黄东坡
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数学讲堂
A基4元tfJ~}lt~丛书
七
年
级
SHUXUE
咽
PEIYOU XIN FANGFA
黄东坡薯
食在传统与现代之间选择融合
食在经典与时尚之间寻找平衡
食在能力与素养之中锤炼思维
食在思想与文化之中启迪心智
‘".;:. v~ 先队4告P$ I~ 湖北人品彼脱#
数学培优
@@@ WZENGFA 也年级
"培优新方法丛书"自2002年出版发行以来深受广大师生的欢迎，
累计发行数百万册，畅销大江南北，成为全国许多重点中学开展学科
课外活动的教辅读物。
"培优新方法丛书" 与教学需求同步，与学习
需求同步，与教育改革大潮同步。
黄东坡
数学教育学硕士，
国家级骨干教师，中国数学奥林匹克
高级教练。多年来关注数学和数学教育的发展，致力于中考数学和奥
林匹克数学的研究。代表作"培优新方法丛书"
"探究应用新思维丛
书"
"学科精英大视野丛书"和《带你发现数学之美》陆续出版，
多
年来深受广大师生欢迎，畅销千万册，成为全国许多重点中学开展学
科课外活动的教辅读物。
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黄东坡薯
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I ~ 湖北人A 依必#
掌握大逻辑
把握大趋势
二十年典藏版修订说明
2022 年，"新方法"将度过它的二十岁生日，二十年是生命的标尺，测得光阴在再、时代变迁;二
十年，是华彩的乐章，回荡对数学教育理想的精神诉求。
二十年里，随着课程标准的实施，学科核心素养的提出、中国高考评价体系的形成，对数学教
育、数学学习方式的认识发生了根本变化。思想的碰撞，观念的交锋，对新理念的向往与践行，对
优秀传统的坚持与守望，有迷茫、困惑、阵痛，但更多的是推开睐望数学教育的新的窗口扑面而来
的清新、愉悦与美丽。
二十年来，"新方法"以行进的姿态走在路上，与教学要求同步，与学习需求同步，与教育改革
大潮同步:价值引领，素养导向，知识为基，能力为重。高擎数学文化的大旗，反映数学的工具与文
化的两种品格，彰显数学的人文与科学的双重属性。整合知识、总结技巧、提炼方法、渗透思想，给
数以百万计的读者以精神引领，帮助他们理解和掌握知识、感悟思想方法、锤炼思维、磨确心智、提
升观念、丰富情感。
在"新方法"即将迎来它的二十岁生日之际，我们推出修订后的"二十年典藏版"，在保留经典
内容、问题的基础上，从局部与整体、宏观与微观、抽象与具体三个维度，增添新的专题，补充新的
问题。在以下方面作出了进一步完善:扩大问题的选材范围，揭示问题的相关背景，探索问题的有
效深度，思考问题的多样解法，研究问题的发展变化。为顺应"双减"政策减轻学生学业负担，体现
素质教育导向的要求，"新方法"在上一版基础上进行了精炼优化，文字更简沽，题目更典型，更有
利于提升学生的学习效率。
同时，我们将丛书整体升级为双色版，字体、字号、行空等均符合《儿童
青少年学习用品近视防控卫生要求》的规定，能为读者提供更舒适的使用体验。
二十年，只争朝夕，弹指一挥间，让人想起侯健的《二十年>> : "二十年是一首老歌/有人呐喊/有
人轻吟/有人颤抖着嘴唇/什么腔调都没关系/至少我们还在一起。"
二十年后的"新方法"又站在新的起跑线上:
是现实的，也是理想的，
是厚重的，也是轻盈的，
是理性的，也是热烈的，
是成熟的，也是年轻的。
黄东坡
2 022 年
1 月于武汉
……
R 且主|
"‘
a史
~
代
巢
."."."
回走进美妙的数学世界
/ 2
自然数的排序
/ 4
因跨越一一从算术到代数
/ 9
以符代数
/
11
回创造的基石→一观察、归纳与猜想
/ 15
递推
/ 17
回数轴一一数与形的第一次碰撞
/ 22
动静思维
/ 24
目解读绝对值
/ 28
数学建模
/ 30
回计算
工具与算法的变迁
/ 35
类比
/ 37
回物以类聚一一话说同类项
/ 43
整体思考
/ 44
囚一元一次方程
/ 48
从特殊性看问题
/ 50
回绝对值与一元一次方程
/ 53
开放与探索
/ 55
回列方程解应用题一一有趣的行程问题
/ 58
一题多解
/ 60
回列方程解应用题一一-设元的技巧
/ 64
设而不求
/ 66
回一次方程组
/ 70
叠加、叠乘
/72
困一次方程组的应用
/ 76
幻方
/ 78
回倾斜的天平一一一由相等到不等
/ 82
多元不等式
/ 84
固不等式(组)的应用
/ 88
排序原理
/ 91
回整式的乘法与除法
/ 95
算两次
/ 97
田乘法公式
/ 101
归纳思维
/ 103
囚实数的概念及性质
/ 107
估算与数感
/ 109
E 平面直角坐标系
/ 112
坐标法
/ 114
"1
dE军军fI~"~-';军
.t~~
..2
"‘
空
因丰富的图形世界
/ 120
困线段
/ 126
园角
/ 133
因平行线的判定与性质
/ 140
固简单的面积问题
/ 146
因
= 角形的边与角
/ 153
因多边形的边角与对角线
/ 159
"‘
绞』
因数据与图表
/ 166
~~~
综
因质数、合数
/ 173
园奇数、偶数
/ 178
因整除的概念和性质
/ 183
固不定方程、方程组
/ 189
回几何计数
/ 195
·缩肢法
/ 202
·取整运算
/ 206
参考答案
/ 211
f司
计
A
o
与
图
与
概
与
括
形
IlÞ'IlÞ'IlÞ'
欧拉公式
/ 122
线平生图
/ 128
引入参数
/ 135
平移
/ 142
等和、变形
/ 148
思维中的"想" / 155
图形新定义
/ 161
卒
IlÞ'IlÞ'IlÞ'
容斥Ifr-、理
/ 168
痪
IlÞ'IlÞ'IlÞ'
质数的孤独
/ 175
奇偶分析
/ 180
割尾法
/ 185
分离整系数
/ 191
加法原理与来法原理
/ 197
数与代数*
现代数学，这个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的目光穿过
无限的时间，使人类心灵的手延伸到了无边无际的空间.
一一布特勒
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
从蛮荒时代的结绳计数到现代通信和信息时代神奇的数学，人类任何时
候都受到数学的恩惠和影响，数学科学是人类长期以来研究数、量的关系和
空间形式而形成的庞大科学体系.
走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的"代数"世界，不断扩充的
数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数
T囚~
/VU J 巳A、.
: 笛棍
。00.. •
~.......-........
当你通过数学
学习，感到自己头
脑更加聪明，处理
:
事务愈加条理公
正，并能用数学的
思想方法解决问
:
题，探索自然和社
走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的"图形"世界，拼剪、折叠、
: 会生活的种种奥秘
平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计
精美的图案.
走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的"数据"世界，从图表中获取
信息，并选择合适的图表来表达数据和信息.
走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，
它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知.
诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说"我赞美数学的优美和力量，
它有战术的机巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一
些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构"
"ma them a ti cs " 一词来自一个希腊单词，
意为"喜欢学习"，含有学习、学问、科学的意
思. 抽象的符号、枯燥的公式、繁难的计算、复
杂的证明
，人们对数学的偏见根深而蒂固，换
一种方式认识数学，数学学习将变得有趣又
相对轻松.
.2
时，你已经触摸到
数学文化的脉搏了.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
蝠'
探究数字"黑洞" "黑洞"原指非常奇怪的天体，它体积小，密
度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再" 爬"出来，无独有偶，数字
中也有类似的"黑洞"，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸
进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如: 任意找一个3 的倍数的数，先把这个数的
每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每
一个数位上的数字再立方、求和……重复运算下去，就能得到一个固定的数
T=
，我们称之为数字"黑洞"
( 山东省青岛市中考题)
思路点拨
从一个具体的数操作，发现规律.
[锐~EÞ
A ，B ，C ，D ，E ，F 六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天
时，统计出A ，B ，C ，D ，E 五队已分别比赛了5 ，4 ，3 ，2 ，1 场球，则还没有与B 队
比赛的球队是(
A . C 队
B. D 队
C. E 队
D. F 队
( 江苏省竞赛题)
思路点拨
用算术或代数方法解，易陷入困境.用6 个点表示A ，B ，C ，D ，
E ，F 这六个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线，
这样用图来辅助解题，形象而直观.
[征。
用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方
式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A
，定义为第一
组; 在它的周围铺上6 块同样大小的正六边形盗砖，定义为
第二组; 在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺
满，定义为第三组……按这种方式铺下去，用现有的2005 块姿砖最多能完整
地铺满多少组? 还剩几块瓷砖?
C' 希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
探寻瓷砖铺设的规律，是解本例的关键.
E埋罩矗理圄l
主li'毒。" …
西方把
1 53 称
为" (( 圣经》数" 这个
美妙的名称出自
:
(( 圣经· 新约会书》
:
约翰福音第
21 章.
" (( 圣经》数" 这一奇
:
妙的性质是以色列
.
人科恩发现的，英
国学者奥皮亚杰对
.vt 千丰出了4正明.
美国数学家斯
蒂恩说"如果一个
特定的问题可以被
转化为一个图形
，
那么思维就整体地
:
把握了问题，并且
能创造性地思考问
题
"
数与形，以及
:
数和形的关联与转
:
化，是数学研究的
:
永恒主题. 就解题而
言，数与形的恰当
;
结合，常有助于问
:
题的解决.
..3
aE军军噩噩噩
[候'
若自然数n 使得作竖式加法n 十(η + 1) 十(71 + 2) 均不产生进
位现象，则称n 为"可连数"，例如32 是"可连数"，因为32 + 33 + 3 4 不产生进
位现象;23 不是"可连数"，因为23 十24 + 2 5 产生了进位现象，那么小于
2 00
的"可连数"有多少个?
(湖北省黄冈市中考题)
解
当"可连数"为一位数时，71 + ( η + 1) + (η 十2 ) ::::;;; 9 ，解得
71 ::::;;; 2 ，由于
η 为自然数，所以η=0 或η 二l 或η=2 ，即一位数的"可连数"有3 个.
当"可连数"为两位数时，设它的个位数字为α ，十位数字为b ，则α 十
(α + 1) 十(α + 2) ::::;;; 9 ，解得α ::::;;; 2 ，由于个位数字相加时"不产生进位现象"，所
以十位上的数字b 必须满足b + b + b ::::;;; 9 ，解得b ::::;;; 3 . 从而两位数的"可连数"
有10 ，11 ，12 ，20 ，21 ，22 ，30 ，31 ，32 ，共有9 个.
当"可连数"为三位数时，由于我们只求小于2 00 的" 可连数"，所以它的
百位数字为1，设它的个位数字为a
，十位数字为b ，则α + (α 十1) + ( α 十2) ::::;;;
9 ，解得α ::::;;; 2 . 由于个位数字相加时"不产生进位现象"，所以十位上的数字b
必须满足b 十b + b ::::;;; 9 ，解得b ::::;;; 3 . 从而三位数的"可连数"有
1 00 ，101 ，1 02 ，
110 ，111 ，11 2 ，120 ，121
，122 ，1 30 ，131 ，1 32 ，共有12 个.
综上所述，小于20 0 的"可连数"的个数为3 十9 + 1 2 =24 个.
自然数的排序
古希腊数学家普罗克拉斯曾说"哪里有数，哪里就有美"整数的简单
构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉.
把自然数1，2 ，3 ，… A 按一定的方式排列顺序，可得到形式特异、内涵
丰富的问题，融知识性与趣味性于一体.
[~[O 将自然数按以下规律排列:
第一列
第二列
第二列
第四列
第五列
第一行
1
4
5
16
17…
第二行
2
3
6
15
第一行
9
8
7
14
第四行
10
11
12
13
第五行
..4
我
于
儿
市
制
~例
加
概
的
阅
连
进
灵
方
国
参
议
就
画
I
L
时
一
数
新
题
解
可
生
能
想
L
j
|
l
|
l
t
i
美
在
会
间
手
A
L
逆
式
然
了
啊
理
旷
产
并
思
论
阔
翩
圄
翩
翩
跚
跚
与
旋
'
姆
术
时
随
轴
巴
按
方
的
Z
Z
二
工
噩
噩
出
叶
立
1
1
2
悉
算
但
是
料
俨
的
用
时
函
皿
咽
即
遭竭
唰
质
乌
四
家
个
为
记
个
中
…
向
熟
运
飞
键
材
"
"
运
忖
7
世
茹
苦
娼
学
一
'
笔
一
在
干
万
们
法
念
关
读
数
位
活
法
f
f
i
;
i
:
数
加
时
在
了
放
A
h
针
层一层地分布在
1
的周围
，然后把质
数圈了出来，结果
使他十分惊奇，这
些圈出的质数都集
中在一些直线或斜
线上( 如上图) . 这就
是著名的质数分布
的乌拉姆螺旋.
表中数2 在第二行、第一列，与有序数对(2 ，1)对应;数5 与(1，3) 对应;
数14 与(3 ，4) 对应;根据这一规律，数2014 对应的有序数对为
(山东省东营市中考题)
思路点拨
通过观察发现排序后的数阵中的规律，如行或列中数的规
律、特殊位置数的规律等.如何迅速且正确地找出对解题具有指导意义的规
律，需有细致的洞察力和敏锐的判断力.
~~~学为训练嘎嘎嘎
穷实
. •
- Ic ~盛~
E蓝3章
。00.. •
1. 有一组等式: 12 + 22 + 22 = 3 2
，2 2 十3 2 十6 2 =7 2
，3 2 十4 2 + 12 2= 13 2
，4 2 十5 2 +20 2 =2 1 2 ……请你
观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8 个等式为
(辽宁省沈阳市中考题)
2. 数学的美元处不在.数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷
得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐.例如，三根
弦长度之比是
1 5
:1 2 :1 0 ，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的
1
1
1
1
乐声巾，ml ，sO. 研究
1 5
，12
，10 这= 个数的倒数发现·
一
=
一
我们称15
，12
，1 。这三
-
, -'V' H" ' - '-'V' //,- - /
U '1 2
15
10
12'
个数为一组调和数.现有一组调和数: 工
，5 ，3( x>5)
，则z 的值是
(山东省济南市中考题)
3. 数字宝塔
1+ 2=3
4+5+6=7 十8
9+ 10+ 11 + 12= 13 十14 + 1 5
16 + 17 + 18 + 19 十20 =2 1 + 22 十23+24
在此数字宝塔中，从上往下数，2010 在第
层等式的
边(填"左"或"右") .
( << 时代学习报》数学文化节试题)
也. 法国的"小九九"从" 一一得一"到"五五二十五"和我国的"小九九"是一样的，后面的就改用手势
了.下面两个图框是用法国"小九九"计算7 X 8 和
8 X9 的两个示例.若用法国的"小九九"计算
7 X9 ，左、右手依次伸出手指的个数是(
).
..5
aE远诅匾矗~! . t~ fAl
7x8=?
离题
西阶? 曹
两左手手伸
右手
出的于指数的和为5 ，
. 两左手手伸出的手指数右的手和为7 ，
未伸出的手指数的积为6 ，
来伸出的手指数的积为2 ，
7 x 8~56
8 x 9~ 72
[7 x 8~ l O x (2 +3) +3 x 2~56 J
[ 8呻~ l Ox (3+4) + 2 x l ~η ]
第4 题图
A , 2,3
B.3 ,3
C.2 ,4
D.3 ,4
5. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即
"结绳计数"如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来
记录孩子自出生后的天数.由图可知，孩子自出生后的天数是(
).
A.84
B. 336
C. 510
D. 1326
(浙江省绍兴市中考题)
6. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m 的值为(
l 1 15 1 1 3 17 1 1 5 19 1
| 11 1
1
| 3 114 1 1 5 1 32 1 1 7 158 1
l1 m 1
A.180
B. 182
C. 184
D. 186
(吉林省中考题)
第5 题图
(四川省自贡市中考题)
7. 观察下面数表:
问:以此规律
(1)第6 行最后一个数字是多少?
(2) 第几行最后一个数字是201 4?
..6
1
2 3 4
3 4 5 67
4
5
6
7
8
9 10
(湖南省湘潭市中考题)
·匪~圈出.自
• •
拓展. •
8. 古希腊毕达哥拉斯学派认为"万物皆数"，意思是数是宇宙万物的要素，
他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子的排列的
形状把整数进行分类.例如:1，3 ，6 ，10……，这些数叫三角形数( 如图) .则
下列数55 ，364 ，1 830 中是三角形数的有
•
• ••
••
••
•
•
•
• ••
•
•
•
•
•
•
第8 题图
9. 若走45走9是能被3 整除的五位数，则走的可能取值有
是
个;这样的五位数中能被9 整除的
( "希望杯"邀请赛试题)
10 . 按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第
1 4 个图案中
黑色小正方形地砖的块数是
( 四川省资阳市中考题)
口目
第l个第2个
第3个
第
1 0 题图
11. 若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4 倍，则这个两位数
称为"巧数"，则不是"巧数"的两位数的个数是(
) .
A.82
B. 84
C. 86
D. 88
( "希望杯"邀请赛试题)
191
12. 己知三个连续的正整数的倒数和等于
，则这=个数之和等于(
) .
504
一
A.27
B. 24
C.21
D. 18
(北京市竞赛题)
13. 观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这
个三角形三边的中点，构成4 个小三角形，挖
去中间的一个小三角形(如图1);对剩下的
3
个小三角形再分别重复以上做法……将这种
做法继续下去(如图2 、图3 ……) ，则图6 中挖
去三角形的个数为(
) .
i冬1 1
|冬12
第13 题图
I刽3
D. 121
( 山东省德州市中考题)
1也. 斐波那契中学六至八年级的一些学生参加某项社区服务.已知八年级与六年级，八年级与七年
级参加的人数之比分别为5 汀，8 : 5 ，则至少有(
)人参加了该项社区服务.
A.729
B.364
C.362
A.16
B. 40
C. 55
D. 79
E. 89
( 美国数学竞赛试题)
"1
aE远矗矗瞌罩噩噩噩草草理·
15 . 能否很快写出2005 个自然数，使它们的总和正好等于它们的乘积?
(俄罗斯萨温市竞赛题)
• •
16. (( 道德经》中的"道生一，一生二，二生兰，兰生万物"道出了自然数的特征.在数的学习过程中，
我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质
..8
数、合数等.现在我们来研究另一种特殊的自然数
"纯数"
定义:对于自然数n
，在计算η + (η 十1) + (η 十2) 时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n
为"纯数"
例如:32 是"纯数"，因为计算32 + 33 + 34 时，各数位都不产生进位;23 不是"纯数"，因为计算
23 + 24 + 25 时，个位产生了进位.
(1)判断2019 和2020 是否为"纯数"?请说明理由.
(2) 求出不大于100 的"纯数"的个数.
(重庆市中考题)
如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的科学家，他在其发展
初期必定来到一座大门，并且必须通过这座大门，在这座大门上，用每一
种人类语言刻着同样的一句话:这里使用数学语言.
霍格
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
"算术"可以理解为"计算的方法"，而"代数"可以理解为"以符号替代数
字"，即"数学符号化" 著名数学教育家波利亚曾说"代数是一种不用词句而
只用符号所构成的语言"
用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥
梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别.
字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列
代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用.
[锐'
趣睐
数学
1字
符雪啦啦
~~~
符号比语言、文字更简练、
更直观、更具一般性. 通过" 数学
符号"来思考数学，是一件格外
有趣并令人充满期待的事.
例题求解
嘎嘎嘎
(1)观察下列等式
9-1=8 ,
16-4= 12,
25-9 = 16,
36-16=20 ,
主撞4釜
。00...
纵观历史，数
:
学的发展创造了数
:
学符号，新的数学
:
符号的使用又反过
:
来促进了数学的发
; 展.历史是这样一步
:
步走过来的，并将
:
这样一步步地继续
:
走下去，数学的每
:
一个进步都必须伴
:
随着新的数学符号
:
的产生.
从个别事物中
:
发现一般性规律，
'
这种研究问题的方
，
法叫"归纳法"，是
由特殊到一般的思
维过程，是发明创
造的基础.
.9
aE国昌盛lIfÆ噩噩噩噩噩
这些等式反映出自然数间的某种规律，设η 表示自然数，用关于n 的等
式表示出来:
(2) 如图，在图①中，互不重叠的三角形共有4 个，在图②中，互不重叠的
三角形共有7 个，在图③中，互不重叠的三角形共有10 个，… … ，则在第n 个
图形中，互不重叠的三角形共有
个(用含η 的代数式表示).
β\ 念\怠\
图①
图②
图③
(重庆市中考题)
思路点拨
(1)在观察给定的等式基础上，寻找数字特点、等式的共同特
征，发现一般规律;(2) 从三角形个数规律或图形生成特点人手.
[雨'
甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降
价20 % ，后又降价10 % ;乙超市连续两次降价15 % ;丙超市一次降价30 % .那
么，顾客购买这种商品更合算的是(
A . 甲超市
B . 乙超市
c. 丙超市
D . 一样
(四川省达州市中考题)
思路点拨
只需比较经两次降价后商品的价格，为此要设出降价前的
定价.
[制@
有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是
一个完全平方数. 例如，2 9 就是这样的两位数，因为29 + 92 = 121 = 11 2 ，请你
找出所有这样的两位数.
(江苏省竞赛题)
思路点拨
设原数为ab ，则新数为缸，发现αb 十切的特点是解本例的关键.
[征。
现有α 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m 个正方
形，按如图②摆放时可摆成2n 个正方形.
(1)用含n 的代数式表示m;
.10
2芭3量。"…
我们认识事物、
:
探究问题的基本过
程是: 先研究具体对
象，再归纳出一般规
:
律，然后再运用这些
规律去分析、研究、
解决问题.
E~'.=W匿理矗
撞撞。"…
: 见于我国的"洛
;
书"，如图①，洛书
中
3 行、3 列以及2
j 条对角线上的点数
: 之和都等于
1 5 ，是
:
一种
3 阶幻方，如
:
图②.
<> ooooooooo .!
i + ~
<>o~
图①
(2) 当这α 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求α 的最小值.
( 浙江省竞赛题)
目
巴
l 日
r=::J
口
图②
分析与解
设图③中有3户个正方形(为什么这样设?) ，无论怎样摆放，
火柴棒的总数相同，这样可建立含m ，n ，户的等式.
图①
5η 十1
(1)由3m + 1=5η 十2 ，得m-
3一
3m-2 5n-1
(2) 由α =3m+1=5n+2=7ρ+3 ，得ρ--一一=一→→，因m ，n ，ρ 均是
7
7
幻方，相传最早
正整数，所以当m=17 ，η=10 时，ρ=7.此时，α 的最小值为α=3X 17+1=52.
以符代数
以符代数，即以字母代替数.韦达在《分析术引论)) 0591 年出版)中使
用字母来表示未知数以及已知数，实现了历史的突破.从此，从算术到代数，
代数学告别了旧时代，插上飞翔的翅膀.
韦达(1 540- 1603) ，法国数学家，被誉为"西
方代数学之父"，在法国和西班牙的战争中，韦达
利用精湛的数学方法，成功破译西班牙的军事密
码，为他的祖国赢得了战争主动权.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
图②
[锐'
如图①，有9 个方格，要求在每个方格里填人不同的数，使得每
行、每列、每条对角线上三个数之和都相等.问:图中左上角的数是多少?
|? 1
1
1
|1 119 1
|113 1
1
图①
图②
(北京市..迎春杯"竞赛题)
分析与解
虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条件还与其他
的数相关，故为充分运用已知条件，需引人不同的字母表示数(如图②) .
由己知条件得: 工+Xl+ 工z=X+ 工3 十X4=Xl +工3 十13 = 工2+ 1 9 +队，这
样前面两个式子之和等于后面的两个式子之和，即2X+Xl 十X 2 十工3 + X 4 =
.11
13+19+xl 十X 2 +口十X 4
' :. 2x=13+ 19 ，得x= 16.
aE草温撞撞孟孟·
~~~学为训练嘎嘎嘎
穷实. •
1. 知其所以然
小学里我们通过做数学实验知道，判定一个自然数是否能被3 整除，只要看这个
自然数的各位数字之和是否能被3 整除.现在学了用字母表示数，就可以明白其中的道理啦!
以三位数为例，用αbc 表示个位数字是c ，十位数字是b ，百位数字是α 的任意三位数，则abc 二
1 00a 十10b+c=(α +b + c) + 99a +9b . 如果α + b 十C 能被3 整除，设α 十b + c=3η(η 为自然
数) ，那么αbc = 3(
)，所以αbc 能被3 整除.
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
2 . 某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏:首先发给A ，B ，C 三个同学相同数量的扑克牌
(假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多) ，然后依次完成以下三个步骤:
第一步，A 同学拿出两张扑克牌给B 同学;
第二步，C 同学拿出三张扑克牌给B 同学;
第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给A 同学.
请你确定，最终B 同学手中剩余的扑克牌的张数为
(湖南省长沙市中考题)
3. 某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90 分钟，若往返都坐车，全部行程只需3 0 分钟，
如果往返都步行，那么，需要的时间是
(河南省竞赛题)
4 . 如果α 是一个三位数，现在把1 放在它的右边得到一个四位数，这个四位数是(
) .
A. 1000a + 1
B. 100a 十l
C. 1 0α + 1
D. a 十1
(重庆市竞赛题)
5 . 如图①，将一个边长为α 的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个"圈" 的图案，如图②所示，再
将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图③所示，则新矩形的周长可表示为(
) .
u -[
A. 2a - 3b
B. 4a - 8b
"12
~
厅|
图@
第5 题图
C. 2α - 4b
图③
D .
4α - 1 0b
(江西省南昌市中考题)
-Il ~ it Il
6. 将一些相同的"。"按如图所示摆放.观察每个图形中的"。"的个数，若第η 个图形中"。"的个数是
78 ，则n 的值是(
。
。
。
。
。
。
。
000
。
。
。
000
o 0
0
0
第l个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
第6 题图
A. l1
B. 12
C.13
D.14
7. 有一张纸，第1 次把它分割成4 片，第2 次把其中的1 片分割成4 片，以后每一次都把前面所得
的其中1 片分割成4 片，如此进行下去.试问:
••
(1)经5 次分割后，共得到多少张纸片?
(2) 经n 次分割后，共得到多少张纸片?
(3) 能否经若干次分割后共得到2003 张纸片? 为什么?
拓展
. .
(江苏省竞赛题)
8. 在图①中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图②;对图②中
的每个阴影等边三角形仿照先前的做法，得到图③，如此继续.如果图①的等边三角形面积为
1 ，
则第n 个图形中所有阴影三角形面积的和为
A A
图①
图②
图③
第8 题图
(江苏省竞赛题)
9. 己知17 个连续整数的和是3 06 ，那么，紧接在这17 个数后面的那17 个整数的和为
1ω0 计算(扎1 一j一7一t
f七) >×< (j+t←十寸t←十f←+t )卜卜
-一一-巾
-
巾的结果是一一
1 1. 下列四个数中可以写成100 个连续自然数之和的是(
).
A. 1627384950
B. 2345678910
C. 3579111300
(夭津市竞赛题)
( 江苏省南京市中考题)
D. 4692581470
(江苏省竞赛题)
..13
aE军军&i:lt 'Ji ñ~! .
歪歪-
12. 给出两列数:1，3 ，5 ，7 ，9 ，…，2001 和1，6 ，1 1，16 ，2 1，…，2 00 1 ，同时出现在这两列数中的数的个
数为(
).
A.199
B. 200
C.201
D.202
(重反市竞赛题)
13 . 一个两位数交换十位和个位后生成新的两位数与原数之和为
1 32 ，则满足条件的两位数
有(
)个.
A. 5
B. 7
C. 9
D.ll
E.12
(美国数学竞赛题)
1ι 如图是一个3 X3 的幻方，当空格中填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的
I
I k I I
数的和都是相等的，求走的值.
u一ι1
第14 题图
15 . 小明对5 个不同的自然数两两求和，得到9 个不同的数:23 ，28 ，34 ，37 ，43 ，4 8 ，52 ，57 ，63 .求这五
个自然数中最大的数.
( "希望杯"邀请赛试题)
..14
要想成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家，数学家的创造
性工作的结果是论证推理，是一个证明，但证明是由合情推理、由猜想来
发现的.
一一波利亚
~~~知识纵横嘎嘎嘎
观察、实验、猜
想是科学技术创造
过程中重要的方
法，通过观察和实
当代著名科学家波普尔说过:我们的科学知识，是通过未经证明的和不
验提出问题，再提
可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决而进步的.
出猜想和假设，最
从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史.20 世纪数学发
; 后通过推理去证明
展中的巨大成果是，1995 年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350 多年
;
假设和猜想.
举世瞩目的
的"费马大猜想"，而著名的哥德巴赫猜想，历经了两个半世纪的探索，尚未被人
于
"数学皇冠上的明
证实
:
珠"
哥德巴赫
当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单
: (德国数学家)猜
情形或特殊情况入手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规
;
想，就是从下面这
律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法
:
些等式:6=3+3 ，
叫归纳猜想法，是创造发明的基石.
观察左图
，你看到了什么?左图
的画名为
.. 我的妻子与我的岳母"，你
能观察到的现象
. 不仅取决于你的肉
眼
，还依赖于你运用怎样的思维方式.
~~~例题求解嘎嘎嘎
蝠'
已知m泣，以，且m ，n 均为正整数，如果将m" 进行如下方
式的"分解"，那么下列三个叙述:
①在2 5 的"分解"中最大的数是11; ②在4 3 的"分解"中最小的数是
13;
8=3+5 , 10 = 3 +
7,12 = 5 + 7, 14 =
3+11 . 归纳得出:
"任何不小于
6
的
:
偶数均可以表示成
:
两个奇质数的和"
我国数学家陈
景润于
1966 年证明
了"1+2" ，离解决哥
德巴赫问题，即"1 十
1"仅一步之遥.
..15
dE重
tfti1t *fi ñ ~t . t ~ fAt
③若m 3 的"分解"中最小的数是23 ，则m 等于
5 .
其中正确的是
( 山西省太原、帘中考题)
明确对m n 进行"分解"的意义，
思路点拨
是解本例的关键.
[锐'
将正偶数按下表排列5 列.
22<~
23<:
2
4<:
3 2兰;
3J~~
叫:
母
第
l 列
第2 列
第3 列
第4 列
第5 列
第
1 行
第2 行
第3 行
16
2
14
18
根据上面的排列规律，则2000 应在(
A. 第125 行，第
1 列
C. 第250 行，第
1 列
4
12
20
28
6
8
10
22
24
26
B. 第125 行，第2 列
D. 第250 行，第2 列
(湖北省荆州市中考题)
思路点拨
注意到每一行排4 个数，奇数行空第
1 列，偶数行空第5 列，只
要计算出2000 是第几个数即可.
化简99 … 9X99 … 9+199 … 9.
」一--y-一~
~一--y------'
~一飞，.---'
睛'
n 个
n 个
n 个
(江苏省竞赛题)
思路点拨
先考察n 二1，2 ，3 时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简
的目标更加明确.
[~[O 如图，是用棋子摆成的图案，摆第
1 个图案需要7 枚棋子，摆第2
个图案需要19 枚棋子，摆第3 个图案需要37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，
则摆第6 个图案需要
枚棋子，摆第n 个图案需要
枚棋子.
.16
• •
. . .
• •
• • •
• • • •
. . . . .
• • • •
• • •
( 山东省青岛市中考题)
撞撞。"…
观察是解决问
题的先导，发现往
:
往是从观察开始
的，归纳与猜想是
建立在细致而深刻
的观察基础上的，
解题中的观察活动
主要有三条途径:
(1)数与式的
特征观察.
(2)
图形的结
构观察.
(3) 通过对简
单、特殊情况的观
察，再推广到一般
情况.
解法一
列表填数，观察数值，体会从特殊到一般的数学思想.
图形序号
棋子总数
α ]= 7 二1+6=1 + l X 6;
a 2= 19=1 + 6 十12=1 + 0 + 2) X 6;
a 3 =37=1 + 6 + 12 十18 二1 + 0 +2+3)X6 ;
猜想、ι=1 + 0 +2+3+4 + … + n) X 6=3n 2 十3 n + 1 ，再将η=6 代人
该代数式得127 .
解法二
数形结合，分解图形，感悟从部分研究整体的思想.
问题中"按照这样的方式摆下去"，何种方式并没有明确界
定，我们可以有不同的理解，如从平行四边形角度看，把图形分
成三个平行四边形.
如图，图的序列号: 1，2 ，3 ，4 ，5 ，…
图中的点的数目
: 7 ，19 ，37 ，61 ，91 ，…
a] 二7 二1 + 0 X 2) X3 ;
a 2 =19 二1 十C2 X 3) X 3;
a 3= 37= 1+ C3 X 4) X 3 ;
a 4 二6 1 =1 十C4 X 5) X 3;
a 5 =91 二1 + C5X6) X 3;
猜想、仇= 1 +[η(η 十l) JX3= 3η 2+ 3η + 1.
递推
警
归纳总是与递推联系在一起的.所谓递推，就是在归纳的基础上，发现每
一步与前一步或前几步之间的联系，从而发现规律或证明通过归纳所猜测的
规律的正确性.
[制9
一楼梯共有η 级台阶，规定每步可以迈1 级或2 级或3 级，设从
地面到台阶的第n 级，不同的迈法为α n 种，当n =8 时，求α 8 .
(河南省竞赛题)
分析与解
先求出当η = 1，2 ，3 ，4 时，α ] ,a 2 ,a 3 ，向的值，解题的关键是，
从某级开始，寻找α n 与α n - 1 ,a ll -2 ，a n - 3 的联系.
-rg'Jb=JLW理..
E蓝3毒
。00.. •
规律探究题，
常按照一定的顺序
给出一系列量，要
求根据已知量找出
:
一般规律，解题的
关键是把变量和序
号联系起来.
斐波纳奇
( 约
当时欧洲最著名的
意大利数学家，于
1170
约
1 24 0 )是
12 02 年写成著名的
(( 算盘书
)) ，吹响了
欧洲数学经历漫长
黑夜之后走向复兴
的号角.
在书中有一个
由"兔子繁殖问题"
而产生的数列
: 1,
1,2, 3, 5, 8 ,13, 21,
3 4 ，… 这一数列被称
为"斐泼纳奇数列"，
该数列满足Gn+ 2 =
a n + l 十α " .
..霄
aØ~~iftgJj ñ}! . t$ t.a
~~~学为训练嘎嘎嘎
穷实. •
1. 观察下列关于自然数的等式:
3 2 - 4X1 2 =5
①
52 - 4X 22 =9
②
7 2 -4 X3 2 = 13
③
根据上述规律解决下列问题:
(1)完成第四个等式:9 2 -4 X (
)2=(
);
(2) 写出你猜想的第n 个等式
(用含n 的式子表示) .
(安徽省中考题)
2. 古希腊数学家把数1 ，3 ，6 ，10 ，15 ，21 ，…叫作三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数
记为α1 ，第二个三角形数记为句，…，第n 个三角形数记为ι ，计算α 1+句，α 2 十句，向+向，…，
由此推算a 399 十α 400 -
(黑龙江省中考题)
3 . 观察下面"品"字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出α 的值为(
) .
品ι 晶晶
第3 题图
A. 23
B.75
C.77
D. 139
( 山东省日照市中考题)
也. 下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成.其中，第①个图形中一共有1 个平行
四边形，第②个图形中一共有5 个平行四边形，第③个图形中一共有11 个平行四边形，… …则
第⑥个图形中平行四边形的个数为(
) .
口
附
月
ßL/ / /
阳④
A. 55
B. 42
C. 41
D. 29
(重庆市中考题)
..18
-~ ~ it ~
5. 阅读材料:大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，1 + 2 + 3 + … + 1 0=? 经过研
究，这个问题的一般性结论是1+2 十3 + … +η1η(η 十1)，其中n 是正整数，现在我们来研究
2
••
一个类似的问题:l X2+2X3+ … 十η(η 十1) =?
观察下面三个特殊的等式:
1 X 2=3(1 X2X3-0 X 1 X 2)
2 × 3=t(2 × 3 × 4 一1 X 2X 3)
3× 4=i(3 × 4× H
× 3× 4)
将这三个等式的两边相加，则得到1 X 旧×旧× 4=t × 3 × 4 × 5=20
读完这段材料，请你计算:
(1) 1X2+2X3+…+ 100 X 101.
(2) 1 X 2+2 X 3 + … + η(η 十1).
(3) 1 X 2 X3 + 2 X 3X4 十… 十n( η 十1) (η 十2) .
拓展. .
(四川省内江市中考题)
1 132 537
6. 按一定规律排成的一列数:
......
，一，一，一，一，一，一，…，则这列数中的第2 0 16 个数是
. 3 ' 2 ' 5 ' 3 ' 7 ' 4 ' 9
(世界数学团体锦标赛试题)
7. 将奇数依顺序排成如图所示数阵，从上到下称为行，图中数11 为第3 行从左往右数的第2 个
数，数29 为第4 行第6 个数，那么，2003 为第
行第一一一一个数.
(江西省竞赛题)
I
I
I
|
?一lf
f
3 5
7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
第7 题图
第8 题图
8. 将正整数从1 开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2 在第
1 个拐角处，3 在第2 个
拐角处，5 在第3 个拐角处，7 在第4 个拐角处，……，那么，在第2007 个拐角处的数是
(北京市竞赛题)
..四
aE噩噩噩噩噩噩噩
9. 任意大于1 的正整数m 的三次幕均可"分裂"成m 个连续奇数的和. 如: 23 = 3 + 5 , 33 = 7 十9+11 ，
4 3 =13+15+17+19 ，… ，按此规律，若m 3 分裂后其中有一个奇数是20日，则m 的值是C
).
A.46
B.45
C.44
D.43
(湖南省张家界市中考题)
10. 如图，A ，B ，C 是固定在桌子上的三根立柱，其中A 柱上穿有三个大小不
同的圆片，下面的直径总比上面的大. 现想将这三个圆片移动到B 柱上，
要求是每次只能移动一片(叫移动一次) ，被移动的圆片只能放入A ，B ，
C 三个柱之一且较大的圆片不能叠在小片的上面，那么完成这件事情至
少要移动圆片的次数是C
).
A.6
B. 7
C. 8
D.9
A
I B
I C
第
1 0 题图
(重庆市竞赛题)
1 1. 如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成: 第
1 个图案需7 根火柴，第2 个
图案需13 根火柴，…… ，以此规律，第11 个图案需火柴(
) .
A. 156 根
E口
第1 个
A
C8J, I I I I
第2个
第3个
第
11 题图
B. 157 根
C. 1 5 8 根
第4个
D. 159 根
(内蒙古自治区呼和浩特市中考题)
12. 欧拉CEu l er ，1707 ~
1783) 为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领
域都做出了杰出的贡献. 他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V CVertex ) 、棱数E
CEdge) 、面数FCFlatsurface) 之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.
(1)观察下列多面体，并把下表补充完整
:
名
称
三棱锥
= 棱柱
正方体
正八面体
图形& 口
田
φ
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
(2) 分析表中的数据，你能发现V ，E ，F 之间有什么关系吗?请写出关系式.
(山东省枣庄市中考题)
.20
E圈圈圈圈..
• •
创新. .
13. 观察按下列规则排成的一列数:
1 1 2 1 2 3 1 234 1 234 5 1
，一
，. ，一，一，一，→，…(※)
1 . 2 . 1 . 3 . 2 . 1 . 4 . 3 . 2 . 1 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 6 .
2
(1)在(※)中，从左起第m 个数记为F(m)
，当F(m) = 一一- 时，求m 的值和这m 个数的积.
2001
(2) 在(※)中，未经约分且分母为2 的数记为c ，它后面的一个数记为d
，是否存在这样的两个
数c 和d
，使c d = 2001000 ，如果存在，求出
c 和d: 如果不存在，请说明理由.
(湖北省竞赛题)
.21
: i蓝4蜜
。00...
字、图形、图表获取
信息是信息社会的
基本要求.
从数轴上获取
有关信息是解有理
:
数问题的常用技
巧，主要包括:
点所表示的数的正
负性.
到1章、点的距离.
庚
阴
夕
华
数缺形时少直观，形缺数时难入微.
嘎嘎嘎
知识纵横
~~~
有效地从文
为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大
量的有关模型，如直尺、杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象
化，建立起数轴模型，数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象.
数学一开始就是研究"数"和"形"的，从古希腊时期起，人们就己试图把
它们统一起来.
数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题;另一方面，
(1)数轴上的
也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思
想一一数形结合思想.
利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴
是联系数与形的桥梁.
(2) 数轴上点
数学是科学的皇后
，是推动生产
发展的知识杠杆
，是促进艺术的文化
激素，是人类思想革命的有力武器. 数
学推动着人类文明的进步
，其理性之
光照亮了整个人类文明的进程.
嘎嘎嘎
例题求解
~~~
(1)数轴上有A
，B 两点，如果点A 对应的数是一2 ，且A
，B 两
:til。
点的距离为3 ，那么点B 对应的数是
(江苏省竞赛题)
ω 点A ，B 分别是数-3 ，-i在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移
.22
- Ic ~匮理..
撞撞
。00'
字母表示数是
:
代数的特点，但字
: 母具有抽象性，所
以在条件允许的范
围内赋予字母以特
:
殊值来计算、判断
'
或探求解题思路，
能化抽象为具体，
I
这就是我们常说的
" 赋值法" ，但这种
的规范过程.
:
助图形(利用数形结
:
合的思想方法) ，则
可使许多抽象的概
:
念和复杂的数量关
系直观化、形象化，
甚而简单化.
数学问题常因
运用知识的组合方
:
式不同或分析思考
;
的路径不同而有不
同的解法，在学习
:
题的不同解法，能
. 使我们的基础知
:
识、基本技能、基本
方法在更大的范围
内运用巩固，从而
:
极大提升我们的思
维能力、思维品质.
..23
动到A'B' ，且线段A'B' 的中点对应的数是3 ，则点A'对应的数是
，点A
移动的距离是
( " 希望杯"邀请赛试题)
(1)确定B 点的位置; (2) 在平移的过程中，线段AB 的长不
道'
如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF ，则与
点C 所表示的数最接近的整数是(
思路点拨
变，即AB 二A'B'.
方法不能作为解题
F
午
1
E
D
B
A
牛
5
纯粹的代数方
D.2
C.1
B. 0
A. -1
法比较抽象，如能借
( " 希望杯"邀请赛试题)
B
b
C
C
A
α
圃'
如图，己知数轴上点A ，B ，C 所对应的扣，b ，c
都不为
0 ，且C 是AB 的中点，如果
1 a + b 1 - 1 a -
2c 1 +
I b 一2c
1 一
| α +b-2c
1 =0 ，试确定原点。的大致位置.
利用数轴提供的信息，求出AF 的长度.
思路点拨
中，自觉变换角度
思考问题，探寻问
(江苏省竞赛题)
蝠'
设工1 ,X2 ,X3 ,X4 ，X 5
' 且是六个不同的正整数，取值于1 ，2 ，3 ，
4 ，5
，6 ，记5= IXj-X 21 + IX2- X31 + 1 工3- X 41+l x 4
工51 + 1 X 5
工61 +
| 工6
工j
1 ，求S 的最小值.
α 十b
化简等式，而c=-f是解题的关键.
思路点拨
(四川省竞赛题)
分析
解法一
把六个数排成一圈，与
1 相邻的数尽可能小为2 ，3 ;与
2 ，
实验调整或建立相应模型求解.
建立圆环模型
3 相邻的数也尽可能小为4 ，5; 最后6 在4 ，5 中间，也满足尽
可能小.
因而取工1 =1 ，工2 =2 ，工3 =5 ，X 4 =6 ，工5 =4 ，X 6 =3 得
aE军
fflift~Ji ñ$t . t~ t.I
E谨3毒
。00...
毕达哥拉斯，
古希腊哲学家、数
:
学家，信奉" 万物皆
:
数"，即相信世界是
可知的、有序的，而
这种秩序和结构又
:
服从数的规律.
(211- 1) =?
:
早已利用图形给出了
5 =lxj - Xzl 十|工z - x 31 十
I X 3 - X 41 +l x 4 - X s
l 十
I X S -X 61 +1 工6 - X j
l
二1 十3 + 1 + 2 + 1 + 2= 1 0 .
所以S 的最小值为
10.
( 也可以取: 工j =1 ，工z =3
，工3 =4 ，川=6 ，工S =5
，X 6 =2.)
建立数轴模型
根据绝对值的几何意义，原题等价于"从数轴上点
1 出发，每次走一个
解法二
整数点，走完点2 ，点3 ，点4 ，点5 ，点6 ，最后回到点1，问最少走了多少距离? "
这样为了避免重复，从左到右走到
6 ，再从右到左走到1，可以取
Xj=1
，x z =2 ，工3 =3 ，工4 =4
，X 5 =5
，工6 =6.
则5 =
1 工j-X z
l + Ixz
工31+1 工3- X 41 十
I X 4
工51+1 工5 -
x 61 十| 工6
工j 1
=1 十l 十1 + 1 + 1+5
( 也可以取: 工j=1
，x z= 4 ，工3= 6 ，X 4= 5
，工5 = 3
，.2' 6= 2 . )
=10.
动静思维
运动与静止是哲学中的一对矛盾休，运动中蕴含了事物的相对静止，
而在静止中又蕴含了事物的绝对运动.质点在数轴上运动，使点表示的有理
数、线段的长、分类讨论、建立方程等知识方法有机融合在一起，使问题呈
以图示数
1 +3+5 十… +
如图①，动点A 从原点出发向数轴负方向运动，同时动点B 也
现动态之美.
[制9
从原点出发向数轴正方向运动，2 秒后，两点相距
16 个单位长度. 已知动点
如图，毕达哥拉斯
A
，B 的速度比为
1 : 3( 速度单位
: 1 个单位长度/秒) .
通} 2
几何解释.
口
1
(1)求两个动点运动的速度;
(2) 在数轴上标出A
，B 两点从原点出发运动2 秒时的位置;
(3) 若表示数0 的点记为点。
，A
，B 两点分别从(2) 中标出的位置同时
向数轴负方向运动，再经过多长时间OB=20A?
~} 3
ss
-NNN
一
想
凶
S
N
问
l
16
12
8
4
。
图①
- 4
- 8
-1 6 - 12
在数轴上怎样表示两点间的距离?对于(3) ，既要注意B 与
A 的不同位置关系，又要注意在不同位置时，怎样表示两点间的距离.
(1)设点A 的速度为z 个单位长度/秒，则
分析与解
2(x+3x) = 16 ，得X =2 ,3x =6 .
即点A 的速度是2 个单位长度/秒，点B 的速度是6 个单位长度/秒.
.24
-ä ~ it ä
(2) A ，B 点的位置如图②
:
A
B
iãq童
。00...
- 16 -12
- 8
- 4
0
4
8
12
16
图②
(3) 设工秒时，OB=20A
，
当B 在A 的右边时，根据题意，得12 -6x = 2(4+ 2x) ,
解得
x =0.4 ;
当A 在B 的右边时，根据题意，得"一12 二2C4+2x) ,
解得
x =10.
所以当0 .4秒和10 秒时，OB = 20A.
~~~学为训练嘎嘎嘎
••
穷实
. •
1. (1)如图所示，点A ，B 所代表的数分别为一1，2 ，在数轴上画出与A
，B 两点
A
且
『
句
J
B
E+2
L
1A
L
nu
--
A
牛
-
?&
句
、
‘
的距离和为5 的点(并标上字母).
(2) 若数轴上点A ，B 所代表的数分别为a
，b ，则A
，B 两点之间的距离可
表示为AB=
l a-b
l
，那么，当Ix 十1
1 十Ix- 2 1= 7 时，x= 一一一一一;当Ix+11 + Ix- 21 >5
时，数z 所对应的点在数轴上的位置是在
第
1 题图
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
2. 纸上画一数轴，将纸对折后，若表示4 的点与表示
1 的点恰好重合，则此时与表示-3 的点重
合的点所表示的数是一一一一一·
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
3. 在数轴上，点AC 表示整数α) 在原点的左侧，点BC 表示整数b) 在原点的右
侧，若
| α
b 1 = 2013 ，且AO =2 BO ，则α + b 的值为
A
B
.L_一-'--
o 1
3
( 湖北省成宁市中考题)
A
B
C
D
P N
MQ
A
BC
D
第3 题图
第4 题图
第5 题图
4. 如图，四个有理数m
，n
，户
，q 在数轴上对应的点分别为M ，N
，P
，Q.若η 十q=O ，则m
，n
，户
，q 四
个有理数中，绝对值最大的一个是(
).
A . 户
B. q
C.m
D. n
( 山东布泰安市中考题)
5. 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距
1 个单位，点A
，B
，C
，D 对应的数分别是整数α
，
b ,c ，d
，且d-2α = 10 ，那么数轴的原点应是(
).
..25
aE噩噩i1t'Ji ñ~! . t~ fAl
A.A
，点
B. B 点
c.C 点
D. D 点
(江苏省竞赛题)
6. 数轴上A
，B
，C 三点所代表的数分别是α
，1 ,c ，且
I c 一1
1 一|α - 1 1=
1 α - c
1 ，若下列选项中，有
一个表示A
，B
，C 三点在数轴上的位置关系，则此选项是(
) .
B
A
C
C
B
A
A
C
B
B
C
A
A .
B
c.
D.
第6 题图
7. 如图，数轴上A ，B 两点所对应的数分别为a
，b ，且(α +5 ) 2+l b-7
1 = 0 .
(1 )a=
,b=
，A
，B 两点之间的距离=
(2) 有一动点P 从点A 出发第一次向左运动1 个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右
运动2 个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3 个单位长度……按照如此规律不断地
左右运动，当运动到2 0 17 次时，求点P 所对应的有理数.
(3) 在(2) 的条件下，点P 在某次运动时恰好到达某一位置，使点P 到点
B 的距离是点P 到点A 的距离的3 倍，请直接写出此时点P 的位
置，并指出是第几次运动.
A
0
B
第7 题图
8. 在数轴上，若N 点与0 点距离是N 点与30 所对应点之间的距离的4 倍，则N 点表示的数
是
(河南省竞赛题)
9. 如图，数轴上顺次有A
，B ，D ，E ，P
，C 六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点A
，B ，C
对应的数分别为a ,b ，c .下列说法:
①若a + b + c = O ，则D 为原点; ②若Icl>1α1>l b
l ，则原点在B ，
~ f
P F F F
D 之间; ③若c- b=8 ，则α -b=-2; ④若原点在D ，E 之间，则
| α +b l< 2 c .
其中正确的结论是序号
第9 题图
( 山东省竞赛题)
10. 在数轴上，点A 表示的数是
3 十x ，点B 表示的数是3- x ，且A ，B 两点的距离为
8 ，则
Ixl =
("希望杯"邀请赛试题)
1 1. 点A j ,A2
，A 3
' … ，A ，，(n 为正整数)都在数轴上，点A j 在原点。的左边，且AjO= l，点A 2 在点
A j 的右边，且A 2 A J = 2 ，点A 3 在点A 2 的左边，且A 3 A 2 =3 ，点A 4 在点A 3 的右边，且A 4 A 3 =
..26
EE享...
==.自~
4 ，…，依照上述规律，点A 2008 ,A 2009 所表示的数分别为(
).
A. 2008 ，一2009
B. 一2008 ，2009
C. 1004 ，一1005
D. 1004 ，一1004
(福建省泉州市中考题)
12. 不相等的有理数a
，b ，c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，若
| α-bl+lb-cl=1α-c
1 ，那么，点
B (
).
A. 在A
，C 点右边
B. 在A
，C 点左边
C. 在A
，C 点之间
D. 以上均有可能
13. 在数轴上，点A 表示1，现将点A 沿数轴做如下移动;第1 次点A 向左移动3 个单位长度到达点
儿，第2 次从点儿向右移动6 个单位长度到达点儿，第3 次从点儿向左移动9 个单位长度到
达点A 3
，……，按照这种移动规律进行下去，第n 次移动到达点An. 如果点儿2 与原点的距离为
20 ，求n 的最小值.
14. 一个动点从数轴的原点出发，连续不断地一左一右来回跳动(第一次向左跳) ，跳动的距离依次
为1 234
一
一一-
2 ' 3 ' 4 ' 5 '
• •
(1)如果n 是正整数，那么第n 次跳动的距离是
(2) 第5 次跳动的落点位置所对应的有理数是
(3) 第100 次跳动后所处位置在原点的一一一一侧;
(4) 会不会有相邻两次跳动的落点位置在原点的同侧?会不会有某次跳动正好回到原点?为
什么?
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
创新
. •
15. 已知数轴上A
，B 两点对应的数分别为一2 和4 ，P 为数轴上一点，对应数为ι
(1)若P 为线段AB 的三等分点，求P 点对应的数.
(2) 数轴上是否存在点p ，使P 点到A 点，B 点距离和为10? 若存在，求出z 值;若不存在，请
说明理由.
(3) 若点A
，点B 和点P(P 点在原点)同时向左运动，它们的速度分别为1，2 ，1 个长度单位/
分，则第几分钟时，P 为AB 的中点?
.21
错了也没有关系
，不要怕错，错了马上就改，可怕的倒是提不出问题，
迈不开第一步.
一一李政道
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后
续算术根的基础.绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求
值、解方程(组)、解不等式(组)等问题中有着广泛的应用，全面理解、掌握绝
对值这一概念，应从以下方面人手
1.去绝对值的符号法则
2. 绝对值的基本性质
①非负性: la
1 二三0;
④
| α
12 =
l a 2
1 = α 2
;
3. 绝对值的几何意义
阳I~ Ma~eIIatics9 :
什么是数学
~~~
②
| αb
l =
1 α Il b 1 ;
③卡
1 =
: ~II
b I
1 b 1
⑤
| α + b l~l a l+l b
l
.
数学是什么?什么是数学?如
同哲学的基本问题"我是谁?我从
哪里来?将向何处去? "一一一影响与
决定着教与学的高度.
例题求解
嘎嘎嘎
[候'
(1)已知Ixl =5
，
l y
l = 1，那么Ilx -y
l -
l x 十y 11 =
( 北京市"迎春杯"竞赛题)
..28
撞撞。"…
脱去绝对值符
号是解绝对值问题
的关键，常见的形
式有:
(1)由已知条
(2) 从数轴上
件脱去绝对值符号.
"读取"相关信息脱
去绝对值符号.
(3) 运用分类
讨论法脱去绝对值
符号.
一般地，当问
j
题给出的条件，在
:
确定(有几种结论)
题有可能需要用分
行研究.
不同情况下结论不
时，这种类型的问
类讨论的方法来进
(2) 非零整数m.n 满足
I m
l + ln
l - S=O ，所有这样的整数组(m ，n) 共
有组.
( 江苏省数学文化节基础闯关题)
思路点拨
(1)既可以对工旷的取值进行分类求解，又可以利用绝对值
的几何意义解;(2) 从把5 拆分成两个正整数的和人手.
圃'
如果α ，b ，c 是非零有理数，且α + b 十c =0 ，那么主一+土+
| α1 ' Ib 1
二一+卫生三一的所有可能的值为(
) .
1 c 1 ' 1 abc 1
.咀~盛理.
主茜3蛋
。00.. •
我们把大于或
等于零的数称为非
负数，现阶段
| α
1
，
A. O
B.1 或一1
C. 2 或一2
D.O 或一2
a 2n 是非负数的两种
重要形式，非负数
( 山东省竞赛题)
一
思路点拨
根据α ，b ，c 的所有可能情况脱去绝对值符号，这是解本例的
关键.
;
有如下常用性质:
(1)
1 a 1 二三0 ，
a 211 二三0 ，即非负数有
最小值为零.
( 2 )
若
1 a
1 +
lbl +…+ lh 1 =0 ,
则α = b= … =h=
圃'
己知
| αb -
2
1 与
1 b -
11 互为相反数，试求代数式丰+
: 0
A
一ι~
_j_ ... -l
( "五羊杯"竞赛题)
思路点拨
运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出a ，b 的值.
解多个绝对值
问题，这类问题的
; 基本步骤是: 求零
睛'
已知(l x + 1
1 + Ix- 21 )(
l y - 21 十
l y + 1
1 )(l z - 3
1 +1 汁1
1 )= 丁、分区间、定性
3 6 ，求工+ 2y 十3z 的最大值和最小值
质、去符号，即令各
( " 希望杯"邀请赛试题)
:
绝对值代数式为
零，得若干个绝对
分析
解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的
;
值为零的点，这些
取值范围.
点把数轴分成几个
解
因为
I x 十11 +lx-2 1~二3 ，当一1 ~x ~ 2 时等号成立;
l y-2
1 +
l y
:
区间，再在各区间
十11 二三3 ，当
1~y ~ 2 时等号成立;l z-31 + lz 十11 二三4 ，当
1 ~ z ~ 3 时等
;
内化简求值即可.
..29
aE军军ElUI"l!frt.jf墨E草草-
主蓝3童
。00...
设a l
，a 2
' α 3 , ...
a" 是数轴上依次排列
的点表示的有理数.
当η 为偶数时，
;
若α fg二x~ a i + l
'
则
IX- a ll+lx 一
a21 +…+lx-a ,, 1
的值最小;
当n 为奇数时，若
;
工=a宁，则|工-all+
I x -
a2 1+ …+
Ix- a " I 的值最小.
号成立.
由条件得只有
I x 十1
1 十以
21 =3 , l y - 2
1 十
l y + 1
1 =3 , I z-3
1 十
I z 十
1
1 二4 .
则当x =2 ，y=2 ，z =3 时，x 十2y +3z 的值最大，最大值为
1 5 ，当工二
一1
，y= - 1 ，z = - 1 时，x+ 2y 十3z 的值最小，最小值为- 6 .
数学建模
所谓数学模型，简羊地说，就是在解决生活、生产、科研等现实问题时，
通过字母化、抽象化等过程把问题中的关系用数学形式构建出来，然后用
数学知识、方法最终解决问题.
英国著名数学家、哲学家怀特海曾说:
" 数学是关于模式的学科"建立数学模型
是数学描述世界、沟通世界的主要方式，是
解决实际问题的关键.
[~[O 问题情境
先阅读下面的材料，然后解答问题:
在一条直线上有依次排列的n(n > l) 台机床在工作，我们要设置一个零
件供应站p
，使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题，先
"退"到比较简单的情形:
A
h
占
乙
P
A ,
甲
如图①，如果直线上有
2 台机床时，很明显设在A l
图①
和A 2 之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之
A
-
丙
A, P D
. .
乙
A,
...L..
甲
和等于A l 到A 2 的距离.
如图②，如果直线上有3 台机床时，不难判断，供应
站设在中间一台机床A z 处最合适，因为如果P 放在A 2
图②
处，甲和丙所走的距离之和恰好为A l 到A 3 的距离.而如
果把P 放在别处，例如D 处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A l 到A 3 的距
离，可是乙还得走从A 2 到D 的这一段，这是多出来的.因此P 放在A 2 处是
最佳选择.
不难知道，如果直线上有4 台机床，p 应设在第
2 台与第
3 台之间的任
何地方;有5 台机床，p 应设在第3 台位置.
.30
匾咀~ 1t Ifc
:
应用，命题形式简
-
羊，用最基本的数
:
学元素构造出蕴意
:
深刻的数学思想的
: 命题，为探究性学
;
习提供了绝好的素
: 材，在探究过程中
:
可感悟思考过程、
:
思维方法、逻辑椎
: 理的魅力所在.
:
别模型、运用模型、
: 创造模型，是学好
.
数学的关键.
..31
理i雪A;-
问题(1) :有η 台机床时，P 应设在何处?
问题(2)
: 根据问题(1)的结论，求!x - 1 1+ !x -2 1+lx- 3 1+ … +
Ix -617
1 的最小值.
(山东省烟台市中考题)
建立模型
如
α 1 Q 2 Q 3
点，这些点表示的有理数分别是a 1
，a z
，向，…
，a n •
问题转化为:在数轴上找一点p ，其表示的有理数为工，当工取何值时，
y = IX- a 11 + Ix- azl + … 十Ix- a n
1 取得最小值. 由上面的讨论或绝对值的
几何意义可得:
，以这条直线画数轴，n 台机床是在数轴上的n 个
。"
(1) 当n 为偶数时，若α + :S;;; x :S;;;α ++1 时，则y 的值最小;当η 为奇数时，若
工二α 干时，则y 的值最小.
(2) 即在数轴上找出表示工的点，使它到表示
1 ，2 ，… ，617 各点距离之和最
小.当工= 3 09 时，原式的值最小，最小值是
: 1309 - 1 1 + 1309 - 2 1 + … + 1309 -
308 1 + 0 + 1309 - 310 1 + 1 309 - 311 1 + … + 1309- 616 1 + 1309 - 617 1 =308 +
307+ …+ 1 + 1 + 2+ " , +308= 95172.
拓广应用
(1)求Ix 一1
1 十2 Ix- 3 1+3Ix -4
1 的最小值.
(2) 求j( x )= lx- 1
1 十
1 2x-1
1 + … + 12011x - 1
1 的最小值.
(北京大学自主招生试题)
在变式的基础上，探讨一般规律.
分析与解
例
5 中的拓广
(1)当3运工运4 时，原式最小值为5 .
一般情形是
: 设j(x) = IX- a ll + Ix 一α zl + … 十Ix -a "
1 ，其中α 1 :S;;;
a z ζ … ζι .
若n=2走，则当a k :S;;; X :S;;; a k+ 1 时，j( x ) 取得最小值;
若n=2走+ 1 ，则当工= a k +l 时，j( x ) 取得最小值.
(2) 当工
1
时，j(工)取得最小值为832 一一
491
1422~' ' J
，~/ -'" ,., "'"'^ "
1=- /
..,/
~~ - 711 '
+
=
1
-
3
川
-
2
lb|+
+
1
-3
+
-2
-u|+
+
1
1
-
2
有
厂
共
+
』
一
门
u
l--llll
i
d
--n
u
l
-
-
2
二2
r-u|
+
十
l
+
Z
L-I
ll-
-
--nu
恒
二2
ZZ
J
+
题
顺
+
f
"土
|
|
|
|
|
|
回
1
-
3
甲
·
·
山
储备模型、识
2
=川066 1'-点设a l = 1 ，α 2 -α 3 二;，向= a s - 向=?，
,
2012 X 2011
20 11 个
1
_
. 2023066
a 2023066 - 一一\因为一一τ一一= 1011 533.
2011' ~/ ~
2
d
l81: ~tft i1t*Ji罩罩
现在求a 1011533
1
1011533 ，1 十2 十… 十t -1 < 1011533 . 可得t = 1422 .且α 川旧3= a1川34
一一.
1422
故z=-L时，j(川的值最小.
1422
f(J一) = 1 一-L+1-2 × -L+ … + 11422 × -L + 1423 × -L
飞1422 J
~
1422' ~
-
, ' 1422'
，
~
~ ~-_
. . 1422 ' ~ ~-_. . 1422
491
1+…+2011 X 一一一- 1=832 一一
1422
~ --- 711.
~~~学为训练嘎嘎嘎
• •
穷实. •
1. 如图，有理数a ,b ,c ，d 在数轴上的对应点为A ，ß
，C ，D ，若α 十c=O ，则
b+ d
0
2. (1) 代数式
I x +111 + Ix- 12 1 +
I x 十13
1 的最小值为
D A
B C
第1 题图
( 山东省莱芜市中考题)
(北京市"迎春杯"竞赛题)
(2) 当
I x - 21 +
l x - 31 的值最小时，
l x - 21 十Ix - 3
1 一Ix - 1
1 的值最大是
，最小
是
( " 希望杯"邀请赛试题)
3. 有理数α ，b ，c 满足|α 十b 十cl = α - b + c ，且b # O ，则|α -b + c 十31 一
I b - 1
1 的值为
也. 有理数α
，b ,c ，d 满足α <b < O<c <d ，并且Ibl < c < 1α I<d ，则a 十b 十c + d 的值(
) .
A. 大于O
c . 小于0
B. 等于O
D. 与0 的大小关系不确定
("希望杯"邀请赛试题)
la+b l , 2 Ib + c l
，
3
I c + α|
5. 已知m = 一一一一十一一一一十一一一一，且αbc > O ，α + b + c 二0 ，则m 共有z 个不同的值，若在
αb
这些不同的值中，最大的值为y ，则x + y = (
).
A. 4
B. 3
c. 2
c
....
"'T1H
，
αbc 1
6. 如果一一+ 一一+ 一一= 1 那么一一一的值为(
) .
|α
1 ' 1 b 1 ' 1 c 1
..L 'J.J I.
'~ abc
A. - 1
.32
B.1
c. 士1
D. 1
D. 不确定
圄型~噩噩矗
7 . 已知Ca+b) 2 +lb+5
1 二b+ 5 ，且12α - b - 1
1 =0 ，求"的值.
( 北京市"迎春杯"竞赛题)
• •
拓展. •
8. 互不相等的有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果|α -b l+ Ic -a 1 = Ib-c 1 ，那么，
在点A
，B
，C 中居中的是点
('"华杯赛"试题)
a
0
9. 已知a ,b ，c 满足(α +b)Cb 十c) Cc+α)=0 且abc<O ，则代数式一一十二一+ 一-的值为
la 1 ' 1 b 1 ' 1 c 1
(四川省竞赛题)
10. (1)整数a ,b ,c ，d 满足α =2b 十8 ，b = 3c - 18 ，c=5d 十10 ，则Id+7α
| 的最小值为
( '" 华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
(2) 设由
1 到8 的自然数写成的序列α 1 ,a2 ，…，句，则
| α l -a 2
1 +1 α 2 - a 31+1 α 3 - a 4
1 +
1 α 4 一
α 51 +
1 α 5 - a 61+1 α 6 -α 7 1 十la7 - a 81 +
l a 8 + α1
1 的最大值为
(北京市竞赛题)
11. 在数轴上，点A 和点B 分别表示数a 和b ，且在原点。的两侧，若
| α -b
1 二2016 ，且AO 二
2BO ，则α +b 二(
) .
A. 6048
B. -6048
c. 士672
D. O
( " 华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
12. 如果0<ρ < 15 ，那么代数式
I x 一户
1 +
I x 一151 + 1 x -
p 一15
1 在户::(x::( 15 的最小值是
(
).
A.30
B. O
c. 15
D. 一个与ρ 有关的代数式
13 . 已知Ilx 十2
1 一ly+2
1
1 二
I
l y 十21-lx-y ll =l
l x-y
l -
l x 十21
1 ，则x +y =(
).
A. -4
B. 一2
C.O
D. 4
( "华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
1也. 若α
，b ，c 为整数，且
| α -b 119 + 1 c -a 199 = 1 ，求lc-a l+
1 α - bl +l b- c
l 的值.
..33
aE翠歪理lI'lif;E噩噩噩革噩
• •
创新. •
15. 已知数轴上有A ，B 两个点对应的数分别是a
，b ，且满足
l a + 31 + Cb - 9) 2 = O.
(1)求a
，b 的值;
(2) 点C 是数轴上A ，B 之间的一个点，使得AC+OC =BC ，求出点C 所对应的数;
A
0
B
(3) 在(2) 的条件下，点p
，点Q 为数轴上的两个动点，点P 从A 点以1 个单位长度每秒的速度
向右运动，点Q 同时从B 点以2 个单位长度每秒的速度向左运动，点P 运动到点C 时，P 、
Q 两点同时停止运动. 当OP+BQ= 3PQ ，求t 的值.
A
0 C
B
.34
当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理
论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法.
威尔逊
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地
改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算.
初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，
它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算
路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧. 有理
数的计算常用的方法与技巧有巧用运算律、用字母代数、分解相约、裂项相
消、利用公式、加强估算等.
1 822 年，英国数学家巴贝奇发明了高
级机械计算机，被称为" 差分机" ，差分机具
有程序控制功能
. 能按照设计者的安排，自
动完成复杂的计算. 这是向现代计算机迈
进的关键一步.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
圃'
(1)已知a
，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e < ü 且le
1 = 1 ，那么
(
α b ) 2003 一( c + d ) 2004 -
e 2峭的值为
(江苏省竞赛题)
(2) 已知整数a ,b , c ，d 满足αbcd = 25 ，且α > b > c > d
，那么|α + b
I 十
Ic + dl 二
(江苏省竞赛题)
话:辈。"…
今天，计算机
广泛应用于社会生
活的各个方面，计
:
算机技术在数学上
的应用，不但使许
多繁难的计算变得
简单程序化，而且
:
还日益改变着我们
的观念与思维.
著名的计算机
专家沃斯说过
"程
:
序= 算法+ 数据结
构"
.35
aE军噩噩. 'Jiñ$! . t~ tA
裂项常用到以
+
1
-n
u
--
内
-
d
一
一
l
一
…
?"
一
b
一
…
qJ
运用某些公式，
(1 )a 2 - b 2 =
十
+
叮
气
U
+
9"
+
nL
; 撞撞
。
2·『••
ZLz-咽-.
