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2026 年秋季八年级开学·学情自测卷
数学•全解全析
第Ⅰ卷（选择题共36 分）
一．选择题（共12 小题，满分36 分，每小题3 分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答
案用2B 铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（ ）
A．1cm,3cm,4 cm
B．2cm,4 cm,5cm
C．6cm,3cm,2cm
D．
2cm,5cm,8cm
【答案】B
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，判断能否组成三角形，只需验证两条较短线段的长度和是否大
于最长线段的长度，满足条件即可组成三角形，反之不能．
【详解】解：A、∵1+3= 4，∴ 不能组成三角形，不符合题意；
B、∵2+ 4 =6>5，∴ 能组成三角形，符合题意；
C、∵2+3=5<6，∴ 不能组成三角形，不符合题意；
D、∵2+5=7<8，∴ 不能组成三角形，不符合题意．
2．在下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】两个完全重合的图形称为全等图形，根据定义逐项判定即可得到答案．
【详解】
解：A、
两个图形大小不同，不是全等图形，不符合题意；
B、
两个图形形状不同，不是全等图形，不符合题意；
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C、
两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
D、
两个图形的形状和大小都不相同，不是全等图形，不符合题意．
3．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，点A表示轮船的初始位置，点B表示轮船行进中
某一时刻的位置，当轮船从点A行驶到距离灯塔最近点时，此时∠ACB的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
【答案】C
【分析】根据垂线段最短的性质，当轮船行驶到距离灯塔最近点时，轮船与灯塔的连线垂直于航线，构成
直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵当轮船行驶到距离灯塔C最近点时，
∴此时轮船位置（即点B）与灯塔C的连线垂直于航线AD，
∴CB⊥AB，
∴∠ABC =90°，
在Rt△ABC中，∠A =30°，
∴∠ACB =90°−∠A =90°−30° =60°．
4．下列说法中正确的个数是（ ）
①三角形的中线、角平分线、高线都是直线
②任意一个三角形的内角和都是180°
③三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等边三角形
④三角形的一个外角一定大于它的内角
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题考查三角形的基础概念，只需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可，用到三
角形相关定义、内角和定理、分类标准和外角性质等初中知识点．
【详解】解：逐个判断说法正误：
①三角形的中线、角平分线、高线都是线段，不是直线，故①错误；
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②根据三角形内角和定理，任意一个三角形的内角和都是180°，故②正确；
③三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，等边三角形是按边分类的结果，故③错误；
④当三角形的内角为钝角或直角时，它对应的外角不大于该内角，故④错误；
∴正确的说法只有1 个．
5．如图所示，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD的条件是（ ）
A．BD =CD
B．∠B =∠C
C．AB = AC
D．AD平分∠BAC
【答案】C
【分析】已知∠1=∠2，AD = AD，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A、添加BD =CD可利用SAS定理判定△ABD ≌△ACD，故此选项不合题意；
B、添加∠B =∠C可利用AAS定理判定△ABD ≌△ACD，故此选项不合题意；
C、添加AB = AC不能判定△ABD ≌△ACD，故此选项符合题意；
D、添加AD平分∠BAC，则∠BAD =∠CAD，
可利用ASA定理判定△ABD ≌△ACD，故此选项不合题意．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，
N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若
CD =2，AB =7，则△ABD的面积是（ ）
A．2
B．7
C．9
D．14
【答案】B
【分析】过点D 作DE⊥AB于点E，由角平分线的定义得到DE =CD =2，再根据三角形的面积公式求解
即可．
【详解】解：如图所示，过点D 作DE⊥AB于点E，
