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培优专题02 整式运算及应用
（题型突破·举一反三）
▌题型01 合并同类项
【典例1】C
【变式1】B
【变式2】
【答案】
15
5
2
3
a
b
-
+
【变式3】
【答案】36
【变式4】
【答案】(1)<，<，>
(2)
4
a
b
c
-
-
▌题型02 去括号
B
【变式1】C
【变式2】
【答案】3
【变式3】
【答案】13
【变式4】
【答案】
4
3x
▌题型03 整式加减的运算
【典例3】A
【变式1】D
【变式2】B
【变式3】
【答案】(1) 4
3
a
b
-
(2)4ab
(3)
2
2
10
9
x
y
-
(4)
2
3
15
4
x
x
+
-
【变式4】
【答案】(1) x
-
(2)
3
2
2
3
3
2
x y
x y
-
(3)10
3
x +
(4)
2
1
x +
(5)
2
3
2
3
x y
y
xy
-
-
-
(6)
2
2
6
x
x
-
+
-
【变式5】
【答案】(1)
2
8x
x
+
(2)
3
2
3
7
1
6
3
x
y
y
-
-
(3)
3
5
6 x
-
▌题型04 整式加减中的化简求值问题
【典例4】
【答案】8．
【变式1】
【答案】22
【变式2】
【答案】4013
【变式3】
【答案】(1)
2
2
3
a b
ab
-
，57
4
(2)
8
x
y
xy
+
+
，35
-
【变式4】
【答案】
2
2
4
10
10
ab
a
b
-
-
+
，38
▌题型05 整式加减中的整除问题
【典例5】B
【变式1】D
【变式2】C
【变式3】
(2)
解：当一个三位数abc 满足a
b
c
+
+
可以被9 整除，则该三位数就能被9 整除．理由如下：
100
10
(99
)
(9
)
(99
9 )
(
)
abc
a
b
c
a
a
b
b
c
a
b
a
b
c
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
，
因为99a 和9b都能被9 整除，所以99
9
a
b
+
能被9 整除；
因此，如果a
b
c
+
+
可以被9 整除，那么abc 就能被9 整除
(3)
解：这个三位数能被3 整除，理由如下，
设这个百位数字为m，m为小于4 的正整数，则十位数字为2
3
m + ，个位数字为3m ，
\这个三位数为
100
10 2
3
3
123
30
3 41
10
m
m
m
m
m
+
+
+
=
+
=
+
，
m
Q
为正整数，
\这个三位数能被3 整除．
【变式4】
【答案】（1）100
10
a
b
c
+
+
（2）证明：
100
10
abc
a
b
c
=
+
+
(99
9 )
(
)
a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
3(33
3 )
(
)
a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
∵33
3
a
b
+
是整数
∴
3 33
3
a
b
+
能被3 整除
又∵a
b
c
+
+
能被3 整除
∴abc 能被3 整除；
应用：5 或14
▌题型06 整式加减中的无关型问题
【典例6】
【答案】1
9
【变式1】
【答案】(1)5
6
y +
．
(2)64
【变式2】
【答案】(1)
这个多项式的值与x 的取值无关，理由如下：
3
2
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
2
3
2
x
x y
xy
x
xy
y
x
x y
y
-
-
-
-
+
+ -
+
-
3
2
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
2
3
2
x
x y
xy
x
xy
y
x
x y
y
=
-
-
-
+
-
-
+
-
3
3
3
2
2
2
2
3
3
2
3
3
2
2
2
x
x
x
x y
x y
xy
xy
y
y
=
-
-
+ -
+
+ -
+
+ -
-
3
3y
= -
．
∵化简的结果中不含关于x 的项，
∴原式的值与x 的取值无关；
(2) 24
【变式3】
【答案】(1)8；
(2)
10
a
b
+
的值为常数6，与n的取值无关．
【变式4】
【答案】(1)10
2
2
mn
n
+
-
(2)
1
5
m = -
▌题型07 整式加减中的定值问题
【典例7】
【答案】(1) 4
(2)定值为2 ，k 的值为3
8
【变式1】
【答案】(1)254，1
(2) A
B
C
D
-
+
-
的值为定值，这个定值为0
（3）解：A
B
C
D
+
-
-
不是定值．理由：
当x 是奇数时，
A
B
C
D
+
-
-
24
3
27
x
x
x
x
= - + - -
-
+
-
+
4
54
x
= -
-
；
当x 是偶数时，
A
B
C
D
+
-
-
24
3
27
x
x
x
x
=
+
+
- - -
- - -
4
54
x
=
+
.
