文档文本内容
培优专题03 整式的化简问题
（题型突破·举一反三）
题型01 直接代入法求解
题型02 整体代入法求解
题型03 间接代入法
题型04 赋值法
题型05 数形结合的化简问题
▌题型01 直接代入法求解
化简求值时，一般先化简，再把各字母的值代人计算.
【典例1】（25-26 七年级上·山西大同·期末）下面是成成同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相
应任务．
2
2
2
5
2
a b
ab
ab
a b
-
-
-
2
2
2
5
2
2
a b
ab
ab
a b
=
-
-
-
…第一步
2
2
2
2
5
2
a b
a b
ab
ab
=
-
-
-
…第二步
7ab
= -
…第三步
任务：
(1)以上步骤第__________步开始出现错误，错误的原因是__________．
(2)请你进行正确化简．并求当
2,
3
a
b
=
= - 时，式子的值
【变式1】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）一位同学做一道题：“已知两个多项式A ，B ，计算2A
B
+
?他
误将“ 2A
B
+
”看成“
2
A
B
+
”，求得的结果为
2
9
2
7
x
x
-
+
，已知
2
3
2
B
x
x
=
+
-
．
(1)求A ；
(2)当
1
5
x =
时，求2A
B
+
的值．
【变式2】（25-26 七年级上·广东惠州·期末）已知天平左边托盘中的物体重量为
kg
A
，右边托盘中的物体重
量为
kg
B
，其中
2
2
1
3
3
A
xy
y
xy
y
=
-
+
+
，
2
2
2
2
B
x y
xy
x y
= -
-
+
．
(1)化简A 和B；
(2)请你想一想，当
1
x = ，
3
y =
时，天平会向哪一边倾斜？为什么？
【变式3】（25-26 七年级上·安徽铜陵·期末）小洋同学在研究数轴时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住
了数轴上
13
5
-
和2 之间的部分，如图：若遮住的最小整数是x，最大整数是y，根据图中信息，先化简多项
式，再求值：
2
2
2
1
2 5
3
2
2
6
2
x
xy
x
xy
x
-
-
-
-
+
．
【变式4】（25-26 七年级上·重庆·期末）先化简，再求值．
2
2
2
2
2
1
3
3
2
2
x
xy
xy
xy
x
xy
é
ù
-
-
-
-
-
ë
û
，其中x 是最大的负整数，y 是2
- 的倒数．
【变式5】（25-26 七年级上·全国·期末）已知
3
2
2
3
2
4
3,
2
6,
2
3
A
x
x
x
B
x
x
C
x
x
=
-
+
+
=
+
-
=
+
- ，求
2
3
A
B
C
-
+
的值，其中
2
x = -
▌题型02 整体代入法求解
有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出几个式子的值，这时可把这几个式子看作
一个整体，把多项式化为含有这几个式子的代数式，再代入求值.运用整体代换思想，往往能使问题得到简
化.
【典例2】（2025-2026 学年上学期七年级数学期末质量调研试卷）已知
2
3
b
a
-
=
，求代数式
2
2
2 3
2
3 2
4
ab
a
ab
a
b
b
-
-
-
+
-
的值．
【变式1】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）化简：
2
2
1
4
2 3
2
3 2
3
2
3
a
a
b
ab
a
a
b
ab
æ
ö
æ
ö
-
+
-
-
-
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，并计算当
a
b
，满足
3
2
a
b
+
=
，
1
ab = - 时该整式的值．
【变式2】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）定义一种新运算Å：
4
A
B
A
B
Å
=
-
．
(1)计算：1
3
- Å
的值；
(2)若
2
2
12
3
1
3
2
A
a
ab
B
a
ab
=
-
-
=
-
，
，且a，b 互为倒数，求A
B
Å
．
【变式3】（25-26 七年级上·广东揭阳·阶段检测）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若
2
0
x
x
+
=
，则
2
1186
1186
x
x
+
+
=
；我们将
2x
x
+
作为一个整体代入，则原式
0
1186
1186
=
+
=
．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)如果
3
a
b
+
=
，求2
2
2020
a
b
+
+
的值；
(2)若
2
2
12
a
ab
-
=
，
2
6
14
b
ab
+
=
，求
2
2
4
a
b
ab
+
+
的值．
(3)若
2
3
20
a
ab
+
=
，
2
5
8
b
ab
+
=
，求
2
2
2a
