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培优专题04 整式加减的实际应用
（题型突破·举一反三）
▌题型01 销售问题
【典例1】
【答案】(1)这天线下的销售总利润为
a
b
c
+
-
元
(2)这天线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多1
3
5
5
b
c
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 元
【变式1】
【答案】(1)
600
10000
a -
元；
600
6000
b -
元
(2)线上网店销售
【变式2】
【答案】(1)
30
3000
a
b
n
é
ù
+
+
+
ë
û 元
(2)
150
4500
b +
元；9000 元
【变式3】
【答案】（1）该护栏第三边的边长为
2
7
a
-
+
；（1）当0
5
x
<
£
时，360x ；当
5
x >
时，320
300
x -
；
（3）“十小八”卖桃子的总利润为
188
48
y -
元
▌题型02 周长问题
【典例2】
【答案】(1) 4
2
x
y
-
，10y
(2)
2
m
n
=
，理由是：
4
2
10
4
8
m
x
y
y
x
y
=
-
+
=
+
，
2
2
2
4
n
x
y
x
y
=
+
=
+
，
4
8
2 2
4
x
y
x
y
+
=
+
Q
，
2
m
n
\
=
．
【变式1】
【答案】(1)8
2
a
b
+
，2
8
a
b
+
，4
4
a
b
+
(2)
证明：
1
2
8
2
2
8
C
C
a
b
a
b
-
=
+
-
+
6
6
6
0
a
b
a
b
=
-
=
-
>
，
1
3
8
2
4
4
C
C
a
b
a
b
-
=
+
-
+
4
2
2
2
0
a
b
a
a
b
=
-
=
+
-
>
，
所以
1
2
C
C
>
，
1
3
C
C
>
，即
1
C 最大．
(3)
2
a
b
=
【变式2】
【答案】(1)
2
4
2
2
a
b
x
y
+
-
-
，
2
2
2
2
a
b
x
y
+
-
-
(2)2b
【变式3】
【答案】(1)
8
2
2
A
c
C
a
b
=
+
-
，
6
4
2
B
C
a
b
c
=
+
-
，
(2)
A
B
C
C
>
(3)60
▌题型03 面积问题
【典例3】
【答案】(1)
2
38cm ；
(2)
2
2
1
(
3
18)cm
2 a
a
-
+
(3) S
S
>
阴
白
，
2
6 cm
a
大
．
【变式1】
【答案】(1)
2
7a
ab
+
(2)30
【变式2】
【答案】(1)甲种摆放方式：
2
2
10
a
ab
+
；乙种摆放方式：
2
4
8
a
ab
+
(2)甲种摆放方式所需纸箱的纸板面积较少
【变式3】
【答案】(1)①ab ；②1
4 ab；③
2
1 π
32 b ；
(2)张亮的设计方案满足学校的要求，理由：
∵
3
2
a
b
=
，
∴长方形土地的面积为：
2
3
2
ab
b
=
，
长方形小池塘的面积：
2
3
3
2
1
1
4
4
8 b
b
b
a
b
´
=
=
´
，
半圆形蔬菜种植地的面积：
2
1 π
32 b ，
∴绿地面积为：
2
2
2
2
3
3
1
9
π
π
2
8
32
8
32
b
b
b
b
æ
ö
-
-
=
-
ç
÷
è
ø
，
∵
2
2
2
2
9
π
1
3
9
π
3
12
π
8
32
2
2
8
32
4
32
b
b
b
b
-
æ
ö
æ
ö
-
-
´
=
-
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
又∵12
π
0
-
>
，
∴
2
12
π
0
32
b
-
>
，
∴
2
2
9
π
1
3
8
32
2
2
b
b
æ
ö
-
>
´
ç
÷
è
ø
，
∴绿地面积占长方形土地面积的一半以上，
∴张亮的设计方案满足学校的要求；
(3)需要花费1000元.
