精英数学大视野(9年级)_2026秋初中教辅合集_黄东坡数学系列_《黄东坡系列•学科精英大视野》7-9（数学物理化学）

丸
竿
级
学
科
精
英
大
视
野
系
列
丛
书
问
题
览
胜
思
维
锤
炼
文
化
积
淀
审
美
引
领
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黄东坡
数学教育学硕士，国家级骨干教师，中国数学奥林
匹克高级教练。多年来关注数学和数学教育的进展，致力于中考
数学和奥林匹克数学的研究。代表作《培优新方法~
{探究应用
新思维~
{学科精英大视野~
{ 优与雅的初中代数~
{爱与恨的
初中平面几何~
{带你发现数学之美》自出版以来深受广大师生
欢迎，畅销千万册，成为全国许多重点中学开展学科课外活动的
指定教辅读物。
M 
1
学科精英大视野系列丛书j
精英数学大视野
七年级
精英数学大视野
八年级
联系地址.武汉市洪山区雄楚大道268号
湖北出版文化城B座15楼
淘宝地址:湖北人民出版社旗舰店
t建雹(中E丑曰Ii'l 'í_l1l;':J1，'J I 
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精英物理大视野
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编: 430070 
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精英物理大视野
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作者地址
，湖北省水果湖第二中学
精英化学大视野
九年级
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编
430071
3露
王辅旗舰店
草草脱脱店
晒盟圃跚跚
责任编辑朱子飞
封面设计刘舒扬
定价: 38 . 00元
学
科
精
英
大
视
野
系
列
丛
书
九
年
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食
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食
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俱怀逸兴壮思飞
欲上青天揽明月
文化视野下的精英数学
-主立_..
'lÞ. '. 
目。吕
)
美国国家研究委员会发表的《人人关心数学教育的未来》一书强调，国与国
之间的竞争是高新技术的竞争，而高新技术竞争的背后是具有创造力的拔夫人
才的竞争，很少有人知道，高新技术的本质是数学化的技术。
本书为有志于升入重点中学的学生而著，为未来学科带头人、各行业领军
人而作。
追求在广阔的文化背景下，用思想方法武装头脑，用历史名题开启心
智，用问题解决锤炼思维，用人文精神滋养心灵，用审美视角引领鉴赏。
旨在打
造未来精英的核心能力构成:专业素养、理性思维、人文情怀、审美眼光。
本书展现了隽永的图景，或是数学大师的风采展示，或是数学成采的呈现，
或是数学名著的介绍，或是数学重大事件的再现，把抽象的数学化为视觉化的
形象，通过图示形象地渗透数学的思想、方法、精神，直观地反映数学与自然、数
学与现实、数学与其他学科的联系。在阅读本书的过程中，重温厚重而曲折的
数学历史，领略数学的力量、神韵、美丽。
本书收录的历史上经典数学名题、趣题，或来自民间传说，或由文化名流编
撰，或是数学大师的研究成采，它们是数学大花园中的奇花，因内涵丰富、匠心
独具而流传千古。在思考这些名题、趣题的过程中，从惊讶到思考而开启心智，
品鉴经典名题的醇香韵味。
本书汇集了近年国内外中考、有赛的优秀试题，或是引而不友的点拨，或是
深入浅出的分析，或是刨根究底的探索，或是开放思维的发散，或是言简意肢的
总结，或是直抵心灵的感悟。在解决这些问题的过程中，感受解题之道、思维之
关，体会由一筹莫展、冥思苦想到茅塞顿开、悠然，心会的巨大乐趣。
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一一
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要引精英主坦雪系到丛雪
交豆豆口川
二三
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仁=t
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潮平两岸阔，风正一机悬。
走进《大视野>> ，身
11各数学文化场景:既有情境，又有历史;既有方法，又有思
想;既有真知，又有顿悟;既有趣味，又有哲忠、。
蕴万安于胸，纳百川于怀。
走进《大视野>> ，收获的是技巧与方法，激活的是质疑与想象，提升的是意识
与美感，生成的是智慧与能力。
高远而蔚蓝，广哀而深远。
愿你早日成为未来科技英才、文化精英。
黄东坡
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食
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让
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一---直A
第1 讲
第2 讲
第3 讲
第4 讲
第5 讲
第6 讲
第7 讲
第8 讲
第9 讲
……………·… 去
ι」、，队，;.
: 
β 告飞
L-J 
~_j、.. 
一元二次方程………………………………
1
确定主元………………………………………
3
根的判别式…………………………………
9
判别式法……………………………………
11
韦达定理……………………………………
17
关系逆用……………………………………
19
构造方程……………………………………
25
像建筑师一样思考……………………………
27
一元二次方程的整数解……………………
32
视角和视野
…………………………………
34
一元二次方程的应用………………………
39
当梯子下滑后
……………………………… 41 
可化为一元二次方程的方程、方程组……
48
认知封闭
…… ………… ……………………
51
二次函数……………………………………
57
参数思想
……………………………………
60
二次函数与二次方程………………………
67
函数的零点式
……………………………… 69 
飞、
CONTENTS ':
第10 讲
二次函数的应用…………………………
77
构造函数……………………………………
79
第11 讲
第12 讲
第13 讲
第14 讲
第15 讲
代数最值…………………………………
86
逐步调整……………………………………
89
代数结构…………………………………
96
轮换对称式…………………………………
98
概率初步…………… … …………………
102
简约思维… ………… … …………………
105
旋转变换…………………………………
110
相似与旋转………………………………
113
锐角三角函数……………………………
122
三角法
…… ……… ……… …… ……… … ……
124
A~~、，';
噬
学到精英本理野系到丝费
也口乏芳
:
第16 讲
第17 讲
第18 讲
第19 讲
第20 讲
第21 讲
第22 讲
第23 讲
第24 讲
第25 讲
第26 讲
第27 讲
第28 讲
第29 讲
第30 讲
第31 讲
呵龟
1--1
，，_.，、
圆的基本性质……………………………
133
一中同长…………………………………
136
园中角……………………………………
143
追本溯"圆"
………………………………
146
直线与国…………………………………
153
最佳视点…………………………………
156
圆与国……………………………………
164
偶然与必然………………………………
167
园中比例线段……………………………
174
整数几何…………………………………
176
辅助圆……………………………………
183
正多边形与圆
…………………………… 186 
三角形的四心……………………………
193
含60 。内角的三角形
………………………
195
几何最值…………………………… ……
202
α + kb 型最值………………………………
205
几何定值…………………………………
214
一类定值问题的发现………………………
217
点的轨迹…………………………………
223
思维起点……… …………………………
226
配方法……………………… …… ………
234
一步之遥
…………………………………
236
反证法……………………………………
241
正难则反… ………………………………
243
构造法……………………………………
248
柯西不等式… ……………………………
251
局部与整体… ……………………………
257
系统思维
…………………………………
259
以退求进…………………………………
265
巧用任意性
………………………………
268
极端原理…………………………………
273
必胜策略…………………………………
276
文J
飞、CONTENTS :，
Ifi:.\';' 
如
知能概述
阿贝尔0802-1829) ，挪威数学家. 16 世
纪，意大利数学家发展了求解三次方程和四
次方程的解法，人们把目光落在五次或更高
次方程的求根公式上，然而近三百年的探索
一无所获，阿贝尔证明了五次或更高次方程
的一般解法不存在，解决了这个世纪难题.
第1 讲
一元二次方程
l 
. …' 
配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，分类讨论
是解含参数或绝对值的一元二次方程的关键.
解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不
便，若能运用变形降次、整体代入等思想方法，则能使问题获得简解.
如
问题解决
例1
设a ，b 是整数，方程工2 十ax+b=O 的一个解是)4-2万，则。+
b 的值是
(四川省竞赛题)
融题思路
)4-2万=13- 1，回到定义中去，把13-1 代人原方程，建
立a ，b 的关系式.
倒2
用以]表示不大于工的最大整数，则方程x 2 - 2[xJ-3=0 的解的
个数为(
). 
A. 1 
B. 2 
c. 3 
D. 4 
(全国初中数学联赛题)
解题思路
由[xJζz 得x 2 -2x-3ζ 0 ，确定工的取值范围.
1 嘘
数学家的造型与
画家或诗人的造型一
样，必须关，不关的数
学在世界上是找不到
永久地位的.
一一哈代
三次方程的求根公式
求三次方程解的
路程是漫长而曲折
的.1545 年，意大利数
学家卡丹的《大法》一
书在德国纽伦堡出
版，书中刊载了意大利
数学家塔塔利亚的三
次方程工3 十ρx+q=O
的解的公式:
工=J-f十在工豆
叶一~-~丐
怎样推出此公式?
rì:.\l'fí:.\~ 
食
食
，传
食
食为
食肯
A u 
倒3
设方程工2 一12x 一1
1 -4 =0 ，求满足该方程的所有根之和.
(重庆市竞赛题)
篇题思路
通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一
元二次方程求解.
倒4
已知方程工2-mx十m+ 5=0 有二实根α ，卢，方程t 一C8m+ l) x十
15m + 7 = 0 有二实根α ，y ，求α2仲的值.
(北京市竞赛题)
理堕塾暨
α 是两方程的公共根，因两方程的根的表示式复杂，故从消
去二次项入手.
倒5
设方程X2+X一1 = 0 的两个根是町
，岛，求4x~ 十1 0x ~ 的值.
(湖北省黄冈市竞赛题)
理堕塾些
求出工，
，X2 的值再代人计算，显然较繁.解题的关键是利用根
的定义，变形降次，如xi+x ，=l,xi- 1=-x, ,xi= l -x, ，x~=CXi)2 • X ，等.
倒6
已知α 是正整数，如果关于工的方程/ 十Ca 十1 7)x2 +C 38 - ah
56 = 0 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.
理主1
γ
1 +Cα+ 17 ) + C38 - a) - 56=0 , 
: . x = l 为原方程的一个根，从而原方程可化为
Cx- 1) [x 2 + Ca + 1 8)x十5 6 J = 0 ，
.: x 为正整数，
(全国初中数学联赛题)
. 方程x 2 十(α 十1 8h +5 6 = OC方程①)的判别式今=Ca + 1 8 ) 2 一224
必为完全平方数.
挺J
学科精英大视野系列丛书
解含字母系数方
时，在未指明方程类
型时，应分α=0 及
a手0 两种情况讨论;
解绝对值方程需脱去
绝对值符号，并用到
绝对值的一些性质，
如Ix1 2 = Ix2 1 =x2 • 
公共根问题是一
元二次方程的常见问
题，解这类问题的基
本方法是:
(1)若方程便于
求出简单形式的根，利
用公共根相等求解;
(2)
设出公共
根，设而不求，消去二
次项.
入乎其内，故有
生气; 出乎其外，故有
高致.
有些复杂的方程
却有简单的根的表达
式，有些表面是方程
的问题，却需从等式
变形的视角去思考.
一元二次方程
ax 2 + bx 十c= O(a 手
0) 的根有下列基本
结论:
(1)若有无理数
根，则无理数根必成
对出现;
Ct.\c.\1fí:\ 
( 丸每缎)
女食
食
有食
*
合食
设(α 十18) 2 -224=m2 (m 为非负整数) ，则( α + 1 8)2- m 2 = 224
，即
(a + m + 18) (a-m+ 18) =224= 112 X 2= 56 X 4=28 X 8. 
又α+m 十18 与a-m+18 具有相同的奇偶性，且α +m+ 1 8 二三a-m+
18 ，a 十m + 1 8>18 ，
广+ 18 = 1 比或「+m+ 1 8=56 ，
a-m+ 18=2; 
--
α - m 十1 8=4;
Iα =39
， 
la = 12 , 
la =O , 
解得!
或1
或!
Im =55 ; 
Im =26 ; 
Im =10. 
la =39 , 
. la = 12 , 
又a 为正整数，所以
1
或!
Im =55 ; 
Im =26. 
当α=39 时，方程①的根为一1 和
56 ; 
当a=12 时，方程①的根为
2 和一28 .
或尸+ m + 18 =2 8 ，
| α-m 十四=8 .
综上所述，当α=39 时，原方程的三个根为
1 ，一1 和一5 6; 当α=12 时，
原方程的三个根为1，-2 和一28 .
鹏法2
原方程可化为( x 2 - x)a=56-38x-17x 2 - x 3 • 
② 
显然z手0 ，当工=1 时，②式恒成立.
当工手1 时，方程②可化为
56-38工一17x 2 - x 3 
，~56 
a=VV 
VU ...A,...z 
.L.
.....__ 
........ 
==-x- 1 8 一丁
二r -x 
.A.. 
56~ ~
. 
，，~， 56 
. 
a 为正整数，λ
-x- 18 - VV >0 ，:. x+ 18 十士<0.
x
二L
显然x<O ，所以x 2 + 18x+56>0 , 
解得x<- 1 4 或
4<x<0. 
又z 为整数，且x 156
，
:. x 可取
56 ，一28 ，-2 ，一1.
由韦达定理知( -56 ) X (-1) =(-28) X (-2) , 
若-56 和
1 为方程①的两个根，则一(α 十18) =-56- 1，即α =3 9;
若一28 和一2 为方程①的两个根，则
(α + 1 8)=-28-2 ，即a = 12.
综上所述，当α=39 时，原方程的三个根为1，一1 和
56 ; 当a= 12 时，
原方程的三个根为
1
，-2 和
28. 
确定主元
在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常
量，将原式重新整理成关于这个变元的按降幕排列的多项式，则能排除变元
间的干扰，改变观察问题的视角，简化问题的结构.
倒7
设走二三0 ，解方程x 3 +2 k x2 十走2 x +9 k +27=0 .
(上海交通大学自主招生试题)
篇题思路
原方程是关于工的二次方程，若视走为主元，则可整理得关
于走的一元二次方程.
3 
曾在
4眨
第
1 讲
一元二灰万程
(2)
若a + b +c =
0 ，则方程必有一根为
1;
若α -b+c=O ，则方年呈
必有一根为→1.
对于例
6 ，解法
1
由方程系数特点，发
现
1 为一隐含的根，
为高次方程转化为一
元二次方程解的讨论
创造了条件，这是解
题的关键;解法
2 转
换视角，将原方程整
理为关于a 的较低次
数的方程.
I::\~、I~
1.回归出发点
食
，传
食食
食女
食女
女
在解决数学问题时，我们经常要回到基本定义和基本方法去思考.试利用
方程的解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题:已知a 是关于工
的方程t 一(2k+ 1) x + 4 = 0 及3x 2 一(侃一1)x+8 =0 的公共解，则
a= 
，是=
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
2. 关于工的方程工2 -21 x 1 + 2018=m 有三个不同的实数根，则这三个实根
的和是
，实数m=
("希望杯"邀请赛试题)
2a 5 -6旷+2a 3 -a 2 -1
3.
已知α 是方程工2 -3x + 1 =0 的根，则分式
n 
的值
,ja 
是
(江西省竞赛题)
4. 设工1
，码是二次方程/十x - 3 = 0 的两个根，那么式子xî -4x; +19 的
值等于
( 江苏省竞赛题)
5.
已知关于工的两个方程X 2 -
X + 3m = 0 ，X 2 十x+ m =O(m手0) ，若前一个
方程中有一个根是后一个方程的某个根的
3 倍，则实数m 的值
是
("新知杯"上海市竞赛题)
6.
已知三个关于工的一元二次方程aj 十bx 十c= 0 ，bx2 +cx 十α =0 ，cx 2 + 
αx+ b = O 恰有一个公共实数根，则手+豆+兰的值为(
oc 
ca 
a o 
A. 0 
B. 1 
C. 2 
D. 3 
(全国初中数学联赛题)
7.
已知两个一元二次方程M:αx 2 +bx 十c=O; N : cx 2 十bx 十a=O 有一个公
共根1，且
5 是方程M 的根，但不是N 的根，则方程N 的另一个根
是(
). 
A. - 5 
B.
一1
I 
C. 
~ 
5 
D. 0 
("希望杯"邀请赛试题)
8. 如果方程x3 - 5x 2 十(4+k)x - k=0 的三个根可以作为一个等腰三角形
的三边长，则实数走的值为(
). 
A. 3 
B. 4 
C . 5 
D. 6 
(四川省竞赛题)
9 . 设方程(x - a) (x-b) - x=O 的两根为c ，d ，则方程(x- c) (x- d) 十x=O
的根为(
). 
o 
学科精英大视野系列丛书
数学解题伴随着
一个探索发现的过
程，需综合运用逻辑
思维与非逻辑思维，
在这一过程中，数学
审美起着潜在的诱发
作用，具体表现在:
以数学审美的眼
光去观察;
从数学审美的角
度去思考;
依数学审美的需
求作推测;
向数学审美的目
标去发现.
哈代
( 1877 
1 94 7) ，英国数学家.
哈代对数学界产生的
一个重大影响是他在
1908 年为剑桥大学
所写的教科书《纯粹
数学教程)). 
~~、l~
1乞食
食
、古食
，传
( 丸每缎)
食
*
A. a ,b 
B. - a ,- b 
C. c ,d 
D. -c ,-d 
(四川省竞赛题)
10. 若方程工2 -3x-l=0 的两根也是方程x 4 + ax 2 + bx 十c= O 的根，则α +
b - 2c 的值为(
). 
A.
二1 3
B. -9 
C. 6 
D . 0 
(全国初中数学联赛题)
1 1. 若关于z 的方程工2 十走z 一12 =0 与3x 2 - 8x - 3 走=0 有一个公共根，求
实数走的所有可能值.
(四川省竞赛题)
12
已知m ，η 是有理数，方程x 2 + mx 十η = 0 有一个根为冯±Z3乞求m +
n 的值.
( 全国数学通讯赛试题)
13. 试求方程x. 2 -2x-4Ix- l
l 十4= 0 的所有实数根的和.
14. 求方程x 2 -8[斗+7=0 的全部解，其中[x J表示不大于工的最大整数.
(全俄数学奥林匹克竞赛题)
15.
已知三个不同的实数a ，b ，c 满足ω - b 十c= 3 ，方程工2 + ax 十1=0 和
x 2 十bx 十c=O 有一个相同的实根，方程t 十x+ α=0 和工2 +cx 十b = O
也有一个相同的实根.求a
，b ，c 的值.
( 全国初中数学联赛题)
16. (1)解方程JJ3-JJ3石=x
("我爱数学"初中生夏令营竞赛题)
(2) 求所有的正整数数对付
，y) 满足x(x 十1) = y(y 十1)(/ + 1).
(爱沙尼亚数学奥林匹克竞赛题)
17.
在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数
根.比如对于方程
x. 2 -5 x+2 =0
，操作步骤是:
第一步:根据方程的系数特征，确定一对固定点A(O
，l) ,B(5 ,2); 
第二步:在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A
，另
一条直角边恒过点B;
第三步:在移动过程中，当三角板的直角顶点落在z 轴上点C 处时，点C
的横坐标m 即为该方程的一个实数根(如图①) ; 
第四步:调整三角板直角顶点的位置，当它落在z 轴上另一点D 处时，
点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根.
y 
工
图①
(第
17 题)
y 
A 
O 
. B(5,2) 
工
图②
5 
、
哈
第
1
1井
-元二灰万程
与静巳臭萨
酒'回帽r
~回咱国二
~~~ 
食
食
食
食
食~
食女
A u 
(1)在图②中，按照"第四步"的操作方法作出点Ð( 请保留作出点D 时
直角三角板两条直角边的痕迹) . 
(2) 结合图①，请证明"第三步"操作得到的m 就是方程X 2 -5x 十2=0
的一个实数根.
(3) 上述操作的关键是确定两个固定点的位置. 若要以此方法找到一元
二次方程ax 2 十bx十c=O (a手0 ，b2 -4ac二三0) 的实数根，请你直接写
出一对固定点的坐标.
(4) 实际上，(3) 中的固定点有无数对，一般地，当mj ,nj ,m 2 ，n 2 与α ，b ，c
之间满足怎样的关系时，点P(m j ,nj) ,Q(m2 ，n 2 ) 就是符合要求的一
对固定点?
(浙江省台州市中考题)
1 8. 若关于工的方程: x4 - 16x 3 + (81 - 2α )X 2 + (1 6α 一1 42)x + a 2 -
21α + 
68=0 的各根为整数，求α 的值并解此方程.
(江西省竞赛题)
19.
已知町
，句，工3 (X j <X2 <X 3 ) 为方程X 3 - 3X2 + (a + 2)x-a = 0 的三个
实数根，求4xj-xi+ x ; 所有可能值.
(白俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
• 
…- ~ 
• 
倒1
0 
由题意有(./3_1) 2 + a(./3 -1) + b = O ，即(a - 2)
./3+ 4 ←a 十b = O ，故a - 2= 0 ，4 - a十b = O ，得
a = 2 ,b= - 2 ,a+ b= 0. 
倒2
C 
由工2 - 2x - 3~ 0 得
1 ζzζ3 ，[xJ 只可能取值
1,0 ,1, 2,3. 
当[xJ= 一1 时，x2 =1 ，得x =- l;
当[xJ = O 时，矿= 3 ，没有符合条件的解;
当[xJ=l 时，x2 =5 ，没有符合条件的解;
当[xJ = 2 时，x2 = 7 ，得x =疗;
当[xJ=3 时，x2 =9 ，得x=3 .
倒3
当2z- l〉O FFZ〉÷ 时，原方程化为工2 - 2x- 3 = 0 ，解得矶= 3 ，工2- 一l(舍去) ; 当2工
1 =0 f'!r 
z=÷ 时，代入原材呈不符合，舍去; 当2z-1 〈O FFZ〈÷ 时，原方程化为x2 +2x-5=0 ，解得引=- 1 一点，
「
l+Z〉÷(舍去)故所有根之和为刊
1-16)=2-16 
倒4
.:
α 是两个方程的公共根，
• a2 -ma+m+ 5= 0
(
, 
Q2 一(8m + l) a + 1 5m +7= 0
②.
①一②得(7m + l) a= 2(7m + 1). 
若7m+ 1 =0 ，公共根日可取无穷多个值，这与公共根有有限个矛盾，因此7m 十1 手0 ，此时a=2 ，将a = 2
代入①，得m = 9 .
怒、ν
CX~=U 
程
后
灰
一
­
一
兀
讲
食
第
-R 
食
食
-m 
食
JL 
←
、
扩
回黯捧回国酣睡E冉即♂?若搜捕黯酣
.. 两个方程分别为x'- 9x 十14 =0 ,x' -73x+ 142 =0 , 
解得α = 2 ，卢=7 及a=2 ，γ=7 1，
故日2 卢y = 2 2 X7X 71 = 1988. 
