文档文本内容
培优专题03 整式的化简问题
（题型突破·举一反三）
题型01 直接代入法求解
题型02 整体代入法求解
题型03 间接代入法
题型04 赋值法
题型05 数形结合的化简问题
▌题型01 直接代入法求解
化简求值时，一般先化简，再把各字母的值代人计算.
【典例1】（25-26 七年级上·山西大同·期末）下面是成成同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相
应任务．
2
2
2
5
2
a b
ab
ab
a b
-
-
-
2
2
2
5
2
2
a b
ab
ab
a b
=
-
-
-
…第一步
2
2
2
2
5
2
a b
a b
ab
ab
=
-
-
-
…第二步
7ab
= -
…第三步
任务：
(1)以上步骤第__________步开始出现错误，错误的原因是__________．
(2)请你进行正确化简．并求当
2,
3
a
b
=
= - 时，式子的值
【答案】(1)一；去括号时符号错误，
2
2 ab
a b
-
-
应化为
2
2
2
ab
a b
-
+
(2)
2
4
7
, 6
a b
ab
-
-
【分析】本题考查了整式的化简求值．
（1）去括号时符号错误，
2
2 ab
a b
-
-
应化为
2
2
2
ab
a b
-
+
；
（2）先去括号，合并同类项，再将
2,
3
a
b
=
= - 代入化简结果计算即可．
【详解】（1）解：去括号时符号错误，
2
2 ab
a b
-
-
应化为
2
2
2
ab
a b
-
+
，
即以上步骤第一步开始出现错误，错误的原因是去括号时符号错误，
2
2 ab
a b
-
-
应化为
2
2
2
ab
a b
-
+
；
故答案为：一；去括号时符号错误，
2
2 ab
a b
-
-
应化为
2
2
2
ab
a b
-
+
；
（2）解：原式
2
2
2
5
2
2
a b
ab
ab
a b
=
-
-
+
2
4
7
a b
ab
=
-
，
当
2,
3
a
b
=
= - 时，
原式
2
4 2
3
7 2
3
=
-
- -
4 4
3
14
3
=
-
-
-
48
42
= -
+
6
= - ．
【变式1】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）一位同学做一道题：“已知两个多项式A ，B ，计算2A
B
+
?他
误将“ 2A
B
+
”看成“
2
A
B
+
”，求得的结果为
2
9
2
7
x
x
-
+
，已知
2
3
2
B
x
x
=
+
-
．
(1)求A ；
(2)当
1
5
x =
时，求2A
B
+
的值．
【答案】(1)
2
7
8
11
x
x
-
+
(2)18
【分析】（1）先根据题意计算
2
2
9
2
7
2
3
2
A
x
x
x
x
=
-
+
-
+
-
即可；
（2）根据题意列式
2
2
2
2 7
8
11
3
2
A
B
x
x
x
x
+
=
-
+
+
+
-
，再去括号合并化简，将代入
1
5
x =
计算即可.
【详解】（1）解：根据题意得
2
2
9
2
7
2
3
2
A
x
x
x
x
=
-
+
-
+
-
2
2
9
2
7
2
6
4
x
x
x
x
=
-
+
-
-
+
2
(9
2)
(2
6)
4
7
x
x
=
-
-
+
+
+
2
7
8
11
x
x
=
-
+
；
（2）解：
2
2
2
2 7
8
11
3
2
A
B
x
x
x
x
+
=
-
+
+
+
-
2
2
14
16
22
3
2
x
x
x
x
=
-
+
+
+
-
2
15
13
20
x
x
=
-
+
，
当
1
5
x =
时，原式
2
1
1
15
13
20
5
5
æ
ö
æ
ö
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
13
15
20
25
5
=
-
+
3
13
20
5
5
=
-
+
2
20
= - +
18
=
.
【变式2】（25-26 七年级上·广东惠州·期末）已知天平左边托盘中的物体重量为
kg
A
，右边托盘中的物体重
量为
kg
B
，其中
2
2
1
3
3
A
xy
y
xy
y
=
-
+
+
，
2
2
2
2
B
x y
xy
x y
= -
-
+
．
(1)化简A 和B；
(2)请你想一想，当
1
x = ，
3
y =
时，天平会向哪一边倾斜？为什么？
【答案】(1)
4
3
A
xy
=
；
2
2
B
x y
xy
= -
+
(2)解：天平会向B 边倾斜，理由：
当
1
x = ，
3
y =
时，
4 1 3
4
3
A =
=
，
2
2
2
2
1
3 1 3
3
9
6
B
x y
xy
= -
+
= -
= -
+
+
=
，
∵4
6
<
，
∴天平会向B 边倾斜．
【详解】（1）解：
2
2
1
3
3
A
xy
y
xy
y
=
-
+
+
2
2
1
3
xy
y
xy
y
=
-
+
+
3
4 xy
=
，
2
2
2
2
B
x y
xy
x y
= -
-
+
2
2
2
2x y
xy
x y
= -
+
+
2
2
x y
xy
= -
+
．
（2）略
【变式3】（25-26 七年级上·安徽铜陵·期末）小洋同学在研究数轴时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住
了数轴上
13
5
-
和2 之间的部分，如图：若遮住的最小整数是x，最大整数是y，根据图中信息，先化简多项
式，再求值：
2
2
2
1
2 5
3
2
2
6
2
x
xy
x
xy
x
-
-
-
-
+
．
【答案】
2
4
9
1
x
xy
-
- ；33
【分析】本题考查数轴和整式的化简求值，熟练掌握整式的化简求值是解题的关键，先根据数轴确定x，y
的值，再对多项式进行化简，最后代入求值即可得到答案．
【详解】解：∵遮住的最小整数是x，最大整数是y，
∴
2,
1
x
y
= -
= ，
∴
2
2
2
1
2 5
3
2
2
6
2
x
xy
x
xy
x
-
-
-
-
+
2
2
2
10
6
1
3
x
xy
x
xy
x
=
-
+
- +
-
2
4
9
1
x
xy
=
-
- ，
将
2,
1
x
y
= -
= 代入得：
∴原式
2
4
2
9
2
1 1
16 18 1
33
=
-
- -
- =
+
- =
．
【变式4】（25-26 七年级上·重庆·期末）先化简，再求值．
2
2
2
2
2
1
3
3
2
2
x
xy
xy
xy
x
xy
é
ù
-
-
-
-
-
ë
û
，其中x 是最大的负整数，y 是2
- 的倒数．
【答案】
2
3
2
x
xy
+
；7
4
【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，倒数，先对整式进行化简，然后根据有理数的相关定义，求出
x，y 的值，最后代入求值即可．
【详解】解：∵x 是最大的负整数，y 是2
- 的倒数，
∴
1
x = - ，
1
2
y
-
=
，
∴
2
2
2
2
2
1
3
3
2
2
x
xy
xy
xy
x
xy
é
ù
-
-
-
-
-
ë
û
2
2
2
2
2
1
3
3
3
2
2
2
x
xy
xy
xy
x
xy
=
-
-
+
-
+
2
2
2
2
1
3
4
3
2
2
2
x
xy
xy
x
xy
=
-
-
-
+
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
x
xy
xy
x
xy
=
-
+
-
+
2
3
2
x
xy
=
+
；
当
1
x = - ，
1
2
y
-
=
时，原式
2
3
1
3
7
1
1
1
2
2
4
4
æ
ö
= -
+
-
-
= +
=
ç
÷
è
ø
．
【变式5】（25-26 七年级上·全国·期末）已知
3
2
2
3
2
4
3,
2
6,
2
3
A
x
x
x
B
x
x
C
x
x
=
-
+
+
=
+
-
=
+
- ，求
2
3
A
B
C
-
+
的值，其中
2
x = -
【答案】
3
2
4
4
6
6
x
x
x
-
+
+
，54
-
【分析】本题考查了整式加减运算中的化简求值，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则和去括号法则．
先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】解：因为
2
2
6
B
x
x
=
+
- ，
所以
2
2
2
4
12
B
x
x
=
+
-
因为
3
2
3
C
x
x
=
+
- ，
所以
3
3
3
6
9
C
x
x
=
+
-
,
由题意，得
2
3
A
B
C
-
+
3
2
2
3
2
4
3
2
4
12
3
6
9
x
x
x
x
x
x
x
=
-
+
+ -
+
-
+
+
-
3
2
2
3
2
4
3
2
4
12
3
6
9
x
x
x
x
x
x
x
=
-
+
+ -
-
+
+
+
-
3
2
4
4
6
6
x
x
x
=
-
+
+ ，
当
2
x = - 时，原式
3
2
4
2
4
2
6
2
6
54
=
-
- -
+ -
+
= -
▌题型02 整体代入法求解
有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出几个式子的值，这时可把这几个式子看作
一个整体，把多项式化为含有这几个式子的代数式，再代入求值.运用整体代换思想，往往能使问题得到简
化.
