精英数学大视野(8年级)_2026秋初中教辅合集_黄东坡数学系列_《黄东坡系列•学科精英大视野》7-9（数学物理化学）

学
科
精
英
大
视
野
系
列
丛
书
八
竿
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M
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问
题
览
胜
思
维
锤
炼
文
化
积
淀
审
美
引
领
黄东坡
数学教育学硕士，国家级骨干教师，中国数学奥林
匹克高级教练。多年来关注数学和数学教育的进展，致力于中考
数学和奥林匹克数学的研究。代表作《培优新方法~
~探究应用
新思维~
~学科精英大视野~
~优与雅的初中代数~
~爱与恨的
初中平面几何~
~带你发现数学之美》自出版以来深受广大师生
欢迎，畅销千万册，成为全国许多重点中学开展学科课外活动的
指定教辅读物。
{ 经科精英大视野山书〉
精英做学大视野
七年级
|联系地址:武汉市洪山区雄楚大道268号
tεtl心E三军.~~~.J]~电，~;咱
精英做学大视野
九年级
精英物理大视野
八华饭
精英物理大视野
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精英化学大视野
丸竿级
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淘宝地址:湖北人民出版社旗舰店
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邮编: 430070 
电话: 027-87679657 
作者地址:湖北省水果湖第二申学
邮编: 430071 
天猫肮舰店
圃圃圃唰
责任编辑刘玉
封面设计刘舒扬
定价: 38.00元
学
科
精
英
大
视
野
系
列
丛
书
八
年
级
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咕
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M
幌
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A
兰
队
在
一
湖
气
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俱怀逸兴壮思飞
欲上青天揽明月
一一一文化视野下的精英数学
美国国家研究委员会发表的《人人关心数学教育的未来》一书强调，国与国
之间的竞争是高新技术的竞争，而高新技术竞争的背后是具有创造力的拔夫人
才的竞争，很少有人知道，高新技术的本质是数学化的技术。
本书为有志于升入重点中学的学生而著，为未来学科带头人、各行业领军
人而作。
追求在广阔的文化背景下，用思想方法武装头脑，用历史名题开启心
智，用问题解决锤炼思维，用人文精神滋养心灵，用审美视角引领鉴赏。
旨在打
造未来精英的核心能力构成:专业素养、理性思维、人文情怀、审美眼光。
本书展现了隽永的图景，或是数学大师的风采展示，或是数学成果的呈现，
或是数学名著的介绍，或是数学重大事件的再现，把抽象的数学化为视觉化的
形象，通过图示形象地渗透数学的思想、方法、精神，直观地反映数学与自然、数
学与现实、数学与其他学科的联系。在阅读本书的过程中，重温厚重而曲折的
数学历史，领略数学的力量、神韵、美丽。
本书收录的历史上经典数学名题、趣题，或来自民间传说，或由文化名流编
撰，或是数学大师的研究成果，它们是数学大花园中的奇花，因内涵丰富、匠心
独具而流传千古。在思考这些名题、趣题的过程中，从惊讶到思考而开启心智，
品鉴经典名题的醇香韵味。
本书汇集了近年国内外中考、竞赛的优秀试题，或是引而不友的点拨，或是
深入浅出的分析，或是刨根究底的探索，或是开放思维的发散，或是言简意贱的
总结，或是直抵心灵的感悟。在解决这些问题的过程中，感受解题之道、思维之
美，体会由一筹莫展、冥思苦想到茅塞顿开、悠然心会的巨大乐趣。
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(牛雏
学科精英大视野系列丛书
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潮平两岸阔，风正一帆悬。
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1
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走进《大视野)) ，身
'1各数学文化场景:既有情境，又有历史;既有方法，又有思
想;既有真知，又有顿悟;既有趣味，又有哲思。
蕴万昼于胸，纳百川于怀。
走进《大视野)) ，收获的是技巧与方法，激活的是质疑与想象，提升的是意识
与美感，生成的是智慧与能力。
高远而蔚蓝，广袤而深远。
愿你早日成为未来科技英才、文化精英。
黄东坡
~AA~ 
♀ 
第1 讲整式的乘除
. .
对称之美……………………………………
4
拼图与数学…………………………………
7
第2 讲乘法公式……………………………………
10
拓展公式……………………………………
12
第3 讲因式分解………………………………… …
19
因式定理……………………………………
21
第4 讲
因式分解的应用……………………………
29
结构思维……………………………………
31
第5 讲
分式的化简求值……………………………
37
顺思逆想……………………………………
40
第6 讲分式方程……… ………… …………………
47
均值不等式… ………………………………
49
第7 讲实数的性质……… … ………………………
57
估算与数感…………………………………
60
第8 讲
二次根式的化简求值……… …… …………
66
构造对偶命题…… …………………………
69
第9 讲
代数式的恒等变形……………… … ………
75
特殊与一般…………………………………
78
第10 讲待定系数法…………… … ………………
84
逆向运算
… ……… ………………………
86
第11 讲完全平方数…… … …………………… …
90
孰是孰非…… … … ………………………
92
&:\&:\t::\1:. 
1且在
学科精英大视野系列丛书
护也
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云云'r
i
… .. .品、且，，;.，.
.-----. 
.与.‘:
第12 讲
第13 讲
第14 讲
第15 讲
第16 讲
第17 讲
第18 讲
第19 讲
第20 讲
第21 讲
第22 讲
9芮吧
1---1 
......... ....J、~
一次函数…………………………………
98
转换视角…………………………………
101
反比例函数……………… ………… ……
108
叠加双曲线…: …………… … ………… . .
111 
全等三角形………………………………
121
半角模型… ………………………………
124
等腰三角形………………… …… ………
132
确定主条件………………………………
135
等边三角形………………………………
142
旋转图形…………………………………
145
直角三角形………………………………
153
弦图……… …… …… …… ………………
156
平行四边形………………………………
164
证明与反驳……… ………………………
167
正方形…… …… …………………………
177
构造正方形… …………………… ………
180
梯形………… … …………………………
186
寻找关联…… … …………………………
189
中点的畅想………………………………
196
中垂三角形………………………………
199
平行线分线段成比例……………………
207
梯形"腰带"
. 209 
飞
CONTENTS /
~AAt; 
，传
食
，传
食
食
食
第23 讲
相似三角形的判定………………………
217
相似性原理………………………………
220
第24 讲
相似三角形的性质………………………
228
内接四边形………………………………
231
第25 讲
几何不等式………………………………
239
费马点……………………………………
241
第26 讲
图形面积…………………………………
249
面积平分…………………………………
252
第27 讲
平移变换…………………………………
260
构造平行四边形…………………………
263
第28 讲
对称变换…………………………………
268
台球桌上的数学…………………………
271
折纸中的数学发现………………………
274
第29 讲
数形互助…………………………………
281
几何直观…………………………………
284
第30 讲
图论思想…………………………………
290
拉姆赛定理………………………………
292
第31 讲
染色问题与染色方法……………………
297
喜形于色…………………………………
299
第32 讲
解析法初步………………………………
304
数形结合…………………………………
306
目录:
飞、
CONTENTS ':
~I"I:\I"I:\IJ 
嘻
1 905 年，当时在瑞士专利局担任普通职员的一位
26 岁的青年得到了一个关系式，这就是世界上最有名
的公式E = mc 2
，该公式简单而意义深远，揭示了一个令
人难以置信的事实
"一块普通石头
，其中竟然蕴藏着足
以毁灭一座城市的巨大能量
" 这位青年就是阿尔伯
特
· 爱因斯坦.
声i 由自由气
I
'
知能跟遮
幕的运算性质是整式乘除的基础，灵活运用幕的运算性质，能在更高层
次上掌握和理解相关代数变形的实质.
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展. 一个一元多项式f(x) 除
以另一个一元多项式g (工)时，总存在一个商式q( x ) 与一个余式r( 川，使得
f( 工) = g( 工)q( x ) 十r( 川成立，其中r(川的次数小于g ( 工)的次数. 特别地，
当r(工) =0 时，称f( x ) 能被g( 工)整除.
'
问题能决
例
1
(1)已知x 2 +x= l ，那么x 4 + 2X3 -X 2 - 2x+ 2005= 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
(2) 若n 为不等式n 200 > 6圳的解，则n 的最小正整数的值为
. 
("华罗庚杯"香港中学竞赛题)
幡题思路
对于(1) ，恰当地运用条件，把高次项用低次多项式表示，如
x 2 = 1-x ,x 3 = 工
• X 2 =x (1 -X ) =X- X 2 =X- (1 -x ) = 2工
1 等;对于(2)
，
从幕的乘方逆用入手.
\品J 嘻
在数学的天池
里，重要的不是我们
知道什么，而是我们
怎么知道什么.
一一-毕达哥拉斯
刘维尔定理
1 9 世纪法国数
学家刘维尔在研究整
数分解问题时发现了
一个有趣的现象:
若自然数α 有因
子丸，儿，…，丸(包
括
1 和它自身) ，而这
些因子自身的因子个
数分别为
r \ 叫，… ，r n 
(包括1 和它本身) ，这
时有:
r: 十二+ … +已=
( r\ + r, + … 十r" ) ' 
请你验证一下这
个曾被当作数论中的
珍奇之一而写入《数
学中的智巧》一书中
的公式.
~~Cit\ 
1传
食
立与
食肯
为
食
，峙
，曾
1 , 1 
例2
已知25 X = 2000 , 80Y = 2000 ，则一+一等于(
). 
X 
Y 
3 
A. 2 
B. 1 
C. : 
D
一
2 
- . 2 
1 , 
1
币↓u
晤题思路
因工，y 为指数，故目前无法求出川的值，_.::_+_.::_=~，
X 
Y 
xy 
只需求出X+y ，xy 的值或它们的关系，自然想到幕的运算性质.
例3
已知(3x- 1) 5 =α 5 X 5 + 向工4 +a3X3 +a 2 工2 + ajX 十α O '
求:(1)
a 5 -a 4 十a 3 -a2 + αj 
a O 的值;
(2) la5 1+ 1 
α4 I + I a 3 I + I a 2 I + Iα j 
I 的值.
(北京市竞赛题)
幡题思路
通过展开式去求出每一项系数，计算繁难.事实上，在工的
允许值范围内取任意值代人计算，条件等式都成立，注意::1:: 1 的幕的特征，用
赋值法求解.
例4
设a ，b ，c ，d 都是自然数，且矿=b4 ,c3 =矿
，a-c=17 ，求d -b 的值.
(上海市竞赛题)
些些里堕设α 5
扩=m 2 0 ,c3 =d2 =n 6
，这样a ，b 可用m 的式子表示，
c ，d 可用n 的式子表示，通过减少字母的个数，降低问题的难度.
式
数
书
、
,A1 
求
PO 
--
、
‘I
I
I
-
F
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勺
t
-
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‘ \ 
\|-1/ 
M
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\ 
\.,
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/ 
臼
-
8
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ill-
\ 
足
满
z 
y 
z 
数
整
果
，
η
只
值
忖
的
暂
且
一
门
(美国犹他州竞赛题)
壁些壁些
由各分数的分子、分母可知，等式左边可以化成底数为2 ，3 ，
5 的幕的积的形式，由a m -矿得m=η ，建立关于Z 巾，Z 的方程组.
文J
学科精英大视野系列丛书
与系相关的计
算、化简求值、比较
大小，既要用到萃的
性质，又要常用如下
策略:
(1)把不同底数
的采化成同底数的幕;
(2) 把不同指数
的采化为同指数的采;
(3) 把已知寨化
成特殊底数的家;
(4) 作差、放缩比
较萃的大小.
~G.\&:t\ 
* 
食
食
女
食
第
1 讲
( 川军!6l )
才过
4岐
女
A 
平~'
例6
已知多项式旷一旷+ax 2 +7x+b 能被工2+ X 一2 整除，求?
的值.
(北京市竞赛题)
瞄法1
列竖式演算，根据整除的意义解
二
十
+
+
一
一
?
"
-
9
b
i
?
"
-
。
ι
，
"
-
。
，
"
Z
-ZZ-zz-z 
q
ρ
-
G
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吐
一
、
..• 
j
p
b
一
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一
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哇
-
n
y
-
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+
一
+
一
-
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一
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飞
一
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，
、
一
+
二
+
二
一
3
一
'
3
7
-
3
3
一
-bnu-F
UK-
-
一
十
一
一
一
一
-
a
a
τ
A
喳
】
-
Z
Z
一
-
9
'
u
q
h
一
9
白
z 
+ 
2 
z 
5x+Cα+9) 
7x+b 
7x+b 
lOx 
b十b
(a十9)x 2 + 
Cα+9 )x -2Cα+9) 
C - 12 - a) x+b+2Cα+9) 
因为2x 4 -3x3 +ax2 +7x+ b 能被工2 十x-2 整除，
r- 12 -a=0 . 
ra=- 12. 
所以1
即!
lb 十2(a+9)=0 ，
. Ib=6. 
12 
所以一=一一= -2 .
b 
6 
障法2
利用待定系数法解
因为2x 4 -3x3 +ax2 + 7x + b 能被t 十x-2 整除，可设
2x4 -3x 3 十αz2 十7工+b= CX 2 十x-2)C2工2 十mx 十η) ，化简整理，
得2x
4 -3x3 +ax2 + 7x + b= 2x4 + (m 十2) x 3 + (m + n - 4) x 2 + ( n -
2m)x-2n. 
(m+2=-3. 
1 m 十η -4=a ，
比较对应项系数，得{In -2m = 7. 
L -2 η =b. 
j
L
吁
'
2
'
l
‘
内
气
U
咱
t
4
一
-
1
-
3
一
一
一
一
一
一
『
wna
wb 
r
l
l
I
l
l
-
J
1
l
l
i
l
-
-
、
国
寻
解
一12
所以一=一一一=-2 .
b 
6 
瞄洁3
利用因式定理解
因x
2 +x-2= (x+2) (x-1)
，而f(x) = 2x4 -
3x3 + αx 2 +7x+ b 能被
工2+X 一2 整除，故fCx) 也能分别被(x+2)
，(x- l)整除，
则f (-2)=0 ，f (1 )=0.
12 X(-2)4_3X(-2)3 十αX (-2)2+7X (-2) + b=0 , 
即l
) 2X1 4 -3X1 3 + αX 
1 2 十7X1+b=0 ，
la=-12 , 
月一12
解得!
所以二=一一=-2
ì b = 6 , 
U ' .~ . b 
6 
\二哇
整式的乘除
多项式除以多项
式，当除式是一次式
时，有如下结论:
(1)余数定理
多项式
f(x) 除
以( x 一α) 所得的余数
等于f(a).
(2) 因式定理
芳多项式
f( x)
除以(x 一α) 所得的余
数为
f( α) = 
0 ，则
f(x) 含有因式(x­
a) ，反之亦然.
多项式除以多项
式，方法与多位数除
以多位数的演算方法
相似，基本步骤是:
(1)将被除式和
除式按照某字母的降
幕排列，如有缺项，要
留空位;
(2) 确定商式，竖
式演算，同类项上下
对齐;
(3) 演算到余式
为零或余式的次数小
于除式的次数为止.
请你一试:
(6x 4 
-
19x 2 + 
17x-5)-;-(2矿+
2工-5)=?
~~、I~、
食
食
，曾
食
，传
食为
* 
女
例7
设a ，b ，x ，y 满足ax+ by=3 ，ax 2 +b/ =7 ,ax 3 + b/ = 16 ,ax 4 + 
by 4 =42 ，求ax 5 +b/ 的值.
(美国中学生数学竞赛题)
纣橱驾幅
观察已知多项式，发现它们有规律，但将ax+by=3 两边平
方则出现α 2 X2 +b 2 /
，较难与at 十b/ 比较，故考虑将低次式乘以( x+ y) 得
到高次式，与条件比较.
由αx 2 +b/=7 ，得
(αz 2 十b/ )(x+ y) = 7(x+ y) , 
即ax3 +ax 2 y+bXy2 +b/ = 7 (x+ y) , (ax 3 + b/) + x y(ax +by) = 7 (x+ y). 
所以
16+3xy 二7( x+ y).
① 
由
ax 3 + b/=16 ，得
(ax 3 + b/
) (x+ y) = 16 (x 十y) , 
即
ax 4 + ax 3 y + bx y 3 + b/ = 16(x+ y) , (ax 4 + by4) + x y(ax2 +b/) = 
16(x+ y). 
所以
42 + 7xy = 16(x 十y).
② 
由①、②，可得Z 十y = -1 4 ，xy= -3 8.
由
αx 4 + by4 = 42 ，得
(ax 4 + b/ )(x+ y) = 42 X ( - 14) , 
(ax 5 + b/
) +xy(ax 3 + b/
) = -588 , (ax 5 + b/
) + 16 X ( - 38) = - 588. 
故ax 5 + b/ = 20.
却称之鬓
对称之美，即对称和谐之美，给人以圆满而匀称的美感享受.不只是图
形与对称相关，数也对称.
例8
观察下列等式:
12 X 231 = 132 X 21 ,13 X 341 = 143 X 31 , 
23 X 352= 253 X 32 ,34 X 473 = 374 X 43 , 
62 X 286 = 682 X 26 ,… 
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与
三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为"数字对称等式"
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为"数字对称等式"
①52 X= 一一-一一一-
X 25 ; 
(
X 396 = 693 X 
(2) 设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且2 ~ α +
bζ 9 ，写出表示"数字对称等式"一般规律的式子(含α ，的，并证明.
(广东省珠海市中考题)
幡题思路
观察发现规律，并根据此规律进行一般式的证明.
学科精英大视野系列丛书
待定系数法是数
学中的一种重要方
法，在有关整式的恒
等变形的解题中经常
用到，运用此方法解
题的一般步骤是:
(1)根据多项式
之间的次数关系，设
出一个恒等式，其中
含有几个待定系数;
(2) 比较对应项
的系数，列出方程纽;
(3) 解方程组，求
出待定系数的值.
"雾锁山头山锁
天"，"客上天然居，居
然夭上客"
例
8 取材于类似
"回文诗"的"回文
文学的浪漫融为一
体，情趣盎然.试题立
意于对数字规律的考
现知识和信息的迁
移，并展现数学美.
而探索的背后，
是整式乘法的力量.
CJ:.\1'i:\G.:\ 
( I飞革组歪)
女食
女
A 
平」
食
食
，传
食
45 +45 十4 5 +45,, 65 + 65 + 6 5 十6 5 + 65 + 65 
1. (1)若
× 
5 
=2" ，则n= 一一一一
35 + 35 + 35 
' , 
2 5 十2
("宗沪杯"竞赛题)
f
飞1 998 , , 32000 + 152000 
(2) 
I 丁
I
X
川(\
I 
_ _ ?(\nn -
; 
\.. 3 ) 
7cUUU +35ωUU 
一一一一一
("希望杯"邀请赛试题)
(3) 已知x ，y 满足2 '"
. 4 Y =8 ，当0~x~1 时，y 的取值范围是
(江苏省常州市中考题)
2. (1)满足(X _ 1) 200> 3 300 的工的最小正整数为
(湖北省武汉市竞赛题)
(2) 已知x ，y ，z 是整数，且x> y > z , 2'" + 2Y + 2z = 4.625 ，则xyz=
( 世界数学团体锦标赛试题)
1 
1 
(3) 已知2 a = 3 ，3 b = 2 ，则一一十一一的值为
α 十1 ' b+1 
(复旦大学附中自主招生试题)
3. (1)已知(X+2)5=α矿+bx4 +cx3 +dx2 +ex+ f ，那么16b十4d+f=
("五羊杯"竞赛题)
(2) 代数式(3x 2 +5xy - 7/) 3 展开后，各项数字系数的和是一一一一一·
( 世界数学团体锦标赛试题)
4. (1)比较大小: 1516 
3313 ; 
( "希望杯" 竞赛题)
(2) 比较大小: ( - 2) 234 
5100 • 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
5. (1)方程(3x十2) x +5 = 1 的解为
("华罗庚杯"香港中学竞赛题)
1 , 1 
(2) 已知3 0'" = 2010 , 67 Y = 2010 ，则z+歹= 一一一一·
(全国初中数学联赛题)
6 . 己知x 2 + x -
6 是多项式2x4 + x 3 一αx2 十bx+ α + b - 1 的因式，则
α -
,b= 
(江苏省竞赛题)
7 .
已知a = 255 , b = 344 , C = 533 , d = 6 22 ，那么
a ，b , c , d 从小到大的顺序
是(
). 
A . a< b<c<d 
B.α<b<d< c 
c. b< a<c<d 
D .
α<d<b<c 
( 北京市"迎春杯" 竞赛题)
8 . 若/ 十x- 2 = 0 ，则x 3 +2X2 - x+2007 = ( 
). 
A. 2009 
B. 2008 
C .
一2008
D. - 2009 
("希望杯"邀请赛试题)
9.
若(工2- x -2 ) 6= α 12 X12 + α1 I ZIl 十α JO xJO + … + αJx+ α。，则a J 2 +α10+向+
;<ps
食
第
1 讲
整式的乘除
美国的杰夫
· 科
尔文在《哪来的天才?
练习中的平凡与伟
大》一书中指出:非凡
的成就不取决于天
赋，而是坚持不懈的
刻意练习.
刻意练习不同于
普通练习，普通练习
是重复性和无意识
的，而刻意练习需要
打破习惯，需要更大
的专注力，并在名师
的指点下，使技能、方
法、思想、境界迈向更
高的层次.
&tf\G.:\C;\ 
食
食
食
食
α6+ a 4 + α2 = ( 
). 
节~
].斗
食*
会
A. -32 
B. 0 
C . 32 
D. 64 
(" 五羊杯"竞赛题)
10. 在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b (a>b) 的正方形纸片按
图①、图②两种方式放置(图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠) , 
矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部
分的面积为鸟，图②中阴影部分的面积为
52 ，当AD-AB=2 时，52 -
5 1 的值为(
). 
口口
二
1 
(第10 题)
A. 2a 
B. 2b 
C. 2α -2b 
D.
一2b
(浙江省宁波市中考题)
11
有(
)个整数n ，使4000X (~ r 的值为整数
A. 3 
B. 4 
C. 6 
D. 8 
E . 9 
(美国数学竞赛题)
12. 计算2 12 X 5 9 ，得数是(
) . 
A. 9 位数
B. 10 位数
C. 11 位数
D. 1 2 位数
("希望杯"邀请赛试题)
13.
已知x3 +kx2 +3 除以Z十3 ，其余数较被x+ 1 除所得的余数少2 ，求是的值.
(香港特别行政区中学竞赛题)
14. 设a ，b ，c ，d 都是正整数，且矿= 扩，J = 矿，c - a = 19 ，求d - b 的值.
(江苏省竞赛题)
15. (1)填空:
(α - b)( α 十b) =
(α - b)(旷+ αb十b2 ) = 
(α - b)(a 3 + a 2 b十ab2 +b3 ) =
(2) 猜想: (α - b) (a"一1+ 矿、+ … +ab" -2 + b"- I) = 
. (其中n
为正整数，且n注2)
(3) 利用(2) 所猜想的结论计算: 2 9 -2 8 +2 7 一… 十2 3 - 2 2 十2.
(四川省内江市中考题)
16.
已知ax十by =7 ,ax 2 + b/ = 49 ,ax 3 + b/ = 13 3 ，αx4 + by4= 406 ，试求
17 
199 5 (x十y) + 6xy
言(a +的的值.
("希望杯"邀请赛试题)
17. 证明: 对于任意自然数n 来说，总能使(η十1 ) 2005 十n 2005 + (n _ 1) 2阳
3η 
被10 整除.
(俄罗斯萨温市竞赛题)
18 若川，z ，w 为整数，且工> y > z > ω ，们们川2由= 20 言，求
(x+y十z+w一1/0 1 0 的值.
(湖北省黄冈市竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
Ct.\~队IR.:\
( J飞革!!!)
女
食
，际
女食
，传
tlip
食
，曾
19 . 设f(x)是关于工的多项式，f(x) 除以
2 (x 一1)，余式是3;2f(x) 除以
3(x+2) ，余式是-4 . 求3f(x) 除以4(x 2 + x - 2) 的余式.
("五羊杯"竞赛题)
躏圄皇军歇学
拼图，即把所给的图形以不同方式拼成新的图形. 把图形面积用不同形式
的代数式表示，若拼图前后图形面积相等，则相应代数式的值也相等.
拼图形象地揭示了代数式的关系，展示了数与形的联系，其亘观作用体
现为:验证代数等式、不等式;证明几何定理.
20. (1)有足够多的长方形和正方形卡片，如图①:
自
|←α →1 
曰:国
(第20 题)
①如果选取的1 号、2 号、3 号卡片分别为1 张、2 张、3 张，可拼成一
个长方形(不重叠元缝隙) ，请画出这个长方形的草图，并运用拼
图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义.
山
F1
日曰E
这个长方形的代数意义是
②小明想用类似方法解释多项式乘法(α + 3b) (2a +b) = 2a2 +7αb+ 
3b2 ，那么需要用2 号卡片一一一一一张，3 号卡片一一一一一张.
(浙江省衡州市中考题)
(2) 有3 张边长为a 的正方形纸片，4 张边长分别为a ，b 的长方形纸片，5 张
边长为b 的正方形纸片.从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张. 把
取出的这些纸片拼成一个正方形(无空隙、元重叠地拼接) ，则拼成的正
方形的边长最长可以为(
). 
A. a+ b 
B. 2α + b 
C. 3α + b 
D. a 十2b
(江苏省常州市中考题)
(3) 利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可
以解释不等式的正确性.
①根据图②所示图形写出一个代数恒等式;
②已知正数a ，b ，c 和m ，n ，l ，满足α + m = b 十η =
c+ l =走.试构造边长为走的正方形，利用图形面积
来说明al +切z十cn<走2
( 湖北省荆州市竞赛题)
2 1. 证明
: 在十进制表示中，数29 的某个正整数辜的末三
位数字是.0 0 1.
二姥
( 第20 题)
(北京市竞赛题)
第
1
i井
整式的乘除
算两次，即对同
一个"量"，从不同的
角度进行计算( 算两
次)可得到相等关系.
为了得到一个方
程，需把同一个量.以
两种不同的方法表示
出来;对同一图形，从
不同角度计算面积可
推得代数恒等式.
横看竖看，从局
部到整体，" 算两次"
方法在检验计算结
采、布列方程、推导代
数等式、几何证明等
方面应用广泛.
~~~、
学科精英大视野系列丛书
• 
食
食女
食
食女
，传
、
女
* 
• 
..一.. • 
(1) 2004 
(n2 )1 00> (6 3 )1 00
，旷> 216 ，n 的最小值为
15.
25 IY =2000Y
(
,80 XY = 2000 x
②，①×②，得
(25 X 80) XY =2000 x勺，得xy = x+y .
(1)当x=-l 时，得一句+向一句十a 2 -a 1 + α。= [3 X (-1) -lJ5 = -1024 ，故原式= 1024. 
(2)
由(3x- 1) 5 展开并比较系数的符号，得α5> 0 ，向<0 ，向>0 ，a 2 < 0 ，a 1 > 0 ，aO < 0 ，则原式=a5 一句十α 3
a2 +a1 = 1024+α。=1023(α。=-1).
例4
设α5
矿=m20 ,c3 =d2 =n6 (m ，n 为自然数) ，则a=m4 ,b=m5 ，c= 矿
，d= η3 ，由已知得m4 - n2 =17 ，即
(m2 + n) (m2 - n) = 17 ，因
17 是质数，m2+ n ，m2 -n 是自然数，且m2 + n> m2 -n ，
Im2+n=17 , 
故}
-
Im"-n= l, 
3x 
• 5x 
2'Y 
3" 
~，._ ~ _+ 
一寸7一
· 寸τ
· τ一一τ=2 4 ，得
3 x+ 3z- 2y • 5x- z • 24y-3x- z = 24 , 
江一
3"Y 
2< ' 5 
B 
例
1
(2) 15 
191]2 
锣IJ 3 
解得m=3
，η=8 ，所以
，d-b = 旷- m5 =83 -35 =269. 
例5
〔…卢
x-z=O , 
4y-3x-z=4 , 
2 X 1+2 
故原式=一一一一一=-4
1-2 
例8
(1)( 275 , 572
(
63 , 36. 
(2) 一般规律的式子为(1 0a 十b) [100b+ 10(α + 的+ αJ= [ 100a + 10(α + b) + bJ( 10b 十a )
证明
. . 左边= (1 0a + b) (1 10b+ 11a) = 11 (1 0a + 的(1 0b + a) , 
右边= (1 10a 十11b) (1 0b 十a) = 11 (1 0a + b) (1 0b + α) , 
.左边=右边.
1inL1A 
一
一
一
一
一
­
zyz 
，
，
E
·
E
.
，
，
、
且
'
'
'
t
t
、
得
解
• 
『…，跑
.
(2) 立
(3)
1ζ vζ3 
49 
, - , 
~ ~J ~ 2 
2. (1) 7 
要满足( x 一1 ) 200 > 3300 ，则[(x 一1) 2 J 100> (3 3 )1 00 ，l!f (X - 1) 2> 3 3 ，故z 最小正整数为
7 .
(2) 6 
方程两边同乘以
8 ，得
2 x+ 3 +2y+3 +2<+3 =37. 
因为x>y>z ，要使上式左边为奇数，只有2 <+3 = 1，I!f z=-3 ，则
2 x+ 3 + 2y+3 = 36 ，即
2 x+ 1 + 2y+1 =9 . 
要使上式左边为奇数，只有2 y+ 1 = 1 ，即y =- 1. 从而有2 x+1 =8 , I!f x=2. 
故有x=2 ，y= 一l，z= - 3 . I!f x yz=6 . 
1. (1) 12 
由2 " =3 ，得2呻=3 b =2 ，ab=1 ，原式=
α + b十2
旦±生土~=1
ab 十G 十b+1
a 十b 十2
3. (1) 512 
令x= 土2 代入.
(2) 1 
代数式展开后，各项数字系数的和等于当x= l ，y=l 时原代数式的值.
4. (1) < 
1516< 16 16 =2 64 , 33 13 > 32 13 =2 65 > 264 
(2) > 
(一2) 234 = (2 7 ) 33 X 8> 125 33 X 5=5100 
(3) 1 
生8J
(2) 1 
5. (1) -5 ，一÷，
1
( 川军细)
女食
*
女食食
力'食
食
第
1 讲
整式的乘除
6. 16 , 3 
x2 + 工-6=(x+3)(x-2)
，房、多项式能分别被(x+ 3)
，(x -2 ) 整除，则f(-3) = 0 ，f(2)= 0 .
7. D a=(25)1' ,b= (3' )" ,c= (5 3)1 1 ，d =(6 2 ) 11
，只需比较2 5
，3 '
，5 3
，6 ' 的大小.
8. A 
9. A 
10. B
在图①中，矿+ b'+ 5，-b(a+ b -AD) =AD. AB ，在图②中
，旷+ b2 十52 -b(a+ b-AB) =AD . 
AB ，等量代换并化简得52 ←5 ，= b(AD-AB) = 2b. 
{n注0 ，
.. (n<O , 
11. E 
Jfr，、式=5 3
• 25 • 2n • 
5 - n =5 3叮
·
25+\ 要使原式的值为整数，则!
或!
得n= O ，l ，
13-n二三o
-1 5 + n二三0 ，
2 ,3 ; 一1 ，一2 ，一3 ，-4 ，一5 .
12. B 
13. 
3
设x
3 +kx' 十3=(x+3)(x' 十ax+b) 十r，,x 3 + kx' + 3= (x 十1) (x' +cx+d) + r"
令x= -3 ，得
r，=9k-24 ，令x= 一1 ，得η =k + 2 ，由9走一24 + 2=k + 2 ，得k=3 .
14. 757 
参见例
4.
15. (1)旷- b'
; α
3 - b3 ;a' - b' 
(2) an - bn 
(3) 原式= 2
9 -2 8 +2 ' 一… +2
3 -2' +2- 1 + 1 
=tm
l ) ] (29
M7 一
+2 - 1) + 1
= ÷[210 一( 一1) IOJ+ 1 =叩
16. 4800 
参见例
7 .
17. n4H ' 
η 一定是10 的倍数，原式=[(n + 1) 川5 -(n 十1) J 十(n'005 - n) + [ ( η 一1) 2005 - ( n - 1) J ，每个括
号里的数都能被10 整除，所以合式也能被1 0 整除.
18 .
两边同乘以8 得2 ，+3 + 2 y+ 3 十2
，+ 3 +2ω+ 3= 1 65 .
: X>Y>Z>W , :. x十3>y十3> z+3 >w+3 ，且x ，y ，z ，w 为整数.
: 
165 是奇数，. . w十3 = 0 ，:.
w =- 3 .:.
γ刊+ 2 y+ 3 + 2 计3 = 164. 
:. 2,+1 + 2 y+ 1 十2廿' = 4 1，:. z + l = O. 
• z= 一1
，二
2'+' 十2 y+ 1 =40 . 两边都除以8 得
: 2 x - 2 十2厂，=5. 
: . y - 2=0 ，二y=2. :. 2'-' =4. 
:. x - 2= 2,:. x = 4. 
'. (x十y+ z十w_ 1) 'O I 0 = (4+ 2- 1- 3- 1)'0'0 = 1. 
19. 设f( 工) = 2(x - l) g( 工) + 3 ，2f( 工) = 3(x 十2) h( 工) - 4 ，3f( 工) = 4 (x' + x - 2) r (x ) + αz 十b ，其中
g(x) ，以工) ，r(x) 都是关于工的多项式，且次数均低于f(川的次数，则f (1 ) = 3 ，2f( - 2) =- 4 ，即f( -
2) = 
-2 ，得α =5 ，b=4 ，故余式为5x十4.
20. (叫Q]}lli
d 十3ab十2b' = (a + b) (a + 2b) 
(
3,7 
(2) D 
正方形的面积是由矿
，ab ，b' 组成的完全平方式.
(3) ①
(α十b) ' - (a - b)' = 4ab 
②构造正方形，使其边长等于a+ m= b十n =c十l = k(a手b手c ，m手η手l)，构图如图所示
(答案不唯一) ，显然有al十bm+ cη〈走，
1 
c 
al al 
rI一
l
ml bm 厂一一一"1
I 
I 
cn 
IC 
b 
n 
(第20 题)
21.因为未三位数只有O∞O∞O 呈到IJ 999 这10∞O∞O 种不同的排列情况，而
2 9'
，29扩2 ，γ.….川'，29γ1川为
1 0∞0 1 个29 的不同
的幕数，所以，由才抽由屉原理，其中存在两个29 的不同的署幕E 数，它们的末三位数字是非相目同的，可设为2 9驴h 与
29γ
i 
(1三ζ二1<走ζ 10∞01υ) .因此，10∞O∞O! (29' - 29') ，即1000 !29' (29'-' - 1) . 而(2 9 ' ，1 000 ) = 1 ，于是，1000!(29扫一口，即
29'- ' 的未三位数字是00 1.
已哝
追求知识的精神
和应用知识的方式，
比知识本身更重要、
更真实.
布拉格
杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在他
1261 年所著的《详解九章算法》一书中，辑录
了三角形数表，称之为"开方作法本源图"，并
特意说明"贾宪用此本"如果把贾宪三角变
换一下形式，它又可以被看作几个数列的组
合体.
3、、
.、
四
面
体
数
数
列
自
三
然角
数形
数数
列数
列
寻找了
13 年的等式
1730- 174 3
年，
欧拉发现了下面的
等式。:
(α ， + b' + c' + d' ) X 
u挝u
"GJ( 
;i\p__ …… ~ 4 _ _'________ ' ___ __ _ ______"___'____ ' ________'_____ __ _ ------ -_ 
.------_. 
囊3击金三茸
需2 嗣
在
(r' + s' + t' + u' ) = 
如蜂拥E 遮
(ar十的+ ct + du) ' + 
(au + bt-cs-dr)' . 
由于他的发现，
使得古希腊学者丢番
图提出的"每一个整
数均可用四个完全平
方数的和表示"的猜
想的证明有所进展.
1770 年，拉格朗日借
助于欧拉等式证明了
丢番图猜想.
(at - bu - cr+ ds) ' + 
(α s - br + cu - dt) ' + 
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性，又有实用性的具体结论，在
复杂的数值计算、代数式的化简求值、代数式的恒等变形、解不定方程、代数
等式的证明等方面有广泛的应用.
在课本的基础上，常用的乘法公式有:
(1) (a-b)(a 2 +ab+b 2 )= 旷-b 3 ; 
(2) (a 十b) (a 2 -ab+b2) = 旷十b 3 ; 
(3) (a+b)3 = 旷+3a 2 b+3 αb 2 +b3; 
(4) (a-b)3= 旷-3a 2 b+3ab 2 -b3; 
(5) (α +b+C)2 = 旷十b 2 +c2 + 2ab 十2bc + 2ca;
(6) (a+b+c) (a 2 +b2 +c2 -ab-bc-ac) = 矿+b 3 +c 3 一切bc;
(7) (α - b) (an- I + 矿、+a n - 3 b 2 十…十ab n - 2 + bn- I ) =an -bn; 
(8) (α +b) (a 2n _a2n- 1 b + α 2n-2 b2 +…-ab2n- 1 + b2n) =a2n+ 1 + b2n+ l • 
例1
已知a ，b ，c 满足a 2 + 2b = 7 ,b2 - 2c = - 1 , C2 - 6a = - 17 ，则α+
b+c 的值等于
问题黯决
~Gi\1Ä\ 
(河北省竞赛题)
由条件等式联想到完全平方公式，解题的关键是整体思考.
幡题思路
记j
( I 飞革盟)
女食
食
女食
*
食
*
例2
若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为
"智慧数"(如3=2 2 - 1 2
，16=5 2 -3 2 ). 己知智慧数按从小到大的顺序构成如
下数列
: 3 ，5 ，7 ，8 ，9 ，11 ，12 ，13 ，15 ，16 ，17 ，19 ，20 ，21 ，2 3 ，24 ，25 ，…，则第2 006
个智慧数是(
) . 
A . 2672 
B. 2675 
C. 2677 
D. 2680 
(山西省太原市竞赛题)
瞄题思路
旷-b 2 =( α 十的(a 一的，而α +b 与a - b 的奇偶性相同，由
此揭示了"智慧数"的特征.
例3
计算
(1) 6(7 + 1) (72 + 1) (7 4 + 1) (7 8 十1) 十1 ; 
200120002 
(2) 200119992 + 20012001 2 - 2' 
45. 13- 13.93 
(3) .v. i~ ， 
~v. v +45. 1 X 13.9. 
31. 2 
(天津市竞赛题)
(江苏省竞赛题)
(北京市竞赛题)
瞄题思路
运用分组、结合、拆添项、字母化等变形方法，为乘法公式的
运用创造条件.
例4
已知z 十y= 1 ，x 2 + / =2 ，求工6 十y6 的值.
("祖冲之杯"竞赛题)
晤踵思路
工6+/ =(工3 )2 + (/) ' = CX3 + /)2 -
2x 3 /
，或工6 十y6 二
(工2 ) 3+ (/) 3= (X 2 +/ )( 工4_ X 2 /+/)
，或工6 十y6 二(工2 十/ ) (X 4 十/ )
X2/(X2+y勺，而从条件出发求出xy 是首先必须要解决的.
也嗦
第
2 讲
乘
j去公式
完全平方公式的
逆用可得到如下重要
结论:
(1)矿::l:: 2ab + b' 
= 
(a ::l:: b) ' 二三0
;
(2)α2 十b' 二三2αb;
(3)α'+ b' +C2 -
ab-bc-ca 
÷ [(a-b) 2 十(b- C) '
十(ια)'J注O .
上述结论在揭示
式子的非负性、求最
值等方面应用广泛.
灵活运用公式，
既能正用，又能逆用，
而且还能适当变形或
重纽综合运用公式，这
是学好乘法公式的关
键.
~~~ 
-
R
食
-R 
食女
食女
女
常K
例5
设α .b.c.d 是四个整数，且使得m= ω+d-t(α 2 +b2-
c2 _d 2 ) 2 是个非零整数.求证:
I m
l 一定是合数.
( 北京市竞赛题)
黯题思路
化复杂为简单，逆用乘法公式，从变形m 中寻找解题突
破口.
例6
设α ，b ，c 满足α 十b十c=1 ，a 2 + b 2 十c 2 =2 ，矿+b 3 +c3 =3 , 
求: (1) abc 的值;(2) 旷+扩+♂的值.
(江苏省竞赛题)
ra +b 十c= l
，
幡
~ a 2 +b2 +c2 =2 , 
| α 3 + b 3 十c 3 =3. 
①
②
③
 
①2 一②，得ab + b巾c=÷ ，
.. 旷+b 3 +c3 -3abc= (α +b+c) (α 2 十b 2 +c2 -ab-bc-ac). 
1 / 
I 
1 
I 
'\ / 
2 
'. abc = 一(α
+b 3 +c 3 ) 一: (a+b+c)( α
+b 2 十c 2 -ab-bc-ac) 
3 
L ，~ 
L"
，，(~
， 1 ì 
1 
=一X3 一
X 1X 1
2 十一
1 = 一
3 '-
3"~ " ~-'2) 6 ' 
将②式两边平方，得矿+扩+♂+2α 2 b2 + 2b2 C2 + 2c2 a 2 = 4. 
:. a 4 + 扩+c 4 =4 一2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + α 2 C2 ) 
=4 一2[ (ab+bc+ac) 2 一2abc(a +b+c) ] 
r ( 
1,2 
~ " L ，.， 
25 
=4-2 11 一一
1
-2 X 一Xl
l = 一
L
~ 
2) 
- "
6
" ~
J 
6 ' 
例7
求不定方程X 2 =y 2 +2y 十13 的所有整数解.
(俄罗斯莫斯科市竞赛题)
帽题思路
拆项、配凑得到平方差形式，逆用公式，和差化积.
拓属~式
寻~}~~式的渴望是散学和制学发属的驱回归.~式使理捡
挟博可德性，拌撞立起幡决问题的-种摘型.在噩本~式噩础上拓属而严主
的-坚~式，要晦决i年参蟹杂1楚歌问题的窗内交撑.
学科精英大视野系列丛书
完全平方公式的
常用变形有:
(l)a2 +b2 
=(α土的2 平2ab ;
(2)i+斗
a 
=(ar士r 平2;
(3)ab 
(α +b/-(a-b) 2 
4 
(a十b) 2 - (a2 +b2) 
2 
(α2+b2 )-(a - b)2 
2 
(4) 旷+b2 +c2 
= (a+b+c) 2 一2(ab
+bc 十ca) . 
设立+y=a.xy=
b.运用来法公式及递推
关系，可分别求出x2 +
i .x3 +i .x4 +y4. …, 
xn+yn 的值.
其中
xn+ l + yn+l 
=(xn + yn) (x+ y)-
xy(xn- 1 十yn - l ). 
隐含条件是指已
经包含于题目的文字
叙述、图示或符号中，
但又未明确指出的条
件，也指在题目已知
信息中没有明显呈
现，但却与题目涉及
的数学概念、知识或
方法等密切联系的各
种数学信息.
~&.\G.:\ 
( 川军细)
女女
女食
食
食
食
例8
已知实数x ，y ，z 满足x + y +z= 6 ,xyz + 1 = 2(xy 十yz 十zx) , 
(X-3) 3 + (y- 3) 3 + (z - 3) 3 = 3 ，求xyz.
(全国初中数学联赛题)
衍析写耀
恰当换元，既沟通了条件，又凸显了公式的特征，为问题的
解决创造了可能.
令α =x -3 ,b=y-3 ,c=z-3 ，xyz=m ，则α + b +c=-3 ，矿+扩十c3 =3.
ab+bc+CG=(zhhz)-6(z+h) + 27=÷(m+ 1) -9 , 
abc = (x-3) (y-3) (z-3) =xyz-3(xy+ yz+zx) +9 (x 十y +z ) - 27 
=÷(51M) , 
又因为矿+ b 3 十二= (α + b+c) (a 2 +b2 +c2 - ab - bc-ca ) +3abc 
=(α +b+c) [ (a2 十b2 +C2 十2ab+ 2bc+2ca) -3(ab+bc+ca) J+ 3abc 
=(α + b+C) 3 -3(α + b +c ) (ab + bc+ca) +3abc. 
所以(-3) 3 _3
. (-3) f ~ (m +1) -9 1+ 3 . ~ ( 51-m)=3 , 
I 2 " .- . - _ - 1 
解得m=10 ，即xyz= 10. 
~~ 刻意练习
1.在2004 ，2 005 ，2006 ，2007 这
4 个数中，不能表示为两个整数平方差的
是
(江苏省竞赛题)
2. (1)若m ，n 为自然数，且满足1 2 十9 2 + 9 2 十2 2 十m2= 矿，则n= 一一一一一;
( 上海市竞赛题)
(2) 若z 是自然数，x + 13 和z 一76 都是完全平方数，则x= 一一一
(" 希望杯"邀请赛试题)
3. 已知实数工巾，z 满足z 十y = 4 ，
l z + 1 1= 工y + 2y -
9 ，则x + 2y + 3z=
( 全国初中数学联赛题)
4. 请根据杨辉三角形，写出(x -: yoJ6 展开式中含工川项的系数一一一一-
\ 
X 
/ 
( 四川省广安市中考题)
5. 在不大于
100 的正整数中，所有偶数的平方和比所有奇数的平方和
大
( "希望杯"邀请赛试题)
6. 将正整数1，2 ，…，1 0 分成A ，B 两组，其中A 组:a J ，肉，…
，a m ;B 组:b J
，
鸟，…
，bn • 现从A ，B 两组中各取出一个数，把取出的两个数相乘，则所有
不同的两个数乘积和的最大值为一一一一·
(四川省竞赛题)
13嘘
食
第
2 讲
乘法公式
人们喜欢捷径.
简单来看，数学公
式
前人通过思考
而得到的简单方法，
恰好满足这个要求.
"运用之妙，存乎
、、"
-
IU-
公式是用字母表
示的，一般化与特殊
化，可深深体悟公式
的广泛应用
.
~~~ 
食
食
食
食
食
食
?ff
t与
斗;主
7 . 若α + 2b + 3c = 12 ，且矿+b 2 十c 2 =α b + bc + ca ，则
α 十b 2 + 扩的值
是(
) . 
A. 12 
B. 14 
C. 16 
D. 18 
(北京市竞赛题)
8 .
已知α
，b 满足等式工=α 2 + b2 + 20 , y = 4 ( 2b - a ) ，则
x ，y 的大小关系
是(
). 
A. x~y 
B. x 二三y
C. x>y 
D. x<y 
( 山西省太原市竞赛题)
9.
若正整数工，y 满足x2 -/= 20l 7 ，则这样的正整数对(工，y) 的个数是(
) . 
A. 0 
B. 1 
C. 2 
D. 3 
("希望杯"邀请赛试题)
10 . 根据"杨辉三角"，请计算(a + b) 20 的展开式中第三项的系数为(
). 
A. 2017 
B. 2018 
C. 191 
D. 190 
(贵州省中考题)
11 若冲10 1002 -
4501 ) ，则叫
A . 1002 
B. 1003 
C. 1004 
D. 1005 
E. 1006 
(美国数学竞赛题)
12. 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式工2+ y2~2x+2y 的整数点坐标
(工，y) 的个数为(
). 
A. 10 
B. 9 
C. 7 
D. 5 
(全国初中数学联赛题)
13
已知实如，b ，c 满足α + b +叫α 2 + b2 +C2 = 1 ，求牡仨三的值
aoc 
14.
已知α 十b +c=O ，旷+ b 2 十c 2 = 1. 
(1)求ab+bc+ca 的值;
(2) 求旷十扩+♂的值.
15. (1)证明:奇数的平方被8 除余1 ; 
(全国初中数学联赛题)
(北京市竞赛题)
(2) 请你进一步证明:2006 不能表示为10 个奇数的平方之和.
("希望杯"邀请赛试题)
16.
设α=10 9 + 38 3 一2 ，证明:α 是37 的倍数.
("希望杯"邀请赛试题)
17. 设a ，b ，c ，d 是四个实数，已知|α + b
J
，Ja- b
J
，
J c 十dJ
，Jc- d
J 分别等于
6
，7
，8 ，9 ，求a 2 + b2 +c 2 十d 2 的值.
(国际中小学数学能力检测题)
18 . 已知n 是大于1 的整数，求证: 旷可以写成两个正整数的平方差.
(江西省南昌市竞赛题)
款二J
学科精英大视野系列丛书
理?己主;在
罩'圃，←毡'回国匡
~、，I'//:\~
( 川军细)
为食
会食
1朵'
19. (1) 26=52+ 12,53=72+22, 26 X53= 1378 , 1378=372+32. 
任意挑选另外两个类似26 ，53 的数，使它们能表示成两个平方数的
和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其
中的道理吗?
(2) 已知实数a ，b ，c ，d 满足
2α2 十3c 2 = 2b2 十3d 2 = (ad -
bC) 2 = 6 , 
求(a 2 十b2 )(c 2 + d 2 ) 的值.
(全国初中数学联赛题)
20. (1)若一个整数m 可以表示为形如d 十kb2 (a ，b ，走均为整数) ，则称m
为"走型数"如
13 是"3 型数"，因为
13 = 1 2 十3 • 2 2 . 又如
26 是
" -3 型数"，因为一26=1 2 +(-3)
.
3 2 .
①证明:若两个整数1n ，η 都是"1 型数"，则这两数的积
1nn 也是"1
型数";
②已知两个整数m ，η 都是"走型数"，试判断mn 是否是"走型数"，并
说明理由.
Ixv+2zw=7 , 
(2) 试求满足r- J
的整数数组(工，y ，z ，ω) 的个数.
I xz - yw = 3
ν 
(江苏省竞赛题)
21.已知关于x ，y 的方程x2 _y2+ 走=2017 有且只有六组正整数解，且z 二三
y ，求走的最大值.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
-R 
-
R
食
食
第
2
Ìi井
乘法公式
' 
___…--Il • 
例
1
3 
三等式相加得(α
3)' + (b+ 1)' + (c-1/ = 0 ,a=3 ,b= - 1 ,c= 1. 
19IJ 2 
C 
形如性或2k + 1 的数都为"智慧数"
智慧数从小到大每三个数分为一组，从第2 组开始每组的第一个数都是4 的倍数，2006=3X668 十2 ，则
第
2006 个智慧数是第
699 纽中的第
2 个数，即4X669+1=2677.
例3
(1)俨
ω÷
令2川000=α
(45.1-13. 9) X (45. l ' 十45 . 1 X 1 3 . 9 十1 3 . 9 ' ) 
(3) 原式
'""v .~
~ v . J' '' '~:: . .~ 
1.:V~~ ，，~ v .
J I ~ V . J ' + 45. 1 X 13. 9= (45.1 + 13. 9)'= 3481. 
45.1-13. 9 
13 
例4
xY=-Z ' 原式= (X' )3 +(y' )3 = (x' 十y' ) 3 _ 3x' y' (x' 十y') = 
~2v 
例5
m z t(α + b+c 川+ b- c+川-b+ c + d) ( - a十b+ c + d) ，因α + b+ c - d ，a+b一叫，α­
b + c 十d ，- a 十b十c + d 的奇偶性相同，且它们的来积应被4 整除，故它们均为偶数. 设α + b + c - d = 2叫
，α +
l 
b- c+ d = 2m, ，a - b十C 十d = 2~
，- a + b + c + d =2~
，其中m ，m，m3 m4 手0 ，则m = 4 X2m, X 2m, X 2m3 X 
2 ，叭= 4m ，m，m3 m4 .
故Im
l = 4
I m ，m，1叫叫
| 是一个合数.
1 5嗤
食
食
，传
食
食女
食
1号
A 
H了
例7
原方程化为zz=yz 十2y + 1 + 12
，即x 2 一(y + 1) 2= 12
，
:. (X+y 十1) (x -y 一1) = 12 = 2 X 6 ,6 X 2 , (- 2) X (一的，(-6)X( - 2)
，
u 
解得!
! 
! 
口+ 1 =2 ，6 ，十6 ，
(叫
( X判工二4 ，广-4 ，
x-y 一1=6 ，2 ，-6 ，一2 .
(Y = -3 , ly= l, ly= l, 
ly=-3. 
1. 2006 
2. (1 )84 
(n+m)(n - m)=167X l，得n + m= 1 67 ，n-m=1
，解得m =83 ，n=84 .
(2) 2012
设工+ 1 3= 矿
，x 一76=b 2 .
3. 4 
把x=4 -y 代入另一等式得
I z+ll = - (y-3) 2 ,z = -l, y=3 ,x= 1. 
4. -4032 第二项为2016x 20 1 5 • ( _1_ ì = -4032x2014. 
\ 
X 
/ 
学科精英大视野系列丛书
' 
. ..-画
画
5. 5050 
(2k) 2 一(2是一1) 2=(2k- 1) +2k (k= 1，2 ，…，50) ，原式=1 十2+3 十… 十四+ 99 + 1 00 .
6. 756
设5=( α1+ α2+ … + am ) (b1 + b2 +… + b) ,x=a1 +a 2 十… + a m ,y=b1 +b2 十… 十b ，
，X 十y=l 十
一
1 r/ 
, 2 
, 2-,...-- 1 /
,... ....2 
., 2 
2+ …+10=55 ,S=xy= ~ [(x+y) ' -(x-y) 'J ζ 4 (55
一1 ")= 756 ，当且仅当Ix-y
l = l 时，上式等号成
立.令a i =i(i= 1 , 2 ,… ,7) ,b1 =8 ,b2 =9 ,b3 = 10 ，符合要求.
1 
7. B 
由旷+b2 +c2 =ab + bc +ca 得~ [(a- b) 2+ (b-d 十(c-a)2J=0 ，从而a =b=c .
2 
8. B 
x-y=( α 十2)2 +( b-4) 2 二三O .
9. B 
( x+y )(x-y)=2017 X 1，2017 为质数.
10. D 
每行第三项的和分别为1，3 ，6 ，10 ，…，这列数第n 个可表示为
1 + 2 十… + η ，故(a + b) 20 的展开式
中第二项的系数为
1 +2+3 十… + 19.
11. D 
101002 _ 4501 =i002 X (5 1阳- 1) = i 002 X (5 501 - 1) (5 501 + 1) = i 005 X (5 500 十5 499 + … + 1 )X3X
(5 500 _5 499 +5 498 _5 497 十… + 1).
12. B 
由条件得O :::;;; (x 一1) 2 十(y _ 1) 2 ζ 2 .
1 
1口3
由已知条件可得ab + b巾
2 
.. 矿+b5 +C 5
=(α2 十b 2 +c2) ( α 3 + b3 +c3) - [a2 (b3 +c3) + b2 (a3 +c 3 ) 十c2 (a 3 + b3 ) J
=3abc 一[α 2 b2 (a+b) 十a 2 c 2 (α+ c) + b2 c2 (b + c) ] 
=3abc+( α 2b 2 c 十a 2 c2 b+ b2 c2 a) 
=3abc+abc(ab+bc 十ca)
1. 
5 
=3abc 一~ abc= : abc. 
2 - ~-
2 - ~-
. 
.原式=?
14. (1) (α +川2=们h
~~ 
( 川军盟)
(2) 由ab+ b巾α=
÷ ，得(α旧巾户士，
女食
女食
λv 
即α2川，c' + c'行2αbc(a十计伊士，得dt + b2Ach t
又α'+ b' 十c' = 1 ，平方得a4 + b4 +♂十2a' b' + 2b' c' + 2c' α ' = 1 ， 
故a'+ b4 + c4 = 1-2( α，b' + b' c' + c' a' ) = 1 一2 × l= 上
4 
2 ' 
15. (1) (2η + 1) '= 4 n ( η + 1) + 1，8 14 n (n + 1)，故奇数的平方被8 除余1.
食
，曾
食
才k
第
2
i井
乘法公式
(2) 假设2006 可以表示为
10 个奇数的平方之和，也就是X:+ 乓十乓+ … 十丘。= 2006 ( 其中码
，工2 ,..., 
工10 是奇数) ，等式左边被8 除余2 ，而2006 被8 除余6 ，矛盾.故2006 不能表示为
1 0 个奇数的平方之和.
16 .
因为α=10 9 +38 3 一2 = (109 -
1) + (38 3 一1) =999999999+37 X (38' +38+ 1), 
而999999999 = 9 X 111111111 = 9 X 3 X 37037037 = 27 X 37 X 1001001 = 37 X (27 X 1001001) , 
所以37
1 999999999 ，且37
1 37 X (38' +38 + 1), 
因此37
1 a. 
17. .: (a 十的'= (
1 α +b l) ' =3 6 ，(a-b) '= (
l a-b
l ) ' =49 ， 
a' + b' =杠(α+川(α-U]=÷(3旧9) , 
同理仆d'户
2」
= ÷(6川1
:. a'+州2 +d2=÷(36 十49+64+8 1) = 115 
18. n3 = r ~ 1 • 4n= r 旦
1 [(n+ 1)'- ( n- 1)'J= r 旦(什1) 1 -
r 旦( n - 1) l
，因为n( η + 1)，n ( n 一1)
\ 21 
... 
\
21
L " "
~ ' 
" . 
~ '_J 
1
2" "
~ '
1 
1 2'" 
~ '
I 
不仅大于1，而且均能被2 整除，所以，旦( η + 1) ，立(η - 1)均为正整数，故命题得证.
2 " . . ~
， , 2 
19. (1)一般地，设m = 矿+ b'
，n = ♂+ 矿，则mη = (α ，+ b' ) ( c' + d' ) = α ' c' + b' d' + b' c' + a' d' = α ， c' 十
b' d' +2abcd +b' c' - 2a bcd十a' d' = (ac+ bd)' + (bc - ad)' . 
(2) 设m = α ，+ b' ,n= c' + d'
，则2m十3n 二2a' + 2b' + 3c' + 3d' = 12. 
因为( 2m + 3 η) ' = C2m - 3n)' + 24mn二三24mn ，即
1 2 ' 二三24mn ，所以mn~ 6 ，
① 
又因为mn =( α2 十b' ) (c' 十d' ) =a' c' + b' d' +a' d' + b' c' = (ac+ bd)' + (αd-bc) ' 二三(αd-bc) ' =6 ，
② 
由①、②可得mn =6 ，即(a' + b' ) ( c' + d' ) = 6. 
f士
j6，
213 
注:符合条件的实数a ，b ，c ，d 存在且不唯一，a =布，b = 1 ，c = τ ，d = 一了就是一组.
20. (1)①咯
②令m = 矿+ 走b'
，η =c' 十kd'
，其中α ，b ，c ，d ，走均为整数，则mη =(α2 十kb' ) (c' + kd' ) = (ac + 走bd) ' + 
k(ad - bc) ' 为"走型数"
(2)
因为(工y + 2zw) ' + 2(xz- yw)' = 7 ' 十2
. 3'= 67. 
利用(1)中②的结论知(xy十2 zω ) ' + 2(xz - yw )' = (x2 十2ω' ) (y' +2z' ). 
所以(x' + 2w' ) (y' + 2z' ) = 67 . 
I Z2 十2ω' = 1，
Ix'+ 2w' =67 , 
因为
67 为质数，所以!
^ 
或!
何
内
t y' + 2z' = 67 
t y' + 2z' = 1. 
也嘘
食
食女
食
食
立与
，传
，传
女
rx2=1 , 
rx2= 49 , 
1/=49 , 
1-/= 1, 
从而解得f
.
或f
.
| 矿=9
，
Iz"= O, 
lw2 =0 
lw2 =9 . 
学科精英大视野系列丛书
经检验，符合原方程组的数纽(工，y ，z ，w) =(1,7,3,0) ,( -1 ，一7 ，一3 ，0)
，(7 ，1，0 ，一3)
，(一7 ，一1，0 ，3).
故所求数纽(工，y ，z ，w) 的个数为
4.
2 1.设2017-k=m ，既然z二三y ，可知m二三0 ，求走的最大值I!p 求m 的最小值.
此时
，x2 _y2 =(x 十y)(x-y) = m ，
当m= αi X bi (i = 1 ，2 ，…，的，且a i 手aj (i手j)
，a i 和b i (i=1 ，2 ，…，6) 奇偶性相同时，即当x ，y 的整数解同
为偶数或奇数时，方程工2_ y2= m 有且只有6 组不同的正整数解.
总可以设a ，< a2< a3<向〈αs< a6< b6 < bs < b，< b3 < b2 < b ，.
( 并)
若m 是奇数，则α a 和b i (i= 1，2 ，…，的都是奇数.既然是求m 的最小佳，可以考虑a i = 2i- l( i=1 ，2 ，…，
6) ,m=ai X bi =a, X b ，注1 X 3s =243; 
若m 是偶数，考虑、极端情况，取向= 2 ,a2 = 4 ,a3 = 6 ，向= 8 ，a s = 10 ，向=12 ，其最小公倍数是120 ，为确保
满足(头)和方程解是正整数
，m二月20 X 2 .
当m=240 时
，m=2 X 120=4 X 60 = 6 X 40 = 8 X 30= 10 X 24 = 12 X 20=240 ，方程有且只有6 组正整数
解，则走的最大值为2017-240 = 1777. 
在巳
\;)~if1 
"'3 f 
00.\9 
在平面画布上表现三维世界的事物是文艺复兴时
期艺术家的基本课题.
阿尔贝蒂0404- 14 72) 是第一个从数学角度去研
究透视的画家、数学家，他所著的《论绘画》是早期数学
透视法的代表作. 左图是日本艺术家将许多吃饭用的刀
子、叉子和勺子组合在一起，在特定的光照之下，投影出
一辆摩托车的影子.
二言3 由自主牛二
I
'
如能撒遮
因式分解是多项式乘法的逆向运用，是代数恒等变形的基础. 提取公因
式法、公式法、二次三项式的"十字相乘法"、分组分解法是因式分解的基本
方法，因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，这是因式
分解的基本原则.
一些复杂的因式分解问题，常用到配方、换元、主元、待定系数等方法.
如
问题筋决
例1
分解因式:
(1) 4x2-4x-/+4y-3= 
j 
(重庆市竞赛题)
(2) x 4 -7x2+ 1= 
("祖冲之杯"邀请赛试题)
睡思想路
由式子的特点易想到完全平方式，解题的关键是将某项拆
成几个数或式的代数和.
例2
多项式x 2 y - / Z+Z2 x - X2Z+/ X+Z2 y - 2xyz 因式分解后的结
果是(
). 
A. (y - z)(X 十y) ( x -
z ) 
c. (y + Z) ( x - y) (x + z) 
B. (Y - Z)(X-y)(X + Z) 
D. (y 十z )( x + y)(x - z)
( 上海市竞赛题)
瞄题思路
原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，
19 
~嘻
数学知识是最纯
粹的逻辑思维活动，
以及最高级智能活动
的美学体现.
一一普林舍姆
角谷猜想
196 0 年前后，日
本数学家角谷静夫把
美国一个小镇流行的
数字游戏发展为角谷
猜想.
游戏是这样的
:
任给一个自然数，若
它是偶数，则将它除
以
2 j 若它是奇数，则
将它来3 再加1 j . 
如此下去，最终必跌进
4→2→1 的循环圈.
这个令人难以直
信的结果，至今元人
能证明或否定.
~&i\~ 
食
食
1々
食
食女
食
食
食
, 
学科精英大视野系列丛书
把原式整理成关于某个字母的按降幕排列的多项式，改变其结构，寻找分解
的突破口.
'o 
a 
民
l
节
叮
呻
μ
』
、
3
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肝
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j
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川
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，
1
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i
n
/
U
A
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b
/
飞
/
飞
(吉林省竞赛题)
("五羊杯"竞赛题)
(3) x 2+ xy-2/-x+ 7y - 6. 
( 河南省郑州市竞赛题)
些些些堕
(1), (2) 式字母多、次数高，可尝试用主元法; (3) 式是形如
ax 2 +bxy 十c/+dx+ey + f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或
分组分解法或用待定系数法分解.
例4
把下列各式分解因式:
(1) (x+ 1) (x+2)(x+3)(x+6)+x2; 
( 天津市竞赛题)
(2) x 4 +199 7x 2 十1996x+1997;
( 内蒙古自治区呼和浩特市竞赛题)
(3) (x+y 一2xy) (x+ y- 2) + (xy 一1) 2 ; 
("希望杯"邀请赛试题)
(4) (x 十1) 4 +(x+3) 4 _272.
( 河北省石家庄市竞赛题)
壁堕塾堕
(1)是形如abcd 十e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当
把4 个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分;(2) 式中系数较
大，不妨把数用宇母表示; (3) 式中z 十y ，xy 多次出现，可引入两个新字母，
突出式子特点;(4) 设t = ~x+ 1) +(x+3 )=z十2 ，其目的是为了消去四项式
中的奇数次项，以便运用二次三项式的方法分解，这种方法叫平均值代换.
例5
分解因式~ :工3 + 6 x2 十llx+6.
(河南省竞赛题)
帽洁1
原式=(x 3 十x 2 ) 十(5工2 + 5x) + (6x + 6) 
=x2 (x 十1) +5x(x 十1) +6(x 十1)
= (x+ 1) (x 2 十5x + 6)
=(x 十l) (x 十2) (x 十3) . 
帽洁2
原式= (x 3 十2X 2 ) 十(4x 2 十8x)+(3x+6)
所谓主元，即在
解多变元问题时，选
择其中某个变元为主
要元素，视其他交元
为常量，将原式重新
整理成关于这个字母
的按降幕排列的多
项式.
所谓换元即对结
构比较复杂的多项
式，把其中某些部分
看成一个整体，用新
字母代替(换元) ，从
而减少多项式项数，
降低多项式结构复杂
程度.
~~、~
( 川军细)
1号食
，传
女女
食
会，传
食
= x 2 (x十2) 十4x(x+2) +3(x+2) 
= (x 十2) (x2 + 4x+ 3) 
=(x 十1) (x 十2)(x+3).
幡浩3
原式=(x 3 + 1) 十(6x 2 + llx+5) 
=(x 十1) (x 2
工+ 1) 十(x十1) (6x + 5) 
= (x+ 1) (x2 + 5x+6) 
= (x 十1) (x + 2) (x+3). 
晤浩4
当x=-l 时，原式=0 ，故原式必有一个因式工+ 1，又Cx 3 + 
6矿十llx+6) --:- (x+ 1) =x2 +5x十6 ，
则原式=( x十1) (x2 +5x十6) = (x+ l) Cx+2) (x+3 ). 
例6
分解因式: x 2 +xy-6/+工+13y-6.
(四川省竞赛题)
幡洁1
用十字相乘法分解
原式=( x 2 +工y - 6/) + (x + 13y)-6 
= (x+3y) (x 一2y) + (x+ 13y)-6
= (x十3 y) (x - 2y) + [ 3 (x+3y) - 2(x - 2y) ]一2 X3
= (x+3y - 2) (x - 2y+ 3) . 
晤浩2
用主元法分解
原式=x 2 + (y+ 1)x- (6/ 
-13y 十6)
=x 2 +( y+ 1) x 一(3y-2)( 2y-3)
=工2+[ (3y - 2) 一(2y - 3) Jx - (3 y - 2) (2y - 3) 
= (x+3y - 2) (x-2y + 3) . 
瞄洁3
用待定系数法分解
因为x 2 + xy - 6/ = (x+3y) ( x -
2y) ，所以，可设工2+xy - 6/+x+
13y- 6= (x+ 3y+m) (x - 2y+ n) . 
展开整理，得x 2 +xy - 6/ 十x+ 1 3y - 6
= 工2 +xy -6/+ (m + η ) x+ ( 3 n - 2m)y十mn ，
rm+n= l, 
比较对应项系数，得~3n-2m=13 ，
lmn 一- 6 ，
解方程组，得m = - 2 ，n =3 .
.
原式= (x+ 3y- 2) (x- 2y+ 3). 
因式定理设f(x) =anxn +an - 1 Xn- 1 +… +a1x+ao ( 其中an ,an-l ,…, 
a1
，aO 都是整数).若ff ~ 1=0 ，则f(x) 有因式f x-: ], p I aO , q I an ，卫称为
\.. q ) 
•.
. 
\.. 
q ) 
f(x)=O 的有理根.
特别地，当an = l ，若f(x) 有因式(x-p)
，则p I aO' 
」
w
电
r n
- L 
第
3
i井
因式分解
拆项目F 把代数式
中的某项拆成两项的
和或差. 添项即把代
数式添上两个符号相
反的项，通过拆添项，
多项式增加了项数，
从而可以用分组分解
法分解.
一元高次多项式
分解因式有下7'J 常用
方法:
(1)拆添项法;
(2) 待定系数法;
(3) 因式定理法.
拆添项是一项技
巧性很强的工作，只
有认真观察多项式的
结构特征和数量关
系，才能正确地对多
项式进行拆添项.
或特殊，或一般;
或繁或简，缤纷的解
法，悠然心会，妙处请
你品味.
待定系数法是解
形如
αx' + bxy + 
cy' + dx + ey + f( a. 
b,c.d ，e.f 为常数，a ，
b. c 不同时为零)的二
元二次多项式的有效
方法，常见的应用途径
是:
(1) 若αj 十bxy +
c/ = 
(a，工+ c,y) • 
(a，x十c2 y) • 则可设Jfr，、
式= (a,x+c1y+m ) 
(α2工+c，y + n). 其中
m.n 是待定系数;
(2) 若α .b. c 中至
少有一个本身就是待
定系数，则可从ax'+
dx 十f( 或cy'+ ey+ 
f) 入手，即若αz2 十
dx + f = (a,x + f , ) • 
(α2工+ f，)，则可设房、
式;= (a 1 工忖ny+ f 1) • 
(a ，工十ηy + f，)
，其中
m.n 是待定系数.
1'/I:t\Aì:\&:\ 
食
-
R
-R 
1际女
食*
A 
H 
可k
例7
分解因式: 6x 3 -llx2 + x +4. 
( 上海市上海中学自主招生试题)
衍橱局幡
方程6x3 - llx 2 + x+4 =0 的有理根只可能在{ 4 的所有因
(
，.，~
" 
, 1
, 1
, 2 
, 1ì 
数--;-' 6 的所有因数} = l 士1，土2 ，土4 ，土一，士一，士一，士一!中产生，经检
) ~ - , ~-
， ~
.， ~ 2 ' ~ 3 ' ~ 3 ' ~ 6 f 
验，j (1 )=6X 1 3 - 11 X 1 2 十1+4=0 ，故( x -1) 是原式的一次因式，运用长
除法求出商式，再继续分解，但由于有因式(x-1 ) ，也可拆项分解.
原式= (x -1 ) (6x2 - 5x-4) 
= (x- 1) (2x+ 1) ( 3x-4) . 
或原式=6x3 -6x 2 -5x 2 +5x -4x+4 
= 6x 2 (x- 1) - 5x (x- 1) - 4(x- 1) 
= (x - 1) (6x2 - 5x- 4) 
=( x - 1)(2x 十1) (3x -4). 
例8
设ρ (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 +cx+ d ，其中a ，b ，c ，d 为常数. 如果
ρ (1 )=10 ，ρ(2)=20 ，ρ(3) = 3 0 ，试求ρ (1 0 ) + ρ ( - 6) 的值.
( 青少年数学国际城市邀请赛试题)
纣柑写幡
观察条件等式特征，构造新的多项式，为因式定理的应用创
造条件.
由题意知四次多项式Q (x )= ρ ( x )- 1 0x 满足Q (1) = Q ( 2 ) = Q (3) =0 , 
故(x - 1 )(x- 2)(x- 3) IQ (x ) . 
设Q ( x ) = ( x - 1) (x - 2) (x- 3) ( x - k) ，其中走为常数，则
ρ (1 0 ) + ρ ( - 6) = [Q (1 0) 十10 0 ) J +[Q( - 6) - 60J 
=9 X 8 X 7 X (1 0 - k) + ( 一7) X (-8) X (-9) X ( -6-k) 十40
=8104. 
~~ 刻意练习
1. 分解因式:
(1) a2 - b2 + 4α 十2b +3 =
(2 ) x 4+x2+ 2ax + 1- a2= 
(3) X 4 + y 4 + (X 十y) 4 = 
(4) x2 (1 + X ) 2 +x2 -8 (1 十X ) 2 = 
2. 分解因式:
(1) (x 2 十3x - 3 ) (x 2 + 3x + 4) 一8 =
(河南省郑州市竞赛题)
; ( 广西壮族自治区桂林市竞赛题)
(" 汉江杯"竞赛题)
(江苏省徐州市竞赛题)
(2 ) (x 2 + 3x+ 2) (x 2 + 7x十1 2 ) 一1 20 =
(3) 旷+3α-4 =
(4) 旷b十ab +3 0b =
( 山东省青岛市竞赛题)
(安徽省竞赛题)
( 山东省济宁市竞赛题)
( "希望杯"邀请赛试题)
学科精英大视野系列丛书
给c主蟹
'圃..-
----区
类似于整数分
式来法形式相反的
式子变形.信息社会
中的信息安全性是
建立在"分解出大整
，~、1Ctt\&.\
( J\ .a= m ) 
为食
食
女食
，传
女'食
*
第
3 讲
因式分解
3. (1)己知x 2 +2x+5 是x4 +αx 2 +b 的一个因式，那么α +b=
("希望杯"邀请赛试题)
(2) 若代数式/十旷+3x 2 y+ αzj 含有因式工→y ，则α= 一一一
("希望杯"邀请赛试题)
4. (1)分解因式C2x-3y) 3+ C3x 一2y) 3 -125Cx- y)3=
(2) 分解因式:3x 5 +X4 y-x4 + 12x+4y - 4= 一一一
(浙江省绪云中学自主招生试题)
5.
当η =1 ，2 ，3 ，…时，以下各式中，不能被6 整除的有一一一一一个.
①η3
η
②8η 3 -2n
③2旷+3η2+ n
④η5
η
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
6.
已知M 为正整数，且8M+40 与8M-40 都是完全平方数，那么M 的值
为
(世界数学团体锦标赛试题)
7. 2 16 - 1 能分解成n 个质因数的乘积，η 的值是C
). 
D. 3 
(" 五羊杯"竞赛题)
8.
已知a ，b ，c 为任意实数，则Ca - b)2 -4(α -c ) (c - b) 的值一定(
). 
A. 大于o
B. 等于0
C. 小于o
D. 大于或等于0
A. 6 
B. 5 
C. 4 
(四川省竞赛题)
9. 2X3 + x 2 - 13x 十6 的因式是(
). 
A. 2x- 1 
B. x十2
C. x - 3 
D.
工2+ 1
E.2工+ 1
(美国犹他州竞赛题)
10. 如果矿+ax 2 +bx十8 有两个因式工+ 1 和工+ 2 ，则α+b=C
). 
A. 8 
B. 7 
C. 15 
D. 21 
E. 22 
(美国中学生数学竞赛试题)
11. 若a ，b ，c ，d 都是正数，则在以下命题中，错误的是(
) . 
A. 若α 2 十b2 +c2 = αb十bc 十町，则α =b =c.
B. 若α3 十b3 十c 3 =3abc ，则α =b= ι .
C. 若a 4 + b4 +c4 + d4 =2Ca2b2 +c 2 d勺，则α = b=c = d.
D. 若a 4 + b4 十c4 十d4 = 4αbcd ，则α = b = c= d.
("五羊杯"竞赛题)
12.
已知x ，y ，z 都是正整数，代数式x
2 Y - / z + ZZ x - X2 Z + / x + ZZ y 
2xyz 的值是质数，则ZX-Y 的值是(
). 
A. 0 
B . 1 
C. 2 
D. 4 
("希望杯"邀请赛试题)
13. 分解因式:
(1) 9x2-6x-/+4y-3; 
(2) 2X3 - x 2 z- 4xz y 十2xyz + 2x/ - /z;
(3) X4 +/ + Z4 一2x Z / - 2/ Z2 - 2x2 ZZ ; 
(河南省竞赛题)
(天津市竞赛题)
(辽宁省沈阳市竞赛题)
~~~~ 
LFe 
d
田
、
内
《
川
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，
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Y
、
食
食
，际
，传
食
1与
食女
女二
(4) (2α +5) (a 2 -9) (2α 一7) -91; 
(5) (X-2) 3 一(y-2)3_(X-y) 3 ; 
(6) (c-a)2 -4(b-c) (a -b); 
(7) (x+y)(x+y+2xy)+(xy+ 1) (xy-1); 
(8) 旷+2b 2 +3c 2 十3ab+4α c+5bc;
(9) 4x3 -31x 十15;
(1 0) X4+x3-3x2-4x-4; 
(1 1) x 4 +7x3+14x2+7x+1; 
(湖北省黄冈市竞赛题)
("五羊杯"竞赛题)
(吉林省竞赛题)
(湖北省武汉市竞赛题)
("希望杯"邀请赛试题)
(重庆市竞赛题)
(湖北省黄冈市竞赛题)
(河南省焦作市竞赛题)
(1 2) x 3 +(2α + 1) x 2 + (旷+2α -1)x+(a 2 一1) .
("希望杯"邀请赛试题)
rx+y+xy=8 , 
14.
已知z 巾，z 为正数，且满足仆十z+yz=15
，求x+y+z+xy 的值.
Lz 十x +zx=35
，
(新疆维吾尔自治区竞赛题)
15.
已知关于Z 巾的二次式x 2 + 7xy+mj -5x+43y-24 可分解为两个一
次因式的乘积，求m 的值.
(山西省太原市竞赛题)
16. 如果多项式x2 -
(a +5 )x +5α-1 能分解成两个一次因式(x + b) 和(x +c)
的乘积(b ，c 为整数) ，则α 的值应为多少?
(江苏省竞赛题)
17. 证明:对任何整数x ，y ，下式的值都不会等于33.
工5 +3x4y-5x3 j -15x2/ +4x/ + 12/. 
(俄罗斯莫斯科市奥林匹克试题)
18. 求所有的正整数n ，使得旷十64 n 是合数.
(欧拉奥林匹克试题)
19. 如果正整数x ，y 满足等式工2+ 84x 十2016=/ ，求旷十yz 的值.
(北京市竞赛题)
20. 数学问题汗牛充栋、千变万化，许多看似迥异、毫无联系的问题，通过分
析、剥离，探源溯流，我们可以发现它们都回归指向为→个基本问题.那
些变化多端的问题只不过是这一基本问题的背景转换，或条件与结论的
互换，或条件的弱化与强化，或从特殊到一般的推广等.这一基本问题就
是题根.
(1)分解因式: (b- c) 3 + (c-a) 3 + (a -b) 3 ; 
(2) 求所有的三元整数数组(x ，y ，z)
，使得x 3 +/ +Z3 -3xyz=2003; 
(3) 设n 是整数，如果存在整数，x ，y ，z 满足n=x 3 + /+z 3 -3xyz ，则称
n 具有性质P.
①试判断1 ，2 ，3 是否具有性质P;
②在
1
，2 ，3 ，…，2013 ，2014 这2014 个连续整数中，不具有性质P 的
数有多少个?
(全国初中数学联赛题)
学科精英大视野系列丛书
积累题根，就站
立于从简单到复杂的
逻辑生长点;寻找题
根，就理解了问题的
变化方式，从而提出
解题策略.
Gi\1"A、。昌、
( J\ .q: m ) 
女女
食
女食
食
女食
食
第
3 讲
因式分解
• 
-….. .- -、留篝
锣IJ 1 
(1)原式=(4工2 - 4x+ D - cj -4y+4) = (2x - 1) 2 - (y - 2) 2 = (2工+y-3)(2x-y+D .
(2)
房、式= (x 4 + 2x 2 + 1) -9旷二(矿+ 1) 2 -
(3x) ' = (x' 十3工+ 1) (x'- 3工+1) .
例2
A 
将房、式重新整理成关于工的二次三项式，
则~、式= (y-z)x ' 十(y' - 2yz+ Z2 )x- (zy' - Z2 y) 
=(y-z)[矿+ (y- z)x- yzJ = (y - z) (x + y) (x- z). 
例3
(1)原式= α 2 b - a 2 c 十b2 c - b2 α +c 2 a-c2 b= (b - c) a2 + (c' - b 2 ) α 十b2 c- c 2 b
= (b- C) [ α 2 一(c + b)a + bcJ = (b - c) (a - b) (a -
c) . 
(2)
房、式=/十3x - (y' +y-2) =X2 +3x 一( y 十2)( y- 1) =(x + y 十2)(x-y+ 1).
(3)
房、式=j 十(y- l) x- (2y2 - 7y+ 6) = X2 +(y- 1)X- (2y-3)(y - 2) = (工- y + 2)(x十2y-3).
例4
(1)原式= (x 2 十7x 十6)(矿+5x 十6 ) 十X 2 =(X2 十6x 十6) ' .令x 2 + 6x 十6=α.
(2) 原式= (x 2 +x 十1) (x2 
工+1997). 令1997=a .
(3)
房、式= (X - 1) 2 (y 一1) 2
. 令x + y=a ,xy=b. 
(4) 房、式= (t- 1) 4 + (t + 1)' - 272 = 2t' 十12t2 -270 
= 2(t' 十1 5) (t2 - 9) = 2 (矿十4x + 19)( 工+5) (工一1) .令
t = 工+ 2.
-
....--':í • 
1. 0) (α + b + 1) (a-b+3) 
(2) 房、式= (x 4 +2x' 十1) - (x2 - 2ax + α 2 ) = (x' - x + a+ 1) (x' + 工- a 十1).
(3) 原式= (x' +y' ) 2- 2工2 y2 十(工+ y)4 = (X2 + y' )2 _ X2 y' + (x + y)4
•
zV2 
= (x2 十y2+ 工y)( 工2+ y'-xY) + (X2 十y2 十3xy) (x ' 十y' + xy) 
= 2( x 2+ y' +xy) ' . 
(4) 原式=[工(1 +工) J2+ 2xO +x ) 工+X2 - 2x2 (1 十x) -8 (1 十工) 2 
=[x(1 + 工) +工J2 -2 (1十工)[x 2 十4 (1十工)J
=X'(X+2)2_20 十工) (x十2) '
= (x 十2) 2 (x2 - 2x - 2) . 
2. (1) (x 一1) (x 十4 )(x
2 + 3x 十5 )
(2) (x 一1) ( x+6) (矿+5x+ 16)
(3) 原式=(α 3 _ 1)十(3α -3)=(a- 1) (a
2 + α 十4 ) . 
(4) 房、式= b(a 3 + α 十30)=b [ (a 3 十27) 十( a +3)J= b(a 十3 ) (a 2 一切+10) .
3. 
(1 )31
设j 十ax 2 + b = (x'+ 2x 十5) (x 2 十mx 十η) . 
(2) -5 
x=y 是方程x 3 +i 十3x 2 y+axy' =0 的一个解，代入得(5+α )i=o .
4. (1)因(2工- 3y) 十(3x-2y) 十(5y -5工)=0 ，故原式= 15(2x-3y ) (3x 一2y)(y - x). 
(2) 原式= (3 x' +x' y- x 4) + (1 2x + 4y-4 ) = (3x 十y- 1) (x 2 十2x 十2)( 工2 - 2x+ 2) 
s. 0 
0 除外的连续三个自然数的乘手只是6 的倍数，2η3+ 3n 2 + n = η(η + 1) (n十2) + n( η + 1) ( n - 1). 
J
W
咽
m
u 
-
R
击
R
-R 
食
τff
食
1号
A 
〉心「
学科精英大视野系列丛书
'眨
6. 13 
r8M+ 40 = m2, 
由题意可设!
其中m ，n 都为正整数，且m > n. 两式相减得(m + η )(m - n) =80=
1 8M-40= 矿，
rm+ n=20 , 
2' X 5 ，m ，n 都是4 的倍数，得!
Im - n=4. 
7. C 
8. D 
}fþ，、式=(a + b 一2C)2.
9. A
房、式= (2x3 -16) + (x2 -13x+22). 
10. D 
11. C 
由矿+b2 +/ =ab+bc + 町，得(a - b) 2 + (b-d + (α -C) 2 =0 ，由矿+ b3 + c3 =3abc ，得(a + b十c)
(a2 +b2 +/ -ab-bc-ac) =0 ，由a'+ 矿+c' 十d'= 4αbcd ，得(矿_b2 ) 2 +(c2 _ d2)2 + 2(ab- cd/ =0. 
12. D 
原式=(y-z)(x 十y)(x-z)
，y - z 和x-z 同为
1 或同为一l.
13. (1)原式= (3x+ y-3) (3x- y+ l) . 
(2) 原式= (2x3 -4x2 y+2x/) 一(x 2 z-2xyz十/ z) = (x- y) 2 (2x- z) . 
(3) 原式=x'+ y'+ 矿-2x2 / +2/Z2 _ 2X2Z2 _4/Z2 = (x2 -/ _Z2/ _(2YZ) 2 
=(x + y - z)(x - y 十z)(x 十y 十z)(x - y -z ).
(4) 原式=[(2α +5)(a-3)J[( α+3) (2α - 7) J- 91=(2旷
a-15) (2a2 -a-2 1) -91 
=(α4)(2α + 7) (2旷
α8) . 
(5) 设工
2=a ，y-2=b ，则x-y=a-b ，原式=a 3 -b3 -(a-b)3 =3αb(a-b) =3(x-2) (y-2) (x- y). 
(6) 原式=Cα -2b+c) 2 .
(7) 设x+y=a ，xy=b ，原式=(x+1)(y 十1) (xy + x + y- 1) . 
(8) 房、式=矿+b2 +/ +2ab+ 2ac+2bc+ b2 + 2c2 + α b + 2ac + 3bc 
=(α +b 十d + (b+c) (b + 2c) + α (b + 2c)=( α 十b + c) (a + 2b 十3c) . 
(9) 原式=(4x 3 -x) 一(30x 一15)=C2x- 1) (2x 一5) (x+3). 
(1 0) 原式=(x' 十x3 _2X2) 一(x 2 十4x + 4) =x2 (x2 + 工一2) 一(X + 2) 2 = (x 十2)(X 3 _X 2 _X- 2)
=(x 十2)[(x 3 - 2x2 ) + ( 工2 -2x) + (x- 2) J = (x+2) (x- 2) (x2 + x+ 1) . 
( 2'
'7
"
, , 7
, 1, 2 r( 2 , 1 ,\,,,( 
，
1
飞
1
(11)原式=x 2
1 x 2 + 7x + 14 + 一+τ
l =x 2 11 x 十τ
1 +7
1 x + 一
1 + 14 1
\ 
x 
x
J 
1\ 
x J 
\ 
xJ 
1 
=x2 11 x十_!_y +?( x+_!_ ì 十121 = x 2 ( x+_!_+3 ì ( x + _!_ +λ 
L \ 
X) 
\ 
X) 
I 
\ 
x 
J\ 
X 
} 
= Cx2 + 3x+ 1) (x2 + 4x+ 1). 
(1 2) 将原式整理成字母α 的二次三项式，原式=(x+ 1) (x+ α + 1) (x+a-1) .
14.
由x+y 十xy=8 ，得(1 +x ) (1 + y)=9 ，同理，(1 十y) (1 十z) = 16 , cl + z) cl + x) = 36 ，则Cl +x) Cl 十
川Cl +z)=3X4X6 ，原式= ~ + 1 + 7 十? × 1 =15
15. .: x 2 -5x 一24= (x-8) (x 十3) , 
.可设原式= Cx-8+ay) Cx + 3+by)
，解得α = 9
，b =- 2 ，故m = ab= - 18. 
16.
工2 -
(a +5)x+5α - l = (x + b)( 工+ c) =x2 + (b 十c )x + bc ，
{:十c= -a-5 ，
① 
bc=5 α
l.
② 
①X5 十②得bc 十5(b + c) = - 26 ,bc+5Cb+c) + 25 = - 1, (b十5)(c 十5)=- 1.
如::ji
( I 飞
E 坦)
{:十5=1'(b+5= 一1 ，
或!
c+5 = - 1 
Ic+5= 1, 
仁:'或仁::如=5
女
食
女
食
为
食
食
，曲，传
第
3 讲
因式分解
17. 原式= (矿十3x'y) 一(5x3 / +15x2 /)十(4xy' +12/) = x' (x+3y) -5x2 / (x+3y) +4y' (x+3y) 
= (x+3y)(x'-5x2 / 十4y')=(x十3y) (x2 - /) (x2 -4/) 
=(x十3y) (x- y) (x十y) (x-2y) (x十2y)
，
当y=O 时，原式=x5 手33; 当y手0 时，x+3y ，x- y ,x+ y ,x:- 2y ，x十2y 互不相同，而33 不可能分解为
四个以上不同因数的积，所以，当z 取任意整数，y 取不为零的任意整数时，原式手33.
18. 首先证明矿十4y' 是合数，其中x ，y 是正整数，且(x ，y) 笋(1，1).
工4 +4y' = Cx2 + 2/) 2 - 4x2 / = Cx2 - 2xy+ 2/) Cx2 十2xy+2y勺，因为/一2xy十2/ = CX- y) 2 十y2 ，且
仅当x=y=l 时，它等于1.因而对于其他所有的正整数，数t 十4y4 都是合数.
若n 是奇数，则旷+64 n 是合数.因为在这种情况下，64 n =64'8忖=4(2 .矿) 4. 
令x=n ，y=2
• 矿，使得到形式x4 +4y4
，在y二三2 的情况下，这个数是合数.
所以，对于任何正整数hd 十6 4 n 是合数.
19. .,' x 2 + 84x+2016= /, 
,'. (x+42) 2 +252= /, 
即(y + x+42) (y- x-42) =2 2 X 32 X 7. 
'，' y+x+42 与y- x-42 同为偶数，且y+x+42>y-x-42>0 ，而(y十x+42) 一(y-x-42)=2工+8(;:主邸，
. !y- x -42 = 2 , 
只能1
ly十x+42=2X63 ，
Ix=20 , 
解得!
，'.原式= 12096. 
l y=64 , 
20 . 这纽问题建立在矿+b3 + c3 -3abc 恒等变形及其应用上，
因矿+ b3 + c3 - 3abc = (α + b + c) ( α2+ b2 十c2 -ab-bc-ac) 
=÷(α十计讪α
b) 2 十(b一们(…)勺，
故可得出下列命题:
1
. 若α3 十b3 +c3 - 3abc=0 ，则α +b十c= O 或α =b=c;
ll. 若α + b十c=O 或α =b=c ，则矿+b3 +c3 = 3abc. 
对于(1)，'，' (a-b) + (b-c) +(c-a) =0 ，，'.原式=3(α -b)(b-c)(c-a).
对于(2) ，二' X3 +y3+ 矿- 3xyz= (x+ y + z) (x2 + / + Z2 - xy- yz-xz) . 
又( x - y) 2 + (y- Z) 2 + (z - X) 2 =2(x2 十/+i - xy-yz-xz) , 
而( x - y) 2 + (y -
Z)2 十(z - X) 2 总为一个偶数.
将方手呈交形为(工+ y+ z )[ (x - y) 2 + (y - Z)2 + (z- X)2J = 2 X 2003 , 
(计y叫，
(x - y) 2 + (y-
Z) 2 十Cz- x ) 2= 4006 ，
① 
② 
也
食
食
食
食
食
言与
食女
女
{x+y十z=2003 ，
③
卫:x..
1
"l(X - y)2+(y_Z/ 十(z-x/ = 2.
④·
由①、②得(X-y) 2 十(X+2y _ 1) 2 +(2x+y-1/ =4006 , 
λ 6x2 +6y2 +6xy-6x-6y+2=4006 , 
但上式左边被6 除余2 ，右边被6 除余4 ，故方程纽①、②元整数解.
学科精英‘大视野系列丛书
由③、④得Ix-yl
，Iy - z j , I x-zl 有两个为
1 ，一个为0 ，故满足条件的三元整数数组为(工，y ，z)=(668 ，
668 ,667) , (668 , 667 , 668) , (667 , 668 , 668). 
(3) ①取工=l ，y=z=O ，可得1=1 3 + 03 +03 -3 X 1 X OXO ，所以1 具有性质P; 取x=y=l ，z=O. 可得2=1 3 +
13 +03 -3 X 1 X 1XO ，所以2 具有性质P; 若3 具有性质p ，则存在整数x ，y ，z 使得3 = (x+ y+ Z)3 - 3 (x+ y +.z) 
(xy十yz+=) ，从而可得31 (X+y+Z) 3
，故3
1 (x+y+z) ，于是有9
1 [(x+y+Z)3 _ 3 (X十y十z)(xy+yz十zx汀，即
913 ，这是不可能的，所以3 不具有性质P.
②设f(叫到=÷(z+y十汕工，-y问y-Z)2 + (z- x)勺，向λ
如果x-y=l.y-z=O. x-z =l ，!!p x=z+ l. y=z. 则有I( x 巾.z) =3z+1;
如果x- y=O ，y -z= l ，x -i= 'l. 即x=y=z十1，则有f( x ，y ，z) =3z+2; 
如采x- y = 1 ，y -z= 1 ，x-z=2 . 即x = z+2.y=z+ 1 ，则有f(x ，y ，z) = 9(z+ 1); 
由此可知，形如3k + 1 或3k + 2 或9k(走为整数)的数都具有性质P .
又若3
1 f(x.y.z) ，即31 [(X+y+Z) 3 -3(x+y+z)(xy+yz+zx)] ，则31 (X+y+Z) 3
，从而31 Cx+y+剖，进
而可知9
1 [Cx+y十Z) 3 _ 3 (X+ y+Z)(xy十yz+zx汀，即9lf(x 巾，z).
综合可知:当且仅当n=9k + 3 或η =9k+6(走为整数)时，整数n 不具有性质P.
又2014 =9X223+7 ，所以，在1，2 ，3. …，20 13 ，20 14 这20 1 4 个连续整数中，不具有性质P 的数共有22 4X
2 = 448 个.
h 也6 月
《险，……
当今世界最著名、在网络与信息领域应用
最广泛的是RSA 密码体制，其安全性就是建
立在质因数分解的难解之上的，1977 年三位
美国学者提出RSA 码.如图，要破译129 位数
字密码，需分解藏于该数字钥匙中的两个质数
因子，他们曾预言大约要23000 年，但不到
18
年，这个密码就被人破译，意思是"谜一般的
词是令人毛骨悚然的秃鹰"
需4
i:持
国茸竹筒翠的应用
' 
•........ 
在一定条件下，把一个代数式变换成另一个与之恒等的代数式称为代
数式的恒等变形.
因式分解是代数变形的重要工具，是后续学习分式、一元二次方程等知
识的基础;因式分解在数值计算、代数式的化简求值、解不定方程、证明代数
等式等方面有广泛的应用.
例1
若矿+旷=α 2 -2α 2 b 2 +b2 + 6 ，则a 2 +b2 = 
(江苏省竞赛题)
幡题思茵
通过变形，把原等式变形为关于旷+ b 2 的等式.
例2
若m= 20062 + 20062 X 2007 2 十2007 2 ，则m ( 
) . 
A. 是完全平方数，还是奇数
B. 是完全平方数，还是偶数
c. 不是完全平方数，但是奇数
D. 不是完全平方数，但是偶数
("希望杯"邀请赛试题)
幡题思路设20 06= 工，则m =x 2 十x 2 (x + 1 ) 2 + (x + 1 ) 2 ，将m 因式
分解.
飞;:她
与静巳主f竟
沮圄画哥
哥'咽幅巨
那些仅仅靠着整
理自然界秩序的冲动
而得以发展起来的深
奥抽象的数学思想系
统，最后几乎无一例
外地在科学中得到了
应用.
一一《美国数学
的现在和未来》
热尔曼的发现
哥德巴赫在给欧
拉的信中提出:
若n 是大于
1 的
自然数，则
4n ' +1 是
合数.
法国著名女数学
家索菲·热尔曼
(1 776 - 183 1)也发现
一个类似的命题:
若η > 1 是自然
数，则旷十4 是合数.
~&;':\I::\ 
例3
计算:
食食
为
食食
'(::{
，峙，传
为
19953 -
2 X 19952 -1993 
(1) 
~ V ~VV _, -
, , ~~v_v， v 
~ V 
V 
V 
; 
1995'+1995"-1996 ' 
(北京市竞赛题)
(24 +22 + 1) (44 +42 + 1) (64 +62 + 1) (84 +82 + 1) (104 + 102 + 1) 
(2) (34 +32 +1) (54 +52 +1) (74 +72 +1) (94 +92 +1) (1 14 +11 2 十1)'
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
'疆理由
观察分子、分母数字的特点，用字母表示数，从一般情形考
虑，通过分解因式，寻找复杂数值下隐含的规律.
例4
已知n 是正整数，且旷-16n 2 +100 是质数，求η 的值.
("希望杯"邀请赛试题)
些理里堕
质数只能分解成1 和本身的乘积，故对原式进行恰当的分解
变形，是解本例最自然的思路.
例5
(1)求方程xy 一2x-2y+7=0(x~y) 的整数解;
(江苏省竞赛题)
(2) 求方程2X2 +5xy+2/ =2006 的所有正整数解.
(山西省太原市竞赛题)
塑壁翌些
观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解
或分离整系数法，寻找解题突破口.
学科精英大视野系列丛书
飞pc主i宽
罩'圃..--
......咽园区
字母示数，可以
把复杂的数值计算转
化为式的运算，通过
分解相约、裂项相消
关键是发现数字间的
关联.
不定方程的基本
解法有:
(1)枚举法;
(2)
分解因数、
分解因式法;
(3)
分离整系
这些方法的运
用，常与整数的性质
结合在一起.
iX'\~~ 
( I飞革组)
食
，传
会舍
*
食
食
第
4
t井
因式分解的应用
例6
设η 为任意奇正整数，证明
:
1 596" 十1000 " -
270" -
320" 能被
2006 整除.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
主堕些壁
因为2006 = 2 X 17 X 59 ，所以，为证结论成立，只需证: n 为
奇正整数时，1596" + 1000" - 270" -
320" 能被2 ，17 ，59 整除.
显然，表达式能被2 整除.
应用公式，n 为奇数时，
a " 十b " = (a + b) (a ,,-1 -a"- 2 b+ …+ b"-I ) , 
a" - b" = (a - b) (a ，，- 1 十a ，，-2 b 十… + b ，，- 1 ). 
由于1596 十1000=59X44 ，270 十320=59X10 ，
故1596" + 1000" - 270" -
320" 能被59 整除.
又
1596 - 270 = 1326 二17X78
，1 000 一320=680= 17 X 40 , 
故
1596" 十1000 " - 270" -
320" 能被17 整除.
因此，结论成立.
例7
按下面规则扩充新数:
已有两数a ，b ，可按规则c=ab + ω + b 扩充一个新数，在a ，b ，c 三个数中
任取两数，按规则又可扩充一个新数，...... 每扩充一个新数叫作一次操作，
现有数1 和4 .
(1)求按上述规则操作三次扩充得到的最大新数;
(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999 ，并说明理由.
(重庆市竞赛题)
纣析写晤
新数有怎样的特征?从ab + α + b 十1 = (α + 1) (b+ 1) 入于.
(1)第一次只能得到1X4 十4 十1=9 ，因为要求最大新数，所以，第二次
取4 和
9 ，得到4 X9+ 4 + 9=49 ，同理，第三次取9 和49 ，就得到扩充三次的
最大数为499.
(2) 因
c = ab 十a + b =( α 十1) (b 十1)-1，故c+1 二(α + 1) (b + 1)，取数
α
，c 可得新数d=( α 十1) (c+ 1) -l=( α + 1) (b + 1) (a + 1) -1 = (α + 1) 2 (b+ 
1)-1，即d十1=(α + 1) 2 (b + 1)
; 取数b ，c 同理可得e= (b+1) (c+ 1) - 1= (b + 
1) (α + 1) (b十1) - 1 ,e+ 1 = (b+ 1) 2 (α+ 1) .设扩充后的新数为工，则总可以表
示为工+ l =(a 十1)'"
0 (b+ 1)" ，式中m ，η 为整数，当α 二l，b =4 时，x+1 =
2m X5" ，又因1999+ 1 =2000=t X5 3 ，故1999 可以通过上述规则扩充得到.
结构思维
结构，是指事物自身各种要素之间的相互关联和相互作用的方式，包括
构成事物要素的数量比例、排列次序、结合方式和因发展而引起的变化.
一些数学问题，整体求解较困难，但当问题包含若干形态结构相同的部
分，选取部分进行研究，见微知著，常能找到解决问题的突破口.
例8
求满足等式旷(α 一1)十b3 (b-1) +C3 (c-1) = α(α 
1)十b(b - 1) + 
c(ι 
1)的三个整数a ，b ，c ，且它们的和最小.
(全俄中学生竞赛题)
31 
·在
式子N= 1 492"
1770n - 1863n + 2141 n , 
在η =0 ，1，2 ，…，1 945
时，N 的结果都是
1946 的倍数，而哥伦
布
1 492 年发现了新大
陆，1770 年英国殖民
者制造了波士顿惨案，
1863 年解放黑奴的
《解放宣言》正式生效，
三个数字都与重大事
件有关.
,&.:\1'::\6:\ 
食
食
，传
食
食女
食
1号
A 
'j..:( 
幡题思路
等式包含若干形态结构相同的部分，从研究x3 (X- 1) - X(X-
1)切人.
暨
南
…
1.对于一个正整数η ，如果能找到正整数a ，b ，使得n = α + b + ab ，则称n 为
一个"好数"，例如3=1 + 1 十1 X 1，3 就是一个"好数"，那么，在1~2。这
20 个正整数中，"好数"有
个.
(四川省竞赛题)
2.
长方体的长、宽、高分别为正整数，且满足α + b + c + ab 十bc+ac+abc=
2006 ，那么这个长方体的体积是
("希望杯"邀请赛试题)
3.
已知α +b=3 ，a 2 b十α b 2 =-30 ，则矿-ab + b 2 + 2 =
(湖北省黄冈市竞赛题)
4. 试说明存在无穷多个整数n ，使n 2 + n + 41 的值为合数.
分析:如果n 2 +n+41 可表示成两个因式的积，则它的值显然是合数.
而n 2 +n+41= (n+ 1) 2 一(η - 40) ，联想到平方差公式，若η-40 是个完
全平方数(设为p 2 )
，则n 2 + n+ 41 = (η + 1) 2 -ρ 2 = (η + 1 + ρ) (n + 1 
ρ) 
是合数.
显然，对任意整数ρ ，都存在n ，使得n-40= ρ 2
故有元穷多个n ，使得
n 2 + η 十41 的值为合数.
试判断下列说法的正误(正确的在括号内画"~"，错误的画"X") : 
(1)存在无穷多个整数n ，使n+5 的值是合数.
(2) 存在无穷多个整数n ，使n 2 + 1 的值是合数.
(3) 存在无穷多个整数n ，使n 2 +n+1 的值是合数.
、
、
，
，
、
、
，
/
、
‘
，
/
，
，
‘
、
、
，
，
‘
‘
、
/
，
‘
、
、
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
5. A , n 都是自然数，且A = n2 + 15n + 26 是一个完全平方数，则
η 一
("希望杯"邀请赛试题)
6. (1)整数a ，b 满足6ab=9α -10b + 303 ，则α + b=
("祖冲之杯"竞赛题)
(2) 方程2 m X 3" -3" +1 十2 m =13 的非负整数解(m ，n)=
("新知杯"竞赛题)
1 
1 
7. 黑板上写有1，言，...，100 共100 个数字，每次操作先从黑板上的数中选
取两个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数α 十b + ab ，则经过99 次
在υ
学科精英大视野系列丛书
第二次世界大战
极大地促进了密码学
的发展，英国数学家根
据波兰提供的信息，破
译了德德‘军
丰机几旷"以及其他密码系统
发出的密码，成功地改
变了这场战争的结采，
也改变了历史.
Q\G.\&.\ 
女州r
女食'眨
，曾
( I 飞革主1l1 .)
食
食
第
4
i井
操作后黑板上剩下的数是(
) . 
A. 2012 
B. 101 
c. 100 
D. 99 
( " ((数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
8. 正整数α ，b ，c 是等腰兰角形二三边的长，并且G 十bc + b +ca= 24 ，则这样的
三角形有(
). 
A . 1 个
B. 2 个
C . 3 个
D.
4 个
("希望杯"邀请赛试题)
9.
巳细正整数a ，b ，c ，d 满足ab=cd ，则G 十b+c + d 有可能等于(
) . 
A. 101 
C. 401 
B. 301 
D. 前三个答案都不对
(北京大学博雅计划测试题)
10. 一个矩形的长和宽均为正整数，面积为A 平方厘米，周长为P 厘米，则
下面不可能为A 十P 的数是(
) . 
