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第1页/共9页 学科网（北京）股份有限公司 2026 年河北省初中学业水平考试（九年级） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷总分120 分，考试时间120 分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题 卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题意） 1. 计算：a a b b + + + = （ ） A. 2ab B. 2 2 a b + C. 2 2 a b D. 2 2 a b + 2. 如图，点P 在直线AB 外，点C 是直线AB 上的动点，则1 与 2 的关系一定成立的是（ ） A. 1 2 B. 1 3 2 = C. 1 2 90 −= D. 1 2 180 += 3. 计算： 1 30 6 = （ ） A. 5 B. 5 C. 5 6 D. 6 5 4. 河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图1 所示）是汉代颇具代表性的香薰器物．将它近似地看成由圆 锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2 所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是（ ） 第2页/共9页 学科网（北京）股份有限公司 A. 三角形 B. 矩形 C. 半圆 D. 菱形 5. 嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料 的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用6g 红色颜料和4g 黄色颜料调配出的颜色 属于（ ） A. ①类 B. ②类 C. ③类 D. ④类 6. 计算： 2 2 1 1 x x x x x − − = − − （ ） A. 1 x x − B. 1 x x − C. ( ) 2 1 − x x D. 1 x x + 7. 如图，将一个边长为a 的正方形分成6 个全等的矩形，若这6 个矩形周长之和比原正方形的周长多48， 则a 的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 8. 掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1 到6 的点数），若向上一面的点数之和为2 的概率与点数 之和为n 的概率相等，则n = （ ） A. 3 B. 4 C. 11 D. 12 9. 如图，在四边形ABCD中，AD BC ， 3 BC AD = ，过点A作AE DC 交BC 于点E ，将ABE 沿 第3页/共9页 学科网（北京）股份有限公司 AE 翻折，得到 AB E △ ．B A ，B E 分别与直线DC 交于M ，N 两点，则MB N 与ABE 的面积之 比为（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 8 10. 如图，在 O 中，ACB 所对的圆心角为150，点D 在AC 上．若 CBO n = ，则 ADC = （ ） A. 90 n + B. 180 n − C. 195 n − D. 2n 11. 平面直角坐标系中有 ( ) 1, A n ， ( ) ,6 B m ， ( ) , C m n 三点．若直线AB 经过原点，则点C 一定在 （ ） A. 函数 1 6 y x = 的图象上 B. 函数 6 y x = 的图象上 C. 函数 5 y x − = + 的图象上 D. 函数 6 y x = 的图象上 12. 如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为m ，n ，则m n − = （ ） 第4页/共9页 学科网（北京）股份有限公司 A. 1 8 B. 1 10 C. 1 12 D. 0 二、填空题（本大题共4 小题，每小题3 分，共12 分） 13. 计算： ( ) 4 6 −− = ________． 14. 某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中AB CD ，BD DE ⊥ 于点D ，AC DE ⊥ 于点E ，若 60 BAC = ， 4m AB = ，则CE = _________ m ． 15. 已知关于x 的一元二次方程 2 1 0 4 x x m + + = 有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则m = _________． 16. 一游客计划从A 地出发到B，C，D 三地旅游，然后回到A 地．该游客到三地的先后顺序不确定，且 每个地方只到1 次，如A D B C A → → → → ．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交 通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为_________百元． 三、解答题（本大题共8 小题，共72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程、解不等式： （1）3 12 x x = + ； （2） 1 3 2 x x − − ． 18. 用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： 2 2 2 2 98 98 2 2 = − + ( ) ( ) 2 98 2 98 2 2 = + − + 100 96 4 = + 9604 = ． 第5页/共9页 学科网（北京）股份有限公司 （1）证明 ( )( ) 2 2 a a b a b b = + − + ，并用以上方法计算 2 99 ； （2）计算：( ) 2 105 − ． 19. 