文档文本内容
培优专题04 与有理数有关的8 种规律探究问题
（题型突破·举一反三）
题型01 数字类规律探究
题型02 四则运算中的规律探究
题型03 乘方中的规律探究
题型04 数轴中的规律探索
题型05 周期中的规律探索
题型06 表格中的规律探索
题型07 末尾数字规律探索
题型08 新定义有关的规律探索
▌题型01 数字类规律探究
【典例1】（25-26 七年级上·浙江绍兴·期末）在数学探究课上，老师在数轴上标记了一列点
1
2
3
4
,
,
,
A A A A ¼¼，并告诉同学们：这些点按照某种特殊规律排列在数轴上，对应的数分别是
4, 8,16, 32
-
-
¼¼，则点
8A 表示的数是（ ）．
A．1024
B．512
C．512
-
D．1024
-
【变式1】（25-26 七年级上·江苏南通·期中）按42
11 按如下规律操作
42
9
9
3
3
11
11
11
=
=
+
11
2
2
1
1
9
9
9
=
= +
9
1
1
4
4
2
2
2
=
=
+
2
2
1 =
每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由
42
11 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{ 1
4
2
3
- -
-
-
，，，
}，那么这个数（ ）
A．
38
31
-
B．
4
3
-
C．
37
30
-
D．
38
29
-
【变式2】（22-23 七年级上·辽宁沈阳·期中）将从1 开始的自然数，按如图的规律排列，在2，3，5，7，
10，13，17，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…次弯，则第41 次拐弯处的那个数是 _____．
【变式3】（24-25 七年级上·全国·单元测试）【学习情境·规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：
按照这样的规律推断，从2024 到2026 ，箭头的方向应该是（ ）
A．↓→
B．→↑
C．↑→
D．→↓
【变式4】（25-26 七年级上·全国·课后作业）下列一组数按规律排列依次为2，4
- ，8，16
-
，则第2025 个
数为（ ）
A．
2025
2
B．
2025
2
-
C．
2024
2
-
D．以上都不对
▌题型02 四则运算中的规律探究
【典例2】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：
2
1
1
1
= =
2
1 3
4
2
+
=
=
2
1 3
5
9
3
+ +
=
=
2
1 3
5
7
16
4
+ +
+
=
=
2
1 3
5
7
9
25
5
+ + +
+
=
=
解答下列问题：请用上面得到的规律计算：21
23
25
27
99
+
+
+
+
+
=
L
（ ）
A．2419
B．2400
C．2601
D．2501
【变式1】（25-26 七年级上·河南·期末）定义新运算
( )
1
x
f x
x
+
=
，例如
1
1
2 1
3
1
2
2
,
3
1
2
2
2
2
f
f
+
+
æ
ö
=
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
则
1
1
1
1
2
3
99
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
（ ）
A．
1
5049
B．
1
5050
C．5049
D．5050
【变式2】（25-26 七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，是一个由连续的正整数排成的“数阵”．用方框围住9
个数，移动方框的位置，在给出的四个数387，504，658，918 中，不可能是方框中9 个数的和的个数是
（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式3】（25-26 七年级上·福建漳州·期末）若规定
2n
f n =
的个位数字，例如
2
2
4
=
，所以
2
4
f
=
，
5
2
32
=
，所以
5
2
f
=
，那么计算
1
2
3
4
2025
f
f
f
f
f
+
+
+
+¼+
= _____．
【变式4】（25-26 七年级上·河南郑州·期末）将数字1 个1，2 个
1
2 ，3 个1
3 ，4 个1
4 ，……，n 个1
n （n 为正
整数）按顺序排成一排：
1，
1
2 ，
1
2 ，1
3 ，1
3 ，1
3 ，1
4 ，1
4 ，1
4 ，1
4 ，…，1
n ，1
n ，…，1
n ，记
1
1
a = ，
2
1
1
1
2
2
a
a
=
+
+
，
3
2
1
1
1
3
3
3
a
a
=
+
+
+
，……，
1
1
S
a
=
，
2
1
2
S
a
a
=
+
，……，
1
2
3
n
n
S
a
a
a
a
=
+
+
+×××+
，则
2025
2023
S
S
-
= ______．
▌题型03 乘方中的规律探究
【典例3】（25-26 七年级上·河南·期末）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程
