文档文本内容
培优专题04 与有理数有关的8 种规律探究问题
（题型突破·举一反三）
题型01 数字类规律探究
题型02 四则运算中的规律探究
题型03 乘方中的规律探究
题型04 数轴中的规律探索
题型05 周期中的规律探索
题型06 表格中的规律探索
题型07 末尾数字规律探索
题型08 新定义有关的规律探索
▌题型01 数字类规律探究
【典例1】（25-26 七年级上·浙江绍兴·期末）在数学探究课上，老师在数轴上标记了一列点
1
2
3
4
,
,
,
A A A A ¼¼，并告诉同学们：这些点按照某种特殊规律排列在数轴上，对应的数分别是
4, 8,16, 32
-
-
¼¼，则点
8A 表示的数是（ ）．
A．1024
B．512
C．512
-
D．1024
-
【答案】C
【分析】本题考查了数字变化规律问题，关键是用代数式表示数字的变化规律；先分析数列的符号规律与绝
对值的变化规律，再根据规律计算第8项对应的数．
【详解】解：∵观察数列4, 8,16, 32
-
-
¼¼，
∴符号规律：奇数项为正，偶数项为负，
绝对值规律：第n项的绝对值为
1
2n+ ，
∵第8项是偶数项，符号为负，
∴第8项的绝对值为
9
2
512
=
，
∴
8A 表示的数是：512
-
．
故选：C．
【变式1】（25-26 七年级上·江苏南通·期中）按42
11 按如下规律操作
42
9
9
3
3
11
11
11
=
=
+
11
2
2
1
1
9
9
9
=
= +
9
1
1
4
4
2
2
2
=
=
+
2
2
1 =
每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由
42
11 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{ 1
4
2
3
- -
-
-
，，，
}，那么这个数（ ）
A．
38
31
-
B．
4
3
-
C．
37
30
-
D．
38
29
-
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，涉及连分数展开的概念，给定整数组
1, 4, 2, 3
- -
-
-
，对应的
连分数为
1
1
1
4
1
2
3
- +
- +
- + -
，计算此连分数即可得到原始分数.
【详解】解：∵ 连分数展开式为
1
1
1
4
1
2
3
x = - +
- +
- + -
先计算最内层：
1
1
7
2
2
3
3
3
- +
= - -
= -
-
然后：
1
3
31
4
4
7
7
7
3
- +
= - -
= -
-
最后：
1
7
38
1
1
31
31
31
7
- +
= - -
= -
-
∴ 原始分数为
38
31
-
故选A.
【变式2】（22-23 七年级上·辽宁沈阳·期中）将从1 开始的自然数，按如图的规律排列，在2，3，5，7，
10，13，17，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…次弯，则第41 次拐弯处的那个数是 _____．
【答案】442
【分析】由题意可知：拐弯处的数相邻两数的差是1、1、2、2、3、3、4、4、…，由此得出则第41 个拐弯
处的数是：1
2 (1
2
20)
21
442
+ ´
+
+¼+
+
=
．
【详解】解：拐弯处的数与其序数的关系如下表：
拐弯的序数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
拐弯处的数
1
2
3
5
7
10
13
17
21
…
由此可见相邻两数的差是1、1、2、2、3、3、4、4、…
第41 个拐弯处的数是：1
2 (1
2
20)
21
442
+ ´
+
+¼+
+
=
，
故答案为：442．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．
【变式3】（24-25 七年级上·全国·单元测试）【学习情境·规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：
按照这样的规律推断，从2024 到2026 ，箭头的方向应该是（ ）
A．↓→
B．→↑
C．↑→
D．→↓
【答案】A
【分析】本题考查数字规律，据图象观察不难发现，每4 个数为一个循环组依次进行循环，从4n到4
1
n + ，
4
2
n +
，4
3
n + ，4
4
n +
的箭头为↓→↑→，进行解答，即可．
【详解】解：由图可知，箭头的方向以每4 个数为一个循环组进行循环，从4n到4
1
n + ，4
2
n +
，4
3
n + ，4
4
n +
的箭头为↓→↑→，
∴2024 是第2025 个自然数，
∴2025
4
506
1
¸
=
¼¼ ，
∴2024 位于0的位置，
∴从2024 到2026 ，箭头的方向应该是↓→．
故选：A．
【变式4】（25-26 七年级上·全国·课后作业）下列一组数按规律排列依次为2，4
- ，8，16
-
，则第2025 个
数为（ ）
A．
2025
2
B．
2025
2
-
C．
2024
2
-
D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
根据规律，不难看出，第n个数为：
1
1
2
n
n
+
-
´
，从而可求解．
【详解】解：因为
1
2
2
2
( 1)
=
´ -
，
2
3
4
2
( 1)
- =
´ -
，
3
4
8
2
( 1)
=
´ -
，
4
5
16
2
( 1)
-
=
´ -
，…
所以第n个数为
1
2
( 1)
n
n+
´ -
，
所以第2025 个数为
2025
2026
2025
2
( 1)
2
´ -
=
．
故选：A．
▌题型02 四则运算中的规律探究
【典例2】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：
2
1
1
1
= =
2
1 3
4
2
+
=
=
2
1 3
5
9
3
+ +
=
=
2
1 3
5
7
16
4
+ +
+
=
=
2
1 3
5
7
9
25
5
+ + +
+
=
=
解答下列问题：请用上面得到的规律计算：21
23
25
27
99
+
+
+
+
+
=
L
（ ）
A．2419
B．2400
C．2601
D．2501
【答案】B
【分析】本题主要考查了图形变化的规律、有理数的混合运算等知识点，归纳出
2
1
3
5
2
1
n
n
+
+
+¼+
- =
是
解题的关键．
根据所给图形，发现基本图形个数的变化规律，再利用规律求解即可．
【详解】解：
2
1
1
1
= =
2
1 3
4
2
+
=
=
2
1 3
5
9
3
+ +
=
=
2
1 3
5
7
16
4
+ +
+
=
=
2
1 3
5
7
9
25
5
+ + +
+
=
=
，
…，
∴
2
1
3
5
2
1
n
n
+
+
+¼+
- =
．
21
23
25
27
99
+
+
+
+
+
L
1 3
5
99
1 3
5
19
=
+ + +
+
-
+ + +
+
L
L
2
2
50
10
=
-
2500 100
=
-
2400
=
．
故选B．
【变式1】（25-26 七年级上·河南·期末）定义新运算
( )
1
x
f x
x
+
=
，例如
1
1
2 1
3
1
2
2
,
3
1
2
2
2
2
f
f
+
+
æ
ö
=
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
则
1
1
1
1
2
3
99
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
