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1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 2026 年秋季八年级开学学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题（本大题有10 个小题，每小题3 分，共30 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．三角形一边长为 ，另一边长为 ，它的第三边的长可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设第三边的长为 ， 根据三角形三边关系可得 ， ， 观察选项，只有 满足 ， 因此第三边的长可能为 ． 2．下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、 ，计算错误； B、 ，计算错误； C、 ，计算错误； D、 ，计算正确． 3．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，∵ 与 不是同类项，不能合并，∴A 错误； 选项B，计算得 ，∴B 错误； 选项C，由完全平方公式得 ，∴C 错误； 选项D，由平方差公式得 ，等式成立， 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 D ∴ 正确． 4．如图， ，直线 分别与 ， 相交于E，F 两点， ，垂足为F， ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 5．已知平面直角坐标系中有 和 两点，且点 在第四象限， ，直线 轴，则 的值为（ ） A． 或 B． C． D．2 或12 【答案】C 【详解】解： 直线 轴， 、 两点的横坐标相等， ， ， ， 解得 或 ， 点 在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负数， ， ． 6．中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（ ） 3 / 17 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项 ：图形为直角梯形，面积可表示为 ，也可表示为 ，则 ，可得 ，可以证明勾股定理； 选项 ：图形为正方形，面积可表示为 ，也可表示为 ，则 ，无法证明勾股定理； 选项 ：图形为正方形，面积可表示为 ，也可表示为 ，则 ，可得 ，可以证明勾股定理； 选项 ：图形为正方形，面积可表示为 ，也可表示为 ，则 ，可 以证明勾股定理． 7．如图，表示在一定条件下，温度 （单位： ）对大棚内某种植物光合作用和呼吸作用的影响，下列 说法错误的是（ ） A．当温度为 时，光合作用产氧速率等于呼吸作用耗氧速率 B．在温度从 升高到 时，光合作用产氧速率随温度的升高而升高 C．若要光合作用产生的氧气越多，则大棚内温度应该设置为 D．温度越高，呼吸作用消耗的氧气就越多 【答案】D 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：A、观察图象得：当温度为 时，光合作用产氧速率等于呼吸作用耗氧速率，故本选项正 确，不符合题意； B、在温度从 升高到 时，光合作用产氧速率随温度的升高而升高，故本选项正确，不符合题意； C、观察图象得：温度升高到 时，光合作用产氧速率最高，若要光合作用产生的氧气越多，则大棚内 温度应该设置为 ，故本选项正确，不符合题意； D、观察图象得：温度升高到一定值后，呼吸作用消耗氧气的速率会下降，故本选项错误，符合题意； 8．有五张正面分别标有数 ，0，1，3，4 的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背 面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x 的方程 的解是正整 数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ， 展开得： ， 移项合并同类项得： ， a 的所有等可能取值为 ，共5 种， 逐个验证得： 当 时， ，不是正整数，不符合； 当 时，方程无解，不符合； 当 时， ，是正整数，符合； 当 时， ，不是正整数，不符合； 当 时， ，是正整数，符合． 因此符合条件的结果共2 种， 根据概率公式得使关于x 的方程 的解是正整数的概率为 ． 9．如图， 中， ，两直角边 ，在三角形内有一点 到各边的距离相等，则这 个距离是（ ） 5 / 17 学科网（北京）股份有限公司 A．1 B．3 C．6 D． 【答案】B 【详解】解：连接 ， 设 ， ， ． 再根据直角三角形的面积， ， ， ， 解得 ． 10．如图，在 中， ， ， 、 是斜边 上两点，且 ，过点 作 ，垂足是 ，过点 作 ，垂足是 ，交 于点 ，连接 ，下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ ，其中正确的 是（ ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【详解】解：∵在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ，故①正确； ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ，故②正确； ∵ ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，故③正确； ∵在 中， ， ∴ ，故④错误， 综上，正确的是①②③． 二、填空题（本大题有6 个小题，每小题3 分，共18 分） 11．某班有男生20 人，女生25 人，每个学生的学号都不相同，老师从这些学号中随机叫一个，所叫到的 学生恰好是一个男生的概率是______． 【答案】 【详解】解：∵男生有 人，女生有 人， 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ∴班级总人数为 人， ∵每个学号被抽到的可能性相等，符合条件的结果数为男生人数 ， ∴叫到男生学号的概率为 ． 12．化简： ________． 【答案】 / 【详解】解： ． 13． 中， ，分别以 为边作正方形，面积分别为9，16，x，则 _____． 【答案】25 【详解】解：∵分别以 为边作正方形，面积分别为9，16，x， ∴ ， 在 中， ， 由勾股定理得： ， ∴ ， 解得 ． 14．把长方形 沿着直线 对折，折痕为 ，对折后的图形 的边 恰好经过点C．若 ，则 ______． 【答案】 【详解】解：∵长方形 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∵折叠， ∴ ， ∴ . 15．如图，已知线段 米，射线 于点 ，射线 于 ， 点从 点向 运动，每秒 走2 米， 点从 点向 运动，每秒走3 米， 、 同时从 出发，若射线 上有一点 ，使得某时刻 和 全等，则线段 的长度为________米． 【答案】 或 【详解】解：设秒时， 和 全等，则 米， 米， ∵ 米， ∴ 米， ∵射线 ，射线 ， ∴ ， 则分以下两种情况： ①当 时， ∴ ， ， ∴ ， 解得 ， ∴ （米）； ②当 时， ∴ ， ， ∴ ， 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 解得 ， ∴ （米）； 综上，线段 的长度为32 米或60 米． 16．如图，在一单位为1 的方格纸上， ， ， ……，都是斜边在x 轴上，斜边长分 别为2、4、6，……的等腰直角三角形，若 的顶点坐标分别为 ， ， ，则依 图中所示规律，点 的坐标为________． 