还须
:
结合三角形三边关
系定理予以取舍.
运用根的判另IJ
式讨论方程根的个
: 数为人所熟悉，而
:
组合多个判别式讨
论方程多个根(三
:
个以上)是近年中
:
考、竞赛依托判别
:
式的创新题型，解
:
这类问题常用到换
: 元、分类讨论等思
:
想方法.
就解题而言，
:
应追求简单自然的
:
解法，不必"为技巧
:
而技巧"，舍近求远.
对于例
5 ，证法
: 2 是由形似
b 2
4 ac 而构造方程来
解决，仅是为了拓
:
展思路，活化思维.
证明2
由己知联想到"b 2 一句c = 0" ，化为一元二次方程的等根问题证明.
当工-y=O 即x=y 时，则x-z=O ，即x=z
，故x+z=2y.
当x-Y =FO 即x =FY 时，作方程Cx-y )t2 -Cx-z)t 十Cy-z)=O ，
.: ð=CX-Z) 2_4Cx-y)Cy-z)=0 ,
.·.上述方程有两个相等的实根.
又Cx - y ) - Cx - z) + Cy - z) = 0 ，则这个方程的实根为t 1 =t 2 =1 ，
于是1 X 1= 主二三，从而推得x+z=2y
，故2y=x+z.
3巳-y
判刑式法
即通过构造方程，借助判别式，运用一元二次方程有解的代数模型，建
立方程或不等式.判别式法在解存在性问题、最佳问题、讨论方程整数根等
方面有广泛应用.
[坷。
如图，点E 和点F 分别是正方形ABCD 中
EF
BC 边和CD 边上的点，且ζ EAF=45 0 ，求一一的最小值.
AB
(世界数学团体锦标赛试题)
分析与解
为表示线段间的关系，需引人字母，设
AB 二α
，EF 二b
，BE 二工，建立关于z 的一元二次方程.
可i正明EF=BE+DF ,DF=b-x ,
CF=DC-DF= α 一Cb-x)= α -b+ ι
由EF 2 =EC 2 十CF 2
，b 2 =C α _ X) 2 十(α -b+X) 2
，
整理可得x 2 -bx+a 2 -ab=0.
.: BE 存在，.·.z 有实数解，则ð~ O ，即b 2 -4Ca 2 -ab) 注0 ，
α
2
α- 2 + 1 __ a __VÍZ + 1
η > 0 ， :._t式即4( 百) < -4( 百) -1 :::;;;; 0 ，得一厂勺《一厂·
VÍZ 十1 _.b
·.·一> 0 ，:.只取O<~~一一一，则一二三2 vÍZ-2.
b
飞
2α
EF
.一一的最小值是2 vÍZ -2坦0.828.
AB
F
-Il ~ it 理‘
植握
。0 0'
τ--=-τ唱唱-.
有些与一元二
:
次方程表面无关的
:
问题，可通过构造
:
方程为判别式的运
:
用铺平道路，常见
:
的构造方法有:
(1)利用根的
定义构造;
(2)
利用根，与
系数的关系构造;
( 3 )
确定主元
构造.
伽罗瓦(1 811一
家，他深入研究了
1832) ，法国数学
: 代数方程能用根式
:
求解所必须满足的
:
条件，将解代数方
:
程问题转化为讨论
:
与系数域有关的代
: 数新结构一一群的
:
问题来研究，对解
: 代数方程作出了突
:
破性的贡献.
.9
aE军mPJIt/J)置.
1L~t.i .
~~~学为训练嘎嘎嘎
1. 关于z 的一元二次方程ax 2 十bx 十c=O( α 芋0) ，给出以下说法:
①若A 二b 2 -4ac > 0 ，则方程cx 2 +bx+ α=0 一定有两个不相等的实根.
②若x o 是方程的一个根，则~=(2ω 。十b) 2 .
③若b 2 > 5ac
，则方程一定有两个不相等的实数根.
④若b 二2α 十3c
，则方程必有两个不相等的实数根.
其中，正确的说法的序号是
2. 等腰，6.ABC 中
，BC = 8, AB , AC 的长是关于z 的方程x 2 -10x 十m=O 的两根，则m=
(浙江省宁波市中考题)
3. 已知一直角三角形的三边为a ,b ，c ，ζB=90 0 ，那么关于工的方程a (x 2 -1) -2cx+b(x 2 + 1) =0
的根的情况为(
).
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定
任. 关于z 的方程x 2 +2kx+k -1=0 的根的情况描述正确的是(
).
A. k 为任何实数，方程都没有实数根
B. 走为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C. 走为任何实数，方程都有两个相等的实数根
(河南省中考题)
D. 根据走的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的
实数根三种
(山东省林坊市中考题)
5. 已知关于z 的一元二次方程t 一(2是+1) x+扩+走=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2) 若，6.ABC 的两边AB
，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为
5. 当，6.ABC
是等腰三角形时，求走的值.
(四川省乐山市中考题)
.10
E理.，，&1坠
6 . 己知方程Ix 2 -2αx+b
l 二8 恰有兰个实根，且它们为一个直角三角形的三边长，求α 十b 的值.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
••
拓展. •
7. 若实数α ，b 满足b 2 十α 一2b + 2=0 ，则α 的取值范围是
(湖北省黄石二中理科实验班自主招生试题)
8. (1)若方程
I x 2 -5xl=α 有且只有相异二实根，则α 的取值范围是
(2) 已知一2 是三次方程t 十bx 十c=O 的唯一实根，则b 的取值范围是
围是
，c 的取值范
("希望杯"邀请赛试题)
9. 若关于z 的二次三项式m x 2 + 2x +3n 在实数范围内不能分解因式，则点(m ，n) 一定在(
) .
A.第二象限
B .第四象限
c .第一或三象限
D .第二或四象限
( "希望杯"邀请赛试题)
10. 若走为整数，使得关于工的方程kx 2 一(2走十3)x+3=0 有有理数根，则称走为"好数"那么，好
数走的个数为(
).
A.O
B. 1
c. 2
D. 3
(四川省竞赛题)
11. 己知α > O ，b >α +c
，判断关于工的方程αx 2 + bx 十c=O 的根的情况.
(河南省竞赛题)
12. 设工为正数，求分式一」乙，? 的最大值.
(x+ l) "
(湖南师大附中自主招生试题)
• •
创新. .
13. 已知正整数m 满足m 2 +5m + 30 是完全平方数，求m 的值.
(湖北省武汉市竞赛题)
"11
数学是打开科学大门的钥匙，是通向宇窗之美的关键.
~~~知识纵横嘎嘎嘎
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定
理是由
16 世纪法国杰出的数学家韦达发现的.
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在:
运用韦达定理，求方程中参数的值;
运用韦达定理，求代数式的值;
利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征;
利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等.
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代人是利用韦达定理解题的基本思路.
韦达定理充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多
彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法.
[任。
韦达0540- 1603) ，法国数
学家，被誉为"西方代数学之
父飞他在《分析术引论》中使用
字母表示未知数以及已知数，实
现了历史的突破.
~~~例题求解嘎嘎嘎
(1)已知Xj
，X2 是方程2x 2 -
2x + 1 - 3m = 0 的两个实数根，且
Xj • x2+ 2(X j +X2 ) > O ，那么实数m 的取值范围是
(河南省中考题)
(2) 已知α ，卢是方程x 2 - x -1=O 的两个实数根，则代数式α 2+ α(卢
2
2) 的值为
(浙江省绍兴市竞赛题)
.12
植晤。"…
t支方手呈ax Z +
bx+c= O(a 手0) 两
:
根，为x) ,XZ '
(1)若x) 十XZ -
一主= 0 ，则x ) , Xz
Q
互为相反数;
(2) 若x ) ' XZ=
; 二=1 ，则x)
，XZ 互
α
为倒数;
( 3 ) 若
A 二三0 ，
X ) +XZ = 一旦> 0 ，
a
C
x) • Xz = 一> 0 ，
α
则两根同为正;
( 4 ) 若
A 二三0 ，
b
x) 十工Z- 一一< 0
，
G
C
x) • XZ =-> O,
a
:
则两根同为负;
( 5 ) 若x) • XZ=
，三< 0 ，则两根异号.
a
思路点拨
对于(1 ) ，运用根与系数关系建立m 的不等式，但要注意判别
式的制约;对于(2) ，所求代数式为α ，卢的非对称式，通过根的定义、一元二次
方程的变形转化为基本对称式解.
睛'
如果方程( x - 1) ( x 2 -2什m)=O 的三根可以作为一个三角
形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是(
).
A. O~m ~;;)
B.m才
c7<mc
D?< m Q
(全国初中数学联赛题)
思路点拨
设方程的根分别为1 ,x ] ，X2 ' 由三角形三边关系定理、韦达定
理建立m 的不等式组.
遍'
己知关于Z 的方程: 工2 一(m-2) x
千。
(1)求证:无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.
(2) 若这个方程的两个实根x]
，X2 满足
I X 21 = lx]I +2 ，求m 的值及相
应的x]
，工2 .
(江苏省苏州市中考题)
思路点拨
对于(2) ，先判定x]
，X2 的符号特征，并从分类讨论入手.
圃' 如1
，X2 是方程2x 2 -4mx + 2m 2 +3m 一2=0 的两个实数根，
当m 为何值时，zi 十z i 有最小值?并求出这个最小值.
(江苏省竞赛题)
思路点拨
利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法
人手，应注意本例是在一定约束条件下(~注0) 进行的.
-f_鹰理lIÌì
撞撞
。" …
应用韦达定理
求根的代数式的值，
一般是关于Xj
' 岛
的对称式，如x î +
A
工，
X~
， (Xj
工2 ) Z ，_: +
X j
; 旦，X ~ 十zi 等，这
X2
类问题可通过变形
用工j + X2
，X j X 2 表
示求解，而非对称
:
式的求值常用到以
下技巧:
(1)恰当组合;
(2) 根据根的
:
定义降次;
( 3 ) 构造对称式.
应用韦达定理
的前提条件是一元
:
二次方程有两个实
;
数根，即应用韦达定
:
理解题时，须满足判
[缸。
设α ，如，d 为四个不同的实数，若α ，b 为方程工2 -10cx -
别式ρ 。这一条
lld=O 的解
，c
，d 为方程工2 -10ax - l1b =0 的解，求α + b 十C 十d 的值件，转化是一种重要
(克罗地亚竞赛题)
:
的数学思想方法，但
分析与解
由韦达定理得α + b = 10c , C +d = 10a
，α 十b+ c +d=10(a 十
c)
，进一步求出α+ c 的值，需运用根的定义、代人消元、变形等技巧方法.
因为α 是方程x 2 -1 0cx -lld=0 的解，且d = 10a -c
，所以，0=α 2
要注意转化前后问
:
题的等价性.
.13
aE噩噩噩罩噩噩噩
萤声世界的科
羊
富
数
i
特
程
'
幻
体
定
咯
n
叫
人
次
学
本
物
维
猜
家
个
鼓
戈
无
形
展
分
简
丰
代
剌
号
方
打
整
达
策
M
来
层
哲
的
与
恩
在
出
学
一
面
年
俨
的
发
·
理
了
求
定
符
圭
、
韦
本
0
年
深
从
学
学
类
联
提
数
"
一
归
丁
主
M
M
I
札
刊
刊
川
川M
M
W
忏
刊
制
制
刊
机
问
忖
儿
们
忖
W
叫
才
川
叫
什
韦
式
容
值
斗
差
面
而
是
题
家
了
进
'
同
界
的
各
不
证
以
川
机
人
出
这
千
形
内
的
论
ι
方
设
入
解
作
顾
所
考
度
ι
世
间
，
后
尔
可
面
等
听
!
'
几
的
的
式
讨
征
等
而
代
理
普
回
类
思
角
质
质
之
想
外
人
的
登
法
状
为
撞撞。"…
①
10ac - l1d = a 2 - 10ac - 11 ( 10a - c) =a 2 - 110a + llc -10町，
②
类似地，c 2 - 11 0c 十lla 一1 0ac =0 ,
①一②得(α - c)(a 十c - 12 1) = 0 ，
因为α 手c ，所以，α+c =121.
因此，α 十b 十c 十d = 10 X 121 = 1210.
昕膏'障戴
在一个庞大的管弦乐队中，鼓简单、直接、反复，为其他乐器提供基础
节奏.1910 年前后物理学家洛伦兹提出问题:若能听到一面"鼓"发出的声
音，则能唯一确定这面"鼓"的几何形状吗?向那时的数学中心一一德国哥
廷根大学的数学家们提出挑战.
根与系数关系常称为韦达定理，这是因为该定理是16 世纪最杰出的
数学家之一一一韦达发现的.
韦达定理的逆运用是指:
I.(;.J.~~，!
鼓掌沉思费
吉舍Il学思想的发展与演变
若x+y=a ，xy =b ，则x ，y 可看作一元二次方程z 2 -az +b=0 的两实根.
其实质是构造一元二次方程，为一元二次方程丰富的知识与方法的应
设实数α
，b 满足α 2 (b 2 + 1)十b(b+2α) 二40 ，以b 十1) +b=8 ，
用创造条件.
[哩。
求二十去的值
(全国初中数学联赛题)
分析与解
由条件可求出α +b ，ab 的值，则a
，b 可看作关于某个字母的
一元二次方程的根.
由已知条件可得:
支一一谱几何学.
a 2b2 + (a + b) 2 = 40 ,ab + (a + b) = 8.
设α +b =x ，ab =y
，则有工2 +y2 =40 ,x+y =8 ,
联立解得(x ，y) =(2 ，6) 或(工
，y) =(6 ，2) .
若(x ，y ) = (2 ，6)
，即α + b = 2 ，ab 二6 ，则α
，b 是一元二次方程t 2 - 2t +
6 = 0 的两根，但这个方程的判别式~ = ( - 2)2 - 24 = - 20< 0 ，没有实数根;
若(工
，y)=(6 ，2)
，即a + b 二6 ，ab=2 ，则a
，b 是一元二次方程t 2 - 6t +
2 =0 的两根，这个方程的判别式~ =(-6) 2_ 8 = 28> 0 ，它有实数根.
1 . 1
a 2 十b 2
(α + b) 2 _ 2αb
62 - 2 X 2
所以τ +τ = 一一一-
2 1_
a 2 ' b2
a 2b2
a 2b2
22
.14
-.￥~~臼~
~~~学为训练嘎嘎嘎
••
穷实. .
1. 已知关于工的方程X2 一(a 十b)x+ab - 1=0 ，x]
，工2 是此方程的两个实数根，现给出以下三个
结论:①x] 手X 2
; ②x]x2<ab; ③zi 十五<a 2 +b 2 .其中，正确的结论是
(填序号).
(四川省自贡市中考题)
2. 设工] ，工2 是方程工2+4x -3=0 的两个根，且2x] (x ~ 十5X 2 -3) 十α 二2 ，则α 二
(江苏省南通市中考题)
3. 已知菱形ABCD 的边长为5 ，两条对角线交于0 点，且OA
，OB 的长分别为关于工的方程t 十
(2m- 1) x 十m 2 +3=0 的两根，则m 等于(
).
A.-3
B.5
C.5 或-3
D.-5 或3
(厦门大学附属科技中学自主招生试题)
ι 若t 为实数，关于工的方程t 一位+t-2 二0 的两个非负实数根为a
，b ，则代数式(α 2 - 1) (b 2 一
1)的最小值为(
).
A. -15
B. - 16
C. 15
D.16
(四川省乐山市中考题)
5. 己知关于工的方程工2 一(2走一1) x + 走2 -2k +3=0 有两个不相等的实数根.
(1)求实数走的取值范围.
(2) 设方程的两个实数根分别为工] ,X2 ，存不存在这样的实数走，使得以]1-1 工21 =ß? 若存
在，求出这样的走值;若不存在，说明理由.
(湖北省鄂州市中考题)
6. 已知a
，b 为实数，关于工的方程Ix 2 +αx+b 1 =2 恒有三个不等的实数根.
(1)求b 的最小值.
(2) 若该方程的三个不等实根恰为一个三角形内角的度数，求证:该三角形必有一个内角是60
0
•
(3) 若该方程的三个不等实根恰为一个直角三角形的三条边，求α ，b 的值.
(湖南省长沙市南雅中学自主招生试题)
"15
aE噩噩噩lTIl噩噩
••
拓展
. .
7. 已知整数p
，q 满足ρ +q=2010 ，且关于工的一元二次方程67 x 2 + ρz 十q=O 的两个根均为正
整数，则ρ= 一一一--
("新知杯"上海市竞赛题)
8. DABC 的一边长为
5 ，另两边长恰为方程
2X 2 -
12x + m =
0 的两根，则m 的取值范围
是
(四川省竞赛题)
9. 若关于z 的方程2X 2 -ax+2α=-24 有且仅有一个正根，则α 的取值范围是
("希望杯"邀请赛试题)
10. 设X j
，X 2 是方程x 2 +x-4=0 的两个实数根，则xi -5 x~ 十10 的值为(
).
A.-29
B.-19
C.-15
D.-9
11 若α阳，且有ν+川α+9=0 及9b 2 +川b+5=0 ，则?的值为(
)
9
A.
~ 5
5
B. 9
C. _ 2001
一-
5
D.
旦旦
-
9
(江苏省竞赛题)
(全国初中数学联赛题)
12. 如果方程(x 一2) ( x 2 一位十m)=O 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的
取值范围是(
).
A. 0<m ~ 4
B. m 二三3
C.m 二三4
D. 3<m ~ 4
(全国初中数学联赛题)
13. 已知实数α
，b 满足α +ab+b=3 ，若m= α -ab+b
，求m 的取值范围.
("希望杯"邀请赛试题)
••
创新
. .
14. 如图，已知函数y=-x+b 与y=1 的图象在第一象限内交于A ，B 两点，
二E
且DAOB 的面积为4 汀，求b 的值.
("希望杯"邀请赛试题)
.16
x
第
1 4 题图
数学之美体现在它的实用性上.
一一纳什
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代
表.许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解.
一元二次方程的应用有以下几个方面:
(1)求代数式的值;
(2) 列一元二次方程解应用题;
(3) 解相关几何问题.
纳什是美国著名数学家、经济学家，划过20 世
纪50 年代的数学天空，放出耀眼的光芒. 因研究博
弈论时发现"纳什均衡"，于
19 94 年获得诺贝尔经
济学奖.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
函'
在平面直角坐标系中有点A( - 2 ，2) ，B(3 ，2) ，C 是坐标轴上的
一点.若，6，ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 的坐标是一一一一·
(山东省竞赛题)
思路点拨
C 点可在Z 轴也能在y 轴，又Rt，6，ABC 直角顶点未确定，故
解本例的关键是分类讨论.
圃'
A .
l 个
若(x 2 -x 一l) x +2 =1 ，且z 是整数，则工的值的个数是(
B. 2 个
c. 3 个
D.4 个
( 湖北省黄冈市竞赛题)
思路点拨
运用士1 的幕的性质，把问题转化为解方程.
iãl毒
。00.. •
解与一元二次
方程相关的几何问
:
题时，常借助勾股
定理、面积公式、相
似三角形性质建立
方程.
数学知识不是
:
孤立、离散的单点，
数学方法不是各自
无关的招式，它们
融为一体，构成知
:
识链或方法链. 解题
的敏捷性、发散性
;
就在于通过链中的
某一环受刺激而激
:
活整条链.
例
2 把革的性
质、一元二次方程、
;
分类讨论等知识方
法有机融合.小问题
体现了大智慧..11
aE噩噩噩罩噩噩噩liE12Þ~
圃'
实验与探究:
三角点阵中前n 行的点数计算: 下图是一个三角点阵，从上向下数有无
数多行，其中第一行有1 个点，第二行有2 个点…… 第n 行有n 个点… .
•
• •
• • •
•
•
••
••
•••
••
•••
••
•••
...
•••
••
••
•
•
易求得三角点阵中前n 行的点数的和是jMn 十1)
请你根据上述材料回答下列问题:
(1)三角点阵中前n 行的点数的和能是600 吗?如果能，求出n; 如果不
能，试用一元二次方程说明道理.
(2) 如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为
2
，4 ，6 ，…，2η
，...
你能探究出前n 行的点数的和满足什么规律吗?这个三角点阵中前n 行的
点数的和能是600 吗? 如果能，求出
n
; 如果不能，试用一元二次方程说明
道理.
(四川省凉山彝族自治州中考题)
思路点拨
对于(2) ，将问题转化为1+2+3+ … 十n 的形式.
圃'
求满足下列条件的所有四位数ω
: abcd = (ab +Cd) 2 ，其中c
可以为O.
( 上海市竞赛题)
思路点拨
视ab
，cd 为整体，建立"与cd 的关系，设ab= 工
，cd 二y
，则h
y 为正整数，且10<x<99 ，0<y<99 ，由条件得(x 十y) 2 =100x 十y
，整理关
于z 的一元二次方程.
倍角三角形
如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的
2 倍，那么，我们称这
样的三角形为"倍角三角形"运用相关图形性质、方法，可探寻到一些重
要结论.
.18
撞撞。"…
g唱唱~~.
高新技术的本
质是数学化了的技
术. 搜索引擎、语音
识别、机器翻译、自
然语言处理…… 数
学是解决这些问题
的最好工具.
多项式、方程
关联着"元"
在解答数式、
方程等问题时，常
面临涉及的数式结
构过于复杂、字母
个数较多或次数较
高等情况，若把一
部分看成一个整体
或用一个新字母代
替，则能达到化繁
为简的目的，这种
方法叫换元法.
换元、主元、增
元是元解决策略中
的常见方法.
"谓一元者，大
始也"更一般地，元
知识是关于知识的
知识，元方法是关
于方法的方法，元
知识、元方法构成
元认知能力.
拥有元认知能
力，能从更宽广的
思维视野来观察，
能从更高的方法层
次来分析.
[敏~.
如图，己知，6ABC 中，L_ B 二2ζC ，
α
，b ，c 为三边长.
C
求证: (1) BC< 2AC.
(2) BCz-ACz=AC • AB. ζA 二2ζ B.
B
怎样运用条件ζB=2ζC? 作角平分线构造等角或向外构造等腰三角形.
进一步追问:
(1)若ζA=3ζ B
，则α
，b
，c 又有怎样的关系?若ζA= ηζB 呢?
(2) 是否存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍?
最大角是最小角的三倍?
分析与解
对于追问(2) ，解答如下:
情形一:设AC=n -1 ,BC=n + 1 ,AB=n ,
代人(2) 中有(η+ 1) 2 一(n- 1) Z =(n- 1) n
，
化简得n 2 -5n=0 ，nl =5 ，n z =0( 舍去) ,
所以AC=4 ，BC=6 ，AB=5.
(上海交通大学自主招生试题)
情形二:设AC= η -1 ，AB=n+1 ，BC= η ，代人(2) 中，
有η 2 一(n- 1) 2 =( η- 1) • (η+ 1) ,
得对一2η =O ，nl 二0 ，n z =2 ，
当n=2 时，AC= l，AB 二3 ，BC=2 ，1 +2=3 ，，6ABC 不存在.
情形三:设AB=n-1
，BC= η +l
，AC=n
，代人(2) 中，
有(n+ 1) Z -n 2 =n(n- 1) ,
化简得n 2 一切-1=0 ，没有整数解.
综上所得，存在唯一的三边长为连续正整数的倍角三角形，其三边长为
4,5,6.
另一种情形不存在，请读者证明.
~~~学为训练嘎嘎嘎
••
穷实
. .
E
.Ëj i\: ~
量亩3罢
。00.. •
例
5 探寻了倍
角三角形三边的关
系，并在问题的广
度和深度上作了进
一步的发展.
请你思考:
在6ABC
中，
已知三边长分别为
α
， b , c
，且ζC=
2ζA=4 ζ B.
111
证: --=-+ --=- =τ-
a
c
0
求
没有问题，就没
有回答.一个好的问
题比一个好的回答
更有价值.这是西方
学者经常说的话.
智慧型的学生
能提出问题，能概
括抽象的东西，能
演绎推理、寻找课
题，能运用知识，善
于发问，长于猜想.
1. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由
100 元降为81 元，己知两次降价的百分率相同，那么两次
降价的百分率为
( 辽宁省大连市中考题)
.19
aE军主EIE噩噩E墨画罩'
2. 为庆祝"五一"，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)
，共进行了
4 5
场比赛，这次有一一一一支队参加比赛.
(湖北省鄂州市中考题)
3. 如图，在RtDABC 中，ζ BAC=90 0 ,AB =AC= 16cm ，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出
发，沿A →D 方向以在cm / s 的速度向点D 运动.设DABP 的面积为乱，矩形PDFE 的面积为
5 2 ，运动时间为t 秒(0< t < 8)
，则t=
秒时，5 1 =252.
(贵州省贵阳市中考题)
ι 如图，已知线段AB 的长为α ，以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB. 取AB 边上一点E ，以
AE 为边在AB 的上方作正方形AENM ，过E 作EF _l CD ，垂足为F 点.若正方形AENM 与四
边形EFDB 的面积相等，则AE 的长为
第3 题图
D
F
第4 题图
(山东省路坊市中考题)
。~餐露擦擦
图①
图②图③
第5 题图
图④
5. 图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2 X 2 的近似正方形，其中完整的
菱形共有5 个;若铺成3 X 3 的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13 个;铺成4 X 4 的近似
正方形图案④，其中完整的菱形有25 个;如此下去，可铺成一个n X n 的近似正方形图案.当得
到完整的菱形共181 个时，n 的值为
(湖北省荆州市中考题)
6. 甲、乙两辆公共汽车分别自A
，B 两地同时出发，相向而行.甲车行驶85 千米后与乙车相遇，然
后继续前进.两车到达对方的出发地等候30 分钟后依原路返回.当甲车行驶6 5 千米后又与乙车
相遇，求A
，B 两地的距离.
(山东省实验中学自主招生试题)
.20
-f& ~ i\: 理-
• •
7. 过点P(- 1，3) 作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5 ，这样的直线可以作
条.
( 全国初中数学联赛题)
8. 已知x(x +2y -2) =10 ,y (y+2z-2) = 12 ,z (z +2x - 2) = 13 ，那么，工巾
，z 三数的平均数的
最小值为
(世界数学团体锦标赛试题)
9. 如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把，6.BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上
的点F 处，连接DF.若E ，F ，D 在同一条直线上，AE 二2 ，则DF=
,BE=
10. 已知4x 4 +3x 3 -2x 2 +3x +4=0 ，则z+i的值为(
).
A.-2
B. - 2 或?
A
E
B
工
5
C .4
阶~\a
lJ\;
b
a
(浙江省杭州市中考题)
D?
C" 希望杯"邀请赛试题)
山西|
第9 题图
第11 题图
11. 如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设α = 1 ，则这个正方形的面积
为(
) .
A7+;5
一
cdf1
一
B 半
D. (1 +fi)2
12 . 满足(2 - m) m ' - m - 2 = 1 的所有实数m 的和为(
) .
A.3
B. 4
c. 5
(山东省竞赛题)
D. 6
(全国初中数学联赛题)
13 . 如图①，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，AE = AD . EC 与BD 相交于点
G ，与AD 相交于点F ，AF = AB.
(1)求证:BD j_ EC.
.21
aE军主昌盛i画蓝墨E矗盏'
(2) 若AB=l ，求AE 的长.
D
C
(3 )如图②，连接AG ，求证:EG-DG=
j2AG.
(安徽省中考题)
E
A
B
E
图①
第13 题图
1也. 如图，已知边长为
1 的正五边形的对角线围成了一个新的更小的正五边
形，求这个小正五边形的边长.
(斯洛文尼亚数学奥林匹克竞赛题)
• •
1
1
1
15. 已知实数x ，y 满足x+y=3 ，-一一+一-一一= 一，求x 5 +川的值.
'x+旷
工2 十y
2 , .... ..".... .........
I
J
D
C
A
B
图②
D
E
C
A
1
B
第14 题图
(全国初中数学联赛题)
.22
实验、坚持不懈、试错、冒险、即兴发挥、最佳途径、迂回前进和随机应
变，所有这些都有助于应付变化.
一一卡尔·韦克
~~~知识纵横嘎嘎嘎
有些数学问题虽然表面上与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一
撞撞
。00...
许多数学问题
元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题.构造
: 表面上看难以求
:
解，但如果我们创
一元二次方程的常用方法是:
(1)利用根的定义构造;
(2) 利用韦达定理的逆定理构造;
:
造性地运用已知条
:
件，以已知条件为
:
素材，以所求结论
(3) 确定主元构造为方向，有效地运
成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上
; 用数学知识，构造
的;成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果出一种辅助问题及
; 其数学形式，就能
像建筑师那样思考
'c
为了能成功地应用构造法，解题者必须成为一
个"建筑师"，一方面应当记住手中的"建筑材料"，
即已知条件提供的信息;另一方面，也不要忘记我
们要建造的"建筑"，即符合命题要求的事物.
~~~例题求解嘎嘎嘎
圃'
x
y
•
x
若实数x
，y 满足一一一十一一一=1
一一一+一一一τ=1 ，则
y
l V')l AC33+43 ' 33+ 63
"'5 3 十4 3 ' 53+63
x+y= 一一一一一·
(全国初中数学联赛题)
思路点拨
直接解方程组难度较大，变更主元，将3 3
，5 3 看作某一个一元
二次方程的两根，构造方程解.
: 使问题在新的形式
;
下获得简解，这就
: 是解题中的"构造"
:
策略.构造圆形、构
:
造方程、构造函数、
: 构造反倒是常用的
构造方法.
.23
a
辈革M~墨画画IEI孟~
[ft[8
1 . 1
设α 2 十1= 切，b 2 十1 = 3b ，且α 手b ，则代数式F+F 的值
为(
).
A.5
B. 7
c. 9
D.ll
(全国初中数学联赛题)
思路点拨
这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手.
[锐'
已知实数a
，b 满足α2 十αb+b 2 =1 ，且
t = ab - a 2 - b 2 ，求
t 的
取值范围.
撞撞。"…
构造一元二次
: 方程，在问题有解
的前提下，运用判
("TI 杯"全国初中数学竞赛题)
:
别式A 二三O 建立含
思路点拨
由两个等式可求出a +b ，ab 的表达式，这样既可以从配方法
: 参数的不等式，缩
人手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间小范围逼近求解，
; 在求字母的取值范
围、求最值等方面
。
有广泛的应用.
[ft[Ð 求方程x 2 y 2 十9x 2 +y 2 -12月=9 的非负整数解.
( 江苏省竞赛题)
分析与解
把原方程化为关于工的一元二次方程，从判别式人手.
原方程化为关于z 的一元二次方程得(y 2+ 9)x 2 -12y工+y 2 -9=0 ，
·.·方程有整数解，
.•. ô 二(-12y) 2 -4(y2 +9) (y 2 -9)~0 ，
即旷一36y 2 -81:::;;:0 ,
:. (y 2 -18) 2:::;;: 405 < 21 2 ，得0 :::;;:y 2< 39 ,
:. y = 0 , 1 ,2 , 3 ,4 , 5 , 6.
经检验，当y=O 时，x=l; 当y=3 时，x=O 或工=勾当y=6 时，x= 1.
故原方程的非负整数解为(工，y)= (1，O) , (0 , 3) , (2 , 3) ,(1, 6).
异曲同工
数学理性而严谨，艺术感性而浪漫.艺术诠释了数学内涵，使数学变得
通俗易懂;数学开拓了艺术底蕴，使艺术变得意味深长.
许多科学论断只能确定现象或对象的存在，但不能指出存在的位置、
证明存在的时刻并给出具体的样本.
.24
抽屉原理、代
: 数基本定理、连续
;
函数的介值定理等
: 都是数学上与存在
; 性判断相关的定
: 理，只关乎存在的
:
判断，不关注其他
方面的属性.
松下问童子，
言师采药去.
只在此山中，
云深不知处.
贾岛的诗句是
:
存在性定理在人文意
:
境里最生动的描述.
E理圈圈理·自
[画画
求证:对任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使矩形B 与矩形
A 的周长和面积比等于走(走二三1).
苗握。"…
(福建省竞赛题)
(x+v= 是(α +b) ,
证明
设A 与B 的长和宽分别是a ，b 和工巾，则斗
d
lxy= 走αb
，
于是x ，y 可为方程t 2 一走(α + b)t+kab= O 的两根.
t:.=[走(α +b)J 2 一份ab= 走2 a 2 十挝、b 十k 2 b 2 一份" 二三走2 α 2 +2走2 αb 十
走2 b 2 -4走2 αb= 走2 (a-b) 2 二三0 ，又是ab > ü ，走(α + b) > O ，说明两根均为正，故这
样的矩形B 总是存在的.
~~~学为训练嘎嘎嘎
••
穷实. •
1
1
1. 已知实数a
，b 不相等，并且α 2 十1= 句
，b 2 十1=5b ，则-7 + : 二
a -
0
( "希望杯"邀请赛试题)
2. 已知a ,b ,c ，d 是四个不同的实数，且(b+d)(b+ α )=l ，( c + d ) (c 十a)= l，则( b 十d) ( c 十d) 的
值为
( 安徽省安庆一中实验班自主招生试题)
3. 已知α 二三2 ，m 2 - 2αm + 2 = 0 ，η 2 - 2αη + 2 = 0 (m 手川，则(m- 1) 2 + ( η 一1) 2 的最小值是(
) .
A.6
B. 3
C. -3
D. O
(内蒙古自治区呼和浩特市中考题)
4. 已知四个互不相等的正实数α
，b ，c ，d 满足(α 20 1 2 _ C2012) (α 肌2 _d2012) = 2012 , (b2012 - C2012 ) ( b 20 12 一
d 2012) = 2012 ，则(α b) 20 1 2 一(Cd) 20 1 2 = (
).
A. -2012
B. -2011
C. 2012
D. 2011
(天津市竞赛题)
5. (1) 已知非零实数α ，b ，c 满足4α +2b 十c = O ，求证:b 2 - 4ac 二三O .
(2) 已知非零实数α
，b ，c 满足9α -6b+2c= 0 ，求证:b 2 -
2ac 二三O.
、
7
、
(浙江省杭州学军中学自主招生试题)
民飞,
.25
a噩噩噩噩. fJTñ~t . 1L~~
6. 已知z 和y 是正整数，并且满足条件xy 十x+y 二71 ，x 2y 十xy2= 880 ，求x 2 +旷的值.
(江苏省竞赛题)
• •
拓展
. •
为
值
的
α
-
b
么
w
h
俨
卫
刃
nunu
-
-
一
一
<UFD
N
山
+
+
ω
GO
∞
+
+
日
2
0,"
Go
r
i
-
-
d
i
-
-
t
、
且
芋
'b
a
知
已
Hi
(世界数学团体锦标赛试题)
8. 已知α 为实数，且使关于z 的一元二次方程x 2 +a 2 x 十a=O 有实根，则z 所能取到的最大值
是
(山东省竞赛题)
9. 如图，已知正方形ABCD
，点E 在CD 上，延长BC ，AE 交于点F ，若S 正方形ABCD -
S /:;CFE ，则
CE
ED
一一一一一一.
(世界数学团体锦标赛试题)
~
E
B
第9 题图
第
10 题图
10. 如图，边长为1 的正方形ABCD 中
，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，且L:::.AEF 为正三角形，则
L:::.AEF 的面积为
(全国初中数学联赛题)
1 1. 整数n 使得9η 2+ 23n 一2 可以表示为两个相邻的正偶数的乘积，请问所有这样的整数n 之和
为多少?
(青少年国际城市数学邀请赛试题)
••
创新. .
12. 设a ,b ，C 为实数，且α +b 十c=2 ，α 2 十b 2 +c 2 =12 ，求c 的最大值与最小值的差.
(美国竞赛题)
..26
数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看数
学像是一门系统的演绎科学;但从另一方面来说，创造过程中的数学看起
来像是一门实验性的归纳科学.
一一波利亚
~~~知识纵横嘎嘎嘎
解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有:
从求根人手，求出根的有理表达式，利用整除求解;
从判别式人手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引人参数(设
/:::，.=走勺，通过穷举，逼近求解;
iã~蜜。"…
一元二次方程
的整数根问题，既
涉及方程的解法、
判别式、韦达定理
等与方程相关的知
从韦达定理人手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不
;
识，又与整除、奇
定方程，借助因数分解、因式分解求解;数、偶数、质数、合
从变更主元人手，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解.
哈代(1 877- 1947) ，英国数学家. 哈代对数
学界产生的一个重大影响是他在
1908 年为剑桥
大学所写的教科书《纯数学教程)).
哈代曾说，"数学家的造型与画家或诗人的
造型一样，必须美"，"不美的数学在世界上是找
不到永久地位的"
~~~例题求解嘎嘎嘎
琪'
若关于z 的方程(6-k)(9 一走)x 2 - (1 17-1S走)x+S4=O 的解
都是整数，则符合条件的整数走的值有一一一一个.
数等整数知识密切
相关.
系数含参数的
方程问题，在没有
指明是二次方程
(全国初中数学联赛题)
时，要注意有可能
思路点拨
用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指
:
是一次方程，根据
明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定走的值才能全面而
:
问题的假设条件，
准确看是否要分类讨论.
..21
aE墨噩噩矗D画面
[,C8 若α
，b 都是整数，方程αX 2 +bx -2008=0 的相异两根都是质
数，则3α 十b 的值为(
A.100
B. 400
C.700
D. 1000
( 山西省太原市竞赛题)
思路点拨
由韦达定理得a
，b 的关系式，结合整数性质求出a
，b 的值.
[~[Ð 试确定一切有理数r ，使得关于Z 的方程rx 2 +(r+2)汁r-1 二
。有根且只有整数根.
(全国初中数学联赛题)
思路点拨
由于方程的类型未确定，所以应分类讨论.当r 手0 时，由根与
系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整
数根.
[候'
当m 为整数时，关于z 的方程(2m -1)x 2 一(2m+ 1) x 十1=0
是否有有理根?如果有，求出m 的值;如果没有，请说明理由.
(江苏省竞赛题)
思路点拨
整系数方程有有理根的条件是b，. = b 2 一句c 为完全平方数.
设b，. =(2m 十1) 2 - 4 (2m - 1) = 4m 2 -
4m + 5 = (2m - 1) 2 + 4 =η 2 (η 为整
数) ，解不定方程，讨论m 的存在性.
[目。
求使方程x 2
户qx+ ρ 十q 二O 有整数根的所有正整数户和q.
rXl 十x ? =Da
分析与解
设工j
，X2 为方程的两整数根，则斗
. •
lXj X 2 =ρ 十q
整数，由②知X 2 也是整数，由①知二根均为正整数.
(俄罗斯竞赛题)
(,
若Xj 是
( .
①一②得，Xj X 2 一(Xj 十X 2 ) = ρ 十q 一户q
，即(X j - 1)( 工2 - 1)十(户一1)
(q- 1) =2.
将2 表示为两个非负整数之和，只有三种情况:0 十2;1+1;2 十O.
若(户一1) (q- 1) =2 ，则ρ =3 ，q=2 或户=2 ，q=3;
若(ρ - 1) (q- 1) =l
，则ρ =q=2;
若(ρ - 1) (q- 1) =O ，则ρ =1
，q=5 或ρ =5 ，q= 1.
.28
撞撞。"…
蝴蝶效应
巴西蝴蝶翅膀
的一次颤动，可能
会引起纽约的一场
大雨.在高原雪山上
:
的一声叫喊，可能
: 会引起狂风呼啸、
:
铺天盖地的雪崩.人
;
类逐渐意识到现实
:
世界中存在无序、
:
混沌的现象，有时
:
一个小小的起伏可
能会演变成巨大的
波澜.
对于一元二次
方程
αx 2 + bx + c
=o(α 手0) 而言，方
:
程的根为整数则必
:
为有理数，而/::"=b 2
一句c 为完全平方
: 数是方程的根为有
:
理数的充要条件.
例
5 与其他例
: 题的不同之处在
于:含有两个参数，
:
将方程的知识、整
:
数理论、恒等变形、
:
分类讨论等知识方
法结合于一体.
EE却~=-臼E立..:.
至
·
实
h
晦
四
节
利用判别式解
整系数一元二次方
:
程的整数根问题有
(1)有整数根
的前提是有实数
:
根，则A二三0 ，确定参
:
数的取值范围;
(2) 有整数根
必定有有理根，则A
必为完全平方数;
:
是关于参数的-次
式，则可设其为
[ 2
0 为非负整数)，再
:
将方程的根用
t 表
明;似至繁，实至
简;似至难，实至易.
视角视野
转换视角，可有效降低问题的难度，柳暗花明;开阔视野，能把握问题
蝠'
试求出所有这样的正整数α ，使得二次方程ax 2 +2(2α - 1) X+
4(a-3)=0 至少有一个整数根.
的本质，举重若轻.
下列常见的切入
方式
("祖冲之杯"竞赛题)
因α 的次数较低，故将方程整理为关于α 的一次方
2(x+6)
程，得(X+2) 2 α =2(x+6).显然z 十2#0 ，于是α= 一一一"
?
(X+2) 2
解法1
分析与解
2(x+6)
.: a 是正整数，α 二三1 ，即一--一-:;- ~ 1 ，化简得x 2 +2x -8~0 ，解得-4~
(x 十2) 2 :;;.-
x~2(x 子士一2) ,
14
当工=-4 ，-3 ，一1 ，0 ，1，2 时，α= 1，6 ，10 ，3 ，-9- ,1.
(3) 若判别式
因α 为整数，故a 的值为
1 ，3 ，6 ，10.
ß=4[(2α_ 1) 2 一句(α-3)J=4(8α 十1)为完全平方数，故
8a+1 为奇数的平方.
解法2
m 2+m
令8α 十1=(2m+ 1) 2
，m 是正整数，则α= 一一一一，于是，原方程可化为
2
示(见例
6 解法2).
m(m +1) x 2 +4(m 2 +m -1) x+4(m -2) (m +3) =0 ,
即[mx +2(m -2) J[ (m + l)x +2(m+3) J =0 ,
解得xj=-2+ 生，x 2 =-2 一
4
m' Jv 2
""
m+1'
:.m 1 4 或(m 十1) 14 ，得m=1
，2 ，4 或m=1
，3.
故a 的值为
1 ，3 ，6 ，10.
嘎嘎嘎
学为训练
~~~
穷实
. •
1 方和2 +px+1997=0 恰有两个正整数根X j 山，则/
l 工
lj值是一一一
• •
(北京市竞赛题)
..29
4 ..
唱主E吕1;'晶宫盲~"'J'=~
2. 关于z 的一元二次方程4x 2 +4mx+m 2 +m-10=0(m 为正整数)有整数根时，则m 的值可以
取个.
(江苏省竞赛题)
3. 若整数m 使方程x 2 -mx+m+2006=0 的根为非零整数，则这样的整数m 的个数为
(江苏省竞赛题)
也. 求使关于工的方程kx 2 十(是+l) x+ 走一1=0 的根都是整数的走值.
(江苏省竞赛题)
••
拓展
. .
5. 已知a
，b
，c
，d 是四个不同的整数，且满足α 十b+c+d=5 ，若m 是关于z 的方程(x -a) (x 一
b)(x-c)(x-d)=2014 中大于a ,b ,c ，d 的一个整数根，则m 的值为
(河南省竞赛题)
6. 已知α
，b 为正整数，且b-a=2013 ，若关于z 的方程x 2 -ax+b=O 存在正整数解，则α 的最小
值为
(全国初中数学联赛题)
7 . 已知n 是正整数，且Jn 2 +85n+2017 为整数，求所有满足条件的n 的和.
(美国数学竞赛题)
8 已知α ，b 都是正整数，试问关于z 的方程x 2 一伽十二(α 十b)=O 是否有两个整数解?如果有，
请把它们求出来;如果没有，请给出证明.
(全国初中数学联赛题)
••
创新
. .
9走2 -81
9. 设走是非零整数，关于z 的方程x+ 一一一→=10走有两个不同的整数根，请问较大的根减去较
二E
小的根所得的差是什么?
(国际中小学数学能力检测题)
..30
当原问题看来不可解时，人类的高明之处就在于会迂回绕过不能直
接克服的障碍，就在于能想出某个适当的辅助问题.
一一一波利亚
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道:作为数学家的
思维过程来说是很典型的，即"他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地
将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题"
转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程及方程
组)的基本思想.解分式方程，通过去分母和换元;解高次方程，利用因式分解
和换元;解方程组，通过消元和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去
求解.
转化与化归
!
转化与化归是一种重要的数学思
想，在数学学习与解数学题中，我们常常
用到下列不同途径的转化: 实际问题转
化为数学问题，数与形的转化，常量与变
量的转化，一般与特殊的转化等.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
[锐'
已知关于工的方程x 4 +2x 3 十C3 + k)x 2 十(2+k)x+2走=0 有
实数根，若所有实根的积为
2 ，则所有实根的平方和为
("新知杯"上海市竞赛题)
思路点拨
将方程左边因式分解，化高次方程为低次方程.
撞撞。"…
波利亚在"怎
: 样解题"表中的许
多问句都是以转换
问题为目的的，如:
你知道与它有
关的问题么?
你能想出一个
:
具有相同或相似未
:
知数的熟悉问题吗?
你能改述问题么?
你能不能用不
同的方法重新叙
述它?
.31
aE国撞撞撞撞墨E盛噩噩
函'
方程Vx 十3 →45习+ ，}x+8-65可=1 的解的情形是
A. 无解
B.恰有一个解
C. 恰有两个解
D. 有无穷多个解
(江西省竞赛题)
思路点拨
由配方法得，} (Jx
1-2)2+,}(J x
1-3) 2 =1 ，即|♂可
-21+1 ♂-1-31=1 ，通过讨论去掉绝对值符号.
嚷~Ð
解下列方程(组) :
Z E 十3x
. x 2 十x-4
11
( 1) ~ -~ ，~
~ + -~
0 -,- _
=一
,
3x 2 十9x
12'
(河南省竞赛题)
(2) (1999- X) 3 + (x -1998) 3 = 1.
(山东省竞赛模拟题)
(3) x 2 十X+ v'X 2 十x+7 =5.
(克罗地亚数学奥林匹克竞赛试题)
思路点拨
按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1) ，利用倒数关
系换元;对于(2) ，从(1 999 -
x) 十(x 一1998) = 1 受到启示;对于(3) 通过换
元，化无理方程为有理方程.
[筐。
二
2走
x
走z 十1
若关于z 的方程?丁一τ一一=一一一只有一个解(相等的解
一-1
X 一-x
x
也算作一个) ，试求是的值与方程的解.
(江苏省竞赛题)
思路点拨
先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为
整式方程的解的讨论，"只有一个解"内涵丰富，在全面分析的基础上求出走
的值.
..32
罐罐。" …
换元是建立在
:
观察的基础上的，
:
换元不拘泥于一元
代换，可根据问题
的特点，进行多元
代换.
分式方程转化
为整式方程不一定
:
是等价转化，有可
能产生增根.分式方
;
程只有一个解，可
:
能转化后所得的整
式方程只有一个
:
解，也可能有两个
:
解，而其中一个是
原方程的增根.故分
:
式方程的解的讨
:
论，要运用判别式、
: 增根等知识全面
:
分析.
[画画
已知关于z 的方程.)X2 - 2x + 1 - .) x 2 一位+ 4 + 2v'X2 - 6x + 9 =
m 恰好有两个实数解，求m 的取值范围.
(四川省成都七中自主招生试题)
分析与解
有理化、运用判别式求m 的取值范围显然较难，将方程解的
个数的讨论转化为函数图象交点的探讨，形象、直观、简洁.
原方程化为m= lx -11- lx -2
1 十2
I x-31 ，如
图，作出y=m 与y= lx -1
1 一Ix -2
1 +2
I x-3
1 的
函数图象，由图象得:当
1 <m < 3 或m > 3 时，原方程
恰有两个实数解.
配方法
。
2
3
y =m
y =m
4
5 x
配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具;
配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段.配方法在
解代数式化简求值、求最值、解不定方程等方面有广泛的应用.
圃'
求方程8C2x2 十6x 十6) C3y 2 - 3y + 2) = 15 的解(工
，y) ，
(世界数学团体锦标赛试题)
分析与解
能展开吗?不妨应用配方法，从估算两个因式的值的取值范
围切人.
向
15
题设的方程即C2X 2 十6x+6)C3y 2 -3y 十2)=8'
3 \2
3 _ 3
易知M 十6汁6=2( x 十E) + 言》言'
I
1
、
2
5 _ 5
3y 2 -3y+2 二3( y 一一)+
注一，
飞
2/
4 ~ 4
. _ 3
5
15
所以C2X 2 +6 x 十6)C3 y 2 一句+2) 二三一× 一-
~ ,
2
4
8
当且仅当x= 一旦，y=1时，题设的方程成立，
2 ' .7
2
所以(zd)=(-7 去)是唯一解
噩噩ss.理圄
撞撞
。00.. •
你玩过陀螺
吗? 飞速旋转的陀
:
螺在自转的同时又
:
在不停地公转.实际
:
上，这与科学上所
:
说的刚体绕固定点
的旋转问题相关.
188 8 年，法兰西科
学院就这个问题进
:
行国际征文，一举
J
夺魁的就是萤声世
:
界的女数学家柯瓦
列夫斯卡娅.
柯瓦列夫斯卡
娅( 1850- 1891 ) ,
:
俄罗斯女数学家，
:
她曾说"不能在心
;
灵上作为一个诗
人，就不能成为一
流数学家"
.33
aE温司届监画画国噩噩逼迫.
~~~学力训练嘎嘎嘎
••
穷实
. •
1. 若关于工的方程-2x 十m /2百7-王+4020=0 存在整数解，则正整数m 的所有取值的和为一一一-
(江苏省扬州市中考题)
2. 若方程Fx =x+走有两个不相等的实数根，则实数走的取值范围是一一一--
(安徽省芜湖一中理科实验班自主招生试题)
α
3. 关于工的方程一一=1 的解是负数，则α 的取值范围是(
).
x+1
A. a < l
B. a < l 且a 手O
C. a ~ l
D.α ~ 1 且α;#0
(山西省中考题)
4. 方程，)x+ 1l -6 Fx有+，)x+27-10 ♂百二1 的实数根的个数是(
).
A.O 个
B.1 个
C.3 个
D. 无法确定
(四川省成都七中自主招生试题)
x+1
x
ax+2
5. 已知关于工的方程一一
一一一=
、无解，求α 的值.
x 十2
x 一1
(安徽省安庆一中自主招生试题)
• •
拓展
. •
解
组
有
y1
一
一
一
-
h
在
Zy
ri--
J1ll
L
组
程
方
的
y
z
于
关
户
。
(上海市华东师范大学二附中自主招生试题)
为
值
最
的
z
+
vd
+
巾
·
·
品
么
卫
对
同
〈
u
n
〈
U
一
一
一
zz
+
γ
y
l
「
ZZ
「
l
l
J
〈
l
l
L
组
程
方
足
满
z
y
z
数
整
正
知
已
Hi
(世界数学团体锦标赛试题)
D. 无法确定
(北京大学自主招生试题)
I x 2 I
9. 关于z 的方程卜一一1=α 仅有两个不同的实根，则实数α 的取值范围是(
).
Ix-11
8. 己知x 2 =2y +5 ,y 2 =2x +5(x 手y)
，则x 3 _2X 2 y 2 + 旷的值为(
A. -10
B. -12
C. -16
A. a>O
B. a 二三4
C.2 <α < 4
D.O <α < 4
(全国初中数学联赛题)
..34
-E噩~理..
10. 解下列方程(组) !
(1 )y=(y 2-2) 2_2.
(全国初中数学联赛题)
(2) 什(击f 二3
(3) x 4+(x-2) 4_82=O.
("希望杯"邀请赛试题)
4x 2
五百=y
，
4y 2
(4)
斗一一一一τ =z.
I 十4y 2
-,
(加拿大数学奥林匹克竞赛试题)
z
k
一
忖
Z
1 1. 求方程2x+xy+ 一=243 的正整数解.
y
(世界数学团体锦标赛试题)
••
创新. .
12. 已知正整数x
，y 满足t 十5x 2 y 十8xy 2 +6y 3 = 91 ，求x+y 的值.
(世界数学团体锦标赛试题)
.35
在现代实验科学中，能否接受数学方法或与数学相近的物理学方法，
已愈来愈成为该学科成功与否的主要标准.
一一冯·诺伊曼
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
一般地，我们称函数y= αx Z +bx+c( α
，b
，c 为常数，α 手0 ) 为工的二次
函数，其图象为一条抛物线.
抛物线的解析式有下列三种形式:
(1)一般式:y= αx 2 十bx +c .
(2) 顶点式:y= α (X-h) 2 十是.
(3) 交点式:y 二a(x- Xj )(X-X Z )
，这里Xj
，X 2 是方程ax 2+ bx +c =0
的两个实根.
确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法
求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键.
罗素(1 872- 1 970) .英国数学家、哲学家. 于
1901 年提出了集合论的一个悖论，这个悖论震撼
了数学界，把数学推向了一个新的阶段. 罗素和怀
特海的工作对数理逻辑这门学科的建立有不可磨
灭的贡献，揭示了数学和逻辑学的关系.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
[征。
对于二次函数y=ax 2 一(2a - l)x+α - l(α *0) .有下列结论:
①其图象与工轴一定相交;
②若α<0 ，函数在x>l 时，y 随z 的增大而减小;
③元论α 取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上;
④无论α 取何值，函数图象都经过同一个点.
其中正确的结论是一一一一一(填写正确结论的序号).
(新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市中考题)
.36
撞撞
。00.. •
对称是一种数
学美，它展示出整
体的和谐与平衡之
美，抛物线是轴对
称图形，解题中应
积极捕捉、创造对
称关系，以便从整
体上把握问题，由
抛物线捕捉对称信
息的方式有:
(1)从抛物线
上两点的纵坐标相
等获得对称信息;
(2) 从抛物线
的对称轴方程与抛
;
物线被z 轴所截得
的弦长获得对称
信息.
若抛物线上有
两点(X j
. Y O )
，(Xz ，
Y o ) • 则抛物线的对
称轴方程为
: X =
Xj +
X Z
2
思路点拨
因解析式中含有参数，故增强了解决问题的探索性，把相关
量用参数表示，变形、消参、转译是解决问题的关键.
蝠'
二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，现
有以下结论:①abc >0; ②b<a 十c; ③4α +2b 十c>O;
④2c<3b; ⑤α 十b>m(αm+b)(m# l). 其中正确的结论有
1/0
(
).
y
A.l 个
B. 2 个
C. 3 个
D.4 个
x
-.~目E导-ι
iâ~蛋
。00...
二次函数y=
:
αx 2 + bx+c 的图象
与系数有以下
关系:
(1)由抛物线
开口方向确定α 的
:
符号;
(2) 由对称轴
x=
土确定b 的
(天津市中考题)
L.a
思路点拨
由抛物线的位置确定α
，b
，c 的符号，解题关键是对相关代数
式的意义从函数角度理解并能综合推理.
[候'
在平面直角坐标系xOy 中，M (Xl 'Yl) , N (X2 'Y 2 ) 为抛物线
y=ax 2 十bx+c(α>0) 上任意两点，其中Xl<X2.
(1)若抛物线的对称轴为直线x=l ，当Xl'均为何值时'Yl=Y 2 =C?
(2) 设抛物线的对称轴为直线x=t ，若对于工1 十x 2>3 ，都有Yl <Y2
' 求
t 的取值范围.
符号;
(3) 由抛物线
:
与y 轴的交点确定
c 的符号;
(4) 由抛物线
与z 轴支点的个数
确定
ð. =b 2 -
4αc
的符号;
(5) 若抛物线
:
过点(1，0) ，则α+
b+ c =O; 若点(1，
;
α +b+c) 在z 轴的
上方，则α +b+c >
(北京市中考题)
思路点拨
Yl 与Y2 的大小比较可转化为相应的点到对称轴距离的比
较.借助图象或作差比较，本例解法多样.
[旺。
某学生为了描点作出函数y=ax 2 十bx+c( α 手0) 的图象，取自
变量的7 个值:Xl<X2< … <X7' 且X 2 - X l = 工3
X2 = …=X7 •
X6 ，分别算
出对应的y 的值，列表如下:
0; 若点(l，a+b 十
c) 在z 轴的下方，
则
a +b+c<O. 同
理可得a-b+c 的
:
相关意义.
ð. k
为函数的
一阶增量，
ð. k + 1 一
: 岛为函数的二阶
增量.例4 揭示了二
次函数的二阶增量
为一常数的本质.
解函数与几何
结合的综合题，通
但由于粗心算错了其中一个y 值，请指出算错的是哪一个值?正确的值
过求点的坐标，进
是多少?并说明理由.
而求出函数解析式
("宇振杯"上海市竞赛题)
: 是解题的基础;而
分析与解
设工2 - X l=X 3 - X 2= … =X 7 一句=d ，且X i 对应的函数值为
孔，计算~k=Y k+ l-Yk 的值，并由此导出~k+ l _;_ ~k 为一常数，这是解本例的
关键.
充分发挥图形的因
素，数形互助，把证
明与计算相结合是
解题的关键.
.31
aE军噩噩í1H'ilt. *函崖'
设工2 -Xl = X 3 - X 2 = … = X7-X 6 = d ，且ι 对应的函数值为Y i
' 则
/::;k = Yk+l - Yk
= (αXi + l + bX k+l + c) 一(aX k 2 +bXk +C)
=a [ (Xk +d ) 2 - Xk 2J + b[ (Xk +d) - Xk J
=2adx k + (ad 2 + bd ) .
故
/::;k+ l -
/::;k = 2ad ( X H l -
Xk ) = 2ad 2 (常数) .
由给出的数据:
Yk : 51
107
185
285
407
549
717
得
/::;k :
56
78
100
122
142
168
/::;H l -
/::;k :
22
22
22
20
26
由此可见，54 9 是被算错的值，其正确值应该是55 1.
对称性思考
对称无所不在，从自然到艺术，从生活到数学，从几何到代数.对称性思
考，即指在解相关问题时，充分关注并运用对象的对称性.
抛物线是轴对称图形，设A( Xl ' Yl ) ，B (X 2 'Y 2 ) 为抛物线上一组对称
点，则有下列结论:
( l)Yl = Y 2;
b
X l +X2
(2)x= 一一- ---一二
2a
2
[~[. (1)已知二次函数y=ax2+ bx+c 中，函数y 与自变量工的部
分对应值如下表:
Z
。
1
2
3
y
10
5
2
1
2
则当y < 5 时，X 的取值范围是
(江苏省南京市中考题)
ω 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=jt 经
过平移得到抛物线y =it -b ，其对称轴与两段抛物线
2
所围成的阴影部分的面积为(
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
Y,
x
(山东省聊城市中考题)
.38
撞撞。"…
这里呈现的图
:
形，都是现实空间
中不可能出现的图
:
形.这些图形凝聚着
:
许多艺术家、数学
家的智慧和勤奋，
:
是他们故意不按常
: 规精心设计出来的.
:
你能看出这些图形
:
的奇妙之处吗?
悖论画的问世
:
是应用罗素悖论的
:
产物，也是数学在
: 绘画艺术中的成功
运用.
在解决数学问
: 题的过程中，人发
:
生着一系列的心理
活动，无论进行过
: 程是否顺利，都给
:
人以启迪和力量，
:
集中体现在:
(1) 正确思考
:
的力量;
( 2 ) 探索失败
的力量;
(3)
不屈不挠
的力量;
(4) 新奇想法
的力量;
(5)
充满
自信
的力量.
EE且，I~~臼E骂~
(3) 凸五边形ABCDE 的边长依次为al ,a 2 ,a 3 ，a 4
' α 5 . 已知一个关于工
的二次三项式满足:
当x=a l 及x=a 2 + α 3+ α 4 十a 5 时，得到的二次三项式的值均为5 ;
当x=al+ α 2 时，二次三项式的值为归
当x=a 3 十a4+ α 5 时，二次三项式的值为q. 求户-q 的值.
("新知杯"上海市竞赛题)
分析与解
对于(3) ，记二次三项式为j(x)= αx 2 十bx+c( α 手0) ，并设
其图象的对称轴为工二x o .
••
由题意知
j(al)= j(a 2+ a 3 + α4+α5) =5 ，且al 手α 2 十a 3 + α 4 +a 5.
故al+( α 2 十a 3 + α 4+ α 5 )二2x o .
λ (al + α2) 十(a3 十a4+ α 5 )=2x O ,j(al +a2)= j(a 3+ α 4 + a 5).
:. p =q
，得ρ -q=O.
~~~学为训练嘎嘎嘎
穷实
. .
1. 如图，抛物线y= αx 2 +bx+ c( α > 0) 的对称轴是过点(1，0) 且平行于y 轴的
直线，若点P(4 ，0) 在该抛物线上，则4α -2b+c 的值为
(江苏省扬州市中考题)
2. 如图，抛物线y=ax 2 + bx 十C 过点(-1 ，0) ，且对称轴为直线工=1 ，有下列结
论:①abc < O; ②10a 十3b+c > 0; ③若抛物线经过点(4'Yl )与点(-3'Y 2 )' 则
Yl > Y 2 ; ④无论a ,b , c 取何值，抛物线都经过同一个点(
二，0) ;⑤旷十
bm 十α 二三O. 其中所有正确结论的序号是
(新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市中考题)
撞撞。"…
Y.
x
第
1 题图
x
第2 题图
3. 下列关于二次函数y= 一(x-m) 2 +m 2 + l( m 为常数)的结论:①该函数的图象与函数y=
-x 2 的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0 ，1);③当x > O 时，Y 随z 的增大而减小;
④该函数的图象的顶点在函数y 二x 2 十1 的图象上.其中所有正确结论的序号是一一一一一·
(江苏省南京市中考题)
ι 设函数y 二a(x-h) 2 十走(α
，h
，走是实数，α#0) ，当工二1 时，y=l; 当x=8 时，Y 二8 ，(
).
A. 若h=4 ，则α < 0
c.若h=6 ，则α < 0
B.若h=5 ，则α > 0
D. 若h=7 ，则α > 0
(浙江省杭州市中考题)
.39
4-遣苗豆1;'矗霄~~罩.J'l(主~
5. 已知P 1 (x 1 ,y 1 ) ,P 2 (x 2' Y 2 ) 是抛物线y=ax 2 -2ax 上的点，下列命题正确的
是(
) .
A.若
I X l 一11 >
l x 2 - 1
1
，则Yl > Y 2
C.若
I X l- 1 1=l x 2 - 1
1 ，则Yl=Y 2
B . 若
I X l 一11 > lx 2 一11 ，则Yl < Y 2
D.若Yl =Y 2
' 则Xl 二X 2
(福建省中考题)
6. 如图，将函数y=1(z-2)2+1 的图象沿y 轴向上平移得到一条新抛物线，其
2
中点A (1，m)
，B(4 ，η) 平移后的对应点分别为点A' ，B'.若曲线段AB 扫过的面
χ
x
第5 题图
积为9( 图中的阴影部分) ，则新抛物线的解析式是(
).
x
A. Y 寸(x 一俨2
c y=j(z 一俨5
B y=j(z 一川7
D. Y 二÷(z 一川4
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-iu-mY+4 图象的顶
一
2
点为A ，与y 轴交于点B ，异于顶点A 的点C (1，n) 在该函数图象上.
(1)当m=5 时，求n 的值.
(2) 当n=2 时，若点A 在第一象限内，结合图象，求当y 注2 时，自变量z
的取值范围.
第6 题图
(江苏省盐城市中考题)
x
第7 题图
(3) 作直线AC 与y 轴相交于点D . 当点B 在z 轴上方，且在线段OD 上时，求m 的取值范围.
(浙江省金华市中考题)
• •
拓展
. .
8. 不论m 取任何实数，抛物线y=x 2 +2mx 十m 2 +m-1 的顶点都在一条直线上，则这条直线的
解析式为
(山西省太原市竞赛题)
9. 二次函数y= f(x) 的最大值是17 ，且f(5)=f( 一3) = 1 ，则此二次函数的表达式是f(x) =
("希望杯"邀请赛试题)
10. 已知抛物线y=ax 2 十bx+c(a 手0) 与工轴的交点坐标为(-1 ，0) ，(3 ，0) ，当一2~x~5 时'Y
的最大值为12 ，则该抛物线的解析式为
("希望杯"邀请赛试题)
'咽
E~.=.圃~
11. 已知正LAOB 的三个顶点都在抛物线y=it 上，其中O 为坐标原点，则正LAOB 的面
2
积为(
).
A. 4/3
B. 12/3
c. 6/3
D. 24
( " (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
12. 二次函数y= αx 2 +bx+c(a 手0) 的图象的顶点在第一象限，且过点(0 ，1)和点(-1 ，0) ，则5 二
α +b 十C 的值的变化范围是(
) .
A. O<s<l
B. 0<s<2
C. 1<s<2
D. -l<s<l
( 湖北省荆州市竞赛题)
13. 已知A( X j , 2002) ,B(X2 ，2002) 是二次函数y = ax 2 + bx 十5 (a 手0) 的图象上两点，则当X=
Xj+X2 时，二次函数的值是(
).
2b 2
A . 一一十5
α
B1:+5
也α
C. 2002
D. 5
( 浙江省绍兴市竞赛题)
1也. 如图，已知二次函数y =- x 2 +bx 十8 的图象与工轴交于A
，B 两点，与y
轴交于点C ，且B(4 ，0) .
y
D
• •
(1)求二次函数的解析式.
(2) 若点M( 户，0) 是z 轴上的一个动点，则当
I MC - MD
I 取得最大值时，
求户的值.
(3) 如果点E(m ，η) 是二次函数y= -x 2+ bx 十8 的图象上的一个动点，
且LABE 是钝角三角形，求m 的取值范围.
创新. .
x
第14 题图
("希望杯"邀请赛试题)
15 如图，抛物线的顶点为A(h ，-l) ，与y 轴交于点B (0 ，一↓) ，点
y
F(2 ，1) 为其对称轴上的一个定点.
(1)求这条抛物线的函数解析式.
-
p
(2) 已知直线l 是过点C(O ，一3 )且垂直于y 轴的定直线，若抛物线上
x
C
的任意一点P(m ，n) 到直线l 的距离为d ，求证: PF = d.
第1 5 题图
(3) 已知坐标平面内的点D(4 ，3)
，请在抛物线上找一点Q ，使LDFQ 的周长最小，并求此时
LDFQ 周长的最小值及点Q 的坐标.
( 山东省滨州市中考题)
.41
思索，连续不断地思索，以待天曙，渐渐地见得光明... .. . 如果说我对
世界有些贡献的话，那不是由于别的，只是我的辛勤耐久的思索所致.
一一牛顿
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
设二次函数y =ax2 +bx +c (a 手0) ，自变量在没有限制条件时:
b
4ac -b2
当α > O ，x= 一云-时，y 最小值=一丁-一，无最大值;
~a
qa
4ac-b2
当α <O ，x =- 2a 时，y 最大值=-zz一，无最小值.
二次函数的最值应用主要体现在以下方面:
(1)解决实际问题中的最值问题;
(2) 探讨几何图形中相关元素的最值.
睛'
最小值等于
思路点拨
.42
1 6 世纪，欧洲人认为炮弹是沿着折线
飞行的. 后来，意大利著名科学家伽利略更
正了人们的错误认识，他指出炮弹是沿着
一条曲线飞行的，他给这条曲线起名为"抛
物线"
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
已知实数m ，n 满足m-n 2 = 1 ，则代数式m 2 +2n2 +4m-1 的
( 江苏省南通市中考题)
代人消元，建立关于m 或n 的二次函数.
撞撞。00...