（ ）
A．
1
5049
B．
1
5050
C．5049
D．5050
【答案】C
【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算、代数式求值，根据新定义找到规律即可求解．根据题意得
到
1
1
1
1
2
3
99
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
2
3
4
=
+ +
+ …… 98
99 100
+
+
+
，即可求出答案．
【详解】解：∵
( )
1
x
f x
x
+
=
，
∴
( )
1
1
1
2,
1
f
+
=
=
1
1
1
2
3
1
2
2
f
+
æ
ö =
=
ç
÷
è
ø
，
1
1
1
3
4
1
3
3
f
+
æ
ö =
=
ç
÷
è
ø
……
1
1
1
99
100
1
99
99
f
+
æ
ö =
=
ç
÷
è
ø
，
∴
1
1
1
1
2
3
99
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
2
3
4
=
+ +
+ …… 98
99 100
+
+
+
1
2
3
4
= +
+ +
+ …… 98
99 100 1
+
+
+
-
100 100 1
1
2
+
=
-
5049
=
故选：C
【变式2】（25-26 七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，是一个由连续的正整数排成的“数阵”．用方框围住9
个数，移动方框的位置，在给出的四个数387，504，658，918 中，不可能是方框中9 个数的和的个数是
（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设最中间的数字为x ，进而求出9 个数字的和为9x，令9x分别等
于给出的四个数，求解后，进行判断即可．
【详解】解：观察可知：每行第一列的数字分别为1,1
6
7,1
6 2
13
+
=
+ ´
=
L，即
1 6
1
6
5
n
n
+
-
=
- ；最后一
列的数字为6,12,18L，即6n；
设最中间的数字为x ，则9 个数的和为
7
6
5
1
1
5
6
7
9
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
+
- +
- +
- +
+
+ +
+ +
+
+
+
=
，
当9
387
x =
时，解得
43
x =
，为第8 行的第一个数，387 不可能是方框中9 个数的和，符合题意；
当9
504
x =
时，解得
56
x =
，504 不可能是方框中9 个数的和，不符合题意；
当9
658
x =
时，解得
658
9
x =
，658 不可能是方框中9 个数的和，符合题意；
当9
918
x =
时，解得
102
x =
，为第17 行最后一个数，918 不可能是方框中9 个数的和，符合题意；
故选C．
【变式3】（25-26 七年级上·福建漳州·期末）若规定
2n
f n =
的个位数字，例如
2
2
4
=
，所以
2
4
f
=
，
5
2
32
=
，所以
5
2
f
=
，那么计算
1
2
3
4
2025
f
f
f
f
f
+
+
+
+¼+
= _____．
【答案】10122
【分析】首先通过计算前几个
f n 的值，发现其个位数字以2、4、8、6 为一个循环，每个循环的和为20；
接着计算2025 中包含多少个完整循环及余下的数字个数，最后根据循环数与余下数字计算总和．
【详解】解：先计算前几个
f n 的值：
∵
12
2
=
，
2
2
4
=
，
3
2
8
=
，
4
2
16
=
，
5
2
32
=
，
∴
1
2
f
=
；
2
4
f
=
；
3
8
f
=
；
4
6
f
=
；
5
2
f
=
；
¼¼
观察可得，
f n 的个位数字以2 4 8 6
、、、为一个循环，每个循环内数字的和为2
4
8
6
20
+
+ +
=
．
∵2025
4
506
1
¸
=
LL ，
∴共有506个完整的循环，还余下1 个数字，该数字为循环节的第一个数2．
则总和为506 20
2
10120
2
10122
´
+
=
+
=
．
【变式4】（25-26 七年级上·河南郑州·期末）将数字1 个1，2 个
1
2 ，3 个1
3 ，4 个1
4 ，……，n 个1
n （n 为正
整数）按顺序排成一排：
1，
1
2 ，
1
2 ，1
3 ，1
3 ，1
3 ，1
4 ，1
4 ，1
4 ，1
4 ，…，1
n ，1
n ，…，1
n ，记
1
1
a = ，
2
1
1
1
2
2
a
a
=
+
+
，
3
2
1
1
1
3
3
3
a
a
=
+
+
+
，……，
1
1
S
a
=
，
2
1
2
S
a
a
=
+
，……，
1
2
3
n
n
S
a
a
a
a
=
+
+
+×××+
，则
2025
2023
S
S
-
= ______．
【答案】4049
【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示出
na 的规律是解题的关键．
根据题意可得
na
n
=
，再根据
n
S 的定义计算即可．
【详解】解：
1
1
a = ，
2
1
1
1
1 1
2
2
2
a
a
=
+
+
= + =
，
3
2
1
1
1
2 1
3
3
3
3
a
a
=
+
+
+
=
+ =
，
……
依此类推，
na
n
=
，
2025
2023
S
S
-
2025
2023
3
1
2
3
1
2
a
a
a
a
a
a
a
a
-
=
+
+
+×××+
+
+
+×××+
2024
2025
a
a
=
+
2024
2025
=
+
4049
=
．
故答案为：4049．
▌题型03 乘方中的规律探究
【典例3】（25-26 七年级上·河南·期末）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程
如图所示：
则第4 个方框中最下面一行的数可能是（ ）
A．3249
B．5635
C．4909
D．5729
【答案】A
【分析】本题考查数字类规律探索，有理数的乘方．
设两位数为nm ，根据题意可知第二行为2nm ，进而得到
35
nm =
，再结合有理数的乘方运算求解即可．
【详解】解：设第4 个方框中最下面一行的数可能是两位数nm 的平方，
根据题意可知，第二行为2nm ，
2
70
nm
\
=
，
35
nm
\
=
，
5 7
35
´
=
Q
或1 35
35
´
=
（不合题意，舍去），
又
2
57
3249
=
，
2
75
5625
=
，
\最下面一行的数可能是3249．
故选：A．
【变式1】（25-26 七年级上·广西崇左·阶段检测）蟑螂的生命力很旺盛，它繁衍后代的数量为这一代的数量
的7 倍，也就是说，如果它的始祖(第一代)有7 只，则下一代就会有49 只，以此类推，蟑螂第10 代的只数
是( )
A．
12
7
B．
11
7
C．
10
7
D．
9
7
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可．
本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，利用有理数的乘方的定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：第1 代数量为
17 只，
第2 代数量为
2
7 只，
……，
∴第n 代数量为7n 只，
当
10
n =
时，第10 代数量为
10
7 只．
故选：C.
