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2026 年秋季九年级开学·学情自测卷
数 学·全解全析
一、选择题：共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目
要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．（3 分）将方程5 x
2−x =6化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．5，−1，6
B．−5，7，1
C．5，1，6
D．5、−1、−6
【答案】D
【分析】考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一
元二次方程的一般形式是：a x
2+bx +c =0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，其中a x
2叫
二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：∵方程5 x
2−x =6化成一般形式是5 x
2−x−6=0，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为5、−1、−6．
故选：D．
2．（3 分）在Rt△ABC中，∠C =90°，∠A =30°，BC =2，则AC的长是（ ）
A．2√2
B．3√2
C．2√3
D．3√3
【答案】C
【分析】根据直角三角形中30°角的性质可求得AB的长度，再根据勾股定理即可求得答案．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠A =30°，BC =2，
∴AB = 4．
∴AC =√A B
2−BC
2=√4
2−2
2=2√3．
故选：C．
3．（3 分）我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10 月份该网
站的浏览量为80 万人次，第四季度总浏览量为350 万人次.如果浏览量平均每月增长率为x，则应列方程为
（ ）
A．80(1+ x)
2=350
B．80+80×2 x =350
C．80+80×2(1+ x)=350
D．80[1+(1+ x)+(1+ x)
2]=350
【答案】D
【分析】考查一元二次方程的实际应用．根据题意列出方程即可．
【详解】解：根据题意得：80[1+(1+ x)+(1+ x)
2]=350，
故选：D
4．（3 分）已知点A(−3, y1),B(−1, y2),C (2, y3)在二次函数y =a x
2−2ax +m(a>0)的图象上，则y1、
y2、y3的大小关系为（ ）
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A．y1< y3< y2
B．y3< y1< y2
C．y3< y2< y1
D．y2< y1< y3
【答案】C
【分析】考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
求出抛物线的对称轴，求出C关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答
案．
【详解】解：∵y =a x
2−2ax +m(a>0)，
∴二次函数的开口向上，对称轴是直线x =−−2a
2a =1，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
C点关于直线x =1的对称点是D(0, y3)，
∵−3<−1<0，
∴y3< y2< y1，
故选：C．
5．（3 分）某校为选拔一名学生参加区级“经典诵读”比赛，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了测试，
他们的平均成绩及方差如下表所示：
选手
甲
乙
丙
丁
平均成绩/分
92
95
95
92
方差
1.2
0.8
1.5
0.8
若要选出一名成绩好且状态稳定的同学参赛，最合适的人选是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】B
【分析】按平均成绩高、方差小的标准逐步筛选人选即可．
【详解】解：∵ 乙、丙的平均成绩均为95 分，甲、丁的平均成绩均为92 分，92<95，
∴ 从乙、丙中进一步筛选．
∵ 乙的方差为0.8，丙的方差为1.5，0.8<1.5，
∴ 乙的状态更稳定．
6．（3 分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，若
BD+ EF =30，DF =6，则△BOE的周长为（ ）
A．18
B．19
C．20
D．21
【答案】D
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【分析】先借助平行四边形的性质得到OB =OD和OA =OC，再通过平行四边形的判定与性质证明四边形
BEDF是平行四边形，从而得到OE+OB = 1
2
(BD+ EF)，BE = DF，计算即可（或通过全等三角形的判
定与性质求解亦可）．
【详解】解：如图，连接DE，BF，
在▱ABCD中，OB =OD = 1
2 BD，OA =OC，
∵点E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE = 1
2 OA =OF = 1
2 OC，