倒5
工:= I -I1 ，同理工;= l 一句
，
x : = (X: )2 • x , = (1
工，) 2 x，=(1 -2工，+丘)x ，= (l - 2x ，十1 - X1)x1 = (2 - 3x' )x1 = 2x1 - 3x: 
= 2x, •
3(1 -x1) = 5x, •
3 , 
同理工;= 2工，-
1. 
房、式= 4(5工1 - 3) + 1 0(2工2 →1) =20( 工，+工，)-22=20X(- 1) 一22= - 42. 
倒7
~京方程化为工企'+ (2X 2 十9) 走十/十27 =0 .
工' -3x +9
. .
_
3
走::l::
.j (k-9)( 走+3)
解得走=-x- 3 或走=一一一一一一一，从而工，=- k -3
，工'.3-
2 
工
• 
耀
1. 1; 2 
2. 0;2018 
原方程可化为Ixl'- 2
l x
l 十2018 - m =0 ，原方程实根中必有一个为零
，此时2018-m=0.
2 
'" 
1
.... 
rr 
\_~ 
2旷(a 2 - 3a 十1) -(a 2 + 1 )
矿+ 1
3. - 1 
由题意得a ' - 3a 十1 = 0 ，J，?- 式=
内
= 
二
1. 
3α 
4. 0 
5.-2 
6. D 
三个方程相;加得α 十b 十c =O .
7. C 方程N 可变形为a(~)' + b(~ ) + C =O ，方程N 与方程M 的根互为倒数
8. B 
x= l 是方程的根，则(x - 1) (x 2 - 4工+ 走) =0 ，由条件知x=l 是x 2 - 4工+ 走=0 的根，或者工2
4x十走=。有两个相等的根，从而走=3( 舍去)或走=4 .
9. A
由(x-a)
(.1.'
的工= (.1.' - c)( 工
d) 得(.1.' -c) (x - d) 十x = ( .1.' - a)( .1.' - b).
10. A 
设工。是方程工' -3 .1.' - 1 =0 的一个根，则4
3工。
1 =0 ，即乓= 3x。十1
，x。也是矿十GZ2 十b.1.' +
c=O 的根，.. 工~ + ax~ + hxO + C=O ，得(3工。+ 1) ' + ax~ 十忱。十c=O ，即(9 十a) 工~ + (6 + 的工。+ c + 1 =0 ，此方程
9 十a
6 十b
c+1 
与工; -u。一1=0 表示同一个方程，.. 一「二τ3τ1 ，h=-3a-33
，c=-a 一10 ，a 十b -2c= 一13.
另解:设工4 十a .1.' 2 +b .1.' 十c=(x 2 - 3x 一1)(工2+ mx 十η) ，用待定系数法解.
{工~+缸。一12 =0
①，~.
~，~ 
36-3 走
1 1.
设工=.1.'。为两方程公共根，则(
①X 3 一②
得工=一一一一，代入①并化简得
l3 .1.'~ -8xo - 3k =0 ②~ 
,;' " 
L) 
v::v , -1 '.j.Á-o 
3 走+ 8
9k 3 + 15旷十50 4走一528 =0 ，即(走
1) (9旷+24走十528) =0 ，但9旷+ 24走十528 > 0 ，故k= l.
12. m 十月=3.
13.
原方程变形为(x- 1) 2- 4
I x - 1
1 十3 = 0 ，设y =x- 1
，得y' - 4
I y
l 十3=0 ，y 和- y 都为原方程的根，
此方程四个根和为y ，十y ，+ Y3 + Y4 = 0 ，故房、方程所有根的和为y ，十1 十y ，+l + Y 3 十1 + Y1+ 1 =4 .
14. 
.1." +7=8日:(; 8x ，f;!f .1.'2 - 8x+ 7 :(; 0 ，解得
1 :(;.1.':(; 7 ，参见例
2 ，进一步得x= l，j33, j4T, 7. 
15 .
为叙述方便，该题设中的四个方程依次为①、②、③、④.
Iα2 十aα + 1 =0 ，
设方程①和方程②的公共根为日，贝'J i 
0 
| α2 十bα 十c =O .
7 嗦
食
食
食
*
两式相减，和=C1.
α 一-0
食女
食
1.::
A 
'U 
M 可得，方程③和方程④的公共根州= ?二;
4 = 1 
注意到方程①的两根之积为1，则卢也是方程①的根，从而卢+ aß+ 1 =0 .
又{f + 卢+ α =0 ，
两式相减，得(α - 1)卢=α - l.
若α = 1 ，则方程①无实根，这与方程①有根矛盾，所以"手l.
..卢= l
，a= l. 于是α = -2 ，b十c=- l.
又α 一b +c=3 ，:.b= -3 ,c=2. 
学科精英大视野系列丛书
16. (1 )将原方程两边平方得x'-2 }3x2 -x十3-}3=0 ，设}3=α ，整理为关于α 的方程为旷
(2x2 + 1) α+ 
1 ::1:: Jï百万
一1 ::1:: J4万士;
x' - x = O. 解得α = x2 - x 或α =x2 +工+1，进一步得x =
或工-
n 
，经检验: 原方程
2 
1 斗V 4 J3-3 
的解为工=一一一」2二工v
v 
(2) 
J.东方程整理成一个关于工的方程，其判别式今=4y" + 4y ' 十4y' 十4y + 1. 若该方程关于工的解为整
数，则A 必为完全平方数，而
t.> (2/+ y)2 ，则A二三(2/ 十y 十1) '
，J'!F /- 2y王三0 ，经讨论得满足要求的解仅为
(x ,y) = (5 ,2). 
17. (1)略.
(2) 如图①，过点B 作BD j_x 轴于点D. 根据题意可证6AOCω6 CDB ，
. AO 
OC 
d_ 
1 
. 一一=一一，
J'!f 一-一=
CD 
BD' 
I 5-m 
2 ' 
:. m( 5 - m) = 2 ，即m2 - 5m十2 = 0.
二m 是方程x ' ←5x+2=0 的一个实根数.
(3) 原方程化为x'+ 立工+二=0 ，固定点的坐标为A(O ，l)，B (
立，二)或
a 
a 
\ 
a 
a / 
A(o ，l_ ì ，B( 一生，c
I 等.
飞
a
I
飞
a
I 
(4) 如图②，P (ml , n l ) , Q ( m, , n, ) ，设方程的根为工，根据三角形相似可得
一旦1
旦旦二王，上式可化为工2 一(m ，+m，) x十m ，m2 + η ，n，=O ，
X- ml 
n, 
又·.· Gt 十bx+ c = 0 , J'!F X 2 + 立工十..E__ = O(a =F O ) , 
a 
a 
.比较系数得ml + m，= 一生，m 1 m2 十nln，- 二.
a 
a 
y 
图①
y 
。
图②
(第
1 7 题)
18. 视1东方程为α 的一元二次方程，整理得矿… (2x' - 1 6x十2 1) α十( x' - 1 6矿+ 8 1x' - 142x+68) 二0 ，
J'!f a ' -[( x'-6x+4 ) 十( x2 - 1 0x+ 17 )Jα 十(矿-6x+4)(矿一1 0工十17) = 0 ，
'. a = x' -6x+4 或Fj 一10x + 1 7 ，解得x = 3 ::1:: Fa丰言或工=5 ::1:: Fa丰百.
设α + 5 = n'
，α +8= m' ,m' - n' = 3 ，得m = 2 ，n = 1 ，从而α =- 4 ，x= 2 ，3 ，4 ，7 .
19. 1 为原方程的一个根，得(x - 1) (矿-2x十α) = 0 ，原方程的另外两个实根为矿- 2x+ α = 0 的两个根，
工，= l.
J.?-、式= (x3 + x，)(引
x ，) 十4工，=2 (工3 - x ，) + 4x ，= 2( x3 十x 1 ) =4. 
载8
伽罗华0811- 1832) ，法国数学家，他深
入研究了代数方程能用根式求解所必须满足
的条件，将解代数方程问题转化为讨论与系
数域有关的代数新结构→一群的问题来研
究，对代数方程做出了突破性的贡献.
第2 讲根的判别式: J
如
知能概述
一元二次方程根的判别式的广泛应用体现在: 运用判别式，判定方程实
根的个数、根的特性;利用判别式，确定方程中参数值或取值范围;通过判别
式，证明与方程相关的代数问题;借助判别式，运用方程必定有解的代数模
型，解存在性问题、最值问题等.
如
问题解决
iJtJI 
如果方程/十6x 3 +9x 2 -3ρ工2-9ρx+2 ρ2=0 有且只有一个实
根(相等的实根算作一个) ，则ρ 的值为一一一-一一·
(湖北省黄冈市竞赛题)
解题思路
分解降次，将高次方程转化为一元二次方程.
, 
9览
能够作出数学发
现的人，是具有感受
数学中的秩序、和谐、
对称、整齐和神秘、美
感等能力的人.
庞加菜
16 
16 
16 
16 
杜西现象
1930 年的一个
冬天，意大利大学教
授杜西在旅途中信手
将一只烟盒撕开，画
了个圈，然后随意写
了四个整数(如
2 5
，
17
，5 5
，47) ，接着又画
了一个圆圈，并把刚
1
才所写的四个数两两
求差(大数;或小数) , 
分别记在两数中间
(还是四个数) ，重复
上述步骤，四步之后
他发现
: 此时的四个
数已变得彼此相等.
他又随意找了一些数
试试，结果都如此，人
们把上述现象称为
"杜西现象"
iiiihM 
食
，传女
食
食
1号
，传
，传为
倒2
设三个方程工2 十4mx+4m2 十2m +3= 0 ，x 2 + (2m+ l) x+m2 = 
0 ，(m - l) x 2 十2mx+m - 1=0 中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围
是(
) . 
Af< m< t
C. mζ?或m斗
B m《?或m〉-t
D
卡m寸
(江苏省竞赛题)
麟题思路
正难则反，即先求出三个方程都没有实根时相应的m 的范
围，然后剔除这一范围.
倒3
设方程Ix 2 +αx l= 4 只有3 个不相等的实数根，求α 的值和相应
的3 个根.
(重庆市竞赛题)
理些塾些
去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程，原方程
只有3 个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零.
倒4
已知关于工的方程工2 -
(3k + 1 ) x + 2走2 十2走= 0 .
(1)求证: 无论走取任何实数值，方程总有实数根;
(2) 若等腰三角形ABC 的一边长α =6 ，另两边长b ，c 恰好是这个方程
的两个根，求此三角形的周长.
(湖北省竞赛题)
理堕塾些
对于(2) ，由于未指明底与腰，所以须分b = c 或b ，c 中有一
条边与α 相等两种情况讨论.
如1 0
学科精英大视野系列丛书
解涉及高次方程
或组合多个判别式讨
论方程根的问题时，
常用到分解、降次、分
类讨论、整体思考等
方法.
尽管分类讨论是
一种重要方法，有时却
要避开因讨论而带来
的复杂，回到定义中
去、正难则反、整体思
考等是常见的方法.
1"i:\G.\Ct.\. 
( 丸每缉)
女食
ù * 
.i'[ 
食
食
食
倒5
当工为何有理数时，代数式9x 2 +23x -2 的值恰为两个连续正偶
数的乘积?
(山东省竞赛题)
鹏设两个连续正偶数为走，走+2 ，则有
9x 2 十23x 一2=k(走+ 2) ，即9x 2 十23x 一(2 + 是2 + 2k) = 0. 
由于工是有理数，所以判别式为完全平方式，即
ß=23 2 +4 X 9( 走2+ 2是+ 1 + 1) = 565 + [6(k + 1) J2 . 
令ß=ρ 2 (ρ二三0) ，有p 2 一[ 6C 走+l) J = 565= 113 X 5= 565 X 1 , 
所以[ρ + 6( 走十1) J[ ρ - 6( 走+ 1) J= 113 X 5= 565 X 1, 
(户+ 6( 是+ 1) = 565
，
又因为ρ 二三0 ，走二三0 ，即得!
解得走=46 ，
lρ 
6( 走十1) = 1. 
130 
代人原方程，解得工=- 17 或工= 丁一.
或(ρ 十6(什1) = 113' 1=/，8
，
"/_b. I =__,_.= 
"-n/. I'1 
~ __þ. 
41 
解得走= 8 ，代人原方程，解得x =2 或工=
一.
ρ -6(k + 1) =5. 
130 
~---b. 
41 
总之，当x=- 17 或工= ~ : ~ ，x = 2 吱x= 一一时，9 x 2 +23x- 2 的值恰
9 
，~ 
-
-/'< ~ 
9 
为两正偶数4 6 和48 或者8 和10 的乘积.
倒6
已知( X- Z) 2 -4 付一y)(y-z) = O ，求证:2y=x+ z.
证明
1
运用恒等变形证明.
由( x- Z)2 -4(x- y) (y - z) = 0, 
得z2 十2XZ + Z 2 - 4xy - 4yz 十4y2= 0 ，
即( X+Z ) 2 -4y(x+z) + 4/ =0 , 
得[ (X + Z)_2yJ 2= 0 ，
•• x 十z= 2y.
( 江苏省无锡市竞赛题)
证明2
由已知联想到"b2 一句c = O" ，化为一元二次方程的等根问题证明.
当x - y = O 即x=y 时，则x -z=O ，即x=z ，故x+ z = 2y.
当x -y 子土0 即z手y 时，
作方程( 工
y)t2 -
(x - z)t 十(y - z)=O ，
.: ß=(X - Z) 2_ 4(X - y)(y - z)=0 , 
..上述方程有两个相等的实根.
又(x-y) - (x-z) + (y- z) =0 , 
则这个方程的实根为
t 1 =t2= 1. 
于是1 X 1 = 主二三，从而推得z 十z=2y.
工- y
故2y = x 十z.
判别式法
即通过构造方程，借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模
型，建立方程或不等式.判别式法在解存在性问题、最值问题、讨论方程整数
根等方面有广泛应用.
飞之结
食
第
2
ì井
根的判剧式
部地二
整系数的一元二
次方程有有理根或整
数根的必要条件是:判
别式为完全平方数.
当代著名数学家
M. 阿蒂亚曾说"我
只是在数学的海洋中
漫游，同时思索着，充
满好奇心和兴趣"
历史表明，"美"与
"好奇"是引导科学巨
擎们无畏探索的动力.
莎士比亚曾说:
"简洁是智慧的灵魂，
冗长是肤浅的藻饰"
就解题而言，应
追求简单自然的解
法，不必"为技巧而技
巧"，合近求远.
对于例
6 ，证法2
是由形似
b2 -
4ac 而
构造方程来解决，仅
是为了拓展思路，活
跃思维.
~I.::\'-;:墨、
可k
食
食
食
，传女
食1;:(
女
倒7
设z 为正数，求分式--乙寸的最大值.
(X+ 1)2 
(湖南师大附中自主招生试题)
x 
1
、一
给析与解
原式=寸一一一一=一一一一，)至用基本不等式，只需求出
一-一一!..!:!
//.J" __" 
x 2 • 2x+ 1 
, 1 
z十一+2
工
x+ .l 的最小值. 而引入参数，转化问题，可生成新的解法.
工
设
x 丁= 走，整理得kx 2+ (2k - l)x+ k = 0, 
(x+ 1) 2 
·.· 存在正数工，且是手0 ，
汕=(2走一俨4k2~0 ，得kt ，
即分式一」王一τ 的最大值为i
(x • 1) 2 
倒8
如图，点E 和点F 分别是正方形ABCD 中BC 边
EF 
和CD 边上的点，且ζEAF=45 0 ，求一一的最小值.
A 
D 
~F 
AB 
(世界数学团体锦标赛试题)
踹题思路
设AB= α ，EF=b ，BE= 工，建立关于工的一
元二次方程.
B E 
C 
1.已知二次方程(ab一2b)x 2 十2(b-a )x 十2α -ab=O 有两个相等的实数
1 , 1 
根，那么一十-
α
。
(北京市竞赛题)
2. 巳知x2 - ax十3-b = 0 有两个不相等的实数根，x 2 + (6 
αh + 6-b = 0 
有两个相等的实数根，x 2 + (4 - a)x+ 5 - b= 0 没有实数根，则a ，b 的取
值范围分别是
(江苏省竞赛题)
3 . 方程工2+xy+/-3x - 3y + 3 = 0 的实数解为
(安徽省竞赛题)
4. 已知- 2 是一元三次方程x 3 + bx 十c = O 的唯一实根，则b 的取值范围
是
，c 的取值范围是
("希望杯"邀请赛试题)
5 . 若方程
I x 2 -5x I = a 有且只有相异两实根，则a 的取值范围是
(四川省竞赛题)
6. 已知a ，b ，c 是不全为0 的三个实数，那么关于工的方程x2 + (a + b+ch十
(α2+ b2 +C2 ) = 0 的根的情况是(
). 
A . 有两个负根
旦有两个正根
此J
学科精英大视野系列丛书
庞加莱( 1854-
1912) ，法国数学家，
由于他杰出的工作，
他被认为是
19 世纪
最后四分之一和
2 0
世纪初期的数学主
宰，并且是对数学和
它的应用最具有全面
知识的、能雄观大局
的通才.
~~~ 
女食
食
( 丸每缉)
女冒险
食
女食
食
c . 有两个异号的实根
D. 无实根
(江苏省竞赛题)
7. 如果关于工的方程mx 2 -2(m 十2)x+m+5=0 没有实数根，那么关于z
的方程(m-5)x 2 -2(m+2)x+m=0 的实根的个数为(
). 
A . 2 
B. 1 
C. 0 
D . 不确定
(全国初中数学联赛题)
8
若实数a ，b 满足÷…问2+ 2=0 ，则α 的取值范围是(
) 
A. a::Ç -2 
B. a 二三4
C. a ::Ç - 2 或a 二三4
D. -2 ::Ç a ζ4 
C " (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
9 . 若走为整数，使得关于z 的方程kx 2 一C2k +3 )x +3=0 有有理数根，则称
h 为"好数"那么，好数走的个数为C
). 
A. 0 
B . 1 
c. 2 
D. 3 
(四川省竞赛题)
1 0.
已知b 2 -4 ac 是一元二次方程αx 2 + bx 十c=O Ca 手0) 的一个实数根，则
ab 的取值范围是C
) . 
A. a仿ιB aki 
c ρt 
Dakt 
巴
8
一(全国初中数学联赛题)
11.
已知α>O ，b> a + c ，判断关于工的方程Gt 十bx +c=O 的根的情况，并
给出必要的说明.
(河南省竞赛题)
12. 设α ，b ，c 为互不相等的非零实数，求证: 三个方程GZ 2 十2bx +c= 0 , 
bx 2 十2cx + a = 0, CX2 + 2ax+ b= 0 不可能都有两个相等的实数根.
(山东省竞赛题)
13.
己知方程x 2 -6x-4n2 - 32 η =0 的根都是整数，求整数n 的值.
(全国初中数学联赛题)
14.
已知方程
I x 2 -2ax 十b
l =8 恰有三个实根，且它们为一个直角三角形的
三边长，求α 十b 的值.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
15 . 求证: 对任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使矩
• y 
形B 与矩形A 的周长和面积比等于走Ck 二三1) .
A~一←----，B
(福建省竞赛题)
16.
如图，已知正方形的边长为
2 ，DC 边在工轴上，DC
的中点与坐标原点重合，点M 是工轴正半轴上的
A此f
一个动点，求一一的最大值.
BM 
(湖北省黄冈中学理科实验班预录试题)
17 . 证明: 不存在正整数α ，b 满足等式4α(α十l) = b(b十3) .
D 0 1 M C 
x 
(第
16 题)
(奥地利数学奥林匹克竞赛题)
18 . 设正整数m ，n 满足:关于工的方程(x 十m)(x 十η ) =x 十m 十n 至少有一
个正整数解，证明
: 2Cm 2 + η 2 ) <5 mn.
(全国初中数学联赛题)
13培
第
2
ì井根的判!ij U 式
与性巳阜蟹
，回事
'回事
1'i:.\1'i:.\~ 
食
食
食
食
19. 黑板上写有方程:
，传食
，传女
女
x2+ 2x食+ 3( 食+ 食)=0.
证明:任取三个两两不同的整数能适当安放在方程的食的位置(每颗星
安放一个数) ，使得方程有实根.
(北京市竞赛题)
倒1
一?
房原、方程可化为旷+3xω
旷)' 一3旷+山+旷=0 ，沃(x'介
+3x一刷
学科精英大视野系列丛书
• 
…. . 
2ρ=0 或工
x' +3x 一ρ=0 ，设两方手程呈判另茹别
1]C式式为
ll ，
，ll乌，'则
ll ，= 9 + 8ρ ，ll乌，=9 + 4ρ. 当
II I = O ，ll，> O 时，不合题意，
当今，= O ，lll <0 时，ρ= 2 
倒2
B 
若m手1，假设三个方程都没有实根，则
(… -4(4…)< O
2
ll2 = (2m+ 1)2 -4m2 < 0 , 
解得一二<m< 一一-
ll3 =4m2 - 4(m- 1)2<0 , 
若m = l ，第三个方程解为
O.
1 
故当m<，一τ或m二三一一时，至少有一个方程有实根.
2 .. .._-
4 
倒3
原方程等价于两个方程:x2 +ax -4 =0
(
, 
x 2+ax+4= 0 
(
. 
两方程无相同的根，由于原方程只有3 个不相等的实根，故必有且只有方程①或②有重根，lll= α2 + 1 6 二三
0,ll2 = α2 一16二三O . 由于lll > 鸟，故只可能是乌=O ，f!p a = 士4 ，相应求得方程根为一2 ，一2 士2 J2;2 ，2 士2J2.
倒4
(1) ll = ( 走一1) 2 二三0 ，故房、方程总有两个实数根.
(2) ①若b=c ，则ll=(走一1) 2 =0 ，走=l ，b十c=3走十1=4<α ，不合题意，故这种情况不存在; ②若b ，c 中有
一条边与a 相等，不妨设α =b=6 ，代入得扩- 8k + 1 5= 0 ，解得k ，= 3 ，儿=5 . 当走= 3 时，b+c= 3k + 1=1 0 ，此
时c= 4 ，':
b+ c>a ，:. α十b+c= 16; 当走= 5 时，b+ c=3k十1 = 16 ，此时c= 10 ，': a+ b>c,:. a十b十c=22 .
倒8
可证明EF = BE+ DF ，DF= b -x ，CF = DC- DF = α 一( b - x ) = α - b + 工，由EF 2 = EC 2 十CF' 得
b2 = (a- X)2 + (a - b+ X ) 2
，整理可得x2 - bx+a2 - ab= O. 