b
ab
-
+
的值．
【变式4】（25-26 七年级上·广西玉林·期末）人教版七年级上册数学教材109 页的部分内容如下：把
a
b
+
和
x
y
+
各看作一个整体，对下列式子进行化简：
4
4
2 1
5
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
-
+
=
+
-
+
=
+
．“整
体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)【问题解决】把
2
x
y
-
看成一个整体，求将
2
2
2
2
5
-
-
-
+
-
x
y
x
y
x
y
合并的结果是__________；
(2)【简单应用】已知
2
1
a
a
+
= ，则
2
2
2
2020
a
a
+
+
= ___________；
(3)【拓展提高】已知
2
2
5
a
ab
-
=
，
2
2
3
ab
b
+
=
，求代数式
2
2
2
3
2
a
ab
b
-
+
的值．
【变式5】（25-26 七年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考
阅读材料：代数式运算中：
6
3
6
3
3
x
x
x
x
-
=
-
=
，
5
3
5
3 1
3
x
x
x
x
x
-
+
=
- +
=
，类似的，我们把a
b
+
看成
整体，则
5
3
5
3 1
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
-
+
+
+
=
- +
+
=
+
．
“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)把
2
a
b
-
看成一个整体，计算：
2
2
2
4
7
a
b
a
b
a
b
-
-
-
+
-
；
(2)已知
2
3
1
x
y
-
= - ，求
2
2
6
5
x
y
-
+
+
的值；
(3)已知
2
6
a
b
-
=
，
9
c
d
+
=
，求
2
2
2
+
-
-
a
c
b
d 的值．
【变式6】（25-26 七年级上·江西南昌·期末）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的
化简与求值中应用广泛．
例如：已知代数式
2
2
3
x
x
+
的值为4 ，求代数式
2
4
6
9
x
x
+
- 的值．解答如下：
由题意得
2
2
3
4
x
x
+
=
，
所以
2
2
4
6
9
2(2
3 )
9
2 4
9
1
x
x
x
x
+
-
=
+
-
=
´
-
= - ．
所以代数式
2
4
6
9
x
x
+
- 的值为1
- ．
(1)若
2
2
3
7
x
y
-
=
，则
2
4
6
10
x
y
-
-
= ________；
(2)已知
3
2
9
A
x
xy
y
=
+
-
，
3
2
3
B
x
xy
y
=
-
-
，当
7
3
x
y
+
=
，
1
2
xy = -
时，求2B
A
-
的值．
【变式7】（25-26 七年级上·江苏扬州·期末）下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容．
求代数式
5
2
3
2
8
2
4
2
x
y
x
y
x
y
x
y
-
-
-
+
-
-
-
的值，其中
1
2
x =
，
1
3
y =
．
卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整
体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题．
(1)解决上图中的问题；
(2)当
1
x = 时，
2
2
1
7
mx
nx
-
+ = - ．当
1
x = - 时，求代数式
3
2
2
3
mx
nx
x
+
-
的值；
(3)若关于x 的方程
1
2
2026 x
a
x
b
-
=
+
的解是
2025
x = -
，则关于y 的方程
1
1
2
2
2026
2026
y
a
y
b
+
-
=
+
+
的解是
______．
【变式8】（25-26 七年级上·福建泉州·期末）整体思想是数学解题中的一种重要思想方法，在多项式的化简
求值中应用极为广泛．
【应用尝试】
（1）已知a、b 互为相反数，m、n 互为倒数，求
2
7
mn
a
b
+
-
的值；
（2）已知
4
2
1
x -
的运算结果可表示为
4
3
2
ax
bx
cx
dx
e
+
+
+
+
，分别求下列式子的值：
①a
b
c
d
e
+
+
+
+
；②a
b
c
d
e
- + -
+ ；③a
c
e
+
+ ；
【应用拓展】
（3）周末，小军一家四口在休闲区运动．休闲区的环形跑道周长是100 米，爸爸和小军在休闲区的环形跑
道上同时反向跑步，两人相距10 米，小军的速度是a 米/秒，爸爸的速度是ac米/秒（
1
c > ），经过6 秒两
人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，起跑时妹妹站在妈妈前面20 米处，两人同时同向起跑，妹妹的
速度是b 米/秒（b
a
