多磊硝带需给另
.
咂
八
年
级
食在传统与现代之间选择融合
食在经典与时尚之间寻找平衡
食在能力与素养之中锤炼思维
食在思想与文化之中启迪心智
‘,l-
.，ï"J 究院直咕却
I @ 湖北_Af.共后必
SHUXUE
PEIYOU XIN FANGFA
黄东坡薯
数学培优
SHUX
"培优新方法丛书"自2002年出版发行以来深受广大师生的欢迎，
累计发行数百万册，畅销大江南北，成为全国许多重点中学开展学科
课外活动的教辅读物。"培优新方法丛书"与教学需求同步，与学习
需求同步，与教育改革大潮同步。
黄东坡
数学教育学硕士，国家级骨干教师，中国数学奥林匹克
高级教练。多年来关注数学和数学教育的发展，致力于中考数学和奥
林匹克数学的研究。代表作"培优新方法丛书"
"探究应用新思维丛
书"
"学科精英大视野丛书"和《带你发现数学之美》陆续出版，多
年来深受广大师生欢迎，畅销千万册，成为全国许多重点中学开展学
科课外活动的教辅读物。
儿优新方法丛书j
数学培优新方法
一年级
爱与恨的初中平面几何
七年级
数学培优新方法
二年级
爱与恨的初中平面几何
八年级
数学培优新方法
三年级
爱与恨的初中平面几何
九年级
数学培优新方法
四年级
优与雅的初中代数七年级
数学培优新方法
五年级
优与雅的初中代数八年级
数学培优新方法
六年级
优与雅的初中代数九年级
数学培优新方法
七年级
语文读写培优新方法
七年级
语文读写培优新方法
八年级
数学培优新方法
九年级
语文读写培优新方法
九年级
物理培优新方法
八年级
英语读写培优新方法
七年级
物理培优新方法
九年级
英语读写培优新方法
八年级
化学培优新方法
九年级
英语读写培优新方法
九年级
联系地址·武汉市洪山区雄楚大道268号
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作者地址:
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13071266385
回圆圆跚
责任编辑
刘天闻
封面设计刘舒扬
定价: 49.00元
黄东坡
~ ~‘ I
戴学讲堂
ãJvlfL~置罗丛书
UANCDDNCPD
FIC .f . Y
八
年
级
SHUXUE
PEIYOU XIN FANGFA
黄东坡薯
‘,... ';;1 先画像4告却I~ 湖北λA 彼后必
掌握大逻辑
把握大趋势
---- 二十年典藏版修订说明
2022 年，"新方法"将度过它的二十岁生日，二十年是生命的标尺，测得光阴在再、时代变迁; 二
十年，是华彩的乐章，回荡对数学教育理想的精神诉求。
二十年里，随着课程标准的实施，学科核心素养的提出、中国高考评价体系的形成，对数学教
育、数学学习方式的认识发生了根本变化。思想的碰撞，观念的交锋，对新理念的向往与践行，对
优秀传统的坚持与守望，有迷茫、困惑、阵痛，但更多的是推开睬望数学教育的新的窗口扑面而来
的清新、愉悦与美丽。
二十年来，"新方法"以行进的姿态走在路上，与教学要求同步，与学习需求同步，与教育改革
大潮同步:价值引领，素养导向，知识为基，能力为重。高擎数学文化的大旗，反映数学的工具与文
化的两种品格，彰显数学的人文与科学的双重属性。整合知识、总结技巧、提炼方法、渗透思想，给
数以百万计的读者以精神引领，帮助他们理解和掌握知识、感悟思想方法、锤炼思维、磨确心智、提
升观念、丰富情感。
在"新方法"即将迎来它的二十岁生日之际，我们推出修订后的"二十年典藏版"，在保留经典
内容、问题的基础上，从局部与整体、宏观与微观、抽象与具体三个维度，增添新的专题，补充新的
问题。在以下方面作出了进一步完善:扩大问题的选材范围，揭示问题的相关背景，探索问题的有
效深度，思考问题的多样解法，研究问题的发展变化。为顺应"双减"政策减轻学生学业负担，体现
素质教育导向的要求，"新方法"在上一版基础上进行了精炼优化，文字更简洁，题目更典型，更有
利于提升学生的学习效率。
同时，我们将丛书整体升级为双色版，字体、字号、行空等均符合《儿童
青少年学习用品近视防控卫生要求》的规定，能为读者提供更舒适的使用体验。
二十年，只争朝夕，弹指一挥间，让人想起侯健的《二十年)) : "二十年是一首老歌/有人呐喊/有
人轻吟/有人颤抖着嘴唇/什么腔调都没关系/至少我们还在一起。"
二十年后的"新方法"又站在新的起跑线上:
是现实的，也是理想的，
是厚重的，也是轻盈的，
是理性的，也是热烈的，
是成熟的，也是年轻的。
黄东坡
2022 年
1 月于武汉
……… 111主|
"‘ 我
与
代
巢
~~~
四分解方法的延拓(1) / 2
主元法
/ 4
因分解方法的延拓(2)
/ 7
因式定理
/ 9
回因式分解的应用
/ 13
当
α +b + c=O / 15
回分式的概念、性质及运算
/ 19
构造分式
/ 21
固有条件的分式的化简与求值
/ 25
差异分析法
/ 27
回二次根式的运算
/ 30
有理化
/ 32
回坐标平面上的直线
/ 36
疏而不漏
/ 38
回借助图象思考
/ 43
构造函数
/ 46
回反比例函数
/ 51
定值与双曲线
/ 54
‘~~
空
?咱
与图形
~~协
回全等三角形
/ 60
确定性思考
/ 62
田等腰三角形的性质
/ 68
图形分割
/ 70
田等腰三角形的判定
/ 76
确定主条件
/ 78
因等边三角形
/ 83
不变量与不变性
/ 85
回从句股定理谈起
/ 91
复杂线段间数量关系
/ 93 .1
aE国昌盛îlfÆ墨
.2
固平行四边形
/ 99
回矩形、菱形
/ 107
回完美的正方形
/ 115
囚由中点想到什么
/ 124
回平行截割
/ 132
团从全等到相似
/ 140
团相似二角形的性质
/ 148
回直角二角形的再发现
/ 155
囡数形互助
/ 162
~~钊
' 综
回完全平方数
/ 170
困图形面积
/ 175
因图形折叠
/ 183
团分割与拼合
/ 191
•
参考答囊
/ 219
A
o
平移变换
/ 101
奇异矩形
/ 109
构造正方形
/ 118
中点四边形
/ 126
定位中点
/ 134
运动与相似
/ 143
内接四边形
/ 150
射影定理
/ 157
解析法
/ 165
Ji括痪
~~~
配方法
/ 172
面积法
/ 177
才斤纸中的数学发现
/ 186
化J 归
/ 194
数与代数
具有丰富知识和经验的人，比只有一种知识和经验的人更容易产生
新的联想和独到的见解.
撞撞。"…
一一一泰
勒
~~~知识纵横嘎嘎嘎
因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法、分组分解
法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法
图灵( 1912
一些复杂的因式分解问题，常用到换元法和主元法.
: 1954) ，英国数学家、
所谓换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个
j 逻辑学家，是计算机
理论和人工智能的
整体，用新字母代替(即换元) ，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多
;
奠基人之一.设计了
项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用一种理想的计算机
类似于整数分解，因式分解是与
整式乘法形式相反的式子变形. 信息
社会中的信息安全性是建立在"分解
出大整数的约数是极其困难的问题"
这一基础上的.
~~~例题求解嘎嘎嘎
(图灵机) ，对电子计
算机的产生有一定
:
影响.在第二次世界
大战中，因设计能破
译德军密码的机器
而受勋.
分组分解法是
因式分解的基本方
法，休现了化整体为
:
局部又统揽全局的
圃'
分解因式:CX 4 +x 2 -4)CX 4 +X 2 十3 ) 十10=一一
思想，如何M 分组
("五羊杯"竞赛题)
: 是解题的关键，常见
的分组方法有
思路点拨
视X 4+ X 2 为一个整体，用一个新字母代替，从而能简化式子
'
吁
(1)按字母分组;
的结构.
(2) 按次数分组;
(3) 按系数分组.
.2
面'
多项式工2 y _ y 2Z+Z 2 X - X 2Z + y 2 X 十冉一2xyz 因式分解后
的结果是(
、
、
』
/
、
、
』
/
zz
一
+
ZZ
/
，
‘
、
/
'
'
飞
、
、
，
/
、
、
，
/
y
y
+-
T
品
z
i
、
f
飞
、
、
，
/
、
、
』
/
z
z
一
十
v
d
v
ν
/
，
、
、
、
/
，
、
、、
AC
B. (Y - Z)(X - y ) (X + Z)
D. (Y +Z)(X + y ) (X - Z)
( 上海市竞赛题)
思路点拨
原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，
-.~画~
撞撞。"…
为了能迅速解
决一些与代数式恒
可以把原式整理成关于某个字母按降幕排列的多项式，改变其结构，寻找分
:
等变形相关的问
解的突破口
题，读者应熟悉如
下多项式分解因式
面'
分解因式:
(1) (x+ 1) (x+2)(x+3)(x+ 6)+ x 2.
(2) 1999x 2 一(1 999 2 - 1)x - 1999.
(3) ( x + y - 2xy)( x 十y - 2) + ( xy 一1) 2 .
( 4) (2x - 3 y ) 3 十( 3x - 2y) 3 - 125( x - y) 3.
( 天津市竞赛题)
(重庆市竞赛题)
C"希望杯"邀请赛试题)
("五羊杯"竞赛题)
思路点拨
(1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当
把4 个因式两两分组，使得分组相乘后所得的项有相同的部分; ( 2) 式中系数
较大，不妨把数用字母表示;(3) 式中x + y ，xy 多次出现，可引人两个新字
母，突出式子特点; (4) 式前两项与后一项有密切联系.
后的结采:
(1) a 3 + b3 =
(α + b ) (α 2 -ab +
b2 ).
(2) a 3 - b3 =
: (α - b) (a2 + ab +
b 2 ) •
(3)α 3 十b 3 +
c 3 -
3abc = (α +
b+c ) • (α 2 + b2 +
: c 2 - ab - bc - ac ) .
从换元的形式
，
看，有常值代换、式
的代换;从引元的
:
个数看，有一元代
:
换、二元代换等. 换
:
元的思想是简化式
( .. 五羊杯" 竞赛题)
:
子的表达形式，在
圃'
分解因式:
(1 )α 2 (b - C) 十b 2 (c - a ) 十c 2 (α - b).
( 2) x 2_ y 2+ 3x - y + 2.
( 3) x 2 十xy-2旷工+ 7y - 6 .
思路点拨
(1) ，( 2 ) 式字母多、次数高，可尝试用主元法;( 3 ) 式是形如
; 值、因式分解、解方
: 代数式的化简求
ax 2 + bx y + cy 2 + d x + ey 十f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或
: 程等方面有广泛的
分组分解法或待定系数法分解.
下面给出( 3 ) 的分解.
解法一
用十字相乘法分解
:
应用，用换元法解
:
题时，需认真观察，
I
恰当变形，发现数
;
式的结构特点.
.3
aE噩噩噩CfJT1n! . J\~ t.i
原式= Cx+2y) Cx -y) -
Cx 一7y) -6
= Cx+2y) Cx - y) + [2Cx+2y) -3Cx - y) J+2 X C -3)
二(x +2y- 3)(x-y+2) .
解法二
用主元法分解
原式=x 2 +Cy- 1) x 一C2y 2 一7y+6)
=x 2 + (y-1)x 一(2y-3)(y-2)
= (x+2y -3) (x - y+2) .
主元法
所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视
其他变元，为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幕排列的多项
式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构.选择次数低的字母为主元，是
确定主元的基本方法，也是运用主元法解题的关键.
[~[Ð 分解因式:X 3 +(2α 十1) x 2 +(α 2 +2α - 1) x+(a 2 - 1).
分析与解
的二次三项式.
("希望杯"邀请赛试题)
因α 的最高次数低于z 的最高次数，故将原式整理成字母α
原式=Cx+ 1) α 2 十(2x 2 + 2x)a 十( x 3 十x 2 - x - 1)
= (x+ 1) α 2 +2x (x + 1)a + (x + 1) 2 Cx- 1)
= (x + 1) (X 2 +2ax 十α2_ 1)
= (x 十1) (x 十α 十1) (x 十α- 1) .
.4
撞撞
。00.. •
"不登高山，不
知天之高也;不
1)各
深溪，不知地之厚
也"
竞赛试题是命
: 题者智慧的沉淀，
:
其蕴含的独特构
思，颇具创造性的
'
思维技巧，涉及学
习的深度广度，镶
;
嵌在中学数学内容
中，是提升思维能
力的重要补充.
Þ'Þ'Þ' 学为训练嘎嘎嘎
••
穷实. .
1. (1)分解因式:X 3 十6 x 2 -27x=
(2) 分解因式:α 3+ a 2-a-l=
(3) 分解因式:8(x 2 _2y2) - x (7x+ y) +xy =
ω 分解因式:一3t+2z-3=
-ø: !:j i-\: ø:
(山东省林坊市中考题)
(山东省路坊市中考题)
(广东省广州市中考题)
(山东省威海市中考题)
2. 设y= 缸，存在实数走，使得代数式(x 2 - y 2) (4x 2 - y2) +3x2 (4x2 _ y2) 能化简为t ，则走=
(浙江省杭州市中考题)
1
3. 己知y= ~x- l，那么
工2-2xy+3y2_2 的值是
. (四川省成都市中考题)
3
也将多项式x 4 +2x 2 -3 分解因式，结果正确的是(
).
A. (X 2 十3)(x 2 - 1)
B. (x 2 + 1) (x 2 -
3)
C.
( x 2 +3 )( x+ 1) (X 一1)
D. (x 2 + 1) (x 十3)(x-3)
5. 多项式ac - bc+ α 2 -b2 分解因式的结果是(
).
A. (α -b)( α +b+c)
C. (a+b)( α 十b- C)
B. (α -b)( α +b-c)
D. (α 十b)(a-b+c)
(四川省中考题)
6. 要使二次三项式X 2-SX+ 户在整数范围内能进行因式分解，那么整数ρ 的取值可以有(
).
A.2 个
B. 4 个
C. 6 个
7. 分解因式:
• •
(1) (x 2 十4x+ 8) 2+3x (x 2 十4x+8) 十2X 2 .
(2) (2x 2-3x+ 1) 2_22x 2+33x- 1.
(3) (x 2 +x 十1)(工2+x+2)-12.
(4) (6x -1) (2x -1) (3x -1) (x- 1) 十二E 2 .
(S)ab ( α +b) 2 一(α + b) 2+ 1.
(6)x 2 十xy -6y 2+X 十13y-6.
拓展. .
D. 无数个
(浙江省杭州市中考题)
("希望杯"邀请赛试题)
("希望杯"邀请赛试题)
8. 在实数范围内分解因式:X 2 y2 -x 2 y -xy 2 十z 十y-l= 一一一一一·
(安徽省淮北市第一中学中科大创新班素养测试题)
.5
a
f&: ~ t& ift tJi四lKiJt\-
9. 分解因式:(X-2) 3 一(y-2) 3 _(X-y) 3 =
("五羊杯"竞赛题)
10. 在1~100 之间若存在整数n
，使X 2 + x - n 能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n
有个.
(北京市竞赛题)
1 1. 在2004 ，2005 ，2006 ，2007 这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是(
).
A. 2004
B. 2005
c. 2006
D. 2007
(广东省竞赛题)
12. 已知α > b > c ，M=a 2 b 十b 2 c 十c让
，N=ab 2 +bc 2 十cd ，则M 与N 的大小关系是(
) .
A. M < N
B. M > N
C. M=N
D. 不能确定
( "希望杯"邀请赛试题)
13. 已知m 为正整数，且8m+40 和8m-40 都是完全平方数，求m 的值.
( 世界数学团体锦标赛试题)
14. 求证: 20182 +2018 2 X 2019 2 十2019 2 是一个完全平方数.
(四川省竞赛题)
.6
分解方法的延拓(2)
数学也是一种语言，从它的结构和内容看，这是一种比任何国家的语
言都要完善的语言，实际上，数学是语言的语言. 通过数学，自然界在论述;
通过数学，世界的创造者在表达; 通过数学，世界的保护者在讲演.
一一一狄尔曼
~~~知识纵横嘎嘎嘎
撞撞
。00.. •
在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法.
香农
( 1916-
2001) ，美国数学家，
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和
; 被誉为"信息论之
的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原
;
父"香农于1 948 年
多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式发表了具有里程碑
数学的语言
化无形为可见
[集} 齐新..憾事事董
鹊万生溅"天草草童蔓草锦译
是什么让一架巨型喷气式飞机
悬浮在空中?是什么让足球比赛出
现在电视荧屏上?数学让那些看不
见的变得可见，唯有借助教学，才能
显现万物背后隐藏的真理.
~~~例题求解嘎嘎嘎
性质的论文一一《通
信的数学理论)) ，该
文用数学勾画出信
息技术的构架.
拆项即把代数
式中的某项拆成两
项的和或差.添项即
把代数式添上两个
符号相反的项. 通过
拆添项，多项式增加
了项数，从而可以用
分组分解法分解.
圃'
分解因式: (1) 4x2- 4x - y 2+4y-3=
配方法与待定
系数法是数学中重
(重庆市竞赛题)
要的思想方法，不
(2) x 3 十5x+6=
C'. 五羊杯" 竞赛题)
思路点拨
对于(1) ，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项
拆成几个数的代数和，以便凑配;对于( 2 ) ，将5 或6 拆成恰当的两数和.
仅仅拘泥于分解因
式，在后续的学习
中如解高次方程、
确定函数解析式、
挖掘隐含条件、讨
论最佳问题等方面
也有广泛的应用.
...1
aE军军噩噩噩
盈·
[制~e
如果x 3 +ax2 +bx 十8 有两个因式Z 十1 和工+2 ，则α + b=
世握。"…
A.7
B. 8
c. 15
D.21
(湖北省武汉市选拔赛试题)
思路点拨
原多项式的第三个因式必是形如x +c 的一次二项式，故可
考虑用待定系数法解，或用赋值法.
[售CÐ
分解因式:
寻找解题途
; 径，是一个创造性
的积极思维过程，
:
解题时，应当想什
么? 怎样想?
(1)回想:在审
(1) x 4-7x 2+1.
("祖;中之杯"邀请赛试题)
: 题的基础上，根据
(2) X 4 +x 2 +2αx+1-a 2 .
(黑龙江省哈尔滨市竞赛题)
:
问题的条件或结
(3) x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1.
(河南省竞赛题)
:
论，回想与问题相
关的概念、公式、定
思路点拨
所给多项式，或有两项的平方和，或有两项的积的2 倍，只需
:
理、法则，能否直接
配上缺项，就能用配方法恰当分解.
:
运用?
问题的常用
:
解法是什么?
等等.
(2) 联想:从一
:
个数学问题想到另
:
一个数学问题的心
[制'
是为何值时，多项式x 2 一切+句2 +3x - 5y +2 能分解成两
j 理活动，寻找一个
熟悉的相似的问
个一次因式的积?
题，或找出与题目
(夭津市竞赛题)
: 接近的原理方法，
思路点拨
因是为二次项系数，故不宜从二次项入手，而x 2 +3x 十2 二
: 变通使用这些知
(x+ 1) (x+2) ，可得多项式必为(x+my 十1) (x 十ny 十2) 的形式.
:
识，寻找突破口.
(3) 猜想:对事
;
物变化方向的一种
"试探"性判断.
.8
[~[Ð 分解因式:X 3 十6x2+11x+6.
解
拆哪一项?怎样拆?可得到下面不同的解法.
解法一
原式=(X 3 +X 2 )+(5x 2 十5x) 十(6x 十6)
=x2 (x+ 1) +5x(x+ 1) 十6(x 十1)
=(x+ 1) (x 2 十5x 十6)
= (x +1) (x +2) (x +3).
解法二
原式=(x 3 十2X 2) 十(4x 2 +8x) 十(3x+6)
=x 2 (x+2) 十4x (x +2) +3(x +2)
(河南省竞赛题)
对所给的数学
问题，根据已知条
: 件和要求，先设出
问题的多项式表达
:
形式(含待定的字
:
母系数) ，然后利用
已知条件，确定或
消去所设待定系
:
数，使问题获解的
:
这种方法叫待定系
数法.
=(x 十2) CX2 十4x+3)
=(x 十1) (x+2)(x+3).
解法三
原式二( x 3 + 1) + (6x 2 + llx +5)
= (x+ 1) (x 2 -
X 十1) +(x 十1)(6x 十5)
= (x+ 1) (x 2 +5x 十6)
= (x + 1) (x +2) (x +3).
因式定理
设f(x )= anx n 十a n _ 1X n - 1 + … +a l 工+a o ( 其中a n ，a n - l
' … ，a l
，a o 都是
整数).若f( 主) =0 ，则f(x)有因式(x 一旦)，p
! a o ，q
! a n ，主称为f(x)=O 的
q
有理根.
特别地，当ι=1 ，若f(x) 有因式( x 一ρ) ，则ρ! a o.
[~[ø 分解因式:6x 3 -llx 2 十Z 十4 .
( 上海市上海中学自主招生试题)
分析与解
6x 3 -llx 2 十x +4=0 的有理根只可能在性的所有因数--;-6
r
,
1
1
2
4
1 1
的所有因数} =斗±1 ，±2 ，±4 ，±
,± ,± ,± ,±
〉中产生，经检验，
1-
-, -- , -
-, -
2 , -
3 , -
3 , -
3 , -
6 1
f (l) =6 X 1 3 -ll X 1 2 十1 十4=0 ，故(x- 1) 是原式的一次因式，运用长除法
求出商式，再继续分解，但由于有因式(x -1)，也可拆项分解.
原式= (x -1) (6x 2 -5x -4)
= (x -1) (2x + 1) (3x -4).
~~~ 学为训练
嘎嘎嘎
穷实
. •
E
圈~
主亩3蜜
。00.. •
一元高次多项
式分解因式有下列
常用方法:
(1)拆添项法.
(2) 待定系数法.
(3) 运用因式
定理.
拆添项是一项
技巧性很强的工
:
作，只有认真观察
多项式的结构特征
和数量关系，才能
正确地对多项式进
:
行拆添项.待定系数
法虽具有一般性，
但是操作过程较烦
琐，因此，需具体问
:
题具体分析，灵活
:
选用方法分解.
1. 已知(2x-2 1) (3x-7) 一(3x 一7)(x-13) 可分解因式为(3x+ α )(x+b)
，其中a
，b 均为整数，
则α +3b=
(四川省凉山彝族自治州中考题)
..9
aE噩噩IUI.tJ;置
'I\~m
2. 已知
a ，b ，x ，y 满足a 十b=x 十y = 2 , ax 十by =
5 ，则(α 2 + b2) xy + αb (x 2 + y2) =
3. 已知α - b = l ，则a 2 -b2 - 2b 的值为(
).
A.4
B. 3
C. 1
D.O
( 山东省威海市中考题)
也• a 4 十4 分解因式的结果是(
).
A. (a 2 十2a -2) (α 2 -2a 十2)
B. (α 2 +2α2)(α 2 -2α-2)
C. (α 2 十2α+2)(α2-2α 一2)
D. (α2+2α +2)(α2- 2α+2)
(河南省竞赛题)
5. 分解因式:
0) 旷十64b 4 •
(2) X4+X2y2 + y 4.
(3) x 2 +O+X)2 +( X 十X 2 ) 2 .
(4) (c →α) 2 -4(b -c )(α - b).
(云南省昆明市竞赛题)
(5) 旷十2α 3 b +3a 2 b 2 十2ab 3 + b4.
C " 希望杯"邀请赛试题)
(6) x 3 十2x 2 - 5x-6.
( 重庆市竞赛题)
6. 己知x 2 十x - 6 是多项式2扩十x 3 -ax 2 十bx 十α + b - l 的因式，则a =
,b =
(江苏省竞赛题)
.10
E . ~ it Ii
7. 已知x 2 +y2 +Z2 -2x+4y-6z+14=O ，则( x - y - z) 2002 =
(北京市竞赛题)
8. 若多项式x 3 -x-a 与多项式x 2 +x-a 有公因式，则α 的值为
(湖北省鄂州高中自主招生试题)
9. 已知a
，b ，c 为任意实数，则(α -b)2_4(α -c)(c-b) 的值一定(
).
A. 大于o
13. 等于0
C. 小于o
u 大于或等于0
(四川省竞赛题)
10. 若M=3x 2 -8xy+9y 2 一位+6y 十13(x ，y 是实数) ，则M 的值一定是(
).
A. 正数
B.负数
C. 零
D. 整数
( " CASIO 杯"全国初中数学竞赛题)
1 1. 分解因式:
(1) 4x 3 -31x 十15.
(2) 2a 2 b 2 十2a 2 C 2 十2b 2c2 - a 4 - b4 -C 4 •
(3) x 2 -2x 一2y2+4y - xy .
(重庆市竞赛题)
(4) X 7 +
X 5 + 1.
( 江西省南昌市竞赛题)
(5) x 4 +2x 3 -9x 2-2x+8.
( "CASIO 杯"河南省竞赛题)
.11
4
.·配置主血腥边岳重墨~~\-
12. (1)证明恒等式:a 4 + 扩+Cα +b)4=2Ca 2 十。十b 2) 2 •
( 北京市竞赛题)
+-
n
u
一
《
n
u
一
+
一
lluv
算
丰
l
、
T
L
，
9
ω
( 日本数学竞赛题)
• •
创新. .
13. 已知a 2 Cb -c) +b2 Cc -a) +C2 Ca -b) =0.
证明:a ,b ，C 三个数中至少有两个相等.
( 北京市竞赛题)
.12
对一个数学问题，改变它的形式，换一种叙述方式，变换它的结构，直
到发现有价值的东西，这是解题的一个重要原则.
一一-波利亚
"""知识纵横嘎嘎嘎
在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代
撞撞。"…
正在典数学家玻
尔林(1 9 05- 1 986) ，
:
瑞典的民族英雄，密
因式分解是代数变形的重要工具，在后续的学习中，因式分解是学习分
: 码战历史上最神秘
数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础.
式、一元二次方程等知识的基础.现阶段，因式分解在数值计算、代数式的化简
求值、不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用;同时，通过因式
分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能
力、探究能力得以提高.因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一.
第二次世界大战极大地促进了密码学
的发展，英国数学家根据波兰提供的信息，
破译了德军"恩尼格玛密码机"以及其他密
码系统发出的密码，成功地改变了这场战
争的结果，也改变了历史.
"""例题求解嘎嘎嘎
蝠~O
(1)若旷+ b 4 =a 2 -2a 2b 2 十b 2 + 6 ，如2+ b 2 =一一一·
(江苏省竞赛题)
(2) 若x 2 +xy+y=14 ，y 2 + xy 十x=28 ，则x+y 的值为
(全国初中数学联赛题)
思路点拨
对于(1) ，通过变形，将原等式变形为关于α 2 + b 2 的等式;对
于(2) ，恰当处理两个等式，分解关于工+ y 的二次三项式.
:
的高手，20 世纪50
:
年代坐镇普林斯顿
高等研究所.
许多多项式分
:
解因式后的结果在
:
解题中经常用到，
: 我们应熟悉以下的
:
常用结果:
(1) ab 土b 士
:
α+ l = (a 土1) (b 士1).
(2) ab 土α 丰
b - l = (a 平1) (b 士1) .
(3)
旷+4 =
α
/
，
‘
、
、
、
，
，
，
?"
+
α
n
/
U
】
、
E
/
十
2
2
十
GG
/
【
飞
门
/
"
(4) 4a 4 + 1 =
(2α 2
十
2a + 1)
(2a 2 - 2α + 1) .
(5 )α 2 + b 2 十
c 2 十2ab + 2bc +
2ac = ( α + b + c) 2 .
(6 )α 3 + b 3 十
: c3 -3abc=(a+b +
c) (α 2 + b2 + c 2 一
:
αb - bc - ac) .
.13
aE罩噩噩罩罩罩
. 1\~ tAl
[制~e
设η 为某一正整数，代人代数式扩-n 计算其值时，四个学生
算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是(
A.7770
B. 7775
C. 7776
D. 7779
(四川省竞赛题)
思路点拨
从变形给定的代数式入手，解题的关键是揭示代数式的值的
特征.
[缸。
计算下列各题:
(2 X 5 十2) (4 X 7+2)(6 X 9+2) (8 X 11 +2) …(l994 X 1997+2)
(1)
(1 X 4+2)(3 X 6 十2)(5 X 8 十2)(7 X 10+2) …(1 993 X 1996+2)'
2000 3 -
2 X 20002 -1998
(2)
。
2000 3 +20002 - 2001
(74 + 64) (1 5 4 十64) (234 +64) (314 +64) (394 +64)
(3) (34 +64) (114 +64) (1 9 4 十64) (27 4 十64) (35 4 十64) .
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
思路点拨
对于(1)
，(2) ，观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，
从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律.对于(3) ，运用
a 4 + 64 =
(α 4 + 16a2 十64) -
16α 2 =(a 2
+8)2 一
(4α) 2 二
(α 2 十4α 十
的(a 2 一句+8) 的结果.
[征。
已知n 是正整数，且n 4 -16n 2 + 100 是质数，求n 的值.
("希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
从因数分解的角度看，质数只能分解成1 和本身的乘积(也
可从整除的角度看) ，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的
思路.
.14
撞撞
。00 .
代数式求值的
常用方法是:
(1)代入字母
的值求值.
(2) 通过变形，
寻找字母间的关
系，代入关系求佳.
(3) 整体代入
求佳.
解题思路的获
得，一般要经历三
个步骤:
(1)从理解题
意中提取有用的信
息，如数式特点、图
形结构特征等.
(2 ) 从记忆储
存中提取相关的信
息，如有关公式、定
理、基本模式等.
( 3) 将上述两
组信息进行有效重
组，使之成为一个合
乎逻辑的和谐结构.
当a+b+c=O
从条件α +b+c=O 出友，运用乘法公式、因式分解可推得如下应用广
泛的结论:
(1)若α +b+c=O ，则a 2 +b 2 +c 2 = 一2(ab+bc+ αc ).
1
，
1
，
1
，
1
，
1
，
1
、2
(2) 若α +b+ c =O ，且αbc 手0 ，则一τ+ 丁+ -=τ=( 一+ -7- +一)
a
0 -
c-
、α
o
c '
(3) 若α +b 十c=O ，又α 3 十b 3 十c 3 -3abc = (α 十b+c)(a 2 +b 2 +c 2 一
ab-bc-ac) ，则a 3 +b 3 十c 3 =3αbc.
[制9
设n 是整数，如果存在整数川，Z 满足η = x 3 十y3 + Z3 -
3xyz ，则称n 具有性质P.在1 ，5 ，20 1 3 ，20 1 4 这四个数中，哪些数具有性质p ，
哪些数不具有性质P ? 并说明理由.
(全国初中数学联赛题)
分析与解
从分解因式工3 十y3 + Z 3 _ 3xyz 切人，揭示具有性质P 的整
数的特征.
(1) 取x=1 ，y=z = 0 ，
可得1 = 1 3 + 03 +03 - 3X 1 XOXO ,
所以1 具有性质P .
取x=y=2 ，z=1 ，
可得5 = 2 3 + 2 3 +1 3 -3X2X 2X 1,
所以5 具有性质P .
( 2 ) 为了一般地判断哪些数具有性质p ，记f(x ，y ，z)=x 3 + 旷十Z 3 -
3xyz ，则
f(x ,y ,z) = (x 十y ) 3+ Z 3_ 3xy(x 十y) - 3xyz
= (X + y + Z) 3 一3(x + y )z(x + y + z) - 3xy (x 十y 十z )
二(x +y+Z)3 - 3(x +y +z) (xy +yz +zx)
= (x 十y + z ) (x 2 + y 2 + z 2 -
X Y - Y z - zx )
=tu +y 十z) [ (x 一川2+ (y 一川2+ ( Z _ X ) 2J
即μyd)=÷(z+y +z )[(z 一川2+ (y 一υ 2 十(Z_ X) 2 J
不妨设z 二三y 二泊，
如果x - y = l ,y - z = O,x - z = l ,
即x = z+ l，y = z ，
则有f(x ，y ，z) = 3z + 1;
圃圈E噩噩噩矗
撞撞
。
τ圈圈--巳τ唱唱-卢.
著名作家托尔
: 斯泰曾说"为灵魂
: 建一块高地，才能
: 俯视尘埃，从容自
信，不流世俗"
低处，变化莫
测，波诡云涌;高处
: 是明净，是静止的
:
永恒.
为思维构建离
:
地!
.15
aE军击呈盛:ftfÆ噩噩噩萃..
如果x-y=O ，y-z=l ,x-z=l ,
即x=y=z 十1，
则有j(x
，y
，z) 二3z 十2;
如果x-y 二1 ，y-z=1 ，x-z=2 ，即x=z+2 ，y 二z+ 1，
则有f(x ,y ,z) =9(z+D.
由此可知，形如3走+1 或3k+2 或9k (走为整数)的数都具有性质P.
因此，1 ，5 和2014 都具有性质P.
若2013 具有性质p ，则存在整数x
，y ，z 使得2013 = (x + y 十Z) 3 -
3(x+y+z)(xy+yz 十zx). 注意到312013 ，从而可得
3 1 (x 十y + Z) 3
，故
31(x+y 十川，于是有91[(x+y 十z ) 3 - 3 (x + y + z ) (x y + yz + zx 汀，即
912013 ，但2013=9 X 223 十6 ，矛盾，所以2013 不具有性质P.
~~~学为训练嘎嘎嘎
••
穷实
. •
撞撞
。00.. •
1. 多项式工2 十户x+12 可分解为两个一次因式的积，整数户的值是一一一一一(写出一个即可) .
(湖北省荆门市中考题)
2. 若边长为a
，b 的矩形的周长为14 ，面积为10 ，则a 2 b 十ab 2 的值为
(山东省枣庄市中考题)
3. 已知当x=2m+n 十2 和工=m 十2n 时，多项式工2 +4x +6 的值相等，且m-n+2手0 ，则当
x=3(m+n+D 时，多项式t 十位十6 的值为
(江苏省南通市中考题)
4. 已知α -b=3 ，b+c=-5 ，则代数式αc-bc+ α 2 -ab 的值为(
A. -15
B. -2
c. -6
D.6
(黑龙江省竞赛题)
5. 正整数x
，y 满足(2x-5)(2y-5)=25 ，则x+y 的值为(
A.18 或10
B. 18
c. 10
D.26
(内蒙古自治区中考题)
6. a ,b ，c 是正整数，α >b
，且a 2 -ab-ac 十bc=7 ，则a-c 等于(
A. • 1
B. 一1 或一7
c. 1
D. 1 或7
( 江苏省竞赛题)
.16
·盟国圈圈~
7. (1)设α=10 9 十38 3 -2 ，求证:α 是37 的倍数.
("希望杯"邀请赛试题)
3
n. 1
(2) 证明:对任何非零自然数n ，n 3 + :n2+ :n-1 都是整数，并且用3 除余2.
2.-
. 2
("华罗庚金杯"少年数学题邀请赛试题)
••
拓展
. .
8. 对一切大于2 的正整数n ，数n 5 -5n 3 十韧的最大公因数是
(四川省竞赛题)
9. 试说明存在无穷多个整数n
，使n 2 +n+41 的值为合数.
分析:如果对+n 十41 可表示成两个因式的积，则它的值显然是合数.
而η 2 +n +41 = (n + 1) 2 一(η-40) ，联想到平方差公式，若n →40 是个完全平方数(设为ρ 勺，则
对+n 十41=(η + 1) 2 -p 2 =(n 十1+ρ) (n 十1 一户)是合数.
显然，对任意整数户，都存在n ，使得n-40= 户2 故有无穷多个n ，使得n 2 +n+41 的值为合数.
试判断下列说法的正误(正确的在括号内画"飞J " ，错误的画"X"):
(1)存在无穷多个整数n
，使n+5 的值是合数.
(2) 存在无穷多个整数n
，使n 2 +1 的值是合数.
(3) 存在无穷多个整数n
，使对+n+1 的值是合数.
、
、
，
J
、
、
B
J
、
‘
，
/
，
，
‘
、
J
，
‘
、
，
，
‘
、
、
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
10. (1)整数a
，b 满足6ab=9α -10b+303 ，则α +b=
(吁且冲之杯"邀请赛试题)
(2) 方程2 m X 3" -3.+ 1 +2 m =13 的非负整数解(m ,n) =
("新知杯" 上海市竞赛题)
11. 方程xyz+xy+xz+yz+x+y+z=2012 的非负整数解有(
A. 6
B. 12
C. 24
)组.
D.27
( .. 华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
.11
aE噩噩主噩噩
j! . J\~~
12. 已知正整数a
，b ，c ，d 满足。=cd ，则α +b+ c +d 有可能等于(
A.101
B. 301
C.401
D. 前三个答案都不对
(北京大学博雅计划圳试题)
13. 黑板上写有1 ，工，...，-L共100 个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a ，b ，然后删
2'
, 100
去a
，b ，并在黑板上写上数α +b+ab ，则经过99 次操作后黑板上剩下的数是(
).
A.2012
B.101
C.100
D.99
(全国初中数学竞赛题)
(24 +22 +1) (44 +42 +1) (64 +62 +1) (84 +82 +1) (104 +102 + 1)
14. 计算:(1) (34 +32 + 1) (54 +52 + 1) (74 +72 + 1) (94 +92 + 1) (1 1 4 十11 2 + 1)'
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
20132+2011
40202 - 8040
(2) ==~~ ? . ==幅:- X …. .
(北京市竞赛题)
rx 十y 十xy=8 ，
(3) 已知z 巾，z 为正数，且满足怡+ z +yz =15 ，求x+y+z+xy 的值.
lz+x+zx=35 ,
(新疆维吾尔自治区竞赛题)
• •
15. 设a
，b 为实数，c 为正实数，α 手b ，且旷-2019α= 扩-2019b=c ，证明:--Íc<ab < O.
(巴尔干地区数学竞赛题)
.18
没有数学公式的帮助，我很难传递出我心里的数学的旋律之美.
一一伊藤清
~~~知识纵横嘎嘎嘎
分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等
主要内容.
分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和
约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具，分式的加减运算是分式运算
的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的
撞撞
。00.. •
策略与技巧有:化整为零，分组通分;步步为营，分步通分;减轻负担，先约分
:
整体与局部是
再通分;裂项相消后通分等
一对矛盾，又可相
国1
圃锢
因
1948 年，美国数学家维纳(1 894- 1 96 4)
，发
表了他的划时代著作《控制论>> ，控制论在各种领
域内得到广泛应用
，并促使人类改变对世界和对
自身的认识.
~~~例题求解嘎嘎嘎
[候D
(1)当m 二
( m - l) (m 一3)
时，分式
?
~ … 的值为零.
(2) 要使分式一」一一有音义，则z 的取值范围是
1 一|剖'】'
Ixl
(浙江省杭州市中考题)
("希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
对于(2)
，当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是
繁分式，因此考虑问题应细致周密.
互转化，当一个数
学问题不能或不便
于从整体上加以解
决时，我们常从局
:
部入手将原题分
:
解，这就是解题的
:
分解策略.解绝对值
问题时用的分段、
分类讨论，因式分
解的分组分解法，
:
分式运算中的分步
;
分组通分等，是分
;
解策略的具体运用.
.19
aE重mül"tjJ)回11\)1，\-
出=山+的减类系
导
寸
2
c
l
叩
1
-
b
和
加
这
定
1
二
一
!
一
协
+
悦
式
解
忡
M
忖
忡
ω
l
-
a
K
M
材
算
m
t
词
f
ι
→
(
-
K
个
口
运
常
刮
得
叫
μ
一
一
一
一
ρ
)
=
几
式
逆
题
法
c
数
得
-
d
l
-
f
l
-
c
3
c
成
形
的
问
数
1
1
1
(1)当z 分别取值一一一，一一，…，一，1，2 ，…，2006 ，2007 时，求
2007 ' 2006 '
' 2
[锐'
撞撞
。0 0. . •
....-=-τ晴-.
出代数式止ζ的值，将所得的结果相加，其和等于(
1 +x ~
从条件a+b+
以下重要结论:
D. 2007
c. 0
B.1
A. -1
(1)构造相反
(全国初中数学联赛题)
1
1. 1
__ . 1 . 1 . 1
(2) 已知α +b 十c=O ，一十一+一=-4 ，那么丁十古+丁的值为(
a . b . c
- ,,-,- ~
a 一
(2) 移项平方
D.20
C. 16
B. 8
A.3
(3)a 2 +b 2 十
1
1
(4)
一τ+ 丁+
a-
0
("CAS I O 杯"湖北省武汉市选拔赛试题)
1_~ 2 l-(=f
对于(1) ，取值成对互为倒数，不妨先计算L二τ+ 一一二一;
1 +X 2
1 +(;)
思路点拨
1
1
1
, 1d
, 1\2
, 1\2
对于(2) ，由主+F+F=(z)+( 百)十(7)
想到完全平方公式.
(5)a 3 +b 3 +
计算下列各题:
112α4α 3
(1)一-一+一一一+一一一一+一一一一
a-b ' a+b 'a 2 +b 2
旷+b 4
嚷~.
(2) 一」一一十
1
+
1
+ …+一一
1
x(x+D ' (x+ 1) (x+2) , (x 十2)(x+3)
,
'(x+99)(x+100)"
1
1
(3) 一一+一一十
+一一一一
1+α
1-a ' (1 +α) (1 +2α) ,
(1
α) (1 -2α) .
思路点拨
因各分式复杂，故需观察各式中分母的特点，恰当运用通分
的相关策略与技巧.对于(1)，分步通分;对于(2) ，拆项再通分;对于(3) ，分组
后通分.
把一个分式写
6x 十3
(1)若Z 取整数，则使分式一一一的值为整数的工的值有
个.
2x-1
圃'
(江苏省竞赛题)
(2) 求最大的正整数n
，使得η 3 +100 能被n 十10 整除.
(美国数学邀请赛试题)
..20
E!&~=W，*型坠
撞撞
。" …
:
在"，不只是数学元
;
所不在的应用，而
:
且是数学思想对于
4
人类文化的无所不
:
在的渗透，它已成
:
为人类思考的一种
方式、习惯.
对于(1) ，因相关分式中分子的次数大于或等于分母的次数，
故可用分离整数法解题.对于(2) ，通过将整式整除的问题转化为一个分式问
题来加以解决.
分析与解
(1)原式=3+~一，由题意得(2x 一1) 1 6 , 2x - 1 = + 1 , + 2 ，土3 ，+6 ,
2x-1
只有当2工一1=+1 ，士3 ，x 才为整数，即满足条件的z 有4 个.
• n 3 + 100
(η 3 +1000) - 90o
900
(2) ..一一一一= , ._
~-，- = '_ --- =n 2 -10n+100-_"::一一为整数，
n+10
n + 10
.•
~ V . .
，
~ VV
n 十10
"数学无处不
构造分式，即把有些整式问题转化为分式形式，在分式形式下进行运
算，从而使问题变得简单或能巧解.常见的转化途径有:恰当取倒数、运用等
.. (η 十10)1900 ，从而n 的最大值为890.
掏遭分式
设a ,b ，c 均为非零实数，并且ab=2( α 十b ) ,bc = 3 (b + c ) ，cα=
式性质、字母化等.
[制9
4(c+ α) ，则α 十b+c =
(北京市竞赛题)
1
1
1
1
1
1
对已知三式取倒数，得一= 一一一- 一=一一一一一= 一一一一
ab
2(α 十b) 'bc
3(b 十c) , cα
4(c+α) .
1
-2
一
一
1
-b
十
1
-a
解
24
24
解得α =~ ，b 二
，c 二24 .
5 ,-
7
1
-3
一
-
1
7
L
+
1
-b
1
-4
一
一
1
-nu
+
1
-c
. . .
.21
24
, 24
,
1128
..
a 十b+c= 一+ 一+ 24 二一一
5 ' 7
,
-
-
35
aE军噩噩II'èJl.jf墨IlIiJØI
~~~学力训练嘎嘎嘎
••
穷实
. •
1 若仨1·|m|=伫1 ，则m=
ηz 一-1
m 一-1
(浙江省杭州市中考题)
1
1
_.2x-5xy+2y
2 . 已知一十一=5 ，则
x
Y
~'N x+2xy+y
("希望杯"邀请赛试题)
3
1 \
2x 2 - x
3 化简: (开1- ; ) -;-工2 +2x +1-一一一
(贵州省贵阳市中考题)
( x -8) (x 十1)
也. 已知式子
I
寸
的值为零，则z 的值为(
).
A. +1
B. 一1
C. 8
O. 一1 或8
(江苏省竞赛题)
a 2 +b2 b2 +C2 , C2 +α 2
5. 设实数α
，b ，c 满足α 十b+c=3 ，a 2 +b 2 +c 2 =4 ，则一一一+一一一+一一一=(
).
2-c ' 2-a ' 2-b
A.9
B.6
C. 3
4 \
a Z
6 如果α 2 +2α 一时，那么代数式(a 一一) .击的值为(
)
a '
a- L,
A. -3
B. -1
C. 1
7. (1)先化简，再求值:
..22
(:: 2 -2什l+ z2
4
、
1
一一一- ) -;-一，且z 为满足一3 <x< 2 的整数
X 2 -
X
'x 2 + 2x / . x
0.0
D.3
(全国初中数学联赛题)
(北京市中考题)
(贵州省中考题)
E~
i\: Il
3x 2 -7x+ 2
. A
B
(2) 己知/
唱
、=3+ 一一十→一其中A
，B 为常数，求4A-2B 的值.
x-1 I x+1'
("五羊杯"竞赛题)
••
1
1
8. 已知αbc= 一，则
4 '/ '~ 2ab 十α+ 1 ' 4bc + 2b + 1 ' 2ca + 2c + 1
一一一一一·
("希望杯"邀请赛试题)
7n+15
9. 若一-7为整数，则整数η 可能取的值有
个.
n- δ
(世界数学团体锦标赛试题)
12+22 . 2 2 十3 2
3 2 十4 2
1004 2 十1005 2
10052 + 10062
10. 已知A= 一一一-+一一一+一一一+…+
十
，那么A 的整数部分
1 X 2 . 2 X 3 . 3 X 4
'
. 1004 X 唱^^ 俨
咱八八
唱^ ^ "
是
(北京市竞赛题)
1 1. 考虑分数王(工，y 为两个互素的正整数)组成的集合.若分子和分母均增加}，则分数的值增加
y
10 % .则这样的分数有(
)个.
A.O
B.1
c. 2
D.3
E. 无数多
(美国数学竞赛题)
Z
12. 已知实数x
，y 满足:x- y-3=0 ,2y 3 +y-6=0 ，则一_y 2 的值为(
).
y
A.O
l
B.= 2
C.1
D?
( 上海市复旦大学附中自主招生试题)
13. 设有理数α ，b ，c 都不为零，且α 十b十c=O ，则
1
十
1
+
1
2 的值是(
).
b2 +C2 -a2 ' C 2 十α 2 -b 2 ' a 2 十b 2 -c
A. 正数
B. 负数
C. 零
D. 不能确定
(重庆市竞赛题)
..23
aE军!ßüI'V'fi)f主
1也. 计算下列各题:
• •
1
1
2
4
8
(1)一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
x -
1
x +1
x Z+1
x4 +1
x 8+ 1'
ωf+t(1+f)+;(1+:)(1+t)+j(l+f)(1 寸)(1+:) 一( 1 寸) (1 寸)
(1+:)(1+~)
X3
X n
(3)
", + /
,/
0
, +…+
Xj (Xj +X z) . (Xj + Xz )(X j + X2 十工3 )
'
'( X j + 工2 十… + Xn - j )( X j+ 工2 + … + Xn )'
("创新杯"竞赛题)
创新. .
15 ，甲将数A 用两个不同形式的分数来表示，不巧，这两个数均有一部分被墨水挡住，如图.
乙看见这个被污染的表达式，并打算找出所有满足现在关系的A ，己知被墨水挡住的数均为正
整数，但A 不为正数.乙找出了满足图中的A 的所有可能值，其中，最大的记作A max ，最小的记
作Amin.求Amax -
A min 的值.
A= 啕尊+3
「「τ事
第
1 5 题图
(荷兰数学竞赛题)
.24
能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、整齐和神
秘之美的能力的人.
一一庞加莱
~~~知识纵横嘎嘎嘎
给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值.而分式
的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，
先化简后求值是解有条件的分式化简与求值的基本策略.
撞撞。。。…
波利亚(1 887-
198 5 ) ，美籍匈牙利
数学家、教育家.对
解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件;既要
; 数学思维一般规律
根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的
:
有深入的研究，这
知识方法外，还常常用到如下技巧:恰当引人参数;取倒数或利用倒数关系;方面的著作有: (( 怎
拆项变形或拆分变形;整体代人;利用比例性质等.
圃'
怎样解题?怎样发现创造数学
的新命题?波利亚试图提炼出思考
所遵循的路径，引导读者如何去思考
问题、分析问题.
~~~例题求解嘎嘎嘎
JE 2
1 __. 5x 4 -15x 2 十5
(1)如果
-
? -'-'-=~'那么
----
x 4 +x 2 +1
4
:
样解题>> (( 数学的发
;
现>> (( 数学与猜想》
:
等.他曾说"好问题
如同一个蘑菇，当
你找到第一个蘑菇
:
或做出第一个发现
后，再四处看看，它
们总是成群生长"
在解某些含多
个字母的代数问题
(江苏省竞赛题)
时，如果已知与未
知之间的联系不明
显，为了沟通已知
("希望杯"邀请赛试题)
与未知之间的联
系，则可考虑引入
思路点拨
对于(1) ，由条件出发，先求出什去的值;对于(叫人参
; 一个参数参数的引
b
c
d _.a-b+c-d
(2) 若一=一=一=一，则
I
7
7 的值是
b
c
d
a
数，利用参数寻找a ,b ,c ，d 的关系.
入，可起到沟通变
元、i肖元的作用.
.25
-IE辈革!;J ;jfi'UI昼后-画iS!，\.
圃'
1
1
1
1
若川
，c 满足一十一+一=一一一-，- ,JJltl a ,b ，c 中(
a
b
c
α +b 十c
A. 必有两个数相等
B. 必有两个数互为相反数
D. 每两个数都不相等
C. 必有两个数互为倒数
思路点拨
(天津市竞赛题)
1
1
1
1
运用条件，从一十一=一一一一一一人手，可减少计算量
a 'b
a +b 十c
c
圃'
(1 -a) 2 , (1 -b) 2
已知非零实数a ,b ，c 满足α 十b+c=2 ，bc一十-zτ一十
(1-c )2
一-7一=3 ，求ab 十bc+ca 的值.
ao
(全国初中数学联赛题)
思路点拨
对含分式的条件等式通分展开，为方便运算，设"十bc 十ca=
t ，通过换元、恒等变形建立关于t 的方程.
[征。
111
已知实数a
，b ，c
，d 互不相等，且α 十
=b 十一=c 十丁=d 十
b
c
d
1=z ，试求工的值.
α
(全国初中数学联赛题)
分析与解
以退求进，从我们熟悉的简单问题入手.
问题1 :己知a+l=lJ+1=1 ，求c 十i 的值
o
c
a
分析
1 :条件分别是α 与b ，b 与c 的关系，而结论是关于c ，α 的值，可考
虑将条件中字母b 消去.
111
问题2 :已知α+γ =b+ 一=c + 一=xC α
，b
，c 互不相等) ，求工的值.
o
c
a
1
. 1
分析2:
由α 十
=x 得b=--- ，由b+-=-=x 得c= 一一=一一一一-
工-a
c
工-b
1
?
G J 代人c+i=z 得
?z -G
咱十1 二x ，
二c 一-α 二r -1
α
二cα 二r-1
α
整理得ax 3 一Ca 2 +1)x2 -ax + α2+1=0 ，
工一一一一一
二r - α
.• x 2 (αx-a 2 - 1) 一(αx-a 2 - 1) =0 ，即(αx -a 2 -1) Cx 2 -1) =0 ,
由ax -a 2 -1=0 得x= α+_!_ ，此时α =b ，与题设不符.
α
.26
撞撞
。00.. •
若x 2 - PX 十1
=o(ρ 为不为零的
常数) ，则:
(1) X 2 十
1 二
:
ρx
，x 2 _ px= - 1.
(2)z+i=
工
;
户，进而可求出
x 2
+击，X 3 十去等代
数式的值.
在直接求解、
求证原问题难以入
手时，把原问题作
适当的变换，如换
一种说法、换一种
形式，构造一个或
几个比原问题简单
或熟悉、易于求解
的新问题，通过对
新问题的研究，发
现房、问题的解题思
路，这就是数学解
题中的转换思想.
则x 2 - 1 二0 ，
二x = + 1.
以上两个问题的解法共同点是: 消元求值.
差异分析法
通过寻找目标差，不断缩小目标差而实现解题的思考方法，称为差异
分析法.从何处入手? 向哪里迈进? 这是差异分析法解决问题的两个基本
切入点，目标意识、减少差异、消除差异，成功实现代数恒等变形中的有序
推理.
[~[ø 已知了三一+一生一十一二丁=0 ，
。一- c
c 一- a
a 一一。
求证· 一一乙τ+一
b 寸+一
c 寸二o .
. (b - c) ~
, (c-a) 2 ' (a - b) 2
(全国初中数学联赛题)
分析与解
容易想到对条件关系式进行平方运算，但此时分子中字母却
多了平方，这是目标中不应出现的，需另辟蹊径消除目标差.
b
c
.. _ . .
.. _ ._
1
1
1
对条件等式7二十
+ 一丁= 0 的两边，分别乘7一，一一，一一丁得
。- c
c - a
a - o
o - c
c 一α
α
。
a
b
c
一-"
(b- c) 2 ' (b - c)(c- a) ' ( a - b ) (b -c)
v ,
生一一一十一旦一一十
c
= 0 .
(b- c )(c -a) , ( c - a) 2 ' ( c - a) ( a - b)
~
，
α
b
c
十
十一- "
(α - b)(b -c) ,
( c - a) (α - b) ,
(α - b) 2
川
由①+②+ ③，移项得
a 一τ十一
b τ+一
c 一τ
(b - c ) ι
飞c - a γ
(a - b ) ~
①
②
③
b
c
(b -c) (c-a)
( α - b )(b - c)
G
(b -
c ) ( c - a)
αb
( α - b) ( b - c )
(c - a) C α - b) ,
通过化简得
a一，?十一土一~+一二一一τ = 0
飞。- c ) '
Cc - a )'
Ca - b)'
C
( c - a) ( α - b )
-E罩~
撞撞。"…
解数学题是
运用已知条件去
探求未知结论的
一个过程，如何运
用已知条件是解
题顺畅的重妥前
提，对已知条件的
运用有下列途径:
(1 ) 直接运用
条件.
(2)
变形运用
条件.
(3 ) 综合运用
条件.
(4) 挖掘隐含
条件.
.21
aE翠mfil理罩噩噩EE噩E
~~~学为训练嘎嘎嘎
• •
穷实
. .
1
已知实数α 满足a 2 十1 二叫U a 2 十生的值为一一
(黑龙江省大庆市中考题)
b
c
_.3α 十2b+c
2 .
己知abc 芋0 ，且一=一二一，则
=
cαα -2b-3c
("希望杯"邀请赛试题)
1
1
4
3
已知ffF石言，则(z)
一(~ r V<V =一一一
( 上海市华东师大二附中自主招生试题)
1
L
, 1
1 \
, 1
1
也
已知abc 剖，且α +b+c=O ，则α( 万十; )十b(7+z)+c(z 十万)的值为(
).
A.O
B.1
3
2
_.2x-3y-xy
5 .
已知一一一=3 ，则
=(
).
x
y
~'/'~7xy+9y-6x
I
A.--=--4
1
B. -4
C. -1
c-7
U -ma 2+1
6.
已知α 2 十4a +1=0 ，且A
穹
I
?
I
n
==3 ，则m=(
) .
A 旦
2
B._ 19
2
C.19
D. -3
I
D' 3
D.-19
( 广东省竞赛题)
("五羊杯" 竞赛题)
(湖北省麻城一中预录试题)
1
1
1
1
1
1
7 .
已知:ax 二by=cz=l ，求一一-一十一一一+一一一十一一一+一一一+一一丁的值.
1+α 4 ' 1 +b4 ' 1 十c 4 ' 1+x4 ' 1+y4 ' l+z
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
••
拓展
. •
8. 已知实数α ，b ，c 满足α +b+c=l 一
1 一十一一1 一+一
1 一二1 ，则αbc=
'α +b-c ' b+c-a ' c+α -b
(全国初中数学联赛题)
.. 28
E理罩匮理~
y+z-x z+x-y
x + y - z
9 . 若x+开7FIZZ=FF7= 户，则P 十p Z 十户3 的值为
(北京市竞赛题)
2
1
1
刑
10 已知，y 为珊，且开了77' 则(扩
(y) 的值为-一一
(福建省"大梦杯"竞赛题)
(1 -a) 2 , (1 -b)2
1 1. 已知α +b=2 ，一一一一十一一一一=-4 ，则"的值为(
).
b
a
A.1
B. 一1
c-t
Df
(全国初中数学联赛题)
3b+c
12 . 己知实数a ,b ，c 满足2α + 13b +3c =90 ，3α 十9b+c=72 ，则一一一= (
).
a+2b
A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
(全国初中数学联赛题)
2
2
_
2
13. 若互不相等的实数
a
，b , c 满足α+ 一一一=c+ 一一及b+ 一一一=α 十一一，则
b+c
-, c+a ~
~
, c+αα +b
(α +b)(b+c)(c 十α) 等于(
).
D. +2fi
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
1ι 己知x ，y ，z ，a
，b ，c 均为实数，且x =by +cz ,y =cz + α工，z= αx+by( 其中abcxyz#O)
，求
A.1
B. 2fi
C. +1
值
的
h-h
+
川
一
旧
+
α
-
a
二
+
(湖南省长沙一中理科实验班招生试题)
••
创新. •
15. 若实数a ，b ，c 满足(a 十b 十c ) (
I ,1
r +, I 1
r- . + . I 1 L1.)二旦，求(α 十b+c)
飞α 十b-5c
' b+c-5a ' c+α -5b /
5
111
(; +τ+; )的值
(全国初中数学联赛题)
.29
二次根式的运算
数学的发展和至善与国家的繁荣昌盛密切相关.
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
式子j(l cρ0) 叫二次根式.
同类二次根式、有理化是二次根式中的重要概念，它们贯穿于二次根式
运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除
法、混合运算常用到有理化概念.
二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常
常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等.
深蓝CD ee p Blu e ) 是由
IBM 开发
，专门
用于分析国际象棋的超级电脑.1 99 7 年
5
月曾击败国际象棋世界冠军卡斯帕罗夫
( 图左) .
这成为该年的世界重大新闻
，标志着
人造机器已经在一个曾经作为人类智慧象
征的思维领域内超过了人类自身
，这要归
功于博大精深的.. 控制论"
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
['[0 已知什亘-JE叫川=一一
(重庆市竞赛题)
思路点拨
因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二
次根式的定义人手.
.30
撞撞
。00.. •
二次根式有如
下重要性质:
(1) 5 二三0 ，说
明了5 与
| α
I , a 2n
一样都是非负数.
(2) (5) 2 =α
(a 二三0) ，解二次根
式问题的途径一一
通过平方，去掉根
号有理化.
(3) Jaτ =
I a
l
，
揭示了与绝对值的
内在一致性.
著名数学家波
利亚曾说"回到定
义中去"当我们面
对条件较少的问题
时，记住波利亚的
忠告，充分运用概
念解题.
嚷~e
若实数α ，b 满足a Z + b 2 =4 ，江古工4) +Jαb 一切+2b-6 =
(
) .
A.-2
B.O
C.2
0 .4
( 湖北省华师一附中自主招生试题)
思路点拨
由条件及二次根式概念发掘α
，b 的值.
圃'
计算:
(1) - L+
1
+
1
十… +一一
1
3 十13
513 +3j5 7 j5 +5J7
49 )4于+47 )4百
(2) 14石立了+14弓13 .
-~置~
撞撞
。00'
形如JA:i万言
: 的根式称为复合二
:
次根式，常用配方、
自平方、引入参数等
: 方法来化简复合二
:
次根式.
应用非负数概
; 念和性质是初中代
: 数解题的常用方法
: 之一，
I α
1
，沪
，
;-;;
( 北京市竞赛题)
是三种重要的非负
(3) ~ho+813石万.
: 数表现形式.
判断一个数是
C' 希望杯"邀请赛试题)
否为非负数，最关
思路点拨
对于(1 ) ，若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察
j 键的是看它能否通
: 过配方得到完全平
分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化等方法寻找它们的联系，以此为解
题的突破口.对于(2)
，把4 十213与4-213分别化成一个平方数化简，此外，
由于4+2 13与4 一213是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我
们还可以运用这一特点求解.
-~ ~ '-_
j5 - 1α 10 + 1
l 例。
已知α = 一一一，求一一一的值.
_...,..
L..-' /'H --
2α 5+ 3
C " 华罗庚金杯" 少年数学邀请赛试题)
思路点拨
代人计算显然较繁，对条件等式平方，构造含α 的零值多项
式降次求解.
[制9
问题背景
在，6，ABC 中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为点，汀百，
汀言，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建
立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1) ，再在网格中
画出格点，6，ABC( 即，6，ABC 三个顶点都在小正方形的顶点
带t
图①
方式如α 士2 vab
+b=(σ T_J[} ) 2 .
.31
aE草草画面...
匾革.
(l ) c =vÍa可77.
α~
主lil量
。00 •••
: 题，本质是代数语
言向图形语言的转
:
换，需熟悉下列基
:
本代数关系式的几
:
何意义:
: ef.
; 用
处) ，如图①所示.这样不需求，6.ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.
(1)请你将，6.ABC 的面积直接填写在横线上:
思维拓展
(2) 我们把上述求，6.ABC 面积的方法叫作构图法，若
构作图形解
图②
，6.ABC 三边的长分别为J5a
，2 ./2 a
，汀?α(α > 0) ，请利用图
②的正方形网格(每个小正方形的边长为α) 画出相应的
，6.ABC ，并求出它的面积.
探索创新
(3) 若，6.ABC 三边的长分别为vm 2 +16矿，气19m 2 十4η 2 ，2 J玩Y丰;z
(m > O ，n > O ，且m 手川，试运用构图法求出这个三角形的面积.
c-d
一
-
a
一
·
·
·
。
、
B
，
，
，
?"
/
'
飞
(湖北省成宁市中考题)
3
7
(1) S M BC = 3 X 3 -1 -
3 一一~ .
2
2
A@
(3 ) x= ~.
A\
解
(2) JI7 a 可看作两直角边为知和a 的直角三角形的斜边，J5 a
，2 ./2 a
类似.，6.ABC 如图③所示(位置不唯一) ,
1
1
S ^ A Rr 二2αX4α 一
× α X 2α
一X2α X 2α 一丁× α X 4α=3α 2
U 口U v
---
---
2 . -_ . --
2. . -_ . . --
2
(3) 构造，6.ABC 如图④所示，
1
1
S ^ ARr =3m X 4η 一一X mX4η- = X 3mX2n
一X 2m X 2n =5mn.
U
J"'1 U lJ
_ ..-
_._
2 . ..-
_.-
2
A
/
ν/ \
B
卜~卜飞这
C
图③
菁理化
有理化是解有条件的二次根式化简与求值问题的关键，有理化的主要
途径有:
(1)乘方:(j;; ) 2 =a.
(2) 配方:.[;τ =Ial.
(3) 对一个代数式分母或分子有理化.
(4) 在等式两边同乘有理化因式.
.32
(制@
己知实数川满足〈什d可1) (y 十)y 2 +1)=1 ，求证: x+
y=O.
(俄罗斯数学奥林匹克试题)
分析
在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式人于，而化简
的基本方法是有理化.
证法-
x+占牛1=
一二♂可T 一γ
y 十飞y 2 +1
-
Jd 十y=JY年1- yÇ可1.
得y+R丰1=乒言丰1-x
，①
两边平方并整理得dτ +1
. 而τ丰1=1-xy
，
两边再平方得x 2 y 2 十x 2 +y2 +1=X 2y 2 -2xy+1 ,
即(x +y)2 二0 ，故x+y=O .
证法二
将原等式两边分别乘以有理化因式♂丰1-x ，JYτ丰1-y
，
工+占可T 二σ可1-y ，②
①+②，得z 十y=-(x 十y)
，故x+y=O.
~~~学为训练嘎嘎嘎
• •
穷实
. .
1 已知ra+ J二斗，则α
工的值是
九、
G
,.,; a
E~$'''=JlW理坠
主ã'蛋
。00 . . •
特殊与一般是
:
能相互转化的，而一
: 般化是数学创造的
: 基本形式，数学的根
: 本目的就是要揭示
: 更为普遍、更为深刻
:
的事实和规律.
(湖北省襄阳四中自主招生试题)
2. 计算(13+ 1) 2001 - 2(13 + 1) 2000 - 2(13 + 1) 1999 +2001 =一一一一·
(天津市选拔赛试题)
3 . 已知实数m
，n 满足14-2ml+(η -2)2+ J (m-2) η 2 =2m-4 ，则m +n= 一一一一一·
f5十1
_
o x 2 -x+1 十213
工=一τ一，则
的值为(
).
2
" "( X2_X) 2+2+13
A 于
13
B.';
C.13
(湖北省华师一附中自主招生试题)
D.13或子
(湖北省华师一附中自主招生试题)
5 . 已知整数x
，y 满足5+2σ= 布百，那么整数对(x
，y) 的个数是(
).
A.O
B. 1
C. 2
D. 3
(江苏省竞赛题)
.33
dE军mVl'~f)罩罩
6. 设α =/2-1 ,b=3-2/2 ，c=J3 -J言，则α
，b ，c 的大小关系是(
) .
A. a>b>c
B. c > b >α
C. c >α > b
D. a> c> b
(四川省竞赛题)
7. 计算:
(1) J 1999 X 2000 X 2001 X 2002+ 1.
(2) 132万+ V5
2万+ V7 - 2 jf2十V9 - 2 /2百+ Vl1 - 2λ百+ V13- 2j42 +
V15 一2 布百+V17-2 疗2 .
(北京市竞赛题)
(3) 一
1 一+
1
+
1
+~十
1 _
+
J8+/11 /lI + /14
/14+汀?江于+/2百
d百+ /23
/23 十d百
d百+/2百
d百+132
(北京市竞赛题)
(4) ~ + _ 1
_ +
_ 1
+ …+
1
+
3+13
4/2 十2/4
513+3)5
2012 /2日百十2010 /2百"2
2013 /2百1 +2011 /2页言
1 I
1
1
~ (一一+一一)
~ \/2百"2
/2百言
( " 华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
8. 己知a ，b 均为正数，且dτ平77 ，j4歹丰77 ，;-;τ丰否?是一个三角形的三条边的长，求这个三角
形的面积.
C'. 希望杯"邀请赛试题)
9 . 比(而+)5 ) 6 大的最小整数是
(美国数学竞赛题)
10. 若正整数x ，y 满足Jx - ll百十Jx + 1而勺，则y 的最大值为
(湖北省黄石二中自主招生试题)
1 1. 已知x - y=6 ，Jx 2 - x歹+Jxy _ y 2 = 9 ，则♂亡三歹_Jxy _ y 2 的值是
(全国初中数学联赛题)
..34
-E斗E旨E臼
12. 设ρ =抒a+l+汗E丰1 +抒c + l +汗zτ 1 ，其中α
，b ,c ，d 是正实数，并且α +b+c 十d 二1 ，
则(
).
A. 户>5
B. 户<5
c. 户< 4
D.ρ=5
("希望杯"邀请赛试题)
13. 设a=J2丰万+5=万，则α + l 的整数部分为(
).
A.2
B.3
C.4
M 若α-- 芒
-;=，b=2十点一币，时的值为(
1
A. =
2
1
B.-=-4
c万τ7:
D.5
(安徽省淮北一中中科大创新班素养测试题)
D 一
1 一
点+刁百
(四川省成都七中自主招生试题)
3
3
3
15. 设互不相等的非零实数
a
，
b , c
满足
α+
一
-
b + 一=
c
十二，求
b
c
a
j(α+ ~ f +(b 十;) 2+ (c+?) 2 的值
(湖北省孝感市特色高中自主招生试题)
Jx 4 -3x2 +9 - Jx 4 -4x2 +9
16. 设fCx)
v --
---, -
v - -
---, - Cx> O).
工
(1)将fCx)化成
1
Cα ，b 是不同的整数)的形式.
J g2 Cx) 十α+ Vg 2 Cx)+ b
(2) 求f(x) 的最大值及相应的工值.
("希望杯"邀请赛试题)
.35
数学是一种精神，一种理性的精神，正是这种精神，激发、促进、鼓舞
并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度.
一一-克莱因
~~~知识纵横嘎嘎嘎
一般地，若y= 如十b( 走
，b 是常数，是#0) ，则y 叫作工的一次函数，它的
撞撞。"…
函数图象以其
图象是一条直线，函数解析式y=kx 十b 中的系数符号，决定图象的大致位置
; 形象直观的特征概
及增减性(y 随z 的变化情况).如图所示:才舌了许多显性与隐
由形导数、以数助形，注重从图象中获取信息，并善于促成坐标与线段的
; 性的信息解决函数
转化;分类讨论、动态思维是解一次函数相关问题的关键问题的过程在一定
函数不是一种数，而是描述变化
规律的一种数学模型.函数的功能就
是人类的思维，"函数般的表达思想"
的本质是:发现事物之间的关系.
并~~例题求解嘎嘎嘎
圃~O
(1)在平面直角坐标系中，已知点A(2 ，3)
，B(4 ，7)，直线y=
走z 一走(走芋0) 与线段AB 有交点，则是的取值范围为
(湖北省鄂州市中考题)
(2) 一次函数y= αx+b 的图象II 关于直线y 二-x 轴对称的图象l 2 的
函数解析式是
: 程度上就是释放图
:
象信息的过程，只
: 有全面准确读识图
:
象，从中捕捉数据
: 信息、数量关系，并
: 能将信息还原到问
: 题的情境之中，才
:
能顺利转化问题.
解含参数的一
:
次函数问题，动态
:
思维体现为:
(1)发现定点.
(2)
寻找平移
: 或旋转的直线.
(3) 转移视角，
( 山西省太原市竞赛题)
:
即定直线视为动点
思路点拨
对于(1) ，直线y=kx-k 过定点(为什么?) ，由极端位置建
: 运动轨迹，或动点
h
\
视为定直线上的点.
立h 的不等式组;对于(2)
，ll 与z 轴、y 轴交点的坐标分别为A(-f ，o)
，
.36
-.~自~
撞撞
。00.. •
当一次函数图
:
象与两坐标轴有交
: 点时，就与直角三
:
角形联系在一起，
: 求两支点坐标并能
: 友掘隐含条件是解
: 相关综合题的基础.
对于例
3 ，解决
:
问题的关键是将形
: 转化为运算，化形
: 为数，问题中的条
: 件恰好弥补了建立
: 方程所需的条件.
B(O ，b)
，求出A
，B 两点分别关于直线y=-x 对称点的坐标，这是解题的
(1)设直线nx 十(n 十l) y= J2 Cn 为自然数)与两坐标轴围成
关键.
睛'
的三角形面积为5 n Cn= 1，2 ，…，2000) ，则5 1 + 5 2 + … +5 2000 的值为(
-ti-n/"
nu-nu
nu--nu
qL-qL
D
AU-
-A
nu-nu
nu-nu
n
/
ω
-
n
/
"
C
QU-nu
ny
-nU
Qd-nu
叮
t
i
-
n
/
臼
RU
A.1
(河北省竞赛题)
(2) 已知四条直线y 二走x-3 ，y=-1 ，y=3 和x=l 所围成的四边形的
面积是12 ，则走的值为(
D.4
C. 3
B. 2 或一1
A.1 或-2
(湖北省黄冈市中考题)
对于(1) ，求出直线与z 轴、y 轴的交点坐标，从一般形式人
手，把5 n 用含n 的代数式表示;对于(2) ，把交点的坐标用含走的代数式
表示.