因为BE 存在，所以z 有实数解，则A二三0 ，即b2 -4(旷- ab) 二三0 ，
因为b> O ，所以上式即4( ~ Y - 4但ì - 1 <'0 得二主土l ::;::丘J主卫
\ b) 
-r \ b) 
... ___'V O1' J 
2
飞b
飞
2
因为抖，叫0水平，则仨2 J2-2 ，因此，Z的问是2 J2- 2
1. 1 
因各项系数和为0 ，故方程两根为1，由1 X 1 = 坠二坠，得α+ b= αb.
ab - 2b 
• 
……………... 
2. 2 <α< 4 ，2< b< 5 
由矿一1 2α + 4b+ 1 2 = 0 ，得矿+ 4b = 1 2a - 1 2 ，整体代入另两个判别式中.
3. (x ,y ) = ( l,1) 
原方程化为x2 + (y -3 ) x十(y' -3y十3) = 0 ，由
ll = -3(y_ 1) 2 二三0 ，得y = l ，进一步
( 丸每缉)
得x= l.
有食
食
力'
食
，传
为食
，传
第
2
ì井根的判~U 式
4. b>-3 ;c> 2 
c=2b+8 ，原方程可化为(矿+ 8) + b( 工+ 2) =0 ，即(x +2) (x' -2x+ b+4) =0 ，由方程
工' -2x + b + 4 = 0 元实根得b> -3.
25 
5. a = O 或a> -i
当α = 0 时，方程有相异两实根;当
a> O 时，有x' -5x- a=0 
①及工" -5x+a=0 
(
, 
~l =25+钮，~=25
旬，则~1> 0 且乌< 0 .
6. D 
~ =(α + b +c)' 一4( 旷+ b ' 十c ' ) = 一[ (a ' + b' + c' ) + (α - b) ' + (b - c) ' +(c-a)'J<O. 
7. D 
8. C 原方程即为b ' - ab+卡+ 2 = 0 ，~ = ( - a) '-4 (卡+牛。
9. D 
k = O 为好数;走手0 时，今=4扩+ 9 为完全平方数，设4矿+ 9 = m' (m 为正整数) ，由(m +2走) (m-2k) =9 
得k = ::l:: 2.
b + 、b' - 4ac" 
.... - b 一、b' - 4ac "刀γ
一
10. B 
b' - 4ac二三0 ，则
、
(..1 
--ru.=- = b' - 4ac 或
、
υ 
τU =- = b' -4ac ，令
t = 、b' - 4ac ，得
2at ' 一
2a 
._- -" 
2a 
._-, , 
v 
~ 
晶山』
t +伊o ，2at' 十t +时，由
1 - 8ρ0 ，得ak÷
11. (1)当
C> O 时，α> O ，b>α + c ，从而b' > (a+c)' ,b' - 4ac- (a- c)' > 0 ，b' →4ac> (a- c) ' 二三0 ，f!r ~>O ; 
(2)
当c=O 时，由α > O ，b> α + c=a ，得b> O
，~> O;
(3)
当
C< O 时，由α> 0 ，得ac< O ，~ = b' - 4ac> 0. 
综合(1)、(2) 、(3) ，得原方程总有两个不等实根.
12. 假设三个方程都有两个相等的实数根，则~ l = 4b' - 4ac=0 ，~， =4c' - 4ab=0'~3 =4a' -4bc=0 ，三
式相加，得矿+ b ' + c' - ab - bc -ac=O ，即(a - b) ' + (b - c)' 十(c - a) ' =0 ,:. a=b=c. 这与已知条件α ，b ，c 互
不相等矛盾，故三个方程不可能都有两个相等的实数根.
13.
因方程的根都是整数，故~ = 4η ，+ 32n + 9 必为完全平方数.
设4η2 十3 2n 十9 = m'
，m> O
，则有(2η + 8 + m) (2n+8- m) = 55 , 
因
5 5=1 X 55 = 5 X 11 = ( -
1) X (-55) = ( - 5) X ( 一11) ，分别解得n = 10 ，η =0 ,n= - 18 ,n= - 8. 
所以，整数η 的值为一18
，- 8 ，0
，10.
14.
注意到，方程x' -2ax+b-8=0 
①的判别式~ l =4 ( 矿- b + 8)
; 方程工，-2ax 十b + 8=0
②的判
别式~，= 4(a ' - b- 8) . 
据题意Jfr_、方程恰有三个实根，于是，其中一个判别式为
0 ，另一个大于
O.
又~l> ~"
则矿
b-8=0. 
从而，方程②的重根为
a ，方程①的两个根为α + 4 ，α -4 .
:. a'+ ( α - 4) ' = (α + 4) ' ，得a=16
，b = 248 ，故α + b =2 64.
{ x 十v= 走(α 十的，
15.
设A 与B 的长和宽分别是a
，b 和工
，_y ，ljJ川
d 
ν
lxy = kab ， 
于是x ，y 可为方程t ' -
k(a 十b)t + kab =O 的两根.
~ =[ 走(α + b)J ' - 4kab = 旷α'+ 2旷αb + 走' b' -4 kab二三走' a'+ 2 走' ab十走' b' - 4k ' ab= 旷(a - b) ' 二三0 ，
又阳b> O ，走(α + b) > 0 ，说明两根均为正，故这样的矩形B 总是存在的.
MA' 
(x + 1)'+ 4 
16.
设M(x ，O)
，x > O
一一一
，
~: 0 , . = 1 十一一一一一一= 1 + 一一一一一一，
'MB' 
(x - 1) ' + 4
工'-2x+5
工十一- 2
工
设γ =x+ 立，得x'- xy十5 = 0 ，
工
由~ =y' - 20 二三0 ，得y二三2 )5, 
MA' .• ~
， 
,_ 
, 5 
n 
r;:-
要使一寸值最大，须x+ 一=2 扣，
MB' 
15 ' 
飞
唾
食
，传
ix 
女
食
人
X
食
学科精英大视野系列丛书
食
食
• MN 
" 
4 
3+)5 
一一τ=1+
~ 
= 一一工工，
MB' 
~'2 、15- 2
2
歹
• AM , L 
'E1 , ,...., 
/3 十J5
/6+2 J5 
J5十1
.一一的最大值为A
二卡立工=
工主子之二= 一一-
BM ... ~ 
, - -,. '\} 
2 
'\} 
4 
2 
17. 给定等式等价于4矿+ 4a 一(b2 + 3b) = 0. 
① 
对某个给定的整数b ，上式是关于α 的一元二次方程，其判别式为
~ = 4 2 +4 2 (b2 十3b)=4 2 (b2 十3b + 1).
若对某个整数b ，存在整数a 满足方程①，则其判另Ij;式必须是完全平方数.因此
，b2 + 3b+1 必须是完全平
方数.
注意到(b 十1) 2 = b2 +2b+ 1 < b2 + 3b+ 1 < b2 + 4b十4 = Cb+ 2) 2. 
对b 的任意值
，b 2 + 3b + 1 界于两个相邻平方数之间，因此，它不可能是一个完全平方数.
所以，不存在正整数a ，b 满足给定的等式.
18.
方程flr X 2 + Cm+ n- 1) x + mn- m - n= O. 
① 
方程①的判别式
~ = (m + n 一1) 2 - 4(mn - m-n) = (m + n) 2 -4mn+ 2(m+ n) + 1 = (m-n) 2 + 2(m+ 的十1.
不妨设m二坷，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，所以A 应为完全平方数.
注意到今= (m 一η) 2 十2(m + n) + 1 = (m - n+ 1) 2 + 4n> (m - n+ 1) 2, 
~ = Cm - n) 2 + ZCm+ n) + 1= (m - n+ 3) 2•
( 4m - 8n+ 8) , 
若4m-8n+8 > 0
，flr m> 2n-2 , 
flr ~< Cm-n + 3) 2
， 
从而有Cm - n + 1) 2< ~< Cm - n + 3) 2 , 
故只可能~ = Cm - n + 2 / , 
flr (m - n) 2 + 2(m+ n) + 1= (m - n+ 2) 2, 
整理得m = 3n一?，这与m ，η 均为正整数矛盾
因此m ~二2n - 2 ，从而可得m<缸，所以旦< 2.
n 
又因为主> 1 >去，所以有!旦]←H 旦
Z ì<o. 
n 
{, 
\n 
t.J\ n 
J 
整理flr 得2Cm2 十旷) < 5mn.
19. 设三个食的位直的整数分别为α ，b ，c.
则原方程为工2+ 2xa 十3(b + c) = 0. 
① 
将任意三个两两不同的整数中最大的放在a ，设α = n. 则三个数中另外两个较小的数为b ，c(b> c).
故b "'-三n-1 ，c~ n - 2.
于是，若以n 放在左边第一个食的位直的二次方程为
x 2 + 2xn 十3Cb + c) = 0 ，
则~=4n2- 4 X 3(b十c) 二三4 [ n 2 -3 (n - 1 + n 一2) ] = 4Cn2 -6n+ 9) = 4Cn - 3) 2 注O.
从而，方程①有实根.
因此，任意三个两两不同的整数，只要以其中最大的一个放在左边第一个食的位直，其余两个放在后两个
，峙的位直，所得的方程就有实数根.
如16
三产生f7
如
知能概述
外尔是
2 0 世纪杰出的数学家，外尔的研究建构
起对称理论领域的一座高峰，1 95 2 年外尔写出了普
林斯顿丛书中《对称》这一精美小书. 尽管对称的含义
或宽或窄
，然而从古到今，它都是人们用来理解和创
造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想.
第3 讲白白
: J
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理.
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本
思路.
韦达定理简单的形式中包含了丰富的内容，在讨论根的符号特征、求代
数式的值、确定方程中参数的值、构造方程等方面有广泛的应用.
'
问题解决
倒1
设a ，b 是方程工2 十6 8x 十1 =0 的两个根，c ，d 是方程x 2 - 86x+
1 = 0 的两个根，则(α + c )(b十c )(a - d)(b - d) 的值为
(" 新知杯"上海市竞赛题)
鹏题思路
组合展开，运用方程根的概念、韦达定理解题.
17 , L 
苍
数学家不但更容
易接受漂亮的结采，
不喜欢丑陋的结论，
而且他们也非常推崇
优美与雅致的证明，
而不喜欢笨拙与繁复
的推理.
牛顿
式也对称
设一元三次方程
工3 十户工2 + qx+ r = O 
(ρ ，q ，r 为常数)的
3
个根为
工] ，巧
，巧，则
工3+ ρx2 + qX+ r = 
(x - x] ) (x- X2 ) ( 工
X 3 ) ，由此可得矶
，巧
，
工3 与系数
ρ ，q ，r 之
间存在一组对称的关
系式.
1"i:!\trJ:\Gt.\ 
食
女
食
1迦
大
」
7
‘
食
人
乓
曲
同
倒2
如果方程( X- l) ( X2 -
2x 十m) = O 的三根可以作为一个三角形的
三边之长，那么，实数m 的取值范围是(
). 
3 
~ 3 
A. O~m~ l 
B. m 二三
c. ~ <m~ l 
D. 一~m~ l
4 
- . 4 
鹏题思路
设方程的根分别为
1 'X j 
' X 2
' 由三角形三边关系定理、韦达
定理建立m 的不等式组.
倒3
已知方程X2 -3x +1=0 的两根α ，卢也是方程/
ρz2 十q=O 的
根，求p+q 的值.
(四川省竞赛题)
{Q4 一ρα2+ q = 0 ，
鹏题思路
由题意得(
又α 2 ，卢2 可看作方程工2
户X 2 +
i 卢4 一ρ卢2 + q =0 ，
q=O 的两根，不同的认知方式就可产生不同的解法.
倒4
设实数s ，t 分别满足19s 2 +9 9 s+ 1 = 0 ，t 2 十99t + 1 9 =0 ，并且st手
st + 4s+ 1 
1，求一-7一一的值.
( 全国初中数学联赛题)
理堕塾些若先求出
s ，t 再代人求值，则计算较繁.观察两个方程的系
数特点，恰当变形，使两个方程具有相同的结构，为韦达定理的应用创造条
件.
如
学科精英大视野系列丛书
应用韦达定理求
根的代数式的值，一般
2 
X 2 
I 
X j 
3 
ι ) ' ,• + =-'-, X; 十zi
工1
工2
‘"
变形用
X j 十X 2
，X j X2
表示求解，而非对称
(1)恰当纽合;
(2) 根据根的定
( 3) 构造对称式.
~t:=\~ 
( 丸每银)
女食
食
有食
，传
有食
，传
倒5
已知关于工的一元二次方程工2 -2x-a2 -a=O ( α >0 ). 
(1)证明:这个方程的一个根比2 大，另一个根比2 小;
(2) 若对于a= 1，2
，…，2008 ，相应的一元二次方程的两根分别为α 1 ,ßl ; 
1
, 1
, 1
, 1
, 
,
1
,
1 
吨，卢2 ;…川2008 '卢2川，求一+一十
+ : + … + _~_ + 
的值.
α] , ß]
α 2
卢2
α 2008
卢2川
(河北省竞赛题)
麟题思路
对于(1) ，设方程两根为X] 'X 2
' 只需证明(2-x])(2 一句)<
1 
, 1 
a 十R
0; 对于(2) ，探寻
+: =一一」的规律.
α n . ßn
α lIßn 
倒6
求满足如下条件的所有走的值:使关于工的方程kX 2 十(k + 1) x +
(走一1) =0 的根都是整数.
(江苏省竞赛题)
份析
由于方程的类型未定，故需分类讨论.当走手0 时，由韦达定理得
到关于走的两个等式，消去走，运用因式分解先求出方程两整数根.
鹏(1)当k =O 时，得X= 1.
(2) 当走手0 时，设方程两根为坷，码，则
l t
h+l 
l 
X] 十X 2 =
k 一= -1---;;
走一1
唱
l 
X ]X 2 =k一= 1 - --;;
(
, 
(
, 
② ①得X]X 2
工]-x 2 = 2 ，即(x ]- 1)( 冉一1) =3. 
..
工] ，工2 为整数，
(Zl 
l = l 
r1=-L 俨l 干3 '
(叫干
3, 
工2 一1=3;
l X 2 一1=-3
;
l 工2- 1 = 1;
工2- 1 =- 1.
(X, =2 , 
(X } = 0 , 
(X] = 4 , 
( 工]=-2 ，
解得!
. 
l ' 
_ I 
_ I 
\x2 =4; 
l 工2=-2;
l 工2=2;
l 工2=0 .
代入①，得一1-t=6 或
1-t= 2 ，解得走= 一丰或凹，
又当k= 一扫=1 时，今= 一矿十6计1 都大于0 ，
故满足条件的走的值为k =O ，k = 一丰，走= 1
关系逆用
若x+y=a ，xy=b ，则x ，y 可看作方程t 2 -at+b=O 的两实根.通过逆
用根与系数关系构造方程，为判别式的运用创造条件.
19媳
第
3 讲韦这E 理
构造一元二次方
程是解题的常用技巧，
构造的主要方法有:
(1)当已知等式
具有相同的结构，就
可把两个变元看成关
于某个字母的一元二
次方程;
(2)
当问题有形
如
x + y = a , xy = b 
的关系式时，如IJ x , y 
可看成方程t 2 - at 十
b =O 的两实根;
(3) 对于含有多
个变元的等式，可以将
等式整理为关于某个
字母的一元二次方程.
运用韦达定理解
一元二次方程整数根
的问题的基本思路
是:由韦达定理建立
含参数的等式，
ì肖去
参数，利用因式分解
先求出整数根.
~~~ 
食
食
ù
食
食女
食
食食
学科精英大视野系列丛书
与pd鱼
湿'圃....-
-...回事
&\~~ 
倒7
求a 的所有值，对于它的每个值使方程X3 -ax2 -
(a 3 - 6a2 + 
5a+8)x 一(a-3)3 二0 有兰个不同的根，且其组成等比数列，并求出这些根.
(俄罗斯竞赛题)
自然界的对称之
美，曾使无数人为之
倾倒，然而，科学家李
政道和杨振宁却提出
了基本粒子在弱相互
作用条件下的宇称不
守恒定律.
著名画家吴冠中
的水墨画《才知与影》形
象地显现了物理学理
论关于自然界对称与
不对称原理的深刻内
涵和理论表述美.
①
②
③
 
给析与鹏
由根与系数关系建立a 的关系式.
设Xj
，X2' 且是方程的根.由韦达定理得
Xj +X2 十工3
α ，
Xj X2+ X j X 3 +句句= -a3 +6a2 -5a-8 , 
Xj X 2 工3 = (α-3) 3 . 
由题意知X~=XjX3.
代入式③得工2-α 一3.
代入式①，③得
Xj + X3 = 3 ,Xj X3 = (α-3)2. 
代人式②并整理得
a3 -5a2 +2a+8=0=争(a+ l) (α2)(α
4) = O=>a = 一1，2 ，4.
当α=-1 时，x2=-4'Xj 和均不是实数;
3-J5 
3+J5 
当a=2 时，x 2 =-1'X j =Z一，工3 -
2 一;
一3+J5
3-J5 
当α=4 时，工2 =1 ，Xj 一
2 一，工3
2 飞
3-J5 
, 3+ J5 
从而，当α=2 时，根为一言一，- 1'2一;
3+J5 , 3-J5 
当α=4 时，根为一王一，1，2一
已知实数a ，b 满足α +ab + b=3 ，若m=a-ab+b ，求m 的取值
倒8
范围.
("希望杯"邀请赛试题)
理塑塾些
把α +b ，ab 用含m 的代数式表示，或构造方程，或联想到完
全平方公式，或运用基本不等式.
1.设衔，与是方程X2 -2(k+ l)x+e +2=0 的两个实数根，且(Xj +1)(x2+1)=8, 
则是的值是
(山东省竞赛题)
2. LiABC 的一边长为5 ，另两边长恰为方程2x 2 一12x+m=0 的两根，则m
的取值范围是
(四川省竞赛题)
<U
( 丸每锺)
);{
食
食
1号
节食
食
，传
食
3. 对于一切不小于2 的自然数η ，关于工的一元二次方程工2 一(n + 2)x 一
2η2 = 0 的两个根记为ι ，bn (n二三2) ，则，
n 、1
、十一一
1
十… +一一一一
1
(a 2007 -
2) (b2007 -
2) 
(全国初中数学联赛题)
4. 要使方程x 4 + (m-4) x 2 + 2(1 -m) =0 恰有一个不小于2 的实根，则m
的取值范围是
(江苏省海门中学自主招生试题)
5. 若ρ +q=198 ，则方程x2 + ρx+q=O 的最大整数解为
(俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
6. 若方程x2 + 2px
坤一2 =0 的两个不相等的实数根坷，且满足xi + x; = 
4- (x~ +x~ ) ，则实数p 的所有可能的值之和为(
). 
A. 0 
B-7 
c. -1 
D
一?
(全国初中数学联赛题)
7. 若t 为实数，关于z 的方程x 2 -4x+ t 一2 =0 的两个非负实数根为a ，b ，
则代数式(α 2 - 1) (b2 - 1) 的最小值为(
) . 
A. - 15 
B .
一16
c. 15 
D. 16 
(四川省乐山市中考题)
8
若ab 手1 ，且有旷+川α + 9=0 及旷+川b 十5 = 0 ，则?的值
为(
). 
c. - 20_01 
D. 
20n01 
一一
一-
5 
~. 
9 
A: 
B7 
(全国初中数学联赛题)
9. 设码，与是方程x2+x-4=0 的两个实数根，则x; -5x;+ 10 的值为(
). 
A . - 29 
B .
一19
C. - 15 
D. -9 
(江苏省竞赛题)
10 . 已知关于工的方程x 2 + (k-2) x+5 - k = 0 有两个大于2 的实根，则h
的取值范围是(
) . 
A. - 5 <走~- 4
C. kζ- 4 
B .
走>- 5
D. - 4运走<- 2
("希望杯"邀请赛试题)
11 . 已知工j
，且是关于z 的一元二次方程工2 十(3α - l) x+2a2 - 1 = 0 的两个
实数根，使得(3Xj- X2 )(Xj-3x2 )=-80 成立，求实数α 的所有可能的值.
(四川省竞赛题)
1 2. 求所有正实数α ，使得方程x 2 - ax +4α = 0 仅有整数根.
(全国初中数学联赛题)
13. 设h 是一个实数，关于工的一元四次方程t 十2X3 + (3 十走)x2 + (2十走)x+
2k=0 有实数根，且所有实根之积为一2012 ，求所有实根的平方和.
(国际中小学数学能力检测题)
飞21结
* 第
3 讲
韦这定理
,G.\Cti\1'::\ 
食
价r
人
叫
古
食
A
X
占
用
食
食
14. 设a ，b ，c 为三个不同的实数，使得方程/十ax+1=0 和矿+ bx+c=O
有一个相同的实数根，并且使方程X2+X + α=0 和x 2 + α + b=O 也有
一个相同的实数根，试求α + b+c 的值.
(俄罗斯竞赛题)
1 , 1 
15. 设实数a ，b 满足矿Cb2 + 1) +bCb+2a)=40 ，α Cb+ 1) +b=8 ，求-7+万的值.
a 
0 
(全国初中数学联赛题)
16.
已知α ，b 是一元二次方程工2 - 2016x - 1 = 0 的两个根，解方程组
nhunhu 
nunu 
?
"
内
L
++ 
zy 
-
-
一
一
y-AUY-a 
+
+ 
王
α
王
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r
I
l
l
-
-
I
J
4
l
i
l
-
-
I
I
E
、
("希望杯"邀请赛试题)
17.
巳知a ，b ，c 为实数，αc<O ，且J2a+ J3b + J5c=O ，证明:一元二次方程
ax忡忡=0 有大于Æ而小于1 的根
(全国初中数学联赛题)
18. 设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程工2 - 10cx 一lld =O 的解，
c ，d 为方程工2 - 10αz 一llb = O 的解，求α + b + c十d 的值.
( 克罗地亚数学竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
?P c主货
>>u __ 咱国豆
-
" ""……撞
撞
倒1
2772 
ab=cd=l ，α 十b= - 68 ,c2 -86c+ 1 =0 ，矿-8 6d+ 1 =0 .
房、式= [αb+ (a+ b) c+/ J[αb- (a + b)d十矿J= (l - 68c十c2 ) (1 + 68d十d2 ) = 18c X 154d = 2772. 
倒2
r b. = ( - 2) 2_ 4m二三0 ，
C 
由!
得立<mζ 1.
l
l x] 一句
1 = v(x]+工2 ) 2 - 4x]x2 = V2 2 - 4耳< 1，
由α+卢=3 ，aß=1 ，旷十卢2= 户，a2 ß2 =q ，得ρ =7 ，q=1 ，故户十q = 8 .