<
），妈妈的速度也是ac米/秒，经过4 秒后，妈妈追上妹妹．
综合上述信息求代数式：
2
2
3
4
a
ac
a
a
ac
b
ac
é
ù
é
ù
+
+
-
+
-
-
ë
û
ë
û
的值．
【变式9】（25-26 七年级上·黑龙江七台河·期末）【阅读感悟】有这样一道题“如果代数式5
3
a
b
+
的值为
4
- ，那么代数式2
4 2
a
b
a
b
+
+
+
（
）（
）的值是多少？”，爱动脑筋的汤同学解题过程如图：
原式
2
2
8
4
a
b
a
b
=
+
+
+
10
6
a
b
=
+
2 5
3
a
b
=
+
（
）
因为5
3
4
a
b
+
= -
原式
2
4
8
=
´ -
= -
（
）
．
汤同学把5
3
a
b
+
作为一个整体求解，整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法．请仿照上面的解题
方法，完成下面的问题：
【简单应用】
（1）已知
2
3
0
a
a
+
-
=
，则
2
2
2
2020
a
a
+
+
= ．
（2）已知
2
3
0
a
b
-
+
=
，则3
7
5
5
a
b
a
b
+
-
+
-
（
）
的值为 ；
【拓展提高】
（3）若
2
2
2
5
2
6
a
ab
ab
b
+
=
-
= -
，
，求代数式
2
2
3
4
4
a
ab
b
+
+
的值．
【变式10】（25-26 七年级上·四川达州·阶段检测）【阅读材料】
“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把
a
b
+
看成一个整体，则
4
2
4
2 1
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
-
+
+
+
=
-
+
+
=
+
【尝试应用】
（1）已知4
3
a
b
-
=
，
4
x = - ，
1
2
y
-
=
，求
3
2
16
12
3
2026
ax
by
a
b
-
-
-
+
的值；
【拓展探索】
（2）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图1，2 两种方式摆放，已知
32
16
a
b
a
b
+
=
-
=
,
，请观察图
形，求图2 中阴影部分的面积．
【变式11】（25-26 七年级上·广东揭阳·阶段检测）数学课上，黄老师给同学们布置了这样一道思考题“如果
代数式5
3
a
b
+
的值为4
- ，那么代数式2(
)
4(2
)
a
b
a
b
+
+
+
的值是多少？”小明解题过程如下：
解：原式
2
2
8
4
10
6
2(5
3 )
a
b
a
b
a
b
a
b
=
+
+
+
=
+
=
+
因为5
3
4
a
b
+
= - ，所以原式
2 ( 4)
8
=
´ -
= - ．
小明把5
3
a
b
+
作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要
思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照小明的解题方法，完成下面问题：
【尝试应用】
（1）已知a、b 互为相反数，m、n 互为倒数，则
100
2
a
b
mn
+
-
= __________．
（2）已知当
2
x =
时，
3
8
ax
bx
c
+
+
+
的值是2023；求当
2
x = - 时，
3
8
ax
bx
c
+
- +
的值．
【拓展提高】
（3）已知3
2
9,2
4,
5
a
b
b
c
c
d
-
=
-
= -
-
=
，求(3
)
(2
)
(2
)
a
c
b
d
b
c
-
+
-
-
-
的值．
（4）关于x 的一元一次方程1
1
2024
2 x
x
p
- =
-
的解是
3
x
-
=
，求关于y 的一元一次方程
1 (
8) 1
2024(
8)
2 y
y
p
+
- =
+
-
的解．
【变式12】（25-26 七年级上·广西南宁·阶段检测）阅读材料并解答下列问题：
“整体思想”是中学数学的一种重要思想方法，运用其解决问题，可以使复杂问题简单
化．我们知道，
5
3
5
3 1
3
x
x
x
x
x
-
+
=
- +
=
，类似地，我们把
a
b
+
看成一个整体，则
5
3
5
3 1
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
-
+
+
+
=
- +
+
=
+
．
(1)把(
)
a
b
-
看成一个整体，合并
4
3
2
a
b
a
b
a
b
-
+
-
-
-
的结果是 ．
(2)已知
3,
2
a
b
b
c
-
= -
-
=
，求代数式
2
2
2
(
)
2(
)
3(
)
a
b
b
c
a
c
-
+
-
-
-
的值．
(3)把(2
1)
x -
看成一个整体，运用“整体思想”解方程：1
1
1
(2
1)
(2
1)
(2
1)
6
3
6
2
x
x
x
-
+
-
= -
-
+ ．
▌题型03 间接代入法
将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.
