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培优专题04 整式加减的实际应用
（题型突破·举一反三）
题型01 销售问题
题型02 周长问题
题型03 面积问题
题型04 行程问题
题型05 数字问题
题型06 整除问题
题型07 日历问题
题型08 幻方问题
题型09 方案选择问题
题型10 分段计费问题
▌题型01 销售问题
【典例1】（24-25 七年级上·河南周口·期末）某商店销售一种商品，在“双十一”期间开展了线上，线下两种
促销活动，某一天的线上销售情况统计如下：
单件利润／元
销量／件
第1单
a
2
第2 单
b
4
第3单
c
4
(1)这一天线下的销售总利润比线上销售总利润少
3
5
a
b
c
+
+
元，这天线下的销售总利润多少元？
(2)若线下销售的总件数比线上的总件数少5件，求线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润
多多少元？
【变式1】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）随着春节越来越近，人们迎新年的氛围愈加浓厚，许多零售商
店都上架了新的纪念品，某零售商店购进一款新的纪念品共600 件，已知此款纪念品的进价为每件10元，现
采用两种销售方式，线下门店销售定价每件a元，需要支付实体门店租赁费用4000 元：线上网店销售定价每
件b 元(利润=销售额-成本)．
(1)用含a的式子表示该商店在线下门店出售完600 件纪念品的利润：；
用含b 的式子表示该商店在线上网店出售完600 件纪念品的利润：；
(2)在（1）的情况下，若
5
a
b
=
+ ，请判断选择哪种销售方式比较好．
【变式2】（25-26 七年级上·云南昭通·期末）某电子厂生产一批蓝牙耳机套装，每套套装由耳机主体和充电
盒组成，生产过程中涉及以下成本和销售信息：
①生产每个耳机主体的硬件成本为a元，生产每个充电盒的硬件成本为b 元；
②生产每个耳机主体需要支付工人组装工资20 元，生产每个充电盒需要支付工人组装工资10 元；
③该批蓝牙耳机套装的固定设备检测费用为3000 元，无论生产多少套都需支付．
(1)用含, ,
a b n 的代数式表示生产n套蓝牙耳机套装的总成本（总成本＝硬件成本＋工人工资＋固定设备检测
费）；
(2)当每套蓝牙耳机套装的售价为
2
80
a
b
+
+
元，生产的150 套蓝牙耳机销售一空，用含,
a b 的代数式表示
这批蓝牙耳机套装的总利润（总利润=总售价－总成本）．并化简；若
50,
30
a
b
=
=
，这批蓝牙耳机为该电
子厂带来的利润为多少元？
【变式3】（24-25 七年级上·重庆·期中）（1）“十小八”打算建一个种植基地，需要一个周长为
10
18
a +
米
的三角形护栏，其第一条边长为
7
4
a +
米，第二条边长比第一条边长少
2
3
a -
米，求该护栏第三边的边长；
（2）接下来，“十小八”准备买桃树苗进行种植，某商家的报价是每棵桃树苗单价为400 元．由于“双十一”
的到来，该商家为他提供了两种优惠．
若买桃树苗的数量小于等于5 棵，则每棵苗直接打九折；若买桃树苗大于5 颗时，先缴纳订金500 元，则本
次购买的每棵树苗打八折．且在付尾款时，500 元订金还会将膨胀为800 元优惠券用于抵扣买桃树苗的
钱．若“十小八”总共购买
0
x x >
棵桃树苗，用含x的代数式表示他买桃树苗花的钱（售价=标价´折扣）；
（3）在桃子成熟后，“十小八”计划卖200 公斤桃子，已知前期种植每公斤桃子的成本为4 元，利润为y
元．“十小八”卖了125 公斤后发现桃子开始腐烂，他决定在现在售价的基础上打九折销售，又卖出了70 公
斤．最后还剩5 公斤桃子彻底腐烂无法销售，用含y 的代数式表示“十小八”卖桃子的总利润．（售价=成本+
利润）
▌题型02 周长问题
【典例2】（25-26 七年级上·江苏泰州·期中）如图，将6 个大小形状完全相同的小长方形A，B，C，D，E，
F 放置在一个大长方形内（无重叠），其中G，H 为空余部分．设每个小长方形的长为x，宽为y．
(1)请用含x，y 的代数式分别表示空余部分G，H 的周长，直接写出化简后的结果：G 的周长为_______，H
的周长为_______；
(2)将空余部分G，H 的周长之和记为m，图形左上方A，B 组成的大长方形的周长记为n，则m，n 之间有
什么数量关系？请计算并加以说明．