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由作图方法可知AD平分∠BAC，
∵∠C =90°，DE⊥AB，
∴DE =CD =2，
∵AB =7，
∴S△ABD= 1
2 AB⋅DE = 1
2 ×7×2=7．
7．如图，AD是△ABC中边BC上的中线，E、F分别是AB、AD的中点，若△ACD的面积为12 cm
2，则
△≝¿的面积是（ ）
A．6 cm
2
B．3 cm
2
C．1.5 cm
2
D．1 cm
2
【答案】B
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，△ACD的面积为12cm
2，
∴S△ABD=12cm
2，
∵点E 是线段AB的中点，
∴S△AED= 1
2 S△ABD=6cm
2，
∵点F 是线段AD的中点，
∴S
△≝¿= 1
2 S△AED=3cm
2¿．
8．已知△ABC的AB边长为4，AC边长为8，则BC边上的中线AD的长度的取值范围（ ）
A．1< AD<5
B．2< AD<6
C．3< AD<7
D．4< AD<8
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长AD到E，使DE = AD，再
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连接EB，再证明△ADC ≌△EDB可得BE = AC =8，然后再根据BE−AB< AE<BE+ AB可得答案．
【详解】解：延长AD到点E，使得DE = AD，连接BE，则AE =2 AD，
∵点D 是BC的中点，
∴BD = DC，
又∵∠ADC =∠BDE，
∴△ADC ≌△EDB (SAS)，
∴BE = AC =8，
∴BE−AB< AE<BE + AB，即8−4< AE<8+ 4，
∴4<2 AD<12，即2< AD<6，
故选：B．
9．李华大扫除时，要挪动墙角的储物柜，挪动过程示意图如图所示，其中∠B =90°，AB = BC =0.5 m，
将储物柜△ABC沿着墙向右平移到△≝¿的位置，已知BE =1m，则储物柜扫过的区域（四边形ABFD）的
面积是（ ）
A．0.25 m
2
B．0.5 m
2
C．0.625 m
2
D．0.75 m
2
【答案】C
【分析】先利用等腰直角三角形的性质，确定了两条直角边的长度．再根据平移的性质，得出了梯形的上
底和下底长度．最后直接套用梯形面积公式，计算出最终结果．
【详解】解：∵∠B =90°，AB = BC =0.5 m，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC平移得到△≝¿，平移距离BE =1m，
∴AD = BE =1m，EF = BC =0.5 m，AD∥BE
∴四边形ABFD是直角梯形，上底AD =1m，下底FB = BE+ EF =1.5 m，高AB =0.5 m，
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∴S梯形ABFD= 1
2 ×( AD + FB)× AB
= 1
2 ×(1+1.5)×0.5
=0.625 m
2．
10．在等腰△ABC中，AB = AC，中线CD将这个三角形的周长分为12 和15 两个部分，则这个等腰三角
形的底边长为（ ）
A．7
B．7 或11
C．10
D．8 或10
【答案】B
【分析】分两种情况讨论中线分周长的组合，结合等腰三角形性质列方程组，求解后验证三边关系．
【详解】解：如图，设等腰△ABC的腰长AB = AC = y，底边长BC = x，
∵CD是AB边上的中线，
∴AD = BD = y
2 ，
分两种情况：情况①当¿时，¿
解得¿，
∵8+8>11，
∴能构成三角形；
情况②当¿时，¿
解得¿，
∵10+10>7，
∴能构成三角形．
综上，底边长为7 或11．
11．如图1，已知∠DAB =20° ,∠B =60° ,∠BCD = 40°，要求出∠ADC的度数，现有图2 中的甲、乙、
丙三种添加辅助线的方案，其中能求出∠ADC度数的方案是（ ）
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A．只有甲、乙能求出
B．只有甲、丙能求出
C．只有乙、丙能求出
D．甲、乙、丙都能求出
【答案】D
【分析】甲利用三角形外角定理，乙利用平行线的性质和三角形内角和定理，丙利用三角形内角和定理分
别求证即可解答．
【详解】解：甲：∵∠ADC是△DEC的外角，
∴∠ADC =∠CED +∠C，
∵∠CED是△ABE的外角，
∴∠CED =∠A +∠B，
∴∠ADC =∠A +∠B+∠C =120°；
乙：∠CDA =360°−∠CDF −∠ADF，
∵DF ∥AB，
∴∠DAB+∠ADF =180°，∠CFD =∠B，
∴∠CDF =180°−∠BCD−∠CFD =180°−∠BCD−∠B，∠ADF =180°−∠DAB，
∴∠CDA =360°−(180°−∠BCD−∠B)−(180°−∠DAB)=∠BCD +∠B+∠DAB =120°；
丙：∵在△ABC中，∠DAB+∠B+∠BCD +∠ACD +∠CAD =180°，
在△ADC中，∠ADC +∠ACD +∠CAD =180°，
∴∠ADC =∠DAB+∠B+∠BCD =120°．
综上所述，甲、乙、丙都能求出．
12．如图，AB = 4cm，BC =6cm，∠B =∠C ，如果点P 在线段BC上以1 厘米/秒的速度由B 点向C 点