如图所示：
则第4 个方框中最下面一行的数可能是（ ）
A．3249
B．5635
C．4909
D．5729
【变式1】（25-26 七年级上·广西崇左·阶段检测）蟑螂的生命力很旺盛，它繁衍后代的数量为这一代的数量
的7 倍，也就是说，如果它的始祖(第一代)有7 只，则下一代就会有49 只，以此类推，蟑螂第10 代的只数
是( )
A．
12
7
B．
11
7
C．
10
7
D．
9
7
【变式2】（25-26 七年级上·安徽淮北·期末）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1 次分裂便由1 个
分裂成2 个，2 次分裂成4 个，若每次分裂经过的时间为15 分钟，则经过t 小时该细胞的分裂的个数为64，
则t = （ ）
A．90
B．1
C．1.5
D．2
【变式3】（25-26 七年级上·云南文山·期末）以下是一组按规律排列的多项式：
2
a
b
+
，
2
4
a
b
+
，
3
6
a
b
+
，
4
8
a
b
+
，
5
10
a
b
+
，…，其中第n个多项式是（ ）
A．
n
n
a
b
-
B．
2
n
n
a
b
+
C．
2
n
n
a
b
-
D．
2
2
n
n
a
b
-
【变式4】（25-26 七年级上·云南昭通·期末）观察下列一组数：1
4 ，
3
9
-
，5
16 ，
7
25
-
，9
36 ，……，它们是按
一定规律排列的，猜测这一组数的第n 个数是（ ）
A．
2
2
1
n
n
-
B．
2
2
1
n
n
+
C．
2
2
1
1
1
n
n
n
+
-
+
D．
1
2
2
1
1
1
n
n
n
+
-
-
+
▌题型04 数轴中的规律探索
1)确定起始位置对应的数：起始点为a；
2)确定移动的方向：移动奇数次即向左移动，移动偶数次即向右边移动；
3)确定移动的距离：若n 为奇数：即向左移动了
1
2
n +
次，移动距离为
1
2
n
b
+ ´
.
若n 为偶数：即向右移动了2
n 次，移动距离为2
n
b
´
4.确定终点的位置：起始点+移动的距离(向右移动)；
起始点-移动的距离(向左移动)
【典例4】（25-26 七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，一个动点从初始位置
0P 处开始移动：第一次向右移
动2 个单位长度至
1P ，第二次向左移动4 个单位长度至
2P ，第三次向右移动6 个单位长度至
3P ，第四次向左
移动8 个单位长度至
4,
P L，若这个动点在完成第2n次n为正整数) 移动后恰好落在数轴原点处，则初始位
置
0P 在数轴上表示的数为（ ）
A．2n
-
B．2n
C．n
D．n
-
【变式1】（24-25 七年级上·浙江金华·阶段检测）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进2 步
后退3步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退1步，且每步的距离都是1个单位长度，
na 表示第n秒时机
器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：①
4
0
a =
；②
7
1
a = ；③
1003
199
a
= -
；④
2024
2025
a
a
>
，其
中正确的是（ ）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
【变式2】（25-26 七年级上·全国·期末）在数轴上，点P 表示的数是a，P¢表示的数是
1
1 a
-
，我们称点P¢
是点P 的“相关点”．已知数轴上
1A 的“相关点”为
2
A ，点
2
A 的“相关点”为
3A ，点
3A 的“相关点”为
4A ，……，这
样依次得到点
1A ，
2
A ，
3A ，
4A ，……，
n
A ，若点
1A 在数轴上表示的数是
1
2
-
，则点
2024
A
在数轴上表示的数是
______．
【变式3】（25-26 七年级上·四川自贡·阶段检测）如图是一根起点为1 的数轴，现有同学将它弯折，弯折后
虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，L，依此规律，第五行的数是_______．
【变式4】（25-26 七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上O，A 两点的距离为12，一动点P 从点A
出发，按以下规律跳动：第1 次跳动到AO 的中点
1A 处，第2 次从
1A 点跳动到
1AO 的中点
2
A 处，第3 次从
2
A
点跳动到
2
A O 的中点
3A 处．按照这样的规律继续跳动到点
4A ，
5A ，
6
A …
n
A （
3
n ³
，n 是整数）处，经过这
样2025 次跳动后的点
2025
A
与
1A A 的中点的距离是____．
▌题型05 周期中的规律探索
这类问题，一定是有周期规律的，多写几个数，找到数列的周期.假如周期为T，只需用
n 除以T，看余数为多少，余数是几，就和第一个周期的第几个数相同.如果没有余数，那就和第一个周期的
最后一个数相同.