【变式1】（23-24 七年级上·四川广安·期末）有4 张相同的长方形纸片，各边长如图1 所示（a
b
>
），将
它们拼成较大的长方形，共有如图2 的三种不同的方式．
(1)用含a，b 的式子表示：
方式一拼成的大长方形的周长
1
C ：______；
方式二拼成的大长方形的周长
2
C ：______；
方式三拼成的大长方形的周长
3
C ：______．
(2)试说明方式一拼成的大长方形的周长最大．
(3)如果这三种方式拼成的大长方形中有两个大长方形的周长相等，请求出a 和b 之间的数量关系．
【变式2】（25-26 七年级上·北京延庆·期末）数学课上，老师提出一道思考题，如图，在一个长方形中放入
三个正方形，从大到小正方形的边长分别为a
b
c
，，，则右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差
是多少？经过独立思考和小组讨论之后，小明代表本组汇报如下的解题思路：
可以先设重叠部分的小长方形的长与宽分别为x和y ，再用含a
b
c
x
，，，和y 的式子分别表示阴影部分的各
边长，算出右上角阴影部分周长和左下角阴影部分周长后求两者差即可得到答案
(1)请你结合小明说的思路，表示一下右上角阴影部分的周长为___________，左下角阴影部分的周长为
___________；
(2)右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差是___________（用含b 的式子表示）．
【变式3】（24-25 七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b 的大小比较，有下面的方法：
若
0
a
b
-
>
，则a
b
>
；若
0
a
b
-
=
，则a
b
=
；若
0
a
b
-
<
，则a
b
<
；我们把这种比较两个数大小的方法叫做
“作差法”．
(1)分别求出图1 中长方形A 的周长
A
C 和图2 中长方形B 的周长
B
C ；
(2)若a
b
>
，请用“作差法”比较
A
C ，
B
C 的大小；
(3)若
2
a
c
=
，
2
10
b
a
+
=
，直接写出图1 与图2 中长方形的周长之和______．
▌题型03 面积问题
【典例3】（25-26 七年级上·四川南充·期末）如图，①②两个正方形的边长分别为cm 6cm
a
、
．
(1)若
10
a =
，求阴影部分的面积；
(2)用含a的代数式表示阴影部分的面积；
(3)阴影部分的面积（记作S阴）和组合图形剩余部分的面积（记作S白）哪个大？大多少（用含a的代数式表
示）？
【变式1】（25-26 七年级上·广东梅州·期中）据调查，很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员
位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动
车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．在一次普及“交通安全知识”的综合实践活动中，七年级学生们对货
车(如图1)的盲区面积进行探究，得到货车盲区的部分分布图(如图2)，盲区1，2 的面积相同，都是
2
3
2 ab
a
+
，盲区3 的面积是
2
2
4
ab
a
-
+
，盲区4 的面积是
2
a ．
(1)用含a，b 的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）．
(2)若
2,
1
a
b
=
= ，求图中盲区的总面积．
【变式2】（25-26 七年级上·福建泉州·期末）项目式学习
【项目主题】探究包装盒的打包方式
【项目背景】学习了课本中“项目式学习2 ：包装中的智慧”后，同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探
究．
【项目素材】春节临近，某电商平台需要定制一种上盖为双层的长方体外包装纸箱（如图1），上盖纸板面
积等于底面面积的2 倍，并且每个外包装纸箱刚好能装入两个同样大小的小包装盒（如图2 ），设装入时不
留空隙，且纸箱厚度忽略不计．已知每个小包装盒的长、宽、高分别为a，b ，c，且a
c
=
，b
a
<
．现有如
图2 所示的甲、乙两种放入纸箱的摆放方式．
(1)分别计算甲、乙两种摆放方式所需外包装纸箱的纸板面积；（用含a，b 的代数式表示）
