精英数学大视野(7年级)_2026秋初中教辅合集_黄东坡数学系列_《黄东坡系列•学科精英大视野》7-9（数学物理化学）

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黄东坡
数学教育学硕士，国家级骨干教师，中国数学奥林
匹克高级教练。多年来关注数学和数学教育的进展，致力于中考
数学和奥林匹克数学的研究。代表作《培优新方法~
~ 探究应用
新思维~
~ 学科精英大视野~
~ 优与雅的初中代数~
~ 爱与恨的
初中平面几何~
~ 带你发现数学之美》自出版以来深受广大师生
欢迎，畅销千万册，成为全国许多重点中学开展学科课外活动的
指定教辅读物。
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学科精英大视野系列丛书j
在姐姐鸟'E吉~~~~~，品:;..~~!.
精英数学大视野
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精英数学大视野
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暴露
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责任编辑朱时君
封面设计刘舒扬
定价: 38 . 00元
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英
大
视
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俱怀逸兴壮思飞
欲上青天揽明月
一一文化视野下的精英数学
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美国国家研究委员会发表的《人人关心数学教育的未来》一书强调，国与国
之间的竞争是高新技术的竞争，而高新技术竞争的背后是具有创造力的拔夫人
才的竞争，很少有人知道，高新技术的本质是数学化的技术。
本书为有志于升入重点中学的学生而著，为未来学科带头人、各行业领军
人而作。追求在广阔的文化背景下，用思想方法武装头脑，用历史名题开启心
智，用问题解决锤炼思维，用人文精神滋养心灵，用审美视角引领鉴赏。
旨在打
造未来精英的核心能力构成:专业素养、理性思维、人文情怀、审美眼光。
本书展现了隽永的图景，或是数学大师的风采展示，或是数学成果的主观，
或是数学名著的介绍，或是数学重大事件的再现，把抽象的数学化为视觉化的
形象，通过图示形象地渗透数学的思想、方法、精神，直观地反映数学与自然、数
学与现实、数学与其他学科的联系。在阅读本书的过程中，重温厚重而曲折的
数学历史，领略数学的力量、神韵、美丽。
本书收录的历史上经典数学名题、趣题，或来自民间传说，或由文化名流编
撰，或是数学大师的研究成果，它们是数学大花园中的奇花，因内涵丰富、匠心
独具而流传千古。在思考这些名题、趣题的过程中，从惊讶到思考而开启，这智，
品鉴经典名题的醇香韵味。
本书汇集了近年国内外中考、竞赛的优秀试题，或是引而不发的点拔，或是
深入浅出的分析，或是刨根究底的探索，或是开放思维的发散，或是言简意肢的
总结，或是直抵心灵的感悟。在解决这些问题的过程中，感受解题之道、思维之
美，体会由一筹莫展、冥思苦想到茅塞顿开、悠然心会的巨大乐趣。
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学科精英大视野系列丛书
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潮平两岸阔，风正一帆悬。
走进《大视野>> ，身临数学文化场景:既有情境，又有历史;既有方法，又有思
想;既有真知，又有顿悟;既有趣味，又有哲思。
蕴万昼于胸，纳百川于怀。
走进《大视野>> ，收获的是技巧与方法，激活的是质疑与想象，提升的是意识
与美感，生成的是智慧与能力。
高远而蔚蓝，广袤而深远。
愿你早日成为未来科技英才、文化精英。
黄东坡
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第1 讲
第2 讲
第3 讲
第4 讲
第5 讲
第6 讲
第7 讲
第8 讲
第9 讲
第10 讲
第11 讲
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……..…… ...一一… -一一ð飞卒'也
........... 
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质数、合数与因数分解…... ... ... ... 
质数的孤独……………
奇数、偶数……… …
奇偶分析…… .. 
数的整除性…... ... ... 
割尾法……... ..... 
带余除法……... ..... 
反证法……... ... ... ... 
数轴……... ... ... 
质点运动…… . .. .. 
绝对值……... ... 
数学建模……... .... 
有理数的计算…... ... .. . 
裂项相消中的类比…... ... 
设而不求……... ... ... ..... 
三阶幻方…. . . ... ... ... ... 
整式的加;咸…
整体思考……... .. . ... .. . ... ... .... 
一元一次方程…·
思维品质
…
怎样设元………
牛吃草问题
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CONTENTS ':
4 
10 
12 
17 
20 
26 
28 
35 
37 
43 
46 
52 
54 
63 
66 
71 
73 
79 
82 
88 
90 
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学科精英大视野系列丛书
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飞、CONTENTS /
98 
趣昧运动…...
第12 讲
101 
环形运动…
108 
二元一次方程组…
第13 讲
.... 
1 
1 
叠加、叠乘..
117 
一次方程组的应用…... ... ... ... ... ... 
第14 讲
120 
完美长方形…... ... ... ... .... 
127 
不定方程(组)……... ... ... 
第15 讲
131 
分离整系数…... ..... 
137 
一元一次不等式…... .. 
第16 讲
139 
多元不等式…... ... ... 
146 
不等式的应用..
第17 讲
149 
放缩法……... ..... 
156 
平面直角坐标系…... ..... 
第18 讲
159 
坐标化……... .. 
167 
立体图形……... ... 
第19 讲
171 
欧拉公式……... .... 
179 
线段与角……...
第20 讲
183 
钟表上的角度…………... ... ... .... 
A~A~ 
192 
相交线与平行线….
第21 讲
195 
基本图形分析法…... ... ... ... .... 
203 
206 
三角形的边与角…... ... .... 
规形探究-
第22 讲
争斗)
第23 讲
多边形……. . . . 
213 
大自然的青睐… .. .
215 
第24 讲
图形面积…… …
223 
井田…·
226 
第25 讲
归纳与猜想…. . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
233 
递推…….
236 
第26 讲
抽象与具体…
. .. ... 
244 
数学的眼光….. . .... 
247 
第27 讲估算的方法… … … …..
253 
排序… …... ... .... 
255 
第28 讲
几何计数… ….
261 
舒展思维… ..
264 
第29 讲抽屉原理…. .
271 
云深不知处…. .
274 
第30 讲
容斥原理……
. .. ... 
280 
国际统计年… .
282 
第31 讲取整运算… ..
288 
高斯函数……..
290 
第32 讲逻辑推理… ·
295 
爱因斯坦的启示… . .. . 
298 
&:\1'ì:\trí:\1: 
飞3 吆
一
• 
圈副院
守气也4}/1
4广宅中
从远古时代开始，人类就需要记数和测量周围物
体，早期的记数方法包括实物分堆、结绳记数、刻痕记
数、手指记数等.
结绳而治，屈指可数
，手指记数孕育了现在我们
熟悉而普遍使用的十进制系统.
需1 市民点也与国古? i
》萝‘知能樱述
一个大于1 的正整数，若除了
1 与它自身，再没有其他的约数，这样的正
整数叫作质数;一个大于
1 的正整数，除了
1 与它自身，若还有其他的约数，
这样的正整数称为合数. 这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类
:
[整数1，
正整数{质数，
l合数.
质数、合数有下面常用的性质:
1. 
1 不是质数，也不是合数;2 是唯一的偶质数.
2 . 若质数ρ|α b ，则必有ρ
| α 或ρ
I b .
3. 若正整数a ，b 的积是质数户，则必有α = 户或b = ρ .
4 . 算术基本定理:任意一个大于1 的整数N 能分解成走个质因数的乘
积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是唯一的，从而N 可以写成分
解形式:
N=ρ~ l • p ~2 … . .ρ?
. 
其中户1 < ρ 2< … < P k
' ρ t 为质数，α ，为非负整数Ci = 1，2
，… ，的.
正整数N 的正约数的个数为(1 + a 1 ) (1 十a 2 ) … (1 + a k )
，所有正约数的
和为(1 十户l 十… +到，) (1 + P2+ … 十到2 ) … (1 + ι + … + 到k ) • 
'
问题幡决
例
1
已知三个不同的质数a ，b ，c 满足abbc + α = 2000 ，那么α +b +
c -一
(江苏省竞赛题)
飞L蜷
与将c主;黄
罩F咽r-
__ 
圃配
如果一个学生要
成为完全合格的、多
方面武装的科学家，
他在其发展初期必定
来到一座大门，并且
必须通过这座门
. 在
这座大门上用每一种
人类语言刻着同样的
一句话
: 这里使用数
学语言.
Q. Hogg 
质数个数
欧几里得在其名
著《几何房、本》中提出
并证明了下列命题:
质数有无穷多个.
这个命题证明的
关键思路如下
:
#主t支
ρ ，'ρ 2 ' … , 
ρ " 是给定的几个质
数，考察将这几个质
数之积加上
1 而得到
的新数:
户，P 2 "' Þ " 十1 , 
由此展开推理.
Ctt\1"í:\&:\ 
食
，传女
食
，陆女
，曲
，陆女
瞄思想路
运用乘法分配律、算术基本定理，从因数分解入手，突破α
的值.
例2
一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来
的数大9 ，这样的两位数中，质数有(
). 
A. 
1 个
B.
3 个
C .
5 个
D.
6 个
(" 希望杯"邀请赛试题)
晤题思路
字母示数，从分析这样的两位数的特征:入手. . 
例3
求这样的质数，当它加上10 和
1 4 时，仍为质数.
(上海市竞赛题)
壁些翌些
由于质数的分布不规律，不妨从最小的质数进行实验，但这
样的质数唯一吗?还需按剩余类的方法进行讨论.
例4
证明对于每→个n ，数11 … 1211...1 是合数.
n个
n个
(全俄数学奥林匹克竞赛试题)
些些些堕
通过分拆变形，把原数分解为有一个大于1 又不是自身的因
数即可.
学科精英大视野系列丛书
"万物皆辈虫"
早在古希腊，毕
达哥拉斯学派相信世
l
界是可织的，它有某
种固有的结构秩序，
而这种秩序和结构又
服从数的规律.数学
在古希腊及近代欧
洲，都被认为是表现
人类理性思维的最典
型的科学.
实验只是探索解
题思路的一种手段，
不能代替证明.要证
明一个正整数是否为
质数，其基本方法是
利用因数分解，设法
指出它的一个异于
1
及自身的正约数.
、，.，
~~~ 
( 七a: !Il ) 
1号，传
，传
女食
食
* 
1号，传
第
1
ì井
质数、合数与因数分解
例5
如果ρ 与ρ 十2 都是大于3 的质数，那么请证明:6 是p + 1 的约数.
(加拿大数学奥林匹克竞赛试题)
晤题思路
每一整数可以写成仙，6n-1 ,6n + 1 ,6n - 2 , 6n+ 2 ,6n + 3(n 
为整数)中的一种，其中仙，仙一2 ，6η 十2
，6n + 3 在η注1 时都是合数，分别
被6 ，2 ，2 ，3 整除，故质数户是仙一l 或6n 十l 的形式.
19IJ 6 
在1，0 交替出现且以
1 打头和结尾的所有整数(如
101
，10101 ，
1 0 10101 …)中有多少质数? 请证明你的论断.
(北京市竞赛题)
钳制局睡
显然，101 是个质数; 下面证明N = 1 0 1 0 10"'01 ，当h 二月时
」一一一-v一一一~
是个1
都是合数，注意到N 是由走个1 与k-1 个0 组成的
2 走
1 位数，则11N =
11 X 10101...01 = 111…11 = 11…11
0 
(1 0k+ 1)( 走二月) ，即11N 是一个由出
」一一一--y-一一~
-一一~一一一
~一-----
是个I
2是个1
h 个l
个
1 组成的2走位数.
(1)当h 为不小于
3 的奇数时，11 平旦二11 ，因此必有
11
1 10 k 十1，即
是个l
旦1土1 = M1 〉1 ，所以N = ll...ll X Mj 是个合数.
11 
- -1 
」尘」
11…11 
(2) 当走是不小于
3 的偶数时，11
1 11...1 1，即一一一一= M2> 1
，所以
----一
11
h个I
N=M2 X (1 0 k 十1) 是个合数.
综合(1)、(2) ，当
h 二三3 时，N = 101 0 1"'01 必为合数，所以，在
10 1，
」一一一--y-一~
h个1
10101 ，1010101'" 中只有101 是一个质数.
例7
若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个
"绝对质数" [ 如
2 ，3, 5, 7, 11, 13 (31) , 17 (71) , 37 (73) , 79 (9 7) , 113 (1 31, 
311)
，199(919 ，991)
，337(373 ，733) ，…都是绝对质数].求证:绝对质数的各
位数码不能同时出现数码1，3 ，7 与
9.
(青少年国际城市邀请赛试题)
衍桥写幡
正难则反.假设一个绝对质数如果同时含有数字
1 ，3 ，7 ，9 ，
由此导出矛盾，这是解题的关键.
一个绝对质数如果同时含有数字
1 ，3 ，7 ，9 ，则在这个质数的十进制表示
中，不可能含有数字0 ，2 ，4 ，5 ，6 ，8 ，否则，通过适当排列后，这个数能被2 或5
整除.
设N 是一个同时含有数字1，3 ，7 ，9 的绝对质数.
飞兰嘘
质数被2 除，除2
外，只能是
2k + 1 型
的数;质数被3 除，除
3 外，只能是3k 士1 型
的数;依此类推，特别
的，质数被6 除，只能
是
6k
::l:: 1 型的数.反
之，并不一定成立.
17 世纪费马猜
想: F.. = 2' + 1 ，当
π= 0 ，1，2
，3 …时F ，
都是素数，但半个世
纪后，欧拉把F5 分解
为两个因数之积:
F5 = 4294967297= 
641 X 6700417. 
寻找质数，犹如
寻找更微小的粒子、新
的化学元素，这种单纯
为满足求知欲的好奇
心，正好是人类突破知
识领域的动力.
今天，人们已认
识到:互联网交易的
安全性是建立在"分
解出大整数的约数是
极其困难的问题"这
一基础上的.
~~、，~
食
食
1号
食
，传女
食
，传为
因为走。= 793 1，走]=1793 ，鸟=9 1 37 ，k 3 =7913
，儿= 7193 ，儿= 1937 , 
k6 = 7139 被7 除所得的余数分别是0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，所以，如下7 个正整数
N o=c] …cn - 4 7931 = L 
0 10 4 +走。，
N ]= c] …cn _ 4 1793 = L 
0 104 +丸，
N 6 =c] …cn - 47139=L 0 
10 4 + k 6 中
，一定有一个能被7 整除，这个数就
不是质数，矛盾.
质敬的孤独
意大利工程师保罗·乔尔达诺曾写过畅销书《质数
的孤独>> . 他写道
. "在所有数字中，质数是最迷惑人心，也
是最孤独的. 它尽管有同伴，却没有规律能指出它的同伴
在哪里"
千百年来，人类对质数的探索从未停止.欧几里得、
高斯、欧拉、费马……都曾痴迷于质数的无穷魅力，坚持
不懈地探索着质数神秘表象背后潜藏的奥秘.
质数并不孤独.
20 1 3 年5 月
13 日，美国新罕布什尔大学的华人数学家张益唐简要叙述
并证明了如下命题:
存在无数多个质数对( ρ ，q )
，其中每一对中的质数之差，即户和q 的距
离不超过七千万.
例8
最多能找到多少个两两不相等的正整数，使其中任意三个数的和
为质数?说明你的理由.
( 北京大学自主招生试题)
壁些塾堕
因要求使其中任意三个数的和都是质数，故可将正整数按
模3 分类:3 走
，3k+1
，3k + 2 ，走为正整数，由此展开讨论.
中
一
南
、、、
，
1. 菲尔兹奖被誉为"数学界的诺贝尔奖" ，只奖励40 岁以下的数学家. 华人
数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982 年、2006 年荣获此奖. 我们知道正整
数中有无穷多个质数(素数)
，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的
奇妙定理: 对任何正整数走，存在无穷多组含有走个等问隔质数(素数)的
数组. 例如，走=3 时，3 ，5 ，7 是间隔为2 的3 个质数仆，1 1，17 是间隔为
6
的3 个质数; 而一-一--'一一一二一'一一一一一是间隔为
12 的3 个质数
(由小到大排列，只写一组3 个质数即可) . 
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
载:JJ
学科精英大视野系列丛书
美国教育家杰
夫
· 科尔文在《哪来
的天才: 练习中的平
凡与伟大》一书中指
出
: 非凡的成就不取
决于夭赋，而是取决
于坚持不懈的刻意
练习.
刻意练习不同于
普通练习，普通练习
是重复性和无意识
的，而刻意练习需要
打破习惯，需要更大
的专注力，并在名师
的指点下，使技能、方
法、思想、境界迈向更
高的层次.
f长益唐，1955 年
生于上海，1978 年考
入北京大学数学系，
他的证明在推动解决
孪生质数猜想的道路
上迈出了一大步
，分
别获得瑞典罗夫
·
肖
克奖、美国麦克阿瑟
天才奖.
Cti\~、1&.:\
*食
*
女食
食
( 忆军细)
长了
，传
食
第
1 讲
质数、合数与因数分解
2. 截尾质数
73939133 这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是质
数，还因为把最末位数字依序"截尾"后，余下的数仍是质数. 如
:
73939133
，7393913
，739391
，73939
，7393
，739
，73
，7 . 具有这样性质的数叫
"截尾质数"
巧的是，它也是具有这种性质的最大数，总共有83 个数具有这样的性质.
在100 以内的质数中，最大的截尾质数是
( (( 时代学习报》数学文化节试题〉
3. 
(1) 一个两位质数，如果将它的十位数字与个位数字交换后，仍是一个两
位质数，这样的质数可称为"特殊质数"这样的"特殊质数"
有个.
("希望杯"邀请赛试题)
(2) 数字之和为5 的三位数中，质数的个数是
(世界数学团体锦标赛)
(3) 若ρ
，8p2+1 均为质数，则ρ= 一一一一一·
(四川省竞赛题)
4.
写出
10 个连续自然数，它们个个都是合数，这10 个数是
(上海市竞赛题)
s.
已知三个质数m ，n ，户的乘积等于这三个质数的和的5 倍，则旷+旷+ ρ 2
的值为
(ìi胡北省武汉市竞赛题)
6 .
已知a
，b ，c ，d 都是质数(允许a ，b ，c ，d 相同) ，且abcd 是35 个连续正整数
的和，则a + b +c 十d 的最小值为
("新知杯"上海市竞赛题)
7. 著名的哥德巴赫猜想指出，任何大于7 的偶数可以恰好写为两个不同素
数之和，用这种方法表示偶数126 ，两个素数之间最大的差是(
) . 
A . 112 
B. 100 
c. 92 
D . 88 
E . 80 
(美国高中数学考试题)
8. 若ρ 为质数，p3+ 5 仍为质数，则ρ5+ 7 为(
) . 
A . 质数
B . 可为质数也可为合数
c .
合数
D . 既不是质数也不是合数
(湖北省黄冈市竞赛题)
9 .
已知m ，n 都是质数，若关于工的方程mx+5 η=97 的解为
3 ，则m 一旷=
( 
). 
A. 0 
B. 3 
C. 5 
D. 13 
("希望杯"邀请赛试题)
10 .
已知a ，b ，c 都是自然数，且
2 a X 36 X 7' = 11 7 6 ，则
2α + 3b+ 7c 的值
是(
) . 
A . 21 
B. 23 
C. 25 
D. 28 
("希望杯"邀请赛试题)
\",_ 5 紧
如图，早在公元
前3 世纪，古希腊数
学家兼哲学家埃拉托
色尼为了研究素数在
然数列中的分布而
造出的世界上第一张
素数表，这种造素数
表的方法称为埃拉托
色尼的筛选法.
3 
7 
1J 
JI3 
23 
29 
31 
43 
41 
53 
59 
67 
11 
173 
79 
83 
89 
且:'-'-
判断一个正整数
是否为质数的方法
是
: 正整数a ，若所有
不大于ra的质数都不
包整除a
，如IJ
a 一定
是质数.
t\~~C;，i\ 
，峙，际
女
食
食女
食
食女
1 1. 若两位自然数ab是质数，且交换数字后的两位数ba 也是质数，则称"为
"绝对质数"于是两位数中的所有"绝对质数"的乘积的个位数字
是(
). 
A. 1 
B. 3 
C. 7 
D. 9 
("希望杯"邀请赛试题)
12. 设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合数的个数，则
称η 为"好数"，那么，所有"好数"之和为(
). 
A. 32 
B. 34 
C. 2013 
D. 2014 
(全国初中数学联赛试题)
1 3 .
巳知三个素数的乘积恰等于其和的23 倍，求这三个素数.
( 上海市竞赛题)
1 4 .
已知正整数户，q 都是质数，且7ρ +q 与问十11 也都是质数，试求pq+ qP
的值.
(湖北省荆州市竞赛题)
15 .
已知x ，y ，z 是3 个小于100 的正整数，且x> y > z ，x-y ，x-z 及y-z
均是质数，求x-z 的最大值.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
16. 41 名运动员所穿运动衣号码是1，2 ，…
，40 ，41 这41 个自然数，问:
(1)能否让这41 名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码
之和都是质数?
(2) 能否让这41 名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码
之和都是质数?
若能办到，请举一例;若不能办到，请说明理由.
(北京市竞赛题)
17.
已知ρ ，3ρ+2 ，5ρ+4 ，7ρ+6 ，9ρ +8 ，11p+10 均为质数，求证
: 6ρ+11
是合数.
(捷克和斯洛伐克数学奥林匹克试题)
18. 设ρ1 '岛，岛，ρ4 是4 个互不相同的质数，且满足
fA 十川A 十归62
① 
11Pl 十7P2 十5户3 +4P4 =162.
② 
求所有乘积PIP 2 ρ 3 P 4 的可能值.
(爱尔兰数学奥林匹克试题)
19. 求质数组(P ，q)
，使得7pq2 十ρ =q3+ 43ρ 3+ 1.
(荷兰数学奥林匹克试题)
学科精英大视野系列丛书
G.\G.\~、
û
食
食
( 七革主L} )
会
冒险
，传
女食
食
第
1
i井
质数、合数与因数分解
例1
42 
a(b'c+ 1)=2" X5 3
，因a ，b ，c 为质数，故α=2 或α =5.
当a=2 时
，bbC =999=3 3 X 37 ，得b=3 ，c=37 ，α十b + c = 42 ; 
当α =5 时
，bbc =399=3 X 13 3=3X 7 X 19( 舍去) . 
故α + b + c = 42 .
• 
·….1Jll • 
例2
B 
设满足条件的两位数是ab ，由ba -ab= 9 ，得
1 0 b + α
(1 0a+b)=9 ，b = α十1 ，满足b = α+ 1 的两
位数有12 ，23 ，34 ，45 ，56 ，67 ，78 ，89 ，其中质数有23 ，67 ，89 ，共3 个.
锣IJ 3 
3 符合妥求
当
ρ =3走十1 时，ρ + 10 =3k+11 ，ρ + 14=3( 走+5)
，ρ + 14 是合数;当
ρ =3k + 2 时，
p + 10 =3 ( 走+4) 为合数;当
ρ =3走时，只有走= 1 才符合题意.
锣IJ 4 
原式= 11 … 11 00 … 0 + 11 … 11 = 11 … 11 (1 00…0+ 1) = 11 … 11 (10" + 1) 
，，+ 】个"个
71-:-1 个
，，+1 个
"个
n+ 】个
放该数是合数.
锣IJ 5 
若ρ =6η 十l( n 二三1)，如IJ
p + 2=6n+3 = 3(2n + 1) 为
3 的倍数，且大于
3 ，故户十2 不是质数，与已知
条件矛盾.
因此，ρ = 6η 一l( n 二三1)，此时，ρ + 1 = 归是6 的倍数.
例8
若3 类数各取一个:切，3b + 1，3c+2 ，则
3α + 3 b + 1 + 3c + 2 = 3( α + b十c+ 1)
，这三个数的和不是质
数，故3 类数中至多可以取到
2 类.
另外，若某一类数3走十i(i =0 ，1，2) 至少取到3 个
: 3α十i ，3b+ i ，3c+i (i =0 ，1 ，2) ，则
3a+i 十3b十i +3c+ i=
3(α +b十c+i) (i =0 , 1，2) ，这三个数的和不是质数，故每类数中至多只能取2 个.
综上所述，至多有2 X2 = 4 个两两不等的正整数，使得其中任意三个数的和都是质数，例如1，3 ，7 ，9.
-
.....1:: • 
1. 
5 ，1 7 ，29 或29 ，4 1，53
答案不唯一.
2. 79 
3. (1) 9 
1 1，13 ，17 ，3 1，37 ，7 1，73 ，79 ，97 是"特殊质数"
(2) 4 
这样的三位数只能是401 ，3 11 , 221, 1 31 ，113 ，203 ; 而
2 2 1=1 7 X 13 ,203=29 X 7 是合数.
(3) 3 
4. 设1 0 个连续合数为走+2 ，走十3 ，走+ 4 ，…
，k + 1 0 ，走+ 1 1，这里走为正整数，则只要取h 是2 ，3 ，4 ，…
，11
的倍数即可.
5. 78 
由mnρ = 5 (m十n十ρ) 及m ，n ，ρ 均为质数，则m ，n ，户中必有一个为
5 ，不妨设m =5 ，则nρ =5+
η + p ，( η - 1)(ρ - 1) = 6 ，得η - 1=1 或η 一1 = 2 ，ρ-1 =6 或p - 1 =3 ，适合条件的只有η = 2 ，p=7 ，故m2 +
旷+ 旷= 78 .
6. 22 
设abcd = 走十(k + l) + … 十(走+ 34) = 35(k 十17) ，不妨设a =5 ，b = 7 ，则
cd = k + 17. 当
走二三8 时，
c+d二月X5 = 1 0 ; 当
1ζhζ7 时，只有两种情形使k + 1 7 能写成两个质数之积. 经讨论知走= 5 时，走+ 1 7=22 =
2 X 1 1，此时
c + d = 1 3 . 故α 十b + c十d = 22.
7. B 
126 = 113 + 1 3 ，11 3 一1 3= 1 00 .
8. C 
二号
食
食
食
食
会
食
1号
食食
9. D 
由条件得3m十5η=97 ，经讨论得m =29 ，η=2 .
10. B 
1176=23 X3 1 X7 2 
学科精英大视野系列丛书
11. B 
两位数中的绝对质数有11
，13 ，17 ，3 1，37 ，71
，73 ，79 ，97. 要求来积的个位数字，就是求
1 X3X7X
1X7 X 1 X3X9X 7 的个位数字.
12. B 
因为
1 既不是质数也不是合数，所以"好数" 一定是奇数.
设不超过η 的正整数中质数的个数为α " ，合数的个数为仇，当nζ15 时，如l 表如下(只考虑n 为奇数的
情况) : 
n 
l 
3 
5 
7 
9 
11 
13 
15 
a. 
。
2 
3 
4 
4 
5 
6 
6 
b" 
。
。
1 
2 
4 
5 
6 
8 
显然，1，9 ，1 1，13 是好数.
因为
b l5 -a1 5 =2 ，当n二月6 时，在n=15 的基础上，每增加两个数，其中必有一个为偶数，当然是合数，也
就是说，增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，所以一定有b..-a
二三2 ，故当
n注16 时
，n 不可能是
"好数"
因此，所有"好数"之和为
1 +9+11 +13=34. 
13 . 设所求的三个素数为ρ ，q ，r ，则pqr= 23( ρ + q + r)
，户，q ，γ 中必有一个为23 ，不妨设p = 23 ，且q二三γ ，
得23qr= 23(23 + q + 吵
，(q - 1) (r一1) = 24 ，知(q ，r) = (l 3 ，3) 或(7 ，5) .故这三个素数为
2 3 ，1 3 ，3 或
23 ，
7,5. 
14.
由ρq+11 > l1 且ρq + 11 是质数知pq十11 必为正奇质数，从而ρ=2 或q= 2.
(1)若ρ =2 ，此时7ρ + q 与2q十11 均为质数，设q= 3k+1 ，则q + 14 =3(k+5) 不是质数; 设q = 3走十2 ，则
2q+11 = 3(2k+5) 不是质数，因此
，q 应为
3走型的质数，当然只能是q = 3 .
(2) 若q = 2 ，此时7ρ + q 与2ρ + 11 均为质数，设p = 3k + 1，则
7ρ+2 = 3(7走+ 3) 不是质数;设ρ = 3走十2 ，
则2ρ+ 11 = 3(2k+5) 不是质数，因此，ρ 应为
3k 型的质数，ρ=3.
综合(1)、(2) 知P=3 ，q =2 或p=2 ，q=3 ，故扩+qÞ = 17. 
15 .
因(x-z)-(x-y)=y - z ，故不可能x- y ,x - z ,y -
z 都是奇数，但它们都是质数，故它们当中必有
一个是2 ，显然不可能x - z=2 ，若x-y=2 ，则x - z 和y - z 是孪生质数对;若y-z =2 ，则x -z 和工-y 是孪
生质数对. 而100 以内最大的孪生质数对是71 和73 ，x - z = 73 可以实现. 取工= 99 ，y = 97 ，z = 26 或工=99 ，
y=28 ，z=26 均可. 故所求x-z 的最大值为
73 .
16. (1)能办到
注意到41 与43 都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们只能都是奇
数，因此，在这排数中只能一奇一偶相l可排列，不妨先将奇数排成一排: 1，3 ，5 ，7 ，… ，41 ，在每两数间留有空当，
然后将所有的偶数依次反序插在各空当中，得1 ，40 ，3 ，38 ，5 ，36 ，7 ，34 ，… ，8 ，35 ，6 ，37 ，4 ，39 ，2 ，41 ，这样任何相
邻两数之和都是41 或43 ，满足题目要求.
(2) 不能办到
若把1，2 ，3 ，…
，40 ，41 排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈
上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20 个偶数，2 1 个奇数，总共是41 个号码，由此引出矛盾，故不能办到.
17. (1)当p=5k(k 为正整数)时，若ρ 为质数，则古=1.而此时11p十10 = 65 不是质数，矛盾.
(2)
当ρ = 5 k + 1 时，若3ρ + 2 = 5(3走十1)为质数，则k = O ，而此时ρ = 1 ，矛盾.
(3)
当ρ = 5k + 2 时，7ρ + 6 = 5(7k+4) 必为合数.
(4)
当ρ=5 走+3 时
，9ρ +8=5(9k+ 7) 也必为合数.
因此，ρ 必为
5k + 4 的形式，此时，6ρ 十11 = 5(6是十7) 必为合数.
( 乞军盟)
女
4岐
才注
，传
，传
食
食
，传
第
1
i井
质数、合数与因数分解
18.
由于丸，ρ 2 'P ，
' 户4 互不相同，则其中至多有一个为偶数.若全为奇数，则方程①的左端为奇数.因此，
ρ 2 ,P3 ，p ，其中之一是偶质数2.
由方程②知ρ4 手2 ，得ρ2=2 或ρ3=2 .
{2P\ +5 户，+7 户，= 156 , 
(1)当户，= 2 时，原方程变为
1
丰
>
E 
111ρ \+5 ρ 3 + 4p, =148. 
相减得9 户1- 3 队=-8 ，不成立.
(2 户\+ 3ρ 2 十7ρ 4 = 152 , 
(2)
当户，= 2 时，原方程变为
1
伞
>
E 
111ρ 1 十7 丸+4ρ 4 =152. 
相减得9P 1 十4 ρ ，-3 ρ ，=0 . 因此，儿= 3.
进一步得ρ\ =5
，ρ， = 19. 
因此，方程组的唯一解为(丸，儿，丸，儿)=(5
，3
，2 ，19) ，故户1 ρ2 ρ3 丸=570.
19.
观察1东方程得ρ ，q 不能同为奇数，否则f东方程左边为偶数，右边为奇数，于是，ρ 二2 或
q =2 .
(1)将ρ=2 代入1东方程，得14 q 2 十2 = q 3 十344 + 1，
:. q3 - 14q2 = - 343 ，而
343 = 7 3 ，得q=7 ，( 户，q) = (2
，7).
(2) 将q =2 代入原方程，得28ρ 十p =8+ 43 扩+ 1，
但上式一边为奇数，一边为偶数，矛盾.
综上，房、方程的唯一解为忡，q) = (2
，7) .
斗法
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
~ T TT IDmrW fli wì'那帮〈。相
ABr ð. E ZHe 1 K KAKB 
1 
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111 
1111 
11 
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伏，
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1111 QIU T 
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1111 E口叶
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IllillNVVIV卫vm IX X 觅觅I
I 
U 
111
闽、
ι
吃巧、、
，.
AI 
AU 
笔'………._ .L 
.!.怠但巳且且目晶
晶皇
o 1 10 11 
1∞
101 110 
1111臼lO
l∞11010
1 011 11∞ 
h 岛。/1
可fxc
数学的历史并不是具体的历史，而是抽
象的历史，是创造思想、发现模式的历史.
这就是数学: 她提醒你有无形的灵魂，她
赋予她所发现的真理以生命，她唤起心神、澄
清智慧，她涤尽我们与生俱来的蒙昧与无知.
左图是不同数字的不同写法，从上到下
依次为
: 印度阿拉伯数字，巴比伦数字，希腊
数字，埃及象形文数字，中国手写体数字，希
伯来数字，中国筹算数码，罗马数字，埃及僧
侣文数字，玛雅数字，二进奇IJ 数码.
注2i古苟且点二二l
括:气也如画Ei椒;述
，
整数按能否被2 整除分为两大类: 奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本
性质:
l.奇数手偶数.
2.
两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下所示:
士|奇偶
x
l 奇
偶
奇|偶奇
奇|奇偶
偶|奇偶
偶|偶偶
3 . 若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数; 偶数个奇数的
和为偶数，若干个偶数的和为偶数.
4. 设m ，n 是整数，则m 士η ，
1 m 土nl 的奇偶性相同.
5. 设m 是整数，则m 与
I m
l
，m n 的奇偶性相同.
例1
己知三个质数a ，b ，c 满足α+b+c +αbc= 99 ，那么|α - b
l + Ib-cl + 
Ic 
α| 的值等于
("希望杯"邀请赛试题)
晤题思路
运用奇数偶数、质数合数性质，不断简化已知等式.
款三J
整数的简单构
成，若干世纪以来一
直是使数学获得新生
的源泉.
一一伯克霍夫
涂色解题
高莫端，当代应
用数学家，美国国际
商业机器公司
( IBM)
的研究人员
. 20 世纪
60 年代，在运筹学
"线性整数规划" 问题
研究上，因提出"辜IJ 平
面法"而闻名.
他曾对下面问题
感兴趣.
下图是由
1 4 个
边长为
l 的小方格组
成的残棋图，你能否
把它剪成七块
1 X 2 
的小长方形?
c.\~c.\ 
( 七军细)
为，曲
，传
食，曲
，传
女
，曲
，传
例2
已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，η 是整数，如果s=
(α+η + 1) (b十2η十2) (c 十3n+3)
，那么(
A. s 是偶数
c. s 的奇偶性与n 的奇偶性相同
B. s 是奇数
D. s 的奇偶性不能确定
( 江苏省竞赛题)
瞄题思路
从和的奇偶性来研究积的奇偶性.
例3
假设肉，鸟，…，αn 是数1，2 ，… ，η 的某种排列.证明: 如果η 是奇
数，那么乘积(a l - 1) X(a 2 - 2) … (矶，-n) 是偶数.
(匈牙利数学奥林匹克试题)
晤题思路
转换角度思考问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究.
例4
设工，y(x运y) 是正整数，且使x 2 +y 2 =20 1 8 成立的(工，y) 有多
少组?
("希望杯"邀请赛试题)
蠕黯思路
因方程与整数的平方关联，故需综合运用奇数、偶数、整除
等知识，逼近求解.
例5
开始时，5X5 方格表中的每个方格中都填有一个0 ，每一步选取
两个具有公共边的方格，将其中的数同时加
l 或同时减1.若干步后，各行、
各列之数的和彼此相等.求证: 所经过的步数为偶数.
(俄罗斯数学奥林匹克试题)
证明
若一步中所选的两个方格在同一行，则称为"水平步" ，若在同一
列，则称为"竖直步"
在5 X5 方格表中，考虑第二列之和52 与第四列之和54 .
每一水平步使鸟
，54 之一加1 或减l(即改变士1)，另一个不变，故改变
52 乌的奇偶性; 每一竖直步使岛，54 不变或改变:::!:: 2 ，故不改变52- 5 4 的
奇偶性.
由于开始与结束时均有5 2 一旦= 0 ，故水平步数为偶数.
类似的考察第二行、第四行之和，可知竖直步数也为偶数.
所以，总步数为偶数.
11 , 
\
哇
第2 讲
奇数、偶数
对同一个数学对
象，从两个方向考虑
(n 项和与积) ，再将这
两个方向合在一起整
体考虑，得出结论，这
叫计算两次原理，通
过计算两次可以建立
方程，证明恒等式等.
应用整数的奇偶
性解题，常需交换角
度去考察问题，从而
化难为易.
设η 为整数，偶
数可表示为
2 饨，奇数
可表示为
2n -
1 或
2n + 1.因
(2n) ' -
4η 2
， 
(2 η
+ 1 )2 = 
4n (η+ 1) + 1，故可推
得奇偶数的如下性质:
(1)偶数的平方
被4 整除，奇数的平
方被4 除余1;
(2) 奇数的平方
被8 除余
1.
111::\11::\~ 
，传
食齿
'峙
，佳女
食
，传
1号
例6
有1997 枚硬币，其中100 0 枚国徽朝上，997 枚国徽朝下.现要求
每一次翻转其中任意6 枚，使它们的国徽朝向相反，问能否经过有限次翻转
之后，使所有硬币的国徽都朝上?给出你的结论，并给予证明.
( 山西省太原市竞赛题)
篇
不能，理由如下: 将国徽朝上赋予" +1 " ，朝下赋予" -1" ，则1997 枚
硬币的国徽朝向情况可用1 99 7 个数乘积表示，若这些数之积为
l(或+ 1) , 
表明有奇数(或偶数)枚国徽朝下，开始时，其乘积为(+ 1) 1000 • ( - 1) 997 = - 1 , 
每次翻转6 枚硬币，即每次改变6 个数的符号，其结果是1997 个数之积仍为
一1 ，经有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币永远有奇数
枚，故回答是否定的.
g 偏纣恬
奇偶性是整数的固有属性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法
叫青偶分析法.
奇数偶数，是用整数的两种状态来研究整数.
奇偶性与二值状态相应，如电灯开与关、亮与页，面向南或北，杯口向上
与向下，都是两种状态，皆可用奇、偶来描述，用奇偶性来分析.
用染色法或赋值法进行奇偶分析，有时使解题更为直观、简捷.
例7
高为50cm ，底面周长为50cm 的圆柱，在此圆柱的侧面上划分(女日
图所示)边长为1 cm 的正方形，用四个边长为1cm 的小正方形构成"T"字
形，用此图形是否能拼成圆柱侧面?试说明理由.
(汉城国际数学竞赛题)
靡
不能，理由如下:因为圆柱侧面是50 X 50 
的正方形，将其黑白相间染色，则黑格与白格各有
偶数个，又因为每个"T"字形含有3 个或1 个黑格，
若能用"T"字形纸片拼成50 X 50 的正方形，则需
EU 
且
阳
明
要( 5 0 X 50)-:-4 = 625 个"T"字形，而625 个"T"字形含有奇数个黑格，矛盾，
因此，不可能拼成.
~~ 刻意练习
1. 已知整数a ，b ，c 中，α ，b 的奇偶性不同，且c = 旦土b ，下面给出4 个结论:
α 
①α可能是偶数; ②c →定是奇数; ③α 一定是奇数; ④b 一定是偶数.
其中，正确的结论是
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
i-l 2) 
学科精英大视野系列丛书
171) 
6 通过赋值
法，把实际问题转化
为数学问题，把抽象
的推理转化为具体的
计算.
所谓赋值法，就
是在解题时，将问题
中的某些元素用适当
的数表示，然后利用
这些数值的大小、正
负性、奇偶性等进行
推理论证的一种解题
方法.
素数是人类追寻
知识过程中最无奈的
谜题. 怎样才能预测
下一个素数?有何公
式可以生成素数?在
素数表面的嗓音之下
潜藏着意料之外的和
谐.
1 859 年，德国数
学家黎曼做出一个关
于这首"神秘乐曲"的
大胆预言，这个预言
的答案在电子商务、
量子力学和计算机科
学等领域产生革命性
的影响.
I'/íi:\~~、
飞;1
食
*
毛~民
毛主
食
( 仨~ m ) 
2. 数列
1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，34 ，55 ，…的排列规律是:前两个数是1，从第三
个数开始，每一个数都是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数
列，在斐波那契数列的前2 004 个数中共有
个偶数.
("希望杯"邀请赛试题)
3. 47 个不同的自然数的和是2006 ，这47 个自然数中最多有
个奇数.
("创新杯"竞赛题)
4.
从1，2 ，3 ，…，2007 中，至少要取出
个奇数才能保证存在两个数，
它们的和为2 008 .
(上海市中学生业余数学学校考试题)
5. A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七盏灯各自装有拉线开关，开始B 、DJ 亮着，一个小
朋友按从A 到G ，再从A 到UG ，又从A 到G 的顺序依次拉开关，一共拉了
2000 次，这时亮着的灯是
(吉林省竞赛题)
6 . 在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2 分，输者记0
分，平局每个选手各记
1 分，今有4 个人统计了这次比赛中全部得分总
数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为
1 9 79 ，1980 ，1984 ，1 985 ，经
核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有一一一一一名选手参加.
(北京市竞赛题)
a+h h十c
c + α 
7. 如果a ，h ，c 是三个任意整数，那么一一一一一一(
) . 
2 ' 2 ' 
2 
A. 都不是整数
B . 至少有两个整数
C . 至少有一个整数
D. 都是整数
(全国初中数学竞赛题)
8. 将连续自然数1，2 ，3 ，…
，n (n 二三3) 的排列顺序打乱，重新排成肉，句，
句，…
，a"
，若(a j - 1)( a 2 -2)(a 3 - 3) … (a" -n) 恰为奇数，则以
) . 
A. 一定是偶数
B . 一定是奇数
C . 可能是奇数，也可能是偶数
D. 一定是2川一l( m 是奇数)
("希望杯"邀请赛试题)
9. a ，h ，c 是三个大于3 的质数，则下列判断中一定正确的是(
) . 
B. a2 + h2 +c 2 是偶数
D. a2 + h2 十c 2 是3 的倍数
("希望杯"邀请赛试题)
10. 若正整数a ，h ，c 满足矿+ h2 = c2 ，且a 为质数，那么b ，c 两数(
). 
A . 同为奇数
B . 同为偶数
C . 一奇一偶
D. 同为合数
(" 五羊杯"竞赛题)
1 1. 四个学生进行计算比赛，程序是: 在19 ，20 ，2 1 ，…，93 ，94 这7 6 个自然数
中，相邻两数之间任意添加" 十"号或" 一"号，然后求其代数和. 四个人得
到的结果分别是
1 ，1 53 ，4106 ，4260 . 老师检查后指出，只有一个结果是
正确的，则这个结果是(
) . 
A. a 十b +c 是偶数
C . a 十b十C 是3 的倍数
A. 1 
B. 153 
C. 4106 
D. 4260 
(北京市竞赛题)
13 
、g
数
目
向
数
奇
讲
呵
，
ι
第
食
食
.~~、~
噜E
AX 
AX 
e
R
食
-R 
，传
食
，传
12. 吉尔最近搬进了新居，房号是一个三位数，这个数与三个位数上的数字
之和是429 ，请问房号三个位数上的数字的乘积是(
) . 
A . 20 
D. 36 
E. 48 
(英国中学数学竞赛题)
B. 28 
c. 30 
13. 设坷，码，… ，Xn 为+ 1 或一1，并且X] 冉冉叫+冉冉冉冉+冉冉冉冉+ … +
X,,-3 X'l- ZXn-1 Xn + X,,- ZXll - 1 XnX 1 + Xn- 1 X'IX ) X2 十X"X ] X2 X3 = 0 . 证明: η 能被
4 整除.
(国际数学奥林匹克候选题)
rabcd-a= 1961 , 
labcd-b=961. 
14 . 证明:不存在整数a ，b ，c ，d 满足下列等式: ~ -~---
~ 
-- ~
， 
| αbcd-c = 61 ， 
labcd - d = 1. 
(莫斯科数学奥林匹克试题)
15. 在黑板上记上数1，2 ，3 ，…，1 974. 允许擦去任意两个数，且写上它们的
和或差，重复这样的操作，直至在黑板上留下一个数为止.求证: 这个数
不可能为零.
(基辅数学奥林匹克试题)
16. 从0 ，1，… ，10 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种
"填法"若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，
则称这样的填法为"完美填法"问:图①和图②是否存在完美填法?若
存在，请给出一种完美填法;若不存在，请说明理由.
图①
图②
(第16 题)
(浙江省竞赛题)
17. 是否存在正整数x ，y ，使得X2 +y2 = 201 6 成立?若存在，请求出x ，y 的
值; 若不存在，请说明理由.
( 北京市竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
黯….. 
例1
34 
α ，b ，c 中必存在偶质数2 ，设α = 2 ，推得b = 2 ，c = 1 9 .
例2
A 
(a十n+ D 十(b+ 2n十2) 十( c + 3η十3) = (α + b+ c ) + 6n + 6 为偶数，则(α + n+ D ，(b+ 2n十2 ) ，
(c十3n十3) 中至少有一个为偶数，从而
s 必为偶数.
例3
考虑所有因数a j - z 的和.
￡J 
( 仁革主Ill )
数
国
内
数
奇
讲
第
-R 
-R 
-
R
食
也
用
品
用
~
斗
(α ，- 1) + (α 2 - 2) 十… 十(a ，，- n) 工(a ，+a 2 十… 十α " )→(1十2+ … 十n)=O
由于η 是奇数，0 是偶数，若所有的因数α;- i(i= 1，2
，…，η) 都是奇数，则奇数个奇数的和应为奇数，不可
能为
0 ，出现矛盾.所以必有一个因数a
. - l 是偶数，从而来和、是偶数.
例4
因
2 0 18 被4 除余2 ，奇数的平方被4 除余
1 ，偶数的平方是4 的倍数，故x ，y 必同时为奇数.又因奇
数的平方的个位数必为1，5
，9 之一，若两个奇数的平方和的个位数为
8 ，则这两个奇数的平方的个位数都应
是9 ，即这两个奇数的个位数为
3 或
7.
I!p 
。
凸
O
凸
<<
vdy 
/
电
/
迫
们
一2
m
又z三二y ，则
因为
31 ' =9 日
，32 ' 二1024 ，… 44 ' = 1936 , 45' = 2025 , 
所以
32 ~ Y" ;;;: 44
，y 的可能值只有33
，37
，43 ，列表如下:
y 
y 
2018-y 2 
是否为平方数
33 
1089 
929 
否
37 
1369 
649 
否
43 
1849 
169 
Æ 
」一一
因为
169 = 13 ' ，故符合条件的付，y) 仅有(1 3
，43) 这一组.
-m 
1.
②③④ ac= α +b ，α + b 必为奇数，ac 是奇数川，c 都是奇数.
2. 668 
从第一个数开始啕每纽连续的
3 个数中，前两个数是奇数，第三个数是偶数，2004 -:- 3 = 668. 
3. 44 
设有a 个奇数
，(47-a) 个偶数，α 必为偶数，若α=46 ，则
1 十3 十5 十… 十9 1 = 46' = 2116>2006 , 
不合题意;若α =44 ，则
l 十3 + 5 十… 十87=44'= 1936 ，2006 一1936=70 ，另三个偶数的和为70 即可(如2 ，4 ，64).
4. 503 
将1，2
，3
，…，2 007 中所有的奇数按和为
2008 的两个一纽配成
502 组
: (1
，2007)
，(3
，2 005)
，
(5
，2003) ，…，(1 003
，1005) . 于是至少要取出
503 个奇数才一定有两个数同组，它们的和为
2008.
s. B ,D ,G 
2000-:-7=285 …… 5 ，说明前5 盏灯的开关被拉了
286 次(偶数次) ，原来亮着的B ，D 仍然亮
着，后两盏灯的开关被拉了
285 次(奇数次) ，原来暗着现在变亮的是G ，原来亮着的F 现在变暗.
6. 45 
每局比赛不管胜负如何，双方得分的和为
2 ，从而全部得分总数应为偶数.于是只有
1 980 ，1984 中
工(工一1)
的一个正确，设工人参加比赛，则只有一
2 一一X 2=1980 ，工二45 .
7. C 
a ，b ，c 中至少有一个奇数或同为偶数.
8. A 
9. D 
非
3 的倍数的数的平方除以
3 余1.
10. C 
a ' = (c 斗的(c - b)
，α 为质数，c十b>c- b ，则
c - b 二1 ，c + b= α ，
11. C 
19 + 20 十21+ … + 93+94=4294 为偶数，这76 个自然数相邻两数之间任意添加h + " 号或" 一"
号，其代数和应为偶数，四十20 + 21 + 22 十… 十91 + 92 +93- 94=4106. 
12. B 
三个羊独数字之和最多是27 ，因此房号的第一位数是4 ，第二位数不会大于3. 如采第二位数是偶
数，那么房号和它的三个单独数字之和会有相同的奇偶性，
I!p 两者都可能是偶数，或两者都是奇数，因此，它们
两者之和应该是偶数.然而，题中两者之和是奇数，所以，第二位数是1.如果房号的最后一位数是d ，那么，
410 十d + C4 + 1 十d) =4 29 ，因此
，d=7 ，房号的三个单独数字的乘手只是28 .
15 
嗦
4岐
人
X
占
同
食
女
-R 
学科精英大视野系列丛书
，峙
，传
食
13.
由于乘积X 1 X 2 X3 引，勾引引X 5
' …
，X nX 1 XZ X3 都是十l 或一1 ，且其总和为
0 ，所以一定有偶数项，即
n
一定是偶数2m.
将上面的
n 个数相来，一方面，其中的十1 和一1 各有m 个，所以它们的乘积为( _ l) m . 另一方面，在来和、
中，鸟，鸟，…
，X n 作为因数都出现4 次，所以来积为+ 1.
于是( - l) m= l，m 为偶数，故n 是4 的倍数.
14. a ，b ，c ，d 都是奇数，abcd-a 为偶数，不可能等于196 1.
15.
考虑黑板上保留奇数的个数.
经过一次操作，如果是一个奇数和一个偶数，则由奇数与偶数的和与差为奇数，于是擦去一个奇数和一个
偶数得到一个奇数，此时，奇数的个数保持不变.
如采是两个奇数，则由奇数与奇数的和与差为偶数，于是擦去两个奇数得到一个偶数，同样擦去两个偶数
得到一个偶数，此时，奇数的个数减少2 个或保持不变.
由以上分析知，经过操作，黑板上奇数的个数的奇偶性不变.
1974 
由于一开始黑板上共有一一= 987 个奇数，即有奇数个奇数，所以经过若干次操作后，黑板上必须保留奇
2 
数个奇数，因而不可能为
O.
16.
对图①的完美填法不唯一，如图
a r，斤示.
对于图②不存在完美填法.这是因为图②中共有
10 条连线，所以，各连
线上两数之差的绝对值恰为1，2 ，…，1 0 ，其和s= la1 - a2 1 + l a 1 一句1+
l a 2 一句
1 + … +1 α 7 -asl =55 为奇数.
另一方面，图②中每个圆圈均有偶数条连线，
flr 每个圆圈内的数在
上述S 的表达式中出现偶数次.因此，s 应为偶数，矛盾.
从而，图②中不存在完美填法.
17.
证明:不存在正整数x ，y ，使工2 十y 2 = 2016 . 
假设存在正整数x ，y ，使X 2 +y2 =2016 成立.因为奇数的平方是被4
除余1 的数，偶数的平方为4 的倍数，两个奇数的平方和为被4 除余2 的
数，一个奇数的平方与一个偶数的平方之和是被4 除余
1 的数，只有两
固a
图b
(第
16 题)
个偶数的平方和是4 的倍数，而2016 是4 的倍数，故2016 是两个偶数的平方和.即x ，y 必同时为偶数.
不妨设x=2α ，y=2b( α ，b 为正整数) .则有
(2a) 2 + (2的2= 2016
，
整理得
a2 + b2 = 504. 
同理，因为
504 是4 的倍数，故a ，b 同时为偶数.
不妨设a= 纭，b=2d(c ，d 为正整数) .则有
(2C) 2 + (2d) 2 = 504 , 
整理得，存在正整数c ，d ，使得c 2 +d2 =126 成立.因为
1 26 被4 除余2 ，故c ，d 必同时为奇数.
不妨设c <_ d ，则
, ~ 126 
c2 ζ亏一= 63 ，
故c 只能取
1
，3
，5 年口
7.
当c=7 时
，d 2 = 126-49 = 77 ，而77 不是完全平方数，故d 非正整数;
当c=5 时
，d2 = 126- 25 = 101 ，而101 不是完全平方数，故d 非正整数;
当c=3 时
，d 2 = 126 - 9 = 11 7 ，而
117 不是完全平方数，故d 非正整数;
当c=l 时，d 2 =126-1= 125 ，而
125 不是完全平方数，故d 非正整数.
所以不存在正整数c 和d
，使得c 2 +d2 =126 成立. 所得矛盾表明，"存在正整数x ，y ，使工2+ y2= 2 0 16" 成
立的假设不成立.
综上所述，不存在正整数x ，y ，使得X2 + y 2 =2016 成立.
~16 
i 搭在y
î~~吼:
趴肋骨暗IKH 4H楠::>><PATIA 90 
泰勒斯是古希腊著名的科学家、哲学家，他在
数学上最著名的成就是测量金字塔的高度，以及
发现了五个几何命题
: 对顶角相等、直径将圆平
分、等腰三角形底角相等、两角夹一边分别对应的
三角形全等、半圆上的圆周角是直角.
、/
'., 
S
毡
ν
声3 由写的主问: J
'
如能撒述
对于整数" 和不为零的整数b
，总存在整数m ，n 使得a = bm + nCO ::::;;;η〈
的，其中m 称为商，η 称为余数，特别地，当n =O 时，即α = bm ，便称α 被b 整
除(也称α 是b 的倍数或b 是α 的约数) ，记为b
l a .
整除有以下基本性质:
1.若α
I b ，α
| ι ，则叫
Cb:::!:: c) ; 
2 .
若αI b ，b lc ，则α
1 c; 
3 . 若a
l 伏，且(α ，c) = l，则α
I b ，特别地，若质数p
l 扰，则必有ρ
I b 或ρ
1 c; 
4 . 若b lα
，c I a ，且Cb ，c)= l，则bcla .
解整除有关问题常用到数的整除性常见特征:
1.被2 整除的数
: 个位数字是偶数;
2.
被5 整除的数: 个位数字是0 或
5 ; 
3.
被4 整除的数:末两位组成的数被4 整除;被25 整除的数，末两位组
成的数被2 5 整除;
4 .
被8 整除的数:末三位组成的数被8 整除;被
12 5 整除的数，末三位
组成的数被12 5 整除;
5.
被3 整除的数
: 数字和被3 整除;
6.
被9 整除的数:数字和被9 整除;
7 .
被11 整除的数: 奇数位数字和与偶数位数字和的差被11 整除.
'
问题能决
悟IJ 1 
将四个数字
1，2
，3 ，4 排成一个四位数，使得这个数是11 的倍数，
则这样得到的四位数共有
个.
(江西省竞赛题)
飞&
数学不应被想象
为一种费解、难懂而
又违背常识的东西.
实际上，数学正是常
识的精微化.
汤姆逊
亲和数
毕达哥拉斯学派
的人常说"谁是我的
朋友，这就像
220 和
284 一样"
220 除去本身以
外还有11 个因数，它
们是1，
2
，
4
，
5
，
1 0
，
11, 20 , 22 , 44 , 55 , 
11 0
，这
11 个因数之
和恰好等于
284.
同
理，284 的因数
1
，2
，
4 , 71, 1 4 2 之和恰好
等于
220.
古希腊人把具有
这样性质的两个数叫
"亲和数"，220 和
284
是第一对"亲和数"
碍这搭建』盟运
食
食女
食
食
τ斗
，传
食
为
幡题思路
依据被11 整除数的特征，先确定相关数的位置.
例2
已知α ，b 是正整数(α > b) ，对于如下两个结论: ①在α 十b ，ab ，
a-b 这三个数中必有2 的倍数;②在a+b ，ab ，α
b 这三个数中必有3 的倍
数，其中(
) . 
A . 只有①正确
c. ①、②都正确
B .
只有②正确
D. ①、②都不正确
( 江苏省竞赛题)
晤题思路
举例验证，或按剩余类讨论严格证明.
例3
已知7 位数1287xy6是72 的倍数，求出所有符合条件的7 位数.
( 江苏省竞赛题)
幡题思路
因72 = 8 X9 ，(8 ，9) = 1 ，故原数能被
8 ，9 整除，运用整数能
被8 ，9 整除的性质求出x ，y 的值.
例4
一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新
排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于
原来的数N ，则称N 为"拷贝数"，试求所有的三位"拷贝数"
(湖北省、武汉市竞赛题)
瞄盟军路
设N 为所求的三位"拷贝数"，它的各位数字分别为a ，b ，c
(α ，b ，c 不全相等) ，将其数字重新排列后，连同原数共得到6 个三位数: abc ，
二百，百二百豆，二百，cb言，设其中最大数为abc ，则最小数为cba ，从整除性揭示
"拷贝数"的特征.
学科精英大视野系列丛书
根据已知条件来
确定自然数，是数学活
动中常见的一类问题，
解这类问题时往往用
到下列知识方法:
(1)运用整除性质;
(2) 确定首位数字;
(3) 利用末位数字;
(4) 代数化;
( 5 ) 不等式估算;
(6) 分类讨论求
解等.
Ci\1'/í:.\1'Ií:.\ 
会，传
，传
( t写军细)
1号
冒险
，传
会食
食
例5
证明:对于同样的整数立和y ，2x十3y 和9x十5y 能同时被17 整除.
(匈牙利数学奥林匹克试题)
壁些些堕
3C9x十5y)-5C2工十3y)= 1 7工，这是证明本例的关键.
锣IJ 6 
请你将1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 这9 个数排出一个能被11 整除，且
最大的九位数，并简述排数的过程.
(重庆市竞赛题)
晤活
1
设要求的数为N ，因为N 是11 的倍数，所以它的奇数数位的
数字之和与偶数数位的数字之和的差是11 的倍数，有0 ，1 1，22 ，33 ，44 这五
种情况.
因为奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和的和就是
1 +2+ 3 +
4+5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 屿，是一个奇数，我们知道两整数的和与差有相同的奇
偶性，所以这个差就只能为11 或33 .
若这个差为33 ，因为和为45 ，故奇数数位的数字之和与偶数数位的数字
之和一个为6 ，一个为39 ，但
1 至9 这9 个数中最小的4 个之和为
1 0 ，大于
6 ，故差不能等于33. 即差为
1 1.
由和为45 ，差为11 可以算出奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之
和一个为17 ，一个为28.
为使这个九位数最大，我们先将高位安排得尽可能大，先将前囚位排成
9876 ，由于偶数数位的数字之和为17 ，现已有8 + 6= 1 4 ，偶数数位其他2 个
数字之和为3 ，它们只能是2 和1.
于是这个九位数为987652413.
黯浩2
将最大的九位数98 7654 321 除以
11 余数为
5 ，故9876 5432 1-
5=987654316 是11 的倍数.
我们将9 876543 16 每次减去
1 1，直到得到一个各位数字均不相同的九
位数为止. 这样减去173 个11 后第一次得到一个各位数字均不相同的九位
数987652413 ，这就是满足题目条件的最大的九位数.
业9嘘
第
3
ì井
数的整除性
局部调整法
对于问题涉及的
多个可变对象，使其
中部分对象暂时保持
不变，只对其中几个
对象进行调整，从而
化难为易，使问题的
解决在局部获得进
展. 经过若干次这样
局部上的调整，不断
缩小范围，最终导致
整个问题的彻底解
决，例
6 的两种解法
就是运用了局部调整
法.
~~、.~
* 
4民
4岐
'眨
，传女
节际
合
让r
例7
从1，2 ，…
，9 中任取η 个数，其中一定可以找到若干个数(至少有
一个，也可以是全部) ，它们的和能被10 整除，求η 的最小值.
( (( 数学周报》杯全国初中数学竞赛题)
纣桥写睡
当n =4 时，数1，3 ，5 ，8 中没有若干个数的和能被10 整除.
当n=5 时，设α 1 '句，… ，向是1，2 ，… ，9 中的五个不同的数.若其中任
意若干个数，它们的和都不能被10 整除，则a 1 ，鸟，… ，向中不可能同时出现
1 和9 、2 和8 、3 和7 、4 和6 . 于是，叭，肉，… ，向中必定有一个数是5 .
若α向1
，α向2
，γ.….川.
，a向5 中含
1，瓜圳贝归l
于是，不含3盯(3 + 6 + 1 = 1 0ω) ，故含7 ;于是，不含2红(2+ 1 +7= 1 0ω) ，故含8 . 但
是5 +7+8= 20 是10 的倍数，矛盾.
若a 1 ，肉，…，向中含9 ，则不含1.于是，不含6(6 十9+5= 20) ，故含4;
于是，不含7(7+4 十9 = 20) ，故含3 ;于是，不含8 (8 + 9+3 = 20) ，故含2 . 但
是5 十3+2= 1 0 是
1 0 的倍数，矛盾.
综上所述，n 的最小值为5 .
副屠法
当我们熟悉了常用数的整除特征后，一个自然的问题是:怎样速判一个
正整数能否被7 整除?
判断一个正整数能否被7 整除，可采用"割尾法"，如对2527 割掉末位数
字7 得到252 ，再从252 中减去被割掉的末位数字7 的2 借得到238 ，这称为
一次"割尾"，对2 38 再进行一次"割尾"得到7 ，显然7 是7 的倍数，从而2527
可被7 整除.
在东西方文化中，7 是具有神秘色彩的数字，一个星期7 天、七色霞光、纯
水的pH 值、七巧板、七夕之鹊桥相会、哥尼斯堡七桥问题……都关联着7 .
七巧板激发了意大利家具设计师丹尼尔·拉格的设计灵感，他将七巧
板用于组合书架的设计，创作出极具特色的作晶.
例8
试证明: 一个正整数被7 整除的充分必要条件是对该数有限次
"割尾"所得到的数能被7 整除.
晤题思路
从正整数的多项式表示切人.
J.,,20 J 
iY 
4-' 
(河北省竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
142 857 是一个
奇妙的数，这个奇妙
的数以如下的方式与
"7 "相约:
142857 X2= 285714 
142857X3=428571 
142857 X 4 = 571428 
142857 X 5 = 714285 
142857X6 = 857142 
142857 X7= 999999 
丰=0 . 142857 
请你证明:检验
整除性的截尾法.
一个数字l 去末位
数字再加上未位数的
2 倍，若所得的新数
是
1 9 的倍数，则原数
也是1 9 的倍数.
适当修改上述法
则，即可用来检验一
个数能否被17 整除，
读者不妨一试.
~、I~、
iCt.\
* 
~吃
( 仁革主~ )
食
'随
诀
*
~~ 刻意练习
1. k45的是能被3 整除的五位数，则走的所有可能取值有
的五位数中能被9 整除的是
个;这样
("希望杯"邀请赛试题)
2
用写有数字的4 张卡片田、囚、囚、囚可以排出不同的四位数，其中能
被22 整除的四位数的和是
(江苏省竞赛题)
3. 不超过100 的自然数中，将凡是3 或5 的倍数的数相加，其和为
(全国初中数学联赛题)
4.
小学里我们判定一个自然数是否能被3 整除，只要看这个自然数的各位
数字之和是否能被3 整除.现在学了用字母表示数，就可以明白其中的道
理啦
!
以三位数为例，用abc表示个位数字是c ，十位数字是b ，百位数字是
α 的任意三位数，则abc=100a+10b + c = ( α + b + C) + 99 α + 9b. 如果α +
b+c能被3 整除，设α + b + c = 3η(η 为自然数) ，那么abc = 3 ( 
), 
所以abc能被3 整除.
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
5. 设七元正整数组(α ，b ，c ，d ，e ，f ，g) 满足等式abc = 70, cde = 71 , efg 工72
，
则满足条件的正整数有
组.
6 .
有
(美国数学竞赛题)
个形如古耳;的五位整数，满足百abc ，否瓦石，否二百均能被
37
整除.
(克罗地亚数学奥林匹克试题)
7.
下面有五个数:
1234554321, 1234554321 2 , 123454321, 123454321 2 , 123454321 
X 
1234554321 ，其中有(
)个是2009 的倍数.
A. 0 
B. 1 
c. 2 
D. 3 
E . 4 
(国际中小学数学能力检测题)
8.
在1，2 ，3 ，…
，99
，10。这100 个自然数中，不是2 ，3
，5 的倍数的数有走个，
则k= ( 
) . 
A . 25 
B. 26 
C. 27 
D. 28 
("希望杯"邀请赛试题)
9. 达妮卡开着她的新车走了整数小时，汽车平均时速为
5 5 英里.开始时里
程表显示数字为币二，其中
，abc( α 二三1
，a 十b + c 运7) 为一个三位数，停车时
里程表显示数字为苟言，则旷十b 2 + c2 = ( 
). 
A . 26 
B. 27 
C . 36 
D . 37 
E. 41 
(美国数学竞赛题)
21 嗦
第
3
Ìi井
数的整除性
~~~ 
，传食
齿
，传
食
1号
食
，传食
10. 若20022002 … 200215 能被15 整除，则η 的最小值等于(
). 
n个2002
A. 2 
B. 3 
C. 4 
D. 5 
(北京市竞赛题)
1 1.
在体育活动中，七年级(1)班的n 个学生围成一圈做游戏，与每个学生左
右相邻的两个学生性别不同，则n 的取值可能是(
) . 
A . 43 
B. 44 
C. 45 
D. 46 
(山东省竞赛题)
12. 设n 是小于100 的正整数且使2旷一切
2 是6 的倍数，则符合条件的
所有正整数n 的和是(
). 
A. 784 
B. 850 
C. 1536 
D. 1634 
(全国初中数学联赛题)
13.
设α ，b ，c 是正整数，且2c
l α b , 3a 1 bc , 5b 1 ca ，求abc 的最小值.
(爱沙尼亚数学奥林匹克试题)
14. 称自然数η 为"好数"，应在十进制下满足下列几个条件:
①n 是四位数;
②n 的第一位和第三位数字相同;
③n 的第二位和第四位数字相同;
④n 的各位数字的乘积是旷的约数.
试求所有的好数.
(意大利数学奥林匹克试题)
15. 如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数
字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样
的自然数称为"和谐数"例如自然数12321 ，从最高位到个位依次排出
的- 串数字是:1，2 ，3 ，2 ，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是:
1，2 ，3 ，2 ，1，因此12321 是一个"和谐数"再如22 ，545 ，3883 ，345543 ，…，
都是"和谐数"
(1)请你直接写出3 个四位"和谐数"，请你猜想任意一个四位"和谐数"
能否被11 整除?并说明理由.
(2) 已知一个能被11 整除的三位"和谐数"，设其个位上的数字为工(1 ~
工三三4 ，x 为自然数) ，十位上的数字为y ，求y 与工的关系式.
(重庆市中考题)
16. 黑板上写着五个正整数，其中任何三个数的和均可被其余两个数中的每
一个整除.问:这五个数中是否一定有四个相等的数?
(俄罗斯数学竞赛题)
17. n 是不为0 的任意自然数，m 是n- l，η ，n 十l，n X n+1 这四个自然数的
乘积，那么，
(1 )m 是不是6 的倍数?
(2) m 是不是5 的倍数?
(世界数学团体锦标赛试题)
飞
事
J
q
μ
 
?" 
'' 
学科精英大视野系列丛书
Ctt\Ft;;;\~、
( 七军主Iil )
有食
，曾
女食
食
会食
，传
18. 从1，2 ，… ，201。这2010 个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取
出的数中任意三个数之和都能被33 整除?
( (( 数学周报》杯全国初中数学竞赛题)
19.
在1，2 ，… ，20 1 2 中取一组数，使得任意两个数之和不能被其差整除.试
问: 最多能取多少个这样的数?
( 北京大学自主招生试题)
第
3 讲
数的整除性
• 
…噜
跚
例1
8 
因
1 +4=2+3 ，故
1 ，4 排在偶数位，2 ，3 排在奇数位，有4 种排法;将2 ，3 排在偶数位，1 ，4 排在
奇数位，也有4 种排法.
例2
C 
关于②的证明
: 对于a ，b ，若至少有一个是3 的倍数，则ab 是3 的倍数，若α ，b 都不是3 的倍数，
则有: (1)当α =3m+ 1 ，b = 3n + 1 时，α - b= 3(m - n); (2) 当α = 3m+1 ，b=3n+ 2 时，α + b =3(m+ n + 1) ; (3)
当
α = 3m + 2 ，b = 3η + 1 时，α + b = 3(m + η + 1) ;( 4)
当α =3m + 2 ，b = 3η十2 时，α - b = 3(m-n ) .
例3
因为72
1 12百Z页，所以8
1 12百巧百，9
1 12百Z页，由此得1 十2 十8 + 7 + x + y+6 = 24 十工+y 是9 的
倍数，而
0'-;;;;工+ y'-;;;;18 ，如IJ
X 十y=3 或
12 ，又xy6 必是
8 的倍数，y6 必是4 的倍数，则y= 1，3 ，5 ，7 或
9 ，当
y=l 时，x=2 ，8
1 216 ; 当
y =3 时
，x=0 ，9 ，8不36 ;8 19 36; 当y=5 时
，x=7 ，8千756; 当y=7 时，x =5 ，8
1 576; 当
y=9 时
，x=3 ，8不396 ，所以符合条件的
7 位数是1287216 ，1287936 ，1287 576 .
例4
根据"拷贝数"的定义，得
N = abc- cba= (100a + 1 0b + c) 一(1 00 c + 10b+a) = 99(a - C). 
可知N 为
99 的整数倍，这样的三位数可能是
1 98 ，297 ，396 ，495 ，5 94 ，693 ，792 ，8 9 1
，99 0 . 这9 个数中，只
有954 - 459=495 ，故495 是唯一的三位"拷贝数"
例5
设u = 2x+3y ，v = 9x+5y .
当工和y 是整数时
，u 和u 也是整数.
于是3v-5 u = 17 x .
① 
当
2工+3y 能被17 整除时，即u 能被17 整除，由①式
，3v 能被17 整除，又由3 和
1 7 互素，则u 能被17 整
除，flr 9x 十5y 能被17 整除.
当
9工十5y 能被1 7 整除时，即u 能被17 整除，由①式，5u 能被17 整除，又由5 和
1 7 互素，则u 能被1 7 整
除，即2x+3y 能被17 整除.
例8
设正整数为A = a ll- 1 a a- 2 … ao
' 即
A = 10 "- l a"一l 十1 0"- 2 α ，，-2+ … + 1 0al + αo . 
经过一次"割尾"后
，A 变为
A' = (10"- 2 a"- l + 10 "
、，，-2+ … + 10a 2 十向) -2ao. 
显然有
1 0A' = A-21ao .
因为10 与7 互质，可知若A 被7 整除，则A ' 也被7 整l珍.反之亦然.所以一个正整数被7 整除的充分必要
条件是对该数进行有限次"割尾"所得到的数能被7 整除.
2~~ 
?贺
4岐
噜岐
女
4民
才这
4吃
食
才过
学科精英大视野系列丛书
1. 
3 个，94599
2. 10912 
3. 2418 
和为
3 (1 +2+ … 十33) +5 (1 + 2 十…十20) - 15 (1 + 2+ … + 6) = 2418. 
4. n + 33 α +3b 
-
g 
5. 96 
由cde=71
，c I70 ，eI72 ，得c=e=1
，d =7 1
，而fg =72=3 2 • 2 3 ，有3X4= 12 纽正整数解
，ab =70=
2 X 5 X 7 ，有
2 3 =8 纽正整数解，故满足条件的七元正整数组有12X8=96 纽.
6. 28 
注意到
37
1 37abc伸371 abc. 
设x=abc ，y=bca ，z=ca b. 则
10x- y= 999a , 10y- z= 999b , 10z- x= 999c. 
由于37 1999 ，若x ，y ，z 中有一个被37 整除，则其余两个也被37 整除.
r 999 , 
因此，所有满足题意的abc的个数(即相应的37abc 的个数)为
| 一一
1 + 1= 28. 
I 37 I 
7. B
由2009=7 2 X 41, 111111 =7 X 11 X 13 X 111 , 11111 =41 X 271 ，得1234554321 = 11111 X 111111 是41
和7 的倍数，但不是7 2 的倍数，123454321 = 11111 X 11111 不是7 的倍数，故仅有1234554321 2 是2009 的倍数.
( r 100, , r 100, , r 100 , 
r 100 , 
r 100 , 
r 100 , , r 
100 , '\ 
8. B 
100 -
1 卜一
1 + 卜一
1 + 1 ~~V 1 -
1 一一卜←一
| 一
| 一一
1 +
l n ，~~~~~
11 = 100 一(50 + 33 + 
,- l 2 J ' l 3 J ' l 5 J 
l 2 X 3 J 
12X5 1 
13X5 1 ' 12X3X5 1J 
20-16 一10 - 6 十3) = 26( 个)
9. D 
设达妮卡开车走了
n(n 为正整数)小时，则
100a + 10b 十C 十55n= 100c+ 10b + α ，得9(c - a) = 切，
5
1 (c-a) ，( α ，b ，c ，n) = (1 , 0 , 6 , 9). 
10. B 
11. B 
学生总数应是4 的倍数.
12. D 
21 切，设η =2m(m 为正整数) ，原式=6m 2 - 6m+2(m2 - 1) , 31 (m2 →1)，设m = 3 走十l 或m =3走+
2(走为非负整数) ，得η =2m=6k + 2 或n=6k+4 ，故符合条件的所有正整数n 的和是(2 + 8 + 14 + … +86+92+
98) + (4 十10+16 十… +82+88+94) = 1634. 
13 .
由2c
l ab ，5blca 得2c X 5b l ab • 町，即2X51a ，同理2X3
I b ，3 X 5
I c ，于是2 2X 3 2 X 5 2
1 abc ，即900
1 abc , 
故abc 的最小值为
900.
14 .
注意到一个好数n 一定具有形式: n= 101 (1 0a +b) (1,ça ，bζ 9) ，因为(ab) 2 1 n2 ，所以
，ab
l η2
又101 为质数，则ab'}l Ol ,ab 1 (1 0a 十的，故a
l b ，bI10a.
于是，所有可能如下:
(1) b = α ，则矿
l 11a=>α
1 1 1，故α = b= 1.
(2) b=2α ，则
2旷112α =>a I6 ，故(α ，的=(1，2)
，(2 ，4)
，(3
，6) .
(3) b = 切，则
5矿
1 15a斗a13 ，故a = l，b =5 .
上述每一对数字都决定了一个好数，故所有的好数是1111 ，1212 ，2424 ，3636 ，1 5 15.
15. (1)设四位"和谐数"个位上的数字为a(h二α ，ç 9 且α 为自然数)
，十位上的数字为
bC O ，ç b运9 且b 为
自然数) ，则四位"和谐数"可表示为
1000a 十1 00b十10b十α.
γ 1 000a+ 100b+ 10b十α = 1001a+ 110b= 11 X 91a+ 11 X 10b= 11(91a + 10的，
:.1000a+ 100b+ 10b + α 能被
11 整除，
即任意一个四位"和谐数"能被11 整除.
(2) .:这个三位"和谐数"的个位上的数字为工，十位上的数字为y ，
..这个三位"和谐数"可表示为100x+ 10y+ x . 
.: 100x+ 10y+ x= 99x+ 11y+ 2x →y=11(9x+y) 十(2x- y) , 
拉己J
( 仨革在纽)
又
. .这个三位"和谐数"能被11 整除，且x ，y 是自然数，
:. 2x- y 能被
11 整除.
γ 1 :S;;工运4 ，0 :S;; y :S;; 9
，二2x- y = 0 .
二y 与工的关系式为y = 2x O :S;; x :S;; 4 且工为自然数) . 
1 6 .
一定有四个相等的数.
黑板上的五个数按非降顺序依次记为α :S;; b :S;; c三三d :S;; e.
据题意，知α + b + c ，b + c + d 均可被e 整除.
则
d - a = (b 十c+ d) - (α + b + c) 也可被ε 整除.
注意到，O~二d - a < dζ e ，
古生f又当
d - a = O 时
，e
l (d - a) . 
这表明
，a = b = c = d.
会，传
，传
1号，传
食
*食
，传
进一步可证明满足题中条件的五个数只有(a ，a ，a ，a ，a ) 和(a ，a ，a ，a ，3a) 两种形式.
第
3
ì井
数的整除性
17. (1) (n - 1) n( η 十1) 是三个连续自然数的乘积
，肯定既是2 的倍数又是3 的倍数，即m 是6 的倍数.
(2)
因为m = (n - 1)
'
n
'
( η + 1) • (η × η + 1) ，① 
①中的
η 仅有5 种可能:
η =5 k
，5 走+ 1，5k + 2
，5k + 3
，日+ 4C其中走是自然数) . 
若η = 5走，则①含有因数
5 ; 
若η = 5 走十1，则η
1 = 5走，故①含有因数
5 ; 
若η = 5 走十2 ，则η
• n + 1 = (5k + 2) '+ 1 = 2 5 旷+ 20 走十5=5 (5 走2 十件+ 1) ，①也含有因数5 ; 
若n = 5 是十3 ，则
η
· η 十1 = (5k 十3) '+ 1 = 25 扩+ 30k +9+ 1 = 5(5旷+ 6k + 2)
，①也含有因数5 ; 
若η = 5 走+ 4.则
η + 1 = 5(k + 1)
，①也含有因数5 .
综上，可知m 是5 的倍数.
1 8.
首先，如下
61 个数:1 1，11 + 33 ，11 十2 X 33 ，…，11 + 60 X 33( 即
199 1)满足题设条件.
另一方面，设α ，< a，< … 〈α" 是从1. 2 ，…
，2010 中取出的满足题设条件的n 个数，对于这n 个数中的任
意4 个数α ; ，气'句
，am
，
因为
33
1 (α E 十向+ a m )
，33
1
( αJ 十a ，十a m )
，所以
33
1 (α) - a,) . 
因此，所取的数中任意两数之差都是33 的倍数.
设a ; =a, + 33d; ,i= 1
，2
，3 ，…
，n ，由
33
1 (a ，十a ，+ α 3 ) ，得33
1 (3a ，十33d ，十33d，) . 
所以33
1 3矶，11
1 α ，' f!r a ，二三1 1.
- a, _..._ 2010-11 
由于d = ι一一ζ 一一一一< 61 ，故d斥60 ，所以n ~二6 1.
33 
~ 
33 
综上所述
，n 的最大值为
6 1.
19.
将1，2 ，…，2012 分成(1，2
，3)
，(4 ，5 ，的，…
，(2008 ，2 0 09
，2010)
，(20 1 1
，20 1 2) 这671 纽.
若取至少672 个数，则由拍居原理知必然有两数属于同一组，不妨设a ，b(a> 的，故α -b = l 或
2 .
当α -b = l 时，(α - b) 1 (a 十的，矛盾;当
α -b = 2 时，(α - b) 1 (α + 的，矛盾.
因此，最多能取671 个数.例如，取1. 4 ，6
，…
，2011 这671 个数满足题意.
25嗦
，，~~川
这是毕达哥拉斯纪念碑，碑体呈直角三角形形状.
毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家，创建了宗教、政
治、学术合一的著名的毕达哥拉斯学派，该学派信奉" 万
物皆数"，发现了毕达哥拉斯定理，定义了奇数、偶数、完
全数、亲和数等概念，研究了图形数的规律.
q汇斟皆
e 
国
需41再需自陆3击
E 
.…' 
用一个正整数b 去除另一个正整数α ，若商为q ，余数为
r ，则有a = bq +
r (O < r< b). 余数有以下基本性质:
(l )b
l (α - r); 
(2) 一个正整数α 被另一个正整数n(n > l) 除时，余数只可能是0 ，1
，
2 ，…
，(n-1) 中的一个，这样我们可以把整数按余数来分类;
(3) 若两个正整数a ，b 被m 除所得的余数相同，则称α 与b 对模m 同
余，记作a = b(modm)
，即(a - b) 被m 整除.
解与余数相关问题的基本方法是:恰当运用相关性质，灵活进行代数恒
等变形，适时兼顾分类讨论.
例
1
一个自然数N 被10 除余9 ，被9 除余8 ，被8 除余7 ，被7 除余6 ，
被6 除余5 ，被5 除余4 ，被4 除余3 ，被3 除余2 ，被2 除余1，则N 的最小值
是
(北京市竞赛题)
晤噩思路
化不整除问题为整除问题，即N + 1 能分别被
2 ，3 ，4 ，5
，6 ，
7 ，8 ，9
，10 整除.
梦乙j
部FC些军
习'回事
习'回岖
许多艺术能够美
化人的心灵，但却没
有哪一种艺术能够比
数学更有效地去美化
和修饰人们的心灵.
毕林斯利
物不知数
"今有物不知其
数，三三数之剩二，五
五数之菲IJ 三，七七数
之剩二，问物几何"
这是记载于《孙
子算经》中的一个问
题，(( 孙子算经》约成
书于公元
4 至
5 世
纪，因载" 物不知数"
题而名声大震.
从完整的计算程
序和理论上解决这个
问题的，是南宋时期
的数学家秦九韶. 秦
九韶在他的《数书九
章》中提出了一个数
学方法"大衍求一
术"，系统地论述了一
次同余式组解法的基
本原理和一般程序.
~G.\1fJ:\ 
( 七.a= !Ll ) 
例2
今天是星期日，那么，今天以后的第2005 3 天是(
A. 星期三
B . 星期四
c. 星期五
为食
，传
齿，传
食
为食
食
D. 星期六
(山西省太原市竞赛题)
瞄理想路
只需考察2005 3 被7 除的余数，注意到2005=7 X286+ 3 .
例3
已知1059 ，1417 ，2312 分别被自然数z 除时，所得的余数都是y ，
求x - y 的值.
(天津市竞赛题)
睡题思路
由被除数、除数、余数的关系，建立关于x ，y 的方程组.
例4
证明: 对任意的整数η ，tnM+川η + 1)的值总是整数
(四川省竞赛题)
晤题思路
对任意的整数η ，21 η(η+ 1)，只要证明31n(η + 1) (2n+1) ，
将全体整数都除以3 ，按余数分为{ 0} ，{1 } 和{2 }三类，需证明整数n 取每一
类中的任何一个数，3In(n + 1) (2η 十1) .
例5
求证:任意三个连续自然数的两两之积的和不可能等于300 00.
(全俄中学生数学竞赛题)
瞄题思路
设三个连续的自然数为n - l，n ，n + l，正难则反，建立n 的
方程;或从余数考虑.
〈总
第
4 讲
带余除法
化不整除为整
除、穷举、布列方程纽
等，是解决带余除法相
关问题的常用技巧.
同余是由大数学
家高斯引入的一个概
念，即"余同"具有"余
数相同" 这一性质，这
种为比较两个整数性
质，引入一个参照物
的思想是同余理论的
一个出发点.
同余是初等教论
的一门语言，它为许
多数论问题的叙述赋
予了统一的、本质的
形式.
c.:\&.\GA 
4医
4岐妇
女
* * 
* * * 
例6
任给五个整数，证明:必能从中取出三个，使得它们的和能被3 整除.
(加拿大数学奥林匹克试题)
证明
一个整数被3 除的余数，只有0 ，1，2 三种.如果这五个数中，被3
除的余数0 ，1 ，2 都出现了，那么，余数为0 ，1，2 的三数之和一定能被3 整除;
如果这五个数中，被3 除的余数0 ，1，2 都没有同时出现，其中必有一个
余数至少出现3 次，那么，余数相同的三个数的和一定能被3 整除.
例7
已知定理"若三个大于3 的质数a ，b ，c 满足关系2α 十日=c ，则
a + b + c是整数n 的倍数"试问:上述定理中的整数n 的最大可能值是多少?
并证明你的结论.
(全国初中数学联赛题)
晤
n 的最大值是9 ，证明如下:
先证α +b十c 是3 的倍数.
因为α + b + c = α + b + 2a + 5b=3 α + 6b = 3(a 十2b)
，所以，α + b 十c 是3
的倍数.
再证α 十b + c 是9 的倍数.
设a
，b 被3 除的余数分别是凡
，rb (ra
，γb 为0 ，1，2)
，
因为a ，b 是大于3 的质数，所以ra 手o ，rb 手O ，ra
，rb 只能为
1，2.
若几手巧，则几=1
，rb = 2 或ra =2 ，rb= 1 ，
此时c=2a 十日必为3 的倍数，与c 为质数相矛盾，故ra = rb. 
所以ra = rb =l 或ra =rb = 2 ，此时，α + 2b 必是3 的倍数，
因此，a + b + c = 3( α 十2b) 必是9 的倍数.
最后证9 是最大的.
当ra = rb = 1 时，取α = 13 ，b=7 ，则
c = 2 X 13 + 5 X 7=61 , 
所以a 十b+c = 13 十7 + 61 =81. 
当几=rb = 2 时，取α =11
，b=5 ，则c=2 X 11 十5 X 5=47 ，
所以α + b 十c=11 + 5 + 47 = 63.
而81
，63 的最大公约数是9 ，所以n 的最大值是
9.
反证洁
当直接求解问题困难时，不妨从问题的反面(对立面)间接求解，即先假
设问题中的结论的反面事项成立，由此出发，运用问题中的条件，通过逻辑
推理，设法导出矛盾的结果，从而判断原问题的反面事项不成立，并推出原
问题中的结论一定正确.
例8
η 位正整数A 的所有数字都不为0 ，从A 中任意去掉m 个数字后
得到的(n-m) 位数都不是9 的倍数(1 ~ m~ n-1)
，求A 的最大值.
("希望杯"邀请赛试题)
纣橱写睡
若直接确定n 的范围困难，不妨从反面考虑，
首先，A 的所有数字中都不能有
9 ，否则去掉其他数字得到的数是9 的
倍数.
叫咱
仇
'专
￡J 
学科精英大视野系列丛书
斗争己去竟
澜'田曾
事阴晴区
例
6 是
1970 年
加拿大数学奥林匹克
试题，70 年代末，我
国著名数学家柯召猜
想，它的一般情况是:
任给2n-1 个整数，
必能从中取出
η 个，
使得它们的和能被n
整除，单主尊教授证明
了这个猜想.
数学奥林匹克是
智力的角
i运，意志力
的较量.
20 世纪著名数
学家波利亚曾说"如
果他(指老师)把分配
给他的时间都用来让
学生操练一些常规运
算，那么他就会扼杀
他们的兴趣，阻碍他
们的智力发展，从而
错失他的良机.相反
的，如采他用和学生
的知识相称的题目来
激发他们的好奇心，
并用一些鼓励性的问
题去帮助他们解答问
题，那么他就能培养
学生独立思考的兴
趣，并教给他们某些
方法"
G.\&:.\~、
女节~ * 
( 七军级)
订，悔
，传
会
，传食
下面用反证法证明
: η ~9 .
假设n 二三10 ，则根据抽屉原理可知，在
肉，α] 十α 2 ,aj +α2+句，… ，aj + α2+α3 十… +a"
这η 个数中必有两个数除以
9 ，得到的余数相同.
设aj +a2 十a 3 十… 十α，与a j 十α2 十向十… + aj 被9 除的余数相同(其
中
i<j) ，两式相减得G川+α;+2+ … +aj 是9 的倍数.
此时，去掉其他数字得到的α i+ l a i+2 … αJ 是9 的倍数，与题设条件矛盾.
所以A 至多是9 位数.
综上，A 的最大值为888888888.
t飞〉刻意练习
l. 一个三位自然数，当它分别被2 ，3 ，4 ，5 ，7 除时，余数都是1 ，那么具有这个
性质的最小三位数是
;最大三位数是
("希望杯"邀请赛试题)
2.
中国剩余定理
此定理源于我国古代数学名著《孙子算经)) ，其中记载了这样一个"物不知
数"问题"今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，
问物几何?"这个问题的意思是: 有一个正整数，除以3 余2 ，除以5 余3 , 
除以7 余2 ，求符合条件的正整数. 此问题及其解题原理在世界上颇负盛
名，中外数学家们称之为"孙子定理""中国剩余定理"或"大衍求一术"等.
对以上"物不知数"问题，求得满足条件的最小正整数为
条件的所有正整数可用代数式表示为
，而满足
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
3. 今天是星期日，从今天算起，第且主二l 天是星期一一一一
2000个l
(江苏省竞赛题)
4 . 用自然数n 去除63 ，9 1，130 ，所得到的3 个余数的和为26 ，则η=一一一一一·
(北京市"迎春杯"竞赛题)
5.
自然数1 ，2 ，3 ，…，按下表规律排列: 横排为行，记数据1，2 ，3 ，4 的那一行
为第一行，依次记下面的各行分别是第2 行，第3 行…. 试问2011 位于该
表的第
行，并对应于"启智杯竞赛有趣"中的汉字: 一一一一一一·
电在
第
4 讲
带余除法
法国著名数学家
阿达玛关于反证法有
一个精辟的论述
" 这
种证法在于表明，如
果肯定定理的假设，
而否定其结论，就一
定会导致矛盾"
费恩、曼是20 世纪
美国杰出的物理学家，
他的自传体小说《费恩
曼先生，你肯定是在开
玩笑》是一本受人称道
的传世佳作.书中指出
一个充满"禅机"的数
土= o. 侧11522633744855
243 
数字排列井然有序，
曾有人怀疑是一个密
码，继续下去，有怎样
的结采?
~~~ 
启
1 
8 
15 
... 
食
，传
1号
食
* * 
食
，传食
智
杯
竞
2 
7 
6 
9 
14 
13 
16 
... 
... 
... 
赛
有
趣
3 
4 
5 
10 
11 
12 
17 
18 
... 
... 
... 
(深圳市"启智杯"数学思维能力竞赛题)
6. (1)循环小数1. 050117 的小数点后第2010 个数字是
;若将此
数保留
2010 个有效数字，则所得新数的各位数字中
1 的个数
是
ω 已知丰←=0 向ωα叭
αιη 
，川(其中hα川
整数)λ，若小数点后连续η 个数字之和G向I+a向2+ a向3 + .…" +a岛n= 2013 ，
则a n =
,n= 
(世界数学团体锦标赛试题)
7. 斐波那契数列
斐波那契(约1170- 1250) 是意大利数学家，他研
究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列
(按照一定顺序排列着的- 列数称为数列) ，后来人们
在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果.在
实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的
瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很
多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.
有一列数
1
，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，…从第三个数起，每一个数都等于它
前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列，则这列数中的第2014 个
数被7 除的余数为
(北京市竞赛题)
8.
除以8 和9 都余1 的所有三位数的和是(
). 
A. 6492 
B. 6565 
C. 7501 
D. 7514 
("五羊杯"竞赛题)
9. 已知= 旦旦旦，则α 除以84 所得余数是(
). 
20 1 6 个5
A. 0 
B. 21 
C. 42 
D. 63 
(北京市竞赛题)
10.
已知m 是被3 除余1，被7 除余5 ，被11 除余4 的最小自然数，则m 被4
除的余数是(
). 
A. 0 
B. 1 
C. 2 
D. 3 
("五羊杯"竞赛题)
字:2
学科精英大视野系列丛书
nAlfi:\~ 
( 忆军主H )
1号
食
*
食
，告*
1号
食
食
11
如图，字母A 到G 分别代表l 到7 中的一个自然数，若A + 4RA 
C+ D ，B + C 十E ，C + C + F 分别被
3 除，都余1，则G
专-:(G 并宇
\C\-f E/ 
是(
) . 
飞旦乌/
A. 
1 或4
B. 
1 或7
(第11 题)
c. 4 或7
D. 1，4 或7
( "希望杯"邀请赛试题)
12. 盒中原有7 个球，一位魔术师从中任取几个小球，把每一个小球都变成7
个小球，将其放回盒中;他又从盒中任取一些小球，把每一个小球都变成
7 个小球后放回盒中.如此进行，到某一时刻，魔术师停止取球变魔术
时，盒中球的总数可能是(
) . 
A. 
1 990 个
B .
19 9 1 个
C .
1 992 个
D .
1993 个
("祖J中之杯"邀请赛试题)
13. 189 8 年6 月
9 日英国强迫清政府签约，将香港土地租借给英国
99 年.
1997 年7 月
1 日香港回归祖国，中国人民终于洗刷了百年耻辱.已知
1997 年7 月
1 日是星期二，那么，1 898 年6 月
9 日是星期(
) (注: 公
历纪年，凡年份为4 的倍数但不是100 的倍数的那年为闰年，年份为400
的倍数的那年也为闰年，闰年的二月有
2 9 天，平年的二月有28 天) . 
A.
二
B .
兰
C .
四
D.
五
(陕西省竞赛题)
14. 数119 很奇特: 当被2 除时，余数为
1 ;当被3 除时，余数为2 ; 当被4 除
时，余数为3 ; 当被5 除时，余数为4; 当被6 除时，余数为5. 试问: 具有这
种性质的三位数还有多少个? ( 
). 
A . 0 
B. 1 
C. 3 
D. 7 
E . 14 
( 美国数学竞赛题)
15.
已知三位数M 被3 除余
1 ，被5 除余2 ，被7 除余3 ，求M 的最大值、最
小值.
("希望杯"邀请赛试题)
16. 在
1 ，2 ，…，20 1 5 这20 1 5 个正整数中选出走个数，使得其中任意两个不
同的数之和均不为5 0 的倍数，求走的最大值.
( 上海市竞赛题)
17. 设m = 1 2+ 22+ 3 2 + … + 2003 2 ，今天是星期一，若算第一天，则第m 天
是星期几?
(江苏省竞赛题)
18 . 有三堆石子的个数分别是1 9 ，8 ，9 ，现在进行如下的操作:每次从这三堆
石子中的任意两堆中各取出
1 个石子，然后把这2 个石子都加到另一堆
中去，试问:能否经过若干次这样的操作后使得:
(1) 三堆石子的数分别是2 ，1 2 ，22 ;
(2) 三堆都是12 .
如能，请用最快的操作完成; 不能，则说明理由[注: 若从第一、二堆各取
l 个到第三堆，可表示为(1 9 ，8 ，9) 斗(1 8 ，7 ，11 ) 等].
(五城市联赛题)
飞jl嗦
第
4 讲
带余除法
~#:.\&:.\ 
食
，传
食
食
1传
言斗
*女
合
19. a j ，a 2
' … ，a l1 是不小于2 的互异正整数，满足
aj +α2+ … +a l1 =407. 
问:是否存在正整数η ，使得当
n 分别除以a] , az , … , a l1 , 4a] , 4az ,…, 
句11 这22 个数时所得到的余数的和等于2012?
(俄罗斯数学奥林匹克试题)
学科精英大视野系列丛书
精- z主:在
湿'回事
毡'回眶
• 
...,,:l • 
例
1
N + 1 为
2 ~ 10 的公倍数，要使N 最小，取N 十1 为它们的最小公倍数.2 3 X 5 X 32 X 7 = 2520 ，故所
求N 的最小值为2520-1 =25 19.
锣IJ 2 
D 
因
2005 3 = (7 X 286+3) 3 = 7 是+27=7 k J + 6( 走，kJ 都为正整数) ，故那天是星期六.
锣IJ 3 
设已知三数被自然数工
F余时，商数分别为α ，b ，c ，
「αx +y= 1059 ，
①②一①，得(b - a )x = 358 ，
则~bx +y= 1417 ，
②
③一②，得(c - b) x=895
，
Lcx+y=2312 ，
③③①，得(c -a)x= 1253 , 
由此得z 为
358 ，895 ，1253 的公约数，x= 179
，进而求得y = 164.
例4
对任意的整数n ，n(n + 1) 是偶数，故2
1 η (n + 1) (2n + 1).
若n =3走，则
3
1 n(n+ 1) (2n+ 1); 
若η =3k + 1
，η (n + 1) (2n + 1) =(3 走+1) (3k+2) (6走+ 3) = 3 (3k + 1) (3 走+2)(2 是十1)，
则
3
I n(n + 1) (2n 十1).
若n=3k + 2 ，n(n 十1) (2n 十1) = (3k+2) (3k +3) (6 走+5)=3(3 k 十2)( 走十1)(创十日，
则
3
I n(n + 1) (2n + 1).
综上所述，对任意的整数n ，3In(n+ 1) (2n+ 1)，
又(2 ，3)= 1，故6
1 n(n+ 1) (2n+ 1)，所以，对任意的整数n ，iMn+ I)(2η十1)的值总是整数.
6 
例5
n(n - 1) + n(n 十1) +( n 一1) (n + 1) =3 n2 -1=3(n 2 一1) +2 .
它被3 除余2 ，而30000 能被3 整除.故任意三个连续自然数的两两之积的和不可能等于300 00. 
1. 421 ,841 
• 
…….. 辈辈
黯
2. 
23
，23 + 3X5X7 是= 10日+23
我们注意到，该数被3 ，7 除后都余2 ，而
3 ，7 互质，因此，这个数应是
21m+2 型的数，23 最小，而23 被5 除余3 . 所以，满足条件的最小正整数为23 ，满足条件的所有正整数可用代
数式表示为23+3 X 5 X 7k= 105k+23 . 
3.
三
因111111=15873 X 7 , 2000=333 X 6+2 ，故且主二l 被7 除的余数与
11 被7 除的余数相同，又
2000 个l
11 = 7 X 1+4. 
4. 43 
设自然数η 除63 ，9 1，130 时，商分别为工，y ，z ，余数分别为a ，b ，c ，则63=nx + α
(, 91 = ny 十
y 32 
( 仁革!J;l )
长了
赏
女食
v文y
?金
* 
9眨
食
第
4
i.井
带余除法
b 
(
,130=nz+c ③，①+②+③，得284= 圳工+y+ z) + ( α十b+c) ，而α + b+c= 26 , 9)iJ n(x+ y+z) = 258= 
2X3 X43 ，故η =2 ，3 ，6 ，43 ，86 ，1 29 或258. 经验算仅有η = 43 符合条件.
5. 575 ，杯
2011 被7 除得商为
287( 为奇数) ，余数为
2.
6. (1) 1 ,804 
将1. 050117 保留2010 个有效数字所得新数为1. 0 50 117 50117 … 5011750 1 ，共有401 个
4 01 个50 11 7
循环节，每个循环节中有两个"1" ，故所得新数的各位数字中
1 的个数是1 十2 X 401 + 1 =804. 
(2) 8 ，ω 丰= O. 142857 一个循环节中的6 个数字和为川013=27 X 74 + 15 ，1 十川+8 = 15
7. 6 
考虑这列数被7 除的余数列为:1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，1 ，6 ，0 ，6 ，6 ，5 ，4 ，2 ，6 ，1
，0 ，1 ，1 …因
2 0 14 = 125 X 16 十
14 ，故所求结采为
6.
8. A 
1 00运72走+ 1 < 1 000 ，则k=2 ，3 ，4 ，…
，13 .
9. 0 
由于84 =4X3X7 ，且4 ，3 ，7 两两互质，我们分别考察α 除以4 ，3 ，7 的余数.
看末两位55 知，55=4X13 十3 ，所以α 除以4 余3 ; 
数字和为
5 X 20 1 6--;-3 二3360 ，I'!F a 被3 整除;
又试算知，55555 5 = 7 X 79365 ，又2016--;-6 =336 ，所以α 被7 整除.
由于3 ，7 互质，所以α 被21 整除.
我们依次写出被21 整除的数:21 ，42 ，63 ，8 4 ，105 ，126 ，…
因为
2 1 与4 互质，在其中找出小于
84 的被4 除余3 的数，恰为
63 ，所以a = 555 … 555 被84 除的余数
」一→-v一~
2016 个5
是63 .
10. 0 
m + 2 被3 和7 整除，I'!F m+2 被21 整除，如IJ m 可以为
1 9 ，40 ，6 1
，82 ，1 03 ，…，显然被11 除余4 的
最小自然数为
103 ，它被4 除余3 .
11. 0 
A + B+C+ D十E十F+ 3G= 28 + 2G 能被3 整除，2G+ 1 能被3 整除.
12. 0 
因魔术师变球后增加的球数总是6 的倍数，故不论变多少次，金中球的总数被6 除的余数不变，
即余数总为1.
13. C 
19 97 年6 月
9 日是星期一，而1898 年6 月
9 日到
1997 年6 月
9 日共9 9 年，其中间年2 4 次，故
99X365 + 24三99 十24 三4 (mod7) ,1 -
4三
3 三4(mod7 ) .
14. E 
具有同样性质的其他数都与
119 相差
2 ，3 ，4 ，5 ，6 的最小公倍数，即
2 ' X 3 X 5 = 60 的一个倍数
的数.
15. 被7 除余3 的数构成首项是3 ，公差是7 的等差数列:3 ，1 0 ，17 ，…
被5 除余2 ，被7 除余3 的数构成首项是17 ，公差是5 X 7 = 35 的等差数列:1 7 ，52 ，87 ，'
被3 除余
1 ，被5 除余2 ，被7 除余3 的数构成首项是52 ，公差
3 X 5 X 7 = 10 5 的等差数列
: 52 ，157 ，262 ，
367 ，472 ，577 ，682 ，787 ，892 ，997 ，… 其中三位数M 中的最大数是977 ，最小数是
1 57 .
16. 将
1 ~ 20 1 5 按除以50 的余数分类.
设A ，表示1 ~20 1 5 中除以50 的余数为
i(i =O ，l ，…，4 9) 的数的全体. 则人
，A "
… ，A 15 各有数41 个，Ao
'
AI 6
，A I 7
' …
，A 4 9 各有数40 个.
按题设，A。和A Z5 中各至多选1 个数;而A i 与A so _ ，Ci = 1，2 ，…
，24) 中不能同时选数.
注意到，当
1 ζ zζ 1 5 时，A 所含数的个数比A SO-i 所含数的个数多.
故可将人，儿，…
，A1 5 全部选入.
至于当
16~ i~2 4 时，可将A ，(或A 50 - ，) 全部选入.
综上，走的最大值为
15 X 41 + 9 X 40 十1 + 1 = 977 .
33 
，，~ 
也队
食
-
R
食
食
1号
，传为
为
学科精英大视野系列丛书
* 
17.
令5，=1'+ 2'+ 3'+ 4' 十5' +6' +7' =140 =20X 7 ，:.5，是7 的倍数，5，= i+3 ' 十4' +5 ' 十6'+7' 十8' =
5 , +8' -1' =5, + 9 X 7 , :. 5，也是7 的倍数，如此递格5，!- ，= 7N + 5，( η 为自然数) ，得任何连续
7 个自然数
之平方和都是7 的倍数，2003= 286 X 7+ 1 ,m= l ' + (2 ' 十3 ' + … + 2 00 3勺，m 被7 除余1，第m 天为星期一.
18. (1)经过6 次操作可达到要求: (1 9 ，8 ，的斗( 21 ，7 ，8)=>(23 ，6 ，7 ) 斗(25 ，5 ，6 ) =争( 24 ，4 ，8)=> ( 23 ，3 ，10) 斗
(22 ,2,12); 
(2) 不可能.因为每次操作后，每堆石子数要么加2 ，要么少1，而
1 9 ，8 ，9 被3 除余数分别为1，2 ，0 ，经过
任何一次操作后余数分别是0 ，1，2 ，不可能同时被3 整除.
19.
不存在.