设二次函数y=
a(x-h) 2 十k(mζ
x~n)
(1)当a > ü 时，
①若h 在[m ，
nJ 内，则x=h
时，
Y.'Jι = k
;
②
若
h
不在
[m , n J 内，则
z 在
m ，n 两个数中，与
h 接近的数上取得
最小值，而在远离h
的数上取得最大值.
(2 )
当
a<ü
时，可仿上推出相
应结论.
解实际问题中
的最值问题的一般
步骤是:
(1)恰当设自
变量、因变量;
(2) 建立变量
间的函数关系
;
(3) 求出最佳.
函'
当- 2ζz ζ 1 时，二次函数y = 一Cx - m) 2+ m 2 + 1 有最大值
4 ，则实数m 的值为(
A-7
B. )3或-)3
C. 2 或-)3
D.2 或♂或-7
(浙江省嘉兴市中考题)
思路点拨
顶点坐标为(m ，m 2 + 1)，最大值一定在顶点处吗?故应就m
与
2 ::(x ~;;;1 情形全面讨论.
[候'
在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助c
如图所示的直角墙角(两边足够长) ，用28m 长的篱笆围
成一个矩形花园ABCD( 篱笆只围AB
，BC 两边) ，设
AB=x(m).
D
(1)若花园的面积为192m 2 ，求工的值.
(2) 若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是1 5 m 和6m ，要将这
棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细) ，求花园面积S 的最大值.
(四川省成都市中考题)
思路点拨
"要将这棵树围在花园内"影响自变量z 的取值范围.
[候'
如图，直线y=kx 十bC 走，b 为常数)
分别与Z 轴、y 轴交于点A(-4 ，O)
，B(O ，3)
，抛物
线y 二- x 2 +2x+l 与y 轴交于点C.
(1)求直线y= 走x+b 的函数解析式.
y=kx+b
(2) 若点P(x ，y) 是抛物线y=- x2+ 2x+ l 上的任意一点，设点P 到
直线AB 的距离为d ，求d 关于工的函数解析式，并求d 取最小值时点P 的
坐标.
(3) 若点E 在抛物线y=-x 2 十2x 十1 的对称轴上移动，点F 在直线
AB 上移动，求CE 十EF 的最小值.
(山东省滨州市中考题)
思路点拨
对于(2) ，把相关点的坐标用工的式子表示，由垂线段想到面
积、构造相似直角三角形，可生成如下不同解法:
E
~ it Ii
主选2童。"…
直角坐标系中
:
求钱段最值问题的
:
基本方法是:
(1)寻找线段
与相关变量的函数
关系，运用二次函
:
数最佳理论求解;
(2) 通过对称
:
分析，构造相应线
:
段，将问题化归为
"将军饮马"问题.
..43
-
:.~iË'王E串串遭撞事.J~lI冥-
x
图③
图④
对于(3) ，从对称分析切人.
CftCO
在建设"两型"社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经
济，某公司以25 万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100 万元购
买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件
20 元.经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25 元至35 元之间较为合
理，并且该产品的年销售量以万件)与销售单价x( 元)之间的函数关系式为
(40- x (25 :S;;;x :S;;;30) ,
y=125-oh(30< zQ5)
(年获利二年销售收人一生产成本一技资成本)
(1)当销售单价定为28 元时，该产品的年销售量为多少万件?
(2) 求该公司第一年的年获利w( 万元)与销售单价x( 元)之间的函数关
系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损?若盈利，最大利润是多
少?若亏损，最小亏损是多少?
(3) 第二年，该公司决定给希望工程捐款Z 万元，该项捐款由两部分组成:
一部分为10 万元的固定捐款;另一部分则为每销售一件产品，就抽出
1 元钱作
为捐款.若除去第一年的最大盈利(或最小亏损)以及第二年的捐款后，到第二
年年底，两年的总盈利不低于67.5 万元，请你确定此时销售单价的范围.
(湖南省长沙市中考题)
分析与解
对于(2) ，由W=y(x-20)-25 一100 求出W 关于z 的关系
式，解题的关键是分情况讨论.
(1)当x=28 时，y =40 - x =40-28=12( 万件).
(2) 当25:S;;;x :S;;; 3 0 时，W= (40-x) ( x 一20) -25-100= - (X -30) 2 -25 ,
故当z 二30 时，W 最大值为一25 ，即公司最少亏损25 万元.
当3阳《叫，W= ωo 川一阶25一叶-j(工
35川2.5 ，
.44
: 世握
。00...
τ·咽回....:........---.-.
愿司圈
数学的意览
数学到底是一
:
种由行家施展身手
来表演如何化解难
: 题的高度复杂的智
:
力游戏，还是数学
家在探索数学这一
:
独立领域过程中所
带来的发现?为什
么这个看似抽象的
:
学科能够提供打开
:
物理宇宙深层秘密
的钥匙?约翰·查
尔顿·王白金霍恩的
(( 数学的意义》一书
为人们研究这一述
:
人的课题提供了全
新的视角.
故当x = 35 时，W 最大值为一1 2 . 5 ，即公司最少亏损1 2 . 5 万元.
.·.投资的第一年公司亏损，最少亏损
1 2 . 5 万元.
( 3 ) 设两年的总盈利为W 1 万元.
当2 5~x~ 30 时，
W1 =( 40 - x) (x- 2 0 - 1) -12. 5 一1 0 = - x 2 + 61x -862.5,
令W 1 注67. 5 ，则- x 2 →6 1x-86 2. 5 二三67 . 5 ，解得30~x~ 3 1 ，
此时，当两年的总盈利不低于67. 5 万元时，x=30 .
当30<反35 时，W ] = (25 - 0.5x) (x - 20- 1)一川-h tt
35.5x - 547.5,
. ___ _
_ .
1
令W 1 二三67. 5 ，则- :x 2 +35 . 5x - 54 7. 5注67 . 5 ，
2
化简得x 2 一7 1x+ 12 30~0 ，解得30~x~4 1.
此时，当两年的总盈利不低于67 . 5 万元时，30<工运35 .
综上，当两年的总盈利不低于67 . 5 万元时，30~x ~ 35 .
运动与变量
将图形构建于运动之上，探寻运动过程中变化图形内几何元素间的函
数关系，进而在一般性的基础上研究符合条件的特殊性. 解这类问题的基本
策略是:动静结合、数形王助.即:
动中求静，以静制动，通过对变化元素在特殊:位直、极端位直的考察，
把握规律，探寻不变量、不变关系.
动静转化，数形结合，通过建立运动过程中两个变量的函数关系
，用发
展变化的观点研究变化元素的关系，并通过静态的方程解决问题.
号
「制。
(1) 如图，Rt6ABC 中，AC = BC = 2 ，正方形队
CDEF 的顶点D ，F 分别在AC ，BC 边上，设CD 的长度为x ，
F←→~
6ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中
L
I
"" ,
C
D
fI
能表示y 与工之间的函数关系的是(
) .
Y.
y,
y,
。
x
。
x
。
1 2
C
x
y,
。
x
( 山东省开泽市中考题)
E
!:j i~ Ic
撞撞
。00 . . •
运动与变量既
是一类问题，也是
:
一种观点与思维方
法. 运用运动变化的
: 观点，可以把表面
:
看来不同的定理统
;
一起来，可以找到
: 探求几何中定位、
:
最值问题的方法;
更一般地，对一个
数学问题，努力去
:
发掘更多结论和不
同解法，通过弱化
;
或强化条件来探寻
新的结论，这就是
一种重要的思维方
式一一一"动态思维"
.崎
4~章程踊;ÎI'~撞撞闭~~
(2) 如图，已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边
形ABCDE ，其中AF=2 ，BF= 1. 试在AB 上求一点p ，使矩
形PNDM 有最大面积.
(辽宁省中考题)
A
E~可一...，F
Mi一一?忖B
DL一一一~C
N
分析与解
对于(1) ，求函数解析式，确定函数图象，随着工的变形，重叠
部分形状也改变，注意特殊位置、临界位置;对于(2) ，设DN=PM=x ，矩形
PNDM 的面积为y ，建立y 与工的函数关系式，解题的关键是:最值点不一
定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.
y=|z;
工2 一--;:;-(2x 一2)2 =一(X-2) 2 +2
(1 <x~ 2).
(o <x:::;二1)，
(1 )A
NP-BC
BF ._NP-3
1
(2)
由
=一一得一一一一=一，NP= 一τx+5 ，
CN
AF ." 4- x
2 ,-
-
2
y=x( -
~x+5) 二-t什5z=-f(z一川山
(2 ~x~ 4).
••• y 随z 的增大而增大，
.·.当户4 时，y 有最大值为- ~ (4-5) 2+12.5=12
~~~ 学为训练
嘎嘎嘎
• •
穷实
. •
: 植撞。"…
A~
~
1. 如图是一座拱桥，当水面宽AB 为12m 时，桥洞顶部离水面4m ，已
知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为z 轴，建立平面直角坐标系.
若选取点A 为坐标原点时的抛物线的解析式是y=-t(z 一们
av
飞、~
A l-一12m-一一-I B
第
1 题图
4 ，则选取点B 为坐标原点时的抛物线的解析式是
(浙江省绍兴市中考题)
2. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经
过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表:
温度
t rc
植物高度增长量
l / mm
科学家经过猜想，推测出
l 与t 之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度
为
OC (注:温度越适合，植物高度增长量越大).
(湖北省成宁市中考题)
..崎
EZ噩噩理圄
3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在z 轴正半轴上，顶点C 的
ty
坐标为(4 ，3) ，D 为抛物线y=-x 2 + 6x 上一点，且在z 轴上方，则DBCD 面
积的最大值为
(吉林省中考题)
ι 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛
第3 题图
B
x
物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度以单位:m) 与足球被踢出后经过的时间t( 单位: s)
之间的关系如下表:
|
t
10
1 1
1 2
1 3
1 415
1 6171
...
1
|
h
1
0
1
8
1
14
1
18
I
20
I
20
I
18
I
14
I
. . .
I
下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m; ②足球飞行路线的对称轴是直线t=; ; ③足球被
踢出9s 时落地;④足球被踢出1. 5s 时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是(
).
A.1
B. 2
c. 3
D.4
( 山东省临沂市中考题)
5. 已知二次函数y = x 2 - 2mx(m 为常数)
，当一1 ::Çx ::Ç 2 时，函数值y 的最小值为一2 ，则m 的值
是(
).
3
A.
~ 2
B. J2
c;或z
D - 7或在
(四川省乐山市中考题)
6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4 的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从
。出发，沿z 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，运动到直线1 与正方形没有交点为止，
设直线t 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t( 秒) . 下列能反映S 与t 之间函
数关系的图象是(
) .
y,
第6 题图
x
S
。I 4 8
A .
S
161- --
B.
S
。I 4 8
C
7. 已知函数y 二x 2 + bx + c(b ，c 为常数)的图象经过点( - 2 ，4) .
(1)求b ，c 满足的关系式.
s
161- --
。I 4 8
D.
(甘肃省兰州市中考题)
(2) 设该函数图象的顶点坐标是(m ，川，当b 的值变化时，求η 关于m 的函数解析式.
(3) 若该函数的图象不经过第三象限，当一5 ::Çx ::Ç 1 时，函数的最大值与最小值之差为
1 6 ，求b
的值.
(浙江省台州市中考题)
..41
aE噩噩噩噩噩噩
••
拓展. .
8. (1) 函数y=2x 2 + 4Ixl 一1 的最小值是一一一一一·
(浙江省竞赛题)
(2) 函数y=lx 2 -1
1 十Ix+21 (-3<x<0) 的最小值与最大值分别是一一一一一·
(湖北省襄阳四中自主招生试题)
9. 当α 取遍。到5 的所有实数值时，满足3b = α (3a -8) 的整数b 的个数是一一一一一·
(全国初中数学联赛题)
b \
^
b
10 设a ,b ，c 是t0，.ABC 的三边长，二次函数y=(α-E)z 2
cz -G-E在工=1 时取最小值一;
b ，则t0，.ABC 是(
) .
A . 等腰三角形
B . 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 直角三角形
( 全国初中数学联赛题)
11. 已知m ，n 是关于工的一元二次方程x 2 -2tx +t2 -2t + 4 二O 的两实数根，则(m+2)(n+2) 的
最小值为(
).
A.7
B.ll
C.12
D.16
( 四川省四川大学附中自主招生试题)
12. 已知两个二次函数Yl 和Y 2 ，当z 二α (α > 0) 时'Yl 取得最大值5 ，且Y 2 =25 ，又川的最小值为
- 2'Yl 十Y 2= X 2 十16x 十13 .求a 的值及二次函数Y l 'Y 2 的解析式.
13. 如图，抛物线Y = ax 2 - 3ax 一句的图象经过点C (0 ，2) ，交z 轴于点
A ，B(点A 在点B 左侧) ，连接BC ，直线y 二是x+ lC走>0) 与y 轴交于
点D ，与BC 上方的抛物线交于点E ，与BC 交于点F .
• •
(1)求抛物线的解析式及点A
，B 的坐标.
EF
(2) ~一是否存在最大值?若存在，请求出其最大值及此时点E 的坐
DF
标;若不存在，请说明理由.
( 天津市竞赛题)
y
x
第13 题图
( 山东省东营市中考题)
1也. 当一1<x < 2 时，函数y = 2x2 - 4ax+ α 2+ 2α + 2 有最小值2 ，求α 所有可能取的值.
( 山西省太原市竞赛题)
'咽
钻研数学一一一这是一种需要全部灵活性和刻苦耐劳的智力体操.
一一维纳
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
二次函数y= αx 2+ bx+ c( α#0) ，令y=O ，则得αx 2 + bx +c =0 ，这是
一个关于工的一元二次方程，它们的联系表现在:方程实根的个数与分布、抛
物线与工轴交点的个数及函数图象的交点问题的探讨都可转化为由根的判
别式A 来讨论，特别地，设A ( Xj ,0) ,B (X 2 ，0) 为抛物线与工轴的两个不同交
点，则
(1) X] 十X2 - 一旦，X1 X 2 = 三;
αα
t b 2 - 4ac
(2) AB =
1 工2- X 1
1
v
v
…
w
| α
|
169 0 年，瑞士数学家雅科布
· 伯努利在德国《教
师学报》上提出如下问题
: 一根柔软而不能伸长的绳
idJ二.
子自由悬挂于两个固定点，求这绳子所形成的曲线.
这就是不同于抛物线的悬链线. 悬链线在悬索桥搭
建、架空电缆敷设等工程建设活动中有广泛的应用
.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
面'
(1)若函数y=mx 2 +Cm+ω + jm + 1 的图象与工轴只有
一个交点，则m 的值为
(山东省东营市中考题)
(2) 已知直线y=bCb 为实数)与函数y= IX2 一位+ 3
1 的图象至少有三
个公共点，则实数b 的取值范围是
(海南省竞赛题)
思路点拨
对于(1) ，函数的图象确定吗?对于C 2) ，作出函数图象，借助
图象解题.
iê~章
。00.. •
宁宙学家保罗
·
:
戴维斯曾说，所有
:
科学都是对统一性
的寻找.
函数、方程、不
:
等式是刻画现实世
:
界的三种有效模型.
函数视角下的
方程、不等式，本质
是将所研究的方
:
程、不等式这些局
:
部的问题直于函数
:
的整体性质中把
握，将方程的根、不
:
等式的解集这些静
态的结果放在动态
变化过程中研究.
'咽
aE军噩噩匾罩'
是Dt毒
。00..'
次
问
函
七
直
对
确
位
立
几
与
取
这
坐
以
问
二
布
用
们
在
出
由
致
建
的
路
一
论
上
素
L
决
制
分
刊
和
W
K
M…
轧
机
制
叫
一
结
象
性
灿
解
根
归
七
点
骤
系
图
图
来
ι
圳
由
U
M
M
川
算
i
ι
较
实
忖
观
步
标
数
数
约
却
在
构
相
点
仲
J
A
形
如
程
川
的
本
坐
函
函
的
等
架
形
于
条
化
辅
的
方
题
数
基
角
应
定
直
不
何
图
决
一
标
数
题
X
睛=8
(1)抛物线y=ax 2 +bx 十C 的顶点为D(-1 ，
J
2) ，与工轴的一个交点A 在点(-3 ，0) 和(一2 ，0) 之间，其部分
/:
图象如图，则以下结论:①b 2 - 4α c < O; ②α +b 十c <O ; ③c -a 才产τ丁。
=2; ④方程ax 2 十bx+c-2=0 有两个相等的实数根，其中正
确结论的个数为(
D.4
C. 3
B. 2
A. 1
(湖北省孝感市中考题)
(2) 设关于工的方程αx 2 十(α +2)x 十9α=0 有两个不相等的实数根
BG>;
X, ，X 2
' 且x ，< 1 <x2
，那么α 的取值范围是(
2
2
A. 一一<α < 一
7 --- - 5
D. 一旦<a <O
11
Cα <
:
(全国初中数学联赛题)
对于(1) ，由形到数挖掘隐含信息，把结论④转化为函数问
题;对于(2) ，因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即
求对应的二次函数与工轴的交点满足x J< l <幻的a 的值，注意判别式的隐
含制约.
[锐'
已知对于任意实数α ，关于z 的方程工2 十(α - l) x + αb-2=0
都有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.
思路点拨
(世界数学团体锦标赛试题)
由条件得
.::.x > O ，这是一个关于α 的二次不等式，此不等式
对于任意实数α 都成立，须满足怎样的条件?
面'
已知二次函数y=x 2 一位+3α + 2(α 为常数) ，在同一直角坐
标系中，若该二次函数的图象在工::( 4 的部分与一次函数y =2x- 1 的图象
有两个交点，求α 的取值范围.
思路点拨
(江苏省南通市中考题)
抛物线与直线(线段)的公共点问题可转化为方程根的个数、
根的分布问题，需综合运用判别式、临界位置、几何直观等知识和方法.本例
有下列不同的解题切人点.
(1)根据图象有两个交点，运用临界位置，建立不等式求解;
(2) 将问题转化为一元二次方程根所满足的条件，建立不等式求解;
.50
思路点拨
(3) 将问题转化为定抛物线(定区间内)与动直线的交点问题，如由条件
得工2 →4x 十3a 十2 二2x 一1 ，即X2 -6x =-3α-3 ，则抛物线Y =X2 -6x 与
动直线y = -3α-3 在x ~ 4 的部分有两个交点.
道'
D
y.
A
如图，在矩形AOCD 中，把点D 沿AE 对
折，使点D 落在OC 上的F 点，已知AO=8 ，AD=10.
(1)求F 点的坐标.
E
(2) 如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛
。
F
C
x
物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过点
O ，F ，且直线y 二6 x - 36 是该抛物线的切线，求抛物线的解析式.
35
(3) 直线y=k(x-3) 一
与(2) 中的抛物线交于P
，Q 两点，点B 的
4
35 \
,_ _~
1
1
坐标为(3
，-
Ù4J) ，求证
: P-B + 面为定值(参考公式:在平面直角坐标系
中，若M( Xj
，Y j ) , N(X 2 'Y 2 )' 则M
，N 两点间的距离为
I MNI=
V ( X2- X j)2+ (Y 2---:- Y j)2 ).
( 湖北省黄石市中考题)
分析与解
对于(3) ，设P (Xj ,Y j) ,Q(X 2 'Y 2 )' 由题意不妨设工j > 3 ，
1
1
x2< 3 ，把
+
用关于Xj ,X2 'Y j
' 川的式子表示，通过消元、根与系数关
PB ' QB
系最终用走的式子表示.
(1) F(6 ,0).
(2) 设抛物线的解析式为y= αx(x - 6)
，
[ γ = a x ( x -6) ,
由扩
得a x2 一(6α + 6)x + 36=0
，
lY = 6x - 36 ,
0: ~=
(6α + 6) 2 -4α X 36=0 ，二α 二1，
故所求抛物线的解析式为Y= X2 - 6x.
r
35
| γ =k( x -3) 一，
( 3 )
由扩
4
lY=X 2 -6工，
35
得工2 一(6 + 是) x+ 3走+ 7=0 ，
35
λ X j 十x 2 =6 + 走
，Xj • x 2 =3走+ z -
35
35
又Y j = 走( X j 一3) -
~4- ,Y 2 = k (X 2 - 3) - -4 '
y
x
噩噩S8lW理矗
主!ã'童
。00...
心理学家卡尔·
邓克尔提出的"范
围逐渐缩小的汇综
的模式"，把解题心
理活动分为以下三
个层次:
(1) 一般的解
决:确定解决问题
的大致范围，明确
:
解题的总体方向;
(2) 功能的解
决:按可能的方向
缩小范围，寻找符
合方向、发挥解题
功能的途径;
(3) 特殊的解
决:即确定解题的
:
运算程序或推理步
;
骤等过程.
.51
aE重mUC'l噩噩噩11t]J，\-
l
·.土+ _1一
1
+
PB
υH
Q 口。
Q t:;。
~-
JCXj - 3) 2+ (Y l + 04.1)"
JC X 2 一3)2 + (Y 2 十Ù4
.1 ) ι
1
十
1
VCXj-3)2+ 走2CXj-3)2
，) C x 2-3)2+ 走2C X 2- 3 )2
二
1
土亏十歹~~ )
v' 1 十走2
'Xj -j j-X2
1
X j- X 2
d丰V
3CXj+X2)-XjX2-9
1
J CXj 十X2)2 -4Xj X 2
d平V
3CXj 十X2)-Xj X 2-9
1
V1 +k 2
d丰F
G-25
4
1
1
'. _-_ +一-为定值.
PB . QB
系统化原理
系统化原理，即在解决问题的思维过程中，将分散的、孤立的、零碎的
数学知识方法，经过科学的整合，建立有层次的、有顺序的相互联系的整体
性方法系统.函数、方程与不等式，相互联系且在一定条件下可相互转呜t
圃'
设m ，n 为正整数，且m 手2 ，如果对一切实数
t ，二次函数y=
X2 +C3-mt)x -3mt 的图象与工轴的两个交点间的距离不小于12t+n
1 ，求
m
，n 的值.
(全国初中数学联赛题)
分析与解
由x 2 +C3 →mt ) X - 3mt = 0 ，得Xj =一3 ，X 2 =mt ，又由题中
条件得Imt 十31 二三12t+叫，因此不等式对任意实数t 都成立，故将问题转化
为判别式结合正整数求解.
由Imt 十31 二三12t+n
1 ，得Cmt 十3)2 二三C2t+n)2
，
即Cm 2 -4)t 2 十C6m-4n)t+9-n 2 二三O.
由题意知，m 2 -4手0 ，且上式对一切实数t 恒成立，故
(mz 寸>0 ，
t::,.= C6m 一切)2 -4Cm 2 -4) C9-n 2 ) ~O .
故{工'或口'
fm>2 ,
即4
l4Cmn -
6) 2~ 0 ，
i以
.52
撞撞
。00 .. •
--且-...-咽幅--.
明确关系是函
:
数的永恒话题.函数
:
思想.日本著名数学
教育家小仓金之助
曾说，数学教育的
核心是函数概念的
概念中蕴含着"变
与不变""运动与静
止""局部与整体"
等对立统一的辩证
中
如图
，y = ax 2
+bx+c 佳恒为正
需满足的条件是:
「。，
/::"=b 2 -4ac<O.
这表明，运用
二次函数与二次方
程之间的联系，可
进一步探讨不等式
问题.通过图象，可
直观得到一元二次
不等式的解集.
Ea矗匾理·国
~~~学13 训练嘎嘎嘎
穷实. .
1. 己知二次函数y= αx Z +bx 十c(α
，b ，c 是常数，α 芋0) 的y 与工的部分对应值如下表:
|
x
I -5 I -4 I - 2 I
0
I
2
I
|
y
I
6
I
0
I -6 I - 4 I
6
I
下列结论:
①α>0;
②当x=-2 时，函数最小值为
6;
③若点(-8'Yl)' 点(8 ，yz) 在二次函数图象上，则Yl<YZ;
④方程axz+bx 十c=-5 有两个不相等的实数根.
其中，正确结论的序号是
. (把所有正确结论的序号都填上)
(山东省泰安市中考试题)
2. 抛物线y= αx Z +bx+c( α
，b ，c 为常数，α <0) 经过A(2 ，0)
，B(-4 ，0) 两点.下列四个结论:
①一元二次方程ax Z 十bx+c=O 的根为xl=2 ，工z=-4;
②若点C( - 5'Yl) ，Ð( 7r 'Y z ) 在该抛物线上，则Yl <Y Z ;
③对于任意实数t
，总有at Z + bt :S;;;α - b;
④对于α 的每一个确定值，若一元二次方程αt 十bx 十c=p(户为常数，户>0) 的根为整数，则户
的值只有两个.
其中正确的结论是
(填写序号) .
(湖北省武汉市中考题)
3 . 设二次函数Yl= α (x - X 1) (x - x Z) (α#0 ，工1 手X Z ) 的图象与一次函数y z =dx 十e (d#O) 的图
象交于点(Xl'O) .若函数Y=Yl 十川的图象与工轴仅有一个交点，则(
) .
A. a(xl - xz) = d
C . α ( X l - X Z)Z = d
B. α (X z - xl) = d
D. a( X l + 二~ Z ) Z = d
也. 关于二次函数y= αx 2 一句x-5(a 芋0) 的三个结论:
①对任意实数m ，都有x l = 2+m 与x 2 = 2 - m 对应的函数值相等;
4
②若3 :S;;;xζ4 ，对应的y 的整数值有4 个，则-E<αζ -1 或1 :S;;;α<5 ;
③若抛物线与Z 轴交于不同的两点A ，B ，且AB :S;;;6 ，则α<- 2或ρ 1
其中正确的结论是(
).
A.①②B.①③
C.②③
D.①②③
(浙江省杭州市中考题)
(四川省南充市中考题)
..53
aE军mUllJf)军.1L ~ijt
5. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=4x +4 与工轴、y 轴分别交于点A ，B
，抛物线y=ax 2 +bx
一切经过点A ，将点B 向右平移5 个单位长度，得到点c.
(1)求点C 的坐标.
(2) 求抛物线的对称轴.
(3) 若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.
(北京市中考题)
6. 已知二次函数y=mx2 +6 /3x+m 十4 的图象在直线y=-2 的上方，求m 的取值范围.
("希望杯"邀请赛试题)
• •
拓展
. .
7 设m 是整数，且方程3什mx
凹的两根都大于一;而小于二则m=
(全国初中数学联赛题)
8. 已知二次函数y =ax 2 +bx +c (其中α 是正整数)的图象经过点A(-1 ，4)
，点B(2 ，1)，并且与z
轴有两个不同的交点，则b+ c 的最大值为
(全国初中数学联赛题)
9. 己知点A
，B 的坐标分别为(1，0)
，(2 ，0) ，若二次函数Y =
X 2 + (α -3)x+ 3 的图象与线段AB
只有一个交点，则α 的取值范围是
(浙江省宁波市重点中学自主招生试题)
10. 已知二次函数y=ax 2 +bx +c 的图象经过(一3 ，0) 与(1，0) 两点，关于工的方程αt 十bx+c+
m=O(m > O) 有两个根，其中一个根是3. 则关于z 的方程αx 2 +bx+c+n =0(0 < η < m) 有两
个整数根，这两个整数根是(
).
A.-2 或0
B.-4 或2
C.-5 或3
D.-6 或4
(贵州省贵阳市中考题)
1 1. 方程
I x 2 -11=(4 →2点)( x +2) 的解的个数为(
).
人
1 个
B.
2 个
C. 3 个
D.4 个
(全国初中数学联赛题)
12. 若对所有的实数x ，x 2 十ax + α 恒为正，则(
).
A. a < O
B. a > 4
C. a < O 或α > 4
D.0< a < 4
(江苏省竞赛题)
'饵
EZ圈圈~自
13. 已知抛物线y=x 2 十ρx+q 上有一点M(x o 'Yo) 位于z 轴下方.
(1)求证:此抛物线与z 轴交于两点.
(2) 设此抛物线与工轴的交点为A (XI ,0) ,B (X2 ，0) ，且工1 <口，求证:XI <X O <工2 .
( 天津赛区竞赛题)
1ι 已知抛物线y =ax 2 +bx +c (b<O) 与z 轴只有一个公共点.
••
(1)若抛物线与工轴的公共点坐标为(2 ，0) ，求a
，C 满足的关系式.
(2)设A 为抛物线上的一个定点，直线l :y=kx+l 一走与抛物线交于点B
，C ，直线BD 垂直于
直线y=-l ，垂足为D. 当是=0 时，直线l 与抛物线的一个交点在y 轴上，且6ABC 是等
腰直角三角形.
①求点A 的坐标和抛物线的解析式;
②证明:对于每个给定的实数走，都有A ，C ，D 三点共线.
( 福建省中考题)
创新. .
15 如图，已知直线AB:y=kx 十2川与抛物线y=tz2 交于A ，B 两点
(1)直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 的坐标.
y,
(2) 当走= -j时，在直线AB 下方的抛物线上求点p ，使6ABP 的面积等
于5.
(3) 若在抛物线上存在定点D 使ζADB=90 0 ，求点D 到直线AB 的最大距离.
x
第1 5 题图
(湖北省武汉市中考题)
..55
代数最
有什么科学比数学这门科学更雄伟，更卓越，对人类更有用，更令人
崇尚及更富有论证性呢?
一一富兰克林
~~~知识纵横嘎嘎嘎
撞撞。"…
在生活实践中，人们经常面对带有"最"字的问题，如在一定的方案中，花
;
数学中最大值、
费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等;解数学题时，我们也常常碰到求某
; 最小值问题，运用到
个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最
值问题的方法归纳起来有如下几点:
1.运用配方法求最值;
2. 构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值;
3 . 建立函数模型求最值;
4. 利用基本不等式或不等分析法求最值.
..... .....
…...........
……….......
........….....
…….. .•••••......
…........... .•.....
……............. .
….....……….
…..............
........ ...... .
...…....
现实世界描贮翔角与思维
••••
该书选择了寻优与优化、数据与规律、发展与
变化、计划与规划、随机与概率、风险与决策、竞争
与博弈、模拟与仿真、模式与分类等人类在社会活
动和科技生产活动中经常需要考虑的重要问题，从
数学的视角进行分析思考，给出解这些问题的定量
化方法和途径.
:
社会实践、生活实际
:
中所体现出来的就
:
是最优化思想，所谓
:
最优，就是我们所期
望的目标量能达到
:
最大或最小.
一次函数、反
:
比例函数并无最
:
值，但当自变量取
:
值范围有条件限制
时，最值在图象的
:
端点处取得;定义
;
在全体实数上的二
:
次函数的最值在抛
:
物线的顶点处取得
~~~例题求解嘎嘎嘎
[锐'
实如，y 满足2X2 -
6x 十y 2 =0 ，如2 + y 2 + 2x 的最大值
是
(江苏省竞赛题)
思路点拨
解题的关键是由y 2 二三0 可得z 取值的隐含制约.
.56
-.、
5 x 2 +30xy + 51 y 2
l 例@
分式
更
?
的最小值为(
a"""
/-.1 --"'" X ~ 十6xy+ lly 2
A. -5
B. -3
c. 5
D.3
(山西省太原市竞赛题)
思路点拨
原式=5-?
4y 2
?
x 2 +6xy 十lly2
[制~.
(1)设a ，b 为实数，求代数式α 2 +ab+b 2 -a 一2b 的最小值.
(全国初中数学联赛题)
(2) 实数工
，y
，z 满足x+y+z=5 ,xy+yz+zx =3 ，求z 的最大值.
(全国初中数学联赛题)
思路点拨
对于(1) ，引人参数设α 2 十ab +b 2 -a -2b =t
，将等式整理成
关于α 的二次方程α 2 + (b -l)a + (b 2 -2b-t) =0 ，利用判别式求最小值;对
EE调I.，=.臼E忌~
幢幢。"…
简单分式函数
求最值的基本方
法有:
(1)形如y=
x + b
一一一一的函数，从分
cx+d
离整系数入手;
(2)
形如y=
于(2)
，x+y 二5-z
，xy=3-z(x 十y) =3-z(5-z) =Z2 -5z 十3 ，运用韦达
; 旷+ bx + c
的函
: dx 2+ex+ f
定理构造方程.
:
数，通过变形使得只
:
有分母中含自变量，
:
再对分母运用自己方
~法;或去分母，将问
: 例。
(1)已知y= 汀-x + . I x 一云的最大值为α ，最小值为b ，求
: 题转化为关于工的
_....
"
....... "
"--..j / ~M J
v
......
........,
'\J
中
2
a 2 十b 2 的值.
(" (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
(2) 求使dτ丰4+ V (8-x)2 十16 取得最小值的实数工的值.
(全国初中数学联赛题)
一元二次方程，运用
: 今二三0 求最值.
与整数相关的
最值称为离散最值，
解离散最值问题，常
用到整数性质、放
思路点拨
解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方
:
缩、分解等知识方法.
法等基本方法外，还有下列常用方法:平方法、判别式法、运用根式的几何意
义构造图形等.
[~[Ð 已知实数工
，y 满足关系式xy-x-y=l ，求X 2 +y 2 的最小值.
(全国初中数学联赛题)
解法1
由X 2 +y 2 二三2xy ，xy-x-y=1 得不等关系，先确定xy 的取值范围.
.:( X +y) 2 二三4xy
，x + y=xy-1
，
:.( xy_ 1) 2 二三4xy
，即(xy) 2 -6xy+l 二三0
'，
解得xy 二三3+2 .)2或xy ~ 3-2 .)2.
.:X 2 +y 2 =(X 十y) 2 -2xy=(xy_ 1) 2 一2xy = (xy-2) 2 -3 ,
求代数最佳时，
需分析问题结构特
:
征，恰当变形;把握
j
条件的内在联系及
隐含关系，这样才能
深刻理解、把握本
质、开阔思路.
.51
aE理理理匮盟军罩IIÆ噩噩.
人当xy=3-2 j2时，X 2 + y 2 取得最小值为6 -4 j2 .
解法2
条件等式中含有xy ，x+y ，构造方程求最值.
设工十y=t ，则xy 二1 十t ，
:. X ，y 为一元二次方程a 2 -ta+1 +t 二0 的两根，
由A二(-t) 2 -40 +t) 二三0 得t 二三2 十2 j2或t ~2-2 j2 .
.: X2 +y2 = (X+y) 2 -2xy =t2 -2(t + 1) = (t- 1) 2 -3 ,
λ 当t=2-2 12 时，t+y2 的最小值为6-412.
逐步调整法
逐步调整法是解离散最值问题的有效方法，即先通过逐步调整变量之
间的关系，找出取到最值所需满足的必要条件，然后求最佳.
圃'
已知XI ,X2 ' ...，工40 都是正整数，且工1 +X2+ … +X40 =58 设
xi+x ~ + … +丘。的最大值为A
，最小值为B ，求A 十B 的值.
(全国初中数学联赛题)
分析与解
因为把58 写成40 个正整数的和的写法只有有限种，故z f 十
X ~ + …+丘。的最小值和最大值是存在的.
不妨设工I~X2 ζ … g二工40 ，若X I> 1，则X j 十X 2=(XI- 1) +(X2+ 1) ,
且(工1 - 1) 2+ (工2 十1) 2 = xi+xi +2(工2 - X I) 十2 >xi 十五.
所以，当用工) -1，X 2+ 1，町，… ，X40 来代替XI
，X2 ' … ，X ω 时，它们的和仍
为58 ，但它们的平方和却增大了，这与工1 ,X 2' … , X40 已使得xi+ 五十… +
丘。取得最大值矛盾，故Xl =1. 同理，X2 = X 3 = … = X39 =1.
于是，当XI ,X2' … , X39 均为
1 ，X 40 =
1 9 时，xi + x ~ + … +X~O 取得最大
值，即A=1 2 + 1 2 + … + 1 2 十19 2 =400.
39个
若存在两个数Xi' 町，使得Xj - Xi 二三20ζi<j ~40) ,
则( Xi + 1) 2 +( Xj 一1) 2 = X7+X; - 2(X j - X i 一1) <X 7+抖，
所以，当用Xi + 1 与X j -l 来代替X i 和鸟，其他数不变时，它们的和仍然是
58 ，但它们的平方和却减少了，这与zi 十X~+ … +X ~。取得最小值矛盾.
所以，当zi 十X~+ … +丘。取得最小值时，X I' 工2 ，… ，X40 中任意两个数的
差都不大于1.
于是，当XI =X2= … =X 22 二1，工23 =X 24 = … =X 40 =2 时，刘十X ~+ … +
丘。取得最小值，即B 二1 2 十1 2 + … + 1 2 + 22 + 22 + …+22 =94.
22个
1 8个
故A 十B=494.
.58
iê'量
。0 0...
伊朗籍斯坦福
大学数学教授米尔
扎哈尼于2014 年获
得菲尔兹桨，她是首
:
位女性菲尔兹奖得
:
主. 1994 年，当米尔
:
扎哈尼
1 7 岁时，她
:
在国际数学竞赛中
:
获得了一枚金牌，在
竞赛成绩的激励下，
米尔扎哈尼深深地
爱上了数学.她说，
为了发现数学的美，
一个人必然要花费
一些精力.
Eiì&='盟lIIiì
)'-)'-)'-学为训练嘎嘎嘎
• •
穷实. •
1. 已知关于z 的方程x 2 +2mx 十m 2 十3m-2=O 有两个实数根Xl
，X 2 ' 则Xl (X 2 + X l) + 斗的最
小值为
( 广东省广州市中考题)
2. (1)设工为正实数，则函数y =z 2 -z+1的最小值是
.
工
(2) 函数y 二-X 一旦+18(x>O) 的最大值是
工
3. 已知y= Jx
.. 1+♂=37 ，则y 的最大值与最小值的差为(
).
A.2 j2 - 1
B.4-2j2
C.3-2 j2
D.2j2 - 2
(湖北省鄂州高中自主招生试题)
4. 已知m ，n ，k 为非负实数，且m-k +1=2k +n=l ，则代数式2走2 -8走+6 的最小值为(
).
A. - 2
B. 0
C. 2
D.2.5
(新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市中考题)
3x +5
5. (1) 求函数y= 一一一在3 :::;;;x:::;;; 5 时的最值.
./
x-2
3x 2 十3x+ 4
(2) 求y =
~
I
咱的最大值.
••
拓展. •
6. 若实数x ，y 满足2X 2 十3xy 十2y 2 = 1，则x + y 十xy 的最小值为一一一一一·
(新疆维吾尔自治区竞赛题)
7. 已知实数工，y 满足x 2 -2x + 4y = 5 ，则x+ 2y 的最大值为一一一一一·
(江苏省江阴一中实验班预录试题)
8. 已知实数x ，y ，z 满足z 十y + z = l ，M = xy 十2yz 十3 zx 的最大值为(
) .
1
A. =
2
2
B 3
c;
D. 1
(全国初中数学联赛题)
.59
aE噩噩噩lI]jJi噩噩5'E，~.
9. 设IXi l< l，i= 1，2 ，… ，n ，若IX11 十
I X 21 +…十Ix n l=2016+1 工1 十X2+ … +X n
1 ，则n 的最小
值为(
).
A. 2018
B. 2017
C. 2016
D. 2015
(北京市竞赛题)
10. 记S(n) 为n 的各位数字之和，例如5 (2019) 二2+0+1 十9=12.
(1)当10<n<99 时，求
n
的最小值.
S(η)
(2) 当100<η<999 时，求
n
的最小值.
S(n)
(3) 当1000<n<9999 时，求
n
的最小值.
S(n)
(上海市上海交通大学附中自主招生试题)
1
15
1 1. 已知实数x
，y 满足X 3+ y 3+ 一(X 十y) = -....,- ，求z 十y 的最大值.
4 ,--
,
J
'
2
(全国初中数学联赛题)
JX4 -3X2 +9 _JX 4 -4x2 +9
12 . 设f(x)='
--
,-
• (x > O).
3己
(1)将f(x) 化成
_:_---====;=::;::: (a ，b 是不同的整数)的形式.
Vg 2 (X)+ α+ v' g 2 (X) +b
(2) 求f(川的最大值及相应的工值.
("希望杯"邀请赛试题)
.60
品
统计与概率*
一切自然之物皆为艺术，只是你未领悟:一切偶然之事皆有主宰，只
是你未看清;一切杂乱之绪皆成和谐，只是你未理解.
一一亚历山大·蒲柏
~~~知识纵横嘎嘎嘎
在自然界和人类社会中，严格确定的现象十分有限，不确定性现象却是
大量存在的，而概率正是对随机现象的一种数学的描述，数学中用概率来表
示事件发生的机会大小.
在具体的计算中，常用到画树形图、列表、穷举等方法.
撞撞。"…
图中阴影部分
的面积怎样计算?
:
科学家常用一种称
统计与概率互为基础，概率这一概念是建立在频率这一统计量稳定性的
:
为蒙特卡洛的方法.
基础上的，而统计推断、估计等统计方法的科学性有赖于概率理论的严密性.
游戏与数学密不可分，数学游戏为许多古老和新
兴的学科，如图论、拓扑学、博弈论、概率论等提供了
素材，促进了这些学科的诞生与发展.
概率论起源于一个关于赌博的游戏，合理分配赌
注问题成为概率论创立的基本问题之一.
~~~例题求解嘎嘎嘎
[征。
已知①0 的两条直线AC ，BD 互相垂直，分别
以AB ,BC ,CD ，DA 为直径向外作半圆得到如图所示的图形.
现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概
率为叫尖落在①O 内的概率为
( 四川省成都市中考题)
这种方法是由
:
数学家乌拉姆所创
立的.由于这种方法
使用随机数，与赌
:
博的随机性有关
:
联，而世界最著名
:
的赌城之一是摩纳
:
哥的蒙特卡洛，故
c '
这一方法被命名为
蒙特卡洛方法.
思路点拨
所求的P j 'P 2 与图形面积相关，解题的关键是求出阴影部
分面积，不妨设①0 的半径为r.
..62
E;.+~ *KHiI
幢幢
。00.. •
近年中考、竞
:
赛中出现了概率与
方程、概率与函数
:
等综合问题.解这类
问题的策略是运用
:
相关数学知识，最
终回归到求概率的
:
基本方法中.
概率均等的游
戏才是公平的，否
则就是不公平的，
;
解答这类问题的关
:
键是求出游戏各方
的概率.
计算概率的常
用方法有:
(1)实验法;
(2) 穷举法;
(3)
画树状图
:
或列表;
(4)
由面积计
算几何概型;
(5) 来法原理、
;
加法原理;
(6) 反面求解.
一项"过关游戏"规定t 在第n 关要掷一颗般子"次，如果这n
3n
次抛掷所出现的点数之和大于一，则算过关;否则不算过关，现有下列说法:
4
['C8
35
①过第一关是必然事件;②过第一关的概率是一·③可以过第四关;④过第五
一
36'
关的概率大于零.
其中，正确说法的个数为(
D. 1
(天津市竞赛题)
[售[Ð
杨华与李红用5 张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图①
所示，背面完全一样，将它们背面朝上洗匀后，同时抽出两张.
c. 2
在理解"过关"意义基础上，逐步计算相关概率.
B. 3
A.4
思路点拨
规则如下:
当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1 分;
当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，李红得1 分.
问题:游戏规则对双方公平吗?请说明理由;若你认为不公平，如何修改
游戏规则才能使游戏对双方公平?
(江苏省南通市中考题)
/~~
A
〕
肝
QV
公
)
韧
A
;ζ》
QA
图②
思路点拨
游戏对双方公平是指双方积分值相同，解题的关键是分别求
出杨华、李红的得分.
图①
[候'
一场数学游戏在两个学生甲、乙之间进行裁判在黑板上先写出
正整数2 ，3 ，…，2006 ，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其
中的一个数(即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去另一个数，如此下去).
若最后剩下的两个数互质，则判甲胜，否则，判乙胜.按照这种游戏规则，求甲
获胜的概率.
.63
(四川省竞赛题)
解题的关键是依据裁判擦去的数的奇偶性进行讨论.
分析与解
aE噩噩噩íl'vJili署5JilØl
2 ，3 ，…，2006 中有1002 个奇数，1003 个偶数. (1)若裁判擦去的是奇数，
此时，乙一定获胜.因为乙不管甲擦什么数，只要还有奇数，就擦奇数，这样，最
后两个数一定都是偶数，从而所剩两个数不互质; (2) 若裁判擦去的是偶数，
此时，甲一定获胜.设裁判擦去的数是2m ，则将所剩的数配成1 00 2 对:(2 ，3 )
，
"，(2m-2 ，2m 一1)，(2m + 1，2m 十2) ，…，( 2005 ，2006). 这样，不管乙擦去哪
一个数甲都擦去所配对的数对中的另一个数，最后剩下的两数必互质，故甲
1003
胜.故甲获胜的概率为一一一
2005'
撞撞
。00.. •
柯尔莫哥罗夫
( 1 903- 1 987)
，
苏
筒绚思维
; 联数学家，他的代
当完成事件的层次较多或事件发生的可能性不相等时，求相关事件的
; 表作《概率论基础》
概率是困难的.转换视角，从问题的对立面一一反面求解，常能化繁为简于
1 933 年出版，从
:
此，概率论有了坚
实的基础，他也因
[~CÐ (1)一个正三角形ABC 的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁
: 此被公认为概率理
开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角是随机选择.求蚂蚁不相撞的概率
论的奠基人.由于柯
尔莫哥罗夫解决了
(微软公司招聘面试试题)
:
几百年来遗留下来
(2) 随机取多少个整数，才能有0.9 以上的概率使得这些数中至少有一
的一些问题，是许
多新领域的发现者
个偶数?
(清华大学自主招生试题)
:
和先驱，从而成为
分析与解
对于(1) ，三只蚂蚁在每个角上都有两种选择的方向(顺时针
或逆时针) ，因每只蚂蚁选择的不确定性，故组成各种情形，似乎繁杂，这正是
微软主考制造的氛围，其用意在于考查应试者摒除习惯因素的干扰，切中要
害、化繁为简的能力.
选择一只蚂蚁A 作为参照标准，一旦A 确定了自己的运动方向，那么其
他蚂蚁必须做相同方向的运动才能避免相撞，蚂蚁B ，C 分别有÷的概率选
1
1
1
择与A 相同的运动方向.故蚂蚁避免撞到一起的概率为一× 一=
2 ' 2
4 .
对于(2) ，至少有一个为偶数的情形确定吗? 由于所有的整数中，可以认
为奇数与偶数的个数是"对等"的，所以，任取一个整数，则得到的为奇数的概
率与得到的为偶数的概率均为÷
20 世纪下半叶数学
界的领袖人物.
计
十
" 简" 为上计.
人们习惯于把
许多问题想象得过
于复杂而不由自主
地给自己增加难度.
专注与简单，
:
是苹果公司创始人
随机取n 个整数，而其中均为奇数的概率为1 ，因此，至少有一个偶数的
; 乔布斯成功的秘诀.
2"
: 排除干扰，把握本
1
._ 1
1
概率为1 - -;:;--;;- ，由
1 一τ> 0.9 得
<一，n 二三4 . 即随机取4 个(或4 个以上)的
;
质，简化思维，是数
2" -
-. -
,.. 2"
~ 10
学的永恒追求.
整数，才能有0.9 以上的概率使得这些数中至少有一个偶数.
.64
Eit~IIV~
~~~学为训练嘎嘎嘎
• •
穷实
. •
1. 在一个不透明的盒子里装有4 个分别标有数字1，2 ，3 ，4 的小球，它们除数字不同外其余完全相
同，搅匀后从盒子里随机取出
1 个小球，将该小球上的数字作为α 的值，则使关于工的不等式组
t>:'
只有一个整数解的概率为
x 兰兰G 寸一
(重庆市中考题)
2. 已知关于z 的一元二次方程x 2 十bx+ c=O ，从
1，2 ，3 三个数中任取一个数，作为方程中b 的
值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c 的值，能使该一元二次方程有实数根的概率
是
(辽宁省本溪市中考题)
3 . 我国魏晋数学家刘徽首创"割圆术"计算圆周率.随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这
一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π 进行估计.用计算机随机产生m 个有序数对( 工
，y) (工，
y 是实数，且O~x~ l ，O~ y ~ l)，它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边
界及其内部，如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1 的点有n 个，则据此可估计π 的
值为
(用含m ，n 的式子表示) .
(内蒙古自治区呼和浩特市中考题)
也. 在一个不透明的袋子里装有4 个小球，球上分别标有
6 ，7 ，8 ，9 四个数字，这些小球除所标数字
外其余部分都相同.甲、乙两人玩"猜数字"游戏，甲先从袋中任意摸出
1 个小球，将小球上的数
字记为m
，再由乙猜这个小球上的数字，记为n. 如果m
，n 满足
1 m 一η 1~ 1，那么就称甲、乙两人
"心领神会"则两人"心领神会"的概率是(
).
D. 言
(山东省淄博市中考题)
5. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转.若这三种可能性大小相同，则
两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为(
).
3
A. =
8
BZ
1
c.-=-4
D i
2
(内蒙古自治区呼和浩特市中考题)
6. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中
点得到一个小矩形.将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影
1
A.~
3
2
B 3
l
c.
~ 9
是
率
概
的
域
1
-
3
区
A
1
B. -=-4
l
C. ~ 6
Dj
第6 题图
(山西省中考题)
.65
aE军mP1l'~f)罩
':h.~~
7. 有4 张正面分别标有数字2 ，1，一3 ，-4 的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们
背面朝上，洗匀后从4 张卡片中随机地摸取1 张不放回，将该卡片上的数字记为m ，再随机地摸
取l 张，将卡片上的数字记为n.
(1)请画出树状图并写出(m
，n) 所有可能的结果.
(2) 求所选出的m ，n 能使一次函数y 二mx+n 的图象经过第二、三、四象限的概率.
( 内蒙古自治区包头市中考题)
••
拓展
. .
8 . 设正方形ABCD 的中心为点。，在以五个点A
，B
，C
，D ，O 为顶点所构成的所有三角形中任意
取出两个，它们面积相等的概率是
(全国初中数学联赛题)
9. 已知以0 为圆心的两个同心圆，其半径分别为2 ，1 ，则大圆中的任意一条弦与小圆相交的概率
为(
).
1
A.
~ 6
l
B.-=-4
c: 2-d
一
2
1
D.
~ 3
1
E.
~ 2
(美国数学竞赛题)
10 .
6 张不同的卡片上分别写有数字2 ，2 ，4 ，4 ，6 ，6 ，从中取出3 张，则这3 张卡片上所写的数字可以
作为三角形的三边长的概率是(
).
1
A. =
2
2
B. =
5
c;
3
D.-=-4
(全国初中数学联赛题)
1 1. 已知t6ABC 的三个顶点为A (0 ,0) ,B (12 ,0) , C(8 , 10). 在这个三角形内，随机取一点，该点到顶
p
点B 的距离比它到顶点A ，C 的距离都近的概率为-，其中户，q 是互质的正整数，求ρ +q 的值.
q
(美国数学邀请赛试题)
••
创新. .
12 . 投掷两次色子，设第一次、第二次出现的点数分别为a
，b ，求使得关于工的二次方程x 2 +
ax+b 二O 有两个小于一1 的不相等的实根的概率.
( 上海市竞赛题)
.66
空间与图形
图形的旋转
是D~蠢
。00...
时
一
飞4
4
坠
L
初等几何包含了两个重要的有普遍意义的思想，它们构成了几何学的
一切进一步发展的基础，其重要性远远超出了几何学的界限，其中之一是演
绎法和几何学的公理基础，另一个是几何的变换和几何学的群论基础.
一←亚格龙
~~~
嘎嘎嘎
知识纵横
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的
图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角.
旋转变换不改变图形的形状和大小.通过旋转，图形上的每一点都绕旋
转中心沿相同的方向转动同样大小的角度.旋转变换前后的图形有丰富的
性质.
:噩吨如命前
喃喃猩
电猩猩愈益嗜告
自从学会坐标变换，达尔文
对动植物的某些观点发生了深
刻的变化:许多动物的头骨，看
上去无相似之处
，细心观察又发
现它们在布局、结构上有惊人的
相似之处，原来这些动物的头骨
是在不同坐标系下的表现而已.
例题求解
生物几何变换
I~~B
嘎嘎嘎
[征。
如图，在RtL，ABC 中，已知ζC=90 0 ，ζB 二50 0 ，
点D 在边BC 上，BD=2CD
，把L，ABC 绕着点D 逆时针旋转
m(0<m < 180) 度后，如果点B 恰好落在初始Rt L，ABC 的边
~~~
上，那么m=
( 上海市中考题)
因B 点所落的边未确定，故需分类讨论.
思路点拨
.68
[f[8 如图，在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，
点G 在CD 上，DE=2 ，将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋
转60 0 ，得到正方形DE'F'G' ，此时点G' 在AC 上，连接
CE' ，则CE' 十CG' 的值为(
B
F' C
A.12 十J6
B. J3 +1
c. J3 +12
D. J3 + J6
(甘肃省兰州市中考题)
思路点拨
正方形旋转是显性的，而由旋转定义可发现隐性的旋转全等
三角形，便于从整体上求出CE' 十CG' 的值.
现'
如图，已知正方形ABCD 内一动点E 到A
，B
，
C 三点的距离之和的最小值为12+币，求此正方形的边长.
(广东省竞赛题)
思路点拨
本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值
时E 点的位置，通过旋转变换，把EA
，EB
，EC 连接起来.
琪'
已知RtLABC 中
，AB=BC ，在RtLADE 中
，AD=DE
，连接
EC ，取EC 中点M ，连接DM 和BM.
(1)若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，求
证:BM=DM 且BM _l DM.
(2) 如图②中的LADE 绕点A 逆时针转小于45 。的角，那么(1)中的结
论是否仍成立?如果不成立，请举出反例;如果成立，请给予证明.
(广东省广州市中考题)
九兰、
立民人
图①
图②
分析与解
对于(2) ，由(1)可猜想、BM ，DM 之间关系.由中点可从以下
方面联想与探索:
(1)构造中位线，取AC ，AE 中点F ，G ，连DG ,GM ,BF ,FM.
(2) 构造中心对称全等三角形，延长DM 至F 点，使MF=DM ，连BD ，BF.
(1) .: BM= ~ EC ,DM= ~ EC
·国mEI理理矗
iã'毒
。00.. •
下列情形，常
实施旋转变换:
(1)图形中出
:
现等边三角形或正
方形，把旋转角分
别定为
60 0 ，90 0 ;
(2)
图形中有
'
线段的中点，将图形
绕中点旋转180 0 ，构
:
造中心对称全等三
角形;
(3)
图形中出
:
现有公共端点的线
: 段，将含有相等线
:
段的图形绕公共端
点旋转两相等线段
的夹角后与另一相
:
等线段重合.
图形变换能把
分散的线段、角相对
:
集中起来，将已知条
:
件集中在一个熟悉
:
的基本图形中，促进
问题的解决.
例
4 给出了编
:
拟几何试题的一个
重要方法.即从特殊
:
到一般，从静态到
运动，通过几何变
:
换，探讨在图形位
:
直变化的情况下，
原来的结论是否仍
:
成立.这种提出问题
:
的方法是科学发
:
现、科学探究的重
要方法.
.69
4-晴是[f;'I;]I'~~~j~~
:. BM = DM. .: ζ BME =
2ζ BCE ，ζ DME =
2ζ DCE.
.·. ζ BME + ζ DME 二2(ζ BCE+ ζ DCE)=
2ζ BCA=90 0 ，即ζ BMD 二90 0 •
故BM l_ DM.
A
(2) 连BD
，延长DM 至F 点，使MF 二DM ，连BF ，FC ，延长ED 交
AC 于H 点.四边形CDEF 为平行四边形，:. DE // CF , CF = ED = AD ,
ζAHE= ζ ACF. .: ζ BAD =
45。一ζ DA H =
45 。一( 90。一ζA HE) 二
ζAHE-45 0 ，ζ BCF 二ζACF -
45 0 ，λ ζ BAD 二ζ BCF ，得L-，ABD 三
L-，CBF. 二BD =
BF. ζABD= ζ CBF ， :. ζABD 十ζ DBC= ζ CBF+
ζ DBC ，ζ DBF= ζABC=90 0 •
:. L-，DBF 是等腰直角三角形，从而BM=DM 且BM上DM.
[~[. 操作发现
如图①，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，L-，ABC 的三个顶
点均在格点上.
(1)请按要求画图:将L-，ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90 0 ，点B 的对应点
为矿，点C 的对应点为C' ，连接BB' .
(2) 在(1)所画图形中，ζAB'B=
A
h
A
B
C
~
B
C
图①
图②
问题解决
如图②在等边三角形ABC 中，AC=7 ，点P 在L-，ABC 内，且ζAPC=90 0 ，
ζBPC 二120 0 ，求L-，APC 的面积.
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法:
想法一:将L-，APC 绕点A 按顺时针方向旋转60 0 ，得到L-，AP'B ，连接pp' ，寻
找PA ，PB ，PC 三条线段之间的数量关系;
想法二:将L-，APB 绕点A 按逆时针方向旋转60 0 ，得到L-，AP'C ，连接pp' ，寻
找PA ，PB ，PC 三条线段之间的数量关系;
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程(一种方法即可).
..10
:
撞撞
。00 .. .
灵活运用
如图③，在四边形ABCD 中，AE _l BC ，垂足为点E ，ζBAE= ζADC ，
BE = CE = 2, CD = 5 ,AD = kAB (走为常数) ，求BD 的长(用含走的式子表示).
(江苏省淮安市中考题)
分析与解
操作发现
(1)略
(2)45 0
·固mm理圈矗
撞撞。"…
1872 年，德国著
名数学家克莱因提
出了"旨在建立几何
学这一内在联系的"
问题解决
S MAC =7[3
: 变换思想.
图形变换研究
对于灵活运用，需发现与问题解决相同的结构，通过归纳、类比、转化寻
:
平面图形在运动变
找解题路径.与等边6ABC 对应的图形是等腰6AEC ，与点P 对应的点是点
: 化过程中的不变量
D ，尝试把以点D 为顶点的三角形恰当旋转和不变性，它的作用
:
表现为:
如图①，将6ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到6ACF 位置，使AB=
AC ，连接DF;
如图②，将6ACD 绕点A 按顺时针方向旋转到6ABF 位置，使AC=
AB
，连接DF.
F
飞E'
ZYD
B E
C 图①图②
在图①基础上解决问题:取DF 中点E' ，连接AE' ，则AE' 是6ADF 的
D
! ! !
j j j f f ;'
;
'
;
'
;
'
;
, ;'
-JV
C
…
VF
;i
J
JJ
i:
;、
F
K
V-
J
-
、
、
l
、
A
/
/
/
一
\
:
、
;
,,
B
中线，由旋转性质知:AF=AD ，BD=CF ，ζ BAC= ζ DAF.
AB
BC __ 1
4
λ 6ABCω6ADF ， :.一一=一一，即一=一一，:.DF= 性.
AD
DF
走
DF
.: 6ADF 是等腰三角形，AE'是底边DF 上的中线，
:.AE'也是底边的高线与顶角的平分线.
易知AE 平分ζBAC ，:.AE' 一LDF ，ζ DAE ' = ζ BAE= ζADC ，
:.CD // AE ' ，:. CD _l DF ，λACDF 是直角三角形，
:.BD=CF=JCD 2 + DF 2 = J5 2 +(4走) 2 = J16走2 十25.
撞转相似变换
DE
AD
AE
如图①，若一一=一一= 一一，则易证: ①6ADE ω
BC
AB
AC
6ABC; ( 6ADB(/)6AEC.
表明:当liADE 绕它的顶点A 旋转一定的度数并使
B
各边长按一定的比例放大或缩小后得到的6ABC 与原
6ADE 相似，从而又生成6ADBω6AEC.
A
(1)多角度认识
:
几何图形;
(2) 把分散的条
:
件进行集中和整合;
(3) 添直辅助线
和构造基本图形;
(4) 把握图形
的本质和规律.
: B
E
如图，已知CD=
CA
，
ζ 1 -
ζ2 ，
EC = BC ，那么可才寻:
( 1) 6ABC 旦
6DEC ，可从旋转
变换认识;
(2) 旋转中心
:
是两个三角形共同
的顶点.
进一步连AD ，
'C
BE ，上述图形是由
两个相似且共顶角
:
顶点、顶角相等的
等腰三角形产生的.
.71
alt
~ i& i1t ~Ji罩望IE):-st\-
圃'
如图，在6ABC
中，ζ BAC = 60 0 , AB =
♂
2AC ，点P 在6ABC 内，且PA=J言，P B = 5, PC = 2 ，求
/~I
/υ...-r P\ I
6ABC 的面积.
B
C
(全国初中数学联赛题)
分析与解
6ABC 是否有特殊性?分散的条件怎样集中?已有的经验
能迁移应用吗?以退求进，实施旋转相似变换.
作6ABQ ，使得ζ QAB= ζ PAC ，ζABQ= ζACP
，
A
Q_-------------::;有
二
则6ABQω6ACP ，从而可得6ACB ∞6A PQ.
.:AB =2AC , :.AQ=2AP=2疗，BQ=2CP 斗，
·.· ζACB= ζAPQ=90 0 ， :.PQ=!3A P=3.
:.Bp 2 二25 二BQ 2 十PQ 2 ，从而ζ BQP=90 0 •
:.AB 2 = PQ 2+CAP 十BQ) 2 =28+813.
13 ,1 D 2 _ 6+7!3
..56. ABC 二lfAB -ACsin60。=τAB Z = 一亏一.
~~~ 学为训练
,:-.....-
./门
，川
'一
,:
./'>( I
"
..-- ~\
I
". ./ ~P\ I
J /~飞l
B :e:::.
毛
嘎嘎嘎
iã'量
。00'
世界是数学
的，还是人类心智
的构建?
著名数学家丘
;
成桐曾说，我们从思
:
维里想象一个漂亮
的几何图形的时候，
会惊讶它为何这么
美，好像一道风景构
:
造在面前的感觉.
1. 如图，已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE=2 ，EC =1 ，把线段AE 绕点A 旋转，使点E
落在直线BC 上的点F 处，则F ，C 两点的距离为
( 上海市中考题)
2. 如图，等边6ABC 内有一点p ，分别连接AP ，BP ，CP ，若AP =6 ,BP = 8,CP =1 0 ，则S 6.ABP +
S 6.ACP =
( 四川省巴中市中考题)
A
囚E
际17
B
C
第1 题图
第2 题图
第3 题图
3. 如图，在矩形ABCD 中，将ζABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边B'C'交
CC'
CD 于点G ，连接BB' ，CC'.若AD = 7 ,CG = 4,AB' = B'G ，则一寸=
1515
一一一-一一
( 江苏省苏州市中考题)
.12
-~
也把一副三角尺如图①放置，其中ζACB= ζ DEC 二90 0 ，
ζA =45 0 ，ζ D=30 0 ，斜边AB 二6 ，DC 二7 ，把三角尺DCE
AI
绕着点C 顺时针旋转15。得到L:，DjCE j ( 如图②) ，此时AB
D
与CD j 交于点。，则线段AD j 的长为(
).
A.3)2
B.5
C.4
D. J31
B
E
D
功
汀
/
/
f
F
U
U
-
/
\
-
、
-
，
，
、
-
、-
U
G
二
|llllll
C
A
C
E 飞
图①
图②
(湖北省黄石市中考题)
第4 题图
5. 如图，将L:，ABC 沿BC 翻折得到L:，DBC ，再将L:，DBC 绕点C 逆时针旋转60。得到L:，FEC ，延长
BD 交EF 于点H ，已知ζABC=30 0 ，ζ BAC=90 0 ，AC=l ，则四边形CDHF 的面积为(
).
A. .f!_
B. f3
c f3
f) f3
B 二百
C 亏
D 亏
12
-
(四川省德阳市中考题)
A
C
F
H
B
E
C'
A
第5 题图
第6 题图
6. 如图
，Rt L:，ABC
中，ζA =
30 0
，ζABC =
90 0 • 将
Rt L:，ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到
L:,A'BC' ，此时恰好点C 在A'C' 上，A'B 交AC 于点E ，则l:，ABE 与l:，ABC 的面积之比
为(
).
I
A. ~ 3
l
B. =
2
2
c.= 3
3
D . 4
(四川省德阳市中考题)
7. 在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF l_ AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接
EG ，CG ，如图①，易证EG=CG 且EG 上CG.
(1)将l:，BEF 绕点B 逆时针旋转90 0 ，如图②，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关
系?请直接写出你的猜想.
(2) 将L:，BEF 绕点B 逆时针旋转180 0 ，如图③，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关
系?请写出你的猜想，并加以证明.
(黑龙江省中考题)AF
EB
Z
FE
图①
图②
第7 题图
图③
.13
aE翠噩噩. tJT 1i ~t . 11.革.
8. LABC 为等边三角形，AB =8 ,AD __l BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE=2 j3. 以AE 为边
在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点.
••
B
A
D
图①
B
第8 题图
(1)如图①，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，求线段NG 的长.
A
C
备用图
(2) 如图②，将LAEF 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α
，M 为线段EF 的中点，连接DN ，MN. 当
30 0<α<120。时，猜想ζDNM 的大小是否为定值，并证明你的结论.
(3) 连接BN ，在6AEF 绕点A 逆时针旋转过程中，当线段BN 最大时，请直接写出6ADN 的
面积.
(重庆市中考题)
9. 如图，在四边形ABCD 中，AD = 4 , CD = 3 ，ζABC= ζACB= ζADC = 45 0 ，则BD 的长
为
(湖北省武汉市中考题)
N
因
F
第9 题图
第
10 题图
第
11 题图
10. 如图，在正方形ABCD 中，M 是对角线BD 上一点，若AB= 疗，则MD+2MC 的最小值是
，此时ζ BMC=
("希望杯"邀请赛试题)
11. 如图放置的两个正方形，大正方形ABCD 边长为α ，小正方形CEFG 边长为b(a>的，点M 在
BC 边上，且BM=b. 连接AM ，MF ，MF 交CG 于点p ，将LABM 绕点A 旋转至LADN ，将
LMEF 绕点F 旋转至LNGF. 给出以下4 个结论:
.14
-~
b 2
①ζMAD= ζAND; ②CP=b 一一;③6ABM豆6NGF; ④S 四边形AMFN = α Z 十b 2 •其中正确的
G
个数是(
).
A.l
B. 2
c. 3
D. 4
( 山东省德州市中考题)
12. 如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，ζABC=90 0 ,AB =2 汀，AD=2 ，
将6ABC 绕点C 按顺时针方向旋转后得6A'B'C. 当A'B '恰好过点D
A '
时，6B'CD 为等腰三角形.若BB'=2 ，则AA' 二(
).
A./If
B.2J3
C.汀3
D.JI4
C
A
B
(四川省绵阳市中考题)
第12 题图
13. 将正方形ABCD 的边AB 绕点A 逆时针旋转至AB' ，记旋转角为α. 连接BB ' ，过点D 作DE
垂直于直线BB' ，垂足为点E ，连接DB' ,CE.
(1)如图①，当α=60。时，6DEB' 的形状为
BB'
，连接BD ，可求出一一的值为
CE
(2) 当0 0<α < 360。且α 芋90。时，
①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图②的情形进行证明;如果不成立，
请说明理由;
BE
②当以点B' ,E ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出一「的值.