A. 100 
B. 102 
C. 104 
D. 106 
E. 108 
(美国数学竞赛题)
11 . 若正整数a ，
b ，c 满足a <b< c ，且abc = 2(α + b + c) ，则称(α ，b ，c) 为"好
数组"，那么，"好数组"的个数为(
). 
A. 1 
B. 2 
C. 3 
D. 4 
( 全国初中数学联赛题)
12. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为
"和谐数"如
: 2 = 1 3 一(-1) 3
，26 = 3 3 -1 3 ，2 和
2 6 均为"和谐数"那么，
不超过2016 的正整数中，所有的"和谐数"之和为(
) . 
A. 6858 
B. 6860 
C. 9260 
D. 9262 
(全国初中数学联赛题)
13. x4+l+ ( X+y)4 
多项式工4 十/+(工+y ) 4 项数少且项与项联系紧密，通过配方或换
元，将和化积，可得一个应用广泛的结果.
(1)分解因式
: x4 + y 4 + (x + y) 4 ; 
1 1 1 4 十100 4 + 1114 
(2) 计算: . I 
(日本数学竞赛题)
2n 
14.
已知a ll == n 211+ 1 
巾1 + 1
'"''' 
1
吨
( η= 1 ，2 ，…，2009) ，求证:a l +α 2 + … + 
a 2009 < 1. 
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
15.
已知旷(b十c) = b2 ( α 十c) = 20 10 ，且a手b ，求c2 (a + b) 的值.
("我爱数学夏令营" 竞赛题)
16. n 为怎样的正整数时，数3 2什l 一2 2忖1 - 6" 是合数?
(俄罗斯数学奥林匹克试题)
过1嘘
因式分解的应用
~~I'A\ 
食
食
食
*
食女
食
1号
女
17. (1)求方程/十6xy-7/ =2009 的正整数解;
rxy + 1=2z ，
① 
(2) 解方程组
iYz十1=2x ，
② 
lzx + 1 =2y .
③ 
(J.J西省太原市竞赛题)
(澳大利亚数学竞赛题)
18. 已知正整数a ，b ，c ，d 满足ab =cd ，求证:α20 1 6 + b2016 +C2016 + d川为合数.
(北京市竞赛题)
19. 求所有的整数x ，使得9x2 -40x+39 是一个质数的幕.
(斯洛文尼亚数学奥林匹克试题)
20. 求质数α ，b ，c ，使得15α + 7αb+bc = αbc .
("华罗庚金杯" 少年数学邀请赛试题)
学科精英大视野系列丛书
- ---.飞
例1
3 
由条件得(α 2 + b2 ) 2 一(a 2 + b2 ) - 6 = 0 ，( α2 + b2 - 3) (a2 + b2 + 2) =0 ，故a2 + b2 = 3 ，矿+ b2 = - 2
(舍去) . 
例2
A 
原式= (X + 1) 2 -2x(x+ 1) +X2 +2x (x 十1) +矿(x + 1) 2 = (x + 1 - x ) 2 + 2x (x + 1) + 
[x(x+ 1) J' = 12 + 2x(x+ 1) 十[x(x+ 1) J' = [ 1 + x(x+ 1) J' = (1 + 2006 X 2007)2. 
d - 2矿-(a-2)α一2
1993 
例3
(1)设1995 = α ，则原式-
3 
I 
2 
I 
.，，，
一一- - 一一一
a3 + a2- (a + 1) 
a+ 1 
1996' 
(2)
因n'+ n2 + 1 = ( n2 + 1)2 - n2 = (η2 _ n + 1) (n2 十n + 1)，又(n+ 1) 2 - ( n+ 1) + 1= n2 + n 十l (n =
1,2,…,11) ，于是分子与分母可逐项分解并非目消，可得
一(22 -2+1)血坪件扫丛〉梓刀且~中η必仨斗中刀必坪件T丁β〉肿D必坪钟打(lfl>扬中ηo.n:冲拍丰D
原式一旦L
22- 2+ 1 
3 
112+ 11 + 1 
133' 
例4
旷- 1 6旷+100 = 旷十2 0旷+ 1 00 - 36旷= (n2 + 10) 2 - 36n2 = (n2 + 6η + 10) (旷- 6n + 1 0)
，因旷+
6n + 10手1，而n' -16旷十100 为质数且η 为正整数，故n2 -6n + 1 0 =1 ，即(η-3) 2 = 0 ，得n=3 .
例5
(1)原方程化为(x - 2)(y-2)+3=0 ，故(x-2)(y-2)=-3=- l X3=l X (- 3)
，
_ 
{ x - 2 = - 1, { X - 2 = - 3 , 
__ { X = 1, 
{ x = - 1, 
• 
x 毛::::::: l' , 
.. l 
1
千-<t
l
1 
ly - 2= 3 , 
lY 一2 = 1.
- ly= 5 , 
l y = 3. 
( 2) (2x + y)( x + 2y) = 2X17X59 ，设工二三y二月，则
2x + y二~x+ 2y>x + y> 1
，只有三种情况:
解得!
则所有正整数解为(28 ，3) , (3 , 28) . 
(叫=肌
ch= 11! '(叫=肌
C=28 ，
x+2y= 34 , 
l x十2y = 1 7 ，
l x+2y=2 , 
". 1Y=3 
例8
将等式右端各项移到左端，并应用
工3 ( X- 1) - X( X- 1) = (X 3 -
x ) (X- 1) = X(X2 一1) ( x - 1 ) = x(x + 1) ( x - 1) 2
，
得a( α + 1) (a - 1) 2 + b(b+ 1) (b - 1) 2 十C ( C+ 1) (C- 1) 2= 0 .
研究形如x ( x+ 1) (X - 1) 2 的表示式，其中z 是整数，注意对于所有的整数x ，不等式x (x + 1) 二三0 成立，
并且仅当x= - l ，x=O 时等号成立.同样( X- 1) 2 二三0 ，并且仅当x = l 时等号成立.因此，对于所有的整数x ，
不等式x(x+ 1) (x一1) 2 二三0 成立，并且仅当x =- l，O 或工= 1 时等号成立.
~:_4) 
( J\ a: m ) 
为，传
女食
力'
食
，传
食
，传
第
4
i井
因式分解的应用
所以在等式α(α + 1) (α _ 1) 2 + b(b+ 1) (b一1/ 十c(c + 1) (C- 1) 2 = 0 中，左端是非负数的各项之和，仅当各
加项等于零时，它们的和等于零.这样，只有整数a ，b ，c 取值
1，1 或0 时，才有可能.这三个数中，当
α =b=
c=-l 时，其和最小.
1. 12 
n + 1=(a + 1) (b + 1)，所求的数n 即为2~21 之间的合数减
1 的数.
2. 888 
(a+ 1) (b+ 1) (c+ 1) =2007=3 X 3 X 223. 
3. 41 
4. 
(1)、/
(2) .J 
(3) .J 
n2 +1 = (π+ 1) 2 一切，设ρ2= 缸，对于任意不等于2 的偶数户，都存在η ，使2n= ρ2 ; 
n2 + n+ 1 = (n+ 1) 2 
η ，设旷= n ，对于任意不等于1 的整数ρ ，都存在n ，使n= ρ 2
• 
……踵
'
5. 23 
A =( n +2)( n + 13)
，设n +2= 矿
，n + 13 = b 2 ( α ，b 为正整数，且b> α) ，则
b2 -a 2 =(b+ α ) (b-a) = 
11 ,b+a = l1 ，b-a=l
，解得b =6 ,a=5 ,n=a2 -2=23. 
6. (1) 15 
(3α +5)(2b-3)=288=2 5 X3 2 ，只有3α +5= 2 5
，2b-3=3 2 成立.
(2) (3 , 0) , (2 , 2) 
原方程可化为(2 m -3) (3" 十1) = 10. 
7. C 
由α + b + ab + 1=( α + 1) (b + 1) 得，每次操作前和操作后，黑板上的每个数加
1 后的乘积不变，设
( 1
飞(1
，
_\
(1
飞
经过99 次操作后黑板上剩下的数为工，则z 十1 =0+ 1)
1
~+ 111+ + 11 …
1 ，~ ^ + 1 1 ，解得x=100.
\ 2 ' ~ ) \ 3 ' ~
} 
\ 100 ' ~ } 
8. C 
(a+b)(c+ 1) =24=12X2=8 X 3=6X4
，a 十b二三c + 1 二三2 .
9. B 
设a=mn ，b= pq ，c=mp ，d= ηq ，则α + b +c+d= (m+q) (n+ 抖
，a 十b 十c+ d 不能是质数.
10. B 
设一个矩形长为α ，宽为
b ，则A + P =a b +2α +2 b ，A + P +4=( α +2)( b +2)
.
11. C 
若(α ，b ，c) 为好数纽，则abc=2( α + b +c)~6c ，所以ab ~二6. 显然
，a 只能为
1 或
2. 若a =2
，由ab~
5 
6 可得b=2 或
3
，b=2 时可得c=4
，b=3 时可得c= 一(不是整数) ;若a= 1 ，则
bc = 2 (l + b + c) ，于是可得
2 
(b-2)(c-2)=6
，可求得(α ，b ，c) = 0
，3 ，8) 或(1，4 ，5). 综合可知:共有3 个好数纽，分别为(2
，2 ，4)
，0 ，3 ，8)
和(1，4 ，5).
12. B 
(2走十1) 3 一(2 走
1) 3 =202扩十1)~2016
，lk l<: 1 0 ，取走=0 ，1
，2 ，3
，4 ，5
，6 ，7 ，8 ，9 ，即得所有不超
过2016 的"和谐数"
13. (1)原式=2(x2 + xy 十/) 2
.
/2( 112 + 11 X 100 + 100' )z-2 
(2) 房、式=.r'ii
'
ii /~i VV' i
VV 
/ 
= (1 12+ 11 X lOO+ 100')= 11221. 
2" 
1 
1 
14. .; a_ = 
牛
-一一一
~一一
(2 忖i 一1)(2"- 1)
2"- 1 
2" -'-' 一l
(1 
1'\ , (1 
1'\ , 
, ( 
1 
1 
ì 
原式左端=1 一一一τ一一
1 +
1 τ一一
丁一一
1 + … +
1 节了一一
寸010 一|
~ 2 一lζ-1 ) , 
~ 22 - 1 
23 - 1) ' 
'
~ 2'009 - 1 
2'010 - 1 ) 
1 
1 
=一一一一寸古'" 一一=1 一寸百' " 一一<:1= 原式右端.
2-1 
2…
U -1 
2,ulu -1 
15.
由旷(b+c) - b2 (a+c) = (α -b) (ac 十bc+ab) = 0 ，得ac+bc+ αb=O ，由
c' (a+b) -b2 (a+c) = (c-b) 
(ac十bc+ab) =0 ，得c2 (α +b) =b2 (a + c) =2010. 
16.
原式=(3" 一2")(3"+ 1+2忖勺，当
n> l 时，3 " - 2" > 1 , 3"+1 + 2"+1 > 1 ，故原数是合数;当n=l 时，原数
是质数13.
35电
-R
-R -R 
食识
'眨
才注
才注
* 
学科精英大视野系列丛书
17. (1)原方程化为(x-y)(x + 7y) = 2009=7 X 7 X 41 ，当
x - y = 1
，7 ，41
，49
，287 ，2009 时，相应地有
x + 7 y=2009 ,287 ,49 ，41
，7 ，1.又x-y<x+7y ，上面六种关系中，只有三种可能成立:
IX-V= 1, 
Ix-v=7 , 
Ix-v=41, 
(1) ! 
(2) ! 
(3) ! 
\x+7y=2009 , 
\x+7y=287 , 
\x+7y=49. 
解得
(x ，y)=(252 ，251)
，(42 ，35)
，(42
，1).
(2) ①一②得(x-z)(y+2)=0. ②一③得(y- x) (z+2) =0. 分四种情况讨论.
(1)x =z 且y= 工，得x=y=z. 代入式①得(X- 1) 2 =0 ，则x=y=z= 1.
山=z 且z= 一2 ，得x=z=-2 代入式③得y=?
(均=-2 且y=x ，得x = y= 一2 代入式①得z=?
(向=-2 且z= - 2 ，代入式②得x= 去
18.
设a=xy ，b = zt , c=xz ,d= yt ，原式= (xy) 2016 + (zt) 2川+ (XZ) 2川+ (yt) 2川= (X2016 + t2016 ) (y 2016 + 
Z20 1勺，为合数.
19.
设9x 2 - 40x + 39= ρ n ( 户是质数，nEN)
斗ρ n = 9x2 -40x+39= (9x-13) (x-3) 
斗e~
叫，戈(9r13=p是，
二
x-3=p' 
"lx-3= - p' , 
其中
，k ，IEN ，且0运1< 走，n=k+l.
(9x 一13= 扩，
(1) l 
~ 
., 
则
9(p'+ 3) 一13= 扩斗14= 扩- 9p' = p' (p'-' -9). 
Ix-3= ρ\ 
当1=0 时，有扩=23=>p=23 ，是=1 司工= 4.
{户'=2 ，"
" 
(扩=7 ，
当
l二三1 时，有p'
1 14=斗
或!
斗ρ =2 ，1= 1，走=5. 斗x=5.
1ρ>-1 -9=7 "\扩-'- 9=2 ，
(9x-13=-p' 
(2) 同理由!
推得x=l 或工=-4 ，
lx-3= 一扩
故x=-4 ，1，4 ，5 是满足题意的解.
20.
因a
l bc ，故α
I b 或a I c ，又a ，b ，c 都为质数，所以a=b 或a=c.
(1)当a=b 时，15α +7a 2 +ac=a2 c , 
所以
15 + 7α 十c= 町，
(α - 1) (c 一7)=l X 22= l1 X 2.
若(rl=11 ，
C=17'
得l
与题意不符;
c-7=2 , 
1 c=9 
若(α一1=2 ，
(a=3
得j
与题意不符;
c 一7=11
，
Ic=18 , 
若(α1=22 ，
(a=27'
得!
与题意不符;
c-7= 1, 
. Ic=8 
若(:-1=1 ，(仁
α俨=
t得寻!
与题意非相目符
，a=2 ，b=2 ，川c=29 为一个答案.
一7=22 ，
Ic=29 , 
(2)
当α =c 时，可讨论得α =11
，b=5
，c=11 或α =13 ，b=3 ，c=13.
161 4 年，数学家纳皮尔引进了一种自然
对数来作为数学计算的一种辅助手段，目的是
用简单的加减法去代替含有乘除法的冗长计
算，这极大地促进了天文学和航海学的发展.
对数的发明导致了计算工具的产生，最早产生
于1630 年左右，之后被人们广泛使用了
300
多年，直至袖珍计算器产生.
宫
…
￡
.
】
内
逆
时
〈υ
阳
Z
、岛豆u
~{ 
.\~-… 
黑5
j:持
多当茸自q1七菌币1画
' 
. ------_. 
'
翩知能部述
先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值
通常分为有条件和无条件两种情形.
解有条件的分式化简求值问题，既要瞄准目标，又要抓住条件;既要根
据目标变换条件，又要依据条件来调整目标.
分式的运算是化简求值的基础，整式的变形、因式分解是工具，合理地
通分是化解分式运算中难点的关键.
h 问题能决
2α + 2b十c
例1
(1)若一ι = 一一一= 一一，则一一一一一=
b +c 
c 十a
a + b'N a + b - 3c 
(" 希望杯"邀请赛试题)
? 
_ 
~.，X 4 + 2x+ l 
(2) 已知x 2 -x-l=O ，则一一一了一一=一一一一一·
工
( 广西壮族自治区竞赛题)
晤题思路
对于(1 ) ，设出比值，引入参数;对于( 2) ，由条件可得t =
x+ l ，x2 -x = 1 等，整体代人，不断地降低分子、分母的次数.
:去结
神奇化易是坦
途，易化神奇不足提.
华罗庚
欧拉公式
欧拉是18 世纪玉在
士著名数学家，他的贡
献遍及高等数学的各
个领域. 同时，在初等
数学中也到处留下了
他的足迹，下面是关于
分式的欧拉公式:
α
l 
(a- b) (a - c) , 
b' 
(b - c) (b - a) , 
C 
(c 一α) (c- b) 
(0(=0
1 时)
lCr = 2 时) , 
Q 十b + c( γ=3 时) . 
此公式整齐美
观，左边的复杂与右
边的简单给我们强烈
的对比，一些分式的
化简求位问题与上述
欧拉公式有关联.
I'IJ:\&.:\~ 
学科精英大视野系列丛书
…… 
食
食
为
食
食*
食
食为
代数式的化简求
值是一系列的变形与
转化的过程，而变形
应具有一定的目的
性、方向性、针对性.
目标意识、减少差异、
消除差异有利于生成
有序的逻辑推理.
IA\~~ 
(1)当X*~IJ取值击，击，
击，1 ，2 ，... ，2机却0 7 时，求出
代数式止4的值，将所得的结果相加，其和等于(
i 十f
例2
D. 2007 
(全国初中数学联赛题)
c. 1 
B. 0 
A. 
(2) 若α 十b + c = 0 ，则
l 
+ 
1 
2 十γ午言的值
α 2 +b2 -C2 . b2 +c 2 -a
α + c ' -b 
D. 2 
(湖北省黄冈市竞赛题)
对于(1) ，取值成对互为倒数，不妨先计算匕三十
l +x 
c. 
B. 1 
A. 0 
是(
幡题思路
4;jL对于(2) 恰当运用条件化多项式分母为单项式
1+ 1--=-- 1 
例3
旷
一
川
+ 
μ
一
川
+ 
1
一
川
简
+
化
1
一
寸
-a 
(湖北省武汉市竞赛题)
(2)-L+
1
+
1
+ …+ -;
!
l …
; 
x(x十1)
, (x+1) (x + 2) , 
(x十2 ) (x+ 3)
(江苏省竞赛题)
Z2 十yz
y 2- z x 
Z2+xy 
(3) 
工2+ (y - z) x - y z ' y 2 + (z + x )y+zx ' Z 2 一(x- y) z-xy.
(" 五羊杯"竞赛题)
幡题思路
不宜直接通分，运用分步通分、分组通分，先约分再通分，裂
项相消后通分、换元等策略与技巧.
( J、军坦)
女女
，货
合食
食
长f
食
*
第
5 讲
分式的化简求值
1 
1 
1 
__ll. 1 + b , 1-1 
例4
设a ，b 是实数，且满足一一一一一= 一=--，3j(一一+-i 的值
1 十α
l+b
b - a"
'-l + α
l 十b
( "希望杯"邀请赛试题)
晤题思路
怎样运用条件?如何沟通条件与结论的联系?充分运用解
与分式相关问题的技巧方法，可得不同解法.
例5
求最大的正整数n ，使得旷+ 100 能被n + 1 0 整除.
( 美国数学邀请赛试题)
瞄理想路
由于旷+ 100 的次数高于η + 1 0 的次数，所以，通过变形将
整式整除的问题转化为一个分式的问题来加以解决，而解题的关键是把分
式化为整式部分与分式部分的和.
例6
已知川，z 满足Ffz十左+王y= 1 ，求代数式主十二号z+
一年的值­
X T y 
(北京市竞赛题)
瞄盟军路
用"直接代入法"或对已知条件作" 整体变形"难以奏效，比
较条件与结论，化整为零，分别把已知条件左边三个分式用其他两个分式
表示.
哇哇
解数学题是运用
已知条件去探求未知
结论的一个过程，充
分运用已知条件是解
题顺畅的重要前提，
对已知条件的运用有
下列途径:
(1) 直接运用条件;
(2) 变形运用条件;
(3) 综合运用条件;
(4) 挖掘隐含条件.
化分式为整式是
解分式问题的常规思
路，而有些整式问题
可转化为分式的计
算、化简，突破思维定
式. 取倒数、等式两边
除以某因式、提取因
式、字母化等是常见
的转化方法.
，&.i\R.:\~ 
食
节If
"i与
食*
A 
〉ζ
食
食
，传
例7
已知
a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件:α +b+c=32
(, 
主±五二旦十c +旦二生+色土豆二互=_!_
②，求证:以ra ，而，.jc为三边长可构成一
bc 
ac 
ab 
4 
个直角三角形.
(全国初中数学联赛题)
纣柑结幡
由勾股定理，结论可表示为等式:α =b+c 或b= α+
c 或c=b+ α
③，联立①、③，只需证α= 16 或b= 16 或c= 16 , 
即(α -16)(b-16)( c 一16)=0.
④
展开只需证明
o =abc-16(ab+bc+ α c) +16 2 (α +b十c) - 16 3
=abc-16(ab+bc+ca) 十16 3 •
⑤
由①平方、移项，有旷十b 2 +c2 = 32 2 -
2 (ab+bc 十ca) , 
又由②移项、通分，有
⑥ 
1 
(b 十c-a
, c+ α -b , a+b-cì 
0= 一
I~一一一一+一一一一+一一?一
|
4 
~ 
bc 
ac 
ab) 
1 
(ab+ac-a 2 
, bc+ab b2 , ac + bc-c 2 飞
回
一
十一一-
4 
~ 
abc 
abc 
abc) 
abc-8( αb+bc+ac) 十4(α 2+ b 2 +C 2 )
4abc 
=αbc-8(ab + bc+ac) 十4.[32 2 - 2(ab + bc+ca) ] (把⑤代入)
4α bc 
abc-16( αb+bc 十α c) +16 3
4abc 
abc-16(ab+bc+ac) + 16 2 (α +b+c) - 16 3 
4abc 
、
、
，
，
F
­
n
h
u
一
咱
t
i
-
f
l
v
一
/
，
‘
、
-
、
、
，
，
，
­
p
n
v
一
-fEW 
咽
'
i
-
B
，
一
一
曲
，
。
-
d
f
飞
-
、
‘
，
/
-
P
O
一
吨
B
A
-
a-
J
，
‘
、
、
-
当a-16=0 时，由①有a=16=b +c ，由勾股定理逆定理知，以J言，而，.jc
为三边长组成一个以ra为斜边的直角三角形.
同理，当b=16 或c=16 时，分别有b=a+c 或c=b + α ，均能以币，而，
.jc为三边长组成一个直角三角形.
顺理理想
顺思与逆想是一种思考方法，一种提出问题、发展问题的方法，一种学
习数学的基本功.运用它可使我们发现不同问题之间的联系，找到问题的内
在规律与本质特征.
b2 +c2 -a2 ~ 
c2 + α 2 - b2 ~ a2 +b2 -C2 
例8
(1)设A= 一一一一一:_.B = 一一--一!!_，c=a - 'no- ，-C
，当A +
2bc 
' J.J 
2ca' ~ -
2ab 
B+C=l 时，求证: A 1996 + B 1996 + C1996 = 3. 
(天津市竞赛题)
严明h、
tν 
学科精英大视野系列丛书
与性c主3竟
薯.... 町
、-ι
大胆猜想，巧妙
验证.例
7 的解法简
单、自然.
"简单"，就是用
简洁、明快、直接的方
法解题.
"自然"，就是能
把握问题的本质，朴
实而不故弄玄虚.
著名棋手式宫正
树，被人誉为"宇宙
流"，他自己却说"如
果我给自己的围棋命
名的话，是自然流"
又说"只是非常自然
地下""下得自然、流
畅就会感到美"
对于例
7 ，还有
另一自然的证法:由
a=b 十c ，b=a+c ，
c=α + b ，只需证明
[a 一Cb+c)J X [b -
Ca + c)J X[ c 一Ca +
b) J = 
0 ，读者不妨
一试.
Gt.\c.\n.\ 
( 川军细)
女食
女食
女'
唱团
(b2 十c2 - a2)2 
I 
(C2 十α2- b2 )2
, (a2+b2-c2j2 
(2) 若正数αιc 满足←丁了一
1 +
1 一一了一一
1 + 1 一一-一~I =:1. 
\. 
'Lbc 
) 
\. 
2ca 
) 
~ 
2ab 
) 
~ , 
b2 +♂- a2 
I C2 + a2 -b2
α2 十b2 -C2
求代数式一-一一一+一一一一~+一一一-一的值.
2ca 
2ab 
(全国初中数学联赛题)
晤题思路
由A + B+C=l 可推出A ，B ，C 中有两个为1，一个为一1 ，
解题的关键是由分式特点恰当配凑. 问题(2) 是(1)的逆问题，怎样切入?
~~ 刻意练习
α
b 
c 
~ 
~.I 1 
1 
1 
1.
已知α + b +c= l 一一+一一十一一=3 ，则一一-+ 一一+~=
'b 十c ' c+a ' a+b 
~ 'Nb +c' c十a ' a+ b 
一一一一一·
("希望杯"邀请赛试题)
x 2+11 
.使代数式.y=
的值为整数的全体自然数工的和是
J 
x+1 
(全国初中数学联赛题)
3 . 已知
王土
= 
王三
= 
王立
= 
… = 
工2
工3
工4
X2016 
工2 0 17
旦旦，那么
工l
Xl+ 工2+ 工3+ … +X2015 + 工2016 + x 
7 的值为
工l- X2+ 工3
… +X2015
工2 0 16 +工2 0 17
(世界数学团体锦标赛试题)
工2
1 ""' 5矿
15x2 +5 
4. 如果寸一
，一= 一，那么
-,--- -
zz 十zM 十1
4 ,,- ,- ~ 
3x' 
(江苏省竞赛题)
斗y+z-x_z 十x- y_x 十y-z 一
5 . 有一一一一一一一一
户，则ρ + ρ2+ ρ 3 的值为
x+y+z y+z-x z+x-y 
(北京市竞赛题)
1 
1 
1 
13 
6.
已知实数α ，b ，c 满足a +b+c= 11 与-一一十一一+一一=一，则一一+
G 十b . b 十c ' c+ α
17 " " b 十C
-~ ++ 的值为
c+ αα +b 
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
7 . 己知正实数a ，b ，c 满足z=-2-y=JLz= JL ，则一乙十-L+
2b十3c' ..Y
3c 十α'α +2b'N 1 十x ' l +y 
z
的值为(
). 
l +z 
A . 1 
Bj 
C . 2 
D. 3 
( 四川省竞赛题)
41 I 
堪
值
求
简
化
的
式
分
讲
食
5
食
第
食
怎样解题?怎样
发现、创造数学的新
命题?波利亚试图提
炼出思考所遵循的路
径，引导读者如何去
思考问题、分析问题.
t=、G.\Ci\
学科精英大视野系列丛书
食
食女
食
食
1号
食
，传为
2 I 1_2 
I .2 _ A 
Iihla2 +b2 __L b2 十cz
cz 十a2
8.
设实数a ，b'，c 满足α +b+c=3 ,a" +b 十c
L =4 ，则古工7+言=z+ 亏±百=
D. 9 
(全国初中数学联赛题)
C. 6 
B. 3 
A. 0 
9，' 如果α+忏c=o L 
+土+-L=0 ，那么(α+ 1)2 + (b 干2)2 + 
'α + 1 ' b+2 ' c十3
:.' (i; -H3)2 的值
E为t(
). 
.' A :. 
36
、，.
B. 16 
D. 3 
(湖北省武汉市竞赛题)
C. 14 
(1 -a) 2 
(1 +b)2 
10.
若实数a ，b 满足a -b=2 ，一一一一一一一一一=4 ，则a 5 -b 5 =(
b 
a 
D. 128 
(全国初中数学联赛题)
C. 82 
B. 64 
A. 46 
1 1. . 考虑分数王怡，y 为两个互素的正整数)组成的集合.若分子和分母均增
y 
加1，则分数的值增加10% . 则这样的分数有(
A. 0 
B. 1 
C . 2 
D. 3 
)个.
E. 无数多
(美国数学竞赛题)
αb 
1 
bc 
1 
ca 
1 
12. 已知一一=一一一一
一一一一则
的值是(
α + b - fs · b + c - 17 ' c 十α
16 '''''ab +bc+ca 
Di 
24 
C. __ 1 
__ 
. 23 
B.l 
-
22 
A.1 
-
21 
(山西省太原市竞赛题)
13. 化简:
b+x 
c+ x 
(1) 
(α -b)(a- c) , (b-a)(b- c) , (c-a)(c 一的'
(广东省肇庆市竞赛题)
{ 
x3 +xl 十1
\ { 
x 2y - xy2
1/
t y+xy2 
\ 
(2)i 
i i
23
i 十i
i 
飞x3 +xl - x2 y-lJ
飞t L十xl -x2 y- y3 )
飞X3+xj +X2 y+y3 ) 
( x 2 y~
2 y+/+1)+
工3 十y3
. 
x 2Y+/_X3_X/ ) ' X3+ X/+ X2y+/' 
α -b I b-c I c-a I 
(α
b) (b-c) (c-a) 
(3) 一一+一一+一一十
α + b' b 十c ' c+a ' (a+b)(b斗c)(c + α ) . 
2 1
. 
I 
-1 
.....
,..., a4 + m卢2+ 1
14.
已知a 2 + 4α + 1 = 0 ，且
, 
9 
2矿+ma"+ 2α
(江苏省竞赛题)
(山东省枣庄市竞赛题)
3 . 试确定m 的值.
(湖北省荆州市竞赛题)
15. 已知α +b+c=O ，求
a一一+一生二一+~一一的值.
2α 2 + bc ' 2b2 +ac ' 2c2 + αb 
(广西壮族自治区梧州市竞赛题)
1 
I 
1 
,
1 
1 
已知一十一+~=-
，
'一
求、正
2:+ 1 +ττ 十击=
ab 
c 
a + b+c'1: GOc 
16, 
、Rt.\el:.\1"I:\
(波兰奥林匹克竞赛题)
(
川
〕
… 占「寸丁(n 为自然数) . 
a"n-r J + bι
I ‘十c叩，-r J 
( J\ a: m ) 
女食
食
女食
食
-ti'
食
食
第
5
i井
分式的化简求值
17 . 已知实数α ，b ，c 满足abc = -1 ，α +b+c=4 ，τ-一旦一一十寸一一生一一+
' a'-3a-1 ' b"-3b- 1 ' 
一
c一一=生求α 2 十b 2 +c 2 的值.
2 -3c-1 
9 ' 
(全国初中数学联赛题)
18 设互不相等的非零实数α ，如满足α + 7=叶= c+? ，求(α + ~J 十
(叶y + (c+ !y 的值
(全国初中数学联赛题)
19
已知非零实数工，y 满足X 3 +y3+叫=x3 y3 ，求士+士的值
O. 求使得色二2为有理数平方的所有整数n .
n+5 
(荷兰数学竞赛题)
(荷兰竞赛题)
• 
. . 黯
噩
α
b 
c 
... 
,
.
, 
,_ _.. 
a+b+c 
1 
1 
例
1
(1 )-5 或一
设一一= 一一=一一= 走，当α +b+c平均时，走=一一一一一一=~ ，c= : (a+ 的，
4 
'~b +c c+a a+b 
"'~~
'V'
C
，
V" ，，" 
2(α +b+c) 
2 'c 
2 
代入得，原式= -5 ; 当a + b+同时，c = 一(刊，代入原式=士
(X+ 1) 2 + 2x+ 1 
x 2 +4x+2 
x十1 + 4x+2 
5x+3 
5x+3 
5x+3 
(2) 1 
原式-
-
-
-
X(X+ 1) 2
工(矿+2工+1)
x(3x+2) 
3x2 +2x 3(x+ 1) +2x 5x+3 
工21 -(ty1-t
t 一1
例2
(1) B 
一一寸十一一今之手，- 一一~?+一一一τ=0.
I 十x' ' . , (1γi 十x' ' 1 个zM
1 +
1 一|
\ X 
/ 
(2) A 
由α 十b +c=O ，得c=-(a + 的，旷十b 2 -
c2 = - 2ab , 
同理
，b2 十c 2 -a 2 = - 2bc ，α 2 +c2 -b2 = - 2ac. 
α 十b+c
· 原式=一
=0 
2abc 
f9lJ 3 
2α2α
4a 3 
4α 3 
4α 3 
8a7 
(1)房、式=τ一一τ+τ一~+寸一-一=丁一一一+丁一一一=丁一一一
a'- b' 
a ' 十b'
a ' 十b'
a 一
。l
' a'+ b' 
a'- b" 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
100 
(2) 原式=-=--~ + -一一一一一一+ … +
一一一=一一一一一一
x 
x+1' x+1 
x 十2 ' 
x 十99
x+ 100 
x(x 十100) . 
(x- z) + z(x+ Y) 
I Y(Y 十x) -
x(y 十z) ...L~ (z+ Y) - y(z- x) 
(3) 原式=
(x + Y) (x- z) 
(Y 十z)(y + x ) 
(z- x) (z+ Y) 
(x 
zl
, {
Y 
Xl
, (Z 
Yl 一
=
1 一一一+一一一
1+
1 一ι一
一一-1+1 一一一
一一一
|
~x +y , x-z)
飞y 十z
y+x) ' \z-x z+y) 
例4
原式的值为
3 ，下面解题思路供参考:
解法
1
运用分式的性质，条件等式分别来(1 十的，一0 + α) ，得
l +b
唱
l+b
咱
，
1 + α
- l-a
一-
1 = 一一一=一
1+α~ b - a' 
~
'
1 十b
b-a ' 
43嗦
食食
，际女
食
食
食
，传
A 
þ{ 
学科精英大视野系列丛书
解法2
移项通分，得
1 
1+2b- a 
1 
-1 一句+b
T丰2 一(1 + b) (b-a) '1 +b 
(1 +α) (b-a) ' 
• n3 + 100 
2 
, ^ 
" 
^^ 
900 
例5
..一一一一=n' -1 0n+ 1 00 一一一一为整数，
n+ 10 
.. 
. v " , .VV 
n+ 10 
.• (η+10)1 900 ，从而n 的最大值为890
例6
由一王一=1 一_L_一一王一，得」L=z iL 一二三，同理一之一= ，，_ x y _~ 
y+z 
z+z z+y 
y+z 
z+z z+y 
z+z y y+z z+y ' 
二L=z-i三
l三，原式=(x+y+z) 一旦土主主一旦土旦一旦土旦= 0 .
x+y -
y+Z Z+X"'''--
,-, J , -, 
Z 十x
X+y 
y+Z 
• a2 +b2 -C2 
" 
b2 +C2 -a2 
" 
C2 +a2 - b2 
例8
(1)
..一一一一一一-1+ 一一一一一一一1+ 一一一一一一+ 1= 0 ，
2ab 
~ , 
2bc 
~ , 
2ca 
(a - b+ c)(a- b-c) , (b -c+ α) (b - c-a) , (c+a+b) (c+ a - b) 
干- "
2ab 
2bc 
2ca 
v , 
:. (c十α -b)[c( α -b- c) -a(a+b- c) +b(c+ α+ b)J=O ， 
(c+a - b)(b十a - c) (b十c-a)=O ，
f!p a+b-c = O 或b +c- a=O 或
c + α -b=O ，
分别讨论可得A ，B ，C 中有两个为1，一个为一1.
不妨设A=l
，B=l ，C= - l ，则A 1996 + B 1996 +C996 = 11996 + 11996 + (- 1) 1996 =3. 
(2) 显然不能机械套用(1)的方法，但从(1 )的解法中可作出猜测，如a+b-c = O ，f!p c =a+b. 由于a ，b ，c
具有轮换对称性，不妨设O< a:::三b<.c ，正难则反.
若c>a+ b 或c <a+b ，则可推出与条件的矛盾，故c= α +b. 从而房、式=1.
1. 6 
~一+ I +-L+ 1 +-L+ 1 4 .
b + c'. 'c+a' . ' a + b 
12 
, 
~
. I 
2. 22 
y=x-1+--=一一，(x十1) 112. 
J 
-
~
'x+ 1"-
'
. /1 
• 
…翩
.
3. 2017 
设主=生=生= … =生且一王旦旦一生巳=走，则
X1 = kX2 = k2 X3 = ... = k2015 X2016 = k2016 
一
ZZZ3
Z4Z2016Z2017
Z1
·h z 20l6
h 
z2017 一
k2017 X1 ，得走= 1 ，设工1 =X2 = X3= … = X2015 = X2016 = 工2017= m ，则原式= 旦旦~ = 20 1 7 .
m 
4. 0 
X2 十毛= 3
工
5. 1 
将分式两两相来、三个相乘.
92α11 一(b+ c)
11 
6. 
因为α = 11 一(b +c ) ，所以一--
- 一一- 1
1 7 
~，. -
~ ~ 
'V
, c / , ,,, ." b + c 
b十c
b十c
时式= 」L- 1 +iL- 1 +且一1 = 11(--h+~+-~- ì - 3 = l1 X ~~- 3 = 旦
α + b 
.
, b十c
c十a
.L - .J.J. ~a + brb +cr~十~) - ') - 1l ^ 1 7- ，) = 1 7 '
7. A 
8. D 
9. A
设a + 1 = m ，b +2=n ，c+3= ρ.
( 川军细)
女女
女食
女
食
食
，传
食
第
5 讲
分式的化简求值
(1 -a)' 
(1 + b)' 
10. C 
由一一τ一一一一一一一=4 ，得a-b -2α' - 2b' - 4ab+a3 - b3 = 0 , Ji!r (a - b) -
2 [ (α -b) ' +4abJ + 
o 
a 
(a-b)[(a-b) ' + 3abJ =0 ，又α -b=2 ，得ab=l
，原式=(α'+ b' ) ( α 3 - b3) -a' b' (a - b) =82. 
x + l 
11x 
11. B 
由题意得y+ l =币，xy+ 11x- 10y= 0 , (工一1 0)(y+ 11 )= 一110 ,x -10>-10 ,y+ 11> 11. 
1
, 1 
，~
1
，
1 
, n1
,
l 
，~ ~ ，-"，
1
，
1
，
1 
n
. 
• 
abc 
1 
12. D 由条件得一+一= 1 5 一+一= 17 ，一+一= 16 ，可得一+一十一=24.
. 一一一一=一
α
b 
"V' b 'c 
"" 
c 
a 
"V" 
'I'J a ' b 'c 
'-'-r. 
• 'ab + bc+ca 
24' 
13. (1) 0 
b 
c 
r 
1 
1 
11 
原式
. "I.A-，.
,,+/ . 
"V" 
....+/ 
,,'"'; 
,,, +xl l' 
r .... .J..,. 
,,+, . 
....J../ . 
,+,. 
.... .J../ 
. .... I 
(a-b)(a- c) , (b-a) (b- C) , (c-a)(c-b) , ~ I (α -b)(α -c) , (b-a)(b-c) , (c-a)(c- b) 1 
3 +x/ 十1-
t y-xy 
(2) 设A=
3 ，~ 
' ，~J ，'~ 
3,B= 3 , ~ ~~; 
3 一一π--
，
X îXy -x y - y 
X îXy -X y -y 
X îy 
D-j 
y+/+lp-t+/ 
x' y+/ _ X3_ x y' , L
-
X3+ X/ +X' y + y" 
t y+Xj 
一户
工3+ X/ + X'y+/
'--', 
则有A+ D= 1 ,C+ E= 1 ，故原式= A X B + C X D+ E = A X C+ C X D + E =C+ E = l.
(a-b , b -c 飞
r c- a
, (a - b)(b-c) (c-a) , 
(3) 0 
原式=1 一一+一一
1 + 卜一+:I.A-
I ~: ~ ~ I ":~._ 
~: I 
~a + b
' b+c) , 
I c+α(α + b) (b+c) (c+a) 1 
14. m=19 
参见第
4 题.
15. a+ b= -c ,c= - a - b ，则
2α2 十bc = 2矿+ b( -a- b) = (α - b)( α + α十的= (α - b)( α - c) , 
同理
2 b' 十ac= (b-c) (b-a) ,2c' +ac= (c-a) (c- b) , 
2 (b-c) + b' (c-a) 十c' (a-b) 
(a - b) (b-c) (c-a) 
原式= 一
(a - b) (b- c) (c-a) 
( α -b) (b- c) (c-a) 
1 
, 1 
1 
1 a+b 
- (a+ b) 
16. 由条件，得7 十b
豆丰b+ c--; ' 五百一= 百丰百平:了c '(α + b) [αb+ c( α +b+c ) J= O ，
即
( a+ b) (b十c)(α +c ) = O ，:.
a =- b 或b = -c 或c= - a ，
不妨设α = -b, Ji!IJ a'n+1 = _b'n+' ，左边=」立了+ 去了+去了=击，
b""" 
b一
c" "
"
c 
右边=
… 
lA1 
…=去了，故等式成立
C 
17.γ a' - 3α - 1 = 矿- 3α + abc = α (bc + α - 3) = a( bc- b- c+ 1) = α ( b - 1) (c- 1) , 
c 
1 
·一一」一一一=
1 
，同理可得τ一一生一一=
1 一
一=一一一=
'a' - 3a-1 
(b- 1 )(c 一f)' I"J '>-,"- -J 1"Jb'-3b-l- (a -1)(c -1 )
' ι
3 c- 1 
(a-1)(b一1) '
1 
1 
1 
4 
".4
一
+ , 
. , '" 
. ，-一，得= (a- 1) (b- 1) ( c- 1) =(a - 1) 十(b- 1) + (c一1) .
•. (b- 1) (c- 1) , (a - 1) (c- 1) , (a- 1) (b一1)
9' " 9 
.: abc= 一l，a+ b+ι :. ab+ bc+ac=
士，
33 
故α2 十b' +c' = (a+b+c) ' 一2(ab+bc+ac) = 言·
18. 设a+ 孚= b+ 主=c+ 主= 走，可得扩= (-abc)' = 8 ，走'= 2 ，原式=3走'= 6 .
。
c
a 
19.
由已知方程得X3 + y' - X3 y' = - 3x' y' , 
( X十y)3 _ X3 y' = x 3 +3x' y十3xy' 十y3 _ X3 y3 = - 3x' y' + 3x ' y + 3xy' = 3xy( - xy十工十y ). ①
应用立方差公式得
(X+y)3 -
X3 y' = ( X十y - xy) [ (X十y) ' + xy(x+ y) + (xy) ' J = (工十y- xy) ( x' + y' + 2xy+ x' y十xy'+
x'y' ). ② 
过:始
对比式①、②得
Z 十y-xy=O ，③
食
食
食
*
食
12F
食女
女
或工2+ l + 2xy 十x 2 y + xl + x2l 
=3xy. ④ 
1
, 1
, 
^,-", 1
, 1 
若式③成立，则一+ 一一1=0 ，得一+一= 1.
y 
x 
x 
y 
若式④成立，则
学科精英大视野系列丛书
2 I __2 2 _ 1 / _ 
\ 2 I 1 2 / 2 
o =x2 + l
- xy+ x2 y + xl + x 2l = ~ Cx-y) 十
x2 Cl + 2y + 1) +
~ /Cx2+ 2x+D 
2 ,-
J
' 
, 2 
= ÷(z-y) 2+卡2 Cy+1归÷y2 (z+ 1) 2 ，
得x - y=y + 1=x + 1 = 0 ，
1 
, 1 
:.x = y = -l
，王+ 7 =- 2.
故所求的可能值为
1 和一2.
20
设该有理数为?，户，q 为正整数，且(户，q) = l，C内2 ) =1, 
又设4n - 2= cp 2
，η 十5= cq2
，c 为整数.
得22=4Cn + 5) - C4n - 2) =cC2q
户) C2q+ p) ,22 = 1 X 2 X 11 , 
:. 2 1 cC2q- p) C2q + 抖，而2q一ρ 与
2q + ρ 奇偶性相同
，2q+ ρ 二三3 ，Icl =2 , 
:. 2q + ρ=1 1. 
于是有: (1)若c=2 ，2q + p = 11 ，则
2q 一ρ = 1;
(2) 若c= 一2 ，2q 十p=l l，则
2q - p = 一1.
经讨论得P=5 ，q=3
，η=13 ，为此题的唯一解.
挝J
式子(1 十士r 会随着n 的增大而增大，
当d 限增大时，( 1寸r 无限地接近于一
个常数
，这个常数就是欧拉数
e ，e 是一个无理
数，左图是它的近似值.
E 是数学中最重要的
5 个常数之一
，它如
同圆周率π 那样广泛出现在数学及其他各个
领域中.
自6 白白古草二
I
'
如攘攘述
分式方程即分母里含有未知数的方程，分式方程常转化为整式方程求
解，但变形后的整式方程与原方程不是同解方程，解分式方程有可能产生增
根，恰当运用增根是解分式相关问题的关键.
解复杂的分式方程常用到分式运算、分式的化简求值的策略与技巧.
' 
问题揭穿决
2 x 十Q
例
1
若关于工的分式方程
=- 1 的解是正数，则α 的取值范围
x - 2 
是
(黑龙江省竞赛题)
静思思路
工>0 且z手2 ，这是本例的隐含制约.
例2
关于I 的方程x + 一= c十
的两个解是工]= c ，x 2 = 二，则关于工
2 
, 2 
工
C
的方程工十一互了= α + 一旦丁的两个解是(
). 
工一-
1
a -
1 
A. a ，主
G 
B. a - 1 ，三丁
α 一-
1
C-h - L 
' a - 1 
D. α ，色土1
' a-1 
(广西壮族自治区竞赛题)
暗题思路
把第二个方程化为第一个方程的形式.
47 
、
电
数学构造了人类
智慧的最壮丽的纪
念碑.
一→汤姆森
最美的公式
e'"+ l = 。
这是欧拉发现的
公式，该公式将数学
中
5 个重要的数1，
O ，7!忡，1 包含于一体，
体现了数学的简洁奇
异之美.
如
类
形
一
了
户
-
a
出
+
A
Q
口
岛
'
G
2= 
例
主
工
十
Z 
特殊分式方程的解，
不解方程，应用方程
解的定义可验证.
请你解下1'J 方程:
1 
26 
(l )x+ 一=γ;
工
3
(2)z + -L一=
4工
6
G2 十3α + 1
2a 
，t=\~~ 
食
食
，传
食
例3
解下列分式方程:
食女
食女
A 
H 
x + l " x十8
x + 2
, x + 7 
(1)一一一+一一一=
十一一一;
工十2 'x+9 
x + 3
' x+8
二
(2) 
? 
1
十
1
十
_1__-_1一
工2 十3x+2 ' x 2 + Sx+6 ' x 2 十7x十1 2
x +4' 
(江苏省竞赛题)
("希望杯"邀请赛试题)
瞄题思路
若去分母化为整式方程，则显然较繁.对于(1) ，分别计算左
右两边;对于(2) ，把左边的每个分式拆项.
例4
解方程组:
2Z2 
x= 1+z2 ' 
2X2 
y zzh 
z= 2y二
1 十y2 ·
(江苏省苏州市竞赛题)
瞄题思路
把各个方程两边取倒数，并从整体考虑.
例5
当α 分别取一2 ，一1 ，0 ，1，2 ，3 ，…，97 这100 个数时，求关于工的
2(α 十1)
分式方程一一一一→=
有解的概率.
一1
2-
X 
x 2 一3x +2
("希望杯"邀请赛试题)
扉题思路
先求出使分式方程无解的α 的值.
例6
求方程的毛十i十1
兰的正整数解
二ι
y
Z 
0 
("希望杯"竞赛试题)
纣橱局幡
易知x ，y ，z 都大于1，不妨设l <x ~二y~ z ，j)!tl l_ 二三i 二三i ，
x 
y 
z 
将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的
取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果.
f呵~
记J
学科精英大视野系列丛书
化分式方程为整
式方程，是解分式方程
最基本的思路，而解一
些较复朵的分式方程
常用到以下技巧:
(1)分步化简;
(2) 拆项变形
;
(3) 巧取倒数;
(4) 整体思考等.
从整式到分式，
形象地说是从" 平房"
到了"楼房"
解分式
问题总是在分式有意
义的前提下进行的，
具体反映在:
(1)舍弃增根而
又会利用增根;
(2 )剔除使分式
无意义的未知数的佳.
解与分式相关的
不定方程问题，运用
不等式，通过夹逼或
个重要的解题方法­
Ci\~Ct:\ 
女，传
食
每三
女食
，传
女食
食
1 ~ 1 , 1 
, 1 ____ 3 
<1" 1 
~ 5 ____ 3 
一< --=-- + --=-- +
豆
，即
〈丁豆
，因此得x =2 或
3 ，当x=2 时
x 
x 
y 
z
工工
o
x 
1 _ 1 , 1 
5 
1 
1 ~ 1 
, 1 
2 
Mn 1 _ 1 ~ 2 
一〈一+ --=--=
~ -
~ == ~ ~ --=-- + --=--==_::_，即
< 
《一，由此得y=4 或5 或
y 
y 
z 
6 
2 
3 
~ y 
y 
y' - , y 
- 3 
~ y ，~ ~ ~，.， 
J 
6; 同理当x=3 时，y=3 或
4 ，由此可得当
l ~x~ y ~z 时，(x ，y ，z) 共有
(2 ，4 ，12)
，(2
，6 ，6)
，(3 ，3 ，6)
，(3 ，4 ，4)4 组，由于x ，y ，z 在方程中地位平等，
可得原方程的解共有15 组
: (2 ，4 ，12)
，(2
，12 ，的，(4 ，2
，12)
，(4 ，12 ，2)
，(12 ，
2 ,4) , (12 ,4 , 2) , (2 , 6 , 6) , (6 , 2 , 6) , (6 , 6 , 2) , (3 , 3 , 6) , (3 , 6, 3) , (6 , 3 , 3) , 
(3 ,4 ,4) , (4 ,4 , 3) , (4 , 3 ,4) . 
例7
河水是流动的，在B 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从
A 点到B 点，然后穿过湖到C 点，共用3 小时.而由C 到B 再到A ，共6 小时.
如果湖水也是流动的，从B 流向C ，速度等于河水速度，那么，这名游泳者从A
到C 只需2 . 5 小时，问在这样的条件下，他由C 到B 再到A ，共需多少小时?
(中国趣味数学大赛试题)
瞄
设游泳者的速度为每小时vj km ，河水速度为每小时叫km. AB=5 1 , 
BC=52 ' 
兰」十立=3 ，
V I,
V2 
V j 
则{一二L一+~=6 ，
V j -V2 
V j 
一二L一+一二L一= 2 . 5 ，
V I +v2 ' V j +v2 
① 
② 
③ 
由③得
5 j 十52 = 2. 5 (v j +V2 ) ，④ 
由①得(5 1 + 52 )V j + 52 V 2 =3v j (V j +v2 )
，⑤ 
由②得(51 + 52 )V I -
5zV z =6v j (V j -V z )
，⑥ 
由⑤、⑥得2 (5 j 十5 z ) =9v j -3屿
，⑦
由④、⑦消去
5 1 + 5 z 得5 (v j +v z )=9v j -3吨，③
即V j =2 吨，
⑨ 
.~ ， 
S ", 
S I 十5 ，
5, +ι 
于是示ttrtf= 古兰X3= 2. 5X3=7. 5, 
即由C 到B 再到A ，共需7.5 小时.
均值不等式
初中阶段，我们会遇到以下各种"平均"
a+b 
算术平均数.
2 
几何平均数: J(iij 
调和平均数·一一旦一
. 1 , 1 
a . b 
49 . 1 
飞...:飞'
第
6 讲
分式方程
解较复杂的应用
题，需增设未知数，以
建立数量关系，设而
不求，需要有较高的
目标意识和较强的运
算变形技巧.
G..\c.t\~ 
食
食
，传
，传
食
1坛
食*
A 
i;{ 
a+b 
可以证明下面关系式.
2
二三Fab二三T丁T
一- ­
a . b 
我们把这-系列与平均数有关的不等式称为"均值不等式"
例8
上衣售价为40 元一件、裙子售价为70 元一条、鞋子售价为80 元
一双.小芳有800 元，每种服饰她都至少买一件. 若将一件上衣、一条裙子与
一双鞋子称作一种搭配，两种搭配里只要有一项服饰不是同一件，就称作不
同的搭配.请问小芳购买的服饰最多能做出多少种不同的搭配?
(国际中小学数学能力检测题〕
纣橱皇军帽
设小芳买了z 件上衣、y 条裙子、z 双鞋子，则40x +70y 十
80z~800 ，在此不等式条件下求xyz 的最大值.
40x+70v 十80z ___800 
.: v 40x X 70y X 80z = v224000xyz~ ' v~ , 
' ~.Y 
运一一，
___ 512000000 
___... 512000000 
~. 124 
:.2240 00xyz乓一一τ一一-，xyz运
=84 一一，
27 
.~-，-
~27X224000 
~. 189 
故xyz 的最大值为84 ，此时，x=7 ，y =4 ，z=3 .
~~ 刻意练习
ax 
4 
1. 若关于工的方程一一--一+ 1 无解，则α 的值是
工一2
x -2 
3 
(黑龙江省中考题)
2x+ m 
2. 关于z 的方程一-一= 1 的解是正数，则m 的取值范围是
工- 1
(重庆市竞赛题)
3 若关于Z 的分式方程51 + 去= 2 有整数解，则整数m 的值
是
("希望杯"邀请赛试题)
4 若实数x ，y ，z 满足z + i = 4 ，y + i = 1 ，z+ l = 子，则x_yz 的值
y 
z 
x 
j 
~ 
为
( 全国初中数学联赛题)
5. 两组滑雪运动员共100 人.从两组运动员中抽调1 5 人组成→个小队，其中
从第一组抽调的运动员的人数是这个组人数的ρ % ，从第二组中抽调的人
数是这个组人数的10 % . 原来两组滑雪运动员可能各有
人.
(欧拉奥林匹克试题)
x+1 
x 
a 
6. 若关于工的方程二丰2 →x - 1 -x 2丰Z=3的根为负数，则α 的值为(
辛辛)
学科精英大视野系列丛书
以平衡视角探寻
人类最质朴的智慧:数
学是高等智慧生物的
共有思维，是对真理的
探索，对矛盾的怀疑;
是常识的精微化.
~地I~~
( 川军细)
女食
女食
古'
A. a 手-3
C.α<-1 且α手-3
B.α 手3
D.α >- 1 且a 手3
(华中师大一附中自主招生试题)
1 
，
k -5
走
1
7. 关于工的方程y=z+Fτ-.;:- x 2 -1 有增根x=l ，则走的值等于(
). 
A. 2 
B. 3 
C. 6 
D. 10 
(湖北省武汉市竞赛题)
8. 某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做
所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙
1 
1 
1 
两队合做所需天数的c 倍，则一一+一二十一一的值是(
). 
a+ 1 ' b+ 1 ' c+1 
A. 1 
B. 2 
C. 3 
D. 4 
(江苏省竞赛题)
9. 已知x ，y 为整数，且满足(l_+l_ ì( 占+ 毛ì =
三(ι
占ì. 则工十V
\, x 
y ) \x 
y) 
j \X 
y ) 
的可能的值有(
)个.
A. 1 
B. 2 
C. 3 
D. 4 
(全国初中数学联赛题)
1 
, 1 
2 
10. 设工，y 为不同的正整数，满足一+ --=- = ，~~，则x y + 旷的末两位数字
x 
y 
13' /'. ~ 'J 
为(
). 
A. 74 
B. 84 
C. 75 
D. 85 
(全国初中数学联赛题)
11. 解下列方程:
5x-96 , x- 8 
4工
19
, 2x - 21 
(1)一一一一+ 一一一=一一一一+ 一一一，
• 
工一19 'x-9 
x-6' x-8 ' 
("五羊杯"竞赛题)
1 
4 
(2) -?-~
，-+ ? 
，
~ 
，~ + ? , ~ 
+? , _~ , _ ~ +一一一=一·
Z2 十z
z2 十3x+2 ' X 2 +5x 十6 ' X 2 + 7x + 12 ' x + 4 
21' 
("祖冲之杯"竞赛题)
?
二
咽
'
i
+
一
+
工
-
z
qJ-?" 
一
-
17-IL 
一
十
十
(山西省太原市竞赛题)
工
2x 十3
，
4 
4- x
, 
3 
(4) ~~.
' 
u + 一一一一=一一一+一一一
("希望杯"邀请赛试题)
4 
' 2x + 3 
3 
' 4 - x . 
1 
a 
2 (α + 1) 
12.
已知关于工的方程一一一一一=
元解，求α 的值
工一1
2-x x 2 -3x 十2
("希望杯"邀请赛试题)
13. (1)已知方程组」乙
2 ，~yz -l 
zyz__= l 恰有一组
y 十2z 一
，2yz-zx 十x y
-'-'yz +zx+xy 
解:x= α ，y=b ，z=c ，求矿+ b 3 +C 3 的值;
("五羊杯"竞赛题)
注:蛙
食
食
食
，传
第
6 讲
分式方程
~G.\~、
学科精英大视野系列丛书
……
…· 
食
食女
食
食
1号
食
食为
~~~ 
1-2 
= 
1-hu 
+ 
174 
一
­
l-h 
+ 
1-y 
1
, 
1 
1 
z 
x 十y
4 
(2) 解方程组
(北京市竞赛题)
2 , 1 
14.
已知正整数x ，y 满足一+一=a(a 为正整数且x< y)
，求x ，y 的值.
x 
y 
(江西省南昌市竞赛题)
15. 某商场在一楼至二楼间安装一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男
孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶) .如果将男
孩与女孩都作为匀速运动考虑，且男孩每分钟走动的级数是女孩的两
倍，已知男孩走了27 级到达扶梯顶部，而女孩走了
18 级到达顶部(设男
孩、女孩每次只跨1 级台阶) . 
(1)扶梯露在外面的部分有多少级?
(2) 如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与扶梯的
级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部
再乘扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离) ，则男孩第一次追上女孩时
走了多少级台阶?
16. 如图，在一条平直公路的前方有一陡峭的山
壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山
壁驶去.
(1)若汽车的行驶速度是30 米/秒，在距离
山壁925 米处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机昕到回声?
(2) 某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过
4. 5 秒再次鸣笛.若司机听到两次
鸣笛的回声的时间间隔是4 秒，求汽车的行驶速度.
(巳知声音在空气中的传播速度是340 米/秒)
相
比
山
竞
也
咽
苏
(第
1 6 题)
~孟
("希望杯"邀请赛试题)
17.
已知一王_
1 __ 一王_
2 _ _ 一王_3__ …
x 1006
Z I 十工2+ … + X ，nn h. = 
Xl + 1 
X 2 + 3 
X3 十5
--- -
Xl 006 + 2011' 
503 2 ，求Xl 006 .
(克罗地亚数学竞赛题)
18. 三名工人一起完成一项工程.开始时，第一名工人工作的时间为另两名
工人一起工作完成整个工程的时间的一半;第二名工人工作的时间为另
两名工人一起工作完成整个工程的时间的一半;最后，第三名工人工作
的时间为另两名工人一起工作完成整个工程的时间的一半，此时他们能
将整个工程完成.问:若一开始三名工人一起合作，则初始完成的时间是
现在完成的时间的多少倍?
(爱沙尼亚数学竞赛题)
今主
( J飞革
m )
~~食
女食* 
A 
N~ 
，传
食
食
第
6
ì.井
分式方程
• 
…哩
.
例
1
a<2 且α手-4 .
2 
2 
例2
D 原方程化为x-1 + 一一= a - 1+~ ，则x -1 = α- 1 或工一1=
2 
x -1 -
~
'
a 一1 ' '". -
-
~ -" -
~ 
a - 1' 
1 
, . 
1 
例3
(1) J.东方程化为
1 一一一一+ 1 一一一一= 1 一一一一+ 1 一一一一
x + 2 
，
~ x+9 
~ 
x + 3 ' ~ x+8 ' 
1 
1 
1 
1..,., ... .. , 
，
~.
， 
，~. 
, ~.， 
，~. h~.'... . ' Q 
11 
r 
1 
t') 
1 0 = 
I r. --,-" ，进一步化为( x + 2)(x十3) = (x 十8) (x十的，解并检验得x= 一
工+ 3
工十2
x+9 x+8 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
~ _ 1 
2 
(2) 原方程化为一一一一一一一+一一一一一一一+一一一一一一一= 一一一
即一一一= 一一一，解并检验得x=2 .
x+1 x+2 ' x + 2 x+3'x+ 3 x+4 
x十4 '" x十1
x+4 
191J 4 
观察得x = y =z=O 为方程组的一纽解，当xyz手0 时，原方程纽可化为
一~ = 1 +τ1一
① 
1二
z , 
~=1 + 一1 
② 
2 , 
y 
工
2 
_
, 1 
③ 
一=1 + 寸·
z 
y 
2
, 2
, 2 
~
，
1
，
1
，
1 
①+②+③，得一+ 一十一= 3 + 寸+ 一τ+ 一言，
工
y
z 
z
工
y
即(士一1Y 
+ (士一1)2+ (~ - ly = O, 
111 
得一- 1 = 一- 1 = 一- 1 =0 ，于是x=y=z= 1.
x 
y 
z 
故原方程纽的解为
(工，y ，z) = (0 ,0,0) , (1 , 1 , 1). 
例5
由原方程得(α + 1) x = 3α 十4
①，当a = 一1 时，方程①无解，原方程无解;
又原方程可能的增根是x=l 和时，分别代入①得a= - t和α =-2
98 
49 
故原方程有解的概率为一一=一
100 
50' 
量
• 
-…川"
1. 
1 或2
2. m< - l 且m手
2
3. 3 ，4 或O
z =z2一，( 2 - m) 12 ，2 - m = 士1 或士2 ，当m= l 时，x = 2 为增根.
L 一-m
7 
1 
1 
1 
z 
3 
x 
, 7 x- 3 
b.7J /,"! 
_ 
3 
11 r.. 
_ 5 .. _ 2 
4. 1 
4 可+ 士=z+ -f z十二=汁777z+ 石巧，解得x = 言，从而z =3 ' Y= τ'
" 
1 一一一
一一一一- 1
z 
3 
x 
x yz= 1. 
5. (50 ,50) , (20 ,80) , (10 , 90) 
设工表示第一组滑雪运动员的人数，y 表示第二纽运动员的人数，由题意
<U
AU 
-EA 
<
A
扩
a
<
phJV 
中
其
phd
F •
-M 
Fnu
huz
-
-
o
τ
i
(
一
〉
m
一
-
m
-j
-
h
y
1
4
一
一
一
一
­
z
vd 
r
h
t
t
t
t
t
l
〈
1
l
t
l
B
E
-
-
、
nu 
nu 
「
「
υ
-EA 
mN
= 
Lr
y 
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y
十
」
l
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z
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P
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B
E
，
，
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可
辽址
学科精英大视野系列丛书
_.. 
食
食
1与
食
食女
食
，传女
500 
因为z 是整数，那么一一一也是整数，因而
500 能被(ρ-10) 整除，得到多个答案.
ρ - 10 
a+1 
x= 一~ 2 ~<O ，且工手一2.
6. D 
7. B 
设甲羊独做需z 天完成，乙单独做需y 天完成，丙羊独做需z 天完成，则
(, 
②，z=~ 
!_+l 
x 
y 
b-uu 
vd 
①
 
8. A 
刑+伊z
，~ xv+ xz+ vz 
由①得之ι一一=α ，得
..y
I
...A..-~ 
I 
.)''''-=α+ 1， 
yz 
yz 
(
. 
(
xy 
_ 
1 
一一
'xy+xz+yz c+1 
1 
1 
1 
④+⑤+⑥，得一一+一一+一一=1.
a+ 1 ' b+ 1 
c 十l
由条件得x+y=O 或3xy=2( x-y)
，进一步有(3x+2) (3y-2) = -4. 
由条件得(2x - 13) (2y-13) = 169 ，推得(工，y) = (7 ,91). 
1 
1 
5 
5 
原方程可化为一一一一一一=一一一一一一
x-9 x-19 
x -6 x-S' 
④，同理可得
xz 
1 
xy+xz+ yz 
b+1 
yz 
1 
•• xy+xz+yz 
-;;丰I
9. C 
10. A 
m-u 
一
­
Z 
'
且
'EA 
21 
(2) x=4' 
1 
，~ _ _, 
1 
ωz 应满足础，170 且1+「手0 月x#O ，x#-l11 x#• 
I 十一
工
3x+2 
13x+21 _.3x+2 
又原方程可化为FI=|FT| ，则2x+ 1 注0 ，解得辰一扫x〉
÷, 
2 _ 
_ .. 
_ 
1 
故房、方程的解为
x :!:三
且z手一l 或x> 一÷且工手O.
3 -
-
, 
~ -'. --
2 
人2x+ 3 
4 - x 
'~.I 
, 1 
,
, 1 ". 
,,-, 
_..c
，~ ，~ 
7 
~ " 5 
(4) 令-7一=α '3=b ，则α+ 一=b+-:;:- ，.f-t- a=b 或ab= 1. 进一步得x= 一，0 或一
3 
- , . .• -
a 
- . b ' " -
- -'. ~-
~， -
./.., ~ 10 ' v 
-"" 2 
12. 参考例
5 ，由原方程得(a+ l) x=3α + 4 ，由于原方程无解，那么可能的情况是a=-l 或求得的根是增
根，进而得α=-1 或一扫一2
13. (1)原方程纽化为三十
1
土l. _ l + 上=1 ，i+i+i=1 ，三式相加得主+1.+立
立，解得
y 
z2'z 
y 
z 
z 
y 
z 
z 
y 
z 
(x 巾，z)= (1，2 ，一2) ，即α =1
，b=2 ，c=-2 ，故a 3 + b3 +C3 =1. 
rxy 十xz=2(x 十y + z) , 
(2) 原方程纽化为ixy+y同时y+z) ，相加得zy+yz+zz=?(z+内) , 
Lyz+xz=4(x+y+z) , 
(23 23 23 '\ 
进一步可解得
(x ，v ，z)=
1 一，
^ 
，一|
J 
' 
- , 
~ 10 ' 6 ' 2 ) 
2 
, 1 
~~， 1 _ 
__ 1 
14. 由z二月，y二三2 ，有- 十一::(2+τ ，即a ~二2÷ ，α= 1 或
2.
x 
y 
~ 
z 
当叫时，三+士=1 ，若时，2 ，则与y 是正整数相矛盾;若应3 ，则主+上ζ主十i〈1 ，与王+l.=
x 
y 
- 3 . 4 --, . x 
y 
l 矛盾，综上α手1.
当a=2 时，仿上讨论得x=2 ，y = 1 ，与工<y 矛盾，故本题无解.
( J飞革组)
、气t''/'
咱IP
"，-.、
F、
女食
飞.1\"
食
食
食
食
第
6
ì井
分式方程
(27 
s- 27 
15. (1)设女孩速度为工级/分，电梯速度为y 级/分，男孩速度为2工级/ 分，楼梯有5 级，则~ 2x 
y' 
118 
s-18 
lX 
Y 
手
13.5
s-27 3 
s-27 
一一-一一一，一=→-一
，:.
s = 54( 级) . 
18 
s-18' 4 
s-18 
(2) 再设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m 遍，走过楼梯η 遍，如j 女孩走过扶梯(m- l) 遍，走过楼梯
(n 一1)遍，男孩上扶梯4x 级/ 分，女孩上扶梯3x 级/ 分.
54m , 54n 
54(m- 1)
, 54Cη- 1) 
4x ' 2x 
3x
工'
m-1 , n •
l 
t!p:_:_;- + 一=一-一十一一一
4 '
2 
3 
1 
得6n 十m = 16.
m ，n 中必有一个是正整数，且0ζIm-n lζ 1.
m 
I 
16 - m 
2~ 
η 一一一一一一一
6 
2 
n 
1 
m= 16 -6n 
10 
2 
3 
4 
2 土
3 
2~ 
6 
2 
2 
4 
1 
显然，只能是m = 3
，n=2 一，即男孩向上走扶梯3 遍，向下走楼梯2
遍，
6 
5 
1 立
6 
1 
故男孩所走级数= 3 X 27 十2 一X 54= 198C 级) ，男孩第一次追上女孩时走了
198 级台阶.
6 
16. (1)如图①，设经过
t 秒后司机听到回声，则
30t + 340t= 2 X 925 ，解得t=5 . 所以，经过5 秒后司机听
到回声.
(2) 设汽车的行驶速度是V1
，声音的传播速度是巧，汽车两次鸣笛的时间间隔是
6. t 1
; 汽车第一次鸣笛
t ]
时间后，司机第一次听到回声;汽车第二次鸣笛
t ，时间后
，司机第二次听到回声;汽车第一次鸣笛时，与山壁
的距离为
s.
12s=v,t, + 肌t ，, 
如图②，如采司机先听到第一次鸣笛的回声，则有1
晶
晶
旬
A
1 2 C s -
V ] 6.t] ) = v ] t, + v, t, , 
2 引，6. t 、
两式相减，得2v ] 6.t>= ( v] + v, ) (t ] - t, ) ，即
tl-b=ft?
U l 
I 
U2 
… 
JJId二点m
占主=t1
阿~'I"
I
图①
因②
(第
16 题)
dt乌~问
|Mt1!t2 ! M
! 
图③
司机两次听到时的时间间隔是6.t，= 6.t ] + t, - t ] = 6.t ] - C t] 乌)=予主~ 6.t ] , 
U] 
，
ν2 
340-v] 
代入数据，得4 = 一一一一X 4 . 5 ，解得v ] = 20( 米/ 秒) . 
v ] 十340
55嗦
食
* 
食
食
食女
食女
A 
);j了
?叽八t ，
如图③，如采司机先听到第二次鸣笛的回声，同理，得
t 1 -t2 = 丁tf
Vl 
'
νZ 
司机两次听到回声的时间间隔是
t::.t2 = (t 1 -
t 2 ) -
t::.t 1 = 早毛主t::.t 1 , 
Vl 
I v2 
呐二
340 
代入数据，得4= 工」一一X4 ，5 ，解得vl=5780( 米/ 秒) , 
Vl 十34 。
这样的速度不切合实际.所以，汽车的行驶速度是20 米/ 秒.
,.,. 
XI 
X2 
X3 
X 1006 
17 ，设一--一=一--一=一一一=…=一一一一一一=α ，
Xl + 1 
X2 十3
X3 +5 
X I 00 6 十2011
::_k. 
, , =a 得x ，，= 一旦一(2k- 1) ( 走=1 ，2 ，…，1006) ，
xk+(2 走一1)
u .,., ~k 
1-a 
由上式及工I+X2+ … + X lO06 = 503 2 得-L × 10062=5032
.·.-L = i
_a/'
.J.. VVV 
-
<J VV '..l - a 
4-
口
2011
故工1006 =了二一X 2011 = - ~.-一
l -:- a 
q 
学科精英大视野系列丛书
18 ，不妨设三名工人单位时间里完成整个工程的百分比为x ，y ，z ，于是，第一名工人的工作时间是另两
名工人一起工作完成整个工程的时间的一半，为一
1 一类似的，有第二名、第三名工人的工作时间分别为
2(y 十z)'
2(x+z) '2(x+y)' 
而三人一起工作，完成整个工程所需时间为一
1 一
x+y+z' 
由题意知一一王一一+ 一_]i_一一十一一王一一=1
2(y+z) , 2(x+z) , 2(x+y) 
一
1 一7 + 一
1 一:-+一
1 一一
.·. 2(y+z) , 2(x+z) , 2(x+y~= 王土主土~+王±主土豆十主+y土主
2(y+z) , 2(x+z) , 2(x+ y) 
x+y+z 
Y 
I 1 
=一+-;;一一一一+一+一一一一一+一十一一一一一
2 ' 2(y+z) , 2 ' 2(x+z) , 2 ' 2(x+y) 
=? + l=25 
故初始完成工作的时间是三人一开始合作完成工作的时间的
2 ，5 倍.
负数概念的引入，数系扩张到有理
数的范围; 无理数概念的引入，数系扩
张到实数的范围. 实际的需要，数学本
身的发展，需要产生新的数.
19 世纪代数学最重大的事件之一
是四元数的发现，它是由英国数学家哈
密顿于1843 年在皇家科学院宣讲的，
形如a 十bi 十cj + dk. 其中a ，b ，c .d 为
实数.
h 也d 川
电汇盏. ~. . . 
胃7
i:持实鼓的性m
I 
.-…. 
有理数与无理数统称为实数，全体实数和数轴上的点一一对应，实数有
以下性质:
(1)有理数都可表示成分数旦(户，q 是互质的整数，ρ 手0 ) 形式.任何两
户
个有理数之间有元穷多个有理数，有理数对四则运算是封闭的，即任两个有
理数的和、差、积、商(除数不为0) 还是有理数.
(2) 无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不
一定是无理数.
( 3) 设Z 为有理数，y 为无理数，则z + yd
ydy ，? ，?都是无理数
(x手O ，y手0) . 
'
问题黯决
是
例1
若a ，b 满足3 Ja 十5
1 b 1= 7 ，则s= 2 Ja -3
I b
l 的取值范围
( 全国初中数学联赛题)
晤题思路
运用币，
I bl 的非负性，建立关于5 的不等式组.
〈始
在大多数科学
中，后一代人往往撕毁
了前一代人所建立的
成就，但在数学中，每
一代人都是在老的结
构上建立新的成果.
汉克尔· 赫
尔曼
神奇的π
π 是一个常见的
无理数，能用无穷多
个数相加( 无穷级数
之和)来表示
π.
某布尼茨给出
π
的无穷级数表达式:
一
尔
实
L
以
1
-
5
赛
式
L
可
+
家
公
技
合
1
-
3
学
个
i
l
纽
一
数
这
-
'
的
斗
名
"
·
·
了
样
π
-4
…
若
说
极
这
十
格
美
l
一7
伯
在
L
给出
π
"
I'#:\~、8::\
食
食女
食
食
1号
，传
食女
例2
下面有3 个结论:
①存在两个不同的无理数，它们的差是整数;
②存在两个不同的无理数，它们的积是整数;
③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数.
其中，正确的结论有(
)个.
A.O 
B. 1 
C. 2 
D. 3 
(江苏省竞赛题)
幡题思路
看能否举出符合要求的数.
例3
设等式.J(;G气了+ JaCY气了=-Íx气-Fa=歹在实数范围内
成立，其中α .X.y 是两两不同的实数，求3气2+盯了气2 的值.
X -XyTy 
(河南省竞赛题)
幅题思路
根据算术平方根的意义，挖掘隐含条件α 的值，寻找工.y 的
关系是解本例的关键.
例4
已知川都是有理数，且满足方程( ~ + ; )X+ ( ~ + ; )y-4 一
π=0. 求x-y 的值.
("希望杯"邀请赛试题)
幡题思路
把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质
建立关于X.y 的方程组.
例5
设工.y 为正有理数.JX.JY为无理数，求证:JX+JY为无理数.
(浙江省金华市竞赛题)
帽盟军路
正难则反，假设JX+JY为有理数，通过运算，设法推出矛盾.
fb 
学科精英大视野系列丛书
由算术平方根的
定义可得到算术平方
(1)J(l中α 二三0 ;
(2) J(l二三O .
运用算术平方根
的双非负性是挖掘隐
含条件的常用方法.
实数有以下常用
性质:
(1)若a ，b 都是
有理数.，Jc为无理数，
(2 )若
a ，b, c, d 
b十jJ，则a= b ，c = d.
Gt.\Ci\.1'::\ 
食
( 川军盟)
女食
命
食
，传
4吃
ax十b
'(9IJ 6 
已知在等式二τ互=5 中，a ，b ，c , d 都是有理数，x 是无理数，
解答:
(1)当a ，b ，c ，d 满足什么条件时，5 是有理数;
(2) 当α ，b ，c ，d 满足什么条件时，5 是无理数.
("希望杯"邀请赛试题)
丝些皇堕
(1)把5 用只含α
，b ，c ，d 的代数式表示; (2) 从以下基本性
质思考:设α 是有理数，r 是元理数，那么①α 十r 是元理数; ②若α :;;é 0 ，则ar
也是无理数; ③r 的倒数4也是无理数解本例的关键之一还需运用分式的
性质，对a ，b ，c ，d 取值进行详细讨论.
_ b 
13
-f=，.m~ ill 
-L ^ 
n-l-
ax+l 
(1) 当α = c = O ，d 手0 时，5
一是有理数; 当
c 手0 时，5 = 生一一=
d 
/'A-
,., - --L- ...>'V'., ---1 
... 
/ 
...,. 
"""..,j ., ... 
cx 十d
旦Ccx+d) + b- ad 
b- ad 
c 
c
丘+ 一
c
其中丘是有理数，cx + d 是无理数，b_ ad
C 'CX+d' ;>-'; T C 
ad 
是有理数，要使5 为有理数，只有b
一= 0 ，即bc = ad . 综上知，当α =c= O ，
C 
且d手0 或c手0 且bc = ad 时，5 是有理数.
H 
(2) 当c =Q ，d手0 时，且α手0 ，5 是无理数; 当c手0 时，五=巴一一= 一+
cx 十d
c 
，
αd 
u
一
:-JL ，其中丘是有理数，α+ d 是无理数，b_ ad是有理数，所以，当b一旦旦手
CX + d' ~
' 
C
./">C- n 
..... 
....:::c. ..>\.A
'
............
I
....~/ U
....-...:::c...>\.A，V 
C~
r:J....-...:::c...>\.A
' I/ IY./'l
'
---I
V 
C 
0 ，即bc手叫时，5 为无理数.
例7
一个问题的探究:
问题:设α ，b ，c 为两两不相等的有理数，求证:
J Ca ~ ，一+-L+冉为有理数
(α - b) 2 ' Cb - C)2 ' (c - a) 
(北京市竞赛题)
问题筒证
设a-b = x ，b - c = y ，c - a = z ，则x + y十z = O ，工yz手O .
.主十主+ ~ = (上+i +iY - 2(土+土+ 上〕
x. 
y 
z 
"x 
y 
z) 
"xy 
yz 
ZX ) 
(1
, 1
, 1 )2 
~"x十v + z
(1
, 1 
, 1 ,2 
=
1 一十一+-=-
1
- 2 X 土_
' _.Y_'_二= 1 
-=-+-=- +一
|
"x 
y 
z ) 
x yz
" x 
y 
z ) 
J-L+-Lιτ=
1 主ι+土|
(a-b )2 ' (b- c) 2 '(c-a) 2 
1 a-b ' b-c ' c-a 1 
由于a ，b ，c 为两两不相等的有理数，所以，由有理数对四则运算的封闭
性知原命题成立.
7$质揭示
设实数工巾，z 满足xyz 手0 ，且x + y + z= O ，
则
l毛+主十鸟=
I _l 十_l + 上|
'\J xy zx y 
z I 
或
/i +i+-L =| i+l 一__l_ I 
气Jt
j
b+ y) 2|z
y 
z+31| 
飞;:哝
食
第
7
Ìi井
实数的性质
要证一个数是有
理数，常证这个数能
表示成几个有理数的
和、差、积、商的形式;
要证一个数是无理
数，常用反证法，即假
设这个数为有理数，
设法推出矛盾.
题海茫茫，从一
个典型问题出友，通
过一般性、特殊化，17'J
7 展示了数学问题编
拟的一个重要方法.
"这小小的苇笛，
你携带着它
i金山越
谷，从笛管里吹出永
新的音乐"泰戈尔的
诗句描绘了数学探究
的优美意境.
~&.:\&:\ 
1传
食女
食
食
1号
食
食女
问题躺娟
(1)化简j午J力+-;;:;-卡寸;
'\j n 
~ n 寸- 1 ) 
~ L，n 一r 1) 
(ω2
幻) 设5严叫=斗斗
J1十
的整数部分.
筒重写敏感
随着无理数概念的引入，把数系扩张到实数的范围.有了实数，我们可
以解高次方程，研究函数.数系的第二次扩张，为我们进一步学习代数开辟
了广阔的领域.
数感是人们对数与运算的感觉与理解，主要表现为:理解数的意义，能
用多种方法表示数，能把握数的大小关系;选择适当的算法，估算运算的结
果;能运用数据表达来交流信息.
例8
(1)已知m ，n 分别是8-Æ的整数部分和小数部分，求n-m
的值;
(2) 设α=衍，b ，c 分别是a ，a 2 的小数部分，求b(b+c+4) 的值.
(全国初中数学竞赛题)
暨墅里堕
原数=整数部分十小数部分，确定整数部分的方法是:找到
与原数中被开方数相邻的两个平方数，借助估算求解.
~~ 刻意练习
1 若y=J=-JE叫川二一
(重庆市竞赛题)
2. 设a<b< O ，α 2 + b2 = 4αb ，则旦土b 的值是
α 一。
一一一-一一一
( 全国初中数学联赛题)
3. 化简:
(1) 
11…11 •
22…2= 
; 
(广西壮族自治区竞赛题)
-
ro
-Fb 
A
工
川
们
一
川
口
三
J
-
三
陌
，
/
, 
个
川
《
μ
ω
\
|
l
/
7
-3 
/
I
t
-
-
t
飞
、
nL 
("希望杯"邀请赛试题)
(3) J2008 X 2009 X 2010 X 2011 + 1 = 
(湖北省黄冈市竞赛题)
花J
学科精英大视野系列丛书
哲学家重视数
学，而数学又始终影
响着哲学.正与负、加
与;或、有理数与无理
数、数与量、交与不
变、相同与不同、偶然
与必然、连续与离散、
演绎与归纳、抽象与
具体……没有数学与
t:\c.\G.\ 
4. 
dz丰2 4 +1
，
J24+3 4丰1
，
，j994十100 4 + 1 
女食
食
女食
食
飞去'
食
食
(4) V.; , '~:十;，'~:
' .~ + … +。。=
F + 2'-1 ' 2' +3' - 1
' 
'99'+100'- 1 
一一一一一·
(全国初中数学联赛题)
(5) 用[xJ表示不超过工的最大整数，设5= [JfJ + [J2J + [13J + … + 
[j9百J +[ jIO旬，则JS=
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
已知a ，b 是有理数，且(~ +子)a + (士在)b 2t zd=0 , 
则a=
,b= 
5
公元3 世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式♂百勺+伊
到，12的近似值. 他的算法是:先将5看成R丰1 ，由近似公式得，12= 1 +
」τ=号;再~每d看成. / 1 导1+ 1
抖，由近似公式得J2句号+一毛=
"八.L
'"' 
v '-
~ / 
'-
• / 
-
2X 亏
5; 
依此算法，所制的近似值会越来越精确当d取得近似值器时，近
似公式中的a 是一一一一一，r 是一一一一一·
(福建省厦门市中考题)
6. 若5-13的小数部分是α ，5+13的小数部分是b ，则(α - 1) (b + 2) 的值
是
("希望杯"邀请赛试题)
(2x + 3y = m 十n - 4 ，
7. 关于工，.Y 的方程组!
的解满足rx+JY= o ，则mn 的
J _.H 
'~-~
ì x-2y=3m-2η 十3
值等于(
A . 0 
B. 1 
C . 2 
D . 3 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
8 . 若实数a ，b ，c 满足等式2，Ja十3 1 b 1 = 6 , 4,Ja - 9 1 b 1 = 耻，则c 可能取的最
大值是(
). 
A.
。
B. 1 
C . 2 
D. 3 
(全国初中数学联赛题)
9. 已知非零实数a ，b 满足12α
41 十
I b + 21 +刀Z±五百+ 4=2α ，则a + b
等于(
) . 
A . 
B. 0 
C. 1 
D. 2 
(全国初中数学联赛题)
10 . 已知点P 的坐标为(α 十J2 ，b +J2) ，其中a ，b 为有理数，PA ，PB 分别是
点P 到工轴、y 轴的垂线段，且矩形OAPB 的面积为，12 ，则P 点不可能
出现在(
) . 
A . 第一象限
C. 第三象限
B. 第二象限
D. 第四象限
( " 希望杯"邀请赛试题)
J!略
第
7 讲
实数的性质
1'tI:\~1'tI:\ 
学科精英大视野系列丛书
--. 
食
食
1去
食
食女
食
*女
11. 在黑板上写了若干个不同的数，它们中任意三个之和均为有理数，而任意
两个之和均为无理数. 则在黑板上写出的数的个数的最大值为(
B. 3 
D. 5 
(北京市竞赛题)
C . 4 
A. 2 
12. 若a ，b 和ra十jb都是有理数，则(
A . .;a，而都是有理数
B. .;a，jb都是无理数
C. .;a ，而都是有理数或都是无理数
D. .;a，jb中有理数和无理数各有一个
("希望杯"邀请赛试题)
1 
, 1 
13. 设工为实数，使得如下四个数中恰有三个为整数: z -JE ，z - z ，z + 王'
工2+2.)言，求出这四个数.
(俄罗斯竞赛题)
14. 开始时，黑板上写着三个实数1 - .j2 ，.j2，1 +布，每一分钟均擦去黑板上
原来的三个数x ，y ，z ，并写上x 2 + xy + y2 ，y 2 十YZ +Z2 ,Z2 + ZX+X2 三
个数. 问: 能否在某一时刻，黑板上的三个数均为有理数?
(俄罗斯竞赛题)
α2+ 1.+~二τ= 1α+~ 一
a
扩
(ab十1) 2 
I - 'b ab + 1 
。
-
w
+ 
AU 
+ 
15. (1)证明
(2) 利用(1)式，计算
("祖冲之杯"竞赛题)
16.
已知α ，b 为有理数，工，y 分别表示为5-.)于的整数部分和小数部分，且满
足αxy + b/ = l ，求α + b 的值.
(江西省南昌市竞赛题)
17. 求证:
(1) 一个自然数的平方被7 除的余数只能是0 ，1，4 ，2;
a.t\R:.\n.\ 
(2) 对任意的正整数n ，[Jn(η十2) (n + 4) (η +6)J不能被7 整除( [xJ表
示不超过实数工的最大整数) . 
(北京市竞赛题)
18. 求证:平面上任意两个不同整点到p( .)言，4) 的距离都不相等(整点是
指横、纵坐标均为整数的点) . 
(四川省竞赛题)
19.
已知a ，b ，c 都是有理数，.;a十jb+1ë也是有理数. 证明
: .;a ，jb ，J[都是有
理数.
(清华大学自主招生试题)
花J
( 川军!li! )
力食
女食
111' 
食
食
食
，传
例1
由cd+5| b |=7
得(叶21+55 ，
，
( 21 刊出0 ，
<9 
21 ____ ___14 
1 
~ ;ì~1 :;4 '__:';;，由(付
~_~~5~~_-r
2v'a - 3 I b I = 5 , 
. )19 I b I = 14 - 35 , 
~ ì 14 -
35泊，
'
5\
飞3'
侈IJ 2 D 13+ 1，13-1 满足结论①、②;立，i 满足结论③.
2 ' 2 
rx- a二三0 ，
la-v二三O
例3
由算术平方根意义，得~ ~ _ .Y' 
|α (x-a) 二三0 ，
la(y-a) 二三O .
由①、③得α二三0 ，由②、④得α~O ， 
α =0 ，则rx- j=歹= 0 ，即x =-y .
故原式
3号' - 扩一句，
1 
y'+y'+ 旷
3
'
① 
② 
③ 
④ 
(1
，
1
，\
，
(1
，
1
飞
例4
整理原等式，得
I
~x+ ~ v-4 1+ 1 ~x+ ~ v-11π=0. 
\2 -' 3" ') ' \3 - ' 2" 
~)" 
v , 
: x ，y 都是有理数，
1 
,
1 
_ 1 
, 1 
. 
~ x + ~ y - 4 ，~x + ~ y 一1 都是有理数，而π 为无理数，
2- ' 3" "3 -' 2" 
(1 
,
1 
l ~x+~v-4=0 . 
1 2 -, 3" 
~
， 
_ (x= 12. 
则{
解得! -
~~， 
I 1 
,
1 
' .. 1 v= -f) . 
I--;:-x+: v-1 =0 , 
\.Y 
v , 
1 3 -
, 2..' 
~， 
故工
y = 18.
第
7 讲
实数的性质
• 
… 段'
锣IJ 5 假设rx+JY为有理数，由(rx+JY) (rx- JY) = x- y ，得rx→JY= 二二L 为有理数.
在+JY
" rx+JY+(rx-JY)=2rx为有理数，则在为有理数，这与rx为无理数矛盾.
故原假设不成立，rx+JY为无理数.
例8
(1) ':19< Æ
< )I6,f!P 3< Æ<4 , 
:. - 4< 
汀1<- 3 ，4 <8 一刁1<5 .
得m = 4 ，n = 8- Æ 
- 4 = 4 一刀工
故原式=4一刀1-4= -
Æ
. 
(2)
由
1 <α< 2<旷< 3 知b= α
1 ，c=a' -2 ，
:. J!f.、式= (α - 1) (矿+α+ 1)=旷-1=2.
1. 6 
由条件得ζ二2 = 0 ，t= 2 ，y=2 .
5x-4 
~
，-
-'..' 
2. 13 
a十b = - .,jfu;b,a-b= -
j'E;b. 
3. (1) 33… 3 
(2) 1 
(3) 4038089
设x = 2009. 
η 个
' 
-- . ...‘… . . ~ . . 黯
.
9999 ./2 
.~
. ~ ~ ~ ， j扩+ (k+ 1) 4 + 1 
../2 (走'+什W
./2r" 
1 
1 
./2(" 
1 
1
飞
(4) 一一一一
设走> 0 ，则
-
- 一11 十一一一一
1 = 一
1
1 + 一一一一一|
200 
，~ ~ ~ V , A' 
k ' 十(走十1) ' -1
2(扩十的
2 l ~ , k(k+ 1) J 
2 \ 
走
走+ 1 ) 
过!哈
食
食
食*
食
食*
食女
学科精英大视野系列丛书
(5)25 S= C[.jlJ + [.}2J + [.)3J) + C[J4J+ [J5J +[刑十[汀]+ [J8J)+ … + c [ Æl+ … + [ j9百l)+
〔汀而]=lX3+2X5+3X7 + … +9 X 19 + 10 = 625 ,JS=25. 
432 ,4÷ 
5.a17 ，
1 或a24 ，
2
一一-一:- .r 一一-一--øv
一一-:-= _ 
r 一一-一-
12" 
144 才
17"
289 KZ 阳叫C;) ' +(一古)斗斗=志
6.
一2
7. D 
9. C 
10. C 
a=2 一汀，b= .)3-1.
x=y=O. 
8. C 
a二月，原等式为
I b+ 21 + JCa-3丑2= 0 .
由题意得Ca+ .}2) Cb+.}2) =.}2 ①，或(α + .}2) Cb+.}2) =-.}2 
~ 
rab+2=0 .
._ ra = 2. " ra=- l 
由①得Cab +2) 十(α + b - l).}2= o ，
i ~v.' . ~
_ v ，
得i ~ 
~.或i ~ 
Á 
. -
- . 1 a + b - 1 = 0, .. 1 b = - 1 --. 1 b = 2. 
…-
一
…-
.
由②得r:-
】7 或广
Á' 
Ib= l 
"Ib = 一2.
(
, 
11. B 
假设在黑板上写的数不少于四个，记这四个数为α ，b ，c ，d ，则α +b+ c ，b+c+ d 均为有理数，这表
明，其差Cb + c十d)-Ca+b十c) = d-a 也为有理数.
类似的
，b - a ，c - a 均为有理数.
因此，b = a + r]
，c = α + r2
，r =a+ 巧，其中
，r ] ,rz ，r3 为有理数.
又a十b+c=3a十r] 十γ2 为有理数，于是，α 也为有理数，这表明，α +b=2a + r] 为有理数，与"任意两个之
和均为无理数"的条件矛盾.因此，黑板上写的数不超过三个，如.}2，2 .}2，-3 .}2. 
12. A 在-Jb=奇先是有础，d=÷Md) + (5-d汀，5=÷Md) 一CJa-Jb) J都是有
理数.
13. 记α = z-JE，b=z
i ，c= z+上，d = x2 + 2 .}2.
x 
x 
易知b ，c 不可能均为整数，否则b+c=2x 为整数，x 为有理数，如此，a ，d 均不为整数，与题意矛盾，则b 与
c 之一为整数，a 与d 均为整数，从而，x=./2+aCa 为整数)，d=Cα2+ 2 ) +./2C2α+2) ，得α = - 1 ，x=J2- 1 ，经验证，
知a=- l，b=- 2 ，d= 3 为整数，而c= 2 ./2为无理数.
14.
不能
考虑黑板上所写数的两两之差.
在一次操作中，差数x-y ，y - z ，z- x 分别变为Cx - y) C x+ y+功，Cy- z)Cx + y十z) ,Cz - x)Cx+ y + z) . 
开始时，差数为1- 2 .}2，→1. 2 .}2，在任何时刻两两之差就只能对某个A ，具有形式A(1- 2 .}2), - A , 
2A .}2. 要使其均为有理数，只有A =O . 然而，这是不可能的.
假设在某一时刻n ，实数A 首次变为
O. 这表明，在时刻Cn - l)之后，三个数的和变为O . 而开始时三个数
的和非0 ，在第一次操作之后，三个数自身均变为非负.
事实上，川
这表明，在时刻(ωn-1υ) 之后，黑板上的三个数依然非O. 这与在时刻n 之后，A 首次变为0 的假设矛盾.
15. (1)由于士+叫一(b+ 士) ] = 0, 
所以由例7 结论
?上τ+ ~+一
1
(士J
b' 
[ -
(b+士)] [! +士+芋!)J
I!r a 2 十二L+?ι丁= ( a+ ~ 一~ì
)' 
~ - . b 
ab + 1 ) 
比J
( 川军细)
故
l a 2 + ι +
a
2
了=
1 计LL|
b' ' Cαb 十1) '
I -, b 
ab + 1 I 
(2) 利用(1) 式，令a = 1990 ,b= 1 ，则
女女
女食
:237 
食
食
食
1, ^^ ^2 , 1
, 
(1 990) 2 
1. 
__ _ , 
1990 
1 
原式
1 1990 ' + 寸+
一一一= 1990 十l
一-一= 1990. 
，
~ V V V ' 1' ' Cl 990 X 1+ 1) 2 
1991 
4VV V
' 
4 
1991 
1991 
16. .: 2< 5-.ff<3 , :. x=2 ,y = 3- .ff. 
: axy + by' = l , 
:.2α (3- .ff) + b(3-.ff)2 = 1, 
即( 一2a →6b)J于十(6α + 16b 一1) =0.
(-2α - 6b=0 ， 
._.~ 
3 
: a ，b 为有理数，:. l 
解得a=:
，b =- -':;;-
，故a + b= l.
1 6α 十16b-1 = 0
，
.., '. -
2 
17. (1)设自然数m = 7q+r( γ=0
，1 ，…，6) . 
则m' = (7q + r) 2 =49q' + 14qr+ r'. 
由于J 只能取0 ，1
，4 ，9 ，16 ，25
，36 ，被7 除的余数对应为
0 ，1，4 ，2 ，2 ，4 ，l.
因此，一个自然数的平方被7 除的余数只能是0 ，1，4
，2.
(2) 由于η(η + 2) (η + 4) (η 十6) = (旷+ 6η) (η 2 +6n+ 8 )( η= 1，2 ，… ) , 
食
令走= η2+ 6n. 贝IJ n(n+2)(n+ 4) (n 十6) = (η 2 + 6n)( 旷+ 6n + 8) =kC 走+8)(k 二三7).
故
Jn(n + 2)(n + 4)(n + 6) -
./k百丰否了=.Jk可8k.
由
k 2 十6k + 9 < 走2 +8k < 走2 十8走十16 ，则
(走+ 3) 2< 走2 十8走< (走+ 4) 2 .
因此，什k d中8k < k + 4 ，即
[ .Jk中百]= k + 3.
也就是
[ Jn(n + 2) (n+ 4) (n 十的] =走+ 3 = η2 十6η 十3= (η + 3) 2 -6. 
第
7
i.井
实数的性质
如果[ Jn(n + 2)( η + 4)(η + 6) ] 被7 整除，必须且只需(n + 3) 2 被7 除余
6. 然而，一个自然数的平方被
7
除的余数只能为
0 ，1，2 和
4 中的一个，因此，对任意的正整数
n ，(n + 3) 2 -6 不能被
7 整除，也就是
[ Jn(n + 2) ( η + 4) (n + 6) ] 不能被7 整除.
18. 假设结论不成立.则平面上存在两个不同的整点A(a ，的
，B(c ，d) ( α ，b ，c ，d 为整数) ，使得AP=BP.
故AP 2 = Bp 2 •
'. (a _ J2)2 + (b- J3)2 = Cc- J2) 2 + (d - J3)2 , 
得2(a- c)J2+2(b-d)J3 = 矿+ b2 -c 2 -d2
，①
人
8(α _ C) 2 + 12(b-d) 2 + 8(α - C) (b-d) }6=( 旷十b 2 - c2 _d2)2, 
:. 8(a- c) (b-d) }6 = (矿+ b2 -C2 _d2)2 - 8(α_ C) 2 - 12(b-d) 2 . ② 
由于式②的右边是整数，则必有(α- c) (b - d) =0 . ③ 
(1)若α - c = O ，由式①知b-d=O. 此时
，a=c ，b=d. 故点A 与点B 重合，矛盾.
(2) 若a-c手0 ，由式③知b-d=O. 从而，由式①知α - c=O ，矛盾.
综上，假设不成立.
所以，原结论成立.
19. 假设币，币，fc不都是有理数，不妨设fc不是有理数.
设Fa+ Jb+fc=x 为有理数
①，则c Fa十Jb) 2 = CX-fc)2 , 
f!r X2 + c- a-b= 2( .;;b十x ..Jc) 为有理数，又设.;;b+x ..Jc= y (, 
则( .;;b)' = (y - x ..Jc) ' 月y' + X2 c-ab=2yx ..Jc为有理数
(. 
若x=O ，则由①得α = b = c = O ，结论成立;若工手O ，y = O ，则由②得c=O ，矛盾
;
若xy平均，则由③得fc为有理数，矛盾.
综上，原命题成立.
(平常
、岛也
这是奥地利
1981 年为纪念当年在奥地利因斯布鲁克召
开的第十次国际数学会议而发行的邮票，它上面描绘的是一
个"空间不可能体"，这形似四棱柱的几何体中充满了"不可
能"，似是而非，自相矛盾.我们把这种画叫作悖论画，埃舍
尔、彭罗斯创作的悖论画，其根源是"错误连接"
可{二战雪……
-
二'
胃8 嗣二iK眼骂自~f在商黯fm.
. -______. 
知蜂拥E 遮
有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点.
这类问题涉及最简根式、有理化因式等重要概念，又包容了有理式的众多知
识，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的解题技巧与方法.
例1
(1)若实数a ，b 满足α 2 +b2 =4 ，则Va(b-4了+ Jab-3α +2b-6 
( 华中师大一附中自主招生试题)
(2) 已知JX+ ~二= 2 ，那么
I
? ,::: ,. 
I~一的值等于
JX 
气/ x 2 + 3x十1
气J x 2 十9x十1
一一一
(河北省竞赛题)
瞄题思路
对于(1) ，由条件及二次根式的概念，发掘α ，b 的值;对于
(2) ，通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用含x + _!_ 的
z 
代数式表示.
正确的看法是，
数学不仅拥有具，而
且拥有非凡的美…...
是唯有最伟大的艺术
才具有的严格的完
美.
罗素
无穷表达式
任何一个数都可
以用连分数表示.
由J2-1=
_
1 一，得
J2+ 1 
J2=1 + _1τ 
1+J2 
= 1 十一
1
一
2 + 一二τ二
1 +ω 2 
=1 + 一一一」咱
2 + --~
唱
2 + 一一」寸-
2 十一主?
2 + 主
~~~ 
( 川军细)
女食，传
女食食
古'食
食
第
8 讲
二次根式的化简求值
例2
已知!a(!a + jb) = 3而(与+叫，其中Q俐，则a-5b+M
气
3'--
, -'~)α + b -iγ M 
的值为(
). 
5 
A.
一7 
6 
B. 7 
4 
C.
一7 
D.
以上答案均不对
(湖北省黄冈市竞赛题)
晤题思路
将条件等式展开，作类似因式分解的变形，寻找a ，b 的关系.
例3
计算:
(1)刁百于X 1998 X 1999 X 2000 + 1; 
(江苏省竞赛题)
(2) ~J6 
12+ J3十15
(全美中学生数学竞赛题)
(3) 一
1 一一十一
1一一+一
1一一+ … +
2Jf +12 ' 312+2J3 ' 4J3+3J4 ' 
' 100 v'9百+99 刃而
(新加坡数学竞赛题)
(4) 衍石J3+ 沂-4J3.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
晤题思路
若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察问题中分
子与分母的数字特点及被开方的数字间联系，通过分拆、分解、配方、一般化
等方法寻找它们的联系，以此为解题突破口.
67 
飞在
条件多样、形式
多变是解二次根式化
简求值问题的困难所
在，构造法是突破这一
难点的最有效方法，常
见的构造手段有:
(1)构造基本对
称式:x +y ，xy ，再整
体代入;
(2) 构造零值多
项式;
(3) 构造倒数关
系:工+_!_或rx+ -?:二;
工/咿
.Jx 
(4) 构造对偶式;
(5) 构造图形等.
~~~ 
食
食为
食
食食
食
，陆女
例4
(1)化简:}4石在+J4-2J二
ω 化简:ZE
1+J5 
ω 求满足~王=叫的有序有理数对(x.y)
(北京市竞赛题)
(江西省竞赛题)
幅噩思路
配方法(配成完全平方式或立方式)、待定系数法是化简复
合根式的常用方法.
-~丰T-Jt
~丰T+Jt
例5
设z一一一一一一.y= 一一一一一.t 为何值时，代数式20x2 +41xy十
d丰T+Jt 'J
Jt丰T-Jt
20/ 的值为2001?
(全国初中数学联赛题)
幅题思路
整体代人z 十y.xy. 建立关于t 的方程.
例6
已知实数工.y 满足(x+ Fx丐1) (y+ 而牛1)=1，求证:x十y=O.
(俄罗斯数学奥林匹克试题)
主些在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化
简的基本方法是有理化.
证明1
x+ Fx可T=
L一=♂可1-v.
一一-
y+J/+1 
-
-
λ x+y= ♂可l- Fx丐T.
两边平方并整理得
d可T · ♂亡1- 1=1-xy.
两边再平方得
X2/+X2+/ +1=x2/ -2xy+1. 
即(X+y)2=0. 故x+y=O.
合飞
飞J
学科精英大视野系列丛书
对于一般式
d王Jb .ftIJ 用待定系
数法可得:
J T_Jb= 
户户±
J~ F 
即设
a 士Jb=
cÍx T_ JY) 2
. 有
x +
〔，zy=? ，解得
a-Ja 2 - b 
y = -一亏一一.
例6 叙述简洁、结
构优美、形式新颖.解
识简单，所运用的方法
(平方、有理化)平常.
般常数，结论改变吗?
读者不妨一试.
Gt.\~~ 
( I飞革盟)
女食
女
A 
平f
食
食
食
4吃
食
第
8
ì井
二次根式的化简求值
对本例进行变化与推广，可得到如下问题:
(1)若(Fx牛I-z)( ♂可l+y)= l，则
x+y=O;
(2) 若(Fx牛1 +x)( 币牛1-y)= 1，则厂y= O ;
(3) 若(Fx可l+y)(JY可l+x)= l，则y+x=O;
(4) 若(♂可1- y) ( 刁可T-x)= l，则-x-y=O;
(5) 若(♂可t+y) ( 而可t+x)=t 圳工+y=O.
证明2
将原等式两边分别乘以有理化因式♂可l-x ，JY可I-y ，
得
y+JY可l= Fx可1-x ，
①
z 十d丐l=JY可1-y ，
②
①+②，得x+y=-(x+y)
，故x+y=O .
构造划11 命题
对于-个己知数式或一个已知命题，我们构造-个与之对应的数式或
对应的命题，然后一起参与运算，从而使问题变得简单，这种解题方法称为
构造对偶命题法.
例7
比(/6+-/5)6 大的最小整数是多少?
( 西安交大少年班入学试题)
幡题思路
直接展开，计算较繁，引入有理化因式辅助解题，即设工=
d十汀，y= /6--/5.
1.已知α= -/5-1 ，则2矿+7α 2 -2α- 12 的值等于一一一一一·
( "((数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
2
已时=平(α 是常数) ，则化简♂~- Jx-a+2=一一
(世界数学团体锦标赛试题)
. 若a=壶二1!_，b=主土壶，贝tl Ja 3 b+ αb3 + 19 的值为一一一-
-/5十13 '-
-/5-13 
(合肥一六八中学自主招生试题)
也始
有理化是解根式
问题的关键，有理化
的主要途径有:
(1)乘方，(Fcd = 
a; 
(2) 配方
，R=
lal ; 
(3) 对一个代数
式分母有理化或分子
有理化;
(4) 在等式两边
同乘有理化因式;
(5) 引入一个有
理化因式，一起参与
运算.
