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1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 2026 年秋季九年级开学学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分) 1．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误． 故选B． 【点睛】此题考查轴对称图形，中心对称图形，解题关键在于对图形的识别. 2．已知 ，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质解答即可. 【详解】A. -2a<-2b，故该项错误； B. ，故该项错误； C.2-a<2-b，故该项错误； D. 正确， 故选：D. 【点睛】此题考查不等式的性质，熟记性质并熟练解题是关键. 3．如果 的对角线相交于点 ，那么在下列条件中，能判断 为菱形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相 垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 解：如图： ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形） ∴当 时，四边形 是菱形． 4．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义：把整式变形成整式乘积的形式，即可作出判断． 【详解】A、符合因式分解的定义，故本选项正确； B、结果不是整式的积的形式，因而不是因式分解，故本选项错误． C、是整式的乘法运算，因而不是因式分解，故本选项错误； D、不是对多项式进行的变形，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，正确理解定义是关键． 5．固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为 ．经过两轮技术迭代后，能量密度达到 ，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增 长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为 ，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长率问题的规律列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵初始能量密度为 ，每轮平均增长率为 ，共经过两轮迭代， ∴第一轮迭代后能量密度为 ，第二轮迭代后能量密度为 ， 3 / 20 学科网（北京）股份有限公司 又∵两轮迭代后能量密度为 ， ∴可列方程为 ． 6．如图，已知 ，以点 为圆心，以适当长为半径作弧，分别与 ， 相交于点 ， ，分别 以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内部相交于点 ，作射线 ．分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ， ，作直线 分别与 ， ， 相 交于点 ， ， ．若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明 ，推出 可得结论． 【详解】解：由作图可得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 为等腰直角三角形， ． 7．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的概念，对各选项逐一分析判断即可得解. 【详解】A. ，故该选项错误； B. 是整式的乘法，不是因式分解，故该选项错误； 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 C. ，不是因式分解，故该选项错误； D. ，正确. 故选D. 【点睛】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这个过程是因式分解. 8．若整数a 使关于x 的不等式组 有且只有3 个整数解，且使关于y 的分式方程 的解满足 ，则所有满足条件的整数a 的值之和为（ ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式 组的两个不等式，再根据不等式组只有3 个整数解得到 ，则 ，再解分式方程得到 ，根据 ，且 ，求出 ，且 ，由此确定整数a 的值，最后求和即可． 【详解】解：解不等式组 ， 解得 该不等式组有且只有个整数解，即三个整数解为 ， ，1， 解得 ． 解分式方程 得 ． ，且 ， ， ，解得 且 ． 综上， 且 ． 为整数， 或 ，即满足条件的整数 的值之和为 ． 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， 的坐标分别是 ， ， ，点 是平面内一点， 若以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标不可能是（ ） 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分三种情况，根据平行四边形的性质得出点 的坐标，即可解决问题． 本题考查了平行四边形的判定以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当 ， 时，点 的坐标为 ； ②当 ， 时，点 的坐标为 ； ③当 ， 时，点 的坐标为 ； ∴点 的坐标不可能是 ． 故选：B． 10．如图，在矩形 中， ， ．点 从点 出发，以 的速度在矩形的边上沿 运动，点 与点 重合时停止运动．设运动的时间为（单位：）， 的面积为 （单位： ），则随变化的函数图象大致为（ ） 6 / 20 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分点 在 、 、 上运动三种情况，分别求出与的函数关系式，根据函数类型判断图像 形状 【详解】解：∵ ， ，速度为 ， ∴点 在 上运动的时间为 ． 此时 ， ， ， ∴该段图像为过原点的线段； ∵在矩形 中， ， ∴点 在 上运动的时间为 ， 此时 ， 的高为 ， ， ∴该段图像为平行于轴的水平线段； ∵在矩形 中， ， ∴点 在 上运动的时间为 ， 此时 ， ， ， ∴该段图像为下降的线段． 综上所述，函数图像由三条线段组成．选项B 符合题意． 二、填空题 11．计算： ______． 【答案】 【分析】先进行绝对值的化简、开方、特殊角的三角函数、负整数指数幂运算，然后合并． 7 / 20 学科网（北京）股份有限公司 【详解】原式 故答案为： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了绝对值的化简、开方、特殊角的三角函数、负整数指数幂运算知 识点，属于基础题． 12．