.Jj ι
( 河南省中考题)
B'
②
图
B
图
A
题
EU
D
爪
-
r
u
u
y
c
第
-
i
」
Y
B
一
一
\
/
一
①
-
\
/
一
图
AARttttt'ill-Ill-lkpu
D
C
1也. 如图，已知凸五边形ABCDE 中，AB=BC=CD=DE=EA ，ζABC=2ζDBE ，求证: ζABC=600•
( 北京市竞赛题)
之1
第
1 4 题图
.15
dE远草草噩矗画画·
15 . 我们定义:如图①，在6ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α (0 0 <α < 180 0 ) 得到AB' ，把AC
绕点A 逆时针旋转卢得到AC' ，连接B 'C ' . 当α 十卢=1 80 。时，我们称DAB 'C' 是DABC 的"旋
补三角形" ，DAB'C'边B'C'上的中线AD 叫作DABC 的"旋补中线"，点A 叫作"旋补中心"
特例感知
(1)在图②，图③中
，DAB'C'是DABC 的"旋补三角形" ，AD 是DABC 的"旋补中线"
①如图②，当DABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD=
BC;
②如图③，当ζBAC=90 0 ，BC= 8 时，则AD 长为
猜想论证
(2) 在图①中，当DABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明.
C'
C'
C
C'
B'
D
B
C
B
C
B
A
B
图①
图②
图③
图④
第15 题
拓展应用
(3) 如图④，在四边形ABCD 中，ζC=90 0 ，ζ D = 1 50 0 ,BC= 12 ,CD = 2汀，DA =6.在四边形
内部是否存在点p ，使6PDC 是6PAB 的" 旋补三角形"?若存在，给予证明，并求
6PAB 的"旋补中线"长; 若不存在，请说明理由.
(江西省中考题)
"16
锐角三角函数
(1)SAr÷-
撞撞
。00. . •
设，6ABC
中，
a
，b ，c 为ζA
，ζ B
，
ζC 的对边，R
为
，6ABC 外接圆的半
径，不难证明与非兑角
三角函数相关的几
个重要结论:
: 阳d=tMSld=
; ÷卡扫
abωb
:
b一=二一=2况
R.
sinB
sinC
善于"退"，足够地"退"，退到原始而不失去重要性的地方，是学好数
嘎嘎嘎
知识纵横
~~~
学的一个诀窍.
正是古人对天文观察和测量的需要引起人们对三角函数的研究，1748 年
经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin , cos , tan , cot 的通
用形式.
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁
a
一
ω
在三角函数中还有一些知
名的美丽曲线
，它们就是蔷薇曲
线. 图中是用蔷薇曲线构成的美
丽图案.
之一.
( 2 )
嘎嘎嘎
例题求解
圃~O
(1)如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中，D
点，M 是AD 上异于D 的点，且ζ NMB = ζ MBC ，则
I /E ~N
tanζABM 的值为
v
---.卜
B L一一c一--c-:.....r
(全国初中数学联赛题)
~~~
B
\
\
/' /
)< ,/"
~
U \
1"".
C
(2) 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相
同的正方形，A
，B
，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于0 ，
贝tltanζ BOD 的值等于-一一一一·
A
.n
D
对于(1) ，由ζ NMB= ζ MBC ，分别延长BC ，MN 交于T ，
(江苏省无锡市中考题)
思路点拨
aE军噩噩噩噩E墨E匾革.
h
知
卢
已
由
~
拟
殊角三角函数值的
关键是构造出含特
:
殊角的直角三角形.
:
三角函数值常根据
:
定义转化为求对应
:
线段的比，有时需
: 通过等角的比来
转换.
由于三角函数
:
的实质是线段比，
所以，很多与三角
函数相关的问题总
:
与相似三角形联系
;
在一起.
著名心理学家
皮亚杰认为，一切
:
有成效的活动必须
以某种兴趣为先决
:
条件.兴趣使数学对
: 人具有始动、定向
:
和动力的作用.
高度决定视
野，而大判断必须
:
有大视野.
例
4 综合相关
j
知识，通过建立严
:
格不等式组而获解.
AM
可构造等腰三角形，作TE上MB ，tanζABM= 互豆，通过相似三角形建立线
求(已知)锐角
段关系.对于(2) ，从A ，B
，C ，D 四点作直线AB 或CD 的垂线，构造直角三角
形可行吗?不妨通过平移或构造，找到一个与ζBOD 相等且属于特殊三角
形的角.
如图山C 中A…
ABC=15
/~A
睛'
BC = l ，则AC=(
B.2-13
A.2 十13
D. 13-)2
C. 0.3
(全国初中数学联赛题)
由
15 。构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化.
[候'
如图，CD 是①0 的直径，点B 在①0
上，连接BC ，BD ，直线AB 与CD 的延长线相交于点
A ,AB 2 =AD . AC ，OE // BD 交直线AB 于点E ，OE
思路点拨
A
与BC 交于点F .
(1)求证:直线AE 是①0 的切线.
ω 若①0 的半径为3 ，叫=;，求OF 的长
(四川省遂宁市中考题)
对于(3) ，将ζA 置于直角三角形中，建立线段比关系，并求
[缸。
已知: 在Rt，6.ABC 中，ζC = 90 0 , sinA, sinB 是方程工2 +如+
q = O 的两个根.
(1)求实数户，q 应满足的条件.
(2) 若ρ ，q 满足(1)的条件，方程x 2 + 户x+ q = O 的两个根是否等于
Rt，6.ABC 中两锐角A ，B 的正弦?
(江苏省竞赛题)
思路点拨
出相关线段长.
..18
-Iã] ~oom
11.::
撞撞。"…
间
·
·
学
是
的
以
动
我
满
问
→
时
归
川
科
本
来
可
泼
条
充
f
计
叫
0
.
0
.
代
七
出
但
述
观
仅
耳
L
+
+
·
现
类
义
'
描
然
不
波
1
叮
M
M
M
撑
函
定
具
地
自
界
声
叫
叮
∞
∞
∞
支
角
家
工
好
多
世
n
矿
m
m
m
三
学
算
常
众
的
斗
L-
m
m
m
的
数
计
非
等
们
着电泼，还充满着
声音、可见光等各
种各样的泼.
"19
思路点拨
由韦达定理、三角函数关系建立户，q 等式，注意判别式、三角
函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数户，q 应满
足的条件.
(1)户，q 应满足以下条件
分析与解
f::. =ρ 2 -4q 二三0 ，
-j2ζρ < 一1，
由此推得~ O<q斗，
sinA + sinB = -户，
sinA • sinB = q ,
O< sinA< l,
ρ 2 -2q= 1.
O< sinB < l ,
sin2 A + COS2 A = 1 ,
(2) 先设方程工2 十px 十q = O 的两个根为α ，卢，若ρ ，q 满足(1)的条件，
(ρ 2 -4q 二三0 ，
贝。α ，卢满足才0<α < 1 ，0<卢< 1，故α ，卢必定是Rt，6ABC两锐角A
，B 的正弦.
(α 2 十卢2 = 1,
三角法
小提琴奏出的
通过解三角形，把几何问题转化为三角函数问题，运用三角函数迅速
建立边与角的关系，用解三角形代替几何证明，这种证明问题的方法称为
三角法.
乐声如图所示.它的
公式基本上是:
(1)设α
，b ，c 是直角三角形的三边，c 为斜边，整数n 二三3 ，求证:
圃'
f( t) ~ O . 06 •
α n+ b n < c n .
(福建省竞赛题)
d飞\
(2) 如图，在Rt ，6ABC 中，CD _lAB 于D ，DE _l
AE AC 3
AC 于E ,DF _lBC 于F . 求证·一一=一一τ
. BF
BC 3
(云南省昆明市竞赛题)
对于(1) ，证明如下:设α 为直角三角形一锐角，则
s1na =
分析与证明
a
b
- ，co sα- 一一-
c
c
O< cosa < l ，λ 当n 二三3 时，sinnα< sin2 α ，cosnα < cos2 α ，
于是S1巾十叫<灿+叫= 1 ，即( ?) n +(?) n<1 ，故α n +bn< cn
.: O< sina < l ,
aIE昌盛撞撞撞噩矗噩噩
• •
对于(2) ，给出不同证明:
ìiE 日月1
二·ζACB = 90 0 ,CD _lAB 于D ，
:.AC 2 二AD • AB ,BCz =BD • AB.
ACZ AD ._ AC 4
ADz
·.一一τ= 一一，得一~ A
一一τ
BC 2
BD' ,.. BC 4
BD 2
.:CD _lAB ,DE_lAC ,DF _lBC ,
:.ADZ=AE. AC ,BD 2 = BF. BC.
AC 4
AE AC __AE
AC 3
于是得一一=一一·一一，即一一=一一τ
BC4
BF
BC'
~，. BF
BC3
证明2
设ζ B= α ，则ζCDF= ζ DCE= ζADE= α.
.AE
DE
DF
CE
.:页= tanα 'CE = tana ，百二哥= tana
，
AE DE
CE
,AC 、3 __AE
AC 3
·.一一· 一一·一一=tan3 α =( 一一)
.即一一=一一τ
DE
CE
BF
飞BC I
.~，. BF
BC 3
~~~ 学为训练
穷实. •
嘎嘎嘎
植$章
。00. . •
1 如图，在口ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点。若AB 二4 ，BD 二川nADC=? ，则
口ABCD 的面积是
( 山东省临沂市中考题)
D
B
/
D
V
A
/
A
iι •/
........
。
第1 题图
第2 题图
第3 题图
2 . 如图，ζAOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cosζAOB 的值是
(山东省济南市中考题)
1 BO
3 . 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点。，ζABC = ζDAC = 900 , tanζACB = 一一一=
2 ' OD
4
__ .S ^ ARn
一，则」旦旦的值为
3 ' ." . S ð CBD
一一一-一一
(广东省深圳市中考题)
.80
-E噩噩噩:-.
也. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A
，B
，O 都在格点上，则ζAOB 的正弦值是(
).
而
-
m
I
B. =
2
l
C
一3
D 吾
(山东省威海市中考题)
5. 如图，正方形ABCD 的边长是3 ，BP=CQ
，连接AQ ，DP 交于点。，并分别与边CD
，BC 交于
点F ，E ，连接AE. 下列结论:①AQ 上DP; ②OA 2 =OE • OP; (
S 6 AOD =S 四边形OECF; ④当BP=l
13
时，tanζ OAE=~=
，其中正确结论的个数是(
).
16
A.1
B. 2
C. 3
D.4
(广东省深圳市中考题)
Q
A
E
r- , --r- , --r- ,--
I
I
I
I
I
I
L_ .J __L_ .J __L_ .J__
P
第4 题图
第5 题图
第6 题图
6. 如图，点E ，F 分别为正方形ABCD 中AB
，BC 边的中点，连接AF ，DE 相交于点G ，连接CG ，
则cosζ CGD 二(
).
ß
D 一-
5
(湖南省长沙市雅礼中学自主招生试题)
7. 如图，在RtDABC 中，ζABC 二90 0 ，以AB 为直径的①0 交AC 于点D
，AE 与过点D 的切线
互相垂直，垂足为E.
1
A. =
2
J3
B.'2
c 子
(湖北省武汉市中考题)
A
B
(1)求证:AD 平分ζ BAE.
(2) 若CD=DE ，求sinL: BAC 的值.
第7 题图
8. 【性质探究】
至
如图①，在等腰三角形ABC 中，ζACB =120 0 ，则底边AB
A /'
"'B
图①
与腰AC 的长度之比为一一---
!s7
第8 题图
.81
a It ~ ii i1t ~Jj 1:ï~! . :h. ~ ta
【理解运用】
(1)若顶角为120。的等腰三角形的周长为4+2 汀，则它的面积为一一一一一·
(2) 如图②，在四边形EFGH 中，EF=EG=EH. 在边FG.GH 上分别取中点M ，N ，连接MN.
若ζ FGH=120 0 .EF=20 ，求线段MN 的长.
【类比扩展】
顶角为2α 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为
(用含α 的式子表示) .
(甘肃省天水市中考题)
••
9. 如图.PA 切①O 于点A
，PE 交①O 于点F ，E ，过点A 作AB l_ PO 于点D
，
PF
交①0 于点B
，连接DF.若Slnζ BAO= 一，PE=5DF ，则一一=
PE
一一一一一一.
(四川省成都七中自主招生试题)
10. 己知A ，B 是两个锐角，且满足sin2 A +COS2 B = 互t. COS2 A 十sin2 B = 主t 2 ，则
4
实数t 所有可能值的和为
P
第9 题图
( " (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
1 1. 如图，等腰直角三角形ABC 中，ζC=90 0 ，D 为BC 中点，将6ABC 折
叠，使A 点与D 点重合.若EF 为折痕，则Slnζ BED 的值为
革的值为→一
(江苏省竞赛题)
12. 如图，在Rt6ABC 中，ζABC=90 0 ，D 为线段BC 的中点
，E 在线段AB
内
，CE 与AD 交于点F. 若AE=EF. 且AC=7 ，FC=3 ，则COSζACB 的
值为(
3
A. ~ 7
B 平
c 三
.14
汀百
D.' 7一
A
E
B
第
11 题图
E民、
第12 题图
(安徽省淮北一中中科大创新班素养测试题)
13. 已知m 为实数，且Slna
，COSα 是关于工的方程3x 2 -mx 十1=0 的两根，则
sin4α +COS4α 的值
为(
2
A. =
9
.82
l
B. =
3
7
c.--=-9
D. 1
(全国初中数学联赛题)
·盈国副..
脑
1也. 如图，在6ABC 中
，AB=AC ，BC=12 ，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平
A
分线交边BC 于点D ，设BD= 工
，tanζACB=y
，则(
).
A. x-y 2=3
C. 3x-y2 =15
B.2x-y2=9
D.4x- y 2=21
B
C
(浙江省杭州市中考题)
15. 如图，在Rt6ABC 中
，CD ，CE 分别为斜边AB 上的高和中线，BC 二α
，
第14 题图
(江苏省竞赛题) B[?>\
AC=b(b >α) ，若tanζDCE=l ，求主的值.
2 ,-.- b
第
1 5 题图
••
创新
. •
16. 如图，在正方形ABCD 中
，AB=4 ，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE j_AG 于点E ，BF j_AG
BG
于点F ，连接BE ，DF ，设ζ EDF= α ，ζ EBF=卢'豆E 二走.
(1)求证:AE=BF.
(2) 求证:tana =走. tan卢.
(3) 若点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止，求点E ，F 所经过的路径与边
B
G
C
AB 围成的图形的面积.
第16 题图
(黑龙江省绥化市中考题)
.83
圆的基本性质
当代有名的数论大家A.塞尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以
怦
1
1
下的公式. 二=1 一一+一一…. 这个公式实在美极了，单数1 ，3 ，5 ，… 这样的
. 4
-
3. 5
组合可以给出π. 对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景.
一一陈省身
~~~知识纵横嘎嘎嘎
到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事
物，圆形在人类进程中打下了深深的烙印.
圆的基本性质: 一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心
角、圆周角等; 二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称
图形.用圆的基本性质解题应注意:
(1)熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明;
(2) 了解弧的特性及中介作用;
(3) 善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化.
熟悉如下基本图形、基本结论:
..84
ø Ç[) Q@
字审中存在着各种各样的圆盘状结构.
宏大如宇宙天体，微小至原子电子，人们的
生活离不开圆，科技的进步离不开圆. 在圆
简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘.
撞撞。"…
如图，过圆的
:
弦AB 的中点M 引
: 任意两条弦
CD ，
EF ，连接ED ，CF
分别交AB 于P ，Q
两点，则P此{=Q儿{.
上述问题出现
:
在
1 8 1 5 年的杂志
:
(( 男士日记》上，因
; 其几何形象奇特，
形似蝴蝶，故名"蝴
:
蝶定理"
国是一个对称
图形，注意圆的对称
:
性，可提高解与圆相
关问题的周密性.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
圃~O
(1)如图，AB ，CD 是半径为5 的①0 的两条
令-........_
弦，AB=8 ，CD 二6 ，MN 是直径，AB 上MN 于点E ,CD l_
(
1"'-
才\
MI _I
.! '= _IIN
MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA + PC 的最小值
\LI urrv
'\. 1
/D
为
(湖南省张家界市中考题)
(2) 在半径为1 的①0 中，弦AB ，AC 的长分别为13和J言，则ζ BAC 度
数为
(黑龙江省中考题)
思路点拨
对于(1) ，运用对称性化折为直;对于(2) ，作出辅助线，解直
角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系.
蝠~e
P 是①O 内一点，①0 的半径为15 ，P 点到圆心。的距离为9 ，
通过P 点、长度是整数的弦的条数是(
A.5
B. 7
c. 10
D. 12
(江苏省竞赛题)
思路点拨
过点P 最长的弦为①0 的直径，最短的弦与op 垂直(为什
么?) ，可求得过P 点的弦长范围.
面'
如图，已知点A ，B , C , D
}I质次在①O
上，
AB=BD ，BM l_AC 于M ，求证:AM=DC+CM.
B
~
用截长(截AM) 或补短(延长DC) 证明，将问题转化为线段
(江苏省竞赛题)
思路点拨
相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它.
[面'
如图，半径为2 的①0 中，弦AB 与弦CD 垂
直相交于点p ，连接op ，若op= l，求AB 2 +CD 2 的值.
(黑龙江省竞赛题)
分析与解
解互相垂直的两条弦问题，常需多次运用
垂径定理.
-E噩噩E匾-
iãt量
。00.. •
言~ ，，，，
善于促成同圆
;
或等圆中不同名称
:
的相互转化是解决
圆的问题的重要技
:
巧，此外，要努力把
圆与直线形结合起
;
来，认识到圆可为
:
解直线形问题提供
:
新的解题思路，而
:
在解与圆相关问题
:
时常用到直线形的
: 知识与方法( 主要
:
是指全等与相似) .
.85
aE军噩噩革画血革噩
过0 点作OE _lAB 于E
，OF _l CD 于F
，
连接OD ，OA
，则AE=BE ,CF=DF.
1
.:OE 2 =A0 2 -AE 2 =4 一~AB 2 ,OF2 =OD 2 - FD 2 =4 一':;-CD 2
，
4
1 . _ ,\
,
1
·刀E 2 +OF 2 =(4- ~AB 2 )+(4- ~CD 2 ) 二PF 2 十OF 2 =Op 2 =1 2 ,
即
4-jA灿寸ω=1 ，
故
AB 2 +CD2 =28.
回归出发点
"圃，一中同长也"
数学概念是数学内容的基石，是进行数学推理和论证的基础，在解决
数学问题时，我们经常要回到基本定义去思考，回归出发点即"回到定义中
去"，这是解决问题时的一个重要思考提示.
[制9
如图①，在边长为2 的菱形ABCD 中，LA=60 0 ，M 是边AD
的中点，N 是AB 上一动点，将L:，AMN 沿MN 所在直线翻折得到L:，A'MN ，
连接A'C ，求A'C 的最小值.
( 四川省成都市中考题)
E.
‘ . .
D:' '. .
一
. …. . _._一一_:，_ r
二l
.
,
~/
....- ,
'
…-
D
户
三年J
广\
o
:'
M;/背俨/
N
B
图①
图②
、，.
,
…
，川，
-
…
川
川
川
川
、.....~n
4
…" N
D
图③
分析与解
由MA=MA' ，故点N 从A 到B 过程中A' 的运动轨迹是以
M 为圆心，MA' 为半径的圆弧，将问题转化为圆外一点与圆上点的最短距离，
易证明下面结论:
如图②，当定点P 在半径为r 的①O 外时，则P 到①O 上的点的最小距
离为OP-r ，最大距离为OP+r.
如图③，当A'在MC 上时，A'C 的长度最小，过点C 作CE _lAD 交AD
的延长线于点E ，
.:CD=2 ，MD=1 ，ζ EDC=60 0 ，
.·.ζ ECD=30 0 ，DE=l ，EC=疗，EM=2 ，MC=汀，
λ A'C=疗-1.
..86
植嚣。"…
由圆的对称性
可引出许多重要定
:
理，垂径定理是其
中比较重要的一
个，它沟通了线段、
角与圆孤的关系，
应用的一般方法是
构造直角三角形，
:
常与勾股定理和解
直角三角形知识结
合起来.
J~J~J~
托勒密地心说
宇宙模型
通过对日、月、
星辰周而复始运行
的长期观察与记
录，人类试图用恰
当的几何模型解释
天体运行规律.欧多
克斯、托勒密、哥白
尼分别提出同心球
天体模型、地心说、
日心说..
图形折叠、图
形旋转等关联着
圆，善于发现隐含
的圆是解几何最佳
问题的常用技巧.
概念联想的宽
;
度常决定着解题的
发散度、灵活度.
噩噩国画-
)Þ-)Þ-)Þ-学为训练嘎嘎嘎
••
穷实. .
1. 在半径为2 的①0 中，弦AC=2 ，弦AD=2 J2 ，则ζ COD 的度数为
( 湖北省孝感市中考题)
2. 如图，在平面直角坐标系中，以原点。为圆心的圆过点A C1 3 ，0) ，直线y= 走x-3k+4 与①O 交
于B ，C 两点，则弦BC 的长的最小值为
(四川省内江市中考题)
χ
y
B
x
。
第2 题图
第3 题图
3. 如图，点A ，B 的坐标分别为A(2 ，0) ，B(0 ，2)
，点C 为坐标平面内一点，BC=l ，点M 为线段
AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为
(山东省泰安市中考题)
也. 过三点A(2 ，2) ,B(6 ,2) ，C(4 ，5) 的圆的圆心坐标为(
) .
I
17\
_
I
17
A. (4 ，τ)
B. (4 ,3)
C. (5 ，τ)
D. (5 ,3)
(江苏省南京市中考题)
5. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2 ，则该半圆的半径为(
)cm.
A.4+J5
B. 9
C. 4J5
D.6J2
( 安徽省芜湖市中考题)
Bì么
fi
o B D
第5 题图
第6 题图
6. 如图，在Rt6ABC 中，ζACB =90 0 ，ζA = 30 0 ，AC=4 J言，BC 的中点为D ，将6ABC 绕点C 顺
时针旋转任意一个角度得到6FEC ，EF 的中点为G ，连接DG ，在旋转过程中，DG 的最大值
为(
).
A.4[3
B. 6
C.2+2[3
D.8
( 山东省济南市中考题)
..81
aE噩噩噩墨画Z墨E应犁噩
7. 如图，四边形ABCD 内接于①O ，AC l_BD.求证:点。到四边形ABCD 各边的距离之和等于四
边形ABCD 周长的一半.
(四川省成都市实验外国语学校自主招生试题)
第7 题图
••
8. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=2 ，AD=3 ，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，
将l::.AEF 沿EF 所在直线翻折，得到l::.A 'EF ，则A'C 的长的最小值是一一一一一·
(贵州省贵阳市中考题)
A
E~
Aib
\
寸
斗
B
/
-CRI-)-
31io-
E/\
B
「1
|I I
第8 题图
第9 题图
第
1 0 题图
第11 题图
9. 如图，①0 的半径为20 ，A 是①O 上一点，以OA 为对角线作矩形OBAC ，且OC=12 ，延长BC
交①O 于D ，E 两点，则CE - BD =
( 全国初中数学联赛题)
10. 如图，①0 与Rtl::.AOB 的斜边交于C ，D 两点，C ，D 恰好是AB 的三等分点，若①0 半径的长
等于5 ，则AB=
(世界数学团体锦标赛试题)
1 1. 如图，用3 个边长为
1 的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径
为(
).
A. j2
B 子
5
C. -=-4
D ν17
16
( 天津市选拔赛试题)
12. P 是①O 内一点，①0 的半径为5 ，P 点到圆心。的距离为4 ，通过P 点，长度是整数的弦的条
数是(
).
A.5
B. 6
C. 7
D. 8
( 湖北省黄冈市竞赛题)
.88
E望国主量函lIì
13. 如图，①0 的半径是2 布，弦AB ，CD 垂直于点E ，若AE=6 ，ED=2 ，则EB
的长度是(
).
A. J5
B. 2
c. 2J5
D. 4
(" 希望杯"邀请赛试题)
1也. 如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 和正方形]KLM 的顶点K ，L 在一个以5
为半径的①O 上，点]，M 在线段BC 上，若正方形ABCD 的边长为
6 ，求正
方形]KLM 的边长.
( 上海市竞赛题)
15. (1)如图①，已知PA ，PB 为①0 的弦，C 是劣弧AB 的
C
••
中点，直线CD 上PA 于点E ，求证:AE=PE 十PB .
(2) 如图②，已知PA ，PB 为①0 的弦，C 是优弧AB 的
中点，直线CD j_ PA 于点E ，问:AE ，PE 与PB 之
间存在怎样的数量关系? 写出并证明你的结论.
创新. •
图①
第
1 5 题图
16. 如图，已知①0 的半径为2 ，圆内有一定点p ，过P 点引两条互相垂直的弦
AB ，CD.求AB + CD 的最大值和最小值.
(浙江省天台中学自主招生试题)
第
1 3 题图
第
1 4 题图
图②
A
第
1 6 题图
.89
数学最使我着迷之处是不同分支之间有着许许多多的相互影响，有
着预想不到的联系和惊人的奇迹.
数学的目的就是用简单而基本的词汇去尽可能多地解释世界.
一一阿蒂亚
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
角是几何图形中最重要的元素之一，证明两直线位置关系、运用全等三
角形法与相似三角形法都涉及角，而圆的特征赋予角极强的活性，使得角能
灵活地互相转化.
根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化;由同
弧或等弧所对的圆周角相等，可在圆周角大小不变的情况下，改变顶点在圆
上的位置进行探索;由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与
圆有关的角互相联系起来.
熟悉以下基本图形、基本结论.
。陆⑩vQ~qf)
~~~
1998 年第
23 届国际数学家大会在德国
的柏林召开，如图是德国邮政发行的纪念邮
票，邮票主图是"矩形求方"问题的一种解法，
衬底图案和边纸上都是无理数π 的小数形式.
π 可以用无穷多个数相加表示.
例题求解
嘎嘎嘎
[锐'
如图，点A ，B ，C ，D 在①O 上，点。在3
的内部，四边形
OABC 为平行四边形，则ζOAD+
A
ζ OCD=
(江苏省南通市中考题)
思路点拨
略.
.90
撞撞。"…
托勒密定理:
圆内接四边形两组
:
对边乘积的和等于
两条对角线的乘积.
如图
• ABCD
为任意一个圆内接
四边形，则
AB
CD + AD. BC =
AC. BD.
oA6<骂{
~~L
班'
如图，AB 为①0 的直径，AC 交①O 于E 点，
BC 交①O 于D 点
，CD=BD ，ζC= 70 0 • 现给出以下四个
结论:①ζA =45 0
; (
AC = AB; (
AE = BE; (
CE •
AB=2BD 2 •
其中正确的结论的序号是(
A . ①②
B. ②③
C. ②④
C
A
B
D. ③④
(江苏省苏州市中考题)
思路点拨
充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、相似三角形，逐一
验证.
[制~.
如图，己知锐角三角形ABC 内接于①0 ，
OD j_BC 于点D ，连接OA.
(1)若ζ BAC = 60 0 ，
①求证:OD=抖
②当OA=l 时，求l:，ABC 面积的最大值.
(2) 点E 在线段OA 上，OE = OD . 连接DE ，设ζABC = m ζOED ，
ζACB 二n ζ OED(m ，n 是正数) .若ζABC <ζACB
，求证m-n 十2=0.
(浙江省杭州市中考题)
思路点拨
对于(2) ，设ζ OED = α ，"角度"是解决问题的关键，应专注
于圆的基本性质、三角形边角之间关系的转化，把握条件中的角度关系或
条件中的线段关系，或关注结论中的数量关系，问题为思维的发散搭建了
绝佳背景.
(1)如图①，连接OB
，OC ，ζ BOC ，ζ BOD ，ζ COD ，ζAOB
，ζAOC ，
ζBAO 都可用相关式子表示;
(2) 如图②，延长OD 交①O 于F 点，连接AF ，则AF // DE ,BF = CF;
(3 )如图③，延长DO 交①O 于F 点，连接BF ，CF ，则ζ FBC 二
ζ FCB 等.
图①
图③
-~
撞撞。"…
学习数学时应
: 像数学家那样" 数
:
学地思维"，即不满
足于某些具体结果
或结论的获得，而
;
是去追问:这些看
:
上去并无联系的事
:
实背后是否隐藏着
某种普遍的理论?
:
这些事实能否被纳
入某一统一的结
构?是否存在更为
简羊的证明?
能否
对相应的表达方式
做出适当的改
进? .
这正如美国数
学教育家舍费尔德
:
所说:求取解答并
继续前进.
.驯
dE草草呈撞撞革F，Pj"l昌-
[旺。
如图
，AB
，AC ，AD 是①0 中的三条弦，点
A
E 在AD 上，且AB=AC=AE.
求证: (1 )ζ CAD=2 L乙DBE.
C
(2)AD 2 -AB 2 =BD • DC.
(浙江省竞赛题)
D
分析
又才于(2) ,AD 2 - AB 2 = (AD + AB) (AD - AB) = (AD + AE) (AD
-AE)=(AD 十AE) • DE ，需证(AD+AE) • DE 二BD • DC ，从构造相似
三角形入手.
i正明
(1)连BC ，.: AB =AC ，:. ζ2=ζ 5 ，.: AB =
AE , :.ζABE= ζAEB
即ζ2+ζ3=
ζ4+ζ5
， ...ζ3=ζ4 ，
...ζ DAC =
ζ DBC= ζ4+ζ3=2ζ4 ，即ζ DAC=
2ζ DBE.
(2) 延长DA 至G ，使AG =AE =AC ，则
ζ DAC= 2 L乙G ，而由(1)知ζ DAC=
Zζ DBE. :.ζ DBE = ζ G ，又ζ BDE
=ζ GDC
，
二
BD
DE
:.L::，BDEω L::，GDC
，得--一
DG
DC'
即DG. DE 二BD • DC.
:. (AD 十AG)(AD-AE)=BD • DC ,
.: AB =AE=AG.
:. (AD + AB) (AD - AB) = BD • DC ,
故AD 2 -AB 2 =BD • DC.
"圃"形毕'
D
在一些表面与圆无关的问题中，若能发现一些点在同一个圆上，揭示
出隐含的"圆"，就能运用圆的丰富性质为解题服务.
符合下列条件的一些点在同一个圆上:
广、二........:
、头子，，-:
A 衍9
.92
撞撞。"…
赛尔伯格
例如?=1 一
1
1
1
一+ 一一一十…-
3
5
7
当代美国数学家赛
尔伯格说:这个公式
实在美极了，奇数
1，3 ，5 ，…，这样的组
合可以给出
π.
如图，定线段
张定角，则动点
C
:
在以AB 为弦的两
:
段优弧上，这是隐
圆的常见表现形式.
[缸。
在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以
相同的速度在直线DC ，CB 上移动.
(1)如图①，当点E 自D 向C ，点F 自C 向B 移动时，连接AE 和DF 交
于点p
，请你写出AE 与DF 的关系，并说明理由.
(2) 如图②，当E ，F 分别移动到边DC ，CB 的延长线上时，连接AE 和
DF ，(1) 中的结论还成立吗?
(请你直接回答"是"或"否"，不需证明)
(3) 如图③，当E ，F 分别在边CD ，BC 的延长线上移动时，连接AE 和
DF ，(1) 中的结论还成立吗?请说明理由.
(4) 如图④，当E
，F 分别在边DC ，CB 上移动时，连接AE 和DF 交于
点P. 由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的
草图.若AD=2 ，试求出线段CP 的最小值.
A ro:::-一一一-.D
I
PìiE
B
F
C
图①
DC
I
A
衣
I
盼
E
A问
B
C'
图③
A 一一一一一_ D
1
P入，，
1
1
:/ \ .... 斗E
15 F
C
图④
(山东省烟台市中考题)
分析与解
对于(1) (2) (3) ，易证明AE _l DF.
(4) 草图如图.
·.·点P 在运动中保持ζA PD=90 0 ，
.·.点P 的路径是一段以AD 为直径的弧.
度最小.
在RtßODC 中
，OC= .jCD 2 十OD 2 =J2耳)T=15.
λ CP=oC-OP = 15 -1.
~~~学力训练嘎嘎嘎
·画画mm..
撞撞
。00.. •
1. 如图，ßABC 内接于①O ，AH上BC 于点H.若AC=24 ，AH=18 ，①0 的半径町=
13 ，则AB=
AG
(四川省成都市中考题)
第
1 题图
.93
aE噩噩噩. fJTñ~! . 1L~tAl
2. 如图，已知A ，B 两点的坐标分别为(2 J言，0) ，(0 ，2) ，P 是6AOB 外接圆上一点，且ζAOP=
45 0 ，则点P 的坐标为
(江苏省苏州市中考题)
3. 在6ABC 中，AB=4 ，ζ C=60 0 ，ζA >ζB ，则BC 的取值范围是一一一一一·
( 江苏省南京市中考题)
A
C
飞
B
第2 题图
第4 题图
第5 题图
4. 如图，已知AB 是①0 的直径，点C ，D ，E 在①O 上.若ζAED = 20 0 ，则ζBCD 的度数
为(
).
A.100。
B. 110。
C. 11 5 。
D.120 。
( 山东省青岛市中考题)
5. 如图，在Rt6ABC 中，AB _LBC ，AB 二6 ，BC=4 ，P 是6ABC 内部的一个动点，且满足ζPAB=
ζ PBC ，则线段CP 长的最小值为(
) .
3
A
•
2
B. 2
jIT
C. 丁了
D12p
(安徽省中考题)
6. 如图，在①0 中，AB 为直径，ζAOC= 80 0 ，点D 为弦AC 的中点，点E 为BC
上任意一点，则ζ CED 的大小可能是(
).
A.10。
C.30。
B.20 。
D.4 0 。
A
(山东省临沂市中考题)
7. 正方形ABCD 的四个顶点都在①0 上，E 是①O 上的一点.
第6 题图
E
A~D
A 二三2工~D
(1)如图①，若点E 在AB 上，求证:DE-BE=J2AE.
II .V".
11
11 /. \ 1 1
产飞
EA + EC
(2) 如图②，若点E 在AD上，求证: 一一一一一为定值.
EB
E\ I
I J
飞/飞I J
H飞之工二7C
B~C
(福建省三明市中考题)
图①
图②
第7 题图
.94
B
噩噩匾噩:m.ìì
8. 如图，6ABC 中，AB = AC ，圆。是~ABC 的外接圆，BO 的延长线交边AC
A
于点D.
(1)求证:ζ BAC=2ζABD.
(2) 当~BCD 是等腰三角形时，求ζ BCD 的大小.
(3) 当AD=2 ，CD=3 时，求边BC 的长.
第8 题图
(上海市中考题)
• •
拓展
. •
9. 如图，在凸四边形ABCD 中
，AB=BC=BD
，ζABC=80 0 ，则ζADC 的度数为
(全国初中数学联赛题)
A(j) C
第9 题图
第
1 0 题图
10. 如图
，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ，连接CF 交BD 于点G ，连
接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2 ，则线段DH 的长度的最小值为
(湖北省武汉市中考题)
11. 如图
，AB 是半圆直径，半径。C j_AB 于点。，AD 平分ζ CAB 分别交OC 于点E ，交BC 于点
D ，连接CD ，OD
，给出以下四个结论:①S 6 AEC = 2S 6 DEO ; ②AC 二2CD; ③D0 2 =DE. DA;
( 2CD 2 =CE. AB.其中正确结论的序号是
A
第
11 题图
/
".E
I
0//1\
A~节';/B
D
第
12 题图
(浙江省嘉兴市中考题)
12. 如图，已知①0 的半径。D 垂直于弦AB
，交AB 于点C ，连接AO 并延长交①O 于点E. 若
AB=8 ，CD=2 ，则~BCE 的面积为(
A.12
B.15
c. 16
D.18
(全国初中数学联赛题)
.95
aE噩噩噩. ~Ji ñj! . 1t. ~ta
13. 如图，AB 是①0 的直径，C ，D 是①O 上的点，且OC // BD ，AD 分别与BC ，
OC 相交于点E ，F ，则下列结论:
①AD 上BD; ②ζAOC = ζAEC; ③CB 平分ζABD; ④AF=DF; ⑤BD =
20F; ⑥6CEF三6BED.
其中一定成立的是(
).
第13 题图
A. ②④⑤⑤
B. ①③⑤⑥
c. ②③④⑥
D. ①③④⑤
( 山东省滨州市中考题)
1ι 如图，6ABC 内接于①O ，AD l_ BC 于点D ，BE l_AC 于点E ，AD ，BE 相交
于点H.若BC=6 ，AH=4 ，则①0 的半径为(
).
A.5
B. 2 汀百
C . 汀言
D 旦2
(" (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
15. 如图，已知四边形ABCD 外接圆①0 的半径为2 ，对角线AC 与BD 的交点
为E ,AE=EC ，AB =J2AE ，且BD= 2J言，求四边形ABCD 的面积.
(全国初中数学联赛题)
第
1 4 题图
D萨达
v
第
1 5 题图
16 . 如图，已知AC ，BD 为①0 的两条直径，连接AB ,BC ，OE l_AB 于点E ，点F 是半径。C 的中
点，连接EF .
(1)设①0 的半径为1，若ζBAC=30 0 ，求线段EF 的长.
(2) 连接BF ，DF ，设OB 与EF 交于点P.
①求证:PE = PF.
②若DF = EF ，求ζ BAC 的度数.
(浙江省杭州市中考题)
.96
第16 题图
-~
••
17. 如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0 ，-2) ，在z 轴上任
5~Y
取一点M ，连接AM ，分别以点A 和点M 为圆心，大于?AM 的长
为半径作弧，两弧相交于G ，H 两点，作直线GH
，过点M 作z 轴
的垂线J 交直线GH 于点P. 根据以上操作，完成下列问题.
探究:
(1)线段PA 与PM 的数量关系为
，其理由为:
(2) 在z 轴上多次改变点M 的位置，按上述作图方法得到相应点P
的坐标，并完成下列表格:
A
崎
，
句
、
d
匀
，
伽
G
4 卡
IH
图①
第
17 题图
猜想:
(3) 请根据上述表格中P 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图②中连接起来;观察画出的曲
线L
，猜想曲线L 的形状是
验证:
(4) 设点P 的坐标是(工
，y)
，根据图①中线段PA 与PM 的关系，求出y 关于工的函数解析式.
应用:
(5) 如图③，点B(-l ，y'3)
，C (1，y'3)，点D 是曲线L 上任意一点，且ζ BDC<30 0 ，求点D 的纵
坐标YD 的取值范围.
(山东省德州市中考题)
y
2
y
C
•
句
L
'
1
•
B
- 4 - 3 - 2 - 1乌
1 2 3 4 x
、
，
飞
1
7
-
1
d
a
a
T
P
、
J
U
H
-
-
-
-
一
句
'
-
句
、
A
丛
斗
T
1 2 3 4 x
一2+-A
3
4
- 5
图②
图③
第
17 题图
.91
对数学之美的感觉，对数与形之和谐的感觉，对几何学之优雅的感
觉，这是一种所有数学家都深知的真正的美感.
一一庞加莱
)Þ-)Þ-)Þ- 知识纵横
嘎嘎嘎
直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个
数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考查.
讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，其中涉及切线的性质
和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些
知识对应着以下基本图形、基本结论:
。①> d二
瑞士画家马克思
· 比尔
运用数学方法进行艺术创作，
他在创作中借助数学模式的
力量，研究支配几何形态构造
的秩序法则.
马克思·比尔作晶
)Þ-)Þ-)Þ- 例题求解
嘎嘎嘎
[候'
把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒
外，其主视图如图，①O 与矩形ABCD 的边BC ，AD 分别相
切和相交CE ，F 是交点) .已知EF=CD=8 ，则①0 的半径|.0
为
思路点拨
.98
(浙江省绍兴市中考题)
作出相关辅助线，建立关于①O 半径的方程.
撞撞。" …
点与圆的位直
关系以及直线与圆
:
的位直关系有共同
的精确判定方法，即
量化的方法(距离与
:
半径的比较) ，我们
:
称"由数定形"，勾股
定理的逆定理也具
:
有这一特点.
理'
如图，在等腰t0，.ABC 中，0 为底边BC 的中点，
以0 为圆心作半圆与AB
，AC 相切，切点分别为D ，E. 过半
圆上一点F 作半圆的切线，分别交AB
，AC 于M ，N. 那么
M
D
A
于
等
值
的
…
7
B
l
A. =
8
l
B. --=-4
1
c. =
2
D. 1
( 天津市竞赛题)
-E噩噩噩-
撞撞
。00.. •
C
当直径、直角、
:
切线组合时，就生成
如下应用广泛的图
形.i午多围形与此图
思路点拨
分别从M ，N 点看，可运用切线长定理，作出相应辅助线，探
; 有共通之处，善于分
寻L-，BMO 与L-，CNO 的关系是关键解基本图形是解决
[筒。
如图，已知①0 的半径为6cm ，射线PM 经
过点。，OP=lOcm ，射线PN 与①O 相切于Q.A
，B 两点
同时从点P 出发，点A 以5cm / s 的速度沿射线PM 方向P
运动，点B 以4cm/ s 的速度沿射线PN 方向运动.设运动
时间为
t (s).
(1)求PQ 的长.
(2) 当
t 为何值时，直线AB 与①O 相切.
N
( 江苏省南京市中考题)
思路点拨
对于(2) ，把相关线段用
t 的式子表示，寻找相似三角形，而
动态思考、分类讨论是解题的关键.
蝠'
如图，已知L-，ABC 内接于①O ，AD ，BD 为
①0 的切线，作DE 矿BC ，交AC 于E ，连接EO 并延长交
D
BC 于F ，求证:BF=FC.
A
( 山西省太原市竞赛题)
分析与解
要证明BF=FC ，只需证明OF 上BC 即可，连OA
，OB
，OD
，
将问题转化为证明ζ DAO 二ζ EFC.
连接AO ，OC ，则ζAOD = ζC
， .: DE // BC ，
人ζAED = ζ C
，
得ζAOD= ζAED
，则D
，A
，E ，O 四点共圆，得ζ DEO= ζ DAO = 90 0 ,
λ DE l_ EF
，EF 上BC ，故BF=FC.
复杂问题的基础.
组合上述部分
图形，可生成如下
问题:
如圈，已知
Rt
，0，ABC 中，ζACB=
M
90
0 • 点。在BC 上;
'
①O 切AC.AB
于
:
点C.D. 交BC 于点
E. 连接CD.DE. 则:
(1 ) AO // DE.
AO_l CD;
( 2) L，BOD ω
L，BAC. L，BDEω
L,BCD.
hB
\
』
Y
U
D
、
\
-
/
一
/
4
0
一
\
、
六
E
L
f
-
\
A1--tq
..99
d
I&:~主盛理革r'iJ画-
最大视角
如图①，设墙壁上的展品最高处点P 距离地面α 米，最低处点Q 距离
地面b 米，站在何处观赏理想?
iãl章
。00.. •
=…』己亏-.
所谓"观赏理想"是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF
上求使视角最大的点.
如图②，当过P ，Q ，E 三点的圆与过点E 的水平线相切于点E 时，视
角ζ PEQ 最大，站在此处观赏最理想.
我们生活在图
:
形世界中. 图形有黑
白的，有彩色的;有
:
平面的，有立体的;
:
有静止的，有运动
的.它可以是科学的
:
记录或表征，也可以
是艺术的构思或创
这是因为:对HM 上任一异于E 的点E' ，均有ζ PE'Q < ζ1=
ζ PEQ.
图①
圄②
:
造. (( 画图的数学》一
书围绕什么是图、怎
:
样画图、如何理解图
;
等问题，谈数与形的
关联与转化，在纷繁
[旺。
如图，顶点为M 的抛物线y =ax 2 +bx +3 与z 轴交于点
: *
Mdr.]图形世界感
受数学之美.
A( 一1 ，0)
，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD l_ y 轴交抛物线与另一点
D ，作DE l_x 轴，垂足为点E.双曲线y =jlu>0)经过点D ，连接MD ，BD.
思维之花是地
工
:
球上最美的花朵.
(1)求抛物线的表达式.
为什么像玻耳
(2) 点N ，F 分别是z 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边
j 兹曼、麦克斯韦、普
形周长最小时，求出点N ，F 的坐标朗克、爱因斯坦和
(3) 动点P 从点。出发，以每秒1 个单位长度的速
度沿OC 方向运动，运动时间为
t 秒，当
t 为何值时，
ζ BPD 的度数最大?
(请直接写出结果)
( 山东省烟台市中考题)
分析与解
对于(2) ，由对称性化"折"为直;对于
(3) ，过B ，D 两点，作出与y 轴相切的辅助圆，此时的切
点P 是使ζBPD 度数最大的点.
y
:
海森伯这些在物理
学领域取得突破性
贡献的科学巨匠们
:
都显示出数学和诗
;
歌、音乐方面的特
x
:
殊才能? 这表明不
同思维方法的结
:
合，对于科学研究
:
有着极其重要的意
(1 )y= -x 2 十2x+3 .
:
义，正是因为他们
(2) 如图①，分别作点M 关于y 轴、点D 关于工轴的对称点M' ，D' ，连
;
具有诗人般的气质
接M'D'交Z 轴、y 轴于点N ，F ，此时四边形DMNF 周长最小，直线M'D' 的
j 和想象力，才能不
断开拓新的领域.
.100
7
5
表达式为y=-EZ+ 言，:. N (歹，0)
，F(O ，王).
y
x
X
图②
(3) 如图②，过B ，D 两点作①N 与y 轴相切于点p ，与CD 相切于点D ，
设P ( 0 , n ) ,y BD = -
3x 十9 ，L(0 ，9)
，B(3 ，0)
，D(2 ，3)
，由6LPD ω 6LBP
f导LP 2 =LD • LB ,
• •
:. (9-n) 2 =)4百
. 19百，得n=9-2 汀言，
:. t =9-2 jI"5.
~~~学力训练嘎嘎嘎
穷实. .
EE盈~型~
isl章
。00. . •
1. 如图，P 为①0 的直径BA 延长线上一点，PC 与①O 相切，切点为C ，点D 是①O 上一点，连接
PD . 己知PC=PD=BC.下列结论:
①PD 与①O 相切; ②四边形PCBD 是菱形; ③PO=AB; ④ζ PDB = 120 0
•
其中正确结论的序号是
( 山东省泰安市中考题)
A
C
P
B
A
B
B
第
1 题图
第2 题图
第3 题图
2. 如图，在Rt6ABC 中，ζC=90 0 ，BC 二3 ，点。在AB 上，OB=2 ，以OB 为半径的①O 与AC 相
切于点D ，交BC 于点E ，则弦BE 的长为
(江苏省南通市中考题)
3. 如图，在Rt6AOB 中，OA = OB = 3 12 ，①0 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作
①0 的一条切线PQ ( 点Q 为切点) ，则切线PQ 的最小值为一一---
(湖北省成宁市中考题)
..101
aE噩噩噩罩噩噩
.:h.~~
也. 如图，已知OT 是Rt~ABO 斜边AB 上的高线，AO=BO ，以0 为圆心，OT 为半径的圆交OA
于点C ，过点C 作①0 的切线CD ，交AB 于点D.则下列结论中错误的是(
).
A.DC= DT
C.BD=BO
B.AD = j2DT
D.20C= 5AC
( 浙江省湖州市中考题)
以
第4 题图
Y
B
第5 题图
Fl
O
•X
第6 题图
5 . 如图，已知A ，B 两点的坐标分别为(2 ，0) ，( 0 ，2) ，①C 的圆心坐标为(-1，0) ，半径为1.若D 是
①C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则~ABE 的面积的最小值是(
).
A.2
B. 1
C 卜
D.2-J2
( 江苏省苏州市中考题)
6 . 如图，在矩形ABCD 中，AB = 4 ，AD = 5 ，AD ，AB ，BC 分别与①O 相切于E ，F ，G 三点.过点D
作①0 的切线DM 交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为(
).
A 13
3
c jz
B?
D. 215
( 江苏省南京市中考题)
7 . 如图，在Rt~ABC 中，ζ C=90
0
，以BC 为直径的①O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E .
(1)求证: ζA = ζADE.
(2) 若AD = 16 ，DE = 10 ，求BC 的长.
A
(浙江省丽水市中考题)
B
C
第7 题图
.102
·画画Z函:.国
8 . 如图，四边形ABCD 中，AB =AD =CD ，以AB 为直径的①O 经过点
C ，连接AC ，OD 交于点E.
D
(1)证明:OD//BC.
(2) 若tanL三ABC=2 ，证明:DA 与①O 相切.
(3) 在(2) 的条件下，连接BD 交①O 于点F ，连接EF ，若BC= l，求EF 的长.
第8 题图
(广东省中考题)
••
展. •
9. 如图，①0 与正方形ABCD 的边AB ，AD 分别切于点L ，K
，与边BC 交于点M ,P ,BM=8cm ,
MC=17cm ，则①0 的面积为
cm2 •
A
K
D
以|
第9 题图
第
1 0 题图
Dr、"，C
I
-""""_P/
I
川1~、NI
A
B
第
11 题图
(北京市竞赛题)
10. 如图，在矩形ABCD 中
，AB=3 ，BC=2 ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线
CE
AE
，则一一二
BC
一一一一一一.
(全国初中数学联赛题)
11. 如图，正方形ABCD 的边长为4 ，以AB 为直径向形内作半圆
，CM 与DN 是半圆的切线，M ，
N 为切点，若CM 与DN 交于正方形内一点p
，则6PMN 的面积是
(全国初中数学联赛题)
12. 如图，已知①0 的半径是r ，①0' 的半径是11 ，①0' 在①0 内，点。在①0' 内，
①0 的弦AB 切①0'.若40~AB ~ 48 ，则00' 二
(世界数学团体锦标赛试题)
13 . 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-1z+3 与z 轴、y 轴分别交于A ，B 两
4
A
,
A
./)'1 ,
I
I 、.
- 飞/1
\ /\:0/ J
B""""______'
第
12 题图
点.点P
，Q 同时从点A 出发，运动时间为t 秒.其中点P 沿射线AB 运动，速度为每秒4 个单位
长度，点Q 沿射线AO 运动，速度为每秒5 个单位长度.以点Q 为圆心，PQ 长为半径作①Q.
(1)求证:直线AB 是①Q 的切线.
.103
aE理骂骂噩噩罩望E理22.
(2) 过点A 左侧z 轴上的任意一点C(m ，O)
，作直线AB 的垂线CM ，垂足为点M ，若CM 与
①Q 相切于点D ，求m 与t 的函数关系式(不需写出自变量的取值范围).
(3) 在(2) 的条件下，是否存在点C ，使直线AB
，CM ，y 轴与①Q 同时相切，若存在，请直接写
出此时点C 的坐标;若不存在，请说明理由.
(湖北省荆州市中考题)
'y
。
第
13 题图
14. 如图
，AB 是①0 的直径
，AB=d
，过点A 作①0 的切线并在其上取一
点C ，使AC=AB
，连接oc 交①O 于D ，BD 的延长线交AC 于E ，求
AE 的长.
(四川省竞赛题)
。
'y
B
x
B
A
E
C
第14 题图
15. 如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，经过A(-2 ，0)
，B
，C 三点的抛物线
y 气什缸中α<0) 与Z 轴的另一个交点为D ，其顶点为M ，对称轴与Z 轴交于点E
(1)求这条抛物线对应的函数表达式.
(归知R 是抛物线上的点，使得6ADR 的面积是口OABC 的面积的;，求点R 的坐标
(3) 已知P 是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD 上存在唯一的点Q ，使得ζ PQE=45 0 ，求
点P 的坐标.
(山东省淄博市中考题)
y
y
M
x
备用图
第
15 题图
.104
三角形的内切圆
数学是一个非常美的领域，这是因为它的主要部分是由人类的心灵
构成的，你可以自由探索自己心中的数学世界，这不是很美吗?那里有真
正的自由，正是这种自由才是数学美的力量所在.
一一瑟斯顿
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
如图为圆形包络线.在数学上，" 包络"是
指一组直线包围出另一个形状的情形. 如图，
画一个大圆，把圆周等分成
36 等份，并编上
序号
1，2
，3 ，…，36
，把第
n 点与第n 十7 点连
接，可得到圆形包络线;把第
n 点与第
2 1/点
连接，可得到心脏形包络线.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
[锐'
如图，①O 是Rth.ABC 的内切圆，切点
为D
，F ，E ，若AF ，BE 的长度是方程x 2 -1 3x 十30=
0 的两个根，则h.ABC 的面积是
/气京
(江苏省竞赛题)
思路点拨
连OE ，OF ，易证四边形OECF 为正方形，解题的关键是求
出CE ，CF 的长.
撞撞。" …
当园外切三角
:
形、四边形是特殊
:
三角形、四边形时，
;
就得到隐含丰富结
Æ16h
~
: 且
:Chi:
: (AB+CD=AD+BC)
.105
aE理建罩盟.应重..
撞撞。"…
a + b- c
(1) r =一-r一;
-FL
d
一
卅
-
G
一
一
r
nL
(3) S 6ABC =AE •
b ,c (斜边) ，①O 为
L-.ABC 内切圆，运
用切线长定理、面
积等知识可得到其
BE.
其中(1 )(2) 是
等价的，你能证明
吗?
A 且
D
|
石二一飞
EW
\ 1
B
0
c
[锐'
如图，以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆
。，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则三角形
ADE 和直角梯形EBCD 周长之比为(
D. 6 : 7
(浙江省杭州市中考题)
思路点拨
本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、句股定理等知
识，为求出周长，需引人字母或赋值.
c. 5 : 6
B. 4 : 5
A. 3 : 4
的各边长分别为a ，
[候'
结果如此巧合!
下框中是小颖对一道题目的解答.
同
不
的
又
具
半
圆
式
切
达
内
表
题目:如图，Rt~ABC 的内切圆与斜边AB 相切于点D ，AD=3 ，
BD=4 ，王一
解:设4
9x.
根据切线长定理，得AE=AD = 3 ,BF = BD =4 ,CF =CE =ι
根据勾股定理，得(X+3 ) 2 十( X 十4) 2 二(3 +4) 2 .
整理，得X 2 十7x=12.
A", _
所以S叫=卡C . BC
γ气飞\
31
/'斗、D
E I
I ""'-4
卡+川+4)
凡人\
XI \
/、、
C X F
4
B
=;ω 2 十7x 十山
.
.
= ÷
× ( 1 针川…
1归2
.
=1归
2.
K^ABC 的面积-
~ABC 的内切圆分别与AC ，BC 相切于点E ，F ，CE 的长
P.J
小颖发现1 2 恰好就是3 X4 ，即LABC 的面积等于AD 与BD 的积.这仅
仅是巧合吗?
请你帮她完成下面的探索.
已知: LABC 的内切圆与AB 相切于点D ，AD = m ，BD = η .
可以一般化吗?
(1)若ζ C = 90 0 ，求证: LABC 的面积等于mn.
倒过来思考呢?
(2) 若AC
. BC = 2mn ，求证: ζ C = 90 0 •
改变一下条件…...
..106
(3) 若ζ C=60 0 ，用m
，n 表示L':，.ABC 的面积.
(江苏省南京市中考题)
思路点拨
从顺思到逆想.从特殊到一般，对于(3) ，方法上的类比是问题
解决的关键.
-E噩噩噩-
iã~罢
。00. . •
例
4 是一个经
:
典问题，其对应图
:
形是一个蕴含丰富
:
信息的重要基本图
:
形，在此基础上，可
[缸。
如图，已知①0 的直径AB=8 ，AM ，BN 是它的两条切线，CD
: 生成许多中考、竞
:
赛中的复杂问题.
与①O 相切于点E ，与BN ，AM 交于点C ，D ，设AD= 工
，BC=y
，求y 与工
一位成熟的解
的函数关系式题者，解题时会将很
分析与解
解法
1
过点D 作DF l_ BC 于F ，则
DE=AD 二工
，CE=BC 二y
，FC 二y - x , CD = x + y ,
DF=AB=8 ,
A
D
M
多简单的问题融合
:
在一起，如围棋中的
:
定式、拳击中的组合
:
拳，可发力于瞬间.
在Rt L':，.CDF 中
，DF 2 +CF2 =CD2,
16
B
F
C
N
:
即(x-y) 2 +8 2 =(x + y) 2
，λ y='::_:_(x > O).
Z
解法2
如图，连OD ，OC ，OE ，则ζDOC=90 0 ，
.:OEl_DC ,
:.OE 2 二DE • CE ，即4 2 =X.y
，
16
:.y='::_:_
(X>O).
Z
对于例4 ，在条件不变的情况下，我们还可得出以下结论:
(1) CD=AD+BC;
(2) 以AB 为直径的圆与CD 相切;
(3) 以CD 为直径的圆与AB 相切;
(4) AD • BC 为一定值.
从内心出发
B
M
拉马努扬(1887一
192 0 ) ，印度著名数
N
:
学家，主要靠自学
:
成才，是迄今为止
;
最具洞察力的数学
家之一，思维开阔，
不拘于严密的逻辑
中，他给出的许多
:
公式是借直觉推演
而出.
如图，已知半
圆
O ，AB 为直径，
AC ，BD 都为
AB
三角形三个内角的平分线的交点叫三角形的内心，内心也是三角形内
切圆的圆心.
的垂线
，P 为AB 上
一点，过P 作半圆
的切线分别交AC
和BD 于点M ，N.
如图，设①I 是L':，.ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F. 若
B白，AC=b ，AB=c ，81 的半径为r们吵
r ，p=
φ俨户俨=÷川十ο
ωζ
L_B町=仙一ζ阳，ζ
L_AIC=仙j护
ζA肌
B
1
2
L_AIB=们仨ACB;
A
D
C
D
N
进一步连线，
可推出多个结论:
.101
aE军噩噩噩l'iB署
(2) AE=AF=p-a
，BF=BD= ρ -b
，CD=CE= ρ -C;
(3) S ，ð.ABC= ρ. r;
(4) 6DEF 为锐角三角形.
从一般到特殊，从三角形内心出发，可探寻更多的结论;从内角平分线
到外角平分线，类比可提出新问题.
[制9
如图，已知6ABC 斜边BC 上的高AD ，
I 1
，I z，I 分别是6ABD , 6ADC ，6ABC 内切圆的圆
A
/ν11 \
""-
, ，十
石/1 ，
I
"
飞吨主、
心，半径分别为r l ,r z ,r.
求证:(1) 6AB 1 l ω6CA l z •
(2) S 01,
: S ( 1. =AB z : ACz•
B
D
(3) S 0 1 二S 0 1 ，+S ( 1..
(湖北省武汉市竞赛题)
分析与解
层层设问，前一问为后一问做好铺垫，降低证明问题的难度.
(1)由条件得ζAI1B= ζAl z C=135 0 ，
又':Ll=护BAD=护ACD 二ζ 2 ，:. 6AB I 1 ∞Aω 2
-T I
AB.S m
πri
AB z
(2) .:己iiE6AB 1 l ∞6CA l z
一=一一
一一=一--
, . .η
AC'" S ①Iπd ACz•
(3) 延长BI1
，Cl z
，必交于I 点，同理可iiE6AB1 l ω6CA l z ∞6BC I.
d
AB z d
AC z
• • r z - BCz ' r z - BC z '
?十d
AB Z 十AC Z
两式相加得二丁一二二
9
二1
r ~
BC ~
.·.r 2 =ri 十r ~ , :. s ①I=S 0 1 ，十S ①1 ，.
~~~学为训练嘎嘎嘎
• •
穷实. .
1. 如图，6ABC 中，ζC=90 0 ,AC=3 ,AB =5 ，D 为BC 边的中点，以AD 上一点
为圆心的①0 和AB ，BC 均相切，切点分别为E ，F ，则①0 的半径为
(四川省攀枝花市中考题)
.108
主匪4量
。00 ,..
(1) 丘MON=
90
0
:
(2)AM. BN=
OA 2 =OB 2 :
(3 )过点P 作
: PG _l AB 于点Q ，
: 连接AN
，BM ，则
PQ ,AN ，BM 三线
共点G:
(4)PG=QG.
C
"给我一个支
地
之
豪
起
学
的
撬
数
德
以
"
米
-
可
是
基
J
扒
|
L
我
飞
阿
语
/
/
一
点
球
神
言壮
三〉
这是我们熟悉
的图形，从角的关
系到勾股定理，从
:
射影定理到与例
4
:
相关的内切圆，简
: 羊的图形有着深刻
的意蕴，这既是生
成新问题的起点，
又是解决相关问题
的有力支点.
第1 题图
·回国主噩噩矗
2. 如图所示，AB 是①0 的直径，AM ，BN 是①0 的两条切线，点D ，C 分别在AM ，ßN 上，DC 切
①O 于点E. 连接OD ，OC ，BE ,AE ，BE 与OC 交于点P ，AE 与OD 交于点Q ，己知AD= 4 ，
13 ~ _ _ ,,_ _
_
_ _
18 r-
_ CP
2
BC=9.有以下结论: ①①0 的半径为
· ②OD // BE; ③BP= -JIE · ④一一
~ .其中正确结论
2 '
\!c:Y '--'L/ // .LJL.J ' '0' .LJ.L
13Y .L V.' \3.1 PE
3
的序号是
(湖北省鄂州市中考题)
A
D
M
比~~坠
B
CN
图①
图③
图③
图④
第2 题图
第3 题图
3. 如图①至图④，在直角边分别为3 和4 的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三
角形的内切圆，依此类推，图⑩中有10 个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为乱，鸟，
队，… ，5 川则5 1 + 5 2 十5 3 + … + 5 1 0 =
(福建省龙岩市中考题)
ι 如图，等腰ßABC 的内切圆①0 与AB
，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AB =AC= 5,
BC = 6 ，则DE 的长为(
) .
d百
A.丁「
B22F
"
一5
C
D 6)5
5
(四川省泸州市中考题)
A
A
C
B
B
第4 题图
第5 题图
9
5. 如图，在ßABC 中，AB = 3 ，AC= 一，点D 是BC 边上的一点，AD =BD 二2DC ，设ßABD 与
4
ßACD 的内切圆半径分别为rl ，r 2 ' 那么巳= (
).
r 2
A. 2
B f
3
C . ~
2
2
D' 3
(四川省德阳市中考题)
6. 已知一个三角形的三边长分别为5 ，7 ，8 ，则其内切圆的半径为(
) .
A 子
3
B. 2
C. 2[3
D. [3
(湖北省武汉市中考题)
.109
aE军辈直撞画匾盏.
7. 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC , LABC = 90 0 ，以AB 为直径作①0 ，恰
与另一腰CD 相切于点E ，连接OD ，OC ，BE.
(1)求证:OD//BE.
(2) 若梯形ABCD 的面积是48 ，设OD=x ，OC=y ，且z 十y=14 ，求CD
的长.
(山东省摊坊市中考题)
• •
拓展. •
115
8. 已知LABC 中，满足一一一+ 一一一=一一一，且AB=10 ，则AC+BC=
A
'
B
C
nlf tan lftan2
A
D
B
C
第7 题图
(上海市建平中学理科实验班自主招生试题)
9. 如图，设正方形ABCD 的边长为1 ，以AD 为直径的圆其圆心为M ，E 为AB 上的一点，且满足
CE 与①M 相切，则LBCE 的面积为
EH
第9 题图
B
P/
I
I I -1 "、|
AC
0
第10 题图
( 日本数学奥林匹克竞赛题)
A
第11 题图
10. 如图，半径为2cm 、圆心角为90。的扇形OAB 的AB 上有一动点p
，从点P 向半径。A 引垂线
PC 交OA 于点C ，设LOPC 的内心为1 ，当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过
的路径长为
11. 如图，①0 的直径AB 长为20 ，点P 在①O 外，PC 和PB 分别切①O 于点C 和B ，弦CD _lAB
AE
1
于点E ，PA 交CD 于点M.若一一=一，则LPCM 的面积为
BE
4
(世界数学团体锦标赛试题)
12. 如图，正方形ABCD 的边长是2 ，以BC 边为直径作半圆0 ，点F 在CD 上，AF
F工
D
切半圆。于点E ，求w.
I
气
|
OT
J '\
I
(世界数学团体锦标赛试题)
I
/
'\ I
B
A
第12 题图
.,,0
E司噩噩:u.
13. 如图，①O 是等边L':.ABC 的内切圆，与AB ，AC 两边分别切于D ，E 两点，
连接DE.点P 是劣弧DE 上的一个动点(不与D ，E 重合) ，过点P 作
PMl_AB 于点M ，PN l_AC于点N ，PK l_BC 于点K ，PK 交DE 于点L.
求证:(1) PL 2=PM. PN.
(2) 厅玄=厅M+厅N.
B
C
第
1 3 题图
(湖北省黄石二中理科实验班自主招生试题)
• •
创新. .
1ι 如图，在L':.AOB 中，ζAOB 为直角
，OA =6 ,OB =8. 半径为2 的动圆圆心Q
B
从点。出发，沿着OA 方向以1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P
从点A 出发，沿着AB 方向也以1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时
间为t 秒(O< t :S二5) .以P 为圆心，PA 长为半径的①P 与AB
，OA 的另一个
交点分别为C ，D
，连接CD ，QC.
(1)当t 为何值时，点Q 与点D 重合?
(2) 当①Q 经过点A 时，求①P 被OB 截得的弦长.
(3) 若①P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围.
第
1 4 题图
(四川省攀枝花市中考题)
•
111
数学是人类意志的表达，反映了人们积极进取的意志、缤密周详的推
理以及对完美境界的追求.它的基本要素是:逻辑和直观、分析和构造、一
般性和个别性.
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幕定理.
角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形、获得比例线段提供了可
能;而圆幕定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其
本质与比例线段有关.
(1)相交弦定理
如图①，若圆内两条弦AB
，CD 相交于点p
，则PA . PB=PC. PD.
(2) 切割线定理
如图②，若从圆外一点P 引圆的切线AP 和割线PCB ，则PA 2 =PC. PB.
(3) 割线定理
如图③，若从圆外一点P 引圆的两条割线PAB
，PCD
，则PA • PB=
PC. PD.
A白
P~B
P号
(应〉
当一个轮子在一条直线上平稳地滚动，轮子上一个固定点所留下
来的轨迹叫摆线.17 世纪，惠更斯发现了摆线的等时性
，设计出有钟摆
的时钟，摆线因此而得名
. 后来数学家发现了与摆线相关的重要结论
:
摆线弧长是轮子直径的4 倍，摆线拱形面积是轮子面积的
3 倍.
.112
撞撞。。。…
如图①，四边形
ABCD
内接于圆，
AC 平分ζ BAD ，写
出国中相似三角形.
如图②，四边
形
ABCD
内接于
圆，且6ABD 为正
;
三角形，写出图中
:
相似三角形.
r一-飞A
:
飞斗-;?D
C
图①
A
; 川、
B"ÇJζyU
C
图②
~~~例题求解嘎嘎嘎
睛'
如图，已知AB 是①0 的直径，弦CD 与AB 交
于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，若DE=
A
抖，AC=8 j5 ，D 为EF 的中点，则AB=一一
F
(全国初中数学联赛题)
-E缸~
2蓝3毒
。00.. •
圆中线手史的计
:
算，常常需要综合相
B
:
:
似三角形、直角三角
:
形、圆幕定理等知
识，通过代数化，加
强对图形的分解，注
思路点拨
设法求出AE ，BE 的长，可考虑应用相交弦定理、勾股定
; 重信息的重组与整
理等.
合是解圆中线段计
:
算问题的关键.
若图形中有适
CD 相切，若AB=4 ，BE=5 ，则DE 的长为(
A.3
C. 15
4
C
[候'
如图，在口ABCD 中，过A ，B ，C 三，点的圆交AD 于点E ，且与
; 用圆革定理的条件，
题
赛
联
学
数
·
市
!
好
4
刊
一5
国
L
E
h
u
怆
D
则能化解许多与圆
:
相关问题的难度，而
圆中线段等积式是
转化问题的桥梁.
需要注意的是，
圆苯定理的运用不
局限于比例线段的
思路点拨
连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创
:
计算及证明，还可拓
:
展到平面几何各种
i
类型的问题中.