因且故第一个方程可变形为(+Y +叫十) 十1 9 = 0
倒3
倒4
又因作1，故干，t 是方程介99x+ 1 9 = 0 的两个不同的实根，
则÷+t= 一队÷-町，l!r 5t+1= -肌t= 195 
一- 995+45 
- 955 
'. l!i- 式一-一一一-一=~ =- 5
t 
195 
~ 
倒5
(1 ) x] 十x2 = 2 ,x]x2 = - a2 - a. 
: 
(2 - x] )(2
工2 ) = 4 -2 (x ] +工2 ) 十x] x2 = 4-2 X 2
矿-a = - a2 - a< O, 
'.
2 - x] 与
2 一句异号，l!r x ] 与x2 一个比2 大，一个比2 小.
(2)αn+乱=2 ，只.ßn =- a(a + l)
(α = 1 ，2 ，…，2008) . 
纪J
齿，传
食
( 丸每缎)
3号，传
，曾
i~
食
食
第
3 讲韦这E 理
a1 +ß
阳
-ι (32
I 
I aZ008 -• m 
原式=~一」十二一_/"2 + … + 二一I
/'""2008 
a1ß1 
a2卢2
日四08卢2川
222 
2 
6 
2008 X 2009 
(
1 
1
飞
=-2
1 一一一+一一- 十… 十
| 
\. 1 X 2 ' 2 X 3 ' 
' 2008 X 2009 ) 
( , 
1
, 1 
1
, 
1 
1 ì 
4016 
=- 2
1
1 一一+ 一一一+ … +
一一一一
1 = 一一一一
\. -
2
' 2 
3
' 
'2008 
2009 ) 
2009 ' 
m +3 _1__ 3- m 
,_ =-Ji- JJ.-...:-_jC" 
2 
(m 十3 ì 
, 3-m 
例8
a + b= 一一--= ，ab=~ . a ，b 可看作方程x 2 -
1 '''; U Ix+u n".=O 的两实根，
2 . -，~ • --
, ' . ,- -
\. 
2 
) 
( 
m+3V 
，(3 - m 飞
则~ =
I 一一一一
1
- 4
1 一一一| 注0 ，即m2 十14m一15注0 ，
\. 
2
) 
. \. 
2 
} 
解得m~- 1 5 或m二三1.
• 
…"…号、… 一磁
• 
2
2〈mζ 1 8
设方程两根为川2 '则~ = ( 一1 2) 2- 4X 2Xm注0 ，川=号>0 ，且IX 1 -
x 2
1 = 
.j(x1 叫飞工2 乒王子<5
一~==:
a + b , = η十2 ，a"b_=-2η2 ，(an 一2) (bn 一2)=-2n( η+ 1)一
1
1003 
4016 
Un I
U"- Tl T
L.. ,U ,,U ,, -
t.. lt , \U" 
t.. J\ f..I71 
l... j
-
'-' ft-\If. 
I 
.1. /'(a n-2 )(bn - 2) 
1 ( 1 
1 ì 
2 \. n 
n + lJ 
2n(n+ 1) 
4. mζ- 1 
设工2= y ，则原方程化为i + (m-4)y+2 (l -m) = 0 ，该方程恰有一个不小于4 的实根，不
妨设y 1 二三4 ，只< 4 ，则(Y 1 -4) (Y2 -4) ~ 0 . 
S. 200 
设方程两整数根为工1
' 工2 '则x 1 + 工2 = - P ，均工2 = q ，得X 1 X2 -x1 -x2 = ρ + q= 198 , 
'. ( x 1 - 1) ( x2 - 1) = 19 9( 质数)
，进一步可得原方程的整数解为
2 ，20 0 或0 ，- 1 98 .
6. B 
由条件得x; +x; = 4 一(x~ + x; )，从而有4p2 + 6p + 4 = 4 + 2ρ(4户2 十9ρ + 6 ) ，解得ρ 1 = 0 , 
户2 - 一?，ρ3 = - l(舍去)
7. A 
由ab = t -2 二三O 及A二三0 ，得2 :%二tζ6 ，原式= (t一1) 2- 1 6 .
8. A 
5 ( ~y +川× t + 9 = 0
9
B
10
A
33 
1 1.
由~ = (3α 一1) 2 - 4(2a2 -
1) = 矿- 6α + 5 二三0 得α二月或aζ 1，又求得α =
τ或α = 3( 舍去) . 
川、十几=α>0 ，
12. 设两整数根为丸，工，，则
I ' 
ιι
t X 1 x2 = 4α> 0 . 
消去a ，得X 1 x2 -4 ( x 1 十工2 ) = 0 ，即( x 1 - 4) (工2 - 4 ) = 1 6 .
工1 - 4 = 士1，::f: 2 ，::f: 4 ，士8 ，::f: 16 ，相应地，工2- 4 = 士1 6 ，士8 ，士4 ，::f: 2 ，士1.
x 1 + x2 - 8 = ::f: 1 7 ，::f: 10 ，士8 .
α - 8= 士1 7 ，::f: 1 0 ，::f: 8 ，故α=25 ，1 8 ，16 ，-9 ，一2 ，0 .
因α 为正实数，于是a=25 ，1 8 ，1 6 均为所求.
:之嫌
噜眨
人
口
女
食
为
-R 
学科精英大视野系列丛书
食
食
*
13. 
J.东方程化为(XZ+x 十2) (XZ +x+ 走)=0 ，
':xZ+x+2=0 没有实根，
λ~、方程所有实根就是方程XZ 十x+k=O 的所有实根.设为
Xl ,X2' 
则x ，+ 工Z = -1 ,X1XZ =k= -2012 , 
:.x;+ 乓=(x ，+xz)Z-2x,xz=4025. 
2 
J , 
1"\ 
/,'Ø 
C - 1 
~....n.l.9 
a - b 
14. 设x:+叫+ l=O ，x ; 十bx ，+C=O ，如，- a-b' 同理得工Z
户í(c# l) ，如Z
ζ· 另一方面由韦达
定理知士是第一个方程的根，这表明工2 是方程介ax+ 1 = 0 和介x+a=O 的公共根，两式相减有
(a 一l) (xz - l) =O ，但当a=l 时，这两个方程无实根，故工z= l
，从而引=1 ，于是a=-2 ，b+c=-1
，故α+
b+c= -3. 
(a 十b=6 ，" (a + b=2 , 
15.
由条件得!
或1-_' -_ -, (舍去) ，原式=8.
I ab=2 , 
I ab=6 
(1 
1 
_ '\ 
16.
由方程纽得|一一?一11(x -y ) =0 ，
\ a 
0 
J 
1 
1 
b-a 
.一一了一1 = 一丁二一1 =α - b - 1 =20 15-2b手0 ，
a 
0 
aO 
:.x-y=O ,I!P x=y. 
，
α +b 
, ~~_ ~ 
2016 
把工=y 代入房、方程纽得一~x =x+2016 ,x= 
一一一，
ab-
-，
- ~~-，-
2017' 
( 
2016 
2016 '\ 
'. (x ，v)=1 一-一，一一一一|
J' 
~ 
2017' 
2017)' 
17. .: ac<O ,ð.=bz -4ac>0 ，:. 原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x ，<O<码，
由韦达定理得工1+几=一立，凡几=L ，
α
a 
由J2a+ 13b +../5c = 0 ，得J2+13x 立+../5x 二=0 ，
a 
a 
13x, -J2 
即J2-13(x ，十xz ) +../5x ，工z=O ，解得几=一一一一一
, ../5x 1 -13' 
/了
13x 1 -J2 ___ 
r了
fτ
假设工24《音，则一→一毛号，如，<0 ，制- JIO~-3 不成立，故工z> ，
子;
'v tJ 
"../5x 1 -13-'\j 5 '--, -~ "r"
， 
V~V:.---
"""
''''''"""'''''-
"''-z---- ，，，τ 
假设xz~ l ，则全二主~1，如<0 推得工〉主二主>0 ，矛盾，故xz < 1.
JEZI-JE/1
,
l/JE JE 
综上所述jf<Xz <l
18.
由韦达定理得
α +b= 
10c ，c 十d=10a.
两式相加得
α +b 十C 十d=10(a 十c).
因为α 是方程X Z -10cx-lld=0 的解，且d=10a-c ，所以，
O=a z 一10ac一11d=a z - 10ac 一11 (10a- c) =a z 一110a 十11c-10ac.
①
类似的
，cz -110c+lla-10ac=0. 
② 
①一②得(a- C) ( α 十c-12 1) =0.
因为a手c ，所以
，a +c= 121. 
因此，a 十b十c+d= 10 X 121 = 1210. 
，"呗飞达
文J
' 
、主要u
飞?J f
毒品配?
国际数学家大会CICM) 是由国际数学
联盟(lMU) 主办的全球性数学科学学术会
议，每四年举行一次.第十五届国际数学家
大会于
1966 年在苏联的莫斯科召开，缩写
" ICM"首次被正式使用. 2002 年第二十四届
国际数学家大会在中国的北京召开，会标是
中国古代证明勾股定理的赵爽弦图.
二第4 讲构造方在二
I
知能-概述
有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是若能构造出一元二
次方程，则能运用一元二次方程丰富的知识与方法为解题服务.
利用根的定义构造、运用韦达定理逆定理构造、确定主元构造，这是构
造一元二次方程的常用方法.
' 
问题解决
倒1
若实数工，γ 满足
x 一+一_;:L_一=1
一」二一+ -JL一=1
y 
1M ~ 33 + 43 I 33 + 63 --
.J_ , 53 + 43 I 53 + 63 
则z十y = 一一一一一·
鹏题思路
(全国初中数学联赛题)
已知等式具有相同的结构，利用根的定义，3 3
，5 3 可看作是
关于t 的方程一王τ + _L丁=1 的两根.
t 十4'
t 十6 '
倒2
A. 2 
关于x ，y 的方程工2 十xy+2/=29 的整数解(工，y) 有(
) 组.
B. 3 
C. 4 
D . 无穷多
("((数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
解题思路
将原方程视为关于工的二次方程，变形为工2+yx 十(2/ -
29) = 0 ，由于该方程有整数根，则判别式A二三0 且是完全平方数.
2~法
数学是创造性的
艺术，因为数学创造
了美妙的新概念，数
学家们像艺术家们一
样地生活，一样地工
作，一样地思考.
一一哈尔莫斯
卡布列克数
卡布列克，当代
印度数学家，以发现
卡布列充数和卡布列
克运算而闻名.
卡布列克一次乘
火车旅行，看到一个
破损的里程标牌上写
着3025 ，不过标牌拦
腰断开了，卡布列克
望着它呆呆出神.
他心里琢磨着:
30+25=55 
55' = 3025 , 
这真是一个奇怪
的数!
1"J:.\&.\Ctt\ 
，传
食
食
*
食女
食
1号
A 
ì::? 
倒3
己知x ，y 均为实数，且满足xy 十x + y= 17 ，x 2 y 十xy2 = 66 ，求
x 4 +X 3 Y + X2y2+X/+l 的值.
(山东省竞赛题)
鹏题思路
视xy ，x 十y 为整体，反复应用韦达定理构造一元二次方程.
倒4
己知3m 2 -
2m -
5 = 0, 5n2 + 2n -
3 = 0 ，其中m ，n 为实数，求
1 m一士|的值
(江苏省竞赛题)
篇题思路
对其中一个等式变形，使两个等式具有相同的结构，为构造
一元二次方程创造条件.
倒5
己知实数a ，b 满足α 2 + ab+b2 =1 ，且t=ab-a 2 -b2 ，求t 的取值
范围.
("TI 杯"全国初中数学竞赛题)
理堕塾些
由两个等式可求出a+b ，ab 的表达式，这样既可以从配方法
人手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间.
倒6
已知α<0 ，b:::;;;O ，c>O ，且冯亡石;=b一句，求b2 - 4ac 的最小值.
("信利杯"全国初中数学竞赛题)
一b十1b2 - 4ac 
解
由题意知
:U 四ι = - 1 (ac手0) ，
αc 
则可知方程acx 2 + bx + 1 =0 有实根x= - l ，于是有ac = b - l.
由于b 2 - 4αc= (2αcx十b) 2 ，所以把工= 一1，αc= b一1 代人，得
b2 - 4ac= [2(b- 1) ( -
1) + bJ = (2 - b)2 , 
又b~二0 ，则b2 ←4ac二三4 .
当b = O 时，αc = - 1 ，b2 一句c 取到最小值4 .
却已)
学科精英大视野系列丛书
构造一元二次方
程，在问题有解的前
提下，运用判别式
A二三0 建立含参数的
不等式，缩小范围、逼
近求解，这种方法在
求字母的取值范围、
求最佳等方面有广泛
的应用.
像建筑师那样思考
"…--翩喃幢.. 
鸣J . ... .
IÞII鹏…
跨界的视野，联
想纵横，由此及1皮、杂
树生花是构造法的心
理机制.
仔IJ
6 由条件想到
求根公式，运用求根
公式构造出一元二次
方程.
~~~ 
( 丸每银)
像建筑师一样思考
丁~食
女
飞Cz
食
食
食
，传
为了能成功地应用构造法，解题者必须成为一个"建筑师"，一方面应当
记住手中的"建筑材料"，即已知条件提供的信息;另一方面，也不要忘记我
们要建造的"建筑"，即符合命题要求的事物.
倒7
如图，已知6ABC 和平行于BC 的直线DE ，且5L，BDE = 扩为定
值，这里5L，BDE 表示6BDE 的面积.问:当U 与5L，ABC 之间满足什么关系时，
存在直线DE? 有几条?
给析与融
恰当引参，建立该参数的一元二次方
程，将直线条数的判断转化为上述方程实根个数的判
断.
( 上海市竞赛题)
B 
AD 
~ 
~ ~A D AE 
设→一= 工，5^ARC = 5 ，又
=一一
AB -
.L ' UL,ABC - U' .A-AB 
AC' 
A 
则5L,ADE = X2 5 ,5 L,ABE = x5. 
于是由5L,ABE = 5 L,ADE + 5 L，BDE 得x5=x 2 5+ 走2 ，即x 2 5 -x5+扩=0 .
要使此方程有实数根，则6. = 52 一份25二三0 ，即S二三4走2
设这个方程的两根为剖，句，则由根与系数的关系得
x]+x 2 = 1 ，x ] 门2
三
因为l 和三均为正数，所以町
，X2 都为非负数，又归走2 ，
则oζx ] ,x 2< 1. 
C 
于是，当5 = 4扩时，x] 二句，则只有一条直线DE; 当5 > 4扩时，工1 手
町，则有两条这样的直线DE 满足要求.
于9 刻意练习
1. (1)己知a ，b 满足等式户7 一川2 =7 一叫。代数式? 十f 的值
为
(广东省竞赛题)
(ab2+ b2 - 3a十11 5
(2) 设α2 +2α- 1 = 0 ，扩- 2b2 - 1 = 0 ，且1 - ab2 手0 ，则1
α
) =
(湖北省随州市中考题)
2. 已知α 为实数，且使关于z 的一元二次方程x 2 +矿工十a = O 有实根，则z
所能取到的最大值为一一一一一·
(山东省竞赛题)
3. 方程2X2 十/ -2xy-4x-30 = 0 的正整数解是一一一一一·
(" 宗沪杯"数学竞赛题)
已:"'~
食
第
4
ì井
相适万程
许多数学问题表面
上看难以求解，但如果
我们创造性地运用已知
条件，以已知条件为素
材，以所求结论为方向，
有效地运用数学知识，
构造出一种辅助问题及
其数学形式，就能使问
题在新的形式下获得简
解，这就是解题中的"构
造"策略，构造图形、构
造方程、构造函数、构造
反例是常用的构造方
法.
构造一元二次方程，
应用判别式，在解平面几
何不等式、存在性问题等
方面有广泛的应用，恰当
地设元引参是构造的
关键.
才由屉Jfr，、理、代数基
本定理、连续函数的介
佳定理等都是数学上与
存在性判断相关的定
理，只关乎存在的判断，
不关注其他的属性.
松下问童子，
言师采药去;
只在此山中
，
云深不知处.
贾岛的诗句是存在
性定理在人文意境里最
生动的描述.
，~IJ:\~、
食
AX 
AH 
-RAX 
-R 
食
食
*
4. 已知αb 手1，且4α 2 -
20 16α + 7 = 0 , 7b2 -
2016b + 4 = 0 ，则巳+乓=
b ' bz 
("希望杯"邀请赛试题)
5.
已知实数x ，y 满足关系式xy-x-y=l ，则X2 + y 2 的最小值为(
) . 
A. 3 - 2 !2 
B. 6 - 4 !2 
C. 1 
D. 
6 十4 !2
(全国初中数学联赛题)
6 .
已知四个互不相等的正实数α ，b ，c ，d 满足(α 20 12 _ C2012 ) (α 2012 _ d 2012 ) = 
2012 , (b2012 -c 2川) (b2川_ d 2012 ) = 2012 ，则(ab) 20 12 一(Cd) 2012 =(
) . 
A. -2012 
B. -2011 
C. 2012 
D. 2011 
(天津市竞赛题)
7.
已知α注2 ，m2 - 2αm十2=0 ，n2 -
2αη十2=0(m手n)
，则(m - 1) 2 + (η 一1)2 
的最小值是(
) . 
A. 6 
B. 3 
C. -3 
D. 0 
(内蒙古自治区呼和浩特市中考题)
8. 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点。，若56AOB = 4 , 
56∞D = 9 ，则四边形ABCD 面积S 的最小值为(
) . 
A. 21 
B . 25 
C. 26 
D . 36 
("五羊杯"竞赛题)
9. (1)已知非零实数a ，b ，c 满足4α 十2b + c=0 ，求证:b2 -4ac二三O.
(2) 已知非零实数α ，b ，c 满足9α -6b十2c=0 ，求证b2 一2ac二三O .
(杭州学军中学自主招生试题)
10. 求方程2x 2 - 7xy十3y 3 = 0 的正整数解.
(山西省太原市竞赛题)
1 1.已知α ，b 为实数，且α2 十ab十b2 =3 ，若a 2 -ab+b 2 的最大值是m ，最小
值是n ，求m + n 的值.
(天津市竞赛题)
12. 已知实数α ，b ，c 满足α 十b + c = 2 ，abc = 4 .
(1)求a ，b ，c 中最大者的最小值;
(2) 求
| α
1 +lbl+lc
l 的最小值.
("信利杯"全国初中数学竞赛题)
13. 已知n 为正整数，且n 2 -7 1 能被7n 十55 整除，试求η 的值.
(五城市联赛题)
14. 已知: 在矩形ABCD 中，AB = α ，BC= b ，动点M 从点A 出发沿边AD 向
点D 运动-
FS1 vsr~ 
图①
图②
(第14 题)
图③
纪〉
学科精英大视野系列丛书
~、ic.\c.:\
食
食
( 兔每缉)
1号食
女*
I专
冒险
食
(1)如图①，当b = 2α ，点M 运动到边AD 的中点时，请证明ζBMC= 90 0 •
(2) 如图②，当b> 2α 时，点M 在运动的过程中，是否存在ζ BMC=90 0 ?
若存在，请给予证明;若不存在，请说明理由.
(3) 如图③，当b< 2α 时，(2) 中的结论是否仍然成立?请说明理由.
( 山东省临沂市中考题)
15. 如图，某人用一张面积为S 的三角形纸片ABC 剪出-
3 
个平行四边形DE凡求证: SO DEFG寸s
ι--\c 
16.
已知
t 是一元二次方程工2+ x - l = O 的一个根，若正
n// 
\ ~ 
整数a ，b ，m 使得等式(at 十m)(bt + m) =3 1m 成立，求
~ E 
F 
~ 
ab 的值(第15 题)
(全国初中数学联赛题)
倒
1
432 
化简得
t ' -
(工+ y -4 3 -6 3 ) t 一( 6 3 X 十4 3 y-4 3 X 63) =O , 
由韦达定理得3 3 +5 3 =x 十y-4 3 - 6 3 • 故z 十y =3 3 十53 十4 3 十6 3 =432. 
2 
..... r\ " 
,.., 2 I 
_,., /> -........._ ^ 
h17 ~g 2 ~ 116 
倒2
C 
l:\= / -4(2y' -29) = - 7y' + 116 二三0 ，解得y2ζ7二句16.57 .
见表
E
只有当/= 16 时
，l:\ =4 是完全平方数，符合要求.
当y=4 时，原方程为工2+ 4工十3=0 ，解得工1 =- 1
，工，=-3
;
当
y =-4 时，原方程为工'- 4x +3=O ，解得工3 = 1
，引=3 .
.原方程的整数解为(x ，y) =(- 1，4 )
，( - 3 ，的，(1，一的，( 3 ，一4) . 
第
4
ì井
相适万程
辑，巳主第
￥F回国r--，回... 匡
• 
…. 
(x + y=l l. .. (工+y=6
.
倒3
xy 与工+y 是方程m ' - 17m + 66 =0 的两个实数根，解得(
或!
，，(舍去) • 
原式= (x ' 十/)' _ x' y ' 十xy(x' + y' ) = 12499. 
3 
2 
倒4
因
n笋0 ，故一τ
一-5 二O .
n-
n 
若m = i ，则
I m - l_ I=o ;
n
η
l 
lxy=6. 
l 工y= l1
1 
2 
,, 1 
5 
若m子土上，则m ，i是方程3l - 2l - 5=0 的两个根，得m+ 一=了，mX 一=
了
η
n 
n 
0
ηJ 
1 m
士1=币斗了=J (m+叮-4X~=JG了一4X(-~) 斗
故原式的值为0 斗
t + 1
μ +3 
倒5
由条件问
2
'α 十b=±~γ ( 出一3) , 
三9娃
食
，传
食
食
，传食
，传女
女
, ~ /t+3 
:. a ，b 是关于工的方程忏~γz+7=0 的两个胀，
( 
r;丰言ì
2
", t+1 
则仨l'\γJ -4X"2~=γ2 ~O ，解得叶子
故t 的取值范围是
3::(tζ ÷ 
23 
1. (1) 2 或
7
学科精英大视野系列丛书
• 
… …肆
"
(. 0 . b2 
_. 