下关系式
:
b'
1
1
a
a+ 1'
1
1
αα 十b '
:
能使计算获得巧解
:
常用的公式有:
(α 十b)( α
b ) .
n(n 十1)
: n = 一
2 一.
对于(1) ，从倒数、相反数的概念人手; 对于(2) ，解题的关键
是把25 表示成4 个不同整数的积的形式.
思路点拨
下面是按照一定规律排列的一列数:
第1 个数是: ?一(1十手) ;
睛'
第2 个数是: 3-( 14) × 卜干~] X [1
+斗斗;
第3 个数是:j(14 × h+于]斗+千川十字~] X
川
一6
十
以此规律，在第10 个数，第11 个数，第
1 2 个数，第
1 3 个数中，最大的数
是(
B . 第11 个数
A. 第10 个数
D. 第
1 3 个数
C . 第12 个数
( 山东省日照市中考题)
从特殊情形的计算中找出规律或用n 表示第η 个数.
思路点拨
计算:
[制'
(1) 5 . 7 X O . 00036 一(0 . 1 9 X 0.006 - 5700 X 0.000000164) .
( "五羊杯"竞赛题)
(2) (咛+叶- 11 3)÷(斗+85-53 )
(" 五羊杯" 竞赛题)
(3)1 +-L+-土一十… 十4
1 十2 ' 1 + 2+ 3
( " 祖冲之杯"邀请赛试题)
对于(1) ，恰当运用乘法分配律;对于(2) ，寻找分子与分母的
联系;对于(3)
，若先计算每个分母的值，则易掩盖问题的实质，不妨从考查一
思路点拨
般情形人手.
..36
[筒。
(1)计算: 2 - 22 -
23 - 24 -
2 5 一… -2 18 _2叫2约
(广西壮族自治区竞赛题)
(2) 数N=2 1 2 X 5 9 是(
).
-.r. ...
".臼E乌~
撞撞……
求η 个相同因
:
数的积的运算，叫
A.10 位数
B.
11 位数
C. 12 位数
D.13 位数
; 作来方，乘方是一
(江西省南昌市竞赛题)
: 种特殊的来法，具
(3) 求证: 32002 +4 2则是5 的倍数.
思路点拨
对于(1) ，错位相减或运用性质2n + l_2" =2"; 对于(2) ，应用
乘方意义凑零;对于(3) ，证明原数的个位数字为0 或5 即可.
道:。
在1，2 , '..，2002 前面任意添上正号和负号，求其非负代数和的
最小值.
(俄罗斯数学竞赛题)
:
有以下基本性质:
1. a n 与α 的奇
:
偶性相同;
2. a 2" 二三0;
3.
当自然数
η
的个位数分别为
0 ，
1, 2 ，…，9 时
，n 4k + r
的个位数字呈现出
:
规律性.
当一列数来以
分析与解
首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明
: 一个恰当的常数后，
这个下限可以达到即可.整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是O. 代数和
; 得到的新数列与原
的最小值能是0 吗?能是
1 吗?由于任意添"十"号或"一"号，形式多样，因
: 数列中绝大部分数
此，不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手相同时，用错位相减
因α +b 与α -b 的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与1 十2+3 +…+
1 +2002)
2002 X c:
5一一一一= 1001 X 2003 的奇偶性相同，即为奇数.因此，所
求非负代数和不会小于1.
又.: (-1 十2) 十(3-4-5+6) +(7-8-9+ 10) + 01-12-13+ 14) +…+
(1 999-2000-2001 +2002) =1 ,
.·.所求非负代数和的最小值为1.
羹比
类比是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它
们在其他特征上也可能相似的结论.
触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法.
解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其
中部分数相互抵消，简化计算.
法可简化计算.
对于例
5 ，我们
可进一步讨论如下
问题:
在1，2 ，… ，n 前
面添上正号和负号，
ι
其非负代数和是否都
:
有最小值?如采有，
:
怎样求出最小值?
美籍匈牙利著
:
名数学家、教育家
波利亚在《怎样解
:
题》一书中曾说:
"没有任何一个问
:
题是彻底完成了
:
的，总还会有事情
可以做，在经过充
:
分的研究和洞察以
:
后，我们可以对问
:
题有更深刻的理
:
解"
.37
dE罩
ffl i1t tJTñj~ , t~ t.i
从连续自然数到连续偶数、奇数;从2 个到3 个或4 个;从分数到整数，
类比可提出下列计算问题.
开普勒(1 571- 16 30) ，德国天文学
家、数学家，行星运动三定律的发现者，
近代光学的奠基人，他曾说"我珍视类
比胜过任何东西，它是我最可信的老师，
它能揭示自然界的奥秘"
[歧。
计算:
1
1
(1) 一一~+一一一+ … + ~ ~ . . ,-_ ~ ~ . ~ ;
1X 3 - 3 X5 '
. 20 11 X 2013
罗
1
1
(2) 一一十一一+…+~ ~ .~
，
_ ~~ .
;
2 X 4 . 4 X 6'
. 2012 X 2014'
(3) 一土一十一土二十… +
1
;
1X 2X3 . 2 X 3 X 4 .
. 2012 X 20 1 3X20 1 4
卢
(4) 1 X2 + 2X3 十3 X 4 + … + η (n + 1);
(5) 1 2 十2 2 +3 2 + … 十η 2
分析与解
类比解决问题:
1 I
1
1
(1) (2n- 1) (2n 十1) 丁( 2n可- 2n ~ 1);
1 I 1
1
、
(2) ~ . ~
，~ ，一( 一一一一一
) ;
2n( 2n + 2)
2
飞2η
2n + 21 '
(3)
1
二~
1-一土一_
, _.1
, _.l
n(n 十1) (n + 2)
2
l n(n 十1)
( n + 1) (n 十2) I '
ω
':n (n + 1) = ~ [n 叫) 川) 一(n - 1) n(η 十1) J
.· 原式=fnM I)ω 十2 ) ;
(5) ':n 2 = n [ ( η 十1) - l J= η(η 十1) - n
，
..38
原式= jn(η + 1) ω + 2 ) - _!_ηω + 1) = lnω + 1) (2η + 1)
2 - ,
-
.
-
_
6
理EA二-.
科学计算已和
: 理论计算、实验并
: 列为三大科学方
:
法，人类的计算能
力等于计算工具的
效率与计算方法的
:
效率的乘积.尼葛洛
: 庞帝曾言"计算不
:
再只和计算有关，它
决定我们的生存"
裂项的目的是
为了相消，裂项相消
常见表现形式为:
项;
项.
(1)直接裂项;
(2) 变形后裂项;
(3) 利用通项裂
(4) 放缩后再裂
~~~学为训练嘎嘎嘎
• •
穷实
. •
1. 计算:
4
,
_ 3
5
1
(1) 0.7 X 1 : +2 一X(- 15) 十0.7X
十
X(- 15)=
9 ' - 4 '"
~~ /' ~ ."
， 9 ' 4
1
1
1
(3) 一一一+一一一+ … + - - - - ，~， -
-
-
-
-
3X 5 ' 5X7 '
' 1997 X 1999
一一一-一一.
1
,
I 1
2 \
I 1
2
3 \
I 1
2
59
(4) 言+(τ+τ)+(~+~ 十~ )+… + (丽+而+… + 面)=一一一
2. 观察下面的运算过程:
计算:1 +2+22+ … 十2 1 0
解设5 =1 +2+2 2+ … +2 1 0
，
①
①X 2 ，得25 =2+22 +2 3 十… +2 11
，
②
②-①，得5=2 1 1 - 1，
λ1 +2+22+ … 十2 10 =2 11 - 1.
运用上面的计算方法计算:1 +3+3 2 + …十3 2017 =
-IWlb='VW理‘
(江苏省竞赛题)
("希望杯"邀请赛试题)
(天津市竞赛题)
(广西壮族自治区竞赛题)
(贵州省中考题)
1
. 1
. 1
. ,. ".
...._. ••• _
•
_
•
1 1 1 1 1
1 1
3. 将数"1 个1，2 个
，3 个
，… ，n 个
(n 为正整数)"顺次排列一列:1，一，一，一，一，一，…，一，一，...，
2'~ , 3η
2
'
2
'
3
'
3
'
3
'
n ' n
1
1
记a l =1
，α 2 =-;:: ，a 3 = 一，…，5 1 =α 1
，5 2 =al+ 句
，5 3 =α1+α2+ 句，…
，5 ，，= a l+ α 2 + … +a ll
，
2 '(."3
2
则5 2018 =
(湖北省荆门市中考题)
2013 X 2013
n
也. 如果叮川A V
')1'\ 1 A _j_ ')1'\ 1 叮=-(其中m
，n 互质) ，那么m + η 的值是(
).
m
.39
aE军军军. fJi1ii! . t~ tAt
A. 1243
B. 1343
C. 4025
D. 4029
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
5. ( - 2) 2004 + 3 X ( 一2) 2003 的值为(
) .
A. - 22003
B. 22003
C. 一2 2 004
D. 22004
(江苏省竞赛题)
6. a ,b ,c ，d 是互不相等的正整数，且α bcd =441 ，那么α + b 十c 十d 的值是(
).
A.30
B. 32
C. 34
D. 36
("希望杯"邀请赛试题)
7. 观察下列等式:
1
1
第
1 个等式:α ，咱
=一-
2+1
2 2 十1 '
22
1
1
第2 个等式
: a 2 =:;
/ /口?、2
22 + 1
23 + 1 '
23
1
1
第3 个等式: α 3 二
I (') '- / /口写什
23 + 1
2 4 十1 '
第4 个等式: α 4 =
2
1-+
-
n/U
I
一
忖
9
中
按上述规律，回答下列问题:
(1)请写出第6 个等式: 向=
(2) 用含n 的代数式表示第n 个等式: a 1/ ==
(3) a , + α2+α3+ α 4+ α 5 十α6 二
(得出最简结果) ;
(4) 计算:a ，+ α 2+ … 十a n •
(四川省内江市中考题)
••
8. 计算:
1
1
1
1
1
1
1
(1) 12 一+20 →十30 _-_ +42
十56 ___ +72 一+90 一二
6 ' - - 10 ' -- 15 ' -- 21 ' -- 28 ' . - 36 ' ~~ 45
一-一一一一.
(世界数学团体锦标赛试题)
/
1
1
1
、
(2) 2048 X (1 一十2 一+3 一+ … + 10 _ _-_ . 1 =
飞
2 ' - 4 ' - 8 '
, -- 1024 1
一一一一一一
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
..40
-E噩
α
b
,
c
abc
9. 已知a
，b ，c 都不等于0 ，且一一十一"7+一一十一一一的最大值为m
，最小值为η ，则(m + n ) 2005 =
| α
I ' I b I ' I c I ' I abc I
(重庆市竞赛题)
10. 已知η 个数X1' 句，… ，X n
，每个数只能取0 ，1，-1 中的一个.若X1 +X 2 + … +ι = 2016 ，则
工1 20 1 7 十X/ O I 7+… + X 7I 2 0 1 7 的值为
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
x- y y - z Z -X
1 1. 已知有理数x
，y
，z 两两不相等，则
，-一一，一一一中负数的个数是(
).
y- z z -x x- y
A .
1 个
B.
2 个
c. 3 个
D .
O 个或2 个
(重庆市竞赛题)
Z
12. 若有理数工
，y 使得x+ y ,x- y ，xy
，一这四个数中的三个数相等，则
I y
I 一Ixl 的值是(
).
y
A 一;
B. 0
l
c.
• 2
Dj
(天津市竞赛题)
85
88 84
87 86
13. 将有理数
,
一，一，
一，一两两相乘得到10 个积，将10 个积从大到小顺序排列，排在第5
84 '
87 ' 83 '
86 ' 85
个的积是有理数(
84 _
88
A.
= = 和一一
. 83 I~
87
)的乘积.
86 _
88
B
和
一
. 85'~ 87
85 _
87
C
一和
一
. 84' ~
86
86 _
87
D.
和-
85 ".
86
( ..华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
14. 乘方之美
乘方之美、乘方之趣、乘方之奇，有多少耐人寻味且神奇的现象隐藏于乘方之中.
(1)观察下列等式:
31 = 3,32 = 9,33 = 27 ,34 = 81 , 35 = 343 , 36 = 729 , 37 = 2187 …… 解答下列问题:3 + 3 2 + 3 3 +
3 4 + … + 3川的末位数字是(
).
A.O
B.1
C. 3
(2) 康托尔集
1883 年，康托尔构造的一个"分形"，称作康托尔集. 从数轴上单
位长度线段开始，康托尔取走其中间的二分之一而达到第一阶
段;然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间的三分之
一而达到第二阶段.元限地重复这一过程，余下的无穷点集就称
D.7
-
••
11 11
111111
(山东省泰安市中考题)
- --
••
•• • •
1111
1111
11 11
1111111
1111111
1111111
第
1 4 题图
.41
aE军草草匾画孟
作康托尔集.
如图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八阶段时，余下的所有线段的长度之和为
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
(3) 狄摩根的年龄
狄摩根是19 世纪英国数学家，在逻辑研究方面有突出贡献.在他中年时，有人问他"您多
大年龄了?"狄摩根幽默地说"我在公元工2 年时是z 岁"
你知道狄摩根的年龄吗?
二
1
1
1
m
15. 若
1 + 一+一+ … 十一一=一，其中m 与η 互质，求证:2017
I m .
2
3
. 2016η
("希望杯"邀请赛试题)
.42
物以类聚
话说同类项
实际上，数学是一门艺术，是一门通过发展概念和技巧以使人们更为
轻快地前进，从而避免蛮力计算的艺术.
一一一阿蒂亚
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
俗话说"物以类聚，人以群分"一个多项式中的同类项可以合聚在一
起
称为合并同类项. 整式的加减实质就是去括号合并同类项.
整式的加减这一章涉及许多概念，准确地掌握这些概念并注意它们的区
别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点:
解与整式加减相关问题时，有括号先去括号，有同类项先合并同类项，这
样能使解题过程大为简化.
，~ v-
如::己..如川、-
7飞敦的房叹…气::
~~~
与代教打交道一定会遇到r 这个未知
量
. 它是第一个闯入人类思维的
，一旦建立
起这样的符号体系
. 代数的研究就进入到
了更高的抽象层次.
例题求解
嘎嘎嘎
琪'
2
(1)若单项式-4xm -2 y 3 与~ X 3 y 7-2n 的和仍是单项式，则m 2 + n 2
3
一(2m -2") 的值为
("'希望杯"邀请赛试题)
(2)
设
m
和
n 均不为零，3x 2 y 3
和
5X 2+2m +" y 3
是同类项，则
3m 3 -m 2 η 十3mn 2 + 9n 3
5m 3 +3m 2 η -6mn 2 +9n 3
一一一一--
("华杯赛"试题)
思路点拨
由同类项的概念求出m 州的值或建立m 州的关系式.
iê'量
000...
数学概念是数
:
学内容的基石，是
: 进行数学推理和论
;
证的基础.科学研究
:
表明，在概念的形
:
成过程中，人们的
:
心理活动经历着以
下阶段:
(1)辨别不同
:
的事物.
(2) 抽取一类
:
事物的共同属性.
(3)
用简洁的
:
语言符号给概念下
定义、定名称.
.43
aE噩噩噩. *Jiñi! . t~ t.I
圃'
当x=-l 时，代数式2αx 3 -3bx +8 的值为18 ，这时，代数式
9b-6α + 2=C
A.28
B.
一28
C. 32
D. -32
("希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
通过变形，从寻找己知式与待求式的联系人手.
[~[Ø 己知关于工的二次多项式a Cx 3
工2 + 3x ) + b C 2x 2 + x ) +
x 3 -5 ，当x=2 时的值为
17 ，求当工=-2 时，该多项式的值.
(北京市"迎春杯"竞赛题)
思路点拨
设法求出a
，b 的值，解题的突破口是根据多项式降幕排列，
多项式次数等概念挖掘隐含的关于a
，b 的等式.
[征。
(1) x ，y 均为整数，若5ICx+9y) ，求证: 51 C8什7y)
(2)x
，y
，z 均为整数，若11
1 C7x+2y-5川，求证: 11 1 C3x -7y 十四川.
分析与解
尝试把待证式写成与已知式相关的代数和的形式.
(1) .: 8x 十7y=8Cx+9y) - 65y ,51 Cx + 9y) ,5 165y , :. 51 C8x 十7y).
(2) .: 4C3x 一7y+ 12z) 十3C7x + 2y -5z) = 11C3x -2y + 3川，
而11 1
1IC3 x 一句十3川，且111 C7x + 2y-5川，
:.11 14C3x - 7y+12z).
又.: 11 和4 互质，二11
1 C3x 一7y + 12z).
整体思考
在微观上重析理，在宏观上看结构，既看局部，又看整
体;既见树木，又见森林，两者并用，这是分析问题和解决
问题普通而有效的方法.
整体思考是将问题看成一个整体，从大处着眼，由整
体入手，突出对问题的整体结构的分析与改造，从整体上
把握问题的特征和解题方向.
..44
: 撞撞
。00. . .
τ-巳亏咀啕圄-.
解代数式化简
求值问题的基本方
:
法有:将字母的值
:
代入或字母间的关
系整体代入等，关
: 键是对代数式进行
:
恰当变形，其中去
l
括号、添括号能改
变代数式的结构，
:
是变形求简的一种
:
常用工具.
"回到定义中
.
去"，这是著名数学
家波利亚提倡的一
:
种解题方法，在解
: 题遇到困难的时
;
候，请记住"回到定
:
义中去"这个重要
的思考提示.
合与分是一个
'
互i远的思维过程.解
:
整式加
J戎相关问
:
题，既妥善于合并
同类项简化代数
:
式，又要注重把一
:
个代数式分拆为几
个代数式的和差形
式，以沟通已知与
:
未知的联系.
("'华杯赛"试题)
键是:不是纠缠于
分析
假设存在7 个整数a 1 ，α 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ,a 6 ，a 7 排成一圈后，满足题
: 一个整数或一个等
:
式，而是整体求出
7
:
个整数的和.
类似地请读者
:
思考下面问题:
如图，在六边
:
形的顶点处分别标
上数1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，
ι
能否使任意三个相
I 邻顶点处的三数之
:
和(1)大于
9 ? (2)
:
大于
1 0?
若能，请
. 在图中标出来;芳
:
不能，请说明理由-
o
嚷~Ð
能否找到7 个整数，使得这7 个整数沿圆周排成一圈后，任3 个相邻
数的和都等于29 ? 如果能，请举一例;如果不能，请简述理由.
意，由此展开计算推理.若推得矛盾，则原假设不成立.
解
由题意得
a1 + α 2+ α 3 =29
a 2 十α 3 + a 4 =29
。5
a 6+ α 7+ al = 29
a 7 十α 1+ α 2 = 29 ,
将上述7 式相加，得3(α l 十α 2 + α 3 + a 4 十a 5 十α 6 十α 7 ) = 29 X 7 ,
2
:. a l 十α 2+ α 3 + a 4+ α 5 +向+ α 7= 67 3 ，与α 1 + α 2 十α 3+ α 4+ α 5 十α 6+
α 7 为整数矛盾，故不存在满足题设要求的7 个整数.
~~~学为训练嘎嘎嘎
••
穷实. .
-EE噩噩理.
关
的
决
"
解
童
门
$
』
点
V
蘸
1. 观察下列等式: 4 一1 二3 ，9-4 = 5 ，16- 9 = 7 ，25 - 1 6 = 9 ，36 - 25= 11 …… 这些等式反映了自然
数间的某种规律.设n( η 注1) 表示自然数，用关于η 的等式表示这个规律为
(山东省某阳市中考题)
2. 如图，这是由边长为1 的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第η 个图形的周
长是
A
!5l
穴六7
仄7\
)
唱
E
A
(
(2 )
( 3 )
第2 题图
( 4 )
( a - c) (b - d)
3. 已知α - b = 2004 ,b - c = - 2005 ,c - d = 2007 ，则
=
α 一一
(广东省深圳市中考题)
C " 华杯赛"试题)
ι 有四位小朋友，其中每三位小朋友的岁数之和分别为22 ，20 ，1 7 ，25 ，则这四位小朋友中年龄最大
的比年龄最小的大(
)岁.
..崎
a
1c~t&i1tfJi革理.t 昌盛.
A.4
B. 5
c. 6
D.7
E. 8
(国际中小学数学能力检测试题)
5. 如图所示，将形状、大小完全相同的"."和线段按照
一定规律摆成下列图形.第1 幅图形中"."的个数为
t- ti> ~萨:萨
a1 ，第2 幅图形中"."的个数为句，第3 幅图形中"."
第1I幅图
第2幅图
第3幅图
第41幅图
111
第5 题图
的个数为α 3 ……依次类推，则一+ 一十一+… +
土的值为(
).
a 19
A22
21
B. 旦
84
α1αzα 3
c 空2
840
6. 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在
一个底面为长方形(长为mcm ，宽为ncm) 的盒子底部(如图②) ,
盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部
分的周长和是(
A.4mcm
B. 4ηcm
C.2(m+ η)cm
D.4(m-n)cm
D 坐1
. 760
( 四川省绵阳市中考题)
罔①
罔②
第6 题图
( 浙江省宁波市中考题)
7. 已知x-2y+z=1 ，x 2 十y 2 _Z 2 =-2 ，求2 (X 2 _y2_Z) 一(2x -4y-3y2) 一(x 2 +Z2) 的值.
( 江苏省常州市竞赛题)
8. 观察下面的三行单项式:
X ,2X2 ,4x 3 ,8x 4 ,16x 5 ,32x 6 •
一2X 2 ,4x2, -8x 3 ,16x 4 , -32x 5 ,64x 6 •
2X2
，一3x 3
，5扩
，-9x 5
，17x 6
，一33x 7 •
(1)第一行第n 个单项式为一一一一一'第二行第n 个单项式为
，第三行第n 个单项式
为
(2) 取每行的第9 个单项式，令这三个单项式的和为A ，计算当户-j时，1 024(A寸)的值
..46
-ø
l:j it 理.
• •
9. 如果x 2 十2x=3 ，那么x 4 +7x 3 +8x 2 -13x + 15=
C " 希望杯"邀请赛试题)
10. 将1，2
，3 ，…，100 这100 个自然数，任意分为50 组，每组两个数，现将每组的两个数中任
一数值记作α ，另一个记作b ，代人代数式;(|α -bl+ α + b) 中进行计算，求出其结果，50
组数代人后可求得50 个值，则这50 个值的和的最大值是
1 1. 已知P =3xy -8x 十1 ，Q=x-2xy-2 ，当工芋0 时，3P-2Q=7 恒成立，则y 的值为
(四川省宜宾市中考题)
12. 最多有(
)个连续整数，使得其和为45.
A. 9
B. 25
C. 45
D. 90
E. 120
( 美国数学竞赛题)
13. 如果对于某一特定范围内工的任意允许值，户= 11 - 2x 1 + 11 - 3x 1 + … 十
1 1-9x 1 + 11-10x 1
的值恒为一常数，则此值为(
).
A.2
B. 3
C. 4
D.5
(安徽省竞赛题)
14. 求所有的五位数abcde ，该数能被9 整除且α ce -bda=76 0 .
(斯j各文尼亚数学竞赛题)
15. 已知非零自然数a ,b ,c ，d 都不超过4 ，若其中有两个相同，并且(α +b)(b +c)(c +d)(d 十α) =
900 ，求α +b+c+d 的值.
(世界数学团体锦标赛试题)
.. 41
-元-次方程
主蓝4章
。00...
在数学学习
中，既要注意解题
技巧的积累，又要
关注一般性方法的
掌握，这样既能避
免小题大做，又可
避免弄巧成拙.
对于一般解题
步骤与解题技巧来
说，前者是通法，后
者是技巧;前者是
基础，后者是机智.
只有真正掌握了一
般步骤，才能"熟能
生巧"
如果其他人也像我一样不迷信权威，持久而深入地探索数学真理，那
么他们也将做出我所做的发现.
一一- 高斯
嘎嘎嘎
知识纵横
~~~
一元一次方程是代数方程中最基础的部分，是后续学习的基础，其基本
内容包括:解方程、方程的解及其讨论. 解一元一次方程有一般程序化的步骤，
我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要
能随机应变(灵活打乱步骤)解方程.
当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含
字母系数的一元一次方程总可以化为αx=b 的形式，继续求解时，一般要对
字母系数α
，b 进行讨论:
1.当α 手0 时，方程有唯一解z=L
α
2. 当α=0 且b 手0 时，方程无解.
3. 当α=0 且b 二0 时，方程有无数个解.
花剌子米(约
780
约
850) 是阿
拉伯数学家，(( 印度天文学表的计算》
《还原与对消》是他的两本专著
" 还
原" 是指使方程平衡而进行的移项
，
在拉丁文中被译成" 代数"
死
J
V
J
t
L
嘎嘎嘎
例题求解
~~~
若以z 为未知数的方程3x-2 α=0 与2x+3 α-13=0 的
[~[O
根相同，则α=
( . . 希望杯"竞赛题)
建立关于α 的方程.
思路点拨
..咽
-18l~圃E--.
撞撞。。。…
当b=l 时，关于工的方程以3x-2 ) 十以2x-3)=8x-7 有元
[锐'
数多个解，则a 等于(
对于含字母系
数的方程，我们不
D. 不存在
C 一;
B. -2
A.2
但可讨论方程根的
("希望杯"邀请赛试题)
个数，而且还可以
探求解的性态，如
整数解、正数解、负
数解，解这类问题，
常常要用到整数知
识、枚举、分类讨论
等方法.
解一元一次方
程常用的技巧有:
将b=l 代人原方程，整理所得方程，就方程解的个数情况建
思路点拨
立α 的等式.
解下列关于工的方程.
规章，
(1) 4x+b= αx - 8( α 芋4) .
(2) mx -l=nx.
(3)tm(z
n)=j(工+2m )
(1)有多重括
同类项可交替进行.
(2)
当才舌号内
含有分数时，常由外
号，去括号与合并
首先将方程化为αx = b 的形式，然后对每个方程中字母系数
可能取值的情况进行讨论.
思路点拨
向内先去括号，再去
分母.
(3)
当分母中
含有小数，可用分
解下列方程
、
‘
，
，
e
t
f
3
一7
工
3-M
一
一
-
6
'
'
l
l
I
l
l
-
-
」
3
一7
x
l-4
TL
F
·
·
t
l
l
I
ll
-
-
」
3-4
工
、
、
，
/
1li
/
，
‘
、、
圃'
数的基本性质化成
整数.
(4) 运用整体
思想，即把含有未
(广西壮族自治区竞赛题)
(叶{ ~ [ ~ (~X-3)-3] -3}-3=0
知数的代数式看作
一个整体进行变形.
("希望杯"邀请赛试题)
0.3x + 0.8
0.02x + 0.3
0.8x - 0.4
(3)
-- - ~ _ --
- - ~-
~
-_ -
1 =
0.5
0.3
3
(北京市"迎春杯"竞赛题)
一2
，
x
, x+2
(4) 一一一+一一+ -= _ '_::- = 6.
2006 ' 2007 ' 2008
(" 五羊杯"竞赛题)
解一元一次方程，既要能按部就班(严格按步骤)解方程，又
3
要能随机应变(打乱步骤)解方程对于(1) ，视(工
; )为整体;对于(2) ，先去
思路点拨
..咽
括号; 对于(3) ，化小数为整数;对于(4) ，拆分6 并移项，使三个分数的分子相
同. 均可获得简解.
aE军
t&i1t tliñ:! . t~~
从特殊性看问题
特殊与一般相辅相成.
从特殊性看问题，即从简单情形看问题或从特殊对象看问题，善于从
简单情形去认识复杂的事物，善于把抽象理论直于具体的背景中去考察是
数学思考的一种可贵品格.
当代著名数学家波利亚曾说:
"我们应该讨论一般化、特殊化和类
比这些过程本身
，它们是获得发现的
伟大源泉
"
bx-5
现9
己和-b=7 ，且ω + 2剖，若不论工取何值，代数式石石的
值都相等，求α
，b 的值.
(浙江省湖州市竞赛题)
分析与解
赋予z 以具体的特殊值，建立a
，b 的另一关系式.
b-5
5
分别令x=O ，l 得
=一
，解得2b+5a =0 ，又α -b=7 ，即α =b 十
α 十2
2
7 ，代人上面方程得2b +5Cb+7) =0.解得b=-5
，进一步得α=2 .
)Þ-)Þ-)Þ-学为训练嘎嘎嘎
••
穷实
. •
主蓝3章
。00 •••
人类最早用算
术方法解决在生
产、生活中所遇到
的实际问题，后来
发展到运用方程的
方法.从算术到方程
是数学思想的一次
飞跃.
20 世纪哲学家
卡尔纳普曾说"自
然可以用相对低次
的数学方程解释，这
真是件惊奇和幸运
的事"
1. 已知Cm 2 -4) 工2 一Cm 十2)x+12=0 是关于工的一元一次方程，那么代数式67mx Cm 十x) 十
2x+m 的值是
(‘·希望杯"邀请赛试题)
2. 如下表，从左到右在每个小格中都填人一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，
则第201 3 个格子中的整数是
|
4 1 a
1 b 1 c
1 6 1 b 1
1
1 - 2 1
1......1
第2 题图
( 山东省淄博市中考题)
..50
E理
3. 已知关于工的方程2α (x -1) = (S- a )x +3b 有无数多个解，那么α 二
,b=
( "希望杯"邀请赛试题)
ι 若方程(m 2 - l) x 2 -mx 十8 二Z 是关于工的一元一次方程，则代数式m 2∞8 一
1 m一1
1 的值为(
) .
A.1 或- 1
B. 1
C. -1
D. 2
5. 定义a6b = 3α - b ，则方程26( 5 6x ) = 1 的解为(
) .
A i
. 10
B. 2
C 10
3
D. 10
( 广西壮族自治区竞赛题)
E. 14
(美国数学竞赛题)
6. 若六个连续正整数之和为20 13 ，则这六个连续正整数中，最大的数为(
) .
A.335
B. 338
C. 340
D. 345
E. 350
(美国数学竞赛题)
7. 已知m ，n 都是质数，若关于工的方程mx 十5η = 97 的解为3 ，则m 一旷= (
) .
A. O
B. 3
C. 5
8. 解下列方程:
( 2 ) ! {可(于叫叶叫= 1
工
(3 ) x 十一一一+-=-一一一-十… + _ , ~ ,
~ ~-
，~ _ _ _ = 2009.
1 +2 ' 1 +2+3
2006-x . 2008 - x
2010- x . 2012-x
( 4 ) 一一一一一十一一一一一=一一一一一十
2005
2007
2009
2011
D. 13
9 . 已知关于工的方程9x- 3 = kx + 14 有整数解，那么满足条件的所有整数走=
C
..希望杯"邀请赛试题)
( ..创新杯" 竞赛题)
( " 希望杯"竞赛题)
C " 五羊杯"竞赛题)
( "五羊杯" 竞赛题)
.51
aE罩罩
i1tfJT ñf! . t 四
10. 已知右表内每一横行中从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m ，各竖
列中从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n ，则m 十n=
x y + zu =
("希望杯"邀请赛试题)
1 1. 已知(m 2 -9)x 2 一(m-3) x 十6=0 是以z 为未知数的一元一次方程，如
果|α1 ~l ml ，那么
| α+m
l +1α
ml 的值为
( ，.华罗庚金杯"竞赛题)
x
z
y
12
18
27
u
第
1 0 题图
12. 以z 为未知数的方程2007x +2007α + 2 00 8b 二O(α
，b 为有理数，且b >O) 有正整数解，则ab
是(
) .
A . 负数
B . 非负数
c. 正数
D. 零
("希望杯"竞赛题)
工
13 方程一乙+ 一一+ … 十
二199 5 的解是(
)
1 X 2 ' 2 X 3 '
' 1995 X 1996
A. 1995
B. 1996
c. 1997
D. 1998
1也. 若是为整数，则使得方程(走一1 999)x =200 1- 2 000x 的解也是整数的走值有(
) .
A.
4 个
B. 8 个
C. 1 2 个
D .
16 个
(" 希望杯"邀请赛试题)
15. A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 是有序排列的
1 0 个质数，它们的和是60 .若其中任意5 个相邻的数
彼此不同，并且其和相等，那么，A 与B 的和有多少个不同的值?
(世界数学团体锦标赛试题)
• •
16. 将连续的自然数1 ~ 1001 按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出
1 6 个数，
要使这个正方形框出的16 个数之和分别等于:(1)1 988 ; (2) 1991; (3)2000 ; (4 ) 2080 . 这是否可
能?若不可能，试说明理由;若可能，请写出该方框1 6 个数中的最小数与最大数.
l
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
995
996
997
998
999
1000
1001
第
1 6 题图
(河北省竞赛题)
.52
绝对值与-元-次方程
纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇.
一一爱因斯坦
þ-þ-~ 知识纵横
嘎嘎嘎
绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生
成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方
程，简称绝对值方程.
解绝对值方程的基本方法有: 一是设法去掉绝对值符号，将绝对值方程
转化为常见的方程求解; 二是数形结合，借助于图形的直观性求解.前者是
通法，后者是技巧.
解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值的符号法则、非
负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.
数字演变
数学的历史并不是具
婆罗米文字
-=三十
ν~
'7 S ?
体的历史
，而是抽象的历史，是创造
印度文字
o
~司司
、f
飞飞
@ζ
飞
思想、发现模式的历史.
阿拉伯文字
•
飞
Yγ~
0
飞
v
^气
这就是数学
: 她提醒你有无形的
中世纪文字
。
r
2 3 ~马
6
A 8 9
灵魂
，她赋予你所发现的真理以生
现代文字
。
234 567 8 9
命，她唤起心神、澄清智慧
，她涤尽我
们与生俱来的蒙昧与无知.
þ-þ-þ- 例题求解
嘎嘎嘎
[旺。
方程15x+ 6
1 = 6x- 5 的解是
(重庆市竞赛题)
思路点拨
设法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来
求解.
iã'辈。00.
形如
| α工十b
l
=cx+ d 的绝对值
方程可变形为ax+
b =
士(cx+ d) 且
cx+ d 二三0 才是房、
方程的根，否则必
须舍去，故解绝对
值方程时应检验.
..53
aE翠噩噩IIWf;)t署E草草噩
圃'
A.2 个
方程Ix+ 1
1 + Ix - 31
=4 的整数解有(
B.
3 个
C.
5 个
D. 无穷多个
C " 希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也
许能找到简捷的解题途径.
[锐'
解下列方程:
(1)
I x + 31 一Ix- 1
1 = x+ 1.
(北京市"迎春杯"竞赛题)
(2) I
x 一1 1+lx 一51 =4.
C " 祖冲之杯"邀请赛试题)
分析与解
解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将
数轴分段进行讨论，采用前面介绍的" 零点分段法"分类讨论;有些特殊的绝
对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.
对于(1) ，当x<- 3 时，原方程化为
( x+3)+ ( x -1 ) 二x+ l，得
工=-5;
当-3 ~x< 1 时，原方程化为z 十3 +x- 1 二z 十1 ，得x=- l;
当z 二三I 时，原方程化为x+3- ( x- 1) = x 十1，得x=3 .
综上知原方程的解为x= -5 , - 1 ,3.
对于(2) ，给出下列不同解法:
解法一
(1)当工< 1 时，原方程化为
1 -x + 5-x=4 ，解得x= 1. 由于
x=l 不在工< 1 的范围内，此时无解.
(2) 当
1 ~x~5 时，原方程化为x - 1 十5-x=4 ，4=4 ，二1 :::三x ~ 5 时，方
程总成立.
(3) 当x>5 时，原方程化为x -1 +x-5 二4 ，解得x=5 .
故原方程的解为
1 ~x~5 .
解法二
如图，求方程的解即在数轴上找一点使它到A
，B
两点的距离和为4. 显然，只有当这点在线段AB 上(包括A
，B 两
点)符合条件，对应的工值为
1 ~x ~ 5 ，即原方程的解为
1 ~ x ~ 5 .
.54
A
B
___L一一一___.l_→
1
5
E渥4辈
。00 .
形如
| αx+ b
l +
I c 十d I = e
的方
:
程，含有多层绝对
:
值，可从外向内逐
:
层去掉绝对值符
号
，将原方程化为
:
形如
l ax 十b
l = cx
+ d 的方程求解.
蝠'
已知点A ，B ，O 在数轴上对应的数分别知，b ，O ，且满足以+81 十
(b-12) 2 =O ，点M ，N 分别从O ，B 出发，同时向左匀速运动，点M 的速度为
1
个单位长度每秒，点N 的速度为3 个单位长度每秒，设运动时间为t 秒.
(1)当
t 为何值时，恰好有AN=2AM ?
(2) 若点P 为线段AM 的中点，点Q 为线段BN 的中点，在运动过程中，
求PQ +MN 的长度的最小值.
思路点拨
代数式.
把相关点的对应的数用
t 的式子表示，建立关于t 的方程或
开放与探索
数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求我们进行多方
面、多角度、多层次探索的数学问题.
开放题的条件常常是不完备的，答案是不确定的且具有层次性，解决
策略具有非常规性、发散性和创新性.
在开放题的解答过程中，没有固
定的、现成的模式可循，需充分调动
知识储备，打破思维定势，展开想象，
用多种思维方式进行思考和探索.
[~[O 己知关于工的方程Ix- 2
1 +lx-3
1 =α ，研究α 存在的条件，
对这个方程的解进行讨论.
分析与解
方程解的情况取决于α 的情况，α 与方程中常数2 ，3 有依存
关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键，
运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两
个思路去解.
数轴上表示数工的点到数轴上表示数
2 ，3 的点的距离和的最小值为1，
由此可得方程解的情况是:
5 + α
(1)当α > 1 时，原方程解为工=-f
(2) 当α=1 时，原方程解为
2 ~x~ 3.
(3) 当α < 1 时，原方程无解.
-rr.~呈....
ml蜜
。00 •
例
5 给出了条
:
件，但没有明确的
结论，这是一种探
索性数学问题，它
:
给我们留有自由思
考的余地和充分展
示思维的广阔空
间，我们应从问题
的要求出友，分析、
:
收集和挖掘题目提
供的各种信息，进
行全面研究.
..55
a
1&噩噩墨画罩墨E蓝蓝噩
~~~学为训练嘎嘎嘎
穷实·
1. 若方程
1 1002x -100221 = 1002 3 的解分别是工门口，则x] 十工2-
(';希望杯"邀请赛试题)
|x-31-lx+ 1 1
2 . 方程
=1 的解是
21x+1 1
C' 希望杯"邀请赛试题)
3. 已知: 有理数工，y ，z 满足xy <O ，yz >O ，并且Ixl= 3 ，lyl=2 ，
l z 十1
1 =2 ，则x+y+z=
(北京市"迎春杯"竞赛题)
4. 已知a
，b 是整数，且
l a - 1
1 十
I b +21 =1，则(α- 1) 2X Cb+2) 4 =C
).
A. - 2
B. - 1
C. 0
D. 1
C" 希望杯"邀请赛试题)
5. 方程Ix-51 +x-5=0 的解的个数为(
A. 不确定
B. 无数个
C. 2 个
D.3 个
C" 祖冲之杯"邀请赛试题)
6. 若一199 <x< 199
，且m= llxl- 100
1 的值为整数，则m 的值有C
) .
A.100 个
B. 101 个
C .
201 个
D.203 个
C ，.希望杯"邀请赛试题)
α 十b
. b-a
7 . 已知关于工的方程Ilx-21- b
l 二α 有四个不同的解，化简一一一一十一一一一+一一+一一
| α +b l' Ib-a l ' 1α1 ' Ib l'
(湖北省黄冈中学自主招生试题)
8 . 已知Ix
1 =3x+ 1，则C 64x 2 +48x + 9) 2009 二
(广东省竞赛题)
9. 方程
1 1 x - 3 1 + 3x 1 = 1 的解是
(山东省竞赛题)
10. 若关于工的方程Ix
l 二ax 十2 只有负数解，则α 的取值范围是
C " 华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
.56
EZ圆圆E··-
1 1. 若关于工的方程Ilx - 2
1 - 11 二a 有三个整数解，则α 的值为(
) .
A.O
B. l
c. 2
12. 适合关系式
1 3x-4
1 +
1 3x 十21 =6 的整数工的值有(
)个.
A.O
C. 2
B. l
D. 大于2 的自然数
D. 3
13. 如果关于工的方程Ix+ll 十
I x-ll 二α 有实根，那么实数α 的取值范围是(
) .
A. α 二三o
B. a> O
C. α 二三1
D. a 二三2
(1' r支市竞赛题)
( 武汉市选拔赛试题)
14. 当α 满足什么条件时，关于工的方程
I x - 2
1 - lx - 51 = α 有一解?有无数多个解?无解?
15. 如图，数轴上有A
，B 两点，分别对应的数为a
，b ，己知(α + 1) 2 与Ib-3
1 互为相反数.点P 为数
轴上一动点，其对应的数为ι
(1)若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数.
Aο
P
B
(2) 数轴上是否存在点p
，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5?
-2 - 1
0
第
1 5 题图
3
若存在，请求出工的值;若不存在，说明理由.
( 3 ) 当点P 以每分钟1 个单位长度的速度从0 点向左运动时，点A 以每分钟5 个单位长度的
速度向左运动，点B 以每分钟20 个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点P 到点A 、点
B 的距离相等?
16. 己知Ix+21+l l - x
l = 9 -
l y - 51 - ll 十y
1 ，求z 十y 的最大值与最小值.
(江苏省竞赛题)
..51
列为程解应用题
:
有趣的行程问题
我赞美数学的优美和力量: 它有战术上的机巧与灵活，又有战略上的
雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基
本结构.
一一杨振宁
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
数学是一门具有广泛应用性的科学，我国著名数学家华罗庚先生曾说
过"宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之
繁，无处不用数学
"
行程问题的三要素是: 距离(5 ) 、速度(川、时间( t) ，行程问题按运动
方向可分为相遇问题、追及问题;按运动路线可分为直线形问题、环形问
题等.
熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础;
而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧.
" 勤能补拙是良训1/
. 一分辛苦一分才" 华
罗庚0 9 1 0- 1 985) 不但是才华横溢的数学大
师，而且是学贯中西的教育家. 当代著名数学
家赛尔伯格这样评价华罗庚"很难想象. 如
果他不曾回国
‘ 中国数学会怎样"
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
睛'
某人乘船由A 地顺流而下到B 地，然后又逆流而上到C 地，共
乘船4 小时，已知船在静水中的速度为每小时7 . 5 千米，水流速度为每小时
2 . 5 千米，若A ，C 两地的距离为1 0 千米，则A ，B 两地的距离为
千米.
(重庆市竞赛题)
.58
主自3墨
。00 .. •
列方程的方
法，为解应用题提
:
供了一般的解题步
;
骤和规范的计算方
法，使问题"化难为
易"，充分显示了字
:
母代数的优越性，
它是算术方法解应
用题在字母代数基
;
础上的发展.
思路点拨
等量关系明显，关键是考虑C 地所处的位置.
[锐'
如图，甲、乙两人沿着边长为
9 0 米的正方形，
按A →B →C→D→A …方向，甲从A 以65 米/分的速度，乙
从B 以72 米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在正方形
的(
ll
A.AB 边上
B.DA 边上
C.BC 边上
D . CD 边上
(安徽省竞赛题)
思路点拨
本例是一个特殊的环形的追及问题，注意甲实际在乙的前面
3 X 90=270( 米)处.
o
圃'
10cm 的A
，B 两点(备注:圆形轨道上两点间的距离是指圆上这
两点间的较短部分展直后的线段长) .动点P 从A 点出发，以
如图，已知一周长为
30cm 的圆形轨道上有相距
αcm / s 的速度，在轨道上按逆时针方向运动;与此同时，动点Q 从B 点出发，
以3cm / s 的速度，按同样的方向运动.设运动时间为t (s) ，当t=5 时，动点p
，
Q 第一次相遇.
(1)求α 的值.
(2) 若α > 3 ，则在P
，Q 第二次相遇前，当动点P
，Q 在轨道上相距12cm
时，求t 的值.
思路点拨
化圆为直，由直线图中的线段关系布列方程."P
，Q 第二次相
遇前"是怎样的含义?故全面讨论是解题的关键.
E;~ ..
=s盛理矗l
iëq蛋
。00.
"每天中午有
一艘轮船从法国已
;
黎的勒阿弗尔开往
美国的纽约，且每
;
天同一时间也有一
艘轮船从纽约开往
勒阿弗尔.轮船在途
中都需要七天七夜.
假定所有轮船都以
同一速度、同一航
线行驶.问:某艘从
勒阿弗尔开出的轮
船，在到达纽约时，
能遇到几艘从纽约
开来的轮船? "
这是著名的柳
卡问题.在
19 世纪
的一次国际会议期
间，法国数学家柳
卡向来自世界各地
的数学家提出了上
述问题.
.59
aE国昌盛lfÆ墨ljiiIfIØI
圃~O
8 个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4
人(不包括司机) ，其中一辆小汽车在距火车站
15 千米的地方出现故障，此
时，距停止检票的时间还有42 分钟，这时，唯一可利用的交通工具是另一辆
小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5 人，且这辆车的平均速度是
6 0 千
米/时，人步行的平均速度是5 千米/时，试设计两种方案，通过计算说明这8
个人能够在停止检票前赶到火车站.
(全国初中数学竞赛题)
分析与解
有以下设计方案: (1)当小汽车出现故障时，乘这辆车的4 个
人下车步行，另一辆车将车内的4 个人送到火车站，立即返回接步行的4 个
人到火车站;(2) 当小汽车出现故障时，乘这辆车的4 个人先下车步行，另一
辆车将车内的4 个人送到某地方后，让他们下车步行，再立即返回接因汽车
出现故障而步行的另外4 个人，使得两批人员最后同时到达车站.
对于方案(1) ，设乘出现故障汽车的4 个人步行的距离为工千米，列方
15+15-x .._
30
程，有
-
.... '"
，解得x=:;-;::- ，因此，这8 个人全部到达火车站所需时间
5
60
" ." , .. --
13
30
_ . I
_
30 \
35 . .
5
为13-:- 5 十(15
E)÷60 = 52( 小时) 二4 0 13 (分钟) < 42( 分钟) ,
故此方案可行.
A
C
D
β
对于方案(2) ，两批人员步行的距离相同，如图所示，
D 为乘无故障汽车人员下车地点，C 为乘有故障汽车人
故障点
火车站
1 5 -y 十15 - 2y
员再次上车地点.因此，设AC=DB=y ，列方程，有lf=
2
15- 2
37
得y = 2. 因此，这8 个人同时到达火车站所需时间为一+ 一一一= 一(小时) 二
5
60
60
37( 分钟) < 42( 分钟) ，故此方案也可行.
一题多解
对同一个问题，因不同角度的观察、运用知识方法的差异，会产生多种
解法，一题多解使得知识方法充分地融合与重组，是训练发散思维的重要
途径.一题多解，还需区别优劣，择善而从.
问题是数学的心脏，解题是数学
的灵魂.解法应以简单、自然为上.
..60
主蓝4蜜
。00 .
人车同时出
:
友，若人车同时到
达目的地，则时间
;
最短，而关键在于
平等地使用交通工
:
具，这样乘车路程
: 相等、步行路程也
:
相等，这是隐含的
:
等量关系.
[画画
甲、乙两人分别从A
，B 两地同时出发，在距离B 地6 千米处相
遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达B 地
，A 地后，
立刻返回，又在距A 地4 千米处相遇，求A
，B 两地相距多少千米?
·国罩罩踵沮..
主亩$量
。00.. •
例
5 似乎缺少
("祖冲之杯"邀请赛试题)
:
条件，充分运用"同
分析
本题为相遇问题，应充分把握题中关键信息.
解法一
第一次相遇时，甲、乙两人所走的
|
I I
I
(甲)AI
~
I B(乙)
路程之和，正是A
，B 两地相距的路程，即当甲、
仁:二二「
才
乙合走完A
，B 间的全部路程时，乙走了
6 千米.
② ①
第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的3 倍(如图，图中实线表示甲
所走路程，虚线表示乙所走路线) ，因此，这时乙走的路程应为6 X 3=18C 千米) .
考虑到乙从B 地走到A 地后又返回了4 千米，所以A
，B 两地间的距离
为
18 - 4 = 14C 千米) .
:
时""匀速""两次相
: 遇"等关键词语所
;
隐含的条件，就为
:
解题铺平了道路.解
;
法一是算术法，解
法二是比例法，解
法三是增设辅助未
知数.
需要注意的
: 是，算术法有自身
解法二
甲、乙两人同时动身，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，的优点，是学习数
又因为两人都做匀速运动，应有:两人速度之比等于他们所走路程之比，且相
; 论与组合数学的基
同时间走过的路程亦成正比例础，不能因学习代
:
数方法，而将算术
到第一次相遇，甲走了(全程-6) 千米，乙走了
6 千米;
到第二次相遇，甲走了C2 X 全程-4) 千米，乙走了(全程+ 4) 千米.
s - 6
2s-4
设全程为
s
，易得到下列方程
= 一一
6
s+ 4 '
解得
S j= 14 ，s 2 =OC 舍去) ,
所以A
，B 两地相距14 千米.
解法三
设全程为5 千米，甲、乙两人速度分别为V j
，V 2 . 则
5- 6
6
①
U
U
25 - 4
s+ 4
②
V j
V 2
5-6
6
①÷ ②得
=一一，
解得
5 = 14 或
s = OC 舍去) .
25 - 4
s 十4
~~~学为训练嘎嘎嘎
• •
穷实
. .
:
法完全摒弃.
1. 某人以4 千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以
6 千米/小时的速度从乙地返回甲地，
那么此人往返一次的平均速度是
千米/ 小时.
("希望杯"邀请赛试题)
..61
4-g~壶吕1m嚣耀嚣理_il::~，\_
2. 在公路上，汽车A ，B ，C 分别以每小时80 千米，70 千米，50 千米的速度匀速行驶，A 从甲站开往乙站，
同时，B ，C 从乙站开往甲站.A 在与B 相遇两小时后与C 相遇，则甲，乙两站相距一一-一一千米.
("希望杯"邀请赛试题)
3. 甲、乙两人在环形跑道上同时同地出发，同向运动.若甲的速度是乙的速度的2 倍，则甲运动2
、_~ . 3
周，甲、乙第一次相遇;若甲的速度是乙的速度的3 倍，则甲垣功周，甲、乙第一次相遇;若甲的
2
4
速度是乙的速度的4 倍，则甲运动言周，甲、乙第一次相遇……以此探究正常走时的时钟，时针
和分针从0 点(1 2 点)同时出发，分针旋转
周，时针和分针第一次相遇.
(内蒙古自治区赤峰市中考题)
ι 如图，正方形ABCD 的周长为40 米，甲、乙两人分别从A
，B 同时出发，沿正方形
的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55 米，乙按顺时针方向每分钟行30 米. t:
(1)出发后
分钟时，甲、乙两人第一次在正方形的顶点处相遇.
(2) 如果用记号(α
，b) 表示两人行了α 分钟，并相遇过b 次，那么当两人出发后第
一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是
一争
〈一
甲
乙
第4 题图
(浙江省湖州市中考题)
5. 铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6 千米/小时，骑车
人速度为10.8 千米/小时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用了22 秒，通过骑车
人用了26 秒，问这列火车的车身长为多少米?
(河北省竞赛题)
••
拓展
. •
6. 点A
，B
，C 是一条直线上依次排列的三点，其中点A 与点C 相距1800 米.艾娜的速度是伊芙的
两倍，保罗的速度是艾娜的两倍. 三人同时出发，其中艾娜从点A 跑向点C ，保罗从点B 跑向点
C ，伊芙从点C
lÈ包向点A. 当保罗与伊芙相遇时，保罗调头跑向点A
，然后保罗与艾娜恰好在点B
点相遇，则点A 到点B 的距离为
(美国数学竞赛题)
7. 在一条笔直的公路上，某一时刻，有一辆客车在前，一辆小轿车在后，一辆货车在客车与小轿车
的正中间同向行驶.过了
10 分钟，小轿车追上了货车;又过了
5 分钟，小轿车追上了客车;此后，
再过t 分钟，货车追上了客车，则
t =
("希望杯"邀请赛试题)
8. 运动会上，七年级(1)班的小王、小张、小李三人一起进行百米赛跑(假定兰人均为匀速直线运
动).如果当小李到达终点时，小张距终点还有4 米，小王距终点还有12 米.那么当小张到达终点
'但
E型E噩噩理矗
时，小王距终点还有(
)米.
A8B8t
c6D 9 ;
9. A.B 两地相距60 千米，甲、乙两人驾车(匀速)从A 驶向B. 甲的时速为
1 20 千米，乙的时速为
90 千米，如果乙比甲早出发6 分钟，则当甲追上乙以后，乙再经过(
)分钟可以到达B.
A.25
B. 20
C. 16
D. 10
("希望杯"邀请赛试题)
10. 如图，甲、乙、丙是三个站，乙站到甲、丙两站的距离相等.小明和小强分
别从甲、丙两站同时出发相向而行，小明过乙站100 米后与小强相遇，然
后两人又继续前进，小明走到丙站立即返回，经过乙站后300 米又追上
小强，问甲、丙两站的距离是多少米?
甲
乙
第
10 题图
丙
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
11. 甲、乙、丙三辆车都匀速从A 地驶往B 地.乙车比丙车晚5 分钟出发，出发后40 分钟追上丙车;
甲车比乙车晚20 分钟出发，出发后100 分钟追上丙车，问甲车出发后多少分钟追上乙车?
( 全国初中数学竞赛题)
• •
创新. •
12. 老师带着两名学生到离学校33 千米远的博物馆参观. 老师乘一辆摩托车，速度为25 千米/时，
这辆摩托车后座可带一名学生，带人后速度为20 千米/时，学生步行的速度为5 千米/时. 请你
设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3 个小时.
("'希望杯"竞赛题)
.63
数学除了有助于敏锐地了解真理和发现真理外，它还有造型的功能，
即它能使人们的思维综合为一种科学系统.
一一格拉斯曼
~~~知识纵横嘎嘎嘎
fe'罢
。00.. •
亏~言晴咱-.
yrJ 方程解应用
题又一关键是:找
恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，设什么为元，需要根据
具体问题的条件来确定.
寻能够表示应用题
对未知元的选择，有时可将要求的量设为未知元(即问什么设什么) ，称
:
全部意义的相等关
此为直接设元;有时需要将要求的量以外的其他量设为未知元(即所设的不
:
系.找寻相等关系的
是所求的，则更易找出符合题意的数量关系) ，称此为间接设元;有些应用题
;
基本方法有:
运用基本
中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量
的存在，则难求其解，因此需把这些未知的常量设为参数，以便建立等量关
系，称此为辅助设元.
爱因斯坦质能方程E=mc 2 被称
为"最有名的方程"，奠定了原子理论
的基础.
~~~例题求解嘎嘎嘎
[f!i[O (1)如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形
色块图，由六个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的
个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积
为
( 山东省济南市中考题)
..64
公式找寻相等关系.
(2 )J，人关导建词
中找寻相等关系.
( 3 ) 运用不变
量找寻相等关系.
( 4 )对一种
"量"，从不同的角
度进行表达(即计
算两次) .得到相等
关系.
-E噩罩理理.
型思维向分析型思
维的转轨.从各个侧
面分析列方程的来
龙去脉，突破小学
形成的固有的综合
思维模式(从已知
出发列综合算式求
未知数) ，形成分析
思维模式.
(2) 善于把应
用题中的生活语言
转换成数学语言.应
留心生活，多看才反
纸杂志电视，注意
生活常识的积累.
..65
fê'毒
。00.. •
应用数学知识
和方法解决实际问
题是学习数学的重
要目的之一，而列
方程解应用题对七
年级同学来说是一
:
个困难所在，学习
列方程解应用题应
注重两个方面:
(1)促使综合
(2) →个六位数1α bcde 的3 倍等于α bcde 1 ，则这个六位数为
(黑龙江省竞赛题)
对于(1) ，要求长方形的面积需求出各正方形的边长，为便于
求出长方形的长与宽，故不宜直接设元，由于六个正方形边长有一定的依存
关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手;对于(2) ，视abcde 为整体，整
体设元.
植树节时，某班平均每人植树6 棵.如果只由女同学完成，每人
应植树15 棵;如果只由男同学完成，每人应植树(
)棵.
思路点拨
[锐'
D.14
c. 12
B. 10
A.9
(四川省竞赛题)
幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早
的幻方一一九宫图.将数字1~9 分别填人如图所示的幻方中，要求每一横行、
每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15 ，求m 的值.
设出男、女学生人数，利用树的总数不变建立方程.
思路点拨
[制@
(湖北省随州市中考题)Ef
为充分运用等量关系，需增设辅助未知数.
思路点拨
某超市对顾客实行优惠购物，规定如下:
蝠'
(1)若一次购物少于200 元，则不予优惠;
(2) 若一次购物满200 元，但不超过500 元，按标价给予九价优惠;
(3) 若一次购物超过500 元，其中
500 元部分给予九折优惠，超过500 元
部分给予八折优惠.
小明两次去该超市购物，分别付款198 元与554 元.现在小亮决定一次去
(江苏省竞赛题)
购买小明分两次购买同样多的物品，他需付款多少?
aE翠JFlwl'ùf，.噩噩SE温·
思路点拨
第一次付款198 元，可能是所购物品的实价，未享受优惠;也
可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论.
[~[Ø 自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶3000km 就要报废，安装
在前轮上，则行驶5000 km 才报废.为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路程后
才报废，在自行车行驶一定路程后，就将前后轮胎调整，这样安装在自行车上
的一对轮胎最多可行驶多少千米?
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
分析
如何选取关系等式，是列方程的关键.
解法一
列方程求解
设自行车行驶了x km 后，互换前、后轮胎再行驶，致使两只轮胎同时报
废.因此，前轮胎还可行驶(5000- x ) km ，后轮胎还可行驶(3000 - x ) km. 当前
后轮胎互换后，还可行驶，并有(5000 -x ) X ~ =(3阶工) × ?
5
3
解此方程，有(τ
τ )x =2000 ，解得x= 1 8阳km ) 这就是说，当自行车
行驶了肌km 后，互换前后轮胎，这样还可行驶(5000-1875) X ~ =川
(km) ，所以最多可行驶37 50 km.
解法二
类似工程问题解法
设安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶x km ，根据题意，自行车每行
驶1km ，前轮胎将磨损-L ，后轮胎将磨损-L ，当两个轮胎磨损之和为单位
5000 " ~ ，~，，~ ，.，~ </'3000
"1" 时，前后轮胎互换，当两个轮胎磨损之和为单位"2" 时，两个轮胎同时报
x
x
废，即行驶路程最多.由此可得方程·一一十一一=2 ，解得x =3750 . 即自行车
. 5000 . 3000
最多可行驶3750km.
设而不求
有些问题涉及的量比较多、关系复杂，我们需要引入不同的字母，便于
沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，这些字母在解题中
相消或相约，不需求出这些字母的值却可以得到我们想要的结果，这就是
"设而不求"方法解决问题的基本思想.
.66
: 言自4蜜
。
.啕~....，...___...
许多委主学问题
:
形异而质同，即虽
: 情境不同，但结构
:
上常有相似之处，
:
通过类比、熟悉化
:
原则、模式识别等
策略，能促使问题
.
转化. 解法二把原问
:
题转化为一个工程
问题，通俗而简洁.
[征。
有→片牧场，草每天都在匀速地生长(即草每天增长的量相
等) ，如果放牧24 头牛，则6 天吃完牧草;如果放牧21 头牛，则8 天吃完牧草.
设每头牛每天吃草的量是相等的，问:
(1)如果放牧16 头牛，几天可以吃完牧草?
(2) 要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛?
(全国通讯赛试题)
分析
需要考虑草每天的增长量、每头牛每天的吃草量及牧场原有的草
量之间的关系，故需增设一些辅助未知数，便于把这些关系表示出来.
解
(1)设牧场原有草量为α ，每天生长出的草量为b ，每头牛每天吃草
量为c
，16 头牛z 天吃完草，由题意得:
(十6b=川
α +8b=21 X8c ,
α +bx= 16cx
，
①
②
③
④
②①得b = 12c ,
③②得(x -8)b = (1 6x -168)c ，
⑤
将④代人⑤，得( x -8 ) • 12c = (1 6x - 168)c
，解得x= 18.
(2) 设至多放牧y 头牛，牧草才永远吃不完，则有cy ~ b
，即每天吃的草
不能多于生长的草，y ζ主=12.
~~~学为训练嘎嘎嘎
• •
穷实
. •
-II~~='回巴‘~
iêl章
。00.. •
t午多λ、误:以为
学习幸生学等同于了
:
解定理的证明、背诵
:
及套用公式、熟读例
: 题及操练习题.其
实，数学既是一门抽
.
象的学科，亦与生活
'
息息相关;它既是理
:
性的追求，又是充满
:
美感的.
1 有一列数，按一定的规律排列成L
lA -9 , 27 , -81,
，若其中某三个相邻数的和是一肌
则这三个数中第一个数是
(湖北省孝感市中考题)
2. 10 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是:每个人心里都想好一个数，并把
10
2
自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个
9
3
人告诉他的数的平均数报出来. 若报出来的数如图所示，则报3 的人心里想的
数是
(内蒙古自治区呼和浩特市中考题)
R
4
7
5
6
第2 题图
.61
"噩噩革撞撞撞撞墨E军萃-
3. 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加人水后，一根露出水面的长度
是它的l ，另一根露出水面的长度是它的工两根铁棒长度之和为220cm ，此时木
5 .
桶中水的深度是
cm.
(辽宁省鞍山市中考题)
第3 题图
4. 某研究所全体员工的月平均工资为55 00 元，男员工月平均工资为6 500 元，女员工月平均工资
为5000 元，则该研究所男、女员工人数之比是(
) .
A. 2 : 3
B. 3 : 2
C. 1 : 2
D. 2 : 1
(" 希望杯"邀请赛试题)
5. 假期里小丁在一家餐馆里做兼职洗碗. 每洗好一个碗可得到3 元，每打破一个碗不仅不能得到洗
这个碗的工资，还要另赔9 元. 一个星期内，他总共洗了500 个碗，共领到了1368 元.则他一共打
破了(
)个碗.
A. 7
B.8
C.9
D.IO
E.ll
(国际中小学数学能力检测试题)
6. 一艘轮船从A 港到B 港顺水航行需6 小时，从B 港到A 港逆水航行需8 小时.若在静水条件
下，从A 港到B 港需(
)小时.
A.7
B7j
C6;
D6j
(江苏省镇江市中考题)
7. A 、B 、C 、D 、E 五人一起参加象棋锦标赛，发现他们的平均年龄恰为2 8 岁. 一年后，A 、B 、C 、D 、
F 一起参赛，发现他们的平均年龄恰为3 0 岁.则F 的年龄比E 的年龄大多少岁?
• •
拓展. •
8. 右边算式中，每个汉字代表1 个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知" 神"= 3,
那么被乘数是
(荷兰竞赛题)
?申舟五号飞天
×
神
飞天神舟五号
C' 五羊杯"竞赛题)
9. 小光家的电话号码是八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的一位自然数，电话号码的
数字和等于它的最后两位数，那么，这个电话号码是
("希望杯"邀请赛试题)
10 . 某晚，学生克洛伊、佐伊先各自独立解决了家庭作业中一半的问题，然后再一起合作解决了另一
半问题.克洛伊独自解决问题的正确率为80 % ，总的解题正确率为88 % . 已知佐伊独自解决问题
.68
·圈圈圈圈lIÌì
的正确率为90 % .则佐伊总的解题E 确率为(
).
A.89 %
B.92 %
C.93 %
D.96 %
E.98 %
(美国数学竞赛题)
1 1. 一个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市12 万人20 年的用水量. 在该市新迁入
3 万
人之后，该水库只够维持15 年的用水量，市政府号召节约用水，希望能将水库的使用寿命提高
到30 年.那么，该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制订的目标? (
).
2
A 5
2
B. 7
C.
~ 3
I
D. 4
(国家公务员考试行政职业能力测试题)
12. 山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流入池中的水量相同)不停地向油塘内流
淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A 型抽水机则
1 小时后正好能把池塘中的水抽完，若
用两台A 型抽水机则20 分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A 型抽水机同时抽，则需要
多长时间恰好把池塘中的水抽完?
(江苏省竞赛题)
••
创新
. •
13. 参加跳绳比赛的学生被分为A
，B
，C 三组，每人都仅在一组.已知A
，B
，C 三组的人均跳绳数
分别为100 个、80 个、70 个.A
，B 两组合起来的人均跳绳数为8 5 个，B
，C 两组合起来的人均
跳绳数为76 个.则参加跳绳比赛的学生人均跳绳数是多少?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
.69
撞撞。" …
方程、方程组
是代数研究的主要
内容，当未知数增
:
加、未知数的次数
:
增高，就得到复杂
:
的方程组和高次方
:
程，这是后续学习
:
的主要内容，但解
j
法的思想却不变，
:
即i肖元与降次.
方程组的解是
:
方程组理论中的一
:
个重要概念，求解
:
法、代解法是处理
:
方程组的解的基本
:
方法. 透彻理解方程
: 组的概念并能灵活
:
运用，是解与方程
: 组的概念相关问题
:
的关键.
纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙.
一一联合国教科文组织
嘎嘎嘎
知识纵横
~~~
"消元"是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一
元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法.
解一些复杂的方程组( 如未知数系数较大、方程个数较多等)
，需要观察
方程组的系数特点，着眼于整体上解决问题，常用到整体叠加、整体叠乘、设
元引参、对称处理、换元转化等方法技巧.
对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、
解的个数，基本思路是通过消元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程
人类在认识世界的过程中，学会
了用抽象、简洁的方程式来描述规律.
无数的方程展现了人们破解物质运
动、光电闪耀、时空变幻等自然现象
的曲折经历，彰显了人类百折不挠的
嘎嘎嘎
探索精神.
例题求解
~~~
解的讨论.
…
(α ] 工十b1Y = C l
'
(x = 3 ,
(1 ) 若方程组才
的解是斗
则方程组
la 2 工+ b 2 y =C 2
lY = 4,
[筒。
是
解
的
一
一
一
YY
FOZ
O
盯
/
臼
叮
/
臼
+
十
ZZ
GG
叫
气
υ
n
〈
U
fi!J
<llL
(浙江省杭州市中考题)
[2x - ay =6 ,
( 2) 已知关于工
，Y 的方程组才
的解是整数，a 是正整数，那么
l4x 十y = 7
.10
EII&~回量鸟，_由
iêl蜜
。00...
所谓主元，即
在解多变元问题
时，选择其中某个
变元为主要元素，
视其他变元为常
量，将原式重新整
理成关于这些字母
的按降幕排列的多
项式，以排除字母
间的干i丸，简
f匕问
题的结构.
"11
. . . .
. . .
α 的值为
(北京市"迎春杯"竞赛题)
思路点拨
对于(1) ，从比较未知数的对应系数人于;对于(2) ，把x
，y 的
值用含α 的代数式表示，利用整除性求出α 的值.
若
4x 一3y - 6z = 0 , x + 2y - 7z = 0 Cxyz 手0) ，则代数式
于
等
值
的
a
·
·
E
V
二
2
-
1
…2-y
…
刷
…l
f
一
寸
PU
2z
B. _19
一-2
A 一÷
D. -13
C. - 15
(全国初中数学竞赛题)
视z 为常数，解关于工
，y 的方程组，这是解本例的关键.
思路点拨
户q
6
户十q
5'
解下列方程组:
嚷~.
qr
3
q + r
4'
(2)
Q
d
巧
i
nkunxu
n
叫
υ
n
u
J
FhdEd
-
-
一
一
V
J
V
d
75
口
可
υ
n
叫
υ
内
叫
υ
口
问
υ
'ti-
-i
++
小
·
·
4
巾
·
·
4
「
「
υ
巧
i
n
回
d
n
叫
υ
n
叫
υ
n
u
υ
1li-
-B
A
f
-
-
J
飞
l
l
t
、
、，
/
tEA
/
E
飞
r户
2
r + ρ3
rX I+ 工2 二X 2 十X 3 - 工3 十X 4- … = X 1997 + X 1998 = X 1998 + X 1999 = 1,
(3)
斗
l XI+ 工2+ … 十XI刑十X1999 = 1999
C' . 华杯赛"试题)
对于(1) ，运用整体叠加法解;对于(2) ，通过取倒数、拆分得
思路点拨
111
到关于一，一，
的方程组;对于(3) ，从寻找工1 , X 3 ，X 5 … XI 阳，工1999 及X 2 , X 4 ,
p q
r
(2) p x+y \= l,
l\ x \+ 2\y\=3
工6
，…
，XI 996
，XI 则彼此间的联系入手.
解下列方程组:
[t![0
(|zl+|y|=;
对于(1) ，解关于
\ X \ , \y \ 的方程组;对于(2) ，若逐一讨论，则
思路点拨
6-理主m1I'w，"Jf~噩噩噩;"!n_
么?莫斯科大学教
iãl蜜
。00...
