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2026 年秋季八年级开学·学情自测卷
数 学·全解全析
一、选择题：共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目
要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．（3 分）下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.14
B．√36
C．−22
7
D．√3
2
【答案】D
【详解】解：3.14，√36=6，−22
7 ，√3
2 中，只有√3
2 是无理数，其余都是有理数.
2．（3 分）下列调查中，选用的调查方式合理的是（ ）
A．统计全班45 名学生的身高，选择抽样调查
B．检测同一批次一万架无人机的使用寿命，计划采用全面普查
C．了解全省中小学生的睡眠时间大致情况，打算采用全面普查
D．了解全市三万名14 周岁学生的身高大致情况，选用科学的抽样调查
【答案】D
【详解】解：统计全班45 名学生的身高，调查范围小，适合全面普查，A 不合理；
检测无人机使用寿命的调查具有破坏性，不适合全面普查，B 不合理；
了解全省中小学生的睡眠时间，调查范围大，全面普查成本过高，适合抽样调查，C 不合理；
了解全市三万名14 周岁学生的身高情况，调查范围大，适合抽样调查，D 合理．
3．（3 分）下列命题是真命题的是（ ）
A．若x< y，则a
2 x<a
2 y
B．若a
2 x<a
2 y，则x< y
C．若x< y，则x
y >1
D．若x
a < y
a ，则x< y
【答案】B
【分析】考查不等式的基本性质，根据不等式性质结合平方数的非负性，逐个判断命题真假即可．
【详解】解：A、∵a
2≥0，当a=0时，a
2 x =a
2 y =0，不满足a
2 x<a
2 y ，∴A 是假命题；
B、∵a
2 x<a
2 y，可得a
2>0，根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变 ∴
x< y，B 是真命题；
C、举反例，若x =1，y =2，满足x< y，但x
y = 1
2 <1， ∴C 是假命题；
D、当a<0时，不等式x
a < y
a 两边同乘a，不等号方向改变，可得x> y，不满足x< y ，∴D 是假命题．
4．（3 分）等腰三角形周长为16cm，一边长为4 cm，该等腰三角形的底边长为（ ）
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A．4 cm
B．8cm
C．8cm或4 cm
D．5cm
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质，分4 cm为腰长和底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断，舍去
不能构成三角形的情况即可得到结果．
【详解】解：分两种情况讨论：
① 当4 cm为腰长时， 底边长为16−2×4 =8(cm)，
∵ 4 + 4 =8，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，
∴ 此种情况舍去；
② 当4 cm为底边长时，腰长为16−4
2
=6(cm)，
∵ 4 +6>6，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
∴ 该等腰三角形的底边长为4 cm．.
5．（3 分）如图，在△ABC中，从顶点A引出三条线段AD、AE、AF，其中：AD是BC边上的高，AE
是角平分线，AF是BC边上的中线．下列说法错误的是（ ）
A．BF = FC
B．∠BAE =∠CAE
C．AD⊥BC
D．AB = BC
【答案】D
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵AF是BC边上的中线．
∴BF = FC，故A 正确，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE =∠CAE，故B 正确，
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，故C 正确，
没有条件判断AB = BC，故D 错误，
故选：D．
6．（3 分）《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善
行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．意思是：同样时间内，走路快的人能走100 步，走路慢的
人只能走60 步．走路慢的人先走100 步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？
