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2026 年秋季九年级开学分·学情自测卷
数学·答案及评分参考
一．选择题（共12 小题，满分36 分，每小题3 分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答
案用2B 铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
A
D
A
A
A
A
B
A
A
B
二、填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
13. 2 14. 2（答案不唯一） 15. 4√3 16. 4 17. −6 18. x ≤−4或x ≥−1
三、解答题（本大题共8 个小题，共66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.【详解】（1）解：x
2+12 x +27 =0，
因式分解得( x +3)( x +9)=0，
∴x +3=0或x +9=0，
解得：x1=−3, x2=−9；..................3 分
（2）解：(2 x −1)
2=2(2 x −1)，
移项得(2 x−1)
2−2(2 x−1)=0，
提取公因式得(2 x−1)(2 x−1−2)=0，
整理得(2 x−1)(2 x−3)=0，
∴2 x−1=0或2 x−3=0，
解得：x1= 1
2 , x2= 3
2
．..................6 分
20.【详解】（1）解：∵x
2−4 x−m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−4)
2−4×1×(−m)>0，
化简，得16+ 4 m>0，
解得m>−4；..................2 分
（2）解：设方程的两根为x1、x2，且x1=3 x2，
x
2−4 x−m=0，
由根与系数的关系可得，x1+ x2= 4，x1 x2=−m，
∵x1=3 x2，
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∴3 x2+ x2= 4，
解得x2=1，
∴x1=3 x2=3，..................5 分
∴−m= x1 x2=3，即m=−3，符合m>−4．..................6 分
21.【详解】（1）解：小明：没有考虑x−1=0的情况，所以解法不正确；
小强：提取公因式时出现了错误，所以解法不正确．..................3 分
(2)解：移项，得2( x−1)−( x−1)
2=0，
提取公因式，得(x−1)(2−x +1)=0，
则x−1=0或2−x +1=0，
解得x1=1，x2=3．..................5 分
22.（1）解：二次函数y = x
2+bx +c的图象经过点(0,−1)，(2,−1)，
∴¿，
解得，¿，..................2 分
∴二次函数解析式为y = x
2−2 x −1=(x −1)
2−2，
∴二次函数的顶点坐标为(1,−2)，
当x =3时，y =3
2−2×3−1=2，
当x =−1时，y =(−1)
2−2×(−1)−1=2，
运用五点法作函数图象：略；..................5 分
（2）解：在二次函数y = x
2−2 x−1中，当0≤x ≤3时，
x =0时，y =−1；顶点坐标为(1,−2)；x =3时，y =2，
∴当0≤x ≤3时该二次函数的函数值y 的取值范围为−2≤y ≤2．..................8 分
23.【详解】（1）解：设该品牌智能头盔从4 月份到6 月份销售量的平均月增长率为x，由题意得
150(1+ x)
2=216
解得：(1+ x)
2=1.44
1+ x =±1.2
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即1+ x =1.2或1+ x =−1.2
∴x1=0.2=20 % , x2=−2.2（不合题意，舍去）..................4 分
答：该品牌智能头盔从4 月份到6 月份销售量的平均月增长率为20 %．
（2）解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y 元，由题意得：
( y −300)(60−y −400
2
×1)=6032
解得y1= 416，y2= 404，
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404 元．..................8 分
24.【详解】（1）解：由题图可得，拼成的正方形的边长为a+b，长方形的长为a+2b，
故答案为：a+b，a+2b；..................2 分
（2）解：剪成的四块图形中梯形3、4的高为b，三角形1、2较长直角边的长为a+b，