【典例2】（2025-2026 学年上学期七年级数学期末质量调研试卷）已知
2
3
b
a
-
=
，求代数式
2
2
2 3
2
3 2
4
ab
a
ab
a
b
b
-
-
-
+
-
的值．
【答案】12
-
【分析】本题考查整式的加减-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．先去括号，合并同
类项，再观察，把
2
b
a
-
的值整体代入求解即可．
【详解】解：
2
2
2 3
2
3 2
4
ab
a
ab
a
b
b
-
-
-
+
-
2
2
6
4
6
12
3
ab
a
ab
a
b
b
=
-
-
+
-
-
8
4
a
b
=
-
，
∵
2
3
b
a
-
=
，
∴原式
8
4
4
2
4 3
12
a
b
b
a
=
-
= -
-
= - = -
．
【变式1】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）化简：
2
2
1
4
2 3
2
3 2
3
2
3
a
a
b
ab
a
a
b
ab
æ
ö
æ
ö
-
+
-
-
-
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，并计算当
a
b
，满足
3
2
a
b
+
=
，
1
ab = - 时该整式的值．
【答案】8
8
5
a
b
ab
+
-
，17
【分析】此题考查整式加减中的化简求值．先去括号，再合并同类项得到化简结果，再把化简结果变形后利
用整体代入即可求出答案．
【详解】解：
2
2
1
4
2 3
2
3 2
3
2
3
a
a
b
ab
a
a
b
ab
æ
ö
æ
ö
-
+
-
-
-
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
2
6
4
2
6
9
4
3
a
a
b
ab
a
a
b
ab
=
-
+
-
-
-
-
+
2
2
6
4
2
6
9
4
3
a
a
b
ab
a
a
b
ab
=
-
+
-
-
+
+
-
8
8
5
a
b
ab
=
+
-
3
1
2
a
b
ab
+
=
= -
Q
，
\原式
8
8
5
a
b
ab
=
+
-
8
5
a
b
ab
=
+
-
3
8
5
1
2
=
- -
12
5
=
+
17
=
【变式2】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）定义一种新运算Å：
4
A
B
A
B
Å
=
-
．
(1)计算：1
3
- Å
的值；
(2)若
2
2
12
3
1
3
2
A
a
ab
B
a
ab
=
-
-
=
-
，
，且a，b 互为倒数，求A
B
Å
．
【答案】(1) 13
-
(2)4
【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减运算，以及倒数的性质．关键是准确理解新运算“Å”的规
则
4
A
B
A
B
Å
=
-
，并将其转化为常规的代数运算来求解．
（1）直接将
1
A = - 、
3
B =
代入新运算的定义式，按照有理数的运算顺序计算出结果；
（2）先把
2
12
3
1
A
a
ab
=
-
- 、
2
3
2
B
a
ab
=
-
代入新运算的定义式，通过去括号、合并同类项化简整式，再结
合“a，b 互为倒数则
1
ab = ”的性质代入化简后的式子求值．
【详解】（1）解：1
3
1 4 3
1 12
13
- Å
= - - = - -
= -
；
（2）解：
2
2
12
3
1
4 3
2
A
B
a
ab
a
ab
Å
=
-
-
-
-
2
2
12
3
1 12
8
a
ab
a
ab
=
-
- -
+
5
1
ab
=
- ．
∵a，b 互为倒数，
∴
1
ab = ，原式
5
1
5 1 1
4
ab
=
- = - =
．
【变式3】（25-26 七年级上·广东揭阳·阶段检测）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若
2
0
x
x
+
=
，则
2
1186
1186
x
x
+
+
=
；我们将
2x
x
+
作为一个整体代入，则原式
0
1186
1186
=
+
=
．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)如果
3
a
b
+
=
，求2
2
2020
a
b
+
+
的值；
(2)若
2
2
12
a
ab
-
=
，
2
6
14
b
ab
+
=
，求
2
2
4
a
b
ab
+
+
的值．
(3)若
2
3
20
a
ab
+
=
，
2
5
8
b
ab
+
=
，求
2
2
2a
b
ab
-
+
的值．
【答案】(1)2026
(2)26
(3)32
【分析】本题考查了整体代换思想的应用，以及整式的加减．
（1）直接将已知条件代入求解即可；
（2）通过相加已知等式可得答案；
（3）将
2
2
2a
b
ab
-
+
变形为
2
2
2
3
5
a
ab
b
ab
+
-
+
，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵
3
a
b
+
=
∴
2
2
2020
2
2020
2 3
2020
6
2020
2026
a
b
a
b
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
；
（2）解：已知
2
2
2
12,
6
14
a
ab
b
ab
-
=
+
=
两式相加：
2
2
2
6
12 14
a
ab
b
ab
-
+
+
=
+
∴
2
2
4
26
a
b
ab
+
+
=
；
（3）解：∵
2
2
3
20,
5
8
a
ab
b
ab
+
=
+
=
∴
2
2
2
2
2
2
6
5
a
b
ab
a
ab
b
ab
-
+
=
+
-
-
2
2
2
3
5
a
ab
b
ab
=
+
-
+
40
8
=
-
32
=
．
【变式4】（25-26 七年级上·广西玉林·期末）人教版七年级上册数学教材109 页的部分内容如下：把
a
b
+
和
x
y
+
各看作一个整体，对下列式子进行化简：
4
4
2 1
5
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
-
+
=
+
-
+
=
+
．“整
体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)【问题解决】把
2
x
y
-
看成一个整体，求将
2
2
2
2
5
-
-
-
+
-
x
y
x
y
x
y
合并的结果是__________；
(2)【简单应用】已知
2
1
a
a
+
= ，则
2
2
2
2020
a
a
+
+
= ___________；
(3)【拓展提高】已知
2
2
5
a
ab
-
=
，
2
2
3
ab
b
+
=
，求代数式
2
2
2
3
2
a
ab
b
-
+
的值．
【答案】(1)
2
2 x
y
-
-
(2)2022
(3)13
【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想．
（1）把
2
(
)
x
y
-
看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简；
（2）把
2
a
a
+
看成一个整体进行化简，再代入值计算即可；
（3）将代数式化为
2
2
2
2
2
2
a
ab
a
ab
ab
b
-
+
-
+
+
，再将
2
2
5
a
ab
-
=
，
2
2
3
ab
b
+
=
整体代入计算即可．
【详解】（1）解：原式
2
2
5 1
x
y
=
- +
-
，
2
2 x
y
= -
-
；
（2）解：Q
2
1
a
a
+
= ，
\
2
2
2
2
2020
2
2020
2 1
2020
2022
a
a
a
a
+
+
=
+
+
=
+
=
，
故答案为：2022；
（3）解：Q
2
2
5
a
ab
-
=
，
2
2
3
ab
b
+
=
，
\
2
2
2
3
2
a
ab
b
-
+
2
2
2
2
2
a
ab
a
ab
b
=
-
+
-
+
2
2
2
2
2
2
a
ab
a
ab
ab
b
=
-
+
-
+
+
5
5
3
=
+ +
13
=
．
【变式5】（25-26 七年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考
阅读材料：代数式运算中：
6
3
6
3
3
x
x
x
x
-
=
-
=
，
5
3
5
3 1
3
x
x
x
x
x
-
+
=
- +
=
，类似的，我们把a
b
+
看成
整体，则
5
3
5
3 1
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
-
+
+
+
=
- +
+
=
+
．
“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)把
2
a
b
-
看成一个整体，计算：
2
2
2
4
7
a
b
a