【变式2】（25-26 七年级上·安徽淮北·期末）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1 次分裂便由1 个
分裂成2 个，2 次分裂成4 个，若每次分裂经过的时间为15 分钟，则经过t 小时该细胞的分裂的个数为64，
则t = （ ）
A．90
B．1
C．1.5
D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得n 次分裂成2n 个，从而得到经过t 小时该细胞分裂6
次，即可求解．
【详解】解：∵细胞经过1 次分裂便由1 个分裂成
1
2
2
=
个，2 次分裂成
2
4
2
=
个，
∴n 次分裂成2n 个，
∵经过t 小时该细胞的分裂的个数为64，
6
2
64
=
，
∴经过t 小时该细胞分裂6 次，
∴
15
6
1.5
60
t =
´
=
小时．
故选：C
【变式3】（25-26 七年级上·云南文山·期末）以下是一组按规律排列的多项式：
2
a
b
+
，
2
4
a
b
+
，
3
6
a
b
+
，
4
8
a
b
+
，
5
10
a
b
+
，…，其中第n个多项式是（ ）
A．
n
n
a
b
-
B．
2
n
n
a
b
+
C．
2
n
n
a
b
-
D．
2
2
n
n
a
b
-
【答案】B
【分析】本题主要考查多项式规律探索，通过观察各项中a和b 的指数变化，找出第n个多项式的形式．
【详解】解：∵第1 个多项式：1
2
a
b
+
，第2 个：
2
4
a
b
+
，第3 个：
3
6
a
b
+
，第4 个：
4
8
a
b
+
，第5 个：
5
10
a
b
+
，
∴a 的指数依次为1，2，3，4，5，...，对应第n 项为
n
a ；b 的指数依次为2，4，6，8，10，...，对应第n 项
为
2n
b
，
∴第n个多项式是
2
n
n
a
b
+
．
故选：B．
【变式4】（25-26 七年级上·云南昭通·期末）观察下列一组数：1
4 ，
3
9
-
，5
16 ，
7
25
-
，9
36 ，……，它们是按
一定规律排列的，猜测这一组数的第n 个数是（ ）
A．
2
2
1
n
n
-
B．
2
2
1
n
n
+
C．
2
2
1
1
1
n
n
n
+
-
+
D．
1
2
2
1
1
1
n
n
n
+
-
-
+
【答案】D
【分析】本题考查数字类规律题．根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写
出第n 个数．
【详解】解：一组数为1
4 ，
3
9
-
，5
16 ，
7
25
-
，9
36 ，……，
∴这组数据第1 个数为：
1 1
2
1
2 1 1
1
4
1 1
+
´ -
= -
´
+
，
第2 个数为：
2 1
2
3
2 2 1
=
1
9
2 1
+
´ -
-
-
´
+
，
第3 个数为：
3 1
2
5
2 3 1
1
16
3 1
+
´ -
= -
´
+
，
…
∴第n 个数为：
1
2
2
1
1
1
n
n
n
+
-
-
+
，
故选：D．
▌题型04 数轴中的规律探索
1)确定起始位置对应的数：起始点为a；
2)确定移动的方向：移动奇数次即向左移动，移动偶数次即向右边移动；
3)确定移动的距离：若n 为奇数：即向左移动了
1
2
n +
次，移动距离为
1
2
n
b
+ ´
.