睛'
- x+ m 分别交z 轴、y 轴于A ，B 两点，已知点C(2 ，O)
，设
如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =
思路点拨
x
点P 为线段OB 的中点，连接PA ，PC ，若ζ CPA =
ζ~ABO ，求m 的值.
(浙江省丽水市中考题)
能直接建立关于m 的一元方程吗?由条件得ζOAB=
ζABO = ζ CPA = 45 0 ，45 。给人丰富的联想如下图，为不同的解法创造了
思路点拨
.31
险与
才、
巴
可能.
aE噩噩噩lI1Æi噩噩
圃'
已知长方形ABCO ，。为坐标原点，B 的坐标为(8 ，6) ,A ，C 分
别在坐标轴上，P 是线段BC 上的动点，设PC = m ，已知点D 在第一象限且
是直线y = 2x 十6 上的一点，若D.APD 是等腰直角三角形.
(1)求点D 的坐标.
(2) 直线y=2x 十6 向右平移6 个单位后，在该直线上，是否存在点D ，
使6APD 是等腰直角三角形?若存在，请求出这些点的坐标;若不存在，请
说明理由.
(浙江省中考题)
分析与解
构造全等三角形，注重坐标与线段的转化，并由动点展开讨
论，这是解本题的关键.
(1)如图①，作DE l_ y 轴于E 点，PF l_ y 轴于F 点，则
6ADE三D.PAF ,AE=PF=8 ,OE =14.
由
1 4=2x+6 千导工=4.
••• D 点坐标为( 4 ，14).
(2) 直线y = 2x + 6 向右平移6 个单位后的解析式为y = 2x - 6 .
如图②，当ζADP = 90 0 ，AD = PD
，易得D 点坐标为(4 ，2) .
如图③，当ζAPD=90 0 ，AP=PD 时，设P 点坐标为( 8 ，m)
，则D 点坐
14
标为(1 4 - m ，m + 8)
，由m 十8 = 2 (1 4 - m) -6 ，得m = τ '
28 38
斗点坐标为(τ' 王)
20 22
如图④，当ζADP = 90 0 ，AD = DP 时，同理可求得D 点坐标为( τ ' 王)
_ .. _... , _. 128 38 \ 120 22
综上，符合条件的D 点存在，坐标分别为( 4 ，2 ) ，( τ ' τ ) , ( τ ' τ ) .
y
y
y
B
B(P)
x
图①
图②
图③
图④
疏而不漏
x
解决问题的思维品质，主要包括思维的独创性、灵活性、深刻性、批判
性、完备性等.数学思维的完备性表现为解题时思考周密、讨论全面、密不透
风、疏而不漏.
..38
主D~量
。00.. •
随着数学竞赛
: 的发展，竞赛数学
: 逐渐成为一门独特
:
的数学学科，也可
: 称为奥林匹克数学.
《从数学竞赛
; 到竞赛数学》一书
: 论述了竞赛数学的
:
形成背景，探讨了
: 竞赛数学的教育价
: 值，归纳出竞赛数
:
学的基本特征，界
:
定了竞赛数学所涉
: 及的内容、方法、技
: 巧，研究了竞赛数
:
学的命题原则及命
:
题方法.
例
4 颠覆了传
:
统意义上的动点问
: 题与存在性问题，
: 探索过程是尝试画
:
图，找到可能存在
:
的点，再计算验证.
综合了坐标、方程、
函数、矩形、特殊三
:
角形、全等三角形
:
等丰富的知识，渗
: 透了分类讨论、数
:
形结合等思想方法.
嚷~ø
在平面直角坐标系工Oy 中，直线l:y = kx 十l ( k ;é O) 与直线
工=走，直线y=-k 分别交于点A ，B ，直线工=k 与直线y=-k 交于点C.
(1)求直线l 与y 轴的交点坐标.
(2) 横、纵坐标都是整数的点叫作整点.记线段AB
，BC ，CA 围成的区域
(不含边界)为w.
①当k=2 时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数.
②若区域W 内没有整点，直接写出走的取值范围.
( 北京市中考题)
分析与解
对于问题( 2 ) ②，需要思考的是:区域W 是怎样的图形?
是
的变化怎样影响W 的改变? 作图、分类、特殊化是关键.
(1) (0 ,1).
y
r-- ，一- T ---,--- 'T - - -r --,---T - -
- r -- 、
J
L _ _.J_ _ _.L ___L _ _..1_ _ _L __.J _":.!ι___ L... __ J
←-十--卜-+ - -卡--←- {--- t 一- - --f
L--」一斗---:---~-~-1-- 斗一- ↓-L -- 」
ii
i i WH|
! i x
…一-，炉---1-…---1- ---1
…
r -- 、- --r- - -.-:::-寸一-.------.--寸:..;-r - - 、
H
I
I
l '
(2) ①A( 2 ，川( - 7 ，-M( 2 ，一2)
如图，区域W 内的整点有(0 ，- 1)，(0 ，0)
，(1 ，一1 )
，( 1 ，0 )
，( 1 ，1)
，( 1 ，2 ) ，
共6 个.
②当走> 0 时，结合函数的图象可知区域W 内必含有原点( 0 ，0 ).
当一l~k < O 时，区域W 内无整点.
当一2~走<- 1 时，区域W 内可能存在的整点的横坐标只能为- 1 ，
此时边界上横坐标为一1 的两点M ，N 的坐标分别为( - 1，一剖，( - 1,
是十1)，则MN = 1.
若走= - 2 ，则区域W 内无整点，
若- 2<是<- 1，则1<一走<2 ，2<一走+ 1<3 ，即区域W 内有整点( - 1 ，2) .
当走<- 2 时，边界上横坐标为一2 的两点P ，Q 的坐标分别为( - 2 ，
走) ,
( -2 ，- 2k 十1)，则PQ = 一走+ 1> 3 ，此时区域W 内必有整点.
综上所述，走的取值范围为一1~走< 0 或走=- 2 .
-画理..
撞撞
。00.. •
.39
aE军军军盛温Z墨~萃..
~~~学11 训练嘎嘎嘎
穷实
. .
1. 如图，直线y= 互z 十4 与工轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把L，AOB 绕点B 逆时针旋转90。得到
J
2
L，A101B ，则点Al 的坐标是
( 宁夏回族自治区中考题)
!Y
。l
A,
x
x
B'
第1 题图
第2 题图
4
2. 如图，直线y= 一~x+8 与z 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将L，ABM
3
沿AM 折叠，点B 恰好落在z 轴上的点B '处，则直线AM 的解析式为
(重庆市中考题)
3. 在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(3 ，m)
，(3 ，m 十2) ，若直线y=2x 十b 与线段
AB 有公共点，则b 的取值范围为
(辽宁省大连市中考题)
1 \
. 1
也
y=(k- ~ )x+ ~ (0<走<1)是关于Z 的一次函数，当1 ~x~2 时，y 的最大值是(
).
A.l
B. 2
C. k
DM-f
( "希望杯"邀请赛试题)
5 如图，直线斗x+4 与Z 轴、y 轴分别交于点A 和点B' I~ ω 分别为AB ，
y
OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC 十PD 最小时，点P 的坐标为(
).
c. (一?，。)D(-7 ，o)
A. (-3 ,0)
B. (-6 ,0)
第5 题图
( 山东省枣庄市中考题)
6. 已知过点(2 ，一3) 的直线y= αz 十b( α 手0) 不经过第一象限，设s= α 十2b ，则
5 的取值范围
是(
).
A-5< 5< -7
B-6< 5< -7
c-6< 5 < -7
D 一7<5《-7
( 江苏省镇江市中考题)
..40
·圈圈圈圈..
7. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(m +1 ，m 一1).
(1)试判断点P 是否在一次函数y= x -2 的图象上，并说明理由.
(2) 如图，一次函数y=-lz+3 的图象与工轴、y 轴分别相交于点A ，B ，若点
2
P 在，6AOB 的内部，求m 的取值范围.
( 江苏省泰州市中考题)
Y
B
。
第7 题图
8. 如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标为(0 ，10) ，点
E 的坐标为( 20 ，0) ，直线
l] 经过点F 和点E ，直线
l]
••
与直线川=?z 相交于点P
(1)求直线l ] 的表达式和点P 的坐标.
图①
图②
(2) 矩形ABCD 的边AB 在y 轴的正半轴上，点A 与
第8 题图
点F 重合，点B 在线段。F 上，边AD 平行于工轴，且AB=6 ，AD = 9 ，将矩形ABCD 沿射
线FE 的方向平移，边AD 始终与工轴平行，已知矩形ABCD 以每秒/5个单位的速度匀速
移动(点A 移动到点E 时停止移动) ，设移动时间为t 秒(t> O).矩形ABCD 在移动过程中，
B ，C ，D 三点中有且只有一个顶点落在直线l ] 或h 上，请直接写出此时t 的值.
( 辽宁省沈阳市中考题)
拓展. .
9. 如图，在平面直角坐标系中，以A(2 ，0) ，B( O ，t) 为顶点作等腰直角，6ABC ，其中
ζABC=90 0 ，点C 在AB 上方，则OC 的最小值为
5
95
10. (1) 直线.Y =--;-x 一一与z 轴和y 轴的交点分别为点A 和点B ，则线段AB 上
J
4 --
4
..., --
.........,.. .,./
(包括端点A 和B) 横坐标和纵坐标都是整数的点有
个.
( "希望杯"邀请赛试题)
(2) 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫作整点，已知直线
。
第9 题图
Y =tx + 2t +2 (t > O) 与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则t
的取值范围是
( 四川省内江市中考题)
1 1. 无论走取何值，关于z 的一次函数(2走一l) x 一(走+ 3 )y 一(走一11 )= 0 的图象必经过定
点
( "希望杯"邀请赛试题)
.41
4
辈革昌盛温昼吕m1i盐'
12 . 直线II : y = mx + 2 (m -1) ,lz : y = (m + 1) x 十2m 以及z 轴所围成三角形的面积记为5 m ( 其
中m= 1，2 ，3 ，…) ，则51 +5 2 +5 3 + … + 5 20 1 5 的值为一一一一一·
( 世界数学团体锦标赛试题)
13
如图，直线OB 是一次函数y=2x 的图象，点A 的坐标为(0 ，2) ，在直线
( jB
OB 上找点C ，使得DACO 为等腰三角形，求点C 的坐标.
(江苏省竞赛题)
M 已知三个一次函数以=x 十1 ，y=1-x ，y 二仨+b
(1)若这三个函数图象能围成三角形，求实数b 的取值范围.
ω 若这三个函数图象所围成的三角形面积为?，求实数b 的值
x
第1 3 题图
(四川省竞赛题)
15. 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P l (X l ，y l ) 与P 2 (X 2
，Y 2 ) 的"特别距离"，给出如下
定义:
若
I X I- X z
l 注IY1-Y z
l
，则点P l 与点P z 的"特别距离"为
I X I- X z l;
若
I X I- X 21 <IY1-Y z
l
，则点P l 与点P z 的"特别距离"为
I Y1-Y 2
1 .
例如:点P l (1，2) ，点P 2 (3 ，日，因为
1 1-3
1 < 12 -
tY
5 1 ，所以点
P l
与点
P 2
的"特别距离"为
12 一51 =3 ，也就是图①中线段P I Q 与线段已Q
长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P I Q 与
垂直于z 轴的直线P 2 Q 交点).
5 卡--… -，P，
2~-ι斗Q
01
1
3
:i
图①
(1)已知点A(-2 ，川为y 轴上的一个动点
第1 5 题图
①若点A 与点B 的"特别距离"为3 ，写出一个满足条件的点B 的坐标
②直接写出点A 与点B 的"特别距离"的最小值
D
01
x
图②
4
(2) 已知C 是直线y=--;;X 十4 上的一个动点，如图②，点D 的坐标是(0 ，1)，求点C 与点D 的
3
"特别距离"的最小值及相应的点C 的坐标.
(湖北省华师一附中自主招生试题)
.42
借助图象思考
数学知识对于我们来说，其价值不只是由于它是一种有力的工具，同
时还在于数学自身的完美，在数学内部或外部的展开中，我们看到了最纯
粹的逻辑思维活动，以及最高级的智能活动的美学体现.
一一普林希姆
~~~知识纵横嘎嘎嘎
撞撞。。。…
美国数学家斯
i
蒂恩说"如果一个
:
特定的问题可以放
在给定的函数中，把自变量工的一个值和函数y 的对应值分别作为点的
;
转化为一个图形，那
横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点的集合，叫作这
么思维就整体地把
个函数的图象握了问题，并且能创
函数图象直观、形象地表示两个变量间的关系，实现了数与形的结合.
:
造性地思考问题"
由图象获取信息，深刻理解图象意义，注意数形结合，是借助图形思考的
关键，具体包括:看图找点、见形想式、建模求解.
借助图形思考
:
是一种重要的方法.
.
欧拉解决的" 一笔
:
画"问题、柳卡提出
:
的"柳卡问题"，堪
:
称是借助图形思考
数学的和谐不仅在于能解释自然、仿
效自然
，还在于它能描述自然.
叶形线是函数
X 3 + 旷工3ω :l'y 的图
象
，它是由法国数学家笛卡儿于
1 638 年
发现的.
~~~例题求解嘎嘎嘎
蝠'
脯，直线y=kx + b 经过A( -2 ，-1)
和B(-3 ，0) 两点，则不等式组jz < hz 十b <O 的解
集为
y
(湖北省武汉市中考题)
思路点拨
可先求出走
，b 的值，更简单的解法
是，运用一次函数与一次不等式的联系，借助图象解题.
A
。
的典范.直线图、树
:
形图等是常见的思
:
考载体.
当z 取不等式
kjx +b j > k 2 x 十b 2
;
的解时，函数y=
kjx+b j 的图象在
: y=k 2 x+b 2
图象
x
的上方;当
z 取不
:
等式走jX + b j <
;
走2 X+ 岛的解时，函
:
数y=kjx+b j
的
:
图象在
Y =k 2 x 十
b 2 图象的下方.
.崎
aE军噩噩盛画画墨画蓝蓝.
[割草'
某市储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用仙，调进物资2h
后开始调出物资(调进物资与调出物资的速度均保持不变) .储运部库存物资
s (t) 与时间
t (h) 之间的函数关系如图，这批物资从开始调进到全部调出所需
要的时间是(
).
A.4h
B. 4.4h
C. 4.8h
撞撞
。00.
~-…-.
上升线表示因
变量随自变量取值
:
的增大而增大，下降
D.5h
t( h)
线表示因变量随自
变量取值的增大而
(山东省济南市中考题)
:
减小，水平线表示因
思路点拨
读懂折线在不同时段内的意义并求出调进物资与调出物资
;
变量随自变量取值
的速度，这是解本例的关键的增大而未改变.
[锐'
如图①，底面积为30c旷的空圆柱形容器内水平放置着由两个
实心圆柱组成的"几何体"现向容器内匀速注水，注满为止.在注水过程中，水
面高度以cm) 与注水时间
t (5) 之间的关系如图②所示.
请根据图中提供的信息，解答下面问题.
(1)圆柱形容器的高为
cm ，匀速注水的水流速度为
cm3/ 5.
(2) 若"几何体"的下方圆柱的底面积为15 cm 2 ，求"几何体"上方圆柱的
高和底面积.
:1:二二巳
图①
数学能力也是
一种信息处理能
力，数学活动是对
:
信息的探索.具体表
:
现在:
(1 ) 抓住中心
主题的能力.
(2 ) 从各种角
:
度理解信息的能力.
( 3) 舍弃无关
:
的信息而集中于信
( 江苏省南通市中考题)
: 息的有用方面的能
思路点拨
看图、析图，挖掘图象所蕴含的信息，并对得到的信息进行分
力
( 4 ) 探索信息
析、加工，还原问题情境.对于(2) ，先建立a 的方程.
:
之间联系的能力.
.44
蝠'
一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同
时出发，设慢车行驶的时间为工(h) ，两车之间的距离为y (km) ，图中的折线
表示y 与工之间的函数关系.根据图象进行以下探究:
信息读取
(1)甲、乙两地之间的距离为
(2) 请解释图中点B 的实际意义.
图象理解
(3) 求慢车和快车的速度.
y/km t A
_
900 俨一一一--------7'，1.1
m
-K
12 -x/h
EiÆlb=W盛理矗
撞撞
。00.. •
例
4 是以两个
: 运动对象之间距离
; 为因变量，以其中
(4) 求线段BC 所表示的y 与工之间的函数关系式，并写出自变量z 的
: 一个对象的运动时
取值范围间为自变量.这为其
问题解决
(5) 若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同.在第
:
生成不同的问题链
: 拓展了空间.
对函数图象蕴
一列快车与慢车相遇30min 后，第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第
: 含信息的感知分
一列快车晚出发多少小时.
: 析、转换(自然语言
( 江苏省南京市中考题)
: 与图象语言之间)
思路点拨
函数图象包含了两种不同层次的信息:有慢车行驶900km
: 和加工，是借助图
用了12h 等可直接感知的浅层结构的信息，也有在0 ~4 h 之间以及稍后的一
: 象思考的内核.
段时间内，快车和慢车的速度之和为定值、C 点表示快车在某一时刻已到达
终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息.
嚷~O
已知函数y= lx+ 1
1 -2Ix-1 1+
1 汁21 .
(1)在直角坐标系中作出函数图象.
(2) 已知关于z 的方程走z 十3 =
I x 十1 1-2
1 工一11 +lx + 2
1 (走手0) 有三
个解，求走的取值范围.
C h创新杯"竞赛题)
分析与解
对于(2) ，因走值待求又关联着绝对值，故从方程的角度难以
求解.设y] = 走x+3 ，y z= Ix 十1 1- 2I x - 11 +l x+2
1
，所给方程有三个解，实
际上就是这两个函数的图象有三个交点.借助
函数图象思考，形象而直观.
EJ
(工运- 2) ,
( - 2<工运
1),
( - 1 <x :S;;; 1) ,
(x > 1) ,
11
1i
一
+
zz
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L
A
也
F
h
u
一
-
y
、
B
/
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，
‘
、
、
如图为此函数的图象.
对于例
5 ，读者
: 可先作出下列函数
:
图象:
(l)y =lx- l l.
(2)y = Ix+ 21.
(3)y=lx + ll .
x
'幅
a
181: ~ ~ ift fJi四
(2) 设y=kx 十3 ，则
y=lx+11-2Ix 一1
1 +
l x+21( 是#0).
因此，所给方程有三个解，实际上就是这两个函数的图象有三个交点.见
图，令点A( 1，5) ，点B(0 ，3) ，则y= 走z 十3 的图象是过定点B 的直线.
当y= 走x+3 过点A 时，此直线的斜率k=2 ，显然，这两个函数的图象只
有两个交点.故当0<k < 2 时，这两个函数的图象有三个交点，从而走的取值
范围是0<走< 2.
掏遭函数
用函数的视角、方法分析问题，由问题的条件构造函数关系式，充分运
用函数性质、图象，使原问题在函数关系中实现转化.
[缸。
(1)对于给定实数a ，记M(α) 是三数α
，6 - a
，2α +4 中最小的
数，则在数M(-2018)
，M( 一20 1 7)，M (- 2016) , …, M (- l), M(O) ,
M (1) ,… ,M(2016) ,M(2017) ，M(2018) 中最大的数是
( 江苏省竞赛题)
)组解.
(x +3 γ = 3 ，
(2) 方程组斗
w
共有(
lllx 1 一-Iy 11 =1
A.1
B.2
C.3
D.4
E.5
(美国数学竞赛题)
分析与解
构造一次函数，借助图象解决问题，形象而直观.
(1)如图①，在同一坐标系中画出三个一次函数y=x ，y=6-x ，y=
2x 十4 的图象，发现M( 3) 最大，最大值为3 .
(2) 如图②，作函数x + 3y =3 ，ll x
l 一
I y 川= 1 的图象，而两个函数有
3 1
三个交点(-3 ，2) ，(0 ，1) ，(言'王)
y
.46
y=2x+4
y=x
图①
y
x
图②
撞撞
。00.. •
莱布尼茨(16铅-
1 7 1 6) ，德国哲学
家、数学家、自然科
学家，与牛顿相互
独立地发明了微积
分，在《有关切线的
逆方法即函数》的
论文中，莱布尼茨
首先给出了"函数"
这个名称.
-E噩罩理理.
嘎嘎嘎
学为训练
~~~
• •
1.如图，直线y l 二是x+b 过点A(0 ，2) ，且与直线y z =mx 交于点P( l，m) ，则不等式组mx >走z 十
b >m工-2 的解集是
(湖北省武汉市中考题)
y
y,=mx
x
\
y,=kx+b
y
。
第2 题图
第
1 题图
2. 一辆货车从甲地匀速驶往乙地，到达乙地后用了0 . 5h 卸货，随即匀速返回，己知货车返回时的
速度是它从甲地驶往乙地的速度的1. 5 倍，货车离甲地的距离y(km) 关于时间x (h) 的函数图
象如图所示，则α=
h.
( 江苏省镇江市中考题)
3. 如图①，点P 从6ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A ，图②是点P 运动时，线段BP
的长度y 随时间z 变化的关系图像，其中M 是曲线部分的最低点，则6ABC 的面积是(
D.48
C.36
B.24
A. 12
( 山东省淄博市中考题)
届
执
-x
E
-o
\·lil--
-3
D
<rhlBilli-
-m
件
一
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…
A
丛
Y
y
。
』
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E
E
E
』
l
wydAUOO
。
C
A
B
x
x
图②
图①
第5 题图
第4 题图
第3 题图
4. 若函数y=kx-b 的图象如图所示，则关于工的不等式走(x - 3) - b > 0 的解是(
D. x>5
C. x<5
B. x>2
A. x<2
( 江苏省徐州市中考题)
5. 某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6 元/件，该产品在正式投放市场前通过代
销点进行了为期一个月(30 天)的试营销，售价为8 元/件，工作人员对销售情况进行了眼踪记
录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE 表示日销售量以件)与销售时间x( 天)之间的函
.41
数关系，已知线段DE 表示的函数关系中，时间每增加1 天，日销售量减少5 件.
aE噩噩噩. fJjñj! . 1\ 草噩
(1)第24 天的日销售量是一一一一一件，日销售利润是一一一一一元.
(2) 求y 与z 之间的函数解析式，并写出z 的取值范围.
(3) 日销售利润不低于640 元的天数共有多少天?试销售期间，最大日销售利润是多少元?
(湖北省成宁市中考题)
6. (1) A ，B 两地相距的路程为240 千米，甲、乙两车沿同一线路从
A 地出发到B 地，分别以一定的速度匀速行驶.甲车先出发
40 分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20 分
钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10 千米/小时(仍保
持匀速前行) ，甲、乙两车同时到达B 地.甲、乙两车相距的路
程Y( 千米)与甲车行驶时间x( 小时)之间的关系如图所示，
则乙车修好时，甲车距B 地还有一一一一一千米.
y/千米
叫一1
10
。
-L______
2
第6 (1 )题图
(重庆市中考题)
工/小时
(2) 早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路(直路)上学，途中发现忘
y/ m
带饭盒，停下往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往
2250 卜----------刑
1250
学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回
家，15min 后妈妈到家，再过3min 小刚到达学校，小刚始终以
。
5
2023 t/min
100m/ min 的速度步行，小刚和妈妈的距离Y(单位:m ) 与小刚打
第6(2) 题图
完电话后的步行时间t(单位:min) 之间的函数关系如图所示，下列四种说法:
①打电话时，小刚和妈妈的距离为12 50 m;
②打完电话后，经过23min 小刚到达学校;
③小刚与妈妈相遇后，妈妈回家的速度为
1 50m/ min;
④小刚家与学校的距离为2550m.
其中正确的个数是(
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
(黑龙江省哈尔滨市中考题)
(3) 小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车
从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈
妈返回商店早5 分钟.在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t( 分) ，图①表示两人
之间的距离s(米)与时间t(分)的函数关系的图象; 图②中线段AB 表示小华和商店的距离
Yl (米)与时间t(分)的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题:
①填空:妈妈骑车的速度是一一一一一米/分，妈妈在家装载货物所用时间
分钟，点
M 的坐标是
..咽
E a?=-.. 理隘
②直接写出妈妈和商店的距离y z (米)与时间t( 分)的函数关系式，并在图(2) 中画出其函
数图象.
③求t 为何值时，两人相距360 米.
7. 如图，表示阴影区域的不等式组为(
).
rzx 十y 二三5 ，
A. 才3x+4y 二三9 ，
ly 二三O
rzx+ y 二三5 ，
c. 才3x+4y 二三9 ，
lx 二三O
s(米)
1800
rZx+y~5 ，
B. ~3x+4y~9 ，
ly 二三O
rZx+y~5 ，
D. ~ 3x+4y 二三9 ，
lx 二三O
图①
t(分)
Y(米)
1800 IðT-,--r-T-,-,--r -,
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-t-十{十4 -4-H
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30
t(分)
图②
第6 (3) 题图
(湖北省天门市中考题)
.x
第7 题图
(江苏省竞赛题)
8. 如图，在Rt6ABC 中，ζC=90 0 ，AC=lcm ，BC=2cm ，点P 从点A 出发，以1 cm/ s的速度沿折
线AC→CB→BA 运动，最终回到点A.设点P 的运动时间为x (s) ，线段AP 的长度为y(cm) ,
则能够反映y 与工之间函数关系的图象大致是(
) .
L个~_Y~
YV个"" Ylcß
第8 题图
A
B
C
D
(河南省中考题)
9. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了"确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一运用
函数解决问题"的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图
(α(α 注0) ,
象.同时，我们也学习了绝对值的意义: 1α1= 斗
'
|一α(α <0 ) .
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题:在函数y= Ikx - 3 1 +b 中，当x=z 时，y=
-4; 当工=0 时，y= 一1.
(1)求这个函数的表达式.
.49
aE罩噩噩lTÆf固
(2) 在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画
出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质.
(3) 已知函数y = lz - 3 的图象如图所示，结合你所画
,/
2
的函数图象，直接写出不等式|如一3
1 + b牛- 3
的解集.
10. 已知一次函数Yl= 走z 十2(走为常数，走*0) 和y z = x- 3.
(1)当走=-2 时，若Yl >仇，求z 的取值范围.
(2) 当x < l 时'Yl > Y Z .结合图象，直接写出走的取值范围.
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0
元
U
第9 题图
( 江苏省南京市中考题)
11. 如图①，A ，D 分别在z 轴和y 轴上，CD // x 轴，BC // Y 轴.点P 从D 点出发，以
1 cm/ s 的速
度，沿五边形OABCD 的边匀速运动一周，记顺次连接P ，O ，D 三点所围成图形的面积为
Scm Z ，点P 运动的时间为t
s. 已知S 与t 之间的函数关系如图②中折线段。EFGHI 所示.
y(cm)
s(cm')
C
B
。I
A
x(cm)
。I
3E 6
11 12 1
t(s)
图②
图①
第11 题图
(1)求A ，B 两点的坐标.
(2) 若直线PD 将五边形OABCD 分成面积相等的两部分，求直线PD 的函数关系式.
( 江苏省无锡市中考题)
..50
反比例函数
就我而言，最有用的资质，乃是广泛持久的记忆力，以及犹如万花筒
一般的自由的想象力.这种想象力或多或少会向我提供关于极其复杂的思
维活动的一系列可能的观点.
一一维
纳
Þ'Þ'Þ' 知识纵横
嘎嘎嘎
形如y = ;叫) 的函数叫作反比例函数，反比例函数的基本性质有:
(1)反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限
延伸，但不能与坐标轴有交点.
(2) 走的正负性决定双曲线大致位置及y 随工的变化情况.
(3) 双曲线上的点是关于原点成中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对
称轴是直线y =x 及y =
ι
圃'
平台钢琴的弦与风弦的管，它们的外形轮廓是指
数曲线.
素数是人类追寻知识过程中最无奈的谜题. 怎样才
能预测下一个素数?有何公式可以生成素数?在素数
表面的噪音之下潜藏着意料之外的和谐. 1 85 9 年，德国
数学家黎曼作出一个关于这首神秘乐曲的大胆预言，
这个预言的答案将在电子商务、量子力学和计算机科
学等广泛领域产生革命性的影响.((素数的音乐》一书生
动地再现了天才人物在探寻答案时发生的故事.
Þ'Þ'Þ' 例题求解
嘎嘎嘎
是
(1)如图①，已知双曲线y =~ (x > O) 经过矩形OABC 边AB
Z
的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2 ，则走=
(甘肃省兰州市中考题)
: 撞撞
。。。
?咱-=-....--......-.
y
C
。
B
x
如图，反比例函
| 是
|
:
数y= 一一中
1 k 1 的
工
:
几何意义:
( 1) 5 6.AOB
: SArt M|
(2) 5 提形OBAC =
| 走
1 .
下面两个结论
:
是上述结论的拓展:
(1)如图①，
5 6 0PA
5 6 0 CD '
5 60PC =5 梯形PADC .
( 2 )
如图②，
5 梯形OAPB = 5 梯形OBCA
'
5 6 BPE = 5 6 ACE •
。
x
x
图②
.51
a
ø: ~ffliftfJi ñit . J\~ t.i
(2) 如图②，点A
，B 为直线y=x 上的两点，过A
，B 两点分别作y 轴的
1
平行线交双曲线y= -=- (x > ü) 于C.D 两点.若BD=2AC ，则40C 2 -OD 2 的
工
值为
A
图①
x
(" (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
x
图②
思路点拨
对于(1) ，通过连线，把相关图形面积用走的式子表示;对于
(2) ，设C 点坐标为(α .b)
，D 点坐标为(c
，d)
，整体求出
4(a 2 +b 2 ) 一(c 2 +
d 2 ) 的值.
嚷~e
(1)如图①，过y 轴正半轴上的任意一点p
，作z 轴的平行线，
4 _
2
分别与反比例函数y=
一和y= 一的图象交于点A 和点B. 若点C 是z 轴
x
x
上任意一点，连接AC.BC. 则6ABC 的面积为(
A.3
B. 4
c. 5
D. 6
(陕西省中考题)
y
y
x
x
图①
图②
(2) 如图②.P 是函数y=土(x > ü) 图象上一点，直线y=-x 十1 分别
2x
交z 轴、y 轴于点A.B. 作PM j_ x 轴于M 点，交AB 于点E ，作PN j_ y 轴
于N 点，交AB 于F 点，则AF. BE 的值为(
A.2
B. J2
C. 1
1
D 2
(北京市竞赛题)
思路点拨
对于(1) .设OP= α ，把A
，B 的坐标用α 的代数式表示，或寻
找与6ABC 的面积相等的三角形;对于(2) ，设P( α
，b) ，把AF ，BE 用a
，b
的式子表示出来.
.52
撞撞
。00.. •
由于
I k
I 的几
:
何意义，使得矩形
;
在解决有关双曲线
的问题时常发挥重
要作用.如图，反比
例函数图象经过矩
形OABC 边BC 的
中点F ，则相应图
形面积为相关问题
的解决提供了思路.
y
x
叠加、组合是
一种常用创新方
法，变中不变、运用
|走
| 的几何意义、设
而不求、把握不变
量和不变关系，是
解复合双曲线问题
的关键.
·理圈圈圈..
函
叫
与一次函数或平面
图形结合时，常因条
件的隐含性、综合性
从代数的表达形式
设定一个或两个参
(2) 用参
把反比例函数
中图形关系代数
解法一称为
"参数法"，设而不
求，具有应用的普
( 3 ) 消参
通过运算，
i肖
去参数或求出参数.
.53
y
如图，己知A 是反比例函数y=i u>
二E
[制~.
。)图象上的一点，B 是反比例函数y=- 1 (z< O) 图
工
x
象上的一点，求6AOB 面积的最小值.
而增加问题的难度，
(世界数学团体锦标赛试题)
设A(; ，α ) ，B(-fJ) ，分别过A ，B 两点向Z 轴作垂线，
和图形性质综合考
分析与解
C ，D 为垂足，则5 6AOC = 二，5 6 BOD
虑是突破难点的关
键，而点的坐标与线
段长的转化是数形
结合的桥梁.
初学者解决一
5 6 AOB =5 梯形ACDB -5 6AC汇-5 6 BOD
二二川) (7+f)-h
=÷(1 +子十;+4)- 7
个问题时得到了快
乐，数学家掌握了
先进的问题也得到
=L十仨2在与=2 ，
了快乐，这两种快
乐之间没有很大区
2a
b
当且仅当一二一，即b=2α 时，等号成立.
b
2α
别，两者都看到了
美丽动人之处，即
故6AOB 面积的最小值为2.
支承着所有结构的
那种匀称的、定义
分明的、神秘和迷
人的秩序.
如图，双曲线y = 主经过Rt60MN 斜边ON 上的点A ，与直角
工
函'
边MN 相交于点B
，已知OA=2AN ，60AB 的面积为5 ，求走的值.
适性，探究程序为:
(1)设参
通过点的坐标
x
N
y
(江苏省扬州市中考题)
分析
确定双曲线中待定系数"γ'是反比例函数中最
基本问题，建立"扩' 的方程或引人辅助未知数是解此类问题
的两种常用方法.条件OA=2AN 怎样运用是解本例的关键.
数.
如图，设A(m ，主) ，过点A 作AC _l x 轴于点C ，则OC=m ，
、
η1- '
解法一
AC= 主，5 6A町=S ABOM =i
η1-
~
化，建立含参数的
代数式或方程.
N
y
0: 5 6AOD +5 6COD= 5 6COD 十S 梯形CD酬，
x
00 5 梯形ACMB = 5 6 0AB = 5 ,
0: AC // NM ,
oo60AC∞60NM ，
aE军mûl'nfj噩噩
主!ël量
。00...
的，不变是相对的，
:
在纷繁复杂的变化
变性，是以不变应
;
万变的智慧.对于反
xy= 走为定位，这
:
是布列方程、设而
I
不求、整体代入求
:
值的源流.
:
魂的工具.
数学能把人类
的思维活动升华到
:
纯净和谐的境界.
从开普勒和天
:
体的音乐到爱因斯
:
坦和他的小提琴，
:
音乐和数学似乎有
:
着很密切的联系.
(( 心灵的标符》一书
:
试图告诉人们什么
:
是数学、什么是音
乐，揭示两者之间
:
深层的相似.
OC
OA
2
·.一一=一一=一，得OM= τ OC.
。此-1
ON
3 ' "_ - - -
2
I 3
2是、
OM二衫，CM = 卡，得B( ~m ，一)
飞
2
-
, 3m'
变化是永恒
1 I 走
2是、
1
由?叫+BM) • CM=5 ，得一(一+-Mm=5 ，解得走=12
2
飞m ' 3m!' 2
中寻找不变量、不
y
如图，过点A 作AC 上Z 轴于点C.
5-2
一
一
N
A
QU
m
-W
A
-
A
QU-QU
一
A-N
O-A
解法二
x
S ^ 川r
IOJ生、2
.: L::，AOC ∞L::，NOM ，:.一二二三= (-一)
S 6 NOM
飞ON!
比例函数y= 主中
工
丁走
A
得1
4
5=(f)2 ，解得是=12
?十5+E
定值与双曲线
近年来对反比例函数的考查出现了新的变化，通过赋予图形的线段
比、周长、面积等条件，综合考查知识、技能、方法.双曲线上任意一点的横纵
坐标之积为定值是，下面问题揭示了一次函数与反比例函数结合而生成的
不变性.
音乐是净化灵
一次函数y=ax+b 的图象分别与工轴、y 轴交于点M ，N
，与
反比例函数y= 主的图象相交于点A ，B ，过点A 分别作AC _L x 轴，AE _L y
工
c"co
轴，垂足分别为C ，E; 过点B 分别作BF _L x 轴，BD _L y 轴，垂足分别为F ，
D
，AC 与BD 交于点K
，连接CD.
(1)若点A
，B 在反比例函数y 二
y
y
生的图象的同一分支上，如图①，试证
x
x
明:①S 四边形AEDK = S 四边形CFBK; ②AN=
图②
是
(2) 若点A
，B 分别在反比例函数y= 一的图象的不同分支上，如图②，
Z
BM.
(山东省威海市中考题)
则AN 与BM 还相等吗?试证明你的结论.
.54
证明
(1)(': s 矩形AEI田二S 矩形BDOF =
I 圳，
S ;';lI? A"rY' -
S ,,"'" 1VYT = S .,,,,, R 1V11:' -
S
矩形AEC汇
矩形DC肌-0 矩形BDOF -0 矩形DC汇K ,
即S 矩形AEDK =S 矩形CFBK .
②如图①，连接AD ，BC ，得S 6ADK =S6BCK'
:, S 6ADC =S 6BDC' 得DC//AB .
': AC// y 轴，
·.四边形ACDN 是平行四边形，
:. AN=CD.
同理BM 二CD ，故AN=BM.
(2) AN 与BM 仍然相等，证法同①.
~~~学为训练嘎嘎嘎
穷实. .
EZ噩噩罩矗l
撞撞
。00.
走
1.如图，在6ABO 中，ζ BAO=90 0 ，AO=AB ，且点A(2 ，4) 在双曲线y=-(x >O) 上，OB 边交双
x
曲线于点C ，则C 点坐标为
(i胡北省华师一附中自主招生试题)
y
y
x
。
x
。
x
第1 题图
第2 题图
第3 题图
2 . 如图，60AC 和6BAD 都是等腰直角三角形，ζACO= ζADB =90 0 ，反比例函数y= 主在第
工
一象限的图象经过点B ，若OA 2 - AB 2 =12 ，则走的值为
(山东省济南市中考题)
走
3. 如图，过原点。的直线与反比例函数y=-(k > O) 的图象交于A
，B 两点，点A 在第一象限.点
z
C 在z 轴正半轴上，连接AC 交反比例函数的图象于点D .AE 为ζ BAC 的平分线，过点B 作
AE 的垂线，垂足为E ，连接DE.若AC = 3DC ，6ADE 的面积为8 ，则走的值为
(浙江省宁波市中考题)
.55
aE噩噩lülljJ)军
. J\~fl
也. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，C 分别在z 轴，y 轴的正半轴上，点D(-2 ，
走
3) ，AD=5 ，若反比例函数y=-=-(走> O ，x>O) 的图象经过点B ，则走的值为(
).
A.1_6
. 3
D
B.8
工
x
第4 题图
C.I0
D. 3_2
3
第5 题图
(重庆市中考题)
x
5. 如图，直角三角形ABC 位于第一象限，AB=3 ，AC=2 ，直角顶点A 在直线y =x 上，其中点A
走
的横坐标为1 ，且两条直角边AB
，AC 分别平行于z 轴，y 轴，若函数y= 一(走#0) 的图象与
工
Lo.ABC 有交点，则走的最大值是(
).
A.5
B 旦1
. 25
C. 1_21
一
. 24
D.4
(安徽省芜湖一中自主招生试题)
a
.. ... .... . _
2
6. 反比例函数y= 一(a>O ，α 为常数)和y= 一在第一象限内的图象如图所示，点M 在y= 一的图
二r
x
x
2 .. _
~.
_ __ . .... _
.
2
象上，MC _Lx 轴于点C ，交y= 一的图象于点A;MD _L y 轴于点D ，交y= 一的图象于点B. 当点
x
x
M 在y= 旦的图象上运动时，以下结论:
工
(
S 60DB =S 6OCA;
②四边形OAMB 的面积不变;
③当点A 是MC 的中点时，点B 是MD 的中点.
其中正确结论的个数是(
).
x
A.O
B. l
C. 2
D. 3
第6 题图
( 山东省淄博市中考题)
8
7. 如图，点B 是反比例函数y=-=-(x>O) 图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C.
工
反比例函数y=;(z>O) 的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E 连接DE
并延长交z 轴于点F ，点G 与点。关于点C 对称，连接BF ，BG.
.56
噩噩罩噩噩矗l
(1)填空:走=
(2) 求L:.BDF 的面积.
(3) 求证:四边形BDFG 为平行四边形.
(广东省中考题)
。
C F
G
x
第7 题图
走
8. 如图，若双曲线y= 一与边长为5 的等边三角形OAB 的边OA ，AB 分别相交于点C ，D ，且使二
z
3BD
，则走=
(湖北省武汉市中考题)
y
y
y
y'
x
x
x
第8 题图
第9 题图
第10 题图
第11 题图
走、-
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A
，B 在反比例函数y=_:_(走芋0) 的图象上Q!功，且始终保持线段
x
AB=4 J2 的长度不变，M 为线段AB 的中点，连接OM . 则线段OM 长度的最小值是
(用含是的代数式表示).
(山东省威海市中考题)
10. 如图，已知A ，B 是y=1 在第一象限的图象上的两个点.若L:.AOB 是等边三角形，则等边
Z
L:.AOB 的面积等于(
).
A.2/3
B. 3
C. /3
D 护
(北京市竞赛题)
1 1. 如图，在z 轴的上方，直角ζ BOA 绕原点。按顺时针方向旋转.若ζ BOA 的两边分别与函数
1
2
y= 一-，y= 一的图象交于B
，A 两点，则ζ OAB 的大小的变化趋势为(
).
x
x
A. 逐渐变小
C. 时大时小
B. 逐渐变大
D. 保持不变
(全国初中数学联赛题)
..51
aE军歪lülH';E署
12. 如图，平面直角坐标系中，0 为原点，点A
，B 分别在y 轴和工轴
的正半轴上.，6，AOB 的两条外角平分线交于点P
，P 在反比例函
数y 二立的图象上，PA 的延长线交工轴于点C ，PB 的延长线交
C
工
y 轴于点D ，连接CD.
(1)求ζP 的度数及点P 的坐标.
(2) 求，6，OCD 的面积.
D
第
12 题图
(3) ，6，AOB 的面积是否存在最大值?若存在，求出最大面积;若不存在，请说明理由.
x
(江苏省徐州市中考题)
走
Y
13. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点C(3 ，ü) ，函数y = 一(走> ü ，x> ü) 的图象
经过OOABC 的顶点A(m
，n) 和边BC 的中点D.
(1)求m 的值.
(2) 若，6，OAD 的面积等于6 ，求是的值.
Z
走
(3) 若P 为函数y= 一(走> ü ，x> ü) 的图象上一个动点，过点P 作直线l _l x
Z
x
第13 题图
PN
轴于点M ，直线t 与z 轴上方的口OABC 的一边交于点N ，设点P 的横坐标为t
，当一一=
PM
j时，求t 的值
(江苏省南通市中考题)
••
走
1也. 如图，反比例函数y= 一位于第一象限的图象上有A
，B 两点，从点A 作AD _l
D
x
y 轴于点D ，从点B 作BC _lx 轴于点C 已知，6，OAB 的面积为7 ，AOCD 的面万
第
14 题图
积为7 ，求走的值
x
(世界数学团体锦标赛试题)
.58
4
•
F
空间与图形*
解题是一种实践性的技能，就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，只能通过
模仿、练习和钻研学到它.
一一波利亚
~~~知识纵横嘎嘎嘎
撞撞
。00 •••
善于在复杂的
图形中发现、分解、
构造基本的全等三
角形是解题的关
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三
键，需要注意的是，
角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发
;
通常面临以下情况
点，运用全等三角形，可以证明线段相等、角相等、线段的和差倍分关系、两直
j
时，我们才考虑构
线位置关系等常见的几何问题.
造全等三角形:
利用全等三角形证明问题，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三
(1)给出的图
形中没有全等三角
角形，这对基础的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对
三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递.
ζ[g1R\
~b
/\
若一个图形能分割成
巴Dl~ …山…
面~~
…叫这些
出坦及蓝
图形被称们缩W
~~~例题求解嘎嘎嘎
:fftl。
如图，在L，AOB 和L，COD 中，OA=
。
A
OB
，OC=OD
，OA<OC ，ζAOB= ζCOD=36 0 • 连
接AC ，BD 交于点M ，连接OM. 下列结论:
C
①ζAMB=36 0 ; ②AC=BD; ③OM 平分ζAOD; ④MO 平分ζAMD.
其中正确结论的序号是
(湖北省鄂州市中考题)
思路点拨
对一个复杂的图形，先找出比较明显的一对全等三角形，并
发现有用的条件，进而判断推出其他三角形全等.
.60
形，而证明结论需
要全等三角形.
(2) 从题设条
件无法证明图形中
的三角形全等，证
明需要另行构造全
等三角形.
圈'
在~ABC 中，AC=5 ，中线AD = 4 ，则边AB 的取值范围是(
A. 1< AB < 9
B.3< AB < 13
c. 5< AB< 13
D.9< AB < 13
(江苏省连云港市中考题)
思路点拨
线段AC ，AD ，AB 不是同一个三角形的三条边，通过中线倍
长将分散的条件加以集中.
[锐'
如图，已知~ABC 中，LA =60 0 ，町，CD 分别
平分ζABC ，ζACB
，P 为BE ，CD 的交点.求证:BD 十CE=
BC.
2~
B
F
C
思路点拨
截长法(或补短法)是证明线段和差问题的基本方法，即在
BC 上截取BF=BD ，则~BPD 三~BPF ，以下只要证明CF=CE ，充分利
用角平分线构造全等三角形.
[候'
如图①，OA 二2 ，OB =4 ，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限
作等腰Rt~ABC.
(1)求C 点的坐标.
(2) 如图②，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点在y 轴负半轴上向下
运动时，若以P 为直角顶点
，PA 为腰作等腰Rt~APD ，过D 作DE 上Z 轴
于E 点，求OP-DE 的值.
(3)如图③，已知点F 坐标为(-4 ，-4) ，当G 在y 轴的负半轴上沿负方
向运动时，作Rt~FGH ，始终保持ζ GFH 二90 0 ，FG 与y 轴负轴交于点
G(O ,m) ，FH 与z 轴正半轴交于点H(η
，0) ，当G 点在y 轴的负半轴上沿负
方向运动时，求m+n 的值.
x
C
图①
图②
图③
思路点拨
将坐标问题转化为对应线段关系的探讨，解题的关键是充分
运用直角坐标系、等腰直角三角形，构造以下基本图形-
7飞
/队
·国:WI噩噩.
撞撞。"…
有时图中并没
:
有直接的全等三角
形，需要通过作辅
.
助线构造会等三角
:
形，完成恰当添辅
:
助线的任务，即从
问题的条件和结论
:
给出的信息出友，
:
把图形作适当的加
工处理，构造相关
图形.我们的思维要
:
经历一个观察、联
想、构造的过程.
'刷
a噩噩噩噩噩困~理
撞撞
。00.
著名数学教育
家弗赖登塔尔曾
说"反思是数学思
维活动的核心"
如何构造?
为
什么构造?构造什
么?
构造中所涉及
辅助线添加大多源
于问题中的条件或
结论，从图形的位
直关系或数量关系
两方面分析.
巳三
[缸。
如图，在四边形ABCD 中，ζACB= ζBAD=
105 0 ，ζABC= ζADC=45 O，求证:CD 二AB.
分析
由条件得ζ CAB =30 0 ，ζCAD 二75 0 ，ζACD ~6 00 ，CD ，AB 所
对应三角形并不全等，6ACB 看上去稍"小" ，6ACD 看上去"大"些，以一个
三角形为基准，构造一个与基准三角形全等的三角形.不同视角、不同的联想，
生成不同的构造方案.
如图①，过点C 作CE //AB ，交AD 于点D ，ìiE明6ABC(/)6CDE .
如图②，作ζEAB=60 0 ，交BC 的延长线于点E ，证明6BAE旦
(天津市竞赛题)
如图③，过A 点作AE _lAB
，交BC 的延长线于点E ，则EA=
中
玄
方
方法三
AB ，证明6ECA 且6DAC.
方法二
6DCA.
如图④，延长DA 于点E ，使AE = CB ，证明6ACB 三6CAE ，
方法四
i正明DC = CE = AB.
、
A
B
C
-
一
! ! !
j
J
J
J
J ;'
;
'
;
,
;
'
;'
;,
;'
;
'
;
'
\
/
户
1
1
1
1
r
\
k
飞
飞
飞-
A
A
D
E.
D_
:'"
1、........
:
~.
…
…
…
飞、、‘
、、
飞
;
、，
'，
\
，
、、、.
…
、
…、
A
B
D
\.....
E
I
、\
户、
J
J
J
飞
:
、"
\:
~岭
i …
…
飞
: ./
"
UJ
、
A
B
b飞
图②图③
图④
如图③，过点A 作AE _l AB ，交BC 的延长线于点E ，则AB =
图①
证明
AE ,
ζ E =ζ D.
在6ADC 与6CEA 中
(ζD=ζE ，
~L乙DAC = ζECA = 75 0 ，
IAC = CA ,
λ 6ADC豆6CEA
，得CD=AE = AB.
确定性思考
"确定"即存在且唯一或有且仅有.
如果问题是确定的，则求解或画出图形或构造对象，即进一步研究具
体的实施方案;如果问题是不确定的，则研究问题的变化状态.
..62
C
./'1F
A C
AF
A
B D
E
A-一一-E
F一一一
E
图①
图③
傅立叶(1 768一
(2) 如图②，在6ABC 和6DEF 中，AC = DF ，BC=EF ，ζ B= ζ E ，且
1 830) ，法国数学家、
ζ B
，ζE 都是钝角.求证: 6ABC三6DEF.
~ 物理学家.傅立叶的
第三种情况: 当ζB 是锐角时，6ABC 和6DEF 不一定全等
主要成就是对热传
(3) 在6ABC 和6DEF 中，AC = DF ，BC 二EF ，ζB 二
ζ E ，且ζ B ，ζE 都是锐角，请你用尺规在图③中作出
(坷。
问题提出
学习了三角形全等的判定方法(即"SAS'''' ASA"
"AAS'''' SSS") 和直角三角形全等的判定方法(即"HL") 后，我们继续对"两个
三角形满足两边和其中一边的对角对应相等"的情形进行研究.
初步思考
我们不妨将问题用符号语言表示为:在6ABC 和6DEF
中，AC=DF ，BC = EF ，ζ B= ζ E.然后，对ζB 进行分类，可分为"ζB 是直
角、钝角、锐角"三种情况进行探究.
深入探究
第一种情况:当ζB 是直角时，6ABC经6DEF.
(1)如图①，在6ABC 和6DEF 中
，AC=DF ，BC=EF ，ζB 二ζ E=
90 0 ，根据
，可以知道Rt6ABC且Rt6DEF.
第二种情况: 当ζB 是钝角时，，6.ABC且，6.DEF.
o
6DEF ，使6DEF 和6ABC 不全等. (不写作法，保留作图
A
痕迹)
图③
(4) ζB 还要满足什么条件，就可以使6ABC 三，6.DEF ? 请直接填写
结论:
噩噩E罩理矗
幢幢。"…
一
~‘
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a…HFT号i
二
...::
一~-… '
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以
入
此
，
一
学
究
引
这
理
研
而
，
物
的
究
法
题
研
方
学
问
此
学
数
导
为
数
为
‘B
: 发展奠定了基础.
傅立叶曾说:
"对自然界的深刻
如
: 研究是数学发展的
在，6.ABC 和，6.DEF 中，AC = DF ，BC = EF ，ζ B = ζE ，且ζ B
，ζE 都
; 最丰富的源泉"他
是锐角，若
，则6ABC旦6DEF .
( 江苏省南京市中考题)
曾提出下列问题:
(1)能否将一
分析
本例给出了3 个步骤，设置了4 个问题，营造了一个问题探究的
; 个三角形剖分成12
过程，展示了问题探究的方法，即从特殊情形切人，归纳，形成一般性结论，本
; 个全等的小三角形?
( 2 ) 一个三角
例又蕴含了特殊化、分类讨论、化归等数学思想方法.
请读者自己完成.
:
形，能否告IJ 分成m 2
: 个全等的小三角形?
..63
aE军噩噩1I'Vf，fi主5ß2，\M
~~~学为训练嘎嘎嘎
• •
穷实. .
L 一个三角形的三条边的长分别为3 ，5 ，7 ，另一个三角形的三条边的长分别为3 , 3x - 2 , 2x -1 ，若
这两个三角形全等，则z 的值是
( "希望杯"邀请赛试题)
2 ，已知，如图，，ð.ABC豆，ð.A'B 'C' ,AD ，A 'D '分别是，ð.ABC 和，ð.A'B'C' 的高.求证:AD 二A 'D ' .
可以反过来思考，提出一些问题:已知，ð.ABC 和，ð.A'B'C' 中，高AD 等于高A'D' ，再增加以下
各组条件:
A
AF
/才\
①ζB= ζ B' ，ζC=ζC F ;
②ζ B= ζ B' ,AB =A'B';
B
D
C
B'
D' C'
( BC = B'C' ,AB = A'B'.
第2 题图
写出能分别判定，ð.ABC旦，ð.A'B'C' 的所有条件组的序号:
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
3. 在，ð.ABC 中
，AB = 5, AC = 3, AD 是，ð.ABC 的中线，设AD 的长为m ，则m 的取值范围
是
(四川省达州市中考题)
ι 如图，在，ð.ABC 中，AD l_ BC 于D ，CE l_ AB 于E ，AD ，CE 交于点H ，已知EH 二EB = 3,
AE = 4 ，则CH 的长是(
).
A.1
B. 2
B
A
C
D
第4 题图
C. 3
0. 4
( 安徽省芜湖市中考题)
E
D
第5 题图
5. 如图，已知，ð.ABC 和，ð.ADE 都是等腰三角形，ζBAC = ζDAE = 90 0 ,BD ，CE 交于点F ，连接
AF .下列结论:①BD = CE; ②BF l_ CF ; ③AF 平分ζ CAD; ④ζAFE = 45 0 •其中正确结论的个
数是(
).
A.1
B.2
C.3
0 .4
(湖北省天门市中考题)
..64
-~
6. 已知，6ABC 和，6A j B j C j
，D 和D j 分别是BC 和BjC j 的中点，下列条件能判定，6.ABC 旦
，6A j B j C j 的是(
).
A. ζ C= ζ C j ,AC=AjC j ,AD=AjD j
B.ζ B= ζ B j ,AB=A jB j ,AC=AjC
C. AD=A jD j ,BD=B jD 1 ,CD=C 1D 1
D.ζ BAD= ζ B 1 A 1 D 1 ,AB=A 1B 1 ,AD=A 1D 1
("希望杯"邀请赛试题)
7. 如图，CD 是经过ζBCA 顶点C 的一条直线，CA=CB ，E ，F 分别是直线CD 上两点，且ζBEC=
L_ CFA= ζα.
(1)若直线CD 经过ζ BCA 的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题:
①如图①，若ζB CA = 90 0 ，ζα =90 0 ，则BE
CF;EF
!BE -AF!C 填" > "" < "或
②如图②，若0 0<ζBCA < 180 0 ，请添加一个关于乒α 与ζBCA 关系的条件
，使
①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论.
B
D
C
A
图①
图②
图③
第7 题图
(2) 如图③，若直线CD 经过ζ BCA 的外部，ζα=ζ BCA ，请提出EF ，BE ，AF 三条线段数量
关系的合理猜想(不要求证明) .
(浙江省台州市中考题)
· 能力拓展·
8. 在，6ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH = AC ，则ζABC=
9. 如图，在平面直角坐标系中，A ，B 两点分别在工轴、y 轴上，OA = 3 ，OB = 4 ，连接AB.点P 在平面内，
若以点P ，A ，B 为顶点的三角形与，6AOB 全等(点P 与点。不重合) ，则点P 的坐标为一一一一·
Y
B
δ1
A
:X
第9 题图
第10 题图
10. 如图，在7 X 4 的网格中，A ，B ，C 是三个格点，则ζABC= 一一一一一·
(辽宁省中考题)
("希望杯"邀请赛试题)
.65
aE罩
ffli1t tJi ñ~ . J\ ~ ti
11. 如图，在t6，ABC 中，AC=BC ，ζACB =90 o.AD 平分ζ BAC ，BE j_AD 交AC 的延长线于点
F ，点E 为垂足.则结论:①AD=BF; ②CF=CD; ③AC + CD=AB; ④BE=CF; ⑤BF=
2BE ，其中正确结论的个数是(
A.l
B. 2
C. 3
D.4
(河北省竞赛题)
AA
第
11 题图
第12 题图
12 . 如图，在t6，ABC 中，ζ BAC ，ζ BCA 的平分线交于点I ，若ζ B=3 5 0 ，BC=AI 十AC ，则ζ BAC
的度数是(
A.60
B. 70 。
C. 80 。
D. 90 。
("希望杯"邀请赛试题)
13. 若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关
系是(
A. 相等
B. 互余
c.互补
D. 相等或互补
( ..五羊杯"竞赛题)
1也. 分别以t6，ABC 的三边为腰，顶点A
，B 为直角顶点按如图所示的方式作三个等腰直角t6，ACD ，
t6，ABF ，t6，BCE ，连接DE ，交BF 于点G ，求证:线段DE 与BF 互相平分.
("希望杯"邀请赛试题)
F
A
C
第
1 4 题图
15. 如图，已知AB=CD=AE 二BC+DE=2 ，ζABC= ζAED=90 0 ，求五边形ABCDE 的面积.
(江苏省竞赛题)
BQ:
第
1 5 题图
.66
-rli] ~mm 坠
16. 问题背景
如图①，在四边形ABCD 中
，AB =AD
，ζ BAD 二120 0 ，ζB 二
ζADC 二90
0 ，E , F 分别是BC
，CD 上的点，且ζ EAF = 60 0 ，探究图中线段
BE ，EF
，FD 之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ，使DG=BE ，连接AG ，先证
明6ABE 且6ADG ，再证明6AEF 经6AGF
，可得出结论.他的结论应
是
探索延伸
如图②，若在四边形ABCD 中
，AB=AD
，ζB+ ζ D=180 0 ，E ，F
分别是BC ，CD 上的点，且ζEAF=lζBAD ，上述结论是否仍然成立，并说
2
明理由.
FF
x
B E
C
图②
图③
第16 题图
σ
'‘
J 飞'‘
，、
，、
/￥D
"
/'、气
…
…
, -、
二
A 萨二--一~F
B
E
C
图①
第16 题图
实际应用
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(0 处)北偏西30。的A 处，舰艇乙
在指挥中心南偏东70 。的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲
向正东方向以60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50。的方向以80 海里/小时的速度前
进，1. 5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70 0 ，试
求此时两舰艇之间的距离.
(山东省德州市中考题)
.61
如果自然界把我们引向极其简单而美丽的数学形式，我们就不得不
认为这些形式是真的，它们显示了自然界的真正特性.
一一海森堡
世障
。00.. •
角是几何中最
~~~知识纵横嘎嘎嘎
活跃的元素，与角
: 相关的知识异常丰
富，在三角形中，角
若按边(角)是否相等分类，则两边(角)相等的三角形是等腰三角形.等腰
:
又有独特的等量关
三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等; 等腰三角形是轴对称图形，底边
;
系，如三角形内角
上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一) ，特别地，等边三角形
; 和定理、内外角关
的各边相等，各角都为60 0 •
系定理、等腰三角
解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是
: 形两底角相等，利
:
用这些可以找到角
思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直
:
与角之间的"和"
线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，应重视全等三角形的运
差" ‘ 倍" 分"关系.
用，又不固于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径.
海森堡090 1- 1 976)
，德国物理
学家，因提出" 不确定性原理" 而获得
1 932 年诺贝尔物理学奖，首次打开了
通向重新理解微观世界的大门.
~~~例题求解嘎嘎嘎
圃~O
(1) 等腰三角形两个内角的度数之比为1 : 2 ，这个等腰三角形
底角的度数为
(黑龙江省竞赛题)
(2) 已知等腰6ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且满足α 十bc 十b +ca =
24 ，则这样的三角形共有
个.
(四川省竞赛题)
思路点拨
等腰三角形边、角分别有不同名称，故需分类讨论.
.68
随着知识的丰
:
富，我们分析问题、
:
解决问题的方法和
工具随之增加，因
; 此，在使用什么方
:
法解决问题时，需
: 要综合与选择.
[~[8 如图，若AB 二AC ，BG = BH ，AK = KG ，则
ζ BAC 的度数为(
).
A.30 。
B. 32 。
C. 36 。
D.40 。
G
(湖北省武汉市选拔赛试题)
思路点拨
图中有很多相关的角，用ζ BAC 的代数式表示这些角，建立
关于ζBAC 的方程.
-~
撞撞
。00. . •
圃'
阅读理解
如图①，6ABC 中，沿LBAC 的平分线ABl 折叠，剪
;
结论探索型、
'
条件探索型、存在
掉重叠部分;将余下部分沿ζB I A 1 C 的平分线A I B z 折叠，剪掉重叠部分……将
:
性判断是探索型问
余下部分沿ζ B nAnC 的平分线AnBn +l 折叠，占B n 与点C 重合.无论折叠多
:
题的基本形式，相
少次，只要最后一次恰好重合，我们就称ζ BAC 是6ABC 的"好角"
l
应的解题策略是:
小丽展示了确定ζ BAC 是6ABC 的好角的两种情形.
(1)通过对符
情形一:如图②，沿等腰三角形ABC 顶角ζBAC 的平分线ABl 折叠，点
: 合条件的特例或简
B 与点C 重合.
情形二:如图③，沿6ABC 的ζ BAC 的平分线ABl 折叠，剪掉重叠部
分;将余下部分沿ζ BIA1C 的平分线AIB z 折叠，此时点B l 与点C 重合.
Jhh边才\杰吠
V
B,
B,
Bn
B川L，
B
B,
C
B
B,
B, C
图①
图②
图③
探究发现
(1) 6ABC 中，ζB 二2ζC ，经过两次折叠，问ζ BAC 是不
是6ABC 的好角
(选填"是"或"不是") .
;
单情形的分析、观
:
察，猜想结果，再给
出证明.
(2) 假设结论
ι
成立，逆推追寻相
:
应的条件.
(3) 假设在题
:
设条件下的某一数
学对象存在，进行
:
推理，若由此导出
矛盾，则否定假设;
(2) 小丽经过三次折叠发现了ζBAC 是6ABC 的好角，请探究ζB 与
: 否则，给出肯定的
ζC(不妨设ζB >ζ C) 之间的等量关系.
根据以上内容猜想:若经过n 次折叠ζBAC 是6ABC 的好角，则ζB
与ζC(不妨设ζ B >ζC) 之间的等量关系为
(3) 小丽找到一个三角形，三个角分别为15 0 ，60 0 ，105 0 ，发现60。和105 。
的两个角都是此三角形的好角.
请你完成:如果一个三角形的最小角是4 0 ，试求出三角形另外两个角的
度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
(江苏省淮安市中考题)
思路点拨
通过折叠方式定义"6ABC 的好角"对于(3) ，在(2) 的基础
上，引人字母表示此三角形的另两角.
结论.
..69
a~~ i& i1t fJi固I3ll1lW
撞撞。"…
:
是证明BO=BA
，
: 解法一作出等腰三
:
角形，解法二构造
:
等边三角形，殊途
同归.
只有符合下列
:
条件之一的三角形
:
才能被分割成两个
:
等腰三角形:
(1)一个角等
于90 0
•
(2) 一个角是
另一个角的
2 倍
(x
，2工，180。一3x
，
x ζ45 0 ) •
(3) 一个角是
另一个角的
3 倍.
圃'
如图，在6ABC 中
，LBAC = 80
0 ,AB =AC ，0 为6ABC 内一
点，且ζ OBC=10 0 ，ζ OCA=20 0 ，求ζ BAO 的度数.
解例
4 的关键
(天津市竞在题)
总
C
\
V
人
A
O
: :
i
k
气
\
二
7
①
jj
J
/
E
J
二
J
图
:
J
J
J
J ; ; ; ; ; ;
i
dB
解法一
如图①，作AE 上BC 于E ，延长co 交AE 于
F ，连接BF ，则ζ BAF= ζ CAF=40
0 ,FB=FC ,
ζ FBC= ζ FCB 二30 0 ，得
ζ FBO=20 0 = ζ FBA
，
ζ FOB=40 0 = ζ FAB.
又BF=BF
，得6AFB 豆60FB
，
除BA ，从而ζ叩二二080 0 -4忏70 。
如图②，以BC 为边作等边6BEC ，连接
BE=CE ,AB=AC ,AE=AE ,
解法二
AE
，则
得6ABE 且6ACE ，
图②
·.ζAEB= ζAEC=30 0
•
.: AB=AC ，ζ BAC=80 0 ，
:. ζABC=50 0 ，ζ EBA=10 0 = ζ OBC .
又ζAEB= ζ OCB=30 0 ,BC=BE ,
:. 6ABE (/) 60BC ，得BO=BA
，
回形分割
AU
吁
，d
一
-
nU
A
吐
nu
口
。
1
一2
一
O
A
B
/
ι
把一个图形分割成几个形状相同的图形是图形分割的重要类型.解图
形分割问题需将动手操作、空间想象、计算推理融合在一起.
因等腰三角形的某些元素不确定，故解等腰三角形分割问题的关键是
分类讨论.
如图，己知内角度数的四个三角形，请用直尺和圆规作一条直
线，把6ABC 分割成两个等腰三角形.
.10
[缸。
分析与解
AJ气
图①
A
图③
C
尝试、调整，分割如下:
A
B
图①
A
图③
C
而图④不能分割.
C
~
84 0 \
A'/:240
1B
图②
/斤;三、
因④
C
A
图②
/斤;三、
图④
从例5 的特殊的不同类型三角形的分割获得怎样的启示?我们提出如
下猜想:
若过三角形一顶点作直线把它分割成两个等腰三角形，则这样的三角形
应满足下列条件之一:
(1)原三角形是一个直角三角形.
(2) 原三角形有一个角是另一个角的2 倍.
(3) 原三角形有一个角是另一个角的3 倍.
怎样证明?需按三角形的形状、等腰三角形的腰与底全面讨论，大致画
出图形，引人字母，代数化.
现证明如下:
(1)如图⑤，设ζ B= α ，当PB 二PC
，PA =PC 时，得ζ APC=2α ，
ζ BCA 二90 0
，
A
90 0 -
0:
90 0 -
0:
B
B
A
A
L习2皿
l
d~
~1180 0-3α
B
C
因⑦
·理~
西稽
。00.. •
完美的分割
如图，把一个
等边三角形分割成
13 个等腰(非等边)
三角形，其顶角的
度数分别为
ζ 1=30 。
ζ2:::::::36.3016 0
ζ 3:::::::33 .1 508 。
ζ4:::::::42 . 6032 。
ζ 5:::::::17 . 3968 。
ζ 6:::::::50 . 5475 0
ζ 7~己83.6982 0
"11
aE通逗血~~，\-
iã'量
。00 ...
出，解决问题的关
: 键是恰当运用分类
讨论法.
对象按一定的标
准，分成若干类，然
后逐步讨论.
分类讨论的一
般过程是:
(1)关注分类
诱因
(2) 确定分类
:
标准.
( 3) 逐级分类.
(4) 概括结论.
(2) 如图⑥，设ζB 二α ，当PB=PC 且PA=AC 时，得ζACB=3α ，即
ζACB=3ζ B
，此时，ζA=180。一切.
由例
5 可以看
(3)如图⑦，设ζB= α ，当PB=PC 且PC = AC 时，得ζA= 句，而
ζA=2ζB ，此时ζBCA=180。一3α.
ω 如图③，设3 二α ，当BC=CP 且AP 二CP 时，A=2 ，即LB=
即对所涉及的
ω ，此时3叶180。一号
A
三
4
。
，
、
，"
A
哈
45。
也
一___èjrr-r.，.J
- 飞
900 - 号
图⑨
B
AgT
//LET
)
内
J
J
7
d
f
d
y
E
Q
A
反
/
J
JC
配
/
由
-
4DU
(5) 如图⑨，设ζB= α ，当BC=BP 且AP=CP 时，ζA 二ζ PCA 二
a
. __
. . _^
3α
45 。-2 ，ACB=1350 一一，即LACB=3LA
4
对于(2)
，ζA=180。一句>0 ，得α<45 0 .
对于(3) ，ζBCA=180。一切>0 ，得α <60 0 ，又180 一切>α ，得α <45 0 ，
综合得α < 45 0 .
故对于二倍角关系时分割(非直角三角形)的必要条件是较小的角必须
小于45 0 ，这也解释了为什么例5 中图④不能分割的原因.
嘎嘎嘎
学为训练
~~~
穷实. •
1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36 0 ，则该等腰三角形的底角的度数为
(内蒙古自治区呼和浩特市中考题)
j、\
2. 如图，在Rt6ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD = BC ，AE = AC ，则
ζDCE 的大小为
第2 题图
(天津市中考题)
3. 某四边形的两条边的长是1 和4 ，一条对角线的长是2 ，并且这条对角线将四边形
分为两个等腰三角形，则这个四边形的周长等于
("希望杯"邀请赛试题)
.72
·司~
县
" 三等分角"大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来，借助如图所示的" 三等分角仪"能三等
分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA
，OB 组成，两根棒在点。相连并可绕点。转
动，点C 固定，OC=CD=DE ，点D ，E 可在槽中滑动.若ζ BDE = 75 0 ，则ζ CDE 的度数
是(
).
A.60 。
B. 65 。
C.75 。
D.80 。
(浙江省湖州市中考题)
AI
/俗(
第4 题图
第
5 题图
0. 已知t6.ABC 中
，AB=AC ，ζ BAC 二90 0 ，直角ζ EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别
交AB
，AC 于点E ，F ，给出以下
4 个结论: ①AE = CF; ②t6.EPF 是等腰直角三角形;
③S 四边形山=jS AMe ; ④EF=AP 当ζEPF 在t6.ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A ，B 重
合) ，上述结论中始终正确的有(
).
A.l 个
B. 2 个
C. 3 个
D.4 个
(江苏省苏州市中考题)
6. 已知t6.ABC 的三条边长分别为3 ，4 ，6 ，在t6.ABC 所在平面内画一条直线，将t6.ABC 分割成两
个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(
).
D.9 条
(江苏省无锡市中考题)
7. 已知t6.ABC ，AB=AC ，D 为直线BC 上一点，E 为直线AC 上一点，AD=AE ，设ζ BAD= α ，
A.6 条
B. 7 条
C. 8 条
ζ CDE= 卢.
(1)如图，若点D 在线段BC 上，点E 在线段AC 上.
① 如果ζζ乙ABC=6旷
0旷。，ζζ乙ADE 二7刊0
0 ，哪那么α= 一一一一一一一一二
-f。，卢=一一一一-一一二o。
②求α
，ß卢之间的关系式.
(2) 是否存在不同于以上②中的αJ 之间的关系式?若存在，求出这个关系式
(求出一个即可) ;若不存在，说明理由.
B D
C
(浙江省绍兴市中考题)
第7 题图
..13
4-港理骂暗.~ii:蹄理~~
8. (1) 如图，在6ABC 中，已知AC=BC ，ζC=100 0 ，AD 平分ζCAB 交BC 于点D. 求证:AD+
CD=AB.
••
(2) 若ζ C=108 0 ，其他条件不变，探究:AB 是哪两条线段长的和?并
证明.
(3) 请提出相关问题.
户\
第8 题图
9 . 如图，AA ' ，BB'分别是ζEAB ，ζDBC 的平分线，若AA ' =BB ' =AB ，则ζBAC 的度数为
E-===_A
C
~;
A'
第9 题图
(全国初中数学联赛题)
第10 题图
10 . 如图，在6ABC 中，AB=BC ，在BC 上取点M ，在MC 上取点N ，使MN =NA ，若ζBAM=
ζ NAC ，则ζMAC =
(俄罗斯萨温市竞赛题)
1 1. 如图，在凸四边形ABCD 中，AB > AD ,BC = CD ,AC ~平分ζBAD ，ζ BAD = 25 0 ，则ζ BCD
的度数为
(北京市竞赛题)
C
B
C
D
第11 题图
第12 题图
12. 如图，等腰直角三角形ABC 中，ζABC=90 0 ,BA =BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转。( 0 0< 0 <
90
0
) ，得到BP ，连接Cp ，过点A 作AH _l CP 交CP 的延长线于点H ，连接AP ，则ζ PAH 的
度数(
).