假设存在那样的n ，注意到，一个正整数除以m 时余数的最大可能值是m- 1. 故除以a l
，a2
' … ，a ll 时所得
余数的和不超过407-11=396 ，除以4a ，
，4a"
…
，4a ll 时所得余数和不超过4 X 4 0 7-11=1 6 1 7.
如果所有的余数都取最大可能值，则余数的和应为396 + 1 6 1 7=201 3.
由条件知这个和等于2 0 12. 故除了一个以外所有余数取最大可能值，另一个取最大可能值减1.这表明，
存在一个走使得n 除以句
，4a. 时，一个余数取最大佳，一个取最大值减1.由此推出η + l，n + 2 中一个是向的
倍数，另一个是4仇的倍数.
故a.l < η 十1
，η + 2)= 1，这与条件向二三2 矛盾.
合主〉
在历史上，许多著名的哲学家，非常重视对数学的
学习与研究，并积极推动数学知识的传播.左图是古希
腊哲学家柏拉图(约公元前42 7一前34 7). 他在他所创
建的学院里研究哲学和数学，并在学院大门上刻着铭
文"不懂几何者不得入内"
!i!...，帽
HeLUS 唰
h 句。卅
勺仁过旨
-
胃5 i*l: 
奎支辜由
E 
.--… . 
'
如能德遮
数学一开始就是研究"数"和"形"的，从古希腊时期起，人们就已试图把
它们统一起来.
数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象.
借助数轴，直观地表示有理数，形象地解释相反数，准确地比较有理数
的大小; 运用数轴，直观而简捷地解决与绝对值相关的问题.
数轴，数与形的第一次碰撞. 运用数轴，可以化复杂为简单，把抽象问题
直观化、生动化.
设数轴上两点A ，B 表示的数分别为工1
' 句，则
(1) A ，B 两点间的距离为|工l 一句
1
;
(2) 线段AB 中点表示的数为咛主
'
衍问题能决
19IJ 1 
(1)数轴上有A ，B 两点，如果点A 与原点的距离为3 ，且A ，B 两
点的距离为1，那么点B 对应的数是一一一一·
(广西壮族自治区竞赛题)
1 
(2) 点A ，B 分别是数
3 ，一一在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右
2 
移动到A'B ' ，且线段A'B' 的中点对应的数是
3 ，则点A ' 对应的数
是
，点A 移动的距离是一一一一一·
("希望杯"邀请赛试题)
晤题思路
对于(1) ，确定A ，B 两点在数轴上的位置，充分考虑A ，B 两
飞:1姥
非- z立货
酒'圄蜻
莓-巨
数缺形时少直
观，形少数时难入微.
数形结合百般好，隔
离分家万事休.
华罗庚
以图示数
1+ 3+5 + …+ 
(2η-1)=? 
如图，毕达哥拉
斯早已利用图形给出
了几何解释.
口
l
圈}2
1+3=2' 
自看}3
1+3+5=3' 
量J}'
。昆、I::i:\I::i:\
* 
，传
食女
女
电
A
户吨'
，传
，传
食
点的多种位置关系;对于(2) ，在平移的过程中，线段AB 的长不变，即AB=
A'B' 
例2
如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距
1 个单位，点A ，B ，
C ，D 对应的数分别是整数a
，b, c , d ，且d-2α= 10 ，那么数轴的原点应
是(
). 
A. A 点
B. B 点
D. D 点
(江苏省竞赛题)
占
川
C 
C 
蠕题思路
从寻找d 与a 的另一关系
式入手.
A 
B C 
D 
例3
如图，己知数轴上点A ，B ，C 所对应的数a
，b ，c 都不为0 ，且C 是
AB 的中点.如果la+ b l-l a-2c
l + I b-2c I 一|α +b-2c
1 =0 ，试确定原点
。的大致位置.
a+b 
晤题思路
化简等式，而
c =2一是解题
的关键.
题
报
B
→
b
Mcf 
江
­
(A-a 
例4
电子跳蚤落在数轴上的某点K o
，第一步从K。向左跳1 个单位到
K l
' 第二步由K l 向右跳2 个单位到K 2
，第三步由K 2 向左跳3 个单位到
K 3
' 第四步由K 3 向右跳4 个单位到K 4
' ……按以上规律跳了
100 步时，电
子跳蚤落在数轴上的点K lO。所表示的数恰是19.94 ，试求电子跳蚤的初始位
置K。点所表示的数.
("希望杯"邀请赛试题)
堕些翌堕设K o 点所表示的数为工，分别把K l 点，几点，…
，K IOO 点所
表示的数用z 的式子表示，建立方程.
￡fj e 
学科精英大视野系列丛书
理?己主镜
'因冒冒... 区
有效地从文字、
图形、图表获取信息
是信息社会的基本
要求.
从数轴上获取有
关信息是解有理数问
题的常用技巧，主要
包括:
(1)数轴上的点
所表示的数的正负性;
(2) 数轴上点到
原点的距离.
~、.~~
( 也a= !Jl ) 
1{
食
，传
食，战
，传
女食
食
例5
求
I x- 1
1 + Ix-21 + Ix-31 + … +lx- 1 9971 的最小值.
纣析写睡
由于工具有任意性、无限性，
所以通过逐个求出代数式的值来解题显然较
难，不妨借助数轴，从绝对值的几何意义入手.
(天津市竞赛题)
从数轴上看，求Ix 一1 1+
l x-2
1 +lx-3 1+ … 十问- 1997
1 的最小值，
即在数轴上找出表示工的点，使它到表示数1，2 ，3 ，…，1 997 的点的距离之
和最小.如图所示，当工=999 时，原式的值最小，从数轴上看这个最小值为:
0997- 1) + 0 996-2) + (1995 -
3) 十… + 0 000-998) + (999 -999 ) = 
1996+ 1994+ 1 992+ … + 2 =997002 ，也可将x=999 代入上式求值.
想一想: 求
I x - 1 1+2Ix 一3
1 +3Ix-41 的最小值.
例6
如图，数轴上标有2η十1 个点，它们对应的整数是一n ，- (η
1),…, 
-2 ，一1 ，0 ，1 ，2 ，…，η -2 ，n一l，n. 为了确保从这些点中可以任取2006 个，而且其
中任何两个点之间的距离都不等于4 ，求η 的最小值.
-n -(n-I ) -(n-2) 
-2 
-1 
0 
I 
2 
n-2 
n-I 
n 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
晤
首先注意8 个连续的点，例如0 ，1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 . 从中可取前4 个
点0 ，1，2 ，3 ，其中任何两个点的距离都不等于4 .
又由于这8 个点可以分为4 组，每组两个点的距离为4:( 0 ，4) ，(1，5) ，
( 2 ，6)
，(3 ，7) ，所以每一组只能选一个点，8 个点中只能选出4 个点，任何两
个点之间的距离都不等于4.
因为2006 =4 X 50 1 十2 ，8 X 501 + 2 = 4010 ，故当
n = 200~ 时，2η 十1 =
4011 ，从左到右，每8 个连续的点中取前4 个点，剩下的3 个点中取2 个点，
共取2006 个点，任何两点间的距离都不等于4.
另一方面，如果η~ 2004 ，那么2n 十1 ~ 4009. 从左到右，第8 个连续点一
组，至多502 组，其中最后一组只有
1 个点. 因此不论怎么取2006 个点，前
50 1 组中总有一组取的点多于4 个，从而有两个点的距离为4 .
综上所述，η 的最小值是200 5 .
例7
把数轴上的每一个点染成红色或蓝色. 求证: 在这条数轴上一定
有两个同色点，它们的距离为1 或2 .
(陕西省西安市竞赛题)
衍桥写幡
本例是存在性证明问题，构作出符合结论的点即可.
在数轴上取三点A ，B ，C ，使AB = BC = l，AC = 2. 因为这三个点只染有
两种颜色，所以必有两个点的颜色相同，若点A 与点B 或点C 同色，则有距
离为1 的两点同色;若点A 与点C 同色，则有距离为2 的两点同色.
质点运动
运动与静止是哲学中的一对矛盾体，运动中蕴含了事物的相对静止，而
在静止中又蕴含了事物的绝对运动.质点在数轴上运动，使点表示的有理
数、线段的长、分类讨论、建立方程等知识方法有机融合在一起，便问题呈现
飞之:哈
第
5 讲数轴
(1) 
l a-b
l 的几
何意义是数轴上表示
数a ，b 两点间的距离.
(2) 如图，当a~
工~b 时，
I 工-a
I 十
I x-b l 的值最小.
H←牛→H
a 
X 
b 
如图，当工=b 时，
Ix- a I 十Ix- b
l + 
I x-c
l 的值最小.
~坦--到
a 
b (x) 
c 
( 3 )
一般地，设
矶
，α 2
' 鸟，…
，U " 是数
轴上依次排列的点表
示的有理数，则
:
当
η 为奇数时，
若
x
=
α平
时，则
Ix-a J 1+ I x 一句
|
+ … +I x- a"l 值最小;
当η 为偶数时，若
a-ÿ 
::S二x
'"二afH ，则
Ix一句1+
1 工一句
|
十… +l x- a..1 值最小.
~、~、~
'峙
，传
1纭
，传食
女
，传
食女
动态之美.
例8
已知数轴上A ，B 两点对应数分别为一2 和4 ，P 为数轴上一点，
对应数为工.
(1)若P 为线段AB 的三等分点，求P 点对应的数.
(2) 数轴上是否存在点p ，使P 点到A 点，B 点距离和为
1 0? 若存在，
求出z 值;若不存在，请说明理由.
(3) 若点A 、点B 和点P( P 点在原点)同时向左运动，它们的速度分别
为1，2 ，1 个长度单位/分，则第几分钟时，P 为AB 的中点?
睡题思路
以静制动，即考察特定时间或位置、建立方程，是解质点运
动的关键.
1. 数轴上有A ，B 两点，如果点A 对应的数是一2 ，且A ，B 两点的距离为3 ，
那么点B 对应的数是
(江苏省竞赛题)
2.
如图，点。，A ，B ，C ，D ，E 分别对应数轴上相应的坐标. 则以Q ，A ，B ，C ，
D ，E 中任意两点为端点的所有线段的长度的和为
, 1 1}, Q , . ç , 
I , 1}
1 
I 
I 
I ~I 
-3 二2
Õ 
3 
7 
12 
x 
(第2 题)
("希望杯"邀请赛试题)
3. 纸上画一数轴，将纸对折后，若表示4 的点与表示一1 的点恰好重合，则
此时与表示- 3 的点重合的点所表示的数是
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
4
对数轴上的点P 进行如下操作:先把点P 表示的数乘以÷，再把所得数
对应的点向右平移1 个单位，得到点P 的对应点P' .
点A ，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段
A'B ' ，其中，点A ，B 的对应点分别为A' ，B ' . 如图所示，若点A 表示的数
是一3 ，则点A'表示的数是一一一一一; 若点B ' 表示的数是2 ，则点B 表示
的数是一一一一一;已知线段λB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点
E' 与点E 重合，则点E 表示的数是
A
丛
T
句
3
'
" 
8
42 
LI 
LAU 
E
嚼
'
A
E
饨
，
命
A
←
斗
A
句
-
(第4 题)
(北京市中考题)
乡当
学科精英大视野系列丛书
数学与文学意境
初唐诗人陈子昂
诗云"前不见古人，后
不见来者，念天地之悠
悠，独怆然而涕下"
诗人的位直是原
点，作为一个思古想
今的学者，感天地之
宏大，时间之遥远，觉
人生之短暂，视野之
狭隘，遂有上述诗情.
许多人误以为学
习数学等同于了解定
理的证明、背诵及套
用公式、熟读例题及
操练习题.其实，数学
既是一门抽象的学
科，亦与生活息息相
关;它既是理性的追
求，又是充满美感的.
c..\a.\AI:\ 
( 七军主政)
--v^{
食
，传
食
，曲
，传
会
，传
食
第
5 讲数轴
5. (1)如图所示，点A ，B 所代表的数分别为一1，2 ，在数轴上画出与A ，B 两
点的距离和为5 的点(并标上字母) . 
(2) 若数轴上点A ，B 所代表的数分别为α
，b ，则A ，B 两点之间的距离可
表示为AB =
l a-b
l ，那么，当
I x+ l l+
l x-2
1 =7 时，x==
; 当
I x十1 1+lx -2 1> 5 时，数z 所对应的点在数轴上的位置是
A 
B 
而4
…3
- 2 
- ) 
0 
2 
3 
4 
(第5 题)
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
6.
如图，在数轴上，点A 表示
1 ，现将点A 沿数轴做如下移动:第
1 次点A
向左移动3 个单位长度到达点Al' 第2 次从点儿向右移动6 个单位长
度到达点A 2
，第3 次从点A 2 向左移动9 个单位长度到达点A 3
' ……，按
照这种移动规律进行下去，第n 次移动到达点人口如果点An 与原点的距
离为20 ，那么η 的最小值为
A 主
A, 
A 
A, 
-5 
-4 
-3 
-2 
-1 
0 
234 
5 
(第6 题)
(广西壮族自治区南宁市中考题)
7 . 如图，数轴上的A ，B ，C 三点所表示的数分别为a ,b, --4 
p 
g 
c ，其中AB=BC ，若
| α 1>
l c
l >l b
l ，则该数轴的原
α 
b 
c 
点。的位置应该在(
) . 
(第7 题)
A . 点A 的左边
C .
点B 与点C 之间
B. 点A 与点B 之间
D .
点C 的右边
(山东省劳泽市中考题)
8. 在数轴上，表示的数是整数的点称为"整点"设数轴的长度单位是厘米，
若在这个数轴上随意画出一条长2008 厘米的线段AB ，则线段AB 盖住
的整点至少有(
). 
A. 2006 个
B.
2007 个
C.
2008 个
D.
2009 个
("希望杯"邀请赛试题)
9. 在数轴上，点A 和点B 分别表示数α 和b ，且在原点的两侧.若
| α-bl = 
2016 ，且AO = 2BO ，则α 十b = ( 
). 
A. 6048 
B. - 6048 
C .
土672
D. 0 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
10. 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1 个单位，点A ，B ，C ，D 对
应的数分别是整数a ,b, c , d ，且b - 2α=9 ，那么数轴的原点对应的点
是(
). 
A. A
，点
B. B 点
占
川
C 
C 
D. D 点
(广西壮族自治区竞赛题)
b 
。
o
c 
A 
B C 
D 
(第
10 题)
(第
11 题)
~~~ 
也吆
，传
食为
食
*
1廿
，传
食女
1 1.有理数α ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，0 为原点，则代数式
| α 十b
l 一
I b-a
l 十la-cl +c 工(
). 
A.
一3a+2c
B.α - ab - 2c 
C. a 一2b
D. 3a 
("希望杯"邀请赛试题)
12. 一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3 步后退2 步的
程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退
l 步，并且每步的距离为
1 个
单位长，ι 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列
结论:
(
X 3 = 3; ②工5 = 1; (
X 103 <X104 ; ④工2007<岛附·
其中，正确结论的序号是(
). 
A. ①①
B. ②③ 
C. ①②③ 
D.
①②④ 
(江苏省镇江市竞赛题)
13. 数轴上有一动点A ，从原点出发沿着数轴移动，每次只允许移动
1 个单
位，经过10 次移动.A 点移动到距离原点6 个单位处.问:点A 的移动方
法有多少种?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
14. 试求
I x-21 + Ix- 4 1 + Ix - 6 1 +…+ I x-2000
1 的最小值.
("希望杯"竞赛题)
15.
已知Ix十2 1+1 1 -xl= 9 一
l y-5
1 一
1 1 + y
l ，求z十y 的最大值与最小值.
(江苏省竞赛题)
16.
已知数轴上有A ，ß ，C 三个点，分别表示有理数一24. - 1 0
，10 ，动点P
从A 出发，以每秒1 个单位的速度向终点C 移动，设移动时间为t 秒.
(1)用含
t 的代数式表示P 到A 点和点C 的距离:PA =
PC= 
(2) 当点P 运动到B 点时，点Q 从点A 出发，以每秒3 个单位的速度向
C 点运动，Q 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点
A ，在点Q 开始运动后，P ，Q 两点之间的距离能否为2 个单位?如果
能，请求出此时点P 表示的数;如果不能，请说明理由.
--
B
牛
m
川
C+mu 
(第
16 题)
17. 一个动点从数轴的原点出发，连续不断地一左一右来回跳动(第一次向
1 2 3 4 
左跳) ，跳动的距离依次为一，一，一，一，...
2'3'4'5 
(1)如果n 是正整数，那么第n 次跳动的距离是
(2) 第5 次跳动的落点位置所对应的有理数是
(3) 第100 次跳动后所处位置在原点的
侧;
(4) 会不会有相邻两次跳动的落点位置在原点的同侧?会不会有某次跳
动正好回到原点?为什么?
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
比，;
学科精英大视野系列丛书
Gti\ß:\Gti\ 
数轴
第
5 讲
* 
立专
食
，陆
女食
食
食
，传
革
• 
……..1 • 
(1) 4 或2 或
2 或-4
AB 的长为
1 ( 一~ ) - (一3)1 = ~ ，A ' 忖应的数为3
÷ × ?=7 ，是A 移动的距离是
例1
7 19 
(2) 一，--;-
4 ' 4 
7 
, 
~ ， 
19 
士一(-3)=~4V '
由图知d - a=7 ，又d-2a= 10 ，得α =-3 .
将α +b= 2c 代入已知等式得
l a + b l=
l b
l 一
| 叫，则ab<O ，Ibl > I 叫，故原点。在线段AC 上.
儿，儿，… ，k1 00 点所表示的有理数分别为x-1 ，x- 1 +2 ，x一1 +2-3 ,… ,x- 1+ 2- 3+ 4… -99+100 , 
由题意得x - 1 + 2-3+4 …
99 + 100 = 1 9 . 94 ，解得x = - 30. 06. 
例8
(1) 0 或2
(2)
当x=4 或6 时
，PA 十PB = 10 .
(3) 设t 分钟后
，P 为AB 的中点
，A ，B ，P 运动
t 分钟后对应的数分别为- 2 - t ，4-2t ，-t ，由- t=
B 
234 
伊
伊
例
。
，
"
一
-
qf 
VAe 
叫
二
。
/
臼
• 
·………......………-院
副
1. 
1 或- 5
2. 105 
4 十(-1)
-3+x 
设该点所表示的数为工，则一
2一一
2 一
3. 6 
4 
D
+3 
B
+2 
_ 
"' .,,. 
• • 1 
设E 点表示的数为工，则E' 点表示的数为一工+ 1，由工= τx+ 1 得x= 言
3 
A 
叫』
- ) 
0 
(第5 题)
c
→
斗
"
-3 
…4 
5. (1)如图所示，点C ，D 两点即为所求.
(2) x = - 3 或4 ，点C 的左边或点D 的右边.
序号为奇数的点在点A 的左边，人，人，人，… ，
4
0,3,? 
6. 13 
3 η + 1 
A
对应的数分别为
2 ，- 5 ，- 8 ，… ，一一一一; 序号为偶数的点在点A 的右边，A "
A "
A"
…
，A" 对应的数分
2 
3n+ 2 
.. 3 n + 1 →
3η + 2 _ ""
，，-，-
38 
别为4 ，7 ，1 0 ，… ，一言一，当
2一一20 时，得n = 1 3; 当一τ一= 20 时，η
τ ( 舍去)
，故η 的最小值为
13.
7. C 
8. C 
A ，B 两点与原点位直关系不确定，故应分类讨论.
9. C 
10. C 
A 
设a 为正整数，当
n = 5a 时
，X" = α ; 当
η =5α+ 1 时，Xn =a 十1 ;当
n =5α + 2 时
，x" =a+2; 当
n = 5α + 3 时，工=α+3 ; 当
n =5α 十4 时
，X ，，= α +2 . 由此可得X 103 = 23 ' X 10' = 22 ，工2007 =403 ，工2008 =404. 
兰!娘
11. 
12. D 
，际，
食
1纭
，传
食
女
，传
食
食
学科精英大视野系列丛书
一"…酌_.....-
四
一一一白白…....
13. 设1 0 次移动中有z 次向正方向移动
1 个单位，则有(1 0- x) 次向负方向移动
1 个单位.根据题意，移
动结果有两种情况:或原点右侧
6 处，或原点左侧-5 处.那么，先向右侧的有
; X十(1 0 - x)X( -1 )=5 ，x=8 ，
即
1 0 次中有8 次向正方向，2 次向负方向移动，有45 种. 同理，向左侧的也有45 种.因此，点α 有90 种不同的
移动方法.
14.
当
1000ζx~二1002 时，原式有最小值，这个最小值为
; (1002- 2) + (1004-4) 十… +( 2000- 1000) =500000. 
15. 原式化为
1 x+21 + 11-x 1 + 1 y- 51 + 11 + y 1 = 9 , 
: 
Ix+21+11 - x
l 二习，
l y - 51+
l y + 1
1 二剖，当一2::(xζ1 ，一1::(y::(5 时等号成立.
:. x+y 的最大值= 1+5 =5;x+y 的最小值= - 2 一1 = -3.
16. (1) t ,34- t 
(2)
当P 点在Q 点右侧，且Q 点还没有追上P 点时，3 (t一1 4) + 2=t ，解得;t= 2 0 ，:.此时点P 表示的数
为一4 .
当P 点在Q 点左侧，且Q 点追上P 点后，相距2 个单位，3(t - 14) 一2 = t ，解得
; t = 22 ，:. 此时点P 表示的
数为一2.
为
3.
为
4.
当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点左侧时，t + 2+3(t一14)-34=34 ，解得;t=27 ，:. 此时点P 表示的数
当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点右侧时，t - 2+3(t 一14)-3 4= 34 ，解得;t =28 ，:. 此时点P 表示的数
综上所述:点P 表示的数为
4 ，一2 ，3 ，4.
17. (1)一旦-.
n+1 ' 
37 
(2)
一;
50' 
(3)
右;
(4) 都不会.
1 , 2 
3
, 4 
5 
求和:一一+一一一+ 一一一+ … 十(-1) "一一-
2 '3 
4' 5 
5 ' 
"~/ n + 1 
1
, /2
3 \
, / 4
5\ 
当η 为奇数时，原式= - 一+ {一- ~ \ + ( 一- ~ \ + … < 0 ;
2' \ 34 1 ' \ 5
5 1 
{1
, 2\ ,{ 
3
, 4 \
, { 
5
, 6 \
, 
1 
1 
1 
当n 为偶数时，原式= ( 一一+ ~
I + (- 一+ : 1+ 1 
一+
~ 1 + … --一十一→+一一+… >0 .
飞
2
' 
3
)
飞
4
' 5 } 
'
~ 
6 ' 7 J ' 
2 X 3 ' 4X5 ' 6X7 
由此可知，从两个加数起，每增加一个加数，和的符号都会改变，故不会出现相邻两次跳动的落点位直在
原点的同侧，也不会有某次跳动正好回到原点.
h.~(~/1 
~f气;仨
根据国际数学联合会的提议，联合国教科文
组织确定2000 年为"世界数学年"，其目的在于提
高数学在整个社会中的"能见度"，为此，许多国家
的邮政部门相继发行纪念邮票，推动此项工作的
进行.如左图是卢森堡邮票，力图在邮票图案上展
示相关数学的符号与信息.
需6 i:古生自由
l 
'
知能部述
从数轴上看，Ial 表示数α 的点到原点的距离，1α -bl 表示数α ，数b 的
两点间的距离.解与绝对值相关最值问题，借助数轴形象而直观.
去掉绝对值符号是解绝对值问题的出发点，分类讨论法是去掉绝对值
符号的关键，而分类讨论法有丰富内涵，常随着问题不同(如多元、多个绝对
值等)呈现不同的讨论方式.
'
问题.决
例1
已知
l al =5 , Ibl =3 ，且|α -b
l =b-a ，那么a+b=
("祖冲之杯"邀请赛试题)
静题思路
由已知求出α ，b 的值，但要注意条件la - b
l = b - a 的制约.
a 
, 
b 
例2
如果a ，b ，c 是非零有理数，那么一一十
十
十五oc 的所有可
|α
1 
I 1 b 1 I 1 c 1 I 1 abc 1 
能的值为(
) . 
A . 0 
B. -4 ,0,4 
c. -4 ，一2 ，0 ，2 ，4
D. - 4 ，一2 ，2 ，4
(美国数学竞赛题)
霹题理路
根据a ，b ，c 的符号的所有可能情况讨论.
\!!法
问题是数学的
心脏.
一一哈尔莫斯
距离
距离能够产生关.
唐代著名文学家
韩念曾赋诗"天街小
雨i闯如酥，草色i主看
近却无"
当代印度著名诗
人泰戈尔在《世界上
最遥远的距离
》中
写道:
Z巨离
寻觅
世界上最遥远的
不是瞬间便无处
而是尚未相遇
便注定无法相聚
距离，是数学、天
文学、物理学中的热
门话题. 唯有对宇宙
距离进行测量，人类
才能掌握世界尺度.
lCi.\~~、
4岐
，传
食
食
，传为
食食
女
例3
(1)已知
1 ab -
2
1 与
1 b - 1
1 互为相反数，试求代数式韦+
ao 
7L77+ , 
t Al
t
《、+ … +~
, ~ …
1
…《、的值.
("五羊杯"竞赛题)
(2) 设α
，b ，c 为整数，且
| α - b l+lc- a l= l，求
I c - a
l + la- bl + Ib-cl 
的值.
("希望杯"邀请赛试题)
晤题思路
对于(1) ，由非负数的性质先导出a ，b 的值;对于(2)
，1 写成
两个非负整数的和的形式有几种可能?这是解(2) 的突破口.
例4
已知(
l x + 1 1+l x-2
1 )(
l y-2 1+l y + 1
1 )( lz 一31 + I z 十1
1 ) = 
36 ，求Z 十2y 十3z 的最大值和最小值.
("希望杯"邀请赛试题)
壁些壁堕
解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式
子的取值范围.
例5
设工1
，码
，罚，剖，罚
，工6 是6 个不同的正整数，取值于1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，
记5= IX1 -x2
1 + I X2 一句1+lx3 一句1+lx4
工51 + 1 工5 - x 6 1 + 1 x 6 -
x 1 1 ，求
S 的最小值.
(四川省竞赛题)
睡题思路
建立相应模型求解.
乡兰PJ
学科精英大视野系列丛书
拓展:
对于例
5 ，怎样
求S 的最大值?
J顶思逆想，纵合
横联，拓展与推广是
挖掘思维深度与广度
的重要方法.
解绝对值问题常
用到下列绝对值的基
本性质:
(1) 
1 αl 二三0;
(2) I ab I = I a I • 
Ibl; 
&.\ei:\&.\ 
( 忆军细)
曲
R
A
订
a
i
『
/
也
fhy 
* 
4吃
食
*
食
例6
在6 张纸片的正面分别写上整数1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，打乱次序后，将纸
片翻过来，在它们的反面也随意分别写上
1 ~6 这6 个整数，然后计算每张纸
片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6 个数，请你证明:所得的6 个数
中至少有两个是相同的.
( 北京市竞赛题)
主旦旦壁从反面入手，即设这6 个数两两都不相等，利用
| α j -b，
1 与
α，一bj (i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6) 的奇偶性相同，引人字母进行推理证明.
设6 张卡片正面写的数是a j
，旬，岛，仇，价，句，反面写的数对应为bJ' b2'
b3 ，句，哉，仇，则这6 张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为
l a 1 -bj
l
，
laz- bzl ，1α3 -b31 , 1 α 4 - b4 1 , 1 a 5 -b51 ，1α 6 -b61. 
设这6 个数两两都不相等，则它们只能取0 ，1，2 ，3 ，4 ，5 这6 个值.
于是laj - bjl+1 α2 - bzl + 
1 α3 - b3 
1 十la4
句1+ 1α 5 - b51 + 
1 α6 - b61 = 
0+1+2+3 十4 十5=15 是个奇数
(※) 
另一方面，
I a ，-bj
1 与a j -bj Ci=l ，2 ，…，6) 的奇偶性相同，所以
l a 1 -b 1 1+
| αz- bzl+1α3 -b3 1 + 1 a4 -b, 1 十
| α5 - b5 1 + 1 a6 - bó 1 与(a 1 -b1 ) + (a Z -
( 2) + 
(α 3 - (3 )+(α4 一句) + (a5 - b5 ) + (a6 - b6 ) = (α 1 + α2 + … 十α6 ) 一(b 1 + b2 +… + 
(6 ) = (l + 2 + … + 5 ) 一(1 十2十… +5 ) = 0 的奇偶性相同，是个偶数，与(※)矛盾.
所以，1 a 1 - b1 1 , 1 a2 - b2 1 ,…, Ias - b6
1 这6 个数中至少有两个是相同的.
例7
少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成
求差后再取绝对值的运算，其运算过程是: 输入第一个整数坷，只显示不运
算，接着再输入整数工2 后则显示
I x j - x 2
1 的结果，此后每输入一个整数都是
与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现小明将从1 到19 9 1 这1991
个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为p ，
试求出P 的最大值，并说明理由.
("希望杯"邀请赛试题)
纣桥写晤
设小明输入这199 1 个数的次序是工j
，岛，… ' X j99 j . 相当于计
算11 … IIx1
工2
1 - x3
1 … 一工1 990 I- X1991 1 = P ，P ，;( 1 99 1，P 的值能否为1991 ?
或1990? 解题的关键是恰当分组，产生尽可能多的" 0 " ，不妨从简单情形入手.
由于输入的数都是非负数，当工l 注0 ，工2 二三0 时，
l x 1 一句
| 不超过X 1 ，工2
中最大的数，对工l 二三0 ，工2 二三0 ，工3 二三0 ，则11 工j - x2 1- x3
1 不超过矶
，町，句中
最大的数，设小明输入这
1 991 个数的次序是町，巧，… ' X j 99 1 . 相当于计算:
11 … IIx1 
工zl- x 3
1 … - X 1990 1 一工1 991
1 = p ，因此P 的值，;( 199 1.
另外从运算奇偶性分析，町，引为整数，Ix] 一句|与工j + 工2 奇偶性相
同，因此P 与工l 十工z + … 十工1阳的奇偶性相同.
但x 1 十xz + … 十X j川= 1 + 2 十… 十1991 = 偶数，于是断定Pζ 1 990 . 我
们证明P 可以取到1990 .
对1，2 ，3 ，4 ，按如下次序: 111 1-31 - 41 - 2 1= 0 ，
111 C位十1) 一(位十3)
1 一(收+ 4) 1 -
(收+ 2)
1 = 0 ，对于走= 0 ，1，2 ，…
均成立. 因此，1 ~ 1988 可按上述办法依次输入最后显示结果为
0 ，而后
11 1989 - 1990 1-1991 1 = 1990 ，故P 的最大值为
1 990 .
4 5嗦
第
6 讲绝对值
川
川
-M
一
←
a-b 
(b平均) ; 
(4) 1 a Iz = 
1 α2
1 = 
2 
α; 
(5 ) 
la+b l运|α | 十
1 bl ; 
( 6) 1α | 与
α
的
奇偶性相同.
探究:
当工，
' 工2 '…，工n
是从1 到
η 的不同自
然数时，求表达式
| … 1 1 x , -
X 2 1 -
X 3 
| … 
x ，，
1 的最大值及
最小值.
读者不妨一试.
例
7 是下列问题
情境化改编而成的
:
试求如下表达式
的最大值:
| … Ilx j -x2
1 一
句
| …
X 1990 I ，其中
工，
' 工2
' …，工1 990 是由
1
到
1990 的不同自然
数(全苏数学奥林匹
克竞赛题) . 
.~~~ 
事史学建耀
，传
冒险
女
食
食女
食
食为
英国著名数学家、哲学家怀特海曾说"数学是关于
模式的学科"建立数学模型是数学描述世界、沟通世界
的主要方式，是解决实际问题的关键.
所谓数学建模，简单地说，就是在解决生活、生产、科
研等现实问题时，通过字母化、抽象化等过程把问题中的
关系用数学形式构建出来，然后用数学知识、方法最终解
决问题.
例8
问题情境
先阅读下面的材料，然后解答问题.
在一条直线上有依次排列的n( η> 1)台机床在工作，我们要设置一个零
件供应站p ，使这η 台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题，
先"退"到比较简单的情形:
如图甲，如果直线上有2 台机床时，很明显设在Al 和
Az 之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等
于Al 到A z 的距离.
A 飞
p
甲
图甲
A, 
乙
如图乙，如果直线上有3 台机床时，不难判断，供应站
A, 
A 主P D 
A, 
设在中间一台机床A z 处最合适.因为如果P 放在A 2 处，
甲乙
丙
甲和丙所走的距离之和恰好为Al 到A 3 的距离.而如果
阁乙
把P 放在别处，例如D 处，那么甲和丙所走的距离之和例是A l 到儿的距
离，可是乙还得走从A z 到D 的这一段，这是多出来的.因此P 放在A z 处是
最佳选择.
不难知道，如果直线上有4 台机床，p 应设在第2 台与第3 台之间的任
何地方;有5 台机床，p 应设在第3 台位置.
问:有η 台机床时，p 应设在何处?
(山东省烟台市中考题)
建立模型
蹄题思路
如图
，a] 
Q2 Q J 
。"
，n 个供应站是在数轴上的n 个
点，这些点表示的有理数分别为α 1 ,aZ ，句，… d
问题转化为: 在数轴上找一点p ，其表示的有理数为x ，当z 取何值时，
y= IX-al 1 + Ix-azl + …+ Ix- an 
1 取得最小值.由上面的讨论或绝对值
的几何意义可得:
当n 为偶数时，若问~x~a i + l 时，则y 的值最小;
当n 为奇数时，若x=a平时，则y 的值最小.
拓广应用
(1)求Ix- 1
1 +2Ix-3 1 + 3 Ix-41 的最小值.
(2) 求f(x. ) = Ix- 11 + 12x 一11+ …+
1 2011x - ll 的最小值.
(北京大学自主招生试题)
对于拓广应用，在变式的基础上，探讨一般规律.
织
，46
学科精英大视野系列丛书
1f'J 8 中的拓广应
用，命题形式简单，用
最基本的数学元素构
造出蕴意深刻的数学
思想的命题，为探究
性学习提供了绝好的
素材，在探究过程中
可感悟思考过程、思
维方法、逻辑推理的
魅力所在.
~~~ 
( 忆.a: !Iil ) 
女食
食
1号食
，传
食，传
，传
~""Ð 刻意练习
1.已知Ixl = 5, Iyl = 1，那么Il x-y l-l x+y ll = 
(北京市"迎春杯"竞赛题)
2. 互不相等的有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果|α -bl+
Ic- al = 
I b - c
l
，那么在点A ，B ，C 中，居中的是点
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
3.
己知有理数
Z川，
y川，
z盯，且
Ix芷+y+
z + 1 1 =x+y 一
z 一
2乙，则
(扒
z什叫+忖y 一÷机)
(忖
(ρ2川
z汁+
4. 已知α ，b ，c 满足(α + b) (b+c) (c+ α) =0 ，且abc<O ，则代数式卫一+主一+
lal ' Ibl 
土的值为
Ic l 
一一一
(四川省竞赛题)
5. (1)代数式Ix+ lll +lx- 12
1 十Ix+ 13
1 的最小值为
("希望杯"邀请赛试题)
(2) 当Ix- 2 1+lx- 3
1 的值最小时，lx- 2 1+1 工一3
1 一Ix- 1
1 的值最大
是
，最小是
(3) 设工是有理数，p = 1 3x + 61 + 1 x - 31 + 1 2x - 61 + 1 x - 91 ，则P 的最
小值为
6. 非零整数m ，n 满足
I m l+l n
l - 5=O ，所有这样的整数组(m ，n) 共
有组.
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
7. 某市环形马路上顺次有第一至第五
5 所小学ABCDE ，各小学分别有电
脑15
，7 ，1 1，3 ，14 台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交
若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学
移交了一一一一台，从第二小学向第三小学移交了一一一一
台，从第五小
学向第一小学移交了
台，移动总数是
台.
(交通大学自主招生试题)
8. 设
1 ~工~3 ，则Ix -1
1 一Ix- 3
1 的最大值与最小值的和是(
). 
A. 0 
B. 1 
C. 2 
D. 3 
(四川省竞赛题)
9 
如协果和α川叭山
，bι
巾
bι
扣，c 是非零有理数抉归
，J3_且
J3_ a计川+忖b忡…+
所有可能值为(
)λ . 
A. 0 
B. 1 或一1
C. 2 或一2
D. 0 或
2
( 山东省竞赛题)
10. 若a j
，α2 '向，向，α 5 'α 6 是1~6 这六个自然数的一个排列，则
l aj - azl+
〈建
第
6 讲绝对值
l~~、I~
，传
食
食
，传
女
人
X
-
R
女
食
1 
a 2 一句
1 +1 α 3 一向
1 +1 α 4 一句
1 + 
l a 5 一句
1 + 1 a 6 -
a 1 
1 的最大值
是(
). 
A. 14 
B. 16 
C. 18 
D. 20 
("希望杯"邀请赛试题)
11 .
已知a ，b ，c 均为整数，且满足
l a-b
I 10 +
1 α _c1 10 = 1，则la - b
l 十
I b-c l+
Ic- al=( 
). 
A . 1 
B. 2 
C. 3 
D. 4 
(全国初中数学联赛题)
1 2. 已知x ，y ，m 满足等式|Z|+iz l m, l y| + 1 = m+1 ，且m 是整数，则
2 
x 2 +y2+m 的值为(
) . 
A 
O 
B÷ 
ctD2 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
13 .
已知α 是给定的整数，记F(x) = α- x+1 工←a
l
，若F( 1) + F(2) + … +
F(2009)=56 ，则a 的值为(
). 
A. 6 
B. 7 
C. 8 
D. 9 
("时代杯"江苏省中学数学应用与创新试题)
一
I
a 
1 I I Ila 1 
,, 1 
14
归是自然数，且阳+ b=O ，则|而一1
[ + [了一2[ 等于(
) 
A3B2C3+?D2•? 
("创新杯"邀请赛试题)
15.
已知数轴上两点A ，B 对应的数分别是
6 ，-8 ，M ，
l} 
1 
N ，P 为数轴上三个动点，点M 从A 点出发速度为
一806
每秒2 个单位，点N 从B 点出发速度为点M 的3
倍，点P 从原点出发速度为每秒1 个单位.
(1)若点M 向右运动，同时点N 向左运动，求多长时间后，点M 与点N
相距54 个单位?
(2) 若点M ，N ，P 同时都向右运动，求多长时间后，点P 到点M ，N 的距
离相等?
16 .
已知(α +b) 2+l b十51 =b+5 ，且12α ←b - 11 =0 ，求d 的值.
(第
15 题)
(北京市"迎春杯"竞赛题)
r
l a-bl 注
1 c 1 , 
17 . 已知有理数a ，b ，c 满足1Ib-cl ~1 α1 ，证明:a ，b ，c 中有一个数为另两个
l lc -a l~二
I bl.
数之和.
(荷兰数学竞赛题)
18 .
将1，2 ，… ，20。这200 个数任意分为两组，每组100 个数.将一组按由小到
大的顺序排列(记为α1 <α2< …<α1 00 ) ，另→组按由大到小的顺序排列(记
为b1 >b2 > … >blOO ).试求
l a 1 -b j l+1 α 2 -b21 + …十
1 a100 -blOO 1 的值.
(俄罗斯数学奥林匹克试题)
此)
学科精英大视野系列丛书
与普己主;黄
湿'回蝴
G.\~、，~
1号食
食
( 仁军主~ )
女，传
食
* *
食
19.
如图，一条公路两边有六个村庄，现要建一个
北
车站，使得车站到六个村庄的距离和最小，应! 
该选在哪里建最合适?如果公路两边有七个
! ! E 
:又c
[ 
村庄，那么车站应建在哪里?
(浙江大学自主招生试题)
(第
1 9 题)
例
1
- 2 或一8
例2
B 
若a ，b ，c 都是正数或负数，则原式的值为
4 或一4
，其他情形式子的位均为
O .
2003 
例3
(1)由
1 ab- 2 1 + 1 b- 1 1 = 0 ，得α = 2
，b = 1.
2004 
1 
1 
原式= 一一一+ 一一一+ … 十
1 X 2 ' 2 X 3 ' 
' 2003 X 2004 
1 
, 1 
1
, 
1 
1 
1 
2003 
= 1-
: + 
十… 十一一一
一一一= 1 一一一一= 一一一
2 ' 2 
3 ' 
' 2003 
2004 
~ 
2004 
2004 ' 
(2) 2 
因α ，b ，c 为整数，且
l a - b
l 十
I c - a
l = 1，故
l a - b
l 与
I c - a
l 一个为
0 ，一个为1.
从而
I b-c
l = 1 C b -a) + Cα - c)
1 = 1，所以，原式= 1 + 1 + 0 = 2 .
第
6 讲绝对值
• • 
锣IJ 4 
因为
I x + 1
1 十| 工
2
1 注3 ，当一1 ζ工王三2 时等号成立
;
l y-2
1 十
l y + 1
1 二三3 ，当
1 ζ yζ 2 时等号成
立
;
l z-3 1+l z + 1
1 二三4 ，当一1 ζ zζ 3 时等号成立.
由条件得只有
I x 十1
1 十
I x - 2
1 =3 , ly - 21 + 
I y 十1 1= 3
，
l z - 3 1+l z + 1
1 =4 .
则当x=2
，y=2
，z = 3 时
，x + 2y 十3z 的值最大，最大值为
1 5 ，当工=一1
，y 二
1
，z= 一1 时
，x 十2y 十3z
的值最小，最小值为-6 .
锣IJ 5 
解法1
建立圆环模型
把六个数排成一圈.与
1 相邻的数尽可能小，为
2 ，3; 与
2 ，3 相邻的数也尽可能小，为
4 ，5 ; 
最后
6 在
4 ，5 中间，也满足尽可能小.
因而取工1 = 1
，工2= 2 ，工3= 5 ，引=6 'X5 = 4 ，工6 = 3 得
s = 
I X 1 一句1+1 工2- x ，
I +
l x 3
工，1+1 工，- Xs 1 + 1 x 5 -
x 6 1 + 
1 工6- X l
1
= 1 + 3 + 1 十2 十1 + 2
=10. 
所以S 的最小值为
1 0 .
解法2
建立数轴模型
6 
/飞、5
4+ 
, 
\ 
.A 
h 
3'-.. 
/ 
l 
(例5)
根据绝对值的几何意义，原题等价于"从数轴上点
1 出发，每次走一个整数点，走完点
2 ，点
3 ，点
4 ，点
5 ，
点
6 ，最后回到点1，问最少走了多少距离? "
为了避免重复，从左到右走到
6 ，再从右到左走到l.可以取
x 1 =1
，工2= 2 ，工3 =3 ，工4= 4 ，民=5 ，工6 =6 .
则s = Ix 1 -x21 + 
I x 2 -x 3
1 十| 工3- X 4
1 +
1 工，- x s l+1 工5 一句
1 +
1 工6- X l
1
= 1 十1 + 1 十1 + 1 + 5
= 10. 
(也可以取: 工1 = 1
，工2 =4 ，工3= 6 ，叫= 5 ，工5= 3
，工6 = 2. ) 
49
ι 
、、
对巴
4眨
'岐女
*女
斗过
学科精英大视野系列丛书
，曲
，峙*
例8
拓广应用
(1)当3ζ工ζ4 时，原式最小值为
5 .
一般情形是:设f(x)= lx- a 1 1+lx一句
1 + … +Ix-anl
，其中a l ζα2ζ … ζ仇·
若n =2走，则当ak <，xζ向+ 1 时
，f(x) 取得最小值;
若η =2k+ 1 ，则当x= αk+ 1 时
，fCx) 取得最小值.
491 
(2)
当x= 一一-时
，f(x) 取得最小值为832 一一
1422-"J ，~rc -..."'_' -,. ~~- 711' 
回到原题，f (工) = 1 x 一1 1 + IX一~ 1 + 1•
1+ Ix- ~ 1 + 1•
1 + IX一~ 1 + ... + 
1 x- 20111 1 + ... + 
1
川×川
一一
1 + ... + Ix- 土|共有:1+2+"' + 川= - -~- _ - - ~~ = 20 23066 个点设al = 1,a, = α，-
2011 1 ' 
' 1201 11""'~'-
' 
，
- - ~~ 
2 
2011 个
1 
~.. 2023066 
α4 - α向5- α仇6 - τ ，户.. 
…"，a
均
α向2023066 -药五.因为一丁一一= 1011533. 
1 
现在求a 1 0 l1 533 和a 10l 1 534 的值.设G l ollm=7' 则
1 +2+3+ … + t二三10 11 533 ，1 + 2 十… 十t-1 < 1 0 11 533 . 可
1 
得t = 1422 . 且a lOl1 533 =al011534 - 1422' 故工
1 422 时，f(x) 的值最小.
f( , }"" ) = 1- , }",, + 1 - 2X ，}"，，+ … + 1 一1422 × -L + 1423 × -L - 1+ … 十201 1 × -L-12
飞
1 422}
~ 
1422 ' 
~ 
- ,. 1422 ' 
，
~~ 
~- -
， . 1422 ' 
~ ~-~
， . 1422 
~， 
，
- - ~~ , . 1422 
-EA--t4 
n
时
U
F
1
t
E
A
A
哇
一
句t
9
ι
"
 
巧
气
υ
00 
• 
". . 
1. 2 
x=::!::5 ，y =::!:: 1，原式= llx-yl-
l x 一( -y)II=1 土2
1 =2. 
2. A 
3. 0
当内+z+切时，得2川=0; 当计卢+阳时，得内一÷=0
4. 1 
S. (1) 25 
当x = 一11 时，原式的值最小
(2) 0 , - 1 
2 <'x<，3 ，原式= 2 -x
(3)21 
P = 3Ix+21 十3Ix-3 1+lx -91 ，当x=-3 时，P 的值最小.
6. 16 
7. 
3
，0 ，一2 ，12
飞
B
/
J
γ
E
-
L
 
1 5+7 + 11 十3 十1 4
平均后每所学校有
~~ , ~ , 
~ ~ 
10 (台) ，如图，设A ，B ，C ，D ，E 分别向B ，C ，D ，
(第7 题)
E ，A 移交了町，工，
，句，句
，工5 台，则
XI - X5 = 5 ,x , -
XI = - 3 ，与- x，= l ，均
工3 - 一7 ,X5 - x , = 4 ，解得Xl-
工5 +5 ,x , =X5 +2 ,X3 =X5 +3 ，马=X5 - 4 ，移动总数是
I x 1 1+lx，I+
1 工31 +lx，
1 十
1 X5 1 = 1 X5 + 5 1 + 1 X5 + 2 1 + 
I X5 十31 + IX5- 41 十
I X5
1
，由绝对值的几何意义知，当工5= 一2 时，移动总数最小.
8. A 
9. A 
10. C 
去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，我们得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的
可能值，必须且只需
1 ~ 3 取负
，4 ~ 6 取正，~式= 2 [ (6 + 5+4) - (3 +2+ 1)J = 18. 
11. B 
1α - bl
，
1 α -cl 中一个为0 ，一个为1.
12. C 
由
1 - m> 0 且m + 1 > 0 ，得一l <m< l
，m = O .
红j
( 仁$ !Iif ) 
食
7
飞
、
食
A
f←
人
J
吨
女
?位
食
4眨* 
第
6
Ìi井
绝对值
13. C 
当z二三α 时
，F (x) =0; 当x<α 时
，F (x) = 2(a - x) . 
| α -k
l α 11 十11 α | 十2阳|
14. A 
b = 一阳，走> 0 ，原式- ,-
" , - , 
, ,- , 
-,,- , 
(关)
走
| α
|
| (k ←1) α
1 +
1 (2k+ 1) a
l 
(走一1) a 十(2k 十1) α
当
α> 0 时，(择) 式===3 ;
za
走α
二
I ( 走+ 1) α 1 + 1 (2走一1)α |
一( 走十1) a 一(2走一l )a
当α<0 时
，(关)式=
- ka 
-ka 
15. (1)经过5 秒时点M 与点N 相!fg 54 个单位.
(2) 设经过d少时点P 到点M ，N 的距离相等，由
I t-(6 t -8)
1 二( 2t十的-t 得t = 工或t= 上
2 '" -
3' 
16.
由条件得2a-b-1=0 ，t?r b=2α 一1 ，代入房、式，得(3a 一1) '+
1 2α 十4
1 =2a+4 
( 头)
(1)当3α-1〉0 ，EF G〉÷时，
. (3α - 1) '> 0 ，12a + 41 > 0 ，2a + 4> 0 ， :. (3a 一1) '+1 2a + 4 1> 2α + 4 ，矛盾.
(2) 当3α-1<0 ，即α〈÷时，
①若2α 十4ζ 0 ，则( 头) 式左边大于0 ，右边小于或等于0 ，矛盾;
②若2α + 4 > 0 ，则(3α- 1) '十
1 2α+41 > 2α十4 ，矛盾.
(3) 当3α- 1 = 0 ，即α= t 时，(川式成立，得b= 一÷，ab=- t
17.
由对称性，不妨设α二三b二三c .
若c> O ，则
I b-cl 二三!α I=:;>b - c 二三α=对二三α + c> α ，矛盾.
因此，c:(;O. 
故lal +l c l= lal - c二三α - c = ( α
b) + (b -
C) = la - bl + Ib -cl 二三Ic
l + 1α
1
. 
从而，上式中的所有等号成立.
特别池，α - b = la- bl = Ic l. 
又cζ 0 ，因此，α 十c = b.
18 . 先证明
: 对于代数式的任何一项|α ，- b，
l (k = 1，2 ，…，1 00) 中的内，仇，较大的数一定大于100 ，较小的
数一定不大于
100.
(1)芳a，ζ 100 ，且b，ζ 1 00 ，则由a ，< α ，< … 〈仇ζ 1 00 及
1 0 0 ?- b，> bH ，> … > b ，oo 得叭，鸟，... ，鸟，句，
bH , '… , b \Oo 共
1 0 1 个数都不大于
1 00 ，这是不可能的;
(2) 若a ，> 100 ，且b，> 1 00 ，则由a ，oo>α99> … > aH ，>句> 1 00 及b ，> b，> … > b，> 1 00 得b ，
' 鸟，…
，bk ，
鸟，向+ ，
' … ，a 100 共101 个数都大于1 0 0 ，这也是不可能的.
于是，代数式中100 个绝对值
l a ，-bj 1, l a，- b，
l ，…，
1 α '00 - b,oo 
1 中较小的数为
1 ，2 ，… ，1 00 ，较大的数为
101,102 ,…, 200. 
故房、式= (10 1 十1 02 十… + 2 0 0) 一(1 十2 十… + 100) = 10000. 
19. 设A ，ß ，C ，D ，E 在数轴上表示数为町，巧，句，句' 罚，车站站点表示数为工，车站到各村庄(沿公路、小
路走)的距离总和记为s ，
贝IJ s =
1 工- x ，
1 十2
1 x一句1+l x - X31 十Ix - x，
1 十Ix - x，
l .
当车站在第三个与第四个村庄之间建时，s 最小.
若有七个村庄，应在第四个村庄建车站.
5 1吆
、电豆d
阿基米德( 公元前287
前21 2) ，古希腊最伟
大的数学家，他与牛顿、高斯并列为三大数学家，
并被誉为" 数学之神" 阿基米德是在叙拉古陷落
时被杀的
，相传罗马士兵杀害他时，他正专注于沙
盘里的图形. 当代著名哲学家、数学家怀特海说:
"这是世界发生头等重要变化的一个标志
"
~(必‘iV …一一一
唱
胃7
i持
青E里数自~i'十黯
E 
•........ 
反
F 知能拥E 述
计算能力是计算技能与逻辑推理能力的结合.这要求我们在理解有理
数相关概念和计算法则的基础上，在掌握法则、公式、算理算律的基础上，能
善于观察问题的结构特点，选择合理而又简捷的算法，提高计算的准确性和
速度.
有理数常用的方法与技巧有:
巧用运算律、字母代数、错位相减、ff!J 序相加、分解相约、拆项相消、利用
公式等.
例
1
(1)已知α ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e < O ，且
I e 1= 1，那么
(_ab) 2003 _ (C + d) 2004 _ e 2005 的值为(
) . 
(江苏省竞赛题)
(2) 如图，要输出大于100 的数，则输入的正整数z 最小值是
("希望杯"邀请赛试题)
些理翌些
对于(1) ，从倒数、相反数的概念入手;对于(2) ，读懂程
序图.
我们有些青少年
学习数学时，害怕运
算，特别是比较复杂
一些的计算题，他们
往往半途而废……要
学好数学，就要不怕
繁，不怕难，要有算到
底的决心.
一一一华罗庚
最大的数
"用三个
9 拼成
一个最大的数"，这是
两千多年前，古希腊
哲学家柏拉图提出的
一个问题.
~~~ 
救
第
7
i井
1号，传
，传
女食
*
去*
军
有理数的计算
例2
如果4 个不同的正整数m 刑，户，q 满足(7-m)(7
η)(7一ρ )(7-q)=
4 ，那么m十n+ρ+q 等于(
). 
" 悟，觉也" ，即理
解、领会、觉醒之意.
表现为由迷惑而明
白，由模糊而清晰;表
现为一种在紧张的沉
思后突然获解所产生
的豁然开朗的心理状
态，表现为一种打破
常规思维的突破.
E. 28 
(新加坡数学竞赛题)
解题的关键是把4 表示成4 个不同整数积的形式.
D. 26 
C. 24 
(1) (1 击十3 去+ 9 主) -;- ( 1 击十3 去十9 占)
B. 21 
计算:
A. 10 
黯题思路
例3
("五羊杯"竞赛题)
(2) 1 +3 + 3 2 十3 3 + … +3 9 + 3 1 0
;
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
(3) ( 卡?十十335+ jiZ )(1寸+ ÷+
+25 ) 一(1+卡
三十…+旦旦旦十旦旦ì(~ +三+ … +彗些}
2008' \ 2 ' 3 ' 
'2007 , 
拆项常用到以下
关系式:
("创新杯"竞赛题)
睡题思路
整体考虑，化繁为简.对于(2) ，由于相邻的后一项与前一项
的比都是3 ，从用字母表示和式入于;对于(3) ，注意括号内数式的联系，引入
字母，将复杂的数值计算转化为简单的式子再计算.
α十b
1 
(1) ~一=一+
αo 
a 
1
-b 
( 2 ) 一」一一=
71(n + 1) 
l
-川
1
-n 
计算:
1 
A 
5 
, 
A 
1 
. 19 , ~ 1 
A 41 , _ 1 
A 71 , 
A 
1 
(1) 1 : - 2 ~ + 3 < i
A 
-
4
十5
~~< -
6 一+ 7
~i< - 8 一+ 9 一
2 
- 6 . ~ 12 
. 20 ' ~ 30 
~ 42 . . 56 
~ 72 ' ~ 90 
例4
( 3 )
一
m 一=
n (n + m ) 
1-h 
l
-n 
("希望杯"邀请赛试题)
(2)1+1
+ …+ 
ll X 13 X 15' 13 X 15 X 17 ' 
. 29 X 31 X 33' 
(4)2 
11(11+ 1) (11+2) 
("五羊杯"竞赛题)
I 
n ( η 十1)
(η + 1) (η +2 )' 
111111111 
一= 一一一，一= 一一一，一= 一一一，…，拆项相消简化
6 
2 
3' 12 
3 
4' 20 
4 
5 
瞄题思路
计算.
c.\c.\c.\ 
辽3媳
*
食
1号
，际
，传女
，传
食食
学科精英大视野系列丛书
1 , 2 , 3 , 4 
比较一+一十一+一十… + 旦与2 的大小.
2 ' 4 ' 8 ' 16' 
'2" 
n-
T 
十
+ 
4-M 
+ 
3-8 
+ 
2-4 
十
1-2 
一
­
Q
U 
设
例5
例
5 用到字母、
示数、错位相
J成等计
算方法.
① 
睡
n-r 
+ 
+ 
4
一
。
。
+ 
3-4 
十
2-2 
十
-i 
一
­
Q
U 
q
臼
旧
只
② 
1 , 1 , 1
, 
,
] 
②一①，得5 = 1 十一+一十一十… 十
~一一
2 ' 4 ' 8' 
'
2"一1
2" 
③ 
1 , 1 , 1
, 
,
] 
又设5 ，= 1 十一十一+一+ … + --~丁
1 
~'2' 4 ' 8ζ
二
④ 
1 , 1
, 
,
] 
则25 ，= 2 十1+ 一十一+ …+ -;;-士言
j 
-
'~'2'4 
~一
⑤ 
⑤一④，得51 =2 一丢了，
代入③，得5=2-_!_丁一旦
2"-' 
2" 
著名数学教育家
波利亚在《怎样解题》
一书中曾说"没有任
何一个问题是彻底完
成了的，总还会有事情
可以做，在经过充分的
研究和洞察以后，我们
可以对问题有更深刻
的理解"
对于例
6 ，我们
可进一步讨论如下
1 , 2 , 3 , 4 
'.5<2 ，即一+一十一十一+ … +一< 2.
2 ' 4 ' 8 ' 16 ' 
'2" 
在1，2 ，…，2002 前面任意添上正号和负号，求其非负代数和的最
例6
小值.
问题:
在
1
，2 ，… ，n 前
面添上正号和负号，
其非负代数和是否都
有最小值?如采有，
怎样求出最小值?
&.\~G.\ 
(俄罗斯数学竞赛题)
纣桥写扉
首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证
明这个下限可以达到即可. 整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是O . 代
数和的最小值能是0 吗?能是
1 吗?由于任意添" 十"号或" 一"号，形式多
样，因此，不可能一一尝试再作解答，可从奇数、偶数的性质入手.
因α+b 与α -b 的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与1 + 2 + 3 十… +
2002X (1 +2002) 
2001+2002= 
2 
= 1001 × 2003 的奇偶性相同，即为奇数.因此，所
求非负代数和不会小于1.
又γ
( - 1 + 2) + (3 - 4 - 5 十6) + (7 - 8- 9+ 10) + (11- 12- 13+ 14) 
+ … + (1999-2000-2001 +2002) = 1, 
.所求非负代数和的最小值为1.
裂顶帽消中的类比
类比是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们
在其他特征上也可能相似的结论.
触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法.
光和声，这两类现象具有许多相同的性质，如它们都是直线传播，都有
听射与反射现象等.根据声的波动性质，荷兰著名科学家惠更斯得出"光可
能有波动的性质"的猜想.后来，光的波动性质通过实验得到了证实.
开普勒曾说"我珍视类比胜过任何东西，它是我最可信赖的老师，它能
揭示自然界的秘密"
军
观察下列的计算过程:
力*
食
女节陆
食
女食
土+E七十Etz+ 古= ( 十一~) + ( ~-~ ) + (~ - l ) +
( l-~ ) =l-~=生
4 
5 J 
~ 
5 
5 0 
这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使
得其中部分数相互抵消，简化计算.
用类比的方法能提出更多的问题吗?
从连续自然数到连续偶数、奇数;从2 个到
3 个或4 个;从分数到整数，
类比可提出许多计算问题.
形如轧机) =1ρ + 2 Þ +3ρ+ … +旷(ρ 为正整数)的和式称为自然数署
和，也称为p 阶自然数事.探究低阶自然数军和的公式，历史上的数学家的
智慧为我们提供了有益的借鉴.
曾IJ 7 
计算:
(1) 1 +2+3+ … +川
(2) l X2+2X 3 十3X4 十… 十η(η + 1) ; 
(3) 12 +22 + 32 + …十n 2 ; 
(4) 1 3 +2 3 十3 3 + … + η 3
幅题思路
问题(1)的解决为其他问题的解决提供帮助，而其解决的常
用方法有:拆项相消、倒序相加、数形结合等. 拆项相消具有一般性，需要突
破分数拆项的思维定式，如n =护[ (η十1) -
(η - 1) J=卡(n+1)-t(η一
1) η;向+ 1) = t[(川)一(η - 1) Jη(η十hi [心十1) (n + 2)-( n - 1)
3 
n( η + 1)]. 
~~ 刻意练习
1. (1)计算:
( 1 - ; - ~ - ~ - ~ )(←←←t+t ) 
(1 -t 一÷
士一
t寸) ( ; 十÷寸+ ~)的结果是一一
(江苏省南京市中考题)
(2) "数学王子"高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂
上快速地计算出
1 + 2 + 3 十… +98 + 99 + 100 = 5050 ，今天我们可以
将高斯的做法归纳如下:
5 = 1 + 2+3 十… 十98 +99+ 1 00 ，
① 
〈球
食
第
7 讲
有理数的计算
数学学习中，类
比思想的运用有下列
常见情形.
比，
k忆，
概念的类比，
方法的类比，
结构模型的类
与简单问题类比，
低维与高维的类
从特殊到一般的
类比推介等.
.~c.\~ 
食
食
食
食
噜E
女
'随
才注
如
s= 100+99+98+ … + 3+2 十1，②
①+②有2S = (1 + 100) X 100 , S= 5050. 
请类比以上做法，回答下列问题:
若n 为正整数，3 +5+7+ … +(2n 十1) =168 ，则n=
(湖北省黄石市中考题)
2. 计算:
(1) 2- 22 - 23 - 2 4 一… _ z! B_ z! 9 十2 20 = 
("绪云杯"竞赛题)
1 , I 1 , 2 \ , I 1 , 2 , 3 \, 
, 1 1 , 2
, 
, 59 \ 
(2) 
~ + I ~+~ 1 + 1 一-+一+~
l + … +1 一+一十… + ~~ l =
2 
飞
3 . 3 J 
飞
4 ' 4 ' 4 J 
飞60 ' 60 ' 
' 60 J 
一一-一一一一
(广西壮族自治区竞赛题)
(3) 1 1一-L i × i 1
一-L- i × …X {1 
_ , ~ , ~ ,1 
，~ _ _ J = 
飞
1+2} 
飞
1 + 2+ 3} 
飞
1 +2+3十… +2018 )
一一一一一
(国际少年数学精英大会自主试题)
3 . 依次排列4 个数:2 ，1 1，8 ，9. 对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，
所得之差排在这两个数之间得到一串新的数: 2,9,11 , - 3,8 ,1, 9 . 这称为一
次操作.做第二次操作后得到一串新的数: 2 ，7 ，9 ，2 ，11 ，一14 ，- 3 ，1 1，8 ，
7 ，1，8 ，9. 这样下去，第100 次操作后得到的一串数的和是
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
1 
2
, 3 
4
一1 k 
I 
I 2005 
2006 
4 .
已知S= 一→
十一-一个" +( - l) k
一+ … 十→一一一寸，则小于S
2 
4' 8 
16 ' 
"~ 
/ 
2k
' 
'22005 
2 
的最大整数是
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
S. 图中的程序表示，输入一个整数便会按程序进行计算.
画E
(第5 题)
设输入的工值为18 ，那么根据程序，第
1 次计算的结果是9 ，第2 次计算
的结果是4 ，… ，这样下去第5 次计算的结果为-一一一;第2009 次计算
的结果是
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
6 . 若有理数a ，b ，c 两两不等，则于生，生三，C卫中负数的个数是(
) . 
b •
c 'c-a'a-b 
A. 3 
B. 2 
C. 1 
D . 0 
("希望杯"邀请赛试题)
7 . 已知有理数α 子土1，我们把一L称为α 的差倒数，如: 2 的差倒数是一1
1 •
a 
-'- . - ,,- ,, " . -
~~ '~
'-'~~1 - 2 
1 
1 
- 1，- 1 的差倒数是1 -(-η2
. 如果α1= 一2 ，向是a l 的差倒数，向
去工)
学科精英大视野系列丛书
&.\1'#:\&.\ 
食，传
食
食，每
食
( 七军型)
食
，传
是α 2 的差倒数，向是冉的差倒数…依次类推，那么a l+ α 2+ … 才a 100 的
值是(
) . 
A. - 7. 5 
B. 7. 5 
C . 5.5 
D. - 5. 5 
(山东省济宁市中考题)
8.
已知整数a ，b ，c ，d 满足abcd = 25 ，且α > b> c > d ，那么
l a + b
l 十
I c 十d
l
等于(
). 
A . 0 
B. 10 
C. 2 
D. 12 
(江苏省竞赛题)
9.
观察等式
: 2 十2 2 二2 3 - 2;2 十2 2 十2 3 = 24 -- 2 ; 2 + 2 2 十2 3 十2 4 = 25 - 2 ; …. 
已知按一定规律排列的一组数
: 2 50
，2 51
，2 52
，…，2 99
，2 100 . 若
2 50 =α ，用含a
的式子表示这组数的和是(
) . 
A. 2α 2- 2α 
B. 2α 2-2α 一2
C . 2a 2 - a 
D. 2a 2 + α 
(武汉市中考题)
10. 若有理数工，y 使得z 十y ，工
y ，xy ，王这四个数中的三个数相等，
y 
则
I y
l - Ixl 的值是(
). 
A . 
1 
2 
B. 0 
l 
C. ~ 
2 
3 
D. 2 
(天津市竞赛题)
1 1.计算
:
(1) ( ~ -扣去- 2 十艺去) X μ21
(北京市"迎春杯"竞赛题)
200520052005 , 2006 X 2005 - 2007 X 2004 
(2) 2006 X 一一一一一一一一十
200620062006 ' 
20062 - 2007 X 2005 
("南方杯"数学邀请赛试题)
(3) 
3 
十
3 
+一-一一
3
2 十4 + 6 十… 十1004
' 
2 十4 十6 十… + 1006
' 
2 十4+ 6 + … + 1 008
+ … 十一一一
3 
2+4+ 6 
("五羊杯"竞赛题)
1 
20101 
1 
( 4 ) 一一一十一一一一十… 十一一一一一一~~ I 一一一一斗一一一一+ … 十
1X 2010' 2 X 2009 ' 
' 2010 X 1 
2011 飞
1 X 2009 
2 X 2008 
mt灭1)
(北京市竞赛题)
12.
乘方之美
乘方之美、乘方之趣、乘方之奇，有多少耐人寻味且神奇的现象隐藏
于乘方之中.
(1)观察下列等式:
31 = 3 ,32 = 9 ,33 = 27 , 34 = 81 , 35 = 343 , 36 = 729 , 37 = 2187 …… 解答
下列问题
: 3 十3 2 + 3 3 十3 4 + … + 3 2013 的末位数字是(
) . 
57 
飞飞、
' '!!> 
第
7
i井
有理数的计算
与静c主i费
洼'因町... 
巨
~~~ 
，传
食
女
女
食
女
食
食
食
D. 7 
(江苏省泰安市中考题)
(2) 已知n 个数町，句，…
，X ll
' 每个数只能取0 ，1，一1 中的一个.若Xl 十
X2+ …十x n = 2019 ，则Xi 019 + X~019 + … 十X ;，0 19 的值为
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
(3) 假设将一张普通的纸对折50 次，估算有多厚? 一张纸可以重复对
折多少次?
(4) "判天地之美，析万物之理"，这是出自《庄子·天下篇)) . 在中国古代
圣贤中，庄子是最独特的，最富于想象力的.齐视万物，以求逍遥.
《庄子
· 天下篇》中写道"一尺之捶，日取其半，万世不竭"意思是:
一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完.
A.O 
C . 3 
B . 1 
1 , 1 , 1 
即计算.
十丁+ 一τ+ … +
. 2 . 2" . 2" 
13. 有人编了一个程序:从
1 开始，交替地做加法或乘法(第一次可以是加
法，也可以是乘法) ，每次加法，将上次运算结果加
2 或加
3 ;每次乘法，
将上次运算结果乘2 或乘3 ，例如，30 可以这样得到: 1 土1，4 三2，8 土主
X3 
10 一一+30.
(1)证明:可以得到22;
(2) 证明:可以得到i OO + 2 97 _ 2.
(全国初中数学联赛试题)
1 , 1 ,
1m 
.已知1+ 一+一+ … + ^ ^~，~= '..'..':_，其中m 与n 互质，求证: 2017
I m.
2 ' 3 ' 
'
2016η 
("希望杯"邀请赛试题)
15.
在"口1 口2 口3 口4口5 口6 口7 口8 口9" 的小方格中填上" + "" 一"号，如果
可以使其代数和为η ，就称数n 是"可被表出的数"，否则，就称数n 是
"不可被表出的数"(如
1 是可被表出的数，这是因为+ 1 + 2 - 3 - 4 + 5 +
6 - 7 - 8 十9 是
1 的一种可被表出的方法) . 
(1)求证:7 是可被表出的数，而8 是不可被表出的数.
(2) 求25 可被表出的不同方法种数.
(四川省竞赛题)
16. 已知有理数α 1 ,a2 ，…，α20 1 3 满足al 十α2 十… +α2川= 0 ，且|αl →2a21 = la2 一
2a31 = … =1 α20 1 2 - 2a2013 1 = 1 a2013 - 2al 1 ，求ìiE :α 1- α2- … = α 2013 = 0. 
(北京大学自主招生试题)
17 . 一个自然数n 若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也
恰等于1，则称n 为"金猴数"，比如:2 + 4 十8 + 8 = 22 且i 十i 十
~ + 
2 ' 4 ' 8 
卡1，22 就是一个"金猴数"
(1)证明:11 与28 是两个"金猴数";
(2) 证明:如果n 是"金猴数"，则2n + 2 ，2η + 9 也是"金猴数";
(3) 请你判定:2016 也是"金猴数"
(北京市竞赛题)
e) 
学科精英大视野系列丛书
请看下面曾在网
上很火爆的式子:
1. 01 365 = (1 + 
0.0 1) 川岛37.8;
O. 99 365 = (1 -
O. 01) 365 ~O. 03. 
进一步，
1. 02365 = (1 + 
0.02) 365 句1 3 77;
O. 98365 = 
(1 一
O. 02) 365 ~O . 0006. 
3 6 5 天后，一个
增长到了
37.8 ，一个
减少到
0.03.
早在千年前，我
国回国诗人陶渊明曾
写下"勤学如春起之
苗，不见其增，日有所
长;辍学如磨刀之石，
不见其损，日有所
亏"一个与乘方相关
的数学式子与一个文
学诗句不是有相同的
意境吗?
~~、I~
* 
第
7
ii井
食，传
食
食，传
食
会，传
军
有理数的计算
• 
…. • 
(1) 0 
当工为偶数时，由5 .r> 100 ，得x> 2 0 ，则正整数工的最小值为
22;
当工为奇数时，由4工+ 13> 1 00 ，得x> 2 1. 7 5 ，则正整数工的最小值为
23.
故要使输出值大于
1 00 ，则输入的最小正整数z 是22 .
191] 2 
E 
4= 2 X ( 一2) X 1 X(- 1) .
例1
(2) 22 
{104 , 104 , 104\ . 1100 , 100 . 100\ 
(1 ) 原式= I ~AVA' + ~一十一~ h -I "~V~V + 一一+一~ \
飞
99
. 33 . 11 } . \ 99 ' 33 ' 11 } 
r' A. ,, {l
, 1
, 1\1 . r. ~ ~ ，，/1. 1 . 1\ 1 
= 1104 X I 一十
+ ，~， \ 1-:- 1100 X I 一十一+ .". \1 
l
飞99
' 33 ' 11) J -
I ~ V V"
\ 9 9
' 33 ' 11) I 
= 104-:- 100 = 1. 04. 
(2) 设5 = 1 + 3+3 2 + 3 3 + … 十3 9 十310 ，
则35=3 + 3 2 十3 3 + … + 3
1 0 十3
1 1
，
11 
0_ ~ 311-1 
②一①，得25=3
11 - 1 ，即5= 一言一.
① 
② 
例3
'b 
一
一
句
i
-
o
o
nu-nu 
nu
-nu 
十
p
n
u
一
句
''
nu
-nu 
nu
--nu 
q
ω
-
n
L
 
+ 
+ 
2
-3 
+ 
l
-2 
α
 
一
一
ι
u
-
q
t
 
nu
-nu 
nu-nu 
。
，
主
?
"
+ 
+ 
2
7J 
+ 
l
-2 
设
η
气
U
2007 
则原式=bO + α ) - (1 + b) α =b-a= 一-
2008 ' 
(1 ) 原式= (1 +~ ) + ( - 3+ ~ ) + ( 3 +主) + ( -5 +去) + ( 5+去) + ( -7+主) + ( 7+ 去) +
侈IJ 4 
( - 9 +去) + ( 9 +击)
1 
, 1 
1
, 1 
1
, 1 
1
, 1 
1
, 1 
1
, 1 
1
, 1 
1
, 1 
1 
= 1 + 1 一一+一一一十一一一+一一一+ 一一一+ 一一一+一一一+一一
+ 
2 ' 2 
3 ' 3 
4 ' 4 
5' 5 
6 ' 6 
7' 7 
8 ' 8 
9 ' 9 
10 
1 
. 9 
= 2 一一= 1 .-~ 
10 
~ 10' 
( 2 ) 原式=士(币五一击石)寸(最E 最丑) + ... +士(拮百币五)
=士(11 ~13 一敌对=品百
…
-2 
一
一
式
原
例7
ω 原式= ÷n川)( n十2)
(3) 户η [ (η+ 1) -lJ=n(n+ 1) -n ，原式=←( n+ 1)( η+ 2) 一卡(η+ l) = tn(n+ 1)(2η+ 1)
ω
由η3 = η [ (η + 1)(川) - 3 η
2J= η(η + 川+2) 一川十1) + n J.t n(n + l) (川
(n - l) Jn(n+ l) (η 十2 ) ，得原式= ~ n(n + 1)( η + 2) (η 十3) - 3 X
: n(η 十1) (n + 2 ) + L η(η + 1) =
1 
,
. ,
_ 
，
~" 
，
~ ， 
~
，，
1 
4 ,. , ,. , 
~
. ,.. , - . ,. . , 
v
. 
v 
-
3 .. ' ". 
- .
, _. 
-
.. 
2 
巴地
l业产r
，传
，传
食
食
审眨"* 
教女
í ^:r 
n (3 + 2 η 十1)
1. (1) _:;;-
(2) 12
由
= 1 68 ，得η(η + 2) = 12 X 14 .
2 
2. (1) 6 
2什1_ 2 11=2" .
(2) 885 
设原式= 5 ，将括号反序相加.
1010 
. 
1 
1 
2 
( n - l) ( n十2)
(3) ←二一
1 一
= 1-
,
. , 
, _ 
1-
-
3027 
~ 
1 + 2 十3 + … + n
~ 
n(n+ 1) /2η (n + 1)
η(η + 1) 
3. 730 
(2 + 11 + 8 + 9) 十100 X (9 - 2) = 73 0 .
f1 
2\
, f3 
4
、
f 2005 
2006 \ 
4. 0 
5 =
1 一一-7-
1 + 1 一一.~_ 1 + … + 1 寸古「一气古:;:'
1 > 0 .
飞
2
4 J
飞
8
16 }
飞
2'005
2…
6 r 
~
， 
学科精英大视野系列丛书
• 
. .但
.
1 
I 2 
3 \ 
I 4 
5 \ 
12004 
2005 \ 
2006 ~ 1 
1 
3 
2003 
2006 
又5 =
: - 1 一一
:
1 -
1 一一.~.
1 一… -
1 一一一一一一一i 一一一一〈一
一
… 
一一一- 寸而τ < 1.
2
飞
4
8 }
飞16
32 }
飞
2 '004
2 '0旧
}
2'006 
~ 2 
8 
32 
2 2阳
L
故小于S 的最大整数是O .
5. -4 ,-4 输入
1 8 ，依次得到结果:9 ，4.2 ，1 ，-4 , -2 ，一1，-6 ，一3 ，- 8. - -4. -2 ，一1 … 显然，除去前4 次的
结采外，从第5 次的结采- 4 开始，每6 次一循环，而(2009 - 4) -:-6=334 余1 ，故第2009 次计算的结采是
4. 
6. B 
1 
3 
^ 
k 
_ 
7. A 
al = - 2 , a2 = 王，α 3
言' 向= - 2 ，…，每二个数循环一次. 又
100 -:- 3 = 33 … 1，故原式= 33 X
一2 十一+
~ 1+ ( - 2)= - 7. 5. 
( - 2+ ~ + ~ ) 
32 1 
8. D 
9. C 
2 + 22+ 2 3 十… + 2
1 00 = 2 1 0 1 一2 ，2+2 ' 十2 3 + … + 249 = 250 - 2 ，两式相减得2 50 + 2 51 十2 52 十… 十2 100 = 
2101 - 250 = 2 X 250 X 250 - 250 = 2旷-a .
10. C 
y平均，则x+y手x-y ，那么工十y ，xy ，王三数相等，或者x-y ，xy ，王三数相等，都有工.Y= 王. 若
y 
y 
-
y 
x= O ，则x+ y = O 或x- y=O ，得y =O ，与题意不符.若z手0 ，由xy= 王得y =
:::f:: l，当y= l 时，x+y=xy . x一
y 
y =xy 均无解，当y = -l 时，x = 寸
11. (1) - 21 
(2) 原式=2006 × 2005 X 10001000~+~006 X 2005 一(2006 + 1) X 2004 
2006 X 100010001 ' 
2006' - (2006 + 1) X 2005 
2006 X 2005 - 2006 X 2004 - 2004 
= 2005+
。
2006" - 2006 X 2005 - 2005 
2006 X (2005 - 2004) - 2004 
= 200 5 十2006 X (2006 - 2005) - 2005 
= 2005 十2 = 2007 .
(3) 古旧十十2 n= 2 (1 +2 + '" + n) = n(n+ l) 
ω) 对百百分母两数的和?定，榈树的刷刷
12. (1) C 
(2) 2019 
x;0I'=x，(i = 1，2 ，…，的，原式=x 1 十工2 十… 十x，= 2019. 
(3) 通过测量可知一张普通的纸厚度约为O.lmm .
如尘
飞z
革
气、7
Y 、‘
我
将一张普通的报纸对折50 次，其厚度为
2 50 X O.
1:::::::: 1. 12 59X 1 0"mm ，
其厚度将达到
112 59 万千米，相当于地球到太阳的距离.
食
食
食
食
食
第
7 讲
对折一张纸也许很多人觉得容易，下表直观解释提升纸重复对才斤的次数是如此困难.
对才斤次数
纸的厚度
纸的面积
O( 未对折前)
t 
A 
1 
2t( = z! .t) 
~A 
2 
2 
4t( 二2 2
• t) 
l_A 
4 
3 
8t(=2' . t) 
~A 
8 
4 
16t(= 2' . t) 
l 
16A 
... 
... 
... 
8 
256t( = 2' • t) 
1 
256A 
有理数的计算
由表可见，纸厚度随着对折次数以等比序列增加，而其面积相应地以同样的比例减少，加上纸本身的拉
力，将纸对折第
9 次无疑比一次将5 12
f长报纸对折要更困难.
(4) 分步计算，得出规律;或错位相;或;而以形助数，如j 形象直观.
flr 运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为
l 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结
合起来.
第Iè欠分割
第2次分割
第3次分割
第n次分割
1 , 1 , 1
, 
, 1 
1 
根据第n 次分割图可得等式· 一+一+一+ … + 一= 1
一
. 2 ' 22 
' 2" 
' 2" 
2" 
X2 
13. (1) 1 一一+
X2 
(2) 1 一一+
十2
3 X 2 - 4 一→
X2 
4 一一+
+ 2 
8 一一+
X2 
3 X 2 - 2 一一+
X2 
1 0 一一+
十2
20 一一+
22. 
+2 
3 X2' -4 一一'
X2 
3X2'- 2 一一，
民
+ 2
3X 扩-4 一一+
3 X 23 - 2 …(不断
X2 
来以
2 ，再加2)一→
川
+3
3X2"" -4 一一+
…
X3 
3 X 2 '" 一1 一一斗'
一十2
2四十2"'- 3 一→
…
X2 
2四十俨- 1 一→
2 1 00 十297 - 2. 
4 
号= (1十市) + (卡20\5) + "' + (市十市)
2017 
2017 
2017 
= 一一一一十一一一一十… +
1X 2016 , 2X 2015 ' 
' 1008 X 1009 
4 17 × i -i一+-i一+ … 十~ 1 (){)" ) 
\ l X2016 ' 2X 2015 , 
' 1008X 1009} 
通分后，括号里的分数形如唱、，^、，q v nn 1 ~ ，其中q 为整数，
·旦=
2017q
，即2017nq = l X 2 X … X 2016 X 刑，
' n 
1X 2X…X 2016 
:. 2017 11X 2X…X 2016 Xm, 
气61 鸣在
讪r
食
食
食
，传食
，陆女
女
.: 2017 为质数，且2017 与1X2X … X 2016 互质，
:.2017 Im. 
15. (1)因为+1-2-3+ 4 +5-6 + 7-8 十9 =7 ，所以，7 是可被表出的数.
学科精英大视野系列丛书
又十1 + 2+3+4+5 十6 +7+8+ 9=45 是奇数，而对于任意两个整数α ，b ，有α十b 与α -b 具有相同的奇
偶性，因此，无论怎样填"+"" 一"号，所得代数和一定是奇数，不可能为8 . 所以，8 是不可被表出的数.
(2) 设填"+"号的数字和为X ，填"一"号的数字和为y ，则x-y=25 .
又z十y= 1+2 + … +9=45 ，则x=35 ，y=10.
因为
9 < 10 ，1 +2+3 十4= 10 ，所以，填" 一"号的那些数字至少有2 个，至多有4 个.
由此可知，填"一"号的数之和为
10.
接下来只要在和为
10 的那些数前面填"一"号，其余的数前面填"+ "号，就得到25 的一种表示方法. 所
以，只要计算出从1 到9 中选出若干个其和为
1 0 的数字的不同方法，就得到
2 5 可表示的不同方法种数.
( í ) 1 0 等于两数之和:1 0= 1 +9=2 十8=3+ 7 =4+6 ，共有4 种方法;
仆í ) 10 等于三数之和
: 1 0 = 1 +2 十7= 1 + 3 + 6 = 1 +4+5=2+3 十5 ，共有4 种方法;
( ííí ) 10 等于四数之和:1 0 =1 +2+ 3+4 ，只有1 种方法.
综上，2 5 可被表出的不同方法共有4 十4+1=9 种.
16. 根据条件知:(a，- 2a2)+(α2 -，2a3)+(α3 - 2a,)+…+ (a20'3 - 2a, ) = - (a, +句十a3 十…十a20'3) = 0. 
① 
另一方面，令la ，一2a21 = 
1 α2- 2a 3 1=1α3 - 2α.1 = ,.. = 1 a20'3 -2a, 1 =m, 
则α ，- 2a2 ' α2 一2a3
，α3- 2向，… ，a 20'3 -2a ，中每个数或为m 或为-m .
设其中有k 个m ，(2013 
的个- m ，则
(a, -2a2 ) 十(a2 - 2a3) + (a3 -2α. )十…+ (a20'3 一2a，) =k X m十(20 13 -k) X (-m) = (2走一20 1 3)m.
② 
由①②知
: (2k- 2013)m=0. 
而2k 一20 13 为奇数，不可能为
0 ，所以m =O. 于是知:
a, = 2句
，a2= 2句，α3=2句，…，α20' 2 = 2a20'3 ,a20'3 = 2α ，. 
从而知:α ，= 2川3
. a}
，即得a ，= 0. 同理可s知:a2= α3 - … =a 20 ' 3 =0 . 命题得证.
17. (1)略
(2) 已知n 是"金猴数" , f!p 存在h 个大于
1 的正整数叭，旬，… ，ak 满足a ，十α2 十… +a. = η 且_l +
a, 
去+ ... +去= 1 ，则如叫α ，+a2 十
+a.) +问旷2旷
+2a. +2 , 
1
,
1
, 
,
1
, 11/1
, 1
, 
, 1\ , 1
1
, 1 
且一一+~+ … +一一十一=
~ ( ~+ 一+ … + __.::_ \ 十一= 一十一= 1.
2a, ' 2α2 
. 2a. ' 2 
2
飞GI
a2
ah f
222 
所以2μn+2 是"金猴数"
同理2n +9=2(ωα1 十a向2 十.…
.. +α仇.)+9=2μa ，+ 2α2 十… +2α.+3 十6 ，
.!_ _l_ _1 _l_ ___ _l_ 1 1 1 , 1 _ 1 I 1 , 1
, 
, 1 \ , 1 , 1 
1
, 1 , 1 
且z;+ 22;+
· +EZ;+τ+τ=τ ( ζ+Z +
· 十ζ ) +τ+γτ+τ+τ=1
所以2η十9 也是个"金猴数"
(3) 由于在(1)中已证28 是"金猴数"，再根据(2) ，于是有
28 X 2 十2=58 是"金猴数"，
58X2+2= 1l 8 是"金猴数" ，
1l 8 X2+ 9 = 245 是"金猴数" ，
245X2 十9 = 499 是"金猴数"，
499X2 + 9 = 1 007 是"全猴数"，
所以，1 007 X 2+2=2016 是"金猴数"
乡;二
DIOPHANTI 
AlE XAND 在l N l
....RIT RMETICOR VM 
'马U lI
S 辜'‘
f.. T _DE. _NVN'EkIS MVιlANCVlIS 
皂uu nu'‘ 
PLtZ乱节才'N::.~.lil::.~Jt;.(
… 
丢番图
，大约生活在公元
3 世纪
，古希腊数学
家，代数史上的巨人，左图是他最重要的作品《算
术)) ，该书主要讨论不定代数方程问题. 丢番图的另
一数学功绩是简化了未知数.
(( 希腊诗文选》中收录
了丢番图奇特的墓志铭.
伫.…-…-
自8 i:Jt 
i空而不出
2 
. . .…，醺
如飞知攘攘迷
字母示数是代数的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学
发展史上的一个飞跃.
字母示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等
方面有广泛的应用.
为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设
元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本含义.
恰巧姻问题黯决
191J 1 一个摩托车子在前÷旅程中速度是40 千米/时，在后?旅程中速
度是5 0 千米/时，则在他的全程中平均速度为一一一一一·
(江苏省竞赛题)
一总路程
;Ll-.-h #-.=i:. !'b 
蠕题思路
平均速!在一
题设中并未正出总路程，需设出总
一一一←一-
一
总时间，~~
I 
/
1 / 1.... ~口
路程.
飞63嗦
?静巳主蟹
潭'回哥
哥圄啧'-
楼梯阶数
爱因斯坦曾给他
的朋友出了这样一
道题:
在你面前有一条
长长的阶梯，如采你
每步跨
2 阶，那么最
后剩
l 阶;女口采你每
步跨
3 阶，哪么最后
剩
2 阶;如采你每步
跨5 阶，那么最后剁
4 阶;如果你每步跨6
阶，那么最后和IJ
5 阶;
只有当你能够每步跨
7 阶时，才正好到头，
一阶也不剩. 请问
: 这
阶梯至少有多少阶?
以符代数，即以
字母代替数.韦达在
《分析术引论)) (1 59 1 年
出版) 中使用字母来表
示未知数以及已知数，
实现了历史的突破. 从
此，从算术到代数，代
数学告别了旧时代，插
上飞翔的翅膀.
符号比语言、文
字更简练、更直观、更
具一般性.通过"数学
符号"来思考数学，是
一件格外有趣并令人
充满期待的事.
~~、
i~
食
食女
食
，除女
食
食食
例2
下列四个数中可以写成100 个连续自然数之和的是(
). 
A. 1627384950 
C. 3579111300 
B. 2345678910 
D. 4692581470 
(江苏省竞赛题)
暗里思路
设自然数从α+1 开始，这
1 00 个连续自然数的和为
(a 十1) 十(a+2) 十… + (a + 100) = 100a +5050 ，从揭示和的特征入手.
例3
在一次数学竞赛中，组委会决定用NS 公司赞助的款购买一批奖
品.若以
l 台NS 计算器和3 本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100
份奖品;若以
1 台NS 计算器和5 本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买
80 份奖品.问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买
多少?
(湖北省黄冈市竞赛题)
壁堕塾堕
设每台计算器工元，每本《数学竞赛讲座》书y 元，利用赞助
款不变寻找x ，y 的关系.
例4
将若干个自然数按某种规律排列，若前8 个数依次是1，3 ，6 ，10 ，
15 ，21 ，28 ，36 ，则第50 个数是多少?
( 世界数学团体锦标赛试题)
壁堕壁堕设已知的数依次是al
，a z ，α3 ' a4 ，…，α 50 ，…，这若干个自然
数排列的规律是什么?怎样求出a 50 ? 
itD 
学科精英大视野系列丛书
通过设元，把隐
含的关系表示出来，
这些字母在解题中相
消或相约，不需求出
这些字母的值却可以
得到我们想要的结
果，这是"设而不求"
方法解决问题的基本
思想.
有些问题涉及的
量比较多，关系复杂，
我们就需要引入不同
的字母，便于把数量
关系表示出来，在解
题中我们不需(或不
能)求出所有字母的
值，只需求出关键的
字母的值.
~、I~~
~{ 
审哩
!拉
( 仁军主政)
1:.(我
食
9眨
气k
例5
如图，已知四边形ABCD 各边的中点E ，F ，M ，N 的连线EM ，FN
交于0 ，分四边形ABCD 的面积三块为6 ，8 ，10 ，求第四块的面积.
("希望杯"邀请赛试题)
壁塾塾堕
连OA ，OB ，OC ，OD ，设5L，U4E = 
56υ'ßE- α ， 56 013F = 5 L，(XJ 二b ，56 (XM = 56 0 'v1D = C , 
5L\ιDN =5 ['0例N=d ，将问题转化为求c 十d 的值.
B 
D 
C 
侈IJ 6 
从两个重量分别为
12 千克和8 千克，且含铜的百分数不同的合
金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一' 起，
熔炼后两个合金含铜的百分数相等.求所切下的合金的重量是多少千克?
纣柑
由于已知条件中涉及合金中含铜的百分数，因此只有增设这两
个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，
才能充分利用已知，为列方程创造条件.
幡浩
T
设所切下的合金的重量为r 千克，重
1 2 千克的合金的含铜百
分数为ρ ，重8 千克的合金的含铜百分数为q( ρ手q)
，于是有
xq 十Cl 2 - x) ρ _ xp 十(8 - x)q 
12 
8 
整理得5( q 一户)工=24(q一ρ) . 
因为ρ手q ，所以q 一ρ手0 ，因此x=4.8 ，即所切下的合金重4 . 8 千克.
瞄洁2
设从重
12 千克的合金上切下的工千克中含铜m 千克，从重
8 千克的合金上切下的工千克中含铜η 千克(m 手11 ) ，则这两个合金含铜的
百分数分别为m 和旦.于是有
工
I
n + Cl 2-x) 旦
m + (8 -x ) 旦
工工
12 
8 
整理得5x( n - m) = 24( η - m) .
因为m手η ，所以
rz - m手0 ，因此x = 4.8 ，即所切下的合金重4.8 千克.
65 、
坦μ 鸣在
第
8
ì.井
设而不求
有些应用题中隐
含一些未知的常量，
这些量对于求解无直
接联系，但如采不指
明这些量的存在，则
难求其解.因此需把
这些未知的常量设为
参数，以便建立等量
关系，称此为辅助
设元.
6草地;~~、
'随
食
，告
，传
，传女
食女
女
例7
23 个不同的正整数的和为4845 ，问这23 个数的最大公约数可能
达到的最大值是多少?写出你的结论，并说明理由.
("希望杯"邀请赛试题)
晤
设这
23 个彼此不同的正整数为α j ，肉，句，…，如，α 23 '且(a j
，
句，… ，a 22 ' α2 3 ) =d ，故可记a j =db j
，向二dbz ' … ，a 22 = db22 ,a 23 = db23 ' 其中
b j ，鸟，… ，b22
，b23 是互不相等的正整数，由题意得
4845 = d(b j 十b2 + … + b22 十b23 ) 
.: bj +b2 十… + b22 + b23 注1 +2+ … 十22 十23=276 ，
二4845= d (bj +仇+ … +b22 + b23 ) 二三276 • d , 
4845 
._ 51 
即d~→一=17 一，而4845 = 19 X 17 X 5 X 3 , 
276 
~
. 92 
故d 最大可能取17.
事实上，若d=17 ，则b j + b2 +… + b22 + b23 = 19 X 15 = 285 ，试取向= 1 ，
b2 =2 ，… ，b22 =22 ，则b j +b2 + … + b22 = 253 ，此时取b23 = 285 - 253 = 32 ，正
好满足条件.
三阶幻白
相传大禹在治洛水的时候，洛水棉龟献给大离
一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图
用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，也
就是在3 X 3 的方阵中填入1~9 ，其中每行、每列和
两条对角钱上数字和都相等.
现在人们已给出一般三阶幻方的定义: 在3X3
。严∞吵。/
的方阵图中，每行、每到、每条对角钱上3 个数的和都相等，就称它为三阶
幻方.
解幻方问题，常需恰当引元，运用幻方定义、性质、整体核算等方法
求解.
例8
如图，3 X 3 数表各行、各列及两条对角线之和彼此相
等，设为S. 求证:
(1) S = 3e; 
(2) 2 (α 十c+g + i) = b + d + f + h+4e. 
(环球城市数学奥林匹克试题)
些壁里堕
三阶幻方如何构造?熟悉例8 揭示的规律及以下性质，是构
造的关键.
(1)在三阶幻方中，每个数都加上或都乘以一个相同的数，仍是一个三
阶幻方.
(2) d十f= b+ h = α +i= c + g = 2e .
学科精英大视野系列丛书
当代著名数学家
B . 狄隆涅曾说: 重大
的科学发现，同解答
一道好的奥林匹克试
题的区别，仅仅在于
解一道奥林匹克试题
需妥花
5 小时，而取
得一项重大科研成采
需要花费
5000 小时.
数学家哈尔莫
斯、巴尔布尤把图中
每行(列)数字组成一
个三位数，并写出它
们的逆序数，就得到
下列美妙的等式
:
492 +357 十816 =
618+753+294 
492 2 + 3572 + 
8162 = 6182 + 753 2 十
2942 
438+ 951 + 276= 
672 + 1 59 十834
438 2
十
95 1 2
十
2762 = 6722 + 1592 + 
8342 • 
~~~ 
( 仁军细)
女女
*
t专食
食
女食
食
第
8 讲
设而不求
习
…
一
统
一
一
富
甲
一
意
火
…
-
e
… 
1.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部
分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有
个涂有阴影的
小正方形(用含有n 的代数式表示) . 
令令务必以
第l 个
第2个
第3个
(第
1 题)
(山西省中考题)
2.
已知
17 个连续整数的和是306 ，那么紧接在这17 个数后面的那
17 个整
数的和是
(天津市竞赛题)
3. 如图是一个3X3 个的幻方，当空格填上适当的数后，每
行、每列以及对角线上的和都是相等的，则走=
(数学精英邀请赛试题)
4.
一条公交线路从起点到终点有8 个站，一辆公交车从起
点站出发，前6 站上车100 人，前7 站下车80 人，则从前
6 站上车而在终点站下车的乘客有一一一一一人.
川
(第
3 题)
("希望杯"邀请赛试题)
5.
巴勃罗、索菲亚和米娅在一次聚会上各分得一些糖果.巴勃罗的糖果数为
索菲亚糖果数的3 倍，索菲亚的糖果数为米娅糖果数的2 倍.巴勃罗决定
将自己的糖果分给索菲亚和米娅一部分，这样三个人的糖果数相等.则巴
勃罗分给索菲亚的糖果数占自己原来糖果数的
(美国数学竞赛题)
6. 有四位小朋友，其中每三位小朋友的岁数之和分别为22 ，20 ，刀，25
，则这
四位小朋友中年龄最大的比年龄最小的大(
)岁.
A. 4 
B. 5 
C. 6 
D. 7 
E. 8 
(国际中小学数学能力检测试题)
7. 某研究所全体员工的月平均工资为5500 元，男员工月平均工资为6500
元，女员工月平均工资为
5000 元，则该研究所男、女员工人数之比
是(
). 
A. 2 : 3 
B . 3 : 2 
C. 1 : 2 
D. 2 : 1 
( "希望杯"邀请赛试题)
8. 当克拉拉计算自己各科测试成绩的总分时，无意识地将某一科分数的十
位与个位交换了位置，则最有可能是错误的总分与正确的总分相差的分
数是(
). 
，&:\1'1i:\1'/i..趣地
k艺虫在
'传
，传会
，传
我女
*
食女
A. 45 
B. 46 
C . 47 
D. 48 
E. 49 
(美国数学邀请赛试题)
9. 老师报出一个5 位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5 位数减去原数，
学生甲、乙、丙、丁的结果分别是34567 ，34056 ，23456 ，34956. 老师判定4
个结果中只有
1 个正确，答对的是(
) . 
A.
甲
B.
乙
C.
丙
D.
丁
(四川省竞赛题)
10. 某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学生人数是初二
年级学生人数的乞已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相
同，初三年级男生人数占= 个年级男生人数的i ，那么三个年级女生人
-
, 
，-，-~. ~/ -~~. 4 
数占三个年级学生人数的比是(
). 
10 
~ 11 
~ 10 
A. 
.~~ 
B .
一
C . :: 
D
菩
1 日
19
- . 21 
~. 21 
("希望杯"邀请赛试题)
1 1.已知有一列数al
，a z ，…
，a ll 满足关系:后面的这个数依次比它前面的一
个数大k( 走为定值) ，且
3 (α3+ α 5 ) + 2 (α 7 + a1 0 + al 3 ) = 24 ，求
al + 
α 2 十… 十α 13 的值.
(浙江南苍南中学自主招生试题)
12. 某次数学竞赛前60 名获奖，原定一等奖5 人，二等奖15 人，三等奖40 人;
现调为一等奖10 人，二等奖20 人，三等奖30 人.调整后一等奖平均分数降
低3 分，二等奖平均分数降低2 分，三等奖平均分数降低1 分.如果原来二等
奖比三等奖平均分数多7 分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
13.
山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流入池中的水量相
同)不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A 型抽
水机则
l 小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A 型抽水机20 分
钟正好把池塘中水抽完.问:若用三台A 型抽水机同时抽，则需要多长
时间恰好把池塘中的水抽完?
(江苏省竞赛题)
14.
甲和乙同时分别从A ，B 两地出发以各自的匀速度相向行走(两人的速
度可不同) ，相遇于C 点.若甲比乙早出发30 分钟，则他们的相遇点到B
的距离比C 到B 的距离少2 公里.若乙比甲早出发30 分钟，则他们的相
遇点到A 的距离比C 到A 的距离少，少多少公里?
(环球城市数学奥林匹克试题)
15. 将一个正方形分成如图所示的
6 个面积相等的长方
形，在长方形ABCD 中，求AB
: BC 的值.
(俄罗斯数学奥林匹克试题)
F 
K 
L D 
C 
(第
15 题)
学科精英大视野系列丛书
~~~ 
( t 
~ 翌〉
回回
"，、"_、. *~~ ~".
.~~
. ~. ".. • __ ._... •• .A___ 俨-----户
'可⑤)号- _- --‘·
‘--- ... 户户
户
电K
饮
食
业
食
第
8 讲
设而不求
g 
E事
例
1
600 
-一千米/ 时
13 
设全年呈为工千米，则全程中平均速度为一一王一二二?一一三一←气一=一
1 一一=
1 
2 
(1 
2\ 
11 
31-L 亏:;;
Iτlτ
1 ，1: 
1 20 十7 5
600 
一一(千米/ 时) . 
13 
例2
A 
40 
I 
50 
l 40 ' 50 ) 
这100 个连续自然数的和的最末两位数是50.
例3
160 台，800 本
由
1 00( .1:十3y)=80C什5y) ，得
.:r =5y ，故可购买计算器旦巳土坦z 旦旦旦y 二1 60
工
::>y
100(:;;十3y) _ 1 00X8 惜'
(台) ，书一二一一一
一一←」二800C 本) . 
y 
y 
例4
1275 
由题意得
a, - a,= 2, 
Cl ;{
α ，= 3
， 
a 4 →α3= 4
， 
a" - a'8 =49 
a 50 -a19 = 50 , 
以上4 9 个式子左、右两边分别相加，得
49 X (2 十50)
a .'i O •
a[ = 2 十3 + 4 十… 十50=
0 .
"2' ..~= 1274 ， 
..α 50 = 127 4 十]=1275 ，即其中的第
50 个数是127 5 .
，a 十d = 6
，
①
例5
8 
由条件得}a + 白二8
，
② 
\b 十c= 1 0 .
③
③一②，得
cω = 2
，
④ 
①+④，得d 十c=8 .
例8
(1) 5 =α 十e 十i= b 十r 十h = c 十e 十g = d +e+ f. 相加得45 二α 十b + ι + d 十e+ f + g 十h + i + 3e ，故
5 =3e. 
(2) 5 = α 十b 十c= b 十t 十h ，故a + c = e 十h ，同理α 斗8 二e+ f , {; 十
z = e 十b ，c 十z 二e 卜d ，四式斗目力口得
2(a 十C 十g+ i) = b 十d 十f十h 十4e.
1. 
(4 n 十1 ) 
2. 595 
设17 个连续整数为m ，m+ 1 ，m十2 ，…
，m + 16 ，且m + Cm 十1) 十… 十Cm+ 16) 二306 ，
它后面紧接的
]7 个连续自然数应为m + 17 ，m + 1 8 ，m + 19 ，…
，m 十33 . 可得它们的和为
595.
3. 231 
如图，由α 十k+b = α + c 十121 及
c + d + 11 = b + d + 121
，得走十b 二c 十12 1，(二
11 0+b ，从而走= 110 + 121 = 23 1.
飞
69结
'自
毯
( 第
3 题)
学科精英大视野系列丛书
一一"…..-..._..
，传女
女
食
，传女
食
，传
1号
4. 20 
设前7 站上车的乘客数量依次为叭
，鸟，鸟，龟，鸟，鸟，α7 人，从第2 站到第8 站下车的乘客数量依
次为龟，鸟
，b，,b, ' 龟，仇
，b8 人，则
a 1 +a2 + α3 十向+ αs+ a6 十a 7 = b2 十b3 + 句+ bs 十b6 + b7 + 仇，
又a 1 十a2 十a 3 + α，+α5 十a 6 = 100 ,b2 + b3 + b, + bs + b6 十b7 =80. 
得
1 00+a 7 =80+b8
，即bs -a7 = 100-80=20. 
表明从前6 站上车而在终点站下车的乘客共20 人.
1 
6 
5. 
6. E 
设四位小朋友的岁数之总和为工，则四个小朋友的岁数分别为
x - 22 ,x- 20 ，x 一1 7 ，x-25 ，
(x 一1 7)-(x-25) = 8 .
7. C 
8. A 
总分相差的分数一定是9 的倍数.
设原数为m =abcde ，gJ!J edcba- m = 11 X [909(e - a) 十90 (d - b) ]是11 的倍数.
9. B 
设初一年级学生人数为
a ，男生人数为川求得初三年级男生人数为÷α ，所求比为:
[(a - b) + b+ ( ~ a- ~ a ) ] -;- (a + a+ ~ a) = ;i 
(α - b) + b+ 1 ~a 一~a ll -;-
I a + α +
α
=
\ 5 -
3 - J I 
\ -
, -
, 5 - J 
21' 
1 1.
α2 =a1+ 走，α3 = a1 + 2走，α s =α1+ 4走，α7 = a1+ 悦，α 10= a 1 + 饨，α13=α 】+12走，代入等式，得a 1 + 6走=2 .
.. 原式= 13α 1 + (k +2k + … + 1 2的= 13( a1 十侃) = 26. 
12.
设调整后一等奖、二等奖、三等奖平均分数各为x ，y ，z 分，由题意得
( 5(z+3)+川+2) +川十1)=时时30z ，
..~~，~(x+y=2z+ 1 7 ， 
' 
化简得(
y+2=(z+ 1) +7; 
. . . \y=z+6 , 
于是x-y=5 .