Il'#:\rA:\Cti\ 
食
食
食
食
* 
í告
食女
A 
'0 
4 . 已知(x十乒可2002) (y + JY中写02) =2002 ，则x 2 - 3xy-4/ -6x-
6y+58= 一一一一一·
(江苏省竞赛题)
5. 长为J言，1+ 而丰言，而+~丰写的三条线段可以构成一个三角形，则
自然数n=
(世界数学团体锦标赛试题)
旷+n-2 一-)2
6. 若一列数a j
，肉，…满足对任意的正整数n 均有an=
9 
A 
V 缸，则
a j a 2 …α2川的值为一一一一一·
(全国初中数学邀请赛试题)
7. a ，b 为有理数，且满足等式计J3b= J6 . J 1 + J4工罚，则α +b 的值
为(
) . 
A. 2 
B. 4 
C. 6 
D. 8 
(全国初中数学联赛题)
8.
已知实数a ，b 满足la一1
1 + ./(a-2)(b一2) 2 + 
1 扩十11 = α ，则ab = (
I 
A. ~ 
4 
B÷ 
C. 1 
D. 2 
、(四川省竞赛题)
1 +-)5 
9.
己知α2丘，则a 6 - 8a 2 = (
A. -3 
B. -J5 
C. J5 
D. 3 
(全国初中数学联赛题)
10.
已知J25 -x2 -
J 15-x2 = 2 ，贝U J25-x 2 + J1 5-x 2 的值为(
A . 3 
B. 4 
C. 5 
D. 6 
(山东省竞赛题)
1 1.若x 2 +/= 1 ，则./x 2 -2x+ 1 + ./4/ 十4y+ 1 + ./xy-2x+y-2 的值
为(
) . 
A.O 
B. 1 
C . 2 
D. 3 
(四川省竞赛题)
12. 设ρ= 扩瓦丰f+ 扩瓦丰f+ l7C丰f+ 扩市丰1 ，其中α ，b ，c ，d 是正实数，
并且a + b+ c+ d=l ，则(
). 
A.ρ> 5 
B. p< 5 
C.ρ< 4 
D. p = 5 
("希望杯"邀请赛试题)
13. 化简下列各题:
(1) .)362百X 3631 X 3633 X 3635 十16-3632 X 3634 ;
(湖北省黄冈市竞赛题)
号三J
学科精英大视野系列丛书
拉马努扬(1887 一
1920) ，印度著名数学
家，主要靠自学成才，
是迄今为止最具洞察
力的数学家之一，思维
开阔，不拘于严密的
逻辑推理，他给出的
许多公式是借直觉推
演而出.
他曾向印度数学
会杂志提供了
58 个
问题，其中的一些问
题与根式相关.
形如.J'A+ TB的
式子，怎样求其平方
根?他给出了一种解
决方法，并由此得出
:
(1)厉±万=
÷(挖+YZO一125) ; 
(2) J ./28
扫于=
÷(JF m-l) 
( I 飞军!IiI )
女食
女
飞iz
食
食
食
食
食
第
8
i井
二次根式的化简求值
(2) _1一+ 一
1一一+
_1一一十… +
3+ ./3 . 5./3+315 . 715+5J7 . 
. 49 J4于十47 J4百
( 夭津市竞赛题)
(3) J3~15 - J 3-;15; 
( 北京市竞赛题)
ω )fz川J20 1 5 Jiô川2013 X川十1 + 1 + 1 + 1
(世界数学团体锦标赛试题)
14.
已知正数
m ，
n 满足
m + 4.)苟言- 2Jr;; -
4Fn 十4η
3 ，求
Jr;;+ 2Fn- 8 
的值­
Jr;;+ 2Fn+ 2002 
(北京市竞赛题)
( 
251 
+ 
~_， 
1 
r 
15 . 证明: I 
1 
_ 1 {'\ 勺百
251 
↓l lì 忖亏|为整数，并求其
l 沼52_ 5'12 
~ v V v v
泛52+5扩2 ' ~ V V ，υ j 
值.
(爱尔兰数学竞赛题)
16 . 求不超过(15+ ./3) 6 的最大整数.
(江西省竞赛题)
17. 已知a ，b ，c 为正整数，且岳生±生为有理数证明. 豆土豆土三为整数.
JEb+ c
'-
a 十b十c
( 匈牙利数学竞赛题)
18 求使得A=巧言为有理数的正整数n 的值
( 希腊数学奥林匹克试题)
Jt-3/ 十9- Jx4 - 4x2 + 9 
19.
设f( 工) =
V
.L 
'-'.L 
'" 
V-" 
.-", v (x> O) . 
工
(1)将f(x ) 化成
1 
(a ，b 是不同的整数)的形式;
d气x)+a+ Ji气万+b
(2) 求f( x ) 的最大值及相应的工值.
("希望杯"邀请赛试题)
20. 已知Rt6ABC 的两条直角边长α ，b 和斜边长c 都是正整数，且ra十
d丰百平7=α ，求α + b -c 的值.
(世界数学团体锦标赛试题)
飞主嗦
，I:/.:\~~ 
食
食
，际
，传
节售
1与
食女
女
学科精英大视野系列丛书
• 
庐…·…. .
例1
(1)由a2 十b2 =4 ，得一2ζa~2 ，-2~bζ2. 又ab一切十2b-6;?:0 ，即(a+2) ( b-3) 二三O.
·CZZ;:得θ-2 ，从而a= 一2 ,b= O. :.以= Y=币丐+JO=2
厂一了一一
厂一「一- 15 
刁T
(2) 由条件得x+ 一=2 ，房、式=1一一→一一-1一一→一一= 7 一气?
x 
I x+~+3 I x+ ~ +9 
v 
.11 
' \} 
X 
' \} 
X 
例2
A 
已知等式可化为a- Jc;b-12b= 0 ，Cj;-4.[b)(j;+ 叫b)=O ，λ j;-4.[b= 0 ，a=16b.
例3
(1)设α= 1 997 ，则
原式=
.ja(α+ 1) (α+2)(α +3)+1- J (a2 + 3a 十1) 2 = 旷十3a+ 1.
= 19972 + 3 X 1997 + 1 = 3994001. 
2+2.)6+3-5 
(12+13) 2 一(15) 2
(2) 原式
12+ ，/言+15
12+13+15 
_ (./2+../3+15) (./2+../3-15) 
=12+ ，/言-15.
12+13+15 
(3) .: a_= 
1 
(η+ 1)而+n vÏn丰T
.rn百丰T了(.rn丰T+.[rl) 
d丰T- ./n
1 
1 
d百平T了
.;n 
.rn丰T
'. ~};，=( :.- :.Î +( :.- ;_Î + ... +( 1 -
1 Î +( 1 -
1 
Î 
\.Jf 12) ' \12 13) ' 
' \ j98 
./9百)
' \./9百刁而j
(4) 设a= 抒石立了，则上=汗-413 ，又设工=α+土>0 ，
a 
a 
得x' =什去十4(归去+寸2= 12+4x2, 
整理，得x' - 4x2 -12= (X2 - 6) (X2 +2) =0 ,x 2 = 6 ，即X= .)6.
例4
(1)原式= Jc王丰5乌托万- 1) 2 = 13+ 1 +13- 1= 213. 
ω
汪叫哥E寸况可寸拓市=平，
1• J5 , . 
1 
1 
.原式=一τ工工×一--=丁.
L 
1 十创5
L 
(3) 由条件得?+5=z+σ ，f!r( ; - x ) + (13- .fY) = 0 , 
.: x ，y 是有理数，点是无理数，
'. ; - x= O ，13- .fY=O ，解得归，户( ; ,3) 
例5
xy = l，x+ y =4t+2 . 于是20x2 十41 xy+ 20/ = 20(x十y) 2 十xy = 2 0(4t+ 2) 2 + 1 = 2001 , 
:. 4t 十2 = 士10 ，t = 2 或
t = 一3 ( 舍去)，:. t=2. 
例7
x+ y = 2.)6，xy = 1，于是矿十/ = ( x+ y) 2 - 2月= 22 ，
t 十/ =( x十y) (x2 一月十/)= 42.)6，
X6 +/ = (X3 十/)2 -2x 3 / = 10582 , 
( 川军细)
丁去
食
为节h
A 
'j;J' * 食
食
食
第
8
Ìi井
二次根式的化简求值
f!p (}6 +./5) ' + (}6 - ./5) ' = 10582. 
.: 0 <}6一点< 1，:. O< (}6-./5)'<l, 
'. 10581<(}6+./5)'< 10582 , 
即比(}6+ ./5) ，大的最小整数是105 82 .
1. 0 
(a + 1) 2= 5 ，矿+2a = 4.
• 
一黯
.
一(1←a) 2
(1 + a) 2 
，
~
(a - 3) 2 
_ ,. 
1 
2.
一2 或a-1
a~ l 且工→
4
，x十α = 一
4
，x-a十2= 一
4 一，原式=言(
1 α + 1
1 一
| α →3
1 ) .当
αζ- 1 时，原式=- 2; 当一1 <α运l 时，原式=a - 1 .
3. 9 
将a 十b=8 ，ab=1 整体代入，原式= Jab [ ( α + b) ' - 2abJ 十19.
4. 58 
参见例
6
，1 用
2002 代替，结论仍成立
，x= -y .
5. 1, 2 
当
n = 3 时，三条线段的长不能构成三角形.
当ρ4 时，设n = 走+3 (k~ 1 ，托N) ，则有d丰言< 1 十d丰5<fl丰3+ /ë走+3)( 走+5) .
由于J(k+3) (k +5 ) 二三2fl丰5> 1 + fl丰5
，
故d丰3+ Cl +fl丰言)<fl丰丁f+ /ë走十3)( 走+5) ，不能构成三角形.
厉( n + 1 + J2) (n- J2) _ n + 1 + J2
6.
2016 J2-20 15
α
一
" 
(n + J2) (n- J2)
计J2
7. B 
由条件得计13b = 3 +13. 
8. C 
a 二三2 ，1 = j(a-2)(b-2)' + 
I b 2 十1
1 ，而
I b2 + 1
1 二三1，故a = 2 ，b =0 .
9. A 
d1 a2 = (平J=半=α叫d=α (a+ 1) =a2 + α = 2α + l，a'
时= (2a + 1) 2
怕+ 1)=
4a2 -4a-7=4(a+ 1) -4a-7= - 3. 
10. C 
( J25-x 2 -J15-x 2 )( J2τ7+J15 -x')= 1 0 . 
11. D 
由条件得
1 运zζ l，-l~y~ 1. 且xy-2x+y-2 二三0 ，即( x+ 1) (y-2) 二三0 ，因y-2 < 0 ，x+1 二三
0 ，故x+1 = 0 ，得x= - l
，y =O .
12. A 
O < a < l
，a>旷〉矿，于是7α + 1 = α +3a +3a+ 1 >旷+ 3矿+ 3a + 1 = (a + 1) 3 ，故沂a + 1 > α + 1，
同理扩π丰1>b+ 1 ，扩瓦丰1> c + 1
，;;可丰1> d + 1.
13. 
(1)
一7269
设3633=η ，原式=-2n-3 .
1 (1 
1 
ì 
(2) 一
= 一
I
~-~
I
(2n+ 1) j2n-1 + (2η - 1) ffn丰1
2
飞j2 n - 1
ffn丰1)'
(3) 1 
(4)2015 
ja(a+2) + 1 =α+ 1. 
14.
一
1
由条件得(而十2;;;) 2_ 2( 而+ 2;;;) 一3=0.
40 1 
f
矿+ b 3
旷- b3 ,3 
1 
2 
2 
1 (a3 + b3
旷
b 3
'V 
15.
令矿=252 ，b3 = 250. 则原式= 1 
"
~ 
+
, , ，~ 
1 = 1 
十一一一一一一
1 = (α 十
1 a 3 -b 3
旷+b3
. . 1 
\..a2+ b' -ab ' a2+ b2+ ab) 
I ~'"': 
~.. 
ab 
一一一一一十a b I 
'--
~ 
-~ 
-
，
~ 
，
-~ / 
\.. 2(α - b) 
-~ 
2(α+ b) , -~ ) 
b+ a-b) 3 =8矿= 2016 .
16. (./5+ 13) ' =(8+2/15Y ，设8 十2 Æ=a ，8 - 2 刁言= b ，α + b = 16 ，ab=4 ，a 3 + b3 =3904 ，而O < b<
1，故390 3<旷<3904 ，故不超过( ./5+13) ' 的最大整数是3903 .
之常
食
* 
食
食
食
1与
食*
女
学科精英大视野系列丛书
J3a+b 
(J3α + b) (J3b-c) 
3ab-bc+ J3(b' - ac) 
17 
一一一一-
-
_ ? 
? 
为有理数，则b' -ac=O. 
. J3b+c 
(J3b+ c) (J3b- C) 
3b' - c' 
故a' +b' +c' = (a+b +c ) ' 一2(ab+ bc十ac) = (α + b+c)' - 2(ab+ bc+ b' ) 
=(a+b十c)'- 2b(a +c十b) = (α +b+c) (a-b+c) . 
' +b'+c' 
因此，一一一一TC =a-b+c 为整数.
a+b十c
9n -1 a'
, 
... _ ,. .". 
_ 
. _ ..._, 
，~ 
_, 
64b' 
18 .
设一一一= 寸(α ，b 为正整数，且a ，b 互质) ，得n = 一7+ _ .~'一寸
n+ 7 旷日b'-a'
由(a ，的=1 ，得(矿
，b' ) = 1 , (9b' 一矿，b' )= l，从而(9b' -a' ) 164. 
': 9扩-a' = (3b十a) (3b-a) , 9b' -a' 二三0 ，二9b' -a' =8 ,16 , 32 ,64. 
': 3b + α ，3b-a 的和是6 的倍数，其差为
2 的倍数，
" 
(3b十a ，3b-a)=(4 ，2) 或(8 ，的或(1 6 ，2 )
，( α ，的= (1, 1)或(2 ，2 ) 或(7 ，3) . 
经检验(a ，的=(1，1) 或(7 ，3) ，故n = I 或
1 1.
J x 4 - 3x' + 9- Jx4 - 4x' + 9 
Jx 4 - 3x' + 9+ Jx4 - 4x ' + 9 
19. (1) f(x) = 
Jx4 -3x'+9+ Jx4 - 4x'+9 
(x4 -3矿+9 ) - (x4 -4x' +9 ) 
工(Jx4 -3x' +9+ J x 4 -4x' + 9) 
z 
Jx 4 - 3x'+ 9+ Jx4 -4x' 十9
工
J(x' - 3)' 十3矿+ J(x' -3) ' 十2x'
. 
-
9" 
一
+
E 
可
i
|
/
-3-
z 
-
z 
?lilt\ 
+ 
-
n
吨
υ
一
+
-
\
飞
l
l
l
J
/
-3-
z 
-
Z 
?fi-
-\ 
(2) 当x= 立，l'!r x = J3时，
z 
J(x-!) ' 十3+J(X-!)' + 2取得最j 值占+./2 ，
于是f(x) ζ一」一一=J3- ./2.
J3+./2 
所以f(x)mox= J3-J言，此时x = J3.
20
将5百=α- Ja两边平方，整理时= 气?二王，
① 
设在=旦，m ，n 为正整数，且(m ，n) = l ，则an' = m' ，
n 
因
n l an'
，故n l m' . 而(m ，η) = 1 ，得n = l
，Ja= m ，
一c' - b' 
a' 
Ja 
由①及勾股定理，得c - b= :__一一=一一一一一= 一一一= 一一一= 1 + 一一一.
② 
c+b 
a'- 2ara 
ra一2
m - 2 
~' m -2 
因为c-b 是正整数，所以m- 2>O ，且(m一2)
1 2 ，从而m=3 ，4.
( c+b = 27'h~'d (b= 12, 
若m =3 ，则α=9 ，代入①、②，得~"
I 
V 
: 
I ，解得!
Ic- b= 3 , 
" 'l c= 15. 
(c+b= 128, h~ 'd Ib= 63 , 
若m = 4 时，则α = 1 6 ，代入①、②，得~ "
I 
V 
~!J u ，解得!
1 c 一b =2 ，
' ''l c= 65. 
所以满足题设条件的Rt6ABC 的三边长共有两组，分别为(a ，b ，c) = (9 ，12 ，1 日，(α ，b ，c) = (1 6 ,63 , 65) . 
故α +b-c= 9 十12-1 5 =6 或α +b-c= 16+63-65 = 14. 
-3; 
牛顿是历史上伟大的数学家. 1687 年，牛顿的代表作
《自然哲学的数学原理》出版，牛顿阐述了三大运动定律、万
有引力定律，解决了行星运动、自由落体运动、声音、泼、潮
沙等各种问题. 牛顿是第一个大量运用数学方法来系统研
究物理理论的大科学家.
帽..
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浮
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一
芬
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目
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赏
到
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白白
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'JJT如能德边
在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它相等的代数式
称为代数式的恒等变形.代数式的恒等变形包括代数式的化简、代数式的求
值、证明代数恒等式和条件等式等方面.
代数式的恒等变形常用到相关运算性质、乘法公式、因式分解、配方、设
参数、换元、待定系数等知识及方法.
i 问题能决
例1
已知a叫酬，且满足I ~-~ 
Ix( _!_-+ ì . _,
1_ , = 
1 11 
1
, 1I '
\ a 
b J 
1
, 
~a 
b 
a
'
b )
α2 ' b2 
÷ ，则α十b =
(全国初中数学联赛题)
瞄题思路
通过计算化简己知等式.
(;二在
对一个数学问
题，改变它的形式，换
一种叙述方式，交换它
的结构，直到发现有价
值的东西，这是解题的
一个重要原则.
波利亚
阿贝尔公式
阿贝
尔(1 8 0 2
1829) 是挪威数学家，
下面的公式是他发
现的
:
α 1 b 1 + a，b，
十
a3b3 + … + aþ " = 
a1 Cb1 -b, ) + Ca 1 十α，) 
Cb, - b3 ) + Ca1 + α2 + 
α3 ) C 
b3 一句) + … 十
Ca1 +α2+ … + a" )b" 
阿贝尔是怎样发
现上述公式的?他只
不过是用了两种不同
方法计算下面阶梯形
的面积(仅给出
η = 5
的情形) . 
Ifi:\~~ 
食
食
，传
食
食
1与
食*
A 
'u 
(x-Z) 4+Cx- 1)2-1 
已知x 2 -
5x 一1991=0 ，则代数式
的值
Cx 一1) Cx-Z) 
例2
为C
). 
A. 1996 
B. 1997 
C. 1998 
D. 1999 
C 
(( 中学生学习报》竞赛题)
瞄题思路
运用因式分解化简待求式.
例3
已知x+y+z=xyz ，证明
: x (1 -/)(1-z2) + y (1 -x2) (1 -i)+ 
z (1 -x2 )(1-/) =4xyz. 
(湖北省武汉市竞赛题)
幅题思路
将等式左边展开，利用条件x+y+z=xyz ，将等式左边化
简变形成右边.
例4
已知至二主主=五二至主=至二旦，求证
a
2二主=巨二旦=三二旦旦
α
b 
c' 
.P .~ • 
X 
Y 
z 
(浙江省兰溪市竞赛题)
幡题思路
设4二丘=乒二三王=豆二旦=i ，则α ，b ，c 可求，代人所要
a 
b 
c
走
证明的等式，若这时关于k ，x ，y ，z 的代数式相等，则结论成立.
学科精英大视野系列丛书
恒等式的证明，
证明等号两边的代数
式相等，基本方法有:
(1)由繁到简，从
复杂的一边化向简单
化
一生
'
边
二
趴
式
左
边
一
边
时
数
俨
左
一
右
加
州
训
叮
α
一
ω
司
同
边成
右
条件等式的证
明，关键是怎样用好
条件，对已知条件的
(1)直接运用
条件;
(2 )变形运用
条件;
C 3 )综合运用
条件;
C 4) 挖掘隐含
条件.
~~~ 
( 川军!Iil )
女食
女食
女'
例5
已知a ，b ，c 是正实数，满足α 2 =bCb十c) ,b2 = cC C十α) ，证明)- +
a 
1-
c 
一
-
170 
(全国中学生数学智能通讯赛试题)
黯浩1
由b2 =cCC+ α) ，可得α= 巨二三，
① 
C 
代人a 2 =bC b +c) ，得到1巨二1 2 =b(b+ c)
\ 
C 
J 
• b>O ，c>O ，λb十c>O.
(b+dib c'[_=b , 
去分母、移项、整理得b3 - b2 C一2bc 2 +C3 =0. 
② 
1 
,
1 
1 
c
、
1
1 
bc2 + cCb2 - c2) -bCb2 -c2) 
将①代人一+一
一= τ一一τ+ 一一
= 
a ' b 
c 
b2-C2 ' b 
C 
bcCb2-C2) 
b3 -b2c-2bc 2 十c3
bcCb2- C2) 
1
, 1 
1 
~.l.L1
，
1 
1 
把②式代人即得一++一= 0 ，故一++ = __2_.
a 
0 
c 
a 
0 
c 
幡浩2
由条件α 2 =b(b十c) , 
① 
b2 -C2 =ca ，
② 
①×②得旷(b+c)Cb-c)= αbc (b+ c) .
..
α > O ，b> O ，c> O ，
λ
b + c> O . 
故α (b - c) = bc ，整理得bc + ac = ab.
1 , 1 
1 
等式两边都除以abc ，得一+ ? =一
a 
0 
c 
1 ~ 1 , 1 
例6
已知z注l，y注1，求证: x +y + --=-- !S二__2_ + 一+xy.
x y 
x 
y 
(浙江省温州市重点高中提前预录试题)
妇析主§幅
作差证明.
1 
1 
1 
x+y +巧
x
:;-xy 
_x2 y +Xy 2 - X2 y 2 - x - y + 1 
xy 
一( y_ y 2 ) X2 十(y 2 -l) x 一( y 一1)
xy 
一( 1- y) [yx 2 一(1十y)x+1 J
x y 
( 1 - y)( xy 一l)( x - 1)
x y 
.: x二月，y二月，:.1 - y~ 0 ，xy -1 二三O ，X 一1 二三O .
λ ( 1 - y)Cxy 一1 )C x -1 ) ζ 0 ，
x y 
1
...- 1
, 1 
. 工十'v +--=--!S二一+ 一+x .'V
xy 
x 
y 
注:14
食
，传
食
，曾
第
9
Ìi井
代数式的恒等变形
关于例5 的鉴赏
从解法看，解法2
简单而富于技巧，解
法l 虽稍冗长但具有
一般性，揭示了消元
与降次的通性通法.
由第二个条件等式出
发求出α ，代入第一个
等式，把多元化为少
元，运用因式分解把
高次化为低次，从而
化复杂为简单，完成
问题的证明.
证明不等式，不
等式的基本性质是基
础，分析是关键，而恰
当运用基本不等式是
才支巧:
(1) 若
a ，b 为实
数，则a 2 + b2 二三2αb;
(2) 若α >O ，b >
α + b 
0 ，则
2
二三JCJ;, 当
且仅当
α =b 时等号
成立.
(3 ) 若a ，b 同号，
则立+ 孚二三2 ，当且仅
α
。
当α =b 时等号成立.
i~~~ 
* 
食女
食女
女
食
，传
食
特殊写一般
一般与特殊是对立统一的矛盾关系，二者相互依存、相E 转化，从特殊
到一般和从一般到特殊是人类认识世界的一般规律.
为了思维的灵活性，为了更深入地认识问题的本质，解题思路的探寻与
解后反思常经历下面两个途径:
(1 )清晰地展示问题的特殊性;
( 2 ) 深刻地呈现问题的一般性.
例7
求证:对任意两两不等的三个数a ，b ，c ，都有
(a + b- c) 2 
(b + c-a) 2 
(c 十a-b) 2
是常数.
(a -
C) (b - c) , 
(b - a)(c 一α)
, (c - b) (a - b) 
(北京市竞赛题)
常数能确定吗?确定常数，证明就有目标，怎样确定常数?对a ，b ，c 取
特殊值.
令α =O ，b=1
，c = 2 ，代入得原式=4 ，即证明原式的值为4 .
1 
(1 
1 1" 
1 
瞄活1
注意到
=1 一一一一一
I x 一一
(a- c) (b - c) 
~a - c 
b - c) " b-a' 
(α + b - C) 2 
(1 
1 
ì ，，(α + b - C) 2 
则
= 1-一一一一一|
(a-c)(b- c) 
~a - c 
b - c) " 
b - a 
(α + b - c) 2 
(α + b - c) 2 
(b-a) (a -c) 
(b-a) (b - c) ' 
(a + b - c) 2 
(b + c - a) 2 
原式=
(b-a) (a -c) 
(b-a) (c-a) 
十
2
-C 
JU--
二
ω
'
h
u
一
、1
/
+-l 
a--
f
飞
7
0
( c + α -b) 2 
(c-b) (α -b) 
4b( α- c) 
4α (c-b) 
4b 
4a 
一
十
----一一=刀
(b-a) (α- c) ' (b-a)(b- c) 
b-a 
b-a
τ 
上面的证法中进行了繁杂的计算推演，有没有更-般、更简单的证法?
幡洁2
考察一般性，从函数的角度认识问题.
( X-C) 2 
(x-a) 2 
(X-b) 2 
设f(x)=
(α - c) (b ←c) , (b-a)(c - a) , (c - b) (a -b) , 
.: f( α) = f(b) = f( c ) =1, 
( x - c) 2 
(zα) 2 
(X-b) 2 
=1 ，对于任意实数z
(α- c) (b- c) , (b-a) (c-a) , (c-b) (α
b) 
都恒成立，
当一
l t l 
x=--ι二时，代入上式得
(a+b •
c) 2 
(b+c-a) 2 
(c + α - b) 2 
一-
"
(a -c) (b - c) , (b-a) (c-a) , (c-b) (a -b)
τ 
拓展问题
对于任意两两不等的三个数a ,b ,c. 
(α 十b - 2c ) 2
, 
(b 十c ←2α) 2
I 
(c + a-2b) 2 
求证
: ,'-
, ~， ，，-~ ' , + 
十
是常数.
. (a-c)(b- c) , (b-a)(c-a) 
I 
(c-b)( α -b) 
~2~) 
学科精英大视野系列丛书
好问题如同一个
蘑菇.正如波利亚指
出的"当你找到第一
个蘑菇或取得第一个
发现后，再回处看看，
它们总是成群生长
"
这是荷兰著名画
家埃舍尔的作品《美
洲窍>> . 美洲窍从书本
上的平面二维形象逐
渐演变成立体的三维
造型，经过精装书爬
到了正十二面体上
，
又从香烟罐爬下来，
回到了平面的书本图
画中，这就是有趣的
渐变循环.
~~~ 
( 川军!Jil )
女食
，传
女食
食
食
，传
第
9 讲
代数式的恒等变形
t写〉刻意练习
斗7η+15
1. 右一
')为整数，则整数n 可能取的值有
个.
ηa 
(世界数学团体锦标赛试题)
2. 已知实数a ，b ，c 满足α + b 十c= l 一
1 一+ →
1 一+一
1
一=1 ，则
, a + b-c I b+c- a 
I c+ a-b 
αbι= 
(全国初中数学联赛题)
3. 设α ，b ，c 均为非零实数，并且ab = 2(α+的
，bc=3( b +c )
，ca=4( c 十α ) ，则
a = 
(北京市竞赛题)
b+c 
4.
已知王(b -c/ =( α -b) (c-a ) ，且α手0 ，则一一=
a 
题
赛
联
学
数
由
1
、
初
国
妇
全
m
ω
(
= 
fL 
+ 
，
。
，
-
n
/
臼
矿
一
红
=
-
fL 
r
卜
+-
CG 
忖
-
2
0
，
。
GG 
足
满
C 
，
。
~J= 
机
回
w
t
叩
f
L
整
叶
正
村
知
α
已
则
F3 
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
中
1
1 
1 
10 
6. 若α ，b ，c 是正数，且俩足a 十b + c = 9 ，-~-
，. +-. ~- +一一=一，则一一+
'α + b '
b十c 'c+a 
9 'Nb + c 
b 
c 
c 十α
1 α + b
一一一一一·
(全国初中数学联赛题)
7.
已知x2+/ + 4 = 2x 十xy+2y ，那么j y 的值为(
) . 
A. 2 
B. 4 
C. 6 
D. 8 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
若布+lz1 寸1 十2 吃
工= 一丁一，则
~二的值等于(
) . 
L. 
(x 2 - X)2 + 2 +、3
13 
A . 丁
13 
B. 3 
C. 13 
D. 13或子
(华中师大一附中自主招生试题)
1 
^
. 
2 
^ 
~.， 
, 2 
9.
已知α +~= l ，b十
= 1 ，贝o c+ 立的值等于(
). 
n 
c
α 
D. 4 
(江苏省竞赛题)
斗
bc +ac
, a b 十ac
, ab+ t 
10 已知，b ，c 满足α + b +c= O ，右abC -=F O ，则丁厂+丁7+丁f的值
A . 1 
B. 2 
C . 3 
蝇飞G.\1"::!t
J 9嗦
食
食
f:(
食女
A 
u 
食
，传
，传
为(
) . 
A. - 3 
D. 3 
(" 希望杯"邀请赛试题)
11
若y=z+t ，则什x3 -4介x+1=0 可变成(
) 
B. - 1 
c. 0 
nunu 
-
-
一
一
。
L
A
哇
二
一
案
-
d
v
d
#
于
++MM 
川
。
旷
上
t
t
非
AC
E 
B. x 2(/+y-3)=0 
D. x 2 (/ 十y - 6) = 0
(1 -a) 2 , (1 -b)2 
12. 若a+b=2 ，一
，一+一一一一=-4 ，则ab=(
o 
a 
A1B1C-1 
(美国高中数学考试题)
题
赛
1
-
2
相
数
D 
申
I
草
、
1
1
国
会
13 . 求证:
20 
11 
(1) -.::-一+ 一「一+气一一+ … +一「一一一=
旷-1
' x2-4
旷- 9
旷- 100
(x- 1) (x+ 10) 
11 
11 
一一一一一十… +
(x-2) (x+9) , 
' (x- 10) (x + 1) , 
b 
c 
d 
a(a+b) 
(α+b)(α十b+c)
(α十b+c)(α+b+c+d)
b+c十d
a (a + b+c+d). 
)5-1 -，-I>- a j O 十1
14 .
已知α= 一一- AT一的值.
a 5 +3 
( 2 ) 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
15 .
已知α+b+c = 5 ，a2 十b2 + / = 15,a3 + b3 +c3 =47 ，求(a 2 + ab + b2) (b2 + 
bc+c2) (c2 + ca +α 2 )的值.
(全国初中数学联赛题)
16.
已知非零实数a ，b ，c 满足a+b+c=O .
(1)求证:旷+b3 十c 3 =3αbc ; 
ω 求(a ~ b+宁+子) (，古+二十土)的值
(北京市竞赛题)
17.
已知矶
，b; ，户，q(i= 1，2 ，… ，2004) 是不等于0 的实数，且满足ai 十d 十
α~+ … + a~004 = p2 ，ajb j 十a2 b2 + … 十a3 b3 + … + α2∞4 b2∞4= ρq ，b; + b~ + 
b~ + … 十b~004 = l . 
求证. 巳=旦=a 3 = … =旦旦旦旦=主
. bj 
b2 
b3 
b2004 
q 
("创新杯"竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
Gt.\~、l~
( J\ .a: !Iil ) 
会，曲
*
女食
，传
古'食
食
第
9
i井
代数式的恒等变形
18. 求所有的实数α ，使得存在两两不等的实数x ，y ，z 满足x- L 一三=γ 一
z 
y 
z 
x 
x 
v 
-一一- 一一=z-- 一-~一-α-
x 
z 
y 
x 
( 白俄罗斯数学奥林匹克试题)
19. 已知实数α ，b ，c 满足条件
a二一+一一ι一十一
c 寸=0 ，求代数式
(b- c) 2 ' (c - a) 2 ' (a-b) 
产一+_b_+_c_，的值.
。一-c
c 一-a
a-o 
(全国初中数学联赛题)
矶设工巾，z 为实数，满足x2 +/ + Z2 = 1 ，证明: (x-y)(y-z)(z-x)运主
-12 
(俄罗斯竞赛题)
• • 
ab 
2 
例
1
3 
由条件得J丰b
王，得
(3 b - 2) (3α - 2) = 4 ，而α 手b ，则
3b - 2 = 1 , 3a - 2 = 4 或
3b - 2 = - 1, 
3α 2= -4( 舍去)
，α +b=3 . 
一(X-2)4+ X (x-2)
(x 一2) 3 + X
[ (x-2) 3+ 1]+ (x- 1) 
例2
D 房、式一
=L'''''
'-'/
1
-'- .]1
''''' 
-'-/= x 2- 5x+8. 
(x - l) (x-2)
工- 1
x一1
191]3 
左边=x (l -z2 _ y 2 + /Z2) + y (l -z2 -x2 十x2 i ) + z( 1 - / - x 2 + x 2 / ) 
= (x +y + z)
工矿工/ + x/ Z2 - yz2 -
yx2 十yx2 z2 - z/ - zx2 +ZX2/ 
= xyz- xy(y+ x) - xz(x+ z) - yz(y+ z) + xyz(xy+ yz+ zx) 
=xyz-xy(xyz- z) - xz(xyz- y) - yz(xyz- x) + xyz(xy+ yz十zx)
=工yz+ 工yz+ xyz+ xyz=4xyz= 右边.
例4
设至二ZZ = i二至王= 三二王1. = 上，那么α= 走(工2 - yz) ，b= 走(/ - zx) ,C= k(Z2 - xy ) , 
b 
c 
k 
bc b2 - ca C2 -ab 
分别代入
，一一一，一一
，得
x 
y 
z 
a2 -bc _ k2(x2 - YZ) 2 -k2 (/ - zx) (Z2 - xy) 
k 2 (X 4 +/z2 -2工2 yz
j zz 十x/ +xi - X2 yZ) 
x 
x 
x 
=扩(旷+ /十i - 3xyz). 
b2 - ca 
k 2 ( / 
_ ZX) 2 - k2 (X2 - yZ) (Z2 - xy) _ , 2 
同理，
一
一走
( x3 +/ +Z3 - 3xyz) , 
y 
y 
ζ二旦主= 走2 (工3+/ 十i - 3xyz). 
z 
2 -bc 
b2 -ca 
/ -ab 
所以一一一一=一一一一=一一一一.
x 
y 
z 
36 
1. 18 
J.京式=7 十一一士，( n 一3) 136. 
ηJ 
Ul嘘
• 
…!j • 
* 
食
食
食
食女
食
1号
女
1 
1 
2. 0 
由条件得一一一十一一一+一一一=1 ，整理得2 一2(α 十b+c) =8abc. 
1-2c ' 1-2a' 1-2b 
24 
ø_ '. .... ~，_""， 1 , 1 
1 
1 
I 1 
1 
1 
1 1 _ 1 
3. 
-~. 
题设等式可化为
+ 一= 一一+ 一=一，一十一一一.
b 
a 
b2'b 
l 
4. 2 
已知等式可化为
(b十C一2a) 2 =0 ，b十c =2a.
学科精英大视野系列丛书
5. 2012 
(α + l) (b十l) (c+ l) = αbc +ab+ bc+ ca+ α +b十c+ 1=8044 ，而α十1 二三2 ，b+1 二三2 ，c + 1注2 ，只
能804 4 =2 X 2 X 201 1，故α + b + c=2010+1 十1 =20 12.
6. 7 
7. D 
由条件得( x一2)2+(y 一2幻/+(x-y
ρ) 2 =0 .
8. A 
由1i7 x=号午l得2川
Z川1 =♂
ι
阳，
üi
进一步即得和阳
x2 -x
9. B 
(
c
, bì
, ( c
, a \
, (a
, b\ 
10. A 
原式=
1 __:_+一
1 +
1 一+一
I +
I
':::_ + 主
|
la ' a) ' lb 'b) ' lc ' c ) 
11. D 
12. B 由条件得以1-a) 2 +b(1 -b)2 = - 4ab=>(a十的一2(a2 + b2 )+ α3+ b3 十4ab=0 .
13. (1)两边分别逐项拆开
(2) 将左边化简.
14.
由条件得a2 +α-1 =0 ,a2 = 1-a ,a5 =a3 (a2 + a) - a4 = 矿-a4 =a (l -a) 一(1 -a) 2 =5α -3 ，a5 +3 = 5α. 
10 
_ 
_,
2 
5 .J5 - 5
宁
/5 - ] 民
·原式= α5-3+ 气一一= 5α - 6 十一
'-'V立一- 6 +J5+ 1 = ~立了一.
矿↑3
~-
~， a 
2 
• -
2 
15.
由条件得ab + bc+ac= 5 ,abc=- 1. 
.: a2 + ab+ 旷=(a+b)( α + b十c) - (ab+ bc+ ac) =5(5- C) -5 = 5(4-c) , 
同理得b2 + bc +c2 =5(4-a)
，
c2 +ca +矿=5 (4
的，
.. 原式= 5 3 (4 - a)(4
的(4 - c)
= 125[64- 42 (a + b+ c) + 4(ab+bc+ ac) - abcJ = 625. 
16. (1)由α + b+c =O ，得a + b= -c ，( α +b) 3 = -c3, 
a3 +3a2 b+3ab2 + b3 = -c3 ,a3 + b3 +c' = -3ab(a+b) =3abc. 
(a- b , b-c , c一α 飞
c
.
, (b-c
, c-a'__ c 
_, 2c2 
(2)
因|一一.::: + 一一+ 一一~I X 一一一= 1 +
1 一一+一一
I X 一一=1+ 工L
l c 
a 
b
) " a - b -.L I l a 
b) " a - b -.L I ab' 
(a- b , b- c , c - a 飞
a
_ , 2a2 (a - b , b-c , c - a 飞
b
_ , 2b2 
同理| 一一+一一+一一
I X 一一= 1 + 一一，
1 一一十一一+一~IX 一一= 1 + 一一.
l 
c 
a 
b) . . b - c 
bc . l 
c 
a 
b
} 
c - a 
ac 
2c2 , _ , 2a2 , _ , 2c2 
_, 2(α3 + b3 +C3 ) 
_ , 2 X 3abc 
故左边=1+ 一一十1+~一+ 1+:一= 3+-' -
, -
'" 
3+ 一一一一一=9 .
ab ' -
, bc ' - 'ab 
~
， 
abc 
~
'
abc 
17 .
已知条件变形得
444 · +EL
1 
(
,2 ( a} b} + a2 b2 + a3 b3 + ... +丛生叫= 2
(
, 
P' 
P' 
P' 
P'
飞
pq
ρq
pq
ρq 
) 
444 · +乌= 1
③，
q 
q 
q 
q 
(a , 
b
飞2 , (a. 
b., 
2 , 
，(飞
由①一②+③，得
1 :::.!. _
.:::2... 1 + 1 - 2 _ ::2 1 + … +
1 工2004 _ "'20旦
1 =0 , 
\.p 
q ) 
\. p 
q ) 
\. P 
q
) 
a} 
b} 
a2 
b2 
a2004 
b2004 
^ 
ρqρ
q 
P 
q 
V , 
故EL
fi
-
G2004
一
一
一
-
b} 
b2 
b2004 
q 
气I
Z 
_ 
Z 
X
刑
18 .
记A=x- L 一一，B = 'Y一一一一，C =Z-.::'::.- L
Z 
Y 
x 
Z 
Y 
x 
军
女食
食
女食
τk
1:s.' 
，传
食
第
9 讲
代数式的恒等变形
由已知得O =A-B=(门)+口一坐立2=(x一川1 + l_
判=~厂内yz+工广泛)
z 
xy 
"z xy) 
xyz 
因为z手y ，所以
，z2- xy-xyZ=0 .
类似的
，x 2 - yz- xYZ=O. 
故0= (Z2 - xy- xyZ) - (X2 - yz- xyZ) = (z- x) (x + y+Z). 
因为x手z ，所以x+y +z=O .
上式两边同时除以工，y ，z 得1+ 之+三=王+1+ 三=王+ 之+ 1=0 ，
二r
x 
y 
y 
z 
z 
-JZ 十三十三+王+王+主=-3
z 
y 
x 
z 
y 
x 
由3α =A+B+C ，有α =
~ ( x+ y十z 之三三一王一王一之Î =
~ (0+3)=1 
.:l\ 
z 
Y 
x 
z 
Y 
X) 
,j 
2 
易验证，当x=4
，γ =-2 一一，z=-2 十一时，满足题意且α = 1
J 
-
.J5' _ 
- . .J5 
19. 设了卫一+-L+ -LT=m ，
。一-c
c - a 
a 一- 0
二二=m一土
a句，t万=(m -土
a~b)
. 止，
同理，三万= (m一止一古)
. 士，
①+②+③，得o=m(止+占+士t;)-p ，
① 
② 
③ 
其中p=止(土+古)+占(击+古)+古(击+土)=0 ，
zt+去+ zi手0 ，
故
a一+
b
十二τ = m =O .
。一-c
c 一-a
a-o 
20.
注意到，对于实数x ，y ，z 的任意排列，不等式左边要么不变，要么仅仅改变符号.于是，只需对某一种
使得左边非负的排列证明该不等式.故假设工二三y二三z.
由均值不等式得
((x-v) 十(v-z) 'V 
(x - z )2 
U一内
z) ,ç l '~ 
.y / 2 
'.Y 
-/ J = l ~ 2 - J 
(x- Z) 3 
=争(x- y) (y- z) (x- z) ζ 一
4 一
只要证:x -zζ./2.
事实上
，(x- Z)2 = 2X2 +2Z2 一(工+Z)2 ζ 2X2 +2Z2 =2 一2/"三2
=>工-zζ ./2.
注:题中的界F民主是可达到的例如，当工=土，y=o z=- i 时就达到了.因此，不能把土换为任何其他
g""'-
.~ ~--."....J ，
在. -
./2 
更小的数.
83 
、皿;唱
莱布尼茨是著名的德国哲学家、数
学家和自然科学家，他是数理逻辑的先
驱者，同牛顿一起被并称为微积分的创
始人.
莱布尼茨有特殊的中国文化情结，曾
主编介绍中国的《中国近况)) ，并向康熙皇
帝建议成立"北京科学院" 他还把发现的
"二进制"与中国的"易卦"相联系.
、包受u
~f ..,A.\V 
一声iO 由
i古拉牛二1
在解答一些与多项式相关的问题时，先设定一些有待确定的系数，再依据
已知条件确定相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法叫待定系数法.
如果化简后的两个多项式恒等，那么它们对应项的系数分别对应相等，
这是待定系数法的理论基础.
待定系数法在因式分解、分式、代数式的恒等变形、函数等方面有广泛
的应用.
待定系数法彰显了逆向思考、结构思维、方程思想.
问雹幡决
例1
如果2矿-3x- l 与aCx- 1) 2 +bCx- l) +c 是同一个多项式的不
α +b 
同形式，那么一-
C 
("希望杯"邀请赛试题)
幅题思路
展开比较或赋值，建立a ，b ，c 的方程组.
钻研数学一一这
是一种需要全部灵活
性和刻苦耐劳的智力
一一一维纳
J 12- J24+J39- /1百­
VI2tJ24+ J39+刁百.
(青少年数学国
际城市邀请赛试题)
Gt.\Cti\1Ä\ 
女食
女
食
食
食
( 川军也)
飞/'7
r电
女
食
例2
如果x3 +α工2 +bx+8 有两个因式x+1 和工+2 ，则α +b= ( 
). 
A. 7 
B. 8 
C. 15 
D. 21 
(美国数学邀请赛试题)
幡题思路
原多项式的第三个因式必是形如x +c 的一次二项式，故可考
虑用待定系数法或赋值法解.
例3
k 为何值时，多项式x 2 -2xy十k/+3x-5y 十2 能分解成两个一
次因式的积?
(天津市竞赛题)
瞄题思路
因h 为二次项系数，故不宜从二次项入手，而x 2 + 3x 十2=
(x+ 1) (x+2) ，可得多项式必为(x+my+1)(x + ny十2) 的形式.
例4
当ρ ，m 为何值时，多项式x 3 + ρx-2 能被x 2 +mx- 1 整除?
(湖南省常德市竞赛题)
蹲题思路
因(x2 + mx-1) I (x3 + ρx- 2) ，故必存在一个因式f(x) ，使得
(工3+ px- 2) = f(x)(x2 十mx - l) ，可设矿+ ρx- 2 = (x2 +mx- 1)(工+ α). 
例5
分解因式x 4 -
x 3 + 4x2 +3x+5. 
纣桥E司瞄
这是关于工的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解
为两个二次式之积.
设
x 4 - x 3 + 4x 2 十3x+5
= (x 2 + ax+ 1) (x2 + bx十5 )
= x4 十(α + b) 工2+ (ab十6)x 2 + (5α + b)x十5 .
比较等式两边同次项的系数，得
[十b= 一l
①
ab + 6 =4 ，
② 
5α +b = 3 .
③ 
由①、③，得: α = l ，b = 一2 ，代人②式，②式也成立.
' . X4 -x3 +4x 2 +3x+5=(x 2 +x十1)( x 2 - 2x+ 5 ) .
也娃
第
' 0 讲
待定系数法
待定系数法解题
的一般步骤是:
(1)依多项式次
数设定含待定系数的
多项式;
(2 ) 展开比较同
次项系数，得含待定
系数的方程纽;
(3 )解方程组，
求出待定系数.
其中恰当的设定
是关键，在可预知多
项式结构的基础上，
应使待定系数较少.
如仔IJ
3 ，关于工，y
的一次式一般形式是
ax+by 十c ，若设成一
般式，原式= (ax + 
by十c) (dx + ey + f) , 
则极大地增加了计算
量.
‘又5=( - 1 )X
(- 5) ，若设房、式=
(x2 + αx -
1) ( x2 + 
bx一日，则所得的关于
a ，b 的方程纽无解. 故
运用待定系数法有时
需要通过计算来排除
某种分解不可能的情
况，因而较繁. 虽如此，
待定系数法仍体现着
解法的通用性.
，I'í:\~、i~
食
食女
食*
女
食
食
，传
例6
已知z5 一5qx+4r 能被CX-C ) 2 整除，求证:q5=r4 .
(浙江省宁波市竞赛题〉
证明设t 一时针=Cx 斗3 +a川x+判，展开比较两边同
次项的系数，得
a-2c=O , 
c2 +b-2αc=O ， 
GC2 一2bc+羊。，
C 
①
②
③
 
宁
b问q ，
④ 
由①、②，得α =2c ，b=3c 2
，代入③、④，得r =c5
，q =C4 . 故q5 =r4. 
边向远瞿
若将两个或两个以上数学对象变为一个结果的运算称为正向运算，则
把-个数学对象分为两个或两个以上对象的运算称为逆向运算.整数分解、
因式分解、部分分式相对于整数乘法、多项式乘法、分式加减都是逆向运算.
3zz 一7x+ 2
~， A 
, 
B 
例7
(1)已知f
吨、/
唱、= 3+z=I +J丰l' 其中A ，B 为常数，则
4A-2B= 
("五羊杯"竞赛题)
13x+ 14 
(2) 把
毛
, 
化为部分分式
2旷- 13矿- 7x
对于(1) ，把右边通分，比较分子对应项系数;对于C 2) ，因
2X3 - 13x2 一
13x+14 
A
, 
B 
, 
C 
7x=xCx一7) (2x+ 1)，故可设
=一十一一+一一一
2矿-13矿一7x
x 'x -7 ' 2x+1' 
中
­
qm
… 
1.已知(1 9x - 31) X (1 3x -1 7) 一(1 3x -17) X (1 1x 一23) 可因式分解为
(αx+ b) X (8x十c ) ，其中α ，b ，c 为整数，则a 十b+ c=
(四川省凉山彝族自治州中考题)
m 
n 
5x+2 
2. 已知m ，n 是实数，且当x> 2015 时一一十一一--一一一恒成立，则旷
'工一2 ' x+2 
x2 - 4 
2 
η= 
("希望杯"邀请赛试题)
3. 若t - t 十kx 2 -
2kx -
2 可分解为两个整系数二次式的积，则
是=
(湖南省邵阳市竞赛题)
4. 设多项式PCx) 的各项系数都是非负整数，且P (1 ) = 6 ，PC3) = 32 ，则
P( 2) 的所有可能值为
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
学科精英大视野系列丛书
把一个真分式化
为几个简单的真分式
的代数和，称为将分
式化为部分分式.解
先将分式的分母
分解因式，再依据分
母的因式次数假设分
解后的部分分式，然
后用待定系数法解.
若分式的分母中
含有因式(x-a)n ，则
相应的部分分式为
十… 十」汇.
工-a
~~~ 
女食
女食
4随
食
( 川军细)
，传
食
5. 设fCx) 是关于工的多项式，fC工)除以2Cx 一1)，得余式3;2fCx) 除以3Cx +
2) ，得余式-4. 那么
，3fCx) 除以4Cx 2 十x-2)
，余式是
(世界数学团体锦标赛试题)
6. 若代数式工2 -6x + b 可化为Cx-a) 2 -1 ,JJ!U b-a 的值是C
). 
A. 5 
B. 4 
C. 3 
D. 2 
("希望杯"邀请赛试题)
7. 如果α ，b 是整数，且t ←x-1 是ax 3 +bx2 + 1 的因式，那么
b 的值
为(
). 
A. -2 
B. -1 
C. 0 
D. 2 
(江苏省竞赛题)
8. 设α 为常数，多项式x 3 +ax2 + 1 除以
x 2 -1 所得的余式为工十3 ，则
α= ( 
). 
A. 1 
B.
一l
C. 2 
D. -2 
(江苏省竞赛题)
9.
多项式工12 - x6+ 1 除以z 2 一1 的余式是C
). 
A. 1 
B. - 1 
C. x 一1
D. x + 1 
(全国初中数学联赛题)
10. 若
2X 3 -
hx + 走的两个因式是Cx + 2) 及(x -
1) ，则
1 2h -
3k 
I 的值
是C
). 
A. 4 
B. 3 
C. 2 
D. 1 
E. 0 
(美国高中数学考试题)
5x2 + 7x + 3 
1 1.把
q 
化为部分分式.
Cx- 2) ' 
(" 五羊杯"竞赛题)
12.
当m 取何值时，多项式12x 2 -10xy+ 2/ + llx- 5y 十m 可以分解成两
个一次因式的积?
(河南省郑州市竞赛题)
13.
把多项式4x 4 -4x3 + 5x2 - 2x+1 写成一个多项式的完全平方式.
(江西省景德镇市竞赛题)
14.
已知C x-a) Cx-4)-1 能够分解为两个二项式工+ b ，x + c 的乘积Cb ，c
为整数) ，求α 的值.
(甘肃省兰州市竞赛题)
15.
已知多项式ax 3 + bx2 +cx+d 能被工2+ ρ 整除，求证:αd=bc.
16. 求使主二13 是非零可约的最小自数η .
5n+ 6 
(浙江省温州市竞赛题)
(国际数学奥林匹克试题)
17.
已知多项式x 3 -x 一α 与多项式工2 十x-a 有公因式，求α 的值.
(湖北省鄂州高中自主招生试题)
18.
已知关于工的三次四项式α/ 十bx 2 + cx+d ，当z 依次取1，2 ，3 ，4 时，
111 
多项式的值分别是1，一，一，一，求α +b 的值.
2 ' 3 ' 4 
("希望杯"邀请赛试题)
性t
第
1 0 Ìi井
待定系数法
~~~、
食
食
食
食
食
丁先
食女
女
bx+l 
19.
已知fC工)=2~+言，其中a ，b 为常数，且ab手2.
(1)若f只(川
Z
ω 证明:如果f[fCx)J也是常数，那么这个常数不能是主，其中h 如(1)
中所述.
例
1
例2
D 
3 
2 
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
学科精英大视野系列丛书
与静c主?壳
遍萨圃.-
-.回咽"
• 
- 蝇'
例3
因x 2 +3x+2= (x+ l) (x+2)
，故可设原式= (x+my + 1) (x+ny+2)
，展开比较同次项的系数得
走=-3 .
例4
设工3+ρx-2=(x2 十mx- 1) (x+a) , !?p x 3 + px 一2=x3 + (a+m)x2 + (am 一1) x-a ，
, a=2 , 
则!am-1 = 户，解得f m = -: ，
1α + m =O ， 
lρ=- ~ 
3x 2 一7x 十2
3(x- 1) (x+ 1) 十A(x+ l) +B(x- l)
3x2 十(A+B)x 十A-B-3
例7
(1 )8 
~-
， .",- " : , = 
(x- 1)(x+ 1) 
{A + B= - 7 , 
则!
解得A=-1
，B=-6 ，故4A 一2B=8.
IA - B-3=2 , 
2
, 
1 
2 
(2) 仿上，得房、式= 一一+一一-= + ::一一一
x 
x 一7 ' 2x+1. 
• 
…豁
黯
1.
一12
2. 5 
3 .
一1 或1
设原式=(x2 + mx+ 1) (x2 +nx 一2) 或原式=(工2+mx一1) (x2 十nx+2) .
4. 
13 或
16
因
3'=8 1 >3 2 ，故P(川的次数最高为
3 ，设P(x) =ax3 +bx2 +cx+d ，这里a ，b ，c ，d 都是非
负整数，因P (3)=32 ，故a=O 或1.
(1)当α =0 ，则b+c+ d=6 ,9b+3c+d=32 ，b<.3 ，又d=3b一7 ，得b>2 ，从而b= 3 ,d=2 ,c= 1 ,P(2 ) =16. 
(2) 当α=1 ，则b十c+d=5 ，9b+3c+d =5 ，得b =c =O ,d=5 ,P(2) = 13. 
s. 5x+4
设f(x) =2(x 一l) g(x) +3 ,2f(x) =3(x 十2)h(x) -4 ,3f(x ) =4(x2 + 工
2 )r(x) 十ax + b ，其
中g(x)
，以x)
，r(x) 都是关于z 的多项式，且次数均低于多项式f(x) 的次数，f(1) =3 ,f( -2) =一2 ,3f(1) = 
a 十b=9 ，3f( -2) = - 2α 十b=-6.
6. A 
7. A 
设原式=(ax-1)(x 2 -x 一1) =ax 3 + (-a 一l) x2 + (1 -a)x+ 1 ，则
b = -a-1 ,1-a=0. 
8. C 
￡ 
女女食
( I 飞革!R )
女食
食
女食食
9. A 
设房、式=(工2_ 1) g(X) 十ax+ b ，分别取x = 土l 代入等式，得a=O ,b= 1. 
10. E 
设f( x) = 2x3 -hx+ 走，则f( - 2) = 0 ，f (1 ) =0 .
5 
27 
37
‘
A
, 
ß
户
1 1.原式=一一-::;+一一←一一+一一一一"设原式= 一-一+一-一一τ + 一
G →一
- 2 ' (X-2) 2 ' (x 一2) 3
工一2 ' (X-2) 2 ' (X-2) 3' 
第
10 讲
待定系数法
12. m=2 
因
12x 2 -10xy+2y' = (4x ←2y)(3工
y) ，故可设原式= (4x 一2y + l ) (3x- y+n) . 
13 .
原式=(2x 2 - x 十1) 2 ，可设原式= (2x2 + ax 十b) 2 .
(b+ c=-a-4 , 
14.
由题意得x2 -
(a + 4) x十4a-1=x2 十(b+c)x 十bc ，则1
Ibc=4α - 1. 
①X4+ ②，得bc + 4(b十c)=- 17 ，(b十4)(c + 4)= - 1，又b ，c 是整数，
(b+4= 1, 
.. (b + 4= - 1, 
.. _ rb = -3 , 
rb= -5 , 
则!
或!
解得!
或! ~ 
~， 
从而a=4.
Ic+ 4=- 1 
'lc+ 4= 1, 
''') c=-5 " ') c=-3 , 
15. 设ax 3 + bx2 +cx+ d = (x2 十p) (ax+ m) = ax3 + mx2 + apx+m ρ ， 
，m=b ，
① 
则!αρ =c ，
② ①代入③，得bp=d ，又ρ= 二，
:. _E_ X b = d ，即ad = bc.
I 
a 
a 
tmp = d.
③ 
① 
② 
16.
设n 一13=kd ，5n +6= ld( 其中走，l ，d 为正整数且d > 1)，得(l -5 走)d = 71 ,d= 71 ,l - 5k= 1 ，于是η =
1 3+ 走X7 1.当k=O 时
，n =13
，分子为
0 ，不合要求;当
k = 1 ，n =84 为所求的最小自然数-
( - p 3 + P - a=0
，
① 
17.
设矿
工
α =A( 工+ P) ,x 2 +x-a= ß( x+ P)
，则!
②一①，得p3+ p 2 _2P=
1 p2- P -a=0
，
② 
O ，P(P 十2)(P-1)=0
，从而P=O 或P= - 2 或P= l，分别代入②，得α = 0 或
6.
18. 原多项式乘以工，得ax 4 + bx3 + cx 2 十dx ，则当z 依次取1，2 ，3 ，4 时，多项式ax' + bx 3 十cx 2 + d工的值
1 . 
5 
都是1.由此可设ax ' + bx3 + cx2 + dx 一1 = a(x - 1) (x - 2) (x- 3) (x-4)
，展开比较得α= 一A~'
，b = 一
= 
24 ,0-12'c 
35 
, 
25 
一:~
，d= 一，故α 十b - -
24 ' -
12
'
目
( 1 '\ 
bx+ 1 ,. b+ 工
bx2 + (b2 + l) x + b 
以(忡于走= f(x) X fl : J = ;:-f_二× EZTn
?
l/2l
a 、
I
A 是一个常数，故2a 川斗，(什的走=
b 2+ 1. 将b=2ak 代入(a 2 +4 ) 走=b 2 十1 整理得(4k 2
走) a 2 + (1 -4走) = 0 ，分解因式得(4 走一1) (ka 2 - 1) = O . 若
4走
I 手0 ，则仕1 = 0 ，因此ab=2ka 2 =2 ，与条件相矛盾故付
1 =0 ，即走=?
(2) 反证法，假设
(bx + 1 '\ 
f[f(x) J= f[ ~~ " ~ [ 
\, 2x+a) 
bx+ 1 
b X 一一一一+ 1
__ , 
2x+ α
(b 2 + 2)x+ (a 十b)
k 
1 
bx 十1
，
(2α + 2b)x 十(a 2 + 2)
28 ' 
2X 一一一一+ α
2x+ a 
故2a 十2b=8(b 2 + 2)
，矿+ 2 =8(a+ b).
由第一式解出a=4b2 -b十8 ，代入第二式得(4b2 - b 十8)2 十2 = 8C4b2 十肘，整理得
16b' - 8b3 + 33b2 - 16b+ 
1 
2=0 ，分解因式得(4b - 1) 2 (b2 + 2)=0
，解得b= 一，代入a = 4b 2 - b 十8 得α 二8 . 但是a ，b 不满足ab 手2 ，矛盾.
4 
所以题目结论成立.
(之:嘘
英国数学家彭罗斯在1958 年发明了如左图所示的三接
棍，它看上去像立体三角形，却是由三个直角部分结合而成，
故是造不出来的，称为不可能图形.
不可能图形具有富有魅力的数学意蕴，凝集着艺术家、
数学家的智慧，能激发人们的想象力.
h 岛~....-1
d伫再注
『哩"....--.------------------ - --- - -----------------------------------
胃11
i辑
罗i: g 平同蛊支
E 
. ------_. 
'
如攘攘遮
若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，简称平方数.
完全平方数有下列性质:
(1)平方数的末位数只能是0 ，1，4 ，5 ，6
，9;
(2) 偶平方数能被4 整除，奇平方数被8 除余
1 ; 
(3) 平方数只能是形如3走或3k+l 的数;
(4) 奇平方数的十位数一定是偶数;
(5) 若平方数的末位数是奇数，则其十位数字必为偶数.
例1
设N=23x+92y 为完全平方数，且N 不超过2392 ，则满足上述
条件的一切正整数对(工，y) 共有一一一一一对.
(全国初中数学联赛题)
暨墅里堕
因N=23x+92y=23(x+4y)
，且23 为质数，故x+4y=
23m2 (m 为正整数) . 
例2
使η 5 一5旷十4n + 7 成为完全平方数的自然数η 的取值(
) . 
A . 有且只有一个
B. 有有限多个，但多于一个
c. 有无穷多个
D. 不存在
(福建省福州市竞赛题)
晤题思路
将原式分解因式，分析个位数.
义二J
数论是人类知识
最古老的一个分支，
然而它的一些最深奥
的秘密与其最平凡的
真理是密切相联的.
一一史密斯
巧解算术难题
公元
3 世纪前
后，丢番图发现:
1 
33 
分数组一，~
16 ' 16 
68 105 
一，
中任何两数
16' 16 
之和、再加1，皆为某
个有理数的平方;
大约
1300 年后，
法国业余数学家费马
发现
:
数纽1，3
，8
，120
中任两数之积再加
1
后，皆为完全平方数.
Gti\~~ 
力食
食
击了食
食
( I 飞革!Iil )
食
，传
例3
求证:
(1)形如11 ，11 1，1 11 1，…，11 "
，1 (第n 项由n+1 个
1 组成)中每一个
n + l个l
数都不是完全平方数;
(2) n(n + l) 十l( η手0) 不能是某个整数的平方;
(3) 任意五个连续整数的平方和不是完全平方数.
( 克罗地亚数学竞赛题)
幡题思路
恰当选择非平方数的判断方法，解题的关键是对数或式进
行适当的变形.
例4
已知α 是正整数，且α 2 + 2004α 是一个正整数的平方，求α 的最
大值.
(北京市竞赛题)
幡题思路
设a 2 +2004a=m2 ，其中m 是正整数，通过引人参数、配方，
将问题转化为解不定方程.
例5
数字x(x芋0) 和y 使得对任意的η 二三1，数z … x 6y … y 4都是某整
n个
n个
数的平方数，求这样的工和y .
睡题思路
从简单情形入手，如王百4= A 2 ，那么A 是大于40 的两位数，
并且它的末位数字是2 或8 ，用实例验证，再论证一般情形.
91嗦
第，
，讲
完全平方数
非完全平方数的
判断
:
(1)在两个相邻
的平方数之间的所有
整数都不是平方数;
(2 ) 末位数是2 ，
3 ，7 ，8 的整数不是平
方数;
(3)
形如
4η + 2
和4η+3 的整数不是
平方数;
(4) 形如8n 十2 ，
8η + 3 ，8n +5 ，8n +6 ， 
8月+ 7 的整数不是平
方数.
对一个完全平方
数进行质因数分解，
则其质因数的指数为
偶是生.
与整式相关的完
全平方数的问题，常
用到代数式的恒等变
形、配方法、解不定方
程等知识及方法.
Q\I::\I::\ 
食
食女
食
食
i:r
食
*
1--f 
例6
若一个整数能够表示成x 2 +2xy 十2/ (x ，y 是整数)的形式，则称
该数为"好数"
(1)判断29 是否为好数;
(2) 写出
80 ，8 1，…，100 中的好数;
(3) 如果m ，η 都是好数，证明: mn 也是好数.
("宗沪杯"竞赛题)
瞄题思路
工2 +2xy 十2/=(X+y) 2+ /
' 即一个好数可表示成两个完
全平方数的和，这是好数的特征，亦是解本例的关键.
例7
某正整数的平方，其末三位是非0 的相同数字，求具有该性质的
最小正整数.
(日本数学奥林匹克试题)
幅设所求数为ρ ，ρ > 0 ，旷即具有末三位数，则旷至少有三位数，ρ
至少有两位数.
设ρ =10a 土b(a ，b 为正整数，1 ~ b三三日，则
p2 = 100a 2 士20ab + b 2 = 100a2 + 10 (士2ab) 十b 2 .
验证知当b=1
，3 ，4 ，5 时，ρ 2 的十位和个位数字奇偶性相反;当b=2
时，ρ 2 的末两位数字奇偶性相同.所以所求数必须形如
10a
:::l:: 2 ，而ρ= 12 
时，旷=144 ，末两位数字为4.
又注意(50n :::l:: x) 2 = 2500n2 :::1:: 100nx + x 2 = 100 (25旷士nx) +X2, 
所以
(50n 土12) 2 = 100(25旷士12n) 十14 4 .
容易验证上式中，当η=1 ，并取"
"号时，有38 2 = 1444 便是符合要求
的最小正整数.
翻攫黯推
为学之道在于:不唯书、不帷师、不迷信、不盲从.独立思考，勇于批判，
敢于质疑，这是学习必备的精神.下面问题的解法对吗?为什么?
让思维回归理性:怎样提出合适的问题、有新意的推断、有根据的反驳?
例8
求自然数n ，使24+ 2 8+ 2" 为完全平方数.
幡设2 4 + 28 + 2" = (22 + 24 ) 2 ，得n = 7; 或设2 4 十2 8 + 2" = (22 + 2+ )2, 
得n=10.
综上，当n=7 或10 时，2 4 十2 8 十2 " 为完全平方数.
合主
学科精英大视野系列丛书
在且每k
几个有趣的结
论:
(1) 44…488…89 
( n + ]) 个
n个
=(6…67)2 ; 
n个
(2) 11"'1 55…56 
( n十])个
η个
=(33…34)2. 
n个
这表明:只出现
1 个奇数或只出现
1
个偶数的完全平方数
明袁宏远曾说:
"世人所难得者瞠趣.
趣如山上之色、水中
之味、花中之光、女中
之态，虽善说者不能
下一语，唯会心者知
理工龄大攀盒.".禽
'饭，再筝'
/G IN $C1 f!\ζE 
女食
食
食，曲
，传
( I 飞a: m ) 
飞去'
食
食
{写〉刻意练习
1. 己知22680x(x 是正整数)是完全平方数，则z 的最小值是
(江苏省竞赛题)
2. 若x - 45 和工+44 都为完全平方数，则正整数工的值为
(天津市竞赛题)
3. (1)若A ，n 都是自然数，且A=n 2 +15n + 26 是一个完全平方数，则
n= 
(2) 使η 2 +5n+30 为完全平方数的自然数η=
("希望杯"邀请赛试题)
4. 将2 ，3 ，4 ，5 ，… ，n(n 为大于4 的整数)分成两组，使得每组中任意两数之
和都不是完全平方数，那么整数n 可以取得的最大值是
(江苏省竞赛题)
5. 设平方数y2 是11 个相继整数的平方和，则
\ y
\ 的最小值是一一一一一·
(全国初中数学联赛题)
6. (1)使得5 X 2 m 十1 是完全平方数的整数m 的个数为
(全国初中数学联赛题)
(2) 能使2" + 256 是完全平方数的正整数n 的值为一一一一一
(全国初中数学联赛题)
7. 能被252 整除的最小完全平方数是(
) . 
A . 36 
B. 1764 
C. 7056 
D. 6350 
("五羊杯"竞赛题)
8. 使得四位数aabb是一个完全平方数，则aabb= ( 
). 
A.7744 
B. 6655 
9. 已知数x = l也二01也二050 ，则(
) . 
n个，，+ 1 个
A . 工是完全平方数
C . 
( x - 25) 是完全平方数
C. 8833 
D. 4477 
(安徽省合肥市竞赛题)
B. ( x-50 ) 是完全平方数
D . (x+5 0) 是完全平方数
("希望杯"邀请赛试题)
10 . 若z 是正整数，设y = x4 + 2X 3 十2X2 + 2x + 1 ，则(
) . 
A . y 一定是完全平方数
B . 存在有限个工，使y 是完全平方数
C . y 一定不是完全平方数
D. 存在无限多个工，使y 是完全平方数
(中国部分省市通讯赛试题)
11. 当η 取遍所有的大于1 的自然数时，下列四个式子中的(
)所取的代
数值总不出现完全平方数.
A. 5 n2 -5 η - 5 
B. 11n2 - 11n- ll 
9 3嗦
第
11
'Ìi井
完全平方毅
el:\Cti\r#i\ 
食
可*
-t乏
食* 
-{:y 
，际
，传
才这
c. 3η2- 3n+3 
D. 9n2 -9n 十9
(湖北省荆州市竞赛题)
12. 设
1 ~二η 三三100 ，且8n + 1 为完全平方数，则符合条件的整数η 的个数
为(
). 
A. 12 
B. 13 
C. 14 
D. 15 
(全国初中数学联赛题)
13. 设A ，B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所
得，如果A 2 -B 2 是完全平方数，求A 的值.
(全国初中数学联赛题)
14. 试说明:若完全平方数的十位数字是奇数，则其个位数字一定等于6 .
15. 若z 和y 都是自然数，试证:工2 +y 十1 和j 十4x+3 的值不能同时都是
完全平方数.
(北京市竞赛题)
16.
已知a ，b 为两个不同的正整数，问
: α(α 十2)
，ab ，以b + 2)
，b(a +2)
，(a 十
2) (b+2) ，b(b + 2) 这六个数中至多有多少个完全平方数?
(俄罗斯数学竞赛题)
17. 求所有的两位数a ，b ，使100a 十b ，201a + b 均为四位数，且均是完全平方
数.
(西班牙数学奥林匹克试题)
18. 设α ，b 为正整数，α 2 -b 2 不为4 的倍数.证明: (α 十3b)( 5α 十7b) 不为完
全平方数.
(上海市竞赛题)
19. 求所有的素数对(户，q)
，使得扩+ 5何十4l 为完全平方数.
20.
己知整数a ，b 满足:a - b 是素数，且"是完全平方数.当α 二三2012 时，求
a 的最小值.
(全国初中数学联赛题)
侈例仙
IJ川1
2幻7
N萨
=2矿
3 2
• m旷2飞
~2α239川1)川m2 ζ呜
鸣2乌与
<5 . 解附才得寻m2坷=斗l 或归4 
二J 一
学科精英大视野系列丛书
• 
、黯
.
当m
2 =1 时，由工+4y= 23 得y=1.2 ，3 ，4 ，5 ，x=19 ，15 ，11 ，7 ，3; 当m 2 = 4 时，由x+4y=92 得y= 1，2 ，
3
，4.5 ，…
，22 ，x=88 ，84 ，80 ，…，4 . 故满足条件的( x ，y) 共有
5 + 22=27 对.
例2
D 原式= (η
2) (n 一l) n( η + l) (n 十2) + 7 ，
因10 I (n 川- l) n(n+ υ (n+ 2) ，故无论n 取何自然数，d 一旷十4n+ 7 的个位数是7 ，不是完全平方数
例3
(1 )11 … 11 =
11 … 1 x 1 00+ 11(η注2) , 
n +l 个1
n 一1 个1
这个数除以4 余数是3 ，不是0 或1，所以，这列数中每一个数都不是完全平方数.
上94
J 
8~r 
( 川军组)
数
方
平
全
由
)
冗
讲
食
第
-R 
-
R
A
宵
食
'
1
二
γ
飞
L
E
飞
J
f
(2) ':
旷〈η(η + 1) + l < (n + 1) ' , 
" n(n + 1) + l 不能是某个整数的平方数.
(3) 设五个连续整数为n - 2 ，n 一1，η ，η十l，n + 2 ，则
(η
2) ' 十(n 一1) '十旷+ (n + 1)' + (n + 2)' =5(n' + 2) . 
若5(n ' + 2) 是完全平方数，则旷+ 2 必为5 的倍数，它的个位数必是0 或5 ，而旷的个位数是0 ，1，4 ，5 ，6 ，
9 ，从而旷+ 2 的个位数是2
，3
，7 ，8 ，1，没有一个是0 或
5 ，故结论成立.
例4
(α + 1002/ - m' = 1002' = 2' X 3' X 167' , 
': a 十1002 + m ，a + 1002 ←m 都是偶数，且。十1002 十m > α + 1002 - m ，
"要求正整数G 的最大值，须α 十1002 十m 与a + 10 0 2 - m 之和最大，
(a 十1002 + m = 2 X 3 ' X 167' , 
f!p ! 
解得m = 251000
，α = 250000.
| α + 1002 - m = 2 ， 
锣IJ 5 
68' = 4624 , 98' = 9604 ，一般情况:
44… 4622 … 24 
n 个
n 个
= 4 0 
10 时' (1 0 " 十… + 10 + 1) + 2
，
10 ，，+1 十2 (1 0" 十… + 10 十1) + 2
10什'- 1
，
~
. ~，，+ 1
，
~ 
10 ，，+1 二1
= 4 0 10"- ' 
0 一
9 一十2 ' 10 "宁可2
' 一一百一+ 2
4 X 1俨1) + 16 X 旷
(200 . .. 0 4 飞2
= 1 
n个
1 = 哇二68 '
\3/η 个
99…9600"'04 = (10" -
1) X 10..-2 + 6 X 10 ,, + 1 + 4 = (1 0 盯1 - 2) ' = 99…98' , 
才、
ηr-
11/1 
所以x= 4
，y = 2 或工= 9
，y = 0 .
锣IJ6
(1 )29 = 5 '+ 2 ' ，故29 是好数.
(2) 100 以内的完全平方数如下:0 ，1
，4 ，9
，16 ，25 ，36 ，49
，64 ，81
，100 ，所求范围内的好数可由它们的和求
出:80
，81
，82
，85
，89
，90
，97
，98
，100 .
(3) 设m = 旷十矿，η =c'+ 矿，α ，b ，c ，d 都是整数，如l
mn = (a ' 十b ' ) (c ' 十d ' ) = 旷c'+ α ' d' + b' [' + b' d' = ( ac 十bd) ' + (ad - bc) ' , 
可见mn 是两个完全平方数的和，故mn 为好数.
例8
~幸、式的值为完全平方数，不一定是(2 "+ 2 Y ) ' 的形式，解法是错误的.如当
n = 9 时，2 4 十2 8 + 2 ' = 
784 = 28' ，而
28 ' 不能写成(2'+ 2 Y ) ' 的形式.
错误的原因在于"完全平方式"与"完全平方数"是两个不同的概念.
• 
1. 70 
2. 1981
设工
45= 旷
①，x + 44= 旷
②，②一①，得(η - 111)(η 十m) = l X 89.
3. (1) 23 
A = 旷+ 15η + 26 = (η 十2)(η + 13) ，设η + 2 = 阳2
，η + 13 = 走b '
，k(b + α )(b-a) = l l. 
(2) 21 或
l
设A = 11'+ 5η + 30 ，则4A = 411' + 2011 十1 20= (211+ 5)' + 95 ，设(2η + 5) ' + 95= 扩(走为正整数) . 
4. 28 
设2 在A 组，则7 在B 组，从而推知9 在A 组，16 在B 组，20 在A 组，29 在B 组，但29 + 7 = 6 ' ，故
29 不能属于A 组，也不能属于B 组，故n< 28.
95 
毕
喝啤
4眨
食
食
食
可k
才这
4随女
才X
学科精英大视野系列丛书
5. 11 
11 个相继整数的平方和为(X-5) 2 +(X-4)2 十… +X2 + … + (X+ 4) 2 + (X+5) 2 = 11( 矿+10)=
yz ，当矿=1 时，j 最小.
6. (1) 1 
设5 X 2m + 1 = n2 (n 为正整数) ，则
5 X 2m = (n + 1) (n 一1)
，n 为奇数，又设n=2k- 1( 走为正整
Ik=5 X2 m- 2• 
(k= 5. 
数) ，则
5 x zm=4k( 是
1).即
5 X 2m- 2 = k (k - 1) .因
k > l，( 走，走一1)=1，故!
或{
或
lk-1=1 
')k-1=2m- 2 
:=2m 2, 解得k=5.m=4.
k-1=5 , 
(2) 11 
当η< 8 时.2 " 十256= 2" (1 十2 8 - " ) .n 必为偶数;当
n> 8 时，2" + 256 = 28 (2"-8 + 1). 2" -8 十1 为一
奇数的平方，设2 "- 8 十1=(2k + 1) 2
. 可得走=l，n = l 1.
7. B 
8. A 
aabb = 11 (1 00计的.111 (1 00计的.100a + b= 伽+ (计的.111α+ b
9. C 
(X 一25) 2 = (10"+2 +5)2 . 
10. C y= (X 2 十1) (X + 1) 2 .
11. D 
9n2 -9 n+9=9( 旷-n + 1) .(n - 1) 2<旷
η + 1 < n 2
• 旷- n + 1 不可能为正整数的平方.
m(m+ 1) • ___.. m(m+ 1) 
12. B 设8n + 1=(2m十1) 2 ，其中m 为非负整数，则n= 一
2一一.1 ζ 一一言一一ζ 100. 得l < mζ 13. 故
满足条件的整数n 有13 个.
13.
设A= 10a+b ，a.b 为正整数且.1 ζ αζ9
，1 王三bζ 9
，a手b. 则
B=10b 十a ，A
2 - B2 = (1 0a+b) 2 一(1 0b +
a) 2 =99(a2 -b2) =3 2 X 11 X (a - b) X (α +b). 
因为A 2 - B 2 是完全平方数，所以α> b ，且11
1 [(a-b) X (a + b)]. 
又
1 :::二α -b :::二8.1 < a + b< 18. 所以a + b = l 1.
于是N - B2 = 32 X 11 2 X (α 一的，故a-b 也是完全平方数，所以a-b=l 或
4 .
如果a - b = 1，结合α + b = l1 可求得α =6.b =5 .
如果α -b=4 ，结合α + b= l1 可知没有正整数解.
因此.a=6.b=5 ，A=65.
14. 设完全平方数为A = (1 0m+ n) 2
. 其中m 是自然数，η 为0. 1. 2 ，…，9 中的某个数，则A= (1 0m十η) 2 =
100m2 +20mn十矿，显然A 的十位数字等于旷的十位数字加上一个偶数.要使A 的十位数字是奇数，旷的十位
数字必须是奇数.因此.n 不能是奇数，且n平均，2 或8 ，所以n 只能是4 或6. 从而知旷的个位数字都是6. 故十位
数字是奇数的完全平方数的个位数必是6.
15.
当z二三y 时'X
2 <x
2 +y+1:::二/十x+1<(x+ 1)
2
，故
X2 + y + 1 不可能是完全平方数;当工< y 时，
/</ + 4x+ 3</ + 4y+ 4= (y + 2) 2
. 若y2 十4x+ 3 手(y+ 1) 2
，则它不是完全平方数，若/ +4x+3 = 
(y十1) 2
，y=2x + 1. 这时/ +4x+ 3= (2x + 2) 2 为完全平方数，但矿+y+1 = x2+ 2x + 2 不是完全平方数.
综上，对任意的自然数x ，y .x
2 +y+ 1 和/+4x+3 的值不能同时都是完全平方数.
16.
至多有两个完全平方数(如a =2.b=14) .
ab. α (b+2) 中至多有一个为完全平方数(为什么?可整体思考); (a + 2)b , ( α +2)(b+2) 中至多有一个为
完全平方数，而a(a+2)
，b(b +2) 不可能为完全平方数.
17.
设100a + b=m
2 .201a + b= 旷，则
101a= (n + m) (n-m) ,m ,n< 100. 
'. n-m< 1 00 ，n+m<200 ，1011(m+ 训，从而m+ η= 101. 
代入a=n-m=2 η-101. 得
20 1C 2n - 10 1) + b=n
2
•
即
n
2 -402n 十20301=b ε(9
，100). 经验证n =59 .m= 101-n=42. 
.a= η -m=17 ,b=64 , flF(a ，的=(1 7.64) .
18.
因为a 2 -b2 不为
4 的倍数，则
a ，b 一奇一偶.
蛇J
女食
女食
食
( 川军细)
从而
，ab 为偶数，α + b 为奇数.
由于奇数的平方除以
8 余1，故
(a 十3b) (5a+7b) =5矿+22ab十2 1b 2 =5( α +b) 2 + 12ab+ 16b2 =5(mod 肘，
所以(a +3 b) (5 α +7b) 不为完全平方数.
19.
设a= ρ2 +5 pq+4q2 = (ρ 十2q)2 + ρ q( α 为自然数) , 
则(α -p-2q)( α 十ρ +2q) = pq ，而户，q 为质数，
得
(α - p -2 q ，a + ρ +2 q) = (1，ρ q) 或(ρ ，q) 或(q ，ρ) . 
若为后两者之一，则q=a + ρ +2q> q 或ρ =a 十p +2q> ρ ，矛盾.
:.pq -2 ρ
4 q - 1 =0 ，即(ρ -4)(q 一2) =9 , 
:. (ρ
4
，q-2)=( 1，9) , (3 , 3) , (9 ,1), 
解得(ρ ，q) =(5 ，1l)，(7
，日，(1 3 ，3).
20 .
设α -b = mCm 是素数) .ab= n2 Cn 是正整数) • 
因为(α 十b) 2 -4ab= (a-b) 2, 
所以(2α -m)2-4旷= mz
，
ì!r (2α-m十2 η)(2a-m -2 n)=m 2
.
'随
，传
* 
第
11
Ìi井
因为2α - m 十2n 与2a-m一切都是正整数，且2α-m 十2n>2α - m-2n(m 为素数) • 
所以2α -m +2 n=m2
，2α-m 一2η=1
，
(m 十1) 2
m 2 - 1 
解得α = 一
4 一，n =
-4一.
(m - 1) 2 
于是b= α -m= 一
4 一一.
Cm+ 1) 2 
又因为a 二三20 12 ，即一
4 一二三20 12 ，
又因为m 是素数，解得m注的，
(89 十1) 2
此时，α二三一-z一一=2025.
当α =2025 时
，m =89 ,b= 1936
，η =1980. 
因此，α 的最小值为
2025 .
此外，α =2017 ，b=0 也符合条件，此时α 的最小值为
2017.
飞户略
完全平方数
飞岛豆u
函数图象直观形象地描绘了事物间的数量关系、运
动规律.
数学的和谐不仅在于它能解释自然，仿效自然，还在
于它能描述自然.
左上图是笛卡儿得到的富有诗意和数学美感的" 莱
莉花瓣"一一一笛卡儿曲线，它是函数x3 + y' =3axy 的图
象;左下图是心脏线，是函数Cx' +y' + ax)' =a' Cx' + y') 
的图象，是荷兰数学家考尔斯玛发现的.
~( 
....... 远也~ ~_._-_.._ -" ---_ . "- _ ._---_._-_.._ _ .._--_ . _-- _ . _-_..__ .. _ - - - -- - ..--_ ....
胃口讲
--ì1\:画鼓
E 
...__.... 
~> 栩攘攘述
函数，是人类的一种重要思维方式.
函数，是一种数学概念，是一个数学模型，是再现客观事物变化过程的
数学工具，是一种对应关系.
形如y = kx+ bC k手0) 的函数叫作一次函数，它的图象是一条直线，与坐标
轴的交点分别是( - : '巾，b) . k ，b 的符号决定图象的大致位置及单调性
一次函数与一次方程、不等式有深刻的内在联系，一次方程和不等式分
别着眼于数量之间的相等或不等关系，而一次函数则从研究数量的变化规
律入手将两者统一起来，并实现在一定条件下的相互转化.
解含参数的动直线问题，善于发现定点、定直线，是探寻最值的关键.
' 二间"题筒、决
例1
(1)已知某一次函数当自变量取值范围是2 ~ x~ 6 时，函数值的
取值范围是5~y~ 9 ，那么，此一次函数解析式为
(广西壮族自治区竞赛题)
(2) 设直线nx+ (n + 1) y = J2 ( η 为自然数) 与两坐标轴围成的三角形
面积为5，，(η := 1，2 ，…，2000) ，则51 十52 十… + 52000 的值为
(河北省竞赛题)
记J
非- c主;在
习'回事
~ 飞-区
在现代实验科学
中，能否接受数学方
法或与数学相近的物
理学方法，已愈来愈
成为该学科成功与否
的主要标准.
一一冯
· 诺依曼
定性思考
求证:无论走取
何值，关于工的一次
函数( 2走一
1 ) x + 
(走+ 3)y一C k - ll)=
0 的图象必须经过
定点.
("希望杯"邀请
赛试题)
~~、
.Cti\
( I 飞革!ll )
数
函
h
从
讲
第
-R 
-R 
-
R
食
食
食
晤题思路
对于(1) ，因y 随x 的变化情况不确定，故应分类讨论;对于
(2) ，求出直线与工轴、y 轴的交点坐标，从一般形式入手，把5 " 用含n 的代
数式表示.
例2
(1)设b> α ，将一次函数y = bx+ α 与y= αx + b 的图象画在平面
直角坐标系内，则有一组a ，b 的取值，使得下面四个图中的一个为正确的
是(
) . 
y 
y 
y 
y 
z 
z 
z 
工
A 
B 
D 
C 
(全国初中数学联赛题)
5 
，
95
一
(2) 一个一次函数的图象与直线γ =---:-x 十
平行，与工轴、y 轴的交点
J 
4 --
4 
,. ' . -- ,_. J 
分别为A
，B ，并且过点(-1，-2日，则在线段AB 上(包括端点A ，B)
，横、纵
坐标都是整数的点有(
) . 
A. 4 个
B. 
5 个
C. 
6 个
D. 
7 个
(全国初中数学联赛题)
幡题思路
对于(1) ，由形到数判定a ，b 的符号;对于(2) ，求出过A ，B
两点直线的解析式，将问题转化为求不定方程的整数解.
例3
如图，直线y =-fz 十1 与工轴、y 轴分
别交于点A
，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作
等腰Rt6ABC ，ζ BAC= 90 0 ，如果在第二象限内有
一点个~ )，且6ABP 的面积与6A叫面积相
等，求a 的值.
y 
P 
( 天津市竞赛题)
晤题思路
由56 ABP 二56ABC 建立含α 的方程，解题的关键是把56 ，咄p 表
示为有边落在坐标轴上的三角形面积的和差.
99 鸣在
由图象获取信
息，解决相关问题，培
养数形结合能力，发
展形象恩维，是函数
学习的重要方面，具
体包括:
(1)看图找点;
(2) 见形想式;
(3) 建模求解.
上升线表示因变
量随自变量取值的增
加而增加;下降线表
示因变量随自变量取
值的增加而减少;水
平线表示因变量随自
变量取值的增加而未
发生改变.
C 
碍鞋、，~~
食
食女
食
食女
食
食女
走x+2 k - 4
例4
已知直线y=
走一l(k 手1) . 
(1)说明无论走取不等于1 的任何实数，此直线都经过某一定点，并求
出此定点的坐标;
(2) 若点B(5 ，0)
，点P 在y 轴上，点A 为(1)中确定的定点，要使
LPAB 为等腰三角形，求直线PA 的解析式.
(浙江省湖州市竞赛题)
幡题思路
对于(1) ，对h 赋值或整理成关于是的方程;对于(2) ，设
P(O ，m)
，由勾股定理建立关于m 的方程，但需讨论.
例5
求在直角坐标平面中不等式Ixl 十
I y lζ 3 围成的面积.
(香港特别行政区中学数学竞赛题)
纣桥写耀
在理解平面内y 二三kx+ b 或y 运kx 十b 意义的基础上，去掉
绝对值符号，把不等式问题转化为一次函数问题加以解决.
由绝对值的意义，不等式Ix l+lylζ3 所围多
边形，即4 条直线工+y=3 ，x-y =3 ，-x+y=3 , 
x-y=3 所围的多边形(图中阴影部分) ，其面积
3X3 
为
4 X ~'2'~= 
例6
在直角坐标系xOy 中，一次函数y = kx + b(走手0) 的图象与工轴、y
轴的正半轴分别交于点A ，B ，且使得LAOB 的面积值等于
I OA
I + IOB I +3. 
(1)用b 表示k;
(2) 求LOAB 面积的最小值.
(浙江省竞赛题)
暨(川( - : '巾川，56ω= 卡(-: ), 
冲(升寸+旧，如=括严b>2)
(2)
由(1)知
1ιb( - :引)=节2=川
= (bωb-2υ) 2 l=
白兰骂:
υ 
=斗b-2叶+占##+刊7严叫=(忡启店且且J卜
21+…
7忏川+刊2 ♂币战叫百
b
切》汩7川+叮
2川币，
l 。
当且仅当b-2=
时有
5 MAR = 7 + 2 .JT百，即当b=2 十刁石，
b-2"" 
,
' '1 
U 60AB 
k=-l 时，不等式中的等号成立，故L OAB 面积的最小值为
7 +2 刁百.
itOν 
学科精英大视野系列丛书
与静巳丘箩
酒'回事
'阴晴区
解一次函数与直
线形的综合问题时，
常用到勾股定理、全
等三角形、相似三角
形等知识，善于促成
线段与坐标的转换是
解这类问题的关键.
如图
y 三三kx+ b
表示直线y = kx + b 
以及它下方的部分;
同理
，y 二三kx+b 表示
直线y =kx+b 以及
它上方的部分.
一
­
G-z 
+ 
z 
(rxrJf) 2 平
2,Ja. 
例
6 通过自己方，
求得相应代数式的
最佳.
t::\~nA 
( J\ .a: !Jjf ) 
转换视角
女赏，传
女女食
亏了食食
视角不同，方法殊异. 转换视角，多视角看问题，能提高我们解决问题的
灵活性、深刻性.
居高临下，用函数的视角、方法分析问题，由问题的条件构造函数关系
式，使原问题在函数关系中实现转化.
例7
(1)对于给定实数a
，记M(a) 是三数a ，6-a ，2α+4 中最小的数，
则在数M( - 2018) ,M( - 2017) ,M( - 2016) , … ,M( -1) ,M(O) ,M(1), … , 
M (20 1 6)
，M(2017)
，M(20 1 8) 中最大的数是
(2) 方程组尸+ 3y=3 ，
共有(
111 x 
1 一
I y ll =1 
)组解.
A. 1 
B. 2 
C. 3 
D. 4 
E. 5 
(美国数学竞赛题)
纣桥驾晤
构造一次函数，借助图象解决问题，形象而直观.
(1) 如图①，在同一坐标系中画出三个一次函数y= 工，y=6-x ，y=
2x+4 的图象，发现M(3) 最小，最小值为3 .
(2) 如图②，作函数x+3y=3 ，11 工|一
I y ll =1 的图象，而函数有三个交
点(-3 ，2) ，(0 ，1) ，(立~ ì 
, \ 2 ' 2 ) 
y 
y 
z 
工
y~6-x 
图②
~"'9 刻意练习
1. (1)不论走为何值，解析式(2k-1 )x - (k 十3)y- (走一11)=0 表示的函数
图象经过一定点，则这个定点是一一一一一·
(2) 在平面直角坐标中
，坐标原点。到一次函数y=kx - 2k+ 1 的图象的
距离的最大值为
2. 在平面直角坐标系内有两点P( 一1，1)
，Q (2 ，2) ，一次函数y=kx 一l 的
图象与线段PQ 的延长线相交(交点不包括Q )
，则实数走的取值范围
是
("新知杯"竞赛题)
3. 在直角坐标系中
，x 轴上的动点M(x ，O) 到定点P(5 ，5)
，Q(2 ，1) 的距离分
别为MP 和MQ ，那么，当MP +MQ 取最小值时，点M 的坐标为一一一·
(全国初中数学联赛题)
4. (1)直线y=3x 十k+2 与直线y= 一工+川的交点在第二象限，且走是正
整数，则走的值是一一一一'交点的坐标是一一一一·
("希望杯"邀请赛试题)
令10 拮
气、......
‘... 
第
12 讲
一次函数
函数不是一种
数，而是描述变化规
律的一种数学模型.
函数的功能就是人类
的思维，"函数般的表
达思想"的本质是:发
现事物之间的关系.
~t=\~、
食
食
1告
食
食言与
食
食女
(2) 设直线I I
: y=kx+ 走一l 和直线
l 2 :y= (走十l) x + kC k 为正整数)及z
轴围成的三角形面积为乱，则5 1 十52 + … + 52006 =一一一一一-
(浙江省竞赛题)
5. 若四条直线工= l ，y= 一1 ，y=3 ，y=kx 一3 所围成的凸四边形的面积等
于1 2 ，则走的值为
( 夭津市竞赛题)
6 . 已知在平面直角坐标系中有如下36 条直线:
y= 1 8x十1 7 ，y= 1 7x 十16 ，…
，y=2x + 1 ，y= 工，
y=-x ,y=-2x+1 , … ,y= -17x+16 ,y= - 18x+ 17 , 
那么由这些直线相交所构成的交点有
个.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
7 已知点A( - 4 ，0) ，B(2 ，0 ) 若点C 在一次函数y = ÷什2 的图象上，且
6ABC 是直角三角形，则点C 的个数是(
) . 
A . 1 
B. 2 
C. 3 
D . 4 
("希望杯"邀请赛试题)
α + b 
b十c
c+ α 
8 .
已知abc手0 ，且-7 = 丁厂=-r = ρ ，则直线y= μ+ρ 一定通过(
A . 第一、二象限
B.
第二、三象限
C . 第三、四象限
D . 第一、四象限
(全国初中数学联赛题)
9.
已知点A ，B 分别在一次函数y= x ，y= 8x 的图象上，其横坐标分别为α ，
b(a> O ，b> O) . 若直线AB 为一次函数y = kx + m 的图象，则当主是整数
α 
时，满足条件的整数走的值共有(
)个.
A. 1 
B. 2 
C . 3 
D . 4 
( 江苏省竞赛题)
10 . 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(9 ，6)
，
Y 
AB l_y 轴，垂足为B ，点P 从原点。出发向工轴正方
B 
向运动，同时，点Q 从点A 出发向点B 运动，当点Q
Q 
A 
到达点B 时，点P ，Q 同时停止运动，若点P 与Q 的速
度之比为1 : 2 ，则下列说法正确的是() .
ul P 
A. 线段PQ 始终经过点(2 ，3)
(第10 题)
B . 线段PQ 始终经过点(3 ，2)
C . 线段PQ 始终经过点(2 ，2)
D. 线段PQ 不可能始终经过某一定点
z 
( 江苏省泰州市中考题)
1 1. 若一次函数y =x十5 的图象经过点P(α ，的和Q(c ，d) ，则ad十bc - ac→
bd 的值是(
). 
A . 9 
B. 16 
C. 25 
D. -25 
("希望杯"邀请赛试题)
12
一条经过坐标原点的直线，与直线ι卢+fz 围成一个等边三角
形，则这个等边三角形的周长为(
) . 
￡二;
学科精英大视野系列丛书
Ct.\~&r..\ 
( 川军细)
为食
食
女食
食
食
食
A . 2J6 
B. 
2 + 2~ 
C. 6 
D. 3 十2~
E 计
(美国数学竞赛题)
1口
3. 如图，在平面直角坐标系中，以A(2 ，0) ，B( 0 ，t) 为顶点作等腰直角
DABC ，其中ζABC=90 0 ，点C 在AB 上方，求OC 的最小值.
y 
B 
y 
C 
工
(第
13 题)
(第
14 题)
14 . 如图，直线OB 是一次函数y =2工的图象，点A 的坐标为(0 ，2) ，在直线
OB 上找点C ，使得DACO 为等腰三角形，求点C 的坐标.
(江苏省竞赛题)
15. 探究活动一:
如图①，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB 上
5-3 
~. 
9-3 
的三点A (1, 3) ,B (2 , 5) ,C( 4 ,9) ，有归=一一=2 ，kAC=~=2 ，发现
2 - 1 - '" I<AC - 4-1 
走AB =k AC . 兴趣小组提出猜想: 若直线y=kx + b ( 走平均)上任意两点坐标
P(町
，yj) ，Q (岛'Y 2 ) (X j 手工2) ，则kPQ = 主二且是定值.通过多次验证和
工2 一- Xj
查阅资料得知，猜想成立，kPQ 是定值，并且是直线y = kx + b( 走手0 ) 中的
是，叫作这条直线的斜率.
请你应用以上规律直接写出过S(-2 ，-2)
，T (4 ，2) 两点的直线ST 的
斜率走盯=
探究活动二:
数学兴趣小组继续深入研究直线的"斜率"问题，得到正确结论: 任意两
条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值.
如图②，直线DE 与直线DF 垂直于点D ，D(2 ，2 )
，E (l，的
，F( 4 ，3 ) . 请
求出直线DE 与直线DF 的斜率之积.
综合应用:
如图③，①M 为以点M 为圆心，MN 的长为半径的圆，MCl ,2) ，N( 4 ，日，请
结合探究活动二的结论，求出过点N 的①M 的切线的解析式.
y 
C 
y 
y 
B 
F 
工
工
图②
图③
〔第
1 5 题)
( 山东省日照市中考题)
J。法
第
12
i井
-次函数
1 "::.\1"::.\Cii\ 
食
食
，传
，传
食
女
食
女
女
16 . 如图，已知一次函数y=kx+b 的图象过点P( l，的，
且分别与工轴、y 轴交于点A ，B ，当MOB 的面积
最小时，求是，b 的值.
(山东省竞赛题)
17. 已知函数y= Ix+1
1 一21x一11 十Ix+2
1 .
(1)在直角坐标系中作出函数图象;
(2 )已知关于工的方程kx+3=
1 x + 1
1 一
2Ix-1 1+ Ix+2 1 (k 手0) 有三个解，求h 的
取值范围.
y 
P(I , 4) 
。|正
z 
(第16 题)
("创新杯"竞赛题)
18. 是否存在两两不同的实数a ，b ，c ，使得平面直角坐标系中三条直线y=
ax十b ，y=bx+c ，y=cx十α 共点?
(北京大学自主招生试题)
19. 平面直角坐标系中，正方形ABCD 四个顶点的坐标分别为( - 1，一1)，
(1，一1) ，(1，1)
，(-1 ，1). 设正方形ABCD 在y=lx-a
l +a 的图象以
上部分的面积为5 ，试求S 关于α 的函数关系式，并写出S 的最大值.
("希望杯"邀请赛试题)
，lx l~ 2 ， 
20. (1)在平面直角坐标系中，求由不等式组! lyl ~ 2 ， 
确定的区域面
ll
l x
l 一Iy 门ζ 1
积.
( 上海市竞赛题)
(2) 在平面直角坐标系中，求由折线
I x - 11 + Ix+11 + Iy l =3 围成的
图形的面积.
(全国高中数学联赛题)
学科精英大视野系列丛书
辙，巳旦旦
罩~
苟~
----.飞
伽IJ 1 
(1) y =x+ 3 或y = - x+ll
设所求的一次函数解析式为y = kx + b ，
①若走> 0 时，当x= 2 时，y = 5 ，当x = 6 时，y = 9 ，求得y = x + 3;
②若k< O 时，当x=-2 时，y=9 ，当x=6 时，y=5 ，求得y=-x+ 1 1.
2000 
~ 
1 
1 
1 
~
，
~
， 
，~ 
1 
1 
1 
2000 
(2) 一一~
5= 一-一一一=一一一一~，5 ，+ 乌+ … +52000 =一一一+一一-::- +… 十
= 一一-
2001 
~ n 
n(n+ 1)
η
n+1 ''-'1 
' '-'2
' 
'
'-'2000 
1 X 2 ' 2X 3 ' 
' 2000X 2001 
2001' 
例2
(1 )B 
两直线的支点为(1，α + 的.
5 
95 _ 
.
, _ ~ 
~ ， 
_ ( _ 
95'\ 
5 
95 
5 
(2) B 
过A ，B 两点的直线为γ =
工
，又A C1 9 ，0 )
，B I0 ，一一
1
，Y = -7 X 一一= ":;- ( x - 1 9)
，
-' 
4-
4'
- ---
' - ~'~"-
~ ~
' 
4 )' -' 
4 -
4 
4 
0ζzζ 19. 只有当x=3 ，7 ，1 1，1 5 ，19 时，y 为整数，故在线段AB 上(包括端点A ，B) ，横、纵坐标都是整数的点
有5 个.
例3 点点，叫(0 ，1) ，OA = 厅，OB = 1 , AB = 2 , 5 6 ABP = ，5叫= 2 ，连PO ，56 AOP = 子，SABOP=- f
5 6 AOB = 手, 由56 BOP + 5 6 AOB 一56AO
川
Aωω
叫
AO朋
O臼卢
P
J
汀"3 13 
n .." ", 
.j
厅言
8 
例4
(1υ) 取k=- l，得一x+2y=6
①，取k=2ι，得2x 一y= O
(
, 
解由①、②组成的方程组，得{~二:，
( I飞革主~ )
32·
食
女食
，传
食
食
食
第
12 讲
一次函数
" _kx+2k-4 
而x =2 ，y =4 满足方往y 一
k -τ一( 走手1) ，故不论走取任何实数，此直线都经过一定点(2 ，4) . 
(2) 分三种情况讨论:
①设P 1 (0 ，m 1 ) ，满足P 1 B = P 1 A ，由勾股定理得5 2 + m 2 =川4- m)2
，解得m= 一÷扫，
J'!月
E即F陀川
P具叶
1
37 
5 
符合题意.直线P ，A 的解析式为
y=:;-;;x 一一
,--
"""-"'
J 
16-
8 ' 
②设P 2 (0 ，mz )
，满足P z B=AB ，易求得AB =5
，所以点P z (O ，O)
，直线PzA 的解析式为y=2x.
③设P3 (0 ，m3 )
，满足P 1 A=AB ，由勾股定理得i 十(4-m)z =5 z
，解得m=4 ::f::: Æ , J'!r P3 (0 , 4 + Æ) , 
P, (0 ,4- Æ). .1L~ P3 A 的解以为y= 一手工+4+ Æ ，.1L~ P，A 的解析式为y=字叫-Æ
37 
5 ... : 
_ ".... 
Æ " 
I 
"".... 
Æ 
综上所述，直线PA 的解析式为Y=16 X-g 或y=2x 或y= 一-fz+4+dT或y=-rz+4-AT. 
• 
…..……..;:, • 
1. ( 1)(2 ,3) 
y 
(2)15
如图，直线y=kx - 2k+1 过定点A(2 ，1)，过点。作OB _l 直线AB ，则OBζ
OA ,OA=15. 
2
÷ 〈走〈?
过或P ，Q 的直线为y = ←+士，两直线相交，即方程纽
(fkz1U) 题]
1 
，
4 有x> 2 的解.
y= 丁fz+ 丁[
3 信，0)
Q (2 ，1) 关于Z 轴对称是为Q '(2 ，
叫线PQ' 与工轴交点时M 点
4. (1) 1, ( - ! ' ! ) 
(2) 括两直线的交点是(-1，叫线II ,lz ~ x 轴的支，占分别是(l二主OÎ ，( 一土。)
l
走'尸\
k+1 ,Vj 
则5k寸X 1- 1 1 X 1 于十二11 寸|士出，
( .. 
1
, 1 
1
, 
1 
1 ì 
1003 
故5 1 + 乓+ … + 5 Z006 =一
1
1 一一+一一一+ … 十一一一一一
1 = 一一
\ ~ 
2 ' 2 
3' 
' 2006 
2007) 
5. 
1 或一2
(1)当m>O 时，支点坐标分别为(立，一叶，(车，仆，由5= ~ r (主
1 Î + (立
1Îl x4= 12 ，得m= l.
\ m 
J 
\ m 
J 
L; 1 \押1
J
飞
m
J 1 
(2) 当m<O 时，交点坐标分别为( 立，一叶，(立，3 Î ，由于=~ r( l-_?_ Î + (l 主Î 1 X4= 1 2 ，得m=-2.
\m 
J \m 
J 
L; 1 \ 
mJ 
\
押1 J 1 
工
6. 326 
这36 条直线可分为两类，一类是过( -1，一1)点且与工轴正方向成锐角的
18 条直线，另一类是
与之关于y 轴对称的过(1，-1) 点且与工轴正方向成钝角的另
18 条直线，每一类直线与另一类的每条直线都
有一个支点
，且这些交点均不相同，共
1 8 X 18=324( 个) ，另外还有(1，一1) 与( -1，一1)这两点，所以总共有
326 个支点.
7. B 点A 在直线y=÷廿2 上
8. B 
p=2 或ρ= - l.
8b-a 
~， 
7 
b 
9. B A(a ,a) ，B(b ，8b)
，代入y=kx+m ，得走=一一一=8+ 一一一，_:::_=2 或8 .
J 
b 
a 
bla 
G 
吃草
食
-
R
-R 
，曾女
食女
为
学科精英大视野系列丛书
* 
2 
,
2t 
10. B 
设OP=t ，则PCt ，O) ，QC9 一2t ，的，直线PQ 的解析式为y=5=7+J=3·
11. D 
12. D 第三边直线方程为y=
查工，三条直线支*_;9 (1, 1 +凹，(1, - -0Î, (一占上ì.正三角形边
lÁP '
3 )'lÁ' 
3)'l 
2 '2) 
长为1+芋
13. 过点C 作CD j_y 轴于点D ，则，6 CDB且，6 BOA ，得CCt ，2+t)
，点C 在直线y=x + 2 上，当OC 垂直于
此直线时，OC 值最小，这个最小值为)2.
2 <.. 
8
. '" (8 16" 
14.