∴四边形BEDF是平行四边形，OE = 1
2 EF，
∴BE = DF =6，OE+OB = 1
2
(BD+ EF)=15，
∴△BOE的周长为BE +OE +OB =21．
7．（3 分）已知a，b是一元二次方程2 x
2+3 x−1=0的两个实数根，则代数式ab+2b+ 1
a的值等于（ ）
A．−3
2
B．−1
2
C．1
2
D．3
2
【答案】B
【分析】考查一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，理解方程的根以
及根与系数的关系是解答的关键．首先根据解的概念得到2a
2+3a−1=0，变形得到2a+3= 1
a，利用根与
系数的关系得到a+b=−3
2，ab=−1
2，然后代入ab+2b+ 1
a整体求解即可．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程2 x
2+3 x−1=0的两个实数根，
∴2a
2+3a−1=0，a+b=−3
2，ab=−1
2，
∴2a
2+3a=1，
∴2a+3= 1
a
∴ab+2b+ 1
a
=ab+2b+2a+3
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=ab+2(a+b)+3
=−1
2 +2×(−3
2)+3
=−1
2．
故选：B．
8．（3 分）函数y =a x
2−2 x +1和y =ax +a（a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函
数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：A、由一次函数y =ax +a的图象可得：a<0，此时二次函数y =a x
2−2 x +1的图象应该开口
向下，故选项错误；
B、由一次函数y =ax +a的图象可得：a<0，此时二次函数y =a x
2−2 x +1的图象应该开口向下，故选项
错误；
C、由一次函数y =ax +a的图象可得：a>0，此时二次函数y =a x
2−2 x +1的图象应该开口向上，对称轴
x =−−2
2a >0，故选项正确；
D、由一次函数y =ax +a的图象可得：a<0，此时二次函数y =a x
2−2 x +1的对称轴x =−−2
2a <0，故选项
错误．
故选：C．
9．（3 分）如图，一次函数y =−2
3 x +2的图象与x轴，y轴相交于点A和点B，以线段AB为直角边在第一
象限内作等腰直角△ABC，则斜边BC所在的直线与x轴的交点坐标是（ ）
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A．(−10,0)
B．(−8,0)
C．(−6,0)
D．(−4,0)
【答案】A
【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点A、B的坐标，根据等腰直角三角形的性质，以及通过构造全等
三角形，即可求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，最后令y =0，即可求出与x轴的
交点坐标．
【详解】解：∵一次函数y =−2
3 x +2的图象与x轴，y轴相交于点A和点B，
∴令y =0，则0=−2
3 x +2，解得x =3，
∴A(3,0)，
∴OA =3；
令x =0，则y =2，
∴B(0,2)，
∴OB =2．
∵△ABC为等腰直角三角形，且BC为斜边，
∴AB = AC，∠BAC =90°．
如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠ADC =90°
，
∴∠2+∠3=90°．
∵∠BAC =90°，
∴∠1+∠2=180°−∠BAC =180°−90° =90°，
∴∠1=∠3．
∵∠AOB =90°，
∴∠AOB =∠ADC =90°，
又∵AB = AC，
∴△ABO ≌△CAD(AAS)，
∴AD =OB =2，CD =OA =3 ．
∴OD =OA + AD =3+2=5，
∴点C的坐标为(5,3)．
设直线BC的解析式为y =kx +b(k ≠0)，
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将B(0,2)，C(5,3)代入得，¿，
解得，¿，
∴直线BC的解析式为y = 1
5 x +2，
∴令y =0，则0= 1
5 x +2，
解得，x =−10，
∴斜边BC所在的直线与x轴的交点坐标是(−10,0)．
10．（3 分）如图1，在矩形ABCD中，AB = 4cm , AD =2cm，动点P以acm /s的速度自A 点出发沿折线
A −B−C −D方向运动至D 点停止，动点Q以1cm /s的速度自A 点出发运动至D 点停止，若点P、Q同
时出发，运动时间为t秒，记△PAQ的面积为scm
2，且s 与t之间的函数关系的图像如图2 所示，则图像中
m的值为（ ）
A．2.5
B．3
C．3.5
D．4
【答案】C
【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，当点P 在AB上运动时，AP =at , AQ =t，则s= 1
2 at
2，根据
图2 可得，当t =2时，s= 4，求出a=2，得出动点P以2cm /s的速度自A 点出发沿折线A −B−C −D方向
运动至D 点停止，且当t =2s时，点Q 到达点D，当点P 在BC上运动时，s= 4．当点P 在CD上运动时，