(2)当
20
a
cm
=
，
12
b
cm
=
时，问电商平台应选择哪种摆放方式，所需纸箱的纸板面积较少？
【变式3】（25-26 七年级上·山东济南·期末）为了更好的开展劳动教育，学校打算在原有长为a，宽为b 的
长方形土地上设计一个长方形的小池塘和一个半圆形的蔬菜种植地，作为开心农场社团的劳动基地．张亮同
学为学校提供了如图所示的设计方案：小池塘的长m，宽n分别是,a b 的
1
2 ，种植地的直径为n．
(1)用含,a b 的式子表示下列各区域的面积：
①长方形土地的面积：_____；
②长方形小池塘的面积：_____；
③半圆形蔬菜种植地的面积：_____．
(2)劳动基地除小池塘和种植地外的地方都是绿地，学校要求绿地面积要占长方形土地面积的一半以上．若长
方形土地的长与宽之间满足
3
2
a
b
=
，请你判断张亮同学的设计方案是否符合要求，并说明理由．
(3)经过测量，可得
15
a =
米，
10
b =
米．假设学校采用了张亮的设计方案，为了保证安全，学校决定购入一
批围栏，将小池塘围起来，围栏单价为40 元/米．围栏连接处的耗材忽略不计，要想将小池塘都围起来，请
你计算学校需要花费多少钱？
▌题型04 行程问题
【典例4】（25-26 七年级上·江苏南通·期末）港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长
的跨海大桥．一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96km h ，在海底隧道和主桥上行驶的平均
速度分别为72km h 和92km h ．请根据这些数据回答下列问题：
港珠澳大桥主体工程示意图
(1)直接写出汽车在主桥上行驶ht 的路程为______ km ；（用含t 的代数式表示）
(2)如果汽车通过海底隧道需要h
a ，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25 倍，请用
含a 的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长；
(3)如果汽车通过主桥需要h
b ，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15h ，请用含b 的代数式表示主
桥与海底隧道的长度差．
【变式1】（25-26 七年级上·湖北孝感·期中）下表是某品牌网约车的收费标准．
起步费
不超过3 公里为12 元
里程费
超过3 公里后超过部分2 元/ 公里
远途费
超过10 公里后超过部分0.4 元/ 公里
收费标准
时长费
超过10 分钟后超过部分0.6 元/ 分钟
例：乘车里程为20 公里，行车时间30 分钟，车费为：
12
2
20
3
0.4
20 10
0.6
30 10
62
+ ´
-
+
´
-
+
´
-
=
（元）
请回答以下问题：
(1)小华家到影院的路程是9公里，若乘该品牌网约车约需要15分钟，求所需车费多少元？
(2)小华乘该品牌网约车外出，行车里程为
10
a a >
公里，行车时间为
10
b b >
分钟，求所需车费多少元(用
含a、b 的代数式表示)？
(3)小华与小明都乘坐该品牌网约车到该市某景点游玩，行车里程分别为17 公里、20 公里，若汽车在市区内
限速40公里/ 小时，小华比小明乘车时间多用了13分钟，请通过计算说明谁付的车费多？
【变式2】（25-26 七年级上·广东东莞·期末）两船从同一港口同时出发，甲船顺水航行，乙船逆水航行，已
知两船在静水中的速度都是50km h ，水流速度是km h
a
．
(1)甲船航速＝______ km h ，乙船航速＝______ km h （用含a 的代数式表示）．
(2)3h 后两船相距多远？
【变式3】（24-25 七年级上·山东聊城·期末）如图，在数轴上A 点表示有理数a，B 点表示有理数b ，已知
a，b 互为相反数，且a是多项式
2
5
6
15
x
x
-
-
-
的二次项系数．
(1)求a，b ；
(2)数轴上有两个动点P
Q
、
，动点P 从A 点出发，以每秒4 个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时
动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P 在点C 处追上点Q ，求点C 表
示的有理数c．
(3)在（2 ）的条件下，点P