A . 随着。的增大而增大
B. 随着。的增大而减小
C .不变
D. 随着。的增大，先增大后减小
(;i斤江省绍兴市中考题)
.14
噩噩国画画‘
13. 如图，已知AB =AC ，AP=BQ ，AO=BO=CO. ζAQO=16 0 ，则ζ CPO 等于(
)度.
A. 16
B. 32
C.45
D.46
C" 华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
Q
A
E
B
第
13 题图
第14 题图
M 如图，已知AC 平分ζDAB ，CE牛AB 于点E ,AB =AD+2BE ，则下列结论:①AE=j(AB+
AD); ②ζ DAB+ ζ DCB = 180 0 ; ( CD=CB; ( S L:,. ACE - S L:,. BCE = S L:，.ADC. 其中正确结论的个数
是(
).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
15. 如图，在DABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 上的一点，AD=DC.
ζ DEC= ζ ABC. 求证:AB=CE.
才、
(四川省竞赛题)
B
D
C
16. 如图，已知四边形ABCD 满足:ζ DAC= ζ CAB = 60 0 ,AB =
BD-AC. 设直线AB 与CD 交于点E. 求证:ζADB =
2ζ BEC.
(伊朗几何奥林匹克试题)
第15 题图
石巳〉人\
D
ι
E
第16 题图
17. 如图，已知等腰DABC 中
，AB=AC ，P
，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ 二QB=BC ，
求ζ PCQ 的度数.
(北京市竞赛题)
Bt._一一这C
第
17 题图
.15
正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自
己的问题.正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志和力量，
发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界.
撞撞。"…
一一希尔伯特
~~~知识纵横嘎嘎嘎
由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理
论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形
为等腰三角形的基本方法是:从定义入手，证明一个三角形的两条边相等;从
角入手，证明一个三角形的两个角相等.
实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形
的性质为解题服务，常用的构造方法如图:
三
Lt'~丁L
〈;;二;江
希尔伯特(1 862 - 1 943) ，德国数学
家. 他在积分方程、变分法、泛函分析、理
论物理等许多领域做出了杰出的贡献.
1 900 年
8 月
，第二届国际数学家大会
在巴黎举行. 这一天
，希尔伯特作了影响
整个世纪数学进程的精彩演讲.
证明钱段(角)
;
相等是最基本的几
:
何问题，目前常用
:
证法有:
(1)若两线段
(角)属于两个三角
应
对
证
等
虑
全
考
形
则
角
形
的
~~~例题求解嘎嘎嘎
(2) 若两线段
(角)是同一个三角
[征。
如图，在6ABC 中，AB =7 ,AC= 11 ,
点M 是BC 的中点
，AD 是ζ BAC 的平分线，MF //
AD ，则CF 的长为
.
B
(全国初中数学联赛题)
:
形两边(角) ，则考
虑、用等角(边)对等
边(角)证明.
c
(3) 寻找中间
线段(角) ，通过等
量代换证明.
.16
思路点拨
"角平分线+平行线"易构造等腰三角形，解题的关键是如何
利用"中点M " .
圃'
如图，已知RtLABC 中，ζC 二90 0 ，ζA 二30 0 ，在直线BC 或
AC 上取一点p
，使得LPAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有(
).
A.2 个
B. 4 个
C. 6 个
(江苏省竞赛题)
思路点拨
AB 既可作等腰LPAB 的腰，也可作为
等腰LPAB 的底，故要思考全面，才能正确地得出符合条
件的P 点的个数.
圃'
两个全等的含
30 0 ，60 。角的三角板
ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E ，A
，C 三点在
D
一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，
E
MC ，试判断LEMC 的形状，并说明理由.
(山东省中考题)
D.8 个
A
C
思路点拨
从LADE 旦LBAC 出发，先确定LADB 的形状，为判断
LEMC 的形状奠定基础.
[征。
如图，在LABC
中，ζACB = 90
0 ,
c
ζ CAD=30 0 ，AC 二BC 二AD. 求证:CD=BD.
( 重庆市竞赛题)
·国国矗噩噩隘
撞撞。"…
若仅将题中的
:
条件ζ A=30 。改为
:
ζ A = 45 0 ，则符合
: 条件的点有几个?
; 若将题中的条件
:
ζ A
30 0 ，改为
:
ζA 手30 0 ，ζA 手
45 0 ，则符合条件的
p 点有几个?请读
:
者思考.
解几何题，一
:
些特殊的数量(如
30 0 , 45 0 , 60 0 , 90 0 ,
120 0 ，150。等)能引
分析与解
图中有30 0 ，90。等特殊角，联想到相
A .Iof:::
丁
; 起我们对重要知识
应的知识方法，就打开了解决本例的不同思路的联想，进而构造
1 以CD 为边在LADC 内作等边LCDO ，连接AO ，
' 相应的图形，这是
则LACO旦LADO ，AO=OC ，OC=DC ，ζOCA= ζDCB=15 0 ，AC=
: 解特殊三角形、特
BC ，得LACO旦LBCD
，故CD=OC=OA=BD.
:
殊四边形有关问题
:
的一个常用技巧.
..n
aE罩噩噩噩噩噩
.J\ ~tl
n斤\
如图，L:，ABC 中，ζABC=46 0 ，D 是BC
[制~ø
边上一点，DC=AB ，ζ DAB =21 0 ，试确定ζCAD 的
度数.
(北京市竞赛题)
解法一
如图①，作L:，ABD 关于AD 的轴对称图
A
BA〉~ ~
D"" i
....... V
飞
，一.'一
形L:，AED ，则ζ EAD=21 0 ,AE=AB ,
所以
，DE=BD ，又ζADC=21 0 +46 0 =67
0 ，
故ζADE= ζADB 二180 0 -
67 0 = 113 0 ，ζ CDE=
号、，
一.'一
、品.'
E
113 0 - 67" =46 0 ,
连接
CE ，可证
L:，CDE旦
L:，ABD 旦
L:，AED ，
图①
ζ ODE= ζOED=46 0 ，得OD=OE ，
又DC=AE ，则AO=CO ，ζOCA= ζOAC ，ζ COE=2ζACO ，
ζ COE =2X
46 0 = 92 0 =2ζACO.
从而ζACO = 46 0 =ζOAC ，所以，ζ DAC = ζDAE +ζEAC = 67 0 •
解法二
如图②，过A 点作AE // BC ，过D 点作
DE//AB
，连接EC .
.· ζ EDC = ζABC 二46 0 ,DE = AB = CD ,
1
.·. ζ DCE = ζ CED = : X (180 0 - 46 0 ) = 67 0 ,
2
.· ζADC= ζABC+ζ BAD=46 0 十21 0 =67 0 ，
.·. ζADC = ζ DCE ， :.AD = EC.
·. 梯形ADCE 为等腰梯形，
:. AC=DEC 等腰梯形对角线相等) ,
:. AC= AB = CD .
·. ζ DAC = ζADC = 67 0 •
确定主集件
B
充分运用条件是解决问题的基础，当条件众多时，注重顺序、关注重
组、确定主条件是恰当运用条件的不同表现，而确定主条件是打开解题交
破口、生成不同解法的关键.
圃'
如图，在L:，ABC 中，已知L::B = 2 L::C ，AC =
AB 十BD ，求证: AD 是ζ BAC 的平分线.
A
川\
(四川省竞赛题)
B
D
C
.18
撞撞。"
翻析、平移、旋
转是作辅助线的重
要方法，能使分散
的条件集中.
解例
5 的关键
是条件
DC = AB
怎样运用? 解法一
由翻折构造全等三
角形，解法二由平
移得等腰三角形.
四..." . ，，'" • Q
~~ ..? I J.'.l.'.rti
撤回
数学是思维的
学科，数学的存在
与发展依据思维，
精湛的思维艺术又
常借助数学彰显其
力量. 没有哪一门学
科能与数学在训练
人的思维的深度、
广度、完整度上相
比拟，数学能使人
们的思维综合为一
种科学系统.
·国且国噩噩lIiì
: 主亩3章
。00'
一个条件是倍角关系，一个条件是线段和关系.从其中一个条件出
分析
发，作出基本辅助线，打开解题突破口.
以ζ B = 2ζ C 为主条件.对内作角平分线或向外构造等腰三角
形，化倍角为等角.
如图①，作ζABC 的平分线BE ，交AC 于点E ，过D 作DF // BE ，交
AC 于点F ，交AB 延长线于点G ，先证明DAFG豆DABC ，再证明DABD 单
证法一
D AFD .
如图②，延长DB 至E ，使BE=AB
，连接AE
，得ζ E= ζ C ，ED = AC =
AE
，由角的关系推得ζ BAD= ζ CAD.
以AC=AB + BD 为主条件补短，化线段和为等线段.
如图③，延长AB 至G ，使BG=BD ，连接CG ，DG ，则AG = AC
，ζAGC
= ζACG
，ζ BGD= ζACB
，推得DG=DC
，证明DAGD 旦DACD.
证法二
A
l飞
C
F\-
J :
1 : : :
、
J
F
『
\
/
」
D
、
i
l
-
-
旷
-
，
AA
-
JJr ; ;
B
i
一
，
,G
图③
嘎嘎嘎
学力训练
图②
~~~
图①
请读者完成证明.
• •
1. 如图，在平面直角坐标系中，0 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A
，C 的坐标分别为A (l ü ，
。) ,C(ü ，4) ，点D 是OA 的中点，点P 为线段BC 上的点，小明同学写出了一个以OD 为腰的等
腰三角形ODP 的顶点P 的坐标(3 ，4) .请你写出其余所有符合这个条件的P 点坐标一一一_-
(青海省西宁市中考题)
y
c
C
。
第2 题图
第
1 题图
2. 如图
，DABC 中
，AD 平分ζ BAC ，AB 十BD=AC ，则ζ B
: ζ C 的值= 一一一.
(" 五羊杯" 竞赛题)
.19
aE噩噩噩ì. fJi ñf! . J\ iFt.a
3. 如图.DABC 和DCDE 均为等腰直角三角形，点B.C.D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，
有下列结论: ①5 f:,.ABC + 5 f:，.CDE 二三S f:，.ACE
; ②BM _l DM; ③BM=DM.其中正确的有一一一一个.
(四川省南充市中考题)
A
队
川
]
c
内E
第6 题图
第5 题图
第4 题图
第3 题图
也. 如图是由
8 个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上.如果点P 是
某个小矩形的顶点，连接PA.PB. 那么使DABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是(
D. 5
C. 4
B. 3
A.2
(山东省聊城市中考题)
5. 如图，在DABC 中，ζ B=2ζC. 则AC 与2AB 之间的关系是(
B. AC=2AB
A. AC> 2AB
D. AC< 2AB
C. AC ~ 2AB
(山东省竞赛题)
6. 如图，在RtDABC 中，ζC=90
0 • 以DABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在
DABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(
D. 7
C. 6
B. 5
A.4
(湖北省武汉市中考题)
7. 已知:点。到DABC 的两边AB.AC 所在直线的距离相等，且OB=OC.
(1)如图①，若点。在边BC 上，求证:AB=AC.
(2) 如图②，若点。在DABC 的内部，求证:AB 二AC.
(3) 若点。在DABC 的外部.AB 二AC 成立吗?请画图表示.
(安徽省中考题)AA
第7 题图
图②
F
\
、
、
-
c
: : :
A
气
\
/
二
〉
①
/
/
\
-
t
图
:
: :
:
EJL1
」
4
B
.80
.蕴匮噩噩型矗
8. 如图①，已知，6.ABC经，6.EBD ，ζACB=ζEDB=90 0 ，点D 在AB 上，连接CD 并延长交AE 于点F.
(1)猜想:线段AF 与EF 的数量关系为
(2) 探究:若将图①中的，6.EBD 绕点B 按顺时针方向旋转，
当ζ CBE 小于
180 。时，得到图②，连接CD 并延长交
AE 于点F ，则(1)中的结论是否还成立?若成立，请证
明;若不成立，请说明理由.
(湖北省十堪市中考题)
图①
图②
第8 题图
9. 在，6.ABC 中
，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到的锐角为50 0 ，则ζB
的度数为
(湖北省黄冈市中考题)
10. 如图，四边形ABDC 中，，6.EDC 是由，6.ABC 绕顶点C 旋转40 。所得，顶点A 恰好转到AB 上
一点E 的位置，则ζ1 + ζ2=
(江苏省竞赛题)
A
B
C
B
A‘
l月于~凶也值也也U川".. .
D
A' 啥?………………、…
第10 题图
第11 题图
1 1. 如图，己知ζAOB=7 0 ，一条光线从点A 发出后射向OB 边.若光线与OB 边垂直，则光线沿原
路返回到点A ，此时ζA 二90 。一r=83 0
•
当ζA < 83。时，光线射到OB 边上的点A l 后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2 ，易知ζ1=
ζ2.若A1A 2 上AO ，光线又会沿A 2 →A l →A 原路返回到点A ，此时ζA= 一一一-
若光线从点A 出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A ，则锐角A 的最小值为一一一一·
(河北省中考题)
.81
aE重mfll'盟军罩
12. 在平面直角坐标系中，已知点A (1，l) ，BC3 ，2) ，点C 在坐标轴上，若6ABC 为等腰三角形，则
点C 的个数是(
A.3
B. 4
C. 7
D.8
( "希望杯"邀请赛试题)
13. 在6ABC 中，ζABC=12 0 ，ζACB = 132
0 , BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点
M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则(
A. BM>CN
B. BM=CN
C. BM<CN
D.BM 和CN 的大小关系不确定
( 全国初中数学联赛题)
1也. 如图，在6ABC 内，ζBAC=60 0 ，ζACB = 40
0 ,P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别为
ζBAC ，ζABC 的角平分线.求证:BQ+AQ=AB 十BP.
( 全国初中数学联赛题)
第
1 4 题图
15 . 如图，在6ABC 中，ζBAC=90 0 ,AB =AC ，D 是6ABC 内一点，且ζ DAC= ζ DCA=l S 0 ，求
i正:BD=BA.
A
C
第
1 5 题图
• •
16. 如图，在正五边形ABCDE 中，过点C 作CD 的垂线，与边AB 交于点F ，求
A
i正: AE +AF = BE .
E
B
(伊朗几何奥林匹克试题)
D
C
第
1 6 题图
.82
等边三角形
在物理学中，通向更深入的基本知识的道路是同最精密的数学方法联
系着的，只是在几乎独立的科学研究工作以后，我才逐渐地明白了这一点.
一一爱因斯坦
~~~知识纵横嘎嘎嘎
等边三角形是特殊的等腰三角形，有以下丰富的性质:
(1)三边相等，三角相等，每个角等于60 0
•
(2) 每条边上的高线、中线、所对角的平分线互相重合.
(3) 等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值，等于一边上的高.
判定等边三角形的基本方法有:
(1)从边人手，证明三边相等.
(2) 从角入手，证明三角相等或证明两个角都为60
0
•
(3) 从边角入手，有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形.
不一样的拿破仑
数学爱好
者、法国数学学科发展的早期推动者.
在南征北战的军事行动中
，拿破仑的
身边总是簇拥着数学家、科学家，他
在数学上有较深造诣. 时常与学者讨
论科学问题
，甚而出" 难题"
~~~例题求解嘎嘎嘎
撞撞。。。…
如图，取一个
:
三角形，在其边上
向外各作一个等边
:
三角形，此时这三
:
个新的三角形的中
:
心又形成一个等边
三角形.
传说是拿破仑
:
发现了这一定理，史
:
称"拿破仑三角形"
不同形状的几
:
何图形之间可互相
:
转化，向外补形与
I
对内分割是基本的
圃~O
(1)如图①，C 为线段AE 上一动点(不与A ，E 重合) ，在AE
: 两种转化方式
同侧分别作正L:，ABC 和正L:，CDE ，AD 与BE 交于点。，AD 与BC 交于点
P
，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ. 以下5 个结论:①AD=BE; ②PQ// AE;
③AP=BQ; ④DE=DP; ⑤ζAOB=60 0 •恒成立的有
(把你认为正
..83
aE军重主匾画墨墨5Ji"jØI
确结论的序号都填上).
(山东省中考题)
(2) 如图②，一个六边形的每个内角都是120 0 • 连续四边的长依次是2.7 ，
3 ，5 ，2 ，则该六边形的周长是
( 江苏省竞赛题)
Q
C
一一→←→E J ì'
A
图①图②
思路点拨
对于(1) ，发现多对全等三角形是解题的基础;对于(2) ，通过
向外补形，将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决.
[~[e 如图，P 是等边6ABC 内部一点，ζAPB ，ζBPC ，ζ CPA 的
大小之比是5 : 6 : 7 ，则以PA
，PB
，PC 为边的三角形的三个角的大小之比
(从小到大)是(
A. 2 : 3 : 4
B. 3 : 4 : 5
c. 4 : 5 : 6
D. 不能确定
(全国通讯赛试题)
A
思路点拨
解本例的关键是怎样构造以PA
，PB
，
PC 为边的三角形.若把6PAB ,6PBC ，6PCA 中的任
一个绕一个顶点旋转60
0 ，就可以把PA
，PB
，PC 有效地
集中在一起.
B
C
[锐'
如图，6ABC 中，L_B =60 0 ，延长BC 到D ，延
长BA 到E ，使AE=BD
，连接CE.DE ，若CE=DE ，求证:
6ABC 是等边三角形.
("希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
只需证明AB=CB. 条件AE=BD
，CE=
DE 能导出什么结论?延长BD 至F ，使DF=BC.
.84
E
B
C
D
撞撞。"…
对于比较困难
的几何问题，需要
:
把分散的条件加以
集中，使隐含的条
件加以显现，通过
简单的几何变换，
常可以达到转化的
目的.
例
2 采用的是
旋转变换，平面图形
通过旋转，它们的位
直发生了变化，但线
段的长和角的大小
:
都保持不变.
一般地，在有等
边三角形、正方形的
条件下，可将图形旋
转60 。或90 0 •
[旺。
如图，在等腰D.ABC 中，AB = AC ，顶角A=20。在
边AB 上取点D ，使AD=BC ，求ζ BDC 的度数.
("祖冲之杯"邀请赛试题)
分析
由条件知底角为80 0 ，20 。、80。并不是特殊角，但它们的
A
差却为60
0 .60。使我们联想到等边三角形，由此找到解题突破口.
BL一一....l c
解法一
如图①，以BC 边为边在，6ABC 内作等边，6BCO ，连接AO ，
由图形的轴对称知，D.ABO且D.ACO.
.·. ζ BAO= ζ CAO=10 0 ，ζABO=20 0 ，
ζAOB= ζAOC=150 0 •
又BO=BC=AD ，:.
D.ACD 旦D.BAO ，
·.ζADC = ζAOB=150 0 •
·.ζ BDC=30 0 •
A
A
Dk…斗一一一…一一……二:::;..E
B
C
BL一__l.t;
图①图②
解法二
如图②，以AC 为边作等边D.ACE ，连接DE ，则ζ BAE=80 0 ，
AC=AE=CE.
.: AD=BC ，ζ B= ζ DAE=80 0 ,AB =AC=AE ,
:. D.ADE 二D. BCA
，
·.ζAED=20 0 ，ζADE=80 0 ，
:. AE=DE=EC
，ζ DEC 二60 。一20 0 =40 0 ，
.·.ζ CDE=70 0 ，ζADC=80 0 +70 0 =150 0 ，
.·.ζ BDC=30 0 •
不变量与不变性
在纷繁变化的大自然中，寻求不变量与不变性，是科学探究的目的.化
学中的化学反应平衡方程式、物理学中的动量守恒定律和能量守恒定律等
都是某种不变性的探究结果.
数学，则要在数量变化中或空间结构变化中探寻隐含其中的不变量与
不变性.
南唐李煌的词"雕栏玉砌应犹在，只是朱颜改"，从侧面反映了不变量
与不变性.
在数学中，等边三角形是轴对称图形，结构匀称，具有丰富的守恒性.
·型mm:噩噩矗
撞撞。"…
在解数学题时，
一些特殊的量能引
:
起我们对重要知识
方法的联想，本例正
是充分注意到已知
条件中的数量关系，
通过构造等边三角
形、全等三角形而顺
利求解的.
4
牛
C
U
科克雪花曲线
(前四次迭代)
1904 年，瑞典
数学家科克创造出
了一种用几何图形
描述雪花的方法:
从一个正三角形出
发，重复画出越来
越小的正三角形，
它具有无穷大的周
长和有限的面积.
科克
.85
aE军m~"fft置
. J\~ta
[~[O 已知:等边L-，ABC 的边长为α ，P 为其内任意一点，PD _L AB
于点D ，PE _LBC 于点E ,PF _LAC 于点F.
求证:川D 十PE+PF=冬
A
(川D 十BE+俨?α
(川APBD +SAPJAPAF =jSAMe =毛2
B
E
C
(4) AD2+BE2+CF2=BD2+CE2+AF2.
分析
由垂线想到面积、勾股定理，对于(2 ) 和( 3 )
，通过作平行线，构造
平行四边形和正三角形，代换转化问题.
证明
(1)如图①，连接PA ，PB ，PC ，记BC 边上的
高为h.
.: 5 f，.PAB 十5 f，.PBC 十5 f,.PAC = 5 f,.ABC ,
:. ~ AB • P D + ~ BC • 卧-CA-FLBC-h
1
2
即ta·PD+ta· 卧ja-P÷α
• h
:.PD 十PE 十PF=h=号α
(2) 如图②，过点P 分别作L-，ABC 三边的平行线，易得四边形PIAR 、
四边形PGB5 、四边形PHCT 都是平行四边形，L-，PRG 、L-，P5H 、L-，PTI 都
是等边三角形.则有
AR=HC ,DR=DG ,B5=AI ,
SE=EH ,CT=BG , TF=FI.
λm +M + cr AA +~ +~ + ~ + cr + IT =
HC 十DG 十AI +EH +BG + FI = BD + CE 十AF=
1 _
3α
2 V f，.ABC 一τ-
( 3) 如图②，同理得
B
C
S f，.P∞= S f,.PDR ,S f,.PBG = S f,.PBS ,S f,.PEH = S f,.PES ,
S f,.PCH = S f,.PCT ,S f,.PFI = S f,. PFT ,S f,. PAl = S f,. PAR.
λS
f，.PBD 十S f,. PCE + S f,.PAF = S f,. PAD + S f,.PBE + S f,. PCF
lc
_13 _2
一一、
--"
2 ...J f,. ABC -
8 u
.86
撞撞。"…
1 904 年，英国
著名的代数几何学
家莫利发现了一个
惊人的结论，即所
: 谓的"莫利定理"
: 将任意三角形的内
:
角三等分，则与每
:
边相邻的两条三等
分线的支点构成一
个等边三角形.
这一惊人的结
:
果被誉为
自欧几里
: 得以来所发现的最
:
为优美的定理.
• •
(4) 如图③，连接PA
，PB
，PC ，则
AD2=PA 2-PD2,
BE2=PB 2-PE2,
CF2 = PC2 - P F 2 ,
BD 2=PB 2-PD2,
CE2=PC2-PE2,
AF2 = P A 2 - P F 2 ,
二AD 2+ BE 2 十CF 2 = BD 2 +CE2 + AF2.
~~~学刀训练嘎嘎嘎
穷实. .
噩噩国画理圄
撞撞
。00...
1. 如图，P 是正D.ABC 内的一点，且PA =6 ,PB =8 ，PC=10 ，若将D. PAC 绕点A 旋转后，得到
D. P'AB
，则点P 与p' 之间的距离为
，ζAPB=
(山东省青岛市中考题)
2. 如图，在D.ABC 中
，AB=AC ，D ，E 是D.ABC 内的两点，AD 平分ζ BAC ，ζ EBC= ζE=60 0 ，
若BE=6cm ，DE=2cm ，贝U BC=
cm.
(浙江省宁波市中考题)
B
A
P队
A
。
A/个~B
A
B
C
B
G
E
C
P
第
1 题图
第2 题图
第3 题图
第4 题图
3. D.BDE 和D. FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内.
若求五边形DECHF 的周长，则只需知道(
).
A. D.ABC 的周长
B. D.AFH 的周长
C. 四边形FBGH 的周长
D. 四边形ADEC 的周长
(浙江省宁波市中考题)
ι 如图，ζAOB = 120 0 ，OP 平分ζAOB
，且OP=2 ，若点M ，N 分别在OA
，OB 上，且D.PMN 为
等边三角形，则满足上述条件的D.PMN 有(
).
A.
1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 3 个以上
(河南省中考题)
..81
aE国且血画蓝墨Imi孟噩
5. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目:
在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点
D 在CB 的延长线上，且ED 二EC ，如图.试确
定线手支AE 与DB 的大小关系，并说明理由.
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答:
(1)特殊情况，探索结论
当点E 为AB 的中点时，如图①，确定线段
AE 与DB 的大小关系.请你直接写出结论:
AE
DB( 选填" > ""< "或"==")
(2) 特例启发，解答题目
D
A
A
图①
解:题目中，AE 与DB 的大小关系是:AE
第5 题图
DB (选填" > "" < "或"==").理由
如下:
如图②，过点E 作EF // BC ，交AC 于点F.(请你完成以下解答过程)
(3) 拓展结论，设计新题
A
图②
在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED = EC.若L:.ABC 的
边长为1 ，AE=2 ，求CD 的长(请你直接写出结果) .
(浙江省绍兴市中考题)
6. 如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边
作等边三角形DEF ，连接CF.
问题解决
如图①，若点D 在边BC 上，求证:CE+CF=CD.
类比探究
如图②，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段
CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系?并说明
理由.
(山东省烟台市中考题)
.88
A
图①
A
F
B
F
图②
第6 题图
·固~
7 如图，在LABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且AE=fBc ，
BE 的延长线交AC 于点F.若AF=EF.求ζADB 的度数.
( 日本数学竞赛题)
lFC
JD
PU
第7 题图
••
拓展. .
8. 如图，已知P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3 ，4 ，5 ，那
么LABC 的面积为
( 山东省淄博市中考题)
9. 如图，一个六边形的六个内角都是120 0 ，连续四边的长依次是
1 ，3 ，3 ，2 ，则该六边形的周长
为
A
(上海市竞赛题)
\
A
1己
BV
C
庐B
3
D
C
第9 题图
第
1 0 题图
第11 题图
第8 题图
10. 如图，设LABC 和LCDE 都是等边三角形，且ζEBD=62 0 ，则ζAEB 的度数是
(四川省竞赛题)
11. 如图，在LABC 中，已知ζ CAB = 60 0 , D , E 分别是边AB ，AC 上的点，ζAED = 60 0 , ED +
DB=CE ，ζ CDB=2ζ CDE ，则ζDCB=
(全国初中数学联赛题)
12. (1)如图①，边长为6 的等边LABC 中，E 是对称轴AD 上的一动点，连接EC ，以EC 为边作
等边LECF ，连接DF.在E 点的运动过程中，DF 的最小值为
(2) 如图②，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，LABC 是等边三角形，ζADC=30 0 ,AD=
3 ，BD = 5 ，则CD 的长为(
).
A.3j2
B. 4
c. 2/5
9
D. -::-2
(全国初中数学联赛题)
.89
4_&~辈豆l;iI'~撞撞理国且‘;二苦，\-
(3) 如图③，~ABC ，~AEF 和~BDF 均为正三角形，且ζABF 十ζAFB 十ζ ECD=60
0
，求
ζAFC 的度数.
B
13 . 发现规律
F
图①
C
矿
图②
第12 题图
F
A
D
图③
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
(1)如图①，~ABC 与~ADE 都是等边三角形，直线BD
，CE 交于点F. 直线BD
，CA 交于点
H.求ζ BFC 的度数.
应用结论
(2) 如图②，在平面直角坐标系中，点。的坐标为(0 ，0) ，点M 的坐标为(3 ，0)
，N 为y 轴上一
动点，连接MN ，将线段MN 绕点M 逆时针旋转60 。得到线段MK
，连接NK
，OK. 求线段
。K 长度的最小值.
A
E
K
图①
..90
Y
N
图②
第
1 3 题图
M
X
y
。
M
X
备用图
从勾股定理谈起
到底是什么使我们感到一个解法、一个证明优美呢?那就是各个部
分间的和谐、对称，恰到好处的平衡.
一一庞加莱
~~~知识纵横嘎嘎嘎
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，在公元前
1 00 0 年，商高已
经证明了普通意义下的勾股定理，国外把勾股定理称为"毕达哥拉斯定理"
句股定理是平面几何中一个重要定理，其广泛的应用体现在: 勾股定理
是现阶段线段计算、证明线段平方关系，以及处理复杂的线段间关系的主要
方法;运用勾股定理的逆定理，通过计算推理也是证明两直线垂直位置关系
的一种有效手段.
直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质:两锐角互余(角的关
系)、勾股定理(边的关系)、3 0 。角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系) ,
这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有
广泛的应用.
美国网络科普作家安萨提出的
人类最伟大的十大科学发现中
，第一
项就是勾股定耳. 从勾股图出发
. 通过
迭代可得到枝繁叶茂、栩栩如生的勾
股树.
~~~例题求解嘎嘎嘎
圃~O
(1)直角6ABC 三边的长分别是x
，X 十1 和5 ，则6ABC 的周
长=
，6ABC 的面积=
( .，希望杯"邀请赛试题)
幢幢
。00.. •
一些著名问题
:
都可归结为勾股定
:
理证明.
(1)斯坦纳定
理
如图①，若
P
为
L:，.ABC
内任意
一点，作PD _l BC
于点
D
，PE _l CA
于点
E
，PF 上AB
于点F ，则
AF 2 十
BD 2 + CE 2 = AE 2
+ CD 2 + BP ,
(2)
帕普斯定
理(中线公式)
如图②，a
，b ，c
为
L:，.ABC 三边长，
m a
为
L:，.ABC
边
: BC 上的中线，则
; mf= t(2b2+
2c 2 - a 2 ) ,
后飞
A\
aE罩噩噩噩噩草草.
(2) 如图，已知Rt6ABC 的两直角边AC=5 ，BC=
12 ，D 是BC 上一点，当AD 是ζA 的平分线时，则CD=
|、\
( 山西省太原市竞赛题)
思路点拨
对于(1) ，应分类讨论;对于(2) ，能在Rt6ACD 中求出CD
吗?从角平分线性质入手.
睛'
如图，四边形ABCD 中，DC 矿AB ,BC = 1 ,AB = AC = AD =
2 ，则BD 的长为(
A. jI4
C. 3./2
B. 汀言
D.2/3
D
(内蒙古自治区呼和浩特市中考题)
思路点拨
通过作垂线构造直角三角形.
[任@
如图①，是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC
是底边为BC 的等腰直角三角形.摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可
绕点D 旋转.AD=30 ，DM=10.
(1)在旋转过程中:
①当A
，D ，M 三点在同一直线上时，求AM 的长;
②当A
，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长.
(2) 若摆动臂AD 顺时针旋转90 0 ，点D 的位置由6ABC 外的点D! 处
转到其内的点D 2 处，连接D!D 2
' 如图②.若此时ζAD 2 C = 135
0 , CD2 = 60 ,
求BD 2 的长.
二
图①
图②
思路点拨
对于(2) ，恰当连线，图中有两个共定点的由旋转而得的等腰
直角三角形，由等线段代换转化问题.
.
92
撞撞
。"…
当勾股定理不
:
能直接运用时，常
:
需要通过等线段的
:
代换、作辅助垂线
:
等途径，为勾股定
:
理的运用创造必要
的条件;有时又需
:
要由线段的数量关
系去判断线段的位
直关系，这就需要
:
熟悉一些常用的勾
;
股数组.
一般地，在有等
:
边三角形、正方形的
:
条件下，可将图形旋
:
转60。或90 0 ，旋转过
:
程中角度、线段的
:
长度保持不变，在
:
新的位直上分散的
:
条件相对集中，以
:
使挖掘隐含条件，
;
探求解题思路.
函'
一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相
等，这样的直角三角形是否存在?若存在，确定它三边的长;若不存在，说明
理由.
(北京市竞赛题)
分析
假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a ,b ，c. 其中c 为
(α2 +b 2 二C 2
，
斜边，则4
月h 于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解.
|α +b 十c= 亏
解
由于a ,b , c 均为正整数，所以α 芋b
，不妨设α >b
，则有α +b+
♂平b 2 =子，两边平方整理得主fELd-ab 2 +2ab 二0 ，消去ab ，叫一
4
α →b+2=0 ，即(α -4) (b-4) =8=1 X8=2 X4 , 仁::'或{:二::::
分别得α =12 ，b=5 ，c=13或α =8 ，b=6 ，c=10.
复杂线段间戴量关系
勾股定理既是线段长度计算的有力工具，又是探索诸如线段间平方关
系、含无理数的线段间倍分关系的重要手段.
[制9
在等腰直角6ABC 中，ζACB=90 0 ，P 是
线段BC 上一动点(与点B
，C 不重合) ，连接AP
，延长
BC 至点Q ，使得CQ=CP
，过点Q 作QH l_ AP 于点
Q
B
H ，交AB 于点M.
(1)若ζ PAC= α ，求ζAMQ 的大小(用含α 的式子表示) .
(2) 用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明.
(北京市中考题)
分析与解
对于(2) ，不妨先从P 点运动到特殊位置(如运动到点B) 时
猜想MB 和PQ 的数量关系(PQ 二J2 MB)
，再给出一般情形下的证明.解题
的关键是通过图形变换，把分散的线段集中于一个直角三角形中.
·型~噩噩隘
撞撞。"…
从代数视角看
j
勾股定理，勾股定
: 理极具代数韵味，
( 广泛地与乘法公
: 式、方程组、不等
:
式、代数化、整体思
: 考等知识方法联系
;
在一起.
.93
dE草诅盛画墨墨画蓝蓝E
下列提示供参考，请读者完成.
如图①，连接AQ ，过点M 作ME l_QB 于点E ，证明6APC豆6QME.
如图②，连接AQ ，作点M 关于BQ 的对称点N ，连接QN ，BN ，证明
6QAP 豆6NQM.
如图③，平移QM 至PE ，过点E 作EN l_ BP ，交QB 的延长线于点N ，
连接BE ，证明PC=BN=EN.
• •
K
Q
A
.‘
图①
图③
~~~ 学为训练
嘎嘎嘎
撞撞。0 0.. •
1. 如图，在6ABC 中，ζBAC = 90 0 ,AB =AC = 10cm ，点D 为6ABC 内一点，ζBAD = 150 ,
AD = 6cm ，连接BD ，将6ABD 绕点A 按逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点
为点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为
cm.
A
||
第1 题图
第2 题图
民\
\、/
第3 题图
( 山西省中考题)
2 . 如图，在一张长为8cm ，宽为6cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5 cm 的等腰三角形(要
求: 等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上).则剪下的
等腰三角形的面积为
cm2 •
(湖北省黄冈市中考题)
3 . 如图，在6ABC 中，AB = BC = 8 ，AO = BO ，M 是射线CO 上的一个动点，ζAOC = 60 0 ，则当
6ABM 为直角三角形时，AM 的长为
(江西省中考题)
.94
-E噩3iI亟~
也. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm ，BC = 8cm ，将~ABC 折叠，使点B 与点A
重合，折痕为DE ，则CD 等于(
)cm.
A 空
4
B. 22
3
7
c. -:-4
5
D.-:-3
( 山东省泰安市中考题)
5. 如图，在3 X 3 的网格中，每个小正方形的边长均为
1 ，点A ，B ，C 都在格点上.若BD 是6ABC
的高，则BD 的长为(
).
A2JE
B 言jIT
C
A
E
B
第4 题图
c 去J百
第5 题图
D Z厅言
.13V ~~
(陕西省中考题)
第6 题图
6. 如图，在四边形ABCD 中
，AD//BC ，ζABC 十ζ DCB 二900，且BC 二2AD ，以AB ，BC ，DC 为
边向外作正方形，其面积分别为51' 比，5 3 .若5 1 = 3 ，5 3 = 9 ，则5 2 的值为(
).
A.12
B. 18
c. 24
D.48
(贵州省贵阳市中考题)
7. 如图，在Rt6BDC 中，ζ CBD = 90 0 ，BC = BD
，点A 在CB 的延长线上，且BA 二BC ，点E 在直
线BD 上移动，过点E 作射线EF _lEA ，交CD 所在直线于点F.
(1)当点E 在线段BD 上移动时，如图①所示，求证:BC-DE=子DF
(2) 当点E 在直线BD 上移动时，如图②③所示，线段BC ，DE 与DF 又有怎样的数量关系?请
直接写出你的猜想，不需要证明.
A
B
C
图①
C
图②
第7 题图
(黑龙江省中考题)
C
图③
..95
aE国昌盛画mdH蓝蓝·
8.
问题:
••
如图①，在Rt6ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合) ，将线段AD 绕点A
逆时针旋转90。得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为
探索:
如图②，在Rt6ABC 与Rt6ADE 中，AB =AC ,AD =AE ，将6ADE 绕点A 旋转，使点D 落
在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论.
应用:
如图③，在四边形ABCD 中，ζABC= ζACB= ζADC= 45 0 •若BD= 9 ，CD=3 ，求AD 的长.
/N 注3飞E
石三二.;71
B
D
C
图①
图②
图③
第8 题图
( 湖北省天门市中考题)
拓展. .
9. 如图，四边形ABCD 中，ζABC = ζCDA = 90 0 , AD = CD = 5, AB = 7, BC = 1 ，则BD 的长
为
( "希望杯"邀请赛试题)
B
问B
L1c
C
D
C
A
D
第9 题图
第10 题图
第11 题图
10. 如图，在6ABC 中，AB=AC= 5 ，P 是BC 边上除B ，C 点外的任意一点，则AP 2+ PB •
PC =
( "希望杯"邀请赛试题)
1 1. 如图，6ABC 中，点E 在边AC 上，EB = EA ，ζA = 2ζ CBE ，CD 垂直于BE 的延长线于点
D ，BD 二8 ，AC 二11 ，则边BC 的长为
(贵州省贵阳市中考题)
.96
·国:WEI堕Z圄
12. 在锐角DABC 中，已知某两边α = l，b=3 ，那么第三边的变化范围是(
A.2< c< 4
B.2<c<3
C.2<c <汀百
D. J8< c <汀百
( "祖冲之杯"邀请赛试题)
13. 若将三条高线长度分别为x ，y ，z 的三角形记为(x ，y ，川，则在以下四个三角形(6 ，8 ，1 0) ，( 8 ，
15 ，17) ，(12 ，15 ，20) ，(20 ，21 ，29) 中，直角三角形的个数为(
A.1
B. 2
C. 3
D.4
(江西省竞赛题)
14. 如图，点E 在DDBC 的边DB 上，点A 在DDBC 的内部，ζ DAE= ζBAC
= 90 0 ,AD = AE ,AB = AC. 给出下列结论:
①BD=CE; ②ζABD+ζ ECB=45 0 ; ③BD 上CE; ④BE 2 二2(AD 2 十AB 2 )
-CD 2 •
其中正确的是(
第
1 4 题图
A.①②③④
B.②④
C.①②③
D.①③④
( 山东省东营市中考题)
15 . 如图，在四边形ABCD 中，ζABC=3 0 0 ，ζADC 二60 0 ，AD=CD.求证:BD 2 =AB 2 十BC 2 .
(北京市竞赛题)
第1 5 题图
16. (1)如图，四个全等的直角三角形拼成"赵爽弦图"，得到正方形ABCD 与正方
形EFGH.连接EG ，BD 相交于点。，BD 与HC 相交于点P.若GO 二GP ，
贝。严旦旦的值是(
d 正方形EFGH
A.1 十/2
B.2+ /2
C.5- /2
D. 15
. 4
第
1 6 (1) 题图
(浙江省金华市中考题)
( 2) 长方形ABCD 中嵌入了如图所示的5 个相同的正方形和一个三角形，
E ，F ，G ，H 分别在长方形的边AB ，BC ，CD 和DA 上. 己知AB =22 m ，
BC = 20m ，求嵌入图形的总面积.
( "华罗庚金杯" 少年数学邀请赛试题)
第
1 6(2) 题图
.91
aE罩噩噩. fJjñj! . J\~t.I
17. 如图，过，6，ABC 内一点P 作三边的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，己知AB =
5 ，BC=7 ，AC=6 ，BE - AD=1 ，求AD + BE 十CF .
(全国初中数学联赛题)
••
斤\
第17 题图
18. (1) 数学理解: 如图①，，6，ABC 是等腰直角三角形，过斜边AB 的中点D 作正方形DECF ，分
别交BC ，AC 于点E ，F ，求AB
，BE ，AF 之间的数量关系.
(2) 问题解决: 如图②，在任意直角，6，ABC 内，找一点D ，过点D 作正方形DECF ，分别交BC.
AC 于点E.F ，若AB = BE +AF. 求ζADB 的度数.
(3) 联系拓广: 如图③，在(2) 的条件下，分别延长ED.FD. 交AB 于点M.N ，求MN ，AM ，
BN 的数量关系.
也壮、
F轧冬
(贵州省贵阳市中考题)
..98
平行四边形
也许，对于研究人员来说，最基本的两个品格是对科学的热爱和难以
满足的好奇心.
一一-贝弗里奇
"""知识纵横嘎嘎嘎
平行四边形是一类特殊的四边形，特殊性体现在它的两组对边分别平行
且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分.
在解平行四边形相关问题时，既要注意三角形知识方法的运用，又要善
于在平行四边形的背景下思考问题，利用平行囚边形的性质为解决问题服务.
赵爽弦图
我国数学家赵爽用几何图形的
截、割、拼、补来证明代数恒等式，严
密又直观，为中国古代数学" 形数统
一"、代数与几何紧密结合的独特风
格树立了一个典范.
"""例题求解嘎嘎嘎
圃~O
(1)如图①，在OABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC
分别交BE ，DF 于点M ，N . 给出下列结论: ①t0，ABM 单t0，CDN; ②AM =
tAC; ③DN =川; ④S AAr jSAAJ 中正确的结论是
序号) .
( 只填
(四川省宜宾市中考题)
(2) 如图②，在t0，ABC 中
，AB = 3 ，AC 二4 ，BC = 5 , t0,ABD , t0,ACE ,
t0，BCF 都是等边三角形，则四边形AEFD 的面积为
撞撞
。00.. •
熟悉以下基本
图形、基本结论:
E歹
元-;J
2 Y/
ρ
/
Þ:二_p
如图，已知
口ABCD ，AC ，BD
为对角线，求证:
AC 2 + BD 2 =
2CAB 2 + BC2 ) .
-~歹D
你能证明吗?
由此可得:
B02=÷(AB2
: + BC 2 ) 一扫C 2
史称三角形中
( 山东省竞赛题)
线定理
C BO
为
L:，.ABC 的中线) .
.99
aE噩噩i.~Jj 1jjt . J\~m
撞撞。"…
判定方法是从边、
角、对角线三个方
面探讨的.一般情况
下，从边、角、对角
线三类元素中，任
选两类，任意组合
就得到许多判定平
:
行四边形的命题，
其中有具有假.
1995 年，英国数
学家安德鲁·怀尔
:
斯证明了费马大定
理，被誉为
20 世纪
最伟大的数学成就.
F
A 、，E
~D
/ /M'-./.T /
/./ ... X N /
B J:::._-----L
、'C
F
图①
平行四边形的
对于(2) ，先判定四边形AEFD 的形状.
[锐'
已知四边形ABCD ，从下列条件中:①AB // CD; ②BC // AD;
③AB=CD; ④BC=AD; ⑤ζA= ζC; ⑥ζ B= ζD ，任取两个，可以得出
"四边形ABCD 是平行四边形"这一结论的情况有(
思路点拨
A.4 种
B.
9 种
C.
13 种
D.
15 种
思路点拨
从给定的条件中，任取其中两个，可得三种组合方式:边边、
角角、边与角.问题的关键是下列说法是否正确:①一组对边平行、一组对角相
等的四边形是平行四边形;②一组对边相等、一组对角相等的四边形是平行
四边形.
圃'
如图，已知口ABCD 中，AE j_ BC 于点E ，
F 是AE 上一点，FC j_ CD , FC = CD ，连接BF 并延长
C
E
B
交AD 于点G ，求证:DG 二J2BF.
条件FC=CD 怎样运用?由J2联想到
思路点拨
什么?
图③
下面不同的解题思路供参考.
C
图①
.100
[筐。
在口ABCD
中，ζ BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线
DC 的延长线于点F.
飞?之计\户
\大
图①
(1)在图①中证明CE=CF.
图②
A
D
G
图③
F
(2) 若ζABC = 90 0 ，G 是EF 的中点(如图②) ，直接写出ζ BDG 的
度数.
(3) 若ζABC=120 0 ,FG // CE ，FG=CE ，分别连接DB
，DG( 如图③) ,
求ζ BDG 的度数.
(北京市中考题)
分析与解
由角平分线加平行线的条件可推出图中有三个等腰三角形.
对于(2) ，用测量的方法可得ζ BDG=45 0 ，进而想到等腰直角三角形，连接
CG ，BG ，只需证明6BGC旦6DGF ，这对解决问题(3) 有启发作用，问题(3)
有不同的解题思路，以下给出一种证明:
如图，延长AB 至H ，使AH=AD
，连接DH
，则
A
6AHD 是等边三角形.
.: AH=AD=DF , :.BH=GF ,
又ζ BHD= ζ GFD=60 0 ,DH=DF ,
G
F
..6DBH 经6DGF
，ζ BDH= ζ GDF ，
.·.ζ BDG = ζADC 一ζADB 一ζGDF = ζADC 一(ζADB +
ζ BDH) = 120 0 -60 0 =60 0 •
平穆变换
区;;JJJJ谷
如圈，若把平面图形Fl 上的各点按一定方向移动一
定距离得到图形F n 则由F l 到F 2 的变换叫乎移变换.
平移有下列基本性质:
(1)平移变换下，对应线段平行(或共线)且相等;
(2) 乎移变换下，对应角相等.
-~
撞撞
。00.
问题(2)
，(3)
:
是在两种特殊情况
下有结论ζBDG=
仨ABC
一般情况是什
么?怎样提出一般
性的问题.
从特殊到一般
:
拓展问题，寻求一
:
般性问题的提出及
;
解决，这是数学精
神的最重要的体
现，比较(2)
，(3) 解
法的共同点，也许
能找到等价的条
件，提出一般性问
题，读者不妨一试.
.101
dE军歪歪~IHf，jt墨画蓝蓝噩
主童3章
。0 0 . . •
平移变换常与
:
平行线相关，往往要
:
用到平行四边形的
:
性质，平移变换，可
:
将角、线段移到适当
:
的位直，使分散的条
:
件相对集中，促使问
: 题得以解决.
中线倍长、三角
'
形中位线、梯形中平
:
移腰、平移对角线等
'
辅助线，其实质都是
实施平移变换.
(浙江省竞赛题)
条件给出的是线段的等量关系，求证的却
是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角
形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME _fLAN ，构造平行四边形.
如图，过M 作ME 手AN ，连接NE ，BE ，则四边形AMEN 为平行
A
[制9
如图，L:，.ABC 中，ζC = 90 0 ，点M 在BC
上，且BM=AC ，点N 在AC 上，且AN=MC ，AM 与
BN 相交于点p
，求证:ζ BPM =45 0
•
分析
证明
四边形，
得NE =AM ，ME上BC.
.: ME=CM ，ζEMB= ζMCA=90 0 ，BM=AC .
••
L:，.BEM三L:，.AMC ，得BE=AM=NE ，ζ 1= ζ 2 ，ζ 3= ζ 4 .
.· ζ 1 +ζ 3=90 0 ， :. ζ 2 +ζ 4 = 90 。且BE=NE .
••
L:，.BEN 为等腰直角三角形，ζBNE = 45 0 •
.: AM // NE ，λ ζ BPM= ζBNE=45 0 •
嘎嘎嘎
学为训练
~~~
穷实. •
1. (1)在口ABCD 中，AE 平分ζBAD 交边BC 于点E ，DF 平分ζADC 交边BC 于点F ，若
AD 二11 ，EF = 5 ，则AB =
( 辽宁省中考题)
(2) 在口ABCD 中，AD = BD ，BE 是AD 边上的高，ζEBD = 20 0 ，则ζA 的度数为
(湖北省襄阳市中考题)
2. (1)如图①，OABCD 的对角线AC 与BD 相交于点。，AE 上BC 于点E. 若AB =汀，AC = 2,
BD=4 ，则AE=
(山东省青岛市中考题)
(2) 在探索数学名题"尺规三等分角"的过程中，有下面的问题: 如图②，AC 是OABCD 的对角
线，点E 在AC 上，AD = AE = BE ，ζ D = 1 02 0 ，则ζBAC 的大小是
(湖北省武汉市中考题)
dA
Av
图②
第2 题图
图①
.102
-~
3. 如图，在口ABCD 中，AD=2AB
，F 是AD 的中点，作CE j_AB ，垂足E 在线
D
段AB 上，连接EF ，CF.则下列结论中一定成立的是
(把所有正确结
论的序号都填在横线上) .
第3 题图
①ζD俨仨BCD; ②EF=CF; ③S 6.B卢S 6CEF ; ④ζDFE=3 L_AEF
( 安徽省中考题)
4. 在连接A 地与B 地的线段上有四个不同的点D ，G ，K ，Q ，下列四幅图中的实线分别表示某人
从A 地到B 地的不同行进路线(箭头表示行进的方向) ，则路程最长的行进路线图是(
H
P
AM3
AM\
A
B
C
D
(浙江省湖州市中考题)
5. 如图，在Rt L-，ABC 中，ζ B = 90 0 , AB = 3 , BC 二4 ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有
口ADCE 中，DE 的最小值是(
A.2
B. 3
c. 4
D. 5
(四川省达州市中考题)
D国E
A
P
第5 题图
第6 题图
6. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上的一点，且BC = EC ,CF j_BE 交AB 于点
F ，P 是EB 延长线上一点，下列结论:
①BE 平分ζ CBF; ②CF 平分ζ DCB; ③BC = FB; ④PF = PC.
其中正确结论的个数为(
A.l
B. 2
C. 3
7. 分别以口ABCD( ζ CDA =t= 90 0 ) 的三边AB ，CD ，DA 为斜
G
边作等腰直角三角形L-，ABE ,L-,CDG ,L-,ADF.
(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外
部时，连接GF ，EF ，请判断GF 与EF 的关系(只写结
论，不需证明) .
D. 4
F
图①
( 山东省泰安市中考题)
B
E
第7 题图
.103
aE且昌盛矗蓝墨画草草'
(2) 如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF ，EF ，(1) 中结论还成立
吗?若成立，给出证明;若不成立，说明理由.
(山东省淄博市中考题)
8 . 已知P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点(点P 不与点A ，C 重合) ，分
别过点A
，C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，O 为AC 的中点.
• •
(1)如图①，当点P 与点。重合时，线段OE 和OF 的关系是
(2) 当点P 运动到如图②所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断(1)中的结论是否
仍然成立.
(3) 如图③，点P 在线段OA 的延长线上运动，当ζOEF =30。时，试探究线段CF ，AE ，OE 之间
的关系.
J主7
图①
图②
图③
第8 题图
(四川省乐山市中考题)
拓展. •
9. 如图，口OABC 的顶点A ，C 分别在直线x = l 和工=4 上，0 为坐标原点，则对角线OB 长的最
小值为
(江苏省无锡市中考题)
y
C
x
Bι---一一-'C
第9 题图
第
1 0 题图
10. 如图，在，6.ABC 中，AB = AC ，点P ，Q 分别在AC ，AB 上，且AP 二PQ = QB = BC ，则ζA =
(上海市竞赛题)
.104
E国国瑾..
1 1. 已知四边形ABCD 中，对角线BD 被AC 平分，那么再加上下述中的条件(
)可以得到结
论"四边形ABCD 是平行四边形"
A. AB=CD
c.ζABC= ζADC
B.ζ BAD= ζ BCD
D. AC=BD
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
12. 平面上的一组3 条平行线与另一组5 条平行线相交，可构成平行四边形的个数为(
).
A.24
B. 28
C.30
D.32
(山西省太原市竞赛题)
13. 已知口ABCD 的周长为28 ，过顶点D 作直线AB
，BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，若DE=3 ，
DF =4.
求:
(1)边AB
，BC 的长.
(2) BE + BF 的长.
(天津市"未来之星"数学邀请赛试题)
14. 如图，在6ABC 中，已知ζACB=45 0 ，过BC 上一点D 作AB 的垂线，垂足为
点H
，HD 交AC 的延长线于点E ，若AB=HD.求证:AE 2 =2DH2 +2DE2. /k
15. 如图，在口ABCD 中，点E 在边BC 上，连接AE ，EM _l AE ，
垂足为E ，交CD 于点M.AF _l BC ，垂足为F.BH 上AE
，垂足
为H ，交AF 于点N. 点P 是AD 上一点，连接CP.
(1)若DP=2AP=4 ，CP= 刁于，CD=5 ，求6ACD 的面积.
(2) 若AE=BN ，AN=CE ，求证:AD =12 CM +2CE.
(北京市竞赛题)
第14 题图
B
F
E
C
第15 题图
(重庆市中考题)
.105
aE军置
. J\~m
16 . 我们知道平行四边形有很多性质.如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发
现这其中还有更多的结论.
发现与证明
在口ABCD 中，AB 手BC ，将6ABC 沿AC 翻折至
6AB'C ，连接B'D.
结论l:B'D//AC;
A 才爪
~n
ι................
二
图①
Bι
结论2:6AB'C 与口ABCD 重叠部分的图形是等腰三
角形.
第16 题图
请利用图①证明结论1 或结论2( 只需证明一个结论) .
应用与探究
在oABCD 中，已知ζB = 30 0 ，将6ABC 沿AC 翻折至6AB'C ，连接B'D.
(1)如图①，若AB=疗，ζAB'D=75 0 ，则ζACB=
,BC=
(2) 如图②，AB = 2 /3 ,BC=l ，AB' 与边CD 相交于点E ，求6AEC 的面积.
(3) 已知AB = 2点，当BC 长为多少时，6AB'D 是直角三角形?
A
D
B'
图③
(江苏省镇江市中考题)
.106
矩形、菱形
数学是关于事物秩序的科学一一一它的目的就在于探索描述并理解隐
藏在复杂现象背后的秩序.
一一格里森
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角、对角线上，
矩形、菱形是特殊的平行四边形;矩形的特殊性体现在有一个角是直角，菱形
的特殊性体现在邻边相等，所以，它们既有平行四边形的性质，又有各自特殊
的性质.
对角线是解决四边形问题的常用线段，对角线本身的特征又可以决定四
边形的形状、大小，连对角线后，平行四边形就产生特殊三角形，因此解平行
四边形相关问题时，既要用到全等三角形、特殊三角形性质，又要善于在平行
四边形的背景下探索问题，利用平行四边形丰富的性质为解题服务.
~~~
蜗牛
、台风眼
、旋转楼梯…… 螺线既是
一种迷人的数学现象，又是一种与生命联
系极为普遍的数学形式. 广泛存在于自然
界中.
例题求解
嘎嘎嘎
[函'
如图，在矩形ABCD 中，已知AD=12 ，AB=5 ，P 是AD 边上
任意一点
，PE j_ BD 于E ,PF j_AC 于F ，那么PE + PF 的值为
( 全国初中数学联赛题)
思路点拨
分别求出PE ，PF 困难，D，AOD 为等腰三
角形，若联想到"等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和
等于腰上的高"这一性质，则问题迎刃而解.
:
幢幢
。00.. •
熟悉以下基本
图形、基本结论:
: LSJ~
~
~
/寸\
\•/
~
一般与特殊，
:
是知识之间联系的
:
一种重要形式，知
;
识常常在一般到特
:
殊或特殊到一般的
变化过程中，不断
;
地得到延伸与拓展.
.101
aE国昌盛温噩噩噩草草噩
圃'
如图，四边形ABCD 是菱形，6AEF 是正三角
形，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且AB =AE ，则ζB=
A.60 。
B. 80 。
c. 100 。
D.120 。
思路点拨
设ζB= 工。，设法建立工的方程.
A
BOI
C
(河南省竞赛题)
[制~.
如图，菱形ABCD 的边长为2 ，BD=
2 ，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足
AE+CF=2.
A425c
(1)判断6BEF 的形状，并说明理由.
(2) 设6BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.
(山东省烟台市中考题)
思路点拨
由数量关系发现图形特征.对于(2) ，只需求出BE 的取值范围.
[锐'
将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转α(0
0 < α < 360勺，得到矩形
AEFG.
C
D
D
C
D
1 D
B
A
B
A
(1)如图，当点E 在BD 上时，求证:FD=CD.
(2) 当α 为何值时，GC=GB? 画出图形，并说明理由.
(山东省临沂市中考题)
思路点拨
由条件能大致确定点G 位置吗?怎样全面正确画出图形?
.108
撞撞
。00...
已知矩形AB -
CD 和点p ，当点P
:
在BC 上任意位直
(如图①)时，易证
:
得结论:PA 2 + PC 2
=PB 2 +PD 2 • 请你
探究:当点P 分别
:
在国②、图③中的
:
位直关系时
，PA 2
，
PB 2 , PC 2 ，PD 2
又
有怎样的数量关
系?
图②的探究结
论为:
图③的探究结
论为:
队/1
图①
以~
图②
A.L夕飞\
y
~:
图③
圄回国主噩噩隘
"109
iã~富
。00...
数
曾
一
枝
形
边
是
一
识
或
化
得
成
大
形
金
分
下
全
同
一
到
螺
界
比
国
特
作
百
边
四
仁
的
知
殊
变
地
L
天
方
黄
种
行
黄
不
画
得
金
然
形
比
、
"
四
'
丁
E
系
，
特
的
断
E
m
参
正
的
这
进
的
小
各
就
黄
自
旋
的
千
可
窑
树
，
丁
豆
'
特
联
式
到
般
不
拓
的
个
小
且
限
后
大
内
，
，
是
螺
伙
们
时
瞅
瞅
叫
们
如
叶
制
才
扑
札
忖
时
←
州
J
M
川
ι
刊
瞅
瞅
叫
树
家
"
·
·
浓
展
特
γ
识
重
在
殊
程
延
了
·
割
一
形
可
'
形
正
1
-
4
金
被
最
学
说
棵
伸
到
形
知
种
常
特
过
到
就
树
分
和
矩
割
去
矩
的
个
黄
线
里
C
[~[O
60
0 ，点E ，F 分别是AB ，AD 上两个动点，满足AE=
如图，已知菱形ABCD
中，ζBAD=
A
DF ，连接BF 与DE ，相交于点G ，连接CG.
(1)求证:GC 平分ζ DGB.
(2) 求证: CG=BG+DG.
本例中的菱形由两个等边三角形拼成，在等边6ABD 中，由
分析
6ADE 旦6DBF 可推得ζ BGE =
60 0 ，ζBGD =
120 0 ，这是解本例的出发点.
对于(1) ，如图，过点C 作CM _l BG 于M 点，CN _l
A
GD 于N 点，可证明6CBM且6CND ，得CM= CN .
对于(2) ，如图，延长GB 至H ，使BH=DG ，
证明6CBH 三6CDG ，6CGH 为等边三角形，
奇异矩形
得CG = GH = BG 十DG.
请读者完成证明.
一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作;
在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形
，剩下一个矩形，称为第二次操
作……若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n 阶奇
异矩形.
黄金矩形可以
如图①，在矩形ABCD 中，若AB = 2 ，BC = 6 ，则称矩形ABCD
[锐'
为2 阶奇异矩形.
D
-
I
t
-
-
』
C
A
「
|
|
|
‘
B
|
~
I
B 够图①
图③
(1) 判断与操作
如图②，矩形ABCD 长为5 ，宽为2 ，它是奇异矩形吗? 如果是，请写出它
是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线;如果不是，请说明理由.
(2) 探究与计算
已知矩形ABCD 的一边长为20 ，另一长为α(α<20 ) ，且它是3 阶奇异
矩形，请画出矩形ABCD 及裁剪线的示意图，并在图的下方写出α 的值.
aE军
ig i1t fJj ñ~:i . J\~ti
撞撞
。00.. •
(3) 归纳与拓展
已知矩形ABCD 两邻边的长分别为b ，c(b<c)
，且它是4 阶奇异矩形，
求b : C (直接写出结果) .
(湖北省潜江市中考题)
本例旨在考查动手操作、归纳推理能力.一般的解题思路是在一个
给定的矩形上进行分割，得到所要的分割图形，再算出各矩形的边的比例.顺
思逆想，通过一个给定的正方形构造出各种n 阶奇异矩形，获得构造规律及
给出各种n 阶奇异矩形的边的比的规律，实际是从一个单位的正方形出发，
构造η 阶奇异矩形，共有2" - 1 种.
读者不妨一试.
嘎嘎嘎
学为训练
~~~
分析
穷实. •
• •
1. 如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点。，AE _l_ BD 于点E ，若ζDAE: ζBAE=
3 : 1 ，则ζEAC 二
( 河南省中考题)
2 . 如图，将两张长为8 、宽为2 的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直
时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是
( 山东省烟台市中考题)
出
…
nUR----ili--JH
FL
第4 题图
第3 题图
第2 题图
第1 题图
3. 如图，矩形ABCD 中，M 为BC 边上一点，连接AM ，过点D 作DE _l_AM 于点E.若DE 二DC 二
1 ，AE = 2EM ，则BM 的长为
(黑龙江省哈尔滨市中考题)
4 . 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点。，AB = 6 ,BC = 8 ，过点。作OE上AC ，交AD 于点
D 旦
' 5
E ，过点E 作EF _l_BD ，垂足为F ，则OE +EF 的值为(
C. 2_4
-
5
B.32
一5
A. 4_8
5
(广东省广州市中考题)
.110
.疆匾噩噩噩矗
5. 如图，在RtL:，ABC 中，ζACB =90
0 ，BC >AC ，按以下步骤作图: (1)分别以点
A ，B 为圆心，以大于~AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点(点M 在
2
AB 的上方) ; (2) 作直线MN 交AB 于点。，交BC 于点D; (3) 用圆规在射线
c
OM 上截取OE=OD. 连接AD ，AE ，BE ，过点。作OF l_ AC ，垂足为F ，交
AD 于点G.下列结论:①CD=2GF; ②BD 2 -CD 2 =AC2 ; ( S 6BOE =2S 6A∞;
④若AC = 6 ，OF+OA=9 ，则四边形ADBE 的周长为25.
其中正确的结论有(
).
A. l 个
B.2 个
C.3 个
D.4个
第5 题图
(内蒙古自治区包头市中考题)
6. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，ζEBC 的平分线交CD 于点F. 将
L:，DEF 沿EF 折叠，点D 恰好落在BE 上的点M 处，延长BC ，EF 交于点N ，有
下列四个结论:①DF=CF; ②BF 上EN; ③6BEN 是等边三角形; ④S 6BEF =
3S 6DEF .其中，正确的是(
).
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①②③④
/1N
D
瓦/'
I~
r ----- -一白，
EK.._ /
\. I
l
M
飞-.......... )，.1
A
B
第6 题图
( 广西壮族自治区贵港市中考题)
7. 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC 和DEF 拼在一起，使点A
与点F 重合，点C 与点D 重合(如图①) ，其中ζACB = ζ DFE =90 0 ，BC 二EF = 3cm ，AC=
DF=4cm ，并进行如下研究活动.
活动一:将图①中的纸片DEF 沿AC 方向平移，连接AE ，BD( 如图②) ，当点F 与点C 重合时
停止平移.
【思考】图②中的四边形ABDE 是平行四边形吗?请说明理由.
【发现】当纸片DEF 平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE 为矩形(如图③) ，求AF 的长.
活动二:在图③中，取AD 的中点。，再将纸片DEF 绕点。顺时针方向旋转α 度(O~α ~ 90) ，连
接OB
，OE(如图④) .
【探究】当EF 平分ζAEO 时，探究OF 与BD 的数量关系，并说明理由.
A
A
A
个........__
.E
~E
B
C(D)
\、V
B飞Y
B\乙二~E
D
D
D
图①
图②
图③
图④
第7 题图
( 浙江省舟山市中考题)
.. 111
aE军军罩i. fJj'jj~! . I\~ta
8. 如图，菱形ABCD 的边长为1 ，ζABC=60 0 ，点E 是边AB 上任意一点(端点除外) ，线段CE 的
垂直平分线交BD
，CE 分别于点F ，G ，AE ，EF 的中点分别为M ，N.
(1)求证:AF 二EF.
(2) 求MN 十NG 的最小值.
(3) 当点E 在AB 上运动时，ζ CEF 的大小是否变化?为什么?
(山东省临沂市中考题)
第8 题图
• •
拓展
. •
9. 如图，矩形ABCD 中
，AB =3 ，BC=4 ，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把ζB 沿AE 折叠，使点
B 落在点B' 处.当，6.CEB' 为直角三角形时，BE 的长为
A
D
G2SJ
B
E
C
第9 题图
D
A
第
10 题图
(河南省中考题)
C
B
10. 如图，ζ BOD=45 0 ，BO=DO ，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC ，BD 交于点E ，连
接OE 交AD 于点F.下列4 个判断:①OE 平分ζBOD; ②OF=BD; ③DF= j2AF; ④若点G
是线段。F 的中点，则，6.AEG 为等腰直角三角形.其中正确结论的序号是
( 四川省达州市中考题)
1 1. 如图，矩形纸片ABCO 平放在xOy 坐标系中，将纸片沿对角线CA 向左翻折，点B 落在点D 处，
CD 交工轴于点E ，若CE=5 ，直线AC 的解析式为y=-jz 十m ，则点D 的坐标为
( "希望杯"邀请赛试题)
y
B
B.( j
\A '>D
x
第11 题图
第12 题图
12. 如图，在菱形ABCD 中，顶点A 到边BC ，CD 的距离AE
，AF 都为
5 ，EF 二6 ，那么，菱形AB-
CD 的边长为
( 上海市竞赛题)
.112
匾望~型Z匾
13. 如图，在矩形ABCD 中
，AD = /2AB
，正BAD 的平分线交BC 于点E ，DH _lAE 于点H ，连接
BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O. 下列结论:①ζAED= ζ CED; ②OE=OD;
③BH=HF; ④BC-CF=2HE; ⑤AB 二HF.其中，正确的有(
).
A.2 个
B. 3 个
c. 4 个
D.5 个
(黑龙江省绥化市中考题)
〉升F
第
13 题图
第
1 4 题图
1也. 将正三角形每条边四等分，然后过这些等分点作平行于其他两边的直线，则以图中线段为边的
菱形有(
)个.
A.15
B. 18
C. 21
D.24
(江西省竞赛题)
15. 如图，已知菱形ABCD 中，ζ BAD=120 0 ，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证:若iiAMN
有一个内角等于60 0 ，则iiAMN 为等边三角形.
D
B
M
第15 题图
(俄罗斯莫斯科市竞赛题)
16. 如图，已知AB=CD ，BC 二2AD ，ζABC=90 0 ，ζ BCD=30
0
•求证:ζ BAD=30
0
•
v
第
16 题图
(伊朗奥林匹克试题)
.113
aE草草nE矗E噩噩蓝蓝.
• •
17. 在菱形ABCD 中，ζABC=60 0 ，点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边三角形
APE ，点E 的位置随着点P 的位置变化而变化.
(1)如图①，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，则BP 与CE 的数量关系
是
，CE 与AD 的位置关系是
(2) 当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请予以证明;若不成
立，请说明理由(选择图②和图③中的一种情况予以证明或说理) .
(3) 如图④，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若AB=2 汀，BE=2 汀百，求四边形
ADPE 的面积.
•
114
B?-扩卜~B
\勺予/D
C
图②
第17 题图
C
C
图③
图④
(江西省中考题)
完美的Ei方形
在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是个发
现者、研究者和探求者.
一一苏霍姆林斯基
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质
有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中要注重对
概念的理解，着眼于概念间的区别与联系.
连接正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常
与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性
质，具有代数风格，体现数形结合思想.
~~~
瑞士数学家约翰
· 伯努利，他的
基碑上刻着对数螺线这一曲线
，并刻
有一句意味深长的话"虽然改变了，
但还是与原来一样
"
例题求解
嘎嘎嘎
面'
如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线
AC ，BD 交于点。，折叠正方形纸片ABCD
，使AD 落在
A
D
BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分
别交AB ，AC 于点E ，G ，连接GF. 下列结论: ①ζAGD=
AD
112.5
0 ;②一一二2 ;( S6AGD =S 60GD
; ④四边形AEFG 是菱形; ⑤BE=2 α2.
AE
其中，正确结论的序号是
(重庆市中考题)
思路点拨
方法.
需综合运用轴对称、菱形判定、勾股定理、数形结合等知识
iã~蜜
。00.
熟悉以下基本
:
图形、基本结论:
~~
l 叮lli
/气\
:
、/
冯·奥贝尔定理
如图，已知任意
:
四边形ABCD.0 1
•
O 2 .0 3 .0 4 为其各
:
边上所作正方形的
;
中心，则。1 0 3
-
0 2 0 4 .0 ) 0 3 土0 2 0 4 •
.115
aE罩
ffli1t fJi ñ it . J\ ~ tAl
[候'
如图，以Rt L:.BCA 的斜边BC 为一边在
L:.BCA 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为0 ，连
接AO ，如果AB=4 ，AO=6 v1z，那么AC 的长为(
).
A.12
c. 4/3
B. 16
D.8v1z
( 浙江省竞赛题)
撞撞
。00.. •
探索是学习的
:
生命线，深入探究、
:
学会探索是时代提
出的新要求，数学
思路点拨
AO ，AB
，AC 不在同一个三角形中，构造全等三角形，寻找相
; 解题中的探索活动
等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中可从以下几个方面
进行:
地[Ð
已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，M 是AF 的中点，连接
DM ,EM.
(1)在题设条
:
件不变的情况下，
i
挖掘更多的结论.
(2) 通过强化
:
或弱化来改变条件，
(1)如图①，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM ，EM 的
:
考查结论是否改变
数量关系与位置关系，并直接写出结论或寻求新的结论.
(2) 如图②，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，(1)中的结论是否
仍然成立?请证明你的结论.
(3) 将图①中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D ，E ，F 三点在一条直线
上，若AB =13 ，CE=5 ，请画出图形，并直接写出MF 的长.
A
D
A
F
图①
思路点拨
中点能触发广泛的联想，对于(3) ，符合条件的图形唯一确
定吗?
蝠'
如图，正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一
点，连接PB
，作ζ BPE=90。交CD 于点E.
(1)求证:PB=PE.
(2) 写出线段PC ，PA
，CE 之间的一个等量关系，并证明
.116
NE
(3) 构造逆命题.
例
3 改变图形
你的结论.
(湖北省武汉市中考题)
分析与解
对于(2) ，特殊探路，当点P 与点A 重合时，点E 与点D 重
合，PC= .j2CE(PA =O )
，猜想PC 十PA= .j2 CE 或PC - PA =.j2CE.
(1)如图，过点P 作PF _l CD 于点F ，PG _lBC 于点G ，并延长GP 交AD
于点H ，得矩形PHDF 、正方形PGCF ，由t6，PEF三t6，PBG ，得PB=PE.
(2) 如图，连接PD ，则PB=PD
，
.: PF _lDE ,
:.DF=EF ,
':CE =CF - EF = CF - DF
=CF-PH
.j2 ~~ .j2
=
' ~ PC 一一:-PA.
2- -
2-~-
'
λ PC-PA= .j2 CE.