娅
克
讲
解
着
归
问
听，
非
且
斯
匹
演
"
·
·
味
化
的于忖
川
口
林
的
是
意
题
过
乎
I
斗
击
奥
表
答
是
问
丰
出
z
7
非
学
友
回
就
的
山
这
十
-
h
A
数
者
的
一
解
克
在
川
-
v
d
对
赛
作
一
要
己
"
.
十
一
十
授
在
参
中
题
把
为
题刀
-
J
较繁琐，利用绝对值如下性质转化问题:当xy 注0 时，
l x + y
l =
l xl 十Iy
1
; 若
xy<O 时，
l x+yl=lxl 一
I y
I 或Ix+yl=
l y
l 一
I xl
.
1
1
11
,
1
11
,
1
1
,, 2
已知
十一一一=一一+-~-= =，一+一一一=一求
+
X
I y+z
2 ' y
z 十x
3 ' z
I x+y
4'
二E
[制9
值
勺
J
474
+
3
-y
解题意味着什
(全国初中数学联赛题)
题设给出了三个方程、三个未知数，可以通过解方程组先求出工，
分析
y ，z 的值或探寻.:r ,y ，z 间的关系.
工十y+z=t(月十zx) ,
由已知等式，得~x+y+z= ~ (yz+xy) ,
工+y+z = ;(zz+yz) ，
解法一
众意料的简明回答
中，揭示的正是数学
juy+u)=twzy)=j(ZZ+yz)
家解题的基本策略.
23
23
23
':
_;r'yz#O ，解得y=3x ，z=5工，代人已知等式，解得x =一，y = -;:- ，z=一
10 'J
6' -
2
×-
A
哇
一
+
一
×
-3
-
n
/
阳
门
〈
U
一
+-
A
U
一
×-
9
μ
一
一
一
式
原
行
儿
」
H
L
r
在洞察方程组
特点的基础上，运
2.
十?γ
yz 十xy
~
zx 十
由已知等式，得二二干一二2 一一二一= 3 一一」二二=4
x+y+z '-"x + y +z
v'x + y 十z
用通分、取倒数等
方法，整体得到
z
解法二
，
ry 十yz+z.:r
9 ~ =
xy
1
yz
5
zx
3
~ ，于是
=一，一一一一一=一一一一一一
x+y+z
2' • ~x 十y 十z
2 x 十y 十z
2
'工十y+z
2'
+y 十z 的表达式
出
求
体
整
或
, y
5 z
~
Cl n
5
~
",' 1
,
1
1
/<=t
23
一=一，一=5 ，即y= --;:;-x ，z=5ι代人+
=一，得x -:-:-
x
3 x
- " ., J
3 - ,-
- - . , '" , x
y 十z
2' ，.~ -
10'
是解例
5 的关键.
一
n-b
一
-
4-b
+
3
-
5
γ
十
2-z
一
一
式
原
故
叠加、叠乘
叠加、叠来是指解系数有特点的方程纽时，不拘泥于一般意义上的代
入或加减，而是从整体上把方程组中的几个方程相加(或相减)或相来，从
而达到简化方程组的目的.
..12
EE理I:，=.自~
主!ãt量
。00.. •
言帽咱-....!--~.
数学发展的历
:
史始终贯穿两条主
:
线:数学知识的友
: 展和思想方法的创
'
新. 数学思想方法对
;
数学知识有巨大的
:
凝聚力，是联系知
:
识的纽带，是实现
.
知识向能力转换的
主关主办
们‘才C.
数字jjìl 溯源
,""C( 10 1H( SOUIKU Of
M A.TI‘EM .... ncAl M(THOOS
将若干个自然数按某种规律排列，若前8 个数依次是1，3, 6,
10 ，1 5
，2 1，28 ，36 ，则第
5 0 个数是多少?
:剧。
( 世界数学团体锦标赛试题)
设已知的数依次是α
] ,a z ,a 3 ,a 4 ，… ，α 川… .这若干个自然数
分析与解
排列的规律是什么?
a z- a ]=2 ,
α 19- a
I S = 49
，
a 3- a 2= 3 ,
向-a 3= 4
，
由题意得
a 50
α 19 二50 ，
以上49 个式子左、右两边分别相加，得
49XC2+50)
α õO
α
] =2 十3 十4 十… 十50=
口
= 1274
，
嘎嘎嘎
:. a 50 = 1274 + 1 = 1275 ，即其中的第50 个数是1275.
学为训练
~~~
一
[2ω 十by = 3, .. .._ . [x = 1 ,
1. 已知关于x
，y 的二兀一次方程组斗
的解为4
则a - 2b 的值为
lax-by=l
ly=- l,
一一-一
(四川省眉山市中考题)
2. 如图所示的两架天平保持平衡，且每块方形巧克力的质量相
等，每个椭圆形果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量
第
2 题图
是克.
( 河北省中考题)
为
解
h
刊
d
组
口
-
土
4
+
斤
1
方
数
反
口
H
H
'
在
付
，
为
互
vd
TA
解
h1J
nxu
h
一
叮
L
α
←
一
一
YY
Edm/
一
+
II
叮
气
U
门
/
』
，
{
l
l
j
飞
l
l
l
、
组
口
王
31
方
↓
叶
d
一
G
当
。
ο
(天津市竞赛题)
也. 己知x-y=4 ，
l x l+l yl=7
，那么工+y 的值是(
11
B. 土E
A±?
D. 土11
(浙江省宁波市中考题)
..13
C. 士7
a~~ 垣血量重噩噩草草.
f2α
3b=13 ，
rα=8 . 3 ，但(x + 2)-3(y- 1) =13 ，
5. 已知方程组J
的解为{
则方程组才
的解是(
1 3α +5b=30 . 9 -
- - Ib= 1.2,
l3(x 十2)+5(y- 1) =30.9
rX = 10.3 ,
D. ~
lY =0.2
( 山东省枣庄市中考题)
6. 已知( X-y 十1) z + 1 2x + y - 7 1 = 0 ，则X Z -3xy+2旷的值为(
A. 0
B. 4
C. 6
D. 12
(重庆市竞赛题)
7. 解下列方程组:
(1 X 一1
1 十
l y - 2
1 =6 ,
(1)
斗
ll x - 11 =2y-4
( (x 十y) (x 十z ) = 15,
(3)
才(y + z)(y 十x) = 18 ,
l (z +x )(z 十y) = 30.
。
，
ω
-inb
一
一
一
y
+
以
|
十
工
--
z
f
l
l
J
气
l
l
t
。
中
(青少年国际城市数学邀请赛试题)
(4) 下面的等式成立: 工l X Z =X ZX3 =X 3X 4 = …=工99 工100 =XI00 X I 01 二X I 0 I Xl =
1. 求工1 , X Z,"',
工1 00 ,X 1 0 1 的值.
C " 华杯赛"试题)
••
拓展. •
8. 非零有理数α ，b ，ι 满足α + 2b 十3c=2α +3b +4c=0 ，那么生十二+主=
α
o
c
('. 华罗庚金杯" 少年数学邀请赛试题)
为
值
的
-
G
一
十
，
。
-
K
G-t
工
-
7
·
·
。
-
G
旧
只
一
一
ω
Z
l
-4
一
-
k
-h
l
-3
一
一
ω
一
川
足
满
'O
G
数
个
一
一
一
知
已
ny
(全国初中数学竞赛题)
r ~工+y =α ，
10. 关于工旷的方程组~ 2
只有唯一的一组解，那么α 的取值为
llx l- y = l
C" 华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
..14
-~ ~ 1\: 国..
r2x - y=5 ,
11. 己知关于x ，y 的方程组斗nx +3y= b +2 ，有无数组解，则在b ，走
，n
，m 中任意取两数相乘，其乘
lmx 十2y = 走一l
积的最小值为(
).
A. -12
B. 16
C. 20
D. 24
( 四川省成都市石室中学自主招生试题)
rlx+yl+
l y+zl 十Iz+x
l =4
12. 已知整数x ，y ，z 满足x ~y~z ，且斗
-
. -
llx-y I + Iy-z 1+ Iz -x 1=2
于(
).
:，那么叫2叫值等
A.2
B. 14
C. 2 或14
D .
1 4 或
1 7
C " 希望杯"邀请赛试题)
为
值
的
yO
α
旧
只
解
组
数
无
有
AU
O=
=1
寸
+
yno
--
rk
「
l
l
J
气
l
l
L
组
口
-
土
43q
方
的
y
z
于
关
。
。
咱
i
A. a= O,b= O
B. a=-2,b= 1
C.α = 2 ，b =- 1
D. α = 2 ，b = 1
C'. 希望杯"邀请赛试题)
14. a
，b ，c ，d ，e 分别代表3 ，4 ，5 ，6 ，7 中的一个，若α 十l + b=l 十c+e= d +e+2 ，求e .
( 世界数学团体锦标赛试题)
• •
创新. •
r5x-4y = 7,
15. 已知走是满足1910<走< 2010 的整数，并且使二元一次方程斗
有整数解，问: 这样的
l4x+ 5y = 走
整数h 有多少个?
C " 华罗庚金杯" 少年数学邀请赛试题)
..15
-次i方程组的应用
数学不应被想象为一种费解、难懂而又违背常识的东西，实际上，数
学正是常识的精微化.
一一汤姆逊
~~)'- 知识纵横
嘎嘎嘎
一次方程组是解决许多实际问题的有力工具，它被广泛地应用于社会生
活的多个领域.
对于含有多个未知量的问题，我们运用方程组求解往往比单设一个未知
数建立一元方程求解容易.一般说来，许多应用题既可用列方程来解，又可用
列方程组来解，它们有各自的优缺点. 因此，解题时需具体问题具体分析，当列
方程比较困难时，可改用列方程组来解决问题.
1 514 年
，德国画家丢勒
创作了一幅铜版画《忧伤>> ，画
面右上方挂着一块4 阶幻方，
该画反映了人们对没有充分
的知识与智慧去探索自然界
奥秘的深深的"忧伤"
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
蝠'
小明有10 分、1 5 分和20 分三种面值的邮票共30 张，面值的总
和为5 元，其中20 分邮票比10 分邮票多
张.
( " 希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
设10 分、1 5 分和20 分三种面值的邮票分别买了α 张、b 张和
c 张，得三元一次方程组，方程组的解能具体求出吗?确定主元或目标导引.
.16
主程3量
。00.. •
当方程的个数
少于未知数的个数
时，未知数的值不
能唯一确定，可视
:
某个未知数为常
量，实现变量与常
:
量的互相转化，或
:
视某些量的和为整
体，促使问题的解
决.
:锐'
A.1
思路点拨
2
3
5
~. ，5x-Y
已知x
，y
，z 满足一= 一一一= 一一一，则一一一的值为(
X
y-z z +x 'N y +2z
B.l
3
c;
将连等式拆开运用或引人参数.
I
D. =
2
(全国初中数学联赛题)
蝠'
小林在某商店购买商品A ，B 共三次，只有一次购买时，商品A ，B
同时打折，其余两次均按标价购买.三次购买商品A ，B 的数量和费用如下表:
购买商品A 的数量( 个)
购买商品B 的数量(个)
购买总费用(元)
第一次购物
6
5
1140
第二次购物
3
7
1110
第=次购物
9
8
1062
(1)小林以折扣价购买商品A
，B 是第
次购物;
(2) 求出商品A
，B 的标价;
(3) 若商品A
，B 的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的?
(江苏省连云港市中考题)
思路点拨
从表格获取信息，薄利多销，将问题转化为解方程组.
蝠'
已知工1
，X 2
'句，…
，X n 中每一个数值只能取一2 ，0 ，1 中的一个，
且满足X l+工2 十… +ι =-17 ，工]2+ 工22 十… +x ，，2 =37 ，求z J 十工23 十… +
zf 的值.
C' 华罗庚金杯"香港中学数学邀请赛试题)
思路点拨
因工J
，X 2
' 川，…
，X n 中每一个数值只能取-2 ，0 ，1 中的一
个，故只需求出相应值的个数，将问题转化为解方程组.
-E军~
世稽
。00.. •
现代社会是信
息化社会，各种信
息以各种不同的方
:
式出现在人们面
。
前，用表格的形式
'
给出已知信息，是
:
近年中考应用题的
:
新特点，解这类问
:
题的关键是:
(1)从表头中
了解对象，从表列
: (行)中得到数据.
(2) 处理数据，
:
寻找隐含的规律.
在信息化社
:
会，我们时刻面对
:
着汹涌而来的各种
:
数字、数据，对数据
: 进行恰当分析处
:
理，发现规律，作出
:
判断，是现代人必
I
备的基本素养.
.n
aE握主昌盛画画~盈盈·
[旺。
小王沿街匀速行走，发现每隔6 分钟从背后驶过一辆公交车，
撞撞。00...
每隔3 分钟从迎面驶来一辆公交车. 假设每辆公交车行驶速度相同，而且公交
:
f、旦-…
车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟?
(" (( 数学周报》杯"全国竞赛题)
分析
本例是一个既含有相遇又含有追及的综合性行程问题，有下列隐
含的等量关系
:
①迎面驶来两车距离= 3C 车速+ 人速) .
②背后开来两车距离=6C 车速一人速) .
③迎面驶来两车距离二背后开来两车距离.
④同向两车距离= 车速×发车间隔时间.
解法一
设公交车的速度为工米/分，小王行走的速度为y 米/分，发车
间隔的时间是t 分钟.
r3(x + γ)=6(x - v)
，
则斗
-
-
解得t=4 .
l6Cx - y)= 刀，
即公交车总站发车间隔的时间为4 分钟.
解法二
设同向行驶的相邻两车的间距为
5 米，发车间隔的时间为
t 分
钟，小王行走相邻两车间距5 米所用的时间为m 分钟.
3(?十;) = 5 ，
即斗
解得t=4 .
6(? 一;)=5 ，
即公交车总站发车间隔的时间为4 分钟.
幻方
现在3 X 3 的方阵图中，每行、每列、每条对角线上3 个数的和都相等，
就称它为三阶幻方.
解幻方问题，常需恰当引元，运用幻方定义、性质、整体核算等方法求解.
[任。
如图，3 X3 数表各行、各列及两条对角线之和彼此
相等，设为S . 求证:
(1) S = 3e;
对"匀这" " 间
隔"等关键坷的分
析可发掘隐含的多
个等量关系，这是
生成不同解法的基
础，而恰当引入辅
助未知数，化难为
易、化隐为显是不
同解法的共同特点.
人类总在自觉
:
或不自觉地整体思
考. 婴儿认识母亲，
:
是从母亲的声音、
容貌等方面整体上
;
辨认; "丢卒保车"
"宇宙流"等棋类对
弈中的招数，是着
眼于全局得失的深
:
谋远虑;不计一城
一池的得失而关注
整个战役的胜利，
这些都是胸怀全
(2) 2 (α 十C 十g 十i) = b + d 十f 十h 十4e .
，
局、整体思考的生
动体现.
( 环球城市数学奥林匹克竞赛试题)
.18
-E罩罩匾~
证明
(1) 5 二α + e+ i = b +e+ h = c + ε 十g = d 十e+ j ，相加得45=
a + b +c+ d 十e+ j +g+ h 十i 十3e
，故S 二3e.
(2) 5=α 十b 十c=b 十e + h
，故α 十c=e 十h
，同理a + g=e 十j ，g + i =
e+b ，c 十i =e+ d
，四式相加得2(a 十c+ g + i) = b 十d + j + h + 4e.
三阶幻方如何构造?熟悉例6 揭示的规律及以下性质，是构造的关键.
(1)在三阶幻方中，每个数都加上或都乘以一个相同的数，仍是一个三阶
幻方.
(2)d + j = b 十h 二α 十z =c 十g= 2e.
~~~学为训练嘎嘎嘎
••
穷实
. .
1. 如图，将表中的7 个方格填人不同的数字，使得每行、每列、每条对角线上的3
个数字之和都相等，则表中左上角的数字是
(广东省深圳市"启智杯"数学思维及应用能力竞赛题)
2. 某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由
1 5 朵红花、24
朵黄花和25 朵紫花搭配而成，乙种盆景由
10 朵红花和
12 朵黄花搭配而成，丙
iã~童。"…
20 12
-20 10
第
1 题图
种盆景由
10 朵红花、18 朵黄花和25 朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了
2900 朵红花，37 50 朵
紫花，则黄花一共用了
朵.
(重庆市中考题)
3. 一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形
为正方形.在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n 个小矩形的周长，|| ( I I
|I I( |
就一定能算出这个大矩形的面积，则η 的最小值是(
).
第3 题图
A.3
B. 4
C. 5
D. 6
( 浙江省宁波市中考题)
也. 甲是乙现在的年龄时，乙10 岁;乙是甲现在的年龄时，甲
25 岁，那么C
).
A. 甲比乙大5 岁
C. 乙比甲大10 岁
B. 甲比乙大10 岁
D. 乙比甲大5 岁
( 全国初中数学竞赛题)
..19
dEi辈革主撞撞温后..
王军-
5. 某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天
3 _ 8
生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的和
甲、乙两组检验员进驻该厂进行
4 "
M 3 .
产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产.甲组用
了6 天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完;乙组先用2 天将第四、五车间的所有成品
同时检验完后，再用4 天检验完第六车间的所有成品(所有成品指原有的和检验期间生产的成
品) .如果每个检验员的检验速度一样，求甲、乙两组检验员的人数之比.
(重庆市中考题)
6. a l 'α 2 ，…，a 20 1 4 是从1，0 ，一1 这三个数中取值的一列数，若α 1+ α 2+ … + a 2014 = 69 , (a l + 1)2 +
(α 2 十1) 2+ … 十(a 20 1 4 + 1)2 =4001 ，问α1
，a 2
' …，a 2014 中有多少个O?
• .
能力拓展·
7. 如图，是由4 个相同的长方形A 和
1 个正方形B 组成的，则长方形A 的
面积为
( 世界数学团体锦标赛试题)
8. 已知2x-
l y I =一7 ，3
I xl+2y=0 ，则xy=
C" 希望杯"邀请赛试题)
9. 甲、乙分别自A
，B 两地同时相向步行，2 小时后在中途相遇.相遇后，
(江苏省扬州市中考题)
第7 题图
甲、乙步行速度都提高了
1 千米/小时.当甲到达B 地后立刻按原路向A 地返行，当乙到达A
地后也立刻按原路向B 地返行.甲、乙两人在第一次相遇后3 小时36 分钟又再次相遇，则A
，
B 两地的距离是
千米.
C" 希望杯"邀请赛试题)
10. 满足式子
I x-51 +4Iy+21 =10 的整数对(工
，y) 有(
)对.
A.4
B. 8
C. 10
D.16
C" 华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
.. 80
E:s.=-犀理矗
3 b + ι
1 1. 已知实数α
，b ，c 满足2α 十13b +3c =90 ，3α 十9b +c=72 ，则一一一= (
).
α 十2b
A.2
B.1
c. 0
D. - 1
12. 利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放
置，再交换两术块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图所
示，则桌子的高度是(
A.73cm
B. 74cm
C.75cm
D. 76cm
( 全国初中数学竞赛题)
u=0!cm
~oem
罔①
罔②
第
1 2 题图
( 英国中学生竞赛题)
13. 某次数学竞赛前60 名获奖.原定一等奖5 人，二等奖1 5 人，三等奖40 人;现调为一等奖
1 0 人，
二等奖20 人，三等奖30 人.调整后一等奖平均分数降低3 分，二等奖平均分数降低2 分，三等
奖平均分数降低l 分.如果原来二等奖比三等奖平均分数多7 分，求调整后一等奖比二等奖平
均分数多几分?
( '" 华杯赛" 决赛试题)
• •
1也. 有理数α ，b ,c ,d ，e 满足α <b < c <d <e ，且任意两数之和共十个数中最小的三个数是32 ，36 ，
37 ，最大的两个数是5 1 ，48 ，求e 的所有可能值.
(意大利数学奥林匹克竞赛试题)
.81
数学科学呈现出一个最辉煌的例子，表明不用借助实验，纯粹的推理
能成功地扩大人们的认知领域.
-一一康德
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
不等式(组)是探求不等关系的基本工具，不等式(组)与方程(组)在相关
概念、解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在:等式、不等式的性质;
解方程组时，我们可以"统一思想"，即可以对几个方程进行"代人"或"加减"
式的加工，解不等式组时，我们只能"分而治之"，即只能分别求出每个不等式
的解集，然后再求公共部分，才能得出不等式组的解集.
1 858 年，德国数学家牟比乌斯( 1790- 1868)
在法国巴黎科学协会举办的数学论文比赛上，公布
了他发现的奇异的曲线: 这个曲面尽管每一小段都
有正反两面，但从整体上看却只有一个面.
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
蝠'
对非负实数z 四舍五入到个位的值记为( x)
，即当η 为非负整
数时，若n - 1ζz<n +1 ，则(x ) 二n ，如( 0.46 ) 二0 ，(3.6 7) = 4 .
2
给出下列关于(x) 的结论:
(1) (1.493) = 1;
(2) ( 2x ) = 2 (x ) ;
ω 若(~ x- 1) =4 ，则实数工的取值范围是9~x< 1l;
(4) 当z 二三O ，m 为非负整数时，有(m 十2013x) = m 十( 20 1 3x );
..82
iê~毒
。00.. •
类比是根据两
:
个对象或两类事物
的一些属性相同或
相似，猜测另一些
属性相同或相似的
思维方法，方程与
;
不等式可以从几个
方面类比学习
:
(1)相关定义.
( 2 ) 基本性质.
(3) 解法.
(4) 解的情况
的讨论.
法国著名数学
家拉普拉斯曾说:
"即使在数学里，友
:
现真理的主要工具
也是类比"
E匈9盛~
iãt罢
。00. . •
符
用
生
G
Z
〉
〈
〉
〉
哇
'
U
U
〈
〈
[
工
|
|
坤
，
川
念
川
l
J
或
M
M
扎
绝
…
J
l
概
知
←
若
咀
若
队
芳
、
含
寄
值
)
J
)
〉
)
〈
)
α
解
不
对
门
ω
川
M
Z
门
α
ω
则
的
绝
·
·
\
乒
川
队
则
乱
则
-
h
号
到
质
ω
〈
如
-
h
M
(5) ( x 十y) = (x) + (y).
其中，正确的结论有
(填写所有正确结论的序号) .
( 四川省乐山市中考题)
直接判断或举出反例判断或逆向建立z 的不等式判断.
f7x-m 二三0 ，
如果关于工的不等式组才
的整数解仅为1，2 ，3 ，那么
16x-n <0
思路点拨
圃'
适合这个不等式组的整数对(m ，η) 共有(
D. 13 )(才
C. 36 又才
B. 42 )(才
A. 49 )(才
( 江苏省竞赛题)
借助数轴，分别建立m 州的不等式，确定整数m
，n 的值.
思路点拨
解下列关于工的不等式(组) :
[制@
(1) (2m工十3) < 3x + n;
(2)
I x-2 1~ 2x - 10;
(3) 求不等式
I x-1
1 + Ix -21 ~ 3 的所有整数解的和.
("' 希望杯"邀请赛试题)
与方程类似，解含字母系数的不等式(组) 需要对字母系数进
行讨论;解含绝对值符号的不等式(组)的关键是去掉绝对值符号，化为一般
的不等式来求解，而"零点分段讨论法"是最有效的方法.
已知三个非负数a ,b ，c 满足3α + 2b+c=5 和2α 十b - 3c=1 ，若
m = 3α + b - 7c ，求m 的最大值和最小值.
思路点拨
[锐'
( 江苏省竞赛题)
本例综合了方程组、不等式组的丰富知识，解题的关键是通
过解方程组，用含一个字母的代数式来表示m ，通过解不等式组，确定这个字
思路点拨
..83
母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值.
aE军噩噩IIHI;Jf署lBi草噩
现~O
将若干由
1 开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个
数，则余下的数的平均数为叫，问删去的那个数是多少?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
分析
设所写的数为1，2 ，…
，n
，删去其中的α (l ~ a ~ n)
，则余下的数的
1 十2 + … + n - a
4
平均数为
1
=537 ，由
1 ζα ~ n
，通过放缩建立关于η 的不等
式组.
解
.:1 ~α ~ n
，
(1 + 2+ 3+ … 十η) - n
_ (l 十2+ 3 + … 十n) -a
_ (1 + 2 +3十… + n) - l
n - 1
、
n - 1
、
n - 1
1(nIM1(η + 2) (η
1)
4
2
即吁
< 53τ <
n-l
(
n-1
，解得川; ζ民川;，71 =
106 或107. 当n=106 时，α 二46; 当n=107 时，α 为非整数，舍去.
多元不等式
通过确定主元、放缩、代入消元或运用不等式性质( 若α > b
，c > d
，则
α + c > b + d) 等方法，化多元不等式为一元不等式，是解多元不等式的重要
策略.
[任。
若X I ~X 2 ~… ~X IOO ,XI +工2 + … + X IOO = 1000 ，且XI 十X 2 + … +
xl o ~ 190 ，求工l 的最大值.
(世界数学团体锦标赛试题)
分析
根据后两式得出工II+X I 2 + … 十工1 00 二三810 ，结合XI 二三工2 二三… 二三
工1 00 得出工2 二三X 3 二三… 二三Xll 二三9 ，代人工1 +X 2 十… +X1 0 ::S三190 即可求解.
解
.: Xl 十口十… + X 1 0 ::S二190
，
:. Xll 十X I 2 十… 十X 1 00 二三1000 - 190 = 810 ，
于是90 Xll 二三Xll 十XI Z + … +XI OO 二三810 ，即XII 二三9 .
从而X 2 二三9 ，工3 二三9 ，…
，XI O 二排，
由工I+X 2 + … 十x l o ~ 190 ，得xI~ 190 - 9 X 9=109.
又当x I =109 ，工2 - 工3 二… =xl oo =9 时，符合题意，
故XI 的最大值为109.
..84
iã'蛋
。00. . •
般缩，即将代
数式的某些部分恰
当地放大或缩小，
从而得到相应的不
等式，以达到解决
问题的目的.
放缩法的实质
是构造不等式，通
过缩小范围逼近求
解，体现了化"相
等"为"不等"、以
"不等求相等"的策
略和思想
数学眼光远视
生活是数学的
源泉，而数学是常
识的精微化，数学
的眼光是探寻的、
洞察的、深邃的、辩
证的.在复杂的表象
中去发现数的规律，
去寻找形的结构.
-JIt~圈~
~~~学为训练嘎嘎嘎
••
穷实. •
x+5
7
1. 若不等式
>-x 一的解集都能使不等式(m-6)x<2m+1 成立，则实数m 的取值范围是
2
(四川省绵阳市中考题)
2. 已知α < 0 ，且以Ix ::(α ，则
1 2x - 61 - 1 x -
2
1 的最小值为
("希望杯"邀请赛试题)
(x -a ::(O,
3. 己知关于工的不等式组斗
的解集中至少有
5 个整数解，则正整数α 的最小值为
1 2x + 3α > 0
(广西壮族自治区中考题)
是
围
什
泡
值
取
的
α
m
m
川
解
有
+-3
工
一
\
乒
α
1
4
<
十
h
川
一2
f
l
l
l
l
l
〈
l
l
l
l
|
飞
组
式
等
不
忡
右
M
哇
A. a < -36
B. a ::(-36
c. a>- 36
D. a 二三
36
(山东省泰安市中考题)
是
围
茄
~
值
取
,qJ
n
m
m
川
个
A
吐
有
韭
〈
解
数
整
的
A
V
/达
mnu
--
X
巾
i
r
l
-
-
J
I
-
-
飞
组
式
等
不
的
工
于
关
若
民
U
A.6< m < 7
B.6::(m < 7
c. 6 运m ::( 7
D.6< m ::(7
(山东省泰安市中考题)
6. 已知α ，b 为常数，若αx+b > O 的解集是工<1 ，则bx-a < O 的解集是(
).
3
A. x>-3
B. 工< -3
c. x>3
D. x<3
(江苏省竞赛题)
7. 解下列关于工的不等式(组) :
(1)fx 十b>;工+ab
(2)
1 2x 一1 1ζ 3
(3) 1 ax -1 1 >αx -1
.. 85
aE罩噩噩噩噩E墨E蓝蓝.
8. 阅读下列材料:
• •
对于三个数α
，b ，c 用M { a
，b ，c } 表示这三个数的平均数，用mm怡
，b ，c } 表示这三个数中最
- 2+ 3+ 4
5
小的数，例如: M { -
2, 3, 4} =
- '" ~ ,
~ =
~ ; min { - 2, 3, 4 } =一2 ，min { -
2 ，3 ，α } =
3
3
{a以内
(ω…
α
解决下列问题:
一2(a > 一2υ) ,
(1) 若min { 5 - 2工，3 ，3x 十2 } = 3 ，则工的取值范围为
(2) ①若M { 2 ，x 十1 ,2x } = min {2 ，x 十1 ，2x }
，则工的取值为一一一一一;
②根据①，你发现了结论"如果M { a ,b ,c } =min{a ,b ，c }
，那么
关系) " ，并说明理由.
③利用②的结论，解答以下问题:
(填α
，b ，c 的大小
若M{2x 十y+2 ，x+2y ，2工-y } = min { 2x 十y+2 ，.T 十2y ，2x -y }
，求x+y 的值.
( 湖北省华中师大第一附属中学预录试题)
拓展. •
9. 按如图所示的程序进行操作，规定:程序运动从"输入一个值工"到"结果是否> 487"为一次操作.
如果操作进行四次才停止，那么工的取值范围是
第9 题图
(全国初中数学竞赛题)
1
1
10. 已知a
，b 是不超过1 5 的自然数，若关于工的方程ax = b 的解满足一<x <一，则这样的a
，b 共
4
~- -
~ 3
有
组.
("' 希望杯"邀请赛试题)
问<α 十1 ，
11. 若关于工的不等式组斗
的解集中的整数恰好只有
2 个，则实数α 的取值范围
1 2x - 2 >α
是
(浙江省温州中学自主招生试题)
.86
-E噩罩圈~
fl x+1 1 < 4x - 1,
12 . 已知关于工的不等式组4
元解，则实数α 的取值范围是(
lx<a
Aα <;
B 斗
CG>;
D. a斗
(四川省竞赛题)
253
13 . 满足不等式τ<一<
的有序整数对(m
，η) 的个数是(
) .
.)
n
m
A. 12
B. 13
C. 14
D.15
(" ' 华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
1ι 已知不等式
I x 十1
1 > 2 与不等式
1 x 1 ::(α(α 二三0) 的解集没有公共部分，那么α 的取值范围
是(
).
A. 0::(α::(1
B. 1 ::(α ::(2
C. 0::(α ::( 2
D. α 二三l
( .，希望杯"邀请赛试题)
…
x 一1
2-y z-3
15. (1)已知非负数x
，y ，z 悯足一一工一一=二一，设w =3x+4y 十5z
，求韧的最大值与最小值.
2
3
4
("希望杯"邀请赛试题)
1
1
1
(2) 已知正整数a ,b ，c 满足α < b < c
，且一十一十一=1 ，试求a
，b
，c 的值.
a ' b
c
• •
16 . 设X j
，X 2
' 川，工4 ，工5
，句，工7 是自然数，且工
1 < X2<X3< X4 < X S< X 6< 工7
，Xl+X 2 = 工3 ，工2+
工3
工4 ，工3 十口=工5 ，工4 十工5
工6 ，工5 十工6 二工7 ，又X j 十工2+ 工3 十川十工5 十工6+ 工7 = 2010. 求
Xj+ 工2+ 岛的最大值.
C" 希望杯"邀请赛试题)
.81
数学能集中、强化人们的注意力，能够给人以发明创造的精细和谨慎
的谦虚精神，更能锻炼和发挥人们的独立工作精神.
狄尔曼
~~~知识纵横嘎嘎嘎
在客观世界中，相等的关系是相对的、局部的，不等的关系是绝对的、普
遍的，因此，我们常常需要比较一些量的大小或者对某个量进行估计，列出不
撞撞。。。…
学习不等式，
(1)基本手简单.
许多人非常不
重视基本的东西，
等式(组) ，运用不等式(组)的相关知识予以求解.
甚至轻视它，"基
不等式(组)的应用主要表现在: 作差或作商比较数的大小; 求代数式的
本"应该寺于重
取值范围;求代数式的最值;列不等式(组)解应用题.
这幅版画《红蚁》是埃含尔
1 9 6 3 年的
作品，是表现牟比乌斯带的最生动形象的
作品
，让蚂蚁在牟比乌斯带上爬行，它就可
以不经过边界而爬遍所有的表面.
~~~例题求解嘎嘎嘎
阳
山
川
数
整
正
是
解
的
叫
毛
U
门
L
=
ρ
句
=
-
y
r
什
rill
<1|lL
组
程
方
次
一
兀
的
y
z
于
关
为
'
抽
一
例
-
f
数
整
( 湖北省十堪市中考题)
围
仲
泡
值
取
的
hy
h
Z
几
确
先
nunu
>>
Zy
r--Id-
-l
L
出
固
拨
占
川
路
田
。
..88
:
要"加上"简羊"
(2) 懂手会.
"懂"有时只是
:
浮面的，只是形式
:
上的了解，还必须
经过组织与整理，
;
融会贯通，并从问
:
题的演练中，不断
:
地发现自己不会的
地方，才可以逐渐
:
达到" 真会"的地步.
睛'
若α +b = - 2 ，且α 二三岛，则(
A . 旦有最小值
α
cf有最大值2
B.旦有最大值l
a
D?有最小值一;
(浙江省杭州市中考题)
思路点拨
代人消元，解关于α 或b 的不等式，进而判断豆，手的最值
α
。
蝠'
有甲、乙两台计算机，甲计算机完成一项计算任务需要8 个小
时;乙计算机完成同样计算任务需要16 小时; 如果甲和乙同时计算，由于存
在数据交换等方面的原因，它们的计算速度都会降低九分之一.已知甲计算机
工作每小时耗电3 度，乙计算机工作每小时耗电1 度.而电表中仅有20 度电，
问:完成该项计算任务最少需要多少小时?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
思路点拨
设乙单独工作工小时，甲单独工作y 小时，甲和乙两台计算
机同时工作z 小时，完成此项计算任务需要时间为C x+y+z) 小时，则x ，y
和z 满足:
①
|
们
8
I 1
1
R 十二+百x (1
.L6 + 百)z= l，
x+3y 十4z ~ 20.
②
怎样求解混合关系式?解方程①，代人不等式②及Cx+y+z).
[锐'
问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小.而解
决策略一般要进行一定的转化，其中"作差法"就是常用方法之一.所谓"作差法"就
是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式M ，N 的
大小，只要作出它们的差M-N ，若M-N > O ，则M> N; 若M-N 二0 ，则M=
N;若M- N<O ，则M<N.
问题解决
如图①，把边长为α 十bC α #-b) 的大正方形分割成两个边长分别是α
，b
的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和M 与两个矩形面
-It l:j it 理lIiì
主造$蜜。"…
数学思想方法
直接影响我们对数
学本质的认识，是
;
联系知识的纽带
;
.
数学思想方法还具
:
有导向作用，即研
:
究数学和解决数学
问题的指导思想，
:
表现为一个"好念
:
头" 、一种"好思路"
.89
aE军军昌盛疆罩噩噩噩罩-
思想需要经验
主蓝3辈
。00.. •
受的沉淀，最细致的
体验需要最宁静、透
"作商法"也是比较
法"的基本规律吗?
些? 怎样使思维顺
畅地前进?
。
b
b
G
积之和N 的大小.
α
由图可知
，M= α 2 十折
，N=2αb
，
解
b
人M - N = α 2 十b 2 - 2α b = ( α - b) 2 .
b
。
.: a 芋b ，:. (a -b) 2>0 , : . M - N >O , :.M> N .
图①
类比应用
(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为
α + b _ . _ .
2ab 一
一一元/千克
兀/千克(α
，b 是正数，且α #b)
，试比较小
'α + b
丽和小颖所购商品的平均价格的高低.
(2) 试比较图②，图③两个矩形的周长M 1
，N 1 的大小Cb >c ) .
a+b
b+3c
C
G
b+c
的累积，灵感需要感
彻的观，~、.
例
4 貌似平淡
联系拓展
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子"打包"，箱子的尺寸
如图④所示(b > α >c>O)
，售货员分别可按图⑤，图⑤，图⑦三种方法进行捆
绑，问哪种方法用绳最短? 哪种方法用绳最长?请说明理由.
图③
图②
而意境深远，选材
平实而构思精巧，
两数大小的常用方
法，你能给出"作商
罔⑦
罔⑥
罔⑤
( 山东省青岛市中考题)
α 十b
2ab
类比应用:作差一一-
一一，化简后与0 比较大小.
2
α +b
分析
联系拓展:设图⑤，图⑥，图⑦的捆绑绳长分别为
L I
，L z，L n 分别比较
L1 - l 2 ,l 2 - L3 ,l 3 - l l 与0 的大小关系，从而可以确定l l
，l 2 ，l 3 的大小.
4
吨
撞
·
·
·
m
A
Fa
同
·
·
A鑫
m
v
·
鲁
南
·
·
-
-
d
(α -b)2
2Cα + b) ,
类比应用
'hu
-
G
-
A
哇
-
、
l
一
一
忖
，
。
一
α
十
-
W
U
G
一
一
一
旦
山
川
一2
解
.: a ，b 是正数且α # b
，
ω
一
山
>
川
一2
AU
>
、
/
-
y
O
才
一
叶
α
-
f
飞
/
t
、
一
门
/
臼
是什么引起了
思维?怎样"数学
地"思考?数学思
维常见策略有哪
即小丽所购商品的平均价格比小颖的高.
(2) 由图知，M 1 =2 (α 十b + b + ι) = 2α 十4b +2 c
，
N 1 =2 (a- c+ b 十3 c ) =2α 十2b+4c
，
M 1 - N 1 =(2α +4b +2c) 一(2α +2 b 十4c) =2b - 2c =2(b -c),
.90
-ø: ~ it 理-
毡棍
。00.. •
..91
': b >c
，人
2Cb - c) > 0
，即M 1 - N j> 0
，M 1> N 1
.
·.
图②矩形的周长大于图③矩形的周长.
联系拓展
设图⑤的捆绑绳长为
I 1 ，则
I I 二2α X 2+ 2b X 2+ 4c X 2=4α +4b + 8c
，
设图⑥的捆绑绳长为
l 2
，则
l 2 = 2α X 2+ 2b X 2+ 2c X 2=4α + 4b+ 钉，
设图⑦的捆绑绳长为
l 3
，则
l 3 = 3α X 2+ 2b X 2 十3c X 2=6α 十4b+6c
，
l j •
l 2 = (4ω + 4b 十8 c) 一(4α + 4b + 4c) = 4c > 0 ，:. l l>l 2.
l 3 -l 2= (6α 十4b + 6c) 一(4α + 4b + 4c) = 2α 十2c > 0 ，λ
l 3> l 2 .
l 3 -l j= (6α 十4b 十6c) 一(4α 十4b + 8c) =2α -2c =2(α - c) .
.: a > c , :. 2Cα - c) > 0 ， &P l 3 -l j > 0 ,l 3>l l'
所以图⑦的捆绑方法用绳最长，图⑥的捆绑方法用绳最短.
排序原理
在解一些涉及多个变元的数学问题时，题设条件并没有给出变元的
大小顺序，若给它们假设一个大小顺序，并不影响命题的成立
，却给问题
的解决增加了一个可供使用的条件，从而降低问题的难度，这种方法叫排
序原理.
求最小的正整数η ，使得存在η 个不同的正整数51 ,52 ，…
，5" 满
9
弘
一
例
…
二
:
足
( 国际数学奥林匹克竞赛试题)
面对多元不定方程，要求"最小的正整数η" ，考虑连续正整
数，通过排序、放缩，化相等为不等.
假设正整数n 满足条件，且设51 < 5 2< … < ι.
则
5 i 二三i + ICi= 1，2 ，… ，η).
注意到，
分析与解
品=(1-f)(1-f)(lf) 注(1-j)(1-f)( 1 -tI)=
n + 1'
2010
670
于是，η 十1 注一一一=~ > 39. 从而，η 注39.
51
17
下面举例说明n = 39 满足条件:
取39 个不同的正整数
: 2 ，3 ，…，33 ，35 ，36 ，…
，40 ，67 ，其满足题设等式.
综上，刀的最小值为39 .
dE军军军æLi蠢蠢EEl.:W'
~~~学力训练嘎嘎嘎
• . 基础穷实·
1. 高斯函数[x J ，也称为取整函数，即[x J表示不超过工的最大整数.例如: [ 2 . 3J=2 ，[ -1. 5J = 一2.
则下列结论:
([ -
2.1J 十[lJ=-2;
(
[xJ +[-xJ=O;
③若[x+ l J=3 ，则工的取值范围是2 :::;;x < 3 ;
④当一l:::;;x < 1 时，[x + 1J 十[-x 十1 J 的值为0 ，1，2.
其中正确的结论有
(写出所有正确结论的序号).
2. 若α
，b 满足3α 2+5I b
l =7 ，s=2α 2- 3
1 b
1 ，则5 的取值范围是
(四川省乐山市中考题)
(广西壮族自治区竞赛题)
3. 为剌激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动. 活动方案如下:在商场收银台旁
放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个(除颜色外，大小、形状、质地等
完全相同) ，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可
分别返还现金50 元、30 元、10 元.商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为:
第二时段摸到红球次数为第一时段的3 倍，摸到黄球次数为第一时段的2 倍，摸到绿球次数为
第一时段的4 倍;第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4 倍，摸
到绿球次数为第一时段的2 倍，三个时段返现总金额为2 5 10 元，第三时段返现金额比第一时段
多420 元，则第二时段返现金额为
兀.
(重庆市中考题)
甚. 运行程序如图所示，规定:从"输入一个值x"到"结果是否> 95"为一次程序操作.
第4 题图
如果程序操作进行了三次才停止，那么工的取值范围是
(山东省碎坊市中考题)
ù. 在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号(为正整数)与脚长(毫米)的对应关
系如表1:
'但
鞋号(正整数)
脚长(毫米)
·配置ZEE2·.
为了方便对问题的研究，活动小组将表
1 中的数据进行了编号，并对脚长的数据b n 定义为[b n J
如表2:
序号n
l
2
3
4
5
鞋号αn
22
23
24
25
26
脚长b n
160 士2
16 5 士2
170 士2
175 士2
180 士2
脚长[ b "J
160
165
170
175
180
定义:对于任意正整数m 、η ，其中m > 2. 若[b" J =m
，则m-2~b n~m+2.
如
: [ b 4 J= 175 表示175-2~仇~ 175 十2 ，即173~仇~ 177
6
......
27
......
185 土2
......
185
......
(1)通过观察表2 ，猜想出ι 与序号n 之间的关系式，[ b"J 与序号n 之间的关系式;
(2) 用含α" 的代数式表示[b" J; 计算鞋号为42 的鞋适合的脚长范围;
(3) 若脚长为271 毫米，那么应购鞋的鞋号为多大?
• . 能力拓展·
6. 己知α + b +c =O ，α > b >c ，则三的取值范围是
α
(宁夏回族自治区中考题)
(江苏省竞赛题)
7. 己知正整数n =abc < 10000 ，α
，b
， c 均为质数，且2α 十3b =c
，但十c 十1= 份，那么α 的值
为
5 _y
3
8. 己知正整数工
，y 满足一<一<一，则x-y 的最小值是
J "', ,- 9
x
- 5
(全国初中数学竞赛题)
( . . 希望杯"邀请赛试题)
9. A 商品的单价是50 元，B 商品的单价是60 元，几所学校各付款1220 元购买了这两种商品，任意
2 所学校购买的A 商品的数量都不同. 则参加这次采购的学校最多有
所.
10. 如果n 个不同的正整数的和不超过50 ，那么n 的最大值是(
).
A. 10
B. 9
c. 8
D. 7
(四川省竞赛题)
(..希望杯"邀请赛试题)
..93
aE军主昌盛:Hf.iE噩噩草草噩
3
4
10
一一一
a 十b
I
C 十α
b + c'
1 1. 己知正数a
，b ，c 满足斗
则(
).
A . α <b <c
5
3
8
一十一一
b+ c
' α +b
c + α'
B. a < c< b
c. b <c<α
D. c<α <b
("希望杯"邀请赛试题)
12. 已知非负数α
，b ,c ,d ，e 满足等式α +b + c 十d 十e= l.若α + b 十c ,b+ c+ d ，c + d +e 的最大值
为M ，则M 的最小值为(
) .
2
A 3
l
B. =
2
c t
D. l_
4
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
1
1
1
13. 用[α]表示不大于α 的最大整数，A= 一+一+一+ … 十一一丁，求[3A ] .
13
' 23
' 33
'
' 2015
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
1也. 设工1
，X 2 ' 町，工4 ，均是正整数，任取其中四个求和后得到的结果是44 ，屿，46 ，47 ，求这五个正
整数.
( 清华大学自主招生试题)
.94
数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力，启发人们向往理念的端
倪，便于将灵魂从变化的世界转向真理的存在.
柏拉图《理想国》
,.,.,. 知识纵横
嘎嘎嘎
指数运算律是整式乘除的基础，有以下四个:a m • a l1 == α 叶11
，Ca 1n) η=in
，
Cab)" = α nb n ，α m __:_α 1/ ==am - n . 学习指数运算律应注意
:
1.运算律成立的条件;
2 . 运算律字母的意义: 既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多
项式;
3. 运算律的正向运用、逆向运用、综合运用.
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数
的演算方法相似.
在历史上，许多著名的哲学家，
非常重视对数学的学习与研究，并积
极推动数学知识的传播. 左图是古希
腊哲学家柏拉图(前427
前347)
，他
在自己所创建的学园里研究哲学和
数学，并在学园大门上刻着铭文"不
懂几何者不得入内"
,.,.,. 例题求解
嘎嘎嘎
圃'
(1)把( 工2-X+ 1) 6 展开后得α 12 工12 十α llX 11 十… 寸hj 十a1 X
+ α 。，则a 1 2 十a lO 十α8+α 6 十a 4+ α 2+ a O =
C" 祖冲之杯"邀请赛试题)
(2) 已知CX + l) Z ( 工2- 7) 3 =a o 十a
j (X 十2) 十α2 Cx + 2) 2 十… 十月~ Cr 十
主亩$毒
。00.. •
一般地，被除
式、除式、商式和余
:
式之间有下面的关
系式:
被除式二除式
× 商式十余式
特别地，当余
式为零时，称除式
能整除被除式.
在解数学题
时，将问题中的某
:
些元素用适当的数
:
表示，再进行运算、
:
推理解题的方法叫
:
赋值法，用赋值法
:
解题有两种类型
:
(1)常规数学
问题中，恰当地对
:
字母取值，简化解
题过程.
C 2) 非常规数
学问题通过赋值，
:
把问题"数学化"
..95
dE运组撞撞E墨11.5孟·
2 户，贝Ú a l
α 2 十α 3 - a 4 + α 5 -a 6 十a 7 二
(". 五羊杯"邀请赛试题)
思路点拨
我们很难将相应多项式的展开式写出，因此想通过展开式去
求出每一个系数是不实际的，事实上，上列等式在工的允许值范围内取任何
一个值代人计算，等式都成立，所以考虑用赋值法解.
[制'
A.2
1
1
已知25 X = 2000 , 80Y = 2000 ，则
十
等于(
x
y
B.1
l
c. =
2
3
D. -:-2
(". 希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
1
1
因x ，y 为指数，我们目前无法求出x
，y 的值，一+ 一=
x
y
守，其实只需求出巾，巧的值或它们的关系，自然想到指数运算律
[昏[Ð
已知x 2 十x=l ，求x 4 +2X 3 - x 2 - 2x +2005 的值.
C . 华杯赛"试题)
思路点在'
恰当地运用条件，把高次项用低次多项式表示，如x 2 = 1
x ,x 3 = x . x 2 =xC1-x)= x - x 2 = x 一C 1- x ) =2x -1 等.
现。
设α
，b ，c ，d 都是自然数，且α 5 =b 4 ，C 3 二d 2 ，α - c =1 7 ，求d- b
的值.
( 上海市普陀区竞赛题)
思路点拨
设α 5 _ 扩=m 20 ,( 3 =d2 = 川，这样a
，b 可用m 的式子表示，
c ，d 可用n 的式子表示，减少字母的个数，降低问题的难度.
[~[ø 已知多项式矿一ν 十ω
的值.
(北京市竞赛题)
解法一
列竖式演算，根据整除的意义解.
.96
撞撞
。00 .
运用指数运算
律解题，应注意以
下几点:
(1 ) 善于变异
底为同底.
( 2) 适当地对
已知等式进行运算
处理，从整体上解
决问题.
所谓恒等式，
就是指用任意数值
来代替式中的字
母，左右两边的值
:
都相等的等式.
如果两个多项
式恒等，那么，这两
个多项式的对应项
系数一定对应相等.
2x'
-
5x+(α+9)
x'+x-2} 2x4_3x.l +
ax 2 + 7x+b
b 4+2x .l _
4x 2
_5x .l +( σ +4)x' 十
7x
- 5x' _
5x2+ lOx
(α +9)x ' - 3x+b
(α +9)x"+ (α + 9)x-2(α+9)
(-12-a)x+b+2(α+9)
因为2x 4 -3x 3 + α x 2 +7x+b 能被x 2 + x-2 整除，
l 一12-a=0 ，
fa=-12 ,
所以4
即斗
I b + 2( α +9)=0
，
Ib=6.
- 12
所以一=一一=-2
b
6
解法二
利用待定系数法解.
因为2x 4 -
3x 3 十ax 2 +7x + b 能被x 2 +x-2 整除，可设2x 4 -3x 3 +
ω 2 十7x+b=( 工2 十x -2) C2x 2 +mx 十η) ，化简整理，得2x 4 -
3x 3 十α工2 十
7x +b =2x 4 + Cm +2)x 3 十Cm+n-4) 工2 + Cη 一2m)x-2n
，
m+2= -3 ,
m =-5 ,
-2η =b
，
b = 6.
一12
所以
=_____:=-_:::_=-2
b
6
算两次
算两次，即对同一个"量"，从不同的角度进行计算
(算两次)可得到相等关系.
为了得到一个方程，须把同一个量以两种不同的方
法表示出来;对同一图形，从不同角度计算面积可推得代
数恒等式.
横看竖看，从局部到整体，"算两次"方法在检验计算
结果、布列方程、推导代数等式、几何证明等方面应用广泛.
.....,...
算两次
[~[ø 阅读下列文字:我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算
图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到(α 十2b) (α 十的=
a 2 +3αb+2b 2 • 请解答下列问题:
(1)写出图②中所表示的数学等式
-[::a:，=JlW理.
主渔4章
。00 •••
待定系数法是
数学中的一种重要
方法，在有关整式
的恒等变形的解题
中经常用到，运用
此方法解题的一般
步骤是:
(1)根据多项
式之间的次数关
系，设出一个恒等
式，其中含有几个
待定系数.
(2)
比较对应
项的系数，列出方
手呈主且.
(3) 解方程组，
求出待定系数的值.
.91
dE翠主B~IIiffjt噩噩噩JaI
(2) 利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题:已知a + b + c = 11 , ab +
bc+ac=38 ，求a 2 +b 2 +c 2 的值;
(3) 图③中给出了若干个边长为α 和边长为b 的小正方形纸片，若干个
长为α 和宽为b 的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计
算它的面积能得到数学公式:2α2 +5αb + 2b 2 = ( 2a + b ) (a 十2b) .
b
c
|I IIb
a
a
b
b
。白口b Db
C
C
b
b
a
α
b
C
图①图②图③
解
(1)根据题意，大长方形的面积为(α 十b + c ) ( α + b + c) =
(α +b 十c ) 2 ,
各小长方形部分的面积之和= a 2 十2αb + b 2 +2bc 十2ac + C2 ,
.·.等式为(α +b +C) 2 = α 2 + b2 +C 2 + 2ab+ 2ac +2bc.
(2)α 2 十b 2 +c Z =( α + b +C) 2 _2αb - 2ac - 2bc = 112 -2 X 38 = 45.
(3) 如图所示.
a
a
b
bl
1
1
Ib
bl
1
1
Ib
al
I
I
la
α
a
b
~~~学为训练嘎嘎嘎
主监4章
。00 •••
几何直观f!p 用
图形描述问题、分析
问题、整体把握问
:
题，突出地表现为撇
开枝枝节节，敏锐洞
:
察问题核心，直达问
:
题的关键.
法国数学家阿
j
达玛曾说"在创造
的阶段，思维方式往
:
往是形象的和直觉
的，而不是逻辑的"
1. 如图，甲类纸片是边长为2 的正方形，乙类纸片是边长为1 的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2
和1 的长方形，现有甲类纸片1 张，乙类纸片4 张，则应至少取丙类纸片
张，才能用它
们拼成一个新的正方形.
J
口||
囚
，
乙
第
1 题图
丙
..98
(浙江省湖州市中考题)
-f& ~ it f&
2. 如图，在边长为2α (a > 2) 的正方形中央剪去一个边长为(α 十
1.....
./]
叫正方形，将剩余部分剪开密铺成一个平行町，则该
I .c:J. I =;> \。\
平行四边形的面积为
.
1.""
\ |
( 山东省枣庄市中考题)
3. 若实数工满足x 2 - 2x - 1= 0 ，则2X 3 -7x 2 十4x -2017=
4. 已知3 '"=4 ，3 2m - 4"=2 ，若9"= 工，则工的值为(
) .
A.8
B.4
C.2j2
D. j2
2a
第2 题图
( 四川省内江市中考题)
( 四川省乐山市中考题)
5. 已知α =2 55 ,b =344 ,C=5 33 ，d = 6 22
，那么a ,b ,c ，d 从小到大的顺序是(
).
A. a < b<c<d
B. a<b<d<c
C. b <α <c< d
D. a<d<c<b
( 北京市"迎春杯"竞赛题)
6. 观察等式:2 十2 2 =2 3 -2; 2+22 + 23 =24 -
2 ; 2+22 十2 3 十2 4 =25 -
2 …已知按一定规律排列的一
组数: 2 50
，2日
，2 52 ，…，2 99
，2100 .若2 50 = α ，用含α 的式子表示这组数的和是(
).
A. 2a2 - 2a
B. 2α 2 -2α2
C. 2a2-a
D.
2α 2 +a
(湖北省武汉市中考题)
7. 已知6x 2 一7xy -3y2 + 14x+y + α = (2x -3y + b) C3x 十y +c)
，试确定a
，b ，c 的值.
8 . 观察下列等式:
12 X 231 = 132 X 21 ,13 X 341 = 143 X 31 ,
23 X 352=253 X 32 ,34 X 473=374 X 43 ,
62 X 286 = 682 X 26……
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相
同规律，我们称这类等式为"数字对称等式"
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为"数字对称等式"
( 52X
-
X25 ;(
X396=693X
(2) 设这类等式左边两位数的十位数字为α ，个位数字为b ，且2~a+b~9 ，写出表示"数字对称
等式"一般规律的式子(含a
，b) ，并证明.
( 广东省珠海市中考题)
..99
dE罩噩噩'~Jj 1n~ . t~~
7 \ 1998
32000 + 152000
9. (ω1υ) 计算: (与
τ)
× 7川
2勿肌
0∞0叫3护
5γ俨
2刽0∞0「一一一.
(2) 比较大小: (一2)234
5100.
10. 满足不等式n 300 < 7 200 的最大整数n 的值为
1
1
1 1. 己知a
，b 满足6 a = 2010 , 335b = 2010 ，则一+7 的值是
a
0
12. 设x
，y ，z 为正数，且2 X 二3 Y 二5 Z
，则(
).
人
2x<3y<5z
B. 5z< 2x< 3y
C.3y<5z<2x
13. 有(
)个整数n ，使4000 · (;) pt 的值为整数
A. 3
B. 4
C. 6
("' 希望杯" 竞赛题)
("'华杯赛"少年数学邀请赛试题)
(世界数学团体锦标赛试题)
(湖北省武汉市竞赛题)
D.3y < 2x<5z
(全国高考数学试题)
0.8
E. 9
(美国数学竞赛题)
1ι 在矩形ABCD 内，将两张边长分别为α 和b( α > b) 的正方形纸片按图①、图②两种方式放置
(图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠) ，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴
影表示，设图①中阴影部分的面积为乱，图②中阴影部分的面积为5 2 ，当AD-AB = 2 时，
5 2 - 5 1 的值为(
A.2a
B. 2b
C. 2α -2b
D.
•
2b
(浙江省宁波市中考题)
2019 . 2019
15. 已知3 a 二2019 ，673b = 2019 ，求一一十一「的值.
a
0
16. 2202 + 202 被2 101 +2 51 十1 除后的余数是多少?
.100
口口U」
hki
(北京市竞赛题)
(美国数学竞赛题)
乘法公式
只有通过数学，我们才能彻底了解科学的精髓.只有在数学中，我们才
能发现科学规律的高度简洁性、严格性和抽象性. 任何科学教育如果不以
数学为出发点，则其基础势必有缺陷.
一一科姆特
~~~知识纵横嘎嘎嘎
乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一
些特殊形式的多项式相乘，得出既有特殊性又有实用性的具体结论，在复杂
的数值计算、代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面
有着广泛的应用.在学习乘法公式时，应该做到以下几点:
1.熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式;
2. 根据待求式的特点，模仿套用公式;
3 . 对公式中字母全面理解，灵活运用公式;
4. 既能正用，又可逆用，且能适当变形或重新组合，综合运用公式.
帕斯卡(l 623~ 1 662)
. 法国数学家
，1 6 岁时写成
《圆锥曲线论)) ，1 9 岁时制造出世界上第一台数字计算
器
. 为概率论
、射影几何做出了杰出贡献.
.. 人是有思想的芦苇
~~~例题求解嘎嘎嘎
圃~O
(1)在2侧，2005 ，2006 ，2007 这四个数中，不能表示为两个整
数平方差的是
( 江苏省竞赛题)
(2) 已知(2000-a) • 0998
α)=1999 ，那么，C2000-a) 2+ C1998 一
α) 2 =
(重庆市竞赛题)
撞撞
。00.. •
兰一…-
公式是怎样得
出来的?一种是由
己知的公式，通过推
导，得到一些新的公
式;另一种是从大量
的特殊的数量关系
'
入手，并用字母表示
数来揭示一类数量
关系的一般规律而
得到的公式.
从特殊到一般
的过程是人类认识
:
事物的一般规律，
而观察、发现、归纳
:
是发现数学规律最
常用的方法.
来法公式常用
的变形有
:
(1) a 2 十扩=
(α
::l:: b) 2 平2ab;
(α 十b Y 一(α2+b 2 )
ao 一一
2
:a + b )2 - (a - b)2
4
(2) (α 十b) 2 +
(α - b) 2 = 2α 2 十
2b Z •
(3) (a 十b) 2 一
(a - b)2 = 也b;ab =
(α 十b ) 2 一(a - b)2
4
(4) a 2 十b2 十c 2 =
(a + b +C )2 - 2(ab 十
bc 十ac ).
..101
矗噩噩主R iX fJi ñ~t . t~tl
思路点拨
(1) m 2 - n 2 =(m+ η )(m-n) ，m 十n 与m-n 的奇偶性相同，
这是解本例的基础; (2) 视(2000 一α) • (1 998 - a) 为整体，由平方和想到完
全平方公式及其变形.
[锐'
(1)已知a ,b ，c 满足α 2 十2b = 7 ,b2 - 2c = 一1
，c2 -
6α = -17 ，
则α 十b+c 的值等于(
A. 2
B. 3
c. 4
D.5
( 河北省竞赛题)
(2)α
，b ，c 不全为0 ，满足α +b+c=0 ，a 3 + b 3 十c 3 = 0 ，称使得α "+ b "+
c"=O 恒成立的正整数n 为"好数"，则不超过2007 的正整数中"好数"的个数
为(
A. 2
B. 1004
C. 2006
D. 2007
( 四川省竞赛题)
思路点拨
对于(1) ，由条件等式联想到完全平方式，解题的关键是整体
考虑; 对于(2) ，由条件出发，探求a
，b ，c 之间的关系.
[~[Ð 求不定方程工2 =y2+2y 十13 的所有整数解.
(俄罗斯莫斯科市竞赛题)
思路点拨
通过拆项、配凑可得平方差形式，这是解题的关键.
圃'
(1)证明:奇数的平方被8 除余1.
(2) 请你进一步证明:2006 不能表示为
1 0 个奇数的平方之和.
("'希望杯"邀请赛试题)
分析与解
对于(2) ，在(1)的基础上，证明2006 与表示为10 个奇数的
平方之和被8 除的余数不同.
(1) (2η 十1) 2 = 切(η + 1) + 1，8[4n(n 十1) ，故奇数的平方被8 除余1.
(2) 假设2006 可以表示为10 个奇数的平方之和，也就是Z 12 十工22 十… +
X IO 2 = 2006(其中矶山2 ，… ，X IO 是奇数) ，等式左边被8 除余2 ，而2006 被8 除
余6 ，矛盾，故2006 不能表示为10 个奇数的平方和.
.102
iã~章
。00.
有些问题常常
不能直接使用公
:
式，而需要创造条
:
件，使之符合乘法
公式的特点，才能
:
使用公式.常见的方
法是:分组、结合、
拆添项、字母化等.
完全平方公式
:
逆用可得到两个应
用广泛的结论:
(1 ) a L::!:::2αb +
b 2 = (α 土b ) 2 二三0 ，
:
揭示式子的非
负
:
性，利用非负数及
:
其性质解题.
(2 ) a 2 十b 2 二三
2础，应用于代数式
的最佳问题.
·圈圈圈圈~
归纳思维
主画4蜜
。00 •••
16 53 年，法国数学家帕斯卡在其著作《论算术三角》中展示了C x+ 1 ) "
的系数表，这个三角形也称为"帕斯卡三角形"
(x+ 1) O =
1
(x 十1 ) 1 =
1x+ 1
(X + 1)2=
1 x 2 十2x + 1
(x 十1 ) 3 =
1x 3 + 3x 2 + 3x + 1
(X+ 1) 4 =
1x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1
(X + 1)5=
1工5 + 5x 4 + 10x 3 + 10x 2 + 5x+ 1
( X+ 1) 6=
1x 6 + 6x 5 + 15x. + 20x3 + 15x2 + 6x 十1
(X + 1)7 =
1 x 7 十7x 6 十2 1 x 5 + 35x' + 35x 3 +2lx2 + 7工十1
(x 十1) 8 = l x 8 +8x 7 +28x 6 十56x 5 +70x' + 56x 3 + 28x 2 +8x + 1
通过观察实验，从一些特殊情形归纳抽象，由事物的特殊性发现一般性，作出猜
想并证明，这种思考过程称为归纳思维.
数学是法国传
统文化中最优秀的
部分.
[歧。
乘法公式(α - b) (α + b) = a 2 - b 2 的推广公式我们已学过
帕斯卡名著《忠
的有:
想录》被称为法国第
(α →b)( α + b)= α 2 - b 2,
一部散文杰作，可以
: 说是一部基督教的
诗.请看帕斯卡关于
(a - b) (α 2 十α b + b 2 ) 二α 3 - b3,
由此想到
空间和时间的冥想:
(α - b )(
?
)=旷- b 4
，
当我想到有限
(α - b)(
?
) =旷- b 5
，
的生命时间，
不过是自然界
应用除法，可得
无止境的时间长河
中的刹那;
(α 4 - b 4 ) 7( α - b) = a 3 + a 2 b 十ab 2 + b3,
当我冥想简促
(α 5 -b 5 )7( α
b) = 旷十a 3 b 十a 2 b 2 + ab 3 十b 4
，
生活的空间，
由此作出猜想
仅只是广阔无
(α - b)( α ，，- 1 + α 11 - 2 b + … + α b" - 2 + b"- I ) = α l1 - b n •
边空间的一小角落.
我不禁寒悸.
拓广应用
同时又为我何
(1)证明
: 若c > O ，d > O ，且c " = d"( η 为正整数) ，则c = d .
生于此时而不是无
穷的他时，
( 2) 求ìiE : ~x # l 时，1 +… 2 十十fi =EJ
活于此而不是
宇宙另一处所而诡
异不已.
..103
-垂直昌盛草草'
~~~学力训练嘎嘎嘎
1. 设α= 192 X 918 , b = 8882 -
302 , c = 1053 2 一747 2 ，则
a
，b
，c 按从小到大的顺序排列，结果
是
2. 计算:
(1) 1.23452+O.76552+2.469 X O.7655=
(2) 19492 -1950 2 十1 951 2 -1952 2 十… + 19972 -19982 + 19992 =
199919982
(3)
1 9991997 2 十19991999 2 - 2
3 若什fb 2 =2G
b
2 ，则3G
jb 的值为
(福建省厦门市中考题)
(四川省眉山市中考题)
也. 如果一个数等于连续奇数的平方差，那么我们称这个数为"幸福数"，下列数中为"幸福数"的
是(
).
A.205
B.250
C. 502
D.520
(江苏省淮安市中考题)
5. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13 世纪)所著的《详解
九章算术》一书中，用如下的三角形解释二项和(α +b)" 的展开式的各项系数，此三角形称为
"杨辉三角"
(α 十b) O ••• ••• ••• ••• ...… ①
(α 十的1 ……… …… ①
①
(a 十b) 2 …………①②①
(α +b) 3 ………①③③①
(α 十b ) 4 ……①④⑥④①
(α +b) 5 … ①⑤⑩⑩⑤①
根据"杨辉三角"请计算(α +b) 20 的展开式中第三项的系数为(
).
A. .2017
B. 2016
C. 191
D. 190
(贵川省中考题)
..104
-. Ej it 理..
6. 若m ，n 为有理数，且2m 2 - 2mn 十η 2+ 4m 十4=0 ，则m 2 n 十mn 2 = (
).
A. -8
B. -16
C. 8
D.16
C" 希豆材、--ZÆ请赛试题)
7. 一个自然数减去45 后是一个完全平方数，这个自然数加上44 后仍是一个完全平方数，试求这
个自然数.
8. 观察:1.2.3.4 + 1 =5 2
;
2 • 3 • 4 • 5+1=11 2 ;
3 . 4 . 5 • 6 十1 二19 2 ;
(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明.
(2) 根据(1) ，计算2000 • 2001 • 2002 • 2003 十1 的结果(用一个最简式子表示) .
(湖北省黄冈市竞赛题)
• . 能力拓展
·
9. 已知αx + by=3 ，ay-bx =5
，则(a 2 + b 2 )( X 2 十y2 )的值为
(河北省竞赛题)
10. 若α
，b
，c 满足α 2 -6b = -14 ,b2 -8c = - 23 ，c 2 一句=8 ，则α +b+c 的值为
C" 希望杯"邀请赛试题)
1 1. 若正整数x
，y 满足2 2x -3 2y =55 ，则工的最大值为
(青少年教学国予城市邀请赛试题)
12. 如果α + 2b +3c= 12
，且a 2 + b 2 十c 2 =ab + bc +ca ，则α + b 2 + b 3 的值是(
).
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
走赛题)
13. 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为"智慧数"(如3 二2 2 -F
，16 =
5 2 - 3 2 ). 已知智慧数按从小到大的顺序构成如下数列:3 ，5 ，7 ，8 ，9 ，11 ，12 ，13 ，15 ，16 ，17 ，19 ，20 ，21
，
.105
aE军歪理革fiñ~t . t
tA
23 ，24 ，25 ，…则第2006 个智慧数是(
).
A. 2672
B. 2675
C. 2677
D. 2680
(山西省太原市竞赛~)
1也. 已知α
，b 满足等式工=α 2 + b2 +20 ，y=4(2b -a)
，则工
，y 的大小关系是(
).
A. X <, y
B. x 二三y
C. X<y
D. X > y
(山西省太原市竞赛题)
15. 设α = 10 9 十38 3 -
2 ，证明:α 是37 的倍数.
( " 希望杯"邀请赛试题)
16. (1) 26=5 2+ 1 2
，53=7 2+ 2 2
，26 X 53=1378 ，1378=37 2 十3 2
任意挑选另外两个类似26 、53 的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，
乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?
(2) 已知实数a ,b ,c ，d 满足2α 2 +3c 2 =2b2 + 3d 2 = (α d -bC) 2 =6 ，求(α 2 + b2) (c 2 + d 2 ) 的值.
(全国初中数学联赛试题)
17. 试确定2019 能否表示为两个整数的立方和.如果能，请写出一种表示;如果不能，请说明理由.
(北京市竞赛题)
.106
数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥.
一一德
· 摩根
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的.
有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质:
1 有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，都可以表示成分数7
q
的形式;元理数是元限不循环小数，不能写成分数
的形式，这里户，q 是互质的整
户
数，且ρ 手o.
2. 有理数对加、J戚、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是
有理数;元理数对四则运算不具有封闭d性，即两个元理数的和、差、积、商不一定
是无理数.
睛'
是
思路点拨
阿基米德(前287一前2 1 2)
. 古希腊数学家.