【典例3】（25-26 七年级上·四川成都·期末）先化简再求值：
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
x
xy
y
x
xy
y
æ
ö
-
+
-
-
-
+
-
ç
÷
è
ø
，其中
2
2
(
1)
0
x
y
-
+
+
=
．
【变式1】（25-26 七年级上·湖北宜昌·期末）先化简，再求值：
2
2
2
2
3
1
2
1
3
4
2
2
a b
ab
a b
ab
-
+
-
-
+
，其中
2026
2
2
3
0
3
b
a -
+
+
=
．
【变式2】（25-26 七年级上·广东揭阳·期末）先化简再求值：已知
2
3,
25
a
b
=
=
，且
0
a
b
+
<
，求
2
3
2
3
3
3
2
2
3
2
a b
ab
ab
a b
ab
é
ù
æ
ö
-
-
-
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
的值．
【变式3】（25-26 七年级上·重庆·阶段检测）化简求值：
2
2
2
2
1
3
3
2
4
3
2
4
x y
xy
xy
x y
xy
xy
ö
é
ù
-
-
-
+
+
ê
ú
ë
û
÷
æ
çè
ø
，其中
2
x =
，
3
y =
，
0
xy <
．
【变式4】（25-26 七年级上·四川乐山·期末）已知
2
2
2
2
3
3
2
3
2,
4
3
2
2
A
x
y
xy
B
x
xy
y
=
+
-
+
=
-
+
+
．
(1)求3
2
A
B
-
的值；
(2)若
2
1
1
1
4
x
y
+
=
=
，
，求x
y
+
的值；
(3)在（2）条件下，若x
y
y
x
-
=
-
，且
0
xy＞，求3
2
A
B
-
的值．
【变式5】（25-26 七年级上·河北邯郸·期末）泽泽在练习册上看到一道整式运算的参考答案破损，形式如下：
解：原式：
2
2
2
3 2
3
4
2
9
y
x
x
y
x
y
+
-
-
-
= - +
(1)请你帮助泽泽求出破损部分的整式；
(2)如果|
| 3
x =
且
2
(
2)
0
y -
=
，且
0
xy <
请求出破损部分整式的值．
【变式6】（25-26 七年级上·安徽芜湖·期末）已知边长为x 的正方形的面积为4，y 与3
- 互为倒数；先化简
2
2
2
2
1
2
5
2
2
x y
xy
xy
xy
x y
é
ù
-
- -
+
+
ê
ú
ë
û ，再求值．
【变式7】（25-26 七年级上·全国·期末）（1）已知m，n 互为相反数，a，b 互为倒数，x 的绝对值等于
3．求代数式
2026
3
2
2025
1
x
m
n
ab x
m
n x
ab
-
+
+
+
+
+
+ -
的值．
（2）先化简，再求值：
2
2
2
3
4
2
3
2
3
2
2
æ
ö
-
-
+
+
-
ç
÷
è
ø
xy
x
xy
y
x
xy ，其中
2
1
2
0
x
y
-
+
+
=
．
▌题型04 赋值法
给未知数赋予一些特殊值，将其代入等式中，得到所求代数式的形式，从而求出代数式
的值.一般情况下，多是代入-1、0、1 这三个值.