1
飞5
(2) - 32 
..2_ ，b2 是方程工2- 2x - 1 =0 不相等的两实根，原式=
1 b2 十一
3+ 一|
a
飞
a
a J 
2 子的，关于α 的一元二次方程扑矿+ α =0 有实根，6. = 1 山0 ，故z豆子，当a =O 时，
时，x 的最大值为子
3. (5 , 10) , (7 , 4) , (7 , 10) 
因
y' - 2xy + (2 x 2 - 4x - 30) = 0 是y 的二次方程，有正整数解，故
34
(X-2 )2 = 矿是完全平方数，则旷只可能是25 ，16 ，9 ，4 ，1，0. 由
34 一( X-2)2 =25 ，得x=5 ，y = 10; 由
34
(X-2)2=9 ，得x=7 ，y=10 或x=7 ，y=4; 当扩为
16 ，4 ，1，0 时，元正整数解..原方程的正整数解为( 工，y)=
(5 ,10) , (7 ,4) , (7 ,10). 
4
882ht是方程4x 2 一川川=0 的两个不等实根
5. B 
设x + y = t ，则xy = l + t ，x ，y 为一元二次方程m 2 - tm + 1 十t =O 的两根，由A二三0 得t注2+212或
t::(2 -
212 ，因工2 +y2 = (x+ y) 2 -2xy= (t 一1) 2- 3 ，故当t=2 一212时'X2+y2 的最小值为
6 →412.
6. A 
a 2012
，b2川可看作方程( X-C2012 ) (X-d'012 ) = 2012 的两实根.
7. A m+ n=2… =2 ，原式=4 (什r -3 
x 
9 
8. B 设56NJD =X , 5 6 fOC = y ，则
4
歹'即xy =3 6 ，又x+y=5-13 ，工，y 为方程t ' -
(5 一13)t +36=0
的两根，由A二三0 得S二三25.
9. (1) x=2 为方程αx 2 + bx +c=O 的一个根，则
6. = b 2 -4ac二三O .
(2) x=-3 为方程ax 2 +2bx 十2c=0 的一个根，则
6.= (2b) 2 - 4a • 2c二三0 ，化简得b2 一2ac二三O.
10. 将原方程看作z 的二次方程，1!f 6. = 49y' - 24/ = y' (49 -
24y)
，因为方程有实数解，所以今二三0 ，即
49 
49 - 24y二三o ，y ::(丑，y = 1, 2. 当y=l 时，得x =3 ; 当y = 2 时，得x =3 或4. 
• ·.方程的正整数解为(工，y) = (3 ,1), (3 , 2) , (4 , 2). 
11
参见例5
设a2 - ab+归，可得α + b =::!:::乒Fdb= 子，ω 为方程归乒严十字=0 的
两实根，1 :%二k ::( 9 ,m= 9 ,n= 1 ，m + η = 10. 
12
(1) .·b+c=2 - Mc=7 
.·b ，c 为一元二次方和2 一(2-仇+土=0 的两个实根，
a 
:.6. =(2-a)2- 4X卡0 月(α2 十川一份0 ，得a~4
字乙:
( 丸每组)
女
食
，传
合食
，传
合食
食
第
4 讲问道万程
当α = 4 ，b = c= -1 时，a 、b 、c 满足条件，故a ，b ，c 中最大者的最小值为
4.
(2) a ，b ，c 只可能一正二负，设α> O ，b< O ，c< O ，则|α 1+l b l+l c
l =α - b-c=2α
2, 
由(1)知α二三4 ，故2α-2 二三6 ，当α =4 ，b=c = 一l 时，α ，b ，c 满足条件，且使lal+
l b l + lc l =2α -2 二三6 中等
号成立，故| α | 十
I b
l + Icl 的最小值为
6.
nz 一71
. , . 
_ 
•. ... . 
_. 
, 
13. 设瓦+ 55 = k(走是整数) ，则n' -7kn 一(55k + 7 1) =0 
(, 
且t. =49旷+4(55走十7 1) = 49k2 +220k+284 应为完全平方数.
: (7k + 15) 2 = 49旷+ 210k十225< 49旷+ 220k十284 <4 9扩+ 238走+ 289 = (7走十17) 2 ，
:. t. =(7走十16) 2
从而(7k + 16 ) 2 =4ge +220走十284 ，
解得走=7 ，代入①得n2 -49η-456=0 ，
解得η =57(n= - 8 舍去) . 
14. (1)略.
.. AM AB 
(2) 存在.理由:若正BMC=90 0 ，可证明6ABM∞6DMC
一一=一一设AM=x ，则王
-L ，整理得
. • CD 
DM' >.>,. .lCU H
-
,L , ,"'J a 
b-x 
x 2 - bx+a2 =0. 
': b> 2α ，a> O ,b> O, :. t. =b2 - 4旷> 0 .
.方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意.
.
当
b> 2a 时，存在ζ BMC= 90 0 •
(3) 不成立. 理由:若ζ BMC = 90 0 ，由(2) 可知x2 -bx +a2 = 0. 
':b<2α ，α>0 ,b>O ,:. t. =b2 -4矿<0 ，所以方程没有实数根.
.. 当
b< 2α 时，不存在ζ BMC=90 0 ，即(2) 中的结论不成立.
15. 证明:如图，过点A 作AH ..lBC 于H ，交DG 于R ，记50DEFG =51 , 
':DG矿BC ，:. 6ADGω6ABC.
. DG 
AR 
AH- RH 
, 
RH a_DG , RH 
. 一一= 一一= 一一一一一一= 1 一一一，即一一十一一= l.
BC 
AH 
AH 
~ AH" 
BC . AH 
A 
DG RH 
5, 
B E 
HF 
又由面积公式得-一
· 一一=斗
BC 
AH 
25' 
• DG R H .L ~ 't:. 
L 1.. ~ ~"川
为关于工的方杠x 2 - x + 二-!::= O 的两实根，
• BC 'AH n 
A.. J 
..<. "J /J 'I~"<' 
..<. , 25 
t.= 1 2 - 4 X 护。，得以÷s ，即50DEFG寸s
16. 
t2 =1 - t ，t 为无理数，又abt2 +m(a+ b)t+ m2 =31m, f!r ab(l - t) +m(a+b)t+ m2 =31m, 
得[m(a + b) - abJ t十(ab + m2 - 31m) = 0. 
': a ，b ，m 是正整数，t 是无理数，
( 川b) -ab = O队，
咱(广
G计
川
+忖b= 31
ab+m2 →3盯Im= O ，
4号
ab = 3 1m - m2 .
:. a ，b 是关于工的一元二次方程旷十(m - 31) x 十31m-m2 = 0 的两个整数根.
则t.= (m - 31)2 - 4( 31m- m2) = (31 - m) (31 - 5m ) 二三0 ，而
α 十b = 31 - m> 0 ，
31 
:. O<mζτ -
又因为A 是一个完全平方数，经检验只有m = 6 符合要求，
把m = 6 代入得ab = 31m- m2 = 150. 
已!哈
(第
1 5 题)
、叹u
1822 年，英国数学家巴贝奇发明了高级机械计算机，被
称为"差分机"，差分机具有程序控制功能，能按照设计者的
安排，自动完成复杂的计算，这是向现代计算机迈进的关键
一步.
~( 呻~\~. .....…-…·
第5 讲
一元二次方程的整数解
1
..…... 
一元二次方程的整数根问题将数论的知识与一元二次方程的知识相结
合，涉及面广，灵活性大，解相关的基本方法有:
从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解;
从判别式入手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引人参数(设
/::"=k勺，通过穷举，逼近求解;
从韦达定理人手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不
定方程，借助因数分解、因式分解求解;
从变更主元人手，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求
解.
倒1
若关于z 的方程C6-k) C9-k )x 2 一(1 17 - 15k )x+ 54 = 0 的解都
是整数，则符合条件的整数走的值有
个.
(全国初中数学联赛题)
麟题思路
用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指
明，故应分情况讨论.
梦乡
我的工作是努力
把真和美统一起来，
如果我不得不在两者
中选择其一，我常常
选择关.
外尔
等分圄面积
由于对数学的酷
爱，即使在最激烈的
战争时期，拿破仑也
常把解题当作一种关
的享受.在远征埃及
的航海途中，他曾问
手下的人"怎样把一
个已知圆的面积用曲
线四等分?"
~~~ 
( 丸每缉)
女食
*
fr
食
食
女食
食
第
5
ì井
元二次15 程的整数解
倒2
若ρ 是质数，且X Z + ρx -444 ρ =0 的两根是整数，则正确结果
是(
) . 
A . 1运ρζ 11
D. 31 ζ ρ 王三4 1
B. 11 '"二ρ ~ 21
E. 4 1 ζρ运5 1
C. 
21'"二ρζ31
(美国中学生数学竞赛题)
踹题思路
/= ρ (444- X ) ，X 必含有质因数ρ ，设工= pt.
倒3
边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程/一Ck + 2)x +
4k=0 的两根，求走的值并确定直角三角形三边之长.
(江西省竞赛题)
鹏题思路
因为方程的根为整数，故其判别式为平方数，即Ck + 2) 2
16k = n2 (n 为正整数) ，解不定方程求出走，n 的值，解题的关键是将方程配方
变形为a Z - b2 = η( 常数)的形式.
倒4
试确定一切有理数，使得关于工的方程rx 2 + (r+2) 工+r-1= 。
有根且有整数根.
(全国初中数学联赛题)
麟题思路
当r =O 时，z = i( 舍去) ;当r手0 时，则由根与系数关系得
一一一一一~
---1
' 
....,
........ 
7"""'_ 
2 
到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程的两整数根.
倒5
求使方程工2- pqz + ρ +q =O 有整数根的所有正整数户和q .
(俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
融题思路
设工l
' X2 为方程的两整数根，则由根与系数关系得
(山=ρq
2 
j/'i' 解题的关键是对两等式进行恰当的变形-
XjXZ= ρ +q ， 
哇哇
外
尔
C 1885 
1 955) ，德国杰出数学
家，外尔的数学工作
几乎遍及整个数学领
域.他的许多工作成
为
20 世纪一系列重
要数学学术成就的出
发点.他所创立的深
刻数学思想至今还在
起着指路灯的作用.
哈佛大学的校徽
是两本书朝上开着，
一本书朝下盖着的图
案，其寓意倡导批判
思维，独立思考地读
书、学习.
α b - ma - mb + 
m '=( α
m)(b - m) 
或m' ab - ma -
mb + 
1=(ma- 1)(mb- 1). 
上述多项式的因
式分解是运用根与系
数关系求整数根的常
用模型.
~~G.\ 
食
食
食
食
食为
食含
含
倒6
已知户，q 都是质数，且使得关于z 的一元二次方程/ 一(8ρ
10q )x + 5问= 0 至少有正整数根.求所有的质数对句，q) . 
(全国初中数学联赛题)
鹏题思路
由方程两个根的和为8ρ - 1 0q 可知，若方程有一个根为整
数，则另一个根也是整数，由方程两个根的积为5ρq ，知方程的另一个根也是
正整数.
设方程的两个正整数根分别为町，与( X j :::;;;X2 ) ，由根与系数的关系，得
(ZI+工2 均一1怀
x j x2 =5ρq.
② 
① 
由式②，得町
，X 2 有如下几种可能的情况:
了
] =1 ，5 ，p ，q ，忡，5q ，
工2 =5pq ，的，5q ，5p 吨，p.
当X] 十X2 = 1 十5ρq ，5 + ρq ，ρ+ 坷，q十5ρ 分别代入式①，
当X ] +x2 = 1 +5ρq 时，1 十5ρq=8ρ -10q ，而1+5户q>10ρ>8ρ
10q ，
故此时无解.
当X j 十工2 =5 + ρq 时，5+ ρq = 8ρ - 10q ，则有(ρ +10)(q- 8)= -85 ，
因为ρ ，q 都是质数，只可能
(q ←8 =- 5 ，一1，
1 
解得(户，q) = (7 ,3). 
lP十fσ=17 ，85 ，
当X j +X 2 = ρ +5q 时，p +5q=8ρ -10q ，得7ρ =15q ，不可能.
当X j 十X2 =q十5ρ 时，q+5p=8ρ -10q ，得3p= l1q ，解得怡，q ) = (11 ,3). 
综上所述，满足条件的质数对忡，q) = (7 ，3) 或(1 1 ，3) .
视角和视野
转换视角，可有效降低问题的难度，柳暗花明;开阔视野，能把握问题的
本质，举重若轻.
倒7
试求出所有这样的正整数α ，使得二次方程ax2 + 2(2α 一l) x+
4(α 3) = 0 至少有一个整数根.
("祖冲之杯"竞赛题)
鹏法1
因a 的次数较低，故将方程整理为关于a 的一次方程，得( X 十
2) 2 a = 2(x+ 肘，显然计的，于是α = 生卫: ，
U十2) 岛
，
2(x+ 6) 
.: a 是正整数，a二三1，~p 一一一，，二月，
(X 十2) "
二
万
化简得x 2 +2x→8:::;;;0 ，解得-4 :::;;;xζ 2(x手一2) ，
当工=- 4 ，一3 ，一1 ，0 ，1，2 时，α = 1 ，6 ，川，号，1
因α 为整数，故a 的值为
1 ，3 ，6 ，10 .
堕主2
t. = 4[(2α 一1 ) 2 -
4a (a - 3 ) ] = 4 ( 8a + 1 )为完全平方数，故
8α + 1 为奇数的平方.
m2+ m 
令8α 十1=(2m 十1) 2 而是正整数，则α= →亏一，于是，原方程可化为
ι 
学科精英大视野系列丛书
例
6 、例
5 与其
他例题不同之处在
于:含有两个参数，将
方程的知识、整数理
论、恒等变形、分类讨
论等知识方法结合于
一体.
似至晦，实至明;
似至繁，实至简; 似至
难，实至易.
利用判别式解整
系数一元二次方程的
整数根问题有下列常
见的切入方式:
(1)有整数根的
前提是有实数根，则
A二三0 ，确定参数的取
值范围;
(2) 有整数根必
定有有理根，则A 必
为完全平方数;
(3 ) 若判别式是
关于参数的一次式，
则可设其为
(2 ((为非
负整数) ，再将方程的
根用
t 表示(见例
7
解法2) . 
，~~~ 
合食
食
( 丸每细)
飞与了
食
食
-(:了食
食
第
5
ì井
一无二灰万程的整辈坦解
mCm+ l) x 2 + 4Cm2 + m- l) x + 4Cm 一2) Cm +3) = 0 , 
即[mx+2Cm - 2)J[ Cm 十l) x 十2(m + 3)J=O, 
解得x ] = -2 + 土，x 2 = - 2 一
4
m + 1 ' 
'. m
l 4 或Cm+ 1)
1 4 ，
得m= 1，2 ，4 或m = 1，3.
故α 的值为
1
，3 ，6 ，10.
& 刻意练习
1.若关于工的方程rx 2 -
C2r+ 7)x 十Cr + 7) =0 的根是正整数，则整数r 的
值可以是
(江苏省竞赛题)
2 . 若整数m 使方程工2 - mx+m+2006 = 0 的根为非零整数，则这样的整数
m 的个数为
(江苏省竞赛题)
3 . 若户为素数，使关于工的方程工2 -2户工+ ρ 2 一句一1=0 的两个根均为整
数，则ρ 的值为
(夭津市竞赛题)
4. 设整数a 使得关于工的一元二次方程5x 2 - 5ax+2 6α - 143=0 的两个根
都是整数，则α 的值是
(浙江省竞赛题)
5 . 若α ，b 都是整数，方程az 2 十bx-2008 = 0 的相异两根都是质数，则3a 十b
的值为(
) . 
A . 100 
B. 400 
C. 700 
D. 1000 
( 山西省太原市竞赛题)
6. 把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序(次序不同视为不同组)填入
口工2+ 口工十口= 0 的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一
次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a ，b ，c C 
). 
A. 不存在
B. 有一组
C. 有两组
D. 多于两组
(浙江省竞赛题)
7 . 已知关于工的方程C 4 - k ) C 8 - k )X 2 一C80 - 12k )x + 32=0 的解都是整
数，求整数h 的值.
( 浙江省绍兴市竞赛题)
8. 设m 为整数，且4 <m < 40 ，又方程工2 - 2C2m -3)x+ 4m 2 - 14m 十8=0
有两个整数根，求m 的值及方程的根.
(天津市竞赛题)
9. 设m 为整数，且关于工的方程mz2 十2Cm-5 )x + m - 4 = 0 有整数根，求
m 的值.
( 江苏省竞赛题)
35娃
~~~ 
食
食
食
噜E
食
-r:r
食女
女
10. 若直角三角形两条直角边都是整数，且是方程mx2- 2x- m + 1=0 的根
(m 是整数) ，这样的三角形是否存在?若存在，求出满足条件的直角三
角形的边长;若不存在，请说明理由.
(江西省南昌市竞赛题)
11.已知正整数m 满足使m 4 + 16m +8 可以表示为两个或两个以上连续整
数的乘积，求m 的最大值.
( 青少年国际城市数学邀请赛试题)
12. 是否存在两个正整数αι满足αζb ，且关于工的方程工2 -abx+α+b=O 有两
个整数解? 若存在，求出所有符合条件的正整数α ，b;若不存在，请说明理由.
(四川省竞赛题)
13. 已知ρ ，q 为整数，且是关于z 的方程z z 一豆土且z+15(p+q)+16 = o
9 
-
, 4 
的两个根，求户，q 的值.
(全国初中数学联赛题)
14. 若关于工的方程X 2 - 34x十34走一1=0 至少有一个正整数解，求满足条
件的正整数走的值.
(全国初中数学联赛题)
15. 能否选出10 个连续的偶数，且将其分为五个对子(句，bk ) (是= 1，2 ，…，5) , 
使得方程X2 +αkx+bk =O(走=1，2 ，' ''，5)均具有整数根?若能，试举一例;
若不能，请说明理由.
( 北京市竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
将c主篝
• 
-…--. • 
倒1
5 时，问时，x= 一2 ，叫样川的时，X}= 击，工2-击，k-6 = 土1，:1: 3 ，士9 ，
走- 9 = :1: 1，:1: 2 ，士3 ，:1: 6 ，解得是= 3 ，7 ，1 5 . 故符合条件的整数走的值有5 个.
倒2
D
由(ρt) 2 = ρ(444
户。，得如(t十1) = 444= 37 X 3 X 4= 37 X 3 X (3 十1) ，故ρ = 37.
倒3
由( k +2/ -16k=n2 ，得(k-6 + n) (k -6 一η)=32 X 1= 2X 16=4 X 8 ，
.; k-6 十η〉走一6- n
，且两者奇偶性相同.
( h6 + n= 16' 叫卜叫= 8 ，
一
1
解得走= 1 5 或走= 12 .
k- 6- n= 2, 
Ik- 6- n= 4, 
当k = 1 5 时，解得α = 5 ，b = 12 ，c = 1 3 ; 当走= 1 2 时，解得a = 6 ，b = 8 ，c = 1 0 _
倒4
当凹，得z=÷(舍去) ，故倍。
设工j
' 码是原方程的两整数根，则
(
l
+ 22
h 
X j ' X2 = - 一一一=- 1
一
，
w 
γγ 
r - 1 
1 
_ 
X j X2 =-一一= 1 --
ω 
γγ 
②X2
①，得2x j x2 -X j -X2 = 3 ，即(2x j 一1) (2工2- 1) =7= l X 7 = (- 1) X ( 一7) , 
于是有
c) 
女食
食
( 丸每银)
广1- 1 = 1，广1- 1 =7 ，广1- 1 = 一1 ，广1- 1 = 一7 ，
2工，-1 = 7;
(2工，- 1 =1;
(2工2 一1=-7;
12工，- 1 =- 1.
分解解得(工1 '工，) = (1，的，(4 ，1) , (0 , -3) , ( -3 ,0). 
( X 1 x ，= ρ +q ， 
倒5
设原方程两根为凡，工，，则!
① 
I x 1 + 工2ρq.
②
女食
食
会世r
食
v
第
5 讲
一元二次万程的整数解
因此，这两根之和与两根之积均为正整数.若x 1 是整数，由②知x，也是整数，由①知两根均为正整数.
①一②得，X 1 X ，-(X 1 十X ，)= ρ +q
ρ q ，即(X 1 一1)( 工，- 1)+(户一1) (q一1) =2.
将2 表示为两个非负整数之和，只有三种情况:0 + 2 ，1 + 1 , 2+0. 
若(ρ
1) (q - 1) =2 ，则ρ = 3 ，q=2 或ρ =2
，q=3;
若(ρ - 1) (q - 1)=l，则ρ =q=2;
若(ρ
1) (q - 1) =O
，则ρ = l，q =5 或p=5
，q = 1.
• 
…… ‘ …邀.
1. 0 ,1, 7 
r = O 时
，x = l; γ手0 时，观察可知X 1 = 1 是房、方程的一个正整数根，设另一根为工2 ' 
则ι=1 + 工，r I 7 ，r=1 或7.
:. r=O ，l 或7.
了
2. 5 
设方程两整数根为工1 '工，'则
X 1 +x, =m , x1x , =m 十2006 ，得x 1 x ，←(XJ + X,) + 1 = 2006 + 1 = 
2007 = (x1 -1) (X, -1) ，故x 1 -1 =
::1:: 1
，
::1:: 3
，
::1:: 9
，x ，- 1 = 士200 7
，
::1:: 669 ,::1:: 223. 
3. 
3 或
7
t. = 4(5 ρ + 1)为完全平方数，5ρ+1 为完全平方数.
工
13
. "... 5x-65 
39 
4. 18 
a=x+5+ 一一一为整数一一一一=1 一一一一一为整数，则5x-26=
::1:: 1 ，::1:: 3
，::1:: 13 , ::1:: 3 9 ，解得x=
5工一26"
.J>.. """5x-26
i 
5 工-26
5 或x=13 ，故α=18.
b 
2008 
5. D 
设方程两根为工1 ，工2(X1 <X，)
，则x 1 + 工，一--=- 'X}X2 = 一一一，即b=-a(x 1 +x，)，即1 工，=- 2008= 
αα 
-2X 2 X 2 X25 1.因工1 '工2 为质数，故可取工1=2 ，x2 =25 1 ，由此得α =- 4 ，b= 1012 ，3α + b = 1000.
6. C 
设三个连续的正整数分别为
n - l，n ，n + ICn 为大于
1 的整数) ，当一次项系数是n-1 或n 时，方
程无实数根;当一次项系数是η + 1 时，今=(n + 1) '- 4n(n 一1) =-3 (n- l) '+4 二三O ，n 只能取2 ，此时方程为
矿+3x 十2=0 , 2x' +3x 十1=0 ，均有整数根，故满足要求的
a ，b ，c 只有两组(1，3 ，2)
，(2 ，3 ，1).
4 
8 
7.
当走=4 时，工=1; 当走=8 时，工=- 2; 当走手4 且走芋8 时，工1
8-k' 工，
4-k' 可推得走=6 或
12. 故
走=4 ，6 ，8 或
12.