[~CÐ 如图，在平面直角坐标系中，边长为α(α > 0)
的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点p
，顶点A 在
z 轴正半轴上运动，顶点B 在y 轴正半轴上运动( x 轴的
正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点。) ，顶点C ，D 都在第
一象限.
(1)当ζ BAO= 45 。时，求点P 的坐标.
B
D
x
(2) 求证:无论点A 在Z 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点
P 都在ζAOB 的平分线上.
(3) 设点P 到工轴的距离为h
，试确定h 的取值范围，并说明理由.
(江苏省泰州市中考题)
分析
对于(2) ，证明ζ BOP 二ζ POA 或证明ζ POA 二45 0 ，联想不同的
基本图形，可产生如下解题思路:
D
D
x
x
图①
图②
图③
对于(3) ，以静制动，考查以下运动情形，可直观写出h 的取值范围.
圄回国司噩噩矗
撞撞
。00.. •
反思是数学学
习重要的一坏，是
一个思维活动过程
个新的思维活动的
的结束，包含另一
开始，它包括以下
:
侧面:剖析问题所
承载的知识价值，
:
研究问题所蕴含的
思想方法，探寻从
问题出发生成的进
一步应用和研究的
价值.
方法维度的反
思表现为:怎样思
考的?为什么这样
:
思考?有多少种思
:
考方法?哪种思考
方法最自然简单?
为何出现思维障
碍?怎样突破樊
篱? ……
.111
dE马辈革矗描画fE.'f4I昌-
撞撞。。。…
Q. E. D
意为
"证明完毕"，是"证
明之美"的同义词.
俄罗斯天才数
学家佩雷尔曼完美
;
证明了"庞加某猜
;
想"，这一猜想的证
明可能在其他领域
:
有激动人心的应用，
:
有助于科学家们弄
;
清楚宇宙的形状.
D
C
D
x
x
x
12 12
P( γ'τα) .
解
(2) 如图②，过点P 作PE 上Op
，交工轴于点E.
·.·ζ PBO 十ζ PAO=180 0 ，ζ PAE 十ζ PAO=180 0 ，
:.L_ PBO= ζ PAE.
二·ζ1+ζ2=ζ2+ζ3=90 0 ，
.·.ζ1=ζ3 ，又BP=PA
，
:.l::. PBO旦l::. PAE ，得PO=PE.
.·.ζ POA=4S 0 ，即OP 平分ζAOB.
川的取值范围为jkk子α
〉飞去。(úIE"JJ
E肯F
ι 此
圄圃圃
掏遭正方形
正方形是一种简单而完美的图形，有许多有趣而美妙的性质，解有些
问题时，若能构造正方形，则能充分彰显正方形的特征，联系题设和结论.
AAU
:Øj~。
如图，在l::.ABC 中，AD j_BC 于点D ，ζBAC=45 0 ，
BD=2 ，CD=3 ，求AD 的长.
运用45。的角、等腰直角三角形、正多边形等是构
A
/ / I \ ""
G< / I \ /F
、…
B、、、D
/C
E
分析与解
造正方形常见形式.
如图，分别以AB ，AC 为对称轴，作出6ADB
，6ADC 的对
称图形6AGB ，6AFC ，并延长GB ，FC 交于点E ，则四边形
AGEF 是正方形，设AD=x
，由BC 2 =BE 2 十CE 2 得(x 一
2) 2 +(x-3) 2 =5 2
，解得x=6.
.118
-~
~~~ 学为训练
嘎嘎嘎
穷实
. .
1. 如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3 和
1 ，点F ，G 分别在边BC ，CD 上，P 为
AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为
(天津市中考题)
2. 在矩形ABCD 中
，M ，N ，P
，Q 分别为边AB
，BC ，CD ，DA 上的点(不与端点重合).对于任意矩
形ABCD
，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形;
②存在元数个四边形MNPQ 是矩形;
③存在无数个四边形MNPQ 是菱形;
④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形.
所以正确结论的序号是
(北京市中考题)
3. 如图，在四边形ABCD 中
，AB=AD
，ζ BAD= ζ BCD =90 0 ，连接AC. 若AC 二6 ，则四边形
ABCD 的面积为
(陕西省中考题)
A
D
D
C
A
川
?王
B
B
第
1 题图
第3 题图
第4 题图
第5 题图
也. 如图，在正方形ABCD 中
，6ABE 和6CDF 为直角三角形，ζAEB= ζ CFD = 90 0 ,AE =
CF=5 ，BE=DF 二12 ，则EF 的长为(
A.7
B. 8
c.7fI
D.7[3
(湖南省梆州市中考题)
5. 如图，在正方形ABCD 中
，AB=9 ，点E 在CD 上，且DE=2CE ，P 是对角线AC 上的一个动
点，则PE + PD 的最小值为(
A.3 刁百
B. 10[3
C. 9
D. 9fI
(贵州省中考题)
..119
aE军噩噩1I'~"'jf墨画草草.
6. 如图，正方形ABCD 中，AB = 6 ，点E 在边CD 上，且CD 二3DE ，将6ADE 沿AE 对折至
6AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF . 下列结论:①6ABG 旦6AFG; ②BG=GC;
( AG//CF; ( S f',. FGC = 3.其中正确结论的个数是(
).
A.l
B. 2
C. 3
D.4
( 重庆市中考题)
D
C
D
C
A
D
回E
I /\I/E'I /
\ 1
)E'
A
B
A
B
图①
图②
第6 题图
第7 题图
7 . 问题情境
如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，ζAEB=90 0 ，将Rt6ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90 0 ，
得到6CBE'(点A 的对应点为点C).延长AE 交CE'于点F ，连接DE.
猜想证明
(1)试判断四边形BE'FE 的形状，并说明理由.
(2) 如图②，若DA 二DE ，请猜想线段CF 与FE' 的数量关系并加以证明.
解决问题
(3) 如图①，若AB=15 ，CF=3 ，请直接写出DE 的长.
( 山西省中考题)
8 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，作了如下探究: 在6ABC
中，ζBAC = 90 0 ,AB = AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合) ，以AD 为边在
AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.
A
B
E
图①
..120
A
E
图②
第8 题图
C
F
F
图③
E
·国1m(噩噩矗
(1)观察猜想
如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为
，②BC ，CD ，CF 之间
的数量关系为
(将结论直接写在横线上).
(2) 数学思考
如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立?若成立，请给予证明;
若不成立，请你写出正确结论再给予证明.
(3) 拓展延伸
如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ，若己知AB=
23 ，FjBC ，请求出GE 的长
(四川省达州市中考题)
• . 能力拓展
·
9. 如图，正方形ABCD 、正方形CGEF 的边长分别是2 ，3 ，且点B ，C ，G 在同一条直线上，M 是线
段AE 的中点，连接MF ，则MF 的长为
(浙江省竞赛题)
10. 如图，把一边长超过
10 的正方形纸片剪成5 个部分，则中间小正方形(阴影部分)的周长
为
什二E
~
C
II
第9 题图
第
10 题图
(浙江省竞赛题)
.M
C
D
第
11 题图
1 1. 如图，在D.ABC 中，ζABC=90 0 ,AB =12 ，AC=13 ，以AC 为边作正方形ACDE ，则D. BCE 的
面积为
(福建省竞赛题)
.121
aE酣睡因lIiIi温
12. 如图，四边形ABCD 是正方形，直线II ,l2 ，l 3 分别通过A
，B
，C 三点，且l l// l 2// l 3
' 若II 与
l 2
的距离为5 ，l 2 与h 的距离为7 ，则正方形ABCD 的面积等于(
).
A.70
B. 74
C.144
D.148
(江苏省竞赛题)
L
A
~F
D
E
C
第
12 题图
第13 题图
第
14 题图
13. 如图，在正方形ABCD 中，E 是DC 的中点，点F 在BC 上，ζ EAF= ζ DAE ，则下列结论中正
确的是(
).
A.ζ EAF= ζ FAB
C
F
C
+
BC
I-3B
一
一
一
CF
FA
BD
C. AF=AE+FC
("希望杯"邀请赛试题)
1ι 如图，在正方形ABCD 中
，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且ζ EAF=45 0 ,AE ，AF 分别交BD
于点M ，N ，连接EN ，EF. 有以下结论:
BE
①AN=EN; ②当AE=AF 时，一一=2-12 ; ③BE+DF=EF; ④存在点E ，F ，使得NF>DF.
EC
其中正确的个数是(
).
A.1
B.2
C.3
D.4
(山东省济南市中考题)
15. 如图，正方形MNBC 内有一点A
，以AB
，AC 为边向DABC 形外作
正方形ABRT 和正方形ACPQ ，连接RM ，BP.求证:BP // RM.
(湖北省武汉市竞赛题)
T
R
P
B
C
第
15 题图
..122
EZ画面匾.自
16. 如图，正方形ABCD ，BM ，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足
p
ζMAN=45 0 ，连接MN.若以BM ，DN ，MN 为三边围成三角形，试猜想、三
M
角形的形状，并证明你的结论.
( 山东省开泽市中考题)
• • .综合创新·
N
第
16 题图
17. 如图，四边形ABCD 是边长为4 的正方形，点E 在边AD 所在直线上，连接CE ，以CE 为边，
作正方形CEFG( 点D 、点F 在直线CE 的同侧) ，连接BF.
F
A(E)
B
C
图①
B
C
图②
第17 题图
F
G
(1)如图①，当点E 与点A 重合时，请直接写出BF 的长.
(2) 如图②，当点E 在线段AD 上时，AE= l.
①求点F 到AD 的距离.
②求BF 的长.
(3) 若BF=3 刁石，请直接写出此时AE 的长.
口D
B
C
备用图
(辽宁省沈阳市中考题)
.123
数学的优美感不过就是问题的解答合乎我们心灵需要而产生的一种
满足.
一一庞加莱
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三
角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰
当地利用中点、处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常
见的联想路径是:中线倍长，作直角三角形斜边的中线，构造中位线，构造中
心对称全等三角形等.
庞加莱( 1 854→1912)
，法国数学家，由于做出了
杰出的工作，他被认为是
19 世纪最后四分之一和
20
世纪初期的数学主宰
，并且是对数学和它的应用最具
有全面知识的、能雄观大局的通才.
190 8 年，庞加莱当选为法兰西学院院士. 他是法
国文学会会员
，其通俗文章的文笔非常优美. 他还有一
批重要的哲学著作
，如《科学和假说))(( 科学的价值》等.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
函'
如图，在，6ABC 中，L_B 二2 L_ C ,AD j_
BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10cm ，则MD 的长
A
为
("希望杯"邀请赛试题)
B
M
C
思路点拨
取AB 的中点N ，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位
线定理的运用创造条件.
.124
撞撞
。0 0.. •
4b~
立:
A
R毛::::...
证明线段倍分
关系是几何问题中
一种常见题型，利
用中点是一个有效
:
途径，基本方法有:
(1)利用直角
三角形斜边中线
定理.
(2) 运用中位
线定理.
(3) 倍长(或才斤
半)法.
[~[8 如图，边长为1 的正方形EFGH 在边长为3 的
正方形ABCD 所在平面上移动，始终保持EF // AB ，线段
CF ，DH 的中点分别为M ，N ，则线段MN 的长为( ;|
d百
A.
y 2一
/l7
C. 丁一
/l7
B.丁一
2 /1百
D. 3
(北京市竞赛题)
思路点拨
连接CG ，取CG 的中点T ，构造三角形中位线、梯形中位线.
蝠'
如图，已知AD 为6ABC 的角平分线，
AB <AC ，在AC 上截取CE=AB
，M ，N 分别为BC ，
AE 的中点.求证:MN // AD.
(山西省太原市竞赛题)
B
A
DM
C
思路点拨
角平分线、中点、平行线，能引起丰富的联想，而构造中位线、
中心对称图形能架构连接各种分散条件的桥梁，使得思维充分发散.
对于图①，连接BE ，取BE 中点F ，连接NF ，MF.
对于图②，在AC 上截取AF=AB
，连接BF ，交AD 于点H ，连接MH.
对于图③，连接AM 并延长到F ，使MF=AM ，连接EF
，FC.
A
A
A
b人
l
B
D M
C
B
D M
C
B
DM\ ...
íC
飞4
图①
图②
图③
F
[锐'
已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过点E 作
EF j_ BD 交BC 于点F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG.
(1)求证:EG=CG.
(2) 将图①中6BEF 绕点B 逆时针旋转45 0 ，如图②所示，取DF 中点
G ，连接EG ，CG. 问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明;若不
成立，请说明理由.
(3) 将图①中6BEF 绕点B 旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的
·望圈2型aIiì.
植擂。"…
三角形与梯形
;
的中位线，在位直
:
上涉及平行，在数
:
量上是上、下底和
:
的一半，它起着传
:
递角的位直关系和
线段长度的功能，
: 在证明线段倍分关
系、两直线位直关
系、线段长度的计
:
算等方面有着广泛
的应用.
.125
aE草诅血血E:PlJi"jJ，~.
撞撞。"…
需要什么，构
造什么，构造基本
图形、构造线段的
和差( 倍分)关系、
构造角的关系等，
这些是作辅助线的
有效思考方法.
线段，问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得到什么结论?
E扩|
D
司
-
-
-
-
J
I
C
-G
•
f-
-t7F-
A
I
|
咛
L
B
D
布
什
|
|
|
叶
I
C
-
G
F
①
一
民
一
图
-
E
一
-
A
「
-
-
-
-
-
L
B
图③
图②
( 山东省中考题)
思路点拨
题设条件有中点，利用中点构造三角形中位线，或利用中点
构造中心对称型全等三角形.
A
[争[0
外作Rt6ABD 和Rt6ACE ，且使ζABD= ζACE ，M
如图，以6ABC 的AB ，AC 边为斜边向形
是BC 的中点，求证:DM=ME .
B
显然6DBM 不全等于6ECM ，需通过作辅助线，构造全等三角
("祖冲之杯"邀请赛试题)
分析
形，证明DM=EM.
如图，取AB 中点p ，连接DP ，PM ，取AC 中点Q ，连接QE ，QM.
则DP=lAB ，QE=lAC ，PMAAC ，QM44AB ，
2- -- , - _._= 2--- , .___._= 2
证明
:. DP = QM,PM= QE.
又ζ DPM = ζ 1 十ζ 2 = 2ζDAB 十ζBAC ，
ζMQE= ζ 3+ζ 4=2L乙EAC 十ζBAC ，
而ζDAB = ζEAC ，
.·. ζ DPM = ζEQM ，:. 6DPM三6MQE ，故DM = ME.
D ，~D
A~干
\
1/
飞C
AK
/\- 1
BL
、二、C
-,
中点四边形
如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到的四边
形A1B1C1D l 称为中点四边形，中点四边形A 1 B1C 1 Dl 有
下列重要性质:
(1)为平行四边形;
ωs…DI =js盹形ABCD;
(3) 口A 1 B1C 1 D l 随原四边形对角线的改变而变为特殊平行四边形;
(4) 当房、四边形为凹四边形时，其他条件不变，上述结论仍然成立.
..126
蝠'
如图，四边形ABCD 中
，AC=6 ，BD=
8 ，且AC 上BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，
得到四边形
A1B1CD 1
; 再顺次连接四边形
AIB1C1Dl 各边中点，得到四边形A 2 B 2 C 2 D 2 ……如
此进行下去得到四边形AnBnCnDn.
(1)证明:四边形AIB1C1Dl 是矩形.
A
B
C
(2) 写出四边形AIB1C1Dl 和四边形A 2 B 2 C 2 D 2 的面积.
(3) 写出四边形AnBnCnDn 的面积.
(4) 求四边形A s B s C s D s 的周长.
(贵州省贵阳市中考题)
分析与解
四边形A 2什1 B 2n+l C2n+1 D2 n+l 是一组相似的矩形，四边形
A 2k B2kC 2k D 2k 是一组相似的菱形，四边形
AnBnCnDn
的面积与四边形
An-1Bn-l Cn-1 Dn- l 的面积有密切关系，这是解本例的关键.
(1)
-A ID143肌肌斗肌
:. AIDl 圣B1C 1 ，四边形AIB1C1Dl 是平行四边形.
.: AC j_BD ,AC // AIBl ,BD // AID1'
:. AIBl j_AID1'
即ζBIAIDI =90 0 •
.·.四边形A IB1C1Dl 是矩形.
(2) 5 矩形A ，B ，C ，D ，= 12 ，5 菱形A 2 B 2 C 2 D 2 == 6.
1
(3) 5 四边形AJ"CmD" =24 × F·
(4) 由(1)得矩形AIB1C1Dl 的长为4 ，宽为3.
·.·矩形A s B s C s D sω矩形AIB1C1Dl'
λ 设矩形A s B s C s D s 的长为钉，宽为3x
，
贝阳
• 3x=去×叫得z=7 ，
3
:. 4x=1 ,3x=4'
3 \
7
故矩形A s B s C s D s 的周长=2 X (1 十~)=i
·国国主亟函矗
世擂
。00.. •
《古今数学思
:
想》是美国著名数
:
学家莫里斯·克莱
:
因所著的一部介绍
: 从古代直至
20 世
:
纪初数学发展的著
: 作，该书精辟阐述
了主要数学分支的
: 创立历程和重大创
: 新、数学思想的产
:
生和发展，是启迪
:
想象力和灵感的思
:
想宝库.
.121
aE噩噩噩疆罩墨~盏'
~~~学力训练嘎嘎嘎
••
穷实. •
1. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，ζABC=90 0 ，D 为AC 边上中点，过点D 作DE 上DF ，交AB
于点E ，交BC 于点F.若AE=4 ，FC=3 ，则EF= 一一一一·
( 湖北省黄冈市中考题)
;~
M:
B
C
E
第
1 题图
第2 题图
2. 如图，矩形纸片ABCD ，AB 二6cm ，BC = 8cm ，E 为边CD 上一点，将6BCE 沿BE 所在的直线
折叠，点C 恰好落在AD 边上的点F 处，过点F 作FM l_BE ，垂足为点M ，取AF 的中点N ，连
接MN ，则MN=
cm.
( 山东省淄博市中考题)
3. (1)如图①，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到
第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积
为
( 甘肃省兰州市中考题)
D
己哼囹。固。圈。
图①
B
图②
第3 题图
(2) 如图②，在菱形ABCD 中，边长为10 ，ζA = 60 0 •顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边
形AjBjCjD j
; 顺次连接四边形AjBjC j D j 各边中点，可得四边形A z B 2 C 2 D 2
; 顺次连接四
边形A z B z C z D z 各边中点，可得四边形A 3 B 3 C 3 D 3
; 按此规律继续下去……则四边形
A z B z C z D z 的周长是
;四边形A 川B ZO j 3 C ZOj3 D z川的周长是
A . ζECD = 112.5 。
C. ζ DEC = 30 。
C
D
F)
/
ι
α
分
店
平
气
EB
DA
BD
AB
4. 如图，在6ABC 中，AB = AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作
Rt6ADC ，若ζ CAD = ζ CAB = 45 0 ，则下列结论不正确的是(
).
第4 题图
(辽宁省中考题)
..128
-~
5. 如图，D 是，6.ABC 内一点，BD j__ CD ，AD 二6 ，BD 二4 ，CD=3 ，E , F ，G ，H 分别是
A
AB ,AC ,CD ，BD 的中点，则四边形EFGH 的周长为(
).
A.7
B. 9
c. 10
D. 11
(安徽省中考题)
6. 如图，在矩形ABCD 中
，AB=4 ，AD=2 ，E 为AB 的中点，F 为EC 上的一动点
，P
B
C
为DF 中点，连接PB
，则PB 的最小值是(
).
A.2
B.4
c.fi
D.2 fi
( 山东省泰安市中考题)
7. 如图①，在Rt6ABC 中，ζABC=90 0 ，AB 二BC ，将6ABC 绕点A 逆时
针旋转，得到6ADE ，旋转角为α(0 0<α < 90 0 ) ，连接BD 交CE 于点F.
第5 题图
A
E
B
第6 题图
(1)如图②，当α=45 。时，求证:CF=EF.
E快\、
F
E快~
I、"-\飞、C
1"\.\ ......... 、C
1
飞乌/] -
I、、β/]
(2) 在旋转过程中，问(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论.
\
I)(MI
I
X
I
(福建省青田市中考题)
A 1L一一一一...l B
A
B
图①
图②
第7 题图
8. 我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图①，在四边形ABCD 中
，E ，F ，G ，H 分别为边AB
，
BC
，CD ，DA 的中点.求证:中点四边形EFGH 是平行
四边形.
M
~
(2) 如图②，P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA=PB ，
图①
图②
PC=PD ，ζAPB= ζ CPD ，E ，F ，G ，H 分别为边AB
，
第8 题图
BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想.
(3) 若改变(2) 中的条件，使ζAPB= ζ CPD =90 0 ，其他条件不变，直接写出中点四边形EF-
GH 的形状(不必证明) .
9. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点F ，M ，N 分别为AB
，
CD 中点，MN 分别交BD
，AC 于P
，Q ，且ζ FPQ= ζ FQP
，若BD=10 ，
则AC=
(重庆市竞赛题)
( 山东省德州市中考题)
M产三军~N
户/p
Q'--....._、
第9 题图
.129
aE画画磕磕监孟·
10. 在LABC 中，ζA=620 ，ζB=36 0 ，点E ，F 分别在AC ，BC 上，且满足AE=
BF ，M ，N 分别为AB ，EF 的中点，则ζBMN 的度数等于一一一一一·
(北京市竞赛题)
C
/
\
"、
11. 如图，在四边形ABCD 中，AC= α ，BD=b ，且AC _l BD ，顺次连接四边
A
M
B
形ABCD 各边中点，得到四边形AIB 1C1 Dl' 再顺次连接四边形
第10 题图
AIB1C1Dl 各边中点，得到四边形A 2 B 2 C 2 D 2 ......如此进行下去，得到四
边形
A nBnCnD n . 下列结论: ①四边形
A 4 B 4 C 4 D 4
是菱形;
B0 ,[,.,c
F'.J飞D
α 十b
②四边形A3 B 3 C 3 D 3 是矩形;③四边形A 7 B 7 C 7 D 7 的周长为- ~ ~;@四
C
ab
边形A nBnCnD n 的面积为一其中正确的是(
).
2n '
第11 题图
A. ①②③
B. ②③④
C . ①③④
D. ①②③④
(湖北省鄂州市中考题)
12. 如图，四边形ABCD 是边长为6 的正方形，点E 在边AB 上，BE=4 ，过点E
作EF // BC ，分别交BD ，CD 于G ，F 两点.若M ，N 分别是DG ，CE 的中点，
|
矿|
PZI
则MN 的长为(
).
A.3
B.213
c. 汀"3
D. 4
第12 题图
(浙江省宁波市中考题)
13. 如图①，在等腰三角形ABC 中，ζA = 120 0 ,AB = AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD=
AE ，连接BE ，点M ，N ，P 分别为DE ，BE ，BC 的中点.
J乓~乒盔、
(1)观察猜想
图①中，线段NM ，NP 的数量关系是
，ζMNP 的大小为
(2) 探究证明
把LADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图②所示的位置，连接MP ，BD ，CE ，判断LMNP
的形状，并说明理由.
(3) 扩展延伸
把LADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD = 1 ，AB = 3 ，请求出LMNP 面积的最大值.
(山东省东营市中考题)
.130
·国国司画-国
1也. 如图，在6ABC 内取一点p ，使ζPBA= ζ PCA ，作PD l_AB 于点D ，PE l_
AC 于点E ，求证:DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M.
( 江苏省竞赛题)
第
1 4 题图
15. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了"中垂三角形"，即两条中线互
相垂直的三角形称为"中垂三角形"如图①、图②、图③中，AM ，BN 是6ABC 的中线，AM l_
BN 于点p ，像6ABC 这样的三角形均为"中垂三角形"设BC= α ，AC=b ，AB= c .
C
C
A
B
A
B
图①
图②
图③
第1 5 题图
特例探究
(1)如图①，当ζ PAB =45 0 ，c =412时，a =
,b=
;
如图②，当ζ PAB = 30 0 ，c = 2 时，α -
,b=
归纳证明
(2) 请你观察(1)中的计算结果，猜想a 2 ,b2 ，C 2 三者之间的关
系，用等式表示出来，并利用图③证明你的结论.
拓展应用
(3) 如图④，口ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的三等分点，且
AD=3AE ，BC =3BF ，连接AF ，BE ，CE ，且BE j_ CE 于点
E ，AF 与BE 相交于点G ，AD = 3 J5 ，AB = 3 ，求AF 的长.
A
E
D
b
斗
B
F
C
图④
第
1 5 题图
(湖北省随州市中考题)
..131
想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的
一切，推动着进步.
一一一爱因斯坦
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传
递角，可"送"线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到
比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论.
利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，
另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造基本图形.
~~~
0 . 6 1 8 … … 这一个重要数值，被中世纪学者、
艺术家誉为" 黄金比例"
达
· 芬奇广泛研究了人类身体的各种比例.
1 5 09 年，他为数学家帕西欧里的《神圣的比例》
一书作插图
，把人体与几何中最美丽而且简单的
图形固和正方形联系到一起，并画出若干个黄金
比例.
例题求解
嘎嘎嘎
蝠'
如图，己知在口ABCD 中，M ，N 为AB 的三
等分点，DM ，DN 分别交AC 于P ，Q 两点，则AP: PQ: 少\J
QC =
( 河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)
思路点拨
图中有形如"X" 型的基本图形，建立含AP ，PQ ，QC 的比例
式，并把AP ，PQ ，QC 用同一条线段的代数式表示.
.132
撞撞
。00.. •
熟悉以下基本
图形
:
: AA巴
!h之二
ðE主
从什么样的矩
:
形切去一个正方形
:
后，剩下的矩形与
:
原矩形相似?
设矩形长、宽
:
分别为
X ，
y ，
则
: 王=一主一，解得
y
x-y
:干
7←=斗号牛1与川句
创叫叫
Oω川
6们1
:
我们把宽长之比为
: 号午l 的矩形称为
黄金矩形，这是让
:
人感觉最美的矩形.
-Hl3iI函:-.
..133
平行线，需作平行
线，而作平行线要
:
考虑、好过哪一点作
平行线，一般是由
比的两条线段启发
而得的，其目的是
构造基本图形.
成比例定理是证明
比例线段的常用依
据之一，比例线段
丰富了我们研究几
何问题的方法，主
:
要体现在:
(1)利用比例
线段证明线段相
等、线段和差倍分
关系、两直线平行
等问题.
撞撞
。0 0 •••
如图，在，6.ABC 中，D ，E 是BC 边上的点，
[~[e
若题设条件元
BD : DE : EC=3 : 2 : 1 、点M 在AC 边上，CM
: MA=
1 : 2 ，BM 交AD ，AE 于点H ，G ，则BH: HG: GM 等
于
B. 5 : 3 : 1
A. 3 : 2 : 1
D. 51 : 24 : 10
C. 25 : 12 : 5
( 湖北省黄冈中学自主招生试题)
平行线分线段
过恰当的点作平行线，为平行截割定理的运用创造条件，关
键是兼顾已知与未知.
思路点拨
在，6.ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是，6.ABC 的重心
函'
(AG=2GD) ，过G 点的直线分别交AB
，AC 于点E ，F.
BE
, CF
(1)如图①，当EF 矿BC 时，求证· 一:- + 一一二1.
'AE ' AF
线段求线段的长度.
(2) 运用比例
(2) 如图②，当EF 和BC 不平行，且点E ，F 分别在线段AB ，AC 上时，
(1)中的结论是否成立?如果成立，请给出证明;如果不成立，请说明理由.
(3) 如图③，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，(1)
中的结论是否成立?如果成立，请给出证明;如果不成立，请说明理由.
A
C
A
B
D
图②
C
A
B
D
图①
( 四川省乐山市中考题)
对于( 2) ，通过作平行线构造基本图形;对于(3) ，注意点E 或
F 的特殊位置，关注BE 与AE 或CF 与AF 的大小比较.
思路点拨
:
点"笨精神"，即从
已知:在梯形ABCD 中，CD // AB ,AD ，BC 的延长线相交于点E.AC ，
: 容面对解题中的挫
BD 相交于点。，连接EO 并延长交AB 于点M ，交CD 于点N.
: 折，有极强的韧性，
坚定朝着自己确定
aE军噩噩E噩噩
蝠'
如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交
于点。，直线
J 平行于BD ，且与AB ，DC ，BC ，AD 及
AC 的延长线分别相交于点M ，N ，R
，S 和p ，求证t
PM. PN=PR . PS.
(山东省竞赛题)
分析
由于PM,PN ,PR ，PS 在同一条直线上，所以不能直接应用平行线分
线段成比例推得结论，需观察分解图形，利用中间比沟通不同比例式的联系.
证明
PN
CP
PR ._PN
OD
: BD // l ，
二
二
二
，得一一=一一
OD
CO
OB' "" P R
OB .
川
P儿1
AP
PS
… PS
OD
• BD // l. λ
一一- _一一=一一〓导一一- _ 一一
川，
-- OB
AO
OD' 川PM
OB .
PN
PS
由①，②得一→=一一，即PM • PN= PR • PS.
PR
PM
②
①
定位中点
具有丰富知识和经验的人，比只有一种知识和经验的人
更容易产生新的联想和独到的见解.
如图，用直尺作图可作出线段AB 的中点.
随着对平行截割定理的学习，作已知线段中点就有了新的视角、新的方法.
[~[Ð 探索发现
E
E
A
c-Illi--B
D
「
|
l
I
l
-
-
A
撞撞
。00 .. •
2唱唱~
OD
例
4 中一一所
OB
: 起的作用表现为:使
不同的比例式产生
:
联系，通过转移比例
:
式来转化问题，我们
:
常称之为" 中间比转
;
移比例法"，是解与
比例线段相关问题
:
的常用技巧.
"Stay hungry,
stay foolish." 是乔
'
布斯的至理名言.
解题中需要一
:
的方向前进，最终
赢得解题的成功.
笨拙思考，是
: 一种钝感力、真精
图①
图②
图③
:
神、新态度.
(1)如图①，如果AD=BC ，求证:直线EM 是线段AB 的垂直平分线.
(2) 如图②，如果AD#BC ，那么线段AM 与BM 是否相等? 请说明理由.
学以致用
(3) 仅用直尺(没有刻度) ，试作出图③中的矩形ABCD 的一条对称轴
(写出作图步骤，保留作图痕迹) .
( 山东省威海市中考题)
.134
分析与解
(1)略
(2) 本问是学以致用的基础，猜想AM=BM ，过去的知识经验无法证
明，从平行条件出发，借比例线段开辟证明新路，而证明的关键是分解以下基
本图形(如图④) ，并迅速建立比例线段的联系.
• •
L1 N~L气只:飞
图④
.: CD // AB ,
E
DN
EN
NC
DC DC
DN
• . AM EM BM AB' AB - BM '
DN
DN
·. 一一=一一，得AM=BM.
AM BM
A
(3) 作法:如图⑤.
图⑤
①连接AC
，BD
，两线交于点。1 ;
C
B
②在矩形ABCD 外任取一点E ，连接EA
，EB
，分别交DC 于点G ，H;
③连接BG ，AH
，两线交于点O 2 ;
④作直线E0 2
，交AB 于点M;
⑤作直线M0 1 •
则直线M0 1 就是矩形ABCD 的一条对称轴.
~~~ 学力训练
嘎嘎嘎
穷实
. •
-Hm回国li国~
iã~童
。00.
人们喜爱五角
星，它美的奥秘在
哪里?除了五角星
外形美之外，图形
中还藏着一个神秘
的数字
0 . 618.
这个分割的实
质是:将一条线段
分割成两段，使
小段
大段
大段
全段
0.618.
1. 如图，在liABC 中
，D ，E 为边AB 的三等分点
，EF 矿DG // AC ，H 为AF 与DG 的交点，若AC=
6 ，则DH=
(山东省临沂市中考题)
A
G
B
B
C
第
1 题图
第2 题图
2 . 如图，在口ABCD 中，ζB=60 0 ，AB=10 ，BC 二8 ，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED 并延长至
点F ，使得DF=;山EC ，EF 为邻边构造口E肌连接昂，则昂的最小值为一一
(江苏省扬州市中考题)
.135
dE翠WfI;aWf;)E墨Imi孟温·
3 . 如图，已知6ABC ，6DCE ，6FEG ，6HGI 是4 个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI
在同一直线上，且AB=2 ，BC=1 ，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI 二一一一一一·
(湖北省黄冈市中考题)
A飞
A
D
F
H
川
B
C
E
G
J
第4 题图
第3 题图
也. 如图，在6ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE // BC ,EF // AB. 若AD=
CF
2BD ，则-一的值为(
BF
2
D. 3
I
C
二
4
1
B. =
3
I
A. =
2
(内蒙古自治区包头市中考题)
5 . 如图，菱形ABCD 的边长为13 ，对角线AC=24 ，点E ，F 分别是边CD 、BC 的中点，连接EF 并
延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG= (
D. 5
c. 12
B. 10
A.13
(宁夏回族自治区中考题)
平4
D
E
C
J
A
B
G
第6 题图
第5 题图
6 . 如图，口ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点。，CE 平分ζ BCD ，交AB 于点E ，交BD 于点F ，
且ζABC = 60 0 , AB = 2BC ，连接OE ，下列结论:
①ζACD = 30 0 ; ②S 口ABCD = AC . BC;
( OE : AC=j3 : 6; ( 5 6 0CF = 25 60EF .其中成立的有(
D.
4 个
C. 3 个
B. 2 个
A.1 个
(广西壮族自治区贵港市中考题)
日
…
E
7. 如图，点E ，F 在正方形ABCD 的边上，并且AE = 2ED ,DF= 2FC ，AF 交BE 于点G .
AG
求一的值.
GF
第7 题图
(世界数学团体锦标赛试题)
.136
·望~
8. (1)某学校"智慧方园"数学社团遇到这样一个题目:
如图①，在L.ABC 中，点。在线段BC 上，ζBAO=30 0 ，ζOAC=75 0 ，AO =3J言，BO: CO=
1 : 3 ，求AB 的长.
经过社团成员讨论发现，过点B 作BD // AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造L.ABD 就
可以解决问题(如图②) .
请回答:ζADB=
o ,AB=
(2) 请参考以上解决思路，解决问题:
如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点。，AC _lAD ，AO=3汀，ζABC=
ζACB=75 0 ，BO: OD=l: 3 ，求DC 的长.
A
D
B
/卜\
C
图①
图②
C
图③
第8 题图
( 山东省东营市中考题)
••
9. 如图，在Rt L.ABC 中，ζACB = 90 0 ,AB = 4 ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DB = 2AD ,
AE=3EC ，连接BE ，CD ，相交于点。，则L.ABO 面积的最大值为一一一一·
(江苏省无锡市中考题)
10. 如图，已知AD 是DABC 的中线，且AE : EF : FD= 5 : 3 : 2 ，则AG
: GH: HC 的值为一一---
("希望杯"邀请赛试题)
外\
乒〉进
第9 题图
第
1 0 题图
第11 题图
11. 如图，在四边形ABCD 中，ζ BAC = ζBDC = 90
0 ,AB = AC =布，CD = l ，对角线的交点为
M ，则DM = (
A 号
B 于
c 号
l
D' 2
(全国初中数学联赛题)
"131
aE盟且盟量重墨画草草.
12. 如图，矩形ABCD 的边长AD=3 ，AB=2 ，E 为AB 的中点，F 在线段BC
E
上，BF : FC=l : 2 ，AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=(
B5f
二
A 孚
D
第12 题图
A
DliF
c35
(全国初中数学联赛题)
13. AD 是6ABC 的中线，将BC 边所在直线绕点D 顺时针旋转α 角，交边AB 于点M ，交射线
AC 于点N ，设AM=xAB ,AN = yAC (x ，y 芋0) .
(1)如图①，当6ABC 为等边三角形且α=30 。时，证明
: 6AMNω6DMA.
1
, 1
(2) 如图②，证明:一+一=2.
二:c
y
(3) 如图③，当G 是AD 上任意一点时( 点G 不与A 重合) ，过点G 的直线交边AB 于MF ，交
1
1
射线AC 于点N' ，设AG=nAD ,AM' =x'AB ,AN' = y'AC(x' ，y ' 手0 ) ，猜想: 寸十一，=
3己丁9
三是否成立?并说明理由
n
(湖北省黄石市中考题)
,
hN
C
运
\
G
立
D
A
《
气
J
M
/
ι
B
hN
C
\
『
\\-D
A
A
川
二
M
二
B
A
M/....
I
\
B 兮飞而
N
图①
图③
图②
第1 3 题图
14. 如图，已知AD 是6ABC 的高线，K 为AD 上一点，BK 交AC 于点E ，CK 交AB 于点F . 求
(陕西省竞赛题)
第14 题图
B
证t ζ FDA=ζEDA.
.138
E画画画画画
. . 综合呛Ij 新·
15. 如图①所示，在，ð.ABC 中，点。是AC 上一点，过点。的直线与AB
，BC 的延长线分别相交于
点M ，N.
A
也;;二
B
C
N
G
图①
第
15 题图
问题引入
AM
1 ..CN
(1)若点。是AC 的中点一一二一求一一的值.
'BM
3 '''J~BN
A
B
D
图③
温馨提示:过点A 作MN 的平行线交BN 的延长线于点G.
探索研究
(2) 若点。是AC 上任意一点(不与点A
，C 重合).
A此1[
BN
CO
求证·一一·一一·一一二1.
'MB
NC OA
拓展应用
C
(3) 如图②所示，点P 是，ð.ABC 内任意一点，射线AP
，BP
，CP 分别交BC ，AC ，AB 于点D
，
AF
1 BD
1
._ AE
E ，F.若一=一一一=一求一的值.
BF
3'CD
2'''J~CE
(湖南省邵阳市中考题)
.139
类比的方法应在经验科学中占很高的地位，而且科学家也曾按照这
种推论方法获得很重要的结果.
一一黑格尔
~~~知识纵横嘎嘎嘎
全等三角形是相似三角形的相似比等于1 的特殊情况，从全等到相似是
认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化，而且思维方式也产生
突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现的线段间的关系
比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积
的和差、线段比的和差等.
通过寻找(或构造)相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似
三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛
的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一.
这是日本画家北斋的名画《富岳
三十六景》之一
，浪花不断重复着相
同的结构，这就是自然界中既简单又
复杂的自相似性.
~~~例题求解嘎嘎嘎
函'
如图，，6.ABC 中，ζABC = 60 0 ，点P 是
，6.ABC 内一点，使得ζAPB = ζ BPC= ζ CPA
，且
PA=8 ，PC=6 ，贝。PB=
( 全国初中数学联赛题)
A~
撞撞。"…
熟悉以下形如
"A" 型、"X" 型、子
: 母型等相似三角
形:
卡\子\
匠XA
E这A
~ð
A、
广\
B
C
如图，
在
: 6ABC
中，ζB=
2ζ C ，BC= α
，AC
=b ,AB=c.
求证
: b 2
_
a (c 十α) .
这是一个与二
:
倍角相关的问题.
思考下列问题:
是否存在一个
:
三边长恰是三个连
续正整数，且其中
思路点拨
PA
，PB ，PC 分别是，6.ABP ，，6.BCP 的边，从判定这两个三
:
一个内角等于另一
角形的关系人手.
.140
个内角二倍的
6ABC? 证明你的
结论.
-~
IÎij!:j 噩噩坠
.141
; 等积式)的证明是
: 几何问题中的常见
: 题型，基本证法有:
(1)从相似三
:
角形入手.
(2) 利用平行
:
截割定理.
在证明两个三
:
角形相似时，常常
: 会出现证两次相似
: 的情况，而第一次
: 相似常由两角相等
: 证得，第二次相似
: 常由第一次相似所
: 得的比例线段进行
: 恰当变化再加上夫
:
角相等而证得. 在具
: 体证明过程中，常
; 常要作等线段代
: 换、等比代换或等
: 积代换，以促使问
: 题的转化.
圃'
撞撞。" …
‘C
E\\-
A
P
-
-
/
/
一
/
J
纠
」
D
aB
如图，DABC 是等边三角形，点D ，E 分别在
BC ，AC 上，且BD=iBC ，CE=lAC , BE ，AD 相交于点
3 - -
, --
3
比例线段(或
F.连接DE ，则下列结论:①ζAFE 二60 0;(DE _l AC;
( CE 2=DF. DA; ( AF • BE=AE • AC ，其中正确的结论有(
D. 1 个
C. 2 个
B. 3 个
A.4 个
(黑龙江省中考题)
发现全等三角形、相似三角形是解本例的基础，需注意等线
睛'
如图，DABC 和LAIBIC 均为正三角形，
BC 和B1C 1 的中点均为D.求证:AAl 上CC 1 •
思路点拨
段的代换.
(重庆市竞赛题)
(1)如图①，在LABC 中，D 为AB 上一点，ζACD= ζ B. 求
作出等边三角形最基本的辅助线，并延长
AAl 交CC 于点E ，寻找相似三角形，证明ζAEC 二90 0 •
[筒。
i正:AC 2 = AD • AB.
思路点拨
(2) 如图②，在口ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，
ζBFE= ζA.若BF=4 ，BE=3 ，求AD 的长.
(3) 如图③，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是LABC 内一点，EF //
ACAC=2EF ，3DF=13AD ，AE= 2 ，DF= 5 ，求菱形ABCD 的边长.
2
C
D
B
图③
A
F
E
图②
B
A
图①
(浙江省宁波市中考题)
问题(1)对问题(2)
、( 3 ) 的解决具有启发性，发现或构造与
如图①结构相同的图形是解题的关键.
思路点拨
aE重噩噩lBi置罩
撞撞
。00...
现，两个问题为王
:
逆命题，把全等三
角形、相似三角形、
:
黄金分割等知识融
为一体.正向读透条
:
件，逆向倒推思考;
大胆猜想，小心论
证，是解决问题的
关键.
例
5 以正方形
为背景，通过中点、
垂直的构图方式呈
l礼E
交于点E ，F.
①求证:BE=CF.
②求证:BE 2 =BC • CE.
(2) 如图②，在边BC 上取一点E ，满足BE 2 = BC. CE ，连接AE 交CM
图②
[售[0
已知正方形ABCD ，点M 为边AB 的中点.
(1)如图①，点G 为线段CM 上的一点，且
D 气
c
ζAGB = 90 0 ，延长AG ，BG 分别与边BC ，CD
I
\l-扣
I
A\G I
A
M
B
图①
CF
于点G ，连接BG 并延长交CD 于点F ，求一-的值.
BC
( 安徽省中考题)
分析与解
对于(1) ，等积式转化为比例式，证明相似三角形，解题的关
键是等线段的代换，如BE=CF ，CF=CG.请读者完成证明.
BE
问题(2) 是问题(1)的逆命题，由条件得一的值，解题的关键是发现AG l_
BC
BF 或CF = BE 这一必备的中间环节，构造如下基本图形生成不同解法:
D
F
C
C画E
A
M
B
D
F
C
|、KIE
|才\:G I
Ai
/M
B
Ní'
图④
D
F
C
N
一…
…
,
"
… ,
… ,
" ,.
…,
…,
, . ,
…,
I
\jÇ:; IE
A
M
B
图⑤
图③
就图③给出如下解答:
延长AE ，DC 交于点N ，如图.
·.·四边形ABCD 是正方形，:.AB // CD ，:. ζN= ζEAB.
又ζCEN = ζBEA
，二fiCENωfiBEA
，
CE
CN
·. 一一=一一，即BE • CN = AB • CE.
BE AB
.:AB =BC ,BE2= BC. CE , :.CN =BE.
. CN
CG
CF
由AB // DN 如一一= 一一=
AM GM MB'
又AM = MB
，:. CF = CN = BE.
不妨假设正方形的边长为1.
设BE = x
，则由BE 2 = BC • CE ，得x 2 = 1.
(1 - x )
，
j5- 1
一点一1
解得X l - 一一- ，X 2 = 一一一一(不合题意，舍去) ,
2
已
2
α
-
m
肌
且
2
町
-
V
中
..142
-2匾噩匾.自
.143
苗擂。"…
著名数学教育
家斯法德曾指出:
: 数学对象常具有两
: 重性，它们既表现
: 为一种过程的操
: 作，又表现为一种
:
结构，解决问题的
:
方法相应为程序性
:
解法、结构性解法.
(1 924-2010) 是法
国数学家，他的著
:
作《大自然的分形
:
几何学》于
1 982 年
出版，他的系列友
:
现开创了一门崭新
I
的学科
分形几
:
何学. 分形几何学能
: 描述传统几何学不
:
能描述的大自然中
:
广泛存在的不规则
:
形状，分形具有整体
:
与部分的自相似性.
运动与相似
静止是相对的，运动是永恒的，客观事物总处于运动变化、相互联系、
相王转化中，当图形中的点被赋予运动，图形中其他要素或相关关系就具
D1|||l
c
EB
有不确定性，周密细致分析与讨论是解决问题的关键.
:jtJ~。
如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的
一个动点，连接BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F
落在矩形ABCD 的内部.连接AF ，BF ，EF ，过点F 作
AD
GF j_AF 交AD 于点G ，设一一=η.
AE
(1)求证:AE=GE.
_ AD
(2) 当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示一的值.
AB
(3) 若AD=4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求η
的值.
曼德布罗特
(浙江省丽水市中考题)
引人参数，设AE= α ，则AD = 阳，把相关线段用含n ，a 的
分析与解
式子表示.
(1)略
(2) 如图①，当点F 落在AC 上时，
由6，ABE (/)6，DAC ( 为什么?) ,
图①
得AB 2 = AD • AE = 旷，AB = 布α ，
AD
na
卢
AB
Jna
仰
(3) 直角顶点未确定，需全面讨论.
当点F 落在线段BC 上时(如图②) ,
EF = AE = AB = α .
此时?α =hh 二4
图②
.·. 当点F 落在矩形内部时，η > 4.
·.· 点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，
:. ζ FCG<ζ BCD ， :. ζ FCG< 90 0
•
①若ζ CFG=90 0 ，则点F 落在AC 上，
aE噩噩噩lm'l罩
. J\ lFf.a
AD
~ __4AB
由(2) 得一一= J言，即一一=Jn，:.n=16.
AB
V •• , _.,. AB
撞撞
。00. ..
②若ζ CGF=90 0 ( 如图③) ,
则ζ CGD+ ζAGF=90 0 •
·.·ζ FAG+ ζAGF=90 0 ，
λζ CGD= ζ FAG= ζ ABE.
AB AE
·.·ζ BAE= ζD 二90 0 ，:.6ABEω6DGC ，: 一一=一一
. DG
DC'
快二兰、|
儿B
0 DC = DG 0 AE , ep (←f=(n-2)a
o α
解得nj =8+4 y'2，η 2 二8 -4 y'2 <4( 不合题意，舍去).
二当n=16 或n=8+4 y'2 时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形.
~~~学力训练嘎嘎嘎
••
穷实
. •
1. 在每个小正方形的边长为1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三
角形称为格点三角形.如图，已知Rt6ABC 是6 X 6 网格图形中的格点三角形，则该图中所有与
Rt6ABC 相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是
吨
'
'
l
J
t
t
t
a
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E
E
J
，
』
，
4
f
a
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-
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J
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L
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t
t
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t
t
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丁
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十
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，
'
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白
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一
干
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一
·
·
t
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T
ι
;
ι
丁
」
t
i
r
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←
t
M
广
L
e
--,
1Jlt1lj
「
t
「
'
'
「
t
L
t
'
E
「
'
自
「
'
"
B
A
A
口
y
x
。
第
1 题图
第2 题图
第3 题图
2. 有一张等腰三角形纸片，AB=AC=5 ，BC 二3 ，小明将它沿虚线PQ 剪开，得到6AQP 和四边
15
16
5
形BCPQ 两张纸片(如图所示) ，且满足ζ BQP= ζ B
，则下列五个数据一，3 ，-~. ，2 ，一中，可以作
4 ' - ' 5 ' - ' 3
为线段AQ 长的有
个.
(江苏省镇江市中考题)
3. 如图，平面直角坐标系中0 是原点，口OABC 的顶点A
，C 的坐标分别是(8 ，0)
，(3 ，4) ，点D ，E
把线段OB 三等分，延长CD ，CE 分别交OA
，AB 于点F ，G ，连接FG ，则下列结论:
①F 是OA 的中点;
②60FD 与6BEG 相似;
.144
·型~噩噩..
20
③四边形DEGF 的面积是丁3 ;
④OD=于
其中正确的结论是
(填写所有正确结论的序号) .
(广东省广州市中考题)
也. 如图，在四边形ABCD 中
，AD // BC ，ζABC=90 0 ,AB =8 ，AD=3 ，BC=4. 点P 为AB 边上一
动点，若h，PAD 和h，PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是(
A.l
B. 2
c. 3
D.4
(江苏省宿迁市中考题)
5. 如图，h，ABC 与h，DEF 均为等边三角形，0 为BC ，EF 的中点，则AD: BE 的值为(
A.y'3 : 1
B.;2 : 1
C. 5 : 3
D. 不确定
(广东省深圳市中考题)
B
A
D
D
C
E
A
B
F
C
第4 题图
第5 题图
第6 题图
6. 如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF ，以AF 为对角线作正方形AEFG ，边
FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG. 以下四个结论:
①ζ EAB= ζ GAD; ②h，AFCω h，AGD; ③2AE 2 =AH • AC; ( DG_lAC.
其中正确的个数为(
A.l
B. 2
C. 3
D.4
(四川省眉山市中考题)
7. 如图，正方形ABCD 的对角线相交于点。，点M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点
(不与点B
，C ，D 重合)，AM ，AN 分别交BD 于点E ，F ，且ζMAN 始终保持
45 。不变.
AF
J2
(1)求证·一一=二
.AM
2.
(2) 求证:AF _lFM.
(3) 请探索:在ζMAN 的旋转过程中，当ζ BAM 等于多少度时，ζ FMN=
ζ BAM? 写出你的探索结论，并加以证明.
B
M
C
第7 题图
(山东省淄博市中考题)
.1崎
aD~ t&i1t fJTñit . J\ 孟噩
|\φF
8 . 如图，矩形ABCD 中，AB =6 ,AD=8 , P ，E 分别是线段AC ，BC 上的点，且四
边形PEFD 为矩形.
(1)若6PCD 为等腰三角形，求AP 的长.
第8 题图
(福建省中考题)
(2) 若AP=J言，求CF 的长.
9. 如图，矩形ABCD 中，由8 个面积均为1 的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD
的周长为
(广东省深圳市中考题)
10. 如图，在口ABCD 中，AMj_BC ,AN j_CD ,M ，N 为垂足.若AB =13 ，BM=5 ，MC=9 ，则MN
的长为
(江苏省竞赛题)
1 1. 如图，设。是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点.若ζBAD+ ζACB = 180 0 ，且BC = 3 ，
DO
AD=4 ，AC=5 ，AB=6 ，则一一=(
OB
D j
c;
8
B.
~ 7
A. 1_0
9
题
赛
联
D
学
列
I
l
l
a
-
-
i
c
b
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/
\
-
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-
/
/
\
-
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一
/
/
φ
\
一
刷
一
次
K
→
F
怆
A
儿
叮
-
-
K
b义
A ......... 气
GD
F
B
E
C
第12 题图
第11 题图
第10 题图
第9 题图
12 . 如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 上的点，DE 交AC 于点M ，AF 交BD 于点N ，
BN
CF
BE
若AF 平分ζBAC ，DE j_AF; 记x = 一~ ，y = 一= . z = 一一，则有(
ON 'Y
BF ' "
OM
D.x =y>z
C.x =y<z
B.x = y =z
A.x> y > z
(湖北省武汉市华中师大第一附属中学自主招生试题)
B
13. 如图，四边形ABCD 的各边相等，且ζABC = 60 0 ，直线J 过D 点，但与四
边形ABCD 不相交(D 点除外) ，l 与BA ，BC 的延长线分别交于E ，F ，点
M 是CE 与AF 的交点，求证:CA 2 = CM. CE.
(亚太地区数学奥林匹克试题)
F
第1 3 题图
.1崎
14. 问题背景
如图①，己知6ABC(/)6ADE ，求证: 6ABD∞6ACE.
尝试应用
·国国司远....
如图②，在6ABC 和6ADE 中，ζ BAC 二ζ DAE=9 0 0 ，ζABC= ζADE=30 0 ，AC 与DE 相
AD
~
.. DF
交于点F. 点D 在BC 边上，一一= J言，求一一的值.
BD
v ~ "'-CF
拓展创新
如图③，点D 是6ABC 内一点，ζBAD= ζ CBD= 30 0 ，ζ BDC =90
0 ,AB =4 ,AC =2 疗，直
接写出AD 的长.
~E _~: oA
图①
图②
第14 题图
图③
(湖北省武汉市中考题)
15 . 如图，6ABC 和6ADB 都是等腰直角三角形，ζBAC= ζ BDA =
D
A
90 0 ,AD = 2 ，AO 是6ABC 斜边上的中线，点E 是射线CB 上的一点，
以AE 为斜边向左侧作等腰直角6AFE ，连接OF .
(1)线段AC 与AD 的数量关系为
(2) 当点E 在线段CO 上(点E 与点。、点C 不重合)时，
①求证:OF //AC.
B
o
E
C
第
1 5 题图
②设CE = x ，6AFE 的面积为y ，求y 关于工的函数关系式及其定义域.
(3) 探究:当点E 在射线CB 上运动时，60EF 是否可以成为等腰三角形? 若可以，求出CE
的长度; 若不可以，请说明理由.
(四川省攀枝花市中考题)
.141
一个专心钻研教材的老师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题
目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道
门户，把学生引入一个完整的理论领域.
一一波利亚
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的
相似比，可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定
的关系.
相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识方法，开阔了研究
角、面积等问题的视野.
麦克斯韦(1 83 1 - 1 8 7 9 )
，英国物理学家. 他提
出的电磁场方程
，既解释了所有已知的电磁现象，
又解释了光，是人类思想一次伟大的飞跃.
" 哪位神明写出了这些符号
，灵魂的渴望平静
下来，让大自然的秘密向我敞开
" 人们这样赞叹麦
克斯韦方程组.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
[筒。
如图，在四边形ABCD 中.AD // BC.BE 平分
ζABC 交CD 于点E. 且BE l_ CD • CE : ED = 2 : 1. 如果
6BEC 的面积为2. 那么四边形ABED 的面积为
(四川省攀枝花市中考题)
思路点拨
平分线与垂线重合，为构造全等三角形创造了条件，解题的
关键是将线段比转化为面积比.
.1崎
撞撞。"…
相似是几何中
的一个概念，但相
:
似性不仅表现在事
物的几何形态上，
而且还体现在事物
的功能、结构、原理
上，更反映在类比
推理的思维上.
英国著名物理
学家麦克斯韦曾
;
说"借助类比，我
试图以便利的形式
:
提出研究电现象所
必需的数学手段和
公式"
-fã].5j m
ff~
L，IPEω L，PHGω
有了成比例线
段，探寻常规问题
证明的新方法就有
了可能，这些方法
的共性是把问题转
化为与" ~l::."相关的
式子，运用比例式
解决问题.
反思归纳，汇
流同化，全面清晰
的方法系统，丰富
了我们的视角，开
阔了我们的视野.
毡握。00...
(4) 5 MBC -
: (;t; +Jt; +~) 2 .
上述性质，叙
述简洁，形式优美，
巧妙运用它们解某
些平面几何竞赛
题，简明而迅速，奇
特而匠心独运.
如图是一个由A.B.C 三种相似的直角三
[~[e
角形纸片(相似比相同)拼成的矩形，相邻纸片之间互不
重叠也无缝隙，其中A ，B ，C 的纸片的面积分别乱，5 2 ,
乱，若5 1 > 5 2 > 队，则这个矩形的面积一定可以表示
为(
B.65 2
A.45 1
D.35 1 +45 3
C.45 2 + 35 3
例
3 还隐含着
下列重要结论:
(1) l:，FDP ω
( PISA 国际学生评价项目试题)
恰当引元导出结论，充分运用图形直观也许能发现更好的解法.
思路点拨
E-c
v
'
A
-
A
凶
，
十
F
-B
D
-AA
C2
B(
A
A
圃'
如图，在，6.ABC 的内部选取一，肘，过P 点
作3 条分别与，6.ABC 的三边平行的直线，这样所得的3 个
三角形t 1 ,t 2 ，t 3 的面积分别为4 ，9 和49 ，求，6.ABC 的面积.
HG
十一-::;- = 1.
BC
DE
HI
(3) 一一十一一
BC ' AB
一
G
-C
F
-A
+
(美国数学邀请赛试题)
思路点拨
图中有相似三角形、平行四边形，通过相似
三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相似比，注意等线段的代换，追
求形式上的统一.
圃'
如图，在，6.ABC 中，已知AB=AC ，LBAC=
90 0 ，BD 是中线，AE 上BD 交BC 于点E ，交BD 于点M.
( 云南省昆明市竞赛题)
BE
. ... . ... BE
即要证明一一= 2 . 1:样生成与一一成比例的线段? 可构造不同的
CE
'-' , ,é.' ' 1, := J-VI< --:r CE
与
C
:' :' :'
工
\
-
J
F
JI
:
)
\
毕
飞
」
E
句
哇
A
冯
飞
M
/
一
图
aB
A
i
c
j : : : !
F
:
1
1
J
品
、
一
"
'
:
1
';l
'
;1
4
'
1 ';
,-
A
A
，
/
A
川
/
一
4B
A罢了
求证:BE =2CE.
分析
相似形.
.1咽
图④
对于图①，过点C 作CF // AB 交AE 延长线于点F ，
图③
图②
证明
aE军画罩署u:-".
撞撞。"…
问题开始一一愈来
: 愈深化的问题，愈
:
来愈能启发大量新
问题的问题.
数学学习是一
: 种持续不断提出问
题和解决问题的实
:
践活动.
则l':，ABD兽AαF ，俨AD=÷AC ，
内接四边形
':CF // AB ,
-P-U
PU-t-
A-1-2
B-F
A-C
E-E
B-c
即BE =2CE.
三角形内接普通的平行四边形或特殊的平行四边形是一类典型问题，
HL\··-
C
L
I
-
-
」
G
A
个
m
寸
」
D
①
/
」
一
图
J
才
|
|
-
F
E/-
4B
运用相似三角形的性质探讨面积关系、线段关系，可得到许多优美的结论，
如图①，已知正方形EFGH 内接于l':，ABC 中，
并生成丰富别致的问题.
[@CO
AD j_BC 于D ，设BC= α
，AD=h
，EH 二x .
(1)求证: 王+手= 1
a
n
ω 求证:5正方…斗5 f'，ABC
拓展:
如图②，在一块锐角三角形的余料上，加工正方形零件，使
正方形的四个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为
α
，b ，c ，且α > b > c ，问:正方形的两个顶点放在哪条边上可使加工出来的正
方形零件面积最大?
A
4盹
思维永远是从
("宗沪杯"上海市竞赛题)
~
弱化条件，进一步提出如下问题:
如图③，设D 是l':，ABC 的边AB 上的一点，作DE // BC
交AC 于点E ，作DF 矿AC 交BC 于点F. 记l':，ADE ，l':，DBF ，
l':，ABC 的面积分别为仇，5 z，5 ，则:
AC
FK
P
LF
\
一
注
:
J J
A
〈
/
一
\
飞
L
G
D
一
/
ι
B
(1 )5=(♂7十♂2 ) 2 •
(2) 5 0 DECF = 2♂1 5 2
•
拓展:
如图④，已知四边形DEFG 为l':，ABC 的内接
(平移L，EFC 至L，DGH 处)
图④
平行四边形，设l':，ADE ，l':,EFC , l':,DGB ,l':,ABC
的面积分别为仇，5 2 ，5 3 ，5 ，则:
.150
·回国主理望矗
(1) S ODEFG 二2J S I (5 z + S 3) .
(2) S = (♂1+♂汗言3 ) 2 •
(3) S ODEFG~SI + S2 十S 3 '
对问题拓展给出如下解答:
设在α ，b ，c 上的正方形边长分别为X a
，X b 'X c C 如图
⑤是正方形的两个顶点落在α 边上的情形) ,a ,b ，c 上的
2S
高记作儿，儿，h c' JJ!U h a <hb < 丸，故za= 一-，-，Xb =
α + h a '~b
25
2S
~
,_
, _, _
,
_
, •
, bh I
一一-_- ，X r =-一~.129 a 十札→Cb 十h b ) 二α -b 十h a -hb = α -b+~-h b 二
α+仇'
c
c+hc
aG
撞撞
。00.. •
、
A
C
J
\
一
⑤
〉
图
\
一
仇
-
a
A
才
i
f
-
-
·
·
·
·
·
·
4
C/f-
JLB
α -b+于hb = Cα -b) (1主) >0 ，故α 十h a 一Cb+hb)>O ，类推有Xa <
a
Xb<Xc,
即当正方形有两个顶点落在较短的边上时，正方形的面积最大.
)Þ-)Þ-)Þ-学为训练嘎嘎嘎
• •
1. 如图，在口ABCD 中，点E 在AD 上，且AE : ED = 3 : 1 ，CE 的延长线与BA 的延长线交于点
F ，则5 LiAFE : 5 四边形ABCE 为一一-一一·
(四川省雅安市中考题)
2 . 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为
1 ，6ABC 和6DEF 的顶点都在网格线的交
点上，设6ABC 的周长为C 1 ，6DEF 的周长为C 2 ，则旦的值等于
·
•
(江苏省南通市中考题)
B
B
C
A
第1 题图
第2 题图
第3 题图
3 . 把两个含30。角的直角三角板按如图所示拼接在一起，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，
AF
则一- -
AC
一一一一一一.
( 四川省乐山市中考题)
"151
aE理muc.理~! . J\~jj
也. 已知，6，ABCω ，6，A'B'C' ，，6，A'B'C' 的面积为6cm ，周长是，6，ABC 的一半，AB =8cm ，则AB 边
上的高为(
A.3cm
B.6cm
C.9cm
D. 12cm
(江苏省南通市中考题)
5. 如图，在口ABCD 中，AC ，BD 相交于点。，E 是OA 的中点，连接BE 并延长
AF
1
交AD 于点F ，已知S f'，.AEF = 4 ，则下列结论:①一==~;②
S f'，. BCE = 36;
FD
2
③5 MBE =12; ④LAEFω ，6，ACD.其中，一定正确的是(
A. ①②③④
B. ①④
C. ②③④
D. ①②③
第5 题图
(黑龙江省中考题)
6. 如图，四边形ABCD
，CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG ，DE ，
DE 和FG 相交于点O.设AB= α
，CG=h( α > b). 下列结论:
DG
GO
①
，6，BCG 二，6，DCE ; ②BG j_ DE; ③
一一一= 一一· ④(a -b) 2 • S f'，. EFO 工b 2 •
GC
CE'
S f',.DGQ.
其中结论正确的个数是(
A.4
B. 3
C. 2
D.l
A
D
日飞F
B
C
E
第6 题图
(广东省广州市中考题)
7. 如图①，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE上BC ，垂足为点E ，GF上CD ，垂足为点F.
(1)证明与推断:
①求证: 四边形CEGF 是正方形.
AG
②推断·一一的值为
'BE
一一一一一
(2) 探究与证明:
将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α 角(0 0<α <4 5 0 ) ，如图②所示，试探究线段AG 与
BE 之间的数量关系，并说明理由.
(3) 拓展与运用:
正方形CEGF 在旋转过程中，当B
，E ，F 兰点在一条直线上时，如图③所示，延长CG 交
.152
AD 于点H.若AG=6 ，GH=2 j2 ，则BC=
A
D
A
D
A
B
G
E
图①
C
F
图②
第7 题图
D
F
C
图③
(湖北省襄阳市中考题)
E司匾直JaIì!
8. 如图，t0，ABC 中，点E ，P 在边AB 上，且AE=BP ，过点E ，P 作BC 的平行线，分别交AC 于点
F ，Q. 记t0，AEF 的面积为51' 四边形EFQP 的面积为5 2 ，四边形PQCB 的面积为5 3 .
(1)求证:EF+PQ=BC.
…
PE
(2) 若51 +53 =鸟，求一一的值.
AE
A
PE
(3) 若5 3 -5 1 = 5 2 ，直接写出一一的值.
AE
第8 题图
(湖北省武汉市中考题)
拓展
. .
• •
9. 如图，在t0，ABC 中，已知AB = 120 ,BC = 220 ,AC = 180 ，直线IA' 归
，l c 分别与BC
，AC
，AB 平
行.若直线IA ,IB ，l c 被t0，ABC 所截的线段长度分别为55 ，屿，15. 则直线
I A
，I B
，l c 所围成的三
角形的周长为
(美国数学竞赛题)
10. 如图，在t0，ABC 中
，DE 矿FG // BC ,GI // EF // AB
，若t0，ADE ,t0,EFG , t0，GIC 的面积分别为
20crn 2
，45crn 2
，80crn 2 ，贝U t0，ABC 的面积为
A
B
A
A
A
川
B
D
C
C
B
第
12 题图
第
11 题图
第
10 题图
第9 题图
11. 如图
，DE 是t0，ABC 的中位线，F 为DE 上一点，且EF=2DF
，BF 的延长线交AC 于点H
，
CF 的延长线交AB 于点G ，则S 四边形AGFH
: 5 6BFC 二(
D. 2 : 5
C. 3 : 10
B. 1 : 5
A. 1 : 10
(四川省成都外国语学校自主招生试题)
12. 如图，在正方形ABCD 中，t0，BPC 是等边三角形，BP
，CP 的延长线分别交AD 于点E
，F ，连
接BD
，DP
，BD 与CF 相交于点H. 给出下列结论:①BE = 2AE; ②t0，DFP ω t0，BPH;
③t0，PFDω t0，PDB; ④Dp 2 =PH . PC.
其中正确的是(
(山东省东营市中考题)
.153
D. ①③④
C. ①②④
B. ②③
A. ①②③④
aE军m~ll'rJ)军
.I\~~
13. 在矩形ABCD 的CD 边上取一点
E ，将LBCE 沿BE 翻折，使点C 恰
好落在AD 边上点F 处.
(1)如图①，若
BC =
2BA
，求
ζ CBE 的度数.
(2) 如图②，当AB=5 ，且AF.
F
A ，....------::::"、-，D
I
/' ~才E
B Ik::ττ…--一一___l C
图①
A
M
D
JE
B IÞ-二-- - -一一一___lC
图②
第
1 3 题图
E
B 怪ζ一-----一一---'C
图③
FD=10 时，求BC 的长.
(3) 如图③，延长EF ，与ζABF 的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF=AN+FD
AB
时，求一一的值.
BC
(四川省成都市中考题)
BM . CN
14. 如图，在LABC 中
，M ，N 分别为边AB
，AC 上的点，而且满足一一十一一=1 ，求
MA 'NA
证:线段MN 过LABC 的重心.
A
〈
凸
( 山西省竞赛题)
第
14 题图
15 . 在直角坐标系中，过原点。及点A(8 ，O)
，C(O ，创作矩形OABC. 连接OB
，点D 为OB 的中点.
点E 是线段AB 上的动点，连接DE ，作DF l_ DE ，交OA 于点F ，连接EF. 已知点E 从A 点
出发，以每秒1 个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为
t s.
(1)如图①，当t=3 时，求DF 的长.
(2) 如图②，当点E 在线段AB 上移动的过程中，
DF
-一的值是否发生变化?如果变化，请说明理
DE
DF
由;如果不变，请求出一一的值.
DE
(3) 连接AD
，当AD 将LDEF 分成的两部分的面
积之比为
1 : 2 时，求相应t 的值.
.154
图①
第
1 5 题图
B
E
图③
一个精巧的数学证明，精神上近乎一首诗.
一一一克莱因
Þ-Þ-Þ- 知识纵横
嘎嘎嘎
直角三角形是一类特殊的三角形，有着丰富的性质: 两锐角互余、斜边的
平方是两直角边的平方和、斜边的中线等于斜边的一半、30。角所对的直角边
等于斜边的一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，
能得到应用极为广泛的结论.
以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三
角形、相似三角形、等腰三角形、特殊四边形等丰富的知识.
F. 克莱因(1 849- 1925 )
，德国数学家，他的
主要贡献在几何方面. 他的几何学群论观点是19
世纪几何学发展史上的一次飞跃，它引导了其后
50 年左右的几何学发展，作为当时的领袖数学
家，他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家
有所启迪.
Þ-Þ-Þ- 例题求解
嘎嘎嘎
圃'
如图，正方形ABCD 中，BE = EF = 町，CG =
2GD ，BG 分别交AE ，AF 于点M ，N. 下列结论:①AF 上BG;
D
G
C
I)J:
A
B
B儿f
3 _ _
1
②BN=ENF; ③面δ- 8; ④S 四边形臼NF=77 S 四边形ANGD . 其中正
确结论的序号是
(湖北省十堪市中考题)
思路点拨
正方形背景下隐含了与直角三角形相关的基本图形，为计算
方便，不妨设AB 二3α .
主!WI毒。"…
直角三角形被
斜边上的高分成的
三个直角三角形相
:
似，由此导出的等
:
积式的特点是:一
:
条线段是两个三角
形的公共边，另两
条线段在同一直线
上.这些等积式广泛
应用于直角三角形
问题的计算与证
明中.
熟悉以下基本
图形
:
6 车〉
~~
:ø
E这
.155
a
~~ 昌盛画蓝墨画草草.
角
有
关
我
L
应
结
不
路
探
史
以
维
图
三
出
圈
'
H
U善
问
破
发
了
~
有
中
相
A
U
如
合
多
应
思
皮
找
扎
思
七
的
素
的
制
完
为
突
的
供
k
t
z
旦
出
:
J
叫
:
山
山
林
叫
吼
叫
M
M
M
)
题
M
M
U
严
叫
刷
刷
A
盯
札
扪
又
梢
的
条
趴
-
1
次
削
价
悦
仰
叫
叫
"
z
d
·
平
与
的
们
羊
用
论
拘
点
索
多
培
的
形
要
发
形
通
或
题
口
散
k
…
AEd
[候'
如图，在四边形ABCD 中，DC//AB ，ζDAB=
90 0 ,AC j_ BC ,AC =BC ，ζABC 的平分线分别交AD ，AC 于
BF
点E ，F ，则一一的值是(
EF
D.12
(四川省泸州市中考题)
[~[Ð 如图，已知ζC 二90 0 ,BC=2AC ，AD 是ζBAC
的平分线，求证:AB+2BD=5AC.
/仍
c. 12 +1
B.
2 十12
寻找相似三角形.
A. 12-1
思路点拨
(山东省竞赛题)
从角平分线性质切人，由不同的辅助线可得本例的多种解法.
如图①，在Rt ，ð，ABC 中，ζ BAC=90
0 ,AD j_ BC 于点D
，O 是
/机~才/初
D
C BJVf
蝠'
AC 边上一点，连接BO 交AD 于点F ，OE j_ OB 交BC 边于点E.
(1)求证:，ð，ABFω ，ð，COE.
图③
图①
思路点拨
AC
. ..OF
(2) 如图②，当0 是AC 边的中点，且一一=2 时，求←一的值.
AB
-
~~ "POE
AC
..~ .... _ .OF
(3) 当0 是AC 边的中点，且一一=n 时，请直接写出一一的值.
AB
.. ~~ , .", .=..._,._--., '-'-'OE
C
B
A
B
A
可能.
(湖北省武汉市中考题)
问题(2) 是本例的主体，问题(1)在问题(2) 中表现为
，ð，ABF 三，ð，COE ，是从一般到特殊的过程，而问题(3) 是对问题(2) 中的条
分析与解
OF
件一般化，是从特殊到一般的问题.由，ð，ABF 旦，ð，COE 得OE=BF ，于是一一
OE
.
156
OF , . .., "OF
=一一.怎样求一一?有不同添加辅助线的方法，下面添法供参考.
BF"'""" -'-BF
:lG
, , , , , , , , , ,
B~D./ :
l
、、_.
I~"本J
AI!