若AO=ACj =2 ，设Cj Cx ，2x) ，由工2 +C2x 一2)2 =2 2 ，得x= 一，，'.
cjl 一，一
1;
j l 5 ' 5 )' 
若OC2 = OC3 = OA = 2, i;支C2 Cx ,2x) , 
由x2 +C2x)2 = 4 ，如=竿，，'. C,( ~豆豆t
::> 
" \. 5 ' 5 ) 
又由点G 与点C2 关于原点对称，得C3 (
24E, 
生主1
\. 
5' 
5) 
若AC，=O川C，( ~ ,1) 
放满足题意的点C 有4 个，坐标分别为(立凹
( zJ5. 4J5 ì ,( _ 2J5 . _ 4J5 ì . (上，1ì. 
飞5 ' 5 ) , l 丁一，一了)'l --
5 ' --5 )'lT"") 
IS 探究活动一:÷
.,' S( 一2 ，一2)
，TC4 ,2). 
2 一(一2)
4 
2 
..直线ST 的斜率k "T= 一一-一一= 一-­
川
4 一( - 2)
63' 
探究活动二:
.,' D(2 ,2) ，E (1，的，FC 4 ，3) , 
h4-223 一2
1 
DE= 一一一--一=一2 ,knF = 一一一--
1 一2
-1
世
4 - 2
2' 
句·h=-2 ×÷= 一l
综合应用:
5- 2 
3 
.,' MC1,2) ，NC4 ，日，二kMN = 一-一= 一= 1
NUV 
4- 1 
3 
设点PCx ，y) 为①M 的过点N 的切线上异于N 的任意一点，则是阳
• kPN = -1 , 
..王= - 1 ，整理得y=-x+9
..过点N 的①M 的切线的解析式为y =-x+ 9.
16 户kx+(4-k) ，目0 ，4 - k) 'A(午，0 ) ，
S 6IDA = S6IDP +
S 6 RJA = 4一~(k+ 1k6)
(k< O) , 
Å 
_. _ 
_ 
,. 
_ 
16 
m.I 
'- ^ 
'- ^ 
, ~ ~ 
, , 1 / 
1 
令u= 一走，v= 一言，则u>0 ，v> 0 ，w=16 ，S6BOA =4+τ (u+v) =4十言[C ..fu-.fõ) 2 十2JWJ 二三4+JW=
8 ，当且仅当..fu=币，取走= -4 时，S6BOA 取最小值8 ，此时b=8 .
r -5 , 
x:::;;;- 2, 
/2x-1 ，
一2<x :::;;;'- 1 ，
17. (1) y = ~ 
此函数的图象如图所示.
/4x+ 1, 
- l < x运1 ，
[5 , 
x>l. 
(2) 设y=kx十3 ，则y=
/ x+ 1 1-2Ix-1
1 十
I x+ 21(k手0).
因此，所给方程有三个解，实际上就是这两个函数的图象有三个支点.如图，令点AC 1，5) ，点BCO ，3) ，则
B 
x 
(第14 题)
( J飞茸组〕
女
食
女节t
~. 
'y=kx+3 的图象是过定点B 的直线.当y=kx + 3 过点A 时，此直线之斜率
k = 2 ，显然，这两个函数的图象只有两个支点.故当0<k< 2 时，这两个函数的
图象有三个支点.
18. 假设存在两两不同的实数a ，b ，c ，使得平面直角坐标系中三条直线
y=ax+b ，y=bx+c ，y=cx+ α 共点，联立y=ω +b ，y=bx竹，解得z=C1 ，
a 一-0
联立y=bx+c ，y=cx十α ，解得x= 旦二五，J.E二生= 旦二~~(α -b)(c- a)=(c 一
b - c"'a-b b-c 
b) 2 = (c-a+ α -b)2~(c-a) 2 + (c-a) ( α -b)+( α -b)2 =0. 
山，
(3)2+击+1=0
(叫
·.· t 十x+ 1=0 元实根，
食
食
食
食
第
12 讲
一次函鼓
:. (头)式不成立，即不存在两两不同的实数a ，b ，c ，使得平面直角坐标系中三条直线y=ax+b ，y=bx 十
c ，y = cx+ α 共点.
19. (1)当a二三1 时，y = Ix- al + α 的图象与正方形无公共部分，如图①所示5 = 0 .
V 
巾c
听衍c
~I二þ'c
啤JB X 
A啤JBX
创引B X
图①
图②
图③
(第
1 9 题)
ω 当O~a< l 时，如图②所示S=÷(1 以2 (1一户口- a) 2
_ 
~ 
~ 
20 + α) (1 + α) 
~ 
,,
' 
,
? 
(3)
当一1 ζα< 0 时，如图③所示. 5 = 2 - - '-
, -~.-
, -
, =2 一0 + α) 2. 
(4)
当
a<- l 时，如图④所示.5 = 2 .
所以，5 的最大值为
2.
20. 
(1 )显然，区域既关于工轴对称，又关于y 轴对称.因此，可先假定z二三
O ，y注O .
，0~x~ 2 ， 
由) 0 王三y王三2 ，
画出区域在第一象限(包括坐标轴)的部分，再对称作
\ - l ~ x -yζ 1， 
出整个区域，如图①.
所求区域的面积是边长为4 的正方形面积减去八个腰长为
1 的等腰直角
三角形面积，即42 - 8 × ÷=12
(2) 当y二三0 时，
y = 3 一
I x一1
1 一Ix+ 1
1
,3+ 2x , 
x~ - l ， 
=}1 ，一l <x~ l，
1 3 一2x ，
x>1. 
其图象为图②中折线ABCD.
当y~ O 时，只需将上述折线沿z 轴翻折.
故折线
I x- 1
1 + Ix+ 11 + Iy l =3 团成的图形为六边形，其面积为25梯形翩。= 5 .
图④
A 
y 
~L 
图①
y 
。
图②
D 
1 1.5 
(第20 题)
x 
x 
号，
毕达哥拉斯的追随者们最先用比例把音乐和
'
数学结合起来，笛卡儿著有《音乐提要))，莱布尼茨
认为音乐是一种无意识的数学运算.
19 世纪法国数学家傅里叶对乐声的本质作了
深入研究，他证明了所有的乐声都能用数学描述，
它们是一些简单的正弦周期函数的和，每种声音都
有三种品质:音调、音量和音色.
h 岛~..d
qζ是一
• 
胃口嗣后比例画鼓
E 
.…' 
如能穗遮
形如y=?(样0) 的函数称为反比例函数，其基本性质有:
反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延
伸，但不与坐标轴相交.
走的正负性，决定双曲线大致位置及y 随z 的变化情况.
反比例函数图象关于原点。成中心对称，且关于直线y=x 和y=-x
均成轴对称.
~X向理醺)真
J3 
例
1
如图，点A ，C 在反比例函数y=V~(x<O) 的图象上，点B ，D 在z
工
轴上，L">OAB 、L"> BCD 均为正三角形，则点C 的坐标为
(湖北省黄冈市竞赛题)
帽题思路
先求出
A 点坐标，设
BE2 = a , 
Y 
把C 点坐标用含a 的式子表示.
z 
对自然的深入研
究，是数学发现最丰
富的源泉.
一一傅里叶
三等分角
"三等分角"是数
学史上一个著名问
题，但仅用尺规不能
‘三等分角"下面是
数学家帕普斯借助函
数给出的一种"三等
y 
o H 
B 
x 
如图，将给定的
锐角ζ AOB 直于直
角坐标系中，边
OB
函数y= 士的图象交
于点P
，以P 为圆心，
以20P 为半径，作弧
交图象于R 点，分别
过点P 和R 作z 轴、y
轴的平行线，两直线交
于M 点，连接OM ，则
ζMOB=÷ζA钮，
1A.\ff.t\~、
( I飞革主R )
为食
食
含
1告
食
女食食
第
13 讲
反比例函数
例2
如图，P 是函数y= ι(工>0 ) 图象上一
c.x 
点，直线y = -x+1 分别交z 轴、y 轴于点A ，B ，作
PMl_x轴于M 点，交AB 于点E ，作PN l_ y 轴于N
点，交AB 于F 点，则AF
. BE 的值为(
). 
A . 2 
B. f2 
c. 1 
1 
D 
2 
y 
x 
(北京市竞赛题)
些堕雯些
设点P 的坐标为(α ，的，由数到形，利用特殊三角形，用含h
b 的式子分别表示AF ，BE.
例3
如图，已知直线y=L 与双曲线y= 主
c. 
x 
(走>0) 交于A ，B 两点，且A 点的横坐标为4 .
(1)求h 的值;
(2) 若双曲线y = 主(走> 0) 上一点C 纵坐标为
工
8 ，求6AOC 的面积;
走
(3) 过原点。的另一条直线J 交双曲线y= 一(k > O) 于P ，Q 两点(P 点
工
在第一象限) ，若由点A ，B ，P ，Q 为顶点组成的四边形的面积为2 4 ，求P 点
的坐标.
黯盟军路
对于(2) ，有以下不同的解法:
y 
y 
y 
工
工
z 
图①图②图③
对于(3)
，需要思考的是:四边形APBQ 的形状，P 点与A 点有怎样的
位置关系.
例4
阅读预备知识，完成题目.
预备知识:
知识1 . 当a> O ，b> O 时，不等式α +b注2M成立，当且仅当α = b 时等
号成立，由此不等式可以看出，当两正数a ，b 的乘积为定值S 时，两数之和
有最小值2-1言，即α + b注2M=2.fS.
已先
y 
x 
如图，反比例函
数
| 圳的几何意义:
(1 )5"A口Ø=5"ACC=
SAAJ÷|kl ; 
(2)5短形OBAC=l k l .
当反比例函数与
一次函数或平面图形
结合时，常因条件的
隐含性、综合性而增
加问题的难度，从代
数的表达形式和图形
性质综合考虑是突破
难点的关键，而点的
坐标与线段长的转化
是数形结合的桥梁.
ilfí:\~1'fi:!t 
食
食
食
食
食
1告
食*
女
知识2: 一次函数的图象是一条直线，现将函数y=3x 十2 变形为
3x­
y 十2=0 ，利用点到直线的距离公式[注t 平面内点P(m ，n) 到直线Ax+
一
| Am+Bn 十C
l l
By+C=O 的距离为d=
I J. U/: ~ " .&..J,'" 1., '-'1 J 
-JN + B' 
如图，已知点P 是反比例函数y=?(h 〉O) 在第一
象限图象上一点，过点P 分别向x
，y 轴作垂线，垂足为
A ,B. 
(1)求矩形OAPB 的面积(结果用含走的表达式表示) ; 
(2)若矩形OAPB 的周长的最小值为4/2，求走的值;
ω 当归时，若一次函数y=
fz- 4 的图象与z
轴、y 轴分别交于M ，N 两点，求5"" PMN 的最小值.
(青岛二中理科实验班自主招生试题)
幡噩思路
设|工，主Ic其中x> O ，k> O) 为双曲线y= 主上一点，由基本
一一一一一一一-
\ 
x J 
x 
不等式可得Z十主的最小值.
z 
例5
一次函数y=ax 十b 的图象分别与工轴、y 轴交于点M ，N ，与反
比例函数y=? 的图象相交于点A ，B ，过点A 分别作AC _lx 轴，Aß'_l y 轴，
垂足分别为C ，E; 过点B 分别作BF _l x 轴
，BD _l y 轴，垂足分别为F ，D ，AC
与BD 交于点K
，连接CD.
h 
(1)若点A ，B 在反比例函数y= 一的图象的同一分支上，如图①，试证
工
明:①S四边形AEDK =5四边形CFBK
; ②AN=BM.
h 
(2) 若点A ，B 分别在反比例函数y= 一的图象的不同分支上，如图②，
工
则AN 与BM 还相等吗? 试证明你的结论.
y 
y 
工
工
图①
图②
理塑
(1)(.: 5矩形AEOC =5矩形BDOF
是，
..5矩形AEOC -5矩形DOC K =5矩形B∞'F -5矩形DOCK
' 即S矩形AEDK =5矩形CFBK'
AK 
BK 
②由①知S矩形AEDK =51fi*CFBK':. AK • DK=BK • CK ，即一=
短形CF邸
，..
.l .l....Ll. 
.LJ.Ll. -.L.J.L1. 
-
v .Ll., ~I'" CK - DK ' 
学科精英大视野系列丛书
运用反比例函数
Ik 
I 的几何意义及等
560PA = 560CD ' 
56肝= 5~~
( 2) 如图②，
S梯形OA PB =5榻形OBCA
'
56BPE = 56ACE ' 
( 3 ) 如图②，
连PC ，
AB ，
则
x 
图①
x 
图②
(
I飞军细)
女女
女食
号:
-R 
-R
-R 
.. ζ AKB = ζCKD = 90 0 ， 
:. 6 ABK(/)6CKD , 
.
ζ CDK=LAB K ， 
:. AB // CD. 
: AC// y 轴，.·. 四边形ACDN 是平行四边形，λ AN = CD .
同理BM=CD ，故AN = BM.
(2) AN 与BM 仍然相等，证法同①.
是
例6
如图，双曲线y= 一经过Rt60MN 斜边ON
工
y 
工
上的点A
，与直角边MN 相交于点B ，已知OA = 2A N ，
60AB 的面积为
5 ，求走的值.
。
(江苏省扬州市中考题)
纣桥
确定双曲线中待定系数"走"是反比例函数中最基本的问题，建立
"走"的方程或引人辅助未知数是解此类问题的两种常用方法.怎样运用条件
。IA = 2AN 是解本例的关键.
f 
走飞
睡洁1
如图①，设A
l m ，~
I ，过点A 作AC j_ x 轴于点C ，则OC=m ，
-一一一一一\
m I 
AC= 主，5 ^ 町=5 ^ 阳M
主-
m
一---
L 
.: 5 [', AOD + 5 ['，ωD = 5 ['，∞D+ 5梯形ω酬，
'. 5梯形ACMB = 5 [',OAB = 5 , 
': AC矿NM ，
:. 6 0ACω 60NM ， 
y 
z 
. OC 
OA 
2 
= 一一=一，得OM= ~OC. 
' OM ON 
3 
:i 
__ _ 
1 
/= _ ( 3 
2k '\ 
:.OM= 芒m ，CM= :m ，得B
I : m
一一|
2 " .，乙-q- .u \ 2 "" 3m ) 
1 (k , 2k ì " 1 
由÷创+ BM) • CM= 5 ，得一
I ~ +一
I X ~m =5 ，解得走= 12
2 ~ m 
' 3m} ' . 2 
瞄洁2
如图②，过点A 作AC j_ x 轴于点C .
y 
图①
.. OA 
5 M AB 
- AN 
SAANJ 
_ 
5 
• n .J [',ANB 
2' 
': 6AOC∞6 NOM ， 
x 
图②
拉=(提r ，
ι+24) 2 解得护12
叠加双曲线
k1 """ 
k 
如图，已知反比例函数y = 一和y = n.~ (k 1 > kz > 0) ，在
x 
x 
第一象限内的图象依次是曲线肉
，C2.
1 
43t 
食
第
1 3
i井
反比例函数
对称性、面积不
变性、设而不求、关键
点法、基本图形法是
解反比例函数问题的
常用方法.
音乐是净化灵魂
的工具.
数学能把人类的
思维活动升华到纯净
和谐的境界.
从开普勒和天体
的音乐到爱因斯坦和
他的小提琴，音乐和
数学似乎拥有很密切
的联系.
(( 心灵的标
符》一书试图告诉人
们什么是数学、什么
是音乐，揭示两者之
间深层的相似.
eJ:\trJ:\~ 
食
食
食
，传
，传女
食女
女
例7
证明: (1)如图①，若点P 在C] 上.PE j_ x 轴于点E. 交C2 于点
A.PD j_y 轴于点D. 交C2 于点B. 则S四边形PAOB = k] - k2. 
(2) 如图②，若过0 点作两直线分别交C j
，C 2 于A.B 两点和C.D 两点，
OC 
OD 
A ~ 1/ 
则一一=一一.AB 矿CD.
OA 
OB
川
(3) 如图③，若一条直线与C ] • C2 分别交于A.B 两点和C.D 两点，则
AC=BD. 
y 
y 
D 
x 
x 
。
x 
图①
图②
图③
学科精英大视野系列丛书
仿例
7. 请你类
比提出几个猜想.
类比中的变化，
类比中的联想，类比
中的发展，类比中的
迁移，联想纵横，可以
开阔视野.
正如宋朝诗人曾
公亮曰
"要看银山才白
天浪，开窗放入大江
鲤里堕
(1 )S…卢矩形OEPD - Sll.OBD - Sll.OAE = XpY p
卡BYB -
: 1 来"
1 . 
1 
XAVA = 是1 一一是，一一ι= 走1 一ι
/"\J ./'i 
. .. J 
2 ....L 
2 . ..~ 
... J 
. ....::; 
(2) 由相似关系，子=生，生=缸，又由反比例关系式，XCY C =XDYD'
XA 
YA x B YB 
=XBYB' 则旦二=旦旦，即[生y=(坐y 生zh ，得QLQE ，由平
X AY A 
X BY B • ~I' ~y A ) 
~y B) • Y A 
Y B • IV OA -OB 
行线分线段成比例定理.AB // CD .
(3) 连接OA.OB.OC.OD. 由于反比例函数C j
，C2 关于原点中心对称，则
OA = OB.OC = OD . 又由OC = OD. 得ζ OCA = ζODB. 则60CA 且ODB.
故AC = BD.
~~ 刻意练习
1. 直线y = ax(a > O) 与双曲线y = 立交于A( x ] .y]).B( X2 'Y2 ) 两点，则
工
4X]Y2 -3x2Yj = 一一一一一一-
(北京市竞赛题)
2. 直线y= (1 -k)x十走(走< 1)与双曲线y= 11在第一象限和第三象限分别
工
交于点A(xj.y]) 和点B(x2 'Y 2 )' 分别由A.B 向工轴引垂线，垂足为M.
N . 当k = 一一一一一时，四边形AMBN 的面积取得最小值
( 世界数学团体锦标赛试题)
3 . 如图. Rt6ABC 位于第一象限内.A 点的坐标为(1，1).
Y 
两条直角边AB 和AC 分别平行于z 轴和y 轴.AB = 4.
h 
AC= 3.若反比例函数y = 一(k芋0) 的图象与Rt6ABC
z 
有交点，则走的最大值是
，最小值是
("希望杯"邀请赛试题)
c
队
。
(第3 题)
￡ 
z 
，G.\~eí:.\ 
( 川军细)
女食
食
女食
，传
女食
*
第
'3 讲
反比例函数
走
. Y 
4. 如图，已知反比例函数y= 一(k > 0) 的图象经过
工
Rt60AB直角边AB 的中点，且与斜边OB 交于点D.
若S6CCD= J言，则k=
("希望杯"邀请赛试题)0
5
如图，0 是坐标原点，A 是反比例函数y=tu〉O) 的
A 
工
(第4 题)
4 
图象上的一点，B 是反比例函数y= 一一(x< O) 的图象上的一点，则
.
x 
6AOB 的面积的最小值为
( 世界数学团体锦标赛试题)
y 
iL 
~ 
x 
x 
(第5 题)
(第6 题)
6. 如图，已知点A ，C 在反比例函数y= 旦的图象上，点B ，D 在反比例函数
工
y=2的图象上，问> O ，AB // CD// x 轴，AB ，CD 在z 轴的两侧，AB=
?，CD=jAB 与CD 间的距离为6 ，则α - b 的值是一一
(山东省滨州市中考题)
7.
已知直线y=-x+4 与工轴、y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y=
主(走> 0) 的图象交于C ，D 两点. 若AB =J2CD ，则走的值为(
). 
工
A. 1 
B. J2 
c. 2 
8. 如图，已知A ，B 是双曲线y=i在第一象限上的两个
工
点. 若6AOB 是等边三角形，则等边6AOB 的面积
为(
). 
A. 213 
c.13 
B. 3 
D 子
9. 如图，已知等边三角形AOB 的边长为6 ，点C 在边OA
上，点D 在边AB 上，且OC = 3BD ，反比例函数y= ?
(走> 0) 的图象恰好经过点C 和点D ，则走的值
为(
) . 
已1始
D. 2J2 
(四川省竞赛题)
y 
z 
(第8 题)
(北京市竞赛题)
y 
B X 
(第9 题)
1'/íi::.\1"J:\~、
食
τtt-
1斗
食
食古
食
食食
学科精英大视野系列丛书
• 
人
81 v'3 
一
25 
B. 81 v'3 
- 16 
c81f 
一
D. 81 v'3 
-
4 
(湖北省荆门市中考题)
走
10. 如图，反比例函数y=_'::_Cx>O) 的图象过面积等于4 的长方形OABC 的
z 
h 
对角线OB 的中点M ，P 为y=_'::_Cx>O) 的图象上任意一点，则OP 的最
Z 
小值是(
A. 1 
B. J2 
D. 2 
(北京市竞赛题)
c. v'3 
y 
x 
(第10 题)
(第11 题)
(第12 题)
11. 如图，在平面直角坐标系中，函数y = 走z 与y =
立的图象交于A ，B 两
工
点，过点A 作y 轴的垂线，交函数y= 立的图象于点C ，连接BC ，则
工
~ABC 的面积为(
A . 2 
B. 4 
c. 6 
D. 8 
(江苏省徐州市中考题)
12
如图，直线y=÷z 与双曲线y=主份O ，x>O)交于点A ，将直线y=÷z
z 
向上平移4 个单位长度后，与y 轴交于点C，与双曲线y = 主Ck>O ，x>O)
工
交于点B. 若OA = 3BC ，则是的值为(
c. _2_ 
f) ~ 
4 
~ . 2 
(广西壮族自治区南宁市中考题)
A. 3 
B. 6 
13. (1) 探究新知:
如图①，已知~ABC 与~ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位
置关系，并说明理由.
y 
y 
。
飞
-
飞\
丁\
图①
图②
图③
(第
1 3 题)
t::.\Gti\Ct.\ 
女女
，际
女食
，何
( 川军细)
去了食
食
(2) 结论应用
:
h 
①如图②，点M ，N 在反比例函数y= 一(走> 0) 的图象上，过点M
工
作ME _ly 轴，过点N 作NF 上z 轴，垂足分别为E ，F. 试证明
:
MN//EF. 
②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置，如图③所示，请
判断MN 与EF 是否平行.
14 . 如图，平面直角坐标系xOy 中，点C(3 ，0) ，函数
y=f( 走>O ，x>O) 的图象经过口创BC 的顶点
A(m ，n) 和边BC 的中点D .
(1)求m 的值;
(2) 若60AD 的面积等于6 ，求h 的值;
走
(3) 若P 为函数y= 一(走> O ，x>O) 的图象上一个
工
X 
(第14 题)
动点，过点P 作直线l _lx 轴于点M ，直线l 与工轴上方的口OABC
-., 
."PN 
1 
的一边交于点N ，设点P 的横坐标为t ，当PM - τ时，求t 的值.
(江苏省南边市中考题)
15
如图所示，已知双曲线y=?( 走> O ，x> O) 的图
象上有两点P I (坷'Y I )'P2 (岛'Y 2 ) ，且工1<工2 • 
分别过P I
，P2 向工轴作垂线，垂足为B ，D ，过
P I
，P2 向y 轴作垂线，垂足分别为A ，C.
(1)若记四边形APIBO 和四边形CP 2 DO 的
面积分别为5 1
，52 '周长分别为C I
，C2 ，试
比较矶和52
，C I 和C2 的大小;
y 
。
x 
(第
1 5 题)
(2) 若P 是双曲线y = 主(k> O ，x> O) 上一点，分别过P 向工轴、y 轴作
工
垂线，垂足分别为M ，N. 试问当P 在何处时，四边形PMON 的周长
最小，最小值为多少?
(湖北省黄冈市特长生选拔赛试题)
16 . 已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和工轴、y 轴分别
交于点A 和B ，且OA=OB= l，这条曲线是函数y= 亡的图象在第一象
限内的一个分支，点P 是这条曲线上任意一点，
它的坐标是(α ，的，由点P 向工轴、y 轴所作垂线
PM ，PN(垂足分别为M ，N) ，分别与直线AB 相
交于点E 和点F .
(1)设交点E 和F 都在线段AB 上(如图) ，分别
求E ，F 的坐标(用a 的代数式表示E 的坐
k11ht 
~...._ y 
x 
( 第
1 6 题)
第
13 讲
反比例函数
.~~G.\ 
食
食女
食
食*
食
，传女
标，用b 的代数式表示F 的坐标，只需写出答案，不要求写出计算
过程h
(2) 求t0，OEF 的面积(结果用a ，b 的代数式表示) ; 
(3) MOF 与t0，BOE 是否一定相似?如果一定相似，请予以证明;如果不一
定相似或者一定不相似，请简要说明理由;
(4) 当点P 在曲线上移动时，t0，OEF 随之变动，指出在t0，OEF 的三个内
角中，大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论.
( 上海市竞赛题)
17. 已知双曲线31= i上的三点A ，B ，C 构成一个正三角形，求这三个点的
Z 
横坐标之和与纵坐标之和的乘积的所有可能的值.
(白俄罗斯数学竞赛题)
k~~_ _=~=_.~. 
y 
18. 如图，反比例函数y=
位于第一象限的图象上有A
，
Z 
B 两点，从点A 作AD l_y 轴于点D. 从点B 作BC l_x
轴于点C 若t0，OAB 的面积为i AOCD 的面积为
?，求走
(第
1 8 题)
(世界数学团体锦标赛试题)
19. 有这样一个问题:探究同→平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比
例函数y= iz 与y = 主(样0) 的图象性质
R 
X 
小明根据学习函数的经验，对函数y=iz 与y= 主，当走>0 时的图象
k ~ 
~ J 
X 
性质进行了探究.下面是小明的探究过程:
(1)如图所示，设函数y= lz 与y = 主图象的交点为A ，B . 已知点A 的
k~ 
~ J 
X 
坐标为(-k ，一1)，则点B 的坐标为
y 
z 
备用图
(第
1 9 题)
(2)若点P 为第一象限内双曲线上不同于点B 的任意一点.
①设直线PA 交z 轴于点M ，直线PB 交x 轴于点N.
求证:PM= PN.
学科精英大视野系列丛书
.Ct.\1'i4队，~
( I飞革
m )
女食
女食
，传
食
食
，曾
第
13 讲
反比例函鼓
证明过程如下:
设P(m ，剖，直线PA 的解析式为y =ax+b(a=FO) 
，-ka 十b=-l
，
与静巳主第
习'回冒一回国岖
l
、
ra=
• 
则l
ι 
解得!
一-一一一'
lma+b= 工
，
-lb= 
\ 
m 
、
一-一一一一一一一
.·.直线PA 的解析式为
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.
②当点P 的坐标为(1，走) (走手1)时，判断D_ PAB 的形状，并用h 表示出
D_ PAB 的面积.
(山东省德州市中考题)
' 
‘
… …
-撞
撞
例1
(一1- .[2，在一点)
AEj =,[30Ej ,ii. A 点坐标为(x ，，[3x) ，由JEz=45 ，得x= :::f::l. 
Z 
A(- l,-,[3) ，B(-2 ，O)
设吨=α ，则E，(-2-a ，川(一2-a ，-，[3，川入y= 子，
得
，[3a=斗L ，解得仇=-1+布，a，= -1- .[2(舍去)
一-c.一-a
二E，(-l- .[2，O)
，C( 一1- .[2，，[3-j6). 
例2
C 作FG上z 轴于点G ，EH j_ y 轴于点H ，则AF= .[2b ，BE= .[2a ，
AF • BE=.[2b • J2.卢ab=2X 卡l
例3
(1) A(4
，2)
，走=8.
(2) 就解题思路中图②解答:C (1，肘
，56A町=5" ;1)∞FE- 56∞C- 56口AE - 56CFA =32-4-4-9= 15. 
(3) .:反比例函数图象是关于原点。的中心对称图形，:. OP=OQ ,OA=OB. 
·四边形APBQ 是平行四边形，SAP「tSDMrt × 24=6
设P 点的坐标为(m ，三)(m>o 且时叫起M 分别作工轴的垂线，垂足为E ，F ，
γ
点P ，A 在双曲线上，λ
56 POE = 56AOF =4. 
若O < m<4( 如图①) , 
: 5 6RJE +5梯形PEFA = 5 6 POA +5 
1(_
,
8 '\ 
:. 5μ P!:' J:' A =5 八mA =6 ，即一12+ 一1(4 - m) =6
，解得
梯形PEFA
"_' ß 阳性
2~-'m) 
m=2
，m=-8( 舍去)
若m>4( 如图②) , 
: 5 6 AOF + 5精彩AFEP = 56AOP 十S
1(_
, 8, 
S梯形PEFA =56用'A =6 , f!rτ[2 十二~ J • (m-4) =6 ，解
己主
y 
Q 
图①
(伊tl 3) 
y 
图②
食
-
R
-R 
食食
食*
A 
〉ζ
学科精英大视野系列丛书
食
得m=8 ，m= - 2C 舍去)
故点P 的坐标是PC 2 ，4 ) 或PC8 ，1).
例4
(1 )5矩形Q4.月=xy=k :
( 
, 
k
飞
l
(2) CU
Q4.PB=2COA+ OB ) =21 x+ 一| 注2. ^/ x. 芒X 2 ,4.Jk=4../2, :.k=2. 
\ 
X 
J 
'V 
X 
ωSAM =÷m·h ，MN=5 ，由y=- fz- 4 ，得时3y + 12 = 0 , A P 到直线阳的距离是
4切+?+1~ ，:.5"，阳N =÷ × 5 × 4m+?十12
4m+?十四川=上，:.4m+ 立注孔4m-1=45 sij、
m 
m 
' \J
η1 
4，/3+ 1 2
厉
值是一
2 一=6+2./3.
• 
一'. • 
1. - 3 
2. 0 ,12 
361 
3.
一-_- .4 
48 ' 
4 设CA 2It 标为(咐，则B(剖'D(子，字). 则SMD=÷(?+子) (α一手) + ~ X 
../2 "../2k 
τα × 亏-lfa × 77=JE，得k=4.
5. 2
如图，设A(士，a忡忡，巾"'NJB = 5jj!lIJABFE - 5"，皿'E -5"'OOF中护2!i王=2
y 
FB X 
z 
y 
x 
(第5 题)
(第7 题)
(第8 题)
(第9 题)
6. 3 
7. C 
如图，设直线y=x 与y =-x+4 支于点M ，则MC 2 ，2) . 过点C 作CE _l x 轴于点E ，MF上z 轴于
• CE 
AC 2-../2 
点F. 设CCxo ，yo) 由对称性得AM=JEMC ，··EF =互M = 一τ'-.'::.. ，CE= 2 - J言，得yo =2-../2,xo =2+../2. 
8. C
作出如图所示辅助线，设A(a ，剖，牛抖，其中O<a<叫创=OB ，得b= 士，四边形町DE
为正方形，AD= DB = ../2( = -a ì ，由OA = AB ，得a 2 +占= r../2( _l-a ì f ，a2 +主=4
\. a 
) 
a" 
L' \. a 
) J 
a' 
9. A
作出如图所示的辅助线，设C(a ，町，由.6OCEω .6BDF ，得D(6 - 丘剖，α × 主= (6 一刮×
~ -, a ) ' ~ ~~~~ - - ~ ~~. , '1', ~ 
~ v 
3' 3a ) ,u. /, a - l V 
3' J 
k 
9_(qq .n ' 
士-，a= τ- ，L- I 斗-.-二|
,)a 
::J 
\日
，
5 } 
10. B 
运用a2 + b2 二三2ab.
( I飞革组)
3号食
女
A 
日'
食
食
，传
食
11. C 
作出如图所示的辅助线，得56ABC = 5时AMNC = 5;filJAM∞+5矩形CN∞·
12. D 
过点B 作BH 上y 轴于点H ，AG_l y 轴于点G. 则AG=3BH ，设BH=
( 
1
飞(_
3α 飞(
1
飞
α ，AG=3a ， ,'.BI a , ~ a+4 I
，AI 句，一|由αl~a +4
1 =3α ×一得a= l.
l u , 2 U 
I -r ) 'H l uU , 2 )' ""' 
U l 2 U 
I -r ) 
13. (1) CD // AB. 
食
第
13 讲
反比例函数
y 
工
(2) ①连接MF ，NE ，则56MEF = 56NEF =士，故MN//EF
②当点N 在第二象限的图象上时
，MN 矿EF.
(第11 题)
14. (1) m=2. 
(2) k=8. 
(3) ①当0<t::Ç 2 时，支点N 在OA 边上，得t=13;
②当2<t ::Ç 3 时，交川在AB 边上，得t = 号;
3+ ffi _'_' 
3 十5百
③当3<t::Ç 5 时，支点N 在BC 边上，得
t = 一
2 一或t= 一
2 一.
15. .,' 5, =2 X 卡"
y1=川，而点P(x ，'Y1) 在y=? 图象上，
'. x 1 y, = k ,I!p 51 =走同理可知52 =2X 卡2 Y2= ι
'.51= 5 2 
又归时户2(X ，+:J ，归(工2+三) , 
( x; 十b
J 十灿
Z 1x:+kx,-X:X2- kx2 
·.G -CI=2 |-27 一亏了)=2X-"
一
x,x 2 
，双曲线在第一象限，
,'. X ，>O ，与>0 ，
，'. X1X2>0. 
又x ，x: + kx, -X:X2 -kx2 = x ，x 2 ( 工2 -x, )-k(x2 -x,) =(X,X2 - k)(x2 -X ，)，且工2>码，
.当x ，x 2 = 走时，C，=c2
; 当x ，x 2 >k 时，C2 >C，;当x ，x2 <走时，C2 < C，.
(2) 设四边形PMON 的周长为C ，则C=2(x+ y). 
xy= 走，
ω (x+ ~).这里川均大于0
(ι手户。
x中2币
当，Jx= 笔，即x= Jk时，四边形PMON 的周长C 最JÌl I小
l卜、，ι
品最JÌlI叫
j
.Jx 
a+ b-l 
16. (1) E(a ,l-a) ,F (1 -b ,b). 
(2) 56 0EF = 一
2 一
(3) 6AOFω6BOE ，证明略
(4)ζ EOF=
45 0 ，证明略.
且设点AI α ，上
I ,BI b ，十ì ，c( c ，lì 
\ 
a; 
\ 
0; 
\
ιj 
',' AB=BC, 
(b-a 
b旷2 一2ab+ α旷2 十去一主←+占←=c♂2 一2b衍c+归吉￡+去j, 
b-
ao 
a 
C 
uc 
~ 
2 -a2 2(c-a) 
(a 2 -C2 ) -2b( α -c) 十--2-2- 一_1.._ 一= 0
a c 
UV l. 
学科精英大视野系列丛书
食
食
齿
，传
食女
，传
食女
nu 
--
2
一
伽
+ 
十
一
2
c
a-a 
，
。
。
，
"
fiv 
十
a 
b+c
, 2 
,. 
~ 
c+b
, 
2 
b+a-2c一一一+一一一0 ，c+b-2α一一一+一一=0 ，
b 2 α2 
' abc 一，c 'V 
...,'" 
c 2b2 
' abc 
同理
nu 
--
M-M 
um-N 
十
一
2
c
a-a 
6
一
耐
得
加
回
间
，
索
什
式
一
­
a-c 
+ 
a-b 
+ 
c
一
·
·
·
。
+ 
c-nu 
十
b-a 
+ 
b-c 
W
K
俨
故川+c) (士+卡↓)=9
y 
(k . ì _( 
k ì 
18. 作出如图所示的辅助线，设A I':;:- ，b I,BI a ，~ 1
，由56CCD = τab= τ ，得ab=3 . 由
~O 
/ 
~ 
aJ 
c, 
c, 
5 
1 ( 
k
飞(.
k ì 
56mB = 5.. "，∞EC -
5 6AEB - 5 6 NJD -
56凹，得; = ab 
τ | α - : "b一一
| 一τ 一τ ，走=2 .
口
c，~ 
0/\ 
aJ
白
马
z 
C 
19. (1 )(k ,1) 
(第18 题)
1 
k 
1
走
(2) ①一，一-1 ，.Y=~x + 一- 1
m 
mηl m 
1 
, k 
过点P 作PH l_x 轴于点H ，点M 的坐标为( m-k ，O)
，同理得直线PN 的解析式为y = 一-=--x+ 一十1.
m 
m 
点N 的坐标为(k + m ，O).
':MH=HN=k ，:.P此1=PN.
②由①知，在L::.PMN 中
，PM= PN ，
:. L::. PMN 为等腰三角形，且MH=HN=k.
当点P 的坐标为(1，是)时，则PH =k ，
z 
:.MH= HN= PH. 
. ζ PMH= ζMPH= 45 0 ，ζ PNH= ζ NPH=4 5 0 • 
. ζ MPN=90 0 ，即ζAPB=90 0 •
:. L::.APB 为直角三角形.
当走> 1 时，如图①，
56 PAB = 56PMN -
56面N 十56mM
=÷-MN·PH一÷ON-YB寸ω.
I YA I 
图①
z 
= ÷ - 2川一÷(h+ 1 ) ·1 +÷(是一1) • 1 
= k2 -1. 
当O< k< l 时，如图②，
5 6 PAB = 56 0BN - 5 6 PMN + 56mM 
=÷ON-YB-h2+÷OM · lh| 
图②
(第19 题)
= ÷(计1) ·1 - h2 + ÷(1 - h)
· 1
=1 -k2 • 
莫比乌斯(1 790二1868)
，德国数学家、
天文学家.
1858 年，莫比乌斯在法国巴黎
科学协会举办的数学论文比赛上，公布了
他发现的奇异的曲线
: 这个曲面尽管每一
小段都有正反两面，但从整体上看却只有
一个面
，即从曲面一点出发不经过边界，可
以走到这一点的反面，这就是"莫比乌斯
带" ，被视为数学珍品.
h 岛。川
吨f飞
自14 讲空署三国R:
I 
暗…
..
l. 也如能部述:
全等三角形是研究三角形、四边形的主要工具，是解决有关线段、角等
问题的一个出发点，线段相等、线段的和差倍分关系、角的关系、两直线位置
关系等的证明问题常转化为证明三角形全等.
λ
元..
F穴7
正头
凶
f
问题幡决
，
例
1
如图，在四边形ABCD
中
，A C 平分
L.BAD ，过C 作CE 上AB 于E ，并且AE二÷(AB 十
AD)
，那么，ζABC+ ζADC 的度数是一一一--
J>队
A
ι13 
( 上海市竞赛题)
晤题思路
运用角平分线翻折构造全等三角形.
1 2址
数学是一种精
神，一种理性的精神.
正是这种精神，激发、
促进、鼓舞并驱使人
类的思维得以运用到
最完善的程度.
→一克莱因
分地
苏轼任凤翔签
书判官时，有兄弟四
人曾为分遗产到大
堂告状.
如图
，兄弟四人
继承先父土地一块，
父亲临终前曾叮嘱:
四人所得不仅数量无
差别，而且还要形状
与原地块相同，请问
该如何分地?
6草地
，~~，;，运
食食
3斗
食食
*
食
，传食
学科精英大视野系列丛书
例
2
在.6ABC 中，AC= 5 ，中线AD=4 ，则边AB 的取值范围
是(
). 
A. 1< AB< 9 
B. 3<AB<13 
C. 5<AB<13 
D. 9<AB<13 
(陕西省竞赛题)
幡题思路
线段AC ，AD ，AB 不是同一个三角形的三条边，通过中线倍
长，将分散的条件加以集中.
例3
如图，已知四边形ABCD 中，ζACB=
ζBAD= 1050 ，ζABC=ζADC=45 0 ，求证:CD=AB.
(夭津市竞赛题)
酶题思路
AB ，CD 所在的三角形不全等，通过
作辅助线构造全等三角形是证明的关键，即以一个
三角形为基准，构造一个与之全等的三角形.
D 
如图①，以.6ABC 为基准，在.6ACD 中以CD 为大边构造一个与
.6ABC 全等的三角形;
如图②，以.6ACD 为基准，在.6ABC 上补出一个与.6ACD 全等的三角
形;
如图③，由45。联想到等腰直角三角形等.
D 
D 
图①图②图③
构造的过程是想象的过程，也是逻辑思考的过程，你有其他的构造方
法吗?
有些问题的条件
与结论之闭的联系不
明显，有时需要添加
恰当的辅助线构造全
等三角形.现阶段，利
用中线(倍长) 、角平
分线(翻折)、垂线或
平行线是构造会等三
角形的基本方法.
: JiOW CRTNESE LEARN 
MATHF;MATICS 
变式练习是中国
数学教育的一大特色.
"变式"即有目
的、有计划地对命题
进行合理的转化，通
过转换问题的内容和
形式、转换命题的非
本质特征、交换问题
中的条:件或结论等方
式，使问题的非本质
特征时隐时现而本质
特征保持不变.
~~~ 
女食
食
女食
食
( J\ a: ，~ 
) 
1:r
食
，曾
例4
如图，已知AC // BD ，EA ，EB 分别平分
E ~ D 
丘CAB ，ζ DBA ，CD 过点E.
CI7\ / 
求证: AB=AC+BD. 
ι/ 
\ / 
("希望杯"邀请赛试题)
A 
B 
壁些塾些
截长法(或补短法)是证明线段和差问题的基本方法.即在
AB 上截取AF ，使AF=AC ，以下只要证明FB = BD.
例5
如图①，在平面直角坐标系中，已知A( - 4 ，0) ,B(0 ,4) ,C(0 , 2) , 
D(2 ,0). 
(1)求证:AC=BD;
(2) 如图②，设E ，F 分别是AC ，BD 的中点，试判断t0，OEF 的形状，并
说明理由;
ζ PAB +ζ PBA 
(3) 如图③，延长AC 交BD 于点p ，连接Op ，试求
/ ~ ~ h 
的值.
A 
Y 
B 
x 
A 
Y 
B 
x 
A 
Y 
B 
x 
图①图②图③
ζA PD 
幡题思路
对于(3)
，ζ PAB+ ζ PBA= ζA PD ，即求一一一的值，猜
ζ OPD 
测OP 平分ζAPD ，怎样证明?
例6
下列四个判断:
(1)有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;
(2) 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;
(3) 三角形6 个边、角元素中，有5 个元素分别相等的两个三角形全等;
(4) 一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等.
上述判断是否正确?若正确，说明理由;若不正确，请举出反例.
黯
判断(1)、(2) 、(3) 、( 4) 都不正确.
判断(1)的反例:
(江苏省竞赛题)
如图①，在t0，ABC 中，AC=AC ，BC=B'C ，高AH = AH ，但这两个三角
形不全等.
性
第
14 讲
金等三角形
边、角、中线、角
平分线、高是三角形
的基本元素，从以上
诸元素中选取三个条
件进行有机组合可判
定两个三角形全等的
命题，但这些命题有
具有假.
~~~、
判断(2) 的反例:
食
食?纭
食
食
1号
食
食为
如图②，在LABC 、LABC' 中
，AB = AB ，AC = A C' ，高AH=AH ，但两
个三角形不全等.
A 
A 
B 
/可|
B 
C 
C 
H 
C' C' 
A 
F 
图①
判断(3) 的反例
:
图②
图③
设.6.ABC 的三边长分别为AB =16 ,AC=24 ,BC=36 ;.6.A'B'C' 的三边
长分别为A'B' =24 ,A'C' =36 ,B'C' =54 . 由于.6.ABC 与.6.A'B'C' 的对应边
成比例，故.6.ABCω LA'B'C'
，从而它们有5 个边、角元素分别相等: 丘A=
ζ A'
，ζ B= ζ B'
，ζC=ζC' ,AC=A'B' ,BC=A'C' ，但它们不全等.
判断(4) 的反例:
如图③，在.6.ABC 中
，AD ，BE 分别是边BC ，AC 上的高，作ζ BAF=
ζ BAC ，延长BC ，FA 交于点C'
，则高f BF=BE ，AD=AD ，又AB=AB ，但
LABC 与LABC' 不全等.
综上所述，题中四个判断都不正确.
主萨局搞型
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两
边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进-步构造
全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，从而构建模型，把握问题的本质.
例7
(1) 问题背景:如图①，在四边形ABCD 中
，AB=AD ，ζBAD=
1 20 0 ，ζ B= ζ ADC=90 0 ，E ，F 分别是BC
，CD 上的点，且ζ EAF=60 0 ，探究
、
图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延
长FD 到点G ，使DG=BE ，连接AG ，先证明LABE 旦.6.ADG ，再证明
.6.AEF旦LAGF ，可得出结论. 他的结论应是
G 
λp 
n 
六芦F
B 
E 
C 
B 
E 
C 
图①
图②
图③
(2) 探索延伸: 如图②，若在四边形ABCD 中
，AB=AD ，ζB 十ζD=
180 0 ，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，ζEAF=
~ ζBAD ，上述结论是否仍然
2 
成立，并说明理由;
(3) 实际应用:如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(0 处)北
纪j
学科精英大视野系列丛书
例
6 中的第(3)
个判断是著名数学
家、教育家波利亚曾
提出的一个饶有趣味
的初等几何问题.
数学是关于模
式的学科，笛卡儿曾
说"我所解决的每一
个问题都将成为一个
范例，用于解决其他
例
7 创设了一个
特殊位直下的问题情
学结论的形成过程，
Gi\1"I:\G.\ 
( 川军主自)
女食
*
女食
*
女女
食
第
14
i.井
金等三角形
偏西30。的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东7 0。的B 处，并且两舰艇到指挥
中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里/小时的速
度前进，舰艇乙沿北偏东50。的方向以
80 海里/小时的速度前进，1. 5 小时
后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为
70 0 ，试求此时两舰艇之间的距离.
( 山东省德州市中考题)
瞄盟思路
对于实际应用，通过作辅助线完善图形，为半角模型的应用
创造条件.
~~ 刻意练习
1.如图
，AB = 2 ,BC= AE= 6 , CE= CF= 7 ，BF 二8 ，则四边
形ABDE 与6CDF 面积的比值是
(北京市竞赛题)
2.
己知，如图，6ABC三6A'B 'C' ，AD ，A'D' 分别是6ABC
和6A'B'C ' 的高.求证:AD=A'D'.
/丁\
A' 
/~ 
B' 
D' 
C' 
(第2 题)
w 
F 
(第1 题)
可以反过来思考，提出一些问题:已知6ABC 和6A'B 'C' 中，高AD 等于
高A'D' ，再增加以下各组条件:
①ζB= ζ B' ，ζC=ζC'; 
(
LB=LB' ,AB=A'B'; 
(
BC=B'C' ,AB= A'B' ; 
写出能分别判定6ABC旦6A'B'C' 的所有条件组的序号:
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
3. 如图，将6ABC 绕着C 点按顺时针方向旋转20 0 ，B 点落在B ' 点位置，A
点落在A' 点位置，若AC_lA 'B ' ，则ζBAC= 一一一一一·
(江苏省竞赛题)
D 
E 
A 
AI 
A 
B 
F 
(第3 题)
(第4 题)
4 .
如图，点C 在线段AB 上，DA _l AB ，EB _l AB , FC _l AB ，且DA=BC ，
EB = AC ，FC=AB ，ζAFB =5 1 0 ，则ζ DFE = 一一一一一一-
(北京市竞赛题)
斗、
在" 变"的表象中
寻找" 不变"的本质，
从" 不变"的本质中探
寻"变"的规律.
II'I:\R.:\~ 
食
食
1与
食
食长了
，传
食女
5.
如图
，~ABC 中
，BD 平分ζABC ，AD j_ BD 于点D
，
5 Ó BCD = 45 , 5 Ó ADC = 20 ，则5ó刷=一一一一一·
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
6. 一个三角形的三条边的长分别为
3 ，5 ，7 ，另一个三角
形的三条边的长分别为
3 , 3x - 2 , 2x - 1 ，若这两个三
角形全等，则z 的值是
(第5 题)
("希望杯"邀请赛试题)
7. 在~ABC 中，高AD ，BE 所在的直线相交于点G ，茬BG=AC ，则ζABC
的度数为(
). 
A. 45 0 
B. 135 0 
C. 60。或120 0
D. 45 。或135 。
(湖北省黄冈市竞赛题)
8.
如图，在~ABC 中
，AC=BC ，ζACB= 9.0 0 ，AD 平分ζ BAC ，BE j_AD 交
AC 的延长线于F ，E 为垂足.则结论:①AD=BF; ②CF=CD; ③AC+
CD=AB; ④BE=CF; ⑤BF=2BE. 其中正确结论的个数是(
). 
A. 1 
B. 2 
C . 3 
jhA 户又
(第8 题)
(第9 题)
D. 4 
(河北省竞赛题)
C 
功又
A 
D 
-E-B 
(第10 题)
9. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分ζBAD ，AB>AD ，下列结论
中正确的是(
). 
A. AB • AD>CB-CD 
B. AB-AD=CB-CD 
C. AB-AD<CB-CD 
D. AB-AD 与CB-CD 的大小关系不确定
(江苏省竞赛题)
10. 如图，~ABC 是一个等腰直角三角形，四边形DEFG 是其内接正方形，
H 是正方形的对角线的交点.那么，由图中的线段所构成的三角形中相
互全等的三角形的对数为(
). 
A. 12 
B. 13 
C. 26 
11. 下面三个判断:
(1)存在这样的三角形，它有两条角平分线互相垂直;
(2) 存在这样的三角形，它的三条高的比是
1 : 2 : 3; 
D. 36 
(江西省竞赛题)
(3) 存在这样的三角形，其中一边上的中线不小于其他两边和的一半.
其中，正确的判断有(
). 
A. 0 个
B. 
1 个
C. 2 个
D. 3 个
(江苏省竞赛题)
β 
学科精英大视野系列丛书
~~~ 
( I飞革盟)
12.
如图，MBC 中，ζA=90 0 ，角平分线BD ，CE
交于点I ，IFl_CE 交CA 于F ，IHl_AB 于H.
下列结论:①ζDIF=45 0 ; ②CF+BE=BC; ③
AE+AF=2AH; ④S四边形BEDC =2S，6. IBC. 则正确
结论的个数为(
). 
A. 
1 个
B.
2 个
C. 3 个
13. (1)阅读理解:
A 
/ 
..... 气F
3号食
女
A 
ÌÄ,' 
H/ 
I............D 
/ 
./ 
飞飞飞飞
" 
，传
食
食
食
B IC.
飞"""C
(第12 题)
D. 4 个
如图①，在6ABC 中，若AB=10 ，AC=6 ，求BC 边上的中线AD 的
取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长AD 到点E 使DE=AD ，再连接
BE( 或将6ACD 绕着点D 逆时针旋转180 0 得到6EBD). 把AB ，
AC ，2AD 集中在6ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断.
中线AD 的取值范围是
(2) 问题解决:
如图②，在6ABC 中，D 是BC 边上的中点
，DE l_ DF 于点D
，DE
交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF. 求证:BE+CF>EF;
(3) 问题拓展:
A 
如图③，在四边形ABCD 中，ζB 十ζD= 180 0 ，CB=CD ，ζ BCD= 
140 0 ，以C 为顶点作一个70。角，角的两边分别交AB ，AD 于E
，F 两
点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明.
C 
B 
图①
~、二..E
A 
图②
(第
13 题)
A 
C 
B 
B 
图③
(贵州省贵阳市中考题)
14. 如图，在6ABC 中，ζABC=60 0 ，AD ，CE 分别平分ζBAC ，ζACB. 求
i正:AC=AE+CD.
B 
B 
C 
A 
(湖北省武汉市竞赛题)
C 
(第
15 题)
15. 如图，己知AB=CD=AE=BC 十DE=2 ，ζABC= ζAED= 90
0 ，求五
边形ABCDE 的面积.
(广西壮族自治区竞赛题)
'眨第
14
ì井
全等三角形
守己主;竟
澜'咱冒
商-区
t=\t=\1:.:\ 
食
食女
食
食
t纭'
食
食女
学科精英大视野系列丛书
16. 如图，在6DEF 中，ζ EDF=15 0 ，DP 是ζ EDF 的平分钱，DP _L DQ.，且
FQ =ED+DF ，求ζQ ，ζE 的度数.
-
B 
C 
/\ 
A\ 
)D 
F 
E 
(第17 题)
("希望杯"邀请赛试题)
17 . 如图，在六边形ABCDEF 中
，AB = BC = CD = DE = EF = FA ，且ζA +
ζC+ζE=ζ B+ ζD+ζF . 
求证:ζA= ζD ，ζB 土ζ E ，ζ C= ζ F.
(北京市竞赛题)
"、
18 .
问题提出:学习了三角形全等的判定方法(即‘'SAS"" ASA"" AAS"飞
"SSS") 和直角三角形全等的判定方法(即"HL") 后，我们继续对"两个
三角形满足两边和其中一边的对角对应相等"的情形进行研究.
初步思考:我们不妨将问题用符号语言表示为:在6ABC 和6 DEF 中叹
AC=DF ，BC=EF ，ζ B = ζ E. 然后，对ζ B 进行分类，可分为" ζ B 是
直角、钝角、锐角"三种情况进行探究.
深入探究: 第一种情况:当ζ B 是直角时，6ABC旦6 DEF.
(1)如图①，在6ABC 和6 DEF 中
，AC = DF ，BC = EF ，ζ B= ζ E=
90 0 ，根据
，可以知道Rt6A BC经Rtð DE'F. ' 
第二种情况: 当ζB 是钝角时，6ABC且6DEF .
/叮C~F /l C/l F 
A 
BD 
E 
A 
B 
D 
E 
图①图②
(第
18 题)
(2) 如图②，在6ABC 和6 DEF 中
，AC=DF ，BC = EF ，ζ B = ζ E ，且
ζ B ，ζE 都是钝角. 求证
: 6ABC旦6 DEF .
第三种情况
: 当ζ B 是锐角时，6ABC 和6 DEF 不一定全等.
(3) 在6ABC 和6DEF 中，AC = DF, BC= EF ，ζB= ' 
Ç" 
ζE ，且ζB ，ζE 都是锐角，请你用尺规在图③中作
/ 
"'" 
出6DEF ，使6DEF 和6ABC 不全等. (不写作法，
/
"'" 
保留作图痕迹)
L 
\ 
A 
B 
(4)ζB 还要满足什么条件，就可以使6ABC 旦
图③
6DEF? 请直接填写结论:
(第
1 8 题)
在6ABC 和6DEF 中
，AC = DF , BC = EF , 
ζB= ζE ，且ζ B ，ζE 都是锐角，若
，则6ABC 旦6DEF.
(江苏省南京市中考题)
19. 如图，已知凸四边形ABCD 满足ζADC = 135 0 , 
1)吃~飞C
ζADB-LABD=2 ζ DAB = 4LCBD ，若BC=
/'\主、
J2CD ，求证:AB=BC+AD .
A 
B 
(伊朗几何奥林匹克试题)
(第
19 题)
封~，~
~~11J.:\ 
( J\. a: m ) 
为食
*
女食
，曾
兰(食
食
第
14 讲
全等三角形
20. (1)设梯形两底边长为整数，求证:它可以分割为若干个彼此全等的三
角形.
(环球城市数学奥林匹克试题)
(2) ①证明:2018 可表示为两个正整数的平方和;
②证明:存在这样的三角形，可把它分割为2 0 1 8 个全等的三角形.
(北京市竞赛题)
• • 
例
1
18 0 。
在AB 上截取AF = AD ，连CF ，则6ADC旦6AFC ，ζADC = ζAFC ，可证明
BE = EF ，
6 CEF旦DCEB ，ζ ABC= ζ CFE ，故ζ ABC十ζADC= ζ CFE+ ζAFC= 1 80 0 •
例2
B
延长AD .fIJ E ，使DE=AD ，连接EC ，则DABD旦DECD ，AB=EC ，2AD←AC<AB<2AD+AC. 
例3
略
例4
如图，在AB 上截取AF ，使AF = AC ，连接EF.
由DACE(/) DAFE ，得ζ C =ζAFE ，
.: AC// BD , 
:. 正C+ζ D= 1800 • 
而ζ5+ζAFE = 1 80 0 ，则ζ5 = ζ D.
在DBEF 和D BED 中，·.· ζ5 = ζ D ，ζ 3= ζ 4 ，BE = BE ，
'. D BEF旦DBED ，得BF = BD .
:. AB= AF+ BF= AC+ BD. 
例5
(1)证明DACO且D BDO ，得AC = BD .
(2) 证明DAEO旦DBFO ，ζ EOF=90 0 ，可得DOEF 为等腰直角三角形.
A 
(例4 )
(3) 作OM_l AP 于点M ，ON _l BD 于点N ，可证明OM=ON ，则OP 平分ζAPD ，故
ζ PAB+ ζPBA 
ζAPD ~ 
ζ OPD
】
例7
(1) 问题背景:
EF= BE+ DF 
(2) 探索延伸:
EF=BE+ DF 仍然成立，延长FD 至点G ，使DG=BE ，连接AG ，
Y 
先证明DABE旦DADG ，再证明DAEF旦DAGF 即可
A
(3) 实际应用:
如图，连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，在四边形AOBC 中，
1 
.. ζAOB = 30。十90 0 + 20 0 = 1 40 0 ，ζ EOF= 70 。= 17ζAOB ，又': OA = OB ，
正三OAC+ ζ OBC= 1 80 0 ，符合"探索延伸"中的条件，
:. EF=AE+ BF= 1. 5 x (60+80) = 2 10( 海里) . 
1. 1 
DAEC呈D BCF.
2 . ① 
129 i 
飞电
J略
(例7)
• • 
D 
X 
食
食
节1{
1告
食女
，传
食
A 
')::( 
学科精英大视野系列丛书
③的反例如下图
_----
---、-
.-、
，一、、
A 
A 飞丑
B' 
D' C' 
(第2③题)
3. 70 。
4. 39 。
连接BD ，6ABD呈6CFB ，6ABE旦6FCA ，得DB=FB ，AE=AF ，则6DBF ，6EAF 都是等
腰直角三角形，ζ EFB= 矿，ζ DFA=6 0 ，ζ DFE= ζ AFB-LEFB
ζ DFA=39
0
. 
5. 25 
延长AD 交BC 于点E ，则AD= DE , Sð.ADC = Sð. CDE ,Sð.ABD = Sð. BDE . 
6. 3 
7. D 
8. D 
①②③⑤正确.
9. A 
10. C 
11. A 
12. D 
对于④，证明Sð. EID + S ð. BEI + S ð. CDI = S ð. BIC • 
13. (1) 2<AD<8 
(2) 略
(3) 延长AB 至点N
，使BN=DF ，证明6NBC旦6FDC ，6NCE且6FCE ，由此可得BE+DF=EF.
1 
14. 在AC 上截取AF =AE ，连接OF ，ζ AOC=90 0 + 一ζ B= 120 0 ，得ζ DOC= ζ AOE= ζAOF=60 0 ，则
2 
4三FOC=60 0 ，可证明6FOC兽6DOC ，得DC=FC ，故AC=AF+ FC=AE+ DC. 
15.
延长
DE 至点F
，使EF =BC ，连AC ，AD ，AF ，可证明6ABC 旦6AEF ，
6ACD旦6AFD ，故S五边形ABCDE = 2Sð.ADF = 4. 
16.
延长FD 至点G ，使DG =ED ，连接GQ ，则6EDQ 己6GDQ ，ζE= 正G=
15 。
ζ FQG=2 ζ DQE ，ζ EDQ= .~ + 900 = 97 .
5 0 ，因ζ EDQ+ ζE+ζ DQE = 180 0 ，故
2 
LEQD=27. 50 ，ζ E=55 0 . 
17.
如图，连接AE ，EC ，CA.
因为六边形内角和为
720 0 ，又ζ A+ ζC+ζ E=ζ B+ ζD+ζE ，
所以，ζ BAF+ ζ BCD+ ζ DEF= ζ ABC + ζ CDE+ ζ EFA=360 0 .
如图，作6EFP且6CBA ，连接AP ，则
ζAFP= 360 。
ζ EFA 一ζ PFE=360。一ζ EFA 一ζABC= ζ CDE= ζD.
于是，6AFP兽6CDE=>AP=CE.
故6ACE且6EPA=>ζ CAE= ζ PEA.
又ζBAC=AU=÷(1护ζ酌，ζFAE=LF日=÷(180 。-3) ，
1/"""" ", 0 
./T"a, 
I 
1 "-1""", 0 
/
T"""I " 
1 
故ζ BAC+ ζ FAE= 一(1 80。一ζ B) + 一(1 80
ζ F)= 一(360。一ζBζ F)= 言ζD.
2 ，-~-
~-" 
2 ，~~-
~~， 
2 
又ζ CAE= ζ PEA= ζ PEF+LAEF= ζ BAC+ ζmE=÷3 ，
1 / ~， 1 
则ζ BAF=( ζ BAC+ ζ FAE) +ζ CAE= 一ζD + 一ζ D=ζD ，即ζA= ζD.
2 ~-
, 2 
同理，ζ B= ζE ，ζC=ζ F.
18. (1) HL 
e 
G 
F、
D!\、
(第
16 题)
B 
(第
17 题)
~Q 
'D 
( 1\ .a:理)
~?:食
女食
J、了
1 吨
食
食
食
(2) 如图①，分别过点C ，F 作对边AB
，DE 上的高CG ，FH ，其中G ，H 为垂足.
先证明.6 BCG旦.6 EFH ，得CG=F H; 再证明.6ABC旦.6 DEF.
C 
F 
食
第
14 讲
金等三角形
- - --口
\川\
A 
B 
G 
D 
图①
(第
18 题)
(3) 如图②，.6 DEF 就是所求作的三角形.
(4) 本题答案不唯一，此答案供参考
: ζ B 二三ζA .
19.
由已知条件，可设ζ CBD=a.
则L_ DAB =2α ，L乙ADB 一ζ ABD =4日.
又在6ABD 中，有
ζADB+ ζABD=180 。一ζ A = 180 0 -2日，
.. ζ ADB =90 。十日，ζ ABD=90 0 -3 日，
.. ζ DAB+ ζ CBA=2日+[(90。一3日)+aJ=90 0 •
设AD ，BC 的延长线交于点P.
由ζ DAB+ ζ CBA=90 0 ，得ζ APB=90 0 •
又ζ PDC=180 。
ζ ADC =45 0 ，于是
，.6 PCD 为等腰直角三角形.
划2__
BC 
结合已知条件，知PD= 工二CD= 一一
2 ~-
2' 
延长AP 到点Q ，使得PQ=PD ，则DQ=2DP =BC
图②
:. .6DP BC/) .6QP B ，得ζ CBD= ζ CBQ= 日，ζ ABQ = α 十日+(90 。一3日) =90 。一日.
又ζ A=2日，因此，.6ABQ 为等腰三角形
，AB =A Q.
故AB = AQ= DQ+ AD= BC+ AD. 
Q 
tf\ 
♀毛主"C\
/" 
........._ 
\飞
A 
B 
(第
19 题)
20. (1)设两底边长为n ，m ，且n~m . 当m=n 或n + 1 时两底的对应等分点AiB i
，AiB i+l 相连，由于平行
四边形被一条对角线分成的两个三角形全等，故得到全等的三角形分割.
~电~‘~、
，飞，飞，飞，飞，飞，飞
J 飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞
，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，、
，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞
，飞
，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞
，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞
，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞
，飞
，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞，飞
[第20( 1) 题]
当m二三n十2 时将两腰(m- n) 等分，过分点作底边的平行线将Jff-、梯形分喜L为(m-n) 个梯形.每个按上述(n ，
n+ l)方式分辜IJ 为全等的三角形.由于任意两层的同方向平行四边形彼此全等，故各层的所有三角形彼此全等.
(2) ①若存在正整数x ，y ，使得2018=x'+y'
，由于201 8 被4 除余2 ，则x ，y 必同为奇数.
又奇数的平方的个位数必为1，5
，9 之一，故z2
，y2 的个位均为
9 ，flr x 叨的个位数为
3 或
7.
设x~y ，则1009~l <2018. 
于是，y 的可能值只有33 ，37 ，43.
经计算得2018=13 '+ 43' .
(关)
②由(铃)构想:将直角边长为
13 ，43 的一个直角三角形引斜边上的高线，分该三角形为两个相似的直角三
角形，其斜边分别为
13 ，43 ，将斜边为
13 的直角三角形各边
1 3 等分，分成169 个斜边为
1 的小直角三角形;将斜
边为43 的直角三角形各边43 等分，分成1849 个斜边为
l 的小直角三角形.合计共分割成了
169 + 1849 = 2018 
个斜边为
l 的彼此全等的直角三角形.
因此，满足题设妥求的三角形是存在的.
也￡
螺线既是一种迷人的数学现象，又是一种与生命相关
的极为普遍的数学形态，其广泛出现在动植物中. 瑞士数
学家伯努利曾深入研究对数螺线性质，他在遗嘱里吩咐要
把对数螺线刻在自己的墓碑上，并附上一语双关的美妙颂
词"虽然改变了，但我还是和原来一样"
、监更d
"Q(噎…-主E
胃15
ì持
寄自噩三国HI
I 
. …-_.. 
.~↓嗣簸慌遮
等腰三角形的丰富性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明
等问题提供了新的理论依据.
恰当地构造等腰三角形是解与等腰三角形相关问题的常用技巧，而分
类讨论是解等腰三角形问题的重要方法.
熟悉以下基本图形、基本结论:
&5 二
4 
民甲问题;鹏及
例1
(1)如图①，儿生'.BB'分别是ζEAB. ζ DBC 的角平分线，若AA'=
BB'=AB. 则ζ BAC 的度数为
(全国初中数学联赛题)
(2) 如图②，四边形ABDC 中.6EDC 是由6ABC 绕顶点C 旋转40。所
得，顶点A 恰好转到AB 上一点E 的位置，则ζ1+ζ2=
度.
(江苏省竞赛题)
三，.___ A
, E /'"ξ---J二
/ 
飞~一二====-B '
j
二"----B 飞'-- -
/~ -、D
C 
F 
A 
D 
图①
图②
青少年当中的数
学爱好者，大多数首
先是几何爱好者.
张景中
斯坦纳雷米欧司定理
"两条内角平分
线斗目等的三角形是等
腰三角形"，这是由德
国数学家雷米欧司于
1840 年提出的，一年
多后，精士几何、学家
斯坦纳(1 796-1873)
首次证明了它，这个
问题以"斯坦纳雷米
~~~ 
f了食
，传
女食
，曾
( J\ .q: !Jil ) 
3与二食
食
幅题思路
对于(1) ，设ζ BAC=x. 把相关的角用含z 的式子表示;对
于(2) ，寻找图中全等三角形、等腰三角形.
例2
(1)如图①，在等腰RtLABC 中
，AD 为斜边上的高，以D 为端
点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于点E ，F ，连接εF 与AD 相交于点
G ，则ζAED 与ζ AGF 的关系为(
) ; 
A.ζAED> ζ AGF 
C.ζAED<ζ AGF 
B.ζ AED = ζ AGF 
D. 不能确定
( (( 学习报》公开赛试题)
(2) 如图②，在RtLABC 中，已知ζC= 90 0 ，ζA= 
30 0 ，在直线BC 或
AC 上取一点p
，使得LPAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有(
). 
A. 2 个
B.
4 个
C.
6 个
D.
8 个
(江苏省竞赛题)
A 
A 
B 
C 
B 
IC 
图①图②
幡题思路
对于(1) ，用含相同的代数式表示ζAED ，ζ AGF; 对于(2) , 
AB 既可为等腰LPAB 的腰，也可为其底.
曹IJ 3 
如图
，LABC 中
，AD上BC 于D ，ζ B=2ζC ，求证:AB + BD=CD.
耀题思路
如何利用条件ζ B=2 L乙C? 又怎样
得到AD 十BD? 不同的思考方向，会得到不同的解
题方法.
ue 
(夭津市竞赛题)
/卜\
第
15
i井
等腰三角形
等腰直角三角形
是一种特殊的等腰三
角形，具有较强的生
长性.请看下面问题:
如图，在RtLcABC
中，
ζ BAC
= 
90 0 , 
AB=AC ，D 为BC 中
点，DE ..l DF ，图中有
几个等腰直角三角
形?
飞
B 
D 
C 
解等腰三角形相
关问题时，常用到以
下知识方法:
(1)作等腰三角
形顶角平分线;
(2) 在未指明边
(角)的名称时，应分
类讨论.
处理题设条件中
的"两倍角"的基本途
径是:
(1)向外构造等
腰三角形;
(2) 对内作角平
分线.
~、
.rl.\~
食
食女
食
食
1号
食
食女
例4
如图，在MBC 中.AD 是ζBAC 的角平分线.M 是BC 的中点，过M
作ME//AD 交出的延长线于E.交AC 于1求证:BFCF=÷(AB+AC)
(重庆市竞赛题)
幅题思路
分两步证明:先证BE = CF. 再证
E 
CF= ~ (AB+AC) 中点、平行线、平分线给我们丰富
的联想:中点→中心对称、中位线，平行线十平分线→
等腰三角形，平分线+ 垂线→等腰三角形.
例5
在L"ABC 中，ζ BAC= 90 0 .AB = AC .AD j_ BC 于点D.
(1)如图①，点M.N 分别在AD.AB 上，且ζ BMN=90 0 • 当ζAMN=
30 0 .AB=2 时，求线段AM 的长;
(2) 如图②，点E.F 分别在AB.AC 上，且ζEDF=90 0 • 求证:BE=AF;
( 3 ) 如图③，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且ζ BMN=90 0 •
求证:AB +AN= J2AM.
A 
~;<1>飞
B 
D 
C B 
D 
C 
B 
M 
图①图②
图③
C 
(山东省枣庄市中考题)
黯踵思路
图③只是图②的一般情形，或构造AB + AN. J2AM. 化归、
联想可找到问题解决的突破口.
例6
一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为
36 0 • 求原三角形最大内角的所有可能值.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
纣桥写幡
剖分的三角形有不同形式，剖分线与36 。的角有不同的位置
关系，故应全面讨论.
B 
(1)若剖分线不过点B. 设剖分线为AD. 相应角的度数如图;
(2) 若剖分线过点B. 设剖分线为BE. 相应角的度数如图.
故原三角形的最大内角可能是72 0 .90 0 .108 0 .126 0 .132 0 .
A 
A 
/于J..36 。
/36 0
/ 
\ 
A (;0 
1.72 o 
'v72 。
B 
D 
C 
石份来~二
C 
必去气凡
C 
学科精英大视野系列丛书
解等腰三角形相
关问题时，既要关注
全等三角形的运用，
又应不圄于全等三角
形，妥善于运用等腰
三角形的性质探求新
只有符合下列条
件之一的三角形才能
被分割成两个等展三
角形:
(1)一个角等于
(2) 一个角是另
一个角的2 倍(x.2 x .
1800-3x. x::(450) ; 
(3) 一个角是另
一个角的
3 倍.
如图所示:
IA\~~ 
【
1 飞埠盟)
1号食
*
女食
*
女女
食
第
15 讲
等腰三角形
例7
如图
，6ABC 中，ζABC= 46 0 , D 是BC 边上一点
，DC = AB ，
ζ DAB = 21 0 ，试确定ζ CAD 的度数.
睡洁1
如图①，作6ABD 关于AD 的轴对称
图形6AED ，则ζ EAD = 21 0 , AE = AB ，所以
，DE =
BD ，又ζADC = 21 0 +46 0 = 67 0 ，故ζADE = ζADB=
180 0 -6r= 113 0 ，ζ CDE= 113 0 - 6r = 46 0 ，连接CE ，
可证6CDE旦6ABD旦6AED ，ζ ODE= ζ OED =
B 
46 0 ，得OD = OE ，又DC=AE ，则AO = CO ，ζα:::A =
ζOAC ，ζ αJE = 2 ζAαJ ，ζ αJE = 2 X 46 0 = 920 =图①
2ζACO. 从而ζAα)=46 0 = ζOAC ，所以，ζ CAD = ζ DAE+ ζE五C = 6r.
晤洁2
如图②，过A 点作AE // BC ，过D 点作
fi---F 
DE// AB ，连接EC .
/γy7 。\
: L EDC= L ABC=46
0 ,DE=AB= CD , 
/2'1/' ~‘ 
t46 。
石~W
飞
1 
川叩川"T V
、
.
ζ DCE= ζ CED= 一X 080 0 -46 0 ) =67 0 • 
B 
D 
C 
2 
· ζ ADC = ζ ABC+ ζ BAD = 46 0 + 21 0 = 6r. 
λ ζ ADC= ζ DCE ，
二AD=EC.
.梯形ADCE 为等腰梯形，
:. AC = DEC 等腰梯形对角线相等) , 
. AC= AB=CD. 
. ζ CAD = ζ ADC=6r. 
确定主条件
图②
所谓解题，即从巳知条件出发，运用相关知识方法，推出未知结论的过
程. 当条件众多时，可选择一个条件为主条件，寻找解决问题的突破口.
例8
如图，在6ABC 中，已知ζ B=2 L三C ，AC = AB 十BD ，求证:AD 是
ζ BAC 的平分线.
瞄题思路
条件有倍角关系、线段和关系，择其一
个为主条件，联想到相应作辅助线的方法，可得到不同
解法.
己?结
(四川省竞赛题)
汁\
B 
D 
C 
翻才斤、平移、旋转
是作辅助线的重要方
法，能使分散的条件
集中.
解例
7 的关键是
条件DC=AB 怎样
运用，解法
1
由翻折
构造全等三角形，解
法2 由平移得等腰三
角形.
如图
，在~ABC
中，若L.ABC=2L.ACB ，
称~ABC 为倍角三
角形.
作ζ DCB = 
ζ ABC ，AD // BC ，则
AB=DC=AD ，这一
不变性在解相关问题
中有广泛应用.
。，- - - 一---只A
v 
C 
B 
11'A\1'A\~ 
食
食
?纭
食
食女
食
食女
t'9 刻意练习
1.已知6ABC 的某两个内角的比是4 : 7 ，且AB=AC ，BD上AC 于D ，BE
平分ζABC 交AC 于E ，则ζ EBD 的大小是
("希望杯"邀请赛试题)
2. 有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰
三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为
(江苏省竞赛题)
3.
已知等腰6ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且满足a+bc+b+ca= 24 ，则
这样的三角形共有
个.
(四川省竞赛题)
4. (1)已知6ABC 是等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC
边长的一半，则ζ BAC=
(北京市竞赛题)
(2) 如图钢架中，焊上等长的
13 根钢条来加固钢架.若AP j =PjP 2 = 
P2 P 3 = … =Pj3Pj4=P14A ，则ζA 的度数是
(浙江省绍兴市中考题)
B 
D 
P6~ 
P句1护气A
p14 ~夕~/
~\ 
A 
P 1 
P13 
P, P' P7 
}
'
C 
AA 
B 
A 
[第4(2) 题]
(第5 题)
(第6 题)
5. 如图，6ABC 内点M 满足ζ CMB=100 0 ，线段BM 的中垂线交边AB 于
点p ，线段CM 的中垂线交边AC 于点Q ，已知
P ，M ，Q 共线，则
丘CAB =
度.
(北京大学自主招生试题)
6. 如图，在6ABC 中，AB = BC ，在BC 上取点M ，在MC 上取点N ，
使MN = NA ，若ζBAM= ζ NAC ，则ζMAC=
(俄罗斯萨温市竞赛题)
7.
已知6ABC 中，AB= 6 ，AC= 8 ，BC= 1 1. 任作一条直线将MBC 分成两个三
角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有(
). 
A. 3 条
B. 5 条
c. 7 条
D. 8 条
专二)
学科精英大视野系列丛书
~~IÄ\ 
fr
食
食
女食
每三
食
8.
如图，在DABC 中
，AC=CD ，ζ CAB
ζB=30 0 ，则ζ BAD 为(
A. 10
0 
B. 15 0 
C. 20 0 
D. 22 . 5 。
(辽宁省大连市竞赛题)
C 
i!SJ D 
A 
B 
(第8 题)
(第9 题)
9.
如图，点。在等边DABC 内
，ζAOB=110 0 ，ζ BOC= α ，将DBOC 绕点C
顺时针旋转60 0 ，得到DADC ，连接OD. 若DAOD 是等腰三角形，则α 的
不同取值有C
). 
A. 
1 个
B.
2 个
C. 
3 个
D. 元数个
("希望杯"邀请赛试题)
10. 在平面直角坐标系中，已知点AC3 ，一3 )
，P 是y 轴上一点，贝u 使DAOP
为等腰三角形的点P 共有(
)个.
A. 2 
B. 3 
C. 4 
A 
1 1.如图，在DABC 中，ζBAC ，ζBCA 的平分线相交于点
I，
若ζB=35O，BC=AI+AC ，则ζBAC 的度数为(
). 
A. 60 0 
B. 70 。
C. 80 0 
D. 90 。
("希望杯"邀请赛试题)
(第
11 题)
12. 在DABC 中
，ζABC= 12 0 ，ζ ACB = 132
0 , BM 和CN 分别是这两个角
的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则(
). 
A. BM>CN 
B. BM=CN 
C. BM<CN 
D. BM 和CN 的大小关系不确定
(全国初中数学联赛题)
13. 如图
，DABC 是等腰直角三角形，ζ BAC=90 0 ，D 是DABC 内一点，且
ζ DAC = ζ DCA = 1.5 0 ，求证:BD =BA .
(湖北省黄冈市竞赛题)
B 
(第
13 题)
(第
14 题)
14. 如图，在DABC 内，ζ BAC=60 0 ，ζ ACB=40 0 ,P ，Q 分别在BC ，CA 上，
并且AP ，BQ 分别为ζ BAC ，ζABC 的角平分线.求证:BQ+AQ=
AB+BP. 
(全国初中数学联赛题)
13毡
食
食
第
15 讲
等腰三角形
~Gtt\Cti\ 
食
食女
食
食女
'传
食女
15. 如图，在锐角.6.ABC 的边上分别作等腰Rt .6.ABP 和等腰Rt .6.AQC ，其
中正APB 和ζAQC 都是直角，点M 是BC 中点，连接PM ，QM ，PQ. 求
证:.6. PMQ 为等腰直角三角形.
(湖北省黄冈市竞赛题)
16. 如图，在正五边形ABCDE 中，过点C 作CD 的垂线，与边AB 交于点
F. 求证:AE+AF=BE.
(伊朗几何奥林匹克试题)
C 
心B
A 
(第
1 5 题)
(第16 题)
( 第
17 题)
17.
如图，在L:.ABC 中
，AB = AC ，ζ BAC = 8 0 0 ，。为L:.ABC 内一点，且
ζ OBC=lO O ，ζ OCA = 20 0 ，求ζ BAO 的度数.
(天津市竞赛题)
18.
如图①，在.6.ABC 中
，CA = CB ，ζ ACB = α ，D 为.6.ABC 内一点，将
.6.CAD 绕点C 按逆时针方向旋转角α 得到.6. CBE ，点A ，D 的对应点分
别为点B
，E ，且A ，D ，E 三点在同一直线上.
(1)填空:ζ CDE= 一一一一一(用含α 的代数式表示) ; 
(2) 如图②，若α=60 0 ，请补全图形，再过点C 作CF _l AE 于点F ，然后
探究线段CF ，AE ，BE 之间的数量关系，并证明你的结论;
(3) 若α =90 0 ，AC = 5 疗，且点G 满足ζAGB = 90 0 ，BG = 6 ，直接写出点
C 到AG 的距离.
&E !\ 
图①
图②
(第
1 8 题)
(湖北省十堪市中考题)
19. 如图①，.6.ABC 中，沿ζ BAC 的平分线AB l 折叠，剪掉重叠部分;将余
下部分沿ζ B1A 1 C 的平分线A 1 B z 折叠，剪掉重叠部分;……;将余下部
分沿ζ BnA nC 的平分线A nB 什l 折叠，点Bn 与点C 重合.无论折叠多少
次，只要最后一次恰好重合，我们就称ζ BAC 是.6.ABC 的"好角"
小丽展示了确定ζ BAC 是.6.ABC 的好角的两种情形.
情形一:如图②，沿等腰三角形ABC 顶角ζ BAC 的平分线AB l 折叠，
点B 与点C 重合.
最?已/
学科精英大视野系列丛书
~~IÃ'\ 
女女
食
含
1曲
食
( J 飞革!6l )
力'食
食
情形二:如图③，沿l::.ABC 的ζBAC 的平分线AB l 折叠，剪掉重叠部分;
将余下部分沿ζB I A1C 的平分线A I B 2 折叠，此时点B l 与点C 重合.
A ~ 
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B, 
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B, 
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~ 
B, 
B, 
'-' 
图①
图②
图③
(第
1 9 题)
探究发现
(1) l::.ABC 中，ζ B=2 ζC ，经过两次折叠，问ζ BA C 是不是l::.ABC 的
好角?
(填"是"或"不是");
(2) 小丽经过三次折叠发现了ζ BAC 是l::.ABC 的好角，请探究ζ B 与
ζC( 不妨设ζ B > ζC) 之间的等量关系;
根据以上内容猜想:若经过n 次折叠ζ BAC 是l::.ABC 的好角，则
ζB 与ζ C( 不妨设ζ B >ζ C) 之间的等量关系为
(3) 小丽找到一个三角形，三个角分别为
15 0 ，60 0 ，105 0 ，发现
6 0 。和
1 0 5 。
的两个角都是此三角形的好角.
请你完成: 如果一个三角形的最小角是
4 0 ，试求出三角形另外两个
角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
( 江苏省淮安市中考题)
通过折叠方式定义" l::.ABC 的好角"对于(3) ，在(2) 的基础上，引人字
母表示此三角形另两角.
20 . 在Rt l::.ABC 中，ζ BAC=90 0 ，边BC 上的垂直平分线与AC 交于点K
，
线段BK 的垂直平分线与AB 交于点L. 若CL 平分ζ ACB ，求ζ ABC ，
ζ ACB 的所有可能值.
( 爱尔兰数学竞赛题)
第
15 讲
等腰三角形
与静c主i竟
罩丽丽ir-- W ... 
• 
阳
帽
例
1
(1) 12 0 
设丘ζ乙BAC = 工，则丘ζ三B ' BD = 2 工趴' ζ CBD = 4工，ζ AA ' B = ζζ二ABA '= 丘ζ乙CBD= 4x ，而
ζ
AAFAB=÷ (旷
Zρ) ，由÷(1旷
zρ) + 4x+4钉工= 1
o 
~ _ 
180 0 -40 0 
_ _0 
(2) 110 
ζ 2 =ζ OCD = 40 0 ，BC = DC ，ζ BCD =40 0 ，ζ 1 = 一
2一一= 7 0' .
例2
(1 ) B 
6 DEF 为等腰直角三角形，ζ AED =45 。十ζ AEG = ζ AGF .
(2) C 
例3
延长DB 至E ，使BE = AB ，连AE ，则ζ ABC=2L乙E = 2ζ C ，ζ C=ζ E.
例4
如图延长FM 至P 点，使MP = MF ，连BP ，则6 BMP C/) 6 CMF ，
: . BP = CF. 
.: AD 平分ζ BAC ，AD // FM, 
过?革
E 
-丹、王F
/TV 它\
B~
飞~ C
、-
\、4\
、尸
川
、也P 
( 例的
食
食
食
，传
食女
食女
女
二ζ 1=ζ2=ζ3 =ζ4=ζ E=ζ p ，
:. AE= AF,BE= BP= CF, I!.p AB+ AE= AB+ AF= AB+ AC- CF= CF , 
:. CF= ~ (AB+ AC) 
例5
(I)AM=zf
(2)
由L，BDE兽L，ADF 得BE=AF.
学科精英文视野系列丛书
(3) 过点M 作MPj_AM ，交AB 的延长线于点p ，证明L，PMB且L，AMN ，PB= AN ,AP= AB+ AN= j2AM. 
例8
下列解法仅供参考，请读者完成.
证法1 :如图①，作ζABC 的角平分线交AC 于点E ，过D 作BE 的平行线，交AC 于点F ，交AB 的延长线
于G.
证法2 :如图②，延长DB 至E ，使BE =AB ，连接AE.
证法3 : 如图③，延长AB 至G ，使BG= BD ，连接CG ，DG.
与A71大C
/外\才\
图①
图②
(例8)
180 。
1. 
1 5。或
18 。
三内角比为
4 : 7 : 7 或7 : 4 : 4. 
2. 36。或
7
图③
• 
………「…. .
3. 3 
原式=(α +b) (c十1) =12X2=8 X3 = 6X4 ，底边的长只能为
c ，满足条件的三角形有3 个: c =l ，
α =b=6;c=2 ，α =b = 4;c=3 ，α =b=3 . . 
4. (1) 90。或
75 。或
1 5 。
(2) 1 2。设ζA = x ，则ζA = ζAP2 P 1 = ζAP l 3 P 1 ， =x ，ζ P2 P 1 P3 = ζ P l 3 P 1, P l2 = 2工，L. P3 P2 P，= 
ζ P I 2 P 13 P3 = 3x ，… ，ζAP7 P8 == ζAP8 P7 = ζ P7 P6 P8 = 7x ，由工+ 7x +7x = 180。得x= 1 2 0 •
S. 20 
6. 60。设ζBAM= ζ CAN=x ，ζMAN = ζAMN=y ，ζANM= ζC +ζ CAN ，ζBAC= ζC ，I!.p 
ζANM=3x十y ，在L，AMN 中3x十3y= 180 0 ,x + y= 60 0 , I!.p ζ MAC =60 0 • 
7. C 
分别以A ，B ，C 为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4 个;分别以AB ，AC ，BC 为底的等腰三角形
有3 个.
8. B 
9. C 
L，COD 为等边三角形，当AO= AD 时，由19 0 0 -a= α- 60 0 ，得a=125 0 ; 当OA=OD 时，由2(α-
60
0
) +(1 90
0 -a) =180 0 ，得α= 110 0 ; 当OD=AD 时，由2 (1 90 0 -a) 十(α- 60 0 ) = 180 0 ，得自= 140 0 • 
10. C 
11. B 
在BC 上截取CD = CA ，连接ID ，则L，ACI三L，DCI ，AI = BD= D I.
12. B L.ABC = 1 2 0 ，ζMBC z ÷ (1 80。一1们= 84 0 , L.BCM = 旷
L.ACB = 旷:- 132 0 = 48 0 , 
:. L.BMC=180
0 - 84
0 -48
0 =48
0 , :. BM=BC 又ζACN=
~ (1 80。一ζACB) 二~ (180 0 -132 0 ) = 24 0 , 
2 
，
~ ~-
~. 
. ~~
/ 
~ 
.
ζBNC= 1 80。一ζABC 一ζBCN= 1 80。一1 2 0 -
( ζACB + ζACN) = 168。一(1 32 0 + 24 0 ) = 120 =ζABC ， 
却/
( 川军主Ll )
女
4吃
女*
飞L7
，传
食
食
，曾
第
15 讲
等腰三角形
:. CN=CB ，故BM=BC= CN.
13.
以下证法仅供参考: 以AD 为边在6ABD 内作等边6ADE ，先证6 EAB 且6 DA C ，再证6ABE且
6DBE 即可.
14. 延长AB 至M ，使BM=BP ，BQ = QC ，证明AC=AM.
15. 延长PM 至N ，使MN=PM ，则6 PBM旦6 NCM ，连QN ，可证6APQ旦6CNQ ，得PQ=QN ，
6PQN 为等腰直角三角形，从而6 PMQ 为等腰直角三角形.
A / i p 
16. 下面证法仅供参考
:
/川"-.._IF
如图，延长EA 交CF 的延长线于点p
，通过计算得: ζAPF = ζAFP = ζ BFC= 54 0 , 
J:' ~ 
飞B
P
. 
\ 
... 
I 
j
一
一飞、
AF=AP ,AF// EC , 
\ 
", 11 
.. ζ ECP = ζAFP = ζ APF ，EC= EP ， 
\_一一」二J
D 
C 
(第16 题)
故AE+AF =AE+ AP = EP = EC = BK
17.
作ζ BAC 的角平分线与CO 的延长线支于点D ，连接BD ，则6ABD三6ACD ，则
ζABD = ζACD = 30 0 ，ζOBD = ζABC - ζ OBC一ζABD = 20 0 = ζABD ，ζ DOB = ζ OBC + ζα~B =400=
ζ DAB ，从而6ABD旦60BD ，AB=OB ，I!r 6ABO 为等腰三角形，得L BAO= ~ (1 80。一ω。) =70。
18. (1) 旷一÷α
(2) 俨手(AE一肌图略
( 3) 点C 到AG 的距离为
1 或7 ，点G 、点C 在AB 同侧或异侧.
19. (1)是
(2) ζ B = ηζ C
(3) 设另两角分别为4mO ，4mn O (m ，n 为正整数) ，则4m +4mn +4 = 1 80 0 ，得m ( η 十1) = 44 ，经讨论得
4m= 4 ,4mn= 172 ;4m= 8 ,4mn= 168 ;4m= 16 ,4mn= 160 ;4m=44 ,4mn= 132 ;4m=88 ;4mn= 88. 
故该三角形的另外两个角的度数分别为矿，172 0 ;8 0 , 168 0
; 160 , 160 0 ;44 0 , 132 0 ;88 0 ,88 0 • 
20. 分三种情形考虑:
(l) AC> AB. 
如图①，设ζ LBK = ζ LKB = a.
则ζ KLA= 2a ，ζ LKA =90 0 - L.乙KLA =90。一2日.
A 
/ "-....K 
L /----;71"-.... 
由BK = KC ，得ζKBC= ζ KCB = ~L BKA = ~ [ (90 0 - a) +μJ=4户ta
1 
, _.,. 
1 
B 
T 
C 
2 ~_ .. . . 
2 
图①
作LTj_ BC ，垂足为T.
(第20 题)
因为CL 平分ζACB ，所以LT= LA .
又LB=LK ，ζ BTL= ζ KAL =90 。
儿BTL旦6KAL ，得ζLBT= ζ山，日+145 0 - ~ 1 = 90 0 -2日，..♂8 0 ，1-1- LABC=们÷时4 0 ，
\ .-
2) 
.. ζ ACB = 90
。
正三ABC = 36
0
.
(2)AC< AB. 
如图②，设ζ LBK = ζ LKB = α .
则ζ KLA=2α ，ζ LKA=9 0
0 - L KLA =90
0 -2 日.
作LTj_ BC ，垂足为
T.
B 
因为CL 平分ζACB ，所以LT= LA.
由LB = LK ，ζ BTL = ζ KAL = 90
0
，
:. 6BTL旦6KAL ，得ζ LBT= ζLKA = 90。一2日，ζ CKB = ζ CBK = 90
0 - a ，:. CB= CK. 
又BK = CK ，则6BKC 为等边三角形.
故ζ CBK=9 0
0 -a =60
0=:>a=30
0
，
.. ζ ABC= 90。一2日= 30
0
，L.三ACB = ζ KCB =60
0
.
(3) AC = AB ，此种情况不成立.
λ
1 4 1 i 
、-咱
K 
(第20 题)
C 
t--..(t) ~A 
画一个边长为
1 的正三角形，然后在每边
再画一个边长为士的小正三角形，按上述方
法，重复画出越来越小的正三角形.左图是瑞
典数学家科克于1904 年创造出的一种用几何
图形描述雪花的方法，人们把它叫作"科克雪
花曲线"，它具有无穷大的周长和有限的面积.
-q;(峙，…….
需16 i:J:J 
菩诅三国fH
I 
.-…' 
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的特殊性体现在边、角、对称性，以
及如下性质: 等边三角形内任意一点到三边的距离和是一个定值，等于一边
上的高.
利用特殊角或线段构造等边三角形，进而运用等边三角形的性质为解
题服务是解相关问题的常用技巧.
熟悉以下基本图形、基本结论:
AAA A 在
如雨蟹幡决
例1
如图，已知六边形ABCDEF 的各个内角等于
1 20 0 ，AB +AF =5 ，
AF+ FE = 6 ，AB = CD ，则六边形ABCDEF 的周长为
居题思茵
通过向外补形，把六边形问题转化为三
角形或四边形问题加以解决.
Q~~) 
(重庆市竞赛题)
A\ 
)D 
实验、坚持不懈、
试错、冒险、即兴发
挥、最佳途径、迂回前
进…… 随机应变，所
有这些都有助于应付
变化.
卡尔
· 韦克
莫利定理
将任意三角形的
内角三等分，则与每
边相邻的两条三等分
线的支点构成一个等
边三角形.
这一结论由著名
数学家莫利发现，被
誉为自欧几里得以来
所发现的最为优美的
t::\G.:\&;,t\ 
( 川军细)
女食
*
女食
，传
食
食
第
1 6
ì井
等边三角形
例2
如图，等边6ABC 的边长为4 ，点。是6ABC
的中心，ζFOG = 12 0 0 ，绕点。旋转ζFα2，分别交线段
AB ，BC 于点D
，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论: ①
OD=OE; ②56ωE = 5 6 BDE ; ③四边形ODBE 的面积始终
等于fd; ④6BDE 周长的最小值为6 上述结论中正确
的个数是(
) . 
A. 1 
B. 2 
C. 3 
D. 4 
(山东省德州市中考题)
鲤塾翌些
四边形ODBE 是一特殊四边形，这是解题的基础;对于④，
代数化或关注特殊情形.
G 
例3
如图
，6ABC 中，ζ B = 60 0 ，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使
AE=BD ，连CE ，DE ，若CE=DE ，求证:6ABC 是等边三角形.
(" 希望杯"邀请赛试题)
耀忠思路
只需证明AB = CB. 条件AE = BD ，CE=
lf 
DE 能导出什么结论?延长BD 至F ，使DF = BC .
B 
C 
D 
悟IJ 4 
(1)已知
: 6ABC 是等腰三角形，其底边是BC ，点D 在线段AB
上，E 是直线BC 上一点，且ζ DEC = ζ DCE ，若ζA = 60 0 ( 如图①) .求证:
EB = AD; 
A 
A 
E 
B 
C 
D 
C 
国①国②
(2) 若将(1)中的"点D 在线段AB 上"改为" 点D 在线段AB 的延长线
上"，其他条件不变(如图②) , (1)的结论是否成立?并说明理由;
(3) 若将(1)中的"若ζ A = 60 0 " 改为"若ζ A = 90 0 " ，其他条件不变，则
EB 
一一的值是多少?
AD 
矗
矗
4
喃
、
，
、
目
，
，
町
缸
.
川
u
叶
」
飞
h
y
对于比较困难的
几何问题，需要把分
散的条件加以集中，
使隐含的条件加以显
现，通过简单的几何
交换，常可以达到转
化的目的.
判定等边三角形
的基本思路有:
(1)从边入手;
(2) 从角入手;
(3) 从边、角入手.
~t::\~ 
食
食
1与
食
食女
食
食女
(直接写出结论，不要求写解答过程)
(山东省泰安市中考题)
髓题思路
对于(1) ，通过作辅助线，构造全等三角形;把解决(1)的方
法恰当迁移至问题(2) 、(3) 是解题的关键.
例5
已知:等边6ABC 的边长为α.
探究
1
如图①，过等边6ABC 的顶点A
，B ，C 依次作AB
，BC ，CA 的
垂线围成6MNG.
求证:6MNG 是等边三角形且MN= J3a;
探究2
在等边6ABC 内取一点。，过点0 分别作OD l_ AB ，OE上BC ，
OF l_ AC ，垂足分别为D ，E ，F.
A 
A 
G 
N 
B 
C 
B 
图①图②图③
(1)如图②，若点。是6ABC 的重心，我们可利用三角形面积公式及等
边三角形性质得到两个正确结论(不必证明) : 
结论1
0D+OE+OF=fG; 
结论2
AD+BE+CF= ~α 
(2) 如图③，若点。是等边6ABC 内任意一点，则上述结论1，2 是否仍
然成立?如果成立，请给予证明;如果不成立，请说明理由.
纣桥E军帽
探究
1 的结论对于探究2 的结论2 起
到了提示作用，构造等边三角形将AD + BE + CF 转
化为OD +OE+OF 的情形.
探究
1
略
探究2
结论
1
，2 仍然成立.证明如下:
如图④，过点A ，B ，C 依次作边AB
，BC，CA 的垂
线围成6MNG ，则6MNG 为等边三角形且MN=
J3a ，过点0 分别作OD' l_ MN 于D' , OE' l_ NG 于
是.4 4
图④
学科精英大视野系列丛书
例5 揭示了等边三
角形的几个重要性质.
如图，已知6ABC
为等边三角形，0 为
AB 于D
，OE 上BC 于
E
，OF上AC 于F ，则:
(1) OD+OE+ 
OF 为一定值;
(2) AD+ BE+ 
AABC 的周长
CF=2' 
为定值;
(3) 
S"'ADO + 
S"'CFO 
A 
B 
E 
C 
你有不同于例
5
1'J:\&i\c..\ 
合食
含
1曲* 食
( 川军
m )
食
食
E' ，OF'上MG 于F' ，æ 结论得ODF +OEf+OY=fMN=卡
又四边形ADOF 为矩形，:.OF'=AD.
同理OD'= BE ，OE' =CF.
•. AD+ BE十CF= OFV ODF +OEF=?α
例6
如图，在等腰6ABC 中，AB = AC ，顶角A = 20 0 ，在边AB 上取点
D ，使AD=BC ，求ζ BDC 的度数.
("祖J中之杯"竞赛题)
衍桥
虽然80 0 ，20 0 ，80。并不是特殊角，但是它们的差却为60 0 ，6 0。使我
们联想到等边三角形，由此找到解题突破口
A
睡法1
如图①，以BC 边为边在6ABC 内作等边6 BCO ，
连AO ，由图形的轴对称知，6ABO旦6ACO.
.
ζ BAO= ζ CAO= 10 0 ，ζABO=20 0 ，ζAOB = ζAOC 
= 150 0 • 
又BO =BC= AD ，
二6ACD旦6BAO ，
λ ζADC= ζAOB=150 0 • 
.
ζ BDC = 30 0 • 
幡洁2
如图②，以AC 为边作等边6ACE ，
连DE ，则ζ BAE = 80 0 ,AC= AE= CE. 
A 
B 
C 
图①
: AD = BC ，ζ B = ζ DAE = 80 0 ， 
AB=AC=AE, 
DLI.一一一一一一一一二工'，-E
. 6ADE旦6BCA ，
.. ζAED = 20 0 ，ζ ADE =80 0 ， 
.• AE = DE = EC ，ζ DEC = 60。一20 0 = 40 0 ，
B 
.
ζ CDE = 70 0 ，ζADC = 80 0 + 70 0 = 150 0 , 
λ ζ BDC=30 0 • 
旗转固形
C 
图②
因等边三角形有丰富的性质，故恰当旋转等边三角形(通常旋转60 0 ) , 
可使分散的条件加以集中.
例7
如图
，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到
三个顶点A
，B ，C 的距离分别为3 ，4 ，5 ，求6ABC 的面积.
纣#斤2号瞄
由
3 ，4 ，5 想到勾股数，怎样使它们集中于
一个三角形，这是解题的关键，不妨实施旋转变换，而确定
旋转对象需三思.
145.1 
飞时堪
A 
/13 \ 
/~\ 
B 
C 
第
16 讲
等边三角形
解几何题，一些
特殊的数量(如
300 ，
45 0 ，600 ，900 ，1200 ，150。
等)能引起我们对重要
知识的联想，进而构造
相应的图形，这是解特
殊三角形、特殊四边形
有关问题的一个常用
才主巧.
例
6 正是充分注
意到己知条件中的数
量关系，通过构造等
边三角形、会等三角
形而顺利求解的.
构造等边三角形
的常见方式是:
(1 )在等且要三角
形的基础上构造;
(2 ) 在60。角的基
础上构造;
(3) 在已知的角
与
60 。有关联时构造.
波利亚曾说"拿
一个有意义又不复杂
的题目去帮助学生发
掘问题的各个方面，
使得通过这道题就好
像通过一道门户，把
学生引入一个完整的
领域
"
~~~ 
+
R
击
R
食
可'* * 
'盹书
才注
，传
~ 刻意练习
1.如图，D 为等边l'-，ABC 内一点，BD=DA ，BE=AB ，ζ DBE= ζ DBC ，则
ζ BED 的度数是
A 
人
C 
B 
C 
(第1 题)
(第2 题)
(河南省竞赛题)
D 
M 
(第3 题)
2. 如图，等边l'-，ABC 内有一点p ，分别连接AP ，BP ，CP . 若AP=6 ，BP =
8 ，CP = 10 ，贝tl Sl:;.ABP 十Sl:;.ACP = 
(四川省巴中市中考题)
3. 如图，AC ，BD 在AB 的同侧，AC=2 ，BD=8 ，AB=8 ，点M 为AB 的中
点，若ζCMD=120 0 ，则CD 的最大值为
(湖北省黄冈市中考题)
4. 如图，一个六边形的六个内角都是120 0 ，连续四边的长依次是1，3 ，3 ，2 ，
则该六边形的周长为
("祖J中之杯"竞赛题)
5. 如图，在l'-，ABC 中，已知ζ CAB = 60 0 , D , E 分别是边AB
，AC 上的点，
ζAED = 60 0 ，ED十DB = CE ，ζ CDB = 2 L乙CDE ，则ζDCB =
(全国初中数学联赛题)
A 
3 
AA 
3 
(第4 题)
(第5 题)
B 
C 
(第6 题)
6. 如图，P 是等边l'-，ABC 内部→点，ζAPB ，ζBPC ，ζCPA 的大小之比是
5 : 6 : 7 ，则以PA ，PB ，PC 为边的三角形的三个角的大小之比(从小到
大)是(
). 
A . 2 : 3 : 4 
c. 4 : 5 : 6 
B . 3 : 4 : 5 
D . 不能确定
最二/
学科精英大视野系列丛书
数学爱好者、法
国数学的早期推动者
拿破仑在南征北战的
军事行动中，身边总
是簇拥着数学家、科
学家. 他在数学上有
较深造诣，时常与学
者讨论科学问题，甚
至出"难题"
如下图，取一个
三角形，在其边上向
外各作一个等边三角
形，此时这三个新的
三角形的中心又形成
一个等边三角形.
传说是拿破仑发
现了这一定理，史称
"拿破仑三角形"
I'Á-\~~ 
( 川军盟)
飞入".
... 
"吨'飞
J. 
〉斗了
r, 
'0. 
食
食
食
女
7 . 如图，在四边形ABCD 中
，AC ，BD 是对角线，，0，ABC 是等边三角形，
4乙ADC=30 0 ,AD=3 ，BD =5 ，则CD 的长为(
A. 3 J2 
B. 4 
C. 215 
9 
D. 2 
(全国初中数学联赛题)
A 
/•\ 
~F 
l!J 
B~c 
7
C 
B 
C 
D 
E 
(第
7 题)
(第8 题)
(第
9 题)
8 .
如图，设，0，ABC 和，0，CDE 都是正三角形，且ζ EBD =6 2 0 ，则ζ AEB 的度
数是(
) . 
A . 124 0 
B. 122 0 
C. 120
0 
D. 118 。
(四川省竞赛题)
9 . 以锐角
，0，ABC 的各边为长，在，0，ABC 形外分别作等边三角形，得
,0,ABD , ,0,BCE , ，0，CAF ，结论:
( AE=BF=CD; 
②AE ，BF ，CD 交于一点;
③AE ，BF ，CD 每两条夹角(锐角)都等于60
0
•
正确选项是(
). 
A. ①②③都不成立
B . ①②③都成立
C . ①③成立，②不成立
D .
①成立，②③不成立
10 . 如图，一个凸六边形的六个内角都是120 0 ，六条边的长分别为a ，b ，c ，d ，
e ，J ，则下列等式中成立的是(
). 
A. a 十b十c= d+e+J 
C .
α +b=d +e 
C>
B. a +c+e= b + d 十f
D. a+c=b+ d 
A 
("希望杯"邀请赛试题)
D 
C 
B 
(结了10 题)
(第11 题)
11. 如图，已知四边形ABCD 中
，AB=AD ，ζ BAD =60 0
，ζ BCD=120
0
，求
ì_jE, BC+ DC=AC. 
(湖北省黄冈市竞赛题)
147.1 
、_. 嘻
食
第
' 6 讲
等边三角形
t::\1'i:\G:\ 
食
食
食
，传
食女
食
7~
女
12.
如图，已知等边ßABC ，在AB 上取点D ，在AC
R 
上取点E ，使得AD=AE ，作三个等边三角形
PCD ，QAE 和RAB
，求证:P ，Q ，R 是等边三角
形的三个顶点.
(江苏省竞赛题)
13.
如图，在ßABC 中
，AD 为BC 边上的中线
，E
是线段AD 上一点，且AE=÷BC ，BE 的延长
线交AC 于F. 若AF=EF ，求ζADB 的度数.