b
a
b
-
-
-
+
-
；
(2)已知
2
3
1
x
y
-
= - ，求
2
2
6
5
x
y
-
+
+
的值；
(3)已知
2
6
a
b
-
=
，
9
c
d
+
=
，求
2
2
2
+
-
-
a
c
b
d 的值．
【答案】(1)
2
2 a
b
-
-
(2)7
(3) 24
【分析】本题考查多项式的化简求值，理解和掌握阅读材料的解题思想方法是解题的关键．
（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）将原式化为
2
2
3
5
x
y
-
-
+ ，再将
2
3
1
x
y
-
= - 代入计算即可；
（3）将原式化为
2
2
a
b
c
d
-
+
+
，再将
2
6
a
b
-
=
，
9
c
d
+
=
代入计算即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
4
7
a
b
a
b
a
b
-
-
-
+
-
2
4
7
1
a
b
=
-
+
-
2
2 a
b
= -
-
；
（2）解：∵
2
3
1
x
y
-
= - ，
∴
2
2
6
5
x
y
-
+
+
2
2
3
5
x
y
= -
-
+
2
1
5
= - -
+
7
=
；
（3）解：∵
2
6
a
b
-
=
，
9
c
d
+
=
，
∴
2
2
2
+
-
-
a
c
b
d
2
2
2
a
c
b
d
=
+
-
+
2
2
a
b
c
d
=
-
+
+
6
2 9
=
+
24
=
．
【变式6】（25-26 七年级上·江西南昌·期末）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的
化简与求值中应用广泛．
例如：已知代数式
2
2
3
x
x
+
的值为4 ，求代数式
2
4
6
9
x
x
+
- 的值．解答如下：
由题意得
2
2
3
4
x
x
+
=
，
所以
2
2
4
6
9
2(2
3 )
9
2 4
9
1
x
x
x
x
+
-
=
+
-
=
-
= - ．
所以代数式
2
4
6
9
x
x
+
- 的值为1
- ．
(1)若
2
2
3
7
x
y
-
=
，则
2
4
6
10
x
y
-
-
= ________；
(2)已知
3
2
9
A
x
xy
y
=
+
-
，
3
2
3
B
x
xy
y
=
-
-
，当
7
3
x
y
+
=
，
1
2
xy = -
时，求2B
A
-
的值．
【答案】(1) 4
(2)10
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）按照题干中的例题整体代入即可求解．
（2）先化简2B
A
-
，再将
7
3
x
y
+
=
，
1
2
xy = -
代入原式即可求解．
【详解】（1）解：∵
2
2
3
7
x
y
-
= ，
∴
2
2
3
7
x
y
-
=
，
∴
2
2
4
6
10
2 2
3
10
2 7 10
4
x
y
x
y
-
-
=
-
-
=
-
=
．
故答案为：4 ．
（2）解：∵
3
2
9
A
x
xy
y
=
+
-
，
3
2
3
B
x
xy
y
=
-
-
，
∴2B
A
-
2(3
2
3 )
(3
2
9 )
x
xy
y
x
xy
y
=
-
-
-
+
-
6
4
6
3
2
9
x
xy
y
x
xy
y
=
-
-
-
-
+
3
3
6
x
y
xy
=
+
-
3
6
x
y
xy
=
+
-
；
当
7
3
x
y
+
=
，
1
2
xy = -
时，原式
7
1
3
6 (
)
10
3
2
=
- -
=
．
【变式7】（25-26 七年级上·江苏扬州·期末）下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容．
求代数式
5
2
3
2
8
2
4
2
x
y
x
y
x
y
x
y
-
-
-
+
-
-
-
的值，其中
1
2
x =
，
1
3
y =
．
卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整
体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题．
(1)解决上图中的问题；
(2)当
1
x = 时，
2
2
1
7
mx
nx
-
+ = - ．当
1
x = - 时，求代数式
3
2
2
3
mx
nx
x
+
-
的值；
(3)若关于x 的方程
1
2
2026 x
a
x
b
-
=
+
的解是
2025
x = -
，则关于y 的方程
1
1
2
2
2026
2026
y
a
y
b
+
-
=
+
+
的解是
______．
【答案】(1)代数式的值为1
- ；
(2)代数式的值为11；
(3)
2026
y = -
．
【分析】本题主要考查了代数式求值，一元一次方程的解，根据已知条件进行整体代入法求解是解题的关键．
（1）把
2
x
y
-
看成整体，利用合并同类项法则进行化简，然后把
1
2
x =
，
1
3
y =
代入即可；
（2 ）先求出
2
8
m
n
-
= - ，然后把
1
x = - 代入
3
2
2
3
2
3
mx
nx
x
m
n
+
-
= -
+
+ ，然后整体代入即可求解；
（3）由
1
1
2
2
2026
2026
y
a
y
b
+
-
=
+
+
得
1
1
2
1
2026 y
a
y
b
+
-
=
+
+
，然后通过题意可得
1
2025
y + = -
，从而
求解．
【详解】（1）解：
5
2
3
2
8
2
4
2
x
y
x
y
x
y
x
y
-
-
-
+
-
-
-
5
3
8
4
2
x
y
=
- + -
-
6
2
x
y
=
-
6
12
x
y
=
-
，
当
1
2
x =
，
1
3
y =
原式
1
1
6
12
2
3
=
-
3
4
=
-
1
= - ；
（2）解：当
1
x = 时，
21
2
1 1
7
m
n
-
+ = - ，
整理得：
2
8
m
n
-
= - ，
∴当
1
x = - 时，
3
2
1
2
1
3
1
m
n
-
+
-
- -
2
3
m
n
= -
+
+
，
2
3
m
n
= -
-
+
8
3
= - -
+
8
3
=
+
11
=
；
（3）解：由
1
1
2
2
2026
2026
y
a
y
b
+
-
=
+
+
得
1
1
2
1
2026 y
a
y
b
+
-
=
+
+
，
∵关于x 的方程
1
2
2026 x
a
x
b
-
=
+
的解是
2025
x = -
，
∴关于y 的方程
1
1
2
2
2026
2026
y
a
y
b
+
-
=
+
+
的解是
1
2025
y + = -
，
解得：
2026
y = -
，
故答案为：
2026
y = -
．
【变式8】（25-26 七年级上·福建泉州·期末）整体思想是数学解题中的一种重要思想方法，在多项式的化简
求值中应用极为广泛．
【应用尝试】
（1）已知a、b 互为相反数，m、n 互为倒数，求
2
7
mn
a
b
+
-
的值；
（2）已知
4
2
1
x -
的运算结果可表示为
4
3
2
ax
bx
cx
dx
e
+
+
+
+
，分别求下列式子的值：
①a
b
c
d
e
+
+
+
+
；②a
b
c
d
e
- + -
+ ；③a
c
e
+
+ ；
【应用拓展】
（3）周末，小军一家四口在休闲区运动．休闲区的环形跑道周长是100 米，爸爸和小军在休闲区的环形跑
道上同时反向跑步，两人相距10 米，小军的速度是a 米/秒，爸爸的速度是ac米/秒（
1
c > ），经过6 秒两
人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，起跑时妹妹站在妈妈前面20 米处，两人同时同向起跑，妹妹的
速度是b 米/秒（b
a
<
），妈妈的速度也是ac米/秒，经过4 秒后，妈妈追上妹妹．
综合上述信息求代数式：
2
2
3
4
a
ac
a
a
ac
b
ac
é
ù
é
ù
+
+
-
+
-
-
ë
û
ë
û
的值．
【答案】（1）
1
7
-
；（2）①1，②81，③41；（3）200
-
【分析】（1）根据a，b 互为相反数，m，n 互为倒数，得出
0
a
b
+
=
，
1
mn = ，再整体代入求值即可；
（2）把当
1
x = 和
1
x = - 分别代入
4
4
3
2
2
1
x
ax
bx
cx
dx
e
-
=
+
+
+
+
，求出
4
2 1
1
a
b
c
d
e
+
+ +
+
=
-
= ① ，
4
2 1
81
a
b
c
d
e
-
+ -
+
= - -
=
②，然后
+
①
②求出a
c
e
+
+ 的值即可；
（3）根据题意得出
6
100 10
a
ac
+
=
-
，
4
20
ac
b
-
=
，然后再整体代入求值即可．
【详解】解：（1）∵a，b 互为相反数，m，n 互为倒数，
∴
0
a
b
+
=
，
1
mn = ，
∴原式
1
1
2 0
7
7
=
-
= -
；
（2）∵
4
4
3
2
2
1
x
ax
bx
cx
dx
e
-
=
+
+
+
+
，
∴当
1
x = 时，
4