13. 设流水的速度为x m3 / min ，池塘原有水y m3 ，每台A 型抽水机抽水效率为z m3 / min ，三台A 型抽水
机需t 分钟把池檐中水抽完，由题意得
(川=仙
y十20x=40z ，
y十tx=3 tz.
②一①得z = 2x ，
③一②得(20 - t) x = (40 - 3t)z , 
④代入⑤得
t = 1 2( 分钟) . 
①
②
③
④
⑤
 
10. C 
_ 
.1-
L.... 'tf7 
."'-
..,.1 /.'Ø a 
b 
a十2
b- 2
α- x b+ x 
设甲、乙两人速度为u ，v ，AC= α ，BC=b. 则由二次相遇分别得一，一一=一一+ 30 ，一一--→一-30 .
u 
v 
u 
v 
u 
v 
1 , 1 
. _ ~ , __ _ ,_ ,= 
30 
由前两式得到一+ 一= 15 ，再由第三式得x = 一一一一= 2 .
u 
u
I + i 
u 
v 
xC 2 -
C, 
C, 
14. 
B 
b 
A 
a 
(第14 题)
设正方形边长为α ，则每一个长方形的面积为士ιD= ta
15. 
: s… H川= 4 ，.·. KL= 旦，DC=AB= a一旦- i = i
，
3 ' 
---
3' - -
. .-
-
3 
6 
2 -, 
2 
•
• I 
A 
2 
• ~ 
~ ~ 
2 
1 
: s长刊阻BA = 了，二MA =
: a ，AD = BC= α 
-::-a = 一
3 ' 
..-.. 
3 -,. . _ 
_ -
-
3 -
3 
11
3 
:. AB: BC= : a : ~a = 一
2 -
3 山
2
'
队包6 月
《周惮算经》成书于公元前
1 世纪初，这部天文学著
作包含了丰富而深刻的数学知识，勾股定理和测量术是
该书的主要成就，此外，还介绍了较复杂的分数运算和
开方问题，这是世界上最早使用小数和分数的记载.
dγ苍茫……
一
商9it:t:
望茸的f1Di因
E 
. ...._._. 
二:f~'iji!如能穰述:
我们把整式中那些所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的单项
式作为一类，称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起一一称为
合并同类项，整式的加减实质就是合并同类项，这样能使整式大为简化.
代数式的化简求值是代数式研究的一个重要课题，解这类问题的基本
方法有: 将字母的值代人或字母间的关系整体代入，而关键是对代数式进行
恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的结构，是变形求解的常用
工具.
问题蹲决
例1
(1)设m ，n 均不为零，3x 2 / 和
5ZHhht y3 是同类项，则
3m3-m2 η +3mn 2 +9旷
5m 3 十3m2 η - 6mn 2 十9旷
一一一一一·
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
(2) 如果代数式ax 5 + bx 3 +cx- 5 ，当x = 一2 时的值是7 ，那么，当x = 2
时，该式的值是
(江苏省竞赛题)
辑题理由
对于(1) ，由同类项的概念建立m 州的关系式，运用这一关
系式求值;对于(2) ，将z 两个值分别代入，从寻找两个多项式的联系入手.
i句::哈
代数是慷慨大方
的，她所给予的远远
超过她所索取的.
达郎贝尔
微软公司面试
中的数学思维
如果你有两个
桶，一个装的是红色颜
料，另一个装的是蓝色
颜料，两桶中装的颜料
体和、一样. 你从蓝色颜
料桶里豆豆一杯，倒入红
色颜料桶，调匀后再从
红色颜料桶里在一杯
倒入蓝色颜料桶，红桶
中的蓝红颜料比和蓝
桶中的红蓝颜料比哪
个更大?
~、~~
，传
食为
1传
世时
合
食
食齿'
例2
如果对于某一特定范围内的工的任一允许值，ρ= 11 - 2x 1 十
11- 3x 1 + 11-4x 1 +…+ 11- 9x 1 + II - 10x 1 为定值，则此值为(
). 
A . 2 
B. 3 
C. 4 
D. 5 
(安徽省竞赛题)
睡黯思路
ρ 为定值，必然是各绝对值化简后，含z 项全部抵消，即化简
后的系数和为0 ，从2+3 + 4 + 5+6+7=8 + 9 + 1 0 人手.
例3
已知x 2 +2x=3 ，求代数式矿十7.r 3 十8x 2 - 13x 十1 5 的值.
("希望杯"邀请赛试题)
壁堕壁堕
由条件等式可得x 2 = 3-
2工，解题的关键是通过变形，把待
求式中t ，/两项用工2 = 3 ←2x 表示，降次整体代人.
例4
已知x= 2 ，y=- 4 时，代数式d + ÷by+ 5 = 阳，求当工=- 4 ，
y= 一÷日才，代数式3α厂24旷十4986 的值
( 北京市"迎春杯"竞赛题)
壁些塾堕
a ，b 的值无法求出，将给定的工，y 值分别代人对应的代数
式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代人求值.
如乙J
学科精英大视野系列丛书
数学概念是进行
推理与论证的基础.
"回到定义中去"，
这是著名数学家波利
亚提示的一种解题方
法，在解题遇到困难的
时候，请记住这个重要
的思考提示.
在解数学题时，
我们既要能从局部入
手，又妥善于着眼于整
体.即突出对问题的整
体结构的分析和改造，
把一些彼此孤立实质
上紧密联系的量作为
一个整体来考虑.
~&.\~ 
( 忆革结歪)
食
，传
为，随
食
例5
(1)工，y 均为整数，若5
1 (工十9y)
，求证: 51 (8工十7y).
(2) 工，y ，z 均为整数，若11
1 (7工+ 2y - 5z)
，求证
: 11
1 (3x - 7y+12z).
衍析写幡
尝试把待证式写成与已知式相关的代数和的形式.
(1)': 8x+7y=8(x+9y)-65y ,51(x+9y) ,5165y , 
: . 51 (8x 十7y).
(2) .: 
4(3x 一7y 十12z) 十3(7x 十2y-5z)=11(3工一2y+3z) , 
而11
1 11c3x 一句十3z )
，且11
1 (7工十2y-5 功，
'. 11
1 4(3x ~ 7y + 12z). 
又.:
11 和4 互质，:. 11 1 (3x-7y + 12z) . 
食
冒险
例6
试证:每个大于6 的自然数η 都可表示为两个大于
1 且互质的自
然数之和.
(全国初中数学联赛题)
证明
①若η 为奇数，设η=2走十1，走为大于2 的整数，则写η= 走+(走十
1)，由于(走，走+ 1) = 1，故此表示合乎要求.
②若n 为偶数，则可设η = 4走或η 二位十2 ，走为大于1 的自然数.
当n =4走时，可写η=(2走一1) 十(2走十1)，并且易知2走一1 与2走十l 互质，
因为，若它们有公因子d二三2 ，则d
1 2 ，但2走一1 与2走十1 均为奇数，此不可能.
当n = 4 走十2 时，则可写η = (2k - 1) 十(2走十3) ，且易知2走一l 与2 走+3
互质，因为，若它们有公因子d 二刃，设2走
1 = ηd ，却+3= md ，m ，n 均为自
然数，则得(m-n)d=4 ，可见d 14 ，矛盾.
整体患者
整体思考是将问题看成一个完整的整体，从大
处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析
与改造，从整体上把握问题的特征和解题方向
.
例7
(1)把四张形状大小完全相同的小长方形
卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为
mcm ，宽为ncm) 的盒子底部(如图②) ，盒子底面未被
卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分
的周长和是(
). 
A. 4mcm 
B. 4ηcm 
C. 2(m 十η)cm
D. 4(m-n)cm 
(浙江省宁波市中考题)
(2 )记Sn=G I 十a 2 十… 十α" ，令
T"
n 
5 1 十5 2 主兰尘，称T" 11 a] , a 2' … , a n 这列数的川
η 
"理想数"，已知a 1
，a 2
' …，a soo 的"理想数"为2004 ，
求8 ，α 1 ，岛，…
，a 500 的理想数.
因①
!组③
(安徽绊埠市中考题)
醋题思路
整体思考具体体现为:整体观察，整体变形，整体代人，对于
73吆
第
9
ì:井
整式的加;成
斗争哇3丧
事'醺..-
跚跚岖
合与分是一个互
逆的思维过程. 解整
式加
J咸丰目关问题，既
要善于合并同类项简
化代数式，又要注重
把一个代数式分拆为
几个代数式的和差形
式，以沟通已知与未
知的联系.
在微观上重析
理，在宏观上看结构.
既看局部，又看整体;
既见树木，又见森林，
两者互用，这是分析
问题和解决问题的普
遍而有效的方法.
印度诗人泰戈尔
说"采摘花瓣你将无
法得到一朵美丽的花
朵"
例
7(2) 以式的形
式定义"新数"，着眼于
新知识与已有知识的
联系与转化，对阅读理
解、符号运算、整体代
入、逻辑推理等能力提
出了较高要求.
~I:ì:\~ 
，传
食
食
，传
食
女
，传食
女
(1) ，为表示图②中相关量，还需知道什么?对于(2) ，从理解"理想数"的意
义入手，导出Tn 与a]
，a2' … ，a n 的关系，要求的是TS0 1 的值.
1.已知多项式2ax4 + 5ax3 - 13x2 -
X 4 + 2021 十2x 十bx 3 - hx 4 - 13x 3 是二
次多项式，则a 2 十b 2 = 一一一一-
("希望杯"邀请赛试题)
2. 设PU)=it 十~ x 4 + 
~ x 3 -
~l~x 则~ [ P (2)- P( - 2)J= 
5"" 
I 2"_ 
I 3 .L 
30 .L "^" 3 
("希望杯"邀请赛试题)
3.
当x = 2 时，代数式αx 3 - bx+ 1 的值等于一17 ，那么当x = 一1 时，代数式
1 2ax-3bx 3 -5 的值等于
(北京市"迎春杯"竞赛题)
4. 若自然数η 使得作竖式加法n 十(n+ l) 十( n+2) 均不产生进位现象，则
称n 为"可连数"，例如32 是"可连数"，因为32 十33 十34 不产生进位现
象;23 不是"可连数"，因为23+24 十25 产生了进位现象，那么小于200
的"可连数"有
个.
(湖北省黄石市中考题)
5. 秦九韶算法
当x=5 时，求多项式3x3 +5x2 士2x+2 的值，如果用计算机计算，计
算机会算6 次乘法，3 次加法.具体如下所示:
3t 
+J王二一+~2x 斗2
3'x ' x ' x 
5
' x
' x
乙
• x 
而当把这个多项式转化成[ (3x+5)x 十2 J x 十2 的形式时，计算机只需要
做3 次乘法和3 次加法，大大缩小了计算量.
这种优化了的计算方法，被称为秦九韶算法.
问题:
(1)直接计算多项式anx '1 + α ，，- 1 X ,,- l + … 十α ]x 十a。在工=m 时的值时，
需要做的乘法和加法次数分别是
和
(2) 如果用秦九韶算法来简化计算量，可以把(1)中的这个多项式写
成
的形式.此时需要做
的乘法和加法的次数分别为
和
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
6.
将1，2 ，3 ，… ，10。这100 个自然数，任意分为
5 0 组，每组两个数，现将每
74 
」J
学科精英大视野系列丛书
~c.t\~ 
( 仁军主Iil )
会，岛
，传
食，传
食
大，传
，传
组的两个数中任一数值记作α ，另一个记作b ，代人代数式÷ (
i a- b | 十
α+的中进行计算，求出其结果，50 组数代入后可求得50 个值，则这50 个
值的和的最大值是
(四川省竞赛题)
7. 红光中学初一年级有3 个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数的和
为4 5 ; 二班、三班的平均人数与一班人数的和为48 ; 一班、三班的平均人
数与二班人数的和为47. 则三个班的总人数为(
) . 
A. 68 
B. 70 
C . 72 
D . 74 
( "希望杯"邀请赛试题)
8.
已知y = αx 7 + bx 5 +cx3 + dx+ e ，其中α ，b ,c,d ，e 为常数，当x=2 时，y=
23; 当x = - 2 时，y = -35 ，那么e 的值是(
). 
A. - 6 
B . 6 
C . - 12 
D. 12 
(陕西省竞赛题)
9. 若x 2 +x-2=0 ，则x 3 + 2x2 -x+2007 = (
). 
A. 2009 
B. 2008 
C.
一2 008
D. - 2009 
( "希望杯"邀请赛试题)
10 . 最多有(
A . 9 
)个连续整数，使得其和为4 5.
B. 25 
C. 45 
D . 90 
E . 120 
(美国数学竞赛题)
1 1. 设P( x) 是一个三次多项式，且P( O) = 是，P (l)=役，P (- 1) =3走，则
P(2) + P ( 一2) = (
). 
A. 0 
B. k 
C . 6走
D. 7k 
E. 
1 4走
(美国数学竞赛题)
12. 已知关于工的整系数二次三项式ax 2 + bx 十c ，当z 取1，3 ，6 ，8 时，某同
学算得这个二次三项式的值y 分别是
1 ，5 ，2 5 ，50 . 经验算，只有一个是
错误的，这个错误的结果是(
). 
A . x = l 时，y = l
C .
工=6 时，y = 25
B . x=3 时，y = 5
D.
工=8 时，y =5 0
(" 创新杯" 竞赛题)
13 . 己知关于工的二次多项式α (X 3 -x 2 +3x ) 十b(2x 2 +X) 十矿-5 ，当x=2
时的值为一17 ，求当x =- 2 时，该多项式的值.
( 北京市"迎春杯" 竞赛题)
14 . 证明: 若三位数abc能被27 整除，则瓦言，cab均能被27 整除.
(爱尔兰竞赛题)
15. 在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc(a ，b, c 依次是这
个数的百位、十位、个位数字)
，并请这个人算出
5 个数acb , bac , bca , cab 
与cba 的和N ，把N 的值告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所
想的数abc .
现在设N =3 1 94 ，请你当魔术师，求出数百二来.
(美国数学奥林匹克试题)
尘媳
第
9
i井
整式的加;成
~~~ 
食
食言纭
，峙
*
"i号
食
，传女
16. 求所有的五位数高cde ，该数能被9 整除，且百二- bd豆=760 .
(斯洛文尼亚数学奥林匹克试题)
17 . 对任意一个四位数n ，如果千位与十位上的数字之和为9 ，百位与个位上
的数字之和也为
9 ，则称η 为"极数"
(1)请任意写出三个"极数"，并猜想任意一个"极数"是否是9 9 的倍数，
请说明理由;
(2) 如果一个正整数α 是另一个正整数b 的平方，则称正整数a 是完全
平方数.若四位数m 为"极数"，记D(m) = 旦求满足D(m) 是完全
33 ' 
平方数的所有m.
(重庆市中考题)
18.
完美长方形
若一个长方形能分割成若干个大小不同的正方形，则说这个长方形
是完美长方形.
192 5 年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成
10 个大小不同的正方形.
(1)如图①，有一个完美长方形被分割成11 个大小不同的正方形，其中
最小正方形的边长是9 ，求此长方形的边长.
(2) 7 张如图②的长为a ，宽为b(a>b) 的小长方形纸片，按图③的方式不
重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分(两个短形)用阴影表示.
设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为5 ，当BC 的长度变化时，
按照同样的放置方式，5 始终保持不变，求α ，b 满足的关系式.
D 
……………. 
I | 
b 
B 
C 
图①
图②
因③
(第18 题)
55 
...l-
(\ 
I 
n 
n 
/.9 
^ 
'\" 
__ 
,. 
...... 
\. 
55 
例
1
(1)百由2+2m+n=2. 得n= 一2m. 代入原式，原式=百
(2) 一17
学科精英大视野系列丛书
• 
& 
在空
• 
1 _ 
_ 1 
例2
B 
当lf〈z〈7 时，原式= (1 一2x) 十(1 -3x)+ (1 - 4x) + … 十[→(l -9x) J+[ 一(l - 1 0x)J=3.
例3
J.系式=(3-2x)(3 一2x) + 7 x(3 一2x) +8x2 - 13x+ 15 
食，传
，传
( 忆军!Jll )
= 9 - 12工十4x ' + 21 工- 14x ' + 8x' - 13x+ 15 
力，传
食
女食
*
=- 2工'- 4工+ 24 = 一2(x ' +2x) + 24= - 2 X 3+24= 18. 
例4
1998 
由己知得4α -b = 996 ，待求式= - 3(4a - b) 十4986.
例7
(1)设小长方形的长为α ，宽为
b ，
..上面的阴影周长为:2(η 二G 十m - a)
，下面的阴影周长为:2(m-2b+n-2的，
.. 总周长为:4m 十4n - 4( α + 2b).
又.: a 十2b = m ，二4m + 4n - 4( α + 2b) = 4n. 
故选B.
(2) 由定义得Tnz t [计(计a ，) 十(a \ + a, + a 3 ) 十
+ (αl+ a，十
+a" 汀，
!!f T，，= 士[ na 1 十(/1一1) a，十(n - 2时
十2a ，，_ \ - a"J 
又Tmo =EjE [叩\+叫+ 498a3 十
+ 2a499 + a500 J . 
500a1 + 499a ，十498α3+ …十2α 499 十α 500 = 2004 X 500. 
第
9
i.井
整式的加;咸
1 
故8 ，肉，α 2
' ...，α 500 的"理想数"为丁50 1
日1 [ 501 X 8 十500a 1 + 499a, + 498a3 + … + 2a 4 99 十a soo J = 
」~[5 0l × 8 十2004 X 500 J = 2008. 
501L ~~~"~
' 
- ~~
'
''
~ ~~_J 
• 
… 剖"
1. 13 
2. 6 
3. 22 
4. 24 
当"可连数"为一位数时，η+Cη 十1) + (/1 + 2) ~ 9 ，解得η运2 ，由于η 为自然数，所以η=0 或η = 1
或n = 2 ，即一位数的"可连数"有3 个.
当"可连数"为两位数时，设它的个位数字为α ，十位数字为
b ，则α 十(α+ 1)十(α+2) ~ 9 ，解得a 王三2 ，由于
个位数字相加时"不产生进位现象"，所以十位上的数字b 必须满足b+b+b~ 9
. 解得b运3. 从而两位数的"可
连数"有
10 ，11
，12 ，20 ，21
，22 ，30 ，31
，32 ，共有9 个.
当"可连数"为三位数时，由于我们只求小于200 的"可连数"，所以它的百位数字为1，设它的个位数字为
a. 十位数字为
b ，则。+ (α + 1) + Ca + 2) ζ 9. 解得α运2 . 由于个位数字相加时"不产生进位现象"，所以十位上
的数字b 必须满足b + b + b "，二9 ，解得b豆3 . 从而三位数的"可连数"有
1 00
，101
，102
，110
，111
，112.120.121
，
122.130.131.132. 共有12 个.
综上所述，小于
200 的"可连数"的个数为
3 + 9 + 12 = 24 个.
(n + 1) 
S. (1)←
2 一二.n
(2) (((Ca".x + a " - I )x + a ，，- ，) 工十α "一3 )X + … +a1 )x+ao ./1./1 
6. 3775 
不妨设α > b. 原式= α. 由此知每纽数的两个数代入代数式运算后的结果为两个数中较大的一
个，从整体考虑，只要将5 1，52.53. … .10。这50 个数依次代入每一纽中，便可得50 个值的和的最大值.
7. B 
8. A 
9. A 
(η - 1) 
10. D 
设有
η 个连续整数a
. a + l，…，α + n 一1. 得α 十a 十1+ …十a+n 一
1 = na 十一
2 一=
十+ 于) =
77 
吆
食
食
食
，传
食齿
，陆女
女
学科精英大视野系列丛书
3k 
11. E 
设二次多项式为P(x)= α 3 x3 + a2 工2 十a 1 x+aO (句子士0) ，由条件得α。=是，α2 =2 '
「α +b十c=l ，
①
1 9a 十3b+c=5 ，
②
12. C 
若四式均成立，则有{
1 36α +6b十c=2 5 ，
③
L64α +8b +c=50 .
④ 
③一②，得27α +3 b =20 ，此式左边是3 的倍数，而右边不是3 的倍数，所以在②、③两式中必有一式错误;
④一③，得28α +2b = 25 ，此式左边是偶数，而右边不是偶数，所以在③、④两式中也必有一式错误.故③
式错误.
13 . 整理原多项式得(a + 1)矿+ (2b-a)x 2 + (b+3α )x-5 ，由题意得a+ 1 =0 ，得a= 一l，b=- 1.
14 .
若271 abc ，则
3
1 (a+b十c) .
注意到，
二百;一瓦二= 99α - 90b - 9c = 9 (1 1a 一10b - C) = 9 [ 3(4α - 3b) -
(a + b+ c) ] = 27(4α -3b) -
9(α + b +c) . 
由271 (abc - bca) =吃7
1 bca. 
类似地，由271 瓦a=";>27
1 二百.
15 . 将abc也加到和N 土，由于α ，b ，c 在每一位上都恰好出现两次，所以二百+N =222 ( α + b+c).
① 
从而
1000+3 194> 222(a + b+c) > 3194 ，于是15 ::(α +b+c ::( 1 8 .
因为
222 X 15- 3194 = 136 , 222 X 16 - 3194 =358 , 222 X 17- 3194 = 580 , 222 X 18-3194=802. 
其中只有3 十5 + 8 = 16 满足要求，即能使①成立，故abc = 358 .
16 .
由ace-bda= 760 ，得
1 00a 十10c+e-100b-10d-a= 760 , e=a ，从而
1 0(a-b) + (c-d)=76
，因此，
只有两种可能c- d =6 或c
d=-4 . 进一步分析可得所求的五位数是81828 或91269.
17 . 设四位"极数"η 为xy(9-x)(9-y)( 其中
l ::( xζ9 ，0ζ y::(9 ，且x ，y 为整数)
(1) n= 99 (10x+y+ 1), 99 In. 
(2) 
': m = 990x+99y + 凹，(1 ζ x ::( 9 ，0 ::( y '"三9 ，且x ，y 为整数) , 
D(m)= 去=3 (1 0x+y十1) ,11::(10x+y+1::(100 , 
人33 ::( 3 (1 0x+ y + 1) ::(330. 
.: Ð(m) 为完全平方数且D C m) 是3 的倍数，
.. 讨论可得D(m) = 36 ，8 1，144 或225 ，进一步得m = 1188 , 2673 ,4752 , 7425. 
18. (1)如图①，设与最小的正方形相邻的小正方形的边长为工，其他9 个正方形边长依次可用工的代数
式表示. 又设长方形的边长分别为a ，b ，则α = llx ,b= 15x- 63 ，b= 6x+ 81 ，由15x- 63 = 6x+ 81 ，得x=16 ，从
而α =176 ，b=177 .
(2) 如图②，左上角阴影部分的长为AE ，宽为AF= 3b ，右下角阴影部分的长为PC ，宽为α . ': AD= BC,l!P 
AE+ ED= AE十a ，BC=BP+ PC= 4b+ PC, :. AE+ α = 4b十PC ，l!p AE- PC= 4b-a ，:. 阴影部分面积之差s =
AE . AF- PC
. α';= 3bAE- aPC= 3bCPC+ 4b- a) - aPC= (3b- a)PC+ 12b2 - 3αb ，则3b- a = 0 ，即α = 3b.
9x-45 
A 
E 
D 
F 
G 
2x+45 
C 
因①
图②
(第
1 8 题)
(0 
一元一次方程〉亿川江肌民
,."., (Y' r呵
俨件户，、
俨~ r- r-
~~ rr ..1 
... ;;'衔'如
i'rli. j~"X;ir.'"守;- ~'t"!': 丽，叫‘
'rh
‘Y';'; . ~\(''')~♂飞'正主，
我们需要数学，
我们欣赏数学.
一一陈省身
花刺子米(约783一约850) 是阿拉伯最
著名的数学家，(( 印度数字算术问还原与对
消的科学》是他的两本专著"还原" 是指使
方程平衡而进行的移项，在拉丁文中被译成
"代数"，代数一词源于此. 左图是《还原与对
消》今译本的封面，该书论述了
6 种类型的
一元二次方程的求解方法.
性)怆)/'
97'TU 
二ι二古气
I
自10 i:ft 
关于方程的欣赏
欣赏方程中的数
学本质一一方程是基
于"式"的运算;
欣赏方程中的理
性精神一一一方程是探
寻"未知"的绝佳思维
模式
;
欣赏方程中深刻
的数学模型
方程
是"好"数学典范，缘
于它的广泛应用;
欣赏方程中思维
内在的和谐
方程
是在还原与对消中寻
找不变量.
含字母系数的方
程，既可以讨论解的
个数，又可以探究解
的特征. 如满足怎样
的条件解是整数、解
是正数或负数等
，常
用到整数基本知识及
解不等式.
~~~这
知1:1~慨述
方程是刻画现实世界的有效数学模型，一元一次方程是方程中最基础
的部分，其基本内容包括: 解方程、方程的解及其讨论.
当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，字
母系数决定方程解的个数.
我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称
绝对值方程.
解字母系数方程、绝对值方程，常用到分类讨论法.
' 
争·问题t黯决
r 
~ f 
a 川
中3x 十α
1 - 5x
已知关于工的方程3
l x-2 f x
升
1 = 4工和丁厂
一厂= 1
' 
例1
有相同的解，那么这个解是
( 北京市"迎春杯" 竞赛题)
建立关于α 的方程，解方程，求出α 的值.
例2
若h 为整数，则使得方程(k - 1999 )x = 2001-
2000x 的解也是整
数的走值有(
) . 
A. 4 个
ι
w
矗
阳
"‘ 
m
叫
}
叫
叮
C. 12 个
D.
16 个
("希望杯"邀请赛试题)
B. 8 个
蠕题思路
食
女
女
岳
阳
食
-R 
，传
食
食
睡黯思路，
把工用含走的式子表示，结合整除的知识确定走值的个数.
例3
解下列方程:
(1) x- ! [x- ~ ( x 
手) ] =卸工一手) ; 
(广西壮族自治区竞赛题)
(2)÷(÷lt( 卡
3)-3] - 3} -3=0 ;
("希望杯"邀请赛试题)
O. 3x+ 0. 8 o. 02x+ 0. 3 
, 
0 . 8x 一0.4
(3) 
户一
-1= 
5 
0.3 
3 
(北京市"迎春杯"竞赛题)
晤题思路
解一元一次方程，既要能按部就班(严格按步骤)解方程，又
要能随机应变(打乱步骤)解方程.对于(1) ，视( x 一立i 为整体;对于( 2) ，先
飞
7 I 
去括号;对于(3) ，化小数为整数，均可获得简解.
x
, 
x 
1 
例4
α 为何值时，方程-: +a= 一
~(x - 12) 有无数多个解?无解?
3 ,-
2 
6 
壁些壁堕
化简原方程，利用方程ax=b 各种解的情形所应满足的条
件建立α 的关系式.
例5
解下列方程:
(1) 15x 十61 =6工一5 ; 
(重庆市竞赛题)
(2) 1 x 一13x+ 1 11 =4; 
(夭津市竞赛题)
(3) Ix-21+lx-31= 1. 
("祖冲之杯"邀请赛试题)
i 80 
哇'
二
学科精英大视野系列丛书
在数学学习中，
既要注意解题技巧的
积累，又要关注一般
性方法的掌握，这样
既能避免小题大傲，
又可避免弄巧成拙.
对于一般解题步
骤与解题技巧来说，
前者是通法，后者是
技巧;前者是基础，后
者是机智.只有真正
掌握了一般步骤，才
能"熟能生巧"
方程α工= b 的解
由a
，b 的取值范围确
定，具体情形如下:
(1)当
a =.F O 时，
原方程有唯一解，x=
h 
α 
(2 )当
α = 0 且
b =O 时，!!R、方程有无
穷多个解;
(3 )当
α = 0 且
b手0 时，原方程无解.
~~~ 
'眶
'随
唱团
絮
'随
第
10 讲
( t三年
坦)
女食
女
壁塾塾些
解绝对值方程的基本方法有
: 去掉绝对值符号，将绝对值方
程转化为常见的方程求解;数形结合，借助于图形的直观性求解，前者是通
法，后者是技巧.
对于(3) ，给出下列不同解法.
壁主1
(1)当工<2 时，原方程化为2 -x 十3-x= 1，解1~ x=2 . 
由于工=2 不在工<2 的范围内，此时无解.
(2) 当2~工运3 时，原方程化为x-2 十3- 工=1，1 = 1
，
•• 
2'"三x~3 时，方程成立.
(3) 当x>3 时，原方程化为x-2+x-3= 1，解得x=3.
由于工=3 不在工> 3 的范围内，此时无解.
故原方程的解为
2 ~工运3 .
扉法
2
如图，求方程的解，即在数轴上找一
卒
8 
点使它到A ，B 两点的距离的和为l.
显然，当点在A 点的左边或B 点右边时，这点到A ，B 两点的距离和大于
1，只有当这点在线段AB 上(包括A ，B 两点)符合条件，对应的工值为2 '"二zζ3.
故原方程的解为2 ~x~3 .
例6
设a
，b 是有理数，且
l a l>o ，方程Ilx- a l-bl=3 有三个不相等
的解，求b 的值.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
黯
由原方程，得
| 工-al-b= 土3 ，
即Ix-al = b 十3 ，①
Ix-al =b-3 , 
.原方程只有三个不相等的解，
.
它的同解方程①、②总共也只有三个不相等的解.
γ
b 十3> b -3 注0
，
.
必定使b +3>0 ，b -3=0 ，才能符合要求.
故b =3 .
例7
将连续的自然数
1 ~ 
1001 按如图的方式排列成一个长方形阵列，
用一个正方形框出
16 个数，要使这个正方形框出的
16 个数之和分别等于
:
(1) 1988 , (2) 1991, (3) 2000 , (4) 2080. 这是否可能?若不可能，试说明理
由;若可能，请写出该方框16 个数中的最小数与最大数.
② 
(河北省竞赛题)
7A"1
1i
OO 
F
-
1
4
。
，
"
n
L
'
}
q
d
n
v
勺
t
d
飞
1
1
9
白
。
，
"
-
}
。
L
Q
d
n
b
:‘
111iqL 
L
‘
-
i
o
凸
E
J
4
1
i
1
1
。
，
μ
、
，
A
U
勺
I
A
啥
，
、
1
4
1
i
η
，
"
n
h
u
n
〈
υ
q
/
μ
n
叫
υ
1
4
η
/
，
"
 
>>
FU?"
<<
1i9
;"
995 
996 
997 
998 
999 1000 1001 
衍析E司晤
正方形框出的16 个数有规律，引入未知数，建立关于这个未
知数的一元一次方程，将问题转化为讨论方程是否存在正整数解.
81 
嗦
一元一次方程
形如Ill ax十bl +
cl+dl =ε 的方程，含
有多层的绝对值，可从
外向内逐层去掉绝对
值符号，将原方程化为
形如|αz 十b
l =cx十d
的方程求解.
解法一称为"零
点分段讨论法" ，即在
每一段上去掉绝对值
符号解方程，求出每
一段上的解，将它们
合并，使得到房、方程
的全部解.
形如
I ax+b 1= 
cx 十d 的绝对值方程
可变形为
α工+ b =
::r (cx+ d) 且α 十d二三0
才是原方程的根，否则
必须舍去，故解绝对值
方程时应检验.
早在三百多年前
法国数学家笛卡儿在
《指导思维的法则》一
书中提出一个设想
:
把所有的数学问题转
化为代数问题，再把
所有代数问题转化为
解方程.虽然笛卡儿
的设想未能实现，但
是也充分说明了方程
的重要性.
援建飞
* 
，传
食
，传
食
1号
食
肯
为
设框中左上角数字为工，则框中其他各数可表示为
: x+l ，x+2 ，x+3 ，
x+7 ,x+8 ,x+9 ,x+ 10 ,x+ 14 ,x+ 15',x+ 16 ，x 十17 ，x+21;x+22 ，x+
23 ，x+24 ，由题意得:工+ (x+ l) + (x+2) + (x + 3) + … +x + 24= 19 88 或
1991 或2000 或2080 ，当16x+192= 1988 或
1 991 时，x 不为正整数，当16x +
1 92=2000 或2080 ，解得x=113 或118 时，又113-:-7=16 …1，即
113 是第17
排第1 个数，该框内的最大数为113+24= 137; 118-:-7 = 1 6 … 6 ，即118 是第17
排第6 个数，故方框不可框得各数之和为2080.
思维昂属
思维，简单地说就是想和做.
科学巨匠爱因斯坦曾说."我们所创造的这个世界，是我们思维的产物，
不改变我们的思维，就不可能改变我们的世界"
思维晶质是人的思维的个性特征，主要包括深刻性、灵活性、广阔性、周
密性、批判性二独创性等.
例8
已知关于工的方程
I xl=αx+2 只有负数解，求α 的取值范围.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
纣橱皇军帽
怎样准确理解"只有负数解"，这是解题的关键，需从正负解
的情形周密地求出α 的取值范围.
当x<O 时，则- x=ax+2 ，(α + l) x=-2 ，由α+1>0 得α> -1;
当x>O 时，则x=ax 十2 ，(l -a )x =2 ，由1-a > 0 得α< 1.
故要保证方程
I xl =ax+2 只有负数的解，α 的取值范围是α 二三L
4!~ 刻意练习
1. 若(3α + 2b)x 2 +ax+b = O 是关于工的一元一次方程，且z 有唯一解，则
工一一
("希望杯"邀请赛试题)
2
如果关于z 的一元一次方程坐芋旦寸=旦孚旦有无数个解，那么
k = 
(北京市竞赛题)
3. 使得关于工的方程2(3x - k) = kx + 2 有正整数解的整数h 为
("五羊杯"竞赛题)
4. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:
• 
• •• ••• 
• • • • • 
• • 
• •• •••• ••••• 
• •• ••• •••••••••• 
第i个
第2个第3个第4个
(第4 题)
é) 
学科精英大视野系列丛书
"道通夭t也有形
外，思入风云变态中"
改变问题的形式
或换一种说法，促使
问题由复杂到简单、
由陌生到熟悉、由抽
象到具体的转化，是
解代数问题最基本的
思想.
'-,J( 
、r
如:.:1牛:;:.....ε唱唱
7飞敦的房叹…气:
MÞ......事.... 
与代数打交道一
定会遇到工这个未知
量，它是第一个闯入人
类思维的，一旦建立起
这样的符号体系，代数
的研究就进入到了更
高的抽象层次.
~~、~
食
食
'
( 也军级)
女
食
女
食
女
，岭
，传
则第5 个图形有
颗黑色棋子;第
个图形有2013 颗黑色
棋子.
(浙江省宁波市中考题)
S. 按下面的程序计算，若开始输入的值z 为正数，最后输出的结果为656 ，
则满足条件的工的不同值最多有
个.
( 第5 题)
( 浙江省义乌市中考题)
a+b 
, b-a 
6 .
已知关于工的方程
I
l x-2
1 - b l = α 有四个不同的解，则一一+ 一一一+
| α + bl ' Ib-a l 
土+占的值为
l a
l
川
(湖北省黄冈市自主招生试题)
7.
已知关于工的方程(3α十8b)x十7= 0 元解，则ab 是(
). 
A . 正数
B . 非正数
C. 负数
D . 非负数
(海南省竞赛题)
8 . 若(j -l)x2 十(y+ l)x+9=0 是关于工的一元一次方程，则代数式(4x十y)
(2x-y) 十y 的值为(
). 
A. 54 
B. 56 
C. 169 
D . 171 
("五羊杯"竞赛题)
2006-x , 2008-x 2010-x I 2012 
9
关于工的一元一次方程
200了+ ~~2~07 -万百+写If的解(
) 
A. 是一个大于1000 的数
B . 是一个两位的自然数
C . 是一个大于0 且小于2 的数
D. 不存在
("五羊杯"竞赛题)
10. 适合关系式
1 3x - 41 + 13x 十2
1 = 6 的整数工的值有(
)个.
A.O 
C. 2 
B. 1 
D . 大于2 的自然数
(四川省竞赛题)
1 1. 设
1 X ; 1 < 1 ( i = 1 , 2 ，… ，川，若
I Xl 1 + 
1 工21+ … +1ι1 = 2016 + 
IX1+ 工2+ … 十Xn
1
，则η 的最小值为(
) . 
A . 2018 
B. 2017 
C . 2016 
D. 2015 
(北京市数学竞赛题)
12. 如果关于工的方程
I x 十1 1+lx- 1
1 = α 有实根，那么α 的取值范围
是(
) . 
A. a 二三O
C. a 二三1
B .
α> 0 
D. α 二三2
(湖北省武汉市竞赛题)
毛奖
第
10 讲
一元一次方程
l~~~、
学科精英大视野系列丛书
_. 
，传
，曾女
· 食
食女
，传
，际女
叫
一
川
L
U
‘
一
一
加
一
-
m
列
n
u
一
0
.
下
"
)
解
U
ZJ 
("希望杯"邀请赛试题)
(2) ~ {丰[ ~ (于+4 ) + 6 ] + 8}=1
("创新杯"竞赛题)
(3) x+ 二一十一王一+ … +
产
I nA^;:; = 2009; 
1 + 2
'
1 + 2 十3'
' 1 + 2-1 
("希望杯"邀请赛试题)
一2
，
x 
, x+2 
(4) 一一一+一一一+一一一=6 .
2006 ' 2007 ' 2008 
(" 五羊杯"竞赛题)
14 .
解下列方程:
(1) I x - 5 I + 2x = - 5 ; 
(2) Ix-2005 1+1 2005-xl= 2006; 
(莫斯科市竞赛题)
(3) I x -
I 2x + 1 I I = 3 ; 
(陕西省西安市竞赛题)
(4) Ix+31 一Ix 一1 1=x+ 1.
(加拿大中学生竞赛题)
X 
I
α
| 
15 .
已知关于工的方程一+ α= 一;-'-x - : (x - 6). 
3 
-
2 -
6 
(1)当α 取什么值时，方程无解?
(2) 当α 取什么值时，方程有无穷多个解?
(3) 如果方程的解是- 2 ，那么α 的值是多少?
(重庆市竞赛题)
16 .
始此转化
我们知道有限小数可转化为分数，如
3 . 14 = 旦主= 旦Z ，一0.36 = 
100 
50 
36 
9 
100
→25 ' 同样，无限循环小数也可转化为分数，如:将
2. 145 145 
145 … 转化为分数，设α= 2. 145 145 1 45 … ，两边同乘以1000 得
1 000a=
2 145. 145 145 145 … ，则1000a - a =999a=2
14 5 一2=2
14 3 ，故有α =
2 143 
2. 145 145 145 … =一-一
999 
(1)依照以上方法，请你将4.141 414 14 … 化为分数为
(2) 依照以上方法，请你将O. 145 45 企5 … 化为分数为
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
(3) 将乘积0.243 x O. 325233 化为小数，则小数点后第2014 位数字
是(
) . 
~~I'Ã"\ 
C . 9 
D. 1 
C" 华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
却81J/ 
B. 7 
A. 0 
( t:;革主III ) 
17. 将自然数1 至2010 按图中的方式排列:
1 
234 
5 
6 
789j10lii2jl3 
14 
15 
16: 17 
18 
19: 
20 
21 
22 
23: 24 
25 
26: 
27 
2002 
2003 
2004 
2005 
2006 
2007 
2008 
2009 
2010 
(第
17 题)
'k食
食
食
X 
，传
如图，用一个长方形框出
9 个数(3 行
3 列) ，已知这
9 个数的和为
1 799 1，求这9 个数中最小的数.
(世界数学团体锦标赛试题)
18. 已知α
b = 7 ，且" 十2 手0 ，若不论工取何值，代数式但二E 的值都相
a .:r+2 
等，求a
，b 的值.
(浙江省湖州市竞赛题)
19.
已知有理数a l
，吗，…
，a2013 满足a l 十a 2 + … 十a2013 = 0 ，且
1 a l -
2a2 1 = 
1 a 2 一句31= … =1α川
2a川1=1 α川
2α 11 ，求证:a l = α2
… =a2013 =0. 
(北京大学自主招生试题)
，传
食
第
10
i井
一元一次方程
• • 
例1
27 
_' __. , .~ , _. .. 
2 
27 - 2a
. 2 
27 - 2α27 . _ 
2 
2. 27 
27 
一
两方程的解分别为工=--;:::;-a ，x= 一一一一，由
α = 
得a =~ ，从而工=
α = 一×一-
28 
.
"..-.
.
.
.
"
. ..，，
~ 
7-' ~ 
21 
'~7-
21 
'.-
8"
"
~ 7-
7 "
8 
28 ' 
2001 
倒2
D 
.:r= 
为整数，又2001 = 1 X 3 X 23 X 29 ,k+ 1 可取士1，::!::: 3 , ::!::: 23 , ::!::: 29 , ::!::: (3 X 23) , ::!::: (3 X 29) , 
k+ 1 
::!:::(23X29) ，
::!::: 200 1，共
1 6 个值，相应的企值也有
1 6 个.
19IJ 3 
(1) ~'=O 
(2)
工= 90
(3) .:r = 1 
侈IJ 4 
原方程化为
0.1: = 6α - 12.
(1)当归
12 = 0 ，即α = 2 时，原方程有无数个解;
(2) 当归一12 手0 ，即α # 2 时，原方程无解.
例5
(1) .1' = 11 
原方程化为
5 .1' +6=::!::: (6 .1' - 5) 或分5 工+ 6 二三0 ，5 .1' +6<0 讨论.
5
, . 
3 
(2) .1' =一一或工=
原方程化为工一
1 3 .1'十1
1 =4 或.1' -13 .1'十1
1 =-4. 
4 - ., 
~ 
2 
I f3川时，α .1' +忡。且MOJ=- fa ，由GZ?叫，得z=?
2 ? 
原方程化为(4走一川=0 ，由4走一1 0 = 0 ，得走= ÷
85..b 
、k
• 
. .. . .0\-，'
跑
食
食
食
食
食
1与
食
女
女
2k+2 
2( k-6) 十14
_
, 
14 
14 
3. 4 或
5
x= 一一一=~'"
V/' ~' =-2+ 一一，一一为大于等于3 的整数.
6-k 
6-k 
-
, 6-k' 6-k 
4. 18 ,670 
学科精英大视野系列丛书
5. 4
由5x 十1 =656 ，得x= 131 ，由5x + 1=13 1，得x=2 6 ，由5x+ 1=26 ，得x = 5 ，由5x+ 1= 5 ，得x=
f ，由5工+ 1= 土，得x= 一土，与题设不符
25 
故满足条件的工的不同值最多有4 个.
6. 4 
由条件得a> O ，Ix-21 =a+b , Ix-2 1 =-a+b ，只有当α + b> O 且-a + b> O 时，原方程才有四个
解，从而有b> α>0 .
7. B 
8. D 
(. , 1-x 飞(.
, 1-x\ 
(. , 1-x \ , (. 
，
1-x 飞
1-x
，
1- x
1-x , 1- x 
9. C 
~、方程可化为11 + 一，^;ï+11 + 一一:;; 1=11+~一~1 + 1 1+ ~一，:- 1 , !!F 一一+ 一一- - 一一一+ 一一-
\ ~ , 2005 J ' \ ~ , 2007 J 
\ ~ , 2009 J ' \ ~ , 2011 J ' . I 2005 ' 2007 
2009 ' 2011' 
显然它的解是x = l.
10. C 
由数轴知- 2~ 3x"，;A ，x = 0 ，1.
11. A 
设鸟
，巧，…
，x. 中，所有非负数的和为a ，所有负数的和为b ，则a+b= 2016 +
1 a-b l . 芳a二三b ，则
得b= 1008. 因为IXi 1 < 1.i=1.2. … .n. 所以负数的个数至少有
1 009 个，由α 二三b 可得非负数的个数也至少有
1009 个，.. n二月009+ 1009 = 20 18. 若a< b ，同理可得n二三20 18 ，而当x ，= … = XI009 = - XIOIO = … = - X2018 -
1008 
1009 时，有
I Xll +
l x2
1 十… + Ix. 1 =2016+ IXl +马+ … +x..l
，故n 的最小值为201 8 .
12. D 
13. (l)JL(2)1 
259 
( ., 1 
1 
1 
ì 
I 1 十一一一十一一--:-+ … + - - - - .~. - - - - I 
(3) x l~
'
2X3'3X4' 
'2009 X 201o 1= 2009 , 
\. 
2 
2 
2) 
r1
, {1 
1\ , (1 
1\ , 
, ( 
1 
1 \1 
2xl 二十i 一一一
1 + 1 一一~l + … + 1 一一一一~. _ 1 I = 2009 • 
L 2 ' \ 2 
3 ) ' \ 3 
4 J ' 
' \ 2009 
2010 J I 
~VVv ， 
{1 , 1 
1 \ 
2x l 一+一一一一一
I =2009.x= 1005. 
飞
2
' 2 
2010 J 
~ VVv
， 
一2
^' 
x 
. ^ , x+2 
(4) 一一一一2+ 一一一- 2 + 一一~ - 2=0 ，
2006 
-, 2007 
~'2 008 
工-40 1 4 , x •
4014 , x - 4014 
!!F 一一一-一+一一一一一+一一一一一=0 ，x=4 014.
2006 
2007 
2008 
v. 
14. (1) x=- 10 
(2) 归
(4)
•
5,1, 3 
当x< 一3 时.J.原原牵京、方程化为一(x+3ω) 十(x一lυ) =x + l，得工=一5 ; 
; 
当一3运工< 1 时，房、方程化为x+3 + ( x - 1) = x十1，得x =- 1;
当z二月时，原方程化为x + 3 一(x一1) = x十1，得x = 3 .
故1东方程的解为x =- 5 ，一1，3.
15 .
原方程化为( Iα| 一1) x = 2(a- 1) .
(1)当
| α1 - 1 = 0 且a-1 笋O. 即α= 一1 时，原方程无解.
(2)
当
l al 一1 = 0 且α - 1 = 0 ，即α = 1 时，原方程有无穷多个解.
(3)
由
| α| 十a = 2 . 得a = l.
410 
16. (1)百百设a=4 . 141 414 …，则
100a = 414. 141 414 … , 100a - a = 99a = 414 - 4 = 41 0 ，故a=
( 仁军细)
为现r
女食
让f
才k
，陆
女食
第
'0 讲
一元一次方程
410 
4. 141 4 14 … - -一
99 . 
(2) 立设α =0.1 45 454 5 … ，则10a = 1. 454 545 … ,1000a= 145. 454 545…. 
55 
144 
8 
1000a - 10a= 990a= 14 5 一1 = 144 ，故α=0 .1 45 454 5 … =一一=一
990 
55. 
243 " 325230 
27 X 9 ,, 32523 
9 " 879 X 37 
7911 
(3) D 
0. 243 X O. 325233 = 一一× 一一一一一= 一一一一X
::..一一一= 一× 一一一一一=一一一一=0. 07911 , 
999. . 999990 
27 X 37 . .99999 
37 . . 99999 
9999 9
歹
20 1 4 --;-5 = 402 …… 4 ，所以，小数点后第
2014 位数字是
1 ，故选D .
17. 1991 
b-5 
5 
18.
分别令x=O ，l 得一一一=一一，J'!r 2b + 5α= 0 ，又a - b = 7 ，从而得α =2 ，b=-5.
α +2 
2 
1 9 . 根据条件知:
(a ，-2az ) 十(a Z - 2a3) + (a3 -
2α4)+ … + (a ZOI3 - 2a, ) =一(a l + az 十a3 + … +aZO I 3 ) = 0 .
另一方面，令|α1- 2α Z I = I az - 2a3 I = I a3 - 2a, I = … = la川3 -2a, I = m , 
则a ，- 2鸟，αz- 2α 3 'α3- 2a， ' …
，a川3- 2a l 中每个数或为m 或为
m. 
设其中有企个m
，(2 0 13 一的个-m ，则
(α 1 - 2a Z ) 十(α 2 - 2a3) + (α 3 -2α 4 ) + … 十(α 20 1 3 - 2a,) = k X m + (2013- k) X (-m) = (2 是一2013)m.
② 
由①②知:(2k - 2013)m = 0.
③
①
 
而2走一2013 为奇数，不可能为
0 ，所以m = O .
于是知
: a l =2鸟
，az =2鸟
，α3= 2a4 ' …,aZOI2 =2α20 13 'α ZOl3 =2a,. 
从而知
: a l =2川3 • a}
，即得a l =0. 同理可知
: aZ =a 3 = … =a川3=0 . 命题得证.
注:吆
各工成M服却
怎样设元
;
)-r-品如UJt-.-n~~~孔
7" 
' 恤电
』
h 每<1ÎL1
《九章算术》成书于公元
1 世纪初，全书运用
问题集形式，列为九章，共246 问，标志着中国古
代数学体系已经形成.在世界数学史上，((九章算
术》最早记载、最先使用" 负数概念及正负数的运
算川线性方程组的解法""开平方、开立方的方
法" 等.
'QJ(飞h.a·-…---皿
胃11 ì:f:l: 
墨南军i量元
E 
.…
E 
列方程解应用题是从具体问题中抽象归纳出所需要的数量关系，根据
数量间的关系，依照题意合理选择未知数，找出隐含的等量关系，列方程进
行求解.
恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，怎样设元，需要根据具
体问题的条件来确定.
设元的基本方法有
: 直接设元、间接设元、辅助设元、整体设元等.
有些应用题中隐含一些未知的常量，如若不指明这些量的存在，则难求
其解. 故需把这些未知的常量设为参数，以便列方程，称此为辅助设元.
例
1
(1)某编辑用0 ~ 9 这10 个数字给一本书的各页标上页码，若共
写了636 个数字，则该书有
页.
(天津市竞赛题)
(2) 一个六位数E瓦页的3 倍等于高习瓦，则这个六位数为
(黑龙江省竞赛题)
堕些翌些
对于(1) ，该书页码的数字组成有三种: 一个数字、两个数
字、三个数字，可直接设元;对于(2) ，视Z习二为整体，整体设元.
文:ì
与其说学习数
学，倒不如说学习数
学化.
弗赖登塔尔
优与劣
算术法解应用题
与列方程解应用题的
共同点是都要在理解
题意的基础上分析数
量关系，都需要根据
四则运算的意义. 列
方程解应用题，提供
了一般的解题步骤和
规范的计算方法，将
逆向思考转化为顺向
思考，这是列方程解
应用题的优越性.
~~&:.\ 
( 七a= m ) 
为，每
食
合食
食
飞纭
，曲
，传
例2
植树节时，某班平均每人植树6 棵; 如果只由女生完成，每人应植
树15 棵;如果只由男生完成，每人应植树(
)棵.
A. 9 
B. 10 
C . 12 
D. 14 
(四川省竞赛题)
壁些塾堕
本例可间接设元，如设出植树总数或班上共有人数; 亦可设
出辅助未知数，即分别设出男、女学生人数.
例3
某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4 % ，使
得利润率增加了8 个百分点，求经销这种商品原来的利润率.
(全国初中数学联赛试题)
晤题思路
因售出价= 进货价x o + 利润率) ，故还需设出进货价，利
用售出价不变，辅助建立方程.
例4
10 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是:每
个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两
10 
旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平
9 
均数报出来，若报出的数如图所示，那么报3 的人心里想的
8 
数是多少?
2 
5 
7 
6 
3 
4 
( (( 数学周报》杯全国初中数学竞赛题)
晤题思路
设报3 的人心里想的数是工，分别把报7
，9
，1 的人心里想的
数用工的代数式表示.
例5
某大型超市元旦假期举行促销活动.规定一次购物不超过100 元
的不给优惠，超过100 元而不超过300 元时，按该次购物金额9 折优惠，超过
300 元的其中300 元仍按9 折优惠，超过部分按8 折优惠. 小美两次购物分
别用了
94. 5 元和282 . 8 元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的
物品，那么，小丽应该付款多少元?
(海南省竞赛题)
晤黯思路
先求出小美第二次购物的原价.
kij吆
第，，讲
怎样设元
辅助未知数的引
入，在已知条件与所求
结论之间架起了一座
"桥梁"，对这种辅助未
知量，并不能或不需求
出，可以在解题中相消
或相约，这就是常说的
"设而不求"
一些应用题是以
一手支生活实际情形、
一个鲜为人知的故事
或一场趣味游戏编制
的，寓数学思想和方
法于情境中，这类应
用题被称为情境应
用题.
解情境应用题的
关键是:在阅读理解
的基础上，取舍信息，
从不同的思维角度提
出问题、分析问题、恰
当地理解和应用数学
知识，历经有价值的
数学思维活动过程.
t:.\~1!::\ 
，传
食女
食
食*
食
食女
例6
. 物尽其用
自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶3000 km 就要
报废，安装在前轮上，则行驶5000km 才报废.为使一对轮胎能在行驶尽可能
多的路程后才报废，在自行车行驶一定路程后，就将前后轮胎调整，这样安
装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米?
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
暗活
1
列方程求解
设自行车行驶了x km 后，互换前、后轮胎再行驶，致使两只轮胎同时报
废.因此，前轮胎还可行驶(5000-x)km ，后轮胎还可行驶(3000 - x) km. 当
前后轮胎互换后，还可行驶，并有(5000 以?=(3000 以?
I 5 
3 \ 
解此方程，有i 一一~
I x=2000 ，解得x = 1875 ( km) .这就是说，当自行
飞
3
5 J 
车行驶了
18川m 后，互换前后轮胎，这样还可行驶(5000 - 1875) X ~ = 
1875( km) ，所以最多可行驶3750 km. 
瞄活2
类似工程问题解法
设安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶xkm ，根据题意，自行车每行驶
1km ，前轮胎将磨损-L ，后轮胎将磨损-L ，当两个轮胎磨损之和为单位"1"
5000 " ~ ，~ ，，- ' . ,_ 0/, 3000 
时，前后轮胎互换，当两个轮胎磨损之和为单位"2"时，两个轮胎同时报废，即此
时行驶路程最多.由此可得方程· 一乙+一ι=2 ，解得x = 3750(km).
. 5000 ' 3000 
即自行车最多可行驶3750 km. 
年四主肇问题
牛顿(1 643-1 727 ) 是
1 7 世纪英国著名科学家，与
历史上最伟大的
高斯、阿基米德被称为人类历史上最杰出的数学家.下
1 日~JJ在
面的问题是牛顿在他的《普通算术》一书中提出的，被
称为牛吃草问题或消长问题.
人类在认识世界的过程中，学会了用抽象、简洁的
方程式来描述规律，无数的方程展现了人们破解物质
运动、光电闪耀、时空变幻等自然现象的曲折经历，彰
显了人类百折不挠的探索精神.
例7
牧场长满一片青草，每日生长一样快，放牧27 头牛，6 星期吃完;
放牧23 头牛，9 星期吃完.问: 放牧21 头牛，几星期吃完?
堕塾塾堕
草总量、新长草量以及剩余草量都随牛吃的天数不断变化，
解题的关键是从变化中找出不变量，并理顺草每天的增长量、每头牛每天的
吃草量及牧场原有的草量之间的关系.
卫
学科精英大视野系列丛书
许多数学问题形
异而质同，
f.!r 虽情境
不同，但结构上常有
相似之处，通过类比、
熟悉化房、则、模式识
别等策略，能促使问
题转化，解法
2 把房、
问题转化为一个工程
问题，通俗而简捷.
对于例
6 ，自行车
在换胎前后行驶的路
程相等(都是1875km) , 
是巧合，还是隐含的规
律?由此可得到其他
解法，读者不妨一试.
从现实生活或者
具体情境中抽象出数
学问题，是建立模型
的出发点;用符号表
示数量关系和变化规
律，是建立模型的过
程;求出模型的结果
并讨论结采的意义，
是求解模型的过程.
告IJ
7 之所以为一
道名题，是因为可生
成许多形异而质同的
问题.
~t:=\~ 
毛主食
散
( 乞革组)
才过
4叹* 
也贺
*
~~ 刻意练习
1.
已知四个数的和为64 ，若第二个数加3 ，第二个数减3 ，第三个数乘以
3 ，
第四个数除以
3 ，所得的结果均相同，则这相同的结果是
( 上海市竞赛题)
2. 某班全班学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球
1 0 个，每投进一个球
得1 分，得分的部分情况如下表所示:
|
得分
1
0 1 1 1 2 1 ... 1 8 1 9 1 10 1 
|
人数1 7 15141
...
1 314
1 1 1 
已知该班学生中，至少得3 分的人平均得分为6 分，得分不到8 分的人的
平均得分为3 分，那么该班学生有
人.
( 江苏省竞赛题)
3 .
甲、乙两名打字员，甲每页打500 字，乙每页打600 字，已知甲每完成8
页，乙恰能完成7 页.若甲打完2 页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数
相同时，乙打了
页.
( "希望杯"邀请赛试题)
4. 从两个质量分别为12 千克和8 千克且含铜量的百分比不同的合金上切
下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起熔
炼后得到的两块合金含铜的百分数相等. 则所切下的每块合金的重量
是
千克.
( "希望杯"邀请赛试题)
5. 某农民在农贸市场卖鸡，甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的
一半又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好买完.则该农民一共卖
了
只鸡.
("希望杯"邀请赛试题)
6 . 如图算式中，每个汉字代表1 个数字，不同的汉字代表不
神舟五号飞天
同的数字，已知"神" =3 ，那么被乘数是一一一一一
x
神
( "五羊杯"竞赛题)
飞天神舟五号
7 . 在某校辅导计划中，若干名一年级学生可与一名六年
(第6 题)
级学生成为好友，而一名六年级学生不能与多名一年级学生成为好友.已
知÷的六年级学生与号的一年级学生成为好友则在一年级与六年级学
生中好友人数占这两个年级人数的(
). 
A . 主15 
B. ~ 
-
11 
C.11 
-
30 
D. 3
11 
_::_ 
E. 
~: 
8 
~. 15 
(美国数学竞赛题)
J l吆
第
11 讲
怎样设元
&t\1::\1'I:、
，传
*女
食
* * 
食
，际合
8 .
某晚，学生克洛伊、佐伊先各自独立解决了家庭作业中一半的问题，然后
再一起合作解决了另一半问题.克洛伊独自解决问题的正确率为80 % , 
总的解题正确率为88 % . 已知佐伊独自解决问题的正确率为
90 % . 则佐
伊总的解题正确率为(
). 
A. 89% 
B. 92% 
C. 93% 
D. 96% 
E. 98% 
(美国数学竞赛题)
9. 某服装厂生产某种类型冬装，9 月份销售冬装的利润(每件冬装的利润=
出厂价一成本)是出厂价的25 % ，10 月份将每件冬装的出厂价调低10 %
(每件冬装的成本不变) ，销售件数比
9 月份增加80 % ，那么该厂10 月份
销售这种冬装的利润总额比9 月份的利润总额增长(
). 
A.2 % 
B.8 % 
C . 40.5% 
D. 62 % 
(广西壮族自治区竞赛题)
10 .
一艘轮船从A 港到B 港顺水航行需6 小时，从B 港到A 港逆水航行需
8 小时. 若在静水条件下，从A 港到B 港需(
)小时.
A7B7i 
c6 主
D6t
立
(江苏省镇江市中考题)
11.
如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑
/勺'哥\
皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等. 若黑皮
/圃'才·飞
有12 块，则白皮的块数是(
) . 
~ ~ν 
A . 22 
B . 20 
"飞主~
C. 18 
D. 16 
(第
11 题)
( 山西省太原市竞赛题)
12 . 一个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市12 万人20 年的用水
量. 在该市新迁入3 万人之后，该水库只够维持15 年的用水量，市政府
号召节约用水，希望能将水库的使用寿命提高到30 年.那么，该市市民
平均需要节约多少比例的水才能实现政府制订的目标? ( 
). 
AZB
手
c÷D÷
(国家公务员考试行政职业能力测试题)
13. 若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同.若这些工人同时
工作，则需要10 小时装卸完毕. 现改变装卸方式，开始一个人干，以后每
隔t( 整数)小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，
且最后增加的一个人的装卸时间是第一个人装卸时间的士问:
(1)按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间?
(2) 参加装卸的有多少人?
(江苏省竞赛题)
14. A ，B ，C 三个微型机器人围绕一个圆形轨道高速运动，它们顺时针同时
同地出发后，A 在第2 秒钟时追上B ，第2 . 5 秒钟时追上C ，当C 追上B
此fj
学科精英大视野系列丛书
Ct.\~、
iCt.\
( 忆军!I;! )
食，曾
食
含
1耐
，传
女，峙
，陆
时，C 和B 的运动路程的比是3 : 2 . 问第1 分钟时，A 围绕这个圆形轨道
运动了多少圈?
( "华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
15. 保罗和詹妮每人都有整数值的英镑.保罗对詹妮说"你若给我3 英镑，
我的钱数将是你的n 倍"詹妮对保罗说"你若给我n 英镑，我的钱数将
是你的3 倍"
若以上陈述真实且η 是正整数，n 的可能值是多少?
(英国数学奥林匹克试题)
16. 在三个正整数的连乘积中，将每个乘数均减小
3. 试问:它们的乘积能否
恰增大2016?
17. 实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形
容器(容器足够高) ，底面半径之比为
1 : 2 : 1, 
用两个相同的管子在容器的
5cm 高度处连通
(即管子底端离容器底5cm) ，现三个容器中，只
有甲中有水，水位高1cm ，如图所示. 若每分钟
同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水
1 分
(俄罗斯数学竞赛题)
(第17 题)
钟，乙的水位上升t肌问开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的水位高
度之差是0 . 5cm?
(浙江省绍兴市中考题)
18. 数学与金融
所谓"金融"，即"资金融通"，通俗而言，即" 钱
的流通"
股票交易、理财计算、期权定价、住房按揭贷
款…
在金融生活中，数学扮演重要角色，而现代金
融学的发展与科学大师爱因斯坦、庞加莱、希尔伯
特、冯·诺伊曼紧密地联系在一起.
日本著名数学家伊藤清并不是任何意义上的商人，而是地地道道的
一流数学家，他的名字出现在商业版的原因是他的工作极大地影响人们
对一切随机现象的理解.这其中也包括了金融现象. 19 97 年，伊藤清获
得诺贝尔经济学奖，曾被称为"华尔街最有名的数学家"
(1)书店举行购书优惠活动: ①一次性购书不超过100 元，不享受打折
优惠; ②一次性购书超过100 元但不超过200 元，一律按原价打9
折4 ③一次性购书超过200 元，一律按原价打7 折.小丽在这次活动
中，两次购书总共付款229 . 4 元，第二次购书原价是第一次购书原
价的3 倍，那么小丽这两次购书原价的总和是一一一一元.
(浙江省绍兴市中考题)
(2) 长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打8 折销售该
93吆
第
11 讲
怎样设元
问题
17 以科学
中的连通器为背景，
给简单的一元一次方
程赋予新的情境，旨
在倡导从数学的角度
发现问题和提出问
题，强化应用意识.
当4飞美国生史学物
理学家戴森在《物理
科学中的数学》中曾
写道"数学之于物
理，不仅是计算现象
的工具，更是创造新
理论的概念和原理的
主要源泉"
~~~ 
食
食
食
食
食
1纭
，陆女
女
电器γ件，则可获纯利润500 元，其利润率为20 % . 现如果按同一标
价打9 折销售该电器一件，那么获得的纯利润为(
). 
A . 562.5]巳
B. 875 元
C. 550 元
D .
750 元
(湖南省长沙市中考题)
(3) 为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋
装混合粗粮.其中，甲种粗粮每袋装有3 千克A 粗粮，1 千克B 粗
粮，1 千克C 粗粮;乙种粗粮每袋装有
1 千克A 粗粮，2 千克B 粗
粮，2 千克C 粗粮.甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A ，
B ，C 三种粗粮的成本价之和.已知A 粗粮每千克成本价为6 元，甲
种粗粮每袋售价为58.5 元，利润率为30% ，乙种粗粮的利润率为
20%. 若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24 % ，求该电商销售甲、
乙两种袋装粗粮的数量之比.
(重庆市中考题)
学科精英大视野系列丛书
• 
·…. . 
例
1
248 ,142857 
( 1) 设该书有z 页，则有(x-99)X3 十90X2+9=636 ，解得x= 248.
(2) 142857 
设abcde= 工，则
3 (1 0 0000 +x) = 1 0x十1，解得x=42857 ，原数为
142857.
例2
B 
解法1
设共植树z 棵，则男生与女生人数之和为三，有女生三人，所以，男生有王一王=王
6 ''' /'-1 5' - ' '''--''''-''61 5
10 
人，则每个男生植树x-:- 王= 10 棵，故选区
10 
3 
解法2
设班上有男生工人，女生y 人，则
6(工+y)= l 句，x=--;;-y ，则每个男生植树15y-:-
~ y= 1 0 棵，故
2 
选区
例3
设房、进货价为z 元，销售价为y 元，
按原价销售的利润率为主二王
. 100 % , 
工
y- 93. 6% . x 
按新价销售的利润率为J
M 
·100% , 
93.6% • x 
y - 93. 6% • 
由题意得y -x
.
10 0 %+ 8% = y -=-~!:I j~' n% 
• x . 100 % , 
工
93 . 6 % • x 
解得y = 1. 17x .
1.]巧
原来经销这种商品的利润率是一一一一二.100 %= 17 % .
工
例4
报5 的人心里想的数应是8 - x ，于是，报7 的人心里想的数是12 一(8 - x) = 4+x ，报9 的人心里想
的数是16 一(4 +x ) = 1 2 - x ，报
l 的人心里想的数是
20 一(l 2 - x) = 8+x ，报3 的人心里想的数是
4- (8+ x ) = - 4- x ，由工=- 4 - x ，得x = →2 .
例5
100 X O. 9= 90<94. 5< 100 ,300 XO. 9= 270< 282. 8. 
设小美第二次购物的原价为工元.则(x- 300) X O. 8+300 XO. 9=282. 8. 
织巳
* * 
( 七a: !lll ) 
f乏*
.A. 
N 
解得x=316 .
下面分两种情况讨论:
(1)小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300 元，则小丽应付
(316 十94.5-300) XO. 8 十300XO . 9=358. 4( 元) . 
(2) 小美第一次购物原价超过100 元，第二次购物原价超过300 元，
则第一次购物原价为
94. 5 -7- 0. 9=105( 元) . 
所以，小丽应付(316 十105 -300 ) XO. 8+ 300XO. 9=366. 8( 元) . 
，传
食
* 
食
第门
i井
怎样设元
例7
设放牧21 头牛n 星期吃完，牧场原有苹量为a ，每星期生长的草量为d ，每头牛每星期的吃草量为
C ，则
6(27c-d) =9(23c-d) = η (21c-d) ，解得η=12.
-
e 飞、
留
1. 12 
2. 43 
设共有工人，由(x - 4-5-7)X6 十2 X 4 + 1 X 5 = (x- 3 - 4 -1) X 3 + 8 X 3 + 9 X 4 + 10 X 1，得
工=43.
3. 35 
设当甲、乙打的字数相同时，乙打了z 页，由500X 2 十500X 手工=帅，得工=35
4. 4.8 
5. 7 
6. 307692 
设"神舟五号"=A ，" 飞天"=B ，则
3 X (1 00A + ß) = 10000B + A , 23A = 769B , (23 , 769) = 1 , 
故B = 2切，A =769 n ，η 为自然数，2ζη~4 ，得n =4 ，从而A =30 76 ，B =92 .
7. B 
L × 80%+ Lzy 
8. C 
设共有工道试题，两人合作解题的正确率为y ，得
μ
-~ 
-
X 100% =88 % ，得y=96 % .
工
L
× 90%+L
× 96 % 
故佐伊总的解题正确率为向
ù 
X 100% = 93%. 
工
9. B
设9 月份每件冬装的出厂价为工元，则每件成本为
O .
75工元，10 月份每件冬装的利润为
(1 - 10%) 工
O. 75x=0. 15x 元. 又设9 月份销售冬装m 件，则
10 月份销售冬装(1 +80 % )m= 1. 8m ，故10 月
0. 15xX 1. 8m 一O . 25xm 
""' n/ 
份的利润总额与
9 月份相比，增长
< …
= 8% . 
10. C 
11. B 
12. A 
设只能供y 万人使用，每年的降水量为工，则20 (1 2 - x) = 15(15 - x) = 30(y-
x)
，解得x =3 ，y =
6 
2 
9 ，15-9=6 ，即多出
6 万人，这6 万人要用
15 万人的
= 一
15 
5 . 
13. (1)设装卸工作需要工小时完成，则第一个人干了工叫，最后一个人干了? 小时，两人共干了
( x+~ ) 小时，平均每人千上( x + 三)小时，由题意知，第二个人与倒数第二个人，第三个人与倒数第三个
2 \ -
, 
4 ) 
1 f
工\
• _, 
'_",.' 
m 1 ( 
, x \ 
人，...... ，平均每人干活的时间也是τ ( x十τ ) 小时据题设，得τ l x + ~ ) = 1 0 ，解得户16( 小时) . 
(2) 共有y 人参加装卸工作，由于每隔
t 小时增加一个人，因此最后一个人比第一个人少干(y 一1) t 小
95 
咏
学科精英大视野系列丛书
_. 
食
食
女
食
，陆女
食
1号
食
I y=2 , l y =3 , Iy= 4 , Iy=5 , 
时按题意，得16 -(y - l) t = 16 X 士，即(y - l) t = 12 解此不定方Mlt= 12 ，lt=6 ，
it=4 ，(凹，
(二:
{立了' 材加的人数y=2 或3 或4 或5 或7 或1 3
5 
S 
14. 设A ，B ，C 三个微型机器人的速度分别为
u ，v 和切，圆形轨道周长是
5 ，则一::，_ = 2 , ::-=工= 2. 5 ，即
u- v 
u-w 
③，代入
②，解①和②，得u= ÷
工5 X60
10 
-v= 土，得u= 豆，故第
1 分钟时，A 围绕这个圆形轨道运动了一一一一=42( 圈) . 
10"---'-"""--"'--
'
~
-
' --_"-
s 
一
-
w
一
切
。
-
V
U
有
又
①
 
土= u- u-L= uw ，所以，ω -v = 土一_5_= 土
'2.5-'" 
"-"
"
1 .~
，
"-' 
v 
2 
2. 5 
10 
① 
② 
Ix + 3=n( v - 3) , 
15. 分别用工英镑和y 英镑代表保罗和詹妮所拥有的钱数. 于是，有r- : -
:~~ 
! y + n=3 (x- n) . 
由式①得x= η (y - 3) - 3 .
代入式②得y+ n=3 [η (y-3) -3 
ηJ =3ny - 12n-9 . 
_ y+9 
则
y + 9=3 ny - 13n ，f!r n 一-一一一一
3y 一13 '
因为η 是自然数，于是，(3y - 13)
1 (y +9) 斗( 3y - 13)
1 (3y +2 7 ) 斗(3y - 13)
1 [ (3y + 2 7) 一(3y-13) J 斗
(3y - 13) 140. 
通过枚举可得数据如表，其中"n。"表明不可能取值.
3y一13
1 
2 
4 
5 
8 
10 
20 
40 
y 
no 
5 
no 
6 
7 
no 
11 
no 
n 一_ -一y一+
一- 9一
7 
3 
2 
1 
3y-13 
工= η (y- 3) -3 
11 
6 
5 
5 
经检验，这四组解均合理.
从而，证明了
n = 1，2 ，3 ，7 为仅有的值.
用两个1 与a 相乘，其答案为a ，三个数均减小3 ，后应为( - 2 ) ' ( α - 3) = 4α - 1 2 ，令4α 一1 2 =
可以
a +2 0 1 6 ，得a = 676.
17.
本题涉及底面积、注水速度、注水时间，而解题的关键是在理解题意的基础上分类讨论.
可设甲、乙、丙的底面积分别为S ，4S 、S ，向乙、丙注水的时间为
t 分钟.因为每分钟同时向乙和丙注入相
16. 
同量的水，所以当注水1 分钟可求出丙的水位上升高度: " × ?= S × ~，解得h .，= 号，所以i.i 7]<. 1 分钟，丙
10 
的水位上升为τ cm .
设开始注入t 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0 . 5cm ，而甲与乙的水位高度之差是0 . 5cm 时有
三种情形:
(1)如图①，当乙的水位低T 甲的水位，且乙、丙中的水均未至遥远处时，此时tt= 05 ，解得t=?
( 2 ) 如图②，当甲的水位低于乙的水位，而丙中水至连通处，并溢出到乙中，且甲的水位不变时，此时
却9?〉
5 
，
~ " 1 0 
hrt'~ 
33 
4S X 1. 5+ S X 5= 4S X 了t + S X .~- t ，解得
t = 一
6 - ,-
3 -"., ,, -
20 ' 
( 七.a= m ) 
国①
因②
(第
17 题)
食，曾
食
女，峙
，传
女
食
4.5 
国③
第，, i井
怎样设元
(3) 如图③，当甲的水位低于乙的水位，而乙、丙中水至连远处，并溢出至甲中，此时甲的水位高为4 . 5cm ，
10 
._
，~ 
171 
即S X3 . 5 十4S X 5+ S X 5=4S X ~t + S X ~~V t ，解得t= 一一
40 . 
3 
c. 33 ,. 171 
综上所述，开始注入一或一或
分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0 . 5cm .
5 -" 20 -., 40 
18. (1) 248 或296
参见例
5 .
(2) B 
_ _.58. 5-a 
(3) 设甲种粗粮每袋的成本价为α 元，则一一一一一X 100% =30% ，解得α =45 元，·.· 甲种粗粮中A 粗粮的
α 
成本价为每千克6 元，:. B 粗粮和C 粗粮的成本价和为
4 5 - 6 X 3 = 27( 元) , :. 乙种粗粮的成本价为
6 +27X
b- 60 
2=60( 元) ，设乙种粗粮的售价为每袋b 元，则一一一X 100 % =20 % ，解得b=72 元，设甲种袋装粗粮的销售量
60 
为工袋，乙种袋装粗粮的销售量为y 袋，当销售利润达到24 % 时，则( 58 . 5x+7纠二(45工+60y~ X 100 % 
2.4 
8 
24% ，整理得2 . 7x= 2. 4y , )'!F ~ = 一一=
v 
2.7 
9' 
97 
、
吆
七巧板是我国民间流传最久的
一种拼板玩具，大约在一千年前的宋
代就已经盛行，在当今被誉称为"唐
图"( Tan gram) ，意思是" 中国的拼
板图"
七巧板是一种能分成
7 小块的
正方形拼板，用它可拼成很多几何图
形以及有趣的动物、人物、建筑物等.
，，~~川
~r涂，一
国
需12 i抖圃E击运剖
' 
. - _亨___ _.
行程问题是最为有趣而又多变的方程应用题的一种，其三要素是距离、
速度、时间.
行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题;按运动路线可分为直
线形问题、环形问题等，而相遇、追及是最基本的模型.
熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础;
而恰当设元，借助直线图辅助分析，巧用比例等是解行程问题的技巧.
例1
小王沿街匀速行走，发现每隔6 分钟从背后驶过一辆18 路公交
车，每隔3 分钟从迎面驶来一辆18 路公交车. 假设每辆18 路公交车行驶速
度相同，而且18 路公交车总站每隔固定时间工发一辆车，那么，发车间隔的
时间z 是
分钟.
( ((数学周报》杯全国初中数学竞赛题)
幡题思路
本题包含了行程问题中的相遇与追及两种情况. 设汽车的
速度为a 米/分，小王速度为b 米/分，则当一辆汽车追上小王时，另一辆汽车
在小王后面ax 米处，它用6 分钟追上小王;又当一辆汽车与小王相遇时，另
一辆汽车在小王前面ax 米处，它经过3 分钟与小王相遇，由此布列方程.
~0 
味
亚
意
利就
波
州
时
也
一
握
解
掌
于
孟
v
d
着
平均速度
1 937 年秋，科学
巨匠爱因斯坦收到一
封来信，朋友在信的
末尾给他出了一道有
趣的数学题: 一辆老
破车要翻过一座山，
上山、下山的路程各
为
1 英里，它上山时
的速度小于每小时
1 5 英里，问:下山的
速度要多快，才能使
平均速度达到每小时
3 0 英里?
&.\Gi\1"#:\ 
( 乞军细)
1与食，传
食食
，传
食，传
食
第
1 2
ì井
趣味运动
例2
如图，甲、乙两人沿着边长为90 米的正方形，按A→B→C→D→
A …… 方向，甲从A 以65 米/分的速度行走，乙从B 以72 米/分的速度行走，
精·乙主织
当乙第一次追上甲时在正方形的(
) . 
A. AB 边上
B. DA 边上
C. BC 边上
暗题思路
本例是一个特殊的环形的追及问题，注
意甲实际在乙的前面3 X 90=270C 米)处.
D. CD 边上
(安徽省竞赛题)
1! 
假IJ 3 
父亲和儿子在100 米的跑道上进行赛跑，已知儿子跑5 步的时间
父亲能跑6 步，儿子跑7 步的距离与父亲跑4 步的距离相等.现在儿子站在
100 米跑道的中点处，父亲站在100 米跑道的起点处同时开始跑. 问
: 父亲能
否在100 米的终点处超过儿子?并说明理由.
(重庆市竞赛题)
晤题思路
把问题转化为追及问题，即比较父亲追上儿子时，儿子跑的
路程与
5 0 米的大小，为了理顺步长、路程的关系，需增设未知数，这是解题的
关键.
例4
甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练:他们同时从同一
地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第
二圈跑第一圈时，乙的速度是甲速度的3 ，甲跑第二圈的速度比第一圈提
高了÷，乙跑第二圈时速度提高了÷，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一
次相遇点
19 0 米.问
: 这条椭圆形跑道长多少米?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
晤题里路
设跑道长
5 米，甲跑第一圈的速度是每分钟u 米，把两次相
遇时甲距出发点的距离分别用5 的代数式表示.
dJ嗦
事幅画'
冒'咽罩
例
3 是下面古代
问题的拓展.
马Z包5 步的时间
狗跑
6 步，狗跑
4 步
的距离与马跑7 步的
距离相等.马己跑出
5. 5 千米时，狗开始
追它，马再跑多远，狗
可追上马?
解题的关键是马
与狗的速度之间关系
的分析.
若两人同时相向
而行，则从开始到
相i道
:
(1)所用时间相
等，这是一个隐含的
等量关系;
(2) 所走的路程
之比等于速度之比，这
是解行程问题的一个
技巧，俗称" 比例法"
~~~、I~、
，传
，传食
，传
，传合
，传
食食
例5
甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑(假定三人均为匀速直线运动) , 
如果当甲到达终点时，乙距终点还有5 米b 丙距终点还有
1 0 米，那么，当乙到
达终点时，丙距终点还有多少米?
(北京市"迎春杯"竞赛题)
黯盟军路
为建立方程，需增设甲、乙分别跑完全程所需时间及乙、丙
的速度.
例6
甲、乙二人分别从A ，B 两地同时出发，在距离B 地6 千米处相
遇，相遇后两人又再继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达B 地、A 地
后，立刻返回，又在距A 地4 千米处相遇，则A ，B 两地相距多少千米?
("祖冲之杯"邀请赛试题)
堕主1
第一次相遇时，甲、乙两人
i 
I 
I 
I 
所走的路程之和，正是A ，B 两地相距的
(甲)A L___一;一一_J__________j B (乙)
路程，即当甲、乙合走完A ，B 间的全部路
卡
程时，乙走了6 千米. 第二次相遇时，两人
② 
① 
合走的路程恰为两地间距离的3 倍(如图，图中实线表示甲所走路线，虚线表
示乙所走路线) ，因此，这时乙走的路程应为6 X3= 1 8( 千米) . 
考虑到乙从B 地走到A 后又返回了4 千米，所以A ，B 两地间的距离为18 -
4 = 1 4( 千米) . 
壁主2
甲、乙二人同时动身，相向而行，到相遇时二人所走时间相等，
又因为二人都做匀速运动，应有: 二人速度之比等于他们所走路程之比，且
相同时间走过的路程亦成正比例.
到第一次相遇，甲走了(全程- 6) 千米，乙走了6 千米;
到第二次相遇，甲走了( 2X 全程- 4) 千米，乙走了(全程十4 ) 千米.
设全程为S ，易得到下列方程二L 兰兰，
6 
05+ 4 ' 
解之，得sl = 14 ，s2=0( 舍去) , 
所以A ，B 两地相距14 千米.
晴洁3
设全程为5 千米，甲、乙二人速度分别为V I
，V2 • 则
!ι」
V 1 
V 2 
205-4 
s 十4
V 1 
V 2 
① 
② 
封;二J
学科精英大视野系列丛书
例
6 似乎缺少条
件，充分运用"同时"
"匀速'''' 两次相遇" 等
隐、含的条件，就为解
题铺平了道路，解法1
是算术法，解法2 是
比例法，解法
3 是增
设辅助未知数.
一题多解，沟通
了知识的联系，揭示
了问题的深层结构.
需要注意的是，
算术法有自身的优
点，是学习数论与组
合数学的基础，不能
因学习代数方法，而
将算术法完全摒弃.
1::\';:'、
.1::\
( 仁革理)
s-6 
6 
①÷②，得一一一- --一，
205-4 
s+4' 
解得
05 =14 或s = O( 舍去) . 
让「黄r
.，曾
订食
，传
例7
8 个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4 人
(不包括司机) ，其中一辆小汽车在距火车站15 千米的地方出现故障，此时，
距停止检票的时间还有42 分钟，这时，唯一可利用的交通工具是另一辆小汽
车，已知包括司机在内这辆车限乘5 人，且这辆车的平均速度是60 千米/时，
人步行的平均速度是5 千米/时，试设计两种方案，通过计算说明这8 个人能
够在停止检票前赶到火车站.
(全国初中数学竞赛题)
笠堕些些
有以下设计方案: (1)当小汽车出现故障时，乘这辆车的4
个人下车步行，另一辆车将车内的4 个人送到火车站，立即返回接步行的4
个人到火车站;(2) 当小汽车出现故障时，乘这辆车的4 个人先下车步行，另
一辆车将车内的4 个人送到某地方后，让他们下车步行，再立即返回接因汽
车出现故障而步行的另外4 个人，使得两批人员最后同时到达车站.
对于方案(1) ，设乘出现故障汽车的4 个人步行的距离为工千米，列方
1 5 十1 5 一
/.'"
30 
程，有三=
工，解得x = 一，因此，这8 个人全部到达火车站所需时
5 
60 
"
"".
~ 13 
(，~ 30\. ~~ 
35 
间为→-:-5 + r 1 5 一- i -760 =-( 小时) =40 ，~~ ( 分钟) < 42( 分钟) , 
飞
13)
- -
52 "'" ' - 13 
故此方案可行.
对于方案(2) ，两批人员步行的距离相同，如图所
♂ F 
D 
B 
示，D 为乘无故障汽车人员下车地点，
C 为乘有故障故障点
火车站
汽车人员再次上车地点因此，设AC = DB = y ，列方程，有专=
15-v+ 15-2v 
J 
J ，解得y =2. 因此，这8 个人同时到达火车站所需时间为τ +
15- 2 
37 
= ~~ ( 小时) = 37( 分钟) < 42( 分钟) ，故此方案也可行.
60 
60 
环形运甜
环形运动是一种在封闭的状态下进行的特殊运动. 若同向运动时，则是
一个追及问题;若反向运动时，则是一个相遇问题.
化圆为直，化陌生为熟悉，运用直线图分析环形运动这是解相关问题的
本质的策略.
例8
如图，已知一周长为
30cm 的圆形轨道上有相距
A~B 
1 0cm 的A ，B 两点( 备注: 圆形轨道上两点间的距离是指圆上
r 
1 
这两点间的较短部分展直后的线段长) . 动点P 从A 点出发'
\_
/ 
以acm/ s 的速度，在轨道上按逆时针方向运动;与此同时，动点Q 从B 点出
发，以3cm/ s 的速度，按同样的方向运动. 设运动时间为
t (s) ，当t=5 时，动
点P ，Q 第一次相遇.
注:也
* 第
12 讲
趣昧运动
人车同时出友，
若人车同时到达目的
地，则时间最短，而关
键在于平等地使用交
通工具，这样乘车路
程相等、步行路程也
相等，这是隐含的等
量关系.
"俱怀逸兴壮思
飞，欲上青天才览明月
"
1 894 年，匈牙利
教育部组织了第一届
中学生数学竞赛，这
是真正数学竞赛的开
端. 数学竞赛为匈牙
利造就了一大批世界
著名学者. 计算机之
父冯
· 诺伊曼、原子
弹之父泰勒、航天之
父冯
· 卡门、波利亚
等都是数学竞赛的优
胜者.
~~~、
食，传
女
食
，传为
食
食女
(1)求a 的值;
(2) 若α>3 ，则在P ，Q 第二次相遇前，当动点P ，Q 在轨道上相距12cm
时，求t 的值.
蹄题思路
化圆为直，由直线图中的线段关系布列方程. "P ，Q 第二次
相遇前"是怎样的含义?故全面讨论是解题的关键.
中
一
。
"
1. 如图，正方形ABCD 的周长为40m ，甲、乙两人分别从
A ，B 同时出发，沿正方形边行走，甲按逆时针方向每分
钟行35m ，乙按顺时针方向每分钟行30m. 如果记号(α ，|| 
的表示两人出发后已行了αmln ，并相遇过b 次，那么，当
a • 
两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，
(中)
--- 8 
对应的记号应是
(乙)
(第1 题)
(江苏省竞赛题)
2. 在一条笔直的公路上，某一时刻，有一辆客车在前，一辆小轿车在后，一辆
货车在客车与小轿车的正中间同向行驶. 过了
10 分钟，小轿车追上了货
车;又过了
5 分钟，小轿车追上了客车;此后，再过t 分钟，货车追上了客
车，则t=
("希望杯"邀请赛试题)
3 . 点A ，B ，C 是一条直路上依次排列的三点，其中A 与C 相距1800 米.艾娜
的速度是伊芙的两倍，保罗的速度是艾娜的两倍. 三人同时出发，其中艾
娜从A 跑向C ，保罗从B 跑向C ，伊芙从C 跑向A . 当保罗与伊芙相遇时，
保罗调头跑向A ，然后保罗与艾娜恰好在B 点相遇，则A 到B 的距离
为
(美国数学竞赛题)
4 .
甲、乙两个同学从A 地到B 地，甲步行的速度为每小时3 千米，乙步行的
速度为每小时5 千米，两人骑自行车的速度都是每小时15 千米.现在甲
先步行，乙先骑自行车，两人同时出发，走了一段路程后，乙放下车步行，
甲走到乙放车处改骑自行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达B
地，甲走完全程的平均速度是
千米/小时.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
5.
甲、乙两个机器人同时按匀速进行100 米跑道测试，自动记录仪显示:当甲
距离终点1 米时，乙距离终点2 米;当甲到达终点时，乙距离终点1. 01 米.
学科精英大视野系列丛书
爱因斯坦质能方
程E=m/ 被称为"最
有名的方程"，奠定了
原子理论的基础.
CA~、，Ci\
( 仁革应)
力量r
食
食，传
，传
大食
食
第
12 讲
趣昧运动
经过计算，这条跑道长度不标准. 则这条跑道比100 米多了
米.
(江西省南昌市竞赛题)
6. 某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个
路段上行驶的平均速度分别为V 1
，吨，叫，则该汽车在这段公路上行驶的
平均速度为(
) . 
A . ~1 +VZ 
+V3 
3 
C . _ 
1 
1 , 1 , 1 
+-=-+ 
V 1 
Vz 
V 3 
l
一
叫
一
-l
一
+
一
一
十
l
一
旦
3
3
-
1
一
+
一
一
+
l
-
1
-
1
一
. 
. 
BD 
V 1 
V z 
V 3 
(夭津市竞赛题)
7.
甲、乙两运动员在长为100m 的直道ABCA ，B 为直道两端点)上进行匀速
往返跑训练，两人同时从A 点起跑，到达B 点后，立即转身跑向A 点，到
达A 点后，又立即转身跑向B 点……若甲跑步的速度为5m儿，乙跑步的
速度为4m/ s ，则起跑后100s 内，两人相遇的次数为(
). 
A. 3 
B. 4 
C. 5 
D. 6 
(浙江省台州市中考题)
8.
甲乙两人同时从A 地出发沿同一条线路去B 地，若甲用一半的时间以
α 千米/时的速度行走，另一半时间以b 千米/ 时的速度行走;而乙用α 千
米/ 时的速度走了一半的路程，另一半的路程以b 千米/时的速度行走
(α手的，则(
) . 
A. 甲先到达B 地
C .
甲、乙同时到达B 地
B.
乙先到达B 地
D .
甲、乙谁先到达不能确定
(天津市竞赛题)
9. 如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点A
，C
A二一+ 甲
D 
同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，
1
I 
乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4
I 
I t 乙
倍，则它们第2007 次相遇在边(
)上
R
J 
D 
C 
A. AB 
B . BC 
C. CD 
D. DA 
(第9 题)
(湖北省黄冈市竞赛题)
10 .
甲、乙两人沿同一路线从A 站骑车(匀速)到B 站，甲要用30 分钟，乙要
用40 分钟. 如果乙比甲早出发5 分钟去B 站，则甲追上乙时，是甲出发
后的第(
) . 
A. 12 分钟
B. 13 分钟
C . 1 4 分钟
D. 1 5 分钟
C" 希望杯"邀请赛试题)
11 .
甲、乙、丙三辆车都匀速从A 地驶往B 地. 乙车比丙车晚5 分钟出发，出
发后40 分钟追上丙车;甲车比乙车晚20 分钟出发，出发后
10 0 分钟追
上丙车，问:甲车出发后多少分钟追上乙车?
(全国初中数学竞赛题)
~~CA 
过。结
食
，传
齿
，传
，传
食
食
，传
为
12.
老师带着两名学生到离学校33 千米远的博物馆参观.老师乘一辆摩托
车，速度为25 千米/ 时，这辆摩托车后座可带一名学生，带人后速度为
20 千米/ 时，学生步行的速度为
5 千米/ 时.请你设计一种方案，使师生
三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3 个小时.
13 . 如图，甲、乙、丙是三个站，乙站到甲、丙两站的
甲
距离相等.小明和小强分别从甲、丙两站同时
出发相向而行，小明过乙站100 米后与小强相
("希望杯"邀请赛试题)
乙丙
(第13 题)
遇，然后两人又继续前进，小明走到丙站立即返回，经过乙站后300 米又
追上小强，问:甲、丙两站的距离是多少米?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
14.
甲、乙两车从A 向B 行驶，甲比乙晚出发6 小时，开始时甲、乙的速度比
是4 : 3. 甲出发6 小时后，速度提高
1 倍，甲、乙两车同时到达B. 问:甲
从A 到B 共走了多少小时?
("希望杯"邀请赛试题)
15. A ，B 两地相距
13. 5 千米，甲、乙两人分别从A ，B 同时出发，各在A ，B
间往返一次，甲比乙先回到出发地，两人第一次在C 地迎面相遇，第二次
在D 地迎面相遇，从出发到两人第二次相遇经过的时间为3 小时20 分
钟，若C ，D 两地相距3 千米，求甲、乙两人的速度.
("希望杯"邀请赛试题)
16. 一只野兔从树林里跑出，并沿直线方向奔向一片多刺的灌木林.在到达
灌木林的中途，野兔突然碰上荆棘冉的速度减慢到原来的?当兔子跑
到距离灌木林还有50 米时，一只狼从树林同一地点跑出，来追赶兔子.
当兔子跑到灌木林时，狼离它还有10 米.如果已知狼总是以兔子开始时
的速度奔跑，试问从树林到灌木林的距离是多少米?
(莫斯科大学数学力学系入学考试题)
(ax=6( α 一的，
例1
4 l 
两式相减，得α =3 b ，代入得x =4 .
I ax=3( α + b) , 
例2
B 乙第一次追上甲用了半分钟，72 X 学=7 X 360+2 手X90
学科精英大视野系列丛书
黯
………
…一….. • 
例3
设儿子每步跑z 米，父亲每步跑y 米，单位时间内儿子跑5 步，父亲跑6 步.设t 个单位时间父亲追
上儿子，则有5tx 十50=6ty ，把4y=7x 代入得5tz+50=6t -LL 解得tx= 旦旦则赶上时，儿子跑了5tx=
4 ~'"'' 
，.，"~ 
5. 5 ' 
50 ,, _ 
50 
5-. -5 X 5= 亡}-<50 ，故父亲能够在100 米的终点前赶上儿子.
在;3
大，曾
食
食，传
食
~食
，传
第
12
ì井
军
趣昧运动
s 
8 
2s 
3 
设跑道长
5 米，甲第一图的速度是每分钟u 米，则乙第
锣IJ 4 
第二次相遇处
出发点
一圈的速度为Zu ，甲第二圈的速度为主V ，乙第二图的速度为
3 
÷ (1 + t
) u=fu 
第一次相遇处
3 
3
。
两人第一次相适时，甲跑一-;-::- s = --=- s
乙屹立S ，乙跑完第一圈
2 + 3 ., 
5" , ~ 
~CJ 5 
2 
时甲跑完一圈多ls
主v X 生v = 主5 第二次相遇处甲E巨出发点二二王二× 土u一土s
3"' 3 v"
3 v 
3"'''''_ '^" '' <I-'''l- '''-.T .I'''-i.U-'''.,,_,, 4 
, 4 ^ Sv= 8 
τ v's 
因为甲跑第二图的方向和第一圈相反，所以两次相遇的地点相差(如图)立5 - iz=190 米，从而5=400 米.
5' 
8 
U 乙
19
设甲跑完全程需时
t 1 '则
V'- t 1 = 95 , V'" t 1 = 90 , v: = î8 '又设乙跑完全程需时
t 2
' 则
U 乙
t 2 = 100 , 
例5
18 
1800 
., _, _ ~ .• 
~ ., " _ _ 
1800 
_ 5 
to=-::-::V. 
t o = →一，此时丙离乡轧占为
10 0 一一: - = 5 "~_ (米)
19
己
2
19';-...... .1 
F -1 
I-J ""'..…
19 
~ 19 
(l )a = l 或α = 7 .
(2) ①在第一次相遇前，如图①，刚开始不久
，3t + 12 = 10 + 刀，t = 0. 5 .
②如图②，第一次相遇前
，A 在B 后面，相距20cm 的追及模型
，7t + 12 = 3t + 20 ，t = 2.
例8
③如图③，第一次相遇后，也就是在5 秒后，又过了
t 秒，这时快的点P 在前面，
7t - 3t= 12 ,t = 3 , 5+ 3 = 8. 
④如图④，在5 秒后，又过了
t 秒，可以理解为相距30 cm 的追及模型
，A 在后面.
30 + 3t= 7t+ 12 ,4t = 18 ,t = 4. 5 ,5+ 4. 5= 9. 5. 
ι
C
P
 
故
t = 0. 5
，2
，8 或
9 .5.
口
'
-
A…-
Q
一
二
匀
B 
B
• 
。
ρ
'
 
回②
l---
出
因①
应1 (4)
(例8)
国③
• • 
1. (6 , 10) 
出发后每2 分钟出现一次两人同时到达顶点，当
a = b 时，甲在B 点，乙在D 点.两人第一次
相遇是在所行路程之和为
10m 时(AB 边上) ，以后每当行程之和达到40m ，又相遇一次，而
6min 两人行程之
1 。也
和为390m ，如= 1 十(鸣叫= 1 + 9 = 10
* 
为
女
食
人
X
占
用
学科精英大视野系列丛书
食
食
食
2. 15 
设在某一时刻货车与客车、小轿车的距离均为
5 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为
a ，b ，c
千米/ 分，由题意知，从货车在客车和小轿车的正中间，到货车追上客车共需10+5 十t= (l 5+t)( 分) ，于是
10(a 一的= 5 ，
① 
15(α - c) =2s ，
② 
(1 5+ t) (b - c) = s.
③ 
由①、②得30(b- c) = s ，代入③得15 + t = 30 ，故
t = 15. 
3. 800 米
设伊芙的速度是u 米/ 秒，则艾娜的速度为
2v 米/ 秒，保罗的速度为
4v 米/ 秒.再设AB =
1800- x 
z 米，则BC= (1800- x) 米.保罗出发后与伊芙相遇，用时一一一一秒，再回到B 也需要同样的时间.于是，依
5v 
1800-x 
~ 
x 
题意有一τ一一.2= 一，解得x=800. 所以A 到B 的距离为
800 米.
;)v 
V 
4 于设甲步行z 千米，骑车y 千米，则乙骑车z 千米，步行y 千米由?十元=去+号，得卢工，故甲
I x 
1 Y \ 一.
7 
45 
的平均速度是(x+y) -;.-{ -:- + /~ 1 = 3工-:- :-::-x = 一千米/ 时. 
.)' / . \ 3 '15 1 
~~. 15 ~ 
7 
5ι. 1 
设跑道实际长为Z 米，甲、乙两个机器人的速度分别为U
问甲
，v飞乙，甲z距巨离终点
l 米时，所花的时间为
t呻，!i!圳则1) V'-川t=x-2 ，于是，β
旦
v 'f' = ζ; 又设甲到达终点M时所花的时间为
v 乙
二』ιLρ, 
v ., 
x 
. x 一
l
-=--.!....=一一一一一由一一二=一一一一一，得x=101 米­
U 乙
Z 一1. 01'.....x-2
x- 1. 01 
6. D 
7. B 
200 
_.. _ . '-.. .. ._ _. 
__ 
. _ . _.. 200 
,._ 
. 
_ _ _ . 200 
甲、乙第一次相遇所用时间为一;-S ，因为两人匀边往:i.i跑，所以两人每过丁一s 相遇一次，100 -;.-可一=
9 
4.5. 
。、
2s
8. A 
设A ，B 两地相ìté s 千米，则甲走完全往所用的时间为一一乙走完全程所用的时间为一十一=
α + b' "-"/,- ./LJ
..L. 'I~~JI ~I ".."...
.J ,-., / :/ 2α
2b 
s(a+b) ~ 2s 
s(a+ b) 
s(α - b) 2 
一一一一，因一一一一一一一= 一一一一一一< 0 ，故甲所用的时间少.
2αb 
'~a +b 
2ab 
2ab(a+ b) 
9. C 
甲、乙第一次相遇在AD 边上，第二次相遇在DC 边上，第二次相遇在C 点，第四次相遇在BC 边
上，第五次相遇在AB 边上，第六次相遇在AD 边上的第一次相遇处.因
2007 -;.- 5 = 401 …… 2 ，故第
2007 次相
遇在边DC 上.
10. D 
1 1.设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x ，Y ，Z 米，由题意知，45z = 40y ，125z= 100x. 
消去z ，得.y= 旦
J 
10 
设甲车出发后t 分钟追上乙车，如1) tx = (t +川，即tx = 川哈工解得时80
12. 要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计方案如下:
学校!
… 
!博物馆
设学生为甲、乙二人，乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让
(甲)师厂一一午一一寸t…叶甲
甲步行，老师返回郁，然后老师带乙乘车，与步行的甲同时到达博物馆.
乙「一…--寸←一辆
| 
I 
r
… 
寸乙
设老师带甲乘摩托车行驶了Z 千米，用了元，J、时，比乙多行了是x
(乙)师
' 
(第
12 题)
αo-5)=74 千米)
这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了二x-;.- (25+5) =三( 小时) . 
4 ~ . 
，- ~ ，~
/ 
40 
也
( 乞革!bl )
û 
*
食
食
，传
食
食，曲
，传
第
12
i井
趣昧运动
乙遇到老师时，已经步行了(王+王) X 5 = 立工(千米) ，离博物馆还有33一÷川米)
\ 20 ' 40 I ' . ~ 
8 
要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路削相同，则有工=3 3 一←，解得工=24
即甲先来摩托车行24 千米，用时1. 2 小时，再步行9 千米，用时1. 8 小时，共计3 小时.
因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3 个小时.
13. 设甲、丙两站之间的距离为5 米，则小明在和小强第一次相遇时，走了土+100 米，从相遇到追上小
2 
强，走了÷
100+ 土+300=s+200 米，正好是土+ 100 的两倍小强在第一次相适时，走了÷一100 米，从相
2 
遇到被小明追上，走了100+3加400 米，这应当是÷-100 的两倍，由2(÷一叫=400 ，得s=600 米
14.
设甲出发6 小时后再用
t 小时即可追上乙，甲原速为
U ，乙速为
V. 则当甲出发行驶6 小时时，乙已行
(6 + 2t) u 
，~， ~ ,,, 4 
驶了
12 小时，故有C12 + t) v=6 u + 2tu ，即
1 2 十t = '~
'
-"'- = (6 + 2t)X~ ，:. 36 +3 t = 24 + 缸，解得
t =2 . 4 ，
V 
- -.. 3 
从而甲从A 圭IJß 共走了
6 +2 . 4=8.4( 小时) . 
15. 如图所示，第一次在C 地相遇时，甲、乙两人所走过的路程和为
「一一一一
13.5千米一一一「
AI
D 
CID 
AB ，其中甲走过的路程为AC; 第二次在D 地相遇时，甲、乙两人所走过
/1 ~二
___ ., /e 
.D 
的路程和为3AB ，其中甲走过的路程为AB + BD.
t扫一x千米
3千米
←乙
由于甲比乙的速度快，所以D 在C 的左面，且有AB 十BD =3AC ，
设AD=x 千米，则有13.5 +03 . 5- x)=3( 工+3) , 
解得x =4 .5.
则AC= x十3= 7.5( 千米) ,BC= 13.5 一7. 5=6( 千米) . 
所以V甲
:V乙= 7. 5
: 6=5 : 4 
(第15 题)
10 
设V甲=5α 千米/ 时，则V 乙= 4a 千米/ 时，从出发到两人第二次相遇时用了
3 小时20 分钟，即τ 小时，两
人共走了3AB =3 X 13.5=40. 5( 千米) . 
10 
所以(V甲+ v乙) X τ=40 . 5 ，
flr 5a 十4α = 12.15 ，
a= 1. 35. 
故V甲=5α = 6.7 5 ( 千米/ 时) ,V L. = 4a=5. 4( 千米/ 时) . 
16.
以
5 表示从树林到灌木林的距离(米) ，以u 表示兔子原来的速度(米/ 分钟) . 狼追赶兔子的速度也是
V( 米/ 分钟) .可能有2 种情形.
(1)设从树林到灌木林的距离大于或等于100( 米) ，则兔子到达荆棘地后，狼从树林里跑出.这表示兔子以
50 
75 . ., 
LL
' 
J~ J.. .,‘
75 
速叶(…
U 
l
一::-V
I
\ 3 - I 
它跑到灌木林还剩下10( 米) ，可断言，从树林到灌木林的距离等于8 5( 米) ，违反我们的假设.说明这种情形是不
可能的.
(2) 因而从树林到灌木林的时小于100( 米) 这表示，由狼看来兔子以速度时米/分钟) Jf包了
50 一÷
50-: 
: 
(米) ，以速度÷叫分钟)跑了剩下的土(米) ，用在最后川的时间是丁三十主(分)
2 
3 
s 
, 3s
~
. I." 
l' h 
1.1./9... ^ 
5 
，
3s 一
在这段时间内，狼以速度V( 米/分钟)跑了
50一言+ τ( 木) ，按条件得50-E+τ =s- 10 ，解得s= 80( 米).
也给
"'~~A 
秦九韶
，南宋时期著名数学家，(( 数书九章》是他
的代表著作，他对" 大衍总数术"(一次同余方程组解
法) 和" 正负开方术" (高次方程的数值解法) 的研究
，
取得卓越的成果. 美国科学史家萨顿说
" 秦九韶是他
那个民族、那个时代，并且确实也是所有时代最伟大
的数学家之一
"
qFX?……
国
胃口嗣
二元-JX 商量里组
E
. -----… 
'
知能隙遮
"消元"是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为
一元一次方程来解，而代入法、加减法是消元的两种基本方法.