C 
(第
12 题)
(日本数学竞赛题)
A 
A 
B 
B 
C 
(第13 题)
(第14 题)
(第
1 5 题)
14. 如图，在ßABC 中，ζBAC= ζ BCA = 44 0 ，M 为ßABC 内一点，使得
ζMCA=30 0 ，ζMAC=16 0 • 求ζBMC 的度数.
(北京市竞赛题)
15. 如图，P 为MBC 内部一点，使得ζPBC=30 0 ，ζPBA= 矿，且ζPAB=
ζPAC=22 0 ，求ζAPC 的度数.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
16. (1)操作发现:
如图①，D 是等边ßABC 边BA 上一动点(点D 与点B 不重合) ，连
接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边ßDCF ，连接AF. 你能发现线
段AF 与BD 之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.
点l
B!S; F B~ 
F'; 
图①
(2) 类比猜想:
图②
图③
(第16 题)
'F 
C 
图④
如图②，当动点D 运动至等边ßABC 边BA 的延长线上时，其他作
法与(1)相同，猜想AF 与BD 在(1)中的结论是否仍然成立?
45 
学科精英大视野系列丛书
与p c主;费
远'圃，事-巨
~、I~~
女食
，际
( J\ 军细)
女食
食
女食
，传
(3) 深入探究:
①如图③，当动点D 在等边LiABC 边BA 上运动时(点D 与点B
不重合) ，连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边
LiDCF 和等边Li DCF' ，连接AF ，BF' ，探究AF ，BF' 与AB 有何
数量关系?并证明你探究的结论.
②如图④，当动点D 在等边三角形边BA 的延长线上运动时，其他
作法与图③相同，①中的结论是否成立?若不成立，是否有新的
结论?并证明你得出的结论.
(湖南省岳阳市中考题)
17 . 如图，在LiABC 中，ζABC= 60 0 ，ζ ACB = 40 0 , P 为
ζ ABC 的平分线与ζ ACB 的平分线的交点，求证:
AB=PC. 
(北京市竞赛题)
18. (1) 发现:
如图①，点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b.
填空
: 当点A 位于
时，线段AC 的长取得最大
值，且最大值为
(用含a ，b 的式子表示) . 
(2) 应用:
点A 为线段BC 外一动点，且BC=3 ，AB= 1. 如
图②所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形
ABD 和等边三角形ACE
，连接CD ，BE.
①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由;
②直接写出线段BE 长的最大值.
(3) 拓展:
D 
nÄ 
(第
17 题)
E 
B 
C 
图②
如图③，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2
，0) ，点B 的坐标为(5 ，
0) ，点P 为线段AB 外一动点，且PA=2 ，PM=PB ，ζ BPM=90 0 • 请直
接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.
y 
y 
M 
B 
x 
。I
A 
B 
X 
P 
图③
备用图
(第
18 题)
(河南省中考题)
14结
第
16 讲
等边三角形
理?旦旦f费
事'咽'
布.... 区
~~~ 
食
食
食
，传
节传
言与
食肯
A 
):{ 
学科精英大视野系列丛书
• 
…·……………... • 
例
1
17 
如图，延长AB ，CD ，EF 交于P
，Q ，R ，显然6PBC, 6AQF, 6 DER , 6PQR 都是等边三角形.
设六边形ABCDEF 的各边依次是α
，b ，c ，d ，e ，j ，由已知，α + j=5
，j+e=6 ，α =c ，因6PQR 是等边三角形，于
是有α +b+j=b+c+d=e+d + ~ 可算出α =5- j ,b=l + j ,c=5- j ,d= j ,e=6- j ，于是a 十b+c+d+e+
j=17. 
p 
b/' 
'\b 
BL一
\λC
/ 
b 
\ 
/a 
c \ 
A/~ 
.
飞~D
f/ \f
扩
V
，、
o
I
、
Q」77ι77'k
(例1)
(例2)
例2
C
连接佣，。ω DOB 且6EOC. OD = 饵，BD= CE , S 6 0BC = S…「÷hc = 字当
ζ Fα3 绕点。旋转到使OF..lAB ，C卫..l BC 时，如图，计算得S6∞E 手S6BDE
，6BDE 的周长=BD+BE 十DE=
CE+BE+DE=BC十DE=4+DE ，要使6BDE 的周长最小，则DE 的长最小，此时BD=BE =DE=2.
例3
延长BD 至F ，使DF=BC ，连EF ，则6 BCE旦6 FDE ，EB=EF.
L三B=60
0 ，:. 6 EBF 为等边三角形，:. EB=FB. 
.: AE=BD ,BD=CF ,:. AE=CF. :. AB=CB ，故6ABC 为等边三角形.
例4
(1)过点D 作DF // BC 交AC 于点F ，证明6DBE且6CFD ，得EB=DF=AD.
(2) 方法不变，(1)中结论仍成立.
EB 
DF 
r=-
(3) 同理作DF//BC 交AC 于点F 一-=一::::=J2.
'AD 
AD -"(.-
锣IJ 7 
在同一平面内，将6PBC 绕点B 逆时针旋转60 。至6 DBA ，如图所示:
.: PA =3 ,PB=4 ,PC=5 , 
:. DB=PB=4 ,DA = PC=5. 
:. 6 DBP 是等边三角形.
.. ζ DPB=60 0 ,PD=4. 
在6ADP 中，
.: PN + PD2 =3 2 +4 2 =25=AD2, 
二ζAPD=90 0 ，正三APB = 150 0 • 
过点B 作BE ..l AP 支AP 的延长线于点E
，易知ζ BPE=30 0 ，
:.BE= ~ BP=2 ，PE=213 ，AE= 川江，
:.AB2 = BE2 + AE2 =2 2 十(3 +213)2 =25+ 12汀，
Sγ3 
A~ ? 
~
，
25 J3 
A且c =ZABZ =9+ 干二
~， 
A 
"，""-11 、
D~-/-- // \ 
V~---/._lP \ 
B~J
户
E 
~ 
(例7)
军
女*
食
女食
食
力'
食
食
第
16
i井
等边三角形
1. 30 。
-
•••• • 
2. 913+ 24 
才巴6ABP 绕点A 逆时针旋转
60 。到6AP ' C ，连接pp ' ，则原式=5四川APCP ' = 56 APP' + 
56 PCI" • 
3. 14 
如图，将6 CAM 沿CM 翻才斤至6 CA'M ，将6 DBM 沿DM 翻才斤至
D 
6 DB 'M ，连接A'B' ，则6A'MB ' 为等边三角形
，CD< CA' + A' B '+ B 'D ，当
C ，A' ，B' ，D 四点共线时，CD 有最大值，CD 的最大值为CA ' + A' B ' + B'D = 
2+ 4+8= 14. 
4. 15 
B 
S. 
20 。
延长DB 至F ，使BF=ED ，连接CF ，则6AED ，6ACF 都为等边
(第3 题)
三角形，可证明6 CAD旦6CFB ，ζ ACD= ζ BCF =20 0 •
6. A 
将6ABP 绕B 点J顿时针旋转60 0 ，得6CBD ，则6ABP且6CBD ，6PBD 为等边三角形.
7. B 
以CD 为边作等边6 CDE ，连接AE ，可证明6BCD旦6ACE.
8. B 
6BCD 三6ACE ，则ζ DCB = L ECA ，设ζ BAE = 日，则ζ CBD = ζ CAE = 60 。
日，ζ EBC =
ζ EBD一ζ CBD=2 0 + 日，于是ζ EBA =60。一(2 0 + a) =5 8 0 -a ，故ζ AEB=180 。
日
(58 。
日)= 122 0 •
9. B 
OA 乎分ζ DOF ，OE 平分ζ BOC ，A ，O ，E 在一条直线上.
10. C 
1 1. 延长BC 至E ，使CE = CD ，连BD ，DE ，则6DCE ，6ABD 都是等边三角形，:. DE= DC, DB = DA. 
L乙BDE =60 0 + ζ BDC= ζADC ，:. 6BDE豆6ADC ，:. BE = AC ，故BC+ CD = A C.
12.
连接BP ，可证明6ADC且6 BPC ，又ζ RAB 十ζ BAC+ ζ QAE =180 0 ，二R ，A ，Q 三点共线.
ζ CBP = ζ CA D =60 0 ，ζ RBA + ζABC + ζ CBP = 1 80 O，:. R ，B ，P 三点共线，而AQ =A E =A D =
BP , :. BQ = RA 十AQ = RB + BP = RP ，又ζR =60 0 ，故6 PQR 是等边三角形.
13. 下面解法仅供参考:
如图，延长AD 至G ，使DG =AE ，于是AD =EG ，连BG ，则6ACD三6 EBG ，
:. BG= CD=BD= AE= DG. 
于是6 BDG 为正三角形，.. ζ ADC = 60 0 • 
故ζ ADB = 1 20 0 •
14. 以下解法仅供参考:
如图，以AC 为一边，向点B 所在的- 1m'] 作等边6ACN ，连接BN.
.: 6ACN 是等边三角形
，
. ζACN = ζANC = ζ CAN 
= 60 0 ;AC= AN 二CN.
根据边边边定理有6ABN旦6 CBN.
ζ ANB= ζ BNC = 30 0 =L ACM. 
又ζ BAN = ζ NAC
ζ BAC = 1 6 0 = ζ CAM ， 
J5址
(第13 题)
N 
'?\ 
/ (B\ 
// __ ----M ...... 飞兰、
A 
AJ乙二--
飞、c
(第
1 4 题)
食
食女
食
食古
，传
食女
学科精英大视野系列丛书
根据角边角定理有6ABN C/)6 AMC, 
180 。一2 8 。
得AB = AM ，ζ ABM= 一一一一一一=76 0 ，ζ CBM= 16 0 ，故ζ BMC = 1 50 0 •
2 
15.
如图，延长AC 至点Q ，使得AQ=AB ，则6 BAP 且6 QAP ，又ζ APB= 180 。一
ζ PBA
ζ PAB = 1 50 0 ，则ζ BPQ = 360。一ζ APB
ζ APQ = 60 0 •
因此，6 BPQ 是一个等边三角形
，BC 是PQ 上的中垂线，即ζ CPQ = ζ CQP= ζ PBA =
8 0 ，故ζAPC= ζAPQ-L乙CPQ= 142 0
•
16. (1) 、(2) 皆有AF=BD.
(3 ) ①AB = AF十BF' .
②AB=AF - BF' .
17.
如图，以PC 为边作等边6 PDC ，连接AP ，AP 平分ζ BAC ，可证明A ，P ，D 三点
共线
，6ABC且6 CDA ，故AB = CD = PC.
18. (1) CB 的延长线上，α + b
(2) (
DC= BE. 
②BE 长的最大值为
4 .
( 3) 如图①，构造6 BNP旦6MAP ，则NB = AM. 由(1 ) 知，当点N 在BA 的延长线
上时
，NB 有最大值，如图②，易得AN =2.f2 ，
:.AM= NB =3+ 2.f2. 
过点P 作PE 土工轴于点E ，则PE=AE= .f2 ，
人P(2 - .f2 ，.f2).
( 第
1 8 题)
β 
y 
x 
图②
A 
( 第
1 5 题)
( 第
17 题)
) ~ /1 
勾股定理具有世界性，几乎所有的文明古国
都对它有所研究
，勾股定理是数学上证明方法最
多的定理，已发表的证法有400 余种.
三国时期
，赵爽创造了一幅" 弦图"，用分、
合、移、补的方法证明了勾股定理.2 002 年在北京
召开的国际数学家大会就用这个"弦图"作为会
标.
q73土
. . ._-
需时言自二自由二!
'
如镰椒遮
直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质
: 角的关系、边的关系、
边角关系，这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段之间复
杂关系等方面有广泛的应用.
代数化、数形结合是运用勾股定理的常用技巧.
熟悉以下基本图形、基本结论:
r~ ~/G /t\ 
'
问题篇决
例
1
如图，在L':，ABC 中
，AB = BC = 4 , AO = BO , P 
是射线CO 上的一个动点，ζ AOC = 60 0 ，则当L':，PAB 为直
角三角形时，AP 的长为
川~B
\、U\
./ 
(江西省中考题)
Y 
睡题思路
运用句股定理求相关线段的长，因直角三角形直角顶点不
确定，故需全面讨论.
1 5祉
数学的伟大使命
在于从混沌中发现
秩序.
-一一坦普
· 贝尔
寻找规律
下面等式曾引起
美国科普大师加德纳
的兴趣
:
3'+4' =5' , 
10' + 11' + 12' 
= 13'+ 14' . 
他开始琢磨:如
何用一串连续自然数
的平方和构造等式?
其中有没有规律?
I'/í:.\~、，I'/í:.\
食
食
1与
食
食*
食
，传女
例2
如图，在四边形ABCD 中，ζ B = 135 0 ，ζC = 120 0 , AB = 2疗，
BC=4 一2J2，CD=4J2，则AD 边的长为(
A. 2)6 
B. 4)6 
c. 4+)6 
D. 2+2)6 
( "((数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
帽题思路
通过作辅助线，为直角三角形性质
B ____ç:_ 
的运用创造条件.
A 
D 
例3
如图，LACB 和LDCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线
上，连接BE.
C 
c 
" 
Jρ 
A 
B 
图①图②
(1)如图①，若ζ CAB= ζ CBA= ζ CDE= LCED=50 0 •
①求证:AD=BE;
②求ζAEB 的度数.
(2) 如图②，若ζACB = ζDCE = 120 0 ，CM 为LDCE 中DE 边上的高，
。阳
BN 为LABE 中AE 边上的高，试证明
: AE = 2J3CM十γBN
( 山东省舟泽市中考题)
幡盟军菌
的关系.
对于(2)
，AE=AD+DE ，迁移问题(1)的解法，寻找线段间
例4
(1) 数学理解:如图①，LABC 是等腰直角三角形，过斜边AB 的
中点D 作正方形DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，求AB ，BE ，AF 之间的
数量关系;
(2) 问题解决: 如图②，在任意直角LABC 内，找一点D ，过点D 作正方
形DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，若AB = BE+AF ，求ζADB 的度数;
( 3) 联系拓广:如图③，在(2) 的条件下，分别延长ED ，FD ，交AB 于点
M ，N ，求MN ，AM ，BN 的数量关系.
A 
A 
Fb二壮、
~N 
L| 飞飞飞之、
C 
E 
B 
C E 
B 
图①图@
图③
(贵州省贵阳市中考题)
￡!〉
学科精英大视野系列丛书
勾股定理在几何
中有着极其重要的作
用，一些著名问题都
可以归结为勾股定理
的应用.
(1) 中线公式
如图，α ，b, c
为
LABC 的三边长，AD
为LABC 中BC 边的
中线，则AIi = 士(2b'
+2c' -a' ). 
A 
JJ 
B 
D 
C 
(2) 斯坦纳定理
如图
，P 为LABC
内任意一点，PD上BC
于D ，PE l_ C孔子E ，
PF上AB 于F ，则AF
+ BIi 十CF=AF +
CIi +BF. 
B 
D
•c 
Gt.\~~ 
女食
食
女食
食
( 川军
!Il )
二合
食
，传
壁塑里堕
对于(2) ，条件AB=BE+AF 如何运用?对于(3) ，先猜后
证，把一直线上的三条线段集中于一个三角形中是解题的关键.
例5
(1) 问题背景:
在l::，ABC 中，础，BC ，AC 三边的长分别为点，jI石，刁言，求这个三角
形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方
形的边长为1) ，再在网格中画出格点l::，ABCC 即6A BC 三个顶点都在小正
方形的顶点处)
，如图①所示. 这样不需求l::，ABC 的高，而借用网格就能计算
出它的面积.
请你将l::，ABC 的面积直接填写在横线上:
(2) 思维拓展:
我们把上述求6ABC 面积的方法叫作构图法，若6ABC 三边的长分别
为$a ,2J2a , JI7a(a>O) ，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长
为α) 画出相应的l::，ABC ，并求出它的面积.
睡t
图①
图②
(3) 探索创新:
若l::，ABC 三边的长分别为而可五万，冯歹+ 4n 2 , 2 j;1τ;[Cm> O ， 
n>O ，且m弓句) ，试运用构图法求出这个三角形的面积.
(湖北省成宁市中考题)
晤题思路
由数到形，Fa言丰万的几何意义是直角边为α ，b 的直角三角
形斜边的长，这是解本例的关键.
例6
一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，
这样的直角三角形是否存在?若存在，确定它的三边长;若不存在，说明
理由.
(北京市竞赛题)
纣橱局瞄
假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a ，b ，c ，其
，α 2 + b2 =
C2 , 
中c 为斜边，则)
... 
ab 于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的
}α 十b +c = 言'
解. 由于a ，b ，c 均为正整数，所以α手b ，不妨设α> b ，则有α +b+ Fa言丰77=
字，两边平方整理得，年一什αb2 十忡忡去ab ，叫-a一旧= 0 ，
tr略
第
17 讲
直角三角形
在运用勾股定理
时，常需对a 2 + b2 = 
C2 进行变形，运用乘
法公式、整数与方程
知识综合求解.
例
5 、例
6 充分
体现了勾股定理运用
中的数形结合思想.
I"I:\R.:\~、
食
τ--
):々
食
食
û
，传
*女
即(α - 4) (b - 4) =8 = 1 X 8 = 2 X 4 
{:二;二:'或{:二;二;:分别得a =
1 2 ，b=5 ，c= 1 3 ; α =8 ，b=6 ，c= 1 0 . 
在固
如图①中边长为α ，b ，c 的四个全等的直角三
角形可以拼成如图②所示的图形，这个图形被称
为"弦圈"，由固①及弦固你能写出若干等式吗?
b 
a 
a l ~
飞
~ -
c\ I b 
l飞C
\1 
bl \ ~I a CE 
。
b
例7
阅读下面材料:
图①
图②
小明遇到这样一个问题:如图①，在边长为a(a > 2) 的正方形ABCD 各
边上分别截取AE = BF = CG = DH = 1 ，当ζAFQ = ζBGM = ζCHN =
ζDEP=45 。时，求正方形MNPQ 的面积.
小明发现，分别延长QE ，MF ，NG ，PH 交FA
，GB ，HC ，ED 的延长线于
点R ，S ，丁，W ，可得6RQF ，6SMG , 6 TNH , 6wPE 四个全等的等腰直角
三角形(如图②) . 请回答:
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重
叠) ，则这个新正方形的边长为
(2) 求正方形MNPQ 的面积.
参考小明思考问题的方法，解决问题:
如图③，在等边6ABC 各边上分别截取AD = BE = CF ，再分别过点D ，
E ，F 作BC ，A川B 的垂线，得到等边6R凡若S6RPQ =子，则AD 的长
为
R 
A E 
D 
H 
B 
G C 
图①
图③
A 
图③
( 北京市中考题)
些些壁堕
问题(1)为问题(2) 的解决提供了可以借鉴的方法，而解问
题(3) 需逆向思考，由面积求相关线段.
iJ:;P 
学科精英大视野系列丛书
赵爽，汉末三国
初数学家.
赵爽的无字证明
简洁而极富创意，他
用几何图形的截、割、
中国古代"形数统
一飞代数和几何紧密
结合的独特风格树立
了典范，更具有科学
创新的重大意义.
~~r~ 
女食
，传
女食
，际
女
食
第
17 讲
革
直角三角形
~~ 刻意练习
l. (1) Rt 6ABC 三边的长分别是工，X 十l 和
5 ，则6ABC 的周长=
，6ABC 的面积=
("希望杯"邀请赛试题)
(2) 以2009 12 为一条直角边，且三条边都是整数的不同的直角三角形(全
等三角形视为同→三角形)有
个.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
2. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分ζBAD ，AB = 21 , AD= 9, 
BC=CD=1 0 ，则AC=
("希望杯"邀请赛试题)
A 
B 
C 
p\ 
B 
(第4 题)
3. 如图，已知Rt6ABC 的两直角边AC = 5, BC= 12 ，AD 平分ζ CAB ，则
CD= 
(第3 题)
(第2 题)
(山西省太原市竞赛题)
4.
如图，在等腰Rt 6ABC 中
，AB = BC = 5 ，P 是6ABC 内一点，且PA =
在，PC= 5 ，则PB =
民
A
(全国初中数学联赛题)
5 . 如图
，AB 与CD 相交于点。，AB = CD ，ζAOC= 60
0 , 
ζACD + ζABD = 210 0 ，则线段AB ，AC ，BD 之间的等量
关系式为
(第5 题)
D 
G 
C 
F 
(第6 题)
(广西壮族自治区中考题)
6. 长方形ABCD 中嵌入了如图所示的5 个相同的正
方形和一个三角形，E ，F ，G ，H 分别在长方形的边
AB ，BC，CD 和DA 上.已知AB = 22 米，BC =20
米，则嵌入的图形总面积为
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
7. 设一直角三角形的两条直角边为a ，b ，斜边为c ，斜
边上的高为h ，那么以c+h ，α +b ，h 为边构成的三
角形的形状是(
) . 
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
c . 钝角三角形
D. 不能确定，形状与a ，b ，c 大小有关
B 
A 
~~~ 
("祖J中之杯"竞赛题)
过;给
食
食食
，传
食女
食
，传女
8. 对如下的三个命题:
命题
1 :边长为连续整数的直角三角形是存在的.
命题2 :边长为连续整数的锐角三角形是存在的.
命题3 :边长为连续整数的钝角三角形是存在的.
正确命题的个数为(
). 
A. 0 
B. 1 
C. 2 
D. 3 
(江苏省竞赛题)
9. 在直角三角形中，三条边的长均为整数，分别记为α ，b ，c ，其中
c 为斜边
长若c= 于一(a+
A. 3 
B. 4 
C. 6 
D. 12 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
10. 如图，在.6.ABC 中
，AB=AC=4 ，P 是BC 上异于B
，C
的一点，则Ap 2 十Bp
. PC的值是(
). 
A. 16 
B. 20 
C. 25 
D. 30 
("希望杯"邀请赛试题)
B' 
1 l.如图，在.6.ABC 中，ζC= 90 0 ，ζBAC= 60 0 ,AC= 1 , 
点D 在BC 上，点E 在AB 上，使得.6.ADE 是等腰直
角三角形，ζADE=90 0 ，则BE 长度为(
A. 4-2J3 
B. 2-J3 
1 
C. 言(J3-1)
D. J3 •
l 
A 
P 
C 
(第
10 题)
(全国初中数学联赛题)
A 
C 
f飞
A 
丘~c
A 
E 
B 
B 
C 
E 
(第
11 题)
(第12 题)
(第
13 题)
12. 如图，设.6.ABC 满足下面条件:AB=AC ，又D 是AC 上一点，且使BD上
AC ，而AD ，CD 长是整数且BD 2 =57 . 在所有这类三角形中最小的AC
的值是(
). 
A. 9 
B. 10 
C. 11 
D. 12 
E. 13 
(美国数学邀请赛试题)
13. 如图，过.6.ABC 内一点P 做三边的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，已知
AB=5 ，BC=7 ，AC=6 ，BE→AD= l，求AD+BE+CF.
(全国初中数学联赛题)
文2
学科精英大视野系列丛书·
9t c主i费
三边长为连续整
三角形存在吗?如果
存在，有多少个?
这是一个古老的
问题，这种三角形又
叫海伦三角形，第
8
题从一个侧面给出了
上述问题的答案.
Ct.\G.\CA 
女食
*
女食
，传
( 川军!lil )
会'食
食
14. 如图，自6ABC 内的任二点p
，作三角形三条边的垂线:PD l_ BC ，
PE上CA ，PF l_AB ，若BD =BF ，CD=CE ，求证:AE = AF.
(江西省竞赛题)
A 
E 
B~飞t-----7 c
D 
C 
(第
14 题)
(第
15 题)
15. 如图，在四边形ABCD 中，ζ ABC=30 0 ，ζ A DC =60 0 ，AD=CD ，求证:
BD2 = AB 2 十BC2 •
(北京市竞赛题)
16.
如图，在Rt6 BCD 中，ζ CBD=90 0 ，BC =BD ，点A 在CB 的延长线上，
且BA = BC ，点E 在直线BD 上移动，过点E 作射线EF l_ EA ，交CD 所
在直线于点F.
(1)当点E 在线段BD 上移动时，如图①所示，求证:BC-DE=子DF
(2) 当点E 在直线BD 上移动时，如图②③所示，线段BC ，DE 与DF 又
有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，不需要证明.
ν 
F 
E 
C 
C 
C 
图①
图②
图③
(第
16 题)
(黑龙江省中考题)
17. 设α ，b ，c ，d 为正实数，α 〈b ，c<d ，bc>ad ，有一个三角形的三边长分别
为dτ丰7，而τF歹，J (b-a) 2+ (d -c ) 2
，求此三角形的面积.
(" 五羊杯"竞赛题)
18. 边长为连续的自然数且周长不超过20 10 的锐角三角形有多少个?
(世界数学团体锦标赛试题)
19.
定义: 三边长和面积都是整数的三角形称为"整数三角形"
数学学习小组的同学从32 根等长的火柴棒(每根长度记为
1 个单位)中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探
究活动.
小亮用
12 根火柴棒，摆成如图所示的"整数三角形";
小颖分别用24 根和30 根火柴棒摆出直角"整数三角形";
159. I 
、迦-二J‘'也
λ 
3 
(第
19 题)
第
17
ì井
直角三角形
Cti\G.\~ 
学科精英大视野系列丛书
食
τ1{
'}:斗
食
食
1号
，传女
食
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰"整数三角形"
(1)请你画出小颖和小辉摆出的"整数三角形"的示意图;
(2) 你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出"整数三角形"?如果
能，请画出示意图;如果不能，请说明理由.
①摆出等边"整数三角形";
②摆出一个非特殊(既非直角三角形，也非等腰三角形)"整数三角形"
(福建省宁德市中考题)
20.
已知直角三角形的边长为整数，周长为30 ，求它的斜边长.
(全国初中数学联赛题)
月
月
(加拿大数学竞赛题)
• 
......-11 • 
如图，当ζ AP ，B =90 0 ，6AOP ，为等边三角形
，AP ，= AO = 2; 当ζ AP z B = 90 0 ，
6 BOPz 为等边三角形
，AP z =2)3 j 当L ABP 3 =90 0 ,AP3 = ) AB Z + BP: =2)于.
C 
2 或
2)3或2)于
例1
F 
r 
___.....飞冉
n
、/ _---
一__...，、、
E口---
/ 
"、飞
‘
J
、、、
飞
f
、、
-
'. 
/ 
"" _.rtG 
、
I
__'<.-飞
‘
f
一_---、、飞
‘
1 
_......、、‘
、
J
一---、、
‘---、
1
A 
D 
B 
A 
P, 
(例
2)
(例1)
如图，过A ，D 分别作AE
，DF 垂直于直线BC ，E ，F 为垂足.由条件得BE = AE =汀，CF = 2J2，
D 
DF=2/6，于是EF= 4+ /6. 过点A 作AC _L DF 于C ,AD= )(4+/6)2 + (/6)z =2 +2/6. 
例3
(1) ①由6ACD旦6 BCE ，得AD = BE.
②ζ AEB =80 0 •
(2) 仿(1)可得AD = BE ，
例2
A 
工λ
A' C E(F) 
B 
图①
。m
AE= DE+ AD= DE十BE=2DM+ BE = 2)3CM十γ BN
例4
(1 )AB= J2(AF+ BE). 
(2) .:四边形DECF 是正方形
，:.DF = DE ，
将6ADF 以点D 为旋转中心，逆时针旋转90 。得到6A'DE ，如图①­
:.AD=A'D ，AF=A'E ，且正三ADA' =90 0 ，
.: AB= BE+ AF , :.AB= BE+ A'E = A'B , 
:. 6ABD旦6A'BD ，:. ζADB= ζ A'DB
，
360 。一ζADA ，
360 0 -90 。
.. ζ ADB=~VV 
~'>~"_一
2
一一=135 0 •
(例的
￥立J
( 川军主Jl1 )
力食
女
，传
食
食
食
食
第
'7 讲
亘角三角形
(3) 由(2) 得，AD ，BD 分别是ζ CAB 和ζ CBA 的角平分线，
. 正三MAD = ζ FAD ，L_乙NBD = ζ EBD ，
分别延长ED ，FD ，交AB 于点M ，N ，如图②­
:.EM// CA ,FN// CB , 
人L_ MDA = ζ FAD ，L_三NDB = ζ EBD ，
.. 正三MDA = ζMAD ，L_乙NDB = ζ NBD ，
:.AM= MD ,ND= BN , 
在Rt6MDN 中
，MN2 = MD2 十ND2
，
:.MN2 = A儿俨+ BN 2 .
例5
(l )?
A 队
以""-M
F~主主Jd
A' C 
E 
B 
图②
( 例4 )
(2) 6ABC 如图①所示( 位直不唯一)，S"'ABC = 2α X 4α -~XαX2α- l × 2α X 2α 一÷ × α X 4α = 旷
2 . _. - -
2 ' , -_ . , --
2 
_ 
~ 
~，，
1 
1 
1 
( 3 ) 构造6ABC 如图②所汀水τ
，S"'AB仄c = 3m X 4仙η
X r.ηm X 4韧n 一一X 3m X 2n 
士X 2m X 2μη 二5 mη
2 . ' ... . , L<' 
2 ' , v.... , - " 
2 
A 
ν/ 
./' ~ 
B
飞卜~ 、、-、三总
C 
图①
图②
(例5 )
19IJ 7 
(1 )α 
(2)
由(1 )可知，由6RQF ，6 SMG , 6 TN H , 6 WPE 拼成的新正方形的面积与正方形
ABCD 的面积相等.
:. 6RAE ，6 SBF ，6 TCG ，6WDH 这四个全等的等腰直角三角形的面积之和等于正方
形MNPQ 的面积.
.: AE= BF= CG= DH= l , 
. 正方形MNPQ 的面积S =4X
~ X I X 1= 2 
T 
'‘ '‘ 
，
、
，
『、
A
Dt \ 
/ lR \ 
/ P L-兮气F
B~
、C
E 
(例7)
分别延长RD ，CA ，交于T 点，可证得6 TAD ，6 TRF 均为等腰三角形. 三个6TRF 可拼成一个等边
6ABC ，S"'RPQ=3S"' TAD ' 进而可得AD=?
-
J
噩
1. (1 ) 1 2 或30 ，6 或30
(2) 612 
设(c - a ) (c + α) = 200924 = 41 剖X 7 48 ，因c+α >c-a ，且均为奇数，故有2 5 X 49 个因子，可以自己
49 X 25- 1 
成一一亏一一一=6 12 对因子构成一种可能的解.
2. 17 
10 
3. τ
作DE_lAB 于E
4. 
jI古
作PE_lAB 于E ，PF上BC 于F ，设PE = m ，PF = n ，
!iJl] m2 十(5 - n ) 2 = (,/5)2 , (5- m / 十η 2
52 . 解得(m ，n)= (l，3) ，(2 ，的，当m = 2 ，n = 4 时，PE>AE ，舍去.PB =j石中7= 汀百.
1 6桂
嘈E
食
，传
食
食女
食女
女
学科精英大视野系列丛书
5. AB2 = AC2 + BD2 平移CD 至AM ，连接BM ，DM ，则6ABM 为等边三角形，ζ BDM=360
0 -210
0 -
60 0 =90 0 • 
6. 220 平方米
如图，可以将每个正方形依长方形的长与宽的方向构造成"弦
A 
图"，显然，所有的直角三角形都相同.设它的直角边为α 与b
，
13a+ b=20 , 
从图可知，! 
解得a=6 ，b = 2.
13α + 2b=22
， 
每个正方形的面积等于旷+ b2 =36+4 = 40( 平方米) ，而其中三角形面积为正方
G 
形的一半，为
20 平方米.
综上所述，嵌入图形的总面积是40 X5+ 20 = 220( 平方米) . 
7. A 
B 
F 
C 
8. D 
边长为3 ，4 ，5;4 ，5 ，6;2 ，3 ，4 的三角形显然存在，且分别为直角、锐角、钝角三角形.
(第6 题)
少?
? 
r ab 
, ., , 2 
9. C
由a z 十b2 =C' =
I ~:-(a + b)
I
得(α - 12) (b - 12) = 72. 
I 6 
, _ . -, I 
10. A 
过A 作AD l_ BC 于D ，可证得AP 2 + BP
' PC= AB2. 
11. A 
仅供参考:过点E 作EF l_ BC 于点F
，设CD = EF= 工，则BE=2工，x + 1 + J3x = J3. 
12. C 
设AD=m ，DC = n. (m + η) 2 _ m2 = 57 , n(2m + n) = 57 = 3 X 19 = 1 X 57 ，解得(m ，η) = (8 ，3)
，
(28
，1)
，m十n 的最小值为
1 l.
13. 
i主AD= 工，BE= y ，CF=z ，则BD= 5 - x , CE= 7 - y ,AF= 6 - z. 
连接PA ，PB 和PC
，
在Rt6PBD 和Rt6 PBE 中，由勾股定理可得BD2 + PD2 =PB2 = BE2 + PE2
，即
(5 - X) 2+PD2= l + PE2, 
同理可得(7- y) 2 十PE2 = Z2 + P F2 , (6 - z) 2 + P F2 = X2 + P D2 . 
将以上三式相加，得(5 - X) 2 + (7 _ y) 2 十(6 - Z) 2=x2 + i + 乏，所以5x + 7y+ 6z=55 .
又由已知条件得y -x= BE-AD = l
，于是可得
l 
AD+BE + CF=x+y + z= 一[ (5x + 7y + 6z) 一(y - x)J= 一(55 一1) =9. 
6 
B 
C 
14.
注意以下事实:若四边形的两条对角线互相垂直，则其两纽对边的平方和相等.连接PA ，PB ，PC ，则
有PA 2 十PF=PB 2 +AF ;PB 2 十CD2 =PC + BD2 ;PC2 + AE2 =PA2 + CE2. 
三式相加得AE2 +CD2 + BF2 = AF2 + CE2 + BD2
，利用条件BD = BF ，CD = CE ，代入上式得AE=AF.
15 . 连接AC ，则6ADC 为等边三角形，以BC 为边向外作等边三角形BCE ，证明BD=AE.
16. (1)如图，在BA 上截取BH=BE ，则BE= l[HE , 
由6AHE旦6EDF ，得HE = DF ，
J2 TT~ J2 
:. BC- DE= BD- DE= BE= V~- HE= V~- DF. 
2 ---
2 
叫图②中，DE-BC=fDh
题图③中，B川E=子DF
17. 如图，作长方形ABCD ，使AB = b - a ，AD=c ，延长DA 至E ，使DE= 的延长
DC 至F ，使DF= b ，连接
EF ，FB ，则
BF =
Ja可7 ，EF = 
jb可歹，BE= 
J(b-a) 2 + (d-d ，从而知6 BEF 就是题设的三角形，
而56BEF =5长方形ABCD + 56BCF + 56 ABE - 56DEF 
1 
, 1
,
. 
,__ 
1 
= (b-a)c+ : ac + 一(d - c) (b - a) 一.!;;--bd
2 - , 
, 2 , -
"' ~ 
- / 
2 
=÷伽
ad)
量!3
A 
H 
C 
(第
16 题)
(第
17 题)
( I 飞革主Ll )
女食，曾
女食*
女'食食
第
17 讲
直角三角形
{(n 一1) 十n +( n 十1)，ç 2010
，
18. 设三角形三边的长分别为η - l
，n ，η+ 1，则!
I (η - 1)十n> n + 1
，
解得2<η王三670.
其中，锐角三角形三边的长还要满足(n- 1) 2 + 旷>( η + 1) 2 ，解得η> 4.
:.4<η运670 ，从而知这样的锐角三角形有666 个.
19. (1)小颖摆出如图①所示的"整数三角形"
1 
'\ 
12 
81 
'\ 10 
6 
5 
图①
(第19 题)
小辉摆出如图②所示的三个不同的等腰"整数三角形"
斤气冲飞州叹
6 
8 
12 
图②
图③
(第
19 题)
(2) ①不能摆出等边"整数三角形"，理由略.
②摆出如图③所示的一个非特殊"整数三角形"
20. 设直角三角形三边长分别为
a ，b ，c( α ，ç b<c) ，则
α 十b +c=30
，
由a运b<c 得30=α +b+c<3c ，:. c>10 , 
由α +b>c 得30=a+b+c> 纭，二c< 15 ，
.: c 为整数，二11 ζc王三14.
·.·d 十b2 =C 2
，把c=30-a-b 代入并化简得ab-30(a+b) +450=0 , 
:. (30 - a) (30-b) =450=2 X 32 X 52. 
130-a=52, 
.: a ，b 均为整数，且α ，ç b ，:.只可能是1
。
130-b=2 X 3' , 
la=5 , 
解得!
从而c=13.
Ib =12 , 
21. x>O ，原方程即为工
I CÍx)2 一(~ì' +./12_( ~y ，如图，构造有公共直角
^\}'V.L/ 
\E)
叫
\E )
边的Rt6ABC ，Rt6ABD. 
1 
~_ 
. _ 
1 
1 
1 
:5 八Arn = : • CD • AB = 丁·工·τ= 一. E. 1 =τAC. AD , 
L> ACD 
? 
~~ • .~ 
2 
~ 
r工
2
,-
~ 
2 
ω"
街JX
】
.ζ CAD=90 0 ，得ACZ 十AD 2 = CD2
，
1 十. !c，
f!r x+1=x2
，解和=丁工二
16结
hD 
\
一
题
A
队
比
阳
L
B
喋
54c 
专飞~~A 
1 963 年
，1 0 岁的怀尔斯在英国剑桥弥尔顿路的
图书馆被一本名为《大问题》的书吸引住了
，它就是引
领怀尔斯进入费马大定理的一本书. 从
19 8 6 年至
1 995 年，历经近9 年时间
，怀尔斯证明了费马大定理，
这被认为是20 世纪最伟大的数学成果之一. 围绕这
个看似简单的定理，欧拉、柯西、希尔伯特、图灵、哥德
尔、谷山丰、伽罗华，还有最后的怀尔斯，他们前赴后
继用了整整三百多年才完成这项证明.
d平~: _ ------------------------------------------------- - ------------------.
胃18
1胡平行四诅RJ
I 
.--一'
平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角、对角线上，
矩形、菱形是特殊的平行四边形，它们既有平行四边形的性质，又有各自特
殊的性质.
对角线是解决四边形问题的常用线段，对角线本身的特征又可以决定
四边形的形状、大小.连对角线后，平行四边形就产生特殊三角形，因此解平
行四边形相关问题时，既要用到全等三角形法、特殊三角形性质，又要善于
构造平行四边形，利用平行四边形丰富的性质为解题服务.
熟悉以下基本图形、基本结论:
E二E三J~~/卜7~
~'"叫/
例
1
(1 ) 如图①，在矩形ABCD 中，已知AD=12 ，AB= 5 ，P 是AD 边上
任意一点，PEl_BD 于点E ，PFl_AC 于点F ，那么PE+ PF 的值为
民<-
B 
图①
(全国初中数学联赛题)
1"
飞
正二J
D 
非广亮
，回事飞-ι
在数学中，犹如
在诗歌中，同样肯定
能找到愉悦的真情.
一一罗素
完美矩形
1936 年，英国剑
桥大学三一学院的学
生塔特、斯通、布鲁克
的问题:把一个矩形
分割成边长各不相等
形称为完美矩形，分
割成小正方形的个数
称为它的阶.四年之
后，布鲁克斯率先给
出了
9 阶完美矩形.
t::\&i\~ 
( 川军细)
、:;，"7
/也
女
4吃
λ 
飞
3
y气
食
食
，传
食
(2) 如图②，在菱形ABCD 中
，AB= 钮，E 在BC 上，BE = 2α ，ζBAD=
120 0 ，P 点在BD 上，则PE+ PC 的最小值为
( "希望杯"邀请赛试题)
瞄题思路
对于(1)
，6AOD 为等腰三角形，若能联想到等腰三角形性
质，则问题易解;对于(2) ，连接AC ，由对称性确定P 点位置.
锣IJ 2 
(1)如图①，在口ABCD 中，ζABC = 75 0 ,AF _L BC 于F ，AF 交
BD 于E ，若DE = 2AB ，则ζ AED 的大小是(
) . 
A. 60 。
B. 65 。
c. 70 0 
D . 75 。
(" 希望杯"邀请赛试题)
A 
B 
B< / 
\ > D 
C 
图①图②
(2) 如图②，在菱形ABCD 中，6AEF 是正三角形，点E ，F 分别在边
BC ，CD 上，且AB = AE ，则ζB 的值为(
) . 
A . 60 0 
B. 800 
C. 100 0 
D. 1 20。
(安徽省竞赛题)
幅题思路
对于(1) ，作出直角三角形常用辅助线;对于(2) ，设ζB= 矿，
建立关于工的方程.
例3
如图，已知口ABCD ，以AC 为边在两侧各作
P 
一个正三角形ACP
，ACQ . 求证:四边形BPDQ 为平行
四边形.
( 湖北省武汉市竞赛题)
C 
幅思想路
可从不同角度判定，而发现图中其他平
行四边形是证题的关键.
Q 
16 ~略
求
第
18 讲
平行四边形
平行四边形、矩
形有以下重要性质，
你能证明吗?
(1)如图，已知
口ABCD ，则
AC' + 
BD2 
= 
2 (AB' + 
BC' ). 
ρ<1 
(2 ) 如图，已知P
为矩形
ABCD 内一
点，则
PA' 十PC ' =
PB'+ PD' . 
护<J
~~~、
食
食女
食
食女
食
食女
例4
将矩形ABCD 绕点A
}I顶时针旋转α(0 0 < α < 360 0 ) ，得到矩形
AEFG. 
(1)如图，当点E 在BD 上时，求证:FD=CD;
(2) 当α 为何值时，GC=GB ? 画出图形，并说明理由.
(山东省临沂市中考题)
C 
D 
t;' 
C 
D 
庄L 口
B 
A 
B 
A 
备用图
幡题思路
对于(2) ，由GC=GB 可大致确定G 点位置，而在旋转过程
中点G 与矩形ABCD 位置不确定，故需分类讨论.
例5
已知口ABCD 的周长为28 ，过顶点D 作直线AB
，BC 的垂线，垂
足分别为E ，F ，若DE=3 ，DF=4.
求: (1)边AB ，BC 的长;
(2) BE + BF 的长.
(天津市"未来之星"数学邀请赛试题)
壁些塾些
四边形不具有稳定性，符合条件的图形形状唯一吗?解题
的关键是分类讨论.
例6
请阅读下列材料:
问题:如图①，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，
点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，
连接PG ，PC. 若ζABC= ζ BEF= 60 0 ，探究PG 与
PG 
R叭
PC 的位置关系及一一的值.
PC 
小聪同学的思路是:延长GP 交DC 于点H ，构
造全等三角形，经过推理使问题得到解决.
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关
PG 
图①
D 
系是
一一
一一--一一'PC
一一一--
E 
(2) 将图①中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋
图②
F 
转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线
上，原问题中的其他条件不变(如图②) ，你在(1)中得到的两个结论是否发
生变化?写出你的猜想并加以证明.
必
学科精英大视野系列丛书
例
6 设问由易到
难，由浅入深，由特殊
到一般，前一问为下
一问埋下伏笔，梯次
递进，不断超越.在解
题过程中，我们既展示
了聪明才智，又感受了
超越自我的乐趣.
~&.\G.\ 
女食
，传
女食
食
( 川军主J;l )
1:_( 
冒险
食
(3) 若图①中ζ ABC= ζ BEF=2α(0 0 < α <90 0 ) ，将菱形BEFG 绕
点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出
PG = 
(用含α 的式子表示) . 
PC 
(北京市中考题)
壁塑里堕
在图①中按小聪的思路操作，可得P 为DF ，GH 的中点，又
CH = CG ，故PCl_ PG. 这种思路能否迁移到图②中?需证明全等三角形.
例7
如图，在6ABC 中，ζ C = 90 0 ，点M 在BC 上，且BM = AC ，点N
在AC 上，且AN = MC ，AM 与BN 相交于点p ，求证: ζBPM=4 5 0 •
(浙江省杭州市竞赛题)
纣#而写醒
条件给出的是线段的等量关系，求
证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线
段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平
移AN 或AC ，即作ME _/f_AN ，构造平行四边形
B 、
如图，过M 作ME=主AN ，连接NE ，BE ，则四边
........ ...... ...、、
4iz/
C jl 
形AMEN 为平行四边形，得NE=AM ，MEl_ BC.
-É 
.: ME = CM ，ζ EMB = ζMCA = 90 0 , BM= AC , 
人6BEM旦6AMC ，得BE = AM= NE ，ζ 1 =ζ2 ，ζ 3 = ζ 4 .
γ ζ 1 +ζ 3=90 0 ，λ ζ 2 +ζ 4=90 。且BE =NE ，
λ 6BEN 为等腰直角三角形，ζ BNE=4 5 0 •
.: AM// NE ，:. ζBPM= ζ BNE = 45 0 • 
证明勾庆驳
A 
C 
美国数学家奥姆斯特德指出."数学由两类一一证明和反例组成，而数
学发现也朝着两个主要的目标一一提出证明和构造反例"
反例就是符合题设条件而结论错误的实例. 反例需深思才能构造出来，
构造反例是说明一个命题不成立的有效方法.
例8
下面有四个命题:
(1)一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形;
(2) 一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形;
(3) 一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对
角线的四边形是平行四边形;
( 4) 一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角
线平分的四边形是平行四边形.
上述命题是否正确?正确的请证明，错误的请举出反例.
(全国初中数学联赛题)
卜
1 67
Î. 
气地
飞I!>
第
18 讲
平行囚边形
作ME圣AN ，相
当于将AN 沿着AN
的方向平移到ME 的
位直，这就是平移交
换.乎移交换前后的
对应线段平行且相
等，对应角的两边分
别平行且相等，通常
条件有彼此平行的线
段或造成平行的因
素，可采用平移变换，
这是解平行四边形问
题的一个重要技巧.
11 :11"..:% 位. .. .. "
证明与反驳
"擎:r珑
的
. It 
.1'tí:1\c.t\~ 
食
食女
食
食
1号
食
食女
黯
命题(1)是假命题.如图①中的四边形ABCD ，它满足命题的条件，
ζA = ζ C ，AB = CD ，但它不是平行四边形.
命题(2) 是假命题.如图②，延长等腰三角形ADE 底边ED 至任意点。，
以0 为对角线的交点作口ABCE ，这时四边形ABCD 满足AD = BC 且
AO = OC ，但它不是平行四边形.
命题( 4 ) 也是假命题，如图③，在四边形ABCD 中，ζ BAD = ζ BCD ，
BD 垂直平分AC
，但四边形ABCD 不是平行四边形.
下面证明命题(3) 是真命题.如图④，在四边形ABCD 中，ζBAD=
ζ DCB ，且OB = OD ，以0 为中心，将L，ABD 逆时针旋转180 0 •
因为OB = OD ，所以B 与D 重合，点A 与射线。c 上的点A ' ( 不是C)
重合，则ζ BA'D > ζ BCD(A ' 在线段。c 上，非点C) ，或ζ BA'D < ζ BCD
(A' 在线段。c 的延长线上) .都与ζ BA ' D = ζ BAD= ζ BCD 矛盾，所以A '
即为C ，即OA=OA'=OC ，所以A' 即为点C ，即OA=OA' = OC. 所以四边
形ABCD是平行四边形.
D 
A~ 
~ 
_ 
/I~ 
卜、D
E 
C 
Aι十主C
0F二j
,C 
1 /1\ 
/ ^ 
~ / 
\ 1 / 
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""，~A' / 
1/1\ 
//_/气。/
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/~η"'" / 
V 
1 
\μ/' 
"/_ 
'!. 
A町、'B
B"-宁~C
A 
B 
B 
图①
图②
图③
图④
~~ 刻意练习
1.在矩形ABCD 中
，M ，N ，P ，Q 分别为边AB
，BC ，CD ，DA 上的点(不与端
点重合) .对于任意矩形ABCD ，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形;
②存在元数个四边形MNPQ 是矩形;
③存在无数个四边形MNPQ 是菱形;
④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形.
所有正确结论的序号是
(北京市中考题)
2. 如图，在Rt L，ABC 中
，CB = 3, CA = 4, M 为斜边AB 上一动点，过M 作
MD _lAC 于D 点，过M 作ME _l CB 于点E ，则线段DE 的最小值
为
(四川省竞赛题)
M 
AA 
MV飞
(第2 题)
(第3 题)
3. 如图，在矩形ABCD 中，M 是边AD 的中点，N 是边DC 的中点
，AN 与
纪;}
学科精英大视野系列丛书
~~~ 
为食
食
女食
食
( 川军!I;l )
式'食
食
MC 交于点p ，若ζMCB = ζ NBC+33 0 ，则ζMPA =
( 北京市竞赛题)
4. 如图，将两个长为8 、宽为2 的矩形透明塑料片交叉摆放，重叠部分是菱形
ABCD ，当两个塑料片垂直时，菱形ABCD 的周长有最小值8 ;当两个塑
料片不重合但有一条对角线重合时，菱形ABCD 的周长最大，这个最大
值是
("希望杯"邀请赛试题)
D~~ E 
T\斗F
B 
C 
(第4 题)
(第5 题)
5. 如图，在L':，.ABC 中，AB=3 ，AC=4 ，BC= 5 ，L':，.ABD ，L':，.ACE ，L':，.BCF 都是
等边三角形，则四边形AEFD 的面积为
( 山东省竞赛题)
6. 如图，在矩形ABCD 中
，AB = 2 ，BC = 4 ，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若
AE=点，ζ EAF =45 0 ，则AF 的长为
( 山东省滨州市中考题)
7. 已知四边形ABCD ，从下列条件中: ①AB // CD; ②BC // AD; ( AB=CD; 
④BC = AD; ⑤ζA= L C; ⑥ζ B = ζD 任取其中两个，可以得出"四边形
ABCD 是平行四边形"这一结论的情况有(
) . 
A . 4 种
B .
9 种
C .
1 3 种
D .
1 5 种
( 江苏省竞赛题)
8. 给出下列命题: ①一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形; ②
两组对角的内角平分线分别平行的四边形是平行四边形; ③一组对边中点
间的距离等于另一组对边长和的一半的四边形是平行四边形; ④两条对角
线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形. 其中，真命题有(
) . 
A . 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
(湖北省武汉市竞赛题)
9 . 如图，矩形ABCD 的周长是16 ，DE =2 ，L':，.FEC 是等
于
土
P 
腰直角三角形，ζ FEC = 90 0 ，则AE 的长为(
). 
1 / 
\ I 
A. 3 
B. 4
小\二\ 1
C . 5 
D. 6 
B 
C 
("希望杯"邀请赛试题)
(第9 题)
10.
已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所
Y 
示，顶点A(5 ,0) ,OB = 4 $，点P 是对角线OB 上
的一个动点，D(O ，l). 当CP 十DP 最短时，点P 的
D 
坐标为(
) . 
X 
A . (0 ,0) 
B. (1，~) 
(第
1 0 题)
过6也
第
18 讲
平行四边形
~I"í:!ll"í:!l 
击
R
击
R
食
食
1与
食女
A 
〉斗了
噜K
D. (旦})
7 ' 7 
(湖北省成宁市中考题)
1 1.如图，在口ABCD 中
，BC = 2AB , CE _l AB 于E ，F 为AD 的中点，若
C. (轩)
正三AEF=54 0 ，则ζ B=(
). 
A. 54 0 
B. 60 。
C. 66 0 
D. 72 。
(湖北省武汉市竞赛题)
-~! 
C ;) 
一
/
/
盯
题
-\JB2 
-\LEI 
-
F
\
一
第
'
'
'
'
h
v
、
"
，
，
、
D
U
γ
λ
一
与
/
-
ddA 
Q仁对N
(第
11 题)
12. 如图，在菱形ABCD 中，已知AB=3 ，DF= 1 ，ζ DAB= 
60 0 ，ζ EFG= 
15 0 ，FGj_ BC ，则AE= ( 
). 
A. 1+J2 
B. J6 
C. 2.)3-1 
D. 1 十.)3
(全国初中数学联赛题)
13. 如图，在矩形ABCD 中，点M ，N ，P ，Q 分别在边AB
，BC ，CD ，DA 上，使
得S t:;AQM =St:;BMN =St:;CNP =S t:; DPQ . 求证:四边形MNPQ 为平行四边形.
(伊朗几何奥林匹克试题)
14.
如图，在菱形ABCD 中，ζ BAD=120 0 ，M 为BC 上一点，N 为CD 上一
点.求证:若6AMN 有一个内角等于60 0 ，贝tl6AMN 为等边三角形.
(俄罗斯莫斯科市竞赛题)
。'
气
D
B(/E
向
C 
C 
D 
as 
(第14 题)
(第15 题)
(第
16 题)
15. 如图，在六边形ABCDEF 中
，AB // DE ,BC // EF ,CD // AF ，对边之差
BC-EF=ED →AB=AF-CD>O ，求证:该六边形的各角相等.
(全俄数学奥林匹克试题)
16. 如图，已知八边形所有的角都相等，且边长皆为整数.求证:该八边形对
边相等.
(全俄数学奥林匹克试题)
17. 如图，菱形PQRS 内接于矩形ABCD ，使得P ，Q ，
A 
R ，S 为AB
，BC , CD , DA 边上的点，已知PB=
15 ,BQ=20 ，PR=30 ，QS=40. 若记约分数旦为矩
η 
形ABCD 的周长，求m+n.
(美国中学生数学邀请赛试题)
D 
(第
17 题)
学科精英大视野系列丛书
C 
Ct.\1fí:\c.\. 
军
女食
食
女食
食
女食
食
第
'8 讲
平行四边形
18. 在口ABCD 中，ζBAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长
线于点F.
飞与
图①
(1)在图①中证明:CE=CF;
k丁
E问
(第18 题)
图③
(2) 若ζABC=90 0 ，G 是EF 的中点(如图②) ，直接写出ζBDG 的度
数;
(3) 若ζABC二120 0 ,FG // CE , FG= CE ，分别连接DB ，DG( 如图③) , 
求ζBDG 的度数.
19.
如图，在口ABCD 中，AE _l BC ，AF_lCD , H 为ßAEF
三边上的高的交点.求证:AC =AH2 + EP.
(四川省竞赛题) 刀、J
20. 我们知道平行四边形有很多性质.如果我们把平行四
边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还
有更多的结论.
发现与证明:
(第19 题)
在口ABCD 中，AB手BC ，将ßABC 沿AC 翻折至ßAB'C ，连接B 'D.
结论l:B 'D 矿AC;
结论2:ßAB'C 与口ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形;
请利用图①证明结论1 或结论2( 只需证明一个结论) . 
应用与探究:
在口ABCD 中，已知ζB=30 0 ，将ßABC 沿AC 翻折至ßAB'C ，连接B'D.
A斤~D
...::::二'~ν/
/儿扩五/
BJT忆石/
B' 
图②
A 
D 
(第20 题)
(1)如图①，若AB = 汀，ζAB' D = 
75 0 ，则ζACB =
BC= 
; 
(2) 如图②，AB = 2.j3，BC = 1 ，AB' 与边CD 相交于点E ，求ßAEC 的
面积;
已给
.&:';\~eJ:\ 
* 
食
食
食
食
1与
食女
女
(3) 已知AB=2布，当BC 长为多少时，bAB'D 是直角三角形?
(江苏省镇江市中考题)
21. bABC 是正三角形，在BC 上取点A j
，Az ' 在CA
1 
上取点B j
，Bz' 在AB 上取点C j
，cz '使得凸六边
形AjA z BjBz CjCz 的边长都相等，如图所示.求
证:直线AjB z ,Bj Cz ，Cj A z 相交于一点.
(北京市竞赛题)
B 
(第21 题)
C 
学科精英大视野系列丛书
.~ c主挥
罩，国国I
幅画幅巨
一吨，飞
60 
,'-. ~ , ~~ ~ ~ ~.， ~~ ，
~~ • ~ _ 1 .~" . _ 
1 ~_" . ~ ，~ ~~ ，
~~ 60 
例1
(1)一作AGj_ BD 于G ，则PE+PF=AG ，又~ AB XAD= ~ BDXAG ，得PE+PF= 一
13 
.，~~-~--. -''".~-
，
~~ 
' ~ -'- -2"- ''" '-
2-- ''" '- ''.'~-'" 
13' 
· (2) 213,a 
A ，C 关于BD 对称，连接AE 交BD 于p ，且AE上BC ，ζBAE= 30 0 , PE + PC=AE= 
J(4a) ' 一(2α)' =213，α 为最小.
例2
(1 )B 取DE 中点M ，连接AM ，则AM= AB.
(2) B
设ζ B=xO ，则ζ BAE= ζ DAF=180 。一2工。，由工+2 X C180-2x) +60= 180 ，得x=80.
例3
因tð.ACP 与tð.ACQ 都是正三角形，于是PA=AC=CQ=PC=AQ ，故四边形PAQC 为平行四边
形.连接PQ 交AC 于0 ，则0 点是AC 的中点，也是PQ 的中点.
连接BD ，因ABCD 是平行四边形，故BD 与AC 互相平分，I!p BD 的中点也是O .
因为PO= QO ，BO= DO ，所以BPDQ 为平行四边形.
P 
C 
(例3)
C 
D-"F 
二
十
I E/俨4二二、、\
Hi--气-1百二步G
B 
A 
图①
(例的
倒4
(1)由tð.AEH豆tð.FDH 得AE = FD= AB = CD ，f!p FD= CD. 
(2) 画图如图①、图②所示.
当GC=GB 时，点G 在BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论:
C 
D 
F 
①当点G 在AD 右侧时，如图①，取BC 的中点H ，连接GH 交AD 于点M ，连接GD ，则GH j_ BC ，
1 . _ 
1 
. 四边形ABHM 是矩形，二AM= BH =
~ A D= ~ AG. 
2 ~ .-
2 
:.GM 垂直平分AD ，:. GD= GA= DA , 
:. tð.ADG 是等边三角形，.·. ζ DAG= 60 0 ，f!p a= 60 0 • 
②当点G 在AD 左侧时，如图②，同理得tð.ADG 是等边三角形，ζ DAG= 60 0 ，:. α =360。一60 0 =300 0 •
￡ 
( 川军细)
为食
*
女贪
食
ff
食
食
第
18 讲
平行四边形
glJ 5 
(1) AB=8 ,BC=6. 
(2)
当ζA 为锐角时，BE+ BF = 2+13; :bí ζA 为钝角时，BE+ BF =14+713.
例6
(1) PGl_pc ,13 
(2) 猜想: (1)中的结论没有发生变化.
证明:如图，延长GP 交AD 于点H ，连接CH ，CG.
.: P 是线段DF 的中点，:. FP= DP. 
由题意可知AD // FG ，:.
L乙GFP= ζ HDP.
..ζGPF= ζ HPD ，:. 6GFP旦6HDP.
:. GP=HP ,GF=HD. 
..四边形ABCD 是菱形，:. CD = CB ，ζ HDC= ζABC= 60 0 • 
C 
'F 
E 
(例的
由ζABC= ζ BEF=60 0 ，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，可得
ζGBC=60 0 ， :. ζ HDC= ζ GBC. 
..四边形BEFG 是菱形，:. GF=GB ,:. HD=GB. 
二6HDC且6GBC ，:. CH=CG ，ζ DCH= ζ BCG. 
.
ζ DCH + ζ HCB = ζ BCG+ ζ HCB = 
1 20 0 ，即ζ HCG= 120 0 • 
.: CH=CG,PH=PG,:. PGl_ PC ，ζ GCP= ζ HCP=6 0 0 • 
• PG 
r;;-
PC 
V~ 
(3) tan(90。一日) . 
1.①②③ 
12 
2. τ 连接MC ，则MC = DE ，当MCl_AB 时，MC 值最小.
3. 33 0 
4. 17 
5. 6 
四边形AEFD 是平行四边形.
· 亏立
以下提示供参考:如图，取AD 中点M ，作MN上BC 于点N ，交AF 于
A
4 .J1<飞
点P ，连接PE ，得到正方形ABNM ，BE = NE = l ，设MP = 工，则PE = x 十l，PN = 2 一
x , dJ (x+ 1) 2 =(2-x) 2+ 1 2 得x= 一，DF=2MP= 一，故AF= ./4 2 十í ~ r =旦旦
2 __ _.,_ 4..._ 
/ . , 
(4 '\' 
3 ,- -
-- --
3
气J
‘
3 ) 
3 
7. B 
8. B 
只有②④正确
9. A 
10. D 
连接AD ，交OB 于点P ，此时CP + DP 的值最小，B 点坐标为(8 ，4) . 
11. D 
取BC 中点G ，连FG ，或延长EF ，CD 交于H 点.
12. D 
过点F 作FH j_ AB 于H
，，ð. FHE 为等腰直角三角形.
13 .
如图，设AB = CD= a ,AD= BC= b ，AM= 工，PC = y ,AQ= z ,NC=t. 
尘莫
B 
• 
--. 
~叫
.
E 
N 
(第6 题)
D 
F 
C 
食
*
'i与
食
食
1号
食
，传女
学科精英大视野系列丛书
• 
若z手y ，不妨设x>y ，则
a-x< a-y. 
① 
由S"'AQM = S"'CNP 得xz=yt斗z<t ，
λ b-t<b-z. 
② 
由①、②得÷(a-z)(b-K÷(α一川
z) , 
:. S"，酬N < S"'DPQ , 
这与题设矛盾，因此
，x=y ，类似可证z=t.
于是，，6，AMQ旦，6，CPN=o;> MQ=PN ，类似可证MN = PQ.
从而，四边形MNPQ 为平行四边形.
14. 如图，连接AC ，则易证，6，ABC 与，6，ADC 都为等边三角形.
A x M 
a-x 
B 
1 
/ 
.....__、
1 b-t 
"'1 / 
"-;I N 
Q 队'-
/ 
I t 
b-zl 
............._ 
/ 
1 
D a-y 
P 
y 
C 
(第
13 题)
(1)若ζ MAN=60 0 ，则，6，ABM旦，6，ACN. .: AM=AN ，ζ MAN=60 0 ，:. 
，6，ANM 为等边三角形.
(2) 若ζAMN=60 0 ，过M 作CA 的平行线交AB 于P.
·.· ζ BPM= ζ BAC= 60 0，ζB = 60 0 ,:. ,6,BPM 
为等边三角形
，BP=BM ，但BA=BC ，:.
AP = MC ，又ζ APM=120 0 = ζ MCN ，ζ PAM= ζ AMC 一ζB=
ζAMC-60 0 = ζAMC 一ζAMN= ζ CMN ，:. ,6,P AM旦，6，CMN ，:. AM= MN ，又ζ AMN=60 0 ，故，6，AMN
为等边三角形.
B 
B 
D 
B 
D 
D 
(第
14 题)
(第
15 题)
(第
17 题)
15.
如图，分别过A 点作AM // EF ，过C 点作CP // AB ，过E 点作EN // AF ，它们分别交于N ，M ，P 点，
得口ABCM ，口CDEP ，口EFAN ，则EF= AN ,AB = CM, CD = P E , BC= AM, AB = CM, CP = DE , AF= NE , 
由条件得，6，NMP 为等边三角形，可推得六边形的各角均为
120 0 •
月一
月
ao
a. 
I 
16. 将八边形向外补形为一个矩形，由矩形对边相等，有一立+α+ -,:_ = -,:_ +as + -,:_, I!p as -
a 1 = 土(a 8 十
.J2' -1
' .J2 .J2' - s '.J2 ,., - s 
-1 
.J2 
az -a6 -a,) . 
: a i (i = 1, 2, •.. ，的是整数，而i是无理数，则必有a s -a 1 =0. 
丘
•• a S =a 1
0 同理可证α6=a Z
' α ，-α 3
，a S = α4 '
17.
如图，设AS =x ，AP=y . 由于菱形与矩形都是中心对称图形，故它们的对称中心重合于矩形的中心
。，由对称性可知
，CQ=x ，CR= y. 
由PR=30 ，QS=40 ，得PO=OR= 15 ,QO=OS= 20 ，故，6，BPQ旦，6，OPQ ，这个矩形被分成了六个边长分
别为
15 ，20 ，25 的直角三角形与两个边长分别为x ，y ，25 的直角三角形.
由矩形的面积，可得6 X 150+xX y= (20+ x) X (1 5+y). 
化简，得3x 十4y= 120. 
♀主
( I飞$ m ) 
由Rt6A SP ，得矿+/=625.
为女
女食
手:
，传
食
食
食
第
'8 讲
平行囚边形
解由这两个方程组成的联立方程，得x =20 或工=坐但工=20 与PR =30 不符，故舍去.
5 . 
44 ,= 
117 
由工=τ ，得y= 了·
672 
从而矩形ABCD 的周长=一5' 即m + n = 677.
18. (1)咯
(2)ζ BDG=45 0 • 
(3) 如图，延长AB 至H ，使AH=AD ，连接DH ，则6AHD 是等边三角形.
':AH = AD = DF ，人BH =GF ，
又ζ B HD = ζ GFD = 60 0 ,DH= DF, 
:. 6 DBH旦6 DGF ，L_乙BDH = ζ GDF ，
、《飞\
￥唱
(第
18 题)
.. ζ BDG= ζADC- ζADB 一ζ GDF= ζADC-( ζADB 十ζ BDH ) = 120 0 - 60 0 =60 0 • 
19 . 连接EH ，HF.
.: EHj_A F ,AF j_CD. 
:. EH//CD. 
同理，HF// BC.
故四边形ECFH 是平行四边形.
将6AEH 沿HF 平移得6A'CF. 则点A ' 在边AD 上.于是，A H = A'F.
故6A'FE 为直角三角形，且A'E 2 = A'F2 + EP . 
因AE上BC ，故四边形AECA ' 为矩形.
A人而
，AC= EA ' .
故AC2 = A H 2 + EF2 • 
20.
发现与证明:
如图①，设AD 与B 'C 相交于点F.
.: 6ABC 沿直线AC 翻折至6AB'C ，
:. 6ABC三6AB'C ，ζACB= ζACB' ,BC=B'C. 
..四边形ABCD 是平行四边形，
:. AD= BC ,AD// BC, :. B'C = AD ，ζACB = ζ CAD ， 
1 80 。
ζAFC
二ζACB' =ζCAD=2' 
180 0 -
L_乙B'FD
:. AF= CF , :. B'F = DF ，:. ζ CB'D = ζ BFDA =
2 
.. ζAFC = ζ B'FD ，:. ζACB' = ζ CB'D ，二B 'D // AC. 
应用与探究:
o 
~ _ 
3. J3 
(1) ζACB = 4S 0 ,BC= ~ +工二.
2 ' 2' 
qe 
A 
A' 
D 
A 飞走、‘
," ~ 
I 
川、飞.~
" 
，、二
，
… 
… 
I 
1)--- ，.、
王W~
I 
1 ' ,,' __...-、、
，
… 
B 
E 
C 
(第19 题)
/\~ 
d二;二三ν/
B 
C 
图①
(第20 题)
食
食
-R 
食女
食*
女
食
(2 ) 如图②，过点C 分别作CG上AB ，CH _LAB ' , 
垂足分别为G ，H ，二CG= CH .
在R ω 
CG 中, ζ
L B肌町
GC= 帆B 归, ζ 扫
.: AB = 2σ
ι， .飞.AG=?书
13 ，:. CH=CG= ~ 
又，ð"AGC呈，ð"AHC ，:. AH= AG= ~ 13 
2 I 
T T r 2 {., 
2 _
(
1 ì 2 
1 ( 3 历
y . __713 
设AE=CE=x ，dJ CE2 = CH 2 + 町
' 11'- x' = l ;
) +l J~J
仆
，.. x
了'
7 ‘ 1 
:. ，ð"ACE 的面积= τAE
. CH =~二
2 .
. ~ _ .. 
36 
(3) 按，ð"AB'D 中的直角分类
;
①ζ B 'AD=90 。时，如图③，ζACB =30 0 ，BC=6 ;
如图④: 丘BAC= 30 0 ，BC=2 ;
②
当ζAB'D = 90 。时，如图⑤，ζACB = 6 0 0 ,BC= 4; 
③
当ζADB' = 90 。时，如图⑤，ζ ACB = 90 0 ,BC= 3 ; 
综上，BC 的长为
6 ，2 ，4 j注3 时，，ð，，AB'D 是直角三角形.
DBf 
( 第
20 题)
学科精英大视野系列丛书
A 
D 
B' 
图②
( 第20 题)
2 1. 在正，ð"ABC 内作正，ð"PA1 鸟，连接PB ，, PB2 , PC, ，PC2 ，如图所示，由C1 C2 //
1 
PA, ' C'C2 = PA, = A ,C, ,B,B2// A 2P ,B,B2 = A 2 P = A2 矶，得PA ，C，C2
，PB ，B2 C2 都是
菱形，且，ð" PB2 C1 是正三角形.
连接A ，B l ,B 1C, 'C1 人，注意
ζ C，B2 B 1 = 6 0 0 + ζ PB2 B 1 = 60。十ζ PA 2 B ，= ζA 1 A 2 丘
，
4三A 1 C2 C1 + ζA2 B ，B2 = ζA 1 PC ，+ ζA 2 PB2 = 360 0 - 60 0 -
60 0 = 240 0 • 
B 
C 
(第2 1 题)
而ζA ，B2 B ，+ ζA 2 B 1 B 2 = ( ζA 2 B ，C+ ζ C) + ( ζ B 1 A 2 C+ ζ C)
=( ζA 2 B 1 C十L C+ ζ B ，A 2C) + 60 0 = 180 0 + 600 = 240 0 , 
所以ζA 1 C2 C1 = ζA ，A 2 鼠
，进而ζA 1 C2 C，= ζA ，A 2 B ，= ζ C，B2 丘
，
因此，ð"B ，A 2 A ，(/)，ð" C1 B2 B 1 且，ð"A 1 C2 C"
所以A ，B l = B 1C, = C,A 1 • 
直线A 1 B2 ,B,C2 ，C1 A2 是，ð"A 1 B 1 C1 三边的中垂线，故直线A 1 B 2 ,B 1 C2 ,C1 人相交于一点.
比j
波兰数学家谢尔宾斯基制造出了两件绝妙的"艺术品"
衬垫和地
毯.如上图，把一个正三角形均分成四个小正三角形，挖去其中间一个，然
后在剩下的三个小正三角形中分别再挖去各自四等分后的中间一个小正
三角形，如此下去可得到谢尔宾斯基衬垫. 这些小正三角形的周长越来越
大，它们的面积和却趋于o .
~t.)~川
44汇平安二，今
国
第19 讲正自
RI
I 
..… ' 
'
知能磁述
正方形作为完美的图形，既反映了特殊四边形的所有特征，又能与图形
变换等重要的几何方法融为一体.
由于正方形与直角三角形联系在一起，所以解正方形相关问题，常用到
勾股定理，具有代数风格，体现了数形结合思想.
熟悉下列基本图形、基本结论:
因
民
'
问题筋决
但IJ 1 如图，在直角梯形ABCD 中，AB=BC= 4 ，M 为腰BC 上一点，且
6ADM 为等边三角形，则S6CDM
: S 6 ABM = 一一一--
瞄题思路
AB = BC =4 ，ζ C= 
90 0 ，为构造正方形创
造了条件.
17í嗦
(四川省竞赛题)
纯粹数学这门科
学，就其现代发展而
言，可以说是人类精神
之最具独创性的创造.
-一怀特海
完美正方形
若一个大正方形
分成若干个小正方
形，且每个小正方形
边长都不相等，这样
的正方形叫"完美正
方形"
自
1939 年构造
出第一个完美正方形
后，许多数学家相继
构造出完美正方形.
1978 年荷兰数
学家杜伊维斯延发现
了如上图的
21 阶完
美正方形，同时他宣
称:低于2 1 阶的完美
正方形不存在.
~~~ 
食
食女
食
食节与
，传
食女
例2
如图，以Rt6.BCA 的斜边BC 为一边在6.BCA 的同侧作正方形
BCEF ，设正方形的中心为0 ，连接AO ，如果AB = 4 ，AO = 6，J2 ，那么AC 的
长为(
). 
A. 12 
B. 16 
c. 413 
D. 8J2 
(浙江省竞赛题)
蠕黯想路
AO ，AB ，AC 不在同一个三角形中，构造
Bl 
~C 
全等三角形，寻找相等的线段，使分散的条件集中在同-
I~/I 
个三角形中
I
}\_ 
|/0"" 
I 
F 
E 
例3
如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是DA 的中点，连接
BE 与CF 相交于点p ，求证:AP = AB .
幅盟军路
能证明ζAPB= ζABP 吗?通过作辅助
线，转化问题.利用中点E ，F ，发现CF 与BE 的位置关系，
这是解题的基础.
例4
如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一
动点(不与点A ，B 重合) ，连接DE ，点A 关于直线DE 的
对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过
点E 作EH j__DE 交DG 的延长线于点H ，连接BH .
(1)求i正:GF=GC;
(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明.
(北京市竞赛题)
A 
B 
~H 
A 
E 
B 
(北京市中考题)
些塾些堕
对于(2) ，先猜后证，因所求数量关系的两条线段不在一个
三角形中，故解题的关键是恰当"移动"相关线段，构造全等三角形或实施几
何变换.
19IJ 5 
如图，以OABCD 各边向外作正方形，求证: 所得4 个正方形的中
心恰是某个正方形的顶点.
(俄罗斯莫斯科市数学奥林匹克试题)
些些重堕
即证明四边形PQRS 为正方形，证题的
关键是发现多对全等三角形.
封2j
学科精英大视野系列丛书
你能证明下列结
论吗?
(1)如图，已知正
方形ABCD ，若EF=
GH ，则EFj__GH，反之
亦然.
A 
E 
D 
tf+ 
L-' 
F 
v 
(2)
如图，芳在
L'-，ABC 外部作正方
形ABDE 和正方形
ACFG ，连接EG ，则
DQjF 
根据问题的有关
信息和图形结构的特
点，恰当选择正方形
的性质，并运用全等
三角形、特殊三角形
正方形问题的基础.
~~~ 
飞去
食
食
( I 飞.q: m ) 
女
食
食
1'-\' 
食
例6
如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，满足
EF = BE + DF ，AE ，AF 分别与对角线交于点M ，N. 求证: (1 )ζ EAF = 
45 0 ;(2) MN2 =BM2 + DN2 • 
纣~!:王睡
(1)如图，延长CD 至点E j
' 使DE j =BE , 
连接AEj' 贝~ 6ADEj 呈6ABE.
从而，ζ DAEj =ζ BAE ，AE j = AE , 
于是，ζ EAEj =90 0 • 
在6AEF 和6AEj F 中，
EF=BE 十DF=E 飞D 十DF=E j F ‘
贝~ 6AEF旦6AE j F .
故ζEAF= LEjAF =卡EAE j = 45 。
(四川省竞赛题)
A~二
孔t[ j /1 E j
一'
二
.
胁'
，一-、.
__'、，
一'自、，
I \M/N)jF 
B"
呈‘ C
(2) 如图，在AE j 上取一点Mj ，使得AMj =AM ，连接Mj D ，Mj N . 则
6ABMC/J6ADMj ,6ANMC/J6 ANMj , 
故LABM= ζADMj ,BM= DMj ,MN=MjN. 
因此，ζNDMj = 90 0 , 
从而，Mj N2 = Mj D 2 +ND2
，
所以，MN2 =BM2 +DN2 •
例7
(1)以6ABC 的边AB
，AC 为边各向外作一个正方形(见图①) , 
中心分别为Oj
，03 ，D 为BC 中点.求证:Oj D 与0 3 D 垂直并且相等.
(江苏省南京市中考题)
(2) 以任意四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 为边各向外作一个正方
形(见图②) ，中心分别为Oj ,02 ,0 3 ，04 ，求证: Oj 03 与02 04 垂直并且相等.
(山西省太原市竞赛题)
B' 
B 
图①图②
证明
(1)如图①，连接CB' ，BC'. 以A 为中心，分别将B 点、C' 点绕A
点按顺时针方向旋转90 0 ，于是B 点到B ' 点，C' 点到C 点，这就是说:线段
BC'绕A 点旋转90。后完全落到线段B'C 上.从而可知，线段B C' 与B'C 垂
直且相等.
连接BB ' ，C'C ，可证DOj
，D03 分别是6BB ' C 及6CBC' 的中位线，从
而有OjD斗CB' ，03 D马C'B
由于CB ' 和BC'垂直且相等，所以Oj D 与0 3 D 亦垂直且相等.
(2) 如图②，①连接BD ，取BD 中点。，连接OOj ,002,003 ,004 , 
179. ) 
、』可‘'‘
食
第
19 讲
正方形
对于例
6 ，在条件
不变的情形下，可发
掘如下更多的结论:
(1) 6 EFC 的周
长等于正方形边长的
2 倍;
(2) 点A 到EF
的距离等于正方形的
边长;
(3) MF _L AE, 
A儿1= FM, NE _L AF, 
AN=EN; 
(4)S6AEF=2SM时V
一题多得，一题
多用
. 11,J 6 是一道典
型例题，在相同的条
件下可推得多个结
论，融合了丰富的知
识与方法，通过简化
图形、改变背景等方
式，可生成许多新的
问题，而该题是解决
这些问题的基础与出
发点.
交换条件或结论
的任一个，其他的结
论仍成立，由此生成
形态各异但本质相同
的正方形相关问题.
对于例
7 ，(1 )是
(2) 的基础，用旋转交
换的观点看，简单而
直触问题的本质.
1'í:\~1'í:\ 
食
*
)々
食
食女
食
，曾女
②对于6.ABD ，由(1)小题的结论可知:00 1 与00 4 垂直且相等，对于
6.BCD ，同理有00 2 与00 3 垂直且相等.
③类似(1)题的证法，线段。1 03 绕0 点按顺时针方向旋转90 0 ，完全落
在线段04 02 上，所以线段。1 03 与02 04 垂直且相等.
构造正南形
正方形是-种简单而完美的图形，有许多有趣而美妙的性质，解题时，
联系题设和结论，若能构造正方形，则能充分彰显正方形的特征.
例8
(1)如图①，在Rt 6.BCD 中
，CD=CB ，ζ BCD=90 0 ，E 为6. BCD
内一点，且DE=DC ，BE=CE. 求ζ CDE 的度数;
(2) 如图②，在6.ABC 中，ADj_BC 于点D ，ζBAC=45 0 ，BD=2 ，CD=3 ，
求AD 的长.
~D 
A 
~Lß 
B 
C 
B 
D 
C 
图①
图②
运用等腰直角三角形、45 。角、正多边形等是构造正方形的常见方法.
坦
白
"
1.如图，在正方形ABCD 中，点P'P 1 为正方形内的两点，且PB=PD ，
P 1 B=AB ，ζ CBP= ζ P 1 BP ，则ζ BP 1 P=
(江苏省竞赛题)
A 
D 
川
B 
C 
A 
E 
A 
E 
B 
C 
D 
(第3 题)
B 
G 
(第
l 题)
(第2 题)
2. 如图，正方形ABCD 、正方形CGEF 的边长分别是2 ，3 ，且点B ，C ，G 在同
一条直线上，M 是AE 的中点，连接MF ，则MF 的长为
(浙江省竞赛题)
3. 如图，在6.ABC 中，ζABC= 90 0 ,AB = 12 ,AC= 13. 若以AC 为边作正方
形ACDE ，那么6. BCE 的面积等于
(福建省竞赛题)
8 
学科精英大视野系列丛书
正方形的特点为
旋转变换创造了必要
的条件.一般地，我们
总是将正方形的局部
例
7(2) 所展现的
即凡·奥贝尔定理.
佩雷尔曼，俄罗
斯数学家，于2002 年
证明了"庞加菜猜
Q.E.D 意为"证
英国《自然》杂志
上有一篇文章这样评
价他"佩雷尔曼的生
命只属于他心中的信
仰一一数学!他不需
要任何奖赏、资金和职
~~~ 
( 川军细)
女食
，际
女食
食
古'食
，传
4. 如图，正方形ABCD 的边长为
4 ，E 为BC 边上一点，且BE=l ，F 为AB
边上- 动点.连接EF ，以EF 为边向右侧作等边6EFG ，连接CG ，则CG
的最小值为
A 
D 
F~ 
B Eι 
(第4 题)
(第
5 题)
(江苏省宿迁市中考题)
(第6 题)
5.
如图，把一边长超过10 的正方形纸片剪成5 个部分，则中间小正方形(阴
影部分)的周长为
(浙江省竞赛题)
6 .
如图
，Rt6A BC 中，ζ ACB =90 0 ，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，
且正方形对角线交于点。，连接OC ，已知AC =5 ，OC =612 ，则另一直角
边BC 的长为
("希望杯"邀请赛试题)
7. 如图，四边形ABCD 是正方形，直线
l ] , l2 ' l 3 分别通过A ，B ，C 三点，且
l ] // l2 // l3 ，若l ] 与
l 2 的距离为5 ，l 2 与l 3 的距离为7 ，则正方形ABCD 的
面积等于(
). 
A. 70 
B. 74 
C. 144 
D. 148 
(江苏省竞赛题)
A 
D 
A 
D 
因E
E 怪=
与~才F
B 
G 
C 
B 
C 
(第
7 题)
(第8 题)
(第9 题)
8 .
如图，正方形ABCD 中
，AB =6 ，点E 在边CD 上，且CD =3 DE ，将
6ADE 沿AE 对折至6A FE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF. 下
列结论: ①6ABG旦6AFG; ②BG = GC; ③AG //CF; ④SL，FGC = 3 . 其
中正确结论的个数是(
). 
A. 1 
B. 2 
C. 3 
D. 4 
(重庆市中考题)
9. 如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF //
AD ，与AC ，DC 分别交于点G ，F ，点H 为CG 的中点，连接DE ，EH ，
DH ，FH. 下列结论:
(
EG=DF; 
②ζ AEH + ζ ADH = 180 0 ; 
18址
第
19 讲正方形
Ct.\Ai::.\~ 
食
击
R
-R 
食
为
-RAV 
食
食
.....AE 
2 
③6EHF三6DHC;
④有一一=一，则356EDH = 135 6 DHC . 
AB 
3
ρω
ο 
其中结论正确的有(
). 
A. 1 个
B. 2 个
D. 4 个
c. 3 个
(云南省昆明市中考题)
10. 如图，正方形ABCD 的面积为64 ，6BCE 为等边三角形，F 是CE 的中
点，AE ，BF 交于点G ，连接CG ，则CG 等于(
). 
A. 4J2 
B. 6 
C. 3J2 
D. 4 
(江苏省竞赛题)
1 1.如图，P 为正方形ABCD 内一点，若PA : P B : PC = 1 : 2 : 3 ，则
ζAPB 的度数为(
). 
A. 120 。
C. 
1 50。
B. 135 。
D.
以上都不对
( 江西省南昌市竞赛题)
D 
B I.-:-斗一一一--"".Jc
E 
(第10 题)
(第11 题)
(第12 题)
12. 如图，在正方形ABCD 中，E 是DC 的中点，点F 在BC 上，ζEAF=
ζDAE ，则下列结论中正确的是(
) . 
A. L EAF= L FAB 
B. FC= ~ BC 
C. AF=AE十FC
D. AF= BC+ FC 
("希望杯"邀请赛试题)
13. 如图，正方形MNBC 内有一点A ，以AB ，AC 为边向6ABC 外作正方形
ABRT 和正方形ACPQ ，连接RM ，BP. 求证: BP//RM. 
(湖北省武汉市竞赛题)
T 
A 
D 
~E 
B 
C 
、P
(第
1 3 题)
(第14 题)
14. 如图，已知正方形ABCD ，BE = BD ，CE // BD ，BE 与CD 交于点F . 证
明:DE = DF.
(四川省竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
~~~、
( 川军细)
15. 如图，线段AB=8 ，射线BGl_AB ，P 为射线BG 上一
点，以AP 为边作正方形APCD
，且点C ，D 与点B
D 
在AP 两侧，在线段DP 上取一点E ，使ζ EAP=
正三BAP ，直线CE 与线段AB 相交于点F( 点F 与点
A
，B 不重合) . 
(1)判断CF 与AB 的位置关系，并说明理由;
(2) 求6AEF 的周长.
女食
食
A 
女食
食
女*
食
C 
F B 
(第
15 题)
(江苏省泰州市中考题)
16. 如图①，正方形ABDE ，CDFI ，EFGH 的面积分别为
1 7 ，10 ，13 ，图②中
的DPQR 为矩形，对照图②求图①中ABCIGH 的面积.
A一一一~B
( 江苏省竞赛题)
E 
H 
:因
F 
G 
图①
图②
A 
B 
(第
16 题)
(第
17 题)
17. 如图，已知在梯形ABCD 中
，AB //CD ，以AD ，BC 为边分别向外作正方
形ADEF 与正方形BCGH
，I 为线段EG 的中点，连接ID ，IC. 求证:
ID=IC. 
(全国初中数学联赛题)
18.
如图，正方形AEDB ，ACFG 共顶点A
，点。I
，M ，Oz
，N 分别为AD
，BC ，
AF ，EG 的中点.求证:OjMOzN 是正方形.
D 
B 
M 
C 
(第
18 题)
F 
(俄罗斯数学奥林匹克试题)
C 
M 
B 
(第
19 题)
D 
19.
如图，四边形ABDE 和ACFG 都是正方形，M 是BC 的中点，延长MA
交EG 于点H.
求证:(1)AM=÷EG
(2) AHl_EG; 
(3) EGz + BCz =2(ABz +ACz). 
(" 希望杯"邀请赛试题)
20. 如图，已知M ，N 分别为正方形ABCD 的边CB ，
P 
F 
Y 
DC 延长线上的点
，DN-BM=MN ，DP l_ AN 交
AM 于点p
，求证:PA+PC= -!2PD.
J 183. _L 
飞
噜串
串串耳' 咽'
PM 
(第
20 题)
第
19 讲正方形
&t.\&:\Ci\ 
食
τ使企
食
食女
，传
食女i
学科精英大视野系列丛书
例1
2 
如图，过点A 作AE_l CD 交CD 的延长线于点E ，则四边形ABCE 为正方形，
由û，ABM且û，AED ，得BM=DE ，CM= CD ，令CM=CD= x ，则x2 +X2 =42+(4-x)2. 
得x2 =32-8x. 
1 
2 
c 
τ了工
2 
于是当旦旦=
t. 
~一=2.
'S ^ACU 
1 " . /< 
16-4x 
ð.ABM
τ X 4(4- x) 
例2
选B
在AC 上取一点G ，使CG=AB= 4 ，连接αJ ，ζα刀=ζOBA ，则A∞C呈
û，OAB ，得α'J=OA=6.J2 ，ζAα:; =90 0 ，û，Aα3 为等腰直角三角形
，AG=1 2 ，故AC=16.
例3
下面证法仅供参考:
• 
….. 
(例1)
延长CF ，BA 交于点H ，由
Rt û，DFC旦Rt û，CEB ，可推得ζBPF=900• 又Rt û，DFC且Rt û，AFH ，得DC=
AH=AB ，PA 为Rtû，PHB 斜边中线，故AP=AB.
例4
(1)连接DF ，由D，DFGC0 D，DCG 得GF=GC.
(2) 由(1) 可得ζ EDH =45 0 ,DE= HE ，过点H 作HM _lAB 于点M ，由û，DAE且û，EMH ，得AE=HM ，
DA = EM= AB ，得AE= BM ，从而BM= MH ,BH = .J2MH = .J2AE . 
.J2 ~'"' .J2 
例5
.: QC= ' ,,- BC= ",.,-AD=SD, 
2 - -
2 
4三DCB + ζADC = 180 0 ，ζ EDN+ ζADC= 360。一ζ EDC
ζNDA=180 0 ，
.
ζ DCB = ζ EDN ， 
.. ζ QCR = ζ QCB+ ζ BCD + ζ DCR = ζ BCD+90 0 = ζ EDN + 90 0 = L SDR. 
又.: RC= RD , 
:. û，QCR旦û，SDR ，:. QR=RS. 
同理QP = QR ，PQ=PS ，即PQ=QR=RS =SP.
..四边形PQRS 为菱形，·.· ζ QRC= ζ SRD ，
. ζ QRS = ζ QRD + ζ DRS = ζ QRD + ζ QRC= ζ DRC=90 0 ， 
.四边形PQRS 为正方形.
例8
(1)如图①，作出等腰Rtû，BCD 关于BD 对称的等腰Rtû，BAD ，
则四边形CBAD 为正方形
，û，ABE旦û，DCE ，û，ADE 为等边三角形，可得
ζ CDE=30 0• 
(2) 如图②，分别以AB ，AC 为对称轴，作出û，ADB ，û，ADC 的对称
û，AGB ，û，AFC ，并延长GB ，FC 交于点E ，则四边形AGEF 是正方形，设
AD = x ，由BC2 = BE2 + CE2 得(x 一2) 2 十(X - 3) 2= 5 2
，解得x = 6.
图①
C 
A 
a飞
--~. 
L '… 
… 
… 
… 
卢…‘-
/I\'\.
飞F
• 
I
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G(. I~'c 
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‘一
十
B~-----::~ :' 
、、J
图②
E
(例的
• 
……… ~". ~.……疆
.
1. 45 。
连接CP.
2 字
连接DM 并延长交EF 于N .?.，.91~ û，ADM旦û，ENM，叶l
3t?3 
?告
食
( I 飞牢是应)
食
食
亡'
食
食
第
19 讲正方形
85 
3 言过，口作EG l_ AB ，交BA 延长线于川，则BC// EG ，L"，ABC且EGA ，hE=÷BC-BG=
1 "
_ ,, _ _ 
85 
言X 5 X 17=~2~' 
47 在L"，BFE 内作等边L"，B HE ，连接HG ，则L"，GHE旦L"，FBE ，LGHE= ζ FBE =
90
0 ，即点G 的轨迹是在过点H 且与HE 垂直的定直线HP 上，如图，过点C 作CQ l_ HP 于
3 
5 
点Q ，此时CQ 值最小，过点E 作ER l_ CQ.CQ=QR+CR= 1 +一=
2 
2' 
5. 20，JZ
如图，构造弦图，得小正方形的边长为AB - BC =
AB- BD=AD= 5,JZ. 
6. 7 
延长CB 至M. 使BM= AC. 则L"，OAC且L"，CBM.
7. B 
8. C 
i支GC= 工，则BG=6-x ，GE =8
工，由
4 2 十x 2 = (8-x)' t寻x= 3 ，flp
12 
~ 
1 ~ ~ 
~~~ 
18 
BG=GF = GC = 3. 作CH l_ GE 于点H ，则
CH=~ë~'S.6町二
GF. CH = τ 手
5 
3 ，结论④是错误的.
9. D 
对于④，设AE = 2x ，AB=3x. L"，EDH 为等腰直角三角形，过点H 作
1 ~~ 0 
1 ~~2 
13 
2 
HN l_ DE 于点N
，HN = τ DE ，S.6EDH = 
4. DE' = 
~4~ x' ; 过点H 作HP l_ CD 于
起P.HP = 卡，S.6DHC = 卡2
10. D 
L"，CGE 为等腰直角三角形.
11. B 
将L"，ABP 绕B 点顺时针旋转90 0 ，得L"，BP'C ，连接PP'.
12D FC=tBC 
A 
A 
D 
F 卜可~/ÎP
1\ 
'f烈l
.-//庐~
I 
丁~~ //R\I 
B-E一一-c
(第4 题)
(第5 题)
13. 连接RN ，MP. L"，MCP豆L"，BAC 且L"，BRN ，则RB=MP ，又L"，RNM呈L"，PCB ，则RM=BP ，从而四边
形RBPM是平行四边形，故BP // RM.
1 
14.
分别过点C ，E 作CG l_ BD 于点G.EH l_ BD 于点H ，则CG=EH = : BD. 可得ζ DFE= ζ BED =
2 
75 0 ，故DE=DF.
15. (1) CF l_AB ，证明略.
(2) 过点C 作CNl_ BP 于点N ，则L"，ABP C/) L"，PNC ，四边形BFCN 为矩形
，PB = BF ，L"，AEF 的周长=(8+
PB)+(8-BF)=16. 
16. 62 
S.6DEF=S.6皿=S.6B町= S .6GF/ = 3 X 4 一÷ × 1 × 4
÷ × 1 × 3
÷ × 2 × 3=55
17.
作D] 上AB 于点]
，CK上AB 于点K
，过E. I，G 分别作直线DC 的垂线，]'，O ，K' ;为垂足，则]'D=
D]=CK=CK' ，又]'O=K'O. 则DO=CO ，故ID = IC.
18. 参见例
7.
19.
对于问题(3) ，连接BG ，CE ，可证明BGl_ CE ，进一步可推得结论.
20.
在DC 上截取DE =BM ，连接AE ，过点D 作DH l_ DP 交PA 的延长线于点
H. 可证明L"，DAE C/)
L"，BAM. L"，NAE呈L"，NAM ，L"，PDH 为等腰直角三角形
. L"，HDA 旦6 PDC. PC = HA. PA + PC= PA + AH = 
PH= ,JZPD. 
185 上
飞
霄，民
口口
回回口口
如图，将一个正方形九等分，然后挖去中间
的一个;再将剩下的八个小正方形各自九等分后
分别挖去中间的一个小正方形，重复上面的步
骤，就可得到谢尔宾斯基地毯，它的面积趋于0 ，
而各正方形周长之和趋于无穷大.
J也:
!
通过添加辅助线，把梯形转化成平行四边形或三角形，这是解梯形问题时
的主要思路，具体做法是: 过一顶点作一腰的平行线、过顶点作一对角线的平
行线、延长两腰、过底的顶点作另一底的垂线等.
熟悉以下基本图形、基本结论:
刀叭\冈
ζ~h
巴、::>. ~ 
~' .问题-.法
例1
(1)如图①，四边形ABCD 中，AB // CD ，ζ D= 2ζB ，若AD= a ，AB
=b ，则CD 的长是
("希望杯"邀请赛试题)
(2) 如图②，梯形两底角之和为90 0 ，上底长为5 ，下底长为1 1，则连接两底
中点的线段MN 长是
:厂~B
图①
时~1
图②
屠题思路
平移腰，构造等腰三角形或直角三角形.
封?D
(安徽省竞赛题)
数学一般通过直
接激发创造精神和活
跃思维的方式来提供
其最佳服务.
一一一赫巴特
几何分割
几何分割并不需
要太多的数学知识，
没有现成的章法可
循，依据的是想象力
和直觉.
如图，有些几何
图形通过分割可以复
和IJ tl:!一些小的相似图
形. m 
且应
属丛
E丑4
~~~ 
( J\ $ 
~ ) 
女食
食
女食
食
去'
女
，传
例2
己知一个梯形的4 条边的长分别为1，2 ，3 ，4 ，则此梯形的面积等于
A.4 
C .
创立
与
3
D 
B. 6 
(全国初中数学联赛题)
些堕塾堕
给出4 条线段，要构成梯形需满足一定条件，解题的关键是确
定可能的上、下底.
例3
如图，在等腰梯形ABCD 中，AB // DC,AB = 998 , DC= 1001 , 
AD = 1999 ，点P 在线段AD 上，问:满足条件ζ BPC =90 。的点P 有多少个?
(全国初中数学联赛题)
瞄题思路
本例是以下面问题为基础:在梯形ABCD
中，AD //BC ，AD +BC=DC .
(1)如图①，若E 为AB 中点，则ζ DEC =90。且CE ，
DE 分别平分ζ BCD ，ζADC;
(2) 如图②，在CD 上取一点M ，使MD=AD ，连接
D 
BM ，则ζAMB=90 0 ;
(3) 如图③，将①②组合，则四边形GEHM 为矩形.
D 
B 
B 
B 
C 
C 
图①
图②
C 
图③
例4
如图①，四边形ABCD 是等腰梯形，AB // DC ，由四个这样的等腰
梯形可以拼出图②所示的平行四边形.
(1)求四边形ABCD 四个内角的度数;
( 2 ) 试探究四边形ABCD 四条边之间存在的等量关系，并说明理由;
(3) 现有图①中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗? 若
能，请你画出大致的示意图.
/刊/
。在
( 山东省中考题)
第
20 讲梯形
C 
相同的条件，不
同的结论;相同的"原
料"，不同的"菜肴"，
一个基础性问题，通
过交式、重组以及强
化、弱化条件等方式，
可生成问题系列.
故在学习中储
备、掌握典型问题，有
利于提高解题的起点.
例4 是一类图形
信息题，f!r 通过图形展
示信息，它打破了用语
言描述数量、位置关系
的传统，而将其隐含在
问题的图中，解题时应
认真观察图形，根据图
形的结构特点、性质，
从中提取信息，为解题
服务-
~R..-\~ 
食
食会
食
食女
食
节It * 
帽题思路
对于(1)、(2) ，在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和
腰及上下底之间的关系，从作出梯形的常用辅助线入手;对于(3) ，在(2) 的
基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干种图形.
管IJ 5 
连接凸四边形一组对边中点的线段等于另一组对边和的一半，
问:这个凸四边形是什么四边形?试证明你的结论.
(俄罗斯莫斯科市数学奥林匹克试题)
瞄噩思路
由中点想到中位线，连接对角线并取其中点，为中位线定理
的应用创造条件.
例6
如图，在等腰梯形ABCD 中，CD // AB ，对角线
AC ，BD 相交于0 ，ζACD= 60 0 ，点S ，P ，Q 分别为OD ，
OA ，BC 的中点.
(1)求证:L，.SPQ 是等边三角形;
(2) 若AB = 5 ，CD =3 ，求L，. SPQ 的面积;
(3) 若L，. SPQ 的面积与L，.AOD 的面积的比是7 : 8 , 
A 
B 
求梯形上、下两底的比CD: AB. 
("希望杯"邀请赛试题)
幡
连接SC ，PB.
.; L，.OCD ，L，.OAB 均为等边三角形，S ，P ，Q 分别为OD ，OA ，BC 中点，
1 ~ ~ 
1 
'. SQ= ~ BC= ~ AD= SP= PQ, 
2 ~ -
2 
故L，. SPQ 为等边三角形.
1 r-.,", I 
'"'~ 
13 ~~ 
3 仰
(2) .; SB寸DO+ OB = 言，CS= 亏丘，BC=7 ，
1 ~~ 
7 
;. L，. SPQ 的边长SQ =
~ BC= -;;-
2 ~ ~ 2' 
S ^ CPn = )3 x ( ~ r = 49)3 
A 
一一一^
I
--;:)
I
一_-一-
SPQ 
4 八
~ 2) - ~ . 
ω 
设缸
CD仨
= a叫
，A
础
A础
B归ω 
a旷2+ b扩2 十ab ，
S6SPQ=~(a2 十ab十b2 ) .
1.1 
16 
学科精英大视野系列丛书
等腰梯形与等腰
三角形有着内在联
系，体现在:
(1)它们有相似
性质;
(2) 连接等腰梯
形对角线，就得到等
综合运用等腰三角形
的相关知识.
1fI:\&.:\&.\ 
1号食
食
女食
食
女食
，曾
军军
梯形
第
20 讲
S^~的D
b 
~.I _ 
J3 
又zii=- ，则S ^A门口=平α b ，
0 b∞D 
a 
- …>
4
• Sb PQS 一7
. S bAOD 
8' 
"问愈遣，创更
新"是李政道当年在
芝加哥理工大学与导
师费米教学互动时的
感悟.批判性阅读、批
判性聆听、独立思考，
是催生创新之花盛开、
创新之树常绿的关键.
..8X占(a 2 +ab十b2 ) =7 X'0ab , 
16 
即2α 2 -5ab+ 2b 2 = O ，化简得旦
1
b 
2 . 
故CD: AB=l : 2. 
例7
如图，分别以6.ABC 的边AC 和BC 为一边，在6.ABC 外作正方
形ACDE 和CBFG ，点P 是EF 的中点.求证:点P 到边AB 的距离是AB
的一半.
( 山东省竞赛题)
D 
证明
如图，分别过E ，F ，C ，P 作AB 的垂线，
垂足依次为R ，S ，T ，Q ，则PQ 就是点P 到AB 的距
离，且有ER // PQ矿CT // FS ，故四边形ERSF 为直
角梯形，PQ= ~ (ER + FS) 
易证Rt6.AER旦Rt 6. CA T , Rt 6. BFS旦Rt 6. CBT ，
:. ER=AT ,FS=BT , 
又AT+BT=AB=ER+FS ，
故PQ=÷AB
，~~~ 
AAV 
号事附关联
-些"凤马牛不相及"的问题之间常有着千丝万缕的联系.通过探究，寻
找关联，可体悟数学问题的结构之美.
例8
(1)如图①，在6.ABC 中，已知
AB=AC ，D 为BC 边上的一点，求证:AB2 一
F飞
图②
通过构造等腰梯形，可由问题(1)推证问题(2) ，反之亦然.
。t
AD2 =BD. CD; 
(2) 如图②，在等腰梯形ABCD 中，己知
AD // BC, AB = CD ，求证: BD2 -
AB2 
AD. BC. 
幡题思路
食
食食
食
食女
，传
食?告
~ 刻意练习
1. (1 )等腰梯形被对角线分为两个等腰三角形，则等腰梯形的各角度数
为
(俄罗斯莫斯科市数学奥林匹克试题)
(2) 若等腰梯形的大底等于对角线长，小底等于高长，则小底与大底的比
是
2 .
已知矩形纸片ABCD 中，AB= 1 ，BC=2 . 将该纸片折叠
成一个平面图形，折痕EF 不经过A 点(E ，F 是该矩形边
界上的点) ，折叠后点A 落在点A'处，给出以下判断:
①当四边形A'CDF 为正方形时，EF=J2;
②当EF= J2时，四边形A 'CDF 为正方形;
③当EF=J5时，四边形BA'CD 为等腰梯形;
④当四边形BA 'CD 为等腰梯形时，EF=J5.
(江苏省竞赛题)
|| 
B 
(第2 题)
其中正确的是
(把所有正确结论的序号都填在横线上). 
(安徽省中考题)
3. 如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，AB // CD ，AB=6 ，CD=16 ，6ACE
为直角三角形，ζAEC =90 0 ，CE= BC= AD ，则AE 的长为
(上海市竞赛题)
/飞
/~ 
(第3 题)
(第4 题)
(第5 题)
4. 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC, AB = 8, AD = 3, CD = 6 ，并且ζB +
ζ C =90 0 ，则该梯形的面积s =
(河北省竞赛题)
5. 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC(BC>A D)
，ζD = 90 0 ,BC= CD = 12. 
4乙ABE=45 0 • AE= 10 ，则CE 的长为
(全国初中数学联赛题)
6 . 庄子说"一尺之捶(短棍) ，日取其半，万世不竭(尽，完) . "这句话( 文字语
言)表达了古人将事物无限分割的思想，可用图形语言表示为图①.按此
图的分割方法，可得到一个等式(符号语言):1 = _!_ 十主十占十… 十
2
乙z
' 2 
去+
如
学科精英大视野系列丛书
Gi\~Ci.\ 
( 川军细)
力常
食
女食
食
食
食
第
20 讲梯形
A 
B 
1 
1 1 
2 
22 23 
C 
图①
(第6 题)
图②也是一种无限分割:用
3 个相同的等边三角形6DOA ，6AOB ，
6BOC 拼成一个等腰梯形ABCD
，将它分成
4 个全等的等腰梯形
DD]A]A , AA]B]B , BB]C ] C
和
A]B ] C ] D ]
，再将下方的等腰梯形
A]B ] C]D ] 分成4 个全等的等腰梯形D]A ] A 2 鸟
，A ] B] 鸟儿
，B ] CCz B 2 ' 
A z B z Cz D z ……如此继续无限分割下去.设原等腰梯形ABCD 的面积为
1，利用阴影部分所有等腰梯形ABB ] A] ,A]B]BzA2 ，A z B z B 3 A 3
' …的面
?只和，可以得到一个等式，则这个等式为
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
7 . 用4 条线段α = 14 ，b = 13 ，c= 9 ，d = 7 作为4 条边构成一个梯形，则在所
构成的梯形中，中位线长的最大值为(
) . 
A.13.5 
B. 11. 5 
C.11 
D.10. 5 
(湖北省竞赛题)
8.
如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD=2 ，AC = 4 ，BC=6 ，BD =8 ，那么
梯形ABCD 的面积为(
) . 
