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2025-2026 学年上海交大二附中八年级（上）
月考数学试卷（10 月份）
一、选择题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 下列说法正确的是（ ）
A.
一定没有平方根
B. 对于二次根式
C. 16 的四次方根是2
D.
的三次方根是
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平方根、立方根、二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根
据平方根、立方根、二次根式的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：A. 当
时，
的平方根为0，故本选项不符合题意；
B. 对于二次根式
，则
，故本选项符合题意；
C. 16 的四次方根是
，故本选项不符合题意；
D.
的三次方根是
，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 下列二次根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握同类二次根式，二次根式的性质是解题
的关键．
根据二次根式的性质，同类二次根式定义对各选项进行判断即可．
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【详解】解：A．
与
是同类二次根式，故选项A 不符合题意；
B．
，
是同类二次根式，故选项B 不符合题意；
C．
，
是同类二次根式，故选项C 不符合题意；
D．
与
不是同类二次根式，故选项D 符合题意．
故选：D．
3. 下列各选项中，
的有理化因式是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理化因式的概念，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根
式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键．
根据有理化因式的定义进行判断即可．
【详解】解：根据互为有理化因式定义可知：
与
互为有理化因式的是
．
故选：B．
4. 如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3 和2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】将面积为2 和3 的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的
长和宽，计算可得答案.
【详解】解：将面积为2 和3 的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：
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则阴影面积=
=
=
故选D
【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思
想解答．
5. 方程x（x﹣2）＝x 的根是（ ）
A. x＝0
B. x＝2
C. x1＝0，x2＝2
D. x1＝0，x2＝3
【答案】D
【解析】
【分析】首先进行移项，然后因式分解，最后求值即可．
【详解】解：
，
，
，
或
，
或
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解一元二次方程的方法是解题的关键．
6. 如果关于
的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，则
称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（ ）
①方程
是倍根方程；
②若
是倍根方程，则
；
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③若
、
满足
，则关于
的方程
是倍根方程；
④若关于
的方程
是倍根方程，则
．
A. ①②
B. ②③④
C. ①③
D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出
方程的解是解决问题的关键．
①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到
m、n 之间的关系，即可判断；③当p，q 满足
，则
，求出两个
根，再根据
代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，
当
，或
时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【详解】解：①解方程
，
∴
或
，
解得，
，
，得，
，
方程
是倍根方程，故①正确；
②若
是倍根方程，
，
因此
或
，
当
时，
，
当
时，
，
∴
，故②错误；
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③∵
，则
，
，
，
，
因此是倍根方程，故③正确；
④方程
的根为：
，
，
若
，则
，
即
，
，
，
，
，
．
若
时，则，
，
则
，
，
，
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，
，
，故④正确。
综上所述，正确的是①③④．
故选：D．
二、填空题：本题共12 小题，每小题2 分，共24 分．
7. 当
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________．
【答案】
且
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求不等式的解集，掌握二次根式和分式
有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式和分式有意义的条件，可得
，解不等式即可得出答案．
【详解】解：
在实数范围内有意义，
，
解得
，
且
，
故答案为：
且
．
8. 不等式
的解集是________．
【答案】
【解析】
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【分析】先去括号，然后移项，最后化系数为1 解不等式即可．
本题主要考查了二次根式的应用和解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如
下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1 可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等
号方向．
【详解】解：
，
去括号得：
，
移项，得
，
合并同类项得
，
化系数为1，得
故答案为：
．
9. 当m________时，方程
是关于x 的一元二次方程．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义可得：
且
，由此解答即可．
本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：
是一元二次方程，
，
，
故答案为：
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10.
用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为
的形式，其中
，n
为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值
时，n 是正数；当原数的绝对值
时，n 是负数，据此求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：
．
11. 请写出一个方程，使这个方程的一次项系数是
，且它的两个根分别是2 和
，这个方程是
________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意，
写出符合要求的一元二次方程即可．
【详解】解：令这个方程为
，
因为方程的两个根分别是2 和
，
则这个方程的两根之和为
，两根之积为
，
所以
，
，
当
时，
，则
，
所以这个方程可以是
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故答案为：
．
12. 化简：
________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简，解决问题的关键是利用二次根
式的基本性质进行化简．
由题意可得
，将
变形为
，再利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：由题意可得，
，即
，
∴
．
故答案为：
．
13. 若三角形的三条边长分别为2、4、m，则
________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系，利用二次根式性质化简，绝对值意义，解题的关键是如何根据已知
的两条边求第三边的范围．已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出
第三边长的范围，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
即
，
．
故答案为：
．
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14. 已知
与
互为相反数，其中x、y 是实数，则
________．
【答案】
或
【解析】
【分析】本题考查绝对值、算术平方根的非负性，理解算术平方根、绝对值的非负性是正确解答的关键．
根据算术平方根、绝对值的非负性求出x、y 的值，再代入计算即可．
【详解】解：
与
互为相反数，
，
，
，
，
，
解得
，
，
或
，
故答案为：
或
15. 已知a、b 分别为等腰三角形的两条边长，且a、b 满足
，则此三角形的周长
是________．
【答案】11 或13
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握二次根式有意义