解未知数系数较大、方程个数较多、含绝对值符号等复杂的方程组时，常
用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、换元转化等技巧方法，这些技巧方法的运
用是建立在对方程组系数特点的观察和对方程组整体特征的把握基础上的.
'
问题幡决
(x-y=2 , 
例1
若m 使方程组1
的解工，γ 的和为
6 ，则m =
Ix+ 2y = m - -
~ 
(湖北省黄冈市竞赛题)
瞄题思路
用含m 的式子分别表示x
，y ，或运用x+ y = 6 ，把原方程组
转化为二元一次方程组.
ifð 
与静巳主3费
事'回哥
哥-ι
解题一一就是意
味着把要解的问题化
归为已经解决过的
问题.
一一雅诺夫斯娅
巧测智力
有一次，一位美
国心理学家出了这样
一道题来测验爱因斯
坦的智力
: 把一个正
方形分成
16 个小正
方格，每个小方格分
别有苹果、梨、菠萝和
香蕉四种水果(如
图)
，小方格的右边和
下边分别是4 行小方
格和4 列小方格水采
的总重量，要求很快
算出左边第一列的水
采重量. 爱因斯坦很
快得出结采，你能解
答吗?
? 
19 
20 
30 
~~~ 
( 七军级)
~.食
食
女，传
，曾
女*
食
第
1 3 讲
二元一次方程组
19IJ 2 
若
4x -
3y -
6z = 0 , x + 2y -
7z = 0 (xyz 手0) ，则代数式
5x2+2'/_Z2 
9 
7 
Z 少的值等于(
) . 
2扩- 3y ι
10z '
19 
A . 
2 
B. 
'2 
C. - 15 
D .
一1 3
(全国初中数学竞赛题)
静题思路
视z 为常数，解关于工，y 的方程组.
例3
解下列方程组
:
( 199 5x 十1997 '\1 =5989
，
(1) ! 
11997x+ 1995y=5987; 
(北京市竞赛题)
5-6
7-M3
-4 
一
一
一
一
一
一
-z-z-y 
l
一
+
1
一
十
l
一
+
-y
-z-z 
+
+
十
-y-z-x 
l
工
l
l
-
4
ll
一
+
-z-Y-z 
(湖南省湘潭市竞赛题)
( x] 十x 2 - 工2+ X3= X 3 十叫= … =工]997 + X]998 =X]998 十工1999= 1
，
(3) ! 
1x ]+x 2 + … +x]刑十X l999 = 1999. 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
1 
1 
晤题思路
对于(1) ，运用整体叠加法解;对于(2) ，分别视Z丰3'7丰三'
」一为整体，引人字母简化问题;对于(3) ，从寻找工1
' 斗斗… ，XI 997
，XI 999
Z 寸-X
及工2 '工4
，矶，…
，X 1则
，工1998 彼此间的联系入手.
1 0毡
所谓" 整体叠
加"，就是说在解一些
复杂的方程纽时，若
方程组中未知数的系
数有规律可循，可直
接把方程相加或相
减，而不必拘泥于一
般意义上的代入法、
加;或法，就能达到简
化方程组的目的.
解数式结构复杂
或字母个数过多的问
题时，把某一部分看
成一个整体或用一个
新字母代替，从而达
到化繁为简的目的，
这就是换元法，恰当
地运用换元法，能简
化问题结构形式，突
出问题的本质特征.
。忠、i~~
* 
食
，传
食
例4
' 解下列方程组:
Ilxl + lY
l =可，
(1) ! 
-
12 1xl-31yl =-1; 
(2) f Ix+ yl =1, 
l lx l+2 Iyl=3. 
食
齿
，传女
女
(四川省竞赛题)
( ((数学周报》杯竞赛题)
壁堕壁堕
对于(1) ，解关于Ixl
，ly
l 的方程组;对于(2) ，若逐一讨论，
则较繁，利用绝对值如下性质转化问题:当xy二三0 时，Ix+y
l = Ixl + Iyl; 若
xy<O 时，
I x+yl = Ixl-Iy
l 或Ix + yl = Iy
l 一
I xl .
IV = 走z 十b ，
①
例5
走，b 为何值时，方程组! J 
四
(y= (3走一l) x + 2 .
② 
(1)有唯一一组解;(2) 无解;(3) 有元穷多组解.
。壁墅翌堕
通过消元，将方程组的解的情况讨论转化为一元一次方程
解的情况讨论.
例6
已知关于x ，y 的二元一次方程(α - l) x+ (α 十2)y +S -2α=0 ，
当α 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解.你能求出这个
公共解，并证明对任何α 值它都能使方程成立吗?
(天津市竞赛题)
壁主1
令α = 1 ，得3y十3 = 0 ，令α =- 2 ，得一3x十9 = 0.
由(川=己。;mi;=3 ，
(z=3 ，
导!
则r -
, 
就是所求的公共解.
-3x 十9
唱
i
一
)
(y=- l; 
l y 一→1.
将x=3 ，y = - 1 代人原方程，得3(a - 1) -(a 十2) 十5 →2a=0 ，
整理得o
. α = 0 . 
这表明无论α 取什么值，方程总能成立.
壁主2
将方程按α 整理，得( x十y-2)a=x-2y-S.
因为这个关于α 的方程有元穷多个解，
立〉
学科精英大视野系列丛书
恰当去掉绝对值
符号，是解绝对佳方
程纽的关键，常用到
绝对值几何意义、绝
对值性质、分类讨论
等知识方法.
怎样理解并运用
条件"当α 每取一个值
时就有一个方程，而这
些方程有一个公共
解"?这是解例
6 的关
键. 解法
l 用赋值法，
解法2 将问题转化为
"关于α 的一元一次方
程解的讨论"
~~~ 
食
'匠
〈七革但)
1号女
女，传
A u 
'眨
食
第
13 讲
二元一次方程组
Ix + v-2 = 0 . 
ry =.1 . 
所以有! --
J 
-
-，
解得!中
~ , 
Ix-2y-S=0. 
ty=- 1. 
由于工旷的值与G 的取值无关，所以，对于任何的ω 值，方程组有公共
解f x=3 ，
ty=- 1. 
例7
已知鸟
，岛，鸟，… ，工"中每一个数值只能取
2 ，0 ，1 中的一个，且满
足X j +Xz+ … 十工，，=-17 ,x î +乓+ … +乓=37 ，求工:~+X ~ + … 十乓的值.
("华罗庚金杯"香港中学数学邀请赛试题)
主堕里壁
只需求出一2 ，1 的个数即可. 因不论有几个X i 取0 ，都不影
响丘+X~ + …+乓的值，故不妨设有p 个工2 取
l，q 个X i 取- 2 ，则
C-2q=lc= 1 , 
解得!
ρ 十4q=37
，
_.. -. Iq=9. 
故原式= 1 X 1 3 +9X ( 一2) 3 =一7 1.
叠加、
叠重
叠加、叠乘是指解系数有特点的方程组时，不拘泥于一般意义上的代入
或加减，而是从整体上把方程组中的几个方程相加(或相减)或相乘，从而达
到简化方程组的目的.
例8
能否找到7 个整数，使得这
7 个整数沿圆周排成一圈后，任
3 个
相邻数的和都等于29? 如果能，请举一例;如果不能，请简述理由.
晤盟军路
假设存在7 个整数a l
，a 2
' 句
，a 4
，a 5
' α 6
' a7 
排成一圈后满足题意.由此展开推理. 若推出矛盾，则原假
设不成立.问题的关键是: 面对多元、多个等式，怎样处理?
t飞〉刻意练习
("华杯赛"试题)
12a - 3b= 13 , 
.._ 
(a =8. 3 
1. 已知方程组!
的解为
r-
- .
-
则方程组
13a+Sb=30.9 , 
lb= 1. 2 
J 
的解是
{ ~川) 一3 (v-1) = 13 ，
3(x 十2) +S (y- 1) =3 0 .
9
，
一一一一一
(山东省枣庄市中考题)
{ 2工-ay = 6
，
2 .
已知关于X'.Y 的方程组!
的解是整数，α 是正整数，那么α 的
J 
-
-
/
-
.- -
1 4x 十y=7 .
值为
(北京市"迎春杯"竞赛题)
41桂
条件的不同理
解，条件的多重表示，
是一题多解的基础.
类似地，请读者
思考下面问题
:
如图，在六边形
的顶点处分别标上数
1，2 ，3
，4 ，5
，6
，能否使
任意三个相邻顶点处
的三数之和大于
9?
大于
1 0?
若能，请在
图中标出来;若不能
，
请说明理由.
I::\I"A、~
学科精英大视野系列丛书
食
食
1守
节峙
食* 
食
女
食
( I x+ γ| 十Ixl=4 ，
3 .
方程组!' -- . J 
的解共有
组.
12 1x+ yl + 31x l =9. 
一一一一一
(" 五羊杯"竞赛题)
4.
已知对任意的有理数α ，b ，关于工，y 的二元一次方程(a-b)x一(α+b)y= α +b
有一组公共解，则公共解为
(江苏省竞赛题)
①
②
③
④
⑤
⑥
 
S. 已知有理数α ，b ，c ，d ，e ，f 满足方程组
2α +b+c+d+e十f=20 ，
α +2b十C十d 十e+ f=40 , 
α +b+2c+d+e+ f=80 , 
α +b+c+2d+e+ f=16 0 , 
α +b + c + d+2e + f = 320 , 
a+b十c+d 十e+2f= 640.
则f-e+d-c+b-a 的值是
("新知杯"上海市竞赛题)
(x+ay+ 1=0 , 
6. 关于工，y 的方程组!
有无数组解，则a ，b 的值为(
l bx - 2y 十1 = 0.
B. a = -2 ,b= 1 
D. a=2 ,b=1 
("希望杯"邀请赛试题)
A . a = O,b= O 
C. a=2 ,b=-1 
( a 十2b十3c=0 ，
"，.，ab + bc+
α 
7. 设非零实数α ，b ，c 满足!
则
?
I
: ~ -:; = ( 
1 2a 十3b+4c = 0 .
α Z + bz + c 
D. 1 
1 
2 
C. 
B. 0 
1 
2 
A. 
(全国初屯数学竞赛题)
8 已知三个扣，b ，c 满足羔=t ，元;= 士，主=t ，凡JZμ 的值
l 
6 
为(
D-i 
20 
c
三
15 
B i 12 
A. 
(全国初中数学竞赛题)
已知i 十一L=i i + -L = i 
l + -L=i ，则主+ 立十
31+z2'y z+z3' z 
z+y4
z 
y 
生(
z 
9. 
5 
2 
D. 
C . 2 
3 
2 
B. 
A. 1 
(全国初中数学联赛题)
(x+ 3v= 3, 
)对有序数对(工，y) 能满足方程组1 ~ ，
I vy 
l ll xl- Iyll = l. 
D. 4 
E. 8 
10.
有(
~~~、
(美国数学竞赛题)
封二!
C. 3 
B. 2 
A . 1 
飞'~'
4旨
才过
4岐
4盹
* 
( 七a: m ) 
可k
女
第
' 3
t井
1 1. 设a l
' 句，…，a 2014 是从1，0 ，一l 这三个数中取值的一列数，若
al + 
a 2 十… + α 2014 = 69 , (al + 1) 2 + (a, + 1) 2 十… + (a 2014 + 1) 2 =400 1 ，问α 1 , 
句，… ，向014 中有多少个0 7
(江苏省扬州市中考题)
1 2 . 解下列方程组
:
I
l xl + γ=12
， 
(1) ! 
~ 
\ x+ Iyl =6. 
( (( 数学周报》杯全国竞赛题)
r( x+y)( 工+z)= 1 5
，
(2) i (y+z)(y 十x) = 18 , 
L (z 十工) (z + y) =30. 
(青少年国际城市数学邀请赛试题)
1
-oo-
-7 
一
一
一
一
-Y-y 
-
9
μ
-
n
J
 
一
十
叩
一
十
,-x-z 
-
q
气
u
-
n
/
U
r
l
t
t
l
t
l
d
，
t
t
t
i
t
i
-
-
、
内
〈
U
("五羊杯"竞赛题)
AUAU 
今
缸
，
。
，
u
h
山
-
m
-
2
一
一
一
一
一
一
一
-
z
z
z
zqu7'qu 
F
丁
+
十
十
」
-
Y
Y
Y
V
J
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ω
0
0
勺
d
丁
+
+
+
」
l
z
z
z
z
々
t
q
J
q
μ
0
1
十
十
+
l
门
w
w
ω
U
A
哇
户
。
々
t
r
t
l
1
1
1
l
l
l
〈
l
i
l
t
t
t
t
1
l
、
A
崎
A
①
②
③
④
 
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
13.
整体方法
整体思考方法是将问题看成一个整体，从大处着眼，由整体入手，突出
对问题的整体结构的分析与改造，从整体上把握问题的特征和解题方向.
:时采用
I 2x+5v=3 , 
阅读材料: 善于思考的小军在解方程组!
ν 
14x+ 11 y=5 
了一种"整体代换"的解法:
解
将方程②变形
: 4x+10y+y=5 ，即2(2x 十5y) 十y=5 . ③
把方程①代入③得:2 X 3 十y=5
，:. y=- 1.
l.r=4 
把y = 一1 代入①得，x=4. 二方程组的解为l __ 1
IY--l 
请你解决以下问题
:
13x-2v=5 , 
(1)模仿小军的"整体代换"法解方程组!
ν 
19x-4y= 19. 
13x 2 -
2xv+ 12y2 =4 7 ，
① 
(2) 已知x ，y 满足方程组i _ " 
, ~ ? 
.y 1O'"J ~ 
/-J "= -_u. 12x2 + x y 十8/ =36 .
② 
求x 2 + 4/ 的值.
① 
② 
(广东省珠海市中考题)
14 . 试求5 = 工2003 -
X 2001 十X 1999 -
X l997 十… +句-x 1 的值，其中工，(l ~ i ~ 
20 03 ) 满足以下方程组:
113 
、
哈
二元一次方程组
~~~ 
食
食
1纭
，屹
立厅
为
絮
'眨
'眨
X] +xz = 1 ，① 
工2 +x3 =3 ，
② 
工zooz +工2003 = 4003 , 
~ 
X 2∞3 + x ]=4005.
⑩ 
(涣门校际初中数学竞赛题)
15.
已知
k 是满足
1910 < 走< 2010 的整数，并且使二元一次方程组
比- 4v=7 ，
J 
有整数解，问:这样的整数h 有多少个?
4x十5y=k .
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
16. 将若干个自然数按某种规律排列，若前8 个数依次是
1 ，3 ，6 ，1 0 ，15 ，21 ，
28 ，36 ，则第50 个数是多少?
(世界数学团体锦标赛试题)
学科精英大视野系列丛书
• 
….. • 
Ix=4 . 
例
1
8 i 
m= 4+ 2X 2=8. 
l y=2 , 
14x- 3v=6z , 
Ix=3z , 
例2
D 
由i
-
得!
代入原式，原式=- 1 3 .
lx+ 2y= 7z , 
. [y = 2z. 
例3
(1)将方程分别相加、相减，得工十y=3 ，x- y= 一1 ，解得f X一1
l y = 2. 
a+ b= 专，
1 
(1 
1 
a=-;一
l 一一一-一--
2 ' 
Ix+y 
2 ' 
_1 _ _ ~ _ 1_ _ L 
1 _ 
",,] -i;- J L 
j 
• _ 
7 
(IJl {" J 1 _ 
1 "rt I 1 
1 
ω 与产百= b ，二百一c ，叫b +c丁，解叩
巾=? ，
l
-AA 
--
1
-h 
I
-4 
一
一
C 
3 
x= τ了，
[ +y=2|
j 
y + z = 3 ，解得~y = 一，
z+x= 4 , 
I 
_ 
z = -::-2 ' 
IA+ B= l, 
(3) 由条件得并设工，-引= x5 = … =X] 999 = A ,x, = ι =Xf\= … =:= X 100$1. = B ，则!
...v 
11000A + 999B=1999 , 
IA = 1000. 
解得lI B = -999. 
'. x] = 工，- 工5- … = 工'999 = 1000 ,x , = 引= x，= … =X]99S- →999 .
例4
(1) f X, =4 , f x,=-4 , f x, =4 , 
f 
l y,=3 , l y, = 3, 
l y, = -3 , lY4=-3 . 
#二Jj
〈仨革主~ )
齿，传
齿，传
女
'吃
食
食
食
第
13
i井
二元一次方程组
l-34-3 
一
一
一
­
Zy 
r
-
-
l
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1
'
飞
B
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2
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1
、
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2
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一
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<
当
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y①
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若ω
②
 
r 
5 
( 
5r 
1 
r 
1 
I X 1 二τ ，
IX2 = 一τ ，
I 工3 - τ ，
I x，= 一τ'
从而有4 纽解，f!p ~ 
~ 
~ 
~ 
~ 
~ 
1
_ 
2
1
21 
4 14 
I YI 一←一
;
I Y2 = 一
;
IY3 = 一一; IY,= 
LJ 1 
3' LJ 2 
3' 
L-Y3 
3 'LY4
3 -
例5
②-①，得(2k- l) x=b-2.
③
l 
(1)当
2走
l 手0 ，即h手τ 时，方程③有唯一解，从而原方程组有唯一解;
(2) 当2k 一1 = 0 且b
的时，FFK = ÷且的时，方程③元解，从而原材呈组也无解;
(3) 当2k-1=0 且b-2=0 时，即走=÷且时时，方程③有无数解，从而原方程组也有无数解
例8
由题意得
a l 十a2 + α 3 = 29 , 
a z 十a 3 + 向= 29 ，
a6 十a ，+ a l =29 ，
a,+al +a2=29. 
将上述7 式相加，得3(a 】+ α2 十α3 十向+ α5 十a6 + α ，) = 29 X 7 , 
2 
:. al 十a2 十a 3 + 向+ a 5 十a 6 十a ，= 67 τ ，与
α l 十a 2 + a 3 + 向+a5 十α6 + α7 为整数，矛盾，故不存在满足题
设要求的7 个整数.
• 
岱黯
• 
1. ( x ,y)=(6. 3,2. 2) 
Ix=2 . 
2_ 2 
γ= 二~ ，(1 十2α)1 -5 ，1 + 2α = 士1，::1: 5 ，只有α = 2 符合条件，剖
' 
y 
1 +2α'
i y=1 . 
5. 420
由⑥一⑤十④一③+ ②一①得
6 . B 
3. 4 
(工，y) = (1，2) ，(1，一的，( 一1，的，( - 1，一2)
1 
,
1 
_ 1 
,
1 
1
, 1 
_..
，~ ~ I 1 
, 1 
, 1 \ 
. ~ 1 
, 1 
, 1 
8. A 
一十一=3 ，
十
= 4 ，一+ 一= 5 ，相加得2 1 一十一+-=-
\ =12 ，一十+ +一=6 .
a
'
b 
~ 'b'
c 
_'c 
a
飞
α
b
c J 
-- , a 
b 
c 
内+ z = 士(xy+ zx) , 
9. C 
由已知等式，得~ x+y+z寸(yz+机
工+ y十z= 士( zx+yz)
115_ .1 
\晶晶蜷
* 
食
，传
* 
食女
食肯
为
.·. ÷(月十ω=÷(yz十月)=士(ZX+yz)
23 
23 
23 
.: xyz手0 ，解得y =~x ，z=5工，代入已知等式，解得x=~ ，_y= 一
: 一
10 ,y-6'z-Z' 
2 X 10 +3X 6 十4X2
故m，、式=…
=2
学科精英大视野系列丛书
IX= 1. 5, IX=O , Ix=-3 , 
10. c 
I lxl 一Iyll 可得四种结采: X-y ' X + y ，- x-y ，一X+y ，代入后可得i -
-'~' i -
~ 'i -
~ ， 
t y = O. 5 ; t y=1; l y=2. 
1 1.设0 的个数为工，1 的个数为y ，则
1 的个数为( y-69)
，
由{z+y+( y69)=20 14 ，
j z=165 ，
~ 
, _, . ", , . , . " 
" 
_ _" 
_ , _" 
_ _ _ , i::t ! 
_ _ _ f!r a 1 ，旬，… ，α201 4 中0 的个数为
1 65.
l X(0+ 1)'+ y (1 + l)'+( y-69)(-1 + l)'= 4001 ' '. )y=959. 
Ix=-3 , 
12. (1) ! 
就工旷的正负性讨论.
t y = 9. 
(2) 将3 个已知式相来得[ ( X + y) (y + z) (z + X) J' = 8100 , (X + y) (y 十z) (z 十X ) = 
::1:: 90 ，进一步得
(X ,y ,z) = (1，2 ，4) 、(-1，-2 ，-4).
咱
(3
, 2 
IX=l, 
I 一+ 一=8 ，
(3)) 
1 
原方程纽即为~ y 
l y= 一，
I 2 
I 3 
t -' 
2' 
I 一+ 一= 7 .
ly 
X 
(4) 由②+③得Z十y+z+ ω=0 ，进一步得(工，.Y ，z ，w) = ( 
旦，旦，8 ，-8ì 
-"-'-' 
\ 
5'5'~
' 
~
J 
I x=3 , 
13. (1) ! 
(2) 尿式=17.
!y=t 
14. ⑩→@得( X，阳十工'003 ) 一(工川+ X'OO, ) = 4003 - 4001 , f!r X '003 -
X 'OOI = 2 ，同理可得X j999 -
X】阳=2 ，"'，
工3 - Xj= 2 ，故原式= 501 X 2= 1 002 .
( 
35+4k 
15
由条件得r 丁1
' 设f:~ +~走=41m ，(m ，叫整数) ，消去走得5m+4n= 7 ; 解得尸=3 +μ ，
|刑=旦二28
l 5k- 28 = 41n , 
" .- -- -
' .~ -- ".，.-"，.，
~ .，.
，
... 
"""'- 'I"
\n =-2 一5l .
L-' 
41 
(l 为整数) . 
从而得k = 22 +4 1l ，由
1 9 10< 22 + 4 1l< 2010 ，得46 主< l<48 2? 
41 
-v 
_ .~ 41' 
故共有2 个h 值使原方程组有整数解.
16 . 设已知的数依次走向，α2 ，a3 ，句，… ，aso ' … ，这若干个自然数排列的规律是什么?怎样解多元方程纽?
也题意得a，- a 1 = 2 ，
α3- a，= 3 ， 
向- a3 =4 ，
a'9 - a'8 =49 , 
a so -a'9 = 50 , 
以上49 个式子左、右两边分别相加，得
49(2 +50) 
aso 一α1=2 十3+ 4 十… +5 0 = 一
2
一= 1 274 ，
:.aso = 1 274 十1 = 127 5 ，即其中的第50 个数是1275 .
￡二2
1 514 年，德国画家丢勒创作了一幅铜版画
《忧伤)) ，画面右上方挂着一块4 阶幻方，第四行
中间两数组成"1514" ，正是画家创作的年代.该
画反映了人们对没有充分的知识与智慧去探索
自然界奥秘的深深的" 忧伤"
飞飞己Gd
dv 
胃叫一年古自由?!
'
如能跟述
一次方程组是刻画现实数量关系的有效模型，在代数式的化简求值、解
实际问题等方面有广泛的应用.
- 些代数式化简求值问题，运用相关概念、性质、对题意的理解等，常可
转化为解方程组或利用方程组探寻字母间的关系.
对于含有多个未知量的问题，运用方程组求解往往比只设一个未知数
建立一元一次方程求解简单.
'
问题能决
例1
设
X ，
Y 满足
x + 3y + I 3工
y I = 19 , 2x + y = 6 ，则
工一一一一一一一，y 一←一一一一一.
("希望杯"邀请赛试题)
晤题思路
两等式联立可得关于工，y 的方程组，解题的关键是如何脱
去绝对值符号.
11 毡
货源充足和组织
良好的知识仓库是一
个解题者的重要资本.
一一一波利亚
五猴分桃
20 世纪
80 年代
初，著名物理学家李
政道向中国科技大学
少年班的小学员们给
出下面一个问题:
今有桃若干，将
它们分成五等份时，
正好多一个，取出其
中一份又一个，将余
下部分再分成五等份
时，又恰好多
一
个… … 女口此下去，到
第五次分时，仍是五
等份且多一个. 试问:
桃子至少有多少个?
~~~ 
食
，传女
食
，传女
食
食为
23
5 
民甲- v
例2
已知x ，y ，z 满足一= 一一=一一，则一_____J'_ 的值为(
x 
y- z 
z+xu'-y + 2z 
c÷ 
A. 1 
1 
B. -7-3 
题
赛
联
1
-
2
学
数
D
中
n 
、
窍
门
，
用
同
全
醋题思路
将连等式拆开运用或引人参数.
例3
某项工程，如果由甲、乙两队承包，23天完成，需付1800町;由
乙、丙两队承包，3?天完成，需付1川O 元;由甲、丙两队承包，2 手天完成，
需付160000 元.现在该项工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提
下，哪个队的承包费用最少?
(全国初中数学竞赛题)
幡题思路
求出每队工作效率及每天需支付每队的费用，通过计算比
较，进行决策判断.
例4
如图，长方形ABCD 中，放置9 个形状、大小都相同的小长方形，
求图中阴影部分的面积.
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
黯题思路
从求出小长方形的长、宽入手.
学科精英大视野系列丛书
在信息化社会，
我们时刻面对着汹涌
而来的各种数字、数
据，对数据进行恰当
分析处理，发现规律，
作出判断，是现代人
必备的基本素养.
20 世纪
90
年
代，美国麻省理工学
院教授尼葛洛庞帝，
曾写出一本畅销全球
的书-一《数字化生
存)) .他说"在广袤浩
瀚的宇宙中，数字化
生存能使每个人变得
史容易接近，让弱小
孤寂者也能发出他们
的心声"
B 
c..\Cti\1'I:\ 
( 七军细)
-R 
AK 
为
，曲
'峙
，传
食
食
第
14 讲
长f
例5
如图①，三个圆两两相交成七个部分，将数字1，2 ，2 ，4 ，4 ，8 ，8 分
别填入这七个部分，使得每个圆内部四个数字之积均相等( 此值记为P ) . 如
图②的填法满足条件，此时，P=64. 对满足上述要求的所有填法，求P 的最
大值与最小值.
图①
图②
(上海市竞赛题)
幡题思路
引入多个字母，建立相应字母的方程组，整体处理、恰当放
缩是解题的关键.
例6
购买铅笔7 支，作业本3 本，圆珠笔l 支共需30 元;购买铅笔10
支，作业本4 本，圆珠笔1 支共需40 元.问购买铅笔11 支，作业本5 本，圆珠
笔2 支共需多少元?
("希望杯"邀请赛试题)
17α +3b+c=30 ，
一
纣桥
设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为α ，b ，c ，则(
需
110a十4b+ c = 40 ，
求lla +5b十2c 的值.
a 
ao 
句
j
1
i
一
­
nunu 
q
J
A
哇
一
一
一
一
CC 
+
十
'OLu 
qU
A4 
为
形
变
程
方
原
配
一
Ib = 10 - 3α ， 
解得l
I c= t,a , 
. 11a +5b+2c=11a 十5 ( 10- 3a) + 2 X 2α= 50 . 
晤洁2
把11a 十5 b十2c 直接用7α +3b +c ，1 0a+4b+ c 的式子表示.
11a+ 5b+ 2c= 3 X (7α + 3b + c) 一(1 0a 十4b十c ) = 3 X 30 - 40 =5 0 .
睡洁3
11α + 5b + 2c = (1 0a 十4b+ c) +(a + b + ι) = 40+α 十b+ c ，
(( a+b+c) 十6α +2b=30 ，
①
需求出α +b十c ，原方程变形为!) (a 十b+c) 十9α +3b = 40.
②
①X3
②X 2 ，得α 十b + c = 3 X 30 - 40 X 2= 10 , 
. 11 a 十5 b 十2c = 40 十10 = 50 .
19IJ 7 龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格. 这些笔
中每两种笔( 每种各一支)装一盒，它们的价格分别是250 元、290 元、320 元、
340 元、360 元、370 元、390 元、410 元、430 元、480 元.铅笔比彩笔便宜30
q头
一次方程组的应用
哪?巳主i竟
事酬回咽r
.，._..区
当方程的个数少
于未知数的个数时，
未知数的值不能唯一
确定，可视某个未知
数为常量，实现变量
与常量的互相转化，
或视某些量的和为整
体，促使问题的解决.
解法1 具有一般
性，解法
2 从整体
思考.
解数学问题需把
题目给出的条件进行
"组合"，组合的方式
很多，" 线性组合"就
是最简单的方式，解
法2 就是运用线性组
合解决问题的.
.et.\~、
.~
，曲
，际女
食
食女
食
，传女
元，签字笔比圆珠笔贵，荧光笔比签字笔贵，求出每种笔的价格.
( 汉城国际数学竞赛题)
耀
设圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔、荧光笔的价格分别为a ，b ，c ，d ，e ，则
b-c=30 ，e>d>α. 
因为在题目中所给价格相差30 元的有290 ，320;340 ，3 70 ; 360 ，390 ，又
a + b=320 , 
c + α = 29 0 ， 
Ib+ d = 370 , 
由b-c=3 0 ，e> d>α ，得{ c+d = 340 , 
b+ e= 390 , 
c+ e= 360 , 
α = 1 80 ， 
b= 140 , 
解得~ c=肌
d = 230 , 
e= 250. 
即圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔、荧光笔的价格分别是
1 80 元、1 4 0 元、11 0
元、230 元、250 元.
?毛美4云南形
192 5 年，数学家莫伦找到了一种把长方形分割成大小不同的正方形的
方法，且给出了两个长方形的分割作为例子，这种长方形被后人称为"完美
长方形"
例8
如图，十三个边长为正整数的正方形
纸片恰好拼成一个大长方形( 其中有三个小正方
形的边长已标出字母x ，y ，z ). 试求满足上述条
件的长方形面积的最小值.
帽题思路
洞悉图形内涵，挖掘隐含信息，
建立关于x ，y ，z 的方程组.
~~ 刻意练习
1.如图，已知长方形ABCD 恰好可分成七个形状大
A 
小相同的小长方形.如果小长方形的面积是3 ，则
长方形ABCD 的周长是
("宗沪杯"数学竞赛题)
B 
2.
已知z十2y- z= 8 ，2x- y + z = 1 8 ，则8x+ y +z=
纪)
(第1 题)
(重庆市竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
例
7 的困难不在
于解方程，而在于对
题意的理解与分析.
解题的突破口在于:
彩笔与圆珠笔谁贵?
怎样运用条件"铅笔
比彩笔便宜
3 0 元" ?
数学方法溯源
SI .. n:ue Fangfa Suyua:n 
数学发展的历史
始终贯穿两条主线:
数学知识的发展和思
想方法的创新. 数学
思想方法对数学知识
有巨大的凝聚力，是
联系知识的纽带，是
实现知识向能力转换
的桥梁.
~Ct.\eíf:\ 
大食
，传
( 忆a= !Jl ) 
1号食
食
3公安
，传
第
14 讲
一次方程组的应用
α +3b 8a+4b 
10 
3 . 若有理数一一一=一一一一= 一一一，则α 十b =
5 
3b+a 
b + 2α 
("希望杯"邀请赛试题)
4. 某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由
15 朵红
花、24 朵黄花和25 朵紫花搭配而成，乙种盆景由
10 朵红花和
12 朵黄花
搭配而戚，丙种盆景由10 朵红花、18 朵黄花和25 朵紫花搭配而成. 这些
盆景一共用了2900 朵红花，37 50 朵紫花，则黄花一共用了
朵.
(重庆市中考题)
5 .
江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，
如果用2 台抽水机抽水，40 分钟恰可抽完; 如果用4 台抽水机抽水，1 6 分钟
恰可抽完. 如果要在10 分钟抽完水，那么至少需要抽水机
台.
(全国初中数学联赛题)
6. 有一个正在匀速向上移动的自动扶梯，旅客A 从其顶端往下匀速行至其
底端，共走了60 级，B 从其底端往上匀速行至其顶端，共走了
3 0 级( 扶梯
行驶，两人也在梯上行走，且每次只跨1 级) ，且A 的速度(即单位时间所
走的级数)是B 的速度的3 倍，那么自动扶梯露在外面的级数是
("五羊杯"竞赛题)
7. 小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看
到的里程碑上的数如下:
12:00 
13:00 
I 
14:30 
| 十位与个位数字与
l
比
1 2
. 00 时看到的
是一个两位数，数
-
.. 
~ - - ~ 
. : I 
I 12: 00 时所看到的|两位数中间多了
字之和为6
..._ 
| 正好颠倒了
|个0
则
1 2:00 时看到的两位数是(
) . 
A. 24 
B. 42 
C. 51 
D . 15 
8. 满足式子Ix -51 十41y + 21 = 1 0 的整数对( 工，y) 有(
(湖北省恩施中考题)
)对.
A. 4 
B. 8 
C. 10 
D. 16 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
3b十c
9.
已知实数α ，b, c 满足2α 十13b+ 3c = 90 , 3α + 9b 十c = 72 ，则J丰2 b
A. 2 
B. 1 
C. 0 
D. - 1 
(全国初中数学竞赛题)
10.
如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，图①、②所示的两个
天平处于平衡状态，要使图③中的天平也保持平衡，则需在它的右盘中
放置(
) . 
岛DA ∞户L 吧J也~LAγ
图①
图②
图③
(第10 题)
42址
。昆、1Gt.\.~
A. 3 干球
，传
食*
食
食
1号
食
女女
B. 4 个球
c. 5 个球
D. 6 个球
(湖北省黄冈市竞赛题)
11. 如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3 I 
① 
个正方形和2 个长方形后仍是中心对称图形.若
只知道原住房平面图长方形的周长L 则分割后不
用测量就能知道周长的图形的标号为(
). 
A. ((
. 
B. ②③ 
(第11 题)
c. ①③ 
D. ①②③ 
(浙江省宁波市中考题)
12. 利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交
换两木块的位置，按图②方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度
是(
). 
A. 73cm 
B. 74 cm 
C. 75 cm 
D. 76 cm 
(英国中学生竞赛题)
z 
cnjl~m ~川
合。。。
。D 。口
。。口。
。应口合2S 
y 
30 
图①
图②
28 
(第12 题)
(第13 题)
13. 如图，正方形中的每个小图形表示一个数字，相同的图形表示相同的数
字，不同的图形表示不同的数字，正方形外的数字表示该行或该列的数
字的和，求工.y 的值.
("希望杯"邀请赛试题)
14.
甲、乙两班学生同时从学校A 出发去距离学校75 千米的军营B 军训，
甲班学生步行速度为4 千米/时，乙班学生步行速度为5 千米/ 时. 学校
有一辆汽车，该车空车速度为40 千米/时，载人时的速度为20 千米/ 时，
且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，问:他们至少需要多少时间
才能到达?
(湖南省长郡中学自主招生试题)
15. 有理数α .b.c.d. e 满足α <b< c<d< e . 且任意两数之和共1 0 个数中最
小的三个数是32.36. 37. 最大的两个数是5 1.48. 试求e 的所有可能值.
(意大利数学奥林匹克试题)
16.
甲、乙、丙三人共解出
1 00 道数学题，每人都解出了其中60 题.将其中只
有1 人解出的题叫作难题.3 人都解出的题叫作容易题.试问:难题多还
是容易题多?多的比少的多几道题?
(江苏省竞赛题)
17. 如图，乙地是甲、丙两地的中点.A 从甲地.B 从丙地.C.D 从乙地分别沿
己J
学科精英大视野系列丛书
~、1tA\~
食，曲
，传
女，传，传
手了
，传
，传
第
1 4 讲
每三
一次方程组的应用
←8
4
丙
D 
(第
17 题)
C 
乙
→A
土
甲
图示的方向同时出发.若A 出发后
70 分钟时
遇到C ，84 分钟时遇到B ，140 分钟时追上D ，
求B 出发后多久遇到D? 多久追上C?
("希望杯"邀请赛试题)
18. (1) 6 个篮子中装着李子、苹果和梨子，每个篮子中的李子个数等于另外5
个篮子中的苹果总个数，每个篮子中的苹果个数等于另外5 个篮子中
的梨子总个数. 求证
: 6 个篮子中所有水果的总个数是31 的倍数.
(2) 2010 只货船从南美运送香蕉、拧棱及波萝去俄罗斯.已知每只船上
香蕉的根数等于其他所有船上拧攘的总个数，而每只船上拧朦的个
数等于其他所有船上班萝的总个数. 求证:所有船上所有水果的总
个数能被31 整除.
(环球城市数学奥林匹克试题)
• • 
[-2 工+4v= 19
，
由
3x -v<0
，得l
ν
12x+y=6. 
t ,5 
例
1
,,
nU 
A
A
立
p
h
V
-
1
-
一
一
一
一
­
zvdz 
f
1
1
』
l
l
〈
1
l
I
l
l
-
、
ef 
,,,q 
解
5-u 
= 
1-y 
+ 
l
-z 
4-u 
z 
1
-z 
十
1
-y 
由条件得卢Zd=?工
设甲、乙、丙三队单独承包各需x ，y ，z 天完成，则
B 
例2
例3
ra = 45500 , 
解得忖= 29500
，
1 c= 10500 . 
7-m 
一
一
1-z 
+ 
1
-z 
12 
τ(α 十的= 180000 , 
15 
Z(b 十c) = 150000 , 
又设甲、乙、丙三队单独工作一天各需a ，b ，c 元，则
20 
U7
V Ca+c) = 160000 , 
于是，由甲队羊独承包，费用是45500 X 4 = 182000 (元) ;由乙队单独承包，费用是29500 X 6 = 177000 
(元) ;而丙队不能在一周内完成，舍去它，故乙队的承包费用最少.
r3v + 7 =x 十2v
设小长方形长、宽分别为工，y ，由~
-.
. 
~~ 
Ix+4y=22 , 
:. S 阴影=22 X (7 +3 X 3) -9 X 10 X 3=82. 
例5
如图①，设α~g 表示
1，2 ，2 ，4 ，4 ，8 ，8 的一个排列，且使图①的填法满足条件.
例4
(;当
则P = abce = abdf= α cdg .
注意到
，abcdefg = 1 X 2 X 2 X 4 X 4 X 8X 8= 212 • 
二p 3 = a 3 b2 c'd 2 efg=21 2 旷bcd ，
食
，传
食*
女
，传
食
食
图①
合
学科精英大视野系列丛书
图②
(例
5)
图③
又p 3 为立方数，则α 2 bcd 也应为立方数，而a 2 bcd 为
2 的正整数次幕，且2 ' = 12 X 2 X 2 X 4ζ a 2 bcdζ8 2 X 
8X4X4=2 13 ，得2 6ζ a 2 bcd ~二2 1 2
图②、图③分别为
a 2 bcd =26 和
2 12 的填法，
故Pmax= 汪古交--ZW=256 ，Pmin= 汪古交zr= 64. 
锣IJ 8 
如图，由三个小正方形边长工巾，z 可分别表示出其余正方形边
长，得
(II Z + 3y=7z + 1 6y 一z ，
8x+ 8y - 3z= 6x+5y+z. 
i肖去z 得18x=49y ，
.: 08 , 49) =1 , :. x=49
，y = 18 是最小的正整数解，于是z=38.
① 
5x -2y +z 
② 
从而长方形面积的最小值为
593 X 422 = 250246. 
x+7y 
• 
… c • 
1. 19 
2. 70 
a+3b_8a +4b 
10 
_
1~ 
",,1 
i_3
α +3b"8a+4b ，， 10 
_0 ，，~，_ O <'" ( α +3b= 10 , 
3. 4 
设一一一一一一一一一一一一=走，则
k'= 一一一×一一一一×一一一=8 ，即是=2 ，得l
5 
3b+a 
b十2α5
"3 b+ α
b+2a 
~，.
， 
~ 
~" 'J lb+2a=5. 
[l 5x+ 10y+ 10z=2900 , _ (x+2y=280 , 
4. 4380 
设甲盆景有z 盆，乙盆景有y 盆，丙盆景有z 盆，则!
~ ~ ~~ . ~
. ~ 
_. .. flp! 
125x+25z=3750 , 
Ix+z= 150. 
用黄花24x+12y 十18z= 18Cx+ z) 十6Cx + Zy) = 18 X 150+6 X 280=4380C 朵) . 
5. 6 
设开始抽水前管涌已经涌出的水量为am3 ，每分钟涌出的水量为bm3
，又设每台抽水机每分钟可抽
c 
nu-c 
m
-
3
2
一3
=--
a
，
。
fltfill
<111illt
冒
f
fq 
PLPL 
AUPO 
A
A
τ
1
4
 
×× 
。
/
U
A
4
2
·
一
一
一
­
bb 
AU
<hv
A
性
1
i
++ 
α
α
 
由
m 
c 
水
160 
, 20 
a+ 10b 
飞了c'3
故要在10 分钟内抽完水，至少需要抽水机的台数为一一一一=一一一一一=6 C 台) . 
10c 
10c 
6. 48 
设扶梯的速度为工级/ 分，旅客B 的速度为y 级/ 分，扶梯露在外面的级数为
n. 则A 的速度为
3y
60 
60-n 30 
n-30 ~ L' ,_ _< /~ 2 
60-n 
级/ 分，从而按比例知·一=一一一一=一一一，两式相除得一=一一一，解得n=48.
;3y 
x' y 
X 
'''''''''' '''''''I' T') 3 
n -30 
7. D 
设两位数为xy . 则
广=6 且几
[ 10y+ x- (l Ox 十Y)JX2 . 5= 100x 十y 一(l Ox 十y).
4主
( 忆革主盟)
会，曾
食
fT
泼
*
丁去
，峙
，传
第
' 4 讲
一次方程组的应用
8. C 
由ly+ 2 1ζ2 扫ly+2
1 =0 ，1，2 ，再进一步讨论
9. B 
/;手、等式可变形为2Cα + 2b) 十3C3b +c) =90 ，3Cα +2b) + C3b+c) =72 ，得a十2b=18 ，3b十c=18 .
10. C 
11. A
如图，设原住房平面图长方形的周长为
21 ，①的长和宽分别为
a ，b ，
②、③的边长分别为
c ，d ，
根据题意，得
b 
C 
C 
[=+d 
c=b+d , 
a 十b十2c =l ，
①
②
③
 
a 
( 第
11 题)
①②，得α
c=c - b斗a+b =2c .
将α +b = 2c 代入③，得4时斗2c z tt( 定位)
将2c=÷J 代入α+护叫α十b=÷问2Ca+ b) =IC 定值) , 
而由己列方程纽得不到d ，
二分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②.故选A.
12. C 
13.
易知y = 28 ，设第一行所表示的数依次是a ，b ，c ，b ，第
2 行第4 列的数字是d ，则
a + b +c十b=y ，
①
x 
b十α +c+ d=30 ，
② 
有~b+ b+ d+ α=25 ，
③ 
a+ b+ c+ b= 28 , 
④ 
1 b 1 b 1 d 1α12 5 
b+a+ b+ b= x . 
⑤ 
②一③，得c=b+5
⑥ 
(第13 题)
⑤代入④，得α +b + Cb十5) + b=28 ，即α +3b =23 ，故x= 23 .
14. 
.: 两班同时到达用时最少，
.. 如图所示，设甲班学生从学校A 乘汽车出发至E 处下车步行，乘车xkm ，汽
车空车返回至C 处，乙班同学于C 处上车，此时已步行了ykm .
则汽车行驶AE*度所需的时间为主小时，汽车从E 回到C 的时间为7 小
时，{..þ)I )À A 走到C 的时间汁，J、时，汽车从C 们的时间为丐2 小时，甲班从
75 - x 
E 走到B 的时间为-z一小时.
AI
...jE lB 
(第14 题)
(zlZY-Y 
一一一-
20 ' 
40 
5 
王二2' __j_ 75二2' = 豆二王
40 '20 
4 
解得x = 60 ，y=20 .
γ
75 - x 
.. 至少需要的时间为二+一一一一，
./ 
f'Tl....... 
~ <1 
~ <1 
• 
~ ,., ~ 20' 
4 
将x = 60 代入得67( 小
d 2哈
食
食
，传，传
女
人
X
食
占
的
六
学科精英大视野系列丛书
所以至少需要6? 小时才能到达
15.
由题意知32=α 十b ，36=a+c ，48=c 十e ，51 =d+e. 
由上述式子不难得到
c - b =4 ,d- c=3 ，d-b =7
，故α + d = (a + b) + (d-b) =39 . 
因此，37 一定是b +c ，于是
，2α=( α + b) + (a+c) 一(b+c) =31 , 
所以，α=}5. 5 ,b=16. 5 ,c=20. 5 ,e=27. 5 ,d = 23. 5. 
经检验，上述取值满足条件，故e 只有一种可能取值27. 5 .
16. 设甲、乙、丙三人分别解出的难题数为Y l
' 为，为'Y=Yl + Y2 十Y3
，3 人都解出的"容易题"为z 道，恰有
rX+Yl + b 十c=60 ，
I x+ 协+a+c=60
，
2 人解出的题分别为α ，b ，c 道，则{
… 
I X+Y3+ α + b = 60 ， 
Lx 十y+Ca + b 十c ) = 100.
得y -x= 20
，即难题比容易题多
20 道.
17.
设甲、丙两地间的距离为
2s ，A ，B ，C ，D 的速度分别为a
，b ，c ，d ，依题意得
可得二二=阳，dE=60 ，故B 出发6 0 分钟后遇到D ，10 5 分钟便可追上C.
18. Cl)设各篮中李子，苹采，梨子的个数为工; 'Y ; 吨，X = ~ x;
，Y = ~y ;
，Z = ~ z; . 由已知条件得
i = 1 
i = 1 
工; = Y -
Y; ,Y; = Z -
z; cl ~ i '"二6) .相加得X =5 Y ，Y = 5Z ，故X = 25Z,X + Y + Z = 31Z. 
(2) 记各船香蕉、拧橡、菠萝的个数为Xj'Yi 吨
，X = ~x;
，Y = ~y ;
，Z = ~z; . 由已知条件得x ; = Y 一
j =
} 
i=l 
i = 1 
Y; 'Y; = Z - z; (1 "三
i ~ 2010). 相加得X = 2009Y,Y = 2009Z ，故X = 2009 2 Z ，总数X + Y 十Z = (2009 2 + 
3009 + 1) Z. 
由于2009 =一6(mod3 1) ，故2009 2 十2009 + 1 三36 -
6 + 1 三OC mod3 1). 
纪)
...翩翩
11..1... P" ‘自.
…--一
..…一
u挝u
…… 
唁5莘莘Z
-吃边_.-
〈算盘书〉
飞;如r
\<9' 
斐波那契(约
1170一约
1240) ，意大利数
学家. 1202 年写成名著《算盘书
)) ，该书系统地
介绍了印度一阿拉伯数码. ((算盘书》在
1228
年的修订中增加了脸炙人口的"兔子问题"，
产生了一个数列
: 1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13 , 21 , 34 , 
55 ，的，… ，这就是著名的斐波那契数列.
需15 i:ft 
不iËJ=弓程(组)
I 
.… E 
'
提o flI~概述
不定方程是指未知数的个数多于方程的个数的方程，其特点是解往往
有元穷多个，不能唯一确定.
对于不定方程，若限定只求整数解，加上条件限制后，解就可以确定.
解不定方程，没有现成的模式、固定的方法可循，需要根据方程的特点
进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法: 奇数偶数、整数的整除性、分
离整系数、因数分解、不等分析等.
对于一般的整系数的不定方程a工+ by =c ，若能找到它的一组特解，则
1 工=X n - bt 、
这个不定方程全部整数解可表示为!
ν 
\y =yo+ α t(l 为整数) . 
'
问题能决
例1
正整数m ，n 满足8m +9η = mn 十6 ，则m 的最大值是一一一一一·
(新加坡数学竞赛题)
晤题思路
把m 用含η 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整
系数法) ，再利用整除知识，求出m 的最大值.
、12%
解题是一种实践
性技能，就像游泳、滑
雪或弹钢琴一样，只
能通过模仿和实践来
学到它.
一一波利亚
兵阵与队列
韩信点兵，多多
益善.
相传韩信发号令
点兵:第一次
5 行纵
队，多出
1 人;第二次
6 行纵队，多出
5 人;
第三次
7 行纵队，多
出
4 人;第四次
11 行
纵队，多出
10 人.韩
信的军师很快就估算
出总兵数.
~~、i~
食
食齿
'峙
，传为
食
，曲女
例2
如图，在高速公路上从3 千米
T 1 _1 
1 
1 
1 
处开始，每隔4 千米设一个速度限制标
3 
7
叩门
15 
ω 
刀
识，而且从10 千米处开始，每隔9 千米设一个测速照相标识，则刚好在19 千
米处同时设置这两种标识. 问下一个同时设置这两种标识的地点的千米数
是(
) . 
A. 32 千米
B. 37 千米
c. 55 千米
D. 90 千米
(河南省竞赛题)
瞄题思路
设设置限速标识、照相标识千米数分别表示为3+ 钉，10 +
句句，y 为自然数) ，问题转化为求不定方程3 十位=10 + 9y 的正整数解.
例3
某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐
22 人，就会余下1 人;如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下
的汽车. 问:原先租多少辆客车和学校师生共多少人? (已知每辆车的容量
不多于32 人)
(广西壮族自治区竞赛题)
壁些壁堕
设原先租客车工辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐h 人，则
22x 十l=k(x- l) (23运走~ 32) ，解此不定方程即可.
1 , 1 , 1 
5 
例4
求方程-=--+-=--+-=-- = 丁的正整数解.
x 
V 
Z 
0 
("希望杯"邀请赛试题)
壁些翌堕
易知x ，y ，z 都大于1，不妨设1 〈z〈y《zjui 二三i 二三i ，
x 
y 
Z 
通过放缩法，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某
个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果.
是!0
学科精英大视野系列丛书
与静巳主3费
罩'回醺--~.- 飞…区
~ 
恰当运用不等
式，利用估算或放缩
的方法，寻求并缩小
某个字母的取值范
围，这是解复杂不定
方程的常用技巧.
解不定方程组的
基本方法有:
(1)视某个未知
数为常数，将其他未
知数用这个未知数的
代数式表示
;
(2)
通过消元，
将问题转化为不定方
程求解;
(3) 运用整体思
想方法求解.
~IÄ\~ 
气之
( t 
~ !Iil ) 
* 
食，传
女* 
例5
某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组
成的数相加得
14405 ，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得
16970 ，求此人家的电话号码.
(湖北省武汉市竞赛题)
纣桥写幅
设此八位数为abcdefgh ，为将两个已知条件变为两个方程，
需进一步整体设元.设α bc 为x
，d 为y
，efgh 为z
，则电话号码是
100000x 十
10000y 十z ，其中x ，y ，z 均为自然数，且
100 ~ x ~ 999 ，0 ~二y ~ 9
，1000 '"二z ζ
9999 ，由题意得
c叫十z= 阳，
① 
x + 10000y 十z = 16970.
② 
②一①，并化简得
11 l1 y - x = 285
，即
11 l1 y = x + 2 85 .
: 
100~x~ 999 ， :. 385 '"二x + 285 ~ 1284 , 
385 ___ 
___ 1284 
一一一ζ 咐ζ
. 
1111 ~ J
飞1111 ' 
又
.
y 为整数，:. y= 1 ,x = 826 ,z = 6144 , 
故此人家的电话号码为82616144.
例6
某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过3500 米，今有
甲、乙、丙三个施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道.他们于某
天零时同时开工，每天24 小时连续施工.若干天后的零时，甲完成任务;几天
后的18 时，乙完成任务;自乙队完成的当天零时起，再过几天后的8 时，丙完
成任务.已知三个施工队每天完成的施工任务分别为30 0 米、240 米、180 米，
问这段路面有多长?
(江苏省竞赛题)
18 
晤洁
4
乙队最后一天完成240 X 一=180 米，丙队最后一天完成180 X
24 
立=60 米
24 
- -
，卜
设甲队a 天完成，过b 天后的
18 时乙队完成，自乙队完成的当天零时
起，再过c 天后的8 时丙队完成，则
(30Oa=2川+b) 十180= 1川十州) 十60 ，
5a=4( α + b) + 3=3( α + b + c) 十1
，
Iα =4b + 3
， 
即1
la 十b = 3c-2.
两式相减，得5b+ 3=3c - 2 ，b=fc - 1
: b 是正整数，二
c = 5
，1 0 ，15
，… .
若c=5 ，则b=2 ，α = 11; 当c二三1 0 时，b 二习，a 二三23 ，这时马路长超过3500
米，矛盾.
故马路的长为300 X 11=3300( 米) . 
又甲每天施工300 米，若干个整天后完成任务，所以马路的长是正整数.
另外三个队施工的天数虽然不知道，但知道乙队比甲队多花了若干个
i
w
、
一
4岐
4吃
食
第
15
ì井
不定方程(组)
171J 5 还可转化为
下列数字谜问题求
解.读者不妨一试.
α
b c 
十
d
e f 
g 
h 
1 
6 
9 
7 0 
α
b 
c 
d 
+
e 
f 
g 
h 
1 
4 
4 
0 
5 
解应用问题的关
键是对问题条件的代
数化.
牛顿用数学的语
言、方法描述和研究
自然规律，他呕心沥
血写成的光辉著作
《自然哲学的数学原
理)) ，照亮了人类科学
文明的大道.
牛顿在他的《普
遍算术》一书中写道:
"要解答一个含有数
量间的抽象关系的问
题，只要把题目的语
言译成代数的语言就
11-丁"
Cti\1'I:\~ 
食
食食
，传
，际女
食
，传女
整天再多主天，丙队比甲队多花了若干个整天再多i 天.根据这些信息，我
3 
们还可有如下的解法.
串浩2
设路面长为工米，则甲完成工程需要王一(天) ，乙完成工程需要
300 
275 倒根据题意，乙比甲多花了m 个整天多
程需要气(天)λ，丙比甲多花了n 个整天多8 小时(即t 天)由此可列方
程组i i:二:
300 
(m ，n 均为正整数)
x 
x 
180 
页石= n ' 3'
由①得
x = 1200m 十900 ，
③
由②得
x=450n+150.
④
: x~ 3500 ，
人m= 1，2.
当m=l 时，由③得x= 2100 ，由④得η= 垫，n 不是正整数，舍去.
15 
当m = 2 时，由③得x = 3300 ，由④得n=7 ，符合题意.
.这段路面全长为3300 米.
例7
现有质量分别为9 克和
13 克的硅码若干只，在天平上要称出质
量为3 克的物体，问:至少要用多少只这样的硅码才能称出?并证明你的
结论.
(山东省竞赛题)
丝;fIT
根据题意知，相同质量的硅码不会同时出现在天平的两个秤盘
之中，所以可以转化为求解不定方程的问题.
壁假定当天平平衡时，用9 克的硅码Ixl 只，当该硅码出现在被称物
体所在的秤盘中时，x 取负整数.同理，假定13 克的硅码用了Iyl 只.所以当
天平平衡，即称出了3 克的物体时，应有9x 十13y = 3.
问题转变为在上述条件下，求
I xl+ly
l 的最小值.
易得x=9 ，y=-6 是该方程的→组解，
e: 忡川，
y= - 6-9k. 
走=0 ，::l::1，
::l:: 2 ，...
(1)当k=O 时，x = 9 ，y=-6 ，Ix l + Iy l = 15. 
(2) 当h 二三1 时，
I x
l 二三22 ，Iy l > 0 ，从而
I x 1+ I y 1>22. 
(3) 当走ζ- 1 时，若走= 一1，则x =- 4 ，y = 3 ，Ixl + Iy l = 7; 
，若是< -1 ，则Iy
l 二月2 ，lx
l > 0 ，从而
I x l+l y l> 12.
由上述可知，至少要用7 只这样的硅码，其中9 克的4 只，13 克的3 只.
w 
学科精英大视野系列丛书
与静丘旦3费
湿'回醺卢布…区
I 例
7 与它的解来
自不同的领域，似乎
没有关联，但通过分
析我们找到了它们的
联系，数学中有许多
这样的例子.唐代诗
人王维的诗可以用来
描述这一过程:
遥爱云木秀，
、初疑路不同.
安知清流转，
偶与前山通.
I'A\~、
I 'A\
( 乞军细)
女食
女，传
气户f;{ 
食
食
食
，传
第
'5 讲
纣商量系敬
类似于假分数的化简，当分子的次数大于或等于分母的次数时，通过除
法，我们可以把一个分式化为整式部分与分式部分的和.
例8
小强在银行兑换了一张面值为100 元以内的人民币支票，兑换员
不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如把
2 0 .
13 元看成
13. 20 
元) ，并按看锚的数字支付.小强将其款花去了
3. 50 元后，发现其余额恰为支
票面额的2 倍，于是急忙到银行将多领的款项退回，那么小强应退回的款额
是多少元?
(" 中环杯"竞赛题)
晤洁
1
设支票上原有的元与角、分数字分别为r 和y
，则(l OOy + 工) -
350=2 Cl OOx 十y)
，其中工，y 为整数，且oζx<100 ,0:S:;;y<100 , 
199 x 十350
, 
~ , 3x 十5 6
化简方程，得
.Y=
二2 x 十3 十一一一一
J 
98 
- ~ , 
~
， 
98 
.. 饨，56 均能被14 整除，
λ 3x 也能被
14 整除
，.. x 能被
1 4 整除，
3t 十4
令工= 1 4t(t 为整数) ，则y 二28t 十3+ v.; 一，
:. 3t 十4 能被7 整除.
又.: 0ζ y<100 ， 
3t 十4
:. 0ζ 28 t 十3 + ~. ; 一< 100 ，且
t 为整数，
25 .--
~ 67 5 
• -
."'~v~ :S:;; t< 一一，又.: 3t 十4 能被7 整除，
199 
~ ~ 
~ 199 
Ix = 14. 
λ t = l
，代入原方程得!
ly= 32 . 
故小强支票面额为
14. 32 元，误看成32 .
14 元，应退
32 .1 4-14.32 =
17.82 J巳.
蹄洁
2
化简方程，得:9 8y=199x 十350
，
= 且主土旦旦二2工十3+ 兰土豆豆/队主土豆豆= t(t 为整数) . 
98 
-
'-.L 
I 
ù 
I 
98 
'守
98
工=旦-56 二32t- 18 十主二2 ，令乓'!:= u(u 为整数) , 
::l 
~_v 
~~
， 
3 
.
, 
3 
'.t = 坦卫=u 十1 十旦，令旦=ω (w 为整数) , 
2 
-
, 
~ , 
2
一
2
二u = 2w ，t=3w十1 ,x= 14 十98w ，y =3 2 + 199 w ，
I x= 1 4 十98w ，
. 原方程通解为!
(ω 为整数)
[y = 32 + 199u人
由
0 ::0::二工< 100 ，即oζ 14 + 98w< 100 知w = O ，
广1 4 .
y =3 2. 
故小强支票面额为
14. 32 元，误看成32 . 14 元.
应退32.14 - 14.32 = 17.82 兀.
陋
、
口
~
不定方程{组)
I~在物
'
禽
Z
E
-
-
在数学领域中，
数论的风格极为独
特.数论是人类知识
最古老的一个分支，
然而它的一些最深臭
的秘密与其最平凡的
真理是密切相连的.
著名物理学家麦
克斯韦说"可以说是
数统治着整个量的世
界，而算术的四则运
算可以看作是数学家
的全部装备"
队战~~
食
食
女
，传
食女
，传
食为v
~ 刻意练习
、→
49 
1. 若正整数α ，b ，c 满足a + 2bc= 一，则α +b + c 的最大值是
α 
("希望杯"邀请赛试题)
2 . 有5 克、25 克、30 克、50 克的硅码各若干个，从中共取n 个，每类硅码至少取1
个，50 克的硅码不能超过6 个，若总重为1 千克，则n 的最小值为一一一一一·
(世界数学团体锦标赛试题)
3. 小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4 元，圆珠笔每支售7 元，
开始时他有铅笔和圆珠笔共350 支. 当天虽然没有全部卖完，但是他的销
售收入恰好是20 1 3 元，则他至少卖出了
支圆珠笔.
(全国初中数学竞赛题)
4. 
I1阻思逆想
一年共有12 个月，闰年的2 月是29 天，又有4 个小月，7 个大月，所
以闰年共有29 X 1 + 30 X 4 + 31 X 7 = 366 (天) .反过来思考:如果非负整
数a ，b ，c 满足等式:29α + 30b+3 1 c = 366 ，那么α + b +c =
，这样
的数组(a ，b ，c) 共有
组，它们分别是
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
5. 
( 中国古代数学问题)唐太宗传令点兵，若一千零一卒为一营，则剩一人;
若一千零二卒为一营，则剩四人.此次点兵至少有
人.
("希望杯"邀请赛试题)
6 . 一辆客车、一辆货车和一辆轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行
驶.在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间.
过了10 分钟，小轿车追上了货车;又过了5 分钟，小轿车追上了客车; 再
过t 分钟，货车追上了客车，则t =
( (( 数学周报》杯全国竞赛题)
7 .
甲和乙每人都有若干面值为整数元的人民币. 甲对乙说"你若给我2 元，
我的钱数将是你的n 倍"乙对甲说"你若给我η 元，我的钱数将是你的2
倍
"其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是(
) . 
A. 1 
B. 2 
C. 3 
D. 4 
(全国初中数学竞赛题)
1 
, 1 
, 1 
8. 若正整数a ，b ，c 满足
十一+一= 1 ，则这样的正整数组(a ，b ，c ) 共
α
b 
c 
有(
)组.
A . 1 
B. 3 
C. 9 
D. 10 
("希望杯"邀请赛试题)
9. 今年学校举行足球联赛，共赛17 轮(即每队均需参赛
1 7 场) ，记分办法
是:胜1 场得3 分，平1 场得1 分，负
1 场得0 分. 在这次足球比赛中，小
虎足球队得16 分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负
场数的情况有(
) . 
A. 2 种
B. 3 种
C . 4 种
D . 5 种
(黑龙江省中考题)
学科精英大视野系列丛书
~~、
I~
* 
食
，传
食
食
第
15 讲
( 七军纽)
-R 
A
罚
'X 
飞卢可
10.
电影票有
10 元、15 元、20 元三种票价，班长用500 元买了
30 张电影票，
其中票价为20 元的比票价为
10 元的多(
). 
A . 20 张
B .
15 张
c .
10 张
D .
5 张
("希望杯"邀请赛试题)
1 1.
甲、乙、丙、丁四种商品的单价分别为2 元、3 元、5 元和
7 元，现从中选购
了
6 件，共花费36 元. 如果至少选购了
3 种商品，则购买了(
)件丁
商口
口口-
A. 1 
B. 2 
C . 3 
D. 4 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
12. 设A
，B ，C ，D 是四个小于10 的不同的自然数，且满足
A 
B 
B 
C B 
十
B
C A 
D 
A 
D B 
D 
D D 
则D 有(
)个不同的值.
A. 2 
B. 4 
C. 7 
D. 8 
E. 9 
(美国数学竞赛题)
13. 一个盒子里装有不多于200 粒棋子，如果每次2 粒、3 粒、4 粒或6 粒地
取出，最终盒内都剩
1 粒棋子;如果每次
11 粒地取出，那么正好取完，求
盒子里共有多少粒棋子.
(重庆市竞赛题)
14. 将一个三位数abc 的中间数码去掉，成为一个两位数百，且满足Z二=
9 平+ 4 ~(如
1 55 = 9 X 15 十4 X 5) ，试求出所有这样的三位数.
(山西省太原市竞赛题)
15. 在打靶中，某运动员每发都是命中8 、9 或10 环，他打了多于
11 发的子
弹，共得100 环. 问:该运动员共打了几发以及命中情况如何?
(俄罗斯中学生数学竞赛题)
16. 将2 到
1。这9 个自然数填入如图中的9 个圆圈中，每
个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相
同. 求中间圆圈所填的数.
(世界数学团体锦标赛试题)
2 , 1 
17.
已知正整数x ，y 满足一十一= α(α 为自然数，且工〈
x 
y 
(第
16 题)
y) ，求工和y .
(江西省南昌市竞赛题)
18. 从四个数中任取两个不同数求和，得到的和分别为
189 ，320 ，287
，234 ，
工，y ，求x + y 的最大值.
(美国数学竞赛题)
19. 某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队，已知6 人一列少2
人，5 人一列多2 人，4 人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛
的职工至少有几人?
(河南省竞赛题)
43、
不定方程(组)
~、I~~
20.
没有放上的数字
，岭
，传女
食
，传女
食
食女
精密的计算与严密的推理是数学有别于其他学科的最显著特点.下
面的问题是美国著名数学家乔治·萨默斯在他的著作《测试你的逻辑推
理能力》中向我们提出的
50 道推理趣题中的一道，原题题目是"没有放
上的数字"
如图，把0~9 这10 个数字中的9 个数字分别放在三
角形周边的9 个字母的位置上，使得三角形各边上的
4 个数字之和均为14 .
耀题想路
9 个字母，10 个数字，单靠试凑，要找出所有
可能的解，几乎是不可能的.故需先进行分析，再运用逻
辑推理，缩小范围，然后讨论，并辅以试凑，方能解决.
例
1
75 
9n-6 
_, 
66 
m=-一τ=9+ 一寸，n=9 时
，m 的最大值是75.
n-o 
n-一凸
(第20 题)
例2
C 
7 十9v
~ ,., v 十3
.,. ,_, (x= 13 , 
x= 气二~=2y+1+ ι7 ，4
| (y 十3)
，l-
_ 为所求的解.
τ
立
I Y=~
学科精英大视野系列丛书
…. 
• 
…然黯
øiJ3 
22x+1 
~_， 23 
由22x十1= 走(x- l) ，得走=丁士了=22+ x=l
' 由(x - 1) 123 ，得x- 1=1 或工
1=23 ，得x =2 或
24. 当工=2 时，师生总人数为2X22 十1=45( 人) ，开走一辆车，每辆载客1L=45 〉32 ( 人) ，与题意不符，故
2 •
1 
x=2 舍去.从而x=24 ，师生共有24X22+1=529( 人) . 
ølJ 4 
土<l_+ l_ + 主运立，即iζ 立《产主由此得x =2 或3. 当x=2 时，l_ <l_ 十i
5-l 一.!_<产
工
与飞工'
z 
y 
z 
6 
2 
3\ 
1
, 1 
2~_1_1~2 
7+ 歹=7 ' 即7〈τ豆豆歹'由此得y=4 或5 或6 ;同理当工=3 时
，y=3 或4 ，由此可得当1ζzζ y~z 时，(工，
y ，z) 共有(2 ，4 ，12)
，(2 ，6 ，6)
，(3 ，3 ，6)
，(3 ，4 ，4) 4 组，由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程的解共有15
纽:(2 ，4 ，12)
，(2 ，12 ，4)
，( 4 ，2 ，12)
，(4 ，12 ，2)
，( 12 ，2 ，4) ' ，(12 ，4 ，2)
，(2 ，6 ，6)
，(6 ，2 ，6)
，(6 ，6~2)
，(3 ，3 ，6)
，
(3 ,6 ,3) , (6 ,3 ,3) , (3 ,4 ,4) , (4 ,4 ,3) , (4 ,3 ,4). 
1. 26 
49 
7是正整数，α = 1，7 和49.
2. 31 
3. 207 
设小明卖出铅笔z 支，圆珠笔y 支，
则4x十7y=2013 且x+y<350(x ，y 均为非负整数) , 
得产阶
可05 一7是，可求得问1÷ ，故问2
黯
…黯.
食
贺
( 七军细)
为食
女食
A 
TI 
'吃
食
第
15
i井
不定方程(组)
4. 12 
4 
(0
，6
，6) ，(1，4 ，7)
，(2
，2
，8)
，(3
，0 ，的参见第
15 题.
5. 1000000 
设第一次点兵共z 营，第二次点兵共y 营，则
1001 x十1 = 1002y +4 ，即100 1(x- y) -3= y , 
工-y 最小值等于
1 ，此时y=998 ，至少有998 X 1002 十4 = 1000000( 人) . 
6. 15 
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为
5 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为α 千米/ 分、
，10(a-b)=5 ，
① 
b 千米/ 分、c 千米/ 分，并设货车经过工分钟追上客车.则} 15 (α- c) =25 ， 
② 
\x(b -
C) =5 .
③ 
由①②，得30(b - c) =5 ，所以工= 30 ,t = 30-10- 5= 1 5( 分钟) . 
(x 十2 = n(y - 2)
，hn m 
~ 
15 
7. D 
设甲、乙所有的钱数分别为工，y 元(工，y 为正整数) ，则!
解得
2n = 1 十一一一
lY + η =2(x - n). '''1 "J 
UH 
~'2y-7' 
2y 一7 的值分别为1，3
，5
，15 ，从而η 的值分别为
8 ，3
，2 ，1.
8. D 
讨论、放缩得3
，3 ，3;4 ，4 ，2
; 2 ，3 ，6 满足条件，由排列组合知共有1+3+6 二10( 纽)满足条件.
9. B 设小虎足球队胜了工场，平了y 场，负了z 场，又设踢平场数是所负场数的走倍，可得z=JL
2走十3 '
① 
(x +y+z=30 , 
10. C 
设购买
10 元、15 元、20 元的电影票分别为x ，y ，z 张，则!
110x 十15y + 20z=500.
②
由②一①X 15 ，得5(z -x)=50 ，z -x= 10 .
11. D 
设甲、乙、丙、丁四种商品各选购了
α 、b ，c 、d 件，
la 十b +c+ d = 6
则L
,_ .
, 
_ 
, _. 
i肖去d ，得5a+4b+2c=6 ，
1 2a 十3 b +5c+ 7d =36
，
人a=O 或1.
当α = 1 时
，4b + 2c=1 元解;
当
α =0 时
，2b +c=3
，得(b ，c ，d) = (1, 1 , 4) , (0 , 3 , 3) (舍去) . 
12. C 
A + B = D ，3=1 +2~A 十B = D~9 .
13 . 设盒子里共有z 粒棋子，则z 被
2 ，3
，4 ，6 的最小公倍数12 除时，余数为1，即x= 12α + 1C α 为自然
12a+ 1 
, a+ 1 
数) ，又x = llb(b 为自然数) ，得
12α + l = llb ，b =~ U~;
~=a+~; ， ~ ，ll l( α + 1)，因
0 <x~ 200 ，故0 < 12α + 1 ζ
11 
_, 
11 
200 ，得0<α< 16 工，α = 10 ，所以
，x = 12 X 10 + 1 = 121 ，即盒子里共有121 粒棋子.
12 
14 .
因abc = 100a + 10b 十c ，ac = 10a +c ，则
100a 十10b + c= 9 (lOa + c) +钉，化简得
5 (α + b) = 耻，这里
la + b= 6 , 
0~a ，b ，c~9
，且α*0 ，因
5 为质数，故l
从而α = 1
，2
，3
，4
，5
，6
，b =5
，4 ，3
，2 ，1
，0
，则αbc = 155 , 245 , 
I c=5 . 
335 ,425 , 515 , 605. 
18x + 9v+ 10z=100 ，
ω 
1 5.
设该运动员命中
8 ，9 ，10 坏的次数分别为x ，y ，z(x ，y ，z 为正整数) ，依题意，得!
ν 
} 
ì x+y+z>ll.
② 
由①得8(x +y+z ) < 100 ，因此x +y 十z运12
③，由②③得工+y+z= 12 . 于是，方程①可变为
y + 2z=4 ，
由y二三l，z二三1，得y = 2 ，z=1
，从而x=9 . 该运动员共打了
12 发子弹，其中9 次中8 环，2 次中9 坏，1 次中
10 环.
16.
设中间的圆圈中的数是工，同一直线上的
3 个数的和是y ，则
4y-3 工=2+3 十… +10=54 ，
4 
z=fy一18 ，
易知y 是3 的倍数，并且Kτy 一18 ~ζ~ 1
所以y = l巳5
，18 ，2剖1，对应的工= 2
，6 ，1川O.
击英
，传
食
食
食
女
女
-RAX 
-R 
学科精英大视野系列丛书
如图:
(第
16 题)
2 
, 1 
~~ , 1 
_, 
~~ 1 
_ ,. 
_.. ~
.. 
_ 
, . 
2 
, 1 
17.
由工注l，y 二三2 ，有一+....::_~三2+τ ，即a ζ2τ ，因此α = 1 或
2. 当
a = l
时，
十
= 1 ，若x= l ，则
工
y
~ 
~工
1 
_ >0 ,.. 
_ 
~.. 
• ~ 
.L 
~ _ 
_. 2 
1 
~ 2 
=- 1 ，与y 是正整数矛盾，故z手1 ;若x=2
，则
=0 ，与y 是整数矛盾，故z手2 ;若z二月，则一+....::_~三τ +
y 
x 
y 
j 
2 
, 1 
_ _ _.. 
_ ~ ." 
. _
. , 
~
，. 
2 
,
1 
~
.L 
_ 
_. 1 
丁E 〈1 ，与一+一= 1 矛盾，故工<3、，综上α手1.当
α =2 时，_:::_ +""::_=2
，若x= l
，则
=0 ，与y 是正整数矛盾，
工
y
y 
2 
, 1 ~ 2 
, 1 __ 
,_ 2 
, 1 
故工手1 ;若z二月，则一十一ζ一十一< 1，与一+一=2 矛盾，故x<3 . 因此
1 <x<3
，于是x = 2
，y = 1 ，与工< y
y 
-
3
、
4
--. . x 
y 
矛盾，故本题无解.
18. 设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，且a < b<c< d. 不妨设工二三y ，要使得x +y 最大，则x=c+ d ，y= b + d.
la + b=189 , 
由题知
i
" 
~~ .α + d 与b +c 一个为
2 8 7 ，一个为
320 ，所以
a + b +c+ d =60 7
，那么x=60 7 -( α + b) = 
l a 十c=234
，
418 ,y =607- (a+c) =373. 此时
，a =68 ，b = 121 ,c= 166 ，d =25 2
，所以z 十y 的最大值为
79 1.
19 . 设这个单位参加健身操比赛的职工有y 人，6 人、5 人、4 人一列分别可以整排a ，b ，c 列，则
y = 6 α -
2=5b+2=4c(a ，b ，c 是正整数) . 
{:α一问+2 ，
① 
6a-2=4c .
② 
6α-2 
3α-1 
2α +(a- l) 
由②，得c = 一一一- -一一- ----
422 
因为
c 为正整数，可令a 一1 = 2m ，所以a = 2m + ICm 是正整数) , 
③ 
将③代入①，得6(2m + 1) -2 = 5b+2. 
b= 12~+ 2 = 10m+ 2_(m+ 1) 
一二-
5 
5 
因为b 为正整数，可令m + 1 =5 n ，所以m =5 η
lC n 是正整数) , 
④ 
将④代入③，得α =2(5n 一1) + 1 = 10n- 1. 
y = 6 α 2=6 (10n- 1) - 2 = 60n-8(n 是正整数) . 
当n=l 时
，y 有最小值5 2.
l!f 参加比赛列队的至少有52 人.
20. 2(A+D+G)+(B 十C+E + F + H + l) =14 X3 .
记A + D + G =x ，B + C + E + F + H + I =y ，字母J 代表未用上的数字.0 ~9 这10 个数字之和为屿，于是
12x+v=42. 
得到方程纽! - -
. J 
--
• 
l x 十y+ J = 45. 
解得工=J -3 ，J=x 十3 .
由于x=A + D + G二三O 十1 十2=3 ，
l!f x二月，于是J注6. 因此有
xl3 1415 16 
JI 6 17 18 19 
只有这四种情形，从而大大缩小了问题的范围.
当x=3 时
，J =6
，取(0 ，1，2) ;当x=4 时
，J=7 ，取(0 ，1，3) ; 
当x=5 时，J =8 ，取(0 ，1
，4) 或(0 ，2 ，3); 当x= 6 时
，J =9
，取(0 ，1，5) 或(0 ，2 ，4) 或(1，2 ，3).
在此基础上，可确定三角形的各条边上的数字可能的填法.
如
γ一生，才
\予了三-
用不同的元素( 如字母或颜色)填入幻方
，使该元素
每行每列都只出现一次. 这是瑞士大数学家欧拉在晚年
构造的" 拉丁幻方" 拉丁幻方既可训练思维，又能帮助人
们设计实验方案.
第16 讲一元一次不署茸
E
. …__. 
'
如撞撞述
不等式是探求不等关系的基本工具.不等式与方程在相关概念、性质、
解法上有着相似点，类比是学习不等式的重要方法.
解含字母系数的不等式、绝对值不等式常用到分类讨论法.
确定不等式中参数的取值范围，需逆用不等式解集、借助数轴.
'
问题黯决
例1
如果关于Z 的不等式(2m - ，山
m -5川的解集为工< 手，那
么，关于工的不等式mx> η (m手0) 的解集为
(黑龙江省哈尔滨市竞赛题)
晤题思路
从已知条件出发，解关于工的不等式，求出m ，n 的值或m 州
的关系.
(7 x- m 二三0
，
悟IJ 2 
如果关于工的不等式组!
的整数解仅为1，2
，3 ，那么
16x- n<0. 
适合这个不等式组的整数对(m ，n) 共有(
) . 
A . 4 9 又才
B . 42 X才
C . 36 X才
D. 13 X才
(江苏省竞赛题)
晤题思路
借助数轴，分别建立m ，n 的不等式，确定整数m ，n 的值.
137 ! 
、
嗦
青~ r: M t竞
澜'跚哥
毡'回崽
即使在数学里，
发现真理的主要工具
也是类比.
拉普拉斯
类比
若两个对象在某
些方面有相同的性
质，则推测它们在其
他方面也可能有相同
的性质，这样的思考
方法叫类比.
光和声，在许多
方面有相同的性质.
如它们都是直线传
播，都有折射与反射
现象等. 根据声的波
动性质
，荷兰物理学
家、数学家惠更斯
( 1629- 1695 )得出
"光可能有波动的性
质"的猜想. 后来，光
的波动性质通过实验
得到了验证.
，~~~ 
，传
，传为
食
* * 
，传
食为
例3
解下列关于z 的不等式:
(1) (2mx 十3 )-n <3x
;
(2) Ix-21ζ 2x 一10;
(3) Ix-51-1 2x+31<l. 
(上海市竞赛题)
醋题思路
与方程类似，解含字母系数的不等式需要对字母系数进行
讨论;解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化为一般的不等式来解，
需分类讨论.
例4
在a 与3 -2a 之间(不包括这两个数)有且只有一个整数，求实数
a 的取值范围.
("希望杯"邀请赛试题)
暨堕塾堕
解含参数不等式组的整数解问题，一般需确定整数解，而本
例条件只知整数解的个数，恰当换元，可降低问题的难度.
例5
已知三个非负数x ，y ，z 满足关系式: x+ 3y + 2z = 3 ,3x + 3y + z = 4. 
若M=3x- 2y+缸，求M 的最大值和最小值.
(山西省太原市竞赛题)
些些翌些
通过解方程组，用含一个字母的式子来表示M，通过解不等
式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求M 的最大值和最小值.
吵
一
学科精英大视野系列丛书
学习不等式
(1)基本手简单.
许多人非常不重
视基本的东西，甚至
轻视它，"基本"应该
等于"重要"加上
"简单"
(2) 懂手会手对.
"懂"有时只是表
面的，只是形式上的
了解，还必须经过组
织与整理，融会贯通，
并从问题的演练中，
不断地发现自己不会
的地方，才可以逐渐
达到"真会"的地步.
G.\&:\G.\ 
( 七a: !J)I ) 
女
食
女，传
，传
食，传
第
16 讲
一元-次不等式
例6
求满足下列条件的最小正整数η: 对于η 存在正整数走，使得立〈
15 
立
成
<
η
曰
(美国数学邀请赛试题)
给出下列解法，其中哪些是对的?哪些是错的?对的原理是什么?错
的原因又在哪里?
且
η
7
--J-. 1 5
η 十L 13 
酶活
1
由_v_ < 一二〈一，有
〉→一〉→，
-→一_:_
~ 15η 十k
- 13'''8
η
7
走
6
于是，丁》丁.
。
η/
48
走
49
若η =56 ，则
〈一〈二次不是整数;
56 -56 -5 6 
96 
~ k 
~ 98 
若η = 112 ，则一< ，
':~ < 
，V，~~ ，
走=9 7.
112 -112 - 112 
故满足条件的最小正整数η 二112 .
7
走
6
晤洁2
由条件得丁〉一〉丁，
一一一一一一
Ö
71 
I 
42 ~4 2 ~4 2 
若k = 42
，则
〈一<一，η 不是整数;
49
η
48 
84 _84 _84 
若k =84 ，则
<:::_:<::
，η =9 7 .
96η98 
故满足条件的最小正整数η = 97.
例7
将若干个由
l 开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个
4 
数，则余下的数的平均数为53
-;;-，问删去的那个数是多少?
7 
("华罗庚杯"少年数学邀请赛试题)
纣析局解
设所写的数为1，2 ，…，η ，删去其中的α (l ~ α ζ 川，则余下
1 + 2 十… + n
α4
的平均数为
~=53 一由
1 运α《η ，建立n 的不等式组.
7 ' 
• 1 ""二ω《η ，
(1 +2+ 3 + … +η)η
~ (l 十2 十3 十… +的
a
~ (l 十2 斗3 十… +的
1
η →1 
~
η - 1 
~
η-1 
' 
~ (ηlM 
L(n+2)(nl) 
4 _ 2 
即
< 53~ < -
，解得
10 5
ζ ηζ 107 一
η1 
-~~ 7η - 1 
η = 106 或
107.
当n=106 时，α=46; 当n=107 时，α 为非整数，舍去.
重量元不等式
通过确定主元、放缩、代入消元或运用不等式性质(若a > b ，c> d ，则a+
c> b+d) 等方法，化多元不等式为一元不等式，是解多元不等式的重要策略.
{工+ 3y = 2 η - 1
，
侈IJ 8 
已知方程组!
的解x ，y 满足条件
: - 1
:::三x~l
，
12工-y= m 十1.
\ 139\Ì.I> 
，，__
咱!I.
皱巴金在
'因事「
苟-区
宋朝大学者未是
曾说"读书无疑者，
须教有疑。"明朝陈献
章说"小疑则小进，
大疑则大进.疑者，觉
悟之机也，一番觉悟，
一番长进"
就解题而言
，解
法是否正确?有没有
不同解法?解法孰优
孰劣等，有许多值得
思考探索的空间.
"不要迷信权威，
人云亦云"，这是绣刻
在英国皇家学会会徽
上的大义微言.
例
6 的更一般问
题是
:
若不等式
立<~<工
15 - 71 + 走
13
对m 个整数走成立，
求正整数η 的最大值
和最小值.
~~~~ 
食
食
食
含
含
-
R
女
食
'眨
1 ζy~三2 ，求m ，n 的取值范围.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
帽
解方程组得
!3叮+2
x= 
4η - m -3 
y 一一一一一一一一一，
7 
结合x ，y 满足的条件，得到
(叩
-1ζζ 1， 
1~ 4n -严ζ2 ，
① 
由①得
( 一附m +闷，
10~ 4 n - m~ 17 . 
由②的第一式加上第二式乘以3 的积，并做简化，得到
?<nQ;
② 
③ 
由②的第一式可得
一5 ~-3m-2η ~9 ，
由②的第一式加上第④式乘以2 的积，并做简化，得到
一5 ~三m~ O.
④ 
⑤ 
中
二
而
…
1
已知关于z 的不等式(2a 仙+ α 一5b> 0 的解是工〈手，贝U ax十以的
解是
(安徽省竞赛题)
{ 3x - 3 二三6x + α ，
2.
已知关于工的不等式组
!
的解是
1 ~ 工运3 ，则
I x 二三l.
a = 
(四川省竞赛题)
3 . 若关于工的不等式Ix-al+lx- 12 1<6 对于任意实数z 均不成立，则实
数α 的取值范围是
(天津市竞赛题)
4. 若关于z 的不等式l 一Ix l>ax 的解集中有无穷多个整数，则α 的取值范
围是
(上海市"宇振杯"竞赛题)
妃/
学科精英大视野系列丛书
相等与不等是矛
盾的两个方面，既相
互统一，又可以互相
转化，具体体现在:
(1)运用不等式
( 纽)讨论方程( 纽)的
解的正负性;
(2 )运用不等式
( 纽) ，用逼近的方法求
特殊方程(纽)的解;
(3 )对于含有等
式、不等式的混合型问
题，综合运用方程(纽)
(消元思想)不等式
(纽)(逼近方法)求解.
~、I~、l~
( 仁革主~ )
1纭，传
食
女食
，传
食，岭
，传
第
1 6 i井
一元一次不等式
3α4 
5 . 若正整数
α ，b 满足
<:ç:-<---;- ，且
α +b 最小，则α=
4 
- b 
- 5 
b= 
("希望杯"邀请赛试题)
6 .
已知非负数a ，b ，c ，d ，e 满足等式α 十b 十c+ d 十e= 1 ，若α + b 十c ，b + c+
d ，c + d十E 的最大值为M ，则M 的最小值为(
). 
2 
A . 
~ 
3 
B÷ 
c÷D t 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
,2x<3(x-3) +1 , 
7. 若关于工的不等式组! 3x十2
有四个整数解，则a 的取值范围
ì 
v~4'一>x+ α.
是(
) . 
11 
~ _/ 
5 
A . -
~4~ <a豆亏
11 _/ 
___ 
5 
c. 
4ζα运亏
11 
1-zζa< 一言
11
只
D 
-z<α〈一言
(山东省竞赛题)
I lx+ 11 < 4x 一1
8 .
已知关于工的不等式组
1
1 ...L
I 
.1.
1 
--""""' "1:..,{.. 
.J.，无解，则实数α 的取值范围
Ix<α . 
是(
). 
AG<÷
B. a寸
Cα〉?
DGf 
(四川省竞赛题)
2 
~ 5 
~ 3 
9 . 满足不等式τ<一〈
的有序整数对(m ，η) 的个数是(
) . 
δ
n 
m 
A. 12 
B. 13 
C. 14 
D. 15 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
1 0.
已知x ，y ，z 是三个非负数，且满足3x +2y+z=5 ,x + y -z = 2 . 若s =
2x + y - z ，则S 的最大值与最不值的和为(
) . 
A. 5 
B . 6 
1 1.解下列关于工的不等式
(1) lax - 11 >ω1 
; 
C. 7 
D. 8 
(天津市竞赛题)
(2) 13x 十21 -l x - 61 > l.
(广西壮族自治区竞赛题)
，3x - a 二三0 ，
12. 已知关于工的不等式组!
I 
I ~ b 
的整数解有且仅有4 个:一1，0 ，1，
i b| < 17·
2 ，那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对(α ，的共有多少个?
(江苏省竞赛题)
13 已知兰兰- l~x一二坠，求Ix - 1
1 一
I x + 3
1 的最大值和最小值
:l 
~ --- ~ 
2 
( 北京市"迎春杯"竞赛题)
、!4也
~、I~、
i~、
* 
冉
的
人
以
女
女
-R 
食
食
，传
l + 2 + 3+ … +η -k 
14.
已知n ，k 皆为自然数，且
1 < 走< n ，若
咱
= 1 0 ，n + 走=
α ，求α 的值.
(香港中学生数学竞赛题)
8 _ n 
_ 7 
15. 求最大的正整数n ，使不寺式一〈一一〈一对唯一的一个整数走成立.
15η + k - l3 
("希望杯"邀请赛试题)
16. 设町，码，町，码，码，句，工7 是自然数，且X]<X 2 <工3<句〈工5 <句〈屿，
X] 十工2 = 鸟，工2+ X 3 = 叫
，X3 +X4 = 罚
，X4 +工5 2 剖，工5+ X6 = 工7 ' 又X] +
工2 + X 3 十X 4 十X 5 +X 6 十X 7 =20 10. 求X] 十工2+句的最大值.
("希望杯"邀请赛试题)
{X<α + 1， 
17 .
已知关于工的不等式组!
的解集中的整数恰好有两个，求实
12x-2>a. 
数α 的取值范围.
(天津市竞赛题)
18. 是否存在c 满足: 对任意的有理数α ，b 都有
| α + b
l
，
l a - b
l
，
1 1 - b
l 三个
值中最大值大于等于c ? 如果存在这样的c ，请给出一个具体的数值，并
求c 的最大值;如果不存在，请说明理由.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
学科精英大视野系列丛书
• 
….[1 • 
例1
13 
/n 
~
，_ 
A 
__ m 十5n
10. ~ 
. _ 
_ _ .. 
_13 
X<一
(2m-n)x> m十切，2m-n<0
一一一一= 一，1 3m =45 η ，m<O ，故工〈
45 
,....." " 
" / "^' --
" " 
I 
V fI, 'l..IlI" 
ft --....v ' 2m - n 
7 
，.l. v IIL -
"1: v ll
，llt
___V ，~ ...<.-............45 . 
例2
B 
由已知得丰ζZ〈??，O〈手~ l ，m俨
m俨
= 1，2ι，
，共7 个札川，
J3〈?ζ 4 ，卅俨
η户=川
数对(m ，ηω) 共有6 X 7 = 42 对
.
例3
(1)由原不等式得(2m-3)x<n-3 ，当
2m-3> 0 ，即m> 立时，其解集为X<卫二三;当2m-3<
2 ., ,,, ... , "~，， ~ -2m - 3 
3 _
1 
.u.)O.... I~ 
n 一3
.. 
A 
~ 
~_ 
3 
0 ，EFm〈÷时，其解集为工> 2'~ _:3; 当2m =3 ，即m= τ且ρ 3 时，解集为所有数;若m= ?且吨，不等式
无解.
( x- 2 二三0 ，._
{x -'2<0 , 
(2) 由(
得z二三8 : 而(
解集为空集，故原不等式的解集为工注8 .
l x-2 ~ 2x- 1 0 ，" 
~ ~ ~，.
. . t2- xζ 2x一1 0 ，
3 
(3) 令x- 5 = 0 ，或2x+ 3 = 0 ，得x = 5 或工=一言，尿不等式的解由下面三个不等式纽的解的全体组成:
3 
I x< -
~ , 
_ ( 立三二x< 5 ，
①
)
、
2 '
(
J 
2 ~ 
l 5 - x 十2x十3 < 1 ，
l 5- x-2x- 3< 1, 
1 
由①得x< 一7 ;由②得一<x< 5;
由③得z二三5 .
3 
(J) f x泊，
I x - 5- 2x- 3< 1. 
iJ_4:; 
才达* * 
每E
才t?
1.吃
食
议
审眨* 
第
16
i井
一元一次不等式
故原不等式的解集为工〈一7 或工〉÷
例4
令α = 1 + 工，则3-2α = 1 -2x .
将问题转化为在
l +x 与
1 -2x 之间(不包括这两个数)有且只有一个整数，显然工手0 ，容易看出这两个
数在数轴上分居
1 的两侧.
rl 十z 主主2
.
1 
(1)若x>O ，则!
宇
' 
解得0<工三三÷;
11 - 2x二三0
，
- 2 
ι 
rl 斗z二三O
.
1 
(2) 若x<O ，则!
解得←÷运工<0.
11 -2x<2 . 
2 
综上可知
÷运工<0 或O<x寸，
所以
一÷〈4
1 〈0 或O<a- 1 <士，
解得
÷ζa<l 或1<α寸
故α 的取值范围为
1 ~ 
~ 3 
~，;:: α《且α 手1.
2
飞
2
例5
由f x + 3y 十2z=3 ，
t 3x 十3y 十z=4
，
I v= 立(1- x) , 
得
)
J 
3'~ -" 
Iz=2x- 1. 
解得卡瓦l
又.:
x ，y ，z 均为非负数，
[了。
(1 -x) 二三0 ，
2x-1 注0
，
1 
故当工=τ 时，M暑-
~
，当x=l 时
，M ，，~ = 7. 
4 
最扣
6 
最欠
43 
22 
代入M 得M =-z 一一
3 ~ 
3' 
锣IJ 6 
解法l 、解法2 都是错误的.解法1 无法说明n = 1l 2 最小，解法2 无法说明η =9 7 为最小.下面给出
正确的解法:
7 '" 15 
月十L 13 _. 7 
走
6 
由
<-
':-，<~ ，付一〉一一〉一
即一〉一〉一又η 走都是正整数，显然
n >8 ，当
n 取9
，10
，1 1，12
15η + 是
13""
8~ n 
~ 7 '" 
8~ n ~ 7 ，~'" 
90~. ~ 105 ~_.~ 6 _. 
_ .~ 1 
13 ，14 时，走都取不到整数，当
n = 15 时，一〈走<.:~ ，即
12 --=-<走<13 一，此时走=13 . 故满足条件的最小正整
7 ." • 8 ' , 
~ -
7 
_., • ~ ~ 8 
数n= 1 5
，走=13 .
1
工〈-f
2. 
3. a 三三6 或α 二三18
4. aζ-1 或α 二三1
一12
由已知得12-a 二三6 或α - 1 2 二三6 .
黯
…………………驳回
若z注0 ，则(α十1)工< 1，当a十1>0 时，O<x<~ 解集中的整数个数有限;当α +
a 十1 ' 
447法
，传
食
食
食
食
3纭
，传
女
为
学科精英大视野系列丛书
1< 0 ,z > -L ，解集中有无穷多个整数;当α+ 1 = 0 时，不等式显然成立，故aζ ~ 1.若x< O ，则(a- l)工< 1，
a+1 
1 
当α -l>O ，x<一一，解集中有无穷多个整数·当a-1<0 时一一<x< O ，解集中的整数个数有限;当α 一1 =
α_ 1 ' I~ f 
/1'-
I 
. q 
" ..... / .j
..7 
I 
_u:.. -.......... , .;.....0...... 
.L 
---. V 
..", 'a - 1 
0 时，不等式显然成立，故α注1.综上所述，a 的取值范围为α 运-1 或a二三1.
5 
___49 
_, __ 7 
5. 7 
9 
由条件得
a< b< -;;-a' -7-a<α + b< --;;-a ，a 取1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 皆不能找到满足不等式的正整数b.
4 -
- ~ - 3 -, 4 -
--
, ~ - 3 
[α +b+ c '"二M ，
①
6. B 
由条件得忖+ c十d~M ，
② 
Lc+d+eζM，③ 
①+③得M对(α +b+ c+叫+e)=: + ~c注一，令a = d= : 
，b= c= 凹，此时a + b+ c=÷ ，b+
1 
, 1 
~ 1 
1 
2 ' 2 - ~ 2 ' ,-
-
2 
叫= ÷，叫+E= ÷ ，满足不等式纽
11 ~ _ 
5 
7. B 8<x<2 ι 12<2-4a~13 ， -
'4'~a< 一亏
，
、
2
8. B 
由条件得! 工/ 3"
!x<a. 
3 
~_ 5 
_ 
_15 
9. B 
由条件得τ〈τ〈言，即τm<n<言，得n~ 7 ，经讨论得满足不等式的(m ，n) 共有4+3 + 2 + 2 + 1 +
1 =13( 对) . 
10. A 
1 
... 
~ ~
~. 
~ 1 
11. (1) ax-1 < 0 ，即αx< l ，当α> 0 时，x< -=- ; 当α< 0 时，x> 一;当a = O 时，解为一切数.
αa 
9 ,_ 
~ 5 
(2) x<
或x>"'::'
2 -., - -
4 ' 
/ x二三手，
12
尿不等式纽等价于1
1. -
因为该不等式组的整数解- 1，0 ，1，2 不是对称地出现，所以其解
I 
b 
~ 
_ b 
i 一一<x<~
l 
2 --
~ 2 
b
~ ~
b 
.._._a
~ _ b 
集不可能是一言〈工〈言，叫τ ~ x< 言，由整数解的情况可知一2<卡
1，2 < 主运3 ，得α=- 5 ，一4 ，
一3 ; b = 5 ，6 ，故整数对(α ，的共有2 X 3 = 6 对.
(-4 
(x二月) , 
13
解不等式得z吐，原式= ~ - 2x - 2 
( - 3~x< 1)， 
L4 
(x< -3) . 
从而知最大值为4 ，最小值为一3 立
11' 
14. a= 29 
参见例
7.
6 ~ k _. 7 
ø_ 96 _ k 
_ 98 
15.
由条件得γ〈7J〈15 ，FFEE〈石< 1~1~2 '取n = 11 2 ，则走只能取唯一的整数97 . 另一方面，当n>
7 
6 
1
~
n
..
_
，-
6
.
7 
112 时'sn- T n = 百n> 2 ，从而在γn 与sn 之间有两个整数，不符合条件，故满足要求的n = 112. 
是~
气〉* 
食
J识
食
食
( 仁.a:
m )
飞这
4岐
'眨
第
16 讲
工3= X 1 + X 2
，
工4- X 2 十工3=x 1 + 2工2 ' 
16
先用工1 :fo X2 表示…，工7 '得机γ引=川工2 ' 
工6= X4 十工5= 3 工1+ 5x 2
，
工7= X 5 十X 6 =5x1 + 8工2 '
因此X 1 十工2+ 工3+ X4+ 工5+ 工6+ 工7 = 13x1 + 20x2 = 2010 , 
2010-13工. •• , I 1 
13 
\ 
于是得工2
.., ,, ---, = 10 0 十
I
~ -
~ ~ Xl 1 
20 
~ ~~， \ 2 
20-" 
1 
13 
因为工2 是自然数，所以
=X
是整数，所以X 1 是
1 0 的奇数倍.
2 
20 ~1 
又因为X 1 <码，故有三纽解:工1= 10 ，工2= 94; 工1 = 30
，工2= 81; 工1 = 50 ,x 2 = 68. 
因此X 1 + X 2 的最大值= 50 + 68 = 118 .
所以工1+ 工2+ 工3 的最大值= 2(x 1 + 工2 )的最大值= 236.
a+ 2 
17.
由条件得-f〈工〈α + 1，由题意知存在整数走满足
(川
走三三
n 一〈走十1
，
(2k - 2 豆α〈川，
t. 
=主> ) 
l k + 1 < a ~ 走十2
，
走十2 < α + 1 ζ k + 3
，
\ 
:
+ 1< 2L
2k - 2 ~ k + 2
， 
得
1 < 走运4 ，从而走= 2
，3 ，4 .
当走= 2 时，得
3 < αζ 4 ;当走= 3 时，得4 < α豆5 ;当走=4 时，得a = 6.
故3 < αζ 4 或4 < a '"三5 或α = 6.
18
存在: 0 或者所有负扣的最大值为÷
假设对于任意有理数α ，b ，下列不等式成立:
((|M…
α计川叫……
十忖叫识叩
b叫以闪
I~
队
ζ轨
m
阪凶付…
α计川
十忖叩
b
l a-川叫
b lω
叫得斗( ω…
一丁诋
α瓦ζm
② 
1 1 - b lζ m ， 
l - m运1 - bζ m ，
③
①+②，得向
④，③+④，得1 ~ 2m ，m斗，m 的最小值为÷
此即说明，当C〈÷时，
1 α + b l~ c ，
l a - b l~ c ， 
I l - b l~ c 不能同时成立，故c斗
4飞
一元一次不等式
自然界的许多现象都与斐波那契数列有关.
如左图所示，树枝的排序也是斐波那契数列.向日
葵的花盘上，种子的排列组成了两组嵌在一起的
螺旋线，它们一般是34 根、5 5 根、89 根、144 根.
' 
"C> Q 对
qf蔽………
·
需17 i:f:l: 
不喜茸自q应用
' 
.-----_.. 
现实世界中不等关系是普遍存在的，通过求出或确定某个量的变化范
围或变化趋势，从而对所研究的问题有一个较清晰的估算或认识，这就是不
等分析的思想.
不等式应用主要表现在:比较数的大小; 求代数式的取值范围;求代数
式的最值;列不等式解实际问题等.
适当放缩、有效夹逼是运用不等式解相关问题的常用技巧.
问题鹏决
例1
若α ，b 满足
3a 2 + 5 I b I = 7 , s = 2α2 一3 I b 1
，则
5 的取值范围
是
( 广西壮族自治区竞赛题)
幡题思路
用5 的代数式表示矿
，Ibl ，由α 2 二三0 ，I b I 二三0 建立关于5 的
不等式组.
棋?
数学的作用比以
往任何时期都大，而
且在将来将起更大的
作用，对学生的数学
要求随时间而剧烈地
增加.
《为新世纪
学习数学》
柯西不等式
柯西0789一1857) ，
著名的勤奋且多产的
法国数学家，在研究
数学分析中的"流数"
问题时曾得到如下的
一个重要不等式，史
称" 柯西不等式"
十
+
+
鸟
2
矶
时
向
(
-<)
4
2"
· 
-
2
a
、
/
叭
州
+
忖
/tta 
++
+ 
α
，
。
。昆、I~、i~
飞J斗嘴
，传
( 七~ m ) 
女￥"
.，传
*
食
第
17 讲
不等式的应用
例2
设α ，b 是正整数，且满足56~a + b~肌
0 . 9<仨0.9 1，则b 2 -
G 2 等于(
) . 
A. 171 
B. 177 
C. 180 
D. 182 
(全国初中数学竞赛题)
黯思想路
通过放缩，化二元一次不等式组为一元一次不等式组是解
本例的关键.
例3
已知α1
' 句，句，肉，鸟，句
，a ) 是彼此互不相等的正整数，它们的和
等于159 ，求其中最小数a 1 的最大值.
(北京市竞赛题)
踹题思路
设a 1 <α2<a 3 < … 〈酌，则α 1+α 2 +向+ … + α 7 = 15 9 ，解，题
的关键是怎样把多元等式转化为只含内的不等式，这里要用到整数的如下
性质:设a ，b 为整数，若α< b ，则α + 1 =::三b.
例4
有甲，乙两台计算机，甲计算机完成一项计算任务需要8 个小时;
乙计算机完成同样计算任务需要1 6 小时;如果甲和乙同时计算，由于存在数
据交换等方面的原因，它们的计算速度都会降低九分之一. 已知甲计算机工
作每小时耗电3 度，乙计算机工作每小时耗电
1 度.而电表中仅有20 度电，
问: 完成该项计算任务最少需要多少小时?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
幡题思路
设乙单独工作z 小时，甲单独工作y 小时，甲和乙两台计算
机同时工作z 小时，完成此项计算任务需要时间为(x + y +z ) 小时，则工，y
和z 满足.
( 小
v
，
8
，~ f1
，
1\_ ，
IÎ\ 
土十-::'+一x
l 一+
~ Iz=l, ω 
16 ' 8 
9
飞1 6 ' 8 r 
-
, 
-
工十3y十4zζ 20 .
② 
怎样求解?昆合关系式?解方程①，代入不等式②及(工+y 十z) .
147 
飞
嗦
在解一些涉及多
个交元的数学问题
时，题设条件并没有
给出交元的大小顺
序，若给它们假设一
个大小顺序，并不影
响命题的成立，且给
问题的解决增加了一
个可供使用的条件，从
而降低问题的难度，这
种方法叫排序法.
a急地，~~
，传
，传女
食
，传*
冒险
食为
例5
货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10 吨，每只箱子的重量不超过
1 吨，为了保证能把这些箱子一次性运走，问
: 至少需要多少辆载重3 吨的
汽车?
(江苏省竞赛题)
纣析写幡
因为每只箱子的重量不超过1 吨，所以每辆汽车一次可运走
的箱子重量不会少于2 吨，否则还可再放一只箱子. 设共需n 辆汽车，它们运
走的重量依次为肉，句，…
，a n ,JJlU 2ζa;~3 (i= 1，2 ，…，η)且箱子总重量为a j +
a2 + … +仇=10 ，将各个不等式相加，得
牡骂"
'+2 ~ aj +a 2 + … + α五吐吐二步
n 个2
n 个3
10 
即2nζ 10 ~3η ，解得
~ n ""-二5 ，正整数η=4 或5 .