s=10−2t．将点(m,3)代入s=10−2t即可求出m=3.5．
【详解】解：当点P 在AB上运动时，AP =at , AQ =t，
则s= S△PAQ= 1
2 AP× AQ = 1
2 at
2，
根据图2 可得，当t =2时，s= 1
2 a×2
2= 4，解得：a=2，
即动点P以2cm /s的速度自A 点出发沿折线A −B−C −D方向运动至D 点停止，且当t = 2
1 =2s时，点Q
到达点D，
当点P 在BC上运动时，s= S△PAQ= 1
2 AB× AD = 4．
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当点P 在CD上运动时，s= S△PAQ= 1
2 PQ× AD = 1
2 ×2×(10−2t )=10−2t．
将点(m,3)代入s=10−2t可得3=10−2m，解得：m=3.5，
故选：C．
二、填空题（共18 分）
11．（3 分）关于x 的一元二次方程(a+2) x
2−3 x +1=0有实数根，则a 的取值范围是______．
【答案】a≤1
4 且a≠−2
【分析】主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，当Δ=b
2−4 ac>0
时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b
2−4 ac =0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b
2−4 ac<0
时，方程没有实数根．利用一元二次方程的根的判别式解答，即可求解．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程(a+2) x
2−3 x +1=0有实数根，
∴Δ=b
2−4 ac =9−4 (a+2)×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤1
4 且a≠−2．
故答案为：a≤1
4 且a≠−2．
12．（3 分）一个多边形的内角和比它的外角和的2 倍还大180°，这个多边形是________边形．
【答案】七
【分析】设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为(n−2)⋅180°，外角和为360°，根据题目给出
的数量关系列方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
(n−2)×180° =2×360°+180°，
解得n=7，
答：这个多边形是七边形．
13．（3 分）把抛物线y =−2(x +5)
2−4向上平移1 个单位长度，再向右平移2 个单位长度，得到的抛物线
是___________．
【答案】y =−2(x +3)
2−3
【分析】考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答．
【详解】解：∵把抛物线y =−2(x +5)
2−4向上平移1 个单位长度，再向右平移2 个单位长度，
∴y =−2(x +5−2)
2−4+1=−2(x +3)
2−3，
即平移后得到的抛物线是y =−2(x +3)
2−3，
故答案为：y =−2(x +3)
2−3．
14．（3 分）如图，直线y =−x +3与y =mx +n 交点的横坐标为1，则关于x、y 的二元一次方程组¿的解
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为_____________．
【答案】¿
【详解】解：∵直线y =−x +3与y =mx +n交点的横坐标为1，
∴纵坐标为y =−1+3=2，
∴两直线交点坐标(1,2)，
∴关于x，y的方程组¿的解为¿．
15．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标为
A (10,0)，C (0,3)，点E是边OA的中点，点F在BC边上运动，当△OEF是腰长为5 的等腰三角形时，则
点F的坐标为________．
【答案】(1,3)或(4,3)或(9,3)
【分析】根据点的坐标与线段的中点求出OA ,BC ,OC ,OE的长度，根据等腰三角形的性质与勾股定理求
解即可．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，点A，C的坐标为A (10,0)，C (0,3)，
∴OA = BC =10,OC = AB =3,∠OCF =90°，
∵点E是边OA的中点，
∴OE = AE = 1
2 OA =5，
∵△OEF是腰长为5 的等腰三角形，OE =5，
∴当OF =OE =5时，
在Rt△OCF中，OC =3,OF =5,CF =√5
2−3
2= 4，
∴点F的坐标为(4,3)，
当EF =OE =5时，
如图1 所示，过点F作FK ⊥OA交OA于点K，
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，
∴FK =OC =3,CF =OK，
在Rt△FEK中，FK =3, EF =5, EK =√5
2−3
2= 4，
∴CF =OK =OE−EK =1，
∴点F的坐标为(1,3)；
如图2 所示，过点F作FM ⊥OA交OA于点M，
，
∴FM =OC =3, FB = MA，
在Rt△FEM中，FM =3, EF =5, EM =√5
2−3
2= 4,
∴FB = AM =OA −OE−EM =1，
∴CF =CB−FB =9，