若n 为偶数：即向右移动了2
n 次，移动距离为2
n
b
´
4.确定终点的位置：起始点+移动的距离(向右移动)；
起始点-移动的距离(向左移动)
【典例4】（25-26 七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，一个动点从初始位置
0P 处开始移动：第一次向右移
动2 个单位长度至
1P ，第二次向左移动4 个单位长度至
2P ，第三次向右移动6 个单位长度至
3P ，第四次向左
移动8 个单位长度至
4,
P L，若这个动点在完成第2n次n为正整数) 移动后恰好落在数轴原点处，则初始位
置
0P 在数轴上表示的数为（ ）
A．2n
-
B．2n
C．n
D．n
-
【答案】B
【分析】本题考查了数字类规律探究．可通过设初始位置表示的数，根据每次移动的方向和单位长度推导移
动后的位置规律，再结合落在原点的条件求解初始位置的数．
【详解】解：设
0P 在数轴上表示的数为x ．
∵第一次移动后位置为
2
x +
第二次移动后位置为
2
4
2
x
x
+
-
=
-
第三次移动后位置为
2
6
4
x
x
-
+
=
+
第四次移动后位置为
4
8
4
x
x
+
-
=
-
……
观察规律可知，完成第2n次移动后，位置为
2
x
n
-
．
又∵第2n次移动后落在原点处，即位置为0
∴
2
0
x
n
-
=
解得
2
x
n
=
所以初始位置
0P 表示的数为2n．
故选：B．
【变式1】（24-25 七年级上·浙江金华·阶段检测）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进2 步
后退3步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退1步，且每步的距离都是1个单位长度，
na 表示第n秒时机
器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：①
4
0
a =
；②
7
1
a = ；③
1003
199
a
= -
；④
2024
2025
a
a
>
，其
中正确的是（ ）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了数轴上点的规律问题，根据“前进2 步后退3步”这5秒组成一个循环结构找出规律即
可求解，通过点的变化得出规律是解题的关键．
【详解】解：由题意每前进2 步后退3步的程序运动则有
1
1
a = ，
2
2
a =
，
3
1
a = ，
4
0
a =
，
5
1
a = - ，
6
0
a =
，
7
1
a = ，
8
0
a =
，
9
1
a = - ，
10
2
a
= - ，
11
1
a
= - ，
12
0
a
=
，
13
1
a
= - ，
14
2
a
= - ，
15
3
a
= - ，
L，
故①
4
0
a =
正确，②
7
1
a = 正确；
由上可知，“前进2 步后退3步”这5秒组成一个循环结构，
第1个循环第1个数
1
1
a = ；第1个循环第5个数
5
1
a = - ；
第2 个循环第1个数
6
0
a =
；第2 个循环第5个数
10
2
a
= - ；
第3个循环第1个数
11
1
a
= - ，第3个循环第5个数
15
3
a
= - ，
……
第n个循环第1个数
5
4
2
n
a
n
- = - +
，第n个循环第5个数
15
a
n
= - ，
∵1003
5
200
3
¸
=
LL ，
∴
1003
a
在第201个循环第3个数，
∵
1000
200
a
= -
，
∴
1001
199
a
= -
，
1002
198
a
= -
，
1003
199
a
= -
，故③正确；
由上规律可得：∵2025 5
205
¸
=
，
∴
2025
205
a
= -
，
∴
2024
205 1
204
a
= -
+ = -
，
∴
2024
2025
a
a
>
，故④正确，
综上可知：①②③④正确，
故选：D ．
【变式2】（25-26 七年级上·全国·期末）在数轴上，点P 表示的数是a，P¢表示的数是
1
1 a
-
，我们称点P¢
是点P 的“相关点”．已知数轴上
1A 的“相关点”为
2
A ，点
2
A 的“相关点”为
3A ，点
3A 的“相关点”为
4A ，……，这
样依次得到点
1A ，
2
A ，
3A ，
4A ，……，
n
A ，若点
1A 在数轴上表示的数是
1
2
-
，则点
2024
A
在数轴上表示的数是
______．
【答案】2
3
【分析】本题考查了数字规律探索等知识，通过计算数列的前几项，发现数列具有周期性，周期为3，据此
即可求解﹒
【详解】解：已知
1
1
2
A =-
，
∴
2
1
2
1
3
1
2
A =
=
æ
ö
- -
ç
÷
è
ø
，
3
1
3
2
1
3
A =
=
-
，
4
1
1
1 3
2
A
= -
= -
，
5
1
2
1
3
1
2
A =
=
æ
ö
- -
ç
÷
è
ø
，
……，
∴序列从
1A 开始，每3 项重复一次，即周期为3﹒
∵2024
3
674
2
¸
=
¼¼ ，
∴
2024
2
2
3
A
A
=
=
﹒
故答案为：2
3
【变式3】（25-26 七年级上·四川自贡·阶段检测）如图是一根起点为1 的数轴，现有同学将它弯折，弯折后
虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，L，依此规律，第五行的数是_______．
【答案】157
【分析】本题考查了数字类规律型探究，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，
然后推广到一般情况．观察根据排列的规律得到第一行为数轴上左边的第一个数1，第二行为1 右边的第6
个数13，第三行为13 右边的第15 个数43，第四行为43 右边第24 个数91，…，由此规律可得出第五行的
数．
【详解】解：根据排列的规律得到：
第一行为数轴上左边的第一个数1，
第二行为1 向右数第1 2
3
6
+
+
=
个数，为第1 6
7
+
=
个奇数，即2 7 1 13
´ - =
，
第三行为13 向右数第4
5
6
15
+ +
=
个数，为第7 15
22
+
=
个奇数，即2 22 1
43
´
- =
，
第四行为43 向右数第7
8
9
24
+ +
=
个数，为第22
24
46
+
=
个奇数，即2 46 1
91
´
- =
，
第五行为91 向右数第10 11 12
33
+
+
=
个数，为第46
33
79
+
=
个奇数，即2 79 1
157
´
- =
．
故答案为：157．
【变式4】（25-26 七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上O，A 两点的距离为12，一动点P 从点A
出发，按以下规律跳动：第1 次跳动到AO 的中点
1A 处，第2 次从
1A 点跳动到
1AO 的中点
2
A 处，第3 次从
2
A
点跳动到
2
A O 的中点
3A 处．按照这样的规律继续跳动到点
4A ，
5A ，
6
A …
n
A （
3
n ³
，n 是整数）处，经过这
样2025 次跳动后的点
2025
A
与
1A A 的中点的距离是____．
【答案】
2023
3
9
2
-
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，先根据规律得出各点表示的数，进而
求出点2025 次跳动的点表示的数，再求出
1A A 的中点，然后根据两点之间的距离得出答案.
【详解】解：由题意可得，
点
1A 表示的数为
1
12
6
2
´
=
，
点
2
A 表示的数为
1
1
12
3
2
2
´
´
=
，
点
3
A 表示的数为
1
1
1
3
12
2
2
2
2
´
´
´
=
，
…，
点
n
A 表示的数为
1
12
2
n
æ
ö
´ç
÷
è
ø
，
∴点
2025
A
表示的数为
2025
2
2023
2023
1
1
1
3
12
12
2
2
2
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
´
=
´
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
∵
1A A 的中点表示的数为12
6
9
2
+
=
，
∴2025 次跳动后的点与
1A A 的中点的距离是：
2023
3
9
2
-
.
故答案为：
2023
3
9
2
-
．
▌题型05 周期中的规律探索
这类问题，一定是有周期规律的，多写几个数，找到数列的周期.假如周期为T，只需用
n 除以T，看余数为多少，余数是几，就和第一个周期的第几个数相同.如果没有余数，那就和第一个周期的
最后一个数相同.