运动，同时，点Q 从C 点出发沿射线CD运动．若经过t 秒后，△ABP与△CQP全等，则t 的值是（ ）
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A．2
B．4
C．2 或3
D．2 或4
【答案】C
【分析】根据题意可分两种情况：△ABP ≌△PCQ和△ABP ≌△QCP，根据全等三角形的性质讨论求解
即可．
【详解】解：∵∠B =∠C，
∴当△ABP与△CQP全等时，只存在△ABP ≌△PCQ和△ABP ≌△QCP这两种情况，
当△ABP ≌△PCQ时，则CP= AB = 4cm，
∴BP = BC −CP=2cm，
∴t = 2
1 =2；
当△ABP ≌△QCP时，则BP =CP = 1
2 BC =3cm，
∴t = 3
1 =3；
综上所述，t 的值为2 或3．
第Ⅱ卷（非选择题，共84 分）
二、填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
13．已知△ABC是等腰三角形，顶角∠A =80°，则底角∠B =______．
【答案】50°/50度
【分析】根据等腰三角形的性质，底角相等，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：在等腰△ABC中，顶角∠A =80°，
则底角∠B =∠C，
设∠B = x，则∠C = x，
根据三角形内角和定理得x +80°+ x =180°，
即2 x +80° =180°，
2 x =100°，
解得x =50°，
即∠B =50°．
14．如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角
形模具，你选择带的那块编号是________．
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【答案】
③
【分析】要配一块与原来一样的三角形模具，即要构造一个与原三角形全等的三角形，需根据全等三角形
的判定定理寻找包含足够条件的碎片．
【详解】第①块只保留了一个角和部分边，无法确定三角形的形状和大小；
第②块不包含完整的边和角，无法确定三角形的形状和大小；
第③块保留了两个角和这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理“角边角”，即两角及其夹边对应相
等的两个三角形全等，
∴带第③块去商店，可以配一块与原来一样的三角形模具．
15．如图，∠C =90°，AD平分∠BAC，BC =7，BD =5，则点D 到AB的距离为______．
【答案】2
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB，
∵BC =7
，
BD =5
，
∴CD =2，
∵AD平分∠BAC，∠C =90°，
∴CD = DE =2，
∴点D 到AB的距离为2．
16．如图，射线OC平分∠AOB，点D，Q 分别在射线OC，OB上，若OQ = 4，△ODQ的面积为10，过
点D 作DP⊥OA于点P，则DP的长为______．
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【答案】5
【分析】过点D 作DM ⊥OB于点M，利用角的平分线的性质，三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过点D 作DM ⊥OB于点M，如图
∵射线OC平分∠AOB，DP⊥OA，DM ⊥OB，
∴DP = DM；
∵OQ = 4，△ODQ的面积为10，
∴1
2 OQ⋅DM =10；
∴1
2 ×4× DM =10；
解得DM =5，
∴DP =5．
17．如图，已知在4×6的方格中，点A、B、C、D、E均在格点上，那么∠CDE−∠BAC =
____________度．
【答案】90
【分析】取格点F，连接CF，DF，得到△CDF ≌△BAC (SAS)，得到∠CDF =∠BAC，进而求解即可．
【详解】解：取格点F，连接CF，DF，
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∵CF = BC =2，DF = AC = 4，∠DFC =∠ACB =90°，
∴△CDF ≌△BAC (SAS)，
∴∠CDF =∠BAC，
∴∠CDE−∠BAC =∠CDE−∠CDF =∠EDF =90°．
18．如图，△ABC的面积为16 cm
2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的
面积为___________cm
2．
【答案】
8
【分析】延长AP交BC于点D，根据角平分线的定义和垂直的定义，利用ASA证明△ABP ≌△DBP，从
而得到AP = DP，即P为AD的中点，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得△PBC
的面积等于△ABC面积的一半；
【详解】解：延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB =∠DPB =90°，
在△ABP和△DBP中， ¿，
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∴△ABP ≌△DBP( ASA )，
∴AP = DP，
∴S△PBD= 1
2 S△ABD，S△PCD= 1
2 S△ACD，