Q
、
相遇之前，4PQ
PA
+
是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
▌题型05 数字问题
【典例5】（25-26 七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整
数，十位上的数字为a，个位上的数字为b （a
b
>
），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所
得新数的差等于a与b 的差的9倍．
回答问题：
(1)请证明小智的发现；
(2)已知一个三位正整数的百位上的数字为m，个位上的数字为n，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，
十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出m
n
-
的值．
【变式1】（24-25 七年级上·陕西咸阳·开学考试）一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等．若从
M 的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称
这个和为M 的“团结数”．如123 的“团结数”为12 13
21
23
31 32
132
+
+
+
+
+
=
．
(1)请求出427 的“团结数”；
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等
（
0,
0
a
b
¹
¹
），若N 的“团结数”与N 之差为24，求N 的值．
【变式2】（25-26 七年级上·四川眉山·期末）已知一个三位数，百位上数字比十位数字大1，十位数字比个
位数字大3．
(1)若这个三位数的百位上数字为m，请用m的代数式表示这个三位数；
(2)若将这个三位数的百位上数字与个位数字对调，求所得新数比原数小多少？
(3)若这个三位数是5 的倍数，求这个三位数．
【变式3】（25-26 七年级上·湖北襄阳·期末）有一种可计算6 10
～
之间整数相乘的手指算法．
例：计算7 8
´ 时，按图1 标记数字并摆放手掌．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线
的下方，双手共有5 个手指，则以5 作为十位数字；在虚线的上方，左手有3 个手指，右手有2 个手指，取
两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即算法为
10
5
3
5
2
3 2
56
é
ù
´
-
+
-
+ ´
=
ë
û
（注：为体现“算理算法”思想，本题填写分析与“算法”时不要化简或计算，如“波浪线”表示“虚线下方共有指
头数作为十位数字”）．
【学习算法】
（1）计算6 9
´
时，按上述方法，算法为：
54
=
；
【总结算法】
（2）设a，b 分别为6～10 中的任一整数．在计算×
a b 时，a 在左手，b 在右手，则虚线上方左手有 个手指，
右手有 个手指；虚线下方双手共有 个手指．则算法为：
a b
=
× （用含a，b 的代数式表示）．
【探究拓展】
（3）若a，b 变为16
20
～
之间整数也有类似的算法，请你探究：如图2 标记数字，并按相同方法画出虚
线．若在虚线的上方，左、右手分别有m 和n 个手指．则算法为：200 +
mn
a b
+
=
× （用含m，n 的代数式
表示）．
（4）若a 为6～10 之间整数，b 为16～20 之间整数也有类似的算法，请你探究：如图3 标记数字，并按相
同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m 和n 个手指．则算法为：
a b
=
× （用含m，n 的代数
式表示）．
▌题型06 整除问题
【典例6】（25-26 七年级上·浙江温州·期末）综合与探究
【阅读材料】
一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9 整除，那么这个自然数就能被9 整除．比如：
若一个两位数的十位、个位上的数字分别为x
y
、，通常记这个两位数为xy ．
即
10
9
xy
x
y
x
x
y
=
+
=
+
+
．
因为9x和
x
y
+
都能被9 整除，
所以
9x
x
y
+
+
就能被9 整除，