∴点F的坐标为(9,3)；
综上所述：点F的坐标(1,3)或(4,3)或(9,3)．
16．（3 分）已知抛物线y =a x
2+bx +c（a<0，a，b，c为常数）．对称轴为直线x =−1，该抛物线与x
轴的一个交点在点(−3，0)和(−4，0)之间．则下列结论：
①abc>0；
②2a−b=0；
③一元二次方程a x
2+bx +c =0的两根x1，x2，则x1+ x2=2；
④对于任意实数m，不等式a(m
2−1)+(m−1)b≤0恒成立；
⑤(3a+c)(8a+c)<0．
其中正确的说法有___________（填序号）．
【答案】①②⑤
【分析】考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴、与坐标轴的交点、根与
系数的关系及函数的最值等知识．
根据对称轴为直线x =−1可得b=2a，判断②正确；由a<0和与x轴交点位置可得c>0，从而abc>0，判
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断①正确；根据根与系数的关系可得x1+ x2=−2，判断③错误；代入b=2a后不等式不恒成立，判断④错
误；由函数值符号可得3a+c>0和8a+c<0，判断⑤正确．
【详解】解：∵对称轴为直线x =−1，∴−b
2a =−1，即b=2a，故2a−b=0，②正确；
∵a<0，∴b=2a<0，
∵抛物线与x轴的一个交点在点(−4,0)和(−3,0)之间，另一个交点关于对称轴对称，在(1,2)之间，
∴两根之积x1 x2= c
a <0，又a<0，∴c>0，
故abc>0，①正确；
由根与系数的关系，x1+ x2=−b
a =−2，故③错误；
将b=2a代入不等式：a(m
2−1)+(m−1)b=a(m
2−1)+2a(m−1)=a(m
2+2m−3)=a(m+3)(m−1)，
∵a<0，
∴a(m+3)(m−1)≤0等价于(m+3)(m−1)≥0，解为m≤−3或m≥1，不恒成立，故④错误；
由函数值符号：当x =1时，y =a+b+c =3a+c>0；当x =2时，y = 4 a+2b+c =8a+c<0，
∴(3a+c)(8a+c)<0，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
三、解答题（共72 分）
17．（8 分）计算和解方程
(1)计算：√45÷√5−√
1
3 ×√15+√20；
(2)解方程：2 x
2−5 x +3=0．
【答案】(1)3+√5；
(2)x1= 3
2 , x2=1
【详解】（1）解：√45÷√5−√
1
3 ×√15+√20
=√45÷5−√
1
3 ×15+2√5
=3−√5+2√5
=3+√5；
（2）解：2 x
2−5 x +3=0
x
2−5
2 x =−3
2
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x
2−5
2 x + 25
16 =−3
2 + 25
16
(x−5
4)
2
= 1
16
则x−5
4 = 1
4 或x−5
4 =−1
4
解得x1= 3
2，x2=1．
18．（8 分）已知关于x的一元二次方程( x −3)( x −2)−m
2=0．
(1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根α ，β满足α
2+ β
2=17，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m=±√2
【分析】考查了一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的根的判别式Δ=b
2−4 ac和一元二次方程的根与系数
的关系：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有
实数根;
（1）先把方程( x−3)( x−2)−m
2=0，变形为x
2−5 x +6−m
2=0，得出Δ=25−4(6−m
2)=1+ 4 m
2>0
，即可得出答案；
（2）先把方程( x −3)( x −2)−m
2=0，变形为x
2−5 x +6−m
2=0，然后计算两根之和以及两根之积，代
入求值的代数式计算即可．
【详解】（1）证明：整理原方程得，x
2−5 x +6−m
2=0，
∴Δ=25−4(6−m
2)=1+ 4 m
2，
∵无论m为何实数，总有4 m
2≥0，从而1+ 4 m
2>0，
即Δ>0．
∴无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得方程( x −3)( x −2)−m
2=0整理得x
2−5 x +6−m
2=0，
∵方程( x−3)( x−2)−m
2=0的两个实数根α、β，
，α + β =5，αβ =6−m
2，
∴α
2+ β
2=(α + β)
2−2αβ =25−2(6−m
2)=13+2m
2=17，
∴解得m=±√2．
19．（8 分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，AE =CF．
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(1)求证：DE = BF；
(2)连接BE，DF，请添加一个条件，使四边形BEDF是菱形．（不需要说明理由）
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC ,BD是平行四边形的对角线，
∴OA =OC ,OB =OD，