∴S△PBC = S△PBD+ S△PCD= 1
2 S△ABD+ 1
2 S△ACD= 1
2 (S△ABD+ S△ACD)= 1
2 S△ABC，
∵S△ABC =16cm
2，
∴S△PBC = 1
2 ×16=8cm
2．
三、解答题（本大题共8 个小题，共66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6 分）如图，点A在线段CD上，已知BC ∥DE，BC =CD，∠BAC =∠E．
(1)求证：△ABC ≌△ECD
(2)若DE =5，BC =13，求AD的长．
【答案】(1)证明：∵BC ∥DE，
∴∠ACB =∠D，
在△ABC和△ECD中，
¿，
∴△ABC ≌△ECD (AAS)．
(2)8
【分析】（1）先得出∠ACB =∠D，再根据AAS定理即可得证；
（2）得出CD = BC =13，AC = DE =5，即可得AD的长．
【详解】（1）略．
（2）解：由（1）已证：△ABC ≌△ECD，
∴CD = BC，AC = DE，
∵DE =5，BC =13，
∴AC =5，CD =13，
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∴AD =CD−AC =13−5=8．
20．（6 分）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼AB的高度，在旗杆CD与楼AB之间选定一点P（点
D , P ,B在同一直线上），测得∠CPA =90°，点P到楼底的距离PB =10 m，旗杆CD的高度为10 m．若旗
杆CD与楼AB之间的距离BD = 42m，请你计算楼AB的高度．
【答案】楼AB的高度为32m
【分析】证明△PBA ≌△CDP (AAS)，进一步利用全等三角形的性质可得答案.
【详解】解：由题意，得∠CDP =90° ,∠ABP =90° , PB =CD =10 m ,BD = 42m．
∵∠CPA =90°，
∴∠DPC +∠APB =90°．
∵∠ABP =90°，
∴∠BAP+∠APB =90°，
∴∠BAP =∠DPC．
在△PBA和△CDP中，
∵∠BAP =∠DPC ,∠PBA =∠CDP , PB =CD，
∴△PBA ≌△CDP (AAS)，
∴AB = PD．
∵PD = BD−PB = 42−10=32(m )，
∴AB =32m．
答：楼AB的高度为32m．
21．（8 分）图①、图②、图③均是5×5 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C 均在
格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，过点A 作BC边上的高AD；
(2)在图②中的AB边上找到点E，连接CE，使得S△ACE= S△BCE；
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(3)在图②中的BC边上找到点F，连接AF，使得S△ACF =2S△ABF．
【答案】(1)解：如图，AD即为所求；
(2)解：如图，CE即为所求；
(3)解：如图，AF即为所求；
【分析】（1）根据高的定义，借助网格构造直角即可；
（2）借助网格寻找边AB的中点即可；
（3）借助网格寻找边BC的三等分点即可．
【详解】（1）解：略；
（2）解：如图，边AB（不含端点A ,B）经过的格点即为点E，连接CE，则AE = BE，由图形可知
△ACE和△BCE等底同高，所以S△ACE= S△BCE；
（3）解：如图，设网格中每个小正方形的边长为1，则BC =3，在BC上取F,使BF =1，则CF =2，连接
AF，由图形可知△ACF和△ABF同高，它们的底分别为BF ，CF，所以S△ACF =2S△ABF．
22．（8 分）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，CE平分∠ACD交AD于点E．
(1)若∠CED = 49°，∠CAF =56°，求∠ADC的度数；
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(2)若DE: AE =3:4，△ABD的面积是42，求△ACE的面积．
【答案】(1)∠ADC =114°
(2)24
【分析】（1）先求出∠ACD的度数，再求出∠DCE的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）先求出△ACD的面积，再得出S△DCE:S△ACE= DE: AE =3:4，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵AF是△ABC的高，
∴AF ⊥BC，
∴∠AFC =90°，
∵∠CAF =56°，
∴∠ACD =180°−∠AFC −∠CAF =34°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE = 1
2 ∠ACD =17°，
∵∠CED = 49°，
∴∠ADC =180°−(∠DCE +∠CED)=180°−(17°+ 49°)=114°．
（2）解：∵AD是△ABC的中线，△ABD的面积是42，
∴S△ACD= S△ABD= 42，
∵△DCE的DE边上的高与△ACE的AE边上的高相等，且DE: AE =3:4，
∴S△DCE:S△ACE=3:4，
又∵S△DCE+ S△ACE= S△ACD= 42，