所以xy 能被9 整除．
【应用拓展】
(1)请参考以上阅读材料说明理由：设abc 是一个三位数，若
a
b
c
+
+
能被9 整除，则abc 就能被9 整除．
(2)若
9
4
m -
能被9 整除时，
3
m n也能被9 整除，则n的值为___________．
【变式1】（25-26 七年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】下面是华师版教材111 页的部分内容．
设abcd 是一个四位
数，如果a
b
c
d
+
+
+
可
以被3 整除，那么这个
数可以被3 整除．为什
么？
【特例验证】写出一个能被3 整除的四位数 ①．该数四个数位上的数字之和为 ②，显然该和 ③被3
整除（填“能”或“不能”）．
【探究证明】下面是小明的部分证明过程，请补充完整．
解：
1000
100
10
abcd
a
b
c
d
=
+
+
+
＝
99
9
a
b
b
c
c
d
+ +
+
+
+ +
999
99
9
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+
+ +
，
显然999
99
9
a
b
c
+
+
能被3 整除．
因此如果a
b
c
d
+
+
+
能被3 整除，那么abcd 就能被3 整除．
【迁移运用】设abc 是一个三位数，如果a
b
c
+
+
能被9 整除，那么这个数可以被9 整除，为什么？请写出
证明过程．
【拓展提升】当五位数1035x 能被9 整除时，直接写出x 的值．
【变式2】（25-26 七年级上·广东深圳·期末）小龙上小学时得知“如果一个数的各个数字之和能被3 整除，
那么这个数就能被3 整除”．于是他选取了一个三位数825，它的各个数字之和为8
2
5
15
+
+
=
，因为
15
3
5
¸
=
，所以825 应该能被3 整除．爱思考的小龙想到用两种方法进行说明．
方法1：计算验证
825
3
275
¸
=
方法2：分析说明
825
8 100
2 10
5
= ´
+ ´
+
8
99 1
2
9 1
5
= ´
+
+ ´
+
+
8 99
8
2 9
2
5
= ´
+ + ´ +
+
8 99
2 9
8
2
5
=
´
+ ´
+
+
+
3
8 33
2 3
3 5
= ´
´
+ ´
+ ´
因为8 33
2 3
´
+ ´ 为整数，5 为整数，
所以
3
8 33
2 3
´
´
+ ´
能被3 整除，3 5
´ 能被3 整除，所以825 能被3 整除．
(1)有一个三位数，它的百位数字是7，十位数字是4，请你选择一个合适的个位数字，使得这个三位数能被3
整除，并用方法2 说明理由；
(2)设abcd 是一个四位数，a，b，c，d 分别为对应数位上的数字，请说明若a
b
c
d
+
+
+
能被3 整除，则这个
数也可以被3 整除．
【变式3】（23-24 八年级上·山西长治·阶段检测）设abc 是一个三位数，若a
b
c
+
+
可以被3 整除，则这个
三位数可以被3 整除．
证明：
100
10
abc
a
b
c
=
+
+
99
9
a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
9 11a
b
a
b
c
=
+
+
+
+
．
9
Q
能被3 整除，
11a
b
+
是整数，
9 11a
b
\
+
可以被3 整除．
又
a
b
c
+
+
Q
可以被3 整除（已知），
\这个三位数可以被3 整除．
(1)请仿照上面的过程，证明：设abcd 是一个四位数，若a
b
c
d
+
+
+
可以被3 整除，则这个四位数可以被3
整除．
(2)已知一个两位数的十位上的数字比个位上的数字的2 倍大3，这个两位数能否被3 整除？如果能，请说明
理由；如果不能，请举例说明．
▌题型07 日历问题
【典例7】（24-25 七年级上·全国·单元测试）学习情境·日历如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形圈
出9 个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）
(1)图中圈出的9 个数的平均数是多少？直接写结果.
(2)若用正方形圈出此日历中的任意9 个数，位于中心位置的数是m，那么这9 个数的和是多少？
(3)若用正方形圈出此日历中的9 个数，这9 个数的和有可能是225 吗？试说明理由.