3 
但是4 辆汽车是不够的，比如，有13 只箱子，每只箱子的重量为艺吨，
×旦<3 ，4X 旦>3 ，即每辆车只能运走3 只箱子，4 辆汽车只能运走12
13 
只箱子，还剩一只箱子，故至少需5 辆汽车.
例6
在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200 千米，每辆巡逻车可装载
供行驶1 4 天的汽油. 现有5 辆巡逻车同时从驻地A 出发，完成任务后再沿
原路返回驻地，为了让其中
3 辆尽可能向更远的地方巡逻，然后一起返回，
甲、乙两车行至途中B 处后，仅留足自己返回驻地所必需的汽油，将多余的
汽油留给另外3 辆使用，问其他3 辆车可行进的最远距离是多少千米?
(河北省竞赛题)
纣桥
解答本例的关键是列出汽车行驶路程的关系式，运用不等式分
析量的取值范围，进而求最大值.
黯
设5 辆巡逻车行到途中B 处时用了z 天，从B 到最远处用y 天，则
有
2[3(x 十y) 十2x]=14X5
，即5x+3y=35 .
又由题意，得x> O ，y> O ，且14 X 5- (5+2)x ""-二14 X 3 ，即z 二三4 ，
r5x 十3y=35
，
从而问题即是在约束条件h 二三4 ，
下，求y 的最大值，解得y=5.
Ly> O. 
.
其他3 辆车可行进的最远距离是
:
200 X (4+5)=1800( 千米) . 
例7
已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量和成本如下表:
7?」1
甲种食物
乙种食物
丙种食物
维生素AC 单位/千克)
300 
600 
300 
维生素BC 单位/千克)
700 
100 
300 
成本(元/千克)
6 
4 
3 
某食品公司欲用这三种食物混合配制100 千克食品，要求配制成的食品
中至少含36000 单位的维生素A 和40000 单位的维生素B.
学科精英大视野系列丛书
方程表示相等关
系，不等式表示不等
关系，二者是对立统
一的.在解决许多相
等问题时，若能充分
挖掘问题中的有用的
不等关系，则能降低
问题的难度.
一千七百多年前，
著名数学家刘徽在他
的名著《九幸算术注》
的序文里指出，数学的
功用可以达到"虽幽退
诡伏，靡所不入"
解例
7 的关键是
怎样解含相等关系的
多元一次不等式组，
用到代入消元、放缩
等方法技巧.
~I.=、l~、
( 乞革组)
~食
，传
i:r食
食
食
食
第
17 讲
不等式的应用
(1)配制这100 千克食品，至少要用甲种食物多少千克?丙种食物至多
能用多少千克?
(2) 若限定甲种食物用50 千克，则配制这
1 00 千克食品的总成本S 的
取值范围是多少?
(四川省竞赛题)
暨
(1)设配制这100 千克食品中，至少要用甲种食物工千克、乙种食
物y 千克，丙种食物至多能用z 千克.
问+y 十z= 100 , 
据题意可得
i300x + 600y 十300z二月6000 ，
l700x+ 100y +300z二三40000 ，
μ + y +z= 100 ， 
r工二月5 ，
化简为壮+ 2y + z二月20 ，
解得
~y二三20 ，
l7x + y+3z二三400 ，
lz~45 . 
所以至少要用甲种食物35 千克，乙种食物2 0 千克，丙种食物至多能用
45 千克.
(2) 由于限定甲种食物用50 千克，则乙、丙两种食物之和为50 .
r50+y+z= 100 , 
由题意得:
i300 X50+ 600y 十300z~ 3600 0 ，
L700 X 50+100y+300z注40000 ，
ω +z=50 ， 
1-
(V 十z=50.
化简为
~ 2y+z二三70 ，
解得! ~ 
~ 
- - , 
I -
'" '-
1 2 0 ~ vζ 50 . 
Ly 十3z二月0 ，
飞
d 
所以当乙种食物y = 20 时，5刷、=50 X 6+ 20 X 4 十30X3=470 j 当乙种
食物y=50 时，5最大=5 0 X 6 十50 X 4+0 X 3= 500 . 所以配制这100 千克食品
的总成本S 的取值范围大于或等于4 70 而且小于或等于500 .
陆宿5毫
放缩法，即将代数式的某些部分恰当地放大或缩小，从而得到相应的不
等式，以达到解决问题的目的.
放缩法的实质是构造不等式，通过缩小范围逼近求解.放缩法体现了化
"相等"为"不等" ，以"不等"求"相等"的策略和思想.
例8
求最小的正整数n ，使得存在η 个不同的正整数S I , 52 ,… , S7/ 满足
(
1 )(I )
(11 )
51 
1 一~ 11
1 一一
一
= 一一一
5 1
)\ ~ 
52 ) 
\ ~ 
5,, ) 
2010' 
(国际数学奥林匹克试题)
静思想路
面对多元不定方程，要求"最小的正整数η" ，考虑连续正整
数，通过放缩化相等为不等.
之4毡
鸣曲"‘·
...‘ .. 
数学的力量
.. 
晶晶』悻
数学是科学的皇
后，数学是科学的女
仆; 数学是推动生产
发展的知识杠杆，数
学是人类思想革命的
有力武器.
数学的力量是潜
在的
，数学的作用是
无形的.
如何把握放缩的
" 度"，使得放缩"恰到
好处"，是运用放缩法
解题的关键，放缩的
技巧和方法有:
(1) 添加或舍去
一些项
;
(2 ) 把分子放大
或缩小;
(3) 运用常用结论.
一
一
-n 
-n 
<
1
-2
η
 
，
』
只
1 
1 
n- l 
n' 
<
l
-2
η
 
1
一
川
i~~~ 
食
食
，传
，传
食女
食
1佳
女
乏，刻意练习
1.已知α ，阳，y 都为实数，且y+1 σ
2 1 = 1 - a 2 , 1 
X - 41 = 3 y - 3 - b2 ，则
a 十b+x十y 的值为
(安徽师大附中自主招生试题)
2. 已知α +b+c=O ，a>b>c ，则二的取值范围是
G 
一一一一一一一一一-
(江苏省竞赛题)
3. 按如图所示的程序进行操作，规定:程序运行从"输入一个值工"到"结果
是否> 487 "为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么工的取值范围
是
输入
(第3 题)
(全国初中数学竞赛题)
4. 100 名少年运动员胸前的号码分别是
1 ，2 ，3 ，…，99 ，1 00 ，选出其中的走名
运动员，使得他们的号码数之和等于2008 ，那么走的最大值是
(少年数学精英邀请赛试题)
5. 设立1 ，岛，岛
，X4
' X s 是正整数，任取其中四个求和后得到的结果是44 ，屿，
46 ，47 ，则这五个正整数的和是
(清华大学自主招生试题)
la + b< 14 . 
6.
设
a ，
b 为正实数，m 为正整数，且满足!
-
---
，
则
m 的值
l ab注48 十m .
是
(四川省竞赛题)
r 3 
4 
10 
la 十b 'c+ a 
b+ c' 
7.
已知正数α ，b ，c 满足{
则(
I 5 
,
3 
8 
E 一十一一-
l b 十c ' a+b 
c 十a'
A.α<b< c 
B.α <c<b 
C . b<c<a 
D. c<a<b 
("希望杯"邀请赛试题)
8. 某工厂为了要在规定期限内完成2 1 60 个零件的加工任务，于是安排
1 5
名工人每人每天加工α 个零件(α 为整数) ，开工若干天后，其中3 人外出
培训，若剩下的工人每人每天多加工2 个零件，则不能按期完成这次任
务，由此可知α 的值至少为(
). 
A. 10 
B. 9 
C. 8 
D . 7 
( 无锡市中考题)
9. 已知α ，b ，c ，d 都是整数，且α〈岛，b< 3c ，c< 4d ，d<50 ，那么，α 的最大值
是(
) . 
学科精英大视野系列丛书
~、
，I'I:\~
力，峙
*
( 七军提)
女
节食
，传
TI
食
，传
第
' 7 讲
不等式的应用
A. 1157 
B . 1167 
C. 11 91 
D . 1199 
(" 希望杯"邀请赛试题)
10. 宜宾市某化工厂，现有A 种原料52 千克，B 种原料6 4 千克，现用这些原
料生产甲、乙两种产品共20 件. 已知生产
1 件甲种产品需要A 种原料3
千克，B 种原料2 千克; 生产1 件乙种产品需要A 种原料2 千克，B 种原
料4 千克，则生产方案的种数为(
A. 4 
B. 5 
C. 6 
D . 7 
(四川省宜宾市中考题)
11. 某班同学参加社区公益活动←一一收集废旧电池，其中，甲组同学平均每
人收集17 个，乙组同学平均每人收集20 个，丙组同学平均每人收集21
个. 若这三个小组共收集了
233 个废旧电池，则这三个小组共有学
生(
)人.
A . 12 
B. 13 
C . 14 
D . 15 
(天津市竞赛题)
12 . 下表是小洁打算在某电信公司购买一支MAT 手机与搭配一个门号的
两种方案. 此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下
: 若通话费超
过月租费，只收通话费; 若通话费不超过月租费，只收月租费. 若小洁每
个月的通话费均为z 元，工为400 到
600 之间的整数，则在不考虑其他
费用并使用两年的情况下，要使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜，工
至少为(
) . 
甲方案
乙方案
门号的月租费/元
400 
600 
MAT 手机价格/元
15000 
13000 
注意事项:以上方案两年内不可变更月租费
(第
12 题)
A. 500 
B. 516 
C. 517 
D. 600 
(台湾地区中考题)
13. 设工1
，码
，…，工7 为自然数，且工1<工2< … 〈工6<鸟，又工1+ 工2+ … +工7
159 ，求工1 +工2+码的最大值.
(安徽省竞赛题)
14
请回答:÷能否表示为3 个互异的正整数的倒数和?t能否表示为3 个
互异的完全平方数的倒数和?如果能，请给出一个例子; 如果不能，请说
明理由.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
15. 将38 个苹果放到一些盒子中
，除去几个放有
10 个苹果的盒子外，其余
每个盒子放6 个，一共有多少个盒子?
(日本数学奥林匹克试题)
16. 加工某型号零件，有三道工序，要求先加工第一道工序，然后加工第二道工
过5!哈
~~、CA
市E
食
，传
食
食食
* 
í廿
女
序，最后加工第三道工序，其工作量分别是2α ，α ，知.甲、乙两人同时加工
该型号的一批零件，单位工作时间内甲完成的工作量是白，乙完成的工作
量是份，当甲做完第m(m>2)个零件的第二道工序时，乙在做第n 个零件
的第一道工序，问此时乙最少加工完了多少个零件? (结果用数字表示)
("时代杯"江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题)
17 . 是否存在正整数α ，b ，c ，使得(α +b) (b+c) (c+a) =4242? 
(俄罗斯圣彼得堡数学奥林匹克试题)
18. 数学与体育
400 米跑道是怎样划分的?如何用数学来证
明足球比赛对上场人数的规定?在多数人眼里，
体育与数学往往只能擦肩而过，但数学与体育实
际上却联系密切.
(1)在一次球类比赛中有八个队参赛，每两队要进
行一场比赛，胜一场得2 分，平一场得1 分，负
一场得0 分.若一个队要确保进入前四名( 即
积分至少要超过其他四个队) ，问该队的积分
!!t.,t • .!!! 
最少是多少?
(四川省竞赛题)
(2) 有A ，ß ，C ，D 四个排球队进行单循环赛，记分规则是: 两队比分为
3 : 0 或3 : 1 时，胜队积3 分，负队积0 分;比分为3 : 2 时，胜队积2
分，负队积1 分.比赛结果是A 队和B 队并列第一，C 队和D 队分
别获得第三和第四.问:四个队的总积分有几种不同的情况?并对
每种情况，列出各队每场的积分.
(国际城市邀请赛试题)
19. 试求满足下列方程式所有的正整数α ，b ，c: (l + _!_ )(l 十二~ )(1 + _!_ ì =2 .
飞
α/
飞
o
J
飞
c , 
(青少年国际城市数学邀请赛试题)
例1
_ 2_1 ~二5ζlf
aZ= 旦土5s 3: 0 ，Ibl = 旦二3s二三o .
5 ~ J ~
3 
u 
19 
:O-- V'IUI -
19 
学科精英大视野系列丛书
给z主3撞
事....--苟-巨
• 
……_-. • 
例2
B 
由条件得O. 9b+ b<:59,0. 9 1b+ b>56 ，则29 <:b<: 32 ,b= 30 ，3 1.当b=30 时，由O . 9b<:α~O . 91b, 
得27 <:a<:28 ，这样的正整数a 不存在;当b=3 1 时，由O. 9b<:α~O . 91b ，得27<:α<:29 ，故α =28 ,b2 - a2 = 177. 
例3
设a} <:a 2 <:a 3 <:a.<:aS <: a6 <:鸟，因α }
，旬
，... ，α7 为正整数，故a} 十1 ~龟，a} +2 三三句，α}+3 三三句，
旷4~川十5ζ川+6~a7 ' 上面不等式非帆得时K肌币1 9 号，故a} 的最大值为
1 9
例4
x= 16 一句一卡，
③ 
16-b- 3川y+4凹6 +y+τz~20 ，得y+fzQ ，
④
4 
专E)
( 七a=
!应)
也
肉
食
为
，传
言传
食
冒险* 
第
17 讲
不等式的应用
x+ y + z = 16-2y←号内十z=16-y -←
⑤ 
将④代入⑤，得到:工十y十z=16 - y - ia 16 + 土z - 4-iz = 12 一ι-
3 --
~ ~ , 3 -
3 -
~~ 
3 
上式表示:z 取值越大，(工+ y 十z) 取值越小.
从④可知，当y = O 时
，z 取最大值3 ，所以工十y + z二月1 ，从③，y = 0 ，z = 3 ，工= 8 ，得到:工+ y + z = l l.
19IJ 8 
假设正整数η 满足条件，且设，，< 52< … < s " .
则
S i 二三i + l( i= 1，2
，…，η) . 
注意到，
n ~ ~ ^ = ( 1- l__ )( 1- l__ ì … {l - l__ ì 二三(l- ~ ì{ l -~ ì"'{l 一~ ì 一
2010
飞
5 ，
J 飞
5 2
J
飞
5" J 0----
~
" 
2)
飞
3
)
~ ~ 
n + 1)
η + 1 ' 
2010 
670 
于是，η 十1 注
= ~:~~> 39. 
51 
17 
从而
，n二月9 .
下面举例说明
η = 39 满足条件.
取39 个不同的正整数: 2 , 3 , …, 33 , 35 , 36 ,…, 40 , 67 , 
其满足题设等式.
综上，η 的最小值为
39 .
黯
… J
滋
1. 5 
由以王
21 十α2= 1 - y二三O 及
I x - 4
1 十b2 = 3y 一3 二三0 得y = l.
r 1 + 立+ 二= 0 ，
í' 
I 
a 
a 
r 
r 
r 
1 
2. - 2 < 二二<-
~
α >0
， i 
从而
1 >- 1 - --=-- > 主，解得一2 < --=-- <
士
a 
c, 
h 
{" 
a 
a 
a 
c, 
11 >--=--> 二二，
1αα 
3. 7 <x~ 19 
前四次操作的结采分别为
3 x 一2 , 3 ( 3x -
2) -
2 二9 工- 8 , 27 x -
26 , 81 x -
80 ，如l
fh2阳7 ，
81x- 80> 487. 
4. 62 
所选号码越小的，可以使选出的人数越多，因此考虑选由l~n 的连续n 个自然数之和不超过
n( η 十1)
2008 的一组，由
1 十2+3 十… + η= 一一一一~ 2008 ，得η (n + 1) ~ 4016
， 62 X 63 = 3906< 4016 , 63 X 64= 4032 > 
2 
4016 ，于是，取η = 62 ，即最多能选出
62 人.
5. 57 
4 4+ 44 + 4 5 十46 + 47 ~ 4(x ，十X2 十x，十与十工5 ) ~ 44 十45 + 46 + 47 十47. 即226 ~ 4( 工】+ 工2+ 工3 十
x，+ 工5 ) ~ 229.
6. 1 
14 二三计应2
.;;;b二三2
j48丰百二三2 J48+1 = 14 ,m= 1. 
1 
~， 
~ ~ 
_.~ _ (3z + 4y 二10
，
7. A 
设一一= x ，-，-= v ，--
，-. = z ，则x ，y ，z>O
且满足!
得15x=12y ，:. 工< y ，又由5x 十
b+ c 
..... ，汗Z
y , G+b ' i 
5 z + 3z斗，
3z = 句，得
5 (x - y) =3(y- z) ,:. y< z ，从而
~'< y<z .
8. B 
设原计划Jm 天完成，由
1 5ma = 2160 得am = 14 4
①，设开工n 天后有3 人外出，则
1 5an 十05-3) X 
(a十2) (m - n) < 2160 
②，把①代入②，得α(η -m) < 8( η
m). :. a> 8. 
9. B 
a ~ 2b - l，b豆3c - 1 ，c~ 4d - 1.d ~三50 - 1 = 4 9 .
10. B 
11. A 设甲、乙、丙三个小组的人数分别为
x ，y ，z ，则
17x+ 20y 十21z=233 ，因为
233 = 17x+ 20y 十
153 
、
电
食
* 
食
食
八
日
合
世
R
A
H
-R 
学科精英大视野系列丛书
21山7(x + y + z)
，所以工+ y十z< 捍=吨，又因为233仨归
=斗1山
7x 十廿20句y +刊2以2且l(ω工+汁
巾
233 
.. 2 
~ ~ .. 2 ~， 
~ ，n 12 
z> 一一=11 一，于是11 ~-. <x 十y + z< 13;~
，得x + y 十z = 12 或工+ y 十z = 13 .
21 
"" 21' , ~ "" 21 
-~ , J' 
' 
-
- ~~ 17 
(x + y 十z = 13 ，
"" 
当x+y 十z = 13 时，由
1
付
3y + 4z = 12 ，此方程无正整数解.
J 
,
-
-
-
.
, 
'
\17 工+ 20y 十21z = 233.
故x + y 十z=12.
12. C 
13 由旧= x 1 十工，+ "
' +。旷(沪1) 十(x 1 + 2) + "
' + (x 1 十的，解得x 1 <叫，所以工1 的最大值
为
19 ，同理工，'工3 的最大值分别为
20 ，2 1，所以几十几十几的最大值为
19 + 20 + 21 = 60 ，
11 ,, 1 
L
, !l
,
l
, l\ 
1
,
1
, 1 
14. (1)一=一X
~ = --:;- X I 一十一+ --:;-
) =一十←十
; 
8 
4 " 2 
4 ' , 
~ 12 ' 6 ' 4 } 
48 ' 24 ' 16 
1 
1
,
1
,
1 
，
1
~
1
~
1 
"，，
1
~
1
~
3 
(2) 不妨设三个正整数α < b< c ，满足一=-;- + 寸+-;- ，由寸〈寸〈寸，得丁《丁，8 < 旷< 24 ，故
8α 】
b】
c ' ' ~ c' 
- b' 
- a' ' " 
a' 
- 8α -
a ' =9 或
16.
1 
1 
1 
1 
1 
L. 1 ~ 1 ~ 2 
/.w 
~ n ~
" 
~ ， " 
"., , 
若α'= 9 ，则
7τ+ 一= 一一一= 一由一〈一〈一，得
72 < b'< 144 ，故b"= 81
，100 或
12 1.将
b ' = 81, 
c' 
8 
9 
72 ' ~ b' 
~ 72 ~ b' 
? 
72b' 
100 ，121 分别代入
c ' = τ一一，没有一个是完全平方数，此时无解.
b'- 72 
1
, 1 
1 
1 
1 
~
"
L'Â/.W
，~~
，'~n n 
U_OO" 
n~
' 
16b' 
16 X 25 
若α ，= 16 ，如j 丁τ 十
= 
一=一，同上讨论得
16 < 旷< 32 ，所以
b ' = 25 ,c' = 一一←一= 一一一一，不是整
c' 
8 
16 
16"'-"YV"J"V
~ U 
~ V~" ' I' /O
U 
~V
，c 
b' -16 
9 
数故÷不能表示为3 个互异的完全平方数的倒数和
38 ~ 
, 
~ 38 
15 . 设装有10 个、6 个苹采的盒子分别有z 个J 个，则
10x 十6y = 38 ，得一::(x 十y运一，即4运工+ y ::( 6
，
10 
又由19= 3(x+ y) + 2x 知z 十y 为奇数，故z 十y 二5 ，此时工= 2
，y = 3 满足题意.
_ 
,,"-
_ 
~ .L ~ " 
_, 
..~ ~ 7 (m - 1) a + 3a 
16 .
甲完成(m-1) 个零件和第m 个零件的第一道工序共用的时间是
5b 
7(n - 1) α 
乙完成(η - 1)个零件共用的时间是
4b 
7(η 一1) a 十2α
乙完成(n - 1) 个零件和第
n 个零件的第一道工序共用的时间是
4b 
7(η
1) a ~ 7 (m - 1) a + 3α7(η 一l) a + 2α
由题意得一一一一一〈
4b 
5b 
4b 
即35(η 一1) < 28m-16 < 35(η
1) + 10 , 
19 
所以28m+9 < 35n< 28m + 19
，即4m 十7〈5η < 4m 十
7 ' 
因为m ，n 均为正整数，所以5η = 4m + 2.
于是n=4是+ 2 ，m = 5 走+ 2( 走= 0
，1
，2
，… ) . 
由题意走#0 ，当走= 1 时
，n = 6.
因此，乙最少完成了
5 个零件.
17. 4242 = 42 X 101
，101 是素数. 不妨设101
1 (α 十b)
，则a 十b注10 1，
4242 
(b 十c)(c + a) = 一一一ζ 42.
α + b
---
但(b 十c)(c十α)= ♂+ αb + c(a + b) > α + b二月0 1，矛盾. 因此不存在满足条件的a ，b ，c.
., .• 'Q8 X 7 
18. (1)总共得-T × 2=56 分.
封5 ~)
-以* * 
( 仁a= !R ) 
女女
*
û * * 
第
17 讲
不等式的应用
如采积分前五名的队彼此战平，且分别战胜积分后三名的队，而积分后三名的队彼此战平，那么，就会有
五个队各积
1 0 分，其余三个队各积2 分. 因此，积
1 0 分不能确保进入前四名.
若某队积分为
11 分，但该队是第五名，则积分前五名的队得分总和大于或等于
5 5 . 从而，积分后三名的
队得分总和至多为l.然而，这三个队彼此之间进行的三场比赛得分总和应为
6 ，导出矛盾.
故积
11 分一定能够确保进入前四名.
(2) 按照记分规则，一场比赛产生3 分，四队单循环比赛，有6 场比赛，共产生
1 8 分.设A ，ß ，C ，D 四支排
球队总积分分别为x
，X 巾，z ，由题意可知:
(川+ z= 18, 
工>y>z二三O .
( 兴)
由( 并
) ，可得:1 8=2x、十y+zζ 2 工+x- 1 + 工- 2 =4x-3
，得到
: 工二三6 ; 
由第
1 个方程可得
: y 十z 是偶数，且C 队和D 队之间必须进行一场比赛，所以
，y 十z 二三4 ，则有2x + 4 ζ
2 x+y 十z 二1 8 ，得到: 工<7 .
①当工= 7 时
，y=3 ，z= 1
，
②
当工=6 时
，y= 4 ，z=2
jj比y=5
，z = l.
所以，四个队的总积分有
3 种不同的情况
:
各队每场和、分和总积分
第
1 种
A 
B 
C 
D 
总积分
A 
l 
3 
3 
7 
B 
2 
2 
3 
7 
C 
。
2 
3 
D 
。
。
l 
1 
注:横排表示各场积分和总积分.
19.
不妨设αζ b~c ，那么
第
2 种
A 
B 
C 
D 
总积分
。
3 
3 
6 
3 
2 
l 
6 
。
1 
3 
4 
。
2 
。
2 
A 
B 
2 
1 
1 
。
( 1 + 士)( 1 十士)(1 + + ) ζ ( 1 + 士) ( 
1寸) ( 
1 十士) , 
即2运{1 + _lì'，αζ 3.
\ 
a I 
1_
,
1\1_
,
1\ 
若α = 1 ，贝IJ r 1 + -;- 1 r 1 + -=- 1 = 1，矛盾.
\ 
IJ 
1\
ιf 
第
3 种
C 
D 
·飞
ESiE 岳
'‘，。、fì-
2 
2 
6 
2 
3 
6 
3 
5 
。
1 
1 ~ 
]飞
1
~ , 
1
、
4
. 1 _ , 1 \ 1 _ , 1 \ ~ 1 _ , 1 \ 2 h"'~ . ___ ~ 
~ '- {_ , 1 \ {_ , 1 \ 
若α = 2 ，则
( l + ~ \l
1 十一i
由(1 +~ \ (1 十一
\ ="三1
1 十
i
解得b~ 6 ，再由11 + --z-
\ 11 + -::-- 1> 
1
ο 川
ι
! 一
3 ''''' \ Á , b }\ "' c r ''' \ .L
1 
b
)
飞
b
}
飞
c } 
(1 + 士) 得以，ffr 4ζ附
当
b =4 时，c 二1 5 ; 
当
b =5 时
，c=9
;
当
b =6 时
，c= 7
，均是符合题意的解.
1 _ , 1 \ 1 _ , 1 \ 
3 
, { _ , 1 \ { _ , 1 \ ___ {_ 
I 1 \ 2 án /.ø , _____ 
若α = 3 , !iJIJ ( 1 + ~ \ 11 + -=- \ =一
由11 ++
1 (1 +-=-
1 ζ 1
1 十一
i
解得b~ 4
\ Á I b }\
.L
1 
c ) 
2'''"' \ -'- ' 
b
}
飞
c
}
飞
b J 
当
b =3 时
，c=8
;
当
b =4 时
，c=5
，均是符合题意的解.
综上所述，房、方程的所有正整数解为( 2 ，4 ，1 5 )( 及其排列，共6 纽解)，(2
，5
，9 )( 及其排列，共6 纽解) , (2 , 
6 ，7)( 及其排列，共6 纽解)，(3
，3 ，8 )( 及其排列，共3 纽解) 以及(3
，4 ，5 )( 以及排列，共6 纽解) ，共有27 纽解.
155 
·在
龟
t
‘、，、t.. T 1 t .... 
笛卡儿0596- 1650)
，17 世纪法国著名哲学
家、数学家，1637 年出版了著.名的哲学著作《方法
论》一书，在这本书中，他引进变量概念，使运算关
系符号化，创建坐标系
，建立解析几何学，从初等
数学发展到近代数学，解析几何的诞生是一个伟
大的里程碑.
'''' ''1 ，.μ" 、，、n ，‘'
句_" C‘--‘......…
胁-
'陶‘ 
)叮咆
，衍守
P坷电l ‘ 
，__ 吁哦鹏
』
、_，巾.
喃命
-伽-.
-
一』
‘牛、'.:...:'.0，11 ‘秘
望
、也受u
~( 气毯~~._--…
._--_._----------------------------------------
需18 ì:J:I: 
平iIii:m国坐商量泵
' 
.…--… 
'
如撞撞述
穷
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，从
而坐标平面上的点与有序数对(工，y) 之间建立了一一对应关系，是用代数方
法研究几何图形的有力工具.
平面直角坐标系问题，涉及点的坐标意义、坐标轴上点的坐标特征、对
称点的坐标特点、象限内点的坐标符号特点，善于促成坐标与线段的转化是
解相关问题的关键.
飞'
问题黯决
例1
(1)若P(a ，8) 和Q(7
，的关于y 轴对称，则(a 十的2010
一一一一一·
(湖北省黄冈市竞赛题)
(2) 如图，是5X5 的网格.一只蚂蚁在网格左下角(0 ，0) 位置，每次能向
上走一格或者向右走一格，要到达右上角(5 ，5) 的位置，且不能经过点
(1
，1)
，(1
，4)
，(4
，1) 和(4 ，4) ，则不同的走法共有
种.
(青少年数学国际城市邀请赛)
晤题思路
对于(2) ，以(0 ，0) 为起点，渐次地寻
(5,5) 
找到达每一个点的不同走法的种数，并在相应的位置
上记录下来，并由此写出走法的规律.
(0,0) 
(5,0) 
￡;J 
斗争巳主3费
事'瞩目E
毡'咽区
当学生在解那些
对他来说并不太容易
的题目时，他学会了
面对挫折且侠而不
舍，学会了当灵感到
来后的全力以赴.如
采在学校里有机会尝
尽为求解而奋斗的喜
怒哀乐，那么他的数
学教育就在最重要的
地方成功了.
一一- 波利亚
美金9 ￥2号ïM
队
仪
俨
然
窗
之
…
…
阳
从
酬
....".靡，
笛卡儿说有三个
梦引导了"一门奇特
的科学"和"一项惊人
的发现"，这就是科学
史上有名的笛卡儿之
梦.对笛卡儿而言，怀
疑是一门艺术，是一
种必要的手段，它使
人们脱离感觉的影响
而获得解放.
~~~ 
曹雪
食
军
冒险
，除
才是
六
第
18 讲
平面直角坐标系
例2
设平面直角坐标系的轴以
l 厘米作为长度单位
，6 PQR 的顶点
坐标分别为PCO ，3) ,Q( 4 ,0) ，R( 走，日，其中
0 < 走< 4. 若该三角形的面积为
8 厘米2 ，则走的值是C
). 
A. 1 
8 
B 
3 
C. 2 
D
旦4 
l 
E. : 2 
(澳洲数学竞赛题)
耀题思路
通过作辅助线，把6 PQR 的面
积表示成其他图形面积的和差，建立走的方程.
y 
R 
。
Q 
z 
(例
2 )
例3
(1)如图①，将边长为
1 的正方形OAPB 沿工轴正方向连续翻转
2006 次，点P 依次落在点P j
' 矶，矶，孔，…
，P 2006 的位置，求点P 2006 的横坐
标.
(广东省竞赛题)
(2) 如图②，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为
1 个单位
长，尺
，P 2
，P 3 …均在格点上，其顺序按图中"→"方向排列.如:P l ( 0 , 0) , 
P 2 CO ，1)
，P 3 (1，1)，凡(1，一1)，P ，( - 1，一1) 'P 6 (一1，2 ) …根据这个规律，
求点P 2016 的坐标.
y 
X 
(岳阳市中考题)
x 
y 
r-'--T--r-, --r--r-,--, 
L_J__~__L_J__L__L_J__J 
, , 
I 
时宫，
, , 
扣伽.-1--+--←--i--.--←-"'--1
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
L-4-m ↓--Hi-- ↓-..凹，-:
: : : 
:0叫
il i:: 
1---1 --T-..- "'I…，-帽'0--吨--，
I 
I A' I 
I 
I 
r-ì--T--r-~-T--r 叮叮--，
I 
I JJ I 
I 
I 
I 
L_~__~__L_J~_L__L_J__J 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
X 
国②
国③
(3) 如图③，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P 处开始依次关于点
A
，B ，C 作循环对称跳动，即第一次跳到点P 关于点A 的对称点M 处，接着
1 5 与
在平面直角坐标
系中，由坐标找点和
由点求坐标是" 数"与
"形"相互转换的最基
本形式.点的坐标是
数与形结合的桥梁，
求点的坐标的基本方
法有:
(1)求相应线
段长;
(2) 解方程纽.
现阶段求线段的
长度，因受知识的制
约，故常借助面积
求解.
点的坐标变化规
律有下面两种表现
形式:
(1)循环规律;
(2) 递进规律.
其中递进规律又
体现为:按一定规律
分类，或点的位直按
一定程序变化.
4岖
'吃
食
食
女
女
食
为
-R 
跳到点M 关于点B 的对称点N 处，第三次再跳到点N 关于点C 的对称点
处，… ，如此下去.
①在图中画出点M ，N ，并写出点M ，N 的坐标;
②求经过第2008 次跳动之后，棋子落点与点P 的距离.
(安徽省竞赛题)
晤题思路
操作实验，观察发现，从寻找点的坐标变化规律入手.
例4
如图①，已知四边形OABC 是一个长方形，其中顶点A ，B 的坐标分别
为ω和队认点E 在AB 上，且AE=lAB ，点F 在历上，且OF= t优点
3 
G 在OA 上，且使6GEC 的面积为20 ，6GFB 的面积为16 ，试求a 的值.
y 
! y 
E 
B 
A 
A.. 
, 4 1 
(0, a) 
G 
(0, b) 
。
(0, 0) 
图①
图②
("创新杯"竞赛题)
晤
如图②，设G 点坐标为(0 ，的
，b> O.
因为S长方形OABC -S6GEC = S6即十S6AGE +
S 6 HEC ' 
1 
_. , 1 
所以如
20=τ
• 9b 十一
.
3(a - b) 十
· 缸，
2 
-- , 2 
3 
20 
解得b= 一α 一→
2 -
3. 
同理，由S长方形OABC -S6GFB =
S 6ABG + S6∞F 十S6 BFC
'
得如一1 6=÷ - 9(αb)+÷
- 3b+ ÷
- 6α ，
化简得3α =32-6b .
将b320
=--;:-a 一一代人上式，得
3a = 72 一切，解得a = 6.
2 -
3 
例5
下象棋是很多人喜爱的事，你知道象棋里充满着数学问题吗?如
图①，象棋盘上有一只马，它跳七步能回到原来的位置上吗?若能，请给出
一种跳法; 若不能，请说明理由.
丝些些些
不论怎么跳，马都不能回到原来的位置，理由如下:
如图②，我们可在棋盘上建立直角坐标系，并设这只马所在的位置P 的
坐标为(Xo 'Y o ) . 那么，马跳一步后的位置的坐标应为CXo +町
，Y o + Y l )' 这里
i(:~ 
学科精英大视野系列丛书
斗争已主i竟
薯'回事
飞回.. 
区
恰当地建立坐标
系，以数助形，这种解
决问题的方法为坐
标法.
例
5 更一般的结
论是: 只要马跳步的
次数是奇数，就不能
回到原来的位直. 若
马跳了
η 步后回到原
来的位直，则跳的步
数必为偶数.
&.\~I'íì:\ 
* 
( 仁军细)
A 
俨
世皆
的工! 和Y l 只可能是1，一1，2 ，一2 这四个数中的-个(想→想，为什么) . 
I'W 
VI'\., 
」民警I"'-V 
1/1, 
。
因①图②
同样，跳第二步后，马所在的位置的坐标应为(Xo + .2" 1 +句，Yo 十YI 十
Y2) ，这里的工2 和Y 2 也只可能是
1
，一1 ，2 ，一2 . 依此类推，跳七步后，马所在
的位置的坐标为归。十X 1 十X2 +引+句+工5 十2"6+鸟，Yo + Yl + Y2 +约十Y4 十只+
Y6 +Y7 )' 如果这时马又回到原来的位置(川
' Yo )
，那么有工。+ X 1 +X2 + 工3+
叫十工5 十工6 十X7 工工。'YO+ Y I 十Y 2 十只十川+Ys 十Y6+Y7= YO '
也即X1 十X2 十工3 +工4 十.1:'5 十X6 + x 7 =O 'Yl +Y2 +Y3 +y, +Y5 +Y6 十Y7 =0.
将两式相加，有
( X 1 + YI ) +(工2 十Y2 ) + C川十只)十(工1 十Y4 ) 十(町+Ys ) 十
(工6 + Y6 ) + (工7 十Y7 ) = 0 .
由于上式中14 个数都只能取1，一1，2 ，-2 ，而且每一次跳的两个坐标
之和不能为0 ，4 ，- 4 ，2 和一2 ，因此X 1 +YI 'X2 十川，问十川，引十Y4
，盯十片
，
引十片
，工7 十Y 7 这七个数只能取1，一1，3 ，-3 .
但是不论怎样取法，由于奇数个奇数相加的和为奇数，所以这样取出的
七个数的和不可能等于O. 故马跳七步不可能回到原来的位置.
坐标化
恰当地建立坐标系，以数助形，这种解决问题的方法称为坐标化，坐标
化的思想就是对应思想.坐标化使相关问题代数化，即找出相关问题涉及点
的坐标或应满足的关系式、方程，通过讨论关系式、方程来研究问题.
例6
一片
10 英尺宽
1 7 英尺长的长方形地板用
170 块一英尺的正方
形瓷砖铺好. 一只虫子从一个角落沿着直线爬到对角，包括第一块和最后一
块瓷砖，这只小虫爬过了多少块瓷砖?
晤题思路
如图示，建立直角坐标系，
设小虫的初始点为0(0 ，0 ) ，目标点为P
BI 
(1 7 ，1 0) ，先求州小虫与1 7 条纵线的交点分
,_ 10\ 
. 
，~ 20 \ 
. 
，~ 30 \ 
R 
别为A I 11, ~ ~ 1 ,A21 2, ~~ 1 ,A31 3, ~~ 1 , ... 
号
\ J., 17 } '"'2 \ '"" 1 7 }飞
1 7 1
5
y 
} 
3 
/ 
, 
A I 7 (1 7 ，1 0)
j 再求出小虫与
1 0 条横线的交
OIA,A,A, 
(美国数学竞赛题)
/ 
17 
11 7
、，34
~ \ 
~ ,51 ~ \ 
点分别为BI ( ~ ~ ， 1 \ , B2 ( :: , 2 \ ,B3 ( 
叫，… ，B 1o (l 7 ，1 0) . 由于
1 0 与17 是
\ 1 0 ' J. }
，U 2 飞1 0
' ，"，}' LJ 3 飞1 0
' '-' }
五素的，所以共有26 个不同的交点，小虫每爬到一个交点处，意味着它爬过
了一块瓷砖，即小虫共爬过了26 块瓷砖.
159 
·在
食
矿，传
第
1 8 讲
平面直角坐标系
思则有路
在数学问题的解
决过程中，伴随着一
系列的心智活动，无
论进行过程是否顺
利，都给人以启迪和
力量.
"细雨湿衣看不
属
见，闲花落地听无声
"
在挑战数学奥林
匹克问题的征途中，
我们的知识、方法、能
力、智慧、意志力悄然
得以增长.
数学知识具有严
密的逻辑性和系统
性，各分支之间存在
着紧密的内在联系.
" 迁移"是融合各分支
的关键.
"迁移"即运用一
种思想方法对另一种
数学知识或问题产生
作用，是一种"融合
性"的思维策略，其实
质是以彼之法合此
之理.
食
食
食
食
食食
，除肯
为
如
一
­
哼
1.如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是(1，0) ，若点A 的坐标为(α ，的，将
线段BA 绕点B 顺时针旋转90。得到线段BA'
，则点A' 的坐标是一一一一­
(河南省竞赛题)
y 
37 
36 
35 
134 33 32 
31 
10 + 27 
y 
yt 
18 
?•••? 
19 
x 
20 
21 
2 
3 
(第
1 题)
(第2 题)
AUAU
J
06 
句
、
"
气
'
ι
-
句
J
-
A-EEEEEEA-EEEBB-
32I 
ll-
z 
气
，
"
(第
3 题)
2.
如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序
按图中"→"方向排列，如(1
，0)
，(2 ，0)
，(2 ，1)
，(1 ，1)
，(1
，2)
，(2 ，2) ，'
根据这个规律，第2012 个点的横坐标为
(山东省泰安市中考题)
3. 如图，把自然数按图的次序排在直角坐标系中，每个自然数都对应着一个
坐标. 如1 的对应点是原点(0 ，
0)
，
3 的对应点是(1，口，
16 的对应点是
( - 1
，2) ，那么，2004 的对应点的坐标是
(江苏省南京市江宁区竞赛题)
4. 在平面直角坐标系中，已知A(7 ，0)
，B(9 ，5)
，P 为坐标轴上一点，且
S "' PA B = 50 ，那么，点P 的坐标是
("创新杯"竞赛题)
5. 如图，点。是坐标原点，折线ADC 将DAOB 的面积
yt 
-1 
二等分，若点A(3 ，8) ,D(8 ,2) ，C(2 ，0) ，则点B 的坐
标为
(世界数学团体锦标赛试题)
6. 若α 为整数，且点M(3α - 9
，2α
10) 在第四象限，则
α 2+ 1 的值为(
(第5 题)
A . 17 
B. 16 
C . 5 
D. 4 
(黑龙江省哈尔滨市竞赛题)
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知A( →2 ，0) ，
B 
Y 
B( - 1，2)
，C Cl，0) ，连接
.AB ，AB 的中点为D ，连
接OB 交CD 于点E ，则四边形DAOE 的面积为
A . 1 
Bt 
c 
x 
(第7 题)
扩?
学科精英大视野系列丛书
~~、，G.\
争t * 
( t 
a= 
!I歪)
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食
食
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第
18
i井
平面直角坐标系
5 
c. __::_ 4 
6 
D. 
~ 5 
(山东省苛泽市中考题)
8. 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图，将正方形ABCD 绕D 点顺时针
旋转90 。后
，B 点的坐标为(
) . 
A. ( - 2,2) 
c. (3 ,1) 
(第
8 题)
I 
B. (4 ,1) 
D . (4 ,0) 
("希望杯"邀请赛试题)
z 
9. 如图，→个粒子在第一象限内及工，y 轴上运动，在第一分钟内它从原点运
动到(l
，0) ，而后它接着按图所示在工轴、y 轴平行的方向上来回运动，
且每分钟移动
1 个长度单位，那么，在1989 分钟后这个粒子所处的位置
是(
) . 
A . (35 ,44) 
B. (36 ,45) 
c. (37 ,45) 
D. (44 ,35) 
(美国数学竞赛题)
10.
一步之遥
姜文在其导演的电影《一步之遥》中饰演"马走日"，该名字取自中国
象棋中"马"的走法.
中国象棋，"马"走"日"字，即马走一步可以从"日"字形长方格的一
个顶点走到对角的另一个顶点，当
71 是自然数时，马从棋盘上的点A 走
到点B
，所走的步数不可能是(
). 
A . 2015η 2 十2013η
c. 
2 0 1 4 11 3 十2015
K 
(第
1 0 题)
B. 201471 + 2015 
D. 2013η 十2014
B 
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
161 
嗦
6队~鬼。昌、
1传
食-{;{
食
食食
，曲
*
-{;{ 
1 1.
已知在平面直角坐标系中，0 为坐标原点，点A 的坐标为(α ，0) ，点B 的
坐标为(ωb ，
2υ) ，点
C 的坐标为
(μ( ，d)
，其中
αa ，b, ( 满足方程组
{~α2… u 
2αb 一(=3.
(1)若点C 到工轴的距离为6 ，则d 的值为一一一一一;
(2) 连接AB ，线段AB 沿y 轴方向平移，线段AB 扫过的面积为15 ，求点
B 的横坐标;
(3) 连接AB ，AC ，BC ，若，6，ABC 的面积小于等于10 ，求d 的取值范围.
12.
阅读理解
我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面
直角坐标系中，任意两点P(XI'YI) 、O( 町
，Y z ) 的对称中心的坐标为
( ιXz YI + 川)
2 
' 
2 
观察应用
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点
P 1 (0 ，一1)
，P z (2 ，3) 的对称中心是
点A ，则点A 的坐标为
(2) 另取两点B(- l. 6,2. 1) , C( - l, O). 
有一电子青蛙从点P 1 处开始依次关
于点A ，B ，C 作循环对称跳动，即第
一次跳到点P 1 关于点A 的对称点
工
'
'
土
'
生
·
·
T
l
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牛
牛
-
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-
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L←-斗十十十
ρ咱丰护卉[γ
汁-十十
L←-斗十」
'归-咛→-←-俨-.户-- t - 叩-咿ι町- 宁-..--.，--.. 
←--_户
F…-"
P z 处，接着跳到点Pz 关于点B 的对
(第12 题)
称点P 3 处，第三次再跳到点P 3 关于点C 的对称点P 4 处，第四次
再跳到P 4 关于点A 的对称点P S 处…… 则点瓦，凡的坐标分别
为
拓展延伸
(3) 求出点P 20 1 2 的坐标.
(四川省内江市中考题)
13 . 约翰获得了亚当的藏宝图，亚当藏宝的点(工'Y) 为整点.他在藏宝图上标
上了z z 十Y'X+ 旷的值，且它们不等.证明:约翰只能在一个地方挖掘才
能找到宝藏.
(英国数学奥林匹克试题)
14. AOCD 是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中0 是坐标原点
，点A
.
C ，D 的坐标分别为(0 ，肘，(5
，0)
，(3 ，8) . 若点P 在梯形内，且，6，PAD 的
面积等于，6，POC 的面积，，6，PAO 的面积等于，6，PCD 的面积.
(1)求点P 的坐标.
(2) 试比较ζ PAD 和ζ POC 的大小，并说明理由.
("创新杯"竞赛题)
15. 一只青蛙在平面直角坐标系上从点(1，1)开始，可以按照如下两种方式
跳跃:①能从任意一点(a ，的，跳到点(2α ，的或(α ，2b); ②对于点(α ，的，
￥l62 
学科精英大视野系列丛书
曾di琵
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区
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齿，耐
，传
女食
食
3号，传
食
第
18 讲
军
平面直角坐标系
如果α > b ，则能从(α ，的跳到(a-b ，b); 如果α < b ，则能从(α ，b) 跳到
(α ，b - a) . 例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点(3 ，1) ，跳跃的
一种路径为:(1，1)→(2 ，1)→(4 ，1)→(3 ，1 ) .请你思考:这只青蛙按照规
定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗?如果能，请分别给出从点(1，1)
出发到指定点的路径;如果不能，请说明理由.
(1) (3 ,5); (2) 02 , 60); (3) (200 , 5); (4 ) (200 , 6). 
(浙江省竞赛题)
16. 设η 和m 为任意正整数，棋子马在坐标(n ，m) 处，每步横行n 格然后直
行m 格，或直行η 格然后横行m 格.求证:在无限大的方格棋盘上，可用
黑白两色染方格，使(n ，m) 处的马每步的起点与终点总是不同色.
(环球城市竞赛题)
17. 在平面直角坐标系中，若某点的横、纵坐标均为有理数，则称该点为"有
理点";否则，称为"无理点气在平面直角坐标系中任作一个正五边形，在
其五个顶点中，有理点与无理点哪个多?证明你的结论.
(中国东南地区数学奥林匹克竞赛题)
' 
-………--辍
.
a = 一7 ，b =8 ，原式= ( 一7 +8) 2010 = l. 
咱
E
4
、
，
/
14 
( 
例1
如图所示.
如图S①+ SCJ 十Sø+ S"，用>R = 4X5 ，
I 
)'!f 
~ X 2k + 
~ X (4 - k) X 5 十一X 3 X 4 +8= 20 ，解得是= 一
2 
(2) 34 
B 
191]2 
(1)正方形OAPB 沿z 轴正方向连续翻转4 次，也就是正方形OAPB 沿z 轴滚动一用，点P 的横
坐标增加4 ( 其中从点P→P ，→P2 →P3 →尺，横坐标分别增加2 ，1，0 ，1).因
2006 = 501 X 4 + 2 ，正方形OAPB
滚动50 1 周后又翻转了
2 次，放点P 2006 的横坐标为一1 十50 1 X 4 十2 + 1 = 2 006.
(2) 点P20 16 位于第四象限，坐标为(504 ，-504).
191]3 
(3) (
M( - 2,0) ,N(4 ,4) . 
②棋子落点坐标变化的规律是棋子每跳动3 次后又回到点P 处.因2008 = 669 X 3+ 1 ，故经过第
2 008 次
跳动后，棋子落在点M 处，则PM= JOM + Op2 = H丰?"= 2 JZ ，即棋子落点与P 点的距离为2JZ.
y 
丁
γ7γ
广.-…-…γ-
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7γγ.
…啡丁
γγγ
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卡卜卜.…….…γ.
þ.. . .φ.. ... 啕-t . ..匈φt-.. ‘-t---圃-t---甸....._ - -t--_.吨. 
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广?… -rÄ1…1""1…-了--r - -l
.. .-- 句.----t---剖t -- -. - -- -t - - - -t ---呵'…
1
i i i IP i 
j一γ-丁-- 1…-r-- 1… - 1… - 1… - 1
_l___l___l___l _..l_._l___l___" 
(4, 5) 
Q(4, O) X 
y 
。
7 
17 
34 
5 
4 
12 
2 4 8 
2 4 14 
2 
5 17 17 
(例
3 )
(例2)
46也
(例1)
• 
-甸戳
" 
1. 
(b 十1，
α+ 1)
以最外边的正方形边上的点为准，点的总个数等于该正方形右下角(即z 轴上)的点的横坐标的
2. 45 
平方.
所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上，且数(2η+1/ 对应点的坐标为(n ，-n)
，
3. (1，一22)
于是数2025=45 2 对应点的坐标为(22 ，一22) ，而2004=2025-21 ，故2004 对应点的坐标为(1，-22).
4. (一川
分类讨论，借助面积计算.
分别过点A ，D 作AA' _L OB 于A' ，DD二LOB 于D' ，5四边形刷DC = 560\A' 十5~ i!J ADD'A' -
56∞D' = 31, 
且
一2
一
一
B 
C 
得
?
μ
 
<hu
--
B 
M
即
A 
QU 
5. (号，0)
(2 工+2y=2
，
连接AE ，设56ADE =x ，56曰: =y ，则
56 BDE = 工，56 AEO = 句，56 BEC =3y ，得!
12x+6y=3. 
6. A 
7. C 
8. D 
先观察横坐标与纵坐标相同的点:(0 ，0) 粒子运动了
0 分钟，(1，1)粒子运动了
2=lX2 分钟，
9. D 
(2
，2) 粒子运动了
6=2X3 分钟，(3
，3) 粒子运动了
12=3 X 4 分钟，…，(44
，44) 点处粒子运动了
44X45=1980
分钟.这时粒子将向下运动，从而在运动了
1989 分钟后，粒子所在位直是(44 ，35).
将棋盘上的格点(纵横线的交点)分别涂上黑、白色.规则是:①从点A 开始，涂黑色;②黑白相间
A 
10. 
(与黑点相邻的是白点，与白点相邻的是黑点) .则最后点B 涂黑色.显然，日字格的对角线的两端点的颜色相
异.因此，马走日字格从A 点到B 点，所走的步数必定需奇数步，不可能是偶数.无论为奇数还是偶数，则
2015n2 + 2013n 总是偶数，2014n+2015 与
2014旷+2015 总是奇数;而2013n + 2014 与
n 同奇偶.
所以，马走日字格从A 点到B 点，所走的步数不可能是偶数2015n 2 +2013n. 故答案选A .
11. (1) ::1:: 6 
(2) B 点横坐标为
5 或一1.
(3) 由方程纽得
c -a=2>0 ,c-b=7>0 , 
:，c> α >b ，即点A 在点B 右边，点C 在点A 右边.
①如图①，②可得56且c=?刊，
气
4 _. ~ 16 
': 0< ~ d +2~ 10
，二
< d~ 一
2-"--~-'-
-
5 
--~5
' 
②如图③，56础c=-7d2 ，
24 
':0 < 一言d 一2ζ 10 ，:，一τζ d<
τ 
24 ____ , ~ 
4 
c-
4 _. ~ 16 
综上得d 的取值范围为-一~d< 一一或一
<dζ 一
5 -- -
5 -'. 
5 -- ~ 5 
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生4
才k
( 七军主应)
，、* 食
食
食
第
'8 讲
平面直角坐标系
y 
y 
V 
01 A F x 
国①
回②
回③
(第
11 题)
12. (1) A( l,1) 
(2) P 3 ( -
5. 2 ,1. 2) 
P, (2 ,3) 
(3) ':P, (O ,-1) •
P, (2 , 3) •
P 3 (一5 .
2
，1.
2) →P ，(3 .
2
，一
1. 2) •
P 5 ( -
1. 2 , 3. 2) •
P6 ( - 2, 1) • 
P 7 (0 , - 1)•
P 8 (2 ,3). 
"坐标以
6 为周期循环，而
2012--:-6 = 335 …… 2 ，故P 2012 的坐标与
P 2 的坐标相同，为P 201 ，(2 , 3) . 
13 .
由题中条件，知x'+ y手工+ y ' .
IX'+V=X' ，十vr'
假设存在两个不同整点(工，川，(工'巾') ，满足!
丁
, 
二
l x+y'= 工'+y' , 
由于( X ，y)
，(X' ，y') 是两个不同整点，故在工与zrJ 与yr 中至少有一组中两数不等.不妨设工弓i::: x ' .
y - y'=X' '- x'= (x' 
工) ( x' + 工) , 
工- x' = y" - y' = (y' - y) (y' + y). 
则x - x' = - (x' - x) (x' + x) (y' + y). 
因为工手工'，所以( x' 十工) (y' 十y) = 1. 
情形
l:x' + x = y' 十y = 1. 则
x' = l -x ,y' = 1- y. 
故矿+y= (1 -x) '+ (l - y) .
整理得x + y= 1. 而yF 十y = l
，故z =y' ，zFzy .
从而j 十y=y' '+ x' = 工十y2 ，矛盾.
情形
2 : 工' + x = y' + y =- 1.
则工' =- 1 - zqr= 一1-y.
故工'+ y=( 一1-x) '+ (-1-y).
整理得工= y. 从而工2 十y =x 十y2 ，矛盾.
因此JW-、结论成立.
14. (1)如图，过点P 作PE l_ y 轴于点E. 因为6PAD 的面积等于6 POC 的面
ty 
积，所以
3AE = 50E ，即
3 (8 - OE) = 50E ，解得OE=3. 所以6 PAD 的面积=
6 POC 的面积=t × 3 × 5=754 PAO 的面积=6 PCD 的时=[C3 +5 ) X8--:-
1 
, ~ _ _ 
~ 
_ 
d_ ~ ~ 17 
U _.. 
1-
~ ,,_ ,1. J.~ " (l 7 
~ \ 
2-2X7. 5J--:-2 = 8. 5 ，则τ × 川=8 . 5 ，即PE= 石'所以起P 的坐标是( 石，3 ) 
(2) 取0' (0 ，肘，连接PO'
，如Lζ POE = ζ PO'E > ζ PAE ，
从而
90。一ζ POE< 90 。
正三PAE ，所以ζ POC<ζ PAD.
15. (1)能到达点(3
，5) 和点(200
，6).
从(1，1)出发到(3
，5) 的路径为:
(1, 1)• (2 ,1)• (4 ,1)• (3 ,1)• (3 , 2) •
(3 , 4) •
(3 , 8)•
(3 , 5) . 
从(1，1)出发到(20 0 ，们的路径为:
1 65~ 
。
(第
14 题)
工
(1, 1)•(1, 2)•(1, 4 )→(1，3) →(1，6) →(2
，6) →(4
，6) →(8 ，的→(1 6
，6) →(1 0 ，的→(20
，6) →(40
，6) →
(80 ，6) →(1 60 ，6) →(320 ，6) →(前面的数反复减20 次)→(200 ，6) .
(2) 不能到达点(1 2
，60) 和(200 ，5)
.
理由如下:
..
α 和b 的公共奇约数= α 和岛的公共奇约数=2a 和b 的公共奇约数，
由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数.
又.. 如果α > b ，α 和b 的最大公约数= (a-b) 和b 的最大公约数，
如采a< b ，a 和b 的最大公约数= (b-a) 和b 的最大公约数，
由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数.
从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数.
.: 1 和
1 的公共奇约数为1，12 和60 的公共奇约数为
3
，2 00 和5 的公共奇约数为
5 .
..从(1，1)出发不可能到达给定点(1 2
，60) 和(200
，5) .
16 . 设(n ，m) = d ，η =α d ,m = bd , (a ，的=l.先将棋盘分割为dXd 块，每块中的d' 个方格彼此同色. 再以
各块的中心为格点
，d 为边长作格点阵(每个格点代表d X d 块儿
(1)若a ，b 一奇一偶，依国际象棋棋盘方式间隔染色，即当
x +y 为偶数时将( x ，y) 染黑色，而x+y 为奇
数时将(工，y) 染白色.由于a 十b 为奇数，故马(刀，m) 每步的起点(工，y) 与终点(x ::l:: a ，y士的或(x ::l:: b ，y 士a) 的坐
标和不同奇偶，从而不同色.
(2) 若a ，b 同为奇数，依工的奇偶间隔染色(同- x 的整个竖直条同色) .同样因为每步工与工土α 或z 士b
不同奇偶，从而起点与终点不同色.
17. 在平面直角坐标系中任作一个正五边形，设其边长为α ，对角线长为
b. 
.15- 1 
易知，
=ZL一
b 
2 
, 
()5-1\ ' 
3-)5 
τ =
1 一一----=-
1
=一一一为无理数-
b' 
\ 
2 
J 
假设五个顶点中存在三个有理点. 则三点之间的距离必同时含有α 与b 这两个值. 又两个有理点之间距
离的平方为有理数，故a ' ，b' 均为正有理数，与手为无理数矛盾
因此，平面直角坐标系中的任意正五边形，其有理顶点的个数不大于2 . 这表明，其五个顶点中无理点更多.
纪)
璀碟的星空令人无限神往，哥白尼曾说
" 有什么东西
能比天空更美好呢?要知道天空囊括了一切美好的东
西
"左图是埃舍尔创作的《星空
)) ，他对多面体和框架星体
情有独钟，主体框架星体里住着两条变色龙，给宇宙星空
增添了生气和趣意.
言i归功自由;二i
'
如能翻遮
图形有具体的，有抽象的;有平面的，有立体的. 它既可以是艺术中的绘
画和雕塑，也可以是科学上的表达或记录.
立体图形与平面图形之间的联系体现在以下方面:立体图形的展开与
折叠，从不同方向看立体图形，用平面去截立体图形.
观察归纳、操作实验、展开想象、推理探索是解立体图形问题的基本方法.
折叠
平面图形立体化，展开一-立体图形平面化，折与展，将我们
的思维带入到更深刻的境地.
我们既要能将一个立体图形展开得到它的各个面，又要能将一个平面
图形折叠起来，想象出它的立体形状.
'
问题能决
帮IJ 1 
(1)如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面
上的代数式的值相等，则z 十y-x 的值是
('Ó 希望杯"邀请赛试题)
.r+y 
z - l 
I 
5 - 6工
3 .r 十2
I 4.r- 3 
(2) 设
5 cm X 4 cm X 3 cm 长方体的一个表面展开图的周长为ηcm ，JnO n 
的最小值是
(江苏省竞赛题)
由
她
7a
.‘ 
phu-
-
、
柏拉图说"上帝
在不断地制作几何
图形"
普卢塔克
从多面体到足
球，从蜂房结构、气j色
的三重联结到多面体
的面，2 008 年美丽雄
伟的水立方就矗立在
我们面前.
数学家从大自然
中获得灵感，而数学帮
助他们找到隐藏在深
处的数学规律和美.
~Q\~、
* * 
1-守
节峙
，传
食
，传
，传女
瞄题思路
对于(1) ，囱折叠还原成正方体，建立方程组;对于(2) ，把展
开图的周长用相应代数式表示.
例2
如图是一个立体图的主视图、左视图和俯视图(图中单位为厘
米) ，则立体图形的体积为(
A . πB. 
2π 
)立方厘米.
c. 3π 
已
主视图
左视图
俯视图
D . 4 π 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
瞄题思路
先确定该立体图的大致形状.
例3
如图是由若干个正方体形状木块堆成的，平放于
桌面上，其中，上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正
方体的上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为1，
且这些正方体露在外面的面积和超过8 ，那么正方体的个数
至少是多少?按此规律堆下去，这些正方体露在外面的面积
和的最大值是多少?
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
壁堕翌些
所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面露出的面积
和，就是需要求的面积.从简单人手，归纳规律.
也
学科精英大视野系列丛书
从不同的方向
看，既要能从三视图中
想象出立体图形，又要
能从给定的立体图形
想象出从不同方向看
它时的不同形状.
~~、
，~、
( 乞革组)
合食
*
t址，传
食
会，舱
，传
侣。4
图如图.
由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视
(1)请你画出这个几何体的一种左视图
;
(2) 若组成这个几何体的小正方体的块数为』
d丑
n ，求n 的值.
主视图
俯视图
("希望杯"邀请赛试题)
蠕题思路
本例可以在"脑子"中想象完成，也可以用实物摆一摆.从操
作实验入手，从俯视图可推断左视图只能有两列，由主视图分析出俯视图每
一列小正方形的块数情况是解本例的关键，而有序思考、分类讨论，则可避
免重复与遗漏.
例5
(1) 1 000 个单位正方体合在一起成为一个棱长是10 个单位的大
正方体，油漆后再分开为原来的正方体. 求这些单位正方体中至少有一面被
油漆的个数.
(2) 一木制正方体的边长为n 单位(这里η > 2 的整数) . 将此正方体的
表面全部涂上黑色的漆，再用平行于此正方体各个面的平面将正方体切割
成旷个边长为1 单位的小正方体. 若恰有一面涂有黑漆的小正方体的个数
正好等于六面全无涂漆的小正方体的个数，求n 的值.
(美国高中数学考试题)
幡题思路
对于(1) ，先确定单位正方体所有面未油漆过的个数;对于
(2) ，建立n 的方程.
例6
要把一个正方体分割成49 个小正方体(小正方体大小可以不
等) ，画图表示.
(国际数学竞赛题)
纣桥局幡
本例是一道图形分割问题，解答本例需要较强的空间想象
能力和推理论证能力，需要把图形性质与计算恰当结合.
为方便起见，设正方体的棱长为6 个单位，首先不能切出棱长为5 的立
方体，否则不可能分割成49 个小正方体.
设切出棱长为1 的正方体有α 个，棱长为2 的正方体有b 个，如果能切
飞;::吆
第
1 9 讲
立体图形
给出两种视图，
要求画出第
3 个视图
或确定立方块的块
数，这样的问题答案
常常不唯一. 解题的
关键是: 俯视图就是
立体图形最底层对应
的平面图形，主4见图
中每7'J 小正方形的个
数就是俯视图中每列
数中最大的数值.
对于例
6 ，有下
列一般的结论:
一个立方体可以
分割成
n 个小立方
休，这里
n = 1
，8 ，1 5 ，
20 ,22 , 27 , 29 , 34 , 36 , 
及大于47 的整数.
~~~ 
食
食为
食
，传肯
食
*女
出
1 个棱长为4 的正方体，
{α +Sb+64=216 ，口
则有!
解之得b=14 号，不合题
la +b=49- 1. 
-- -
-
'1 
意，所以切不出棱长为4 的正方体.
设切出棱长为
1 的正方体有α 个，棱长为
2 的正
方体有b 个，棱长为3 的正方体有c 个，
ta+Sb+27c=216 , 
则r--- --
-
-
-- -- 解得a=36 ，b=9 ，c=4 ，
la +b十c=49.
故可分割棱长分别为1，2 ，3 的正方体各有
36 个、9 个、4 个，分法如图
所示.
例7
雨哗哗地不停地下着，如果在雨地里放一个如图①(单位:厘米)
那样的长方体的容器，雨水将它注满要用
1 小时(不考虑溅出) . 
有下列A-E 不同的容器(图②) ，雨水注满这些容器各需多长时间?
III'III!IIIJ' 
111 , '1' 11 1 1'1 1 
10< 1 咽圆圆蹦跳
飞I
I 
30 
(注:噩噩噩翻面是朝
图①
上的敞口部分)
ω
、
t
i
z
-
-
y
r
i
|
j
k
|
|
|
」
可
A 
30 
B 
C 
D 
E 
10 
1.
}10 
20 
时圄}1O
IO{噩习}1O IO{ 
。
2 
" 
」iYOJ 
」一『γ-----
10 
20 
从上往下看
图②
(日本算数奥林匹克竞赛题)
笠墅里堕题中"雨哗哗地不停地下着"这一条件，也可以理解为雨均
匀地下(这与日常生活中的降雨略有不同，生活中降雨可能会时大时小，并
不均匀) .雨水从敞口部分垂直落入到容器内，我们就可以把"敞开面"(即图
中所示的阴影面)叫作"接雨面"
图①所示的长方体容器，"接雨面"与底面大小相同，
雨水将它注满需要1 小时，也就是说1 小时后该容器内雨
水的深度是10 厘米.如果容器的高度不止10 厘米，而是无
学科精英大视野系列丛书
一个立方体能否
分割成
47 个小立方
休，至今还是一个未
被解决的问题.
20 世纪初，伟大
的法国建筑家列·柯
尔伯尔曾说"到目前
为止，我们从没有生
活在这样的几何时
期，周围的一切都是
几何学"
作为空间形式的
科学的几何学，视觉
思维占主导，在培养
直觉思维、洞察力、逻
辑推理能力等方面具
有无可替代的作用.
~、I~c.\
( 也革组)
大食
，传
食，传
，告
会，传
，传
第
19 讲
立体图形
限的，那么2 小时后容器内雨水的深度将会是20 厘米，以后每过1 小时雨水的
深度就会增加10 厘米;如果在长方体容器中垂直放入一个很薄的挡板(其厚
度忽略不计) ，将大容器分成两个小容器(如图③所示) . 小容器的"接雨面"变小
了，但每个小容器的"接雨面"与底面大小仍然相同，那么1 小时后，每个小容器
内雨水的深度还是10 厘米(因为忽略了挡板的厚度，它不占原来长方体容器
的容积) .通过上述分析与假设，我们可得出如下结论: 只要容器的"接雨面"与
底面大小相同，1 小时后容器内雨水的深度就是10 厘米.
根据结论，观察图②所示的五种容器，其中A ，B ，E 三种容器的"接雨
面"与底面大小相同.
A 容器高10 厘米，雨水注满该容器需要
1 小时;B 容器高30 厘米，雨水
注满该容器需要3 小时;E 容器高20 厘米，雨水注满该容器需要2 小时.
剩下C ，D 两种容器，它们的"接雨面"与底面大小不同，可先将其转化为
"接雨面"与底面大小相同的容器(如图④所示) .此时，C 容器的高变为30 厘
米，雨水注满需3 小时;D 容器的高度为15 厘米，雨水注满需1. 5 小时.
却
(
白
白
V
D
ω
{
飞
陆
卜
U
ω
〈
口
γ
c
眩扭~式
瑞士数学家欧拉是历史上最多产的数学家，一生发表过800 多篇(本)论
文、著作.他2 8 岁时解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，其主要思想是将原问
题转化为一笔画问题.
法国著名数学家拉普拉斯曾说"读读欧拉，他是我们所有人的导师"
例8
建立模型
18 世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V) 、面数(F) 、棱
数(E) 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种
简单多面体模型，解答下列问题.
A 口令@
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格:
多面体
顶点数(V)
面数(F)
棱数(E)
四面体
4 
4 
长方体
8 
6 
12 
正八面体
8 
12 
正十二面体
20 
12 
30 
过7始
…ω
阻
写拿大iII 萃"
部
陆
醉
"
放
唰
黝
相
W
A
醺
中
息
匪
路
?
阳
岛
蜡
刷
品
削
蛐
伪
阻
"
睛
睛
，
但
也
卿
一
超人的毅力、非
凡的才能、过人的数
学直觉，成就了历史
上最多产的伟大数学
家欧拉. 通过这本书
，
我们可以从欧拉的数
学直觉，以及直觉在
科学发展中所起的作
用得到宝贵的启示.
Ci\~&tt\ 
，告
*
'i坛
，峙
*
")，与
现r
食女
你发现顶点数(V) 、面数( F) 、棱数(E) 之间存在的关系式是一一一一·
(2) 一个多面体的面数比顶点数大8 ，且有30 条棱，则这个多面体的面
数是
(3) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边
形两种多边形拼接而成，且有24 个顶点，每个顶点处都有3 条棱. 设该多面
体外表面三角形的个数为z 个，八边形的个数为y 个，求工十y 的值.
模型应用
1""斗、
如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑
l 
:.皿
1 
皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、
• 
γ , 
正六边形个数
"-l咽....... 
(浙江省宁波市中考题改编)
晤题思路
对于模型应用，有不同的解法，请读者一试.
习
一
一
练
一
一
意
一
­
g
h
A
忧
。
"
1.如图是一个3X3 X3 的正方体，现从其表面任意拿出一个1 X 1 X 1 的小
正方体，则剩余立体图形的表面积为
( 写出所有可能的结果) . 
("理想杯"邀请赛试题)
旧
且F
(第1 题)
(第2 题)
(第3 题)
2. 用七块棱长为1cm 的小正方块堆成一立体，其俯视图如图所示，则共
有一一-一一种不同的堆法(经旋转能重合的算一种堆法) . 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
3. 如图，在一次数学活动课上，张明用
1 7 个边长为1 的小正方体搭成了一
个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，
使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方
体(不改变张明所搭几何体的形状) ，那么王亮至少还需要
个小
正方体，王亮所搭几何体的表面积为
(山东省青岛市中考题)
红〉
学科精英大视野系列丛书
&.\~~、
( 忆革纽)
t纭*
，传
力，传
，传
为，传
，传
第
19 讲
立体图形
4. 王老师将底面半径为20 厘米、高为3 5 厘米的圆柱形容器
中的果汁全部倒入如图所示的杯子中，若杯口直径为20
厘米，杯底直径为10 厘米，杯高为
12 厘米，杯身长
1 3 厘
米，则果汁可以倒满
杯.
甲:
(世界数学团体锦标赛试题)
(第4 题)
5. 将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n 3 (η > 2) 个
相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红
色的小正方体的数目相同，则η=
(全国初中数学联赛题)
6. 将27 个大小相同的小正方体组成一个大正方体，现将大正方体各面上的
某些小方格涂上黑色，如图所示，而且上与下、前与后、左与右相对的两个
面上的涂色方式相同，这时，至少有一个面上涂有黑色的小正方体的个数
是(
) . 
A. 18 
B. 20 
C . 22 
D . 24 
("希望杯"邀请赛试题)
七
旦
的
图①
图②
(第6 题)
(第
7 题)
7 . 如图①，将正方体的左上部位切去一个小三棱柱(图中M ，N 都是正方体
的棱的中点) ，得到如图②所示的几何体，设光线从正前方、正上方、正左
方照射图②中的几何体，被光照射到的表面部分面积之和分别为S前'
-
、
，
-
-
t
i
-
-
吨
，，
-
-
-
示
「
l
|
l
h
|
|
L
所
R
d
图
2
一
一
古
只
-
f
J
L
图
-
2
一
见
一
一
左
拍
S
A
l
-
-
S
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一
二
i
-----
U
二
〈
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K
L
Q
性
体
J
=
〈
立
左
前
上
­
sss
--r 
L
A
.
巳
设
。
。
B. 5前< 5上= 5左
D. 5 J二< 5左= 5前
正视图
侧视图
俯视图
(园和正方形)
(第8 题)
则该立体体积为(
) . 
A.4 + 于
B . 4+于
C4 + ? 
D. 4 十π
(浙江省竞赛题)
9.
由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些
面涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45 个单位立
~~~ 
过7法
食食
1纭
，峙，传
女
食
食女
学科精英大视野系列丛书
一阳
_....-一
…曰"….
方体上任何一面都没有漆，那么大立方体被涂过油漆的面数是(
). 
A. 1 
B. 2 
C. 3 
D. 4 
("创新杯"邀请赛试题)
10. 小明把棱长为4 的正方体分割成了
29 个棱长为整数的小正方体，则其
中棱长为1 的小正方体的个数是(
). 
A. 22 
B. 23 
C. 24 
D. 25 
1 1.如图，从长、宽、高分别为15cm ，5cm , 4cm 的
长方体中切割走一块长、宽、高分别为ycm ，
4cm 
5cm ，xcm 的长方体(工，y 为整数) ，余下的部
分的体积为120cm3 ，求x ，y 的值.
(浙江省竞赛题)
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
(第11 题)
12. 把两个长为3cm 、宽2cm 、高
1 cm 的小长方体先粘合成一个大长方体，
再把它切分成两个大小相同的小长方体，那么一个小长方体的表面积最
多可比起初一个小长方体的表面积大多少?
(江苏省竞赛题)
13. 如图①，这是由6 个单位正立方体所摆放出的"立体示意图"，我们在每
个最上方的面涂上斜线.图②是图①的"轮廓图" 若已知图③是由
18 个
单位正立方体所摆放出的立体图的"轮廓图"，请画出它的" 立体示意
图"，并且在每个最上方的面涂上斜线.
(国际少年数学精英大会自主试题)
图①图②图③
( 第
1 3 题)
14. 如图，上面是一个底面直径和高都为1 0 厘米的圆柱，下面是一个棱长为
10 厘米的正方体，从上到下挖去一个直径为6 厘米的圆柱后，问所得几
何体的表面积是多少平方厘米(π 取3)?
(世界数学团体锦标赛试题)
D 
(第14 题)
(第15 题)
提二J
~，;;、i~
革
食，传
，传
*食
*
女食
食
15 . 如图，ABCD 是长方形，BC =6 cm ,AB= 10 cm ，AC 和BD 是对角线，图
中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，求阴影部分扫过的立体图形的体积
(π 取3. 14). 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试翅)
16 . 我们在一个立方体的每个面上写-个正整数，然后，在每个顶点处再写
一个数，该数等于过这个顶点的三个面上的整数的乘积. 已知该立方体
各个顶点上的数字之和为70 ，求该立方体各个面上的数字之和.
(斯洛文尼亚数学奥林匹克试题)
第
1 9 讲
立体图形
• 
-"...."…-……__n _ 
í3x十2= 5- 6工，
锣Jj 1 
(1) -3 由~4x-3=x+y ，得z=iq=·- 2 ，z= 一导，原式=-3
I ---
. J' 
' . 
-
3' 
J 
- ,-
3 
lz- 1=7x+2y. 
a 
(2) 50 
长方体的展开图的周长为
8c十4b+ 缸，
周长的最小值为8 X3+4X4+2X5=5 0 .
例2
B 
(例1)
例3
4 
9 
最下面正方体1 个面的面积是
1 ，侧面露出的面积和是4 ，每相邻两个正方体中上面的
1 个
正方休每个面的面积都正好是其下面正方体1 个画面积的l ，所有正方体侧面面积之和加上所有正方体的上
2 
面露出的面积和(正好是最下面正方体上底面的面积
1) 即是这些正方体露在外面的面积和.如:
2 个正方体露出的面积和是4+?+ 1 =7 ，
4 
, 4 
3 个正方体露出的面积和是4+ 一+一+ 1 =8 ，
2 ' 4 , . 
~， 
4 
, 4 
, 4 
,
. 
_ 1 
4 个正方体露出的面积和是4 +~+~+~+1=8 土，
248 
4
, 4
, 4
,
4
,
. 
_ 3 
5 个正方体露出的面积和是4+ 一+ 一十一十一十1 =8 二
2 ' 4 ' 8 ' 16 
4 
, 4 
, 4 
, 4 
, 4 
6 个正方体露出的面积和是4 + ~+
十
+一+~'~+ 1 = 8
2 ' 4 ' 8 ' 16 ' 32 
故随着小正方体木块的增加，其外露的面积之和都不会超过9.
例4 . (1)…下5 叩』面目
(古IJ 4) 
(2) n = 8 ,9 ,10 ,11. 
也国
{9Jj 5 
面油漆过.
(1)大正方体内有8 3 =5 1 2 个正方体是所有面未油漆过的，故有
1 0 3 - 8' = 488 个丘方体至少有一
(2) 有一面涂漆的小正方块有6(n-2) 2 个，六个面均未涂漆的小正方块有(η
2 ) 3 个，由
6(η 一2) 2 = 
Jf也
食
食
食
食
AX 
女
-
R
女
-R 
学科精英大视野系列丛书
(n - 2) 3
，得n=8.
例8
(1) 6 
6 
V十F - E = 2
(2) 20 
24 X 3 
~ ~
， h 
(3) 这个多面体的面数为工+y ，棱数为
2一= 36( 条) . 
根据V十F-E = 2 ，可得2 4+ (x+ y) -36= 2, :. x十y = 14.
模型应用
设足球表面的正五边形有工个，正六边形有y 个，总函数F 为x+ y 个.因为一条棱连着两个面，所以足
球表面的棱数E 为÷(5z+6y) ，又因为一个顶点上有三条梭，一条棱上有两个顶M 以顶点数V=÷( 5z+
2 
1 
6v) . 一=一(5x十6y) . 
.)', 
3 
3 .--
-
J 
1 , _ 
，
~
. 
] 
由欧拉公式V+ F- E =2 得(x + y) + 一( 5x十6 y) 一亏( 5x十6y)= 2 ，
3
白
解得x = 12.
所以正五边形有12 个.
又根据每个正五边形周因连着5 个正六边形，每个正六边形又连着3 个正五边形，所以六边形个数字=
20 ，即有20 个正六边形.
• 
……'-‘ . 
1. 54 , 56 ,58 
~军正方体的表面积为
9 X6=54 ，当拿出的小正方体位于角上时，表面积不变;当拿出的小
正方体位于边上时，表面积增加2 平方单位;当拿出的小正方体位于中间时，表面积增加4 个平方单位.
2. 5 
因底层已用了四块小正方体，第五块、第六块、第七块只有如图五种放直方法:
tB 
(第2 题)
3. 19 
48 
在张明摆放的基础上，若用最少的小正方体拼成一个大长方休，则需要
9 X 4 = 36 块小正方休，而张明己用
17 块，所以王亮至少需要36- 1 7= 19 块;张亮摆的几何
体如图所示，从前、后看，其表面积为
9 ，从左、右看，其表面积为
7 ，从上、下看，其表面积为
8 ，
所以整个几何体的表面积为
2 X (9+7+8) = 48. 
4. 20 
如图，由题意知AB = 10cm, CD = 5cm ,AC= 12cm ,BD= 13cm ，过点D 作DE 垂
直AB 于点E ，则DE= 12cm ，于是Rt6 BDE 中BE = 5 cm.
延长AC ，BD 交于F ，则由CD : AB = 5 : 10= 1 : 2 知CF = 12cm ，AF = 24cm.
于是一个杯子的容积等于两个圆锥的体积之差
，)'!p 
V= ←- 山24一卡· 川2 = 7阳川
(第3 题)
妃〉
4民
第
19
i井
女食
食
-{::{食
，传
大，传
军
立体图形
l~礼B
~ι斗1
段拦ID
而大容器内采汁的休手只是π X 202 X 35 = 140 00π (cm勺，
所以采汁可以倒满14000π -;.-700 π =20( 杯) . 
5. 8 
只有一个面染红色的小正方体的总数为6(n 一2 )2 个，任何面均不是红色的小
正方体的总数为(η
2) 3 个，由题意知6Cn - 2) 2 = ( η 
2) 3 ，解得η=8 .
共有7 个小正方体没有被涂黑.
6. B 
7. C 
该几何体是一个圆柱与一个长方体的合成，其中重叠部分体积为? ，故该几何体
8. A 
(第4 题)
9. 0 
设大立方体的棱长为
n ，n> 3 ，若η =6 ，即使6 个面都油漆过，未油漆的单位立方体也有43 =64 个，大
于45 ，故η =4 或5. 除掉己漆的单位立方休后，剩下未漆的构成一个长方休，设其长、宽、高分别为a ，b ，c ，abc=屿，只
的体积为2 X2X 1 十3π一王= 4 + 5~11: 
2 
.
, 2 ' 
能是3 X3X5=屿，故n=5 .
若分喜IJ
::1:: 棱长为
3 的正方体，则棱长为
3 的正方体只能有1 个，余下的均是棱长为
1 的正方体，
l.r+v=29 , 
(工=5
共37 个不满足要求.设棱长为
2 的正方休有z 个，棱长为
l 的正方体有y 个，则}'-
'
..Y 
~ ~ ，
得
l
υ 
l 8x+y=64 , 
ty=24. 
10. C 
1 1.
如图，将" L" 形物休补上长方体M 后，M 的体积为
15 X5X4- 120=
4cm 
6 ，只有x ，y 分别为
3 ，12 符合题意.
12. 设原先的小长方体为A 型体，将这两个A 型体最小面
I 厘米X2 厘米
粘合成一个大长方体: 1 厘米X 2 厘米X 6 厘米.将这大长方体从最小边开始，在
面
l 厘米X 6 厘米中间切开，成为两个B 型小正方体
: 0 .5 厘米X2 厘米X6 厘
米.一个A 型小长方体表面积5 1 = 2 Cl X2 十1 X 3 + 2 X 3) = 22 (厘米2 ) ，一个B 型小长方体表面积5 2 = 
2(0. 5 X 2+ 0. 5 X 6+2 X 6) =3 2( 厘米2 ) . 一个B 型小长方体表面积与一个A 型小长方体表面积可以相差
1 0
(第
11 题)
180 ，侧面N 的面积为
1 80-;'-5 = 36 ，而
36 = 1 X 36 = 2 X 18 = 3 X 12 = 4 X 9 = 6 X 
厘米2 ，这是差的最大值.
13.
答案不唯一，下列示意图供参考.
(第
1 3 题)
14.
正方体四周的面积和为
1 0X 1 0 X 4 = 400( 平方厘米) , 
正方体的下底面去掉一个小圆后，面积为
10 X 1 0-3 2 π = 1 00-9 π ( 平方厘米) , 
正方体的上底面去掉一个圆后，面积为
10 X 1 0 - 5 2 π = 10 0-25π( 平方厘米) , 
正方体上面的圆柱的侧面积为
1 0π X 10= 1 00 11: (平方厘米) , 
圆柱上底面去掉一个小因后，面积是π( 5 2 - 3 2 ) = 16π( 平方厘米) . 
内部空心圆柱的侧面积为6π X 20 = 1 20π( 平方厘米) , 
故所求表面积为:
400 + 000 - 9 π) + 0 00-25 π ) + 1 00π + 16π + 1 20π =60 0+202π( 平方厘米) . 
l
w
恐
川
」
4
4
、
-
R
合
同
也
用
女
女
-
R
女
+
凤
食
学科精英大视野系列丛书
当π=3 时，上式=1206( 平方厘米) . 
15. 设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体(如图)的体积是V ，V 等于高为
10cm 、底面半径为6cm 的困锥的体积减去2 个高为5cm 、底函半径是3cm 的圆锥的体和、，即
V =2 ( ~ X川OX π2 ×÷×川X rrπ卡阳句565. 2( cm 
16. 设立方体的每个面上的数字分别为
a j ，旬，衔，肉，鸟，鸟，在顶点上所写的数分别为
aja Z 鸟
，a z 电气，句句屯，向叭叭
，ajaZa 毡
，a z 电鸟，句句句，叭叭a 6
. 于是，可得
70 =aja Za 5 +aZa 3a 5 + α3 句句+ α ，a 】a 5 + a 1aZa6 + 句句句+句句句+a，a 1 a 6
= (a5 +a6) (a j az +aZa 3 + α 3 a，+ 乌龟)
=( a j + α3) (az + 向) (a 5 十a 6 ). 
由于70=2 X5X7 ，显然，在乘积(a j + a 3 )( αz+ 向) (a5 + 向) 中，一个因子等于
2 ，一个因子等于
5 ，另一个
因子等于
7.
于是，所求的和为
αj +a Z +a 3 + 向+a 5 + α6=2+5+7=14 .
是;二
(第
15 题)
欧几里得的《几何原本》
、豆豆u
吃芝1;[
、
飞U
给出点、线、面等23 个定义，提出
5 个公式和5 个
公理，以此作为推理的基础，古希腊数学史上最具影响
的是大数学家欧几里得和他的巨著《几何原本)) .
(( 几何
原本》是由公理法建立起来的数学演绎体系的最早典
范，其中不少内容仍为当今人们学习几何的材料.这本
书一直以手抄本形式流传了
1800 多年，直至1482 年
首次以印刷形式发行.
言20i古生自与白二
I
'
阳能跟述
线段与角是构成几何图形的最基本元素，是从现实的相关形象中抽象
出来，为现实问题的解决提供有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为
直观、简明的几何图形的研究.
解线段与角相关问题，常用到中点、角平分线、代数化、枚举与分类讨论
等概念与方法.
~"
问题黯决
例1
(1)平面内两两相交的6 条直线，其交点个数最少为一一一一一个，
最多为
个.
( "希望杯"邀请赛试题)
(2) 如图，ζ BOD = 45 0 ，ζAOE = 90 0 ，那么不大于
E 
90。的角有
个，它们的度数之和是一一一一一·
( " 希望杯"邀请赛试题)
静思想路
对于(1) ，画图探求，从简单情形考虑，
从特殊情形考虑;对于(2) ，求它们的度数和，关键是把
。
一些角重组，用ζ BOD ，ζAOE 表示.
179 
飞
嗦
C 
B 
A 
几何学中元王者
之道.
一一欧几里得
植树问题
道奇森，英国数
学家、逻辑学家，还是
一位童话作家，曾以
笔名L. 卡洛尔发表
了风靡世界的《爱丽
丝浸游仙境)) ，他在这
本书中提出下面的
问题:
10 棵树栽成
5
列
，怎样栽可使每列
有4 棵树.
~~~~ 
食
食食
，传
食女
，传
食会
例2
(1)如图①，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，
N 是线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN: PQ 等
于(
). 
A. 1 
B. 2 
C. 3 
D. 4 
("五羊杯"邀请赛试题)
B 
A 
QP MN 
B 
C 
图①图②
(2) 如图②，是一个3X3 的正方形，则图中ζ1+ζ2+ζ3+ … +ζ9
的度数是(
). 
A. 270 。
B. 
3 1 5 。
C. 360
0 
D. 405 。
(广东省竞赛题)
暨塑塾些
对于(1) ，利用中点，设法把MN ，PQ 用含相同线段的代数
式表示;对于(2) ，除ζ3=ζ5=ζ 7 =45 0 ，其他各角的度数无法求出，故不能
顺序求和，关键是对图形进行恰当地处理.
例3
摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走
100
千米到C 市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三
分之-，过了小镇，汽车赶了400 千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C
市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A ，B 两市相距多少千米?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
暨些塾堕
条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注
意于各段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考.
纪)
学科精英大视野系列丛书
数学既研究数，
也研究形，许多数学
问题既可以从代数角
度来思考，也可以从
形的角度加以解决.
线段圈能直观形
象地表示数量关系、
位直关系或其他意
义，恰当地画出线段
图，常有助于问题的
解决.
"谋定而后动"，
解题方法的选择建立
在分析的基础上，切
忌"慌不择路"，扎进
"死胡同"
~~~、
( 七a= !Ll ) 
~食
古
A 
平~ * 
食
，曲
，传
食
例4
如图，A 是数轴上表示-30 的点，B 是数轴上表示10 的点，C 是数
轴上表示18 的点.点A ，B ，C 在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A 运动的
速度是6 个单位长度/秒，点B 和点C 运动的速度都是3 个单位长度/秒.设三
个点运动的时间为t( 秒) , 
A 
0 
B 
C 
(1)当
t 为何值时，线段AC =6 ( 单位长度) ?
(2) 当
t手5 时，设线段OA 的中点为p
，线段。B 的中点为M ，线段。c
的中点为N. 求2PM- PN =2 时t 的值.
睡思想路
把相关点表示的数、相应线段长用
t 的代数式表示，建立方
程.因多个点以不同速度在运动变化中，故注意多种位置关系，全面讨论是
解题的关键.
19IJ 5 
已知ζAOB = 1 20 0 ( 本题中的角均大于0 。且小于180 0 )
(1)如图①，在ζAOB 内部作ζ COD ，若ζAOD 十ζ BOC = 1 60 0 ，求
ζ COD 的度数;
(2) 如图②，在ζ AOB 内部作ζ COD ，OE 在ζAOD 内
，OF 在ζ BOC
内，且ζ DOE = 3 LAOE ，ζ COF = 3 ζBOF ，ζ EOF = 卡COD ，求LEOF
的度数;
(3) 射线。I 从OA 的位置出发绕点。顺时针以每秒旷的速度旋转，旋
转时间为t 秒( 0< t < 50 且
t 手30 ). 射线OM 平分ζAOI，射线ON 平分
ζ BOI，射线OP 平分ζMON . 若ζM01 = 3 L POI，则
t =
秒.
D 
B 
B 
。
B 
图①
图②
备用图
晤题思路
对于(2) ，引入字母表示角，将问题代数化;对于( 3) ，设旋转
n。，随着t 的变化，ζ 10M 、ζ P01 分别对应着关于η 的不同表达式，故注意t
的限制、多次画图、分类讨论是解题的关键.
哇哇
第
20 讲
线段与角
~c立;费
酒'瞩目『
尊'畸重乙
例4 通过赋予点
的运动，把问题引向
深刻.解动态性问题
的常用策略是:
(1)动中觅静
f!r 寻找不变量或
不变性.
( 2) 以静和l 动
f!r 关注特殊状态
并建立方程.
(3) 以动和l 动
即建立代数式或
关系式.
。昆、I~G.\
食
，传女
食
食女
，传
食为
学科精英大视野系列丛书
，-，一一…一
一… …一"一ψ
例6
一条直线上顺次排列着1 990 个点:P l
，矶，… ，P 1 990 '已知点凡是
线段凡
1 Pk+ 1 的是等分点当中最靠近几十I 的那个分点(2运k ""'-二1 989) ，如凡
是线段P 4 凡的5 等分点当中最靠近凡的那个分点.如果线段P 1 P Z 的长度
是1，线段P1989 P 1 990 的长度为
l.
求证:十=1蜘阳
. .. . . 3 • 2 
(浙江省竞赛题)
纣桥写扉
从简单情形入手，寻找线段P k P k+ l 与Pk- 1 P是的关系.
由题设可知，P Z 是线段P 1 P 3 的中点，故P 1 P z =P z P 3 =1 ;P 3 是线段
P z 凡的3 等分点当中最靠近凡的那个分点，故P 3 P4= ÷P2 P3= t;
一
般地，凡是线段P k一1 Pk+ l 的
h 等分点当中最靠近P k+ l 的那个分点，故
PA「tPJh+ l = EPhJJE凡凡1 ，于是有Mf tIPN PK
1 _ 
_ 
1_ 
_
, 1 
1 __ 
1 
_~ 
] 
如= 4 , 5 , 6 , .. .
，1989 时，P 4 P S =τh P4= F言，P S P 6 = 4: p.ps = 
一」一- P P =i p p
=
… p 
p=-L p 188 PI989 = 
一
1
4 • 3 • 2' J. 6 J. 7 -
5 
J. 5 J. 6 -
5 • 4 • 3 • 2' 
, , 1989 ' 1990 
1988' 1988 ' 198 
1988 • 1987 ….. 3 . 2=l , 
所以十=附.1 987
.
.. .. 3
. 2
例7
请在图中绘出一条通过每一个小方格一次且
不与自身相交的封闭路径，使得路径上的两个相邻的圆圈
之间的线段满足下列条件:
(1)若两个圆圈同色，则它们之间由一条直线段相连
接;
• • 
1. • 
• 
• 
• • 
1. . 1. 
1 
(2) 若两个圆圈异色，则它们之间由相交为直角的两条直线段相连接.
(所绘出的封闭路径必须由水平线段或垂直线段所构成)
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
纣桥写睡
可先从位于四个角落的方格都必须是由两条互交为直角的
直线段相连接而成来判断出图①中第一阶段的连接方式，接着便可依序判
断出第二阶段、第三阶段而完成绘图.
r 
阳·-
1. • 
• • . 11. 
1. . 1. 
… 
第一阶段
rï" •- -
11. · •…" 
• 
11 
L • 
.... . 1. 
』-
←」
第二阶段
图①
• 
第三阶段
是~
直线段上的
n 个
点至多可将它分成
n 十1 个部分.
殇士出生的德国
数学家斯坦纳将上述
问题稍作推广
:
平面上的n 条直
线至多可将平面分成
÷(η2 十n + 2) 个
部分.
你能证明吗?
数学中的严谨推
理和一丝不苟的计
算，使得每一个数学
结论都是牢固的、不
可动摇的.关于欧几
里得的严密体系，爱
因斯坦曾说"世界第
一次目睹了一个逻辑
体系的奇迹，这个逻
辑体系如此精密地一
步一步推道，以至它
的每一个命题都是绝
对不容直疑的一一我
这里说的是欧几里得
几何。推理的这种可
赞叹的胜利，使人类理
智获得了为取得以后
成就所必需的信心"
G.\~G.\ 
( 也革组)
柿表上的角厦
会食
，际
女食
，传
合
食
食
我们常常把抽象的时间问题转化为具体的平面几何问题，再根据角度
间的等量关系建立方程求解;或运用时针和分针的不同运动速度，转化为行
程问题中的追及问题来求解.
例8
在0 时到
12 时之间，钟面上的时针与分针
在什么时候成60。的角?试尽可能多地找出答案，又秒
针与时针共有几次成60 。的角?
堕堕塾些
直觉作答或近似估计，可得到一些答
案，而通过方程可使我们找到问题全部的解.
而列方程解答，又有几种不同的解题策略:
(1)分别对两个整点之间的答案列出方程求解;
(2) 在上述基础上寻找规律求出全部解;
(3) 将问题看成圆周追及问题.设分针的速度为每分钟
1 个单位长度，
则时针的速度为1
将时针、分针看成两个不同速度的人在环形跑道上同时
12 
(从0 时开始)同向而行，要求使两者相距10 个单位长度所用的时间.
~ 刻意练习
1.平面内有若干条直线，当下列情况时，可将平面最多分成几部分?
(1)有一条直线时，最多可分成2 部分;
(2) 有两条直线时，最多可分成4 部分;
(3) 有三条直线时，最多可分成
部分;
(4) 有η 条直线时，最多可分成
部分.
(广西壮族自治区竞赛题)
2. 从长度为1 的线段开始，第一次操作将其三等分，并去掉中间的一段;第
二次操作将余下的线段各三等分，并去掉所分线段中间的一段. 此后每次
操作都按这个规则进行. 如图是最初几次操作的示意图. 当完成第六次操
作时，余下的所有线段的长度之和为
( "希望杯"邀请赛试题)
.......... ......... 
(第2 题)
3. 平面上不重合的两点确定1 条直线，不同3 点最多可确定3 条直线.若平
毛头
第
20
i井
线段与角
解钟表上的问
题，常用到以下知识:
(1 ) 钟表上相邻
两个数字之间有5 个
小格，每个小格表示
1
分钟，如与角度联系起
来，每小格对应叭
(2) 秒针每分钟
转过
3 6 0 0 ，分针每分
钟转过矿，时针每分
钟转过0 . 5 0 ; 
(3) 画示意图把
这类问题看成是行程
问题中的追及问题来
解决.
为什么说几何是
神圣的? 因为几何是
推理的最具体，同时也
是最抽象的形式;几何
是许多事物，甚至是全
部事物的原型模式，无
论那事物是实体的、概
念的、数学的、自然的
或者建筑的.
平面几何知识不
仅是人类支自己自身的
力量，而且优化了人
类自身的发展
人
类理性思维的进步.
1'1:\1'1:\&.\ 
*食
女
食
食女
，传
，传女
面上不同的n 个点最多确定21 条直线，则n 的值为
(湖北省黄l石市中考题)
4.
如图，"回"字形的道路宽为
1 米，整个"回"字形是一
个长16 米、宽8 米的长方形场地.如果你沿着小路的
中间从内部出发走完这条小路，共走
米.
( ((美国数学月刊》试题)
5. 王明在早晨6 点至7 点之间外出晨练，出门和回家的
时候，时针与分针的夹角都是1100 ，则王明晨练的时
间为
分钟.
(第4 题)
("希望杯"邀请赛试题)
6. 在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针(0 为两针的旋转中
心) .若现在时间恰好是12 点整，则经过
一次达到最大.
7. 摇摆不定
秒后，.60AB 的面积第
(全国初中数学竞赛题)
已知线段。P = l ，取OP 的中点P 1
，取PP 1 的中点P2
，取P 1 P2 的中
点尺，取P 2 氏的中点氏，…….
(1)比较线段。Pn 与OP n - 1 的大小:一一一一
(n 为大于1 的整数) ; 
(2) 若OP=lm ，则从n=一一一一-开始，线段P"- l Pn < lmm. 
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
8.
以ζAOB 的顶点。为端点引射线。C ，使ζAOC: ζ BOC =5 : 4 ，若
LAOB = 15 0 ，则ζAOC 的度数是
(北京市"迎春杯"竞赛题)
9. 公园里准备修5 条直的南道，并在南道交叉路口处设一个报亭，这样的报
亭最多设(
). 
A. 9 个
B.
1 0 个
C .
11 个
D .
12 个
("希望杯"邀请赛试题)
10. 如图，点A ，B ，CJI顶次在直线上，M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 的
中点，若想求出MN 的长度，则只需条件(
). 
A. AB= 12 
B. BC= 4 
C. A儿1[= 5
D. CN= 2 
(海南省竞赛题)
A 
M B N C 
A 
D 
B 
E 
C 
(第10 题)
(第11 题)
11. 如图，点B 在线段AC 上，且BC= 2AB ，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，则
下列结论:①AB = tAG ②B 是AE 的中点; ③EC = 2BD; (
DE = 
?AB 其中正确结论的个数有(
) 
A. 
1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
每当
学科精英大视野系列丛书
者可能会发现结果与
已知数据的联系，是
巧合还是必然?若是
巧合，怎样解释;若是
必然，如何证明.
~~、I~
叉'食
食
( 七军细)
?些
食
12. 如图，点。是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分
ζAOB ，OE 在ζ BOC 内，且ζ DOE = 60 0 ，ζ BOE = 
仨EOC ，JJ!1j下列四个结论: ①LBOD =3川射线OE
平分ζAOC; ③图中与ζ BOE 互余的角有2 个; ④图中
互补的角有6 对.则正确的个数有(
). 
叫
(第
12 题)
A . 
1 个
B .
2 个
C .
3 个
D.
4 个
食
，传
13. 某手表每小时比准确时间慢3 分钟，若在清晨4 点30 分与准确时间对
准，则在当天上午于表指示时间为
1 0 点50 分，则准确时间应是(
) . 
A. 11 时
B. 11 时
1 0 分
E. 11 时40 分
C. 
11 时20 分
D. 11 时3 0 分
(国际中小学数学能力检测试题)
14. 在图示的方格纸中，点A ，B ，C 都在方格纸的交点
上，则ζACB= ( 
). 
A. 120 0 
B . 
1 35 。
C. 150 0 
D . 
1 65 。
15. 如图，某公司员工住在A ，B ，C 三个住宅区，A 区有
(第
14 题)
30 人，B 区有15 人，C 区有10 人，兰个区在一直线上，如图所示. 公司的
接送车打算在此间只设一个停靠点，为了使所有员工步行到停靠点的路
程总和最小，那么停靠点的位置应在(
) . 
A. A 区
B . B 区
C . C 区
D . A ，B 两区之间
(江苏省竞赛题)
。
b
c 
A13: 
βl泛
C I又
(第15 题)
(第16 题)
16. 如图，有a ，b ，c 三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三
户所用电线(
) . 
A. a 户最长
B. b 户最长
C. c 户最长
D. 三户一样长
( 江西省南昌市中考题)
17. 已知在直线上有n( η二三2 的正整数)个点，每相邻两点之间的距离为1，从
左边第1 个点起跳，且同时满足以下三个条件: ①每次跳跃均尽可能最
大; ②跳η 次后必须回到第1 个点; ③这η 次跳跃将每个点全部到达.
设跳过的所有路程之和为乱，求525 的值.
(四川省资阳市中考题)
18. 小明在平面上标出了200 7 个点并画了一条直线
l ，他发现: 这2007 个点
185 ! 
增1
第20 讲
线段与角
a慧、~~、
，际
*
1-了
，传
食食
食
，传女
中的每一个点关于直线
l 的对称点仍在这2007 个点中.请你说明:这
2007 个点中至少有
1 个点在直线
t 上.
("希望杯"邀请赛试题)
19.
已知ζAOB = 100 0 ，ζ COD = 40 0 ，OE 平分ζAOC ，OF 平分ζ BOD( 本
题中的角均为大于0 。且小于等于180 。的角) . 
(1)如图①，当OB ，OC 重合时，求L_ EOF 的度数;
(2) 当ζ COD 从图①所示位置绕点。顺时针旋转n O (0 < n < 90) 时，
ζ AOE 一ζ BOF 的值是否为定值?若是定值，求出ζ AOE
正三BOF 的值，若不是，请说明理由;
(3) 当正COD 从图①所示位置绕点。顺时针旋转η 。(0 < η < 180) 时，满
足ζAOD + ζ EOF=6 ζ COD ，则n = 一一一一一·
A 
E 
A 
A 
F 
D 
囱①
备用图①
备用固②
(第
19 题)
20.
如图
，A 是数轴上表示数
11 的点
，B 是数轴上表示数28 的点，C 为数轴
上一点，点C 从点A 出发，以每秒3 个单位长度在数轴上匀速运动.
040 
A 
B
a
点
A
11 
(第20 题)
(1)当点C 从点A 出发，以每秒3 个单位长度沿数轴正方向匀速运动，
①点C 运动3 秒时，B ，C 两点间的距离为
(单位长度) ; 
②若点M 为线段。c 的中点，点N 为线段AC 的中点，当点C 运动
多少秒时，点N 为线段MC 的兰等分点;
(2) 当点C 以每秒3 个单位长度沿数轴正方向匀速运动到B 点时，改变
方向后始终沿数轴负方向匀速运动，速度保持不变. 点C 从A 点出
发的同时，另一点D 从原点出发，始终沿数轴正方向以每秒6 个单
位长度的速度匀速运动.数轴上两点之间的距离小于或等于
10 个
单位长度时，称这两点处于"可视距离"，求点C 和点D 在整个运动
过程中，有多少秒处于"可视距离"?
2 1.直线上分布着1990 个点，我们来标出以这些点为顶点的一切可能线段
的中点，试求至少可以得出多少个互不重合的中点.
(上海市竞赛题)
22. 一直线从左到右顺次排列着1987 个点:P !，矶'P 3 '… ,P 1987 ，已知P k 点
是线段P k一l P凹的是等分点当中最靠近几十1 的那个分点(2 :%三hζ
1986). 例如'P 5 点就是线段P 4 P 6 的5 等分点中最靠近凡的那个点.如
纪)
学科精英大视野系列丛书
斗争巳阜挥
，回.--
- .._ι
~~~ 
，曾
罗常
食
( 仁革巨细)
苦楚
食
果线段P 1 P 2 的长度是1，线段P I9山A 长度是1 ，求证:2J〈3JET
(北京市竞赛题)
23. (1)现有一个19 0 的"模板"(如图) ，请你设计一种办法，
/'亿
只用这个"模板"和铅笔在纸上画出
1 。的角来;
/ 
飞
(2) 现有一个17 。的"模板"与铅笔，你能否在纸上画出
/气
19 ω
飞
→个
1 。的角来?
(第2 3 题)
(3) 用一个21 0 的"模板"与铅笔，你能否在纸上画出一个
1 0 的角来?
对于(2) 、(3) 两问，如果能，请你简述画法步骤;如果不能，请你说明理由.
("希望杯"邀请赛试题)
24. 在图
8 X 8 方格表中，绘出一条闭合折线，使得:
(1)此折线仅与小方格的边平行或垂直，且不与自身相交;
(2) 此折线经过每个小方格至多一次，且必须经过所有
标记有小圈的小方楠，但不一定要经过没标记的小
方格;
(3) 此折线在每一个有黑围的小方格处必须转→个直角
弯，但在黑圈之前与之后的一个小方格处不可以转弯;
。• • 1. 
• 。
(第
2 4 题)
(4) 此折线在经过有白圈的小方格之前或之后(或两者)的一个小方格
处，都必须转一个直角弯，但在有自圈的小方格处都不可以转弯.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
25. 平面上有七个点，它们之间可以连一些线段，使七点中的任意三点必存
在两点有线段相连.问:至少要连多少条线段?证明你的结论.
(上海市竞赛题)
6 X (6- 1) 
例
1
(1) 1 
15 
交点最多为一一
2 一一= 1 5 .