他与牛顿、高斯并列为三大数学家，并被誉为.. 数
学之神" 阿基米德是在叙拉古陷落时被杀的
，相
传罗马士兵刺杀他时. 他正专注于沙盘里的图
形. 当代哲学家、数学家怀特海说
" 这是世界发
生头等重要变化的一个标志
"
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
若α
，b 满足3 Fa + 5Ib l= 7 ，则
s = 2 Fa - 3
I b
l 的取值范围
(全国初中数学联赛试题)
运用Fa ，lbl 的非负性，建立关于5 的不等式组.
主宦$墨。"…
~ ，π 是常见
的无理数，但可以
用有理数形式表示
如下.
~ = 1 +一土7一
2 十一--
2+ …
rr 2
1
1
:..:.,-= 1 十-τ+
_ - 0 +
6
2 ι
3 ι
__;_+ … +~+ …
4 -
n
公元前
5
世
纪，古希腊人点燃
的元理数的火种，
照亮了实数的广阔
天地，但人类很久
不能分享这甘美的
"人类智慧之采"直
到
19 世纪后期，著
名数学家魏尔斯特
:
拉斯、戴德金、康托
的杰出贡献，为元
理数、实数理论的
建立打下了坚实的
基础.
..101
d
It翠!;I fittliñjt . t~tll
面'
若α
，b 是实数，且α 2=}b
1+ }2 -2b 十4 ，则α +b 的值
是(
A.3 或一3
B. 3 或一1
C. - 3 或
1
D .
3 或
1
(湖北省黄冈市竞赛题)
思路点拨
从Fa 的意义入手.
[~[Ð
1
, 13\
, / 1 13
己知a ，b 是有理数，且(τ+τ)α+(z-IEM-2z-lEJE=
0 ，求α
，b 的值.
思路点拨
把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建
立关于a
，b 的方程组.
蝠'
已知实数m
，n
，ρ 满足等式)m-199+ η
•
)199-m-n 二
}3m+5 η 二二2-p 十;-2仇十3n-p
，求ρ 的值.
(北京市竞赛题)
思路点拨
运用算术根的双非负性c Fa 二三0 ，α 二三0) 挖掘隐含条件.
[售[0
设工
，y 为正有理数，J:; ，j歹为无理数，求证: σ +j歹为元
理数.
(浙江省金华市竞赛题)
分析与解
正难则反，假设J:; +j歹为有理数，通过运算，设法推出矛盾.
.: CJ:; +j歹)c J:; -j歹)=x-y
，
得J:; - j歹=三二主一为有理数，
V
j王」γ !y
••• (、5 十J歹)十(γrx -!y )=2 J:;为有理数，则J:;为有理数，
这与乒Z为元理数矛盾.
故原假设不成立
，J:; +j歹为无理数.
.108
主程1蛋
。00.. •
解题中，还经
，
常用到实数的以下
:
重要性质:
(1)设工为有
:
理数，y 为无理数，
则
x +y
，x -
y ,
xy ，王，主都是无理
y
x
数(x 手0);
(2)
若x
，y 都
;
是有理数，-}可是无
理数，则要使z 十
y j;;; =o成立，须使
x=y=o ;
(3 )若
x
，y ,
m
，n 都是有理数，
:
-}耳，J; 都是无理
:
数，则要使z 士J百=
: yI J; 成立，须使
x= y ,m=n .
要证一个数是
有理数，常证这个
:
数能表示成几个有
理数的和、差、积、
商的形式;要证一
个数是无理数，常
用反证法，即假设
:
这个数是有理数，
设法推出矛盾.
估算与敏感
数感是人们对数与运算的感觉与理解，主要表现为:理解数的意义，能
用多种方法表示数，能把握数的大小关系;选择适当的算法，估算运算的结
果;能运用数据表达来交流信息.
[剧。
(1)已知m ，n 分别是8
币的整数部分和小数部分，和- m
的值.
(2) 设α=坏，b ，c 分别是α ，旷的小数部分，求b ( b +c 十4) 的值.
分析
原数=整数部分十小数部分，确定整数部分的方法是:找到与原
数中被开方数相邻的两个平方数，借助估算求解.
••
解
(1) 二. J9</IT<♂百，即3</IT< 4 ，
:. -4<-/IT <-3 ,4<8-/IT <5.
得m=4 ，η=8- /IT - 4=4- /IT.
故原式=4 一汀T-4=-/IT.
(2) 由
1 <α <2<a 2 <3 知b = α -l ，c = α 2 一2 ，
二原式= (α - 1) (α2+α + 1) =a 3 - 1 =2 .
~~~学为训练嘎嘎嘎
穷实. •
E坦EJI匾理..
撞撞
。00 .
1. 已知工，y 为实数，且满足汀丰王一(y- 1)汀=歹=0 ，那么z 2011-joll =一一一一一·
(山东省日照市中考题)
2. 已知y= J (X - 4) 2 -x+5 ，当z 分别取1 ，2 ，3 ，…，2020 时，所对应的y 值的总和为一一一一一·
( 甘肃省中考题)
3. 已知非零实数a
，b 满足15 一切
1 + lb 十3
1 十v (a 一2)b 2 + 5 = 切，则α 十b =一一一一一·
(安徽省芜湖市自主招生试题)
.109
aE军主撞撞撞撞噩噩缸'
也. 如图，数轴上表示1 ，12 的对应点分别为A
，B
，点B 关于点A 的对称点为C ，
则点C 所表示的数是(
).
第4 题图
A. 12- 1
B. 1- 12
C.2 - 12
D. 12- 2
(江西省中考题)
5. 已知z 是实数，则/x
rr 十而-x+ 王二1 的值是(
).
π
A. 1-l_
π
B.1+1
π
C-1-1
π
D. 无法确定的
C'.希望杯"邀请赛试题)
6. 代数式/x
1+♂-2+ /x +2 的最小值是(
).
A.O
B. 3
C. J3
D. 不存在
(湖北省黄冈市竞赛题)
值
的
n
m
求
nu
--
σ
+
σ
足
满
解
的
叮
3
4+
-n
n?"
+-
mm
=3
y
二
3y
什
寸
。
白
Z
f
i
-
-
1
、
组
程
方
的
y
z
于
关
知
已
咛
，
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
• •
拓展. •
8 设x ，y 都是有理数，且满足方程中;)汁中~ )y-4-rr=0 ，那么x-y 的值是-一一
("希望杯"邀请赛试题)
9. 15 的整数部分为α ，小数部分为b ，则(15+a).b 的值为
(广东省竞赛题)
10. 若实数川
，C 满足等式2 Fa +3!b! 斗，4 Fa -9 忡忡耻，则c 可能取的最大值是(
).
A.O
B. 1
C. 2
D.3
(全国初中数学联赛题)
~a+ J2
1 1. 已知α 是实数，b 是有理数，右一」去=2 ，则2α 十b 是(
b 一J2
A.有理数
B. 无理数
C. 2015
D.O
("希望杯"邀请赛试题)
..110
-~~匾理...
12. 已知a
，b 为实数，且b=va 2 -6α+b+lb-91+9 ，求b a 的值.
(国际中小学数学能力检测题)
••
创新
. •
13. 设[xJ 表示不大于工的最大整数，如[3.15J=3 ，[ -2.7J=-3 ，[4J=4 ，计算:
[江文2J+[/2交言J+ …+ [';2003 X 2004 J
("'希望杯"邀请赛试题)
"111
平面直角坐标系
数学揭示并阐明了思维世界的奥秘，它演绎地展开了美和序的深思
熟虑.它的各部分之间是如此和谐地互相联系着，并直接关联着真理的无
穷层次及其存在的绝对证明.
一一西尔维斯特
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，从
而坐标平面上的点与有序数对( 工
，y) 之间建立了一一对应关系.利用平面直
角坐标系是确定位置的有效方法之一，解与此相关的问题需注意:
1.理解点的坐标意义;
2. 熟悉象限内的点、坐标轴上的点、对称点的坐标特征;
3. 善于促成坐标与线段的转化.
[任。
~~~
笛卡儿(l 596~ 1 650) ，法国数学
家、哲学家
、物理学家
，其最大贡献是
建立以他的名字命名的坐标系
，将过
去对立着的两个研究对象
" 数"
与" 形" 统一起来.
例题求解
嘎嘎嘎
(1)若p( α
，8) 和Q (7 ，的关于y 轴对称，则(α 十b ) 2010 =
(湖北省黄冈市竞赛题)
(2) 在平面直角坐标系中，若点M (1，3) 与点N( 工
，3) 之间的距离是
5 ，
则z 的值是
(辽宁省沈阳市中考题)
思路点拨
对于(2) ,M ，N 在平行于工轴的直线上.
.. 112
主fil蜜。"…
"我思故我
:
在"，这是笛卡儿的
至理名言，在他的
墓碑上镑刻着:笛
卡儿，欧洲文艺复
兴以来，第一个为
:
人类争取并保证理
，性斗又利的λ、.
睛'
1 的值为(
A.17
思路点拨
若α 为整数，且点M
(3α - 9 ，2α - 10) 在第四象限，则a 2 十
B. 16
C. 5
D. 4
(黑龙江省哈尔滨市竞赛题)
由直角坐标系象限内点的符号特征确定α 的取值范围.
圃'
将1，2 ，3 ，4 ，…按图中的方式排列，则每一个正整数对应一个坐
标.如"1"对应的坐标是(0 ，0) ，"3"对应的坐标为(1 ，1)，求数2004 对应的坐标.
y
37 36 35
33 32 31
30
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
思路点拨
观察特殊位置上的点对应的数，如坐标轴上的点，象限的角
平分线上的点，平行于坐标轴的直线上的点等，发现这些点的坐标规律是解
题的关键.
[制'
在平面直角坐标系中，已知A(m ，l日，B( η ，13 ) ，且
I m+12
1 +
j6=百=0.
(1)求点A
，B 的坐标;
(2) 如图①，若直线AB 交y 轴于点C ，求点C 的坐标;
AB
(3) 如图②，若直线AB 交工轴于点D ，求一一的值.
BD
y
y
A
A
X
X
国①
国②
思路点拨
作出"横平竖直"辅助线，运用面积相关知识、方法求解.
-圆圆..
主注3蛋
。00.
在平面直角坐
标系中，由坐标找点
和由点求坐标是
"数"与" 形" 相E 转
:
换的最基本形式. 点
的坐标是数与形结
合的桥梁，求点的坐
:
标的基本方法有:
(1 ) 求相应线
段长.
(2) 解方程纽.
现阶段求线段
的长度，因受知识
的制约，而垂线段
分别与点的坐标、
图形面积有内在联
系，故常借助面积
求解.
例4 、例
5 皆以
面积为背景，建立
关系式，进而求出
点的坐标.
..113
dä~t&{1tfJi ñjt . t~ t.a
[~[ø 如图①，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A
，B 的坐标分别
为川和川，点E 在础上，且AE=1ABJ、F 在历上，且即=忖
3
点G 在OA 上，且使6GEC 的面积为20 ，6GFB 的面积为16 ，试求α 的值.
B
X
F(3 ,O)
图①
图②
解
如图②，设G 点坐标为(O ，b) ,b> O.
因为S 长方形OABC -S 6 GEC =S 6∞C+S 6AGE+S 6 BEC
，
1
所以加一20= 一
•
9b 十一. 3 (α -b) + = ·句，
2
3
20
化简得b=
α 一
2-
3'
同理，由S 长方形OABC -S 6GFB 二S 6ABG+ S 6∞F+ S 6 BFC
'
得9α-16 寸. 9(α -b) 十7·3b+2·6α ，
化简得3a =32-6b.
3
20
=
α 一一代人上式，得3α =72-9a
，解得a=6.
2 --
3
坐标法
8(9 ，α)
C(9,O) x
("创新杯"竞赛题)
恰当地建立坐标系，以数助形，这种解决问题的方法称为坐标法，坐标
法的思想就是对应思想.
坐标法的出现使几何问题能代数化，即找出图形上点的坐标应满足的数
学关系，从而得到图形对应的方程，通过讨论方程来研究图形，这是笛卡儿的
伟大贡献.
[旺。
一片10 英尺宽、17 英尺长的长方形地板用170 块一英尺的正
方形瓷砖铺好.一只虫子从一个角落沿着直线爬到对角，包括第一块和最后一
块瓷砖，这只虫子爬过了多少块瓷砖?
(美国数学竞赛题)
..114
主醒:章
。0 0 .. •
数学中的转折
:
点是笛卡儿的坐标
系，有了它，运动进
i
入了数学，数形结
:
合有了可能.
从苦思
笛卡儿说有三
个梦引导了"一门
:
奇特的科学"和"一
项惊人的发现"，这
:
就是科学史上有名
:
的笛卡儿之梦.
俄罗斯数学家
罗巴切夫斯基说:
"任何数学分支，无
:
论怎样抽象总有一
:
天可被应用于观察
:
世界的各种现象"
思路点拨
如图示，建立直角坐标系，
设虫子的初始点为0(0 ，0) ，目标点为P
(1 7 ，10) ，先求出虫子与17 条纵线的交点分
10\
.
1_ 20\
.
1
30
别为A l (1，开)，A 2 (2 ，开)，A 3 ( 3 ，开)，... ，
BlO
y
P
X
17
\ _ 134
A 17 (1 7 ，10); 再求出虫子与10 条横线的交点分别为Bl ( 币，1 )
，B z ( 页，2) ,
51
B 3 (~~ ,3) ,'" ,B lO (1 7 ，10) 由于10 与17 是互素的，所以共有2 6 个不同的
交点，虫子每爬到一个交点处，意味着它爬过了一块瓷砖，即虫子共爬过了
26 块瓷砖.
)Þ-)Þ-)Þ-学为训练嘎嘎嘎
• •
穷实. •
1. 已知点AC2α + 劲，- 2) 和点BC8 ，3α + 2b) 关于工轴对称，那么α + 17 =
-E罩司出--
iã'章
。00.. •
(四川省中考题)
2 . 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中"→"方向排列，如
(1, 0) , C 2,0) , (2 ,1) , (1 ,1) , (1 ,2) , C
2 ，2) …… 根据这个规律，第2012 个点的横坐标为
y
3
2
。
2
第2 题图
x
4
y
第3 题图
(山东省泰安市中考题)
X
3. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形AI B 1C 1 D l 、
A 2 B z C 2 D 2 、A 3 B 3 C 3 D 3 …… 每个正方形四条边上的整点的个数，若累积到正方形A IlB IlC ~ifì ll
时，整点共有16 80 个，则η =
(浙江省宁波市七中自主招生试题)
.115
aE理主ß f1Iljf~-E噩噩盖章-
任. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1 个单位长度的半圆0 1
，0 2
，0 3 ...…组成一条平滑的曲
线点P 从原点。出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第川秒时，点P
的坐标是(
).
A.(2014 ,0)
B.(2015
，一1)
,
第4 题图
, ,
X
C.(2015 ,1)
D. (2016 ,0)
(河南省中考题)
y
B
A
X
第5 题图
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(-2 ，0)
，B(-1 ，2)
，C (1，0)
，连接AB
，AB 的中点为D ，连
接OB 交CD 于点E ，则四边形DAOE 的面积为(
).
A.1
B j
c7
6
D. S
6. 在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫作整点，且规定正方形的内部不包含边界上
的点.观察如图所示的中心在原点、一边平行于工轴的正方形:边长为
1 的正方形内部有
1 个整
点，边长为2 的正方形内部有1 个整点，边长为3 的正方形内部有9 个整点……则边长为8 的正
方形内部的整点的个数为(
).
A.64
B. 49
C. 36
D.25
(湖北省武汉市中考题)
y
X
A3
A4
A,
A,
A jj
Aj 2
X
。
第
6 题图
第7 题图
7. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点。出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，
每次移动
1 个单位.其行走路线如图所示.
(1)填写下列各点的坐标:Al (
,
) ;A 3 (
,
) ;A 12 (
,
(2) 写出点A 4 n 的坐标(n 是正整数) .
(3) 指出蚂蚁从点A 1 00 到点A 1 0 1 的移动方向.
(安徽省中考题)
.116
EZ圈圈2·-
• •
拓展. .
8 . 一网打尽
正整数集只是有理数集合的一部分.有趣的是，德国数学家康托尔
曾将所有有理数像正整数那样排成一列纵队，从而和正整数集一一
对应起来.让我们跟随康托尔的思路吧!
ρ
任一个有理数都可以写成一个既约分数一句是整数，q 是整数) .它
q
-7 -6-5 -4 -3~-1 0 1 2 34 5 6 7
IB
。
t
t
气
，
4
1
J
A
U
T
F、
-
r
O
句
，
，
0
0
0
0
寸
f
ζ
U
ζ
J
A
斗
句
、
d
q
L
t
E
n
u
-
-
-
-
-
一
-
-
可以对应着网格纸(如图)上的一个点，即户所在行与q 所在列的交
点，记为点Cq ，p) 如?对应图中的点C3 ，1)这样，每个有理数对应
第8 题图
着网格纸上的格点(水平线与竖直线的交叉点) ，而康托尔用图中的方法从中心。出发"螺旋
式"地扩展开去，将平面内所有格点"一网打尽"
在图中，OCO ，0) 是第一个点，A C1，一1) 是第
个点是
个点，BC - 1，2) 是第
个点，第3 5
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
9 . 如图，点。是坐标原点，折线ADC 将LAOB 的面积二等分. 已知点AC 3 ，8 ) ,D C8 ,2) ,CC 2,0) ,
则点B 的坐标为
(世界数学团体锦标赛试题)
y
vd
A
。
I
0
x
第9 题图
第
1 0 题图
10 . 设平面直角坐标系的轴以1 厘米作为长度单位，如图所示LPQR 的顶点坐标分别为PC O ，3 ) ,
QC 4 ，0)
，RC 走，5)
，其中0<k < 4 .若该三角形的面积为8 平方厘米，则走的值是C
).
A.1
8
B. --:-3
c. 2
D 13
-
4
E. --z
( 山东省滨州市数学竞赛题)
1 1. 已知点P 的坐标为(α +J言，b +J2)
，其中α
，b 是有理数，PA
，PB 分别是点P 到工轴、y 轴的
垂线段，且矩形OAPB 的面积为在，则P 点不可能出现在C
).
A . 第一象限
B . 第二象限
c . 第三象限
D . 第四象限
( "希望杯"邀请赛试题)
"111
dE翠毒RJUIWf;)t署.s"l!温·
12. 如图，AOCD 是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中0 是坐标原点.点A ，C ，
D 的坐标分别为(0 ，8) ，( 5 ，0) ，(3 ，的，若点P 在梯形内，且S L'::.PAD = S L'::.P町，
S L'::.PAO=S L'::.PCD' 求P 点的坐标.
(浙江省竞赛题)
• •
y
A
第12 题图
13. 已知在平面直角坐标系中，0 为坐标原点，点A 的坐标为(α
，0) ，点B 的坐标为(b ，Z) ，点C 的
(α
Zb+c = l Z ，
坐标为(c ，d) ，其中a ,b ，c 满足方程组斗
1 2α -b-c=3 .
(1)若点C 到z 轴的距离为6 ，则d 的值为
(2) 连接AB ，线段AB 沿y 轴方向平移，线段AB 扫过的面积为15 ，求点B 的横坐标.
(3) 连接AB
，AC ，BC ，若6ABC 的面积小于等于10 ，求d 的取值范围.
.118
空间与图形
请你们确信，几何学会给你们带来许多幸福的时刻，使你们的生活更
有趣、更光辉. 要知道，几何学不仅是发展智慧的手段，而且也是医治心灵
和肉体上各种疾病的良药.
一一依
· 沙雷金
~~~知识纵横嘎嘎嘎
主!ã'富
。00.. •
小学阶段学的
:
是实验几何，即对
一些简单图形性质
的认识，往往是通
数学既研究数，又研究形，数与形是数学这棵大树上的不同分枝，这两者
过观察和实验，对
互相结合，常常有助于问题的解决
一些图形的研究也
在学习几何的起始阶段，我们可以自己动手实验、操作，在观察和实验
; 仅侧重于面积和体
中，掌握知识的来龙去脉，学习发现规律的方法，感受到发现的欢乐，促进科
: 积的计算，只告诉
学思维能力的提高.
螺线既是一种迷人的数学现象，
又是一种与生命相关的极为普遍的
数学形态. 瑞士数学家伯努利曾深入
研究对数螺线性质，他的墓碑上刻着
一语双关的美妙颂词"虽然改变了，
但我还是和原来一样"
~~~例题求解嘎嘎嘎
[忧。
如图是一个正方体的平面展开图，若该正
方体相对的两个面上的代数式的值相等，则z+y-x
的值是
x+y
("希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
由折叠还原成正方体，建立方程组.
..120
你应该这样，既没
:
有告诉你为什么这
:
样，也没向你介绍
:
证明结论的普遍
性，更没教你证明
:
结论普遍性的方法.
初中学习的是
:
推理几何，是在学
习知识的同时发展
能力，教你学习逻
辑分析、论证的方
法，使你逐步具备
;
可持续发展的能力.
爱因斯坦曾
:
说"推理的这种可
:
赞叹的胜利，使人
:
类理智获得了为取
得以后成就所必需
的f言心"
-~
iãt蛋
。00.. •
...............---:=-咽-.
折叠一一- 平面
图形立体化，展
开一一立体图形平
面化，折与展，将我
:
们的思维带入到更
深刻的境地.
图，要求画出第三
个视图或确定立方
块的块数，这样的
问题答案常常不唯
一.解题的关键是:
俯视图就是立体图
:
形最底层对应的平
面图形，主视图中
:
每列小正方形的个
:
数就是俯视图中每
列数中最大的数值.
对于例
4
，有下
列--A史的结t仓:
一个立方体可
方休，这里
n = 1，8 ，
15, 20 , 22 , 27 , 29 ,
34 , 36 , 38 , 39 , 41,
43 , 45 , 46 及大于
47 的整数.
一个立方体能
否分割成47 个小立
方休，至今还是一个
未被解决的问题.
已
2
班'
如图是一个立体图的正视
图、左视图和俯视图(图中单位为厘
)立方
米) ，则立体图形的体积为(
厘米.
俯视图
左视图
正视图
B. 2π
A .
π
D.4π
C. 3π
给出两个视
("华罗庚金杯"竞赛试题)
mEm
先确定该立体图的大致形状.
圃'
由一些大小相同的小正方体组成的简单
[
几何体的主视图和俯视图如图所示
，
I
I I
(1)请你画出这个几何体的一种左视图.
L__牛一」一」
主视图
(2) 若组成这个几何体的小正方体的块数为η ，求n 的值.
思路点拨
( "希望杯" 邀请赛试题)
思路点拨
从俯视图(两行)可推断左视图只能有两列，由主视图分析出
俯视图每一列小正方形的块数情况是解本例的关键，而有序思考、分类讨论
则可避免重复与遗漏.
睛'
要把一个正方体分割成49 个小正方体(小正方体大小可以不
等) ，画图表示.
以分割成n 个小立
(汉城国际数学竞赛题)
分析与解
本例是一道图形分割问题，解答本例需要较强的空间想象能
力和推理论证能力.需要把图形性质与计算恰当结合.
为方便起见，设正方体的棱长为
6 个单位，首先不能切出棱长为
5 的立
方体，否则不可能分割成49 个小正方体.
设切出棱长为1 的正方体有α 个，棱长为2 的正方体有b 个，I
之
解
=J
A
吐
一
<hunHd
-A4A
t
=
QUFO
+
十
aa
f
t
-
J
气
l
l
L
有
旧
旧
川
体
方
正
的
A
吐
为
长
棱
个
出
切
匕
h
u
果
'
η
只
得b= 斗，不合题意，所以切不出棱长为4 的正方体
.121
设切出棱长为1 的正方体有α 个，棱长为2 的正方体有b 个，棱长为3 的
正方体有c 个，
a~~~ijtfJi固
[α 十8b + 27 c= 216
贝以
，解得α =3 6 ，b = 9 ，c=4 ，故可分割棱长分别为
1 ，
| α + b 十c =4 9
2 ，3 的正方体各有36 个，9 个，4 个，分法如图所示.
欧植公式
欧拉是历史上最多产的数学家，一生发表过800 多篇(本)论文、著作.
他28 岁时解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，其主要思想是将原问题转化
为一笔画问题.
法国著名数学家拉普杜斯曾说"读读欧拉，他是我们所有人的导师"
[忧。
建立模型
欧拉被誉为" 数学英雄" "如果命
运是块顽石，我就化作铁锤将它砸得
粉粹"，这是盲人数学家欧拉的钢铁
誓言.
18 世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V) 、面数(F) 、棱数
(E) 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单
多面体模型，解答下列问题.
数是
2
长方体
今
正八面体
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格:
多面体
顶点数( V)
面数(F)
四面体
4
4
长方体
8
6
正八面体
8
正十二面体
20
12
正十二面体
棱数(E)
12
、
12
30
你发现顶点数(V) 、面数(F) 、棱数(E) 之间存在的关系式是
(2) 一个多面体的面数比顶点数大8 ，且有30 条棱，则这个多面体的面
( 3 ) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边
形两种多边形拼接而成，且有2 4 个顶点，每个顶点处都有3 条棱.设该多面体
外表面三角形的个数为工个，八边形的个数为y 个，求x+ y 的值.
..122
撞撞。"…
对于例
5 中的
:
模型应用，有没有
其他的解法?请读
者思考.
EZ匾噩噩-
æ'宴
。00.. •
8
(1) 6;6;V+ F - E= 2
解
(2) 20
24 X 3
(3) 这个多面体的面数为工+y ，棱数为-2一=36( 条)
根据V+ F-E=2 可得24+(工+y)-36=2 ，:. x 十y 二14 .
模型应用
如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮
为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六
边形个数.
解
设足球表面的正五边形有工个，正六边形有y 个，总面数F 为工+
y 个因为一条棱连着两个面，所附表面的棱数E 为j(5z + 6y) ，又因为一
个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数V=t(5z+6y)·
2
1
-一C 5x + 6v) .
3
3 ' --- . -.?
由欧拉公式V十F - E 二2 得(z+y)+ l (5z 十6y)-i(5z+6y) =2 .
3
所以正五边形只要12 个.
解得x = 12 .
又根据每个正五边形周围连着5 个正六边形，每个正六边形又连着3 个
5x
正五边形，所以六边形个数为一=20 ，即需20 个正六边形.
3
嘎嘎嘎
学为训练
~~~
穷实. •
1. 一个长方体的主视图和左视图如图所示(单位: cm) ，则其俯视图的面积为
cm2 •
(江苏省南通市中考题)
丁
U
2
捆
三4
第2 题图
2. 如图是用若干个同样的小正方体拼成的立体的俯视图，若此立体最高有三层，则此立体最少有
个小正方体，最多有
个小正方体.
第
1 题图
("希望杯"邀请赛试题)
.123
aE军噩噩'iiñjt . t~ tJl
3 . 要把一个正方体分割成8 个小正方体，至少需要切3 刀.因为这8 个小正方体都只有三个面是现
成的，其他三个面必须用刀切3 次才能切出来.那么要把一个正方体分割成27 个小正方体，至少
需要用刀切
次;分割成64 个小正方体，至少需要用刀切
次.
(山东省青岛市中考题)
也. 在立方体六个面上标有六个连续整数，且在相对的面上所标的数之和相等，若这个立
E甘
方体的三个面上所标的数如图
1 所示，那么立方体六个面上所标数之和为(
).
A.111
B. 114
C. 117
D.120
("希望杯"邀请赛试题)
第4 题图
5. 如图是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则小立方体的个数可能
是(
) .
A .
5 或6
B. 5 或7
thJc8
俯视图
左视国
第5 题图
C.
4 或5 或6
D. 5 或6 或7
正方向
第6 题图
(黑龙江省中考题)
6. 如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的
棱长.该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是乱，5 2 ，民，则乱
，5 z，民的大小关系
是(
).
A.5 1> 5 2 > 5 3
C.5 2 > 5 3 > 5 1
B.5 3 > 5 2 > 5 1
D.5 1> 5 3> 5 2
(山东省淄博市中考题)
7. 一个几何体是由若干个相同的小立方体粘贴而成的，粘贴处是两个小立方体的两个面，分别从这个几
何体的正上方、正前方、正右方看它，得到如下的三个平面图形:
设小立方体的棱长是1，求这个几何体的表面积.
..124
F
俯视图
~
主视图
第7 题图
』
右视图
(世界数学团体锦标赛试题)
-~ Iä]~画-
8. 如图，在一次数学活动课上，张明用
17 个边长为
1 的小正方体搭成一个几何体，
然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体
恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体(不改变张明所搭几何体
个小正方体，王亮所搭几何体的表面积
的形状) ，那么王亮至少还需要
为
第8 题图
(山东省青岛市中考题)
9 . 将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n 3 (n > 2) 个相同的小正方体，若只有一面是红色的
小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n=
(全国初中数学联赛题)
10. 将25 个棱长为
1 的正方体积木摆成一堆，则形成的几何体的表面积最小是(
) .
A.25
B. 50
C. 54
D.70
(
" 希望杯"邀请赛试题)
11. 七个大小不等的正方体体积分别为
1
，8 ，27 ，64 ，125
，216 和343 ，它们被垂直地叠起来形成一个
塔，正方体的体积从下到上递减.除了底部的正方体外，每个正方体的底部表面完全位于其下
面的正方体的顶部.则塔的表面积(包括底部)是(
) .
A.644
B.658
C.664
D.720
E.749
(美国数学竞赛题)
12. 如图，从长、宽、高分别为15cm ，5cm , 4cm 的长方体中切割走一块
长、宽、高分别为ycm ，5cm ，xcm 的长方体(x
，y 为整数) ，余下的部
4cm
分的体积为120cm 3 ，求工
，y 的值.
第
12 题图
( "华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
13. 如图
，ABCD 是长方形，BC=6cm ，AB = 10cm ，AC 和BD 是对角线，图中的阴
影部分以CD 为轴旋转一周，求阴影部分扫过的立体图形的体积(π 取3.14) .
( " 华罗庚金杯"邀请赛试题)
.125
如果几何不能激起你年轻的热情，那么你就不会成为一个科学思想家.
一一爱因斯坦
~~~知识纵横嘎嘎嘎
平面几何是研究平面图形的性质的一门学科，主要是研究平面图形的形
状、大小及位置关系.
几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们
没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决
提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形
研究.
解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概
念与方法.
,
会"转动" 的困做
这些叫扭曲"的线框
其实是一个个正方形
眼见未必为实，我们如果只凭直
观感受进行判断，那么很可能产生错
觉或错误的判断，我们把看上去的情
况和实际有偏差的图形，称之为错视
图形.
~~~例题求解嘎嘎嘎
‘
[征。
平面内两两相交的6 条直线，其交点个数最少为
个，最多为
个.
( "希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑.
..126
主医3辈
。00.. •
公元前
300 年
左右，古希腊数学
家欧几里得总结和
整理了前人和当时
的几何知识，写成
了巨著《几何原本)).
当今，几何已形
成结构严密的科学
体系，成为数学中的
一个重要分支，是训
练逻辑思维能力与
空间想象能力的最
有效学科之一.
求满足一定条
件的某种几何图形
的个数叫几何图形
的计数，常用到穷
举、归纳、逆推等方
法，读者思考以下
典型问题:
(1)线段上有
η 个点(含两个端
点)共有多少条线段?
(2) n 条两两
相交的直线最多有
几个文点?
(3) n 条直线
最多能把平面分成
几个区域?
睛'
如图，己知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线
段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN:PQ 等于(
).
A. l
B. 2
C. 3
D. 4
("五羊杯"邀请赛试题)
思路点拨
利用中点，设法把MN ，PQ 用含相同线
A
QP MN
B C
段的代数式表示.
现~ø
如图，C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中，点，已知图中所
有线段的长度之和为23 ，求线段AC 的长度.
思路点拨
引人未知数，通过列方程求解.
A
D
C
B
-~
2撞4章
。00...
恰当设元，运
:
用方程思想，将线
: 段、角的计算问题
: 代数化，是解与线
: 段、角相关计算问
: 题的重要方法.
数学既研究
[笆'
已知线段AB 气，CD 斗，线段CD 在直线AB 上运动(A 在B
l 4研究形，许多
: 数学问题既可以从
的左侧，C 在D 的左侧)，I a - 2b I 与(6 - b) 2 互为相反数代数角度来思考，
(1)求α
，b 的值.
(2) 若M ，N 分别是AC ，BD 的中点，BC= 4 ，求MN 的长.
(3) 当CD 运动到某一时刻，D 点与B 点重合，P 是线段AB 延长线上任
PA + PB
意一点，问一一一一的值是否改变?若不变，求出其值; 若改变，请说明理由.
PC
思路点拨
对于(2) ，应考虑不同的位置情形;对于( 3) ，将几何问题代数化.
2007 个点中的每一点关于直线f 的对称点仍在这2007 个点中.请你说明:这
2007 个点中至少有1 个点在直线J 上.
( " 希望杯"邀请赛试题)
解
假设这2007 个点都不在直线l 上.由于其中每个点A ; (i = 1，2 ，... ，
2007) 关于直线J 的对称点Ar t 仍在这2007 个点中，所以A rt 也都不在直线1
上.也就是说，不在直线J 上的点A;(i = 1，2 ，…
，2007) 与A; 关于直线I 对称
的点A' ; 成对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007
相矛盾. 因此，"这2007 个点都不在直线
J 上"的假设不成立，即这2007 个点
中至少有1 个点在直线J 上.
..121
aE军噩噩-固B国
线段回
人们常说"百闯不如一见".意即把图作为传递信息的手段，比语言、文
字包含更丰富的内容.
图被用来表达、存储、传递信息，成为愈来愈重要的研究对象.
线段图能直观形象地表示数量关系、位置关系或其他意义，恰当地画
出线段图，借助图形思考，常有助于问题的解决.
几何是许多事物，甚至全部事物
的原型模式.无论该事物是实体的、概
念的、数学的、自然的或者建筑的;几
何是推理的最具体同时也是最抽象
的形式.
主!ãt童
。0 0.
[i!Cø (l) A ,B ,C ,D ,E ，F 六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某
j
数与形，以及
数与形的关联与转
一天时，统计出A
，B
，C ，D ，E 五个队已分别比赛了
5 ，4 ，3 ，2 ，1 场球，问还没
:
化，是数学研究的
有与B 队比赛的球队是哪个队?
:
永恒主题.
(2) 摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100 千米
:
1 736 年，欧拉
到C 市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之
: 证明了七桥问题无
一，过了小镇，汽车赶了400 千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C 市到
;
解而开创了图论.
漂亮的图形和
这里路程的二分之一就到达目的地了，问A ，B 两市相距多少千米?
:
巧妙的论证，向我
C'" 华杯赛"试题)
:
们的机敏性和逻辑
分析与解
(1)用算术或代数方法解，易陷入困境，用
6 个点表示A
，B
，C ，D ，E ，F 这六个足球队，若两队已经
赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线段，如图，易知
未与B 队比赛的球队是E 队.
(2) 条件中只有路程，而没有给出时间与速度，故应集
中注意各段路程之间的关系，借线段图分析.
如图，设小镇为D ，傍晚汽车在E 处休息，
A
D
C
E
B
则AD=fDC ，EB=fcE ，
1 _ _
1
AD + EB = = DE = 一X40 0 =200( 千米) ,
2 --
2
故AB=AD 十DE+EB =200 +400 =6 00 ( 千米).
.128
性岁t战.
"谋定而后
D
动"，解题方法的选
E
:
择建立在分析的基
:
础上，切忌" 慌不择
路"，扎进"死胡同"
-~
~~~学为训练嘎嘎嘎
穷实
. •
1. 摇摆不定
已知线段。P= l，取OP 的中点P j
，取PP j 的中点P Z
' 取P j P Z 的中点P 3
，取
P Z P 3 的中点P 4 "
(1)比较线段。P n 与OP n - j 的大小:
(n 为大于
1 的整数) ;
(2) 若OP=lm ，则从η=
开始，线段P " 一l P ，，< lmm.
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
_ .~. ~
4._
__
2
2. 如图
，O ，P
，M 是线段AB 上的一个点，AO= -i-AB ,BP = = AB ，M 是AB 的中点，且OM=2 ，
___.. , J' \ '\ 7-- _
5 -- ~
7
~--
3
那么PM 长为
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
3. 如图
，D
，E 顺次为AB 上的两点，AB=19 ，BE-DE=7 ，C 为AD 的中点，则AE-AC 的值
为(
).
A
P
M
o
B
A
C
D
E
B
第2 题图
第3 题图
A.5
B. 6
C. 7
D.8
也. 如图，点A
，B
，C)I贤次在直线l 上，M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 的中点.若想求出MN 的
长度，则只需条件(
).
A. AB=12
B. BC=4
C. AM= 5
D. CN=2
(海南省竞赛题)
A
M B N C
A
E
B
D
C
第4 题图
第5 题图
5. 如图，C 为线段AB 延长线上一点，D 为线段BC 上一点，且CD 二2BD
，E 为线段AC 上一点，
CE=2AE.
(1)若AB=18 ，BC= 2 1，求DE 的长;
(2) 若AB= α ，求DE 的长(用含α 的代数式表示) ;
AD
(3) 若图中所有线段的长度之和是线段AD 长度的7 倍，则一一的值为
AC
..129
aE疆军lüI"Vftjf噩噩草草'
6. 如图，已知点A ，B ，C 是数轴上三点，点C 对应的数为6 ，BC=4 ，AB=12 .
A
0
BC
(1)求点A
，B 对应的数.
第6 题图
(2) 动点P ，Q 同时从A ，C 出发，分别以每秒6 个单位和3 个单位的速度沿数轴
正方向运动M 为AP 的中点，N 在CQ 上，且CN二jcQ ，设运动时间为t(t>O)
①求点M ，N 对应的数(用含t 的式子表示) .
②
t 为何值时，OM=2BN.
7. 平面内有若干条直线，当下列情况时，可将平面最多分成几部分?
(1)有一条直线时，最多可分成2 部分.
(2) 有两条直线时，最多可分成4 部分.
(3) 有三条直线时，最多可分成
部分.
(4) 有n 条直线时，最多可分成
部分.
( 广西壮族自治区竞赛题)
8. 电子跳蚤游戏盘是如图所示的DABC ，AB=AC =BC=6. 如果跳蚤开始时在
边BC 的P o 处，BP o =2.跳蚤第一步从P o 跳到AC 边的P j (第1 次落点)处，
且CP j =CP o ; 第二步从Pj 跳到边AB 的P z (第
2 次落点)处，且AP z =
A
P,j
\ P
AP j
; 第三步从P z 跳到边BC 的P 3 (第3 次落点)处，且BP 3 =B P z ……跳蚤
B
Po
P,
按照上述规则一直跳下去，第n 次落点为P " (n 为正整数) ，则点P o 与点
第8 题图
P 2001 之间的距离为
( 山东省德州市中考题)
9. 已知在直线上有时n 二三2 的正整数)个点，每相邻两点之间的距离为1，从左边第
1 个点起跳，且
同时满足以下三个条件: ①每次跳跃均尽可能最大; ②跳n 次后必须回到第1 个点; ③这n 次跳
跃将每个点全部到达.设跳过的所有路程之和为乱，则5 Z5 =
(四川省资阳市中考题)
10. 五位朋友a
，b ，c ，d ，e 在公园聚会，见面时握手致意问候.已知: α 握了4 次，b 握了
1 次，c 握了
3 次，d 握了2 次.到目前为止，e 握了(
)次.
A.l
B. 2
C. 3
D.4
(重庆市竞赛题)
..130
aE噩噩
i1t ~.fi 1J:! . t ~ tAl
1也. 设有甲、乙、丙三人，他们的步行速度相同，骑车速度也相同，骑车的速度为步行速度的3 倍. 现甲
自A 地去B 地，乙、丙则从B 地去A 地，双方同时出发. 出发时，甲、乙为步行，丙骑车，途中，当
甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进;当甲、乙相遇时，
甲将车给乙骑，自己又步行，三人仍按各自方向继续前进，问: 三人之中谁最先到达自己的目的
地?谁最后到达目的地?
("华杯赛"竞赛题)
• •
15. 在线段AB 上，先在A 点标注
0 ，在B 点标注2002 ，这称为第一次操
_ ".0 十2002
作，然后在AB 的中点C 处标汪一
2 一=100 1，称为第二次操作;又
分别在得到的线段AC ，BC 的中点D ，E 处标注对应线段两端所标注的数字和的一半，即
AA
0+ 1001 . 1001+2002
一一一一一与
叮
，称为第三次操作，照此下去，那么经过
11 次操作之后，在线段
2
...
AB 上所有标注的数字的和是多少?
("希望杯"邀请赛试题)
.132
l..
角
要获得科学的认识，某些直观的想象和判断力是不可缺少的先决条
件，单凭逻辑是不够的.
一一希尔伯特
撞撞。"…
~~~知识纵横嘎嘎嘎
j
概念是数学的
基础与出发点，几
:
何的学习贯彻着丰
角，既可以用静止的眼光来观察，也可以用运动的眼光来看待，具有公韭
富的概念，为掌握
端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位
重要的几何概念，
置所成的图形，称为角.
应注意以下几点
:
角也是几何学的基本图形之一，与角相关的知识有: 周角、平角、直角、锐
(1)重视概念
角、钝角、角平分线、数量关系角(如余角、补角)、位置关系角(如邻补角、对顶
!
的图化，即用图来
角)等概念及关系
反映出概念，做到
图意相通.
解与角有关的问题，类似于解与线段相关的问题，常常用到重要概念、分
类的思想、代数化的观点等知识与方法.
16 06 年，徐光启与意大利传教士利玛窦
合作，翻译出版了《几何原本》前六卷，西方数
学开始传入中国. 徐光启评价该书说
" 此书为
益，能令学理者桂其浮气，练其精心
; 学事者
资其定法
，发其巧思，故举世无一人不当学
"
~~~例题求解嘎嘎嘎
蝠'
如图，L_BOD = 450 , L_AOE = 9 0 0 ，那么不大于
E|P
c
90 。的角有
个，它们的度数之和是
1//
~ B
C"希望杯"邀请赛试题)
比~
o
A
思路点拨
求它们的度数的和，关键是把一些角重组，用ζ BOD ，
ζAOE 表示.
( 2 ) 图文互译，
由图说出概念，由
:
概念的文字叙述画
出图，做到会说、会
写、会画.
(3 )
注意概念
:
判定与性质在解题
中的双重作用.
..133
aE国~盛蓝噩噩噩盏噩
[候'
如图是一个3 X3 的正方形，则图中A 十
ζ2 十ζ3+ … + ζ 9 的度数(degree) 是(
) .
D.40 5 。
(广东省竞赛题)
A
思路点拨
除ζ3 二ζ5=ζ7=45 。外，其他各角的度数无法求出，故不能
顺序求和，考虑应用加法的交换律、结合律，关键是对图形进行恰当的处理.
A .
270 。
C. 360 。
B. 315 。
[~[Ð
如图，OC 是L_AOB 的角平分线，0D l_OB
，但是L_ BOD 的角
平分线，ζAOE=85 0
•
iãl富。"…
解与角相关的
, "双平分""初态变
:
化"等问题时，分类
(1)求ζ COE;
: 讨论是解题的关
(2)ζ COE 绕0 点以每秒5 0 的速度逆时针方向旋转
t 秒(O < t < 13)
，t
: 键，分类的标准是
为何值时ζAOC= ζ Dæ
;
: 将平面准确地划分.
(3) 射线。c 绕0 点以每秒10 。的速度逆转，射线OE 绕0 点以每秒5 。的
;
如图，在角所
速度顺时针旋转，若射线。C ，OE 同时开始旋转m 秒(0 < m < 24 . 5) 后得到
; 在的平面内，将角
L_AOC= ~ L_EOB ，求m 的值
一
②
υ
-
-
-
-
-
1
0
国
A-
EB
-
飞
J
E
-
-
'
』
-
D
|
|
，
吨
。
监
A
.
…
思路点拨
对于(2) 、(3) ，在旋转过程中
，OC ，OE 位置不确定，相应角关
于t 或m 的表达式而不同，故应分类讨论. 数字
13 、24 . 5 隐含怎样的信息?
OC ，OE 有哪些临界状态?细化动态过程，确定分类标准是解题的关键.
蝠~O
(1)在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针(0 为
两针的旋转中心) . 若现在时间恰好是12 点整，问经过多少秒后
，Li OAB 的面
积第一次达到最大?
(2) 钟面上从
2 点到4 点有几次时针与分针成60 。的角?分别是几点
几分?
("CAS I O 杯"全国初中数学竞赛题)
.134
:
两边反向延长得四
: 部分，当以已知角
的顶点为端点的射
: 线位直不确定时，
:
以此为讨论标准.
.
~...A
分析
对于(1) ，设边OA 上的高为h ,JnU h ~ OB ，所以S "'OAB =扫
-
h < ~ OA • OB , ~ OA 牛OB 时，等号成立，此时，且B 的面积最大通过角
的关系布列方程解题;对于(2) ，解题的关键是:准确画图，考虑多种情形.
解
(1)设经过t 秒时，OA 与OB 第一次垂直，又因为秒针1 秒旋转矿，
15
分针1 秒旋转0 ，1 0 ，于是有(6-0 ，l) t = 90 ，解得
t = 15 一.
59
(2) 共有四次时针与分针成60 。的角.
①第一次正好是两点整.
②如图甲，设2 点工分，第二次时针与分针的夹角为60 0 ，由工=三十
12
10 十10 ，得x =21_9_
，
11
③如图乙，设3 点y 分，第三次时针与分针的夹角为
60
0 ，由
y + 10 =
主+ 15 ，得y=5 立
12 ' - ~
".~ J
~ 11 '
④如图丙，设3 点z 分，第四次时针与分针的夹角为
60
0 ，由
z = 15 十
三十10 ，得z=27 三
12
咱
11'
图甲
图乙
图丙
引入参数
在一个动态问题中，当问题的条件和结论关系不明朗或难以产生关联
时，可恰当引元(参数) ，建立条件和结论的联系或使关系明朗化.
引入参数、参与推导、消去参数、显露结论，这是参数解题的基本特征.
S
租兔螺安·
怎样解题
童学咽嘘的面E革
叫
《怎样解题》是数学家波利亚的名作，
此书虽然讨讼的是数学发现和发明的方法
和规律，但是对在其他任何领域进行正确
思维都有显著的指导作用
.
-2匾面匾.自
主ãl章
。00...
解钟表上的问
题，常用到以下知
4只:
(1)钟表上相
邻两个数字之间有
5 个小格，每个小格
表示
1 分钟，如与
角度联系起来，每
小格对应
6 0
•
( 2 ) 秒针每分
钟转过
36 0 0 ，分针
每分钟转过
6 0 ，时
针每分钟转过0 .5".
(3)
画示意图
把这类问题看成是
行程问题中的追及
问题来解决.
.135
dE军军Büllif，jf墨E草草温·
[制9
如图，两个形状、大小完全相同的含有30
0 ，60
0 的三角板如图①
放置，PA
，PB 与直线MN 重合，且三角板PAC
，三角板PBD 均可以绕点P
逆时针旋转.
KA1:SA
B
图①
图②
图③
(1)试说明:ζ DPC=90 0
•
A
N
(2) 如图②，若三角板ζ PAC 的边PA 从PN 处开始绕点P 逆时针旋转
一定角度，PF 平分ζAPD ，PE 平分ζ CPD ，求ζ EPF.
(3) 如图③，若三角板PAC 的边PA 从PN 处开始绕点P 逆时针旋转，
转速为3 0 / s ，同时三角板PBD 的边PB 从PM 处开始绕点P 逆时针旋转，转
速为2 0 / s ，在两个三角形旋转过程中(PC 转到与PM 重合时，两三角板都停
ζ CPD
止转动) ，问一一一一的值是否变化? 若不变，求出其值;若变化，说明理由.
ζ BPN
分析与解
对于(2)(3) ，恰当引元，把相关的角用相应的代数式表示，简
单明朗.
解
(1)略
(2) 设ζ CPE= ζ DPE= x
，ζ CPF=y
，由ζ FPD= ζAPF 得
，2x+
y=60 - y
，解得x 十y=30 ，即ζ EPF=30 0
•
(3) 设运动时间为
t 秒，则ζ BPM=2 0
•
t
，ζ BPN =
180。一2 0
• t ,
ζ DPM=30 。一2 0
•
t
，ζAPN=3 0 .t
，ζ CPD=180 。一ζ DPM 一ζ CPA 一
ζAPN=90 。一1 0
• t.
.ζ CPD
9 0 。一1 0
• t
1
一一一一-
-一，为定值.
. ζ BPN
180 。一2 0
• t
2
)1-)1-)1-学为训练嘎嘎嘎
主蓝3童
。00.. •
在运动变化的
:
世界中，寻找不变
:
量和不变性是人类
的理性追求.
方程的同解变
:
形、代数式的恒等变
:
形.图形运动中的不
变量与不变性，动中
觅静，以静制动，不
变量与不变性是数
学的内在追求.
设元引参，用
"变量"把握"形
变"，实现由动到静
的转化;构造方程，
建立代数式，实现
由形到数的化归.
A
1. 如图，射线町，OD ，OE ，OF 分别平分ζAOB ，ζCOB ，ζA町，ζEC汇若ζFOD =
24 0 ，则ζAOB=
三三:
οB
C' . 希望杯"邀请赛试题)
第
1 题图
.136
-E盈西昌县JI-.
2. 把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到ζAOB' = 70 0 ，则ζB'OG =
(内蒙古自治区呼和浩特市中考题)
3. 已知ζCOD=30 0 ，ζAC汇二90 0 ，ζBOD 二80 0 ，OM 平分ζAOD ，ON 平分ζB町，则ζMON=
也. 如图，点。是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分ζAOB
，OE 在ζ BOC 内，且ζDOE =
6归阳=抖。C ，则下列四个结论: ①L_BOD =3叩射线OE 平分L_AOC; ③图中与
ζBOE 互余的角有2 个;④图中互补的角有6 对.则正确的个数有(
) .
A.1 个
B. 2 个
C. 3 个
D.
4 个
l B'!\ 1
D斗
C'
第2 题图
第4 题图
第5 题图
5. 将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC ，BD 为折痕，则ζ CBD 的度数为(
) .
A.60。
B. 75 。
C. 90。
D. 95 0
( 黑龙江省中考题)
6. 如果ζα 和ζ卢互补，且ζα >ζ卢，则下列表示ζ卢的余角的式子有①90 。一ζ卢; ②ζα - 90 0 ;
(: (ζα +ζ卢) ;(: (ζα - L乙卢) ，其中正确的有(
).
2
A.4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
( 青海省西宁市中考题)
7. 如图①，平面内一定点A 在直线EF 的上方，点。为直线EF 上一动点，作射线OA ,OP ,OA' ,
当点。在直线EF 上运动时，始终保持ζ EOP=90 。、ζAOP= ζA'OP ，将射线OA 绕点。顺
时针旋转60。得到射线OB.
(1)如图①，当点。运动到使点A 在射线OP 的左侧，若OA '平分ζ POB ，求ζBOF 的度数;
，
ζAOF
(2) 当点。运动到使点A 在射线OP 的左侧，且ζAOE= 3ζA'OB 时，求一一一一的值;
ζAOP
(3) 当点。运动到某一时刻时，ζA'OB = 13 0 0 ，请直接写出ζBOP=
度.
Jμ VJ/8
E
0
F
E
0
F
图@
备用图
第7 题图
.131
aE军mUl.~ii罩
.t~ fAl
8. 如图，在3 X 3 的网格中标出了ζ 1 和ζ 乙则ζ 1 + ζ 2 = 一一一一一一·
("希望杯"邀请赛试题)
A
内斗1~
AI I I
。
|\j I I
B
第8 题图
第9 题图
9. 如图，ζAOB 是钝角
，OC ，OD
，OE 是三条射线，若OC j_ OA
，OD 平分ζAOB
，OE 平分
ζ BOC
，那么ζ DOE 的度数是
10. 在图示的方格纸中，点A
，B
，C 都在方格纸的交点上，则ζACB=(
).
A.120 。
C. 1 5 0 。
B.135 。
D. 165 。
11. 4 点钟后，从时针到分针第二次成90 。角，共经过(
)分钟(答案四舍五
人到整数).
A.60
B. 30
C. 40
D.38
12. (1)如图，已知ζAOC= ζ BOD = 80 0 , OE , OF 分别平分ζAOD 与
ζ BOC ，求ζ EOF 的度数.
(2) 若ζAOC= ζ BOD= α ，将ζ BOD 绕0 点旋转，使得射线。c 与射
A
线OD 的夹角为卢，OE 平分ζAOD
，α 十卢< 180 0 ，α >卢，求ζ EOC 度
数(用含α ，卢的代数式表示) .
("华杯赛"试题)
第
10 题图
("五羊杯"竞赛题)
E
B
。
第
12 题图
13. 【理解新知】如图①，已知ζAOB
，在ζAOB 内部画射线。C ，得到三个角，分别为ζAOC ，
ζ BOC
，ζAOB
，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线。c 为ζAOB 的"二
倍角线"
(1) 一个角的角平分线
这个角的"二倍角线" ; (填"是"或"不是")
(2) 若ζAOB=60 0 ，射线。c 为ζAOB 的"二倍角线"，则ζAOC 的大小是
.138
-E童s型~
c-B
dA'/-
/
/
一
①
/
/
一
回
40
A/LB
A
乙
B
国②
第
1 3 题图
备用国
【解决问题】如图②，已知ζAOB = 60 0
，射线OP 从OA 出发，以20 0 /秒的速度绕0 点逆时针旋
转;射线OQ 从OB 出发，以10 0 /秒的速度绕0 点顺时针旋转，射线OP
，OQ 同时出发，当其中
一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为
t 秒.
(3) 当射线OP
，OQ 旋转到同一条直线上时，求t 的值;
(4) 若OA
，OP
，OQ 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的"二倍角
线"，直接写出
t 所有可能的值
14. (1)现有一个19 。的"模板"(如图) ，请你设计一种办法，只用这个"模板"和铅笔
在纸上画出
1 。的角来.
(2) 现有一个17 。的"模板"与铅笔，你能否在纸上画出一个1 。的角来?
(3) 用一个21 。的"模板"与铅笔，你能否在纸上画出一个
1
0 的角来?
对于(2)(3) 两问，如果能，请你简述画法步骤;如果不能，请你说明理由.
("'希望杯"邀请赛试题)
J飞
第14 题图
.139
平行线的判定与性质
几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉，不能把几何学等同
于逻辑推理. 只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造的.
俊
、
叉
口
天
~~~知识纵横嘎嘎嘎
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体
现在如下两个方面:
1.由角定角
判定
→性质
已知角的关系一→两直线平行一→确定其他角的关系
2. 由线定线
-性质
判定
已知两直线平行一→角的关系一→确定其他两直线平行
1 98 cl 年. 我国著名我学家吴文位发表
《几何定理机器证明的基本原理
ì) . 用电脑
证明了一系列平面几何中的著名定理. 成
为中国机器证明的创始人. 并获得首届.. 国
家自然科学最高奖"
~~~例题求解嘎嘎嘎
撞撞
0 0 0 . . •
学会识图主要
指以下几个方面:
(1)熟悉基本
图形. 基本图形是指
与概念、公理、定理、
推论关联的图形.
(2) 利用标准图
形去认识变式图形.
(3) 能从不同
角度、用不同方法
去看图，并能把复
杂的图形分解为基
本图形.
分析主要从以
下两个方面进行:
(1)
由因导果
(综合法) ，即从己
，
知条件出发推出相
应结论.
( 2 ) 执果溯因
(分析法) ，即要得
到结论需具备什么
条件.
解题时，我们
蝠~O
(1) 0 为平面上一点，过点。在这个平面上引2005 条不同的
j 既要抓住条件，又
要盯住目标，努力
对以点。为顶点的对顶角.
直线ll
，l 2 ，l 3 ' … ，l 2则，则可形成
促使已知与未知的
( 山东省聊城市竞赛题)
转化与沟通.
(2) 若平面上4 条直线两两相交，且无三线共点，则一共有
对同
旁内角.
( 江苏省芜~F-题)
.1咽
思路点拨
对于(1) ，从简单情形出发，利用递推关系; 对于(2)
，4 条直线
两两相交，每两个交点之间就有一条线段，而每条线段的两侧各有一对同旁
内角，于是将问题转化为确定线段的条数.
圃'
如图，已知AD // EG // BC ，AC // EF ，则图中与ζ I 相等的角有
A.4
c. 6
B. 5
D. 7
(青海省西宁市中考题)
F 〉尺"'-.H \r.
h~~
思路点拨
充分运用与角相关的知识，要做到不重复不遗漏，注意等量
代换.
[锐'
如图，在6ABC 中，CE 上AB 于E ,DF l_AB 于F ，AC // ED ，
CE 是ζACB 的平分线.求证: ζ EDF= ζ BDF.
思路点拨
综合运用角平分线、垂直的定义、平行线的
判定与性质等知识，因图形复杂，故需恰当分解图形.
B
( 天津市竞赛题)
A
D
C
[候'
平面上有1 0 条直线，无任何3 条交于一点，要使它们出现31 个
交点，怎样安排才能得到?
( 吉林省竞赛题)
分析与解
设1 0 条直线交点的个数为n
，则
0:::;;;;n :::;;;;45 ( 为什么) .
按题设要求只出现31 个交点，需减少1 4 个交点，有下列两种方法:
(1) 多线共点，这与题设矛盾.
(2) 出现平行线.
若有6 条直线互相平行，则可减少15 个交点，故在这一方向上最多可取5 条
平行线，这时还有4 个交点需要减去，换一个方向取3 条平行线，即可减少3 个交
点，这时还剩下2 条直线和1 个需要减去的点，只需使这两条直线在第三个方向
上互相平行即可.
·国E主画...
喜自$辈
。00.
探索性问题一
:
般具有以下特点:
(1)给出了条
:
件，但没有明确的
结t仓.
(2) 给出了结
论，但没有给出或
:
没有全部给出应具
备的条件.
(3) 先提出特
殊情况进行研究，
再要求归纳、猜测
确定一般结论.
(4) 先对某一
:
给定条件和结论的
问题进行研究，再
:
探讨改变条件时其
结论相应发生的变
化，或改变结论时
其条件相应发生的
变化.
(5)
解题方法
需要独立创新.
请读者思考:
平面上有
6 条
:
直线，共有
12 个不
同的交点，画出它
们可能的位直关系
( 画三种图形) .
..141
aE国昌盛画
~â . t~fl
如图，下列方案供参考:
平移
过点恰当作平行线是现阶段常用辅助线，这为平行线性质或判定的运
用创造了条件.通过平移，可将角、线段移动到适当的位置，使分散的条件加
以集中，促使问题的解决.
[制9
平面上有5 条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5 条直线
两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36 0 ，请说明理由.
主吉3景
。00.. •
数学证明
....uwuu.øeAl NððIt
•
1:1:.
、4飞
证明即从已有
的定义、公理出友，
运用特有的逻辑推
断达到确定无疑的
结论，提供正确性
:
的标准.精确的计算
与严格的证明是数
学区别于其他学科
的两大特征.
对于例
5 ，当平
( "华罗庚金杯"邀请赛试题)
面上有
6 条两两不
分析
把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的
: 平行的直线，你能
直线所成的角是相等的.这样，我们就可将所有的直线移动后，使它们相交于
同一点，此时，情况就相对简单得多.
解
在平面上任取一点。，过0 点作已知的5 条直
线的平行线
I I .l2 ,l 3 ,l 4 ,l 5 (如图以3 条直线为例，说明
作平行线的方法).
将点。为中心的周角分为
10 个彼此相邻的小角，
它们的和为360 0
• 故至少有一个小角不超过36 0 •
~~~学为训练嘎嘎嘎
穷实
. •
1. 如图，直线a // b. 则ζA=
3
, ,
得出怎样的结论?
A、~
xι
(浙江省中考题)
第
1 题图
.142
-E噩噩噩噩‘
2. 如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中ζα 的度数是
(浙江省金华市中考题)
3. 如图，己知AB // DE ，ζABC=80 0 ，ζ CDE=140 0 ，则ζ BCD=
(安徽省中考题)
4. 如图，直线ll // l z，ζA=125 0 ，ζ B =85 0 ，则ζ 1 + ζ2= (
).
A.30 0
B. 35 。
C. 36 。
D.
40 。
( 贵州省遵义市中考题)
AL:20
/气
D
A
F\_一二
C
C
D
第2 题图
第3 题图
第4 题图
第5 题图
5. 如图，已知直线AB//CD ，ζ C = 115 0 ，ζA =25 0 ，则ζ E = (
).
A.70 。
B .
80 。
C.90 。
D. 1 00 。
(浙江省杭州市中考题)
6. 如图
，AB // CD//EF 矿GH ，AE//DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与
ζα 相等的角的个数为m( 不包括ζα 本身) ，与ζ卢互补的角的个数为η
，若
D
B
α 手卢，则m 十η 的值是(
E
A.8
B. 9
C. 10
D.ll
H
(' . 希望杯"邀请赛试题)
第6 题图
7 . 己知AB // CD ，ζABE 与ζ CDE 两个角的角平分线相交于点F.
(1)如图①，若ζ E=80 0 ，求ζ BFD 的度数.
A
(2) 如图②，已知L_ABM = 仨A肌ζCDM =
E
M
E
C
卡CDF ，写出J 和3 之间的数量关系
图①
图②
并证明你的结论.
第7 题图
( 3 ) 若ζABlLf = lζABF ，ζCDM= 1ζCDF ，设ζE = m o ，直接用含有n ，m 。的代数式表示
η
n
ζM =
.143
aE噩噩噩iIm回*:tæ.\-
• •
8. 已知ζA 的两条边和ζB 的两条边分别平行，且ζA 比ζB 的3 倍少20
0 ，则ζ B=
(北京市"迎春杯"竞赛题)
9. 如图，若AB 矿FE ，BC l_ ED
，ζABC 与ζ DEF 的角平分线交于点G ，则ζ BGE 的度数
是
("希望杯"邀请赛试题)
ι
也
A
B
老三三J
乃/70
0 \\
二C;
;j
6。这
丘。。
ρ50 0
60飞
A
B
A
B
A
G
F
E
国①
国②
四③
第9 题图
第
1 0 题图
10. 图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图，甲的路线:A →C→D→B
，乙
的路线:A →E→B
，丙的路线:A →F→G→H →B. 若三人行进路线的总长度分别用句，杠
，l 丙
表示，则其大小关系是
("希望杯"邀请赛试题)
1 1. 如图，平行直线AB
，CD 与相交直线EF ，GH 相交，则图中的同旁内角共有(
).
A. 4 X才
B. 8 又才
C. 12 对
D. 16 又才
(全国初中数学联赛题)
2
C
DP「;
第
11 题图
第
12 题图
第
13 题图
12 . 如图，已知AB // FG ，CD // EF
，ζ B = 110 0，ζ F=45 0 ，则ζC=(
).
A.45 。
B. 55 。
C. 65 。
D.75 。
("希望杯"邀请赛试题)
13 . 图中所有的角均为直角，各线段长如图所示，在不测量的前提下，X 为(
).
A.1
B. 2
.144
C. 3
D.4
E. 5
(美国数学竞赛题)
1岳. 如图，己知CD//EF ，ζ1 + ζ2 = ζABC ，求证:AB //GF.
15. 己知直线AB//CD.
(1)如图①，若GN 平分ζρC
l
ο
Cf\
β
凡、\、
60旷。'求ζζ乙AMG 的度数;
-~
(重庆市竞赛题)
D
E
Fι4一一一一一-G
第
14 题图
(2) 如图②，若直线BM 平分ζABE
，直线DN 平分ζ CDE ，直线BM ，DN 相交于点F ，求
ζ F: ζ E 的值.
G
M
A
B
A
E
C
D
C
F
国①
国②
第
15 题图
· 综合创新
16. (1)平面上有6 条直线，共有12 个不同的交点，画出它们可能的位置关系(画三种图形).
(江苏省竞赛题)
(2) 平面上n 条直线中每条恰与另外的1999 条相交，求n 的所有可能值.
(环球城市数学奥林匹克竞赛试题)
(3) ①已知平面内有4 条直线a ,b ，c 和d
，直线a
，b 和c 相交于一点，直线b
，c 和d 也相交于
一点.试确定这4 条直线共有多少个交点?并说明你的理由.
②作第5 条直线e 与①中的直线d 平行，说明:以这5 条直线的交点为端点的线段有多少条?
(" . 希望杯"邀请赛试题)
"1崎
简单的面积问题
促使面积比与
对应线段比之间的
相王转化，是求图
:
形面积的一个常用
:
技巧
，解题的关键
是加强对图形结构
的分析，寻找共高
或共底的三角形.
熟悉以下基本
图形:
撞撞。"…
科学的灵感，决不是坐待可以等来的，只能给那些学有素养的人，给
那些善于独立思考的人，给那些具有镇而不舍的精神的人.
庚
E
H/
化
十
嘎嘎嘎
知识纵横
~~~
几何起源于对图形的面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，
求图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一.
平面几何图形形状不同，繁简不一，计算图形的面积有以下常用方法:
1.和差法:把图形面积用常见图形面积的和差表示，通过常规图形面积
E
A
丛
E
A
V丑
公式计算.
2 . 运动法:有时直接求图形面积有困难，可通过平移、旋转、割补等方式，
将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状，就可
在动中求解.
3. 等积变形法: 即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过
代换转化求图形的面积.
4. 代数法:利用图形面积之间的关系，引人未知数，通过解方程(组)
古希腊最具影响的是大数学家
欧几里得和他的巨著《几何原本
)) . 有
一次
，国王问欧几里得学习几何有没
有捷径
，欧几里得回答道
.. 几何学中
无王者之道
" 这句话给人以启迪. 被
长久地流传下来.
求解.
..146
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
[锐'
8cm , BC=6 cm ，分别以
AC ，BC 为边作正方形
AEDC ，BCFG ，贝U6BEF 的面积是
cm2 •
如图，在6ABC 中，ζACB=9 0 0 ，AC=
D
E
A
B
思路点拨
C " 希望杯"邀请赛试题)
连接EC ，将6BEF 的面积分割成易求的几个三角形面积的和.
蝠'
如图，梯形ABCD 被对角线分为4 个小三角形，已知6AOB 和
6BOC 的面积分别为25m 2 和3 5 m 2 ，那么梯形的面积是(
A.144
B. 140
C. 160
图形隐含多对面积相等的三角形，要求
梯形的面积只需求6DOC 的面积，解题的关键是通过线
思路点拨
段的比把三角形面积联系起来.
圃'
AP
1 BQ
1
如图，已知6ABC 中一一=一一一二
'AB
3' BC
4'
CR
1
-一=一，三角形PQR 的面积为20cm 2 ，求6ABC 的
CA
5
面积.
思路点拨
m
D. 无法确定
C " 五羊杯"邀请赛试题)
B
D
R
连接BR
，CP ，把线段比转化为对应三角形面积比，分别把
(美国数学邀请赛试题)
6APR ，6BPQ ，6QRC 的面积用6ABC 的面积表示.
..SMPR
AP
1 5 MBR
AR
4
.SMBR
AB
3 'S MBC
AC
5'
• S 6APR
SMPR
5 MBR
AP
AR
5 MBC
5 MBR
5 MBC
AB
AC
4-H
一
一
4-5
×
1-3
一
一
-E温æ理~
幢幢
。00. . •
G
C
.141
dE军
i&i1t tfiñ~! . t~ t.I
蝠'
如图，6ABC 的面积为1 ，D ，E 为AC 的三等分点，F ，G 为BC
的三等分点.求
:
(1)四边形PECF 的面积.
(2) 四边形PFGN 的面积.
思路点拨
(1)连接Cp
，设5 D. PCF =
x , 5 D. PCE = y ,
可建立关于工
，y 的方程组，解题的关键是把相关图形的
面积用x
，y 的代数式表示，并利用等分点导出隐含图形
的面积; (2) 连接NC ，仿(1) ，先求出6BNC 的面积，再
得出6BNG 的面积，进而可求四边形PFGN 的面积.
呵。
如图①，已知囚边形ABCD 中
，E ，F 是
DC 边的三等分点
，G ，H 是AB 边的三等分点.
求证: 5…HFE=75…CD
解
("华杯赛"试题)
如图②，连接FG ，DG ，FB ,DB ,
.: 5 D. EGF = 5 D. EGD ,5 D. HFG = 5 D. HFB ,
.. 5 四边形囚BF =25 四边形GHFE .
①
0: DE=EF=FC ,AG=GH=HB ,
:. 5 D. DBC = 35 D. FBC , 5 D. DBA = 35 D. 囚A ,
0. 5 四边形ABCD = 3(5 D. FBC +5 D.囚A ) ,
得5 D.FB
川
F阳B川A皿叫囚阳A = 7S…C∞D ②
①+②，得S…CD =25…FE 十fs…ω
A
C
B
图①
4
图②
故S 四四GH「ts…CD
拓展
如图③，已知四边形ABCD 中E
，F ，G ，H
，M ，
N
，R
，5 分别是四边的三等分点.
jc
求证:5 阴影=ts…CD
图③
等积变形
平行线具有转移线段或角、等积变形作用，在解决许多问题时具有不
可替代的作用-
~/二二苦和、变形，即运用平行线，把一个三角形变形成与它本身面积相等但
形状不同的三角形.