条件增设、逆
设条件.
圃'
如图，，6，ABC 内接于①Q ，CD 平分LACB 交①0
于点D ，过点D 作PQ // AB 分别交CA
，CB 的延长线于点p
，
Q ，连接BD.
(1)求证:PQ 是①0 的切线.
(2) 求证:BD 2 =AC . BQ.
C_
:
向构造、嫁接组合，
刀队'"
:
可得到与例
3 相关
\/队)
:
的下面问题:
A啡寸Tτ歹〈♂
:
如圈，已知点E
P
D
Q
:
是L，.ABC 的内心，
AE 交BC 于D ，交
L，.ABC 的外接圆于
4
.. _. . ....._ _
F
点，过点
F
的
(3) 若AC ，BQ 的长是关于工的方程x + 一=m 的两个实数根，且
x
L，.~C 外接圆的切
tardCD=÷ ，求①O 的半径
线分别交AB
，AC 的
延长线于M ，N 两
占
.Iíhl
(四川省达州市中考题)
目
,_ ."
思路点拨
对于(2) ，注意等线段代换，将问题转化为相似三角形的证
明;对于(3)
，ζ PCD 不是直角三角形
锐角，通过作辅助线构造直角三角形
转移角，这是解题的关键.
B
-A
的
M
-
M
I
=
/
归
川
2
-
2
CF
-A
BE-F
1
4
9
μ
\lljrAN
A
f
严
一
华
-
/
·
丁
i
f
i
t
-
-
n
斗
/
一
A
4M
..113
a噩噩噩噩噩噩噩矗萃'
[候'
如图，BC 是半圆。的直径，D 是AC 的中点，
四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E.
(1)求证:AC • BC = 2BD • CD.
(2 ) 若AE=3 ，CD=2 汀，求弦AB 和直径BC 的长.
B
(天津市竞赛题)
分析
由条件得ζABD= ζ DBC ，ζ BDC=90 0 ，延长BA
，CD 交于一
点，向形外作辅助线，为构造相似三角形、割线定理的运用创造了条件.
证明
(1)延长BA
，CD 交于点G ，由Rt6CAG ω
< G
A /
飞
AC
CG
/7飞主主D
Rt6BDC ，得一一=一一
//E~
BD
BC'
I/ 二~飞
,
B
n
C
即A C • BC=BD • CG ，又DG=CD= 言CG ，
-
故AC • BC = 2BD • CD.
撞撞
。00.
直线形与圆结
:
合就产生错综复杂
的图形，善于分析
图形是解与圆相关
综合题的关键，分
:
析图形可从以下方
面入手:
(1)多4见点观
察图形;
(2)
多元素分
:
析图形:寻找图中
CE
CD __ CE
兄!s的特殊点、特殊线、
(2 )
由Rt6CDEωRt6CAG ，得
=
即一-一二二一，解得CE 二5 ，
CG
AC'
ι 5"
CE+3 7J 'IT ，.~ ~~
~ 7
特殊三角形、特殊
四边形、全等三角
从而AG =Vα 2 -AC 2 =J(4j5 ) 2 一(3 +5) 2 = 4, GA • GB = GD • GC ，即
形、相似三角形;
4( AB 十4 ) =2j5 X4 j5 ，得AB = 6, BC = v AB 2 十AC 2 = V62 +(3+5) 2 =10.
托勒密定理
托勒密是古希腊天文学家、数学家.其主要著作《天文学大成》是西方古
典天文学的百科全书.在天文学的推动下，托勒密提出如下命题:圆内接凸
四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.史称"托勒密定理"
[任。
如图，已知四边形ABCD 为任意一个圆内接
四边形，求证:AB • CD 十AD • BC=AC • BD.
分析与证明
将问题转化为比例线段的证明，为此需构
造相似三角形.
如图，作ζ BAE= ζ DAC ，
·.· ζABE= ζ DCA
，
二
AB
BE
:. 6ABE∞6ACD
，得一--一一，即AB • DC
, AC • BE (,
AC DC
·.· ζADE= ζACB
，ζ DAE= ζ CAB
，
AD
DE
:. 6ADE∞6ACB
，得一一=一一，即AD • BC=AC • DE (,
AC
BC
①十②
得AB • CD+AD • BC=AC • BD.
•
114
(3) 将以上分
析组合，寻找联系.
比例线段是几
何中的一个重要问
:
题，比例线段的学
习是一个由一般到
:
特殊、不断深化的
过程，大致经历了
四个阶段:
(1)平行线分
线段对应成比例;
(2) 相似三角
形对应边成比例;
(3) 直角三角
形中的比例线手生用
:
乘积的形式简捷地
:
表示;
(4)
圆中的比
例线段通过圆幕定
理清楚地反映出来.
-E噩噩噩-
)Þ-)Þ-)Þ-学为训练嘎嘎嘎
• •
穷实. •
1. 如图，已知A ，B ，C ，D 是①O 上的四个点，AB 二AC ，AD 交BC 于点E ，AE =3 ，ED 二4 ，则AB
的长为
(黑龙江省中考题)
A
D
第1 题图
第2 题图
2 . 如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动(点P 不与M ，N 重合)，PQ上MN ，NE 平分ζMNP ，
交PM 于点E ，交PQ 于点F.
PF. PE
(1)一一十一一=
PQ ' PM
一一一一一·
此1Q
(2) 若PN 2 =PM. MN ，则一-
NQ 一一一---
(湖南省长沙市中考题)
3 . 如图，己知AB 是①0 的直径，点C ，D 是①O 上的点，D 为AB 的中点，CD 交AB 于点E ，若
AC=8 ，BC=6 ，则CE 长等于(
).
A 平
B. 3J2
D
第3 题图
c?
D
第4 题图
14
D' 3
(浙江省丽水市中考题)
也. 如图，已知①0 的半径是2 .j5 ，弦AB ，CD 垂直相交于点E , AE = 6, ED = 2 ，则EB 的长
为(
. ) .
A..j5
B.2
C. 2.j5
D.4
("希望杯"邀请赛试题)
..115
--辈革矗盛画画昌..
画画温·
5. 如图，在6.ABC 中
，AB=AC ，以AB 为直径作①0 ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，
过点D 作DH _L AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F.
(1)求证:DH 是①0 的切线.
EF
(2) 若点A 为EH 的中点，求一一的值.
FD
(3) 若EA=EF=l ，求①0 的半径.
C
(四川省成都市中考题)
第5 题图
6. 如图
，6.ABC 内接于①O ，AD 平分ζ BAC 交BC 边于点E ，交①O 于
点D ，过点A 作AF _L BC 于点F ，设①0 的半径为R
，AF=h.
(1)过点D 作直线MN //BC ，求证:MN 是①0 的切线.
B
C
(2) 求证:AB . AC=2R . h.
M
N
AB+AC
(3) 设ζ BAC=2α ，求一一一一的值(用含α 的代数式表示).
AD
第6 题图
(山东省淄博市中考题)
• •
7. 如图，已知6.ABC 中，ζC=90 0 ，AC=汀I ，BC=5 ，以C 为圆心，BC 为半径作圆交BA 的延长
线于点D ，则AD 的长为
E
G
C
第7 题图
第8 题图
AE
8. 如图
，AB 为圆的直径，若AB=AC 二5 ，BD=4 ，则一一=
BE
(山西省太原市竞赛题)
D At
C
第9 题图
(江苏省竞赛题)
9 . 如图，设AB ，CD 是①0 的两条垂直直径，弦DF 交AB 于点E , DE = 24 , EF = 18 ，则OE=
(北京大学博雅计划数学测试题)
.116
-E噩噩噩-
10 . 如图，四边形ABCD 满足ζABC= ζACD = 90 0 , AC = 20 , CD = 30 ，对角线AC ，BD 交于点
E ，且AE 二5 ，则四边形ABCD 的面积为(
).
A.330
B.340
C.350
D.360
E.370
(美国数学竞赛题)
D
8
A
C
A
B
第
10 题图
第11 题图
第
12 题图
1 1. 如图，设A 是以BC 为直径的圆上的一点
，AD j_ BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB
的延长线上，满足ζ BAF= ζ CAE. 已知BC=15 ，BF=6 ，BD 二3 ，则AE=(
).
A. 413
B. 2 江3
C.2 汀4
D. 2Jl5
(全国初中数学联赛题)
12. 如图，在RtßABC 中，ζABC = 90 0 ,BD j_AC ，过A
，D 两点的圆交BA 于点E ，交CE 于点F.
若BE=3 ，BC=4 ，则BF 的长度是(
).
A4.12D-lf
. _
B.5
C
一
- . 5
-. 5
("希望杯"邀请赛试题)
13. 如图，已知AB 为①0 的直径，C 为①O 上一点，延长BC 至D ，使CD=
D
BC ，CE j_AD 于E ，BE 交①O 于F ，AF 交CE 于p
，求证:PE=PC.
( 山西省太原市竞赛题)
1也. 如图，点P 在ßABC 的边AB 上，且AB =4AP
，过点P 的直线MN 与
ßABC 的外接圆交于点M ，N
，且点A 是弧MN 的中点.
求证:(1) DABN ω ßANP.
(2) BM 十BN=2MN.
(江苏省竞赛题)
B
第
13 题图
第14 题图
..111
aE军军l'I i1t'Jj ñ~t . :h.~~
15. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler) 是瑞士数学家，在数学中经常见到以他
: 的名字命名的重要常数、公式和定理.下面就是欧拉发现的一个定理:在，ð.ABC
j 中
，R 和r 分别为其外接圆和内切圆的半径，0 和I 分别为其外心和内心，则
: 0 J2 =R 2 -2Rr.
如图①，①0 和①I 分别是，ð.ABC 的外接圆和内切圆，①I 与AB 相切于点F ，设①0 的
j
j 半径为R ，①I 的半径为r ，外心。( 三角形三边垂直平分线的交点)与内心IC 三角形三条角
:
j 平分线的交点)之间的距离01=d
，则有d 2 =R 2 -2Rr.
i 下面是该定理的证明过程(部分) :
: 连接A1 并延长交①O 于点D ，过点I 作①0 的直径MN ，连接DM ，AN.
j
·.·ζD=ζN
，ζ DM1= ζ NA1( 同弧所对的圆周角相等) ,
1M
1D
j 儿MD1 C/)，ð.AN I.:. IA = 币，:.1A. 1D=1M. 1N. ①
D
图①
E
图②
; 如图②，在图①(隐去MD ，AN) 的基础上作①0 的直径DE ，连接BE ,BD ,B1 ,1F.
: .: DE 是①0 的直径，.·.ζ DBE=90 0 •
:
·.·①I 与AB 相切于点F ，...ζAF1=90 0 ，:. ζ DBE= ζ 1FA.
:
·.·ζ BAD= ζE( 同弧所对的圆周角相等)，:.
，ð.A1Fω ，ð.EDB
，
1A
1F
.DE- 豆万，:.1A. BD=DE' 1F. ②
----_.…._--------…----------_....……._--.… ._------φ …-- - . . ---
'伞------…------ _ -----……._----牛'… .. ._-----
-- -._--- - ---- -- ---…-…·。
任务:
(1)观察发现:1M=R+d ，1N= 一一-一一(用含R
，d 的代数式表示).
(2) 请判断BD 和1D 的数量关系，并说明理由.
(3) 请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2) 的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证
明的剩余部分.
(4) 应用:若，ð.ABC 的外接圆的半径为5 cm ，内切圆的半径为
2 cm ，则，ð.ABC 的外心与内心
之间的距离为
cm.
(山西省中考题)
.118
数学对经济竞争力至为重要，数学是一种关键的、普遍使用的，并授
予人能力的技术.
格里姆
)Þ-)Þ-)Þ-知识纵横嘎嘎嘎
在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以
解决. 而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆;有时虽然题设涉及
圆，但是该圆并不是我们需要的圆) ，这就需要我们利用已知条件，借助图形
把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有:
(1)利用圆的定义添补辅助圆;
(2) 作三角形的外接圆;
(3) 运用四点共圆的判定方法.
如图，在桌上铺一张白纸，纸上放一个圆形盖
子，把一端系有铅笔的细线绕在盖子上的圆周外
面，手拿铅笔拉紧细线，让线渐渐伸直放开，铅笔就
在纸上画出一条螺旋形曲线，这条曲线叫圆的渐伸
线. 圆的渐伸线常用于斜齿轮齿面的形状中
，以便
齿轮有很好的喝合.
撞撞。"…
熟悉以下基本
图形、基本结论:
去岳:〉) ι
击)
G
白}肉
口
Q
口
) (μ…
ιμ山山
l忏J+L让ι
凶…
D1陀人
(PA ，PB~PC ，PD)
作出辅助圆的
:
常见方法有:
(1)根据等线
:
段画圆;
(2) 依据图形
旋转画圆;
)Þ-)Þ-)Þ-例题求解嘎嘎嘎
(3)
由点运动
画'
平面内有四个点A ，O ，B ，C ，其中LAOB=120 0 ,L ACB=60o ,
: 的轨迹画圃;
(4) 从圆与直
AO = BO = 2 ，则满足题意的OC 长度为整数的值可以是一一一一一·
线的关系画圆.
(江西省中考题)
思路点拨
由条件作出辅助圆，先确定OC 的取值范围.
"119
aE重m i1t gJi ñ$! . 1L~tAl
撞撞
。00.. •
到一个定点等
: 距离的几个点在同
: 一个圆上，这是利
用圆的定义添辅助
:
圆的最基本方法.
类似例
3 中一
些垂直问题的存在
;
性探讨，若能联想到
"直径所对的圆周角
:
是
900" ，作出辅助
圆，把问题转化为直
:
线及圆关系的研究，
:
常常能使问题获得
简解.
四点共困既是
一类问题，又是平
面几何中一个重要
的证明方法，它和
:
证明三角形全等和
:
三角形相似有着同
:
等重要的地位.
PB
A
[锐'
如图，若PA 二月，L_APB = 2L_ACB ,AC
与PB 交于点D ，且PB=4 ，PD=3 ，则AD • DC 等于
D.16
C. 12
B. 7
A.6
("TI 杯"全国初中数学竞赛题)
作出以P 点为圆心、PA 长为半径的圆，为相交弦定理的应
[候'
如图，AB j_BC ,CD j_BC ，垂足分别为B ，C.
A~
(1)当AB=4 ，DC=1 ，BC=4 时，在线段BC 上是否存在点|\
三D
p ，使AP j_PD? 若存在，求线段BP 的长.若不存在，请说明理由-i
v
(2) 设AB 二α
，DC = b ，AD = c ，那么当a ，b ，c 之间满足什么关系时，在
思路点拨
用创设了条件.
直线BC 上存在点p ，使AP j_PD?
( 江苏省南京市中考题)
对于(2) ，点P 在以AD 为直径的①O 上，又点P 在BC 上，
表明①0 与BC 有交点，即①0 与BC 相交或相切.
思路点拨
P
如图，P 是①0 外一点，PA 切①O 于A ，PBC
PB
PC
是①0 的割线，AD j_ PO 于D . 求证·一一二一一
'BD
CD'
[旺。
( 四川省联赛题)
因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定
L:，.PBD 与L:，.PCD 相似证明.PA 2 = PD . PO = PB . PC ,B , C ，O ，D 共圆，
这样连接OB
，就得到多对相似三角形，以此达到证明的目的.
分析
PA 2 = PD . PO= PB . PC ,
. . .
证明
。
一
C
P-o
一
o-B
P-o
一
-
c-D
P
•C
得
': B
，C ，O ，D 四点共圆，
旦
ω
m
-m
(
,
②，由①②得
m
-m
一
o-c
p-o
得
L:，.PCD∞L:，.POB ，
又L:，.POCω L:，.PBD ，
. . .
.120
"圆"满解决
看山是山，看水是水;看山不是山，看水不是水;看山还是山，看水还是水.在
没有圆的图形中发现圃，并添出辅助圃，是直线形和圆之间度量关系或位置关
系相互转化的桥梁.隐形的圃，犹如隐形的翅膀，是实现解题的智慧托举.
[制9
问题探究
(1)如图①，在矩形ABCD 中
，AB=3 ，BC=4. 如果BC 边上存在点p
，
使Lc.APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰Lc.APD ，并求出
此时BP 的长.
(2) 如图②，在Lc.ABC 中，ζABC=60 0 ，BC=12 ，AD 是BC 边上的高，E ，
F 分别为边AB ，AC 的中点.当AD 二6 时，BC 边上存在一点Q ，使ζEQF=
90 0 ，求此时BQ 的长.
问题解决
(3) 有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE ，山庄保卫人员想
在线段CD 上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB. 现只要使ζAMB 大
约为60 0 ，就可以让监控装置的效果达到最佳.已知ζA= ζ E=ζD = 90 0 ,
AB = 270m ,AE = 400m , ED = 285m , CD = 340m. 问在线段CD 上是否存在
点M ，使ζAMB=60 0 ? 若存在，请求出符合条件的DM 的长;若不存在，请
说明理由.
|| 盼飞;L|E
图①
(陕西省中考题)
分析与解
对于(2)(3) ，由
90 0 ，60 。能想到什么?仅想到直角三角形、等
边三角形?符合条件的点是否存在?是否唯一?构造辅助圆，将问题转化为
直线与圆或点与圆的位置关系讨论，能清晰而"圆"满地解决问题.
(1)符合条件的等腰三角形如图①所示.
当AP=PD 时，P 在BC 的中垂线上，BP = 2.
(等腰Lc.ADP' ,BP' = 4 - /7 ;或等腰Lc.ADP" ，BP" 二J于.也符合题意)
ω E ，F 分别为AB ，AC 的中点，:.EF // BC ,EF= ~ BC=6
.:AD=6 ，AD 上BC ，:.EF 与BC 间距离为3.
·型国墨画:.国
主撞4量
。00.. •
~~.
适当发现并添
出辅助圆，就为圆
:
的丰富性质的运用
.
创造了条件，由于
图形的复杂性，有
:
时并不需在图中画
出圆，可谓"圈中元
:
圆，心中有圆"
.121
aE军噩噩噩矗面孟·
.·.以EF 为直径的①O 与BC 相切.
:.BC 上符合条件的点Q 只有一个.
图①
C
如图②，①0 与BC 的切点记为Q ，连接00.
过E 作EG l_ BC
，垂足为G ，:.EG=3.
.·.四边形EOOG 为正方形.
在RtDEBG 中，ζ B=60 0 ，EG=3 ，
λ BG=;3 .:.BQ=3+ ;3.
(3) 在CD 上存在符合题意的点M. 理由如下:
如图③，构造等边DABG.
作GP l_AB 于点p
，作AK l_ BG 于点K
，AK 与GP 交于点。，以0 为
圆心，OA 长为半径画圆，则①0 为DABG 的外接圆，作OH l_ CD 于点H.
• •
在RωOP 中，AP=jAB435 ，OA=叫，OP=叫
270
又知OH=285 一一一二150 ，而90 ;3> 150 ，:.①0 与CD 相交.
2
记①O 与CD 的交点为M ，连接OM ，MA
，MB
，
则ζAMB= ζAGB=60 0 •
·.·在RtDOHM 中，HM= .jOM 2 -OH 2 二次90 ;3 ) 2 -150 2 =30J2"
:.DM=400-45.ß -3012<340 或DM=400-45.ß 十30!2>340C舍去).
:.CD 上符合题意的点M 只有一个.
二点M 就是符合要求的点.
故DM=400-45 ;3 -30[2 ::::::::279.63m.C保留根号也正确.)
~~~学为训练嘎嘎嘎
穷实. .
iã'蜜
。00. ..
爱尔特希(1 913
: 1996) ，匈牙利数学
家，以论文多、旅行
:
远而萤声数学界.人
:
们称他为"数学界
的莫扎特川西方的
:
拉马努扬""布达佩
:
斯的魔术师"他周
游世界，四海为家;
才思敏捷，成果显
:
赫;手法高超，出奇
制胜;心胸坦荡，提
:
携后生.
在爱尔特希看
来，数学是一首"天
:
上的乐曲"，是科学
与艺术的完美结合.
1. 已知点M (1 , 2) , NC6 , 2) ,PCx ，0).若DMNP 是直角三角形，则满足题意的工有
个.
(世界数学团体锦标赛试题)
.122
-匾匾..
2. 如图，在RtDABC 中，ζC = 90 0 ，AC=6 ，BC=8 ，点F 在边AC 上，并且CF=2 ，点E 为边BC 上
的动点，将DCEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值为
(江苏省淮安市中考题)
hpu
\
』
E
AF|Al
c
B4-?D
第2 题图
第3 题图
3. 如图，已知AB=AC=AD ，ζ CBD=2ζBDC ，ζBAC=44 0 ，则ζ CAD 的度数为(
) .
A.68。
D.112 。
(山东省威海市中考题〉
ι 已知等腰RtDABC 的腰长为4 ，点M 在斜边AB 上，点P 为该平面内一动点，且满足PC= 2 ，
B. 88 。
C .
90 。
则PM 的最小值为(
).
A.2
B.2j2 - 2
C.2 j2 十2
D.2j2
(四川省德阳市中考题)
5. (1) 问题发现
如图①，DACB 和DDCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE.
填空: ①ζAEB 的度数为
②线段AD ，BE 之间的数量关系是
Akf\J
E
C
||
B
图①
图②
第5 题图
图③
(2) 拓展探究
如图②，6ACB 和6DCE 均为等腰直角三角形，ζACB = ζ DCE = 90 0 ，点A ，D ，E 在同
一直线上，CM 为6DCE 中DE 边上的高，连接BE. 请判断ζAEB 的度数及线段CM ，
AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由.
(3) 解决问题
如图③，在正方形ABCD 中，CD= j2 .若点P 满足PD = l ，且ζBPD= 90 0 ，请直接写出点
A 到BP 的距离.
(河南省中考题)
.123
aE噩噩噩lm:i噩噩
6. 如图，矩形ABCD 中，AB = 4, AD = 3, M 是边CD 上一点，将DADM 沿直线AM 对折，
得DANM.
(1)当AN 平分ζMAB 时，求DM 的长.
(2) 连接BN ，当DM=l 时，求DABN 的面积.
( 3) 当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值.
备用图
第6 题图
( 福建省福州市中考题)
• •
7. 如图，正方形ABCD 的中心为0 ，面积为1989cm 2 ，P 为正方形内一点，且
ζOPB=45 0 ，PA : PB=5 : 14 ，则PB 的长为
lK
( 北京市竞赛题)
8. 如图，已知菱形ABCD ，在边AB ，BC 上分别取点E l
，F l ' 得DDEIF l 为等边
第7 题图
三角形;在边AB ，BC 上再另外分别取点
E n F n 得DDE 2 F 2 为等边三角形，则
ζA=
(爱沙尼亚竞赛题)
9. 如图，在四边形ABCD 中，AB=AC = AD ，若ζBAC = 25 0 ，ζCAD =75 0 ，则ζBDC =
4ζ DBC=
( 江苏省竞赛题)
C
:因c
尽头KlE
A
E. E.
B
A
。
B
P
第8 题图
第9 题图
第10 题图
第11 题图
10. 如图，AB 为半圆。的直径，C 为半圆上一点，ζAC汇=600 ，点P 在AB 的延长线上，且PB=BO 二
3cm.连接PC 交半圆于点D ，过P 作PE上PA 交AD 的延长线于点E ，则PE=
cm.
(江苏省竞赛题)
1 1. 如图，已知AIA2A 3 …A g 是一个正九边形，AIA 2 = α
，A I A 3 =b ，则A I A s 的值为
( 全国初中数学联赛题)
.124
12. 如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 上任意一点，过E 作EF j_AC 于点
F ，延长BF 交直线AE 于点G ，则ζ BGC=
(四川省竞赛题)
13. 如图，已知在凸五边形ABCDE 中，ζBAE=3α ，BC=CD=DE ，且ζBCD=
ζ CDE=180 。一2α. 求证:ζ BAC= ζ CAD= ζ DAE.
(全国初中数学联赛题)
14. 如图，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转到正方形APQR 处，连接CQ ，
延长BP 与CQ 交于点E.
(1)证明:E 为线段CQ 的中点.
BP
(2) 若CP j_ BE ，求一一的值.
PE
(四川省竞赛题)
• •
创新
. .
15 . 如图，在Rt6ABC 中，ζC = 90 0 ,AC = 6 ，ζ BAC=60 0 •
AD 平分ζ BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE // AC 交
AB 于点E. 点M 是线段AD 上的动点，连接BM 并延长
分别交DE ，AC 于点F ，G.
(1)求CD 的长.
B
EF
(2) 若点M 是线段AD 的中点，求一一的值.
DF
(3) 请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好
只有一点p
，使得ζ CPG=60 0 ?
A
G
-~
G
D
|
应
h
H
M
℃
一
\
〉
F
-
AArt
第12 题图
A
E
C
D
第13 题图
Q
R
C
A
B
第
14 题图
B
A
备用图
第
15 题图
(浙江省湖州市中考题)
..125
数学是美丽的，她的美丽来自追求心灵的单纯、自由和超越.
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的
量(如线段长度、角度大小、图形面积等)的最大值或最小值.求几何最值问题
的基本方法有:
(1)特殊位置与极端位置法:先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具
体数据，再进行一般情形下的推证.
(2) 几何定理(公理)法: 应用几何中的不等量性质、定理.
(3) 数形结合法: 揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、
二次函数等.
(4) 路径引领法:即先确定动点路径形状，进而求最值.
198 5 年，科学家用激光使石墨棒气化，得到
一个由60 个碳原子组成的空心球状的C60 分子，
而在此之前，人们只知道碳单质有三种形态: 金
刚石、石墨、碳纤维.
C60 的形体是阿基米德体中的"五六六式"多
面体，有32 个面、60 个顶点，每个顶点上有一个
碳原子，是一个美丽而精致的琼体.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
睛'
如图，在矩形ABCD 中，AB 斗，AD = 3,
以点C 为圆心作①C 与直线BD 相切. 点P 是①C 上一
AP
个动点，连接AP 交BD 于点T ，则一一的最大值
AT
是
A
(江苏省南通市中考题)
.126
撞撞。"…
从特殊位直与
:
极端位直的研究中
易得到启示，常能
找到解题突破口，
特殊位直与极端位
直是指:
(1)中点处、垂
直位直关系等;
(2) 端点处、
1)各
界位直等.
思路点拨
AP
，AT 是同一直线上的两条动线段，通过作基本辅助线，
将问题转化为"一动、一定"的线段之比，下列图形供参考.
DI
A
A
图①
图②
B"
E J-..--'气T
班'
如图，在6ABC 中
，AB = 10 , AC = 8 , BC = 6 ,
经过点C 且与AB 边相切的动圆与CB
，CA 分别相交于点E ，
l
、o ''''''
F ，则线段EF 长度的最小值是(
C"__"F
A
A.4/2
B.4.75
C. 5
D.4.8
(甘肃省兰州市中考题)
思路点拨
设①O 与AB 相切于T ，连町，OT ，EF 为①O 直径，则EF=
OE+OF=OC+OT ，将问题转化为求OC+OT 的最小值.
[候'
如图，在四边形ABCD 中
，AD=DC 二
1，ζ DAB= ζ DCB = 90 0 ,BC ，AD 的延长线交于p
，
求AB • S MAB 的最小值.
分析与解
设PD=x(x> l). 则PC=♂巧，
CD. PA
由Rt6PCD ωRt 6PAB
，得AB = 一一一一一一=
PC
P
C
D
A
B
x + 1.
. _
_
~..
1 . _ , • _
•
, •
• _
(x + 1) 2
τ=二=，令y =AB • S 6 PAB
，则y= ~AB X PA X AB= 一一一一求y 的最小
气Zτ-1 ' ""{ y -
f1 LJ
-
O..J 6 PAB 'Y{'J Y -
2" UJ n
.L "1. n" 1..LJ
2 (x -1) ,
值，有下列不同思路:
(1)配方:4十击+2=( 序_~) 2 十4 ，
当Jx 2 1 =ι ，即当x=3 时，y 有最小值4
x -1.
2
, __ _
/x 一1
2
(2) 运用基本不等式:户一一+一一十2注2 J~ l) ~ .丁丁干+2=4 ，
2
x 一1
八J
2
x-l
当x-1
2
一一=一一，即当工=3 时，y 有最小值4.
2
x-1
噩噩国且~
撞撞。"…
数形结合法解
几何最值问题，即
适当地选取变量，
建立几何元素间的
函数、方程、不等式
等关系，再运用相应
的代数方法求解.常
:
见的解题途径是:
(1)利用一元
二次方程必定有解
的代数模型，运用判
;
另IJ 式求几何最佳;
(2) 构造二次
:
函数求几何最佳;
(3) 巧用基本
不等式.
诺贝尔生理学
:
或医学奖得主康伯
:
格说"一个建树颇
:
丰的科学家，需要对
:
一个目标高度集中，
;
又需要游离不定"
集中，使我们
:
思考深入;而游离，
:
让我们视野开阔.
.121
a f& ~ i& i:lt g.fi ñ ~t . ::h. ~ f.a
植$窜。"…
a
或实际可应用的标
:
准来反映或概括地
;
表现一类或某种事
:
物的关系结构的数
个积累模式、使用
:
模式、突破模式、创
造模式的过程.
了化归的思想，即
:
化陌生为熟悉，化
;
复杂为简单.
(3) 借用判别式:去分母，得x 2 + 2 (1 -y)x+l 十2y=0 ，
由.6.=4(1- y) 2 -4 (1 十2y)=4y(y-4) 二三0 ，得y 二抖，
当代著名数学
家徐利治曾说:按照
λy 的最小值为4.
[候~O
(1)如图①，在6ABC 中，LBAC=90 0'LB =60
0 ,AB =2 ，若
D 是BC 边上的动点，求2AD+DC 的最小值.
某种理想化的要求
学形式可以看作数
学中的一个模式.
(新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市中考题)
BLJ卜\
数学学习是一
C
E
图①
图②
(2) 如图②，在Rt6ABC 中，ζC = 90
0 , AC = 6, BC = 8 , D , E 分别是
BC ，AC 上的两个动点，且DE=4 ，P 是DE 的中点，连接PA
，PB
，求PA+
A
÷PB 的最小值
模式识别体现
α+品型(其中a
，b 为线段，走为正实数)涉及古老的"胡不归
问题"和"阿氏圆问题"，解决问题的关键是:构造与"胁"相关的线段，将问题
转化为"两点之间，线段最短"或"垂线段最短"
分析与解
A
C
-VH
\
\
千
\
布
③
A
冉
、
、
.
\
、
、
γ
图
D
B
图④
(1)如图③，作ζBCE=30 0 ，过点D 作DF l_ CE 于点F ，过点A 作AH l_
CE 于点H ，则DF= ~CD 原式=2(AD+: DC) =2(AD+DF) ，AD 十DF
2 -----
.;.，'~，-....
-
,... .............-
2
的最小值为AH ,AH =AC • sin 60 0 =3.
:.2AD+DC 的最小值为
6.
(2) 如图④，在BC 边上取点M ，使ζMPC= ζMBP
，则6MPC ω
P-c
c-B
P-P
M
一
旦
吭
一
臼
C
B
P
A
1
人MP=~PB
，MC= 一，PA 十一PB=PA+MP.
,_._-
2'---'4
.128
点P 在以C 为圆心、2 为半径的圆弧上运动，当A ，P ，M 在一条直线上
时，PA+MP 值最小，最小值叶2 +( ~ f 平
即叶7月的最小值为手
谋动而后定
解? 类寻找在运动过程中相关量的最值问题，谋动而后定是行之有效
的方法，即先探寻动点在运动过程中形成的路径形状，再运用与几何最值
相关的公理、性质解决问题.解题中常用到极端化、数形结合、合情推理、动
态思维等思想方法.
·回:wm:噩噩矗
撞撞。"…
: 路去
09369995...
式子( 1 十~ r
: 会随着n 的增大而
'
增大，当
n 无限增
[~[O
如图①，在平面直角坐标系xOy 中，以点A(队8) 为圆心的
: 大时，( 1 +妇" 无
①A 与y 轴相切于D 点，点B 的坐标是(0 ，16) ，点C 是①A 上的任一点，点
; 限地接近于一个常
M 是线段BC 的中点，求线段OM 的取值范围数，这个常数就是
( 世界数学团体锦标赛试题)
: 欧拉数e ，e 是一个
yt
x
x
x
图①
图③
图③
分析与解
即求OM 的最大值与最小值，点M 因点C 运动而运动，探寻
点M 运动路径形状是解题关键，从构造中位线切人.
如图②，连接AD ，AB ，AC ，取AB 中点N ，连接NM ，过点N 作NQ 上y
轴于Q 点，得NQ //AD.
A(川) ，B(O ，肌:. AD = AC = 10 ,BD = 8 ,MN =护C = 5 ，
问二jAD=5 ，∞= QD +OD =问= 比:. N (5 ，ω
·.· 点N(5 ，12) 为定点，且MN = 5 为定长，
.·. 点M 在以点N( 5 ，1 2 ) 为圆心、5 为半径的圆上运动.
如图③，当直线OM 经过点N(5 ，12) 时，与①N 的两个交点为Ml
，M 2 '
则线段OM 1 的长为最大值，线段OM2 的长为最小值.
.: ON = 13, : .OM1 = 18,OM2 = 8.
故线段OM 的取值范围是8 ::ÇOM ::Ç 1 8 .
: 无理数，圈中是它
的近似值-
e 是数学中最
;
重要的常数之一，它
: 如同圆周率π 那样
:
广泛地出现在数学
:
及其他各个领域中.
.129
aE噩噩噩噩噩噩
)')')'学为训练嘎嘎嘎
• •
穷实
. .
r-、、
1. 如图，在RtDABC 中
，AB=AC=4 ，点E ，F 分别是AB
，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的EF上
任意一点，连接BP ，CP ，则~ BP+CP 的最小值是
2
(广西壮族自治区桂林市中考题)
A
C
A
E
D
~F
B
C
B
第
1 题图
第2 题图
2. 如图，正方形ABCD 的边长为4 ，点E ，F 分别从点A 、点D 以相同速度同时出发，点E 从点A
向点D 运动，点F 从点D 向点C 运动，点E 运动到D 点时，E ，F 停止运动.连接BE ，AF 相交
于点G ，连接CG.有下列结论:①AF j_ BE; ②点G 随着点E ，F 的运动而运动，且点G 的运动路
径的长度为π; ③线段DG 的最小值为明一2 ;④当线段DG 最小时，DBCG 的面积s=叫
J5 .其中正确的命题序号是
(四川省遂宁市中考题)
3. 如图，已知①C 的半径为3 ，圆外一定点。满足OC=5 ，点P 为①C 上一动点，经过点。的直线
l 上有两点A
，B
，且OA=OB
，ζAPB=90 0 ，1 不经过点C ，则AB 的最小值为
(四川省德阳市中考题)
A 0
B
kc
o B
N
第3 题图
第4 题图
4. 如图，ζMON 二90
0 ，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，
A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2 ，BC= 1，运动过程中，点D
到点。的最大距离为(
).
A.4+1
B. J5
c 孚
题
考
中
市
南
济
省
东
小
山
5-0
,"
(
D
..130
-E噩噩噩‘
5. 如图，在等腰RtDABC 中，ζC=90 0 .AC=8.F 是AB 边上的中点，点D ，E 分别在AC ，BC 边
上运动，且保持AD=CE ，连接DE ,DF ，EF. 在此运动变化的过程中，下列结论:①L:-.DEF 是
等腰直角三角形;②四边形CDFE 不可能为正方形;③DE 长度的最小值为4; ④四边形CDFE
的面积保持不变;⑤L:-.CDE 面积的最大值为8.其中正确的结论是(
D. ③④⑤
C. ①③④
(重庆市中考题)
B. ①④⑤
A. ①②③
A
第6 题图
第5 题图
6 ，如图，在RtL:-.AOB 中，ζAOB = 90
0 ,OA = 3, OB = 4 ，以点。为圆心，2 为半径的圆与OB 交于
点C ，过点C 作CD l_OB 交AB 于点D ，点P 是边OA 上的动点. 当PC + PD 最小时，OP 的长
D?
B?
为(
A. ~ 2
C, l
( 山东省珠坊市中考题)
7 ，如图，已知正方形ABCD 的边长为4 ，点P 是AB 边上的一个动点，连接Cp ，过点P 作PC 的垂线交
己
B
AD 于点E ，以PE 为边作正方形PEFG ，顶点G 在线段PC 上，对角线EG.PF 相交于点O.
C
节
门
l
I
l
l
i
-
-
-
-
-
」
B
一
\
-
o
u
u
t
p
-
F
斤
1
/
\
一
D
「
|
l
l
l
l
扩
干
L
A
E
J
(1)若AP 二1，则AE =
(2) ①求证:点。一定在DAPE 的外接圆上.
②当点P 从点A 运动到点B 时，点。也随之运动，
备用图
求点。经过的路径长;
第7 题图
(3) 在点P 从点A 到点B 的运动过程中
. L:-.APE 的外
接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB 边的距离
(江苏省扬州市中考题)
.131
的最大值.
d
主昌盛罩罩t. :h.~~
8. 如图，正方形ABCD 中，AB=2 ，E 是BC 中点，CD 上有一动点M ，连接EM ，BM ，将，6.BEM 沿
BM 翻折得到，6.BFM 连接DF ，CF ，则DF 十jcF 的最小值为
(福建省福州|华侨中学自主招生试题)
~D
M
A
E
B
C
p\//\寸
B
E
DF
C
第8 题图
第9 题图
9. 如图，已知矩形ABCD ，AB=12 ，AD=3 ，E ，F 分别是AB ，DC 上的点，则AF+EF 十EC 的最
小值为
( 四川省竞赛题)
10. 如图，已知，6.ABC 的内切圆半径为r ，ζA =60 0 ，BC=2疗，则γ 的取值范围是
(江苏省竞赛题)
A
/\
B
D
A
B
第10 题图
第11 题图
11. 如图，四边形ABCD 中，AB // CD ，ζB=60 0 ，AD=BC = CD=4 ，点M 是四边形ABCD 内的
一个动点，满足ζAMD = 90 0 ，则点M 到直线BC 的距离的最小值为
(四川省绵阳市中考题)
12. 如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得，6.CMN 的
周长为2.
求:(1 ) ζMAN 的大小.
(2) ，6.MAN 的面积的最小值.
'
M
! EI
第
1 2 题图
( "宇振杯"上海市竞赛题)
.132
-Httï~=J圈圈..
13. 如图，①O 为等边b.ABC 的外接圆，半径为2 ，点D 在劣弧AB 上运动(不与
点A
，B 重合) ，连接DA
，DB
，DC.
D
A
••
(1)求证:DC 是ζADB 的平分线.
(2) 四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长z 的函数吗?如果是，求出函
数解析式;如果不是，请说明理由.
第
13 题图
(3) 若点M ，N 分别在线段CA
，CB 上运动(不含端点儿经过探究发现，点D 运动到每一个确
定的位置，b. DMN 的周长有最小值t
，随着点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有
t 值中
的最大值.
(广东省广州市中考题)
创新. •
y
14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，己知直线y=iz
2 与z 轴交于点A ，
2
与y 轴交于点B
，过A
，B 两点的抛物线y= αx 2 +bx 十C 与z 轴交于另
一点C(- l，O).
(1)求抛物线的解析式.
(2) 在抛物线上是否存在一点p ，使S 6 PAB =S 60AB? 若存在，请求出点P
的坐标，若不存在，请说明理由.
第14 题图
(3) 点M 为直线AB 下方抛物线上一点，点N 为y 轴上一点，当b.MAB 的面积最大时，求
川+joN 的最小值
(四川省达州市中考题)
.133
数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意志，深入细
致的思考，以及完美和谐的愿望.
一一柯朗
~~~知识纵横嘎嘎嘎
几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何
元素间的某些几何性质或位置关系不变.
解几何定值问题的基本方法是:
分清问题的定量及变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先
探求出定值，再给出一般情形下的证明.
1900 年8 月巴黎国际数学家大会上，著名的德国数
学家希尔伯特开始了影响整个世纪数学进程的演讲"有
谁不想知道我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的
目标?在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什
么样的新方法和成果?"紧接着他向与会者提出了
23 个数
学问题，这便是数学史上极负盛名的"希尔伯特问题"
~~~例题求解嘎嘎嘎
撞撞。"…
定值问题与一
[征。
(1)如图①，圆内接t6.ABC 中，AB=BC=CA ，OD ，OE 为①o
: 般几何证明的区别
:
在于: 定值问题的
的半径，OD 上BC 于点F ，OE _lAC 于点G ，求证:阴影部分四边形OFCG 的
结论可以给出定
:
佳，也可以不给出
:
定值; 若问题中已
明确给出定值，则
可利用图形性质，
: 通过推理或计算来
面积是t6.ABC 面积的3
(2) 如图②，若ζ DOE 保持120 。角度不
变，求证: 当ζ DOE 绕着0 点旋转时，由两条
半径和t6.ABC 的两条边围成的图形(图中阴
影部分) 面积始终是t6.ABC 的面积的t
.134
[~
:
解决; 若问题中未
:
给出定值，须探求
出定值，并完成一
(广东省中考题)
: 般情况下的证明.
·圈脑
.135
解定值问题的关
键，这是因为:若探
:
求出定位，则解题
目标明确，定值问
题就转化为一般的
探求定值的基
本方法有:
(1)特殊位直法
定值;
(2) 极端位直法
即运用运动变
:
化观点考查图形运
动变化至极端位直
时的定值;
(3) 直接计算法
即恰当引入自
变量工，并建立与
之适应的目标函数
: y = f(x)
，把问题
:
转化为求解函数中
的y 与工关系的代
数问题.
对于(1) ，连OA ，OC ，则要证S Aris AABC ，只需证明
iãl富
。00.. •
A
思路点拨
60AG豆60CF; 对于(2) ，类比(1)的证明方法证明.
[笆'
如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半
圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求
证:不管ST 滑到什么位置，ζ SPM 是一定角.
探求出定值是
几何证明问题.
(加拿大数学竞赛题)
思路点拨
不管ST 滑到什么位置，ST及ζ SOT 的度数都是定值，从探
寻ζ SPM 与ζ SOT 的关系入手.
:国飞
U'
D
H
[笆'
如图，扇形OAB 的半径。V\ =3 ，圆心角L_AOB=
90 0 ，点C 是AB 上异于A
，B 的动点，过点C 作CD _l OA 于点
D ，作CE _l OB 于点E ，连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且
即从图形运动
至特殊位直时求得
DG=GH=HE.
(1)求证:四边形∞CH 是平行四边形.
(2) 当点C 在AB 上运动时，在CD
，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线
段?若存在，请求出该线段的长度.
(3) 求证:CD 2 +3CH 2 是定值.
(广东省广州市中考题)
思路点拨
对于(3) ，设法把CH 用CD 的代数式表示，通过计算的方式
确定定值.而随着辅助线添加的不同，为探索不同的解题思路提供了可能，而
解题的关键是对等分点条件的运用.
[候'
如图①，在平面直角坐标系xOy 中，点M :tE x 轴的正半轴上，
①M 交z 轴于A
，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为AE 的中点，AE 交y
轴于G 点，若点A 的坐标为(-2 ，0) ,AE=8.
IBx
图①
aE噩噩噩. tJi ñ jt . :h. if. tA
(1)求点C 的坐标.
(2) 连接MG ，BC ，求证:MG // BC.
(3) 如图②，过点D 作①M 的切线，交z 轴于点P. 动点F 在①M 的圆
OF
周上运动时一一的比值是否发生变化?若不变，求出比值;若变化，说明变化
'PF
规律.
(广东省深圳市中考题)
分析与解
(1) C(O ,4).
(2) 先求得AM=CM=5 ，如图①连MC 交AE 于N ，由DAα2
∞DANM ，
二
OG
AO _ _
3 OG
OM
3
得一一=一一，C厄=一，一一=一一=一，又ζ BOC= ζ BOC ，
MN AN ' - -
2 ' OC
OB
8
:.DGOMω DCOB
，ζ GMO 二ζ CBO ，得MG // BC.
16
(3) 如图②连DM ，则DM j_ PD ，DO j_ PM ，D0 2 =OM.OP
，OP=τ
OF
动点F 在①M 的圆周上运动时，从特殊位置探求一一的值.
PF
OF
AO
2
3
当点F 与点A 重合时，一二一=一一=
PF AP
16
5
一-2
3
OF
OB
8
3
当点F 与点B 重合时，-;::;-一=一一=一一一=一
'_"'. 'PF
PB
16.
5
τ 十8
当点F 不与点A
，B 重合时，连接OF ，PF ，MF ，
:.DM2 =MO • MP , :.FM2 =MO • MP ,
即FM
MP
一一=一一，又ζOMF= L_ FMP
，
OM
FM
OF
MO
3
:.DMFO∞DMPF ，一一二一一=一，
PF MF
5'
OF
故-一的比值不变，比值为百
PF
[征。
如图，二次函数y =a (x 2 -2mx -3m 2 ) (其中a ，m 是常数，且
α > O ，m > O) 的图象与工轴分别交于点A
，B( 点A 位于点B 的左侧) ，与y 轴
交于点C(O ，一3) ，点D 在二次函数的图象上
，CD // AB ，连接AD ，过点A 作
射线AE 交二次函数的图象于点E ，AB 平分ζ DAE.
(1)用含m 的代数式表示α.
.136
撞撞
。" …
从特殊到一
:
般，从静止到运动，
' 通过改变圆形位
直，探讨相应的量
或关系是否发生改
变，这是几何定值
问题常见的另一表
现形式.
定值问题的结
:
构特点，在于题设
;
和结论中既有不变
的几何量，也有变
化的几何量.注意挖
掘那些隐含的定量
:
及变量，这是分析
:
和解决定值问题的
着眼点.
AD
(2) 求证·一一为定值.
.AE
(3) 设该二次函数图象的顶点为F ，探索:在z 轴的
负半轴上是否存在点C ，连接CF ，以线段CF ，AD ，AE
的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在，只
y
x
要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标才日
果不存在，请说明理由.
( 江苏省苏州市中考题)
分析与解
对于(2) ，把相关线段直接或间接用m 的式子表示;对于(3) ，
问题(2) 有启示作用，是否存在其他比值为定值的线段?
(1)将C(O ，一3)代人函数表达式得叫0-3m 2 ) =-3 ω1τ
η1
(2) 证明:如图，过点D ，E 分别作Z 轴的垂线，垂足
为M ，N.
由α ( x 2 - 2mx - 3m 2 ) = 0 解得Xj = -m , X 2 = 3m.
:.A (-m ,0) ,B (3m ,0) .
.:CD // AB
，:. 点D(2m ，一3) .
.: AB 平分ζ DAE ，λ ζDAM = ζEAN.
·.· ζ DMA= ζ ENA=90 0 ，二L:.ADMω L:.AEN.
AD AM DM
AE AN
EN.
设点E (μZ ，1L7ω 一2mx 一3加m旷川
2η训
)仆)
、
η2 -
3
上(x 2 - 2mx 一3m 2 )
m
3m
x- ( - m).
AD AM 3m
3
·. 一一=一一=一一=一(定值) .
AE AN
5m
5
(3) 连接FC 并延长，与z 轴负半轴交于一点，此点即点C.
由题意得: 二次函数图象顶点F 的坐标为(m ，- 4) .
过点F 作FH l_x 轴于点H .
OC
__ _ __
HF
: tanζ CCo = 二万，tanζFCH = 一一
α']-7-~.. L__ -~--
HC.
OC
HF
.. 一一= 一一，...α，]- = 3m.
α']-
HC 歹万
此时，CF =JCH 2 + HF 2 = J 16m 2 + 16 = 4J玩τ+ 1
，
卢一一一一
「一一一-
_ CF
4
AD = 飞IAM 2 十岛1D 2 = 飞19m 2 十9 = 3 气1m 三十1
，二一一= 一
AD
3
y
x
圄型国噩噩型矗
撞撞
。00.. •
探究"变化中
的不变、任意中的
确定"等与函数相
关的定值、定论问
:
题，恰当引参、选择
支点是解决问题的
关键.这是因为支点
既是图象的公共
点，其坐标又是由
解析式联立而得的
方程组的解.通过代
算运算、变形、引参
i肖元，而显现定值、
定论.
探讨直角坐标
系中与函数相关的
定值问题，恰当引
:
入参数，将几何条
件代数化，充分发
:
挥点在函数图象
:
上、图象支点等函
;
数特质，设而不求，
:
通过计算得出结
:
论，有别于纯几何
定位问题的解法.
.131
a~~t~ift~Jj1J~署lIlE理
:
世宿。。
言--=--百-.
最奇怪的数是
:
什么? 无穷大到底
:
有多大? 数学怎样
带来财富? 我们能
:
创造一种不可破解
的密码吗? 数学能
;
预言未来吗?
(( 影响
:
数学发展的
20 个大
问题》一书阐述了数
学中最重要、最深刻
的一系列"大问题"，
引领我们进入数学
的各个分支领域，把
;
握当代数学的基本
:
情况.
AD
3
由(2) 千导一一=一，:.AD : GF : AE=3 : 4 : 5
AE
5
.·.以线段GF ，AD ，AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G
点横坐标为一3m.
不变量与不变性
在运动变化的世界中，寻找不变量和不变性是人类的理性追求.
"咬定青山不放松，立根原在破岩中"
方程的同解变形、代数式的恒等变形、图形变换下的不变量与不变性、
几何中的定值等，包含着"动中觅静，以静制动"的思想，不变量与不变性是
数学的内在追求.
困形运动变化中的不变量与不变性常表现为:形变而量不变、形变而
影
响
数
学
发
暖
的
φ
个
大
问
题
自
些阴阳
__!l至L
AJ
[锐。
如图，已知①O 是等边.6.A1A 2A 3 的外接圆，P
是A1A 2 上任一点.求证:PA 1 +PA 2 =PA 3 •
由问题可得如下结论:
位直关系不变、位置改变而形状不变.
-Y-my
b
PA,+PA ?
1
.1
I
-.
~ -. &"
为定值.
PA 1 +PA2+PA 3
2
提出问题
如图①、②，若点P 是正四边形、正五边形外接圆上任意一
点，这个比值还是定值吗?恒为2吗?
A
图①
图②
如果点P 是正n 边形外接圆①0 的A 1 A z 上任意一点，那么
PA ，十PA ?
A
ι
为定值.即正多边形外接圆上任意一点到与它
PA 1+PAz+PA 3+ …+PA n
猜想
.138
圄望1m(噩噩矗
)'-)'-)'-学为训练嘎嘎嘎
穷实
. .
1. 如图
，AB 为半圆。的直径，M ，C 是半圆上的三等分点，AB=8 ，BD 与半圆。相切于点B
，点P
为AM上一动点(不与点A
，M 重合) ，直线PC 交BD 于点D ，BE j_ OC 于点E ，延长BE 交PC
于点F ，连接PB
，则下列结论正确的是
. (写出所有正确结论的序号)
f气
4
( PB=PD;
②BC 的长为一π;
③ζ DBE=45 0 ;
④DBCF∞DPFB;
3
( CF. CP 为定值.
(湖南省岳阳市中考题)
y
D
B
A
--吗咀
。
o
B
第
1 题图
第2 题图
2. 矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2 疗，2) ，点A 在工轴上，点C 在y 轴
上，P 是对角线OB 上一动点(不与原点重合) ，连接PC ，过点P 作PD j_ PC ，交工轴于点D ，连接
CD.有下列结论:
①OA=BC=2 点;
②当点D 运动到OA 的中点处时，PC 2 + PD 2 =7;
③在运动过程中，ζ CDP 是一个定值;
。
1':>.
④当DODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为(专，0)
其中正确结论的个数是(
).
A.l 个
B.2 个
C.3 个
D.4个
(四川省达州市中考题)
3. 如图，内接于①0 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设①0
的半径为R. 求证:
(1) AK 2 十BK 2 +CK 2 + DK 2 是定值.
(2) AB 2 +BC 2 +CD 2 +DA 2 是定值.
第3 题图
.139
aE噩噩噩i. tJi ñ~* . 1L~tJl
4. 在üABC 中，ζBAC=90 0 ，AB 二AC.点D 在边BC 上，DE _l DA 且DE=DA.AE 交边BC 于
点F ，连接CE.
A
B
C
B
E
图①
(1)特例发现:如图①，当AD=AF 时，
①求证:BD=CF;
②推断:ζACE=
。
A
A
C
B
C
E
E
图②
图③
第4 题图
(2) 探究证明:如图②，当AD 芋AF 时，请探究ζACE 的度数是否为定值，并说明理由.
EF
1
(3) 拓展运用:如图③，在(2) 的条件下，当一一=一时，过点D 作AE 的垂线，交AE 于点p ，交
AF
3
16
AC 于点K
，若CK = τ ，求DF 的长.
5. 如图，二次函数YI=a(x-m) 2 十n'Y 2 =6αx 2 + n
(α < O ，m > O ，n > O) 的图象分别为C 1
，C 2 ，C 1 交y
轴于点p ，点A 在C 1 上，且位于y 轴右侧，直线
PA 与C 2 在y 轴左侧的交点为B.
(1)若P 点的坐标为(0 ，2)
，C 1 的顶点坐标为(2 ，
4) ，求α 的值.
(2) 设直线PA 与y 轴所夹的角为α.
①当α=45 0 ，且A 为C 1 的顶点时，求am 的值.
y
PA
②若α = 90 0 ，试说明:当a
，m ，n 各自取不同的值时一一的值不变.
, PB
(3) 若PA=2PB
，试判断点A 是否为C 1 的顶点，并说明理由.
.1咽
( 湖北省襄阳市中考题)
y
备用图
第5 题图
( 江苏省泰州市中考题)
-~
6. 如图，AB 是①0 的直径，AC 二BC ，AB=2 ，连接AC.
(1)求证:ζ CAB=45 0 •
(2) 若直线J 为①0 的切线，C 是切点，在直线J 上取一点D ，使BD 二AB
，BD
所在的直线与AC 所在的直线相交于点E ，连接AD.
①试探究AE 与AD 之间的数量关系，并证明你的结论;
EB
②←一是否为定值?若是，请求出这个定值;若不是，请说明理由.
CD
第6 题图
(广东省广州市中考题)
产飞
PA + PB. . ,,__.
D
7. 如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧AB 上的一点，求证·
的值为
μ
'PC+ PD
定值.
(克罗地亚数学奥林匹克竞赛题)
A
第7 题图
••
创新. •
8. 将抛物线C
: Y = (X - 2) 2 向下平移6 个单位长度得到抛物线C 1 ，再将抛物线C 1 向左平移2 个
单位长度得到抛物线C 2 •
(1)直接写出抛物线C 1
，C 2 的解析式.
(2) 如图①，点A 在抛物线C(对称轴l 右侧)上，点B 在
对称轴l 上，L::.OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角
形，求点A 的坐标.
(3) 如图②，直线y 二是X( 是手0 ，走为常数)与抛物线C 2 交
于E ，F 两点，M 为线段EF 的中点; 直线
y =
一仨与抛物线C 2 交于G ，H 两点，点N 为线段GH
的中点.求证: 直线MN 经过一个定点.
y
图①图②
第8 题图
x
(湖北省武汉市中考题)
.141
. :.t ..
·望
、，三
J'
..~!
1I..t:;
.,_'
.~
1.:"
, 1
f
综合与拓展
在科学研究中，首先要能够发现好的、重大的问题，只有找对了方向，
才能不断发现、解决一系列重要的问题.而要找到好的问题，不仅需要丰富
的学识，更关系到一个人的观念和文化的品位.
一一丘成桐
~~~知识纵横嘎嘎嘎
抛物线与直线形结合的表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存
在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式:
(1)抛物线上的点能否构成等腰三角形?
(2) 抛物线上的点能否构成直角三角形?
解这类问题的基本思路:假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考查.
美国克莱数学研究所于
2000 年
5 月
24
日在巴黎法兰西学院宣布" 七个千禧年数学
难题"，每个问题悬赏
1 00 万美元.
~~~例题求解嘎嘎嘎
[锐'
如图，已知抛物线y=ax 2 +bx 十c 经过
A(-2 ,O) ,B(4 ,O) ，C(O ，4) 三点.
(1)求该抛物线的解析式.
撞撞。"…
中考数学综合
题有以下特点:
(1)融合了丰
富的数学知识;
(2) 渗透了重
要的数学思想
方法;
(3) 体现了较
高的思维能力.
解与几何相关
的综合题时，常需
:
要考虑下列情形:
(1)概念不
确定;
(2) 经过点B 的直线交y 轴于点D ，交线段AC
X
(2) 对应关系
于点E ，且BD=5DE.
①求直线BD 的解析式;
②已知点Q 在该抛物线的对称轴J 上，且纵坐标为1，点P 是该抛物
线上位于第一象限的动点，且在1 右侧.点R 是直线BD 上的动点，若
不确定;
(3)
图形位置
关系不确定;
(4)
因运动而
引发的讨论.
.143
aE墨主EIUIî盛盛革噩
，6 PQR 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，求点P 的坐标.
(四川省泸州市中考题)
思路点拨
对于(2) ②，作出与等腰直角三角形相关的辅助线，由线段关
系，求点P 的坐标.但点P 因动点R 运动而运动，其位置唯一吗?
嚷~8
已知抛物线y= 走x 2 +2kx-3走交z 轴于A
，B 两点(A 在B 的
左边) ，交y 轴于C 点，且y 有最大值4.
(1)求抛物线的解析式.
(2) 在抛物线上是否存在点p
，使，6 PBC 是直角三角形?若存在，求出
P 点坐标;若不存在，说明理由.
(内蒙古自治区包头市中考题)
思路点拨
对于(2) ，设P 点坐标为(α
，b)
，寻找相似三角形，建立a
，b
的另一关系式，解联立而得的方程组，可求出α
，b 的值.
[售CÐ
如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y 二ω 2 十bx-8 与
z 轴交于A
，B 两点，与y 轴交于点C ，直线1 经过坐标原点。，与抛物线的一
个交点为点D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A
，D 的坐标分
别为(一2 ，0)
，(6 ，一8) .
(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标.
(2) 试探究抛物线上是否存在点F ，使，6FOE 三，6FCE ，若存在，请直接
写出点F 的坐标，若不存在请说明理由.
(3) 若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(O ，m)
，直线PB 与
直线J 交于点Q.试探究:当m 为何值时，，60PQ 是等腰三角形.
(山西省中考题)
YI
J斗
YI
x
x
图③
图③
1
0
_
1 , .
.
^
25
(1) y 二云x 2 -3x-8 二: (X-3) 2 一一，BC8 ，0)
，EC3 ，-4).
2 --
---
-
2 ' ~
- ,
2
分析与解
.144
主âl童
。00...
求出相应的点
:
的坐标是解与直角
坐标系相关综合题
的基础与关键，基
:
本方法有:
(1)计算线段
长;
(2) 运用解析
式;
(3) 解由解析
式联立的方程组.
解抛物线上的
:
等腰三角形问题，
:
充分运用等腰三角
:
形相关性质是解题
关键.常见应用方
式为:
(1)由"等腰"
建立方程;
(2)
由等腰三
角形构造其他图形.
(2) 假设存在点F ，使得L::，FOE 三L::，FCE ，则FO = FC ,EO = EC (计算
得EO=EC=5) ，从而有YF=jy c =-4 ，如图①，直线y=-4 与抛物线的
两个交点Fl
，F 2 即为所求，FI (3- jI宁，-4)
，F 2 (3+汀7
，-4).
(3) L::，OPQ 为等腰三角形只有两种可能情形:OP= α3 或PQ= α-;J.因Q
点坐标无法用m 表示并建立m 的方程，故需将等腰三角形OPQ 的性质外传
到其他图形中，即挖掘目标等腰三角形外的隐含条件，利用或构造其他图形
求解.
①如图②，当OP=OQ 时，过点E 作ME// PB
，交y 轴于点M ，则M
(0 ，一5) 直线ME 的解析式为ffz-5 ，直线BP 的解析式为y=fz
;，
P(0 ，一;)，即m= 一;
②如图③，当OQ=PQ 时，.:OE=EC
，:.CE// PB ,
4
. .._ _ _ ... .._
._ .
4
32
直线CE 的解析式为y=
~ x-8 ，直线PB 的解析式为y=-;::x 一一
3 ~
~ ~ ....c::::L.-...........
-
-
........., 1 "
I
1/ I -- ""./.., J
3 --
3
32\
__
32
2(0 ,-E) , EP m= 一子
8._
32
故当m 的值为-Et 一
时，DOPQ 是等腰三角形.
3 -/~
3
-2盖~监
撞撞
。00.. •
量
。
k
d
叮
、
，
J
J
H
H
n
抽
凡
伺
础
d
年
睛
…
白
川
剧
解题策略
解题策略是指解题时采取的方针、原则和方法，一切策略的出发点在于
变换问题，即把面临的问题转化为一道或几道易于解决或已经解决的问题
成功解决问题
问题转化是把一个复杂的问题的条件、结论，依某种关联不断地进行
;
的关键在于心理因
分离、重组，把原问题转化为若干新问题，直至每个新问题都成为基本问题素和非心理因素方
面的战略规划、战
圃'
如图，在平面直角坐标系中，直线「tz+
习
4
2 交Z 轴于点p ，交y 轴于点A ，抛物线y=-j什bx+c
的图象过点E( 一1 ，0) ，并与直线相交于A ，B 两点.
(1)求抛物线的解析式.
术方法的运用以及
联系广泛的思维视
角的自由转换.
例
4 以抛物线
x
为载体，设直基本
几何图形在坐标系
中的综合背景，蕴
含了观察、猜想、推
(2) 过点A 作AC _LAB 交z 轴于点C ，求点C 的坐标.
:
理、论证等数学活
(3) 除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得DMAB 是直角三角形?
:
动，考查了函数、方
若存在，请求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由程、相似、分类讨论
(云南省昆明市中考题)
:
等知识方法.
.1崎
aE噩噩噩1m置.1L~t.I
分析与解
对于(3)
，ζAMB=90。或ζABM=90 O，当ζAMB =90 0 ，借
助圆确定M 点位置，构造相似三角形基本图形.
1 _. 3
(1) v = - : xz+ :x+2.
-'
2 -
2
α:::
OA _ _
OA 2
22
2 _ _ _ 2
(2) 易证L:.Aα7∞L:.POA ，得一一=一一，(汇=一一=一=一.λC( 一一，0).
OA
OP ' ~ -
OP
6
3 . ---
,
3
(3) 假设除点C 外还存在点M ，使L:.MAB 为直角三角形.
11 7
L若ζABM=90 0 ，可求得点B( ττ).
过点B 作BMj l_AB 交z 轴于点M j ，设M j (m
，O)
，作BD l_ x 轴于点
D ，贝U L:.BDM j ω L:. PDB. λ BD 2 =M j D • DP.
:. (子
m)( 6 一号)=(~f ，解得m= 罢，
:.M j (罢，0)
n.若ζAMB 二90 0 ，则M 点是以AB 为
直径的圆与坐标轴的交点，图中M 2 ,M 3 ,M 4
为满足条件的点.
①当点M 2 在y 轴上时，连接BM 2 ' 则四
边形ODBM 2 为矩形.
均M2 =BD= 二，叫(0 ，二)
y
4
x
11
②当点M3 在z 轴上时，连接AM3 ，BM3 '设M3 (η ，0) ，则DM3 = τ -n.
.OM3
OA
/11
\
.: L:.AOM 3 ∞L:.M 3 DB
， :.一一一=一一;- ,n ( 一-n 1=2 X 一，
o
~_.- o --
， - - BD
DM3 '
飞
3
..,
- -' 9'
11 一斤百
11+/65
解得η1- 一-7一一，n 2 = 一一一一一
6
. .-.
6
经检验n j
，n 2 均符合题意，
故叫旦亏壶，0) ，M4 (平，0)
综上所述，存在使L:.MAB 为直角三角形的点:M j 号，o) ，M2 (oj) ，
M3 (平，0) ，M4 (平，0) ，共4 个点
.146
撞撞
。00.. •
特别是问题
( 3 ) 通过转译构造
辅助圆，充分运用
圆的性质解决问题.
隐形的圆，犹如隐
形的翅膀，实现了
解题中的智慧托举.
解抛物线上的
直角三角形问题，
直角三角形性质运
用方式有:
(1)利用勾股
定理建立方程;
(2) 构造与
90 。
;
相关的常见全等三
角形、相似三角形.
·画画~
~~~学为训练嘎嘎嘎
1. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x + 10 与工轴、y 轴相交于A ，B 两点.点C 的坐标是
(8 ，4) ，连接AC ,BC.
(1)求过O ，A
，C 三点的抛物线的解析式，并判断ßABC 的形状.
(2) 动点P 从点。出发，沿OB 以每秒2 个单位长度的速度向点B 运动;
同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1 个单位长度的速度向点C
运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设
运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA=QA ?
(3) 在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A
，B ，M 为顶点的三角形
是等腰三角形?若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由.
y
第1 题图
( 山东省临沂市中考题)
2 . 如图，已知抛物线y =ax 2 +bx +c (a 芋0) 的对称轴为直线工= -1 ，且经过
A (1，0) ，C(0 ，3) 两点，与z 轴的另一个交点为B.
(1)若直线y = mx+ η 经过B
，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式.
(2) 在抛物线的对称轴x=- l 上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点
C 的距离之和最小，求点M 的坐标.
(3) 设点P 为抛物线的对称轴x =-l 上的一个动点，求使ßBPC 为直角
三角形的点P 的坐标.
ty
第2 题图
x
x
(山东省枣庄市中考题)
3 . 如图，抛物线y = αx 2 十bx 十C 经过点A( -2 ，5 )
，与工轴相交于B( - l，O)
，
C(3 ，0) 两点.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2) 点D 在抛物线的对称轴上，且位于z 轴的上方，将ßBCD 沿直线BD
翻折得到ßBC'D ，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C' 和点D
的坐标.
(3)设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，
当ßCPQ 为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式.
y
A
第3 题图
(四川省成都市中考题)
..147
抛物线与特殊四边形
科学家的好奇心是永远满足不了的，因为随着每一个进展，正如巴甫
洛夫所说
" 我们达到了更高的水平，看到了更广阔的天地，见到了原先在
视野之外的东西"
一一贝弗里奇
~~~知识纵横嘎嘎嘎
抛物线与直线形结合的另一表现形式是以抛物线为载体，探讨是否存在
一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常见的基本形式:
撞撞
。00...
1喃喃-:巳.咽-卢.
综合题的解题
策略:
(1)认真审题，
(1)抛物线上的点能否构成平行四边形?
对条件的全面分析、
(2) 抛物线上的点能否构成矩形、菱形、正方形?
:
转译和改造是解好
特殊四边形的性质与判定是解这类问题的基础，而待定系数法、数形结
;
综合题的前提;
合、分类讨论是解这类问题的关键.
奥地利裔美国数学家哥德尔(1906- 1978) 是
一位哲学意味浓厚的数学家. 1931 年他证明的不完
备性定理如今已成为数学史上最重要的定理之一，
既推翻了数学所有领域都能被公理化的信念和努
力，又摧毁了希尔伯特设想的证明数学内部相容性
的全部希望.
~~~例题求解嘎嘎嘎
(2) 化复杂为
羊一，拆综合为基
本，善于联想与转
:
化是解综合题的
关4走;
( 3 ) 恰当地分
离与重组是解综合
题的重要手段.
在中考综合题
中，动点的运动既
蝠'
会影响与图形相关
如图，抛物线y= - zft 十bx 十c 与工轴交于点A
，B
，与y 轴
;
的数量关系，又会
交于点C ，点B 的坐标为(6 ，0) ，点C 的坐标为(0 ，的，点D 是抛物线的顶点，改变图形的位直及
过点D 作z 轴的垂线，垂足为点E ，连接BD.