V~C
O
图③
B~D
l
岛干\. ~ -
…
A ~(..:
\""/.-i"::::,.c
M
0
图⑤
对于(2)
，就图③的情形，给出解答:
也飞
M民人
如图③，作α3 上AC ，交AD 的延长线于点G ，则ζG=ζC.
...0 为AC 的中点
，AC=2AB
，
:. ζ FOG= ζ BOA= ζEOC=4S 0 ，
二
OF
OG
:. LFα3ω LEOC
，得一一=一
OE
OC'
又AO=BA
，ζG=ζC
，ζAα3=ζ BAC
，
:.LAGO~♀LBCA
，得OG=AC=20C.
诀。F 一α32
一一一-
OE
OC
射影定理
如圈，已知ζACB = 900 ,CD j_AB ，运用勾股定理及面积
法可得到许多关系式，进一步由相似形可得:
(1) CD 2=AD. BD.
(2) AC 2 =AD • AB.
(3) BC 2 =BD • AB.
才\
此即为射影定理，射影定理在相关计算、证明比例线段等方面应用广泛.
[候'
AC 2
已知LABC 中
，BC>AC ，CH 是AB 边上的高，且满足豆C 2 -
AH
一一，试探讨ζA 与ζB 的关系，并加以证明.
BH
(湖北省武汉市选拔赛试题)
-E瑾国回国~
撞撞。"…
英国伦敦科学
: 博物馆陈列着数学
:
智慧的玻璃制品，
: 这就是克莱因瓶.
1882 年，德国数学
:
家克莱因设计发明
了这个著名的瓶子.
:
克莱因瓶是一个只
: 有一个面的封闭曲
:
面，是一个没有瓶
: 底的瓶子.一只爬在
. "瓶外"的蚂蚁，可
:
以通过"瓶颈"爬到
"瓶内"去，其实克
:
某因瓶并无内外
:
之分.
构造逆命题是
: 提出问题的一个常
:
用方法，例
5 是在
:
直角三角形被斜边
: 上的高分成的相似
: 三角形得出结论基
: 础上提出的一个逆
: 命题，读者你能提
;
出新的问题并加以
:
证明吗?
.151
a
v&: ~ ift i1t ~Ji噩噩11\))，\-
iã'章。00 '
分析
由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想
出ζA 与ζB 的关系，解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推
导判定两个三角形相似的条件.
(1)若垂足H 在线段AB 上，如图①，由AH 2 十CH 2 = AC 2
，
解
BH 2 十CH 2 =BC2,
得BH 2 -AH 2 =BC 2 -AC 2
，
即(BH 十AH)(BH -AH) =BC2 -AC2,
,
c-H
A-A
?
-H
B-B
B
A
①
AC2 AH ._BC2-AC2 BH-AH
又由一一τ= 一一，得
9
=
jj七2
BH ' ".
BC2
BH
B C2-AC2 BC2
即
=一一
BH-AH
BH'
②
BC2 __AB
BC
由①，②得AB= 一一，即一一二
BH ，~.， BC
BH'
又ζB 是6ABC 和6CBH 的公共角，
所以6ABCω 6CHB
，
ζACB= ζ CHB=90 0 ，ζA+ ζ B =90 0 •
C
L乙~
A'
H A
B
图②
A
图①
(2) 若垂足H 在BA 的延长线上，如图②，作边CA 关于CH 的对称线
段CA' ，由(1)的结论知ζA' 十ζ B =90 0 ，而ζA' = 180。一ζA
，代人上式得
ζAζ B=90 0
•
综合上述(1)，(2) ，我们有ζA+ ζ B=90 。或ζA 一ζ B =90 0 •
嘎嘎嘎
学为训练
~~~
只
P,
穷实
. .
••
1. 如图，点Pj 'P 2 ，P 3
，孔均在坐标轴上，且PjP 2 上P 2 孔
，P 2 P 3 上P 3 孔，若点
P4 X
Pj 'P 2 的坐标分别为(0 ，一1)，(-2 ，0) ，则点P 4 的坐标为
第
1 题图
(四川省中考题)
.158
-m~1~IJJ矗
2. 如图，在Rt .6ABC 中，ζ C=90 0 ，AD 平分ζ CAB
，BE 平分ζABC ，AD ，BE 相交于点F ，且
AF=4 ,EF= j2 ，则AC=
(广东省深圳市中考题)
3. 如图，在Rt.6ABC 中，ζACB 二90 0 ,AC = 6 ,BC = 12 ，点D 在边BC 上，点E 在线段AD 上，
EF .lAC 于点F ，EG 上EF ，交AB 于点G ，若EF=EG ，则CD 的长为(
).
A. 3.6
B. 4
C.4.8
D.5
(安徽省中考题)
A
B
C
D
B
C F
A
第2 题图
第3 题图
第4 题图
也. 如图，ζ BAC= ζ DAF = 90 0 ,AB =AC ,AD =AF
，点D
，E 为BC 边上的两点，且ζ DAE=
45 0 ，连接EF ，BF ，则下列结论: ①.6AED 三.6AEF; ②.6ABE ∞.6ACD; ③BE 十DC > DE;
( BE Z + DC z =DE z •其中正确的有(
)个.
A.1
B. 2
C. 3
D.4
(四川省眉山市中考题)
BP 交AC 于点E ，EF 上BC 于点F. 求证:EF Z =AE 0 EC.
题
考
由
l
市
冈
川
黄
省
却
明
C
5. 如图，在Rt.6ABC 中，已知ζ BAC = 90
0 ,AD .l BC 于点D
，P 为AD 中点，
第5 题图
6. 如图，在Rt.6ABC 中，ζACB =90 0 ,AC=BC ，P 为.6ABC 内部一点，且
ζAPB= ζBPC=135 0 •
(1)求证:.6 PAB ω .6 PBC.
(2) 求证:PA=2PC.
(3) 若点P 到三角形的边AB
，BC ，CA 的距离分别为丸，仇，仇，求证
C
B
A
第6 题图
hi=h z
o h 3 •
(安徽省中考题)
.159
aE噩噩噩l1J'1四Ilt]ê.\-
拓展. .
BC
7. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，AE : ED=3 : 5 ，AC 上BE 于点F ，若CD=9 ，则豆互=
••
( 世界数学团体锦标赛试题)
AE
1 BF
1
8. 如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且一-_一一一=一，AF 分别与DE ，DB
EB
2' FC
2
相交于点G ，日，AG=6 ，则GH=
( 世界数学团体锦标赛试题〉
…
EU
EVl
V|
C
N
B
第10 题图
第9 题图
第8 题图
第7 题图
9. 如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点(不与A ，B 重合) ，对角线AC ，BD 相交于点
0 ，过点P 分别作AC ，BD 的垂线，分别交AC ，BD 于点E ，F ，交AD ，BC 于点M ，N. 下列结论
①!iAPE 三!iAME; ②PM+PN=AC; ③PE 2 + PF 2 = P0 2 ; ④!iPOF ω !iBNF; ⑤当
!iPMNω!iAMP 时，点P 是AB 的中点.其中正确的结论有(
D.2 个
C. 3 个
B. 4 个
A.5 个
( 云南省昆明市中考题〉
10 . 如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE l_ AC 于点F ，连接DF. 下列四个结论:
CD
①!iAEF∞!iCAB; ②一一=[2;③DF=DC; ④CF 二2AF.正确的是(
AD
D. ①②④
C. ①③④
B. ②③④
A. ①②③
( 四川省广元市中考题)
h
1 1. 如图，在等腰Rt!iABC 中，已知ζACB=90 0 ，BD 是中线，CMl_BD 于点。，求
AM
一一的值.
BM
第11 题图
( 俄罗斯数学竞赛题)
.160
.蕴匾噩:n..
AC 2
BC
12. 如图，Rt6ABC 中，ζC=90 0 ，ζA 的平分线AD 交BC 边于点D ，求证·一一τ = 一一
.AD 2
2BD.
( 云南省昆明市竞赛题)
第12 题图
• •
创新. •
13. 如图，边长为1 的正方形ABCD 中，点K 在AD 上，连接BK ，过点A ，C 作BK 的垂线，垂足
分别为点M ，N ，点。是正方形ABCD 的中心，连接OM ，ON.
(1)求证:AM=BN.
(2) 请判定f::.OMN 的形状，并说明理由.
(3) 若点K 在线段AD 上运动(不包括端点儿设AK=x ，f::.OMN 的面
积为y ，求y 关于工的函数关系式(写出工的范围) ;若点K 在射线
AD 上运动，且f::.OMN 的面积为i ，请直接写出AK 长.
10
C
B
第13 题图
( 四川省南充市中考题)
.161
数学是一种别具匠心的艺术.
一一哈尔莫斯
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学.
数学一开始就是研究"数"与"形"的，从古希腊时期起，人们就已试图把
它们统一起来.
以数助形、以形辅数是数形互助的两个方面.
以数助形，即把几何问题代数化，把几何条件或结论表示成相应几何元
素的数量关系，用方程、不等式、函数等代数方法解决问题.
以形辅数，即把代数问题几何化，恰当地构造几何图形，运用图形特征、
几何方法解决问题.
j叫rM
数字领III帘的发明心理学
i …
先
:zatAah1
i…
~~~
在法国数学家阿达玛看来，"在
创造阶段
，科学家的思维载体往往是
各种各样的，因人因事而异的符号
、
图表或其他形象，亦即此时的思维方
式往往是形象的和直觉的，而不是逻
辑的"
直觉是发现和发明的源泉.
例题求解
嘎嘎嘎
[旺。
如图①，点P 从DABC 的顶点B 出发，沿B →C→A 匀速运动
到点A. 图②是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间z 变化的关系图象，其
中M 为曲线部分的最低点，则DABC 的面积是
..162
撞撞
。00.. •
希尔伯特在其
:
名著《直观几何》中
:
写道"图形可以帮
:
助我们发现、描述
: 研究的问题;可以
:
帮助我们寻找解决
问题的思路;可以
:
帮助我们理解和记
:
忆得到的结果"
"不著一字，尽
:
得风流"
几何直观主要
:
指利用图形描述和
:
分析问题.
培养几何直观
能力可以从以下方
面入手:
(1)面对几何
:
对象，注重直觉思考.
(2) 提高运用
:
图形描述和分析问
:
题的意识.
(3)
感受几何
:
解释.
EZ画面匾.自
.163
植握
。00.. •
图形中的质点
:
运动可以确定两个
变量间的函数关系，
: 探寻这类函数图象
:
的基本方法是:
(1)通过解析
:
式确定.
:
性质确定.
(3)
关注变化
:
趋势确定.
(4) 利用特殊
:
点确定.
y
A
x
图②
。
图①
( 河南省中考题)
由数到形，从图象中获取DABC 相关信息是解题的基础.
思路点拨
如图，在正方形ABCD 中
，AB = 3cm ，动点M 自A 点出发沿
[面~Ð
AB 方向以每秒lcm 的速度运动，同时动点N 自D 点出发沿折线DC-CB
以每秒2cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止，设DAMN 的面积为y
(cm2 ) ，运动时间为x (s) ，则下列图象中能大致反映y 与工之间的函数关系
(2) 运用图形
÷~
o|÷3 x
D
h
o|÷3x
c
子m
B
号h
A
N
囚
M
的是(
(青海省西宁市中考题)
思路点拨
数形互助，把点的运动状态、y 的变化趋势与函数解析式相
结合，并注意特殊点的意义诠释.
己知正数a
，b ，c ，m ，n ，p 满足α 十m = b +n =c+ p 二走，求证:
圃'
αη +bp+cm <走2
(全苏奥林匹克试题)
若用常见的不等式证明方法证明，则困难较大，由α + m = b +
η 二C 十户=是及U 能想到怎样的图形?把抽象的分析转化为可视化的图形.
思路点拨
:ji~。
从点A 出发，以2cm/ s 的速度沿边AB 向终点B 运动.过点P 作PQ _lAB 交
折线ACB 于点Q ，D 为PQ 中点，以DQ 为边向右侧作正方形DEFQ .设正方
形DEFQ 与DABC 重叠部分图形的面积是y(cm勺，点P 的运动时间为工(s) .
如图，在RtDABC 中，ζACB = 90 0 ，ζA = 45 0 ,AB = 4cm. 点P
a
草矗矗盛画画画E植昌..
撞撞
。00.. •
图形在运动过
:
程中，分清图形运
:
动中的特殊位直与
的目的，把动态问
:
题定格在系列静态
:
的片断中，而厘清
:
分类的
'1各界点、临
:
界时刻是解决问题
C
C
F
E
B
备用图
A
B
A-P
(1)当点Q 在边AC 上时，正方形DEFQ 的边长为一一一一
cm( 用含z
动极而静，
静极而动.
的代数式表示) .
(2) 当点P 不与点B 重合时，求点F 落在边BC 上时工的值.
(3) 当O<x < 2 时，求y 关于z 的函数解析式.
(4) 直接写出边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时工的取值范围.
一般位直，分别画
形，运用"分类画
图"达到化动为静
出各个时刻的图
(吉林省中考题)
对于(3) ，在点P 从点A 向点B 运动过程中，正方形边长QD
也在变化，相应的重叠部分图形形状也在改变，故分类讨论是解题的关键，为
此需找到一些特殊点、临界点.
分析与解
(1) x
(2) 如图①，延长FE 交AB 于点G.
由题意，得AP=2ι
... D 为PQ 中点
，:.DQ= ι
的关键.
λ GP 二x ,BG=2x.
4
一5
一
一
Z
A
吐
一
z
qL
十
Z
+
工
。
中
B
B
C
F
E
B
C
A
图②
4
(3) 如图②，当O< x :S;;;一时，y=S 正方形DEFQ = DQ2 =x 2.
5
•
_
2
..y-x
如图③，当;<反1 时，
过点C 作CH 上AB 于点H ，交FQ 于点K ，则CH=2.
.: PQ=AP=2工，
:.CK=2 -2 二1:: .
:.MQ=2CK=4-4x.
:.FM= x 一(4-4x) =5x-4.
y=S…
EFQ -S 6MNF 二DQ 2 一÷FM2
.164
23
.·.y=t-EGZ
•
4) 2 =一言x 2 十20x-8 .
如图④，当
1 <x< 2 时，PQ=BP=4-2ι
:.DQ 二2 一工.
-y=SADrjDQ2
A
y=ju-2)2
y=;工2_ ZX 十2
ω1<z<?
解析法
解析法即通过建立平面直角坐标系，恰当引入参数，并用参数表示点
锦坐标、距离，来解相关问题的方法.
解析法的实质是代数问题图形化、几何问题代数化、图形性质坐标化;
以算代证，充分体现了数形结合的思想.
[笆'
如图，在矩形ABCD 中
，E ，F 是DC 边上
的点，满足DE=EF=FC ，又G ，H 是BC 边上的点，满
足BG=GH=HC ，AE 与DG 相交于点K
，AF 与DH
相交于点N. 求证:KN // CD.
A
B
』刮;
D
E
F
C
(全国初中数学联赛题)
分析
要证明KN // CD ，从角或成比例线段切人;亦可用解析法把复杂
的几何问题转化为一次函数相关的问题.
自由深人思考，两种解法的难易、特点在比较中有深切感受.
证法一
BG
1
CG
2'
BM
如图①，延长DG ，DH 交AB 的延长线于点M ，Q ，则一一=
CD
3
AK AM
9
设AB= 切，则BM=~a
，一一=一一=
2- ' EK
DE
2
①
.~BQ BH
同理，由h. BQH ∞h. CDH 得一一=一一二2 ，BQ= 归，
CD
HC
·国:WJiI噩噩隘
撞撞。"…
当图形有与直
角、矩形、正方形等
'
相关联的易于建立
直角坐标系的条件
时，且求解结论便
于通过坐标、距离
等计算求出时，不
妨试试解析法.
辅助线是解几
:
何题的生命线，正
:
确添加辅助线是解
几何题的关键，而
添加辅助线并无团
;
定模式，但解析法
常不需添加辅助
:
线，这正是解析法
的优势所在.
.165
dE理毒草撞撞画昌-
iê~章
。00 •••
y
曰~~~~~~~:::.-.-.-.-.~::::
AN AQ
3α 十6α9
又!::.AQN∞!::.FDN
，得一一=一一=一一一一二一，
FN
FD
2α2 ②
AK AN
由①，②得一一=一一，故KN // EF ，即KN // CD.
EK
FN
如图②，设AD= 切
，CD=3b
，则D(O ，O)
，E(b
，O)
，F( 岛，0) ,
证法二
H(3b
，α) ,G(3b ，2α )
，A(0 ，3α) ，可得直线AE ，AF ，DH
，DG 的解析式分别
3a
3a
α
2a
为y=-7z+3α
; y = -
2~ x + 3a ; y = 3b x ; y = 36 x ，进一步可得K
，N 两点
9b
6α
18b 6α
的坐标分别为(Et) ，(古'五) ，故KN //x 轴，即KN // CD
学为训练
嘎嘎嘎
)'-)'-)'-
1. 如图，在四边形ABCD 中
，AB // DC ，ζB 二90 0 ，蚂蚁P 从点B 出发，沿四边形ABCD 的边由
B →C→D→A 运动.设蚂蚁P 运动的路程为x
，!::.ABP 的面积为y
，把y 看作z 的函数，函数的
图象如图所示，则!::.ABC 的面积为
• •
(第二届中法中学生数学交流活动试题)
A
~P
C
B
x
。
第3 题图
2. 如图，在等腰Rt!::.ABC (ζC = 90 0 ) 内取一点p
，且AP=AC 二α
，BP = CP = b (a > b) ，则
a 2+b 2
a 2 -万的值是一一一一一·
第2 题图
第
1 题图
(安徽省合肥市168 中学自主招生试题)
3. 分别以正方形ABCD 各边为边，向形外作正三角形
，E ，F ，G ，H 分别为正三角形的中心，则正
方形EFGH 与正方形ABCD 的面积的比为(
E. J3
(美国数学竞赛题)
D. J2
川
丁
C
B 红主
3
A.1
.166
4 . 如图①，在边长为4 的正方形ABCD 中，点P 以每秒2cm 的
速度从点A 出发，沿AB →BC 的路径运动，到点C 停止.过点
P 作PQ // BD ，PQ 与边AD( 或边CD) 交于点Q ，PQ 的长度
y(cm) 与点P 的运动时间x (s) 的函数图象如图②所示.当点
P 运动2.5s 时，PQ 的长是(
).
A. 2J2 cm
C.4J2cm
B.3J2cm
D.5J2cm
5. 如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度
往水槽中注水，28s 时注满水槽.水槽内水面的高度y (cm) 与注
水时间工(5 ) 之间的函数图象如图②所示.
(1)正方体的棱长为
cm.
(2) 求线段AB 对应的函数解析式，并写出自变量工的取值范围.
(3) 如果将正方体铁块取出，又经过t(s) 恰好将此水槽注满，直
接写出
t 的值.
Q七J
图①
图①
·固lm.I噩噩矗
412 …
ly(cm)
VI
L
x(s)
第4 题图
( 甘肃省中考题)
y/cm
20~----------- ---.J.
第5 题图
豆
/s
图②
(吉林省中考题)
6. 正方形ABCD 的边长为6cm ，点E ，M 分别是线段BD ，AD 上的动点，连接AE 并延长，交边
BC 于点F ，过点M 作MN l_AF ，垂足为点H ，交边AB 于点N.
• •
(1)如图①，若点M 与点D 重合，求证:AF 二MN.
(2) 如图②，若点M 从点D 出发，以lcm/ s 的速度沿DA
向点A 运动，同时点E 从点B 出发，以J2 cm/ s 的速
度沿BD 向点D 运动，运动时间为
t s.
①设BF = ycm ，求y 关于t 的函数表达式.
②当BN = 2AN 时，连接FN ，求FN 的长.
M
D
B
F
C
图②
第6 题图
(山东省开泽市中考题)
7 . 已知α ，b 均为正数，且dτ丰Y;Z ，J4歹平l7 ，V;_τ丰石τ 是一个三角形的三条边的长，则这个三角
形的面积是
("希望杯"邀请赛试题)
.161
4~司~;JIi.ltJJO~罩1m隆重多-
8 . 当x
，y
，z 为任意实数时，代数式R有+ ，j (y-X)2 十4+J(z-y) 2+1 +J (1 0-Z) 2 刊的最
小值为
(美国数学邀请事试题)
9. 如图，7 X 5 方格的每格都是
1 X 1 的正方形，则菱形]KLI 的面积
为
(世界数学团体锦标赛试题)
10. 三角形三边上各有一点，两两连接把三角形分成面积相等的部分.求证:
这三点分别为其所在边的中点.
(匈牙利数学竞赛题)
E
第9 题图
1 1. 如图，在四边形ABCD 中，ζA= ζC=90 0 ,DE ，BF 分别平分ζADC
，ζABC ，并交线段AB
，
CD 于点E ，F( 点E ，B 不重合).在线段BF 上取点M ，N( 点M 在BN 之间) ，使BM=2FN.
当点P 从点D 匀速运动到点E 时，点Q 恰好从点M 匀速运动到点N ，记QN= 工
，PD=y
，已
24
知y= - 5
x+12 ，当Q 为BF 中点时，y= τ-
(1)判断DE 与BF 的位置关系，并说明理由.
(2) 求DE ，BF 的长.
C
(3) 若AD=6.
A
E
B
①当DP=DF 时，通过计算比较BE 与BQ 的大小关系.
第11 题图
②连接PQ ，当PQ 所在直线经过四边形ABCD 的一个顶点时，求
所有满足条件的z 的值.
(浙江省温州市中考题)
••
创新
. .
12 . 如图，已知在矩形ABCD 中
，AB =84 ,AD =42 ，点M 是边AD 的中点，点N
是边AB 的三等分点(靠近顶点A) ，线段CM ，DN 相交于点。，点P 在四边形
BCON 边界上，线段BP 平分四边形BCON 的面积，求t6. CDP 的面积.
(美国数学邀请赛试题)
.168
M附~
第12 题图
综合与拓展
数学中每一步真正的进展都与有力的工具和更简单的方法的发现密
切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论，并把陈旧的复
杂抛到一边.数学科学发展的这种特点是根深蒂固的.
一一希尔伯特
~~~知识纵横嘎嘎嘎
一个自然数能写成一个整数的平方，则称这个自然数为完全平方数.完全
平方数有下列基本性质:
1.完全平方数的因数特征
(1 )η 2 的质因数分解式中，每个质因数的指数都是偶数.
(2) 若η 2 =a 2 b 为完全平方数，则b 为完全平方数.
(3) 若η 2 =ab(a ，b 是互质的整数)为完全平方数，则a
，b 都为完全平
方数.
2. 完全平方数的数字特征
(1) n 2 的个位数字为0 ，1，4 ，5 ，6 ，9.
(2) 若川的十位数字为奇数，则对的个位数字为
6.
(3) 若旷的个位数字为5 ，则η 2 的十位数字为2.
撞撞。"…
形如α 2 土2ab+
b 2 的式子叫完全平
方式.
下列式子是完
全平方式的变形
拓展:
(1 )α 士2 Jc;b+
: b=(.ja r...fb ) 2.
(2)α 2 +b2 +
c 2 十2ab + 2bc +
2ac=(a + b 十C) 2 .
(3)a 2 + b 2 十
c2 -ab -bc -ac 二
; ÷ [ (a 一川(b 一
一一一一一一一一一一一一一
C ) 2 十(c →a) 2 ].
上述特征表明:完全平方数的末两位只能是偶0 、偶
1 、偶4 、偶9 、25 、奇6
之一.
.110
西班牙著名画家毕加索在画《公
牛》时，数易其稿
，从具体到抽象，从
复杂到简单
，笔简意肢
，形似神更似.
完全平方数还
:
有以下常用性质:
(1)偶完全平
方数是4 的倍数.
(2) 奇完全平
方数被8 除余1.
(3) 相邻的两
个完全平方数间不
:
再有完全平方数.
~~~ 例题求解嘎嘎嘎
圃'
设N=23x 十92y 为完全平方数，且N 不超过2393 ，则满足上
述条件的一切正整数对(工，y) 共有
对.
思路点拨
23x+92y=23(x+4y) ，而23 为质数，故存在正整数走，使
z 十4y=23走2 ，只需求出走2 的值.
睛'
下列(
自然数).
)表示的数一定不是某自然数的平方(其中n 为非零
A.3η2 一切十3
B. 4n 2 +4n +4
C.5n 2 -5n-5
D.7η2 一7η 十7
E. 11n 2 十11η - 11
( 美国数学邀请赛试题)
思路点拨
在因式分解的基础上，恰当赋值.
函'
已知α 是正整数，且α 2 十2004α 是一个正整数的平方，求α 的
最大值.
(北京市竞赛题)
思路点拨
设a 2 +2004α =m 2 (m 为正整数) ，解题的关键是把等式左边
配成完全平方式.
[f!t[O 证明数列49 ，4489 ，444889 ，44448889 ，…的每一项都是一个完
全平方数.
思路点拨
49 二7 2
，4489 = 672, 444889 = 66 7 2 ，44448889 二6667 2 ，由此可
猜想:
444…488…89 = (66 … 6 十1) 2 ，只需完成从左边到右边的推导过程.
~一飞「一~、-y-一
~
n+l
n
n+ l
-;J'.g.~:t.QJi坠
撞撞。。。…
解完全平方数
问题，常常委恰当
引元并关联着完全
平方式、自己方法，将
问题转化为解不定
方程.
几个有趣的
结论:
(1) 44…488…89
----- -----
(" + 1)个
n 个
= (6 … 67) 勺
n 个
(2) 11...155…56
、--‘白-、--
(" + 1)个
n个
= (33… 34)2.
"个
这表明
: 只出
:
现1 个奇数或只出
:
现1 个偶数的完全
;
平方数分别有无限
多个.
明文学家袁宏
:
道曾说"世人所难
:
得者唯趣.趣如山上
:
之色，水中之味，花
中之光，女中之态，
虽善说者不能一
:
语，唯会心者知之"
"111
aE辈革矗匾噩噩噩噩噩孟·
[~[Ð
b 的值.
设a 为质数，b 为正整数，且9(2a 十b) 2 =509(4α +511b). 求α
，
(全国初中数学联赛题)
分析与解
因
9(2α +b) 2 =3 2 (2α +b) 2 为完全平方数，故
509 (4α+
511b) 为完全平方数，而509 为质数，可设4a 十511b = 509 X 3 2 走2
由9(2α +b) 2 =509 2 X 3 2 走2 ，得2a+b 二509走
，b=509走
2α ，代人原式，
走(511- 9走)
得4α 十51 1( 509是
2α) =509 X 3 2 走2 ，α-
~
，因α 为质数，故有
2
以下情况:
511-9
(1)当走二1 时，α= 一一一一=25 1，为质数，b=509走一2α=7.
2
(2) 当走=2 时，α=511-18=493= 17 X 29 ，不为质数，舍去.
511-9是
511 一饨
(3) 当走> 2 且走为奇数时，α= 走·一一一一为质数且走> 2 ，则一-z一=
2
1 ，此方程无整数解，舍去.
走
(4) 当k > 2 且走为偶数时，α= 一(511-9走)为质数且一> 1，则511-9是=
2
1 ，此方程无整数解，舍去.
综上所述，a=251
，b=7.
配方法
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非
负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段;
配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
[征。
已知自然数n 使得n 2 -19n 十91 为完全平方数，求n 的值.
("希望杯"邀请赛试题)
解法一
.: n 2 -19n+91=(n-9) 2 十(1 0-n) = (η-10) 2 +(η9) ,
当n>10 时，(n-10) 2 <n 2 -19n 十91 < (η-9) 2
，
·.当n>10 时，(η 2 -19n+9 1) 不可能是完全平方数.
于是η~10 ，对一19η+91 可以是完全平方数.
经验算知n=9 或10 时，对-19n+91 为完全平方数.
.112
撞撞
。00.. •
数学思想方
法，按照适用的范
围，可以分为:与哲
学范畴相适应的重
大数学思想方法、各
门学科共同使用的
:
思想方法、数学特有
的思想方法、中学数
'
学解题方法等.
解法二
若n 2 - 19n + 91 为完全平方数，则4(η 2 -19n 十9 1)也是完全
平方数.
••
设4(η 2 -19n +91) =m2 (m 为自然数) ，配方得(2n -19) 2 十3=m 2
，
•• (m+2n 一19)(m-2n 十19)=3.
rm 十2n-19=3 ，
rm+2η →19= 1，
于是斗
或4
lm 一切+19=1
l m 一切十19=3 ，
fm=2 ,
fm=2 ,
解得斗
或4
In=10
I η=9.
故当n=9 或10 时，对一19n+91 是完全平方数.
~~~学为训练嘎嘎嘎
穷实. •
1. 若x-45 和x+44 都为完全平方数，则正整数z 的值为
E匾望~
撞撞。" …
原式中n 的系
:
数为奇数，不能直接
:
配方，解法二运用等
:
式的性质，将原式来
:
以4 化解矛盾.
(夭津市竞赛题)
2. 九个连续正整数从小到大排成一个数列a1
，a 2
' …，α 9 . 若a1 +a 3 +a S +a 7 + α 9 为平方数，α 2 +
α 4 +α 6 + a g 为立方数，则α1+α2+ …+向的最小值为
(山东省竞赛题)
3. 把1 ，2 ，…，30 这30 个数分成h 个组(每个数只能在一个组中出现) ，使得每一个组中任意两个
不同的数的和都不是完全平方数A忖的最小值为
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
也. 能使2 n +256 是完全平方数的正整数n 的值为一一一一一·
(全国初中数学联赛题)
5. 有(
)个整数对(x
，y) 满足方程X 2020 + y 2 = 2 y .
A.1
B.2
C.3
D.4
E. 无数
(美国数学竞赛题)
.113
a噩噩噩噩噩噩噩疆
• •
拓展. .
6. 若四位数abcd 是一个完全平方数，五位数1abcd 也是一个完全平方数，则abcd= (
).
A. 1234
B. 5265
C. 5625
D. 2341
("希望杯"邀请赛试题)
n -1909
7. 设n 是大于1909 的正整数，则使得一一一一为完全平方数的η 有(
)个.
2009-n
A.3
B.4
C.5
D.6
8. 使η 5 -5n 3 +4η+7 成为完全平方数的自然数n 的取值(
).
A. 有且只有一个
C. 有元穷多个
B. 有有限多个，但多于一个
D. 不存在
9. 设A
，η 都是自然数，且A= η 2 十15n 十26 是一个完全平方数，求n 的值.
(全国初中数学联赛题)
(福建省福州市竞赛题)
("希望杯"邀请赛试题)
10. 求所有四位数m
，满足m < 2006 ，且存在正整数n 使得m-n 为质数，mn 是一个完全平方数.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
• •
创新. .
1 1. 求证:任意五个连续整数的平方和不是完全平方数.
(克罗地亚数学竞赛题)
.114
音乐能激发或抚慰情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲
学可以使人获得智慧，科技可以改善生活，但数学却能提供以上的一切.
一一一克莱因
~~~知识纵横嘎嘎嘎
平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一
个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角.
计算图形的面积是几何问题中的一种常见问题，求面积的基本方法有:
(1)直接法:根据面积公式和性质直接进行运算.
(2) 割补法:通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规
则图形或易于求解的问题.
(3) 等积法:根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同
高等底和全等的等积转化.
(4) 等比法:将面积比转化为对应线段的比.
艺术诠释了数学的内涵，使数学变得通俗易
懂; 数学开拓了艺术内涵，使艺术变得意味深长.
计算机是一种工具，它把枯燥的数学公式翻译
成能看得见的模式. 左图是编程者和算法艺术家为
研究波浪运动编写程序产生的线型图象.
~~~例题求解嘎嘎嘎
蝠'
如图，已知正方形ABCD ，点P 在CD 上，AP =
4,BB' ,CC' ，DD' 的长度分别是点B
，C ，D 到AP 的距离.若
BB'+CC'+DD' = 6 ，则正方形ABCD 的面积为
B
C
1 \
占C
1
\
D'/IP
I /B' \1
A
D
(世界数学团体锦标赛试题)
思路点拨
把正方形ABCD 的面积表示为同底的三角形面积和.
世障。"…
熟悉以下基本
:
图形中常见的面积
:
关系:
A
A
E
Z
仇
A
A
A
V
Q
一
些
应
当问题涉及三
:
角形的高、垂线或
:
角平分线时，不妨
用面积法试一试.
用面积法可以
: 证明下列命题:
(1)等腰三角
: 形底边上任一点到
:
两腰距离的和等于
: 腰上的高.
(2 ) 等边三角
:
形内任一点到三边
:
的距离和等于它
:
的高.
.115
a
1& ~ t& i:Jt fJj 回1m:四
[候'
如图，在L::，ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上
的中线，并且BD _l CE , BD = 4, CE = 6 ，那么L::，ABC 的面积等:~
于(
A.12
B.14
C. 16
D. 18
(全国初中数学联赛题)
思路点拨
由中点想到三角形中位线，这样L::，ABC 与四边形BEDC 面积
存在一定的关系，只要求出四边形BEDC 的面积即可.
嚷~.
如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们
把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.如，平行四边形的一条对角
线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线.
图②
(1)三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积
等分线的有
(2) 如图①，梯形ABCD 中
，AB//DC ，如果延长DC 到E ，使CE=AB
，
连接AE ，那么有S 梯形ABCD = S 6 ADE ，请你给出这个结论成立的理由，并过点A
作出梯形ABCD 的面积等分线(不写作法，保留作图痕迹) .
(3) 如图②，四边形ABCD 中
，AB 与CD 不平行，S 6 ADC > S 6 ABC ，过点
A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线?若能，请画出面积等分线，并给出
证明;若不能，说明理由.
思路点拨
三角形.
..116
(江苏省连云港市中考题)
对于(3) ，解题的关键是把四边形ABCD 变形为与之等积的
世稽。"…
凸多边形可转
化为等积的三角形.
读者需要思考的
是:例
3 各图中的
面积等分线是否
唯一?
RENZl伍WUDJ MIANIIPA
....肇.... •
面积法与勾股
:
定理、等积变形、面
和、割补……以面积
法为主线，可串联
许多有趣的内容.
利用面积关系
来说明数学中的某
些恒等式、不等式
或证明某些定理，
这是一个古老而又
年轻的方法.
:征。
问题背景
(1)如图①，，6.ABC 中，DE // BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E
作EF //AB 交BC 于点F.请按图示数据填空:
四边形DBFE 的面积S 二
，6.ADE 的面积5 2 =
探究发现
, ，6.EFC 的面积5 ，=
-~*~nili
脑
撞撞
。00. . •
例
4 包含了填
:
空、意义解释和模
:
型重构的复式结
:
构，对应着数学直
( 2 ) 在(1 ) 中，若BF = α
，FC=b ，DE 与BC 间的距离为h ，请证明5 2 =
:
觉、数学分析和综
45,5 2 •
拓展迁移
:
合应用三个不同层
次的思维水平. 问题
(3) 是对模型的重
(3) 如图②，口DEFG 的四个顶点在，6.ABC 的三边上，若，6.ADG ，
: 新构建和拓展创
,6.DBE ，，6.GFC 的面积分别为2 ，5 ，3 ，试利用(2) 中的结论求，6.ABC 的面积新，转化为问题(2)
(湖北省成宁市中考题)
就可顺利解决，进
A
A
_ / 8 ,\ 1i'
/
\
D~二与户，一r-
D-f-一一九G
/
8/8. \ 13
/ I
I \
B I-
Fγ
ì.L
L
I
I
\
~ c
B
E
F
C
图①
图②
思路点拨
对于( 2) ，运用相似三角形性质探寻5 2 与5 ，或5 2 ，5 ，与
5 6ABC 的关系，或从等式两边人手;对于(3)
，恰当作辅助线，把图②转化为图
①是解题的关键.
面积法
有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边、
角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法.
用面积法解题的基本步骤是:
(1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积，得到一个含边或含
角的关系式;
( 2 ) 化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果.
:
一步还可得到如下
:
结论:
(1) 5 6ABC =
(♂1+ ♂;- ) 2 j
(2) 5咛56
简单的图形蕴
:
含丰富的问题. 在数
:
学家眼中，一个基
:
本圆形犹如手中的
:
万花筒，稍一转动，
就生成美丽的图
:
案，但拆开，只是几
:
个涂有颜色的碎片.
..1ß
aE罩噩噩噩血
撞撞
。00 .. •
如图，设点P 为，6.ABC 内任意一点，直线
[制9
BD
CE
(2) 一一·一一
CD AE
在例
5 的基础
:
上，我们可进一步
证，明:
CP
.
一一这三个比值中，
PF
至少有一个不大于
2 ，也至少有一个不
小于
2.
AF
-一=l(塞瓦定理).
BF
一
C
B
AP ,BP ，CP 交BC ，CA
，AB 于点D ，E ，F.
PD . PE . PF
求证: (1)一一十一一十一一=1.
AD ' BE ' CF
门
，
μ
一
-
K-o
十
B-E
P-B
+
A-D
P-A
9h
>
AP BP
(1)一一一一
PD'PE'
过点P 、点A 分别作BC 的垂线，这样既可得到平行线，产生比例
PA
线段，又可与面积联系起来，把一一转化为面积比，利用面积法证明.
AD
分析
(1)如图，分别过点P 、点A 作BC 的垂线，垂足为点P 1 、点A l '
lBC·PP1
S ^ PBC
2 ~ ~
~ ~
1
P P 1
P D
则一立一-
-一一=一一
S ^ A 旷
1
AAl
AD'
U
AUU
IFBC-AAIA
证明
B
一
C
A-B
P-A
A
-
A
QU-QU
一
F-F
P-c
AA
-
Fi
v
e-B
P-A
A
-
A
QU-QU
一
E-E
P-B
理
同
PD . PE . PF
S ,6 PBC + S ,6 PCA + S ,6 PAB
故-一+一一十一一=
AD ' BE ' CF
S6ABC
内
/
"
一
-
F-F
P-c
+
E-E
P-B
+
D-D
P-A
叫
‘
u
一
fu-Fa
p-C
+
B-E
P-B
+
A-D
P-A
叮
/
U
】
嘎嘎嘎
学为训练
~~~
穷实. .
• •
1. 如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF // BC ，分别交AB
，CD 于点E ，F ，
连接PB
，PD.若AE=2 ，PF=8 ，则图中阴影部分的面积为
(贵州省遵义市中考题)
F
E
第2 题图
第
1 题图
2. 如图，平面内有16 个格点，每个格点小正方形的边长均为1，则图中阴影部分的面积为
(湖北省恩施土家族苗族自治州中考题)
.118
EZ革~
3. 如图，在菱形ABCD 中，AB = 6 ，ζ B=60 0 ，点E 在边AD 上，且AE=2. 若直线f 经过点E ，将
该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F ，则线段EF 的长为
(陕西省中考题)
ι 如图，在矩形ABCD 中
，AB =6 ，BC=10 ，点E ，F 在AD 边上，BF 和CE 交于点G ，若EF=
j矶则图中阴影部分的面积为(
)
A.25
B.30
C.35
D.40
(海南省中考题)
5. 如图，E ，F ，G ，H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，AD 上的点，且AE=BF=CG=DH=
fAB ，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积比为(
)
2
A. =
5
4
B. -:-9
A
E
D
B
C
第3 题图
第4 题图
l
c. =
2
A
H
D
E~G
B
F
C
第5 题图
3
D
一5
(江苏省无锡市中考题)
E
D
M
N
第6 题图
6. 如图，，6，ABC 中，ζACB = 90
0 ,AC> BC ，分别以，6，ABC 的边AB ，BC ，CA 为一边向，6，ABC 外
作正方形ABDE ,BCMN ，CAFG ，连接EF ，GM ，ND ，设，6，AEF ，，6，BND ，，6，CGM 的面积分别
为乱，鸟，乱，则下列结论正确的是(
).
A. 5 1 =5 2 =5 3
C. 5 1 =5 3< 5 2
B. 5 1 =5 2< 5 3
D.5 2 =5 3< 5 1
7. 如图，四边形ABCD 是正方形，点。为对角线AC 的中点.
D Ud:
A
C
D
A
B
图①
第7 题图
DI
p/l c
I
EA I
O ' k一一一一亏l' \ I
1""" 0//
川
|
/ Q"""
\1
A
B
图③
(山东省济南市中考题)
(1)问题解决:如图①，连接BO ，分别取CB
，BO 的中点P
，Q ，连接PQ ，则PQ 与BO 的数量
关系是
，位置关系是
(2) 问题探究:如图②，，6，AO'E 是将图①中的，6，AOB 绕点A 按顺时针方向旋转45。得到的三
.119
aE壶
i:g:ifL ~Jj ñjt . J\~m
角形，连接CE ，点P ，Q 分别为CE ，BO' 的中点，连接PQ ，PB.判断，6 PQB 的形状，并证明
你的结论.
(3) 扩展延伸:如图③，，6AO'E 是将图①中的，6AOB 绕点A 按逆时针方向旋转45。得到的三
角形，连接BO' ，点P ，Q 分别为CE ，BO' 的中点，连接PQ ，PB.若正方形ABCD 的边长为
1，求，6PQB 的面积.
(贵阳市中考题)
8 . 问题探究
(DE
••
(1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分.
(2) 如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线(要求
其中一条直线必须过点M) ，使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并
说明理由.
问题解决
(3) 如图③，在四边形ABCD 中，AB // CD ，AB+CD=BC ，点P 是AD 的中点，
如果AB= α
，CD = b ，且b >α ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在
直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在，求出BQ 的长;若
不存在，说明理由.
乞-!J
B
C
图③
第8 题图
(陕西省中考题)
9 . 如图，点N 在口ABCD 的对角线AC 上，点E 在AD 的延长线上，且CE 矿BN ，EN 交CD 于点
F , S 6 CEF = 2019 ，则S 四边形ANFD 二
(北京市竞赛题)
E
N
C
第9 题图
第10 题图
10 . 如图，已知正方形ABCD 的边长为l，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且剧\1 =点，ζMAN =
1 35 0 ，则四边形AMCN 的面积为
(全国初中数学联赛题)
..180
•·写1'1.=t~南豆~..
自
1 1. 在数学拓展课上，小明发现:若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条
直线把平行四边形分成面积相等的两部分.如图是由
5 个边长为1 的小正方形
拼成的图形，P 是其中4 个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图
形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长
度是
门汀
|I l I
第11 题图
12. 如图，正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一点，连接BP
，过P 作PQ l_ BP ，
囚Q
PQ 交CD 于点Q ，若AP=CQ=2 ，则正方形ABCD 的面积为c
).
A.6+4J2
B. 16
C. 12+SJ2
D.32
B
C
(全国初中数学联赛题)
第12 题图
13. 正，6.ABC 所在平面上的点p
，使得，6.ABP , ,6.BCP , ，6.ACP 的面积相等，这样的点P 的个数
是c
).
A. S
B. 4
C. 3
D. 1
(北京市竞赛题)
1ι 已知菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的→个钝
角的大小是(
).
A.165 。
B.135 。
C. 150 。
D.120 。
("希望杯"邀请赛试题)
15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是0(0 ，
。) ,A(0 ,6) ,B(4 ,6) ,CC4 ,4) ，D(6 ，的
，E(6 ，0).若直线J 经过点M(2 ，3)
，且将
多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，求直线l 的函数表达式.
(" (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
16. 如图，设点E ，F ，G ，H 分别在面积为
1 的四边形ABCD 的边AB
，BC ，
AE
BF
CG
DH
CD ，DA 上，且一一=一一=一一=一一二是(走是正数) ，求四边形EFGH
EB
FC
GD
HA
的面积.
(全国初中数学联赛题)
第15 题图
A
第16 题图
.181
aE军噩噩jJljf，jf墨画盖章'
• •
17. 问题情境
张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:如图①，在L，ABC 中
，AB=AC ，点P 为
边BC 上的任一点，过点P 作PD l_AB ，PE l_AC ，垂足分别为点D ，E ，过点C 作CF l_AB ,
垂足为点F.求证:PD+PE=CF.
k
c
棚
、
飞
、
-
J
、
，
-
勺
'
、
飞
、
!
"
M
B
h
d
1
4
A
A
u
u
u
…
1
1
1
1
刊
\
「
四
巧
年
」
B
JAC
A
飞
\
\
』
P
①
，
/
/
\
二
图
月
号
」
B
A
P
小军的证明思路是:
I
I 小俊的证明思路是:
如图②，连接AP
，由L，ABP 与L，ACPI
I 如图②，过点P 作PG l_ CF ，垂足为
面积之和等于L，ABC 的面积，可以证得I
I 点G ，可以证明
PD =GF , PE =
PD 十PE=CF.
I
I CG ，则PD 十PE=CF.
变式探究
如图③，当点P 在BC 延长线时，其余条件不变，
求证:PD-PE=CF.
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下
列两题:
~三兰兰c
A
c'
图④
图⑤
结论运用
第
1 7 题图
如图④，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C'处，点P 为折痕EF 上
的任一点，过点P 作PG l_ BE ,PH l_ BC ，垂足分别为点G ，H ，若AD 二8 ，CF=3 ，求PG+
PH 的值.
迁移拓展
图⑤是一个航模的截面示意图，在四边形ABCD 中，点E 为AB 边上的一点，ED l_AD ,EC l_
CB
，垂足分别为点D ，C ，且AD . CE=DE. BC ,AB=2 jIT dm ,AD=3 dm ，BD=λ'7 dm.
点M ，N 分别为AE ，BE 的中点，连接DM ，CN ，求LDEM 与LCEN 的周长之和.
(江苏省盐城市中考题)
.182
对称，尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今，都是人们用
来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想.
一一魏尔
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
图形的折叠是指把某个图形或部分沿直线翻折，这条直线为对称轴，在
折叠过程中，线段的长度、角的度数不变.
图形折叠问题可从对称观点认识:
(1)折痕两边是全等的.
(2) 对应点连线被折痕垂直平分.
解图形折叠问题常用到轴对称、勾股定理、相似形、方程等知识方法.
魏尔(1 885一1 955)
，德国数学家，他的
许多工作成为
20 世纪一系列重要数学成
就的出发点
，他在代数、几何各个方面都有
贡献
，被认为是通晓当时全部数学的大师.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
圃'
如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB =4 ,BC
=8 ，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF
折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点B 落在点G 处，有以
下四个结论:
①四边形CFHE 是菱形;
②EC 平分ζ DCH;
③线段BF 的取值范围是3~BF ζ4;
④当点H 与点A 重合时，EF=2 j5.
撞撞。"…
才斤纸已经成为
一项蕴含数学本质
且与思维活动密切
:
相关的智力活动.
把抽象的数学
知识变为操作，在多
:
种感官的参与中进
:
行思维活动，在操作
中概括特征，找寻规
;
律，掌握方法.
当折叠矩形时
为勾股定理、轴对
称性质运用创造条
:
件，下列基本图形
:
起着奠基作用:f\
眨~
[且:J:::
"183
a~ 革矗瞌矗
蓝蓝噩
撞撞
。00.. •
以上结论中，正确的序号是一一一一一·
:
的不变量，这是解
图形折叠问题的关
:
键，而字母化、建立
方程、数形结合、必
: 要时从动手操作中
:
寻找答案，这些是
:
解图形折叠问题的
: 常用才主巧.
操作、发现、反
;
思、应用，数学素养
:
的提升关联着经历
:
与体验.环境刺激下
:
的情感体验、实物操
:
作下的行为体验、内
:
省反思下的认知体
:
验，构成了数学体验
;
的丰富内涵.
4
:
明一计算一探究"
:
的考查形式，由浅
:
入深，层次分明，从
; 特殊到一般，递进
:
式推进，猜想与验
:
证、顺思与逆想、推
j
理能力贯穿始终.
把握折叠前后
(山东省德州市中考题)
D11tIlli--c
从极端位置确定BF 的取值范围.
[候'
如图，在矩形ABCD 中，AB 斗，BC 斗，点E
为BC 的中点.将6ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点
F 处，连接CF ，则CF 的长为(
思路点拨
B. 1_2
-
5
9
A
一5
D. 1_8
-
5
c. 1_6
-
5
(山东省威海市中考题)
由条件得BE 二FE=CE ，能推出怎样的结论.
己知在6ABC 中
，AC=BC=m ，D 是AB 边上的一点，将ζB
思路点拨
[锐'
沿着过点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边的点P 处(不与点A
，C 重合) ,
折痕交BC 边于点E.
、
A
B
7
\
←
D
③
{
/
一
图
4A
犬\
C
E
D
B
图①
A
如图①，若ζ问川是AB 的中点，求证:AP=jAC
(1)特例感知
以"证
3
如图②，若ζC=90 0 ,m=6 j2 ，AD=7 ，过点D 作DH l_
(2) 变式求异
AC 于点H ，求DH 和AP 的长.
如图③，若m= 10 ,AB = 12 ，且当AD= α 时，存在两次不
(3) 化归探究
同的折叠，使点B 落在AC 边上两个不同的位置，请直接写出α 的取值范围.
(浙江省湖州市中考题)
对于(2) ，落点P 的位置唯一吗?点H 有怎样的意义?对于
(3) ，逆向思考，类比(2) ，确定点P 存在个数的不同情形，并求出AD 的值.
.184
思路点拨
蝠'
将正方形纸片ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，
折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与BC 交于点G.
(1)如果M 为CD 边的中点，求证:DE : DM : EM=3 : 4 : 5.
(2) 如果M 为CD 边上的任意一点，设AB=2α ，问:h.CMG 的周长是
否与点M 的位置有关?若有关，请把h.CMG 的周长用含CM 的长z 的代数
式表示;若无关，请说明理由.
(江苏省无锡市中考题)
分析与解
折痕EF 两旁部分图形是关于EF 成对称
的.对于(2) ，通过相似三角形性质，把h.CMG 的周长用相
关代数式表示，解题的关键是几何问题代数化.
(1)略
(2) 设DE=y ，则DM=2α -x ，EM=2α -y ，
可证明h.DEMω h.CMG.
A
.
h.CMG 周长
CM
一--一一=一，h.CMG 周长=一
• h.DEM 周长.
DE
y
，，_..... ~.._~ ,-" '"
y
在h.DEM 中，由勾股定理得(2α _y) 2 =y 2 十(2α _X) 2
，
化简得4ay = x(4α - x ) ，即王二乒L
y
切- x
:. h.CMG 周长=7L . (y+2α -x+2… )=~ι . (4厂工)=
4a
钮，为定值.
拓展
中士、人
~r~:
也α 一-x
4α - x
对于例4 ，作深人思考，能进一步挖掘其内在价值，得到如下重要
(1)无论怎样折叠，若点M 落在CD 上，则MG=DM + BG.
(2) 无论怎样折叠，若点M 落在CD 上，连接MA ，GA ，则ζMAG = 45 0 •
对于(1) ，给出如下证明:
CG
CM
MG
由h.DEMωh.CMG 得一一=一一= 一一
D儿1
DE EM'
CG
x
MG
._ _ _ x (2a - x ) ., _
x ( 2α - y )
I!P ~一一= 一= 一一一一，q导CG = ~ ~ , ---
~ ~'
，此IG =
2α - x y
2α - y
y
y
... D儿I + BG =DM+ (BC-CG)
=(2αυ + 卡
x可叫
4α y - xy - 2αX+X 2
y
(4ax - x 2) - x y -2ax +x2
y
-z莘莘~脑
撞撞。。。…
对于例4 ，如图，
当M 为CD 边的中
点时，则有政J=
BC
:
丁，即G 为BC 的
:
三等分点，这一结果
;
是由日本筑泼大学
的生物学教授芳贺
和夫发现的，被称为
:
芳贺第一定理.
D
M
C
:
E
A
B
洞悉问题，深
度思考.
向问题的结构
性、深刻性、整体性
方向发展，我们才
:
能欣赏数学，发现
:
数学之美，并强烈
:
感受到
: 憨拙中的
:
灵巧、朴素中的华
:
丽、简单中的丰富.
.185
aE噩噩噩ll'l)f，jf墨~盏.
z(2α -y)
y
z(2α -y)
而MG=- , --
0/',:. MG=DM+BG.
y
街纸中的数学发现
折纸活动过程是一个充满着想象力、创造力和手脑并用的过程.通过折
纸活动，观察折痕所形成的边角关系，可以帮助我们建立折纸操作与数学
内容的联系.
[~[Ð 我们知道，A4 ，B5 复印纸是彼此相似的长方
形，它们的长宽比是J2 : 1，我们称这样的长方形为J2长方
形.对于一张正方形的纸，仅使用折叠的方式就可以将它折
成J2长方形的形状.步骤如下:
第一步
折叠正方形ABCD ，使其对角线BD 为折痕.
A
C
图①
第二步
掀起ζC ，折叠后将BC 与BD 重合，折痕为BH ，点C 关于
BH 的对称点为点G.
第三步折叠出过点G 的折痕EF ，使EF // AD.
如图①所示.则长方形BCFE 为J2长方形.
(1)请对上面得到的结论给出证明.
(2) 请在正方形纸上折叠出;3长方形.并叙述折叠的步骤和证明.
(北京市数学知识应用竞赛试题)
分析与解
由J2，;3联想到等腰直角三角形、正方形、等边三角形.
A
D
A
EM
D
E卡……·钱:~'-~F
I
叹!
,-
,./ : ï、，W
，斗H
I
B
M C
B
FN
C
图②图③
(1)过点G 作BC 边的垂线，与BC 相交于点M( 如图②) .由折纸的第三
步可知，折痕EF //BC ，四边形BMGE 构成一个正方形，且有BG : BE=
J2 : 1.由折纸的第二步可知BG=BC. 因此长方形BCFE 的长宽比为BC:
.186
撞撞
。00.. •
从数学的角度
:
去研究折纸，从数
学教学的视角去开
发折纸.
折纸数学，所
:
有从事这一领域研
究的科学家几乎一
开始都只是被折纸
:
过程所蕴含的简单
而纯粹的美所吸
引，但他们的工作
开启了一个科学和
工程学的宝库.
EZ军lllIl1噩~
毡$章。。。…
BE=BG : BE=j2 : 1.从而知道它是个在长方形.
(2) 折叠13长方形，如图③.
第一步将正方形ABCD 的两对边AB 与CD 重合对折，折痕为EF .
第二步过点B 将点C 折到EF 上，折痕为BG ，点C 关于BG 的对称点为
点H.
延长BH 交AD 于点M ，折叠出过点M 的折痕MN ，使MN //AB.
第三步
则四边形ABNM 为13长方形.
显而易见，6BCH 是正三角形，HF 是这个三角形的高.故HF=13BF.
嘎嘎嘎
学为训练
又6BFHω6BNM ，所以MN =13BN .
~~~
穷实. •
1.如图，已知等边6ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，把6BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落
在点B'处，DB' ，EB '分别交边AC 于点F ，G.若ζADF = 80 0 ，则ζ EGC 的度数为
(浙江省台州市中考题)
2 . 如图，在菱形ABCD 中，ζABC = 120 0 ，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的G 处(不
与点B 、D 重合) ，折痕为EF ，若DG = 2 ，BG = 6 ，则BE 的长为
(贵州省遵义市中考题)
D
「
l
I
l
l
-
-
」
C
/钞飞
C
D
A
B '
B
第4 题图
3. 如图，在6ABC 中，ζACB = 90 0 ，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，且ζ CDE = ζ B. 将6CDE 沿
DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处.若AC = 8 ，AB 二10 ，则CD 的长为一一一一一·
第3 题图
第2 题图
第
1 题图
(湖北省襄阳市中考题)
也. 如图，矩形纸片ABCD 中，AD = 8cm ,AB = 4cm ，折叠纸片，使折痕经过点B ，交AD 边于点E ，
点A 落在点A' 处，展平后得到折痕BE ，同时得到线段BA ' ，EA' ，不再添加其他线段. 当图中存
在30。角时，AE 的长为一一一一cm .
(江西省中考题)
.181
4~司E哥哥量1置iIf.罩圃且在Eg〉••
5. 如图，在短形ABCD 中，AB = 12cm , BC = 6cm. 点E ，F 分别在AB ，CD 上，将矩形ABCD 沿
EF 折叠，使点A ，D 分别落在矩形ABCD 外部的点A' ，D' 处，则整个阴影部分图形的周长
为(
).
A.18cm
B.36cm
C.40cm
D.72cm
(吉林省中考题)
D
F
C
A
E
A'(D')
A
/气
li "，，-，气
D
A'
B
C
第5 题图
第6 题图
6. 把一张宽为lcm 的长方形纸片ABCD 折叠成如图所示的阴影图案，顶点A ，D 互相重合，中间空
白部分是以E 为直角顶点，腰长为2cm 的等腰直角三角形，则纸片的长AD (单位;cm) 为(
).
D. 8 十4 /2
(浙江省台州市中考题)
7. 如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点。，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在
A.7+3/2
B.7+ 4/2
C.8+ 3/2
BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G ，连接GF.
AD
给出下列结论:①ζADG=22.5 0 ; ②一一=2; ③S /'..AGD = S /'..0 GD ;④四边形AEFG 是菱形;
AE
⑤BE=2CG;⑥若S /'..OGF =l ，则正方形ABCD 的面积是6 + 412 .其中正确的结论个数为(
).
A.2
B. 3
C. 4
D. 5
(四川省攀枝花市中考题)
D
『
-
a
l
l
-
-
-
J
C
-
、
、
1
F
、
B
F
E
、
、
、
B
寸
\
\
一
P
万
/
}
\
…
?//QE-
4-H
t·-'ZB
第7 题图
第8 题图
8 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE = fAB ，将矩形沿直线EF 折叠，
点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q.对于下列结论: ①EF = 2BE; ②PF =
2PE; ③FQ = 4EQ; ④LPBF 是等边三角形.其中正确的是(
) .
A. ①②
B. ②③c. ①③
D. ①④
(湖北省襄阳市中考题)
.188
圄冠噩理~
9. 如图，将矩形纸片ABCD 的四个角向内折叠，EF ,FG ,GH .HE 为折痕.折叠
后，点A.D 落在EG 上点P 的位置，点B.C 落在EG 上点Q 的位置.
(1)若EH =3 .EF =4. 求EG 的长.
EH
1 .. AB
(2) 若-一二一，求-一的值.
EF
2 "PBC
(天津"未来之星"数学邀请赛试题)
••
拓展. .
3
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=---:;:-x+3 与z 轴、y 轴分别交于A.B
4
两点，点C(O.η)是y 轴上一点.把坐标平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在z
轴上B'处，则点C 的坐标是
( 山东省日照市中考题)
A
H
D
E再__ I
'\ i
广\ 予气\轧
\i
i '\
I
飞工到G
'----- …-- --~曲仨------------
B
F
C
第9 题图
y
x
第10 题图
1 1. 如图，在一张矩形纸片ABCD 中.AD=4cm. 点E.F 分别是CD 和AB 的中点，现将这张纸片
折叠，使点B 落在EF 上的点G 处，折痕为A H. 若HG 的延长线恰好经过点D. 则CD 的长
为
(浙江省嘉兴市中考题)
12. 在三角形纸片ABC 中，ζA =90 0 ，ζC=30 0 .AC=30cm. 将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点
A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕为BD ( 如图①) .剪去6CDE 后得到双层6BDE( 如图
() .再沿着过6BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平
行四边形，则所得平行四边形的周长为
D
E
C
川
l
、年
;
I
I
.....1G
I
I
Æ级级饭剧H
…
…
I'//~
l
1f':_ ____ __~_____ ____.J
A
F
B
第11 题图
C
ß(A)
E工>
..../\
D<
\
B
飞B
图①
图②
第
1 2 题图
( 安徽省中考题)
13. 在三角形纸片ABC 中，已知ζABC = 90 0 ,AB =6 ，BC=8.过点A 作直线l 平行于BC. 折叠三
角形纸片ABC. 使直角顶点B 落在直线l 上的T 处，折痕为MN. 当点丁在直线t 上移动时，
折痕的端点M.N 也随之移动.若限定端点M.N 分别在AB.BC 边上移动，则线段AT 长度
的最大值与最小值之和为
(计算结果不取近似值) .
(四川省成都市中考题)
..189
4
:_~~理Þ.I~~.~画面~~~弓(J，\_
1也. (1)操作发现
如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将LABE 沿BE 折叠后得到LGBE ，且点G 在矩
形ABCD 内部.小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF=DF ，你同意吗?说明理由.
AD
保持(1)中的条件不变，若DC=n . DF ，求一一的值.
AB
…Jd
D
(2) 问题解决
F
AD
保持(1)中的条件不变，若DC=2DF ，求一一的值.
AB
(3) 类比探究
C
第14 题图
( 河南省中考题)
••
创新
. •
15 . 初步尝试
(1)如图①，在三角形纸片ABC 中，ζACB = 90 0 ，将LABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为
MN
，则AM 与BM 的数量关系为
思考说理
(2) 如图②，在三角形纸片ABC 中
，AC = BC = 6 ，AB 二10 ，将LABC 折叠，使点B 与点C 重
AM
合，折痕为MN ，求一一的值.
BM
扩展延伸
(3) 如图③，在三角形纸片ABC 中
，AB=9 ，BC=6 ，ζACB=2ζA
，将LABC 沿过顶点C 的
直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B'处，折痕为CM.
①求线段AC 的长.
②若点。是边AC 的中点，点P 为线段。B ' 上的一个动点，将LAPM 沿PM 折叠得到
PF
LA 'PM ，点A 的对应点为点A' ，A'M 与CP 交于点F ，求一一的取值范围.
MF
飞
/、、、、
k l\
A
M
B
图③
(江苏省淮安市中考题)
.190
难道不可以把音乐描述为感觉的数学，而把数学描述为理智的音乐吗?
一一西尔威斯特
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
图形的分割，就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成
两个或几个图形.
图形的拼合，就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，得到一个新
的图形.
图形分割与拼合问题，跳出非算即证的传统问题模式，集趣味性、探索
性、实验性于一体.
动手实践，观察思考，将计算与操作相结合，是解图形分割与拼合问题的
出发点;运用对称、全等、面积关系、不变量等是解图形分割与拼合问题的方
法策略.
~~~但神
~5哥可
通过恰当剪切
，
希腊十字架可拼成正
方形.
~~~例题求解
嘎嘎嘎
[候'
如图，有一张长为5 、宽为3 的矩形纸片ABCD ，要通过适当的
剪拼，得到一个与之面积相等的正方形.
P
F
(1)该正方形的边长为
(结果保留根号) ;
I
|
(2) 现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的
;
与
方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程
(天津市中考题)
思路点拨
根据正方形的边长首先确定其一条边的位置.
E击;量
。
.咽-=-τ…-.
看似简单的分
:
割与拼合，却充满
了数学智慧与思
:
考，虽是"动手操
:
作"类问题，却需先
:
思后做.
勾股定理的许
多证法就运用了图
形拼合(即只要没
:
有重叠，也无缝隙，
面积就不会改变)
的方法.
.191
aE噩噩噩lI1JI.fi署IBE草噩
[锐'
一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成
两部分;拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又
从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成
两部分……如此下去，最后得到了34 个六十二边形和一些多边形纸片，则至
少要剪的刀数是(
A. 2004
B. 2005
C. 2006
D. 2007
(全国初中数学联赛题)
思路点拨
由题意知:每剪开一次，使得各部分的内角和增加360
0 ，于是
剪过是次后，可得(走+1)个多边形，建立走的不等式.
[~[Ð 如图①，正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下:
司AK A 4
仿照图示的方法，解答下列问题:
(1)如图②，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个
与三角形等面积的矩形;
(2) 如图③，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个
与原三角形等面积的矩形.
(安徽省中考题)
思路点拨
题目要求拼成矩形，而矩形四个角都是直角且对边相等，故
在设计剪拼方案时，应充分利用线段的中点及垂直关系，图中已有的要充分
利用，图中没有的要先作出.
[缸。
我们在解决数学问题时，经常采用"转化"(或%归")的思想方
法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决
的问题.
譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组
的解法时，我们通常采用"消元"的方法，把二元一次方程组转化为一元一次
.192
撞撞。"…
匈牙利数学家
鲍耶利阿伊对图形
拼合问题得到一个
令人十分满意的
结论:
如果两个多边
:
形面积相等，那么
一定能够把其中任
;
何一个分成有限个
小多边形，用它们
能拼合成另一个多
边形.
方程;再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和
问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题.
问题提出
如何把一个正方形分割成n(n 注的个小正方形?为解决上面问题，我们
先来研究两种简单的"基本分割法"
-E噩噩理~
撞撞
。00...
例4 以阅读理
; 解的方式表明:一
:
张正方形纸片，可
基本分割法1 :如图①，把1 个正方形分割成4 个小正方形，即在原来1
:
以剪成
个正方形的基础上增加了3 个正方形.
基本分割法2 :如图②，把1 个正方形分割成6 个小正方形，即在原来1
个正方形的基础上增加了5 个正方形.
EEEEJrn~ tt9口
问题解决
有了上述两种"基本分割法"后，我们就可以把1 个正方形分割成n(n 注
的个小正方形.
(1)把1 个正方形分割成9 个小正方形.
一种方法:如图③，把图①中的任意1 个小正方形按"基本分割法2"进行
分割，就可增加5 个小正方形，从而分割成4 + 5=9(个)小正方形.
另一种方法:如图④，把图②中的任意1 个小正方形按"基本分割法1"进
行分割，就可增加3 个小正方形，从而分割成6+3=9(个)小正方形.
(2) 把1 个正方形分割成10 个小正方形.
方法:如图⑤，把图①中的任意2 个小正方形按"基本分割法1"进行分
割，就可增加3X2 = 6(个)小正方形，从而分割成4+3 X 2 = 10(个)小正方形.
(3) 请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11 个小正方形
(用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法) .
(4) 把1 个正方形分割成η (n 注的个小正方形.
方法:通过"基本分割法1川基本分割法2"或其组合把1 个正方形分割成
9 个、10 个和11 个小正方形，再在此基础上每使用1 次"基本分割法1" ，就可
增加3 个小正方形，从而把1 个正方形分割成12 个、13 个、14 个小正方形，以
此类推，即可把1 个正方形分割成η (n ;;? 9) 个小正方形.
从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然
后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n (n ;;? 9) 个小正方形.
类比应用
仿照上面的方法，我们可以把1 个正三角形分割成n( η 注的个小正三
角形.
(1)基本分割法1 :把1 个正三角形分割成4 个小正三角形(请你在图a
中画出草图) .
6+3n=3(n+2) ,
7+3n=3(n+2)+1,
8+3n=3(n+2)+2
(n=O ,1, 2, 3……)
张小正方形纸片，
:
这就是说，一张正
:
方形纸片可以剪成
:
任意n(n >5) 张小
正方形纸片.
.193
aE军噩噩í1I;';)f主
(2) 基本分割法2 :把1 个正三角形分割成6 个小正三角形(请你在图b
中画出草图).
(3) 分别把图c 、图d 和图
e 中的正三角形分割成9 个、10 个和
11 个小
正三角形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法) .
66666
图a
图b
图e
图c
图d
(山东省青岛市中考题)
解
把1 个正三角形分割成η(η 二三9) 个小正三角形的分割方法:通过
撞撞
。00.
E各沙·彼得解
"基本分割法1"" 基本分割法2" 或其组合，把
1 个正三角形分割成
9 个、10
释说"这种常人看
个、11 个小正三角形，再在此基础上每使用
1 次"基本分割法1" ，就可增加3
来似乎可笑的做
以此类推，即可把1 个正三角形分割成n ( η ?，:- 9 )个小正三角形.
个小正三角形，从而把
1 个正三角形分割成12 个、13 个、14 个小正三角形，法，却是数学家的
图c
图d
图e
化归
何谓数学特有的思维方式?
化归是具有数学特征的典型思考方式.
"化归"意即
" 通过转化归结到…...
匈牙利著名数学家路沙·彼得在她的名著《无穷的玩，艺》中曾有一段
脸炙人口的生动描述.
[面~O
任意给出两个面积相等的平面几何图形，是否都能将其中一个
剪成若干个小多边形并拼成与另一个形状相同的图形?
门
川
'
f
J
，
4
t
'
习
，
他
进
惯
题
习
问
维
对
思
不
种
往
一
往
正面攻击，而是不
断地将它变形，直
至把它转化为能够
解决的问题"
运用面积不变
是解剪拼问题的关
键.虽然是动手操
:
作，但是"算"是关
:
键，应遵循" 想、算、
剪、拼、验"的思路
去解决.
例
5 清晰地展
示了人们在解决图
形剪拼这个数千年
前的难题的过程
中，是如何将其化
归为简单问题作为
起点、作为阶梯而获
得成功的，这也令人
分析
尽管这个问题提出来已经有2300 年左右的历史了，而它的解决
信服地告诉了人们
应当向数学界的先
却是约200 年前的事情.
19 世纪，匈牙利数学家鲍耶证明了下述定理:
任意给定两个面积相等的多边形，它们互相之间都可以通过剪拼得到.
.194
贤们学习些什么.
-E噩噩~
追溯历史，我们可以发现鲍耶运用的方法就是化归为基本图形的方法，
从而解决问题.
解
三角形、四边形是简单的平面图形，多边形可分割为三角形或四边
形.鲍耶步步化归、层层推进，证明过程如下:
(1)任意一个三角形可以剪拼成一个矩形.
(2) 任意一个矩形可以剪拼成一个正方形.
(3) 两个正方形可以剪拼成一个大正方形.
(4) 任意多个正方形可以剪拼成一个大正方形.
(5) 任意一个多边形都可以剪拼成一个正方形.
川
撞撞。"…
时)v
日巴一古
~~:~学为训练嘎嘎嘎
穷实. •
1. 把边长为2 的正方形纸片ABCD 分割成如图的四块，其中点。为正方形的中心，点E.F 分别
为AB.AD 的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ( 要求这四块纸片不
重叠无缝隙) .则四边形MNPQ 的周长为
(浙江省绍兴市中考题)
D
F
「
山
A
A
F
U
J
口
第
1 题图
第2 题图
2 . 如图，已知四边形ABCD ，现需将该纸片拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁
剪线最多为两条，能否做到?
(横线上填"能"或"不能"若"能"，请确定裁剪线的位置，
并说明裁剪方法;若"不能"，请简要说明理由) .
(天津市中考题)
.195
a~军噩噩罩罩显.
3. 在LABC 中，借助作图工具可以作出中位线EF ，沿着中位线EF 一刀剪切后，用得到的LAEF
和四边形EBCF 可以拼成平行四边形EBCP
，剪切线与拼图如图①所示.仿上述的方法，按要求
完成下列操作设计，并在规定位置画出图示.
A
"'/ \F
P但j
一---_'
一，、，
,
,
，、
，
，、
，
，、，
，、
，
，、，
，、，
二
B
C(A)
图①
(1)在LABC 中，增加条件:
画在图②的位置.
(2) 在LABC 中，增加条件:
画在图③的位置.
(3) 在LABC 中，增加条件:
图画在图④的位置.
图②
，沿着
，沿着
，沿着
图③
第3 题图
图④
图⑤
一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图
一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图
一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼
(4) 在LABC(AB 手AC) 中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程
(剪切线的作法)是:
，然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼
成等腰梯形，剪切线与拼图画在图⑤的位置.
(湖北省荆门市中考题)
4. 如图，将一张正方形纸片剪成4 个小正方形，得到4 个小正方形，称为第一次操
I
I
I
作;然后，将其中一个正方形再剪成4 个小正方形，共得到7 个小正方形，称为第
IL口♂电
二次操作;将其中的一个正方形再剪成4 个小正方形，共得到10 个小正方形，称
一一一一
为第三次操作……根据以上操作，若要得到2011 个小正方形，则需要操作的次
第4 题图
数是(
).
A.669
B. 670
C.671
D.672
(福建省晋江市中考题)
5. 观察下列各方格图中阴影部分所示的图形(每一小方格的边长为1)，如果将它们沿方格线或对
角线剪开重新拼接，则不能拼成正方形的是(
).
l1 1 1 1 1 1
| .