..1咽
: 撞撞。"
求一些关系复
杂的图形面积，代
:
数化是一个重要技
巧，利用代数化，能
清晰明朗地表示图
:
形面积之间的关
系，从而可以化解
:
或降低问题的难度.
对于例
5 ，读者
能提出类似的问题
吗?
·固~
蝠'
如图①，正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置
如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFC 的边长为4 ，求6DEK 的
面积.
(广西壮族自治区南宁市中考题)
~K
图①
图②
解法一
将6 DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.
如图②，延长AE 交PK 的延长线于点H .设正方形ABCD
，正方形RK-
PF 的边长分别为a
，b
，则
5 6 DEK =5 正方形ABCD+ 5 正方形BEFG 十S 矩形EHPF -5 6ADE -5 6C囚-5 6 PGK -5 6 EHK
1
1
=α 2 +42 +4b 一=a(a+4) 一:a(a-4) 一
= bC b+4) 一:bC4-b)
2 -
, -
-,
2
1
=α 2+ 16 +4b-lft-2α - ;a 2 +2α-lfb 2 -2b-2b+lfb 2
=16
解法二
运用等积变形转化问题.
如图③，连接DB
，CE ，FK
，
则ζ DBA 二ζ CEB =450,
:.DB //CE ，得5 6GED =5 6 GEB ,
图③
同理CE // FK
，得5 6GEK 二5 6GEF •
人5 6 DEK = 5 6 GED +5 6 GEK =5 6 GEB +
5 6 GEF =5 正方形BEFG = 16.
~~~ 学力训练
嘎嘎嘎
••
穷实
. •
1. 如图，正方形ABCD 的边长为4 ，MN // BC 分别交AB
，CD 于点M ，N
，在
MN 上任取两点P
，Q ，那么图中阴影部分的面积是
(贵州省贵阳市中考题)
iã'宴
。00.. •
例
6 的两种解
法因思考问题的角
度不同而繁简迫
异，故在解题时要
选准解题的视角
，
化复杂为简单.
A
D
M.‘~λ「
n
c
第
1 题图
..149
d
辈革基盛画画昌..
草草-
2 . 如图，一个面积为
5 0c旷的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则6ABC 的面积是
C口1 2 •
(重庆市竞赛题)
A
BI
E
C
B
第2 题图
第3 题图
3. 如图
，D
，E 分别是6ABC 边AB
，BC 上的点
，AD = 2BD ,BE = CE ，设6ADF 的面积为51 ,
6 CEF 的面积为5 2 ，若5 L:;ABC = 6 ，则5 1- 5 2 的值为
( 山东省济南市中考题)
1
1
也. 如图，在长方形ABCD 中
，AE = BG = BF = : AD = : AB = 2,E , H ，G 在同一条直线上，则阴
2 ---
3
影部分的面积等于(
).
A. 8
B. 12
c. 16
D. 20
("希望杯"邀请赛试题)
A
B
D
C
第4 题图
第5 题图
5 . 如图，已知6ABC 的面积为1，点D
，E
，F 分别在BC
，AC
，AB 上，且BD = 2DC , CE = 2EA ,
AF=2FB ,AD ,BE ，CF 两两相交于P
，Q
，R
，则6 PQR 的面积为(
) .
I
A. =
5
Bt
1
c. 7
D.~
-
14
(四川省成都七中自主招生试题)
6. 如图所示，在正方形ABCD 的BC 边上有一动点E ，以DE 为边作矩形
DEFG ，且FG 边通过点A
，请问当点E 从点B 移动到点C 的过程中矩形
DEFG 的面积是如何变化的? (
A . 一直变大
c . 先变小后变大
E . 保持不变
B. 一直变小
D . 先变大后变小
G
D
B E 一- E' C
第6 题图
(国际中小学数学能力检测试题)
.150
-E盈眶E匾..
i
h
u
到
组
组
组
组
组
组
到
F
7. 如图，长方形EFGH 中，GF = 6 ，EF 二4 ，阴影部分的面积和是7 ，求四边形ABCD 的面积.
第7 题图
(世界数学团体锦标赛试题)
拓展. •
••
8. 如图，已知正六边形ABCDEF 中，若四边形ACDE 的面积是8 ，则正六边形ABCDEF 的面积
为
(世界数学团体锦标赛试题)
C
H
\
飞
\
/
J
D
图
一
\
一
题
-
\
-
o
凸
A
厅
|
|
|
川
、
E
第
F
第9 题图
9 . 如图，大圆中有4 个面积相等的小圆，已知小圆半径为5cm ，大圆半径等于小圆直径，则空白部
分的面积是
cm2 (π 取3) .
:真试题)
世界在生学团体锦
i
10. 如图，ABCD 是正方形，F 是其两条对角线的交点，E 在BC 边上，BE : EC=l : 2 ，DE 与对角
线AC 的交点为G ，三角形DFG 的面积为2 ，则正方形ABCD 的面积为
C " 华罗庚金杯" 少‘ 年2生学邀请赛试题)
L刊F
A
U
M
B
E
C
第10 题图
11. 如图，点E ，F 分别是长方形ABCD 的边AB
，BC 的中点，连接AF ，CE ，设AF ，CE 交于点G ，
一
D
-
D
町
-
M
A-A
形
一
形
边
一
方
囚
一
长
Q
U
-QU
m
m
川
2
D. 3
c?
B;
At
(全国初中数学竞赛题)
..151
dE理主Ai1ttJi ñ~ . t~ tAl
2_AC ，BD 与CE 交于F ，当，6. FBC 的面积不大于100 时，则自然数η 的最
n
12 如图，t6.ABC 的面积为川，D ，E 分别在AC ，AB 上，且BE=fAMD=
小值为(
A.9
第12 题图
B. 10
C.11
D.12
("希望杯"邀请赛试题)
13. 如图，D 是t6.ABC 边BC 上一点，且CD : DB=2 : 3 ，E 是AB 上一点，且AE: EB=2: l，F 是
CA 的延长线上一点，且CA : AF=4: 3 ，若t6. DFE 的面积为1209 ，求t6.ABC 的面积.
A之
第
13 题图
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
• . 综合创新·
14. 如图，六边形ABCDEF 的面积等于
12. 5 厘米2 ，它的内角中，ζAFE= ζ BCD =90 0 ，其余的
四个内角相等.BC=2 厘米
，CD=3 厘米，EF 二1 厘米.又K 是DE 的中点，求阴影四边形
ACKE 的面积.
3ρ
2
B
EIF
第
1 4 题图
("希望杯"邀请赛试题)
..152
三角形的边与角
··吧里嚣噩噩翻
几何学的光荣，在于它从很少几条独立自主的原则出发，而得以完成
如此之多的工作.
一一牛顿
并~~知识纵横嘎嘎嘎
三角形是最基本的图形之一，是研究其他复杂图形的基础，三角形的三
边相互制约，三个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系(如大角对大
边、大边对大角等)
，反映三角形的边与角关联的基本知识有: 三角形三边关
系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段、角度的计算、图形
的计数等方面有广泛的应用.
解与三角形的边与角有关的问题时，往往要用到数形结合及分类讨论法，
即用代数方法(方程、不等式)解几何计算题及简单的证明题，按边或角对三角
形进行分类.
之4
三角形是一个从简单情形出发.
逐步走向深刻的最具典型性的数学
研究对象，人们一定是掌握了某些三
角学知识，才能建造起宏伟的金字
塔，让它历经千年风雨依然威严耸立.
k
e美
…
晨
二
M
E
F
~~~例题求解嘎嘎嘎
圃'
如图，ζCAD 和ζ CBD 的平分线相交于点
p ，设ζ CAD ，ζ CBD ，ζ C ，ζD 的度数依次为α
，b , c ,d ,
用仅含有两个字母的代数式表示ζ P 的度数
(江苏省竞赛题)
思路点拨
运用对顶三角形性质，可得到含ζ P ,a ,b ,c ，d 的等式.
B
iãl蜜
。00.. •
确立三角形个
数是与三角形三边
关系相关的一类重
:
要问题，解题的基
:
本方法有:
(1)已知边长
( 次长边或最长
边) ，通过穷举确定
三角形个数.
(2)
已知周长
确定三角形个数，
解题的关键是先求
出最长边的取值范
围，可以证明
: 三角
形的最长边介于周
1
1
长的
和之间.
3 ' 2
对于例
1，将原
题的一条角平分线
换成其邻补角的平
分线(相当于三角
形的外角平分线) ,
其他条件不变，例
I
C
的结论还成立吗?
请你画图并证明.
.153
d
1&:主A i1t tffñ~.
草草温·
c~[e
角形有(
三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10 ，这样的三
)个.
A.55
B. 45
C. 40
D. 30
C' . 希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
次长边可取数值10 ，9 ，8 ，7 ，6 ，可证明次长边的范围是不大于
最长边，不小于最长边的t
[~[Ð 在三角形纸片内有2008 个点，连同三角形纸片的3 个顶点，共
有2011 个点，在这些点中没有三点在一条直线上. 问:以这2011 个点为顶点
能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形?
(天津市竞赛题)
思路点拨
考查三角形内有一个点、两个点、三个点…… 的简单情形，或
从角的关系人手.
圃'
周长为30 ，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?
(河南省竞赛题)
分析
不妨设三角形三边为a ,b ，c
，且α < b < c
，由三角形三边关系定理
及题设条件可确定c 的取值范围，以此作为解题的突破口.
问+ b 二30-c
，
不妨设α < b < c
，则由斗
得10< c < 15 ，
| α +b > c
，
解
因c 为整数，故c=11
，12 ，13 ，14 .
当c= l1 时，b=10 ，α=9 . 当
c =12 时，b= l1，α =7;b=10 ，α=8 . 当c=
13 时
，b=12 ，α 二5;b=1 1，α =6;b=10 ，α = 7;b=9 ，α=8 . 当
c =14 时，b=
13
，a=3;b 二12
，α =4;b=11
，α =5;b=10
，α =6;b=9
，α=7.
..154
撞撞
。00.
代数法解几何
，
计算问题的基本思
路是通过设元，运
用几何知识建立方
;
程(组)、不等式
(组) ，将问题转化
为解方程(组)或解
不等式(组) .
思维中的"想"
探索问题解决的路径是一个活跃而积极的思维过程，充满着"想"有的
人"想不通"，有的人越想越活，回想、联想、猜想、冥思苦想…...
回想:依据问题的条件、结论，从记忆储备中提取相关知识方法.
联想:通过强化或弱化条件，由一个问题想到另一个问题，发现问题的
相似，性.
猜想:对关联的问题，猜测它们在结论或解决方法上的相同或相似.
[哩。
(1)如图①，凹四边形ABDC 形似圆规，这样的凹四边形称为
"规形"，易证ζ BDC 二ζA + ζ B + ζ C.
(2) 如图②，在凹四边形ABDC 中，已知ζABD 与ζACD 的平分线交
ζA + ζ D
于点E .求证:ζ E=~~
2
B人
λc
图①
图②
分析与解
图②可分解为两个"规形"，
.: BE ，CE 分别平分ζABD ，ζACD
，
.·.可设ζABE= ζ DBE= 工，ζACE= ζ DCE 二y.
yy
++
ZZ
++
AE
/
ι
/
ι
一
一
一
-
ED
/L/L
得
叮
I
E
A
出
国
-
D
一
/
ι
一
十
一
2
A
一
/
L
一
((
•
/L
. .
•
②一①得ζ D 一ζE = ζE 一ζA
，
拓展
"规形"有四个内角，任取两个内角的平分线，有六种组合情形，于是，可
提出下列问题:
-E盈革墨画画..
撞撞
。00 .. •
陈省身(1 911-
2 0 04)
，20 世纪杰出
; 华人国际数学大
:
师，与欧几里得、高
I
斯、黎曼、嘉当并列
:
为五大几何学家，
: 被称为" 微分几何
: 之父气一次在清华
.
大学作报告时，曾
，
问同学们"多边形
:
的本质是什么?"
A Ac
图3
图④
:
梁作用，设而不求，
(1)如图③，若ζABD ，ζ BAC 的平分线交于点E ，则ζC ，ζD 与ζ E
这是参数作用的体
A
之间有怎样的数量关系?
(2) 中的
工，y
; 在解题过程中起桥
:
现，这种代数化的
: 方法在解与角平分
(2) 如图④，若ζ BAC ，ζ BDC 的平分线交于点E ，则ζB ，ζC 与ζE 之
:
线相关问题时有广
间有怎样的数量关系?
泛的应用.
..155
d
f& ~iftifttJj ñ;t . t$fi
~~~学为训练嘎嘎嘎
1. 在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是
( 广西壮族自治区玉林市中考题)
2. 小明把分别含45 0 ，30 。的两个直角三角尺按如图所示的方式摆放，其中ζ C= ζF 二90 0 ，ζA=
45
0
，ζ D=30
0
，则α+卢的度数为一一一一一·
( 湖南省梆州市中考题)
A
1,
A,
民达B
B
D
第2 题图
第3 题图
3 . 如图，在，6.ABC
中，ζA =m o ，ζABC 和ζACD 的平分线交于点A l
' 得ζA 1
; ζA 1 BC 和
ζA 1 CD 的平分线交于点A z ，得ζA z ...… ζA z川BC 和ζA Z0 1 Z CD 的平分线交于点A ZOl3
，则
ζA Z0 13 =
( 四川省达州市中考题)
也. 如图，在，6.ABC 中，BD ，BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线
上，FH 上BE交BD 于点G ，交BC 于点H.下列结论:
①ζ DBE = ζF
②2ζ BEF = ζ BAF + ζC
③3 二;(ζ阳
ζC)
④ζBGH= ζA附ζC
其中正确的是(
).
第4 题图
A. ①②③
B. ①③④
C. ①②④
D. ①②③④
5. 现有长度分别是1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，10 ，11 ，12 的木棒各一根，从中选出若干根，首尾顺次连接
构成一个等边三角形.等边三角形的边长为α ，则α 的所有可能的值有(
)种.
A.21
B. 22
C. 25
D. 26
( "希望杯"邀请赛试题)
6. 如图，将纸片，6.ABC 沿着DE 折叠压平，则(
).
A. L:A= L: 1忆2
B. L:A 寸ω 十ζ 2)
C A=tω +ζ 2)D A = 7(ζ 1亿2)
( 北京市竞赛题)
.156
B~飞
AV
C
第6 题图
7. 平面内的四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，已
知ζABC=2 4 0 ，ζADC=42 0 •
• •
(1)如图①，若ζ BAD 与ζ BCD 的平分线交于点M ，求
ζAMC 的值.
(2) 如图②，点E 在BA 的延长线上，ζ DAE 的平分线和
ζ BCD 的平分线交于点N ，求ζANC 的值.
8. 己知L-，ABC 的三边长分别为a ,b ，c ，有以下三个结论:
①以布，而，jZ为边长的三角形一定存在;
②以矿
，b 2
，C 2 为边长的三角形一定存在;
B
③以
I a - b I + 1, I b -c I + 1, I c - a 1+ 1 为边长的三角形一定存在.
其中正确结论的序号为
E
匾矗
D
B
‘D
罔①
罔②
第7 题图
( 全国初中数学竞赛题)
9. 将长度为2 5 cm 的细铁丝折成边长都是质数(单位:厘米) 的三角形，若这样的三角形的三边的
长分别是a
，b ，c 且满足a ~二b ~ c ，则(α ，b ，c ) 有
组解，所构成的三角形都是
三角形.
C" 希望杯"邀请赛试题)
10. 如图，若ζ 3 + ζ5+ζ7 二200 0 ，则ζ 1 +ζ 2 + ζ4 十ζ 6 + ζ 8 =
β
F
C" 华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
1 1. 三个内角的度数都是质数的三角形的种数( 三个内角的度数对
A 斤1
应相等的两个三角形视为一种)是(
第10 题图
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
C " 希望杯"邀请赛试题)
12. 7 条长度均为整数的线段α 1
，α 2 ，…，α 7 满足α 1 <α 2 < … <α 7 ，且这7 条线段中的任意三条线段
都不能构成三角形，若α 1 = 1 ，α 7= 2 1，则向= (
) .
A. 18
B. 13
C. 8
D. 5
(浙江省竞赛题)
.151
dE远主昌盛画画~草草-
13. 己知，ð，ABC 的两条高线的长分别为5 和20 ，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的
最大值为C
) .
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
(全国初中数学联赛题)
14. 给定η(η > 4) 条线段，己知用其中任意的n 一1 条线段均可作成一个η - 1 边形.求证: 可用其中
的某三条线段为边作成一个三角形.
(俄罗斯圣彼得堡市竞赛题)
15. 在直角坐标系xOy 中，在第一象限AB 方向和工轴上各有一平面镜，一束光线CD 经过两次
反射后的反射光线是EF
，且ζ DCE > ζ DEC
，已知C(m ,0) ,ECn ,0) .
y
y
B
F
B
X
E
Z
H
图①
图②
第
1 5 题图
(1)若m
，n 满足
I m-3
1 十(η+4) 2 =0 ，求C
，E 点的坐标.
( 2 ) 如图①，若ζABE=30 0 ，求人射光线CD 和反射光线EF 所在直线的夹角ζ Q 的度数.
(3) 如图②，若平面镜AB 绕点D 旋转时，设法线DH( 即DH 上AB) 交y 轴于点
H. 问
ζDCE 一ζDEC
的值是否改变?若不变，求出其值;若改变，说明理由.
..158
多边形的边角与对角钱
..159
fã~蜜。。。…
求凹多边形内
角和，需作辅助线并
常用对顶三角形的
性质，将问题转化为
凸多边形内角和的
;
计算. 如图，ζ 1 +
ζ2=ζ3+ζ4 .
:
:三
对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与
和谐，而这些正是上帝用数学语言透露给我们的.
，
"
川
V
刽
导
业
目
开
嘎嘎嘎
知识纵横
~~~
边、角、对角线是多边形中最基本的概念，求多边形的边数、内外角度数、
对角线条数是解与多边形相关的基本问题，常用到三角形内角和，多边形内、
外角和定理，不等式，方程、内外互化等知识方法.
将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略，连
对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法，从凸
n 边形的一个顶点引
(η - 3)
出的对角线把凸η 边形分成(η - 2) 个三角形，凸n 边形一共可引出一
2 一
条对角线. (为什么? )
德国发行的纪念高斯的货币.1 796 年
.
年仅
19 岁的高斯给出了正十七边形可以
用尺规作图的证明
，这一问题的证明不仅
震撼了数学界，也震撼了高斯自己的心灵.
嘎嘎嘎
例题求解
~~~
人
与扩
(1)边数均为偶数的两个正多边形的内角和为
1800 0 ，则两个正多边形的边数分别为
蝠'
(广西壮族自治区竞赛题)
(2) 如图，ζ A + ζ B 十ζ c +ζ D +ζ E +ζ F + ζ G=
( .. (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
n • 90 0 ，则n =
aE军2届监盛蓝墨E军孟噩
思路点拨
对于(1) ，设两多边形边数分别为a
，b ，由内角和公式建立a
，
b 的方程;对于(2) ，恰当连线或利用角的转换，将凹多边形内角和转化为凸多
边形内角和.
[~[e 在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是(
A.O
B. 1
C. 3
D.5
(全国初中数学竞赛题)
思路点拨
多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，而外角
和却总是不变的，因此，可把内角为锐角的个数讨论转化为外角为钝角的个
数的探讨.
[~[. 在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002
0 ，求
这个多边形的边数.
(江苏省竞赛题)
思路点拨
设除去的角为工。，y 。，多边形的边数为η ，可建立关于x
，y 的
不定方程;又0 0<x< 180 0 ，00< y < 180 0 ，又可得到关于η 的不等式.故有两种
解题途径，注意η 为自然数的隐含条件.
[锐'
在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各
种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说，使用给定的某些正多边形，能
够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫作平面
镶嵌) ，这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边
形的内角加在一起恰好组成一个周角(360 0 ) 时，就拼成了一个平面图形.
(1)请根据下列图形，填写表中空格.
A 口。。
正多边形边数
正多边形每个内角的度数
.160
主ël蛋
。00 .. •
数学建模是当
:
今数学教育、考试
改革最热门的一个
话题，简单地说，
"数学建模"就是通
过数学化(引元、画
图等)才巴实际问题
转化为一个数学问
题，再运用相应的
数学知识方法(模
型)解决问题.
(2) 如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面
图形?
(3) 从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选
一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图) ;并探
索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由.
(陕西省中考题)
思路点拨
本例主要研究两个问题:①如果限用一种正多边形镶嵌，可
选哪些正多边形; ②选用两种正多边形镶嵌，既具有开放性，又具有探索性.假
定正n 边形满足铺砌要求，那么在它的顶点接合的地方，71 个内角的和为
360 0 ，这样，将问题的讨论转化为求不定方程的正整数解.
[锐。
己知凸n 边形A 1 A 2 ...A" (71 > 4) 的所有内角都是15 。的整数倍，
且ζA l+ζA 2 + ζA 3 =285 0 ，求η 的最大值.
(世界数学团体锦标赛试题)
分析与解
由多边形内角和关系可得含多个字母的不定方程，解题的关
键是运用放缩法建立η 的不等式.
·.· ζA 4 + ζA s + … +ζA ，，=( η - 2) X 180- 285 = 180n - 645 ,
ζA 4+ζA s + … +ζA" = 1 5( 走1+ ι + … 十走，，- 3 ) (走，为整数，i = 1 , 2,…,
n-3) ,
:.180n -645 = 1 5( 走1 + k 2 + … + 走，广3 ) ,
即12n -43= 走l 十k 2 + … 十扎
3 .
由15ι < 1 80 ，得k ，< 12 ，ι 最大值只能取11 ，
:.12n - 43ζ 11(η- 3) ，得n ~ 1 0 ，
故η 的最大值为
1 0 .
固形新定义
研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，即按照一定规则的
约定，用下定义的方式给出一个新图形的概念，运用新定义的图形概念探
索新图形的性质，并运用新图形的性质解决问题.
在《骑士》中，一队人马向左、一队人马向右，相
反相成，相映成趣. 在埃舍尔的镶嵌图案中，他用几
何学中的反射、旋转、平滑等变换来获得更多的变
化图案.杨振宁著作《基本粒子发现简史》的封面用
的就是这幅画作，这幅作品与物理学中对称性的结
构对应论相吻合.
-~
2蓝4辈
。00 .. •
11,J
4
通过设
元，把"没有重叠、
没有空隙"转译成
等式，通过不定方
:
程求解.
..161
dE噩噩噩噩罩
.t~ tAl
[~[ø 定义:六个内角相等的六边形叫等角六边形.
(1)研究性质
①如图①，等角六边形ABCDEF
中，三组正对边AB 与DE
，BC 与
EF ，CD 与AF 分别有什么位置关系?证明你的结论;
②如图②，等角六边形ABCDEF 中，如果有AB=DE
，则其余两组正
对边BC 与EF ，CD 与AF 相等吗?证明你的结论;
③如图③，等角六边形ABCDEF 中，试判断AB+BC 与DE+EF 的
大小，并证明你的结论.
(2) 探索判定
三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为
120 0 ，才能保证该
六边形一定是等角六边形?
C
图②图③
(浙江省台州市中考题)
思路点拨
对内分割或向外补形，将六边形问题转化为基本图形或特殊
三角形、特殊四边形.
Þ'Þ'Þ' 学力训练嘎嘎嘎
穷实·
呈渥Z毒
。00.. •
例
6 从边、角
元索出友，研究新
图形的性质，探索
其判定方法.由易到
难，环环相扣，每一
问题的解决都为下
面新问题的探索积
累经验和提供思考
方向.
1. (1)在凸多边形中，四边形有2 条对角线，五边形有5 条对角线，则凸八边形有
条对
角线.
(浙江省杭州市中考题)
(2) 一个多边形的对角线的条数等于边数的5 倍，则这个多边形是
边形.
(江苏省竞赛题)
2. 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720 0 ，那么原多边形的边数为
(山东省烟台市中考题)
3. 凸n 边形恰有7 个钝角，这7 个钝角的和等于1100 0 ，则n=
(国际中小学数学能力检测题)
..162
-EEEEEEE-
4 . 凸η 边形中有且仅有两个内角为钝角，则η 的最大值是(
).
A.4
B. 5
c. 6
D. 7
( " 希望杯"邀请赛试题)
5. 游戏中有数学智慧，找起点游戏规定:从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直
路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是(
).
A.每走完一段直路后沿向右偏72。方向行走
B. 每段直路要短
c. 每走完一段直路后沿向右偏108。方向行走
D. 每段直路要长
第5 题图
第6 题图
6. 如图，线段AB 所在的直线与线段CD 所在的直线互相垂直，若ζA =3 0 0 ，ζ D =50 0 ，则ζE 十
ζ F =(
).
A.190 。
B. 18 0 。
C. 1 70。
D.16 0 。
( "希望杯"邀请赛试题)
7. ζ EAB 是四边形ABCD 的外角，设ζABC= α ，ζC= 卢·
(1)如图①，ζADC 和ζ EAB 的平分线DM ，AM 相交于点M ，当α= 13 6 0 ，卢=96 。时，ζM=
。
(2) 如图②，L_ADC 和L_EAB 的三等分线DN ，AN 相交于制(ζCDN= ~ L_ADC ，L_川二
仨EAB) ，求证:ζN=;叫) 一1 20。
(3) 如图③，ζADC 和ζEAB 的n 等分线分别相交于点P j
，P n P 3
，… ，P ，I-l
，ζ P 1 + ζ P 2 十
ζ P 3 + … +ζ P n - I = 一一一一一。(用含α ，卢，η 的代数式表示).
M
f-E
/
-
B
u
i
A
①
〉
一
图
CJ
/K
D
N
j叫
D
A
E
l到②
第7 题图
P, P,
D
dLP
D
A
E
国③
• •
D
)
A
〉
h
u
题
一
\
/
一
图
赛
J
\
4
7
题
竞
t
正
一
/
8
市
一
/
评
L
C
第
庆
B
F
啤
8. 如图，凸四边形有
个; ζA + ζ B + ζ C 十ζ D + ζ E + ζ F 十ζG =
..163
aE噩噩噩. gJj ñ~! . t~ tAt
9. 如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是两组对边延长线的交点.EG ，FG 分别平分ζBEC ，
ζ DFC ，若ζADC=60 0 ，ζABC=80 0 ，则ζEGF= 一一一一。.
VD
F
B
C
第9 题图
( 湖北省安冈市竞赛题)
…...叫嚣嚣寇军事量
组盟，
c;比
平、
..三
'噩噩噩，
.眩幽且
·
马记·
崎踊"-\
矗离'i!iitIiiB 三
;η 夸赞伊宁~
E
铲l1li三三-二了
I
-二去?
百二
-
t
气
4ι
三~
-ι ö!l←号三lIlI二:二i!ilIlK~慧;(.I
~!~且离
..........革结局@结誓I
四飞lI'l二.
& 精幽·
·圈墨登
注~哩，
第10 题图
10. 利用每边长度都是1 的五边形ABCDE 十八个可以拼出边长为1 的正十八边形，如图所示( 拼
出的图形没有重叠、没有缝隙).则五边形ABCDE 的内角E 是
( ..华罗庚金杯"邀请赛试题)
11 . 在一个n 边形中，除了一个内角外，其余(η- 1)个内角的和为27500 ，则这个内角的度数为(
) .
A. 130 0
B. 1400
C. 1050
D. 12 0 。
12 . 一个凸n 边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不相同，则n 的最大
值是(
).
A.16
B. 26
C. 93
D. 179
( " 希望杯"邀请赛试题)
13. 如图，在凸六边形ABCDEF 中，已知ζA 十LB +L C =LD + ζE +ζ F .试
证明:该六边形必有两条对边是平行的.
Bn
(俄罗斯萨温市竞赛题)
第13 题图
14 . 美国华盛顿大学研究团队卡西
· 曼夫妇在2015 年发现了一种新的不规则五边形( 如图①) ，相
互组合后可完全铺满平面(如图②) ，不会出现重叠或任何空隙，是全球第15 种能做到此效果
的五边形，而距上次发现类似效果的五边形已时隔30 年，这项发明相当于在科学领域中寻获
了新原子粒子.设此五边形ABCDE 中AE=10cm ，则此五边形周长为多少?
.1创
(国际少年数学精英大会试题)
IA EI
I
U
fB
/
\ C/
国①
图②
第
1 4 题图
统计与概率
当大自然把我们引向一个前所未见的和异常美丽的数学形式时，我
们不得不相信它们是真的，它们揭示了大自然的奥秘.
一一一海森伯
并~~知识纵横嘎嘎嘎
我们生活在一个充满信息的世界，而表达信息的重要方式之一就是数据.
利用调查的方法或借助统计图表是收集数据的基本方法，作统计图表是
处理数据、表示数据的基本手段.
当大量的数据呈现在我们面前时，我们要收集、整理、分析这些数据，从
而为我们的决策提供依据，这是现代社会每个公民必备的基本素养.
大数据是当代社会的根本特征，是下一
个社会发展阶段的" 石油" 和" 金矿"
大数据正改变着人类的思维方式，从对
精确性的苛求，转而追求混杂性; 从对因果关
系的追求，转为对相关关系的发现.
f
二
一
叩
…
附
(
••
啤
咀
帽
a
咀
E
E
.町
与
.
川
剔
…
川
大
型
~~~例题求解嘎嘎嘎
[剧'
某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球1 0 个，每技
进一球得1 分，得分的部分情况如表所示.
|
得分
|
人数
已知该班的学生中，至少得3 分的人的平均得分为6 分，得分不到8 分的
。
1
9
10
2
8
7
4
I
5
4
3
人的平均得分为3 分，那么该班学生有
人.
( 江苏省竞赛题)
..166
fê'蜜
。00.. •
图表能直观、
:
形象地表示数量及
关系，解题中有意
地画图(如画直线
图、J'l 表、构造图形
等)能帮助分析理
j恢复杂的数量关系.
美国数学家斯
蒂恩说"如果一个
特定的问题可以被
转化为一个图形，
那么思维就整体地
:
把握了问题，并且
能创造性地思考问
题的解法"
-E置E醒望..
思路点拨
利用全班得分一定这一不变量，布列方程求解.
主!li ，童
。00.. •
嚷~e
在冬季篮球赛中，选手小明在第六、第七、第八、第九场比赛中
笛卡儿曾说，:
分别得了23 分、14 分、11 分和20 分.他的前九场的平均成绩高于前五场的平
"我所解决的每一
:
个问题都将成为一
均成绩，如果他的前十场的平均成绩高于18 分，那么他的第十场的成绩至少
I
个范例，用于解决
:
其他问题"
研究表明:拔
为(
A.27 分
B. 29 分
C.31 分
D. 33 分
(广西壮族自治区竞赛题)
夫学生反应快的原
思路点拨
先依据条件建立不等式，确定前五场得的最高分数，从而可
: 因之一，是大脑中
: 储备了许多定理之
确定前九场得的最多分数，由此可确定第十场至少要得的分数.设前五场得的
I
外的基本问题，从
:
定理中引中出来或
, }，人难题中抽取出来
的基本问题. 见微知
:
著，浮想联翩，储存
总分为5 5 .
圃'
甲、乙、丙、丁4 个队举行足球循环赛，每场比赛胜者积3 分，负
; 的信息易调动起
来，肢解问题或补
者积0 分，平局各积1 分.己知比赛结束后: ①4 个队的总积分都是奇数，且互
全问题，化大为小，
不相同;②甲队总积分第一; ③乙队恰有两场平局，并且其中一场是与丙队平
1匕又住为易.
局.那么丁队总积分是多少分?
C' 华罗庚全杯"少年数学邀请赛试题)
思路点拨
先分析四个队总积分的和可能达到的最大值与最小值.
将问题转化为
:
一个图表，把问题
中的条件与结论直
[忧。
甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛
; 观地、整体地表示
出来，是一个十分
顺序，在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测. 甲猜: 乙第三，丙第五;
乙猜: 戊第四，丁第五; 丙猜:甲第一，戊第四;丁猜: 丙第一，乙第二; 戊猜:甲
第三，丁第四. 老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，问出赛顺序中，第
一、第三、第五分别是哪位同学?
I
L
川
田
山
、
万
二
、
二
表
个
7
图
两
是
助
下
解
借
以
的
段
指
要
阶
是
重
现
考
面
( " 希望杯"邀请赛试题)，
(1 )从给定的
分析
文字罗列出来的条件，其相关关系错综复杂，不便分析和推断，不
;
图表中获取信息.
妨借助于图表直观地表示研究对象及其关系.
解
根据题意，可列关于5 个人和5 个名次的双向表.
( 2 ) 有意识地
'
画图表辅助解题.
.161
dE噩噩噩. fJj ñ~! . t~ t.I
川1
第一
第二
第三
第四
第五
甲
乙
丙
乙
戊
丁
丙
甲
戊
丁
丙
乙
戊
甲
丁
可推得第一个是丙，第三个是甲，第五个是丁.
窑斥原理
在计数时，我们常遇到这样的情况:作合并运算时会把重复部分多算
了，需要减去;作排除运算时，会把重复部分多J成了，需要补上.
我们把这种"应该有的"包含进来、"不该有的(或重复的)"排斥出去的
思想方法称为容斥原理.
设A
，B 为两类物体，属于A 的物体有IA
I 个，属于B 的物体有
I B
I
个，既属于A 又属于B 的物体记为AnB( 读作A 交B)
，有
I AnB
I 个，把
属于A 或属于B 的物体记作AUB( 读作A 并B)
，则IAUB
I 二IAI+
IBI-IAnBI.
[~[Ð
某校100 名学生在一次语、数、外三科竞赛中，参加语文竞赛的
有39 人，参加数学竞赛的有49 人，参加外语竞赛的有41 人，既参加语文竞赛
又参加数学竞赛的有14 人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有
13 人，既
参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9 人，1 人三项都没有参加，问三项都参加
的有多少人?
分析
设三科竞赛都参加的有z 人，注意问题中包含与
排除的关系，用恰当的图形分析参加各科竞赛人数之间的关
系，形象而直观.
解
如图，用集合思想分析参加各科竞赛人数之间的关
(河南省竞赛题)
系.由题意得39+ (22 十x) 十03- x) 十09+x) + 1 = 100 ，解得x=6 .
..168
: 笛稽。"
τ--=-τ-.
事物之间总会
:
存在某种关系，为
了便于研究事物的
:
关系，将对象用点
:
来表示，如果两个
;
对象之间存在某种
关系，就用一条线
!
段把相应的点连接
.
起来，这是一种常
:
见的图解法.
图解法没有固
:
定的模式，而是根
据问题的具体情况
列出或画出相应的
图表，使用一些线
:
段、序号、箭头及其
;
他符号.
康托尔0845一
1918) ，德国数学
家，集合论的创始
'
人，集合论被公认
:
为全部数学的基础.
1926 年希尔伯特称
:
赞康托尔的超限数
: 理论是"数学精神
:
最令人惊灵的花
朵，人类理性活动
:
最精美的成果"
·监nIä温望.
~~~学为训练嘎嘎嘎
1. 教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达9 小
时及以上的比例为19.4 % . 某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级
50 名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t( 单位:小时) 进行了调查，将数据整理后绘制
成下表:
平均每天的
5::::二t < 6
6~ t <7
7~ t < 8
8~ t < 9
睡眠时间分组
频数
l
5
m
24
n
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9 小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了22 % .
则该校八年级共400 名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在
7 ~ t < 8 这个范围内的人数
是
(江苏省镇江市中考题)
2. 生活中，在分析研究比赛成绩时经常要考虑不等关系.例如: 一射击运动员在一次比赛中进行1 0
次射击，已知前7 次射击共中
6 1 环，如果他要打破8 8 环(每次射击以
1 到
1 0 的整数环计数)的
记录，问第8 次射击不能少于多少环?
我们可以按以下思路分析:
首先根据最后两次射击的总成绩可能出现的情况，来确定要打破88 环的记录，第8 次射击需要
得到的成绩，并完成下表.
最后两次射击总成绩
第8 次射击需得成绩
20 环
1 9 环
1 8 环
根据以上分析可得如下解答:
解: 设第8 次射击的成绩为x 环，则可列出一个关于工的不等式:
，解得
所以第8 次射击不能少于
环.
( 内蒙古自治区呼和浩特市中考题)
3. 错在哪里
以下是来自CNNC 美国有线电视新闻网)的报道:
苏格兰独立公投于北京时间
9 月
19 日凌晨5 点结束投票，反对苏格兰独立的占
5 2 %
，赞成
苏格兰独立的占
58 % …… 52 % +5 8 %= 110 % ，超过100 %
! 令观众大跌眼镜.
.169
a
It ~ t& i1t tfj 噩噩噩王军..
有"好事"的网友分析:假设苏格兰18 岁以上的公民人数为α ，这些人都有权投票，且按如
一赞成票数
一反对票数
下公式计算:赞成率一一一一一一X 100 %
; 反对率
一一一一一X 100 % . 则仅从数学角度考虑，以
αα
下选项可能导致赞成率与反对率之和大于100 % 的有(
).(多选题)
A. 总人数中，有人没参加投票
C. 有些地方的选票被重复计算
B. 有人既投了赞成票又技了反对票
D. 有些地方的选票被遗漏
C
(( 时代学习报》数学文化节试题)
ι 全班有70 % 的学生参加生物小组，75 % 的学生参加化学小组，85 % 的学生参加物理小组，90 % 的
学生参加数学小组，则四个小组全参加的学生至少占全班的百分比是(
).
A.10 %
B.15 %
C.20 %
D.25 %
(山东省竞赛题)
5. 某兴趣小组为了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300 名男生进行了问卷调
查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图.
课外体育锻炼情况
请根据以上信息解答下列问题:
"经常参加"课外体育锻炼
的男生最喜欢的一种项目
人数
项目
第5 题图
(1)课外体育锻炼情况扇形统计图中，"经常参加"所对应的圆心角的度数为
(2) 请补全条形统计图;
(3) 该校共有1200 名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球
的人数;
27
(4) 小明认为"全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1200 X 页5=
108" ，请你判断这种说法是否正确，并说明理由.
(河南省中考题)
6. 60 名学生参加英语测试，若优秀的学生占45 % ，则在扇形统计图中，表示优秀的扇形的圆心角
的度数是
度;若表示良好的扇形的圆心角是120 0 ，则良好的学生有
人.
C " 希望杯"邀请赛试题)
..110
-E蓝liIl埠重..
7. 今年某班有56 人订阅过《初中生数学学习>> ，其中，上半年有25 名男生、15 名女生订阅了该杂
志，下半年有26 名男生、25 名女生订阅了该杂志，有23 名男生是全年订阅，那么，只在上半年订
阅了该杂志的女生有
名.
( 江苏省竞赛题)
8. 有A ，B
，C ，D ，E 共5 位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛一盘，比赛过程中统计比赛的盘
数知A 赛了4 盘，B 赛了3 盘，C 赛了2 盘，D 赛了
l 盘，那么同学E 所赛的盘数为(
) .
A.1
B. 2
C. 3
0. 4
( 重庆市竞赛题)
9. 在某夏令营中，100 名营员每人至少会唱歌、跳舞或表演中的一项才艺，有些人的才艺不止一项，
但没有人具备三项才艺. 若有42 名营员不会唱歌，有65 名营员不会跳舞，有29 名营员不会表
演，则至少会两项才艺的营员有(
)人.
A. 16
B.25
C. 36
0.49
E. 64
(美国数学竞赛题)
10. 某班参加一次智力竞赛，共a ,b ，c 三题，每题或者得满分或者得0 分，其中题α 满分20 分，题b 、
题c 满分分别为25 分.竞赛结束，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1 人，答对其中两道
题的有15 人，答对题α 的人数与答对题b 的人数之和为29 人;答对题α 的人数与答对题c 的人
数之和为25 人;答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为20 人. 问这个班的平均成绩是多少分?
( 全国初中数学联赛题)
11. 某电视台为了解A ，B
，C 三个特色栏目的收视情况，向28 位观众进行调查，调查后得知: 每位
观众至少收看了其中的一个栏目;没有收看栏目A 的观众中，收看栏目B 的人数为收看栏目
C 的两倍;在收看栏目A 的观众中，只收看栏目A 的观众人数比除了收看栏目A 之外同时还
收看其他栏目的人数多1 ;只收看一个栏目的观众中，有一半没有收看栏目B 或栏目C.求栏目
A 的收视率.
( " (( 数学周报》杯" 全国初中数学竞赛题)
.111
飞
综合与拓展
质数、合数
数学，科学的女皇;数论，数学的女皇.
E画:蜜
。00.. •
高斯
~~~知识纵横嘎嘎嘎
对于研究者来
:
说，寻找最大质数
一个大于1 的正整数，若除了
1 与它自身，再没有其他的约数，这样的正
:
的精神，犹如物理
整数叫作质数; 一个大于1 的正整数，除了
1 与它自身，若还有其他的约数，
这样的正整数称为合数. 这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类: 单位
1 、质数、合数.
质数、合数有下面常用的性质:
1. 1 不是质数，也不是合数;2 是唯一的偶质数.
2 . 若质数ρ
l ab ，则必有户|α 或P Ib.
3 . 若正整数α
，b 的积是质数户，则必有α= 户或b= 户.
4. 算术基本定理: 任意一个大于1 的整数N 能分解成走个质因数的乘
积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是唯一的，从而N 可以写成标
准分解形式: N = ρ 1 1
· ρ ; 2 ….
. 户? ，其中户1 < ρ 2< … < 户是
，P i 为质数，ai
为非负整数(i = 1，2 ，…，走) .
:
学家在寻找比原子
更微小的粒子，或
;
天文学家在不断追
:
寻未为人所知的星
:
休般，都需付出惊
:
人的毅力，这种羊
:
纯为满足求知欲的
i
好奇心，正好是人
类突破知识领域的
动力.
1 7 世纪费马猜
:
想:F " = 22" +1 ，当
n = 0 ,1, 2 , 3 , …, F "
正整数N 的正约数的个数为o 十α1) 0 十a 2 ) … O +ak)
' 所有正约数的
: 都是素数，但半个世
和为o 十ρ 1+ … + ρ1 a
，)0 + ρ 2 十… + P 2 a ，) … 0 + 户k 十… 十扣" 是) .
陶哲轩. 华裔迫犬利亚坟学家-
200 6 年在国际我学家犬会上获得菲
尔兹奖
. 广泛的兴趣、丰富的知识储
备、深刻的洞察力以及能敏锐地发现
那些陌生的问题同自己最擅长领域
的本质联系
. 是他最犬的特色.
纪后，欧拉把F 5 分
I
解为两个因数之手只:
F s = 4294967297
= 641 X 6700417.
1 8 世纪，欧拉
: 发现了当时最大的
:
质数2 3 1 - 1.
.113
dE军m~I'~J)军dB =tlti噩
~~~例题求解嘎嘎嘎
蝠'
已知三个不同的质数叫，C 满足仙+α=2000 ，那么计b +
C 一一
思路点拨
的值.
( 江苏省竞赛题)
运用乘法分配律、算术基本定理，从因数分解入手，突破α
圃'
一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原
来的数大9 ，这样的两位数中，质数有(
) .
A .1 个
B. 3 个
C. 5 个
D.6 个
("希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
字母示数，从分析这样的两位数的特征人手.
C~[Ð 求这样的质数，当它加上10 和14 时，仍为质数
( 上海市竞赛题)
思路点拨
由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数进行实验，但这
样的质数唯一吗?还需按剩余类的方法进行讨论.
;页~O
(1)若η 是大于2 的正整数，求证: 2" 一1 与2咋1 中至多有一
个是质数.
(2) 求360 的所有正约数的倒数和.
(江苏省竞赛题)
思路点拨
(1)只需说明2 "- 1 与2" + 1 中必有一个是合数，不能同为质
数即可;(2) 逐个求出360 的正约数太繁琐，考虑整体求解.
..114
主wt蜜。"…
实验只是探索
解题思路的一种手
I
段，不能代替证明.
要证明一个正整数
是否为质数，其基
本方法是利用因数
分解.设法指出它
的一个异于
1 及自
身的正约数.
如图所示是早
在公元前
3 世纪，
古希腊数学家兼哲
学家埃拉托色尼为
了研究素数在自然
数列中的分布而造
出的世界上第一张
素数表，这种追索
数表的方法称为埃
'
拉托色尼的筛选法.
21 3
5
7
11
13
J7
J9
23
29
31
37
4 1
43
47
53
59
6J
67
71
73
79
83
89
97
判断一个正整数
是否为质数的方法是.
正整数
Q
，若所有
不大于ra 的质数都不
能整除α ，则
α 一定是
质数.
[哑。
若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一
个"绝对质数" [ 如
2 ，3 ，5 ，7 ，11 ，13(31)
，17(71) ，37(73) ，79( 97) ，113(131 ，
311)
，199(919 ，991)
，337(373 ，733) …… 都是绝对质数].求证: 绝对质数的各
位数码不能同时出现数码1 、3 、7 与9 .
(青少年国际城市.@请赛试题)
分析
正难则反.假设一个绝对质数如果同时含有数字1 、3 、7 、9 ，由此导
出矛盾，这是解题的关键.
解
一个绝对质数如果同时含有数字1，3 ，7 ，9 ，则在这个质数的十进制
表示中，不可能含有数字0 ，2 ，4 ，5 ，6 ，8 ，否则，通过适当排列后，这个数能被2
或5 整除.
设N 是一个同时含有数字1，3 ，7 ，9 的绝对质数.
因为走。= 793 1，走] = 17 93 ，k 2 =9 137 ，儿=7 913 ，走4 =7 1 93 ，k 5 =1937 ，k 6 =
7139 被7 除所得的余数分别是0 ，1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，所以，如下7 个正整数:
N o=c] …c"-4 793 1= L • 10 4 +丸，
N ]=c] …c"- 41793 = L • 1 0 4 + 丸，
N 6 =
C1 … c" - 4 71 39 二L • 104 + 队中，一定有一个能被7 整除，这个数就
不是质数，矛盾.
质数的孤独
意大利工程师保罗
· 乔尔达诺曾写过畅销书《质数的孤独ìì . 他写道:
"在所有数字中，质数是最迷惑人心，也是最孤独的. 它尽管有同伴，却没有
规律能指出它的同伴在哪里"
千百年来，人类对质数的探索从未停止.欧几里得、高斯、欧拉、费马……
都曾痴迷于质数的无穷魅力，坚持不懈地探索着质数神秘表象背后潜藏的
奥秘.
质数到底隐藏了多少奥秘?今
天，人们已认识到
: 互联网交易的安
全性是建立在" 分解出大整数的约数
是极其困难的问题"这一基础上的.
EZ罩固..
iêl毒
。00. . •
欧拉发现了一
:
个奇特的二次三项
:
式: jCx) = x 2 +
x+ 4 1. 当
工等于从
: 0 j lJ 39 之间的任何
:
一个整数，jC川的值
.
都是质数.
" 不尽长江滚
i.在来"，据统计，在
:
工的前一千万个值
中
，j( x ) 的值有近
; t是质数
.115
dE罩mP1l'~f)回
[锐。
最多能找到多少个两两不相等的正整数，使其中任意三个数的
和为质数?说明你的理由.
(北京大学自主招生试题)
分析
因要求使其中任意三个数的和都是质数，故可将正整数按模3 分
类:役
，3k + 1，3走+ 2 ，走为正整数，由此展开讨论.
iãt章
。00'
质数并不孤独.
2013 年4 月
17
日，旅美华人数学家
张益唐在《数学年
证明
若3 类数各取一个: 切
，3b 十1
，3c 十2 ，则3α + 3b + 1 +3c 十2 =3
:
刊》上投稿证明了
(α + b +c+ l)，这三个数的和不是质数，故3 类数中至多可以取到2 类"存在无数多个质数
:
对( 户，q)
，其中每一
另外，若某一类数3走+ i(i=0 ，1，2) 至少取到3 个
: 3a 十i ,3b + i ,3c + i(i
对中的质数之差，即
=0 ，1，2)
，则3α+i 十3b+i +3c + i =3(α +b+c + i)(i 二0 ，1，2) ，这三个数
:
户和q 的距离不起
的和不是质数，故每类数中至多只能取2 个.
过七千万"
综上所述，至多有2 X 2= 4 个两两不等的正整数，使得其中任意三个数
的和都是质数，例如1，3 ，7 ，9 .
~~~学为训练嘎嘎嘎
• . 基础穷实
. •
1. 炎黄骄子
菲尔兹奖被誉为"数学界的诺贝尔奖"，只奖励40 岁以下的数学家.华人数学家丘成
桐、陶哲轩分别于1982 年、2006 年荣获此奖. 我们知道正整数中有无穷多个质数(素数) ，陶哲轩
等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理: 对任何正整数走，存在无穷多组含有走个等间隔
质数(素数)的数组.例如，走=3 时，3 ，5 ，7 是间隔为2 的3 个质数; 5 ，1 1，17 是间隔为6 的3 个质
数;而
,
,
是间隔为12 的3 个质数(由小到大排列，只写一组3 个质数即可) .
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
2 . 若α
，b ,c ，d 为整数，且(α 2 十b 2 ) (c 2 + d 2) = 1997 ，则α 2 + b2 +C2 十d 2 =
3. (1)若a
，b 为正整数，且满足5α + 7b 二50 ，则ab =
(2) 2000 的所有正因数的和为
也. 若户为质数，ρ 3 +5 仍为质数，户5 十7 为(
A. 质数
C. 合数
(四川省竞赛题)
(世界数学团体锦标赛试题)
B . 可为质数也可为合数
D . 既不是质数也不是合数
(湖北省黄冈市竞赛题)
5. 若a
，b 均为质数，且满足α 11 十b =2089 ，则49b - a =(
).
A.O
B. 2007
C. 2008
D. 2010
C' 五羊杯"邀请赛试题)
..116
-z主~
6 . 设α 为质数，并且7a 2 + 8 和8a 2 + 7 也都是质数，记工= 77α 十8 ，y = 88α + 7 ，则在以下情形中，
必定成立的是(
).
A. x ，y 都是质数
B. x
，y 都是合数
C. x
，y 一个是质数，一个是合数
D. 对不同的a
，以上皆可能出现
(江西省竞赛题)
7. α 和b 是两个自然数，对它们的描述有这样的四句话: ①α + 1 能被b 整除; ②α = 2b +S ; ③α 十b
能被3 整除; ④α + 7b 是质数.
不过这四句话中只有三句是正确的，有一句是错误的，试求出α 和b 的所有可能解.
• •
拓展
. .
8. 一个六位数的各位数字的乘积为1296 ，这样的六位数中，最小的是
9. 如果四个不同的质数的和为37 ，那么这样的四个质数乘积的最大值是
10. 已知三个质数m ，n
，户的积等于这三个质数的和的5 倍，则m 2 + n 2 十ρ 2
_
11. 如果质数户和q 使得户2 =2q 2+ 1. 那么p= 一一一一
，q = 一一一一·
(俄罗斯萨温市竞赛题)
("希望杯"邀请赛试题)
，最小值是
(" 五羊杯"竞赛题)
(湖北省武汉市竞赛题)
("希望杯"邀请赛试题)
12 . 万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同，如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个
数是
(俄罗斯数学竞赛题)
13. 已知正整数ρ
，q 都是质数，且7p + q 与问+ 11 也都是质数，试求p q 十旷的值.
(湖北省荆州市竞赛题)
• •
创新
. .
1也. 设a
，b ，c
，d 是自然数，并且α 2 十b 2 = c 2 十d 2 证明:α + b 十c+ d 一定是合数.
(北京市竞赛题)
..四
奇数、偶数
数的规律都有内在的次序，对此初看起来似乎十分神奇，但在熟悉之
后，就会认识到这些数的规律不仅可以解释自然现象的惊人的一致性，而
且都是内在的和必然的.
一一保罗
· 卡洛斯
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
整数按能否被2 整除分为两大类: 奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质:
1. 奇数手偶数.
2 . 两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性性质.
3. 若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数; 偶数个奇数的
和为偶数，若干个偶数的和为偶数.
4. 设m
，n 是整数，则m+n
，
l m + n
l 的奇偶性相同.
5. 设m 是整数，则m 与
1 m I ，m " 的奇偶性相同.
[征。
~~~
高斯(1777- 18 55) ，德国数学
家，被誉为数学王子
. 人们曾形容高
斯是"能从九霄之外的高度按照某种
观点掌握星空和深奥数学的天才"
例题求解
嘎嘎嘎
I 1
1 I
已知三个质数a , b ，c 满足α 十b + c+ αbc =99 ，那么|一-~
I
l α0
1
1
~ -: 1+旧的值等于二一
C . 希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
运用奇数偶数、质数合数性质，不断简化已知等式.
.118
: 吉隆3毒
。
-啕圄』二百·咱国-.
1 8 世纪的哥尼
:
斯堡，有
7 座桥把
:
这儿的普雷格尔河
中两个小岛与河岸
;
联系起来，在这迷
人的地方，人们议
:
论着一个有趣的问
'
题: 一个游人怎样
才能不重复地一次
:
走遍
7 座桥，而最
:
后又回到出发点.
1736 年彼得堡
:
院士欧拉巧妙地解
决了这个问题.欧拉
'
把一个复杂的实际
问题化为一个简单
的几何图形，他指
出只要我们能从一
点出友，不重复地
:
一笔把这样的图形
:
画出来，那么就可
:
说明游人能够不重
:
复地一次走遍这
7
:
座桥，这就是著名
的" 一笔画"问题的
来历.
[~ce 若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整
数为"神秘数"(如4=2 2 -0 2
，12 二4 2 - 22, 20 = 62 -
4 2 ). 下列关于"神秘数"的
叙述，正确的个数为(
①2008 是"神秘数";②任意两个正奇数的平方差是"神秘数"; ③任意两个
正奇数的平方差不是"神秘数";④在1~10。这100 个数中，"神秘数"有13 个.
A. 1
B. 2
C. 3
D.4
思路点拨
设两个连续偶数为2走+ 2 和2走，由(2走十2) 2 _(2走) 2 =4(2k +
1)得神秘数的特征.
函~Ð
(1)设1，2 ，3 ，"
'
，9 ~ff 一排列为α j
，a 2 ，a 3 "" 向求证: (α 1
1) (α 2 一2) … (α 9 一的是一个偶数.
(2) 在数
1 1
，2 2
，3 3
，4 4
，5 5 ，…，2002 2002 , 2003 2003 的前面任意放置" + "或
‘一"号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明
: 这个代数和必定不等
于2003.
思路点拨
(1)转换角度考察问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究;
(2) 由于任意添"+"号或" 一"号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，
从奇数、偶数的性质人手.
面'
能否找到自然数α 和b
，使α 2= 2002 + b 2 .
( " 华杯赛" 试题)
思路点拨
假设存在自然数a 和b
，使得等式成立，则(α 十b)( α -b) =
2002 ，从α 十b
，a-b 的奇偶性展开推理.
[制9
Xl
X?
X ,
已知X 1
，x z，岛，… 'X ll 都是+1 或一1，并且一二+二+二+ … +
X2
工3
工4
王三+王':_=O ，求证: n 是4 的倍数.
二r"
Xj
分析
可以分两步，先证n 是偶数2走，再证明走是偶数，解题的关键是
从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式.
解
生，垒，生，… ，丑不是十1 就是一1，设这n 个数中有α 个十1 ，b 个- 1，则
X2
X 3
工4
X1
{X1
X2
X"
、
α 十b= η ，α X ( 十1) +b X (-1) =α -b=O ，得η = 岛，又( 一·一… 一) = 1，即
、工2
X3
Xj'
( 十1) a
• (_l) b = 1，由此得b 为偶数，又b=2m ，则n=4m ，故n 是4 的倍数.
-E歪歪~
2蓝3章
。00.. •
对同一个数学
:
对象，从两个方向考
I
虑(η 项和与非只) ，再
:
将这两个方面合在
:
一起整体考虑，得出
结论，这叫计算两次
:
原理，通过计算两次
可以建立方程，证明
恒等式等.
在一定的规则
下进行某种操作或
变换，问是否(或证
ι
明)能够达到一个
:
预期的目的，这就
:
是所谓操作变换问
题，此类问题变化
多样，解法灵活，解
:
题的关键是在操作
变换中，挖掘不变
量和不变性.
.119
dE翠主
奇偶分析
奇数偶数，是运用整数的两种状态来研究整数.奇偶性是整数的固有属
性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法.
[~[ø 能够在图中的小圆圈中填人0 到9 的所
有整数，使得有三个圆圈的六条线段上的数之和都等
于同一个值吗?请说明理由.
C ' 华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
分析与解
从正面肯定切人，若推出矛盾，则说
明不能按要求填数.为便于推断，可以符代数.
假设这是可能的.设在线段端点的数的和等于A
，在线段中点放的数的
和等于B. 而沿每条线段三数的和等于5. 显然
，A+B=O 十1 + … + 9=45. 每
个端点恰属于三条线段，而所有中点是不同的.所以，顺着全部六条线段的和
加在一起，我们得到3A +B =65. 由此2A 二65 一CA +B)=65-45 . 但这不
可能，因为2A 是偶数，而65-45 是奇数.得到的矛盾证明了:要求的放置是
不可能的.
~~~学力训练
嘎嘎嘎
• . 基础穷实·
1. 若户
，q 为质数，且5户十3q=9 1，则户二
，q 二
量ê~聋
。00...
1 80 1 年，年仅
24 岁的高斯出版了
(( 算术探索)) ，从而开
创了现代数论研究
的新纪元，被康托尔
:
誉为"数论的宪章"
高斯曾说"任何一
个花过一点功夫研
习数论的人，必然会
;
感到一种特别的激
情与狂热"
奇偶性与二值
状态相对应，如电
灯开与关、亮与灭，
面向南或面向北，
杯口向上或向下，
都是两种状态，皆
可用奇、偶来描述，
用奇偶性来分析.
一些非常规数
学问题需要恰当地
:
数学化，以便计算
或推理.引入字母与
:
赋值法是数学化的
两种常用方式方法.
(江苏省竞赛题)
2 . 数列
1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，34 ，55 ，…的排列规律是:前两个数是1，从第三个数开始，每一个数都
是它前面两个数的和，这个数列叫作斐波纳奇数列，在斐波纳奇数列的前20 04 个数中共有
个偶数.
C " 希望杯"邀请赛试题)
.180
-EEEEZ·』
3. 哥德巴赫猜想之一为任何一个大于2 的偶数均可以写成两个素数之和(例如20 16 =13 + 20 1 3).
到目前为止，还没有人证明这一猜想是正确的，也没有人能找到一个反例证明这一猜想是错误
的.下列命题(
)为这一猜想的反例.
A. →个大于2 的奇数可以写成两个素数之和
B. 一个大于2 的奇数不能写成两个素数之和
c . 一个大于2 的偶数可以写成两个非素数之和
D. 一个大于2 的偶数可以写成两个素数之和
E. 一个大于2 的偶数不能写成两个素数之和
( 美国数学竞赛题)
也. 已知a ,b ，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，η 是整数，如果s=( α +n+ 1) ( b +2η +2)(c +3η 十
3) ，那么(
).
A. S 是偶数
B. S 是奇数
c. s 的奇偶性与n 的奇偶性相同
D. S 的奇偶性不能确定
( 江苏省竞赛题)
5. 甲，乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌(A 作1 ，J ，Q ，K 分别作11 ，12 ，13 ，下同) ，乙持有全
部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13 对牌，每对牌彼此相
减，问这13 个差的乘积的奇偶性能否确定?
• •
拓展. •
6. 若a
，b ，c 都是质数，其中α 最小，且α + b + c = 44 ，αb+3 = c ，则ab 十c =
( " 希望杯"邀请赛试题)
7.
1，2 ，3 ，…，98 共98 个自然数，能够表示成两整数平方差的数的个数是
(全国初中数学联赛试题)
8. 甲、乙、丙三位同学一起去买书，他们买书的本数都是两位数字，且甲买的书最多，丙买的书最
少，又知这些书的总和是偶数，它们的积是396 0 ，那么乙最多买
本.
(吉林省竞赛题)
9. 设α
，b 为整数，给出下列4 个结论: ①若α + 5b 是偶数，则α - 3b 是偶数; ②若α 十5b 是偶数，
则α - 3b 是奇数; ③若α +5 b 是奇数，则α
3b 是偶数; ④若α + 5b 是奇数，则α - 3b 是奇
数，其中结论正确的个数是(
).
A.O 个
B. 2 个
c. 4 个
D. 1 个或3 个
10. 将1，2 ，3 ，4 ，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能
被这三个数中的第一个数整除.那么，满足要求的排法有(
)种
_. 1
A.2
B. 3
C. 4
D. 5
(全国初中数学竞赛题)
.181
a-旦噩
1 1. 一步之遥
姜文在其导演的电影《一步之遥》中饰演"马走日"，该
名字取自中国象棋中"马"的走法.
中国象棋，"马"走"日"字，即马走一步可以从"日"字
形长方格的一个顶点走到对角的另一个顶点，当η 是自
然数时，马从棋盘上的点A 走到点B ，所走的步数不可能
是(
) .
A . 2015η 2 + 2013n
B.2014n + 2015
C.2014n 3 + 2015
B
A
第
11 题图
D.2013n 十2014
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
12. 是否存在正整数x
，y 使得t 十y 2 =2018? 若存在，请求出x
，y 的值，若不存在，请说明理由.
C" 希望杯"邀请赛试题)
• . 综合创新·
13. 游戏机的"方块"中共有下面7 种图形，每种"方块"都由4 个
1 X 1 的小方格组成. 现用这7 种
图形拼成一个7 X 4 的长方形(可以重复使用某些图形) . 问:最多可以用这7 种图形中的几种
图形?
「下丁
「丁丁
I
I
W
|I I I
山|门In 川门
I
I
第
1 3 题图
..182
整除的概念和性质
整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉.
伯克霍夫
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
对于整数α 和不为零的整数b
，总存在整数m
，n 使得α = bm 十nCO~ 71 <
b) ，其中m 称为商，η 称为余数，特别地，当
71 = 0 时，即α = b711 ，便称α 被b 整
除(也称α 是b 的倍数或b 是α 的约数) ，记为b
l α.
整除有以下基本性质:
1.若α
I b ,a I c ，则α
I Cb + c).
2. 若α
I b
，b
l c
，则α
1 c.
3. 若α
1
bc
，且(α
，c ) =
l，则
α 忡，特别地，若质数
p 1 bc
，则必有
户
l b 或ρ
I c.
4. 若b
l α
，c
1 α ，且Cb
，c) 二1，则bc la.
解整除有关问题常用到数的整除性常见特征.
叮--
[、与、
L
欢J立飞毛+口手:
I~轧l
t 平飞，.~
~、
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切相关!，I~ ，
•
著今执Z臣、vei 毒气句ξ
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1
、
[锐'
和为
纯;台着量f':fTL
.
τ巧
不
作是~Z 学京才是
~I
.t'~ ,1).
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
(1)不超过100 的自然数中，将凡是3 或5 的倍数的数相加，其
(全国初中斗史学联ZEJ汇月1
(2) 将四个数字1，2 ，3 ，4 排成一个四位数，使得这个数是11 的倍数，则
主ãl毒
。00.. •
根据已知条件
来确定自然数，是
数学活动中常见的
一类问题，解这类
问题时往往用到下
列知识方法:
解等.
(l)运用整除性质.
(2) 确定首位数字.
(3) 利用未位数字.
( 4 )1\ 费生千匕.
(5 ) 不等式估算.
(6) 分类讨论求
..183
dE军mül'l1Jj军事.*lNM
这样得到的四位数共有
个.
(江西省竞赛题)
思路点拨
对于(1) ，直接利用容斥原理计算;对于(2) ，依据被
11 整除
数的特征，先确定相关数的位置.
睛'
已知川是正整数(a>b)
，对于如下两个结论: ①在α +b ，ab ，
α -b 这三个数中必有2 的倍数;②在α +b
，ab
，α -b 这三个数中必有3 的倍
数，其中(
A. 只有①正确
C. ①②都正确
B. 只有②正确
D. ①②都不正确
(江苏省竞赛题)
思路点拨
举例验证，或按剩余类讨论严格证明.
[坷。
(1)若a ,b ,c ，d 是互不相等的整数，且整数z 满足等式(x-a)
(x-b) (x -c) (x -d) -9=0 ，求证: 41 (α +b+c+d).
(2) 已知两个三位数abc 与def 的和abc +def 能被37 整除，证明:六位数
α bcdef也能被37 整除.
(3) 设η 为任意奇正整数. 证明: 1596" + 1000" - 270" -
320" 能被2006
整除.
( 青少年国际城市数学邀请赛试题)
思路点拨
(1) x →a
，x-b
，x-c
，x-d 是互不相等的整数，且它们的
乘积等于9 ，于是必须把9 分解为4 个互不相等的因数的积; (2) 因已知条件
的数是三位数，故应设法把六位数abcdef用三位数的形式表示，以沟通己知
与求证结论的联系;(3) 因为2006 二2 X 17 X 59 ，所以，为证结论成立，只需
证:n 为奇正整数时，1596" + 1000" 一270" -320" 能被2 ，17 ，59 整除.
.184
: 撞撞
。00 •
.--=卢τ唱唱-.
华罗庚曾说:
"善于‘退'，足够地
‘退'，‘退'到最原
始而不失去重要性
的地方，是学好数
学的一个诀窍"
从一般退到特
殊，从多维退到低
维，从空间退到平
面，从抽象退到具
:
休……只要不影响
问题的求解，对于
:
许多复杂的问题，
以追求进是一种重
:
要的解题思想.
[佳。
从1. 2. … .2010 这2010 个正整数中，最多可以取出多少个数，
使得所取出的数中任意三个数之和都能被33 整除?
(全国初中批学竞赛题)
分析与解
先构造出符合题意的若干个数，再证明一般情形，解题的关
键是理解"任意三个数之和都能被33 整除"的隐性旨意.
首先，如下61 个数: 11 , 11 + 33 , 11 + 2 X 33 , …, 11 +60 X 33( 即
1 991) 满
足题设条件.
另一方面，设al < α 2< … < αn 是从1，2 ，…，20 10 中取出的满足题设条
件的η 个数，对于这η 个数中的任意4 个数此，酌，句，仇，
因为3 31Cα i+ a k + α 川)，3 3
I Caj + a k + a "，)，所以331 Cα j - a ,).
因此，所取的数中任意两数之差都是33 的倍数.
设αα 1 + 33d i , i = 1 ，2 ，3 ，…，η ，由
33
1 Cα 1 十α 2 +α 3 ) ，得331C 3a l +
33d 2 + 33d 3 ).
所以33
1 3肉，11
I a l
' 即α1 二三1 1.
-a 1 _2010 •
11
由于d " 二二' AA--' ~一一一一一< 61 ，故d ，，~60 ，所以n ~ 6 1.
33
~
33
综上所述，n 的最大值为6 1.
割尾法
当我们熟悉了常用数的整除特征后，一个自然的问题是:怎样速判一
个正整数能否被7 整除?
判断一个正整数能否被7 整除，可采用"割尾法"，如对2527 割掉未位
数字7 得到
252 ，再从252 中减去被割掉的末位数字7 的
2 倍得到
238 ，这
称为一次"割尾"，对238 再进行一次"割尾"得到
7 ，显然7 是7 的倍数，从
而2527 可被7 整除.
在东西方文化中
，7 是具有神秘色彩的数字，一个星期
7 天、七色
霞光、纯水的
pH 值、七巧板、七夕之鹊桥相会、哥尼斯堡七桥问
题…… 都关联着7 .
七巧板激发了意大利家具设计师丹尼尔
· 拉格的设计灵感，他将
七巧板用于组合书架的设计，创作出极具特色的作品.
-E主
噩.
撞撞
000 .. •
1 4 28 57 是一个
:
奇妙的数，这个奇
妙的数以如下的方
式与"7"相约
:
142857X2= 285714
142857 X 3=428571
142857 X4=571428
142857 X 5=714285
142857 X 6= 857142
: 142857 X 7 = 999999
l
一一= ? ……
7
..185
d
l8c ~ t& -fjt tJi ñ ; 噩噩草草理·
[售[8
试证明:一个正整数被7 整除的充分必要条件是对该数有限次
"割尾"所得到的数能被7 整除.
撞撞。"…
(河北省竞赛题)
分析
从正整数的多项式表示切人.
证明
设正整数为A= ι - Ia α -2 … α 。，即
经过一次"割尾"后
，A 变为
A = 10 ,, -1 a ,, - 1 + 10 ,, -2 a ,, - 2 +…+ 10al + α 。.
A'= (10,,- 2a ,, _ 1 +10 ，，-3 ι -2 十… 十10a 2+ α
1 )-2α o .
显然有10A' =A -21a o.
因为10 与7 互质，可知若A 被7 整除，则A' 也被7 整除.反之亦然. 所以
一个正整数被7 整除的充分必要条件是对该数进行有限次"割尾"所得到的
数能被7 整除.