▌题型04 行程问题
【典例4】
【答案】(1)92t
(2)香港口岸到西人工岛的全长为192 km
a
(3)主桥与海底隧道的长度差为
m
2
k
0
10.8
b +
【变式1】
【答案】(1)所需车费27 元
(2)所需车费
2.4
0.6
4
a
b
+
-
元
(3)小华付的车费多
【变式2】
【答案】(1)
50
a
+
，
50
a
-
(2)3h 后两船相距300km
【变式3】
【答案】(1)
5
a
-
=
，
5
b =
；
(2)35 ；
(3)是定值，40
▌题型05 数字问题
【典例5】
【答案】(1)
证明：由题意可得：原数为10a
b
+ ，新数为10b
a
+
，
∵a
b
>
，
∴10
10
a
b
b
a
+
>
+
，
∴原数与新数的差为
10
10
9
9
9
a
b
b
a
a
b
a
b
+
-
+
=
-
=
-
，
∵a与b 的差为a
b
-
，
故原数与所得新数的差等于a与b 的差的9倍．
(2)6
【变式1】
【答案】(1)286
(2)284 或218
【变式2】
【答案】(1)111
14
m -
(2)396
(3)430 或985
【变式3】
【答案】（1）
10
1
4
4 1
´
+
+ ´ ；
（2）(
)
10
a
-
，
10
b
-
，
10
a
b
+
-
，
10
10
10
10
a
b
a
b
+
-
+
-
-
；
（3）
20 10
m
n
-
-
；
（4）
10
10
10
10
m
n
m
n
+
-
+
-
-
▌题型06 整除问题
【典例6】
【答案】(1)
证明：∵
100
10
abc
a
b
c
=
+
+
∴
99
9
abc
a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
∵99a 能被9 整除，9b 能被9 整除，且
a
b
c
+
+
能被9 整除
∴
99
9
a
b
a
b
c
+
+
+
+
能被9 整除
∴abc 能被9 整除；
(2)2
【变式1】
【答案】特例验证：1236（答案不唯一），12（答案不唯一），能；探究证明：999a ；
迁移运用：证明：
100
10
abc
a
b
c
=
+
+
99
9
a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
9 11a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
．
∵a
b
c
+
+
能被9 整除，
9 11a
b
+
能被9 整除，
∴abc 能被9 整除；
拓展提升：
0
x =
或
9
x =
【变式2】
【答案】(1)
个位数字选1，
理由：个位数字选1，则这个三位数是741．（个位数字除了1，还可以选4 或7）
741
7 100
4 10 1
=
´
+ ´
+
7
99 1
4
9 1
1
=
´
+
+ ´
+
+
7 99
7
4 9
4 1
=
´
+
+ ´ +
+
7 99
4 9
7
4 1
=
´
+ ´
+
+
+
3
7 33
4 3
12
= ´
´
+ ´
+
3
7 33
4 3
3 4
= ´
´
+ ´
+ ´
因为7 33
4 3
´
+ ´ 为整数，4 为整数，
所以
3
7 33
4 3
´
´
+ ´
能被3 整除，3 4
´ 能被3 整除，
所以741 能被3 整除．
(2)
证明：1000
100
10
a
b
c
d
+
+
+
999
99
9
a
a
b
b
c
c
d
=
+
+
+
+
+
+
999
99
9
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+
+ +
3 333
33
3
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+
+ +
，
因为
3 333
33
3
a
b
c
+
+
能被3 整除，且a
b
c
d
+
+ +
可以被3 整除，
所以它们的和
3 333
33
3
a
b
c
a
b
c
d
+
+
+
+
+ +
可以被3 整除，
所以这个四位数可以被3 整除．
【变式3】
【详解】（1）解：证明：
1000
100
10
abcd
a
b
c
d
=
+
+
+
999
99
9
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+ + +
9 111
11
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+
+ +
．
9
Q
能被3 整除，
111
11
a
b
c
+
+
是整数，
9 111
11
a
b
c
\
+
+
可以被3 整除．
又
a
b
c
d
+
+
+
Q
可以被3 整除（已知），
\这个四位数可以被3 整除．
（2）这个两位数能被3 整除．
理由：设这个两位数的个位上的数字为m，则十位上的数字为
2
3
m +
，
\这个两位数是
10 2
3
21
30
3 7
10
m
m
m
m
+
+
=
+
=
+
．
7,
,10
m
Q
都是整数，
7
10
m
\
+
为整数，
3 7
10
m
\
+
能被3 整除，
\这个两位数能被3 整除．
▌题型07 日历问题
【典例7】
【答案】(1)14
(2)9m
（3）不可能，理由如下；
若这9 个数的和为225，
9
225
m =
，
则
25
m =
，
由图可知，25 是日历中第4 行的最后一个数，无以25 为中心位置的圈出9 个数的正方形，
所以不可能是225.