【答案】 【详解】解：观察点的坐标变化发现：当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律： 当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数， 当脚码是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半， 因为 ， ， 的坐标符合第一种情况，所以横坐标为1，纵坐标为 ． 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题， 每题12 分；共9 小题，共72 分） 17．计算： (1) ； (2) ． 【详解】（1）解： 10 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ；...................................................................................................................................................3 分 （2）解： ．.................................................................................................................................................................6 分 18．先化简，再求值： ，其中 ． 【详解】解： ，.......................................................................................................................................................4 分 当 时，原式 ．.................................................................6 分 19．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手 与底座 都平行于地面 ，前支架 与后支架 分别与 交于点G 和点D，且 ． (1)求证： ； (2)若 平分 ， ，求扶手 与靠背 的夹角 的度数． 【详解】(1)证明： ， ， ， ；..........................................................................................................................................2 分 （2）解： 扶手 与底座 都平行于地面 ， ， ， ， 11 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ，.......................................................................4 分 平分 ， ． ． ， ．...............................................................6 分 20．某校组织学生去革命纪念馆参观，现有延安革命纪念馆、西安事变纪念馆、渭华起义纪念馆三个纪念 馆可供选择，以班级为单位，在这三个纪念馆中随机选择一个纪念馆进行参观，1 班的班主任准备了一些 除颜色不同外其余都相同的小球，其中红球10 个、黑球18 个、白球12 个，将这些小球放入不透明的箱子 中摇匀后，班长从中随机摸出一个小球，若摸到红球，则全班去延安革命纪念馆参观；若摸到黑球，则全 班去西安事变纪念馆参观；若摸到白球，则全班去渭华起义纪念馆参观． (1)事件“班长摸到蓝球”为 事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)求1 班去渭华起义纪念馆参观的概率． 【详解】（1）解：箱子中只有红球、黑球、白球，没有蓝球，一定摸不到蓝球， 故事件“班长摸到蓝球”为不可能事件；......................................................................................................2 分 （2）解：先计算小球的总数量： （个），........................................................................3 分 摸到白球即去渭华起义纪念馆参观，白球共12 个， 根据概率公式得： ， 答：1 班去渭华起义纪念馆参观的概率为 ．.............................................................................................6 分 21．在平面直角坐标系中，点 构成一个四边形． (1)请在坐标系中画出这个四边形，并判断其形状； (2)求四边形 的面积； (3)若点P 在x 轴上，且 ，求点P 的坐标． 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）如下图，四边形 即为所求，该四边形为长方形.......................................................1 分 .................................................................................................3 分 （2）∵ ， ∴ ， ∴四边形 的面积 ；............................................................................................................5 分 （3）设点P 的坐标为 ，如下图，设 与 轴交于点 ，则点 坐标为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，解得 或 ， ∴点P 的坐标为 或 ．..................................................................................................................8 分 22．如图所示，在 中， ，D 为 的中点，如果点P 在线段 上以 的速度由点B 向点C 运动，同时点O 在线段 上由点C 向点A 运动； 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 (1)设运动时间为t，则有： ___________； ____________； ___________； (2)当点O 运动在某一时刻使 与 全等，求点O 运动的速度？ 【详解】（1）解：∵点D 是 的中点，且 ， ∴ ．......................................................................................................................................1 分 ∵点P 在线段 上以 的速度由点B 向点C 运动，且 ， ∴ ；...........................................................................................................................3 分 （2）解：∵ ， ∴ ． 