· 基础穷实·
~~~ 学为训练嘎嘎嘎
1
已知;=o … 3
α11 ••• , (其中酌，α 2 ,a 3 , 都是介于0 和9 之间的整数) ，若小数点后连续η
个数字之和αl 十α 2 十α 3+ … 十ι=2013 ，则a" =
,n =
(世界数学团体锦标赛试题)
2 用写有数字的4 张卡片田，因，因，因可以排出不同的四位数，其中能被22 整除的四位数的和
是
( 江苏省竞赛题)
3. 在1，2 ，3 ，…
，200。这2000 个自然数中，有
个自然数能同时被2 和3 整除，而且不能被
5 整除.
也. 观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011 应标在(
) .
(" 五羊杯"竞赛题)
;三
第1 个
正方形
A.第
5 02 个正方形的左下角
C. 第
5 03 个正方形的左上角
..186
角
角
下
下
右
右
的
的
形
形
方
方
川
9
正
正
「
|
|
」
个
个
一
一
个
形
2
3
-
-
3
+
刀
O
O
-
-
第
E
5
5
「
|
|
L
2
图
第
第
--1·
叫
B
D
6
5
第
一
一
个
形
-
-
7
-
书
n
一
一
第
正
1 5 .--一一一一...，
1 4
16~一一_j 13
第4个
正方形
( 山东省、日照市中考题)
-ZZZE3·』
5. 数119 很奇特;当被2 除时，余数为1 ;当被3 除时，余数为2 ;当被4 除时，余为3 ;当被5 除时，余
数为4 ;当被6 除时，余数为5.试问
: 具有这种性质的三位数还多少个? (
) .
A. O
B. 1
c. 3
D.7
E. 14
( 美国数学竞赛题)
6. 达妮卡开着她的新车走了整数小时，汽车平均时速为55 英里.开始时里程表显示数字为α伏，其中，
αbcCα 二三1，α + b 十c <. 7) 为一个三位数，停车时里程表显示数字为c缸，则a 2 + b 2 十(' 2 = (
).
A. 26
B. 27
C. 36
D. 37
E. 41
( 美国数学竞赛题)
7. 在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我
们利用整数的除法运算来研究一种数
"差一数"
定义: 对于一个自然数，如果这个数除以5 余数为4 ，且除以3 余数为2 ，则称这个数为"差一数"
例如:14-:-5=2 …… 4 ，14-:-3=4…… 2 ，所以
14 是"差一数";1 9 -:-5=3 …… 4 ，但
1 9-:-3=6 …… 1，
所以19 不是"差一数"
(1)判断49 和74 是否为"差一数"，请说明理由;
(2) 求大于300 且小于400 的所有"差一数"
(重庆市中考题)
8. 五个连续的自然数的和加上它们的积，其结果等于201 1，这样的五个连续自然数存在吗?
(俄罗斯竞赛题)
••
9. 若自然数z 分别被8 ，6 ，5 除，余数依次是6 ，4 ，3 ，则最小的工值为一一一一一·
10. 用自然数n 去除63 ，9 1，130 ，所得到的3 个余数的和为26 ，则n=
(世界数学团体锦标赛试题)
(北京市.. 迎春杯"竞赛题)
..181
dlc~ffl iX tJi ñ~ . t~ t.I
1 1. 某展厅的150 盏电灯都是亮着的，每个灯都单独设有开关.现将开关按1~150 编号，某同学先
按下编号为3 的倍数的全部开关，然后再将编号为5 的倍数的开关全部按下.那么展厅中亮着
的灯数为
(北京市竞赛题)
12. 若整数α ，b 均不能被5 整除，但α +b 能被5 整除，则下列式子不能被5 整除的是(
) .
A.2α + 3b
B. 2α -3b
C. 3a +8b
D.3α 一7b
(四川省竞赛题)
13. 在数29998 ，29999 ，30000 ，30001 中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是(
) .
A. 30001
B. 30000
C. 29999
D. 29998
(北京市竞赛题)
1ι 在1，2 ，3 ，…
，99 ，10。这100 个自然数中，不是2 ，3 ，5 的倍数的数有走个，则走= (
).
A.25
B. 26
C. 27
D.28
("' 希望杯"邀请赛试题)
15. 设m = 1 2 十2 2 十3 2 十… + 2003 2 ，今天是星期一，若算第一天，则第m 天是星期几?
(江苏省竞赛题)
16. 已知6027 位数αbcabc. .. abc 是91 的倍数，求三位数αbc 的最小值与最大值的和.
2009个abc
(北京市竞赛题)
.188
不定方程、方程组
主!e~毒
。00.. •
解.
(3) 写出通解.
( 4 )
将整数
t
同时要满足的条件
(不等式组)代入
( 2 ) 中的表达式，写
出不定方程的正整
数解.
几何是培养人的逻辑思维能力、陶冶人的情操、培养人良好的性格特
征的一门很好的课程. 中学阶段的几何教育，对于学生形成科学的思维方
一一张景中
嘎嘎嘎
法与世界观具有不可替代的作用.
知识纵横
~~~
求整系数不定
方程αx+ by = c 的
整数解，通常有以
下几个步骤:
(1)判断有无
整数解.
(2 )
求一个特
不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组) ，其特点是
解往往有无穷多个，不能唯一确定.对于不定方程(组) ，我们往往限定只求整
数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.
二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常
转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有:
设a
，b ，c
，d 为整数，则不定方程αx+by =c 有如下两个重要命题:
1.若(α ，的= d
，且d 十
c ，则不定方程αx + by = c 没有整数解.
2 . 若幻
，y o 是方程ω + by = c 且(α
，b) = 1 的一组整数解(称特解) ，则
1仁巳口户……
Z川「叫
0汁+
(υt 为整数)是方程的全部整数解(称通解)λ.
y = y仇0 一αωt
解不定方程(组) ，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)
的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法: 奇数偶数、整数的整除
性、分离整系数、因数分解、配方、利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分
析等.
《九章算术》成书于公元
1 世纪
初. 全书为问题集形式. 列为九章，共
..189
246 问，标志着中国古代数学体系已
经形成.在世界数学史上
，((九章算术》
最早记载、最先使用
.. 负数概念及正
负数的运算" .. 线性方程组的解法"
" 开平方、开立方的方法" 等.
记
在
平
其
街
aE军
tl i1tfJi ñ~! . t~ tA .
~~~例题求解嘎嘎嘎
[锐'
一个自然数与13 的和是5 的倍数，与13 的差是6 的倍数，则满
足条件的最小自然数是
(重庆市竞赛题)
思路点拨
由题意可得A+ 13=5m ,A - 13 =6n ，其中A ，m ，η 为自然数，
则5m- 1 3=6n 十13 ，把m 用含η 的代数式表示，并分离其整数部分(简称"分
离整系数法") .
圃'
电影票有10 元、15 元、20 元三种票价，班长用50 0 元买了3 0 张
电影票，其中票价为20 元的比票价为10 元的多(
).
A.20 张
B. 15 "5长
C.
10 张
D.5 张
C " 希望杯"邀请赛试题)
思路点拨
设购买10 元、15 元、20 元的电影票分别为工，y ，z 张，则
(什y 十z=30
①，
10x + 15y+20z=500 (.
解关于z ，x 的方程组或整体求出z-x 的值.
[锐'
求方程二+ l+l = 子的正整数解
二r
y
z
0
思路点拨
C " 希望杯"邀请赛试题)
L
L
1
易知x ，y ，z 都大于1，不妨设l <x ~ y ~z ，-=-二三一二三一，通过
二:c
y
z
放缩法，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未
知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果.
..190
主量:章。00.. •
蝠'
(1)求方程2x - 5y 二4 的整数解.
(2) 求方程7x 十19y=213 的正整数解.
分析与解
对于(2) ，因方程的系数较大，用观察法不易求出其特解，故
运用辗转相除法逐步缩小系数.
213 -19.)1
又-5y
原方程化为工二
7
=30
2y +-7二，
3 - 5 y ., = ~L ,'"
'M 3 一5y
因工，y 是整数，故
7 一也是整数，设
7 一= m
，
…
3-7m
3-2m
得y 二一一一一= - m 十一一一一
5
3- 2m
设
5一= η( 整数) ，则2m 十5η = 3 ，
②
③
①
可用观察法，得
: m=-l
，n=l 是方程③的一组解，得y =2 ，再将y=2
代人①中，得x= 25 ，于是原方程有一组解x o= 25 ，y o= 2 ，所以它的一切
解为:
iz= -
t(t 为整数)
y = 2+7t
由于方程要求正整数解，则:
(25 一19t > 0
2+ 7t > 0 ,
2
25
解得一
< t < -::-::: ，因
t 为整数，则
t 二0 ，1.
7 --
-19
故原方程的正整数解为: ~
ly = 2 ,
分离整系数
类似于假分数的化简，当分子的次数大于或等于分母的次数时，通过
除法，我们可以把一个分式化为整式部分与分式部分的和.
[~[ø 小强在银行兑换了一张面值为
1 00 元以内的人民币支票，兑换
员不小心将支票上的元与角、分数字看倒了，(例如把20 . 1 3 元看成
1 3 . 20
元) ，并按看错的数字支付. 小强将其款花去了
3 . 5 0 元后，发现其余额恰为支
票面额的2 倍，于是急忙到银行将多领的款项退回，那么小强应退回的款额
是多少元?
C " 中环杯" 竞赛题)
解法一
设支票上原有的元与角、分数字分别为工和y
，则C1 00y+x)
3 5 0 = 2 C1 00x 十y)
，其中工
，y 为整数，且0ζx < 1 00 ，0ζ v < 1 00 ，
-E歪:1m主~
撞撞。"…
秦九韶(约1208一
约
126 1 ) ，南宋数学
;
家，(( 数书九章》是他
:
的代表著作，他对"大
:
衍求一术" 、高次方程
:
的数值解法的研究，
: 取得卓越的成果.美
国科学史家萨顿说:
"秦九韶是他那个民
:
族、那个时代，并且确
:
实也是所有时代最伟
:
大的数学家之一"
.191
dEA草草主监~吕E盖章'
解不定方程纽
的基本方法有:
(1 ) 视某个未
言自4毒
。00...
I
知数为常数，将其
.
他未知数用这个未
;
知数的代数式表示.
: 将问题转化为不定
1 99x 十35o
. 3x+56
化简方程，得y 二
=2x+3 十一一一一
98
--- . _ .
98
·.· 饵，56 均能被14 整除，
:.3x 也能被14 整除，.·.z 能被14 整除，
3t + 4
令x=14t(t 为整数) ，则y 二28t+3 十
7 一，
,'. 3t +4 能被7 整除.
又'，' 0 ~ y < 100;
3t 十4
...0ζ 28t+3 十二?一< 100 ，且t 为整数，
25
_
675
.·. 一一一~ t < :~一，又.，' 3t +4 能被7 整除，
199 ~-
-199
rx=14.
:. t =
1 ，代人原方程得4
ly =32 ,
故小强支票面额为14.32 元，误看成32.14 元，应退32.14 一14.32= 17.82元.
化简方程，得: 98y = 199x +350 ,
(2) 通过消元，
解法二
199x+35o
3x 十56
. 3x 十56
y = ----,,; - - - = 2x + 3 十一-一一，令一一一一=tCt 为整数) .
98
- ~ , -
,
98
' '{
98
方程求解.
98t
•
56
_ _
, 2t - 2 . 2t - 2
工= 一丁一一=32t-18+ -7一，令一王一=u(u 为整数) ,
(3)
运用整体
思想方法求解.
3u 十2υ
..t === -丁一=u + 1+ 一，令二= wCw 为整数) ,
2
-- . - . 2 ' " 2
:. u ==2町
，t=3w 十1 ,x = 14+ 98w ,y =32 十199w
，
数
整
为
w
灿
灿
n
月
u
n
叫
υ
+
十
A
吐
门
4
4
，
，
E
A
叫
〈
U
一
一
一
一
zy
f
l
l
j
飞
i
l
l
、
为
解
通
程
方
原
由
0~x < 100 ，即0~14 十98w < 100 知w 二0 ，
故小强支票面额为14.32 元，误看成32.14 元.
应退32.14-14 . 32=17.82 元.
嘎嘎嘎
学力训练
~~~
穷实
. •
(四川省竞赛题)
1. 己知α 是一位数，2017-a 是49 的倍数，那么α=
.192
49
2. 若正整数a
，b ，c 满足α +2bc= 一，则α 十b +c 的最大值是
a
-E主~
C" 希望杯"邀请赛试题)
3. 有A
，B
，C 三位工人，他们制作同一种产品.已知A 在4 小时内的生产量
，B 需要做5 小时;B 在
4 小时内的生产量，C 只需做3 小时;则C 在15 小时内的生产量，A 需做
小时.
(世界数学团体锦标赛试题)
ι 两盒糖果共176 块，从第二个盒子中取出
16 块放人第一个盒子中，这时第一个盒子中糖果的块
数比第二个盒子中糖果的块数的m 倍(m 为大于
1 的整数)多
3 1，那么第一个盒子中原来至少
有糖果
块.
("希望杯"邀请赛试题)
5. 一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租用，某旅行团20 人准备同时租用这三种客
房共7 间，如果每个房间都住满，租房方案有(
A .
4 种
B. 3 种
C. 2 种
D. 1 种
(黑龙江省齐齐哈尔市中考题)
6. 甲和乙每人都有若干面值为整数元的人民币.甲对乙说"你若给我2 元，我的钱数将是你的η
倍"乙对甲说"你若给我η 元，我的钱数将是你的2 倍"其中η 为正整数，则η 的可能值的个数
是(
).
A.1
B. 2
C. 3
0.4
(全国初中数学竞赛题)
7. (1)求方程3x+5y 二3 1 的整数解.
(2) 求方程
5x-3 y 二一7 的正整数解.
8. 甲、乙、丙三支乒乓球队，人数都不相同，每队不少于2 人，甲队最少，丙队最多，同一球队的队员互
相不比赛，不同球队的队员之间都要比赛一场，统计员作了记录:参加比赛的共有13 人，进行的比
赛共有54 场.求甲、乙、丙三支球队的队员数.
(第
21 届江苏省竞赛题)
..193
dE军军lüI'vf;Jf噩噩噩12，\-
9. 若长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，则长方形的面积等于
( "希望杯"邀请赛试题)
10 . 设正整数n 可表示为四个不同正整数的倒数之和，则这样的n 有(
) 个.
A.1
B.2
C.3
D.4
(复旦大学自主招生试题)
1 1. 若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等.如果每辆汽车乘坐30 人，那么，有一人未
能上车;如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上.已知每辆汽车最多容纳
40 人，问有游客多少人?
( 湖北省荆州市竞赛题)
12. 已知甲、乙两个施工队各有若干名工人.若甲队借调给乙队90 名工人，则乙队的工人总数将为
甲队的2 倍;若乙队借调给甲队若干名工人，则甲队的工人总数将为乙队的6 倍.甲施工队原来
最少有多少名工人?
( 北京市竞赛题)
r5x-4v=7.
13. 已知走是满足1910<走< 2010 的整数，并且使二元一次方程组斗
d
有整数解. 问:这样
l4x + 5y = 走
的整数走有多少个?
( "华杯赛"试题)
.194
数学之所以有高声誉，还有一个理由，那就是数学给精密自然科学以
某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的.
一一爱因斯坦
~~~ 知识纵横
嘎嘎嘎
几何计算，即求满足一定条件的图形的个数.由于组合图形位置关系的多
样性，常产生多个符合条件的图形且图形易重复或遗漏.解几何计数问题常用
到以下方法原理:
1.分类穷举:即根据对象的特征，把它分成若干类，再一个一个地数出来.
2. 分解转化: 即把复杂的图形分解为常见的基本图形.
3. 代数计算: 即依据图形的特征规律，通过列代数式、方程、递推式等代
数方法计算.
荷兰著名版画大师埃舍尔0898- 1 972)
，创作了无
数带有数学意味并且精确无比的艺术品
，他把自己称为
"一个图形艺术家"他说.，在数学方面，人们已经从理论
上考虑过平面的规则划分，这是否意味着它仅仅是一个
数学问题呢?不是的
，在我看来，数学已经打开了通往
一片广阔领域的大门"
~~~ 例题求解
嘎嘎嘎
圃'
如果依次用酌
，a 2 ，a 3 肉分别表示图①，②，③，④中的三角形
个数，那么a j =3 ，α 2 =8 ，向= 15 ，向如果按照上述规律继续画
图，那么向与a 8 之间的关系是: 向二们+
八λ~~
图①图②图@图④
fè'蛋。"…
计数方法原理
:
属于组合数学这门
:
范畴，随着计算机
:
科学的迅猛发展，
:
数学学科原有的平
衡被打破了，组合
:
数学这门古老的数
学学科又焕发出新
的活力.
使用来法原理
:
与加法原理的不同
:
之处在于:在用加
法J!r_、理时，完成一
:
件事有几类方法，
不论用哪一类方
法，都能完成这件
:
事;而用来法原理
:
时，完成一件事情
:
可分为几步，只有
:
每一步都完成了，
:
这件事情才得以完
成.
.195
-~司坦F.I;，遣;'fJ~~~理~-吾乡-
思路点拨
对几种简单情形进行分析，然后从中归纳猜想出一般的规律.
(江苏省竞赛题)
,
图中可数出的平行四边形个数为(
[锐'
B. 114
A.123
C. 108
D. 105
(" 五羊杯"试题)
思路点拨
m X η 长方形棋盘可数出长方形0 + 2 + … + m) X O +
2 十… + n) 个，这是解本例的基础，注意图中两处重叠现象.
[锐'
将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要
分成不少于2003 个小纸片，至少要画多少条直线?请说明理由.
思路点拨
设至少要η 条直线，要使直线最少，应使n 条直线将圆分成
的块数最多. 解题的关键是建立n 的关系式.
[雨'
如图是由16 个面积为1 的等边三角形组成的
一个大的等边三角形，这个大的等边三角形内部及边上共有
15 个交点.请回答:
(1)以这些交点为顶点，可以连成多少个等边三角形?
(2) 所连成的全部等边三角形的面积的总和是多少?
思路点拨
按图形面积的大小分类计数.
[~[Ð 某城市街道分布如图①，一个居民要从A 处前往B 处，为了使其所
走距离最短，规定只能向右或向下走，那么该居民共有几条可以选择的路线?
(" 五羊杯"竞赛题)
.196
: iãl毒。。
τ-丘，百-.
运用枚举法进
: 行列举时，必须注
:
意无一重复、无一
:
遗漏. 因此，枚举法
:
常与分类法结合使
;
用，几何计数有以
:
下常见分类方式
:
(1)按图形的
:
类型分类.
(2 ) 按图形的
大小分类.
(3 ) 选定参照
图形分类.
解几何计数问
:
题时，从特殊情况
:
入手，仔细观察、归
:
纳、递推、猜想，发
:
现规律，是一种行
;
之有效的方法.
分析与解
这是一道分步计数的问题，从单个的小
正方形思考，寻找行走路线的一般规律.
图②中的小正方形，由A →C 共有2 种走法，图③中
B
的情形，从A →D 共有
3 种走法，由此得出:到右下角终
图①
点的走法等于它所在小正方形从左上角到右下角的走法之和，故依次标出每
个小正方形的走法，即可获解.如图④可得该居民共有40 条可选择的路线.
D
图~
图③
加法原理与乘法原理
13
B
加法原理: 做一件事，完成它有η 类方法，在每类方法中分别有mJ'
m 2 ，…
，m n 种不同的方法，那么完成这件事共有m J+ m 2 十… + m ll 种不同
的方法.
乘法原理:做一件事，完成它需要分成n 个步骤，在每步中分别有m J
'
m 2 ，…
，m n 种不同的方法，那么完成这件事共有m J • m 2 …. . m ll 种不同
的方法.
璀碟的星空令人无限神往，哥白尼曾说
" 有
什么东西能比天空更美好呢?要知道天空囊括
了一切美好的东西
" 这幅图是埃舍尔创作的《星
空
)) ，他对多面体和框架星体情有独钟，主体框架
星体里住着两条变色龙
，给宇宙星空增添了生气
和趣意.
[锐。
如图，在2 X3 的矩形方格纸上，各个小正
方形的顶点称为格点.问:以格点为顶点的等腰直角三角
l 1 1 1
l1 1 1
形共有多少个?
(全国初中数学联赛题)
分析与解
等腰直角三角形有怎样的几何特征?这一问题的牵引，是解
题"从何处入手"的一个切人点. 三角形的一个内角为90 0 ( 显性或隐性) ，其两
条夹边相等; 三角形三边a
，a
，c
，旷十α 2 = C 2
，即c 二12 α; 最大边的中垂线不
-E蓄司b=J~币
2注:蜜。"…
例
6 有效地考
:
查思维的严谨性与
:
清晰性.
思维的严谨性
:
表现在:分类计算
不重、不漏、不
f段，
;
即不重复不遗漏地
:
计算等腰直角三角
:
形，更不把非等且要
:
直角三角形计算进
:
来;思维的清晰性
'
表现在: 构思一个
:
层次分明的求解程
.191
dE罩mUl'~ii罩
.t~ t.i
通过格点的三角形一定不是等腰直角三角形，但反之不一定成立.
以格点为顶点的线段长度可取8 个数值: 1
，j言，2 ，点，2 )2，3 ，汀l
JIT . 以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下四
种情况
: 1, l，)2 ; j言，j言，2;2 ，2
，2 )2和汀，汀，汀百. 下面按斜边长分四类来
进行计数.
量造3毒
。00.. •
:
序，逐层深入地进
:
行几何图形的结构
;
分析，逻辑清晰地
:
进行分类.
(1)当斜边长为)2时，斜边一定是小正方形的对角线，这样的线段有12
思维的清晰与
条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2 X 12=24 个严密源于细致与坚
(2) 当斜边长为2 时，图形中长为2 的线段有
10 条，其中有6 条在2X 3
: 韧，细节是一种长
k
+o-
0 'J
期潜心的准备，是
矩形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形;另有4 条在2 X
:
一种日积月累的积
3 矩形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有6 十2 X 4=
j
淀，是一种精心雕
14个琢的过程
(3) 当斜边长为
2 )2时，斜边一定是2 X 2 正方形的对角线，这样的线段
有4 条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2 X 4=8 个.
(4) 当斜边长为汀百时，这样的线段有4 条，每条这样的线段对应着一个
等腰直角三角形，共有4 个.
故以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为24 + 14 十8 + 4=50 个.
并~~学为训练嘎嘎嘎
••
穷实
. •
1. 乱中取胜
如图是边长为
1 厘米的正方形拼成的边长为2 厘米的正方形，共有9 个交点. 则满足
(1)以其中3 个交点为顶点，(2) 面积是
1 平方厘米的直角三角形有
个.
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
D口:J:
A A
I
G
H
第
1 题图
第2 题图
2 . 如下图形是将正三角形按一定规律排列，则第5 个图形中所有正三角形的个数有
个.
(广东省深圳市中考题)
..198
-E歪歪~
3 . 如图所示的图形中一共能数出(
)个长方形(正方形也算作长方形) .
A.64
B.63
C.60
D.48
C'. 五羊杯" 竞赛题)
第3 题图
也. 如下图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成: 第
1 个图案需7 根火柴，第2 个图案需
1 3 根火柴……依此规律，第11 个图案需(
)根火柴.
E口
第1 个
』
牛
|I I I I
第2个
第3个
第4 题图
第4个
A. 156
B. 157
C. 158
D. 159
5. 如图，有7η 个
1 X 1 的小正方形，在以小正方形的顶点为顶点，边与小正
方形的边平行的长方形中，有154 个面积为3C 不含正方形) ，求η 的值.
( 世界数学团体锦标赛试题)
6. 图中有3 X4 = 12 个正方形小格子，其中一个格子内写有x
，问:此图中含有r
的长方形(正方形除外)有多少个?
(美国数学竞赛题)
第5 题图
|I I I I
|I x I I I
|I I I I
第6 题图
"199
dE噩噩噩噩噩
.t~ tA
7. 跳格游戏:如图，人从格外只能进入第
1 格;在格中每次可向前跳
1 格或2 格，那么人从格外跳
到第6 格可以有
种方法.
(江苏省竞赛题)
0
4
飞
川
U
第
7 题图
第8 题图
8. 如图是由
5 X5 个小正方形组成的网格图，图中有36 个格点，以这些格点为顶点的正方形一共
有个.
(世界数学团体锦标赛试题)
9. 下列图中所有小正方形都是全等的.图①是一张由4 个小正方形组成的" L"形纸片，图②是一张
由
6 个小正方形组成的
3 X 2 方格纸片.
日~
EEE EEB
EEB tEE EEB
④
把"L"形纸片放置在图②中，使它恰好盖住其中的4 个小正方形，共有如图③中的4 种不同放置
方法.图④是一张由
36 个小正方形组成的
6 X6 方格纸片，将" L" 形纸片放置在图④中，使它恰
好盖住其中的4 个小正方形，共有n 种不同放置方法，则η 的值是(
) .
A. 160
B. 128
C. 80
D.48
(湖北省武汉市中考题)
10. 今有长度分别为1，2 ，…，9 的线段各一条，现从中选出若干条线段组成"线段组"，由这一组线
段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的"线段组"的组数有(
) .
A.5 组
C. 9 组
B. 7 组
D.ll 组
(全国初中数学联赛题)
.200
-1151翠主?而言..
1 1. 如图，平面上的64 个点组成一个8 X 8 点阵，同一行或同一列上相邻的两个点
的距离都是lcm.请问以这6 个点中的4 个点为顶点，而且面积为12cm 2 的长
方形有多少个?
( 英国数学竞赛题)
••
创新
. .
• • • • • • • •
• • • • • • • •
• • • • • • • •
• • • • • • • •
• • • • • • • •
• • • • • • • •
• • • • • • • •
• • • • • • • •
第
11 题图
12. 平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用
线段连接:
①在同一组的任意两点都没有线段连接.
②不在同一组的任意两点间一定有线段连接.
(1)若平面上恰好有9 个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段?
(2) 若平面上恰好有9 个点，且点数分成2 ，3 ，4 组，那么平面上有多少条线段?
(3) 若平面上共有192 条线段，那么平面上至少有多少个点?
C" 希望杯"邀请赛试题)
..201
斗也斗&二斗.L斗.L斗扎斗.L今也斗也斗.L斗ι 斗.L斗ι -l>.L斗.L-!止斗.L 斗.L-l>.L斗.L丰.L-l>.L-"也-l>.L-l>.L
放
缩
法
4ι-l>.L斗也-l>.L-l>.L-l>.L-l>.L-l>.L-l>.L-l>.L-l>.L-l>.L-l>.L-l>.L-"也-l>.L-l>.L-l>.L-"也-l>.L-l>.L-"也』ι -l>.L
放缩法，即将代数式的某些部分恰当地放大或缩小，从而得到相应的不
等式，以达到解决问题的目的.
放缩法的实质是构造不等式，通过缩小范围逼近求解，放缩法体现了化
"相等"为"不等"，以"不等"求"相等"的策略和思想.
将点、线、面、体不同形态的基本图形
加以组合，便构成一个新的图形.基本图形
通过规律地、渐渐地演变
，又构成新的图
形. 埃舍尔创作的《天与地》运用异形渐变
的构成方法，使天上的飞鸟和水中的游鱼
有机结合在一起.
睛~O
100 名运动员胸前的号码分别是1，2 ，3 ，… ，99 ，100 ，选出其中的走
名运动员，使得它们的号码数之和等于2008 ，那么走的最大值是
分析
选号码越小的，可以使选出的人数越多，故考虑选出l~n 的连续
n 个自然数之和不超过2008 的走的值.
解
η(η 十1)
由
1 + 2 十3+ … +η= 一一一一一:S;;; 2008 ，得η(η 十1) :S;;;40 16 ,
2
.: 60 X 60=3600 ,70 X 70= 4900 ,
• • n 是两位数，其十位数字是6 .
试算62 X 63 = 3906<4016 , 63 X 64 = 4032>40 16 ，于是取η=62 ，即最多
能选出62 人.
111
1
设s =-:-:;-+ 一十一十…+一一，则4 s 的整数部分等于(
13 ' 23 ' 33 '
'993
嚷~e
A.4
B. 5
c. 6
D. 7
(" (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
分析
考虑一般情形~<
/
71 "
~ r / 1 , ，
一
/ 1, , J ，裂项相消
η 3
ηCn 2 - 1)
2 ICn- 1)n
nCn 十1)
1
..202
量蓝$蜜
。00 ...
放缩法运用的
常见形式有:
(1 )利用已知
的或隐含的不等条
件进行放缩.
( 2) 运用已知
数量的大小关系进
原理进行放缩.
行放缩.
(3) 借用排序
如何把握放缩
的"度"，使得放缩
"恰到好处" ，是运
用放缩法解题的关
键，放缩的技巧和
方法有:
(1)添加或合
去一些项.
( 2 ) 把分子放
大或缩小.
(3) 运用常用
结论.
1
1
如一τ 〈一一一一=
nZ -n (n-l)
1
1
n-1 n'
1
1
-
<
t\ η 2-1
~ (击一击)
-z主233·-
多元不定方程转化
为一元不等式，逼
..203
iãq罢
。00 . . •
及
问
并
大
们
顺
题
难
排
关
将
涉
学
件
的
它
小
命
的
叫
等
者
此
，
一
数
条
，
几
给
大
响题法相
υ
一
的
设
变
若
个
影
问
方忧
U
解
'
元
题
出
，
不
低
种
在
变
A
给
序
一
降
化
'
东
序
解
并
这
·
个
时
有
顺
设
'
而
'
法
转
关
排
求
多
题
没
小
假
序
从
度
序
互
等
过
近
当n =2 ，3 ，…
，99 时，
.. 1
~
1
1 1
1
1
l
(
一→一二
l
n 3
~ n (η 2 →1)
2 I (η - l)n
η(η + 1) l '
解
1
, 1
,
,
1
, 1 / 1
1
、
5
:. 1 < 5= 一τ+
_-o + … +一一< 1 + = ( = -一一一-
__
1 < 一.
13
' 23
'
' 99 3
~ ~ ,
2
飞
2
99 X 100/ ----4 '
于是有4<45<5 ，得45 的整数部分为4 ，故选A.
将若干由
l 开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个
4
数，则余下数的平均数为53
-;::;- ，问删去的那个数是多少?
7
蝠'
设所写的数为1，2 ，…
，n
，删去其中的α0 <α 《η) ，则余下的数的
1 + 2 十… +n 一α
4
平均数为
叮
=53 7 ，由
1 <α 《η ，通过放缩建立η 的不等式组.
分析
的成立，则给问题
': l < a < n ,
( 1 + 2+3 + … 十η)η0 + 2十3 + … +η)α0 + 2+ 3十… +η)-1
η-1
-----
η - 1
-----
η
1
'
解
的解决增加了一个
可供使用的条件，
1(ηlM
i(η + 2) (η 一1)
4
2
即叮
<5 3 τ<
η1
(
η - 1
解得1叫QQO7; ，η=1叫川
相等与不等是
矛盾的两个方面.在
当η = 106 时，a = 46; 当
71 = 107 时，α 为非整数，舍去.
1
1
1
7
当工< y <z 时，求方程
+-=-+ -=-=τ 的正整数解.
x
y
z
δ
蝠'
一定条件下可以相
( 山西省太原市竞赛题)
1 _ 1 _ 1
.. 1
1
1
, 1 _3
首先有工> 1，且
注二三一> 0 ，故一<一+ 一十一<-=- ，
x
y
z
x
x
y
z
x
例
5 是利用不
解
1
7 _3 ._ ._8
_24
即
<一《一，解得一<x <一，从而x = 2 或3 .
二c
~ 8 ---- x " '"
，.~ 7
~- ---- 7
系的典型例题，通
1
1
3 ..1
1
1
_2
若x = 2 ，则+
二
，故一<一+ 一《一.
y
z
8
' ~~y - y
z~y
1
3 _ 2 . ._ 8
_16
即一<:< -=- ，解得
< y <一，从而y = 3 ，4 ，5 .
y
- 8 ---- y . ""
，.~ 3
-J
~ 3 ,'/ . ....
J
1
1
3
, _ ,._
_
_ 40
由
+ 一= τ ，相应得z = 24 ,8 ' 7 ( 舍去) .
y
z
ö
1
1
13.. 1
1
1 _ 2
若x=3 ，则
+-=-== ~ ，故一<一+一《一，
y
z
24 ' ~~ y - y
z ---- y
--~主m墨理西E噩噩噩革~
1
13 _ 2
即一<=~~ 一，解得y=2 ，3(y=2 舍去) .
y -24 ~ y
1
1
13._ . ,_
24
由一+ 一= 一，相应得z 二一( 舍去) .
y
z
24
故方程的正整数解(工
，y
，z) 为(2 ，3
，24) 和(2 ，4 ，8) .
·
练习
·
1. 已知有理数a
，b ，c 满足α > b > c ，且α +b 十c=O ，那么，二的取值范围是
程$噩
000.. •
a
-一一一一一一一一
("我爱数学夏令营"竞赛题)
2. 若正整数a
，b , c 满足α ~b ~二c
，abc = 2 (α + b +c )
，则称(α
，b ，c) 为"好数组"，好数组共
有个.
(全国初中数学联赛题)
1 \1
1 \1
1
3. 己知(1 十
)(1+ ~.)(1 + ~)=3 ，且工<y<z ，则满足条件的正整数解(x ，y ，z) 有(
)组.
y "
z
A.O
B. 1
C. 2
D. 3
("希望杯"邀请赛试题)
也. 如果自然数a ,b ，c 满足29α + 30b +3 1c=366 ，则a + b 十c = (
).
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
(江苏省竞赛题)
5. 求x5 • 3yz=7850 中的数字工巾，ι
(全俄中学生竞赛题)
111
6. 设x
，y
，z 为互不相等的正整数，且一+一+ 一=α
，α 为整数，求x
，y
，z 的正整数解.
x
y
z
(河南省竞赛题)
l \a
1 1 \a
1 1
7 设α 1 ,a Z ,a 3 ,'"
，a n 是各不相同的正自然数，ρ 2 ，求证: (一r +L~) 十L~
) α 十… 十(:=--r
< 2
α 1
α 2
α 3
(中国科学技术大学自主招生试题)
.204
-E歪EEE3·-
…..
答案
·
练习答案
1. -2<三<-~
a
[.,
2. 三
αbc=2C α + b +c)~6c
，得ab ~6 ，α 只能为
1 或
2 ，经讨论得好数组为(α
，b
，c)=C2 ，2 ，的，
(1, 3,8) ,(1, 4 ,5).
3. C 若。2 ，则(l+f)(1十二)(1+~) 寸× j ×?=?<川可能，得户1 ，( 1 十7)(1+7)=
/ _ .
1 、/ .
1
、
6
7
7
3
τ ; 若y 二三5 ，则(1 +~ )(1 十一) ~一×一=一<-;::;- ，不可能，得y ~4 . 进一步讨论得(工
，y ,z) =
L
飞
Y
I
飞
Zl
~5
6
5
~
2
(1, 3,8) ,(1, 4 ,5).
25 _
18
ι B 提示:29Cα + b +c )~366~31Cα 十b+c)
，11 一《α + b 十c~ 12
31 ---c-
.
~
• -
---c ~- 29.
7850
一一
7850
5. x=2 ,y= 1,z=4.
提示:由
300 ~3yz<400
，得一一<x 5~
.~~~-~- .
400
--- -
~ 300
111
_
115
只
6. 设工<y<z
，则z 二三1，y 二三2 ，z 注3 ，所以
+-=-+一~ 1 十一+一= 1 一，0<α ~ 1 二，得α= 1.解方
x
y
z
~~
2 ' 3
~ 6
111
程一+一+-=-= 1，得C x 叨，z)=C2 ，3 ，6) ，C2 ，6 ，3)
，C3 ，6 ，2)
，C3 ，2 ，6) ，C6 ，2 ，3)
，C6 ，3 ，2).
x
y
z
7. 设α1 <α 2<α 3< … <α11 ，则有ι 二三iCi = 1，2 ，3 ，…
，n).
1 \ a
1
1
α
111
可得(zY + ( zY+(ζ)α+ … + (zY ζ (~)" + (~)" + (;)" 十… +( ~) ζ ;z+至十言十… +
1
1
1
1
L
1
1
L
1 1
1
pC+历十日+ ·· + (n1) × n=1 + (1E) + (EE)++(FIZ)=27< 2
.205
-l>L斗J..-l>L斗L 今ι -l>L斗J..斗J..今4 今也斗也斗J..斗J..斗也斗J.. 斗也斗&斗4 斗也~斗也_.，__.，_斗J._
取整运算
』ι -l>L -l>L -l>L ...w- -l>L斗J._斗J..-l>L斗J.. .... 也斗也...w-...w..斗J.. ..J.J._斗也斗J...J，.J._..J.J._斗4 斗d二斗4 斗.J._
解决实际问题以及计算机的运算中，常常需要对一些数据进行取整运
算，即把一些不是整数的实数去掉它的正的纯小数部分，而用不超过它的最
大整数取而代之.
对于任意实数α ，通常[α]表示不超过α 的最大整数，如[3 . 6J 二3 ，[- 3.6J
=-4 ，[5J=5 等. { a } = α
[α]称为实数的小数部分. [α ]有以下基本性质(当且
仅当α 为整数时，等号成立) :
1. α =[αJ+{ 叫，O~{ α }< 1.
2. [αJ ~α<[αJ+ 1.
3. a-1 <[α J~α.
4. [η + α J =η 十[α J (其中η 为整数) .
荷兰著名版画犬师埃舍尔创作了无数
带有数学意味并且精确无比的艺术作品.
这幅以表现.. 无穷" 概念为主题的作品
. 是
由无数形状完美的晰踢组成. 并使它的头
尾汇聚，运用对称、旋转等方法. 从外向内
无限缩小，以表现世界事物的无限性，给人
以丰富的哲理想象空间.
… 111
若2 一τ+3 一τ+ 4 一τ+ … 十15
，r ? =s ，贝。[sJ=
2"
- 3 一
ι
15 >
一一一一一一
[征。
C. 五羊杯" 竞赛题)
11
1
1
5 二2 + 3 + 4 十… 十15 + 一+ _-o+~+ … 十一τ ，要求巳J ，只需估
22
' 32
' 42
'
' 15
试一试
111
算τ+ ，，-?+τ 十… + 1 : ? 的取值范围-
2"
3"
4"
15<
.206
主亩$蛋
。00 •••
竞赛中的取整
:
运算是一类创新命
:
题，需要在新的问
:
题情境下，尽快适
:
应新情况，充分运
用己学过的数学知
识方法去创造性地
思考解决问题.
国际著名学术
团体一一罗马俱乐
:
部在《回答未来的
:
挑战:推进新的学
习1见-一一创新，性学
习》报告中指出
: 所
'
谓创新性学习，就
:
是通过学习提高一
个人发现、吸收新
:
信息和提出问题的
能力，以迎接日新
月异的变化.
-;r. *~ni1i监
..201
fê~章。。。…
解与取整运算
相关的方程、方程
组，常运用相关性
:
质，去掉[
]符号，
将问题转化为解不
等式，整数既是隐
:
含条件，又是制约
因素.
若[xJ =5 ,[y J= -3 ,[zJ= -2 ，则[x -y +zJ 可以取值的个数
[制章'
是(
D. 4
C. 3
B. 2
A.1
( 重庆市竞赛题)
由[α ] 的性质，从分别求出x ，y ，z 的取值范围人于.
[制@
解下列方程:
(1) [ 1.9xJ= 10
试一试
(x 为自然数)
l
-2
工
叮
/
U
】
一
一
「
l
l
」
-i
+
工
叫
〈
U
「
l
l
」
门
/
ω
(全国初中数学联赛题)
7-2
工
口
。
一
一
「
l
l
」
x
n<U
「
t
t
」
+
「
l
l
」
T4
9
中
「
l
l
」
叮
气
υ
( 上海市竞赛题)
解与[α ] 相关的方程，关键是去掉符号" [J" . 需灵活运用[α ] 的性
质，并善于把估算、等式与不等式知识综合起来.如对于(3)
，2x 一1 <[2x Jζ
2工
，3x - 1 <[ 3x J ζ 3工，从而5x- 2 <[ 2xJ +[ 3xJ ζ5工，即
5x -
2 <8x 一
分析
仨5x ，这样可求出工的取值范围
7 _
._ 1
_ 7
1
7 _ 35
二
(3) 由
5x -2< 8x -~ ~ 5工，得
<x~
λ 一<8x 一一《一得
2 --..-::~~
，
，.~ 2
~~ --..-:: 6' " 2
~~~
2 --..: 6 .
解
9 II 13 15 17 ._ .. _.
13
,, 17
8x 一一= 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，:. x= 一，一，一，一一经检验工= 一吱一
16 ' 16 ' 16 ' 16 ' 16' a 'I.!.'L -，j~ -'-'
16 -"'-"'" 16 .
值
的
「
!
l
」
VJ
十
工
「
l
l
」
求
nhu
f
=
-
vd
二
+
Y
寸
」
-
9'U
T-
ZZ
「
l
L
「
l
l
」
9
μ
q
u
f
l
l
J
气
|
|
、
组
程
方
足
满
y
z
设
蝠'
(山东省竞赛题)
①
②
③
(2) 已知x ，y ，z 满足
x+[yJ + {z}=-O.9
[xJ+ {y }+z=O.2
{ x } 十y 十[zJ= 1. 3
求x ，y ，z 的值.
( .. 华罗庚金杯" 少年数学邀请赛试题)
对于(1) ,3[x -2J = 3([xJ - 2) = 3[xJ -
6 ，先解关于[ x J ,y
的方程组;对于(2) ，由a =[α J +{ a }
，可先求出x + y +z 的值，进而分别求出
[xJ , {川，[y J , {y } ，[斗，{z } 的值.
思路点拨
aE军重矗匾通蓝蓝·
·
练习
; ..
1 已知正整数n 小于肌且[;] +国=2 ，则这样的n 有一一个
(全国初中数学竞赛题)
2. 用[xJ表示不超过z 的最大整数，设5 = [Jl J + [J2 J + [J3 J + … +[19町，则[Fs J 的值
为
(北京市竞赛题)
3. 以下四个结论，正确的是(
).
A. [αJ+[ -aJ 二o
B. [aJ+[αJ=O 或
1
c. [αJ+[ -aJ 手o
D. [αJ+[αJ=O 或
1
("希望杯"邀请赛试题)
也
j[x J+2 y = 1，
. 已知方程组斗
其中[xJ ，[y ]分别表示不大于x
，y 的最大整数，则该方程组的解
l[yJ+x=2 ,
有(
)个.
A.l
B. 2
c. 3
5. 解下列方程:
(1) [3.8xJ = [3.8Jx + l( x 为自然数) ;
(2) [2什1]= z -7;
(3) I x I 十2[xJ +4[x ] +8[xJ + 16[xJ + 58=0;
ω[叫十川=9z-7
D.4
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
("五羊杯"竞赛题)
(重庆市竞赛题)
(湖北省武汉市竞赛题)
Ix- l l
Ix- l l
, Ix- l l
6 下面的公式可以计算某日是星期几:5=(x- 1)+ 比一百+际问，其中，x 是年
份，y 是该年中从元旦起到这一天为止的天数，[x J表示不超过工的最大整数.
若577 得到的余数是几，则该天就是星期几.如:余数是0 表示星期日，余数是1 表示星期
一……余数是6 表示星期六.
问:2011 年11 月
25 日是星期几? (用数字0~6 作答)
(世界数学团体锦标赛试题)
.208
E撞击~恤
…
答案
..
例题答案
111
11
1
1
1
11111
哲IJ 1
0<一+一+一+ … + _ =
0 < _ ,-, ~ + ~ ,-, ~ + ~
+ … + _ -_ _ _ = 1 一+
= -=+=--=-+ …
22 ' 32 ' 42
'
' 152 ~ l X 2 ' 2 X 3 ' 3X4'
' 14 X 15
~
2 ' 2
3 ' 3
4
111
+一一一= 1 一一< 1 ，故[sJ=2 十3+4+ … + 1 5= 11 9 .
14
15
-
15
例2
C
由
5 运工< 6 ，一3 :O:;:; y <- 2 ，-2 :O:;:; z <- 1 ，得5+2-2<x - y +z< 6+3-1 ，即
5 <x 一
y+z < 8 ，故[x-y + zJ=5 或6 或
7.
15
例3
(1) 10 :O:;:; 1. 9x < 11 ，解得5 一:O:;:;x<5 ::, x=5
19 ----~ - - 19
(2) [3x + 1J :O:;:;3x + 1 <[3x + 1J + 1 ，即2z- 1ζ3z + 1<2x
l + 1 ,
2
解得-7Q<-t ，
1
3 _.
1
·.一一:O:;:; 2x 一
< 一，而2 x 一为整数，得2x 一τ= -3 或-2 ，
2
2 " ".---
2
/ ~ ~ ~".
..- --
2
3
h
5
x 一一一旦兑一一-
4 -γ ‘
4
例4
(1)解得[xJ= 4 ，y=10 ，于是得4 :O:;:;x<5 ，14 :O:;:;x + y < 15 ,
所以[x 十yJ = 14.
(2) ①+②+ ③，得2 x 十2y+2z=0 . 6 ，即x+ y +z= 0 . 3
④
④一①，得{ y } 十[zJ = 1. 2 ，则以}=0 . 2 ，[zJ= 1，
④一②，得{x} 十[yJ=O . 1，则{x} = 0.1 , [y J = 0 ,
④一③，得[xJ + {z} =- 1，则{ z }=O ，[xJ=- 1，
从而x=[xJ 十{x} = -0. 9 ,y =[yJ + {y } =0.2,z=[zJ + {z } = 1.
练习答案
1. 334 目寸，当且仅当二是整数时取等号; 因斗当且仅当二是整数时取等号，所以阳十
η
-2
一
n-6
+
η
-3
/
与
K
而
当且仅当二是整数时，上式等号成立，因此f是整数
又因正整数η 小于肌所以，满足条件的n 有用=削个
..209
aE罩噩噩'iiñ~! . t~ tAl
2. 24
s=l X 3+2 X 5 + 3 X 7 + 4 X 9 + 5 X 11 十6 X l3 + 7 X 15 + 8 X 17+9 X 19=615.
.: 24 2 = 576< 615 < 625 = 25 2 , :. 24< [; < 25 ，故[疗J=24.
3. D
fx=3 ,
也. B
由x =2- [yJ 知z 为整数. 当y 为整数时，解得十
当y 不是整数时
，2y 为整数，设
ly=-l;
y=z + j ，方程化为什归及z 十Z 二2 ，解得工二4 ，z=-2 ，进一步得工=4 ，y=7
5. (1)原方程即[3.8xJ =3x + 1 ，因3.8x -1 < [3.8x J =3x + 1 :::;;; 3 . 8x
，故
1 :::;;; 0.8x < 2 ，
1. 25 :::;;;x < 2.5 ，满足方程的自然数只有x = 2 .
(2) x = 一;
(3) I x
I 必为整数，从而x 为整数，原方程化为
I x I +2x +4x+ 8x + 16x + 58=0 ，解得x = - 2.
1
7
(4) x= 一-:::-;:-，x= 一
36 , - -
36
6.
5 = 2010 十502 一20 + 5 十329=2826
，
5
2826
一=一一一= 403 "
，5.
7
7
----,
'. 2011 年11 月
25 日是星期五.
..210
囚走迦芙肿的黯学世界
【例题求解】
参考答案
例
1
153
提示:153 还有如下特征:153=1 3 十5 3 + 33.
例2
;导D
-~孟主望
例3
铺满η 组时，所用瓷砖总数为
1 十6 X 1 + 6 X 2 + … + 6(n- 1) = 1 + 371( η - 1) . 当η=26 时，1
十3η (n - 1)=1951 < 2005
，当n =27 时，1 + 3η(η- 1) = 2107 > 2005 . 故最多能完整地铺满
26 组，还剩2005 - 1951=54( 块)瓷砖.
例5
(45 , 12)
奇数行第一列的数等于该行行数的平方.因为45 2 = 2025 ，又2025 - 11 = 2014 ，所
以2014 在第45 行第12 列.
【学力训练】
1. 8 2 十9 2 十72 2 = 73 2
2. 15
3.
44; 右到第n 层，共有
3 + 5 + … + (2η + 1) = n( η + 2) 个数，当η = 44 时，71(71 十2) = 2024 , 71 =
43 时，71 (η + 2)=1935 ，又2010 > 1935+45.
4. C
S. C
1 X 7 3 十3 X 72 + 2 X 71 + 6 X 70 =510.
6. C
由规律可得11 +m = 01 +2) X 01 +4) ，解得m=184.
7 . 每一行的最后一个数字为1，4 ，7
，1 0 ，… ，则第η 行的最后一个数字为
1 十3(η
1) =3η 2.
0)16;(2) 由3η-2=2014 得η=672 .
8. 55 ,1830
9. 3; 94599
10. 365
1 十1 X 4 + 2 X 4+ … +13 X 4=1 +0 +2+3+…+13) X 4=365.
11. C
提示
: 设巧数为ab
，由
10α +b=4( α+ 的，得b=2α .
12. B
提示:504=7 X 8 X 9 .
13. B
121 X 3+ 1=364.
14. E
八年级最少有[ 5 ，8 J =40 人，此时，六年级、七年级的人数分别为24 、25.
.. 211
dE运组撞撞
15. 当然可以，只要写出第一个数为2005 ，第二个数为2 ，接下去则是2003 个1，于是就有2005+2+
1 十1+ …十1 = 4010 = 2005 X 2 X 1 X 1 X … X
1 成立. 一般地，对于自然数刀，恒有n+2+
2 003个
1+1 + … + 1=2η=η X 2 X 1 X 1 X … X 1 成立.
(η - 2 ) 个l
16. (1 )2019 不是"纯数"，2020 是"纯数"
(2) 由题意可得，连续的三个自然数个位数字是0 ，1，2 ，其他位的数字为0 ，1，2 ，3 时，不会产生
进位，
当这个数是一位自然数时，只能是0 ，1，2 ，共3 个，
当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2 ，3 ，个位数是0 ，1，2 ，共9 个，
当这个数是三位自然数时，只能是100 ，
由上可得，不大于100 的"纯数"的个数为3 十9 十1 = 13 ，即不大于100 的"纯数"有13 个.
面跨越一-M 篝71\ ~IJ 1\黯
【例题求解】
例
1
(1) (η + 2) 2 -n 2 = 4(η 十1)
(2)3n + 1
例2
C 设商品的原价为m 元，则甲、乙、丙三家超市经降价后的售价分别为0.72m 元、0.7225m
兀、0 . 7m 元.
例3
(1 0a + b) + (1 0b + a) = 1 1( α 十b)
，因而α 十b 是11 的倍数，即α + b= l1
• 走，且走是完全平
方数，由于α ~ 9 ，b ~ 9 ，得a 十b ~ 18 ，走= 1 ，从而α 十b = 1 1.推得这样的两位数有8 个: 29 ,
38 ,47 , 56 , 65 , 74 ,83 , 92.
【学力训练】
I.
n 十33α 十3b
2. 7
设每人有牌x 张，则工+ 2 + 3 - (x - 2) = 7 .
3. 150 分钟
4. C
5. B
新矩形的长、宽分别为(α
b) ，(α-3的.
η(η + 1)
6. B
由
1 十2 十3 + … + n = 一一一一一= 78 ，得n = 12.
2
7. (1)因为每分割
1 次，就要增加3 张纸片，所以经5 次分割，共得到
1 + 3 X 5 = 16 张纸片.
(2) 经
11 次分割，共得到(1 十311 )张纸片.
.. 212
-EÆ主毫望
(3) 若能分得2003 张纸片，则
1 十3n = 2003
，3η=2002 ，无整数解，所以不可能经若干次分割后
得到2003 张纸片.
8. (~r - [
9. 595
1
, 1
1
1 _'_'_
1
L
15
10 百设α=E+E+z+ 于则原式=(1 - a)( α 十石) -
(τ
叫a.
11. A
提示
: 设自然数从α + 1 开始，这100 个连续自然数的和为(α + 1)十(a+2)+ … +cα+
100) = 100a +5050.
12. C 提示: 第一列数可表示为2m 汁，第二列数可表示为时1，Ei3 2m + 1 = 5n + 1 得η=;m
m=0 ,5,10 ,…,1000.
13. B
设满足条件的两位数为10a + b
，由条件得a+b = 12 ，( α ，的= (3 ，9)
，(4 ，8)
，(5
，7)
，(6
，6)
，
(7 ,5) , (8 ,4) , (9 , 3).
14. 231
提示
: 如答图，由α 十走十b= α + c + 121 及c 十d 十l1 =h 十d + 121,
得走十b=c+121
，c=110 + h
，从而走= 110 十121 = 23 1.
15 . 设这五个自然数为α < b < c < d < e
，则α 十b=23
，α 十c = 28 ，c 十e 二57
，
d+e=63 ，又设某两个相同的和为X
，则
23+28 十34 + 37 + 43 + 48 + 52 + 57 + 63 + x 二4(α + b 十c+d 十川，
即385 十工=4(α + b + c + d 十e)
，得4
1 385 十X.
第
14 题答图
所以z 除4 余数为3 ，那么34 ，37 ，43
，48 ，52 中满足条件的就只有工= 43.
385 + 43
所以α +b + c + d 十e=- --
- - =107.e = (a + b) 十(c 十e) 十(d + e)-( α + b 十c+d 十e) =36.
4
rn
61J 造的星石一-im 票、归纳与猜想
【例题求解】
例1
②
例2
C 提示
: 由2η=2000 ，得η = 1000 ，又1000 --;- 4 = 250.
例3
原式=10 Z "
例5
当η = 1 时
，a [ =1; 当n=2 时
，a 2 二2 ;当n=3 时，向=4 ，则当η = 4 时，若第一步1 级，则其
余3 级有α 3 种方法;若第一步2 级，则其余2 级有a z 种方法;若第一步3 级，则其余1 级有
a[ 种方法.故a 1 = a3 +a 2 + α[ = 7 ，类似可得η=5 时，α 5 =a 4 + α 3+ a Z =13; η=6 时，向=
a 5 十a 4 + α 3 =24;n =7 时，a 7 =a 6 + α 5+ 向= 44;η=8 时
，a s- α 7 十a 6 十α 5= 8 1.
.. 213
dIE坦温盛ii蓝蓝噩噩草草..
【学力训练】
1. (1) 4;17
(2) (2n + 1) 2 - 4η 2= 4η + 1
2. 160000
a " 十α 什j =(η 十1) 2
3. B
ll + b=α
，b =2 6 •
4. C
提示:第n 个图形中平行四边形的个数是η(η+ 1)-1.
、
、
，
/
吁
中
十
η
/
，
‘
飞
、
、
，
，
F
1li
+
nu
nv
n
A
吐
/
飞
ndn
抖
1
-
3
、
、
，
，
/
、
、
，
/
-
i
q
中
/
飞
f
飞
'
『
.
U
(3)η (n 十1)(n+2)=1 [n(η+ 1) (η +2 )(η 十3) 一(η - 1) n(n + 1)( η + 2)J ，
4
相加得jn 川) (n + 2) (n + 3)
1008
. _~.... . . _ 1 2 3 4 5 6 7
6
这列数就是一，一，一，一，一，一，一…，故这列数中的第n 个数为一一
. 1009
-"-"'/ ~ ~ ''7 U ，^，- 3 ' 4 ' 5 ' 6 . 7 . 8 . 9η + 2 '
7. 32 ;41
提示: 2003 是数阵从上向下，从左往右数的第
1 00 2 个数，前n 行共有
1 十3 + … 十
(2n -1) 二η 2 个数，而3 1 2 = 96 1 ，32 2 = 1 024 ，故2003 位于第32 行第
1 002-96 1 =4 1 个数.
8. 1008017
提示: 设第i 个拐角处的数为此，则aj =2 ，句i =a 2i- j + i ，a 2i + j 二α 2i +Ci 十1) . 因2007 =
2X 1 003 + 1，故a 2007 = 1 + 2 ( 1 + 2 + 3 十… 十1 003) + 1004= 1 004 2 十l 二10080 17 .
9. B
m 3 分裂的规律是: [ m (m - 1) + 1 J + [ m (m -
1) 十1 + 2 J+[ m(m 一1) + 1 +4J + … +
[m(m - 1) + 1 + 2(m - 1)].
.: 45 X (45 - 1) + 1 = 1981 ,46 X (46- 1) + 1 = 2071. :.m =45.
10. B
提示
: a'l 二2" - 1.
l 1. B
7 = l X (1 +3) 十3 ，1 3=2 X (2 + 3) + 3 ，2 1 =3X (3 十3) + 3 ，… ，第n 个图案需n( η + 3)+3
根火柴.
12. (1) 略
(2) V + F-E =2.
1 \ { 1 2 \ { 1 23 \ { 1 2 3 4 \ ( 1 2 3 4 5
13. (1)(※)可分组(~)，(~，~)，( 言' 言' 了)
，(~
，;，~，~)，(τ' "4'言'言，~ ) ，… 可知各组数的
2 ....
( 1
2
3
2002 、
个数依次为
1 ，2 ，3 ，… ，按其规律
应在第2002 组(一一，一一，一一，…，一一)中，该组
2001 '-'-L.
I~ / I'
- -- -
~
飞20 02'200 1 '2 000
'
,
1
I
2
前面共有
1 + 2 +3+4+ … + 2001 = 2003001 个数，故当F(m)= 一一-时，m = 2003001 十
2001
1
2
2=20 0 3003 ，又因各组的数积为1，故这2003003 个数的积为一一× 一一=一一一一
2002
2001
2003001.
.. 214
EE磊孟圣亘
2000
2001
(2) 存在满足条件的c 和d
，c=-
2~ ，d = 一「
提示:依题意，c 为每组倒数第2 个数，d 为每组最后一个数，设它们在第η 组，则c=
η-1η
2 ,u-
1.
n( η - 1)
. 一-7一= 2001000 ，即η(η-1) = 4002000 二2 00 1 X 2000 ,
2001-1
2000
2001
.• n =2001 ，1导c= 一一一一一=一一一，d = =--:__:_一
2
2
,--
1
因黯抽一一黯与形的需-i灭碰撞
【例题求解】
例
1
(1 )-5 或l
(2) AB 的长为
1 ( - ~) 一(一叶7 ;A F对应的数为3 - t × ; = 7 ; 点A 移动的距离是
7
19
Z 一(-3)=z -
16
例2
C
提示:AF = 11- (-5) = 16 ,AB = BC = CD = DE = EF 二一=3.2 ，C 点坐标为一5+
5
3.2+3.2= 1.4.
例3
将α + b=2c 代人已知等式得
| α + b I =
I b
l 一|叫，则ab< 0 , I b I > I a I ，故原点。在线段
AC 上.
【学力训练】
C A
n n
1. (1)如图所示，点C ，D 两点即为所求.
二3 二2 -10
1
23
4
(2) -3 或4 ; 点C 的左边或点D 的右边
第1 题
4+(- 1)
-3+ x
2. 6
设该点表示的数为工，则一
2 一一=-z一一
3. -671
提示: 由条件得
(a - b)= 2013 ,
α= 岛，解得b =67 1，α + b = -b = -6 7 1.
4. A
5. B
6. A
7. (1 ) -5 ;7 ;12
(2) 依题意有
5- 1 十2-3 十4-5+6-7 十… +20 16 -20 1 7=-5- 1 十(-10 0 8)=-1014 ，
.·. 点P 所对应的有理数为一1014.
.. 215
dE莹莹莹~噩噩*lOOþ~.
(3) 设点P 对应的有理数为x , JJ!U 1 x - 7 1 = 3 1 x + 5 1 ,
当x - 7 二3(x +5) 时，得x= - l1; 当工一7= - 3(x 十5) 时，x=-2 ，
. 点P 第6 次到达一2 对应的点，点P 第11 次到达一11 对应的点-
8. 24 或40
9 . ①③ 设相邻两点之间距离为工，则b= α +x
，c= α 十5工，对于①，由α 十b 十c=O ，得α +2x=
0; 对于③，由(α + 5x ) - (a + x ) = 8 得x = 2 ，b 二α +x= α + 2 ，即α -b= - 2.
10. 4
11. C
12. C
13. 13
序号为奇数的点在点A 的左边，儿
，A 3
，A s
，…
，A 1/ 对应的数分别为
2 ，-5
，-8 ，…，一
3n+1
2 一;序号为偶数的点在点A 的右边，A z
' 儿
，A 6
，
. . .，A " 对应的数分别为
4 ，7 ，10 ，...,
3 n 十2
. 3n 十1
.._
..3n + 2
38
2 一，当
2 一=20 时，得η=13 ; 当一一一=20 时，η= 一(舍去) ，故n 的最小值为13 .
2
-
~
.. ".
.
3
37
14. (1)-,-
'
1
(2) 一一
(3) 右
(4) 都不会
n 十1
'- .
60
nu
<
十
n
R
U
二
川
υ
+
卜
h
p
十
一
十
{
飞
5
~
6
1
l
「
2
4
一
5
二
-
3
午
4
式
一
原
2
-
3
叶
十
如
1i-n/UL
I
-
-
-
U
川
和
n
求
当
1
2 ,
I
3
4 ,
I
5
6 ,
1
1
1
当η 为偶数时，原式=( -;十二+(-z 可)十(-~+;)+ … =民+而+而+ … >0
由此可知，从第二项起，每增加一个加数，和的符号都会改变.故不会出现相邻两次跳动的落点
位置在原点的同侧，也不会有某次跳动正好回到原点.
15. (1) 0 或2
(2) 当x =-4 或6 时，PA+PB 二10 .
(3) 设t 分钟后，P 为AB 的中点，A ，B ，P 运动t 分钟后对应的数分别为一2 - t ,4-2t , -t ，由-t=
(2 - t ) + ( 4 - 2t )
24导t=2 .
~ 酷i卖绝时值
【例题求解】
例1
(1) 2
x=+5 ，y=+ 1，原式=llx-y
l 一Ix 一(-y) I1 = 1 + 2 1 = 2
(2) 16
.. 216
EU益型...
例2
A
2003
例3
一一
提示: 由|α卜21 十
| 卜1
1 =0 ，得α =2 ，b = 1.
2004
【学力训练】
1. <
2. (1) 25
提示:当工=- 11 时，取最小值.
(2) 0 ; 一l
提示:2~x~3 ，原式=2 - x .
3. 2
提示:分析得α + b +c<O ，一(α 十b +c ) = α
b 十c ，α +c=O ，b <O .
4. A
5. B
提示: α + b =-c
，b 十c=- a
，c + α 二- b ，a 、b 、c 中一正两负，分情况讨论-
6. A
7 由条件得b +讥α =- b ，从而α=tJ =-t db= -t
8. A
9. 1
10. (1) 13
提示:b = 1 5d 十1 2 ，α =30d +32 . 原式=
1 211d + 2241 ，当d =-l 时，
l d+7α
| 取得最
小值，为
1 3.
(2) 32
提示: 打开绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使
和达到最大的可能值，必须且只需由
1 到4 取负，由
5 到8 取正，则原式=2 X [(8+7 十6 +
5) -
(4 十3 + 2 + 1) ] = 32.
11. C
当α < O<b 时，b
α = 20 16 ，-a = 岛，得α + b = - 672 ; 当b < O<α 时，α - b =2 0 1 6 ，α = 一
2b ,a + b = 672.
12. C
13. A
设u = lx+21
，υ =I y 十21 ,w= Ix-y 1 ，则
l u - vl =l v - wl 二Iw 一- u
l =
l (u -v) + ( υ
四川
，得u = υ = w ，由Ix + 21 = ly 十21 得x = y
，或工+ y =- 4 ; 由
I y 十2
1 = 问- y
l 得x =
- 2 ，或2y =x →2. 联立解得工= y =- 2 ，故z 十y =- 4 .
14. a
，b
，c 都为整数，则a - b ，c-a 均为整数，则
| α- b
l
，lc - a
l 为两个非负整数，
1 α - b
I 19 +
l c
α1 99 = 1 ，只能|α - b
I
1 9 = 0 且Ic - a 199 = 1①或|α - /)
1
1 9 = 1 且
1 c- a 199 = 0②，由①得α = b ，且
I c
αl = l，
l b -cl=lc α1 = 1; 由②得c = α ，且
| α- b
l = l，
l b -cl = 1α - b 1 = 1，无论①或②，都
有|α - b 1 + 1 c - a 1 = 1，且
I b - cl = l，故Icα1 + 1 a - b 1 + 1 b - c 1 = 2.
15. (1 )α =- 3 ，b = 9
(2) 经讨论得C 点对应的数为2
( 3)
由( 2) 得
: AC = 5 ，运动时间0< t ~ 5 .设t
s 后:P: 一3 + t ，Q: 9 - 2t
，
.
211
d
1t~*li1t fliñ~. -t~m
:.oP = 1-3+t 1 ,BQ=2t ,PQ= 112-3t 1.
由OP 十BQ=3PQ ，得: 1-3 十t
l + 2t=3112-3t
l
.
33
①0< t ~ 3 ，3-t+2t=3 (1 2 - 3t)
， :. t=~~( 舍) ;
10
13
②3 < t ~ 4 ，t - 3 十2t=3 (1 2- 3t)
，:. t=4;
33
11
③4< t ~ 5 ，t - 3+2t=3 (3 t - 1 2)
， :. t= 一=一(舍) ;
6
2
13
t=4'
圈计算一一工具与算法国费汪
【例题求解】
例
1
(1) 0
ab = l，c + d 二O ，e =- l，原式= ( - 1) 2003 -
0 2刷一( - 1) 2005 = O.
(2) 12
例2
A
第n 个数:击一( 1 +主) X [1 +斗斗×卜吁吁X ... X 卜气;二~] =
1
1
..
. ...
..
.... ...
.... ...
.
... ,, _..
9
5
11
3
一
，第10 个数，第11 个数，第12 个数，第13 个数分别为一一，
一，
一
-
n + 1
2' .?I"7.l. V
I 3Vd .?1"7 .l..l.
I 3V'U .?l"7.l.'-'
I
:~)U .?I"7.l. 0 I Y.A JJ JJ'J / :J
22'
12'
26'
7 .
例3
(1)原式= 5 . 7 X O . 00 0 3 6 一( 1. 9 X 3 X 0.0002 - 5.7 X 0 . 000 1 64) 二0 . 00 1 8468 .
12 . _ 17
38
_. _ 7
7
37
34 .
24
76
(2) 设13 一+ 8 一一5 一= A
，则17 一+ 27 一- 11 一= 16 一十26 一一1 0 一，原式= 2A -:-
17 ' - 27
- 39
'-
'/ '~ _. 27 ' _. 17
--39
- - 27 ' - - 17
- _ 39
A=2.
200
._ _
1
1
2
_ / 1
1
、
(3) 一一
提示.
101
~ '''''1 + 2 + 3 十… + n
n(n + 1)
n( η 十1)飞ηη + 1 1
2
例4
(1) 6
(2) A
提示: 原式= 23 X (2 X 5) 9 = 23 X 109 = 8 X 109 •
(3)
.气: 3γ2阳= 3 4以
X500
∞0 +忖2
，4俨
20川= 4 4刊
X500
∞0 +村2 , :. 3 200ω2 与
4 2阳的个位数字分别与
3 2
，4 2 的个位数字相
同，即
9
，6ι，从而3沪
2约0阳+4 2川
0∞阳
0ω2 的个位数宇为
5 ，故3 2川
0∞阳
0ω2 + 4 2川
0∞阳
0ω2 是5 的倍数.
【学力训练、】
1. (1) - 43.6
(2)37
.. 218
-E孟主主主...
(4) 885
提示: 设原式=s ，将括号反序相加.
2 纪二1
2
η (n + 1) 63 X 64
I
A
A ^ 'A
. 斗
3. 63 一
γ1 + 2 + 3 + … 十n= 一一一一，一一一+ 2=2018 ，:. 刚2018 个数里面包含: 1 个1，2 个
32
. - , - , -,
, ..
2
2
1
. .1
.1 ..1
. _
1
1
1
1
一，3 个
，…，63 个
，2 个一，:.5 2川=l X 1 + 2 X 一十3 X 一十… 十63 X ~-_ + 2 X _-. = 1 + 1 十… 十
2 ,- , 3'
,-- , 63'- ' 64' '' - ""'0
_.. _ , _.. 2
，~.. 3 '
'
~~ " 63
' - " 64
1
1
1+ 一=63 一
32
~~ 32'
671
4. B 原式= 672
5. A
6. B
26
1
1
7. (1) 1 + 3 X 26 + 2 X (2 6 ) 2' 26 + 1
27 + 1
1
1
(2) 1 + 3 X 2" + 2 X (2" ) 2 , 2" + 1
2什1+ 1
u-u
一
一
1-m
1-m
一
一
式
原
叮
〈
U
2(2" -1)
(4) 原式=
μ
3C2 n+ 1 十1) '
1 11111
，
11
、
8. (1) 322
原式=322+2 X
( 一+ 一+ 一+ -=:.+ --_ +
十一)
1 5
飞1 2 ' 20 ' 30 ' 42 ' 56 ' 72 . 90 '
(2) 1附6
原阳式#扫
=斗2肌
0ω阳
4
9. 0
提示: 原式的值可为一4 ，0 ，0 ，4.