为解决此问题，设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，则可列方程组
（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
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【答案】A
【分析】考查二元一次方程组的应用，找准等量关系正确的列出方程是解题的关键．
设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，根据题意列方程组即可．
【详解】解：设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，
根据题意得：¿，
故选：A．
7．（3 分）如图，S△ABC =36，若S△BDE= S△DEC = S△ACE，则S△ADE=（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】B
【分析】根据S△BDE= S△DEC可得BD =CD，进而求出S△ABD的面积；根据S△ABC = S△BDE+ S△DEC+ S△ACE及
已知面积相等关系，求出S△BDE的面积，最后利用S△ADE= S△ABD−S△BDE求解．
【详解】解：∵S△BDE= S△DEC，且△BDE与△DEC等高，
∴BD =CD，即点D是BC的中点，
∴S△ABD= 1
2 S△ABC = 1
2 ×36=18，
∵S△ABC = S△BDE+ S△DEC + S△ACE，S△BDE= S△DEC = S△ACE，
∴S△ABC =3 S△BDE，
∴S△BDE= 1
3 S△ABC = 1
3 ×36=12，
∴S△ADE= S△ABD−S△BDE=18−12=6．
8．（3 分）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于85”为一次程序操作，如果
结果得到的数小于或等于85，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么
x的取值范围是（ ）
A．x>21
B．5< x ≤21
C．5≤x ≤21
D．x ≤21
【答案】B
【分析】主要考查了程序框图，一元一次不等式组的应用，根据第一次不停止、第二次停止列不等式组¿
，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：设输入的为x，
由题意知¿，
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解得：5< x ≤21，
故选：B．
9．（3 分）如图，在三角形纸片ABC中，∠B =20°，∠C =60°，点D在AB上且BD< 1
2 AB．若在BC
上找一点E，将纸片沿DE折叠，点B落在点F处，EF恰好与三角形ABC的一边平行，则满足所有平行条
件的∠BDE度数为（ ）
A．40°或80°
B．50°或130°
C．50°或80°或130°
D．40°或80°或130°
【答案】D
【分析】分AC ∥EF时和AB∥EF时两种情况，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性
质，列式计算即可．
【详解】解：当AC ∥EF时，如图，则∠FEG =∠C =60°，
由折叠性质得：∠BED =∠≝¿，
∴∠BED = 1
2
(180°+∠GEF)= 1
2
(180°+60°)=120°，
则∠BDE =180°−∠B−∠BED =180°−20°−120° = 40°
当AB∥EF时，如图，则∠FEC =∠B =20°，
由折叠性质得：∠B =∠F =20°，∠BED =∠≝¿，
∴∠≝= 1
2 ×(180°−20°)=80°
∵AB∥EF
∴∠BDE =∠≝=80°
当AC ∥EF时，如图，则∠FEB =∠C =60°，
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∴∠BED = 1
2 ∠BEF = 1
2 ∠C =30°
，
∴∠BDE =180°−∠B−∠BED =180°−20°−30° =130°
综上，∠BDE的度数为40°或80°或130°
10．（3 分）定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形
称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：S =a+ b
2 −1．（其中a是三角形内部格点数
目，b是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点A(−2,−3)，B(4,5)，C(6,1)，三角形
ABC的内部比边上多9个格点，求三角形ABC内部格点的个数为（ ）
A．17
B．18
C．19
D．20
【答案】A