【典例5】（2025-2026 学年七年级上学期1 月期末数学试题）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，
可知数2026 应标在（ ）
A．第507 个正方形的左下角
B．第507 个正方形的右上角
C．第506个正方形的右上角
D．第506个正方形的左下角
【变式1】（广东省广州市越秀区2025-2026 学年上学期七年级数学1 月期末考试卷）如图所示，圆的周长
为8 个单位长度，在圆周的八等分点处依次标上字母a
a
b
b
c
c
d
d
，，，，，，，．先让圆周上字母a所对应的
点与数轴上的数字2 所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左不滑动地滚动，则数轴上的数字2025
-
所对应的
点与圆周上重合的点所对应的字母为（ ）．
A．a
B．b
C．c
D．d
【变式2】（2025-2026 学年七年级上学期1 月期末数学试题）一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数
到2026 时对应的手指是 （ ）（图中各手指的名称从上到下依次为大拇指，食指，中指，无名指，小指）
A．食指
B．中指
C．无名指
D．小指
【变式3】（25-26 七年级上·福建泉州·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干
支是天干和地支的总称．如下表中“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干：“子、丑、
寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙
丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，公历年数先减三，除十余
数是天干，改用十二除，余数便是地支年．如2026 年是丙午年，依据上述规律推断抗战胜利的1945 年应为
____________年．
【变式4】（25-26 七年级上·江苏宿迁·期末）如图，圆上有九个点，这九个点将圆分成九等份(每一份称为
一段弧长)，把这九个点按顺时针方向依次编号为1，2 ，3，4 ，5，6，7 ，8，9，若从某一点开始，沿圆
周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，则称这种走法为一次“移位”．如：小明在编号为3
的点，那么他应走3 段弧长，即从3
4
5
6
®
®
®
为第一次“移位”，这时他到达编号为6的点，然后从
6
7
8
9
1
2
3
®
®
®
® ®
®
为第二次“移位”．若小明从编号为1的点开始，沿顺时针方向，按上述“移位”方
式行走，当“移位”2026 次时，小明到达圆弧点编号为_______．
▌题型06 表格中的规律探索
【典例6】（25-26 七年级上·山东威海·期末）小亮和小明这对好朋友，根据英文字母表的字母顺序制定了专
属两个人的秘密文件规则，以此实现加密和解密．小亮给小明一张字条写着：“ ECPAQWRNCAEJGUU ？”，
小明马上就明白了意思是：“Can you play chess ？”．你能破解其中的加密规则吗？请你破解小明给小亮的回
复字条：“ UWTGKECP ．”，内容是_____．
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
【变式1】（25-26 七年级上·湖北孝感·期末）将偶数按下列方式排成一个三角形数阵，按照此规律，第8 行
第6 个数为_____．
【变式2】（24-25 七年级上·广东深圳·期末）如表所示每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此
规律确定a的值为__________．
【变式3】（24-25 九年级上·重庆丰都·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算
转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1 所示的“表格算法”，图1 表示613 54
´
，运算结果为33102．图
2 表示一个三位数与一个两位数相乘．下列说法：①
6
m =
；②
6
n =
；③
7
y =
；④运算结果大于
16000．根据图1 的运算规律判断其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式4】（24-25 七年级上·河南南阳·期末）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的：根据此规律
确定a的值为______．
▌题型07 末尾数字规律探索
求
N
a 的末位数字的解题步骤:
1)通过观察乘方结果的末位数字，得到经过一个循环变换需要的次数，记为n.
2)用N 除以n，当能整除时，a 的N 次方的末位数字就是
n
a 的末位数字；当商b 余m(0＜m＜n)时，a 的N 次
方的末位数字就是
m
a
的末位数字
【典例7】（2025·山东·模拟预测）如果n 是一个自然数，那么n 的“阶乘”记为!
n ，其表示从1 到n 的所有
数的积，如果4! 1 2 3 4
= ´ ´ ´ ，那么1! 2! 3! 4!