10. 2016
无论x; = 0 ，- 1 ，l( i= 1 ，2 ，…，川，均有z t 20l7= 工，.
11. B
12. C
提示: 凹，则什卢-y ，那么工十y ，xy ，-三数相等，或者x -y ，xy ，二三数相等，都
工
y
有xy = 王若x = O ，则内= 0或工
y = O ，得y = O ，与题意不符若用，由zy =7 4导y=
y
土1，当y=l 时，内=川-y= xy 均无解，当y=- l 时，z=?
.
219
dEi辈革主峰ii草草噩噩军孟噩
84
85
86
88
87
13. B
~~>一>一>一一>一一，两两相乘，积有4 个正数，6 个负数，从大到小顺序排列
，排在第
83 - 84 - 85 -
87 -
86
5 个的积是6 个负数中最大的负数.
14. (1) C 所得结果的末位数字依次为3 ，9
，7 ，1，3 ，9 ，7 ，1，…，每4 个为一组循环，每组中末位数
字和为3 + 9 十7 + 1 = 20 ，和的末位数字为0 ，因20 1 3 -;'- 4=503 … 1，故原数的末位数字即为
3 2013 的末位数字.
ω
( ~ ) 8
(3) 狄摩根在1849 年时43 岁.
15
于( 1 十元) + ( ~ +拮) 十
+ (忐+市)
2017
2017
2017
=一一一一一+一一一一十… 十
1 X 2016 ' 2X 2015'
' 1008 X 1009
= 20 1 7 × i -i一+ -=-:-土一+ … 十
1
),
飞1 X 20 1 6
2X 2015 '
1008 X 1009γ
q
通分后，括号里的分数形如.，
>./
A '/
'/
("\ A 1 川其中q 为整数，
2017q
•
=1 V η
'\.J
'-/ 1') f'\ 1 川即
2 0 17nq = 1 X 2 X … X 2016 X m ,
η
:. 2017 11 X 2 X … X 2016 X m ,
.: 2017 为质数，且20 1 7 与
1
X 2 X … X 2016 互质，
:. 2017 Im.
目相以芙娶一-j舌iH回芙I页
【例题求解】
例
1
(1) 1
55
，
~
，
~
_ ,_
•• . _
"
_
.
55
(2)
由
2 + 2m 十η = 2 得n =- 2m
，代人原式，原式= 一
97
....-...t
-
,
_
. .~
，
.~
-
. .....
• •
_.. ....., I
\,,1 /
.... ，/~
'........'\，( ' I/-J" ........"
97-
例2
C
提示:由条件得3 b - 2α = 10 ，原式=3 (3b - 2a) 十2 =3 2.
例3
- 1
提示
: 整理原多项式得(α + l) x 3 十(2b - a ) x 2 + (b + 3a ) x -
5 ，由题意得α + 1=0 ，得
α =- l
，b = 一1.
【学力训练】
1. (η + 1) 2 -n 2 = 2 η 十1
2. n 十2
.. 220
1
3
一一--
1003
-'41*1望-
4. E
设四位小朋友的岁数之和为工，则四位小朋友的岁数分别为x-22 ，x-20 ，x-17 ，x-25.
111
5.C
a ，，=n( η+2) ，原式= 一一+一一+
十… +一一一一
1 X3 ' 2X4 ' 3X5'
' 19 X 21'
6. B
7. -4
提示:原式= (x 2 +y2 _Z2 ) -2(x - 2y +z ).
8 (1)L~(
(2) 原式=1024(1 十去) = 1025
9. 18
10. 3775
提示:不妨设α >b ，原式=a
，由此知每组数的两个数代人代数式运算后的结果为两个数
中较大的一个，从整体考虑，只要将5 1，52 ，53 ，…，10。这50 个数依次代人每一组中，便可得50 个
值的和的最大值.
11.2
代人化简得13(y-2) x=0 ，y 一2=0.
(n- 1)
12. D 设有η 个连续整数a
，a + 1，… d 十n - l，得α 十a + 1 十… + α + n-1=na + 一
2 一一二
小平)=叫p n ( 2a + n -1) =川川=川=-44
13. B
提示:2 +3+ … +9 十10=54 ，而8 十9+10=27.
14.
由ace-bda=760 ，得100a + 10c 十e- 100b-10d -a =760 ,e = α ，从而10(α -b)+(c-d)=
76 ，因此，只有两种可能
c - d=6 或
c -d = -4 . 进一步分析可得所求的五位数是
81828
或91269.
15. .: l :S;;;a ,b ,c ，d :S;;; 4 ，且a
，b
，c
，d 中有两个相同，
:. 2 :S;;;α +b
，b 十c
，c+d
，d+ α :S;;;8.
而900 = 22 X 32 X 5 2 必须写成四个不超过8 的整数的乘积，则α +b
，b +c
，c + d
，d+ α 这四个
α 十b=5 ，
b+c =5 ,
整数只能是5 ，5 ，6 ，6 ，不妨设
c+d=6 ,
d + α=6 ，
将四个等式左右两边分别相加得α + b 十c + d 二1 1.
.. 221
dE远超撞撞撞噩噩'
[[J
一元-iRHE
【例题求解】
例
1
3
例2
A
提示: 原方程化为(3α -6)x 二2α
4 ，则3α-6=0 且2α
4=0.
b+ 8
倍。3
(1 )x= 一→丁
G 一一也
(2) 当m 手η 时，方程有唯一解z=-1一; 当m=n 时，原方程无解.
γn- n
4mn 十6m
牛
(3) 原方程化为(4m -3)工=4mn 十6m ，当m芋立时，原方程有唯一解x =
: 当m 二
4 H~ ' I/J'fJ ' I.:t: ' r-:I ',L
fl1T.A-
4m - 3 '•
立，η =
三(由4mn+6m=0 ，即n= 一一一= 一一得到) 时，原方程有元数个解;当m = 豆，
6m
3
4m
2
n 手
;日才，原方程元解
例4
(l)x=O
(2)x=90
(3) x 二1
nu
一
→
川
-
m
+
一
月
1i
z
一
∞
一
门
/
"
+
叮
/
阳
9
μ
-
A
K
U
二
∞
工
一
今
中
A
吐
x -4014
x -40 1 4
γ - 4014
ep ~一一一十一一一一一+ 二一一一一二O
2006
2007
2008
I
1
1
1
、
•• (x - 4014) ( ;:一一+一一一+一一一)=0 ，得x =4014.
飞2006 ' 2007 ' 2008 '
【学力训练】
1. 2018 m=2 ,x=3.
2. -2 依次可求得从左数起格子中的数分别为-4 ，6 ，-2 ，-4 ，6 ，一2 ，一4 ，6 ，一2 ，三个数为一个
循环，因2013-;-3=67 1，故第20 1 3 个格子中所填的整数为一2 .
3. ~ : _10
一
. 一-
3'
9
4. B
5. D
6. B
7. D m=29 ,n=2.
.. 222
-E孟主孟理…
8(1)z=?
(2) x 二1
(叮生丰+叶。俨
斗+(?-t) + (j -f)++(市丰) ] =2∞
I 1
1
1
、
2xr 一+一一一一一) =2009 ,x=1005.
飞
2 ' 2
2010'
-~~~，
1 -
X \
I
1 -
X \
I
1 -
X \
__ 1 - x
, 1 - x
1 - x
, 1 - x
(4) (1 +挝) + (1 + ;OO~) = (1 +丽) + (1 + EEIT)EPE555 +zr2555+EEII d= 1
_
17
9 .10 ，26 ，8 ，一8
提不:x= 一-.，9 一走
1 17 ，则
9 - k= + 1 或9 一走= + 17.
9-k
10. 8;280
由18=12 + 2m
，27=12 +3 n 得m=3 ，n=5
，按此规律可把表填满.
11. 6
一(2007xb 十2008b 2 )
12. A
提示
: 在方程两边同乘以b
，得ab=
___ _
<0.
13. B
2001
14. D 提示
: 工=一一一为整数，又2001 = 1 X 3 X 23 X 29 ，走+ 1 可取+ 1 、土上+23 、+29 、土(3 X
走十1
23) 、+(3 X 29) 、土(23 X 29) 、土2001 共16 个值，其对应的走值也有16 个.
15 . 由A+B+C+D + E=B+C+D+E + F
，得A=F
，同理B = G
，C = 日
，D = I ,E = J ,
则A 十B+旧+E=;浏阳O
'; 2+3+5 + 7+ 11=28< 30 ，2 十3 十5 十7 + 13=30 ，
... A 十B 的值一定是2 ，3 ，5 ，7 ，13 中某两个数的和，
这样的和有10 个不同的值:5 ，7 ，8 ，9 ，10 ，12 ，15
，16 ，18 ，20 .
16 . 提示:设框中左上角数字为工，则框中其他各数可表示为:工十l，x 十2 ,x +3 ,x +7 ,x +8 ,x +
9 ，x 十10 ,x + 14 ,x + 15 ，x 十16 ，x 十17 ，x 十21 ，x 十22 ，x+ 23 ，x 十24 ，由题意得: 工+(x 十1) 十
(x+2) 十(x + 3) + … +x+ 24=1988 或1991 或2000 或2080. 当16 x 十192 = 19 88 或19 9 1 时，
工不为正整数;解得x=113 或118 时，16x 十192 = 2000 或2080 . 又
113---:--7 = 1 6 …余1，即
11 3
是第17 排第1 个数，该框内的最大数为113 + 24= 137; 118---:--7= 16 … 余6 ，即11 8 是第17 排第
6 个数，故方框不可框得各数之和为2080.
.. 223
dE军UH1tIj 1jj~ . -t: ~ ~
rn:l绝对值与一元一识自程
【例题求解】
例1
x= l1
提示:原方程5x 十6=+(6x-5) 或从5x 十6 二三0 ，5x+6 < 0 讨论.
例2
C
提示:用数轴表示，方程中的未知数z 表示到
1 与3 的距离的和等于4 的整数值，分别
是一1，0 ，1，2 ，3.
例4
(l )AM 二
1 8-t 1 ,AN= 1 12-3t 一( - 8) 1 = 1 20 - 3t 1 ，由
1 20 - 3t 1 = 2 18 - t 1 ，得t=4 或
36
t=s'
8 - t
~ . . _ .. .... .. 24 - 3t
(2) P 点表示的数为一一一-，Q 点表示的数为一一--，
2
1-8-t 24-3tl
PQ= ←王一一
2一
1 =
I t 一16
1 ,
MN=
I -t 一(l 2-3t) 1 =2 It-6 1 ,PQ + MN= It-16 1 +2 It-6 1,
当t=6 时，PQ+MN 值最小，最小值为
10.
【学力训练】
1. 2004
提示:工1 = 1002 + 1002 2 ,X 2 = 1002-1002 2 •
2. -3 ,0
3.
0 或
2
提示
: x
，y 异号
，y
，z 同号.
4. C
由条件得|α
11 =0 且Ib 十2
1 =1; 或|α - 11 =1 且
I b 十2
1 =0.
5. B
6. B 若m 的值为整数，则z 须是整数，于是x= - 198 ，-197 ，…，- 1，0 ，1
，2 ，…
，198. 当x=O 时，
m 最大值=100; 当工=土100 时，m 最小值=0. 对于从0 到
100 之间的所有整数，m 都能取得，共有
101 个.
7 . 由条件得α > 0 ，
l x-21 二a+b
，Ix-21 =-a 十b > O ，只有α 十b > O 且
α + b > O 才有四个解，
从而有b >α > 0 ，故原式=4 .
8. 1
9. -2 或一1
10 .α 二三1
当工< 0 时，(α 十1) x=-2 ，得α > -1; 当工> 0 时，(l -a)x=2 ，得α < 1.故要保证原方
程有唯一的负数解，α 的取值范围是α 二三1.
11. B
12. C
提示
: - 2:'(3x :'(4.
.. 224
-E磊主主主~
13. D 提示:利用绝对值的几何意义解.
14. 提示: 由绝对值的几何意义知: 当
3<α <3 时，方程有一解; 当α =+ 3 时，方程有无穷多个
解;当α>3 或α <-3 时，方程无解.
15. (1) x=l
3 .. 7
(2) 存在，z=-
EE-
2 -~ 2
2 .. . . .. 4
(3)
分钟吭一分钟.
23/" VI -/'01 15
16. 提示
: 已知等式可化为
: Ix+21 + Ix-11 + ly+1 1 + ly-5 1 =9 ，由绝对值的几何意义知，当
2::( x :~::;;J 且- l ::(y 三三5 时，上式成立，故当工=-2 ，y=-1 时，x 十y 有最小值为
3 ; 当工=1
，
y=5 时，工+y 的最大值为
6.
[QJ列启程解应用自一-自囚的行程问题
【例题求解】
20
一
例1
20 或τ
提不
: C 可在AB 之间或AB 之外.
270 .. ..
270
6
例2
B
提示:乙第一次追上甲用了
分钟，72 X 一一= 7 X 360+2 二X90 .
7
/ ~ . , , . -
7
例3
(1 )α= 1 或α=7
(2) ①在第一次相遇前，如图①，刚开始不久
，3t + 12=10 + 刀
，t =0.5.
②如图②，第一次相遇前，Q 在P 后面，相距20cm 的追及模型，7t + 12 =3 t 十20 ，t=2.
③如图③，第一次相遇后，也就是在
5 秒后，又过了
t 秒，这时快的点P 在前面，7t 一
3t= 12,t=3 ,5+3= 8.
④如图④，在5 秒后
，又过了
t 秒，可以理解为相距30cm 的追及模型，Q 在后面.
30+3t = 7t + 12 ,4t = 18 , t =4.5,5+4.5 = 9.5.
故t=0 . 5 ，2 ，8 或9 . 5 .
POutttip
图①
困②
I------ - ---~-- - ------n r二
|二
|』
国④
.. 225
dE翠司JilülHi噩噩噩草草.
【学力训练】
1. 4.8
2. 1950
提示:设甲、乙两站相距5 千米，则一二一+2= 一二一，解得5 = 19 50 C 千米) .
80 十70
,
-
80 十50
12
3 . 一
设分针旋转z 周后，时针和分针第一次相遇，则时针旋转了C x - 1)周，得60 x 二720C x - 1).
11
4. (1) 2
设第一次相遇于AB 上一点，甲、乙共走了10 米，以后每次相遇的时间为
40---:- ( 55+30) 二
,8_ (分钟) .两人一共相遇了b 次，除第一次外，共相遇了Cb -1) 次，甲走了立X (b 一l) X
17 '/ ..1
1' 1 / .r ' ..J /
"-
/.....
.
I I-I~.J
......
1/ '- '1/..1 '
....... ' ""
1./ '- /
1
7/ '
. IH~"" ,.....
~
/ './ '-
7
'
/ -
-4 17
8
_ , 8
55 米，乙走了一XC b- 1) X 30 米，则总路程为
X (b-1) X55+ 一X (b-1) X 30+10=
17 "'~
-,.
~-"
-
"
'~'~'~H
'~/ ~17
, -
-,
--
17
55α 十3 0a. 即40(b- 1) =85α 一10. 得α =2.b=5. 故出发后2 分钟时，甲、乙两人第一次在正
方形的顶点处相遇.
(2)(6.13 ) 假设(b - 1) 次相遇于CD 上一点，甲走到A. 乙走到C. 则总路程为主X( b - 1) X
17
55 十，8_ X (b - 1) X 30+30= 55α 十30a. 得α =6. b=13. 故对应的记号为(6.13).
17
5. 提示:设火车的速度为z 米/秒，由题意得: (x- 1) X22=(x-3) X 26. 解得x=14. 从而火车的车身长
为04 - 1) X 22 二286( 米).
6. 800 米
设伊芙的速度是u 米/秒，则艾娜的速度为2v 米/秒，保罗的速度为妇米/秒.再设AB =
1800 - x
x 米，则BC = ( 1800 - x ) 米. 保罗出发后与伊芙相遇，用时一一一一秒，再回到B 也需要同样的
5v
1800-x
x
时间.于是，依题意有一一一一- • 2= 一，解得x=800 . 所以A 到B 的距离为800 米.
5v
v
7. 15
设在某一时刻货车与客车、小轿车的距离均为5 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为α
，
b.c 千米/分，由题意知，从货车在客车和小轿车的正中间，到货车追上客车共需
1 0+5 十t=
(1 5+t)( 分) .于是
10Cα - b) = s.
①
15(α - c) =2 5.
②
(1 5 + t)(b - C) =s .
③
由①②得30C b - C) =s. 代人③得
1 5+ t =30 . 故
t = 15.
8. B
下列解法供参考:
100
96
88
. .. _ ._ b
96
12
设小李、小张、小王的速度是a.b. c
. 则由题意可知一一字一
.由此可得，一=一=一
α
b
c' ,_._, ~U ~
，.~ , c
88
11'
.. 226
-E孟主主主-
4
12
，~ ~
11
11
在最后的4 米时两人的速度不变，路程与速度成正比，即
=一，得S 干= 4 X ←=一
S 王
11
丰
12
3'
11
1
所以小王距离终点还有12 一一=8
米.
3
- 3
9. C
10 设甲、丙两站之间的距离为5 米，则小明在和小强第一次相遇时，走了二十l叫，从相遇到追
上小强，走了二- 1 00 十二十300=s +200 米，正好是三+ 100 的两倍.小强在第一次相遇时，走
2 '
~ ~ ~
,
-
"'._,
" 1 -
1 ....lJ....,.. /".J /""- 2
了÷-100 米，从相遇到被小明追上，走了100 + 300 = 400 米，这应当是二-100 的两倍，由2
2
(÷-1叫=400 ，得s=6阳米)
1 1. 设甲、乙、丙三辆车的速度分别为每分钟x ，y
，z 米，由题意知，4 5z=40y
，12 5z= 1 00x .
消去z ，得y=jLz .设甲车出发后t 分钟追上乙车，则tx 二( t 十20)y 即tx=(t+20)jLL解得
lO .......
. ~ I
----r-LL.l /--^-/W"./J
1/ 1 ~_j___c.._;--J'/'\:J L-""<"'-
'
"
I
l..J v/y '~I" t-..A...
'" I
l..J v/ 10
t = 180.
12. 要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计如下方案:
学校
(叩)师
设学生为甲、乙两人.乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程
乙
后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到
达博物馆.
第
12 题答图
博物馆
甲
乙
x
, _,
. . _
~，_ _
x
飞
如图，设老师带甲乘摩托车行驶了工千米，用了一小时，比乙多行了
X (20 - 5) =二x( 千
20 ' .., , V~ ~
~ "
, 20
米) ，这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了jiz÷(25 + 5)= 三(小时) .乙遇到
4 --
. - - . -,
40
工工
3
_ .
.... .. .. _.
3
老师时，已经步行了( 一+一) X5=-;:;-x C 千米)离博物馆还有33 --;:;-x C 千米)要使师生三人能
20
40 '
8 -- . , . ,. , , ,-" , .,
' N
.~， ~ "
- -
8
同时到达博物馆，甲、乙两人搭乘摩托车的路程应相同，则有工=33-~工，解得x=24 . 即甲先
8
乘摩托车24 千米，用时1. 2 小时，再步行9 千米，用时1. 8 小时，共计3 小时.
因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3 个小时.
四列启程黯应用自一-t安元的技巧
【例题求解】
例
1
(1) 143
提示:设C 、D 的边长为工，则E ，F ，B 的边长分别为工十l，x+2
，与一1，由题意
.. 221
dEi辈革主盛èlIì"E-草草温·
得: (x + 1) 十(x 十2) = x + (2x -1) ，解得x=4 .
(2) 设abcde =x
，则3( 100000 + x) = 1 0工+ 1，解得z 二42857 ，这个六位数为142857 .
3
例2
B
设分别有男女同学x
，y 人，则15y=6Cx + y)
，x= ~y
，则男同学完成每人应植树6(x 十
2
y) --:-- x= 10.
例3
如图，则x+7 十2= 15
，x 十5 十y=15 ，2 + m + y=15 ，解得m=9.
例4
情形
1
当
198 元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198 元，又554=
川
I 7 I 2 I
I
151ml
I
I
I Y I
450+104 ，其中450 元为购物500 元打九折付的钱，104 元为购物打八折付的钱，104--:--0 . 8=
130C 元) .
因此，554 元所购物品的原价为130 +5 00=630( 元) ，于是购买小明花19 8+630 二828C 元) 所
购的全部物品，小亮一次性购买应付500 X 0.9+ (828-500) X 0 . 8 二712 .4(元) .
情形2
当198 元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为
198--:--0 . 9 = 220( 元) .
仿情形
1 的讨论，购
220 + 630 = 850 (元)物品一次性付款应为
500 X 0. 9 + C 850 - 500) X
0 . 8=730C 元) .
【学力训练】
1. 一81
2. -2 提示:设报3 的人心里想的数是x
，报5 的人心里想的数应是8-x
，于是:
报7 的人心里想的数是12 一C8 -x ) =4+ 工，
报9 的人心里想的数是16 一C4 +x ) 二12
工，
报1 的人心里想的数是20 →02 - x) = 8 + 工
，
报3 的人心里想的数是4 一(8 +x ) =-4-x
，
由工= -4
工，得x= - 2 .
2
4
3. 80
设较长铁棒的长度为x cm ，!QU : x = 一(220- x )
，能得x = 120 ，故木桶中水的深度为120 X
3 --
5
2
3=80(cm) .
6500x+5000y
4. C
设该研究所有工名男员工
，y 名女员工，则
=5500 ，解得_y=2ι
x+ y
~~~~ 'NT ，.~ J
5. E
民f 中↓川
6. C
设船在静水中的速度为x
，7]( 流速度为y
，则
6C x+ y) 二8C x-y )
，解得x=7y
，一一，
I J一=
二r
6
67·
7. 记第一年参赛时E 的年龄为x
，另外四人的年龄之和为α ，第二年参赛时F 的年龄为y . 则由已
.. 228
EZ歪歪望..
知得
nxu
n
/
白
一
一
出
5
=?y-x=6 , :.y-( x 十1) =5 ，故F 比E 大5 岁
a+4+ γ
一了一二=30 ，
8. 设神舟五号=A
，飞天=B
，则
3 X (100A + B) = 10000B + A , 23A = 769B
，可推得A=3 076 ，
B=92 ，被乘数为307692.
9. 88887654
依题意，设第一位数字为α ，则此电话号码应该有两种情况(如下表) :
情况(1) ，得到8a + 1 +2 十3+4= 10(α +3 ) 十(a 十4) ，解得α= -8( 舍去).
情况(2) ，得到"一1-2-3-4=10(α-3 ) + (α 一的，解得α=8.
10. C
设共有z 道试题，两人合作解题的正确率为y
，
Lz ×则+LXY
得~
~
X 100 % = 88 % ，得y= 96% ，
x
故佐伊总的解题正确率为
jz ×州十七×则
X 100% =93 %.
工
11.A 设只能供y 万人使用，每年的降水量为工，则
2 0 (1 2 - x ) = 15 (15 - x ) = 30 (y - x ) ，解得
6
2
x =3 ,y =9 ，1 5-9=6 ，即多出
6 万人，这6 万人要用15 万人的
- .
15
5
12. 12 分钟提示:参见例5 .
l OOa 十80b
_
80b+70c
二
13 . 设A
，B ，C 三组的人数分别为a ,b ，c ，则
α + b
=85 ，一
b +c 一= 76 ，得α
:b:
c = 1:3
:
1OO X 1 十80X3 十70 X 2
_ . .
2 ，故所有参加跳绳比赛的学生人均跳绳数为
唱
l
《
l
n
= 80( 个) .
IT2I
一识启程组
【例题求解】
n
ι
ρ
ι
一
一
一
YY
FOAV
2
-5270
+
+
ZZ
G
-
G
3-
5
37b
及
ρ
ι
P
ι
一
一
一
POFO
A
A
A
哇
十
+
GG
叫
乱
U
n
〈
U
r
i
-
-
〈
i
l
l
-
-
飞
日
守
音
心
题
'
由
1li
咽
'
A
mv
.. 229
dEa温昌盛盛草草温·
3
2
3αl 十4b] = 一α ]x + ~b]y
，
5 -，~ , 5
3
2
3α ?+ 4b ?= = a ?x + = b?v
" '
~~"
5
ι
5 ~
"J
从而得
一5
,
~
, _
_ ~
_ ~，_ ^
.... ,..
/= r x = 2 ,
(2) 由条件得.y= 一一一-，(1 +2α)
I 一5 ，1 +2α 二+1，土5 ，只有α=2 符合条件，得才
y
1+2α'ly =-l
r 4x-3y= 归
，
rx=3z ,
例2
D
提示:由斗
得斗
代人得原式=-13.
lx 十2y = 7 z ,
ly = 2z ,
Ix=l ,
例3
(1)将方程分别相加、相减得x+y=3
，x-y=-1 ，解得4
ly=2
一
1 一一
1
一5
①
ρ
q
6
114
②
(2)
由斗一十一= 一，
r
q
3
一
1 十一
1
一3
③
户
r
2
1
1
1
11
①十②+③，得
十+ --=- = --- ，进而得忡
，q
，r)=(2 ，3 ，1) .
户
q
r
6
(3)
由条件得并设工1
工3
工5
… = X] 999 = A
，工2
川- X6 -
… -
x]则=B
，
nHd
n
叫
d
n
可
U
叮
E
i
--
B
nuu
'
n
可
d
AHd
-i
=
+
B
i
吐
+
以
Am
fe--JI
--L
m
川
川
解得A=1000 ，B=-999 ，即x]
幻=工5 - … =X] 999 = 1000 ，白=X 4 =X 6= … =Z 1998 =
999.
Ix ] =4 , IX2=-4 , IX3=4 ,
IX4=-4 ,
例4
(1) ~
~
~
~
ly] =3 ，以2 = 3 ,
ly 3 = - 3, ly 4 = - 3.
去
舍
一
2
一
一
一
-
xy
fi1
J1
ll
L
得
解
叮
〈
U
I=
二
|
|
-a
y
y
l11
0
,"
+
+
ZZ
，
，
I
l
-
-
〈
I
l
l
-
飞
为
bu
441
组
口
王
4
苏
丁
方
原
nu
\
乒
y
z
当
①
9
μ
l-34
-3
一
一
一
一
xvd
或
5-32-3
一
一
一
-
ZVM
得
解
P
刀
分
-n
<U
-
一
一
=
|
--
vd
vd
lli
l--
?U
一
+
zz
flll
<lll
k
或
叫
〈
U
I
=
=
l
ll
y
y
|
l
l
|
叮
L
一
十
xz
f
l
l
l
〈
l
l
1
飞
旧
贝
'
nu
<
vd
z
若
②
5-3
一
Z
工2 - 一言，
卡3 二t ，
I
X 4 - 一言'
从而有4 解，即
2
I
2
y 3 = 一~，
I Y 4 =~
y]=
言，
[ y 2 = 言'
【学力训练】
1. 2
.. 230
-aft望·‘-
2.20
4. C
5. C
n/
U]
\
乒
y
得
nu
\
乒
少
臼
y
少
，
"
一
-
1ti
z
--A
提
内
〈
U
-4
一
一
一
-
Z
y
r
-
-
l
〈
I
l
-
-
、
F
h
U
A
ι
A
-
一
一
-
Z
V
ν
「
|
1
1
〈
1
|
l
l
、
BU
r
o
『
，
fx=-3 ,
(2)
才
提示:就x
，y 的正负性讨论.
ly=9
(3) 将三个方程相乘得[(X+y) (y +z ) (z + X )J2 =8100 , (X + y) (y + z) (z + X) = + 90 ，进一步
得(X ,y ,z) = (1 ,2,4) ,( - 1
，一2
，- 4).
(4) 显然Xl
，X2
' …
，X 10l 芋0 ，故Xl =X 3 = 口= … =X1 0 l
，X2=X 4 =X 6 = … =X1 00
町
，
得Xl
工2 =X 3 二… =X1 0 l
' 而xI 2 = 1
，二Xl=+ l，又Xl • x 2= 1 ,
故X l = X2 = …=XI OO =X10l = 1 或工I=X 2 = … =X1 00 =X1 0l =- 1.
8-7 由条件得α + b + c=O ，进一步得α =c ，b=-2c
1
1
1
1
1
1
1
..._
I 1
1
1 \
.. ~ 1
1
1
9. ~
~ + 万=3'E+ 7=4 '7 +z=5 ，相加得2(z+τ+7)= 1 2 ，从而Z 十五+7=6 .
10-l jz+ |z|=α 十1，当。。时，z=;(α+ 1) ;
2
当X < O 时，X= 一2 Cα + 1) ，则-;:-Ca 十1) = -2 Cα 十1).
3
11. D
2
- 1
-i
n
/
川
】
「
「
υ
5
n
3
b+ 2'm
2
走一1.
12. A
提示
: 由②知Ix- y 1, Iy - z 1, Iz-x
1 中必有一个为零，只有工- y=O ，即X= y
，代人②得
Iz -x 1 = l，z=x + l，将X=y
，z=x+ 1 代人①，得
I x 1 +
1 2x 十1
1 = 2, Ix 1 =0 ，1，2 ，经检验
Ix 1 =1 符合题意
，x=-l
，从而x=y=-l
，z=O ，原式=2.
13. B
14. 设a + 1 十b=l + c 十e=d +e 十2= 走，则α + b +c+ d 十4+2e=3 走，
·.· α 十b +c+ d 十e=3 十4 十5+6+7=25
，
二29+e= 拢，得2 +e=3C k-9).
... 2 十e 可被3 整除，3 ~ e ~ 7
，二e=4 或
7.
.. 231
dlc~m f1tfJi固
日
寺
解
巧
/
一
一
η
A
哇
+
m
EU
得
FR
去
出
问
数
整
为
n
m
m
η
A
哇
A
哇
一
一
一
F
η
、
n
x
u
42
十
一
「
气
υ
z
h
凡
qdp
ku
，
I
l
-
-
，
〈i
l
l
-
、
设
ι
κ
-
0
0
-
A
件
&
-
q
/
μ
一
十
-
4
二
钊
「
。
一
ι
凡
一
q
u
-
E
J
一
一
一
一
xvd
旦
寸
件
条
由
'
『
u
·
··A
|士γ
(l为整数) .
2
20
从而得走=22+41 l
，由
1 910< 22 + 41l < 20 1 0 ，得46
--:=:- < l < 48 一.
41 -- - -- 41
故共有2 个走值使原方程组有整数解.
固
-ikHE 组的血用
【例题求解】
(α + b + c = 30 ，
①
例
1
10
由题意得4
110a + 15b + 20c = 500 ，
②
(( X 15 ，得5(c-a)= 5 0 ，c - a = 10 .
例2
B 提示:由条件得y=3zd=?z
例3
(1) 三
(2) 商品A
，B 的标价分别为90 元、120 元.
(3) 设A
，B 两种商品均打α 折出售，由(9 X 90 + 8 X 120) X 主=1062 得α=6.
10
例4
只需求出
2 ，1 的个数即可.因不论有几个ι 取0 ，都不影响x r + x f + … +抖的值，故不妨设
rp-2q=- 17 ,
r ρ=1
，
有ρ 个x ; 取l，q 个x; 取- 2 ，则斗
解得十
故原式=1 X 1 3 十9 X ( - 2) 3 =
出+ 4q = 37 ，
lq = 9.
一7 l.
【学力训练】
1. 1
如图，设出相应字母，则z 十α + b =x 十c + d = α + c - 2010 = b 十2012 + d
，于是2x+ α +b+
c + d = α + b 十C 十d +2012-2010 ,x = l.
x
。
b
C
20 12
-2010
第
1 题答图
.. 232
-E孟主孟罩-
( 1 5x 十1 0v 十10z = 2900 ,
2. 4380
提示: 设甲盆景有工盆，乙盆景有y 盆，丙盆景有z 盆，则斗
即
1 25x 十25z=3750 ，
{:牛280
共用黄花24x 十12y+ 18z = 18Cx 十z)+6Cx + 2y) = 18X 1 50十6 X 280=4380C 朵).
x+z =150 ,
3. A
如图，设矩形②，③，④的周长分别为41η ，2α ，岛，则AB + BE = AB + BC = AC = α
，BG 十
BC = BG + BE = EG = b , :. 大矩形的面积为(α + m)Cb + m)
，故至少知道3 个小矩形的周长即
可求出大矩形的面积.
。
m
σ
④
b
A
B
C
/、可
εν飞
①
D
E
F
m
②
下
L
尸
上
+
仰
丰
川
一
。
第3 题答图
4. A
5. 设第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品为工个，每个车间原有成品m 个，甲组检验员α
人，乙组检验员b 人，每个检验员的检验速度为c 个/天，则第五、六车间每天生产的产品数量分
6Cx 十x 十x ) 十3m = 6αC
，
①
别是鸟和L 由题意，得J 2(x +七) + 2m = 2bc ,
②
4 --
,. 3
③
C
'O
A
吐
一
m
+
工
8
-3
×
A
哇
+
门
/
川
】
9
解得2α c = 9工
，2bc = ~ x ，:. α
:
b = 18
:
1 9 .
2
6.
设
0
的个数为
工，
1
的个数为
y ，
则
一
1
的个数为
(y
-
69)
，
由
(h + (yω) = 2014
…
得斗
即α l
' a 2 , … ,a 20 1 4 中0 的个数
工C0 + 1 ) 2 + y C 1 + 1 ) 2 + C y - 69) C - 1 + 1 ) 2 = 4001 ,
ly = 959 ,
为
1 6 5 .
7. 40
设正方形B 的边长为α ，长方形A 的长和宽分别为x
，y ，则α + x - y = 28 ，α + y - x = 1 6 ，
f导α = 22 ，x= 1 0 ，y = 4 .
8. 6
由3 Ixl + 2y = 0 得y ::( O ，代人另一等式得31x
1 - 4x 一1 4 = 0 ，分工二三O ，x < O 两种情况讨论.
(s= 2v ,
9. 3 6
提示: 设A
，B 两地相距5 千米，甲、乙两人速度和为v ，则才
解得s = 36 .
12s = C v 十2 ) X 3.6.
10. C
由Iy 十2| 《21得
I y 十21 = 0 ，1，2 ，再进一步讨论.
2
.. 233
dEi辈辈革应血革墨E孟孟.
11. B
原等式可变形为2(α +2b) +3(3b +c) =90 ，3(α +2b) 十(3b +c) = 72 ，得α +2b=18 ，3b+
c= 18.
12. C
13. 提示:设调整后一等奖、二等奖、三等奖平均分数各为x
，y
，z 分，
r5 (x +3) + 15(y +2) +40(z 十1) =10x 十20y+30z
，
由题意得斗
ly + 2 = (z + 1 ) + 7 ,
问十y=2z+ 17 ，
化简得斗
于是x-y=5.
ly=z+6 ,
14. 由题意知32=α + b
，36= α+c , 48=c +e ，51=d 十e .
由上述式子不难得到c-b=4
，d-c=3 ，d-b=7 ，故a 十d=C α 十b) 十Cd-b)=39.
因此，37 一定是b+c
，于是，2α=(α + b) 十(α +c) 一(b+c)=3 1，所以，α= 15.5 ,b = 16.5 ,c =
20.5 ,e =27.5 ,d =23.5.
经检验，上述取值满足条件，故e 只有一种可能取值27.5.
[j]假制的天平一一由阳等到不等
【例题求解】
1 _ 1
1
例
1
(1 )(3)(4)
对于(3) ，由4
一::( : x-1<4 +
得9::(x< 1l ;对于(5) ，设工=0 .3 ，y=0 .4，则
2
~
2
--
---.2
Cx + y) =1 , Cx) +Cy) =0 ，故错误.
m
η
m
..
n
例2
B
由已知得
:Ç x :Ç_::'- ，O < 一::(1
，m= 1，2
…
7 j毛7 个，3< .; ::(4 ，η =19 ，20 ，…，24 共6
7 --::::::::.....t... -...:::::::: 6 , V
--......... 7 -,:::::::::..L, IH
.J._, l...J,
"
/" I
I , v
-...... 6
个.故整数对(m
，n) 共有6X7=42 对.
3
例3
(1)由原不等式得C2m-3)x<n - 3 ，当2m - 3 > 0 ，即m>
时，其解集为x <~
~;当
2..' . /, .." / ，- / ~ --
-2m-3
3 . ... _...
n -3
__
3
2m-3<0 ，即m < 一时，其解集为工>~
~;当2m=3 ，即m=
且η>3 时，解集为所
2'-'~ l /....."J..........,'-.-/-./ '-"-/" 2m-3' -I _..-
.....7...-. ,. ..-
2
有数;若m=?且反3 ，不等式元解
八
U
Z
A
U
。
中
<
/
逛
。
，"
E
一
二
工
2
r
i
l
l
-
J
飞
I
l
l
-
-
\
而
nxu
\
乒
Z
得
nu
z
n
v
9
μ
\
乒
/
飞
门
/
u
n
/
川
】
一
-
T
A
T
-
品
fill
<lllL
由
门
/
L
】
解集为空集，故原不等式的解集为工二三8.
(3) 当工>2 时，由x-1 十x-2ζ 3 得2<x ::( 3; 当
1::(x::(2 时，由工一1+2-x::(3 得1ζ
工::(2 ;当工< 1 时，由1 - x + 2- x::(3得O ::(x < 1.故原不等式的解集为o::( x ::( 3 ，所有
.
234
整数解的和为
6.
[3α 十2b=5-c
，
[a =7c -3 ,
例4
提示:由已知条件得十
解得J
l 2α + b=l 十3c
，
Ib=7-11c ,
[a 二三0 ，
[ 7c -3 二三0
，
1 . _
,_
1 _
.
,_ 3 _
_ 7
则m=3c →2 ，由作二三0 ，
得
Ü-11c 二三0 ，解得一~c~一
I-~
'"
l '
---~
-" " "'~7
"'_-"'_ 11'
lc?:O ,
lc 二三0 ，
故m 的最大值为一土，最小值为
主
11
【学力训练】
23
1. -6- ~m ~ 6
rm
•
6<0 ,
当m=6 时，符合题意;当m 芋6
，则Üm + 1
卜一~~-4 .
| ηz 一一。
2. 5 提示
: 工~-1，原式=4-x 二三5.
3. 2
4. C
5. D
6. B
2ab-2b
._
2ab-2b
7. (1)当α > b 时，x > 一一一一; 当α < b 时
，x <一一一一
α - b
，~.. --
.."
.-
-
a - b
(2) - 1 ~x~ 2
-望..
(3) ax-1 <0 ，即ax< l ，当α >0 ，解为工<1; 当α <0 时，解为工> i; 当α =0 时，解为一切数.
αα
8. (1)仨反1
(2) ( x= l
②α =b=c
③x 十y=-4
9 .7 <工运19
前四次操作的结果分别为
3x - 2 , 3 (3工- 2) - 2 = 9x - 8 , 27 x -
26 , 81x - 80 ,
[27 x -
26 ~4 87 ,
则斗
181x -80>487.
1
b
1
10. 6
由一<-<一得3b <α <份
，b 的最大值为
4. 当b = 4 时，α = 13 ，14 ，1 5
; 当b =3 时，α = 10 ，
4α3
11; 当b =2 时，α = 7.
11.
3 <α < 4
或4<α ~ 5
或α=6
α + 2
由条件得
-2-<x< a 十1，由题意知存在整数走满足:
.. 235
d
革辈革撞通草草.
r2走一2~α < 2走，
=主> ..;
l走十1 <α 《走十2.
l ι
k ~ -- 2 - < k 十1，
k + 2<α + 1~走+ 3 ，
得
1 <走~ 4 ，从而走=2 ，3 ，4 .
(走十1< 2走
2走
2~走十2 ，
当走= 2 时，得3<α < 4; 当走=3 时，得4<α ~ 5; 当走=4 时，得α = 6 .
EHx>;
故3 <a < 4 或4<a :S二5 或α=6.
工
A
也
1-f
k
>lf
zz
「
|
|
|
|
J
气
-
-
-
-
L
得
Z
A
也
<
+
工
由
12. B
2
5
3._. .m
n
3 _ 5
15
由一<一<- ，得到
< --=-< --:::- ，即--:::-m < n <一.因此，η ~ 7.
η
m ' ,.. ~. 3 - 5 - 2 , -, 3
13. B
3
21
3
18
η =7=>m < 一η= 一，m= 1，2 ，3 ，4; η =6斗m < -=-11 = 一.m=1.2.3
5 '
5 "
- , - ,-, - ,.
. . - 5'
5
3
12
n=5 二>m <-=-n =3 ,m =1 ,2;11 =4丰m < --=-11 = 一.m= 1. 2
罗
5'
5
3
9
3
6
η=3斗m <一η= 一，m=1;n=2二>m <一η= 一，m=l
5 -
5 ' ---
-,. -
-
--- -5 "
5 '
因此满足不等式的(m ，n) 一共有4 + 3 + 2 十2+1 十l 二13( 对) .
两不等式解集分别为x < -3 或工> l;-a ~x ~a
，要使两个不等式的解集没有公共部分，
14. A
则-a 二三
3 且α ~ 1，又α 二三O .
r2走+ 1 二三。
几x-1
2 •
y
z - 3
~.，
_., _
_.
, _
.
,
_
，~~ ~ ，~ I
15. (1) 19:一一一二一一一=一一=走，则x =2走+l，y= 一3走+ 2 ，z=4走+ 3 ，由题意得~ -3走十2 二三0 ，
2
3
4
.- '/'. ~
---, ~'J
~" , -,-
..，
'
~， .........^'-=,"-', ，.~ I
l 4走十3注。
1 .
. 2
解得
--=--<走《一，于是w = 3(2走+ 1) - 4( 3走一2 ) 十5 (4走+3 ) = 1 4走+ 26 ，
2 ~ "- ~ 3
所以一÷ × l旧
2
3
故W 的最小值为19 ，最大值为白
1
1
1" 1
, 1
, 1
3 __ 3
(2) 由α <b < c ，得一>一>一，故一十一+ 一<一，即一> 1，α < 3 ，又α > 1，得α = 2 ，
α
b -
c ' ~/~ a
b
c
a ' -, a
1
, 1
1
1
1 _ .2
1
从而有
+一= 一，又一<~ ，则
> 一，即b < 4 ，又b >α = 2 ，得b = 3 ，
b
c
2' / - C
- b ' /'. b / 2
从而c=6 ，故α =2 ，b = 3 ，c =6 为所求.
.. 236
-E磊主主主-
工3 - 工1+ 二勺,
工4 -工2 十工3 =XJ +2工2 ,
16. 先用工l 和工2 表示川
，队，…
，X 7
，得付5 = X 3 + X 4 = 2x J + 3工2 ,
工6 二工4 十工5 =3Xl + 5工2 ,
工7
工5+ 二r 6= 5 x l+8工2 ,
因此工I + X 2+ X 3+ 工4 + X 5 + X 6 + X 7 = 13x 1 十20X 2 = 2010 ,
二
2 0 10 - 13 x I
1 1
13
、
于是得口=
ι= 100 +
(
一
)
20
飞
2
20-- , /
1
13
因为u 是自然数，所以一
:::-:::-XJ 是整数，所以X J 是10 的奇数倍.
2
20
又因为工J<口，故有三组解: 工l 二1 0 ，工2= 94 或工l 二30 ，x 2= 8 1 或工1 =50 ,X 2= 68 ,
因此Xl 十川的最大值=50 十68=118 ，
所以XI+X 2+ 川的最大值=2(xJ 十工2 )的最大值= 236.
[]]l不等茸(组)的阻用
【例题求解】
23-3 户
X= 一--一>0
，
191j 1
5
，7
由
{,
._ 23
23
得一< 户<-::- .:.整数ρ =5
，6 或7 ，经讨论知ρ 二5 或7 时，工
，y 为
5
- r
- 3
5 ρ - 23
y-
2一> 0
正整数.
b
. 1 .. b _ 1
例2
C
提示
: 由条件得α >O ，b < O 吱α <O ，b < O 从而一《
或
二三一，一~2 .
.α
2α2
' b
例3
8
Z 二16 -2Y-3 z
，
③
16 -2勾y;z计
+3句y+4位z=附y+ ~ z乓《
4
3 -
~ _
." '.
J
3
8
工十y+z= 16 - 2y 一-::-z 十y 十z= 16 -y-3 z
，
⑤
3
5 _
4
5
_~
1
将④代人⑤，得x +y+z= 16 - y --;;-z 二三16 十EZ
4-jf= 12 EZ·
3
上式表示z 取值越大，(X+y 十z) 取值越小.
从④可知，当y =O 时
，z 取最大值3 ，所以工十y 十z 二三11 ，从③，y =0 ，z =3 ，x=8 ，得X+y 十
z = 11.
.. 231
dE军军
fXfJi ñjl.
;;)1，\4
【学力训练】
1. ①③ 当工为小数时，[x J 十[ - xJ=- l，故②错误;当-l < x < O 时，原式=1 ，当x =O 时，原
式=2 ，当O<x< l 时，原式= 1 ，故④错误.
21 _ _14
._ _
0
21+5s_ _ , _ ,
14-35
2. -
-~- ~ 5 ζ一
提不
，a 2 = 一一一二三0 ，Ibl =一一一二三O.
5
二
3
""，-，~..-
19
..--- , ,-,
19
3. 1230
设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ,b ，c
，则
|肌+ 210b 十阶二2510
r
42b -43
| α= 一一一一一二三O.
得r
25
..---'
( 5 0a + 120b 十20c) 一(50a 十30b + 10c) =420 ,
lc =42-9b 二三0 ，
43 _
_14
•
ζb ζ -=:::- ，b=2 ，3
，4 经讨论知b 二4 ，α =5 ，c=6.
4 2
___'~___'
3
'~
-，~
，~.~
第二时段返现金额为150a 十60b + 40c = 1230.
4. 由
2x+ 1 ζ 95 ，得x ~ 47; 由2(2x 十1) + 1 ζ 95 得x~ 23; 由2(4x+3) 十1 > 95 ，得x > l l，故11
<x~ 23.
5. (1) a l/ = 21 十n
，[b n J=5 η 十155.
(2) [ b I/ J=5α 1/十50 ，n =21 ,[ b21J=260.
由
260 - 2 ~ b 21 ~ 260+ 2 ，得258~ b 21 ~ 262 .
(3) [ b l/ J 能被5 整除，270- 2~ 271 ~ 270 十2 ，[b I/ J =270 ，a ll =44.
6. - 2<一<一÷
b=-G-c ，-G-c < α ，2α >- c ，一> -2 ，又把b=
α-c 代人b > c ，得
C
α
乙
α
- a -c> c ，三<- L 故- 2<三< -4
a
[,
a
[,
7.1118
b = 6α+1 ,c =20a + 3 ，由α(6α + 1) (20a +3) < 10000 ，得
12旷< 1000 ，α < 5 ，α =2 ，b=
13 ,c= 43.
5
4
2
8. 3
由条件得7Y >X > --;;Y '7Y >X-Y > --;;Y
，从而12y > 15( x -y) > 10y ，若x -y 二1，2 ，则y 不
3 ./ ' 5 ./ - __ ./ -
3
可能是正整数，故x -y ~ 3 ，当x=7 ，y=4 时，x -y=3 满足要求.
9.4
设购买A ，B 两种商品分别为x
，y 件，则50x +60y = 1220 ,y = 122-5(x 十y)
，设工+y 二走，
由工> O ，y > O得20 一<走< 24 一，整数走的值为2 1，22 ，23 ，24.
口走山
1
2
y 二122 一时，
3
5
n(n 十1)
_ n(n + 1)
10. B
提示:由
1 + 2 十3 + … + n= 一一一一一，又一一一一一~ 50 ，得η ~ 9 .
2
1
1
1
r3z 十4y=10x
，
11. A
提示:如=日'fJIZd= 日，则x > O ，y > O ，z > O' l
得牛12y
，
l5x + 3z=8y ,
.. 238
-~二量通~~….
:. x< y
，又由5x+3z=8y 得5Cx-y) =3 Cy - z)
，得y < z
，从而x < y < z
，即α < b < c.
12. B
由α +b+c~M
，b+c+d:::;二M ，c+d+e ~M ，得M二三1(α +b + c + c + d 十e)=: +: c 二三
1
1
2 , --
,
~
,
-
,
-
,
--
, -,
2 ' 2 - ;.---
j ，令α=d=fb ，b=c=e=0 ，等号成立
13 . 当走>1 时，(走-1)走(走+1)=走(走2 _ 1) < 走3
，
二
一二一一---
，
e
飞(走一1)走(走+1)
2
I c 走一1) 走
走(走+ 1) I
l <A<l 十一土一+一土一+ … +
1
1X 2X 3 ' 2X 3 X 4 '
' 2014 X 2015 X 2016
=1+j(Itz - zt3)+?(击击)+十七2014;2川川Lω
1 I
1
1
、
只
=1+ 一( 一一一- ~ _ _ _ ,-
~ _ _ _ 1 < _::___
2
飞1 X 2
2015 X 2016 1
、4
15
即:. 3 < 3A <τ ，故[3A]=3.
14. .: 226=44+44+45+46 十47 ~ 4(xl +口+X 3 + X 4 + X S ) ζ 44 + 45+46+47 十47 = 229 ，
:. Xl 十X 2 +X 3 + X 4 + X s =57 ，
进一步可得这五个正整数分别为10 ，1 1，1 1，12 ，13 .
圆
整茸的乘法与HWt法
【例题求解】
例1
(1) 365
提示: 令x=l ，由已知等式得α12 十α11+ … +α2+α 1 +α 。=1
，
①
令x = -l
，由己知等式得α 12 -a11 + …十α 2- a l + α 。=729 .
②
①+②得2(aI2+ α1 0 十… +α 2 +α 。) = 730 ，即α 12 +α1 0 十… +α 2 +a O 二365.
(2) - 58
提示:令x=-3 ，得32=α 。-al+ α 2 -a 3 十a 4 -a S +a 6 -a 7 十句，令x=-2 ，得
-27=α 。，比较两边z 的最高次项系数可得向二1，原式二一27+1-32=-58 .
例2
B
提示
: 25 XY = 2000 Y
①
，80 XY 二2000 X
②，①× ②得(25 X 80)"Y = 2000 ' 勺，得xy 二
工+y.
例3
2004
例4
提示:设α 5 =b4 =m 20 ,C3 =d 2 = η 6 (m
，η 为自然数) ，则α =m 4 ,b=m S ，c= η 2
，d = 川，
由已知得m 4
η 2 =17 ，即(m 2 十n)Cm 2 -n)=17 ，因17 是质数，m 2 十n
，m 2 一η 是自然数，且
m 2 +n > m 2
η
，
.. 239
d.~ 噩噩噩噩噩
rm 2 十η =17
故斗
解得m=3 ，η 二8 ，所以d -b =71 3 -m 5 =83 - 35 =269.
1 m 2 一η = 1 ，
【学力训练】
1. 4
提示: 设至少取丙类纸片
71 张，新的正方形边长为α ，则2 2 十1 2 X4+ 2n=α2
2. 3α 2 一句一4
3. - 2020
由条件得x 2= 2x + 1
，原式= 2x (2x 十1 ) - 7(2x + 1)十4x-2 0 17 =4(2x 十1) - 8x 一
2024 = - 2020.
4. C
5. D
提示: α = (2 5 ) 门
，b = (3 4 )11 ,c=( 53 ) 11 ，d = (6 2 ) 11
，只需比较2 5
，3 4
，5 3
，6 2 的大小.
6. C
设5 =250 + 251 + 252 + … + 2 99 +2 100 ，则25 =251 + 252 + … + 2 100 十2 1 0 l ，两式相减得25-5=
2
1 0 1 一2 50 = 2 X 250 X 250 - 250 = 2a 2 - a .
7. a=4 ,b=4 ,c=1
提示: 参见例5 .
8. (1) (
275 ; 572
(
63;36
(2) 一般规律的式子为(1 0a+的[100b + 1 0(α +b) + α ] = [100a + 10(α + b) 十b](1 0b + α )
证明
·.· 左边= (10a 十b) (1 10b + 11a) = 11 (10a +b) (10b + a) ,
9. (1) 主
49
(2) >
右边= (110a + 11b) (10b + α) = 11 (1 0a 十b) (1 0b 十α) ,
. 左边=右边.
原式= ( ~ )
1附× ;:::: 1 :::::: ~ = ( ~ ) 1998 X ( ~ )飞
( - 2 ) 234 = ( 27 ) 33 X 8> 12533 X 5 二5 1 00
10. 3
由条件得扩< 7 2 •
11. 1
12. D
22x = 9)' > 8)' = 23)' , 22:< = 520 < 320 = 250.
(η 二三o
í71 < O
13. E
原式=53 • 25 0 2" 0 5- " =53- " 0 2川，要使原式的值为整数，则斗
或4
得η=0 ，1，
[ 3-71 二三o
l 5 +η 二三0 ，
2 ，3; 一1，-2 ，- 3 ，-4 ，一5 .
14. B
提示: 在图①中，a 2 + b 2 + 5 1 - b( α + b - AD) = AD 0 AB
，在图②中，旷+ b 2 十5 2 - b Ca 十
b-AB) 二AD 0 AB . 等量代换并化简得5 2 -5 1 二bCAD-A B ) = 2b .
15. 下列解法供参考:
.: 3a = 2019 = 3 X 673 ,
:. 3,,-1 = 673.
.: 673 h =2019=3 X 673 ,
.
240
①
-E莲J暑幸去噩-
:. 673 b - 1 =
3.
②
将①代人②(也可以将②代人①) ，得(3 a - 1 )"-1 =3 ，即
3 (a 一1) (b- 1) =3.
α +b .
~.. 2019 , 2019
2019(α + b)
二(a- 1) (b- 1)=1. 于是一一一= 1 ，因此
十--一-
. =2019.
ab
- , ~
~~ a
b
ab
16 . 令2 50 二工，则2 2 0 2 + 202 = 4x 4 + 202 , 2101 + 251 + 1 = 2X 2 + 2x 十1，由多项式的带余除法，可得
4x 4 + 202= (2x 2 十2 x 十1) • (2x 2 -2x 十1) + 20 1，故余数为20 1.
回乘法公茸
【例题求解】
例
1
(1) 2006
提示:奇数或被4 整除的偶数都能表示成两个整数的平方差.
(2) 4002
提示
: (2000-a) 2+ (1 998 - a) 2 二[( 2000 - a ) - (1998 - a) J + 2 (2000 - a) •
(1 998-a) .
例2
(1)B
提示
: 三等式相加得(α
3) 2 + (b 十1) 2+ (C- 1) 2 二0 ，α =3 ，b 二
l, c = 1.
(2) B
提示
: 由旷+ b 3 +c 3 一切bc = (a 十b +c )(a 2 十b 2 +c 2 -ab - bc -ac) =0 知0= 旷十
b 3 +c 3 =3abc
，α bc 中只有一个为
0 ，另两个互为相反数.设α =O ，b=-c
，n 为正奇数时，
a " 十b" +c"=O .
例3
原方程化为工2 =y 2 +2y+ 1 + 12
，即t 一(y+ 1) 2= 12
，
:. (x + y + 1), (x - y - 1) = 12 = 2 X 6 =6 X 2= ( - 2) X ( - 6) = ( -6 ) X ( -2) ,
则( x + y + 1) (x -
y -
1)可分别取值(2 ，6)
，(6 , 2) , ( -2 , -6 ) , ( -6 , - 2) . 解
A
啡
&
叮
气
υ
一
一
一
一
一
一
zvd
f
l
l
l
〈
l
l
|
飞
A
吐
一
一
一
zy
f
i
l
l
-
-
4
、
l
'
i
l
1
、
A
吐
1
i
一
一
一
一
Zy
r
i
-
-
J
飞
l
l
|
、
叮
气
U
Ah
-
-
一
一
一
zy
f
l
l
l
〈
l
l
l
飞
日
守
卫
咽，
【学力训练】
1. α <c< b
提示: C = 10532 -7472 = (1 053 + 747) (1 053 - 747) = 1800 X 306 = 600 X 918.
(3)?
(2) 3897326
2. (1) 4
3. 4
(α _ 1) 2 +( ~ +1) 2= 0
4. D
(2η + 1) 2 -(2n- 1) 2 = 队，"幸福数"能被8 整除.
5. D
(α + b) " 的展开式中第三项系数为
1 + 2+3 十… 十(η
2)+(η- 1).
6. B
提示: (m -n) 2 + (m +2) 2 =0.
7 . 提示:设这个自然数为工，
m
z
n
一
一
一
一
「
「
U
A
斗
A
A
吐
A
哇
一
十
XTA
Il--
L
日
Z
U
意
题
巾
固
①
②
②①得对- m 2 =89
，即(n + m) (η-m) =89X l，
.. 241
dEi垂直温盛
数
然
白
间
为
都
n
m
A
吐
Fklv
l
t
A
哇
z=
η
m
rlll
<lll
L
日
守
解
n
叫
U
，
nxu-
EA
-
-
一
mm
+
-
nn
f
|
|
J
飞
-
-
L
而
从
故X = 452 - 44 = 1981.
8. (1)对于自然数n
，有n(n 十1) ( n +2)( η+3)+ 1 =(η 2+ 3η 十1) 2 ，证明略.
(2) 由(1)得原式= (20002 +3 X 2000+ 1) 2 二400600 1 2 .
9. 34
提示:原式= (αX+ by) 2+ (ay - bx) 2 .
10. 9
整体相加.
11. 3
提示: 由(2 " +3 Y ) (2-" - 3Y ) = 5 X 11 = 55 ，得2 .r 十3 Y = 11 , 2-" - 3Y = 5.
12. B 提示:由α 2 + b2 + C2 = ab + bc + cα 得上[ (a - b) 2 + (b - C) 2 + (c - a )2J = 0 ，从而α = b = c .
2
13. C
提示:智慧数从小到大每三个数分为一组，从第2 组开始每组的第一个数都是4 的倍数，
2006 =3 X 668 +2 ，则第2006 个智慧数是第669 组中的第2 个数，即4 X 669 十1 = 2677.
14. B
提示: 工- y 二(α + 2) 2+ Cb - 4) 2 二三O .
15. 因为α=10 9 +38 3 - 2 二(1 0 9 -1) + (383 -1) = 999999999+37 X (382 +38+ 1) ,
而99999 9999= 9 X 111111111 = 9 X 3 X 37037037= 27 X 37 X 1001001 = 37 X (27 X 1001001) ,
所以371999999999 ，且37
1 37 X (382 +38+ 1)，因此37
1 a .
16. (1) 一般地，设m 二a 2 + b2 ，η = c 2 + d 2
，则
mn =( α 2 +b2) (C2 + d 2) =a 2C2 +b2d 2 +b2c2 +a 2d 2
= α 2 C 2 + b 2 d 2 十2αbcd 十b 2 c 2 - 2abcd + α 2 d 2
= (αC + bd) 2 + (bc - ad) 2.
(2) 设m= α 2+ b 2
，n 二c 2 十d 2
，则2m+3η=2α 2 +2b2 +3c 2 +3d2 = 12.
因为(2m+3n) 2= (2m 一切) 2 + 24mn 二三24mn ，
即12 2 二三24mn ，所以mn~ 6
(
,
又因为mn=( α 2 +b 2 )(C 2 十d 2 ) =a 2c2 +b2d 2 +a 2d 2 +b2c2 = (αc 十bd) 2 + (αd -
bC) 2 二三
(ad - bc) 2= 6 (,
由①，②可得mn = 6, ep cα 2 十b 2 )(c 2 + d 2 ) = 6.
J百
2 !3 ~
注:符合条件的实数α
，b ,c ，d 存在且不唯一，α =疗，b = l ，c=~ ，d = 一一一就是-组.
3
17. 不能.假设2019 能表示为两个整数的立方和，即有2019 =a 3 十b 3 ，其中a
，b 为整数. 而
(α + b) 3= α 3 十b 3 + 挝、十3αb 2 = 20 1 9 + 3αb( α 十b)
( 铃
)
.: 312019 ，由( 骨)式得3
1 (α 十b) .
注意到，由( 关)式还可得
.. 242
-E磊主主
2019 二(α +b) 3 _ 3α b( α + b)=( α + b)[( α 十b) 2 - 3abJ ,
上式等号右侧被9 整除，而等号左侧不被9 整除，矛盾!
:.2019 不能表示为两个整数的立方和.
[j]J实姐的阳军段性质
【例题求解】
21
_
_ 14
一
例1
一一~s~
提示:由条件得
19 ra = 21 + 5s , 19 1 b 1 = 14 - 3s , ra 二三0 ，1 b 1 二三0 ，则
3
i川;:?:O ,
fWH~ _ 2r1 ~s ~
1n4
解得一一~s~ 一←
14-3s 二三0 ，
'''' '"
5
二
3
门
/
』
+
一
一
G
而
进
一
FO
J
飞
，
。
/
达
得
nu
均
\
乒
\//
'hu
--0
,"
一
一
'
0
9
μ
rl
l|JIl-
-\
由
一
一小
提
RU
?"
尔
V
侣。3
已知等式整理得(←7b
寸)十( ~ a 占b-1 去)汀=0
1
1
1
1
1
9
因为a
，b 是有理数，所以
α +~b-2 一=0 且--=-a 一--:-::b-1 一=0 ，
解得
3 --
, 4 -
- 4
- ~ 2 -
12-
-
20
川
'
3
α=3E'
l
b=4 于
fm-199+n 二三0 ，
例4
由斗
得199~m 十η~199
，
1199-m - n;:?:0 ,
λ m + η=199 ，①
:. J3 m+5n-2-p 十J2m+3η 一户=0.
r3m+5n-2 一户=0 ，
又由非负数性质，得4
l2m+3η 一户=0
，
②
③
解由①②③联立的方程组得ρ=20 1.
【学力训练】
1.一2
提示:由条件得汀丰言+J (l -y)了=0 .
2. 2032
当工< 4 时
，y=9-2工;当工二三4 时，y= l，y 值的总和为7+5+3 十1+ … + 1=15+
2017=2032.
3. - 1
a 二泣，5 一切<0 ，
l b+3 1+ ，) (α
2)b2 =0 ，得a=2 ，b=-3.
4. C
5. A
提示:由(x 一π) 二三0 且(π
x) 二三0 ，得x= π.
.. 2咽
dE革诅撞撞国E草草'
6. B
提示: 由工一1 二三0 ，x -2 二三O ，x 十2二三0 得z 二三2 ，当x=2 时，原式取最小值.
(x =O ,
(m + η-4 = 0 ，
7. 3
由~
1导4
ly=O
l3m -2n + 3=0.
王+主- 4 = 0 ，
1
1
\
11
1
\
_.1 2 ' 3
-
-,
将方程变形为(γ 十言y - 4) 十π(γ +? 一1 ) = 0 ，则l_
^'
得x-y 二1 8
8. 18
9. 1
提示: α =2 ，b=j5-2
10. C
11. B
2α 十b =2(2b - 312) + b = 弘一612 .
二十二一1 =0 ，
3 ' 2
-
- ,
12. 729
b 注9 ，va 2 一句+ b =0 ，当b>9 时，α 2 - 6α + b =( α -3 ) 2+ b -9> 0 ，矛盾，故b= 9 ，α= 3 .
13. ': n 2 <η(η + 1)< (η 十1) 2 ，
:. n<fn百丰T了<n + l，得[Fn百丰T了] = n .
1 + 2 + … 十2003
故原式=
(1 十2 003) X 2003.
1
------ X
二2003 .
1002
[ill平面直伺坐际系
【例题求解】
侣。
1
(1) 1
例2
A
(2) 6 或-4
例3
所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上，且数(2η + 1) 2 对应点的坐标为(η ，
η) ，于
是数2025= 45 2 对应点的坐标为(2 2 ，-2 2) ，而2004 = 2025 -
2 1，故2 0 04 对应点的坐标为
(1, - 22) .
例4
( 1)A( - 12 ,15) ,B(6 ,3)
(2) 先求出5 6AOB =63 ，进一步得点C 坐标为(0 ，7) .
AB
只A … A
(3) 由5 60DA : 5 6 0DB = 5 : 1得
5 ^OBA
: 5 ^ oDB = 4: 1 ，故
一二丘之一
一
，ù 6 0BA • ù 6 0 DB -
"t . .l , P)(. BD -
5 6 0DB
【学力训练】
1. 2
.. 244
-~歪歪·‘l
2. 45
以最外边的正方形边上的点为准，点的总个数等于该正方形右下角(即x 轴上)的点的横坐
标的平方.
3. 4
π2 0 1 5
1
4. B
设点P 走了η 个半圆，则有
X 2015 = 川，η = 一一= 1007 十一走了
1007 个半圆时，点P
2
- - - -
.. ." ..
2
- - - .
2 .
的横坐标为川X 2= 川，再走÷个半圆，正好在下半圆弧的中点，即横坐标为阳，纵坐标
为1.
f 2x 十2γ=2 ，
5. C
连接AE
，设S 6AOE =x ，S 6 EC汇二y
，则S 6 HOE =x ,S 6 AEO = 2y , S 6 BEC = 3y
，得十
v
l2x + 6y=3.
6. B
提示:设正方形边长为n ，当η 为奇数时，整点个数为对;当η 为偶数时，整点个数为(n- 1) 2 .
7. (1) 0 ,1; 1,0;6 ,0
(2) A
411 (2n ,0)
(3) 向上
8. 9;16;( - 1,3)
31
9. (言，0)
分别过点A ，D 作AA' l_ OB 于A' ，DO' l_ OB 于0' ，则S 四边形创OC = S 6 0AA' + S 梯形A OO 'A
二
31
-
S 6 COO' =31 , S 6 AOB = 62 ，得OB =17·
10. B
fab + 2=0 ,
11. C
由条件得(ab + 2) 十(α + b - 1))2 =0 或(ω+2)+(α 十b 十1))2 =0 ，从而斗
fab + 2=0 ，
问= 2 ，问= - 1
，问=- 2 ，fa= l,
或4
解得~
~
~
~
| α +b + 1 > 0
，
Ib=- l, Ib= 2,
Ib = l,
Ib=- 2.
1 2 . 如图，过点P 作PE l_ y 轴于点E . 因为L" PAD 的面积等于L" POC 的面积，所
以3AE=50E
，
即
3 (8 - OE) = 50E ，解得OE=3. 所以L" PAO 的面积=L" POC 的面积=
j × 3× 5=75 ,
L" PAO 的面积=L" PCD 的面积=[ (川
17
__ . " _ "" . "_ _ , 17
即PE = 石，所以点P 的坐标是( 言，3 )
13. (1) 士6
| α + b - 1=0
，
:民
第
12 题答图
.. 2崎
.·E;辈革骂强盛iE噩1:il:1t泣-
(2) B 点横坐标为5 或
1.
(3) 由方程组得c - a =2> 0,c- b=7> 0,
:. c > α > b
，即点A 在点B 右边，点C 在点A 右边.
y
图①
图②
图③
第
13 题答图
①如图①，②可得S AABc =?d + 2 ，
只
4
_16
':0 < 云d + 2ζ 10
，: . 一一< d <一
乙
_- - ,
5
,
-
~ 5
②如图③，S 6ABC = 一;d-2 ，
24
·川<
言d-2 < 10 ，: .
τ 三三d < - 17·
24 _
4 "
4
_16
综上得d 的取值范围为一一< d < 一- EE--<d 《一.
5
~ --
-
5 -/ ~
5 ---
~ 5
国辛昌的国形世再
【例题求解】
r3x+2=5-6工，
例1
-3 由~ 4x-3=x+y ，得工二1 ，y=-2 ，z= 一旦，原式=-3 .
I ---
--
./ , .". --
3
lz-l 二7x 十2y
，
例2
B
图…情形J 国川fb fE
例3 答图
(2) n=8 ,9,10 ,1l
【学力训练】
1. 6
.
2.崎
EiDi-:罩.
2. 8 ;18
3. 6;6
把一正方体分割成27 个小正方体，示意图如图(1)所示，图中数字表示切的顺序，所以至
少需要用刀切6 次;要分割成64 个小正方体，示意图如图(2) 所示. 其中切完第一刀后，将左右两
部分上下摞在一起再切第2 刀，同理往下切，所以至少需要用刀切6 次.
2
1
2
5
4~
/' /'
/
/
./
/'
/'
/
/'
/'
/
/
/' /护/
ν
护/
/卡/
ν v
/j lv
护y
--1
1 1./
L-Y'
/
1
2
3
6
6
6
)
'EA
(
(2)
第3 题答图
4. C 六个连续整数一定包含18 ，19 ，推得六个面数字之和为17 十四十19 + 20 十21 + 22 = 117.
5. D
6. D
7. 这个几何体的形状如图所示，其表面积为5+5 十6 + 6 + 4 + 4 = 30.
第7 题答图
第8 题答图
8. 19;48
在张明摆放的基础上，若用最少的小正方体拼成一个大长方体，则需要
9 X 4 =36 块小正
方体，而张明已用17 块，所以王亮至少需要36 - 17=19 块;张亮摆的几何体如图所示，从前、后看，
其表面积为9 ，从左、右看，其表面积为7 ，从上、下看，其表面积为8 ，
... 整个几何体的表面积为2 X
(9+7 十8) =48.