∵AE =CF，
∴OA −AE =OC −CF，即OE =OF，
在△DOE和△BOF中，¿，
∴△DOE ≌△BOF (SAS)，
∴DE = BF．
(2)BE = DE（答案不唯一）
【分析】（1）利用平行四边形的性质“对角线互相平分”以及等量代换证明；
（2）根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等”证得四边形BEDF是平行四边形，根据菱形的判定
得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：当BE = DE时，四边形BEDF为菱形，理由如下：
如图所示，
，
由（1）知△DOE ≌△BOF，
∴DE = BF ,∠ODE =∠OBF，
∴DE∥BF，
又∵DE = BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE = DE，
∴四边形BEDF是菱形．
20．（8 分）如图，直线l1: y =kx−8与y轴交于点B，与x轴交于点A，与直线l2: y =−2 x交于点
C (a,−4)．
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(1)根据图象直接写出不等式kx −8≥−2 x的解集是__________；
(2)求直线AB的解析式；
(3)点D (m,0)是x轴正半轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交直线l1和l2于点E，F，当EF =6时，
m的值是__________．
【答案】(1)x ≥2
(2)y =2 x−8
(3)1
2或7
2
【分析】（1）先找到两直线的交点坐标，再根据“符合条件的部分在交点的左侧，则x小于交点的横坐
标，在交点的右侧，则x大于交点的横坐标”得出答案；
（2）求出交点C的坐标，再将点C代入l1: y =kx−8求解即可；
（3）根据题意将点E , F的坐标表示出来，再根据“横坐标相等的两点间的距离等于较大的纵坐标减去较
小的纵坐标”求解．
【详解】（1）解：∵点C是直线l1,l2的交点，
∴将点C (a,−4)代入l2: y =−2 x中，得−4 =−2a，解得a=2，
∴点C坐标为(2,−4)，
由图象可知，当x =2时，kx−8=−2 x，
当x>2时，kx −8>−2 x，
∴当x ≥2时，kx−8≥−2 x．
（2）解：由（1）知，点C坐标为(2,−4)，且点C是直线l1,l2的交点，
∴将点C (2,−4)代入l1: y =kx−8中，得−4 =2k −8，解得k =2，
∴直线AB的解析式为y =2 x−8．
（3）解：∵点D (m,0)，过点D作x轴的垂线分别交直线l1和l2于点E，F，
∴点E的坐标为(m,2m−8)，点F的坐标为(m,−2m)，
当点E在点F的下方，如图所示，
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，
则EF =−2m−(2m−8)=6，解得m= 1
2；
当点E在点F的上方，如图所示，
，
则EF =2m−8−(−2m)=6，解得m= 7
2；
综上所述，当EF =6时，m的值为1
2或7
2．
21．（8 分）如图，抛物线y =−x
2+(m−1) x +m与y 轴交于点(0,3)．
(1)m 的值为 ；
(2)当x 满足 时，y 的值随x 值的增大而减小；
(3)当x 满足0≤x ≤4时，y 的取值范围是 ；
(4)点P 为抛物线上一点，且S△APB=8，直接写出点P 的坐标为 ．
【答案】(1)3
(2)x>1
(3)−5≤y ≤4
(4)(1,4)或(1+2√2,−4)或(1−2√2,−4)．
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求出二次函数的解析式和把二次函数的解析式化
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为顶点式是关键．
（1）把(0,3)代入y =−x
2+(m−1) x +m即可得到答案；
（2）根据抛物线的对称轴和开口方向进行解答即可；
（3）根据二次函数的顶点坐标、当x =0与当x = 4时的函数值进行解答即可；
（4）求出AB = 4，设P(t ,−t
2+2t +3)，根据S△APB=8得到1
2 ×4×|−t
2+2t +3|=8，解得t =1或
t =1+2√2或t =1−2√2，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线y =−x
2+(m−1) x +m与y 轴交于点(0,3)．
∴把(0,3)代入y =−x
2+(m−1) x +m得到m=3 ，
故答案为：3
（2）解：由（1）得到抛物线解析式为y =−x
2+2 x +3=−(x −1)
2+ 4，
∴抛物线的对称轴为直线x =1，开口向下，
∴当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小；
故答案为：x>1
（3）∵抛物线y =−x
2+2 x +3=−(x−1)
2+ 4的顶点坐标为(1,4)，开口向下，
∴当x =1时，y 取得最大值为4 ,
∵当x =0时，y =−x
2+2 x +3=3，
当x = 4时，y =−4
2+2×4 +3=−5，
∴当x 满足0≤x ≤4时，y 的取值范围是−5≤y ≤4，
故答案为：−5≤y ≤4；
（4）解：当y =0时，−(x −1)
2+ 4 =0，
解得x❑
1=3, x❑