2 1
1
a
b
c
d
e
+
+ +
+
=
-
= ① ，
当
1
x = - 时，
4
2 1
81
a
b
c
d
e
-
+ -
+
= - -
=
②，
由
+
①
②得，
2
82
a
c
e
+ +
=
，
∴
41
a
c
e
+ +
=
，
∴
1
+
+
+
+
=
a
b
c
d
e
，
81
a
b
c
d
e
- + -
+
=
，
41
a
c
e
+ +
=
；
（3）依题意得：
6
100 10
a
ac
+
=
-
，
∴
15
a
ac
+
=
①，
又∵
4
20
ac
b
-
=
，
∴
5
ac
b
-
=
②
∴
2
2
3
4
a
ac
a
a
ac
b
ac
é
ù
é
ù
+
+
-
+
-
-
ë
û
ë
û
2
2
3 15
4 15
a
b
ac
=
+
-
-
-
2
2
3 15
3
4 15
4
a
b
ac
=
+
-
+
-
2
15
3
3
4
4
a
ac
ac
b
= -
+
+
-
+
225
3
4
a
ac
ac
b
= -
+
+
-
-
225
3 15
4 5
= -
+
-
200
= -
．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，列代数式，整式加减运算，相反数和倒数定义，解题的关键是熟练掌
握整式加减运算法则．
【变式9】（25-26 七年级上·黑龙江七台河·期末）【阅读感悟】有这样一道题“如果代数式5
3
a
b
+
的值为
4
- ，那么代数式2
4 2
a
b
a
b
+
+
+
（
）（
）的值是多少？”，爱动脑筋的汤同学解题过程如图：
原式
2
2
8
4
a
b
a
b
=
+
+
+
10
6
a
b
=
+
2 5
3
a
b
=
+
（
）
因为5
3
4
a
b
+
= -
原式
2
4
8
=
-
= -
（
）
．
汤同学把5
3
a
b
+
作为一个整体求解，整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法．请仿照上面的解题
方法，完成下面的问题：
【简单应用】
（1）已知
2
3
0
a
a
+
-
=
，则
2
2
2
2020
a
a
+
+
= ．
（2）已知
2
3
0
a
b
-
+
=
，则3
7
5
5
a
b
a
b
+
-
+
-
（
）
的值为 ；
【拓展提高】
（3）若
2
2
2
5
2
6
a
ab
ab
b
+
=
-
= -
，
，求代数式
2
2
3
4
4
a
ab
b
+
+
的值．
【答案】（1）2026；（2）7；（3）27
【分析】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是对整式加减的变形和整体代入．
（1）由已知条件易得
2
3
a
a
+
=
，将原式变形后代入数值计算即可；
（2）由已知条件易得
2
3
a
b
-
= - ，将原式去括号，合并同类项后并整理，然后代入已知数值计算即可；
（3）将原式变形后代入已知数值计算即可．
【详解】解：（1）∵
2
3
0
a
a
+
-
=
，
∴
2
3
a
a
+
=
，
∴
2
2
2
2020
a
a
+
+
2
2
2020
a
a
=
+
+
（
）
2 3
2020
=
+
2026
=
，
故答案为：2026；
（2）∵
2
3
0
a
b
-
+
=
，
∴
2
3
a
b
-
= - ，
∴3
7
5
5
a
b
a
b
+
-
+
-
（
）
3
3
7
5
5
a
b
a
b
=
+
-
+
-
4
8
5
a
b
= -
+
-
4
2
5
a
b
= -
-
-
（
）
4
3
5
= - -
-
（
）
12
5
=
-
7
=
，
故答案为：7；
（3）∵
2
2
2
5
2
6
a
ab
ab
b
+
=
-
= -
，
，
∴
2
2
3
4
4
a
ab
b
+
+
2
2
3
6
2
4
a
ab
ab
b
=
+
-
+
2
2
3
2
2
2
a
ab
ab
b
=
+
-
-
（
）（
）
3 5
2
6
= - -
（
）
15 12
=
+
27
=
．
【变式10】（25-26 七年级上·四川达州·阶段检测）【阅读材料】
“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把
a
b
+
看成一个整体，则
4
2
4
2 1
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
-
+
+
+
=
-
+
+
=
+
【尝试应用】
（1）已知4
3
a
b
-
=
，
4
x = - ，
1
2
y
-
=
，求
3
2
16
12
3
2026
ax
by
a
b
-
-
-
+
的值；
【拓展探索】
（2）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图1，2 两种方式摆放，已知
32
16
a
b
a
b
+
=
-
=
,
，请观察图
形，求图2 中阴影部分的面积．
【答案】（1）2011；（2）192
【分析】本题考查了整式的加减，求代数式的值，整体思想的运用是解答本题的关键．
（1）由题意得12
3
9
a
b
-
=
，8
2
6
a
b
-
+
= - ，把
1
4,
2
x
y
= -
= -
，代入
3
2
16
12
3
2026
ax
by
a
b
-
-
-
+
整理可得
答案；
（2）先求出大小正方形的边长与小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积即可．
【详解】解：（1）∵4
3
a
b
-
=
，
12
3
9
a
b
\
-
=
，8
2
6
a
b
-
+
= - ，
把
4
x = - ，
1
2
y
-
=
，代入
3
2
16
12
3
2026
ax
by
a
b
-
-
-
+
，得
3
1
2
4
16
12
3
2026
2
a
b
a
b
æ
ö
-
-
-
-
-
+
ç
÷
è
ø
8
2
9
2026
a
b
= -
+
- +
；
6
9
2026
= - -
+
2011
=
；
（2）观察图形可知：大正方形的边长为
2
a
b
+
，小正方形的边长为
4
a
b
- ，
∵
32
16
a
b
a
b
+
=
-
=
,
，
∴
2
2
2
2
2
2
32
16
4
4
16
4 4
192
2
4
2
4
a
b
a
b
S
+
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
阴
．
【变式11】（25-26 七年级上·广东揭阳·阶段检测）数学课上，黄老师给同学们布置了这样一道思考题“如果
代数式5
3
a
b
+
的值为4
- ，那么代数式2(
)
4(2
)
a
b
a
b
+
+
+
的值是多少？”小明解题过程如下：
解：原式
2
2
8
4
10
6
2(5
3 )
a
b
a
b
a
b
a
b
=
+
+
+
=
+
=
+
因为5
3
4
a
b
+
= - ，所以原式
2 ( 4)
8
=
-
= - ．
小明把5
3
a
b
+
作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要
思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照小明的解题方法，完成下面问题：
【尝试应用】
（1）已知a、b 互为相反数，m、n 互为倒数，则
100
2
a
b
mn
+
-
= __________．
（2）已知当
2
x =
时，
3
8
ax
bx
c
+
+
+
的值是2023；求当
2
x = - 时，
3
8
ax
bx
c
+
- +
的值．
【拓展提高】
（3）已知3
2
9,2
4,
5
a
b
b
c
c
d
-
=
-
= -
-
=
，求(3
)
(2
)
(2
)
a
c
b
d
b
c
-
+
-
-
-
的值．
（4）关于x 的一元一次方程1
1
2024
2 x
x
p
- =
-
的解是
3
x
-
=
，求关于y 的一元一次方程
1 (
8) 1
2024(
8)
2 y
y
p
+
- =
+
-
的解．
【答案】（1）100
-
；（2）2007
-
；（3）10；（4）
11
y = -
【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握
题干中的方法并熟练运用是解题的关键．
（1）利用相反数和倒数的意义求得
0
a
b
+
=
，
1
mn = ，代入运算即可；
（2）利用已知条件求得8
2
2015
a
b
c
+
+
=
，再利用整体代入的方法解答即可；
（3）去掉括号后，重新组合，再利用整体代入的方法解答即可；
（4）利用换元的思想方法将
8
y +
看成x 即可得出结论．
【详解】解：（1）∵a、b 互为相反数，m、n 互为倒数，
∴
0
a
b
+
=
，
1
mn =
则
0
100
100
100
2
2
a
b
mn
+
-
=
-
= -
（2）∵当
2
x =
时，
3
8
ax
bx
c
+
+
+
的值是2023；
∴8
2
8
2023
a
b
c
+
+
+