9. 8
只有一个面染红色的小正方体的总数为6(η - 2) 2 个，任何面均不是红色的小正方体的总数
为(η-2) 3 个，由题意知6Cn - 2) 2 = ( η - 2) 3 ，解得η = 8.
10. C
当积木自相重合的面最多时表面积最小，设想27 块边长为1 的正方体积木，其表面积为54 ，现在
要去掉2 块积木成为2 5 块，其总表面积不会减少，要使得总表面积最小，需在一个角处去掉相邻的2
块积木，或在两个角上各去掉1 块积木.
11. B
提示:每个正方体的棱长分别为1，2 ，3
，4 ，5 ，6 ，7. 故所求表面积为
6 (1 2 十2 2 + 32 +…+
7 2 )-2 (1 2 十2 2 + 32 +…+ 62) =840 - 182 = 658.
.. 241
dEi垂直逼监画革主..
12. 如图，将"L"形物体补上长方体M 后，M 的体积为1 5 X 5 X 4- 1 20=1 80 ，侧面N 的面积为180
--;-5=36 ，而36=1 X 36=2 X 18=3 X 12=4X 9=6 X 6 ，只有工，y 分别为3 ，1 2 符合题意.
L
入F
第12 题答图
第13 题答图
13 . 设L':，.BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体(如图)的体积是S
，S 等于高为10cm 、底面半径
为6cm 的圆锥的体积减去两个高为5cm 、底面半径是3cm 的圆锥的体积，则阴影部分扫过的
立体图形的体积为2S =2C : X 6 2 X 10 X π - 2 X _;_ X 32 X 5 X π) = 1 80π~ 565 .2C立方厘米) .
3
3
因
统段
【例题求解】
例1
例2
例3
例4
. 2咽
1;15
提示:当平面内两两相交的6 条直线相交于一点，此时交点个数最少为
1 个;为使平
面内两两相交的直线的交点个数最多，可使其任意两线相交都产生一个新的交点，即任意两
条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为
6 X C6-1)
- . .
2 -
=15C 个) .
B 提示: MN =AN - AM ,PQ = PA - QA 寸(AN-AM)
x
x
_ _
3
提示: 设AC = 工，则AD 二一，AB =2x ，DC = -~ ,DB=
工，CB= 工，由题意得:一x+x +
2 , - --
- -, -
-
2 ' - -
2
1
3
2x 十
x+ -=-x 十x = 23.
2 -- . 2
(1 )α =12 ，b =6 .
(2) 有两种情形，如图①，当C 在线段AB 上时，
MN = ?AC+ BC+ jBD
图①
= ~ CAB-BC)+BC 十一CCD-BC)= 一X (1 2一川+ i × (6-4) 二9
1 _ _
1
2 '- - --,
2
如图②，当C 在线段AB 的延长线上时，
B
MN = MB 十BC 十CN=AB - AM 十BC 十CD -ND
图②
N
D
C N
D
-z王军望..
= AB 十BC 十CD - AM - ND
=川+ 6j(川)-j × 川)=9
.: BC=4< AB ,
... c 不能在线段BA 延长线上，故MN=9 .
(3) 如图③，设BP = 工，则AP = 12 + 工
，PC=6+ 工，
. PA + PB
x+ 12 十x
2(x+6)
_ _ PA + PB
.
一一一一一=2 ，二一一一-一的值不变.
P C
6+x
(x + 6)
~，
.
.
PC
【学力训练】
1. (l) OP ,, > OP"-l
(2) 当n 为奇数时
，OP ，，< OP "-l
; 当n 为偶数时，OP "> OP ，，一
1
.
10
. __ _
. _
. _ _ __ . _
20
. _ _ _
__
_ 10
2. 9
由OM=AO-AM ，得AB = -~- ,E13 PM = BP - BM ，得PM = 一.
3
3. B
4. A
5. (1) DE = 12.
(2) ': CD=2BD ,CE = 2AE ,
1
:. BD= τBC
，AE = : AC
，千导BE=AB - AE=AB 一
: AC
，
3 - -
, - --
3
1 . _
1 __
1
_
__
2
2
λ DE=BE + BD =A B 一~AC 十一BC = AB 一一( AC - BC) = :AB =
α
3 - - -
3 - -
---
3" - -
- - .
3 ---
3
(3) ~
': AE +AB +AD+AC + EB + ED 十EC + BD + BC 十CD= 旧，
:. 4AC+EB + ED + BD =7AD
，即4AC 十2ED=7AD
，
例4 答图
4AC+2(AC-AE 一ω=旧，4AC + 2(AC- ~AC -AC +AD) = 旧，
AD
2
化简得一=一
AC
3 '
6. (1) A ，B 两点对应的数分别为一10 ，2:
(2) ①AP = 巾，CQ= 缸，M 为AP 中点，CN = 1CQ ，则AlLf=iAP= 缸，CJV =icQ = t·
3 -
~ '/ '~ - --
, -
2
二点M 对应的数为一10 + 3t
，点N 对应的数为
6 + t.
②
γ OM = 1- 10 十3t
1 ，BN = BC 十CN=4+ t
，OM = 2BN
，
:. 1-10+ 3t 1 =2 (4 + t)=8+2t.
由一10 + 3t =8 十叫t= 山由
10 + 3t=-(川) ，得t=; ，
.. 249
dE军
if iXWi ñjl.t~ t.i
故当t= 刊或;秒时OM=2BN
n 2 + η 十2
7.7; - 2
8. 2 提示: P 6 点与P o 点重合，因2001=6 X 333+3 ，故P 2001 点与P 3 点重合，P O P 2∞1 = P O P 3 二2 .
9. 312
当n 为偶数时，5 11 二(1 +2 + … 十η- 1) +主=主.
2
2'
n -1
n 2 一1
当n 为奇数时，5 " = (1 十2+3+ … + n- 1) 十一一一= 一一一
2
2
10. B 提示:作出平面上5 点，把握手用连接的线段表示.
11. A
12. A
提示:停靠点设在A 、B 、C 三区，计算总路程分别为4500 米、5000 米、12 000 米，可排除选
项B
，C; 设停靠点在A
，B 两区之间且距A 区工米，则总路程为30x + 15 (100-x) + 10(300-
x ) =4500+5x > 4500 ，又排除选项D.
13. (1 )10;15
(x 一1)
(2)y 二一-r一; 1128
(3) 设该班有z 名女生，x (x - 1) =380 ,x =20.
1 4 . 如图，设甲，丙在C 点相遇，同时乙正好走到D 点，丙骑车的路程为整个
A
C
E
D
B
BC ，而甲骑车的路程不是整个BC( 因为甲在途中遇到乙后即改为步
第14 题答图
行) .所以丙骑车的路程比甲长，丙比甲先到目的地. 因为甲，乙步行速度相等，所以AC=BD.
设甲，乙在C ，D 之间的点E 相遇，则甲骑车的路程只有CE 这一段，而乙骑车的路程是EA=
EC 十CA
，所以乙骑车路程比甲长，乙比甲先到目的地.
最后，比较一下乙，丙骑车的路程.
因为AC = BD
，所以丙骑车的路程BC = BD + DC = AC + DC =AD > EA
，从而丙比乙先到达
日的地.
因此，丙最先到达目的地，甲最后到达目的地.
1 5. 第一次操作的和是: 0+2002=2002 ; 第二次操作的和是: 2002 + 1001 = 3003 ; 第三次操作的和
是: 3003+ 2002 = 5005; 第四次操作的和是:5005 十400 4 = 9009 … 每一次操作增加的数值是前
一次操作增加数值的2 倍，故经过11 次操作后，数字的和为2002 十1 00 1 + 1001 X 2 + 1001 X
4+ 1001 X 8 + … 十1 00 1 X 2 9 二1 026025 .
.. 250
EZ歪歪噩..
国目
【例题求解】
例1
10;450 0
一共有
10 个角，分别为: ζAOB
，ζAOC ，ζAOD ，ζAOE ，ζ BOC ，ζ BOD ，
ζBOE ，ζ COD ，ζ COE ，ζ DOE . 其中ζAOE=90 0 ，ζ BOD=4 5 0 ，ζAOB 十ζ BOE = 90 0 ，
ζAOC + ζCOE = 90 0 ，ζAOD 十ζ DOE = 90 0 ，ζ BOC + ζCOD = 45 0 •故这1 0 个角的度数
和为90 0 X4 十45 0 X2=450 0 •
例2
D
提示:由于沿AB 作对折时，上、下图形能够重合，恰好ζ 1 十ζ 9 二ζ 2+ζ6=ζ4+
ζ 8 = 90 0 •
例3
(1 ) ζAOB=130 0 ，ζ BOC=6 5 0 ，得ζCOE=20 0 •
(2) 当0< t ~ 9 时，ζAOC=65 。一5 0t
，ζ DOE=4 5 。一5 气，
ζAOC = ζ DOE ，则65 0 - 5 0 t = 45 。一5 0t (舍) ;
当
9< t < 13 时，ζAOC=6 5 。一5 气，ζ DOE =50t -45
0 ,
ζAOC = ζ DOE ，则65 。一5 0 t = 50t -45 0 ，解得t=l 1.
(3) 当0<m ~ 6.5 时，ζAOC = 65。一10 0m ，ζ BOE =45。一5 0m
，
ζAAOC = ; ζLEOB
扎川叫，瓜圳则U 6 川
4
._._
29
5
当6 . 5<m ~ 9 时，ζAOC = 100m -
65 0 ，ζ BOE = 45 0 -5 0m ，
101
ζAA OC = ; ζLEO
四OBι
川川，
91
圳贝则u们阳
1刊山
O
14 '
当
9<m < 2μ4.5 时，ζζ乙AOC=l川O Om 一65扩。，ζζ
::_ BOE= 5扩。m 一4屿5 0 ，
4
~
._._
29
AOC = ;ζEOB ，则山一俨一(向札解得m = τ ( 舍)
5
29 "
101
lf现m = 14 .
【学力训练】
1. 64。设ζ FOC = 工。，则ζ COD = ! ζ BOC = ! ζAOC = ζEOC = 2ζFOC 二2工。，ζFOD =
2 L----
2
3工。，ζAOB = 2ζAOC =4ζ COD = 8工。
2. 55 。
3. 5 。或8 5 。
4. D
5. C
.. 251
dE军~itfliñit.t~tll
6. B
提示:①②④正确
7. (1 ) ζ BOF=50。
(2) ①当点。运动到使点A 在射线OP 的左侧，射线OB 在ζ POA ' 内部时，如
图①，
γ ζAOE=3ζA'OB
， :.设ζA'OB= 工，ζAOE=3x .
.:OP 上EF ，:. ζAOF=180 0 -3工，ζAOP=90。一3工，
ζAOF 180 0 - 3x
. . ζAOP
90 。一3x .
P B
A
A'
E
0
F
国①
60。十Z
·.· ζAOP = ζA'OP ， :.ζAOP = ζA'OP= 一亏一一，
60 0+x
^
_
120 。
λ OP
j_ EF ，:.一五一十3x =90 0 ，二工二-7'
120 0
900 。
180 V 一3 X 一一一_
_ _ _ n
7
7
900"
10
^
120
0
270
0
270
0
3'
90 V - 3 X 一一
一一
7
7
②当点。运动到使A 在射线。p 的左侧，但是射线OB 在ζPOA '外部时，
E
如图②，
A
p
A'
. ζAOF
. . ζAOP
B
o
F
国②
60 。
工
-J ζAOE =3ζA'OB
，设ζA'OB= 工，ζAOE 二3工，:. ζAOP= ζA FOP=-z一一，
60 0 -x
:.OP 上EF ，二3x 十一一一一=90 0 ，:. x =24 0 ，
2
A'
F
B
E
A
F
ζAOF
180。一3x
1 80。一3X24 。
. . ζAOP
90 0 -3x -
90 。一24 0
v
E
B
(3) L_BOP=95。或145 0 ，如图③、图④.
图③
图④
A
8. 45 。
如图，通过拼补得ζ 1 +ζ 2 二ζABC = 45 0 •
「
D
A
吐
=
C
O
A
/
ι
1
-2
一
E
O
D
/
ι
卢
h
u
B
A
吐
血
。
o
y
'
且
第8 题答图
11. D
12. (1)设ζ COD= 工。，贝u ζAOD = (80 + x ) 0 ，ζ COB =(8 0 十x) O ，得
ζ EOF = ζ EOD 十ζ DOF = ζ EOD 十ζ COF-ζCOD
= ( 400 十卡。) +( 40。十卡。) - x O = 80。
.. 252
-~主主~
1
1
(2) 当射线OD 在ζAOC 外部，得ζEOC=15α
2 卢(α>卢) ;
如图，当射线OD 在ζAOC 内部，则ζ EOC= ζ EOD 十ζ COD
，
~~ '
ζAOD= ζAOC 一ζ COD 二α 一卢(α>卢) .
.:OE 平分ζAOD
，
LEOD=仨AOD= ~ (α 一卢) ,
1 .
1
1
.·. ζ EOC= ζ EOD + ζ COD= 2
(α
卢) +卢=15α +17卢·
1
1
.. 1
1
综上所述，ζ EOC=17α
2 卢，或2α +lf卢-
13. (1)是
(2) 20 。或30 。或40 。
(3) 由题意知，运动的时间的范围是0 <t< 18. 分情况讨论如下:
( 60+ 20t + 10t = 180 ，解得t=4;
②60+20t 十10t=360 ，解得t=10;
( 60+20t + 10t = 360+ 180 ，解得t=16.
综上所述，t=4 或t=10 或t=16.
(4)t=2 或12
运动的时间的范围是0< t < 18 ，分情况讨论如下:
E
A
。
第
12 题答图
①当0<t<4 时，OA 为ζ POQ 的二倍角线时，依题意得20t X 2 二10t+60 ，解得t=2;
②当
4<t::::二10 时，不存在;
③当10<t<12 时，OP 为ζAOQ 的二倍角线，
ζ POQ =20t + 10t +60-360=30 t 一300
，ζ AOP =360-20t ,
:. (30t - 300) X 2 = 360 - 20t ，解得t=12;
④当12<t<18 时，不存在.
B
综上，当t=2 或
12 时，OA
，OP
，OQ 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的
角的二倍角线.
14. 若只连续使用模板，则得到的是一个19 0 (或17 。或21
0 ) 的整数倍的角，其实，解题的关键是在于
能否找到
19 0 ( 或17 。或21 0 ) 的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差
1 0 ，设"模板"角度为α ，
假设可由h 个α 角与t 个180。角画出
1 。的角来，即走
，t 满足问
180t = 1.
(1)当α=19 。时，取走=19 ，t=2 ，即用模板连续画出
19 个19 。的角，得到361 。的角，去掉360 。的
周角，即得1 。的角.
.. 253
4
歪歪理
. iiñ~! . t~tl
(2) 当α=17 。时，即17走一180t=1
，得走=53 ，t=5 是一组解，即用模板连续画53 个17 。的角，得
到901 。的角，除去两个周角和一个平角，即得1 。的角.
(3) 当α=21 。时，即21走一180t = 1 无整数解，不能用21 。的模板与铅笔画出
1 0 的角.
国平行统的判在与性质
【例题求解】
例
1
(1)设过0 点的n 条不同直线可形成a ll 对对顶角，η =2 时，α 2= 2 ，n=3 时，向=α 2+ 2 X 2 ，
n=4 时，
向=a 3 + 2 X
3 ，…
，a 2005 -α 200 4 + 2 X 2004 = 2 X 2004 + 2 X 2003 + … 十2 X
4 +
2 X 3 十2 X 2+ 2 X 1 =2005 X 2004=4018020.
(2) 共有
12 条线段，有
2 X 12=24 对同旁内角.
例2
B
例3
提示: 由
DF // CE 得，ζBDF= ζ BCE ，ζ FDE= ζ DEC ，由
AC // DE 得，ζDEC =
ζ ECA.
【学力训练】
1. 22 。
2. 30 。
3 .40 。
4. A
5. C
6. D
7. (1) 140 。
360 。一ζE
(2) ζM=6
m
一
一
-
n
。
一
门
/
U
A
U
一
叮
气
U
一
一
M
/
ι
盯
气
U
8. 10 。或50 。
提示:ζA 二ζB 或ζA+ ζ B =180 0 •
9. 135 。
延长BC ，ED 交于点H ，则ζ BHE=90 0 ，过点H 作HI // AB
，则HI 矿AB // EF.
10. l 甲< l 乙=l 丙
提示
: 把不同的图形还原为相同的背景.
11. D
提示:图中共有8 条线段.
12. C
延长AB 交CD 于点N
，延长CD
，GF 相交于点K.
13. E
由
1 十1 + 1 + 2 +x= 1 + 2 + 1 + 6 得x= 5.
.. 254
EZ歪歪望..
14. 提示: 作CK // FG ，延长GF ，CD 交于点H ，则ζ H + ζ2 + ζBCK = 1 80 0 ，因ζ 1 + ζ2=
ζABC ，故ζABC + ζ BCK = 1 80 0 ，即CK // AB ,AB //GF.
15. (1)作GS // AB ,ET // AB ，则GS // AB // ET // CD ，设ζ CNG= ζ GNE= 工，
ζ FMA= ζ FMG=y ，
则ζ E =y+ 1 80 0 -2工，ζ G =x -2y ，
Z - 2y + ?(y + 180。一ω = 60 0 ，解得y = 20 0 ,
. ζAMG=2y =40 0 •
",,,,L_F
1
(2) 类似于(1) ，可得一一= 一
正E
2'
16. (1)
(二线平行)
\ \
//
"-
X
\欢L_
~儿
(二线平行)
第
1 6 题(1)答图
(三线平行)
(2) 依平行关系分类，设共有走类，各类的条数为α1
，…
，a k ( 2: ι=η) ，同类的直线不相交，不
同类的均相交. 第
1 类的线与其他类的η
a ，条都相交，故由题设条件得到η 一α 1 - η 一
α 2- … =η -a k =1999. 于是α1
… =ω =a
，n= 缸
，1999=n-a=( 走
1) a. 因为
1 999 是
素数，只有两组解(2 ，1 999 ) 和(2000 ，1).得出η =3998 或2 000 .
(3) ①直线a
，b ，c 和d 共有1 个交点. 理由如下:
设直线a ,b ，c 的交点为p ，直线b ，c ，d 的交点为Q . 这意味着点P 和Q 都是直线b 和c
的交点，由于两条不同的直线至多有一个交点，因此点P 和Q 必是同一个点.即4 条直线
a ,b ，c 和d 相交于同一个点. 因此这4 条直线a ,b ，c 和d 只有1 个交点(不妨记为点。) .
②因为作的第5 条直线e 与①中的直线d 平行，所以直线e 与直线d 没
f
--..J:l
~
~ b
有公共点，因此，
.........__ι〉气E c
~
e
直线e 不过点。，而直线a
，b ，c 都与直线d 相交于点。，所以，直线
---d
α
，b ，c 与直线e 都相
第
1 6 题( 3) 答图
交(与两条平行线中一条相交的直线必与另一条相交) .
设直线e 与直线a
，b ，c 分别相交于点A
，B 和C ，这时如图有A
，B ，C ，O 四个不同
的点，
可以连出OA
，OB
，OC ，AB ，AC ，BC 共6 条不同的线段.
.. 255
dE运主主盛边疆墨E孟孟-
因简单的面积i固自
【例题求解】
1
1
例
1
66
提示: 5 L,.BEF = 5 6 BEC + 5 6 EFC + 5 L,.BFC =
~ X 6 X 8 十一X 6X8+ 一X6X6=66 .
2 . . ~. -
, 2
5 6AOD
DO
5 6 1肮
例2
A
提示: 5 ^ Ann = 5 ^ ROC = 35 ( m 2 )
一一一一，求得5 6 DC汇=49(m 2 ).
AAOD
ABOc
'SAAEO
BO
S ABOC
C
RU
A
A
Q
]
5-u
一
nL
RU
A
A
CU
3-m
+
户
L
QU
A
A
Q
U
I
-6
+
户
L
RU
A
A
Q
U
4
一
日
nL
RU
AA
A
n
δ
一
一
PH
n
〕
飞
PA
A
QU
3-mu
一
一
门
可
-
f
L
V
R-B
C-A
A
-
A
Q
U-QU
I
-6
一
-
P
A
一
户
L
Q-B
B-A
A
-
A
QU
-QU
里
14J
同
ZJ
mu
12
12
故5 6ABC = τ 5 6 PQR = τX20=48(cm " ).
工十3y=t
(
,
3巾二j
②，
①+②，得什y= t ，即s…
例4
(1)
(2) 连接NC
，ND
，设5 6 NGB = a ,5 6 NCE = b
，则5 6 NCG = 2α
，5 6NEA 二岛，
1
3α +b= 言'
解得
2
2a + 3b= 言'
1
1
1
5
故5 1lY边形PFGN = 5 6 BEC - 5 6 BNG - 5 四边影PECF-
一一一二一
δ2 1
6
42'
【学力训练】
1. 8
2. 25 提示:连接肌则BD //AC ，5 6础= S A「;s…BCD
3. 1
4. B
G+2a+b=?
1
5. C
连接BR
，设5 6CDR =a ,5 6 BRF = b ，得
1-7
一
一
内
《
U
×
l
•n
一
-
R
Q
A
Q
U
-
n
4
→
刀
一
一
一
一
GFO
得
解
2-3
一
一
'0
9," +
20
+
α
门
/
阳
6. E
连接AE ，5 矩形DEFG = 25 6 ADE = 5 正方JBABCD .
1
7.5 6A旷5 6ADE 十S 阴影= 5 6AGF 二Z 5 1': 1ïJBE川MAB「S AECff - S AA FfB -SAA「7 5长方…
5= 1.
.. 256
-E盈主主主-.
8. 12
设正六边形ABCDEF 的面积为6工，则由正六边形的对称性，知四边形ACDE 的面积是
4x
，x 二2 .
9. 150
如图，因为1 与
2 ，3 与
4 ，5 与
6 ，7 与8 ，9 与
1 0 ，11 与12 部分的面积相
等，所以空白部分的面积为半个大圆的面积，即0.5 X π X 102 = 50π= 1 50( 平方
厘米) .
工工
5 .ð.ECF
5 .ð. DFC
CF
M~
6
4
10. 40
设正方形面积为x ，连接EF ，则一一一= 一-一=
，即
~ ，解得工
5 .ð.EGF
5 .ð. DFG
GF ' -, x
~
12
-
= 40.
2z + y=j ,
11. D
提示:连接BG ，设5 .ð.AGE = 5 .ð.BGE = x ,5 .ð.CGF =5 .ð. I3GF = y ，则
工十2y = t
第9 题答图
12. C
2018 _
1 _
(n-1) X 2018
只I\ FBC
FC
~斗I\ I3CD
连接DE ,5 .ð.BCD = 5 .ð. BCE =丁，5 .ð. I3DE 丁5 .ð.A I3D=
η 2
' ￡工=E tz=
n
5 .ð.FI3C
n - 1 '5 .ð.BCE
S .ð. F I3C
n
~
n
2018
2018
=一一一一，5 .ð. FI3C= 一一一一×一一一=一一一一~ 1 00 ，η 二三1 0 . 59.
.ð.FBC+ 5 .ð.BEF
2n _ 1' ~ D r I5L
2n - 1"
n
2n - 1
3
7
21
13. 连接BF ，AD
，设5 .ð.ABC = 工，则5 .ð.FBA 二--:-x ，5 .ð.FBC = -;-x , 5 .ð.FBD = ~ =x ， 5 .ð.FBE = --:-x , 5 .ð.BED =
4
~~ -' -
L..:::. l'U l,..
4
~~ -' -
L..:::,. l -U L/
20
21
1
1
τ工，.: 5 MBD - 5 MBE - 5 .ð.BED = 5 .ð.DEF , :. ~ = x - --:-x -
: x = 1209 ，解得x =2015.
20--
4 --
5
14. 如图，延长FA 与CB 延长线交于点M ，延长EF 与CD 延长线交于
点N.
六边形ABCDEF 的内角和等于(6 - 2) X 1800 = 720 0 ,
己知ζAFE 和ζBCD 是直角，其余四个内角彼此相等，
即ζ FAB = ζABC = ζ CDE = ζ DEF = 13 5 0 ，
得AM = BM ，ND = NE ，四边形MCNF 为长方形.
设AM = BM 二工，ND = NE = y
，
rx + 2= y + 1,
导~
1
^
. 1
^
10 十v)( 3+ v) =
: X 2 十- t 十1 2 . 5 ，'
I '-'J"~
'
J
'
2--
2./
解得y = 2 ，x = 1 ，AF = 4 .
连接CE ，则S 四边形ACKE = 5 六ìtI形ABCDEF - 5 .ð.AI3C - 5 .ð.AEF - 5 .ð.CDK = 8( cm 2 ) .
C
3
、
2
B 田、、
F
A
第
1 4 题答图
... 251
dE运幸遭盛温主主-
国三匍形的诅与匍
【例题求解】
例1
在DADE 和DEPB 中有与+d=3+1b ，在DBCF 和DPAF 中有: jb+c=3+
. 2 -- . --
~-
2
?α ，两式相加，得c +d=Ud=jH)( 注:当内角平分线变为外角平分线时，结论
仍成立).
例2
D
提示:见表.
G
b
C
10
10
10 ,9,8 ,7 ,6,5 ,4 ,3 ,2 ,1
10
9
9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2
10
8
8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3
10
7
7 ,6,5 ,4
10
6
6 ,5
例3
设连线后把原三角形分割成n 个小三角形，由
180n = 360 X 2008 + 180 得n =4017.
【学力训练】
1. 5<x<10
2. 210 。
o
m
3. -=-::一
0 2013
4. D
提示:注意ζ BTH 二ζ BHT.
1+2+ … 十12
s. B
a ~-. -
3
- - =26 . 由枚举法可得a 的可能值有22 种-
6. B
7. (1)可证明ζAMC=: ( ζABC + ζADC) =33 0 •
2
180 0 +ζ B+ ζD
(2) 可证明ζANC= ---
.~~-.~-=1230 .
8 . ①③ 对于③，设α 二三b 二三c ，则b 十c> α
，
l a-b l+ 1 = α - b+ l，Ib-c I +l=b-c+ l, Ic-a 1+
l=a -c+ l，三条边中lc-a l+ 1 大于或等于其他两边，而(
l a-b l+ 1) + (
l b-c
l 十1) =α -c+
2>α c+ 1= Ic -a I 十1，故③正确.
9. 两[分别为(11，11
，3)
，(7 ，7 ，1 1) J
; 等腰
.. 258
-~军望-
10. 200 。
连接AC .AD .AE ,AF ，AG ，运用"规形"基本结论，可证明ζ 1 +ζ2 十ζ 4 十ζ6 十ζ8 =
ζ3 十ζ5+ζ7.
11. A
设此三角形的三个内角的度数分别为x.y ，z ，且x ~y~ z. 则x + y + z=180 ，
178
得z 二2 ，y 十z= 1 78 ，y 三二三-=89 .
因为y.z 均为质数，y 与z 的个位数只能是(1，7) 组合，(3 ，5) 组合，或( 9 ，9) 组合:
①在(1 ，7) 组合中.( 11
，1 67)
，(4 1 ，1 37)
，(47 ，13 1 )
，(7 1 ，1 07) ，有4 组符合条件;
②在(3 ，5) 组合中，(5 ，1 73) 符合条件;
③在(9 ，9) 组合中，(89 ，89)
，(29 ，149) ，有2 组符合条件.
综上，共有7 组符合条件，故选A .
12. B
只有当a 2 =2 ，向=α1+α 2 =3 ，向=α 2+ α 3 =5 ，α 5
α 3+ α 4 =8 ，α 6 -α 4+ α 5 = 13 时，7 条线
段中的任意三条都不能构成三角形.
25 25 25
13. B
提示: 设ßABC 的面积为5 ，第三条高线的长为h ，则三边长分别为
, ....... ..... ,
5 ' 20' h
25
25
25
一+一> 一，
20 ' h -
5
__
20
由斗
得4<h <丁，故h 的最大整数值为6 .
25
25
25
J
一+ 一>一，
20 ' 5 -
h '
14. 设队，句，句，… ，a n 一1
，a " 表示题设的n 条线段，不妨设α I~α 2 ~a 3 :!S二… ζα ，，- 1~α " ，假设以所
给的n 条线段中任三条为边均不能构成三角形，则有
α 3 二三al 十α 2
，向二三α 2+ α 3
，α 5 二三a 3 十归，… ，a ll 二三α 11 - 2 十a ll - 1'
相加得
a " 二三a ，，-2+ a ，，-3 十α n - 4 十… 十a 3+ 2α 2 十α1 ,
更有
a" 二三α ，，- 2 +α n - 3 + a n - 4 十… + α 3 十α 2 十酌，
这表明，以a n ,a n-2 ,a n- 3 ,a n- 4 ，… ，α 3 ,a 2 ，α l 这η - 1 条线段为边不能构成一个η - 1 边形，与
已知矛盾!
因此，可用其中的某三条线段为边作成一个三角形.
15. (1) C(3 ,0) ;E( - 4 ,0)
(2) 简化为如图①的基本图形，可证明ζ Q = 2
ζABC = 60 0 •
(3) 简化为如图②的基本图形，可证明ζ OHD =
L_GDH寸(ζ DCE - L_DEC) ,
ζ DCE 一ζ DEC
即
= 2 为定值.
ζ OHD
人j队
E飞气f
图①
第
1 5 题答图
刀、\
.. 259
d~温温撞lilÆ墨E军JØI
圆
ß ì1l形的诅南与时匍绕
【例题求解】
例1
(1 )4 ，1 0 或6 ，8
(2) 连接GF ，则ζA + ζ D = ζ DGF + ζAFG . 于是原式=ζB 十ζC 十ζ E +( ζAFE +
ζAFG)+(ζ BGD+ζ DGF ) 二五边形BCEFG 内角和=(5-2) X 180 。二6 X 90 0 ，故n=6 .
例2
C
提示:外角中钝角的个数不能超过3 个，又内角与外角互补，故内角中锐角最多不能超过
3 个.
11
11
例3
1 4 或15
提示: 由题意得2002 0< (n - 2) X 1 80 0< 2002。十360 0 ，解得13 一<η < 15 一.
90 - -
-- - 90
。
(η-2) X 180 。
假。4
(1) 108 0 ,120 0 ,
n
(2) 正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形.
假定在接合处一共有走块正η 边形地砖，由于正n 边形的所有内角都相等，则
k •
nu
nhu
叫
《
U
一
-
nu
-
oo
-
-
E
A
一
×
一
飞
/
-
n
叮
/
川
】
-
η
即走二生工= 2 + ___i_τ
n- {,
n- {,
因走为整数，故η - 214 ，n - 2 = 1 ，2 ，4 ，得η = 3 ，4 或6 ，
由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方
形和正六边形.
(3) 如: 正方形和正八边形，草图如右: 设在一个顶点周围有m 个正方形的角
，n 个正八边形
例4 答图
的角，那么m ，η 应是方程m • 90。十n • 135 。二36 0 。的整数解，即2m + 3η = 8 的整数解.
fm = l,
·.· 这个方程的整数解只有4
一组，二符合条件的图形只有一种.
In=2
例6
(1) ①略
E
a, D
ο
f产「飞-; ...严
②如图，延长BA
，ED ，EF ，BC ，分别相交于点p ，点Q ，则四边形
EPBQ 为平行四边形，6AFP 、6DCQ 都为等边三角形.
:. PB = EQ ，即AB +AP = ED 十DQ ，
:. AB 十AF 二ED 十DC .
例6 答图
故AF = DC ，同理BC = EF.
③同②，向外补形可证得AB + BC = DE + EF .
(2) 至少需要三个内角为
1 2 0 0 •
.
260
【学力训练】
1. (1) 20
(2) 13
2. 5 或6 或7
η 边形截去一个角后，内角的个数有η - l
，n
，η + 1 三种可能.
3. 9
设另外(η - 7)个内角的和为走。，
í(n -2) X 180 0 > 1100 0 ,
贝Ij ~
l180 0 ( n - 2) = 1100 。十走。ζ 1100 0 +90 0 ( n -7) ,
解得8j<η ~9斗
E
噩.
4. B
提示
: n 边形外角中最多有3 个角为钝角，即内角中最多有3 个是锐角，得n~3 十2=5.
5. A
6. C
延长CD
，BA 交于点G ，在五边形AFEDG 中求ζ E +ζ F 的值.
7. (1 )26 。
(2) 如图，延长AB 交DN 于T ，交DC 的延长线于K
，
2
2
可推得ζN=EA=EM 卢)
四吁
(3)原式干[叫) 叫
8.
7;540 。
ζ DAB+ ζC
9. 110
提示
: 可证明ζ EGF=
N
。
A
E
第7 题答图
(18- 2) X 180 。
10. 140
提示
: 先求出ζ A = 360
0 -7- 6 = 60 0 ，正十八边形每一内角为
= 160 0 ，用口图
18
- - -
，
-~ ~
形可求出ζE=140 0
•
11. A
12. B 此多边形外角的度数也一定是整数且互不相等，要使η 最大，只需让每个外角的度数尽量小.可
令外角分别为1 0 ，2 0 ，3。….
': 1 +2+3+ …十26=351<3 60 , 1 +2+3+ … 十2 7 = 378>360 ,
.·. n 的最大值为
26.
取26 个外角分别为
1 0，2 0 ，3 0 ，…，25 0 ，35 0 ，符合要求.
13 . 作CK //FG ，延长GF ，CD 交于H 点，可证明CK // AB ,AB //GF .
14. (1)观察图①，可得ζ E=90 0 ，2ζ B + ζ E =360 0 ，由此得ζ B= 13 5 0 ，又
.. 261
dE辈革抽血国E草草'
!U+ζD=360
ζ C+2LD=360 0 ，
ζA+ ζC+ζ D = 540 。一ζB 一ζE.
由此得ζA=105 0 ，ζD=150 0 ，ζC=60 0 •
(2) 在图②中，连接AD ，BD ，作DP j_AB 与AB 交于点
p ，由图①可知AE = DE = BC ,CD = 2AE 二2DE=
2BC ，故ζ1=ζ2=45 0 ，从而ζ3 = 60 0 ，ζ4=30 0 •
图①
图②
第14 题答图
(3) 在6BCD 中，由ζ C =60 。和CD=2BC 得ζ8=90 0 ，从而ζ7 = 30 0 ，ζ5=45 0 ，ζ6 二45 0
•
(4) 由此得DE =AE = 10 ,AD = 10 /2 ,AP = 5/2 , PD =PB = 5 汀，BD=10 .j3，故AB=
5/2 +5斤，因此五边形周长为50 +5 /2 十5而(cm).
国黯1M 与国表
【例题求解】
例1
43
提示:设全班共有工人，则(x-4 一5-7) X 6+2 X4+1 X 5= (x -3-4- 1) X 3 十8X 3+
9 X 4 十10X l，解得x =43.
S 5 + 23 + 1 4+ 11 十2o
5 5
例2
B
提示:由题设得
A
>τ ，解得5 5 < 85 ，设小明第十场的成绩为z 分，
84 十23 十14 十11 十20+x
则
> 18 ，解得x > 28 ，故他的第十场的成绩至少为29 分.
10
例3
4 个队共赛6 场，且至少有2 场平局，故:
四个队总积分的和~3X4 十2X2 =16.
已知甲队总积分第一，并且各队总积分互不相同，因此甲队总积分是7 分，否则，因为4 个队
的总积分是不同的奇数，则有:四个队总积分的和二三1 +3+5 十9= 18 ，和四个队总积分的和
不大于16 矛盾，所以甲队2 胜1 平.
已知乙队恰有两场平局，且总积分是奇数，则必定是1 胜2 平，总积分是5 分.
已知丙队和乙队平局，负于甲队，且总积分是奇数，因此，丙队负于丁队，总积分是1 分.
所以，丁队1 胜2 负，总积分是3 分.
【学力训练】
1. 72
n = 1 1，m= 9 ，主X400 =72(人) .
50
2. 61 十20 十x>88 川>7 ;8
3. BC
.
262
EZ王军望田
4. C
5. (1) 144 。
(2) "篮球"选项的频数为40 ，正确补全条形统计图.
40
(3) 全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为1200 X ~-~ ~ = 160 ( 人).
300
(4) 这种说法不正确.理由如下:小明得到的108 人是经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的
项目是乒乓球的人数，而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因
此应多于108 人.
a
45 ._
. ~
. n
120 。
6. 162;20
由一二一=一一得α= 162 0 ，由一=一一τ得n=20.
360 0
100 "4 u
~v~'...... 60
360
7. 3
提示:如图，用左右两个圆的内部分别表示上半年和下半年订阅该杂志的人数，由(l 5-x ) +
x+(25-x)=28
，得x=12
，15 一12=3( 人) .
男生
女生
1 2
1231
3
1
11 气-管
lχ? 气- 守
l
第7 题答图
8. B
9. E
设只会唱歌的营员有工人，只会跳舞的营员有y 人，只会表演的营员有z 人，会唱歌又会跳
舞的营员有α 人，会唱歌又会表演的营员有b 人，会跳舞又会表演的营员有c 人.
z 十y 十z+ α 十b+c 二100
，
y 十z 十C 二毡，
则
z+x+b=65 ,
x+y+ α=29.
~α 十b+c=2(x+y 十z+ α +b+c) 一(y 十z+c)-(z 十x+ b) 一(x+y + α) = 6 4 .
rx + y 二29 ，
rx =17 ,
10. 设x
，y
，z 分别表示答对题α 、题b 、题c 的人数，则有位+z=25 ，解得似=12 ，
ly+z=20 ,
lz = 8.
答对一题的人数为37-1 X 3-2 X 15=4C 人) ，全班人数为
1 + 4+15=20C 人) .
17 X 20+ (12+8) X 25
故全班平均成绩为
=42C 分).
20
11. 设只收看A
，ß
，C 三个栏目的观众人数分别为x
，y
，z
，没有收看栏目A 而收看
栏目B 和栏目C 的人数为m
，不只收看栏目A 的人数为n
，如图所示:
I
X
_ I
/、
J、，飞1
/
"\
1
)
πη
z
1
,
.1
\ 111
咽
，
第
11 题答图
.. 263
dE选主主监血草草'
y 十m=2Cz+m) ,
η 二x- 1，
J
H
H
叮
」
'
m
只
得z=29 - 4y .
x=y+z ,
工十n +y 十m +z=28 ，
由y-2z=m 二三0 ，得9y-58二三0 ，
58
.
o_
_29
.·.y 二三百;由29 - 4y=z 二三0 ，得y<_~.
·.· y 为整数，.·.y =7 ，从而z=1 ,x =8 ,n=7 ,m =5.
x +η1 5
故栏目A 的收视率为一一X 100 % 二
X 100 % 句53.6 %
28 .
~ - - / v
28
~质盟、E 翻
【例题求解】
例1
42
提示:由α Cb bc+ l) 二2 4 X 53 .
例2
B 提示:设满足条件的两位数是ab ，由ba -ab =9 ，得
1 0b+ α
(1 0α 十b)=9 ，b= α + 1，满
足b = α 十1 的两位数有12 ，23 ，34 ，屿，56 ，67 ，78 ，89 ，其中质数有23 ，67 ，89 ，共3 个.
例3
3 符合要求
提示:当ρ=3走+1 时，ρ+10=3走+11 ，ρ+14=3C 走+ 5 ) ，显然ρ + 14 是合数;
当ρ=3走+2 时，ρ + 10=3C 走+4) 是合数，当ρ 二3走时，只有走=1 才符合题意.
例4
(1)因n 为大于2 的正整数，则
2 " -1 二刀，2" 一1，2" , 2" + 1 是不小于7 的三个连续的正整
数，其中必有一个被3 整除.但3 十
2" .
(2) 设正整数α 的所有正约数之和为b ，d 1
，仇，比，… ，d n 为α 的所有正约数从小到大的排
1
1
1
1
列，于是d 1 =1 ，d ，，= α. 由于S 二一+→十一+ … +
中各分数分母的最小公倍数d " 二
d 1 ' d z ' d 3
'
, d "
d " , d "-l
,
, d 1
d 1+d z+ …+ d "
b
α ，故5= --:" + - ':-' + … + ~
= .. I
.. "
_. " _一，而α =360=2 3 X 3 2 X 5 ，故b=
d " . d ,,
'
' d "
d "
a
b
1170
1
(1 + 2+22 +23) X (1 +3 十3 2 ) X (1十5)=1170 ，一= 一一一=3 一.
' α360 - 4
【学力训练】
1. 5 ，17 ，29 或29 ，4 1，53C答案不唯一)
2. 1998
提示:19 97 为质数.
50 一7b
2b
3. (1) 1 5α = 一τ一二1 0 - b 一τ -
(2) 4836
2000=2 4 X 53.
. 2创
-~~吾岳毒司…-
4. C
5. B
提示:唯有a =2 ,b =2089-2 11 =2089-2048 二41 是质数，符合题意.
6. A
提示
: 当α 二3 时，符合题意，当α 手3 时，a 2 被3 除余1 ，设α 2 =3n+1
，则7α 2 十8=21n 十日，
8α 2 +7=24n+15
，它们都不是质数，与条件矛盾.
7. 如果α +b 能被3 整除，那么α +7b=( α +b)+6b 也就能被3 整除了，这与α + 7b 为质数是矛盾
的.所以在第三或第四句话中必有一句是错话，而前两句话一定正确.因为α 十b = 2b + 5 +
b=3b+5 是不能被3 整除的，说明第三句话有错.所以a 十l 二2b + 6 能被b 整除. 这就是说b=
1，2 ，3 或6 ，从而α = 2b + 5 = 7 , 9 , 11 或
17. 因为α + 7b 是质数，所以答案是b = 2 ，a=9 ，或者是
b=6
，α=17 .
8. 112899
要想这个六位数最小，则要把最大的数字放在个位，次大的数字放在十位，以此类推.
因为这个六位数的各位数字的积是
1296 ，而将
1296 分解质因数得
1296 = 24 X 34 = 12 X 2 X
23 X 92 •
最大的数字是9 ，有两个，所以个位和十位都是9 ，仅次于9 的数字是8 ，放在百位，还有一个2 放
在千位. 万位和十万位放1 补齐六位数，因为1 不影响各位数字乘积的大小.于是112899 为所求-
9. 2618; 1482
四个质数中必有一个是2 ，其余三个质数的和是35 ，3 + 13 十19=7 + 11 + 17=35 ,
3 X 13 X 19 = 741 ,7 X 11 X 17 = 1309.
10. 78
提示
: 由mnp =5(m+n+p)
，得m
，n
，ρ 中必有一个是5 ，设m=5
，则n户=5+ n 十户
，n=
ρ+5
一一一，从而户=2 ，η=7
户一l
或户二7 ，η=2.
11. 3;2
2q 2 =( ρ
l) (p+ l)，户一定为奇数，ρ- 1，ρ+1 同为偶数.
12 .167 ，257 ，347 或527
提示
: 这个数的个位数字只能是
7.
13. 提示:由户q+11 > l1 且ρ q + 11 是质数知户q + 11 必为正奇数，从而ρ=2 或q=2.
(1)若ρ=2 ，此时7ρ +q 与2q+11 均为质数，设q=3走+ 1，则q + 14=3( 走十5 ) 不是质数;设
q=3走+2 ，则2q + 11=3(2k +5 ) 不是质数，因此，q 应为3走型的质数，当然只能是q 二3 .
(2) 若q=2 ，此时7ρ + q 与2户+ 11 均为质数，设户=3走+ 1，则7ρ + 2=3C7k +3) 不是质数;
设ρ =3k + 2 ，则2p+11=3(2走+5 ) 不是质数，因此，ρ 应为3走型的质数，ρ =3 .
综合(1) (2) 知户=3 ，q=2 或户=2 ，q=3 ，故ρ q+ 旷=17 .
14.
.ι
，b ,c ，d 是自然数，
λ α 2 -a ,b2 -b ,C2 -c ，d 2 - d 都是偶数，
即M=( α 2 +b2 +C 2 十d 2 )一(α +b+c 十d) 为偶数.
·.·d 十b 2 =C 2 十匠，
.
265
dE军JBrJBf)置
.t~.
.·.d 十b 2 +c 2 + d 2 =2 ( α 2 十b 2 )
，为偶数，
从而有α + b 十C 十d=( α 2 + b2 + C 2 十d 2 )-M=2( α 2+ b 2 ) - M 为偶数，
但α + h + c + d > 2 ，于是α + b +c + d 一定是合数.
~ 奇盟、
1罔黯
【例题求解】
17
例
1
一
提示:a ,b ，C 中必存在偶质数2 ，设α=2 ，推得b=2 ，c=19.
19
例2
B
提示"神秘数"是4 的倍数，但不是8 的倍数.(2m 十1) 2 -
(2n + 1) 2 =4(m 十η + 1) (m
n)
，m + n 十1 和m-n 奇偶性相反，从而(2m 十1) 2 -(2η 十1) 2 是8 的倍数.③、④正确.
例3
(1)因(α 1- 1) + (a 2- 2 )+ … + (a g -9)=(al+ α 2+ … + a g ) 一(1 十2 十… +9 ) =0 ，故a1
1 ，a 2 - 2 ，…，向-9 这9 个数不可能全为奇数，即这9 个数中至少有一个为偶数，从而它
们的积必为偶数.
(2) 11 , 22,33,…, 2002 2002 ，2003 2003 的奇偶性依次与
1，2 ，3 ，…，2002 ，2003 的奇偶性相同，因
此，在
1 1 , 22 , 33 ，…，2002 2002
，2003 2003 的前面任意放置"+"或" 一"的代数和的奇偶性与
1 + 2+3+ … + 2003 的奇偶性相同，为偶数，而2003 为奇数.
例4
(α +b)( α - b)=2 X 100 1，若a
，b 同为奇数或同为偶数，则(α +b) X (a - b) 必定是"偶数×
偶数";若a
，b 为一奇一偶，则(α +b)( α -b) 必定是"奇数× 奇数"上述两种情况均与等式
右边的"偶数× 奇数"相矛盾，故找不到自然数α 和b
，使α 2 =2002+b2 .
【学力训练】
1. 17;2
2. 668
提示:从第一个数开始，每组连续的三个数中有一个偶数.
3. E
4. A
提示:考察S 的三个因数和的奇偶性.
5. 提示:设甲的出牌顺序是a 1
，句，…
，a 13
，乙的出牌顺序是b 1 ,b2 ,… ,b13 ，得差α 1 -b l
，向-b 2 ,…,
a l3 -b 肌这13 个差的和为零，必至少有一个差是偶数，故它们的乘积是偶数，奇偶性确定.
6. 55α =2 ，b+c-42=0 ，2b-c 十3=0 .
7. 73
提示:对工=η 2- m 2 =(n+m)( η -m) (1~工运98 ，m
，n 为整数) ，因为η + m 与η -m 奇偶
性相同，所以工是奇数或是4 的倍数，而1~98 个自然数中，满足条件的数有的+24=73 个.
8. 18
设甲、乙、丙分别买书x 本，y 本，Z 本，则(x+y 十z) 为偶数，可知x
，y
，z 或者都是偶数，或
者是两个奇数、一个偶数.
.: x yz = 3960 = 23 X 32 X 5 X 11,
.. 266
E
噩..
人若x ，y ，z 都是偶数，则它们分别是2 X 11 = 22 , 2 X 3 2 二18 ，2 X5= 10; 若x
，y
，z 是两奇一偶，
则它们分别是2 3 X 3 = 24 , 3 X 5 = 15 ，11 ，故乙最多买18 本.
9. B
10. D
提示:设α ]
，α 2
，a 3
，a 4
' 向是1，2 ，3 ，4 ，5 的一个满足要求的排列.
首先，对于a ]
，a 2
，a 3
' 向不能有连续两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与己知条件
矛盾.
其次，如果此0 ::( i ::( 3) 是偶数，a i 十I 是奇数，则a i +2 是奇数.这说明一个偶数后面一定要接两个
或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数.
所以，α ] ,a 2 ，向，α 4 ,a 5 只能是偶，奇，奇，偶，奇，有如下5 种情形满足条件:
2 , 1 , 3 ,4 ,5;2 ,3 , 5 ,4 ,1;2 ,5 , 1 ,4 ,3;4 , 3 , 1 ,2 ,5;4 ,5 , 3 , 2 , 1.
11. A
将棋盘上的格点(纵横线的交点)分别涂上黑、白色.规则是:①从点A 开始，涂黑色;②黑
白相间(与黑点相邻的是白点，与自点相邻的是黑点) .则最后点B 涂黑色.显然，日宇格的对角
线的两端点的颜色相异.因此，马走日字格从A 点到B 点，所走的步数必定是奇数步，不可能是
偶数.无论为奇数还是偶数，则2015n 2 +2013 η 总是偶数，2014η 十20 15 与2014旷+20 15 总是
奇数;而2013η 十2014 与η 同奇偶.
所以，马走日字格从A 点到B 点，所走的步数不可能是偶数2015η 2 十2013η. 故答案选A.
12. 因2018 被4 除余2 ，奇数的平方被4 除余1，偶数的平方是4 的倍数，故立
，y 必同时为奇数.又
因奇数的平方的个位数必为1，5 ，9 之一，若两个奇数的平方和的个位数为8 ，则这两个奇数的
平方的个位数都应是9 ，即这两个奇数的个位数为3 或7.
又z 三三y
，则
2018 _ ~
- -2- - ::(y Z <2018 ,
即
1009 ::(旷<20 18
，
因为31 2 = 961 ,322 = 1024 ,442 = 1936 ,452 = 2025 ,
所以32 ::(y ::(44 , y 的可能值只有33
，37 ，43 ，列表如下:
y
y 2
2018- y 2
是否为平方数
33
1089
929
否
37
1369
649
否
43
1849
169
是
因为169=13 2 ，故符合条件的( 工
，y) 仅有0 3 ，43) 这一组.
13. 为了形象化地说明问题，对7 X4 的长方形的28 个小方格黑白相间染色，除"品"字形必占3 个
黑格1 个白格或3 个白格1 个黑格，其余6 个方块各占2 个黑格2 个白格.
用其中的6 种不同的图形方块可以拼成7 X 4 的长方形，方法很多，如图①仅出示一种.
.. 261
alt~ffl i1tfJj ñil.t 4! m
下面证明不能7 种图形方块都各用一次.将7X4 的长方形的28 个小方格黑白相间染色，则如
图②所示，黑、白格各14 个.若7 X 4 的长方形能用7 个不同的方块拼成，则每个方块用到一次
且只用一次.其中"品"字形如图③必占3 个黑格1 个白格或3 个白格1 个黑格，其余6 个方块
各占2 个黑格2 个白格.7 个不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于14.
矛盾.因此，不存在7 种图形方块每个各用一次拼成7 X 4 的长方形的方法.
所出，要拼成7 X 4 的长方形，最多可以用这7 种图形中的6 种.
国①
国②
第13 题答图
国整眠的阻zm 性质
【例题求解】
例1
(1) 2418
提示:和为3 (1 +2+ … 十33)+50 十2 + … +20)-150+2+ … 十6)=1683 十
1050- 315 = 2418.
(2) 8
提示:因1+4=2 十3 ，故1，4 排在偶数位，2 ，3 排在奇数位，有4 种排法;将2 ，3 排在
偶数位，1，4 排在奇数位，也有4 种排法.
例2
C
提示:关于②的证明:对于a
，b ，若至少有一个是3 的倍数，则"是3 的倍数;若α
，b 都
不是3 的倍数，则有
: (1)当α =3m 十1，b = 3η 十l 时，α - b = 3(m - n); (2) 当α = 3m + 1，b =
3n 十2 时，α 十b=3(m 十n 十1) ;(3) 当α =3m+2 ，b =3n +1 时，α 十b=3(m+n+ 1) ;(4) 当
a=3m 十2 ，b=3n 十2 时，a-b=3(m - n).
例3
(1)略
(2) 提示:abcdef=abc X 1 000 十def=abc X 999 十(abc 十def) .
(3) 应用公式，n 为奇数时，a ll 十b " 二(α + b)( α n-l _ a ll 一切+ … 十b " - l ).
由于1596+1000 二59 X 44 ，270 十320 = 59 X 10 ，所以原式能被59 整除，
a " - b" = (α -b) (α ，，- 1 + a ,,- 2b + … 十b" - l) ，又
1596 - 270 = 17 X 78 ，1 000 一320= 17 X
40 ，故原式能被17 整除.
【学力训练】
1. 8;ω ; = oi4阳，一个循环节中的6 个数字和为川13 = 2
2. 10912
.. 268
-E建二量主主….
3. 267
提示:自然数η 能同时被2 和3 整除，相当于η 能被6 整除，有333 个，其中能被5 整除的
便能被30 整除，有66 个.
4. C 提示:2011-;-4=502"
，3.
5. E
具有同样性质的其他数都与119 相差2 ，3 ，4 ，5 ，6 的最小公倍数，即2 2 X 3 X5 =60 的一个倍数.
6. D
设达妮卡开车走了η (n 为正整数)小时，则100a 十10b +c 十55n = 100c 十10b+ α ，得9(c →α)=
5n ,51 (c -a) ,(a ,b ,c ,n) = (1, 0 ,6,9).
7. (1)只有79 是"差一数"
(2) 设"差一数"为a ,JJlU a + 1 能同时被5 和3 整除，即α 十l 能被15 整除，设α + 1=15m(m 为
11
自然数) ，得300< 15m-l < 400 ，20
，-_ <m < 26 一
15 _...
_ - ~ 15'
二m = 21
，22 ，23 ，24 ，25 ，26 ，α=314 ，329 ，344
，359 ，374 ，389.
8. 不存在.假设存在这样的五个连续的自然数:N-2 ，N - 1
，N
，N + 1
，N + 2. 注意这五个自然数
中有一个能被5 整除.就是说，它们的积能被5 整除.这五个数的和等于5N
，同样能被5 整除.这
就是说，这样的五个数的和加上它们的积，其结果也能被5 整除.而所要的结果为2011 ，却不能
被5 整除，矛盾.结论得证.
9. 118
(x+2) 分别能被8
，6 ，5 整除.
10. 提示:设自然数η 除63 ，9 1，130 时，商分别为x
，y
，z
，余数分别为a ,b ，c
，那么63=nx + α
(
,91=ny+b
(,
130=nz +c
③，①十②+③得284= 圳工十y+z)+( α 十b+c)
，而α + b 十c = 26 ，则η (x +
y+z)=258=2 X 3 X 43 ，故n=2 ，3
，6
，43.
11. 90
开始150 盏灯都是亮着的，当按下编号为3 的倍数的全部开关后，即编号为
3 的倍数的灯
共50 盏全部关掉，还有100 盏灯是亮着的.
接着再将编号为5 的倍数的开关全部按下，共有30 盏灯的状态发生变化，其中有既被5 整除
也被3 整除的编号的灯共10 盏，这10 盏灯由灭重新变亮，而其余20 盏灯由亮变灭，因此展厅
中共有90 盏亮着的灯.
12. A
2α +3b=2( α + b)+b.
13. C
n( η - 1) + n( η + 1) +(η
1) (η+ 1) =3η 2 -1，上式被3 除余2.
= 100- (罔+怦]+罔川l
民] - [:剖+民刘)
15. 令5 1 = 12 +22 + 32 +42 +52 + 62 + 72 =140=20 X 7, :. 5 1 是7 的倍数，5 2 =2 2 十3 2 十4 2 十52 + 62 +
7 2 + 8 2 =5 1 +8 2 -1 2 二5 1 + 9 X 7 ，:.5 2 也是7 的倍数，如此递推S 计1= 7N + 丘I (n 为自然数) ,
得任何连续7 个自然数之平方和都是
7 的倍数，2003 = 286 X 7 + 1, m = 1 2 十( 2 2 十3 2 十… +
.. 269
dIE草草逼血血草草.
2003勺
，m 被7 除余1，第m 天为星期一.
16. 由
91 二7 X l3 , 1001 = 7 X 11 X 13 ，知91
1 1 00 1.
而αbcabc = 1001 X α衍，于是，91 I abcabc . 由αbcabc … abc 被
91 整除，而abcabc … abc =
2009个abc
2009个abc
abcabc … αbc X 1000 +αbc
，又abcabc … abc 被9 1 整除，则abc 被91 整除.
2 X 1 004个abc
2 X 1004个αbc
因为能被91 整除的三位数最小为182 ，最大为910 ，所以α仕的最小值与最大值的和为1092.
固不在启程、启程组
【例题求解】
6n 十26
n 十1
例1
37
m= 一一一一=η 十5 十
，n 最小，可取4 ，则A= 6X4+ 13= 37 .
5
._ ,
~，
5
例2
C
提示: ②
①X 1 5 ，得5(z -x)=50 ，z -x= 10 .
1
1
, 1 , 1 _ 3 __ 1
5 _ 3 ... ,_
_"
. •.
•
1
1
1
5
1
1
例3
一<
十一+...:...""二一，即一< : ::( _::_ ，由此得x=2 或3 . 当x=2 时，...:...<...:...+ ...:...=一一一=一ζ
x
x
y
z
~ x . - , x
- 6
~ x . ~
~~ , .. --
-
-"'" ~ . __, ~
-
~ . 'x
~ y
z
6
2
3
飞
1
, 1
2 __ 1
1
_ 2
7 十歹=歹'即歹< 王三二一，由此得y=4 或5 或6 ，同理当工=3 时，y =3 或4. 由此可得当
y
l ::(x 三三y 三三z 时，(工，y ，z) 共有(2 ，4 ，12)
，(2 ，6 ，6)
，(3 ，3 ，6) ，(3 ，4 ，4 )4 组，由于工，y ，z 在方
程中地位平等，可得原方程的解共有
1 5 组:(2 ，4 ，12)
，(2 ，1 2 ，4)
，( 4 ，2 ，12)
，(4 ，12 ，2) ，( 1 2 ，
2,4) , (12 ,4 ,2) , (2 ,6, 6) , (6 ,2, 6) , ( 6, 6 ,2) , (3, 3, 6) , (3 ,6 ,3) , (6 , 3,3) , (3 ,4 , 4) , (4 , 4 ,3) ,
例4
(1)
才
为方程的特解，方程的解为斗
(t 为整数).
ly =2
ly =2-2t
【学力训练】
2017-a
只月
1. 8
设2017-a=49b(b 为自然如，则b = 一一一=41 十L工
49
-- . 49
49
2. 26
一是正整数，α 二1，7 和49.
α
f 4α =5b
，
3. 16
设A
，ß
，C 三人每小时的生产量分别是a 件、b 件、c 件，贝U ~
得
4
4
X --=--a = 1 6α
3 ' 5
4. 131
提示:按m=2 ，3 ，4 情况讨论.
.. 210
[4b=3c ,
4
b = τα ，
15c=15X
4
c=lfb ,
-E革幸运..
5. C
提示: 设二人间租了z 间，三人间租了y 间，则2x+3y+4(7- x - y) = 20 ，即2x 十y=8 ，且
x+y<7 ，符合条件的解为(工
，y)=(2 ，4) ;(3 ,2).
问+2= η (y -2)
，
6. D
设甲、乙所有的钱数分别为x
，y 元(工
，y 为正整数) ，贝U ~
解得2n =1+
ly + n=2( .r - n) ,
15
5=干，2y 一7 的值分别为1，3 ，5 ，15 ，从而n 的值分别为8 ，3 ，2 ，1.
rx=7+5t ,
7. (1) ~
(t 为任意整数)
ly=2 一3t
rx= l 十3t
，
(2) ~
(t 为非负整数)
ly =4+5t
8 . 设甲队有z 人，乙队有y 人，丙队有z 人.据题意，有工+y+z= 13 ，.r < y < z .
注意到4 +5+ 6=15 > 13 ，故甲队人数少于4 人，即甲队只有2 人或3 人.
于是，这三队的人数只能是如下四种情形:(1 ) x=2 ，y=3 ，z=8 ; (2)x=2 ,y=4 ,z=7;
(3)x 二2 ，y=5 ，z=6; (4)x=3 ,y = 4 ,z=6.
情形(1)的比赛场数=2 X (3 + 8) + 3 X 8=46 . 不合题意;情形(2) 的比赛场数=2X (4 十7)+
4 X 7 二50 . 不合题意;情形(3) 的比赛场数=2 X (5+6) +5 X 6=52. 不合题意;情形(4) 的比赛场
数=3 X (4+6) +4X6=54 . 符合题意.由此可知，甲，乙，丙三支球队的人数分别为3 ，4 ，6 人.
2x
~ ,
. (x - 2) + 4
9. 18 或16
提示:设长方形的长和宽分别为x ，y
，由xy=2 .r +2y
，得y = 一一τ=2X
'
,,
-
二E 一-t.
二r- t.
2+击，如=3 ，4 或6 ，相应y =6 ，4 或3
1
1
1
1
10. B
设n= 一十一十一+ ~，且α < 6 < c < d ,a ,6 ,c ，d 为正整数，若α 二三3 ，则b 注4 ，c 二三5
，d 二三6
，
α6 ' c ' d
1
1
1
1 _ 1
1
1
1
19
则
+-;-+
十一〈一一+一十一+一=一< 1，
a
I 6
I
C
I d -.-::::: 3
I 4
I 5
I 6
20
1
1
1
25
_
1
1
1
.·· G 二1 或2 . 当α=1 时，1 < n :S;;; 1 + 一+一十一=一<3 ，于是η 二2 ，而2=1 + 一+一+一，当
2 ' 3 ' 4
12 - ~， ~ r<-"
-
, ,.., -
~'2' 3 ' 6
1
1
1
1
77
_
1
1
1
1
a=2 时，n :S;;;一+一+一+一=一<2 ，于是η = 1 ，而1= 一+一+一+一综上，满足条件的η 有
.::::: 2
I 3
I 4
I 5
60 ....__ '-', J --="
.L 'I II J
.L
2
I 4
I 6
I 12.
2 个.
30x + 1
11. 提示
: 设有z 辆汽车，少一辆汽车后每辆车坐y 人，则有30什1=y(x- 1)
，从而y = 一-，=30
X- l
31
十一一丁，所以x=2( 不合题意)，x=32. 故游客人数为30 X 32+1=96 1C人) .
X-l
12. 设甲队原有工人α 名，乙队原有工人b 名，乙队借调给甲队工人c 名.
.. 271
d
国昌盛a孟噩噩草草-
由题意得
2(α
90) =b 十90 ，①
α 十c=6Cb-c).
②
由式①得b=2α - 270 .
③
式③代人式②得
l 1a -162o
_ __
，
4Cα+ 1)
c=
7
= α - 232 十一-T一.
又c 二三1，于是，α 二三148.
由714(α 十1)，且(4 ，7)= 1，则7
1 (α + 1) .
因此，α 的最小值为
153.
35 十份
工
41
'
(35+份=41m ，
13. 由方程组得斗
当斗
5 走
28
1 28 一切=41n
，
y 一丁「'
消去上面方程的走，得5m 十4n=7.
(m=3 十41
，
由②得斗
(其中
J 是整数)
In=-2-51,
①(其中m ，n 是整数)时，方程组有整数解.
②
③
将③代人①中一个方程3 5 +付=123 + 1641
，走=22 +4 11.
2
_ 20
解不等式1910< 22 十411 < 2010 ，得46 石< 1 < 48 右，故共有2 个h 值使原方程组有整数解.
国
n fîiJ计黯
【例题求解】
例1
24 ;19
a 4 = 5 2 - 1 = 24; α 8 二9 2 - 1 = 8 0 ，向= 10 2 -1 = 99 ，则向=们+ 1 9 .
例2
D
提示:平行四边形个数为:(1十2 + 3+4) X (1 十2) X 2+ (1 + 2) X (1 + 2+3 + 4+5 + 6)
(1 +2) X (1 + 2) X 2= 105.
例3
η 条直线最多将圆分成旧+ 2十3 +
十η=l + jn(n + 1 )块，当n 二62 日才，1 十jh + 1) 二
1954 ，当η 二63 时，1+1n(η+ 1)二20 17. 故至少要画6 3 条直线，可以将圆形纸片分成不少
2
于2003 个小纸片.
例4
(1)面积是1 的等边三角形，有16 个，面积是4 的等边三角形有7 个，面积是9 的等边三角
形有3 个，面积是16 的等边三角形有1 个.此外，面积是3 的等边三角形有6 个，面积是
.. 212
-E建司EE望
7 的等边三角形有2 个.故可以连成的等边三角形共有:16+7+ 3 + 1 + 6 十2=3 5 个.
(2) 所连成的全部等边三角形面积的总和为: 1 X 16 +4 X 7 十9 X 3 + 16 X 1 十3X6 十7X
2=119.
【学力训练】
1. 24
以直角顶点分类(分别以A
，ß ，E 为直角顶点)并考虑其轴对称性.
2. 485
3. B
4. B
第n 个图案需n(n 十3) + 3 根火柴.
5 . 由7Cη 一2) +5η = 154 ~.导n = 14.
6. 可分五种情形:
(1)0 四川
」一一一一一γ一一一一~
3个
(2) 1
1 x 1
1
1 : 亡囚[ill[
1 x 1
11 x 1
1
11
1 x 1
1
1
5个
(3) I1
1
1[ : 11
1
1 1
1
1
11
1
1
1
1
|Ixl
1
11
Ixl
Ilxl
1
11
Ix l
1
1
3个
(4) I1 x 1
1[ : 11 x 1
1 1 x 1
1
11
1 x 1
1
1
|1
1
1
1"1
1
1
1 1
1
1
11
1
1
1
1
3个
什~
'F0~Ft=R
3个
故有z 的长方形有3 +5+3 十3+3 二1 7C 个) .
7. 提示: 每次跳1 格，有1 种跳法，仅有1 次跳2 格，其余各跳1 格，有4 种跳法; 有两次跳2 格，其
余各次跳1 格，有3 种跳法.共有1+4 十3 = 8C 种)跳法.
8. 105
提示: 水平放置的正方形有52 十4 2 + 3 2 十2 2 + 1 2 =55 C 个) ，倾斜放置的正方形有O X 52 +
1 X 4 2 十2 X 3 2 + 3 X 2 2 十4 X 1 2 = 5 0C 个) ，共有55 十5 0 = 1 05C个) .
9. A
"L"形纸片横置时，方法有5 X 4 X 4 = 80C 种)
，"L"形纸片纵置时，方法有5 X 4 X 4 = 80C 种) ,
所以总的放置方法有80+80 = 160 C 种) .故选A .
" 2商
dE军m~lnt回
10. C
提示:拼成的正方形至少需要7 条线段，且拼成的正方形边长的最小值为7 ，最大值为11 ，
当边长为7 时，1 十6 二2 + 5=3+4=7 ，只有1 个;当边长为8 时，1+7 =2 十6 二3+5=8 ，只有1
个;当边长为9 时，1 +8=2 十7 =3+6=4 + 5 = 9 ，有9 个;当边长为
1 0 时，1 + 9 = 2 + 8=3 +
7=4 + 6 ，只有
1 个; 当边长为11 时，2 十9=3 十8=4 + 7=5+6 ，只有1 个.
1 1. 连接同一行和同一列的点可构成一个网格. 首先考虑边平行于网格线的长方
形.对于形状为2 X 6 的长方形，它的方向有2 种选择(水平和铅直) ，其中一组
对边有8-6=2 种选择，另外一组对边有8-2=6 种选择，所以这样的长方形
一共有2 X 2 X 6=24 个.对于形状为3 X 4 的长方形，它的方向也有2 种选择，
其中一组对边有8 -4=4 种选择，另外一组对边有8 - 3 = 5 种选择，所以这样
第11 题答图
的长方形一共有2 X 4 X 5=40 个.除了这些长方形，还有边平行于网格的对角线的长方形，它
们形状分别为j2 X6 j2和2 j2 X3 j2 .
这2 种长方形也分别有2 种方向可选择，首先考虑长方形的最长边从左下方伸到右上方
的这个方向.第一种形状的长方形只有1 个，如图所示;第二种形状的长方形有9 个，其中一个
已在图中标出.这9 个长方形的左上角的顶点已在图中用黑点标出. 所以这2 种形状的长方形
一共有2X (1 十9 ) = 20 个. 因为12 = 2 2 X 3 ，而3 不能表示为2 个完全平方数的和，所以再也没
有其他形状的长方形. 因此要求的长方形一共有24 +40 十20 = 84 个.
12. (1)可以连出
3 X 3 十3 X 3+3X3=27 条线段.
(2) 可以连出
2 X 3+2 X 4 十3X4 = 26 条线段.
(3) 设平面上三组点数分别为m
，n
，户
，S = m + n + ρ ，则可以连出mn+m户+η户= 192 条
线段.
.. 214
因S 2= (m + n + ρ ) 2 = m 2 + η 2 + 户2 十2mn +2mρ 十2ηp 二三mn 十m户十np + 2 1ηn +2m户+
2np = 3(mn 十m户十η户) = 3X 1 92 = 5 76 = 24 2 ，故S 二三24 ，S 的最小值是24 .事实上，当这24
个点平分为3 组，每组8 个点，恰可连出
8 X 8+ 8 X 8+ 8 X 8= 192 条线段. 因此，平面上至
少有24 个点.