。• 
第
20
i井
线段与角
估算、证明、构造
i m 第叫
最值问题的基本方
法，
f!r 先依据条件猜
i 洲最佳，再证明没有
; 超过它的值，最后构
i 造一个图形说明此最
j 值是可以达到的.
串串
隧
(2) 
1 0
，4 50 。
一共有
10 个角，分别为
: L AOB ，ζ AOC ，ζ AOD ，ζ AOE ，ζ BOC ，ζ BOD ，ζ BOE ，
L COD ，ζ COE ，ζ DOE. 其中ζ AOE 二90 0 ，ζ BOD = 45
0 , L AOB + ζ BOE = 90 0 ，ζAα二、+ζ COE = 900 , 
ζAOD十ζ DOE = 90 0 ，ζ BC兀十ζCOD = 4 5 0
• 故这10 个角的度数和为
90 0 X 4+ 45 0 X 2 = 450 0 • 
锣归
(1) B 川= AN-A川Q= PA - QA =
~ (AN - AM) 
(2) D 
由于沿AB 对折时，上、下图形能够重合，恰好ζ 1 十L 9 = ζ 2 + ζ6 = ζ4 十ζ 8 二9 0 0
•
锣忖
600 千米
设小镇为D ，傍晚汽车在E 休息，叫，则AD = ÷DC ，
A
D 
EB=÷CE ，AD十EB→
DE= 2川米
例4
(1)当点A 运动在点C 左侧时，由
6 十6t = 3 0+ 18 十3t 得t = 14; 
当点A 运动在，或C 右侧时，由
6t - 6 = 30 + 18 十3t 得t = 18. 
(2) A
，B ，C 三点在数轴上表示的数分别为
6t - 30 ，1 0+ 缸，18 + 3t.
18毡
C 
(例
3)
E B 
* 
，传
'峙
，传
'岐1.-立
*女
'(:{ 
16t- 30 1 
则OA = 16t- 30 1 ，OB=10 + 3t ，OC= 1 8 + 缸，OP= 一
2 一一，
10+ 3t ~ .. 
1 8 十3t
OM= 一~一，ON = 一一一一，MN = ON - OM=4 .
2 
,_.. 
2 
当点P 运动在点M 左侧时，由2PM-PN =2 得PM= 2 +( PN - PM) = 6. 
16t- 30 1 , 1 0+汩汩
28
①t<5 时，PM= OP + OM= 一
2 一一+ ~ ~ 2一=20
言=6 ，t= τ '
. 28 
· τ> 5 ，二t<5 时，不存在满足条件的
t 值.
10+ 3t 
16t-30 I 
~ 
28 
②t>5 时，PM= OM-OP= 一一一一一一一一一一= 6 ，t = 一3 ' 
当起P 运动在M ，N 之间时，2PM- PN =2( OP - OM) 一CON- OP) = 号- 64 ，
44 
': 2PM- PN= 2,:. ~2. - 64 = 2 ，t = τ -
当点P 运动在点N 右侧时，PM= -2 ，这种情形不存在.
例5
(1 ) ζ COD = 40 0 
(2) .: ζ DOE =3L乙AOE ，ζ COF = 3 L三BOF ，
。
.. 设ζAOE =x O ，ζ BOF = yO ，则ζ EOD =3矿，ζ COF = 3 y O ，
二ζ CDO= ζAOD十ζ BOC
ζ AOB = 4xO + 4y。一1 20 。
ζ EOF = ζ EOD+ ζ FOC
ζ COD 
=3xO +3y。一(4 x O + 4y。一12 0 0 ) = 12 0 。一(工。十y勺，
.: L EOF=仨COD ，
:.120 - (x+y 
.. ζ EOF = 120 0
-
(x十y)0=8 4 。
(3) 7.5 或
1 5 或45
设旋转n。，对于ζ IOM : 当
0< n< 1 80 时，ζ IOM= 号，
当
18 0<η< 300 时，L IOM= 1 80 0 ←亏
对于L POI: 当0< η< 6ωO 时，ζ
L PO问
当
6ω0<ηκ< 1 80 时，ζ
L PO[ =亏矶
当即< n< 240 时，L PO日旷一号，
当ω〈η< 300 时，L PO[ =卜12 0 。
(η =60 ，240 时
，OP 和OI 重合)
分四种情况:
①如图①，0<η< 60 时，由; = ( 30 一; ) X 3 ，得η =ι .问
5 ; 
②如图②，60<η< 1 80 时，由; = ( ; 
叫X3 ，得n = 90 ，:.t=15 
运立J
A 
学科精英大视野系列丛书
图①
({yú 5) 
N 
B 
赏
，传
( 仁革但)
*
食
食
，传
③如图③，18叫< 240 时，由180 - ; = (1 20 -
; ) X 3 ，得η = 1 80 ，人t =30( 舍) ; 
④如图④，240<71< 300 时，由180 一立= (: -120 ) X 3 ，得η = 27 0 ，:.t= 45. 
2 
\ 2 
~~ ~ } 
A 
。
N 
B 
M 
A 
A 
B 
N 
第
20 讲
线段与角
B 
N 
图②
图③
佟l ④
(例5)
例8
设从0 时开始，过工分钟后分针与时针成60。的角，此时分针比时针多走了η 圈( η =0 ，1 ，2 ，3 ，…
，11 )
，则
工王=6071 + 1 0 ，或工一三= 6071 +50 ，
12 
~ ~ .. , 
~ ~ , -" ~ 12 
12 , ~ ~ 
,_ _. ,. 
12 
解得x = 一(60 71 十10)Ä x= 一(6071 + 50) .
11 . ~ ~ .. , 
~ ~ , -" 
~ 11 
分别令η = 0 ，1，2 ，3 ，…
，11 ，即得本题的所有22 个解(精确到秒) : 
。: 54 : 33 ，2 : 00 :00 ，3:05 : 27 ，4:10:55 ，5:16:22 ，6
: 21:49.7 :27:16. 8:32 : 44 . 9 :3 8 :1 1 .1 0 : 43 :38 ，11: 49
: 05 ，
1:16:22 ,2:21 :49 ,3:27 :16 ,4 :32 :44 ,5 :38 :11 ,6:43: 38 ,7:49 :05 ,8 :54 :33 ,10:00 :00 ,11:05 :27 ,0 :10 :55. 
在12 小时内，秒针相对于时针走了
60 X 12 - 1 =7 1 9 圈，所以秒针与时针共有719 X 2=1438 次成60。的角. 
2 十n 十2
1. 
7
一
2 一
64 
_ _ . ._ " ~ . , _ .. ~_ ~ . 
.~
.. 2 
.. . . ._ ,,_ ~ ~ . _ 
f 2 \ 6 
64 
因每次操作后剩下的都是之前的一，故六次操作后剩下
I
~ 1 
~vn'n 
729 
~ ~ -, -
v ,_', ，~
. ，. , 
" . 
-"~ -'" " . 3 ' --_. - , -
v ,_', , _ -,. , 
\ 3 } 
729 ' 
(η - 1) 
3. 7 
平面上η 个不同的点最多可确定一
2 一一条直线.
4. 128 
假定有这样一条长方形的小路，宽1m ，长
1 6 m ，~口图①.沿着这条小路的
中间行走，显然行走路线的长为
1 6m ，这就说明行走路线的长与宽为1m 的长方形小
路的长是相等的. 由于长方形场地充满了
1m 宽的小路，这使启发我们将长方形场地
分割成8 条宽1m 、长16m 的小路，如图②，于是这条小路的总长为1 6X8= 1 28( m) .
史一般情况是:若长方形的场地的长为G 米，宽为b 米，其中充满宽为c 米的小路，毗
5. 40 
• 
…叫:; • 
liliEli| 
因②
(第4 题)
15 
6. 15 
设经过工秒时，OA 与OB 第一次垂直，又因为秒针
1 秒旋转矿，分针
l 秒旋转O .
1 0 ，于是有
59 
15 
(6 一0. 1) t =90 ，解得
t = 1 5 一
59 ' 
189. j 
\
电
，传
7. (1) OP ,, > OP"-l 
'眨
噜岐
女
'眨
*
"'(;:{ 
赏识
当n 为奇数时
，OP " < OP"- 1 ; 当
n 为偶数时
，OP ，，> OP"_ I '
学科精英大视野系列丛书
………-…· 
1 
1 _ 
1 
~~ 
1 
_ 1 
': p _
，p 二万，且P8 P ，= A~' = c~ ,, > 1f'~"" 'P' P10 = A~O <一一一
，从n = 10 开始
，P__, P < 1 mm. 
2' 
512 ~ 1000 '" , " 10 
210 ~ 1000" 
(2) 10 
8. 
8 0 20' 或75 。
9. B 
10. A 
MN= ~ AB 
11. C 
12. D 
f 
1\ 
f 
_
_
5
、
设所求的准确时间为z 小时，则A"A I x - 4 ~ I = I x - 1 0 ~ 
1 ，得工=11 ~( 小时) . 
20 \ ~ 
. 2 I 
\ ~ 
~ ~ 6 I 
13. B 
14. B 
15. A 
停靠点设在A ，B ，C 三区，计算总路程分别为
4500 米，5000 米，12000 米，可排除选项B 、C; 设停
靠点在A ，B 两区之间且距A 区工米，则总路程为
30工+ 1 5 (1 00-x) 十1 0(300- x) = 4500 + 5x>4500 ，又排除
选项
D.
16. D 
17. 当n 为偶数时，5，，= (1 +2 十3+ … + n - 1) 十旦= 巳;当
n 为奇数时，5 _ = ( 1 + 2 + 3 + … + n 一1) +
2 
2 
n- 1 
n2 - 1 .. _ 
25 2 - 1 
一一一--一一，故50<= 一一了一= 312.
2 
2' -- -25 
2 
18 . 假设这2007 个点都不在直线
J 上，由于其中每个点A(i = 1，2 ，…，2007) 关于直线
J 的对称点A'
仍
在这2007 个点中，所以A' ，也都不在直线J 上.也就是说，不在直线
J 上的点A ，(i = 1，2 ，…，2007) 与A ; 关于
直线J 对称的点A r ，成对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007 个相矛盾.因此，"这
2007 个点都不在直线
l 上"的假设不成立，即这2007 个点中至少有1 个点在直线
l 上.
19. 
(1 ) ζ EOF =70 。
(2)
当
O < n ζ80 时，ζ AOE 一ζ BOF =30 。为定值;当
80 < η < 90 时，ζ AOE- L乙BOF = 110 0 - n。不为
定值.
(3) 30 或
50 或
90
20. (1)(8 
②设运动t 秒，点C ，M ，N 对应的数分别为11 十3t ，且土主空土主，MN = 丑，NC= 3t 
2 
' 
2 
,H" 1V -
2 '"'V--:;; 
当MN o=町，flr 1n1 = 2 X 旦，得t = 旦;当NC =川，吟=11 ，得t= 子
2 
- " 2"'.6 
(2) 下面解法供参考:
C ，D 初始距离为
11 ，缩短为川单位，追上了
l 个单位用时(1 1 一ω ÷(6 -3 ) =÷( S)
C 运动到B 用时生旦=句，此时D 对应的数为6 X 子=34
3 
3 
C ，D 两点之间相距34 - 28=6.
再次达到距离叫要用时为(1 0 一忻(6 +hf(S ) ，
17 
1
, 4 
52 
共用时·一一一十一= 一(s) . 
. 3 
3
' 9 
9 
52 
即点C 和点D 在整个运动过程中，有
9 秒处于"可视距离"
2 1.我们将已知的
1 990 个点中距离最远的两点记为A ，B ，A 点与除B 点以外的
1988 个点构成1988 条
线段，这些线段的中点都不重令，且到A ，~，írIJ 距离小于÷AB; 对于B 运作同样的考虑，又可得到1988 个互不
￡:J 
( 仁革!Jj} )
食
也町
飞之
，传
食
，传
4吃
教
第
20 讲
线段与角
重合的中点，且到B 点的时什÷AB 再加上AB 的中占，共得互不重合的中虫1 988X2 + 1 =凹叫这
说明中点的个数不会小于3977 . 另一方面，当这199 0 个点每相邻两点都相等时，不同的中点的个数正好是
3977. 所以所有可能线段的不同中点数的最小数目是3977.
22.
由题意知P ，应为P 'P3 的2 等分点，所以P ，P，= P' P3 = 1 'P3 应为p，p .. 的3 等分点中最靠近P4 的
1 _ _ 
1 
那一点，所以P3 P .. = τ P' P 3 = τ- 一般地，凡是P k- ，PH ，的走等分点中最靠近P川的那个分点，所以
PA+l=tph I PJtllPh+EPfhll 所以" k ~PkPkI' = k Pk- , Pk 因川P什ftIPh
l Ph( 川在(叫
1 
走一L _ 
1 
1__ 
1 
__ 
1__ 
1 
1 
式中令走= 4 , 5 , 6 , … , 1 986 ，得
P. p , = -=- PoP. = 一一一，p，p，= ~P，P ， = 一一土一一' P，P O = 土P ，p ，= 
4 . , 
3 . 3" 
3 . 2"
5' 6 
4 " ,' " 5 
4 . 3 . 2 
1 
.,i =-LPI 
P 
= 
I 
Ji= 
A 
〈一一
1 
_ 1 
5 • 4 • 3 • 2' 
,. 
1985" '985 " 1986 
1985 . 1984 … ' . 3 . 2' - -
1985 . 1984 … . . 4 • 3 ~3'983 ' 
23.
若只连续使用模板，则得到的是一个1 9 0 ( 或17 0或
2 1")的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否
找到19 0 (或17 。或2 1 0 ) 的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差
1 0 ，设"模板"角度为日，假设可由走个日角与t
个180 。角画出
1 。的角来，即走，t 满足阳一1 801= 1.
(1)当日= 19 0 时，取走=凹，t =2 ，即用模板连续画出
1 9 个19。的角，得到361 0的角，去掉36 0。的周角，即得
1 。的角.
(2)
当
a = 17。时，即
17走
180t= 1 ，得走=5 3 ，t =5 是一组解，即用模板连续画53 个17。的角，得到90 1 。的
角，除去两个周角和一个平角，即得1 。的角.
(3) 当日=2 1 。时，即2 1 k-180t= 1 元整数解，不能用
21 。的模板与铅笔画出
1 。的角.
24. 根据题目的规定先确定每个带固的方格所必须连接的折线，可得图甲;
在图甲的基础上，再连接必须连接的线路，可得图乙;
最后，根据图乙所得的结采，继续加入必须连接的线段而完成整条折线，如图丙.
1. • 
>
• 
一明·
L -
•-
111 
兰."，←
rT1 
1. 
「同|
· •-
」
>
。• 
LJ_ 
L 
「
「
」
111 
n 
L •-
u 1. •-
」
用
·
(乙)
(丙)
(第24 题)
25. (1)若某川不作为线段的制，则其他六忡两占、都有线段相连，共要连~ X6X5= 15 条线段
(2) 剧、A 只作为一条线段的帖，则不与A 相连的五运之间每两占都有线时目连，至少要连÷× 5 ×归。
条线段，共要连11 条线段.
(3) 若点A 只作为两条线段AB
，AC 的端点，则不与A 相连的四点之间每两点都有线段相连，至少要连
÷ × 4 × 3= 6 条线段从M 至少还要引出一条线段，此时，至少有2 +6 十1 =9 条线段
1
，
，_，
，~ 
21 
(4) 若每一点至少作为三条线段的端点，则至少要连τX 7 X 3 = -2- 条线段.注意到线段
的条数为整数，故此时至少要连11 条.
如图表明九条线段已经足够了.
/飞\
℃ζ7 
(第25 题)
过9坛
利玛窦与徐光启
、岛受d
明代徐光启与意大利传教士利玛窦合作，翻译出版了
欧几里得的《几何原本)) ，西方数学开始传入中国. 左图即为
利玛窦与徐光启合影.徐光启评价该书说" 此书有四不必:
不必疑，不必揣，不必试，不必改.有四不可得: 欲脱之不可
得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后置之不可得
"
""(?;( 半岛?一___一
』
胃21i=l1
曲目交重量与平ffH量
E 
.-______. 
~ :"知能相E 迹"
相交或平行是同一平面内两条直线的基本位置关系.
当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内
错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与
证明中有广泛的应用.
与平行线相关的问题一般都是平行线判定与性质的综合运用，有以下
两方面的应用: 角的计算与证明;两条直线位置关系的确定.
问题幡决
例1
(1 )0 为平面上一点，过。在这个平面上引
2005 条不同的直线
ll ,l2,l3' … , l2脯，则可形成一一一一一对以0 为顶点的对顶角.
(山东省聊城市竞赛题)
(2) 若平面上4 条直线两两相交，且无三线共点，则一共有
对
同旁内角.
(江苏省竞赛题)
壁塾壁些
对于(1) ，从简单情形出发，利用递推关系;对于(2)
，4 条直
线两两相交，每两个交点之间就有一条线段，而每条线段的两侧各有一对同
旁内角，于是将问题转化为确定线段的条数.
提兰"1
几何学的光荣，
在于它从很少几条独
立自主的原则出发，
而得以完成如此之多
的工作.
牛顿
交点几何
平面上有5 条不
同的直线，这
5 条直
线共形成n 个支点，
则n 有多少个不同的
数值?
~、I~~
( 忆革组)
f了食
，传
女安
食
*
食
第
2
1
i井
相交线与平行线
告IJ 2 
如图，两直线AB ，CD 平行，则ζ1 +ζ2+ζ3+
-1 
B 
ζ4十ζ5+ζ6=(
). 
A . 630 0 
B. 720 。
c. 800 。
D. 900 0 
C 
D 
( "希望杯"邀请赛试题)
睡题思路
分别过E ，F ，G ，H 作AB
，CD 的平行线，运用同旁内角互补
求解.
例3
如图，AB ，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定
在A ，C 两点，点E 是橡皮筋上一点，拽动E 点将橡皮筋拉紧后，请你探索
ζA ，ζC ，ζAEC 之间具有怎样的关系?并说明理由.
晤盟军路
这是一道结论开放的探究性问题，由于E
点位置的不确定性，可引起对E 点不同位置的分类讨论
(如夹在AB ，CD 之间或之外、内折或外折等) ，这是解本
例的关键.
例4
如图，已知AF //CD ，ζA =ζ D ，ζ B = ζ E ，求证:BC // EF.
蠕题思路
怎样利用条件AF // CD? 如何证明
今一一一一〈
BC// EF? 需作辅助线，对内连线或向外补形可得B< 
')E 
到不同的证法"'-一一一一/
C 
D 
吃法
例
3 的问题提出
与解决涉及由特殊到
一般、运动变化、归纳
类比的思想方法，充
分展示了一题多变的
魅力. 过折点作平行
线是解这类问题的基
本方法.
当从已知条件无
法直接推得结论时，
我们可以在图中添出
新的线，为几何图形
性质的运用创造条
件，像这样添直的线
叫辅助线.辅助线在
解题中起着沟通已知
与未知、化分散为集
中等作用.
~、i~'碍民
食
，传女
食
节'"
'{;:[ 
，曲
，传食
学科精英大视野系列丛书
例5
平面上有6 条两两不平行的直线，试证:在所有的交角中，至少有
一个角小于31 0
•
(莫斯科市竞赛题)
纣制局幡
把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移
动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将所有的直线移动后，使它
们相交于同一点. 此时，情况就相对简单得多.
在平面上任取一点。，过0 点分别作这
6 条直线的平行线儿，儿，人，
人，儿，儿，则由平行线的特性，知
l' ] , l' 2 ,l' 3 ' l气，( 5 ,( 
6 之间互成的角与原
来的6 条直线
l ] .l2 ，l 3
' ι
，l 5 ，l 6 之间互成的角相等.
l', 
现在我们考虑f气，儿，… ，l' 6 的情况. 我们只考察(]与JF 2 ，JF 2 与人，… ，( 5 
与( 6 '{ 6 与( ] 所成的角，由图不难发现这6 个角成一个平角，即这6 个角的和
为180 0
•
假设这6 个角没有一个小于31 0 • 则这6 个角都大于或等于31 0 ，从而这
6 个角的和至少为31 0 X 6 = 186 0 ，这是不可能的. 所以，这6 个角中至少有一
个小于31 0 ，不妨设l' ] 与( 2 所成的角小于31 0 • 则原来的直线
l ] 与
l 2 所成
的角也必小于31 0 •
例6
(1)请你在平面上画出
6 条直线(没有3 条共点儿使得它们中的
每条直线都恰与另
3 条直线相交，并简单说明画法.
(2) 能否在平面上画出7 条直线(任意3 条都不共点) .使得它们中的每
条直线都恰与另
3 条直线相交? 如果能，请画出一例;如果不能，请简述
理由.
("希望杯"邀请赛试题)
睡
(1)如图，在平面上作两组平行直线，m 1 //
m 2 // m 3 , n ] // nz // n 3 • 由于彼此平行的直线不相交，
所以图中每条直线都恰与另
3 条直线相交.
(2) 在平面上不能画出没有3 线共点的
7 条直
n2 
线，使得其中每条直线都恰与另3 条直线相交. 理由
阿
如下:
ml 
m 2 
m ) 
假设平面上可以画出7 条直线，其中每一条都恰与其他3 条相交，因为
两直线相交只有一个交点，又没有3 条直线共点，所以每条直线上恰有与另
3 条直线交得的3 个不同的交点.
我们按直线去计数这些交点，共有3 X 7 = 21 个交点，但每个交点分属两
条直线，被重复计数一次，所以这7 条直线的交点总数为号个因为交点个
主i兰J
平行线的本质在
于传递角.
过点恰当地作平
行线，是现阶段常用
辅助线，这是为平行
线性质或判定的运用
创造了条件;而恰当
地平移直线，能把分
散的角加以集中.
北大一学生在听
了数学素质课后，写
下如下的体会:
所有直线表眷恋，
前后延伸情无限.
所有交叉表歧路，
人生处处有考验.
~~、I~
( 仁革盟)
会，陆
食
过了
食
，传
，传
，传
第
21 讲
相交线与平行线
数应为整数，矛盾.
所以，满足题设条件的7 条直线是画不出来的.
基本图形衍柑洁
平面图形是平面几何的研究对象，复杂的图形是由一个或者若干个最
简单、最基本的图形复合而戚，发现这些基本图形也就找到了解决问题的关
键所在.
所谓基本图形是指组成一个图形中最基本却又具有特定性质、能彰显
应用条件和应用方法的图形;基本图形是图形化的公式，是结论化的图形.
平行线的折线连接，有下面基本形式:
-Z 
三
一?
一丁
一_/
了解相关结论、解决问题的方法是解相关问题的关键.
例7
已知直线AB // CD.
(1)如图①，若GN 平分ζCNE ，FM 平分ζAMG ，F ，M ，E 在同一条直
线上，且ζG+卡E= 60 0 ，求L_AMG 的度数;
(2) 如图②，若直线BM 平分ζABE ，直线DN 平分ζ CDE ，BM ，DN
相交于点F ，求ζ F: ζE 的值.
BD 
GKIN 
AC 
E 
C 
D 
国①
国②
F
晤题思路
过折点作平行线是解决问题的关键，而恰当地引人字母代
数化，能使解题过程清晰明了.
195 
吆
基本图形常见表
雷
现形式为
:
( 1)
与概念、公
理、定理推论所对应
的图形;
(2 ) 重要结论对
应的图形
;
(3 ) 具有典型性
的例题、习题所对应
的图形.
埃舍尔对平面镶
嵌图案非常感兴趣.
如图，鸟和鱼毫无间
隙地镶嵌起来，令人
赏心悦目
. 仔细一看，
如此复杂的镶嵌只是
由一只鸟和一条鱼通
过平移而生成.
1"/iI:\~、~
1传
食
，陆
，传
食-{::{
v传
1号
A 
N 
~~ 刻意练习
1.
如图，已知AB//CD ，BC // DE ，若ζA =20 0 ，ζC = 120 0 ，则ζAED 的度
数是
(浙江省金华市中考题)
A 
B 
儿7D
D 
F 
E 
(第
l 题)
(第2 题)
(第3 题)
2.
如图，若AB//FE ，BCl_ ED ，ζABC 与ζ DEF 的角平分线交于点G ，则
ζ BGE 的度数是
("希望杯"邀请赛试题)
3. 如图是一块电脑主板模型，每一个转角处都是直角，其数据如图所示(单
位: cm) ，则该主板的周长是
cm. 
(重庆市竞赛题)
4.
已知ζA 的两条边和ζB 的两条边分别平行，且ζA 比ζB 的
3 倍少
20 0 ，则ζ B =
(北京市"迎春杯"竞赛题)
5 . 如图，已知平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，则图中的同旁内
角有
对.
(全国初中数学联赛题)
C 
D 
B 
才二c
3 
LL
… 
E 
(第5 题)
(第6 题)
(第7 题)
6 .
如图，ζAOB 的一边OA 为平面镜，ζAOB = 37 0 36' ，在OB 上有一点E ，
从点E 射出一束光线经OA 上一点D 反射，反射光线DC 恰好与OB 平
行，则ζ DEB 的度数是(
) . 
A . 75 0 36' 
B. 75 0 12' 
C. 74 036' 
D. 74 0 12' 
(山东省枣庄市中考题)
7.
如图，若AB//CD ，则ζ 1 +ζ 3 一ζ 2 的度数等于(
). 
A . 90 。
B. 120 。
C. 150 。
D. 180 。
(北京市竞赛题)
43 
学科精英大视野系列丛书
与静旦旦i竟
洼'圃'
飞'嗣眶
&.\~&.\ 
( 仁a= !Jil ) 
长
审吃
食
审l-
~岐
'吃
食
第
2
1
i井
相交线与平行线
8. 某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相
反，则这两次拐弯的角度可能是(
). 
A. 第→次向左拐4 0 0 ，第二次向右拐4 0。
B . 第一次向右拐50 0 ，第二次向左拐13 0 。
C . 第一次向右拐70 0 ，第二次向左拐11 0 0
D. 第一次向左拐70 0 ，第二次向左拐11 0 。
("希望杯" 竞赛题)
9. 如图，若K // L ，ζ4 一ζ3=ζ3 一ζ 2=ζ2 一ζ l=d O> O ，其中ζ3<90 0 ，
ζ 1 = 50 0 ，则ζ 4 最大可能的整数值是(
). 
A . 107 
B. 108 
C. 109 
D. 110 
(北京市竞赛题)
C 
D 
A 
D 
K 
E 
4 
L 
B 
E 
C 
F 
F 
G 
(第9 题)
( 第10 题)
(第12 题)
10 . 如图，将Rt.6ABC 沿着点B 到点C 的方向平移到.6 DEF 的位置，A B =
1 0 ，DO= 4 ，平移距离为6 . 则阴影部分的面积为(
). 
A . 48 
B. 30 
C. 38 
D. 50 
(广东省中山市中考题)
11. 平面上有
1 0 条直线，无任何三条交于一点.欲使它们出现31 个交点，怎
样安排才能办到? (只要求画出符合条件的
1 0 条直线)
(吉林省竞赛题)
12. 如图，已知CD //EF ，ζ l 十ζ2=ζABC ，求证: AB//GF. 
(重庆市竞赛题)
13 .
已知AB 矿CD ，点P 是直线AB
，CD 之间一动点.
(1)如图①，求证: ζA + ζAPC+ ζ C = 360 0 ;
(2) 如图②，若PQ 平分ζA PC ，CQ 平分ζ PCD ，求证: ζA = 2ζ PQC ;
(3) 如图③，若ζ A = 1 44 0 ，ζ QPC = 3 ζAPQ ，ζ QCP = 3 ζ QCD ，求
ζ PQC 的度数.
〈二
P王二
P 
Q 
C 
D 
C 
D 
C 
D 
图①
图②
(第
1 3 题)
图③
~、.~~
7
"
、
一
食
τ传
言纣
食
*
'
女
食
食食
14.
已知AB //CD ，ζ ABE 与ζ CDE 两个角的角平分线相交于点F .
A 
C 
D 
图①
M 
E 
C 
(第
14 题)
(1)如图①，若ζ E =80 0 ，求ζ BFD 的度数;
ε 
D 
图②
(2) 如图②，已知ζABM= :ζABF ，ζCDM = _lζ CDF ，写出ζM 和
3 ~. ._. , ~-_
... 
3 
ζ E 之间的数量关系并证明你的结论;
(3) 若ζABM = _l ζABF ，ζCDM= _l ζ CDF ，设ζ E = ln o ，直接用含
n 
n 
有n ，m。的代数式表示ζM=
15. 平面上有5 条直线，其中任意两条都不平行，那么在这
5 条直线两两相
交所成的角中，至少有一个角不超过36 0 ，请说明理由.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
16 . 两条直线相交，四个交角中的一个锐角(或一个直
角)称为这两条直线的"夹角"(如图) ，如果在平面
上画L 条直线，要求它们两两相交，并且"夹角"只
能是
15 0 ，30 0 ，45 0 ，60 0
，75 0 ，90 。之一，问
:
(1) L 的最大值是多少?
(2) 当L 取最大值时，问所有的"夹角"的和是多少?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
(第
16 题)
17.
已知五个城市两两相连所得的10 条道路中，至少有一个交叉路口(如图
() ，又已知三个村庄和三个城市相连所需的9 条道路中，至少有一个交
叉路口(如图②) . 利用上述结论，用
1 5 条道路把6 个城市两两相连，至
少会产生多少个交叉路口?
图①
图②
(第
17 题)
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
18. 平面上画11 条水平线段和
11 条竖直线段.求证:不可能每条水平线段
恰与10 条竖直线段相交，而每条竖直线段恰与10 条水平线段相交.
(俄罗斯圣彼得堡数学奥林匹克试题)
正〉
学科精英大视野系列丛书
1:\1:\Cti\ 
'w'食
，传
( 仁革主El )
τz
食
食
黄r
食
第
21 讲
相交线与平行线
19 . 点钱的乐章
点与线是构成图形的最基本元素，点动成线，线动成面，面动成体，
点与线的运动、组合、变化、数字化，可生成复杂的图形，宛如演奏出气势
磅暗的优美乐章.
简单地看，连点得线，线交于点，深入地想，屏幕是如何呈现图像的?
计算机是怎样画图的? 归根到底是基于点的显示.
(1)平面上有6 条直线，共有12 个不同的交点，画出它们可能的位置关
系(画三种图形) . 
(江苏省竞赛题)
(2) 平面上η 条直线中每条恰与另外的1999 条相交，求η 的所有可能值.
( 环球城市数学奥林匹克试题)
(3) 伟大的物理学家牛顿在诸多领域均有跨时代的贡献，提出下面这道
名题:
9 棵树栽9 行，每行栽3 棵，如何栽?
(4) 英国数学家、逻辑学家道奇森在其童话名著《艾丽丝漫游仙境》中也
提出过下面一道植树问题:
1 0 棵树栽5 行，每行栽4 棵，如何栽?
• • 
例
1
(1) 4018020 
设过0 点的η 条不同直线可形成a" 对对顶角
，n = 2 时
，a 2 =2 ，n =3 时，向=αz+ 2 X
2 ，η = 4 时，向=a 3 + 2 X 3 ，…，α 2005
α 2004 + 2 X 2004 = 2 X 2004 + 2 X 2003 + … + 2 X4+2X3+2X2+2X1= 
2005 X 2004 = 4018020. 
(2) 24 
共有
1 2 条线段，有2X 1 2 = 24 对同旁内角.
例2
D 所作的平行线与AB ，CD 都两两互相平行，所求的角的和构造为5 对同旁内角的和，即5 X 180 0 = 
900 0 • 
19IJ 3 如图，可分别得到下列关系(证法同①) : 
A 
B 
A 
B 
A 
B 
三二
〈二
乒
D 
C 
D 
C 
D 
E 
① 
② 
③ 
三三二
t= B 
伫
C ooz"" 
D 
E 
C 
D 
C 
D 
④ 
⑤ 
⑥ 
(例2)
①ζ AEC = ζA + ζ C; ②ζ AEC十ζ A +ζ C =360 0 ; ③ζ AEC = ζ C-L三A;
④ζAEC = ζ A - L乙C ; ⑤ζAEC = ζA 一ζ C; ⑥ζ AEC = ζ C一ζ A.
。在
* 
4岐
4吃
食
八
日
女
-RAX 
-R 
学科精英大视野系列丛书
例4
如图，连接BE ，AD.
.: AF//CD , :. Lζ 1= ζ2 . 
又. . ζ BAF = ζ CDE ，
:. ζ3=ζ4 . 
:. AB // DE ，得ζ5=ζ6 ，而ζ ABC = ζ FED ，
. ζ 7=L乙8 ，故BC // EF.
C 
(例的
制7
(1)作GS // AB ,ET// AB ，则GS // AB // ET // CD ，设ζ CNG = L. GNE= 工，ζ FMA = 丘FMG=y ，
ζ AMG=40 0
• 
正三F
1 
(2) 一一=
丘E
2 ' 
' 
… 思量
翻
1. 80 。
2. 
1 35 。
延长BC ，ED 交于点H ，则丘ζ乙BHE = 90旷。，过点H 作HI /矿扩AB ，则
HI /'矿ï AB /矿l EF ，ζ BGE = 360。一
9佣O。一÷(ζ
L.ABH+ ζ HEF凹)=36川
3. 96 
4. 
10 。或
50 0
5. 16 
6. B 
7. D 
8. D 
9. C 
ζ 2=50 0 + d ，ζ 3=50 0 +2 d ，ζ4=50。十3 d ，d<20 0 ，50 0 +3 d 为整数.
10. A 
S m 影= S梯形ABEO.
1 1.可有多种方案，以下仅供参考.
(第
11 题)
12.
作CK矿FG ，延长FG ，CD 交于H 点，则ζ H十ζ2+ζ BCK = 18 0 0 ，因ζ 1 +ζ2=ζ ABC ，故ζABC十
ζ BCK = 1 80 0 ， flp CK // AB ,AB//GF. 
13. (1)略
(2) 过点Q 作MN // PC ，设ζAPQ = ζ QPC = 工，ζ QCP = ζ QCD=y ，则ζ PQC = 180 0
- x- y ，ζA= 
360 0 -2x-2y ，故ζ A =2 ζ PQC.
(3)ζ PQC = 1 8 0 • 
3 6 0 。一ζ E
~~， 
~ .， 360 0 -m 
14. (1) 140 0 
(2)ζM= 一一~一一
(3)ζM= 一^←一
u 
c,n 
15 . ①在平面上任取一点。，过0 点作已知的5 条直线的平行线
l ，,l2 ,l3 ' 仁
，l 5 ( 右
图以
3 条直线为例，说明作平行线的方法) . 
②将以0 为中心的圆周分解为
1 0 个彼此依次相邻的小角，它们的和为360 0 ，故至
少有一个小角不超过3 6 0 •
3 
(第
15 题)
载:〉
( 七革组)
力食
，传
3号，传
食
齿，告
*
第
21 讲
相交线与平行线
16. (l)如图
a ，固定平面上一条直线，其他直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算，
只能是15 0 ，30 0 ，450 ，600 ，7 50 ，900 ，1 050 ，12 00 ，1350 ，1 500 ，165。这11 种角度之一，所以，平面上最多有12 条直线.
否则，必有两条直线平行.
\bj角/网槌线
、1
阁a
(第
16 题)
阁b
(2) 如图
b ，将所有直线做平行移动，使它们交于同一个点，这样的平行移动显然不改变两条直线的"夹
角"不妨设其中一条直线水平，从水平直线开始，逆时针将
12 条直线分别记为第
1 条、第
2 条…… 第
1 2 条
直线.
①第
2 条至第
12 条直线与第
1 条直线的"夫角"和是
: 15 + 30 十45 十60 十75 十90 十7 5 十60 十45 十30 十
15 =540( 度) ; 
②第
3 条至第
12 条直线与第
2 条直线相交的"夹角"和是:1 5 十30+ 45 + 60+ 75 + 90 十75 + 60 十45 +
30 = (540- 15) (度) ; 
③第4 条至第
12 条直线与第
3 条直线相交的"夹角"和是
: 1 5+30 + 45 + 60 十75 十90 + 75 + 60 + 45 = 
(540- 15- 30) (度) ; 
⑩第
11 条和第
12 条直线与第
1 0 条直线斗目:交的"夫角"和是:(30+15)( 度) ; 
。第
1 2 条直线与第
11 条直线斗目交的"夫角"和是:1 5( 度) ; 
将②和@ ，①和⑩，④和@ ，⑤和③，@ 和⑦西己对，得到所有的"夹角"之和是6 X 540 二3240 ( 度) . 
17. 如图，至少会有3 个交叉路口.
假设最多只有两个交叉路口，可以去掉两条路使其余的路不产生交又路口，考虑以下
两种情况:
(1)去掉的路与同一个城市相连.
考虑其余的5 个城市，它们两两相连. 但是根据已知条件，至少有一个文又路口
，
矛盾.
(2) 去掉的两条路不与同一个城市相连.
(第17 题)
选取其中一条去掉的路所关联的两个城市，再取一个与去掉的路不相连的城市，称这3 个城市为村庄. 则
这3 个村庄和3 个城市有路相连. 由已知条件，必有一个交叉路口，矛盾.
18. 反设题目所述情形出现，则对于每条水平线段，有且只有一条竖直线段不与它相交，将它们面已成一
对.每条线段(水平或竖直)都属于且只属于一个这样的对.故所有线段划分为
11 个水平
竖直对.同一对中
的两线段不相交，而不同属一对的水平线段与竖直线段相交.
作出所有水平线段所在的直线，设L1
，L，分别是其中最上，最下一条( 允许L 1 = L ，). 任取L I 上的线段肉
和L ，上的线段a ，( 若L 1 = L " 应取。1 手a，) . 设与它们画己对的竖直线段为
bl
，b，. 则其余9 条竖直线段应当与
肉
，a ，都相交，f!r 穿越带域L1 - L ，. 设它们依左右次序为仇，队，… ，b 1 1 . 现在考虑与仇自己对的水平线段仇，它位
于带域L 1 -L 2 中，又与b3
，b ll 都相交，故与仇，仇，… ，b ll 全相交，矛盾.
号。也
19. (1) 
，传
食女
食
，传食
食
食女
{二线平行)
(二线平行)
(第
19 题)
学科精英大视野系列丛书
(三线平行)
(2) 依平行关系分类，设共有走类，各类的条数为a [ ,…,a, ( 2: a; = n ).同类的直线不相交，不同类的均
i = l 
相交. 第
i 类的线与其他类的n-a i 条都相交，故由题设条件得到
n - a[ = n - a2 = …= n 
ω= 
199 9 . 于是
a[- … =a ，=a ，n= 缸，1999=η
a= (k - 1)a. 因为
1 999 是素数，只有两组解(2 ，1999) 和(2000 ，1) .得出η =
3998 或
2000.
把树看作点，行抽象成线，问题的实质是探讨点与线的关系，画图、实验、调整.
(3) 有不同栽法，如图:
图①
图②
业
(第
1 9 题)
在:2
hQ ￡， 
中/气17
将点、线、面体不同形态的基本图形加以组
合，便构成一个新的图形. 基本图形有规律地、渐
渐地演变，又构成新的图形.埃舍尔创作的《天与
水》运用异形渐变的构成方法，使天上的飞鸟和水
中的游鱼有机结合在一起，埃舍尔是荷兰版画家，
他把自已称为一个" 图形艺术家"
需22i古二白白白白与: ]
'
如能部述
三角形是最简单、最基本的几何图形，是研究其他复杂图形的基础.
边与角是三角形的基本元素，与边与角相关的知识有: 三角形三边关系
定理、三角形内角和定理及推论，它们在相关计算、图形计数等方面有广泛
的应用.
解与三角形的边与角有关的问题时，常常用到数形结合及分类讨论法，
即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题，按边或角对三角形进行分
类讨论.
如
问题筋决
例1
如图，ζ CAD 和ζ CBD 的平分线相交于点
p
，设ζ CAD ，ζ CBD ，ζC ，ζ D 的度数依次为α
，b ，c , 
d ，用仅含有
2
个字母的代数式表示ζ P
的度
B 
数
一一一
\
/ 
飞C
(江苏省竞赛题)
Vp 
静题思路
运用对顶三角形的性质，可得到含ζ P ，a ，b ，c ，d 的等式.
δ也
与静巳主;在
潭'咽'
回... 区
几何学会给你带
来许多幸福的时刻，
几何学不仅是发展智
慧的手段，而且也是
医治心灵和肉体的
良药.
依
· 沙雷全
质数角度的直角三角形
罗巳切夫斯基
0 792- 1856) ，俄国数
学家，他一生的重要贡
献是创立了" 非欧几里
得几何" ，他曾思考过
下面的问题:
有无锐角角度均
为质数的直角三角形?
若有，有多少个?进一
步问
: 三个角度均为质
数的不等边三角形存
在吗? 这样的等且要三
角形存在吗?
&:.\.~~ 
4岐
女
女
-
R
女
-R 
食
，传
食
例2
己知6ABC 的三个内角的比是m : (m + l) : (m + 2)
，其中m 是
大于l 的正整数，那么6ABC 是(
). 
A. 锐角三角形
B . 直角三角形
c. 钝角三角形
D. 等腰三角形
("希望杯"邀请赛试题)
瞄题思路
设ζA=mt ，则ζB= (m + l) t ，ζC= 
(m +2)t Ct > 0) ，比较
ζA+ ζB 与ζC 的大小.
例3
若三角形一个角与90。相差不大于
1 5 0 ，称之为几乎直角三角形;
若三角形两个角相差不大于
15 0 ，称之为几乎等腰三角形.任一锐角三角形
是否要么几乎直角要么几乎等腰?
(环球城市数学竞赛试题)
暨塾塾些从肯定或否定切入，解题的关键是建立或导出与定义相关
的不等式.
例4
(1)已知三角形的三边a ，b ，c 的长都是整数，且α <:'b< c ，b = 7 ，
问:这样的三角形有多少个?
(湖北省武汉市竞赛题)
(2) 周长为30 ，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?
(河南省竞赛题)
壁些翌些
对于(2) ，不妨设三角形三边为α ，b ，c ，且α < b< c ，由三角形
三边关系定理及题设条件可确定c 的取值范围，以此作为解题的突破口.
￡尘
学科精英大视野系列丛书
确立三角形个数
是与三角形三边关系
相关的一类重要问题，
解题的基本方法有:
(1)已知边长( 次
长边或最长边) ，通过
穷举确定三角形个数;
(2) 已知周长确
定三角形个数，解题
的关键是先求出最长
边的取佳范围，可以
证明: 三角形的最长
1 _ 1 
边介于周长的一和
3 ' 2 
之间.
之d
于"81-'口工〉险与
;Jft 之是抽帕楠'
三角形是一个从
简单情形出友，逐步
走向深刻的最具典型
性的数学研究对象，
人们一定是掌握了某
些三角学知识，才能
建造起宏伟的金字
塔，让它历经千年风
雨依然威严耸立.
~~、
l~
食
，传
( 仁革盟)
食
冒险
女食
，传
第
22 讲
三角形的边与角
例5
在三角形纸片内有2008 个点，连同三角形纸片的3 个顶点，共有
2011 个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问:以这20 11 个点为顶点
能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形?
( 天津市竞赛题)
霹浩
T
我们不妨先退一步，考察三角形内有一个点，两个点，三个点…
的简单情形，有下表所示的关系:
三角形内的点数
可连线得到小兰角形的个数
3 
2 
5 
3 
7 
4 
9 
... 
... 
不难发现，三角形内有一个点时，连线可得到3 个小三角形，以后每增加
一个点，这个点必落在已连好的某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点
可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内
有2008 个点时，连接可得到小三角形的个数为:3 + 2 X (2008- 1) = 4017( 个) . 
晤活2
整体核算法.设连线后把原三角形分割成η 个小三角形，则它
们的内角和为180 0
•
n ，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能
为小三角形提供3 60 。的内角，2008 个点共提供内角
20 08 X 36 0 0 ，于是得方程
180n= 360 X 2008 + 180 ，解得η = 4017 ，即这2008 个点能将原三角形纸片分
割成4017 个小三角形.
例6
(1)用长度相等的100 根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长
度是最小边长度的3 倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数.
(山西省太原市竞赛题)
(2) 现有长为150cm 的铁丝，要截成η(η > 2) 小段，每段的长为不小于
1 cm 的整数.如果其中任意3 小段都不能拼成三角形，试求η 的最大值，此时
有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段?
(江苏省竞赛题)
纣桥写晤
对于(1) ，设三角形各边需用火柴杆数目分别为工，y ，3工，综
合运用题设条件及三角形三边的关系等知识，建立含等式、不等式的混合
组，这是解本例的突破口;对于(2) ，因η 段之和为定值
1 5 0 cm ，故欲η 尽可
能的大，必须每段的长度尽可能的小，这样依题意可构造一个数列.
rx 十y + 3工= 100 ，
(1)依题意，有作运yζ 3工，
① 
② 
lx 十y> 3x.
③
由①，②得1PQQ 0 ，由③得工〈号，因工为正整数，如= 15 ~ 16 
所以，满足条件的三角形有两组，需用火柴杆数目分别为1 5 ，40 ，45 或16 ，36 ，48 .
(2) 这些小段的长度只可能分别是
1 ，1
，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，34 ，55 ，89 …但
1 + 1 + 2 十… + 34+55 = 143< 150 , 1 + 1 十2 十… + 34 十55+ 89 = 232 > 150 ，
哇哇
华罗庚曾说"善
于‘退'，足够地‘返'，
‘退'到原始而不失去
重要的地方，是学好
数学的一个诀窍"
对于例
5 ，如果
用剪刀沿着这些小三
角形的公共边剪开来
(一条公共边算一
刀) ，那么要剪成这些
小三角形要剪几刀?
解与三角形的边
与角相关的问题时，
常常要根据等式和不
等式的性质，用不等
值替换，通过放缩(放
大求下界、缩小求上
界)确定三角形的边
或角的范围.
&:\&::!\&::!\ 
噜E
食
*
食
女
女
食
食
食
故n 的最大值为10 ，共有以下7 种方式:(1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，1 3 ，2 1 ，34 ，62)
，(1 ，
1, 2 ,3.5 ,8 , 13 , 21 , 35 , 61) , (1 , 1, 2, 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 36 , 60) , (1 , 1, 2, 3 , 5 , 8 , 
13 , 21 , 37 , 59) , (1,1, 2, 3, 5 , 8 , 13 , 22 , 35 , 60) , (1, 1, 2, 3 , 5 , 8 , 13 , 22 , 36 , 
59) , (1 , 1 ,2 , 3, 5,8 , 14 , 22 , 36 ,58). 
阳形探究
例7
(1)如图①，凹四边形ABDC 形似圆规，这样的凹四边形称为"规
形"，易证ζ BDC= ζA 十ζ B + ζ C.
(2) 如图②，在凹四边形ABDC 中，已知ζABD 与ζACD 的平分线交
正乙A + ζD
于点E . 求证:ζE= 一
2一一一
B人c
 c 
图①
拓展
"规形"有四个内角，任取两个内角的平分线，有六种组合情形，于是，可
提出下列问题:
A c B~C 
图③
图④
(1)如图③，若ζABD ，ζ BAC 的平分线交于点E ，则ζC ，ζD 与ζE
之间有怎样的数量关系?
(2) 如图④，若ζBAC ，ζBDC 的平分线交于点E ，则ζ B ，ζ C 与ζE
之间有怎样的数量关系?
些些翌些
当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上
有共通性的组图.引人字母，设而不求，充分体现代数化方法在解与角平分
线相关问题时的广泛应用.
￡;j 
学科精英大视野系列丛书
角是平面图形的
基本元素，突破角的关
系是解平面几何问题
的关键，你熟悉下列图
形中角的关系吗?
只
λ
X
A
ι
 
Øàt::\Øà 
( 仁革~ )
食，岛
，传
合食
，陆
女食
食
第
22
i.井
三角形的边与角
豆、刻意练习
1. 如图，在.6ABC 中，0 是.6ABC 三条角平分线的交点，若ζAOB
:
ζBOC: ζAOC=4:5:6 ，则ζABC =
度.
("希望杯"邀请赛试题)
2 . 如图，加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧，A 到MN 的距离大于B
到MN 的距离，AB = 7 米，一个行人P 在马路MN 上行走.问: 当P 到A
的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于
米.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
A 
A 
B 
B/Î 
\: 
、
, 
飞，
飞'
、
2
A 
C 
M 
P 
N 
B 
C 
(第
1 题)
(第2 题)
(第5 题)
3. 将长度为25 cm 的细铁丝折成边长都是质数( 单位: 厘米)的三角形，若这
样的三角形的三边的长分别是
a ，b , c ，且满足α ~ b ~c ，则(a ，b ，c)
有
组解，所构成的三角形都是
三角形.
("希望杯"邀请赛试题)
4.
已知.6ABC 的三边长分别为α
，b ，c ，有以下四个命题:
(1)以ra ，jb ，Fc为边长的三角形一定存在;
(2) 以a 2 ,b2 ，c 2 为边长的三角形一定存在;
α + b b+c c+ α 
(3) 以一一一一一一为边长的三角形一定存在;
2 ' 2 ' 2 
(4) 以
l a - b
l + 1, I b - c 1+ 1, I ι-a
l + 1 为边长的三角形一定存在. 其
中，正确的命题是
(填序号) . 
(北京大学博雅计划数学测试题)
5. 三角形内角平分线的交点称为内心. 如图，D 是.6ABC 的内心，E 是
.6AB D 的内心，F 是.6BDE 的内心. 若ζ BFE 的度数为整数，则L BFE
至少为
度.
(上海市竞赛题)
6. 长为rn ，l + Fn+言，rn+ Fn"G丰苟的三条线段可以构成一个三角形，则
自然数n =
(世界数学团体锦标赛试题)
7. 如图，LABD 与LACD 的角平分线交于点P. 若LA =
才
JP 
500 ，ζ D= 1 00 ，则3 的度数为(
). 
/二斗7
A. 150 
B. 20 0 
i乡.--
C~飞飞飞飞
B 
D 
C . 25 。
D. 30 。
(第7 题)
号。徐
~、，1:=\1:=\
'岖
'眩
'歧
*
4岐
古主
* * 
才过
8.
已知6ABC 的三个内角ζA ，ζB ，ζC 满足3LA >5 ζB ，3 L乙Cζ 2 L乙B ，
则这个三角形是(
) . 
A. 锐角三角形
C. 钝角三角形
B. 直角三角形
D . 等边三角形
("希望杯"邀请赛试题)
9.
如图，将纸片6ABC 沿着DE 折叠展平，
则(
). 
A.
ζA= ζ l 十ζ2
BA=÷(ζ l 十ζ2)
CA=÷ω 十ζ2)
DA = ?(〈l+ζ2)
A 
E 
C 
(第9 题)
(北京市竞赛题〉
10.
已知一个三角形的三条边长均为正整数，若其中仅有一条边长为
5 ，且
它又不是最短边，则满足条件的三角形有(
) . 
A. 4 个
B. 6 个
C. 8 个
D. 10 个
( 天津市竞赛题)
11. 7 条长度均为整数的线段a 1
，az ，…山7 满足a 1 <向〈… 〈α 7 ，且这7 条线
段中的任意三条线段都不能构成三角形，若α 1 = 1,a7 =2 1，则向=(
). 
A. 18 
B. 13 
C. 8 
D. 5 
(浙江省竞赛题)
12. 边长为整数，周长为20 的三角形共有C
)个.
A. 4 
B. 6 
C. 8 
D. 12 
(江西省南昌市竞赛题)
13. 不等边6ABC 的两条高长度分别为4 和12 ，若第三条高的长也是整数，
试求它的长.
(美国数学邀请赛试题)
14. 有长度分别为1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9C单位: cm) 的细木棒各一根，利用它们
(允许连接加长但不允许折断)能够围成多少种周长不同的等边三角形?
(江苏省竞赛题)
15. 如图，在6ABC 中，已知三条内角平分线AD ，BE ，CF 相交于I，IH l_ 
BC ，求证: L乙B ID =ζ HIC
(湖北省武汉市竞赛题)
A 
y 
B 
DH 
C 
z 
(第15 题)
(第
1 6 题)
花二
学科精英大视野系列丛书
~、，~、~
( 仨a; !Iil ) 
冒险
τk 
yi了食
食
会食
，传
第
22 讲
三角形的边与角
16.
如图，已知射线Ox _l Oy ，A
，B 为Ox
，Oy 上两动点，ζA 平分线与ζB
的外角平分线交于C ，试问
: ζC 的度数是否随A
，B 运动而发生变化?
若变化，请说明理由;若不变化，求出ζC 的值.
( 四川省竞赛题)
17.
从1，2 ，…，2004 中任选h 个数，使所选的h 个数中，一定可以找到能构
成三角形边长的3 个数(这里要求三角形兰边长互不相等) .试问:满足
条件的走的最小值是多少?
(山东省竞赛题)
18. 若三角形的三条边长a
，b ，c 为整数，且一边上的高恰为另两条边上的高
之和，则称这样的三角形为"玲珑三角形"证明:
(1)存在玲珑三角形;
(2) 玲珑三角形中，旷十b 2 +c 2 为完全平方数.
(北京市竞赛题)
19. 如图①，点D ，点E 分别在l:，ABC 边AB ，AC 上，ζ CBD = ζ CDB ，DE//
BC ，ζ CDE 的平分线交AC 于F 点.
(1)求证: ζ DBF 十ζ DFB =90
0 ;
(2) 如图②，如果ζACD 的平分线与AB 交于G 点，ζ BGC = 50 0 ，求
ζ DEC 的度数;
(3) 如图③，如果H 点是BC 边上的一个动点(不与B ，C 重合)，AH 交
DC 于M 点，ζ CAH 的平分线AI 交DF 于N 点.当H 点在BC 上
B 
运动时，〈DEC + ζDMH 的值是否发生变化? 如果变化，说明理
ζ ANF 
由;如果不变，试求出其值.
A 
A 
C 
B 
图①
图②
(第
19 题)
C 
B 
A 
H 
1 
C 
图③
20. 在边长都是正整数的三角形中，周长是2009 的三角形与周长是2012 的
三角形哪一种的个数多?说明理由.
(北京市竞赛题)
2 1.给定n(n>4 ) 条线段，已知用其中任意的n 一1 条线段均可作成一个n - 1
边形.求证:可用其中的某三条线段为边作成一个三角形.
(俄罗斯圣彼得堡市竞赛题)
22. 是否存在这样的三角形，其三边之长x ，y ，z 满足X 3 + y3 + Z3 = (x 十y )
(y 十z)(z +x )?
(俄罗斯数学竞赛题)
20￥ 
理?巳革;在
酒"喃;--..，..葡区
~~~ 
，传
食
食
食
女
女
食
为
占
用
学科精英大视野系列丛书
• 
…器I • 
例1
÷(叫)
在6ADE 和6EPB 中有:
~ a+d=LP+ ~ b ，，(J_ 6BCF 和6 PAF 中有:÷b +c=
1 
/ _
, 1 
2 - ,-
~ ~ 
, 2 
3+ ÷a ，两式相加，得叫=2L P ，ζp z ÷(叫)
例2
A
ζ A + ζ B = (2m+ l) t= (m+2)t+ (m- l) t. 因m>l
，t>O ，故ζA 十ζ B> ζC ，ζC<90 0 ，ζC
是6 ABC 最大的角.
例3
是.设三个角A 二三B二三C ，若不是几乎等腰，则A - B ,B - C> 150 ，A - C> 30 0 ，由
180 0 =A 十B + C<
A + A - 15 0 + A -30 0 =3A -45 0 ,A > 75 0 , I A -90 0 1< 15 0 ，故是几乎直角.
例4
(1)分a = 1
，2
，…，7 情形讨论，又α 十b> c ，列表如右:
{a 十b =30-c ，
(2) 不妨设a < b<c ，则!
I a+b>c. 
得
1 0<c< 1 5 .
因
c 为整数，故c = 11
，12 ，13 ，14.
当
c = l1 时
，b = 10 ，α =9 .
当
c= 12 时
，b = 11
，α = 7;b = 1 0
， 
α=8 . 当
c=13 时
，b=12 ，a=5;b=11
，α =6;b=10
，α =7;b=9
，
α=8. 当
c=14 时
，b = 13
，a=3;b = 12
，α = 4;b = 1 1，α =5 ;b = 10
，
a=6 ;b= 9 ,a= 7. 
例7
(1)略
(2) 题图②可分解为两个"规形" ，
.: BE ，CE 分别平分ζ ABD ，ζ ACD ，
..可设ζ ABE = ζ DBE= 工，ζ ACE = ζ DCE =y .
由(1)得ζ E = ζ A +x+y ，
①
ζ D= ζ E +x+y ，
② 
②一①得ζDζ E = ζ E一ζ A ，
4乙A 十ζD
. ζ E= 一一亏一一一
拓展:略
α 
b 
C 
1 
7 
不存在
2 
7 
8 
3 
7 
8 , 9 
4 
7 
8 , 9, 10 
5 
7 
8 , 9 , 10 , 11 
6 
7 
8 , 9 , 10 , 11, 12 
7 
7 
8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 
• 
….;J . 
1. 108 
2. 7 
I PA ←PB I~AB ，当A ，B ，P 在一条直线上时，等号成立.
1 _ 1 
3.
两
等腰
最长边介于周长的了和言之间，故最长边可取整数12 ，11 ，10 ，9 ，又三边长都是质数，则最
长边为
1 1，另两边的和为
14. 其中符合条件的有11 + 11 +3=25 , 7+7+ 11 =25 . 
4. (川ω
对于川
( 仁.a: !Jjf ) 
女食
，传
肯食
，传
食
食
第
22 讲
三角形的边与角
c+a~ a+b 
' 2 
~ > ~:2 V ，la -b l+ 1 十
I b -cl 十l >lc- al + 1.
1 /_ 
/ ___ 
^. 1 
5. 1130ζADB =90 0 + 一ζC ，ζ BFE =90 0 ++正EDB ，
2
月
则LBFE=90 0+卡ADB= 90 0+ +( 90 0+ ~ LC) = 11 2。十乓4 ，
吃
4
\ --
'2~- '
币
当ζC=4。时，ζ BFE 的皮数最小，值为
11 3 0 .
6. 
1 或2
当n二月时，.;;c;;丰言了- Jr;丰2-1 二三J5(J3-
1) -1 :::,;;0.6>0. 
7. B 
8. C 
LB < 仨A ，LC斗少，则ζc斗L B <
~ x 仨A =fA ，故LA + ~ LA 十
仨A>LA+ ζB+ ζC=18川A川0。
9. B 
10. D 
当
5 是最长边时，有(2 ，4 ，5) , (4 , 4 , 5) , (3 , 4 ,5) ，(3 ，3 ，5)
; 当
5 是次长边时，有(2 ，5 ，6) , (3 , 5 , 6) , 
(3 , 5 , 7) , (4 , 5 ,6) , (4 , 5 , 7) ，(4 ，5 ，的，共10 个.
1l. B 
只有当α 2 = 2 ，向=a ，十α2 =3 ，向=α2 +向=5 ，α5
α 3 +向=8 ，向= a，+ as =13 时，7 条线段中的任
意三条都不能构成三角形.
12. C 参见例
4.
13. 设长度为4 和12 的高分别是边a ，b 上的，边c 上的高为h ，L，ABC 的面积为5 ，如l
G =25 , b=25 . 
4 
, -
12 ' 
25 . 25 
25 _25 _25 , 25 
c = 一，由一〈一〈一+ 一，得3 < h<6 ，故h =5 .
h ' -, 4 
12 - h 
- 4 ' 12 
14.
因所有线段的和为屿，故最大的等边三角形边长为
15 . 依据周长列表如下:
边长
a 
b 
ι 
15 
9 , 6 
7,8 
1,2 , 3 , 4 , 5 
14 
9 ,5 
8 , 6 
3 , 4 , 7 
13 
9 ,4 
8 , 3 
6 , 7 
12 
9 , 3 
4,8 
5 , 7 
从表中可以看出，符合条件的
三角形边长最短为
5 ，最长为
11 
9 , 2 
3 ,8 
4 , 7 
1 5 ，都能找到适合的线段纽合.
10 
9 , 1 
2 ,8 
3 , 7 
故能够围成的周长不同的等边
9 
9 
2 , 7 
3 , 6 
三角形共有11 种.
8 
8 
2, 6 
5 , 3 
7 
7 
3, 4 
2 ,5 
6 
6 
1,5 
2 , 4 
5 
5 
1,4 
2 , 3 
15.
设ζCAB=2日，ζABC=2卢，ζBCA = 2Y ，如IJ
a + 卢十y= 900• 因为ζBID = α 十卢，ζ HIC=900 -y= α + 卢，故
ζBID= ζ HIC. 
16. 不变化，ζC= 90 0 - _!_ζAOB = 45。为一定值.
2 
17. 这一问题等价于:在
1
，2 ，…
，2004 中选走
1 个数，使其中任何3 个数都不能成为一个三角形三边(互
不相等) 的长.试问:满足这一条件的走的最大值是多少?
符合上述条件的数组中
，当走= 4 时，最小的
3 个数就是1，2 ，3 ，由此可不断扩大该数纽: 只要加入的数大
二、
'眨
食
食
* 
食古
食
立与
* 
学科精英大视野系列丛书
于或等于已得数纽中最大的两个数之和. 所以，为使企达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之
和，于是得到
: 1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，34 ，55 ，89 ，144 ，233 ，377 .610. 987 . 1597 … ①共
1 6 个数，对符合上述条件的任
一数纽a j
，旬，… ，气，显然，总有化大于或等于①中的第
1 个数，所以，η "(16 "(走一1 ，从而，走的最小值为
17 .
18. (1)如: 三边长为
6 ，1 0 ，1 5 的三角形为一个玲珑三角形.
(2) 设玲珑三角形的三边长为整数α ，b ，c ，面积为5 ，三条边上的高分别为儿，儿，人.
不妨设ha= hb+ hε ·
由关系式αha = bhb =ch, = 25 ，得
25=25 ι 25=争土
1 . 1 
a 
b 
c 
a 
b '
c 
-=";>bc一(ac+ ab) =0 
-=";>a' + b' +c' 
= α'+ b' +c' 十2[bc一(ac + ab) ] 
= (b+ c- a)' . 
从而，矿+ b' 十c2 为完全乎方数.
19. (1)咯
(2) ζ DEC=100 a
20.
两种三角形的个数相等.
(3) 原式的值不变，为
2 .
设正整数走二注n二三m 是周长为2009 的三角形边长.则正整数h 十1 ，n+ 1 ，m+ 1 是周长为20 12 的三角形边
长.这样的三角形存在，因为由m+ n> 走=争(m+ 1) 十(n + 1) > ( 走+ 1)，即每个周长为
2009 的三角形都有周长
为
20 12 的三角形与之对应.
下面证明:每个周长为
2 0 12 的三角形都有周长为2009 的三角形与之对应.
设K二三N二三M 是周长为
2 012 的三角形边长.
(1)其所有边长大于1.
事实上，三角形的每条边大于另两边的差，若某边长为1，则另外两条边应当是彼此相等的，并且在这种
情形下三角形的周长是奇数.
(2) M + N > K . 
由此得(M- 1) + (N一1) 二三(K- 1).
当等式成立时，得M+N十K=2K十l(奇数) ，它等于20 12 ，这意味着数M- 1 ，N-1 ，K-1 中两个较小
数的和大于第三个，且这些数是某个三角形的三边长.
故周长是2009 的三角形与周长是201 2 的三角形的个数一样多.
21.设叭，鸟，鸟，… ，an- l
，a n 表示题设的n 条线段，不妨设a j "(α2 运内ζ … ζαn-l~仇，
假设以所给的n 条线段中任三条为边均不能构成三角形，则有
a 3 二三a l 十a，
，向二三a，十α3
，aS 二三α3+句，… ，α" 二三α"一，+a"- l'
相加得
a" 二~ a n- 2 十α ，，- 3+α ，，-，+ … +α3 +2a，+叭，
更有
a" 二三an- 2 十a n- 3 十a"_ ，+ … + α3+ α2 十a 1
，
这表明，以a n ,an- 2 ,an- 3 ,an- 4 ' …，鸟，旬，纠这n- 1 条线段为边不能构成一个n一1 边形，与已知矛盾!因
此，可用其中的某三条线段为边作成一个三角形.
22.
不存在
假设存在这样的三角形，不妨设z二~y二三Z ，则y十z>x .
: . (X + Y)(Z+X)(y十Z ) > (x + y)(Z十x ) x
这与题设矛盾.
=x3 + x ' y + x ' Z+ xyz 
>X3+X' y +X'Z 
二三X3 + y3 十z3 .
在~
'
如能撒遮
1796 年，年仅
1 9 岁的高斯给出了正十七边形
可以用尺规作图的证明
. 这一问题的证明不仅震
撼了数学界，也震撼了高斯自己的心灵. 高斯逝世
后
，人们按照他的遗嘱
，在他的雕像下面建立了一
座正十七边棱柱的底座.
1 989 年，第三十届国际数
学奥林匹克在高斯曾执教的哥廷根大学举行，也
是用正十七边形作为会徽，以示纪念.
需23 i:f:t: 
9诅RI
I 
e ….... 
边、角、对角线是多边形中最基本的概念.
多边形的性质常转化成三角形来说明，连对角线或向外补形，是把多边
形问题转化为三角形问题来解决的基本策略.
多边形内角和随着边数的变化而改变，而多边形的外角和性质反映出
更本质的规律: 外角和是360 0 的一个常数，把内角问题转化为外角问题，以
静制动是解多边形相关问题的常用技巧.
'
问题黯决
例
1
(1)如图①，ζ A + ζ B + ζ c +ζ D +ζ E 十ζ F =
(河南省竞赛题)
A 
B 
D 
A 
F 
C 
D 
阁①
图②
(2) 如图②，ζA 十ζ B + ζ C十ζ D +ζ E +ζ F +ζ G = 一一一一一·
(全国初中数学竞赛题)
晤题思路
对于(1) ，运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形
的性质，把分散的条件加以集中;对于(2) ，将问题转化为四边形、三角形内
角和的计算.
〈:丁嗦
你，大自然，我的
女神，我妥为你的规
律而献身.
一一高斯
甜蜜的问题
2 0 世纪
3 0 年代
几位数学家在讨论着
这样一个问题"平面
上任给
5 个点，若其
中任意
3 个点不共
线.求证:必有4 点能
构成凸四边形"
数学家埃丝特
·
克莱因证明了这个问
题，恩德雷
· 麦凯证
明了:为保证能构成
凸五边形至少需要
9
个点.他们因上述问
题而结为百年之好.
大数学家保罗
· 埃尔
德什给这问题起了一
个好听的名字一一一
"舌甘蜜的问是且"
~~&:\ 
，传
食会
食
*
1-导
，传
食女
例2
凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值
是(
). 
A . 4 
B. 5 
C. 6 
D. 7 
(全国初中数学联赛题)
黯题思路
把凸多边形内角问题转化为外角问题.
例3
美在其中
有一副由正三角形与正方形(它们的边长相等)组成
的拼板玩具，用它们可以拼成若干种凸多边形(任意一个内角都小于180 。的
多边形) .这类多边形中的五边形、六边形和七边形如图所示:
自
1 个正三角形
2个正三角形
3个正三角形
与1 个正方形
与1 个正方形
与2个正方形
这类多边形中边数最多的是几边形?试画出一个这样的多边形.
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
壁些塑堕
正三角形和正方形的内角分别为60 。和90 0 ，故由它们拼成的
凸多边形的内角只可能是60 0 ，90 0 ，120。和
1 5 0 。这四种，这是解本例的关键.
例4
在一个凸五边形内选取一点，将其与各顶点相连.在所有的
10 条
线段(5 条连线以及五边形的5 条边)中，最多可有多少条线段的长度为1?
(俄罗斯竞赛题)
堕塾壁堕
所有
1 0 条线段的长度能均为
1 吗?以退为进，构造符合要
求的图形.
我:2
学科精英大视野系列丛书
善于综合运用平
行线、三角形、多边形
的相关知识，并能充分
认识图形，是现阶段解
决相关问题的基础.
R草根树
lJ、R电j壮阔~
在《骑士》中，一队
人马向左，一队人马向
右，相反相成，相映成
趣. 在埃舍尔的镶嵌图
案中，他用几何学中的
反射、旋转、平移等交
换来获得更多的变化
图案.杨振宁著作《基
本粒子发现简史》的封
面用的就是这幅画作.
这幅作品与物理学中
对称性的结构对应论
相吻合.
G..\~~ 
( 仨革主日)
齿，曾
女，传
i;r 
，传
食
食
食
例5
设有一个凸多边形，除去一个内角以外，其余η
1 个内角和为
1993 0 ，求n 的值.
(安徽省竞赛题)
壁主1
设除去的内角度数为工，由题意得(η-2) 180= 1993 + x. 
1993 
I 
X 
,, ' 1 3 十z
'. n - 2= ~.V~V~V +一一= 11 +~一一，
180 ' 180 
~~
， 
180 ' 
.: n - 2 为整数，且0 <x< 1 80.
. 13 +x 二180 ，得n -2= 11 + 1，从而η =14 .
晤洁
2
.: 00<x<1800, 
(ω川
一寸2川)
(η 一2)门18创0< 1凹99归3+ 1山80 .
l3 
~ 
~ .
. 13 
解得
1 3 一一〈η< 1 4 一一
180 _.. 
- ~
. 180' 
: n 为正整数.:.n = 14.
例6
一个凸11 边形由若干个边长为
1 的正方形或正三角形无重叠、
无间隙地拼成，求此凸11 边形各个内角的大小，并画出这样的凸
11 边形的
草图.
(全国初中数学竞赛题)
纣柑E王静
设凸
11 边形的内角中有60 0 ，90 0 ，
120 0 ，1 50。的个数分别为x ，y ，z ，s. 列出它们满足的
关系式，并求出x ，y ，z ，s 的值.
设此凸
11 边形的各个内角中有z 个60 0 ，y 个
90 0 ，z 个120 0 ，s 个1 50 0 ，
依题意有
广十卢1 1，
① 
60x十90y+ 120 z十1 50s = (11-2)
.1 80 ，
② 
由①得
s = 11 - x-y-z ，代人②，化简得
3x 十2y+z= 1，
因为x ，y ，z 均为非负整数，所以x = y = O ，z= l ，故s = 1 0 .
则这个凸
11 边形有一个内角是120 0 ，有
1 0 个内角都是
1 50 0 •
六自然的.睐
自然界中的对象已经提供并且还在提供着激励数学发现的模型，数学
是我们用来试图了解、解释和再现自然现象的手段.
Iìi地
p 可-
4磨〉
企吨-‘. 
-
" 
I盹唔拉
s 
P 
产‘带-
~
、
件I勾
.、只甲
7 
、主fbl
、r飞，
气&
白，与
i珊割
ι-、飞
…古
b、
d 己均咆也气飞'鄂:叮..
215. L 
L YS 
第
23 讲多边形
平面镶嵌就是平
面图形无缝隙又不重
复地铺满整个平面.
镶嵌的实质在
于，围绕一点拼在一
起的若干个多边形的
内角和为
360 0 •
对于例
6 ，可进
一步思考:用边长相
等的正三角形和正方
形(无重叠无间隙)拼
凸多边形，能拼成怎
样的凸多边形?
其实
，要得到完
整的解答，需将问题
转化为解方程纽.
I~~~ 
，峙
，传齿
，传
食女
食
食女
六边形是备受自然界青睐的基本图形之一，干裂的土地、晶体结构、雪
花形状、三重联结、摆放物体、蜂房结构等，可以发现六边形在自然界中的广
泛存在形式.
例7
定义:六个内角相等的六边形叫等角六边形.
(1)研究性质
①如图①，等角六边形ABCDEF 中，三组正对边AB 与DE ，BC 与
EF ，CD 与AF 分别有什么位置关系? 证明你的结论;
②如图②，等角六边形ABCDEF 中，如果有AB = DE ，则其余两组正
对边BC 与EF ，CD 与AF 相等吗?证明你的结论;
③如图③，等角六边形ABCDEF 中，试判断AB + BC 与DE + EF 的
大小，并证明你的结论.
(2 ) 探索判定
三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为12 0 0 ，才能保证该
六边形一定是等角六边形?
E 
a2 
D 
E 
a2 
D 
E 
a 2 
D 
c, / 
\ 
C,/ 
\ 
c, / 
\ 
F( 
\b, 
F( 
\b, 
F( 
\b, 
b\ 
) C 
b入
)C
b\ 
ì C 
- \ 
/c2 
\ 
/ c2 
\ 
/c2 
rτ万
A
a, B 
A a, B 
图①
阁②
图③
( 浙江省台州市中考题)
暨塾壁些
经计算得等角六边形每一内角为
1 20 0 ，1 20。给人以丰富的联
想，通过对内分割或向外补形，将六边形问题转化为基本图形或特殊三角
形、特殊四边形.
1. 
(1) 一个多边形一共有
1 4 条对角线，则它的内角和为
("五羊杯" 竞赛题)
(2) 从凸n 边形的一个顶点出发引出的所有对角线把这个凸n 边形分成
了m 个小三角形，若m 等于这个凸n 边形对角线条数的士，则此η
边形的内角和为
("希望杯"邀请赛试题)
2. 正方形ABCD 的内部有1 7 个点，它们与正方形的4 个顶点共计2 1 个点，
其中任意三点都不共线，以这2 1 个点为顶点，将该正方形剪成小三角形，
最多可以剪出
个小三角形，此时共剪
刀.
( "希望杯"邀请赛试题)
革~
学科精英大视野系列丛书
研究几何图形
，
我们往往先给出这类
图形的定义，即按照
一定规则的约定，用
下定义的方式给出一
个新图形的概念，运
用新定义的图形概念
探索新图形的性质，
并运用新图形的性质
解决问题.
例
7 从边、角元
素出友，研究新图形
的性质，探索其判定
方法. 由易到难，环环
相扣，每一问题的解
决都为下面新问题的
探索积累经验和提供
思考方向.
~~&.-\ 
可候
，吃
( 乞革组)
惊
食
告吃
食
3.
如图是一个多边形，则ζ A j 十L A 2 十ζ A 3+ … 」卡ζ A Z3 十ζ A 24 的度数
是
(世界数学团体锦标赛试题)
A 且
A, 
AI8 
(第
3 题)
4.
用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满
1 
1
, 1 
地面，设正多边形的边数为x ，y ，z ，则:J 十7 十言的值为
(四川省竞赛题)
5.
一个多边形截去一个( 三角形状的)角后，形成另一个多边形，其内角和是
3060 0 ，则原多边形是
边形.
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
6.
凸n 边形恰有7 个钝角，这7 个钝角的和等于1100 0 ，则η =
(国际中小学数学能力检测题)
7.
凸η 边形中有且仅有两个内角为钝角，则η 的最大值是(
). 
A. 4 
B. 5 
C. 6 
D. 7 
8.
已知α 是一个凸n 边形的一个内角，和它对应的外角为卢，除α 外，其余内
角的和为ρ 。，除卢外，其余外角的和为q 。. 若ρ =13q ，则n 的值为(
). 
A. 13 
B. 15 
C. 20 
D. 22 
("希望杯"邀请赛试题)
9.
如图，ζ A 十ζ B +ζ C 十ζ D 十ζ E 十ζ F 十L G = (
). 
A. 100 。
B. 
120 。
C. 150 0 
D. 180 。
(江苏省南京市竞赛题)
E 
G 
D 
A 
D 
C 
B 
(第9 题)
(第
1 0 题)
10.
如图，将六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使A ，B 落在六边形CDEFGH
的内部，则下列结论一定正确的是(
) . 
A.
ζ 1 + L2=900。一2(LC+ ζ D +ζ E十ζ F)
217 
\ 
电室
、] 哥
第
23 讲多边形
I::!\~~ 
，传
食女
食
，传食
食
食为
昂'.ζ1 +ζ 2 干1080 0 -2 (ζC +ζ D +ζ E 十ζ F)
C.
ζ 1+ :ζ 2=720。一(ζC +ζ D +ζ E+ζ F)
D. ζ 1 +ζ 2=360 0 - ~ (ζc+ ζD十ζ E+ζ F)
2 
(湖北省武汉市竞赛题)
11.
在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002 0 ，则这个多边
形的边数为(
). 
A. 12 
C. 14 
B. 12 或13
D. 14 或
1 5
(江苏省竞赛题)
12. 一张三角形纸片的长为
1 的边仅与一个边长为
1 的正12 边形纸片的一
条边重合，平放在桌面上，则所得到的凸多边形的边数一定不是(
) . 
A. 11 
B. 12 
C. 13 
D. 14 
(北京市竞赛题)
13. (1)如图①，求ζ A j+ ζ A 2 十… +ζA 8 的度数.
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
J 
A s 
A s 
A 
A, 
A 2 
F 
D 
E 
团①图②
(第
13 题)
(2) 如图②，求ζA+ ζ B + ζ C+ζ D +ζ E十ζ F +ζG十ζ H +ζ 1 +
ζ J 的度数.
14. 如图，在凸六边形ABCDEF 中，已知ζA + ζB+ ζ C=
ζD+ζE十ζ F. 试证明:该六边形必有两条对边是平
行的.
(俄罗斯萨温市竞赛题)
15. 美国华盛顿大学研究团队卡西·曼夫妇在201 5 年发
(天津市竞赛题)
:UE 
F 
(第14 题)
现了-种新的不规则五边形(如图①) ，相互组合后可完全铺满平面(如
图②) ，不会出现重叠或任何空隙，是全球第
15 种能做到此效果的五边
形，而距上次发现类似效果的五边形己时隔30 年，这项发明相当于在科
学领域中寻获了新原子粒子.设此五边形ABCDE 中AE=10cm ，则此
五边形周长为多少?
(国际少年数学精英大会试题)
学科精英大视野系列丛书
斗争已主蟹
酒.....
毡'圃瞩
Ct.\~、，Ct.\
( 七a:
!I歪)
力，峙
，传
女食
，传
飞去
，峙
，传
第
23 讲
多边形
图①
图②
(第
1 5 题)
16. 有四个边长分别为3cm ，4cm , 5cm 的木三角形，用所有这些三角形能拼
成多少种凸多边形(只需画出凸多边形，不需要证明) . 
(伊朗几何奥林匹克试题)
17. 把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形. 分割后的多边形的
边数总和比原多边形的边数多13 条，内角和是原多边形内角和的1. 3 倍.
问:
(1)原来的多边形是几边形?
(2) 把原来的多边形分割成了多少个多边形?
(日本算术奥林匹克试题)
18 .
已知凸n 边形A1Az "
'A ，，(η>4 ) 的所有内角都是
1 5。的整数倍，且ζAl +
ζAz 十ζA3 = 285 0 ，求n 的最大值.
( 世界数学团体锦标赛试题)
19.
凸η 边形中最多有多少个内角等于150 0 ? 请说明理由.
(全国初中数学竞赛题)
例
1
(1) 360。
连BC ，lj) lj ζ A +ζ B + ζC+ζ D +ζ E十L_ F = 四边形EFBC 的
内角和= 360 0 •
(2) 540 0 
L乙A十ζC+ζ 1 +ζ F =360 0 ，ζ B + ζ D+ζ 2 +ζ G =360
0 ，
又ζ 1 +ζ 2 = 180。十ζ E ，由此得ζA十ζ B+ ζC十ζ D+ζE+ζ F= 3 60。十360
0
1800 = 5400 , 
锣1] 2 
C 
设凸多边形的边数为n(n 为自然数) ，由题意知η 个外角中恰好有三个是
锐角
，那么其余n - 3 个外角将是钝角或直角，而外角中钝角的个数不超过3 ，J'!rn-
3 豆
3 ，ηζ 6 ，放η 的最大值为
6 .
C 
例3
凸n 边形的内角和为(η-2) X 1800• 若η二三1 3 ，则其内角和至少为(1 3 - 2) X 180
0 = 
1 9800 ，从而各内角的平均度数大于
1 500 ，故这类凸多边形的边数ηζ 1 2 . 当η = 1 2 时，( η 2) X 
1800 = 18000 ，这时该凸多边形各内角都等于1 500 ，这样的凸十二边形是存在的.
-f91] 4 
先证明
: 不可能所有10 条线段的长度均为1.
假设不然. 设有五边形ABCDE ，。为其内部一点，使得所有的
1 0 条线段长度均为
1 ，如
图①.
〈iJ:吆
• • 
A 
2J>F 
D 
(例1)
十二ìll形
(例3)
，传
食
ù
食
食食
，传
食女
于是，60AB ，6 0BC , 6 0CD , 6 0DE , 6 0EA 均为正三角形.
故ζ AOB = ζ BOC = ζ COD = ζ DOE = ζ EOA = 60 0
•
注意到，这些角的皮数之和应为360 0 • 但与
5 X 60
0 = 300。矛盾.
B 
C 
A 
E 
图①
(例的
再举例说明:可以有9 条线段长度为
1 ，如图②.
D 
学科精英大视野系列丛书
A 
E 
图②
在平面上取定点A 与0 ，使它们的距离为
1 ，再依次耳叉点B ，C ，D.E. 使得60AB. 6 0BC. 6 0CD , 6 0DE 
均为正三角形.此时，点。必在凸五边形ABCDE 内部，且所有的
1 0 条线段中，仅有AE 长度不为l.
锣IJ 7 
(1) ①略
E G, D 
Q 
r---飞---…._--, 
②如图，延长BA ，ED ，EF ，BC ，两两分别相交于点p ，点Q ，则四边形EPBQ 为
C, / 
'\ 
可仇
/
，、"
b入，'
平行四边形
，6AFP. D DCQ 都为等边三角形.
:.PB=EQ ，即AB 十AP=ED十DQ ，
:.AB+ AF= ED+ DC. 
故AF = DC. 同理BC= EF.
③
同②，向外补形可证得AB + BC = DE+ EF.
( 2 ) 至少需要三个内角为
1 20 0 •
1
. 
_. ~ . ~ ... 
. 1 
1. (1) 900 0 
n 边形共有一n( η
3) 条对角线，由
n(n •
3) = 1 4 . 得n = 7 .
2 "' " 
'_' /
'J"
F
，，
/ r~
__
，
.-. 2 
(2) 72 0 。
360 0 X 17+ 360o 
__. . , 36 X 3-4 
2'. } 6 
52 ' 
山~o'
~~ ~ = 36( 个)
. 一
2 一一= 52( 刀) . 
/ 
v , \. 
7C 
ι
…一--~一__j C，
P 
A G, B 
( 例7)
• 
-牛牛妻建
黯
3. 10 80。
连接A ，A6 ,A7A " ，A ，~ A' 8 ,A'9A" '可证得ζ A ，十ζA，十… 十ζA'3 十ζA'4= 八边形的内角和.
1 
1 ";'; 
li~ ...if.. -1::- x - 2 'J 1 O^ 
j y - 2 \.j 1 O^ 1 z - 2 ,/ ., ()^ _ 
rH"A 
II~ ~~ /.E' 1 
1 
1 
1 
4
言
依题意有了×附
X 1 8 0 十一X 18问川匕简得一+ 一+ 一=τ
y 
z 
x 
y 
z 
~ 
5.
十八或十九或二十.
6. 9 
设另外(η 一7) 个内角的和为走。，则
(川) X吵1毗
得8 一〈ηζ 9
_::_
1 8 0 0 ( η ←2 ) = 11 00 0 + 走。运11 0 0 0 + 90 0 (n 一7) • ' . -
9 
7. B 
14x , • _ 
1 4 一
8. D 
设ζ a = z。，ζ卢= 1800 - x O • (n - 2) 180 0 -
x O = 1 3 (360。一1 80 0 + x )
，η = 一一+ 1 5 ，n 一丘者~为整数，
180 ' .1. ,-,, 1<, 180 
举;二
唁理
食
* 
( 七革盟)
幸吃
食
工< 180
，x = 9 0 ，η = 22.
9. D 
连AC ，EF ，利用对顶三角形性质计算.
10. B 
设FA 的延长线与CB 的延长线相交于P
，GA ' 的延长线与
HB' 的
延长线斗目
:交于p'
，由对称性知，ζ 1 = 2 L乙APP'
，ζ 2 = 2 L乙BPP'
，
.
ζ 1 +ζ 2 = 2 L APB. 
又ζ APB = 540 0 - ( ζ C+ζ D +ζ E +ζ F) , 
.. ζ 1 +ζ 2 = 1080 。一2( ζ C十ζ D 十ζ E 十ζ F).
D 
11. D
设这个多边形为
n 边形，由
2 0 02 0 < (η - 2) X 1 80 0 < 2 00 2 0 + 3 60 0 ，得
11 _ ___11 
13 一< n< 15
::
，η = 14 或
15.
90 _.. _.- 90 
12. D 
12 边形和三角形加起来一共有
1 5 条边，其中重合的两条边肯定不
是新的凸多边形的边，因此新的凸多边形的边最多为
13 条.
(12 - 2) X 180 。
易知，正12 边形纸片每个内角为
= 150
0
• 
12 
若拼接的6 ABC 中
，BC = l
，ζ ABC = ζ ACB = 90 0 ，拼接后是个
11 边形;
若拼接的6ABC 中
，BC = l
，ζ ABC = 30 0 ，ζ ACB< 30 0
，拼接后是个
12 边形;
若拼接的6 ABC 中
，BC = l
，ζ ABC< 30 0 ，且ζ ACB< 30 0 ，拼接后是个
13 边形.
因此所得到的凸多边形的边数一定不是14.
13. (1) 3 60 。
连A z A s ,A5AS ' 
E 
(2) 1080 0 
连DE ，BG ，原式= 六边形CDEFI] 的内角和十四边形ABGH 的内角和.
14.
可以证明CD // AF. 
15. (1)观察图①，可得ζ E = 90 0 ，2ζ B 十ζ E = 360 0 ，由此得ζ B = 135
0 ，又
(… D= 360 
ζ C 十2 ζ D = 360 0 ，
LA + ζ C十ζ D = 540。一ζ B -L乙E.
由此得ζ A = 105 0 ，正三D = 150 0 ，ζ C = 60
0
• 
图①
图②
(第
1 5 题)
第
23 讲多边形
F 
C 
(第
1 0 题)
(2) 在图②中，连接AD.BD ，作DP j_ AB 与AB 交于点p ，由图①可知AE = DE= BC, CD= 2AE= 2DE= 
2BC ，故ζ 1 =L 2 = 45 0 ，从而ζ 3 = 60
0 ，ζ 4 = 30
0
• 
(3) 在6 BCD 中，由ζ C = 60 。和CD = 2BC 得ζ 8 = 90 0 ，从而ζ 7 = 30
0 
，ζ 5 = 45
0
，ζ 6 = 45
0
• 
(4) 由此得DE = AE = 10 ,AD= 10 .J2, AP= 5 .J2, PD= PB = 5 16,BD= 10 汀，故AB = 5 .J2 + 516 ，因此
五边形周长为
5 0 + 5 .J2+ 5 16(cm). 
飞
、2也
16. 
食食女
食
食食
食
*为
可拼成如下16 种凸多边形.
学科精英大视野系列丛书
• 
3护4ν/1 3 回
:争
3包'1;3
3\E囚4
二r
h 但
~正
、J纠vs
(第
1 6 题)
17. 把多边形沿直线剪开，每增加一个多边形，边数的增加会出现以下三种情况: ①当直线经过两个顶
点时，增加两条边; ②当直线经过一个顶点时，增加三条边; ③当直线不经过顶点时，增加四条边.于是，当
将原多边形分割成4 个小多边形，最多可以增加4X3= 1 2 条边;当将房、多边形分割成8 个小多边形，最少可
以增加2X7 = 14 条边.所以分割后的多边形的个数是5 ，6 ，7 中的一个. 设房、多边形的边数是n ，分割成边数为
a, ' 衔，… ，am 的m 个多边形，则m 个多边形的总边数为a ，+a2 + … +am • 由题意，有a，+α2+ … 十am = η + 13 ，
180(a, - 2) + 180(a2 一2) + … + 180(am -2)= 1. 3 .1 80(n-2) ，得20m=156-3n =3(52
的. 所以m 是3 的倍数，于
是m=6 ，η= 1 2. 故原来的多边形是12 边形，把原来的多边形分割成了
6 个多边形.
18. ζA .
，ζA s
，…，ζA . 的外角和为
360 0 - 255 0 = 105 0，
于是ζA.+ ζA s 十… 十ζA.= (n - 3) 1 80。一1 05 0 = 1 80 。η - 645 0 ，
又ζA.+ ζAs+ … +ζA " = 150 (k, + 儿+ … + kd )(k i 为整数，i= 1 , 2 ,… ,n- 3) , 
得180 0n - 645 0 = 1 5 0 (k ，十k 2 + … + k ，，-3 )
，即
1 2n - 43= k ，十k 2 + … 十k"-3 . 
由
15飞< 180 0 ，得k i < 12 ，走a 最大只能取1 1，
:.1 2n - 43ζ ll(η - 3) ，得η~ 10.
故η 的最大值为
10 .
19. 假设凸n 边形中有企个内角等于
1 5 0 0 • 则不等于
1 5 0。的内角有(n 一的个.
(1)若k= η ，由n X 15 0 0 =(η - 2) X 1 80 0
•，得n = 12. 于是，正十二边形的
1 2 个内角均为
15 0 0 •
(2) 若走< n ，且n二三13 ，由k X 150 0 + (n - k) X 180 0> (n - 2) X 1 80 0 ，可得走< 1 2 ，Ji!r k~ l l. 
当走= 11 时，存在凸n 边形
，其中的
11 个i内角为
150 0 ，其余(n-k ) 个内角均为
( n - 2 ) X 180。一11 X 1 50 。
/ ~ 
1 
\ 
。=
44 
= i 6 一一~ "
1 X30 。ε[ 16 5 0 ，1 80 0 ) .
\ -
n 一111
(3) 若走< n ，且8~ ηζ 1 1，当
k = n - 1 时，存在凸n 边形，其中的n - 1 个内角为
1 50 0 ，另一个内角为
自=( η -2)X 1 80 。一(n - l) X 150 0 = (n -
7) X 30 。ξ[30 0 ，12 0 0 ].
(4) 若走< n ，且3ζη运7 ，由(3) 可知走~ n -2 ，当走= η
2 时，存在凸n 边形，其中n - 2 个内角为
1 50 0 ，另
两个内角均为( n - ，2) X 150 • , 
综上，当η = 1 2 时，走的最大值为
1 2;
当
n二三1 3 时，走的最大值为
11;
当
8ζ n~ 1 1 时，走的最大值为n -1 ;
当
3 ，;;三n~ 7 时，走的最大值为n - 2 .
￡;j 
会"转动"的圆盘
这些"扭曲"的线框其实是
一个个正方形
<--. ~ (.'1/1 
d广灶，气
我们如果只凭直观感受进行判
断，那么很可能产生错觉或错误的判
断，我们把看上去的情况和实际有偏
差的图形，称之为错视图形.
南24 itt 
圈fH画孟R
I 
@…--自
札可B 能跟遮
面积是平面几何中一个重要概念，计算图形面积是平面几何中最基本
的问题之一，常用的计算方法有: 和差法、运动法、等积变形法.
面积的计算主要是求一些非常规图形的面积，非常规图形面积的计算
往往可转化为常规图形面积的计算. 在转化的过程中，常用到恰当连线、图
形割补、等积变形、线段比与面积比互化、代数化等技巧方法.
熟悉下列基本图形:
Æ 45J只AS|::i:
|
在职问题篇决
例1
如图，若长方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7 ，4 ，6 ，则
阴影部分的面积是
雕塑思路
人于.
("五羊杯"邀请赛试题)
从寻找三角形与长方形面积关系
A,-___r 
…
J
放~[，
;|~[~ 
223 
、」粤
几何学有形象化
的好处，尺，何会给人
以数学直观，不能把
几何学等同于逻辑推
理. 只会推理，缺乏数
学直觉，是不会有创
造性的.
一一吴文俊
两弯新月
如图，以直角三
角形两直角边为直径
向外作两个半园，以
斜边为直径向外作半
园，如j 三个半圆所围
成的两个月牙形面积
之和等于该直角三角
形的面积.
这是古希腊数学
家希波克拉底发现的
定理.
F、)
~I"i:\~&:\ 
学科精英大视野系列丛书
• 
食
节tt * 
食
食女
，传
τ(t
û 
求一些关汪}t杂
的图形面积，j飞数化
4 是一个重要技
;Pj; 利
用代数化，能清晰明
了地表示图形面积之
间的关系，;，人而可以
化解或降低问题的难
度. 代数化的常见形
式是:
、.
，
E 
B 
A 
B. 12 
A. 10 
(1)设而不求，整
体求解;
(2) 借助方程、方
例3
如图，设E ，F 分别是6ABC 的边AC ，AB 上的点，线段BE ，CF
交于点D . 已知6BDF ，6BCD , 6CDE 的面积分别为
3 ，7 ，7. 求四边形
AEDF 的面积.
牙呈主且.
‘ 
-
4足千吏面积比与对
应线段比之间的相互
转化，是求图形面积
的一个常用技巧，解
题的关键是加强对图
形结构的分析，寻找共
高或共底或共角的三
角形.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
设SL，DEF = 工，SL，AEF = y ，把线段比转化为对应的三角形面积
幅题思路
A 
例2
正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，
点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4 ，则6DEK 的面积为(
，
) . 
C. 14 
. 
D. 16 . 
(广西壮族自治区南宁市中方题)
踹理想路
延长庙，PK 交于点H ，把6DEK
~二一哥
十
，，-.，
,., ..,.. ... 
的面积转化为规则图形的面积之和或差;或恰当作出
二-....._
IU 
1 
辅助线，运用等积变形转化问题.
比.
如图①，
即
一
∞
。
一
一
川
剧
一
皿
A
-
A 
Q
U-
Q
U 
C 
B 
AP 
1 BQ _ 1 CR _ 1 
如图，已知6ABC 中
一一一一一一一一一-_一，三角形PQR
, AB 
3' BC 
4' CA 
5 
例4
如图②，
AA 
A
A
D
配
的面积为20 cm2 ，求6ABC 的面积.
(美国数学邀请赛试题)
壁些塾堕
连BR ，CP ，把线段比转化为对应三角形面积比，分别把
6APR ，6BPQ ，6QRC 的面积用6ABC 的面积表示.
因
SL，APR →AP _ 1 SL,ABR 
AR 
4 
一一一一一一二­
S L,ABR 
AB 
3' S L,ABC 
AC 
5' 
故SL,APR 
S L,APR 
S L,ABR 
AP AR 
→二一
· 一二-
S L,ABC 
S L,ABR 
S L,ABC 
AB AC 
1 ,, 4 
4 
一-
~ 一一一
3 . 可
5
15' 
R 
Q 
B 
图②
~~、，~
生(2乡
女食
，传
食食
食
费* 第
2 4 讲
军
图形面积
例5
如图①，已知正方形ABCD 的面积为l，M 为AB 的中点. 求图
中阴影部分的面积.
充分利用正方形
(湖北省武汉市竞赛题)
的特征、中点，探寻知
识的关联，从特殊到
一般，从面积比到代
如图①，56AMD 二S叫C
士，5叫G 为公共部分，所以56J\GD = 
56MCG
' 因为LAMG 与LAMD 的高相等(以A 为顶点作高)，LMCG 与
LMCD 的高相等(以C 为顶点作高) , 
踏法
1
数化，由点到面，生成
例
5 的不同解法.
1 
~ 
4 
'-'6 MCG 
6 MCG 
1 
l' 
4 
2 
5 ^ AMG 
5 ^^丸
MG
」旦旦-L'.旦旦=一一，~p 
5 6 AMD 
5 6 1四;D
MD 
所以
D.. 
...C 
… 
… 
… 
…、
，
川
防线
'，Oø:f1 I 
忆在自在X=
I 
… 
膨纱' x 可乡
?、、、|
…"… 
…
… 
EF
吨'/IX
' ‘"
I 
A~
世B
岛f
1 
~ 
~"l 
1 
5 6 MCG = 言，5阴影= 2X 石=言
D 
C 
眩G加乡级扩
… 
v，
町
、-
A V 
h
uB 
D虱:dI C
防线
G Þ纫
| 
Au 
jkBB 
解得
图①图②图③
如图②，连接GB ，由正方形的对称性得56 J\BG = 5 6 AGD ' 
睡洁2
D 
G 
A 
A 
C
U --2 
一
一
fu 
础
A 
QU 
I
-2 
一
一
<U
川
M
A 
QU 
又
2 
~ 
~ ，，
2
，，
1 
1 
s阳配= 25 ^ M，，，= 2 X 一一~5 ^ ^"n = 2 X 一× 一=
阴影
6 AGU 
~ , , 1 + 2 ~ 6 AMU 
- ' , 3 ' ' 4 
3 
所以
如图③，连接BD ，BG ，设BD ，AC 交于点。，56AMG = 工，
帽洁3
56刷D=SAAOD=thD ，
5 6 (;OD = 5 6 AOD -
5 6AGD = 5 6 AMD -
5 6 AGD = 56 AA1G =工-
56皮茄= 56GOD = 工，56 BMG = 5 6 AMG = 工，
56 040B = 5604GM 十56ωB 十56 BMG
，
l 
X -
12' 
因为
所以
又
因为
t= z十巾，所以
即
~~甜毒、
S阴影= 56AGD 十56MCG = 2(56剧[) - 56川= ÷
例6
直角三角形的两条直角边长分别为5 和12 ，斜边长为13 ，P 是三
角形内或边界上的一点，P 到三边的距离分别为d "
比，叭，求d ，+ d 2 + 仇
的最大值和最小值，并求当d ，十d2 + d3 取最大值和最小
;.1 A 
值时，P 点的位置/ ，'
(" 创新杯"邀请赛试题)
/ 
" 
幅
如图所示，在LABC 中，ζC = 90
0 , BC = 5 , 
/d过生
ACJI2 ，BA = 1 3 ，P 到BC ，CA ，AB 的距离分别为d "
1C/什\
R 
C 
d 2 ，d3 • 连接PA ，PB ，PC ，由三角形的面积公式知:
Jj 
22、
所以
食
，传
食
*
食
1与
食为
女
÷ × M1+÷ × 队十÷ × 叫=÷ × 5 × 川口5d j +叫+叫=60
显然有5(d j +d2 十d3 ) ~5 dj 十12d2 + 13d3 ζ 13(d j +d2 + d3) , 
60 
故
ζd ，+ι +d~:::三12.
13 ~ -lζ
品
当d2 =d3 = 0 时，有d j 十的十d3 = 12 ，即d j + d2 十d3 取最大值时，P 与
60 
A 重合;当d j = d 2 =0 时，有d j +d2 +d3 = 丑，即d j + d2 十d3 取最小值时，P
与C 重合.
将回
一块不规则的四边形田地，在每条边都取三等分点，再把雨组对边上的
三等分点连接起来，成为一个"井"字形，"井"字把这块田分成了丸小块.
例7
(1)如图①，已知四边形ABCD 中，E ，F 是DC 边的三筹分点，G ，
H 是AB 边的三等分点.
求证:5四边阳FE= ÷S四边JfMBCD
DEF C 
A 
Ji.-ι气D
斤丁\
~气
S~韦思想r . v 
飞
RI
矿
v
飞
A 
GHB 
8 
G 
H 
C 
因①阁②
(2) 如图②，已知四边形ABCD 中E ，F ，G ，H ，M ，N ，R ，5 分别是四边
三等分点.
求证:5阴影寸S叩础CD
(3) 请你提出类似问题.
幡题思路
作辅助线，充分利用等分点，把四边形面积转化为三角形
面积.
~~ 刻意练习
1. (1)如图a ，一个大正方形被2 条线段
分割成2 个小正方形和2 个长方
形，如果5 j = 75cm2 , 52 = l'5cm2, 
那么大正方形的面积
5 =
2 
cπl 
(江苏省竞赛题)
l s, r 
图a
是:3
(第1 题)
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有些几何问题，
虽然题目中没有直接
涉及面积，但由于面
积关联着边、角两个
重要元素，所以我们
可从面积角度思考问
题，这就是常说的面
积法.
用面积法解题的
基本步骤是:
(1，)用不同方法
或从不同角度计算某
一图形面积，得到一个
含边或合角的关系式.
(2) 化简这个面
积关系式，直至得到
求解或求证的结采.
~~~ 
( 仁军主应)
女食
，传
女食
，传
女食
食
(2) 如图b ，大长方形中有5 个小长方形面积的数值已标出，那么，左上角
小长方形的面积是
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
2 . 如图
，6ABC 中，ζACB= 90 0 ，AC 二1 厘米，AB =2
厘米以B 为中心，将6ABC 顺时针旋转，使得点A ? 
落在边CB 延长线上的A j 点，此时点C 落到点C j
•
c 
则在旋转中，边
AC 变到
AjCj 所扫过的面积
为
平方厘米(结果保留π ) . 
A, 
(第2 题)
(" 希望杯"邀请赛试题)
3.
如图，对于一个8 X5 的长方形，图中的阴影部分的面积为
(美国数学竞赛题)
;卜、~: jt: 
(第3 题)
(第4 题)
4. 正方形ABIJ ,BCGH ，CDEF 的边长依次为
1 0 厘米、8 厘米和6 厘米. 它
们和一个长方形LT]K 放在一起组成如图所示的阴影多边形. 其中A ，
B ，C ，D 在一条直线上，K ，]
，1 也在一条直线上. 已知KL =5 厘米，KD
平分阴影图形的面积，则K] = 
厘米，阴影多边形的面积=
厘米2
("希望杯"邀请赛试题)
5. 如图，大圆中有4 个面积相等的小圆，已知小圆半径为5cm ，大圆半径等
于小圆直径，则空白部分的面积是
cm2 ( π 取3) . 
( 世界数学团体锦标赛试题)
6.
如图所示
，AF= 7 cm ,D H = 4 cm , BG = 5 cm ,AE = 1 cm . 若正方形ABCD
内的囚边形EFGH 的面积为78 cm2 ，则正方形的边长为一一一
cm.
A E 
D 
" 
F 
B G 
C 
(世界数学团体锦标赛试题)
G 
D 
F 
B 
E -E' 
C 
(第5 题)
(第6 题)
(第7 题)
7 . 如图所示，在正方形ABCD 的BC 边上有一动点E ，以DE 为边作矩形
DEFG ，且FG 边通过点A
，请问当点E 从点B 移动到点C 的过程中矩形
DEFG 的面积是如何变化的? ( 
A . 一直变大
B. 一直变小
c . 先变小后变大
227. ! 
、吆
第
24
ì井
图形面积
I~地，t:::\~
4民
D. 先变大后变小
食
食
食
食
1去
食女
飞去
E . 保持不变
( 国际中小学数学能力检测试题)
8. 如图，已知正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m ，n ，那么6AEG 的面
积的值(
) . 
A. 只与m 的大小有关
B .
只与η 的大小有关
C .
与m ，n 的大小都有关
D.
与1n ，η 的大小都无关
( 江苏省竞赛题)
A 
A 
A 
F 
E 
(第8 题)
(第9 题)
(第
1 0 题)
9 .
如图，已知6ABC 的面积为24 ，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延
长线上，且BC =4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面
积为(
). 
A . 3 
B. 4 
C . 6 
D . 8 
( 全国初中数学竞赛题)
10 .
如图，在6ABC 中，ζ BAC = 90 0 ,AB = 12 cm ,AC= 6 cm , D ，E 分别为
AB ，AC 上的点，且AD = 8 cm ,AE=;= 5 cm . 连接BE ，CD 相交于点G ，则
四边形ADGE 的面积是(
) . 
A. 21. 5 
B. 22.5 
C. 23. 5 
D.24. 5 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
11 . 如图，若P 为平行四边形ABCD 内一点，且Sð PAB = 5 , S ð PAD = 2 ，则
S M AC = ( 
). 