按要求解答下列问题： （1）尺规作图：如图1，在ABC 中，作出AB 边的垂直平分线l ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，在ABC 中， 2 BAC B = ，点D 在BC 边上，且DA DB = ．若 6 AC = ， 9 BC = ，求 线段CD的长． 20. 为培养学生的劳动观念和家庭责任意识，某中学开展了“家长家务劳动时长”调查活动．在某一周， 每名学生统计自己家长每天整理收纳、烧菜做饭、洗衣清扫等家务劳动时间，计算出家长日均家务劳动时 长t （单位：h）并提交．（计算方法： 7 t = 家长一周家务劳动时间总和 参与家务劳动的家长人数 ） 【收集数据】 淇淇随机抽取了40 名同学提交的数据，如下： 3.6，2.1，1.9，3.2，2.4，3.1，2.0，2.6，1.9，3.2 1.3，2.8，2.9，1.4，2.1，2.5，1.7，3.5，2.6，2.6 2.3，3.7，2.7，1.9，3.3，2.0，2.6，2.0，1.6，2.8 3.4，2.5，2.1，2.2，1.8，2.4，3.0，2.5，3.5，2.3 【整理数据】 淇淇将数据适当分组后，绘制了如图所示的不完整的频数直方图． 【分析数据】 第6页/共9页 学科网（北京）股份有限公司 （1）补全上面的频数直方图；估计全校学生提交的数据中， 2 25 t . 的占比为____________%． （2）把频数直方图中各组数据用该组的中间值来代替（如1.25 1.75 − 的中间值为1.5），并利用图中信 息，计算这40 名学生提交的家长日均家务劳动时长的平均数t ． （3）资料显示，我国6 周岁以上居民的日均家务劳动时长约为1.28h ，淇淇发现t 与之相比有明显差异， 请结合统计知识分析原因．（写出一条即可） 21. 在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动 报告． 主题 求生活中的圆弧长 研究内 容 本次活动选取学校的铅球场地， 将场地的一部分抽象为扇形OPQ （如图1 所示），已知扇形OPQ 所在圆的半径OM PQ ⊥ 于点 N ， 10.00m OP ，用不同的方 案分别求PQ 的长l ． 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方 案与实 践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测 量PQ 的长． 测量数据： 第一次6.36m 第二次6.32m 用测角仪测角， 利用弧长公式计 算PQ 的长． 测量数据： 36 POQ 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》 中收录了近似计算圆弧长度的“会圆 术”．图1 中，弧长 2 MN l PQ OP = + ． 测量数据： 6.20m PQ 0.50m MN 反思应 用 取两次测量结 果的平均数， 利用弧长公 式，…… 根据“会圆术”，…… 第7页/共9页 学科网（北京）股份有限公司 则 6.34m l = ． ①方案一可通过____________的 方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验 解决一些生活中的问题． 如图2 所示，公园里一座桥的主 桥拱是圆弧形，已知其跨度AB 为6m，拱高CD为1m，虽然弧 长AB l 和圆心角 AEB 不方便测 量，但可以通过计算近似得出． 计算过程如下：…… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： （1）写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） （2）分别利用方案二（结果保留π ）和方案三计算PQ 的长l ； （3）求图2 中弧长AB l 和圆心角 AEB ．（π 取3.1） 22. 某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时t （分钟）的模型： 1 2 t t t = + ．其中，1t kx = （k 为常数），x （千米）表示登山路线的长度；2 150 t h = ，h （千米）表示山顶与起点的海拔高度 差．从A 出发到山顶M 的路线及相关数据如图所示．（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息 和必要的预留时间） （1）①求k ，h 的值； 第8页/共9页 学科网（北京）股份有限公司 ②计算路线3 的长度． （2）已知山顶M 的海拔高度为1000 米，B 在图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高 度（单位：米）．若该登山爱好者从B 出发到山顶M 的路线长度为3 千米，根据本题模型，求该登山爱好 者登到山顶M 的预估用时． 23. 如图，二次函数 ( )( ) 3 y x t x t = − − （其中 0 t ）的图象与x 轴交于A，B 两点（点A在点B 左侧）， 与y 轴交于点C ，顶点为P ．将点B 绕点A顺时针旋转90得到点D ． （1）若 1 t = ，求直线PD的函数表达式，并判断点C 关于二次函数图象对称轴的对称点C是否在直线 PD上； （2）当3 6 x 时，二次函数的最大值为9，求t 的值； （3）连接OP ，当点D 不在直线OP 上时，过点D 作直线DE OP ∥ 交y 轴于点 ( ) 0, E m ，请直接写出 m 的最小值． 24. 如图1 和图2，在ABC 中， 10 AB AC = = ， 12 BC = ，正方形DEFG 的顶点D ，E ，F 分别在 ABC 的三边AB ，BC ，CA 上．当点D 从点B 出发沿BA 向点A移动时，点E ，F 随之分别在BC ， CA 上移动（正方形DEFG 的大小发生变化），当点F 与点C 重合时，移动停止． （1）tan ABC = ____________． （2）如图1，当 45 BED = 时，求证：BE CE = ． （3）①如图2，当 20 7 BD = 时，求BE 的长； 第9页/共9页 学科网（北京）股份有限公司 ②当 40 7 BE = 时，直接写出正方形DEFG 的边长． （4）在移动过程中，每当点G 移动1 个单位长度时，点E 均移动d 个单位长度，直接写出d 的值．