:
形状.从而生成特殊
(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标.
三角形、特殊四边
形、相似三角形，解
(2) 点F 是抛物线上的动点，当ζ FBA= ζ BDE 时，求点F 的坐标.
题的关键是把图形
(3) 若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN //x 轴与抛物线交于点
:
的几何性质与点的
N ，点P 在z 轴上，点Q 在坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MP-
:
坐标有机结合.
.1咽
NQ ，请写出点Q 的坐标.
y,
y,
X
A
X
备用图
( 山东省枣庄市中考题)
思路点拨
对于(2) ，由等角构造相似三角形，建立含F 点坐标的方程;
对于(3) ，从对称性分析，探寻点M ，P ，Q 的联系.
[割草，
如图，抛物线y= -x 2 +bx 十c 与工轴
分别交于A(- l，O)
，B( 5 ，O) 两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2) 在第二象限内取一点C ，作CD 垂直z 轴于
点D ，连接AC ，且AD=5 ，CD=8 ，将Rt6ACD 沿
C
D
z 轴向右平移m 个单位长度，当点C 落在抛物线上时，求m 的值.
x
(3) 在(2) 的条件下，当点C 第一次落在抛物线上记为点E ，点P 是抛物线
对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q ，使以点B ，E ，P ，Q 为顶点的
四边形是平行四边形? 若存在，请求出点Q 的坐标;若不存在，请说明理由.
(四川省宜宾市中考题)
分析与解
对于( 3 ) ，BE 可为平行四边形对角线或边，故需分类讨论，解
题的关键是怎样充分运用架构在直角坐标系中的平行四边形的性质.
(1) y = - x 2 + 4x 十5 .
(2) 0: 点C 的纵坐标为8 ，
二-x 2 +4x + 5=8 ，解得xj =l ，工2=3 .
当z 二1 时，m = l 一( - 6)= 7; 当x=3 时，m = 3 一( - 6 ) =9 .
综上所述，将Rt6ACD 沿z 轴向右平移7 个单位长度或9 个单位长度
时，点C 落在抛物线上.
( 3) 0: y 二-x 2 十4x 十5 = 一(X - 2) 2+ 9 ，
.·. 抛物线的对称轴为x = 2 .
由(2 ) 可知点E 坐标为(1，8 ) .
①当BE 为平行四边形的边时，连接BE 交对称轴于点M ，过点E 作
EF j_x 轴于点F ，过点Q 作对称轴的垂线，垂足为点N ，如图，则6PQN
主♀6EBF.
EZZZEz--
撞撞
。00...
g唱唱-:巳--幅-.
抛物线上架构
的平行四边形问题
:
常用到下面知识
方法:
(1)平行四边
:
形性质;
(2)
直角坐标
系下图形平移性质;
(3 ) 构造全等
三角形;
: 口j g
(4) 运用坐标
公式，如图:
XA+ XC= X B+ X D'
Y A 十YC = Y B + Y D .
A
D
.L
/
C
..149
a
f&: ~ t& i1t gJi固
:.NQ=BF=OB-OF=5-1=4.
设Q( x ，y ) ，则QN= Ix -21.
由
I x -2 1= 4 ，得x = - 2 或工=6 ，
当工=-2 或工=6 时，代人抛物线解析式可求得
y= 一7 ，
.·.点Q 坐标为(一2 ，一7 ) 或(6 ，一7) .
②当BE 为对角线时，
.: B(5 ,0) ,E (1, 8) ,
.·.线段BE 的中点坐标为( 3 ，4) ，则线段PQ 的中点坐标为(3 ，4 ) .
设Q( x ，y)
，P(2 ，t)
，
.·. z 十2= 3X 2 ，解得x = 4 ，把工=4 代人抛物线解析式可求得y=5 ，
:.Q(4 ,5) .
综上所述，点Q 的坐标为( -2 ，一7) 或( 6 ，一7)或(4 ，5) .
怎样审题
x
审题的本质是从问题本身去获取从何处入手、向何方前进的信息与启
示，是从问题得到"如何解这道题"的逻辑起点.
审题的关键是在弄清字句含义的基础上，明晰数学意义、挖掘隐含条
件、建立条件与结论之间的数学联系.
圃'
如图，抛物线y=a( x + 1) 2 + 4( α 手0) 与z
轴交于A ，C 两点，与直线y= x -l 交于A ，B 两点，直线
AB 与抛物线的对称轴交于点E.
/
!οI/\ A x
(1)求抛物线的解析式.
(2) 若点P 在直线AB 上方的抛物线上运动.
①点P 在什么位置时，LABP 的面积最大，求出此
时点P 的坐标;
②当点P 与点C 重合时，连接PE ，将LPEB 补成矩形，使LPEB 上的
两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，
求出矩形未知顶点的坐标.
( 四川省资阳市中考题)
分析与解
对于(2) ②，解题的关键是充分借用矩形，构造相似的直角三
角形，建立坐标间联系.
.150
iê'蠢。00 •••
单主等教授在数
学普及与数学竞赛
方面做出了突出贡
献，并且具有很强
的解题能力.他对解
题精辟的看法和独
到的见解，集中体
现在他的著作《解
:
题研究》一书中.他
:
提倡"解题应以简
单、自然为上，简单
自然往往是正确的
感觉" " 对待多解，
:
应分清优劣，择善
而从""教师应具有
j
较高的解题鉴赏
力"等.
C 1) y = -
X 2 -
2x 十3 .
(2) ①P(-7 号) (请读者自己完成)
②由-x 2 -2x+3=0 ，得x] =-3 ，x z =lC 舍去) ,
D
λ P(-3
，0).
二• P( -3 ,0) ，E(- l，一2)
，B(-4 ，一日，
:.PE=2J2 ,BE=3J2 ,PB =12否，
.·.ζ PEB=90 0 •
( i )以BP 为对角线，点E 是矩形的顶点时，如图②所示，易求得直线
PD 的解析式为y=x+3 ，直线BD 的解析式为y=-x-9.
(γ =x 十3 ，
rx=-6 ,
由干
得斗
此时D(-6 ，一3) .
ly=-x-9 ,
ly=-3.
( ii )以BP 为边，点E 在BP 对边上时，如图③所示.过
点B 作y 轴的平行线交z 轴于点N ，过点M 作MTj_BN.
而
-
n
M
B
QU
QU
BT MT
BM
由6BTMω6 PNB
，得一一=一一=一一
可PN
BN
PB'
30
'.BT= 一.MT= 一.
13 '---
13 '
'.M( 一言，-2)
过点F 作FK j_ x 轴于点K.
FK
PK
FP
由6FKP ω 6PNB
，得一一=一一=一一，
PN BN
PB
6
_ __
30
_ _ I
9
6
、
'.FK 二
.PK 二，λFf 一，一) ,
13 ' ---
13
'
飞
13
'
13 / '
图②
图③
22
7L _ I
9
6
λ 所求点的坐标为D(-6 ，一3) ，M(
丑'
E) ,F(
五，-l
V3)
~~~学为训练嘎嘎嘎
y
1. 如图，抛物线y=ax z +bx+c 与z 轴交于点A(- l，O)
，点B(-3 ，0)
，
且OB=OC.
(1)求抛物线的解析式.
(2) 点P 在抛物线上，且ζ POB= ζACB
，求点P 的坐标.
(3) 抛物线上有两点M ，N
，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m 十4.
点D 是抛物线上M ，N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN
•~蕃司$1m豆~
植嚣。"…
x
x
x
第
1 题图
.151
aE翠m~l'vfilf主lflIj罩.
于点E.
①求DE 的最大值;
②点D 关于点E 的对称点为F. 当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形?
(四川省南充市中考题)
2 . 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4 ，边OA
，OC 分别在工轴、y 轴的正半轴
上.把正方形OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P 为抛物线
y = - (x -m) 2 +m 十2 的顶点.
(1)当m=O 时，求该抛物线下方(包括边界)的好点个数.
(2) 当m=3 时，求该抛物线上的好点坐标.
(3) 若点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在8
个好点，求m 的取值范围.
(浙江省金华市中考题)
y
P
x
第2 题图
3. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=- x 2 + bx+ c( c> O) 的顶点为D ，与y 轴的交
点为C. 过点C 的直线CA 与抛物线交于另一点A( 点A 在对称轴左侧) ，点B 在AC 的延长线
上，连接OA
，OB
，DA 和DB.
(1)如图①，当AC //x 轴时，
①已知点A 的坐标是(一2 ，1)，求抛物线的解析式;
②若四边形AOBD 是平行四边形，求证:b 2 二4c.
BC
3
(2) 如图②，若b=-2
一一= 一，是否存在这样的点A
，使四边形AOBD 是平行四边形?若存
'AC
5
在，求出点A 的坐标;若不存在，请说明理由.
(浙江省湖州市中考题)
y
y
D
D
B
图①
图②
第3 题图
.152
科学家就是为解决重大的科学问题来到世上，绝不是为受到别人的
提拔和奖励才做研究的.从中学开始，我就自己找困难的几何问题，寻找自
己的数学之路.
一一一丘成桐
~~~知识纵横嘎嘎嘎
iâl章
。00.. •
..-咽~τ咽-.
面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素
:
读题、审题，明
边与角.由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的常见形式.解这
; 确解题方向，分清
类问题常用到以下与面积相关的知识:
(1)图形的割补;
(2) 等积变形;
(3 ) 等比转化.
英国伦敦科学博物馆陈列着具有数学智慧的玻
璃制品
，这就是克莱因瓶. 1 882 年，德国数学家克莱因
(1 849- 1 925 ) 设计发明了这个著名的" 瓶子"，克莱因
瓶是一个只有一个面的封闭曲面，是一个没瓶底的瓶
子. 一只爬在" 瓶外" 的蚂蚁，可以通过" 瓶颈" 爬到" 瓶
内" 去，其实克莱因瓶并无内外之分.
~~~例题求解嘎嘎嘎
圃'
如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，2 ) ，点B 的坐
:
条件的结构、层次，
:
善于抓住关键的条
:
件(能为解题提供
方向) ，对局部条件
的转译改造(使之
字母化，便于推
理) ，充分挖掘隐含
:
条件，是解好综合
:
题的前提.
" 等(同)底、等
( 同)高、等面积"这
标为(3 ，1) ，二次函数y 二工2 的图象记为抛物线l l .
三个论断，以其中
(1)平移抛物线I I
，使平移后的抛物线过A ，B 两点，记为抛物线l 2 ，如图
: 任两个为条件，可
②，求抛物线l 2 的函数表达式.
:
推得第三个结论. 灵
活运用这些关系
(2) 设抛物线
l 2 的顶点为C ，K 为y 轴上一点，若5 f',.ABK = 5 f',.ABC ，求点
:
时，常与中点、平行
K 的坐标.
线、梯形、平行四边
(山东省威海市中考题)
:
形相关联.
.153
aE军噩噩墨画罩墨E函盈·
y
• B
x
。
x
。
图①
图②
思路点拨
(1)设K 点坐标为(0 ，川，通过对图形的分割计算，建立h 的
方程;(2) K 点必在平行于AB 的直线上，从等积变形入手.
圃'
如图，已知点A(m ，6) ，阳，1)为两动
点，其中0<m < 3 ，连接OA ,OB ,OA j__OB.
(1)求证:mn=-6.
(2) 当5 6AOB = 10 ，抛物线经过A
，B 两点且以y
轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数关系式.
x
(3) 在(2) 的条件下，设直线AB 交y 轴于点F ，过点F 作直线l 交抛物
线于P ，Q 两点.问是否存在直线
1
，使5 6 P曰
: 5 6∞IF =l : 3? 若存在，求出直
线J 对应的函数关系式;若不存在，请说明理由.
( 山东省摊坊市中考题)
思路点拨
对于(3) ，假设存在直线J 交抛物线于P ，Q 两点，且使5 6 POF :
PM
MF
5 6∞F =l : 3 ，作PM j__ y 轴于M 点，QN j__ y 轴于N 点，则一一=
=
J
1 1'-""1
-.1
~
.
Jn ,\
T
/
'-.1 QN
FN
PF
1
一一=一，设P 点坐标为(t
，-t 2 +10)
，把Q 点坐标用t 的代数式表示，并建
QF
3
立t 的方程.
如何转化
数学各部分之间是相互联系、相王转化的，解题的过程就是把所要解
决的问题转化为已经解决的问题，通过条件的转化、结论的转化，化难为
易、化繁为简.
常见的转化方式有:已知与未知的转化，特殊与一般的转化，数与形的
转化，运动与静止的转化，文字语言、符号语言、图形语言之间的转化.
.154
撞撞。"…
面积比较可化
:
为线段比，且常与
:
相似三角形联系在
一起.
而几何条件代
数化，把几何问题
转化为代数问题，
:
是解直角坐标系中
综合题的关键，是
:
数形结合最主要的
体现.
高层次思维不
:
是简单的感知、记
忆、复述或应用，而
:
是有意识地围绕特
:
定目标所付出的持
续心理努力，是需
:
要发散、研究、判断
:
和反思等认知活动
:
的复杂思维，具有
非常规性、情境性、
开放性.
EZZZEZE』
"155
撞撞
。00.. •
数学是一座美
丽的花园，一片深
:
邃的海洋，一个奇
:
妙的世界.
正如杨振宁教
: 授所言"任何科学
: 领域都存在美，只
:
要你能用心发现它
:
的美，你就能攀登
:
到科学的顶峰"
:
体解答中，运用特
:
殊化、不等分析等
:
方法，详细给出了
E 点个数的存在情
;
形，而问题的本质
:
是因S ['，OCD 为定值，
S 只随S ['，OED 的变
化而变化.
x
(2) 点P 是抛物线对称轴上的动点，当AP _L
CP 时，求点P 的坐标.
(3) 设直线BC 与工轴交于点D ，点H 是抛物线与工轴的一个交点，点
E(t
，n) 是抛物线上的动点，四边形OEDC 的面积为5. 当S 取何值时，满足
条件的点E 只有一个?当S 取何值时，满足条件的点E 有两个?
y
如图，已知抛物线y = αX Z + bx +c
蝠'
经过点A(2 ，3) ,B(6 ,1) ,C(0 ,-2).
(1)求此抛物线的解析式，并用配方法把解析
式化为顶点式.
(内蒙古自治区包头市中，考题)
由点的个数的探讨联想到"根的判别式"，解题的关键是寻找
n
，5 的关系，并建立关于t 的一元二次方程.
分析与解
1 /
7 \ 2
33
(1)y=-E( z -E)+ 石·
ω 设点叶m) ，分别过点A 和点C 作对称轴的垂线，垂足分别为A' ，C' ，
.: AP _LPC ,:. LAA'P ∞LPC'C ，
出
7
-
2
一
一
q
L
-
门
，
中
一
一
+
7
一
2
-
m
P-r
-C
A-c
--
A-C
A-P
得
可
1 __ ... _ / 7 3 \ _ / 7
1
解得m ，- 言，m z =
言，所以P ，( 言'刻'P 2 ( 言，- ~)
(3) 由BC 直线的解析式y=lz
2 ，得D(4 ，0). 因为四边形OEDC 的
2
y
顶点E 只能在z 轴的上方，所以n > O.
1
又5=5 MCD +5 "'-OED = 一X 2 X 4十一X 4n 二4 +缸，
ιι
2
由川得5=旧川故n=?2
x
问题
( 3) 的具
因为点E(t
，n) 在抛物线上，
所以有一
t 2 十
t-2=n ，代人n=: 一2 ，
1
n
• 7
2-
2
①
得
t 2 一7t+5=0.
方程①的判别式[:.= 4 9 - 45.
49
33
当[:.=0 时，得5 =---;-, n =一
4 , . -
8
此时方程①只有一解，故满足条件的点E 只有一个，位于抛物线的顶
点处.
dE理主EI!lI罩罩署E盛军温·
49
__ _ , _
_ _
49
当.6.>0 时，S<Z ，又5 >4 ，所以4<5<τ
此时点E 的情况如下: ①设B'是抛物线上点B 的对称点.
当5=6 时，由t 2 二一7t + 6=0 ，得t=l 吱t=6 ，η 二三-2= 1，此时点E
2
的坐标为(1，1)，即满足条件的点E 与点B' 重合.
49 .
._.
_ __ _ . _ . _ _ .. .__
..
. _ _
33
当6<5<τ时，.6.>0 成立，方程①有两个不同的解，此时l < n <言，故
满足条件的点E 位于直线BB'上方的抛物线上(不含顶点).
49
所以当6~5 <~ 时满足条件的点E 有两个.
②当4<5<6 时，.6.>0 ，方程①有两个不同的解，此时，O< n < l ，而满足
条件的点E 只能在点H 与点B'之间的抛物线上.
故此时满足条件的点E 只有一个.
~~~学为训练嘎嘎嘎
穷实. •
罹植
。0 0 .. •
1. 如图①，抛物线y=ax 2 +bx +c 经过平行四边形ABCD 的顶点A(0 ，3) ,B(-1, O) ，D(2 ，3)
，抛
物线与z 轴的另一交点为点E. 经过点E 的直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部
分，直线l 与抛物线交于另一点F .点P 为直线l 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t.
(1)求抛物线的解析式.
(2) 当t 为何值时，L:，.PFE 的面积最大?并求最大值的立方根.
(3) 是否存在点P 使L:，.PAE 为直角三角形?若存在，求出
t 的值;若不存在，说明理由.
( 山东省林坊市中考题)
y
y
x
x
图①
备用图
第1 题图
.156
EZZ233·-
2 已知抛物线y=a(x 一川c 经过点A(-2 ，0) 和C(O ，~)，与Z 轴交于另一点B ，顶点为D
(1)求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标.
y
y
D
D
备用图
第2 题图
(2) 如图，点E ，F 分别在线段AB
，BD 上(E 点不与A
，B 点重合) ，且ζ DEF= ζ DAB
，则
D DEF 能否为等腰三角形?若能，求出BE 的长;若不能，请说明理由.
S f\. PBD
(3) 若点P 在抛物线上，且言主L=m ，试确定满足条件的点P 的个数.
OJ 6CBD
3 . 已知直线I I :y=-2x 十10 交y 轴于点A ，交z 轴于点B
，二次函数的图象过A
，B 两点，交z 轴
于另一点C ，BC = 4 ，且对于该二次函数图象上的任意两点
P1 (X1 , Y 1 ) , P 2 (X 2
，Y 2 )' 当
工I >X2~ 5 时，总有Y 1> Y 2 .
(1)求二次函数的表达式.
(2) 若直线
l 2 :y=mx+ η(η 芋10) ，求证:当m=-2 时，l 2// l1'
(3)E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线
l 3 :y = -2x +q 过点C 且交直线AE 于点F ，求
DABE 与DCEF 面积之和的最小值.
(福建省中考题)
.151
适当难度的数学问题，应该成为人们揭示真理之征途中的路标，同时
又是在问题获解后能带给人们喜悦的珍贵纪念品.
一一希尔伯特
Þ'Þ'Þ 知识纵横
嘎嘎嘎
点的运动既能改变与图形相关的数量关系，又能改变图形的形状及位
置，从而造就相似三角形，抛物线与相似三角形的结合是抛物线上几何架构
的重要表现形式.
由相似三角形的性质确定动点位置，从定性到定量(点的坐标的确定) ,
若两个三角形相似，其中一个三角形的形状是确定的，则另一个三角形的形
状也是确定的. 深入发掘"定三角形"的性质，内传外导，化归研究"动三角形"
因点的运动或对应关系的不确定而进行的讨论，是解这类问题的关键.
数学有两种品格，其一是工具品格，其二是文化
品格. 数学文化的深远意义和至高价值在于: 数学教
育会一直在学生的生存方式和思维方式中潜在地起
着根本性的作用，并且使人受用终身.
Þ'Þ'Þ' 例题求解
嘎嘎嘎
[哩。
如图，直线y = 2x+2 与工轴交于点A ，与y 轴
交于点B .把6AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，过点B 的抛
物线y =- x 2 + bx 十c 与直线BC 交于点D(3 ，- 4) .
(1)求直线BD 和抛物线的解析式.
(2) 在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M ，作MN
.y.
x
垂直于工轴，垂足为点N ，使得以M ，O ，N 为顶点的三角形与6BOC 相似?
若存在，求出点M 的坐标; 若不存在，请说明理由.
(3) 在直线BD 上方的抛物线上有一动点p ，过点P 作PH 垂直于工轴，
..158
撞撞。"…
点的坐标是综
:
合题的立足点(求解
:
析式) ，又是综合题
的制高点(求满足条
件的点的坐标或存
:
在性探求) ，求点的
坐标一般历经下面
两个关键步骤:
(1)定位;
(2) 计算.
交直线BD 于点H. 当四边形BOHP 是平行四边形时，试求动点P 的坐标.
(山东省东营市中考题)
思路点拨
对于(2) ，由于6MON 与6BOC 的对应关系不确定，所以应
分类讨论.
n
可+J3
L慢'
如图，抛物线y= 丁巳x 2 +bx +c 与工轴
交于A
，B 两点，点A
，B 分别位于原点的左、右两侧，BO
=3AO=3 ，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点
分别为C ,D ,BC=f3 CD.
(1)求b ，c 的值.
(2) 求直线BD 的函数解析式.
(3) 点P 在抛物线的对称轴上且在z 轴下方，点Q 在射线BA 上.当
6ABD 与6BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标.
(广东省中考题)
思路点拨
对于(3) ，因A
，B
，C ，D 四点是确定的，故6ABD 的三边长是
确定的，此三角形有怎样的特殊性?这是解题的关键.于是，动三角形BPQ 也
有这样的特性，可将钝角三角形化归为两个特殊的三角形，使数量关系明朗化.
y
睛'
如图，经过点A(O ，-4) 的抛物线y=卡+
bx 十C 与z 轴相交于点B(-2 ，O) 和C ，。为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式.
(2) 将抛物线y=j什bx+c 向上平移二个单位长
度，再向左平移m(m>O) 个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P
在6ABC 内，求m 的取值范围.
(3) 设点M 在y 轴上，ζ OMB+ ζ OAB= ζACB
，求AM 的长.
(江苏省南通市中考题)
分析与解
对于(2) ，计算、画图，将问题转化为线段的
计算;对于(3) ，分割大角或补全小角，构造全等形、相似形.
(1 )y=卡-x-4
y
(2) 如图①，抛物线的顶点为(l，-~)d~C 为(4 ，
图①
川(1，一~ )向上平移7个单位，得点H (1，一1)
•时司曰~
植擂
。00.. •
考查内容的综合
性，主现方式的递
:
进性，解题过程的
:
探索性，解答方法
的多样性，这些是
:
压轴题的特点.
正确地辩析
题
析
轴
辨
压
本
研
基
键
如
由
"
关
压
的
的路径是:
(1)能否发现
问题中的隐含条件;
(2)
能否将问
题与所学知识建立
联系;
(3)
能否全面
地解决问题.
6 0AC
为等
腰直角三角形是例
3 隐含的一个重要
:
条件，随着对条件
不同方式的转译与
构造，问题(3) 有多
:
样的解法(如下图) .
J l
A
BX
M'
。
!
-
n
/
L
J
寸
~
r
v
M
「
AIAY-
p
f
e
￥
/
ι
.
.
·
L
飞
一
作
-
-
(作
MP
_l
AB
，视ζ OMB +
:
ζ OAB 为整体)
.159
a
f&~~i1t'Ji ñjt .匾罩..
过点H 作HG __L OA 于G ，交AB 于F ，则点P 向左平移的范围就是线
3
5
_ _ _
_5
段HF
，HF= 一+ 1= 一，:.O<m < τ
2 ,-
2'
- 2
(3) 下面解法仅供参考.
如图②，作ζ PCO= ζ BAO ，则ßPOC单ßBOA ,PO=BO=2=AP ,
作PH __LAC 于点H ，PH 二AH=J言，:.CH=3j2.
·.·ζ OMB 十ζ OAB= ζACB
，ζ PCO= ζ BAO ，
PH
CH
λ ßPCH ω ßBMO ，得一一=一一，:.MO=6.
BO
儿10
当M 在y 轴正半轴时，AM = 6 + 4 = 10; 当M 在y
轴负半轴时，AM=6-4=2.
λ AM=10 或2.
不动点
1910 年，荷兰数学家布劳威尔证明了如下定理:
Y A
M
图②
让一个圆盘里的所有点连续运动，则总有一个点可以回到运动前的位直.
这就是著名的不动点定理.
含参数的函数图象随参数的变化而变化，但这些图象常常恒过定点.
[锐'
如图，已知点M(-2 ，1)1g抛物线y=j
X2 上一点，过点M 作MA __LMB
，分别交抛物线于A ，B
两点.求证:直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.
分析与证明
大胆引人参数，构造相似三角形，
综合运用根与系数关系，探寻参数间关系.
过点M 作PQ //X 轴，AP __L PQ 于点P ，BQ __L PQ
于点Q ，设直线AB:y 二走x+b ，
r
1
n
由~y= "4川导卡-kx-b=O ，
ly= 走x+b
:.XA +XB = 牲
，XAX B= -4b.
y
y
由ßAPMωßMQB 得Ap. QB=卧MQ 即(74 一叶
x
x
x
- (XA +2) (XB +2) ,:. 11~ (XA 一2) (X B 一2)=-1 ，xAxB-2(xA 十xB)+4 =
16
一16 ，:.一份一以+4=-16 ，b=5-2走
，:.AB :y= 走x+5-2k = 走(x-2) 十
5 过定点(2 ，5).
.160
撞撞。"…
看似平淡无奇
的问题，为思维的
磨炼提供了舞台，
:
有常用方法的故技
重施，有大胆联想
的豁然开朗，有图
:
形割补的巧夺天
工，在思想统领下，
:
异曲同工，共展数
学思维之美.
布劳维(1881
1966) ，荷兰数学
家，拓扑学的奠基
:
人之一，他的突出
:
贡献是建立了布劳
:
威尔不动点定理以
:
及证明了维数的拓
:
扑不变性.布劳威尔
:
把数学看作是心灵
的自由创造，在其博
士论文《论数学基
础》中开始建立直觉
:
主义的数学哲学.
-zzz23·』
~~~学为训练嘎嘎嘎
1. 如图，二次函数y=ax 2 +bx+4 的图象与z 轴交于点A(- l，O) ，B(4 ，O) ，与y 轴交于点C ，抛
物线的顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ，垂直于工轴的动直线f 分别交抛物线和线段
BC 于点P 和点F ，动直线J 在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿z 轴正方向移动到B 点.
(1)求出二次函数y = αx 2 + bx 十4 和BC 所在直线的表达式.
(2) 在动直线1 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P
的坐标.
(3) 连接CP ，CD ，在动直线
l 移动的过程中，抛物线上是否存在点p ，使
得以点P
，C ，F 为顶点的三角形与6DCE 相似?如果存在，求出点P
的坐标，如果不存在，请说明理由.
(山东省聊城市中考题)
2. 已知二次函数y=ax Z 的图象经过点(2 ，1) .
(1)求二次函数y=ax Z 的解析式.
(2) 一次函数y 二mx +4 的图象与二次函数y = ax 2
的图象交于A (Xl 'Yl) ,B (X Z ，Y z ) 两点.
y
x
第1 题图
y
①如图①，当m =; 时，求证: 6AOB 为直角三
角形;
图①
图②
第2 题图
3
②如图②，试判断当m 芋一时，6AOB 的形状，并证明.
2
(3) 根据第(2) 问，说出一条你能得到的结论. (不要求证明)
B x
x
( 甘肃省兰州市中考题)
.161
.·Ei草草屋盛画画温u莲31
3. 如图，抛物线y=1z Z 十bx+c 与工轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左边) ，与y 轴交于点C.直线
2
y =仨- 2 经过B ，C 两点
y
y
备用图
第3 题图
(1)求抛物线的解析式.
(2) 点P 是抛物线上的一动点，过点P 且垂直于z 轴的直线与直线BC 及工轴分别交于点D ，
M.PN j_BC ，垂足为N.设M(m ,0).
"162
①点P 在抛物线上运动，若P ，D ，M 三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重
合除外) ，请直接写出符合条件的m 的值;
②当点P 在直线BC 下方的抛物线上运动时，是否存在一点p ，使L::，PNC 与L::，AOC 相似?
若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.
(湖北省鄂州市中考题)
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。
一一傅立叶
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
角是平面图形的基本要素，全等三角形、相似三角形的常用判定方法关
联着角.二次函数与三角形相结合的一些综合题中，已知条件常含等角或与
角有关的数量关系，这是抛物线上图形架构的重要表现形式.解这类问题的
关键是:运用与角相关的条件构造全等三角形、相似三角形、特殊三角形等，
求出相关线段的长，为问题解决奠定基础.
哲学家如此重视数学，而数学又始终
影响着哲学.数与量、变与不变、相同与不
同
、偶然与必然、连续与离散、演绎与归纳、
抽象与具体…… 没有数学与哲学，我们什
么也看不透.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
琪'
如图，抛物线y = ax 2 + bx - 5 (α 手0) 经过点
A (4 ，一日，与z 轴的负半轴交于点B
，与y 轴交于点C ，且
OC=50B
，抛物线的顶点为点D.
(1)求这条抛物线的表达式.
(2) 连接AB
，BC ，CD
，DA
，求四边形ABCD 的面积.
(3) 如果点E 在y 轴的正半轴上，且ζ BEO= ζABC ，
求点E 的坐标.
y
x
( 上海市中考题)
思路点拨
对于(3) ，由等角可得LiBEC ω LiFBC; 若视ζ BEO 为Rt
LiBEO 一内角，则过点C 作CH _l AB 于点H ，构造LiBEO∞Li CB H; 若能
发现隐含条件ζ OBF=45 0 ，ζ BFC=135 0 ，则又得LiABC ∞Li FEB
，故解法
多样的原因在于挖掘隐含的角及运用等角条件.
撞撞
。00.. •
有些抛物线中
f
的等角是隐含的，坐
标关系、三角函数
:
值、图形变换等知识
方法，是发掘隐含等
角的常用方法.
.163
d
11:王Bfa'vl!jf署EI:'JtW
圃'
如图，己知抛物线y=-x 2 十2汁3 与工轴相
交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为D ，抛物线的对称
轴与BC 相交于点E ，与z 轴相交于点F.设P 为工轴上一
点，ζ DAO+ ζ DPO= ζα ，当tanζα=4 时，求点P 的坐标.
(江苏省南通市中考题)
x
主!sl毒
。00.. •
构造的基本形
:
式是以已知条件为
"原样"，以数学关
思路点拨
ζα 是图中哪个角?由tanζα=4 寻找，求出相应点的坐标，系为"支架"，以所
;
求结论为"方向"，
须由数到形，这样角的和的关系可转化为角的相等关系，这是解题的关键.
转埠与掏遭
转译即将原问题转化为一个相同或相似的熟悉问题，或改述问题的条
件或结论，或用不同的方法重新叙述问题.
构造即依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处
理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质.
恰当的转译是正确构造的基础，常见的构造方式有:
(1)构造方程、函数;
(2) 构造全等形、相似形;
(3) 构造所需代数式或图形.
圃'
如图，在平面直角坐标系中，直线y=jz+2 与z 轴交于点A ，
:
使问题得到转化与
:
解决.
英国著名哲学
家维特根斯坦被称
为最有数学意味的
:
哲学家之一，正是
:
他把逻辑学提高到
纯粹哲学的高度.
(( 逻辑哲学论)) (( 哲
学研究》是他留下
的堪称经典的哲学
:
著作.
1
:
《逻辑哲学论》
与y 轴交于点C ，抛物线y = - ; X 2 + bx + c 经过A
，C 两点，与z 轴的另一
j
的中心问题是:语
交点为点B.
y
y
x
备用图
(1)求抛物线的函数表达式.
(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.
①连接BC ，CD
，设直线BD 交线段AC 于点E ，6CDE 的面积为乱，
6B叫面积为叫去的最大值
②过点D 作DF 上AC ，垂足为点F ，连接CD
，是否存在点D ，使得
.164
言是如何成为其语
言的?
LCDF 中的某个角恰好等于ζBAC 的2 倍?若存在，求点D 的横坐标;若
不存在，请说明理由.
(江苏省盐城市中考题)
分析与解
LABC ，LBC汇，LA使是三边之比如
: 2
: 15 的直角三角形.
1
^
3
(1 )v= 一-t 一=x +2.
./
2--
2
_ _ _ .... s ‘
DE
对于(2) ，直接把SI
，S 2 用相应参数表不是困难的
-1
一一，过D 点作
'S 2
BE
DH j_x 轴于点H ，交AC 于点G ，过点B 作BK j_ x 轴于点B ，交AC 于点
K ，则BK=2 ，
I
1
^
3
、
设D(α ，一-d 一--::-a 十2) ,
飞
2-
2-'-'
1
^
m-SI- DE-DG-DG-31D31 G
-Eα - t，α
… 一一一一二一一一
-
/'~ S 2
BE BK
5
5
5
222
当α=-2 时，DG 最大值为2 ，去的最大值为;
(3) 简化图形，如图，解题的关键是分类讨论及化
二倍角的关系为等角的关系，取AB 的中点p ，则
ζ CPB=2ζ BAC ，ζ DFC=90 0 ，*ζ CPB.
.:A( - 4 ,O) ,B (1, O) , C(O , 2) ,
:.AC 二2 汀，BC = 点，AB = 5, AC 2 + BC 2 =
AB 2
，即ζACB=90 0 •
-j川)2 十2
5
2
D
y
5
P(-7 ，归A = PC = PB 二言，ζCPO = 2L.BA
:. tanL.CPO =叫2ζ阳) = f
x
过点A 作AQ上AC 交CD 延长线于点Q ，过点Q 作QH 上z 轴于点H.
情况1
如图①，ζ DCF = 2ζBAC ，即ζ QCA = 2ζ BAC ，
4 . AQ
AQ
4
•• tanζ QCA = 一
. . 一一=一τ= 一，
3 ' •• AC
215
3
8J 5
. . __
8 __ _
16
:. AQ = 亏，:.AH = 弓，HQ = 言'
Q( 一号，手)
又川2) , 直线QC 的方程为y =- jz+2 ，
y
x
图①
-E歪歪~
iãl蛋
。00.. •
怎样运用条件
中的等角，是解决
，
抛物线与角的关系
这类问题的关键.角
的关系不是孤立存
: 在的，要学会对己
:
有条件进行衍生加
工、对条件之间可
:
能存在的关联进行
:
判断.内图外化、转
换化归，可以让思
维的发展自然顺畅.
.165
aE理望理匮噩噩罩
nu
--
Z
十
z
l-2
qJ"
十
Z
3
一2
z
l-2
一
y
解得XI =O( 舍去) ，工2 =-2 ，λ xD=-2.
情况2
如图②，ζ FDC 二2ζ BAC ，即ζAQC=2ζ BAC ，
4
~ AC
乙5
4
•• tanζAQC= 一.·.一一---二二一
3 '..AQ
AQ
3
3J5
:.AQ= 一τ ，:.AH 亏，HQ 斗，
11
·刀( - l2l ,3).
图②
又C(0 ，2) ，:.直线QC 的方程为y=-jiz+2 ，
J
11
nu
--
z
ny-n4
9
μ
-
q
L
十
Z
1-2
qL
+
Z
3-2
Z
1-2
一
y
29
29
解得XI=O( 舍去) ，口=一一，.··ZD= 一一，
11
>
~
~ -~
11
29
综上所述，D 点的横坐标为一2 或者一一.
11
~~~学力训练嘎嘎嘎
主ã*宴
。00.
y
x
1. 如图，已知二次函数y =ax 2 +bx +c ( α 手0) 的图象经过A ( -1 ,0) ,B (4 ,0) ,C (0 ，2) 三点.
(1)求该二次函数的解析式.
(2) 设点D 是该二次函数图象上的一点，且满足ζDBA= ζ CAO
(点。是坐标原点儿求点D 的坐标.
(3) 点P 是该二次函数图象上位于第一象限内的一动点，连接PA
分别交BC ，y 轴于点E ，F. 若DPEB ，DCEF 的面积分别为乱，
5 z，求51-52 的最大值.
.166
y
x
第
1 题图
( 四川省泸州市中考题)
EE岳壶司SE~豆~
2. 抛物线y= x 2 十bx 十C 经过点AC - 3 ，O) 和点BC2 ，O)
，与y 轴交于点C.
y
图①
(1)求该抛物线的函数表达式.
y
图②
第2 题图
(2) 点P 是该抛物线上的动点，且位于y 轴的左侧.
y
x
x
图③(备用)
①如图①，过点P 作PD ..lx 轴于点D ，作PE ..l y 轴于点E ，当PD=2PE 时，求PE 的长;
②如图②，该抛物线上是否存在点p ，使得ζACP= ζOCB? 若存在，请求出所有点P 的坐
标;若不存在，请说明理由.
(海南省中考题)
3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =tt -b 经过坐标原点，与Z 轴正半轴交于点A ，该抛
物线的顶点为M ，直线y = -1z 十b 经过点A ，与y 轴交于点B ，连接OM.
2 -
. -
~
(1)求b 的值及点M 的坐标.
(2) 将直线AB 向下平移，得到过点M 的直线y =
mx + η ，且与工轴负半轴交于点C ，取点D( 2 ，
0) ，连接DM ，求证: ζADM 一ζACM = 4S 0
•
(3) 点E 是线段AB 上一动点，点F 是线段OA 上
一动点，连接EF ，线段EF 的延长线与线段
OM 交于点G. 当ζ BEF = 2ζ BAO 时，是否存
y
y
M
M
备用图
第3 题图
在点E ，使得3GF = 4EF? 若存在，求出点E 的坐标;若不存在，请说明理由.
(内蒙古自治区包头市中考题)
.161
数学毕竟是人类思维独立于经验之外的产物，它怎么会如此美妙地
适应于各种现实目的呢?
一一一爱因斯坦
~~~知识纵横嘎嘎嘎
抛物线、圆都是轴对称图形，抛物线上圆的架构，珠联璧合，展示出整体
的平衡与和谐.
直线与圆相切是与直线、圆有关的位置关系中特殊而重要的一类，在直
角坐标系中，由动点生成的相切问题，把点的坐标、直线形、抛物线、圆等丰富
iâl妻
。00...
直线与圆相切
时，圆心到直线的
的知识融合在一起，既引进了运动观念，又考查了数形结合、分析转化、分类
讨论等思想方法及探究能力.
对称、和谐、简单、统一…… 从古希腊神话到现代
原子理论，从大爆炸到大数据时代，科学发展受到美
的引领，又反过来影响着美.
知识与方法的统一性是科学的不懈追求.
宇宙学家保罗
· 戴维斯说
" 所有学科都是对统
一性的寻找
"
~~~例题求解嘎嘎嘎
[制'
已知，抛物线y=ax 2 十bx+3(α <0 ) 与
工轴交于A( 3 ，0 ) ，B 两点，与y 轴交于点C .抛物线的
对称轴是直线工= l，D 为抛物线的顶点，点E 在y 轴
C 点的上方，且CE = t
(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标.
( 2 ) 求证: 直线DE 是6ACD 外接圆的切线.
y
D
x
ω 在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使SAACP = fhcD ，求点P
的坐标.
(湖北省鄂州市中考题)
.168
:
距离等于半径;直
线与过切点的半径
:
垂直. 这些性质为运
用勾股定理、建立
方程提供了基础，
是解相关问题的
关键.
坐标系中圆与
直线位直关系的判
定，常需运用勾股
定理及其逆定理，
以算助证，体现了
代数风格.
思路点拨
对于(2) ，确定圆心位置，作出与切线判定相关辅助线，将问
题转化为线段的计算.
说"悟"
学习之道在于"悟"，"悟，觉也"美国数学家匹克奥弗曾说，解题贵在顿
悟，要像中国禅宗那样思考问题.
通过问题可以了解知识是怎样融合的，感受解题中所蕴含的数学思想
方法，探寻从问题出发生成的进一步应用和研究的价值，体会数学的整体
性，不断丰富解决问题的策略.
[锐'
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y 二αx 2 + bx 十C 的图象
经过点A( 一1，0) ,B (0 , - J3) ,C(2 ，0) ，其对称轴与工轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标.
(2) 若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则:PB+PD 的最小值为
2
( 3) M( s ，t) 为抛物线对称轴上的一个动点.
①若平面内存在点N ，使得以A ，B ，
M ，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点
N 共有
个;
②连接MA
，MB
，若ζAMB 不小于
60 0 ，求t 的取值范围.
(江苏省徐州市中考题)
y
y
(备用图)
分析与解
对于(3) ②，从ζAMB = 60。切人，先求出点M 的坐标. 由定
线段张定角，自然想到隐含的"圆"，于细微中发力，在隐藏中发现，这是解题
的关键.
JE 2 JE
10 /E
(1 ) y =γ 一τx -J言，顶点坐标为( 言，_ J~V )
(2) 如图①，连接AB ，过点P 作PH l_AB 于点H.
O: A(- l，O) ，B(O ，一点) , ... ζABO= 300 ，ζBPH = 600 ，
-PH = ;肌· 当点D ，P ，H 三点在同一直线上，
卧PH 最小，此时，AD 二? ，ADH =ω
y
图①
-~
iã'毒
。00.. •
问题的背景载
体、呈现方式、设问
方式、综合性、应用
性、创造性决定了
问题的难度.
扎实的基础知
:
识和技能、丰富的
:
数学思想方法、较
宽的知识背景、较
强的知识链接能
力、一定的直觉思
维、居高临下的解
题视角
、灵活多变
的解题策略有助于
;
在解题时化难为易.
思维之花是世
:
界上最美丽的花
朵，思维由问题产
生，从疑问与惊奇
开始.
科学巨匠爱因
:
斯坦曾说"我们所
创造的这个世界，
是我们思维的产
物，不改变我们的
思维，就不可能改
变我们的世界"
.169
a-歪歪理1t g.fi ñ j! . :h.孟aI
13 . ~ 313 . 1 ..n I
n r. .41-.1=1. .1, /;l<.lL. 3J3
..DH= γAD= 一，:. : PB 十PD 的最小值为1二.
>
4 '
2
(3) ①AB=J0-1) 2 十(厅) 2 =2.
当AB 为边时，a 若AM 二AB ，如图②，.点A 到对称轴z=j的距离为
?<AB ，..对称轴z=l上有2 个点M 满足要求，此时有2 个点N 满足题
2
意;b 如图③，若BM=AB ，.: I~ B 到对称轴z=÷的距离为÷<2 ，.·对称轴
z=?上有2 个点M 满足要求，此时有2 个点N 满足题意;
当AB 为对角线时，如图④，根据菱形的对角线互相垂直平分，对称轴
z=2上有1 个点M 满足要求，此时有1 个点N 满足题意
.·.这样的点N 共有5 个.
y
y
N,
图③
'M.
图③
图④
OA
J3
②如图⑤，Rt ，6.AOB
中，.: tanζABO= 一一二二
OB
3'
y
.·. ζABO=30 0 • 作AB 的中垂线，与y 轴交于点E ，连接
EA
，则ζAEB=120 0 • 以E 为圆心，EB 为半径作圆，与抛
物线的对称轴交于点F ，G.
则圆周角ζAFB= ζAGB =60 0 ，从而线段FG 上的
点满足题意.
图⑤
点
一3
B
E
B
O
E
O
-
仙
一
3
届
一
2
一
叫
B
E
1 \ 2
I
I
I 13 \ 2
1213 \ 2
设F( 言，t ) ，由EF 2 =EB 2 ，得(二十(t + 了)二(了r ，解得t=
一213+汀百」
-213 -/3百
且t=
^
,
一213 +/3百
1 -213 -/3百
(言'6) ，G( 言'6).
一213 -/3百
-213+λ百
λt 的取值范围是
^
•. <t<
.110
世握
。00...
EZ主~恤
~~~学为训练嘎嘎嘎
1. 如图，抛物线y= αx 2 +6αx( α 为常数，a >O) 与工轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点
D 的坐标为(t ,0) (-3< t< 0) ，连接BD 并延长与过O ，A
，B 三点的①P 相交于点C.
(1)求点A 的坐标.
(2) 过点C 作①P 的切线CE 交z 轴于点E.
①如图①，求证:CE=DE;
J3
/~ .~
/ ~~ ~_， _b.. 1
1
②如图②，连接AC ，BE ，BO ，当α= 一，ζ CAE = ζ OBE 时，求一一一一一的值.
3
，，，--' -~
，，--- ~ -, '-'-OD
OE
( 湖南省长沙市中考题)
y
y
E x
'E
.x
B
B
图①
图②
第1 题图
2 如图，在平面直角坐标系中，直线y z -jz 十2 与Z 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线
5 3
y 二一;叫工十C过点B 且与直线相交于另一点C(η)
(1)求抛物线的解析式.
y
(2) 点P 是抛物线上的一动点，当ζ PAO =
ζ BAO 时，求点P 的坐标.
叫N川(问< ~ )在Z 轴的正半轴上，
点M(O ，m) 是y 轴正半轴上的一动点，且
满足ζMNC = 90 0 •
①求m 与η 之间的函数关系式.
②当m 在什么范围时，符合条件的N 点的个数有2 个?
y
x
x
备用图
第2 题图
(湖北省成宁市中考题)
.111
~~~也A也~~也~~也斗14~~ι~~~~~~~斗>..斗也斗>..~~也斗也
与圆相关的计算
~~~~~~~~ι~~~~~ι~ -I归l~~~~~~~~~ι
与圆相关的计算包括弧长、扇形面积、弓形面积的计算，圆锥的侧面积和
全面积的计算等，计算的重点是与圆相关的不规则图形面积的计算，解题的
关键是将不规则图形转化为可解的规则图形面积的计算，在转化过程中常用
到下列方法:图形割补、图形变换、等积代换、方程思想、对称观念等.
德国物理学家海森伯曾说"在精密科学中，丝毫
不亚于在艺术中，美是启发和明晰的最重要的源泉"
"我感到极度惊讶，透过原子现象的外表，我看到了一
个异常美丽的内部结构，当想到大自然如此慷慨地将
珍贵的数学结构展现在我眼前时，我几乎陶醉了"
撞撞。"…
在计算与圆相
关的阴影面积时，
: 恰当地对图形分
割、补合、拼凑，或
:
灵活运用平移、翻
:
折、旋转等变换，能
:
化分散为集中，变
不规则图形为规则
图形，方便从整体
:
上解决问题.
圃'
如图，正6ABO 的边长为2 ，0 为坐标原点，A 在Z 轴上，B 在
第二象限. 6ABO 沿z 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得
6A 1 B 1 0 ，则翻滚3 次后点B 的对应点的坐标是
AB 中点M 经过的路径长为
正多边形的翻
，翻滚2017 次后
:
滚常与图形的旋转
·
相关联，需确定旋
(浙江省街州市中考题)
转中心和旋转角度.
Y
B
I
A,
A
x
思路点拨
厘清翻滚过程中点M 经过路径的形状及路径长的规律是解
题的关键.
圃'
如图，将半径为2 、圆心角为1 20。的扇形OAB 绕
A
点A 逆时针旋转60 0 ，点。，B 的对应点分别为0' ，B ' ，连接
BB' ，则图中阴影部分面积是(
).
A ;π
B. 2 13一?
c. 213一字
D. 413→子
B'
。
B
(河南省中考题)
.112
:
解题过程犹如电影
:
的慢镜头，通过定
:
格、分析细节而获
:
解.
‘
'
-E歪E置重噩.
思路点拨
恰当连线，把阴影部分面积用常规图形面积和差表示，为此，
需计算出一些必要条件，充分运用图形旋转性质.
撞撞
。00.. •
[锐'
如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB=
8 ，ζCBA=300 ，点D 在线段AB 上运动，点E 与点D 关于
AC 对称，DFl_DE 于点D ，并交EC 的延长线于点F.则当
D 从点A 运动到点B 时，求线段EF 扫过的面积.
(浙江省台州市中考题)
E
A
D
0
掌握知识固然
B
重要，但是选择恰当
的解题策略并能适
时转变解题思路，在
分析与解
点E ，F 随点D 的运动而改变位置，确定点E ，F 的运动路径
: 解决问题的过程中
及起止位置，进而把握线段EF 扫过的形状是解题的关键，不妨从特殊点入手有更重要的作用.
连接CD ，.:点D 与点E 关于AC 对称，
:.EC=CD ，EG=囚，ζEAC=600 ，且∞//DF ，
:.EC = CF = CD ，即点D 与点F 关于BC 对
称，ζFBC=30 0 ，
这样，当点D 从点A 运动到点B 时，
点E 的运动路径AM 与AB 关于AC 对称，
点F 的运动路径NB 与AB 关于BC 对称-
:. EF 扫过的图形就是如图所示的阴影部分，
而S 阴影=2S ，ð.ABc =16汀，故EF 扫过的面积为16 ，)3 .
理'
如图，正方形ABCD 的边长如，分别以正
A
方形的四个顶点为圆心，边长为半径，在正方形内画圆弧，
求图中阴影部分的面积.
(江西省竞赛题)
分析与解
由图形的对称性，设正方形的各部分面积
分别为x ，y ，z ，从如下方面寻找等量关系:
(1)正方形的面积;
(2) 圆心角为90。的扇形面积;
(3) 由线段BC ，CE与BE 围成的曲边三角形的面积.
x+ 4y +4z = 矿，
I x + 3v 十2z = 车α 2 ，
于是有r
~ J
4
x+2y+z = (2 X恙叶S 6叫
图①
面对冥思苦想而
仍无结果的问题时，
不妨转换视角，期许
"柳暗花明又一村'飞
B
D
C
恰当地引元，
:
布列方程，是计算
与圆相关的阴影面
积的重要方法，而
为减少设元个数，
需从整体上分析图
:
形结构特点，对称
:
思想观念对问题解
:
决起着引领作用.
.113
a噩噩噩噩lII~jf噩矗萃'
解得
x =(l- f3 +;) α 2
对于例4 ，层层追问，逆向思考，还可得到下面的解法:
要求图①中阴影部分的面积，只要知道图②、图③中阴影部分的面积即可.
要求图③中阴影部分的面积，只要知道图④、图⑤中阴影部分的面积即可.
图②图③图④图⑤
要求图⑤中阴影部分的面积，只要知道图⑥中阴影部分的面积即可.
从图中可以看出，图⑥中的阴影部分可以分为三块，即图⑦的两个扇形
和图⑧的正三角形.
图⑥
图⑦
图@
当思路曼阻时
无法找到解题的突破口，或推算几步就"卡壳"，或运算过于繁难，这些
是解题中的思路受阻常见现象，下面是思路受阻时常用的处直策略:补充
信息，条件与目标王补，动静转换，等价转化，自我调控.其中"自我调拉"主
要表现为在思路受阻时对解题思路进行评价、调节、发问，如条件与目标有
何差异或联系?怎样达到目标等.
[~[. 如图，一个圆形花坛分成了三个区，四个小圆
两两相交的公共部分是中心区，四个小圆以外的部分是外
围区，中心区栽花，外围区种草，试比较S
，T 的面积大小.
分析与解
S
，T 的面积看似没有关联，而圆是对称圆
形，图中又隐含信息，由此可得意想不到的结果.
把图沿大圆直径对折，即能发现4 块S 的面积相等，4 块T 的面积也相
等，下面从总体上看中间4 个S 与外沿4 个T 的面积是否相等.因为图中大
圆的半径等于小圆半径的2 倍，所以大圆面积等于4 个小圆面积的和，而4 个
小圆重叠部分的面积，应与4 个小圆在大圆中的空隙相等，所以S 与T 的面
积相等.
.114
iãl毒
。00.. •
~丘--e-卢.
例
4 的解题过
;
程生动表明:一个
复杂的问题可分解
为若干个简单问题.
而善于分析，化整
为零，使复杂的问
题简单化、明朗化
是解题的关键.
古希腊科学家
希波克拉底提出并
证明了如下命题，被
称为"月牙形定理"
如图，以
Rt
6ABC 各边为直径
的三个半圆围成的
两个新月形(阴影部
分)的面积和，等于
直角三角形的面积.
下面是该定理的
可视化证明，即利用
图形证明问题的方法.
幽
幽
幽
幽
幽
幽
幽
不著一字，尽
得风流.
-;Ji .g. l:H~ .11险
·
练习
..
、
1.如图，在扇形BOC 中，ζ BOC=60 0 ，OD 平分ζ BOC 交BC于点D ，点E 为半径。B 上一动点.若
OB=2 ，则阴影部分周长的最小值为
( 河南省中考题)
2. 如图，在RtL:-，ABC 中，ζ BAC = 30 O，以直角边AB 为直径作半圆交AC 于点D ，以AD 为边作
等边三角形ADE ，延长ED 交BC 于点F ，BC=2汀，则图中涂色区域的面积为
(湖北省恩施土家族苗族自治州中考题)
CA
…
。
b7
-
L
ν
M
V
DL
C
一
\
\
\
d
a
F
AKIll--llLB
f~D
o
E，儿主」
第1 题图
第2 题图
第3 题图
3. 如图，半径为2cm 的①O 与边长为2cm 的正方形ABCD 的边AB 相切于E ，点F 为正方形的
中心，直线OE 过F 点.当正方形ABCD 沿直线OF 以每秒(2 -[3) cm 的速度向左运动
-一秒时，①0 与正方形重叠部分的面积为(;π一点) cm2
(湖北省鄂州市中考题)
也. 如图，在RtL:-，ABC 中，ζ BCA=90 0 ，ζBAC=30 0 ，BC=2 ，将RtL:-，ABC 绕点A 顺时针旋转90 。
得到Rt L:-，ADE ，则BC 扫过的面积为(
).
π
A
_:_:_
2
B. (2-[3)1(
c 罕π
D.π
( 山东省济南市中考题)
5. 如图，直径AB=6 的半圆，绕点B 顺时针旋转30 0 ，此时点A 到了点A ' ，则图中涂色部分的面积
为(
π
B3π
A. 2
4
c.π
D. 3π
( 四川省攀枝花市中考题)
D
内
D卢同甘可
C
d
A
B
A
B
第4 题图
第5 题图
第6 题图
6. 如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90 。至图中①位置，继续绕右下角的
顶点按顺时针方向旋转90。至图中②位置，依次类推，这样连续旋转2017 次.若AB= 4 ，AD= 3 ，
.115
a
Il重
iftfJi 1nt .盛军'
则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为(
).
A.2017π
B. 2034π
C. 3024π
D. 3026π
(四川省达州市中考题)
7 . 如图，①P 的半径为5 ，A
，B 是圆上任意两点，且AB=6 ，以AB 为边作正
方形ABCD( 点D
，P 在直线AB 两侧) .若AB 边绕点P 旋转一周，求CD
边扫过的面积.
(江苏省连云港市中考题)
8. 如图，单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆(与角两边及三角形内
切圆都相切的圆)的内部挖去，求三角形剩下部分的面积.
(江西省竞赛题)
9 . 如图，半径为4 的①0 中，弦AB 的长度为4汀，点C 是劣弧AB 上的一个动
点，点D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，连接DE ，OD
，OE.
(1)求ζAOB 的度数.
(2) 当点C 沿着劣弧AB 从点A 开始，逆时针运动到点B 时，求60DE 的外
心P 所经过的路径的长度.
(3) 分别记60DE ，6CDE 的面积为乱，5 2 ，当5 i -5 ~ =21 时，求弦AC 的
长度.
D
C
第7 题图
第8 题图
C
第9 题图
(湖南省长沙市中考题)
..176
• ..
答案
.. •
例题答案
例1
(5，而(半+896)π
y
B
A,
0,
A
x
例
I 答图
如图，每三次为一个循环，在第一个循环中，点M 的运动路径为
叫;俨+ 120Lr!+ 120z × ! = (呜卫)π ，
".2017 -7- 3=672…1,
.·. 翻滚2017 次后AB 中点M 经过的路径长为
213 十4\
1 20XπX .j"3
(134613
672 X ( ú v 03
I
"r )π十;~~' v 0 = ( i 0 "r; V 0 十896) π
-E噩噩lmIIi
例2
C 连接00' ，BO' ，则B ，O' ，。在一条直线上，LAoo' ,L oo' B 都为等边三角形，5 阴影=
5 6.0BB ' 一S 扇形O'OB .
练习答案
1 25+?
2. 3♂- 7π
3. 1 或6 13+ 11
分两种情况讨论.
r >•
D
巳并LC
第3 题答图
叶c\
同ζy
图②
①当正方形运动到点A ，B 在①O 上时，如图①，连接OA ，OB ，设AB 交OF 于点E ，此时OA =
OB = AB = 2,OF j_AB ,
:. LOAB 为等边三角形，:. L_AOB = 60 0 ，OE = .j言，
60π X 22
1
,-
2
... s 酬。'AB -
5 ^ OAB = 一一一一一X 2 x13 =一π 一点，OF =13 十1 ，
嗣形UfiO
~ D.UfiO
360
2 . . _. . v -
3
'回
aE军革矗撞撞撞墨E匾孟..
少一. f?.
点F 向左运动的距离为3 一→( .)♂E 十1υ)=→2- .)♂
3 , .λ.飞.-一」i兰二=斗1
Z 一气3
②同理，当正方形运动到点C ，D 在①O 上时，可得点F 的运动距离为./3 + 2+ 2=./3 +4 .
. 13 +4
• .一一τ=6 13 十1 1.综上，当运动时间为1 秒或(6 ./3十11) 秒时，①O 与正方形重叠部分的面积
2 一气
3
为(;π一♂) cm2
也. D
5 阴影=5 扇形BAD-5 扇形CAE
5. D
5
. 3
6. D
每转动4 次循环一次，顶点A 转动4 次经过的路径长为2π+ 一π 十一π= 侃，在整个旋转过
2 .. . 2
程中所经过的路径总长为
6rr X 504+2π=3026π.
7. 如图所示，观察可以发现CD 边扫过的图形为圆环形，连接PD
，PC ，过点P
作PE l_ CD 交CD 于点E ，交AB 于点F ，则CE=DE.
.:AB // CD( 正方形的性质) ,
:.PF l_AB , :.AF=BF ,
:.PE 为线段DC 的中垂线，
:.PD=PC ，易知圆环的大圆半径等于点P 到线段CD 的最远距离，即线段
第7 题答图
PC( 或PD) 的长，圆环的小圆半径等于点P 到线段CD 的最近距离，即线段PE 的长，
:.CD 边扫过的图形的面积=π (PC 2 -PE 勺，在Rt ，6. PCE 中
，PC 2 - PE 2 =CE 2 =9 ，即CD 边
扫过的图形的面积=9π.
./3 i=t'=:U1.>l..C'_
. 2
π
8. 单位正三角形内切圆半径为r= 一，其面积为S 一πr - = 一，每个角切圆面积为内切圆面积的9 '
12
4π
一
J 3
四个圆面积之和为-:'-5= 一，故所求一角形剩下部分的面积为工二一一
3 -
9 '
,................ '/ IF -I - __ /I .,, "V ...'....
I
.....f~ / -I
H -I ~
. I/' /
...I 4
9.
9. (1 ) ζAOB=120 0 •
(2) 如图①，连接OC ，取OC 的中点p ，连接PD ，PE.
.118
.:OA=OC
，D 是AC 的中点，
λ OD l_AC ，即ζ ODC=90 0 ，
:.PD=PO=PC.
同理可得PE=PO=PC ，
:.PD=PO=PE ,
·点P 是，6.0DE 的外心，且OP=joc=2
·.·点C 是劣弧AB 上的一个动点，
第9 题答图
EZ呈?lU'L.脑
120 X π × 2
4怦
.·.点P 经过的路径为一段圆弧，其长度为:
"
=二
180
3 .
(3) 如图②，作∞j_ DE 于点G ，交AB 于点H ，作C] j_ AB 于点] ，交DE 于点1 ，过点。作
AB 的平行线交C] 的延长线于点K ，则DE=1AB=2点，DE //AB ,CI= I].
2
.:Si-S ~ =2 1，
..G-DE· ∞f 一(~ • DE . 叫=叫∞2 一CF=7
设CI 勺，易知∞=2+x ，则有(2+X) 2 -x 2 =7 ，解得z=7 ，
3
7
..C] = 一，:. CK = 一+ 2 = 一，
2 . -
2
OK=.;'OC2-CK2 =)42 一(~ f =手
A]=AH-]H = 2 ./3 于
在RtL:-，A]C 中，AC=þ一手f +( ~f =耳百二次Æ _./3 ) 2 二Z一点;
由对称性可知，还有一种情况，
AC=)(2♂+于f+( ~f 二币1万二次Æ+./3 ) 2 =Æ+点
综上所述，AC =汀言士./3 .
..179
-IIL -IIL -IIL ...1止-IIL-IIL...loι』ι』ι ...loι」且」ι』ι』ι -IIL -IIL -IIL ...\比4比-IIL-'比4也斗他-IIL
运动路径
-IIL-IIL-IIL-IIL-IIL-IIL-IIL-IIL-IIL-IIL-IIL-IIL...loι -IIL...loι -IIL -IIL -IIL -IIL -IIL -IIL -IIL ...loι -IIL
面动成体、线动成面、点动成线，点是构成图形运动的最基本元素.
在几何中，把具有某性质的运动的点组成的集合叫作具有这种性质的点
的轨迹.
如图，因点运动而生成的轨迹基本形式是:
"
;,"
..
~i
.. ..
，气?
图①
图②
图③
困④图⑤
"
"
"求质点运动的路径长"是动态几何呈现的新的考查方向，求解这类问题
的关键是确定质点运动路径的形状，常见的方法有:
(1)画图定路径;
(2) 特征定路径;
(3) 坐标定路径.
OIO叉，撞.... ' .M15'
-.……-…---
………
…}
,.w.,..
格物藏理
批判性科学思维
让思维回归理性，怎样提出合适的问题、有新
意的推断、有根据的反驳?
创新需要怎样的基础?创新需要以好奇、探究
兴趣、质疑等为核心的能力.
函'
如图，在RtDACB 中，BC =2 ，LBAC = 30 0 ，斜
边AB 的两个端点分别在互相垂直的射线OM ，ON 上滑动，
下列结论: ①若C ，O 两点关于AB 对称，则OA = 2 j3 ; ②C ，
。两点距离的最大值是4 ; ③若AB 平分CO ，则AB _l CO; ④
。
A
M
斜边AB 的中点D 运动路径的长为主其中，正确结论的序号是
2 .
一一一一一一
(湖北省成宁市中考题)
思路点拨
DABC ，DABO 是有公共弦边的两个直角三角形，O ，A
，C ，
B 四点又在一确定图形上，这是正确判断的基础.
.180
罐罐
。00.
质点运动有诸
多特征，这些特征对
问题解决有启迪作
用. 常见的特征为:
运动有相对，
主动从动;
运动有始末，
动静互化;
运动有轨迹，
或直或由;
运动有不变，
;
动中觅静;
运动有数量，
常量变量.
圃'
如图，在等腰Rt6ABC 中，AC=BC=2 j2 ,
点P 在以斜边AB 为直径的半圆长上，M 为PC 的中点.当
点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是
(
).
A.J2 π
B.π
C.2J2
D.2
C
B
EE章也ffi哥哥~
主!ã'章
。00.. •
动中觅静，探
寻动点的轨迹是解
:
路径问题的关键，
直线与圆弧是现，阶
(湖北省武汉市中考题)
: 段常见的两种路径
2 杰占、动成线的判
思路点拨
问题中的不变量是什么?显性的、隐性的中点引发怎样的联
想?由此确定M 点轨迹.
而'
如图，正方形ABCD 的边长为4 ，E 为BC 上
A
D
一点，且BE=l ，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF
F r--记|
为边向右侧作等边6EFG ，连接CG ，求CG 的最小值.
1\ /
\1
( 江苏省宿迁市中考题)
B E
C
思路点拨
点G 因点F 运动而改变位置.先发散思维，确定点G 的运动
轨迹，进而求CG 的最小值，是一个自然的分析方法.
A
D
A
Fk」二G ，?IG，
瓦
y
B E
C E' B E
C B E
C
B I E
C X
(点E' 为点E关于
(作等边!:::.BB'E. 将
[设点F( O ，t).
则点G 的
AB的对称点)
!:::.BFE绕点E旋转60
0 ) 坐标为传+号t 二号)1
图①
图②
图③
图④
(1)如图①，通过特殊位置确定;
(2) 如图②，③，借助几何变换确定;
(3) 如图④，利用代数法确定.
粤找思维起点
合理选择思维起点，才能有效组织演绎推理活动，顺利完成由条件到
结论的解题过程，寻找思维起点的常见路径有:从条件中寻找，从结论中寻
找，从观察和实验中寻找，模式识别.
由问题本身透露的信息，展开思维，并对当前成果不断反馈与评价，控
制解题方向或重新选择解题思路，是一种有效的思考方法.
定方法有:
(1)等l!é.判定;
(2) 定向判定.
点动成圆的判
;
定方法有:
(1)等长判定;
(2) 等角判定.
求解这类问题
的关键是运用动态
:
思维，善于从特殊
:
情形、极端情形切
入，化动为静，把握
:
运动中的不变量，
比
j照运动状态，细
心体会，寻找轨迹.
.181
aE军噩噩噩蓝蓝噩
æ'量
。00.. •
'
量、函数及数和形
:
联系起来，促使我
:
们从代数的角度解
决几何问题，可化
;
解有些几何问题的
难度.
"正"则为圆，
"偏"则为椭圆，点
点繁星，佼佼星光
:
友人深思，令人神
:
游，而太阳系永恒
:
之舞的基本节奏与
:
舞步却是圆锥曲线.
坐标法把变
[征。
如图①，在Rt .:0，ABC 中，ζ C=90 0 ，AC=6 ，BC=8 ，动点P 从
点A 开始沿边AC 向点C 以每秒
1 个单位长度的速度运动，动点Q 从点C
开始沿边CB 向点B 以每秒2 个单位长度的速度运动，过点P 作PD 矿BC ，
交AB 于点D ，连接PQ. 点P
，Q 分别从点A
，C 同时出发，当其中一点到达
端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为
t 秒(t 注0 ) .
(1)直接用含
t 的代数式分别表示:
-p A
图②
B
C
-P A
图①
B
C
QB=
,PD=
(2) 是否存在
t 的值，使四边形PDBQ
为菱形?若存在，求出
t 的值;若不存在，说
明理由.并探究如何改变点Q 的速度(匀速
运动) ，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度.
(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长.
(福建省福州市中考题)
4-3
一
D
p
n/"
口
K
U
--
B
门
吨
-i
分析与解
(2) 不存在.如图①，在Rt .:0，ABC 中，
ζC=90 0 ,AC=6 ，BC 二8 ，:.AB 二10.
AD
AP
.: PD 矿BC ，:. .:0，APD ω .:0，ACB ，: 一一=一一
• AB
AC'
AD
t
_ _ _
5
&p- :-: =一，:.AD = : t ，二BD=AB-AD=10 一-;::-t.
10
6 ' -----
3
.: BQ// DP ，:. 当BQ=DP 时，四边形PDBQ 是平行四边形.
12
即8-2t 二3 t
，解得t= τ
12
,
_ _
4 . 12
16 _ _
5
12
当t=
时，PD= 一× 一=--;-，BD=10 一一×
二6
3 . 5
5 ,--
--
3. - 5
.可
+忙叮
二3
‘ .叩
m嗣阳‘.且
r门】.瞌.，立k佬，牛伽‘他‘咱譬
窿
4脏又.豆.
国锥截线的故事
--.与支1IIIt-I-.爽..
‘怠..
:.DP 手BD
，:. OPDBQ 不能为菱形.