的条件，三角形三边关系，等腰三角形的性质是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件得出：
，解得：
，把
代入
求出a 的值，然后再分类分析，计算
三角形的周长即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得：
，
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把
代入
，得
当等腰三角形的腰长为3 时，则三角形的三边为3，3，5，
，
能组成三角形，
三角形的周长为：
；
当等腰三角形的腰长为5 时，则三角形的三边为5，5，3，
，
能组成三角形，
三角形的周长为：
，
综上所述，此三角形的周长为11 或
故答案为：11 或
16. 比较大小：
________
（填不等号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数的大小比较，准确计算是解题的关键．通过作差法求解即可．
【详解】
，
，
，
，
，
，
即
，
即
；
故答案是：
．
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17. 若
是完全平方式，则单项式m 可以是________．
【答案】
或
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式．先化简，再根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：原式
，
∵
是完全平方式，
∴
是完全平方式，
∴
或
，
∴
或
，
故答案为：
或
（答案不唯一）
18. 将一组数
，2，
，…，
按下面的方式进行排列：
，2，
，
，
，
，
，4，
，
，…．若
的位置记为
，
的位置记为
，则这组数中最
大的有理数的位置记为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，准确计算是解题的关键．
根据题意可得每行五个数，且根号里面的数都是2 的倍数，从而可以得到这组数中最大的有理数是
，
并得出它所在的位置即可．
【详解】解：∵
的位置记为
，
的位置记为
，
∴这组数的排列方式为每行五个数，
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∴这组数排列为
，2，
，
，
，
，
，4，
，
，…．
将题干中的数统一为根号形式，得到数列为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…．
∴根号里面的数都是2 的倍数，
∵这组数中最大的
，由大到小依次为
，
，
，
，…，
，
，
，…，
，
，
．
∴这组数中最大的有理数是
，
∵
，
，
∴
是第七行第二个数，位置记为
．
故答案为：
．
三、解答题：本题共9 小题，共53 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，属于基础题，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据零
指数幂和负整数指数幂运算法则，算术平方根定义，绝对值意义，进行计算即可．
【详解】解：
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．
20. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算等知识，正确进行二次根式的化简是解题的关键．先去括号，再
把二次根式化为最简二次根式，然后相加减即可．
【详解】解：
．
21. 计算：
．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先分母有理化，再利用完全平方公式表示
变形为
，接着根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算，然后合并同类二次根式即可．
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【详解】解：
．
22. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简，然后再根据二次根式的乘除运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的乘除，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的乘除运算法则，二次根式的性质是
解题的关键．
【详解】解：
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∵
∴原式
．
23. 解方程：
（1）
（用配方法）；
（2）
．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了公式法和配方法解一元二次方程，熟知公式法及配方法解一元二次方程的步骤是
解题的关键．
（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可；
（2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可．
【小问1 详解】
解：
，
，
，
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，
则
，
所以
；
【小问2 详解】
解：
，
，
，
则
，
所以
．
24. 已知点A、B、C、D 在数轴上，其中A、B 分别表示数
和
．点C 向左平移4 个单位长度
后与点B 重合．
（1）线段
的长= ．
（2）点C 表示的数是 ．
（3）对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D
为优美关系，那么点D 对应的实数为 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
或1 或
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
（1）线段
的长等于较大的数减去较小的数，计算即可．
（2）点C 向左平移4 个单位长度后与点B 重合，也就是点B 向右平移4 个单位长度得到点C 解答即可．
（3）分三种情况考虑，利用数轴上点的特征和对称性解答即可．
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【小问1 详解】
解：
、B 分别表示数
和
，
故答案为：
；
【小问2 详解】
解：
点C 向左平移4 个单位后与点B 重合，
点C 表示的数是
故答案为：
；
【小问3 详解】
解：设点D 表示的数为
，
点A、点B、点D 为优美关系，且点A、B 分别表示数
和
．
当点B 和点D 关于点A 对称时，则
，
即
，
解得
；
当点B 和点A 关于点D 对称时，则
，
即
，
解得
；
当点A 和点D 关于点B 对称时，则
，
即
，
解得
；
点D 对应的实数为
或1 或
故答案为：
或1 或
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25. 已知
的整数部分是x，小数部分是y，求
的值．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的化简求值，先估算出
的范围，求出x、y 的值，再代入
求值即可．
【详解】解：
，
，
，
∵
的整数部分是x，小数部分是y，
，
，
∴
．
26. 先化简，再求值：
，其中
，
．
【答案】
，
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分
式的化简求值．
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先利用乘法公式和因式分解的方法得到原式
，再约分后利用
完全平方公式得到原式
，接着利用分母有理化得到
，
，然后把
x、y 的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
，
，
，
，
，
原式
．
27. 已知在
中，
，射线
、
在
内部，分别交线段
于点
、
．
（1）如图1，若
，
，作
于点
，分别交
、
于点
、
．
①求证：
；
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②若
，连接
，求
的度数；
（2）如图2，点
为
上一点，
交
于点
，连接
．若
，求
的值．
【答案】（1）①证明：
，
，
为等边三角形，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
在
与
中，
，
，
；
②
（2）
【解析】
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的
面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
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（1 ）①由
，
得到
为等边三角形，根据等边三角形的性质得到
，
，求得
，推出
证得
，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②证明
即可解决问题；
（2）如图2，在
上取
，连接
，推出
，根据全等三角形的性质得到
，
，证得
是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到
，
即可得到结论．
【小问1 详解】
①略
②如图1，取
的中点
连接
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
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，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
与
中，
，
，
，
；
【小问2 详解】
解：如图2，在
上取
，连接
，
，
，
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，
，
在
与
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
．