A. 4 jf5 
B. 16 
C. 8 jf5 
D. 32 
(湖北省武汉市竞赛题)
A 
D 
RD 
2二3
平
/乡〈
4 
B 
M 
C 
(第8 题)
(第9 题)
(第
1 0 题)
9. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两
点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边
长分别为2 ，4 ，3 ，则原直角三角形纸片的斜边长是(
) . 
D. 
1 0 或2 刁于
(安徽省中考题)
10. 如图，在梯形ABCD 中，AD /扩BC ，ζB = 30 0 ，ζ C= 60 0 ，E ，M ，F ，N 分别为
AB ，BC ，CD ，DA 的中点，已知BC土7 ，MN = 3 ，则EF 的长为(
). 
A. 10 
B. 4$ 
C. 10 或4$
A. 4 
B4÷ 
C. 5 
D. 6 
(全国初中数学联赛题)
!~G.\~ 
上
"
电
凹
­
U
飞
、
学科精英大视野系列丛书
食
食女
食
食女
食女
，传
A
门
」
c
1 1.如图，已知四边形ABCD 各边长均为正整数，周长为p ，
ζB= ζ C=90 0 ，AB =2 ，CD = AD . 若P<2015 ，则正整
数P 有(
)个不同的可能值.
A. 30 
B. 31 
C. 61 
(第11 题)
(美国数学竞赛题)
12. 如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为
A (1，1)，B(2 ，一1)，C(-2 ，一1)
，D( - 1，1) .y 轴上一点P( 0 ，2) 绕点A
旋转180。得点P 1
' 点P 1 绕点B 旋转180 。得点P 2
，点P2 绕点C 旋转
180。得点P 3
' 点P 3 绕点D 旋转180。得点孔，……，重复操作依次得到
点矶'P 2
' …，则点P2010 的坐标是(
). 
A. (2010 , 2) 
B. (2010 ，一2 )
C. (2012 ，一2)
D. (0,2) 
( " (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
E. 63 
D. 62 
D 
z 
‘B 
A 
yP 
D 
B 
C 
B 
C 
(第14 题)
13. 如图，在梯形ABCD 中，AD// BC ,AC_lDB ,AC= 5 ，ζ DBC= 30 0 • 
(1)求对角线BD 的长度;
(2) 求梯形ABCD 的面积.
(第13 题)
(第12 题)
.~~~ 
(四川省竞赛题)
14. 如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，M 是腰BC 的中点，MN _lAD. 求证:
S梯形ABCD = MN • AD. 
( 山西省竞赛题)
15. 如图，在四边形ABCD 中，AD 矿BC ，AB=AC ，DF上BC 于点F ，DF 与
AC 交于点E ，若BE=2DF ，且BE 平分ζABC ，求ζBAD 的度数.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
A 
G 
J宋、
B 
(第
1 6 题)
16 . 如图，在锐角LABC 中，作高BD 和CE ，过顶点B ，C 分别作ED 的垂线
BF 和CG. 求证:EF = DG .
(第
1 5 题)
(俄罗斯数学竞赛题)
却主ij
( 川军细)
女食，曾
女*
食
=ti，女食
17. 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正
方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于
点M. 求证:点M 为EF 的中点.
(全国初中数学联赛题)
G 
H 
E 
(第
17 题)
18. "标准等腰梯形"是指只有二对平行边的等腰梯形(例如，平行四边形、长
方形均不为标准等腰梯形) .将一个长方形分成不一定全等的n 个标准
等腰梯形的一种分割是"严格的"当且仅当对于任意满足2~i~n 的l , 
均不存在(不经过平移、旋转与拼接)能构成一个大标准等腰梯形的
i 个
小等腰梯形(换句话说，该分割是严格的，如果它不是另一种标准等腰梯
形更少的分割的再细分) .证明:对一切不小于
9 的正整数n ，均存在一
种将-个2017 X 2018 的长方形分成n 个标准等腰梯形的严格分割.
(塞尔维亚数学竞赛题)
第
20 讲梯形
• • 
''ØiJ l 
(1 )b - a
过C 作CE // AD 交AB 于E.
(2) 3 作CF // AD 交AB 于F ，作Rt6 FCB 斜边中线CE ，则CE = MN = ~ (AB-CD) 
例2
D 
以1，2
，3
，4 为边长作梯形只有以下六种可能: ①1，2 为底; ②1，3 为底;
③1，4 为底;④2
，3 为底;⑤2 ，4 为底; ⑥3 ，4 为底，只有③才能构成梯形.如图，设在梯
形ABCD 中
，AB=3 ,BC= 4,CD = 2,DA = 1 ，作AH l_ BC 于H ,AE// DC 交BC 于
，，、。
B
1 A ~ 
I A ~ 2 
( AEγ 
E ，则BA =BE ，由言AH
. BE=S['，础E
τ AE
.
，J AB 一( τ)
，得AH= 字玄，故
D 
C 
(例2)
4 r;c-
10 
s梯形ABCD - τ (1 十4) X :12= ~nvJ2. 
3' -
3 
例3
当P 为AD 中点时，可以证明ζ BPC =90 0 ; 在AD 上截取AP = AB ，可以证明ζ BPC=90 0 ，放满足
条件ζ BPC=90 。的点P 有2 个.
例4
(1)上底角为
120 0 ，下底角为
60 0
•
(2) 梯形的上底等于下底的一半，且等于且要长.
(3) 能拼出菱形，如图，供参考.
-aam 
q
J
U
咽
'
t
n
H
d
卢
]
飞
、
(例4)
学科精英大视野系列丛书
食
食丁去f
食
食女
食
食女
在一一_D
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
MI 
/ 
I 
…川
…二
//P 
\ " 
\ 
B 
C 
这个凸四边形是平行四边形或梯形.证明如下:如图，在凸四边形ABCD 中，
例5
M ，N 分别是对边AB
，CD 的中点
，MN = ~ (AD+ BC) 
连接BD ，取BD 的中，点p ，连接MP ，NP ，则MP=iAD ，NP = ÷BC ，MP+ NP =4
2 ' -- ,'
-
2 - - " --
. ' -
2 
(例
5 )
(AD+ BC) = MN. 
飞:二:::;F飞
点P 一定在线段MN 上，于是AD // MN ,BC// MN ，放AD // BC. 当AD = BC
时，凸四边形是平行四边形;当AD手BC 时，凸四边形是梯形.
如图，过点B 作BE // CA ，交DA 的延长线于点E ，则四边形ACBE 为平行
例8
(例的
四边形，由(1)知BD'- AB'= AE
. AD= BC . AD. 
-
---c. 
1. (1) 72 0 ，72 0 ，108 0 ，108 。
(a 十bγ
?
? 
设大底为α ，小底为
b ，则
l ~一
I
+ b'= 矿，化简即可.
(2) 3 : 5 
2 .
①③④ 
设CE F BC = AD = 工，则
x' +AE' =x' -5' + 11' . 
3. 416 
A 一--，F 
B 
过D 作DE // AB ，交BC 于E ，DH上BC 于H .
4. 38. 4 
如图，过B 作BFl_ DA ，交DA 延长线于F ，则四边形BCDF 为正方形，又
S. 
4 或6
正三ABE=4 5
0
，可证明AE= CE+ AF. 设CE= 工，则DE= 12 - x ,AF= lO - x ，DA=12 一(1 0
x) = x + 2. 在Rt L:，.ADE 中，由
10 '= (1 2 -x ) '+ ( x十2) ' ，得工1 = 4,x, = 6 ，故CE 的长为
4
或
6 .
C 
+ 
1-r 
+ 
+ 
l-u 
+ 
IFA 
+ 
l-4 
一
-
1-3 
ro 
(第5 题)
第一次得到的阴影部分的面积就是等腰梯形
I 
ABB 1 A j 的面积，等于王'而它的下方的等腰梯形A 1 B 1 Cj D j 的时也是士;于是第二次
得到的等腰梯形A j B J B，冉的面积=卡卡去，它的下方的等腰梯形A，B，C，D，的面积也是士× 士= 击;
于是第二次得到等腰梯形A ，B，B3人的面积是去×士= 去，它的下方的等腰梯形A 3 B3 叭的面积也是去×
士= 去，
，如此无限地取下去，原图中的阴影部分的面积之和是卡去寸+ ... +卡
，它正好是原图面
1 
，，
_'_k.~" 1 
1
, 1
, 1
, 
1 
积的÷，故有等式一=
十一~+-=，+ … 十土+
3 
- .... , 3 
4
' 4' ' 43
' 
' 4" 
4 194 1 
eRJJ 
当
14
，7 为两底时能构成梯形.
原直角三角形纸片有两种情况.
7. 0 
8. A 
9. C 
( 川军细)
10A EF=÷(B川DhMN=÷(B川D )
11了黄
女食* 食
食
第
20 讲梯形
11. B
设BC=x ，AD=CD勺，则/=(广2 ) 2 十x2
，x= 2 σ巧，P=计2y + 2 = 2y 十2σ可十2 <
2015 ，且y-1 为完全平方数，y = 1 2 + 1 ，2 2 + 1 ，…，3 1 2 + 1，从而P 有31 个不同的可能值.
12. B 
P 1 ( 2 ，0)
，P2 (2 ，-2)
，设P2 (鸟
，b2 )
，其中
α2 =2 ,b2 = -2 ，由对称关系，依次可求得P3 (-4-a 2 , 
一2 - b2 ) ,P, (2+旬
，4 + b2 ) ' Ps ( 
鸟
，-2 - b2 )
，P6 (4 + 肉
，b2 ) • 令P6 (龟，b2 ) ，同样可求得点P 1 0 的坐标为(4 十
龟
，b2 )
，!'!P P JO (4X2 + α2 ，b2 ) . 因2010=4 X 50 2 + 2 ，故P 20 1 0 的坐标为(2 0 1 0 ，- 2) .
。5J3
13. (1) 5../3 
(2) 千三
14
连接DM ，AM ，延长DM 交AB 的延长线于P ，则S…CD =SL.ADP=2 S6ADM =2X
~ X AD X MN= 
MN . AD. 
15. 过点A 作AM上BC 于点M ，过点B 作BG上BC ，与CA 的延长线交于点G ，则BM= CM ，AG = CG =
AB ,BG= 2AM= 2DF= BE, 
.. ζ BGE= ζ BEG=3L三ABE ，得5L乙ABE =90 0 ，ζABE = 18 0 , 
故ζ BAD= 90 0 +3 X 18 0 = 144 0 • 
16. 取BC 中点H ，连接DH ，EH. 作HP// BF ，可证明FP= GP ，EP= DP.
17.
如图，过A ，D 分别作AP ，DQ 垂直于AD
，分别交BC 于P
，Q ，过E ，F
分别作AD 的垂线交AD 所在直线于K ，N ，可证明AP = DQ =AK = DN ，
G 
]K=]N. 因为EK // M] // FN ，所以EM=MF.
18. 将长方形严格分割成9 ，1 0 ，11 个等腰梯形的方法如图①、②、③所示，
其中α = 67 . 5 0 ，卢= 45 0 •
图①
图②
图③
(第18 题)
E 
(第17 题)
这三种分割方法稍加改进，就可以得到将长方形严格分割成12 个等腰梯形的方法，如图④.
图④
图⑤
(第
1 8 题)
H 
若已经得到了将长方形严格分割成n 个等腰梯形的方法，用图⑤所示策略就可以将长方形严格分割成
(n + 4) 个等腰梯形.
过旦在
电岛更d
英国的海岸线有多长?
1967 年法国数学家曼德
布罗特在《科学》杂志上就此发表了一篇论文，并给出
惊人的结论: 没有准确的答数.
曼德布罗特认为，云彩不是球体，山岭不是锥体，
海岸线不是圆周，闪电更不是沿着直线传播的，数学
家不能回答这些大自然提出的问题.
~(句道品运芝一…
一
需21 嗣
中点自q 翩而回
E 
.…' 
线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着中线、中心对称图
形、中位线等丰富的知识，在线段的计算、线段倍分关系的证明、角的相等关
系的证明、两直线位置关系的判定等方面有广泛的应用.
熟悉以下基本图形、基本结论:
A 
A 
A 
已
‘三:主三
X 
2 
例1
如图，在6ABC 中，ζB=2 L乙C ，AD j_ BC 于点D ，M 为BC 的中
点，AB=lOcm ，则MD 的长为
幡题思路
取AB 的中点或AC 的中点.
("希望杯"邀请赛试题)
A 
B 
数学家像画家和
诗人一样，是模式制
一一-哈代
凯纳斯多边形
Po 
如图，任意画一
个平面多边形Po
' 作
出其各边中点，按顺
序连接成一个新的多
边形P 1
，对P 1 重复
以上操作得到P2
，继
续下去，则得到一个
多边形序列
{ Po 'P1 ' 
正整数.
数学家凯纳斯对
这种多边形作过研究，
P3 ,… ,P2n+1 ' … } 从形
状上逼近一个确定的
n 边形
p ，
而
{ P2 ' 
P"
… ，P2n ' … } 则A人形
状上逼近另一个确定
的n 边形Q. 且P 与Q
内接于同一个椭圆.
Ci\trJ:\G.\ 
( I飞革是目)
女女
，际
女食
食
食，传
食
第
21
i井
中点的畅想
例2
如图，已知M 是L'::，ABC 的边BC 的中点，AN 平分ζBAC ，BN上
AN 于点N ，且AB = 10 ，BC= 15 ，MN=3 ，则L'::，ABC 的周长为(
). 
A . 38 
B. 39 
c. 40 
D. 41 
(四川省竞赛题)
幡盟军路
添加辅助线可得到异于M 的中点
A
B 
M 
C 
例3
如图，己知AD 是L'::，ABC 的角平分线，AB <AC ，在AC 上截取
CE = AB ，M ，N 分别为BC ，AE 的中点. 求证: MN //AD.
(山西省太原市竞赛题)
瞄题思路
角平分线、中点、平行线，能引起丰
富的联想，而构造中位线、中心对称图形能架构连接
各种分散条件的桥梁，使得思维充分发散.
对于图①，连接BE ，取BE 中点F ，连接NF ，
A ~ ~ 
B 
D M 
C 
MF. 
对于图②，在AC 上截取AF=AB ，连接BF ，交AD 于日，连接MH.
对于图③，连接AM 并延长到F ，使MF =AM ，连接EF ，FC.
A 
图①
A 
A 
/
卜，E
/ \ \ "-F 
J / 
H l_午-- -
"-
_ /_---T、、\、-
C 
D 
D M 
. C 
D 
图②
7C 
ν 
F 
图③
例4
如图，在L'::，ABC 内取一点p ，使ζ PBA= ζ PCA ，作PD j_ AB 于
点D ，PEj_AC 于点E ，求证: DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M.
瞄题思路
设M 为BC 的中点，将问题转化为证
A 
明MD = ME ，利用中点构造全等三角形.
B 
C 
飞~~.~"
需要什么，构造
什么.构造基本图形、
构造线段的和差( 倍
分) 关系、构造角的关
系等，是作辅助线的有
效思考方法.
当问题的条件涉
及三角形一边的中点
和直角三角形时，常
取斜边中点，从而把
直角三角形斜边中线
定理与三角形中位线
定理联系起来.
&.\1'J:.\1'J:1、
食
1际女
食
食
1号
，传
食女
例5
如图①，P 是线段AB 上的一点，在AB 的同侧作6APC 和
6BPD ，使ζAPC= ζ BPD ，PC=PA ，PD = PB ，连接CD ，点E ，F ，G ，H 分
别是AC ，AB ，BD ，CD 的中点，顺次连接E ，F ，G.H.
(1)猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由;
(2) 当点P 在线段AB 的上方时，如图②，在6APB 的外部作6APC
和6BPD. 其他条件不变. (1)中结论还成立吗? 说明理由;
(3) 如果(2) 中，ζAPC = ζ BPD =90 0 • 其他条件不变，先补全图③，再
判断四边形EFGH 的形状，并说明理由.
F 
EE茧:
A 
F 
B 
陀三夹G
P 
J--一~
A 
B 
图①
图②
图③
(辽宁省营口市中考题)
睡题思路
结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是
一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件.
例6
如图，在任意五边形ABCDE 中，M ，N ，P ，Q 分别为AB ，CD ，BC ，
DE 的中点，K.L 分别为川，PQ 的中点求证:KLFAHKL=tAE
主贯主壁
恰当连接五边形对角线，为构造三角形
中位线创造条件.
连接町，取其中点R ，连接陋，则lv1R_lL护E 连接
B
RN ，则P ，N ，Q ，R 分别为四边形BCDE 各边的中点.
λ 四边形PNQR 为平行四边形，RN ，PQ 互相
平分.
: L 为PQ 的中点，:. L 为RN 的中点.
在6MNR 中，KL斗MR. 故KL斗AE
tB 
(天津市竞赛题)
A 
E 
学科精英大视野系列丛书
如图，顺次连接
四边形ABCD 各边
中点，得到四边形
A'B'C'D' ，称为中点
四边形，中点四边形
A'B'C'D' 有下列重要
性质:
(1)为平行四
边形;
(2) S时'8白
=
1 _ 
言J 回边1fj ABCD
;
(3) 口A' B 'C' D'
改变而变为特殊平行
四边形;
(4)
当房、四边形
为凹四边形时，其他
D'....-♂ 
A~飞\
,// 
"气C
Aω/ 
/\-
BIV
、C
~~~ 
户, 
食
*
食食
'飞食
每三
例7
如图，已知6ABC 中，ζACB=90 0 ，AB 边上的高CH 与6ABC
的两条内角平分线AM ，BN 分别交于P
，Q 两点，PM ，QN 的中点分别为E
，
F . 求证:EF // AB. 
纣析E司睡
从图形的形成过程，逐步探索相应
结论. 将原问题分解为多个小问题.
(1)如图①和②
，6CPM ，6CNQ 皆为等腰三
角形，连接CE ，CF ，则CE l_ PM ，CF上NQ .
(2) 如图③，分别延长CE ，CF 交AB 于S
，R
，则
(全国初中数学联赛题)
A 
N 
C 
M 
EF _lL_ ~ RS 
A 
A 
A 
B 
图②
图③
中垂三角彤
在几何学中，我们研究过两种特殊三角形:等腰三角形、直角三角形，而
"中垂三角形"也具有丰富的图形性质，等待我们的探索.
例8
我们把两条中线互相垂直的三角形称为"中垂三角形"例如图
①、图②、图③中
，AF ，BE 是6ABC 的中线
，AF 上BE ，垂足为p ，像6ABC
这样的三角形均为"中垂三角形"设BC=a ，AC =b ，AB =c.
特例探索:
(1)如图①，当ζABE = 45
0 , c= 2 ./2时，α = 一一一一_ ，b = 一一一一一;如
图②，当ζABE = 30
0 
，c=4 时，α=
，b = 一一一一一;
ç 
c 
C 
A 
B 
怪l③
回④
B 
A 
A 
国②
图①
归纳证明:
(2) 请你观察(1)中的计算结果，猜想矿
，b 2
，C 2 三者之间的关系，用等式
表示出来，并利用图③证明你发现的关系式;
拓展应用
:
(3) 如图④，在口ABCD 中，点E ，F ，G 分别是AD , BC , CD 的中点，
199 
嗦
食
第
2
1 讲
中点的畅想
例
7 表明: 一些
综合题常是几个简
单、熟悉的典型题组
合、嫁接而成，模式识
别、分解基本图形、化
大为小，是解综合题
的重要策略.
B 
对于中垂三角形
还能推得以下结论:
) 
-EA 
( 
S "' ABC 
?AF - BE; 
(2 )设CG 为其
i
第二条边上的中线，
_, CG 
3 
则互B =T ;
(3)
以AF ，BE ，
CG 的长为边必构成
一直角三角形.
你能证明吗?
1'::.\1"'1:、~
*
τ~ 
):斗
食
食女
食
食*
BEl_EG ，AD=2.j5，AB=3. 求AF 的长.
(江西省中考题)
瞄题思路
从特殊到一般，借助句股定理、中位线性质探索矿
，b2
，[ 2 之
间的关系.对于(3) ，逆向构造"中垂三角形"，为其性质的运用创造条件.
1.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点F ，M ，N 分别为AB ，CD
中点，MN 分别交BD ，AC 于P ，Q ，且ζ FPQ = ζ FQP ，若BD= 10 ，则
AC= 
(重庆市竞赛题)
A 
D 
M产灾\~T
L/P 
Q"'-....、
(第1 题)
DJ 
B 
(第2 题)
(第3 题)
2. 如图，在菱形ABCD 中，ζA = 100o , M , N 分别是边AB ，BC 的中点，
MP l_ CD 于点P ，则ζ NPC 的度数为
(山东省竞赛题)
3. 如图，在矩形ABCD 中，AB = 4 ，AD = 2 ，E 为AB 的中点，F 为EC 上一
动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是
(山东省泰安市中考题)
4. 如图，在Rt6ABC 中，ζBAC=90 0 ，M ，N 是BC 边上的点，BM= MN =
NC ，如果AM= 4 ，AN = 3 ，则MN =
B 
E 
C 
(第4 题)
5. 如图，在6ABC 中，ζBAC= 120 0 ，以AB ，AC 为边向外作等边6ABD 和
等边6ACE.M 为AD 中点，N 为AE 中点，P 为BC 中点，则ζMPN 的
度数为
(北京市竞赛题)
6. (1)如图①，将四边形纸片ABCD 沿两组对边中点连线剪切为四部分，将
这四部分密铺可得到如图②所示的平行四边形. 若要使密铺后的平
者立〉
学科精英大视野系列丛书
190 4 年，法国数
学家庞加菜提出这一
猜想.庞加菜猜想的
证明有助于人类解决
、j!了食
食
女食
食
( 川军巨细)
二去?
食
食
行四边形为矩形，则四边形ABCD 需要满足的条件是
(山东省威海市中考题)
EYoE 
A 
(第
6 题)
D 
B 
图③
C 
(2) 如图③，在菱形ABCD 中，边长为10 ，ζA = 60 0 • ) 1顶次连接菱形ABCD
各边中点，可得四边形A 1 B 1 C1 D 1 ;) 1顶次连接四边形A 1 B 1 C1 日各边中
点，可得四边形A z Bz Cz Dz ; )IID!次连接四边形Az B z Cz D2 各边中点，可得
四边形A 3 B 3 C3 D3
; 按此规律继续下去……则四边形儿B Z C2 Dz 的周长
是
;四边形A Z013 B川Cz o 13 D川的周长是
(浙江省衡州市中考题)
7. 如图，在四边形ABCD 中，一组对边AB = CD ，另一组对边AD 手BC ，分
别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ，则AB 与MN 的关系是(
) . 
B. AB> MN 
A. AB=MN 
C . AB< MN 
D.
以上三种情况均可能出现
(河北省竞赛题)
A 
片飞;
| 
B 
E 
C 
F 
D 
(第7 题)
(第
8 题)
(第
9 题)
8. 如图，边长为1 的正方形EFGH 在边长为3 的正方形ABCD 所在平面上
移动，始终保持EF // AB ，线段CF ，DH 的中点分别为M ，N ，则线段MN
的长为(
) . 
Af 
-
B 于
c 手
D. 2 /I百
一
3 
(北京市竞赛题)
9. 如图，已知凸五边形ABCDE ，ζ A BC = ζAED 二90 0
，ζ DAC = 30
0 , 
ζ BAE=70 0 ，F 是边CD 的中点，且FB = FE ，则ζ BAC 等于(
). 
A. 
10 。
B . 
20 。
C. 30 。
D . 
1 5 。
(四川省竞赛题)
20始
第
2
1 讲
中点的畅想
I'I:\~~ 
食
' 食女
食
食*
食
*女
10. 如图，已知6ABC 的周长为
24 ，M 是AB 的中点
，MC = MA = 5 ，则
6ABC 的面积是(
A. 30 
B. 24 
c. 16 
D. 12 
(全国初中数学联赛题)
A卜\
抄走~
A 
B 
D 
C 
口
B 
E、
C 
C 
(第
1 0 题)
( 第
11 题)
( 第
12 题)
1 1.已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E ，F ，G ，H 分别是边AB
，BC ，CD ，
DA 的中点，用S ，p 分别表示四边形ABCD 的面积和周长. S 1
' ρ l 分别
表示四边形EFGH 的面放和周长，设k = 主走= 立，则下面关于走，是1
SI '
l
户l
的说法正确的是(
). 
A. k ，k 1 均为常值
C. k 不为常值，走1 为常值
B. k 为常值，k 1 不为常值
D. k ，k 1 均不为常值
(全国初中数学联赛题)
12. 如图，在四边形ABCD 中
，AC = a ，BD=b ，且AC上BD ，JI四次连接四边形
ABCD 各边中点，得到四边形A 1 B 1 C 1 D 1
，再顺次连接四边形A 1 B 1 C1 D 1
各边中点，得到四边形A 2 B 2 C2 D 2 ……如此进行下去，得到四边形
A nB nCnD n . 下列结论: ①四边形A 4 B 4 C4 D4 是菱形; ②四边形A 3 B 3 C3 D 3
a+b 
是矩形; ③四边形冉冉C7 D 7 的周长为一百一; ④四边形A nB nC nD n 的面
积为争其中正确的是(
) 
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②③④ 
(湖北省鄂州市中考题)
13. 如图，在6ABC 中
，AC = 7 ，BC = 4 ，D 为AB 的中点，E 为边AC 上一
点，且L.AED=们仨C ，3j( CE 的长
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
A 
D 
/'\/\ 
~B 
A 
E 
C 
B 
C 
(第
1 3 题)
(第
1 4 题)
14. 如图，在梯形ABCD 中，AD 矿BC ，AC _l BD 于0 ，试判断AB 十CD 与
AD + BC 的大小，并证明你的结论.
( 山东省竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
G.\&.\~ 
( 川军细)
会食
食
女食
*
女，传
食
第
2
1 讲
中点的畅想
15. 如图，在口ABCD 的内部取一点E ，使得AE=DE ，ζABE= 90 0 ，设M
为BC 的中点，求ζDME 的大小.
(俄罗斯数学竞赛题)
A 
M 
C 
A 
D 
B 
C 
(第
1 5 题)
(第
16 题)
16.
如图，在锐角Lò.ABC 中，AD j_ BC 于D 点，BE j_ AC 于点E ，且AD 与
BE 交于点H ，M ，N 分别是边AB ，CH 的中点.求证:MN j_DE .
(" 宗沪杯"竞赛题)
17. 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程:
(1)操作发现:
在等腰Lò.ABC 中，AB = AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向Lò.ABC 的外
侧作等腰直角三角形，如图①所示，其中DF j_ AB 于点F ，EG j_ AC 于
点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是
(填序号即可) . 
...t 
~ 
A 
~、、
D
~ 
D ~ 
J \_ _Ã E
代-""""""" A
_ß 
/
/1\ 
飞"'IF
G飞//
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\ 
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/ 
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X
\ 
/" 
Eh I 
\ 
\1 '" / 
\/ 
/'./ 
\ / 
"'-\ 
/" 
M 八...._____\ 
B 
M 
C 
B 
M 
C 
B -----':'与ÍJ/D
C 
图①
图②
图③
(第17 题)
①AF=AG= ÷AB d MD=ML ③整个图形是轴对称图形;
④ζ DAB= ζDMB. 
(2) 数学思考:
在任意Lò.ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向Lò.ABC 的外侧作等腰直
角三角形，如图②所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 与
ME 具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程.
(3 ) 类比探究:
在任意Lò.ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向Lò.ABC 的内侧作等腰
直角三角形，如图③所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断
Lò.MED 的形状.答:
(江西省中考题)
B \----...__ F 
18. 如图，已知AB = AC ，ζBAC = ζCDE = 90
0 , DC = 
\ 
/~----、E
町，F 为目的中点.证明:日=FD ，iì FA上FD.
y
cy 
(四川省竞赛题)
(第18 题)
己当k
1Gt.\1'J:\trí:\ 
食
食女
食
食*
食
，传女
19. 在六边形ABCDEF 中
，AB 矿DE ,BC// EF ,CD // FA ,AB+ DE=BC+ 
EF ,AIDI ;= B I E I
' 人，B I
，D I
，E I 分别是边AB ，BC ，DE ，EF 的中点.求
证: ζ CDE= ζ AFE.
(北京市竞赛题)
B 
、E
A 
F 
D 
(第
1 9 题)
(第
2 0 题)
20.
已知点M 在凸四边形ABCD 内，且AM = BM ，CM=DM ，ζAMB =
ζ CMD = 60 0 ，设BC ，AM ，DM 的中点分别为K ，L ，N ，求ζ LKN 的大小.
例1
5 可以证明MD =护B
例2
D
延长BN 支AC 于D ，则MN = ÷CD
例3
用图①给出证明:
(白俄罗斯数学竞赛题)
1 
如图，.: FN圣τAB ,MF _jj_ ~ CE ，且CE = AB ，:. FN=FM ，ζ3=ζ4 = ζ 5. 
L
一
2
又ζ 1 +ζ 2= ζ3+ζ5 ，而ζ 1 =ζ2 .
则ζ 2= ζ5 ，故MN // AD.
例4
如图，设L ，N 分别是PB
，PC 的中点，连接MD ，ME ，ML ，MN ，DL ，EN ，则
忧_jj_ ~ PC ,MN _jj_ ~ PB 
由ζ PDB= ζ PEC= 9叫DL = ÷PB ，EN = ÷pc ，
:. DL=MN ，ML=EN ，且四边形PLMN 为平'行四边形，
于是ζ PLM= ζ PNM.
又ζ DLP = 2 L三PBA= 2ζ PCA = ζ ENP ，
.
ζ DLM= ζ DLP + ζ PLM= ζ ENP + ζ PNM= ζ ENM ， 
:. 6 DML (/J 6 MEN ，故DM= EM:
例5
(1)四边形EFGH 是菱形.
(2 ) 成立，连接AD ，BC ，由6APD旦6 CPB ，得AD = CB ，
学科精英大视野系列丛书
• 
警ÞC主篝
渣.......-
苟-巨
• 
••• • 
A 
C 
(例3 )
A 
B 
C 
又EF= ÷BC ，FG= ÷AD ，GH= τBC ，EH= 2 AD ，则EF= FG= GH= EH ，故四边形EFGH 是菱形
1 ~ ~ _.. 
1 
(3) 四边形EFGH 是正方形，在( 2 ) 的基础上，证明ζ EHG = 90 。即可.
女食
，际
女食
食
女舍
，传
第
21 讲
军
中点的畅想
例8
(1) 2汀，215 ，2巧言，2)于
(2) 旷+ b2 =5c2. 
"=AE2 +BF2 ,EF= ; AB , :. /十( ~ )2 = ( ~ r 
+ ( ~ r, 
化简乎寻α2+ b2 =5c2. 
(3) 如图，取AB 的中点H ，连接FH ，A C. 设AF ，BE 交于点P .
..点E ，G 分别是AD ，CD 的中点，点F 是BC 的中点
，:. EG矿AC // FH. 又.: BEj_ EG , :.FHj_ BE. .: 四
边形ABCD 是平行四边形
，:.AD 矿BC ，AD=BC ，:.AE= BF,AE// BF, :.AP = FP ,:. 6ABF 是中垂三角
(例的
形
，:.AB2 +AF2 =5BF2
，即3 2 + AF2 = 5(15) 2
，二AF =4 .
• • 
C 
2. 50 。
3. 2J2 
如图，连接DE ，分别;驭DE ，DC 中点M ，N ，连接MN ，BN ，6ADE ，
6BCE ，6 DEC 都为等腰直角三角形，点P 的运动路径为线段MN ，BN上MN ，flr BN 
1. 10 
A 
为BP 的最小值，BN = J2BC = 2J2.
( 第3 题)
作MDj_AC 于点D ，NEj_AC 于点E ，设AD=DE=EC= 工，NE=y ，则
4. 15 
MD=2y. 
5. 60 。
连接DE ，MN ，BM ，CN ，可以证明6MNP 为等边三角形.
5J3+5 
当η 为偶数时，中点四边形为菱形;当n 为奇数时，中点四边形为矩形，其周长为一τ3
22 
6. (1) AC= BD 
山
一
俨
nu 
7. B 
1 
连接CG ，取CG 的中点T ，连接MT ，NT ，则MT= 一，N T=2 ，ζ MTN =90 0 •
2 
8. B 
取AC 中点P ，AD 中点Q ，连接BP ，PF ，QF ，EQ ，则6 BPF旦6 EQF ，可证明ζ BAC = ζ EAD .
MC=MA=MB=tAB ，ACNO 。
9. B 
D 
B 
10. B 
12. A 
.: 四边形A J BJC J DJ 是矩形，:. BJDJ = A J C2 ( 矩形的两条对角线斗目等) , 
:. A2D2 = C2D2 = C2B2 = B 2 A 2 ，:. 四边形A 2 B2 C2 D2 是菱形，λ 四边形A 3 B3 C3 D3 是
矩形. 根据三角形中位线的性质知，四边形A ，B ，C，D，是菱形.故①②正确.根据三
1_ _ 
L
，
1_~ 
1
，，
1
，，
1A~ 
] 
角形中位线的性质易知，A，B，=~ RC，= 一X : C. D, = 一×一X
~ A J DJ = 
~ X 
7 ~ 7 
2~ 5 ~ 5 
2
"
2
- 3 ~ 3 
2 " 2"2 
11. B 
(第
1 2 题)
1
，，
1
，，1~ ~ 
1~~ 
1
一
1
A r' _ 
1 
τ × τ × τBD= 1~6BD= Î6 b ，同理，B 7 C7 = 
1~6 AC = 1~6a ，:. 四边形A 7 B 7 C7 D7 的周
长是2 X 占(α+俨字，故③正确
.. 在四边形ABCD 中，AC= a ，BD斗，且ACj_皿:.5四边形础「学; 由
三角形中位线的性质可推知，每得到一个新四边形，它的面积则为原来四边形面积的一半，
.. 四边形
αb 
Aß ，CP ，的面积是T丰了，故④错误.综上，①②③正确.故选A .
~~~~ 
13. 作BF // DE 交AC 于点F ，作丘ACB 的平分线交AB 于点G ，支BF 于点H ，则ζAED = ζAFB=
l 
ζ CHF+卡C .，由L_AED= 仙一ζ C ，得ζ CHF=90 0 = ζ CHB ，CF= CB = 4 ，从而CE = 5.5
2 
14. 取AB 中点M ，CD 中点N ，连接MN ，OM ，ON ，可推得AB+CD>AD + BC.
15.
如图，取AD 中点N ，连接BN ，MN ，NE ，则四边形ABMN ，四边形BMDN
均为平行四边形，
-
R
击
用
食
人
W
女
-
R
λ
V州
-R 
食
.: BEj_AB .AE= DE , 
:.E 为6BMN 三边高的支点，
:. ME j_ BN ，而BN // DM ，
学科精英大视野系列丛书
M 
C 
A 
D 
N 
.ζDME=90 0 • 
(第
1 5 题)
16. 连接MD ，此症，连接ND ，NE ，可证明MD=ME ，ND=NE ，从而MN 是线段DE 的垂直平分线，故
MNj_DE. 
17. (1)①②③④ 
(2) 分别取AB ，AC 的中点F ，G ，连接DF ，MF ，MG ，EG ，证明6 DFM且6 MGE ，可推得MD=ME 且
MD j_ME. 
(3) 等腰直角三角形
18. 连接BC ，CE ，再参见第
16 题.
19.
如图作口ABPF ，连接DP ，取DP 的中点M ，则四边形BCDP 是梯形，连接
B1 M ，E1 M. 由梯形中位线定理知B 1 M // CD // BP矿AF ，ME1 矿DE// FP //AB , 
BP+ CD 
AF+ CD ~.. PF+ DE AB+ DE 
且B 1 M= 一
2 一=一
2 一，E1 M= 一
2 一=一
2 一.
同理，作口BCDO ，连接OF ，取OF 的中点N ，连接A 1 N ，D 1 N. 由梯形中位线定
理知A 1 N //AF// BO// CD ,ND1 // EF// OD // BC. 
AF+BO AF+ CD ~.. EF+ OD 
EF+BC AB+DE 
且A 1 N= 一一一一一=一一一一=，D 1 N= 一一一一一=一一一一一=一一一一一
2 
在6B 1 ME1 与6A 1 ND1
中.B 1 M=A 1 N ,E1M=D1N. 
又因为A 1 D1 =B 1 E1
• 所以
，6 B 1 ME1 兽6A 1 ND1
.
因此ζ B 1 ME1 = ζA 1 ND 1
.
故ζ CDE= ζ AFE.
20.
如图，记线段BM ，CM 的中点分别为E ，F ，连接EL ，LN ，NF ，FK ，KE.
..ζAMB= ζCMD=60 0 ， 
..ζ BMC=360 。一ζ AMB
ζ CMD →ζ LMN
=360 气.-60 0 -60 。一ζ LMN
=240。一ζ LMN.
由KF 为6 CBM 的中位线，得KF // BM
.ζ KFM=180 。一ζ BMC = 180 0 -
(240。一ζ LMN) = ζ LMN-60 0 • 
由CM=DM 且ζ CMD=60 0 ，知6 CMD 为等边三角形.
又FN 为6CMD 的中位线，则6 FMN 也为等边三角形，即
FM=NM=FN ，ζ MFN=60 0 • 故ζ KFN= ζ KFM+ ζ MFN= ζ LMN-60 0 + 60 0 = ζ LMN.
类似的，ζ KEL= ζ LMN ，EM=ML=EL.
从而
，6KEL呈6 NFK旦6 NML ，则KL = KN = LN.
故6KLN 为等边三角形，ζ LKN = 60 0 •
F 
(第
19 题)
B 
D 
A 
(第2 0 题)
unu
e 
turylbEl 
i
z
-
-
吨
E
E
E
l
晴
币
1
V
1
1
O. 618 ，这个比例数就是我们常说的"黄金
分割数"
达
· 芬奇系统研究了人类身体的各种比例，
1509 年，他为数学家帕西欧里的《神奇的比例》一
书作插图，把人体与几何中简单的图形圆和正方
形联系在一起，堪称艺术与科学的结晶，展示了
达
· 芬奇对人体完美比例的浓厚兴趣，他是第一
位借助数学来理解人体结构的自然科学家.
h 也d 川
"Q)(飞是
- - --.--.--
胃22 i:持平行结结结白眼比阳1 1
. .______. 
'
如Il~银遮
例.
三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比
II 
AB 
DE 
即如图，若I I // l? /扩儿，则一一= 一一，运用比例性
j
" 
", ,, " j
' /'~ BC 
EF 
质，可推得一系列的比例式.
在平行的条件下，上述图形、结论就演变成下列基本图形:
6 6ð 
A
二二巴巴
'
问题黯决
例1
如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD = a ，BC = b ，E ，F 分别是
AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为
(上海市竞赛题)
B 
酶题思路
判断PQ 与AD( 或BC) 的位置关系，建
立含PQ 的比例式.
也法
没有数学公式的
帮助，我很难传递出
我心里的数学的旋律
之美.
伊藤清
梅涅劳斯定理
如图，一直线截
L::，ABC 的三边BC ，
CA ，AB 或其延长线
于D ，E ，F ，则
BF AE 
CD
咱
FA 
EC BD 
~ 
A 
川\
B 
C 
D 
梅涅劳斯是古希
腊数学家，他在三角学
方面的成就，被称为希
腊三角术的顶峰.
I&.\&:.\~ 
食*女
食
食
1号
，传
食为
例2
如图，过.6.ABC 的顶点B 的两条直线分三角形BC 边上的中线
AD 所成的比为AE : EF: FD=4 : 3 : 1，则这两条直线分AC 边所成的比
AG: GH: HC 为(
). 
A. 4 : 5 : 3 
B. 3 : 4: 2 
C. 2 : 3 : 1 
瞄题思路
利用"广角镜"中问题的结论求解.
B 
D. 1 : 1 : 1 
(江苏省竞赛题)
A 
例3
如图，已知AB 矿EF// CD ,AC+ BD= 240,BC= 100 ,EC+ED= 
192 ，求CF.
幡题思路
图形有多个基本图形，可写出不同的
比例线段，解题的关键是恰当处理比例线段，从整体上
求解.
(山东省竞赛题)
AD 
A
一
//'
/ 
B 
F 
C 
例4
如图，在四边形ABCD 中
，AC 与BD 相交于点。，直线
J 平行于
BD ，且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别相交于点M ，N ，R ，S 和P.
求证:PM. PN=PR . PS. 
幡题思路
由于PM ，PN ，PR ，PS 在同一条直线
上，所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论，
需观察分解图形，利用中间比沟通不同比例式的关系.
(山东省竞赛题)
A 
例5
在.6.ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是.6.ABC 的重心，过G
点的直线分别交AB
，AC 于点E ，F.
BE
, CF 
(1)如图①，当EF // BC 时，求证· 一一+一一=1.
'AE ' AF 
(2) 如图②，当EF 和BC 不平行，且点E ，F 分别在线段AB
，AC 上时，
(1)中的结论是否成立?如果成立，请给出证明;如果不成立，请说明理由.
(3) 如图③，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，(1) 
中的结论是否成立?如果成立，请给出证明;如果不成立，请说明理由.
A 
(( 
B 
D 
C 
B 
D 
C 
B 
图①
图②
F 
(四川省乐山市中考题)
il~二J
学科精英大视野系列丛书
立民&
如图，过6ABC
的顶点C 任作一直
线，与边AB 及中线
AD 分别交于点F 和
AE 2AF 
E 求证·一一= 一一­
'ED 
FB' 
A A 
B 
~ 
C 
D 
为了运用平行线
分线段成比例定理，
需过一点作平行线，
构造形如"A" 形或
"x" 形基本图形.
随着过点作的平
行线不同，就得到位
直各异的基本图形，
从而就有多种证题方
法，读者不妨一试.
1rI:\Ct.\ð:\ 
1号食，传
女女，传
古'食食
第
22
i.井
平行线分线段成比例
a= 
黯题思路
对于(2) ，通过作平行线构造基本图形;对于(3 )
，注意点E
或F 的特殊位置，关注BE 与AE 或CF 与AF 的大小比较.
平行线分线段成
比例定理是证明比例
线段的常用依据之
一，比例线段丰富了
我们研究几何问题的
方法，主要体现在:
(1)利用比例线
段求线段的长度;
(2 ) 运用比例线
段证明线段相等、线
段和差倍分关系、两
直线平行等问题.
,1E 
，、..J
,;"," 3/ 
A/j 
l 用/
//4/ 
B 
D 
C 
A 
角平分钱性质定理
BD 
AB 
如图，在L'，ABC 中，已知AD 平分ζ BAC. 求证· 一一= 一一
'CD AC 
证明1
如图，过C 点作CE // AD 交BA 延长线
BD 
AB 
于E ，则
=
DC 
AE' 
又ζ 1 =ζ 2 =ζ 3 =ζ 4 ，:. AC= AE. 
故BD
AB 
一一-
CD 
AC 
证明2
如图，过D 点分别作AB
，AC 的垂线
，E ，F 为垂足.
iAB·DE 
S l' … 民
2 ..~ 
~~ AB 
则」旦
S ^ Anr 
1. ~ _ ~ AC' 
凸地L
言AC.DF
例6
又S6ABD
BD 故BD
AB 
一一一… 一一-
S 6 ADC 
CD' 队CD
AC 
例7
如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点
，CE 的
延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于
点M ，BM 与AD 交于点N. 求证: ζAFN= ζ DME.
( 全国初中数学联赛题)
证明延长BF 和CM 交于点p
，延长ME 与BC
引
相交于点Q ，
/"1 
.., 
ME _ CE _ QE . BF _ QE 
1飞
1
: ME // BA ，二百-CF - BF'.. FP
町，
/飞
jM
AJ___l:!J二豆~D
Q 
平行线是我们学
习几何时最早遇到的
处于特殊位直的直
线，平行线有如下重
要作用
:
(1)改变角的位直;
(2)传递线段;
( 3) 完成等积变形;
(4) 产生比例线段.
B 
C 
B 
M
P
一
町
一
一
N-M 
B
-N 
C 
B 
j 
D 
A 
BF 
BN 
. 一一= 一一，得FN矿PM.
FP 
NM ' ，.~ • . . , 
故ζ AFN = ζ P = ζ DME.
lfI:.\Rtt\r~ 
日F
梯形"腰带"
如图，在梯形ABCD 中，已知AD // BC ,AD = a ,BC = b, 
E ，F 分别为AB
，CD 上的点
，EF // BC// AD ，我们形象地说线
段EF 为束在梯形上的"腰带"，随着这根"腰带"束在不同位
置
，EF 的长与a
，b 有不同的数量关系.
例8
根据下列条件，求EF 与α
，b 的关系:
(1)如图①，若EF 为梯形中位线;
(2) 如图②，若EF 过梯形对角线的交点。;
(3) 如图③，若梯形AEFD∞梯形EBCF;
(4) 如图④，若S梯形AEFD = s梯形EBCF .
716 
点
·
·
4
nu
d 
nU
F 
?
"
飞
飞
飞
、
‘
学科精英大视野系列丛书
• 
食
食女
食
食
1号
食?与
食
8 
E巳
F
i
d
温
C
D
气
气
丁
\
一
-
L
公
υ
­
A
K
F
-
/
-
E
/
λ
/
­
dB 
巳
图①图②图③图④
从特殊到一般，运用相关定理可用a ，b 的代数式表示EF ，我们会惊讶
于代数中的重要概念、关系式统一在一个图形中.
于9 刻意练习
1. 如图，己知口ABCD 中，M ，N 为AB 的三等分点
，DM ，DN 分别交AC 于
P ，Q 两点，则AP
: PQ: QC= 
庞加菜(1854 一
1912) ，法国数学家，
由于f放出了杰出的工
作，被认为是19 世纪
的后四分之一时期和
20 世纪初期的数学
主宰，并且是对数学
和它的应用最具有全
面知识的、能雄观大
局的通才.
、
‘
，
，
，
题
i
l
斗
I
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i
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l
-
-
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一
H
A
川
f
\
一
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/
/
/
/
f
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一
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h
u
v
z
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D
A
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人
一
\jJL
C 
A
A
b
川
r
!
­
iILRU 
C 
D 
AA7 
B 
A 
(第3 题)
(第2 题)
(第
1 题)
2. 如图，在梯形ABCD 中
，AB // CD ，AB =3CD ，E 是对角线AC 的中点，BE
AF 
延长后交AD 于F ，那么一一=
FD 
一一一一一.
("祖冲之杯"竞赛题)
3. 如图，已知6ABC ，6DCE, 6FEG, 6 HGI 是4 个全等的等腰三角形，底
边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且AB=2 ，BC= 1. 连接A I，交FG 于
点Q. 则QI =
Gt.\G.\&.\ 
(湖北省黄冈市中考题)
4. 如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距1 5 m ，分别自两杆上高
出地面4 m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 与B ，F 点处，用钢丝绳
拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度
为
m.
(全国初中数学联赛题)
C 
」~
B 
A 
(第5 题)
5. 如图，在6ABC 中，CD l_AB 于D ，CE 平分ζACB ，若AC= 1 5 ，BC= 20 ，
CD = 1 2 ，则CE 的长为
(第4 题)
( "((数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
￡2 
女食
，传
会食
食
力'食
食
第
22
i井
平行线分钱段成比例
军
6. 如图，6ABC 和6CDE 都是等边三角形，且点A ，C ，E 在同一直线上，
AD 与BE ，BC 分别交于点F ，M ，BE 与CD 交于点N ，则下列结论正确
的是一一一一一·①AM = BN; ②6ABF旦6 DNF; ③ζ FMC +ζ FNC=
1 
1
, 1 
180
0 
; ④一一=→一+-;:;一
MN AC ' CE' 
(四川省宜宾市中考题)
7. 如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE = DF ，BF 交DE
于点G ，延长BF 交CD 的延长线于点H ，若主E =2 ，则HF的值为(
DF 
~'NBG 
D
立
12 
(四川省绵阳市中考题)
A 
l 
c. : 2 
B. 工
12 
2 
A. 
::-3 
C 
D 
B 
(第8 题)
8.
如图，在6ABC 中，D 是AC 的中点
，E ，F 是BC 的三等分点
，AE ，AF 分
别交BD 于M ，N 两点，则BM: MN: ND 等于C
). 
A. 3 : 2 : 1 
B. 4 : 2 : 1 
C. 5 : 2 : 1 
D. 5 : 3 : 2 
(湖北省武汉市竞赛题)
9.
如图，在正6ABC 的边BC ，CA 上分别有点E
，F ，且满足BE=CF =a ，
(第7 题)
(第
6 题)
D. J5-;2 
-
2 
( 山东省竞赛题)
EC=FA=bCa >的，当BF 平分AE 时，则?的值为(
C. 壶+ 1
2 
BZJ2 
一
A. 主二1
2 
C 
-//B 
D
/
P
扩
牛
E
巧
/
/
­
a
A 
乒乓
A 
B 
(第
11 题)
10. 如图，在四边形ABCD 中，ζ BAC= ζ BDC=90 0 ，AB = AC= 布，CD=
l.对角线的交点为M ，则DM =(
). 
A. 1! 
B. J5 
2 
~
. 
3 
c 号
(第
10 题)
(第9 题)
&.\G..-\';::'" 
D-i 
2 
(全国初中数学联赛题)
1 1.如图，在口ABCD 中
，E ，F 分别为边AB
，AD 上的点
，EF 与对角线AC
_..,.. AE 
a AF 
m 
/
, 
J.J-. ;ll_ -,--
.>JI.I.. , 
",,1 AP 
交于点P. 右EE= 言'FE = 77(α ，b ，m, n 均为正数) ，则PC 的值
去!桂
学科精英大视野系列丛书
食
食女
食
食*
食女
食
~~~ 
为(
B. _____!!p. 
一
. an+bm 
D 
bn 
. an+bm 十bn
(夭津市竞赛题)
Aam 
一
. an+bm 
c. 
__ , am 
am 十an+bm
CD 
3 AE 
3
、
CP
12. 如图，在LABC 中'DB=T'EB = 言，设r = PE' 其中P 为CE 与AD
题
试
5
-
2
件
:
邀
C
]
学
数
国
D
美
B 
D. 5 
c. 4 
的交点，则r 等于(
B. 立2 
C 
A. 3 
L 
C 
B 
A 
(第15 题)
13 . 如图，在等腰RtLABC 中，F 为AC 边的中点，AD _l BF 于E ，求证:
BD=2CD. 
(第13 题)
(第12 题)
(云南省昆明市竞赛题)
14. 探索发现:
已知:在梯形ABCD 中，CD // AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E . AC ，
BD 相交于点。，连接EO 井延长交AB 于点M ，交CD 于点N.
E 
E 
c------144B 
DI---ll--
A 
B 
图③
(第
1 4 题)
(1)如图①，如果AD = BC ，求证:直线EM 是线段AB 的垂直平分线.
(2) 如图②，如果AD手BC ，那么线段AM 与BM 是否相等?请说明理由.
学以致用:
(3) 仅用直尺(没有刻度) ，试作出图③中的矩形ABCD 的一条对称轴
(写出作图步骤，保留作图痕迹) . 
(山东省威海市中考题)
15. 如图，在梯形ABCD 中，对角线AC 与腰BC 相等，M 是底边AB 的中点，L
是腰DA 延长线上的点，LM 交BD 于点N. 求证: ζACL= ζBCN.
(四川省竞赛题)
也
【
1 、每组去〕
1号食
食
女食
*
女女
食
第
22 讲
平行线分线段成比例
16. 如图，在梯形ABCD 中，已知AB // CD ，。为对角线AC
，BD 的交点，P
为腰AD
，BC 延长线的交点
，PO 交DC ，AB 分别为N
，M. 求证:AM=
BM,DN= CN. 
(乌克兰基辅数学奥林匹克试题)
P 
E 
(第
16 题)
(第
1 7 题)
17. 如图，在四边形ABCD 中
，E ，F 分别是边AB
，CD 的中点.P 为对角线
AC 延长线上的任意一点，PF 交AD 于点M ，PE 交BC 于点N ，EF 交
MN 于点K. 求证:K 是线段MN 的中点.
(江西省竞赛题)
18. 如图，点E ，F 在正方形ABCD 的边上，并且AE= 2ED ，
1-一一一-7B
I \G/ 
I 
Er 
\ 
I 
D 
F 
C 
AG 
DF = 2FC ，AF 交BE 于点G ，求一一的值.
GF 
(世界数学团体锦标赛试题)
19. AD 是LiABC 的中线，将BC 边所在直线绕点D 顺时针
旋转α 角，交边AB 于点M ，交射线AC 于点N ，设AM=
(第
18 题)
xAB ，AN=yAC(工，y手0) . 
(1)如图①，当LiABC 为等边三角形且α = 30。时，证明:DAMNω LiDl\位;
1 
, 1 
(2) 如图②，证明:一+ 一=2;
x 
y 
(3) 如图③，当G 是AD 上任意一点时(点G 不与A 重合) ，过点G 的直
线交边AB 于M'
，交射线AC 于点N' ，设AG = ηAD ，AM' =x'AB , 
1 , 1 
2 
AN' = y'AC(x' ，y' 手0) ，猜想:-7 + 寸= 一是否成立? 并说明理由.
x 
y
η 
( 湖北省黄石市中考题)
A 
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I \ 
L主::.l.o-节节:;"'C
B 
D 飞y V\
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图①
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二
均
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B
, 
、
N
C
刊
\C-4D 
A
《
\
一
M//LB 
图②
图③
(第
1 9 题)
20. 过梯形的一个顶点作两条直线
I I , l2 ，其中直线
I I 是梯形的对角线，并且
将梯形两底边中点的连线分成的比为
3 : 1，直线
l 2 等分梯形的面积，求
直线
l 2 将梯形两底边中点的连线分成的比值.
( 俄罗斯数学竞赛题)
兰芳
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学科精英大视野系列丛书
食
'屹
立纭
，传
食"f.{
食
食女
• 
…. . 
AP DQ 
a /... n
r> // A r. 
• PQ 
PE ...PE_AE 
由一一=一- _旦得PQ // AD , . 一-一一而一-_一一
PF _ QF _ b ' PJ , '-' /1 H"_" , .. BC 
BE' ,.., BP 
BF' 
l 
PE 
AE 
2αG
咱PQ
一一=一一一一一=一一一一一-一一一，得一一= 一一，故PQ = 一一-
• BE--AE+BF 
1 
, 1. 
a+b
可
b
a+b'-''''' a+b' 
~a+: b 
2 -, 2 
ab 
a+b 
例1
(, 
AE 
2x 
4 
4支AG=x ，GH= '\1, HC =z ，则一一=一一一=一一一= 1,:. 2x- '\1= 
J' '' ~ -,,,, ED y+z 3+ 1 ,,--
~ ~ 
J 
B 
191]2 
(, 
又生F
主王土y) = 仕1=7 ，:.
2x+ 2y = 7z
FD 
z 
由①和②得，x= 专z ，y=2z . :. AG: GH: HC=3 : 4 : 2 
(
, 
(
DE BE BD 
一一
'εF
豆F- 豆E
CE 
AE AC 
AB 矿EF // CD ，:. 一一=
CF 
BF 
BC 
例3
CE+ DE AE+BE AC+ BD ~_192 
240 
①+②，得一一一一=一一一一= 一一一~，I!r ::':::= 一一，解得CF=80.
CF 
BF 
BC 
'" CF 
100 
(, 
PN 
CP 
PR ,.. PN 
OD 
: BD// l ,:. ~~ = :=:~ = 一-得一一=一一
• OD 
CO 
OB' 叫PR
OB 
例4
(
, 
• PM AP 
PS
咱PS
OD 
• BD// 1,. 一一=一- =一一，得一一=一一
/1 "' •• OB 
AO 
OD
习PM
OB 
PN 
PS 
由①和②得一一= :.,--:., I!r PM. PN= PR • PS. 
PR 
PM 
例5
(1)咯
(2) (1)中结论成立，理由如下:过点A 作AN // BC ，交EF 的延长线于点N ，FE ，CB 的延长线相交于点
BE , CF 
BM+CM 2DM 
~" DG ~，. 1 
M ，则一一+一一_-一一一一一=一-一=2 X 一一=2X : = 1. 
AE ' AF 
AN 
AN 
~ " AG " " 2 
(3) (1)中结论不成立，理由如下:
..当点F 与点C 重合时
，BE=AE ，
BE
, CF 
.当点F 在AC 的延长线上时，BE> AE 一一+一一> 1.
'AE I AF 
ω ) EF=乒ZE
BE
, CF 
同理，当点E 在AB 的延长线上时一~ + ~:" > 1.
'AE I AF 
(3) EF= M 
ω
一
川
一
­
F 
E 
?" 
，
。
­
+
一2
α
一
一
­
F 
E 
-EA 
例8
• 
…. . 
延长BF 与CD 延长线支于点P.
由AC// FG ，得QI =g QI = iAI 过点A 作AM _l B 1 于点M.
A1 C1''-'' 
3"'" 
2? 
1. 5 : 3 : 12 
3. 
~ 
. 3 
4. 1_2 
-
5 
食
，传
舍
，曾
食
食
第
22 讲
平行线分线段成比例
AW
<
AY 
!lil ) 
革
5. ~俨
一
AB = AD+ BD=9 + 16=25 ，ζ ACB = 90 0 ，作EF l_ BC 于点F ，设EF = 工，则BF =20-x ，由
EF 
BF 咱工
20-x ，.~，~ 
60
.. __ 
r-:-
60J亨
一=→::;1-导
=一一一，解得x = 一，故CE=J2x =~皇之
AC 
BC
可
1 5
20 
,,", '" 
~ 
7'~ 
'---'~ 
'V'-'--" 
7 
6. ①③④ 
~ 0 r _ 4 H D _ HG _ H F + FG 
3 H D 
H F 
H F 
1 
AE= 亏，BE = -3' Ëi = Ëë 
丁c;- =τ ，AB - 百=百币寸，两式代换得
7. B 
7BG= 12HF. 
AM MN 
3 
连接DF ，则BM二MD ，设EM= α ，则DF = 句，AE= 钮，一一=一←二
' DF 
N D 
2 ' 
DC 
EC 
b
咱α -b
b 
~_ (a ，2 
过E 作ED // BF 交AC 于点D ，则AF = FD ，DC = a - b ，由一一r-.-r-o-
，得一一=一即f~l 一
DF BE 
a' '" 
b 
a' " \ b ) 
8. D 
9. C 
J言+ 1
-7-- - 1 = 0 ，解得
=-一-
b 
-
- ' -'''b 
2 
作A H l_ BD 于点?i，H 则百旷=丽设A叶I川川则…
4
A H 
AM 
f 
AE 
AF 
a _ _ _ 
h 
延长FE ，CB 交于G 点，则6AEFω 6 BEG ，6AFP∞6CGP ，有一一=一一= 立，即BG = 工AF ，
BE 
BG 
b' - , ~~ a 
10. D 
11. C 
AF AP 
又一一=一一，CG= BG+ BC= BG+ AD = BE+ AF + FD .
CG 
PC 
a m 
αm+an 十bm'
F 
η
寸
m
+ 
F 
A 
+ 
F 
b
产
P-c 
A-P 
AF 
FD= 旦AF.
m 
CF 
CD 
3 ED 
CD 
3 
作DF// AB , -:::., = 一一= __:;:-- , ::::::: = :::::: = ~ ，CF = 3FE = 3FP + 3PE ，FD = 立EB ，FP =l pE ，
, FE 
DB 
l' EB 
CB 
4 
E 
C 
B 
(第14 题)
D 
A 
12. D 
CP = CF+ FP =川+ 3PE= 4X ~ PE+ 3PE=山
13.
下面思路仅供参考: 作CG // AB 支AD 延长线于点G.
14. (1)略
(2 ) 相等，证明略.
(3) 作法: 如图.
①连接AC ，BD ，两线支于点。j
;
②在矩形ABCD 外任取一点E ，连接EA ，EB ，分别交DC 于点G ，H;
③连接BG ，AH ，两线交于点O2
;
④作直线E02
，支AB 于，或M;
⑤作直线MO j •
则直线MOj 就是矩形ABCD 的一条对称轴.
15.
如图，延长CN 交AB 于点F ，延长LN ，DC 交于点G.
AE 
DC BF 
DC '"' AE 
BF 
.: AM// DG ,BM// DG. :
一一=一一一一= 一一，得一一=一一，
'A儿1
DG 'BM DG""AM BM 
B 
而A此1= MB ，则AE = BF.
.: AC = BC ，ζ CAB = ζ CBA ，:. 6ACE旦6 B CF.
故ζACL = ζ BCN.
AM MP 
MB AM
儿10
MB 
，~AM DN AM 
NC 
由一一=一一一一=一一
~ ，得一一= 一一一一=
DN - NP - NC' NC - NO - DN , "J MB 
NC 'MB 
DN' 
( 第
1 5 题)
L 
16. 
(AM,2 
两式相乘得| 一一
1
= 1，故AM= MB ，同理可证
: DN = NC.
1MBJ 
之!法
学科精英大视野系列丛书
食
食女
食
食'(:(
食
食女
P 
17.
在PF 上取点G ，使GF = FM ，CG // DM ，又取CA 的中点L ，连接GC ，GN ，
LE ，LF ，则
LE ，LF 分别为~ABC ，~ACD 的中位线，有LF // AD. LE // CB ，得
CG 
PC 
CN 
ζ GCN = ζ FLE 一= 一=
故~ CNG∞~LEF ,NG// EF ，于是FK 为~MNG
'LF 
PL 
LE' 
中位线，故K 是MN 的中点.
18
分另快长BE 和CD ，交于川，设正方形ABCD 的边长为
3 ，则PD=j
M~C 
图①
B
一
P
P
‘ 
A
一
F
户
U
一
〔
J
A
一
n
扣
扣
19. (1)咯
(2) 如图①，作CF // AB 交MN 于点F ，则~ CFN∞~AMN ，
• NC 
CF 
NA 
AM' 
.: CF // AB , :. ζ B = ζ DCF ， 
又ζ MDB = ζ CDF ，BD = DC ，
:. ~ CFD旦~ BMD ，
:.BM= CF. 
J/今已~C
图②
M'正\兑\
/飞、ι...::::::::". N 
M/ 
\ ----气〈'
/甸、- - \ 
":::..C 
B 
D
马、- - - - '...、
‘、、
N 
图③
. AN- AC 
BM AB - AM 
..一丁E可一一五Ez--IE一
. yAC-AC _ AB-xAB 
yAC 
xAB' 
1 
, 1 
f!r--=-- + --=-- = 2. 
x 
y 
( 3) 如图②、图③，过D 作MN 矿M'N' 交AB 于点M ，交AC 的延长线于
AM' 
AG 
AN' 
占、N
，则一一=一一= 一-
AM 
AD 
AN' 
-寸=n= 号，f!r x= 号，y= 号，
(第
1 9 题)
1
, 1 
~_
，~1
，
1 
2 
代入(2) 中等式一+ 一= 2 ，可得--; + 寸=
x 
y 
x 
y 
n 
MO 
1
咱BC
儿1C
MO 
1 
20. 设M ，N 分别是BC ，AD 的中点，由
= 一，得-一= 一一
= 一
ON 
3
可AD
AN 
ON 
3 
(1)如图①，若AL 等分梯形的面积，
3
月
CD 
S ^ ACD 
4 '-'梯形ABCD
3 CL 
1 
则一一= 一♀主丘= 一一一一一一= 一一一=
LD 
S 6 ALD 
1" 
2 ' LD 
2' 
2υ梯形ABCD
MK 
ME 
MC+ CE 
MC
, 
CE 
1
, ~" CL 
1 ,. 
4 
=一一= 一一一一一= 一一+ 一-一= 一+ 2 X 一一= 一+ 1 =
KN 
AN 
AN 
AN ' 1 • ~ 
3 ' " '' LD -
3 
I 
.1. -
3 
τAD 
MK 
(2) 如图②，若CL 等分梯形ABCD 的面积，同理得一一= 1.
KN 
B卢半J
/ 0)(/ '" 
/
/ X K 
" 
A 
L 
N 
D 
图②
凶尺E
(第20 题)
此J
黄金矩形可以分割成一个正方形和一
个较小的黄金矩形，并且这种分割可以无限
进行下去，分割后的黄金矩形，在大小不同
的正方形内各画一个士圆弧，就得到黄金螺
线，黄金螺线被认为是自然界里最美的螺旋
形状.
"，，{J。川
"3l""('二立专
自2血
FEi以二自由由于i
如
知能想E 迷
通过寻找或构造相似三角形，用于计算或论证的方法，称为相似三角形
法. 线段长度的计算、角相等关系的证明、成比例线段的证明等问题常转化
为相似三角形的判定.
熟悉以下"A 形''''X 形""子母形"等相似三角形
:
~ ~巴AE头ð~达4
'
问题能决
例
1
如图
，DABC 中，ζABC = 60 0 ，点P 是DABC 内一点，使得
ζ APB = ζ BPC= ζ CPA ，且PA=8
，PC =6
，则PB =
(全国初中数学联赛题)
瞄题思路
PA ，PB ，PC 分别是DABP ，D BCP 的
A 
边，从判定这两个三角形的关系入手.
B 
21结
一个学生不熟悉
某个具体几何事实，他
的损失并不大;如果未
能掌握几何证明，他就
丧失了获得严格论证
训练的良丰几.
一一波利亚
黄金矩形
什么样的矩形切
去一个正方形后，剩
下的矩形与原矩形相
f以?
主
=
才
一
长
形
种
美
们
王
y
-
T
-
2
宽
矩
这
最
J
J
则
J
一
祀
的
H
h
觉
矩
-
'
=
]
-
严
F
K
M
iiyf]-1i
A
川
d
「
Z
U
如
一
一2
矩
归
图
为
啊
。
队
F
W
一
全
让
形
如
别
a
J
们
为
黄
是
矩
分
y
-
7
nk
比
为
形
的
宽
J
-
r
~
~
之
称
矩
-
m
C 
y 
~~I::.\ 
食
食女
食
食女
，传
食女
例2
如图，在直角梯形ABCD 中，AB=7 ，AD=2 ，BC= 3 ，如果边AB
上的点P 使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相
似，那么这样的点P 有(
). 
A. 1 个
B. 2 个
c. 3 个
D. 4 个
(全国初中数学联赛题)
幡题思路
通过代数化，将P 点的个数的讨论转化为方程
A 
D 
解的个数的讨论，因对应关系不确定，故需分类讨论.
C 
例3
如图，四边形ABCD 的各边相等，且ζABC =60 0 ，直线l 过D 点，
但与四边形ABCD 不相交(D 点除外) ，l 与BA ，BC 的延长线分别交于E ，
F ，点M 是CE 与AF 的交点.求证:CA 2 =CM . CE. 
( 亚太地区数学奥林匹克试题)
幡题思路
只需证明6CAE∞6CMA ，解题的关
B 
键是，通过其他三角形相似，为所证三角形相似提供
条件.
例4
如图，H ，Q 分别是正方形ABCD 的边AB
，BC 上的点，且BH =
BQ ，过B 作HC 的垂线，垂足为p ，求证:DP_lPQ. 
("祖冲之杯"竞赛题)
幡噩思路
即证ζQPC + ζ DPC =90 0 ，因ζ BPQ十
A 
ζ QPC = 90 0 ，只需证ζBPQ = ζ DPC ，证明6BPQ ω
6CPD 即可.
例5
如图，在6ABC 中，AB = AC ，AD _l BC 于D ，E ，G 分别为AD ，
AC 的中点，DF_lBE 于F ，求证:FG= DG.
(湖北省武汉市竞赛题)
堕堕翌堕
若想证明ζGDF= ζGFD ，则条件中的
A 
线段相等关系就难以用上.DG= iAC ，以AC 为桥梁，连
2 
接AF ，CF ，可证明ζAFC= 90 0 •
学科精英大视野系列丛书
在证明两个三角
形相似时，常常会出
现证两次相似，而第
一次相似常由两角斗目
常由第一次相似所得
的比例线段进行恰当
变化再加上夫角相等
而证明. 在具体证明
过程中，常常妥作等
或等和、代换，以促使
问题的转化.
相似三角形对应
边成比例、对应角斗目
等，由此可进一步证明
线段倍分关系、和差关
系、相等关系，判定两
直线的位直关系.
相似三角形法进
一步开阔了我们的解
Ci\1"I:\1'::.\ 
-
R讲
-
R
η
 
-
R
女
第
占
用
4
页
λ
X
V
女
人
〉
州
军
例6
己知6ABC 中，BC>AC ，CH 是AB 边上的高，且满足乓=
BC' 
AH 
一一，试探讨ζA 与ζB 的关系，并加以证明.
BH 
(湖北省武汉市竞赛题)
纣橱驾幡
由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可
猜想出ζA 与ζB 的关系，解题的关键是综合运用句股定理、比例线段的性
质，推导判定两个三角形相似的条件.
C 
才\
A 
H 
B 
图①
(1)若垂足H 在线段AB 上，如图①，
由AH2 +CH2 =AC2 ,BH2 + CH2 =BC2
，得
BH2 -AH2 =BC2 -AC2
，即(BH+ AH) (BH - AH) = BC2 - AC2 , 
BC2 - AC2 
'. AB = 一一一一一一，
BH- AH' 
AC2 AH ~..BC2 _AC2 
BH-AH 
又由一一τ= 一一，得一一一τ一一=一一一一一一
BC2 BH' ". 
BCZ 
BH 
. BC2 - AC2 BC2 
BH- AH 
BH' 
BC2 n~AB BC 
由①和②得AB = 一一
即一一= 一一
BH'''''BC BH' 
图②
① 
② 
又ζB 是6ABC 和6CBH 的公共角，所以6ABC∞6CHB ，ζACB=
ζ CHB=9 0 0 ，ζA 十ζ B=90 0 ，
(2) 若垂足H 在BA 的延长线上，如图②，作边CA 关于CH 的对称线
段CA' ，由(1)的结论知ζA'+ ζ B = 90 0 ，而ζA ' = 180。
ζA ，代入上式得
ζAζ B = 90 0 , 
综合上述(1)、(2) ，我们有ζA+ ζ B=90。或ζA 一ζ B=90 0 ，
例7
如图，已知6ABC 的三边长为α ，b ，c ，ζB= 
义
2ζ C ，求证:
0/ 
~ 
(1) b< 2c; 
L
\ 
B 
a 
C 
(2) b2 = c(c+ a) , 
(上海交通大学自主招生试题)
怎样运用条件ζB=2 ζ C? 作角平分线构造等角或向外构
衍桥E丑陋
造等腰三角形.
进一步追问:
(1) 若ζ B = 3ζ C ，则α ，b ，c 又有怎样的关系?若ζ B = nζ C 呢?
(2) 是否存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两
倍?最大角是最小角的三倍?
在览
相似三角形的判定
构造逆命题是提
出问题的一个常用方
法.例
6 是在直角三
角形被斜边上的高分
成的相似三角形得出
的结论基础上提出的
一个逆命题.你能提
出新的问题吗? 并加
以证明.
由相似三角形得
到的线手支间的关系，
不仅有比例式，还有
等和、式、平方式、线段
来积的和差、线段比
的和差等，解复杂的
线段间关系问题的基
本方法是:
(1)对房、式进行
变形，促使问题转化;
(2 ) 优先表示式
子中的某些项，并由
此展开推理.
c.t\~1'::.\ 
食
食女
食
食女
食
，传会
如图，延长CB 至D ，使BD=AB . 连接AD ，则ζD=
AA 
LC ，
、AD=AC=b.
(1)在L.ABD 中
，b< 2c.
D 
C 
B 
a 
C 
(2)
由L.ADBω L. CDA 得b 2 =c(c 十α) . 
对于追问(2) :存在这样的三角形，且三边长为4 ，5 ，6 ，最大角是最小角
的两倍.另-种情形不存在.
相似佳原理
自然界的许多现象和事物在形体、结构或方法、性质或量、质等方面存
在某些共同点、相似点，这就是相似性原理.
类比推1理是相似性原理的主要表现形式，即根据两个或两类对象在一
系列属性上相同或相似，从而推断它们在其他属性上也相同或相似.
例8
探究证明:
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段与矩形两邻
边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明:
如图①，矩形ABCD 中
，EF上GH ，EF 分别交AB
，CD 于点E ，F ，GH
EF 
AD 
分别交AD
，BC 于点G ，H. 求证·一--一一·
.GH AB' 
结论应用:
(2) 如图②，在满足(1)的条件下，又AMj_ BN ，点M ，N 分别在边BC ，
斗EF
11 
~.，BN 
CD 上.有一~-~，则
的值为
GH 
15 '/"AM 
联系拓展:
(3) 如图③，四边形ABCD 中，ζ ABC=90 0 ,AB=AD=10 ,BC=CD= 
DN 
5 ，AMj_DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求一一的值.
A儿f
D 
C 
D 
A 
N B 
A 
E 
图①
B 
E 
图②
B 
图③
、
( 山东省烟台市中考题)
解题思路:
问题(3) 是问题(1)的逆用，其关键是构造相应的短形.
也
学科精英大视野系列丛书
例
7 探寻了倍角
三角形三边的关系，并
在问题的广度和深度
上作了进一步的发展.
请你思考:
在D_ABC 中，己
知三边长分别为α ，b ，
c ，且ζC = 2 L乙A=
1 
, 1 
4ζ B. 求证:一+ -=-=
a 
c 
l 
b. 
C 
Ui.\&:\R.i\ 
革
~""9 刻意练习
1号食
，传
女食
食
3纭，传
食
第
23 讲
1.已知口ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC
，AD 及CD 的延长线相交于
点E ，F ，G ，若BE =5 ，EF=2 ，则FG 的长为
( 上海市竞赛题)
G 
卜\
Y~N 
(第
1 题)
(第2 题)
(第3 题)
2.
如图
，，6.ABC 中，最大角ζA 是最小角ζC 的两倍，且AB=7 ，AC =8 ，则
BC= 
(全国初中数学联赛题)
3.
如图，在口ABCD 中
，AM _l BC ，AN _l CD , M , N 为垂足. 若AB = 13 , 
BM=5 ，MC=9 ，则MN 的长为
(江苏省竞赛题)
4.
如图，0 是正三角形ABC 的边AC 的中点，也是正三角形A1BjC j 的边
A 1 C 1 的中点，则AA j
: BB j = 一一一一一·
A 
B 
(第4 题)
BJ 
C 
(河北省竞赛题)
C 
(第5 题)
(第
6 题)
5. 在四边形AB CD 中
，BC // AD ，CA 平分ζ BCD ，O 为对角线的交点，
CD=AO ，BC=OD ，则ζABC=
(全国初中数学联赛题)
6 .
如图，在
，6.ABC
中，ζC=3ζA ，AB = 10 , BC = 8 ，则
AC 的长
为
7.
如图，若PA = PB ，ζAPB= 2 ζ ACB ，AC 与PB 交
于点D ，且PB=4 ，PD=3 ，则AD. DC=( 
). 
A. 6 
C. 12 
B. 7 
D. 16 
(全国初中数学联赛题)
22哇
A 
( 上海市竞赛题)
P 
B 
(第7 题)
C 
相似三角形的判定
&t昌、.~G.\
噜E
食
1与
食女
A 
u 
食
食
食
8.
如图，设AD ，BE ，CF 为，0"ABC 的三条高，若AB = 6 ，BC= 5 ，EF = 3 ，则
线段BE 的长为(
). 
A 
18 
5 
c. 旦5 
题
赛
联
μ
一5
学
数
D 
中
币
、
2
叫
，
因
『
全
B. 4 
A 
B 
E囚
(第8 题)
( 第9 题)
( 第
1 0 题)
9. 己知四边形ABCD 为矩形，延长CB 到E ，使CE=CA ，连接AE.F 为AE
的中点，连接BF ，DF ，DF 交AB 于点G. 下列结论:
(1) BF_lDF; 
(2) S6 B.∞=S6ADF
; 
(3) EF2 =FG. FD; 
AG 
BC 
(4) 一一=一­
BG AC 
其中正确的个数是(
). 
A. 1 
B. 2 
C. 3 
D. 4 
10. 如图，已知矩形ABCD 的边长AD=3 ，AB=2 ，E 为AB 的中点，F 在线段
BF 
1 
BC 上，且FC- 言，AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=(
). 
A
豆豆
R 
5J5 
仁旦J5
n
且主
7 
~. 14 
~ . 
28 
L'. 
28 
(全国初中数学联赛题)
11. 矩形ABCD 中
，AD= 5 ,AB= 10 ，E ，F 分别为
矩形外的两点
，BE= DF= 4 ,AF= CE= 3 ，则
EF= ( 
). 
A. 4 ，jIτ 
c. fl.五
D 
C 
F(l 
fJE 
飞、I
1/ 
A 
B 
(第
11 题)
B. 15 
D. 10 J2 
(全国初中数学联赛题)
12. 如图，设。为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交
D"", 
点，若ζBAD 十ζACB = 180 0 ，且BC = 3 , AD = 4 , 
/ 
'"茫、c
DO 
/ 
/ /0"",,\ 
AC=5 ，AB=6 ，则-一=(
). 
// ~'"江
OB 
/ . 
~/' 
"、
A 
B 
A 旦9 
6 
c. ~ 
5 
8 
B. ::: 7 
4 
D. 一3 
(第
1 2 题)
(全国初中数学联赛题)
学科精英大视野系列丛书
&.\G.\eI:\ 
( I 飞.a= !Iil ) 
女食
，际
女禽
食
女女
，传
第
23 讲
徊似三角形的判定
13.
如图，D 为等腰L-，ABC 底边BC 的中点
，E ，F 分别为AC 及其延长线上
的点，又ζ EDF=90 0 ,ED = DF=l ，AD =5 ，求线段BC 的长.
(全国初中数学联赛题)
A 
A 
(第
13 题)
(第
14 题)
(第
15 题)
14.
如图，梯形ABCD 中
，AB // CD ，AB > CD ，K ，M 分别是腰AD
，CB 上的
点，已知ζ DAM= ζ CBK
，求证:ζ DMA= ζ CKB.
("祖冲之杯"竞赛题)
15.
如图，在L-，ABC 中
，D ，E 分别是BC
，AC 的中点
，AD ，BE 相交于p ，若
正三BPD = ζ ACB . 求证:以L-，ABC 三中线为边构成的三角形与L-，ABC
相似.
(i湖北省武汉市竞赛题)
16.
如图，在Rt L-，ABC 中，ζC= 90 0 ，AM ，AN 分别为
f 
BC 边上的中线和ζ BAC 的平分线. 求证:MN
'
.，./亏11
MC= 士(AB-AC) 2 .
/" /川
(四川省竞赛题)
/',/ 
/ 
/ 
I 
17. 在L-，ABC 中，CA=CB ，ζACB= α. 点P 是平面内
B 
M N 
C 
不与点A
，C 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP
(第16 题)
绕点P 逆时针旋转α 得到线段DP
，连接AD ，BD ，CP.
(1) 观察猜想
BD 
如图①，当α = 60 。时一一的值是
，直线BD 与直线CP 相交所
'CP 
成的较小角的度数是
(2) 类比探究
BD 
如图②，当α=90 。时，请写出-一的值及直线BD 与直线CP 相交所成的
CP 
较小角的度数，并就图②的情形说明理由;
(3) 解决问题
当α=90 。时，若点E ，F 分别是CA
，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直
AD 
接写出点C ，P ，D 在同一直线上时一一的值.
f A\ 
A~B 
D 
图①
CP 
P伊飞
A 
B 
图②
(第
17 题)
E~F 
/\ 
A 
B 
备用图
(河南省中考题)
tCt1\l"I:\Ct:\ 
食
食
，传
*
食女
食女
女
18 . 如图，分别以锐角6ABC 的边AB ，BC ，CA 为斜边向外作等腰
Rt6DAB ，等腰Rt6EBC ，等腰Rt6FAC.
求证:(1) AE=DF; 
(2) AE__lDF. 
(全国初中数学联赛题)
A 
D 
F 4 二队
E 
(第18 题)
(第19 题)
(第20 题)
19. 如图，在6ABC 中，M 为BC 的中点，D 为AM 延长线上的一点，且
DB 
ME 
ζMBD = ζMAC 
，ME__lAB 于点E ，MF__lAC 于点F . 求证-一=一一
'DC
儿tfF'
(江苏省竞赛题)
20. 如图，在锐角6ABC 中
，AD上BC 于点D ，H 为AD 上任一点，BH ，CH
的延长线分别交AC ，AB 于点E ，F. 求证: ζ HDE= ζ HDF .
(爱尔兰数学竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
与静巳主;费
罩'因E
习'回羁
-
••• • 
例1
413ζAPB= ζ BPC = 120 0 ，ζ BAP = 60。一ζABP = ζABC- ζABP= ζ CBP ，故.6ABP ω
.6BCP,PB2 = PA. PC= 48 ,PB= 413. 
锣~ 2 
C 
-OC PA= x . 
DA 
PA _ 
2
于
(1)当.6 DAPω .6PBC 时，则旷匠，即古寸，解和=6 或工= 1.
DA 
P A 
a_ 2 
x 
._ ，~ 
14 
(2)
当.6 DAPω .6 CBP 时，则一=一一即一=一乙，解得x = 一
BC 
PB"1 3 
7- x 
AE DC _.AE AC 
例3
.: ζ EAD = ζ DCF = 60 0 ，ζAED = ζ CDF ，:. .6AEDωCDF ，得一一= 一一，即一一=一一
AD 
CF" 
AC 
CF ' 
又ζ EAC= ζACF=120 0 ，
:. .6 EAC∞.6ACF ，得ζ CEA= ζ CAM ，而ζACE= ζ MCA ，
CA 
CE _. _
.
? 
• .6 CAEω .6 CMA ，得一一= 一一，即CA2 = CM . CE. 
CM CA 
PB 
CP
.,.. 
n TT 
n~ n~ ~~ • PB 
CP 
例4
由Rt.6BHPωRt.6 CBP ，得-一= 一一
而BH = PQ ，BC= DC ，:.
;:;..一一一­
BH 
BC"'" JJU -
' "'l,1Jv -
Llv , .. BQ - CD' 
而ζ PBQ= ζBHC= ζ PCD ，:.
.6BPQ∞.6 CPD ，得ζ BPQ= ζ DPC.
从而ζ DPC+ζ CPQ = ζ BPQ+ ζ CPQ= 90 0 ，即DP..lPQ. 
草?3
( J\ * !lif ) 
DF 
BD 
191]5 
连接AF ，CF ，则6 BFD(/)6 DFE ，得一一--一
EF 
ED' 
DF 
CD 
: CD= BD ,DE= EA ,:. ::::.一一，又ζ FDC= ζ FEA ，
EF 
EA 
:. 6 DFCω6 EFA ，从而ζ DFC= ζ EFA.
力食
女食
户L
食
，传
食
，传
第
23 讲
又飞· ζ DFE=旷，:. L_AFC= 90 0 ，FG= 土AC ，而DG= 主AC ，故FG= DG
2
二
例8
(1)咯
11 
(2) :: 
15 
(3) 补全矩形ABEF ，连接AC ，BD ，AC 垂直平分BD
，
_.DN 
AF 
4 
则互M -互B
τ -
BE AE 
EF 
1. 10. 5 
一一二一一= 一一
EG 
EC 
BE' 
相似三角形的判定
• 
-…黯
-
2. 
jI百
BC 2 =AB(AB+AC) . 
180 
3.
一一
连接MN ，作MH _lAN 于点H ，由ζ B = ζ D=ζ MAN ，得6ABMω 6MAH∞6ADN.
13 
OA 
OA 1 
1 
4. 1 : 13
连接OB ，OB
一一
又ζAOA 一ζ BOB ，= 90 0 + ζA10B ，故6AOA 1 ω6BOB 1
，
l'OB 
OB1 汀
，~ L_ .rl.V.rl. l -
L_ LJVlJ1-
AAl 
OA 
1 
BBl 
OB 13' 
S. 126 0 
6ADO ∞6CBO ，OC=OD ，ζABC = ζ ABD + L_ DBC= 54 0 + 72 0 = 126 0 • 
6. 3 
如图，过C 作ζ C 的三等分线CD ，CE.
由6 BDCω6 BCA ，得BC = BD
' BA ,BD= 6. 4, 
又BE = BC= 8 ，:. ED= l. 6,AE=CE= 2. 
由6 DCEω6 DAC ，得DC2 = DE' AD ,DC=2. 4, 
AC 
AE 
又
;:::::-;:; ，得AC = 3.
DC 
DE 
刀、\
B 
D 
E 
A 
( 第6 题)
,,_ 
• ~ ~ ~ ~ ~.，AE PA 
4 
~ ^ ~ ~~ _ _ ^ ~ ~~ ,,, PD 
DE 
7. B 
作ζAPB 的平分线父AD 于占E ，则一一= 一一= 一
又6 PDE∞6 CDB ，得一一=一一
，。、
DE
PD 
3'~ L..:. "~~ ~ - L..:. '-./~~"
'JCD DB' 
8. D 
可证明6AFEω 6ACB .
AG AD 
BC 
9. C 
(2) 错误; 6BFG∞6 DFB ，''::' = 一- - 一一
'BG 
BD AC 
1 . . . 
1 . _ AM AD 
3 
~ a 
••• 
3 . . ~ 
3 
10. C 
延长DE ，CB 交于点G ，则FN = τAN = τAF'FM = ic = 王'于是AM=ZMF=γAF ，MN =
AF-AM- FN= 立AF.
28 
n. C 延长FA ，EB 交于点G ，6BEC旦6 DFA ，6 BGAω6AFD ，ζAGB = 9 0 0
•
也34
*女
女
食
食
食
食
食
女
学科精英大视野系列丛书
18 DO 
AD 
10 
12. A 
过点B 作BE // AD ，交AC 的延长线于点E
，则~ABCω ~AEB ，EB = 一一一= 一一=一
5 'OB 
BE 
9 ' 
13.
如图，过E 作EG _l AD 于点G ，过F 作FH 上A D 于点H ，则
Rt~ EDG豆Rt~ DFH ，
设EG = 工，DG =y ，得DH = 工，FH =y ，且矿+/= 1
，
① 
EG 
AG 
~_ x 
5 一"
因
Rt~AEGω Rt~AFH ，故一一=一一，即一=一____，!_
FH AH' I y 
5+ 工'
3 
4 
由①和②得
x=--;:-
，y= 一
5 ' _Y 
5 ' 
CD 
EG 
. Rt~AEGω Rt~ACD ，:. -:::::: - :-::: ，得CD =
• AD 
AG 
10 
:. BC= 2CD = ~7~
' 
14.
延长AD ，BC 相交于P 点.
② 
PA 
PM 
.. ζ PAM= ζ PBK ，ζ P 是公共角，:. ~ AMP∞~ BKP ， :.一= 一­
PB 
PK' 
PA 
PD • PM PD 
. AB// CD ,:. ~ ~~ = ~ ~ ，:. ~ :~ = 
从而~ PK C∞!::' PMD.
'PB PC'''PK 
PC' 
得ζ PCK = ζ PDM ，ζ BCK = ζ ADM.
又ζ DAM= ζ CBK ，:. ~ DAM∞~ CBK ，故ζ DMA = ζ CKB.
A 
(第
13 题)
15.
延长PD 至F ，使得DF = PD ，连接BF ，CF ，PC ，DE ，则四边形BFCP 为平行四边形
，~ PCF 各边长
为~ABC 中线长的÷ ，故~ PCF 与以~ABC 三条中线为边的三角形相似，只需证明~ PCFω~ABC
1 _-' 
1 
16. 在AB 上截取A c' = AC ，连接cc'交AN 于D ，连接DM.则DM= ~Bc'= 一(AB - AC)
，由~ DMNω
2 ~ -
2
" '~' '-/ , 
~ CMD ，得DM 2 = MN
. MC ，故MN.MC= 士( AB - A C)2
17. (1)1, 60 
(2).)2, 45 
.. ζ ACB =9 0 0 ,CA = CB. 
。
AB
=-
. ζ CAB =4 5 0 ::::: =J2 
'AC - " 句
。
AD
,-;;-
同理可得ζ PAD=4 5 0 ，.:::: =J2 , 
'AP 
" 臼
• AB 
AD 
. 一一=一~，ζ CAB = ζ PAD ，
AC 
AP 
. ζ CAB + ζ DAC = ζ PAD + ζ DAC ， 
即ζ DAB = ζ PAC ，:. ~ DABω ~ PAC ，
. BD 
AB 
一一= 一一=.)2 ，正三DBA = ζ PCA .
'CP 
AC 
4支BD 支CP 于点G ，BD 交CA 于点H .
.. ζ BHA = ζ CHG ， 
.. ζ CGH = ζ BAH =45 0 • 
AD 
( 3 ) 一一的值为
2 + .)2或2- .)2.
CP 
￡;J 
( 川军细)
分两种情况:如图①，可设CP =a ，
则BD = J2a ，
设CD 与AB 交于点Q ，则PQ=CP = α .
可证ζ DQB = ζ DBQ =67 . 5 0，
则DQ=BD = J2a ，PD = PQ+ DQ = α + J2a ，
易得AD = J2PD =2α 十J2a ，
AD 
_, 
r=-
所以
=2+.J2. 
CP 
-
, 
y
-
如图②，可设AP = DP = b ，则AD = J2b.
由EF矿AB ，ζ PEA= ζ CAB =45 0 ，
可证ζ ECD = ζ EAD =22 . 50 , 
易得CD = AD = J2b ，CP = J2b + b ，
AD 
_ 
r=-
F斤以
=2-.)2 . 
CP 
-
y -
三与
食
女安
食
，曾
责
食
第
23 讲
相似三角形的判定
Eh队F
乒~\ ""~ 
'I.~与' J:j
D 
图①
C 
P/弘~F
V/E~三、
A 
B 
图②
(第
1 7 题)
AB 
BE 
J2 
18. (1)延长BD 至点p
，使DP = BD. 连接AP ，CP
由
一
一
又ζ PBC = 45 0 十ζ ABC =
, Ld , '" BP 
BC -
2 ' 
AE AB • ~ J2 
L.ABE ，得6ABEω6 PBC ，有一=::::: .AE= V: PC. 同理，6ADF∞6APC ，DF= 主PC ，故AE=DF.
PC 
BP ，..~ 
2 
(2)
由6ADF ω 6APC ，得ζ ADF= ζ APC ，由6ABE ∞6PBC ，得ζ BAE= ζ CPB ，于是ζ DAE +
ζ ADF =45 0 + ζ BAE+ ζ ADF =45 。十ζ CPB 十ζ APC =90 0
• 故AE上DF.
DM
儿lB
_ ^ • 'Æ~ _ _ ^ ~ 'Æ~ "" CM 
CD 
~ BM 
BD 
19.
由6 MBD ∞6MAC 得
= 
又6AMB ∞6CMD ，得
一
而一一= ::::, BM=CM, 
MC - MA ' -^-
L.:>. .rJ.lYHJ ~ ' L.:>. v lYH./ , T'T AM - AB' '''1 AM - AC 
BD 
CD 
0_ BD 
AC ~ 1 . ~ 
..~ 1. ~ 
..~" _ '''' DB 
ME 
得
- ~，即
=一一，因: AB. ME=--?:-AC' MF ，故可得一一=一一
AC AB" 
CD 
AB' ~ 2"~ 
. ..~ 
2 .._ ...., --
, '. DC 
MF' 
20.
如图，过点A 作MN // BC ，分别交射线BE ，CF 于点M ，N ，则MN _l A D ，且
6AEM∞6CED ，6AFNω 6 BFD. 
. AM AE 
S 6 ABH 
"CD 
CE 
S 6臼H
'
AN AF 
S6由H
BD 
BF 
S 6 ABH' 
① 
② 
①÷ ②，得AM= AN ，故ζ HDE = ζ HDF.
吧?结
N ，-一一且一一_，M 
" 
/1\ 
_/ 
… 
、/飞"
二、/、
f
Aγ'ìH1 À( E 
B 
D 
C 
(第20 题)
h 也@)，.，.
分形几何能描述传统几何学不能描述的
大自然中广泛存在的不规则形状，分形具有
整体与部分的自相似性.
左图是日本画家葛饰北斋的名画《神奈川
冲浪里)) ，浪花中不断重复着相同的结构，这就
是自然界中既简单又复杂的自相似性，分形几
何、分形艺术、分形世界是数学家探索，艺术家
欣赏的对象.
qζ峰-….
需241=1:*
丽目fÞ1三嗣fH 自q胜lãi l
.-----… 
~南&1辙遮
两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 对应边之比称为它们的
相似比，可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一
定的关系.
1.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相
似比;
2. 相似三角形周长之比等于相似比;
3 . 相似三角形面积之比等于相似比的平方.
以上诸多相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识和方法，
开阔了研究角、面积等问题的视野.
.~)r问题-鹅?再
例1
如图，已知E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，沿着AE 折叠，顶点
B 刚好与边CD 上的点F 重合. 若AD = 16 ,BE= 10 ，则AE=
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
幡思想路
从相似三角形、勾股定理切人
D
F 
C 
I 
./ 
~斗E
A 
B 
几何学有形象化
的好处，几何会给人
以数学直觉.不能把
几何学等同于逻辑推
理……只会推理，缺
乏数学直觉，是不会
有创造性的.
一一吴文俊
自相似
所谓自相似，就
是某个图形能被划
分成若干个更小的
全等图形，它们形
状、大小相同并与原
图形也相似.
如图，由正方形
纽成的
加徒德.纳把它分成了
1 44 个更小的全等且
与原图形相似的
.~、I~~
例
2
如图，在LiABC 中
，DE // BC ，且
5L,ADE 
: 5 L,CDE 
1 
则5L,ADE : 5 L，DBC 等于(
). 
A. 1 : 5 
B. 1 : 12 
( 川军细)
C. 1 : 8 
1与食
女
食
食
*
食
食
第
24
ì.井
女
3 , 
D. 1 : 9 
(四川省竞赛题)
瞄题思路
寻找5 L，ADE 与5 L，ABC 的联系
A
B 
C 
例3
如图，在6ABC 的内部选取一点p
，过P 点作3 条分别与6ABC
的三边平行的直线，这样所得的
3 个三角形
t 1
，t 2
，t 3 的面积分别为4 ，9 和
49 ，求LiABC 的面积.
(美国数学邀请赛试题)
幡题思路
图中有相似三角形、平行四边形，通过
A 
相似三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相似
比，注意等线段的代换，追求形式上的统一.
例4
如图，已知LiABC 的面积为5 ，周长为ρ ，LiA'B'C' 的三边在
LiABC 外，且与对应边的距离均为h ，求LiA'B'C' 的周长和面积.
(上海市竞赛题)
晤踵思路
对应顶点的连线是LiA'B'C' 三个内
角的平分线，设它们的交点为
I，可以证明
I 也为
LiABC 三个内角平分线的交点.设
I 到LiABC ，
25 
LiA'B'C' 距离分别为r ，rF ，则rF=r 十h ，且r = 77 ，这
是解本例的关键.
哇!哈
A' 
C' 
相似三角形的性质
如例
3 图所示，
经过三角形内一点向
各边作平行线(也称
剖分三角形) ，我们可
以得到:
(1) 6 FDP ω 
6 IPE ∞6 PHG ∞ 
6 ABC; 
+ 
E-C 
I-A 
+ 
G-C 
H-B 
η
r
μ
 
DF _ 
一一…
AB "' 
DE
, FG 
(3)
一一十一一+
BC 'AC 
HI 
~ 
一一…
AB
川
(4) 56 ABC = 
(Jt: +Jt; + jt;) 2 • 
上述性质，叙述
简捷，形式优美，巧妙
运用它们解某些平面
几何竞赛题，简明迅
速，匠心独运，请读者
给出证明.
~~、，R;，:\
食
食
*
食
食女
食
，传女
例' 5
. 如图，已知AB // CD.AD // CE. F.G 分别是
AC 和FD 的中点，过点G 的直线依次交AB.AD.CD.
CE 于点M.N.P.Q. 求证:MN+PQ= 2PN.
(复旦大学附属中学自主招生试题)
瞄题思路
从条件切人或从结论出发，广泛的知识、
丰富的联想，为多样化的证明提供了可能.
C 
A 
M 
f9lJ 6 
如图.l::，ABC 中.D.E 分别是边BC.AB 上的点，且ζ 1= ζ 2=ζ3.
年+m? ___ 5 
如果MBC. l::,EBD. l::，ADC 的周长依次是m.叫，叫，证明:二I
' ".，ζ7 
m 
'1 
(全国初中数学联赛题)
纣橱皇军证明
把周长的比用相应线段比表示，力求
JP 
统一，得到同一线段比的代数式，通过代数式恒等变形证
y 用
明问题.//
阳
i 
设BC= α .AC= b. 由l::，ABC∞l::，EBD∞l::，DAC ，得
B
D 
C 
DC 
AC cn ~~ b2 
一一=一一，即DC=~ ，BD = BC - DC = α 一
= 一一一-一，
AC 
BC'-"~ ~ 
a'~~ 
~~ 
~~ -
a 
a 
BD
α2 _ b2 m 2 
AC 
b 
c ..., '" m 十m2
m j 
I m 2 
a2 -b2 
I b 
因而且=一一=一一一一=一-_一，所以」一~=一+:.:.:..:.=一一一+~=
m 
BC 
a2 
'm 
BC
α
m 
m 
m 
a2 
a 
5-4 
ζ
 
5-4 
+ 
、
. 
,ill
s
/ 
1-
2 
b-a 
f!ltt
\ 
一
­
b-a 
+ 
\It--/ 
b
-a 
ft--\ 
例7
暑假里，小颖帮母亲到鱼店去买鱼.鱼店里有一种竹英鱼，个个都
长得非常相似.现在有大小两种不同的竹英鱼，如图所示，鱼长
1 0cm 的每条
10 元;鱼长13cm 的每条1 5 元.小颖不知道买哪种更好些，你看怎么办?
国三4
10cm 10元
1 3 cm15元
主些些些
从平面图形相似到立体图形相似，两个相似的立体图形，若
相似比为主，则体积之比为EL
n 
n ~ 
学科精英大视野系列丛书
B 
相似是几何中的
一个概念，但相似性
不仅表现在事物的几
何形态上，而且还体
现在事物的功能、结
构、原理上，更反映在
类比椎理的思维上.
英国著名物理学
家麦克斯韦曾说"借
助类比，我试图以便
利的形式提出研究电
现象所必需的数学手
段和公式"
法国数学家曼德
布罗特( 1924 一20 1 0 )
著有《大自然的分形
几何学》一书，他的系
列发现，开创了一门
崭新的学科
分形
几何学.分形几何学
能描述传统几何学不
能描述的大自然中广
泛存在的不规则形
状，分形具有整体与
,Gt.\Ci\R.\ 
( 川军主J;I )
?去食
，传
13
食
食
食
第
24
i井
相似三角形的性质
设两条相似的鱼A ，B 的长分别为10cm 和1 3cm ，即B 对于A 的相似比
13 1..... -<n -'- ". ~" 1=1 133 
2197
一
是一，体积之比就是-一=一一=2 . 197 ，而A 要1 0 兀，B 要15 元，这样B 对
10' r, ',",,-- vU 'J7U ~ 103 
1000 
15 
于A 的价格比是一=1. 5 . 这里，论体积B 是A 的
2. 197 倍，但价格B 才是
10 
A 的1. 5 倍，很显然，买B 比买A 要划算些.
内接四边形
三角形内接平行四边形或特殊的平行四边形是一类典型问题，运用相
似三角形的性质探讨面积关系、钱段关系，可得到许多优美的结论，并生成
丰富别致的问题.
例8
如图①，已知正方形EFGH 内接于L:，ABC 中，
AD _L BC 于D ，设BC=a ，AD=h ，EH =x.
A A 
B 
F 
DGC 
图①
(1)求证:王+手=1;
a 
n 
(2) 求证:5…mζ寸
÷S缸L
川
Aω叫
A础B
拓展1.: 
如图②，在一块锐角三角形的余料上，加工正方形零件，
又
使正方形的四个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分
/ 
\ 
别为a ，b ，c ，且α> b> c ，问正方形的两个顶点放在哪条边上可
B 
C 
国②
使加工出来的正方形零件面积最大?
("宗沪杯"竞赛题)
弱化条件，进一步提出如下问题:
如图③，设D 是L:，ABC 的边AB 上的一点，作DE // BC 
交AC 于点E ，作DF// AC 交BC 于点F. 记L:，ADE ，L:，DBF ，
L:，ABC 的面积分别为5 1 ，鸟，5 ，则:
(1) 5 = (♂7十♂2 ) 2 ; 
(2) 5口DECF =2 jS工
拓展2 : 
如图④，已知四边形DEFG 为L:，ABC 的内接平
行四边形，设L:，ADE ，L:,EFC , L:,DGB , L:，ABC 的面积
分别为5 1
，5 2
，5 3
，5 ，则:
岳飞
、
A
C
F
U
\
一
?
\
飞
1
一
扎
④
\
一
\
一
图
; 
AARF
-
\
-
/
/
f
「
仆
I
L
C
D
J
/
/
」
jAjtpu 
(平移6 EFC 至6 DGH 处)
一
乌
-
J
一
+
-
S
一
&
王
一
寸
'
十
-
A
宫
-
n
句
号
J
V
+
叫
+
、
川
卢
布
凶
Q
U
Q
U
n
δ
 
\23坛
思维永远是从问
题开始
愈来愈深
化的问题，愈来愈能启
发大量新问题的问题.
数学学习是一种
持续不断提出问题和
解决问题的实践活动.
~cal:.:\ 
食
食女
食食，* 
食
，传女
中
-
3
… 
1.若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直
角边的长分别为3cm 和4cm ，则此正方形的边长为
cm. 
(湖北省武汉市竞赛题)
2.
如图，在6ABC 中，DE//FG// BC,GI // EF // AB. 若6ADE ，6 EFG, 6GIC 
的面积分别为20 cm2 ,45 cm2 ,80 cm2 ，则6ABC 的面积为
(江苏省竞赛题)
N 
__.....-// 
A 
，、
A曰:
B 
u 
C 
B 
E 
C 
M 
(第2 题)
(第3 题)
(第4 题)
3. 如图，矩形ABCD 中，由8 个面积均为1 的小正方形组成的"L"形模板如
图放置，则矩形ABCD 的周长为
(日本数学奥林匹克试题)
4. 如图，正方形ABCD 的边长为l，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且
AM=布，ζMAN = 13 5 0 ，则四边形AMCN 的面积为
(全国初中数学联赛题)
5. 如图，在6ABC 中，AB=5 ，AC=4 ，若进行以下操作:在边BC 上从左到
右依次取点Dl ,D2 ,D3 ，D4 ' …;过点D I 作AB ，AC 的平行线分别交AC ，
AB 于点EI
，Fl; 过点D2 作AB ，AC 的平行线分别交AC ，AB 于点E 2 , 
F 2 ;过点D3 作AB ，AC 的平行线分别交AC.AB 于点E 3 ' F3' …，则
4CD 1 E1 十D 2 E2 + …+D20l9 E 2019 ) + 5 CÐ1 F I + D 2 F2 十…十D2019 F 2019 ) = 
(江苏省扬州市中考题)
//气、
(第5 题)
(第6 题)
6. 如图，已知-梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰之比为
士，那么两底之比为C
) 
学科精英大视野系列丛书
Ct.\1"i:\Ct.\ 
l 
A.
• 2 
军m ) 
I 
B. ...:::._ 
4 
l 
C .
一8 
1号食
，传
会冒险
食
D. 
1~6 
食
食
第
24
i井
(江苏省竞赛题)
7. 如图，正方形ABCD 中，AE= EF= FB ,BG= 2CG, DE, 
A ，
一D
I \ P ___ τ/
1 
E 护'\
/' 
1 
DF 分别交AG 于P ，Q ，以下说法不正确的是(
|飞Q
I 
FV
\ 
1 
A. AG上FD
B. AQ : QG= 6: 7 
B 
G 
C 
C. EP : PD=2 : 11 
(第7 题)
D. 5 1!!!边形GCOQ
: 5四边形BGQF = 17 : 9 
(重庆市竞赛题)
8 . 如图，正方形OPQR 内接于6ABC ，已知6AOR ，6BOP 和6 CRQ 的面
积分别是5 1 = 1 ,52 = 3 , 53 = 1 ，那么正方形OPQR 的边长是(
A. J2 
B. J3 
C. 2 
D. 3 
(全国初中数学联赛题)
A 
B 
C 
A 
B rl 
(第8 题)
(第9 题)
(第10 题)
9.
如图，在斜边长为
1 的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形
A j B j C j D j
; 在等腰直角三角形OA 1 B j 中，作内接正方形A 2 B 2 C2 D2
; 在等
腰直角三角形OA 2 B 2 中，作内接正方形A 3 B 3 C3 D3
; ……;依次作下去，则
第n 个正方形A "B "C "D " 的边长是(
I 
A
一3"- 1 
B
去
D. A I 
-
..，，，十2
( 山东省日照市中考题)
10.