=
∴8
2
2015
a
b
c
+
+
=
当
2
x = - 时，
3
8
ax
bx
c
+
- +
8
2
8
a
b
c
= -
-
-
+
8
2
8
a
b
c
= -
+
+
+
2015
8
= -
+
2007
= -
（3）(3
)
(2
)
(2
)
a
c
b
d
b
c
-
+
-
-
-
3
2
2
a
c
b
d
b
c
=
-
+
-
-
+
3a
d
=
-
∵3
2
9,2
4,
5
a
b
b
c
c
d
-
=
-
= -
-
=
，
∴
3
2
2
a
b
b
c
c
d
-
+
-
+
-
9
4
5
=
+ -
+
10
=
即3
10
a
d
-
=
故原式的值为10；
（4）关于y 的一元一次方程1 (
8) 1
2024(
8)
2 y
y
p
+
- =
+
-
设
8
y
x
+
=
则1
1
2024
2 x
x
p
- =
-
关于x 的一元一次方程1
1
2024
2 x
x
p
- =
-
的解是
3
x
-
=
，
即
8
3
y +
= -
解得
11
y = -
【变式12】（25-26 七年级上·广西南宁·阶段检测）阅读材料并解答下列问题：
“整体思想”是中学数学的一种重要思想方法，运用其解决问题，可以使复杂问题简单
化．我们知道，
5
3
5
3 1
3
x
x
x
x
x
-
+
=
- +
=
，类似地，我们把
a
b
+
看成一个整体，则
5
3
5
3 1
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
-
+
+
+
=
- +
+
=
+
．
(1)把(
)
a
b
-
看成一个整体，合并
4
3
2
a
b
a
b
a
b
-
+
-
-
-
的结果是 ．
(2)已知
3,
2
a
b
b
c
-
= -
-
=
，求代数式
2
2
2
(
)
2(
)
3(
)
a
b
b
c
a
c
-
+
-
-
-
的值．
(3)把(2
1)
x -
看成一个整体，运用“整体思想”解方程：1
1
1
(2
1)
(2
1)
(2
1)
6
3
6
2
x
x
x
-
+
-
= -
-
+ ．
【答案】(1)
5 a
b
-
(2)
14
(3)
7
2
x =
【分析】本题主要考查了整式的加减，已知式子的值，求代数式的值，解一元一次方程．
（1）把(
)
a
b
-
看成一个整体，合并同类项即可；
（2）由已知可得
1
a
c
-
= - ，整体代入，计算即可；
（3）把(2
1)
x -
看成一个整体，去分母，移项，合并同类项，可得2
1
6
x - =
，即可求解．
【详解】（1）解：
4
3
2
a
b
a
b
a
b
-
+
-
-
-
4
3
2
a
b
=
+ -
-
5 a
b
=
-
，
故答案为：
5 a
b
-
．
（2）解：∵
3
a
b
-
= - ，
2
b
c
-
=
，
∴
3
2
1
a
b
b
c
- +
-
= - +
= - ，
∴
1
a
c
-
= - ，
∴
2
2
2
(
)
2(
)
3(
)
a
b
b
c
a
c
-
+
-
-
-
2
2
2
3
2 2
3
1
= -
+
- -
9
8
3
=
+ -
14
=
．
∴代数式
2
2
2
(
)
2(
)
3(
)
a
b
b
c
a
c
-
+
-
-
-
的值为14．
（3）解：1
1
1
(2
1)
(2
1)
(2
1)
6
3
6
2
x
x
x
-
+
-
= -
-
+ ，
∴
2 2
1
2
1
3 2
1
36
x
x
x
-
+
-
= -
-
+
，
∴
2 2
1
2
1
3 2
1
36
x
x
x
-
+
-
+
-
=
，
∴
2 1 3
2
1
36
x
+ +
-
=
，
∴
6 2
1
36
x -
=
，
∴2
1
6
x - =
，
∴2
7
x =
，
∴
7
2
x =
．
▌题型03 间接代入法
将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.
【典例3】（25-26 七年级上·四川成都·期末）先化简再求值：
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
x
xy
y
x
xy
y
æ
ö
-
+
-
-
-
+
-
ç
÷
è
ø
，其中
2
2
(
1)
0
x
y
-
+
+
=
．
【答案】xy ，2
-
【分析】先去括号，再合并同类项，利用非负性求出x，y 的值，然后代入化简后的式子进行计算，即可解
答．
【详解】解：
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
x
xy
y
x
xy
y
æ
ö
-
+
-
-
-
+
-
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
1
1
2
2
2
x
x
x
xy
y
y
y
=
-
+
-
+
-
+
xy
=
，
2
2
(
1)
0
x
y
-
+
+
=
Q
，
2
0
x
\
-
= ，
1
0
y + =
，
解得：
2
x =
，
1
y
-
=
，
当
2
x =
，
1
y
-
=
时，原式
2
1
2
=
-
= - ．
【变式1】（25-26 七年级上·湖北宜昌·期末）先化简，再求值：
2
2
2
2
3
1
2
1
3
4
2
2
a b
ab
a b
ab
-
+
-
-
+
，其中
2026
2
2
3
0
3
b
a -
+
+
=
．
【答案】
2
3
4
2 ab
-
-
，6
-
【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质等知识；先化简整式，再由非负数的性质求出a 与b 的
值，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
2
2
2
2
2
3
3
1
3
2
2
2
4
2
2
2
2
a b
ab
a b
ab
ab
=
-
-
-
+
-
= -
-
；
∵
2026
2026
2
2
2
3
0
3
0
0
3
3
a
a
b
b
-
+
+
=
-
+
，
，
，
∴
3
0
a -
=
，
2
0
3
b +
=
，
∴
3
a =
，
2
3
b = -
，
∴原式
2
3
2
9
4
3
4
4
6
2
3
2
9
æ
ö
=
÷
-
-
-
= -
-
= -
çè
ø
．
【变式2】（25-26 七年级上·广东揭阳·期末）先化简再求值：已知
2
3,
25
a
b
=
=
，且
0
a
b
+
<
，求
2
3
2
3
3
3
2
2
3
2
a b
ab
ab
a b
ab
é
ù
æ
ö
-
-
-
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
的值．
【答案】
3
2
ab
ab
+
，405
±
【分析】本题考查了整式加减中的化简求值、绝对值和乘方的应用等知识，熟练掌握整式的加减法则是解题
关键．先去括号，再计算整式的加减，然后根据绝对值和乘方的性质可得,a b 的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式
2
3
2
3
3
2
2
3
3
a b
ab
ab
a b
ab
=
-
-
+
+
2
3
2
3
3
2
2
3
3
a b
ab
ab
a b
ab
=
-
+
-
+
3
2
ab
ab
=
+
．
∵
2
3,
25
a
b
=
=
，且
2
5
25
±
=
，
∴
3
a = ± ，
5
b = ± ，
∵
0
a
b
+
<
，
∴
3
5
a
b
=
ì
í = -
î
或
3
5
a
b
= -
ì
í = -
î
，
当
3,
5
a
b
=
= - 时，原式
3
3
5
2 3
5
405
= -
+ -
= -
；
当
3,
5
a
b
= -
= - 时，原式
3
3
5
2
3
5
405
= - -
+ -
-
=
；
综上，式子的值为405
±
．
【变式3】（25-26 七年级上·重庆·阶段检测）化简求值：
2
2
2
2
1
3
3
2
4
3
2
4
x y
xy
xy
x y
xy
xy
ö
é
ù
-
-
-
+
+
ê
ú
ë
û
÷
æ
çè
ø
，其中
2
x =
，
3
y =
，
0
xy <
．
【答案】
2
xy
xy
+
，12
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先计算括号内的运算，然后去括
号，接着合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
2
2
2
2
3
2
2
3
3
x y
xy
xy
x y
xy
xy
=
-
-
+
+
+
2
2
2
2
3
2
2
3
3
x y
xy
xy
x y
xy
xy
=
-
-
+
+
-
2
xy
xy
=
+
，
∵
3
y =
，
∴
3
y =
或
3
y
-
=
，
∵
2
x =
，
0
xy <
，
∴
3
y
-
=
，
∴当
2
x =
，
3
y
-
=
时，
原式
2
2
3
2
3
=
-
+ -
2 9
6
=
-
12
=