∴S△ACE=
4
3+ 4 ×42=24，
即△ACE的面积为24．
23．（8 分）图1 是一个平分角的仪器，其中OD =OE，DF = EF．
(1)如图2，将该仪器放置在△ABC上，使点O 与顶点A 重合，点D，E 分别在边AB，AC上，连接AF并
延长，交BC于点P．求证：AP平分∠BAC．
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P 作PQ⊥AB于点Q，若PQ =6，AC =8，△ABC的面积为60，求
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AB的长．
【答案】(1)证明：在△ADF和△AEF中，
¿，
∴△ADF ≌△AEF (SSS),
∴∠DAF =∠EAF,
∴AP平分∠BAC；
(2)12
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题
的关键．
（1）易证明△ADF ≌△AEF (SSS)，则∠DAF =∠EAF，从而得出结论；
（2）过点P 作PM ⊥AC于M，根据角平分线的性质定理得到PM = PQ，利用S△ABC = S△ABP+ S△ACP求解
即可．
【详解】（1）略；
（2）解：过点P 作PM ⊥AC于M，
∵AP
平分
∠BAC
，
PQ⊥AB
，
∴PM = PQ =6，
∵S△ABC = S△ABP+ S△ACP= 1
2 × AB× PQ+ 1
2 × AC × PM，
∴1
2 × AB×6+ 1
2 ×8×6=60，
解得：AB =12．
24．（8 分）如图，D 为△ABC外部一点，连接AD，CD，已知∠B =50°，∠D =100°
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(1)尺规作图：在△ABC内求作一点M，使△AMC ≌△ADC；（提示：以点A 为圆心，AD为半径画弧；
再以点C 为圆心，CD为半径画弧，两弧交于点M，连接AM ,CM）
(2)①通过作图可以得到：AM =______，CM =______；
②判定△AMC ≌△ADC的依据是______（从SSS、SAS、ASA或AAS中选填）；
(3)求∠BAM +∠BCM．
【答案】(1)
(2)①AD；CD；②SSS
(3)50°
【分析】（1）根据提示作图即可；
（2）①根据题意可得答案；②结合全等三角形的判定可得答案．
（3）结合全等三角形的判定可得∠AMC =∠D =100°，在△ABM中，
∠BAM =180°−∠ABM −∠AMB，在△BCM中，∠BCM =180°−∠CBM −∠CMB，则可得
∠BAM +∠BCM =360°−∠ABC −(360°−∠AMC)=50°．
【详解】（1）略；
（2）解：①通过作图可以得到：AM = AD ,CM =CD．
②结合作图得AM = AD ,CM =CD，
∵AC = AC
∴判定△AMC ≌△ADC的依据是SSS；
（3）解：在△ABM中，∠BAM =180°−∠ABM −∠AMB，
在△BCM中，∠BCM =180°−∠CBM −∠CMB．
∵△AMC ≌△ADC，
∴∠AMC =∠D =100°．
∴∠BAM +∠BCM
=180°−∠ABM −∠AMB+180°−∠CBM −∠CMB
=360°−∠ABC −(∠AMB+∠CMB)
=360°−∠ABC −(360°−∠AMC)
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=360°−50°−(360°−100°)
=50°．
25．（10 分）【综合与应用】当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如
图①、图②、图③入射光线FE经过镜子AB、BC两次镜面反射，分别反射为EG、GH两条反射光线，
且∠1=∠2，∠3=∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC =α．
【问题初探】
(1)如图①，两面镜子AB ,BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1=∠2，∠3=∠4．若
∠α =70°，则∠β的度数是______°．
【拓展应用】
(2)如图②，是一种由两面镜子AB、BC组成的反光镜，若EF与GH平行，求两面镜子AB ,BC的夹角α的
度数．
【深入探究】
(3)如图③，若90°<α <180°，∠1=25°，入射光线FE的延长线与反射光线GH的反向延长线的夹角
∠FMH = β，若三角形MEG为锐角三角形，请求出α的取值范围．
【答案】(1)40；
(2)当EF与GH平行时，α =90°．
(3)110°<α <135°．
【分析】（1）先由三角形内角和定理得到∠2+∠3=180°−∠α =110°，由题意得，
∠1=∠2,∠3=∠4，根据平角的定义得到∠5=180°−∠1−∠2=180°−2∠2，
∠6=180°−∠3−∠4 =180°−2∠3，再由三角形内角和定理求解即可；
（2）根据当EF ∥GH，得到∠FEG+∠EGH =180°，然后根据平角的定义得到
∠1+∠2+∠FEG =180° ,∠3+∠4 +∠EGH =180°，再由∠1=∠2，∠3=∠4，以及三角形内角和
定理求解即可；
（3）由图可得∠MEG =2∠2，∠MGE =2∠3，即得β =2α −180°，再根据锐角三角形的定义列出不