2=−1，
∴A (−1,0),B (3,0)，
∴AB = 4，
设P(t ,−t
2+2t +3)，
∵S△APB=8，
∴1
2 ×4×|−t
2+2t +3|=8，
即−t
2+2t +3= 4或−t
2+2t +3=−4，
解得t =1或t =1+2√2或t =1−2√2，
∴点P 的坐标为(1,4)或(1+2√2,−4)或(1−2√2,−4)．
故答案为：(1,4)或(1+2√2,−4)或(1−2√2,−4)．
22．（10 分）随着科技的发展，人工智能逐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“DeepSeek”两款人工
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智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低
于80分，用x表示，共分成四组：A：80≤x<85，B：85≤x<90，C：90≤x<95，D：95≤x ≤100），
下面给出了部分信息：“豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，
94，94，94，95，96，97，98．“DeepSeek”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94．
“豆包”和“DeepSeek”得分统计表
软件
平均数
中位数
众数
豆包
92
93
a
DeepSeek
92
b
97
“DeepSeek”得分的扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a=__________，b=__________；
(2)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，
记作m50，前半部分数据的中位数记作m25，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作m75，称为上四
分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数m25是__________；
(3)若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“DeepSeek”进行了评分，估计其中
对这两款人工智能软件非常满意（95≤x ≤100）的总用户数．
【答案】(1)94，94
(2)89.5
(3)对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人．
【分析】（1）根据众数定义求出a的值；先求出“DeepSeek”得分中，A组和B组的用户数，结合C组数据
根据中位数的定义即可求出b的值．
（2）根据下四分位数的定义进行解答即可．
（3）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：“豆包”得分出现次数最多的是94，
∴众数a=94．
“DeepSeek”得分在A组的用户数为：20×20 % = 4，
在B组的用户数为：20×10 % =2，
则“DeepSeek”得分从低到高排列后排在第10和第11的得分分别为94，94，
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故b= 94 +94
2
=94．
（2）方法1：
解：∵20×25 % =5，
∴排在第5，6 位数分别是89，90，
∴“豆包”得分的下四分位数为m25= 89+90
2
=89.5．
方法2：
解：由数据可知，“豆包”得分这组数据的下四分位数为前10个数据的中位数，
∴m25= 89+90
2
=89.5．
（3）解：4
20 ×1000+ 40 %×1200=680（人）
答：对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人．
23．（10 分）某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练．如图是小
明训练投篮时的示意图，身高1.75 米的小明将篮球从头顶上方0.25 米处出手，已知篮筐中心到地面的距离
为3.05 米，当距出手处的水平距离为2.5 米时，篮球达到最大高度为3.25 米，篮球的轨迹示意图可近似看
作抛物线的一部分，以小明起跳点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45 米，则在球上升的过程中，
小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？
(3)已知小明在距篮筐水平距离3.8 米的位置，在只改变起跳高度的情况下，通过计算说明小明要竖直起跳
多少米才能直接投中？
【答案】(1)抛物线的解析式为y =−0.2(x −2.5)
2+3.25；
(2)在球上升的过程中，小刚与小明的距离在0.5 米以内才能在空中截住篮球；
(3)小明要竖直起跳0.138 米才能直接投中．
【分析】考查了二次函数的实际应用.
（1）设抛物线的解析式为y =a(x −2.5)
2+3.25，把点(0，2)代入求解即可；
（2）将y =2.45代入y =−0.2(x−2.5)
2+3.25计算即可；
（3）设改变起跳高度后的抛物线解析式为y = −0.2(x −2.5)
2+3.25+ k ，将点(3.8，3.05)代入计算即可.