．
【变式4】（25-26 七年级上·四川乐山·期末）已知
2
2
2
2
3
3
2
3
2,
4
3
2
2
A
x
y
xy
B
x
xy
y
=
+
-
+
=
-
+
+
．
(1)求3
2
A
B
-
的值；
(2)若
2
1
1
1
4
x
y
+
=
=
，
，求x
y
+
的值；
(3)在（2）条件下，若x
y
y
x
-
=
-
，且
0
xy＞，求3
2
A
B
-
的值．
【答案】(1)3
xy
-
；
(2) 1
2 或
1
2
-
或
3
2
-
或
5
2
-
；
(3) 2
【分析】本题考查整式的加减运算、绝对值与平方根的性质及分类讨论思想，关键是熟练运用整式加减法则
化简代数式，根据绝对值和平方的非负性求解未知数的所有可能值，并结合附加条件筛选出符合的取值．
（1）先将A 、B 代入3
2
A
B
-
，利用乘法分配律去括号，再合并同类项得到化简结果；
（2）根据绝对值的性质解方程
1
1
x +
= 得到x 的两个可能值，根据平方根的定义求出y 的两个可能值，再分
四种组合计算x
y
+
的所有可能结果；
（3）由x
y
y
x
-
=
-
得出y
x
，结合
0
xy >
确定x 、y 的唯一符合条件的取值，再代入（1）中化简后的3
2
A
B
-
的表达式计算最终结果．
【详解】（1）解：3
2
A
B
-
2
2
2
2
3
3
3
2
3
2
2
4
3
2
2
x
y
xy
x
xy
y
æ
ö
=
+
-
+
-
-
+
+
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
3
6
9
6
3
8
6
3
x
y
xy
x
xy
y
=
+
-
+
-
+
-
-
2
2
2
2
3
3
6
6
9
8
6
3
x
x
y
y
xy
xy
=
-
+
-
+ -
+
+
-
3
xy
= -
+
3
xy
=
-
；
（2）解：∵
1
1
x +
= ，
∴
1 1
x + = 或
1
1
x + = - ，
解得
0
x =
或
2
x
-
=
；
∵
2
1
4
y =
，
∴
1
2
y =
或
1
2
y = -
；
分情况计算：
当
0
x =
，
1
2
y =
时，
1
1
0
2
2
x
y
+
=
+
=
；
当
0
x =
，
1
2
y = -
时，
1
1
0
2
2
x
y
æ
ö
+
=
+ -
= -
ç
÷
è
ø
；
当
2
x
-
=
，
1
2
y =
时，
1
3
2
2
2
x
y
+
= - +
= -
；
当
2
x
-
=
，
1
2
y = -
时，
1
5
2
2
2
x
y
æ
ö
+
= - + -
= -
ç
÷
è
ø
；
故x
y
+
的值为：1
2 或
1
2
-
或
3
2
-
或
5
2
-
；
（3）解：∵x
y
y
x
-
=
-
，
∴
0
y
x
-
，即y
x
；
又∵
0
xy >
，
∴x 与y 同号，且
0
x ¹
；
由（2）知x 的可能值为0，2
- ，y 的可能值为1
2 ，
1
2
-
；
∴
2
x
-
=
，
1
2
y = -
；
当
2
x
-
=
，
1
2
y = -
时，
1
3
2
3
3
2
3 1
2
2
A
B
xy
æ
ö
-
=
-
=
- -
-
=
- =
ç
÷
è
ø
．
【变式5】（25-26 七年级上·河北邯郸·期末）泽泽在练习册上看到一道整式运算的参考答案破损，形式如下：
解：原式：
2
2
2
3 2
3
4
2
9
y
x
x
y
x
y
+
-
-
-
= - +
(1)请你帮助泽泽求出破损部分的整式；
(2)如果|
| 3
x =
且
2
(
2)
0
y -
=
，且
0
xy <
请求出破损部分整式的值．
【答案】(1)
2
12
5
x
y
-
(2) 56
-
【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，以及代数式求值，掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出所求；
（2）利用|
| 3
x =
，
2
(
2)
0
y -
=
且
0
xy <
，解出x、y 以及把x、y 的值代入（1）的结果中计算即可求出值．
【详解】（1）解：设破损部分的整式为A ，
2
2
2
9
3 2
3
4
2
A
x
y
y
x
x
y
= - +
-
-
+
-
2
2
2
9
6
9
4
8
x
y
y
x
x
y
= - +
-
+
+
-
2
12
5
x
y
=
-
；
（2）解：因为
3
x =
，所以
3
x = ± ，
因为
2
(
2)
0
y -
=
，所以
2
0
y -
=
，所以
2
y =
，
因为
0
xy <
所以
3,
2
x
y
= -
=
．
则原式
2
12
3
5 2
=
-
-
36
20
= -
-
56
= -
．
【变式6】（25-26 七年级上·安徽芜湖·期末）已知边长为x 的正方形的面积为4，y 与3
- 互为倒数；先化简
2
2
2
2
1
2
5
2
2
x y
xy
xy
xy
x y
é
ù
-
- -
+
+
ê
ú
ë
û ，再求值．
【答案】
2
3
2
xy
xy
-
，2
【分析】本题考查整式加减中的化简求值，去括号，合并同类项，进行化简，根据题意得到
1
2,
3
x
y
=
= -
，
代入化简后的代数式中，求值即可．
【详解】解：原式
2
2
2
2
2
5
2
x y
xy
xy
xy
x y
=
-
- -
+
+
2
2
2
2
2
5
2
x y
xy
xy
xy
x y
=
-
+
-
-
2
3
2
xy
xy
=
-
；
∵边长为x 的正方形的面积为4，y 与3
- 互为倒数，
∴
1
2,
3
x
y
=
= -
，
∴原式
2
1
1
3 2
2 2
2
3
3
æ
ö
æ
ö
= -
- -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【变式7】（25-26 七年级上·全国·期末）（1）已知m，n 互为相反数，a，b 互为倒数，x 的绝对值等于
3．求代数式
2026
3
2
2025
1
x
m
n
ab x
m
n x
ab
-
+
+
+
+
+
+ -
的值．
（2）先化简，再求值：
2
2
2
3
4
2
3
2
3
2
2
æ
ö
-
-
+
+
-
ç
÷
è
ø
xy
x
xy
y
x
xy ，其中
2
1
2
0
x
y
-
+
+
=
．
【答案】（1）10 或44
-
；（2）
2
4
4
xy
y
-
，24
-
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，代数式求值，非负数的性质，相反数，倒数和绝对值的定义，灵
活运用所学知识是解题的关键．
（1）互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，据此可得m
n
+
和ab 的值，再根据绝对
值的定义得到x 的值，据此代值计算即可；
（2）先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出x、y 的值，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：（1）∵m，n 互为相反数，a，b 互为倒数，x 的绝对值等于3，
∴
0
1
3
m
n
ab
x
+
=
=
= ±
，
，
，
当
3
x =
时，
2026
3
2
2025
1
x
m
n
ab x
m
n x
ab
-
+
+
+
+
+
+ -
2026
3
2
2025
3
1
0
1
3
0
3
1
=
-
+
+
+
+ -
0
27
2
9
1
=
-
+
+
18
7
0
2
1
=
-
+
+
10
=
；
当
3
x
-
=
时，
2026
3
2
2025
1
x
m
n
ab x
m
n x
ab
-
+
+
+
+
+
+ -
3
2
2025
2026
3
1
0
1
3
0
3
1
= -
-
+
+
-
+
-
+ -
9
1
27
2
0
= -
-
+
+
18
0
7
1
2
= -
-
+
+
44
= -
；
综上所述，
2026
3
2
2025
1
x
m
n
ab x
m
n x
ab
-
+
+
+
+
+
+ -
的值为10 或44
-
；
（2）
2
2
2
3
4
2
3
2
3
2
2
æ
ö
-
-
+
+
-
ç
÷
è
ø
xy
x
xy
y
x
xy
2
2
2
4
3
6
4
3
6
xy
x
xy
y
x
xy
=
-
+
-
+
-
2
4
4
xy
y
=
-
，
∵
2
1
2
0
x
y
-
+
+
=
，且
2
1
0
2
0
x
y
-
+
，
，
∴
2
1
2
0
x
y
-
=
+
=
，
∴
1
0
2
0
x
y
- =
+
=
，
，
∴
1
2
x
y
=
= -
，
，
∴原式
2
8
4
4
8
1
4 1
2
4
2
6
24
= - -
= - -
=
-
-
= -
-
．
▌题型04 赋值法
给未知数赋予一些特殊值，将其代入等式中，得到所求代数式的形式，从而求出代数式
的值.一般情况下，多是代入-1、0、1 这三个值.