【变式2】
【答案】2
-
【变式3】
【答案】(1) =
(2)代数式
2
4
3
a
b
c
d
-
+
-
的值是定值，其定值为68
-
▌题型08 整式加减中的错解问题
【典例8】
【答案】(1)
2
1
3
1
2
B
x
x
=
+
+ ；
2
2
-
= -
-
A
B
x
(2)①2A
C
-
；
②
2
2
1
4 ,
1
2
C
x
x A
x
x
=
+
=
+
-
Q
，
2
2
1
2
2
1
4
2
A
B
A
C
x
x
x
x
æ
ö
\
-
=
-
=
+
-
-
+
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
4
x
x
x
x
=
+
-
-
-
2
2
x
= -
-
．
【变式1】
【答案】（1）
2
4
11
M
x
x
=
-
-
；（2）
2
5
4
4
x
x
-
- ．
【变式2】
【答案】
解：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
7
7
x y
x y
x y
y
x y
y
x y
é
ù
+
-
-
-
+
-
ë
û
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
7
7
7
7
x y
x y
x y
y
x y
y
x y
=
+
-
+
-
-
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
7
7
7
7
x y
x y
x y
y
x y
y
x y
=
+
-
+
-
-
+
2
6y
= -
；
∵化简结果中不含x 项，
∴小明同学把“
1
2
x =
”错看成“
1
2
x = -
”，但计算结果仍正确；
又∵化简结果中是“
2y ”，“1”、“ 1
- ”的平方是一样的，
∴小颖同学把“
1
y
-
=
”错看成“
1
y = ”，计算结果也是正确的．
【变式3】
【答案】(1)
2
2
2
B
a b
ab
=
-
(2)
2
2
2
8
5
A
B
a b
ab
+
=
-
【变式4】
【答案】
2
3
7
1
x
x
-
-
-
▌题型09 整式加减中的污染问题
【典例9】
【答案】(1)
2
4
4
x
x
-
+
(2) 25
4
【变式1】
【答案】(1)
2
13x y
(2) 4
-
(3) 3
-
【变式2】
【答案】(1)
2
2
13
a +
(2)3
【变式3】
【答案】(1)
2
13x y
(2) 3
-
▌题型10 整式加减中的比较大小问题
【典例10】
【答案】(1)
6
3
4
x
y
+
>
-
(2) P
Q
<
【变式1】
【答案】(1)
1
8
2
C
a
b
=
+
，
2
6
4
C
a
b
=
+
(2)
1
2
C
C
>
【变式2】
【答案】(1)
6
7
7
8
-
> -
(2)①
4
2
6
l
a
b
c cm
=
+
+
甲
，
4
4
4
l
a
b
c cm
=
+
+
乙
，
2
4
6
l
a
b
c cm
=
+
+
丙
；
②丙种方式最节省打包带，证明如下：
(4
2
6 )
(2
4
6 )
a
b
c
a
b
c
+
+
-
+
+
4
2
6
2
4
6
a
b
c
a
b
c
=
+
+
-
-
-
2
2
a
b
=
-
，
a
b
>
Q
，
0
a
b
\ -
>
，
2
2
0
a
b
\
-
> ，
(4
2
6 )
(2
4
6 )
a
b
c
a
b
c
\
+
+
>
+
+
，
\丙种方式比甲节省打包带．
(2
4
6 )
(4
4
4 )
a
b
c
a
b
c
+
+
-
+
+
2
4
6
4
4
4
a
b
c
a
b
c
=
+
+
-
-
-
2(
)
c
a
=
-
，
a
c
>
Q
，
0
c
a
\ -
<
，
2(
)
0
c
a
\
-
<
，
(4
4
4 )
(2
4
6 )
a
b
c
a
b
c
\
+
+
>
+
+
，
\丙种方式比乙节省打包带．
综上所述，丙种方式最节省打包带．
【变式3】
【答案】图（1）中阴影区域的周长大，大12 厘米
【变式4】
【答案】（1）
2
2
3
8
3
3
7
1
a
a
a
a
+
+
>
+
+
（2）①3，4 ；②
2
4
10
x
-
+
（答案不唯一）