【变式1】（24-25 七年级上·北京·期中）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题．
(1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6 个数，请根据规律补全“阶梯框”；
(2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3 的倍数；
(3)在（1）的条件下， a 可能等于7 或26 吗？请说明理由．
【变式2】（25-26 七年级上·湖北襄阳·期末）如图1 是某年7 月的日历，用一平行四边形框在表中任意框住
4 个数．
(1)若框住4 个数的和为74，求出框住4 个数中最大数；
(2)能否用平行四边形框在该日历中框出这样的4 个数，它们的和等于94？若能，则求框出的最小数，若不
能，说明理由．
(3)如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4 个数为a、b、c、d，平行四边形在不同的位置时，代数
式4
3
2
a
b
c
d
-
+ -
的值是否发生变化，若变化说明变化规律，若不变化求出该值．
【变式3】（24-25 七年级上·广东江门·期中）数学活动−−探究日历中的数字规律
如图1 见2023 年11 月份的日历，小乐在其中画出一个3 3
´
的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置
如图2 所示的四个数“
b
c
a
d
+
-
+
”的值，探索其运算结果的规律．
(1)初步分析：计算图1 中
10
22
8
24
+
-
+
的结果为______；将图2 中3 3
´
的方框移动到图1 中的其他位置，
通过计算可以发现
b
c
a
d
+
-
+
的值均为______；
(2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整．
解：设a
x
=
，则
2
b
x
=
+
，
14
c
x
=
+
，d =______．
所以，
2
14
b
c
a
d
x
x
+
-
+
=
+
+
+
- （______）=______
(3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1 中的日历．继续进行如下探究．
请从下列A，B 两题中任选一题作答．我选择______题．
A．在日历中用“Z 型框”框住位置如图3 所示的四个数．探究“
b
c
a
d
+
-
+
”的值的规律．写出你的结论．并
说明理由．
B．在日历中用“Y 型框”框住位置如图4 所示的四个数．探究“
b
c
a
d
+
-
+
”的值的规律，写出你的结论．并
说明理由．
▌题型08 幻方问题
【典例8】（25-26 七年级上·湖北荆门·期末）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．把图1 的洛书
用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都
相等．如图3 是一个没有填完整的三阶幻方，那么正中间的方格中的数字为______；由三阶幻方可以衍生出
许多有特定规律的新幻方，在如图4 所示的幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形
四个顶点上的数字之和相等，若
4
m
n
-
=
，a
b
c
d
- + -
= ______．
【变式1】（23-24 七年级上·福建福州·期中）幻方是一类数字方阵，是流行于欧亚的世界性文化，在如图所
示的图形中，每个字母分别代表不同的代数式，每个三角形的三个顶点上的代数式之和都与中间正方形四个
顶点上的代数式之和相等，若
2
1
A
n
=
- ，
4
1
C
n
=
+ ，
2
F
n
=
，则H = ____________．
【变式2】（25-26 七年级上·全国·期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，相传大禹治水时，
有只神龟从洛水中跳出来，背上负有洛书，洛书便是最早的幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，
它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵列的数字之和均相等，这个和叫作幻
和．如图1 是由1，2，3，4，5，6，7，8，9 所组成的一个三阶幻方，其幻和为
1
2
3
9
3
15
+
+ +¼+
¸ =
．
(1)①如图2，设该三阶幻方中间的数字是x(其中x 为正整数)，请用含x 的代数式将图中的幻方填充完整；
②如图3 也是由1，2，3，4，5，6，7，8，9 所组成的一个三阶幻方，求x 的值．
(2)如图4，这是一个类似于幻方的“幻圆”，将3
- ，2，1
- ，0，1，2
- ，3，4
- 分别填入图中的圆圈内，使横、
竖以及内、外两圈上的4 个数字之和都相等．现已完成了部分填数．
①求“幻圆”的幻和；
②求a
b
+