1111
| _
11
|11.11
|1 1 1 1 1 1
|1 1 1 1 1 1
A
|1 1 1 1 1 1
|1 1 1 1 1 1
| .. 11
| _
11
|1 1 1 1 1 1
|1 1 1 1 1 1
B
|1 1 1 1 1 1
|1 .
111
|1 .... 111
|1.-皿
1
1
|1 1 1 1 1 1
|1 1 1 1 1 1
C
!1 1 1 1 1 1
| .
1111
|
…
1 1 1
||
…
1 1
|11 .
11
|1 1 1 1 1 1
D
(四川省、乐山市中考是且)
6. 七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地.由边长为2 的正方形可以制作一副中国七
巧板或一副日本七巧板，如图①所示.分别用这两副七巧板试拼如图②中的平行四边形或矩形，
则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是(
).
.196
.噩噩噩-险
回国
中国七巧板
日本七巧板
iζ/ 国i
图①
图②
第6 题图
A.1 和1
B. 1 和2
C.
2 和1
D.
2 和2
(浙江省湖州市中考题)
7. 如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角
形，操作过程如下:第一次分割将正方形纸片分成4 个全等的直角三角形;第二
次分割将上次得到的直角三角形中的一个再分成4 个全等的直角三角形;以后
按第二次分割的方法进行下去.
(1)请你设计出两种符合题意的分割方案图.
第7 题图
(2) 设正方形的边长为α ，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最
小直角三角形的面积(5) 填人下表:
分割次数(η)
最小直角三角形的面积(5)
(3) 在条件(2) 下，请你猜想:分割所得的最小直角三角形面积S 与分割次数η 有什么关系?
••
拓展. .
8. 如图是用12 个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底长与下
底长的比是
(陕西省中考题)
9 . 将两条邻边分别为在、1 的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片) ，各
种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的
①阳1 ;③d一1 ;④子;⑤5
( 湖北省竞赛题)
市问入
第8 题图
(填序号) .
(;浙江省绍兴市中考题)
10. 6ABC 中，有一内角为36 0 ，过顶点A 的直线AD 将6ABC 分成两个等腰三角形，则满足上述
条件的不同形状(相似的认为是同一形状)的6ABC 最多有
个.
(夭津市竞赛题)
1 1. 变形房子
两名英国建筑师设计出一种奇妙的房子，它由两间卧室、一个开放式客厅和一个卫
生间组成，四个房间之间相互连接，你可以随时"转动"这四个房间，将它变形为八种不同的稳
定结构，来适应不同的气候环境.
.191
aE噩噩噩噩IfiJf主
| 4 1
这一设计的灵感来源于英国数学家和游戏专家亨利·杜德尼的研究成果.1903 年，杜德尼
发现可以把等边三角形分成四部分，经重新拼合后变成正方形.
A 今讪叼4♂令
第11 题图
如图，三角形ABC 为等边三角形，将它分成"1" ，吃"，"3 " ，
"4" 四块，将其中"1" ，"2" ，"3"三块进行平移或旋转(数字颠倒
表示绕某点旋转了180勺，与第4 块构成了正方形MNOP.
这种变形能够完美实现，是杜德尼精心构思和计算的结果.
图中，点D ，E 分别是边BA ，BC 的中点，E] 与正方形的边MP
等长，DL _l]E ，]K=BE ，设三角形ABC 的边长为1.计算:
(1)正方形MNOP 的面积和边长分别为
(2) MK=
(3) EP=
,05=
B
。
A
N
第11 题图
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
12. 把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的"开纸"现在我们在长为2 J2 、宽为1 的矩形纸片
中，画两个小矩形，使这两个矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形纸
的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，求所剪得的两个小矩形纸片周长
之和的最大值.
(浙江省绍兴市中考题)
••
创新. •
13. 现有10 个边长分别为3 ，5 ，6 ，11 ，17 ，19 ，22 ，23 ，2 4 ，25 的正方形.试问:用这些正方形能否拼接
(不许重叠，不许中空)成一个长方形?如果能，就给出这个长方形的长和宽，并请画出拼接图.
如果不能，也请说明理由.
( 北京市竞赛题)
.198
-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-I>ι』ι -Io.L-I>ι -Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L
对称原理
-Io.L-I>也-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-I>ι -Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-I>也-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-Io.L-I>也-IO.L
对称是一种客观存在，一朵红花、一片绿叶、一只色彩斑斓的蝴蝶等，最
iãl聋
。00 .. .
令人惊奇的就是它们外形的几何对称性，自然界的对称性可以在从亚原子粒
子的结构到整个宇宙结构的每一个尺度上找到.
著名物理学家
对称是一种美的标准，人类心智中的某种东西受对称的吸引，对称对我
: 杨振宁曾说"对我
们的视觉有感染力，影响我们对美的感受，建筑、绘画等方面广泛地应用对称后来的工作有决定
对称是一个数学概念，我们熟悉的有代数中的对称式，几何中的轴对称、
J 影响的一个领域叫
中心对称等，更一般的情况是，许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅
; 对称原理"他在《对
;
称和物理学》中又
包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等
:
说"在理解物理世
彼此相对又相称.
:
界的过程中，21 世
对称是一种解题方法，即解题时充分利用问题自身条件的某些对称性分
;
纪会目睹对称概念
析问题，在探求几何最值、代数式的化简求值等方面有广泛的应用的新方向吗?我的
回答是:十分可能"
生活中许多现
象需要我们冲破实
际的羁绊，注重抽
对称之美，首先是对称和谐之美，上面是法国欧普艺术杰出的代表人物
;
象的分析、理性的
瓦萨雷利(1 908- 1997) 的作品，他利用节奏丰富的网格和对称变化的构成，思考.
在渐变构造的区域中，塑造立体造型
轴对称是折纸
[候'
如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2 ,
3) 、点B(-2 ，1)，在工轴上存在点P 到A
，B 两点间的距
离之和最小，则P 点的坐标是
8.
Yf
.A
。
x
思路点拨
(湖南省长沙市中考题)
点A
，B 为工轴同侧两定点，从对称性考虑，确定点P 的
位置.
问题的本质，纸片
:
在每次对折过程中
:
做着轴对称变换.
"199
aE噩噩噩lITffi置，
Milt\噩
圃'
如图，在矩形ABCD 中，AB =10 ，BC=5 ，若
点M ，N 分别是线段AC ，AB 上的两动点，则BM+MN 的
最小值为(
).
A.513
B. 6
c. 8
|才<
D. 10
(黑龙江省中考题)
思路点拨
作出B 点关于AC 的对称点B' 点，则BM+MN=B'M+
MN ，若B'M+MN 的值最小，则需满足什么条件?
毡握
。"…
华罗庚曾说:
"善于‘退'，足够地
‘退'，退到最原始
而不失去重要性的
函'
问题:已知l:，ABC 中，LBAC = 2LACB ，点D 是l:，ABC 内的
; 地方，是学好数学
的一个诀窍"
一点，且AD 二CD
，BD=BA
，探究ζ DBC 与ζABC 度数的比值.
请你完成下列探究过程:
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加
例
3 运用特殊
f
: 与一般的辩证关
/
I
:
系，把一个复杂的、
以证明.
/
I
具有一般性的问
(1)当ζBAC=90。时，依问题中的条件补全右图.观察图
C
A
:
题，退到特殊情形、
形，AB 与AC 的数量关系为
;当推出ζ DAC 二15 0 时，可进一步推出
ζDBC 的度数为
;可得到ζDBC 与ζABC 度数的比值为
(2) 当ζ BAC*90 0 时，请你画出图形，研究ζ DBC 与ζABC 度数的比
值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.
简单情形，从中获
: 得启示和感悟，由
:
此发现解决问题的
思路.
思路点拨
若一个问题的
: 题设条件是对称
通过从特殊到一般的图形转换，关注变化过程中存在的不变
的，一般情况下其
(北京市中考题)
量，预测结果，探索成因，因DC=DA
，故不妨以AC 的垂直平分线为对称轴，结论也应该具有对
构造l:，BAD 的轴对称图形.
[征。
已知α ，b , c 为正数，满足如下两个条件:α 十b +c = 32(,
:
称性，不应轻易地
:
打破这种对称性.
例
4 正是基于
对称原理思想，大
:
胆猜想，巧妙验证，
流畅自然.
b+c-a
c+α -b .a 十b - c
1 _
,_ _~
~ ~ ~.
_. ••
对于例
4 ，还有
一一一一十一一一-=-+一一一一--②，求证:以/Q，jb ，Fc为三边长可构成一
bc
ac
α b
4 ~7r -l""，""""'__.r/ ，
v.......
7V......
J V~ /"J - ~"'"'-.""
. I-.:.J'~另一自然的想法:
个直角三角形.
由a=b+c
，b= α
(全国初中数学联赛题)
+c
，c=a+b ，只需
i正明[α 一Cb 十c)J
分析与解
条件等式具有很强的对称性.由勾股定理，结论可表示为等
X [b 一Ca+c)J X
式:a=b 十C 或b= α+c 或c=b 十α ③，联立①、③，只需证α=16 或b=16 或
: [c 一(α +b)J=O ，
c =16 ，即(α -16)(b-16) (c - 16)=0 ④.展开只需证明
o = abc - 16 (ab 十
;
读者不妨一试.
.200
bc+ac) 十16 2 (α +b 十c) - 16 3 二abc - 16 (ab + bc 十ca) 十16 3
，⑤
由①平方、移项，有
a 2 +b 2 十c 2 二32 2 -2(αb + bc+ca) ,
⑥
又由②移项、通分，有
。=_!__(b+_c-a + c+α-b+a 十b-c)
一一-，一十一一一一
4
飞
bc
ac
ab
I
1
I αb + ac - a 2
, bc + ab - b 2
, ac 十bc 一c 2 、
4
飞
abc
abc
abc
I
a bc - 8(ab +bc +ac) 十4(α2 十b 2 + c2 )
4αbc
Gbc - 8Cab+bc+ αc) + 4[32 2 -
2(ab 十bc 十ca) ]
4α bc
αbc -16(αb 十bc 十αc) 十16 3
4αbc
(α
16)(b - 16) (c - 16)
4abc
'
(把⑥代人)
(由④、⑤)
当a-16=O 时，由①有α =16=b+ c ，由勾股定理逆定理知，以ja ，
布，jC为三边长组成一个以ja为斜边的直角三角形.同理，当b= 16 或c=
16 时，分别有b 可+c 或c= b + α ，均能以J言，jb ，jC 为三边长组成一个直
角三角形.
将军饮马
海伦是古希腊亚历山大里亚城精通数学和物理的学者，一天，一位将
军向海伦请教一个问题:
如圈，从A 地出发，到笔直的河岸去饮马，再去B 地，走怎样的路线最
短呢?
.B
B
A.
A
图①
如图，运用对称变换知饮马点选在P 点，此时PA + PB 最短.
从将军饮马问题出发，通过问题的变式深入探究.
嚷~O
(1)如图②，从A 点出发，然后沿着笔直的河边走固定的距离
α ，最后回到B 地，怎样选择饮马点，才能使所走路程最短?
(2) 如图③，在锐角6ABC 中，AB = 4 j2 ，ζBAC =45 0 ，ζBAC 的平分线
Ea革国-
撞撞
。00.. .
自然数的海洋
中隐藏着许多有趣
的性质.请看:
144 X 441 -
252 X 252 , 156 X
651 = 273 X 372 ,
168 X 861 = 294 X
492 , 276 X 672 =
483 X 384 , 1586 X
6851 = 3782 X 2873,
13248 X 84231 =
23184 X 48132……
这样的"逆序
积等式"有多少个?
两位数的逆序积等
式有没有?
.. 201
aE噩噩噩i"èil;)f噩噩E皿
撞撞
。00.. .
从单动点到双
:
动点，再到三动点，
:
化动为静、化繁为
简，例
5 展示了化
:
归与转化的思想方
法，揭示了类似问
:
题的本质联系.
交BC 于点D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，求BM+MN 的最小值.
(3) 如图④，在h，ABC 区域内，小羊从路边AB 某点出发跑到水沟边AC
喝水，然后跑向路边BC 吃草，再跑回到出发点处休息，为使所跑总路程最
短，小羊应从AB 边上的哪一点出发，又按怎样的路线奔跑?
D
L
1
·
·
丑
B
C
飞
\
/
\
-
/
M
κ
一
③
/
\
/
/
万
图
aA
B
A
图④
对于(1) ，即求AC + CD+BD 的最短长度，因CD= α 为定值.只
需求AC + BD 的最短长度.与上页图①相比，PA 十PB 为折线，而AC ，BD
是没有公共端点的线段，通过平移把它们连接起来.
对于(2) ，与上页图①相比，有两个动点M ，N ，先
假设N 点为定点，先取得问题的局部解决，再逐步逼
近目标.
分析
对于(3) ，将问题转化为问题(2)
、原问题.
(1)如图⑤，作法如下:
①过点B 作BE // l ，且使BE= α .
②作点A 关于J 的对称点A' ，连接A'E 交l 于点C.
③在J 上截取CD 二ι
则饮马路线为A→C→D→B ，此时所走路程最短.
这是因为BD+ AC = EC + A'C = A'E.
(2) 如图⑥，作点N 关于直线AD 的对称点N' ，连接BN' ，则BM +
MN=BN' 的值最小，过点B 作BE _lAC 于点E ，当BN ' =BE 时，BN ' 的值
最小，最小值为4.
图⑤
解
C
C
A
图⑦
如图⑦，逆推确定点M ，N 的位置.
(3) ①如图③，不妨先固定一个点P 1 ，将问题转化为"双动点模型"下的
最短路程P'lP飞.
②改变该定点的位置到P 2 ，仍利用"双动点模型"确定最短路程P '2 Pμ
③比较P'l P飞与P'2 P飞的长短;
④问题转化为比较等腰三角形h，CP 'l p'~ 与h，CP'2 P飞底边的长短;
⑤发现不变量一一等腰三角形的顶角(均等于ζACB 的2 倍) ，从而转
.202
图⑥
-~.g. ~ffi Ji
: 毡稽。"…
化为比较两个等腰三角形的腰CP j 与CP z 的大小a
⑥由于P 点是AB 边上的动点，问题转化为求CP 的最小值;
⑦从而确定P 点为AB 边上的高线所在的垂足.如图⑨，这就是小羊的
奔跑路线.
图⑧
图⑨
•• •• •• 练习••• ••• •••
1.如图，在正方形ABCD 中
，AB=8 ，AC 与BD 交于点。，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且
BM 二6 ，P 为对角线BD 上一点，则PM-PN 的最大值为
(陕西省中考题)
2. 如图
，AC ，BD 在AB 的同侧，AC 二2 ，BD=8 ，AB=8 ，点M 为AB 的中点.若ζ CMD=120 0 ，则
CD 的最大值为
(湖北省黄冈市中考题)
D
A
C
。
B
第
1 题图
第2 题图
第3 题图
3. 如图，ζAOB=30 0 ，点M ，N 分别在边OA
，OB 上，且OM= l，ON 二3 ，点P
，Q 分别在边OB
，
OA 上，则MP 十PQ+QN 的最小值为
(湖北省武汉市中考题)
也. 已知α 2 (b+c)=b 2 (a 十c) 二2010 ，且α #-b
，则
c 2 (a + b)=
("我爱数学夏令营"竞赛题)
5. 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如α +b+c 就
是完全对称式，下列三个代数式:①(α -b) 2 ;( ab +bc + ca; ③a 2 b + b 2 c +c 2 a. 其中是完全对称
式的是(
A. ①②
B. ①③
c. ②③
D. ①②③
(浙江省台州市中考题)
.. 203
aE翠噩噩噩噩;1i • /\~tq
6 如图，在矩形ABCD 中，AB=5 ，AD=3 ，动点P 满足SAPAB =ts肌BCD' 则点P 到A ，B 两点
距离之和PA+PB 的最小值为(
A.12百
B.λZ
c. 512
D. /4T
(安徽省中考题)
B同N
B囚c
第6 题图
第7 题图
第8 题图
7. 如图，四边形ABCD
中，ζ BAD = 120
0
，ζ B = ζ D = 90
0 ，在BC ，CD 上分别找一点M ，N
，当
h，AMN 周长最小时，ζAMN+ζANM 的度数为(
A.130 。
B. 120 。
C.110 。
D.1 00 。
(甘肃省兰州市中考题)
8. 如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 将对角线三等分，且AC 二12 ，点P 在正方形的边上，且满足
PE+PF=9 的点P 的个数是(
A.O
B. 4
C. 6
D.8
(安徽省中考题)
9. 已知，b ，c 互不相等，且a 十b +c = O ，求一」一十一」一+一土一的值.
2α2 十bc ' 2b 2 十ac ' 2c 2 +ab
10. 在h，ABC 中，ζBAC 二45
0
，AD j_BC 于点D ，将h，ABD 沿AB 所在的直线折叠，使点D 落在点
E 处;将h，ACD 沿AC 所在的直线折叠，使点D 落在点F 处，分别延长EB ，FC 使其交于点M.
(1)判断四边形AEMF 的形状，并给予证明.
(2) 若BD=1 ，CD =2 ，试求四边形AEMF 的面积.
( 宁夏回族自治区中考题)
B
D
C
第
1 0 题图
.204
-E噩噩噩-险
C
11. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点。在坐标原点，顶点A
，B 分别在z
轴、y 轴的正半轴上，OA= 3 ，OB=4 ，D 为边OB 的中点.
(1)若点E 为边OA 上的一个动点，当6CDE 的周长最小时，求点E 的坐标.
(2) 若点E ，F 为边OA 上的两个动点，且EF 二2 ，当四边形CDEF 的周长最小
x
A
第11 题图
也/
第12 题图
(天津市中考题)
12. 入射角与反射角
光线经过介质反射，入射角等于反射角;当小球碰到桌子的边时反弹，反弹
时反射角等于人射角.这些问题的实质关联轴对称变换.如图所示.
(1)如图，动点P 从(0 ，3) 出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，
反弹时反射角等于人射角，当点P 第2013 次碰到矩形的边时，点P 的坐
时，求点E ，F 的坐标.
标为(
D. (8 ,3)
C. (6 ,4)
B. (5 ,0)
A. (1, 4)
( 山东省德州市中考题)
山F
x
nxo
i
l
-
+
i
l
?
I
O
B
T
l
·
-
呵
/
ilI
T
--dil
i
-
--6
ill
--
J
Ill
-•ill-5
t
·
·
十
·
·
·
丁
·
·
→
i
e
-
-
4
i
;
十
1
·
于
1
0
0
T
l
u
-
-
d
ill+lif--!Ill-9&
[-
U
V
M
A
斗
吨
J
句
/
缸
'
l
。
第
1 2( 2 ) 题图
第12 (1)题图
(2) 如图，正方形ABCD 的边长为3 ，点E ，F 分别在边AB
，BC 上，AE=BF=l ，小球P 从点
E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于人射角.当小
球P 第一次碰到点E 时，小球P 与正方形的边碰撞的次数为
，小球P 所经过的路
程为
(浙江省嘉兴市中考题)
(3) 如图①，矩形MNPQ 中，点E ，F ，G ，H 分别在NP ，PQ ，QM ，MN 上，若ζ 1 = ζ 2 = ζ 3 =
ζ 4 ，则称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形，图②、图③、图④中，四边形ABCD
A
D
---+一-+---+---+---+-- -+ ---+-…
f - --寸十… ↑…….于…….于…….十……-于- --
…………十
+
B
E
A
D
--斗一↓---↓…↓一↓---↓---~一-
… 十一~----r 十寸
十
j----t F
•--牛…·←----~ - - -+- - -+ - - - _l---- -l
B
为矩形，且AB = 4 ，BC = 8.
F
Q
口
u
1
1
1
|
|
」
P
-
，
E
J
飞
，
气
气4
-
G
气
/
一
一
/
/
一
①
一
/
/
一
图
-
/
皿
E
M
「
h
啃
」
N
..205
图③
图②
第12( 3 ) 题图
aE军m~I'W;噩噩
理解与作图
①在图②、图③中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形AB-
CD 的反射四边形EFGH.
计算与猜想
k三洋......................
②求图②、图③中反射四边形EFGH 的周长，并猜想矩形
ABCD 的反射四边形的周长是否为定值.
启发与证明
③如图④，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF 交BC 的延长线于M ，试利用小华
同学给我们的启发证明②中的猜想.
13. 如图①，在，6.ABC 中，ζACB=90 0 ，点P 为，6.ABC 内一点，点M ，N
分别在AB
，AC 上.
(1)若AP=3 ，AB=2BC ，求，6. PMN 的最小周长.
(2) 如图②，若AB=2BC ，AP= 汀石，BP= J言，PC=l ，求，6.ABC 的
面积.
(3) 在(2) 的条件下，求ζ BPC 的度数.
(湖北省成宁市中考题)
B
C
B
C
图①
图②
第13 题图
(湖北省黄冈市自主招生试题)
••• .. .,
..
答案
. . "
例题答案
例1
(一1 ，0)
点B 关于工轴的对称点B'(-2 ，一1)，直线AB' 的解析式为y=x 十1.
例2
C 如答图，作B'N j_ AB 于点N ，交AC 于点M ，则BM 十MN=B'M 十
fF
D/j\
c
MN=B'N 值最小.
I
:' i \，才
AB-BC|/ 纠<T\\ I
BB'=2BE=2X 一一一一-AE-BBF=BV-AB.
|马/气、"'-.._牛、|
AC
,._-
--
-
. ,
._-.
1:<:::::
;.,
~，I
A
N
B
例3
(1)作图如答图①
AB=AC;15 0 ;1 : 3
.206
例2 答图
(2) 猜想: ζ DBC 与ζABC 度数的比值与(1)中结论相同.
证明:如答图②，作ζKCA= ζ BAC ，
过B 点作BK//AC 交CK 于点K ，连接DK.
·.·ζBAC手90 0 ，:.四边形ABKC 是等腰梯形.:. CK=AB.
.: DC=DA ，:. ζ DCA= ζ DAC.
.·ζ KCA= ζBAC ， :. ζKCD = ζ3 .
:. ，6，KCD 旦，6，BAD. :. ζ2 =ζ 4 ，KD=BD.
:. KD=BD=BA=KC.
.: BK // AC , :. ζACB= ζ6 .
.· ζ KCA =2ζACB
，
λ ζ5 二ζACB.
·.ζ5= ζ 6 ，
λ KC=KB.:. KD=BD=KB
，λζ KBD=60 0 •
·.·ζACB= ζ6=60。一ζ 1，二ζ BAC=2ζACB=120。一2ζ 1.
·.· ζ 1 +(60。一ζ 1) +020。一2ζ 1) + ζ 2=180 0 ，
:. ζ 2=2ζ 1.
.·. ζ DBC 与ζABC 度数的比值为
1 : 3.
Em .g. .~H.Q JI
脑
A
A
配
图②
例3 答图
练习答案
1. 2
如答图，作点N 关于BD 的对称点E ，连接ME 并延长交BD 于点F ，此时点F 为所求的P
点.，6，NEF 、，6，EMC 都为等腰直角三角形.EM = MC = FM - FE = BC - BM = 2.
2. 14
如答图，将，6，CAM 沿CM 翻折至，6，CA 'M ，将，6，DBM 沿CM 翻折至，6，DB'M ，连接A'B' ,
可证明，6，A'MB' 为等边三角形，CD <，CA' 十A'B'+B'D ，当C ,A' ,B' ，D 四点共线时，CD 的值
最大，最大值为2+4+8=1 4 .
A民7t D
、、、、‘ 、、、、、
第2 题答图
第3 题答图
第1 题答图
3 . jI百
作点M 关于OB 的对称点M' ，作点N 关于OA 的对称点町，连接M'P ，N' Q ，则
M'P = MP ，N'Q = NQ ，λ MP + PQ + QN = M'P + PQ + N'Q. λ 当N' ,Q ,P ，M ' 在同一条直
线上时，MP+PQ 十QN 有最小值.如答图，作射线OM' ，ON' ，连接M ' N' ，.: ζAOB = 30
0 ,
OM=1 ，ON =3 ，:. ζBOM' = ζAON' 二300,OM' =l ,ON' =3 ，二ζM'ON ' =900 • 在Rt ，6，OM'N'
中，根据勾股定理，得M'N' = JI古平32=刁百，即MP + PQ +QN 的最小值为汀百.
ι 2010
5. A
6. D
过点P 作EF //AB
，分别交AD ，BC 于点E ，F ，以EF 所在直线为对称轴，作点A 关于EF
的对称点A ' ，连接A 'B 交EF 于点p ' ，当点P 与点p ' 重合时，PA + PB 的值最小，最小值为
A'B = j4耳52= j4T.
.
201
aE军m匾画画墨画草草-
7. B
8. D
作点F 关于AB 的对称点G ，连接EG 交AB 于点p ，此时PE 十PF 的值最小，最小值=
415<9; 而点P 与点A 重合时，PE + PF = 4 十8=12>9; 点P 与点B 重合时，PE 十PF=
4刁百>9.故在AB 上满足条件的点有2 个;同理，在BC ，CD ，DA 上满足条件的点P 分别有2 个.
9. 0
提示:由a+b+c=O ，得α= 一(b+c) ，:.a 2=-a(b+c) ，2α 2+ bc= α 2 -a (b 十c) 十bc= ( α
-b)(α -c) ，同理2b 2 + αc=(b-a)(b-c) ,2c2+ ab=(c-a)(c-b).
10. (1)四边形AEMF 为正方形.证明略.
13+3 J 17
(2) 5 正方形AEMF 二
2'
11. (1) E (1, O).
(2) 如答图，作点D 关于工轴的对称点D' ，在CB 边上截取CG=2 ，连接D'G 与
z 轴交于点E ，在EA 上截取EF=2. .:GC// EF ，GC=EF ，:. 四边形GEFC
为平行四边形，有GE=CF.又DC ，EF 的长为定值，λ 此时得到的点E ，F 使
OE
四边形CDEF 的周长最小. .: OE // BC ,:. Rt，6，D'OEω Rt，6，D'BG ，有一一=
BG
D'O _ __
D'O. BG
D'O. (BC - CG)
2X 1
1
~"一，:.OE 二
~
r-.../T'Io
- 一一一=一.λ OF=OE +
D'B ' •• \.../L.J
D'B
D'B
6
3
EF=t+斗，·点E 的坐标为(二，0) 'J~ F 的坐标为(7 ，o)
12. (1) D
(2) 6;615
提示:如答图，根据已知点E ，F 的位置，可知人射角的正切值为
j ，第一次碰撞点为F ，在反射的过程中，根据人射角等于反射角及平行
关系的三角形的相似可得第二次碰撞点为G ，在DA 上，且DG =tDA ，
第11 题答图
D H
C
GI乓--十---咀飞了--j
…
…
...---_.---._-------.-.. ，. ~.
~ ,
~
卜7俨τ一一./对F
Nf::二~I
A E
B
x
第
1 2(2 ) 题答图
第三次碰撞点为H ，在DC 上，且DH=iDC ，第四次碰撞点为M ，在CB 上，且CM 二
3
iBC ，第五次碰撞点为N ，在DA 上，且AN = 1AD ，第六次回到E 点，AE 二1AB. 由勾
6
股定理可得EF=点，FG= 三点，GH=15 ，HM=汀，MN= 三点，NE=iJE ，故小球经
2V~ ，- ~~
2v~ ，~
~ _. ~
V~ ，_.~_.
2
3=
, 1=
,
=
, 3 =
, 1
过的路程为15+ 一点+一点+15+ 一点+一点=6 15 .
2'
~
2 '~"~
2'~
2
(3) ①作图如下:
图①
图②
第12(3) 题答图
.208
-Ei歪理~~而立~
②在答图①中
，EF=FG=GH=HE = v'2 z +4 z = /2百=2 )5，
人四边形EFGH 的周长为4 X 2 j5 =8j5.
在答图②中，EF=GH= v!z年}2=汀，FG=HE= ♂可否"2 =j45 =3j5,
.·.四边形EFGH 的周长为2 x j5 + 2X3 j5 =8j5.
猜想:矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值.
③·.·如答图③，ζ1=ζ2 ，ζ1= ζ 5 ，...ζ2= ζ5. 而FC =FC ，
:.RtLFCE三RtL FCM.
:.EF= 儿ifF ,EC=MC.
·.· ζM=90。一ζ5=90 。
ζ1 ，ζ HEB =90。一ζ4 ，
而ζ1= ζ4 ，
λζM=ζ HEB
，λ HE // GF.
同理，GH//EF.
J. 四边形EFGH 是平行四边形.
:.FG=HE ，而ζ1 =ζ 4 ，:.RtLFDG三RtL HBE ，
:.DG=BE.
Hk二月...............
图③
第12(3) 题答图
过点G 作GK _l BC ，垂足为点K ，则KM=KC + CM=GD 十CM=BE 十EC=8 ，
GM= J4可否"2 = 4 j5 ，故四边形EFGH 的周长为2GM=8 j5 .
13. (1)作点P 关于直线AB 的对称点P j
，作点P 关于直线AC 的对称点P z ，连
接PjP Z ' 交AB 于M ，交AC 于N ，所以LPMN 的最小周长为PM +
PN 十MN=PjP z =AP=3.
(2) 如答图，分别以BC ，AC ，AB 为对称轴，翻折LBCP 至LBCP 3
，LACP
至LACPz ，LABP 至LABP j
，连接P j P Z ，P j P 3 ' 易得LAPjP z 是等边
三角形，LBPj P 3 是顶角为120。的等腰三角形，LPjP Z P 3 是边长为2 ，
第13 题答图
币，汀百的直角三角形.
·.· ζACB=90 0 ，λ ζ P 3 CP 2 =180 0 ,P z ,C 'P 3 三点共线.
代3
气2
1
.·.五边形AP j BP 3 P Z 面积为巳X(JIO ) z +点×巳× 一+2 x /6 x 一=3/3+/6.
4 .. 'v ~ ~，
'v ~
2
2
3 /3十点
.·.SMBc=75 × (3 JE+厅)=一亏一.
(3) 由(2) 得:LBPj P 3 是顶角为120。的等腰三角形，LP j P Z P 3 是边长为2 、坏、汀百的直角
三角形，人ζ BP j P 3 =30 0 ，ζ P Z P 3 P j =90 0 ，:.ζ BP 3 C=120 0 ，即ζBPC=120 0 •
.209
』ι ...loL...loL...loL...loL-I>ι」ι」且」且』ι」且』ι」且」比」ι-"'--"'--"'--"'--"'--1>也斗也斗ι斗./..
相似性原理
-".L-".L-I>也』ι ...loL...loL-".L-I>ι -".L-".L-I>也...loL-I>ι』ι -".L-".L...loL...loL...loL...loL...loL-I>ι』ι ...lOL
自然界的许多现象、事物在形体、结构或方法、性质或量与质等方面存在
某些共同点、相似点，这就是相似性原理.
在学习数学、解决数学问题时，恰当地运用相似性原理，既能获得解一类
问题的方法，又可拓宽研讨问题的途径，还可利用已有知识或已解决问题，展
开归纳、类比、联想等活动，创立新的学说.
[任。
请阅读，完成证明和填空.
20 世纪的日本折纸艺术家吉泽
章被认为是现代折纸艺术的鼻祖，他
一生发明了超过五万种新的折纸图
样，更重要的是，他建立了描述折纸
技术的标准语言.
某数学兴趣小组在学校的"数学长廊"中兴奋地展示了他们小组探究发
现的结果，内容如下:
A
JL-JMJ
/ )f
Mt\(J
I
B/汽~礼、E
以L
\
川
N飞/
，。飞飞飞飞\
1
飞
/
B
C
BN
C
C-一
D
图①图②图③
(1)如图①，正三角形ABC 中，在AB ，AC 边上分别取点M ，N ，使BM=
AN ，连接BN ，CM ，发现BN=CM ，且ζNOC=60 0 ，请证明ζNC汇=60 0 •
(2) 如图②，正方形ABCD 中，在AB ，BC 边上分别取点M ，N ，使AM =
BN ，连接AN ，DM ，那么AN = 一一一一一'且ζDON =
一一一一度.
(3) 如图③，正五边形ABCDE 中，在AB ，BC 边上分别取点M ，N ，使
AM=BN ，连接AN ，EM ，那么AN =一一一一'且ζEON = →一一一一度.
(4) 在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的
.210
iã'量
。00.. •
触类旁通，可
以理解为用相似性
原理、类比的方法
:
去寻求解决问题的
途径和方法.
德国物理学家
'
普朗克曾说"从表
面看来，自然界的
:
现象千差万别，但
:
是在相关的领域里
:
常体现着相似的简
。
单性.如果没有这种
:
情况，用以比喻和
类推为主要手段的
:
人类思维去探索自
然奥秘，不知要因
难多少倍?"
例
1 从正三角
:
形、正方形、正五边
:
形推广到正
n
边
形，展示了正多边
;
形的丰富内涵，展
:
现了数学的奥秘与
美妙.
结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现:
思路点拨
换创造条件.
( 青海省中考题)
解不同问题的共同点是: 发现并证明全等三角形，为角的转
[锐'
情境观察
如图l①，将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到，6.ABC 和，6.A'C 'D ，
如图1②所示.将，6.A'C'D 的顶点A' 与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋
转，使点D ，ACA')
，B 在同一条直线上，如图1③所示.
C
D
C D
C'C
1\
'""'
E王仨23→|\~
•
•
~ιι~ D A(A')
B
①②③
图l
观察图1③可知:与BC 相等的线段是一一一一一'ζCAC ' = 一一一一一度.
问题探究
如图2 ，，6.ABC 中，AG上BG ，垂足为点G ，以点A 为直角顶点，分别以
AB ，AC 为直角边，向，6.ABC 外作等腰R t ，6.ABE 和等腰Rt，6.ACF ，过点E ，
F 作射线GA 的垂线，垂足分别为点P ，Q. 试探究EP 与FQ 之间的数量关
系，并证明你的结论.
拓展延伸
E"一→p
仆"Qb-→F
B
GC
图2
M~ / I\ JN
B
GC
图3
如图
3 ，，6.ABC 中，AG _l BC ，垂足为点G ，分别以AB ，AC 为一边向
，6.ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB =
走AE ，AC = 走AF ，试探究HE 与HF 之间的数量关系，并说明理由.
(江苏省盐城市中考题)
思路点拨
通过作辅助线构造全等三角形、相似三角形，是解本例的
关键.
.蓝蓝~:niJi
撞撞
。00.. •
例
2 将正方形
与矩形合二为一，
:
把全等与相似融为
:
一体.探索过程由特
:
殊到一般，由简单
:
到复杂，运用相似
:
性原理解决问题.在
: 这样的问题情境
;
中，能感受数学思
想方法的力量.
.. 211
aE噩噩噩噩噩噩
. J\~ tAl
睛'
(1) 问题发现
如图①，在60AB 和60CD 中，OA=OB ，历=OD ，LAOB = ζCOD=
40 0 ，连接AC ，BD 交于点M.填空:
②ζAMB 的度数为
(2) 类比探究
如图②，在60AB 和60CD
中，ζAOB = ζCOD = 90 0 ，ζ OAB =
AC
ζOCD 二30 0 ，连接AC 交BD 的延长线于乓M 请判断一一的值及ζAMB 的
I-\\'\........
.
，.r:l/
:.J ~ ' BD
度数，并说明理由.
(3) 拓展延伸
在(2) 的条件下，将60CD 绕点。在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交
于点M.若OD=l ，OB =汀，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.
C
C
/~
A
B
图①
图②
备用图
(河南省中考题)
思路点拨
对于(1)
、(2) ，将问题转化为对应三角形关系的判断;对于
(3) ，正确画出不同位置下的图形是解题的关键.
道'
CF 交于点G .
已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与
E卜气l
图①
图②
D
B
C
图③
(1)如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE j_ CF ，
DE AD
求证· 一一二一一
. CF
CD .
D
( 2 ) 如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究: 当ζB 与ζEGC
DF AD
满足什么关系时，使得-一=一一成立?并证明你的结论.
CF
CD
.. 212
撞撞。"…
希尔伯特曾
:
说"在讨论数学问
:
题时，我相信特殊
:
化比一般化起着更
为重要的作用"
这是因为特殊
:
点、特殊位直、特殊
值既独具较好的特
:
征，又常包含一般
情况的特征.
波利亚指出
:
"如果没有相似，那
么，无论是在初等
:
数学中，还是在高
'
等数学中，甚至在
其他领域中，本来
可以发现的东西也
可能无从发现"
Ea墨理:.自
.213
撞撞。" …
类比推理是相
似性房、理的主要表
现形式，即根据两
个或两类对象在一
系列属性上相同或
相似，从而推出它
们在其他属性上也
;
相同或相似.
把握问题在内
部结构上拥有的"相
关、对比、因果、类
似"等因素，为类比
推理提供技术条件.
(3) 如图③，若BA = BC = 6,DA = DC 二8 ，ζ BAD=90 0 ，DE 上CF
，请
直接写出去的值
(湖北省武汉市中考题)
从问题(1)到问题(3) ，是从特殊到一般的推广过程，从顺
思到逆想的构造过程，当证明方法不能直接迁移时，就需要探寻可迁移的证
分析与解
明方法.
DE
AD
(1)可直接由6ADEω 6 DCF 得一一= 一一，但下面的证明方法有助于
CF
CD
一
问题(2) 的解决.
CD
GD
.: 6CGD ω 6 CDF ，: 一一= 一一
. CF--DF'
AD
GD
.6GFD ω 6AED
， :.一一=一
DE
DF'
CD
AD __DE
AD
·.=，即=
CF
DE ，~r~CF
CD.
DF
AD
(2) 要使得
=
成立，需6 CGD ω6 CDF ，6GFD ω 6AED.
CF
CD
·.ζ CGD= ζ CDF= ζ B
，
.·ζ CGD + ζ EGC = 180 0 ，
.·. ζ B 十ζ EGC=180 0 ，
这就是ζB 与ζ EGC 满足的关系.逆推即证明过程，不赘述.
DE
AD
(3) 如图，完善如图④图形，则一一二一一，由条件可得ζBAD=ζBCD=900 ，
CF
DN
A
..6CBM∞6 DCN
，
v
b
一
ω
M
-N
C-D
M-N
B-c
B
句/D
… '…
M<与'\..
I
/γ
…
… …
… …
…
…
i
i ~"
咽.
C"()'
N
图④
3
设CM= 工，CN=8- x
，得BM 二一(8- x ) ,DN=--;;-x ,
4
144
λ6 + 丰(8 - x) = 刀，解得x=一
4 '-
-/
3 -
" '''''" --
25
山
一
却
一
一
工
4
一3
一
N
D
F
h
u
丁
也
门
/
"
一
门
，
中
一
D-N
A-D
一
-
E-F
D-c
aE噩噩噩~回
·
练习
..
1. 课题:两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题.
实验与认证
设旋转角ζA1AoBl= α(α<ζA1A o A 2 ) ，仇，仇，8 5 ，8 6 所表示的角如图所示.
(1)用含α 的式子表示:8 3 =
,84 =
,85 =
(2) 在图①一图④中，连接A o H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A o H 垂直
且被它平分的线段?若存在，请选择其中的一个图给出证明;若不存在，请说明理由.
Ao
A,
Ao
A,
Ao
A,
Ao
A,
图①
图②
图③
图④
第1 题图
归纳与猜想
设正n 边形AoA1A z "'A n - l 与正n 边形A o B 1 B z … B n - l 重合(其中，Al 与B l 重合) ，现将正n 边
180 。
形AoBl B 2 … B n-l 绕顶点A o 逆时针旋转α ( 0 0<α<7)
(3) 设8 n 与上述"8 3 ，8 4 ……"的意义一样，请直接用含α 和式子表示仇.
(4) 试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A o H 垂直且被它平分的线段?若存在，请将
这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明) ;若不存在，请说明理由.
(江西省南昌市中考题)
2 . 探究证明
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出
下列问题，请你给出证明:
如图①，矩形ABCD 中，EF上GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于
EF AD
点G ，H.求证· 一一=一一
'GH AB'
结论应用
EF
11
(2) 如图②，在满足(1)的条件下，又AM l_BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上. 若一一=一，则
GH
15
.. 214
BN
一一的值为
A此f
-~\.
G卜\
G仁户<斗:
1tJ~
H
A
E
B
图③
第2 题图
联系拓展
(3) 如图③，四边形ABCD 中，ζABC=90 0 ，AB=AD=10 ，BC=CD=5 ，AM j_ DN ，点M ，N
DN
分别在边BC ，AB 上，求一一的值.
AM
(山东省‘烟台市中考题)
3. 在LABC 中，ζ BAC=90 0 ，AB=AC.点D 在边BC 上，DE j_ DA 且DE=DA.AE 交边BC 于
点F ，连接CE.
(1)特例发现:如图①，当AD=AF 时，
①求证:BD=CF.
②推断:ζACE=
A
E
图①
A
E
图②
第3 题图
A
C
B
C
E
图③
(2) 探究证明:如图②，当AD 手AF 时，请探究ζACE 的度数是否为定值，并说明理由.
EF
1
(3) 扩展运用:如图③，在(2) 的条件下，当一一=一时，过点D 作AE 的垂线，交AE 于点p ，交
AF
3
16
AC 于点K ，若CK = τ ，求DF 的长.
(湖北省襄阳市中考题)
.215
aE噩噩噩噩噩噩噩踵
AE DE
也感知:如图①，在四边形ABCD 中，ζC=ζD=90 0 ，点E 在边CD 上，ζAEB=90
0
•求证:EB-CB.
探究:如图②，在四边形ABCD 中，ζC=ζADC=90 0 ，点E 在边CD 上，点F 在边AD 的延长
FE AE
线上，ζ FEG= ζAEB=90 0 ，且一一=一一，连接BG 交CD 于点H.求证:BH 二GH.
EG
EB
AE
DE
扩展:如图③，点E 在四边形ABCD 内，ζAEB+ ζ DEC=180
0
，且EB
EC' 过E 作EF 交
AD 于点F ，使ζEFA= ζAEB
，延长FE 交BC 于点G. 求证:BG=CG.
B C
B
C
B
E
A
D
图①
图②
图③
第4 题图
(江苏省宿迁市中考题)
…… 答案
·
例题答案
例
1
(1)略
(2) DM; 90
(3) EM; 108
(4) 以上所求的角恰好等于正
n 边形的内角
(n-2).180 。
n
例2
情境观察、问题探究(略)
拓展延伸:
如答图，分别过点E ，F 作EP 上GA ，FQ _l GA ，垂足分别为点P ，Q.
M
·.·ζ BAE=90 0 ，λζ BAG+ ζ EAP =90 0 ，又·.·ζ BAG+ ζABG=
90 0 ，λζABG 二ζ EAP.
AG AB
.· ζAGB= ζ EPA=90 0 ，λ
，6，ABGω ，6，EAP
， :.一一二
EP AE.
AG
AC
同理，6，ACG∞，6，FAQ ，
:.一一=一一.: AB= 走AE ，AC= 走AF ，
FQ AF.
AB
AC
AG
AG
••
=→一=走二一一=一一，:. EP =FQ.': ζ EHP= ζ FHQ ，
AE AF
'" , .. EP
FQ
:. Rt，6，EPH 旦Rt ，6，FQH ，:. HE=HF.
例3
(1)①1
②40 。
.216
N
B
GC
例2 答图
AC
CO
(2) 由6AOCω6BOD 得
-
-疗，ζAMB= ζAOB = 90 0 •
BD
DO
AC
(3) 由(2) 可知，ζAMB =9 0 。一=汀，设BD 勺，则AC=13x.
'BD
分两种情况讨论:
如答图①，当点M ，C 在60AB 左侧重合时，
在Rt6ABC 中，AB 2 =AC2 + BC2,
λ (2 J7 )2 = (13 X)2 + (X 十2) 2
，
解得Xj=2 ，X 2 =-3( 不合题意，舍去)
:. AC=13x=213.
如答图②，当点M ，C 在60AB 右侧重合时，
在Rt6ABC 中，AB 2 二AC 2+ BC2 , :. (2J7 )2 = (13 X)2 + (X - 2) 2,
解得Xj 二-2( 不合题意，舍去) ，工2 =3. :.AC=13x =313.
图①
例3 答图
综上所述，AC 的长为213或313 .
练习答案
1. (1) 60。一α;α ; 36 。
α
(2) 存在，下面就所选图形的不同分别给出证明.
选答图①.答图①中有直线AoH 垂直平分A 2 乱，证明如下:
: 6A oAjA 2 与6A o B j B 2 是全等的等边三角形，
:. A oA 2 二A o Bj'
·. ζA o A 2 Bj= ζA o B jA2 ，又ζAoA 2 H= ζA o B j H 二60 0 ，
·. ζ HA 2 B j = ζ HB j A 2 ，:. A 2 H = B j H ，二点H 在线段A 2 B j 的垂直
平分线上. 又.: A oA 2 = A o B j
，:. 点A 。在线段A 2 B j 的垂直平分线上.
·. 直线A o H 垂直平分A 2 B j .
选答图②.答图②中有直线A o H 垂直平分A 2 B 2 ，证明如下:
.: A oB 2 = A oA 2 ' λ ζA o B 2A 2 = ζA o A 2 B 2 ,
又·.· ζA o B 2 Bj = ζA oA 2 A 3 = 45 0 ,
.·. ζ HB 2 A 2 = ζ HA 2 B 2 ，:. HB 2 二HA 2 ' :. 点H 在线段A 2 B 2 的垂直平
分线上. 又.: A oB 2 =A oA 2 ，:. 点A o 在线段A 2 B 2 的垂直平分线上.
λ 直线A o H 垂直平分A 2 B 2 .
180 。
(3) 当n 为奇数时，8 n = 一一一α ; 当η 为偶数时，8 n = α.
η
-E歪~ta Ji
..
( Mf
盼
Ao
A J
图①
A J
第1 题答图
(4) 存在.当n 为奇数时，直线A o H 垂直平分线段A 平B 早;当n 为偶数时，直线A o H 垂直平分
线段A + B + .
11
. DN
4
2. (1) 略
(2) 一
(3) 一一= 一
15
，~/ A M
5 '
3. (1)①略
②90
(2) ζACE 的度数为定值.
.211
aE军革B盛孟·
理由:在6DAF 和6DCA 中，ζADF= ζ CDA ，ζ DAF= ζ DCA= 45 0 ，
AD
DF __DE
DF
:.6DAF∞6DCA ，:. 一一=一一，即一一=一-
CD
AD '~"CD DE'
又·.·ζ EDF= ζ CDE ，:.6DEFω6DCE ，
λζDCE= ζ DEF=45 0 ，ζACE=45。十45 0 = 90 0 •
ω 在6ADE 中，': DP上AE ，
DP=AP=EP=÷AE
设EF=x ，则AF=3x ，二AE = 4x ，.'.DP =AP=EP=2x , :.FP =x ,
:.DF= VFp 2 十Dp 2 =j5x ,DE=J EP 2+DP2 =2J2x.
EF DF __ x
代5x
_ __
2.J10
.: 6DEF∞6DCE ，二一一=一一，即一一，七干，:.CE = - '_- 二z
CE
DE' ~.， CE
2J2x
/"
d
(2 江百
2
6 刁百
由(2) 可知L.ACE=9札'.AC=VAE 2 -EC 2 =J (4X) 2 一(一了x)" = 一厂工，
·.· ζAPK= ζACE=90 0 ，ζ PAK= ζ CAE ， :. 6APK ω6ACE ，
6 /1百
16
AP AK2z5
z -
3
·.一一=一一，~p 一τ-
,
，人工=汀石，:.DF=j5x = 5J2.
AC
AE' ~，- 6JIO
--_-x
5
AE
DE
ι 感知:由6EDA ω6BCE 得一一=一
EB
CB'
B C
~
M
/守、....
D
I、
J
、、、
H
_、
，
、
/
\ "lfl
/\\-功、主C
J
飞、、
r
、
F 、J
/、
/
'ML~G
/
\Il:步/' \
探究:如答图①，过点G 作GM l_ CD 于点M ，由6EDA ω
二
AE
DE EF DE
6BCE ，6EDFω6GME ，得一- _ 一_-一=一一，
EB
BC
EG MG
A
D
F
A --r -- -
D
图①
:.BC = MG ，由6BCH 豆6GMH 得BH 二GH.
第4 题答图
扩展:下列证法供参考:
.218
如答图②，在FG 上取点H ，连接BH ，使ζBHE= ζAEB .
在6BEH 中，ζEBH+ζBEH =180 。一ζBHE ，
又·.· ζAEF +ζBEH = 180 。一ζAEB ，二ζEBH = ζAEF.
AE
EF
·.· ζBHE= ζAEB= ζEFA
， :. 6AEF∞6EBH ，λ 一一=一-
EB
BH'
·.· ζAEB+ ζ DEC=180 0 ，ζEFA = ζAEB
，二ζEFA +ζDEC = 180 0 •
又·.· ζEFA +ζEFD = 180 0 ，λ ζDEC 二ζ EFD.
在FG 的延长线上取点M ，连接CM ，使ζM =ζ DEC .
DE
EF
同理，易ìïE6DEFω6ECM ，λ 一一=一
EC
CM'
AE
DE EF
EF
. 一- _ 一一，一一= 一一，:.BH = CM .
EB
EC
罗BH
CM'
·.· ζBHE + ζBHG = 180 0 ，ζ BHE = ζAEB
，
.·. ζBHG = ζDEC = ζM. 由6BHG豆6CMG 得BG = CG .
图②
囚纣嗣后法的延踊(1)
【例题求解】
参考答案
例1
设t 十x 2 二y
，则原式=(y-4)(y 十3) 十10= y 2 - y -2= (y -2) (y +1) = (x 4 十x 2 -2)
(x 4 十x 2 十1) = (x 2 +2) (x 十1) (x - 1) (x 2 +x 十1) (x 2 - x + 1).
例2
A
将原式重新整理成关于工的二次三项式，则原式= (y - z)x2 + (y 2 - 2YZ+Z2 )x~ (zy 2 一
Z2 y) = (y - z)[x 2 + (y - z)x - yzJ = (y -z) (x 十y)(x-z) .
例3
(1)原式=(x 2 十7x+6)(x 2 +5x 十6) 十X 2 =(x 2 +6x+6) 2 .
提示:令x 2 十6=α .
(2) 原式= (1 999x + 1) (x -1999).
提示: 令1999=α .
(3) 原式= (x-1) 2 (y- 1) 2.
提示:令x +y= α
，xy = b .
(4) 原式= (2x-3y)3 十(3x 一2y) 3 一[5(x- y)T = (2x -3y) 3 + (3x -2y)3 一[ (2x - 3y) +
(3x -2y) J3 = -15(x - y) (2x -3y) (3x -2y) .
例4
(1)原式=a 2 b -a 2c +b2c -b 2 a 十c 2 α -c 2 b=(b-c ) α 2 十(c 2 -b 2 ) α +b 2 c-c 2 b=(b 一
c)[α2 一(c 十b) α 十bcJ = (b - c) (α - b)( α - c) .
(2) 原式二x 2 +3x 一(y 2+ y-2)=x 2 + 3x 一(y 十2) (y -1) = (x + y + 2) (x -y+1) .
【学力训练】
1. (1) x(x+9) (x -3)
(2) (α+ 1) 2 (α- 1)
(3) ( x +4y ) (x -4y)
ω-3(z-f) 2
2. +/3或土J5
原式=(4 一是2 ) 2 X 4
，则(4 一走2 ) 2 = 1.
3. 1
4. C
5. A
6. D
7. (1)原式= (x+2)(x +4 )(x 2 十5x+8) .
(2) 原式二x ( 2x - 3) (x - 3) ( 2x + 3) .
提示:令2X 2 -3x = y.
(3) 原式= (x 2 +x+5) (x 2+x -2) = (x 2 +x 十5)(x+2)(x- 1).
(4) 原式= (6x 2 -7x 十1) ( 6x 2 - 5x + 1 ) 十x 2 = (6x 2 -6x 十1) 2 .
(5) 原式= (a 2 + ab -1) (b 2 十ab - 1) .
提示: 令6x 2 +1 二y.
(6) 原式=x 2 十(y+ 1) x 一(6y 2 -13y 十6)=x 2 +(y+ 1) x 一(3y - 2)(2y-3)=(x+3y-2) •
(x -2y +3)
8. (xy- 1) (y - 1) (x- 1)
9. 3(x 一2) (y 一2)(x-y)
设工-2=α
，y- 2 =b ，则x-y = α -b ，原式=α 3 →b 3 -
(α - b) 3 =
(α -b)(a 2 +ab 十b 2 )-(a-b) • (α 2 - 2ab + b 2 ) = 3αb(α -b) =3(x-2) (y-2) (x - y).
.. 219
a-~辈革骂l1I:[墨;P，-血革~
10. 9
11. C
提示:形如2走+1，处的整数能表示为两个整数的平方差.
12. B
r8m+40 二Q 2 ，
13. 设斗
其中a
，b 均为正整数，且α > b ，a
，b 都为4 的倍数，
18m-40=b2,
得(a +b) (α -b) =80=2 4 X 5,
t+b=20
仁12
解得4
α -b=4 ，
Ib=8 ,
:.m=13.
14. 设2018=n
，则原式=η 2 十η 2 (η+ 1) 2 十(n 十1) 2
=(η 2 ) 2 +2η 2 (n 十1)十(η+ 1) 2
=(η 2 +n+ 1) 2
= (2018 2 十2019) 2 为完全平方数.
团结儒自法的延而(2)
【例题求解】
例
1
(1)原式= (4x 2 -4x+ 1)一(y 2 -4y+4) = (2x -1) 2 一(y -2) 2 = (2x 十y-3)(2x-y+ 1).
(2) 原式=(x 3 十1) +(5x+5)=( x 十1) ( x 2 -x 十1)十5(x 十1) = (x +1) (x 2 - x +6).
例2
D
提示:设工3 +αx 2 十bx+8=(x 十1) (x + 2) ( x 十c) =x 3 十C3 +c )x2 + (2+3c)x 十2 c
，比
较得c 二4 ，从而α 二7 ，b=14.
例3
(1)原式=x 4 +2X 2 + 1-9x 2 = (x 2 十1) 2 一(3X) 2 = (x 2 十3x 十1) (x 2 -3x +1).
(2) 原式=x 4 +2x 2 +1-x 2 +2ax -a 2 = (x 2 十1) 2 一(x -a) 2 = (x 2 + x + l-a) (x 2 - x +
a 十1).
(3) 原式=( X2 +X+ 1) 2 .
例4
提示:因x 2 +3x+2=(x+ 1) (x+2)
，故可令原式二(x 十my+ 1) (x+ny 十2) ，展开比较对
应项系数求得走=-3.
【学力训练】
1. -31
2. 一5
提示: (α 十b) (x+y) =ax +by 十ay+ bx = 4, ay + bx = -1，原式=(ay 十bx) (ax +by) =
-5.
3. C
4. D
5. (1)原式= (a 2 + 8b 2 -
4ab ) (a 2 十8b 2 十旬的.
(2) 原式=(x 2 十y 2 + xY)( X 2 十y 2 -xy).
(3) 原式=x 2 十1 十2x 十x 2 +( x +x 2 ) 2 =1 十2(x 十x 2 ) 十(X+X 2 ) 2 = (1 +X 十X 2 ) 2 .
..220
EE重辈辈潭也
(4) 原式= (α +c - 2b)2.
提示:设b - c=x
，a-b=y
，则c-a= - (x+y).
(5) 原式二
(a 4 十2α 2b 2 十b 4 ) 十(2α 3 b + 2ab 3) + a 2 b 2 = (α2 十b 2 )2 十2α b (a 2 十b 2 ) 十(ab)2 =
(α2 十b 2 +ab)2.
(6) 原式=(X 3 +X 2 )+(X 2 +X) 一(6x +6) =x2 (x +1) + x (x +1) -6(x 十1) =(x 十l)(x 十
3)(x-2).
6. 16;3
令2x 4 + x 3 -ax 2 +bx + α +b-1=(x 2 +x-6) • A=(x+3)(x-2) • A
，取z 二一3 ，
工二2 代人上式，可求得α =16 ，b=3.
7. 0
(一户3+ρ -a=O ，
8.0 或6
设工3- x - a =ACx+ ρ )
，x 2 +x-a=ßCx 十ρ) ，则斗
lp2 一户-a=O.
①
②
②一①，得扩+ρ2-2ρ=0 ，ρ( 户十2)( 户一1) =O ，p=O 或户=-2 或户二1，分别代人②得α=0
或6.
9. D
提示:原式=(α 十b -2c) 2.
10. A
提示:原式=2(x _2y)2 + (x -2)2 + (y 十3) 2 二三0 ，且这三个数不能同时为零，M>O.
11. (1)原式=4x 3 -
x -30x +15=x (2x+ 1) (2x -1) -15(2x 一1) = (2x -1) (2x -5) (x +3).
(2) 原式二句2b 2 一(旷+b 4 +C 4 十2a 2 b 2 -2a 2c2 -2b 2c2)
= (2ab)2 -
(α2 十b 2 -C 2)2
=(α +b 十c)( α 十b-c)(c-a 十b)(c+ α -b).
(3) 原式=(x 2 -xy-2y2) 一(2x 一句)=(x 一2y) (x+y) -2(x-2y) = (x -2y) (x+y -2).
(4) 原式=x 7 + X 6 + X 5 + 1-x 6 =x 5 (x 2 十x+ 1) 十(1 -x) (1 +x 十x 2 ) (1十x 3 )
=(x 2 +x 十1) (X 5 _X 4 +X 3 _X 十1).
(5) 原式= (x 4 - X 2 ) + ( 2x 3 -
2x ) 一(8x 2 -8) = (x + 1) (x -1) (x +4) (x -2).
12. (1)左边
=(α 2+b 2 )2_2α 2b 2 十(a 2 +b 2 +2α b )2
=(a 2 十b 2 )2 -2α 2b 2 +(α2 十b 2 )2 +4ab (a 2 +b 2 ) 十4α 2b 2
=2(a 2 十b2) 2 十旬以α 2+b 2 )+2α 2b 2
=2[(α2 + b 2 ) 2 + 2ab (α 2 +b2) 十a 2 b 2 J
=2(α2 +b 2 +ab)2
=右边.
la 4+扩+(α +b) 4
12 (α2 十ab 十b 2 ) 2
。
(2) 设α =11 ，b=100 ，则原式=~-
，~ '2 ,-
，~/ = ~-'- '-;' ~ / =(a2+ab+b2)=11221.
13. 由条件得(b -c) ( α -b)( α -c)=O ，
因此，b-c
，α -b ，α
c 中至少有一个等于0 ，即a ,b ，c 三个数中至少有两个相等.
.. 221
aE壶
tg i1t f'Ji ñjt . J\ ~ta
国因茸纣酶的应用
【例题求解】
例
1
(1) 3
由条件得(α 2 十b 2 ) 2 一(α 2 十b 2 )-6=0 ，( α 2 +b 2 -3)( α 2 十b 2 +2)=0 ，故α 2 +b 2 =3 ，
或a 2 +b 2 =-2( 舍去) .
(2) 6 或一7
由己知得(X+y) 2 十z 十y -42=0 , (x+y +7) (x+y -6) =0 ，故z 十y+7=
。或x+y-6=0.
例2
A
提示:原式=(n-1)n(n+ 1) (n 2 + 1)
，为2 的倍数.当η=5走，η =5k +l，n= 弘一1 时，
为5 的倍数;当n=5走一2 ，η=5走十2 时，对十1 为5 的倍数，故原式为10 的倍数.
例3
(1)考虑一般性
: n(n+3)+2= η 2 +3η +2=(n+ 1) (n+2).
(3 X 4). (5 X 6). (7 X8). (9 X 10) …(1995 X 1996)
原式= ,____,
. __ _,
, ___ _,
,____,
,___.._ ___ _,
998.
(2 X 3). (4 X 5). (6 X 7). (8 X 9) …(1994 X 1995)
a 3 -2α 2 一(a -2)
(α -2)(a 2 -1 )α- 2
1998
666
(2) 设2000=α ，则原式二
二
2
=一一=一一=一一
a 3 + a 2 一(α + 1)
(α 十1) (α- 1)
α+1
2001
667"
(3 X 7+8) (7 X 11 +8) (1 1 X 15+8) (15 X 19 十8) … (35 X 39+8) (39 X 43+8)
(3) 原式= (-1 X 3+8) (3 X 7+8) (7 X 11 十8) (1 1 X 15+8) … (31 X 35 十8) (35 X 39+8)
39 X 43 十8
=
_ __ _, _=337.
-l X 3+8
例4
旷-16η 2 十100= 旷+20n 2 +100-36n 2 = (n 2 +10) 2 -36n 2 = (η 2 + 6n + 10) (n 2 -6n + 10) ,
因n 2 +6n+10手1 ，而旷一16η 2 +100 为质数且η 为正整数，故n 2 -6n+10 二1，即(n-3) 2 =
0 ，得n=3.
E学力训练】
1.略
2.70
3. 3
由条件得m 十η=-2.
4. C
5. A
6. D
7. (1 )α= (10 9 -1) + (383 -1) = 999999999 十(38 - 1) (382 + 38 + 1) ，而
999999999 = 27 X
37 X 1001001.
2η (2n + 1) (2n 十2)
(2) 原式=zn(n 十1) (2n+ 1) 一1=
A
一3 十2.
8. 120
提示:η 5 -5n 3 +4η =(n 一2)(η - 1) n( η + 1) (η+2) ，则对于大于2 的任何正整数n ，数
n 5 -5n 3 十切都含有公因数1 X 2 X 3 X 4 X 5=120.
9. (1)、/
(2)
飞I
(3)
飞/
n 2 +1=(n+ 1) 2 一切，设户2 =2n
，对于任意不等于2 的偶数户，都存在n
，使2n= ρ 2 ; 对+n 十
l=(n 十1) 2 -n
，设p 2 = η ，对于任意不等于1 的整数户，都存在η ，使n= 户2
.222
圃函孟孟噩..
10. (1) 15
提示:(3α + 5)(2b 一3) = 288 = 25 X 32 ，只有
3α + 5 = 2 5
，2b - 3=3 2 成立.
(2) (3 ,0) , (2 , 2)
原方程化为(2 m -3)(3"+ 1) =10.
11. D
由条件得(z+ 1) (y + 1) (x + 1) =2013 ，而2013 = 3 X 11 X 61 = 1 X 3 X 671 = 1 X 11 X 183 =
1 X 33 X 61=l X 1 X 2013 ，故非负整数解有27 组.
12. B 设α =mn
，b=pq ，c=m户
，d=nq
，则原式=(m 十q) ( η+ 户) ，不可能是质数.
13. C
由α +b 十ab+1=( α + 1) (b + 1) 得，每次操作前和操作后，黑板上的每个数加
1 后的乘积
1
\/ 1
\
1]
不变，设经过99 次操作后黑板上剩下的数扣，如+1= (1+叫王+ 1) ( ; + 1) ... (1~0 + 1) ,
解得x=100.
14. (1)因旷+n 2 +1 = (n 2 +1) 2 -n2 = (n 2 -n 十1) (n 2 十n+ 1)，又(n 十1) 2 一(n+ 1) 十1=n 2 +
(2 2 -2 十1)
η+ICn=1 ，2 ，"'，11) ，于是分子与分母可逐项分解并相消，可得原式二段王二去卡1)
L乒半刺寸7 丛L斗牛1)_(.4ιH斗斗7 届三=-&卡1)
__(.6!半e卡1)_(_巨-=-8牛1)战主半制寸7
_(_J纠f.+问)_(_5王二←同)~半←片1 J:ß-=斗卡甘4与叶卡1)__(.♀L→→寸7 段马例寸7
L~→。牛1).Q.单半扮牛1)
22_2+1
3
_Q_þ→t→寸1(11 2 +11+ 1)
112+11+1
133'
(2) 4
设α=2011
，4020=2α-2.
(3)
由x+y+xy=8
，得(1十x) (1 + y)=9 ，进一步得(1 +x) (1 +y) (1 十z)=3 X 4 X 6 ，原
式=15.
15. 由已知等式得，2019(α
的=旷
扩=(α -b)( α 十b)(a 2 十b 2 ) ,
又α 芋b
，则(α +b)( α 2 +b 2 )=2019 ，
·.·.α +b*O ，
λ2c =旷-2019α+ 扩- 2019b
=旷+b 4 -2019(α +b)
=旷+ 扩一(α +b) 2 (α 2 十b 2 )
=-2ab( α 2+ ab+b 2 ) ,
λ abC α 2 +ab+b 2 ) = -c< O.
注意到，a 2 十αb+b 2 =1[α 2 +b 2 十(α 十b) 2 ]二三0 ，从而，ab< O.
2
故α 2 +ab 十b 2 = (α +b) 2 -ab> -ab ,
:.-c=abCa 2 十ab+b 2 ) < 一Cab) 2
，
••• (αb) 2< C ， -JC < ab < JC ,
•• -JC < ab < O.
..221
a
Ic~噩噩噩噩噩噩噩
国纣茸的回2 、性质段运鹏
E例题求解】
例1
(1) 3
(2) X#O 且z 手+1
例2
(1)C
1 _ ~ 2
1 一(二) 2
1_ ~2
~2_ 1
提示-L二τ+ 一一二一=L」τ+ 二，- ? = O .
'1 + X 2 ' _
, I 1 \ 2 1•
X 2 ' 1+x 2
1 十(z)
1
1
L 2
~ /
1
1
，1α + b + c
(2) C 提示:原式=(; +否可r -2 ( a~飞+ι ) =16-2 X丁~=16
例3
2α4α 3
4α 3
4α 3
8α 7
(1)原式=F=F+F平zz+F工{;4= a 4-~b 4 + a 4--t-b4 = 歹丁ZE ·
11
1
1
1
1
100
(2) 原式=一一一一十一一一一一一一十…十一一一一一一一一=
x
x 十1 ' x+1 x+2 '
x 十99
x 十100
x ( x 十1 00 ) .
( 3) 原式= 一土寸
1 一切"
【学力训练】
1. 3 或-1 2;
山
7
93
4. C
5. A
原式=(2+ c) +(2+α ) + (2+b)
6. C
7. (1) -5 (2) A=- l，B=-6 ，原式=8.
8. 1
设b 1 = 2b ,Cl =2c ，则ab 1 cl =1 ,
1
1
1 十G 十ab 1
原式=
ab 1 +α+1 '
b 1 Cl+b 1 十1 . Cla 十C 1 + 1
ab 1 + a + 1
36
9. 18
原式= 7 + 一一言，(η-3)136.
η 一- .j
…_ n 2 + (n+ 1) 2
2η 2 十2η + 1
10. 2010
提爪:
=
。
ι
=2 +~一
n 白寸-n
n- 寸-n
x+1
11x
11. B
由题意得一一一=一:~ ,x y+11x -10y =0 , ( x -10) (y + 11) = -110 ,x -10> - 10 ,y +
y+1
10y '
11> 11 ，得(x - 10 ，y 十1 1) = ( - 1,110) , ( - 2 ，5日，(一5 ，22) ，由工，y 为两个互素的正整数推
千导(x ,y) = (5 ,11).
12.D y 3 =导，原式=ζ主:
c.,
y
13. C
提示:由条件得b 2 十C 2 - a 2 = - 2bc ，α 2 十b 2 - C2 = 一2ab ，α 2 +C 2 - b2 = 一2ac .
16
14. (1)气c
X -1
.
224
EIf~辈辈~
(2) - 1 提示:原式= - 1 + (1 + ;) 寸(1 + ;) + ;(1 + f)(1 + t) + j(1 + 7)(1 +
t)(1+;) 一(1+7)(l十七(1+~)(1+~)= 一1 十( 1+7)(1 寸)(14)(1 十
j)(l+?)(1+t)(14)(1+j)=-1
(3) 拆项通分.原式=土一一一
1
X]
X]+ 工2 十… +X n
工2+ 工3+ … +ι
X] (X] 十X2+ … +Xn)'
α 十3
15
... .. .... . _.
180
15. 设A= 一一-一一一(α
，b 为正整数) .则a = 一一一-3
12
26-b ，-，~ /...~~~ . . / .... --
26-b
α+3
由于A= 一-;;-- ，于是，当α 取最小值时A 最小，a 取最大值时A 最大.
12
15
3
因为α 是正整数，所以:当26-b=20 时，α 取最小值，此时，Amin ==一=一·
20
4'
15
当26-b=1 时，α 取最大值，此时，A max = -1- = 15.
3
57
故Amax - Amin = 15 一一=一.
4
4
国自奈1年的纣茸的1世简与市值
【例题求解】
1
5(x 2 +主-3)
例
1
(1)由条件得X2+ 今=3 ，原式=
了
=0.
工
b
c
d
(2) 设一二一=一二一=走，则d= α走
，c=d走=α· 走2 ,b =c • 走=α· 走3 ，α =b • k =a • k 4 ，得
b
c
d
a
走4 =1 ，即是=土1 ，当走=1 时，a=b=c=d ，原式=0; 当走=一1 时，原式=-2.
例2
B 提示:由条件得(α 十b)(b+c)(c 十α) 二O.
(1 - a ) 2 I (1 - b ) 2 I (1 - c ) 2 _ ')
1 1'1
_ (1 _
_ \ 2
例3
设ab 十bc+ca=t ，由一-7一十一一一一一十一一τ一=3 ，得α (1
α) 十以1-b)2 十c (1_c) 2=
tJc
ac
aυ
3abc ，整理得(α +b+c) 一2(α2 十b 2 +c 2 ) 十矿+b 3 十c 3 -3abc =0 ,
·.·d 十b 2 +C 2 =( α +b 十c)2-2( αb 十bc+ca)=4-2t
，
α3 十b 3 十c 3 -3αbc=(α 十b 十c)[(a 2 十b 2 +c 2 ) 一(ab+bc 十ca)J=2[(4一2t) - t ] = 2 ( 4 - 3t ) ,
:.2-2(4-2t) 十2(4-3t) 二0 ，得t= l.
故ab+bc 十ca= l.
..225
aE军军军草草草'
【学力训练】
172-2
3.0 或一2
由条件得(α 2 -b 2 )2 =O ，α = +b .
4. D
5. B
6. A
α 2 +主-m
由条件得α+1=-44 2 +l=14 ，原式化为
a
a
2( a 十二) +m
3.
1
1
1 _ _
1
1
1
1
1
a 4
1
7. 由条件有: x= 石，y= 石，z=7' 于是I丰歹+ I丰ZZ= II歹十一-E= II万十F工I= 1
1 +-=:-
α
原式=3.
111
8. 0
由条件得一一一+一一一一+ 一一一= 1 ，2-2Cα + b+c) = 8abc .
1 - 2c ' 1 - 2a ' 1 - 2b
9. 1
提示:将分式两两相乘、三个相乘.
10. 14
一
z-y
y-z
y
一
+-y
z-
Y
一
十
-
z
z
一
一
-
Cb- 1)2 ,
Cα _ 1) 2
11. B
提示:由条件得1-a=b-1 ，1-b= α-1 ，从而一-7一+一一一一=-4
o
a
12. B
由条件得α +2b=3b+c = 18.
2Cb-a)
2(c - b)
2(α- c)
13. D
由条件得α - c = (h 十八( r 十川，b - a = (r 十川(f7 +川，c - b = (o 十的(h 十八' 三式相乘.
工十y 十z
x+y 十z
"'''' "
x + y + z
t=1 ~
1 ,.
X + y + z
14. ax 十by+cz = 一一一一--=- ，ax + x = 一一一一一，得
1 十α= 一一一一一，同理l+b = 一-r一一，1+
.J
' --
2
' - -
,
-
2' ' ". -
--
2x" • -~ -
2y
x+y+z
c =
2z'
2 一0+α)
, 2 一o 十b)
, 2 一O+c)
2
,
2
,
2
原式= - _'-'-'+-
_ ' ~
. -'+ -
，' -
' -'-一一+ 一一十一一-3
1 +α
l+b
l +c
l + a ' 1 十b ' 1 +c
=-1三一+
，4主一+
，4乙一- 3 = 1.
x+y+z
x 十y+z
'x+y 十z
15. 设a+b +c=x ，ab 十bc +ca = y ,abc =z ,
I
1
11 \
I
1
1
1
则(计b + c) (山-U bh - h+c +α 一切) =z (FUFEfFE; )
z [3x 2 - 12Ca 十b 十c)x+36Cab + bc+ca)J
xC - 9x2+ 36y)
x 3 - 6(a + b 十C ) x 2 十36( ab + bc +ca) x - 216abc
-5x 3 + 36xy - 2l6 z
.