【典例4】（24-25 七年级上·上海闵行·阶段检测）已知多项式
7
5
3
ax
bx
cx
dx
e
+
+
+
+
（其中, , , ,
a b c d e 是常
数），当
2
2
x =
-
和
时的值分别是23 和25
-
，那么e =_______．
【变式1】（24-25 七年级上·江苏宿迁·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值．从而解决
问题的一种方法，已知
6
6
5
4
3
2
1
x
ax
bx
cx
dx
ex
fx
g
-
=
+
+
+
+
+
+
，给x 赋值使
0
x =
．得到
6
1
g
-
=
，则
1
g = ；尝试给x 赋不同的值，则可得b
d
f
g
- -
-
-
= ______．
【变式2】（23-24 七年级上·福建福州·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决
问题的一种方法．已知等式
4
4
3
2
0
1
2
3
4
1
x
m x
m x
m x
m x
m
-
=
+
+
+
+
对x 取任意有理数都成立，例如给x 赋值
0
x =
时，可求得
4
1
m = ．请再尝试给x 赋其它的值并结合学过的知识，求得
0
2
4
m
m
m
+
+
的值为______．
【变式3】（2023·湖北随州·一模）设
2023
2
2023
0
1
2
2023
1
2x
a
a x
a x
a
x
-
=
+
+
+×××+
，可以这样求
0a 和
0
1
2
2023
a
a
a
a
+
+
+×××+
的值：令
0
x =
，则
2023
0
1 2 0
1
a =
- ´
= ；令
1
x = ，则
2023
0
1
2
2023
1 2 1
1
a
a
a
a
+
+
+×××+
=
- ´
= - ，这种求代数值的方法叫“赋值法”．运用这种方法，可求得式子
3
2023
1
2
2
3
2023
2
2
2
2
a
a
a
a
+
+
+×××+
的值为______．
【变式4】（22-23 七年级上·四川成都·期末）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决
问题的一种方法，已知
2
2
2
3
x
ax
bx
c
-
=
+
+
．例如：给x 赋值使
0
x =
﹐则可求得
9
c =
；给x 赋值使
1
x = ，
则可求得
1
a
b
c
+
+
= ；给x 赋值使= 1
x - ，则可以求得代数式a
b
-
的值为______．
【变式5】（20-21 七年级上·江苏镇江·期中）已知
6
6
5
4
3
2
1
x
ax
bx
cx
dx
ex
fx
g
+
=
+
+
+
+
+
+
．
当
1
x = 时，
6
6
5
4
3
2
1+1
=
1
1
1
1
1
1+
a
b
c
d
e
f
g
´
+
´
+
´
+
´
+ ´
+
´
6
+
2 =64
a
b
c
d
e
f g
+
+ +
+ +
=
这种给x 取一个特殊数的方法叫赋值法．请你巧用赋值法，尝试解答下列问题．
（1）当x 为多少时，可求出g 为多少？
（2）求
+
a
b
c
d
e
f
g
-
+
-
+
-
的值；
（3）求a
c
e
+
+ 的值．
【变式6】（25-26 七年级上·上海金山·期中）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊
值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：
已知：
4
3
2
4
3
2
1
0
6
a x
a x
a x
a x
a
x
+
+
+
+
=
，则：
（1）取
0
x =
时，直接可以得到
0
0
a =
；
（2）取
1
x = 时，可得到
4
3
2
1
0
6
a
a
a
a
a
+
+
+
+
=
；
（3）取
1
x = - 时，可以得到
4
3
2
1
0
6
a
a
a
a
a
-
+
-
+
= - ．
（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到
4
2
0
2
2
2
0
a
a
a
+
+
=
，结合（1）0
0
a =
的结论，从而得出
4
2
0
a
a
+
=
．
请类比上例，解决下面的问题．
已知：
6
5
4
3
2
6
5
4
3
2
1
0
2
2
2
2
2
2
2
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
=
，求：
(1)
0a 的值；
(2)
6
5
4
3
2
1
0
+
+
+
+
+
+
a
a
a
a
a
a
a 的值；
(3)
6
4
2
a
a
a
+
+
的值．
▌题型05 数形结合的化简问题
【典例5】（24-25 七年级上·陕西西安·期中）有理数a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，结合数轴化简
1
1
a
b
b
a
+
- -
+
-
的结果是（ ）
A．2b
B．3
2
2
a
b
-
-
C．2
2
2
b
a
-
-
D．2
2
a-
-
【变式1】（25-26 七年级上·重庆合川·期末）若有理数a
b
c
、、在数轴上对应的点如图，化简：
3
2
a
c
b
c
a
b
-
+
+
-
-
= ____．
【变式2】（24-25 六年级上·上海·阶段检测）如图，有理数a、b、c 在数轴上对应的点分别为点A、B、C，
请化简：
2
3
a
b
c
b
a
c
+
-
-
+
-
= ________．
【变式3】（25-26 七年级上·甘肃白银·期末）先化简，再求值：
2
2
4
1
2 2
3
4
4
a
a
ab
ab
-
-
+
-
+
-
，其中实
数a、b 在数轴上的位置如图所示．