【典例5】（2025-2026 学年七年级上学期1 月期末数学试题）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，
可知数2026 应标在（ ）
A．第507 个正方形的左下角
B．第507 个正方形的右上角
C．第506个正方形的右上角
D．第506个正方形的左下角
【答案】B
【分析】本题考查了图形数字规律探究，关键是观察每个正方形四个顶点数字的循环规律，按“左上、右上、
右下、左下”的顺序循环排列，确定左下角位置数字的表达式，再确定第2026 个数所在的位置．
【详解】解：观察图形可知，每个正方形包含4 个数字，且左下角为4 的倍数，即第n个图形左下角的数字
为4n，
∵2026
4 506
2
=
´
+
，
∴2026 在第507 个图形中，然后按照左上、右上的顺序前进两个数，
∴2026 在第507 个正方形的右上角．
故选：B．
【变式1】（广东省广州市越秀区2025-2026 学年上学期七年级数学1 月期末考试卷）如图所示，圆的周长
为8 个单位长度，在圆周的八等分点处依次标上字母a
a
b
b
c
c
d
d
，，，，，，，．先让圆周上字母a所对应的
点与数轴上的数字2 所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左不滑动地滚动，则数轴上的数字2025
-
所对应的
点与圆周上重合的点所对应的字母为（ ）．
A．a
B．b
C．c
D．d
【答案】B
【分析】本题考查了数轴上的规律探索；根据圆的滚动可得8 个字母一个循环，即字母
a
a
b
b
c
c
d
d
，，，，，，，，则2027
8
253
3
¸ =
¼¼ ，即可求解
【详解】解：Q 圆的周长为8 个单位长度，
8
\ 个数字为一个循环，且这8 个字母为a
a
b
b
c
c
d
d
，，，，，，，，
初始时，标记序列中的第一个a 与数轴上的点2 重合，
圆向左滚动到数轴上的点2025
-
时，滚动的距离为：
2
2025
2027
- -
=
，
则2027
8
253
3
¸ =
¼¼ ，
起点为a，第1 步为a，第2 步为b ，第3 步为b ，
2025
\-
对应的字母是b ．
故选：B．
【变式2】（2025-2026 学年七年级上学期1 月期末数学试题）一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数
到2026 时对应的手指是 （ ）（图中各手指的名称从上到下依次为大拇指，食指，中指，无名指，小指）
A．食指
B．中指
C．无名指
D．小指
【答案】A
【分析】本题考查了数字规律的探索，关键是找出数数时手指对应的规律，通过计算余数确定对应的手指．
【详解】解：观察数数对应的手指规律：数字1 对应大拇指，数字2 对应食指，3 对应中指，4 对应无名指，
5 对应小指，6 对应无名指，7 对应中指，8 对应食指，9 对应大拇指，10对应食指¼¼
可以发现，从数字1 开始，每8 个数为一个循环(大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→
大拇指)．
∵2026 8
253
2
¸ =
¼ ，
∴数到2026 时对应的手指对应循环中的第二个位置，即食指．
故选：A．
【变式3】（25-26 七年级上·福建泉州·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干
支是天干和地支的总称．如下表中“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干：“子、丑、
寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙
丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，公历年数先减三，除十余
数是天干，改用十二除，余数便是地支年．如2026 年是丙午年，依据上述规律推断抗战胜利的1945 年应为
____________年．
【答案】乙酉
【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，数字规律探究，根据干支纪年法的规则，公历年数先减3，然
后除以10 取余数确定天干，除以12 取余数确定地支．
【详解】解：1945
3
1942
-
=
；1942 10
194
2
¸
=
¼ ，余数为2 ，对应天干乙；
1942 12
161
¸
=
⋯10，余数为10，对应地支酉．
故1945年为乙酉年．
故答案为：乙酉．
【变式4】（25-26 七年级上·江苏宿迁·期末）如图，圆上有九个点，这九个点将圆分成九等份(每一份称为
一段弧长)，把这九个点按顺时针方向依次编号为1，2 ，3，4 ，5，6，7 ，8，9，若从某一点开始，沿圆
周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，则称这种走法为一次“移位”．如：小明在编号为3
的点，那么他应走3 段弧长，即从3
4
5
6
®
®
®
为第一次“移位”，这时他到达编号为6的点，然后从
6
7
8
9
1
2
3
®
®
®
® ®
®
为第二次“移位”．若小明从编号为1的点开始，沿顺时针方向，按上述“移位”方
式行走，当“移位”2026 次时，小明到达圆弧点编号为_______．
【答案】7
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给移动方式，依次求出每次“位移”时小明到达圆弧点的编
号，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，因为小明从编号为1 的点开始，
所以当“移位”1 次时，小明到达圆弧点编号为2，
当“移位”2 次时，小明到达圆弧点编号为4，
当“移位”3 次时，小明到达圆弧点编号为8，
当“移位”4 次时，小明到达圆弧点编号为7，
当“移位”5 次时，小明到达圆弧点编号为5，
当“移位”6 次时，小明到达圆弧点编号为1，
…，
由此可见，从第1 次“位移”开始，每经过6 次“位移”，小明到达圆弧点编号按2，4，8，7，5，1 循环．
因为2026
6
337
4
¸
=
¼¼ ，
所以当“移位”2026 次时，小明到达圆弧点编号为7 ．
故答案为：7 ．
▌题型06 表格中的规律探索
【典例6】（25-26 七年级上·山东威海·期末）小亮和小明这对好朋友，根据英文字母表的字母顺序制定了专
属两个人的秘密文件规则，以此实现加密和解密．小亮给小明一张字条写着：“ ECPAQWRNCAEJGUU ？”，
小明马上就明白了意思是：“Can you play chess ？”．你能破解其中的加密规则吗？请你破解小明给小亮的回