设点O 的运动速度为 ，则 ， 当 时， ， ∴ ， 解得 ， 则点O 的运动速度是 ；.........................................................................................................................5 分 当 时， ， ∴ ， 解得 ， 则点O 的运动速度是 ， 所以点O 的运动速度是 或 ．....................................................................................................8 分 23．课外活动上，老师带着科技小组进行滑轮实验．同学们将一根没有弹性的绳子绕过定滑轮A，一端拴 在滑块B 上，另一端拴在物体C 上，滑块B 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B 的左右滑动来调节物 体C 的升降．实验初始状态如图1 所示（ ），物体C 静止在直轨道上，物体C 到滑块B 的水平距 离是 ，绳长（ ）为 ．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A，滑块B 和物体 C 的大小忽略不计，都看作一个点） 14 / 17 学科网（北京）股份有限公司 (1)求实验初始状态下 的长； (2)如图2，若物体C 上升 到达 的高度时，滑块B 水平向左滑动到 ，求 的长． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 ， 解得： ， 答： 的长为 ；.....................................................................................................................................3 分 （2）解：∵物体 上升 到达 的高度， ∴ ， ∵由（1）知 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ；................................................................................................................................6 分 在 中， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即滑块 水平向左滑动到 的距离为 ．.................................................................................................8 分 24．阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数 ，使 ， ，即把 变成 ，从而可以对根式 进行化简． 例如：化简： ． 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 解： ， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简： ． (2)化简： ． (3)计算： ． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ；...............................................................................................................3 分 （2）解：∵ ，..................................................................................................................................................5 分 而 ，则 ∴ ；...............................................................................................7 分 （3）解： .................................................................................................................................9 分 ．.................................................................................................................................................12 分 25．综合与实践 小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完轴对称的相关知识之后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知 识，于是他找到若干张相同的长方形纸片，进行研究．在长方形纸片 （ ）的边 上找到 一点 ，然后沿着 进行折叠，点 落在点 处． 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，小明测量得 ，则 _____ ； (2)如图2，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿 折叠，使得点 落在点 处，测量得 ， 求 的大小； (3)如图3，小明继续调整点 的位置，将长方形纸片沿着 和 进行折叠，若点 经过折叠后，点 恰 好落在线段 上．小明同学通过观察与测量后，猜想： ．你认为小明的猜想成立吗？请说 明理由． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知： ， ∴ ；......................................................................................................2 分 （2）解：由折叠的性质可知： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ；....................................................................................................5 分 (3)小明的猜想成立，理由如下： 如图1，过点 作 于点 ， 在长方形 中， ， ， ， ∴ ，.....................................................................................................................................................7 分 由折叠可得： ， ， ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 所以 ，.................................................................................................................................................9 分 因为 ， ， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ．......................................................................................................................................12 分