【分析】主要考查了二元一次方程组的应用，先由A(−2,−3)，B(4,5)，C(6,1)，在平面直角坐标系描
点，求出△ABC面积S =20，然后列出方程组¿，再解方程组即可，熟练掌握格点三角形的面积公式，找准
等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：由A(−2,−3)，B(4,5)，C(6,1)，在平面直角坐标系描点，
∴S =8×8−1
2 ×6×8−1
2 ×4×8−1
2 ×2×4
=64−24−16−4
=20，
∴¿，
解得¿，
∴三角形ABC内部格点的个数为17，
故选：A．
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二、填空题（共18 分）
11．（3 分）√16的负的平方根是______．
【答案】−2
【分析】考查了求一个数的平方根，可得√16= 4，求出4的负的平方根即可．
【详解】解：√16= 4，
∴ −√4 =−2，
∴ √16的负的平方根是−2，
故答案为：−2．
12．（3 分）非遗油纸伞的伞骨设计暗藏数学智慧，艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形
成了如图的三角形结构．这其中蕴含的数学原理是_____．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】主要考查了三角形的稳定性．伞柄、伞骨和支撑条共同形成了三角形结构，根据三角形的稳定
性，即可求解．
【详解】解：伞柄、伞骨和支撑条共同形成了三角形结构，这蕴含的数学原理是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
13．（3 分）统计某班同学的身高（单位：cm），得到的数据中，最小值是149，最大值是178，取组距为
5，可将数据分为_________组．
【答案】6
【分析】利用最大值与最小值的差，除以组距即可，注意小数部分要进位．
【详解】解：(178−149)÷5=5.8，
则可将数据分为6 组．
14．（3 分）在平面直角坐标系中，已知A (3,6),B (7,3)，平移线段AB至CD（A 与C 对应），使得C，D
两点都在坐标轴上，此时，C 点坐标为______．
【答案】(0,3)或(−4,0)
【分析】主要考查平面直角坐标系中图形的平移，熟练掌握平移性质（对应点坐标变化量相等） 与坐标
轴上点的坐标特征是解题关键，分两种情形：C在x轴且D在y轴，或C在y轴且D在x轴 ．利用平移性质
（对应点坐标变化量相同），结合坐标轴上点的坐标特征（x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0 ）列
方程求解．
【详解】解： 情形一：C在x轴，D在y轴
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设C(a,0)，D(0,b)
∵ A(3,6)→C(a,0)，B(7,3)→D(0,b)，平移时横、纵坐标变化量相同
∴ 横坐标变化：a−3=0−7；纵坐标变化：0−6=b−3
解得a=−4，b=−3，即C(−4,0)
情形二：C在y轴，D在x轴
设C(0,c)，D(d ,0)
∵ A(3,6)→C(0,c)，B(7,3)→D(d ,0)，平移时横、纵坐标变化量相同
∴ 横坐标变化：0−3=d −7；纵坐标变化：c−6=0−3
解得d = 4，c =3，即C(0,3)
故答案为：(0,3)或(−4,0) ．
15．（3 分）已知方程组：¿的解x 为正数，y 为非负数，给出下列结论：①−3<a≤−1；②当a=−2时，
方程组的解也是方程x + y =5−a的解；③当a=0时，¿；④若x ≤1，则2≤y <4；其中正确的是______
（填写正确选项的番号）．
【答案】①④
【分析】先解出二元一次方程组得¿，再根据x为正数，y为非负数判断①，把a=−2代入可判断②，将
a=0代入可判断③，根据不等式的性质可判断④．
【详解】解：由¿得¿，
∵x为正数，y为非负数，
∴ ¿，
∴−3<a≤−1，故①正确；
当a=−2时，x + y =1−a=1−(−2)=3，5+a=5+(−2)=3，
∴此时x + y =5+a，故②错误，
由①可得a≠0时，故③错误；
若x ≤1，则0<a+3≤1，
∴−3<a≤−2，
∴2≤−2a−2<4即2≤y <4，故④正确；
故答案为：①④．
16．（3 分）如图，已知AB∥CD，点E在AB上，点F在AB和CD之间，点H在CD下方，
∠HEF =2∠AEF；点G在CD上，点I在FG的延长线上，∠HGI =2∠DGI．设∠H =α，则∠F的度
数用含α的式子表示为________．
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【答案】60°+ α
3
【分析】过点F作MN ∥AB，利用平行线的性质与角之间的等量关系，利用等量代换求解即可．
【详解】解：过点F作MN ∥AB，设EH与CD的交点为K，
，