复字条：“ UWTGKECP ．”，内容是_____．
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
【答案】Sure I can
【分析】本题考查规律探究，通过对比已知加密文本“ ECPAQWRNCAEJGUU ？”和明文
“Can you play chess ？”，发现加密规则为每个字母在字母表中的位置加2（若超过26 则循环），解密则减
2．对回复字条“ UWTGKECP ”应用解密规则，得到字母序列“SUREICAN ”，组合成短语“Sure I can ”．
【详解】解：观察可知：加密规则为每个字母在字母表中的位置加2（若超过26 则循环），解密则减2，
故UWTGKECP 对应序列为“SUREICAN ”，组合为“Sure I can ”．
故答案为：Sure I can ．
【变式1】（25-26 七年级上·湖北孝感·期末）将偶数按下列方式排成一个三角形数阵，按照此规律，第8 行
第6 个数为_____．
【答案】68
【分析】本题考查了数字类规律探索，观察数阵可得第n行的第1 个数为
1
2
n n -
+
，求出第8 行第1 个数，
再结合每一行后一个数与前一个数相差2 ，计算即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：观察数阵可得：
第1 行的第1 个数为1 0
2
2
´ +
=
，
第2 行的第1 个数为2 1
2
4
´ +
=
，
第3 行的第1 个数为3 2
2
8
´ +
=
，
第4 行的第1 个数为4
3
2
14
´ +
=
，
…，
∴第n行的第1 个数为
1
2
n n -
+
，
∴第8 行第1 个数为
8
8 1
2
58
´
-
+
=
，
∵每一行后一个数与前一个数相差2 ，
∴第8 行第6 个数为
58
2
6 1
68
+ ´
-
=
，
故答案为：68．
【变式2】（24-25 七年级上·广东深圳·期末）如表所示每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此
规律确定a的值为__________．
【答案】175
【分析】本题考查的是数字类的规律探究，先根据右上角的数分别表示为0
8 0
= ´ ，8
8 1
= ´ ，24
8 3
= ´ ，
48
8 6
= ´ ，从而可得后面的依次是10 8
80
´ =
，15 8
120
´
=
，21 8
168
´ =
，可得
7
m =
，再进一步解答即可．
【详解】解：∵右上角的数分别为：
0
8 0
= ´ ，8
8 1
= ´ ，24
8 3
= ´ ，48
8 6
= ´ ，
后面的依次是10 8
80
´ =
，15 8
120
´
=
，21 8
168
´ =
，
∴
7
m =
，
根据题意可得：
168
7
168
175
a
m
=
+
=
+
=
；
故答案为：175．
【变式3】（24-25 九年级上·重庆丰都·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算
转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1 所示的“表格算法”，图1 表示613 54
´
，运算结果为33102．图
2 表示一个三位数与一个两位数相乘．下列说法：①
6
m =
；②
6
n =
；③
7
y =
；④运算结果大于
16000．根据图1 的运算规律判断其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给运算方式是解题的关键．
根据图1，理解“铺地锦”这一运算方法，再据此对图2 进行计算，并对所给说法进行判断即可．
【详解】解：由题知，
18
zm =
，
12
zn =
，
则
2
z =
或3 或6．
当
2
z =
时，
9
m =
，
6
n =
；
当
3
z =
时，
6
m =
，
4
n =
；
当
6
z =
时，
3
m =
，
2
n =
；
又因为
8
xn = ，
10
1
ym
c
=
+ ，
所以
6
z =
，
3
m =
，
2
n =
，
所以
4
x =
．
由
10
1
ym
c
=
+ 得，
7
y =
，
2
c =
．
故①②错误，③正确．
所以运算结果为15232．
故④错误．
故选：A．
【变式4】（24-25 七年级上·河南南阳·期末）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的：根据此规律
确定a的值为______．
【答案】3900
【分析】本题主要考查了数字规律探索，根据给出的已知图形得出规律，求出a的值即可．解题的关键是根
据已知数据，得出一般规律．
【详解】解：根据图形可得上下两数之和等于左边数，上下两数之积等于右边数，和与积相乘等于中间数，
且最下面的数字为最上面的数字加1，
\最后一个图最下面的数字为12 1 13
+ =
，
12
13
25
\
+
=
，12 13
156
´
=
，25 156
3900
´
=
；
3900
a
\
=
．
故答案为：3900．
▌题型07 末尾数字规律探索
求
N
a 的末位数字的解题步骤:
1)通过观察乘方结果的末位数字，得到经过一个循环变换需要的次数，记为n.
2)用N 除以n，当能整除时，a 的N 次方的末位数字就是
n
a 的末位数字；当商b 余m(0＜m＜n)时，a 的N 次
方的末位数字就是
m
a
的末位数字
【典例7】（2025·山东·模拟预测）如果n 是一个自然数，那么n 的“阶乘”记为!
n ，其表示从1 到n 的所有
数的积，如果4! 1 2 3 4
= ´ ´ ´ ，那么1! 2! 3! 4!
2025!
+
+
+
+
+
L
的末尾数字为__________．
【答案】3
【分析】本题考查了数字类规律的探索，关键在找到规律． 由于1!
1
= ，2!
2 1
2
=
´ =
，3!
3 2 1
6
= ´ ´ =
，
4!
4 3 2 1
24
=
´ ´ ´ =
，5!
5 4 3 2 1 120
= ´ ´ ´ ´ =
，再往后的结果个位数都是0，依此可求1! 2! 3! 4!
2025!
+
+
+
+
+
L
的个位数字．
【详解】解：∵1!
1
= ，
2!
2 1
2
=
´ =
，
3!
3 2 1
6
= ´ ´ =
，
4!
4 3 2 1
24
=
´ ´ ´ =
，
5!
5 4 3 2 1 120
= ´ ´ ´ ´ =
，
6!
6
5
4
3
2 1
720
=
´ ´
´ ´
´ =
，
再往后的结果个位数都是0，
∵1
2
6
4
13
+
+
+
=
，
∴1! 2! 3! 4!
2025!