8. 
t. = 4(2m+ 1)，由4< m< 40 知9< 2m+ 1 <8 1 ，为使判别式为完全平方数，只有2m十1=25 或2m十1=4
9 ，解得m = 12 或m = 24 ，相应方程的两根分别为
16 ，26 与
38 ，52.
25η25-m±η 
9. m芋0 ，设t.=25 - 6m=n' (n 为奇数) ，则m =
--
6 一，于是工11=-7J-dl=- 1 十5 -右'工，=- 1 十5+n'
25η2
，9 
若工1 为整数，则正奇数n= 7 ，1l，3; 若工2 为整数，则η= 1.由m = 一一一可付相应的整数m= - 4 ，一16 ，4.
6 
10. m手0 ，设
t. =4m ' -4m+4= 是'(k 为整数)，(2m + 走一1) (2m 一走
1) = - 3. 
g川一1 = 1，
(叫一1= -3 '(2m+ 走干一1
，
2m 一走一1= -3 ; 
12m- k-1 = 1; 
12m-k-1=3; 
(叫一1 =3 ，
2m-k-1 二-1.
(m , = 0 , 
(m, = 0 , 
(m, = 1 , 
(m, = 1 , 
解得i
'
i " 
i _ -
i 
Ik1=2 ; 
Ik,=-2 ; 
(k 3 =- 2; 
1 走4= 2.
(之结
食
食
食
食
食食
食肯
A 
'N了
: m手O ，:.m =l ，方程为x2 -2x=0 ，得x] =2 ，x2 =0( 舍去) . 
.满足条件的直角三角形的直角边长都是2.
1 1.若m= O(mod 3) ，则m4 + 16m+ 8= 2(mod 3); 
若m三lC mod 3)
，则m4 + 1 6m+8三lC mod 3); 
若m三2( mod 3) ，则m4 + 16m十8=2(mod 3) . 
学科精英大视野系列丛书
于是，无论m 取什么值，旷十16m+8 均不为3 的倍数，从而，其不能表示为三个或三个以上连续整数的乘积.
由此，考虑形如m4 十16m + 8= (m2 +n) (m2 + n十1) (n εN) 的因式分解，I!r 
(2n + 1) m2 - 16m十(n2 + n- 8) =0 , 
其判别式为今=4 [64- (2n+ 1) (n2 + n-8) ]. 
当n=0 ，1，2 ，3 时，分别有D.o = 4 X 72 , D.] = 4 X 82 , D.2 = 4 X 74 , D.3 = 4 X 36; 
当n二三4 时，D.4 <0 .
16+ .j4X36 
从而，只有η =3 时
，m 取整数值，此时，m=
rt....，v/~....:/ :l..n'
~ ... 1V' 
2. 
2X(2X3+ 1) 
12. 假设正整数a ，b 符合条件，使方程x2 - abx + a+b = O 有两个整数解x]
，工2 (不妨设工]~X2 )' 由根与
系数关系知x] 十x2 = ab>O ,x] x 2 = α +b>O . 
因此，鸟
，x2 均为正整数，且工]x2 -x]-x2 = α + b-ab ，即(工] -1)(工2 一1) =-(a一1) (b一1) +2 .
① 
由( x] - 1)(工2- 1) 二三0 ，知0ζMζ 2[M=( α 一1) (b - 1)]. 于是，M= O 或1 或
2.
(1)当M= 2 时，有α - 1 = l，b - 1 = 2 ，即α =2 ，b = 3. 由方程①知x] = 1 ，与=5 .
(2)
当M= l 时，有a 一l = l，b一1 = 1，即a = 2 ，b = 2 . 由方程①知x]= 工2=2 ，符合条件.
(3)
当M=O 时，有a -1=0 ，即a = 1. 由方程①知x]=2 ，x2 =3 ，从而x]x2 =6=a+ b= 1 十b ，故b=5.
综上，符合条件的正整数为α =2 ，b=3; α =b=2 川= 1
，b=5 .
。2+ 11
~ 
15 
13 .
由韦达定理，得p + q = ι一二土
①，pq= 一( p +q)+ 1 6
②，ρ +q>O ，ρq>O ，ρ ，q 为正整数.由②有
9 
= 'r .., 
4 
16ρq=60( ρ + q) + 16 2
，即(4户
1 5) (4q-15) = 162 + 152 = 48 1 ，而481 = 1 X 481 = 13 X 37 = ( - 1) X (-481) = 
{4p- 15= 1,481, 13 ,37 , , _,._ ,_ IP = 4 ,124 ,7 ,13 , 
(-13) X (-37) ，故!
分别解得!
代入①，只有p = 13 ，q= 7 满足条件，
l 4q-15=481,1, 37 ,13. 
. lq= 124 ,4 ,13 ,7 , 
这时原方程为工2 -20x+9 1 =0 .
14. 设工1
，XZ 为方程两个根，且x] 为正整数，则x] +x2 =34 ，工】工2 = 34走一1，得x2 为正整数.
.: (x] + 1) ( x2 + 1) = 34( 走+1)
，
:.171 (x] + 1) (工2+ 口，
:.171 (x] 十1)或17
1 (x2 +1) . 
x] + l ~x] 十x2 =34 ,x 2 +l~x] +X2 =34. 
经讨论得x ] =33 ，x2 = 1 或工] = 1 ，码=33 ，都推得走= 1.
15. 不能. 假设存在这样的五个方程x2+a，x + 仇= O(k= 1，2 ，… ，日，(a"
b，) 为偶数对，其根Xk . l
，Xk . 2 均为
整数.
由于Xk.]Xk.2 = bk 为偶数，于是，Xk . l
，Xk . 2 中至少有一个为偶数.
又x，.] 十Xk. 2 = -ak 为偶数，则缸.1
，Xk ，2 均为偶数.
从而
，4
1 bk • 
注意到，十个连续的偶数中只有五个被4 整除，另五个被4 除余2.
因为鸟
，b2
，… 4 中的每一个均被4 整除，所以
，a}
，a2 ' … ，向中的每一个均被4 除余2 . 而
a，为方程x2 +
akx 十b，= O 的根的和，故方程x2 + a卢+bk = O 的一个根被4 整除，另一根被4 除余2. 于是，81 仇，即五个bk 均被
8 整除. 故选出的十个连续的偶数中有五个被8 整除，这与任意十个连续偶数中至多有三个被8 整除矛盾.
如乙)
L 
图灵(1 912 - 19 54) ，英国数学家.
1942 年，
图灵参与研制了世界上第一台全电子数字计算
机"巨人号"，这台计算机被用于破译德军密码，
在第二次世界大战中立下战功，图灵也被誉为
"现代计算机之父"
3豆豆d
飞?J(良毡7
第刊
三主次方在的性
'
知能概述
一元二次方程是方程的重要代表，是刻画现实问题的有效模型之一.
代数式的化简求值、参数值或范围的确定、应用题、几何问题等相关问
题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质或构造一元二次
方程而获解.
'
问题解决
倒
1
若矿+旷= α 2- 2α 2 b 2 + b 2 + 6
，则α 2 十b 2 =
(江苏省竞赛题)
鹏题思路
视矿+ b 2 为整体，将条件等式变形为关于旷+ b 2 的一元二
次方程.
倒2
若Cx 2 -x- l) X + 2= 1 ，且z 是整数，则z 的值的个数是C
). 
A. 
1 个
B.
2 个
C.
3 个
D .
4 个
(湖北省黄冈市竞赛题)
鹏题思路
运用士1 幕的性质，将问题转化为解方程.
f 9地
数学之美体现在
它的实用性上.
一一一纳什
伽利赂的困惑
1, 2, 3 , 4, 5 , ". 
1 
.-4· 
1 
·It-
-
l ' 2' 3' 4' 5' " . 
完全平方数在自
然数中如沧海一粟，
而上表又表明全体自
然数又应当和全体完
全平方数一样多.这
就是伽利略的困惑，
他提出了前人没有提
出过的比较无穷大小
的问题，揭开了人类
认识" 无穷"的序幕.
数学知识不是孤
立、离散的羊点，数学
方法不是各自无关的
招式，它们融为一体，
构成知识链或方法
链.解题的敏捷性、发
散性就在于链中的某
一环受剌激而激活整
条链.
例2 把萃的性质、
一元二次方程、分类讨
论等知识方法有机融
合. 小问题，大智慧.
i~~~ 
，传
食丁纭
，传
食女
食
，传为
倒3
象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，
记分办法是胜一盘得1 分，和一盘各得0.5 分，负一盘得0 分.已知其中两名选
手共得8 分，其他人的平均分为整数，求参加此次比赛的选手共有多少人?
(天津市竞赛题)
解题思路
设共有选手(n+2) 人，为布列方程需增设未知数，即又设n
个人平均每人得走分(走为整数).
倒4
实数a ，b ，c 满足α > b > c ，且a 十b+c= 1 ,a 2 +b2 +c2 = 1.求证:
。<a 十b〈f
(四川省竞赛题)
鹏题思路
α +b=l - c ，只需证明
i 〈c〈0 ，把ab 用c 的式子表示，
3 
以此构造一元二次方程.
倒5
是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于
另一个内角2 倍的6ABC? 证明你的结论.
( " (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
堕堕塾些
由角的关系可导出边的关系，进而布列方程.因边的大小关
系不确定，故需讨论.
倒6
如图，在锐角6ABC 中，四边形PQRS 是
6ABC 的内接矩形，且SL.ABC = nS矩形同邸，其中n 为
不小于3 的自然数，求证.豆豆为元理数.
'AB 
壁堕作AD上BC 于D ，交RS 于E.
设BC= a ，BC 边上的高AD=h ，PS=x ，RS=y ，
B 
由6ASRω6ABC ，得主E=EE ，即生二王=主
AD BC ,-,. h 
a' 
k-x 
-y=-7·α. 
: SL.ABC =nSil'.IDPQRS ' :. ~ ah=nxy=n工·于·α ，
4如\
。
A 
学科精英大视野系列丛书
纳什
(1928 -
201 日，美国著名经济
学家、博弈论创始人，
《美丽心灵》男主角原
型，1994 年因在非合
作博弈的均衡分析理
论方面所做开创性贡
献而获得诺贝尔经济
学奖.
解几何与方程结
合的问题时，构造方程
模型的基本路径有:
(1)利用周长、
面积公式构造;
(2) 利用勾股定
理、等腰三角形性质
构造;
(3) 利用比例线
段构造;
(4) 利用三角函
数构造.
~~~ 
( 丸每缎)
合食
女
ù 
，曲
*
食
，传
食
第
6
ì并
无二灰万程的应用
整理得2nx 2 - 2nxh + h2 =叫刘-hf + l =0 ，
.王
1 士i dT=EZ，显然η2- 2n< (n 一1) 2 ，又7应3 ，
h 
2 ~2n 
'. n 2 - 2n > ( η 
2) 2 ，故旷-2n 不是完全平方数，Fn古-2 n 为无理数，
BS 
从而王为无理数，于是
=王为无理数.
BA 
例7
求满足下列条件的所有四位数abcd : abcd = C高+Cd) 2
，其中，数
码c 可以为O.
("新知杯"上海市竞赛题)
踹
设ab=x ，cd=y ，则x ，y 为正整数，且10运工运99
，0ζy<99 .
由题设可知Cx + y) 2= 100x 十y.
即x 2 -2(50- y)x+/ -y=O 
①，而工，y 为正整数，
:. ß =4 C2500 - 99y) 为完全平方数，从而2500 -9 9y 为完全平方数.
设2500 -9 9y = 扩ωεZ ，Oζhζ50). 则C50 + k) (50-k) = 99y , 
故11
1 (50 + k) 与
111 (50-k) 至少有一个成立.
因
50 ζ50 十k < 100 ，0ζ 50- kζ50 ，
所以，50 十走=55 ，66
，77 ，邸，99
，
或50 - k =0 , 11 , 22 , 33 ,44. 
故99y =55X 屿，66 X3 4 ，77 X 23
，88 X 12
，99 X 1
，
或99y = 100 X 0 ,89 X 11 , 78 X 22 ,67 X 33 , 56 X 44. 
因此，使y 为非负整数的只有y =25 ,y = l, y =O. 
回到方程①，解得x =30 或20 ，x=98 或O ，x =O 或100 .
显然
，x =O 或100 不符合条件.
故符合条件的四位数共有3 个: 3025 , 2025 ,9801. 
当梯子下滑后
倒8
如图，梯子斜靠在墙上. OA = b ，OB = α ，当梯子下滑
A~ 
时可提出如下问题:
A\\ 
(1)梯子上端和下端滑动的距离相等吗?
~ 
飞、
理\. ".、B'
(2) 在梯子下滑过程中，梯子的中点到墙角的距离改变吗?
O
M丁W////////
(3) 在梯子下滑过程中，梯子与墙面及地面所围成的三角形面积是否存
在最大值?
麟题思路
对于(1) ，设AA' =x , BB' = y. 由勾股定理建立x ，y 的关
系式.
41. 1 
马4地
例
7 整体设元，
得到一个二元不定方
程，又整理为关于工
的一元二次方程，将
问题转化为一元二次
方程整数根问题.
例
7 涉及的数称
为"卡布列充数"
"没有提问，就没
有回答.一个好的提
问比一个好的回答更
有价值"这是西方学
者最爱说的话.
智慧型的学生能
提出问题，能概括抽象
的东西，能演绎推理、寻
找课题，能运用知识，善
于发问，长于猜想.
高新技术的本质
是数学化了的技术.搜
索引擎、语音识别、机
器翻译、自然语言处
理……数学是解决这
些问题的最好工具.
I"í:!\~~ 
食
，传女
食
食女
食* 'f::I 
学科精英大视野系列丛书
~ 刻意练习
1.若x 2 +xy+y= 14 ,y2 +xy+x =28 ，则z十y 的值为一一一一一·
(全国初中数学联赛题)
2. 在平面直角坐标系中有点AC -2 ，2) ，BC3 ，2) ，C 是坐标轴上的一点，若
L:，ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 的坐标是
(山东省竞赛题)
3. 参加会议的成员都互相握手，其中某人与他的一些老朋友握过第二次于，
若这次会议握手的总次数是159 ，那么参加会议的成员有
人，其
中，第二次握手共有
次.
(江苏省竞赛题)
4. 如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，则称(工，y ，z) 是"三角形
数"若(α ，b ，c) 和(i i 
i) 均为=角形数，且α~b~三c. 则立的取值范围
, b ' c
一
是
(全国初中数学联赛题)
S .
已知n 是正整数，2018n2 + 2018 2 η - 2018 是完全平方数，则n 的最小值
是
("希望杯"邀请赛试题)
6.
如图，设L:，ABC 的两边AC 与BC 之和为a ，M 是AB 的中
B 
点，MC=MA = 5 ，则α 的取值范围是
(江苏省竞赛题)
7
已知实数x ，y 满足毛-毛=3 ，/+/=3 ，贝tl ~+旷的
工工
工
值为(
) . 
A. 7 
B 且严
c 与巫
(第6 题)
D. 5 
(" ((数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
8. 满足(2-my2 -m→=1 的所有实数m 的和为(
). 
A. 3 
B. 4 
C. 5 
D. 6 
(全国初中数学联赛题)
9. 已知4x4 + 3x3 - 2x 2 + 3x+ 4 = 0 ，则x+ l_ 的值为C
). 
工
A?B-2 或?c-2D?
("希望杯"邀请赛试题)
10. 过点P( - 1，3) 作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5 ，这样的
直线可以作(
). 
A. 4 条
B. 3 条
C. 2 条
D. 1 条
(全国初中数学联赛题)
合乡
~~~ 
( 丸每编)
女食
食
1号*
食
tlc
食
食
第
6
ì并
无二次7古程的应用
11. 一个三角形的三边长分别为a ，a ，b ，另一个三角形的三边长分别为a ，b ，
b ，其中α>b ，若两个三角形的最小内角相等，则?的值等于(
) 
h7 
A 
B. 壶土1
2 
c 午
D
主土2
2 
(全国初中数学联赛题)
12 . 中华中学在100 年校庆时举办班际篮球比赛.假设在这次比赛中，每支
队伍都先进行了3 场比赛后，淘汰6 支队伍，剩下的队伍再进行单循环
赛. 所有的参赛队伍共进行了33 场比赛. 则总共有(
)支队伍参加这
次比赛.
A. 16 
B. 23 
C. 24 
D. 12 
E. 26 
(国际中小学数学能力检测题)
1 3 . 某校一间宿舍里有若干名学生，其中一人担任舍长.元旦时，该宿舍里的
每名学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺
卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51 张贺卡，问
这间宿舍里住有多少位学生?
(山东省竞赛题)
14 . 计算可得3 2 十42 =5 2
，10 2 + 11 2 十12 2 = 13 2 + 14 2 . 求所有的正整数走，使
得存在2走十1 个连续的正整数，满足前走十1 个正整数的平方和等于后h
个正整数的平方和.
(上海市"TI"杯竞赛题)
1 
3 
, 17 
, J 
15. 已知实数x ，.y ，z 满足z 十
o ，y十一= -::- ，z+ 土= 4 ，求xyz 的值.
J ,- "" "'- ~ 'y 
2' J '
z 
3 
(世界数学团体锦标赛试题)
16. 如图，已知边长为
1 的正五边形的对角线围成了
D 
一个新的更小的正五边形，求这个小正五边形的
边长
E
(斯洛文尼亚数学奥林匹克竞赛题)
17. 已知某两位数在加上它的十位数与个位数之积
后，恰好为它的十位数与个位数之和的平方，求所
A 
C 
B 
有这样的两位数.
(第
16 题)
(克罗地亚数学奥林匹克竞赛题)
18 . 数学活动课上，李老师出示了问题: 如图①，在L:，ABC 中
，'L BAC = 45
0
• 
AB = AC ，AD _lBC 于D ，设BD = a ，用含有α 的式子表示AD 的长.
A 
A 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
…
、
/ 
I \ 
"，、F
I 
I 
\ 
"、‘
…
… 
… 
…
\、
…，
、
一---- --- _\.
B 
D C 
E 
图②
(第18 题)
Gt.\.A:\CA 
43始
食
女
女
食
人
X
-R 
学科精英大视野系列丛书
食
食
食
经过思考和探讨，小明展示了一种解题思路:如图②，作ζ DAE=
45 0 ，AE 和BC 的延长线相交于点E ，过点C 作CF 上AE 于点F ，则
DABD旦DACF ，得CF= α ，进而CE=J2a ，所以AD=DE=CD十CE=
(1十J2)a.
在此基础上，李老师又提出如下问题:
已知DABC 中，ζBAC= 45 0 ，AB > AC ，AD 是BC 边上的高，设
BD = a ，CD = b ，求AD 的长.
请画图并解答这个问题.
?静c主挥
洒国r
. .....区
(河南省竞赛题)
19 . 如图，在RtDABC 中，ζ C = 90。将，ζ B= 30 。将，AC=
3m ，点P 和点Q 同时从点A 出发，P 沿折线A - C - B
- A 以lm/s 的速度运动，Q 沿折线A - B - C - A 以
2m/ s 的速度运动(当其中一点回到A 点时，两点都停
C 
p卡飞\
B 
止运动) .求
(1)当PC 和PQ 第一次相等时点P 运动的时间;
(2) 当DAPQ 的面积等于DABC 面积的一半
时点P 运动的时间.
(第19 题)
C 
("希望杯"邀请赛试题)
20 . 如图，一个三角形被分割成四个小三角形与三
个四边形.每个小三角形的面积均为1.求四边
形CAo Co Al 的面积.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
A 
C, 
B 
(第20 题)
• 
…
，蟹
.
倒1
3 
原等式化为Ca2 十b2 ) 2- Ca 2 十b2 )-6 = 0 .
倒2
D 
x+2 = 0 或x2 -x-1=1 或工.2-x- 1 =-1 且z十2 是偶数，分别解得x= -2 ，2 ，-1 或O .
倒3
由题意得÷(ωη十lυ) C川
因为人数是正整数，3 - 2走为整数，于是人数只能是1，2 ，7 ，1 4 ，
又人数是奇数，得n = l 或7 .
但当n = l 时，走< 0 ，矛盾，故η = 7 ，这时η +2 = 9 ，即共有9 人参加比赛.
倒4
':α +伊l -hab=(a+b) 2 7 旷+b
2 )=cz -c ，
二α ，b 是一元二次方程工2 一(l - c) x+/ - c = O 的两个不等实根.
" 
t.= (l _ c) 2 _ 4C / _ c) >0 ，解得一÷〈c〈1
又若c二三0 ，则
a> O ，b> O ，从而旷+ b
2 + c
2 < a 十b十c ，矛盾，故c< O .
一÷〈C〈0 ，于是得1<α+b〈?
产
二
ι
一
1号
食
食
( 丸每级)
Jr、
平、
4眨
食
φ卡1>.总唱
气k
第
6 讲
倒5
如图，设ζ A = 2L三B ，延长BA 至点D ，使AD = AC = b ，连CD ，则6 ACD ，
6BCD 为等腰三角形.设CD = α ，AB = c .
AD 
CD _ b 
由6 ACDω 6 CBD ，得一一= 一-即
= 
CD 
BD'" a 
b 十C ' 
:. a2 = b(b 十c) .
①当
α> c> b 时，设α = η + 1
，c = n ，b = n - 1
，
代入旷= b(6十:)得(n + l) ' = (n-1)(2 η 一口，解得n = 5 ，有α = 6 ,b= 4 ,c=5 . 
②当
c> α > b 时，设c = η + l
，a = n ，b = n 一1，
代入α 2 = b(b + c)
，得n2 = 2 η (n - 1)
，解得η = 2 ，有α = 2
，b = 1
，正= 3( 舍去) . 
③
当
a > b> c 时，设a = n + 1
，b = n ，c = η1
，
代入α 2 = b(b 十c) ，得(η 十1 / =η(2η - 1) , flr n 2 一切一1 = 0 ，此方程无整数解.
故存在符合条件的三角形，且只有三边长分别为
4 ，5
，6 构成的三角形满足条件.
倒8
y = OB' - OB =
J(a ' 十b 2 ) _ (b - x) 2- a = Ja2+2bx - x'- a. 
(1)当
y> 工时，flr ja 2 + 2bx - x 2 - a > x ，a ' 十2bx- ，y'> a 2 + 2ax 十z2 .
t 十(α 一的工< 0 ，解得O < x < b - a ，
二当
b> α 且工< b - a 时
，y> x .
同理，当
b> α 且x = b-a 时
，y = 工;当
b> α 且x > b - a 时或当b 豆α 时
，y<工.
(2)(3) 略.
1.