【变式1】
【答案】(1)
如图所示：
7
a -
6
a -
1
a -
a
5
a +
6
a +
(2)是3 的倍数
(3)
不可能，理由：
根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，当
7
a =
时，
7
0
-
=
a
，日期数字中不可能出现0；当
26
a =
时，
6
32
a +
=
，
7
a =
时，
7
0
-
=
a
，日期数字中不可能出现0；当
26
a =
时，
6
32
a +
=
，日期数字中不可能出
现32．
【变式2】
【答案】(1)框住4 个数中最大数为22
(2)不能，理由：
假设框出的4 个数中最小的数为x，则另外三个数分别为
1,
6,
7
x
x
x
+
+
+
，
1
6
7
94
x
x
x
x
\ +
+ +
+
+
+
=
，
解得：
20
x =
，
∵数20 已经在该行的最左边，
则它的左下角不存在数，
故不能框出这样的4 个数，它们的和等于94；
(3)代数式4
3
2
a
b
c
d
-
+ -
的值不发生变化，始终为11
-
【变式3】
【答案】(1)0，0；
(2)
16
x +
，
16
x
x
+
+
，0；
(3)
选择：A；
如图3 中，结论：(
)
(
)
0
b
c
a
d
+
-
+
=
．
理由：设a
x
=
，则
1
b
x
=
+ ，
8
c
x
=
+ ，
9
d
x
=
+
，
(
)
(
)
(
1
8)
(
9)
2
9
2
9
0
b
c
a
d
x
x
x
x
x
x
\
+
-
+
=
+ +
+
-
+
+
=
+
-
-
=
；
选择：B；
如图4 中，结论：(
)
(
)
5
b
c
a
d
+
-
+
= - ．
理由：设a
x
=
，则
2
b
x
=
+
，
8
c
x
=
+ ，
15
d
x
=
+
，
(
)
(
)
(
2
8)
(
15)
2
10
2
15
5
b
c
a
d
x
x
x
x
x
x
\
+
-
+
=
+
+
+
-
+
+
=
+
-
-
= - ．
▌题型08 幻方问题
【典例8】
【答案】
1
0
【变式1】
【答案】4
2
n +
【变式2】
【答案】(1)
①填充幻方如下：
②
4
x =
(2)①2
- ；②2
- 或3
【变式3】
【答案】(1) 2
-
(2)①
2
4
F
t
=
+
；
2
A
t
=
；②
4
3
m =
，
7
a = -
▌题型09 方案选择问题
【典例9】
【答案】(1)
40
4900
x +
,
36
5670
x +
(2)方案一更省钱
(3)存在，混合采购方案为：用方案一购买35 个足球（获赠35 个护腿板），剩余65 个护腿板用方案二购买，
总费用为8640 元
【变式1】
【答案】(1)方案一：750 元；方案二：675元
(2)方案一：
10
400
x +
元；方案二：
500
5x
+
元
(3)当购买绿萝20 盆时，两种方案费用相同．当购买绿萝的数量超过20 盆时，方案二更省钱
【变式2】
【答案】(1)23
(2)
①填表如下：
方案
购买数量（支）
购买单价（元）
总金额（元）
方案一
x
20
20x
20
50
x
<
£
0.2
29
x
-
+
2
0.2
29
x
x
-
+
方案二
50
x >
18
18x
②选择方案一购买更划算，理由如下：
当
60
x =
时，
方案一：20 60
1200
´
=
（元），
1200
200
1000
-
=
（元）；
方案二：60 18
1080
´
=
（元），
∵1080
1000
>
，
∴选择方案一购买更划算．
【变式3】
【答案】(1)
选择方案一更划算
方案一：280
70
210
-
=
（元）
方案二：280 0.8
224
´
=
（元）
∵ 210
224
<
，
∴ 选择方案一更划算；
(2)
150
x =
(3)
设消费x 元（200
300
x
£
<
），方案一实付
70
x -
元，优惠70 元，方案二实付0.8x 元，优惠0.2x 元，
70
0.8
0.2
70
0
x
x
x
-
-
=
-
<
，
∴ 当200
300
x
£
<
时，选择方案一更划算．
▌题型10 分段计费问题
【典例10】
【答案】(1)①3.42a ；②4.52
6.6
a -
(2)81
【变式1】
【答案】(1)六，116.8
(2)
0.6
20
x﹣
(3)小明家7 月份的电费为176元
【变式2】
【答案】(1)1140，1604
(2)
4.2
160
x -
元
(3)
0.8
760
a -
元
【变式3】
【答案】(1)31.4
(2)①2
0.4
3.4
a
b
+
+
；②2.6
0.4
8.6
a
b
+
-
（3）设小尧乘车时长为m分钟，则小淇乘车时长为(
18)
+
m
分钟．
小淇应付车费：2 19
0.4(
18)
3.4
0.4
48.6
m
m
´
+
+
+
=
+
（元），
小尧应付车费：2.6 22
0.4
8.6
0.4
48.6
m
m
´
+
-
=
+
（元），
因此，两人付费一样．