+
+
+
+
+
L
的个位数是3；
故答案为：3．
【变式1】（25-26 七年级上·湖南·阶段检测）观察下列算式：
12
2
=
；
2
2
4
=
；
3
2
8
=
；
42
16
=
；
52
32
=
；……，则
2025
2
3
+ 的末尾数字是______．
【答案】5
【分析】本题主要考查了数字类规律、有理数的乘方运算等知识点，根据题目所给乘方，总结出末尾数字变
化规律，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
12
2
=
；
2
2
4
=
；
3
2
8
=
；
4
2
16
=
；
52
32
=
；……，
观察可知，每4 个算式为一组，末尾数字分别为2，4，8，6；
2025
4
506
1
¸
=
××× ，
∴
2025
2
是第507组第一个，末尾数字为2，
∵2
3
5
+
=
，
∴
2025
2
3
+ 的末尾数字为5，
故答案为：5．
【变式2】（21-22 七年级上·广东河源·期末）已知
2
5
3
0
x
y
-
+
+
=
，则
2021
x
y
+
的末尾数字是_____．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质求出x、y 的值，然后代值计算得到
2021
2021
2
x
y
+
=
，最后找到规律2n 的末尾数
字是2，4，8，6 循环出现，即可得到答案．
【详解】解：∵
2
5
3
0
x
y
-
+
+
=
，
2
0
5
3
0
x
y
³
-
+
³
，
，
∴
2
0
5
3
0
x
y
=
-
+
=
，
，
∴
5
0
3
0
x
y
-
=
+
=
，
，
∴
5
3
x
y
=
= -
，
，
∴
2021
2021
2021
3
5
2
x
y
+
= - +
=
，
∵
12
2
=
，末尾数字为2；
2
2
4
=
，末尾数字为4；
3
2
8
=
，末尾数字为8；
42
16
=
，末尾数字为6；
52
32
=
，末尾数字为2；
6
2
64
=
，末尾数字为4；
…
∴2n 的末尾数字是2，4，8，6 循环出现，
∵2021
4
505
1
¸
=
¼ ，
∴
2021
2
的末尾数字与
12 相同，即为2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，非负数的性质，正确理解题意找到规律是解题的关键．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏泰州·期末）观察下列计算结果：
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
3
2
1,3
2
5,3
2
19,3
2
65,3
2
211,3
2
665
-
=
-
=
-
=
-
=
-
=
-
=
L通过分析计算结果中个位数字的变化
规律，猜测
2025
2025
3
2
-
的个位数字是（ ）
A．1
B．5
C．9
D．2
【答案】A
【分析】先确定3
2
n
n
-
的个位数字循环节为1，5，9，5，循环周期为4 ；再计算2025
4
¸
的余数，根据余数
确定
2025
2025
3
2
-
的个位数字．
【详解】解：当
1
n = 时，
1
1
3
2
1
-
= ，个位数字是1；
当
2
n =
时，
2
2
3
2
5
-
=
，个位数字是5；
当
3
n =
时，
3
3
3
2
19
-
=
，个位数字是9；
当
4
n =
时，
4
4
3
2
65
-
=
，个位数字是5；
当
5
n =
时，
5
5
3
2
211
-
=
，个位数字是1；
¼
3
2
n
n
\
-
的个位数字以1，5，9，5 为周期循环，周期为4 ．
2025
4
506
1
¸
=
LL ，
2025
2025
3
2
\
-
的个位数字与
1
n = 时相同，为1．
故选：A．
【变式4】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：
2
1
1
1
x
x
x
-
+
=
- ，
2
3
1
1
1
x
x
x
x
-
+
+
=
- ，
3
2
4
1
1
1
x
x
x
x
x
-
+
+
+
=
- ，
4
3
2
5
1
1
1
x
x
x
x
x
x
-
+
+
+
+
=
- ，则算式
0
1
2
3
4
2024
2025
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+×××+
+
值的个位数字为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘法规律的应用和有理数的乘方个位数字的周期性，关键是将和式简化并利用余
数确定个位．
利用给定的乘法规律，将原算式转化为
2026
2
1
- ，再通过 2n 的个位数字循环规律（周期为4）求
2026
2
的
个位数，进而得到最终结果的个位数字．
【详解】解：∵ 根据规律，
1
1
1
1
1
n
n
n
x
x
x
x
x
-
+
-
+
+
+
+
=
-
L
，
∴
1
1
1
1
1
n
n
n
x
x
x
x
x
+
-
-
+
+
+
+ =
-
L
，
令
2
x =
，
2025
n =
，则：
2026
0
1
2
2025
2026
2
1
2
2
2
2
2
1
2 1
-
+
+
+
+
=
=
-
-
L
∵ 2n 的个位数字循环为：2， 4， 8， 6（周期为4），
计算 2026
4
506
¸
=
余 2，
∴
2026
2
的个位数字与
2
2 相同，为 4，
∴
2026
2
1
- 的个位数字为 4 1
3
- =
．
故算式值的个位数字为 3．
故选B.