22&
.远主军望自
一9x 3 十36xy
9
j~
27
=一，得xy =--;)Z ,
一5x 3 +36xy-216z
5' I'J
幻
一
2
一
一
刀
-
z
一
一
式
原
国二}灭自R 茸的运篝
【例题求解】
X 2 - 2 _
X 2 - 2 _
._ X 2 - 2
例1
6
提示:由一一~~O ，一一一二三0 ，得一一一=0 ，则x 2 =2 ，y =2.
5x-4:;;:--V' 4-5x:;;:--V'"V5x - 4 -V ，;r;~.L
-
l.J 'y
例2
C 由条件得一2<α < 2 ，一2<bζ 2 ，(α + 2)(b-3) 二三0 ，推解得α =-2 ，b=0 .
例3
(1)考察一般情形:
1
(2n + 1)/2百-1 十(2n- 1) ffn丰1ffn丰1j2n-1 (/2言丰1+/2再-1 )
ffn丰f- j2n -1
1 (1
1
\
二一( 一一一一一一一一一) ，原式=→.
2
飞d百=1ffn丰1 1
(2) 原式=v (J3 十1) 2 +V(J'3 _1) 2 =J3 + 1 +J3 -1=2J3.
(3) 原式=J10 +8次在十1)2 =Jl江E万=v(4 +12 ) 2 = 4十12.
例4
由条件得α 2+ α - 1 = 0 ，α 2= 1 →α
，a 5 = α 3 (α 2+ α )-a 4 = α 3 一旷= α (1 - a) 一(1 -a) 2 =
5α-3 ，α 5+ 3= 句，
10
2
5J5-5
~
.
=- .
~
7J5 - 15
·. 原式= α 5- 3+ τ一一= 5α - 6 十一_ -
Y 二一一- 6 九5+ 1 =-
'
Y ι一一
a 5 + 3
--
-'
a
2
-'
Y -
【学力训练】
1. 土8 J3
由条件得α 十一= 比α 2 十丁= 194 , (α 一一f=α 2 十主- 2.
1
1
a
a
2. 2001
3. 4
由条件得m 注2 ，(n - 2 ) 2+ y' (m - 2) η 2 = 0.
ß+ 1/.
4. A
由工二-E-f导2x- 1 =点，两边平方得工2_X= 1.
5. D
提示: JX 十2j歹= 512 ，则JX ，2 ♂，512为同类根式.
6. D
7. (1)设
n = 1999 ，则原式= Jn( η + 1) (η 十2)(n+3) + 1 = y' (η 2 + 3n) (n 2 +3η 十2 ) + 1 =
J (n 2 十3η + 1) 2 = η 2 十3n + 1 = 4001999.
12
，~-
1
J; - FnτE
(2) 2
(3) 二二提示.
-
'rn +Fn有
一3
. m
aE军歪歪Z理罩薯
(4) 兰主有下面恒等式
1
土·一土一=土.豆二主二L(土一工) .
一
• a ，jb 十b ;;l
Fa百
ra+.fb a
a-b
a-b'.fb ra
据此，取α = b+2 ，b = 1 ，2 ，3 ，…，由于α - b = 2 ，上面的和就是
S =J(I-l)+↓(~ - ~)+↓(Li) 十…d(-L一」一) +」一+-
2 '
13 '
2 'J2 j4 ,
2 '13 J5 '
2 'j2百1
j2页3 '
2 j2百2
2乃曰言
1 ,
I 1
1
1
\
I
1
1
2 +J2
一-
1
I
-r-一二一一…-千一一
2 飞〓J2j2百2
j2沉了
2 )2证言
2 )2页言
4
8. 构造矩形ABCD ，使AD=2b ，AB=2α ，取AB ，BC 的中点E ，F ，连接DE ，
EF ，DF ，则DE=J歹平画艺，EF= J歹丰E言，DF= J石τ丰E言，6DEF 的面
积即为所求.
2b代〉F
1
5 ð. DEF =5 矩形ABCD - 5 ð.ADE -
5 ð.BEF -
5 ð.DCF = 2α X2b 一一X 2b X α 一一× α ×
2
1
3
b - E × 2α Xb = 言ab.
A
E
B
第8 题答图
1
1 _.
1
~
^. 1
]
9. 10582
设[6+/5 =x ，[6一点=一一一= 一，则Z 十一= 2 [6 ,x 2 + 一= 22 ，x 3 + 七= 42 点，得
[6 + /5 x' /'~ ~
X
- v ~ ，~ 'x
2
工
(J百+/5 ) 6 + ([6 _ /5 )6 = X 6 + 占= ( X 3 ) 2 十( 主f + = (X 3 十主) 2 -2= 1则2 ，([6十/5 ) 6 =
X
'X -'
X
10582- ([6 -/5 )6 ，而0< ([6-/5)6<1.
10. 108
设工一116 = m 2 ，x 十100 = n 2 (m < n ,m ，n 为正整数)
，(n + m) (n - m) = 216 = 4 X 54=
2 X 1 08 ，当m + n = 108 ，n - m = 2 时，y 有最大值.
11. 4 设JX 2 -X歹一♂y_y 2 = t ，则9t = (X 2 - 2xy+ y 2) = (x - y) 2 =36.
12. A
提示
: O<a < l ，a > a 2 > 矿，7α + 1 = α+3α 十3α 十1 > α 3 + 3a 2 + 3α + 1 = (α +
1) 3 ，得
抒a + 1 >α + 1，同理拧开1>b 十1，抒芹1> c + 1，扫Z丰l > d 十1 ，相加得户> (α 十b + c +
d) 十4=5 .
13. B
a = [6十J2+{百二J2
r;;-
α = 一一口一一+. -
^ • - = J6 ，α + 一----
~
a
0
14. B b = J2(J2+J3-/5).
3
_ . 3
3
15. 设α +τ = b+ 一= c 十一= 走，则ab + 3 = 悦
，bc 十3 = c走
，ac 十3 = ak ,abc + 3c = bc走= 走(ck - 3) ，
o
c
a
即αbc + 3走= (走2 - 3)c ，同理可得abc + 3是= (走2 -
3 )α
，abc 十3走= (走2 - 3 沽，人(走2 - 3)c =
(走2- 3)b = (走2 - 3)a ,k 2 = 3 ，故原式= V3f2 = 3.
.. 228
E~军噩噩
J x 4 - 3x 2 + 9 -Jx 4 - 4x 2 + 9 Jx 4 - 3x 2 + 9 + Jx 4 -4x2 +9
16. (1) f(x) =
x
Jx 4 -3x2+ 9 + Jx 4 - 4x 2+ 9
、
B
J
'
、
1
/
-
-
n
叫
d
9
=lf
-
--
AH
J
U
2
一
-
Z
X
一
-
4
4
4
一
一
一
-
-
-
A
性
4
一
-
X
Z7J
J
飞
二
十
们
一
百
{
-2
2
一
二
Z
Z
二
3
内
〈
U
一
一
一
一
一
-
4
·
'
4
--J
Z-
dv
/
'
自
\
-
J
，
‘
、
甲
·
·
山
x
十
卢
+
工
V (x 2 -3) 2 十3x 2 + V(x 2- 3) 2+ 2x2
J ( x 一; ) 2 + 3 +J( z -f ) 2+ 2
(2) 当工=立，即工二点时，
工
J扣←
(υ←
Z厂一寸7二
扩扑扫
fμ
问
2与l
+付叫
3 叫
咄
+J(X- ~主f +刊2 取脚得榻最如町
4小、值邮
♂川川
+哨咱叮
z
几阳
，厅拮币
于币
阳如是缸虾
f卢(以
Z
甘
x'
-v -
，
..-~
.
~，
-
- .
' -
J
--;
♂
3 + ./
♂
E
f( x ) max =./3 -./2 ，此时工= ./3 .
国坐际平面上的直结
【例题求解】
例1
(叶~k ~ 3
直线y = kx 一走过定点(1，0) ，当直线y = kx
走分别过点A ，B 时，走值分别
取最大值、最小值-
b
( 2 ) 两对称点的坐标分别为A 2 ( 0 ，一)
，B 2 ( - b ，0 ) ，过这两点的直线的解析式为y=
G
b
-n
u
+
1
寸
α
1
_ . _ .
,
_
1
1
1
2000
例2
(1)C 提示: 5 一一一一一--:- . 5 ，+ 5 ? + … + 5 200 二一一+一一+ … + -- - - "- -_ . = 一一
n
n(n 十15 ，0...) 1
1
0...)2 I
-- -
I "--' 2000- 1X2 I 2X3 I
' 2000X 2001
2001.
k f- 1) + (?1)i × 4
(2) A
提示: 当走> 0 时，由
L
二
<
J
= 1 2 ，得是= 1 ;
l(1 - 2 ) + ( 1 一~ ) I X4
当走< 0 时，由
L
川
A
山
.1 --= 1 2 ，得走= - 2 .
例3
如答图，在工轴上截取OE = OP ，过点E ，P 作两坐标轴的平行线，得正方形POEM ，N 为
.
229
aE墨画峰画~! . J\iFfA1
ME 与AP 的交点，连接CN ，可证得CN= 町+MN ，因CE 2 +EN 2 =
x
CN2 ，M:(~一2f+(7f=(7+ 2f ，解得m=12
【学力训练】
12
1. (4 ，τ )
LAOB三LA10 1 B ,OIB// X 轴
例3 答图
内
〈
U
+
z
1
一2
一
一
y
币
，
"
3. m-6~b~m-4
4. C
5. C 作点D 关于z 轴的对称点E ，连接CE 交Z 轴于点p ，此时PC+PD 值最小，直线CE 解析
式为y=-fz-2
一6-s
(
_"
I 一一一一一< 0 ，
[a<O ,
3
~~，
6. B
由才
得
lb~O
12s 十3
、
一了一~O.
7. (1)略
10
12<m 十1< -:::-,
(2) 两直线交点为(子，二) ，直线y=x-2 与Z 轴交点为ω) ，由~
0 得叫<?
0<m - 1 <才
8(1)Jld=-jz+川ω
13 .. 8
(2) 一吭一.
10-"'" 5
易求平移前直线BD 的表达式为y=←+ 4 ，因;斗，故在平移过程中，直线BD 不与直
线l 2 平行，故点B ，D 不可能同时落在直线l 2 上.
易知点C 不可能落在直线II 或l 2 上，点B ，D 不可能落在直线I I 上.
在移动过程中，易求B (2t ,4-t) ,D (9+2t , 10-t).
当点D 落在直线l 2 上时，可得10 - t = 主(9十2t) ，解得t = 12
4 , -
, -- / "'FT ". ~
10.
当点B 落在直线l 2 上时，可得4-t=? × 2t ，解得t=;
.211
EZZ军-隘
过点C 作CD j_ y 轴于点D ，则，6，CDB c/) ,6,BOA ，得C(t ，2 十t)
，点C 在直线y=x + 2 上，
9. fI
当oc 垂直于此直线时，OC 值最小.
95
提示:y= ~ (x 十1)一25 ,A ( 19 ,0) ,B ( 0 , -
J4V) ,4 1 (x + 1 ) .
10. (1) 5
ω 仨t~2 且t 手1
原函数式化为(2x-y- 1) 走+(-x-3y+ll)=O ，无论是为何值时该式都成立.
S2/11}
m = m(m+ l) =2 飞荔- m+1)'
11. (2 ,3)
x
1 8
16 、
13. 若AO=AC j =2 ，设C j (x ，2x)
，由x 2 +(2x -2)2 =2 2 ，得x= 一，λC( 一，一) ;
飞
5 ' 5 J '
化气
若oc2 = oc 3 = OA = 2 ，设C 2 (x
，ω ，由
x 2 十(川= 4 ，得x= 干，
215 415 \ ~ I
..... ~
'-..... ~ ，，~<="..... _ I...L
...CO ~ I
215
415
工C 2 (了'了) ;又由点C 3 与点C 2 关于原点对称，得C 3 (一了，一了) ;若
第13 题答图
AC 4 =矶，则GG ，1) 故满足题意的点C 有4 个，坐标分别为厅，τ) ,
8 16
215 415\
I
215
415
(了'了) , (一了，-7) ，(言，1)
y=x+l
/
户÷卡护
x沪+
x
y
y=l-x
14. (1)当b 手1 时，三条直线能围成三角形.
町
，
"
1
1
一
ZOLU
qLnL
一
一
一
-
Zy
r
-
-
l
〈
|
|
飞
斗
'O
L
十
+z
工
1
4
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2
一
一
一
一
vdvd
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l--
<ltIt--l
k
守
一
联
图
笨
口
nHH
击
U
F
oh
于是，交点A 的坐标为(2b - 2 , 2b - 1) .
2
2
2 = 一=b+ 一，
3 -
3 '
斗
'b
u+
卜
l
γ
一
一
一
一
yy
「
-
I
l
l
-
-
-
-
-
L
立
联
第
14 题答图
2
1
Y 2 =~b+ 一
3 ~ , 3.
1
2
2 2
，
1
、
于是，交点B 的坐标为(一= b+ 一，-;:-b 十一)
飞
3
-
3 ' 3 -
3 1
不妨设三个函数图象围成，6，ABP
，则其面积为
SAr= j|Z2-zl||1-b| 寸
I (一?可)一(2b 一叫11-b
l →(1-b) 2 =?
1 11
2
2\
_.1
.. 231
解得b=O 或2.
故(1 -b) 2 =1斗1-b= 土1.
从而，所求的实数b=O 或2.
a~~tgf;ltWi1J}噩lIlIl四
15. (1)①(0 ，3)或队一叫t
ω 设点CU ，jz+川(0 ，川。
I X1 - Xzl = lxl
，IYl 一川1=1 ←+ 31
9 _ .
_ 4
①当Ixl 二三
1 :x+3
1 时，(i) 若x ~ 一
则-x 二三--::-x 一3 ，x 二三
9, :. - 9::Çx ::Ç
一; (ii) 若
飞
4
'7<'J
..L~ 3
4
7
9
_
9
一一<x ::Ç O ，则
z 二三--::-x 十3 ，~x ::Ç -3 ，x ::Ç 一一，·.一一<x ::Ç 一一; (iii) 若x>O ，则
3 -
. -, 3
飞
7 ' - -
4
z 二三生工+3 ，x ζ-9(舍) .综上，-9 ::Çx ::Ç 一一，二x =
一时，Ix Imin= 1 一一1= 一
9
9 . . .
9 .
9
7 ' ---
7 ~. , I -
I mm
7 I
7 .
4
一丁x-3
，x<-9 ，
9 .4
1δ
②当Ixl<1 :x 十3
1 时，同理可得，x< -9 ~ x> 一，
1 : x 十31 =
7"3-'- '
1 ,
"
3x 十3 ，ρ 一亏，
9 ._. .. .
_1
9 16
·|jz+4 |>? ，综合①②得，点C 与点D 的唰距离"的最小值为7 相应的点C(-77)
国倡回国索恩吾
【例题求解】
例1
-3<x<-2
例2
B 提示:调进物资的速度是
15t/ h ，设调出物资的速度是x t/ h ，当
2 ::Ç
t ::Ç 4 时，5=30 十15 (t 一2) 一(t -
2) 工，把t=4 ，5=10 代人关系式解得
10
x=25 ，所以4h 后剩下的
10t 物资调出所需时间t= 一=0.4(h) ，共需
25
4.4h.
例3
(1) 14;5
(2) 由题意可知30a 一15α=18 X 5 ，解得α=6.
故"几何体"上方圆柱的高为11-6=5(cm).
设"几何体"上方圆柱的底面积为5 cm2 ,
则(30-5) X 5=5 X 6 ，解得5=24.
故"几何体"上方圆柱的底面积为24 cm 2 •
例4
(1) 900
(2) 图中点B 的实际意义是:当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇.
例l 答图
900
(3) 由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ，所以慢车的速度为-一=75(km/ h) ;
12
..232
x
EZ军EE--
当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为90 0km ，
900
所以慢车和快车行驶的速度之和为一一=225(km/ h ) ，所以快车的速度为1 50km/ h.
4
_ _. 900
(4) 根据题意，快车行驶9 00km 到达乙地，所以'快车行驶-一=6(h) 到达乙地，此时两车之
150
间的距离为6 X 75=4 5 0(km) ，所以点C 的坐标为( 6 ，4 50).
设线段BC 所表示的y 与z 之间的函数关系式为y=kx 十b
，把(4 ，0)
，( 6 ，450) 代人得
(时b
: =225
解得
4 50 = 侃+ b ，
[b= -900.
所以，线段BC 所表示的y 与z 之间的函数关系式为y = 225x - 900.
自变量工的取值范围是4~x ~ 6.
( 5 ) 慢车与第一列快车相遇30min 后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4 . 5 h.
把工= 4 . 5 代人y = 225x - 900 ，得y = 112. 5 .
此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离11 2 . 5 km ，所以两列快车
出发的间隔时间是11 2 .5-;-150= 0 . 7 5 ( h) ，即第二列快车比第一列快车晚出发0 . 7 5 h.
【学力训练】
1. 1< x<2
2. 5
设货车从甲地到乙地的速度为v km/ h ，返回时间为b
h ，则(3 . 2-0 . 5) v 二1. 5吵，得b = 1.8.
3. D
当BP _LAC 时，y 的值最小，BP = y = 8 ，AB = AC = 1 0 .
4. C
nu
叫
‘
u
J
r
r
r与
工
们
川
k
f
飞
。
中
品
/
、
ω
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哇
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nu
n<U
n<U
-i
'
『
U
(3) 由条件得1 6运工~ 26 ，即日销售利润不低于640 元的共有26 - 1 6 + 1 = 11 ( 天) ，点D 的坐标
为(1 8 ，360) ，试销售期间，最大日销售利润为(8 - 6 ) X 36 0 =720( 元) .
6. (1) 90
由图可知甲车先出发川
2
10km ，从而乙车的速度为(45 X 2-10) -;- (2 -
; ) = 60( km/h ) . 从而乙车维修后的速度为
240
\ . ._ ._ _~ ~ ,_ _ . 113
50km/h 设乙车维修后行驶了x h ，则其维修前行驶了(石一1 - x ) h 根据题意得6 0 ( τ
x ) + 50x = 240 ，解得x = 2 . 即乙车修好时甲车距B 地还有4 5 X 2= 90km
(2) C
... 233
aE罩
ffli:Jt fJi ñj! . J\~m
(3) ( 120
5
(20 ,1200)
AU
AU
?"
A
哇
+
A'b
nu
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,"
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，
"
口
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-
咱
E
A
-
E
A
rlll1
11
llll
l
一
一
。
，
"
vd
②
(O~t < l 日，
(1 5~ t < 20) ，图象略
(20~t ~ 35).
③由题意知，小华速度为60 米/分，妈妈速度为12 0 米/分.相遇前，依题意有6 0t 十1 2 0 t+
360= 1800 ，解得t=8; 相遇后，依题意有60t 十120t 一360 = 1800 ，解得t =12; 依题意，当
t=20 时，妈妈从家里出发开始追赶小华，
此时小华距离商店1800 - 20 X 60 = 600 (米) ，只需要
10 分钟，即
t = 30 时，小华到达
商店.
而此时妈妈距离商店1800 一10 X 120 =600(米) > 36 0 (米) .
λ 120(t -5) +360= 1800 X 2 ，解得t=32.
10(h<;
第9 题答图
(2) Y l =kx 十2 的图象是以(0 ，2) 为旋转中心的一簇直线.当x =l ，
y= - 2 时，得走= - 4 ，直线以点(1，一2) 为起始位置逆时针旋
转，直到与直线Y 2 =x-3 平行为止.由答图得:当- 4~ 走<0
时'Y l> Y 2 ; 当0 < 走~ 1 时'Yl > Y 2 ' 又走#0 ，故- 4~ 走~ 1 ，
且走手O.
11. (1) A(2 ,0) ,B(6 ,3).
(2) 显然点P 一定在AB 上，设点P (x ，y) ，连接PC ，PO ，则
.·.当t 为8 ，12 或32 时，两人相距3 60 米.
7. D
8. A
9(1)y= |?z-3|-4
(2) 函数图象如答图，函数性质(写出其中一条即可) :
①当工< 2 时，函数值y 随z 的增大而减小;当
x > 2 时，函数值y 随Z 的增大而增大.
②当z 二2 时，函数有最小值，最小值是一4.
(3) 不等式的解集是
1~x ~ 4.
x
第1 0 题答图
1 _
1
S 四边形DPBC = S L::.DPC + S L::.PBC = ; S 五边形OABCD=37 (S 矩形OMCD - S L::.ABM ) = 9 ,
··7 × 6 × (4-y) 十7 × 1 × (6-z)=9 ，即工十6y= 口
.2M
·函孟幸遭~
同理，由5 (!g边形DPAO =9 可得2x+y=9.
由~x 十6y=川
42
15
12什y=9
得x- 11 ，y-11'
42 15\ ...
.._ ._ . .._ _ _ ... .._ .. .
29
•• P ( 丑'EL进一步求得直线PD 的解析式为y=-r+4
[ID
辰眈俐圄黯
【例题求解】
例1
(1)连接OB
，则5 .60AB = 5 .6 c日
，5 .60AF = 5 .6 c口，5 .60AF = 5 .60BF ，所以5 .60BF = 5 .60BE = 1 =
5 .60AF' 得=走二2.
(2) 设C 点坐标为(α
，b)
，D 点坐标为(c
，d)
，则A( α
，α )
，B(c
，c)
，ab=cd=l ，AC= Iα 一
bl ,BD=lc-d l ,
由BD=2AC ，得c 2 -2cd +d2 =4(α 2-2ab 十b 2 )
，4(α 2 十b 2 ) 一(c 2 +d2) =8αb-2cd=6.
即40C 2 -OD 2 =6.
例2
(1)A 提示:连接OA
，OB
，则5 .6ACB = 5 .6AOB •
(2) C
提示:设P( α
，b)
，作FG 上Z 轴于G ，EH l_ y 轴于H ，则AF= J2 b ，BE =J2 a ,
AF • BE=J2b • J2a = ω=2 X 卜1
【学力训练】
。
/(:.
1. C(2 /6，于)
如答图，可证明6ANO 豆6BMA , B ( 6 , 2) ，解方程组
y
标
坐
占
川
fu
民
亏
,,,-
Z
l-3
一
y
。
x
8 -z
一
VJ
第
1 题答图
2. 6
设B(m ,n) ,OA =J2oc ,AB =J2BD , (OC 十BD) (OC- BD) =6 ，也
即(OC+ BD) (AC- AD) =6.
3. 6
如答图，由BE l_AE ，AE 为ζBAC 的平分线，得OE // AD.5.6AOD =5.6ADE =
1
B
8 ，5 .6A∞二比设D 川) ，则AC=肌A( 二，批C( 号，川.6A配=j ×
第3 题答图
;α X3b 二川=6
x
.. 235
aE画边疆温
j! . J\~ f1
x
3
,
3
如答图，L，AOE ω L，CDE ，L，BFA ω L，AOE , YAD = -
~ X + 言，EO=
。
矶
，
t
E
'
'
』
H
4. D
5 __
10 _ _
_ _ _
8 _ 1. 8 \
言，AE = 言，CD = 言，AF=2 ，BF = 一，Bl4 ，
;
)
3
飞
3 /
A
2
, 11
当双曲线过点A 时，走最小; Y BC = -
~ X + -3- .当双曲线与BC 相交或相
第4 题答图
5. C
2
, 11
y= - EZ T τ ，
__
_121
切时，走最大，由J
得2x 2 -l1 x 十3走=0 ，由A二三0 得k <-一一
飞
24 .
h
Y--
Z
2 \ _ I 2
、此1A
mn
MB
对于③，设M(m ，n) ，则A(m ，剖，B(y) ，叶算可得百=2- 1 =百
6. D
7. (1) 2
(2) S 6.BDF = 3
ω 设B(m ，二) ，则D(zτ ) ,A (0 ，再) ，E(m ，二) ，C川)，BE=石，CE= 二
8 \ _. _ 1m 8 \
I
8 \ _ I
2
由L，ECFωL，EBD ，得CF=? ，
3
:. CG =OC=AB =m ,FG =CG -CF = ~m = BD ，而BD // FG ，
4
y
二四边形BDFG 为平行四边形.
1
_ _ _ J3
设BD=m ，则OC=3m
，BM=: m ，DM= 工二m ，OM =OB-BM 二5 一
2"- ' ---
2
8. ~手
x
3J3
:m ,OE= :m ,CE=- : -二m ，S 矩形OMDN =S 矩形CEOF .
2
第8 题答图
当OMl_AB 时，线段OM 的长度最小，... M 为线段AB 的中点，
:.OA = OB. .: 点A ，B 在反比例函数y= 主(走#0) 的图象上，
工
9. j2k丰百
I- n m -1
.·.剧，B 关于直线y=X 对称，设A(m ，n) ，则阳，时，M(乌兰，乌兰) ,
由(m -n) 2 +(m - n)2 = (4 J2 )2 得(m-n) 2 = 16 ，
y
故叫(牛f+(牛f 才[(m-n) 2 十4mnJ =币
作出如答图所示辅助线，设A(斗)，B(b ，~)，其中叫<b ，由创=
x
第10 题答图
10. C
佣得b=; ，由OA=OB 得α 2 十主=
1在(1
a) | 2 4 2+主=4
a-
I
' a
' I
.. 236
E率军主噩...
OB
OD
IS 6BOD
) 2
11. D
作AC j_x 轴于点C ，BD 上Z 轴于点D ，则一一=一一二云丘之二=二二，ζOAB 为定值.
OA
AC
'\j 5 L^-，AC汇
2
12. (1 )ζP=90 0 _ lζAOB=45 0 ,P(3 ,3)
2
(2 )如答图，OP 平分ζAOB ，ζOPC = ζ ODP ，ζ COP =
ζ POD 二135 0 ，可证明L-，OPC ω L-，ODP
，得OC • OD =
1
Op 2 =18 ，故5 MJCD = ~ OC • OD = ~ 0 P 2 = 9.
μ
2
C
D
第12 题答图
(3) 设OA= α ，OB=b ，则AE=AN=3
α ，BF=BN=3-b ，λ AB=6-a-b ，λ OA + OB +
AB=6 , :.α 十b + Fa可77 =6 , :.2 jab +)2ab ~ 6 ，:. (2+ '/刃而百ζ 6 ，:.jab ~3(2 一
巾，以54一叫
-SAAOB=jGK27-m
:. L-，AOB 面积的最大值为27- 18 ./2.
13. (1) m=2.
(2)
走=8.
(3) ①当0< t ~ 2 时，交点N 在OA 边上，得t= ./3;
②当2<t~3 时，交点N 在AB 边上，得t=2;
3 十J2T ---"-
3+/2百
③当3<t~5 时，交点N 在BC 边上，得t= 一-r一或t= 一一一一
2
-7、
2
是是
14. 延长DA ，CB 交于点E ，设C(a ,0) ，D(O ，b) ，则A(~
，b) ，B(ατ) ，由5 L^-，OCD = 言得ab=3 ，
5
1
走
走走走
3
因5 L^-，OAB =5 矩形ODEC - 5 L^-,AEB - 5 L^-,AOD - 5 L^-,C OB ，故τ =ab- ~ (α-F)(b-z) 王一言'得王一
是2
5
一二一，解得走=2( 负值己舍去) .
6
6
[QI宝等三匍形
【例题求解】
侣。1
①②④ 对于④，过点。作α; _lAC 于G ，OH _lBD 于H.证明L-，OCG豆L-，ODH.
例2
B
提示:延长AD 到点E ，使DE=AD ，连接EC ，则L-，ABD 兽L-，ECD ，AB 二EC ，2AD 一
AC<AB <2AD 十AC.
例3
••• ζ
L_B町= 仙f仨
ζA仨归
=斗1η2
.飞.
ζζ乙BPD = ζζ乙BPF = 丘ζ~CPF= ζζ~CPE=60旷。，
..2剖
aE国瑾撞撞盛墨
又ζ1=ζ 2 ，CP=CP ，:. DCPF旦DCPE ，得CF=CE.
故BC=BF+CF=BD+CE.
{9IJ 4
(1) ( - 6 ，一2) .
(2) 过点D 作DQ j_OP 于点Q ，则DAPO旦DDPQ ，λ PQ=AO=2. λ OP-DE=PQ=2.
(3) 过点F 分别作FM上Z 轴于点M ，FN j_ y 轴于点N ，证明DFGN 旦DFHM ，则NG=
HM. 即-4-m=n 十4 ，:.m 十η =-8 .
例6
(1) HL
(2) 如答图①，分别过点C ，F 作对边AB ，DE 上的高CG ，FH ，其中点G ，H 为垂足.
先证明DBCG豆DEFH ，得CG =FH; 再证明DABC兽DDEF.
(3) 如答图②，DDEF 就是所求作的三角形.
C(F)
jj
例6 答图
(4) 本题答案不唯一，下列解法供参考:
ζB 二三ζA.
【学力训练】
1. 3
2. (
3.1< m < 4
4. A
提示: DAEH豆DCEB.
5. C
6. D
7. (1)(; -
②ζα +ζBCA =
180 。
先证明ζB = ζACF ，再证明DBCE 三DCAF.
(2) EF = BE+ AF.
8. 45 。或13 5 。
, 96 72\ ..,
21
28 、
9. (3 ，4) 或( 一，一)或( 一一'nr)
飞25
' 25 1
飞
25 '25 1
如答图，运用解析法分别求得Pj ,P z 'P 3 点的坐标.
x
第9 题答图
第10 题答图
10. 135 。
延长AB 交格点于点p ，可证明DBCP 为等腰直角三角形.
.238
-~~~望监
11. D
提示:①②③⑤正确.
12. B
提示:在BC 上截取CD=CA
，连接B I，则AI = ID =BD ，ζ IDC= ζABC ，ζ BAC=
2ζ IDC=2ζABC=70 0
.
13. D
提示: (1)当这两个三角形同是锐角、直角或钝角三角形时，可证出第三边所对的角相等;
(2) 当有一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，可证出第三边所对的角互补.
14. 连接DF ，证明Li FAD 豆LiBAC ，LiFGD 旦Li BGE.
15. 延长DE 至点F ，使EF=BC
，连接AC ，AD
，AF. 可证明LiABC豆LiAEF ，LiACD 旦LiAFD
，
.. s 五边形ABCDE = 2S 6 ADF = 4.
16. 问题背景
EF=BE 十DF
探索延伸
EF=BE+DF 仍然成立，延长FD 至点G ，使DG=BE ，连接
A
AG ，先证明LiABE 旦LiADG ，再证明LiAEF 且LiAGF 即可.
实际应用
如答图，连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，在四边形AOBC 中，
.: L_AOB=仙们俨1队L_EOF=70 0 =仨AOB ，
又.: OA=OB
，ζ OAC + ζ OBC=180 0 ，符合探索延伸中的条件，
:.EF 二AE+BF= 1.5 X (60+80) =210( 海里) .
四等腰三筒形的性质
【例题求解】
例
1
(1) 45 。或72 。
y
B
x
第
16 题答图
(2) 3
原式=(α +b)(c + 1) 二12 X 2=8 X 3=6 X 4 ，底边的长只能为
c ，满足条件的三角形
有3 个:c=l
，α 二b=6; c =2 ，α =b=4;c 二3
，a=b=3.
例2
C
提示:ζ BGH= ζ BHK
，ζABC=2 ζ BGH= ζACB
，ζ BAC= ζ BGH , 5L_BAC=
ζABC + ζACB + ζ BAC=180
0
•
例3
(1)是
(2) ζ B= η ζ C
(3) 设另两角分别为4m 0 ,4mn O(m ，n 为正整数) ，则4m+4mn+4=180 ，得m(n +1) =44 ,
经讨论得4m = 4 , 4mn = 172 ; 4m 二8
，4mn 二168; 4m 二16 ，4mη= 160; 4m = 44 , 4mn =
132 ;4m =88 ;4mn =88.
故该三角形的另外两个角的度数分别为矿，172 0 ;8 0 ，168 0 ;16 0 ，160 0 ;44 0 ，132 0 ;88 0 ，880.
【学力训练】
1. 63 。或27 。
..239
aE军
ifti:Jt i'Ji ñ i~ . J\ $ tA
2. 45 。
3. 11
长为1 和4 的两边只能在长为2 的对角线的两侧.
4. D
5. C
6. B
如答图，当BC 二AC ,AC=CC 2 ,AB=BC 3 ，AC 4 二CC 4 ,AB =ACs ,AB =AC 6 ,BC 7 =CC 7
时，都能得到符合题意的等腰三角形.
E
8
C
第6 题答图
第7 题答图
7. (1)①20;10
②α=2卢.
(2) 存在.
如答图，点E 在CA 的延长线上，点D 在线段BC 上.
设ζABC= 工，ζADE=y
，则ζACB =x
，ζAED=y
，在6ABD 中
，x 十α= 卢-y
，在
6DEC 中
，x+y+卢= 180 0 , :.α 二2卢-180 0
•
其他情况类推.
8. (1)下面提示供参考:
在AB 上截取AF=AD
，AE=AC
，计算证得CD=DE=DF=FB.
(2) 当ζC=108。时，可证得AB=AC+BD.
(3) 是否当顶角为某一特定值时，才存在线段间的和差关系?若保留角平分线，变等腰三角形
为非等腰三角形，当ζC=100。时，需增设何种条件，才可作类似的探讨?
9. 12 0
10. 60 0
11. 155 。
12. Cζ BPC 十ζ BPA=135 0 = ζ CPA=90 0 + ζ PAH
，ζ PAH 二45 0 •
13.A
由60CP 兽60AQ(SAS ) 得ζ CPO= ζAQO=16 0
•
14. D
15. 原问题证法较多，下面提示仅供参考:
延长AD 至H ，使CH=CE ，证明6ADB 旦6CDH
，得AB 二CH=CE.
16. 如答图，延长BA 到点F ，使AF=AC ，则BF=BD ，ζ BFD=
F气
l\\ 、、A
ζ BDF. 由ζ FAD= ζ CAD=60。得6FAD(/)6CAD ，ζADF=
ζADC ，ζ BEC 二ζ FAD 一ζADC=60 。一ζADF.
Ll>人\
放ζADB= ζ FDB 一ζADF=ζAFD-iADF=(120 。
b
ζADF) 一ζADF=120 0 -2ζADF=2 ζ BEC .
"2，咽
c
E
第
16 题答图
EZ歪歪噩-
17. 如答图，在AC 上取点D ，使QD=PQ ，连接QD ，BD ，则ζQDP= ζ QPD=2ζA ，
于是ζBQD= ζA+ ζ QDP=3 ζA ，由QB =PQ=QD ，得ζQBD 二90。一
A
仨A ，L_BDC= L_A+ L_QBD=90。一~L_A= L_B= L_ACB ，
1
2
:. BD=BC=BQ=QD ，l:-，QBD 为等边三角形，ζBQD=60 0 ，即3ζA = 60 0 ,
1
ζA = 20 0 ，ζBCQ = 90。一一ζ B = 50 0 ，ζ PCQ = ζACB 一ζBCQ = 80 0
-
Bιι一一边C
2
50
0 = 30 0 •
D1I等腰三筒形的相IJ iË
【例题求解】
例1
9
如答图，延长MF ，BA 交于点E ，延长FM 至点p ，使MP=MF ，连
BP
，则l:-，BMP 旦l:-，CMF ，
:. BP =CF.
.: AD 平分ζ BAC ,AD // FM ,
·. ζ1=ζ2=ζ3=ζ4=ζE=ζP .
:. AE=AF ,BE=BP ,
即AB +AE=AB +AF=AB +AC - CF = CF ，
. .俨j(AB 十A←÷(山)=9
侣。2
C
第17 题答图
并令\
飞苓
例l 答图
例3
l:-，ABD 为等腰直角三角形，连接AM. 由DE=AC ，DM 二MB =MA
，ζMDE= ζMAC=
105 0 ，得l:-，EDM兽l:-，CAM ，
·. ζ DME= ζAMC ，EM = MC ，又ζ DME+ ζ EMA = 90 0 ，
·. ζEMA+ζAMC = 90 0 ，故l:-，EMC 为等腰直角三角形.
【学力训练】
1. (2 ，的或(8 ，4)
2. 2 : 1
3. 3
4. B
5. D
6. D
如答图，分顶点找边作图.
A‘
A‘
A.
A.
A.
A.
A
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
(A C=AD)
(DA=DC)
(DA=DB)
(CB=CD)
(CB=CD)
(BC=BD)
(DC=DB)
第6 题答图
.. 241
a
盟垣!1Iì量重墨mtI1，\_
7. (1), (2) 略
(3) 不一定成立，当ζA 的平分线所在直线与边BC 的垂直平分线重合时，有AB=AC; 否则，
AB*AC( 如答图).
A
H
AlM0
4
B
F
。
(成立)
(不成立〉
第7 题答图
第8 题答图
8. (1) AF=EF
(2) 成立.如答图，延长DF 到点H ，使FH=DC ，连接HE. 证明6ACF 旦6EDH ，得HE=
AF ，ζH=ζAFC ，又ζAFC= ζ HFE ，得ζH=ζ HFE ，HE=EF ，故AF=EF.
9. 70。或20 。
提示:依三角形形状讨论.
1800-400
~
10. 110 。
提示:L2=ζ优'D =40 0 ，BC=以7 ，ζBCD=40 0 ，ζ1= 一-7一=70 0
•
11.76 0 ;6 。
从ζA=83。开始，每多一次反射且能沿原路返回到点A
，则锐角A 就减少7 0
•
12. C
13. B 提示:ζABC=12 0 ，ζMBC=: (180。一12 0) =840 ，ζBCM=180。一ζACB=180。一1320=480 ，
2
·.ζBMC=180 。一84 0 -48 0 =48 0 ，:.BM=BC. 又ζACN=1(180。一ζACB)=: (1 80。一
2
132 0 ) = 24 0 , :. ζ BNC=180。一ζABC 一ζ BCN = 180 。一12 。一(ζACB+ ζACN)=168 。一
(1 32 。十24 0 ) =12 0 =ζABC
，λ CN=CB
，故BM=BC=CN.
14. 延长AB 至M ，使BM=BP
，BQ=QC ，证明AC=AM.
15. 以AD 为边，在6ADB 内作等边6ADE ，连接BE ，6EAB 旦6DAC ，ζ BEA = 150 0 ，又
ζ BED= 360
。一ζ BEA 一ζAED = 150 0 ，且ζ BEA= ζ BED
，由6BEA 旦6BED
，得
BD=BA.
16. 下面证法仅供参考:
如答图，延长EA 交CF 的延长线于点p
，通过计算得:ζAPF= ζAFP=
ζ BFC=54 0 ,AF=AP ,AF // EC ,
.·. ζ ECP= ζAFP= ζAPF ，EC=PE .
故AE+AF 二AE+ AP = EP = EC = BE.
.
242
B
D
C
第
16 题答图
·函孟莲望自
[j]号诅三筒形
【例题求解】
例1
(1)①②③⑤ 提示: 6ACD旦6BCE ，6APC旦6BQC ，6PCQ 为等边三角形.
(2) 20.7
提示:将原六边形每条边双向延长可得多个等边三角形.
例2
A
提示:将6ABP 绕B 点顺时针旋转60 0 ，得6CBD ，则6ABP 旦6CBD ，6PBD 为等边
三角形.
例3
延长BD 至点F ，使DF=BC ，连接EF ，贝U6BCE三6FDE ，EB=EF.
·.· ζB = 60 0 ，λ 6EBF 为等边三角形. :. EB = FB , .: AE = BD , BD = CF , :. AE = CF.
λ AB = CB
，故6ABC 为等边三角形.
【学力训练】
1. 6;150 0
2.8
提示:延长AD 交BC 于点M ，延长ED 交BC 于点N.
3. A
6AFH 三6CHG ，五边形周长= DE + CE+CH 十FH + DF = BD + CE +AF + BE +
DF=(BD+DF+AF)+(CE+BE)=AB+BC.
4. D
ζMPN 可围绕点P 旋转，ζMPN= 60 0 ，依角平分线性质可证明PM=PN ，得6PMN 为
等边三角形，故满足条件的6PMN 有无数个.
5. (1) =
(2) = ;证明6DBE三6EFC ，则DB = EF = AE.
(3) 1 或3.
6. 在CD 上取一点M ，使CM=CE ，连接EM ，由6DEM 三6FEC 得DM=CF , CE + CF =
CM + D此1 =CD.
同理可证CF - CE = CD.
7 延长AD 至点机
G ，连接BG ，使BD= 肌可证明A丛
Aω6E
得BD = BG = DG ，即6BDG 为等边三角形，ζ乙ADB = 1 20 。气.
A
、'G
A
第7 题答图
第8 题答图
9民间
8.
9 +寸二如答图，将6PBC 绕点B 逆时针旋转60。至6DBA ，得L_APD =队L_APB = l以过
点B 作BE l_AP 交AP 的延长线于点E ，AB 2 = BE 2 十AE 2 = 2 2 十(3 十2 /3 ) 2 = 2 5 十1 2 汀，
/3
比
25 J毛
S 6 ABC = τAB " = 9 + --~ -.
••
aE草诅血蓝蓝噩噩
9. 15
提示:参见例1( 2) .
10. 122 。
提示
: L:，.AEC 旦L:，. BDC.
11.20 。
提示:延长DB 至F ，使BF = ED
，连接CF ，则L:，.AED
，L:，.ACF 都为等边三角形，可证明
L:，. CAD 豆L:，. CFB
，ζACD= ζ BCF=20 0 •ζ DCB=20 0 •
12(1)?
连接肌由L:，.AE但L:，.BCF 得ζCBF = L_CAE = 3川H 点F 在过点B 且与BC 成
30 。的射线上，当DF _l BF 时，DF 值最小.
(2) B
以CD 为边作等边L:，. CDE ，连接AE ，则L:，.BCD 旦L:，.ACE ，BD=AE ，ζADE=90 0 •
(3) 证明L:，.BAF旦L:，.DFE ，L:，.BAF豆L:，.BCD
，得ED=AB
，ζAFB= ζ CDB
，ζ EDC=60 。一
ζ CDB 一ζ EDF= ζ ECD , EC = ED = AB = AC ，故L:，.ACF 旦L:，.ECF ，得ζAFC=
ζ CFE
，从而ζAFC=30 0
•
13. (1 )ζ BFC=60 。
(2) 如答图，在z 轴上方作等边L:，.OMP
，连接NP. 由
L:，.MNP 单
L:，.MKO 得NP=OK
，当点N 在y 轴上运动至PN _l y 轴时，
3
PN 值最小，最小值为一，即OK 最小值为?
2
[j]
M41 股定理谈起
【例题求解】
x
K
第
1 3 题答图
例1
(1) 12 或30;6 或30
提示:由x 2 +( x 十1) 2 =25 ，得x =3; 由x 2 + 25=( x+ 1) 2
，得x =12.
10
(2)τ 提示:作DE _lAB 于E ，设CD= 工，则BE=13-5=8 ，DE= x ,BD=12- x ,
10
由x 2 +8 2 = (1 2-x) 2
，得x= τ-
例2
B
如答图，设AE=x
，则BE=2-x ，由
2 2 -x 2 =1 一(2-X) 2 得x=
/l5
4 '从而AF=DG=CE=~一，GB=AG+AB=DF+AB=z+2=
4
15
4 '故BD=汀言.
例3
(1)①AM=40 或20; ②AM=20 J2或10jf百.
;13丰4
例2 答图
(2) 连接CD j
，ζCD 2 D j =90 0 ，由L:，.ABD 2 三L:，.ACD j 得BD 2 =CD j =3016.
【学力训练】
1. 10- 2再过点A 作AG _l DE 于G ，得ζ GAF=30 0 •
、
.
244
-~莹莹~
25
2. 2或5疗或10
裁剪如答图:
k
:tI IA
F
第2 题答图
3.4 13或4ft或4
ζBAM=90。或ζABM=90。或ζAMB =9 0 0 •
4. C
5. D
运用面积法.
6. D
过点D 作DE//AB 交BC 于点E ，则BC=2AD=2CE.
12
7. (1)如答图，在BA 上截取BH=BE ，则BE=':HE ，由LAHE 旦LEDF ，得HE=DF ，
2
一
12 TT~ 12
λ BC-DE =BD-DE=BE= 一-HE= 一一DF
2 ---
2
(2) 题图②中，DE - BC =子DF;
题图③中，BC 十DE=子DF
B
C
第7 题答图
8. 问题:DC + EC = BC
探索:BD 2 十CD 2 二2AD 2 .
A
J、
B?一产主y毛头D
'\,'
............ ... c
略'
E
第8 题答图
连接EC ，证明LBAD三LCAE ，ζ BCE = 90 0 ,CE = BD ,AE = AD ,ED =J2AD ,CE2 + CD 2 =
ED 2 ，得，BD2+ CD2= 2AD2.
应用:如答图，过点A 作AE _LAD ，交DC 的延长线于点E ，连接BE ，证明LBAE 三LCAD ，
BE = CD ，BD 2 二BE 2 十DE 2 ，ED =J2AD ，得2AD 2 = BD2 - CD 2 ,AD = 6C舍去负值) .
9.412 延长BA 至点E ，使AE = BC = l，连接DE ，可证明LADE 旦LCDB ，得LBDE 为等腰
直角三角形，从而BD = DE = 4 J2 .
.2，崎
aE画昌盛:llflB噩噩噩罩'
10. 25
提示:作AD _l BC 于D
，可证明Ap 2 十PB • PC=AB 2.
11.4-/5
如答图，延长BD 至点F ，使DF=BD
，连接CF ，过点C 作CG // AB
交DF 于点G ，可证GF =GC ,EG =EC ,BG=AC ,DG = 3,GF = 5 ,CD =
B
4 ，BC= .jBD 2 十CD 2 =4-/5.
C
,.
DY/J
‘ ,
且，
G I
J
F
A
12. D
13. A
提示:由于三条高线长度分别为x ，y ，z 的三角形，其相应的三条边a ,b ,c
111
的比为α
: b : c= 一:一:一，只有(1 2 ，15 ，20) 为直角三角形.
x
y
z
第
11 题答图
14. A
由6DAB 旦6EAC 可推得①②③正确.在Rt6BEC 中
，BE 2 =BC 2 一
CE 2 =2AB 2 一CCD 2 - DE2) =2AB 2 -CD2 + DE 2
，而DE 2 =2AD 2
，得BE 2 =2AB 2 -CD2 +
2AD 2 =2CAD 2 十AB 2 )-CD 2
，故④正确.
15. 如答图，连接AC ，则可证6ADC 为等边三角形，DC=CA=AD .
以BC 为边向形外作等边三角形BCE ，即BC=BE=CE ，
则ζ BCE= ζ EBC= ζ CEB=60 0 ，ζABE= ζABC 十ζ EBC=90 0 ，
连接AE ，则AE 2 =AB 2 十BE 2 =AB 2 十BC 2
，
易ìiE6BDC经6EAC ，得BD=AE ，故BD 2 =AB 2 + BC2.
G
第15 题答图
第
16 题答图
16. (1) B 可证明BP=BC ，设PG= α'J =GC=BF=l ，
S 正方形ABCD
BC 2 4+2VZ
~， =
S ;-ç -t.lf?J;'f;'r..u
一一τ= 一一」二=2+ .)2.
正方形EFGH
FG 2
2
-
,
V -
(2) 如答图，可以将每个正方形依长方形的长与宽的方向构造成"弦图"，显然，所有的直角三
角形都相同.设它的直角边分别为α 与b
，
町
，
白
一
一
，
。
<hu
--
G
得
解
门
/
"
nuo
,"
2
二
=b
，
。
少
ω
十
十
GG
叫
‘
υ
η
气
u
r--1
<lllL
知
可
图
'
田
每个正方形的面积等于α 2 +b 2 = 36 十4 = 40m 2 ，而其中三角形面积为正方形的一半，
为20m 2 •
综上所述，嵌人图形的总面积是40 X5 十20 =220m 2 •
"2，辅
-E孟军歪理自
17. 设AD = x ,BE = y ，CF=z
，则BD=5 -x ,CE=7 - y .AF=6- z .
连接PA.PB 和PC ，
在Rt6PBD 和Rt6PBE 中，由勾股定理可得BD 2 + PD 2 =PB 2 二BE 2 + PE 2
• 即(5 -
X)2 十
PD 2=y2+ PE2,
同理可得(7-y) 2+ PE 2 二Z 2 十PF 2 .(6-z) 2+ PF 2 =x 2 +PD 2 .
将以上三式相加，得(5- X)2 + (7- y) 2 + (6- Z)2 =x 2 十y 2 + Z2 ，所以5x+7y+6z=55.
又由已知条件得y-x=BE-AD=l. 于是可得
l
AD 十BE+CF=x+y+z= 一[ (5x+7y 十6z)-(y-x)J 二百(55- 1) =9.
6
A
业、
ELζ
B
第
17 题答图
18. (1) AB =J2 (AF 十BE).
A' C
E(月
图①
(2) .:四边形DECF 是正方形. :.DF=DE.
B
A ' C E
图②
第
18 题答图
将6ADF 以点D 为旋转中心，逆时针旋转90 。得到6A'DE ，如答图①.
λ AD =A'D .AF=A'E. 且ζADA' =90 0
•
.:AB=BE+AF ,
:.AB 二BE+A'E 二A'B.
:.6ABD 三6A'BD.
.·.ζADB= ζA'DB
，
360 。一ζADA'
360 0 -90 。
人ζADB = ~~~
;-' .~，.
~~~ 2
~ ~ = 135 0 •
(3)
由(2) 得，AD.BD 分别是ζ CAB 和ζ CBA 的角平分线，
.·. ζ MAD= ζ FAD. ζ NBD= ζ EBD.
分别延长ED ，FD ，交AB 于点M ，N
，如答图②.
:.EM// CA ,FN // CB ，:. ζMDA= ζ FAD
，ζ NDB= ζ EBD
，
λ ζMDA= ζ MAD
，ζ NDB= ζ NBD.
:.AM=MD .ND=BN.
在Rt6MDN 中
，MN 2 =MD2 + ND 2,
:.MN 2 =AM 2 十BN 2 •
B
.. 241
aE革诅撞撞孟噩
圆
平行四诅形
E例题求解】
例1
(1)①②③ 提示:可证明四边形BFDE 为平行四边形
，AM=MN 二CN.
(2) 6
提示:可证明6DBF 兽6ABC ，6EFC 单6ABC ，则AD=AB=EF ，DF=AC=
AE ，故四边形AEFD 是平行四边形，ζBAC=90 0 ，ζ DAE=150 0 ，ζADF= ζAEF=
30 0 ，DF=AC=4 ，则点F ~JAD 的距离为2 ，5 oAEFD 二3 X2 =6.
例2
B
一组对边相等、一组对角相等的四边形不一定是平行四边形.
例3
对于图①，6CEF 旦6CND 旦6AEB
，EF 二DN 二BE ,CE =AN =AE ,AG =AF
，得
GN=EF=DN ，D归DN=2盯=斗BF=j2BF
【学力训练】
1. (1) 8 或3
(2) 55 。或35 。
符合条件的图如答图所示.
或
E卡1、i
C
第
1 题答图
第3 题答图
2. (1)罕
ζ BAC=900 ，5 oABCD=BC
. AE=AB • AC.
(2) 26 。
ζ BEC= ζ BCA=2ζ BAC.
3. ①②④ 如答图，过F 作FH //AB 交BC 于点H ，交CE 于点。，延长EF
，CD 交于点G.
因为EF=FG ，所以5 f:; CEF = 5 f:;CFG . 因为6AEF 旦6DGF ，所以5 f:; AEF = 5 f:; DGF ，所以25 f:;CEF =
l
5 f:; CEF +5 f:; CFG = 5 f:; CEF +
所以5 f:; BEC < 25 f:; CEF ，故③错误.由题意可知FH // AB
，所以ζAEF= ζ EFH
，ζBEC=
ζ EOF=90
0
• 又因为EF=CF ，所以OF 垂直平分CE ，容易证明Rt6EOF 豆Rt6COF ，所以
ζEFH= ζ CFH. 由四边形CDFH 是菱形，可得ζ CFH 二ζ CFD ，所以ζAEF= ζ EFH=
ζ CFH= ζ CFD
，即ζ DFE=3ζAEF ，故④正确.
4. D 延长AN ，BP 交于点M ，得口MNQP.
S. B
当DO上BC 时，DO 最短，即DE 达到最小值.
6. D
"2，崎
E.~吾吾1-.
!t.
7. (1) GF l_EF ,GF=EF.
(2) 上述结论仍成立，证明DGDF经DEAF ，可推得GF=EF ，ζGFE=90 0 •
8. (1) OE=OF
(2) 如答图①，补全图形，结论仍成立，证明略.
D
C/
/
o/--/fG
二
E /___.-;;;:;:r"
/ I
/A
B -p-
图①
图③
B
第8 题答图
第
10 题答图
(3) OE 二CF 十AE
，证明如下:
如答图②，延长EO 交FC 的延长线于点H
，
由(2) 可知DAOE旦DCOH ，二AE=CH ,OE=OH ,
又: LOEF 二队LHFE=队-HF=jEH=OE ，
λ OE=HF=CF 十CH=CF+AE.
9. 5
设直线x =l 与工轴交于点D ，过点B 作BE l_ 直线z 二4 于点E ，则DAOD 三D CBE ，
BE=OD=l
，表明点B 总在直线x=5 上，当B 在z 轴上时，对角线OB 长有最小值.
10. 20 。
如答图，将BC 平移于QR
，连接CR
，则四边形BCRQ 为平行四边形，易知DPRC 旦
DAPQ(SAS) ，从而DPQR 是等边三角形，设ζA=x
，由2x 十Z 二60 0 ，得x=20 0 •
11.B
12. C
从一组中任选两条直线，再从另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形，而3 条
平行线中任选两条的方法有3 种，5 条平行线中任选两条的方法有10 种，故平行四边形的个数
为3 X 10=30.
13. (1) AB=8 ,BC=6.
F
(2) ①如答图①，当ζA 为锐角时，BE =AB 一
AE=8-3疗，CF=4汀，
/人/
D
因4 j3> 6 ，故F 在CB 的延长线上，
图②
得BF=CF-BC=4 j3-6 , :.BE+BF=2+j3.
第
13 题答图
②如答图②，当ζA 为钝角时，得BE 十BF=(8+3 j3 ) +(4 j3+6)=14+7 j3.
综上所述，知BE+BF 的长为2+j3或14 十7 j3.
.. 249
aE远诅血血革墨画恤'
14. 如答图，过点A 作AF上AB ，截取AF=BH ，连接DF ，BF ，证明6BHD经6FAB ，6FBD 为
等腰直角三角形，四边形AFDE 是平行四边形，从而得AE 2 = DF2 = 2DB2 = 2DH2 +2HB 2 二
2DH 2 十2AF 2 =2DH 2 十2DE 2 .
D7
一
/
M
-
r
ν
c
p
τ
1
\
二
一
\
H
L
L
」
E
i j !
A
侨
r
|
牛
r
4
F
/
N
/
」
4B
第14 题答图
第
1 5 题答图
15. (1) SMDc=12.
(2) 证明DANB 呈DCEA
，得DABC 为等腰直角三角形，
.·.ζABC=45 0 ,AF=BF=CF ,NF=EF ,AN=CE.
如答图，连接EN ，得6NEF 为等腰直角三角形.
F子NE ，ζ川=45 。
·.·四边形ABCD 是平行四边形，且ζABC=4S 0 ，
λζECM=13S 0 •
γζANE=180。一ζENF=13S 0 ，
.·.ζANE= ζ EC岛f.
.: AE _lEM , :. ζAEM=90 0 •
λζAEF 十ζEAN= ζAEF 十ζMEC ，
即ζEAN= ζMEC.
.: AN=CE. :.6ANE且6ECM.:.NE=CM.
·.·四边形ABCD 是平行四边形，
λ AD=BC=2CF.
J2 "'~ I r.~ J2
.:CF=EF 十CE= '_- NE 十CE=':CM+CE.
2 -.- . --
2
AD=2俨咔M十叫=J2伽2CE
16. 发现与证明
如答图①，设AD 与B'C 相交于点F.
.: 6ABC 沿直线AC 翻折至6AB'C.
..6ABC且6AB'C ，ζACB= ζACB' ,BC=B'C.
..施'
·理孟重望~
·.·四边形ABCD 是平行四边形，
:. AD=BC ，AD // BC. 二B'C=AD
，ζACB= ζ CAD.
,
/ ~.~
180 。
ζAFC
.·.ζACB'= ζ CAD=
180 。
ζ B'FD
λ AF=CF.:. B'F=DF ，:. ζ CB'D= ζ B'DA 二《
.·ζAFC= ζ B'FD
， :. ζACB'= ζ CB'D.:. B'D // AC.
3 . J3
应用与探究
(1) 45 0 ; 一十二
2
2
(2) 如答图②，过点C 分别作CG j_AB ,CH j_AB' ，垂足分别为点G ，H ，
:.CG=CH.
A代\
J':=::~二"二v
B
C
图①
第
16 题答图
B'
在RtL-，BCG 中，ζBGC=90 0 ，BC 二1 ，ζB=30 0 ，:.α= 工，BG=空.图②
2
第
16 题答图
.:AB 二213 ，:.AG二卡
CH 二CG 二?
又L-，AGC三L-，AHC ，儿H=AG=2点
设AE=CE= 工，由CE 2 =CH 2 + HE 2 ,
得工2 =(~f+(于-z) 2 ，
z=ZP
车ν二
D
7 J3
:.L-，AEC 的面积= = AE • CH =:__;-二L
36 .
(3) 按L-，AB'D 中的直角分类:
〈!萨D
.，，::~:~:::~:~因
①ζ B'AD=90 。时，如答图③，ζACB 二30 0 ，BC=6;
如答图④，ζ BAC=30 0 ,BC=2.
②当ζAB'D=90。时，如答图⑤，ζACB =60
0 ,BC=4.
③当ζADB'=90。时，如答图⑥，ζACB =90 0 ,BC=3.
综上，BC 的长为6 ，2 ，4 或3.
[ill起彤、萤Jf~
【例题求解】
60
例1
一提示:过A 作AG j_ BD 于点G ，则PE+PF=AG ，由AG. BD=AB • AD
，得AG=
13
AB.AD
12 X5 60
BD
13
13
.. 251
aE垂组撞撞撞tptJi孟噩
例2
B
提示:设ζ B= 工。，则ζBAE= ζ DAF=180。一2x O ，由工+2 X (1 80 一2x )+6 0 =1 80 ，得
x=80.
例3
(1) 6BEF 为正三角形.
ßABD 和ßBCD 都为正三角形，可证明ßBDE 三ßBCF ，得BE=BF ，ζDBE=
ζ CBF ， .:ζ DBC= ζ DBF+ζ CBF=60 0 ，:. ζ DBF+ ζDBE=60 0 ，即ζEBF=60 0 •
故ßBEF 为正三角形.
13 13
?
(2) 设BE=BF=EF= 工，则S== xXxX 一=-t
2
4
13 _ M
•
C"
_13 V/ M .... 2 _ 3f3
当BE l_AD 时，x 最小= 2 X 一=点，...
s 最小二一X (13)2 = 丁一.
2
v -
J 3
卢
3 J3
当BE 与AB 重合时，x 最大=2 ，:. S 是大=工二× 2 2 =JE..·.-工二三三Sζ13 .
4
v -
例4
(1) 令AD 与EF 交于点p ，由ßAEP 三ßFDP 得AE=FD = AB 二CD ，即FD =CD.
(2) 画图如答图①，答图②所示.
C
D
互
I E<" I 飞\斗之之二\
Hï一-飞- tw--'::二歹G
B
A
图①
例4 答图
C
D
F
当GC=GB 时，点G 在BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论:
①当点G 在AD 右侧时，如答图①，取BC 的中点H ，连接GH 交AD 于点M ，连接GD ，则
GHl_BC,
.·.四边形ABHM 是矩形，
1 . _
1
:. AM = BH = 丁AD = 丁AG
~
~
:. GM 垂直平分AD ，:. GD = GA = DA ,
:. ßADG 是等边三角形，
.·. ζ DAG = 6 0 0 ，即α = 6 0 0 •
②当点G 在AD 左侧时，如答图②，同理得6ADG 是等边三角形，ζDAG = 60 0 ，
.··α =360。一60 0 = 300 0 •
例6
(1)矩形ABCD 是3 阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下:
.252
-E歪歪歪望
国
D
门
口
c
AAIl--lB
例6 答图
I i H
E
仁巴
(2) 裁剪线的示意图如下:
例6 答图
1 4 2 345 3 5
(3) b : c 的值为·一，一，一，一，一，一，一
. 5 ' 5 ' 7 ' 7 ' 7 ' 7 ' 8 ' 8
规律如下:第4 次操作前短边与长边之比为7; 第3 次操作前短边与长边之比为;，;;
1 3 2 3
~~ _ . . _ .. " ._ _. . .. _.
,
_.
_, 1 4
第2 次操作前短边与长边之比为一一·一一·第
1 次操作前短边与长边之比为一，一，
4 ' 4 j 5 ' 5 j ;717
.J._
V~ v1" I r- fl !J /,.;1.)<.:J. --O.J
j.-'-)<.:J. ^- j.-LJ /:J 5 ' 5
342 5 3 5
7'7'7'7'8'8'
【学力训练】
1. 45 。
8-x /X\
21~扬扬~I
~
提示:当两张纸片的对角线重合，处于如答图所示位置时，菱形周长最大，
2. 17
设菱形边长为x
，
17
则有(8- X ) 2 十2 2 ~X 2 ，解得x = -4 ,4x = 17.
第2 题答图
RωD出t6阳B ，设吁吁川tl x 二千
32手
5 fè，.AOE 十5 fè,. EOD = 5 fè,. AOD •
4. C
四边形ADBE 为菱形，5 fè,. BOE = 5 fè,.AOD = 25 fè，.A∞，由OF 十OA=9 得BC+AB =18 ，AB 一
^
._
25
BC=2 ，AB=10 ，BC=8 ，设BD=AD= x
，由x 2 二6 2 +(8- x ) 2 得x=4'
5. D
先证明ζ DEF= ζ MEF= ζ N
，6EBF 经6NBF
，6DFE 豆6CFN.
6. B
.. 253
7. 【思考】略
【发现】AF=?cm
【探究】BD=20F.
aE革植血画画画画'
理由如下:如答图，延长OF 交AE 于点H.
A
由矩形性质可得ζOAB=ζOBA=ζODE=ζOED 、OA=OB=OE=OD ，
8. (1)略
.·. ζOBD= ζODB
，ζOAE = ζ OEA .
·.· ζABD+ζBDE+ ζDEA +ζEAB= 360 0 ，
.·. ζABD + ζBAE= 180 0 ，
λ AE // BD ， :.ζOHE = ζ ODB.
.: EF 平分ζOEH ，:. ζOEF= ζ HEF.
·.· ζ EFO= ζEFH=90 0 ,EF=EF ,
:. D.EFO豆D.EFH ，二EO=EH ,FO=FH ,
.·.ζEHO= ζ EOH= ζOBD= ζODB
，又OE=OB
，
人D.EOH 豆D.OBD ，:.BD=OH=20F.
1 . _ _ _ _
1 __
1
(2) .:儿1N= =AF ,NG= =FE= =AF.
，~ . -
2 - -
2 ~ --
,
1 . _ . 1
:.MN+NG= =AF 十=AF =AF.
2 ~ --
. 2
当AF j_BD 时，AF 最短，MN 十NG 最小.
又.: L_ABF =仨ABC=队
1 . _
1
'. AF 二
= AB = 一.
2 ~ --
2
罗
:.MN+NG 的最小值是?
(3) 当点E 在AB 上运动时，ζ CEF 的大小没有变化，如答图.
理由如下:
由菱形的对称性可知，ζBAF = ζBCF.
.: AF= EF , :' L乙BAF = ζAEF ，
.·. ζBCF = ζAEF .
又·.· ζAEF+ ζBEF 二180 0 ，
.·. ζBCF 十ζBEF = 1 80 0 ，
.·. ζ CFE + ζCBE = 180 0 •
又·.· ζ CBE=60 0 ，:. ζ CFE = 120 0 ，
人ζCEF = ζECF = 30 0 ，人ζ CEF 的大小没有变化.
.
254
B
D
第7 题答图
第8 题答图
E
EE孟誓宰型
9. 3 或1. 5
折叠有两种情形:
A
B'
D
~
B
E C
第9 题答图
D
C
第
1 0 题答图
10. ①②③④ 对于③，作FQ j_ OD 于点Q ，6FQD 为等腰直角三角形，DF =fi QF =fi AF; 对
于④，连接AG ，由60AG豆6DAE 得ζ OAG= ζ DAE ，ζ GAE=90
0
•
11. (子，一手)
AC2m ,0) ,CCO ,m)Cm > O) ,AE=CE=5 ，OE=2m 一5 ，又OC 2 十OE 2 =CE 2
，得
m 2 十C2m-5) 2 =5 2 , :.m=4 ，故AD=4 ，DE=3 ，AE=5 ，OE=3.
125
12
一-
24
13. C
14. C
提示:连接AC .
①②③④正确.
提示:图中只有边长为1 或2 的两种菱形.
15. 连接AC ，则易证6ABC 与6ADC 都为等边三角形.
①若ζ MAN=60 0 ，则6ABM三6ACN.
.: AM=AN
，ζMAN=60 0 ，
:.6AMN 为等边三角形.
②若ζAMN=60 0 ，过M 作CA 的平行线交AB 于点P.
·.·ζ BPM= ζ BAC=60 0 ，ζ B =60 0 ,
..6BPM 为等边三角形，BP=BM ，而BA=BC
，λ AP=MC.
又ζAPM=120 0 = ζMCN
，
B
iζ PAM= ζAMC 一ζ B= ζAMC-60 0 = 丘AMC- L_AMN= L_ CMN.
:.6PAM三6 CMN ，:.AM=MN
，又ζAMN=60
0 ，
故6AMN 为等边三角形.
16. 如答图，将原图形补形为矩形ABCE ，则6DCE 为等边三角形，只需证明
ζADE=90 。或ζ DAE=60 0 ，证法多样，读者不妨一试.
17. (1) BP=CE;CE j_AD
(2) 成立.连接AC 交BD 于点。，证明6ABP (/) 6 ACE ，得BP =CE ,
ζACE= ζABP= ζ DCE=30
0 ，故CE j_AD.
D
第
1 5 题答图
FJj
第
16 题答图
.2踊
a
lt~ffl -f:Jt 'Ji ñj~ 0 1\~ tAt
(3) 如答图，连接AC ，CE.设AD 与CE 交于点M.
由(2) 可得LBAP 旦LCAE ,BP=CE ,CE _lAD ,
ζACE = L_ABP =30
0
•
0: LABC 为等边三角形，
.·.ζACB =60 0 ，:.ζ BCE=90 0
•
.: BC=AB=2 点，BE=2 江百，
:.CE=VBE 2-BC 2 = 汀百-12 =8 , :.BP=8.
.: LADC 为等边三角形且边长为2 汀，
:.AM=点，CM=3 ，二EM=8 一3=5.
:.AE=VAM2+EM2 = VCj3)2+52 =/28 =2 汀，
S轴6AEP =子×时) 2 =7点
设AC 与BD 交于点。，
·.·菱形ABCD 边长为2 汀，
:.BD=6 ,AO=J3.
.DP=8-6 二2 ，:. S 6ADP =
.. s 四边形ADPE =7 J3+J3 =8J3.
[z]
R 美的E 市Jf~
【例题求解】
B
C
第
17 题答图
AD J2+1
侣。1
①④⑤ 提示:设AE=l ，EF=AE=l ，BE= J2 ,AB=AD=J2 +1 一一=一一一=12+1.
'AE
1
故②不正确，又S6AGD = S 6FGD ，故③不正确.
例2
B
提示:在AC 上取一点G ，使CG=AB =4 ，连接∞，ζ OCG= ζ OBA
，则A∞C C/)
LOAB
，得α;=OA=6 J2 ，ζAα:;=90 0 ，LAα3 为等腰直角三角形，AG=12 ，故AC=16.
例3
(1) DM _l EM ，DM 二EM.
(2) 结论不变.延长EM 交DA 的延长线于H ，LAMH 旦LFME ，LDHE 为等腰直角三角
形.DM _l EM ,DM_lEM.
.
256
A
D
F
例3 答图
(3) 如答图①中，作MR _l DE 于R.
在RtL，.CDE 中，DE= .Jf32士于=12 ，
.: DM=EM ,DM_lEM ,
A
B
1
又.: MR _lDE , :.MR = : DE=6 ,DR =RE 二6.
2
D
C
图②
在RtL，.FMR 中
，FM= JMR 2+ FR 2 = J 62 +11 2 =汀百.
如答图②中，作MR _l DE 于R.
-E孟辈革望~
在RtL，.MRF 中，FM= .ff古平6 2 =汀7 ，故满足条件的MF 的值为冯于或汀57.
【学力训练】
1. .}5
2. ①②③
3. 18
过点A 作AM _l BC 于点M ，AN _l CD 于点N ，则S 四边形ABCD =S 正方形AMCN .
4. C
四边形EGFH 是正方形，EF= j2EG.
5. A
连接BE 交AC 于点p ，此时PE+PD 有最小值.
6. C
提示:设GC= x
，则BG=6- x
，GE=8- x
，由
42+ x 2 =(8-x) 2 得x=3 ，即BG=GF=
12 _
1 _ _
_ __
18
GC=3. 作CH _lGE 于点H ，则CH= -r- ,S MCC = ~ GF • CH= 一手3 ，结论④是错误的.
5
，-
，-，，~ 2--
- --
5
7. (1)四边形BE'FE 是正方形.理由略.
1
1 _ __, ..
_ __
_ _,
(2) 过点D 作DH _lAE 于H ，则L，.AEB三ADHA ，AH=BE=EFF=-AE=-CE ，故CF=FE' .
2.-
2
(3) 3 刁于-
8. (1)①BC 上CF
②BC=CD+CF
(2) 结论①仍然成立;结论②不成立，②的正确结论是BC=CD-CF ，证
明略.
F
B
P
C D
第8 题答图
.. 251
6;&B1I~'I'b~'If'-撞撞'
(3) 如答图，作AP _lBC 于点P ，EQ _lCF 于点Q ，可得6BCG 为等腰直角三角形.
:.BC=CG.
又.: BD =CF , :.BD - BC = CF - CG ，即CD = GF.
AB=2/2, :.AP= 2 ，B凹，BP=臼=2 ，CD=jB凹，
λ GF =CD = 1 ,PD =CP +CD =3.
.: AP // CF ,AD // EF ,
J. ζ PAD= ζAMF ，ζAMF= ζEFQ ，
:. 6APD 旦6FQE ，
:. FQ = AP = 2, EQ = DP = 3, GQ = FQ - FG = 1 ,
:. GE = J GQ2 + EQ2 =J1午32= 刁百.
9 子提示:连DM 并延长交EF 于制，则6ADM组川，FN=l
10. 20/2
如答图，构造弦图，得小正方形的边长为AB-BC=AB 一
BD=AD 二5 /2 .
85
11. 2
12. B
13. D 提示:FC =jBC
第10 题答图
BE J2
14. B
①③正确.对于②，当AE = AF 时，6CEF 为等腰直角=角形一一=二;对于④，若NF >
一
'EC
2
DF ，则ζ DNF < ζ NDF ，即ζ DNF < 45 0 ，在6DNF 中，ζFDN 十ζ DNF 十ζ DFN =
180 0 ，得ζ DFN > 90 0 ，则点F 不存在.