【典例4】（24-25 七年级上·上海闵行·阶段检测）已知多项式
7
5
3
ax
bx
cx
dx
e
+
+
+
+
（其中, , , ,
a b c d e 是常
数），当
2
2
x =
-
和
时的值分别是23 和25
-
，那么e =_______．
【答案】1
-
【分析】本题主要考查了整式加减的求值，分别将
2
x =
和
2
x = - 代入，再整理相加即可得出答案．
【详解】当
2
x =
时，
7
5
3
2
2
2
2
23
a
b
c
d
e
+
+
+
+
=
①．
当
2
x = - 时，
7
5
3
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
25
a
b
c
d
e
-
+ -
+ -
+ -
+
= -
，
即
7
5
3
(2
2
2
2 )
25
a
b
c
d
e
-
+
+
+
+
= -
②，
①变形可得
7
5
3
2
2
2
2
23
a
b
c
d
e
+
+
+
=
- ，再整体代入②得
23
25
e
e
-
-
+
= -
，
得2
2
e = - ，
解得
1
e = - ．
故答案为：1
- ．
【变式1】（24-25 七年级上·江苏宿迁·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值．从而解决
问题的一种方法，已知
6
6
5
4
3
2
1
x
ax
bx
cx
dx
ex
fx
g
-
=
+
+
+
+
+
+
，给x 赋值使
0
x =
．得到
6
1
g
-
=
，则
1
g = ；尝试给x 赋不同的值，则可得b
d
f
g
- -
-
-
= ______．
【答案】31
【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，利用赋值法，进行求解即可．
【详解】解：当
1
x = 时，0
a
b
c
d
e
f
g
=
+
+
+
+ +
+
，
∵
1
g = ，
∴
1
a
b
c
d
e
f
+
+ +
+ +
= - ①，
当
1
x = - 时：
6
2
a
b
c
d
e
f
g
=
-
+
-
+ -
+
，
∵
1
g = ，
∴
6
2
1
a
b
c
d
e
f
-
+
-
+ -
=
- ②，
-
②
①，得：
6
2
2
64
b
d
f
- -
-
=
=
，
∴
32
b
d
f
- -
-
=
，
∴
32
1
31
b
d
f
g
- -
-
-
=
- =
；
故答案为：31．
【变式2】（23-24 七年级上·福建福州·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决
问题的一种方法．已知等式
4
4
3
2
0
1
2
3
4
1
x
m x
m x
m x
m x
m
-
=
+
+
+
+
对x 取任意有理数都成立，例如给x 赋值
0
x =
时，可求得
4
1
m = ．请再尝试给x 赋其它的值并结合学过的知识，求得
0
2
4
m
m
m
+
+
的值为______．
【答案】8
【分析】给x 赋值，得出当
1
x = 时和当
1
x = - 时的等式，将两式相加，即可求解．
【详解】解：当
1
x = 时，
0
1
2
3
4
0
m
m
m
m
m
+
+
+
+
= ①，
当
1
x = - 时，
0
1
2
3
4
16
m
m
m
m
m
+
-
=
+
-
②，
+
①
②得：
0
2
4
6
2
2
2
1
m
m
m =
+
+
，
∴
0
2
4
8
m
m
m
+
=
+
，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，整式的加减，解题的关键是理解题意，得出当
1
x = 时和当
1
x = - 时
的等式，掌握整式的加减混合运算的运算法则．
【变式3】（2023·湖北随州·一模）设
2023
2
2023
0
1
2
2023
1
2x
a
a x
a x
a
x
-
=
+
+
+×××+
，可以这样求
0a 和
0
1
2
2023
a
a
a
a
+
+
+×××+
的值：令
0
x =
，则
2023
0
1 2 0
1
a =
-
= ；令
1
x = ，则
2023
0
1
2
2023
1 2 1
1
a
a
a
a
+
+
+×××+
=
-
= - ，这种求代数值的方法叫“赋值法”．运用这种方法，可求得式子
3
2023
1
2
2
3
2023
2
2
2
2
a
a
a
a
+
+
+×××+
的值为______．
【答案】1
-
【分析】根据题意可知
0
1
a = ，令
1
2
x =
，可求出
2023
1
2
0
2
2023
0
2
2
2
a
a
a
a +
+
+×××+
=
，由此即可求解．
【详解】解：令
0
x =
，则
2023
0
1 2 0
1
a =
-
= ，
令
1
x = ，则
2023
0
1
2
2023
1 2 1
1
a
a
a
a
+
+
+×××+
=
-
= - ，
∴令
1
2
x =
，则
2023
2023
1
2
0
2
2023
1
1 2
0
2
2
2
2
a
a
a
a
+
æ
ö
-
=
+
+
+
ç
÷
è
×
ø
××
=
，
∵
0
1
a = ，
∴
2023
1
2
2
2023
1
0
2
2
2
a
a
a
+
+
+×××+
=
，
∴
1
2
3
2023
2
3
2023
1
2
2
2
2
a
a
a
a
+
+
+×××+
= - ，
故答案为：1
- ．
【点睛】本题主要考查赋值法求代数式的值，理解题意，掌握赋值法的计算方法，整式的运算法则是解题的
关键．
【变式4】（22-23 七年级上·四川成都·期末）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决
问题的一种方法，已知
2
2
2
3
x
ax
bx
c
-
=
+
+
．例如：给x 赋值使
0
x =
﹐则可求得
9
c =
；给x 赋值使
1
x = ，
则可求得
1
a
b
c
+
+
= ；给x 赋值使= 1
x - ，则可以求得代数式a
b
-
的值为______．
【答案】16
【分析】给x 赋值使
0
x =
﹐则可求得
9
c =
；给x 赋值使= 1
x - ，则可求得
2
2
3
a
b
c
-
+
= - -
，然后把
9
c =
代入即可计算．
【详解】解：给x 赋值使
0
x =
﹐则
2
3
c
-
=
，
解得
9
c =
，
给x 赋值使= 1
x - ，则
2
2
3
a
b
c
-
+
= - -
，
∴
9
25
a
b
- +
=
，
∴
=16
a
b
-
．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了代数式求值，理解赋值法的意义和所给算式的特点是解题的关键．
【变式5】（20-21 七年级上·江苏镇江·期中）已知
6
6
5
4
3
2
1
x
ax
bx
cx
dx
ex
fx
g
+
=
+
+
+
+
+
+
．
当
1
x = 时，
6
6
5
4
3
2
1+1
=
1
1
1
1
1
1+
a
b
c
d
e
f
g
+
+
+
+
+
6
+
2 =64
a
b
c
d
e
f g
\ +
+ +
+ +
=
这种给x 取一个特殊数的方法叫赋值法．请你巧用赋值法，尝试解答下列问题．
（1）当x 为多少时，可求出g 为多少？
（2）求
+
a
b
c
d
e
f
g
-
+
-
+
-
的值；
（3）求a
c
e
+
+ 的值．
【答案】（1）x=0，g=1；（2） 0；（3）a+c+e=31
【分析】（1）令x＝0 可求出g；
（2）令x＝−1 可求出
+
a
b
c
d
e
f
g
-
+
-
+
-
的值；
（3）由题意可得当x＝1 时，
+ =64
a
b
c
d
e
f
g
+
+
+
+
+
，由（2）可得
+
a
b
c
d
e
f
g
-
+
-
+
-
＝0，联立两式得a＋
c＋e+g＝32，根据（1）得g=1，即可得出答案．
【详解】解：（1）当x＝0 时，
6
6
5
4
3
2
0
1
0
0
0
0
0
0
a
b
c
d
e
f
g
+
=
+
+
+
+
+
+
，
则g＝1；
（2）当x＝−1 时，
6
6
5
4
3
2
-1 1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