设点Q 的速度为每秒u 个单位长度，
则除hhF;hF10-7t
要使四边形PDBQ 为菱形，则PD=BD=BQ.
10
当PD=BD 时，即3 t =10- 3 t ，解得t=3'
10_ ,
~_ 4 _ . 10
_ 10
, _
,_
16
当PD=BQ ，t= 一时，即一× 一=8---;;-v ，解得v= 一
3 ..• , -, 3
3
-
3 - " '" ". -
15 .
16. " " ,. ~ ,
__. 10
.·.当点Q 的速度为每秒→个单位长度时，经过一秒，四边形PDBQ 是菱形.
15
I
I
1....:...1.... .....-'..........-..."
7 ...... ....L..~ 3
(3) 下列解法供参考:
.182
E
;J; 'ft .!:j :ffi Ji恤
·
坐
μ
~
山
脚
~
建
系，恰当引入参数
t ，把动点P(x
，y)
的坐标用含
t 的代
数式表示，f.!r x =
如图③，以C 为原点，以AC 所在直线为工轴，以BC
所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.
依题意，可知0~t ~4 ，当t=O 时，点M] 的坐标为(3 ，0) ;
当t=4 时，点M 2 的坐标为(1，4) .
设直线M]M 2 的解析式为y=kx 十b ，
x
!(t)
，y = g(t)
，消
去参数t ，得到工，y
间的函数关系式，
从而确定动点运动
路径，这是解有些
运动路径问题行之
有效的方法.
图③
{:挝h什+叫
{:仁走护←…=←→一→2
解得斗
走十b =4 .
Ib=6.
λ 直线M]M2 的解析式为y=-2x+6 ，
·.· 点Q (0 ，2t) ,P(6-t ,0) ,
在运动过程中，线段PQ 中点M3 的坐标为(午，t)
把x=午，代人y=-2计6 ，得y=-2X午十6=t ，
.·. 点M 3 在直线M]M2 上.
过点M 2 作M2 N l_ x 轴于点N ，则Mz N = 4 ，M 1 N = 2 .
二M 1 M2 =2 ../5 .
λ 线段PQ 中点M 所经过的路径长为2 ../5单位长度.
练习
••
1. 如图，己知AB = 10 ，点C ，D 在线段AB 上，且AC = DB = 2 . P 是线段CD 上的动点，分别以
AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边6AEP 和等边6PFB ，连接EF . 设EF 的中点为G ，当
点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是
••
••
.... ... ..
(湖南省张家界市中考题)
R
F
H
K
D B
CP
A
第2 题图
2. 如图，四边形ABHK 是边长为6 的正方形，点C ，D 在边AB 上，且AC = DB = l ，点P 是线段
CD 上的动点，分别以AP ，AB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E ，F
分别为MN ，QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移
动的路径长为
第1 题图
(河南省竞赛题)
.183
aE翠噩噩噩噩画革·
3. 如图，P 为①0 的弦AB 上的点，AP=m ，PB= η ，且m > n. 当AB 沿①O 运动一周时，点P 的
轨迹为曲线C 若①O 与曲线C 之间所围成的图形面积为ω 一队，则?的值为
( 上海市竞赛题)
也. 如图，已知AB 的半径为5 ，所对的弦AB 长为8 ，点P 是AB 的中点，将AB 绕点A 逆时针旋转90。
后得到AB' ，则在该旋转过程中，点P 的运动路径长是(
A?π
D.2π
C. 2 J5π
B.J5π
( 广西壮族自治区桂林市中考题)
LC
B
气
J
f
一
/
/
/
l
I
注
D
P
勺
'
一
EtA
C
刁
|
l
|
|
|
斗
B
P'
第6 题图
5. 如图，矩形ABCD 中，AB = 4 ，AD = 2 ，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接
PB ，则PB 的最小值为(
第5 题图
第4 题图
第3 题图
D.2J2
巳.J2
B.4
A.2
( 山东省泰安市中考题)
6 . 如图，在等边，6.ABC 中，AB = 10 ,AD =4 ，AE 二2 ，点P 从点E 出发，沿EB 向点B 运动，以PD 为
边，在PD 右侧按如图方式作等边，6.PFD ，当点P 从点E 运动到点B 时，点F 运动的路径长是
D. 5 π
c. 3 π
B. 10
A.8
("希望杯"邀请赛试题)
B'
/
"-F
,..,
A:<:_:---- -一…一-λ毛寸D
i ~ "I.G
j
飞............_飞c'
1
、'fE
B:一--一一一--…-----J c
图②
第7 题图
B'
/
""'-D
Aιr…-----_.…一二吃
! ________
i J C'
二--rE
B: -----一一-一一-----Jc
图①
7 . 如图，在矩形纸片ABCD 中，已知AB = l，BC = ，j言，点
E 在边CD 上移动，连接AE ，将多边形ABCE 沿直线
AE 折叠，得到多边形AB'C'E ，点B ，C 的对应点分别为
点B' ,C'.
(1) 当B'C'恰好经过点D 时(如图①) ，求线段CE 的长.
(2) 若B'C' 分别交边AD ，CD 于点F ，G ，且ζ DAE =
22 . 5 0 (如图②) ，求，6.DFG 的面积.
(3) 在点E 从点C 移动到点D 的过程中，求点C'运动的路径长.
(江苏省宿迁市中考题)
.114
·遇主~
8 . 如图.AB 为①0 的直径，且AB=4. 点C 在半圆上.OC 上AB. 垂足为点
C
O ，P 为半圆上任意一点，过P 点作PE l_ OC 于点E. l'-，OPE 的内心为
M ，连接OM.PM.
(1)求ζ OMP 的度数.
(2) 当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长.
A
第8 题图
(贵州省贵阳市中考题)
… 答案
·
例题答案
例1
①② O.A.C.B 四点在以AB 为直径的圆上，OD=lAB=2 ，点D 在以0 为圆心、2 为半
2
径的四分之一圆上.
例2
B
如图，设O 为届中点，连接町，取使中点Q ，则MQ=top=1 ，故点M
A
B
?怦Xl
的轨迹是以Rtl'-，ABC 的直角边的中点为直径的半圆，路径长为二7一=π.
例3
由图②知FE'=FE 二FG ，点E' ，E ，G 在以点F 为圆心、FE 为半径的圆
上.E' 为定点，ζGE'E=]:_ζGFE=30。为定值，故点G 的运动路径是一条
2
1 ~~，
5
线段.当CG l_ GE' 时，CG 的值最小，最小值为一CE'= 一
2 --
2.
练习答案
1. 2
如图，延长AE ，BF 相交于0 ，连接OP 交EF 于G' ，因为四边形EPFO 是平行四边形，G'是
EF 的中点，所以G 与G'重合，G 是OP 中点，这个特征的发现是解决问题的关键.当P 与C 重合，
例2 答图
G 是缸中点，当P 与D 重合，G 是OD 中点;G 点移动的路径为l'-，OCD 的中位线，长度为2.
LB
\\+D
FI\\-
、\
\
、
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‘!
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JJ
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，
，
、
月
二
，
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，
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，
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: : : ;
-(-
!
乌
/
+
c
adA
R
K
H
第1 题答图
第2 题答图
2. 2
设KH 中点为5 ，连接PE ,E5 ,5F ,PF ，P5
，可证明囚边形PE5F 为平行四边形，
...G 为P5 的中点，即在点P 运动过程中，G 始终为P5 的中点，所以G 的运动轨迹为l'-，C5D
的中位线.
.185
aE翠噩噩瞌:llfÆ墨E犀噩噩.
':CD=AB-AC-BD=6 一1-1=4 ，
点G 移动的路径长为j × 4=2
1 + J5
. _ _.. _ .. _ _ _. . _ _ . _ _ _.. _ __
1-
3 丁二
如图，过点。作OM __lAB 于点M ，则MB= 一(m 训
，MP 二一(m 一
2
川，OB2=OM2+~(m 十η) 2 ,Op2 =OM2 + 一(m -n)2 ,OM ，OP 为定值，曲线
1
4 , ... -
. . ,
,- -
-- -
4
C 是以0 为圆心、OP 为半径的圆，(OB 2 -OP 2 ) π =(m 2 -n 2 ) π ，代人得m 2 一
第3 题答图
mn-n2=0.
、_ _. _~ ,_ .,.. 90
也. B
连接AP ，AP=2汀，点P 垣动路径长为一一π X 2 j5 =j5π
180
5. D 连接DE ，过点P 作PQ 垂直CE 于点Q ，则PQ _jj_ : DE ，PQ =布，点P
一2
在平行于CE 且与CE 距离为在的直线l 上运动.当PB __l l 时，PB 的值最小-
6. A
连接DE ，则DE __l AB
，过点F 作FH j_ AC 于点H ，得t6，DEP 兽
6FHD ，FH=DE = 2 汀，故点F 运动的路径为一条线段，此线段到AC 的
距离为2.}言，点F 运动的路径长为8.
7. (1)由6ADB'ω6DEC'得CE=j6-2.
(2)SADFG = 1DF × DG 二: (./3 _J2 ) 2
' 立而.
2
(3) 如图，连接AC ，AC' ，则AC'=AC=2 ，
.·.点C ' 的运动路径是以点A 为圆心、以AC 为半径的圆弧CC'.
CD
J3
在Rt6ADC 中，.: tanζDAC = 一一= 工工，.·. ζDAC = 30 0 •
AD
3
/气
60 .π· 2
2
γ ζ C 'AD= ζ DAC=30 0 ， :. ζ CAC' =60 0 ，λ CC' 的长=
扎
=一π
180
3
8. (1 ) ζOMP = 135 0 •
(2) 如图，连接CM ，则60MC豆60MP ，ζOMC = ζOMP = 1 35 0 ，当
点P 在BC 上运动时，点M 在以CO 为弦，并且所对圆周角为4 5 。
的一段劣弧上.过O ，M ，C 三点作①0 ' ，连接O'C ，O'O ，在弦CO
所对的优弧上取一点G ，连接GC ，GO ，可得ζCGO = 180 。一135。二
4 5 0 ，则ζ CO'0 = 90 0 •
J2 '"'~ J2 , , ~
=
~.，::::-飞
J2
·.ω'=~OC= 一X 2=J2，则OMC 的长为亏π
2 - -
2
同理，当点P 面上运动时，由对称性得衔的长为子π ，
内心M 所经过的路径长为2牛=J2π
.186
第5 题答图
第7 题答图
第8 题答图
参考答案
囚垣间那段但茸
【例题求解】
例1
(1) Xl=- l，X ~ = 一
1
品
，
ι
2010
(2) 0
由题意有(13- 1) 2+ α(13 -1)十b=O ，即(α -2) 13 +4-a 十b= O ，
故α-2=0 ，4 →α 十b=O 得α =2 ，b=-2 ，α +b=O.
例2
A α+i=3 ，原式=4(α 2 一切)十3α 一2 +一=-4 + 3 X 3-2=3.
9
α3α
例3
当2x 一1>0 即z>1时，原方程化为X2 -2x-3=0 ，解得X j=3 ，工2 =- 1(舍去) ;
2
当2x-1=0即z=1时，代人原方程不合，舍去;
2
当2x 一ω~p 工<7日才，原方程化为工2 十2x 一时，
解得xj = - l
点，工2 二一1 十bj(舍去) ,
故所有根之和为3+(-1-16)=2
点.
例6
(1)原式=2α 3 -2α 2+ 5α 2 -5a-6α +(b 2 -b) 十5=2α(α 2 -a)+5(a 2 -a ) 一句+(b 2 - b )+
5= 6α + 15 - 6α 十3 +5 = 23.
(2) 原方程化为xk 2 + (2x 2 +9) 走+X 3 十27=0.
x 2 -3x 十9
解得走= -x- 3 或走= 一
工
从而Xj
走
3 ，白. 3 -
3 一走+ y' (走-9)(走十3)
【学力训练】
1. (1) 2 或- 4
(2) 0
2.4
3. D
4. D 方程N 可化为G ·(l) 2+b-1 +c = 0 ，两方程相同的根x = 士1.
工二E
19
9(m 2 +2)
9(3m 十1)
5. 原式=3m 一1 + 一一一==
==
3m 十1
3m 十1
3m + 1
.
181
aE盟撞撞TifiIf墨~~"j.gI
6. 原方程变形为(x -1) 2 - 4 1 x -1 1 + 3 = 0 ，即Ix 一1
1 2 - 4
I x -11 +3 = 0 ，设y = x -1 ，得y 2 一
4Iyl+3=0 ，y ，(-y) 都为原方程的根，此方程四个根和为Yl+Y 2+ Y 3 +Y 4 =0 ，故原方程所有
根的和为Yl+1 十Y2+ 1 十Y3+ 1 +川十1=4 .
7-j或1
8.0 或3
9. B
x 和-x 都为原方程的解.
10. C
因[xJ ~工，故由x 2 -2x-3~0 得一1~x~3 ，[xJ 只可能取值一1，0 ，1，2 ，3.
当[xJ=-l 时，x 2 =1 ，得x=-l;
当[xJ=O 时，x 2 =3 ，没有符合条件的解;
当[xJ=l 时，x 2 =5 ，没有符合条件的解;
当[xJ 二2 时，x 2 =7 ，得x=疗;
当[xJ=3 时，x 2 二9 ，得x=3 .
1 1.设工。是方程x 2 -3x-1=0 的一个根，则x g -3xo -1= 0 ，即x g =3x o 十1 ，xo 也是x 4 + αx 2 +
bx 十c=O 的根，
.·. z; 十αz j 十bx o +c=O ，得(3x o + 1)2 + axg + bXo +c = 0 ,
即( 9+a )xg + (6+b)x o +c 十1 二0 ，
此方程与x g -3x o -1=0 表示同一个方程，
9+α
6+b
c 十1
·. 一一一=一一一=一一一，b=-3α -33 ，c= -a 一10 ，α 十b-2c=-13.
1
-3
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[n 2 +η2+达4
1
1
n 2 + η - 2
(η - 1) (n +2 ) ,
S =-L+-L一+…+
9 X 12 ' 10 X 13'
'2015 X 2018
ZHU
--MU
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一
川
+
+
1-u
l
一
刊
+
×
一
一
=t × (t+主吐一元一声一中)
30
,
, 30
30
30
30
6
30
30
30
905 = 一十3 十一一一一一一一一一一=9+ 一一一一一一一一一一斗[ 905J = 9.
9 ' - '11
2016
2017
2018
-, 99
2016
2017
2018
(2)设二宁1
ι
忡贝则贩
0阳(ω2
彷走川) 2气4 二呻]问丰衬走沪
k 2 - 1
川一寸1 = 3[μ忡走
> 2 ，右边有走扩2 一3拮走~1< 4=斗〉一1 <走<4=斗=>-1 <走< 1 或2 <走< 4=斗
=> [μ走J = - 1，O ，2 或3 ，代
.吵
. 188
88 8
EE莲岳宰型-ι
人走2 - 1=3[kJ 验证得走=疗或刁百=均=2 J于十1 或2 汀百+ 1.
13. 1 为原方程的一个根，则原方程可化为(X 一1) (x 2 -2x 十a) 二0 ，其两个实根为工2 -2x+ α=0
的两个根，X 2 = 1.原式二(X 3 十Xl) (X 3 - Xl ) +4Xl =2(X3 - Xl) +4X l =2(X3 + Xl) =4.
固自民的脸测器
【例题求解】
例1
走> 一土且走手。
16
例2
B 原方程即为hb+ja+叫
时-a川
例3
(1) t.=( 走-2) 2 二三0 ，故原方程总有实数根
(2) ①b=c 时，t.= ( 走一2) 2 = 0 ，走=2 ，得b 十c= 走+2=4 ，且符合三角形三边的关系，故
L:c，ABC 周长为
5 ;②b
，c 中有一个与a 相等时，不妨设b=a 二1，则
1 2 一(走+2) X 1 十2走
二0 ，得走二1，b+c 二走+2=3 ，c=2 ，这与α 十b > c 矛盾，故a 不能为腰.
例4
方程等价于如下两个方程:x 2 +ax-4=0 (, 工2 +ax 十4=0 (,
两方程无相同的根，由于原方程只有3 个不相等的实根，故必有且只有方程①或②有重根.
t.1 =α 2 十16 二三0 ，t.2 =α 2 -16 二三O. 由于
t. 1 > 岛，
故只可能是t. 2 =0 ，即α= 士4 ，相应求得方程根为
2 ，-2 士2 J2 ;2 ，2 土2 J2.
【学力训练】
1.②③④
2. 25 或16
3. A
4. B
5. (1)略.
(2) 是=4 或5.
6. 注意到，方程X 2 -2ax 十b-8=0 ①的判别式t. 1 =4(α 2 -b 十8) ;
方程X 2 -2ax 十b 十8=0 ②的判别式t. 2 =4(α 2 -b-8).
据题意原方程恰有三个实根，于是，其中一个判别式为0 ，另一个大于O.
又
t. 1 > 岛，则α 2 -b-8=0.
从而，方程②的重根为α ，方程①的两个根为α 十4 ，α-4.
J.d 十(α-4) 2 = (α+4) 2 ，得a=16 ，b=248 ，故α 十b =264.
.
189
aE远祖国画画画遇
7.α 《一1
原等式整理为关于b 的方程b 2 -2b十α+2 = 0 ，由6.= (-2)2 -4(α + 2) 二三0 得α :S;;-1.
25
8. (1 )α=0 或α >一
当α=0 时，方程有相异二实根;当α>0 时，有x 2 -5x -a =0
①，扩一
4
5x 十a = O
(,6.1 =25 十钮，6.2 =25
钮，则~1>0 且6.2 <0 .
(2) b> - 3 ; c > 2
c = 2b + 8 ，原方程化为(x+2)(x 2 一2x + b 十4)=0.
由2 2 -4m X3ω 得mn>?>0
9. C
10. D
是=0 为好数凶手0 时，6.=处2 十9 为完全平方数，设份2 +9=m 2 (m 为正整数) ，由(m+
2走)(m-2k) 二9 得走=士2 .
11. (1)当c > O 时，α > O ，b >α 十c ，从而b 2 > (α +C) 2 ,b2 - 4ac 一(α - c) 2 > 0 ，b 2 一句c > (α - c ) 2 二三
0 ，即6.>0;
(2) 当c=O 时，由α > O ，b >α +c= α ，得b > O ，今> 0;
(3) 当c < O 时，由a > O ，得ac < 0 ，6. =b 2 一句c > O . 综合(1 )(2)(3) ，得原方程总有两个不等
实根.
12. 设一一乙寸=走，整理得kx 2 十(2走一1) x +k=O ，
( X+ 1) 2
· 存在正数z ，
· 俨(2走一1) 2 一吵0 ，得叶，
即分式
x
τ的最大值为1
( x + 1) 2
13. 令m 2 十5m + 30 = η 2 (η 二三0 且n 为整数) .因为方程的解为正整数，所以方程m 2 + 5m 十30 一
η 2 二0 的根的判别式6. =2 5-4(30-n 2 ) =4η 2- 95 应为一完全平方数，故可设4n 2 -95= 走2 (走
为非负整数) .
A
住
内
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解
Fhu
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中
，
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n
r
臼
m
只
当n = 6 时m 2 十5m+30 = 6 2 ，解得m = ICm =- 6 舍去) ;
当n = 24 时m 2 +5m + 30 二24 2 ，解得m = 2ICm = - 26 舍去) .
故m 的值为1 或2 1.
rn
fl)简洁刀的韦植宦理
【例题求解】
1 _
5
例1
(1) ~ :S;;m <言
(2) 0
原式= α + 1 -ß- 2α = 1 一(α +卢) = 1 一1 = 0
.. 190
-E孟监理~
r 二(-2)2 -4m 二三0 ，
例2
C
由J
得丰<m :S; l
ll x I - X 2 1= J ( xI +工2 ) 2 一位I X 2 =刁亡4m < 1 ，
哇
例3
(1) Â= 2(m - 1)2+2>0.
(2) XI
①若XI :S; O ，工2 二三0 ，则X2= - XI 十2 ，
:. Xl + x2 ===2 , :. m 一2 = 2 ，得m 斗，x =l 士15 ;
②若X I 二三0 ，X2:::;二0 ，则- X2 = X I +2 ,
: . X I + X2 = -2 , :. m - 2= - 2 ，得m = O ，x I = 0 ，工2 = - 2.
例4
由仨( - 4m) 2 -4 X 2 X (2m 2 +3m 一以，得m寸
2m 2+ 3m -2
.: Xl+X2 =2m ,XIX2= -'"
2
- z i 十五= (XI+X 2 ) 2 _ 2川2 =咛
m f 十j
当m =;日才，zi 十d 取得最小值，且最小值为;
【学力训练】
1. ((
2.8
3. A OA + OB =- (2m - 1)> 0 ,OA . OB 二m 2 +3 > 0 ，(OA + OB) 2 _ 20A
. OB 二25 ，且Â> O .
4. A
由ab = t - 2 及A二三0 ，得2 :S; t :S; 6 ，原式= (t - 1) 2 一1 6.
11
5. (1) k > -4-
(2) 由条件得XI X 2 二(是一1) 2 十2> 0 ，将
I XI 1- lx 21 = 15两边平方，得xi - 2
1 x I X 2
1 十x ~= 5 ，即
xi - 2XIX2 + X ~ =5 , ( XI 十工2 ) 2 - 4x 1 X 2 = 5 , :. (2走一1) 2 -4( 走2 -2k +3) = 5 ，解得走= 4.
6. (1)原方程即为x2+ ax+ b 二2 或工2+ ax 十b =- 2. γ Ò，I= α 2 - 4b + 8 , 6.2 = α 2
....c.. 4b - 8.
由题意得，6. 1 ，6.2 中必有一个大于0 ，另一个等于0 ，显然6. 1 > 6.2 = 0.
1
^
ra 2 - 4b -8= 0,
Ib = 4a 乙-2 ，
即~
t寻
|α 2 - 4b +8> 0 .
1.
1
0
飞
I b < ~ a 2+ 2.
由fd - 2<卡+ 2 得α 为任意实数
.·. 当α = 0 时，b 的最小值是一2 .
.
191
a Ir ~ t& i1t 'Ji噩噩Ill>>\_
(2) 设工2+αz 十b=2 的根为x] ,X2 ，X 2 十αz 十b= 一2 的根为句，
α
"X1 IX2 = - a
，工3 - - 2
'
由已知得X 1+x2+x 3 =1川=-m h=-5=60
即该三角形必有一内角是60 0 •
(3) 由.6.2 =α 2-4b-8=0 ，知α 2- 4b 二8 ，得.6. 1 =α 2 -4b 十8=16 .
一α +4 -a- 4
:. x 2 +ax+b =2 的根X1
，X2 分别为一一一一，一一一一
2
2
α+4α
-a-4
..一一一一>一一>一一一一，
2 -
2
-a+4
α
2
,-a -4\2
川-a214) 2 = (_ ~)2 +( -a2-4) 2 ，如=-16 或0 ，
:a=O 时，工3 =-2=0 ，不可能，:.a=-16 ，b=平=62
p
q
7. -2278 设方程的两个正整数根为X1
，X 2 (X1<X2)' 则X 1 +X2 = -
~~ ,X1X2 = 一
67 ,.L 1.L 2 -
67'
户+q
'""^
• /
..,'\./
"t"
n
"1
'l~rXl 一1=1 ，
得X1 X 2 - X 1 - X 2= 一一一=30 ，:，( X1 一1)(川一1) =31 ，从而斗
67
--, -- ,- ,
- ,,--"
- ,
--u/ .....[x 2 - 1 二3 1，
于是X] +X2 =34 ，故户二一34 X67=-2278 .
11
_ _ _ _..
_. . .
. n
_
_
•
_
._ 11
8.τ<m < 18 设另两边为b ，c ，则由Ib-c I =yI(b+C) 2-4bc < 5 及A二三0 ，解得τ<m < 18.
.6.>0 ,
或
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川
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一2
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一
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或
少
"
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α
OY
2α 十24
2
v ,
α 2>0.
10. B
11. A
5(扩+2川t+9 二O
12. D
m+3
3-m
_ _ _.. ,__
n
,m + 3\
3-m
13α +b= 丁一，" =y一.a ，b 可看作方程X 2 一('n;一)X 十丁一= 0 的两实根，则.6. = ( 一
m+3 、2
13-m 、
A
-E一)
-4\2一) 二三0 ，即m 2 十14m-1 5 二三0 ，解得mζ-15 或m 二三1.
+
Z
AU
>
A
哇
，
。
一
A
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可
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十
Z
YO
Z
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飞
B
飞
/
y
z
f
飞
A
占
川
设
m
M
e
EZ军军望...
XZ= b ,X1 XZ = 1.
.: S 6 AOB = 5 6 MON - 5 6 AOM -
S 6 BON
1 _
n
1
1
=~b " 一~bx
，- = bv?
2~
2 ~~1
2~J
"
L n L
1
=~b " 一-;::bXl - :b(-x ~ +b)
2 ~
2
ι2
~，
~"
=fbb 2 丁1) ,
而S 6AOB =4汀，
jbr习=4汀，解得b 二4
囚一元二识自嚣的应用
【例题求解】
例1
(1)若ζACB = 90 0 ，①点C(α
，0) 在工轴上，由(α 十2 ) z+ 22+ (3 - a) Z 十2 2 = 5 2 ，得α 二2 或
α= -1 , :. C 1 (2 ,0) ,C 2 ( -1, 0) . ②点C(O ，b) 在y 轴上，由(b 一2) 2 十2 2 +(b-2) Z+3 2 =
52 ，得b=2 士点，:. C 3 (0 ，2+再)，C(0 ，2 一点).
(2) 若ζ BAC = 90 。或ζABC = 90 0 ，此时，点C 必在工轴上，C s ( - 2 ，0) ,C 6 (3 ,0).
例2
D
x+ 2 二0 或工2- x - 1 = 1 或扩- x - 1 = -1 且x+2 是偶数，分别解得x = - 2 ，2 ，
一1 或O.
例3
(1)因方程η 2+ n - 1200 二0 元正整数解，故三角点阵中前n 行的点数的和不能是600 .
1
(2)
由
2 + 4+ … +2n = 2 × 17η (n + D = 600 得η 2+ n - 600 = 0 ，解得nl = 24 ，η 2 = - 25(舍去) .
例4
设ab= 工，cd=y ，则x ，y 为正整数，且1 0~x:::;二99 ，0~y~99 .
由题设可知( x 十y ) 2 = 100x +y . 即x 2 - 2(50- Y)X + y 2 - Y = 0
(
,
而x ，y 为正整数，:.t. = 4(2500 - 99y) 为完全平方数，从而2500 - 99y 为完全平方数.
设2500 - 99y= νωεZ ，O~走~ 50) ，则( 50+ 是)(50-k) 二99y
，
故111 (50 十走)与11
1 (50-k) 至少有一个成立.
因50~ 5 0 + k ~ 100 ， 0 ~ 50 -
k
::::二50 ，所以，50+ 走= 55 ，66 ，77 ，邸，99 ，或
5 0 - k 二0 ，11 ，22 ，
33 ,44.
故99y =55 X 45 ,66X 34 , 77 X 23 ,88 X 12, 99 X 1 ，或99y = 100 X 0 , 89 X 11 , 78 X 22 , 67 X 33 ,
56 X 44.
因此，使y 为非负整数的只有y = 2 5 ，y = 1 ，y = 0 .
回到方程①，解得x = 30 或20 ，x = 98 或O ，x = O 或100 .
显然，x= O 或100 不符合条件，故符合条件的四位数共有3 个: 3025 , 2025 ,9801.
.. 193
aE海重温撞撞撞噩盛军'
【学力训练】
1. 10%
2. 10
3.6
S] =缸
，S2=16t-2t 2
4 15
一
1
-一τ?一-a
5. 10
由n 2 + (n- 1) 2 二181 得n]=10 ，n 2 =-9( 舍去)
6. 设甲车的速度为z 千米/时，乙车的速度为y 千米/时，A ，B 两地的距离为5 千米.则第一次相遇时
甲、乙分别行驶的路程为85 ，s - 85; 第二次相遇时甲、乙分别行驶的路程为s+65 ，s+(s- 65) .
85
s - 85
则
x
y
85
s - 85
①
x
y
即
1
-2
+
广
-
y
+
一
一
一
1
-2
+
于
5'+ 65
2s-65 _
一一一二一一一一
(2)
x
y
85
s - 85
①÷②得
二一一一一
5 十65
2s-65'
化简得s 2 -190s=0 ，解得s ] =O(舍)，s 2 =190.
所以A
，B 两地的距离是190 千米.
走十3
7. 两
提示:设过P( 寸，3) 的直线为y=kx +b ，b =川，y =kx 十计3.A(-7 ，o) ，B(OJ+
1
I k+31
3) ，由S L'，AOB =5 ，得一
.
I 一一一
I • 1 k 十3
1 = 5 ，即(走+3) 2 二101 k 1. 当k >O 时，即走2 一份+9 =
2
I
走|
O ，ð< O; 当走< 0 时，即走2 十16走十9 = 0 ，ð> 0 .
8 一;
三等式相加得(计y 十z ) 2- 2(计y+z )-3问
9.2
15 - 1
设EF = BE 二x ，贝U AB = CD 二2+ 工，DE = CD 二2 十x ，DF = DE - EF 二(2 十x) 一
DC
DF
_ _ x 十2
2 . __
~
x =2 ，由h.DCF∞h.EAF ，得一一=一一，即一一=一，解得x = 15 - 1.
EA
EF ' -','
2
x "." "" ~
v ~
10. A 原方程化为4( x 2 +去) +3 ( x 十二) - 2 = 0
11. A
12. A
13. (1)略.
(2) 由h.AEFωh.DCF 得AE
. DF = AF . DC ,
1 ↓/民
设AE = AD = α(α >川U a (厂1 ) = 1 , f!P a 2 - a - 1 = 0 ，解得α = 千二，故AE 的长
.. 194
-~11主望..
叫
了
为
(3) 下列证法供参考:
如图，在线段EG 上取点p ，使得EP 二DG. 在DAEP 与DADG 中，
AE 二AD ，ζAEP= ζADG ，EP=DG ，
:. DAEP三DADG ，
...AP=AG ，ζEAP= ζDAG .
ζ PAG= ζPAD+ζDAG= ζPAD+ζEAP= ζ DAE=90 0 ，
:. DPAG 为等腰直角三角形.
于是EG - DG = EG - EP 二PG = j2AG.
14 设A'B' = α ，B'D=b ，由DABD'叫E肌且都是等腰三角形，底角为36 0 ，于是有:=
D
C
E
A
B
第13 题答图
1 一，又DCDB'也是等腰三角形，得α + b = l ，从而b 2 十b - 1 = O ，解得该方程的正根为b =
2b 十α
?(一1 +巾，故α = 1-b=j(3
点)
1
1
1
15. 由一一一+ -?~-一二
，得2(X+y+X 2+ y 2 ) 二t 十旷+zV 2 十月·
①
X+ y 2 'X2+y
2
设xy=t ，则:
工2+ y 2= ( X 十y) 2 - 2xy = 9- 2t ，X 3 十y 3= (X 十y)[ (x + y) 2 -3xy ] = 3(9 - 3t) .
代人式①得2 ( 3+9 - 2t) = 3(9 -3t) 十t 2 十t , :. t 二1 或3 .
当t =3 时，xy=3 ，但工十y=3< 2 ♂歹不符合题意.
当t = l 时，xy = l ，且x+y 二3> 2 h歹符合题意，此时，
二r 5 + y 5 = (X 2 + y 2) (X 3 + y 3) - (x + y) 二r 2 y 2 = (9 - 2t) X3 (9 - 3t)-3t 2 = 123 .
曰相适启程的协用
【例题求解】
例1
432
33 ，于是关于t 的方程一乙十-L = 1 的两根，化简得t 2 -
(x 十y- 43 - 6 3 )t 一(6 3 x+
t+43 ' t + 63
43y - 43 X 6 3 ) = O ，由韦达定理得了+5 3 = x+ y - 4 3 -6 3 ，故z 十y = 3 3 + 5 3 十4 3 + 63 = 432.
α 2 十b 2
(α + b) 2 - 2αb
例2
B
a ，b 为方程工2 - 3x + 1 = O 不等两实根. a 十b = 3 ，ab = 1，原式= 言写了二
(α
-
32 - 2
1
.. 195
dIE且通盛温盟E草草'
t+1
It+3
μ 十3
例3 眼件忏了，α +b=土序。-3).
:. a ，b 是关叫方程x 2 勺子工+
t 十3
_ .
3
1 _ _ ~_，~
~
1
于=0 的两个实根，的=7 - 2(t + 1)=
Et 一产0 ，解得t< 一言，故t 的取值范围
是一3<tζ-3
【学力训练】
1. 23
2. -1
b ，c 为方程(x 十d) (x+a)= l 的两个不等实根，则b +c= 一(d + α ) ,bc =ad -1 ，原式=
(b+d)[ 一(b+α)J= 一(b+d)(b+α)=- 1.
I
、
2
3. A
m 十η=2α
，mn=2 ，原式=4(a 一言) -3.
4. A
a2012
，b 2川可看作方程(x _C 2012) (x _d2012 ) = 2012 的两实根.
5. (1 )x=2 为方程ax 2 +bx+c=0 的一个根，则6. =b 2 -4ac 二三O.
(2)x=-3 为方程ax 2 十2bx+2c=0 的一个根，则6.= (2b) 2 一句(2c)?::0 ，化简得b 2 -2a c 二三O.
6. 146
参见例1.
α1 1025
7.205 hl为方程5x 2 +1001x 十1025=0 的两不等实根，则一=α· 一=一一一=205.
b
-
b
飞
8 子忡。，关于G 的一元二次方程a 2x +α +户。有实根，6.=1一吟。，故斗，如=0
时，户O ，x 的最大值为子
CE
走αCF
9. -)3 +1
设一斗正方形ABCD 的边长为α ，则CE=kED 斗(α -CE)
，CE= 一一由一一二
ED
，..，，'..l.L.../.J IV
.l....L...I..........L./~:J.)(.;L ..... '-/:Ju,';x:.J'-../L..J
n,.L..JL./
"""""
'-../L....I/,'--"L..J
1 十走'1Il AD
CE
._ __
1
走2 α 2
走2
一一=走，得CF= 缸，S 6.CFE = ~ CF • CE =一一一一，由题啻得1= 一一一一，解得走=-)3+1.
ED
.., 1'. ~~
..~ '~ L:. u.e
2 ~~
~~ 2(1 +走) 7~~J L:.l'\".J
-.
2 (1 +走)
10.2 .)3 -3
设EC=FC= α ，则EF =J2 a , BE = 1-a , AE = V1 +(1 -a)2 ，由AE=EF 得
-11 十(1 -a ) 2 二J2a
，解得α= -)3 -1.
11. 设9η 2 十23n -2=2是( 2走十2) ，其中走为正整数，则9η2+ 23n 一份2 一份一2=0 .为了使n 为整数，
必须有23 2 - 4 X 9( 一份2 一份一2) =m 2
，其中m 为整数，化简可得565 = m 2 一[6(2走+ 1) J 2 =
[m-6(2走十1) J[m +6(2走十1)].
565 的素因数分解为5 X 113.下面分两种情况讨论:
情况-
m-6(2k +1) =5 ，且m+6(2走+ 1) =113.
两式相减得到12(2走+1)二108 ，故走=4. 从而9η 2 十23n -2 的两个因数为8 与
10. 由此可得
0=9η 2 十23n -82= (9n +41) (η-2) ，故n=2.
.
196
-E孟主主...
情况二
m - 6 ( 2k + 1) = 1 且m + 6C2k + 1) =565.
两式相减得到12C2k+ 1) =564 ，故k =23 .从而知2+ 23η-2 的两个因数为46 与48.
由此可得0=9η 2 +23η-2210 二(9n-130)( η+1 7)，故n= 一17.
综上所述，η 有两个值: 2 与一17 ，它们的和为一15.
(α +b=2-c ，
_.. _
(α +b) 2 一(α 2 +b2)
( 2-c ) 2 一(1 2 -c 2 )
12. 由题意知斗
则ab=
' -
'
~ '
~
' -
'~
,-
-,
~'~-
-'=c2-2c-4.
|α2 十b 2 二12 - c 2 , / '~ ---
2
2
从而，以α ，b 为根的一元二次方程为工2 十Cc -2)x + CC 2 -2c -4) =0.
10
其判别式A 二(c -2)2 -4(c 2 一2c-4) 二三0=>3c 2 -4c -20:::::;;;0=>-2运c:::::;;;τ
10 .
16
故c 的最大值与最小值之差为一十2= 一.
3 . -
3
囤
-7E 二}Î\ 启程的整黯酶
【例题求解】
例1
5 当走=6 时，得户2; 当走=9 时，得x=-3; 当样6 且走手9 时，解得Zl=-2-d 2 =
6 一走
6
当6 一护士1，+3 ，土9 时，X j 是整数，这时走= 7 ，5 ，3 ，15 ，- 3; 当9 - k = 士1，土2 ，+
9-k
3 ，+6 时，均是整数，这时走= 10 ，8 ，11 ，7 ，12 ，15 ，3.综上所述，走=3 ，6 ，7 ，9 ，15 时原方程的解
为整数.
tEA
Fh
JV
91"
×
qL
×
叮
马
×
n
，，
μ
、
九
二
zmm
十
m
L
一
以
=
-
U
=
町
'OG
fl1
1
<lll
b
-
n
U
M
ω
-
l
-
A
H
V
一
/
-
u
-
n
/
"
一
一
一
h
二
十
白
ZZ
l
<l
m
m
川
、
，
/
Z
<
Z
Z
Z
为
根
两
程
方
设
D
句
A
衍
U
可取Xj = 2 ，x 2 = 25 1 ，得α =- 4 ，b = 1012.
例3
(1) 当户O M Z=?不是整数;
r + 2
r - 1
(2) 当γ手0 时，设方程的两根为Xj ,X2 (Xj :::::;;;工2 ) ，则X j + X 2= 一一-- ，Xj X 2= 一一一.
T
γ 一1 \
r 十2
于是，2Xj X 2 一(UZ 2 ) = 2(7) +7 = 3 ，有(2X j 一川2 - 1) =7
一
f
或
l
-3
一
一
γ
旧
旧
户
盯
〈
U
一
。
一
一
一
-
z
z
r
l
l
l
〈
i
l
l
飞
或
咱
E
A
A
4
A
一
一
一
一
~
「
」|
忡
日
苛
解
工
/
与
Z
且
数
整
为
Z
Z
故所求一切有理数r 为-t或1
.
191
d
草姐埠毡'
例4
若/:::，. = η 2 (η 为整数) ，则(2m- 1) 2+4= η 2 ,
(η +2m 一1) (n 一2m 十1) = 4 .
rn 十(2m -1) = 2,
·μ + (2m 一1)与
n 一
( 2m 一
1 )奇偶性相同，故只可能有才
或
| η 一(2m 一1) = 2
(计(2m 一1)=一2
解得2m-1=0.
n 一(2m- 1) =-2 ，
此与m 为整数矛盾，故A 不可能为完全平方数，方程不可能有有理根.
【学力训练】
1-f M 为质数
2.4 提示
: /:::，. = 4 刁百=瓦，分别就m = 1，9 ，6 ，10 的情形讨论.
3. 5
设方程两整数根为工j' X2' 则Xj 十工2 =m , XjX 2 =m + 2006 ，即X j X 2 一(Xj+x 2 )+1 二
2006+1=2007 = (川一1)(x2- 1)，故Xj -1= 士1，土3 ，士9 ，x 2 - 1 = 土2 00 7 ，+669 ，士223 .
白+X 2 二一1-t (,
4. 当走=0 时，x=l; 当走#0 时，设两个整数根为Xj
，X 2 ' 则有
川2 二1-t
②，
①一②，得Xj+X 2 - X j X 2 =-2.
(Xl 川一1) =3=l X 凹-1) X (-3) ，解得Xl +X2 =6 或工1 十「一2 即一1一扫
或一1一卜-2 ，解得走=一;或走二1，故满足要求的走值为0 ，-h
5. 20
(m - a)(m - b)(m - c)(m - d)=2014 = l X 2 X 19 X5 3 ，(m - a)+(m - b) 十( m - C)+
(m-d)=l 十2+19+53=75 .
6. 93
设此方程的两个解分别为m 刑，则m + n=a
，mn=b ，不妨设m 为正整数，则n= α -m 为
整数，且n = 主>0 ，因此n 也是正整数.
η1
显然1 不是此方程的解，那么m- 1，n 一1 也是正整数. 由于(m -1) (n -1) = mn 一(m 十η) 十
l=b
α 十1=2014 ，
而2014 = 2X19 X53 ，故当m- 1，η-1 分别为38 ，53 时，其和最小.
注意到α 二m 十η =(m- 1) +(n- 1) +2 ，故α 的最小值为38+53 十2=93 .
7. 设n 2 +85n +2017=m 2 ，m 为正整数，即对+ 85η 十2017 -m 2 =0 ，
/:::"=852- 4X (2017 - m 2 ) 二t 2
，t 为正整数，即(2m + t) (2m - t) =843 X 1 =281 X 3 ,
rm=211 ,
rm 二7 1，
解得才
或4
进一步得满足条件的n 的和为168 十27=195 .
It=421
It= 139 ,
.. 198
-z孟翠望
国
8 不妨设α ~b ，且方程的两个整数根为川，X 2 (X1 ~X 2 ) ，则X1+ X 2 = αb ，X 1 X 2 寸(a 十b) ,
1
1
4导Xj X 2 - X 1-X 2 二一α+ = b-ab ,
且"
2 -
, 2 ~
-~，
二4( X1- 1) (X 2 一1)十(2α-1) (2b -1) = 5.
.: X1 -1;;?0 ，x 2 -1 二三0 ，2α-1 二三1
，2b-1 二三1.
ibl 一川十O
ib1 一川一1) =1
①或
才
②
(2a •1) ( 2b - 1) = 5 ,
1 ( 2α - 1) (2b- 1) = 1.
由①得α =1 ，b=3 ，x1 =1 ，工2 =2; 由②得α =l ，b= l，此时方程X 2 _X 十1=0 元整数解.
故当且仅当α =1 ，b=3 时，原方程有整数解，且它的两个整数解为工1=1 ，工2 =2.
9. 先将方程整理得x 2 -10走
• x+(9走2 -8 1) =0 ，由题意知两个根都是整数，故判别式ß= (1 0k) 2 _4
(9走2 -8 1)应是一个完全平方数，设A=m 2 ，其中m 为正整数.整理后可得m 2 =64ν+324 ，因式
分解得(m-8走)(m 十8k) =324.
由m 是正整数知m-8走
，m+8走至少有一个为正，又m-8走
，m+8走同号，故这两个数都是正
整数，且奇偶性相同.由324=3 4 X 2 2 知仅有以下几种情况:
①m-8走=162 ，m+8走=2 ，解得m 二82 ，走=-10 ，此时两根分别为一91 和-9 ，符合题意，差为82;
②m-8走=54 ，m 十8是=6 ，解得m=30 ，走=一3 ，此时两根分别为一30 和0 ，但0 是增根，不合题
意，舍去;
③m-8走=6 ，m+8走=54 ，与情况②相似，出现增根0 ，舍去;
④m-8k=2 ，m+8走二162 ，与情况①相似，两根分别为9 和91 ，符合题意，差为82.
综上所述，两根的差为82.
国可f{~ 一元二识自程的启程(组)
【例题求解】
例
1
5
原方程化为(X 2 +X 十2)(X 2 +X 十走)=0 ，因方程工2 +x+2=0 元实根，故方程工2 +X+
走=0 有两个实根X1
，X 2
' 所以X î +X ~ =( X 1 十X 2 ) 2 _ 2x 1 X 2 =5.
例2
D 只有当2ζ♂-1 ::( 3 ，即
5 ::(x ::( 10 ，方程变为C/X
1-2)+(3-J x
1) 二1 是一个恒
等式，满足5 运工~ 10 的任何z 都是方程的解.
工2 十3 X
_. _
. __...1
1
11.._
5+ J 89
例3
(1)设
?
二.y
，则原方程化为
.y+ 一
. ~ ，解得X1 =-1
，x 2 =-4 ，句.4 =一」二二
x 2 +x-4-Y'?'~I/T'/J
' I:::t:rtJ P.l 2Y ' 3y
12 , mT"'T -""'1
.L '-""' 2
"""'-""' 3.4
2
(2) 设1999-x=a
，x-1998=b
，1999-x+x 一1998=1 ，则原方程旷+扩=(α + b) 3
，
得ab=O ，即(1 999- x) (x -1998) =0 , :. x 1 = 1999 ,X2 = 1998.
(3) X1= l, X2=-2
.
199
aE噩噩噩~置.1L~tJt
例4
原方程化为kx 2 - 3kx + 2x -1 = 0
(.
(1)当时时，原方程有唯一解z =t
(2) 当走手0 时，方程①ð=5走2 十4( 走一1) 2> 0 ，总有两个不同的实数根，由题意知必有一个根
是原方程的增根，从原方程知增根只能是。或1 ，显然。不是①的根，故户1，得叶
【学力训练】
2(x - 2010)
1. 15
当z 手2017 时，m =--;::=一一一一
，2010<x < 2017 ，令t=2017- x
，0< t < 7 ，且t 为整数，则
J 2017-x
2(7- t)
m=-7' 将t=1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 依次代人，m 的所有取值的和为叩=15.
2 叫<÷ 而2 - 5 + 是=0 ，以σ为根，则ð=(_ 1) 2 一份> 0 且rx;
. ι = 走> 0
3. B
4. A
由条件得
l )x+2-31+1 ♂有一51 =1 ，依乒丰言> 5 ，rx有< 3 ，3ζ乒丰"2 ::( 5 讨论.
5α=-5 或-j或一2
6. 两由旷工二1 得X =y - 2 ,y - 2(x- y) =y x +y
，当y=l 时，x =l; 当y 手1 时，一2( x -y)=x+y
，
z=7 ，得户手，y 二拓
7. 12
将已知的两个方程分别相加、相减得(y 十1) (x +z) =36 , (y -1) (z- x ) =10.
8. C
两式相减得z 十y=-2 或工=y( 舍去).
9. D 当α < 0 时，无解;当α=0 时，x =0 ，无意义;当α > 0 时，原方程可以化为J主τ= 士们即
工-1
工2-ax 十a=O
①或
工2 +ax-a =0
②，因ð2 =α 2 +4a > 0 ，故ð ，=α 2 一句< 0 ，得0<α < 4.
10. (1) 原方程化为
2 2 一
(2y 2 +
1) 2-y 十旷=
0 ，解关于"2" 的一元二次方程得
22y 2 + 1 + (2y + 1)
2
'
-1 +ß
-1 一点
.·.y 2 十y-1=0 或y 2 _y 一2=0 ，解得y ，= 一一一一'Y 2 = 一一一一'Y 3 =2'Y 4 =-1
2
'J~
2
ω 卡主r 十2 主叫(击f+2 二手卢，解如1. 2 二平
(3) 设x =y+ l，则(y+ 1) 4 十(y 一1) 4 -82=0 ，
即[(y +1) 2 + (y -1) 2J2 -2(y +1) 2 (y -1) 2 -82=0 ，y 4 十6y 2 -40=0 ，解得y=2 或y=
.
200
E骂王军望国
一2 ，进一步得x=3 或x= - l.
1
1
石汁1 二歹'
I 1 1
1
、
(4) (x"y"z ，)=(O ，O ，O) ，(句，Y Z，Z2)=( 一，一，一)
飞
2 ' 2 ' 2 I
1
1
原方程化为4γτ十1= 一，
住y-
z
1
1
石τ+ 1= 王'
三式相加并配方得(去一1/ +(去一1) 2 + (去一1f=0
x
1 1.因为x ，y 是正整数，所以由题设方程的结构可知一也是整数.故可设工=my(m 是正整数) .
y
243
将它代人己知的方程，得2my 十my2+m=243 ，m(y 十1) 2 =243 ，即(y + 1) 2 = 一一.
m
243
观察它的结构，可知一一应是平方数，故只能取m 二3 或27. 于是得下表:
m
12. 原式= (x 3 +4x2 Y + 3x y 2) + (x 2 Y 十5xy 2 + 6y 3)
=x(x +3y) (x + y) + y (x +3y) (x +2y)
= (x +3y) (x 2 +2xy + 2y2)
由工，y 是正整数，知x+ 3y > 1 ,x 2 + 2xy + 2y 2 > 1 ，而91 = 7X 13 ，
(叫= 7
川二13
①或4
x 2 十2xy+2y 2 =13 ，
lx 2 十2xy+2y 2 =7 ,
②
方程组①的解为4
方程组②无解，故z 十y = 3 .
lY = 2,
国
tlJ棚统
【例题求解】
例1
①③④ 当ω ，如=51= 1
去> 1;顶点坐标为(1 一去，
去) ，设户1 一去。=
1
0
0
O_
1
1
一土，消去a 得y = ~x -
~ ;y = ( x 2 - 2x 十1) α +x - 1 ，当x 2 - 2x + 1= 0
即工= 1 时，
4α2
-
2
y = O ，故抛物线都经过点(1，0).
b
b
例2
C
③④⑤成立
当工= -1 时，y <ü ，即α - b + c < ü ，μ + c < b. 又一zz 14 =
言代人
.. 201
aE噩噩噩lID'l噩噩IìEJJ)~-
上式，得2c < 3b. 当x =l 时，y 最大=α +b 十c
，λα 十b+c > am 2 +bm + c
，α + b > m(am+b)
(m 手1).
例3
(l ) X l =0 ，工2 =2.
.........Xl+X2
(2) 如图①、②，右一一一> t
，则Yl < Y 2
' 因为对于Xl + x2> 3 ，都有Y l<仇，所以
2t ~ 3 ，即
2
tζ?
y
y,
x
图①
图②
例3 答图
例5 答图
例5
(1) 0<x<4
抛物线的对称轴为工=2 ，当X= O 或x =4 时，Y 的值都为5 .
(2) B 如图E(2 ，2)
，四边形OO'EF 是正方形，边长为2 ，面积为4 ，
.: S D 二S 8 =S c
，二S 阴影=S A +S D =S 正方形OO'EF =4.
【学力训练】
1. 0
2. ②④⑤ b=-2α
，c= 切，对于⑤，当工二1 时，函数值最小，即α + b 十c ~ αm 2 + bm +c
，
am 2 +bm 二三α + b=
α.
3. ①②④ 对于③，当m > O ，O<x<m 时，Y 随z 的增大而增大.
4. C
在y=a(x-h) 2+走的图象上标明点A (1，1)
，B(8 ，8). 当抛物线开口向上时，如图①，过点
A 作A仙轴交抛物线于点C ，则点C 在点B 的左侧，所以h <?(门1 十
开口向下时，如图②，过点B 作BD 川矿1 x 轴交抛物线于点D ，则点D 在点A 的右侧，所以h >
j(1+
y
y
x
x
图①
图②
第4 题答图
.
202
Ealli望..
5. C
对于A.B 需依a 的正负性讨论.
6. D 连接A'B' ，AB ，则S 阴影=S OAA;B 'B ,AA' = 3.
7. (1 )n= -4.
(2) 当y 二2 时，Xj 二1，工2=5 ，
.·. z 的取值范围是一l<x~二5 .
(3) .: 点A 与点C 不重合，二m 手1.
·.·抛物线的顶点A 的坐标是(m ，的，
λ 抛物线的顶点在直线y=4 上，
当户0 时，y=-tm 2 +4 ，
• }~( B 的坐标为(0 ，-jm 2 +4)
抛物线从图①向左平移到图③的过程中，m 减
小且m 二三0 ，点B 沿y 轴向上移动.
当点B 与点。重合时，
jm2+4=0 ,
解得mj = 212 ，m 2 二一212 (舍去) .
y
图③
第7 题答图
当点B 与点D 重合时，如图③，顶点A 也与点B ，D 重合，点B 到达最高点，
点B 的坐标为川
当抛物线从图③位置继续向左平移时，如图④，点B 不在线段OD 上，
.J.. 点B 在线段OD 上时，m 的取值范围是O三ζ二m < l 或1<m < 2 12 .
8. y 二- x - 1
5+ ( - 3)
9. - x 2+ 2x+ 16
抛物线对称轴为工= 一-z一一，设f( x) = a(x - 1) 2+ 17.
x
x
图④
10. y = x 2 -2x-3 或y = -3x 2 十6x+9
设y= α (x+ 1) (x-3)
，当α > 0 时，抛物线过点( 5 ，
12); 当α < 0 时，抛物线过点(1，12).
11. B 设功，j忡
b
12. B
提示: c = l ，α = b 一1 ,S = 2b ，由一一> 0 ，且α < 0 ，知2b > 0 ，由b 二α + 1 及a < O ，推知2b <
2α
2 ，故0< s < 2 .
13D LZI 忖2 ) 二一土，
z
t,a
X j + X2 = 一生.
α
14. (1) y =-x2+ 2x + 8.
(2) 户二
8.
.. 203
aE亚军军盛
ñjli，• 1L ~m
(3) 以AB 为直径作圆，与二次函数y=-x 2 +2x+8 的图象交于A ，B ，
P ，Q 四点，如图所示.
对于二次函数y=-x 2 十2x+8 ，当y=O 时，有- X2 + 2x +8=0 ,
解得x=4 或工二
2 ，所以A(-2 ，0) ,B(4 ,0) ,AB=6.
设圆与二次函数的图象的交点坐标是(x ,y).
因为直径所对的圆周角是直角，则由勾股定理，得
[(X-4) 2 +y 2 J 十[(X + 2)2+y 2 J 二36 ，①
又y=-x 2 +2x+8 ，
②
y
D
Q
B
第
1 4 题答图
由①②，解得y = O 或y= 1.对于二次函数y= - x 2 + 2x 十8 ，当y=l 时，x = l 士212 ，
所以P (1 -212 ,1) ,Q (1 +212 ,1).
x
因为直径和圆内一点所形成的角是钝角，结合图可知当一2 < m < 1 - 212 或1 十212<
m < 4 时，ζAEB > 90 0 ;
又当m < -2 时，ζEAB > 90 0 ，当m > 4 时，ζEBA >9 0 0 •
综上，当m < 1 - 212且m 手-2 ，或m > l 十212且m 手4 时，6，ABE 是钝角三角形.
15(1)fib-俨1
(2) 证明:过点P 作PM 垂直对称轴x=2 于J点M ，在Rt 6，PFM 中，PM= Im-21 ,FM=
In - 1
1 ，由勾股定理可得PF= v( m 一2)2 十(η _ 1) 2
.
• . 点P(m ，n)在抛物线y=÷(工
2 ) 2 - 1 上，
-n=÷ (m 一2)2 一1
.•• 8n = (m - 2) 2 -
8 ，8η + 8 = (m - 2) 2 .
:.PF = J8n+ 8+ (n - 1)2
= ffn 十8+η 2- 2n 十1
=仇2 十6η +9 = .;c;;丰否"2
·.·n 注- 1 ，:.n + 3注2 > 0 ，
人PF = n +3 .
又... d = η
( - 3) = n 十3 ，:.PF= d .
(3) 如图，作DG j_ l 于点G ，交抛物线于点Q ，
则点Q 即为所求，此时6，DFQ 的周长最小.
由(2) 可知，QF = QG ，:.DQ + QF = DQ 十QG = DG.
.
204
y
1
，~D
I
! A.Æ/ !
p "'-=-_-_-_-_--二二:卜/i
创
户之
l
x
lA
C
G
第
1 5 题答图
-III~毛建言…-
又·.·连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，
:. DDFQ 周长的最小值为DF 十DQ+FQ 二DF+DG.
又.: DF=v(4-2) 2+ (3 一17 = 2 J2 ,DG = 3 - ( - 3) = 6,
:. DDFQ 周长的最小值为2J2 +6 ，Q 点坐标为(4 ，-~)
国二识国黯的应用
【例题求解】
例1
4
原式=(m+3)2-12 ，又m= η 2 +1 二三1，当m=l 时，原式有最小值.
例2
C
当
2 ::::;;;m ~;:;J 时，最大值m 2 十1=4 ; 当m < -2 时，最大值一( - 2 - m) 2 +m 2 十1 = 4; 当
m > l 时，最大值一(1 -m) 2 +m 2 十1=4 .
例3
(1) x =12 或工= 16
fx 二三6 ，
(2) S =- ( x - 14) 2 十196 ，由才
得6~x :S;;)3 ，当x= 1 3 时，S 最大值= 195(m 2 ) .
l28-x 二三15
例4
(川=卡+3
(2) 就"思路点拨"图②给出解答，
AO
AB _ . _ _ 5 _
_. .,
_ _
_, 1
.· 一一=一一，:.AM= 一(4+x)
，连接AP ，则: PM. AN= :AM • d ,
AN AM'- ------
4 ' -' - "
^-'-'_"'_ - -- '/"2
~ X [(卡+ 3) 一( -x 2 +2计1巾~ 二j × ; (h ) × d ，
d=4
2·8-4J5 、2 +103
τx- -x ，s-s 飞
'f;J '80
故当工二二时，d 取得最小值时，
5 119
可得P 点坐标为(石'百)
(3) 对称轴为直线工二1.
如图，作点C 关于直线工= 1 对称的点C' ，易知C(O ，l)，
例4 答图
、
、
，
/
-EA
n/
"
/
，
‘
‘
、
C
过点C'作C'F _lAB ，垂足为点"F，交直线工= 1 于点E ，
则CE 十EF = C'E + EF 二三C'F ，λ CE + EF 的最小值为C'F 的长.
. 8
14 __ _ , _
14
由(2) 知，d =
; X 2 2 - 2 十
二
，即C'F = 一.
5
-
- . 5
5
14
:. CE + EF 的最小值为τ -
.. 205
aE军mül'll'，"E墨E面罩'
【学力训练】
l. y 二-ju+川4
2. -1
1
n
3. 15
设Ð(x
，-x 2 十6x)
，则5 6BCD = 一X 5 X (-x 2 +6x-3).
2
。+t
9
4. B ②③正确.对于③，设足球被踢出ts 时落地，则(0 ，0) ，(t ，0) 是一对对称点，由-T=17得t=9.
5. D
对称轴为直线x=m ，分别按如下情形讨论:m < -l; 一1 ~m ~ 2;m > 2.
1
6. D
当0~ t ~ 4 时，5=:t 2
; 当4< t ζ 8 时，5=-; (t -8) 2+16.
2
7. (1 )c = 2b.
(2)n = -m 2 -4m.
(3) 由(2) 可知该函数图象的顶点坐标(m
，n) 满足n=-m 2 一
4m. 当该函数的图象不经过第三象限时，函数Y =x 2 十
bx+c 的顶点在函数y= -x 2 -4x(-4运工~ O) 的图象上，
可得函数y= x 2 十bx+c 的对称轴范围为-4~
卡。
y
x
图①
第7 题答图
y
x
图②
因为一5 ~x~ 1，所以要确定函数的最大值与最小值需根据对称轴的位置分以下两种情况
讨论.
b
①如图①，若- 4~ 一
~ -2 ，即4 ::s二b ~ 8 ，当x=l 时，取到最大值y =1 +3b ，当x=
一
2
b 2 ____ _
1_
b 2
时，取到最小值y=2b-z 所以1 +3b 一(2b -
u4 ) = 16 解得b 二6 或b 二一10( 舍去).
②如图②，若一2< 一一~ O ，即0~b < 4 ，当工=-5 时，取到最大值y=25-3b; 当x= 一旦
b
2
b 2 __ _ _
1
b 2
时，取到最小值y=2b- "4.所以25-3b 一(2b -
u4 ) = 16 解得b=2 或阳舍去)故b 的值为
2 或6.
r2(x+ 1) 2-3
(x 注0) ,
8. (1)-1
y= 才
当x=O 时，y 最小值为一1.
l2(x- 1) 2_3
(x ~ O)
，
y
(- 3,9)
9
6
(2) 1, 9
当一3 ~x~ -2 时，y= x 2 -x 一3 ;当一2 <x~- 1 时
，y=x 2
(- 2,3 )
3
十x+1; 当-l<x ::S二0 时，y=-x2+x+3 ，作出如图图象.
'(- 1,11)
- 3
一2
。
x
第8 题答图
n
8
1
4
、2
16
9.13
b=a z ---=-a={a 一一)一一，...0ζa ~5 .
飞
3/
9 '、飞，
.
206
·函昌主理…
16 _._
_.
35
.·.当α= 言时，b最小值=一百'当α=5 时，b最大值二言'
16 __ _35
故一-_- ~b ~一，b 可取的整数值为
1,0 , 1,…, 11 ，共13 个.
9
飞飞3
-
r
4(α-3)(-a -3)(c) 2
安
10. D
由题意得
一一斗了一二1，
>
丁
=一二
2(α 一二)
4(α_ ~)
v
5
3
解得b=
α
，c = α
，c 2 +a 2 =b 2 .
4 -- , -
4
11. D
原式=(t+ 1) 2 +7 ，由A注0 得t 二三2 ，当t=2 时，原式有最小值为
1 6 .
12. 设Yl =m( x- a) 2 十5 ，则Y 2= X 2 十16x 十1 3- m( x- a) 2 -5 ，当x= α 时' Y 2 二25 ，
即α 2 +16α+8=25 ，解得α1 二1 ，a 2 =-17 ( 舍去) ,
故Y2 =x2+16x+13-m(x - 1)2 -5= (1 - m)x 2 十(1 6 +2m) x+ (8-m ) .
4(1 -m) (8-m) 一(1 6+2m) 2
又Y 2 的最小值为
2 ，则
= -2 ，解得m 二一2 ，
4(1 -m)
故Yl = _2X2 +4x+3 'Y 2 =3x2 +12x 十1 0 .
1 ^, 3
13. (1 )γ=-
= X2 十
x+ 2 ，A ( - 1，0) ,B(4 ,0) .
./
2 -
' 2
(2) 存在，理由如下:
如图，过点E 作EG // y 轴，交BC 于点G ，
EF EG __
_ EF
得一一=一一，CD=l ，~一=EG.
DF
CD ,'-''--'
.L' DF
直线BC 的解析式为y=-jz+2 ，
1 ^, 3
_ _.. _ ,
1
设点E(t ，- :t2+ :t 十2) ，则占G(t ，一:t+2)
，其中0< t <4 .
2-
2
川、
2
1
^
, 3
,
1
..EG= 一:t 2 +: t+2 一(一= t+2) = 一一(t - 2 ) 2+ 2 ，
2" ' 2" ' -
'
2
EF
当t=2 时，EG 最大值为2 ，即-一有最大值2 ，此时点E 的坐标为(2 ，3) .
DF
y
第
1 3 题答图
14. 当-1<α < 2 时，函数在工= α 处取得最小值2 ，故- a 2 + 2α + 2=2 ，解得α 1 =0 ，向= 2 ;
当α < -1 时，函数在x=-l 处取得最小值，代人函数式得2 十4α 十a 2 + 2α + 2 =2 ，解得α 3
一3 一汀，a 4 = -3+汀(舍去) ;
x
当α > 2 时，函数在z 二2 处取得最小值，代人函数式得8 - 8a + a 2 +2α + 2=2 ，解得α 5 =2 ,
α 6 =4;
故α 所有可能取的值为
3 一汀，0 ，2 ，4 .
.. 201
aE选孟通血lfiE墨lIfÆ革噩
[J]J
二识国黯与二ì^ñ~
【例题求解】
例1
(1) 0 ，2 或-2
(2) 如图知b 的取值范围是O<b ::( 1.
例2
(1)C ②③④正确，抛物线与工轴另一交点在(0 ，0) 和(1，0) 之间，则当
x=l 时，y<O ; 直线y=2与抛物线y=ax2 +bx+c 的交点只有一个.
Y=l
x
例1 答图
2
(2) D
a 剖，记Y= X 2 十(1 +一)x+9 ，则这个抛物线开口向上，因Xj< l <巧，故当户1
α
2 \
. . ._
2
时，y <O ，即1+(1+z)+9<0 ，解得一古<α<0 .
例3
ðx=Cα - 1) 2-4Cab-2)= α 2 -2C2b + 1) α+9>0 ，此不等式的左边是关于α 的二次函数，
要使函数值恒为正，只需ßa <O ，即4(2b + 1)2 - 36<0 , (2b + 1) 2<9 ，解得一2<b< 1.
例4
如图，由一6<-3a::(-5 得?ζa<2
【学力训练】
1. ①③④
2. ①③ 当x=-l 时，函数取得最大值α -b +c ，at 2 十的+c::(α -b +c ，即
at2 +bt::(α -b; 方程ax2 十bx+c 一ρ= 0 的两个根为一3 和1 或一2 和0 或
一1 和一1 ，故户的值有三个.
y
x
(3,-6)
例4 答图
3. B
由条件得Y 2= d( x - Xj) ，Y=Yj 十Y2=(X-Xj)[α (x-x2)+d] ，其图象与z 仅有一个公
共点，故a(x-x 2 )+d=0 的根也是Xj.
4. D
对于②，若α > 0 ，则当3 ::(x::(4 时，Y 随Z 的增大而增大，此时一切一5 ::( -5 ，又3 ::(x::(4 时
对应的y 的整数值有4 个，
-9< 一3α - 5::( -8 ，解得1Q<:
4
同理，若α < 0 ，则一一<α::(- 1.对于③，AB ::(6 ，ß=16α 2 +20α>0 ，
3
··G< - 7或α >0 ，.:AB 2 =(X A 十XB) 2 _ 4川B::(36 ,
. (于f -4( - ~)::(川+字叫得ρl
5. (1 )C(5 ,4).
(2)x= 1.
.. 208
EE翠温哥
监
y
y
A
y
C
C
C
x
x
x
图①
图②
图③
第5 题答图
(3)y= αx 2 -2ax-3a = α (x-3)(x+ 1).抛物线经过A(-l ，O ) 和A 的对称点B(3 ，0).
当α > 0 时，如图①，
当x = 5 时，y 二ax 2 - 2ax - 3α = 12α ，
则当12ρ4 时，抛物线与线段BC 恰有一个公共点，解得ρ;
当α < 0 ，且抛物线的顶点不在线段BC 上时，如图②.
当x=O 时，y=ω 2 -2ω 一切=一
如图③，当α <0 ，且抛物线的顶点在线段BC 上时，顶点的坐标为(1，4) ，则α -2a 一切= 4 ，
解得α 二- 1.
综上所述，α 的取值范围是α注1 ，α < -i或α=-1.
3
rm>O,
6. 由题意知y > - 2 ，即mx 2 + 6,}3 x + m + 6 >0 ，若此式对任意z 成立，则须且仅须才
即
1.6.< 0,
(ρo
解得m > 3.
(6,}3) 2 - 4m(m 十6) <0 ，
3 X ( 一~f + m( - ~ ) 一队
7.4
由题意，得
3X ( ~ ) 2 十m ×;一例，
13
.. 3 一<m < 4 一.
:.m = 4
21
~ .. .
~ - 45
>
a
n
/
U
>
叫
‘
U
G
A
吐
α
口
以
nu
>
G
A
哇
EO -
A
又
1i'
一
勾
1
一
-n
<U
一
一
一
一
'o
c
rlll
<lll
L
得
1IA
A
h
二
=
丁
fL
-
+
岛
，
可
+
-G
G
4
「
l
l
j
〈
l
l
L
由
一
一
小
提
4
00
0 ，得α 二三2 ，b 十c = 一切十2ζ
4.
9 一1~α <- t或α = 3 - 2 ，}3
..209
4_R~毫言m~嚣1革~~..L.I:f~~_
hζ-52《2
当抛物线顶点在AB 上，则有才
二
Itl= (α-3) 2 一12=0.