∵AB∥CD，
∴MN ∥CD，∠EFN =∠AEF，
设∠AEF =∠EFN = β，
∵∠HEF =2∠AEF，
∴∠HEF =2 β，
∵AB∥MN，
∴∠EFN =∠AEF = β，
∴∠AEH =3 β，
∵MN ∥CD，
∴∠NFG=∠FGC，
设∠NFG =∠FGC =∠DGI = γ，
∵∠HGI =2∠DGI，
∴∠HGI =2γ，
则∠HGD =3 γ，
∵AB∥CD，
∴∠AEH =∠EKD =3 β，
∵∠EKD =∠H +∠CGH，
∴3 β =α +180°−3γ，化简得β + γ =60°+ α
3 ，
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∴
∠EFG =∠EFN +∠NFG = β + γ =60°+ α
3
¿
¿
，
即
∠EFG =60°+ α
3
¿
¿
．
三、解答题（共72 分）
17．（8 分）计算
(1)计算：(−√2)
2+|2−√5|−√5(√5+1)；
(2)解方程组：¿．
【答案】(1)−5
(2)¿
【分析】（1）先计算二次根式的乘法、化简绝对值，再计算加减法即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：原式=2+√5−2−5−√5
=−5．
（2）解：¿，
①×2得：4 x−10 y =14③，
②−③得：−y −(−10 y)=5−14，即9 y =−9，
解得y =−1，
将y =−1代入②得：4 x−(−1)=5，
解得x =1，
所以方程组的解为¿．
18．（8 分）解不等式组¿，并将它的解集在数轴上表示出来．
【答案】−3≤x ≤2，如图：
【分析】考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确
定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①得：x ≤2 ，
解不等式②得：x ≥−3，
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则不等式组的解集为−3≤x ≤2．
19．（8 分）如图，在△ABC中，AD⊥BC ,∠1=∠2,∠C =65°．求∠BAC的度数．
【答案】70°
【分析】考查的是三角形内角和定理，垂直的定义，先根据AD⊥BC可知∠ADB =∠ADC =90°，再根
据三角形的内角和定理求出∠1与∠DAC的度数，由∠BAC =∠1+∠DAC即可得出结论．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB =∠ADC =90°，
∴∠DAC =90°−65° =25°，∠1+∠2=90°，
又∠1=∠2，
∴∠1=∠2= 45°，
∴∠BAC =∠1+∠DAC = 45°+25° =70°．
20．（8 分）如图是由边长为1 的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知图中A，B，
C 三点都是格点，且A (−2,−2)，C (−3,2)．请仅用无刻度的直尺在给定网格中作图：
(1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标 ；
(2)将三角形ABC平移，得到三角形A1B1C1，其中三角形ABC内任意一点P(x0, y0)平移后的对应点为
P1(x0+3, y0+1)．
①在网格中画出三角形A1B1C1（点A与A1对应，点B与B1对应）；
②如图，若线段BC与一水平网格线交于点E，直接写出点E的坐标 ；画点M使EM ∥AB，且EM = AB
．
【答案】(1)解：建立直角坐标图如下：点B的坐标(1,−1)．
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(2)①如图：△A1B1C1即为所求；
②E(−5
3 ,1)，如图：点M即为所求．
【分析】（1）先根据A (−2,−2)、C (−3,2)两点的位置建立平面直角坐标系，再直接确定点B 的坐标即
可；
（2）先确定平移方式，然后再根据平移方式作出△A1B1C1即可；②根据平移的性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：①∵三角形ABC平移，得到三角形A1B1C1，其中三角形ABC内任意一点P(x0, y0)平移后的对
应点为P1(x0+3, y0+1)，
∴三角形ABC向右平移3 个单位，向上平移1 个单位得到三角形A1B1C1，
作图略
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②如图：∵C (−3,2)，B (1,−1)，
∴点C 向右平移4 个单位，向下平移3 个单位得到点B，
∵点E 是点C 向下平移1 个单位得到的，点E 在BC上，
∴点E 是点C 向右平移4
3 个单位得到的，
∴点E 的纵坐标为1，横坐标为：−3+ 4
3 =−5