A . 5 
B. 4 
C. 3 
D. 2 
(湖北省武汉市竞赛题)
占ξ7
E 
(第11 题)
(第
1 2 题)
12
如图，延长6ABC 的= 边，使得BD= iAB ，CE= iBC ，AF二÷α ，则
- ~
，~
，.. --
2 
6DEF 与6ABC 的面积之比是(
) . 
A. 3 : 1 
B. 7 : 2 
C. 10 : 3 
D. 13 : 4 
E. 14 : 15 
(美国数学竞赛题)
13 . 皮克公式
各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点
多边形，如何计算它的面积?奥地利数学家皮克(G.
Pick ，1 859- 1942) 证
最f:J
学科精英大视野系列丛书
~、;Ct.\~
( 忆革组)
大食
食
女女
，传
食
食
第
24 讲
图形面积
明了格点多边形的面积公式: S=ma + nh - 1 ，其中m ，n 为常数.a 表示多
边形内部的格点数，17 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积.
(1)在下面的方格纸中各画出一个面积为6 的格点多边形，依次为三角
形、平行四边形;
1
4
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l
J
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，
J
a
4
1
l
-
vtill--ellTIII-
‘lllte 
r
t
p
t
』
曲
'
e
t
俨
'
'
'
L
e
l
i
-
-
-
三角形
平行四边形
(2) 利用(1)中的格点多边形确定m ，川的值.
(浙江省宁波市中考题)
14.
如图，已知ABCD 是长为3 、宽为l 的长方形，BE = EG = GC ，AH = 2HD ，
AG,AC,BH ，EH 交成阴影四边形PNQM ，求四边形PNQM 的面积.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
阿三」
C 
C 
B 
F 
(第14 题)
(第15 题)
(第
16 题)
DC 
EA 
F B 
1 
_,,_ 6.GHI 的面和
15. 如图
，6.ABC 中，已知一一= 一一=一一= 一求
^
"T""IO "'-"ιz 土n 的值.
DB 
EC 
FA 
2' 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
16. 如图，已知6.ABC 的面积为
1 ，D ，E 为AC 的三等分点，F ，G 为BC 的三
等分点.求:
(1)四边形PECF 的面积;
(2) 四边形PFGN 的面积.
("希望杯"邀请赛试题)
17.
如图，在6.ABC 中
，AB = 13 ,BC= 14 ,CA = 15 ,P 
是6.ABC 内部或边界上的一点，P 到三边AB
，
BC ，CA 的距离分别是x
，y ，z ，记u =x+y+z .
(1)使得u = 13 的点P 是否存在?若存在，请找
出所有满足条件的P 点;若不存在，请说明
C 
A 
理由(第
1 7 题)
(2) 使得u= 1 2 . 5 的点P 是否存在?若存在，请找出所有满足条件的P
点;若不存在，请说明理由.
("创新杯"邀请赛试题)
18 . 如图，6.ABC 中，AB = AC ，L BAC = 120 0 • 6.ADE 
~ 
是正三角形，点D 在BC 边上，BD: DC 二2 : 3 . 当
/ /e4 
~ 
6.ABC 的面积是
50 平方厘米时，求6.ADE 的
C
面积.
D 
(第
18 题)
(日本算术奥林匹克决赛试题)
229 
‘金
、々、
号"
B 
有时直接求图形
面积有困难，可通过
平移、旋转、割补等方
式，将图形或部分图
形运动起来，把图形
转化为易观察或易解
决的形状，动中求解.
类似于第
1 8 题，
有一些涉及30 0 ，45 0 ，
60 0 , 90 0 , 120。的图形
问题，由于这些角的
度数的整数倍形成
360 0 ，因此运用旋转
一周的方法有时能简
捷解决问题，并富有
关感.
B 
~~、I~
食
食
现r
食
τ_.. 
í斗
食女
女
学科精英大视野系列丛书
例1
85sr÷(7 +4+俨8.5
Øtl2 D 
如图，连DB ，GE ，FK ，则ζ DBA = ζ GEB =45 0 ，
:.DB // GE ，{寻S6GED = S6GEB , 
同理GE// FK ，得S6GEK = S6GEF. 
:. S6DEK = S6GED 十S6GEK =S6èEB +S6GEF =S正方形ßEFG = 16. 
刑
AE
3 十3+y
一
例3
x = 3 ，由并于一EC 一丁丰了，得y = 15. 故S "，;tr 'JAEDF =x+ y = 18. 
' 
………___………. • 
A 
B 
(例2)
S6国p _ 
1 
S6αQ _ 3 c'一
14
"，
1" 
1 3 ,.. 
\ 
例4MEEE'5;= 药，S6~R = S6ABC - ll~ S6ABC 气S叫十药S6ABC ) = 1"2S6ABC' 
lL 
12 .. __ 
, 
故S6ABC = τ S6 PQR = τ X 20 = 48(cm' ) . 
K 
E 
例7
(1)如图①，连FG ，DG ，FB ，DB ，
.: S6ffiF = S6ffiD ,S6 HFG = S6 HFB , 
:.S四边形历BF=2 S四边形GHFE .
① 
又.: DE=EF=FC,AG=GH=HB , 
D 
E 
F C 
厅同
:. S6DBC = 3S6FBC ,S6DBA = 3S6DGA , 
'.S四边形础CD = 3 (S6FBC + S6∞A ) , 
得SAFBC+ SAm = ÷s…础CD
②
①+②，得S…皿CD =2S叫形GHFE 十÷s…础CD ' 故s…「÷s…础CD
A 
G 
H 
B 
图①
(例7 )
ω 可证明O ，P 与K ，T 分别是EG ，FH 的三等分点，进一步可证明S叫形回KT=÷s…HFE '
从而srts四川剧CD
(3) 下面问题供参考:
如图②是一个凸四边形，各边上的点都是五等分点.请在2 5 小块四边形中寻找面积等
于四边形面积i的那一块，并加以证明.
25 
1. (1) 108 
(2) 12 
22 如图，边AC 变到A1C1 所扫过的面积= 部分圆环CDAD】C1 的面积
3 6÷ 如图，过长方形的对称中心作两边的平行线
• 
_-. . 
图②
(例7)
KXa 
D C 
B 
2-
'" 
(第2 题)
为食
食
食
，告
，传
会食
食
第
24
i井
军
仁七
图形面积
6 
J 
L 
P 
A 
T 
5 
立~---~-__Il
_g_ 1 
卜守斗f
D 
(第3 题)
4. 8 
240 
作出如图所示的辅助线，完形得长方形KPDM ，设KJ = 工，则5x = 16 + 24. 
5. 150 
如图，因为
1 与
2 ，3 与
4 ，5 与
6 ，7 与
8 ，9 与
10 ，11 与
12 部分的面积相等，所以空白部分的面积
为半个大圆的面积，即0.5 X π X 10' =50π = 
1 50( 平方厘米) . 
AE 
6 
C 
8 
B 
( 第4 题)
10 
H 
(第5 题)
(第6 题)
用竖直线和水平线将正方形分割为如图所示的5 个长方形，正方形面积为(78 - 1 2 ) X 2+ 12= 144 cm' . 
连接AE ，5 li.ilJDEFG = 5 "-if 形ABCD.
6. 12 
7. E 
η
 
1
-2 
一
-
E 
础
A 
QU 
E 
g 
A 
Q
U 
+ 
α
 
础
形
梯
QU 
一
一
E 
ru 
A 
A 
Q
U 
连接AF ，CE 则56DE/J = 56町C ,5 rn *J = 56 ACE = 56ACF = 士56ABC
? 
_ 
, _, ( 2x十6y = 24 ，
连接AG ，设56 BDG = 工cm'
，56αG= ycmι ，则(.1 3.:i:+5y =30. 
8. B 
9. C 
10. B 
因SANB+ SMD=÷SDABrSMC ，故56PAC = 56 DAC - 5 6ADP - 56 PCD = 56 PAB - 56皿p = 3
11. C 
1 _ 
1_ 
1_ 
_ 
_ 
, _ 
t 1
, l\ 
连接AE ，则SME=÷SA础，56AEF = τ 56ACE = τ56腻，56æF = 56 ACE + 56 AEF = ~ τ+τ )s叫=
12. D 
D 
:\ _ 
__ _ 
3 _ 
_ 
3_ 
_ 
.
0 
_ t~ ，，
3
，
，\ 
TSA顺·同理56皿F = ~ 56脯，56BDE = ~ 56ABC ，56即
: 56腻= ~ 3 X~ + 1)5叫
: 56脏= 1 3
: 4. 
B 
(2)m = ld= ÷ 
14. 连接HG ，HC 和AE ，见图.
在四边形ABCH 中，由三角形面积公式，可知:
5[l 町
AC _ 56AHC fJ"主主BC 一主坐
一
一一一
一一一
豆卢-MC 
5 6 HCM 川5 60CM
5 6H… 
(①式表示4 个三角形面积成比例，常被称为共边定理. )由①和已知条件可得:
3 
一ι一=一
1 一一，得到:56配=立
56 0CM -
3 
c' 
"'T "" J :ù6 OCM - 10. 
言- .::J6OCM
①
 
13. Cl)略
1 
类似地，由共边定理，在四边形AEGH 中，可得三角形EGN 的面积是飞了;在四边形AECH 中，可得三角
形ECQ 的Mit;在四边形ABGH 中，三角形BGP 的面积是÷
9 
1 
1
, 1 
1 
所以，四边形PNQM 的面积= T5
17 - 15 十6 - 1 5
电~~\l
讪r
食
食
食
女
女
-
R
女
食
_._...._.-… 
归田"一一
一司"一_.......…_..-
学科精英大视野系列丛书
r3x+y= ~S ， 
15.
连BG ，设S6 ABC = S , S61XG = 工，S6 OCF=Y ' 则~
') 
\2 x+3y= 亏S ，
( 
1 ~ 
解得r中
4: 同理可得S6川Ð\H = S6 FB
盯川
F阳
FBI
| 卢
21 -'
l Y 一五J
11 
2\~ 5 
又SAA=S
= Ls ，得S ll9 ih-!irr:1='J.l == S 't!lj}j MHAFI == (一一?~1 1 S = ?~1 S , 
J 
四边形旺:EH
四边形HAF I
\ 3 
21 / ~ 21 
1 2 
10 
1 \ ~ 
1 ~ d_ S ^GH 
I 
1 
这样S !o.GH I = I 
一一，)~1 1 S = ; S ，即」L=
飞
3
21 
21 ) ~ 
7 ~
， , S 6ABC 
7 . 
rx十3y= ι ，
①
16. Cl)连Cp ，设S6 PCF =x ,S6 PCE = y ，则~
, 
\3x+y= 言②
①+②，得工+ y = 士，flr S四边形I KF= ÷
(2) 连NC ，ND ，设S6 NGIJ =a ,S"'NCE = b ，则S "'NOG= 2a ，S "' NEA = 2þ , 
r3a + b=~ ， 
rα = i 
I~-
'
~ 
3' 
_ 1-
21 
则~
~ 
解得{
12a +3 b = 二
，
Ib=A"' 
l ~-
，~~ 3' 
l ~ 
21. 
1 
1 
1 
5 
故S _.. ~ "cr" = S A 
"~r -
S ^ "^'" -
S叫M or;-rr:一一一一一=一
"' BEC 
~ 6 BNG 
边形PECF
3 
21 
6 
42. 
17 . 作BC 边上的高AH ，设BH 气，则有13 2
旷=15 2 一Cl 4-a)2 ，解得a=5 ，故AH= J 132-52 = 12 , 
SAA「÷ ×山12 =8 4 连PA ，PB ，PC ，显然有
S叫C = S"' PAB + S6PBC + S"' PCA 咛x .13 +七-14+÷z·15=84
于是有13x + 14y+ 15z= 168( 铃) . 
(1)若x +y+z= 13 ，则13x 十13y + 13z= 169> 13x+ 14y+ 15z ，显然矛盾，故不存在这样的点，使u=13;
(2) 若x+ y +z= 12.5
，将(祷)式化为
14(x +y+ z) +z- x= 168 ，于是x -z= 7 ，作直线DE // AB ，且使
DE 与AB 的距离等于7 ，DE 分别交AC ，BC 于点D ，点E ，再作ζ CDE 的角平分线，交CE 于点T ，则线段DT
上任一点P 都满足条件.
18.
直接解题有困难，将6ABC 绕A 点顺时针旋转
120 " ，240 。拼成正6 MBC ，则正6ADE 变为正
6AD ，E.，和正6AD2 E2 . 易知六边形DED ，E ，D2E2 是正六边形
，6DD ，D2 是正三角形
，S "' DD . D. = 3S"'ADE ( 图
(
) .因此，设法由正6 MBC 面积为
150 ，求出6 DO ，D2 的面积，问题就解与起了.
因为
BD: DC= CD) : D)M = MD2 : D2B = 2 : 3 , 
所以连DM( 如图②) ，则
MDZZ讪=号×旧=6川方厘米) , 
而S山:0- 号S"'MBD = 号X 60 =3附方厘米)
同理可得S"'MD ，D，=S"'OCD, =3 6( 平方厘米) . 
因此S6 DDD. = 150 -3X 36 = 42( 平方厘米h
h=tSADDD=÷ ×←M 平方厘米)
M 
C 
B 
C 
图①
图②
(第
18 题)
纪)
716 
2 
9 
9 
5 
7 
6 
4 
314 
314 
4 
6 
5 
4 
6 
812 
飞古?ι921
3 
9 
2 
3 
"数独"是"独立数字" 的省略，意为每个方格
都是独立的个位数
" 数独"是一种智力游戏，它要
在事先给定部分数字的
9 个九宫格中，填入1 ~9
的数字，让每个数字在每行、列及九宫格里都只出
现一次.2 0 世纪70 年代，" 数独"雏形发表在美国
一家数学逻辑游戏杂志上，从此风靡全球.
f 二- 25 由归纳岳飞i
'
如能部述
当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简
单情形或特殊情况入手，通过对简单情形或特殊情况的观察试验，从中发现
一般规律并作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法.
观察是解决问题的先导，发现往往是从观察开始的，归纳与猜想是建立
在细致而深刻的观察基础上的.
'
问题能决
例
1
观察以下两组数
5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , 29 , 33 ,... 
4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , 22 , 25 ,… 
它们中间第15 对相同的数是一一一一一
晤题思路
从分析每串数的特征入手.
233 
、k
呗阜
(吉林省竞赛题)
我们的科学知
识，是通过未经证明
和不可证明的预言，
通过猜测，通过对问
题的尝试性解决，通
过猜想而进步的.
波普尔
孪生素数猜想
3 , 5 , 7 , 11, 13 , 
17
，19 都是紊数，3 和
5
，5 和
7
，11 和
1 3
，1 7
和
19 是成对的素数，
它们的差都为
2 ，可
以说是一对对双胞胎，
i
把它们叫作孪生素数.
猜想:存在无穷
多个素数
P ，使得
P 十2 也是素数.
这就是与哥德巴
赫猜想齐名，集令人
惊异的简单表达与令
人惊异的复杂证明于
一身的著名猜想一一­
孪生素数猜想.
~~I::\ 
食
食
'吃
食
，传
û
食女
女
例2
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他
们研究过图①中的1，3
，6
，10 ，… 由于这些数能够表示成三角形，故将其称为
三角形数.类似地，称图②中的1，4 ，9
，1 6 ，… 这样的数为正方形数.下列数
中，既是三角形数，又是正方形数的是(
) . 
A. 289 
B. 1024 
C. 1225 
D . 1378 
0000 
。
000 0000 
。
。
。
。
。
。
000 
。。
000 0000 
o 000000000 
。
。。
000 0000 
3 
6 
10 
4 
9 
16 
图①
阁②
瞄题思路
把图①，图②中的第η 个图中的石子数用n 的代数式表示.
例3
化简99 … 9X 99 … 9 + 199 … 9 .
n个
"个
n 个
(江苏省竞赛题)
堕些塾堕
先考察n = 1，2 ，3 时的简单情形，然后作出猜想，这样化简
的目标更加明确.
例4
如图，是用棋子摆成的图案，摆第1 个图案需要7 枚棋子，摆第2 个
图案需要19 枚棋子，摆第3 个图案需要37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则
摆第6 个图案需要
枚棋子，摆第n 个图案需要
枚棋子.
• • • • 
• • • 
• • • • • 
• • 
• • • • 
• • • • • • 
. . . . . . . . . . . . . .. ...... 
• • 
• • • • 
• • • • • • 
…. . . . . 
• • • • 
( 山东省青岛市中考题)
堕些壁堕
观察数值，从特殊到一般;或分割图形，从部分到整体，因视
角的变换，图形有多种分割方式.
克;
学科精英大视野系列丛书
部气已至1竟
观察时应调整观
察的角度，从点到面，
从局部到整体，以利
于观察出有一定隐蔽
性的内在规律.
规律探究题，常
按照一定的顺序给出
一系列量，要求根据已
知量找出一般规律，解
题的关键是把变量和
序号联系起来.
图形生长规律探
寻可从以下方面入手:
(1)整理数据，分
析数据;
(2) 把握图形结
构、生长方式.
~~、1&.\
( t:; a= m ) 
食，传
食
女食
，传
大，传
，传
第
25 讲
归纳与猜想
例5
图(a) , (b) , (c) ，(d) 都被称作平面图.
Lß ~rn* 
图
顶点数边数
区域数
( a) 
4 
6 
3 
(bl 
( c) 
(dl 
(1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，
将结果填入表中[其中( a) 已填好].
(2) 观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?
(3) 现已知某一平面图有999 个顶点和999 个区域，试根据(2) 中推断
出的关系，确定这个图有多少条边.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
蠕题思路
从特殊情况入手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其
中的共同规律.
例6
自然数按下表的规律排列:
(1)求上起第10 行，左起第
13 列的数;
(2) 数127 应在上起第几行、左起第几列?
(北京市"迎春杯"竞赛题)
纣#听!:5睡
"取其一翼''''直击命门""奇取
i 
? 
中军"，巧用兵法，妙破数阵.经观察可得这个自
4-j 
然数表的排列特点: ①第一列的每一个数都是
完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，
9-8-7 
即第n 行的第
1 个数为η 2
; ②第一行第η 个数
16 -
15 
一-14 一一13
是(n- 1) 2+ 1; ③第n 行中从第一个数至第n
个数依次递减
1
; ④第η 列中从第一个数至第η
25 -24 -23 -
22 -
21 
个数依次递增1.
这样可求: (1)上起第
10 行，左起第
13 列的数应是第
13 列的第
10 个
数，即[ (1 3-1) 2 十1 J+9= 154 .
(2) 数127 满足关系式127 = 112 + 6 = [ (1 2 _ 1) 2 十1 J+ 5 ，即
127 在左
起12 列，上起第6 行的位置.
例7
观察按下列规则排成的一列数
:
112123i
JL 立生
1
2
立.土，立，工，… (※)
f'~'T'~'~'T'~'3'2'1'5'4'3'2'1'6' 
(1)在(※)中，从左四川机为F(m) ，当川= 击时，求m 的
值和这m 个数的积;
(2) 在(※)中，未经约分且分母为2 的数记为
c ，它后面的一个数记为
d ，是否存在这样的两个数c 和d
，使cd =200 1000? 如果存在，求出
c 和的
235 
Ij.!' 
‘ '‘ 
历史上著名的数
学家欧拉曾研究过正
多面休，他惊奇地发
现了正多面体的顶点
数(V) 、面数
( F) 、棱
数(E) 存在一个奇妙
的相等关系:V + F
E = 2 ，史称"欧拉公
式"，它不仅在数学方
法上有所创新，而且
推动了现代数学的重
要分支一一拓扑学的
发展.
叮
'
'
o
k
υ
n
w
J
-
-
-|i
| 
观察、归纳出来
的结论一般来说只是
一种猜想，它是否正
确，还有待于进一步
证明.
1644 年，法国修
道士麦森宣布Mp =
2P - 1 型的数，当
p=
2,3,5,7,13 ,17 ,31 ,67 , 
127 ，257 时都是素数.
1903 年，美国著名数
学家科尔做了一次无
声的学术报告，他在黑
板上先弄出i ' - l，接
着又把
193707721 X 
761838257287 用竖式
算了一遍，两个结果
完全相同，顿时会场
上响起雷鸣般的掌
声，这个反例纠正了
i
人们长达二百多年的
~~~~ 
唱团
审K
咱吃
食
为
AW 
食
为
食
如果不存在，请说明理由.
(湖北省竞赛题)
纣析写暗
按分母递减而分子递增的变化规律，对原数列恰当分组，明
确每组中数的个数与分母的关系.
11\ 112\ 1123
、
11234\
(1) (※)可分组
1
-';- j, I 一
u 1, I ~ , ~ , : 1, I 一一一
':-
1
\ 1 ) ' \ 2' 1)' \ 3' 2' 1)'\4' 3' 2' 1) 
一一一一一) , 可知各组数的个数依次为1，2, 3, 按其规律土-应
( ~，~，+，~，i 
5 '4 ' 3 ' 2 ' 1 ) ' 
".J /'\H
- I--I';-.ll~I-I.J 
I 
_)\A I"'''V'--/ .J .....,.......,._" 
J J'o. /' /YU'-'2001 
1 1 
2 
3 
2002 、
在第2002 组( 20-'-02'而'2000' "'，丁) 中，该组前面共有1 +叶3+4+ " ' +
2 
2001 = 2003001 个数，故当F(m) =
时，m =2003001 十2 = 2003003 ，又因
2001 
1 ,,
2 
1 
各组的数积为1，故这2003003 个数的积为一一×一一=一一一一
2002' , 2001 
2003001" 
2000 
. 
2001 
(2) 存在满足条件的c 和d ,c = - ~~~ ~ ,d = - ~， ~ ~ • 
依题意，c 为每组倒数
2 
,-
1 
第2 个数，d 为每组最后一个数，设它们在第n 组，则c = 旦二1 d = 旦
2 'u 
l' 
(n- l) 
·
一
2 一一= 2001000 ，即
n(n 一1) = 4002000 = 2001 X 2000 , 
口
2001-1
2000 
. 
2001 
:. n=200 1，1导正=一一一一一=一一一，d= 一一一
1 
理推
归纳总是与递推联系在一起的，所谓递推，就是在归纳的基础上，发现
每一步与前一步或前几步之间的联系，更容易发现规律或证明通过归纳所
猜测的规律的正确性.
例8
一楼梯共有η 级台阶，规定每步可以迈
l 级或2 级或3 级，设从
地面到台阶的第η 级，不同的迈法为a" 种，当η =8 时，求a 8 •
(河南省竞赛题)
壁些塾堕
先求出当n = 1，2 ，3 ，4 时，a 1
，a z
，肉，向的值，解题的关键是，
从某级开始，寻找α" 与α 11 - 1
，ι - 2
，a ，，- 3 的联系.
~~ 刻意练习
1.分形之美
(1)把边长为
1 的正方形的每条边三等分，连成一个
3 X3 的网格，再将
中间的小正方形挖去，如图a①，则剩余阴影部分的面积为
量:36
学科精英大视野系列丛书
爱因斯坦说过:
你能观察到目前的什
么现象，不仅取决于
你的肉眼，还取决于
你运用什么样的思
维，思维决定了你到
底能观察到什么，对
于下图，读者你观察
到了什么?
解决一类与自然
数n 相关的问题或涉
及操作次数较多的问
题时，通过寻找递推
关系式，运用初始条
件，化难为易，是一种
从有限认识无限的重
要方法.
~~、
iCå
食
，传
( 七革盟)
想
猜
与
纳
写
4
讲
RJ 
《
丘
食
第
食
我
如图a②，对图a①中每个阴影正方形执行同样的操作一一分成3 X3
的小正方形并挖去中间一个，则剩余阴影部分的面积为
类似地做下去，如图a③，④，…，得到一些既复杂又漂亮的图形，它的
每一部分放大，都和整体一模一样.它是波兰数学家谢尔宾斯基构造
的，也被称为"谢尔宾斯基地毯"
a
… 
串串
串嚣
排时排排制悻梓制悻抖
iziiEiiEi 
i3315; 
军iZEZZEE
① 
② 
③ 
④ 
(第
1 题图
al
(2) 一个棱长为
1 的正方体木块，将其中的每个面分成3X3 的正方形，
然后沿与棱平行的面将中间完全"挖空"，如因b①，则剩余木块(阴影
部分)的体积为
睛望ji
① 
② 
(第
1 题图
bl
③ 
在图b①的基础上进行类似的操作，如图b②，③，经过多次操作后得
到的几何体被称为"门杰海绵"图b③是经过3 次操作后得到的立体
图，则图b③中木块的体积为
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
2.
斐波那契数列与上台阶问题
众所周知，数列1，1，2 ，3 ，5
，8 ，1 3 ，2 1，…称为Fibo n acc i 数列，其规律
是: 每个数等于它前面两数之和，即ι - a n
1+ ι -2 . 据说这个数列源自
"大兔生小兔"的故事.
α n=a ll- 1 + α"-2 
~/ ~ 
第η个月的
第( n - l )个
第( n- 2)个月的兔子数(因为
'
兔子总数
月的兔子数
每对兔子满2个月后可再生
出一对小兔子)
(第2 题)
①:假设每次可上1 级或2 级台阶，则7 级台阶共有-一一一一种上法.
②:假设每次可上1 级、2 级或3 级台阶，则5 级台阶共有一一一一一种上法.
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
237 
·ε 
食
食
，传
食
* * 
散女
* 
3. 将奇数依顺序排成如图所示数阵，从上到下称为行，图中数11 为第
3 行
从左往右数的第
2 个数，数
29 为第
4 行第
6 个数，那么，2003 为
第
行第
个数.
357 
9 11 
13 15 17 
19 21 23 25 27 29 31 
(江西省竞赛题)
lf iljf 
f18 
(第3 题)
(第4 题)
4. 将正整数从1 开始按图所示的规律排成一个数阵，其中，2 在第一个拐弯
处，3 在第二个拐弯处，5 在第三个拐弯处，7 在第四个拐弯处……则在第
2007 个拐弯处的数是
(北京市竞赛题)
5.
观察下列等式
:
12 =1, 
12 -2 2 = -3 , 
1 2 一2 2 +3 2 =6
，
12-22+32-42=- 10 , 
按此规律，第n 个等式为
(陕西省高考试题)
6. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1 ，3 ，
6,10 , "'，如个三角形数为生产= 护寸川己知个走边形数为
N(η ，走)(走二三3) ，以下列出了部分走边形数中第n 个数的表达式:
三角形数
N (n , 3) = ~ n 2 + ~ n , 
2" 
, 2'" 
正方形数
N(n ,4) =η 2
， 
3 
2 
1 
五边形数
N(η ，5)=~n ←--:::-n. 
2" 
2
川，
六边形数
N(n ,6) =2n2 -n , 
可以推测N(n ，走)的表达式，由此计算N (l O ，24)=
(湖北省高考试题)
7. 有以下两个数串1，3 ，5 ，7 ，…，1 991 ，1993 ，1995 ，1997 ，1999 和1，4 ，7 ，10 ，…，
1990 ，1993 ，1996 ，1999 ，同时出现在这两个数串中的数的个数共有(
). 
A. 333 
B. 334 
C. 335 
D. 336 
("希望杯"邀请赛试题)
8
一列数按某规律排列如下:十，÷，干，÷，?，子，七二，7 ，干，
，若第n
个数为号，则时
) 
￡〉
学科精英大视野系列丛书
c.\~~ 
( 七军理)
电埋
噜眨
夺眶* 
告吃
食
第
25 讲
归纳与猜想
A. 50 
B.60 
C.62 
D.71 
( i~胡北省十堪市中考题)
9. 令α=0 . 123456789101112 … 998999 ，其中的数字是由依次写下正整数
l
至
9 99 得到的，则小数点右边第2007 位数字是(
) . 
与静巳生竟
澜'咽圈I
翻翻喃自E
A. 0 
B. 4 
C . 5 
D . 6 
(四川省竞赛题)
10. 探索规律: 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27 , 34 = 81 , 35 = 243 ，3 6 二729 ，…那么
3 2阳
的个位数字是(
). 
A. 3 
B. 9 
C. 7 
D. 1 
(河南省竞赛题)
1 1.图中上边的4 个图形呈现一定的规律性，根据这种规律，请你在下边给
出的备选答案中选出一个最合理的答案作为上边的第五个图形(
). 
|工|AJEO|OA
O o I 0-1:>. I 
0 0 I 1:>. 1:>. 1:>. 
l 二A
| :;i AO | FO 
I ':_oo I ð õ I =;. 
l 
01 A 0 I 
0 
A 
B 
C 
D 
(第
11 题)
(武汉大学自主招生试题)
1 2 .
如图
，A ，ß
，C 是固定在桌子上的三根立柱，
其中A 柱上穿有三个大小不同的圆片，下
面的直径总比上面的大.现想将这三个圆片
移动到B 柱上，要求是每次只能移动一片
(叫移动一次) ，被移动的圆片只能放入A ，
ß ，C 三个柱之一且较大的圆片不能叠在小
片的上面，那么完成这件事情至少要移动圆
片的次数是(
) . 
A . 6 
B. 7 
C. 8 
D. 9 
(重庆市竞赛题)
1 3. 如图的图案均是用长度相同的火柴棍按一定的规律拼搭而成的
: 第
1 个
图案需7 根火柴，第2 个图案需
13 根火柴……依此规律，第
11 个图案
需多少根火柴?
A 
I B 
IC 
(第
12 题)
甲
如
db 
JE 
晶
第2个
第3个
第4个
(第
13 题)
(世界数学团体锦标赛试题)
14
将自然数按如图所示的顺序排列
，在这样的排列下，数!1111:" 
字3 排在第二行第一列，13 排在第三行第三列.问:
4 9 13 
19 93 排在第几行第几列?
( "华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
门
碍是、碍草地摇草地
(第
14 题)
?马
食
* * 
食
，传
言与
食
食为
学科精英大视野系列丛书
15. 在一列数中，α] =0 ，α 2 = 1 ，从第2 个数起，每个数的3 倍等于这个数左
右两个相邻的数之和，则这列数中的第2016 个数被6 除所得的余数.
("希望杯"邀请赛试题)
16. 将全体正整数按如下方式分组: { 1，2 }
，{ 3 ，4 ，时，{ 6 ，7 ，8 ，9 }
，{ 10 ，11 ，12 ，
13 ,14} ,'" 
(1)求第50 组中最小的正整数;
(2) 求满足下列条件的最大正整数:不大于201 7 ，且是某组中最大的正整数.
( 中法中学生数学交流试题)
17. 若干个1 与2 排成一行:1 ，2 ，1 ，2 ，2 ，1 ，2 ，2 ，2 ，1，2 ，… 规则是: 第
1 个数
是1，第2 个数是2 ，第3 个数是1.一般地，先写一行1，再在第h 个
1 与
第走+ 1 个l 之间插入h 个2(k = 1 ，2 ，3 ，… ) . 
试问: (1)第200 5 个数是l 还是2 ?
(2) 前2005 个数的和是多少?
(3) 前2005 个数两两乘积的和是多少?
( 江苏省竞赛题)
2 十3
__ _ 
18. 在2 ，3 两个数之间，第一次写上一了= 5 ，第一次在2 ，5 之间和5 ，3 之
2+ 5 
7 .，.~ 5+3 
间分别写上一一= 一和一一= 4 ，如下所示
2 
2'~ 2 
第0 次操作:
第1 次操作:
第2 次操作:
第3 次操作:
2 
2 
2 
7 
2 
5 
5 
4 
3 
3 
3 
第k 次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两
个数的和的士
(1)请写出第3 次操作后所得到的9 个数，并求出它们的和;
(2) 经过h 次操作后所有数的和记为鸟，第k + 1 次操作后所有数的和
记为SH I
' 写出SH ] 与Sk 之间的关系式;
(3) 求忌的值.
("希望杯"邀请赛试题)
"一………-…-
• 
…;t. 
例1
181 
第一列数为4n+ 1 形式，第二列数为3n + 1 形式，相同的数为
1 2n + 1 形式(n 为正整数) ，当
n = 1 5 时，1 2 X 1 5 十1 = 181. 
例2
C 
图①中第n 个图共有石子l 十2 + ... + η = 且严(个) ，图②中第η 个图共有石子n 2 ( 个) , 
49 X 50 ___ _ 
__, 
1225 = . v '2' v
v ,1225 = 35' . 
• 240 
F 币反扩
为食
食
( -t:;革盟)
手γ
ν、、
AL 
冒险
，传
τk 
* 
第
25 讲
归纳与猜想
19IJ 3 
)章、式= 10 ' "
19IJ 4 
127 
3 η2 十3η + 1
J" rj 表填数，观察数值，体会从特殊到一般的数学思想.
' 
图形序号
棋子总数
ar = 7 = 1 十6 = 1 十1 X 6; 
a, = 19 = 1 十6 + 12 = 1 + (1 + 2) X 6
;
a 3 = 37 = 1 十6 + 12 十1 8 = 1 + (1 + 2 + 3) X 6;
猜想a ，，= l 十(1 + 2 + 3 + 4 + … 十η) X 6 = 3 η'+ 3n + 1
，再将n = 6 代入该代数式得
127 .
例5
(1)略;
(2) 顶点数+ 区域数
边数= 1; (3) 1997 条.
例8
当
n = l 时，α 1 = 1.当
n = 2 时，向= 2. 当η = 3 时，向= 4 . 则当
η = 4 时，若第一步
1 级，则其余3 级有
向种方法;若第一步
2 级，如l 其余2 级有a ，种方法;若第一步
3 级，则其余
1 级有αl 种方法.
故G4= α3+ α 2 十a 1 = 7 ，类似可得η =5 时，α 5
向+ α 3 十a ，= 1 3
; η = 6 时，向= α 5 + α ，+α 3 = 24;n=7 时，
a ，= α 6 十α 5 十a ，= 44 ;11 = 8 时
，α 8 - a ，十a 6 + α 5 = 8 1.
• • 
8 
64 
，~ ， 20 
f20\ 3 
1. 
(1)
一
(2)~:
t
~ :
l 
9 
81 
, - , 27 
\ 27 } 
2. (
21
(
13 
3. 32 
41 
2003 是数阵从上向下、从左往右数的第
1 0 02 个数，前η 行共有
1 + 3 十… 十(2 n - 1) = η2 个
数，而
31 ' = 961 , 32' = 1024 ，故2003 位于第
32 行第
1002 - 961 = 41 个数.
4. 1008017 
a 1 = 2
，向= 3 ，向= 5 ，向二7 ，向= 10 , a6 = 13 , a, = 17 ，α 8 = 21 ，… ，又向= a 1 + 3 ，α 5 =a3 + 5, 
a ，二a 5 + 7
，…即后一拐弯数= 前一拐弯数+ 后一拐弯次数.
故a ，Oo ，= a '005 + 2007 = α '003 + 2005 + 2007 = … 
= α 3 十5 + 7 十… + 2007 = 仇+ 3 +5 十… + 2007 = 2 + 3 十5 + … 十2007
(1 + 2007) X 1004 
= 1 十cl 十3 + 5 十… 十2007) = 1 + '"
I 
'-v v :J
/ ，
"，v v" = 1004 ' 十1=1008017.
故第
2007 个拐弯处的数是1008017 .
5. 
( - 1) 川出产
l ' 川2 一
十( - 1 ) ,,+ 1 11' = ( 一I ydfli
12
34 .1
0 
6. 1000 
推测N(n ，是)的表达式= ad 十归的形式，且当走= 3 ，4 ，5 ，6 时，α = 言'言' 言' 言，b = 言'言'
二1 二2 ，分别构成等差数列，故可推测N ( n ，k) = 旦二2in2 十旦二主in ，从而N Cl O ，2 4) = 10 00 .
z ,z
, '/r
l1 IJ /fI->J !Jx...-=.r 2L.,,:<<:x... 7'J ,'PÁ
" .J 
1~';J;.~ 
J 'i
"
"
T\,./ 
2" 
2 
7. B 
同时出现在这两个数串中的数可表示为
6n + 1，即1，7
，13
，19
，25 ，…，1993
，1999 .
8. B 重组此列数: (干) ;( j 干) ; ( ~ , ; 
，干) ; ( 士，号，?干) ; ... ,n= (1 + 2 + 3 十4 +
十9 十10) + 
5= 60. 
9. C 
1 ~ 9 共9 个数字;10 ~ 99 共2 X 90 = 180 个数字; 100 ~ 999 共3 X 900 = 2700 个数字.由于2007
9 一1 80 = 18 1 8 ，而
1 818 -:- 3 = 6 0 6 ，即第2007 位数字为第
6 06 个三位数705 的第
3 个数字.
241 
哝
10. A 
11. A 
食
食女
食
食女
食
，传
为
3 4川的个位数字是3.
题干每个单独图形中都有5 个小图形元素.
12. B 
a_ = 2" 一1.
学科精英大视野系列丛书
13 .
当数据规律不明显时，可从分析图形构成入手. 为使图形结构清晰，可适当改变图形.
将图中各个图案右下角的一个正方形移除3 根火柴后得如下图:
口
第l 个CB~ ~ 
第2个
第3个
第4个
( 第
1 3 题)
图中第
1 个图案需要横向火柴
1 + 1 = 2 ( 根) ，纵向火柴
1 + 1=2 (根) ，共需4 根火柴;
第
2 个图案需要横向火柴1 + 2 + 2 = 5(根) ，纵向火柴
1 + 2 十2 =5( 根) ，共需
1 0 根火柴;
第
3 个图案需要横向火柴
1 + 2 + 3 + 3 = 9( 根) ，纵向火柴
1 + 2 + 3 + 3 = 9( 根)
，共需18 根火柴;
n ( π + 3 ) ,... , 
.. .... " 
，~ .", • 
~ n ( n + 3 ) 
第n 个图案需要横向火柴的根数是
1 +2 十3 + … + n + η = 一一一一，纵向火柴的根数也是一"
'2'
~/ ，A 需
2 
n(n十3 ) 根火柴.
故拼搭图中第
11 个图案需火柴11 X (l l 十3 ) 十3= 1 5 7( 根) . 
a n ( n+ 1)
二
6 2(6 2 + 1)
14.
第n 斜行中共有n 个连续的自然数，其中最大的数足一
2 一，弟
62 斜行的最大数是一
2一一=
63(63+ 1) 
19 53 ，第
63 斜行的最大数是一一一一一一= 2 0 1 6 . 因此，1 99 3 位于第
63 斜行.
2 
又第63 斜行中的数是由下向上递增的，左边第一个数是1 9 5 4 ，则
1 9 93 是位于第63 斜行的由下向上数第
1 993 一1 954 + 1 = 40 个位置的数，换成原图中行和列是第
63 - 40 + 1 = 24 行，第
40 列.
15. 设这一列数是肉，旬，…
，a n ，… ，则这一列数的规律是3a " =an~l 十a n+ l (n二三2) ，即
an+1 = 3a" -a,,-1 (η二三2) . 
易知，这列数的前若干个是:0 ，1 ，3 ，8 ，21 ，55 ，1 44 ，….可发现这列数的奇偶情况，由左向右，依次是: 偶，
奇，奇;偶，奇，奇; …的规律，并且是每3 个数一循环.因为
2016-:- 3=672 , 
故第
20 1 6 个数为奇数.
再研究这列数被3 除，所得的余数是: 0 ，1 ，0 ，2 ; 0 ，1 ，0 ，2 ; … 的规律，并且每4 个数为一循环.因为
2016-:-4 = 504 , 
故第
20 1 6 个数被3 除余2 ，这说明a Z0 1 6 是形式为3k + 2(走是0 ，1，2 ，…)的数，即
2 , 5 ,8 , 11,14 , 17 , … 
又因为α20 16 为奇数，所以aZ0 16 只能是其中的5 ，1 1，1 7 ，… 中的数，而这些数被6 除，所得的余数是5 .
16. (1)显然，第
1 组中最小的正整数是1，第2 组中最小的正整数是3 ，… …，设第η 组中最小的正整数为
α，可归纳得a l = 1 ,az = 3= 1十2 ，a3 = 6= 1 + 2 +3 ，… ，a，，= l 十2+ … + n=坐旦，所以aso = 旦孚l = 1 275
2 
, . . ._ . - ，υ
且
(2) 设第n 组中最大的正整数为礼，则有
b_ = a..~ . - 1= ( n + 1 川n十2~ - 1 = n ( η + 3) 
11 -
a'l+ 1 -
1 = 
n 
-
1 = -一一一一-一
2 
~ 
2 
62(62+3) 
^ n , ~ ~ ^ n ， _ , 
63(63 十3)
因为b6Z = 一
2 一一= 2015< 2017 ,b63 = 一一亏一一一=2079 >20 1 7 ，所以201 5 是第
6 2 纽中最大正整数.
此J
军旦〉
圄固自
17. (1)把该列数分为如下n 纽:
2 
2 
2 
2 
2 
2 
才~
~尾
'眨
才这钱
放
审眨* 
1 ……第
1 纽
1 ……第
2 纽
1 ……第
3 纽
1 ……第
4 纽
第
25
i.井
归纳与猜想
这η 纽共有1 十2 + "' + n=卡η十1)个数当n = 62 时，共有1953 个数;当n=63 时，共有川个数可
见，第
200 5 个数位于第
63 组中，且不是最后一个数，从而第
2005 个数是
2 ; 
(2) 在前2005 个数中，共有62 个
1 及2005 - 62 = 19 43 个
2. 所以，前2005 个数的和为
62 X 1 + 1943 X
2=3948; 
(3) 不妨设这2005 个数为α 1
，a 2
，… ，α 2005 '其和为R ，平方和为T ，其两两乘积的和为5 ，则R = α]+ α，+ … +
a ，阳=3948 ，T = 叫+ α; 十… + a~005 = 62 X l ' + 1943 X 2' = 7834, 5 = α ] a，十a ] a 3 十… 十α ] a'005 + a,a 3 + a,a4 
+ … a，a'005+ … 十a2004 a2田5 ' 于是25=a ] a2 + a] a3 十… 十a ] a'005 +a,a] + α2 乌+ … +句句005 + … 十a，阳a ] 十a2005 a2+ … +
川2删= (旷向+ ... +ω川仇;+十a;oo5 ) = R'- T ，从而S= ÷(3时
783俨77阳5 故所求的和为
7789435. 
11 
7 17 _ _ 
7 _ '_ .._ .. _ . 55 
18. (1)第
3 次操作后所得到的
9 个数为
2 一一
-，' , 5 , 3 , 4 , ~ ,3 ，它们的和为一;
, 6 ' 2 ' 6 ' 
25k - 50 
(h 十3) 5 k 
5 
走十L
5 
(2) 由条件知50 =5 ，则
5a ，=5，+一一一一- -------一~ 5 一
; 
什]
~ k' 
k+ 1 
走+ 1
k 十1
走
走+ 1
55..~ 
6~ 
5 
. ，~ 
7~ 
5 
__~ 
8~ 
5145 
(3)
因S3= 言'故5 ，= τ5 3 -
~ = 40 ,55 =τ 玩
τ =5 5 ，s6= lfE-lf= 丁一
之?笔
上图是在世界数学光效应艺术绘画作品展中展出的
，其构成方式是: 假设在正多
边形每个顶点处各有一只小狗，它们互相追逐，便构成了等角螺线的组合图形.
，，~G}川
'Çj)(飞旨，…
国
自26
i抖
$由勇与国1画
E 
.---…噩
队知能搬述
苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫在《数学
: 它的内容、方法和意义》一书中
指出数学有三大特点，即抽象性、严谨性、应用的广泛性.
抽象，即从具体事物中抽取出来的相对独立的属性、关系等. 数学抽象
舍弃事物的一切方面而仅保留数量关系和空间形式.
数学是抽象的，但又是具体的.
抽象的数学来源于具体的例子，若能掌握丰富的具体例子，则能更好地
理解数学，否则，抽象就变为无源之水，无本之木.
抽象与具体的关系在解决问题过程中体现于:
(1)从具体到抽象，更深刻地揭示问题的一般性i
(2) 由抽象到具体，更清晰地呈现问题的特殊性.
} 问题能决
为
例1
己知工无论取什么值，式子旦土豆必为同一定值，那么?的值
bx+5 
("华罗庚金杯"香港中学邀请赛试题)
瞄题思路
对工取特殊值，呈现定值，并求出a ，b 的关系.
~4: 
一位好的数学家
与一个楚脚的数学家
之间的差别，在于前
者手中有很多具体的
例子，而后者只有抽
象的理论.
一一一陈省身
西班牙著名画家
毕加索在画《公牛》
时，数易其稿，从具体
到抽象，从复杂到简
单，笔简意肢，形似神
更似.
~~、，G.:\
飞斗
会* 
告吃
食
军旦〉
电霞
'随
1 , 1 , 1 ,
1 
，~ " 1 , 1 , 1 
自然数a ，b, c , d 满足一τ+ 7τ+
....:τ+ 丁= 1 ，则丁十
，~4 +一了十
α
/) 
c 
a
α
D 
c 
例2
1 
d 6
飞
I 
A . 8 
睡题思路
B. 立
16 
C. 豆
找出满足条件等式的a ，b ，c ，d 的具体值.
D . 旦
64 
( 北京市竞赛题)
12 +i , 22 十32 , 32 十42
，
, 10032 + 10042 , 10042 + 10052 
设A=~.. ' ，~ + ~~ ，' ，~ +v~ ，'， ~ + …+ 
1 X 2 
I 
2 X 3 ' 3 X 4 
I 
I 
1003 X 1004 
I 
1004 X 1005 ' 
带IJ 3 
求A 的整数部分.
( 北京市竞赛题)
η 2 十(η 十1) 2 
从揭示A 中第η 项
的特征入于.
n X ( η 十1)
辑题思路
锣IJ 4 
有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一
个完全平方数.例如
: 29 就是这样的两位数，因为29 十92 = 1 2 1 = 11 2
，请你找
出所有这样的两位数.
静题思路
关键.
( 江苏省竞赛题)
设原数为高，则新数为瓦，发现ab + ba 的特点是解本例的
245 
嗦
第
26
i井
抽象与具体
由抽象到具体基
本方法有:
(1 ) 以追求进，考
| 虑简单情形特殊
情形.
(2 ) 恰当赋值，即
I
在条件允许的范围内
赋予字母以特殊值来
计算、判断或探求解
题思路.
由具体到抽象，
常反映在用字母表示
数，有利于揭示问题
中的数量关系，便于
找到数量的相依关系
或相等不等关系.
~~~~ 
食节际
合
食
*
"* 
，传
食为
例5
(1)桌面上有七只杯子，其中三只杯口朝上、四只杯口朝下，每人每
次翻转四只杯子. 问经过若干人翻动后，能否使这七只杯子杯口全部朝下?
(2) 在操场上有101 名学生面向南站成一排，每次口令使其中任意10
名学生向后转，称为一次"反向运动"证明: 无论经过多少次"反向运动"，都
不可能使得所有学生都同时面向北.
何#斤E写晤
电灯的亮与灭，开关的开与关，朝南与朝北，向上与向
下… …两态情形是现实世界中最简单最基本的运算状态，这类具有两态的
量都有相反的意义，自然想到运用数学中的正数、负数来描述. 我们用+1 与
-1 表示两态，以( -1)"表示这两态之间改变状态的n 次操作，也就是将两
态变化问题抽象为( -1) " 的数学模型.
下面对(1)给出解答:
杯口朝上状态记为十1，杯口朝下状态记为一1.
初始状态: 标志量为( 十1) 3 X ( 一1) 4 =+ 1，
最终状态:标志量为(一1)7 =一1.
每次翻动4 只杯子的操作相当于乘以(-l)'，n 个人翻转的操作，相当
于乘以(- 1) 4 X (-1) 'X (- 1) 'X … X(-1)4 = (_1) 4" 
"个
于是由初始状态经过n 个人翻转变为
[ ( + 1) 3 X ( - 1) 4] X ( - 1) 4.. = 十l.
无论n 为何值，都不可能变为标志量一1，故永远不能按题设的操作使
七只杯子杯口全部朝下.
(2) 同理.
例6
华罗庚教授在一首诗文中勉励青少年"猛攻苦战是第一，熟练生
出百巧来.勤能补拙是良训，一分辛劳一分才"现在将诗文中不同的汉字对
应不同的自然数，相同的汉字对应相同的自然数，结果不同汉字所对应的自
然数可以排列成一串连续的自然数.如果这28 个自然数的平均值是23 ，问
"分"字对应的自然数的最大可能值是多少?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
主堕些堕
题中28 个字，"分"出现2 次，"是"出现2 次，"一"出现3 次，
其他宇均各出现-次.
28 个自然数的平均数是23 ，其中有24 个是连续的自然数.
先想一个由二十多个连续自然数组成，并且平均数是23 的具体例子.
2 5 个连续自然数
11,12 , 13,… , 35 
①的平均数就是23. ①是由23 开
始，向左、向右各写12 个数得到的，24 个连续自然数的平均数不能是23 .
因为只有24 个不同的字，我们去掉①中最小的ll( 剩下的2 4 个仍是连
续的自然数) ，增加
1 个13 、1 个35 . 这样，总和比23 X 26 多出(1 3 -1 1) +
(35 - 23) = 14. 
如果再增加两个16 (1 6 =2 3 - 14 --;-2 ) ，那么2 8 个数的平均数正好是2 3 .
所以出现2 次的"分"可以是3 5 .
"分"能不能再大一些呢?
不能了. 如果"分"二月6 ，那么这28 个数的和至少是
13 十14 十… +36 十3 6 十13 十13 十1 4
学科精英大视野系列丛书
例
5 表明，许多
不同的实例，经过抽
象却有共同的本质，
领悟不同问题的共同
本质，就能对"形异而
质同"的问题迅速识
别，并提取相应的方
法加以解决.
具体的例子可以
帮助我们猜想结论，
可以引出命题的证
明.
解题还应学会将
抽象问题具体化.
老子说"天下难
事，必作于易;夭下大
事，必作于细。"从简
单的情形做起，是最
基本的数学素养.
~、I~、i~、
( 忆.a=组)
才吃
食
餐
、k
长
4随
4随
第
26
i井
抽象与具体
= 23 X 28 十(36 - 11) + (36 - 12) - (23 - 13) - (23 - 13) 一(23 - 14)
= 23 X28+ 20 , 
它们的平均数大于23 ，因此"分"最大是35 .
敏学的眼光
数学的眼光是观黎世界的一种视角、认识世界的
一种方式.精确的量化与严格的证明是数学区别于其
他学科最显著的特点抽象、化归、建模、推理是数学的
基本思想.
数学的眼光是探寻的、洞察的、深邃的、辩证的.在
复杂的表象中去发现数的规律，去寻找形的结构.
例7
甜饮料里有糖的质量分数，那么，给糖水添
上一点糖，糖水就更甜了. 请你把这一生活常识用数学
式子表达出来.
数学眼光透视
Sh惠ue Yangω8ag TOll8旬'
纣析E王静
从生活常识到"数学不等式"历经以下三个步骤:
(1)用字母a ，b ，m 表示相应的量;
(2) 根据质量分数的定义，写出加糖前后的质量分数旦旦土旦.
b 'b + m 
(3) 将"更甜了"表示为不等式旦〈旦土虫，其中b>α> O ，m>O .
b 
- b 十m
进一步追问:
(1)怎样证明上述不等式?
(2) 将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数变大了吗?
~~ 刻意练习
1. 把(x2 -X+ 1) 6 展开后得α 12 工12 十a ll x 11 + … 十均工2 +a 1 x 十α。，则a 12 + α 10 十
aS + a6 +α4 十ω2 十α。=一一一一一
("'祖冲之杯"邀请赛试题)
ma - 2 
2.
当α 取符合ηα 十3 芋0 的任意数时，式子豆Z丰言的值都是一个定值，其中
m - n = 6
，那么m =
,n = 
(北京市"迎春杯"竞赛题)
247 
噬
数学是常识的精
微化. 荷兰著名数学
家弗赖登塔尔说" 与
其说教数学
，不如说
教数学化
"
例
7 是一个数学
化的探究过程.我们
不能说"糖水加糖更
甜了"是数学，但提炼
为真分数不等式就是
数学了.
t=、~~远、
，传
τ际合
食
食肯
食
，传女
3. 在图中有8 个顶点，每个顶点处各有一个数，每个顶点
处的数正好等于3 个相邻顶点(有线段相连的两个顶点
称为相邻顶点)处的数的平均数，则a + b +c+ d 一(e+
f+g + h)= __ 
_ 
,dc 
口
H
ab 
("希望杯"邀请赛试题)
4. 从十个英文字母A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，X ，Y ，Z 中任选五个
字母( 字母允许重复) 组成一个"词"，将所有可能的"词"按"字典次序" ( 即
英汉辞典中英语词汇排列的顺序)排列，得到一个"词表": AAAAA, 
AAAAB, AAAAC,… AAAAZ, AAABA , AAABB,…, DEGXY , DEGXZ , 
DEGYA ,…, ZZZZY , ZZZZZ ，设位于词CYZGB 与词XEFDA 之间(这两
个词本身除外)的词的个数是k ，则k =
，"词表"中的第k 个词
是
(第3 题)
(" 五羊杯"竞赛题)
s. 现有一列数矶，肉，… ，a JQO
' 其中向=9 ，α 7 -一7 ，α98=- 1 ，且满足任意相
邻三个数的和为同一常数，则a 1 十α2 十… + a lOO 的值为(
) . 
A. 0 
B. 40 
C . 32 
D . 26 
(湖北省武汉市竞赛题)
6. 在黑板上按下面的方案写出数: 第一行写数1 ;在第二行写两个数2 和3 ; 
在第三行写3 个数3 ，4 和5 ;以此类推(在第η 行写由n 开始的η 个连续
的自然数) . 一直写到2000 行，这时在黑板上写出2018 共有(
)次.
A. 991 
B.993 
C.995 
D.997 
E. 999 
(国际中小学数学能力检测题)
7. 设S 是平面上的一个凹六边形，且它的任意3 个顶点都不共线，称一个以
S 的某些顶点为顶点的多边形为一个S 多边形，则下面的结果→定不正
确的是(
). 
A. 每个S 四边形都是凸四边形
B. 存在S 五边形为凸五边形
C. 每个S 五边形都不是凸五边形
D. 至少有两个S 四边形是凸四边形
(复旦大学自主招生试题)
8. 从长度分别是1，2 ，3 ，… ，1 4 的
1 4 条线段中任取出n 条，其中必有3 条线
段能构成一个三角形，则n 的最小值是(
) . 
A.7 
B.8 
C.9 
D. 10 
(" 希望杯"邀请赛试题)
9. 计算
(1) (←÷++忐) x (1寸+t +
+市) - (1十七十
击) x (忖+ ... +忐) ; 
(广西壮族自治区竞赛题)
步」〉
学科精英大视野系列丛书
I'::\~、1'::\
( t:;$!I歪)
1纭，每
食
女炭
*
女食
冒险
第
26
i井
抽象与具体
200120002 
(2) 
20011999 2 + 20012001 2 -2 . 
(江苏省竞赛题)
bx-5 
10.
已知a - b =7
，且α工+ 2 手0 ，若不论工取何值，代数式一一一的值都相
ax 十2
等，求a ，b 的值.
(浙江省湖州市竞赛题)
1 1.有一张纸，第
1 次把它分割成4 片，第2 次把其中的
1 片分割成4 片，以
后每一次都把前面所得的其中一片分割成4 片，如此进行下去，试问
:
(1)经5 次分割后，共得到多少张纸片?
(2) 经η 次分割后，共得到多少张纸片?
(3) 能否经若干次分割后共得到2003 张纸片?为什么?
(江苏省竞赛题)
16 
1 26 
2 
12. 有位学生漫不经心地作了下列错误的"约分"
....'V
一一=一闹出了大
: 64 
4' 65 
5 
笑话，令人惊讶的是，约分虽然不合法，但结果却是对的.请找出分子、分
母都是两位数且符合上述约分的真分数.
(摘自马克士威尔《数学中的谬误)) ) 
13. 17 X 17 枚硬币按正方形摆放.起初，所有硬币都是正面朝上的，每一次
翻转五枚相邻的(或水平或垂直或对角)硬币.如此有限多次翻转后，所
有的硬币有无可能都是背面朝上?
(日本数学奥林匹克试题)
14. NBA 常规赛有
3 0 支球队参加.问:可否将30 支球队分为东部、西部两
个联盟，及适当指定任意两队间比赛的场数，使得每支球队均恰参加了
82 场比赛且东部球队和西部球队之间比赛的场数恰是总比赛场数的
一半?
(俄罗斯数学竞赛题)
15. 若a 1
' α 2 '…
，a ll 均为正整数，且a 1 <α2< … < a ，，~2007 . 为保证这些整数
中总存在四个互不相同的数矶，矶，岛，哟，使得α，十GJ = 向+a l = α " '那
么，η 的最小值是多少?请说明理由.
(山东省竞赛题)
16. 求所有正整数
n ，使得存在正整数町，口，…，X Z012 满足工1 < 巳< … 〈
1 , 2
, 
, 2012 
X 2012 ，且一十一+ … 十÷二一= η.
XI 
X 2
工2012
( << 数学周报》杯全国初中数学竞赛题)
17 . 圆周上标有40 个红点、30 个蓝点、20 个绿点，圆周被分割成90 段弧，每
段弧依两端点的颜色写上一个数:红
蓝弧写1，红一绿弧写
2 ，蓝
绿
弧写3 ，两端点同色的弧写O. 求所有数之和的最小值和最大值.
(全国初中数学竞赛题)
249 I 
嗦
斗争已主贯
道F明冒
毡'唱国巨
.I:ø:\~~ 
，传
食女
食
*
"(，斗
*
女女
学科精英大视野系列丛书
• 
豁
黯
例
1
8 
5 
i 立b+bÎ
α 十3
3 
hfl'~ 
3. 
"~'.' 
\
5~'~1 
令x=O
，得定值为一，令x= l
，得一一- ~，解得α = : b ，故原式=l二一一_!_=
b + 5 
5' ,.. I "~ 5 ~， -
"P -, 
b 
5 
例2
D 
取α = b =c= d = 2.
19IJ 3 〈::1:;2=击+中= (1 一击) + (1 + ~ ) =2+ ( 士一声)
原式=叫1- ~ ) + 2 十( ÷-÷)+叶( ~ - ~) +十叫市一市) +廿(市一市) =2X 
1004 + ( 1 -
, A1
A ~ Î ，故A 的整数部分为2008.
\ ~ 
1005 J 
例4
(l Oa 十的十(l Ob 十α)= ll(a + 的，因而G 十b 是
11 的倍数，则
α + b = 11 
. 走，且走是完全平方数，由
于α 三三b ，bζ9 ，得α 十b豆18 ，是= 1 ，从而α 十b = l 1. 推得这样的两位数有8 个:29 ，38 ，47 ，56
，6 5 ，74 ，83 ，92.
黯
-…钱
.
1. 365 
令x=l
，得α '2+ a " 十… +a 2 十a ，+ α。= 1 ，
① 
令工= - 1 ，得α '2- a ll+ … 十a 2 - a ，+ α。= 729 ，
② 
①十②，得
2(a'2 + a,o + … +α2+ α。) = 730 ，即
a' 2 十α'0+ … +a z 十α 。=365 .
2. 12 
-
18 
5 
a - 2 _ 
2 
lf~ 
_ , "., m - 2 
2 
~ 
A 
hrt "" 
12 
18 
取a =O ，则再a +3- 一τ ，取G 一1 ，则王丰3
一τ ，又m - n 二6 ，解得m = τ ，n = 一τ -
5 
3. 0 
符合题设条件的最简单的例子是取a = b =c= d =e= f=g= h ，原式=0 .
4. 45568 
EFFGX 
将十个英文字母A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，X ，Y ，Z ，依次对应十个数字0 ，1，2
，3 ，4 ，5
，6
，7 ，
8 ，9 ，则每一个"词"对应一个"五位数"，例如:AAAAA 对应00000 ，AAABC 对应00 0 12 ，这样，"饲表"可改写为
"五位数表":00000 ，00001
，00002 ，…，00009 ，00010 ，…，99999.
因为CYZGB 对应
28961 ，XEFDA 对应
74530 ，所以，这两个词之间的坷的个数，等于五位数28961 与
74530 之间的五位数的个数，即走= 74530- 28961-1 = 45568. 
注意到00000 是数表中的第一个数，故数表中的第走个"五位数"是45568 - 1 = 45567 ，它对应"词表"中的
第走个词就是EFFGX.
5. D a, = a 4
α 7
… =α'00
一7 ，吗=G5 =G8= … = a98 = -
1 ,a3 = α6
α 9
… =α99 =9 ，房、式=
33(9 一7 一1) -7=26 .
6. A 
第η 行最后一个数等于2n- 1. 所以由等式2n 一1 =20 17 ，n = 1009 得出，在第
1010 行的数是从
1010~2019 ，倒数第二个数是我们第一次遇到数2018. 从1010 行到2018 行每行遇到数2018 一次，这样一来
将遇到2000 - 1010 + 1 =99 1C 次) . 
7. A 
如图①，A ，A 2 A 5 A 6 这个四边形就不是凸的，故选项A 不正确;如图②，A ，A z A 3 A 4 A 6 是凸五边形，
故B 正确;又A ，A 2 A 3 A ，及A ，A ，A 5 A 6 都是凸四边形，故D 也正确;如图③，选项C 正确.
举三j
草
A, 
AdA 
A. 
阁①
A. 
A<hA
A, 
. . 主
因②
(第7 题)
为食
*
t号食
食
þ:
食
食
A, 
A ，(
号6
)A, \ 
A←~过5
图③
第
26 讲
抽象与具体
8. A 
从极端情况思考，先估计n 的下界，取长度为1，2
，3 ，5
，8 ，13 ，共6 条线段，其中任意三条都不能作
为同一个三角形的三边
，n > 6.
9.(1) 」-
2005 
11
, 
111 
设
1 +
: +一+ … 十一一一= α ，一+一+ … +一一一= b ，则a-b=l
2 
3
' 
'2004 
-, 2 
3
'
, 
'2004 
(2)÷ 
设，20012000=α.
10. a=2 ,b= - 5. 
1l. (1)因为每分割
1 次，就要增加3 张纸片，所以经5 次分割，共得到
1 +3X5= 16 张纸片.
(2) 经η 次分割，共得到(1十3η) 张纸片
.
(3) 若能分割得到
2003 张纸片，则
1 +3n= 2003 ，3n =2002 ，无整数解，所以不可能经若干次分割后得到
2003 5长王氏片.
10x + α 
12 . 设这样的真分数为
(工，y ，α 都是一位正整数) . 
10a +y'~'J 
10x + α 一工
' 
一
1 0ax
、
一
"非法约分"意味着下式成立
: 10a丰3
7' 解得y 一百丰二'讨论得(工，y ，a)= (1
，4 ，6) , (2 , 5 , 6) ,(1, 5 , 9) , 
16 26 19 49 
(4 ，8 ，川，从而可求得这样的真分数为
, ..... .... ，一-
64'65'95'98' 
13. 不可能
如下标识每枚硬币:
A 
B 
C 
D 
E 
A 
B 
D 
E 
A 
B 
C 
D 
E 
B 
C 
D 
E 
A 
B 
C 
E 
A 
B 
C 
D 
E 
A 
C 
D 
E 
A 
B 
C 
D 
A 
B 
C 
D 
E 
A 
B 
D 
E 
A 
B 
C 
D 
E 
则(1)每一次翻转的五枚硬币分别标识为A ，B ，C ，D ，E.
(2) 同时，对于每个标识A ，B ，D ，E 有58 枚硬币.而对于C 有57 枚硬币.
(3) 若最后所有的硬币是背面朝上的，则每枚硬币必进行了奇数次翻转.
从(2) 和(3) 知，标识A 的硬币共被翻转偶数次，而标识C 的硬币共被翻转奇数次.所以，翻转标识A 的硬
币的次数不同于翻转标识C 的硬币的次数.此与(1)矛盾. 因此知是不可能的.
1 4.
不可以.
令工、y 、z 分别表示东部球队之间、西部球队之间、东部球队与西部球队之间比赛的场数，k 为东部球队的
队数.则
30X82 
z=x 十y ，82k=2x 十z ，x 十y+z=~V
'2' 一
dj戈
食
* 
女
女
-
R
女
占
用
学科精英大视野系列丛书
，传
食
X+ 、+z
故82 是
2户z= 工子工= 15 X4 1，矛盾.
15.
取向=1 ，向=3 ，…，a 1 003 = 2005 , a 1004 = 2007 ，共1004 个奇数.显然，其中任何两数之和不等于2007 .
若在上述1004 个数中再加入数2006
，flr a1 = 1 ，α2= 3 ，…，a 1003 = 2005 , a 1004 = 2006 , a 1005 = 2007 ，此时，只
存在唯一的一对数a 1 = 1 ，a 1刷=2006 ，其和为
a 1 005 = 2007. 
所以
，n 的最小值不小于1006.
接下来证明:当
n二月006 时，一定存在满足条件的四个数.
当
a
= 2007 时，因为
2007= 1 +2006 =2+2005 = … = 1003+1004 , 
这表明
2007 只能分解为
1003 个不同的两个正整数的和式，所以，当
n注1006 ，即n 一1 注1005 时，在除了
a" =2007 之外的不少于1005 个数矶，龟，…
，a n - 1 中，至少包含了
2007 的上述1003 个不同分解和式中的两个
和式a i + 气
，a，+矶的全部四个加数矶'气，句，肉，此即题设要求的四个正整数.
当
a ，，<2007 时，若a " =2m-1 ，则
α" 可表示为m 个两个不同正整数之和的不同和式;若a ，，=2m ，则
a" 可
表示为m 一1 个两个不同正整数之和的不同和式. a" < 2007 ，所以
，mζ 1003. 除去a" 之外，在叭
，a 2 ' … , a n - 1 这
不少于1005 个数中至少包含了不超过1003 个不同和式中的两个的全部四个加数，此即题设要求的四个数.
综上所述
，n 的最小值为
1 006.
16.
由于坷，句，… d川都是正整数，且Xl<X2< … <X2012
，所以X1 二月，与二三2 ，…
，X 2012 二三2012.
1 , 2
, 
, 2012 ~ 1 , 2
, 
, 2012 
于是n= 一+一+ … +一一一ζ一十一+ … 十一一一=20 12.
X1 
X2 
X2012 - 1 . 2 
2012 
当n=l 时，令X1 =2012 ,X2 =2 X 2012 ，…，工20 1 2 =2012X2012 ，则
1 , 2
, 
, 2012 
一+__::_+ … +一一一=1.
Xl 
X2 
X2012 
当
n = k + 1 时，其中
1 ~ 走~20 11 ，令工1 = 1
，与=2 ，…
，Xk= 走，
X Hl =(20 12 - k)( 走+1) ，与+2 =(2012-k)( 走+2) ，工2012 = (2012 - k) X 2012 ，则
1 , 2
, 
, 2012 
+一+…+一一=什(2012-k)
• 一」-zk+l=n-
X1 
X2 
X2012
" . 
，- -~ - ." 2012-k 
综上，满足条件的所有正整数n 为1，2 ，…，2012 .
17. 将所写数之和记为
S; 分别为三色点赋值:红0 ，蓝1，绿2 ，将所赋的值之和记为
T.
注意到，两端点异色弧上所写数等于端点两数之和.
于是
，S =2 T- A ，其中
，A 为两揣点同色孤的端点赋值总和.
又T=O X 40+1 X 30+2 X 20=70 ，显然，可使蓝点互不相邻，绿点互不相邻.
此时
，A =0 ，Sm，，= 140;
当蓝色、绿色分别连成一段时，A 最大，有Am..= (1 +1) X29 十(2+ 2) X 19=134.
此时，Sm;n=6.
§:2 
、豆豆u
q(
运\0
用一种多边形或几种多边形组合的平面镶嵌，都是
按一定规则重复而铺镶，这种镶嵌称为匀称周期性镶嵌.
英国数学家彭罗斯发现了只用两块拼板就能进行平面的
非周期性镶嵌，这种拼板的一组是由两个角度不同的菱
形组成
，分别为
72 0 ，1 08。和36 0 ，1 44 0
，
白?由自由古i气
I
'
如能部述
在生活生产实践和科学研究中，我们既需进行严谨细致的精确计算，又
常要对一些问题的数量进行估算，估算能让我们对所考察的事物迅即有一
个全局的理解和把握，是我们研究和处理有关数量问题时经常运用的一种
方法.
估算不是漫无目标的胡估乱算，必须仔细审题，充分理解题意，调动经
验、知识、直觉，并常用到放缩、夹逼、排序等方法.
~ ，问题篇决
例
1
1 00 名少年运动员胸前的号码分别是1，2
，3 ，…，99 ，100 ，选出其
中的h 名运动员，使得它们的号码数之和等于
20 08 ，那么走的最大值
是
(少年数学精英邀请赛试题)
睡题思路
选号码越小的，可以使选出的人数越多，故考虑选由
1 ~ η
的连续η 个自然数之和不超过20 08 的走的值.
253 
、
哈
纯粹数学与应用
数学是理解世界及其
发展的一把主要钥匙.
一一联合国教科文组织
费米难题
费米，当代美国
著名物理学家，因崇
高的人格、优秀的品
质而具有迷人的科学
风采，1 938 年获诺贝
尔物理学奖.
有一次费米问学
生们芝加哥市一共有
多少位钢琴调音师，
见学生们茫然，费米
提示把这个问题"分
解成一些便于操作的
小问题，然后鼓起勇
气作猜测和假设"
~~、~
食
食
1与
食
食女
食
，传食
学科精英大视野系列丛书
'@IJ 2 
如果自然数a ，b ，c 满足29α + 30b+ 31c = 366 ，则α +b十c = (
A. 10 
B. 12 
C. 14 
D. 16 
(江苏省竞赛题)
幡题思路
题设条件是三元不定方程，适当改变字母系数，放大或缩小
求出a+b 十c 的取值范围.
2
~
1
，
1
， 
,
1
_ 1 
证明.一〈一一+ …一+ …十一一〈
. 11 - 100 ' 101 ' 
' 120 ~ 5 
例3
瞄题思路
先用放大的方法:土+土+ … +土= (土+ … +毛ì +
101 ' 
120 
\ 100' 
'
10 日1
(Iir +IjB) 〈10 × IL+11 × 土=上+ _1_ = _!_类似用缩小的方法证
J 
100
'
~~
"
110 
10 ' 10 
5 . 
明另一不等式.
例4
求x5
• 苟言=7850 中的数字x ，y ，z.
(全俄中学生数学竞赛题)
些理整堕
从估算百二值的大小，建立关于工的不等式组入手.通过夹
逼，把多元问题转化为解一元一次不等式，逼近求解.
在:二)
"吗.
给巳主i竟
所谓放缩法，就
是将问题中的某些量
放大或缩小，使各量
之间的关系清晰地显
现出来，是处理等式、
不等式问题的一种重
要方法.
所谓夹逼法，就
是把问题的解限制在
某取值范围内，通过
解不等式、筛选讨论，
得到问题的解.
~~、I~
量r
食
( t 革组)
咱哥
、我
例5
给出四个自然数α ，b ，c ，d ，其中每三个数之和分别是
1 80 ，1 97 ，
208 ，222 ，求a ，b ，c ，d 中最大的数的值.
( " 希望杯"邀请赛试题)
暨塑塾堕
→般的解法是解关于a ，b ，c ，d 的四元一次方程组，由题意知
α ，b ，c ，d 互不相等，不妨设a < b<c< d ，思维定向，可优化解题过程.
例6
当x~y~z 时，求方程l_ + 土+ l_ = 号的正整数解.
X 
Y 
z
凸
( 山西省太原市竞赛题)
晤
首先有工> 1，且l 二三l 二三l_ >o ，故l_<l_ + l_ + l_ζ立，
工
y
z 
X
工
y
z 
X 
1 ___ 7 ____ 3 
Im/.'" 8 ~ 
____ 24 
即
〈τ《一，解得一<X~ 一，从而x=2 或3 .
í\ 
- x " '" . '. 7 -_ 
~ 7 
1
, 1 
3".，_1
~
1
，
1____2 
若x=2
，则一+-=-=丁，故
〈一+
ζ ←， 
y 
z 
ö 
y 
y 
z 
y 
1 ___ 3 ____ 2 
IL'n /.'" 8 ~ ___ 16 
即一〈τ《一，解得→<y豆
，从而y =3 ，4 ，5.
í\ 
- y ..." . '. 3 
'J 
~ 3 U/ ' " ., J 
1 
I 1 
3
.L n 
...... /."' 
~. 
~ 40 
由÷十一=τ ，相应得z = 24 ,8 , .n~ (舍去) . 
v 
z 
ö 
( 
1 
I 1 
13
.LL 
1 
~ 1 
, 1 ~ 2 
若x = 3 ，则
+一=一，故
〈一+一豆
, 
y 
z 
24 ,-/' Y 
- Y 
z 
~ Y 
1 
~ 13 ~2 
即
〈一王三一，解得
y = 2
，3(y = 2 舍去) . 
y 
--'24 --......: y " 'JJ 
I '..J..J' 
....' v" ..Y 
1 
, 1 
13 
Ln...... /Q 
24 
由一+
= 
，相应得
z = -_" (舍去) . 
y 
z 
24 
故方程的正整数解(工，y ，z) 为(2
，3
，24) 和(2
，4 ，8) .
aE
席
在解一些涉及多个变元的数学问题时，题设条件并没有给出变元的大
小顺序，若给它们假设一个大小l顺序，并不影晌命题的成立，则给问题的解
决增加了一个可供使用的条件，从而降低问题的难度，这种方法叫排序法.
例7
如果正整数町
，句
，鸟
，X' 4 ' 工5 满足x ] + 工2 十工3+ 町十Xs
x] 冉冉引罚，求与的最大值.
晤
因X i 的地位轮换对称，故町的最大值也就是町
，岛
，鸟
，叫
，民中
的最大值.为确定起见，不妨设工l 运工2'"二工3 运工4~工5 ( 排序) ，则
1 = 一
1 一一十一
1一一+ 一
1一一+一
1 二十一
1一一《二_
1 + 
工2 X 3 X4X 5
X]X 3 工4 工5
X]X 2 X 4 工5
X]X 2 X 3 工5
.x、]X 2 工3 X 4
X 4 工5
255 
嗦
食
'吃第
27
i井
估算的方法
有序是系统的基
本属性，是维持系统
的重要条件.
相等与不等是矛
盾的两方面. 在一定条
件下可以相互转化.
例
6 是利用不等
关系研究相等关系的
典型例题，通过排序
与放缩，将多元不定
方程转化为一元不等
式，逼近求解.
数学家如何思
考? 他们的想法怎样
与外部世界发生联系?
数学是最纯粹的思想
形式，其中外部世界几
乎被隔离出去了
.
t::\~t=民
食
，曾女
食
食女
食
食
合
1 
1
, 1 
,
1 
3 + x. + x , 
一一一+一一- + 一+ 一= 一一--.
一-，
工4 工5
工4 工5
工5
工4
工4 工5
于是得冉冉一句一工5 ζ3 ，即(冉一1) (工s - 1) ~ 4 .
若工4 = 1 ，则X j
工2
工3 = 工4= 1 ，与题设等式为4+ 工s =X s 矛盾;
若乌>1，则X s -1ζ4 ，即引~5.
当工s =5 时，容易找到满足条件的数组(1，1，1，2 ，5) ，所以冉的最大值
是5 .
~ 刻意练习
1. 若实数α二三b注c注d二三0 ，且G 十b +c 十d=1 00 ，则b 的最大值是
b十C 的最大值是
( "希望杯"邀请赛试题)
2. 将2 ，3 ，4 ，5 ，…，10 ，11 这10 个自然数填到图中
10
个格子里，每个格子只填一个数，使得"田"字形的4
个格子中所填数字之和都等于p ，那么P 的最大值
是
(江苏省竞赛题)
3. 设工j
'码，鸟，剖，工5 是正整数，任取其中四个求和后
得到的结果是44 ，屿，4 6 ，47 ，则这五个正整数分别是
(第2 题)
(清华大学自主招生试题)
4. 有n 个连续的自然数1，2 ，… ，n ，去掉其中的一个数工后，剩下的数的平
均数是- 16 ，则满足条件的η 和工的值分别是
( 天津市竞赛题)
S . 如果一个两位数x5 与一个三位数百二的积为
29400 ，那么工+ y+z =
(上海市竞赛题)
6.
已知长方体的长、宽、高都是整数厘米，将长、宽、高都增加l 厘米，长方体
的表面积可能增加(
)平方厘米.
A. 14 
B. 103 
C. 214 
D. 400 
("希望杯"邀请赛试题)
7. 一个凸n 边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都
不相同，则η 的最大值是(
) . 
A. 6 
B. 12 
C. 26 
D. 93 
E.179 
(美国数学竞赛题)
扩56
学科精英大视野系列丛书
下面这个式子叫
反平方级数"
1 
, 1 
, 1 
--=, + -~， + --=，十
γ2 ' 
3‘ 
+斗+
n 
数学家贝努利曾
求出过许多级数的
和，但对于上述问题
却束手无策，曾向欧
拉求教，欧拉用类比
的方法求出这个级数
的和为专这个故事
成为数学史上的一段
佳话.
请你估计一下，
这个级数的前
100 项
之和是否满足不等式:
1 
, 1 
, 1 
- ，十一-，+ ~，十
l ' 
2' 
3' 
.. +土τ< l. 74 
100' 
~、，I'::.\c.\
( 仨a=
~ ) 
女
节陆
女
'吃
食
'町
* 
、、'\... 
/、
8 . 在冬季篮球赛中，选手小明在第六、第七、第八、第九场比赛中分别得了23 分、
14 分、11 分和20 分.他的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩，如果他
的前十场的平均成绩高于18 分，那么他的第十场的成绩至少为C
). 
A . 27 分
B. 29 分
C. 31 分
D. 33 分
( 广西壮族自治区竞赛题)
9. 设正整数η 可以等于4 个不同的正整数的倒数之和，则这样的η 的个数
是C
) . 
D. 4 
(复旦大学自主招生试题)
10 .
工1
，句，… ' X JOO 是自然数，且工1<工2< … <X1 00
' 若X1 +
X 2 + … +工100 -
700 1，那么，工1 十工2+ … 十X JO 的最大值为C
) . 
A. 2225 
B. 2226 
C. 2227 
D. 2228 
("希望杯"邀请赛试题)
1 1.
已知由小到大的10 个正整数a 1 哟，句，… ，aJO 的和是2000 ，求衔的最大值.
(江苏省竞赛题)
1 
, 1 
, 1 
12. 设x ，y ，z 为互不相等的正整数，且一十一十一= α ，α 为整数，求x ，y ，z
工
y
z 
的正整数解.
A. 1 
B . 2 
C. 3 
( 河南省竞赛题)
13 . 有5 个数，每两个数的和分别为2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，6 ，5 ，4C 未按顺序排列) , 
求这5 个数的值.
(江苏省竞赛题)
14. 一个三位数，将它的三个数字两两相乘、三个数字的乘积相加，其和恰好
等于它本身，这样的三位数中最小的是多少?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
f1\ "
, f1
\ 
15. 设肉，句，句，…，α" 是各不相同的正自然数，α二泣，求证:1 ~ 
1
十( 了1
+
飞U 1
I
飞U 2 I 
( 去)" 十
+ ( 去)" <2
(中国科学技术大学自主招生试题)
16 . 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰
好为原来两个三位数的乘积的3 倍，这个六位数是多少?
(全国初中数学联赛试题)
17. 1 995 年以前，乌克兰足球锦标赛的计分规则为每支球队获胜得2 分，打
平得1 分，输球得0 分; 从1 995 年开始，足球联盟决定将原来的计分规
则改为: 每支球队获胜得3 分，打平得
l 分，输球得0 分，并相信这样的
改变不会大范围影响排名的分布情形.然而，在1927 年的一届η 支球队
参加的锦标赛中，每支球队均要与其他球队恰比一场，最终A 队获得总
分最高，B 队获得最低分;但若使用新规则，B 队将获得最高分而A 队获
得最低分. 求这各情形发生时n 的最小值.
注:这里的"最高(低)分"指的是唯一的最高(低)分.
(乌克兰数学竞赛题)
A' 
"
·
吼
η
i
-
p
h
u
-
-
时
2
、
4眨
第
27 讲
估算的方法
Ai:\~、1::\
学科精英大视野系列丛书
食
食女
食
，传
女
，曲
，传
为
• 
…. .蹦
噩
(n+ 1) 
由
1 +2 十3 … + η= 一一一一一<2008 ，得n(n+ 1) ~40 1 6 .
2 
62 
例1
.: 60 X 60=3600 ，70X70=4900 ，故η 是两位数，其十位数字是
6 ，试算
62 X 63 = 3906<4016 , 63 X 64 = 
4032 > 4016 ，于是取η =62 ，即最多能选出
62 人.
25 ~ . . . 
~ . _ 18 
29(a+b+c)~366~ 31 (α 十b+ c)
，得
11 一~a 十b + c~12 一
31 -- . ~ . ~ -~ - 29 ' 
B 
例2
a+b +c 为自然数，故α + b十c=12.
/1
, 
, 1\
, /1
. 
. 1\ _ . . ,,
1
. ... . 11 . 1
2 
原式= I ~一+ … + 一--:::
1 + / 一一+… + .~ .
1 > 1 0 X 一一十11X 一一=一+ 一=
飞1 00
'
. 109 '
飞110
'
. 120 r . ~ .. 110 . .... 121 
11 ' 11 
11 
例3
2
_ 1
.
1
. 
.
1
_ 1 
故一〈一一+一一+ … 十一一〈
11 - 100 . 101' 
. 120 - 5 
一一
• 
7850
.......--;=~7850 fln ' ^......, ^ 
I ~ ~^n hn <ø 7 ~ 
~ 11 
: 
300~ 3yz< 400 ，:. '4vOvOv <x5:%二三百石，f!r 19< 10x+5<27 ，解得τ〈工〈τ ，得工=2 .
锣IJ 4 
一一
7850 
又3yz= 亏了= 3 1 4 ，:.
y = l，z=4. 故x =2 ，y= 1 ，z = 4
最大数为
8 9.
例5
• • 
由2b~α+ b+c+d= 1 00 ，得b~50 ，当α = b= 50 ，c = d= 0 时，等号成立. 又a三三a十d= 100- (b+ 
200 
3 
1. 50 
b+c ' ^^ 
/
, I , __ b+c ,,. " 
......200 .. 
100 
) ，2α注b+c ，a二三~ 2 
~ ，100 -(b十c) 二三
2一，得b+c~丁::.，~ a= b=c= 丁-=，d=O 时满足要求.
设居中两个格子所填之数为工，y ，则2+3+4+ … 十四十11 +x+ y= 65 + 
x + y = 3 P. 要使P 最大，必须x + y 最大，由于x + y~ 1 0 + 11 = 2 1，得3 Pζ 65 十2 1 = 86 . 解
2. 28 
86 
__ 2 
得P~一= 2 8一，所以P 取得最大整数值应为28 .
3 
- ~ 3 
(第2 题)
3. 10 , 11,11, 12 , 13 
226 =44+44 十4 5 + 46+47~ 4(xI 十xz 十工3 十几+xs ) ~44+45 +46 + 47 + 47 = 229 ，工1+ 工2 十工3+ 引十
工5 =57. 
n(n+ 1) 
n 个连续的自然数的和为
s = 一一-一.若x= η ，则剩下的
2 
数叫数是异=fd z=1 ，则剩下的数叫数是引十1，故卡1 6寸叫得30~n~32
4. n = 30 ，x = 1 川= 3 1 ,x= 16 ;n= 32 ,x = 32 
当n = 30 时，; + 1 = 16 ，故x = l; 当n = 31 时，3 0 X 16 = 31 X 飞l 十l)
z ，解得x = 16 ; 当n =32 时，? =
1 6 ，故x = 32 .
29400 ~-;::-...... 29400
一-
73< -~~~一< x5 ζ 丁00一= 98 ，则x5 =7 5 或
8 5 或95 ，因
8 5平29400 ，9 5不2 9400 ，故二百= 75 ，巧三=
尘
'
-
J
M
，
、
29400 
一-→:' = 392 ,x= 7 , ')1= 9 ,z =2. 
75 
vv_
，~
， ' ..y 
5. 18 
革
会食
，传
女食
，传
大
*
食
第
27 讲
估算的方法
6. C 
设长方体的长、宽、高分别为α cm ，bcm ，c cm ，则长方体的表面积增加: 2 [ (α + 1) ( b+ 1) 十( b+ 1) (c+ 
1) + ( α + 1) ( c+ 1) ]-2 ( αb+ bc+ αc ) =4 (α + b+ c) + 6 ， 
.: 4 (a 十b +c ) + 6 二三40 + 1 + 1) + 6 = 1 8 ，题设的选项中，只有2 1 4 可表示成4 X5 2 + 6 的形式
.. 选C.
7. C 
要使n 最大，只需让每个外角的度数尽可能小，可令外角分别是
1 0 ，2 0 ，3 。… ，因
1 + 2 十3 + … + 26=
35 1 < 36 0 ，1 十2 + 3+ … + 27 =378> 360 ，故nmax = 26 . 26 个外角分别为
1 0 ，2 0 ，3 0… 2 5 0 ，35 0 ，此时多边形的内角分
别为
17 9 0 ，1 78 0 ，1 77 0，…，1 55 0 ，1 45 0 •
8. B 
由题设得50 + 23+ 14+ 11 + 20 
50 
，
一一一〉亏，解得55 < 邸，设小明第十场的成绩为
工
分，则
8 4 十23 + 1 4 十11 + 20 十工> 1 8 ，解得x> 28 ，故他的第十场的成绩至少为
2 9 分.
9. B 
1 , 1 , 1 , 1 
_ 
~ . 
~ 
~. ~ ~ ~ 
~. . ~
， 
~ _ 
. ~ ~ 1 , 1 , 1 , 1 ~ 1 , 1 
η= 一+ 一+ 一+ 一，且α< b< c<d ，若α二月，则b二三4 ，c二月，d二剖，--=- +一+ 一+ 一ζ一+ 一+
a 
b 
c
' d ' -
-
- ~ --
-- , ,- - ~ ~"
. . ~ ~ ~
， - ~ - , -
~ -, a ' b ' c 
' d 
~ 3 ' 4 
1 , 1 
19 __ . _ 
_ ,. ~ ,. 
_
, _ _ 
_ , 1 , 1 , 1 ~ _ , 1 , 1 , 1 
25 
+~= ~ : < 1，从而α= 1 或2. 当α= 1 时，1 <η =1 + 一+ 一+ 一ζ 1 +
十
+ ~ =~~ 
，n 只能为
2 ，2 =1 +
5'6 
2 0- ~ "' -"'-
~-~-.~-
~
-.，~
_ .. 
~
'
b
'
c
'
d
~ ~
'
2
'
3
'
4 
12 
1 
1 
1" 
~ _. 
1
, 1 , 1 , 1 ~ 1 , 1 , 1 , 1 
77 _ ~ 
_ ," .. _ _ 
1
, 1 , 1 , 1 
一十一十一;当α =2 时，η = 一十一十
+ 
ζ + ~ + 十-
一<2 ，η 只能为1，1= 一十一十一+ -~~
2
3
6
二
2 'b 
c' d 
~ 2 ' 3 ' 4 ' 5 
60 -- . '. " "-,, ~， ~ 
2 ' 4 ' 6 ' 12 
10. B 
7001 = XJ +与+ … + 工1 00 二三X 1 +(xJ + 1) 十( xJ+ 2) + … 十(工] + 9 9)
，解得x J ~20 ，又20 + 2 1 十
22+ … + 119= 6950 = 7001- 51 , 21 + 2 2 + … 十120 = 70 5 0 > 700 1 ，故当
X J = 2 0 ，与= 21 ，…
，X49 = 68 ，纭。=7 0 ，
工51 = 7 1 ，…
，x JOo = 120 时，X1+ XZ+ … +工50 有最大值，最大值为2226 .
1 1. 要使α5 最大，需使a ，,a2 ，a3
，向及句，…
，a ，o 尽量小，又因
a J<az < … < a I O
' 故先取a ，
，a 2
，鸟
，向分别
为1，2 ，3 ，4 ，于是有2000 = 1 + 2+ 3 + 4+a5 + … + α 1 0 '即向十α6 十… + a l O = 19 90 . 又α6 二三a5 + 1 ，α7 二三α5 十2 ，
1975 
_~_ 1 
a8 二三句+ 3 ，向二三a 5 + 4 ，a lo 二三α 5 + 5 ，故a 5 + α汁… + α 1 0 二三6a s + 15 , f!r 6 a5 王三1 975 ，向豆一γ = 329 τ ，故问最大
位可取329 .
1 , 1 , 1 ~ _ , 1 , 1 
_ 5 
12. 设工<y< z ，则z二三l，y二三2 ，z二三3 . 所以言十7 十丁Jζ 1 + τ + τ= 1 ;; 
，0<αζ11了，得α = l. 解方程
1 
, 1 , 1 
一+一十一= 1
，得( X ，y ，z)=(2 ，3 ，的
，( 2 ，6 ，3) , (3 ,6 ,2) ,(3 ,2 ,6) , (6 ,2 ,3) , (6 ,3 ,2) . 
工
y
z 
「α + b = 2 , 
|α + c =3 , 
13 . 设五个数为αζbζc~dζ e ，将和数从小到大重新排列为
2 ，3 ，4 ，4 ，5 ，5 ，6 ，6 ，7 ，8 ，则
{
Ic + e =7 , 
Ld +e =8 , 
又a+ b+ c十d十e→( 2 +川十旧+时+ 6 + 7十←1 2 . 5 ，
进而可求得d = 3 . 5 ,e= 4. 5 ,c= 2. 5 ，α = 0. 5 ,b= l. 5. 
9 9a + 9b
αb 
14. 设这个三位数为百二，则
1 0 0α + 1 0b +c = α 十b十c 十ab + bc 十ca 十αbc ，得c =
α + b +ab
' 因cζ 9 ，故
99 a + 9 b - abζ 9α+ 9 b十9ab ，得b = 9 ，c = 9 ，从而知这样的三位数中最小的数是1 99 .
15. 设a l <αz < a 3 < … 〈α " ，则有a i 二三i(i = 1,2 ，3 ，…，η) . 
可得( 士r + ( ~J a+ (红十
十( 去rζ ( 十r + ( ; ) α + ( ~ r 十
+ ( ! r斗十去+去+ ... +仨
1 + :-ι+↓+ ... +γJr=叫1- ~ ) + (
~ -斗1 + ，" + ( 土-÷ ) = 2-k2.
I X Z 
Z X :S 
，n- l)
/'、n
\ 
[., J 
\ '" 
J 
J
飞
fl
.1 
H , 
fI. 
过兔
食
-
R
-R 
，传食
，传为
女
学科精英大视野系列丛书
* 
16 . 设两个三位数分别为z 和y
，由题设知
1000x+y=3xy. 
① 
由①式得y= 3xy-1000x= C3y 一1000)x ，故y 是z 的整数倍，不妨设y= tx(t 为正整数) ，代入①式得
10川=3叫以x= 呜坦因为是三位数，所以x= 呜乌肌从而可得tζ裂，又t 为正整数，故t
的可能的取值只能是1，2
，3 .
验证可知:只有t=2 符合题意，所以t=2 ，x=167 ，y=334 ，所求的六位数为
167334 .
17.
由题意，假设A 队赢了z 场，平了y 场
，B 队赢了a 场，平了
b 场，显然不止两支球队，其他球队的得
分均介于A 、B 两队之间.
. (2工+y二三2a+b 十2 ，
贝IJ I 
1 3x+y+2 ζ3α +b ， 
=>2(α 
x)+2ζ y-b~3( α -x)-2=> α -x 二三4=争y-b二三10=>y二三10 十b=争y二三10 .
而z二三1 ，从而
，x+y二三1 1.
因此，至少有12 支球队，n注12.
下表构造说明η=12 可以取到.
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
胜
平
负
2+1 
3+1 
l( B) 
× 
。
1 
1 
l 
l 
1 
。
。
。
。
。
5 
。
6 
10 
15 
2(A) 
× 
10 
。
12 
13 
3 
。
× 
1 
。
。
3 
5 
3 
11 
14 
4 
。
。
× 
1 
1 
。
3 
5 
3 
11 
14 
5 
。
。
。
× 
l 
1 
3 
5 
3 
11 
14 
6 
。
。
。
× 
l 
3 
5 
3 
11 
14 
7 
。
。
。
× 
1 
1 
3 
5 
3 
11 
14 
8 
1 
。
。
。
× 
1 
3 
5 
3 
11 
14 
9 
。
。
。
× 
1 
3 
5 
3 
11 
14 
10 
。
。
。
× 
1 
l 
3 
5 
3 
11 
14 
11 
1 
l 
。
。
。
× 
1 
3 
5 
3 
11 
14 
12 
l 
1 
。
。
。
× 
3 
5 
3 
11 
14 
￡杂
bb兰u
飞:~r
马在7
飞鸟、彩蝶、鱼、骑士，栩栩如生，妙手
天成. 数学艺术家埃舍尔是荷兰的一位版
画大师，他在20 世纪四五十年代创作了许
多用单一的精美图形铺满平面的图案奇
作. 他的作品以优美的外表、丰富的内涵、
浓郁的数学韵味而闻名于世.
J 由28i古〔阳台二
I
~
i 如能梅述
几何计数，即求满足一定条件的图形的个数.由于组合图形位置关系的
多样性，常产生多个符合条件的图形且图形易重复或遗漏.解几何计数问题
常用到以下方法原理:
L 分类穷举: 即根据对象的特征，把它分成若干类，再一个一个地数
出来.
2 . 分解转化: 即把复杂的图形分解为常见的基本图形.
3 . 代数计算:即依据图形的特征规律，通过列代数式、方程、递推式等代
数方法计算.
4 . 利用加法原理、乘法原理.
加法原理:做一件事，完成它有n 类方法，在每类方法中分别有m j
，
m2
，…
，m ll 种不同的方法，那么完成这件事共有m J+ m 2 十… + m " 种不同的
方法.
乘法原理:做一件事，完成它需要分成η 个步骤，在每步中分别有m J
'
m 2
，…
，mn 种不同的方法，那么完成这件事共有m j
• m 2 ….. m" 种不同的
方法.
'
问题筋决
例1
如果依次用肉
，鸟，句，向分别表示图①，②，③，④中的三角形个
数，那么a j = 3 ，a 2 = 8 ，向= 15 ，向= 一一一一一· 如果按照上述规律继续画图，
那么a g 与α8 之间的关系是: 向=α 8 +一一一一·
261 1 
、达..;;;;;;' ，，，，
( 江苏省竞赛题)
我坚定地认为
，
任何一门自然科学，
只有当它能应用主士学
工具进行研究时，才
能算是一门发展渐趋
完善的真实科学.
一一康德
17 线的交点
傅立叶(1 768
1 830 ) ，法国著名数学
家，其主要成就是对
热传导问题的研究，
以及为此研究而引入
的数学方法(傅立叶
级数) . 
一次，他写信给
他的老师、朋友波纳
，
信中提出下面一个
问题:
在平面上作
17
条直线，使它们交点
总数为
1 0 1 个，这办
得到吗?
~~I::\ 
，峙，传女
食
食女
食
* * 
才\A\ ~A
图①图②图③图④
睡题思路
对几种简单情形进行分析，然后从中归纳猜想出一般的规律.
例
2
图中可数出的平行四边形的个数
为(
). 
A. 123 
B. 114 
C. 108 
D. 105 
("五羊杯"竞赛题)
堕些塾堕
m X n 长方形棋盘可数出长方形(1 十2+ … + m) X (1 +
2+ … +η) 个，这是解本例的基础，注意图中两处重叠现象.
例3
将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分
成不少于2003 个小纸片，至少要画多少条直线?请说明理由.
(浙江省竞赛题)
壁塾壁堕
设至少要画n 条直线，要使直线最少，应使n 条直线将圆分
成的块数最多，解题的关键是建立n 的关系式.
比2
学科精英大视野系列丛书
有些几何计数问
题可转化为方程、不
定方程、不等式来求
解，通过确定方程解
的个数、不定方程整
数解的个数或确定某
个几何元素的取值范
围来求解.
Ct;\&.\~、
'吃
食
'吃
( 仁露宿)
4吃
食
例4
已知兰角形的三边长都是整数，最大边长为8 ，求满足这样条件的
互不全等的三角形的个数.
(河南省竞赛题)
黯题思路
确定三角形另两边中一边的取值范围，就可枚举计数.
例5
如图，在2 X 3 的矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点.
问:以格点为顶点的等腰直角三角形共有多少个?
纣听E司酷
等腰直角三角形有怎样的几何特
征?这一问题的牵引，是解题"从何处入手"的一个
切入点. 三角形的一个内角为9 0 0 ( 显性或隐性) ，其两
条夹边相等; 三角形三边a ，a ，c ，a 2 + a2 = c2
，即c=
(全国初中数学联赛题)
J2a; 最大边的中垂线不通过格点的三角形一定不是等腰直角三角形，但反之
不一定成立.
以格点为顶点的线段长度可取8 个数值:1，J2，2 ，点，2 J2, 3, jI百，
Æ. 以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下四种
情况
: 1 , 1 ，J2;J2，在，2;2 ，2
，2
J2和布，布，jI石，下面按斜边长分四类来进
行计数.
(1)当斜边长为J2时，斜边一定是小正方形的对角线，这样的线段有12
条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2X 12 = 24C 个) . 
(2) 当斜边长为2 时，图形中长为2 的线段有
10 条，其中有6 条在2 X 3
矩形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形;另有4 条在2 X 3
矩形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有
6 + 2 X 4 =
14( 个) . 
(3) 当斜边长为2
J2时，斜边一定是2 X 2 正方形的对角线，这样的线
段有4 条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2 X 4 = 8( 个) . 
( 4 ) 当斜边长为刁百时，这样的线段有4 条，每条这样的线段对应着一
个等腰直角三角形，共有4 个.
故以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为24 十1 4+8 十4 = 50( 个) . 
26法
第
28 讲
几何计数
例
5 有效地考查
思维的严谨性与清
晰性.
思维的严谨性表
现在
: 分类计算不重、
不漏、不假，既不重复
地不遗漏地计算等腰
直角三角形
，更不把
非等腰直角三角形计
φ
算在内;
思维的清晰性表
现在
: 构思一个层次
分明的求解程序，1运
层深入地进行几何图
形的结构分析，逻辑
清晰地进行分类.
思维的清晰与严
密源于细致与坚韧，
细节是一种长期潜心
的准备，是一种日积
月累的积淀，是一种
精心雕琢的过程.
民品品品
食
'眨
毛主
'眨
* * 
'匠
*
{;[ 
例6
某城市街道分布如图①，一个居民要从A 处前往B 处，为了使其
所走距离最短，规定只能向右或向下走，那么该居民共有几条可选择的路
线?
(" 五羊杯"竞赛题)
A~ 
口
|I I 21 I 31 
口
B
吨
，
，
气
，
&
A
斗
l 
F
、
d
图①图②图③囹④
纣#斤2号瞄
从单个的小正方形思考，寻找行走路线的一般规律.
图②中的小正方形，由A→C 共有2 种走法，图③中的情形，从A→D 共
有3 种走法，由此得出:到右下角终点的走法等于它所在小正方形从左上角
到右下角的走法之和，故依次标出每个小正方形的走法，即可获解. 如图④
可得该居民共有40 条可选择的路线.
例7
平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点
分成三组，并按下面的规则用线段连接:
①在同一组的任意两点都没有线段连接.
②不在同一组的任意两点间一定有线段连接.
(1)若平面上恰好有9 个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段?
(2) 若平面上恰好有9 个点，且点数分成二、三、四组，那么平面上有多
少条线段?
(3) 若平面上共有
1 92 条线段，那么平面上至少有多少个点?
("希望杯"邀请赛试题)
暨
(1)可以连出
3 X 3+3X3+3X3=27 条线段;
(2) 可以连出2 X3 十2X4+3X4=26 条线段;
(3) 设平面上三组点数分别为m 州，户，S =m+ n + ρ ，则可以连出mn 十
mp 十ηρ = 1 92 条线段.
因52= (m 十η + p) 2 = m2 + n2 + ρ 2 + 2mn + 2mp + 2nρ 二三mn 十mρ +
nρ +2mn十2mρ +2 nρ =3(mn + nρ 十nρ) = 3 X 192 = 576 = 24 2 ，故S 二三24 ，S
的最小值是24 . 事实上，当这24 个点平分为三组，每组8 个点，恰可以连出
8X8 + 8 X 8 + 8 X 8 = 192 条线段. 因此，平面上至少有24 个点.
tf 属思维
如图①，在3 X 3 的方格图案中有多少个正方形?
此问题的精妙之处在于能快速地把我们带入丰富的数
学世界，感知数学发现的基本路径:归纳、类比;诱发我们更
为深刻地追问与探究. 下面从不同的维度提出问题.
例8
(1)把图①中的
3 X 3 情形拓展到n X n 的图形
中，正方形的总数是多少?长方形的总数又是多少? 对于
因①
￡乡
学科精英大视野系列丛书
解几何计数问题
常常需经历以下步骤:
(1)分析几何
结构;
(2) 依分析的几
何结构运用计数方法
求出结果.
分析几何结构，
即对几何图形观察、
分解(对部分图形视
而不见)、组合(对图
形的整体把握) . 
运用枚举法进行
列举时，必须注意无
一重复、无一遗漏.因
此，枚举法常与分类
法结合使用
，几何计数
有以下常见分类方法:
(1)按图形的类
型分类;
(2) 按图形的大
小分类;
(3) 选定参照图
形分类.
~~Ct&\ 
( 仁.a: m ) 
m X η 的图形，正方形与长方形的总数又分别是多少?
(2) 类似上述问题，如图②，在3X3 X3 的立体图
形中，正方体的总数是多少?长方体的总数又是多少?
在η × ηXn ，I X m X η 的图形中，立方体、长方体的总
数又分别是多少?
(3) 请你提出更一般的问题.
通过对基本图形2X2 ，3X3 中正方形与长方形总
数的计数可归纳发现规律.
~~ 刻意练习
i 
1纭，传
食
/ 
t纭，传
食
食，传
，传
/ 
/ 
/ 
/ 
国②
1. 在正方形格纸上有20 个点，其分布如图所示，现用4 个点作为正方形的4
个顶点，这样总共可以组成
个正方形.
(上海市竞赛题)
(第1 题)
(第2 题)
(第3 题)
2 .
如图，是由
5 X 5 个小正方形组成的网格图，图中有36 个格点，以这些格
点为顶点的正方形一共有
个.
(世界数学团体锦标赛试题)
3. 如图所示，图中不包含阴影部分的正方形共有一一一一个.
(青少年国际城市数学邀请赛试题)
4. 50 条直线将平面分成n 部分，若n~ 98 ，则n 可以取的值是
("五羊杯"竞赛题)
5. 有长度分别为1，2 ，… ，9 的线段各一条，现从中选出若干条线段组成"线
段组"，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的线段组的组
数为
(全国初中数学联赛题)
265 ! 
L
幢!!
第
28 讲
几何计数
科学的发展永远
始于问题.
通过学习，学会
发现问题和提出问
题、探索问题和寻求
一般规律.
让数学思维更加
舒展，从而走向更深
层次的发现.
数学是锻炼思维
的体操，精湛的思维
艺术常借助数学彰显
其力量.
，传
食言纭
，传
食女
，传
食为
6. 如图是由一些等腰直角三角形拼成的图形，若一只蚂蚁欲沿着三角形的
边从A 点爬到C 点，规定在爬行的过程中只能向右方、上方或者斜右上
方爬行.请问这只蚂蚁总共有
条不同的爬行路径?