若关于 的一元二次方程 有不相等实数根，则 的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程判别式与根的情况关系，由题意得到判别式大于 ，代入方程系数计算后解不 等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有不相等实数根， ， ， ， ∴ ，解得 ． 13．重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心．某公司为了调动员工积极性，将公司员工分 成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集x 分，销售业绩第二名集y 分，销售业绩第三名集0 分（x＞y，且均为正整数），经过若干个月（超过4 个月）考核后，第一小组集分为23 分，第二小组集分 为20 分，第三小组集分为9 分，则第一小组最多得到_____次第二名． 【答案】8 【分析】根据题意，可得一共经过了： （个）月，超过4 个月，即x+y＜13，故x+y 可以为： 1，2，4，又因为x＞y，所以可得x＝3，y＝1，进而可以设第一小组有a 个月得第一名，b 个月得第二名， 根据题意可以列方程组即可得解． 【详解】解：根据题意，得 一共经过了： （个）月， 23+20+9＝52，x＞y， ∵ ＞4， ∴x+y＜13， 故x+y 可以为：1，2，4， 又∵x＞y，故x＝3，y＝1， ∴一共有13 个月， 设第一小组有a 个月得第一名，b 个月得第二名，根据题意，得 8 / 20 学科网（北京）股份有限公司 由①得：3a+3b≤39③ 由②得，3a＝23﹣b④ 将④代入③，解得b≤8， 当b＝8 时，a＝5， 答：第一小组最多得到8 次第二名． 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查不等式组与分式的实际应用，解题的关键是根据题意得到相应的式子进行求解． 14．一个多边形的内角和比四边形的内角和多 ，并且这个多边形的各内角都相等，则这个多边形的每 个外角等于__________ ． 【答案】45 【分析】首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，由此列出方程解出 边数，进一步可求出它每一个内角的度数． 【详解】解：设这个多边形边数为n，则（n-2）•180=360+720， 解得：n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， ∴它每一个外角也相等，度数为360°÷8=45°． 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角．解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题． 15．如图， 中，将 绕点A 顺时针旋转 得到 ，将 绕点C 顺时针旋转 得到 ，连接 ．点G、H 分别是 的中点，若 的面积是 ，则 _______． 【答案】1 【分析】根据 的面积和 ，可求出 的长，再结合中位线的性质可得出 的长． 【详解】解：过点E 作 的垂线，垂足为K， ∵ ， ∴ ． 9 / 20 学科网（北京）股份有限公司 根据旋转可知， ， 又∵ 的面积是 ， ∴ ， 则 ． ∴AB=2． 连接 交 于点P， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ． 由旋转可知， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 故点P 与点G 重合． 又∵点H 为 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，平行四边形的性质等考 点，熟知旋转的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 三、解答题 16．化简求值与解方程 (1)先化简，再求值： ，其中 ， ； (2)解一元二次方程： ． 【答案】(1) ， 10 / 20 学科网（北京）股份有限公司 (2) ， 【分析】（1）先计算括号里异分母分式减法运算，再将除法转化为乘法，约分即可得到化简结果，最后 将 ， 代入，由二次根式乘法运算计算即可得到答案； （2）由十字相乘因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， 当 ， 时，原式 ； （2）解： ， ， 或 ， 解得 ， ． 17．如图，已知点 ， ， ． (1)将 绕点 逆时针旋转 得 ，画出 ，并写出点 的对应点 的坐标为 ． (2)画出 关于原点成中心对称的图形 ；并写出点 的对应点 的坐标为 ． (3)在平面直角坐标系内找点 ，使得 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，则点 的坐标为 ． 【答案】(1) 解：如图， 即为所求， 11 / 20 学科网（北京）股份有限公司 则点 的坐标为 ， 故答案为： ． (2) 解：如图， 即为所求， 则点 的坐标为 ， 故答案为： ． (3) 或 或 【分析】（1）根据旋转的性质分别画出点 ，再顺次连接即可得 ，根据点 的位置写出坐 标即可得； （2）根据中心对称的定义分别画出点 ，再顺次连接即可得 ，根据点 的位置写出坐标 即可得； （3）分①组成的平行四边形是 ，②组成的平行四边形是 ，③组成的平行四边形是 三 种情况，分别根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】（1）略 （2）略 12 / 20 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：①如图，组成的平行四边形是 ， ， ， 将点 先向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度可得到点 ， 将点 先向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度可得到点 ， ， ，即为 ； ②如图，组成的平行四边形是 ， 同理可得： ； ③如图，组成的平行四边形是 ， 13 / 20 学科网（北京）股份有限公司 同理可得： ； 故答案为： 或 或 ． 【点睛】本题考查了旋转画图、画中心对称图形、平行四边形、点坐标的平移变换，熟练掌握旋转和中心 对称图形的画法是解题关键． 18．如图，四边形 是平行四边形， 交于点 ， ，且 ， ． (1)求证：四边形 是矩形． (2)若 ， ，求四边形 的面积． (3)求证：四边形 是菱形． 【答案】(1)证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴四边形 是矩形． (2) (3)证明：∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， 由（1）已证：四边形 是矩形， ∴ ， ∴四边形 是菱形． 【分析】（1）得出 ，进而得出 即可得证； （2）先求出 ，再求出 的长，进而求出 的长即可； （3）先得出四边形 是平行四边形，再得出 即可得证． 