的值．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏宿迁·期中）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源
于何处，如今有各种传说．图1 即洛书，数出图1 中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1 中的顺序把它们填
入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图2）．
【观察发现】
图2“三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于15，中间的数为5，若将“三阶”幻方的每行、
每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的3 倍．
【猜想验证】
猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的3 倍．
说明理由：如图3，将“三阶”幻方中的9 个数字分别用字母a、b、c、d、e、f、g、m、n 表示，其中“中心数”
为e，将“幻方和”用字母s 表示．
由题意可知：
3
a
b
c
d
e
f
g
m
n
s
+
+
+
+ +
+
+
+
=
；
又因为
4
a
e
n
d
e
f
g
e
c
b
e
m
s
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+ +
=
；
即
3
4
a
b
c
d
e
f
g
m
n
e
s
+
+
+
+ +
+
+
+
+
=
；
所以3
3
4
s
e
s
+
=
，所以3e
s
=
，即“幻方和”是“中心数”的3 倍．
【解决问题】
利用上述结论解决问题：
(1)如图3，已知
3
b =
，
4
g =
，幻方的“中心数”
1
e = - ，则n 的值为 ；
(2)如图4，A、B、C、D、E、F 是含有字母t 的整式，E
t
= ，
3
2
C
t
=
+
．
①若幻方的“中心数”
2
2
D
t
=
+
，求整式F 和整式A（用含t 的式子表示）；
②若幻方的“中心数” D
m
=
，B
at
m
=
+
，且a、m 均为常数，求a、m 的值．
▌题型09 方案选择问题
【典例9】（25-26 七年级上·河北保定·期末）一元一次方程解决实际问题
某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180 元，护腿板每个
定价40 元，商店提供两种优惠方案：
方案一：买1 个足球送1 个护腿板；
方案二：足球和护腿板都按定价的90%付款，该球队需购买足球35 个，护腿板x 个
35
x >
．
(1)方案一的总付款金额为___________元（用含x 的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________
元（用含x 的代数式表示并化简）；
(2)当
100
x =
时，哪种方案更省钱？计算说明理由；
(3)当
100
x =
时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用．
【变式1】（25-26 七年级上·河南信阳·期末）为响应“绿色校园”号召，七年级（5）班计划在教室窗台布置
绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50 盆．已知绿萝每盆原价18 元，多肉每盆10 元．花店提供两种采购方
案：
方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8 折；
方案二：绿萝每盆优惠3 元，多肉价格不变．
问题：
(1)若购买绿萝35 盆、多肉15 盆，两种方案的费用分别是多少？
(2)设购买绿萝x 盆（x 为整数，且10
50
x
£
£
），用含x 的整式分别表示两种方案的总费用；
(3)求当购买绿萝多少盆时，两种方案费用相同？并直接写出当购买绿萝的数量超过这个数时，哪种方案更省
钱？
【变式2】（25-26 七年级上·辽宁锦州·期中）某网店准备在“11.11”网购节期间实施一系列优惠活动回馈新老
客户，该店针对一款原价25 元/支的钢笔推出了两种优惠方案：方案一：每支按8 折销售；方案二：购买
20 支以内无优惠，当购买数量超过20 支但不超过50 支时，每多购买1 支，每支钢笔的单价就会减少0.2 元，
当购买数量超过50 支时，每支单价为18 元．
(1)购买数量为30 支时，方案二钢笔的单价为______元；
(2)王老师准备在该网店一次性购买x 支钢笔赠与学生留念（已知
20
x >
）．
①根据题意填表：（请用含x 的代数式表示）
方案
购买数量（支）
购买单价（元）
总金额（元）
方案一
x
____________
____________
20
50
x
<
£
____________
____________
方案二
50
x >
18
18x
②若王老师有一张满1100 减200 的优惠券，可与上述两种优惠方案同享，则当
60
x =
时，选择方案几购买
更划算？为什么？