▌题型08 新定义有关的规律探索
【典例8】（23-24 七年级上·江苏无锡·期中）定义一种对正整数n的“ F ”运算：①当n为奇数时，
3
1
F n
n
=
+ ；②当n为偶数时，
2k
n
F n =
（其中k 是使
F n 为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进
行，例如，取
24
n =
，则：
若
13
n =
，则第2023 次“ F ”运算的结果是（ ）
A．1
B．4
C．2023
D．42023
【答案】B
【分析】计算出
13
n =
时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律：当次数为偶数时，结果是1；
次数是奇数时，结果是4，再进行解答即可，
本题考查数字类规律，解题的关键是掌握数字规律类的题计算方法．
【详解】解：当
13
n =
时，
第一次“F”运算为： 3 13 1
40
´
+ =
，
第二次“F”运算为：
3
40
5
2 =
，
第三次“F”运算为：3 5 1
16
´ + =
，
第四次“F”运算为：
4
16
1
2 = ，
第五次“F”运算为：1 3 1
4
´ + =
，
第六次“F”运算为：
2
4
1
2 = ，
可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4 两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数
时，结果是4，而2023 次是奇数，因此最后结果是4．
故答案为：B．
【变式1】（23-24 七年级上·安徽安庆·期末）定义：a是不为1 的有理数，我们把
1
1 a
-
称为a的差倒数，如：
2 的差倒数是
1
1
1
2 = -
-
，1
- 的差倒数是
1
1
1
1
2
=
- -
．已知
1
1
2
a = -
，
2a 是
1a 的差倒数，
3a 是
2a 的差倒数，
4a
是
3a 的差倒数，¼，
2024
a
=（ ）
A．1
-
B．
1
2
-
C．2
3
D．3
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，根据差倒数的概念，分别求出
2a 、
3a 、
4a ，发
现每三个数按
1
2
-
、2
3 、3循环，据此即可得到答案．
【详解】解：
1
1
2
a = -
Q
，
2
1
2
1
3
1
2
a
\
=
=
æ
ö
- -
ç
÷
è
ø
，
3
1
3
2
1
3
a =
=
-
，
4
1
1
1 3
2
a
= -
-
=
，
……
观察可知，每三个数按
1
2
-
、2
3 、3循环，
2024
3
674
2
¸ =
Q
L ，
2024
2
3
a
=
\
，
故选：C．
【变式2】（25-26 七年级上·四川达州·期末）定义一种新运算“ f ”：
f n 表示n在运算f 作用下的结果．
若
2
2
1
f n
n
n
=
-
-
表示n在运算f 作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：
2
2
1
1
1 1
1
f
=
-
-
= ，
2
2
2
2
2 1
3
f
=
-
-
=
，
2
2
3
3
3 1
5
f
=
-
-
=
，……
根据以上定义完成以下问题：
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2025
2026
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
+×××+
´
´
´
´
的值为______．
【答案】2025
4051
【分析】本题考查了新运算的有关计算及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键．
根据题意可得到
2
1
f n
n
=
- ，然后把原式变形为
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1
1
1
2 1
3
2 3
5
2 5
7
2 4049
4051
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
，
即可求解．
【详解】解：
2
2
1
1
1 1
1
f
=
-
-
= ，
2
2
2
2
2 1
3
f
=
-
-
=
，
2
2
3
3
3 1
5
f
=
-
-
=
，……
由此发现：
2
1
f n
n
=
- ，
∴
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2025
2026
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
+×××+
´
´
´
´
1
1
1
1
1 3
3 5
5 7
4049 4051
=
+
+
+
+
´
´
´
´
L
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1
1
1
2 1
3
2 3
5
2 5
7
2 4049
4051
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
1 1
1
1
1
1
1
1
1
2 1
3
3
5
5
7
4049
4051
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
è
ø
L
1
1
1
2
4051
æ
ö
=
´
-
ç
÷
è
ø
1
4050
2
4051
=
´
2025
4051
=
故答案为：2025
4051
【变式3】（25-26 七年级上·山东枣庄·期末）用符号“ f ”定义一种新运算
f a ，对任意有理数a，当a为整
数时
1
f a
a
=
- ；当a为非整数时
1
f a
a
=
，例如：
3
3 1
2
f
=
- =
，
1
1
4
1
4
4
f æ
ö =
=
ç
÷
è
ø
利用以上规律计算：
1
2026
2025
f
f æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
______．
【答案】0
【分析】本题主要考查了新定义运算中的规律探究．先从已知运算结果中总结出整数和分数对应的运算规律，
再代入计算
2026
f
和
1
2025
f æ
ö
ç
÷
è
ø ，最后求差值．
【详解】解：2026 是整数，因此
2026
2026 1
2025
f
=
- =
；
1
2025 是分数，因此
1
1
2025
1
2025
2025
f æ
ö =
=
ç
÷
è
ø
．
所以
1
2026
2025
2025
0
2025
f
f æ
ö
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
．
故答案为：0．
【变式4】（25-26 七年级上·北京·阶段检测）数学是一门充满思维乐趣的学科，现有3 3
´
的数阵A ，数阵每
个位置所对应的数都是1，2 或3．定义
*
a b 为数阵中第a行第b 列的数．
例如，数阵A 第3行第2 列所对应的数是3，所以3*2
3
=
．
（1）对于数阵A ，2*3的值为_________；
（2）若一个3 3
´
的数阵对任意的a，b ，c均满足以下条件：
条件一：
*
a
a
a
=
；条件二：( * )*
*
a b
c
a c
=
；
则称此数阵是“有趣的”．
①请判断数阵A 是否是“有趣的”．你的结论：_________（填“是”或“否”）；
②已知若一个“有趣的”数阵满足1*2
2
=
，则2*1的值为_________
【答案】
2
是
1
【分析】本题考查了数字的变化类，观察思考发现规律是解题的关键．
（1）根据定义
*
a b 为数阵中第a行第b 列的数即可求解；
（2）①根据“有趣的数阵”定义即可求解；②根据
*
a
a
a
=
，( * )*
*
a b
c
a c
=
将2*1变形
1*2 *1得到即可求解；
【详解】解：（1）对于数阵A 第2 行第3 列对应的数是2，那么2*3的值为2 ，
故答案为：2 ；
（2）①由数阵图可知，
∵数阵A 的第1 行第1 列的数是1，那么1*1
1
= ，
数阵A 的第2 行第2 列的数是2，那么2*2
2
=
，
数阵A 的第3 行第3 列的数是3，那么3*3
3
=
，
∴数阵A 满足
*
a
a
a
=
，满足条件一；
∵数阵A 第a行第b 列的数为a，
∴( * )*
*
a b
c
a c
=
；满足条件二；
∴数阵A 是“有趣的”，
故答案为：是；
②Q 1*2
2
=
，
\
2*1
1*2 *1
=
，
Q ( * )*
*
a b
c
a c
=
，
\
1*2 *1
1*1
=
，
Q
*
a
a
a
=
，
\1*1
1
= ，
\2*1
1
= ，
故答案为：1．