一7 或
6
两方程相加得
(x 十y) ' + (x 十y ) -42=0 . 
2. C ，(2 ，0)
，C2 ( 一1，0 , ) , C3 ( 0 , 2 + 巾，C4 (0 ,2-16) , C5 (- 2 ,0) , C6 (3 ,0) 
食
一元二灰万程的应用
//~ 
(例5)
• 
T_' • 
(1)若ζ ACB = 90 0 ，①点C(a ，O) 在工轴上，由(α + 2 ) ' 十2 2 + (3 
α) 2 十2 2 = 5 2 ，得α = 2 或α = - 1.
:. C ，(2 ，0)
，C2 ( - 1，0). ②点C(O ，b) 在y 轴上，由(b -2 ) 2 + 2 2 十(b一2) 2+ 3 2 = 5 2 ，得b = 2 ::1:: 币，
:. C3 (0 ,2+ 16) ,C, (0 ,2-16). 
(2) 若ζ BAC = 90 0 或ζ ABC = 90 0 ，此时，点C 必在z 轴上，C5 ( -
2 , 0) , C6 ( 3 ,0) . 
3 川设有工人参加会议，第二次握手有y 人，叶工( x- l) + y = 159. x ，y 为正整数，且y < 工，故
x2- x < 318< x2-x+ 2x , flr x(x 一1) < 318 < x'( x+ D ，而
1 8 X 17< 318< 18 X 19 ，:.工= 18
，y = 6 .
，a 十b> c ，
。- J5
α
I
"" 1 
I 
1 '- 1 
, 1 '- 1 
4
寸巳< ~ '，;;J
叫
1
, 1 _ 1 
得
十一片气勺'
>
c
1
十--::->一，
I C 
0 
a 
1
, 
1 _ 
1
咱
a '\2 
<') r a
ζ主
α3+ )5
FFfJ=z勺，何(7) 一叶) 十1 〈0 ，
2 <7〈丁'而严l
5. 1 
原式= 2 X 1009(η 2 十2018n - 1)
，由题意得n ' 十20 18η 一1 = 2018. 
6. 10 < αζ 10 )2 6 ABC 为直角三角形，令AC = 工，BC = y ，则
a = AC 十BC > AB = 1刊0 ，又工十y = αh, 
/μ+忖y矿户
归
2坷=
斗l川川
O
J 
..L
V
, '-.1 
........J' 
2 
乌鸟。，得a< 10 )2, 
α 的取值范围是10< a< 10 )2 
飞15嗦
AX 
女
食
λ
V川
食
-R 
-m 
学科精英大视野系列丛书
食
食
，~~ 
，___~
2 
1+M
2 
- 1 + !I言
x'>O ，y' 泪，寸t 一
-2-
，y
一一万一一一，原式= 7
Z 
7. A 
原方程化为4(X2 +主) + 3(X +士) -2=0
A 
8. 
( 
k +3
飞
设过PC - 1
，3) 的直线为y=kx 十b ，b斗+3
，y =川+3 ，Al -~ ~ v ,0 J
，BCO ，k +川S6 NJB = 
9. C 
10. C 
1 
1
走+31
5 ，得一|一一一
I • 1 走+3
1 =5 ，即Ck +3)2= 10
I k
l
. 当走>0 时，即扩-4k+9=0 ，6. <0; 当是<0
时，I'!p k2 + 
2 I 
k 
I 
16k+9=0 ,6.>0. 
作6ABC ，其中ζA=36 0 ，AB=AC= α ，BC=b ，作ζ BCA 平分线与AB 交于点D ，则AD=DC=b.
11. B 
3n , Cn -6)(n 一7)
设总共有n 支队伍，则有τ+
2 
=33. 
13. 设这间宿舍里有z 名学生，宿舍楼有y 名管理员，则xCx 一1) +xy+y=5 1，即/ 十Cy 一1) x+y
51=0 ，6. =(y 一1) 2 -4Cy- 51) = / - 6y+ 205 = Cy - 3)2 + 196. 因z 为正整数，故A 必为完全平方数，设
Cy-3) 2 + 196 = 矿，C y -
3 + k) C y -
3 -
k) = -
196 , y -
3 + k 二三y -
3 -
k ，且有相同的奇偶性，得
e一川=2'
(广3+问; CZ) ;A. e 川=14 ，
①;或!②; 或γ
y-3-k=-98 
l y-3-k=-2 -. 
ly-3-k=
•
14 
仅③有合题意的解x = 6 ，y =3 ，故这间宿舍里位有6 名学生.
14.
设n2 + Cn + 1) 2+ … + Cn+k)' = Cn 十k+ 1) 2+ Cn+k 十2) 2 + … 十C n + 2k) ' , 
12. D 
其中
n ，k 都是正整数，于是
Ck + 1) n2 +2 (1 +2 十… + k)n + 1 2 +22 + … +k' = kn ' 十2 [C 走十1) 十( k +2) + … + 2kJn+ (k+ 1) 2 + (k + 
2) 2+ … + (2走) 2
，l'!p n2-2k2n-k2(2k+ 1) =0 , 
解得n=2走2 十h 或- k( 舍去) . 
所以，对任意正整数走，都存在2k + 1 个连续的正整数:2 走2+ 走，2k2+ 是+ 1，…
，2k2+3 走，
满足前走+ 1 个正整数的平方和等于后走个正整数的平方和.
1 
, 
, 1 , 1 , 1 
15. 将条件中三个等式相乘得xyz+ 一一十z 十y + z+ 一+一+-=- = 14 ，
工yz
x 
y 
z 
1 
, 47 
I'!p xyz+-=一+ ~. = 14 , 
xyz
口
化简得叫z) 2-3 7以)+6=0 ，解得xyz =6 或t
16 . 设A'B'=a ，B'D=b ，由6ABD' ω 6ECD ，且都是等腰三角形，底角为
36 0 ，于是有主
1 一又
1 
2b+ α' 
6CDB'也是等腰三角形，得a+b= l，从而b2 +b - 1 =0 ，解得该方程的正根为b= i( - 1 +JEh 放α = l - b =
2 
÷(35) 
17. 设xy = 10x +y(x#0)
，则
10x十y+xy=(工+y) 2
，即x2 +(y- 10 )x+(y2 -y) =0 ，由
6. =(y 一10) 2
4(/ -y) 二三0 ，得3/+16y-100~0 ，当y二三4 时，上式不成立，y=0 ，1，2 ，3 ，从而两位数为
13 ，63 ，9 1.
18. (1)当ζ ACB 为直角时
，6ABC 为直角三角形
，b=O ，AD =AC= BD= α. 
(2) 当ζACB 为锐角时，如图①，作ζ DAE =45 0 ，AE 和BC 的延长线相交于点E ，过点C 作CF j_ AE 于
点F. 则6CEF 和6ADE 都是等腰直角三角形.
见/
( 丸每编)
11了食
，传
有
食
，际
女食
食
第
6 讲
一元二灰15 程的应用
设AD=DE= 工，CF = EF = m . 则AE = }2x . :. AF= }2x- m. 
可证明L FAC∞L DAB.
• FA 
FC ,,_}2x - m 
m 
→二十一-
DA 
DB " 
x 
a 
解得m = 岳王工E= }2EF = }2 • 鱼王=主王
工十α..
z 十a
x + α. 
A 
、d
2ax
。
B 
D C 
E 
': CE十CD= DE= AD,:. --;--一+ b = 立，整理得x' - (a + b)x- ab= O. 
二rTa
图①
α + b + /a' + b' +6ab 
a+ b-
/a' + b' 十6ab
解得x ] = 
2 
'工2 二
2 ，~ 
，~ -~ (舍去) . 
A 
川、「
_....,r 
I 
i ，'飞
~ 
/ .1' 
-", 
_/' 
1/ 
" 
~
一'
0. ' '''_ _'马
(3) 当LACB 为钝角时，如图②，作ζ DAE=45 0 ，AE 和BC 的延长线相
交于点E ，过点C 作CFl_AE 于点F. 与(1)中的求法类似，可设AD=DE= 工，
B 
C D 
E 
CF = EF = m ，则AF = }2x - m. 可证明LFAC∞L DAB ，CE = 2~王.
.: AD = DE = CE - CD 、.. 工=坠王
b
工-忏α
整理得x ' - (a - b) x+ α b = O
， 
α - b ::!:: /a'+ b'- 6ab 
解得x =
2 
x 寸-a
图②
(第18 题)
α + b + /a2 + b' + 6 α b ,. a-b 十/a 2 十b2- 6ab~.a - b - /a'+ b'- 6αb 
综上，AD 的长为α 或
2 
或
n 
或
<
1 ‘ 3- 3 
19.
设点P 运动的时间为
t s. (1) t = ~ V '2
一.
3 .J2 
(2)
当
0 :S;;t:S;; 3 时
，P
.{i. AC 上，Q 在础上，t = 宁时
，5L APQ = 2 5 L ABC ; 
3 J3 _. _ '-- ~" '- ._. 
c. 
_ 
'-
~ " 
L ._, 
_~ 1 ~~ 
J3, n 
~. 
3 J3 
当3〈tQ+7 时，P .{i. Q 的左侧，或P .{i. Q 的右侧，PQ= 言BC ，t=Vi + 3 或t=7 + 3 时，5L刷=言5LAI川
3 .J3 ~> 9 十3 J3""-
~ n 
-" n f' L 
1-" k 
A f' L 
LC n.l-
C' 
_ 
1 A" _ 
0 1" _ 
1 C' 
1'i! 
>
_ 3 )3 
当
3 十~ 2~ < tζ-7 时，点P .{i. BC J:. , ,?. Q .{i. AC 上，此时
，5LAPQ = 言AQ
' PC 
τ5L腻，得t = 才二十3
(舍去)，A. t= ~ ( 舍去)
20.
辅助线及点的标记如图.
因为5LA_B_C_ = 5 L AB. c. 
，所以，Co C] // AoA. 
于是，BB。平分线段CO C ] 于点E 且平分线段A o A 于点D.
AD 
~E 
事实上，记一一= 一一= k 则5L IYID = k5L IYI,D ,5L B,AD = k5L BA
D ,5L ßC,ß, = 走5LBC，B，' 
DAo ECo -
K ,,," '-'L IYID 
故56 C，础。= k5L C，ß。人，由5L C，AB ，= 5 L C,ß,A, =刊= l.
从而，BBo 平分四边形BCo Bo C，的面积，类似的，AAO 平分四边形ABo Ao B] 的面
A 
积.令BC]=M~
，则56BC ，A，= À5L AC,A, = À56 ACA, = 5L BCA, ~5四边形BC ，B，儿。= 5四边形A ，CA . C. • 
由对称性，知三个四边形的面积相等，设面积为
2 x.
由
1
5 L C,AB, _ 5 6 C,A4, _ 
1 十x
] 吃1
一=一一一一=一一一" -一一一~工2- x-l = 0~ 工=一
旦-
x 
5 L C. BB_ 
5 L C. !lA, 
1 十2 工
中
乙
因此，每个四边形的面积为
1 + J5.
47嘘
C, 
B 
(第
20 题)
康托尔(1845- 1918) ，德国数学家，他所创立的集
合论成为
20 世纪数学的基础，集合论涉及对"无限"的
理解和处理.康托尔是闯入无穷王国的先锋，不到
30 岁
的他成功证明了一条直线上的点能够和一个平面上的
点一一对应.
第7 讲
可化为一元二次方程的
方程、方程组
.--也. ._ -
'
却能概述
可化为一元二次方程的方程是指分式方程、无理方程、高次方程、二元
二次不定方程等较复杂的方程.
转化与化归、降次与消元是解较复杂的方程的基本思想，在这一过程
中，常用到因式分解、换元等知识方法.
'
问题解决
倒1
已知关于工的方程x 4 +2X 3 + (3 十k )X Z + (2+k )x 十2走=0 有实
根，若所有实根之积为
2 ，则所有实根的平方和为
("新知杯"上海市竞赛题)
篇题思路
将方程左边因式分解，化高次方程为低次方程.
倒2
已知关于工的方程
x-l
寸王二lτ ，则方程的解的个
J X Z -
X -
2 
^v X Z -
x 一2
数为(
). 
A. 0 
B. l 
C. 2 
D. 无穷多个
("希望杯"邀请赛试题)
鹏题思路
由二次根式、分式的意义确定工的取值范围.
却48
给巳主3
酒'圃.--
-..咱医
我没有试图直接
解决某一物理问题，
而只是试图寻求某种
优美的数学.
一一一狄拉克
筛法
康托尔为了展示
其"集合论"的魅力，
常举例加以说明.为
了说明集合运算中的
容斥原理，他曾举了
下面的一个例子:
某班有
50 名学
生，其中
40 人爱唱
歌，30 人爱舞蹈，35
人爱运动.请问三种
爱好兼备的学生至少
有多少人?
A::\~、&.\
( 丸每组
)
1号食
古
* 
*
食
女咱吃食
第
7
ì卉
可化为一元二次万程的万程、万程组
倒3
解下列方程
2 十3 .17
工2+ 工-4
11 
(1) _ :-, ' _~~' _+一一了一一一=一:
2x< + 2x - 8 ' 
3旷十9x
12' 
(河南省竞赛题)
12 
(2) ? 
_~ 
__+ ? __ 
_ ? 
_~ 
__=0; 
Z21Oz29t z2
1Oz
45
工2 -10x-6 9
(3) (1 999 - X)3 + (x - 1998)3 = 1; 
(4) X2+~ιτ= 16. 
(x-3)' 
(四川省竞赛题)
(山东省竞赛题)
(湖北省武汉市竞赛题)
解题思路
恰当换元转化问题. 对于(3) ，从(1 999 - x) + (x-1998) = 1 
( 3x ,2 
受到启示;对于(4) ，原方程可化为/十|一一
I = 16 ，这一结构特征能引起
\x-3 ) 
我们丰富的联想.
倒4
解下列方程
(1)求方程工2 + 25x+52=3 JX2 +25x+80所有实数根的积;
(日本数学奥林匹克竞赛题)
(2) J3x -4 十沉- 3 .1.' = 1 ; 
(江西省竞赛题)
(3) J2x 2 十5x- 2 - J2x 2 十5x-9 = l. 
( 国家理科实验到王招生试题)
篇题思路
本例不宜直接平方、立方化去根号. 对于(1) ，设
Jx 2 +25x+80= α; 对于(2) ，设J3x-4=t ，解题的关键是把5
3x 用t 的
式子表示;对于(3) ，引人有理化因式J2x 2 十5x-2+ J2X 2 十5x-9 .
例5
解下列方程组
1 2(x 十y+z ) - 5 Jx 十y +z+5=2 ，
(1) i 王= 主= 三.
1 3 
4 
5 ' 
( 山西省太原市竞赛题)
49 
、电
J咽'协
因式定理
若x=α 时，多项式
a"x" +a,,_ , x"-' +…+ 
a，x 十α。的值为
0 ，则
工一α是多项式的一个
因式.
对于a
= 
1 的整
系数多项式，若x-a
是它的因式，则
α 一
定是常数项的约数.
换元是建立在观
察基础上的，应不拘
泥于一元代换，可根
据问题的特点进行多
元代换.
I'/i:\~、Gt.\
食
食
食
食
食*
食女
女
(x 3+1-x/ - / =0 , 
(2) I _ 
n 
t y J +1 一矿y-x < =O .
(德国数学奥林匹克竞赛题)
鹏题思路
消元与降次是解方程组的基本思想，对于(2) ，从整体分解
降次入手.
工一2
，
x 
2x+ α 
倒6
如果关于工的方程-一一+一一一+一一一一=0 只有一个实数根
x 
'x-2 ' x(x-2) 
(相等的两个根也看作
1 个) ，求α 的值.
鹏原方程化为2X 2 -2x+4 十a = O.
原方程只有一个实数根的可能是:
①方程2X 2 -2x+4+ α=0 有相等的两实根;
(北京市竞赛题)
②方程2X 2 -2x+4 十a=O 有两个不等的实根，但其中有一个根为0;
③方程2X 2 -2x+4 + α=0 有两个不等的实根，但其中有一个根为
2.
由上述情况分别求得a 的值为-f ，
4 , 
8 
倒7
方程2X 2 -xy-3x + y+2006=0 的正整数解有多少对?
(江苏省竞赛题)
鹏法1
把原方程变形为(x- 1) y=2x 2 -3x + 2006 ，因x=l 不满足方
程，即x =F 1 ，故
2X2 -3x+2006 
(X - 1) (2x 一1) +2005 = 2x 一1+ ~VV~ , 
y 
z-I
JE-lz- r 
由于2005 = 1 X 2005 = 5 X 401 ，即2005 有正因数
1
，5 ，401 ，2005 ，所以分
别取x-1=1 , 5 ,401 ，2005 时，x 与y 均为正整数，即共有4 对正整数解.
鹏i去2
把方程看戚关于工的一元二次方程
2X 2 一(y + 3)x + (y + 
2006) =0 ，由方程有整数解，其判别式应为完全平方数，据此可得以下解法.
设ð.= (y+3) 2 -8(y+2006) =a2 (a 为非负整数) , 
化简得/-2y 一16039= 矿，即(y_ 1) 2 一16040 = a 2
，
•• (y-1 - a)(y-1+a) = 16040=2 3 X 5 X 40 1.
① 
: 
(y - 1-a) 与(y-1 十a) 奇偶性相同，且其积为偶数，故(y - 1 - a) 与
(y-1 + a) 同为偶数.由于y 一1-a ~y 一1 + α ，据①，只可能有
IY 一1-a=2 ，
Iv - 1- a = 22, 
(1) 1-
(2)}~ 
-
t y-1+ α=2 'X 5 X 401; 
ty - 1 十a = 2 X 5 X 401; 
{y-1-a=2 X 5, 
I v - 1- a = 22 X 5, 
(3) }-
向
(4)}J
-
---
ty-1+a=2'X 401; 
ty - 1 + α = 2 X 40 1. 
将方程组(1) ~ 
(4) 中的两个方程相加，分别得到的y 值为4012 ，2008 ，
808 ，412 ，由此可得相应的工值，故共有4 对正整数解(工，y).
如三J
学科精英大视野系列丛书
分式方程转化为
整式方程不一定是等
价转化，有可能产生
增根，分式方程只有
一个解，可能是转化
后所得的整式方程只
有一个解，也可能是
转化后的整式方程有
两个解，而其中一个
是原方程的增根，故
分式方程解的讨论，
要运用判别式、增根
等知识全面分析.
Gti\Cti\G.\ 
女食
食
( 丸每编
)
飞去i
食
，传
女食
，传
第
7 讲
可化为- 元二汉万程的后程
、万程组
认知封闭
重复的机械训练，易使我们形成思维定式与认知封闭:运算多项合成一
项、公式熟悉顺用、等式常看作方程……冲破认知封闭，转换视角，也许能得
到一个富有创意的解法.
倒8
求方程x 2 -x十1= (x 2 十x+ 1) (x2 + 2x + 4) 的所有实根.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
麟题思路
展开整理，用因式定理或待定系数法解高次方程. 我们习惯
于把分式方程转化为整式方程，不妨把整式方程转化为分式方程来解.
t"9 刻意练习
1.已知关于工的方程x 4 +kX2 + 4=0 有四个不相等的实根，则走的取值范
围是
( 江苏省竞赛题)
2. 方程x = (工2 -2) 2_ 2 的解是
(上海市竞赛题)
3. 若方程Ja-x=l-x 有两个不相等的实数根，则实数α 的取值范围
是
( "希望杯"邀请赛试题)
{ x 3 + v3 = 19 , _ ，
。
4.
已知实数工，y 满足方程组! ~ 'J 
~ ~ ，则xz 十yz= 一一一一一
J 
..."--- ,--- \ x 十y= l，
( 全国初中数学联赛题)
5. 不定方程3x 2 + 7xy - 2x - 5y一17 = 0 的全部正整数解为一一一一一·
(全国初中数学联赛题)
6. 已知a}
，句，向，内，α5 是满足条件a} 十a 2 + a 3 + α4 十a s = 9 的五个不同的
整数;若b 是关于工的方程(x-a}) (x-a2) ( x 一句)( x -a 4 )( 工-a s ) = 
2009 的整数根，则b 的值为
(" (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
7.
已知α 为非负整数，关于工的方程2x
α J1 - x - a 十4 = 0 至少有一个
整数根，则α 可能取值的个数为(
). 
A. 4 
B. 3 
C . 2 
D. 1 
( 四川省竞赛题)
8. 已知x 2 = 2y+5 ，l = 2工十5(工手川，则x3 _ 2X2 y 2 十旷的值为(
) . 
A.
一10
B .
一1 2
C. -16 
D. 无法确定
(北京大学自主招生试题)
9 关于工的方程
| 击\ = α 仅有两个不同的实根，则实数α 的取值范围
是(
) . 
5 1娘
匈牙利女数学家
路莎
· 彼得曾说
" 作
为数学家的思维来
说，他们往往不对问
题进行正面进攻，而
是不断地将它变形，
直至把它转化为已经
能够解决的问题"
促使数与形、主
元与辅元、常量与交量
的相互转化，是数学解
题中的重要技巧.
~~、。昌、
食
食
食*
食*
女
食
食
A. a> O 
B. α 二三4
C. 2< a<4 
D. 0<α<4 
(全国初中数学联赛题)
10. 如果方程x3 -5x2 + (4+ 走)x-k=O 的三个根可以作为一个等腰三角形
的三边长，则实数走的值为(
). 
A. 3 
B. 4 
C. 5 
D. 6 
(四川省竞赛题)
1 1.方程3x 2 十xy+/ = 3x一2y 的非负整数解(工，y) 的组数为(
). 
A. 0 
C . 2 
D. 3 
(江苏省竞赛题)
12.
己知x]
，工2 ，岛(X] <X2<工3 )为关于工的方程x 3 -3x2 +(α +2 )x -a=0 
的三个实数根，则仕] - xî + x~ + x~ = ( 
) . 
A. 5 
B. 6 
C. 7 
D. 8 
(全国初中数学联赛题)
B. 1 
13. 设函数f (x) =x3 + (2+2a-a2 )x -2a(a 十1) ，α 为实数.
(1)证明:f(α)=0;
(2) 如果关于z 的方程f( x) =0 有三个整数根，试求实数α 的所有值.
(湖南省理科实验班招生试题)
14. 解下列方程、方程组.
(1) (x 2 十3x-4) 2+ (2x2 - 7x+6) 2 = (3x2 -4x+2) 2; 
("祖冲之杯"竞赛题)
(2) (6X+ 7) 2 (3x+4) (x+ 1) = 6; 
(湖北省竞赛题)
(以+(主r = 3;
(加拿大数学奥林匹克竞赛题)
?U 
A
吃
一
一
、
飞I
l
l
-
/
百
十
工
/lilt
\ 
工
一
l
!