2025!
+
+
+
+
+
L
的末尾数字为__________．
【变式1】（25-26 七年级上·湖南·阶段检测）观察下列算式：
12
2
=
；
2
2
4
=
；
3
2
8
=
；
42
16
=
；
52
32
=
；……，则
2025
2
3
+ 的末尾数字是______．
【变式2】（21-22 七年级上·广东河源·期末）已知
2
5
3
0
x
y
-
+
+
=
，则
2021
x
y
+
的末尾数字是_____．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏泰州·期末）观察下列计算结果：
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
3
2
1,3
2
5,3
2
19,3
2
65,3
2
211,3
2
665
-
=
-
=
-
=
-
=
-
=
-
=
L通过分析计算结果中个位数字的变化
规律，猜测
2025
2025
3
2
-
的个位数字是（ ）
A．1
B．5
C．9
D．2
【变式4】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：
2
1
1
1
x
x
x
-
+
=
- ，
2
3
1
1
1
x
x
x
x
-
+
+
=
- ，
3
2
4
1
1
1
x
x
x
x
x
-
+
+
+
=
- ，
4
3
2
5
1
1
1
x
x
x
x
x
x
-
+
+
+
+
=
- ，则算式
0
1
2
3
4
2024
2025
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+×××+
+
值的个位数字为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
▌题型08 新定义有关的规律探索
【典例8】（23-24 七年级上·江苏无锡·期中）定义一种对正整数n的“ F ”运算：①当n为奇数时，
3
1
F n
n
=
+ ；②当n为偶数时，
2k
n
F n =
（其中k 是使
F n 为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进
行，例如，取
24
n =
，则：
若
13
n =
，则第2023 次“ F ”运算的结果是（ ）
A．1
B．4
C．2023
D．42023
【变式1】（23-24 七年级上·安徽安庆·期末）定义：a是不为1 的有理数，我们把
1
1 a
-
称为a的差倒数，如：
2 的差倒数是
1
1
1
2 = -
-
，1
- 的差倒数是
1
1
1
1
2
=
- -
．已知
1
1
2
a = -
，
2a 是
1a 的差倒数，
3a 是
2a 的差倒数，
4a
是
3a 的差倒数，¼，
2024
a
=（ ）
A．1
-
B．
1
2
-
C．2
3
D．3
【变式2】（25-26 七年级上·四川达州·期末）定义一种新运算“ f ”：
f n 表示n在运算f 作用下的结果．
若
2
2
1
f n
n
n
=
-
-
表示n在运算f 作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：
2
2
1
1
1 1
1
f
=
-
-
= ，
2
2
2
2
2 1
3
f
=
-
-
=
，
2
2
3
3
3 1
5
f
=
-
-
=
，……
根据以上定义完成以下问题：
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2025
2026
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
+×××+
´
´
´
´
的值为______．
【变式3】（25-26 七年级上·山东枣庄·期末）用符号“ f ”定义一种新运算
f a ，对任意有理数a，当a为整
数时
1
f a
a
=
- ；当a为非整数时
1
f a
a
=
，例如：
3
3 1
2
f
=
- =
，
1
1
4
1
4
4
f æ
ö =
=
ç
÷
è
ø
利用以上规律计算：
1
2026
2025
f
f æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
______．
【变式4】（25-26 七年级上·北京·阶段检测）数学是一门充满思维乐趣的学科，现有3 3
´
的数阵A ，数阵每
个位置所对应的数都是1，2 或3．定义
*
a b 为数阵中第a行第b 列的数．
例如，数阵A 第3行第2 列所对应的数是3，所以3*2
3
=
．
（1）对于数阵A ，2*3的值为_________；
（2）若一个3 3
´
的数阵对任意的a，b ，c均满足以下条件：
条件一：
*
a
a
a
=
；条件二：( * )*
*
a b
c
a c
=
；
则称此数阵是“有趣的”．
①请判断数阵A 是否是“有趣的”．你的结论：_________（填“是”或“否”）；
②已知若一个“有趣的”数阵满足1*2
2
=
，则2*1的值为_________