已知E 为正方形ABCD 边BC 的中点，过点B ，D 分别作AE 的垂线，垂
足分别为F ，G ，则ζ FBG =(
A . 30 。
B. 45 。
C. 60 。
D . 75 。
(四川省竞赛题)
1 1.将一定体积的液体注入某圆锥体容器内. 当圆锥体正放(底面置于水平
面上)时，液面距圆锥体顶点8 厘米;将该圆锥体倒置，液面距底面2 厘
米. 求该圆锥体的高.
(意大利数学竞赛题)
3也
相似三角形的性质
""'c.\1!:::\ 
食
食
1与
食
食
1号
，峙
，传女
12 . 如图，在，6.ABC 中，AB=AC ，BC 上的高AD=5 ，M 为AD 上一点，
MD=l ，且丘BMC=3ζ BAC ，试求，6.ABC 的周长.
A 
B LrC' 
，!_飞C
(第12 题)
(第13 题)
( 四川省竞赛题)
Q 
R ' 
(第
1 4 题)
13. 如图，在，6.ABC 中，已知AB= 120 ,BC=220 ,AC= 180 ，直线lA ' 句，lc 分
别与BC ，AC ，AB 平行.若直线句，句，lc 被，6.ABC 所截的线段长度分别
为55 ，45 ，15. 求直线归，句，lc 所围成的三角形的周长.
(美国数学竞赛题)
14. 如图，，6. PQR 和，6. P'Q'R'是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是
一个六边形ABCDEF ，设这个六边形的边长为:AB = 叭
，BC = b 1
，
CD =句
，DE= b2 ，EF=句，FA=b3 • 求证:a i + α; 十a; =bi + b~ + b;. 
(全国初中数学联赛题)
BD 
1 
15. 如图，在等边，6.ABC 的边BC 上取点D ，使一一=一作CHl_AD 于H ，连
DC 
2' 
接BH. 求证: ζDBH= ζDAB.
(湖北省黄冈市竞赛题)
B 
A 
A 
R 
C 
(第15 题)
(第16 题)
(第17 题)
16. 如图，在，6.ABC 外作，6.BPC ，,6.CQA , ，6.ARB ，使ζ CBP = ζ CAQ= 45 0 ，
ζBCP = ζ QCA = 30 0 ，ζABR = ζ BAR = 
15 0 • 求证: ，6.PQR 是等腰直
角三角形.
(全国初中数学联赛题)
17. 如图，锐角，6.ABC 中，ADl_BC 于D ，H 是线段AD 上一点，BH 和CH
的延长线分别交AC ，AB 于点E ，F. 过E 作EP l_ BC 分别交CF ，BC 于
点M ，P ，过F 作FQ l_BC 分别交BE ，BC 于点N ，Q . 求证:
FN _ DQ 
(1) 一一一一~ , 
EM DP' 
(2) ζ EDH = ζ FDH. 
(江苏省竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
IA\~~ 
相似三角形的性质
1号食
，传
女食
，曾
女'食
食
第
24
ì井
.a= 
18. 如图，已知6ABC 中，0 是三角形内一点，满足ζ BAO= ζ CAO= ζ CBO=
ζACO ，求证:BC2 = AC • AB. 
(北京大学自主招生试题)
/子|
D
吁
-
-
4
I
t
-
-
j
c
λ 
(第
20 题)
19.
如图，有两个正方形分别内接于矩形ABCD 中的
Rt 6 BAD 和
Rt6 BCD. 如果这两个正方形的面积分别是5 1 = 440 , 5 2 = 44 1.求矩形
ABCD 的周长.
(第
19 题)
(第
18 题)
(世界数学团体锦标赛试题)
20. 如图，已知ζ C = 90
0 , BC = 2AC , AD 是ζ BAC 的平分线，求证:AB +
2BD=5AC. 
(山东省竞赛题)
• 
'…..~ • 
例2
例3
μ1μ ，
μ 飞
BH
，HG
, GC 
则
4
号+
.
二二+ .二斗=一一十一一十一一= 一一十一一十一一= 1
'\} 5 ' '\} 5 ' '\} 5 
BC ' BC ' BC 
BC ' BC ' BC 
,'. jt; +}t; + Jt; =)言，5=( jt;+}t;+Jt;) 2 =( j4十j9+ !49Y = 144. 
" 6A'B'C'叫脯，且相似比为二=于= 1 十去，
6A忧'的周长为(1 + 去)ρ ，面积为(1 + 去) 2 5
下面证法供参考:
DF EC ~~ _ 
~ .. _ . ~ _ _ r-=-
EF= BE= 10,EC=6 ，CF =8
，由6AFD ∞6 FEC 得一一=一~
，DF=12 ，从而AE= 10γ5.
DA 
CF' L/..l 
.J_ L..1 , ... ,." ,., ,, 
J
1 .L,..o 
.J.. V ，\/ υ 
B 
设6 ABC 的面积为5
，
10 )5 
例
1
例4
E 
191]5 
B 
C 
C 
. MN I PQ_AM I CP _ AM+ CP _2 PD 一。
一二一二一一一一，
今
.. PN ' PN 
PD ' PD 
PD 
PD
… 
f.!r MN+ PQ=2PN. 
锣IJ 8 
证明略.
拓展1. 设在α ，b ，c 上的正方形边长分别为工，句，X ，C 如图是正方形的两个顶点落在a 边上的情形)
，α ，b ， 
25 
25 
25 
~ 
1 
C 上的高记作h a 巾，人，则
h a < hb < h "
故Xa = 汗汇，Xb ==日瓦，X c == 汗汇因
a +
刀
，、
C A
! 
bh" 
., b- a. 
,, ( _ 
h "
ì ~~ 
/1: 
h a 一Cb 十h b ) = a- b+ ha - hb = a - b十」- h = a
b 十一-hf U - b)|1 一'~b ) > 0 , 
/ 1 i ha 
a 
a 
\ 
aJ 
I 
故a + h a 一Cb + h b ) > O ，类推有工。<Xb<X ，.
B ••
a 
即当正方形有两个顶点落在较短的边上时，正方形的面积最大.
之二￥
M 
(例5)
(例8)
A 
如图，过点F 作FH //CD 交PN 于H ，则FH =J二CAM+ CP) ,FH=PD. 
2 
食
食
食
*
食女
食*
为
12 ,.60 
_. __ 
, 
DE , FG
, IC 
或~~
2. 405cm' 
一一+一一+一一=l.
7 -"" 37 
-. 
"
V VV'" 
BC ' BC ' BC 
学科精英大视野系列丛书
-
....._.... . 
AB 
BE 
AE 
3. 8../5 
AE=EF = 4 ，FG=2 ，ζ BAE = ζ CEF ，ζ CEF = ζ DFG ，，6ABEω ，6 FDG ， DF = DG = iG = 
士，得DG= τBE ，DF= ; AB ，且，6ABE旦，6ECF ，故AB=CE ，BE=CF ，AB=CF + DF=BE+ ; AB ，得
1 
2
一
ιR 
BE=÷AB ，设BE= α ，则AB=2a ，在Rt，6剧中，5户16 ，a=f
3.,f2 
4. τ 设正方形ABCD 的中心为0 ，连接AO ，MO= 一一，MB = MO-OB = .，f2，ζABM= ζ NDA = 13 5 0 ，
2 
AV 
DN 
ζ NAD= ζ MAN 一ζ DAB- L乙MAB = 135 0 
-
9 0 。一ζ MAB= ζAMB ，则，6ADN ∞，6MBA
一一=一一
'MB 
BA' 
DN= 子，5叫刷CN-凡ω=2 × ÷MN × AO=专
5. 40380 
.: Dl Fl // AC, Dl E l // AB , .~. 四边形D1F1 AEl 为平行四边形，:. F 1A = D1E l ' .: D1F l // AC, 
• D1Fl 
BFl 
AB- AF1 
AB- D1El •• A~ 
_ 
A ~ 
• 
• DjFj 
5- DjE j 
:. ，6BD，F，ω ，6 BCA ， :. -~:" = -.-,.: =一一一一一=一一一~
.: AB= 5 ，AC 斗，..-r= 一
5 一，
j
" 
j V , L_HJ ' .. d ' , •. AC 
AB 
AB 
AB 
:.4D1E 1 + 5D1F l =20. 同理4D2 E2 +5D2F2 =20,…, 4D2019 E2019 + 5D2019 F2019 = 20 , :. 4 C Dl El + D2 E2 + … + 
D2019 E 2019 )十5CD1 F 1 + D2F2 + … 十D20 1 9 F2019 ) = (4D1 El + 5D1 Fl ) + (4D2 E2 + 5D2 F2 ) 十… + (4D2019 E2019 + 
5D2019 F2019 ) = 20 X 2019 = 40380. 
6. D 
7. C 
，6AFD旦，6BGA ，，6AFQω ，6AGB. 
2
, 
__ 
6 __ 
2
且
8. C 
设正方形边长为x ，作AD上BC 于D ，交OR 于E ，则AD= 一+工，BP="":::" ,QC="::" ，BC=x+ 羊，由
2 
AE OR 
一一= 一一，得一王一= 一王一，解得x= 2 .
AD BC '" 
, 2 
, 8 
x+ "::" 
X 十-
x 
x 
9. B 
10. B 
Rt，6ABF三Rt，6 DAG ，Rt,6ABF(/) Rt,6AEB. 
πr2 h 
1 1.设容器高为h ，底面半径为
r ，易知，该容器的体积为
3
x 
x 
x 
x 
当容器正放时，注入液体的体积等于容器体积减去液面上方的小圆锥体体和、.
因为液面平行于圆锥体底面，所以，小圆锥体为容器的相似休，且相似比为:
( 8 r 飞2 、民
2 ~πl 'h
λ δ 
则注叫叫为汗马←
( (h - 2)rV 
π| 一一?一一
I (h- 2) 
将容器倒直，易知，液面高为h 一2 ，其体积为\
H 
3/ 
3h 2 
以上两式同乘7rr2 得h3 - 8 3 = ( h - 2) 3
，
β 
女食
女食，传
己.(贪食
第
24 讲
部〉
军
相似三角形的性质
C 
A 
:.h2 -2h-84=0 , :.h=l + j85(负根舍去) . 
12.
如图，过M 作ME//AB ，支BC 于E ，作MF//AC ，
交BC 于F
，设EF=t ，ME=s.
BD 
AD 
5 
: 6BDAω6EDM ，:. 一一=一一=~，BD=5t
ED 
MD 
l' 
B 
BM BE 
4t 
2 
又.: ME 为ζ BMF 的平分线，.·.-一=一一=一=
MF 
EF 
2t 
1 
:. BM=2MF=2此1E =2 s.
由勾股定理得BM2 - BD2 =4/ -25t2 = 1 
(第
12 题)
(, 
(
,ME2-ED2=/-/=1 
17 
2m 
解①、②得t= 一，s= 一一一
7 ." 
7 
10J7 
故6ABC 的周长=5 ，6MEF 的周长=川十hfL( 1 十212)
儿仅J+US
MS 
_ 
AM十SC
13.MN=55 ，PQ= 屿，RS = 15 ，6UMS ω 6NMAω 6RCS∞6BCA ，因此
=一一=1 一一一一一一=
AB + BC AC" 
AC 
MN 
SR 
, 
55 
15 
5".. >lTT
' TT~ 
._~~
， 
~~~，，， 5 
425 
1 一一一
=1 
一一一=一，所以MU+US= (1 20 + 220) X 一=一一
BC 
AB 
" 
220 
120 
8 '''' 0/' ...~ ，~~ 
'"~V
， 
~~ V/" 8 
2 
1 
~~~~...，..._ 
..~~
，
_~~".5 
375 
同理
，NV+VP= (l 80 +2 20) X ~ =20 0 ，RW十WQ= (1 20 + 180) X
~ =一一
2 
v""... ,. 
,. '" 
, .V"
, .v".. . 8 
2 
425 , ~__ , 375 
故6UVW 的周长为丁二+200 + 亏? 十55+45+15=715 .
14.
易证6AP'B ∞6CQB∞6CQ'D ω 6ERD∞6ER'F ω 6APF ，它们的面积之比为对应边的平方比，
设比例系数为走，则
S ，M内= AB 2
• 走=ai· 走，
S""∞B =CB2 • k=b: • ι 
S6(X)'D =CD2 • k = α: 'k , 
S""ERD= ED2 'k = b~
' ι 
S""ER'F =EF2 • 走=a~
• 走，
SAAPF= FA2 ·h=b;
· 走，
由于两正三角形未重叠部分应有相等面积，所以(叫+α:+a:)
• 走=(b:+b~+ b:) • k. 
故a:+ α:+ α: = b: + b~ + b: . 
AD 
MD 
~__ __. BD 
1 
15.
作AM上BC 于点M ，由6ADM∞6CDH 得
一一=:'::::
，BM=CM 一一=一
'CD 
HD ,L.HH 
'-'''''CD 
2' 
D
-D 
B-H 
D-D 
A-B 
12m 
D-mu 
A
一
征
B 
R_---工二字S
'A 
(第
16 题)
'. CD=2BD ,DM= ~ BD , 
又ζ ADB= ζ BDH ，:.6ADB∞6BDH ，故ζ DAB = ζ DBH.
16.
以AB 为边在6ABC 外作正6ABS ，连接RS ，CS ，BS ，AS ，则
6SRB旦6SRA ，正三ASR=30 0
•
又ζ SAR=60 。一15 0 =45 0 ，
SA 
RA 
故6CQAω 6SRA. : 
一一=
• CA 
QA' 
由于ζ SAC=60 0 + ζ CAB= ζ RAQ ，
于是6 CAS∞6QAR. 
AR AS 
所以ζ CSA= ζ QRA
一一=一一
'QR 
CS' 
BR 
BS 
同理ζ CSB= ζ PRB
一一=
'PR 
CS' 
又.: AS=BS ，AR=BR ，由①和②有QR=PR.
战
① 
② 
学科精英大视野系列丛书
食
食女
*食
女
食
食女
但丘ARB=180 。一15 0 - 15 0 = 150 0 ，
• 二三QRP = 150 。一(丘QRA +ζ PRB)=150 。一( ζ CSA + ζ CSB) = 1 5 0 。一ζASB =9 0 0 •
故QR l_ PR ，则L':-，PQR 是等腰直角三角形.
/ \ i Flv -DQ 
(FNY 
SMHN 
~ S 一
2
~ . . 
~.... 
F N • DQ ". F N 
DQ 
17. (1)由L':-，FHNω L':-，MHE ，得|一一1= 一一一而一一一旦=
=一一一一一故一一=一一
\_EM) 
S 6MHE ""'S6MHE 
1 r.... nn EM. DP'~EM DP' 
\/MHE
EEM -DP 
A 
BF 
BA 
L
^ ~~~ _~^ ~A~".BF BA .FN AH 
(2)
由L':-，BFNω L':-，BAH ，得一一= 一一由L':-，BFQ∞L':-，BAD ，得一一=一一
一一=一一
FN AH ,. ... H.--' ~A "'-
-，-，，~，，~， "J FQ AD'" FQ 
AD' 
EM AH 故FN = EM. f!p F N = FQ = DQ 
同理可得一-一一
一一~，f!r 一一=一一=一一
EP 
AD '''''"FQ 
EP "1 EM EP 
DP' 
:. L':-，FQD∞L':-，EPD ，从而ζ FDQ= ζ EDP ，故ζ EDH = ζ FDH ，
18. 如图，过点。作AC 的平行线交BC ，AB 于点D ，E，
':DE矿AC ，:. ζ OAC = ζ 1 ，二ζ 1 =ζ BAO.
.. ζ CAO= ζACO ， :.AO=OC,AE=OE , 
• AC 
OC 
'. L':-，AOE∞.6.ACO. :.一一=
罗
AO
EO' 
① 
(第
1 8 题)
② 
E-D 
A-c 
一
一
B-B 
A-C 
尸
L
A 
/ 
/ 
E 
D 
③ 
. OC 
CD 
..ζ2 = ζ OBC ，ζ BCO= ζ BCO ，:. L':-，OCDω L':-，BCO. :. ~一=一一.
" 'BC 
CO' 
,..AC AB 
OC 
OC 
AE CD 
①× ②× ③得一·一·一=一
· 一一. - -
CO 
BC 
BC OE 
CD 
OC 
• AC . AB 
一一一τ一一= ICAO= OC ，AE= OE)
，:. BC'= AC . AB. 
BC' 
19. 设AB = α ，BC = b ，BD = c ，RtL':-，BAD 斜边BD 上的高为h ，
可得JS:=右，在=32
':ab =ch ，矿+b' = / ，
• 1 
1 
(c十h ì'
(a + bì' 
1 
，~
? 
二:- 77= l-;γ | 一l-ab V 
) = c~ ，得c"= 441X 4 40 ，
.: (a+ b)2 = C2 +2ab 
ACE
到
l
I
l
-
-
「
t
t
t
'
t
t
J
V
:
、
:
、
;
、
;
、
;
、
;
、
;、
; 
/
-D 
B 
:. (a+的2 =C2 +2~(a + b) ，即(α +b)' - 42(α + b) -441 X 440 =0 , 
解得
α十b=462 或一420 ( 舍去) , 
故矩形ABCD 的周长为2X4 62 = 924.
20. 下列证法仅供参考:
如图，延长AC 于点E ，使AE = AB ，连接DE ，则
L':-，ABD 旦L':-，AED ，BD = ED. 由
AC CD 
1 
L':-，ABC∞L':-，DEC ，得BC = CE = τ ，得CE=2CD ，故AB+ 2BD=AE+ 2BD=AC+ CE十
(第20 题)
2BD=AC+ 2CD十2BD = AC+ 2 ( BD+ CD) = AC+ 2BC= 5AC. 
已j
艺术诠释了数学的内涵，使数学变得通俗易
懂;数学开拓了艺术的内涵，使艺术变得意味深长.
计算机是一种工具，它把枯燥的数学公式翻译
成能看得见的模式. 左图是编程者和算法艺术家为
研究波浪运动编写程序产生的线型图像.
"Q Q ~1 
J 气￡J
言25 击
λi可不可二
I
'
袭。攘攘遮
几何不等式是指平面图形中所含的线段长度、角的大小、周长、面积等
所呈现出的不等关系.
解几何不等式问题，常用到下列基本知识:
(1)两点之间线段最短;
(2) 垂线段最短;
(3) 兰角形三边关系，三角形内角、外角关系定理;
(4) 同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然;
(5) 在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的所对的角也大，反之
亦然.
' 问题崩决
例
1
(1)如图，在
Rt L>ABC 中，ζ B = 90 0 , AB = 4 , 
BC>AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形
ADCE 中
，DE 的最小值是
( 山东省东营市中考题) ;~~ 
(2) 锐角三角形ABC 中
，AB>BC>AC ，且最大内角比最小内角大
24 0 ，则ζA 的取值范围是
(江苏省竞赛题)
瞄题思路
对于(1)
，DE = 2DO ，将问题转化为求OD 的最小值，而0 为
定点.
对于(2) 由AB > BC > AC ，得ζ C >ζ A > ζ B ，设ζ B= 工，把ζC ，ζA
用工的代数式表示，并建立关于工的不等式组.
23如
辙'已主f费
远'圃'罩..__
我的许多工作是
根据数学原理来做的，
我发现无论从艺术的
角度还是从设计理念
的角度看，数学图形都
是丰富的源泉.
一一勃列森
厄尔多斯莫代尔
不等式
如图
，P 为6ABC
内任一点
，PDl_ BC 于
D ，PE 上AC
于
E ，
PFl_ AB
于
F ，则
PA+ PB + PC 二三
2(PD+ PE+ PF). 
A 
I'#:\~I'::!. 
食
节屹
立专
食
食含
，传
食
1号
f9lJ2 
如图，在MBC 中，ζBAC= 120 0 ，点P 是.6ABC 内一点，则(
). 
A. PA + PB + PC< AB+ AC 
B. PA + PB + PC> AB+ AC 
C. PA+PB + PC= AB+AC 
D. PA + PB + PC 与AB + AC 的大小关系与点P 的位置有关
幡黯思路
旋转.6APC ，化折线为直线.
Jζ尘、
B 
例3
如图，在等腰.6ABC 的一腰AB 上取一点
D ，在另一腰AC 的延长线上截取CE = BD ，连接
DE ，求证:DE> BC.
(陕西省西安市竞赛题)
黯题思路
平移DE ，构造以DE 和BC 为边的
三角形
B
E 
例4
如图，在.6ABC 中
，AB = AC ，BC 的中点为D ，E 为.6ABD 内任
意一点，连接AE ，BE ，CE. 求证: ζ AEB > ζAEC.
黯题思路
作点E 关于AD 的对称点E' ，连接
AE' ，E'C ，EE'
，并延长EE' 交AC 于F ，利用对称性，把角
集中到一个易讨论的图形中.
B 
D 
C 
例5
如图，P 为边长为
1 的等边三角形ABC 形内任意一点.设
l =
PA+PB+PC ，求证: 1. 5< l< 2. 
(北京市竞赛题)
黯题思路
从三角形三边关系人子，解题的关键是
A 
运用不等式性质，对于证明
l< 2 ，需构造等边三角形.
B 
C 
侣。6
设.6ABC 中内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，求证:
(l )3(α 2 十b 2 十c 2 ) 二三(α + b +C ) 2 ; 
(2)(α + b 十C ) 2 注12J3S;
(3)α 2 十b 2 十c 2 二三4J3S.
堕堕塾堕
三角形的边长与面积之间有相等关系，也有不等关系，充分
运用作差、基本不等式、放缩等代数技巧方法，是证明的关键.
纪jJ
学科精英大视野系列丛书
把欲证的不等量
尽可能集中到一个三
角形(或两个具有紧
密关系的三角形)中，
以便运用三角形不等
关系的性质，这是解
几何不等式问题的常
用思路，为此需用到
几何变换.
几何不等式将几
何的论证与不等式的
技巧有机地结合在一
起，简单而不平凡，优
~~IÄ\ 
( 川军细)
费鸟，鱼
女现r
J;!."" 
食
食
，传
女
人类每天为解决最值问题而忙碌着，大自然亦是如此.最旱指出自然界
中到处都潜藏着最值问题的人，大概是费马.
在巳知6ABC 所在平面上求一点F ，使它到三角形三顶点的距离之和
为最小.
这个问题是法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提
出的.这个问题中所求的点被人们称为"费马点"
例7
如图，设F 是锐角6ABC 内-点，使ζAFB 二ζ BFC = ζ CFA=
1 20 0 ，而P 是6ABC 内任意一点，求证:PA+PB + PC二三FA + FB 十FC.
证明
将6ABF ，6ABP 绕B 点依逆时针
A' 
方向旋转
60 0 ，得到6A'BF ' 和6A'BP' ，连接
FF' ，PP' ，由旋转的性质得6BPP' 与6BFF' 都
是正三角形，故FF' =FB ,pp' =PB. 
又6A'BF ' ~三6ABF ，
.·. ζA'F'B = ζAFB = 12 0 0 • 
.. ζ FF'B = 60 0 ，二
A' ，F' ，F 三点共线.
B 
C 
同理，由ζ F'FB=60。以及ζ BFC = 120。知C ，F ，F' 也三点共线.从而，
C ，F ，F' ，A' 四点共线.
类似的，由旋转的性质知6A 'P'B 垣6APB ，
人ζA'P'B = ζAPB = 120 0 •
又ζ BP'P = 60 0 ，二
A' ，P' ，P 三点共线.
: A'C 是直线段，而A'P 与PC 是折线段，
λ A'P 十PC二三AC' ，即A'P '+ P'P+PC注A 'F '+ F'F + FC ，
注意到A'P ' = PA ,p'p = PB ,A'F' = AF ,F'F = FB , 
故有PA + PB + PC二三FA + FB + FC.
~~ 刻意练习
1. 6ABC 的内角中，ζA 为最小，ζB 为最大，且2ζ B =5 ζA ，则ζB 的取
值范围是
2. 如图，在6ABC 中，AE 是ζ BAC 的外角平分线，
D 是这条平分线上的任一点，则AB 十AC 和BD 十
DC 之间的大小关系是:AB + AC
BD 十
DCC 填"> "" == "或" < "号) . 
B 
(江苏省竞赛题)
D 
C 
E 
(浙江省杭州市"求是杯"竞赛题)
(第2 题)
3 .
问题背景: 如图①，将6ABC 绕点A 逆时针旋转60。得到6ADE ，DE 与
BC 交于点p
，可推出结论: PA + PC = PE .
24址
食
第
25 讲
几何不等式
(1)如图①，当
6ABC 三内角均小
于
120 。
时，
F
在
6ABC 内部，此时，
ζAFB = ζ BFC = 
ζ CFA= 120 0 • 
( 2 )如图②，当
6ABC 有一角
( 不妨
设为ζ A) 二三12 0。时，
F 点与A 点重合.
A 
J、
B
图①
C
A(F) 
/~ 
B 
C 
图②
费马(l601~1665) , 
他在大学里学的是法
律，后来当了律师，却
把几乎全部业余时间
用于数学研究. 费马
在
1 7 世纪创立的解
析几何、概率论和数
论等领域，都做出了
开创性的贡献，成为
1 7 世纪最著名的数
学家之一，人称"业余
数学家之王"
6号\~~
食
食
*
食
1传女
食*
力i
问题解决:如图②，在6MNG 中
，MN=6 ，ζM=75 0 ，MG=4 J'I. 点。是
6MNG 内一点，则点。到6MNG 三个顶点的距离和的最小值
是
E 
B 
(湖北省武汉市中考题)
ρ\ 
N 
G 
图②
( 第3 题)
4.
如图，在口ABCD 中
，AD = α ，CD=b ，过点B 分别作边AD
，CD 上的高
扎，儿，已知ha 二三a ，h b 二劲，对角线AC = 20 ，则SOABCD = 一一一一一·
(北京市竞赛题)
B一…
C
/IY h;:ý b 
A 
a 
D 
(第4 题)
(第5 题)
x 
CDB 
AF 
d
A 
(第6 题)
s. 在Rt6ABC 中，ζABC=90 0 ，AB=4 ，BC = 2
，如图，将直角顶点B 放在
原点，点A 放在y 轴正半轴上，当点B 在Z 轴上向右移动时，点A 也随之
在y 轴上向下移动，当点A 到达原点时，点B 停止移动，在移动过程中，
点C 到原点的最大距离为
6.
如图，在Rt6ABC 中，AB=10 ，ζ BAC =45 0 ，ζ BAC 的平分线交BC 于
点D.E ，F 分别是线段AD 和AB 上的动点，则BE+EF 的最小值
为
(山东省日照市中考题)
7. 在锐角6ABC 中，已知其两边α = 1 ，b =3 ，那么第三边
c 的变化范围
是(
). 
A. 2< c< 4 
c. 2 <c< 刁百
B. 2< c~ 3 
D. 2J'I< c< 刁百
("祖冲之杯"竞赛题)
8. 平面直角坐标系xOy 中，已知A ( -
1, 0) , B ( 3, 0) , C( 0, - 1) 三点，D (1，
m) 是一个动点，当6ACD 的周长最小时，6ABD 的面积为(
). 
I 
A. 3 
2 
B 
.:::_ 
3 
c. 
~ 
f) 
8 
3 
~. 3 
(江苏省南通市中考题)
援工j
学科精英大视野系列丛书
~ c主;需
湿--巨
1'A\~n.\ 
军
1号食
食
女食
食
女食
食
第
2 5 讲
几何不等式
9 . 在L'，ABC 中，ζ A ，ζB ，ζC 的对边为a
，b ，c ，已知α 2 = bCb + c)
，ζC 为钝
角，则a ，2b ，c 的大小关系是
C
). 
A.α < 2b<c 
B. a<c<2b 
C. 2b< a<c 
D . a=2b<c 
(湖北省黄冈市竞赛题)
10.
如图，在L'，ABC 中，D 为BC 中点
，DM 平分ζADB 交AB 于点M ，DN
平分ζ ADC 交AC 于点N ，则MN 与BM + CN 的关系为(
A. BM+CN=MN 
C. BM+CN>MN 
B. BM十CN < MN
D .
无法确定
(北京大学自主招生试题)
11. 如图，在等边L'，ABC 中
，BD =2 CD ，DE 上BE ，CE ，AD 相交于点p
，
则C
). 
A . AP>AE> EP 
B. AE> AP> EP 
C. AP> EP> AE 
D. EP> AE> AP 
(湖北省武汉市竞赛题)
A 
:~c 
B 
C 
o 
B 
N 
(第
10 题)
(第
11 题)
(第
12 题)
12.
如图，ζ MON=90 0 ，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当B
在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，
其中AB=2 ，BC= 1，在运动过程中，点D 到点。的最大距离为(
A. J2+1 
B. J5 
c 罕
5 
D. 2 
(山东省济南市中考题)
13.
如图，已知正方形ABCD 内一动点E 到A
，B ，C 三点的距离之和的最小
值为J2十布，求此正方形的边长.
A 
(广东省竞赛题)
~ 
B 
D 
C 
(第
13 题)
(第
14 题)
14. 如图，设凸四边形ABCD 的对角线相交于0 ，且AC _l BD ，己知OA>
OC ，OB> OO ，求证
: BC十AO>AB +CD .
(" 祖J中之杯"竞赛题)
24法
~&.-\ett. 
食
，传
为
食
食女
食
，传为
15. 如图，在凸四边形ABCD 中，AB 是最短的边，CD 是最长的边.
求证:ζA>ζC 且ζB>ζ D.
广气\
(第15 题)
( 青少年数学国际城市邀请赛试题)
D 
B 
C 
图①
图②
(第16 题)
16. (1)如图①，在四边形ABCD 中，BC..l CD ，ζACD= ζADC ，求证:AB +
Ac> Æδ±ξEFE 
(2) 如图②，在LABC 中，AB 边上的高为CD ，试判断(AC + BC) 2 与
AB 2 +4CD2 之间的大小关系，并证明你的结论.
( 江苏省竞赛题)
17. 如图，已知点P 是锐角LABC 内的一个点，且使PA+PB + PC 最小，
试确定点P 的位置，并证明你的结论.
(天津市竞赛题)
二\
声习
(第
1 7 题)
(第
1 8 题)
(第19 题)
18. 如图，在凸四边形ABCD 中，若AB 十BD~AC十CD ，求证: AB<AC.
(匈牙利数学竞赛题)
19. 如图，悬空放置的长方体ABCD-EFGH 中，AE= 6 ，AB = 7 ，AD = 8 ，点M
是矩形ABFE 的中心，点N 是线段FG 的中点.已知点M ，点N 处各有
一块糖，点D 处有→只蚂蚁，问:蚂蚁最少爬多远能找到糖?
(世界数学团体锦标赛试题)
20. 证明: 任意三角形的三个内角平分线的乘积必小于三边的连乘积.
( 上海市竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
• 
~~~ 
( J\ q: !Ii! ) 
女女
女食
，传
食
食
食
第
25 讲
几何不等式
例1
(1) 4 
当ODl_ BC 时，OD 的值最小.
(2) 52 0<ζA<68 。
ζ C=x+24 0 ，ζA=156 。一2工，
(x + 24 0 > 156 0-2x , 
则i 1 56 0 -2x>工，
解得
44 0<x<52 0 , 
Lx+24 0 <90 0 , 
:. 52 0<156 0 -2x<68 0 ，即52 0<ζA<68 0 •
例2
B 
• 
…. • 
将6APC 绕点A 逆时针旋转60 0得6AP'C ' ，连接PP' ，CC'
，则6APC旦
. C' 
6 AP'C' ,AC' =AC,PC= P'C' ,PA= P'A ，B ，A ，C' 共线.
.. ζ PAP ' =60 0 ,AP=AP' , 
:. 6PAP ' 为正三角形，
:. PA= P'A = PP' , 
.: PB+ PP' + P'C'>AB+ AC' , 
:. PA 十PB + PC>AB 十AC.
A 
..... ,/: 
石Xj
B 
C 
(例Z)
例3
过D 作DF _lL_ BC ，连接CF ，则CF = CE ，可证明ζ DFE >ζ DEF ，故DE > DF= BC.
例4
6AEB旦6AE'C ，ζAEB = ζAE'C.
.. ζAE'F = ζAEF+ ζ EAE'> ζAEF ， 
ζ CE'F= ζ CEF+ ζ ECE' >ζ CEF ， 
.. ζAE'F + ζ CE'F >ζAEF+ ζ CEF ， 
. ζAE'C> ζAEC ，故ζ AEB> ζAEC.
侈IJ 5 
.: AP+BP>AB= l, BP+CP>BC= l, CP+AP> AC= l, 
.相加得2CPA + PB + PC) > 3 ，即
l> 1. 5. 
过P 作MN //BC ，交AB 于M ，交AC 于N ，则
6AMN 是正三角形
，MN = AM ，而ζAPN> ζANP = 60 0 ，
:. PA< AN. 
.: BP< PM+ MB ,PC< PN+ NC , 
:. PA+ PB+ PC<AN十PM+BM+ PN+ NC= CAN十NC) 十CPM+ PN) + BM= 
AC+ MN+ BM= AC十AM+ BM= AC十AB = 2 ，!!r l< 2. 
故1. 5< l< 2. 
例6
(1 )': 3Cα ' +b' + ♂) - Ca+b+c)' = Cα -b ) ' + Cb-c)' +Cc-a ) ' 二三0 ，
:. 3Ca' 十b'+ c' ) 二三(α 十b十c ) ' . 
,[ 24法
A 
B 
(例5)
C 
噜岐
食
，传
食
食食
食女
女
( 
a+b+c '\ 
(2)': 5= 仆(ρ -a) (p-b) (p-c) I ρ=~
' 2'.) 
=tJ(a十计c)附
a)(巾一川+b-c)
一
1
/ , 
, .
, 
, r ( b+c-a) + (c + α - b) +( α + b-c ) ,3 
豆τ. / 
(a 十b十c) I 
，~ ,. 
~ " 
,. ' :3 
~" 
,-
，~ 
. , I 
=占(α +b+C) 2 ，
36 
:. (a + b+c)2 注12./35.
(3) ': 3(a2 +b2 +c2 ) 二三12./35 ，
:. a2 + b2 +c2 二三4./35.
L 
75 。ζζ B~ 100 。
2. < 
3 .2 j2百如图，作等边6MOB ，则6M(X;旦6MBA~ON + OM+∞= ON+ OB +
BA ，当点N ，O ，B ，A 四点共线时，其和最短. 过点A 作AC j_ NM 于点C ，ζAMC=45 0 ，
AC = MC= 4 ，CN = 10 ，NA = 2 j2百.
4. 200 
b二三扎，α二三仇，因ha 二三a ，hb 二坊，故b二三ha 二三a 二三hb ' 只能b = ha = a = 扎，这表
明口ABCD 是正方形，50础CD =÷ × 202 400
S. 2 + 2.)2如图，取A]B ] 的中点E ，连接OE ，C] E ，当点。，E ，C] 在一条直线上
时，点C 到原点的距离最大.
6. 5 .)2在AC 上作出点B 关于直线AD 的对称点B' ，作B'F j_AB 于点F ，交
AD 于点E ，连接BE ，则线段B'F 的长即为所求.
7. D 
当c 为斜边时，c = 刁百，当b 为斜边时，c= H士y=纠言，故~<c< 刁百.
8. C 
点D 在直线工= 1 上，点A 关于工= 1 的对称点为B ，连接BC 交直线工= 1
于点D ，此时AD+CD 最小.
9. A 
a2 = b(b+c) < b(2b+ a) , (α -2b) (α + b) < O ， 
:.a<岛，又ζ C 为钝角
，
: . a2 + b2 < c2 , 
即b(b+ c) + b2 < / , ( 2b- c) (b+ c) < O, 
:. 2b< c ，故α< 2b<c .
10. C 
学科精英大视野系列丛书
N 
• 
•••• • 
G 
(第3 题)
B 
B 、
(第5 题)
x 
H 
A BE=÷BD=DC，则6BEC坠CDA. LAPE= ζPAC十LACP= ζPCD+LACP=ω
象~
fz
食
*
女食
食
力'食
*
第
25 讲
革
儿何不等式
ζ EAP< 6 0 0 = ζ APE<ζ PEA ， f!p AP> AE> EP. 
D
司
|
|
|
|
」
C
取AB 中点E ，连接OE ，DE ，则DEζOE+ DE ，当O ，E ，D 三点共线时，等号成
立，此时OD 长最大.
12. A 
13.
将t6ABE 绕B 点逆时针旋转
6 0 0 ，得t6 FBG ，连接GE ，FC ，则t6 BEG 为等边三
角形
，GE = BE.
(第
13 题)
:.FCζ FG + GE + EC , f!p FC运EA + EB 十EC.
':FC 为定长，
..当E 点落在FC 上时
，FC = EA + EB + EC 为最小值.
.. ζ FBC = 150 0 ,FB=BC , 
.. ζ BCF = ζ BFC = 1 5 0 ，而ζ GEB = 60 0 ，
.. ζ EBC =4 5 0 ，即E 在正方形ABCD 的对角线BD 上，作FH 上BC 支CB 延长线于点H ，设BC= 工，则
FB= 工，FH= ? ，HB = fz
在Rtt6FHC 中，由仙Z叶利'+ (x+引得x= 2 或工=一2(的) ，即正方形的边长为2
14.
在OA 上截取OC' = OC ，在OB 上截取OD '= OD ，连接AD' , BC' ，C'D '
，交于P 点，则AD = AD' ，
BC=BC' ，CD = C'D ' . 所以BC 十AD = BC' 十AD'= BP 十P C' 十AP 十PD' > AB 十C'D '= AB 十CD.
15.
连接AC ，BD ，证明咯.
16. (1)连接BD ，则BD = J BC+ CD' ,AC+ AB=AD+ AB> BD= J BC+ CD' . 
(2) (AC+ BC) ' 二三AB' + 4C[f 
如图，作BEj__AB ，使BE= 2CD ，连CE ，作CF上BE ，则BF = CD ，CE = CB.
应用(1)的结论，有(AC+ BC)' > AB' + BE' = AB' + 4CD' ; 当A ，C ，E 共线时，显然有(AC+ BC) ' = AB' + 4CD' , 
E 
故结论成立.
图②
图①
A 
( 第
17 题)
17.
如图①，分别以AC ，BC 为边向外作正t6 ACB ' ,t6BCA' ，连接BB '
，AA ' 支于点p
，则点P
f!p 为所求.
事实上，易证t6 BCB' 二三t6A'CA =>ζ B'BC = ζ AA 'C.
故A '
，B ，P ，C 四点共圆.
从而ζ BPA' = ζ BCA' = 6 0 0 •
因为ζ APB' 与ζ BPA ';为对顶角，所以，ζ APB'= ζ BPA '=60 0
•
在PB' 上截取PD = AP ，连接AD ，CP ，得t6APD 为正三角形. 易证t6APC旦t6ADB' 斗CP = B'D => 
PA 十PB + PC = PD 十PB + B'D = BB'( 定值) . 
( 第
1 6 题)
如图②，在t6ABC 内任取一点M ( 不同于点P)
，连接MA ，MB ，MC ，
以点A 为旋转中心，将t6AMC 逆时针旋转6 0 0 ，使AC 与AB ' 重合，得t6AGB'.
\; 24 7，~ 
飞...-;;;:_- 喃
食
食合
食*
女
学科精英大视野系列丛书
食
'眨
'眨
则，6AGB' 旦，6AMC=争B'G=CM.
连接GM ，则，6AGM 为正二角形，有MA=MG .
故MA + MB+MC=MC十MB + B 'G=BM十MG + GB' > BB' .
因此，点P 到三个顶点A ，B ，C 的距离之和最短(若以AB 为边向外作正6ABc' ，可得AA' =BB' =Cc'). 
18. ': AB <AO十BO ，CD< CO+ DO ，
:. AB+ CD< AC+ BD
(, 
又AB + BD~AC十CD
②，
. .①+②得2AB< 2AC ，f!r AB< AC. 
19. 将长方体沿DH ，EA ，HG 展开，如图①
，DN 1 = 刁石，DM1 = 刁百万L
将长方体沿EH ，EF 展开，如图②
，DN，= jf8言，DM，= 刁古万民
若蚂蚁从底面ABCD 穿过，如图③，DN 3 = jf8言，DM3= 刁否万毛
将长方体沿GC 展开，如图④
，DN，= ,Jß7. 
6 
7 
7 
6 
8 
D 
7 
图①
C' 
8 
图②
N, 
G' 
6 
C 
[，文人/干|
7 
A 
8 
图③
D 
B 
A 
D 
图④
C 
B 
(第
19 题)
故蚂蚁最少爬jï33万τ能找到糖.
20 . 如图，设a ，b ，c 为，6ABC 的三边
，ta ，儿
，t ，为，6ABC 三个内角平分线，作ζ ACE=
正ADB ，CE 交AD 延长线于点E.
AB AD 
由，6ABDω ，6AEC ，得王E
互~，f!r bc= t! + ta ' DE> 过，
同理
，ca> t~ ,ab> t; , 
三式相乘得a ' b ' c'> t!t ~ t ;
，即α bc> ta tι .
C 
'
h
υ
h
飞
飞
、
-
，
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ill--
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吨
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飞
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，
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, ;' 
/
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『
叫
'
'
v
p
i
J
'
』
J
B 
E 
(第20 题)
最主j
自然界的对称之美，曾使无数人为
之倾倒. 然而，科学家李政道和杨振宁却
提出了基本粒子在弱相互作用条件下的
字称不守恒定律.
著名画家吴冠中的水墨画《对称乎，
未必，且看柳与影》形象地显现了物理学
理论关于自然界对称与不对称原则的深
刻含义.
、主要4
飞7!l f
'Ò\ V 
~ 言26 由自由EZR j
'
如能慢速
几何学发端于测量土地的面积.面积是几何学研究的一个重要内容，运
用公式、等积变换、面积比定理是计算面积的基本方法.
面积也是研究几何学的有力工具，借助于面积相关知识解决一些题目
中不涉及面积问题的方法称为面积法.
熟悉下列基本图形、基本结论:
dJJ;j ø & 
应
也
且
左27
豆豆[lf!!i}_兰
b
问题能决
例1 如图，矩形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边
A 
H 
AB ,BC ,CD , DA 上，点P 在矩形ABCD 内，若AB =
4 cm ,BC= 6 cm ,AE= CG= 3 cm ,BF = DH= 4 cm ，四边
形AEPH 的面积为
5cm2 ，则四边形PFCG 的面积
B
为
cm2 .
(浙江省竞赛题)
幡题思路
把不规则四边形PFα 的面积表示为规则图形面积的和差.
哇!唾
物理的日趋数学
化意味着在我们的领
域内这最后一种关越
来越重要.
杨振宁
D 
G 
海伦公式
海伦，古希腊数
学家，找到了给出三
角形三边a ，b ，c ，求三
角形面积的公式: s=
J户(户。)(户
b) (户
c ) , 
α + b+ c 
其中ρ -
2一一
我国宋代著名数
学家秦九韶在《数书
九章》中给出了与海
伦公式等价的公式:
s= 
C 
什[ a2 b2 -
(红俨) 2 ] 
:t=\~、
.~、
食
食
1告
食
食
1号
食
食*
例2
如图，在，6，ABC 中，己知BD 和CE 分别是两边
A 
上的中钱，并且BD j_ CE ,BD= 4 ，CE = 6 ，那么，6，ABC 的面
积等于(
). 
A. 12 
C. 16 
B. 14 
D. 18 
C 
(全国初中数学联赛题)
幡题想自
由中点想到三角形中位线
，，6，ABC 与四边形BEDC 面积存
在一定的关系.
积.
例3
己知一个三角形的三边长分别为j2，Æ ，江宁，求此三角形面
("希望杯"邀请赛试题)
瞄噩思路
直接运用海伦公式、勾股定理，借助三角形面积公式，运用
d古工F的几何意义可使问题获得简解.
例4
如图，四边形PQMN 是口ABCD 的内接
四边形.
(1)若MP矿BC 或NQ矿AB ，求证:5四边形PQMN
j s明CD'
D 
B 
ω 若S四边问MN =÷S叫CD' 问是否能推出MP 矿BC 或QN // AB? 证
明你的结论.
("宇振杯"上海市竞赛题)
幡题思路
由平行的条件或证明两直线平行，从等积定理入手.
学科精英大视野系列丛书
如图，若四边形
对角线矶
，d 2 夹角为
日，则其面积
5= 护j d2 X sina 
特别地，当dj 上d2
时，则s寸dj d2
有些几何问题，
虽然题目中没有直接
涉及面积，但由于面
积关联着边、角两个
重要元素，所以我们
可从面积角度思考问
题，这就是常说的面
积法.
用面积法解题的
基本步骤是:
(1)用不同方法
或从不同角度计算某
一图形面积，得到一个
含边或含角的关系式;
(2) 化简这个面
积关系式，直至得到
求解或求证的结果.
当问题涉及三角
形的高、垂线或角平
分线时，不妨用面积
~~~ 
". 
飞'l
J、
( J飞革组)
* 
女** * 
食
例5
如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB
，CD 的中点分别为K
，
M. 求证:S四边形ABCD = S [', ABM + S [',CDK • 
(俄罗斯莫斯科市竞赛题)
堕些重些
S囚边形届CD= S ['，川+ S ['，ADM + S [', BMC ' 
只需证明S ['，CDK = S [', ADM + S ['，BCM
' 这三个三角形底有
联系，寻找高之间的关系是证题的关键.
B 
例6
如图，设点E ，F ，G ，H 分别在面积为
1 的四边形ABCD 的边AB ，
AE BF CG 
DH 
BC，CD ，DA 上，且一=一=一=一=kC走是正数) ，求四边形EFGH 的面积.
EB 
FC GD 
HA 
(河北省竞赛题)
醋题思路
连对角线，把四边形分割成三角形，
D 
将线段的比转化为三角形面积比.
CG 
DH
巾DH
如图，连接AC ，AG ，由
走，得一-_
GD 
HA 
". '" DA 
k 
HA 
DG 
1 
A 
k + 1' DA 
DC
走+ 1'
• S [', DHG 
DH 
,
S [',AHG 
HA 
1 
一..一一一
. S [',AHG 
HA
儿'S ['，ADG
DA
走+ 1 ' 
1 
~ 
~ S ^ Ar.D 
DG 
1 
'. S [',DHG = kS ['，A时
，S ['，AHG = 一c;，- S[',AGD ，又」皿_
k + 1 ~ ['，AGD '--"-S [', DAC 
DG
走+ 1 ' 
k一一
• S ['，DAC ' 同理，S ^ """ = 
__k一一
. S 
(走+1) 2
~ ['，DAC "~J~= '~ ['，BEF 
Ck 十1 ) 2
~ ['，BAC
' 
故S ^ nI_1口+S〈w=-J一τ CS ^ DAr + S ^ HAr) = 一主-τ
. S [T[]1tr-lf~A R('n 
ι UH (J 
ι 皿r
Ck 十1) '
ι 川仁
ι W\L.
' 
Ck 十1) '
四且~f\1jLU
走
(走+ 1) 2
'
连接BD ，同理，s〈AFH+ S〈fFC=-J一τ
凸血口
ι L.rv 
Ck 十1 )' 
故S四边形EFGH =S 四边形ABCD _ CS[', AEH + S [', BEF + S CFG + S [', DHG) 
=1 一
2ι一
Ck+ 1) 2 
扩+1
Ck 十1) 2 ' 
2 5 桂
食
第
26 讲
图形面积
秦九韶(约
1208
约
12 6 1) 的代表作是
《数书九章)) ，他对"大
，f;t求一术"和"正负开
方术"的研究，取得了
卓越的成采，美国科
学史家萨顿说"秦九
韶是他那个民族、他
那个时代，并且确实
也是所有时代最伟大
的数学家之一
"
线段比与面积比
的相互转化，是解面
积问题的常用技巧.
转化的基本知识有
:
(1)等高三角形
面积比，等于它们的
底之比;
(2) 等底三角形
面积比，等于它们的
高之比;
(3) 相似三角形
面积比，等于它们相
似比的平方.
trl:.\G..\.&:::\ 
食
食
食
食
食女
食
1号
A 
"j;{二
例
7
如图，设P 为6ABC 内任意一点，直线
AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D
，E ，F.
PD , PE
, PF 
求证: (1)一一+一一+一一=1;
AD ' BE ' CF 
A 
B 
BD 
CE 
AF 
(2) ::::::: .一一· 一一=1.(塞瓦定理)
DC 
EA 
FB 
证明
(1)如图①，分别过P ，A 作BC 的垂线，垂足为P l
，AI'
A 
iBC·PP 
5 MBC 
2 LJ~ 
~ ~ 1 
PP 1 
PD 
则-CH'一_
_ 一一=一一
5 ^ ^nr 
1 ~~ 
A 
A 
AA , 
AD' 
D. Aliι
言BC. AAI 
....] 
PE 
5 1:;
孔
PF
5 1:; PAB 
同理
=一一一一一=一一AB
B If:::.. 
二工飞
飞C
BE 
5 1:;ABC 'CF 
5 1:;ABc ' 
PD I PE I PF 
5 MBC + 5 MCA + 5MAB 一
故一一+一~+一一
AD ' BE ' CF 
5 1:;ABC 
(2) 如图②，过B 作BG l_AD 于G ，过C 点作CH l_ AD 的延长线于点
BG-ipA 
BD 
BG 
LJ'-' 
2 ~ ". 
5 1:;APB 
H ，则一-_ 一-_______ -
DC 
CH 
~rr 
1 _. 
5 ^ ADr 
CH. 言PA
~ I:;APC 
5 1' 一R
CE 5
牛→~
AF 
同理」旦旦=一一」坐= 一一
, 5 I:;APB 
EA' 5 1:;αB 
FB' 
-EE. 旦.E一主旦.主旦主坐
1
DC 
EA 
FB 
5 1:; APC 
5 1:; APB 
5 1:;CPB
牛，
BD 
CE 
AF 
即一_ .一一. -一=1
DC 
EA 
FB 
画和平纣
例8
请你画出一条直线，将如图所示的图形分割成
面积相等的两部分.
幅题思路
从特殊情形看，通过割补把一个不规则图
形化归为若干规则图形的组合;或居高临下建立直角坐标
系，直观领悟这样的直线有几条、怎样画出这些直线.
A 
Fj.、
G\." 
/ 
_~'\..E 
B 左二~P\'心、­
号kfu
图②
学科精英大视野系列丛书
在例
7 的基础
上，我们可以进一步
证明:
PA
, PB 
(1) ~:..: +一一+
AD ' BE 
PC 
_ 
一一…
CF
>,
PA 
PB 
( 2 )一一
一一
PD' PE' 
PC 中，至少有一个不
PF 
大于2 ，也至少有一个
不小于
2.
三角形中一个
点，简单的图形蕴含
丰富的问题.在数学
家眼中，一个基本图
形犹如手中的万花
筒，稍一转动，就生成
美丽的图案，但拆开，
只是几个涂有颜色的
碎片
Ct.\~~队
( J飞革盟)
~ 刻意练习
女女
女
A 
'j;i.' 
食
食
食
食
食
1. 如图，已知凸四边形ABCD 的面积是α
，E ，F ，G ，H 分别是AB
，BC ，CD ，
DA 的中点，那么图中阴影部分的总面积是
(江苏省竞赛题)
2 .
如图，ζADC= 30 0 ，6.ABC 为正三角形，若AD=3 ，BD =5 ，则6.ACD 的
面积是
("希望杯"邀请赛试题)
A 
B 
F 
C 
B 
F 
C 
(第
1 题)
(第
2 题)
(第
3 题)
3. 如图，设D 是6.ABC 的边AB 上的一点，作DE /扩BC 交AC 于点E ，作
DF// AC 交BC 于F ，已知6.ADE ，6.DBF 的面积分别为m 和n
，则四边
形DECF 的面积为
(全国初中数学联赛题)
BD 
4.
如图，设D ，E ，F 分别为6.ABC 的边B C，CA ，AB 上的点，且EE=1 ，
:::~ =2 坐=3 ，S ^ ARr=24 ，则6.DEF 的面积为一一__ -
EA 
"'FB
ι fUK， 
(浙江省竞赛题)
y 
A 
ε囚
B 
A 
01 
P 
A x 
A 
B 
N 
(第4 题)
(第
5 题)
(第
6 题)
5. 如图，正方形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，折叠正方形使点A 与点E
重合，压平后折痕为MN. 则梯形ADMN 与梯形BCMN 的面积之比
为
(四川省竞赛题)
6. 如图，在直角坐标系xOy 中，己知点。(0 ，0) ,A(8 ,0 ) ,B(6 ,4) , C(l, 2) , 
点P 在OA 上，直线PB 平分四边形OABC 的面积，则直线PB 的解析式
为
(" 希望杯"邀请赛试题)
毛给
第
26
i井
圆形面积
1'tI:\1'tI:\~ 
食
食女
食
食*
食
，陆女
7. 如图，已知P 是口ABCD 内一点，且56 PAB = 5 , 56 PAD = 2 ，则56 PAC 等
于(
). 
A. 2 
B. 3 
C . 3.5 
D.4 
(湖北省黄冈市竞赛题)
B 
P己7
D~
二
'C
(第7 题)
(第9 题)
(第
1 0 题)
8.
已知菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的乘积等于菱形的一条边长的平
方，则菱形的一个钝角的大小是(
) . 
A. 165 0 
B. 135 0 
C. 1500 
D . 120。
("希望杯"邀请赛试题)
9. 如图，是一个由5 张纸拼接成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也元
缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为
51 '另两张直角三角形
纸片的面积都为鸟，中间一张正方形的面积为忌，则这个平行四边形面
积一定可以表示为(
). 
A. 451 
B. 452 
C. 452 +民
D. 351 + 453 
(浙江省宁波市中考题)
10. 如图，在凸四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，AF ，DE 交
于点G ，BF ，CE 交于点H . 四边形EGFH 的面积为
10 ，则6ADG 与
6BCH 的面积和为(
) . 
A. 
2~0 
3 
B. 10 
C. 15 
D . 20 
(四川省竞赛题)
11.
已知一个正八边形中最长的对角线等于α ，最短的对角线等于b ，则这个
正八边形的面积等于(
) . 
A. a 2 +b2 
B. a 2 -b2 
C. a + b 
υ
D
i
l
」
C
J
A
气
-
1
/
\
一
赛
/
/
\
-
b
竞
/
L
\
­
G
市
/
王
一
)
·
京
(
以
〈
/
­
TA
bu
A
/
/-
(
4B 
12.
如图，点D ，E 分别在6ABC 的边AC ，AB 上，BD 与
CE 交于点。，6 0BE ，6 0BC, 60CD 的面积分别为
1 5 ，30 ，2 4 . 贝tl AE : BE= ( 
). 
A. 5 : 2 
B. 2 : 1 
C. 5 : 4 
D . 9 : 5 
(全国初中数学邀请赛试题)
(第12 题)
13.
问题探究:
(1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分.
(2) 如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线
(要求其中一条直线必须过点M) ，使它们将正方形ABCD 的面积
主古兰
学科精英大视野系列丛书
1"/í:.\c.\Rt.\ 
女女，传
女食
，传
( I 飞革主Ill )
~(食
食
四等分，并说明理由.
问题解决:
(3) 如图③，在四边形ABCD 中
，AB//CD ，AB 十CD=BC ，点P 是AD
的中点，如果AB=a
，CD=b ，且b >a ，那么在边BC 上是否存在一
点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分?
若存在，求出BQ 的长;若不存在，说明理由.
(陕西省中考题)
巳〉巴口D
A 
D 一一一一一7~E
国①
图②
图③
一一一一一一~
/F \ 
B 
G 
C 
(第
13 题)
(第
14 题)
14.
如图，已知三角形ABC 的面积为
120 ，AB = 50 ,AC= 10 , D , E 分别是
AB
，AC 的中点，ζ BAC 的平分线分别交DE ，BC 于点F
，G ，求四边形
FDBG 的面积.
(美国数学竞赛题)
15. 如图，在凸五边形ABCDE 中，已知AB //CE ，BC // AD ,BE//CD ,DE// 
AC ，求证:AE//BD .
B 刀、、τ
飞返l
C 
D 
(第
15 题)
A 
B 
(第
16 题)
C 
(加拿大数学奥林匹克试题)
F 
E 
H 
(第
17 题)
16. 如图，在锐角6ABC 中
，D ，E ，F 分别是AB
，BC ，CA 边上的兰等分点，
P ，Q ，R 分别是6ADF ，6BDE ，6 CEF 的三条中线的交点.
(1)求6DEF 与6ABC 的面积比;
(2) 求6PDF 与6ADF 的面积比;
(3) 求多边形PDQERF 与6ABC 的面积比.
(" 希望杯"邀请赛试题)
17. 如图，依次延长四边形ABCD 的边AB
，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，使
BE 
CF 
DG 一生E
m 若Snn :.f.m
!::"'r;"ru = 25四边形ABCD
' 求m 的值.
AB - BC -CD 
DA 一
. 
四边形EFGH
(上海市竞赛题)
i3在
第
26 讲
图形面积
部?巳主挥
洒'睛一毡'咽区
梅涅劳斯定理和
塞瓦定理是平面几何
中的两个著名定理，
前者可证明共线点问
题，后者可证明共点
线问题.两个定理证
法较多，但面积法尤
为独特简练.
t=\~、.Ci.\
食
食
食
食
食
飞去
1号
* 
μ 
飞二了
, 
18.
如图，~ 直线截6ABC 的边AB
，AC 及BC 的延长线分别交于F ，E ，D
BD 
CE 
AF 
= 点，求证-一·一-
. 一一= 1.(梅涅劳斯定理)
'DC 
EA 
FB 
A 
F 
E 
D 
G 
A 
I 
H 
B 
C 
D 
( 第
1 8 题)
(第
1 9 题)
(第
20 题)
DC 
EA 
FB 
1 
__，，_ 6 GHI 的面和
19. 如图，在6ABC 中，已知一一=一一=一一二一求
町的值.
DB 
EC 
FA 
2 '~J" 6ABC 的产
( " 华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
20. 如图，以Rt6ABC( ζACB = 90 0 ) 的三边CA ，CB ，AB 向外分别作正方
形CADE ，正方形BCFG ，正方形ABH I. 记边CB ，CA 的长分别为α
，b ，
凸六边形DEFGHI 的面积为S. 问:是否存在正整数a ，b ，使得S=
2016? 若存在，求出所有的正整数α
，b; 若不存在，说明理由.
(四川省竞赛题)
例
1
8 
l 
连接PA ，PC ，S6 PAE +
S M CG = 言× 3 × 6 = 9 4PAH+ SAKF= ÷ × 2 × 4=4 ，
S四边形PFCG = (9 + 4) -S四边形AEPH = 13 -5=8Ccm2 ). 
锣IJ 2 C 5叫形BE町= BD. CE ，5叫Er?hc
例3
如图，构造单位长度为
1 的正方形网格.则
56 ABC = 5长方形DECF - 56 ABD - 56 BEC - 56 AFC 
=2 X 4 一÷ × 1 × 1÷ × 1 × 4
÷ × 3 × 2
5
-2 
学科精英大视野系列丛书
• 
…翻
翻
μ"'l I I 
|于斗斗、|
(例3)
例仙4
Cω1υ) 不妨设M盯P 矿// BC , 9/IJ 川= 56AM
川P-寸
÷S口叩，同理，ι
S乳儿
A川N删
NMP盯P卢=寸
÷Sh
口呵陋臼
故S叫mr ÷(S叫PD+ 50朋户÷S叫CD
(2) 一定能推出MP // BC 或NQ // AB.
若MP // BC ，则推论已经成立.若MP !l BC ，过M 作MP' // BC ，交CD 于p' ，p' 与P 不重合，由题设及(1)
的结采有:5叫wm= ÷SD础CD = 5…
PQMN 
二
5QNP ' = 56 QNP ，从而
，pp' // QN ，故QN // AB.
花?
* 
食
*
4吃
食
第
26 讲
食
有
军
图形面积
过A ，K ，B 分别作CD 的垂线，它们的长分别记作人，儿
，h 3 '
例5
则S四边形ABCD = 56 AlJM 十56 ADM 十56 BCM '
S旦A皿叫皿肌M +十S旦6B肌例= ÷护h 1 D川
M+ ~与h ，• CωM= 土与(h ，+ h们) • D川
M= ↓仨与
(υ时
l
2 " 3 
~. .. 
2 ' ''1 
" 3' 
~ ，.. 
?，川
因为三条垂线互相平行，过A 作AB' // DC 分别与两条垂线交于K' ，B'
，
(例
5)
则KK '是t6.ABB' 的中位线，KK' = 士BB'
占
-←L
h 1 十h 3 =2 h 2 十BB' = 2h 1 + 2KK' = 2(h 1 + KK') = 饵，FF h= 」τ-i ，
A 
F 
\人、
P/
I 
」二?斗4二OI E
D 
MI
，~怜.，_L l fV
V
飞
，/Q 芝K
B 
G 
C 
CD 
因此S 四边形ABCD = 56AlJM + h2 
• 丁7一= 56 AlJM + 56 
这样的直线有无数条，画法如下:
锣IJ 8 
(1)设直线PQ 被房、图形截得的线段的中点为0
;
(2) 过点。任作一条直线MN( 只要MN 与AB
，CD 两边都有交点)都能把原图形分
(例
8)
成面积相等的两部分.
E 
、
主
，
'
D
矿
/
古
气
/
J
Y
亏
/
L
C
A
/
h
/
一
B 
• • 
连接OA ，OB ，OD.
1
号
如图，将t6. BCD 绕点C
)11页时针旋转60 0 ，得t6.ACE ，连接DE ，则t6. CDE 为
2.3 
(第
2 题)
, 
. _ 
_ _ 
_ 
1 ~_ 
. _ 
1 . 
3 
正三角形，ζ ADE=90 0 ，AE = DB ，5 ^ Arn=
: CD X AF=: X4X 二=3 .
一
'0 6 ACD
2 '---'L/ /".i .l..L 
2 /'\"-1:/" 2 
仆n
，
/n 
AD 
设t6.ABC 的面积为5 ，则
. 1 ~子+.
丢=一一+ ~~ = 1，5 = ( j百十Fn/ .
'\} 5 ''\} 5 
AB ' AB 
h, 
BF 
如图，作AH l_ BC 于点H
，FG上BC 于点G ，则
. -1= 一一= 一
h 2 
BA 
3. 2 j同
4. 7 
56BFD 
BD X h1 
1" 1 
1 
0 
一×一二--;:- ，5 . """ =--;:- X 24 二3
.
S 6 AlJC 
BC X h2 
2 " 4 
8'~ 凸卧υ
, 
B 
同理S6CDE 二8
，S6AFE = 6 ,S6 DEF = 24-8- 6- 3= 7. 
(第4 题)
作MP l_ AB 于P 点，则t6. MPN旦t6.ABE ，t6.ANTω t6.AEB. 
5
号
6y=fz4 
y 
如图，连接OB ，作CD // BO 支z 轴于点D ，连接BD ，S四边形rnBC -
224 
S6ABD ，PD=AP ，直线OB ，直线CD 的解析式分别为y= τ工，y= 丁fX 十τ ，P(3
，0).
A 
9. 
用面积法解.
8. C 
7. B 
(第
6 题)
特殊化，由AB // CD ，得S6A田二S6 ffiF ,S6BHC = S6EHF ' 故SA∞+ SBHC 二SffiF
士结
十SEHF = S四边形ffiFH = 10. 
10. B 
食
食
1号
食
食
1号
食
，传女
学科精英大视野系列丛书
11. D 
如图，正八边形ABCDEFGH 中，最长的对角线AE = BF = α; = DH = α ，
最短的对角线AC = BD = CE = DF = EG = FH = GA = HB = b. 进行割补，如图所示，
可得S八边形ABCDEFGH = 5 PQMN = ab. 
12. B 
连接OA ，设56AOE = X , 56AOD = Y ，将面积比转化为线段比，建立关于x ，y
的方程纽.
13. (1)如图①所示.
(2) 如图②所示，证明略.
(第
11 题)
图①市
( 第
1 3 题)
( 3 ) 存在.当BQ = CD = b 时，PQ 将四边形ABCD 面积二等分.
理由如下:如图③，延长BA 到点E ，使AE=b ，延长CD 到点F ，使DF = α ，连接EF.
.: BE_fL_CF ,BE= BC=a+ b, 
..四边形EBCF 是菱形.
连接BF 交AD 于点M ，则6 MAB旦6 MDF ，
:.AM=DM, 
:.P ，M 两点重合，
:.P 点是菱形EBCF 对角线的支点.
在BC 上截取BQ = CD = b ，则CQ = AB = α ，设点P 到菱形EBCF 一边的距离为d
，
则~ (AB + BQ)d= ~ (CQ+ CD) d = ~ (a +的
S四边形AMQB =5四边形C[:;DP.
.当BQ=b 时，直线PQ 将四边形ABCD 的面积分成相等的、两部分.
BG _ AB _ 5 
56ABG
" 
5 " 
• ~ ~ 
~ 
1 
14.(;C 一豆c-T - ζ石，56础G= τ56届c= 1 0 0 ，56ADF = ~ 56ABG =25 ，5四~lIj FDBG = 100 - 25 = 75. 
15.
证明
56ABE = 56 DEA 即可.
56ADF 
AD_ 2 56ABF 
AF 
1 _ 
L' ,_ ~
，~ ~ 
2 
川)叫连脱接削B肌叫
F
丑川川，.ro圳
E则45E
二忑忑
ABF - AB 丁'5 6ABC
二忑「
Z
「=互AC 寸，
同理可得56皿E=?hc ，sc「?hc
而且DEF =56础C - 56ADF - 56BDE - 56α 得S
=is v EF 主旦旦_ 1 
ADF 
A 
F '
ADEF3
AAB 
S AABC
3· 
(2) 延长DP 支AC 于点M ，点P 是6ADF 三条中线的交点主旦=EE = 主
'5 6阳F
MD 
3' 
56MDF 
MF 
1 _... 
~ ._ 5
一一
F
1 
一-一一一:;:; = ~，两式相;乘得」旦一
5 6ADF 
AF 
2 '''';'' ''''~ '''r5 6ADF -3' 
ω 同理SAQr÷SABDE JAMF =÷SAEFC
1
肌
υ
飞/人、电p 
食
食
女
食
食
( 川军盟)
J以
r、-
女
食
第
26 讲
图形面积
2 
故S L!，PDF =SL!,QDE = S
一-s
s 
S
+ S
+ S
+ S 
F=tSA 
L!,REF - 27 ..JL!,ABC ' 
事边形PDQERF -Vh,. PD 
故主旦旦旦立
S L!,ABC 
9 . 
17 . 连接GA ，HB ，EC ，FD 及对角线AC
，BD ，则S L!，HAE = (m + 1) S L!, HAB = (m+ 1)mSL!,ABD' 
同理，S L!，FCG = m(m 十1) S L!, OCD ' 得S L!，HAE 十S L!，FCG = m(m + 1) SABCD' 同理
，S L!，EBF + S L!，∞H =m(m+ 1) SABCD ' 
J3-1 
:. SEFGH = [2m(m+ 1) + l ]SABCD ' 由题意得2m(m+ 1) 十1 = 2 ，:. m= 巳王一-
BD 
S L!,BDE 
~ CE 
S6CDE 
"" 
18 .
连接AD ，BE ，则
= 
ω
一一=一一一
(2) , 
DC 
S L!，CDE
山'EA
S A E
>
• S L!,AFE 
FE _ S L!，BFE
但S6AFE
S6ADE 
AF 
rr, 
一一一一一一一一一一一…
• S 6ADE 
ED 
S 6 BDE' 叫S L!,BFE 
S L!,BDE 
FB 
""-' 
",' BD u CE u AF 
56BDE ,/ 56CDE 
u 56AD 
①×②×③，得一一×一X'':: = 
:::. '-'旦.5:_ X ::_'-'且X~旦旦= 1.
DC ' 'EA ' ' FB 
S L!,CDE ' ' S L!,ADE ' ' S L!,BDE 
13工+v=~ 5 ，
rx= 上
I~ ~'J 
3~' 
I ~ 21 
19. 连接BG ，设S L!，ABC = S , S L!, DCG = 工，S6BGF=Y' 贝'H
^ 
解得~
12 x 十3v= 子S ，
IY=n', 
l- ~ 
~ J 
3 -, 
L 
J 
21 
1~ _ 
~ 
~ 
1~ ""~ 
~ 
(1 
2 ,\,, _ 5 
同理可得S L!，EAH =S6 FBI = 五S ，又S6脏=SL!，ëBA = τS ，得S叫GCEH =S四川'AFI = lτ 一五)5= 2~1 S , 
( 2 
10 
1 飞
1
~ d_ S L!,GHI 
1 
这样S6GHI = 
I 一一一一
15=; S ，即」一=一
飞
3
21 
21 ) ~ 
7 ~， I S L!,ABC 
7 . 
20. 如图，延长BA 至点B '
，使得B'A=AB ，连接BFC.
F 
易证6B'AC旦6 IAD.
则
S L!，IAD = S6B'AC = S L!,ABc . 
类似的
，S L!，FrF = S L!,ABC = S6 HBG ' 
B' 
故S=4X 护+2附b 2 )
=2(α2 十b 2 + ab). 
假设存在正整数a ，b ，使得S=2016 ，即矿+ b2 + αb=2 ' X 32 X7 . 
① 
易知
，a ，b 均为偶数(否则，若a ，b 均为奇数或一奇一偶，得α 2 十ab+b 2 均为奇数，矛盾) . 
令α =2aj
，b = 2b ，
. 代入式①得
a; + b; +aj bj =2 2 X 32 X 7. 
类似的，向
，b ，均为偶数.
令aj =2x ,bj =2y. 
从而
，x 2 +y' +xy=3 2 X 7. 
② 
不妨设x '"三y ，则
3 2 X 7 二月z2 . 故x 2 ζ 2 1.
注意到，工，y 为正整数，则工= 1，2
，3
，4.
代入式②，经检验，只有当工=3 时，
y' +3y=54=>y=6 或
9( 舍去) . 
故(工，y) = (3 , 6) , (6 , 3) 
=>(α ，的= (1 2 , 24) , (24 , 12) . 
飞出在
I 
(第20 题)
H 
G 
帕斯卡0 6 2 3- 1 6 6 2) ，法国天才数
学家、科学家. 早年提出圆锥曲线内接六
边形其三对边的交点共线的定理( 帕斯
卡定理) . 他应友人的要求研究赌博输赢
的几率问题，成为概率论最早的研究者
之一，他还推出二项式展开系数之间的
关系
，被称为帕斯卡三角形.曾设计和制
造了一种加法器.
h 岛Q 川
可ζ五哇，…...__. . _-----.--------_.._-------_. _ --._--._------- - ------------­
自27 泪平自费服
E 
.…' 
如图，若把平面图形F J 上的各点按一定方向移动
一定距离得到图形Fz 后，则由F J 到Fz 的变换叫平移
变换.
EJJA 
平移有下列基本性质:
(1)平移变换下，对应线段平行(或共线)且相等;
(2) 平移变换下，对应角相等.
例1
如圈，在6ABC 中
，AB = AC ，点P ，Q 分别在AC ，
1-
AB 上，且AP = PQ = QB = BC ，则ζA =
( 上海市竞赛题)
帽题思路
相等的线段，通过平移变换，把BC ，QB 或PQ
集中到同一个三角形或四边形中.
举?乡
B 
C 
初等几何包含了
两个重要的有普遍意
义的思想:其中之一
是演绎法和几何学的
公理基础，另一个是
几何变换和几何学的
群论基础.
亚格龙
笛沙格定理
如图，在一个乎
面内，如果两个三角形
的顶点连线交于一点，
那么对应边的延长线
的三个支点共线.
例
1 、例
3 条件
给出的是线段的等量
关系，求解的却是角
度，解题的关键是恰
当平移，把相等的线
段集中在一个特殊三
Ct.\~ei:.\ 
( 川军盟)
女食
.J 
可
，传
食
食
食
1:-1' 
例2
如图，点。在l:，.ABC 内，点P ，Q ，R 分别在边AB
，BC ，CA 上，且
OP// BC ,OQ// CA ,OR // AB ，OP=OQ = OR = 工，BC = α
，CA = b ，AB = c ，JJ!U
x = C 
). 
1 
A . ._1 
1 , 1 , 1 
+ ~ + 
a 
0 
c 
Bιιz 
3 
c. 
~Jι俨三
B 
甲
l-r 
-
D 
Q 
C 
("五羊杯"竞赛题)
幡题思路
适当平移OQ ，OR ，由比例线段建立关于工的方程.
例3
如图，六边形ABCDEF 中
，AB // DE ，BC 矿EF ，CD // AF ，对边
之差BC - EF= ED - AB = AF-
CD> O. 求证: 该六边形的各角相等.
(俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
幡题思路
设法将条件BC - EF = ED - AB =
A 
F 
AF-CD> O 用一个基本图形表示，题设中有平行条
件，可考虑实施平移变换.
E 
B 
C 
例4
如图，两条长为
1 的线段AB 与CD 相交于点。，
且ζ BOD = 60 0 ，求证
: AC + BD二三1.
C 
(天津市竞赛题)
幅题思路
要证AC + BD 二三1，需将AC ，BD 和长为
1
的线段集中到同一个三角形中
D
B 
例5
如图
，l:，.ABC 是正三角形，l:，.A j Bj C j 的边A j B j , BjCj ，C j A j 交
l:，.ABC 各边分别于C 2 ' C3 ' A2 ' A3 '鸟
，B 3 ' 已知A 2 C3 = C2B3 =B 2 A 3
，且
CC2C3)2 + CB2B3)2 = CA 2 A 3 ) 2 . 求证:AjB j _l A j C j .
幡题思路
因
C C2 C3 ) 2
十
C B2B3 )2 -
C 
CA 2 A 3 ) 2 ，故以C2 C3
' B 2 乱
，A 2 A 3 长为边的三角
形一定是直角三角形.怎样把分散的线段C 2 C3 ' 
B 2 乱
，A 2 A 3 集中到同一个三角形中是解题的关
键，不妨平移C2 C 3
，B 2 B 3 •
(北京市竞赛题)
A 
Bj 
也给
食
第
27 讲
平移变换
中线倍长、三角
形中位线，梯形中平
移腰、平移对角线等
辅助线，其实质都关
联平移交换.
在平移交换下，
可以使线段在保持平
行且相等的条件下移
动位直，也可以把一个
角在保持大小不变、角
的方向不变的情况下
移动位直.从而达到把
相关几何元素集中，使
几何元素间的关系明
朗千匕的目的.
，CAI'li:\~ 
食
食
1号
食
食女
食
，传女
例6
如图，在黑板上画有两条直线a 与b ，它
们的交点在黑板外面，无法直接画出.请你在黑板上
设法画出一条直线，恰是α ，b 两直线交角的平分线.
纣析E军晤
问题的困难在于"角"的顶点部分
在黑板外面没有直接给出.平移保持角的大小不变，而到角的两边距离相等
的点在这个角的平分线上，只需保持对a ，b 距离相等的平移.
。士斗1
: 
将直线α 沿垂直于α 的方向向下平移适当长h 到直线GF 的位置，将直线
b 沿垂直于直线b 的方向向上平移适当长h 到直线b' 的位置，正与b' 相交于
在黑板面内的0'点，作ζα'。γ 的平分线o'C ，则o'C 所在直线即为所求.
(如图，设想α 与b 在黑板面外交于点。，则o'C 所在直线平分ζO. ) 
例7
考虑如图所示的6ABC 和6PQR ，在6ABC 中，ζADB=
ζBDC= ζCDA=120 0 ，求证:x=u+v+ ω.
A 
… 
b/ lu \c 
/ DI 
\ 
2τ:.u./、{飞，、
c-一-1一一~B
(美国数学奥林匹克竞赛题)
R 
Q 
x 
p 
主些皇壁题意为: 若6ABC 中，BC= a ，CA = b ，AB = c ，D 是三角形内
一点，且满足ζADB= ζBDC= ζ CDA= 1200 ，AD=u ，BD=v ，CD=w. 求
证:若边长为工的等边6PQR ，其内部有一点，使得oP= α ，OQ=b ，OR=c ，
贝tlx=u 十v十w.
在6ABC 的基础上，运用平移变换，使
Q 
AD ，BD ，CD 构成→个正三角形，其边长为
x = u + v十w.
平移AD 到CE ，BD 到AF ，CD 到
BG. 则四边形ADCE ，BDAF, CDBG 都是
平行四边形，且满足
CE = u , EA = 切，
ζAEC = 120
0 ;AF = v , BF = u ，ζ BFA = 
120
0 ;BG= w ，CG = v ，ζ CGB = 120 0 • 
将线段CE ，AF ，BG 向两方延长成直
线，相交成6PQR.
则易知6PCG ，6QAE , 6RBF 都是
等边三角形.
即PC = PG= CG= v ，QA = QE=AE=w ，RB =RF= BF= u ，
贝tl6PQR 也是等边三角形，且PQ= QR =RP = u十U十ω.
因四边形PB町，QCDA ，阳DB 都是等腰梯形，故DP=α ，DQ=b ，DR=c.
即D 点就是题设边长为工的三角形内的0 点，至此问题得证.
学科精英大视野系列丛书
面对一个难题而
冥思苦想时，活用知
识、构筑方案、创设条
件，甚至借助形象与
想象，给思维插上翅
膀，可以实现从未知
向已知的转化.
数学解题的三重
意境:
遇题:
昨夜西风凋碧
树，独上高楼，望尽天
涯路.
思题:
衣带渐宽终不
悔，为伊消得人憔悴.
解题:
众里寻他千百
度，蓦然回首，那人却
在，灯火阑珊处.
面对难题，思之
而废寝忘食.一个代
换、一条辅助线、一个
视角而豁然开朗，其中
的快乐是学习数学的
人必然经历的意境.
.~、a队i&.\
( 川军
m )
构造平行四边形
丁fE
食
食
苦了食
食
食费
食
平移变换与平行线、平行四边形关联紧密，通过平移构造平行四边形，可
将角、线段移动到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题解决.
例8
如图，在6ABC 中，ζACB=4 5 0 ，过BC 上一点D 作DHj_AB 于点
H ，HD 与AC 的延长线交于点E. 若AB = HD ，求证:AE = 2DH2 +2DE. 
妇#听主司瞄
由条件构造全等三角形，由结论联想到句
股定理，而证明的关键是把不同线段集中到同一三角形中.
( 北京市竞赛题)
E 
如图，过点A 作AF 上AB ，截取AF = BH. 易知，
Rt6BHD豆Rt6 FAB
: . BF = BD ，ζ FBA = ζ BDH. 
则ζFBD= ζFBA十ζABD= ζBDH+ζ HBD= 90 0
•
故6 FBD 为等腰直角三角形，ζ FDB=4 5 0
•
λ AC // DF . 
又ED 矿AF ，则四边形AFDE 为平行四边形，得AE=
FD ,ED = AF= BH. 
故在等腰Rt6 BDF 及Rt6 DHB 中，有AE2 = DF2 = 
2DB2 =2DH2 + 2DE2. 
~~ 刻意练习
1.已知6ABC 的三条中线长为3 ，4 ，5 ，则6ABC 的面积为
A 
( 四川省竞赛题)
2.
如图，在6ABC 中
，AC=BD ，图中的数据说明ζ ABC=
(" 希望杯"邀请赛试题)
丁λ
ρ~ 
B 
C 
B 
C 
(第2 题)
(第3 题)
( 第4 题)
3 . 如图，已知P 为口ABCD 内任一点，求证:以AP ，BP ，CP ，DP 为边可以
构成一个四边形，且所构成的四边形的对角线长恰好分别等于线段AB
和BC.
4. 如图，在等腰6ABC 的两腰AB
，AC 上分别取点E 和F ，使AE = CF ，已
知BC = 2 ，求证:EF二三1.
(陕西省西安市竞赛题)
5. 如图，在等腰6ABC 中，延长边AB 到点D ，边CA
走
到点E ，连接DE ，恰有AD = BC = CE = DE ，求
/ 
>之
ζ BAC 的度数
/L
\ 
(北京市竞赛题) J/B 
(第5 题)
第
27
i井
平移变换
c.~Ct.\~、
食
食
1号
食
食女
食
τ~ * 
6.
如图，设ABCD 是矩形
，K 为矩形所在平面上一点，连接KA 与KD 均与
边BC 相交.由点B 向直线DK 引垂线，由点C 向直线AK 引垂线，两垂
线相交于点M. 求证:MK _lAD.
(俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
B' 
M 
B 
C 
C ' 
D 
A' 
(第6 题)
(第
7 题)
7.
如图
，AA' , BB' , CC' 交于点。，且AA' = 
BB' = CC' = 
1
，ζAOC' = 
ζ BOA '= ζ COB ' =60 0 • 
求证: (1)S,sAOC' +S,sBOA ' + S ，sCOB'<孚
( 2) S ,sAOC' ,S,s BOA ' ，S，sCOB ' 中至少有一个不大于d
16. 
(湖北省武汉市竞赛题)
8.
阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:如图①，在梯形ABCD 中
，AD // BC ，对角
线AC ，BD 相交于点。-若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC ，BD ，
AD 十BC 的长度为三边长的三角形的面积.
F飞
A 
D 
FR~ 飞
…._---_ .. 
B 
C 
E 
图②
(第8 题)
AE 
B 
D 
C 
图③
小伟是这样思考的:要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散
的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可.他先后尝试了翻折、旋转、
平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D 作AC
的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的D BDE 即是以AC ，BD ，AD +
BC 的长度为三边长的三角形(如图②) . 
请你回答:图②中DBDE 的面积等于
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题:
如图③，DABC 的三条中线分别为AD
，BE ，CF.
(1)在图③中利用图形变换画出并指明以AD ，BE ，CF 的长度为三边长
的一个三角形(保留画图痕迹) ; 
(2) 若DABC 的面积为1，则以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角形的
面积等于
(北京市中考题)
9.
以DABC 的三边为边向外分别作正方形ABDE ,CAFG , BCHK ，连接
在:二J
学科精英大视野系列丛书
~~~ 
( I 飞革主Ll )
、食
食
女食
食
食
食
第
27
ì井
平移变换
EF ，GH ，KD. 求证:以EF ，GH ，KD 为边可以构成一个三角形，并且所构
成的三角形的面积等于DABC 面积的3 倍.
( 北京市竞赛题)
E 
D 
G 
(第9 题)
( 第
1 0 题)
10.
如图，等腰DABC 的顶角A 等于30 0 ，在AB 和AC 上分别取点Q 和点
p
，使得ζ QPC=45 0 ，且PQ=BC. 求证:BC=CQ.
(北京市竞赛题)
• • 
例
1
20 。
如图，将BC 平移于QR
，连接CR ，PR ，则四边形BCRQ 为平行四边形，易知D PRC三6APQ
CSAS) ，从而6 PQR 是等边三角形，设ζ A = x ，由
2 x 十x=60 0 ，得x = 20 0 •
A 
A 
A 
F 
" 
P 
N 气;7-- 一
--ÎE
B 
/M 
B 
C 
B 
C 
C 
D 
A 
D 
C 
_------;:::;;--:.:. E 
B 
(例
1)
(例
2 )
(例
3 )
(例的
例2
A 分别过点P ，Q ，R 作PD // AC 交BC 于点D ，QE // AB 交AC 于点E ，RF // BC 交AB 于点F ，则
PD 
BD QE 
CQ 
<<'_ 
'. ~~ BC 
ro=oo=~= rn=~=ff=ro=æ=oo 
一一
一一，所以BD = 一一
• PD = 一
• x ,CQ= 
-x ，互c- BC ' AB - BC ,rJl YÁ DU - AC 
BC 
~_ a 
_ ~~ 
~ ~ , ~ ~ 
~ ~ _ a 
, a 
" 
a 
1 
一一
• QE= 一
• x ，又BD十DQ+α~=BC ，即
• x+x+ _:::_. x= α ，所以x =
= 
AB 
"'L~ 
C 
~ ，_ - ~~ , -"'L 
'
'''L~ 
~ ~
" 
b 
~ 
~'
c 
~ -, " , '" 
~ a 
,
__ 
, a 
1
, 1 , 1. 
τ一十1 + 一一::.- + 一+ _::_
o 
C 
0 
a 
C 
0iJ3 
如图，分别过A 点作AM // EF ，过C 点作CP // AB ，过E 点作EN // AF ，它们分别交于N ，M ，P 点，
得口ABCM ，口CDEP ，口EFAN ，则EF = AN ,AB = CM , CD= PE ,BC= AM,AB = CM , CP= DE ,AF= NE , 
由条件得6 MNP 为等边三角形，可推得六边形的各角均为
1 20 0 •
A 
例4
如图，过C 作CE"星AB ，连接BE ，DE ，则四边形ABEC 为平行四边形，
Cl 
6 CDE 为等边三角形.
而BE+BD二三DE ，即AC+BD二三1.
例5
如图，过人作A ，O // C，C3
' 过C，作C，O // C3 A "
交于0 点，连接0人，
OB3
，则四边形A，α:::，C3 是平行四边形，故A ，O = C3 C，'α:::， = A 2 C3 = B3 C2
，又
ζα:::，B3 = 丘C= 60 0 ，故6 0B3 G，是正三角形，从而ζ OB3 C，=60 0 = ζ B ，得OB3 //
占6革
BJ 
( 例
5)
食
食
，传
食
，曾
1号
食女
A 
í:{ 
学科精英大视野系列丛书
A3 BZ
' 且OB3 =CZB3 =A3 鸟，因此，四边形OB3 BZ A3 是平行四边形，故OA 3// B 3 B 2
' 且OA 3 = B 3 B 2 • 由CC2 C3 ) 2 + 
CB 2 B 3 /= CA 2 A 3 ) 2
，得COA Z ) 2 + (OA3 / = (A 2A3 / , 
.
ζA 2 0A 3 =90 0 ，由OA 3 // A1 C1 ,A 20 // B 1 A 1
' 得ζ C1 A 1 B 1 =90 0 ，即A 1 B1 _lA1 C1 . 
• 
-…Ji. 
1. 8 
如图
，6ABC 的三条中线AD ，BE ，CF 交于点G ，将GD 延长一倍至点D '
，则6GD'C 的边长分别
2 
是6ABC 的三条中线长的一，故它是直角三角形，且面积为
8 .
3 
A 
C 
ELA' : 
A
《
飞
/
二
/
: : j' 
j' 
j' 
j'' 
;''' 
5//-nMLD 
B 
E 
f 
f 
B 
C 
(第
1 题)
(第4 题)
( 第5 题)
2. 40 0 
3.
过P 作PQ _lLAB ，连接BQ ，CQ ，则四边形BQCP 符合要求.
4.
如图，过E 点作ED _lL BC ，连接CD ，FD ，则四边形
EBCD 为平行四边形
，BE = CD =AF ，正三A=
ζ DCF ，又AE=CF ，则6AEF旦6 CFD ，得EF = DF ，在6 DEF 中
，DF + EF> ED ，即2EF> BC =2 ，所以EF
> 1，特别地，当E ，F 分别为AB
，AC 中点时
，EF = l
，故EF二三1.
S.
如图，过C 作AD 的平行线，与过D 作BC 的平行线交于点F
，连接EF ，则
BCFD 为平行四边形，
得DB=CF ，BC=DF ，ζ EAD = ζ ECF ，又AD = CE ，AE = DB = CF ，ζ EAD = ζ ECF ，则6A DE且6CEF ，
得ED=EF=DF ，6 DEF 为等边三角形.
180 0 -a 
设ζ BAC = α ，则ζ ADF = ζ ABC = 一一一一一，ζ DAE = 180 0 
-
a ，ζ ADE = 1 80。一2ζ DAE = 180 。一
2 
180 0 - a 
2(1 80
0 -a) = 2a -
1 8 0 0 ，由ζADF + ζADE = 正EDF = 60 0 ，得一一一一一十
( 2 α 一
1 80 0 ) = 60 0 ，得α= 100 0 , 
2 
故ζ BAC = 100 0 •
6. 分别平移AK 和DK
，使A 点移至B 点，D 点移至C 点，此时K 点移到P 点，从
而PK // AB 矿CD ，PK = BA = CD , PK _l B C. 由于DK // CP , BE _l DK , AK // BP , 
CF _lAK ,:. BE上CP ，CF_l BP. 于是线段BE 和CF 分别位于6 BPC 的两条高线之
上，从而点M 是6 BPC 的垂心，因而PM_l BC ，又因为PK _l BC ，所以PM ，PK 都在从P
B 
点向BC 所在的垂线上，因此PM 与PK 所在直线重合，故有MK_l BC ，flrMK上AD.
7. (1)如图，延长OC 至D 使得CD = C' O ，延长OB' 至E 使得B'E = BO ，连接
A
ED ，易知6 0DE 是边长为
1 的等边三角形，在ED 上截取EF ，使得EF = OA ' .
则6 0BA' 旦6 EB'F ，6 C'AO且6 CFD .
P 
/今、
产阶\
/ 
.-& I'\. \ 
/ 
/l;叫〉儿
、
/ /ι飞队\
冯/'
KXF飞
ι---
二万'
、
、心、
C 
(第
6 题)
而560DE = 子，所以，5叫+ 56WA 十56aJB ，<于
/3 " 
_____/3" 
____/3 
(2) 假设5 ^ 旷> :~，5 ^ 町"'>一，丘
，>一
ι血儿
16 ' ~6WA'~ 16 '
'-' 6∞B ' ~ 16' 
4己OA = α ，BO=b ，CO =c ，
花6
军
为食
，曾
女食
*
*食
食
第
27 讲
平移变换
则
a (1 →c) > 士，
b (1 ρ士，
三式非目乘得abc (1 -a) (1一川
c(l-b)>÷
1)J M+( la) l 2 lf
丁
一
)
飞| 一一---=-:.. I = τ ，故abc(l 一α)( 卜b) (l-c) <l
~ J 
矛盾，因此，题目结论成立.
8. 6 BDE 的面积为1.
C ' 
(1)如图，过C 作AD 的平行线，过A 作BC 的平行线，两线支于点p ，连接PF. 可证
明四边形APCD、四边形FBEP 都是平行四边形
，6 PFC 是以AD ，BE ，CF 为边的三角形.
(2) 
3 
4 
.,' 56 PEF = 56 AEF = 士S叫C = 士，56ECF = 56PCE = 士，
,'. 56PCF = 56 PEF + 56ECF + 56PCE = 
~ 
9. 证明
过D 作DP矿KH 且DP=KH ，则四边形DPHK 是平行四边形.
所以有PH // DK 且PH = DK. 因为DP// BC ，DP=BC ，所以四边形DPCB 也
是平行四边形，因此PC//DB 且PC=DB ，但EA // DB ，EA = DB ，所以EA // PC 立
EA=PC ，则四边形EACP 也是平行四边形，所以EP // AC 且EP=AC ，但AC //
FG ，AC= FG ，那么EP // FG 且EP=FG ，所以四边形EFGP 也是平行四边形，所以
PG // EF 且PG = EF.
可见
，6 PHG 中
，PH = DK ，PG = EF ，GH = GH ，这表明以EF ，GH ，KD 为边
可以构成一个三角形.
D 
E 
.' \ 
/ 
\. 
B ' 人、
\
、、、
、、也F
/' 、
""," 
'. 
_____--l 
C 
D 
孔'
(第7 题)
P 
(第8 题)
G 
(第9 题)
从上述证明知: 在6PCG 与6 EAF 中
，PC = EA , CG = AF, PG = EF ，所以6PCG旦6EAF ，同理可证
6PCH兽6 DBK.
因此56PHG = 56PCH 十56PCG + 56臼H = 56 DBK + 56 EAF + 56∞H
' 
易4正56 DBK = 56 ABC ，56日F = 56 ABC ,56 a;H = 5 6 ABC ' 
所以56PHG = 356 ABC ' 
10. 如图，平移QP 到BO ，连接PO ，则四边形QPOB 是平行四边形，于是有BO=PQ=
A 
BC ，又因为ζ QBO= ζAQP =45 0 - 30 0 = 1 5 0 ，所以ζ OBC= (180 。一30 0 )--;-2 - 15 0 =60 0 ，即
60BC 是等边三角形，因此PQ = BC=CO.
由QPOB 是平行四边形可得ζOPC = ζA ，ζ PCO= ζ QBO= ζAQP ，
所以6AQP且6 PCO.
所以AQ=CP .
作QH l_ CP 于H ，则QH = HP .
(第
1 0 题)
因为ζA = 30 0 ，QH上Cp ，所以CP = AQ = 2 QH =2 HP ，即H 为PC 的中点，J!FQH 为线
段PC 的垂直平分线，因此PQ = CQ ，再由已知，可得BC = PQ= CQ.
白吗
亭、、岛"/1
在自然界中，在建筑艺术中，在抽象
图形中，对称给人以圆满而匀称的美感
享受.对称之美，首先是和谐之美，正如
科学家外尔所说"对称是一种思想，通
过它，人们希望借助它来解释和创造秩
序、美和完善
" 左图是法国欧普艺术杰
出的代表人物瓦萨雷利(1 908- 1 997) 的
作品，他利用节奏丰富的网格和对称变
化的构成，在渐变构架的区域中，塑造立
体造型.
q(法一…
• 
胃28 i:ft 
归西田里l~
I 
如图，图形Fl 的每一点关于直线J 的对称点组成的
图形F 2 称为Fl 关于直线
l 的轴对称图形.把一个图形
变为关于直线l 的轴对称图形的变换，叫对称变换.
对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，对称轴
垂直平分对应点连接的线段.
恰当运用对称变换可实现条件的相对集中.
例1 如图，ζMON =50 0 ，点P 为ζMON 内一定
点，点A 为OM 上一点，点B 为ON 上一点，当6PAB
的周长取最小值时，ζAPB 的度数为
(湖北省黄冈市竞赛题)
黯题思路
运用对称变换，化折为直.
在当
.-______. 
M 
y~P 
o 
B 
N 
对称是一个广阔
的主题，在艺术和自
然界中意义重大. 数
学是它的根本，并且
很难找到可以论证数
学智慧作用的更好的
主题.
一一外尔
纸片的折叠
2003 年
11 月在
上海召开的第二次
"数学开放题及其教
学"国际学术研讨会
上，日本学者桥本吉
彦先生以一张正方形
纸片的简单折叠提出
以下问题:
如图①、②，一张
正方形纸片
ABCD ，
将B 折至AD 的中
点，FG 为折痕，将C
折至AD 的中点，ML
为折痕，你能得到哪
P 
图②
D 
~~~ 
( 八军主~ )
女食，传
世食
，何
古'食食
例2
如图，是某台球桌面所示的长方形，小球从A 沿45。角击出，恰好
经过5 次碰撞到B 处，则AB: BC=( 
). 
A l: 2 
B 2 : 3 
C 2 : 5 
D 3 : 5 
(重庆市竞赛题)
扉题思路
台球撞击的实质是对称变换.
A 
、
D 
" 
",' 
B 
C 
例3
如图，已知平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为A (2 ，- 3) ，
B(4 ，一1).
(1 )若P(x ，O) 是z 轴上的一个动点，当，6PAB 的周长最短时，求工的
值;
(2) 若C(α ，0) ,D(a+3 ，0 ) 是z 轴上的两个动点，当四边形ABDC 的周
长最短时，求α 的值;
( 3) 设M ，N 分别为工轴、y 轴上的动点，问: 是否存在这样的点M(m ，O)
和(0 ，川，使四边形ABMN 的周长最短?若存在，求出m 矶的值;若不存在，请
说明理由.
帽盟军路
AB ，CD 的长都为定值，于是只要求
PA十PB 最短或AD + BC 最短或MB + MN + NA 最
短，运用轴对称性质化折线为直线.
y 
。
A 
• 
x 
B 
例4
将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交
AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与BC 交于点G .
(1)如果M 为CD 边的中点，求证: DE
: DM: EM= 3 : 4 : 5; 
(2) 如果M 为CD 边上的任意一点，设AB = 2α ，问，6CMG 的周长是否
与点M 的位置有关?若有关，请把，6CMG 的周长用含CM 的长工的代数式
表示; 若无关，请说明理由.
帽题思路
折痕EF 两旁部分图形是关于EF 成对
称的. 对于( 2 ) ，通过相似三角形性质，把，6CMG 的周长用
相关代数式表示，解题的关键是几何问题代数化.
电站
第
28
i井
对称变换
例
3 是以下列问
题为基础的.
海伦是古希腊亚
历山大里亚城精通数
学、物理的学者，一
天，一位将军向他请
教一个问题:
(1)如图①，从
A 地出发，到笔直的
河岸
J 去饮马，然后
再去B 地，走什么样
的路线最短呢?
(2)
如图②，从
A 地出发，然后沿着
笔直的河边走固定的
距离
α ，最后回到
B
地，怎样选择饮马点，
才能使所走路程最
主豆?
A . 
. B 
图①
A . 
. B 
同=百"=+!
图②
折叠问题可从对
称观点认识
:
(1)折痕两边是
全等的
;
(2 ) 对应点连线
被才斤痕垂直平分.
解折叠问题常用
到勾股定理、相似形、
方程等知识及方法-
1'Jf:\R.:\1rI:\ 
食
食女
食
食食
食
食女
f91J 5 
如图，在6ABC 中
，AB=AC ，ζBAC=
~ 
80 0 ，。为三角形内一点，ζOBC 二10 0 ，ζ OCB=30 0 ，求
ζ BAO 的度数.
(天津市竞赛题)
黯题思路
条件与结论并无直接联系.若想到等
B
腰三角形是轴对称图形，作出其对称轴，则能降低问题难度.
例6
如图，求出图中ζ DCA 的度数.
C 
(日本算术奥林匹克竞赛题)
纣橱驾鹏
已知角的度数都是12 的倍数，36 0 +24 0 =60 0 ，这使我们想到
构造正三角形.
如图，作6ACD 关于AD 所在直线的轴
对称图形6APD ，则ζAPD = ζACD ， 
ζ PAD= ζ CAD=12 0 ，ζ PAB = 60
0 ,AP = 
AB=AC ，连接PB ，则6PAB 为正三角形，得
ζ PBD=12 0 • 
·.·ζ DAB=12。十36 0 =48 0 =ζ DBA ，
λ AD=BD ， 
卢正
:.6PAD旦6PBD ，故ζAPD= ζ BPD=30 0 ，
J.ζACD= ζAPD=30 0 • 
例7
如图，在6ABC 区域内，小羊从路边AB 某点
出发跑到水沟边AC 喝水，然后跑向路边BC 吃草，再跑回
到出发点处休息，为使所跑总路程最短，小羊从AB 边上
的哪一点出发，又按怎样的路线奔跑?
纣柑.s.;幡
(1)如图①，不妨先固定一个点P 1
，将问
题转化为"双动点模型"下的最短路程P;yl·
(2) 改变该定点的位置到P2
' 仍利用"双动点模型"确定最短路程P'2 只;
(3) 比较p;yl 与P'2 P'~ 的长短;
(4) 问题转化为比较等腰三角形6CP'I P'~ 与6CP'2 P'~ 底边的长短;
C 
一..."':~M:\"'-':-，，，:~... ‘、
,////1: \ 
"，、
~飞飞
D 
_. ，//M~川ljff
W1
二旨_---;.t- ~ 1 
::;其好机，……·APJ
'1. /庐'飞ri\_
.n 
P 1 P, P 
~ 
C 
图①图②
(5) 发现不变量一一等腰三角形的顶点(均等于ζACB 的2 倍) ，从而
必
学科精英大视野系列丛书
在解几何有关问
题时，若图形是轴对
付、图形，则常作出其
对称轴;若图形不是
轴对称图形，则可选
择某直线为对称轴，
补为轴对称图形.
对于例
6 ，图形
的结构就是作6ACD
关于AD 所在直线的
轴对称图形6APD ，
又作6APD 关于PD
所在直线的轴对称图
形6BPD ，解题就是
围绕实现这两次轴对
称进行的.
从羊动点、双动
点到多动点，化动为
静，化繁为简.例
7 展
示了转化与化归的思
想方法，揭示了这类
问题的本质联系.
~~、，c.\
食
第
28 讲
女
冒险
，传
女食
食
女
食
翌〉
军
对称变换
国噩噩噩噩矗盔嚣黯黯猛击旨一一植回国
转化为比较两个等腰三角形的腰CP 1 与CP z 的大小;
(6 ) 由于P 点是BC 边上的动点，问题转化为求CP 的最小值;
(7) 从而确定P 点为BC 边上的高线所在的垂足.如图②，这就是小羊
的奔跑路线.
jjjjjjj
露
飞嗜
笛球9撞上的=~学
台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，
为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向.因
此，台球既复杂又有趣，台球运动成为智慧和技能的较量.
例8
(1 ) 如图①，在长方形球台ABCD 上，现在要击打P 球，使它依次碰
撞球台的AB 边、BC 边、CD 边、AD 边后，恰好撞到Q 球，求P 球打击的路线.
(2) 如图②，当母球P 在AB 边中(不包括点A ，B)
，先撞击BC 边，反射
到CD 边，再反射到AD 边，最后回到出发点. 问母球P 的初始路线应该满
足什么条件?
曾沟&蜡'"
对称是客观存
在，对称是一个数学
概念，对称是一种关
的标准，对称是一种
思维方法.
人们在漫长的岁
月里，体验着对称，享
受着对称.
rL 
|3P-
pk;:斗P
图①
图②
图③
图③揭示了台球运动的基本原理，其实质是对称变换.
~~ 刻意练习
1. 在直角坐标系中，已知A Cl，1)
，B(- 1，2) ，点C 在直线y = - x 上，则
6ABC 的周长最小为
( 世界数学团体锦标赛试题)
2.
如图，在菱形ABCD 中，ζDAB = 60 0 , AB = 1 ，点E 在边AB 上，使得
AE : EB = 2 : 1, P 为对角线AC 上的动点，则PE 十PB 的最小值
( " 新知杯" 竞赛题)
A 
E 
B 
DU\|C 
F 
为
尸
U
一
/
p
i
ν
B
一
/
J
E
D
U
，
/
/
一
a
A 
(第3 题)
3. 如图，在矩形ABCD 中，AB = 12 ，AD = 3 ，E ，F 分别是AB ，DC 上的点，则
折线AFEC 长的最小值为一一一--
(第2 题)
~~~ 
(四川省竞赛题)
4 . 如图，ζAOB = 30 0 ，M 是OA 的中点，若BA + BM = 6 ，则OA 的最大值
?7哈
学科精英大视野系列丛书
食
*女
食
食*
食
，传女
(世界数学团体锦标赛试题)
B 
A 
D 
C 
府
为
j l' 
(第6 题)
5.
如图，在6ABC 中，已知ζ A=60 0 ，ζ C=75 0 ，AB=10 ，点D ，E ，F 分别在
边AB
，BC ，CA 上.则6 DEF 周长的最小值为
(全国初中数学联赛题)
6.
如图，在6ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把6 BDC 沿BD 翻
折，得到6BDC' ，DC' 与AB 交于点E ，连接AC'. 若AD = AC' = 2 ,BD= 
3 ，则点D 到BC' 的距离为(
). 
A.~ 咒飞
?1
」二
B.~二二
2 
~. 
7 
(第5 题)
(第4 题)
D. V'I言
(重庆市中考题)
7. 如图，在矩形ABCD 中
，AB=10 ，BC =5 ，若点M ，N 分别是线段AC ，AB
上的两个动点，则BM+ MN 的最小值为(
) . 
c. 5 J3 
c.J于
B. 8 
A. 10 
D. 6 
(黑龙江省中考题)
F 
D
1
」
4
1
J
m
d
-
弯
'
-
吨
，
叫
1
A
E
G
R
旧
E
-
3
U
F
如
4
-
'
l
d
HA 
区
|才〈|
(第9 题)
8. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 将对角线三等分，且AC=12 ，点P 在
正方形的边上，且满足PE十PF=9 的点P 的个数是(
). 
A.O 
B.4 
C.6 
(第8 题)
(第7 题)
D.8 
(安徽省中考题)
9. 如图，在矩形ABCD 中，已知对角线长为
2 ，且ζ1=ζ2=ζ3=ζ4 ，则四
边形EFGH 的周长为(
) . 