a
b
c
d
e
f
g
+
=
+
+
+
+
+
+
∴
+
a
b
c
d
e
f
g
-
+
-
+
-
＝0；
（3）由题意可得当x＝1 时，
+ =64
a
b
c
d
e
f
g
+
+
+
+
+
①，
又（2）可得
+
a
b
c
d
e
f
g
-
+
-
+
-
＝0②，
①+②得2（a＋c＋e+g）＝64，
解得a＋c＋e+g＝32，
由（1）得g=1，
∴a＋c＋e＝31．
【点睛】本题考查了代数式求值，关键是巧用赋值法求解．
【变式6】（25-26 七年级上·上海金山·期中）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊
值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：
已知：
4
3
2
4
3
2
1
0
6
a x
a x
a x
a x
a
x
+
+
+
+
=
，则：
（1）取
0
x =
时，直接可以得到
0
0
a =
；
（2）取
1
x = 时，可得到
4
3
2
1
0
6
a
a
a
a
a
+
+
+
+
=
；
（3）取
1
x = - 时，可以得到
4
3
2
1
0
6
a
a
a
a
a
-
+
-
+
= - ．
（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到
4
2
0
2
2
2
0
a
a
a
+
+
=
，结合（1）0
0
a =
的结论，从而得出
4
2
0
a
a
+
=
．
请类比上例，解决下面的问题．
已知：
6
5
4
3
2
6
5
4
3
2
1
0
2
2
2
2
2
2
2
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
=
，求：
(1)
0a 的值；
(2)
6
5
4
3
2
1
0
+
+
+
+
+
+
a
a
a
a
a
a
a 的值；
(3)
6
4
2
a
a
a
+
+
的值．
【答案】(1)4
(2)6
(3)0
【分析】本题主要考查了代数式求值，正确理解题意是解题的关键．
（1）令
2
x =
，根据所给等式即可求出
0a 的值；
（2）令
3
x =
，根据所给等式即可求出
6
5
4
3
2
1
0
+
+
+
+
+
+
a
a
a
a
a
a
a 的值；
（3）令
1
x = ，根据所给等式即可求出
6
5
4
3
2
1
0
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
+
+
+
的值，再结合（1）（2）所求可得答案．
【详解】（1）解：当
2
x =
时，
2
0
x -
=
，2
4
x =
∵
6
5
4
3
2
6
5
4
3
2
1
0
2
2
2
2
2
2
2
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
=
，
∴
0
2
4
a
x
=
=
；
（2）解：当
3
x =
时，则
2
1 2
6
x
x
-
=
=
，
，
∵
6
5
4
3
2
6
5
4
3
2
1
0
2
2
2
2
2
2
2
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
=
，
∴
6
5
4
3
2
1
0
2
6
a
a
a
a
a
a
a
x
+
+
+
=
+
+
=
+
；
（3）解：当
1
x = 时，则
2
1 2
2
x
x
-
= -
=
，
，
∵
6
5
4
3
2
6
5
4
3
2
1
0
2
2
2
2
2
2
2
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
=
，
∴
6
5
4
3
2
1
0
2
a
a
a
a
a
a
a
+
-
+
-
+
-
= ①，
又∵
6
5
4
3
2
1
0
6
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
=
+
②，
∴
+
①
②得
4
0
6
2
8
2
2
2
2
+
+
=
+ a
a
a
a
，
∴
6
4
0
2
4
4
4
0
a
a
a
a
+
=
+
=
-
-
=
．
▌题型05 数形结合的化简问题
【典例5】（24-25 七年级上·陕西西安·期中）有理数a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，结合数轴化简
1
1
a
b
b
a
+
- -
+
-
的结果是（ ）
A．2b
B．3
2
2
a
b
-
-
C．2
2
2
b
a
-
-
D．2
2
a-
-
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，先根据数轴得到
0
1
a
b
<
<
< ，
1
a > ，则
1
01
0
0
a
b
b
a
+ <
-
>
-
>
，
，
，据此化简绝对值，最后根据整式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：由数轴可知
1
0
1
a
b
< - <
<
< ，
1
a > ，
∴
1
01
0
0
a
b
b
a
+ <
-
>
-
>
，
，
，
∴
1
1
a
b
b
a
+
- -
+
-
1
1
a
b
b
a
= -
+
-
-
+
-
1 1
a
b
b
a
= - - - +
+
-
2
2
2
b
a
=
-
-
，
故选：C．
【变式1】（25-26 七年级上·重庆合川·期末）若有理数a
b
c
、、在数轴上对应的点如图，化简：
3
2
a
c
b
c
a
b
-
+
+
-
-
= ____．
【答案】
2
a
b
c
+
+
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，整式的加减．由数轴得出
0
a
c
b
<
<
<
，c
b
a
<
<
，
从而得出
0
a
c
-
<
，3
0
b
c
+
>
，
0
a
b
-
<
，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案．
【详解】解：由数轴可得：
0
a
c
b
<
<
<
，c
b
a
<
<
，
0
a
c
\
-
<
，3
0
b
c
+
>
，
0
a
b
-
<
，
3
2
3
2
2
2
a
c
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
c
\
-
+
+
-
-
=
-
+
+ +
-
=
+
+
，
故答案为：
2
a
b
c
+
+
．
【变式2】（24-25 六年级上·上海·阶段检测）如图，有理数a、b、c 在数轴上对应的点分别为点A、B、C，
请化简：
2
3
a
b
c
b
a
c
+
-
-
+
-
= ________．
【答案】4a
b
c
-
+
+
【分析】本题考查的是化简绝对值，利用有理数比较大小，有理数的加减运算的含义，整式的加减运算；本
题根据数轴先得到
0
a
b
c
<
<
<
，a
c
b
>
>
，再结合加减运算的含义可得
0
a
b
+
<
，
0
c
b
-
>
，
0
a
c
-
<
，再
化简绝对值即可．
【详解】解：∵
0
a
b
c
<
<
<
，a
c
b
>
>
，
∴
0
a
b
+
<
，
0
c
b
-
>
，
0
a
c
-
<
，
∴
2
3
a
b
c
b
a
c
+
-
-
+
-
2
3
a
b
c
b
a
c
= -
+
-
-
-
-
2
2
3
3
a
b
c
b
a
c
= - -
-
+
-
+
4a
b
c
= -
+
+
；
故答案为：4a
b
c
-
+
+
【变式3】（25-26 七年级上·甘肃白银·期末）先化简，再求值：
2
2
4
1
2 2
3
4
4
a
a
ab
ab
-
-
+
-
+
-
，其中实
数a、b 在数轴上的位置如图所示．
【答案】2ab
-
；4
【分析】先利用整式的加减法则化简，再利用数轴得出a、b 的值，代入求解即可．
【详解】解：
2
2
4
1
2 2
3
4
4
a
a
ab
ab
-
-
+
-
+
-
2
2
4
4
4
6
4
4
a
a
ab
ab
= -
+
+
-
+
-
2ab
= -
，
由数轴可知
2
a =
，
1
b = - ，
∴原式
2
2 2
1
4
ab
= -
= - -
=
．