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等式组解答即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵∠α =70°
∴∠2+∠3=180°−∠α =110°
由题意得，∠1=∠2,∠3=∠4
∵∠β =180°−∠5−∠6，∠5=180°−∠1−∠2=180°−2∠2，
∠6=180°−∠3−∠4 =180°−2∠3
∴∠β =180°−(180°−2∠2)−(180°−2∠3)=2(∠2+∠3)−180° =220°−180° = 40°；
（2）解：当EF ∥GH时，∠FEG+∠EGH =180°，
∵∠1+∠2+∠FEG =180° ,∠3+∠4 +∠EGH =180°
∴∠1+∠2+∠3+∠4 =360°−180° =180°．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴α =180°−(∠2+∠3)=90°，
即当EF与GH平行时，两面镜子AB ,BC的夹角α =90°；
（3）解：由图可得，∠MEB =∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠MEG=2∠2，
同理可得，∠MGE =2∠3，
∴β =180°−(∠MEG+∠MGE)=180°−2(∠2+∠3)
=180°−2(180°−α )=2α −180°．
∵三角形MEG为锐角三角形，
∴¿，
∴110°<α <135°
26．（12 分）综合实践：
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(1)如图1，在△ABC中，∠BAC =90°，AB = AC，直线l 经过点A，分别从点B，C 向直线l 作垂线，垂
足分别为D，E．求证：△ABD ≌△CAE；
【变式探究】
(2)如图2，在△ABC中，AB = AC，直线l 经过点A，点D，E 分别在直线l 上，如果
∠CEA =∠ADB =∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
(3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3 所示，以△ABC的边AB，AC为一边
向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD =∠CAE =90°，AB = AD，AC = AE，AG是边BC上的高．延长
GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜想S1，S2大小关系，并说明理由．
【答案】(1)∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB =∠CEA =90°，
∴∠DBA +∠DAB =90°，
又∵∠BAC =90°，
∴∠DAB+∠CAE =90°，
∴∠DBA =∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
¿，
∴△ABD ≌△CAE（AAS）．
(2)DE = BD +CE．理由如下：
∵∠CEA =∠ADB =∠BAC，且∠DBA +∠ADB+∠BAD =180°，∠BAD+∠BAC +∠CAE =180°，
∴∠DBA =∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
¿
¿，
∴△ABD ≌△CAE（AAS），
∴BD = AE，AD =CE，
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∴DE = AD+ AE =CE+ BD，
即DE = BD+CE．
(3)S1= S2，理由如下：
过点D作DM ⊥GH延长线于M，过点E作EN ⊥GH于N，则∠M =∠ANE =90°．
∵AG是BC边上的高，
∴∠AGB =90°，
∴∠BAG+∠ABG =90°，
∵∠BAD =90°，
∴∠DAM +∠BAG =90°，
∴∠DAM =∠ABG．
在△ADM和△BAG中，
¿
¿，
∴△ADM ≌△BAG（AAS），
∴DM = AG．
同理可证：
△AEN ≌△CAG（AAS），
得EN = AG，
∴DM = EN．
∵△ADH的面积S1= 1
2 ⋅AH ⋅DM，△AEH的面积S2= 1
2 ⋅AH ⋅EN，
∴S1= S2．
【分析】（1）先根据垂直定义得∠ADB =∠CEA =90°，因为∠BAC =90°，所以可推出∠BAD与
∠ACE互余，进而得∠BAD =∠ACE，结合AB = AC，用AAS判定三角形全等．
（2）根据∠CEA =∠ADB =∠BAC，利用平角定义和三角形内角和推出一组对应角相等，结合
AB = AC，用AAS证△ABD ≌△CAE，再根据线段和差关系推导DE、BD、CE的数量关系．
（3）分别过D、E 作GH的垂线，垂足为M、N，先仿照（1）的思路证△ADM ≌△BAG、
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△AEN ≌△CAG，得到DM = AG、EN = AG，进而得DM = EN，根据同底等高三角形面积相等判断S1
与S2的关系．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