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【详解】（1）解：由题意可得抛物线顶点坐标为(2.5，3.25)，
∵1.75+0.25=2（米），
∴当x =0时，y =2，
设抛物线的解析式为y =a(x−2.5)
2+3.25，
把点(0，2)代入y =a(x −2.5)
2+3.25，
解得a=−0.2，
∴抛物线的解析式为y =−0.2(x −2.5)
2+3.25；
（2）令y =2.45，则2.45=−0.2(x−2.5)
2+3.25，
解得x1=0.5，x2= 4.5．
∵要在球上升的过程中截住篮球，
∴x =0.5，
∴在球上升的过程中，小刚与小明的距离在0.5 米以内才能在空中截住篮球；
（3）∵改变起跳高度只是对抛物线进行上下平移，而篮球飞行的抛物线形状不变，
∴设改变起跳高度后的抛物线解析式为y = −0.2(x −2.5)
2+3.25+ k ，
∵小明距篮筐水平距离为3.8 米，篮筐中心到地面的距离为3.05 米，
将点(3.8，3.05)代入，
得3.05=−0.2×(3.8−2.5)
2+3.25+ k，
解得k =0.138，
∴小明要竖直起跳0.138 米才能直接投中．
24．（12 分）探索发现
如图（1），在矩形ABCD中，点G在边DC的延长线上，连接BG，作DF ⊥BG于点F，交BC于点E，
连接AF交BC于点H，BH = HF．
(1)求证：∠ADF =∠AFD；
(2)求证：AB =CG．
迁移拓展
如图（2），在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，过点D作DG⊥EF于点G，EF，BC的
延长线相交于点N，射线AG交BC于点M，若MN =GM，CF =1，DF =10．
(3)求AE的长；
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(4)直接写出MN的长．
【答案】(1)证明：∵BH = HF，
∴∠HBF =∠HFB
∵BF ⊥DF，
∴∠DFB =90°，
∴∠HFE =∠HEF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD ∥BC，
∴∠ADF =∠HEF，
∴∠ADF =∠AFD
(2)证明：如图，延长GB，DA交于点M
′，
∵M
′ D
∥BC
，
∴∠M
′ =∠HBF，
∴∠M
′ =∠AF M
′，
∴A M
′ = AF，
∵∠ADF =∠AFD，
∴AD = AF，
∴A M
′ = AD．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB = DC，AD = BC，∠DCB =∠BAD =90°，
∴A M
′ = BC，∠M
′ AB =∠BCG=90°，
∴△A M
′ B ≌△CBG (ASA)，
∴CG = AB．
(3)AE =5
(4)18
5
【分析】（1）根据等边对等角可得∠HBF =∠HFB，设∠HBF =∠HFB =α，得出
∠HFE =∠HEF =90°−α， 根据四边形ABCD为矩形，由平行线的性质，即可得出∠ADF =∠HEF
，等量代换即可得证；
（2）如图，延长GB，DA交于点M
′，证明△A M
′ B ≌△CBG (ASA)，根据全等三角形的性质即可得证；
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（3）延长DA，NE交于点K，证明AE垂直平分DK，连接DE，DE = KE，∠K =∠KDE，得出AE为
△KDF中位线，即可求解；
（4）在（3）的条件下，延长DG交BC于H
′，证明△AKE ≌△CD H
′，可得C H
′ = AE =5，
B H
′ = BC −C H
′ =6，AG = AD =11．在Rt△ABM中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）如图，延长DA，NE交于点K，
在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠N = ∠K，
∵GM = MN，
∴∠NGM =∠N，
∴∠K =∠NGM =∠AGK，
∵DG⊥EF
∴∠AGD =90°−∠AGK，
∵∠ADG =90°−∠K，
∴∠ADG =∠AGD，
∴AG = AD = AK，
∴AE垂直平分DK，
连接DE，DE = KE，∠K =∠KDE，
同理：∠EDF =∠DFE，
∴KE = DE = EF，
∴AE为△KDF中位线，
∴DF =2 AE，
∵DF =10，
∴AE =5．
（4）解：如图，在（3）的条件下，延长DG交BC于H
′，
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由（3）可得AE垂直平分DK，
∴AK = AD
∵AD = DC
∴AK = DC，
∵∠K =∠AGK =90°−∠AGD =90°−∠ADG =∠H
′ DC，
又∵∠KAE =∠DC H
′ =90°
∴△AKE ≌△CD H
′ (ASA)，
∴C H
′ = AE =5，∠D H
′C =∠KEA，
∴ B H
′ = BC −C H
′ =6，AG= AD =11．
∵AG= AD
∴∠ADG =∠AGD
∵AD∥BC
∴∠ADG =∠D H
′C
∵∠MG H
′ =∠AGD
∴∠MG H
′ =∠MG H
′，
∴MG = M H
′，
又∵MN =GM，
∴GM = MN = H
′ M
设GM = MN = H
′ M = x，BM =6+ x，
在Rt△ABM中，A B
2+ B M
2= A M
2，
∴11
2+(6+ x)
2=(11+ x)
2，
解得x = 18
5 ，
∴MN = 18
5 ．