【详解】（1）略． （2）解：∵ ， ， ∴ ， 由（1）已证：四边形 是矩形， 14 / 20 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ， ∴在 中， ， ∴ ， ∴四边形 的面积为 ． （3）略． 19．已知关于 的一元二次方程 ． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2 倍，求 的值． 【答案】(1) 证明：∵ ， ， 该方程总有两个实数根； (2) 的值为 或 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实 数根； （2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2 倍分两种情况列方程求解，即可得到 的值. 【详解】（1）略 （2）解： ， 解得 ， ， 方程的一个根是另一个根的 倍， 分两种情况讨论： 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 综上， 的值为 或. 20．阅读以下材料． 材料：因式分解： ． 15 / 20 学科网（北京）股份有限公司 解：将“ ”看成一个整体，令 ，则原式 ． 再将“ ”还原，得原式 ． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： ； (2)因式分解： ； (3)试证明：无论 为何值，式子 的值一定是一个不小于2 的数． 【答案】(1) (2) (3)证明：令 ， ， 将 还原， ， 无论 为何值 ， ， 即式子 的值一定是一个不小于2 的数． 【分析】（1）令 ，则原式可化为 ，运用完全平方公式因式分解，再将“m”还原即可； （2）令 ，则原式可化为 运用完全平方公式因式分解，再将“m”还原，注意还 原之后能继续因式分解要继续分解； （3）令 ，则原式可化为 ，配方法得到 ，将“m”还原之后可化为 ，根据 即可得解． 【详解】（1）解：令 ， ， 将“ ”还原，得 ； 16 / 20 学科网（北京）股份有限公司 （2） 解：令 ， ， 将“ ”还原，得： ； （3）证明详见答案 21．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用 了1620 元，购买乙种用了3600 元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2 倍，乙种滑动变阻器单价比 甲种单价贵5 元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100 个，总费用不超过4800 元，那么该校最少购买多少个甲种 滑动变阻器？ 【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价为45 元/个，乙种滑动变阻器的单价为50 元/个 (2)最少可以购买40 个甲种滑动变阻器 【分析】（1）列分式方程解决问题； （2）列一元一次不等式解决实际问题． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x 元/个， 由题意得 ， 解得 ， 经检验： 是原方程的根，并符合题意， 元/个， 答：甲种滑动变阻器的单价为45 元/个，乙种滑动变阻器的单价为50 元/个； （2）解：设购买甲种滑动变阻器m 个， 17 / 20 学科网（北京）股份有限公司 由题意得 ， 解得 ， 答：最少可以购买40 个甲种滑动变阻器． 22．长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80 元，销售价为120 元时，每天可售出20 件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120 元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量， 增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件．设每件童装降价x 元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x 的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200 元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】(1) ， (2)每件童装应该降价 元 【分析】（1）根据“每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件”列出代数式即可； （2）根据总利润 销售量单件利润，列出关于 的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件．设每件童装降价x 元， ∴采取降价措施后，每天可销售 件，每件盈利 元 （2）解：由题意得 ， 整理得 ， 解得 ， ， ∵要使优惠力度最大， ∴ ， ∴每件童装应该降价 元． 23．已知菱形 和等边 ， ． (1)当E，F 分别在 的延长线上时（如图1），连结 ． ①求证： ； ②连结 ，交 于点N（如图2），取 的中点M 连结 ．若 ，求 的长； (2)当点F 在 的延长线上时（如图3），连结 ，分别取 的中点M，N，连结 ．若 ， ，求 的长． 18 / 20 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①利用等边三角形的性质可证 ，即可证 ； ②连结 ，先证明点N 为 的中点，则 为 的中位线，则 ，由于 为等边三角形 边上的高，可通过解直角三角形求得，故 也可求出． （2） 过点C 作 于点G，取 的中点Q，连结 ， ， 先由等边三角形 求得 的长，再由 求得 的长，进而求得 的长，接着求得 的长， 设法证明 是等边三角形，则 ，即可求解． 【详解】（1）①∵四边形 是菱形， ∴ ， ∵ ∴ 是等边三角形 ∴ ∴ 也是等边三角形． ∴ 即 ． ∵ 是等边三角形， ∴ 在 中， ∴ ∴ ②连结 ， ∵ ， ， 19 / 20 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ，又 ∴ ∴ ∵M 是 中点 ∴ 是 的中位线 ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴ ，又由 是等边三角形得 ∴ ， ∴ （2）过点C 作 于点G，取 的中点Q，连结 ， ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ， ， ∴ ∴ 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 是 的中位线， 是 的中位线 ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ∴ 是等边三角形， ∴ ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的证明、三角形中位线定理的应用、勾股定理的应用 等知识点，解题的关键是作出恰当的辅助线．