D. 6 
(四川省竞赛题)
10. 在直角坐标系中，设A (- l，一2)
，B( 4 ，一1) ,C(m ,O) ，D(n ，n) 为四边形
C. 4J2 
B. 4 
A. 2J2 
~、I&t\&t\
的四个顶点.当四边形ABCD 的周长最短时，旦的值为(
n 
D. 1 
(北京市竞赛题)
1 1.如图，在6ABC 中
，AD上BC 于D ，已知ζABC>ζACB ，P 是AD 上的
Q~zJ 
1 
2 
C. 
B. 
2 
A. 
食
第
28 讲
女食
食
女食
食
古'女
每三
对称变换
理?巳主i费
莓'咱旷
飞圈圈瞩
任一点.求证:AC + BP< AB+ PC. 
("祖冲之杯"竞赛题)
A 
A 
C 
B 
B 
(第
12 题)
(第
11 题)
12. 如图，在边长为2J7的等边MBC 中，M 是边BC 的中点，P 是AC 上的点.
(1)当PC 为何值时
，BP 十PM 有最小值?
(2) 求出BP + PM 的最小值.
("宗沪杯"竞赛题)
13. 如图①，矩形MNPQ 中，点E ，F ，G ，H 分别在NP
，PQ ，QM ，MN 上，若
ζ1=ζ2=ζ3=ζ4 ，则称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边
图③
AG 0 
1 
/' "-...川
1 
/'飞<l F
、
、
13/ 
/'丁、
、
J /, 
/'21 .... 
、
、
、
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1 
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B 
E 
C 
M 
图④
D 
--一牛___.J____-'-___.;____.J一
__.J_
-个个十号--十…十---
斗一十一十…十一…斗一十一-.F
i 
l 
E 
C 
形，在图②、图③、图④中，四边形ABCD 为矩形，且AB = 4 ，BC = 8.
M 
G 
Q 
A 
D 
A 
匕斗
N 
E 
P 
图①
A 
B 
F 
A. 
-
，
，
J
，
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，
，
」
·
·
a
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J
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J,
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…
一
…
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图
III-
JIl
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l-Jllli
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••• 
，
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·
·
·
·
4
·
·
·
·
4
·
·
8
0
』
B 
理解与你图:
(1)在图②、图③中，点E ，F 分别在
BC ，CD 边上，试利用正方形网格
在图上作出矩形ABCD 的反射四
边形EFGH.
计算与猜想:
(2) 求图②、图①中反射四边形EFGH 的周长，并猜想矩形ABCD 的反
射四边形的周长是否为定值?
(第
13 题)
启发与证明:
(3) 如图④，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF 交BC 的延长线
于M ，试利用小华同学给我们的启发证明(2) 中的猜想.
I'!I:\FÃ"\~ 
(湖北省成宁市中考题)
14.
如图，一个台球桌是直角三角形，如果从斜边上某点朝着垂直于斜边的
方向击出台球，那么球在其他两个直角边上反弹后，又能回到斜边上，请
证明:台球滚过的距离长与击球点的位置无关(台球反射时服从入射角
也觉
食
食食
，传
食*
，传
，传女
等于反射角的规律) . 
(俄罗斯萨温市竞赛题)
B 
A 
C
AB 
(第14 题)
(第15 题)
(第16 题)
15. 如图，在6ABC 中，ζABC= 45 0 ，点D 在边BC 上，ζADC= 60 0 ，且
BD=÷ω ，将6ACD 以直线AD 为轴作轴对称变换，得到6Ac'D ，连接
Bc'. 
(1)求证:BC' _lBC; 
(2) 求ζC 的大小.
(夭津市竞赛题)
16.
如图，在6ABC 中，已知ζABC = ζBAC = 70 0 , P 为三角形内一点，
ζ PAB= 40 0 ，ζ PBA =20 0 • 求证:PA十PB =PC.
(北京市竞赛题)
听损申的敏学发现
折纸活动过程是一个充满着想象力、创造力和手脑并用的过程.通过折
纸活动，观察折痕所形成的边角关系，可以帮助我们建立折纸操作与数学内
容的联系.
数学寓于折纸之中，从折痕中能发现大量的几何对象和性质，如全等、
对称、相似、比例等，因此，折纸已成为现代几何学的一个分支.
17.
动手操作:
如图①，四边形ABCD 是一张正方形纸片，先将正方形ABCD 对折，使
BC 与AD 重合，折痕为EF ，把这个正方形展平，然后沿直线CG 折叠，
使B 点落在EF 上，对应点为B'.
数学思考:
(1)求ζ CB'F 的度数;
(2) 如图②，在图①的基础上，连接AB: ，试判断ζB'AE 与ζGCB' 的大
小关系，并说明理由.
f274 i 
41'.、、
，.，d"/'
学科精英大视野系列丛书
从数学的角度去
研究折纸，从数学教学
的视角去开发才斤纸.
才斤纸数学，所有
从事这一领域研究的
科学家几乎一开始都
只是被折纸过程所蕴
含的简单而纯粹的关
所吸引，但他们的工
作开启了一个科学和
工程学的宝库.
~~~ 
( 八年组)
A 
D 
A 
D 
女食
食
女食
食
i:i'
食
食
及-
B 
C 
B 
C 
B 
N 
C 
图①
图②
图③
(第
17 题)
解决问题:
(3) 如图③，按以下步骤进行操作:
第一步
先将正方形ABCD 对折，使BC 与AD 重合，折痕为EF ，
把这个正方形展平，然后继续对折，使AB 与DC 重合，折痕为MN ，
再把这个正方形展平，设EF 和MN 相交于点。;
第二步
沿直线CG 折叠，使B 点落在EF 上，对应点为B'; 再沿直
线AH 折叠，使D 点落在EF 上，对应点为D';
第三步
设ω ，AH 分别与MN 相交于点P ，Q ，连接B'P
，PD' ,D'Q , 
QB'. 
试判断四边形B'PD'Q 的形状，并证明你的结论.
(山西省中考题)
18 . 我们知道，A4 ，B5 复印纸是彼此相似的长方形，它们
A 
D 
的长宽比是.fi : 1，我们称这样的长方形为.fi长方
Ef一一与ι-i F 
形.对于一张正方形的纸，仅使用折叠的方式就可以
主H
将它折成.fi长方形的形状，步骤如下:
第一步
折叠正方形ABCD ，使其对角线BD 为折痕;
B 
C 
第二步
折起ζC ，折叠后将BC 与BD 重合，折痕
为BH ，点C 关于BH 的对称点为G;
第三步
折叠出过点G 的折痕EF ，使EF //AD. 
如图所示，则长方形BCFE 为.fi长方形.
(1)请对上面得到的结论给出证明;
(第
18 题)
(2) 请在正方形纸上折叠出J3长方形，并叙述折叠的步骤和证明.
(北京市数学知识应用竞赛试题)
19 . 如图，从A 点射入m X 4 的网格图中的一束光
~ I 
, ,. 
I -----,----, B 
A队
I I I /队
1
__U~ 
线，只要射到边AB ，BC ，CD ，AD 上，就发生反
|\J I V I 飞|二二口已
|EÎ\ 111 11 
__U~ 
射，在遇到点A ，B ，C 或D 时从该点射出. 若从
", 1 1 \v 1 
1
1
m忖n
..~~~~~--一一-
A 点射入的光线在经过2016 个格点后从格点D
~ 
F 
~ 
射出(包括点A ，D ，重复经过的格点只计算一
(第19 题)
次) ，求m.
(世界数学团体锦标赛试题)
27站
第
28 讲
对称变换
t=\~~ 
食
τ~
'ï告
食
食
1号
，传
，传女
学科精英大视野系列丛书
• 
-
..._' . 
例1
80 。
如图，ζCPD=360 0-900-90。一500= 1300 ，ζp'+ζ P" =500 ，从而ζP'PA +ζ P"PB=500 ，
.. ζAPB = 130 0 -50 0 =80 0 • 
例2
C 
如图，作A 点关于BC 的对称点A' ，B 关于AD 的对称点B' ，设CD 的中点为M ，作M 点关于
AD 的对称点M' ，关于BC 的对称点M飞迄接A'M' ，支AD ，BC 于G ，H ，连接B 'M" ，交AD ，BC 于E ，F. 小球
路线为A→H→G→M→F→E→B ，AE= EG=2GD=CD ，AB: BC=2 : 5. 
M 
。
(例1)
B' 
\\/Mg 
Ak、、又
欠~D
XXJ
YM 
Bl 
H 
F l; 
反
(例2)
C 
(例5)
例3
(1)作B(4 ，一1)关于工轴的对称点B' (4 , 1) ，连接AB ' ，AB' 交z 轴于点P ，6 PAB 的周长最
短，p(? ，o)
即z=?
(2) 将点B(4 ，一1)向左平移3 个单位到B J (1，一1)，再作B J 关于工轴的对称点B z ( l，1)，连接ABz 交z
轴于衍，再将点C 向右平移3 个单位得到阳，得C(io) 即α = ?
(3) 作点A(2 ，一3) 关于y 轴的对称点A' ( 一2 ，- 3) ，作点B(4 ，-1) 关于工轴的对称点B '(4 ，1)，连接
A'B' 交工轴于点M ，交y 轴于点N ，则四边形ABMN 的周长最短，M(立，0) ，N(O 一立) . 即m= 立，n=_2
2 'V / , 1 ~ ' V , 
3 1 . ....r 1ft -
-2 ,fI, -
3 
例4
(1)略
(2) 设DE=y ，则DM= 2a - x ，EM=2α - y ，可证明6 DEMω6 CMG.
.
6 CMG 周长
CM 
x 
• 6DEM 周长- EE - 7 '
6CMG 周长=王
' 6DEM 周长.
y 
在6 DEM 中，由勾股定理得(2α
y) z= / + (2α - x) z ， 
化简得4ay = x(4α - x) ，即三=__!旦一
y 
4缸
G 一工.
'. 6C侃
M
肌
G 周瞅长
4a 一z
例5
如图，作AH 上BC 于H ，则ζ BAH= ζ CAH = 40 0 ，延长CO 交AH 于p ，这时ζBOP= 400 = 
ζBAP ，连接BP ，由对称性知ζ PBC = ζ PCB = 3 0 0 ，得ζ PBO= 30 。一10 0 = 20 0 ' L乙ABP = 40。一20 0 = 2 0 0 ，即
ζ PBO= ζABP . 
.. ζ BAP = ζ BOP ，BP = BP ，ζABP = L_ PBO ， 
:. 6ABP豆6 0BP ，得AB = OB .
1 80。一ζABO
故ζ BAO= ~~~ 2' .~'-" 
70 0 • 
已
( 川军细)
例8
(1)作法:
女食
食
女食
τk
*食
，传
①作点P 关于AB 的对称点P 1
' 再作点P 1 关于BC 的对称点P z
;
A 
②作点Q 关于AD 的对称点也，再作点Q 1 关于DC 的对称点Q z
;
③连接P 2 Q2
' 分别交BC ，CD 于F
，G ，连接FP 1 支AB 于点E
，GQ 1
交AD 于点H. 才斤线PEFGHQ
J'!p 为所求的路线.
需要指出的是，上面求得的路线，恰好也是一条最短路线.
(2) 只要出发的线路是平行于台球桌的对角线的就一定能回到出发点.
第
28 讲
对称变换
(例的
• • 
1. 3+.)5 
作点A 关于直线y=-x 的对称点A' ( - 1, 1)，当C 落在A'B 上时
，BC + CA 的长最小.
2 子
B ，D 关于AC 对称，连接DE x. AC 于p ，则附陪川时，J
3. 15 
如图，分别作A ，C 关于DC
，AB 的对称点儿
，C 1
' 连接A 1 C 1 分别交AB ，DC 于点E 1
，F 1
. 连接
A 1 F ，C1 E ，过A 1 作BC 延长线的垂线，G 为垂足.又A 1 G =AB= 12 ，C1 G=3AD=9
，则A 1 C1 = JA 1 CZ 十C1 G2 =
15 ，故AF+ FE+ EC= A1 F+ FE+ EC1 二三A 1 C1 = 1 5 . 当点E ，F 分别与E1
，F1 重合时，取到最小值
1 5 .
A 
N 
(第3 题)
(第4 题)
(第
5 题)
(第7 题)
4. 413
如图，作ζ BOC=30 0 ，取OC =OA ，连接AC ，B C ，MC ，则L OAC 为等边三角形，CM上OM ，OA 和
OC 关于OB 对称
，BA = BC , BA + BM = BC+ BM二三MC ( 当B 在MC 上时等号成立)，MCζ 6
，OA=20M=2 X
fMC=45 
5. 
5 ..[6如图，作点E 关于AB
，AC 的对称点P
，Q ，连接AE ,AP ,AQ , DP , FQ , PQ ，则ζ PAQ = 12 0
0 ，且
AP = AQ = AE. 作AH j_ BC 于点日，则L DEF 的周长
I = DE 十DF + EF = PD 十DF + FQ二三PQ =13AP =
13AE二三13AH . 因为AH = 10cosB= 10cos45 0 = 512 ，所以
，1二三点X512=5 ..[6，当且仅当点E 与H 重合，且p ，
D ，F ，Q 四点共线时，上式等号成立.
6. B 连接CC ' ，交BD 于点M ，LACD 为等边三角形，ζ AC'C =90 0 ,DM= 1 ，CM=C'M=J言，过点D 作
DN _L BC' 于点N ，则13X3=J于DN.
7. B
作点B 关于AC 对称点B'
，连接MB'
，则BM十MN = B'M 十MN. 当M ，B'
，N 三点不共线时，
也.g
食
食为
，传
食*
食
食女
学科精英大视野系列丛书
• 
B'M+MN 大于当M ，B' ，N 三点共线时B'M+MN 的值;当M ，B' ，N 三点共线，且B'N __L AB 时，B'M+MN
有最小值，如图，可得BB' =4J5, B'N=8. 
8.D 
作点F 关于AB 的对称点G ，连接EG 交AB 于点p
，此时PE+PF
.' .' 
.' .' 
A 
0.....-
D 
.'ν' 
J 
.' 
的值最小，最小值=4J5<9 ; 而点P 与点A 重合时
，PE+ PF=4 +8 = 12 >9 ; 
点P 与点B 重合时，PE + PF=4刁百>9 . 故在AB 上满足条件的点有2 个;同
理，在BC ，CD ，DA 上满足条件的点P 分别有2 个.
9. B 根据反射关系，可作出如图所示的图形，则Rt6IJK 的斜边就是四
边形EFGH 的周长，也可用特殊位直法验证.
4/K:习、\
1 
B 
E 
C 
K 
(第9 题)
10. A 
1 1.以AD 为对称轴，将6ABD 翻折，B 点落在CD 上，设为点
B'
，连接P'B
，AB'
，设AB' 与PC 交于
点E.
12. (1)如图，连接AM ，把6ABC 沿AC 轴翻转180。得到6ADC ，N 是M 的对
称点(关于AC 对称) . 
此时，总有PM=PN.
由于B ，N 是定点，故BP+PN二三BN ，等号成立条件是:当且仅当点P 在边BN 上.
以下求PC 的值.
延长BC 到E ，使CE=CN ，得等边6CEN. 由作法可知Pcr lVE EE=EE 即
'NE 
BE"-' 
PC 
2)于
J于
3)于.
久
7
故当PC= 于时
，BP + PM 有最小值.
ω川、N 作N儿CE叫垂足，则NF=孚F 芋，
BN= J BF + FN2 = A 平+车=7 ，故BP十PM 的最小值为7
'v 4 
4 
13. (1)略
(第12 题)
(2) 图②、图③中反射四边形EFGH 的周长为
8J5.猜想f矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值.
(3) 延长GH 交CB 的延长线于N ，可证明NH=EH ，NB=EB ，EF=MF ，EC=MC ，GM=GN ，四边形
EFGH 的周长为2GM=8J5.
14. 把Rt6ABC 的斜边AB 作为直线l
，以直角边BC 及AC 为对称轴，作两条与
J
对称的直线l' 和l" ，它们相互平行，如图所示.当台球从M 点处击出后，它的轨迹
MNKL 就相当于在对称变换后的线段M'L ' ，它垂直于直线
l' 及[".由于这两条平行线
上所有的点都和另一条直线上的点等距离，所以台球经过的路径就将与起点无关了.
15. (1) CD=CD ,BD= ~ CD ，L_BDC司叫CD 中口，连BP ，Ij]I)6BDP 为等
边三角形，L_BCD=仨BPD= 趴于是L_ CBD =
l '~ 
(第14 题)
(2) 如图，过点A 分别作BC ，C'D ，BC' 的垂线，E ，F ，G 为垂足，则AE= AF ,AE= AG,AG= AF. 
必
( 川军细)
女食
，传
女食
食
食费
食
第
2 8
ì:井
对称变换
.点A 在ζ GC'D 的角平分线上.
.: L_ BC'D=队.. 丘GC'D=l队ζAC'D=卡GC'D= 爪
故ζC=ζAC'D=75 0 •
(第15 题)
(第
16 题)
16.
因为ζABC = ζ BAC = 70 0 ，所以
，AC= BC ，ζACB =40 0 •
如图，在BP 延长线上取一点N ，使PN=PA ，连接AN ，CN. 易知，ζAPB=12 0 0 ，则ζAPN=60 0 •
因此，L;APN 是等边三角形.
由ζ PAC = 30 0 = ζ NAC ，知AC 为PN 的垂直平分线，则NC=PC ，ζ NCA= ζ PCA .
将L; CAN 逆时针旋转到L; CBM 的位置，则ζ NCM= ζACB =40 0 •
作CHl_AB 于点H
，交PM 于点K ，由PC = MC ，得CH l_ PM.
因此，PM矿AB .
由ζ MBC= ζ NAC=30 0 ，ζ MBA=4 0 0 ，得ζ MBP=2 0 0 = ζ MPB. 从而
，PM=BM=PN .
I 
]íl'] L; NCP旦L;MCP ，=>ζ MCP = ζ NCP. 故ζ NCA = 一丘NCP = 一ζ NCM= 10 0 •
2 
于是ζ NCB = ζ NCA + ζ ACB = ζ NBC ，因此NB = NC.
故PC=NC=NB = NP + PB=PA + PB .
17. (1 )ζ CB'F=30 0 • 
(2) ζ B'AE = ζ GCB' = 150 • 
( 3 ) 四边形B'PD'Q 为正方形.
如图，连接AB' ，由(2) 知，ζ B 'AE = ζ GCB ' .
由折叠知，ζ GCB ' = ζ PCN ，:. ζ B 'AE= ζ PCN .
由对才斤知，L_AEB'= ζCNP= 9川E= ÷AB ，CN=÷BC
又.. 四边形ABCD 是正方形
，:. AB = BC ，AE = CN ，:. L;AEB '旦L; CNP ，:. EB'= NP. 
同理可得，FD' = MQ ，由对称性可知，EB ' = FD' ，:. EB' = NP = FD' = MQ. 
由两次对才斤可知
，OE=ON = OF=OM ，
:.OB' = OP= OD' = 00 ，:. 四边形B 'PD 'Q 为矩形.
由对折知MN l_ EF 于点。，:. PQl_ B 'D ' 于点O.
. .四边形B 'PD 'Q 为正方形.
( 第
1 7 题)
18. (1 )过点G 作BC 边的垂线，与BC 相交于点M ( 图①) . 由折纸的第三步可知，折痕EF // BC ，从而四
边形BMGE 构成一个正方形，且有BG : BE=J2 : 1.由才斤纸的第二步可知BG = BC. 因此长方形BCFE 的长
宽比为BC : BE= BG : BE= J2: 1.从而它是个J2长方形.
飞;:￥
食
食
，传
食
食食
食*
女
A 
N 
D 
日一一-f妥-i F
J 
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B 
M 
C 
图①
A 
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D 
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I 
! ..~...、
I 
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1..... 
I 
I
、
B 
FN 
C 
图③
(第18 题)
(2) 折叠.f3长方形，如图②.
第一步，将正方形ABCD 的两对边AB 与CD 重合对才斤，折痕为EF;
第二步，过点B 将点C 折到EF 上，折痕为BG ，点C 关于BC 的对称点为H;
第三步，延长BH 交AD 于点M ，折叠出过点M 的折痕MN ，使MN // AB .
则四边形ABNM 为.f3长方形.
证明:显然6BCH 是正三角形，HF 是这个三角形的高，故HF= J言BF.
又6BFH∞6BNM ，所以MN= .f3BN.
学科精英大视野系列丛书
19. 如图，由光线在网格图中反射的规律，可知光线只可能经过BC 边上的点B ，C 或BC 的中点G ，由题
意可知，当光线经过点B 或C 时，从该点射出，不符合题意，所以光线在G 点发生反射.
观察图中光线经过的格点的规律可知，这些格点分别在AB ，CD 或EG 上，且数量相等，由光线经过20 16
个格点可知，光线经过边AB 上的格点数是2016 --:-3 =672 ,m= 672 X 2- 1 = 1343. 
\ 
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Af\
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nV1\νI \V |V 川门【
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F 
V 
( 第19 题)
如
、立更d
飞::J) f
飞飞fl)1' 
荷兰著名版画大师埃舍尔创作了无数带有数
学意味并且精确无比的艺术作品. 左边这幅以表现
" 无穷"概念为主题的作品，是由无数形状完美的撕
踢组成，并使它们的头尾汇聚，运用对称、旋转等方
法，从外向内无限缩小，以表现世界事物的无限性，
给人以丰富的哲理想象空间.
二古29i白白jEEn j
'
如能檀述
以数助形、以形辅数是数形互助的两个方面.
以数助形，即把几何问题代数化，把几何条件或结论表示成相应几何元
素的数量关系，用方程、不等式、函数等代数方法解决问题.
以形辅数，即把代数问题几何化，恰当地构造几何图形，运用图形特征、
几何方法解决问题.
'
问题幡决
例I
已知a ，b 均为正数，且R丰万，j4歹丰巨，Faτ丰4b 2 是一个三角
形的三条边的长，则这个三角形的面积是
("希望杯"邀请赛试题)
瞄题思路
J再?丰ZT的几何意义是直角边长分别为m ，n 的直角三角形
斜边的长.
28址
算术记号是写下
来的图形，几何图形
是画下来的公式.
一一希尔伯特
视角转换
已知工，y 为正实
数，工2 + / = 1 ，求
工+ y 的取值范围.
&:.\1'Ji:.\~ 
食
食为
食
食
û
，传
，传为
例2
如图，在6ABC 中，BC=3 ，AC= 4 ，又AE 和BD 分别是BC 和
AC 边上的中线，且AE _L BD ，则AB 的长为(
A. J5 
B. 316 
C. 2J2 
D. J于
E. 不能确定
(美国数学邀请赛试题)
幡题思路
设GE =x ，GD=y ，则AG = 2x ，BG=
2y ,AB= .jC2X) 2+C2y)2 =2 ♂可37，建立关于x ，y
的方程组，整体求出x 2 +/.
A 
B 
C 
例3
已知正数a ,b,c,A ，B ，C 满足α 十A=b十B= c+C=k . 求证: aB 十
bC+cA < k2. 
(俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
瞄题思路
两个正数的乘积的最简单的几何意义可看作一个几何图形
的面积，而α +A=b+ B= c+C= 走，可联想以走为边长的正三角形，又扩可
看作边长为走的正方形的面积，以形辅数，本例有不同的构图方法.
例4
如图，在6ABC 中，ζBAC = 90 0 ，ζABC = 2ζ C ，ζABC 的平分
线交AC 于D ，AE _L BC 于E ，DF上BC于F. 求证: 一
1 一=一
1 一十
BE . DF 
AE . BF 
1 
AE . BE 
幡题思路
可根据条件，分别计算出各个线段
B
的长度.
最兰J
(湖北省竞赛题)
C 
学科精英大视野系列丛书
以数助形，通常
是以最少量的字母表
示有关的几何量，从
而将几何图形数量
化，再进行计算证明.
以形辅数，化数
为形，交抽象为直观，
解题的关键是通过对
问题中条件与结论的
观察、比较、联想，恰当
地构造相应的图形.
1:f:\1'::\G.\ 
女食
食
( 川军细)
去了食
食
{~食
，传
例5
设O<x< l ，求证: J5~♂可l+ jl 十(1 - X)2 < 1 +./2. 
(全国中学生数学智能通讯赛试题)
证法1
刁丰7十J1 + (1 -x)2 二三J5t;:=r J 1 + (1 - x) 学J5- )1 +X2 
件1+ (1 -x) 2 二月十1 +X2 -2 J5百丰?了伸d百丰7了二三z十2
同5 十5x 2 二三工2 + 4x+4件4工2 -4x 十1 二三0件C 2x- 1) 2 二三O .
此式显然成立.
又)1+x2+ Jl+c1-x)2<1+ ./2t;:=r ) 1+ (1 -x) 2- 1< ./2- Jl丰7
件3+ x 2 -2x2 J1 十(1
工)2<3+X2 - 2 J2百+X2了
同J1+ (1 -x) 2>x件2> 2x件工< 1.
最后一式显然成立，故结论得证.
证法2
先证下面的引理:设P 为D.ABC 内一点，则AB+AC>PB+ PC.
如图①，延长BP 至D ，则有AB 十AD> BD ，PD + DC> PC ，
相加，得AB 十AD + PD + DC> BD + PC ，:. AB 十AC> PB 十P C.
A 
九cj(
图①
图②
下面证明原理.
构造图②所示的边长为1 的正方形ANMD ，BCMN ，
并设MP=x ，则CP= 刁石了，AP= ) 1 + (1-X)2 , AC=J言，AM=J2.
由引理，知AC:::三PC+PA <AM十MC ，
故J5~Fx牛1+ ) 1 + (1 -x)2<1 + ./2. 
f91J 6 
如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在
线段CD 上运动，AE 平分ζBAF 交边BC 于点E.
(1)求证: AF=DF+ BE;
(2) 设DF =x CO运工王三1)
，D.ADF 与D.ABE 的
面积的和S 是否存在最大值?若存在，求出此时工
的值及S; 若不存在，请说明理由.
瞄
延长CB 至点G ，使得BG=DF ，连接AG .
G 
B 
E 
C 
(海南省竞赛题)
因为四边形ABCD 是正方形，所以，在RtD.ADF 和RtD.ABG 中，
AD = AB ，DF = BG ，ζADF = ζABG =90 0 ，故RtD.ADF兽R t6ABG .
则AF = AG ，ζ DAF = ζ BAG.
又AE 是ζ BAF 的平分线，则L_ EAF = ζ BAE .
故ζ DAF+ ζEAF = L_BAG+ ζ BAE ，即ζ EAD = ζ GAE.
由AD // BC 得ζ GEA = ζEAD ，λ ζ GEA = ζGAE ，得AG= GE ，
28法
第
2 9
ì井
数形互助
构造图形解题，
本质是代数语言向图
形语言的转换，需熟
悉下列基本代数关系
式的几何意义:
(l )c= Ja2 + 1否飞
a仁L
A; ③ 
(3)x= j(J); 
才\
理
恰当地引入变
量，运用代数不等式、
配方法、函数性质等
知识及方法，是解几
何不等问题、探求几
何最值的重要方法.
思接千载，视远
万里. 数形互助，能有
效增加解题的美感，
是发展创造性思维的
一个有效途径.
~~~ 
食
食女
食
食*
食
食?纣
:. AG= BG+ BE ，因此
，AF = DF +B E.
1~_ 
.~
，
] 
(2) 5=5 ^ An~ + 5^ ARI' = 
~ DF • AD+ ~ BE • AB , 
6 AV/'
凸Illiι2 - -
---
2 
因为AD=AB= l，所以，s=÷(DF+ BE) ，
由(1)知AF=DF十BE ，故S=÷AF
在Rt6ADF 中，AD= l，DF=x ，!.J!tl AF= ♂IJ=÷♂+1 
由上式知，当t 达到最大值时，5 最大.
而向ζ 1，所以，当工=1 时，5 的最大值为t♂百=子
口f司直规
几何直观主要指利用图形描述和分析问题，"不著一字，尽得凤流"，几
何直观、形象、简捷.著名数学家希尔伯特在其名著《几何直观》中写道"图
形可以帮助我们发现、描述研究的问题;可以帮助我们寻求解决问题的思
路;可以帮助我们理解和记忆得到的结果"
例7
阅读材料:
例:说明代数式d可"1+ J(X-3)2 +4 的几何意
JA 
y 
:B(3 ,2) 
义，并求它的最小值"，1
/ 
01 / 
解:Fx牛1" + J(X-3) 2 十4 = J(x 一0)2+ 1 2 +
一1~-，---------…古
J (X-3)2 +2 2 ，如图，建立平面直角坐标系，点P( 工，0) 是z 轴上一点，则
J(x 一0) 2+ 1 2 可以看成点P 与点A(O ，l) 的距离，J(X-3)2 + 2 2 可以看成
点P 与点B(3 ，2) 的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度
之和，它的最小值就是PA + PB 的最小值.
设点A 关于工轴的对称点为Ar ，则PA = PA'
，因此，求PA+PB 的最
小值，只需求PA'+PB 的最小值.而点A'
，B 间的直线段距离最短，所以
PA'+PB 的最小值为线段A'B 的长度.为此，构造直角三角形A'CB
，因为
A'C=3 ，CB=3 ，所以A'B=312 ，即原式的最小值为312.
根据以上阅读材料，解答下列问题:
(1)代数式J(X- 1) 2 + 1 + J (X-2) 2 +9 的值可以看成平面直角坐标
系中点P(x ，O) 与点A( l，l)，点B
的距离之和(填写点B 的坐标) ; 
(2) 代数式d言丰Z百+ Jx2 -12x + 37 的最小值为
(湖北省十堪市中考题)
理解直角坐标系上两点间距离的意义是解题的关键:设P ，(町
，y ，) , 
P 2 (岛'Y2)
，则P'P 2 = J(工，- X2)2 + (y, - Y2)2. 
鼓84
学科精英大视野系列丛书
如巳主f费
事'回国r
习'回羁
培养几何直观
能力可以从以下方
面入手:
(1)面对几何对
象，注重直觉思考;
(2) 提高运用图
形描述和分析问题的
意识;
(3) 感受几何解
l提tmr翩翩
.'学领峻!fI饱.鹏心理学
.阳
A翩翩....OWf晴蝇，"JOtOC，(剖Ii'f..刷刷­
...… ..... Mt.凰-
• t.，.. - ，电路'‘
……鼠'随
罐'‘..
i…出
在著名法国数学
家阿达玛看来"在创
造阶段，科学家的思
维载体往往是各种各
的符号、图形或其他
形象，亦即此时的思
维方式往往是形象的
和直觉的，而不是逻
直觉是发现和发
明的源泉.
1'IJ:\8I:\Ct:\ 
安食
( 川军细)
~(:;._，.食，传
责*
t军〉刻意练习
~一÷
1. 如图，在四边形ABCD 中
，AB = BC = CD ，ζABC 二7 8 0 ，ζ BCD 二162 0 ，
设直线AD 与BC 的交点为E ，则ζAEB 的大小为
A 
门人\
B 
C 
E 
B 
E 
F 
( "新知杯"竞赛题)
A 
(第
1 题)
(第2 题)
( 第3 题)
2 . 如图
，L，.ABC 的面积为1，点D ，G ，E 和F 分别在边AB
，AC ，BC 上，
BD< DA ,DG// BC ,DE// AC ,GF// AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能
值为
( "新知杯"竞赛题)
3. 在边长为10 的正方形ABCD 中，内接有
6 个大小相同的正方形
，P ，Q ，
M ，N 是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，则这六个小正
方形的面积是
(北京市竞赛题)
4.
如图，在Rt L，.ABC 中，ζ ABC = 90 0 , BC = 3 , D 为斜边AC 的中点，连接
BD ，F 是BC 边上的动点(不与点B ，C 重合) ，过点B 作BE __L BD 交DF
延长线于点E ，连接CE . 下列结论:
①若BF = CF ，则CE 2 + AD2 = DP; 
15 
②若ζ BDE= ζ BAC ，AB=4 ，则CE = ~8v
; 
③L，.ABD 和L，. CBE 一定相似;
④若ζ A = 30 0 ，L_ BCE = 90 0 ，则DE = J2T. 
其中正确的是
. (填写所有正确结论的序号)
(内蒙古自治区包头市中考题)
A 
?飞l
E 
B 
A 
( 第4 题)
(第
5 题)
5. 如图，等边L，.ABE 的顶点E 在正方形ABCD 内，对角线AC 和线段BE
交于点F ，若BA =J 1 + J3，则L，.ABF 的面积为(
). 
AfBfC H♂
D. : +巳
1 ,.J3 
2 ' 4 
( "希望杯"邀请赛试题)
6 .
如图①，在直角梯形ABCD 中
，AB // DC ，ζ B = 90 0 ，动点P 从点B 出发，沿
梯形的边由B→C→D→A 运动，设P 点运动的路程为x ，L，.ABP 的面积为
y ，把y 看作工的函数，函数的图象如图②所示，则L，.ABC 的面积为(
). 
285 ) 
飞埠
，鸣阜
第
29
i.井
数形互助
t=\t=\t=\ 
学科精英大视野系列丛书
食
食女
食
食
t与
食女
，传
c. 18 
D. 32 
("(( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
B. 16 
A . 10 
G.t\l"A\r~ 
B 
A 
y 
y 
14 x 
」
9 
....L 
4 
。
Qp 
。
(第7 题)
7. 如图，正方形ABCD 被直线OE 分成面积相等的两部分，已知线段。D ，
CE 
AD 的长都是正整数一=20 ，则满足上述条件的正方形ABCD 面积的
'BE 
图②
(第6 题)
最小值是(
A. 324 
D. 361 
(北京市竞赛题)
8. 已知正方形ABCD 的边长为
1 ，E ，F 分别为边BC ，CD 上的点，且满足
BE = CF. 则6AEF 的面积的最小值为(
) . 
A . J! 
B. J! 
B ::_:::_ 
8 
~
. 
8 
题
赛
3
-
8
材
Dj 
四
C . 354 
1 
C 
4 
B. 331 
9. 求函数j(x)= 占τ丰"1+ ) (4- X)2 + 4 的最小值.
(四川省竞赛题)
10. 设α ，b ，c 为正实数，α < b ，c < d ，bc > ad. 求三边长分别为dττ7 ，
而言丰歹，J(b -
a ) 2 + (d - c) 2 的三角形的面积.
("五羊杯"竞赛题)
11 . 如图①，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一个动点(点E 与点A
，
B 不重合) ，连接CE ，过点B 作BF l_ CE 于点G ，交AD 于点F.
(1)求证: 6ABF旦6BCE;
(2) 如图②，当点E 运动到AB 中点时，连接DG ，求证: DC = DG ;
(3) 如图③，在(2) 的条件下，过点C 作CM l_ DG 于点H ，分别交AD ，
MN 
BF 于点M ，N ，求
的值.
NH 
D 
C 
lXJ 
A E 
B 
图①
D 
C 
1 
\..H/ 
/ 
1 
F h. /( 
/ 
MrN 
'à)人l
A 
E 
B 
图③
CT|||li--JB 
一
达
2
E
盹
D
K
I
-
-
-卡
|
|
l
L
A
F 
( 广西壮族自治区中考题)
A . 『=--------，D
F 
(第11 题)
12.
如图，设E ，F 分别在矩形ABCD 的边BC 和
CD 上，6ABE ，6 ECF , 6FDA 的面积分别是
a ，b ，c ，求6AEF 的面积s.
'C 
(第
1 2 题)
B 
最兰J
( 四川省竞赛题)
( I飞革组)
13. 如图，在6ABC 中，已知BC=AC ，ζ BCA =9 0 0 ，点
D ，E 分别在边AC ，AB 上，使得AD = AE ，且2CD =
BE ，设P 为线段BD 与ζ CAB 的角平分线的交点，
求ζ PCB 的度数.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
'./'7 
~ 
/吨，、
女食
. j ,…, 
占4
食
食
三λ
(第
1 3 题)
14 设川，Z 为实数并满足z = J丐+JtE ，y= JZZ +
J弓'Z=F'丐十J弓，求工+y十z 的值
(美国数学邀请赛试题)
15. 三角形三边内部各有一点，两两连接把三角形分成四个面积相等的部
分.求证:这三点分别为其所在边的中点.
(匈牙利数学竞赛题)
16. 一天，英国著名数学家巴尔正在伦敦的大街上散
E 
D 
步，当他走到克里斯蒂拍卖行的门口时，发现了一
张附有土地图形的广告.
广告的大意是这样的:有总面积为560 英亩的土
地要拍卖.士地共分为三个正方形(如图所示) ，面
积分别为74 英亩、116 英亩、370 英亩. 三个正方
A 
形恰好围着一个池塘6ABC ，请准确计算出池塘
的面积.
巴尔站在熙熙攘攘的人流中，只用了很短的时间
N 
就算出了准确答案，你知道他是怎样计算的吗?
370英亩
C 
Q 
P 
( 第
1 6 题)
，传
食
ellI f Gb 
构造矩形ABCD ，使AD = 川B =2α ，取AB ，BC 的中占E ，F ，连接
DE ，EF ，时，则DE = j，歹丰4b'
，EF 二J歹丰百，DF = J 4a'+b' ，6.DEF 的面积J'!r 为所
求.
56 DEF = 5矩形ABCD - 5 6 ADE - 56 BéF - 56 0CF 
1. 
1 
= 2α X 2b - ~ 
X 2b X α 一~ab一一X 2α X b =~ab
可
2 ' 
- ~. -
2 - ~ 
2 
9 
~， " 
" 
25 
例2
A 4x'+}=AD' = 4,x'+4} = BF = ~ ，5(x' 十y' ) = 王，J'!r x' 十j = 7 ·
4 
191]3 
如图，构造以走为边长的正6.PQR ，分别在其各边上取点L ，M ，N ，使得QL =
A ，LR=a ，RM= B ，MP=b ，叶川Q =c ，由S屯6 1.删且川M 十S且AωM
山
A阳阻
F
扭阳." 十S屯
56 ，\'0
趴叫
\'OL <
。
E 
13 ，~
， J♂
'3 . ___13 
bC十一cA<" .V k'
，故aB + bC+cA<走2
4 ~ -
4 -_. - 4 -
锣IJ 4
设AB = x ，jjJ'j BC =2x ，AC =品，BE =
工，DF = DA = LIJE = 手工，
l 
2 - . - -
(i-- ---
:::: 
久
q
BF =x . 代入计算得左边= 右边
~V二
工
例7
(1) ( 2 ,3) 
(2) 10 
287 
嗦
第
29 讲
• • 
数形互助
D2a 
C 
2b代〉F
A 
E 
B 
(例1)
P 
A 
L 
(例3)
食
食
食
食
食
1号
食
i~
女
学科精英大视野系列丛书
' 
.. .…嚣
'
1. 21 。
如图，过点D 作DO _lL CB ，连接OA ，OB. 由BC = CD ，得四边形BCDO
Aγ毛k
为菱形，从而AB=BC=OB ，L ABO= 78 。一08 0 0 - 162 0 ) = 60
0 , L ABO 为等边三角
[?Y\D 
形.设ζ AEB = 日，则ζ 1 =ζ2=α . 由四边形内角和为
360 0 ，得78。十162 0 + (60
0 + α)
人_......-...
二二二二~
+ (1 80 0 -162 0 + a) = 360 0 ，解得日=2 1 0 •
B 
C 
ι 
1 
'. AD 
~，BD
， 
CG 5L，A皿
2
5
二
5c" CFG
C第1 题)
2. 
设一一=工，则
= l -x= 一一，一一一=工
，一0. BDE = (1 - X) 2 =;:;:主一
3 
'~AB 
~ ''''BA 
~ 
-
CA ' 5 L,ABC 
-
'5 L,ABC 
，~ 
-. 
S c"ABC 
~ ( 
2 V , 1 
s梯形田陀= l -x' -2 (1 -x)' = -3x 2 十4x 一1 = -3 [ x-
~ ) + ; , 
\ -
3}'3 
当工=号时，5…而取最大值÷
816 
3.
一一
过每个小正方形的顶点依次作各边的平行线，构成"弦图"，设其中的小直角三角形长边为α ，短
25 
(2α 十日= 10'h17~ 'E7 (a =2 , 
^-
1 ~__:!-1'r~-r- ~.L/'/0 2 1102,\ _816 
边为
b ，则!
解得
J U -
Ll '
六个小正方形面积为
6(2 2 + 1. 22) = 一一
ì 5a=10 , 
'"1 "J ìb = 1. 2," , • -" .y ~
' V'" v
，~ 
，~ .~
， 
25 ' 
4. ①②④ 对于③，当DE 垂直平分BC 时，LABD 和L CBE 才能相似.
J3 
,_J3 
1 
~ 
5. A 
作FH上BA 于点H ，设FH = 工，则HA = 工，BH = 'n~ X ，由Vn~x +x=ý 1 + 汀，得x =
___. 
3~~"3~~ 
~~ 
.~ 
..
.
，，
~~ 
Jl工万
6. B 
由图象可得BC=4 ,CD=5 ，DA =5 ，进而求得AB =8 .
7. D 
直线OE 通过正方形的中心P
，OE 与AD 交于点G.
( 
,
1 
1 
ì 
令OD=n ，AD = m ，则
PI n+ ~ m , ~ m 
1 ，直线OE 解析式为.y=
~" I 2 "" 2 '11. )'_EL .... .-'\O 
\._/L" 1""'T! ' 1' 1 .....,,/;J Y 
2n+ m 
Cn+m) 
'. GD=~
，CE = 一一一一一，又GD = BE ，
2n + m' ~~ 
2n+ m , --
~~ 
~~， 
CE 
CE 
m(n+ m) 
n+ m 
. :::::=;::;:: = """ 
, 
"
>/ = ~ =20 ，n + m =20 n ，m=19n. 
BE 
GD 
mn 
n 
当n=l 时，m=19 ，正方形ABCD 面积的最小值为
19 2 =3 6 1.
1 r ( 
1
飞2
, 3 , ~ 3 
8. D 
设BE=CF =x
则
5 ^ A I'"I'" = 
: 11 x 一一
1
+ 一
| 、-
, ;'<;'J 
>.Jc"AEF -
2 I l ..(. 
z ) 
I 4 1::::0-8
, 
9. 5 
10.
如图，作矩形ABCD ，使AD = b ，DG = α ，AB = d ，AE =c . 分别过点E ，G 作
EF // AD , GH // AB , EF 与GH 相交于点p
，则
PB = J( b-a) 2+( d - c)' , PD= 
d年7 ，BD= jb牛歹，
L PBD 就是题设中的三角形
，5c" PBD =讪
SAmfh-Lpr ÷bd 
÷(h)(d-c) 一卡ω h÷(bc- d) 
y 
A 
m B 
。I
n 
(第7 题)
:1 
才外p
d~1~IP l' 
(第
10 题)
11. (1)咯
D
C 
(2) 如图，延长历支AB 于点K ，由L BEG∞L CBG ，得α =4EG ，由L DCG∞L KEG
1\ 
/'于l
得ω= 4EK ，EK=÷BMK 为RtLBGE 斜边上的中线，ζ DGC=L Dα ，DC=∞
Fl~ 门
(.3):.~ C::v:._l!?~，，_ ^ __ ." ~ ^ 
_ 
• •• • • _
. 
• 
_ 
_ _ 
MrN 'êi)毛l
.由(1)同理可证L CDM旦L DAK(ASA) ，:. DM=AK. 
L 
~/\~I 
1 __ 
3 
又.: AK=AE十EK = AE + : BE =~AB ， 
2 ~~ 
4 ..~， 
A 
E K B 
(第
11 题)
-DM=?AB,FM=DM-DF=ZAB 
AB = iAB 
3 . _ 
1 
2"~ 
4 
ì,{_ AB=4α ，则BC=CD = AD = 4a ，:.DM =3 α ， 
￡;J 
才过
食
( 川军!Iil )
气(\~
食
食
食
食
第
29 讲
数形互助
:. CM= ，jD必俨+CD' = ,j(3a)2 + (4α) ' =5α. 
S ^ rn，，=CD~DM= CMXDH .nH =CDXDM iα X 3α12 
AωM= -一.一二=一←一一一一，DH = 一一一-一一= ←一一一=-=-a
42 
，~.. 
C!It1 
5α5 
u 
2" _ 
/r'L\2 
(12 ,' 
9 
:.MH= ,j(DM)' -( DH)' =. /(3α)2 _1 J._'-' a I =一
气J'--'
\5-) 
5 
.: BC// AD ，汕BCNωDFMN ，二战=Zt= 手旦=4 ，CN=4MN ，:. MN= ~ CM=a , 
τAB 
4 
. MN 
a 
:.NH =MH - MN =~a-a=~a .:. ~.~~:=二.
u 
!:l 
!:l. 
NH 
4 
4 
一o- a
5 
12. 设AB =x ，AD=y ，得FC=x一空，EC= y→2a
y 
x 
，xy = α 十b + c + S ，
①
则} ( 
2c'\ ( 
2口'\
• . 
~ 
ll x-= Ily 一二
1 =2b ，
① 
\ \ 
Y ) \工/
由②得工y+去二2(α +b+c) , 
③ 
4ac 
_ , 
~ 
rτ一
，
. 
，一?亏
把①代入③得α 十b十c + S+
, :';" , ~ = 2(α 十b十c)
，二
S = .j ( α + b 十c)' -4ac. 
α + b + c + S 
-，~
，
~
，
< "
..
~ 
Y
'~
'
V'<' 
13. 设F 为边BE 的中点，AC = BC= a ，BF二EF = CD = 工，如'J AD 二AE = a-x . 由此得J2a = AB = α + 工，
于是工= (J2-l) a ,AD= (2- J2)a , 
AD 
(2
川、
BA
进而一一= 一，-..;e- ，旦=JE=-一，因此BD 平分ζ ABC.
CD 
(J2-l) a 
Y-
BC 
从而P 是DABC 角平分线的支点，故ζ PCB = 45 0 •
111 
14. 原问题改为:一个三角形的三条边长为x ，y ，z ，以三边为底边的高分别为
, .... , '" ，求z 十y + z
4 ' 5 ' 6 
. x _ y _ z 
• _ 
/25x' 
1
归6 工2
1
2f 25工2 _ 1)_(
5工'
)'
一一一一一
弓子一士+.弓子一士，移项平方得x'
l 一一一一| 一
1
n :-:, A 1 
. 4-5-6 ，.. x-016- 1 6
飞i6 -16
，'1'3'''Yl T /，I 1't x l 
16 
)-l2 X 16)' 
5x 
10 
12.. 
2J7 
解得x = 一一一，进而
.Y = 一=一一一，z= 一一一，故z十.y+z= 士L
1517'- . J 
4 
1517' . 
1 5 疗
J
7 
IS 如图，只需证:若S6AEF = S 6 BDF = S 6 CDE = S 6 DF:F = 士s呵，
则D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点.
AF 
BD. CE 
支一一= α 一一=b 一一=c . 则
S6AEF =α (1- c) S6A1JC , :. α (1 -c)=~ 
AB 
u , BC 
v'CA 
类似的，以1 一户士，c (1
俨士
A 
F/..二\
~ 
γ\---飞去E
BL
ν
、C
D 
(第15 题)
1 .. 1 .. 1 
1 
三式相乘得1α (1- C) b (1 - a ) c (1 - b) = a (1 - a)b (1 - b) c (1 - c) ζ一× 一×
= 
64 -
U\ .l 
tj U\ .l 
U j t
\ .l 
Uj-U\ J. 
U j U\ J. 
U/C\ J. 
C/""" 4 " 4 "
4 
64 ' 
故内=c= 士，flr D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中或
16 .
因为
74 ，116 ，370 都是正方形的面积数，所以它们相当于池塘的三条边长的平
方.把这三个数看成三个直角三角形斜边的平方，就组成了以池塘三边为斜边的三个
直角三角形.可以发现有74 =5' + 7' , 116=4' + 10' , 370 = 9' + 1 7 ' ，而由这些特殊的数
字正好可以拼成右图所示图形. 由图中的数据可知:
1 ..... ._ 
1 
S 6 ABC = S 6 ADC -
S 6 ABF - S6BEC -
S长方形DEBF = 2 X 9 X 17 - 2 X 5 X 7 一言X4X 10 
4 X 7 = 11( 英亩) . 
。也
A 
Fi一-一
D卜~
41 
~ 1 4 飞公K
D 
7 
E 
10 
C 
(第16 题)
C 
D 
Btt)A 
D 
、岛44
18 世纪的哥尼斯堡城，有如左图所示的七座桥，连
接着两岸(C ，D) 、河心岛(B) 、半岛A . 有人提出一个问
题: 能不能一次不重复地走遍所有七座桥，最后仍回到
出发点?欧拉把实际中的"七桥问题"抽象成一笔画模
型，以深邃的洞察力证明了这样的走法不存在，并于
1736 年公布了自己的研究结果.
电( ...... 矗年主…一"
胃30 讲圈ìQ 思想
E 
.…' 
如「掏-能慌述
事物之间总存在某种关系，为了研究事物的关系，我们用点来表示事物
对象，若两个对象之间存在某种关系，则用一条线把相应的点连接起来，这
样就得到一个由点、线组成的图，通过研究图的性质探索出事物的关系，就
是图论的基本思想.
对图的研究只关注线的关系，而不注重线的长短、曲直.
图论是一门古老的数学分支，主要研究用某种方式联系起来的若干事
物之间的二元或多元关系，图论的引进改变了计算机科学、网络等领域的面
貌.
~X问-题-篇杂-
例
1
A ，ß ，C ，D ，E ，F 六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天
时，统计出A ，ß ，C.D.E 五队已分别比赛了5.4.3.2.1 场球，则还没有与B
队比赛的球队是
(江苏省竞赛题)
幡题思路
用算术或代数法解，易陷入困境.用6 个点表示A.ß.C.D.
E.F 这6 个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条
线，这样用图来辅助解题，形象而直观.
量?当
如果一个特定的
问题可以被转化为一
个图形，那么思想就
整体地把握了问题，
并且能创造性地思索
问题的解法.
一一斯蒂恩
周游世界
哈密顿( 1805 • 
1865) ，英国数学家、
物理学家，下面问题
出自哈密顿之手.
一位旅行家打算
做一次环游世界的旅
行，他选择了
20 个城
市作为游览点，这20
个城市恰好均匀地分
布在地球上，而每个
城市均有三条航线或
道路与其他毗邻城市
连接，城市分布及航
路如图.问:生口何安排
一条旅游路线，使这
位旅行家可以不重复
池游览完每一个城市
后再回到出发点?
~~~、
( I飞~
~ ) 
会食
食
女食
食
女食
食
例2
下面的图形，共有(
)个可以一笔画(不重复也不遗漏;下笔后
笔不能离开纸) . 
A. 0 
B. 1 
C. 2 
D. 3 
(" 五羊杯"竞赛题)
以@
暗题思路
略
例3
证明:在任何一群人中，认识这群人中奇数个人的人有偶数个.
证明
用点V j
' 屿，… ，Vn 表示这群人，两个人互相认识就连一条边，则
每个人认识人的个数就是该点的引线条数，记为d (v;) . 若图中有n 条边，由
于每条边都有两个端点，因而d (v j ) + d (v2 ) 十… + d( Vn ) 的计算中，每条边
都被重复计算了两次，得d(vj)+ d(叫)+ … + d( vn ) = 2η. 
把左边的偶数都移到右边，可得右边仍为偶数，故左边的奇数必有偶数
个，命题得证.
例4
若干台计算机联网，要求: (1)任意两台之间最多用一条电缆连
接;(2) 任意三台之间最多用两条电缆连接;(3) 两台计算机之间如果没有
连接电缆，则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆. 若按此要求最少要
连79 条.问: (1)参加联网的有多少台计算机?
(2) 这些计算机按要求联
网，最多可以连多少条电缆?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
睡
将每台计算机当作一个点，如果两台计算机之间有电
LJ 
缆连接，那么就在相应的两个点之间连一条线，得出一个图G../'
". 
如果一个图中的任意两个点A ，B ，都可以沿着图中的
λ 
D 
线从A 走到B ，那么这样的图就称为连通图.
由于条件( 3) ，图G 是连通图.但一般的连通图不一定符合条件(3) ，如
图就是连通图，但不满足(3) . 
显然η 个点可以用n - l 条线连成连通图:这只要将这些点一个接一个
连起来(A 与B 连，B 与C 连，……)或将一点A 与其他n 一1 个点相连就可
以了.所以80 个点(80 台计算机)可以用79 条线相连，而少于80 个点时，可
以用少于79 条线相连.即(1)的答案是80.
条件(2) 说明图G 中没有三角形.
我们证明更一般的结论:如果一个图的顶点个数是2n ，图中没有三角
形，那么图中最多有旷条线.
设顶点AJ 引出的线最多，与A J 相连的顶点有走个，它们是B j
，鸟，… ，Bk '
这时，且不能与鸟，… ，且中任何一个相连(否则产生三角形，顶点是
人，B J 及鸟，… ，B k 中的一点) ，所以B 1 至多引出2η
k 条线. 同理，矶，… ，
也9址
第
3 0 讲
图论思想
所谓-笔画，就
是要求笔不离纸且一
次把图画出，图上的
每一条边都妥画到而
又不准重复.
若一个图可以从
任一顶点沿着边走到
另一个顶点，这种图
叫连通图.
若一个图是连远
的，并且它的聚结奇
数条边的点的个数为
0 个或
2 个，则这个
图能一笔画.
事物之间总存在
某种关系. 如人之间，
相识或不相识; 城市
之间，有公路相通或
无公路相通;国家之
间，相邻或不相邻.
抽象出的图形象
而直观，易借助图形
展开推理.
运用图论思想解
题的关键是: 能将原
问题转化为图，能正
确分析图.
&:\&:\Cà 
食
，传食
，传
食
1号
，曾
食女
B k 也是如此，它们一共引出ζ (2n - k)k 条线.
对于B l
' 乱，…
，B k 之外的点，每一个至多引出走条线，所以它们一共引
出~k(2n - k) 条线，从而图中的钱ζ l k h - hM +kh 一走) J= k(2n - k)
2 
条(前面的系数÷是因为上述过程中，每条线被算了巾，而川走) =
一η 2 + 2nk-k2 + 旷= 旷
(n - k) 2~三η 2 所以图中的线数运n 2 .
当且仅当走= n ，并且2n 个顶点分成两组，第一组η' 个点A
J
，儿，… ，人，
第2 组n 个点B J
，B 2
' … ，瓦，同一组的点之间不相连接，不同组的点之间互
相连接( 即A ; 与A j
，B ; 与B j 不相连接，而A i 与B j 互相连接，i ，j = 1
，2 ，…，
η ) . 这时图中没有三角形，并且共有旷条线.
在本例中
，2n = 80 ，所以旷= 1600 ，即最多可以连1600 条电缆.
姐姐富定理
1958 年《美国数学月刊》登载了例5 这样一个有趣的问题，这个聚会问
题就是拉姆赛定理的特例"任一个足够大的结构中必定包含一个给定大小
的子结构"，这是旷世奇才拉姆赛理论的主导精神.
例5
世界上任意6 个人聚会，一定有3 个人互相认识，或者有3 个人
互相不认识.
( 匈牙利数学奥林匹克竞赛题)
幡活1
设A 为其中一个人.
如果A 认识的人数二月，设B ，C ，D 与A 互相认识. B ，C ，D 中如果有两
个人互相认识，例如B ，C 互相认识，那么A ，B ，C 这3 人互相认识.B ，C ，D 中
如果每两个人互不相识，那么B ，C ，D 就是互不相识的3 个人.
如果A 认识的人数< 3 ，那么A 不认识的人至少有3( 即5 一2) 个.设B ，
C ，D 都不认识A . B ，C ，D 中如果有两个人互不相识，例如B ，C 互不相识，那
么A ，B ，C 这3 个人互不相识. B ，C ，D 中如果每两个人互相认识，那么B ，C ，D
就是互相认识的3 个人.
上面所分的两种情况，后一种(如果A 认识的人数< 3) 与前一种(如果A
认识的人数二月)的推理完全相同，只需将其中不相识改为
相识，相识改为不相识.
壁主2
用点A l
' 儿，… ，A 6 代表6 个人，两个人互相
认识则在对应的两点间连一条红边，否则连一条蓝边.问
题转化为图中必有三边同色的三角形.
考虑、A 1 的5 条引线，因为只染了两种颜色，由抽屉
原理知必有3 条同色. 不妨设A J 儿
，A J A 3
，A J A 4 同为红
A , 
A ，←--二「卢--77A 3
·
、
，
'" 
、
，
'" 
、
1
/
、
，
A 4 
色; 若鸟儿
，A 3 A 4
' A 4 A 2 中有红边，则有红色.6A J A ，A j (2 ~ i ，j ~ζ 4) ; 若
鸟儿
，A 3 A 4
，A 4 A 2 元红边，则.6A 2 A 3 A 4 为蓝三角形. 无论哪种情况，图中都
有同色三角形.
主tjb
学科精英大视野系列丛书
对于例
5 ，解法
1
是用枚举法，解法
2
是用图论思想，
flf 把
所研究的事物抽象成
几何中的点，而把两
个事物之间的某种关
系抽象成点与点间的
连线
，就可以画出一
个图. 原问题就等价
于所画图形中的一个
问题，只需研究所画
图形的边、顶点之间
的某些性质，就可以
使原问题迎刃而解.
Ct1\G.\&:.\ 
( I飞革组)
.~ 刻意练习
h
一
会食
，传
女食
，传
古'食食
1. -个房间住了6 个客人，当中至少有一个人没有与房间里的每个人握手，
那么房间里可能与每个人都握手的人数的最大值是
2. 下列各图中，无法不重复地一笔画成的是(
). 
品⑥曰~
A. 
B. 
C. 
D. 
3 . 有7 个代表参加一个会议，己知他们每个人至少认识其中的一个人.证
明
: 必有一个人至少认识其中的两个人.
4. 某工厂生产由6 种不同颜色的纱线织成的双色布，在这个工厂所生产的
双色布中，每一种颜色的纱线至少与3 种其他颜色的纱线搭配过.证明:
可以挑出3 种不同的双色布，它包含有全部6 种颜色.
(匈牙利数学奥林匹克竞赛题)
5 . 大厅中有1 00 个客人，每个人都与其余客人中至少6 7 个人相识. 证明:这
些客人中一定可以找出4 个客人，他们中任何两个人都互相认识.
(波兰数学奥林匹克竞赛题)
6.
有17 位科学家，其中每一个人和其他所有人通信，通信中讨论的题目总
共3 个，并且每两个科学家之间只讨论同一个题目求证:至少有3 个科
学家之间讨论的是同一个题目
(国际数学奥林匹克竞赛题)
7. 某地区网球俱乐部的20 名球员举行了
14 场单打比赛，每人至少上场一
次.求证:必有6 场比赛，其12 个参赛者各不相同.
(美国数学奥林匹克竞赛题)
8. 安娜与杰瑞夫妇与其他四对夫妇参加一个聚会.抵达后，他们中有些人之间相
互握手，但是夫妻之间、自己同自己没握过手.随后，杰瑞问聚会中的每一个
人"你同多少人握手了?"他得到9 种不同的答案.问: 有多少人同安娜握手?
(克罗地亚数学竞赛题)
9. 一个国家公园准备建立急救服务系统，各急救站之间由电
正之
话线相互联络. 每个急救站必须能够同其他所有急救站进
_/
一
"'-_
行联络，直接联络或者最多通过另一个急救站来联络.每
丫
Yν作
个急救站最多能够通出三条电话线. 如图表示这种网络的
川百二^----r气
一个例子，它联络着7 个急救站.按这种方式建立的网络
(第9 题)
系统最多能够联络多少个急救站?
(英国数学奥林匹先竞赛题)
10 . 某国有η 座城市，任意两座城市之间有双向直达航班.已知对任意两座
城市，它们之间的两个方向的机票价格相同，不同城市对之间的航班机
票价格互不相同. 证明:存在由η 一1 段依次相连的航班，使得各航班机
票的价格依次严格单调下降.
293 
嗦
(俄罗斯数学竞赛题)
第
3 0 讲
图论思想
，~~、i~
-
R
击
R
-R 
人
X
A
以
食
人
日
食
学科精英大视野系列丛书
食
• 
…-. • 
_.. C 
A ___ 
γl 
\
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-可;;>> Ð
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例
如图斤
\X~ 
IL----"文
l
、E
B川之、
'\. \ 
-
咱F
例2
C 
(例1)
• 
__-. . 
1. 4 
设6 个客人分别为人，儿，儿，A.
，A s
，A6' 假设A，与A 2 ~交握手，则A ，与A 2 都没有与每个人握
手，从而，房间里可能与每个人搓手的人数不会超过4 . 由图可见人，人，儿
，A 6 与每个人握手是可以做到的，
故与每个人都握手的人数的最大值为
4 .
2. D 
图D 中有4 个奇顶点，多于2 个，故不能一笔画.
As 
A6 
A. 
A, 
!A'Â, \~ 
A:-----_ 
(第1 题)
(第3 题)
3 . 将7 个人表示为7 个点A" 儿，… ，儿，由于他们每个人至少认识其中的一个人，设A ，与A2 认识，A3
与A. 认识，A s 与A 6 认识，得如图所示的3 条线段，这时，无论A 7 与谁认识，都会出现一个顶点引出两条边的
情况.
4. 将6 种颜色作为6 个点A ，B ，C ，D ，E ，F ，如采两种颜色相配，就在相应的两个点之间连一条线. 这样，
每点引出
3 条线，要证明图中有3 条线没有公共端点.
不妨设A ，B 之间有一条线. 因为C 与3 个点相连，所以C 除A
，B 外，还与一点D 相连.
如果E 与F 相连，那么AB ，CD ，EF 就是所求的3 条线.
如果E 与F 不相连，可设E 与A ，C ，D 相连. 这时如采F 与B 相连，那么EA ，CD ，FB 就是所求的3 条线;
如果F 与B 不相连，那么F 必与A
，C ，D 都相连，EC ，FD ，AB 就是所求的3 条线.
在一个有2n 个点的图中，如果可以找到n 条没有公共端点的线，这n 条线就称为这个图的一个匹配.本题
就是要找出一个匹配.更一般的，在有2n 个顶点的图中，如果每一点至少与n 个点相连，那么必有一个匹配.
s . 客人A 认识67 个人，设B 是其中的
1 个，B 不认识的人至多
100 - 67 - 1=32 个，所以A 所认识的67
个人中，至少有67 - 1-32 = 34 个人，B 是认识的，设C 是其中之一.C 不认识的至多3 2 个，所以上述3 4 个人
中，去掉C ，还有33 个人，其中至少有1 个人D ，是C 认识的.
所以A ，B ，C ，D 4 个人互相认识.
本题的关键是考虑每个人不认识的人至多
3 2 个，从A 认识的人中找B 认识的人(去掉B 不认识的人) , 
再从A ，B 认识的人中，去掉C 不认识的.
如
( I 飞革主~ )
合食
女
A 
N 
食
食
食
食
如采n 个点，每两点都连一条线，则所得的图称为完全图或竞赛图，并记为K n'
食
第
3 0 讲
图论思想
本题就是要证明:在
1 00 个点的图中，如采每点至少引出
67 条线，那么围中一定有四个点构成K ，.
6. 将科学家用点表示.两科学家通信时，就在相应的两点间连一条线，并根据讨论的题目分别染上红、
黄、蓝三种颜色.问题即转化为:将完全图K J7 的线用红、黄、蓝三种颜色染色，证明必有同色三角形.
点A J
~I 出
16 条线，其中必有6 条同一种颜色.不妨设A J A 2
，A J A 3
' …
，A J A 7 都是红色.
如果A 2
，A 3
' …
，A 7 这6 点之间的连线有一条为红色，那么A J 与这条线的两个端点构成的三角形是同色
三角形，三条边都是红色.
如采A 2
，A 3
' …，人这6 点之间的连线都不是红色，那么这6 点所成的完全图的线只有黄、蓝两种颜色.
必有一个同色三角形.因此结论成立.
7.
考虑一个图，有20 个顶点，14 条边，并且每一个顶点至少引出一条边(即每个人至少上场一次) . 
设点叭的次数为矶，则d J + d 2 + … + 仇。=2X14=28.
对每一点叭，去掉自它引出的
d ，一1 条边(同一条边可以同时被两个端点去掉) ，至多去掉
CdJ- l) +
Cd2 -1) + … + C仇。一1) =d J + d 2 + … + 仇。一20 =28-20=8 条边，因而至少剩下14-8=6 条边. 由于这时每
个点至多引出一条边，所以这6 条边的端点互不相同.
f!r 有6 场比赛，参加比赛的
12 个人各不相同.
8 .
没有一个人会与多于8 个人握手.则杰鸡得到的答案为: 0 , 1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 ,7 ,8. 
安娜肯定不会与
8 个人握手，换言之，如采她与
8 个人握手，那么，在场的其他人(除杰揣外)中的每一个
人均与她握手.则不会出现答案
O.
设同
8 个人均握手的人是A l
' 可知，没有同他人握手的唯一的人是人的配偶，设其为A 2 . 如果假设安娜
同
7 个人握手，则除去杰瑞和儿的所有人均同安娜握手.所以，不会出现答案1(A 1 也同所有人握手) . 
设同
7 个人均握手的人是B l
' 可知，给出答案
l 的那个人是B l 的自己偶(因为A l
、B l 与在场的其他人握
手) ，设其为B 2
•
同理，配偶C 1
，C2 给出的答案是6
，2 ;自己偶乱
，D2 给出的答案是5
，3.
由此可知安娜给出的答案是4 ，即她同
4 个人握手，如图.
A jii 
D层」飞/忏\严'J-.. \\ • 
Al 
B 
安娜杰瑞
图①
图②
(第8 题)
(第
9 题)
图③
图④
9. 在这个问题中给出的例子说明，至少有7 个急救站可以用这种方式进行联络.我们首先求出急救站的
最多个数，然后验证是否可以构成具有这么多急救站的网络.让我们选取一个特定的急救站，把它看作基地.
它可以同另外1 个、2 个或3 个急救站联络，如图①所示.
C 考虑到可能存在三条电话线并未完全使用的基地，
就是说A ，B 和C 不一定不同. )急救站A ，B 和C 中的每一个都还有两条未使用的电话线，因而每一个都能再
与两个急救站联络，如图②所示. (同样图中所示急救站不一定不同
. )现在，不可能再增加急救站了，因为再增
加的任何急救站都不可能与基地"紧密"联络，即最多通过另一急救站联络. 这说明网络中的急救站不能多于
1 0 个.现在来验证是否可以建立包含了
10 个急救站的网络.在图中，只有基地能与其他急救站紧密联络，例
如
，A 距离B 和C 以外联络的急救站D ，E ，F ，σ‘太远了"但是这些外面的急救站中的每一个还有两条未使
29￥ 
食
食
食
，传
*女
食*
女
学科精英大视野系列丛书
用的电话线，可以使用这些电话线把外面的急救站与所有的急救站紧密联络.这要求试凑着进行，最后确定会
得到含有10 个急救站的网络系统，如图③所示.
注:有趣的是，这个特定的网络图就是著名的彼得松图，这种图在一些看来并无联系的方面都会出现.然
而其表示方式可能与图②不同，通常如图④所示.
10. 用AB 表示从城市A 出发到城市B 的航线.对任何一座城市A 按如下方法构造一条从城市A 出发的
由航线组成的道路.
设Ao = A ，Ao Al 的机票价格a 1 在所有从城市A。出发的航班中最高
，A 1 A 2 的机票价格向在所有从城市
Al 出发且机票价格小于肉的航班中最高……如此下去，直到某座城市儿，使得所有从城市Ak 出发的航班机
票价格均大于仇·
于是，一共得到η 条道路.
下面证明任意航班BC 均会出现在某条道路中.
令B l = B,Bo = C ，b1 为BC 的机票价格.
设B2 队的机票价格鸟在所有以城市B l 为终点且机票价格大于队的航班中最低，B，B，的机票价格b，
在所有以城市B，为终点且机票价格大于b，的航班中最低……如此下去，直到某个BkB k- 1 在所有以城市且
为终点的航班中机票价格最高.
从城市B. 出发的由航线组成的道路将依次路过乱，B川，… ，B 1 ( = B)
，Bo (=C) .
由前面得到共n 条道路包含了所有的共2C! = n(n - 1) 个航班.
故其中有一条道路至少含n一1 个航班.
生16
费古生
，美国现代数学家兼雕塑家，他能用青铜
雕塑出美丽的富有数学启发性的艺术品.
这一具有凹槽的造型优美的雕塑，是花托、十字
帽和向量场的组合，于
1 988 年创作，现在静静坐落
在美国数学会总部的广场上.
h 岛Q 川
df飞七
需3ii扫束自由与电?l
'
知攘攘遮
我们把要求作出或证明存在满足某种染色性质的点、格、线、区域或图
形等问题叫染色问题，染色问题一般根据同色点或同色三角形展开分析.
把问题的对象恰当染色，以便观察、分析对象之间的关系，通过对染色
图形的分析达到对原问题解决的目的，这种解题方法被称为染色方法.
染色方法是一种形象化的分类讨论方法.
'
问题能决
例
1
对平面上的点染上黑色或白色(称为二染色) .求证:一定存在长
为a(a >O ) 的线段，它的两个端点同色.
纣#府
在平面上任画一条长为a 的线段AB. 若A ，B
两点同色，则结论已成立;若A ，B 两点不同色，为确定起
见，不妨设A 为黑色，B 为白色.如图，以AB 为边作正三
角形ABC ，这时，若C 为黑点，则线段AC 合于题设要求;
A 
若C 为臼点，则线段BC 合于题设要求.
/\ 
B 
上述分析过程，其实已完成了证明.其中作单位正三角形ABC 是关键，
于是可以找到如下的简化证明方法.
证明
在二染色平面上作一个边长为α 的正三角形，设三个顶点为A ，
B ，C ，根据抽屉原则
，A ，B ，C 三点中必有两点同色，比如A ，B 两点同色，又
AB=a ，线段AB 合于题设要求.
管IJ 2 用任意的方式，将平面上的每个点染黑色或白色.求证: 一定存在
I 
一个边长为
1 或13的正三角形，它的三个顶点同色.
证明
若存在边长为
1 且顶点同色的正三角形，则问题得证.
我从人类原始数
学文化的源泉中发掘
材料，用我的雕塑把
这些数学信息送向遥
远的未来.
一一一费古生
二色定理
1 840 年4 德国几
何学家莫比乌斯提出
如下问题:平面上有
η 条直线把平面分成
若干区域，能否用黑
白两种颜色来染色，
使任意两个相邻的区
域(指有公共边界的
区域)都染上不同的
颜色?
该问题的结果被
称为二色定理.
圣王存在边长为1 且顶点同色的正三角形，则一定存在长为1 的线段
t\t;:民CJaI'i:.\
?9马在
食
食为
食
食
'(;{
食
食
食
学科精英大视野系列丛书
AB ，两端点A ，B 异色.
以AB=l 为底作腰长为2 的等腰.6.ABC ，则点C 与A 或B 总有一对是
异色的.如图①，不妨设长为2 的线段AC 两端点异色.
D 
.~ 
A 
C 
\7 
d
\
J
石
、
、
。
l
/
、
人
'
E 
图①图②
取AC 的中点0 ，则0 必与A ，C 之一同色( 如图②，不妨设。与A 同
色) .由于不存在边长为1 的顶点同色的正三角形，于是，以AO 为一边的等
边三角形的另外的顶点D 和E 必与A 异色.此时，.6.ECD 就是一个边长为
J宫的顶点同色的正三角形.
例3
空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五
条线段，用红色和蓝色染这些线段(一条线段只染一种颜色) ，求证:无论怎
样染，总存在同色三角形.
证明设A ，B ，C ，D ，E ，F 是所给六点.考虑以A 为端点的线段AB ，
AC ，AD ，AE ，AF ，由抽屉原理知这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设
就是AB ，AC ，AD ，且它们都染成红色，再来看.6.BCD 的三边，如其中有一条
边是红色的(例如BC 边) ，则同色三角形己出现(红色.6.ABC) ; 如.6.BCD 三
边都不是红色的，则它就是蓝色三角形，同色三角形也出现了. 总之，不论在
哪种情形下，都存在同色三角形.
例4
请你将下图中的5 个图形拼成一个4 X 5 的长方形，能完成吗?
~EB ErdF db 
A 
B 
C 
D 
E 
纣析
画出4 X5 的长方形，并将它分别涂上黑白两色，
如图.试着把A ，B ，C ，D 放到长方形上，就会看到，不管怎么
放，它们必定盖住两个黑正方形和两个白正方形.于是，前4
块盖住的是8 个黑正方形和8 个白正方形.可是，对于E ，情
况就不同了，它总是盖住一种颜色的3 个正方形和另一种颜
色的1 个正方形，而图中共有
1 0 个黑正方形和10 个白正方形.无论把A ，
B ，C ，D 摆在什么地方，它们必定盖住8 个黑正方形和8 个白正方形，然后E
盖的是两个黑正方形和两个自正方形，然而E 不能盖住两个白正方形和
两个黑正方形.所以，我们用A ，B ，C ，D ，E 五个图形不能拼成一个4X5 的
正方形.
染色问题有下列
基本形式:
(1)按某种特定
要求，构造出符合条
件的染色图形，或给
出染色方案;
(2) 对一些任意
染色图形，说明其存
对于例
3 ，若视六
点为六个人，两点连红
线表示两人认识，两点
连蓝线表示两人不认
识，就得到一个交式命
题:任何六个人中，一
定有三个人或者互相
国际象棋棋盘，
交替染色是最直观、
最常见的染色模型.
错染色方法失效时，
寻找新的染色方法是
.G.\~队，G.\
食
，传
女食
，传
( 川军m )
食
食
第
3 1 ì井
染色问题与染色方法
例5
120 人参加数学竞赛，试题共有5 道大题.已知第1，2 ，3 ，4 ，5 题分
别有96 ，83 ，74 ，66 ，35 人做对.如果至少做对3 题便可获奖，问:这次竞赛至
少有多少人获奖?
(江西省竞赛题)
暨
将这120 人分别编号为P 1
，P 2 ，… 'P 1川并视为数轴上的120 个点.
用A k Ck= 1，2 ，3 ，4 ，5) 表示这120 人之中未答对第走题的人所成的组，
I A k
I 为
该组的人数.则
I Al 1=24 , IA2 1 = 37 , IA31 =46 , IA41 = 54 , IA51 =85. 
将以上五个组分别赋予五种颜色，如果某人未做对第kC 走= 1，2 ，3
，4 ，5)
题，则将表示该人的点染第h 色.
问题转化为:求出至少染有三色的点最多有多少个.
由
I Al I + I A 2 I + I A 3 I 十
I A 41 + IA51 =246 知至少染有三色的点不多于
246 
~ ~ ^ 
丁一=82 个.
一方面，将点乱，矶，…
，P 85 这85 个点染第5 色，因85 > 82 ，而为使染有
三色的点数尽可能多，需在上述85 个点中将尽可能多的点再加染另两色，由
r 161 , 
于
I A l 1+ IA 2 1 + IA31 + IA, I = 16 1，故加染另两色的点不会多于
I '~一
1 = 80
个，即染有三色的点不多于80 个.
另一方面，可以具体构造一种染法，使得有80 个点染有三种颜色.例如，
如图，将点P 1 ，矶，…
，P 85 这85 个点染第5 色;点P 1 ，矶，…
，P 44 以及点P 79 , 
P8。这46 个点染第
3 色;点P 45
，P '6
' …，几l 这
37 个点染第
2 色;点P 1
，
矶，…
，P 24 这24 个点染第
1 色;点P 25 , P 26 , … , P 78 这
5 4 个点染第4 色.于
是，至少染有三种颜色的点最多有80 个.因此，染色数不多于两种的点至少
有40 个，即至少有40 人获奖(他们每人至多答错两题，而至少答对三题，例
如，凡
，P 82
，…，P 12 。这40 个人) . 
85 
44 (A) 
37 
24 
54 
2(8) 
喜形于笆
把实际问题抽象成染色图的问题，形象而直观，既便于思考分析，又有
利于归纳总结.
例阳6
如00 8=0 ，品户卢一是
ι
户卢一一斗平孔个俨机…‘
'L
个ln
η X n 自的t 矩形.试证:m X η 必必、为8 的倍数.
(北京市竞赛题)
证明
由于每个"L"形有4 个小方格，若h 个"L"形恰好拼成一个m X n
的矩形，则mn = 性，下面证明2
1 k 即可
因mn= 份，故m ，η 中必有一个为偶数，不妨设m 为偶数，把矩形的列交
299 
队，嗦
皱巴旱镜
罩"喃巨
染色问题的解决
和染色方法的运用，
常与构造性、奇偶分
析、反证法、抽层原理
等方法联系，需要的
不是较多的数学知
识，而是续密的思维
和较强的推理能力.
寓知识于趣味，
融方法于故事，在探
索中深入问题，在最
意想不到的地方去发
现数学的奇妙.
~~~ 
食
食为
食
食女
，传
食食
错地涂上黑、白两种颜色，则两种颜色的方格各有2k 个，每个"L"形占据奇
数个(1个或3 个)白格，由于白格的总数是偶数2走，若"L"形纸片为奇数个(即
走为奇数) ，则奇数个奇数之和为奇数，不可能等于偶数2走，所以h 必为偶数.
故81mn
~ 刻意练习
1. 在一个m 行、η 列(m二三n) 的方格表中，有mn 个边长为
1 的小方格，每个
小方格用红、黄、蓝三种颜色中的一种颜色染色. 已知方格表的每一行有
6 个红色的小方格，每一列有8 个黄色的小方格，整个方格表共有
15 个
蓝色的小方格.如果k 是两位的质数，那么m =一一一
，n = 一一一--
("我爱数学"夏令营竞赛题)
2. 用红、黄、蓝三种颜色染3 X 3 表格的每一个方格，使满足: ①每行三色都
有; ②每列三色都有; ③邻格(有公共边的两个方格)不同色，则不同的
染色方法有(
)种.
A. 12 
B. 18 
C. 24 
D. 27 
(全国初中数学联赛题)
3. 将一条直线进行黑、白二染色，证明:必存在同色的三个点，使得其中一点
是另两点为端点的线段的中点.
4 . 将正十三边形的每个顶点染成黑色或染成白色，每顶点只染成一色. 证
明: 存在三个同色顶点，它们刚好成为一个等腰三角形的顶点.
5. 如图，边长为7 的正三角形被分成49 个边长为1 的小正三角形.问: 最多
可沿图所示的格线划分出多少个邻边长分别为1 和2 的平行四边形?
( 乌克兰数学奥林匹克竞赛题)
G 
A 
B 
(第5 题)
(第6 题)
(第8 题)
6. 如图，是半张中国象棋盘，中国象棋的马走"日"字，一匹马从起点A 出发
跳了n 步又回到起点. 试证明
: n 一定是偶数.
7. 证明: 只用
2 X 2 及
3 X 3 的两种瓷砖不能恰好铺盖23 X 23 的正方形
地面.
8. 如图，有一个正方形的铁丝架，把它的侧棱中点I ，]，K ，L 也用铁丝连上.
(1)现有一个蚂蚁想沿着铁丝从A 点爬到G 点，问最近的路线一共有几
条?并用字母把这些路线表示出来(用所经过的连接点字母来表示，
iiij 
学科精英大视野系列丛书
Ct.\&.:\Ct:\ 
力食
食
( 川军细)
fr
食
食
女'食
食
第
31 讲
染色问题与染色方法
譬如蚂蚁从A 点出发，经过I 点、L 点，最后达到H 点，这样的路线
用A ILH 表示) . 
( 2 ) 蚂蚁是不是可能从A 点出发，沿着铁丝经过每一个连接点恰好一次，
最后到达G 点? 如果可能，请找出一条这样的路线; 如果不可能，说
明为什么.
(江苏省竞赛题)
9. 圆周上等间距地分布着27 个点，它们被分别染为黑色或白色.今知其中
任何2 个黑点之间至少间隔2 个点.证明: 从中可以找到3 个白点，它们
形成等边三角形的3 个顶点.
(俄罗斯圣彼得堡数学奥林匹克竞赛题)
10. 将正2014 边形的每一条对角线染上一种颜色，且要求任意两条在形内
相交的对角线不同色，试求使用颜色数目η 的最小值.
(英国数学竞赛题)
1 1.有足够多如图所示的三种拼板，用它们来覆盖一张9 X 11 的棋盘，拼板的
边必须与棋盘的网格线重合，且任意两片拼板都互不重叠，请问至少需
要三单位正方形的那种拼板多少片?
tb cfP 川
(国际中小学数学能力检测题)
• 
..……也
.
1. 17, 13 
6m +8n + 1 5= mn ，(m - 8)(n - 6) = 63= l X 63 = 3 X2 1 = 7X9 . 而n 是两位的质数，故m = 1 7 .
n= 13. 
2. A 
用A ，ß.C 分别代表红、黄、蓝三色，为叙述方便，将各方格分别编号1，2. … ，9 (如图). 
1 I 1 2 1 
1 A 1 
考虑左上角形如←一←J 的格，则
1 号格有A.ß.C 三种染色.先设染为A 色: ←-←」
1 4 1 
1 
1 A 1 B 11 A 1 C 11 A 1 B 11 A 1 C 1 
则
2 . 4 格共有4 种染法: ←-←」←十__J f-一→一」←-←」
1 B 1 
1 C 1 
1 C 1 
1 B 1 
而当1，2. 4 号格的染色都确定后，其他格的染色情况使唯一确定;
由于每行三色都有，每列三色都有，则
3 . 7 号格染色情况随之确定.
(第2 题)
又因
2 . 3 与
5 . 6 四格中所用的颜色数等于3 ，必有某种颜色妥用两次，为避免同色格相邻，则
5 ，6 号格只
有一种染法;而当前两行的格都染好后，第二行的每格颜色便随之确定.
因此，1 号格染为A 色时，全表有4 种染法.
据对称性，当
1 号格染为B 色或C 色时，全表也各有4 种染法. 因此，共有12 种染法，故选A .
30址
食
食
，传
食
*女
食*
女
学科精英大视野系列丛书
3. 将一条直线
l 黑、白二染色，直线
l 称为二染色直线.
在二染色直线
t 上任取二点，必有两点同色，不妨设A ，B 两点
同为黑色，记AB 的中点为C.
(1)若C 为黑色，则结论已成立(图①) . 
(2) 若C 是白点，在二染色直线
t 上再取D
，E 两点，使DA=
AB = BE. 
D 
①若D ，E 中有黑点，比如D 为黑点，则D ，A ，B 三点合乎要求
D 
(图②) ; 
②若D ，E 均为白点，则D ，C ，E 三点合乎要求(图③) . 
4. 设其13 个顶点依次为人，儿，…
，A I2
，A I3
' 若1 3 个顶点都染
A 
C 
B 
图①
A 
C 
B 
E 
图②
A 
C 
B 
E 
图③
(第3 题)
成黑色或都染成白色，则结论显然成立.故只需考虑13 个顶点中有染黑色也有染白色的情形.这时必有相邻
两顶点同色，不妨设人
，A 2 同色.现考虑A 13
' 人
，A 2
，A 3
，A s 这5 个顶点，由抽屉原理知其中必有三顶点同色，
这又分为下列三种情形:
(1) A I3 ,A , , A 2' A 3 中有三点同色.已知A "
A 2
同色，则A '3
，A "
A 2 同色或A I
，A 2
，A 3
同色.这时
L':-.A 13 人A 2 或L':-.A ，A 2 A 3
I!r 为三顶点同色的等腰三角形.
(2) AI3 ,A 3 ，A s 同色，这时L':-.A '3 A 3 A S 为三顶点同色的等腰三角形.
(3) 人
，A 2
，A s 同色，这时L':-.A ，A 2 A S 为三顶点同色的等腰三角形-
5.
如图①，将4 9 个小正三角形黑白相间地进行染色.
图①
图②
( 第
5 题)
由于每个邻边长为
1 和2 的平行四边形必须要包含2 个白色的小三角形，又一共有
2 1 个白色小三角形，故满足题意
的平行四边形的数目不超过
1 0 .
图②给出了一种划分出
10 个平行四边形的方法.
6. 如图所示，在各交点涂上黑、白色"马"从A 点开始跳，起点是黑点，下一步不管怎么跳
都是跳到白点，再下一步又跳到黑点……这样，" 马" 跳到的点的顺序是白、黑、白、黑…… " 马"
要想跳回到起点即黑点，必须要跳偶数步，所以n 一定是偶数.
7.
将23 X 2 3 的正方形地函中第
1
，4 ，7 ，1 0 ，13 ，16 ，19 ，22 列中的小方格全染成黑色，剩下
的小方格全染成白色，于是白色的小方格个数为
1 5 X 23 ，这是一个奇数，因为每块2 X 2 瓷砖总
是盖住两黑格和两白格或者盖住四白格，每块3X3 的瓷砖总是盖住三黑格和六白格.故无论
多少
2 X 2 及3 X3 的瓷砖盖住的白格数总是一个偶数，不可能盖住
1 5 X 2 3 个白格，所以只用
2
X 2 及3 X 3 的瓷砖不能盖住23 X 2 3 的地面.
8. (1)一共有12 条:ABCKG ，ABJKG ,ABJ FG ,ADCKG,ADLKG,ADLHG,A l] KG ,AI 
J FG ,AILKG,AILHG,AIEFG,AIEHG. 
(2) 不可能.如图将所有连接点染上黑白两色，凡与黑色相邻的都是白点，凡与白点相邻的
都是黑点.
蚂蚁从黑点A 出发，依次走过其他各点，由于一共有
12 个连接点，因此必须经历一条形如
黑→白→黑→白→…→黑→白的路线，但现在G 点也为黑点，所以蚂蚁不可能从A 点出友，经过
每一个连接点恰好一次，最后到达G 点.
9. 我们将27 个点依次编号，则它们一共可以形成9 个正三角形(1
，1 0 ，1 9)
，( 2 ，11 ，20) ，…，
(9 ，18 ，27). 由染色规则知，其中至多有9 个黑点.
A 
(第6 题)
G 
A 
B 
(第8 题)
若黑点不多于8 个，则其中必有一个正三角形的所有顶点全为白色;若黑点恰有9 个，贝IJ 它们只能是一黑两白相间排
列，其中也一定有一个正三角形的所有顶点全为白色.
￡P 
( I飞革主lil )
为食
，际
合
食
食
会，曲，传
第
31
i井
染色问题与染色方法
10. 若将连接正2014 边形中正对着的两个顶点的对角线称为主对角线，则该多边形共有
1007 条主对角线，且这些主对角线交于一点，即正2014 边形的中心.所以，至少需要1007 种
颜色.
接下来构造一个只用
1007 种颜色的图形满足题目妥求.
令每一条从主对角线两个顶点出发且按顺时针方向连接得到的对角线与该主对角线同
色，如图.
由此，可将多边形的每一条对角线均染上颜色，同时，由于具有相同颜色的对角线均在与
其同色的主对角线的两侧，且只能在主对角线的顶点处相交，从而，上述图形中不存在两条在
形内相交且同色的对角线.
综上，满足条件的颜色数目
η 的最小值为
1007.
11. 如图①所示，将棋盘上位于奇数行奇数列的小正方形涂成灰色，共有5 X 6=30 个灰
色正方形.
图①
( 第11 题)
(第10 题)
显然，在给定的三种方决中，每一片方块至多可以覆盖1 个红色正方形.因此至少需要30 多片方块才可以覆盖整张
棋盘. 如采"L"形三方块使用了m 片，另两种四方块共享了η 片，那么
m+n二月o. ①
现在，每片"L"形三方块可以覆盖棋盘上3 个正方形，另外两种四方块每片可以覆盖4 个正方形，则
3m + 4η =9X 11=99. ② 
根据①式，可得4n = 99-3m ，
根据②式，得4m + 4n二三1 20 ，
因此4m + (99 - 3m) 二三1 20 ，
解得m二月1.即"L"形方块的数目不能小于
2 1，如图②是恰使用
2 1 片"L"形方块的摆放方法.
图②
综上所述，至少需妥21 片"L"形方块.
( 第11 题)
也觉
-:.., 
JJ 
• 
y
‘ 
. 
h 岛"A
-
，-、
17 世纪的欧洲，古希腊数学再度复兴，
数学成为知识界的中心话题之一.正是在丢
番图的《算术》一书的空白处，律师费马写下
了著名的费马大定理，而笛卡儿致力于把古
希腊的几何学与新兴的代数学结合起来，建
立了解析几何学. 左图为多梅尼尔的画作
《暂卡儿为瑞典女王克里斯蒂娜讲解几何》
局部，该画描绘了笛卡儿教学的场景.
dγ论...... .
国
胃32
j:持
醉丽而3去亭ß ft;
I 
.…___. 
解析法即通过建立平面直角坐标系，恰当引人参数，并用参数表示点的
坐标、距离，来解相关问题的方法.
解析法的实质是代数问题图形化、几何问题代数化、图形性质坐标化;
以算代证，充分体现了数形结合的思想.
用几何的视角观察问题，并用代数的语言描述，指向几何背景下的代数
运算，这是解析法的思维方式.
如1向题能决
例1
如图，正方形ABCD 和正方形CGEF 的边长分
ι一一?E
别为2 和3 ，且点B ，C ，G 在同一直线上，M 是线段AE 的
A~M 
中点，连接MF ，则MF 的长为
| 
(浙江省竞赛题)
B 
C 
G 
幡题思路
怎样利用中点是纯几何解法的关键，而恰当建立坐标系只
需求出M 点的坐标.
;....(.1 
￡2 
数学科学是一个
不可分割的有机整
体，它的生命力正是
在于各部分之间的联
系.
希尔伯特
两点间距离公式
在平面直角坐标
系中，已知点P 1 (Xl' 
Yl ) 和P2 ( 岛'Y2 )
，则
P 1
，P2 两点间的距离
公式为P 1 P2 =
J(XI-X2 ) 2 十(川
Y2)2 ，
y 
P,(x" y ,) 
x 
，曾
食
( I飞革细)
女食
女食
A 
二f
食
食
例2
当x ，y 和z 为任意实数时，表达式♂7丰1+ J(y-x)2+4+ 
J(z- y) 2 + 1 + J (l O-Z)2 +9 的最小值为(
). 
A. 7 
B. 13 
C. 4+ jIO百
D. 3+.J2+ J9百
E. Jf49 
(美国数学邀请赛试题)
晤题思路
若从代数角度求最小值，则异常繁难.改变思维视角，设0 ，
P ，Q ，R 和S 分别是点(0 ，0) ，(工，1)，(y ,3) , (z ，4) 和(1 0 ，7)，重新认识代数
式，化难为易.
例3
如图，己知Rt6ABC 中
，AB=BC ，点P 在此三角形内，若PA=5 ，
PB=4 ，PC= 1，求Rt6ABC 的面积.
(世界数学团体锦标赛试题)
帽浩1
如图，过P 点作PD_[_AB 于点D
，PE_[_BC 于
点E ，设AB=BC=a ，PD= 工，PE=y ，则
4"-x"=BD 
52 - x 2 = (a - BD) 2, 
42 - l = (a-EC) 2, 
12-y2=EC2, 
由②一①得BD=车2 ，
① 
② 
③ 
④ 
⑤ 
由③一④得EC= 仨旦，
⑥ 
",a 
又BD=PE ，PE2 + EC2 =1 , 
一
|一)卜=叫旷伫川…一→
-26川
6归
6a 2
(a 22~9y + (~ 一15 ，2
2a 
) 
'
~ 
2a 
户川=9(因以×子>3 ，故舍去) , 
从而S6ABC = 豆
17
2 
2' 
幡活2
建立如图所示的平面直角坐标系，设点
P( 工，y)
，A(O ,a) ,B(O ,O) ，C(a ，O)
，则
Jx2 +(y-a)2 =5 , Fx可7=4 ，j(厂a)2 十l=l ，
解得a 2 =17 ，α2 =9( 舍去) , 
故s-d-17
一一-
6ABC 
2 
2 . 
也觉
k 
BD 
A 
y 
c 
第
32
i井
解析法初步
知识在学习者头
脑中的呈现和表达方
式称为知识的表征，
知识的理解与知识的
表征密切相关.
对一个数学问
一种叙述方式，变换它
的结构，直到发现有价
值的东西，这是解题的
一个重要原则.
当图形中有与直
角、矩形、正方形等相
关联的易于建立直角
坐标系的条件时，且
求解结论便于通过坐
标、距离等计算求出
时，不妨试试解析法.
~~~ 
食
食食
食
食女
食
，传
言厅
例4
.
如图①，已知AB=10 ，点C ，D 在线段AB 上，且AC=DB=2 ，P
是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边i::，AEP
和等边i::，PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G. 当点P 从点C 运动到点D 时，
求点G 移动路径的长.
(湖南省张家界市中考题)
纣橱
我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫作符合这个条
件的点的轨迹.要求点G 移动路径的长，需先明晰点G 移动的轨迹.
ι
 
',1: CP 
D B----X 
F 
图①
图②
图③
幡法1
如图②，分别延长AE ，BF 交于点H.
易知四边形EPFH 为平行四边形，进一步知:
G 恰好也为PH 中点，所以点G 的运行轨迹为三角形HCD 的中位线
MN. 
.:CD=10-2 一2=6
人MN= 3 ，即点G 的移动路径长为
3.
酶活2
如图③，建立平面直角坐标系.
设AP = 工，则点P(x ，O)(2 ~x~8 ) ，点屯，字).点F
[咛王，而1:- z2 J
EF 的中的(芋，EF) 即随着点E ，点F 位置的变化，中点G 在平
行于Z 轴，且在工轴上方距离z 轴EF的直线上运动
当工=2 时，点G 的坐标为(3.5 ，哨，当x=8 时，点G 的坐标为
(6.5 ，驹，故中点G 移动的路径长为6.5-3.5=3
敝形结合
"数缺形时少直观，形少数时难入微"平面直角坐标系是开展数学研究的
一种重要工具，是联系代数与几何的桥梁，集中完美地彰显了数形结合思想.
例5
如图，在矩形ABCD 中，E ，F 是DC 边上的点，满足DE=EF=
FC ，又G ，H 是BC 边上的点，满足BG=GH=HC ，AE 与DG 相交于点K
，
AF 与DH 相交于点N. 求证:KN // CD.
(全国初中数学联赛题)
学科精英大视野系列丛书
定曲直、寻轨迹
是"求质点运动的路
径长"这类问题的关
径的形状，常见的方
法有:
(1)画图定路径;
(2) 特征定路径;
(3) 坐标定路径.
辅助线是解几何
题的生命线，正确添
加辅助线是解几何题
的关键，而添辅助线
并无周定模式.解析
法常不需添加辅助
线，这正是解析法的
优势所在.
( J\ a= !Il ) 
女食
*
女食
，传
女食
食
第
32 讲
解析法初步
睡题思路
要证明KN //CD ，从角或成比例线段
A队
B 
切入;亦可用解析法把复杂的几何问题转化为与一次
川'"
_/才G
函数相关的问题
1
9T丢耍---iH
自由深入思考，两种解法的难易、特点在比较中
D 
E 
F 
C 
会有深切感受.
t飞〉刻意练习
1. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2 的正方形，顶点A ，
C 分别在z 轴、y 轴的正半轴上，点Q 在对角线OB 上，且OQ = OC ，连接
CQ 并延长CQ 交边AB 于点p
，则点P 的坐标为
y 
c 
。
(第1 题)
(第2 题)
(江苏省苏州市中考题)
3 
(第3 题)
2.
如图，7 X 5 方格的每格都是
1 X 1 的正方形，则菱形]KLI 的面积
为
(世界数学团体锦标赛试题)
3. 如图，已知P 是正方形ABCD 内一点，且PA= 5 ,PB =8 , PC= 13 ，则正
方形ABCD 的面积为
(上海市竞赛题)
4 . 如图，在RtDABO 中，ζ OBA=90
0
，A( 4 ，的
，点C 在边
Y 
A 
C 
AC 
1 
AB 上，且一一= 一
点D 为OB 的中点，点P 为边OA
CB 
3" 
上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周
长最小的点P 的坐标为(
) . 
A. (2 , 2) 
B. ( ~ , ~ ) 
C. (号，~ ) 
D. (3 , 3) 
( 第4 题)
( 山东省聊城市中考题)
307 ' 
飞
嗨
i~~、，~
学科精英大视野系列丛书
.. 
食
食
1与
食
食女
食
，传女
5 . 分别以正方形ABCD 各边为边，向正方形外作正三角形，E ，F ，G ，H 分别为
正三角形的中心，则正方形EFGH 与正方形ABCD 面积的比值为(
1A\c.\ei:\ 
cd:布
一
B 气d
二
E. J3 
D. J2 
A.l 
(美国数学竞赛题)
6. 求代数式♂丰4+ J (1 2-X)2+9 的最小值.
(" 希望杯"邀请赛试题)
7.
如图，已知正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是DA 的中点，连接BE
与CF 相交于P 点.求证:AP =AB .
(北京市竞赛题)
-p A 
图③
D
U队
n
A--nv 
C 
-P A 
图①
C 
M陀~
D 
E 
C 
F因
A 
B 
(第9 题)
(第8 题)
(第7 题〉
8. 如图，在矩形ABCD 中，AB=84 ，AD = 42 ，点M 是边AD 的中点，点N 是
边AB 的三等分点(靠近顶点A) ，线段CM ，DN 相交于点。，点P 在四边
形BCON 的边界上，线段BP 平分四边形BCON 的面积，求6CDP 的面
积.
(美国数学邀请赛试题)
9. 如图①，在Rt6ABC 中，ζC= 90 0 ,AC= 6 ，BC= 8 ，动点P 从点A 开始沿
边AC 向点C 以每秒1 个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边
CB 向点B 以每秒2 个单位长度的速度运动，过点P 作PD // BC ，交AB
于点D ，连接PQ. 点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点
时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒。二三0).
(1)直接用含t 的代数式分别表示:QB =
,PD= 
(2) 是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形?若存在，求出
t 的值;若
不存在，说明理由并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动) ，使四边
形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度.
(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长.
(福建省福州市中考题)
岛
( J 飞a: ßl ) 
女女
女食
1:r 
世r
食
食，曾
第
32 讲
解析法初步
• 
….. 
例1
手建立如图所示坐标系，则A(-2 ，川(0 ，川(3 ，川(; ，~).
MF= J(; - 0 r 
+ (~ _3)2 
=手
y 
y 
F 
E 
A 
B M 
Q 
I\'\. 
./叮G
__-------
川、二
J
1 K)，.公p.---IH
D E 
F C 
图①
B1GH 
y 
R..____气::::/S
x 
A 
x 
图②
(例1)
( 例2)
(例5)
例2
E 
如图，原式表示锯齿状的线OPQRS 的长度，显然当O ，P ，Q ，R 和S 共线时，此线段的长度最
短，最短值为-Jí02丰尹= jï4百.
BM BG 
1 
例5
证法1
如图①，延长DG ，DH 交AB 的延长线于M ，Q ，则-一= 一
CD 
CG 
2 ' 
3 
AK AM 
9 
~飞
没AB = 切，则BM=: a 一一=一一=
① 
2 u'EK 
DE 
2'
四
", BQ 
BH 
同理，由DBQHωD CDH1于一一= 一一= 2 ，BQ= 归，
CD 
HC 
AN AQ 
3a + 6α9 
"" 
又DAQNωD FDN ，得
= 一一-一一一= 一
② 
FN 
FD 
2a 
2 '
哩，
AK AN 
由①和②得一-一一，故KN // EF ，即KN // CD .
EK 
FN 
证法2
如图②，设AD = 切，CD=3b ，则D (O ，O) ,E (b ,O) ，F( 岛，0) ，H ( 3b,a) ,G( 3b , 2α )
，A (0 ，3a )
，可得
3a 
，~ 
3a
, ~ 
a 
2α 
直线AE ，AF ，DH ，DG 的解析式分别为y = 一一工+ 3a ;y = 一~:x + 3a ; y= ::,x ;y= ~:x ，进一步可得K ，N 两
b ~ , ~~'J 
2 b~ '
~~' J 
3 b~ U 
3b 
(9b 6a 飞
(l 8b
6a 飞
点的坐标分别为|一一
I ，I~一一
1 ，故KN矿工轴，f!r KN // CD. 
l l1'l1 )'l l1 '11 ) 
• 
….. 
1. (2 ,4-2)2) 
可求得直线CQ 的解析式为y= (l-)2)X +2 .
y 
169 
一一
建立如图所示的直角坐标系，则A (0 ，4)
，B(2 ，5)
，C (5 ，5)
，D(7 ，
A 
40 
4) ,E(7 ,1) ,F( 5,0) ,G( 2,0) , H (O ，l)，分别求出直线AF ，BE ，HC ，GD 的解析
( 15 5 ì J 7 19 ì 
T (7 
6 ì 
T T (41 5 ì 
式，得Il 言' τ J ,] l i: ' τ J ，q 言' τ J' K l .8~ , ;; )，故S阴阳= 言IK
' ]L = 
,
U 
~
/ 
，
~ 
~/ ,
U 
~/ 
，~-
/ 
-
0 
1 . (4115"\ . . (19 
6 "\ 
169 
_ 
x
，一一_
I
Jl
I
一一一' 一一
2"
~
8 
8)'、
~ 5 
5 ) 
40 ' 
x 
(第2 题)
过0英
-
R
击
R
-R 
人
日
食
食
户
口
州
食
学科精英大视野系列丛书
食
3. 153 
4. C 
D(2 ,0) ,C(4 ，3) ，点D 关于直线OA 的对称点D ' 的坐标为(0 ，2) ，连接CD' 交OA 于点p ，此时四边
,y= x , 
1 ~ 
，~ _ 
~ •. . _ .• , 8 
8 
形PDBC 的周长最小，由!
1 
得P 点坐标为( : , : ). 
i y=zz+233 
5. B 如图，建立平面直角坐标系，设A (l，l)，B( - l，川( - 1，一1)，D (l，一1) ，则E (l +手，川(0 ，
13, 
，，5正方形EFGH _1 (1 + -0ìJ2 T _ 2+13 
1+ 一) ，故一一一一一一
1
\ ~ I 
:; r -
1 
一一一.
3"-5
.，合联.4 Rrn
I ~ 
U/-1 
-" 'V'~~~ 
1 
2 
1 
y 
工
C 
x 
y 
(第5 题)
(第8 题)
(第9 题)
6.
原式= -/(x-0)2+(0-2)2 + -/(l 2-X) 2 +(3-0)2
，此式可看作平面内点
P (x ，O) 到点A( 0 ，2)
，
B (l 2 ，3) 的距离之和.作点A 关于工轴的对称点A'(O ，一2) ，连接A'B 支z 轴于点p ，此时PA 十PB 的值最
小，最小值为A'B 的长: -/(0-12)'+( 一2-3) 2 = 13. 
7.
用解析式可证明:设B( 2α ，0) ，C( 句，2a) ，E(a ，2a)
，F(O ，α) ，直线BE ，CF 的解析式分别为y= - 2x +
(6 
8 ì"._ 
/(6 
\'
，
(8
飞
钮，y= τx+α ，得P 点坐标为
I
~ a , ~ a 1 ，故AP =.!
I
~al +1 ~al =2α =AB. 
2 - . -... - .... -
,. " 
~ 5 -, 5 - )创
~5-) '\5-) 
8 建立如图所示的直角坐标系，则N (28 ，0) ，D(0 ，42) ，直线DN 的解析式为y= 一÷z十也M( 0 ，2 1)，
C(84 ，42) ，直线CM 的解析式为y = iz+ 21 ，联立得0(1 2 ，24) .
4 
'.5四川OCON = 5L，脏+ 5 60NB = 2184 , 
(84-x) X4 2 
设P( x ，y) ，则5L，BPC=
，~O '2' " o_ 
1092 , 
解得x =3 2 ，y=29 ，flr P(32 ,29) , 
S(42 - 29) X 84 
Aωp =
2=546 . 
9. (1) QB= 8
μ(O~tζ川D=ft
16 
(2) 不存在，点Q 的速度为一单位长度/秒.
15 
(3) 建立如图所示的直角坐标系，易求得Q( 0 ，2t) ，P(6寸，0) ，所以中刊的坐标为(午，t) (0ζ t~4) 
由于在工轴、y 轴建立的平面直角坐标价的任何-A~ 标可表示为(川，由此构造方程工=午，y= t 且
0~y~4 ，消去t 得y= 一2x+6 ，所以点M 在线段y = - 2x+6(0~y~4 ) 上运动(如图) ，即从点M，(3 ，0) 运动
到点M2 (1 ，4) ，所以M，M2 =2./5，即在整个运动过程中，线段PQ 的中点M 所经过的路径长为2./5.
i(