(国际中小学数学能力检测试题)
C 
A 
(第6 题)
(第7 题)
7. 如图所示的图形中一共能数出(
)个长方形(正方形也算作长方形) . 
A. 64 
B. 63 
C. 60 
D. 48 
("五羊杯"竞赛题)
8. 如图，连接边长为1 的正方形各边的中点，连正方形的对角线，则图中共
有(
)个等腰直角三角形.
A. 16 
B. 32 
k [XJ 
b。d
(第8 题)
C. 22 
D. 44 
(江西省南昌市竞赛题〉
(第9 题)
9. 如图所示的阴影部分是由方格纸上三个.小方格组成，称这样的图案为"L"
形，那么，在由4X5 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的"L"形
图案(
)个.
A. 16 
B. 32 
C. 48 
D. 64 
(浙江省竞赛题)
10. 边长为整数、周长为20 的三角形共有(
)个.
A. 4 
B. 6 
C. 8 
D. 12 
(江西省南昌市竞赛题)
11. 设-个三角形的三边长为正整数a ，n ，b ，其中b~n~α ，则对于给定的边
长n ，所有这样的三角形的个数是(
). 
A. n 
B. n+ 1 
C. n 2 十η
D 卡(n+ l)
(江苏省竞赛题)
12. 如图所示，点儿、A 2 、A 3 、儿是某市正方形道路网的部分交会点，且它们
是:;;
学科精英大视野系列丛书
~~、，~
齿，传
食
( 七a= m ) 
3号食
食
让f
食
，传
都位于同一条对角线上. A 3 处因修路不通，请问某
人
人从点A l 出发，不经过A 3 到达点A 4 的走法共有
多少种? (规定只能向右或向下行走)
A. 8 
B. 10 
C. 20 
D.15 
E.1 2 
(美国数学竞赛题)
13.
如图，平面上的64 个点组成一个8 X8 点阵，同一行
'A, 
(第
12 题)
或同一列上相邻的两个点的距离都是1cm . 请问以这6 个点中的4 个点
为顶点，而且面积为12cm 2 的长方形有多少个?
. . . . . . . . 
• • • • • • • • 
. . . . . . . . 
. . . . . . . . 
. . . . . . . . 
. . . . . . . . 
• • • • • • • • 
. . . . . . . . 
(第
13 题)
(英国数学竞赛题)
(第
14 题)
(第
16 题)
14. 在如图所示的5X8 方格表中，有两个小方格内标上" . "，而图中两个
3 X 4 的方格表内部都包含有这两个有记号的小方格.问:共有多少个不
同位置的方格表内部包含至少一个有记号的小方格?
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
15. · 在平面上画5 条直线
l 1 ,lz ,l3 ,l4 ，l 5
' 使得其中任两条都不平行，任三条
都不通过同一点. 请你回答:
(1)这5 条直线共有多少个交点?在每条直线上恰有几个交点?在这
5
条直线上共有多少条线段?
(2) 以这些线段为边至多可形成多少个等腰三角形?请你简述理由并画
出相应的图形.
(北京市竞赛题)
16. 如图是由
16 个面积为
1 的等边三角形组成的一个大的等边三角形，这
个大的等边三角形内部及边上共有
1 5 个交点.请回答:
(1)以这些交点为顶点，可以连成多少个等边三角形?
(2) 所连成的全部等边三角形的面积的总和是多少?
17. 在一个DABC 内部给出m 个点，在这些点之间及这
A 
些点与A ，B ，C 三点之间连接一些线段，这些线段在
三角形内部没有这m 个点以外的公共点，并恰将
DABC 分成的小区域全部都是小三角形，请你证明:
(1)分成的小三角形区域的总个数必为奇数;
(2) 位于三角形内部的所连接线段的条数是
3 的
倍数(第17 题)
(北京市竞赛题)
2飞
第
28 讲
几何计数
~~~ 
* 
食
食
食
，传
食
'际女
女
学科精英大视野系列丛书
例1
24 
19
向=5 2 - 1=24 ;a8 =92 - 1 =8 0 ，向= 10 2 - 1 = 99 ，向=a 8 + 19.
' 
…酬
.
例2
D 
0 +2+3 十4) X 0 +2) X2+ 0 十2 ) X 0 + 2 +3+ 4 + 5 + 6) 一(1 +2) X (1 +2) X2= 105. 
例3
n 条直线最多将圆分成1 + 1 + 2 十3 + … 十η = l + ln(η 十1)块.当n = 62 时，1+lnM+l)=
2 
19 54 ; 当n =63 时，l + in(71 + 1) = 2017. 故至少要画63 条直线，可以将圆形纸片分成不少于2003 个小
2 
9氏片.
例4
设三角形另两边长分别为α
，b ，其中α
，b 为正整数，且αζ b ，则
0 < α ，ç;，b,ç;, 8 . 
.: a+ b>8 , 
:. 2b> 8 ，b> 4 ，得
5 ，ç;，bζ 8 ，且8-b<α ，ç;，b.
当
b =5 时
，a =4
，5
;
当
b =6 时，α = 3
，4 ，5
，6;
当
b = 7 时，α = 2
，3
，4
，5
，6
，7;
当b=8 时，α = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6, 7 , 8. 
故满足条件的互不全等的三角形共有2 + 4 + 6 十8= 20( 个) . 
例8
(1)在n X η 的图形中，正方形的总数是1 2 + 2 2 十… + n 2
，长方形的总数是1 3 + 23 + …十η 3 ，在
m X η 的图形中，长方形的总数是(1 +2 十… + m)0 + 2 + … + η ) . 
(2) 在η X n X n 的立方体中，正方体的总数是1 3 + 23 + … + n 3
，长方体的总数是0 +2+3+ … + n) 3 .
(3) 如图①，图中有多少个平行四边形?更一般的规律是什么?
如图②，图中有多少个正三角形?更一般的规律是什么?
// // / 
// // / 
// / 
/ 
/ 
// / 
/ 
图①
(例8)
1. 21 
边长由小到大正方形个数分别为
9
，4
，2 ，4 ，2 .
A 
图③
• • 
2. 105 
水平放直的正方形有52 十4 2 +32 +22 十1 2 =55( 个) ，倾斜放直的正方形有O X 52 十1X4 2 +
2 X 3 2 + 3 X 2 2 十4X 1 2 = 50( 个) ，共有55+50= 10 5( 个) . 
3. 150 
不包含阴影部分的正方形有大小不同的几种类型:
面积为
1 的正方形
: 9X9-3X3=8 1 -9=72
;
面积为4 的正方形:8 X 8-4 X 4=64 - 16=48; 
面积为
9 的正方形: 7 X 7-5 X 5=49-25=24 ; 
面积为
16 的正方形: 6; 
共有: 72 +48+24+6= 150 个.
主￡:L
食
( 七草巨细)
* 
食
咱吃
第
28
i井
几何计数
4. 98 
r 45 , 
s. 9 
正方形边长至少为
7 ，不大于| 一一
1 = 1 1.
7 = 1 +6= 2+5 = 3 十4 ，8 二1 + 7=2 十6=3 十5 ，9=1 十
I 4 I 
8=2+7=3+6 = 4 +5 ，10 = 1 十9=2 十8=3 十7 = 4 十6 ，11 =2 十9= 3 + 8=4 十7 =5+ 6. 组成边长为
7 ，8 ，10 ，
11 的正方形各有一种方法;组成边长为
9 的正方形有五种方法.
6. 42 
如图，图中各点的数即为蚂蚁从起点到该点的不同路径数.
7. B 
,J2 _ 1 
8. D 
斜边长分别为12 巳1，
的等腰直角=角形个数分别为
4 ，16 ，8 ，16 ，
, 2 ,.L, 2
一
共有4 + 16+8 十16 =4 4 个等腰直角三角形.
9. C 
每个2X2 小方格中"L" 形图案有4 种不同画法，而位直不同的2X2
小方格有
12 个，故共有12 X 4=48 个"L" 形图案.
A 
1 
1 
1 
1 
10. C 
设三角形三边长为a ，b ，c( α 二三b二三c)
，由G 十b +c= 20 又α 十b>a ，得
7~
(第
6 题)
a~19 ，可列出(α ，b ，c) = (9 ,9,2) , (9 ,8,3) , (9 , 7,4) ,( 9,6,5) , (8 ,8,4) , (8 ,7,5) , (8 ,6,6) , (7 , 7,6). 
11. D 
见表.
b 
n 
G 
三角形的个数
1 
γ1 
η 
1 
2 
n 
η ，η + 1 
2 
3 
η 
η ，η 十1，η 十2
3 
k 
n 
n ，n + 1
，n + 2
，…，η + 走
l
走
ηj 
n 
n ，n 十1，η + 2 ，…
，n + n - 1
ηj 
(n+l 、
故符合条件的所有三角形共有1+2 十3+ … + n = Ly-- ( 个) . 
Ar 
1 
1 
1 
12. A 
如图，每一点旁的数代表从A 1 走到该点的走法数.
13. 连接同一行和同一列的点可构成一个网格.首先考虑边平行于网格线的
1 
长方形.对于形状为
2 X6 的长方形，它的方向有
2 种选择(水平和铅直) ，其中一
组对边有8 - 6 = 2 种选择，另外一组对边有8-2 = 6 种选择，所以这样的长方形
一共有2 X2X6=24 个.对于形状为
3 X4 的长方形，它的方向也有2 种选择，其
中一组对边有8 -4=4 种选择，另外一组对边有8-3=5 种选择，所以这样的长
方形一共有2 X4X5=40 个.除了这些长方形，还有边平行于网格的对角线的长
方形，它们形状分别为在X612和2 12X3 12. 
1 
A 2 
2 
3 
。。
。。
这2 种长方形也分别有2 种方向可选择，首先考虑长方形的最长边从左下方伸
。。
到右上方的这个方向.第一种形状的长方形只有
1 个，如图所示;第二种形状的长方
形有9 个，其中一个已在图中标出.这9 个长方形的左上角的顶点已在图中用黑点标
出.所以这2 种形状的长方形一共有2 X (1 +9 ) = 20 个.因为
12 = 2 2 X 3 ，而3 不能表
示为
2 个完全平方数的和，所以再也没有其他形状的长方形.因此要求的长方形一共
有24 十40 十20 二84 个.
269 
、嗦
4 
3A3 
4 
8 
4 
4 
(第
12 题)
(第
13 题)
30 
12 
4 
A, 
食
食
，传
食
食食
，传
1号
为
学科精英大视野系列丛书
14. 对于包含左边记号小方格的方格表，其左边所在直线有四种选择，右边所在直线有五种选择，上
边所在直线有两种选择，下边所在直线有四种选择.故这样的方格表总共有4X5X2X4= 16 0( 种) . 
同理，对于包含右边记号小方格的方格表，总共有6 X3X3X3= 1 62C 种) ;对于同时包含两个记号小
方格的方格表，总共有4X3X2X3=72( 种) . 
因此，包含至少一个记号小方格的方格表总数为
1 60 十162-72=250( 种) . 
15. (1)如图①，满足题设条件的5 条直线共有10 个支点;在每条直线上恰
有4 个支点;由于在每条直线上有
6 条线段，因此在这5 条直线上共有30 条
线平生.
(2) 能够形成以这些线段为边的等腰三角形最多有10 个.理由如下:
记la 与l b 的支点为A ab ' 我们考察底边在
1 1 上的等腰三角形
，1 1 上有4 个交
图①
点A lk ，k=2 ，3 ，4 ，5 ，若底边为A 1Z A I 3
，则ζA Z3 AI Z A I3 = ζAZ3 A1 3 A1Z 是锐角.
此时，线段A 1 Z A 14 不能再为某个等腰三角形的底边;否则，会出现
1 3// 1 4 或
lz // 14 ，与题设条件矛盾.类似的，A 1 Z A 15 ,A 13 A 14 ，A 13 A 1 5 均不能再为某个等腰三
角形的底边.
又在A 1 Z A 13 为底边的情况下
，A1 4 A 15 也可以为等腰三角形的底边，于是，在每
条直线上至多有两个等腰三角形的底边，它们是以两个端点均不同的两条线段
为等腰三角形底边的.从而，在这五条直线上以形成的线段为底边的等腰三角形
的个数至多为
2 X5= 10.
事实上，这样的10 个等腰三角形的构图是存在的.
如图②的正五角形.
图②
(第15 题)
16. (1)面积是1 的等边三角形，有16 个，面积是4 的等边三角形有7 个，面积是9 的等边三角形有
3 个，面积是16 的等边三角形有1 个.此外，面积是3 的等边三角形有6 个，面积是7 的等边三角形有2
个.故可以连成的等边三角形共有: 16+7+3+ 1 +6+2=35( 个) . 
(2) 所连成的全部等边三角形面积的总和为: 1 X 16+4 X7+9 X 3+ 16 X 1 +3X 6+7X 2=119. 
17. (1)设小三角形的总数为n ，这n 个小三角形的边中有3 条是原三角形的边AB ，BC，CA ，所以
位于内部的小三角形的边数(位于三角形内部的所连线段的条数) 为3η
3 ，而且这些边每一条属于两个
小三角形.设E 为位于6.ABC 内部的边的数目，则2e = 3n - 3 = 3( n 一1)，于是有3( n - 1) 是偶数，n - 1 是
偶数，所以，分成的小三角形的数目
η 必为奇数个.
(2) 显然31 缸，而(3 ，2)= 1，二
31 e. 即位于三角形内部的所连线段的条数是3 的倍数.
￡pd 
h 岛&)/'
df73汪
在数学上，"包络"是指一系列的直线或曲
线包围出另一个形状的情形，如左图中若干条
直线组成了心脏线、抛物线.
20 世纪初，西方的数学书上讲述了用直线
画曲线的各种画法，当时形成了"数学刺绣"的
时尚.
自29 itt 
:J由E原理
E 
.-______. 
'
如能部迷
若把8 个物体放入7 个抽屉，则一定有一个抽屉放了
2 个或2 个以上的
物体;若把8 个物体放入2 个抽屉，则一定有一个抽屉放了4 个或4 个以上
的物体;若把8 个物体放入3 个抽屉，则一定有一个抽屉放了
3 个或3 个以
上的物体.
我们把"物体数与抽屉数"的关系概括为数学上的一个原理，即" 抽屉原
理"抽屉原理的常用形式是:
原理
1
把(η + 1)个元素放入η 个抽屉，则一定有一个抽屉有两个或两
个以上的元素.
原理
2
把m 个元素放入n( η > l，m > η ) 个抽屉，则一定有一个抽屉至
少有h 个元素，其中
:
[旦
(当时m 时)
η 
[ ~ ] + l， 
(当n 不能整除m 时)
这里[ ~ ] 表示不大于宁的最大整数，亦即?的整数部分
'
问题能决
例
1
1 0 11 人参加考试，总得分为
50501 分(百分制)
，则至少
有
人的考试成绩是相同的.
(天津市竞赛题)
晖思想路
把不同得分分别作为抽屉，参加考试的考生l Ò ll 人视作元素.
之7持
斗争广费
，回『珊... 
巨
数学发明创造的
动力不是推理
，而是
想象力的发挥.
德
· 摩根
互素的判定
当代著名数学家
厄尔多斯听说一个叫
波萨的小孩很聪明，
1959 年就问了一个
问题加以考察:
如采你有
n 十1
个正整数，这些正整
数小于或等于
2n ，那
么，你一定会有一对
整数是互素的，你知
道这是什么原因吗?
I"í:.\I'i:\I:.远地
食
女女
食
，际女
食
'传
1号
例
，2
夏令营组织1995 名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定
每人最少去一处，最多去两地游览，那么至少有(
)人游览的地方完全
相同.
A. 665 
B . 499 
c. 333 
D . 332 
(北京市"迎春杯"竞赛题)
晤题思路
把游览方式作为抽屉.
例3
从
1 到
10。这100 个自然数中任取51 个，求证: 其中必有两个
数，它们的差是50.
(上海市竞赛题)
睡题思路
需构造50 个抽屉，把l 到
10。这100 个自然数恰当分组.
例4
一副扑克牌有4 种花色，每种花色有13 张，从中任意抽牌.问: 最
少要抽多少张牌，才能保证有4 张牌是同一花色的?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
睡题思路
将花色作为"抽屉"，现有4 个"抽屉"，牌作为"元素"，要保证
有4 个"元素唯→个"抽屉哩，至少要多少个"元素"，即[ 7 ] =4 ，求m = ?
例5
任意给出五个整数，证明:必能从其中选出三个整数，使得它们的
和能被3 整除.
主些
任意一个整数被3 除后余数或是0 ，或是1，或是2 ，可以利用五
个整数被3 除以后的余数进行分类，制造抽屉.
证明
任一整数被3 除后余数只有0 ，1，2 三种可能，把余数0 ，1，2 看作
η
J
 
f
剧
，
学科精英大视野系列丛书
抽屉房、理又称为
鸽笼原理，它是德国
数学家狄利克雷首先
提出来吨，因此也称
为狄利克雷原理.这
一原理对于解决数学
中一些具有特殊性质
的对象的存在问题，
通常称为存在性问
题，是一种强有力的
工具.
运用抽屉J!f.、理解
题的一般步骤是:
(1)指出元素，构
造抽屉;
(2) 把元素放入
或取出抽屉;
(3) 说明理由，推
出结t仓.
能否合理、正确
地制造出"抽屉"，是
运用抬屉原理解决问
题的关键.
~~、ctt\
( 妇主t= m ) 
为食
，传
含
1々
食
食
，陆
第
29
i井
铀屉原理
三个抽屉，则这五个数中至少有二个数被3 除后有相同的余数.
(1)若每个抽屉均不空，则三个抽屉中各取一个数，这三个数被3 除的
余数分别为0 ，1，2 ，显然这三个整数的和能被3 整除.
(2) 若有一个抽屉是空着的，则五个整数放入二个抽屉，由抽屉原理可
知，至少有一个抽屉有三个或三个以上的数，取这抽屉中的三个数，其和显
然能被3 整除.
综合(1 )( 2) ，本题得证.
例6
在一个边长为1 的正方形内，任意给定9 个点. 证明
: 在以这些点
为顶点的各个三角形中，必有一个三角形的面积不大于÷
(江苏省竞赛题)
纣桥写晤
以边长为1 的正方形面积为
1 2 = 1 (面积单位)
，三点A ，B ，C
组成的三角形ABC 面积= ÷ × 底× 高寸，则这种三角形的底边长和高的
乘积不大于士，因而问题转化为9 个点中至少有三个点落在面积为士的正方
形的一个小区域内，以此来设计抽屉.
lI I 
| IB41 
丁
咀
图①图②
如图①、②，把正方形分成四个全等的正方形或小长方形，将每个小正
方形或长方形看成抽屉，则9 个点放入4 个抽屉中，至少有一个抽屉，其中至
少有3 个点，设为A ，B ，C ，则三角形ABC 的面积寸x(小正方形或小长方
形的面积) =t ，证毕
例7
一个书架从上到下依次有五层，把
1 5 册书放到书架的各层上，有
些层上可以不放.
求证: 无论怎样放，在书架上每层图书的册数以及每相邻两层的图书册
数之和中，至少有两个是相等的.
(浙江省竞赛题)
妇桥
初看题目
，会觉得每层摆放图书册数的可能性太多，也是问题不
易解决的主要障碍.
首先，如果有一层不放图书，不妨设第二层不放图书，那么第二、三层图
书册数之和与第三层图书册数相等，命题成立.
其次，如果每层都放了图书，且有两层图书册数相等，显然命题也成立.
排除上述两种情况，各层图书册数只有唯一的可能性:1，2 ，3 ，4 ，5 .
证明
如果有任何两层图书册数相同，或有任何一层不放图书，本题结论
显然成立. 否则，各层图书册数只有唯一的可能性: 1, 2 ,3 ,4 ，5 (但不一定顺次) . 
273 
啄
解与整数相关问
题，构造抽屉的基本
方式有:
(1)利用奇偶性
构造;
( 2 ) 用剩余类
构造;
(3 ) 用数纽构造，
即把符合条件的数放
在一起，组成一个数
组，将这些数纽作为
抽屉.
等分图形、染色
图形
，是运用才由屉原
理解几何问题，构造
抽屉的常用方法.
~I:\~、
，传
食言纭
，传
食女
，曲，传
女
设五层图书的册数依次为α ，b ，c ，d ，e ，考虑α ，b ，c ，d ，e ，a + b ，b 十c ，c 十d ，
d + e 这9 个数，最大的可能是9 ，最小的可能是1.
如果上述9 个数中有某一个数为
9 ，则必是由4+5 构成.此时，无论怎
样放，都不会同时出现8 册和7 册，因此上述9 个数只有8 种可能，根据抽屉
原理1，必有两个数相等.
云深不阳处
许多科学论断只能确定现象或对象的存在，但不
能指出存在的位置、证明存在的时刻、给出具体的
样本.
抽屉原理、代数基本定理等都是纯粹存在性的
定理.
"只在此山中，云深不知处"，贾岛诗旬应是存在
性定理最形象的描述.
例8
证明
: 任何
6 个人中，必有
3 个人互相认
识，或者有3 个人互相不认识.
(匈牙利数学竞赛题)
借助图形表示这一抽象的思想.
纣析
用点儿，儿，…
，A 6 代表6 个人，两个人互相认
识则在对应的两点间连一条红边，否则连一条蓝边，问题转
化为图中必有三边同色的三角形.
里塑
考虑Al 与5 条引线，因为只染了两种颜色，由抽
屉原理知必有3 条同色. 不妨设A I A z
，A j 儿
，A j A 4 同为红
A, 
A. 
色;若A Z A 3
，A 3儿
，A 4 A z 中有红边，则有红色L，A j A ;A j (2 ~ i ，j ~ 4); 若
A ZA 3 ,A 3A 4 ，A 4 A z 无红边，则L，A Z A 3儿为蓝色三角形.无论哪种情况，图中
都有同色三角形.
~~ 刻意练习
1. 某校七年级有3 个班，在一次数学竞赛中至少有一一一一一人获奖才能保
证在获奖的同学中一定有4 名学生同班.
(吉林省竞赛题)
如
学科精英大视野系列丛书
守-c主簿
'回哥
哥iiIIIIII'-
例
8 是著名的同
色三角形问题，本题
也可以换一种说法
:
平面上有A ，ß ，
C ，D ，E ，F6 个点，其中
没有3 点共线.每两点
之间都用红线或蓝线
连接.求证:不管怎样
连接，至少存在一个三
边同色的三角形.
此后几十年中这
个问题被许多国家反
复改造、变形、推广后
用作竞赛题，如:
平面上有6 点，任
何3 点都是一个不等
边三角形的顶点，求
证:这些三角形中一个
的最短边同时是另一
个三角形的最长边.
(波兰数学竞赛题)
~、，t::.\&\
( 仨革盟)
女
，传
，传
女
食
食
1号
食
，传
2 . 新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多球的口袋中摸出两个球，这
些球给人的手感都相同，只有红、蓝、黄、白、绿五种颜色之分(摸时看不到
颜色) ，结果发现总有2 人取的球的颜色完全相同，由此可知参加取球的
人至少有
人.
("希望杯"邀请赛试题)
3. 在8 X8 的方格纸中，每个方格内可以填上1~4 四个自然数中任意一个，
填满后，对每个2 X 2" 田"字形内的4 个自然数求和，在这些和中，相同的
和至少有
个.
(江苏省探索与应用能力竞赛题)
4 . 要在20 米长的阳台上放上
11 盆花，不管怎么放，至少有
盆之间
距离不超过2 米.
s .
现有145 颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有
1 个小朋友
分到5 颗或5 颗以上，这些小朋友的人数最多有一一一一个.
(河南省竞赛题)
6. 从117 ，11 8 ，119 ，…
，2011
，2012 这1896 个数中，至少要取出一一一一一个
不同的奇数，才能保证取出的数中一定存在和为2010 的两个奇数.
(世界数学团体锦标赛试题)
7. 18 个小朋友中，( 
)小朋友在同一个月出生.
A . 恰好有2 个
B .
至少有2 个
c . 有7 个
D .
至多有7 个
8 . 在边长为2 厘米的等边三角形内随意取一些点，如果保证所取的点中一
定存在距离小于1 厘米的两点，那么取的点至少应有(
) . 
A. 4 个
B. 5 个
c. 6 个
D . 7 个
(江苏省竞赛题)
9. 有η 个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加一
项比赛，至多参加两项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报. 若在所有不
同的报名方式中，必存在一种方式至少有20 个人报名，则n 的最小值等
于(
) . 
A . 171 
B. 172 
C. 180 
D . 181 
(夭津市竞赛题)
10.
从1，2 ，…，2012 中挑选一些数，其中没有两数之和能被其差整除，选出
的这些数最多有(
) . 
A . 671 个
C. 673 个
B. 672 个
D.
以上都不对
(北京大学自主招生试题)
11. 在
1
，4 ，7 ，10 ，13 ，…
，97 ，100 中任选20 个不同的数，其中至少有4 个不
同的数a ，b ，c ，d ，使得α + b=c 十d = 104.
(美国普特南大学生数学竞赛题)
12. 在100 个连续自然数1，2 ，…
，100 中，任取51 个数.证明:这51 个数中
一定有两个数，其中一个是另一个的倍数.
(莫斯科市竞赛题)
。在
第
29 讲
抽屉原理
~G.\I"#t."\~、
食
食食
食
，曾女
食
食女
13.
在
1 0X 10 方格表中，若其中两个方格至少有一个公共顶点，则称这两个
方格是"友好的"将方格表中的每个方格填入小于或等于10 的正整数，
使得互为友好的方格中的数互素.证明:在方格表中，某些数出现的次数
至少是17 次.
(克罗地亚竞赛题)
14. 一群小朋友购买售价是3 元和5 元的两种商品.每人购买的数量最少是
一件，他们也可购买相同的商品，但每人的购买总金额不得超过
15 元，
若小朋友中至少有三人购买的两种商品的数量完全相同，问这群小朋友
最少有多少人?
("华罗庚金杯"香港中学竞赛题)
15.
在1，2 ，3 ，…，90 ，91 这91 个自然数中任取走个数，使得其中必有两个自
a ___ 3 
然数ρ ，q ，满足
ζ二三二
，试确定自然数走的最小值，并说明理由.
r ' '1 ""H_ 3 
~ b 
~ 2 
(北京市竞赛题)
16. 在边长为1 的正方形内任取五个点，证明:总可以找到两点，它们之间的
距离不大于正方形对角线长的一半.
(美国普特南大学生数学竞赛题)
17. 有一列数，前两个数是1，2 ，从第三个数起，每个数都等于它前面相邻的
两个数的和的个位数字，请回答以下问题:
(1)在这列数中能否依次出现相邻的
2 ，0 ，1，2 这四个数?说明理由.
(2) 这列数中的第2012 个数字是什么?说明理由.
("希望杯"邀请赛试题)
18. 从正35 边形中选出
15 个顶点染为红色.问:对于任何一种染法，是否均能
找到三个被染红的点，使得以这三个点为顶点的三角形是等腰三角形?
(德国数学竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
• 
….. 擅自
瞌
例
1
11 
把得分0 ，1，2 ，…，99 ，100 分别作成
101 个抽屉，参加考试的考生1011 视作元素，根据拍屉原
r101h , _ 
__._ 
理，一定有一个抽屉至少有|
| +1=11 个元素，即至少有11 个人有相同的分数.
I 101 I 
例2
C 
营员游览方式有6 种:故宫;景山公园;北海公园;故宫、景山公园;故宫、北海公园;北海公园、
景山公园.将这6 种游览方式视作6 个抽屉，1995 名营员视作元素，根据抽屉原、理，至少有一个抽屉里至少有
[1 9695 ] 
一→
1 + 1 =333 个元素，则至少有333 人游览的地方完全相同.
管J] 3 
将1 到
10。这100 个自然数分成50 纽如下
: { 100 ，50 }
，{ 99 ，49 }
，{ 98 ，48 } ，…，{ 5 1，1 } . 每一组中有
两个数，它们的差恰好是50 ，将这50 个组作为抽屉，任取的51 个数中至少有2 个数来自同一抽层，这两个数
的差就是50.
例4
在抽出山张牌时，由抽屉原理，至少有一种花色的牌张数注[ 子] + 1=4 ，忖4 张牌是同一花色
的，另一方面，如果只抽出口张牌，可能每种花色恰好3 张，故最少要抽13 张牌.
道1:2
为
，曾
冒险
( 七.$
!I歪)
女食
*
l斗食
食
第
29 讲
抽屉原理
• • 
1. 10 
3 X( 4- 1)十1=10 ，故至少要有10 名学生获奖才能保证一定有4 名获奖学生是同班的.
r16-1 , 
2. 16 
颜色相同或不同的情形有15 种，至少有16 人参加摸球时，就能保证有|一一一
1 + 1 =2 人摸出的
I 15 I 
两球的颜色完全相同.
3. 4 
在8X8 方格兰氏中，共有2X2 的"田"字形7X7=49 个，在
1 ~4 中任取4 个数(可重复) 的和可以是
4~16 ，共13 种可能，49--:-13 =3 …… 10 ，根据抽屉原理，至少有3 十1=4 个"田"字形内的数字之和是相同的.
4. 2 
只要把阳台划分成每段2 米的小间隔，这样共得
1 0 个小问隔，11 盆花放入这
1 0 个小间隔，至少有
2 盆放入同一个小间隔内，这两盆花的距离不超过2 米.
s. 36 
设最多有工个小朋友，这相当于工个拍屉，问题变为把
1 45 颗糖放进工个抽屉，至少有
1 个抽屉
放了
5 颗或5 颗以上，则4x十1 ~ 14 5 ，解得工豆36 ，所以小朋友的人数最多有36 个.
6. 504 
从已知的1896 个数中选出和为2 0 1 0 的两个奇数，共有如下4 44 种情形:11 7 十1893 ，11 9 十1 89 1 ，
121 + 1889 , …, 1003+1007. 
由才由屉Jf?-、理可知，从117 ，11 9 ，12 1，…，1 89 1 ，1 893 这889 个数中，至少要取出
445 个不同的奇数，才能保
证取出的数中一定存在两个和为
20 1 0 的奇数.
又1894 ，1895 ，1896 ，…，20 1 1，20 12 中共有(20 1 2 一1 894) --:-2 = 59 个奇数，
所以从117 ，118 ，119 ，…，2 0 1 1，2 0 1 2 这1896 个数中，至少要取出445+ 59=504 个不同的奇数，才能保证
取出的数中一定存在两个和为
20 1 0 的奇数.
7. B 
8. B 
连该等边三角形三边的中点，将其分割为4 个边长均为
1 厘米的等边三角形，以此作为拍Æ .
9. B 
用有序数纽(句
，b 乙
，句
，d ，) 表示每个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛的方式，其中，若参加
某项比赛，则相应的数记为l(如参加甲项比赛，则记向=1) ，否则，相应的数记为o .
于是，每个人报名参赛的方式共有9 种可能:
(1,0,0,0) ,( 0,1,0,0) , (0 ,0,1,0) ,( 0,0,0,1) , (1, 1,0,0) ,(1,0,1,0) , (1 ,0,0,1) , ( 0 ,1,0,1) ,( 0,0, 1,1) . 
故n 个人共有9 种报名参赛方式，以此作为
9 个拍屉.
由抽屉原理，知当η = 1 9 X 9 十r(r二三1)时，必有一种方式至少有20 个人报名.
所以，当
r = l 时，η 取最小值
1 9 X 9+ 1 = 1 72 .
10. A 所有3是十1 型数有[ 旦旦1 + 1 =67 1 个，且满足任意两数之和不能被其差整除( 因为其差能被3
I 
3 
I 
整除) . 
若取数超过671 个，则由抽居原理知有两数之差为
1 或者2.
当两数之差为
1 时，两数之和能被其差整除;
当两数之差为2 时，两数同奇偶，因此两数之和能被其差整除.
11. 1，4 ，7 ，1 0 ，1 3 ，…，97 ，1 00 共34 个数，去掉1 和52 ，其余的32 个数目已成
1 6 对; {4 ，1 00}
，{7 ，97 } ，{ 1 0 ，
94} ,... ，{ 49 ，55} . 所取的20 个数中至少有20 - 2 = 1 8 个数选自上述1 6 个数对.由才由屉Jf?-、理知:其中必有两个
数a ，b 选自同一个数对，它们的和a + b = 1 04 ，剩下的18 - 2 = 1 6 个数选自剩下的
1 6 一1 = 15 个数对，同理知
其中必有两个数( ，d 选自同一个数对，它们的和c + d = 104. 
12.
因为自然数不是奇数就是偶数，二者必居其一，而任何偶数又必定能表示成:奇数X 2" ( 其中n=l ，
2 ,…) . 
277 
、马
啄
4岐
食
食
*
，传为
* 
1-导
女
例女口，16= 1 X 2' , 24=3 X 23, 100=25 X 22 • 
学科精英大视野系列丛书
因此，我们将1 ~ 100 的全部自然数按奇数和奇数X 2" 分成下面
50 个组，每组的代号为Mi (i= 1，2 ，
3 ,…, 50) , )'!p 
M 1 = {1 , 1 X 21 , 1 X 22 , 1 X 23 , 1 X 2' , 1 X 25 , 1 X t } ; 
此12 = {3 , 3 X 21 , 3 X 22 , 3 X 23, 3 X 2' , 3 X 25 } ; 
此13 = {5 , 5 X 21 , 5 X 22 , 5 X 23, 5 X 2' } ; 
M , = { 7 , 7 X i , 7 X 22 , 7 X 23 } ; 
M " = {97 } ;M50 = {99 }. 
这样分类，很明显可以把1，2 ，…，10。这100 个自然数既无遗漏又不重复地分放在
50 个纽M，
中，因此，
不论用何种方式从中取出
51 个数时，必有两个数来自同一组，而在同一组中的任何两个数，其中的一个必然
是另一个的整数倍.
13. 将10 X 10 方格表划分为25 个2 X 2 个子格哀，在每个子格表中，至多有一个偶数，且至多有一个数可
被3 整除.因此，在此方格表中，至多有50 个数可被2 或3 整除.于是，至少剩下
50 个数，且其中的每一个数
为1，5 或
7. 由抽屉~、理知:其中至少一个数出现的次数不少于
17 次.
14. 设购买3 元商品a 件，5 元商品
b 件，则(α ，的只可能为( 1, 0) , ( 2 , 0) , ( 3 , 0) , (4 , 0) , ( 5 , 0) , ( 0 , 1) , 
(1,1) , (2 , 1) , (3 ,1) , (0 , 2) ,(1, 2) ，(0 ，3) ，共有12 种购买组合.由抽屉~、理可知人数至少有2 X 12 + 1 = 25.
下:
2 
15 .
将1~91 这91 个自然数分为
9 纽，使每组中任两个自然数的比值均不小于一且不大于一，分组法如
3 
A 1 = {l } ; 
A 2 = {2 ,3 } ; 
A3 = { 4 , 5 , 6} ; 
A, = { 7 , 8, 9, 10} ; 
As = { 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 } ; 
A6 = {17 , 18 ,…, 25 }; 
A, = {26 , 27 , 28 ,…, 39 } ; 
Aa = {40 , 41 ,…, 60 }; 
A , = {61, 62 ,…, 91} . 
这样，1~91 这91 个自然数全部分放在这9 个抽屉之中，而且同一拍屉中的任何两数之比的比值一定介
2 ~ 3 
于言和2 之间.现从前91 个自然数中任取10 个数，必有两个数出于同一抽屉，因而命题成立，故走的最小值
是
10.
16. 连接正方形两组对边的中点，得到四个小正方形
四只"抽屉"，由抽屉原理，必有一只"抽屉"里至
少有两点，所以它们的距离不大于正方形对角线长的一半.
17. (1)否.假设能出现，则因为2+0 = 2 ，而
2 手1，于是矛盾，故不会有2 ，0 ，1，2 连续出现的情形.
(2) 注意到数串出现的只是0 到
9 的数字，其中
5 个奇数，5 个偶数，所以不同的(奇，偶)对共有
5 X
5=25 对，因此，根据抽屉原理，(奇，偶)对在这无穷数串中必定会重复出现，此后成周期循环.我们通过
实验找规律:
是:2
( 七军细)
次序
I 
1 
I 
2 
I 
3 
1
4
1 5 
6 
7 
数
8
3 
l 
次序
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
数
7 
4 
1 
5 
6 
7 
次序
31 
32 
33 
34 
35 
36 
37 
数
9 
8 
7 
5 
2 
7 
9 
次序
46 
47 
48 
49 
50 
51 
52 
数
3 
6 
9 
5 
4 
9 
3 
次序
61 
62 
63 
64 
... 
... 
... 
主立
8 
4 
23 
8 
38 
6 
53 
2 
... 
会#智
女
节食
食
才这* 
9 
10 
11 
5 
9 
4 
24 
25 
26 
5 
3 
8 
39 
40 
41 
5 
6 
54 
55 
56 
5 
7 
2 
... 
... 
... 
，传
食
第
29 讲
12 
13 
14 
3 
7 
。
27 
28 
29 
1 
9 
。
42 
43 
44 
7 
3 
。
57 
58 
59 
9 
l 
。
... 
... 
... 
我们发现，第
61 个数等于第
1 个数，第
6 2 个数等于第
2 个数，以下各数以60 为周期循环出现.
因为
2012--:- 60=33 … … 32 ，所以这列数中的第
2012 个数字等于第
32 个数字，即
8.
抽屉原理
15 
7 
30 
9 
45 
3 
60 
1 
... 
18. 对于任何一种染法均能找到三个被染红的点，使得以这三个点为顶点的三角形是等腰三角形.
易证明:对于任何一个正五边形，从其顶点中任意选出三个顶点，且以这三点为顶点的三角形必是等腰三
角形.
于是，对于该正35 边形，不妨设其顶点按J顿时针方向依次为A I
，A 2
' … A 35
' 将人、A i+ 7 、人+ 1 4 、人+2 1 、A i+ 2 8
(i= 1，2 ，…
，7) 这五个点分成一组，共七纽.
I 15 \ 
据抽居原理，知当从正3 5 边形的顶点中选出
1 5 个时，必有一组中选出了( γ ) 十1=3 个点.而同一组中
的五个点恰构成一个正五边形的顶点，因此，以这三点为顶点的三角形恰是等腰三角形.
279 : 
、飞
嗨
康托尔(1 845- 1 9 18 ) ，德国数学家，集合论的创始人.集合
论被公认为全部数学的基础. 1926 年希尔伯特称赞康托尔的超
限数理论是"数学精神最令人惊羡的花朵，人类理性活动最精美
的成果"
卜、电
~....-t
d?亏是
-
需30111=
窑民原理
E 
. ..….. 
~À 知ï.f德渥
在计数时，我们常遇到这样的情况:作合并运算时会把重复部分多算
了，需要减去;作排除运算时，会把重复部分多减了，需要补上.
我们把这种"应该有的"包含进来，"不该有的(或
重复的)"排斥出去的思想方法称为容斥原理.
设A 、B 为两类物体，属于A 的物体有IA
I 个，属
于B 的物体有
I B
I 个，既属于A 又属于B 的物体记为
A 
飞
, 
A
飞- B
A n B( 读作A 交B)
，有
I AnB
I 个，把属于A 或属于B 的物体记作A UBC 读
作A 并B)
，则
I A U B
I = IA I + IBI-I AnB I. 
例1
在1~100 的整数中，既不能被
2 整除，又不能被3 整除的整数
有个.
睡题思路
设
1 1 1= 100 ，A 表示I 中能被2 整除
的整数
，B 表示I 中能被3 整除的整数，AnB 表示I
中能被6 整除的整数.
则所求的整数个数(阴影部分) = 1 1
1 一
I AUB I=
1 1 1-I A
I 一
I BI+
I A 门B
I
.
主ib
("五羊杯"竞赛题)
数学的力量在于
它避免了一切不必要
的思想而采取了最为
经济的思维方式，思维
的经济原则在数学中
得到了高度地发挥.
一一一马赫
筛
法
康托尔为了说明
集合运算中的容斥原
理，他举了下面一个
例子:
某班有学生
50
人，其中
40 人爱唱
歌，30 人爱舞蹈，35 
人爱运动.请问三种
爱好兼备的学生至少
有多少?
~Ct.\t::\ 
( 七革组)
大，峙
，传
力，々
*
-tJ:
会
*
例2
十个互不相等的有理数，每9 个的和都是"分母为22 的既约真分
数(分子与分母无公约数的真分数)" ，则这十个有理数的和是(
) . 
1 
_ 
11
<
A÷B -
c t 
D t 
18 
(江苏省竞赛题)
壁塾塾些
将未知的十个互不相等的有理数，转化为已知的十个互不
1 
3 
9 13 
21 
相等的和式
,.............. ，…，一，一，... , 
22 ' 22' 
'22'22' 
'22' 
例3
求出分母是111 的最简真分数的和.
(陕西省西安市竞赛题)
睡题思路
要得到真分数，分子只能从
1 到
110 之中取，因
111 = 3 X 
37 ，又由分子分母既约知，分子不能是3 或37 的倍数，从
1 到11 0 中有36 个
3 的倍数，有
2 个
37 的倍数，这样所求最简真分数共有
110 -
36 -
2 = 
72( 个) . 
例4
解放路中学初二(1)班有
50 个学生，其中有
37 人参加科技兴趣
小组，有25 人参加舞蹈兴趣小组，有
1 0 人没有参加任何一个兴趣小组.问同
时参加两个兴趣小组的人数占全班人数的百分之几?
( i浙江省竞赛题)
晤洁
1
要求同时参加两个兴趣小组的人数占全班人数的百分之几，只
需求出同时参加两个兴趣小组的人数.根据容斥原理，将参加科技兴趣小组
的人数37 ，加上参加舞蹈兴趣小组人数
25 ，再减去参加兴趣小组的人数
(50 - 10) = 40 ，即得同时参加两个兴趣小组的人数
22; 然后将这一人数22
除以全班人数50 ，即得同时参加两个兴趣小组的人数占全班人数的44 % .
晤洁2
设两个兴趣小组都参加的人数为工人，
则只参加科技兴趣小组的人数为37
工，只参加舞蹈
兴趣小组的人数为25-x ，由题意得
x + (37 
工) +
(25- x) 十10 = 50 ，解得x=22 ，可知同时参加两个兴
趣小组的人数占全班人数的44 % .
之桂
10 
/卢-...../飞、
(25-xlx) 37-x 1 
第
30 讲
容斥原理
图表能直观、形
象地表示数量及关
系，解题中有意地画
图(如画直线图、J" IJ
表、构造图形等)能帮
助分析理J 页复杂的数
量关系.
美国数学家斯蒂
息说"如果一个特定
的问题可以被转化为
一个图形，那么思维
就整体地把握了问
题，并且能创造性地
思考问题的解法"
当我们对某些对
象的数目难以从整体
上计数时，可将整体
化为部分，通过对每
个部分的计数来实现
对整体的计数，解法
1 运用的就是这一方
法，解法
2 是用方程
观点求解.
~~~、I~
冒险
冒险
女
食
食
女
食
，传
1号
例5
在
1 到
1 20 的整数中，合数与质数各有多少个?
纣析主寻幡
如果α 是一个合数，那么α 一定有一个质因数Pζ J;; ，而
刁苟< V'TIT =11 ，所以不超过
1 20 的合数必定是质数
2
，3
，5
，7 的倍
数.
设A j 表示1 到120 的整数中2 的倍数的数的全体，A z 表示1 到120 的
整数中3 的倍数的数的全体，儿表示
l 到
120 的整数中
5 的倍数的数的全
体，A 4 表示
1 到120 的整数中
7 的倍数的数的全体.
则IAjl =60 , IAz l =40 , IA31 =24 , IA41 =17; 
IAj 门A zl =20 , IA] 门A 3
1 =12 , IA ] nA41 =8 , 
IAz 门A 31 =8 , IA z n A41 =5 , IA3 nA41 =3; 
I A j 门A z n A31 =4 , IAj n A z 门A 4 1= 2
;
IAj n A3 n A4 1 =1 , IA z 门A 3 门A 4 1= 1
;
IA] n Az n A 3 门A 41 =0. 
IA] UAz UA3 U A4 1 = (60+40 + 24+ 17) 一(20 + 12 + 8+8+5+3 ) + 
(4+2+1 十1)一0=93.
这就是说，在不超过120 的正整数中，或是2 的倍数，或是3 的倍数，或
是5 的倍数，或是7 的倍数的数，共有93 个，其中含有2 ，3 ，5 ，7 本身，故合数
的个数为93-4=89 .
而质数的个数等于120 个数中除去合数与数
l 的个数，即
120 一(89 十
1) =30. 
国际细计军
美国统计协会、数理统计学会等把20 1 3 年设定为"国际统计年"数据
化、信息化是当代最显著特征.麻省理工学院曾在《数据就是生产力》一文中
说."大数据是当前的时髦术语，是技术界用来解决世界上最难处理的问题
的全能方法，这个术语一般用来描述对海量信息进行分析，从而发现规律，
收集有价值的见解和预言复杂问题答案的技巧与科学"
需要注意的是，统计虽好，用时当心.
例6
某校共有学生900 人，其中男生528 人，高中学生312 人，团员
670 人，高中男生
192 人，男团员
336 人，高中团员
247 人，高中男团员
1 75
人. 试问这些数据统计有无错误?
主堕皇堕
设I 是某校全体学生组成的集合，A ，B ，C 分别表示该校男
生、高中生、团员组成的集合.于是由题设得
1 [ 1 =900 , IA 1 = 528 , 1 B 1 =312 , 1 C 1 =670 , 1 A n B 1 = 192 , 1 A n C 1 = 
336 , IB n cl =247 , I A n B 门cl =175. 
这样该校中不是男生、不是高中生又不是团员的学生组成的集合应是
互n B n c ，于是应有
|互门E 门c 1 = 900 -
(528 + 312 + 670) + (192 + 336 十247)一175 = 
- 10<0. 
?二2
学科精英大视野系列丛书
如图，我们可以
得到下面公式的直观
解释.
IA] UAz UA31 = 
IA]I+IAzl 十
I A31 -
1,41 n Az 1- 1，4 1 门A31
IAz nA31+比] nAz 门A3
1 .
"不著一字，尽得
风流"，图直观、无言地
传递着丰富的信息.
大数据时代
大数据是当代社
会的根本特征，是下
一个社会发展阶段的
" 石油" 和"金矿"
大数据正改变着
人类的思维方式，从
对精确性的苛求，转而
追求混杂性;从对因果
关系的追求，转为对相
关关系的发现.
~、，G.i\t:\
( 乞革主Iil )
1号
，传
，传
合
食
食
1号
，传
，曾
事实上，统计学生人数绝不可能是负数，这说明了统计的数据必有错误.
~~ 刻意练习
1. 从1 到1000。这
1 万个自然数中，有
个数能被5 或能被7 整除.
( 上海市竞赛题)
2. 在l 到100 0 的自然数中，能被2 整除但不能被3 整除，也不能被5 整除
的数有
个.
(陕西省竞赛题)
3. 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4 名学生在
这三个项目的测试中都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优
秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表:
l 游泳、篮球|篮球、短跑
l 短跑、游泳、篮球
6 
5 
2 
则这个班的学生人数是
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
4 . 今年某班有56 人订阅过《初中生数学学习>> ，其中，上半年有25 名男生、1 5
名女生订阅了该杂志，下半年有2 6 名男生、25 名女生订阅了该杂志，有23
名男生是全年订阅，那么，只在上半年订阅了该杂志的女生有一一一一名.
(江苏省竞赛题)
5. 在小于1000 的正整数中，能被5 整除或能被7 整除，但是不能被35 整除
的数的个数为(
). 
A. 285 
B. 313 
C. 341 
D. 369 
(河北省竞赛题)
6. 有1997 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为
1 ，
2 ，… ，1997 ，然后将编号为2 的倍数的灯线拉一下，再将编号为3 的倍数
的灯线拉一下，最后将编号为5 的倍数的灯线拉一下，三次拉完后亮着的
灯数为(
) . 
A. 146 4 盏
B.
5 33 盏
C.
999 盏
D.
998 盏
( (( 时代学习报》公开赛试题)
7. 在某夏令营中，100 名营员每人至少会唱歌、跳舞或表演中的一项才艺，
有些人的才艺不止一项，但没有人具备三项才艺.若有42 名营员不会唱
歌，有65 名营员不会跳舞，有29 名营员不会表演，则至少会两项才艺的
营员有(
)人.
A. 16 
B. 25 
C. 36 
D . 49 
E. 64 
(美国数学竞赛题)
。￡
第
30 讲
容斥原理
I~~、
i~
食
食会
食
，陆女
食
，传为
8. 40 个学生参加数学奥林匹克竞赛.他们必须解决一个代数学问题、一个
几何学问题以及一个三角学问题.具体情况如下表所述:
I司
题
解决问题的学生数
代数学问题
20 
几何学问题
18 
三角学问题
18 
代数学问题和几何学问题
7 
代数学问题和三角学问题
8 
几何学问题和三角学问题
9 
其中有三位学生一个问题都没有解决，则三个问题都解决的学生数是
A. 5 
B. 6 
C. 7 
D. 8 
(复旦大学自主招生试题)
9.
在1，2 ，3 ，…，1 00。这1000 个自然数中
(1) 不能被3 整除的自然数有多少个?
(2) 不能被3 也不能被5 整除的自然数有多少个?
(3) 不能被3 ，5 ，7 中任何一个整除的自然数有多少个?
10.
以
1 05 为分母的最简真分数共有几个?
("五羊杯"竞赛题)
11. 某校100 名学生在一次语、数、外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39 人，
参加数学竞赛的有49 人，参加外语竞赛的有4 1 人，既参加语文竞赛又
参加数学竞赛的有14 人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13 人，
既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9 人，1 人三项都没有参加，问三
项都参加的有多少人?
(河南省竞赛题)
12. 某班有50 名同学，期末考试优秀的学生人数及科目如表:
三科
数、语、外
10 
这里，一科优秀者包括两、三科优秀者，两科优秀者包括三科优秀者. 试
说明上述统计表有错误.
("创新杯"竞赛题)
13. 某电视台为了解A ，ß ，C 三个特色栏目的收视情况，向28 位观众进行调
查，调查后得知: 每位观众至少收看了其中的一个栏目;没有收看栏目A
的观众中，收看栏目B 的人数为收看栏目C 的两倍;在收看栏目A 的观
众中，只收看栏目A 的观众人数比除了收看栏目A 之外同时还收看其
他栏目的人数多1 ; 只收看一个栏目的观众中，有一半没有收看栏目B
在:2
学科精英大视野系列丛书
~Iø=忠、I~
女
食
言纭
，传
A 
N 
( 忆
革
细)
或栏目c. 求栏目A 的收视率.
( (( 数学周报》杯全国初中数学竞赛题)
14
若最简分数?写成小数形式为oωαb. .. (非负整数α ，b 相等，但至少
有一个非零) ，那么符合条件的分数中不同的分子有多少个?
(青少年国际城市邀请赛试题)
15. 春天到了，小红想编一个花环送给老师，她先找来了
29 朵
3 瓣的百合
花，排成一排，两朵两朵数了一遍花，将每次数到的第二朵花换成了4 瓣
的长春花，然后三朵三朵数了一遍花，将每次数到的第三朵花换成了
5
瓣的桃花，最后四朵四朵数了一遍，将每次数到的第4 朵花换成了
6 瓣
的迎春花，最终小红换出去了多少朵百合花?这个花环上一共有多少个
花瓣?
("希望杯"邀请赛试题)
-R 
食
-
R
食
第
30 讲
容斥原理
• • 
例
1
33 
能被2 整除的数有50 个，能被3 整除的数有33 个，能被6 整除的数有16 个，故既不能被2 整
除，又不能被3 整除的数有100-50 - 33 十16 = 33( 个) . 
锣IJ 2 
D 
设这十个有理数为叭，α2
，a 3
，…
，a 10
' 由于它们互不相同，可知下面十个和式的值:a ，十α，+ … +
鸟，α2 十a3 十… + α9+ α ，0
，a3 + 向+ … + α '0+ 叭，… ，向十a ，o 十a ，十a，+ … + α 7 ,a lO + α : 十… + α8 互不相同，因此，上
述10 个和式之和为
1 
, 3
, 
,
9
, 13
, 
, 21 
11 
1 . . __ , 
_ 
, _
, 
,
__ . 
11 
9(a 】+ α，+ … 十a ，" ) = 一十一+… + 一+ 一卡… 十一一一= 一X (l 十3 + 5 + … + 2 1) -:: = 5.
-,' 
'
- 10-
22 ' 22 ' 
' 22 ' 22 ' 
' 22 
22 
22 "' ~
'
~
'
~
' 
，
-~， 
22 
从而可得a ，+ α，+
十G1 0 =t
管IJ 3 
36 
分母为
111 的最简真分数的和为
72 个真分数的相加.
1 
, 
2
, 
,
35
, 38 
, 40 
, 41
, 
, 55
, 56
, 
, 73
, 76 
, 77
, 
, 109
, 110 
N = ~ + ~ + …十
十
十一~ + 一一+ … 十一一+ 一一十… 十一一十一一+一一+ … 十一一+ 一一
111 ' 111 ' 
' 111 ' 111 ' 111 ' 111 ' 
' 111 ' 111 ' 
' 111 ' 111 ' 111 ' 
' 111 ' 111 
1 十110
, 2 十109
，
, 35 + 76
, 38 + 73
, 
, 55+ 56 
= 一一一一十一一一一+ … + 一一一一+ ~~_: -'~ + … + 一一一一
111 
111 
111 
111 
111 
=1 + 1+ …+ 1 
=36 . 
• 
_.叫.
1. 3143 
2. 267 
能被2 整除的数共500 个，其中:能被3 整除的数即能被2 X 3 整除的数共166 个，能被5 整除的
数即能被2X5 整除的数共100 个，能被3 ，5 都整除的数，即能被2 X 3 X 5 整除的数共33 个，故可知能被2 整
除，但不能被3
，5 整除的数共500 - 166 - 100 + 33 = 267 个.
3. 39 
如图，推知全班的人数应为
8 十4 + 3 + 2 十8 +4 十6 + 4 = 39C 名) . 
285. ì 
k
啄
食
，峙
，曲
，传
，传女
食女
女
全班
学科精英大视野系列丛书
男生
女生
4 
1 2 12 I 
3 I 
1 15-x 1 x I 25-x I 
没有优秀
, 
X 
/ 
，.二/
(第3 题)
(第4 题)
4. 如图，用左右两个圆的内部分别表示上半年和下半年订阅该杂志的人数，由(1 5-x) 十x+(25-x)=28 ，
得x=12.
5. A 
6. C 
7. E 
设只会唱歌的营员有z 人，只会跳舞的营员有y 人，只会表演的营员有z 人，会唱歌又会跳舞的管
员有α 人，会唱歌又会表演的营员有b 人，会跳舞又会表演的营员有c 人.
rx+y 十z+ α + b +c= 100 , 
I v+z+c=42 . 
贝H~
I z 十x+b=65
，
Lx 十y 十a = 29.
=各α + b +c=2(x+ y +z+ α + b +c) 一(y+z 十c) 一(z+x+ b) - (x+ y+ α)=64 . 
8. A 
令A= { 解决代数学问题的学生}
，B ={ 解决几何学问题的学生} , C= { 解决三角学问题的学生} , 
则IA 门B 门C
I = IAUBUcl 一c IAI + IBI + ICI )+C IAI n IBI + 
I A
I 门
I C I + I B I n I C I ) = C 40 -
3) 一(20+
18+18) 十(7 十8+9)=5 .
9. (1) 1000-333 = 667; 
(2) 1000-333-200+66=533 ; 
(3) 1000-333-200-142 + 28 十47 十66-9=45 7.
10.1 05=3X5X7 ，以
105 为分母的最简真分数，其分子不是3 ，5 或7 的倍数，最简真分数的个数是
105
1~ 5 ] 十[1 ~5 ] + [ 乎] -
[ 31~55 ] -
[旦] -
[ 31~与] + [是号子]) =48( 个)
1 1.如图，用集合思想分析参加各科竞赛人数之间的关系.由题意得39+ (22+ x) + (13- x) + (1 9+ x) + 
1 = 100 ，解得x= 6.
(第
11 题)
(第12 题)
12. 如图
，A ，B ，C 三个圆分别表示数学、外语、语文优秀学生的集合，而α ，b ，c ，…
，J ，g 则分别表示各类优
秀学生的人数.如g 表示数、外、语三科均优秀的学生人数，J 表示语、外两科优秀而数学不优秀的学生人数.
a 十d + e 十g=3 2
，
b+ d +J+ g=3 1, 
c 十e+ J +g=29 , 
则~e+ g=16 ，
d+g=17 , 
J+g=18 , 
g=10 . 
在~
( 仁革组歪)
食
，际
女
食
食
食
食
食
第
30
1;井
容斥原理
A u 
解得e=6 ,d =7 , f =8 ,a=9 ,b= 6 ,c=5 ,g = 10. 
故α + b十c + d +e十f+ g =5 1，说明数、外、语三科中至少有一科优秀的学生共有
5 1 人，而全班仅有5 0
人，故统计有错误.
r y + m=2Cz+m) , 
In=x- 1, 
!i!H Ix = yîZ , 
Lx十n +y+ m +z= 28 .
58 
. 
~_ 
__ _ ". 
_.-29 
由y -2z=m二三0 ，得9y-58 二三0 ，:. y二三百;由29-4y=z二三0 ，得yζ7
得z = 29 - 4y.
\C/ 
\
-/z-
、
，
n
J
、
一
A
X
Y
川
-
m
u
x
/-\y-
/B\ 
13. 设只收看A ，ß ，C 三个栏目的观众人数分别为x
，y ，z ，没有收看栏目A 而收看栏目B
和栏目C 的人数为m ，不只收看栏目A 的人数为η ，如图所示:
(第
1 3 题)
.: y 为整数，.. y=7 ，从而z=1 ，x = 8 ，η = 7 ，m = 5 .
工十n
. . _ _ _ 0/ 
15 
故栏目A 的收视率为一一一X100% = 一X100 % 句53 . 6 %
28 
"~~~/V 28 
走
14. 形如O . ababab…的小数都可写成一的形式(走= 1 , 2 , … , 98) ，由容斥原理可得在1，2 ，3 …，9 8 中是3
99 
r 98 1 , r 98 1 
r 
98 
1 
或11 的倍数的数有
r ~~O 1 + r ~~ 1 一
| 一一一
1 =38C 个) ，故在1，2 ，3 ，…，98 中与
99 互质的数有98 - 38 = 60 
1 3 1 ' 111 11 3X 11 1 
27 
3 54 
6 81 
9 
(个)又一=
一= 一
一:-:- ，故不同的分子有6 0 + 3 = 63( 个) . 
二
' -"-99
11'99 
11 '99 
11 
r 29 1 
15 . 我们将百合花1~29 编号，从最后第三次看，四朵四朵数，将标号为4 的倍数的共换了
I ~; 1= 7( 朵)
花为6 瓣的迎春花;
r 29 , _ / ~ ，~ .. _L. -'- r 29 1 
再看第二次三朵三椒，将标号为
3 的倍数的换成了桃花，共换了
| τ
1 = 9C 朵)花，其中有阳J =
(朵)第二次将被换为6 瓣的迎春花，所以实际共换成了
9 -2=7( 朵)5 瓣的桃花;
r 29 , 
第一次两朵两朵数将标号为
2 的倍数的换成了
4 瓣的长春花，一共换走了
| τ
1 = 阳朵) ，其中有
陈] =叫将被下次换成桃花，有7 朵第二次换成了迎春花，其中有[击] = 叫换重复了，需要补回
来，所以实际最后只有
1 4 - 4 一7 + 2 = 5C 朵)长春花.
因此，最后余下29 一7-7-5= 1 0C 朵) 百合花，换出去29-10=19( 朵) 百合花.
这个花环上一共有10 X3+5 X 4 十7X5+7 X 6=127( 个)花瓣.
找
机~r~邱仅顷$4.r:Jâ}
取整运算
〉忙问路J;;，v~í'Al昂昂
7
、』
高斯被形容为"能从九霄云外的高度按照某种观点
掌握星空和深奥数学的天才"，创造力与直觉、卓越的计
算能力、严密的逻辑推理和谐地组合在一起. 高斯所著的
《算术探索》一书，被誉为" 数学的宪章"，开创了现代数论
研究的新纪元.
h 岛~/1
~r五坠……-
皿
胃31
i抖
DQ 望ìg 草草
E 
. ……_. 
解决实际问题以及计算机的运算中，常常需要对一些数据进行取整运
算(也称"高斯函数勺，即去掉一些不是整数的实数的正的纯小数部分，而用
不超过它的最大整数取而代之.
对于任意实数α ，通常[a J 表示不超过α 的最大整数，如[3 _6 J=3 ，
[-3. 6J= -4 ，[5 J= 5 等.
{ α}=α 一[α] 称为实数α 的小数部分.[α] 有以下
基本性质(当且仅当α 为整数时，等号成立) : 
1. a=[α J+{ α }
，o ::Ç { α }< 1. 
2. 
[aJ ::Çα<[α] 十1.
3 .α -1 <[ a J ::Ç α. 
4. [n+aJ=n+[αJ( 其中n 为整数) . 
1
，
~
1
， 
1
, 
,__] 
例1
若2 ~τ+3 ')~2 + 4 A~2 +…+ 15 _ ~τ =s ，贝。[ s J=
22 ' v 32 ' • 42 ' 
，
~V 15 
(" 五羊杯"竞赛题)
1 
, 1 
, 1 
壁些塾堕
s =2+3+4 十… +15 十一+一+一十… +一亏，要求[ s J
口
22 ' 32 ' 42 ' 
' 15 
1 , 1 , 1
, 
,
1 
需估算一τ+ ~~? +一τ+ … +- ~τ 的取值范围-
2' ' 3'
性
15
纪j
国际著名学术团
体一一罗马俱乐部在
《回答未来的挑战:推
进新的学习观一一一创
新性学习》报告中指
出:所谓创新性学习，
就是通过学习提高一
个人发现、吸收新信
息和提出问题的能
力，以迎接日新月异
的变化.
[xJ 的人文意境
如图，在直角坐
标系中作出函数y =
[xJ 的图象，形象再现
诗的意境:
欲穷千里目，
史上一层楼.
y 
3 
2 
-
1-
Z 
A
处
罚
。
n," 
唱
4
1
A
O
'
u
q
3
---
0 
唱
'
E
e
η
反
"
内
4
υ
~、I~~
( t
军!H
)
力，传
食
食，传
食
~ 
冒险
食
例2
设[xJ 表示不大于工的最大整数，则
[刁巧J+[ fi，巧]十… 十[ J 2003 X 
等于(
) . 
1002 
A . 1001 
B. 2003 
C. 2004 
D. 1002 
("希望杯"邀请赛试题)
瞄题思路
通过放缩，估计d百丰I了的值.
例3
解下列方程:
(1) [ 1. 9xJ= 10 
(x 为自然数) ; 
(2) [3x十市2工÷; 
(全国初中数学联赛题)
(3) [ 2x J十以]=8z-f
( 上海市竞赛题)
纣析
解与[α] 相关的方程，关键是去掉符号"口气需灵活运用[α] 的性
质，并善于把估算、等式与不等式知识综合起来.如对于(3 )
，2x-l <[2xJ 运
缸，3x 叫3xJ~3x ，从而5工
2<叫+[3xJζ叫P 5x 一2<8x一卡
5工，这样可求出工的取值范围.
7 ~ _ 
/'" 1 
~ ~ 7 
. 1 ____" 
7 ~ 35 
暨
(3) 由
5x- 2 <8x、言ζ5工，得2 <xζτ…言<8x- -zζ τ · 得
8x 一f
←=1，2 ，3 ，4ι，5ιι
川
5 ，ι
川，
υ
，.. x
9 11 13 15 17 
1.7 -'-A nA 
_ 13 ="" 17 
{ι2 [工]一y = 一2
例4
(1)设工，y 满足方程组!
' 
求[x+yJ 的值.
J "., "'-N 
，~-~ ì 3[x- 2 J 十y= 16 .
(2) 已知x ，y ，z 满足
[+[Y] 十{z}→①
[xJ+ {y} 十z=0. 2 ，
②
{工}十y 十[zJ= 1. 3.
③
求x ，y ，z 的值.
( 山东省竞赛题)
("华罗庚全杯"少年数学邀请赛试题)
晤题思路
对于(1)
，3[x-2J=3([工J-2)=3[xJ-6 ，先解关于[xJ ,y 
的方程组;对于(2) ，由G 二[aJ 十( α ) ，可先求出工十y+z 的值，进而分别求出
[工J
，{剖
，[yJ ，{y}
，[zJ ，{z} 的值.
占3i￡
第31 讲
取整运算
解与取整运算相
关的方程、方程组，常
用相关性质，去掉
"口"符号，将问题转
化为解不等式，整数
既是隐含条件，又是
制约因素.
Ci\~&:!\ 
食
，传
食会
食
言与
1号
'吃
，传
例5
证明:对于任意实数工，有[xJ+ [x+;
] =[叫
M 
因x=[xJ+{x } ，故解题的关键就是{x} 与÷的大小关系讨论
证明
设x=[xJ +{x}({x} 表示工的小数部分) . 
由工-l<[xJ~工，得oζ {x}< 1.
若叫K÷ ，则
[ x+~
] = [ [xJ+{ 工} + ~ ] =[斗，
[2xJ=[2[xJ+2{x} J=2[x]. 
所以，川+ [x+ ; ] = 2[xJ = [2xJ 
若卡( 工}<l，则
[x+ ~
] = [ [xJ 十{ x}+打工[xJ+ l，
[2xJ= [2[xJ 十2{x}J=2[xJ 十1.
所以，日+ [ x+;
] =2日+ 1 =[2xJ
Ii斯函歇
公元321 年3 月
7 日，古罗马皇帝君士坦丁正式宣布采用"星期制"，并
规定当天为星期一.
公元
1 800 年，德国数学家高斯在研究圆内整点问题时，引进了一个函数
y= [xJ , [xJ是表示不超过数z 的整数部分.
有了高斯函数，历法学家为我们找到计算某日是星期几的公式.
例6
下面的公式可以计算某日是星期几:
r x 一1
，
r x 一1"rx - 1
τ 
5=(x- 1) 十
I Y l 一
1 ~1 00i 1+ 1.A-400i I +y ，其中
，x 是年份，y 是该年
从元旦起到这一天为止的天数，[xJ表示不超过z 的最大整数.
若5 -7- 7 得到的余数是几，则该天就是星期几.如:余数是0 表示星期
日，余数是1 表示星期一....
问:2011 年11 月
25 日是星期几?
(世界数学团体锦标赛试题)
纣柑局幅
在阅读理解的基础上，代人公式计算.
r 2010 , 
r 2010 " 
r 2010, 
: 5 =2010+ 1 ~V，i一
| 一|τ丁;
1 +
1 一一一
1 + 329
L 4 J 
L 100 J . I 400 I 
=2010+502-20+5+329=2826 , 
5 
2826 
7'" = - -7- - =403 " , ", 5, 
λ2 011 年11 月
25 日是星期五.
载:当
学科精英大视野系列丛书
/
式
·
·
及
+
l
h
形
式
工
育
川
川
，
吨
黄
…
捆
般
等
数
山
]
卡
?
J
「
川
幢
E
一
恒
实
〉
-
r
h
l
自
用
酷
的
特
意
、
几
1
-
一
-
n
广
e
们
怵
相
如
I
U
J
r
h
ι
d
F
埃
整
刊
|
ω
霄
酒
是
正
德国发行的纪念
高斯的货币.高斯给出
的正十七边形可以用
尺规作图的证明，这一
问题的证明不仅震撼
了数学界，也震撼了高
斯自己的心灵.
F . 克莱因曾评价
高斯说"如果我们把
1 8 世纪的数学家想
象为一系列的高山峻
岭，那么最后一个使
人肃然起敬的巅峰便
是高斯"
~~~ 
可每
食
女食
，传
( t 牢组〉
赏
，传
飞雪〉刻意练习
1. 高斯函数[x J ，也称为取整函数，即[xJ 表示不超过工的最大整数. 例如:
[ 2. 3J =2 , [•
1. 5J= - 2 . 则下列结论: ①[- 2.1 J+[ l J =2 ; ②[ x J+
[ - xJ = O; ③若[x + 1 J =3 ，则立的取值范围是
2 ::( 工< 3; ④当- 1 ~三x < l
时
，[ x 十
1 J+[ -x + 1J 的值为
0 ，1, 2 . 其中，正确的结论的序号
是
(四川省乐山市中考题)
2. 方程6x-3 [x J+ 7=0 的解是
("希望杯"邀请赛试题)
3
方程[2xJ+[ 3工J =9x一手的所有解是
川
二
(湖北省武汉市竞赛题)
x+ 1 
4. 如果f( 工)=z=I ，那么[ f(2) J + [ f(3) J + … 十[ f (1 00) J 的值等于
("五羊杯" 竞赛题)
5 . 已知正整数η 小于2006 ，且I 旦1 + r 旦1 = 旦，则这样的η 有
个.
I 3 I ' I 6 I 
2 
一一一一一一
6 .
以下四个结论，正确的是(
A . [α J+[ -aJ =O 
C. [αJ +[ -a J 手。
(全国初中数学竞赛题)
B. 
[a J 十[ - a J =O 或
1
D. 
[α ] 十[ -aJ= O 或一l
("希望杯"邀请赛试题)
2
十… +
12
，则
[ ~10 X ll-1)~ ] 
, 
[ ~以1 2- 1 )
l
[(49X5川~ ]
10 X ll 
I 
l 
ll X 12 
J 
l 
49 X 50 
[ 30sJ =( 
). 
A . 1 
B. 2 
C. 3 
D. 0 
(" 五羊杯"竞赛题)
( y = 2 [xJ 十3 ，
斗
8 .
设工，_y 满足方程组!
右工不是整数，则z 十y = ( 
). 
J 
l y=3[z2]+5. 
A . 一个整数
B. 在4 与5 之间
C.
在-4 与4 之间
D.
在
15 与16 之间
(美国数学邀请赛试题)
9 . 正整数η 小于
1 00 ，并且满足等式[ 旦1 + r 旦- 1 + r 旦1 = η ，这样的正整数
I 2 I ' I 3 I ' l 6 J 
n 有(
)个-
A . 2 
B. 3 
C. 12 
D . 16 
(全国初中数学联赛题)
始
第31 讲
取整运算
斗争旦旦挥
洒'喃「
葡圃幢二
~1'í:\1'1ì:\ 
食
，传
食
1纭
，传
食
1号
食女
r 2009 X 83 1 I 
毗设[xJ表示不超过实数工的最大整数，{x}=x-[xJ ，则
| 一布了1 +
l气活叮+ ... + 问拾叮=(
A . 249075 
B. 250958 
C. 174696 
D. 251000 
("五羊杯"竞赛题)
11
解关于Z 的方程[x+2J+[5x十1 ]=9z-2 ，其中[x }表示不超过Z 的
最大整数.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
12. 试证方程[xJ 十[2xJ+ [4xJ+ [8xJ +[16xJ+[32xJ = 12345 没有实数解.
(加拿大数学奥林匹克试题)
13. 解下列方程、方程组.
(1) [3. 8xJ = [3. 8Jx 十1
(x 为自然数) ; 
(" 五羊杯"竞赛题)
(2) [2x+1J=x 一÷;
(重庆市竞赛题)
(3) 求满足25{x}+[xJ=125 的所有z 的和;
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
(4)[2. 018xJ+[5. 13yJ=24( x ，y 都为自然数) ; 
JxJ+ {y}=z , 
(5) ! [y J + { z } =工，
l [zJ+{x}=y. 
(北京市竞赛题)
(奥地利数学竞赛题)
70 -, , r 
71 -, , 
, r 
89 
14. 设r 为实数，且[r+一J+[r+ ，'".LrJ+ … +[r+ 一一J=40 7 ，求[100rJ 的值.
100 ...J 
' 
L ' 
, 100 ...J 
' 
'L" 
100 
("希望杯"邀请赛试题)
学科精英大视野系列丛书
匈.
• 
. . .-题
.
例
1
119 
1
, 1
, 1
, 
,
1
_1 
1 
1 
1 
1
, 11
, 1 
0< _.o + 
0.0 +~+ … +一τ 〈一一十一一:+一一一十… +一一一一= 1-~ +
一一+一一
2' ' 3'
矿
15'
- l X2 ' 2X3 ' 3X4' 
' 14X15 
2 '2 
3
' 3 
1 
1 
1 
一+…+一一一=1 一一<1，故[5J=2 十3+4+ … + 1 5= 119
4' 
' 14 
15 
• 
15 
例2
B 设n 为正整数，则
η2< η(η 十1) <( n + 1) 2
，n <
.;;;c:;;丰I了< n + 1, [ .;;;c:;;丰T了J=n ，[原式J=
l +2+ … +2003 =2003. 
1002 
例3
15 
(1) 10::Ç 1, 9x<11 ，解得5-5二x<5 :: ,x =5. 
19 ~-
-~ 19 
1
_..,.,_" 
1
.,
__""'l"'I 
1 
1
1 
1z.71/.e 
3_..-
_____ 
1 
. 
7 
(2) [3x+ 1 J ζ 3x+ 1 <[3x+ 1 J+ 1 ，f!r 2x 
ζ 3x+ 1 <2x 一一+ 1，解得一一运工〈一一，.. 一一ζ
2~~-'.---
2'.""'" 
2~--
2'" 
2 
1 ./ 
3 
~ n 
1" 
.,_,_ ,.. 
"" n 
1 
~
.L' 
n
. 
3 
c. 
5 
2x 一一〈一一，而2x
一为整数，得2x 一一=-3 或一2
，:. x= 一一九一一
2 
2 ,'.. --
2" = ~ , ,., - -
2 
~ -"" 
- , . . ~ 
4 -"" 
4 . 
f9IJ 4 
(1)解得[xJ=4 ，y=10 ，于是得4 ::Ç x<5 ，14ζx+y<15 ，所以[x+yJ=14 .
花二j
会食
食
寸，货
，传
食，传
食
军
取整运算
第31 讲
(2) ①+②+③，得2x十2y十2z=0. 6 , f!p 
x+y+z=0 . 3
，
④ 
④①，得{y}+[zJ= 1. 2 ，则{y}=0 . 2 ，[zJ= 1，
④一②，得{x}+[yJ=O . l，则{x}=O . l，[yJ=O ，
④一③，得[xJ+{z}=- l，则{z}=O ，[xJ=- l，
从而x =[xJ+{x}=-0 .9 ，y =[yJ 十{y} =0.2 ,z =[zJ+ {z} = 1. 
黯
… 均
黯
1. ①③ 
19 
8 
6' 
3 
6 工+7
[xJ= 一了一.
2. 
由
2工- 1 <[2xJ~2x ，3x -1 <[3xJ ζ 3x 得5工→2 <[2xJ+[3xJ 运5 工，
7 ____~ 
1 _.-/ 
_.-/ 7 
37 
_~ 
7 ~ 35 _ _ 
7 
即5x-2<9x一士豆5工'- 1<6~x豆页，-E 〈9工-t~百，又9.r- 4 为整数，9x一τ= 一2 ，-1 ，0 ，1 ，2
工+1
., 
2 
!(x)= 工ττ=1 十一一，[1(2) J =3 , [1(3) J =2. 
1 
x-1 
1 
7 
36'36 
3. 
4. 102 
[ ; ] ζ 丘，当且仅当旦是整数时取等号
I 旦l ζ 旦，当且仅当旦是整数时取等号，所以
3 J ~ 3 ' ~ -
,--
~ 3 ~ -"'-
~~ -, -,-_., 
J , I 6 I ___, 6 ' ~ ~ 
，~~ 6 
I 旦1 + r 旦l ζ旦+旦=丘，当且仅当立是整数时，上式等号成立，因此?是整数
3J'161
~3'6 
2'~-'-=6 
5. 334 
r 2005 , 
又因正整数n 小于2006 ，所以，满足条件的n 有卜~VV
1 =334 个.
6. D 
n 二三O 且
η 为整数时，r [ n(n + l) - l J2 1 =
1nM+ 1) 
2 十一」一~ 1 = n ( η 十1) -
2 
1 
n(n+ l) 
I 
1'"'' ,
</ 
~
'
n(n + l) I 
1 
1 
1 
1 , 1 
, 1 
1 
1 
1 
3 
3 
_~ _ 3 
3 
= (n- l) (n+2)
，故s= 一一一十一一一一+ … +一一一一，35= 一+一十一一一一一一一，一一一<3 .1< : -
^~~
， 
9X12 ' 10 X 13 ' 
'48X5 1'V" 
9'10' 11 
49 
50 
51'10 
40~v"~9 
60 
当
B 
7. 
只能[ ;卜? l f 卜号，[ ~卜号，且?，?，?均为整数，f!p n 能被6 整除，[1~0 卜1 6
17 
2< 4 <30.1< ~6. <3. 
9. D 
r (2009+0)X83 , , r (2009 十1) X83 " 
, r (2009 + 2008) X 83 , 
原式= I 
，~vvv2~Ov;" vu 1+ 1 ，~vvv2~0<;" vu 
I 十… + I 
，~VUv '2~;~v/" vu I 
=83 X 2009 十l制+时] + ... +阳叮
( 0 X 83 1 
il X 83 1 
( 2008 X 83 1 
=83 X 2009+ ~::~ (1十2 十… 十2008) -)一一.U~U
\ 一!一一7\ 一… _
) ~V:::~ vV \ 
1 2009 f 
1 2009 f 
1 
2009 
f 
0 十l 十… +2008
': 2009 与
83 互质，"房、式=2009 X 83 十83X1004-~
'
~ '^~~~ - ~~v=249075 
1 1.由于工+2-1<[工+2J 豆x+2 ，5x 十1-1 <[5x+1J ζ 5x+ 1
， 
所以6工+ 1 <[x+2J+[5x+ 1J =9x一卡6x+3
8. D 
10. A 
ι
w
啦
h·· 
叫
气
u
mu
~ 
7 _ 
~11 
由此得一<x~ 一
6
飞
6.
于是9z
t=9 ，川1 ，口，1 3 ，14
食
食
食
，传
人
X
女
食
人
X
-R 
学科精英大视野系列丛书
25 27 29 
分别代入原方程，经讨论得原方程的解为x= 一，一一
18'18'18' 
12. 假设方程有实数解x.
设工= [xJ+ r ，Oζγ< 1.从而，nx= η[工J+ nr ，[l日J=n[xJ+ [ nr].
这样，原方程可化为63日+ ~ [2叮= 12345. 
门2345 = 63 X 195 + 60 ，二~ [2斗J = 60. 
注意到[旷J< nr < n ，f!r [旷] ζ n - l，
① 
:. ~ [2斗]ζ~ (2 k -
1) = 0 + 1 + 3 + 7 十1 5 十3 1 = 57
② 
式①与式②矛盾.所以，原方程没有实数解.
13. (1) x=2 ，原方程即为[3 . 8xJ =3x+ 1.
(2) x= 一÷
(3) 2837 
~京方程可化为
2 5x 一24 [xJ = 125. 
(4)
由
5 .1 3X5>24 ，得y=4 ，3 泣，1 ，0 ，此时[ 5. 13yJ = 5y ，同理[ 2 . 0 1 8xJ=2x ，}.东方程变为2x 十5y =2 4 .
得(工，y) = (2 , 4) , (7 ,2) , (12 ,0) . 
([xJ 十{ y }= [zJ+ { z }
，
① 
(5) ! [yJ+ {z} = [xJ+ { x }
，
② 
t [ zJ+ {x} =[yJ + { y }
，
③ 
因为对任意的实数x ，x =[ xJ+{x)
，于是，由方程①得[xJ = [z J ，由方程②得[ yJ = [xJ ，由方程③得
[zJ=[y]. 所以，[xJ = [yJ = [ zJ = n. 同理可得{ x } = {y } = {z} =r. 因此，x= y=z=n+ r. 
因为对任取的x=y=z ，可知x=[xJ+ {x} 对方程纽的每一个方程都成立.因此，满足方程组的所有实数
量且为{(t ，t ，t) ，t 为实数} .
14. 89-69 = 20 ，即已知等式的左侧为20 项的和，
显然
70 -, ~，.. 
71 -, ~ 
~，.. 
89 
[ r+ 一一]ζ [ r+ 一一]ζ … ζ [ r十一一J ，
100-' ~L. ' 
, 100-' ~ 
~L. " 
100 
70 -，~ ，.. 
, 70 -",.. 
, 71" 
, ,.., 89 , 
~_. ，.. 
, 89 
所以
20[r+ 一一J ~[ r+ 一一] 十[γ+ 一一J+ … +[ r十一一]ζ 20[r十一~J ，
100-' ~L. ' 
, 100-' ' L.' 
, 100-" 
'
L. " 
100-' ~ - ~ L.' 
' 100 
70 ，~407 ,.. 
, 89 -，~ 407 
于是
[r+ 一一J~ 一一，[r十一一J~ 一一
1 00
、20 ' L' 
I 100 ..1 ::0-- 20 ' 
89 -, 
,.. 
, 70 -, _ f 
, 89 \ 
f 
, 70 
. \ 
因为[ r+ →一] 一[ r+ 一~J< ( r+ 一:A 1- ( r+ 一一
11 < 2 ，且一定是整数，
100-' 
L. " 
100-' - \' , 100 J 
\ " 
100 
• J 
70 -, 
_ _ ,.. 
, 89 
所以
[r+ 一一J =20 ，[r十一~J = 2 1，
100-' 
- ~ 'L. ' 
, 100 
70 .., 
r 
, 71 -, 
,.., 89 
f!r[r+ {OvOJ ，[r十日石J ，". ，[r+ 币5] 中有若干个2 0 和若干个2 1，
设其中有z 个20 ，则
20x+2 1(20-x ) =407 , 
解得
x = 13, 
可知
70 -, 
,.. 
, 71 -, 
,.., 82 
[r+ ;AvAJ = [γ+ 一一J= … = [ r+ 一一J= 20 ，
100-' 
L" 
100-' 
L. ' 
, 100 
83 -, 
,.. 
, 84 -, 
,.., 89 
[r+~一J=[r+ 一~J = … =[r+ 一一J= 2 1 ，
100-' 
L." 
100-' 
L.' 
' 100 
82 -, 
__
,.. 
, 83 
[r+ ，VA~AJ = 20 , [ r+ 一一J=2 1，
100-' 
- - 'L. ' 
, 100 
82 
~ ~， _, ____ 
, 83 
20~ r+~一< 2 1 ，2 1 ~ r十一一<2 2 ，
100 -_. ，_.
~ ， , 100 --- , 
20. 1 7~ r< 20 . 18 , 
[ 100rJ = 2017. 
由
得
得
以
可
解
所
在三)
罗素0872- 197 0) ，英国数学家、哲学家.于1902 年提出
了一个集合论上的悖论，这个悖论震撼了数学界，把数学推向
了一个新阶段. 罗素和怀特海的工作在数理逻辑这门学科的
建立上有不可磨灭的贡献，揭示了数学和逻辑的关系，对于当
今计算机的研制和人工智能的研究有重大现实意义.
h p47 
口γ~?
言32 古自由E Jl
' 如能概述
我们把很少关乎数学知识而主要涉及一些相互关联的条件的推理问题
称为逻辑推理题.
从题设条件出发，利用条件的相互关联，运用相关逻辑知识进行分析推
理，剔除不可能情形，这是解逻辑推理问题的关键，而如下逻辑基本规律是
进行推理的基础.
(1)排中律
同一对象具有或不具有某种性质，二者必居其一，元第三种可能.
(2) 同一律
在推理中，每一个概念的内涵和每一推断，都是确定的，自始至终不能
改变.
(3) 矛盾律
在同一推论中，对同一现象的两个相互矛盾的判断不能同时为真，其中
至少有一个为假.
(4) 充分理由律
对任何对象的肯定或否定都应有充分的依据和理由.
'
问题能决
例1
有三张卡片，分别写有
1 和2 ，1 和3 ，2 和3 . 甲、乙、丙三人各取走
一张卡片，甲看了乙的卡片后说"我与乙的卡片上相同的数字不是2" ，乙看
了丙的卡片后说"我与丙的卡片上相同的数字不是1" ，丙说"我的卡片上
数字之和不是5" ，则甲的卡片上的数字是一一一--
(全国高考试题)
飞兰也
人们可以把数学
对于我们社会的贡献
比喻为空气和食物对
生命的作用.事实上，
可以说，我们大家都
生活在数学的时
代一一一我们的文化已
经"数学化"
一一- 亚瑟
· 杰费
罗素悖论
1 9 03 年，一个震
惊世界的消息传出:
集合论是有漏洞的!
这就是英国数学家罗
素提出的著名的罗素
悖论，这一悖论更为
通俗地描述是理发师
悖论.
罗素悖论的提出
引发了第二次数学
危机.
i~Ci\~ 
食
，传为
，峙
'传食
食
食食
幡题思路
丙的卡片上数字有两种可能: 1 和2 或1 和3 ，分别假设上述
两种情况成立，通过逻辑推理得出甲和乙的卡片上的数字，推出矛盾即可
排除.
例2
田径场上正在进行100 米决赛.参加决赛的是A ，B ，C ，D ，E ，F 六
个人.关于谁会得冠军，看台上甲、乙、丙谈了自己的看法.
乙认为，冠军不是A 就是B. 丙坚信，冠军绝不是C. 甲则认为，D ，F 都
不可能取得冠军.
比赛结束后，人们发现他们三个人中只有一个人的看法是正确的，请问
下列选项中谁是100 米决赛冠军? ( 
A. A 
B. B 
C. C 
D. E 
(国家公务员考试试题)
暨塑里堕
因甲、乙、丙三人中只有一个人的看法是正确的，故不妨逐
一加以考查.
例3
甲，乙，丙，丁，戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺
序，在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测.甲猜:乙第三，丙第五;
乙猜:戊第四，T第五;丙猜:甲第一，戊第四;丁猜:丙第一，乙第二;戊猜:甲
第三，丁第四.老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，问出赛顺序中，
第一、第王、第五分别是哪位同学?
("希望杯"邀请赛试题)
些堕壁堕
文字罗列出来的条件，其相关关系错综复杂，不便分析和推
断，不妨借助于图形或表格直观地表示研究对象及其关系.
运9 飞
学科精英大视野系列丛书
例
1 的推理方法
称为归谬法，即题设
条件的若干陈述语句
中隐含有相互矛盾之
处.解题时，可先假设
某种情况成立，由此
推出其他情况是否成
立.若有矛盾，则假设
不成立;否则，假设
成立.
解逻辑推理问题
常用的推理方法有:
(1)枚举推理;
(2)
归谬推理;
(3) 列表推理
;
(4) 计算推理;
(5) 作图推理.
&':\Q\~、
食
4随
( 忆.a:: !ll ) 
唱过
食
食
'随
例4
A ，B ，C 三人做游戏，规则如下: 三张牌每张上写一个正整数，这
三个数是户，q ，r ，且ρ < q< r ，三张牌混合后再分给三个人，使每人各得一张，
再按牌上的数分得小球，接着将牌收回重发，但分得的小球仍留在各人于
中，这个游戏(发牌、分球、收牌)至少要进行两次，最后一次结束后
，A ，B ，C
分别得2 0 ，1 0 ，9 个球，还知道B 在最后一次游戏中得r 个球.问:1住在第一
次得q 个球?
(国际数学奥林匹克试题)
壁塾塾堕设游戏次数为η ，则n(p + q + r) = 20 十1 0+9=39=3X 13
，
由此展开推理.
例5
小明、小强、小华三个人参加迎春杯赛，他们是来自金城、沙市、水
乡的选手，并且分别获得一、二、三等奖.现在知道:
(1)小明不是金城的选手;
(2) 小强不是沙市的选手;
(3) 金城的选手不是一等奖;
(4) 沙市的选手得二等奖;
(5) 小强不是兰等奖.
根据上述情况，确定小华所在地及获奖的等级.
(北京市"迎春杯"竞赛题)
纣析写瞄
将问题中事物分为三类
: 3 个人为第一类，3 个城市为第
2
类，3 种奖励为第3 类，类中元素用点表示，不同类的两点间如果有关联，则
用实线连接，无关联的用虚线连接，图①包含问题给定各类的全部元素及其
间的关系.
国①国②
我们用图对这个问题进行推理，如果在以三个不同类的点为顶点的三
角形中，一条边是实线，第二条边是虚线，则第三条边也是虚线(因为若有两
条边是实线，则第三边必是实线) ，可见小强与二等奖之间连虚线，因金城选
手既不能得一等奖，又不能得二等奖，故他只能得三等奖，即金城与三等奖
连实线，从而水乡与一等奖连实线.又因为某点与其他一类中两点连虚线，
297 
飞
第
32 讲
逻辑推理
例
4 的推理方法
称为计算推理方法，
其特点是推理中有计
算，计算中蕴含推理.
其关键是:将问题中
涉及量用式子表示，
由条件通过计算确定
某个量的值或这个量
的取值范围.
事物之间总会存
在某种关系，为了便
于研究事物的关系，
将对象用点来表示，
如采两个对象之间存
在某种关系，就用一
条线段把相应的点连
起来，这是一种常见
的图解法.
图解法没有固定
的模式，而是根据问
题的具体情况列出或
画出相应的图表，使
用一些线段、序号、箭
头及其他符号.
没有公式、没有
原理、没有运算，只考
查推理能力，考思维
而不考知识是逻辑推
理问题的显著特点，
随着信息技术和算法
的融合，逻辑运算也
愈加重要，逻辑推理
问题的频繁出现符合
时代发展的需要.
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食
食食
食
，传女
食
*
女
则它必与第3 点连实线，从而小强与一等奖连实线，从而小强与水乡连实线，
小强与金城连虚线，从而小明与水乡连虚线，故小明与沙市连实线，故小华
与金城连实线，而与沙市和水乡都连虚线，从而小华与三等奖，小明与二等
奖都连实线，如图②.
所以，小华是金城的选手，他得的是三等奖.
囊团斯坦的启示
《纽约时报》曾刊文《爱因斯坦:他的生活和宇宙)) : "他的三大经典理论
都归功于跳出传统思维框架的反叛想象力，得益于他能形象化的思考，这种
想象力正是许多训练有素的科学家所不能跨越的"
爱因斯坦不但在物理学上建树卓越，而且对数学也多有研究，常出一些
智力题让他的朋友作答，下面问题是其中一道.
例6
有一个土耳其商人，想找一个助于协助他经商. 但是，他要求这个
助于必须十分聪明才行.消息传出的三天后，有A ，B 两个人前来应聘. 这个
商人为了试一试A ，B 两个人谁更聪明一些，把他们带进一间伸手不见五指
的房子里.商人打开电灯说"桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑
色的.现在，我把灯关掉，并把帽子摆的位置搞乱，然后我们三人各自摸一顶
帽子戴在头上，剩余两顶我会藏起来.当我把电灯打开时，你们要在不准看
自己头上戴的帽子的情况下，尽快地说出自己头上戴的帽子是什么颜色
的"
说完之后，商人就关灯，随后，三个人各自摸了一顶帽子戴在头上.同
时，商人把余下的两顶帽子藏了起来.待这一切完成之后，商人重新开灯. A ，
B 两人看到商人头上戴的是一顶红色的帽子，他们互相对视，都不作声，过了
一会儿，A 喊道"我戴的是黑帽子"
A 是如何推理的呢? A 的推理是否正确呢?
纣析写黯
由条件得:总共有两顶红帽子、三顶黑帽子，商人戴了一顶
红帽子.
A 看见商人戴的是红帽子，B 呢?要么戴的是红帽子，要么戴的是黑帽
子.若是红帽子，那么
，A 立刻可以报出答案，即自己戴的是黑帽子，就不会
有题目里面"他们互相对视，都不作声"的文字，也不会有A" 过了一会儿"喊
出答案的情况，所以否定这一可能.若是B 戴黑帽子
，A 猜不出自己戴什么
颜色的帽子，因为戴着红帽子和黑帽子的可能性都存在.这时就需要看B 的
表情，我们从题目中可以知道B 也不作声，显然B 也不知道他自己戴的是什
么颜色的帽子，于是A 马上就悟到自己头上戴的不是红帽子，所以A 抢先一
步报出自己戴的是黑帽子.
支〉
学科精英大视野系列丛书
精-c主;竟
潭.......-
丁回咱国巨
爱因斯坦说数学
"在几年的独立
的科学研究之后，我
才逐渐明白了，在科
学探究的过程中，通
向更深入的道路是同
最精密的数学方法联
系在一起的"
"纯粹数学，就其
本质而言，是逻辑思
想的诗篇"
" 数学之所以有
高声誉，还有一个理
由，那就是数学给精
密自然科学的某种程
度的可靠性，没有数
学，这些科学是达不
到这些可靠性的"
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( 仁革主J;l )
食，曲
，传
女食
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力，传
食
第
32
i井
逻辑推理
~~ 刻意练习
和巳主;费
1.
甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，ß ，C 三个城市时，
甲说: 我去过的城市比乙多，但没去过B 城市;
乙说: 我没去过C 城市;
丙说: 我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为
(全国高考数学试题)
2. 顾客请一位工艺师把A ，ß 两件玉石原料各加工成一件工艺品，工艺师带
一位徒弟完成这项任务. 每件原料先由徒弟完成粗加工.再由工艺师进行
精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需
时间(单位: 工作日)如表所示:则最短交货期为
个工作日.
粗加工
精加工
原料A
9 
15 
原料B
6 
21 
( 北京市高考数学试题)
3. 某班学生对语文、数学、英语三门课程的测验，成绩优秀的分别有
1 6 、1 3 、
1 0 名
，并且这三门课程中至少有一门优秀的共有22 名，那么三门全优的
最多有一一一名，最少有一一一_:g .
(江苏省竞赛题)
4. 现有甲、乙、丙、丁、戊五个同学，他们分别来自一中、二中、三中. 已知:
(1) 每所学校至少有他们中的一名学生;
(2) 在二中联欢会上，甲、乙、戊作为被邀请的客人演奏了小提琴;
( 3) 乙过去曾在三中学习，后来转学了，现在同丁在同一个班学习;
(4) 丁、戊是同一所学校的三好学生.
根据以上叙述可以断定甲所在的学校为(
) . 
A. 一中
B. 二中
c . 三中
D . 不确定
(江苏省泰州市中考题)
5. 来自英法日德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除了懂本国
语言外，每个人还会说其余三国语言中的一种，有一种语言是三个人都会
说的，但没有一种语言四个人都懂.现已知道:
①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈;
②四个人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈;
③乙、丙、丁交谈时找不到共同语言沟通;
④乙不会英语，当甲丙交流时他能做翻译.
可见他们四人所会语言的情况是(
). 
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远'圃'毡'咽~
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食
可传食
食
，传女
食
食女
A .
甲日德，乙法德，丙英法，丁英德
B.
甲日法，乙日德，丙英法，丁英日
C .
甲日法，乙法德，丙英德，丁英法
D .
甲日法，乙英德，丙法德，丁日德
6. A ，B ，C ，D ，E ，F 六个足球队进行单循环比赛，当比赛到其一天时，统计出
A ，B ，C ，D ，E 五队已分别比赛了
5 ，4 ，3 ，2 ，1 场球，则还没有与B 队比赛
的球队是(
). 
A . C 队
B .
D 队
C.
E 队
D.
F 队
( 江苏省竞赛题)
7 .
甲、乙、丙、丁4 个队举行足球循环赛，每场比赛胜者得3 分，负者得0 分，
平局各得1 分. 已知比赛结束后:①4 个队的积分都是奇数，且互不相同;
②甲队积分第一; ③乙队恰有两场平局，并且其中一场是与丙队平局，那
么丁队得多少分?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
8
市场上有一位地毯交换商，顾客用一块a X b 的地毯可以换回一块土× ι
α
。
的地毯或两块大小分别为cX b 和旦X b 的地毯，其中，顾客可以任意指定
长度c . 一位去过该市场的顾客声称他用一块各边长均超过1 的地毯经过
一系列的交换最终得到的每块地毯均有一边长大于
1 及一边长小于1.
问:这位顾客说的是真实的吗?
(俄罗斯数学竞赛题)
9. 200 人站成一圈，其中有的是老实人，有的是骗子. 骗子总说假话，而老实
人则视情形而定. 若他的两侧邻人均为老实人，则他一定说真话;若他的
两侧至少有一个邻人是骗子，则他有时说真话，有时说假话. 已知这200
人中，有100 人说自己是骗子，也有100 人说自己是老实人. 问: 这200 人
中最多可能有多少个老实人?
(欧拉数学竞赛题)
1 0. 舞会上每人头上都戴着一顶帽子. 帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶.
每个人都能看到其他人帽子的颜色，却看不到自己的. 主持人先让大家
看看别人头上戴的是什么帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑
帽子，就打自己一个耳光.第7次关灯，没有声音. 于是再开灯，再关灯时
仍然鸦雀无声. 一直到第七次关灯，才有嘟嘟啪啪打耳光的声音响起. 请
问至少有多少人戴黑帽子?
(华南理工大学自主招生考试笔试考题)
11. Albert 和Bernard 刚刚和Ch ery l 成为朋友，他们想知道Ch ery l 的生日
日期，Ch eryl 最终给他们十个可能日期:
5 月
15
日
、5 月
16
日、5 月
19 日
6 月
17 日、6 月
18
日
7 月
14 日、7 月
16 日
8 月
14 日、8 月
15 日、8 月
17 日
扩01/
学科精英大视野系列丛书
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( 七.$ m ) 
钱
'眨
Cheryl 分别告诉了Alb e rt 、Bernard 她生日的月份和她生日的日子.
之后Albert 就表述:我不知道Cheryl 的生日，但我知道Bernard 也不知道.
Bernard 回答: 一开始我不知道Cheryl 的生日，现在我知道了.
Albert 也回答:那我也知道Cheryl 的生日了.
究竟Cheryl 的生日是何时?
争E
咱陆
(新加坡数学奥林匹克试题)
例
1
1 和3
例2
C 
若乙的看法正确，如'J A 或B 可能是冠军;
若丙的看法正确，则A 或B 或D 或E 或F 可能是冠军;
若甲的看法正确，则A 或B 或C 或E 可能是冠军.
第
32
i.井
逻辑推理
幢
幢
因为只有一人的看法正确，所以只有C 或D 或F 可能得冠军.但选项中没有D 和F
，所以冠军是c.
例3
根据题意，可列关于
5 个人和
5 个名次的双向表.
?芒
第一
第二
甲
乙
丙
甲
丁
丙
戊
可推得第一个是丙，第三个是甲，第五个是丁.
例4
设游戏次数为
η ，则
乙
η(ρ + q + γ) =20+ 1 0+9 二39=3X 13.
(并)
第二
乙
甲
因为ρ < q< r 都是正整数，所以ρ 十q 十r注1 十2 十3 二6 .
又因为
n 二三2 ，所以由(头)得η =3
，ρ +q+ r = 13.
第四
第五
丙
戊
丁
戊
丁
B 最后得r 个球，且B 得球总数
1 0< ρ + q + r ，所以B 前2 次都得ρ 个球，并且ρ 十q 十r = 10.
C 得球总数9 < 10 ，故C 三次中每一次都不可能得r 个球，第一次B 得ρ 个球，所以C 第一次得q 个球.
1. A 
-• 
2. 42 
首先徒弟加工B→接着徒弟加工A ，与此同时师父开始加工B→最后师父加工A ，交货时间为
6 十9 +6 十2 1 =42 .
所以最短交货期为
42 个工作日.
3. 8 
0 
将问题转化为求三元一次方程组的非负整数解.
4. C 
301 
险... 
飞1:\
，曾
食
，传食
食
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食*
女
s. A 
从选项入手，检验是否符合题设条件.
6. C 
画图推理.
7. (1) 4 个队共赛6 场，且至少有2 场平局，故:
总分ζ3X4+2X2= 16.
已知甲队总分第一，并且各队得分互不相同，因此甲队和、7 分，否则
:
总分二三l 十3+5+9= 18 , 
与"总分不大于
1 6" 矛盾，所以甲队2 胜1 平，积7 分.
已知乙队恰有两场平局，且积分是奇数，则必定是1 胜2 平，积5 分.
已知丙队和乙队平局，负于甲队，且积分是奇数，因此，丙队负于丁队，积1 分.
所以丁队1 胜2 负，积3 分.
8.
这位顾客说的是假话.
称各边长均大于1 的地毯为"大的"，各边长均小于1 的地毯为" 小的"
学科精英大视野系列丛书
;母D
(第6 题)
顾客开始时有一块大地毯，在交换过程中，顾客手里大的和小的地毯数之和不会减少.因此，他一定说了假话.
事实上，只需考虑顾客用大或小的地毯交换的情形.
当进行第一类交换时，是大换小，小换大，因此，顾客手里大的和小的地毯数之和不会变化.
当进行第二类交换时，一块α X b 的大地毯换回a ，X b,az Xb 两块，由于a ，az =a> l ，α1 、向中至少一个大
于1，因而，至少换回一块大的.这表明，顾客手里大的和小的地毯数之和不会减少.
类似地，顾客用小地毯交换时也会发生同样的事情.
9.
最多可能有150 个老实人.
因为骗子不会说自己是骗子，所以，那
1 00 个说自己是骗子的人均为老实人，且他们说的均是假话.这表
明，他们均与骗子相邻.
由于每个骗子至多与两个老实人相邻，于是，至少有50 个骗子.这表明，老实人数目不会多于
1 50 个.
接下来给出例子.
150 个老实人分成50 组，每组3 个老实人相连而站，每两纽之间间隔一个骗子.
每组中间的那个老实人说实话，即说自己是老实人，两端的老实人均说假话，即说自己是骗子，而
5 0 个骗
子均说自己是老实人.
10 . 如采只有一顶黑帽子，那么第一次关灯时戴黑帽者就会打自己，因为他看到别人都是白的，自己肯定
是黑的.如采有2 顶黑帽子，那么第二次关灯时戴黑帽者就会打自己，因为他看到别人只有一顶黑帽子，然而
根据上面的推论，如采只有一顶黑帽子，则第一次关灯他就会听到打耳光声，然而他没有听到，所以他可以推
断出戴黑帽子的肯定不止1 人，所以他确定自己也是戴黑帽子.如果有3 顶黑帽子，那么第二次关灯时戴黑帽
者就会打自己，道理同上.于是我们可以归纳得到结论:如采有n 顶黑帽子，那么第n 次关灯会打自己. 因此答
案为:至少有7 人戴黑帽子.
1 1.在出现的1 0 个日子中，只有1 8 日和1 9 日出现过一次，如采Cheryl 生日的日子是18 日或19 日，那知道
日子的Bernard 就能猜到月份，一定知道Cheryl 的生日是何月何日. 为何Albert 肯定Bernard 不知道Cheryl 的生
日呢? 如上述，因为5 月和6 月皆只出现过一次的日子是18 日和
19 日，知道月份的Albert 就能判断出到底
Bernard 有没有肯定的把握，所以她的生日一定是7 月或8 月.
Bernard 的话语也提供了信息，因为在7 月和8 月剩下的5 个日子中，只有14 日出现过两次，如果Cheryl
告诉Bernard 她的生日的日子14 日，那Bernard 就没有可能凭Albert 的一句话，猜到她的生日的日子. 所以有
可能的日子，只剩下7 月
16
日、8 月
15 日和8 月
1 7
日
.
在Bernard 说话后，Albert 也知道了Cheryl 的生日，反映Cheryl 的生日的月份不可能在8 月，因为8 月有
两个可能的日子，7 月却只有一个可能性.所以答案是7 月
1 6
日.
在;当