当抛物线顶点在z 轴下方，则有
(川1+α 一时
b…+以
或(
f(2) =4+2(α -3)+3 > 0
lf(2)=4 十2(α-3)+3 <0 .
10. B
抛物线y=ax 2 十bx+c+m 经过点(3 ，0) ，则抛物线y=ax 2 +bx 十C 十η (O < n < m) 与z
轴的一个交点在1 与3 之间，x=2 ，又其对称轴为工=-1 ，故另一个交点为(-4 ，0)
，x=-4.
11. C
设Yj = Ix2-11 ，Y 2 =(4-213)(x+2)
，直线与"外侧"的两段抛物线均
(v=1-x 2,
相交，由J
得X 2 十2(2-13)x + (2-13) 2 二0 ，
lY = (4-213) (X +2)
因tl=4(2-13) 2 -4(2-13) 2 =0 ，故直线与"内惧。"的抛物线相切，从而原
方程有3 个解.
12. D
y
x
第
11 题答图
13. (1)户:呐。+q=(x o +~ f-咛坐<0 ，则与坐>(x o +~f注。而2 -4q>0 ，即
抛物线与工轴交于两点.
(2) 将Xj +X2 = 一户
，X j X 2 =q 代人X ~ + ρX o +q=y o< O 有:z: 一(Xj 十X 2 ) Xo 十Xj X 2<0 ，
(X O - Xj) (X O -X 2 ) < 0 ，故Xj<X O<X2.
14. (1 )c=4α
(2) ①y=x 2 -2x 十1.
②下列证法供参考:
如图，设B(Xj ,yj) ,C(X 2 ，y 2)
' 则D(Xj
，一1).
ry 二走x+1
走，
由斗
得X 2 一(走+2)x 十走二0 ，:. Xl 十工2 = 走+2 ，Xj X 2 = 走.
ly =x2-2x+1
·.·直线y 二走x+1-k 通过定点(1，1)，二X j< 1 <x2 .
由A( l，O) ，D(Xj ，一1)得YAD 二一-L-z 十一
1
Xj-1~ , xj-1'
当X= 工2 时，_V2 一(一-LZ2 十一~)=(X2 一1) 2+三二1
J
飞
Xj-1-
0 ' xj-1'
'-0
- ,
xj-1
(工2 - 1) [Xj X 2
(Xj +X 2 ) 十2J
(X2- 1)[走一(走十2)+2J
~
JE l-1-Z11u,
.·.点C(X 2 'Y 2 ) 在直线AD 上，即A
，D ，C 三点共线.
15. (1) C(-2 ,4)
.. 210
x
第
14 题答图
-E3i莘莘3….
(2) P(-2 ，2) 或P(l ，~)
(3) 如图，设A(Xj'村，B(什xn ，D(m ，~m 2 ) ，
ry=kx+2走十4 ，
联立才
1
^
消去y 得x 2 -2kx -4走-8=0 ，:.Xj 十X 2 =2是，
[Y=2 X - ,
工j
. x2 =-4走
8.
过点D 作EF //x 轴，过点A 作y 轴的平行线交EF 于点E ，过点B 作
y 轴的平行线交EF 于点F ，
AE DE
由L:，ADE (/) L:，DBF 俨一一=一一
苛DF
BF'
1
^
1
^
言Xj-2 m
m-x ,
二
--，化简得工j
• X 2 十m( X j +X 2 ) 十m 2 =-4.
Z2-m1
2
1
2
2 X2 -2m
:.2k(m-2) 十m 2 -4=0. 当m-2=0 ，即m=2 时，点D 的坐标与走无关.
.·.点D 的坐标为(2 ，2) .又.:C(-2 ，4) ，二CD=2 ，J5.
χ
x
。
第
1 5 题答图
过点D 作DM上AB
，垂足为M ，则DM~ CD ，当CD 上AB 时，点D 到直线AB 的距离最
大，最大距离为2 ，J5.
四
1飞磁层值
【例题求解】
例
1
15
由已知得y 2 二-2x 2 十6 x 二三o ,x 2 -3x~ 0 ，0~ x ::S二3 ，原式二X2 + (-2x 2 十6 x ) +2x 二
-( x -4) 2 +16 ，当x =3 时，原式取最大值为
15.
4y 2
4
.x
例2
D 原式==5- / --
，
n
、少
'
口
?" =5 一
，当一=-3 时，原式取最小值3.
(7+3) 2+2y
例3
(1 )α 为实数，6:.= (b -1) 2 -4(b 2 - 2b -t) 二三0 ，即4t 二三3b 2 -6b 一1
，4t 二三3(b- 1) 2 _4 二三-4 ，
当b=l 时，t 的最小值为一1 ，这时α=0.
(2) 工
，y 是关于t 的一元二次方程f 一(5-Z)t+Z 2 -5z + 3=0 的两实根，又A 二(5-Z) 2 一
13
4(Z 2 -5z+3) 二三0 ，则3z 2 -10z 一13 !S三0 ，(3z-13)(z+ 1) ~ 0 ，一1 ζ z ζτ- 当x =y=3
13 ..
.. _ . .._ . 13
时，z= τ ，故z 的最大值为王·
.
211
aIE国届监应蓝墨5"Ui.1-
1.
1 ,
3 \2 .1
例4
(1) ; ::Çx ::Ç 1 ，y 2 = 五十2~ 一(x- ~ r +页'
当z=?时，y 2 取到最大值1 ，a=1;
1
仙2
当x= 一或工=1 时，y 2 取到最小值一，b 二二.故α 2 十b 2 = 一
J
-v...._~~
.
..，
I-J=L 2 7......
2
/]E
~~兰;二
例4 答图
(2) 作如图所示矩形，AB=8 ，设AC 气，则BC = 8 - x ,AD = 2, CD =♂有，BE=4 ，
CE= .J(8 豆豆严+16
，BF=AD=2.
.rx古平'4 + J (8-x) 2+16 =CD+CE 二三DE= JDF 2 +EF 2 =J8 2 +(4 十2) 2 = 10 ，当且
BC
EB
4
仅当D ，C
，E 三点共线时，原式取最小值.此时，l::.EBCω l::.DAC
，有一一=一一=一=2
CA
DA
2
1
_
8
从而x=AC=~AB= 一故原式取最小值时，x = 立.
3 ---
3 .
【学力训练】
12
2. (1) 1 原式=(z-1) 2 +( JZ-J二f+ 1.
-J x
9
(2) 12
原式=18-(x+ 一)
，x > O ，x+ 一注2 ..(9=6.
工
3.D
y 2 =4 十2 J -(x-3) 2 +4 (1 ::Çx ::Ç5)
4. D
y=2(走
2) 2 -2 ，0ζ走ζ1 ，当走
1 时，y 最小值=2.5.
2
11...
_
. _ _ ....
...
. _ _ . .. 20
5. (1)原式=3+←一，当x=3 时，取最大值14 ，当x=5 时，取最小值τ
z 一2
(2) 去分母并整理得(y-3)x 2 十(y-3)x 十y 一-4=0 ，y#3 ，由牛二(y - 3) 2 -4(y - 3) (y -4) 二三0 ，
13
.. _ . .. . 13
得3ζy ζ王，y 的最大值为王-
6-3
令h 十y+xy ，由川3xy+2户时(x十以=l+x户2(X+y) 2 =走一(x+y)+
1=>2(x+y) 2 十(x+y) 一(1+走)=0.
将上述方程视为关于什y 的二次方程，由Z 十y 为实数知~=1 十8(1+走)沟。-3
7; 设什2y=t ，则(t -2y) 2 一2 (t -2y)+4y=5 ，4什(8一向+ (t 2 -2t -5) 二0 ，由ρo
知t《;
' 到2
-E孟孟孟理国
r
I
1 ,l2
I
1 , 2
3 .3
8.C z=l-x-y ，M=-
l y+(x-~)I-(x-~) 十Z《Z
9. A
设工1 ，句，… ，X n 中，所有非负数的和为a ，所有负数的和为-b ，则α +b 二2016+ 1α -b
l
.若
α 二三b ，得b = 1008 ，而IX i l< l，i= 1 ，2 ，… ，n ，则负数的个数至少有1009 个，非负数的个数也至
少有1009 个，故η 注2018.若α <b ，同理可得η 注2018 .
n
10a + b
a +b+9α
10. (1)设两位数的十位数字为α ，个位数字为b ，则一一=一一一一=
二1+ 一一= 1 +
S(η)α 十b
a 十b
~ , a+b
10a 十b
一一一，要使一一-值最小，则一最大，
α +b 1-1=1..-""1:)'0". '
",
7/':.J a
1 + 一
α
19
19
'.a = 1.b = 9. λ 一一一= 一一一= 一
，~
v'''S(n)
1 十9
10'
n
1 OOa 十10b 十c
(2) 设百位数字为α ，十位数字为b ，个位数字为C ，要使一一=
值最小一一=
S(η)α +b +c
1.f3.，"vv~"S( η )
99α 十9b
1 + 一一一一，其值最小，则α = 1 ，c = 9 ，
α 十b 十C
99+9b
..一一一= 一一一一+1=10+ 一一一:- .
S(n)
10+b' ~
~ V
， 10+b'
n
199
.b === 9 ，... 一一一=一一
"'S(n)
19'
(3) 设千位数字为α ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，
1OOOa+100b + 10c + d
.
999α 十99b+9c
则一一- 二
= l +'OO ~'.' 0.0
•
，其值最小，则a = 1 ，d =9 ，
S(η)α 十b 十c + d
~
'
a+b+c+d
n
999+ 99b + 9c
,
.... • ,. ._ •
•• ~~ • ~
~
n
~. ~
_, 1099
·.一一=
+ 1 ，类似分析，b=0 ，c=9 时符合题意一一最小值为一一.
S (n )
b + c + 10
I
..L. '7'Ç I~ .J.J '1/ l ,v
v , L-
J
W J'I 'J 1=1 fØ /i!l" S (n ) ..tlJV
~ • l.f3. n
19
15 ~ ._
,
n
.
1 .
15
1 1.由X 3+ y 3+ 丁(X +y ) = 一可得(X + y) (X 2 - xy+y2) +~(x+ y) = 言'
也
2
I
_
1
、
15
即(X+Y)( X 2 _xy 十y 2 + 一) = 一
J
飞
J'J
'4 /
2'
。1
I
Y 、2
3 _
1
令X+y = 走，注意到x 2_ xy 十y 2 + 一= ( X 一一)
+ -j 十一> 0 ，故X+ y = 走> 0 ，
4
飞
2'
4 ..7
' 4
又': X 2 _ xy +旷+一= (X 十y ) 2- 3zy +1 ，
1
4
1
15
ν 十一走一-
1
15
.
' 0' 4"
2
故可得ν - 3xy走十一走=
，.·. zy = 一一一一
4"
2
1
15
ν 十一走一一
42
于是，x ，y 可看作关于t 的一元二次方程t 2 - kt+
白，
= 0 的两根，
.. 213
aø :!f: tft i1t tJi 1J::Ii • 11. ~ t.l
1
15
扩+~k 一一
42
人ð=( - k) 2_4
0
一
二三0 ，
化简得走3 +走一30~0 ，即(走一3)(ν+3走+10) ~0 ，:. 0<走运3 .
故x+ y 的最大值为3 .
fυ=Jtz 一:y41工-31 2
(2) x=f3时，打工)有最大值，最大值为f3-12.
国回事in !fi
【例题求解】
1
IJ2 r\ 2
1
^
••• _
_. •• _
_ _
• 90 一X r 2
例1
石
以AD 为直径的半圆面积为? 以(亏r =产2 ，一个白色弓形的面积为才百一
专2 =7πr2-jr2 ，阴影部分面积为4 [~ 1!r 2 - ( ~ 1!r 2 -
~ r 2) ] =咔=(注iFE)
=
(tiFE)=;
例2
B
①②③正确.
例3
1 _
3 _
3
(1) 0: P ctlf liX.rt!1'JJ = '-A
，P
一一一
) 一币，~
c拼成小人)一币'P C拼成房子)- E ，p (拼成小山)- 10'
3 , . . , 1 , . .
4 . " , ~ ._. _ .. ~.. ._ .. .. 3 . . _ . 3
.·.杨华平均每次得分为一X 1+ →X 1= 一( 分) ，李红平均每次得分为一X 1 十一X 1 =
10
- . 10 " -
10 ' /00"'. ~
I
- -......,.. v"' ... N
/ ..I 10 " ~
' 10
jt(分) ，故游戏对双方不公平.
10
(2) 改为当拼成的图形是小人时杨华得3 分，其余规则不变，就能使游戏双方公平.
【学力训练】
1
1. "4
1
2. 2
1
一× π X l'
3. iη
4 . ' ..
句η
一
-
m
1X 1
m '
4. B
5. C
.. 214
·函孟主罩..
~ab----:-ab
2 -~
4 -~
1
6. B
设大矩形的长为α ，宽为b ，P( 飞镖落在阴影区域)=-----
αb
4'
7. (1) (m ，n)共有12 种可能的结果树状图略
(2) P 二;
8? 不妨设正方形的面积为1 ，容易知道，以五个点A ，B ，C ，D ，。为顶点所构成的三角形都是
等腰直角三角形，它们可以分为两类:
(1)等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的四个顶点之一，这样的三角形有4 个，它们
的面积都为2;
(2) 等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的中心。，这样的三角形也有4 个，它们的面
积都为j 所以以五个点A ，B ，C ，D ，。为顶点可以构成4+4 =8 个三角形，从中任意取出
两个，共有28 种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第(1) 类或都取自
12
3
第(2) 类，不同的取法有12 种.因此，所求的概率为一=一
28
7'
9. D
如图，t6.ABC 为小圆。的外切三角形，AB =AC ，又AO 二2 ，得ζBAO=
LCAO =队t6.ABC 为正三角形从而，劣弧时大圆。的周长的3 ，故满足条
件的弦AA' 的概率为t
A
串
r
第9 题答图
10. B 若取出的3 张卡片上的数字互不相同，有2 X2 X 2 二8 种取法;若取出的3 张卡片上的数字
有相同的，有3 X 4=12 种取法.所以，从6 张不同的卡片中取出3 张，共有8+12=20 种取法.
要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是:( 2 ，4 ，4)
，( 4 ，4 ，6) ，(2 ，6 ，6)
，( 4 ，6 ，6) ，由
于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边
长的情况共有4 X 2 = 8 种.
8
2
因此，所求概率为一= 一
20
5 '
1 1.如图，设W 为t6.ABC 的外心，WD ，WE ，WF 分别为三边BC ，CA
，AB 的中垂
线.由中垂线性质知，满足条件的点位于四边形区域BDWF( 不包括边界)内.
D (1 0 ，日
，F (6 ，0) ，设点W(6 ，y )
，由
I WC
I = IWBI ，即4 + (y - 10) 2= 36 +
y
C
17
_
1
y 2 ，解得y = τ . S 6 ABC = 60 , S BDWF 二S 6BDW 十S 6BFW = 言
I WF I • IFB I 十
第11 题答图
1 09
ρS
BDWF
109
一IWDI • I BDI 二-_- ，所以--一一一二一一，则ρ 十q = 409.
5
, u , v ' q
S 6ABC
300
.. 215
4-遣军翠~J~'[lj'i:蹄~J"二毛I!，:-
,6.=a 2-4b> 0 ,
/?
厅、
(α <> 份，ω
12
由已知得~-~ <- 1，
叫α>2 ，
?
, • ~ ~
la < b 十1.②
( _1) 2 一α 十b > O
飞
注意到，a
，b ε{ 1，2 ，…，6 } .由式②得α ~b ，进而，由式①得α 2>4α 二>a >4 .
3
1
当a=5 时，b=5 或6; 当α=6 时，b=6.故所求的概率为一一=一
6 X 6 12'
[J]J国彤的匪转
【例题求解】
例1
80。或120 。
当B' 点落在AB 上时，ζ B'DB=m=80 0 ; 当B' 点落在AC 上时，ζ B'DB=
m=120 0 •
例2
A
由L-.ADC' 旦L-. CDE'得，AC'=CE'.
过点C'作C'M j_ CD 于点M ，则CE' +CC' =AC' +CC' =AC =12 CD =12 (.,(3 + 1) =
16 +12.
例3
将L-.ABE 绕B 点逆时针旋转60 0 ，得L-. FBC ，连CE ，FC ，则L-.BEC 为
等边三角形，CE=BE.
:.FC ~FC+CE+EC ,
即FC ~ EA + EB 十EC.
.: FC 为定长，.·.当E 点落在FC 上时，FC=EA 十EB 十EC 为最小值.
·.·ζ FBC=150 0 ，FB=BC ，:. ζ BCF= ζ BFC=15 0 ，而ζ CEB 二60 0 ，
A
D
C
例3 答图
.·.ζ EBC=45 0 ，即E 在正方形ABCD 的对角线BD 上，作FH 上BC 交CB 延长线于点H
，
设BC= 工，则FB=x ，FH= 二，HB=冬
在RtL-.FHC 中，由(12+点) 2 =(~f+(x+孚f 得x=2 或x=-2C舍去) ，即正方形的
边长为
2.
【学力训练】
1. 1 或5
2. 9.,(3 +24
如图，把L-.ABP 绕点A 逆时针旋转60 。到L-.AP'C ，连接pp' ,
贝tlLPP'C= 川6ABP + S 6 ACP = 5 四边归PCP 二S 6APP' + S 6 PCP 二t × 6 ×
主X6 十工X6X8=9 .，(3+24.
2 . . ~ . 2
.
216
A
B
C
第2 题答图
-a益主望...
J74
\+.-
^~ A r"' 1
",.......
-L
^
A.TlTl I__^ A" ,.,//.I=l CC'
AC
3. 工主主
连AC ，AC' ，AG ，由6ABB' C/)6ACC'1导一一二一一，设AB=x
，则AB'=B'G= 工，DG=
BB' AB
工- 4 ，由.jB'A 2 +B'G 2 二.jAD 2 +DG 2 1导2X 2 =7 2 十(X - 4) 2 .
4. B
5. D
ζE=ζDBC=30
0 ，DE=CE-CD=l ，S 四边形CDHF = S 6CEF - 5 6 DEH .
6. DζAEB = 90 0 ，6ABEω6ACB.
7. (1)略.
(2) 作GM _lAB 于M ，FH _l GM 交GM 的延长线于点H ，延长MG 交CD 于N 点，可证明
6GFH 旦6GDN ，6GME豆6CNG ，得EG=CG 且EG _l CG.
8. (1 )NG=λ
(2)ζ DNM=120 0 ，为定值.
(3) 6ADN 的面积为7 汀，如图，取AC 'P点p ，因为BP+PN 注BN ，所以当B ，P ，N 在同一
直线上时，BN 最大.
F
第8 题答图
:.BN=BP+PN=BP + :AE=4)3 +)3 =5 )3.设BP 与AD 交于O ，NQ上AD 于Q ，如
2
2~~ 8)3 __"~T
7)3
图，则BO = = BP 二一一，ON = 一一，BD = 4 .
3
7
..
. _. 1
由题意得60NQω60BD ，λ NQ = 一，λ 6ADN 的面积为·一X AD XNQ=7 )3.
2 7
-
-
~- --
_
.
.......",........... . "
'
_' ..J
• 2
9. jIT
以点A 为旋转中心，将6ABD 顺时针旋转90。可得6ACF ，连接DF ，则BD =CF 二
JDF2 + CD2 =v' (4J2 )2 +32 =♂1.
10. )3十1
60 。
如图，连接AM ，将l::.AMD 逆时针绕点D 旋转
60 0 ，到
6END 的位置，连接CE ，连接MN ，由旋转不变性，知MD + 2MC 二AM +
MD +MC = EN + MN 十MC ，:.AM十MD + MC 的最小值为EC ，过点E
J2 \ 2
，
/ ~
1 j6 \ 2
作EF_lDC 交DC 延长线于点F ，EC 2 = EF2 十FC2 = ( τf 十(J2 +τ)" =
A
B
C
第
1 0 题答图
.
211
a
ø: ~m f1t lfi 1J~.1L~t.I
(./言+1) 2 ，又ζ BMC= ζ DMN.
11. D
对于②，由6MPCω6MFE 推得;对于④，四边形AMFN 为正方形.
12. A
过点D 作DE _l BC 于点E ，6B'CD 为等腰直角三角形，设B'C =
BC= 工，则Dc=fix
，
由(fiX) 2 =(2 疗) 2+ ( x -2) 2
，得x=4 ，
. ~ . , ._CB
BB' __
4
2. . ,
~
由6BCB' (/)6ACA' 得一一一一一即一τ二=一一，AA'= ) l1.
CA - AA' , "t' 2 JIT - AA'" >." >.
y
.L.L
13. (1)等腰直角三角形
fi
(2) ①两个结论仍成立，连接BD ，
.: LEB'D= ζ
LAB'D 一ζ
LAB'B=(礼13白5。一~ )一(旷一~ )=臼
又DE 上BB' ，:. 6DEB' 为等腰直角三角形，又6B'DB ∞6EDC ，
BB'
BD
~
CE
CD
V -
②3 或1.
如图①，当点B'在正方形ABCD 内部时，
·.·四边形B'CED 为平行四边形，:.DB' =CE.
B '
A
D
~E
B
C
D
B
C
图①
图②
第
13 题答图
.: 6DB'E 是等腰直角三角形，.·.设DE =B'E= α ，则CE=DB' =fia .
BB'
~
~ ~
，
~ ~ _
. _ _
_ _ , . _ ,_
. BE
3α
.· 一一=J言，二BB' =ficE=2α ，二BE=BB ' +B'E=3α ，.·
=一=3
CE
V LJ , • • .L.J.L.J
'V LJ \.....I.L.J
L.JU , • • .L.JLJ
.L.J.L.J
I
.L.J.L.J
\J("(' , • • B I E
a
C
A
第
12 题答图
如图②，当点B'在正方呢ABCD 外部时，点E 与点A 重合，此时B'E=B'A=BA=BE ，
BE
• B'E = 1
BE
综上所述，一一的值为3 或1.
B'E
14. 将6ABE 以B 为旋转中心顺时针旋转ζABC ，使得AB 与BC 重合，落在6CBE' 位置，则
6ABEUJ6CBE' ,AE=CE' ，BE=BE' ，ζ CBE'= ζABE.
' 剖'
二·ζEBE'= ζABC=2 LζDBE.
.·.ζEBD= ζE'BD ，连DE'.
.: BD=BD ，ζEBD= ζ E'BD ,BE=BE' ,
:.LEBD兽LE'BD ，得ED=E'D=CD=CE' ,
:.LCDE'为正三角形，ζ DCE' =60 0 •
又BC=CD=C
.·.ζABC= ζEBE'=2 Lζ E'BD=60 0 •
15. (1)( j
(
4
ω 猜想:AD=jBC ，证明略
(3) 存在下列解法供参考:
如图，以AD 为边向四边形ABCD 的内部作等边LPAD. 连接
PB ，PC ，延长BP 交AD 于点F ，
则有ζADP= ζAPD = 60 0 .PA = PD =AD =6.
·.· ζ CDA = 1500 , :. ζ CDP=90 0 •
过点P 作PE l_BC 于点E. 易知四边形PDCE 为矩形.
CD
2.;3 .;3
:.CE=PD=6 , :.tanζ 1= 一一=一一=一，
PD
6
3
λζ1 = 300 ，ζ2 =60 0 •
:.BE=12-6=6=CE. 又PE l_BC ，
:.PC=PB ，ζ3= ζ 2=60 0 ，
.·. ζAPD+ζ BPC = 60 0 + 1200 = 1800 •
又PA=PD ，PB=PC.
二LPDC 是LPAB 的"旋补三角形"
·.· ζ3= 60 0 ，ζ DPE =90 0 ， :. ζDPF=30 0 ，
:.BF l_AD ,AF= :AD=3 ,PF=3.;3.
2
-#莹莹罩~
Bi?:_飞D
气乓气扩勺"
、、、'
E '
第14 题答图
C
A
Dt
\
\\\E
'. 1'.
.'
Ff...._
'.俨\2/
................ .. ~以)3
' p -..............
A
B
第
1 5 题答图
在RtLPBE 中，PB = y'PE 2 + BE 2 = y'CD2+BE2 =.}(2 .;3 ) 2 十6 2 =4.;3.
:.BF= PB + PF = 7.;3.
在Rt，6ABF 中.AB=.} C7.;3 ) 2 +3 2 =2 疗百，
... 219
a
草诅盛温草'
.: ，6PDC 是，6PAB 的"旋补三角形"，
:. ，6PAB 的"旋补中线"长为÷AB=m
四四匍三匍匾额
【例题求解】
iBJM
BT
2
由，6 ETB(/)，6ABM ，得一一=一一
B几1
A儿f
F
t二
E
1"-
, , , ,
、、、、‘ ::::p jl:f
;/" 、〈
F
i兰ν 。\
飞
例1
(1)÷ 设正方形边长为1 ，DM二走，则AM=l 一是，即=1+ (1 -k) 2 =
c
走2 -2走+2 ，CT=MD= 走
，BT=l 十走，
A
D
例1( 2) 答图
:.BM2=2AM . BT=2 (1 一走)(1 + 走)=2-2厅，
2
2
1
..
. . __ _ AM
1
即ν -2k+2=2-2走2 ，解得走=一，AM=l 一一二一，故tanζABM= 一一=一
3 ,. ~...
•
3
3' .... _A. --""-' .~...
AB
3 .
AE
3 ，
究
(2) 3
如图，连接EF ，AE ，则EF // CD ，tanζBOD=tanL乙AFE 二一一=~:: =3.
EF
(ij
例2
B
作ζ BAD=15 0 ，交BC 于D ，则AD=BD ，ζADC=30 0
•
例3
(1)连接OB ，由，6ABDω ，6ACB 推得ζ OBA =90 0 •
AB
4
(2) cosA =一一=一，设AB=4x ，OA=5工，OB =3x ,x= l,AB = 4,OA=5 ,AD=2.
OA
5
8 _ _ 12 _ _
6 _ _
6J 5
过点D 作DG j_AB 于点G ，则AG=AD • cosA = : ，BG= 一，DG= : ,BD= ~:二，
5
"
一5
一
一
D
B
l
-2
一
F
O
【学力训练】
1. 24
2 子
HO
BO
4 AH
,AB , 2
1
3. 32
过点B 作BH j_AC 于点H ，则百二而=言'百=(配f= ~，设AO=3α ，则OH=
5 MBD
AO
4α ，AH 二7α
，CH = 28α
，CO=32a
，一L-'flU二= 一一
,--
~ --
' S 6.CBD
CO'
4. D
.. 220
-E翠远宰~~
OE
39.
5
13
5. C
①③④正确.对于②，6AOE 与6POA 不一定相似;对于④，tanζOAE= 一二一X -:-:-= 一
OA
20 " 12
16.
6. D
连接DF ，可证明DE 上AF ，F ，G ，D
，C 四点共圆，cosζCGD=cosζ DFC.
7. (1)略.
(2) 如图，连接BD
，OD ，设CD= α
，BC=b
，可证明LCDB 旦LDEA
，
:.AD=BC 二b
，又ζ CDB= ζ CBA 二90 0 ，ζC 公共，
:.LCDB ω 6CBA
，得CB 2 =CD
. CA ,
即户α(α+b) ，·.(7) 2 十?一1=0
J5 -1
α
J5 -1
解得一==~一-，故SlllζBAC=sinζ CBD= 一=二ι一一
b
2
，~~
- ---~----
- ---~---
b
2
8. 性质研究:
如图①所示，过点C 作CD __lAB 于点D.
·.·在等腰三角形ABC 中
，AC=BC
，ζACB = 120 0 ，CD 上AB
，
:.CD 是底边AB 的中线.
1
_
1
:.AD 二BD
，ζA= ζ B= 一(1 80 。一ζACB)= 一X (1 80 。一120 0 ) 二30 0 •
2 ,---
~----
，
2
:.AB=AD+BD=2AD=2AC. cosA=2AC. cos300= j3AC.
:.AB :AC=j3: 1.
理解运用:
(1)设顶角为120。的等腰三角形的腰长为X
，
A
第7 题答图
//卜\
图①
第8 题答图
由上面的运算可知:该等腰三角形的底边长为品，底边上的高为:z·m30。=jz
二该等腰三角形的周长为:2x+j3x=(j3+2)x ,
1
J3
该等腰三角形的面积为·
- JEz ·-z= 工工工
.2
y--
2-
4
.
Jλ
川川( .1♂E 十甘2)x=斗4+刊2 .1♂
3.
解得:工=2.
j3
2 _ j3 V
() 2
厉
λ 该等腰三角形的面积为' -
.
x- = 一X 22 = .)3.
.4 -
4-
,-
(2) 连接FH ，如图②所示:
·.·ζ FGH=120 0 ,EF=EG=EH ,
二法JN
F
M
G
图②
第8 题答图
.. 221
-
:1!~1l王~f墨理西医噩噩~豆噩噩
.·.ζ EFG= ζ EGF
，ζ EHG= ζ EGH.
人ζ EFG + ζ EHG= ζ EGF+ ζ EGH 二ζ FGH = 120 0
•
• .ζ FEH 十ζ EFG + ζ EHG 十ζ FGH= 3 60 0 ，
二ζ FEH=360 。一(ζ EFG 十ζ EHG)=360 0 -120。一120 0 = 120。一ζ FGH.
.: EF=EH , :. ßEFH 是顶角为120。的等腰三角形，λFH 二点EF.
.: EF=20 , :.FH=2013.
·.·点M ，N 分别是边FG ，GH 上的中点，
λMN 是ßGFH 的中位线.
1
1
..MN= = FH 二
X 2013 = 1013.
2 - --
2
类比拓展:
如图③所示，过点C 作CD j_AB 于点D ，
·.·在等腰三角形ABC 中
，AC=BC
，ζACB=2α
，CD j_AB
，
λCD 是ζACB 的角平分线，CD 也是底边AB 的中线.
:.AD=肌L_ACD= L_BCD =仨ACB= α
:.AB=AD+BD 二2AD 二2AC • sinζACD = 2AC • sinα.
:.AB :AC=2sinα.
/气~
图③
第8 题答图
9
二1
连接OE ，由PA 2 =PD • PO=PE • PF ，又ζDPF= ζOPE ，得ßPFD ω ßPOE ，
. 10
DF
PD
PF 'n ~
A
~
~~
~
",, 1 ~ ~
9
~~ 5
~~ 5)6
~~ 3)6
PF
3
一一=一一=一一，设OA~ 句
，OD=2α ，则OP= ~a ，PD= ~a
，PE= 一~ - a
，PF= 一-.-a
一一--
OE
PE
PO'~
V'"J.
u..... ,V'.L/
LJ.....' ;K'JV'~
2..... P
.L/
2..... P
.LJ
2
.....，~~
4 .....'PE
10'
10. 1
两等式相加得3t 2 +5t=8.
3
2 J 2
一_ __ _
____
CF
3
11. : ，-:二提不! Slnζ BED 二smζ CDF= 一一=一作DG j_ BE 于G ，由ßEGD ω ß DCF ，得
5' 3
."._ ，~. • ~ "'L.._~~~
~"' L.._ - ~~
DF
5 .
DE
DG
DF
CF'
12. B
过点C 作CG //AB
，交AD 的延长线于点G ，则CF=CG ，ßABD 兽ßGCD ，AB=CG=3 ，
BC=2 汀百.
13. C
14. B
过点A 作AF上BC 于点F ，过点E 作EGj_BC 于点G ，连接ED ，Jiltlω二j俨明=3y ，
日:;= IBG-BD I = 19- x
l ，由ED 2 二脱了+EG 2
，得x 2 =C9-x) 2 +C3y) 2 ，化简得2x_y 2 =9.
BC2
a2
~ _
ab
_ _
_ _
_ _
1
0
'
_
0
a2
b2-a 2
15. BD= 一一=一一一一CD= 一一一一，DE=BE-BD 二-JF丰F 一一一一一=
由
AB
J a2 +b2 ，~.L/
Ja耳百7
2
d可V
2';-;可F' 罔
.. 222
EZ歪歪望.自
DE
1
b2
a 2
ab
b 2 - a 2
,_
n
. . _
, _ a
J5 - 1
nζ DCE= 一一=一===
-;-一一一一二一一一一，得a 2 + αb-b 2 =0 ，解得一=工L一一
CD
2
2 J;可b 2
Ja可V
2α b ' .. --
, -- -
-
- " ,., ..• b
2
16. (1)略.
EF
BF
BF
(2) 0: 一一一=一一× 一一=一一，
tan 卢
DE
' .EF
DE'
AE
DE
BF __BF
GB
GB
又由l::，AED ∞l::，GBA 得一二一一二一一，即一=一一=一一=走
GB
AB
GB '-"DE AB
BC
:ifj叫tanα=走·叫
B
G
第
1 6 题答图
(3) 0: DE __lAG ，BF 上AG ，:0 ζAED= ζ BFA=90 0 . λ 当点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停
止时，点E 经过的路径是以AD 为直径，圆心角为90 。的圆弧，同理可得点F 经过的路径是
以AB 为直径，圆心角为90 。的圆弧，两弧交于正方形的中心点。，如图所示.O:AB=AD=
4, ...易得所围成的图形的面积为S 6AOB 二t × 4 × 4=4
圆圆的星取性质
【例题求解】
例1
(1) 7J2
连接BC 交MN 于点p ，此时PA + PC = BP + CP = BC 的值最小，过B 点作
BQ __l CD 交CD 的延长线于点Q.
(2) 15。或75 。
分AB
，AC 在圆心。同侧、异侧两种情况讨论.
例2
D
过P 点最长的弦长为30 ，最短的弦长为24 ，在24 和30 之间的整数有2 5 ，26 ，27 ，28 ，29
五个，再由对称性知:长度为整数的弦共有12 条.
例3
延长DC 至N ，使CN=CM ，连接BN
，则ζ BCN= ζ BAD= ζ BDA= ζ BCA
，可证得
l::,BCNUJ l::,BCM ,Rtl::,BAMUJRtl::,BDN.
【学力训练】
1. 30。或150 。
2. 24
直线y=(x-3) 走+4 过定点P(3 ，4)
，连接Op
，当BC __l OP 时，弦BC 的长最小.
35+t 如图，点C 在以B 为圆心BC 为半径的圆上，在Z 轴上取点D ，使
OD=OA ，则DC=20M ，当OM 最大时，CD 最大，此时点C 在DB 的延长
线上，CD=2 J2+1.
4. A
AC=BC= 汀言，设圆心坐标为D (4 ，川，由AD=CD 建立关于工的
方程.
y
D
01
A
X
第3 题答图
.. 223
a
J&: ~ii i1t liñ~.
1L~t.I
5. C 连OA ，OC ，设AB=a ，则OB= 二，OA 2 = α 2 +( ~ f =OC 2 = 种(二十4f 解得α=8 ，从而
OA=4J5.
6. B
点G 在半径为4 的①C 上，延长BC 交①C 于点G ，此时DG 值最大.
7. 如图，分别取AB
，BC ，CD
，DA 的中点E ，F ，G ，H ，连接OE ,OF ，(泡，OH
，
则根据垂径定理，OE _lAB
，OF 上BC ，∞_l CD ,OH _lAD ,OE ，OF ，∞，
OH 分别为点。到AB
，BC ，CD
，DA 的距离，由己知AC _l BD
，设垂足为I ，
连接DO 并延长交①O 于]，连接A]
，则ζ DA]=
第7 题答图
]B
，则ζ DB] =90 0 = ζAID
， :.]B // AC ,A] =BC
，得A] 二BC ，:.OH=
1
1
:BC. 同理可证OE = : CD ,OF = : AD ，α-; = : AB , :. OE + OF +α-;+
2 - -
, -
-
2 ---
, -
-
2
OH= ~ CAB+BC+伽AD) ，即点。到四边形ABCD 各边的距离之和等于四边形ABCD
周长的一半.
8. /l百-1
点A'在半径为1 的①E 上，连接EC 交①E 于A' ，此时A'C 的长最小，A'C=EC 一
A'E.
28
,,
_ __, _____ __
__
____
___ .
____
___
___
_ __
64
36
28
9.τ 作OM _l DE 于M ，CE-BD=CEM-CM) 一CDM-BM) 二BM-CM= 一一一=一
5
5
5.
1 _ _
3
10. 3 汀百作OE _l CD 于E ，则CE = DE ,AE = BE , OE = : AB = = CD = 3CE. 连接OC ，得
2 ---
2
J 10
C3CE) 2 +CE 2 =52 ，CE= 亏二.
(α 2 十1=r 2
，
11. D
如图，得~
. 1 . •
IC2-a) 2 +(扩=r 2 ，
13
5J 17
解得α --:-:-.r==~二ι
16 "
16
川
咀
第11 题答图
12. D
过P 点最长的弦长为10 ，最短的弦长为6 ，在6 和10 之间的整数有7 ，8 ，9 三个.再由对称
性，长度为整数的弦共有8 条.
6+x
川连接OA ，作OF _lAB 于肝，设EB 飞则M=FB=7 ，FFB-F午，
3x-2
由CE • ED=AE • EB 得CE=3x ,OF= 2 CD-2= 一亏一，
由OA 2 =OF 2 十AF 2 得'x=2.
.
224
EZ王军望...
14. 如图，过点。作直线OP l_ BC ，分别交BC ，KL
，AD 于点P ，日，N ，则
ON l_AD ,OH l_ KL ，连接DO ，LO ，在Rt6NDO 中，ON= vOD 2 -DN 2 =
V52-32 =4 ,OP=PN -ON=2 ,
设HL= 工，则PH 二KL=2工
，OH 二OP 十PH=2 + 2x . 在Rt6 HOL 中，
7
x 2 +(2x +2) 2 =5 2
，解得工j =-3( 舍去)
，工2 -一，所以正方形JKLM 的边
5
14
长为τ-
第
1 4 题答图
15. (1)在AE 上截取AF=BP
，连接AC ,BC ,FC ，PC
，可证明6 CAF 旦6 CBP ,CF=CP.
又CD l_ PA
，则FE = PE ，故AE=PB + PE;
(2) AE = P E - P B ，在PE 上截取PF=PB
，连接AC ,BC ,FC ，PC ，可证明6 CPF C/)6CPB
，
CF=CB=CA
，又CD l_AP
，则FE=AE
，故AE=PE-PB.
16. 如图，过0 分别作AB
，CD 的垂线OE ，OF ，E ，F 为垂足，设OP= 以为定值)，
ß
OE= 工
，OF=y
，贝u 0ζx~α
，O~ y ~α ，可知X 2 +y 2 = α 2
，
于是AB+CD=2 V4- x 2 + 2 ，;4弓τ =2 V4- x 2 +2V4+x 2-a 2 ,
.:AB> O,CD > O,
:. (AB +CD) 2 =4[ 4-x 2 +4+ x 2 -a 2 +2 V(4- x 2) (4 十x 2
α 2 ) ]
=4(8-a 2 +2 V三T干豆可乙二4a r+I6 )
斗-a 2 +2J-( x 2 一二) 2 + (三一斗
当工2 _ 二，~p x=手时，(AB+ω ~ax =4 [8-a 2 + 2( 4- a2
2)] ,
:. (AB+CD)max = V4(8
α 2 +8-a 2 ) =2 y'16士写"2
当x =O 或α 时，(AB 十CD) ~in 二4(8-a 2 十2 V 16
石τ ) =4( ，)4=歹十2) 2 ,
:. (AB 十CD)min =2(，)4=歹十2).
国转H: 灵活的圄申匍
【例题求解】
例
1
60 。
连接OD
，ζ OAD + ζ OCD= ζ ADC.
例2
C
提示:连接AD
，DE ，可证明6ECD ∞b.BCA.
例3
(1)①略.
②6ABC 面积的最大值为主汀，此时点A ，O ，D 在同一直线上.
4
第
1 6 题答图
.
225
4..::理辈革嘱:擅黯理.Mf主罗-
(2) 依图②证明:
·.·ζAFB= ζACB= 阳，ζAFC= ζABC=mα ，ζAFO= ζ EDO= α ，
又·.·ζ BFD= ζ CFD
，即ζAFB 一ζAFO= ζAFC+ ζAFO ，
.·.m 一α =mα 十α ，得mα -na+2α=0 ，
λ m-n+2=0.
【学力训练】
39
1. 2
延长CO 交①O 于点M ，连接AM ，则6AMCω6HBA.
2. P C/3 + 1,,)3 + 1)
参见例6 可证明OA +OB =J2 OP.
3. 4<BC~伊如图，作6ABC 的外接圆，点C fE~弧AC上运动，当点C 运动到
r-‘、
点C'处，使BC'构成直径时，BC 的值最大.
4. B
5. B
ζAPB=90 0 ，以AB 为直径作①0 ，当点。，p ，C 在一条直线上时，线段CP
的长最小，最小值为CP=OC-OP= .jOB 2 +BC 2 -OP=2.
6. C
连接OD ，OE ，BC ，设ζBOE =x ，则ζOEC= ζOCE=4户←，
A
ζDOE 二140 0 - x ，由OD < OE 得ζOED < 20。十1z ，ζCED= ζOEC 一
2
1
_ . 1
ζOED > (40 0 + : x) 一(20 0 + : x) 二20 0 ，ζCED < ζABC ，得
20 0 <
2 -,
, - -
, 2
ζ CED< 40 0 •
C N
A\\、‘ ""/B
第3 题答图
第6 题答图
7. (1)在DE 上截取DF=BE ，连AF ，可证明6ADF 豆6ABE ，则AF=AE ，ζ EAF = 90 0 ,
EF=J2AE.
EA+EC
(2) BE 平分ζAEC ，一一一一= .j言，为定值.
EB
8. (1)略.
(2) 当BC=BD 时，ζ BCD=67.5 0 ; 当CB=CD 时，ζ BCD=72 0 •
(3) 下列解法供参考:
如图，连AO 并延长交BC 于点H ，过点A 作AG // BC 交BD 延长线于
B
AG AD
2 AO
AG
4
点G ，得
=一=一一一=一一=一
BC
DC
3' OH BH
3'
设AO=OB= 份
，OH=3走
，AH=7走，得BH=CH=汀走，
25
只. / ?
由AC 2 =HC 2 +AH 2 得k 2 =::
，故BC=2 .j口=== v 'V二
56
.. 226
第8 题答图
-~主主噩..
9. 140。
10. J5-1 点H 在以AB 为直径的圆上运动，取AB 中点。，连接OD 交①O 于点H ，此时DH
长度最小.
11.①④由CD 2 =CE. CO 得2CD 2 =CE. AB.
12. A
设OC= 工，则OA=OD=x+2 ，由(x +2)2 =x 2 +4 2 得x=3 ，BE=6 .
13. D
对于②，仨AOC + L_AEC = 队仅当L_AOC= 叫，才有L_AOC= L_AEC; 对于⑥，若
1 _ _
3
6CEF C/) 6BED ，则CF=BD ，得OC= CF+OF=BD+ :BD= :BD ，即AB=20C=3BD ，
2 --
2
仅当3BD 二AB 时，才有6CEF经6BED.
14. C 延长CO 交①0 于点F ，连AF ，BF ，四边形FBHA 为平行四边形.
向c
AB AE
15. AB 2= 2AE 2= AE. AC ，有一一二
，又ζ EAB= ζ BAC ，
AC AB
.. 6ABEω 6ACB.
第15 题答图
有ζABE= ζACB ，知AB =AD ，连AO ，交BD 于H ，则BH=HD= 汀，
OH = l ,AH = OA - OH = 1. 故SAABD = 1BD-AH =汀，又E 是AC 的中点，则S，ð.ABE 二
2
5 ,ð.BCE ,5 ,ð.ADE = 5 ,ð.CDE ，有5 ，ð.ABD = 5 ,ð.BCD
故S 四边形ABCD = 25 ，ð.ABD 二2点.
16. (川=子
(2) 如图，作FG _lAB 于点G ，与BO 交于点H ，连接EH.
①证明:因为AC 为①0 的直径，所以ζABC=90 0 ，
所以FG // BC ，所以60FHω60CB
，
FH OF
1 __OE
1
所以一一= 一一= 一，同理一一= 一，所以FH = OE.
BC
OC
2 "..'=BC
2
又因为FH //OE ，所以四边形OEHF 是平行四边形，所以PE=PF.
EG OF
②因为OE // FG //BC ，所以一- -一一= 1
GB
FC
所以EG =GB ,EF = BF.
若DF=EF ，则DF = BF.
又因为DO = BO ，所以FO _lBD ，ζAOB = 90 0 ,
所以6AOB 是等腰直角三角形，ζBAC = 45 0 。
17. (1 )(2) 略.
第16 题答图
"
221
aE噩噩噩. fJi ñj~ . 1L~tI
(3) 抛物线
(4) 如图①，过点P 作PE __Ly 轴于点E ，PA 二
PM= 1 y 1 ,AE=OE-OA = 1 y 十2
1
，
PE 二Ix l.
在Rth，PAE 中，PA 2 =AE 2 十PE 2
，
即lyI2=lx
I 2 +ly+21 2 ，化简得y=
fz21,
所以
y 关于z 的函数解析式为y=
-jt 一1
(5) 连接OB ，OC ，易得OB=OC=2 ，
又BC=2 ，
:. h，OBC 为等边三角形，
.·. ζBOC=60 0 •
H
图①
图②
第17 题答图
如图②，当ζBDC = 30。时，点D 在h，BDC 的外接圆上，弧BC 所对的圆心角为6 0 0 ，
其圆心在BC 的垂直平分线y 轴上，
:. h，BDC 的外接圆圆心为坐标原点O.
设D(α
，b)
，则OD =2 ，即a 2 +b 2 = 2 2 .
①
叉点D 在该抛物线上，
b= -ja L I
②
由①②联立解得b j =2 - 2汀，b 2 =2+2 )3(舍去) ,
数形结合可得当ζBDC < 30。时，点D 的纵坐标YD 的取值范围为Y D< 2 一2 )3 .
团直续与圆
【例题求解】
3 4 x
例1
5
连接OH ，并延长HO 交EF 于点G ，连接EO ，设①O 半径为r ，则(8 - r) 2+ 4 2 = r 2 .
BM
OB
例2
B
连接OD ，OM , OF ,ON ,OE ，则h，MBO (/) h，OCN
一一- -一得BM
. CN = OC •
'CO
CN'
OB =扫C 2
例3
(1) PQ = 8cm.
(2) 设AB 切①O 于C ，连OC ，则OC上AB.
.
228
·理蓬蓬望..
自
':PA= 日
，PB= 钉
，PO=10 ，PQ = 8 ，
又ζ P= ζ p
，得6PAB ω 6POQ.
:. ζ PBA= ζ PQO=90 0 ，ζ BQO= ζ CBQ= ζ OCB=90 0 •
.·.四边形OCBQ 为矩形
，BQ=OC=6.
①当AB 运动到如图①的位置时，由BQ = PQ - P B = 8 - 4t = 6 ，得t=0.5(s);
②当AB 运动到如图②的位置时，由BQ = P B - PQ = 4t - 8 = 6 ，得t=3. 5 (s).
【学力训练】
1.①②③④
2.2
连接EF ，OD
，交于点G ，则四边形DGEC 为矩形，设OG= 工，则BE=2ι
3.2J2
连接OP
，OQ ，当OP _lAB 时，线段PQ 最短.
4. D
5. C
S AA「j × AO × BE ，当D 为①C 切点时，BE 最小，此时BE=2一子
6. A
连接OE ，OF ，ON ，C泡，则四边形AFOE ，FBGO 是正方形，AF = BF = AE = BG = 2 ，在
4 _ _ _ _ . _ ,
_
_. _
4
13
Rt6DMC 中，由(3+MN) 2 = (3-MN) 2 +4 2 得MN= 一，DM=DN+MN=3+
~ =-_-
3 ，~_'-
~-.
， _'-_'
-, 3
3'
7. (1)略.
(2) 连接CD
，可证明AE=DE=CE
，AC=20 ，CD=12 ，设BD= x
，则x 2 +12 2 =(x + 16) 2 一
20 2 ，解得x =9 ，BC=15.
8. (1)连接OC ，OD 垂直平分AC ，OD // BC
(2) 由tanζABC=2 得BC=lAC ，又AE= 工AC ，则BC =AE , Rt 6ABC 豆Rt6DAE ，
2 _ --
, ~ -
_ --
2
.·.ζ BAC= ζADE ，ζ OAD= ζADE 十ζ EAD 二90 0 ，故DA 与①O 相切.
(3) 如图，由BC=1 ，AC=ED=2 得AD=CD=AB 二点，DE=2 ，
AO=1AB=BO=主，BD=J2AB= }IO.
2
':AD 2=DF. DB ,AD2=DE. DO ,
DF
DE
λDF • DB=DE • DO ，即一一=一一，又ζ EDF= ζ BDO ，
DO
DB
. EF
DE
刁百
刁百
J2
.一一=一一=一一，得EF= 一一:.__. BO=
BO
BD
5
D
第8 题答图
.. 229
aE重噩噩噩Z噩噩&lÞ-
9. 169π 连接OC ，OK
，OM ，作ON j_ BC 于点N ，设①O 半径为γ ，
则
r 2 = (25- r) 2 十(r -8) 2 ，得γ=13cm.
J 10
10. 工二二
连接OE ，则ζ BAE= ζ COE
，又AB=AE
，OC=OE ，
10
CE
OC
1 __ _ __ __
0
，
~~ ?
~~~ _L L CE
',1'10
:. t6，ABEω t6，OCE ，得百=豆豆=言，BE=3CE ，BC 刮目2+CE 2 =/[OCE ，故配=亏-
27
11
一
提示:设CM 交AD 于点E ，DN 交BC 于点F ，则四边形EFCD 为矩形，CM=CB=4 _ ，设
. 25
EA=EM=x
，则DE=4-x ，CE=4 十x
，在Rt t6，CDE 中，由(4-X) 2 +4 2 =(4+x) 2
，得x=
1 故DE=3 ，CE=5 ，S 矩形EFCD-叭r咛旦=3 则MN //EF ，有PAME-z=? 一
3 _ 5 ^ PMN
I P M \ 2
I 3
、2
9
.. _
9 _
27
1= 言，而言?=(百f=(τf= 药'故5 f::, PMN = 2-5 5 f::, PEF = 25
12. 4
最短的弦AB 和最长的弦A'B' 如图所示，C ，C' 为切点，设OB'=OB=
r ，由J，T=五2+J?=苟2 =22 ，得r=25.
13. (1)略.
(2) 如图①，当直线CM 在①0 的左侧与①Q 相切时，连接DQ ，则四边形
PQDM 是正方形.
5 _
15t
易知PQ=DQ=3t
，CQ= ~ X 3t=-~-
，
15
35
':OC+CQ+AQ=4 , :.m 十一t+5t=4 ，:.m= 4 一---:-t .
4
第12 题答图
如图②，当直线CM 在①0 的右侧与①Q 相切时，连接DQ ，则四边形PQDM 是正方形.
15
':OC 十AQ-CQ=4. :.m+5t- -,- t =4 ，λ m=4 一-:-t.
4
Y
B
图①
y
图②
y
图③
第13 题答图
ω 存在点C 的坐标为( -
~ ，0) 斗争)，(-2 ，收( ~ ,0)
y
x
图④
B'
解法提示:如图③，当①。在y 轴的右侧与y 轴相切时，有3t+5t=4 ，解得t=j 由(川
.
230
E温孟酝-自
3 .. 27
知，m 二一一吭一
8~/'ó
8.
如图④，当①Q 在y 轴的左侧与y 轴相切时，有
5t - 3t = 4 ，解得
t =2 ，由(2) 可知，m =
3
一2
或
幻
一2
AE AB
①，又由L-.ADEω L-.BDA
，有一一=一一
DE DA
CD
CA
14. 连接AD ，由L-.CDE∞L-.CAD ，有一一=一一
DE AD
( .
. '由①②及AB =AC ，得AE=CD. 由ζ DAE= ζ EDC ，知CD 是L-.ADE 外接圆的切线.故
CD 2 =CE • CA
，即AE 2 二CE. CA.
设AE = x ，则CE = d - x ，于是工2 二d(d -x )
，
J5 -1
即x 2 +dx -d 2 =0 ，解方程并取正根得AE=x= 二王一d
y
l
肉
2
8
15. (1 )v = 一
= X2 +=X+ 一
J
3 ~
'
3 ~ . 3.
x
[x =l +/1言，
[ x 二1+J5
得~
4
~
I Y =
言，
I Y= 言'
1
n. 2
8
y= 一= x 2 十--=-x 十一
3 --
. 3 --
3
4-
3
士
一
一
vd
叫=±?，由
第1 5 题答图
:.J~ R 的坐标为(1 +瓜- ~)或(1-3 ，-f) 或(1 十点，二)或
(1 -J5 ，~)
(3) 如图，作L-.PEQ 的外接圆①N.
·.· ζ PQE=45 0 ，故ζ PNE = 90 0 ，则L-.PNE 为等腰直角三角形.
当直线MD 上存在唯一的点Q 时，则NQ上MD ，
·.· 点M ，D 的坐标分别为(1，3 ) ，(4,0) , :.ME = 3 ,ED = 4 -1 = 3 ，则MD = 3 12 .
过点N 作NH 上ME 于点H ，设点P (1，2m) ，则PH=HE = HN=m ，则①N 的半径为
12m ，则点N (1 + m ，时，S 6MED =S 6MND 十S 6MNE+ S 6DNE '
1
1
_ _ _ . 1 . . _ __
_ _ _ _ ,
]
即云X EM. ED = 一X MD X NQ + 一X ME. NH + 云X ED • Y N'
2 ' ，~. .-
~~
2 " .._- . .. . "" . 2 ' - --
- . - -
2
斗× 3 × 3=4 × 35 ×JEm +i × 3 × m 十÷ × 3 × m ，
2 ，，~ ，，
~
2 "
~
y-
'
Y -"-
• 2
. - . 2
.231
解得m = 7 ，故点p( l，~ )
aE墨2届撞撞撞墨E盛章-
[j]J三筒形的同m 圆
【例题求解】
例1
30
AF=10 ，BE=3 ，AB=13 ，设CF=CE= 工，则(1 0+ X) 2 + (3 + X )2 = 132 = 1 69 ，解得
x =2.
例2
D
设正方形边长为l，BE = 工，则BE = EF =x ,CD= DF = l ,AE = l - x ,AD = l ,DE =
l+x. 由DE 2 =AE 2 +AD 2 ，得(1 十X ) 2 二(1- X) 2 十1 ，得z=1AD 十AE 十DE= 3 ，BE 十
4 .
DE +CD 十BC=?
例3
(1)如图①，设CE=CF= x ，
.
232
则(x 十m) 2 + (x +n)2 = (m 十n) 2
，得t 十(m 十n) x =mn.
•• S 6.ABC = ~AC
. BC = ~ Cx+m)Cx + n)
=jb 2 十(m +n )x+mn J
=j(mn 十mn) = mn
(2) 逆推可得AC 2 + BC2 = (m +n)2 =AB 2,
则ζ C = 90
0
•
(3) 如图②，过点A 作AG l_BC 于点G ，
在Rω叫，A叫C 叫。与(工+m) ，
CG =AC . 叫h j(什m) ,
:. BG=BC -CG=(计n)-t(z 十m)
在Rt6ABG 中，根据勾股定理，得
陪…俨[(x+n) - ~(x +m俨叫) 2 ,
整理，得x 2 + (m +n)x =3mn ,
1 __
. _
1
气3
:. S 6.ABC 二云BC
. AG = 一( x 十n )
• 工二(x + m)
2 - -
---
2
=fv+(m忖)x+mnJ
A
C
F
B
图①
例3 答图
例3 答图
EZ歪歪望..
=子C3mn 十mn)
=J3mn.
【学力训练】
连接OE ，OF ，OB ，S AABD=S AACD=jmAC=S A时5 f::，B川E=?
1;
CP
OC
3
对于①，AB=12; 对于④一一=一一=一
'PE
OD
2.
2. ②③
3 十4-5\ 2
图①内切圆面积为π(~一r=π ，参见例6 ，可以证明51 十5 2 十5 3 + … +5 1 0 = 图①内切
3.π
圆面积=π.
1 _ _ _ . _ ,
_ _
, _ _ ,
1 _ _
_ _ ._ _ _
3
连接OE ，OB
，OA
，由:OE(AB+AC+BC)= :BC . AE 得OE= 一，设OB 与DE 交于点
2 - -
, ---
,- --
, - -,
2--
---
，.~ - -
2
4. D
G ，贝tl 6GEB∞6EOB ,DE=2GE.
25 f::,ABD
25 f::,ACD
5 f::,ABD
BD
"
r 1 = 汗4DC' η= 百一一一'王平
CD =t,
Z 十3DC
一…
5. C
先求出边上的高，得三角形面积=10 汀，再用面积法求其内切圆半径.
6. D
(2) 连接OE ，可证Rt 6COE 且Rt 6 COB
，进而可证得ζ COD = 90 0 ，则CD=
7. (1)略.
';OD 2 +OC 2 = 10.
意
题
由
r
一
臼
一
一
c-2
n
a
TE
--
B
-2
n
a
r-m
一
A
一2
n
a
m
m
卢
γ
为
径
半
设
。
圆
切
内
的
C
B
A
A
作
图
占
U
F
8. 14
AD+BD
5CF AB
5CF
二一一一，一一=一一一，CF=2=CE.
r
r
r
r
___, ß
PL'
I
卜
，川、.
…
I
L .. ~.1电士~、
1
…
…
1.'....1
I
‘、、
"
、
,? C
‘\
•
rll
‘
川
，
‘ ‘
'
、，
、，
、，
,
,
----_....
第10 题答图
第8 题答图
93
气
2
10. 二?
如图，连接01 ,PI ，AI ，则ζ PIO=135 0 ，60PI C/) 60AI
，ζAIO= ζ PIO=135 0 ，点
I
在以OA 为弦且所对的圆周角为135 0 的一段劣弧上，过A ，I，O 三点作①0' ，求出①0' 半径，进
而求出OA 的长.
.. 233
aE草姐届画画E函崖'
11.32
过点A 作①0 的切线，交PC 的延长线于点Q ，由6PCMω6PQA ，
6AEMω6ABP ,AQ=CQ ,PC=PB ,
可得CM=ME=4 ，故SAPCM =jcJLf-BE=j × 4 × 1问2
12. 连接OE ，可得OE 2 二EF-AE ，EF=1 ，过点E 作EG // CD ，
2
AG AE
EG
4
,_
_
_
2 _ _
6 " __
0
,
0
2J 10
则一一=一一=一- -，得GD= 一，EG= 一，故ED = y'GD 2 + EG2 = ~二
AD AF FD
5' '" - -
5 ' - -
5
13. (1)由6PLE∞6 PMD 得PL 2 二PM. PN.
(2) DE 为6ABC 的中位线，
P儿I+PN+PK=2LK ,PM+PN=2LK-PK ,
(厅M+厅万) 2 =PM+PN+2 JPM. PN
=PM+PN+2PL=2LK-PK 十2PL
=2(LK+PL)-PK=PK ,
放!PK = jPM 十jPN.
30
14. (1)由6ACDω 6ABO ，得t= 一
11.
(2) 如图①，当①Q 经过点A 时，t= 缸，过点P 作PE上OB 于点E ，
PE
BP PE
6
得一一=一一，一一=一，PE=3.6 ，
AO AB ' 6
10
2 刁百
4 汀百
:.EF=y'PF2-PE2 = 一了，FG= 一「
(3) 分两种情况讨论:
30
第一种情况，当QC j_ OA 时，此时点Q 与点D 重合，由(1)可知t= 一·
11'
第二种情况，如图②，QC 与①P 相切，可利用6ACQ∞6AOB ，
口
。
=
6
1EA--EA
一
一
二
m
pnu-
一
u-6
Q-B
A-A
--
c-O
A-A
得
18
,_ 30
所以t 的取值范围是O< t ~一或一< t ~ 5.
13-""11
圆圆申tt 俐缉段
【例题求解】
B
第
11 题答图
B
图①
第
14 题答图
B
图②
第14 题答图
例1
24
设CE= 处，则DA=DF=DE=3走
，AF=AC=8 J5 ，由FA 2 =FD • FC ，即(8 J5 ) 2 =
.. 234
-~~重重-
32 _
. _
.
n
.
n
_
_
CE. DE
1 2走Z
3走.
1 0走，得k 2 = 一，而AE= -jEF 2 -AF 2 = 飞136走2 - 320 =8 ，又BE= 一一一一一一=一一一=
AE
8
16 ，故AB=AE+BE=2 4.
例2
D
AC=BE 二5 ，又ζ BAC= ζACD= ζABC ，则AC = BC = AD = 5 , DC = AB = 4 ，故
DC 2
16
DE= 一一一-
AD
5 '
例3
(1 ) 略.
(2) 连接AD ，则AD=BD ，证明l:-，CADω l:-，DBQ.
(3) 如图，过点A 作①0 的直径AE ，连接DE ，则ζ E= ζACD.
由AC • BQ = BD 2 ，得，AD=BD= 2 ，
AD
1
2
.: tanζ PCD = tanζ E= 一一=一=一一，
DE
3
DE
:.DE=6 ，得AE= 2 汀百，故①0 的半径为汀百
E学力训练】
1./2f
2. (1) 1
(2)平
3. A
PE
QF
由l:-，PENω l:-，QFN 得一一=一一
PN
QN
PN
NQ
"'"
由l:-，NPQ∞l:-，PMQ 得一一=一一
(
,
儿fP
PQ
可
PE
QF~ ，，_~~
~~
~~th
，/"，PE
,
PF
①×②，得一一=一一而将QF=PQ-PF 代人得一一= 1 一一一
PM pQ"IIJ'f'J ",<.L
.L "'<
.L.L 1\j /
-",vPM
~ PQ'
.: PN2 = QN • MN 二P此1 .儿fN
，
MQ
儿fQ
PM
NQ
..PM=QN
一一=一一=一一=
'NQ
PM MN-MQ+NQ'
/MQ\ 2 . MQ
:.NQ2=MQ2+MQ • NQ ，即( 一一)
十一一-1 二O .
飞NQ I
. N Q
/ 1\"'-
'\E
…
I
，
、
、、
子....
.-
飞
…
.
.
卜
'
…町
、
\/./，\ 0 入Jn
A ←→气洲
I'-.:-.
\ / / /
"
P
D
Q
例3 答图
6 十Z
4. B 连接OA ，作OF _lAB 于点F ，设EB 二工，则AB = 6 + x ,AF = FB = 一厂，EF = FB -EB =
1 __
_ 3x-2
号，由…D =AE. EB ~~ CE =3x ，OF = 2CD - 2=2 ' 由创2 二但2 +A叫x = 2
5. (1)略.
... 235
a
1t~t! ii fJi固.'M.\M
EF
AE
2
(2)
由i:;.AEFω i:;.ODF 得一一=一一= 一
DF
OD
3'
(3) 下面解法供参考:连接OD
，AD ，设①0 半径为r ，
由i:;.AEFω i:;.ODF 得DF 二DO=r ，BC=2 十2r ，EC=1+2r
，
AB
BC __ 2r
2 十2r
1 +J5
由i:;.ABC∞i:;. DEC 得一一=一，即一一=一一，.·.r= 一」二
DE EC''''''l+r
1+2r
6. (1)略.
(2) 作直径AH
，连接BH
，由i:;.ACF ω i:;.AHB 得AB • AC=AF •
AH=2R • h.
(3) 如图，过点D 作DQ _lAB 于点Q ，DP 上AC ，交AC 延长线于点p
，
M
D
N
连接CD
，则i:;. DQBUJ i:;. DPC ，i:;. DQA 豆i:;.DPA
，
第6 题答图
:.AQ=AP ，AB+AC=AQ+BQ 十AC=2AQ.
AQ
AB 十AC
2AQ
'.AD= 一一一.一一一一一=一一-
α
cosα
，
AD
AQ
--~ -
~
cosα
77 双向延长AC 与圆相交于E ,F ,AD • AB=AE' AF
CE
CD __
32 . _
7 __
24
8
连AD ，i:;.BECω i:;.ADC
一一=一一，CE= 一，AE= 一，BE=-~-.
. 24
.lX 1 H../ ，L..:;.LJ LJ \J~'L..:; 1H../ \J， BC
AC ,\JLJ
5 ,1
.1. LJ
5 '.LJ'-'
5
9.6J2
设①O 半径为R ，由DE • EF=AE • EB 得24X18=R 2 -OE 2
，又R 2 +OE 2 =24 2
，得
OE 2 =72.
10. D
如图，以AC 为直径作圆，交BD 于点F ，EC=15 ，ED=15 J5，设BE=
75 _ _
=-
75
X
，由AE • EC=BE • EF ，EF 二一，DF=15 J5一一，DB 二15 J5 +工，又
x
x
A
DC2=DF. DB ，得900二(叫一'~V) (15 J5 + x ) ，解得户3 J5，芒旦=
B
75
x
δ 6ACD
BE
1
1
一一=一，...S ^A Rr= τ X 300=60.
ED
5'''- 凸E1 D l_.，
5
11. B
可证明ζ FAE=90 0 ，则AD 2 =DE. DF=DB • DC.
D
第10 题答图
BC
CE
12. C BC2=AC. DC=CF • CE ，即一一=一一，又ζBCE= ζECB ，得i:;.BCF∞i:;.ECB ，ζBFC=
CF
BC
I ^
116\ 2
12
ζEBC 二队故BF= .jBC 2 一σ 2" =)4 2 一(τf=τ
13. 连OC ，则OC // AD
，可证明PC 为①0 切线，:.PC 2 =PF. PA
，又由i:;. PEF ω i:;. PAE ，得
PE 2 =PF.PA
，故PC 2 =PE 2
，即PC=PE.
... 236
E1r"S11吾吾墨罩监
14. (1 )
略.
AB
AN BN ~ . _
. _ ..
_ ..
.BN
(2) 由(1)知AN
互P-NP' 又AB=4AP ，故AN=2AP
，从而可p=2 ，即BN=2NP. 同理
BM=2MP
，所以BM+BN=2MN.
15. (1)R-d.
(2)BD=ID.
理由:·.·点
I 是，6.ABC 的内心，
.·. ζ BAD= ζ CAD
，ζ CBI= ζAB I.
·.· ζ DBC 二ζ CAD
，ζ BID= ζ BAD+ ζ ABI ，ζ DBI= ζ DBC + ζ IBC ，
.·. ζ BID= ζ DB I. :.BD = ID.
(3) 证明:由(2) 知BD=ID
，
.·.式子②可改写为IA • ID=DE • IF.
又.:IA. ID=IM. IN ,
:.DE.IF=I此1. IN
，λ2R • r=(R+d)(R-d).
整理得，d 2 =R 2 一2Rr.
(4)J5
国辅田园
【例题求解】
例
1
2,3,4
如图作，6.ABC 外接圆①P ，OC 的取值范围为2~OC ~4 .
例2
B
例3
(1)假设存在点p ，使AP 上PD
，设BP= x
，由，6.APB ω ，6. PDC
，
导AB
PC __ 4 4-x
一一=一一，即一=一-.-，x =2. 故当BP=2 时，在线段BC 上存在点
BP
CD ' _., x
1
P 使AP 上PD;
、.
.- .. .… '
例
1 答图
α 十b
_c
(2) 当圆心。到直线BC 的距离小于吱等于半径，即一...:.___:_ :::;:::一，故当α +b ~c 时，在直线BC
2
飞2
上存在点p ，使AP 上PD.
E学力训练】
1. 4
分情况讨论:当ζM=90 0 ; ζ N=90 0 ; ζ P =90 0 ; 如图，当ζ P=90 。
6-1
时，点P 在以MN 为直径的圆上，该圆半径为
2
=2. 5> 2 ，该圆与z
轴有两个交点.
y
x
第
1 题答图
.. 231
dE军
*&f1t iiñji . 1L~.