15. 连接RN ,MP ，6MCP (/)6BAC(/)6BRN ，则RB=MP ，又6RNM旦6PCB
，则RM = BP ，
从而四边形RBPM 是平行四边形，故BP //RM.
16. 在正方形外作ζADE = 13 5 0 ，并使DE = BM ，连接AE ,NE ，lJ!U 6ABM旦6ADE ，进一步可证
得6AMN豆6AEN ，得MN=NE ，又ζ NDE=90 0 ，故以BM ，DN ，MN 为边围成的三角形
为直角三角形.
17. (1) BF 二4 /5 .
(2) ①过点F 作FH _lAD 于点H ，并延长交BC 延长线于点M ，Rt6EFH 豆Rt6ECD ，则
FH = ED = 3,EH = CD = AD.
.. 258
②BF=JBM 2 十FM 2 二v'[ 4 十(4 - 3)J2 十(3 +4)2 =♂4.
(3) 如答图①，当点E 在点A 左侧时，设AE=x
，
则MF=4+x 十4=x 十8 ，BM=4-x
，
由(x 十8) 2 + (4- X) 2 = (3 jIO ) 2
，得x= 1.
如答图②，当点E 在点A 右侧时，
同理由工2 +(x-4) 2 =(3 汀百) 2 ，得x=2+ J4T.
故AE=l 或AE=2+ J4T.
F
G
B MC
图①
第
17 题答图
[ffi由申点想到什ι
【例题求解】
A~
G丛VE
图②
回E温垂军司监
1
例
1
5cm
提示:': DN 是Rt L::，ADB 斜边上的中钱，λ DN=:AB
，ζ NDB= ζ B
，MN //AC ,
2
4乙NMB=ζC
，ζ NDB= ζ B= ζ NMB 十ζ DNM= ζC 十LDNM=2LC ，:. ζ DNM=
ζC=ζ NMD ，得DM=DN=iAB
例2
B 提示:连接MT ，NT ，则JMT=i ，NT=2 ，ζMTN=90 0 •
2
例3
就图①给出证明:
FN斗AB ，FM乓CE ，且CE=AB ，
二FN=FM ，ζ3=ζ4=ζ5 .
又ζ1+ζ2=ζ3 十ζ5 ，而ζ1=ζ2 ，则ζ2=ζ5 ，故MN //AD .
例4
(1)CG=jFD ，EG=÷FD ，故CG=EG
B
D
M
C
例3 答图
(2) (1)中的结论仍然成立，如答图①，连接AG ，过G 点作MN j_AD 于点M ，与EF 的延
长线交于点N ，则L::，DAG 三L::，DCG ，得AG=CG ，又L::，DMG 旦L::，FNG ，得MG=NG ，
..街'
a
1t~*li1t'Ji ñ~! . J\~.
在矩形AENM
中
，AM = EN
，进一步可证明
D_AMG 三D_ENG ，故AG=EG=CG.
(3) (1)中的结论仍然成立.如答图②，延长EG 至点
M ，使得GM=EG ，连接CE ，MC ，延长EF 交DC
于点p
，
A
MD
r …
…
j
I
-....k
1/
•
I
AGI
E俨升\1
B
C
图①
由D_ FGE 旦D_DGM 得DM=FE ，DM // FE ，
.·. ζMDC= ζ DPF.
.·ζ EBC + ζ EPC=180 0 ，ζ EPC+ ζ DPF=180 0 ，
·. ζ EBC 二ζ DPF= ζMDC
，而BC=CD
，
:. D_EBC 旦D_MDC
，ζ ECB = ζ DCM.
.· ζ BCD=90 0 ，
:. ζ ECM = 90 0 •
又EC=MC 且GM=EG ，:. EG=CG ，且EG l_ CG.
E学力训练】
1. 5
提示:连接BD.
2. 5 连接AC ，F ，M ，C 三点共线，mzfAC
3. (1) (扩-2
点
一
5
+
一
γ
4.C
5. D
A
D.","'1M
I
G/-τ p /
E~产JF
\
1 /
B
C
图②
例4 答图
6. D
如答图，分别取DE ，DC 中点M ，N ，连接MN ,BN. L ADE ,L BCE ，LDEC 都为等腰直角
三角形，点P 的运动路径为线段MN ，BN 上MN ，即BN 为BP 的最小值，BN 二J2BC 二2 J2 .
G -
t 、
广\
!、
'、
t
、
，、
l
、
1
、
t
、
t
飞
E~ \
、
C
A
B
第6 题答图
第7 题答图
7. (1)略
(2) (1)中结论仍成立，下面提示供参考:
.. 260
EZ军军噩.
如答图，过点E 作EG // CB 交BF 延长线于点G ，证明6GEF豆6BCF .则CF 二EF .
8. (1)略
(2) 四边形EFGH 为菱形，连接AC ，BD ，先证明AC = BD.
(3) 中点四边形EFGH 为正方形.
9. 10
提示:取AD 中点E ，连接ME ，NE ，则ME=NE .
10. 103 0
如答图，连接BE ，取BE 中点D ，连接MD ，ND ，并延长ND 交AB 于点G ，则ζNDM=
98 0，ζBMN =62 0 +410 = 103 0 •
C
B
D
A
第10 题答图
第11 题答图
11. A
·.· 四边形A 1 B 1 C 1 D 1 是矩形，:. B 1 D 1 = A1C (矩形的两条对角线相等)，:. A zDz = CzDz =
CzB z =B z A 2 ' λ 四边形A z B z C z D z 是菱形，人四边形A 3 B 3 C 3 D 3 是矩形. 根据三角形中位线
的性质知，四边形A 4 B 4 C D 4 是菱形. 故①②正确. 根据三角形中位线的性质易知，A 7 B 7 =
1
1 _ _
1
1
1. _
1
1
1
1 _ _
1
1
~ B 5C 5 = 一X
~ C 3 D 3 二一× 一X
~ A 1 D l = 一× 一× 一X -;:;-BD =:-:: BD =:-::b ，同理B 7 C 7 =
2 n
2'--'3L./ 3
2 n
2 n
2 H
1 L./ l
2 n
2 n
2 n
2 .LJL./
16 .LJL./
16
1 . _
1
. _.
_ _ _
.. _ .. _
1α + b
AC =
α ，.·.四边形A 7 B 7 C 7 D 7 的周长是
2 X 一(α + b) = 一一，故③正确.γ 在四边形
16---
16-- '
~~
，~ - - , -,-,-, ~~
，...~-~-
16 '-- ' -,
8
αb
ABCD 中，AC = a ,BD = b ，且AC _l BD ，:.S [l!j边形ABCD - τ ; 由三角形中位线的性质可推知，每
得到一个新四边形，它的面积则为原来四边形面积的一半，
.·.四边形A nBnCnD n 的面积是
二17 ，故④错误综上，①②③正确故选A
12. C 连接MF ，肌则B ，N ，F 三点共线，MN = fBF
13. (1)相等;60 。
( 2) 6MNP 为等边三角形.
1 _ _
1
6ABD三6ACE ，BD = CE ，ζABD = ζACE ,MN = PN = ~ BD = ~ CE ,
2 --
2
又ζMNP = ζMNE 十ζ ENP = ζACE 十ζABE 十ζ EBP 十ζ NPB 二ζABC 十
ζACB = 60 0 ，故6MNP 为等边三角形.
(3) BDζAB 十AD ，即BD <，4 ，从而MN <，2 ，
.
261
aE远温血蓝蓝墨画画'
S f:,.MNP =号MN 2 ，故6MNP 的面积的最大值为扫
14 如答图，设L ，N 分别是阻PC 的中点，连接MD ，ME ,ML ,MN ,DL ,EN ，!il~ ML斗PC ，
MN _jj_ ~ PB 由ζPDB= ζPEC=们导DL=i凡EN = ~PC
:. DL =MN ，ML = EN ，且四边形PLMN 为平行四边形，
于是ζ PLM= ζ PNM.
又丘DLP=2ζ PBA=2 L.ζ PCA=丘ENP
，
·. ζ DLM= ζDLP 十ζ PLM = ζENP + ζ PNM = ζENM ，
.. 6DML 三6MEN ，故DM=EM.故6DME 是等腰三角形，DE 的垂直平分线必过点M .
第14 题答图
P
A
E
D
吃……… oo ，_-___
...，、‘
气
1、
N、、、
町.
‘、
1
、、，、、、飞
、、气
1
、
r
、气飞
、‘ 、
H\----_^
飞........
\
\
I
..... 、、\飞
飞，气、、、、
B
F
C
第15 题答图
15. (1) 415 ;415 ;J7 ;JI3
(2) a 2 +b 2 = 5c 2 •证明略.
(3) .: 6AGE C/) 6FGB , :. 点G 为AF 的中点.
如答图，取AB 的中点H ，连接FH ，并延长交DA 的延长线于点p ，
.: 6APH 兽6BFH ，λ AP=BF ，二PE= CF=2BF ，即PE =圣CF .
.·.四边形CEPF 为平行四边形，:.FP // CE.
又.: BE上CE ，二FP l_BE ，即FH l_ BG.
:. 6ABF 为中垂三角形，人由(2) 得AB 2 + AF2 = 5BF 2 •
旧= 3 ，FjAD=汀，. .川F 2 =5X仰，:. AF= 4
圆
平行黯割
【例题求解】
AP
AM
1
. _
1
由DC // AB ，得一=一= 一，AP = 7AC ，同理AQ = 三AC ，PQ = 三AC 一
PC
AB
3 ,. &&
4 . &~ , J ~~ -= '
4 "",
5 . H
/ ,..."",
5
5 : 3 : 12
例1
1 • ~
3 . ~ ~~ 3 . ~ " . _
_ _
_ _
1
3
3
-.;-AC= ,,-^AC ,QC = : AC ，故AP : PQ: QC = 一
: 一
: 一= 5 : 3 : 12
4---
20--- '-'-
5' & ~
''''-^
' &&
&"",
""' ~
4
20
5
..262
E建盏孟噩~
例2
D 过点M 作MN //BC 交AE ，AH ，AB 于F ，P ，N 设EC 气，则MF=←;FP÷ ，
2
.GM
3 二E2MHZz2
PN= 缸，则一一二一一= 一，阿盟一一=一- -
BG
5x
15'" ~，= BH
3x
3 .
-EA
--
G-G
D-D
n
/
臼
-
q
'
臼
一
G
一
「I
m-M
一
G-G
D-A
+
G-G
D-A
一
F-F
C-A
+
E-E
B-A
'3
尔
H
V
(2) (1)中结论成立，理由如下:
如答图，过点A 作AN // BC ，交EF 的延长线于点
A
_- N
E乒句飞F
BE
, CF
------- /
/
\
N ，FE ，CB 的延长线相交于点M ，则一+一一=
r一一一苔
'
、
AE ' AF
M
H
D
C
BM 十CM
DM-BD 十DM 十CD
2DM
二一一一二2 X
AN
AN
AN
例3 答图
DG
1
一一=2X 一= 1.
AG
_.. 2
(3) (1)中结论不成立，理由如下:
·.·当点F 与点C 重合时，BE = AE ，
BE . CF
λ 当点F 在AC 的延长线上时，BE >AE
一一+ ~~> 1，
'AE ' AF
BE. CF
同理，当点E 在AB 的延长线上时，-;一+一一> 1.
AE' AF
【学力训练】
EF
BE
二
1. 1
AB=3BE ，由一一=一~q，导EF=2 ，DH= :EF= 1.
AC AB
9
2.9./3
令EG 与CD 交于点。，EG =--=;-OE ，当OE l_AB 时，OE 取最小值.
4
QI
GI ~T
1
3.τ 由AC // FG ，得一=一，QI= ~A I ，过点A 作AM上BI 于点M.
3
.......~~
II
~~".~AI CI ' ''''-
3
4. A
5. B
6. D
3 AG AB
6
7. 分别延长BE 和CD ，交于点p ，设正方形ABCD 的边长为3 ，则PD = 言'FG = FP = 7"
8. (1) 75 ;4./3
A
BO
EO
BE
(2) 如答图，过点B 作BE // AD 交AC 于点E ，则Dδ =互δD互=
D
C
j，除♂，AE = 4点
第8 题答图
.. 2臼
aE罩m~l"iJ)噩噩
·.·ζABC= ζACB=7 5 0 ，
.·.ζBAC=30 0 ,AB =2BE.
由(4 /3 )2 十BE 2 = (2BE)2 ，得BE=4 ，AC=AB=8 ，AD=12 ，从而得CD 二4 汀言.
CO
CE
1 OD
2 _
2
9;
过点D 作DF川交BE 于点F ，得DF=2EC ，~=- =一=一，一~ ,S MOB = --;; S
'OD DF
2 'CD
3
设AB 中点为M ，当CM l_AB 时，6ABC 面积最大.
、
、
、
、
、
、
、
、
D
C
G
A
B
A
第9 题答图
第12 题答图
AE
2AG AF
2AH __
5
2x
5+3
10. 1 : 1 : 1
设AG=x ，GH = y ，HC=z
则一一二一一一，一一=一一，即一一一=一-一一一一=
一，\JU -y
，u'--'-""~~ED -
CG 'FD
HC ''''''3 十2
y 十z
'
2
2(x+y)
一一一一一，解得x=y=z.
z
11. D 作AH l_BD 于点H ，则一=一，设AM=x ，则CM=j5-x ,AH= j5二.
AH AM
CD
CM
啡店丰?
12. C
延长DE 交CB 的延长线于点G ，贝U6ADE经6BGE ，AD 二BG=3 ，由6FGMω6ADM
FM
GF
4
_ . _ _
3 __ _
3
得一一=一一=一，:.AM=~FM= :AF ，由6BFN ∞6DAN 得FN = =AN=~AF ，故
AM AD
3' - - . ~..~
4 ~ ..~
7
9
_
9 街
5
MN = AF-AM-FN= _-_AF= - :.ι
28- __
28
13. (1)略
(2) 如答图①，作CF //AB 交MN 于点F ，贝U6CFN∞6AMN ，
NC
CF
NA AM'
.:CF // AB ，:. ζ B= ζ DCF.
M~ C
D~吁AT
图①
:.6CFD 三6BMD ，
A
伊每三~C
B
6-... ..兰、三芝r
~-.":坦、N
图②
又ζMDB= ζ CDF ,BD=DC ,
:.BM=CF.
• AN-AC BM AB-AM
AN
AM
AM
JJK
C
图③
第13 题答图
,
B-
d-B
二
A
l
B
一
，
-
A
一
C-
A
一
二
町
屹
一
沪
y
一
. .
•
.264
EE~量莹莹…-
1
1
即一+一=2.
二:r
y
AM'
(3) 如答图②、答图③，过D 作MN //M'N'交AB 于点M ，交AC 的延长线于点N ，则-一=
AM
'
ZF
YF11112
•
_η= 一，即X= 一，y= 一，代人(2) 中等式一+-=-=2 ，可得丁+--='= 一.
X
Y
n
n
x
y
x
y
n
14. 过点A 作BC 的平行线，分别交直线DE ,DF ,BE ，CF 于Q ，P
，N ，M. 显然，
M
P
A
Q
N
飞/飞，
Fλ
IK
主
BD
KD
DC
一一_-一-.1..，'有BD • AM=DC • AN. ①
AN KA
AM
由AP
AF
AM . . _
BD. AM ②
一一=一一~~ ，有AP=
②
BD
FB
BC' n
.~~
BC'~
第14 题答图
B
由AQ
AE
AN _,_
• _
DC. AN ③
=一一二一一，有AQ=
③
DC
EC
BC' n
.~.....
BC
四
对比①、②、③，有AP=AQ.
:.AD 为PQ 的中垂线，
:.ζ FDA= ζ EDA.
CN
NG
AM
1
15. (1)一一=一一=一一二
BN
BN
MB
3'
一
C-V
N
一
户
'
U
N-C
B-A
ω
-
m
一
c-A
O-G
N
一
℃
B-A
M-m
N-U
C-N
一
o-o
c-AA
M-m
一
-
m-m
日
苛
可
由
(3) 在L，.ABD 中，点P 是AD 上一点，过点P 的直线与AB
，BD 的延长线分别交于点F ，C.
AF
BC
DP
由(2) 可得
• __ .一一=1.
FB
CD
PA
在L，.ACD 中，点P 是AD 上一点，过点P 的直线与AC ，CD 的延长线分别交于点E ，B.
AE
CB
DP
由(2) 可得
• = . -::::--;- = 1
EC
BD
PA
P-A
D-P
B-D
C-B
E-C
A-E
一
P-A
D-p
f
u
ζ
U
B-C
F-B
A-F
1-PO
--
1-2
×
1-3
一
一
D-D
B-C
F-B
A-F
一
D-B
B-c
c-D
B-C
F-B
A-F
一
E-C
A-E
队宝等ïlJ相佩
圆
【例题求解】
提示:ζAPB= ζ BPC=120 0 ，ζ BAP=60 。一ζABP= ζ ABC 一ζABP= ζ CBP
，
.. 265
413
故L，.ABP ω L，.BCP ,PB 2 =PA • PC.
例1
4-，~，~量商耀'~j~.I-'j曾主弈-
例2
A
提示:先证明6ABD 经6BCE ，再可证6BDF ω 6ADB
，6AEF ω 6 BEA ，作AG ..l
BC 于G ，又可证6AGCω 6DEC.
例3
连接AD ，AID
，延长AAl 交DC 于点。，交CC 于点E ，
AD
DA 1
r-
·.·ζADA j =90 。一ζA1DC=ζCDC j
一一=一-:;::;- = ~ 3 ,
'DC
DC 1
yv
:. 6AA j D C/) 6CC j D
，ζAjAD= ζCjCD.
又·.·ζAOD= ζ COE ，:.ζADO 二ζCEO=90 0 ，即AAj ..l CC j .
例4
(1)略
D
BF 2
16
(2)
由6BEFω6BCF 得BC= 一一一=一=AD.
BE
3
(3) 如答图，分别延长EF ，DC 相交于点G ，由6EDF ω 6EGD 得
卢
DG
DE 2 =EF • EG ，又EG=AC =2EF ，{导DE = ~2 EF. .:一一=
v-
~~ •
- DF
A
G
、
A
、
，
、
-
r
，
、
、
4
B
例4 答图
DE
一，:.DG= [2DF=5 [2，:.DC=DG-CG=5[2 -2.
EF
【学力训练】
1. 5[2 要作一个直角三角形与Rt6ABC 相似，则这个三角形的两直角边的比为1 : 2 ，由已知网
格图可知，能画出的最长线段为6 [2，易知所画三角形的较短直角边应小子4 ，可确定为汀石，最
大边为5 [2.
2. 3 过点C 作闪//PQ ，交AB 于点Ql'制Q 取值范围为叫Q<3t
3. ①③ ζ ODF 芋ζ COD= ζ EBG ，ζ CFO > ζ COF > ζ COD= ζ EBG ，过点A 作AN j_ OB
1 . _ _
DE + FG
AN
50B
AN
20
于点N ,5 ""OAB =16 ,AN • OB =32 ,FG _jj_ ~ AB ，5 梯形DEGF - 一一一一一- .一一=一一一
· 一一= 一
2
2
12
2
3 .
AD
DO
卢
4. C
5. A
提示:连接AO ，DO ，由6AOD ω6BOE 得一一=一一= ~3
.
BE
EO
V-
6. D
对于③，由6AHF ω 6AFC 得AF 2 = AH • AC = 2AE 2 ; 对于④，由6AFC ω 6AGD 得
ζADG= ζACF=45 0 ，则ζ CDG= ζADG = 45 0 , 6AGD 旦6CGD ，AG=CG ，DG 垂直平
分AC.
7. (1)由ζ BAC= ζMAN=45 。得ζ BAM 二ζ OAF
，
AF
AO
J2
:.Rt6AOFωRt6ABM ，得一一=
=工二
A品1[
AB
2.
^ AF
AD
(2) .:ζMAF= ζCAD=45 0
一一一=一一
'AM AC'
..266
EZ军军噩.
:.6AMFω6ACD ， :. ζMFA= ζ CDA 二90 0 ，即AFl_FM.
(3) .: AF l_FM ，ζMAF=4S 0 ，
.·.ζAMF = ζABE=4 S 0 ，得ζ BAM= ζBFM.
当ζFMN= ζBAM 时，得ζFMN= ζ BFM ，
λMN // BD ,
:.CM= CN ,BM= DN ,
从而6ABM且6ADN ，
.·.ζBAM= ζ DAN= 2 2.S 0 •
14
8. (1) 若L:，.PCD 是等腰三角形，则AP = 4 ，5 或τ -
(2) 连接PF ，DE ，设它们交点为点。，连接OC. 在60CF 中，2 ζ OCP + 2 ζOCF = 1 80 0 ，即
ζ PCF= 90 0 = ζ PCD + ζFCD = ζ PCD + ζ PAD ，得ζ PAD 二ζ FCD ，又ζ PDA=
3J2
L_ FDC ，故6ADP ω6CDF ，得CF 二f
9.8;5
提示:AE = EF = 4, FG = 2 ，ζBAE = ζ CEF ，ζ CEF = ζ DFG ，L:，.ABE ∞L:，.FDG ，
AB
BE
AE
4
DF
DG
FG
2 '
得DG=iBE ，DF=lAB ，且6ABE 巴6ECF ，故AB = CE , BE = CF , AB = CF 十DF =
2
一
1
内
4 ，气
BE + : AB
，得BE = : AB
，设BE = α ，则AB = 2α ，在Rt6ABE 中，ν = 1 6 ，α =tL
2
11
10. 1 3 一
连接MN ，作MH 上AN 于点H ，由ζB = ζD = ζMAN ，得6ABM ω 6MAH ω
13
6ADN.
11.A 过点D 作DE //AB ，交AC 的延长线于点E ，则6ADE∞6BCA ，6DOEω6BOA .
BN
AB
r=-
CF
AC
r=-
. .. _
"
_ _
"
• _
L
_
_
_
~ _
~. ， OG
1
12. C
x = 一一=一一= )2 ，.)1 =一=一一=J言，过点。作∞// AB 交DE 于点G ，则一二
ON
AO
勾ω
' Y- BF-AB- Y
t..
'J-;L，m
\J Ir \J'-' //.l J..L.I
..Á-L/~ J
; " \'-"
7<'J BE
2 '
BE
BE
OM = α3 ，z = 一一= 一一= 2 .
,-
OM OG
AE
CD __AE
AC
13. .: ζEAD = ζ DCF = 60 0 ，ζAED = ζ CDF ，二6AEDω L:，.CDF ，得一一=一一，即一一=一一
AD
CF ' ~'-AC CF '
又ζ EAC = ζACF 二120 0 ，:. 6EACω6ACF ，得ζ CEA = ζ CAM ，而ζACE = ζMCA
，
CA
CE __ _ . "
.. 6CAEω6CMA
，得一一二一一，即CA 2 = CM. CE.
C岛t[
CA
" 2町
.瑾孟孟望~
团相似三筒形的性质
【例题求解】
例1 7 延长BA ，CD 交于点F ，91旧E巳L::.BEC ，L::.ADFωL::.BCF
例2
A 解法一:设C 型直角三角形的直角边长为a ，b ，则S 3 = lGb ，又设A 与C 的相似比为走，
2
则A ，B 型直角三角形的直角边长分别为ω
1), :.5=25 1 十25 2 +25 3 =abk 2 + αb ( 走2 _ 1) + αb= 2α悦2 =45 1 •
大矩形的宽为缸，令大矩形的长为α ，则SI=?川矩形=α
• 2h =
2h
解法二:如答图，设A 型直角三角形斜边上的高为h ，由对称性可知，
2αh
， :.5 矩形=45 1 •
例3
144 机乓+唁十岳=1
例2 答图
【学力训练】
1. 9 : 7
z 号
L::.ABCω L::.DEF
3;
3
-FO
--
F-C
A-A
3-2
一
D-D
A-A
3-
4
-1-
2
一
B-E
A-c
一
-
F-FA
A-C
F
E
C
A
ω
F
B
A
A
E
C
H
M
川
B
A
m
m
卢
E
C
接
连
4. B 5. B 6. B ③不正确.
7. (1)①略②j2
CG
CA
(2) 由一=一一=j2 ,L_BCE= L_ACG= α ，~.{:tL::.ACGω L::.BCE ，
CE
CB
AG CA
·.一=一=J言，即AG=j2BE.
BE
CB
(3) 设正方形CEGF 的边长为α ，正方形ABCD 的边长为工，
由(2) 可知L::.ACGω L::.BCE ，:. ζAGC= ζ BEC= 1 3S 0 ，
又ζFGC=4S 0 ，λ A ，G ，F 三点共线.
·.· ζ HCD+ζDCF= 4S 0 ，ζGAC + ζACH=4S 0 ，且ζ DCF= ζACH ，
..269
aEi国昌盛撞撞墨画缸'
AC
AF
J.ζ HCD= ζGAC ，λ 6AFCω6CDH ,. 一一=一一
.CH CD'
因为AC =j2x ，AF =AG+GF = 6 十α ，CH=GH 十CG=2 /i +/iα ，
/ix
6+a
=一一一，:.x 2 = (2+α)(6 + α) ①，
2/i +/ia
x
在Rt6ACF 中，AC 2 =AF 2 +CF 2 ，即2X 2 = (6 十α) 2 十d ②，
将①代人，得2(2 十α)(6 +α)=(6+α) 2 十α2 ，解得α=3 ，
:.x = .) (2 十α )(6+a) =3 汀，故BC=3 j5.
8. (1)略
PE
(2) 设一一=x(x>O)
，则AE : AP : AB = 1 : (x 十1) : (2+x) ,
AE
.: 6AEF∞6APQω6ABC ，
:. 5 lè,AEF : 5 lè,APQ : 5 lè,ABC = 1 : (x 十1) 2
: (2 十X) 2 ，
二1+(2 +x)2 一(X+ 1) 2 =(X+ 1) 2 _ 1，
PE
解得x=2 ，即一一=2.
AE
PE
=-
(3) 一一=J2.
AE
'
>
AðU+ U5
9. 715
MN = 55 , PQ = 屿，R5 = 15 ，6UM5 ω 6NMA ω 6RC5 ω 6BCA ，因此
=
AB 十BC
M5
AM+5C
_ MN
5R
55
15
5
一一=1 一
=1
一一一一一=1 一一一一-一=一，所以MU +U5 = (120+220) X 一=
AC
~
AC
~
BC
AB
~
220
120
8
425 _ _ ____. ___
. __ . __ . . . 1
____ . ____
___ _. ___, . . 5
375
一一.同理，NV+VP= (1 80 十220) X 一=200 ，RW 十WQ= (120+180) X 一=一一
2
- --，~...... ~
，~--. -- -, . . 8
2
425 .
. 375
故6UVW 的周长为一一十200+ 一一+55+45 + 15=71 5.
2 . - --. 2
DE . FG . IC
10. 405cm2
提示·一一十一一十一一=1.
'BC . BC . BC
11. C
设DF= 工，EF = 2工，5 lè，GDF = 5 ，则BC = 6工，5 lè，GBC = 365 , 5 lè,BGF = 65 , 5 lè,BFC = 305 ，由
HF EF
HE
1._ HF
HE
._ AH
1
一一=一一=一一=一得一一=一一，5 lè,CFH = 155 , 5 lè,BCH = 455 ，而AE =CE ，得一一-
HB
BC
BC -
3 -1'1' BF -
EC ' ù
lè,CFH -
.LcJ,), ù
lè,BCH -
"1:cJ,), IIIJ ~.L -
\J.L, -1'1' HC -
3 '
5 lè,BAH =155 ，5 四边形AGFH =95 .
12. C
对于③，ζBDP = 75 0 -45 0 = 30 0 ，ζDFP=60 0 ::;i:ζBDP ，故③不正确;对于④，由6CDP ω
6DPH ，得Dp 2 =PH • CD=PH • PC.
.m
·函垂幸遭自
13. (1 )ζCBE 二30 0 •
M
(2) 由AF • FD=AB • DE 得DE=2 ，EF=EC=3 ，BC 二AD=3 J5.
(3) 如答图，过点N 作NG _lBF 于点G ，贝U ，6NGFω，6BAF ，
NG
FG NF
BA
FA
BF'
又.: NF=AN+FD ，BC=BF=AN 十FD+NF ，
A
E
B~二p……一----:c
第13 题答图
NG
FG
NF
1
λ BC=BF=2NF.:. -_一=一一=一一=一
, - - BA
F A
BF
2 .
设AN= 工，则GN=AN=ι
设FG=y ，则AF=2y
，
在Rt，6ABF 中，由勾股定理得AB 2 +AF 2 =BF 2 ，即(2x ) 2 十( 2 y ) 2 = ( 2x + y ) 2 ，整理得
4
y- "3x ,
4
10
_. _ _
10
:.BF=BG 十GF = 2x + ~ x =
-~- x ，则BC=-~- x ,
3-
3
3-FU
--
E-Z
L-m-3
一
BXL
A-B
BM BP
BD 十DC 十CP
2DC 十CP
几1A
AQ
AQ
AQ
DG
DP
DC 十CP
_
GA
AQ
AQ'
也/
-pa
N\
L
C
A
万
f
夜
'
!
一
…
吹
/
l
节
…
~4DU
A
W
唱
飞
14. 如答图，设D 为BC 边的中点，连接AD 与MN 相交于点G ，
过点A 作AQ//BC ，交直线MN 于点Q.
①
第14 题答图
CN
CP
_
NA 一互言，
Q)
BM . CN
2(DC+CP )
~
①+③得一一十一一=
④
MA ' NA
AQ
,
'-:/
2DG
2CDC 十CP)
BM . CN
由②，④得一一=
=一一+ 一一=1 ，
GA
AQ
MA . NA
DG
1
GA
2 '
由于点G 在中线AD 上，从而点G 为，6ABC 的重心，即MN 经过，6ABC 的重心.
DF
3
15. (1) DF = 3.
(2) 一一=一，值不变.
DE
4
..m
-IE室主m墨lllfi董罩~3J，~_
(3) 过点D 作DM j_OA ,DN j_AB
，垂足分别是点M ，N .
若AD 将L:，DEF 的面积分成
1 : 2 的两部分，设AD 交EF 于
点G ，则易得点G 为EF 的兰等分点.
①当点E 到达AB 的中点之前时，如答图①.
3
NE=3-t ，由L:，DMFω L:，DNE ，得MF=Z(3-t) ，
:.AF=4+MF= 一43245 ,
3 . 7
OF=8
AF = -4t 十一4
·.·点G J 为EF 的二等分点，
(3t+712 )
•
• \J二112' →
3ι
,
由点Aω ，川(4 ，明直线AD 解析式为y = -7z+6 ，
3t+71 2 \ ... .._
75
把G 1 (寸7 7) 代人，得t=石
②当点E 越过AB 的中点之后时，如答图②.
NE=t 寸，由L:，DMF(/)L:，DNE 得MF=?(t-3) ，
3
, 25 _ _
_
. _
3
. 7
λ AF = 4 - MF = 一- t 十一，OF = 8 - AF =_:_ t 十一
4 -
4 ' - -
-
---
4 -
, 4'
·.·点G 2 为EF 的三等分点，
刀2 (主土空，工t).
6
. 3 - /
75
代人直线AD 解析式y = 一丁Z 十6 ，得t = 一
4 -
, -, ". -
1 T
国直筒三匍形的再发现
【例题求解】
y
FM
图①
y
MF
图②
第15 题答图
BN _ BC _ 3
c'
_
c"
5 /:;ABN
I AB \ 2 5 四
形CGNF
27
例1
①③ 其中币一百一言，5 四边形刷F = 5 /:;ABN 立Z= (z)'S四边川GD=日·
BF
BC
1
~
例2
C
L:，BCFω L:，BAE ，一一= 一一=τ ，BE =J2BF.
BE AB JE
V
>
A
A
例3
结合"思路点拨"中图②证明.延长AC 于点E ，使AE =AB ，贝tl L:，ABD旦L:，AED ,BD = ED ,
..212
x
x
·边孟圣望..
AC
CD
1
由LABC∞LDEC ，得一一=一一=一，得CE=2CD ，故AB 十2BD 二AE 十2BD=AC +
BC
CE
2
CE+2BD=AC+2CD 十2BD=AC+2(BD+CD) =AC 十2BC= 5AC .
【学力训练】
1. (8 ,0)
只.1 10
2. 亏干
二
连踉接CσF ，贝则胆
d忆
ζ
LA川
FB=13衍5川A川
F阳
E=4川A川
EFω叫
A丛
A町
F町
C ,AE • AC=AF 2
俨2 = 叫点
E 作EG _lAD 于点G ,EG = FG = 1 ,AE =汀百.
3. B 过点D 作DH // CA ，交AB 于点H ，则LAEF ω LADC ，LAEG ω LADH ，LBDH ∞
12- x
LBCA ，DC=DH ，设CD= 工，则-一一一=一
12
6'
4. C
②错误.
5. 延长BA ，FE 交于点G ，先证明GE=FE ，再证明RtLAEGωRtLFEC.
6. (1)略
(2) 提示:在PA 上截取CP=DP
，只需证明AD=CP.
(3) 如答图，过点P 分别作边AB ，BC ，CA 的垂线，垂足分别为点Q ，
A
R ，S ，贝。PQ =儿
，PR =h 2 ,PS =h 3.
PR
CP
1
_ h 2
1
由RtLCPR ωRtLAPC 得一一=一一=一，λ-二=一，即h 3 =2h 2 •
CR
AP
2' - -h3
2
AB
=-
，~ hl
又LPAB ωLPBC 一一=fi ，得一=fi.故h i =h 2 • h3'
'BC
h 2
7;5
由RtLAB川tLEAB ~.导AB 2 =BC • i山C= j2T6
C
B
第6 题答图
8. 设正方形边长为x ，由条件得AF _lED ,AG2 =EG • GD ,AE 2 =EG • ED ,AD 2 = DG • ED
，从
而
1
1
1
1
,
1
一一=一一+一一=一一一+一，工二6 汀百，由LAHD ω LFBH 得AH = 3HF ，又
AG2
AE2
AD2
(tz)2z2
AF 2 = AB 2 +BF 2
，得HF=5 ，故GH = AH-AG=15-6=9.
9. B
AB fi cn CD fi
10. C
由LAEFωLCAB 得一一=一，即一一=一，②错误
AD
2 '~"AD
2
11.下列解法供参考:
如答图，过点B 作BK 矿AC 并与CM 的延长线相交于点K ，由LBMK ωLAMC 及LBCDω
..213
4 ..
忌.~翠$魔1遭~~团团隆重否-
AM AC
BC
CD
1
6KBC 得一一=一一=一一=一一=一
BM BK BK
BC
2'
!}---……-------------7'}(
C
D
A
第11 题答图
A
第
12 题答图
12. 如答图，过C 作CE l_AD 于点E ，CE 的延长线交AB 于点F ，则AC 2 =AE. AD ,
由ζ CAD= ζ FAE ，AE l_ CF ，得CE=EF ，过E 作EG//BC 交AB 于点G ，则BC=2EG.
故AC 2
AE.AD-AE-EG-BC
一一
一一二
AD 2
AD 2
AD
BD
2BD'
13. (1)由6AMB 旦6BNC 得AM=BN.
(2) 连接OB
，证明6AMO旦ABNO ，推得60MN 为等腰直角三角形.
(3) 在Rt6ABK 中，BK=VAK 2 十AB 2 =Vx可工
AB.AK
由BK • AM=AB • AK
，得:BN =AM= --_ ~y~ ---τ二二二
BK
J:;吓了
AK 2
x 2
由AK 2 =KM. BK
，得:KM= →一一=气二=二
BK
J:?丰了
~于-
X
x 2
1-x
:.MN =BK-BN-KM= .Jx 2 十1 一一→一一一一一-一一=一一一一
。
(1- X)2
S 60MN =~MN~= 一一「一-
4x 2 +4 .
z 2-2x 十1
即y=-- .
:--~
~ -(O<x<D.
J
4x 2 +4
vx可1
vx可1
J:;可T
若点K 在射线AD 上运动，S 60MN = 土，AK 长为1或3
10
国黯形亘田
【例题求解】
例1
12
AB=BC=5 ,BP l_AC ,BP=4 ,AC=2PC=6.
?z(OQ寸) ,
例2
A y=
-t+3z(?<反3)
.. 214
第
13 题答图
C
-E莲军军..监
例3
如答图，·.·α +m 二b+ η =C+ ρ= 走，.·.构造一个正方形ABCD
，使其边长为
走，在正方形中，分别构造出的a
，n;b ，户和c
，m 为长和宽的小矩形.由答图
得an+bρ +cm <走2
G
m
nl
an
I
I cmlC
bl
I
I
bP
IP
n
b
【学力训练】
例3 答图
1. 16
BC=4 ,CD=5 ,DA=5 ,AB=8.
1
创3
2. J3
过点P 作PE j_ BC 于E ,PF j_ AC 于F ，则CE=PF=
: a ，AF= 巳α ，在Rt6PCF 中，
2 -- , - --
2
(护f +(a 一孚) 2 =b2 ,b2 = (2-J3 )a 2
3. B
如答图，建立平面直角坐标系，设A (l，l)，B(- l，l)，C(- l，
y
[(17)千平
x
J3
~ \ ~ (~
1
, J3 \
L t. 5 iE Ij ~EFGH
-l)，D (l，一1)，则E ( 1 + "; , 0) , F ( 0 ，1 十τ) ，故hLABCD=
4. B
当PQ 与BD 重合时，PQ 的长度取得最大值，由对称性知当工二
4 时，y=O . 当2~x~4 时，PQ 过点( 2 ，4 v!z)，(4 ，0) ，解析式为y=
-2 v!zx 十8 v!z.
第3 题答图
5
5
5. (1) 10
(2)γ= : x + : (1 2 ~x~28) .
(3) 4.
J
8 -
,
2
二
6. (1)由6ABF旦6MAN 得AF=MN.
(2) ( y=517
6t
BF AN __6-t
2
②由6ABFω6MAN 得一一=一一，即一一=一-，解得t=2 ，FN=5(cm).
AB
MA ' _.,
6
6 - t
7 ?"
如答图，构造矩形AB肌使AD=2b ，AB=2α ，取AB ，BC 中，点E ，F
y
cd
,
,,
,
巧
,
,,
,
,
'
2b代〉l F
x
第7 题答图
第8 题答图
8. 汀百设O ，P
，Q ，R 和S 分别是点(0 ，0) ，(工，1)，(y
，3)
，(z
，的和(1 0 ，7) ，如答图，原式表示锯
.. 215
4 ..
坦~，j宦洒黯理...
遇罗-
齿状的线OPQRS 的长度，显然，当O ，P ，Q ，R 和S 共线时，此线段的长度最短，最短值为
M丰72 =JI4百.
169
9. -一-
40
建立如答图所示的直角坐标系，使ACO ，4) ,BC2 ,5) ,CC5 ,5) ,DC7 ,4) ,EC7 ,1) ,FC5 ,0) ,
15 5 \ _ I 7 19 \ _ I 7
GC2 ,0) ，HCO ，l) ，分别求出直线AF ,BE , HC ，GD 的解析式，得I( 石'王) , J (言'τ) , L (言'
;)143) ，故如JKLI=jIK-JL=jx(?-3) ×(手斗)=咛
D
E
x
第9 题答图
第
10 题答图
10 如答图，只需证:若S AAEF =S ABDF= S ACDE =S ADEF=jS Ame ，
则D
，E ，F 分别为BC ，CA
，AB 的中点.
AF
BD
CE
f
一一=α
一一=b
一一=c. 则S 6 AEF 二α (1 - c ) S 6 ABC ,
AB
I.<- 'BC
v'CA
··a(1-c)=j
类似的，以1-a)= 卡(1 •?
1
1
1
1
三式相乘得i 二a (1-C) b (1 -a)c (1 -b) = α (1 -a)b (1 -b)c (1-c) 运一x-x
二一，
64
-, -
- / -
, -
-
/ - ,-
- /
-
, -
-
/ -
, -
- / -
, -
- /
~ 4. 4
4
64
故α=b=c=÷ ，EPD ，E ，F 分别为肌CA ，AB 的中点
11. (1) DE // BF.
证明略.
(2) DE=12 ,BF=16.
(3) ①连接EM 并延长交BC 于点H ，四边形DFME 为平行四边形
，DF=EM=BM=4 ，
.21&
6
20
MH=2 ，HB=2 汀，EH=6 ，BE=4 J3. 当DP=DF 时，一-=- x 十12=4 ，x 二-JQ=
5
22
14- x = 言，BQ > BE.
.远孟主噩..
②如答图①，当PQ 经过点D 时，x=10.
C
C
C
(P)D
D
D
E
图③
B
E
图②
第11 题答图
如答图②，当PQ 经过点C 时，由h，CFQω h，CDP 得
A
E
图①
B
A
B
A
FQ CF""
2 十x
8
10
一一= 一，即
= 一
- -
DP=CD' r;.P
6
=12 ,x="3.
一τx+ 12
如答图③，当PQ 经过点A 时，
PE AE
.: PE //BQ , :. h，APEω h，AQB
， :. 一一二一一
QB
AB.
.:AE=,j122-62 =6 汀，
+
ZZ
6
-
5
一
一
-A
一
RU
A
6[3
10[3
14
解得x= τ -
由图可知，PQ 不可能过点B.
10 14
综上所述，当x=10 ，一，一时，PQ 所在的直线经过四边形ABCD 的一个顶点.
3 ' 3
12. 建立如答图所示直角坐标系，NC28 ，0) ，DCO ，42) ，直线DN 的解析式为
y
y = - 7z + ι 直线CM 的解析式为y = jz +
C
x
(84-x) X 42
S 四边形B C ON 二2 184 ，设PCx ，y)
，由
S 6BPC =
' --
-~ '
- - = 1 092 ，解得
第
1 2 题答图
工= 32 ，y = 29 ，即P C32 ，29) ,
故S 6CDP == 546.
~ 1'y空平自黯
【例题求解】
例1
27
提示:23Cx + 4y) = Nζ 2392 ，x 十4y !'S二104 ，23走2= x+ 4y ζ 104 ，即走2::( 4 ，于是走2 = 1 ,
.. 四
4 ..
虫在王!f.I;，意}事吉野-
4. 当是2 =1 时，x +4y=23 ，
y ~ 5 ，可得5 个解;当走2 =4 时，x 十4y=92 ，y~ 22 ，可得到22 个解.
例2
B
提示:取n=2 ，3 可否定A ，C ，D ，E 选项，而4η 2 十4n + 4=4(n 2 十n + 1)，n 2 < n 2 +n 十
1 < (n+ 1) 2
，η 2 +n+1 不是完全平方数.
例3
配方变形，得(α+ 1002) 2 -m 2 = 10022 =22 X 32 X 1672.
·.·a 十1002 十m ，a 十1002-m 都是偶数，α+1002 十m >α +1 002-m > 0 ，要求正整数a 的最
[α 十1002 + m 二2 X 3 2 X 167 2
，
大值，须有4
解得α= 250000 ,m = 251000.
| α + 1 002-m=2 ，
+
式
原
尔
U
= 4 4 … 400...0+88 … 8 十1
'--y--' 、、一-v一~
、~守一~
n+l
n+l
n+ l
=4 X 11…1 X lOn+l+ 8 X 11…1+1
」一-y-一~
~一---v--'
n+ 1
n+ 1
=4 X 11 … 1 X (9 X 11...1 十1)十8 X 11...1+1
'-----y一~
~一可-----'
'--v一~
n+1
n+1
n+ 1
二36 X (11... 1) 2 十12 X 11...1+1
、一---y---'
~一飞，------'
n+1
n+ 1
+
Y+
-i-n
×
phu
--
【学力训练】
1. 1981
提示:设x- 4 5 =m 2 ①，x +44=n 2 ②，②一①得(n-m)( η +m)=l X 89.
2 肌0
设这九个数分别为α-4 ，α-3 ，...，山则5α =m 2 ,4a =川=9a 于是，户手
?4m 2 = 切
显然，m ，n 均为10 的倍数.
令m=10m l
，η =10n l ，则4m r =50n Ì. 取m l =10 ,nl =2 即可.此时，η 二20 ，m 二10 0 得α=2000 ，
S = 9a = 18000.
3. 3
提示:先考虑6 ，19 ，30 ，因6+19=5 2
，6+30=6 2
，19 十30=7 2 ，故这3 个数必须属于3 个不同
组，于是走二三3 ，构造A 1 = {3 , 7 , 11 , 15 , 19 , 23, 27 , 4, 8 , 16 , 24} ,A 2 = {1, 5, 9, 13 , 17 , 21 , 25 , 29 , 6,
14 , 18 , 26 } ,A 3 = {2 , 10 ，12 ，20 ，22 ，28 ，30 } 满足题设条件.
4. 设2 n 十2 5 6= 走2 (走为正整数，且走> 16) ，则(走十16 ) (走一16)=2 n .
设走十16=2
n
，,k -16=2飞，其中η l
' n 2 都为正整数，η 1> 町
，n l 十n 2 = η ，则
2
n
，-
2n, = 32 ，即
2" (2 " "' -1)=32 ,
. 2而
EZ军~
1i
咱
E
i
--
n
十
η
一
n
b
λ
J
d
且
，
-Ei
--
「
b
n
一
一
nn
「
|
|
l
〈
I
l
-
-
、
回
守
卫
句
，
解
-i
一
一
'-EA
n
一
=
寸
9
ι
"
少
u
r
-
-
i
l
〈
i
l
l
-
、
数
奇
为
咱
E
i
。
中
nunL
一
一
=
zy
f
i
l
l
〈
i
l
l
-
、
nunu
-
-
一
zvu
fl
!l
d1
1
1L
叮
4
4
一
一
一
Zy
r--
1
<lllL
一
一
一
一
Thy
r--
-411-
K
得
易
一
-
vd
+
Z
为
化
可
程
方
原
D
，
、
u
w
6. C 设abcd =x2 ,1abcd = y 2 (工，y 均为正整数) ，则32~x~9 9 ，100~y~14 1 ， 132 ~x + y~24 0.
由y2-x 2 =10000 得(y+ x) (y - x) = 10000 ，可得x=75 ，y=125.
100
... _ _ ._.
__.
_ __ 100
7. B
提示:设2009 一η=α ，则原式=一一-1 为完全平方数，设为m 2 ，得一一=m 2 + 1，当m=1 ，2 ，
a
a
3 ，7 时，上式成立，对应的α 值分别为50 ，20 ，10 ，2 ，η 为1959 ，1989 ，1999 ，2007.
8. D
提示:原式=(n-2)(n- 1) n(n 十1) (n 十2)+7.
9. A=(n+2)( η+13) ，设n +2 =ka 2
，η+13= 灿2 ，走(b + α )(b-a)= l1，得走=1 ，α = 5 ，b= 6 ，从
而η =23 .
10. 由条件知m-n= 户"是质数) ，则m=n +ρ ，设mn= η (n+p)=x 2 ( 其中z 是正整数) ，那么
4η2+4户η =4X2
，即(2η + p ) 2 _ P 2 = ( 2x ) 2 ，于是，(2η -2x 十ρ) (2n +2x + 户)=户2 ，注意到ρ
r2n - 2计俨1，
户一L 2
户+ L 2
为质数，所以1
两式相加得n = (7 ) ，进而m 二( T r ，又
1 000 ~ m <
l2n 十2x 十户= 户2 ，
2006 ，得64~户+1 ~ 89.这样质数户只能是67 ，7 1，73 ，79 ，8 3 .从而满足条件的m 为1156 ，1296 ，
1369 ,1600 ,1764.
11. 设五个连续整数为η 一2 ，η
1 ，n ，n + 1，η 十2 ，则(η - 2) 2 十(n - 1) 2+ n 2 + ( η + 1) 2 + (η +
2) 2 =5(n 2 十2) .
若5(n 2 十2) 是完全平方数，则对+ 2 必为5 的倍数，它的个位数必是0 或5 ，而η 2 的个位数是
0 ，1 ，4 ，5 ，6 ，9 ，从而n 2 十2 的个位数是2 ，3 ，6 ，7 ，8 ，1 ，没有一个是0 或5 ，故结论成立.
回国形面职
【例题求解】
例1
12
连接AC ，BP ，则S 正方形ABCD = 5 6 APD + 5 6ABP 十5 6 BCP = 5 6APD 十5 6 ABP + 5 6 ACP .
例2
C 提示:5 四边形BECD=j卧CE ，5四川CD=7 ·S AABC
例3
(1)中线所在的直线
(2) 设AE 与BC 相交于点H ，根据AB = CE ，AB 矿CE ，可得DABH旦DECH ，:. 56ABH =
5 6E CH
' 即有S 梯形ABCD = 5 6 ADE ，面积等分线只需作DADE 的中线AM 所在直线即可.
.. 219
a
国昌盛矗噩噩噩蓝蓝噩
(作图略)
(3) 能.连接AC ，过点B 作BE // AC 交DC 的延长线于点E ，取DE 中点F ，则直线AF 即
例4
为所求，证明同上.
(1) 6;9;1
(2) .: DE // BC ,:. LADE∞AEFCEZ= ( 主) 2
'5 1
飞b J
.: S l 二句，:. S2 =三X 5 ，=旦2 h
bu
12b.
1
a 2h
•• 4 515 2=4X~bh X 一一= Cah) 2 . 而5 =ah
，:.
5 2 =45 1 5 2 .
2 ~
. - . . 2b
(3) 如答图，过点G 作GH//AB 交BC 于点H ，则四边形DBHG 为平行
四边形.
.·. ζGHC = ζB
，BD=HG ，DG 二BH.
.·四边形DEFG 为平行四边形，λ DG=EF ，
:. BH=EF ，λ BE=HF ，:. LDBE豆LGHF ，
:. LGHC 的面积为5 + 3 = 8 .
由(2) 得，口DBHG 的面积为2 /2灭8 = 8.
:. LABC 的面积为2+8 十8=18.
【学力训练】
1. 16
11
2
一
. 12
3.2疗
作出如答图所示的辅助线，可证明S 矩形BEPN = 5 矩形DFPM .
1
1
1
S 阻距=1 一一× 一×一
"'>1>
-
2 . 3 . 2
3J3
如答图，直线J 必过菱形对角线交点，EF=2饵，HE = 言，OH = 子
A
M
A HE
D
E
F
B
N
C
B
F
C
第1 题答图
第3 题答图
例4 答图
4. C
GQ
EF EF
1
过点G 作GP 上BC 于点p ，延长PG 交AD 于点Q ，LGEFωLGCB ，一= 一一=一= 一
GP
CB
AD
2 '
5. A
6. A
提示: 可证明51 = 5 2 = 5 3 = 5 6 ABC .
.. 280
E建主主望~
7. (1)吁jBO ; PQiBO
(2) 连接O'p 并延长交BC 于点F ，可证明DPQB 为等腰直角三角形.
(3) 延长O'E 交BC 边于点G ，连接PG ，O'P.
-
b.. -rr/ ,,' A
12 />，~ j6 ~~ j6
证明DEGC ，DO'PB 都为等腰直角三角形，O'A= 一，OFB=-JQ =- ，
2 '- -
2 '-....
4
SAPQB=1BQ·PQ =立
16'
D
A
B
第7 题答图
8. (1)如答图①所示.
(2) 如答图②所示，证明略.
f h
~
图①
图②
第8 题答图
(3) 存在.当BQ = CD = b 时，PQ 将四边形ABCD 面积二等分.
图③
理由如下: 如答图③，延长BA 到点E ，使AE 二b ，延长CD 到点F ，使DF 二α ，连接EF .
.: BE乓CF ，BE = BC= α + b
，
.·. 四边形EBCF 是菱形.
连接BF 交AD 于点M ，贝U DMAB UJ DMDF ，
二AM = DM ，:.P
，M 两点重合，
.·. 点P 是菱形EBCF 对角线的交点.
在BC 上截取BQ = CD = b ，则CQ = AB = α ，设点P 到菱形EBCF 一边的距离为d
，则
~ (AB + BQ)d 二j(附ωd = j(α 十M
S 四边形APQB = 5 四边形QCDP .
J. 当BQ = b 时，直线PQ 将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分.
9. 2019
连接CK
，则AD = BC 二KE ,AK = DE ,5 ,6,ABK = 5 ，6，CDE ' 由5 ，6，EKN = 5 ，6，CKN ' 得5 ，6，EKN +
5 ,6,AKN = 5 ,6,CK N + 5 ，6，AKN ' 即5 ，6，ANE = 5 ,6,ACK = 5 ,6,ABK = 5 ，6，CDE ' 得5 ,6,ANE - 5 ,6,DEF = 5 ,6,CDE - 5 ,6,DEF ,
故S 四边形ANFD = 5 ,6,CEF = 2019.
10
连接AC 交BD 于O ，AO二，MO =一，DADNωAMBA ，DN =? s →5 ，6，MAN =
12 .,/> 312
2 , - - -
2
.. 281
a.通温血1t fJi ñi1i，• J\ 温aI
2 ×?川×AO=?
11. 汀百
作出如答图所示辅助线，应当以沿过正方形ABCD 中心及点P 的直
线EF 为裁剪线，AF=CN ,BF=DN ，l::，PME 旦l::，PDN ,EM=DN ,EG =
EM+MG=DN 十AF=DN+CN=l ，EF=ß丰v=汀百.
12. C
过点P 分别作PE ，PF ，PG 垂直于AB ，CD ，AD ，垂足分别为点E ，F ，
G ，连接PD ，则FQ=FD=EP.
13.B
14.C
提示:用面积法解.
D门刀ι
斗斗::::-l…-~~
第11 题答图
15. 延长BC 交z 轴于点F ，连接OB ，AF ，连接CE ，DF ，且相交于点N ，点M C2 ，3) 为AF ，OB 交
1
. 11
点，NC5 ，2)
，l 必过M ，N 两点.则t 的函数表达式为y= 一=x + 一.
J
3 -- . 3
CG
DH
._ DH
走
HA
DG
1
16. 如答图，连接AC ，由一=一一升，得一一=一一一-_一一=一一
GD
HA
"- 'T'T DA
k + 1 ' DA
DC
走+1'
二一兰一一. 5 6DAC ' 同理，5 6BEF = 一主一. 5
(走+ 1)2 . >J 6 DAC ' 1'.<J .>::t ,>J 6 BEF -
C 走+1) 2 - '-' 6 BAC '
A
E
B
走
故56DHG 十56
一一一寸C56DAC 十SABAC)= -f一
. 5
F -
Ck+1)2 \ù6DAC
I ù 6 BAC / -
("走+1) 2
四边形ABCD 一
第
1 6 题答图
走
(是+ 1) 2 '
连接BD ，同理，5 ^A四十SMFG =-J-T
ωι
μvnJ
Ck 十1) 2
2走
走2 + 1
故S 四边形EFGH = 5 四边形ABCD 一C 5 6AEH 十5 6BEF 十5 6CFG 十5 6DHG ) = 1 一一一一一τ = 一一一一
t 龙↑1) 2
C走+1) 2
17. 变式探究略
结论运用
过点E 作EQ上BC 于点Q ，PG 十PH = EQ = 4 .
迁移拓展
延长AD ，BC 交于点F ，作BH j_AF ，垂足为点H ，如答图.
AD
BC
.: AD • CE = DE • BC , :. 一→=一一
, - DE EC'
.: ED j_AD ,EC j_CB ,
.·. ζADE = ζBCE = 90 0 •
:. l::，ADEω l::，BCE. 人ζA = ζ CBE. 二FA = FB.
由问题情境中的结论可得ED + EC = BH.
.. 282
设DH=xdm ，
则AH=AD+DH=(3+x)dm.
.: BH _lAF ，λζ BHA =90 0 • :.BH2 =BD2 - DH2 =AB 2 -AH2
':AB 二2 /1言，AD=3 ，BD= /37 ，λ( /37 ) 2 - x 2 = (2 汀言)2 一(3+ X)2.
解得x= l.
:.BH2 =BD2 - DH2 =37-1=36. :.BH =6. :.ED 十EC=6.
·.·ζADE= ζ BCE=90 0 ，且点M ，N 分别为AE ，BE 的中点，
λDM=EM=tAE ，CN=EN=tBE
EE莲辈宰型
'"
A
M
E N
B
"
I
/~二.，...- /L
~卢-
.'
D吃....'"
//
\....,...
,/
旷
飞/
飞
J
, ,
‘J
F
第17 题答图
:. 6DEM 与6CEN 的周长之和=DE+DM+EM 十CN 十EN+EC 二DE 十AE 十BE+
EC=DE+AB+EC 二DE 十EC+AB 二6+2 jIT.
:.6DEM 与6CEN 的周长之和为(6+2 jIT )dm.
圆圆形而叠
【例题求解】
例1
①③④ 点G 与点D 重合时，CF=CD=4 ，BF =4 ，点H 与点A 重合时，BF=3 ，此时过点
F 作FM _lAD 于点M ，EF=V4 2 + [(8-3)-3 ]2 =215.
24 _ _ _ _
._
^
I 24
例2
D 连接BF ，交AE 于点H ，则LBFC=90 0 ，BF=2BH= τ ，设CF=工，得6 2 = (τr +X2.
例3
(1)略
7 ，究
(2)
由6ADH ∞6ABC 得AH=DH= 于
7j2 I
I~~?
~TT?
7j2 I j2仄
如答图①，APj =AH+HP j = 一一+vDPi-DH 2 = 一一+一=ι2 ;
2
2
-
v
一
C
A
C
C
丘二
A
D
B
A
D
B
A
FD
B
图②
图③
例3 答图
如答图②，AP 2 =AH - HP 2 =312.
(3) 如答图③，过点C 作CF l_AB 于点F ，设AD=x
，BD=12
工，当DP l_AC 时，
.
283
aE画届监画重墨BJ，fIt\-
AD
DP _ _
4
,_ _
_
_
，~ 4
_ ~
20
由6，ADP ω 6，ACF 得一一=一::;-，DP=-;:-x
，由DP=DB 得τZ 二12-x
，x= τ'
AC
CF ,--
5
20
a 的取值范围6 <α < τ-
20
即AD=3'
【学力训练】
6，DFG 的周长
DG __10
2
由6，DFGω 6，BGE 得
r:J:t 1/- 一一，即一= 一
, ^
Tlí""l ~ι
f:
BE' ~'.14 BE'
1. 80 。
14
2.τ
25
连接CF ，则ζFCB=ζB ，ζFCD=ζA ，得FC=FB=FA ，由6，CDFω6，CFA 得，CD=15
25
3
8
4 字或4 汀或8-4 J3
如答图①，当ζABE 二30 0 ;如答图②，当ζAEB =30 0 ; 如答图③，当
D
1
|
|
l
|
|」
C
ζABA' =30
0
•
图③
图①
第4 题答图
5. B
A ' (D ' )
K/"
兰一____liX~& W_ ______12
:_________~ /M JA.L________:
B
C
作出如答图所示辅助线，AD=AR+RM 十MN+NW 十DW.
1 . _ AD
①④⑤正确，对于②，由AE=EF<BE ，得AE < =AB
一一>2;
2'>'.L.J' AE
6 , D
7, B
第6 题答图
对于⑤，BE = 2α; = 2 J2 , GF = 2, AB = BE 十AE = 2 J2十2 ，
S 正方形ABCD =AB 2 = (2 J2 十2) 2 = 12 十8 J2.
设AE=a
，经计算得PF=2 j3a
，PE=2α
，FQ= 切
，EQ= α.
8. D
9. (1)四边形EFGH 为矩形，EG=5.
EH
1
(2)
由(1) ，在矩形EFGH 中一一二一
'EF
2'
EH • HG
2 J民
设EH 二α ，则HG=EF=2α =>EG= J5a. 于是，在Rt6，EHG 中
，HP=
二」工α
EG
5
易知
，AE=EP
，EB=EQ=PG ，AH=HP 二HD.
4J5
.. _ AB
AB
5
故AB=AE+EB=EG=JEa ，AD =AH+HD=2HP= 」二α.从而
=一一二一
5 ...../.7"".J' BC
AD
4 '
.
284
EE事古建
品
10(o,?)
11. 2/3 过点H 作HI l_EF 于点I ，可证明DG=HG ，AG=CD ，ζ DAG=30 0 •
"_ 80 代
3
12. 40cm 或寸寸m
分两种情况:
(1)如答图①，过点E 作EF // AC 交BD 于点F ，连接AF ，由题易知ζADF= ζEDF=
ζ CDE=60
0 ，所以在L0:.DEF 中，ζ EDF= ζDEF=60 0 ，所以L0:.DEF 为等边三角形，EF=
DE=DA
，又EF // DA
，所以平行四边形DEFA 此时为菱形，周长为4AD=40cm.
(2) 如答图②，过点D 分别作AB
，BC 的平行线，交BC 于点F ，交AB 于点G ，得到平行四边
形DFBG ，由对称性可知此时其也为菱形，由
DG // BC ，得ζADG= ζC = 30 0 ，在
20 ，立
，一
只门" / ?,
Rt L0:.ADG 中
，DG= - ~~V 二，平仔四边形DFBG 的周长为4DG=于cm
3
C
C
G
B
M
图①
图③
图①
第12 题答图
第
1 3 题答图
13. 14-2 疗
提示:在运动变化过程中找到特殊的位置.如答图①可以看出AT 的最小值在点N
与点C 重合时取得，Rt L0:. NTD 中
，ND=AB 二6 ，CT=CB =8 ，由句股定理得DT=2 汀，所以
AT 的最小值为AT 二8-2 疗;如答图②，当点M 与点A 重合时，得AT 长度的最大值，
Rt L0:.ATB 为等腰直角三角形，AT 的长为
6 ，所以线段AT 长度的最大值与最小值之和为
14-2λ
14. (1)同意.连接EF ，则ζ EGF= ζ D = 90 0 , EG = AE = ED , EF = EF.:. Rt L0:.EGF 兽
RtL0:.EDF ,:. GF 二DF.
(2)
由(1)知
，GF=DF.设DF= 工
，BC 二y
，则有GF= 工
，AD 二y.
.: DC=2DF ,:. CF= x ,DC=AB =BG=2x .
人BF=BG + GF=3 x . 在Rt L0:.BCF 中
，BC 2 十CF 2 =BF 2
，即Y 2 + x 2 = ( 3x ) 2 ,
~
AD
v
卢
•• y =2.)2 x
λ 一一=二一= 、2
V >,.. AB
2x
V '-'
.
285
aE军m~Jbl;Ji署
(3)
由(1)知，GF=DF. 设DF= 工
，BC 二y
，则有GF=x
，AD=y.
.: DC= η
• DF
，人
DC 二AB=BG=nx .
:. CF=Cn- l) x
，BF=BG+GF=( η + l) x .
在Rt l:，BCF 中
，BC 2 +CF2 =BF2,
即y 2+[ ( η 一l) x ]2 =[( η + l) XJ 2 .
AD
γ
内
fn / ._ 2
y=2 JZz ，.·.Et= 子(或万)
，伽山
二
仙
n
15. (1) AM=BM
AM
16
(2) 一一=一
BM
9'
(3) ①由折叠得ζ B'CM= ζ BCM.
.. 286
-J ζACB=2ζA
， :. L_ B'CM= ζ BCM= ζA .
AB
BC
λ l:，ABCω l:，CBM ，: 一一=一一
• BC
BM'
9
6
即一=一一，解得BM=4 ，
6
BM
...A几f 二AB-B此1=9- 4=5 .
又·.·ζ B'CM= ζA
，:.CM=AM= 5.
AC
AB __AC
9
_ . _
15
.·一一=一一，即一一=一，:.AC= -~-
CM
BC '~ I- 5
6
②如答图，由折叠的性质得ζA'= ζA ,A'P=AP.
·.· ζ B'CM= ζA , ... ζA'= ζ B'CM.
又·.·ζA'FP= ζ CFM ，
,__
. _ __ _ _ PF
A'P AP
:. l:，A'FP ω l:，CFM ，:. 一一=一-一=一一
MF
MC
5
·.·点P 是线段OB'上的一个动点，
:.AB' 三三AP ~AO.
1 . _
15
·.·点。是AC 的中点
，:.AO= :AC= 一
2 ---
4 .
,
. _
_,_
15
3
.: AB' =AC- B'C= 一-6= 一.
2
2 '
15
_ 3 _PF _ 3
J- 7ζAP~ 一. λ 一ζ 一一-ζ-
2
、、4'
"10
飞MF
飞4 .
,/
ç
A:
ÀÍ
Pμ;V I \
n/ 、、v
飞，、
A
M
B
第
1 5 题答图
·边孟革望..
国位割与utEJ
【例题求解】
例1
(1)汀言
(2) 如答图，①作出BN=刁言(BM=4 ，MN=1
，ζMNB =90 0 )
;
②画出两条裁剪线AK , BECAK =BE= 汀言，BE j_ AK);
③平移L;，ABE 和L;，ADK. 此时，得到的四边形BEFG 即为
所求.
例2
B
剪过走次后，可得(走+1)个多边形，这些多边形的内角和为(走
F
例
1 答图
+ 1) X 360 0
• 因为这(走十1)个多边形中有34 个六十二边形，它们的内角和为34 X (62-2) X
180 0 =34 X 60 X 180 0 ，其余多边形有(是十1) -34= 走一33C 个) ，而这些多边形的内角和不小
于(走一33) X 180 0 •所以(k +1) X 360 。二三34 X 60 X 180 0 +C 走一33) X 180 0 ，解得走注2005.
当我们按如下方式剪2005 刀时，可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下
1 个三角形，
得到
1 个三角形和1 个五边形;再在五边形上剪下1 个三角形，得到2 个三角形和
1 个六边
形……如此下来，剪了58 刀后，得到58 个三角形和1 个六十二边形.再取33 个三角形，在每
个三角形上剪一刀，又可得到33 个三角形和33 个四边形，对这33 个四边形，按上述正方形
的剪法，再各剪58 刀，便得到34 个六十二边形和33 X 58 个三角形.于是共剪了58+33+
33 X 58=2005( 刀) .
例3
本题有多种拼法，下面提供几例作为参考，如答图.
(1)方法一:
方法二:
ι
J
二
阳
门
」
州
J
点
(2) 方法一:
方法二:
方法三:
例3 答图
... 281
aE墨革撞撞画墨墨Im.i章'
【学力训练】
1. 10 或6+2 )2或8 十2 )2
如答图，若有三种不同周长的拼法.
M
M
N
才5C]~
P
第
1 题答图
T~ DI_一」
A '..~护-1
(21 1 LJ
E，L~~---r--\ Ji'
/3!4:
"--一一-占一一--~
B~ G
C
B
G
C
第2 题答图
2. 能如答图所示.
3. (1)方法一:ζB 二90 0 ;中位线EF
如答图①.
方法二:AB=AC; 中线(或高)AD
如答图②.
(2) AB=2BC( 或者ζC=90 0 ，ζA =30 0 ); 中位线EF
如答图③.
(3) 方法一:ζ B=90。且AB=2BC; 中位线EF
如答图④.
方法二:AB=AC 且ζ BAC=90 0 ; 中线(或高)AD
如答图⑤.
(4) 方法一:不妨设ζB>ζC ，在BC 边上取一点D ，作ζGDB= ζB 交AB 于点G ，过AC 的
中点E 作EF //GD 交BC 于点F ，则EF 为剪切线.如答图⑥.
4. B
..288
方法二:不妨设ζB>ζC ，分别取AB
，AC 的中点D ，E ，过点D ，E 作BC 的垂线，点G ，H
为垂足，在HC 上取HF=GB
，连接EF ，则EF 为剪切线.如答图⑦.
方法三:不妨设ζB>ζC ，作高AD
，在DC 上取DG=DB
，连接AG ，过AC 的中点E 作
EF //AG 交BC 于点F ，则EF 为剪切线.如答图③.
A
F PCE)
E 十一一、一---，
B
C(A)
图①
A~
ACB)
P(D)
B
D
C(A)
图②
A
A
.~
U…
l!..f.,CE)
E~-平p∞
/
I
I …
…
…
/
1 ,'
I
、i
~
"
B
Cω)
B
C
图③
图④
A(C) P(盯
A(C)
P(盯
A(C)
P(盯
GAKK
B D
F
C
B G
HF C
B DG F C
图⑥图⑦
图⑥
第3 题答图
E运雀酝..
监
5. D
选项A ，B ，C 的正方形的边长为点，相应阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可拼得正
方形-
6. D 如答图所示，使用中国七巧板和日本七巧板都分别能拼出两个平行四边形或矩形.
j[
护叶f
:--
2 一→1
7. (1)答图中的分割方案供参考.
1
向
1
^
(2) 一α 气~a Z
16- '64
(3) S=去2 以，且η 为整数)
第6 题答图
区~~~
第7 题答图
8. 1 : 2
9. ①②③④ 如答图:
第9 题答图
10. 5
J3 ,,, ?
J3
11. (1)正方形MNOP 的面积= ，6.ABC 的面积= 7 × 1 2 = 7 ，开
方得边长=子
(2) 由图形的变换过程可知MK = NK = iMN = 空，DL =
A
2
SO = PS = ipo=笠.
2 - -
4
D
C
íl
飞吃i..，/3 /1
'丁
•
I
--., I
'…
' …
'…
" ,
í 11
\ /川
:"'__I九.，，__I
-A.......Zl 3/B
- .一
'
一‘d
第8 题答图
B
第11 题答图
。
.
289
aE画昌盛温噩噩BJiI1W
(3) 如答图，根据题意，有DS //AC ，因此ζ PES= ζMfK.
内
1 _ _
1
又二-4乙P=ζ fMK=90 0 ,PS=: PO 工:MN=MK
，
2 - -
2
D，PES三D，MJK ，
口=町=JJK2-MK2=ld)22=轩=77
12. 设剪得的一矩形长和宽分别为a
，b ，另一矩形长和宽分别为c ，d ，由剪得的矩形与原矩形相似，
2fi
α+c
导一=一=一一=2fi= 一一一，两矩形周长为2(a 十b 十C 十d)
，分以下三种情况讨论:①两个矩
b
d
1
-V-
b 十d
形均"横着"剪，如答图①，α+c 的最大值为212 ，此时b+d=l ，两矩形周长之和的最大值为
2(212 +1) =412 +2; ②两个矩形均"竖着"剪，如答图②，a
，c 的最大值为1，此时b=d=
2
、{豆
子，两矩形周长之和的最大值为
2\-~- -1←= 12 +4 ③两千矩形- V二，"~"剪Î ，:tlD~
c
~ = h~ /'" , fi
.L L
"'" , J+o,'
~ =
,
7 fi
③，c 的最大值为
1 ，由一=212 ，解得d=-'-.a 的最大值为2fi -d= 一一，由一=212 ，解得
d
.... -v .... 7/ lJ J
".......,..
4.
(7fi
,
7
，.
，12 、
15
b= 一.两矩形周长之和的最大值为2( 一一+一+1 + 一) =412 +一.综上可得，两矩形周长
飞
4
' 8'- ' 4'
- v- '4
之和的最大值为2 十412
b~JbrcMd alla 仆bhJ b 罚
图①
图②
图③
第
12 题答图
13. 这10 个正方形面积的和为
3 2 十5 2 十6 2 十11 2 十17 2 + 192 +222 +232 +24 2 十25 2 = 3055.
如果能将这10 个正方形拼接成一个长方形，这个长方形的面积就是3055 ，对3055 分解因式，
便可知长方形的长和宽的可能值.
因为3055=5 X 13 X 47 ，
所以长方形的宽和长的可能值是1 和3055 ，或者5 和611 ，或者13 和235 ，或者47 和6 5 .
而长方形的长小于10 个小正方形边长的和3 十5 十6 十11 +17+19 +
TI
22+23 十24 十25=155 ，
所以，拼接的长方形的宽和长只能是47 和65.
拼接图如答图所示.
.. 290
第
13 题答图