【变式3】（25-26 七年级上·上海·期末）某商场开展春节促销活动，方案如下：
方案一：单笔消费满100元减30元，满200 元减70 元，满300元减120元（每满100元对应减免金额递增，满
100元减30元，满200 元即减70 元，以此类推，减免金额上不封顶）；
方案二：单笔消费一律打8折（折后价四舍五入取整数）．
(1)若顾客甲单笔消费280 元，选择哪种方案更划算？说明理由；
(2)若顾客乙单笔消费x 元（x 为整数，且100
200
x
£
<
），选择方案一和方案二的减免金额相等，求x 的值；
(3)顾客丙单笔消费x 元（x 为整数，且200
300
x
£
<
），试比较选择哪种方案更划算．
▌题型10 分段计费问题
【典例10】（25-26 七年级上·山西长治·期末）为了节约用水，某地采用阶梯性用水收费的方式，其月阶梯
用水收费标准如下表：
阶梯
月用水量
收费标准
第一阶梯
不超过
3
6m
3.42 元/
3
m
第二阶梯
超过
3
6m ，不超过
3
9m
超过
3
6m 的部分4.52
元/
3
m
第三阶梯
超过
3
9m
超过
3
9m 的部分7.82
元/
3
m
(1)若某居民月用水
3
m
a
，用含a 的代数式表示下列问题：
①若该居民的用水量在第一阶梯，则该居民应缴费_____元；
②若该居民的用水量在第二阶梯，则该居民应缴费______元．
(2)若某居民1 月份用水
3
15m ，则该居民1 月份应该缴水费多少元？
【变式1】（25-26 七年级上·陕西西安·期末）为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收
费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为
0.5 200
0.6
300
200
0.8
350
300
200
´
+
´
-
+
´
-
=
元）
月用电量（单位：度）单价（元/度）
不超过200 度的部分
0.5
超过200 度不超过
300度的部分
0.6
超过300度的部分
0.8
已知小明家上半年的用电情况如下表（以200 度为标准，超出200 度记为正、低于200 度记为负）：
一月份
二月份
三月份
四月份
五月份
六月份
40
-
15
+
25
-
30
-
21
+
28
+
根据上述数据，解答下列问题：
(1)小明家用电量最多的是 月份，这个月电费为 元；
(2)若小明家某月用电量为x 度
200
300
x
<
£
，请用含x 的代数式表示小明家该月的电费为 元；
(3)若小明家7 月份的用电量为320度，请求出小明家7 月份的电费．
【变式2】（25-26 七年级上·福建厦门·期中）为保护地球，节约资源，某市天然气采用阶梯收费，关注社情
的小明同学从市天然气公司看到这样一张价目表：
用气类别
年用气量
3
m
单价（元/
3
m ）
备注
第一档
年用气量
400
£
3.8
第二档
400 < 年用气量
1000
£
4.2
第三档
年用气量
1000
>
5
人口超过4 人的家
庭，每增加1 人，
第一、二档年用气
量上限分别增加
3
100m 、
3
200m
小明一开始看不明白，公司员工举了一个例子：
若某三口之家年用气
3
500m ，则收费
400 3.8
500
400
4.2
1940
´
+
-
´
=
元，小明恍然大悟．聪明的同学请跟
小明一起解决下列问题吧！
(1)填空：若某三口之家1 年用燃气
3
300m ，则应收费_______元；若另一个三口之家该年用燃气
3
420m ，则
应收费_______元；
(2)若某三口之家该年用燃气
3
m
400
1000
x
x
<
£
），则应收费多少元？（结果用含x 的最简代数式表示）
(3)若某三口之家和五口之家该年用气量均为
3
m (1000
1200
a
a
<
£
），则这两户人家燃气费用相差多少元？
（结果用含a 的最简代数式表示）
【变式3】（24-25 七年级上·北京·期中）出租车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项
目
起步价
里程费
时长费
远途费
单价
13 元
（包含里程3 公里，包含时长
9 分钟）
2 元/公
里
0.4 元/分
钟
0.6 元/公里
（超过20 公里后，加收
远途费）
注：车费由起步价、里程费、时长费、远途费四部分构成．
例如，乘坐出租车，行车里程为25 公里，行车时间为30 分钟，则需付车费为：
13
2
25
3
0.4
30
9
0.6
25
20
64.4
+ ´
-
+
´
-
+
´
-
=
（元）．
(1)若小淇乘坐出租车，行车里程为10 公里，行车时间为20 分钟，则需付车费_____元．
(2)若小尧乘坐出租车，行车里程为a 公里，行车时间为
9
b b >
分钟．
①若3
20
a
£
£
，则小尧应付车费_____元；（用含a、b 的代数式表示，并化简）
②若
20
a >
，则小尧应付车费_____元．（用含a、b 的代数式表示，并化简）
(3)小淇与小尧各自乘坐出租车去市区内某景点（汽车市区内限速40 公里/小时），行车里程分别为19 公里
与22 公里，受路况情况影响，小淇反而比小尧乘车时间多用18 分钟，利用代数式的知识说明谁付的车费多．