2; PF=CF=2 ，点P 在以F 为圆心、2 为半径的半圆上.如图，过点F 作FG j_ AB 于点G ，交
①F 于点p ，此时PG 值最小，最小值为AF X sinA 斗
桂
第4 题答图
第2 题答图
点B
，C
，D 在以A 为圆心、AB 长为半径的困上，ζ BAC=2ζ BDC
，ζ CAD=2ζ CBD.
3. B
如图，点P 在以点C 为圆心，PC 为半径的圆上，PM 二CM-CP
，当CM j_AB 时，CM 的值
4. B
最短，此时PM 的值最小.
( AD = BE
5. (1 )①60 。
(2) ζAEB=90 0 ;AE=2CM+BE ，证明略.
γ PD= l，ζ BPD=90 0 ， :.BP 是以点D 为圆心，以
1 为半径的①D 的切
且
2
或
且
2
线，点P 为切点.
第一种情况:如图①，过点A 作AP 的垂线，交BP 于点p' ，可证t0，APD经t0，AP'B ,PD = P'B = 1.
(;:::
."lll
l
T""loT""lo I
l '
T""IoT">
T">T""Io I
创3 -1
.:CD= J言，:.BD 二2 ,BP = ./3. :.AM= : pp' = 一(PB-BP ' )= 巳一.
v- .--.....
2..
2
1 ~~，
1 / ~~ t ~~"
./3+1
第二种情况:如图②，可得AM= = pP ' = 一(PB 十BP')= 一一一
2. .
2
.••
, ..
,
·
i'
.,
.
,
.,
.
,
.
.
.….. .
.
,
,
β、~飞.
Aιι
J_二=与
...D
:
I\ì烹: M
/刀升
:
川…川.…川
，
…
,
川十
n肌十
‘…川
,
川……十
r
.…川.川…，
γ，
\
.川
l'/.……，川…
.
"
/ …,
..
..
I
11 ,
"-.‘. . .
d一一一-c
图①
fp卤c
第5 题答图
24
(2) S 6 NAB 二
5
6. (1) DM 二./3
( 3 ) 如图
，AN=AD=3 ，点N 在①A 上，当BF 与①A 相切时，DF 最大，此时
第6 题答图
点F 与点M 重合.由t0，CMB 旦t0，NBA 得BN =CM= .;4τ-3 2 =汀，DF 二
CD-CM 二CD-BN=4 一汀，故DF 的最大值为4- J于.
连接OA
，OB
，A
，B
，O . P 四点共圆，得ζAPB= ζAOB=90 0 •
7. 42
.
238
-~莹莹..
8. 60 。
由liE l DE 2 C/) liF l DF 2 得ζ DE 1 E 2 = ζ DFIF 2 ' 从而，D ，E l
，B
，F l 四点共圆.
9. 12.5 。
盯点B ，Cω
，D 在①A 上，ζ
L_B町二lζ
L_Bi
ι阳
J
2
10.13 连接BD ，BE ，则ζADB 二ζAPE 二90 0 ，故B ，D ，E ，P 在以BE 为直径的圆上，ζEBP=
ζEDP 二L_ADC=仨AOC =30。
1 1. α 十b
如图，作正九边形A I A 2A 3 "' A 9 的外接圆.
引
A <o '~ι
，
连接A 2儿，A 3儿，并延长A 5A 3 至B ，使AJ =AJ 3 =h
y?? 灭"/'
A .$:二…
、切
由ζA I A 5 A 2 =ζA 3A 5 A 2 = 20 0 ，A 3A 5 二A 3A l =b ，ζA 2 A 3 B= ζA 2 A 1 A 5 = 60 0 ，
' \
/}
A .、
/A ，
得liA 2 A 3 B 为等边三角形，有BA 3 = A 3A 2 = A 2B = α
，liA I A 5 A 2 兽6BA 5 A 2
'
A子寸:
λ AIA 5 二BA 5 = α +b.
第11 题答图
12. 45 。
连接DF ，A
，D ，E ，F 四点共圆，ζ FAE= ζ FDC ，又ζ CAG= ζ FAE = ζ FDC=
ζ FBC= ζGBC ，得G ，A
，B
，C 四点共圆，故ζ BGC= ζBAC 二4 5 0 •
13. 连接BD ，CE ，由BC=CD 二DE ，ζ BCD= ζCDE = 1 80 。一2α ，ζ CBD = ζ CDB = ζ DCE =
ζDEC= α ，得liBCD三liCDE ，
二ζ BCE = (1 80。一2α ) 一α=1 80 。一切，而ζBAE= 3α ，
λ A ，B ，C ，E 共圆.同理可证A ，B ，D ，E 共圆，故A ，B ，C ，D ，E 共圆..·. ζBAC=ζCAD =ζDAE.
14. (1)连接AC ，AQ ，AE.
.: AB =AP ，AC=AQ ，ζBAP= ζ CAQ ，
liBAP ω liCAQ ，ζABP= ζACQ ，ζABE = ζACE ，
λ A ，B
，C ，E 四点共圆，得ζAEC 十ζABC = 18 0 0 ，则AE j_ CQ.
又AC=AQ ，故E 为线段CQ 的中点.
(2) 由A
，B
，C ，E 四点共圆知ζ CEP= ζ CEB= ζ CAB= 45 0 ，
:.PE = PC~CE =J2PE .
CA
QC
2EC
2-./2 PE • BP
由liBAP∞liCAQ ，得12 = 一=一=一一== ~二一，.·.一= 2 .
BA
BP
BP
BP
' . . P E
15. (1 )CD= 2点
EF EF
BF
BD
ι 3
2
(2) :~= 一一=一一= 一一二--一= 一
DF AG
BG
BC
613
3'
(3) .: ζ CPG=60 0 ，过C ，P ，G 作外接圆，圆心为Q ，
:. liCQG 是顶角为1 20 。的等腰三角形.
①当①Q 与DE 相切时，如图①，
R
B
第
1 4 题答图
B
过Q 点作QH j_AC ，垂足为H ，并延长HQ 与DE 交于点p ，连接QC ，QG .
第1 5 题答图
.
239
aE;iE辈革.J寄:在黯理.J'主罗-
设①Q 的半径QP=r ，则QH=jr ，
B
r+jι疗，解得r=fd
:.CG= ~J3 X ./3 =4 ，AG=2 ，即CG=山
易得BC=6汀，则F;BC ，
图②
第
15 题答图
M
G
A
A
ω
M
F
D
A
又
2-3
一
F-G
D-c
得
C
A
/
/
E
D
由
DM
DF
4 _.DM
4
可得一一=一一=一，则一一--
AM
AG
3 ，;x~AD 7'
,..,..
•
__ _
16 卢
.:AD=4y'3 , :.DM=-7'-y'3.
B
②当①Q 经过点E 时，如图②，
过C 点作CK j_AB
，垂足为K.
设①Q 的半径QC=QE=r ，则QK=3 疗-r.
14
在Rt L-.EQK 中，1 2+ (3 ./3 -r) 2 =r 2
，解得r=175 ，
14 ~
~ 14
4
λCG=
JE × JE=-JG= 一.
3 , - --
3
14 卢
由L-.DFMω L-.AGM ，可得DM=~5.J3.
图③
第15 题答图
③当①Q 经过点D 时，如图③，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，可得DM 二4 疗.
16 ~ .. 14
综上所述，当DM="'''VJ3吭一j3<DM~4 ./3时，满足条件的点P 只有一个.
7 V --"" 5
囚
n fõ.l最值
【例题求解】
PT PE
PE PF PE
例1
3
由图②知PE // AD ，L-.PTE ω L-.ATD ，L-. PEF ∞L-.BDA
一一=一一=一一-一=一一
, A T
AD
3' AB
BD '
5__ _PT
5
PE=~PF.:. 一一=→PF.
4 - - ,- -AT
12~ -
,
24 . PT.. _ ....
.. PA
当点P 到直线BD 的距离PF 的最大值为①C 的直径一时，-:;一的最大值为2 故一一=1+
5 "'-J 'AT I-I:.I.llX./'-I.J3./.:I '-"I-I-^AT
PT
一一的最大值为3
AT
" 2，咽
-~~蓬望恤
例2
D
当O ，C ，T 共线时，QC + OT 的值最小，CT _lAB ，由CT • AB=AC • BC 得CT = 4 . 8 .
【学力训练】
AB AP
1.汀?
如图，截取AE 中点Q ，连接PQ ，AP ，则一一二
=2
AP AQ
BP
i乙BAP= ζ PAQ ，得6BAPω6PAQ ，一一=2 ，PQ=-BP ，
PQ
当Q ，P ，C 三点共线时，: BP + CP = PQ + CP 最小，此时最小值
2
为刁于.
A
B
第
1 题答图
2. ①②③ 由6ABE 旦6DAF 得ζAGB = 90 0 ，点G 的运动路径是以AB 为直径的一部分，取
AB 中点p ，连接PD 交①P 于G ，此时DG 值最小，过点G 作GM _L BC 于点M ，PH 上CD 于
点H ，GM 与PH 交于N 点，
一
2 /5
~. r
^' 2/5 ~
1 ~ ~
~ . r
,, 4/5
得GN = 一一，GM = 2+ 一一，S 6 BGι= =BC . GM=4十」ι ，故④错误.
5 ,- u uvv
2
3. 4
如图，点P 在以AB 为直径的圆上，连接OP ,OC ,PC ，OP 二三OC-PC.
当O ，p ，C 三点共线时，等号成立.又当①O 与①C 相切时，OP 取最小值，
最小值为5 - 3 = 2 ，AB = 20P = 4.
第3 题答图
4. A
取AB 中点p ，连接PO ，PD ，PO+PD >DO ，当O ，P ，D 三点共线时，DO=PD+PO.
5. B 连CF ，6ADF(/)6CEF ，推得①正确;当D ，E 分别为AC ，BC 中点时，四边形CDFE 为正
方形，②错误;设CE = 工，则CD = 8 -x ,DE2 = DC 2 十CE 2 =x2 + (8 - X )2 = 2(x - 4) 2 十32 ，当
x = 4 时，DE 最小值为4 J2 ，③错误;SACDE = iz(8-z) = - 1(z - 4) 2+ 8 ，当工= 4 时，S 6CDE
2-- '-
--,
2
最大值为8 .
6. B 作点C 关于直线AO 的对称点E ，连接ED ，PE ，则PC + PD 的最小值为DE ，由平行线分
线段成比例求得OP 长.
7 (1)?
(2) ①A ，E ，O ，P 四点共圆，。在6AEP 的外接圆上.
②连OA ，.:四边形ABCD 是正方形，.·. ζ B=90 0 ，ζBAC=4 5 0 ，:. AC= J4言丰42=4J2.
': A ，P
，O ，E 四点共圆，λ ζOAP = ζ OEP=45 0 ，:.点。在AC 上.
当P 在A 点时，。在点A ; 当P 在B 点时，0 为AC 的中点，故0 点的轨迹长为jA内在
(3) 取PE 的中点M ，连AM ，作MH _lAP 于点H ，
.: AM= PM= EM , :. M 为6AEP 的外心，
.
241
dE远童基盛i画画画崖'
.:MH // EA
，且ME=MP
，
MH 为LiEPA 的中位线，:.MH=扫
·.·ζ EPA+ ζ CPB=90 0 ，ζ PCB+ ζ CPB=90
0
，
.·.ζ EPA= ζ PCB.
设AP= 工，则PB=4-x
，
EA
EA
____ 4-x
nζ EPA= 一一=一一，tanζ PCB= 一一一，
AP
x
EA 4-x
x
x
工
+
z
1-4
一
一
…
7
一
A
E
1 _ .
1
当z=-
11 =2 时，EA=l ，此时MH==EA= 一，
、
2 ---
2
2 X (-~)
即圆心到AB 边的距离的最大值为j
8 一在BC 边上取BG= 一，连接FG ，则BF 2 =BG. B归× 扫，
1
2
FG
BF
1
λ LiBGFω LiBFC
一一=一一=一，FG= :FC ,
'FC
BC
2
DF+jFC=DF+FG> DG=JDCZ+CG2=7
9. 15
如图，分别作A
，C 关于DC ，AB 的对称点A1
，C 1
，连接A1C 1
，分别交
AB
，DC 于点EI
，FI' 连AIF ，C 1 E ，过AI 作BC 延长线的垂线，垂足为G.
0: A1G=AB =12 ,C1G=3AD=9 ,
则由勾股定理知A 1 C =.jA 1G2+CG2 =15 ,
故AF+FE 十EC=A1F+FE+EC 1 注A 1 C=15.
当点E ，F 分别与EI'
FI 重合时，取到最小值.
.. .. : ... 斗C 1
•
E ............,,/
: T'I
;?\;;河叫;
: p_，二/p
'.'
A.l~::.......… ...............:G
第9 题答图
10.0<反1
提示:设BC= α ，CA = b ,AB = c , b + c = 2 点(r+l) ，又jM
1
J3
1
一(α +b 十c)r ，ep :bc. 巳=一[2汀十2 ./3 (r+ l)Jr ,bc =4r( γ +2).b ，c 为方程x 2 -2./3 (r+ l)x+
2 --
2
2
4r(r+2)=0 的两个根，由A二三0 ，得(r+ 1) 2~ 2 2 . 因r>0 ，r+1 >0 ，故r+1~2 即O< r~ 1.
11. 3../3-2 如图，点M 在以0 为圆心，AD 为直径的圆弧上，过点。作OE l_ BC ，交BC 延长线
.
242
EZ歪歪望.自
于点E ，交①O 于点M ，此时点M 到直线BC 的距离最短，OFilAC ，ζACB = 90 0 ,ME =
二
2
OE-OM=OF+EF - OM 二3 [3-2.
A -，----~否
B
第11 题答图
第12 题答图
12. (1)如图，延长CB 至L ，使BL = DN ，则Rt L:，ABL 旦Rt L:，ADN ，得AL = AN ，ζ 1 = ζ 2 ，又
MN=2-CN-CM=DN+BM=BL + BM=ML
，且AM=AM ，
ζ NAL= ζ DAB =90 0 • :.L:,AMN(/)L:,AML ,
90 。
故ζMAN = ζMAL = τ = 45 0 •
rx 十y+z=2 ，
问二2-y-z ，
(2) 设CM= 工，CN=y ，MN=z ，则4
∞才
lx 2+ y 2=Z2 ,
lx 2 + y 2 = 拦，
于是，(2 - y - Z ) 2 十旷= Z 2
，
整理，得2y 2+ (2z - 4)y + (4 一位) = 0.
因y > o ，故A 二4(z 一2) 2_ 32 (1 -z) 二三0 ，即(z+2+2 J2 ) (z + 2 - 2 J2 ) 二三o.
又因为z > o ，故z 二三2 J2 -2 ，当且仅当x = y = 2 -J2时等号成立.
由于SAAMN=SAAML=1.ML-AB=1MN × 1 寸，
ι
2
因此，LAMN 的面积的最小值为在
1.
13. (1)略.
(2)将从叫点C 逆时针旋转叫到LBEC.S干t叫<反4 )
(3) 分别作点D 关于BC ，AC 的对称点F ，G.
LDMN 的周长最小值t = DM 十MN + DN = FM +MN + GN = FG .
又DC = FC=GC ，
ζ FCG = ζBCF +ζ BCA + ζGCA
= ζ BCD +ζ BCA 十ζACD
= 2ζBCA = 1200 ,
:. FG = [3 FC =[3 DC.
第13 题答图
"2，咽
a-可E王~;.革幸遭嚣理.J'lt誓，\-
即t=13DC ，当DC 为直径时取到最大值，
所以
t 的最大值为413.
1
^
3
14. (l) v=-;::-x" 一-:-x-2
J
2 -
2
(2) 存在点P 的坐标为Pj (2+2)2 ,1 +)2) 'P 2 (2-2)2 ,1-)2) 'P 3 (2 ，一3).
1
^
3
(3) 设点M(x
，:X2 一:x-2)
，
2-
2
1
11
1 0 .3 ._\
则5 6MAB = 一. 4( ~x-2 一: x 2 + = X 十2) =-x 2 十4x=-(x-2) 2+ 4.
2
飞
2-
-
2-
. 2- . -,
当x=2 时，5 6MAB 最大，此时，点M(2 ，-3).
y
第
14 题答图
在第三象限作射线OQ ，使ζ BOQ=30 0 ，在OQ 上取点D ，过点D 作DN j_ OQ ，交y 轴于
点N ，9!ÛDN=~ON
当点M ，N ，D 在一条直线上时，MN+÷ON 的值最小
作ME 上y 轴，交y 轴于点E ，则ME=2.
·.·ζBNM= ζOND=60。，.·.sin60。=-2一，MN=13.
MN'-'--'
3 v -
少
2
~
3
1
卢
:.NE= 言汀，ON=3- ;J3, :.DN= 一- :J3
2
3 v -
川+÷ON 的最小值为7+♂
国凡而E 值
【例题求解】
例1
(1)连OA
，OC ，则Rt60FC三Rt60GC豆Rt6OGA
，
S 阳形om=bFc=smc=tS AMe
(2) 如图，连OA
，OB
，OC ，由6AOC经6COB 豆6BOA
，得ζ1=ζ2.
·.·ζAOC= ζ3 十ζ4= 120 0 ，ζ DOE 二ζ5+ζ4= 120 0 , :.ζ3=ζ5.
·.·ζ2= ζ 1
，OA=OC
，ζ3=ζ5 ，
二60AG 兽60CF .
故S四边… =5 6A町=tS AABC
A
例
1 答图
例2
连OM ，OT ，则OM j_5T ，ζ50M二lζ 50T ，由ζ 5PO+ ζ5MO=180 0 ，知5 ，P ，O ，M 四
2
.. 244
-E磊主主~-:‘自
点在以05 为直径的圆上，从而ζ5PM= ζ50M= 2_ζ 50T ，为一定角.
2
例3
(1)连OC 交DE 于M ，则OM 二CM ，EM=DM ，而DG=HE ，则HM=GM. 故囚边形
α;CH 是平行四边形;
1 _ _
1
(2) DG 不变.DE=OC 二OA=3 ，DG= = DE= 一X 3=1 ;
3--
3
-
- ,
(3) 设CD 二x ，延长α3 交CD 于N ，则CN=DN=lz ，CE 2 =9-z 2 ，DN 2 =iz 2 .
2
3
^
_
_
3
:.ON 2 =OD 2 + DN 2 =9 一-t ，而ON= :CH ，λ CH 2 =4 一-z2 .
4 -- ' .... - _.
2
故CD 2 +3CH 2 =z 2 +3(4-1z 2 )=z 2 +12
z 2 =12 为定值.
3
例6
对于图①，由"学力训练"问题6 可得
P A 1+PA 2
PA 1+ PA 2
PA 1 + PA 2 十PA 3 + PA 4
=一一一为定值.
PA 1 + PA 2 十(12 十1) (PA 1 + PA 2 )
12+2
【学力训练】
1. ②⑤
ζ DBE = 90 。一ζOBE = 60 0 ; ζ BCF <ζ BFP;
L，CBF∞L，CPB ,CF • CP = CB 2 •
2. D
点P 在以CD 为直径的圆上，ζ CDP= ζCOB; 当L，ODP 为等腰三角形时，因CD 为直径，
内究‘ 2
故CD 上OB ，但OCD = ζ CBO = 3川D 二于
3. (1)作OP l_BD 于P ，OQ l_AC 于Q ，连AO ，则A0 2 = 1 ~ (BK - DK) 1" + 山CK +AK)
I '
I 2 , -
- -
-
- - , I
I 2 , - - -
. - -- - , I
又AK • CK = BK • DK ，得AK 2 + BK 2 + CK 2 + DK 2 = 4R 2 为定值.
(2) 作直径DE ，连AE ,BE ,CE ,AB 2 + CD 2 = 4R 2 ,AD 2 + BC 2 = 4R 2 ，故AB 2 + BC 2 十CD 2 十
DA 2 = 8R 2 为定值.
4. (1) -由L，ADB 旦L，AFC ，L，BAD豆L，CDE 得BD = CF ，ζACE=90 0 •
(2) ζACE 的度数为定值.
理由: 在L，DAF 和L，DCA 中，ζADF = ζ CDA ，ζ DAF = ζ DCA = 45
0 ,
AD
DF __DE
DF
:. L，DAFωL，DCA ，:. 一一=一一，即一一=一-
CD
AD '~I-CD DE.
又·.· ζEDF = ζ CDE ，:. L，DEFω L，DCE ，
.·. ζ DCE = ζ DEF = 45 0 ，ζACE = 45 0 + 45 。二90 0 •
(3)在L，ADE 中，.: DP l_AE , :.DP 二AP =EP = jAE
" 2，崎
a ø: ~!ft f1t 1fi ñ iâ . :h. * t.I
设EF= 工，则AF=3x
，:.AE =4工
，:.DP=AP=EP=2工，λ FP=x.
λDF =JFP2 + Dp2 =j5 x ,DE = J EP 2 + Dp2 = 212ι
EF DF _ x
JSx
究.1 10
.: 6DEFω 6DCE ， :.一=一一，即ι-_::_王二-，:.CE==~ιz
CE
DE' -"'CE
2J2x
由(2) 可知ζACE=90 0 ，
/"
d
{2 汀百
2
6 汀百
儿C=JAE 2 -EC 2 =J(4X) 2 一(L. VS.J. V X r- 丁-x
·.·ζAPK= ζACE=90 0 ，ζ PAK= ζ CAE ， :. 6APK ω6ACE ，
6 汀百
16
AP AK __
2x
Sz →言
·.一=一一，即一工了-
，λ x = 汀百，:.DF=j5x=S j2.
AC AE' ~，. 6JIO
4x
-s-x
5. (1 )α=-t
(2) ①将点P(O ，n-m) 坐标代人Yl =a (x -m) 2 + η 中，得am=- 1.
y
②如图①，当α=90。时，AP//x 轴，
:.A ,P ，B 三点纵坐标相同.
将x=O 代人Y l =a(x-m) 2 +n 中，得Yl=am 2 + n
，
:.P(0 ，am 2 十n).
·.·抛物线C 1 的对称轴为直线工=m
，:.A (2m ,am 2 + η).
当Y2 =am 2 十n 时，即"川二am 2 十n ，解得Z 二士子m ，
·.·点B 在y 轴左侧，
、6
?,
\
•
_.
_
_
_
J6
_ PA
2m
:.B ( 一二m ，am 2 叫，叫=2m ，PB=句，.二=7 二2 .;6
{j
I .
-
-
.- -
6" "
PB 16
PA
.·.当a
，m
，n 各自取不同的值时一一的值不变.
'PB
-::-m
6
(3) 点A 是C 1 的顶点.理由:如图②，过点P 作z 轴的平行线PC ，与过点B
Y
平行于y 轴的直线交于点D ，与过点A 平行于y 轴的直线交于点C.
设B ( x , 6ax 2 + n ) ，则PD=-x
，BD=am 2 +n 一(6ax 2 + n) =
am 2 -6ax 2,
由BD//AC ，得6BDP ω6ACP.
又.: PA=2PB , :.CP=2PD= 一2x
，AC 二2BD = 2am 2 -12ax 勺
.. 2崎
图①
第5 题答图
图②
第5 题答图
EE重量宰型-ι
人A ( - 2x ，3am 2 一12ax 2 十川，代人Y l 二α (x-m) 2 十n 中，得
3am2 -12ax 2 + η 二α (-2x -m) 2 +n ，化简得8x 2 +2mx -m2 =0 ,
解得Xj 二一丝，工2 =22(舍) ,
2 ,-"
4
λ A(m ，n)
，则A 是曲线C 1 的顶点.
6. (1)略.
(2) ①当ζABD 为锐角或钝角时，可证明AE 二AD ，证明略.
EB
②一一是定值.
CD
图①
当点D 在点C 左侧时，如图①，过点E 作EI _lAB 于点1.
由①知，CD //AB
，λζACD= ζ BAE ，
第6 题答图
·.· ζ DAC= ζEBA=30 0 ，λ l:，CADω l:，ABE ，
AC
CD
1
·. 一=一=τ ，二AE =J2CD.
BA
AE J2
J2 .~
=.~ ="=~ ~ ~~~ .BE
易知AE=J2EI ，BE=2日= 2X 'V: AE=J2AE=J2 X J2CD=2CD 二一= 2
2 ,J .I,_.LJ
'y L.J .i. .J.. LJ
'V L.J /"' 'y L.J '-"'.&...../
L.J\.../L./' •
• CD
当点D 在点C 右侧时，连町，AG ，过点B 作BF _l
CD 于点F ，
/斗备K
·.· ζAGB 二ζ BFD =90 0 ，
G"-__/B
D~飞
ζABG= ζ FDB = 30 0 ，AB = BD 二2 ，
:.R tl:，AGB 旦Rtl:，BFD
，:. BG = DF ,
又.: BD = 2BF=20C=20B =2CF ,
:. BD+BG 二2CF + DF ，
:.DG = 2CF+ DF ,
又.: AB 是①0 的直径，
.·. ζAGB=90 0 ，即AG 上DE ，
.: AE = AD ，λ EG = DG .
:. EG = 2CF + DF ，二EG + BG = 2CF 十DF 十DF ，
BE
:.EB 二2CF 十2DF = 2CD
，:. 一一= 2
CD
7. 设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD 有: Cp
. α=
AP • a + BP • J2a ,DP • α = BP • a 十AP • J2 a
，两式相加并整理得(CP + DP) α = (AP +
A P + BP
BP)(α 十J2a) ，从而
= J2 - 1 为定值.
CP + DP
"
241
a
画昌盛ItfÆ噩矗崖'
8. (1 )y=(x 一2) 2 -6 ，y=X 2 -6.
(2)A (5 ，3) 或A(4 ，- 2).
(3) 证明:令kx =x 2 - 6 ，得X 2 一走x - 6 = 0 ，:. XE + XF = ι
·.·点M 为线段EF 的中点，.·.ZM
ZE=ZF-h4 ,
走走2
讪=j时X F )=~ ，:.，~ M 的坐标是(η)
2 8
同理得点N 的坐标是(一言，kU2 ).
走走2\
_ _1
2 8
设直线MN 的解析式为y=ax +b ，将M( 言'言) ，N( 一言，kU2 ) 分别代人，
h-hL
一
一
一
GLU
f----
<Il--L
得
解
'b
'h+
+
刀α
2
一
走
，
-
R
一2
一
一
一
一
r-28-r
得
走2- 4
二直线MN 的解析式为y=-z-z 十2 ，
.·. 当X=O ，走为任意不等于0 的实数时，总有y=2 ，即直线MN 过定点( 0 ，2).
~t皿相结与特黯三筒JJf
【例题求解】
例1
(W =÷什z 十4
4 12
(2) ①过点E 作EF l_y 轴于F ，贝U6DEFω6DBO ，得E( -
~ ，王)，y=-~X 十2
②(i) 当点R 在直线J 上时，6PQR 不可能是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形.
( ii) 如图①，当点R 在直线J 的右侧时，分别过点P ，R 向J 作垂线，垂足分别为G ，H .
.: 6PQR 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，
:.Rt6PGQ且Rt6QHR.
x
设点P(m ，n)(m > l ，η > 0) ,
则PG = QH = m - 1 ，GQ = RH = η - 1，
点R 的横坐标为1 十( n 一l) = n ，
纵坐标为η 一(m - l) 一(n 一1) = 2 - m ，
.· 点R(n ，2 - m)在直线y =- jz 十2 上，
图①
例1 答图
... 2咽
.·2-m=-fn +2 ，即n=2m ，
又2m=-jm 2 十m +4 ，:.m 2 +2m-叫
解得:m=2 或m 二-4(舍去) ，因此点P 的坐标为(2 ，4) .
(iii)如图②，当点R 在直线J 的左侧时，过点Q 作z 轴的平行线
γ ，如图，分别过点P ，R 向l'作垂线，垂足分别为G ，H ，
设点P (m ,n) (m> 1 ，n>O)
，同理得点R 的坐标为(2-n ,m).
点R(2-n ，m)在直线y=-tz 十2 上，
..m=- ~ (2-n) 十2 ，即n=2m 一2 ，
又2m一←jm2+m+4 ，
:.m 2 +2m -12 =0 ，解得:m =汀王一1，或m 二- jf3 -l(舍去) ,
因此点P 的坐标为(汀王一1 ，2 汀"3-4) .
综上知，点P 的坐标为(2 ，4) 或(刁言
1 ，2 江言
的.
例2
(1) y = - x 2 - 2x+3
(2) 由y=-x 2 -2x 十3 可得A (-3 ,0) ,B (1 ,0) ,C(O ，3) ，设点P(α ，b).
①如图，当PC l_BC 时，作PM l_ y 轴，垂足为M 点，
因为l:-.PMCω l:-.COB
，
P此f
品1C
__ -a 3-b
所以一一= 一一，即一一= 一一，所以α =3b-9.
CO
OB '~ I- 3
1
因为P (a ，b) 在y = -x 2 -2x+ 3 上，所以b 二- a 2 - 2a + 3 ，
解方程组斗
Ib =- a 2 - 2α+3 ，
α 1 二- 7 ，lG 2 二0 ，
得~
~
( 舍去)
20
1
b j =-9'
lb2 = 3.
所以P( -7号)
-U1~.望国
图②
例
1 答图
y
例2 答图
X
x
②当PB l_BC 时，作PN l_x 轴，垂足为N 点.因为l:-.PNB ω l:-.BOC ，
PN
NB __- b
- a 十1
所以一一= 一一，即一一= 一一一一，所以α = 3b + 1. 因为P( α ，的在y =- x 2 - 2x + 3 上，
BO
OC' _., 1
3
所以b =- a 2 - 2α +3 ，
.. 2咽
4-遣辈串串撞撞理E皿二哥~\-
10
,
_
[α =3b 十1 ，
解方程组斗
得
Ib 二"'-a 2 - 2α + 3 ，
a j - 一言，
l a 2 =1
~
(舍去)
13 I
b j =一百，lb 2 =0.
所以P( 一手，一手)
7 20
综上所述，抛物线上存在点p ，使得6PBC 为直角三角形，此时有P( 一言，"9V ) 或
P( 一手，一号)
【学力训练】
1
^
5
1. (1 )γ 二-z2 一: X ,.: AC2+ BC2 =125 = AB2,
J
6 --
6
:. 6ABC 为直角三角形.
(2) 如图①，设当P
，Q 运动t 秒，即OP= 缸，CQ=10-t 时，PA=QA
，
由(1)知AC = OA ，ζACQ= ζAOP=90 0 ，
:. 6AOP 旦6ACQ. :.OP = CQ ,
10
:.2t=1 0-t ，:.t= τ-
10
故当运动时间为τ秒时，PA = QA.
ω 由(1)知抛物线的对称轴是直线工=7 ，设点M 的坐标为( ~ ,m)
①若BM = BA ，则有(~) 2+ (m 一川=肌
.
250
20 十5 刁百
20 -5 江百
解得mj =
"
,m2=
2
5 20+5J19\ __ /5 20- 5J19
此时点M 的坐标是M j ( 言'
2v i 勺，MAT
f i3).
②若AM=AB ，则有(~ f 十m 2 =肌
5 汀百
5 刁百
解得m 3 = 一一一，m 4 = 一一一一，
2
5 5J19\ __ 15
5J 19
此时点M 的坐标是M3 ( 言'专二) ,M 4 ( 言，一亏三)
③若MA =MB ，则有( ~ 一5f 十m2= ( ? ) 2 十(1川)2 ,
解得m =5 ，此时点M 的坐标为( ~ ,5)
图①
第1 题答图
图②
第1 题答图
x
x
-zz莹莹..
因为点M 恰好是线段AB 的中点，构不成三角形.故不符合题意，应舍去.
5 20+5 刁百
综上所述，点M 的坐标是M 1 ( 言'
2
),
20-5 刁百
5
5 jI百
5
M 2 ( 言'
2
)，M3 ( 言，一γ ) ,M4 (言，一丁一) ，如图②.
2. (1) y=-x 2 -2x 十3 ，y=x+3.
(2) 当直线BC 与对称轴x=-l 的交点为M 时，MA+MC 的值最小，M(-1 ，2).
(3) 设P(- 1，t)
，结合B(-3 ，0)
，C(0 ，3) ，得BC 2 = 18 , P B 2 = ( - 1 + 3) 2 + t 2 = 4 十t 2
，PC2 =
(_1) 2 + (t -3) 2 =t2 -6t + 10.
①若B 为直角顶点，则BC 2 十PB 2 =PC 2
，即18 十4 十t 2 =t 2 -6t 十10.解得t=-2.
②若C 为直角顶点，则BC 2 +PC 2 =PB 2
，即18+t 2 -6t+10=4+t 2 .解得t=4.
又十J 17
③若P 为直角顶点，则PB 2 + PC2 =BC 2
，即4+川2 -6t+10=18 解得
t 1 = 寸ι ，
3-/IT
t2 = 一亏一.
综上所述，满足条件的点
P 共有四个，分别为
P 1 (- 1，一
2)
，P 2 (-1
，4)
，
3+ 汀'7 \ ~ I
• 3-/IT
P 3 (- 1，一抖
，P 4 (-1 ，J ;.1/)
3. (1 )y=x2-2x-3.
。/古
(叫1 ，于)
(3) 如图①，取(2) 中的点C' ，D ，连接CC'.
.: BC' 二BC ，ζ C'BC=60 0 ，
:.6C'CB 为等边三角形.
分类讨论如下.
①当点P 在工轴上方时，点Q 在z 轴上方，连接BQ ，C'P.
.: 6PCQ ，6C'CB 为等边三角形，
:.CQ=CP ，BC=C'C ，ζ PCQ= ζ C'CB =60 0 ,
.·.ζ BCQ= ζ C'CP
，6BCQ 旦6C'CP
，λ BQ=C'P.
·.·点Q 在抛物线的对称轴上，:.BQ=CQ ，:.C'P =CQ=CP ,
又.: BC' =BC ，:. 直线BP 垂直平分CC' ,
由翻折可知直线BD 垂直平分CC' ，λ 点D 在直线BP 上.
y
第3 题答图
... 251
aE革娼撞撞jt . 1t.*
13
, 13
二直线BP 的函数表达式为y=v; x+
..)'
3 ~ , 3'
②如图②，当点P 在工轴下方时，点Q 在z 轴下方，
.: l':,QCP ，l':，C'CB 为等边三角形，
:.CP=CQ ，BC=C'C ，ζ QCP= ζ C'CB =60 0 ,
.·. ζ BCP= ζ C'CQ ， :. l':，BCP 经l':，C'CQ.
:. L_ CBP= ζcω=?ζ们二30 。
设BP 与y 轴相交于点E ，在Rt l':，BOE 中
，OE=OB • tanζ CBP=
l X叫。二字，
点E 的坐标为(0 ，一手)
rO = 一走'+b' ,
设直线叫函数表达式为y 二白b' ，则i
子
b' ,
13
13
.·.直线BP 的函数表达式为Y=-3x -3 '
走'-一手，
解得
←-子
13
, 13 _.,_
1313
综上所述，直线BP 的函数表达式为y =--;:;-x 十
吱_y= 一-_-x 一一
J
3-' 3--"'J
3-
3
四
111 相结与特黯囚诅JFf
【例题求解】
例1(h=-j什2x 十6 ，D ω)
.
252
(2) 如图①，当点F 在z 轴上方时，过点F 作FG 上Z 轴于点G.
设点F 的坐标为(z ，-jt 十2x+ 6)
·.·ζ FBA 二ζ BDE ，ζ FGB 二ζ BED =90 0 ,
FG
BE
:. l':，FBG∞l':，BDE ，二一一=一一
' --BG
DE'
':B (6 ,0) ,D(2 ,8) ,
:.E(2 ,0) , :.BE=4 ，DE 二8 ，OB=6.
y
第3 题答图
yt D
图①
例
l 答图
x
. . .
-jzz+2z+6
6-x
二二，解得「一1，工2 =6(舍去)
·点F 的坐标为(-1 ，~)
当点F 在Z 轴下方时，同理可得点F 的坐标为( -3 ，一~ )
-~重重Iaì
yl
A
x
综上可知，满足条件的点F 有两个:Fl(-IJLF 2 (
3, ;)
(3) 设对角线MN ，PQ 交于点0' ，如图②所示.
·.·点M ，N 关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形，
λ 点P 为抛物线对称轴与z 轴的交点，点Q 在抛物线对称轴上，设点Q 的坐标为(2 ，
2n) ，则点M 的坐标为(2-n
，n).
·.·点M 在抛物线y=-1z 2 十2x+6 的图象上，
./
2
-n=;(2
川2 +阶η) 十6
化简，得η 2 +2η-16=0.解得n l =-l+汀7
，n 2 =-1 一刀于.
例
l 答图
.·.满足条件的点Q 有两个，分别为Ql (2 , -2+2!f7) ,Q 2 (2 ，一2-2 !f7).
【学力训练】
1. (l) y=-x 2-4x-3.
(2) 们的坐标分别为(-2 ，1)或( -
~寸)或(=9:瓜，
-9+/33\ ---Â 1
9+/33
9+/33
)或(一一「'一一γ)
(3) ①由题知
，M(m ,-m2-4m-3) ，N(m+4 ，一(m 十4) 2 -4(m+
4)-3) ，即N(m+4 ，-m 2 -12m -35). 设直线MN 的解析式为
Fhd
叫
‘
u
m
'
?
ω
》
}
叮
i
二
一
刑
m
」
二
一
η
n
一
十
=
ω
丁
十
rM
FRFR
f
l
l
t
d
i
-
-
、
m
m
川
η
十
z
'
走
一
y
同
毛
υ
口
寸
如
nm+
-m
一
一
一
一
'Rn
f
i
l
l
J
1
1
l
l
、
得
解
故直线MN 的解析式为y 二(一2m-8)x 十(m 2 十4m-3) ,
设D 仙，- h 2 -
4h - 3) ,
E 仙
，(-2m-8)h+m 2 十4m-3) ,
y
x
F
第
1 题答图
.. 253
d
f&噩噩'1Ii ñi~ . 1L*_
:.DE =(-h 2 -4h-3)-[(-2m-8)h+m 2 十4m-3J
二-h 2 +2(m +2)h 一(m 2 +4m)
=一[h 一(m+2) ]2 十七
当h=m+2 时，DE 取最大值，即最大值为4.
②当DE 最大时，点E(m+2 ，-m2 -8m-19) 为MN 的中点.
·.·点D 关于点E 的对称点为F
，
.·.点E 为DF 的中点，λ 当DE 最大时，四边形MDNF 为平行四边形.
如果口MDNF 为矩形，则MN 2 =DF2 =4DE2,
即4 2 + 伽十3俨4 X 4 2 ，贝U(m+俨7 ，解得m=-4士?，
J3
.·.当m=-4 十一或m=-4 一一时，四边形MDNF 为矩形.
2
2. (1)如图①，好点有(0 ，0)
，(0 ，1)
，(0 ，2)
，(1 ，0) 和(1，1)共5 个.
图①
图②
第2 题答图
(2) 如图②，好点坐标分别为(1，1)，(2 ，4) 和(4 ，4).
(3) .:抛物线的顶点P 的坐标为(m
，m+2)
，
.·.点P 在直线y=x+2 上.
若点P 在正方形内部，则0<m < 2.
如图③，点E(2 ，1) ,F(2 ,2) ,
图③
B
λ 当顶点P 在正方形OABC 内部，且恰好存在8 个好点时，抛物线与线段EF 有交点(点F 除外).
5-jIT
5+汀言
当抛物线经过点E(2 ，1) 时，一(2-m) 2 十m 十2= 1 ，解得ml- 一一一一一，m 2 二一一一一(不合
2
题意，舍去).
当抛物线经过点F(2 ，2) 时，一(2-m) 2 + m 十2=2 ，解得m 3 =1 ，m 4 =4( 不合题意，舍去).
·.当日一j l.1
一寸」ι 三三m < l 时，顶点P 在正方形OABC 内部，且该抛物线下方(包括边界)恰好存
在8 个好点.
3. (1)(y= -x2-2x+1.
②过点D 作DE j_ x 轴于点E ，交AB 于点F ，由t6.AFD 豆t6.BCO ，推得b 2 =4c.
. 2嗣
EZ歪歪望..
(2) 假设存在这样的点A
，使四边形AOBD 是平行四边形.
如图，设点A 的坐标为(m
，-m 2 -2m +c) ,m<ü ,
过点D 作DE _lx 轴于点E ，交AB 于点F ，过点A 作AM _l y 轴于点M ，交DE 于点N ，
AN FN AF
BC
3
贝~h.AFD 豆h.BCO ，h.ANFω h.AMC ，λ 一一=一一=一一二
二
AM CM AC
AC
5 '
-m-1
3
.:AM=-m
，AN 二AM -NM=-m- l，:.一一一一一=丁，解得m= 一τ
m;)
t,
·点A 的纵坐标是一(-~f-2X( 才) +c 二c 一;<c
.:AM矿工轴，
点M 的坐标是(O ，c-~)
，点N 的坐标是(-l，c-~) ，
B
x
y
:.CM=c 一(c-7)=?
5 \
9
·.·点D 的坐标是( -l，c 十1)，斗N=(c 十1)一(c-~)=~
，
fu
9-4
一
F
D
N
D
一
-
N
F
第3 题答图
9
FN3Z C3351
由一一=一得一一一=一，解得c= 一，λc
一-
CM
5 I'~
5
5 "" I
I'~
-
2' ---
4
4
4
5 1
人点A 的坐标是(一言，~ ) ,
.·.存在这样的点A
，使四边形AOBD 是平行四边形.
自由相结与国形面职
国
y
【例题求解】
(1)y=z 2 -L+子=(z-22+ 元，C 点的坐标为( :主);
1
5
(2) 可求得直线AB 的解析式为y=-~x+~
，过C 点作AB 的平行
J
2--
, 2
例1
x
。
例
1 答图
线交y 轴于K j 点，则S D.ABK I = S D.ABC '
且矿CK j ，:.可设直线的方程为y=-jz+b
.. 255
9
7 \ .
_ _
,_ ,_._ .. _.
1
, 25
.:CK j 过C ( ~ '1'6) 点，.·.可求解析式为y=- ;x+i6'
a It ~ tft f1t tJi噩噩
25
••. K 1 点的坐标为(0 ，写) .在AB 的上方还有一条与AB 平行的直线，设交y 轴于点K 2 •
55
·巧6A矶=S6ABC' :.K lG=K 2 G.故K 2 点的坐标为(O ，{~).
例2
(1)作BC _l x 轴于C ，AD _l x 轴于D ，则BC= l，OC 二-n
，OD=m ，
AD=6 ,
y
CB
CO
BO . 1
-n
由6CBOω 6DOA
，得一一=一一=一一，.·.一=一一，mn=-6
DO DA
OA '--m
(2) OA=mBO ，又S 6AOB =10 ，得OB • OA=20 ，二mB0 2 =20.
又OB 2 =BC 2 +OC 2 = η 2+ 1，即m(n 2 十1) =20 ，而mn=-6 ，
解得m=2 ，n=-3.
...A 点坐标为(2 ，的
，B 点坐标为(-3 ，1)，
可求得抛物线解析式为y 二-x 2 + 10;
x
例2 答图
(3) 直线AB 为y=x+4 ，且与y 轴交于F(O ，4) 点，λ OF=4 ，假设存在直线J 交抛物线于p ，
Q 两点，且使S6POF : S 6 00F = 1 : 3 ，如图所示.则有PF : FQ=l : 3 ，作PM _l y 轴于M
点，QN _l y 轴于N 点，••• P 点在抛物线y=-x 2 十10 上，.·.设P 点坐标为(t ，-t 2 + 10)
，
则FM=-t 2 + 10-4=-t 2 十6 ，易证6PMFω6QNF ，
PM MF
PF
1
QN
FN
QF
3'
:.QN=3P此{=-3t ,NF=3MF=-3t 2 +18 , :.ON 二一3t 2 + 14 ，
λQ 点坐标为(一3t
，3t 2 一14) ,
••• Q 点在抛物线y=-x 2 +10 上，:.3t 2 -14=-9t 2 +10 ，解得t=- /2，
••• P 点坐标为(-/2，的，Q 点坐标为(3 /2 ，一的，
λ 易得直线PQ 为y 二-2 /2 x+4 ，根据抛物线的对称性可得直线PQ 另解为y=
2/2x+4.
【学力训练】
1. (1) y = -
X 2 + 2x 十3.
(2) 直线1 必过口ABCD 中心(t ，?)，其解析式为y= 一;工十;，
作PH 上Z 轴于点H ，交直线J 于点M.
.. 256
239
设P(t
，-t 2 +2t 十3) ，则XF- 一子，γM- 一
= t+ 一，
5 ' ./叫
5 -
5
13
, 6 _
1 __ _
,
17 I
13 、2
. 289
17
PM=yp -YM= -t 2 + ~r-- t 十一，S MEF =
~ P M • I x E - X F I =
一( t 一一)十一×一，
5 - . 5 ' -
D ru
2 - .._
I ~"
~
r
I
10 飞
10/
' 100" 10
-E蓬主主3··-E
13 . _
_ _ . ..
..
.._ . 17
.·.当t=
时，S !'!.PEF 取最大值，其立方根为一
10.'" /-
L.:!.. ILI'-V ，" ~ / ""~ 7/ ""，，.....:...J....-/-.I
'.......... /
...1 10.
(3) 当ζ PAE =90。时，作PG _l y 轴于点G ，则AG=PG ，t 二1 ;
当ζAPE=90。时，作PK _l x 轴于点K ，AQ _l PK 于点Q ，
PK
KE __-t2+2t+3
3- t
. __
1+J5
由6PKEω6AQP 得一=一一，即
=一
? 一，解得t= 一工二
AQ
PQ' -','
t
- t2 + 2t
2. (1 ).Y= 一旦(X-2) 2+3 ，D(2 ，3).
J
16
(2) 由DA=DB=5 ，得ζ DAB= ζ DBA= ζ DEF.
①若ED=EF ，则ζEDF = ζEFD.
·.· ζEFD= ζ DBA+ ζ FEB
，ζ DEB= ζ DEF+ ζ FEB
，
Y
Q
x
第2 题答图
又ζ DBA= ζ DEF ，λ ζEFD= ζ DEB= ζ EDF ，:.BE=BD= 5.
②若FD = FE ，则ζ FDE = ζ DEF.
ζFDE = ζ DAB
，ζ DBA = ζ DBA
，
BD
BE . _ _ BD2 25
:. 6BDE∞6BAD ，:. 一一=一一，:.BE = 一一一=一
BA
BD ' . . ~~ BA
8 .
③若DE = DF ，则ζ DEF = ζDFE. 又ζ DEF = ζ DAB
，ζ DAB = ζ DBA
，
λ ζDFE = ζ DBA
，这与ζ DFE>ζ DBA 相矛盾，
λDE 与DF 不可能相等.
25
因此，BE = 5 或lf ·
(3)设直线BD 交y 轴于点G ，.: B(6 ,0) ,D(2 ,3) ,
3
9 _ /
9
、
直线BD 解析式为.Y BD = 一":;-x+~
，G ( O ，~
)
J
uu
4" . 2
飞
2 I
当点P 在线段BD 下方的抛物线上时，m 为任意正数时满足条件的点P 总有两个.
当点P 在线段BD 上方的抛物线上时，过点P 作PQ // BD 交y 轴于点Q ，
3
设直线PQ 解析式为YPQ = - _:;:'x + b ，当直线PQ 与抛物线有唯一交点时，
4
y =
主(X - 2 ) 2 十3 ，
16
联立斗
得3x 2 - 24x + 16b - 36 = 0 ，此方程有两个相等的实数根.
y =
仨+ b ，
21
:. ~ = 242 - 4 X 3 X (16b - 36) = 0 , :. b = -4- ,
3
21 _ _ /
21 、
·. ypQ 二一-x 十一，:. Ql 0 , -AI
4 ..
4
飞哇/
.. 251
dE遮盖矗撞撞
蓝蓝噩
9-4
一
一
9-4
9-2
一
一
C
G
3-4
一
一
9
一2
n-4
一
G
Q
5 MBD
QG
1
: BD // PQ ，二m = 一立一= 一一= 一，即m = 一
5 6 CBD
GC
3
λ 由上述分析可得:
当问<t时，满足条件的点P 有4 个;
当m=t时，满足条件的点P 有3 个;
当m>tH才，满足条件的点P 有2 个
3. (1 )y=2x2 -12x+10.
(2) 证明:当m=-2 时，直线l 2 : y = - 2x + n (n 手10) 与直线
II : Y = - 2x + 10 不重合，假设I I
和l 2 不平行，贝Ù II 和l 2 必相交，设交点为P(X o ，Y o ) ，
í y o = - 2x 0 + 10 ,
由斗
得一2x 0 + 10= - 2x 0 + n ,
lY o=-2x o+n ,
解得η=10 ，与已知n 手10 矛盾，λ II 与l 2 不相交，l!P l 2 // II .
( 3 ) .:直线
l 3 :y=-2x +q 过C (1，O)
，:.q=2 ,
又·.·直线II : y = - 2x + 10 , : .l3 // II ，即CF // AB ,
J.ζ FCE= ζABE ，ζCFE= ζBAE ，6FCEω6ABE ，
第3 题答图
S ^ FCF:
ICE\ 2
所以5去= (~~)
l
设BE=t(0< t < 4)
，则CE=4-t ,5 6ABE =
~ BE • OA = 一X t X 1 0 二5 t ，
2
I CE \ 2 ,
_ _
(4 - t) 2 ,
_ _
5 (4 - t) 2
6 FCE = ( 一~)
X 5 6ABE = - ~~.~
?一一X5 t= 一一一一，
飞BE I
., -
D "DC
t 2
-
，~V
t
5 (4 - t) 2 ,_
_ _
, 80
_ . 1 ,-
2 何
2
··S AABE+S AFeE=-7+归Ot +74问0(J-f) 十叫-40
.·. 当t =2 J2时，5 6ABE +5 6CEF 的最小值为40 J2 - 40.
国
1皿咽结与相似三匍形
【例题求解】
例1
(1) y= -2x+2 ，y=-X 2 +X 十2
(2) 存在.
.. 258
EZ歪歪望..
MN
NO
①若LMNOωLBOC ，则一一=一一，可得M ( 1，2);
BO
OC
BO
OC ---0"/"". I f 1 +λ"3 1+ )33\
②若LONM∞6BOC ，则一一=一一，可得M(
，一一一一)
ON
MN
飞
/
(3) 设P(a
，-a 2 + α +2)
，H(α ，一2a +2) ，由PH=OB=2 得a 2 一切+2=0 ，解得α=1 或
α=2 ，进一步得点P 的坐标为(1，2) ，(2 ，0).
3+J3
3+J3
例2
(1 )b= 一一一一，c= 一一一一
2
y
Q
图①
y
图②
y
y
x
0
x
图③
图④
例2 答图
OB
BC
(2) 过点D 作DE _l y 轴于点E ，则LOBC∞LEDC 一一=一一=点，DE= J言，
'DE CD
即XD - 一汀，
y归D=♂
b
归+忖l.D
趴(卜一♂几，♂十川
(3) 连接AC ，可得ζACB=90旷。' Lζ
乙B =30
旷。'Lζ
~ADC =45γ。.
如图①，PH _lBQ ，ζB 二30 0 ，ζQ =45 0 ，设P (1 ,n ) (n < 0) ,Q (t ,0) (t < 3) ,
J3 - n
_ '-_ /""
2 J3
_ 2 J3
贝咛=子，百=1 ，解得n= 一了，t=l一了'得Q(1-E汀，0) ;
如图②，PH 上BQ ，ζB = 45 0 ，ζQ = 300 ，得Q (1 -2 J3 ,0);
如图③，Q归B ，L_B=队ζQPB=队得Q(孚-1 ，0) ;
如图④，QG _lPB ，ζB = 45 0 ，ζQPB = 30 0 ，得Q( 5-2汀，0) .
【学力训练】
1. (1 )y = _
X 2 + 3x+4 ,y = -
X 十4 .
325\ ___ , 35\ __
15
(2) 只要DE = PF ，则四边形DEFP 为平行四边形，D( 言'τ ) ，E( ~
，~)，DE =τ -
设P (t , - t 2 十3t + 4) ，则F( t ，- t+4) ，
15
一
5
_ _, 5
2 1 、
由( - t 2 +3 t 十4) 一( - t + 4) = 一，得t= 一，λPt 一，一)
4 ' ".
~
2
飞2 ' 4 I
..259
ae~ t!i1t tliñ 理
(3) .:ζ CED= ζ CFP
，又ζ PCF 手ζ DCE
，
λ 只有当ζ PCF= ζ CDE 时，L PCFωLCDE.
PF
CF _ __
3 ~ _ _
15
·.一一=一一，而CE 二疗，DE= 一，设p(t
，-t 2 十3t+ 的，
CE DE"".--
2 v - ,--
4
则CF=vt 2 十[4 一(一叶在)y =fit ,
一t 2 +4t
J 2t ._._
16..
.._. _ .. . ._ . t1 6 84
即ττ一=舌，解得t 二τ ，进一步得点P 的坐标为片'写)
一…-
2 V -
4
2(h=jz2
(2) ①略.
②因为A (Xl 'Yl) ,B (X 2 'Y 2) 是抛物线y=1t 与直线y=mx+4 的交点，
4 --
~ ~ -~ ~ J
r
1
_
联
~ y 一---;-X-
，
立r
4
得工1 +x2=4m ,XjX 2=-16.
ly=mx+4 ,
.:A(Xj ,yj) ,B(X 2 ，y 2 ) 在直线y=mx 十4 上，.·.y l 二mX j +4 'Y 2 =mX2 +4 ,
过点A 作AC j_ x 轴于点C ，过点B 作BD j_x 轴于点D ，
则α:::
. OD=-x j • x2=16 ,AC ' BD=(mxj +4)(mx 2 十4) =m2 XjX2 十4m(xj +X2 ) 十16=16 ，
OC
BD
:.OC • OD=AC • BD ，即一一--一而ζACO= ζ ODB=90 0 ，
AC OD'
:.RtLAOCω LRtLOBD
，推得ζAOB=90 0 •
(3) 无论m 取何值，LAOB 都是直角三角形.
1 _
3
3. (1 )γ=-t 一-::-x-2
J
2 -
2
1
1
0
3
(2) ①P(m ，言m 2 -zm 一2) ,D(m , ;m-2).
分以下几种情况:
1 1
、
1
03
当M 是PD 的中点时，MD=PM ，即。一(~m-2)=~m 2 一--;;-m-2 ，解得mj =-2 ,m 2=4
飞
2 ..-
- /
2 ...
2
(舍去) ;
1
_:
_/1
0
3
、
1
当P 是MD 的中点时，MD=2MP ，即-m-2=2(-m 2 --m-2) ，解得m 3 =-tL ，m 4 =4
2
飞
2 ...
2 ...
- / 'NT ". ". j
2
(舍去) ;
1
0
3
I 1
当D 是MP 的中点时，2MD=MP ，即Em 2 -Em 一2=2( ; m-2)
，解得m s =1 ，m 6 =4(舍去).
.
260
-~~~望恤
故符合条件的m 的值为一2 ，-i或1
( "'A( - l ,O) ,B(4,O) ,C(O , -2) ,
AO
CO
:.AO=l ，CO=2 ，BO=4 ，:. 一一=一-
' ~~CO BO.
有ζAOC= ζ COB=90 0 ，
:. 6AOCω6COB
， :. ζACO= ζABC ，ζOAC= ζOCB .
当6PNCω6AOC 时，ζACO= ζ PCN.
.·. ζABC= ζ PCN ， :.AB // PC ,
.·. 点P 的纵坐标是- 2 ，得点P 的坐标为(3 ，- 2)
，
当6PNCω6COA 时，ζ PCN= ζ CAO ，
又ζ CAO= ζ OCB
，λ ζOCB= ζ PCD.
.: PD // OC ，:. ζOCB = ζ CDP ， :. ζ PCD = ζ PDC ， :.PC=PD
1
n
3
由①知P(m ，Em 2 -Em 一2) ,D(m , ~m-2).
PD 二2m- ~ m2 ,PC = Jm 2 十(jm z -7m 一叫;:=Jm 2+ ( ~m 2一初，
·.2m -jm2=卢λJLL)2 ，
..m = 言'
3
25
3
25
综上，点P 的坐标为(3 ，一2) 或(言，一τ).
团捆相结与目的芙系
【例题求解】
例1
(1) y =x2- 4x - 5
(2) 5 四边形ABCD = 18
(3 ) 直线AB 的解析式为y = - x - l，F(O ，-l) ，CF =4 ，BC= j2石，
BC
CF
rtn j2百
4
Im .-''''.....'''
3
.
..... 1 ~ 3 \
由6BEC∞6FBC 得一一= 一一即一一一一= 一一，解得EO = 一，:. E( 0 ，一)
EC
BC'
四十5
j2百
2
飞
/
例2
A( - l, O) ,B(3 ,0) ,C(O ,3) ,D (1, 4) ,E (1, 2) .
DF
连接DO ，由tanL乙DOF = 一一= 4 得ζ DOF 二ζα ，即ζDAO 十ζ DPO = ζDOF ，
OF
. 2刷
4_:~毒草豆1;11'~擅嚣理.j市~~
当点P 在点A 的左侧时，连接DP
，DA
，
·.· ζ DAO+ζ DPO= ζ DOF ，ζDOF= ζDAO+ ζADO ，
.·.ζ DPO = ζADO ，又ζAOD= ζ DOP ，
:. 60ADω60DP ，得OD 2 =OA • OP=17 ,OP=17 ,
.·.点P 的坐标为( -1 7 ，0).
当点P 在点A 的右侧时，由轴对称性质得点P 的坐标为(1 9 ，0).
【学力训练】
1
^
. 3
1. (1) v= 一= x 2 + =x +2
,/
2 --
. 2
I
1
n
.
3
、
(2) 设D(α ，一
= a 2 十一α 十2) , .:ζ DBA= ζ CAO ， :.tanζDBA=tanζCAO ，
飞
2-
. 2- . -,
1
1
n. 3
.
1
| 一= a 2 + =a+21
|2-
. 2- '-1
即-
I
A
-1
1 = 2 ，解得α=3 或一5 ，:.D (3 ，2) 或( 一5 ，-18) .
I
1
n
•
3
、
(3) 过点P 作PH //y 轴交直线BC 于点H ，设P ( t ，一= t2 + =
t 十2) ,
飞
2-
. 2- . -,
直线BC 的解析式为y = - jz+2 ，H(t ，- jt十归H=yp -YH =- jf+2t ，
设直线AP 的解析式为y=(-ft 十2)叫) ，F(0 ，2一;t) ，俨tt ，
y = (2 一二) (x + 1),
~
由斗
1
得X E =古，
y= 一护+2 ，
1 /
1 ? , ~ \ 1 .
t \
1 . . t . . t
5
n
•
5 I
8 \ 2 . 16
:. 5 2 - 5] = ; ( 一γ叫(4 - 5乞)丁× YE=77 2 +4t = -z (t - E ) +τ '
当t=;时，5]-5 2 有最大值，最大值为τ
16
2. (1 )y=x2+x - 6.
q•
/
QQ
(幻①点P 在第三象限或第二象限，PE 的长为2 或寸之
②存在点p ，使得ζACP =ζC日，理由如下:
.: C(O ，一6) ，:.OC = 6.
在Rt6AOC 中，AC = .jOA 2 +OC 2 = ，)3可否2 =3 J5 ，过点A 作AH 上AC 于点A ，交直线
CP 于点H ，
.
262
-E辈革军望监
y
x
图①
第2 题答图
则ζ CAH= ζ COB ，又ζACP = ζ OCB
，
AH OB
2
1
:.L::，CAHω L::，COB , :.一一=一一=一=一
AC
OC
6
3.
过点H 作HM l_x 轴于点M ，则ζ HMA = ζAOC ，
:.L::，HMA ω L::，AOC ，
图②
MH MA AH
~ MH MA
1
·.一一=一一=一一，即一一=一一=一
:.MH= 1，MA 二2.
OA
OC
AC' ~I-
3
6
3
如图①，当点P 在第三象限时，点H 的坐标为( - 5 ，一1).
x
由H(-5 ，一1)和C(0 ，- 6) 得直线CP 的解析式为y =- x - 6 ，于是有x 2 +x - 6 = -x 一
6 ，即x 2 +2x=0 ，
解得工j=-2 ，X 2= 0( 舍去) , ...点P 的坐标为(-2 ，- 4 ).
如图②，当点P 在第二象限时，点H 坐标为( - 1，1)，
由H(-l ，1) 和C(0 ，-6) 得直线CP 的解析式为y 二-7x-6 ，进一步得P( -8 ，50).
综上所述，点P 的坐标为(-2 ，-4) 或( - 8 ，50) .
3. (1 )b = 3 ，M(3 ，一3) .
1
3
(2)γ MC- 一-:::-x 一一，C( -3 ，0).如图①，过点M 作MN l_x 轴于点N.
J
lV1L-
2........
2
y
y
x
M
图①
图②
第3 题答图
..263
a
1&:~t& iï fJi噩噩
DM
DC
J 10
.一一=一一=二二二- ，ζMDC= ζ ODM ，
DO
D儿t[
2
人LDCMωLDMO ，得ζ DMC= ζDOM=45 0 ，
.·.ζADM 一ζACM= ζDMC=45 0 •
GF
4
(3) 如图②，假设存在点E ，使得3GF=4EF. 即一一=一
EF
3'
·.·ζ BEF=2 L乙BAO ，:.ζ BAO= ζ EFA
，λ AE=EF.
过点E 作EH j_ x 轴于点H ，则AH=HF.
过点G 作GKι 轴于点K ，设E(α ，
÷α+ 斗，
:.EH=-ia 十3 ，OH= α ，:.AH=HF=6 一α
在RtLGKF 和RtLEHF 中，.: sinζKFG=sinζ HFE ，
KG
HE . KG
GF
4 __ _
4 f
1
、
一一=一一，...一一=一一二一，KG= 一(一=a+3) = 一=a+4.
GF
EF'.. HE EF
3 ，~~-
3
飞
2 -
,
~ I
. .ζMOA=ι. .侃=KG ，:.侃二一;a 十4 ，
:.KF=OH-OK-HF= ~α-10 ，
KF
GF
4
.:GK j_x 轴，EH j_x 轴，:.GK // EH ，二一一二一一=一
HF EF
3'
9
.
1
=一，...一-=-a 十3= 一.
2'..
2-'~ 4'
9 3\
. . . _f9 3
.. E (言，~ ) ，存在点E(TZ) ，使得3GF=4EF.
~ ß 相结与圆
【例题求解】
例1
(1) y = -
X 2 + 2x + 3 , D ( 1, 4) .
(2)
由AC 2 十CD 2 =20=AD 2
，得ζACD=90 0 ，AD 为LACD 外接圆的直径.
连接AE ，E(of) ，由DE 2 十AD 2 =?=AE 2 ，得AD j_ DE ，故直线DE 是LACD 外
接圆的切线.
一
1
7
(3) 直线AC 的解析式为y=-x 十3 ，CD 中点N 的坐标为(言'王) ，过点N 作NP //AC ，交
.. 2创
EZE主噩·监
抛物线于点p ，直线NP 的解析式为y 二- x+ 4 .
i「「「户
y=-x
←一丁x+忖4
叫可
川+
y俨= 一x 2忡+2x 十3L，f导轩P 1 (卜
一γ ，丁一→) 'P 2
川
P巳叫
2 (←一厂，一厂)
【学力训练】
1. (l)A(-6 ,0).
(2) ①略.
②设OE =m ，则E (m ,0).
·.· ζ CAE= ζ CBO ，ζ CAE = ζ OBE ，λ ζ CBO= ζ EBO. :. 点。在ζ CBE 的平分线上.
过点。作BE ，BD 的垂线，垂足分别为点N ，Q ，则OQ = ON ，
BD
DO
:. S 6BOD : S 6BOE=BD : BE ，又.: S 6BOD : S 6BOE=OD : OE ,:. BE = δE '
J王
将α= 一代人y = ax 2 + 6ax ，得y =-t + 2 JEz ，二B( - 3 ，一313 ) .
3
连接BP 并延长BP 交z 轴于点M ，则BM=3 J言，ME =3+m ,MD= 3+t ,
f_i 3 十t) 2 十27
- t .. _ ._
6t
1
1
1
1
1. t 十6
1
9
= 一一，整理得m= 一一一一
.·. 一一一一一=
一
一= 一一十一一=一
C3 + m) 2 十27
m ' =
.J::::t:T'1"" '"
- t - 6' .. OD
OE
t
m
t
6t
6 '
qL +
Z
7
-6
+
Z
2
-3
一
y
114
/
飞
,"
(2) ①当点P 在z 轴的上方，且ζ PAO = ζ BAO 时，显然点P 与点C 或点B 重合，此时点P 的
5 3
坐标为( 言，~ ) 或( 0 ，2) .
②当点P 在z 轴的下方，且ζ PAO= ζBAO 时，
过点P 作z 轴的垂线交直线AB 于点Q ，垂足为点F ，由ζ PAO 二ζBAO ，易证QF = PF.
设点P 的横坐标为t ，则点P 的纵坐标为一= t2 + --:-t 十2 ，点Q 的纵坐标为-tt 十2
一
2
n
• 7
3 -
. 6
1
/
2 _
7
刀F = PF ，:. 一÷t+2= 一( - ; t2 +γ 十2) .解得t 1=- 2 ，t 2 = 3 .
当t =- 2 时，点P 的纵坐标为一;× ( 一川? × ( -M 二一3 ，
此时点P 的坐标为( - 2 ，一3) ，在第三象限.
当t 二3 时，点P 的纵坐标为一; × 32 十?×M = -j ，此时点P 的坐标为( 3 ，一÷ ) ，在第
四象限.
综上所述，点P 的坐标为( ? ，?)，(0 ，川一2 ，- 3)或(3 ，- ~ )
.. 265
aE草草呈血盛军噩噩
(3) ①如图①，过点C 作CH j_x 轴与点H.
y
·.· ζMNC=90 0 ， :. ζMNO+ζ CNH=90 0 •
又·.·ζ CNH+ ζ NCH = 90 0 ，:.ζMNO = ζ NCH.
二tanζMNO 二tanζ NCH.
5
一-一-n
OM
N H
_ m
2
,.
~_ ,_
4
0
, 10
~p ;_-~~ = 一一，.·.一= 一一一，解得m = 一-;-n 2 十--::-n
o N
C H ' -- n
3
"" I
1 "
.. -
3 , -
, 3
图①
4
第2 题答图
②过点C 作CD j_ x 轴，垂足为点D.
·.· ζMNC =90 0 ， .:以MC 为直径画①E ，则点N 在①E 上.连接NE.
又二'Nω ，帅<n<?) ，..点N 为线段。D(不含点。和点D) 与①E 的交点
·.点M 在y 轴正半轴上，• . 当①E 与线段OD 相w时，NE=护C ，
即NE 2 =jMC2 ，如图②
5 3
:M (O ，时，C( 言，~ ) ,
E(? 毛+?)，
(34) 2 二~
[ ( ~ f + (m - ! f]
25
解得m= 一，.·.此时符合条件的点N 有1 个.
12
图②
第2 题答图
假设点M 与点。重合，如图③，
y
x
图③
此时①E 与线段。D(不含点。和点D) 有一个交点.
25
易知当O<m <一时，①E 与钱段。D (不含点。和点D ) 有两个交点，
12
25
故m 的取值范围是O<m <一
12.
.. 266
x