3，即E(−5
3 ,1)；
图略．
21．（8 分）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C =∠EFG，
∠CED =∠GHD．
(1)证明：AB∥CD；
(2)若∠C =2∠D，且∠EHF =93°，求∠DGH的度数．
【答案】(1)证明：∵∠CED =∠GHD，
∴CE∥FG，
∴∠C +∠FGC =180°，
∵∠C =∠EFG，
∴∠EFG+∠FGC =180°，
∴AB∥CD．
(2)58°
【分析】（1）由同位角相等、两直线平行可得CE∥FG，即∠C +∠FGC =180°，进而得到
∠EFG+∠FGC =180°，最后利用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论；
（2）由（1）可得CE∥FG，则∠DGH =∠C，进而得到∠D = 1
2 ∠DGH，再利用三角形内角和定
理、对顶角相等列关于∠DGH的方程求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可得CE∥FG，
∴∠DGH =∠C，
∵∠C =2∠D，
∴∠DGH =2∠D，即∠D = 1
2 ∠DGH
∵∠DGH +∠D+∠GHD =180°，∠GHD =∠EHF =93°，
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∴∠DGH + 1
2 ∠DGH +93° =180°，解得：∠DGH =58°．
22．（10 分）人工智能在中小学应用实践中正逐渐展现出其巨大的潜力和价值．为促进学生运用人工智能
技术获得更多学习机会和资源，某中学七年级举行了满分为100 分的“人工智能通识知识竞赛”．比赛结
束后，老师对学生成绩进行统计，分为A 等级（大于或等于80 分），B 等级（大于或等于70 分但小于80
分），C 等级（大于或等于60 分但小于70 分），D 等级（小于60 分），并随机抽取了m名参赛学生的成
绩作为样本，整理绘制成如下不完整的统计图表．
成绩等级
频数
A
20
B
32
C
a
D
b
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
(1)m=_____，n=_____，a=_____，b=_____；
(2)七年级共有1800 名学生参加比赛，请你估计成绩不低于60 分的学生人数．
(3)针对本次统计的结果，你对D 等级的同学提出至少一条合理化建议．
【答案】(1)80，15，16，12
(2)1530 人
(3)积极学习人工智能相关知识，多背诵基础知识点，主动向老师和A 级同学请教，逐步提升竞赛成绩（答
案不唯一，合理即可）
【分析】（1）用B 等级的人数除以所占的比例求出m的值，用m乘以C 等级所占的百分比求出a的值，根
据频数之和等于总数，求出b的值，再用频数除以总数求出n的值；
（2）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（3）根据结果，提出合理建议即可.
【详解】（1）解：m=32÷ 40 % =80，
a=80×20 % =16，
b=80−20−32−16=12，
n % = 12
80 ×100 % =15 %，故n=15；
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（2）解：1800× 20+32+16
80
=1530（人）；
答：估计成绩不低于60 分的学生人数为1530人；
（3）略
23．（10 分）【初步认识】
(1)如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠A =70°，则∠ABC +∠ACB =
_____；∠BPC =_____；
【继续探索】
(2)如图2，∠ABE，∠ACE的平分线BF，CF相交于点F，若∠A =70°，∠BEC =130°，求∠BFC的
度数；
【拓展应用】
(3)如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB
，延长BP，NC交于点M．在△BMN中，有一个内角为30°，直接写出∠A的度数．
【答案】(1)110°，125°；
(2)100°；
(3)60°或120°．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB =110°，根据角平分线的定义得到
∠PBC +∠PCB =55°，根据三角形内角和定理可知∠BPC =125°；
（2）根据三角形内角和定理求出∠EBC +∠ECB =180°−∠BEC =50°，进而求出
∠EBA +∠ECA =180°−(∠EBC +∠ECB)−∠A =60°，根据角平分线的定义得到
∠EBF +∠ECF = 1
2
(∠EBA +∠ECA)=30°，根据三角形内角和定理计算即可；
（3）根据角平分线的定义求出∠MBN =90°，可知30°只能是∠M或∠BNM，根据三角形外角的性质