由剪拼后图形的面积不变，得(a+b)
2=b(b+a+b)=b(a+2b)，
当a=2时，(2+b)
2=b(2+2b)，
整理得b
2−2b−4 =0，
解得b=1+√5或b=1−√5（舍去），..................5 分
（3）解：∵a=2，b=1+√5，
∴等腰三角形纸片的面积=(a+b)
2=(2+1+√5)
2=14 +6√5．..................8 分
25.【详解】（1）解：∵x
2+ 4 x −1= x
2+ 4 x + 4−4−1=(x +2)
2−5，(x +2)
2≥0，
∴当x =−2时，x
2+ 4 x−1有最小值，最小值是−5．
分解因式x
2+2 x−3，原式= x
2+2 x +1−1−3=(x +1)
2−4 =(x +3)(x −1)．..................3 分
（2）解：a
2+b
2−4 a−6b+13=0，
∴a
2−4 a+ 4+b
2−6b+9=0，
∴(a−2)
2+(b−3)
2=0，
∴a−2=0，b−3=0，
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∴a=2，b=3，
∵b−a<c<b+a，
∴1<c<5．..................5 分
（3）解：∵在四边形ABCD中，AC ⊥BD，
∴S四边形ABCD= 1
2 AC ⋅BD，
∵AC + BD =8，
∴S四边形ABCD= 1
2 AC ⋅(8−AC)
=−1
2 A C
2+ 4 AC
=−1
2 ( A C
2−8 AC +16−16)
=−1
2
( AC −4)
2+8，
∵−1
2
( AC −4)
2≤0，
∴−1
2
( AC −4)
2+8≤8，
∴四边形ABCD面积的最大值为8．..................10 分
26.【详解】（1）解：把点C 的坐标代入抛物线的解析式得k =−3，
∴抛物线的解析式为y = x
2−2 x−3=(x−1)
2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−4)，即M (1,−4)；..................1 分
在y = x
2−2 x−3中，当y =0时，x
2−2 x−3=0，解得x =−1或x =3，
∴A (−1,0),B (3,0)，
∴OA =1,OB =3，
∵C (0,−3)，
∴OC =3；..................2 分
如图所示，连接AC ,CM ,BM ,OM，
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∴S△ACMB= S△AOC+ S△OCM + S△BOM
= 1
2 ×1×3+ 1
2 ×1×3+ 1
2 ×3×4
=9；..................4 分
（2）解：如图所示，连接AC ,CD ,BD ,OD，设D(d ,d
2−2d −3)(0<d <3)，
∴S△ABDC = S△AOC+ S△OCD+ S△BOD
= 1
2 ×1×3+ 1
2 ×3d + 1
2 ×3(−d
2+2d +3)
=−3
2 d
2+ 9
2 d +6
=−3
2(d −3
2)
2
+ 75
8
，..................6 分
∵−3
2 <0，
∴当d = 3
2
时，S△ABDC有最大值，
此时d
2−2d −3=(
3
2)
2
−2× 3
2 −3=−15
4
，
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∴点D 的坐标为(
3
2 ,−15
4 )
；..................7 分
（3）解：如图所示，当点B 为直角顶点时，设直线BH交y 轴于点H，
∵B (3,0),C (0,−3)，
∴OB =OC =3，
∵∠BOC =90°，
∴∠OBC =∠OCB = 45°，
∵∠CBQ =90°，
∴∠OBQ =∠CBQ−∠OBC = 45°，
又∵∠BOH =90°，
∴△BOH是等腰直角三角形，
∴OH =OB =3，
∴H (0,3)；..................9 分
设直线BQ的解析式为y =k
′ x +b
′(k
′≠0)，
∴¿，
∴¿，
∴直线BQ的解析式为y =−x +3，
联立得¿，解得¿或¿，
∴点Q 的坐标为(−2,5)；..................10 分
如图所示，当点C 为直角顶点时，
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∵直线y =−x +3与直线BC垂直，直线CQ与直线BC垂直，
∴直线CQ与直线y =−x +3平行，
∴可设直线CQ的解析式为y =−x +b
″，
∵C (0,−3)，
∴b
″ =−3，
∴直线CQ的解析式为y =−x−3，
联立得¿，解得¿或¿，
∴点Q 的坐标为(1,−4)；
综上所述，点Q 的坐标为(−2,5)或(1,−4)．..................12 分