得到∠EBC +∠FCB =180°+∠A，根据角平分线的定义求出∠NBC +∠NCB =90°+ 1
2 ∠A，根据三
角形内角和定理求出∠BNM =90°−1
2 ∠A，则∠M = 1
2 ∠A，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵∠A =70°，
∴∠ABC +∠ACB =180°−∠A =180°−70° =110°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
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∴∠PBC +∠PCB = 1
2 (∠ABC +∠ACB)=55°，
∴∠BPC =180°−(∠PBC +∠PCB)=125°；
（2）解：如图，连接BC，
∵∠BEC =130°，
∴∠EBC +∠ECB =180°−∠BEC =50°，
∵∠A =70°，
∴∠EBA +∠ECA =180°−(∠EBC +∠ECB)−∠A =60°，
∵∠ABE，∠ACE的平分线BF，CF相交于点F，
∴∠EBF +∠ECF = 1
2
(∠EBA +∠ECA)=30°，
∴∠BFC =180°−(∠EBC +∠ECB)−(∠EBF +∠ECF)=100°；
（3）解：∵BP平分∠ABC，BN平分外角∠EBC，∠ABC +∠EBC =180°，
∴∠PBN = 1
2 ∠ABC + 1
2 ∠EBC =90°，即∠MBN =90°，
因此30°只能是∠M或∠BNM．
根据三角形外角的性质得到∠EBC +∠FCB =∠A +∠ACB+∠A +∠ABC =180°+∠A，
∵BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB，
∴∠NBC +∠NCB =90°+ 1
2 ∠A，
∴∠BNC =180°−(∠NBC +∠NCB)=90°−1
2 ∠A，即∠BNM =90°−1
2 ∠A，
∴∠M =180°−∠MBN −∠BNM = 1
2 ∠A，
分情况讨论：
若∠M =30°，则1
2 ∠A =30°，解得∠A =60°；
若∠BNM =30°，则90°−1
2 ∠A =30°，解得∠A =120°；
综上所述，∠A的度数为60°或120°．
24．（12 分）某校为表彰在“书香校园活动”中的先进班集体，请一家公司制作活动的展板，宣传册和横
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幅．在沟通过程中获取如下信息：
信息1：宣传册的数量（本）是展板（个）的5倍；
信息2：制作1个展板需1小时，制作1本宣传册需12分钟，制作1个横幅需30分钟．制作三种产品共需a小
时；
信息3：制作1个展板可获利60元，制作1本宣传册可获利3元，制作1个横幅可获利20元．该公司为该校本
次活动制作的三种产品共可获利960元．
解决问题：
(1)设学校准备制作展板的数量为x，制作横幅的数量为y，直接用含有x，y的式子表示制作三种产品的总
时间和制作三种产品的总利润；
(2)当a=25时，求制作三种产品的总件数．
(3)若该校制作的产品总件数不少于57，但又不超过66，试说明共有几种制作方案．
【答案】(1)总时间为(2 x + 1
2 y)小时，总利润为(75 x +20 y)元
(2)66
(3)2种
【分析】（1）先根据题干信息得到宣传册数量为5 x，统一时间单位后，根据时间和利润的计算方法列出
代数式；
（2）根据给定的a值和总利润列二元一次方程组，求解得到x , y后计算总件数；
（3）根据总利润得到x , y的关系式，结合总件数的取值范围列不等式，根据x , y为正整数确定符合条件的
方案数．
【详解】（1）解：由题意得，宣传册的数量为5 x本．
统一时间单位：12分钟= 1
5小时，30分钟= 1
2小时．总时间为：1⋅x + 1
5 ⋅5 x + 1
2 ⋅y =2 x + 1
2 y（小时）．
总利润为：60⋅x +3⋅5 x +20⋅y =75 x +20 y（元）．
（2）当a=25时，
根据题意可得方程组：¿
解得¿．
总件数为x +5 x + y =6×8+18=66．
答：制作三种产品的总件数为66．
（3）由总利润为960元可得75 x +20 y =960，
整理得：y = 48−15 x
4
因为x , y是正整数，所以x必须是4的倍数．
设总件数为N，则：N = x +5 x + y =6 x + 48−15 x
4
= 9 x
4 + 48
由题意得57≤N ≤66，
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即：57≤9 x
4 + 48≤66
解不等式得4≤x ≤8．
在4≤x ≤8范围内，
满足x是4的倍数的正整数为x = 4和x =8，对应的y分别为33和18，均为正整数，符合要求．
因此共有2种制作方案．
答：共有2种制作方案．