L
二
十
b-z 
d
性
("祖冲之杯"竞赛题)
(5) (x 十2)4 + x 4 = 272 ;
("希望杯"邀请赛试题)
(6) J3 十AτZ=JZ;
(全国初中数学联赛题)
{X3 +9x2 v= 10. 
(7) 
I
向
了
'
lyJ +xy' = 2; 
① 
② 
(德国竞赛题)
yzz 
一
一
­
zzy 
-
-• 
zyx 
一
一
=
一
­
yzz 
zzv
d 
r
l
l
l
J
飞
l
l
l
飞
、
，
/
n6 
/
飞
(加拿大数学奥林匹克试题)
①
②
③
 
一
一
一
=
=2Z3
Z 
Z
+
十
fyy 
十
.
一
+
ZZ
;
z 
f
I
l
l
-
J
I
!
i
l
l
、
n
叫
u
(克罗地亚数学竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
部?乌缸
~&.\Ct.\ 
女食
食
( 丸每- 锺
)
1号食
，传
)~食
，传
第
7 讲
可化为一元二:JJZ. 75 程的万程、75 程组
15 . 对于实数α ，只有一个实数值工满足等式王土~+王二~+主±旦土~=O
工-1 ' x+ l
' 
X2 -1 
v 
试求所有这样的实数α 的和.
(江苏省竞赛题)
1 6. 关于工的方程♂=石+2 JX2 - 1 =x 有且仅有一个实数根，求实数m
的取值范围.
(全国初中数学联赛题)
17 . 求方程矿- 3α 2 十4α-3=7X 3 b 的全部整数解.
(白俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
18 . 是否存在整数n
，使得多项式ρ (X) =X4
•
2011x2 +n 的根全部是整数?
(斯洛文尼亚数学奥林匹克竞赛题)
ρ2 十ρy+q=O ，
19 . 对于给定的实数p ，q ，试确定方程组!
的实数解(工，y) 的个数.
-~)Y2+ ρz十q = O
"""_"""'Jl'l,A /'IT ,........ '.Y 
(德国数学竞赛题)
与静巳丘篝
湿F国...-
-....咱，
• • 
倒1
5 
j东方程化为(x2+x+ 2)(x'+x 十走)二0 ，因X 2 +x+2=0 元实根，故方程工2 十z 十走=0 有两个
实根X j
' 句'X 1 X 2 = 走=-2 ，x，+ 工2=- 1 ，得X:+乓=(X j +X 2 ) 2_ 2x j 工2=5 .
,x 2-x-2>0 , 
倒2
A 
由!
x-1 
得工> 2 ，原方程化为x -1= }x-1
，解得x=l 或工=2 ，皆舍去.
) τ一一τ 二三O
I X -X-L 
倒3
2 十3工
1 
,
1 
11 
"n m 
5 牛皮百
(1)设一一一一一一=y ，则~y + 气
10 '解得x ，=- 1 ，工2=-4 ，句，4
一一之二三
工2+ x - 4
J'~' 2 J ' 3y 
12 
? 
__ 
_
. 1
, 
1 
2 
(2) 设x'- 10x-29=y ，则
+ 
一一一一=0 ，解得工1=13 ，ι = -3.
J'--'y'y-16 y-40 
~" ""- I 
~~'- 2 
(3) 设1999-x = a ，x-1998 二b ，1999
工+ 工
1998=1 ，则原方程为旷十b3 = (α+ b) 3 ，得ab=O
，即
(1 999- x) (x - 1998) =0 ，解得X j =1999 ，工2 二1998.
2 '^ , ( 3x 'ì 2 
^ _ 
~_ ( 
^' 
3x
飞
(4) 房、方程可变形为(x-3) ' + 6x+ I ~~ ^ I =25 ，即Ix-3+ 一一一
I =25 , 
\x-3) 
-~" \-
~'x-3) 
3x 
'. x-3+ 一一=5 或工一3+ 一一=-5 ，解得x ，=- 1+汀，工2 = -1-)7. 
工一3
~ -" -
~'X -
3 
~ , "., . , -j 
倒4
(1)原方程化为α2- 2 8= 句，α 二三0 ，α = 7
，l'!r X2 +25x 十8 0=7 2 ,x j x 2 =31. 
(2) 原方程化为
1 - t= 扩仁7，即t( t 一1) (t -3 ) =0 ,t=O , 1 ，3 ，解得工=土，几=立，z=12
3
乙
33
3 ' 
(3) 原方程两边同乘以}2 x 2 + 5x -2+ }2x2 +5x-9
，得}2X2+5x-2+ }2x2+5x-9=7 , 
从而J旷+5x-2 = 4 ，}旷+5厂9=3 ，解得x ，=2 ，工22 z 
(11 11 55 '\ 
倒5
(1) (工，y ，z)=
I 一，一一|
~4'3'12) 
(2) 两式相减，得( x- y) (工+y)(x +y 十1) =0 ，进一步得(X ，y) = (1,1) , ( -1 , - 1) , (1, -1) , ( -1, 1) , 
(0 ，一1) , ( 一1
，0) . 
倒8
解法
1
原、方程整理得
/十3x 3 +6x 2 +7 工+3=0 ，经观察知X= 一1 为方程的根，
去娃
食为
食女
食
食
食
食
'(.{ 
学科精英大视野系列丛书
故( x 十1)(矿+2x2 +4x十3) =0 , (x+ 1) 2 (X2 + x+3) = 0. 
解法2
令原方程=(工2+ x+m)(x2+ 2x + 训，得~、方程=(x2 + x十3)(x2 十2工十1).
工2 -
X + 1 
，
，~
，
. X2 - X + 1 
~ 
, "" 
解法3
J.京方程化为τ一一一一=x'+ 2x +4 ，τ一一一一一3 =(x + 1) ' .
x' + x+ 1 -
,-- , ., x ' + x+ 1 
一2(x十1) 2
I 
.. ,,? 
I 
... ,? (... 
I 
2
飞
Ji?p 
;'，~'，~: =(x+ 1)'，(x+ 1) ' 11 + 寸一一一一
1 =
x'+x+1 
，-，~， ，，-，~， ~~
' x'+x+ 1) 
1. k< -4 设工2 =y ，则方程y2+ky+4=0 应有两个不等的正根.
一1 ↓/民
4
2 
2. 2 ，一1，一一玄之二
由x' -4x' -
x+2=0 得(x 一2) (x+ 1) (x2 + x - 1) = 0. 
• 
….. 
3. ! <a~ 1 原方程化为x2 - x + 1 - a =0 (x~ 1)，设方程两实根为x ，<以1，则
t.>0 ，问
1) 十
(X2- 1) <0 且(X，-1) (X2 - 1) 二三O .
4. 13 
由工3+/=19 ，得(x十y)[(x十y/ -3xyJ=19 ，将x+ y=1 代入得xy=-6 .
一3x2 +2x+ 17 
5. (工，y)= (1，的，(2 ，1)
y = 
7z-5 
'又x ，y 为正整数，则一3x2 +2x+17 二三7x - 5 ，3x2 + 5x~ 
22 ，故x = 1 或
2.
6. 10 
(b-a ，)(b-a2 )(b一句)(b一句)(b-as )=2009=1 X (-1) X 7 X (一7) X 4 1，则b-a ，+b-a2 + b一
句十b一句+b一句=41 ，得b=10 .
7. B 
x~ l，又2x+ 4=a( 刁±言+1) 泊，得z二三-2 ，当x=1 ，0 ，一2 时，α 分别为6 ，2 ，0 ;当x= - 1 时，α
不是整数.
8. C 
两式相减得x+ y=- 2 或x= y(舍去) ，把y = 一2 -x 代入其中一等式得x2 + 2x - 1 = 0 ，则X，X2=
一1，即xy=- 1.
9. D 
当α<0 时，无解;当a=O 时，x=O 元意义;当a>O 时，原方程化为L =士a ，即zz -az十a=O
①或
工-1
工2+ ax - a = 0
②，因t.2 =a2 + 4α> 0 ，故Al = α2_ 4a< 0 ，得0<α<4 .
10. B 
~、方程可化为( x- 1) (x2 - 4x + 的= 0.
11. C 
~、方程可化为/ + (2 + .1:) y + 3x2 - 3x = 0 , t. = ( 2 十X)2 - 4( 3x2 - 3x) = - l1 x2 十1 6x +4 ζ
162 +4 X 11 + 4 ~ - - ... 
--
, 
一一一一-一ζ 10 ，故当一11 x2 +16x+4=0 或
1 或4 或9 时，原方程有整数根，经检验得x=O 或1.
12. A 
方程即( x一1) (x2 一2x+ α) = 0 ，它的一个实数根为
1 ，另两个实数根之和为
2 ，其中必有一根小于
1，另一根大于
1 ，于是x2= 1 ，工，+x3 = 2 .
13. (1) f(a) = 旷+(2 十2α - a 2 )a 一2a(a + 1) = 0 
(2) f(x) = (x- a)(x2 十ax+ 2a +2 ) ，x= α 为整数，且x2 +ax+ 2α十2 = 0 的两根为整数，则
t.= a2 - 8a - 8 
为完全平方数，设a2 -8a-8=l (t二三0 ，且为整数) ，得(a-4+t)(α -4-t)=24 ，进一步求得α=11 ，一3 ，9 或-1.
14. (1) (x2 +3x-4) 2 十(2x2 一7X+6) 2 = [ ( x 2 +3x- 4) + (2x2 一7x+6)J
，解得x ，=- 4 ，x2 = 1 ，工3 =2 ，
3 
工4- 言
ω 原方程化为(6x十7问x+川z十←72 ，设卢町，解得x ，= 一? ，zz =-t
ω (x 主y+2X 二:4卢即(击) 2 十2 X主叫得h 斗主
U 
女食
食
( 丸每- 缅
)
1号，传
食
女食
食
第
7
ì井
可化为一无二次万程的万程、万程组
ω 设y = 臣，川(川) = 42 ，又xy + (什户1吁:十轩= 叫寻{:二;7' 或
(zy=6 , 
7 , 
进一步解得x j =1 ，x，=6 ，工3= 3 十./2，引= 3 - ./2.
xy 
(5) 设(x十2) + x=2y ，得x + 1=y ，x = y - 1
，代入原方程得(y十1) '+ (y- 1) '=272 ，解得y
=:!:::3 ，进一
步得x=2 或
4. 
(6) 令y= .)9 + x ，则y泊，x= y' -9 ，得A有=厅=百，y= l 或y=6 ，进一步得x= -8(舍去)或工= 27.
(7) 由②X 27 + ①得(工+ 旷= 64 ，
:. x什川
+忖3y卢=斗4 ，从而盯可忏得(x工川，
(巳皿豆吐H
主)
2 
' 
2 
) 
(8) 前两个方程式相减，得(x + Z)(y - z) = O ，:.
x =- 2 或y=z ，进一步得(x 巾，z)=( - 2 ，0 ，一2) , 
( - 2 , -2 ,0) , (0 ,0 ,0) ，(0
，→2 ，一2) ，(-1，- 1，一1).
(9)
由式①得x 十y = z - 1.
代入式②得x ' - y'= l - z' 
=争(x + y) (x- y) = (l - z) (1 + z) =争(z - 1) (x - y)= 一(z 一l)(z + 1)
=>(z 一1) ( x - y + z + 1) =O=>z= 1 或x-y + z十1 = 0.
若z=l
，则x + y=O=>x= - y . 
代入式③得2l =- 2=>y = -1
，x = 1.
若x - y + z + 1 =0 ，则
z =- x + y - 1.
代入式①得2x= →2=>x = 一1 ，y = z =- 1.
故(x 巾，z) = (1, - 1,1) , ( - 1, - 1
，一1)，经检验，均为原方程组的解.
15 . 原方程化为2x ' 十2x+ α + 4 = 0
①，其中
t，= 4 - 4 X 2(a 十4) = -8a - 28.
(1)当方程①有两个树实根时，由t，=0 ，如l=-f
(2) 当方程①有两个不相等实根时，且归是方程①的一个根，解得α〈
742=-8 
(3) 当方程①有两个不相等实根时，且工=-1 是方程①的一个根，解得a〈-fd3= -4
7 
~， , 
, 
31 
故a l + a ，十G3 = 一言十(-8) + (-4) = -E
16 . 将所给方程记为方程①，显然有t 二三m 且z 二三1.
若m< O ，则J.T=百+ 2 J x ' -1 >工，此时方程①元解，不符合题意，故m二三O .
方程①变形得2 J x' -l = x- Jx ' -石，两边平方后整理乎寻2x'+ m-4= -2x Fx亡石，再平方，整理得
8(2 - m)x' = (m - 4) ' . 
显然，应该有0~m< 2 ，并且此时方程①只可能有解工= τ仨圣二
~8(2-m) 
!(m - 4) 2 
，
~
! (m - 4) 2 
4- m 
x= 一主二主二代入方程①，得J 一一一一- m + 2 J
l = 
，化简整理得
1 3m - 4
1 = 
、
8C2 - m)
γ 8(2 - m) 
匀的
m) 
• 
j8(言丁Z了
4 - 3m ，于是有O~mζτ ，此时方程①有唯一解工=主L
4 
、
8(2 - m)
综上所述，所求实数m 的取值范围为O~ m寸
17. 
1ft-、方程等价于(α 2 十a - 3) (α 2 
α + 1) = 7X 扩，又(7 ，扩) = 1，则有
在
55球
'眨
食
，传，传
ra ' -a+1= 了，
食
1纭
*
女
为
[α2-a 十1= 7X 3m , 
学科精英大视野系列丛书
①~a'+α-3=7 X 3' ， 
(x二三O ，y二三0) ; 
②{α'+ α -3 = 3 " ， 
(m注0 ，η二三0) . 
lx十y=b
Im+ n=b 
考虑a' -a+1= 了.
若该方程有整数解，则它的判别式今1=1 -4+4X 了=4X 3"-3 应为完全平方数，
注意到当z二三2 时，31 .60 1 ，但外.60 1 '此时，.601 不能是完全平方数.
若x=O ，则α =0 或
1 ，但代入a'+ α-3=7X3 ' 后，均得到矛盾结采.
若x = l ，则a= - l 或2 ，同样代入旷+ α - 3 = 7 X3' 后，均得到矛盾结果.
综上，方程纽①元整数解.
考虑a' -a+1=7 X3 m •
若该方程有整数解，则它的判别式.60，= 1-4+4 X 7 X 3m = 28 X 3 m -3 应为完全平方数.
注意到当m二三2 时，3
1 鸟，但外鸟，此时，.60，不是完全平方数.
若m= O ，则α =-2 或3 ，将它们分别代入矿+α- 3 = 了，只有当α = 3 时，得到一组解n=2 ，b= m十n = 2.
若m = l ，则a = - 4 或5 ，分别代入旷+ α
3= 3" ，得到另外两组解n = 2 ，b = 3 川=2 ，b=4 .
综上，本题共有三组整数解(a ，b)=(3 ，2) , (-4 , 3) , (5 , 4). 
18. 假设满足题意的n 存在.
2011 士J20 11 ' -4η
由x4 -20 11x'+ n =0 ，解得t =
~l.J V
.1..J. 
叩.
因为t 也必须是整数，所以
，2011 ' - 4n 必是完全平方数.
2011' -m' 
<.:. ... , _2011 ::l:: m 
设2011 ' - 4n=m' (m 是正奇数) .则n = 一
4一一一.所以工= 一
2 一一
2011 十m "，2011 - m. R 
_,_ • 
~. ' . .". 
_ 2011 十m
，
2011 - m
故一一言一一和一
2 一一也是完全平方数，且一一一一一+一~一一=20 1 1.
2 
2 
接下来证明
: 2011 不能写成两个完全平方数的和.
事实上，一个完全平方数模4 余0 或1，则两个完全平方数的和模4 余0 、1 或
2. 但2011 模4 余3 ，所以，
2011 不能写成两个完全平方数的和.因此，不存在整数η 满足题意.
19. 原方程纽两式相减得(x-y)(x+y 一户)=0斗y =x 或y= ρ -x .
将y=x 代入第一个方程得工2 十ρz十q=O ，
① 
其判别式.601 = ρ'-4q. 
故ρ ' < 4q 时，方程①无解;P'=4 q 时，方程①有一解;ρ'> 4q 时，方程①有两解.
将y = ρ
z 代入第一个方程得x '
ρz十ρ2 十q= O ，
② 
其判别式为.60，= - 3旷-4q .
故-3ρ'< 4q 时，方程②无解;一3ρ，=4q 时，方程②有斗解; -3 p'> 4q 时，方程②有两解.
考虑到一3ρ2 ζρ2 ，于是，
(1)当ρ = 0 时，有以下三种情况:
( i) 若q> O ，原方程纽无解;
( ii) 若q = O ，原方程纽只有一纽解( x ，y) = (0 ,0); 
( iii) 若q< O ，J.东方程组有四纽解.
(2)
当ρ笋0 时，有以下五种情况:
(i) 若4q>ρ2 ，房、方程纽无解;
( ii) 若4q = ρ2 ，必有4q> 一3ρ2 ，原方程纽只有一纽解;
( iii) 若扩> 4q> - 3p'
，房、方程组有两组解;
(iv) 若4q=- 3扩，原方程组有三纽解;
( v) 若4q<- 3ρ2 ，房、方程纽有四纽解.
￡主
荣获诺贝尔奖的杨振宁是当代的物理学家之一，他对
2 0 世纪数学的发展亦有非凡的贡献. 杨米尔斯理论和
杨巴克斯特方程，先后进入当代数学发展的主流. 杨振宁
是当代物理学家中特别偏爱数学而且大量应用数学的少
数物理学家之一.
杨振宁在《对称与物理学》演讲中说
"在理解物理世
界的过程中
. 2 1 世纪会目睹对称概念的新方面吗?我的
回答是
: ‘十分可能
，
……一
一
"_. " ,o:I. l :tI 
r ‘ ......iI 
、民u
飞3J f
< :I\ Ð 
二盯许
三次画数
二
I
'
知能概述
二次函数是描述客观世界数量关系的重要模型，其本身蕴含着丰富的内涵:
二次函数解析式的确定、解析式中各项系数符号决定抛物线的大致位
置、二次函数的最值、抛物线的对称性、抛物线中特殊点组成的三角形、抛物
线上的定点和动点等.
'
问题解决
倒1
设二次函数y =x 2 + 2αx+ 巳(a <O ) 的图象顶点为A ，与工轴交
2 
点为B
，C ，当6ABC 为等边三角形时
，a 的值为
(山西省太原市竞赛题)
鹏题思路
把顶点坐标、BC 的长用a 的式子表示，并建立α 的方程.
倒2
二次函数y= α工2 十bx+c C α 手0) 的部分
图象如图所示，图象过点(- 1，0 ) ，对称轴为直线工工
2 ，有下列结论:
(1) 4α + b =O ; 
(2 ) 9 α +c>3 b; 
(3 ) 8a 十7b + 2 c>0
;
y 
;之哇
数学家的美感犹
如一个筛子，没有它
的人，永远成不了发
明家.
一一阿达玛
对称性思考
对称性思考，即
在解相关问题时，充
分关注并运用对象的
对称性.
抛物线是轴对称
图形，i支A( 工】
• Y\ ). 
B ( 码
，只)为抛物线上
一纽对称点，则有下
列结论
:
(1) Y\ =Yz ; 
一
-
b
一
μ
一
­
z 
?
μ
 
X\+ 工2
2 
X 
借助图象推理，
即借助函数图象的大
致位直
，确定函数解
析式中待定系数的正
负性，并进一步推导
相关代数式的正负性
或取值范围.
1'::.\1'::.\&.\ 
食
，传女
食
食女
食
食女
ω 若点A(-3'Y1)' 点B(-乞斗叫~ 'Y 3 )在该函数图象上，则
Y1 < Y3<YZ ; 
(5) 若方程a( x+ 1) (x-5)=-3 的两根为工1 和码，且工1<町，则x 1 <
-1<5<xz• 
其中正确的结论有(
). 
A . 2 个
B .
3 个
C. 4 个
D. 5 个
(湖北省随州市中考题)
鹏题思路
由形到数，充分运用二次函数性质及发掘图象蕴含的信息，
解题的关键是对相关代数式、等式的意义从函数角度理解并能综合推理.
倒3
如图，抛物线y = αx2 + bx-3 ，顶点为E ，该抛
物线与工轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB=
町=30A ，直线γ= - i z+1 与y 轴交于点D ，求
J 
3~'~ ~J 
丘DBC一丘CBE.
y 
(全国初中数学联赛题)
I E 
麟题思路
由数到形，挖据图中隐含的特殊三角形.等角是解本例的切
人点.
倒4
某同学为了描点作出函数y=ax 2 + bx+c( α 手0) 的图象，取自变
量的7 个值;工1<岛〈… 〈町，且引-x 1 - 冉
冉= … =x 7 一句，分别算出
对应的y 的值，列表如下:
但由于粗心算错了其中一个y 值，请指出算错的是哪一个值?正确的
值是多少?并说明理由.
("宇振杯"上海市竞赛题)
1:飞
'飞圄gv
学科精英大视野系列丛书
二次函数
y=
ax2 +bx+c 的图象
与系数有以下关系:
(1)由抛物线开
口方向确定α 的符号;
(2 )由对称轴
x= 一主确定
b
的
c,a 
(3) 由抛物线与
y 轴的交点确定c 的
符号;
(4)
由抛物线与
工轴交点的个数确定
ð.=b2 -4ac 的符号;
(5) 若抛物线过
点(1，0) ，则
α +b 十
c=O; 若点(l，a+b+
c) 在z 轴的土方，则
a+b+c > O; 若点(1，
G 十b+c) 在z 轴的下
方，则a+b+c< O. 同
理可得α -b+c 的相
关意义.
1"í:.\~Gt:\ 
食，传
食
( 丸每缉)
'(;{食
食
1斗，传
食
融题思路
设工2
工1
句
句=… x 7
句=d ，且x; 对应的函数值为
乱，计算ßk = Yk+ l-Yk 的值，并由此导出ßk+ l -
ßk 为一常数，这是解本例的
关键.
倒5
已知二次函数y =x 2 + 2(m 十l )x - m + l.
(1)随着m 的变化，该二次函数图象的顶点P 是否都在某个抛物线上?
如果是，请求出该抛物线的函数表达式;如果不是，请说明理由.
(2) 如果直线y =x 十1 经过二次函数y =x 2 +2( m + l)x-m + 1 图象
的顶点p ，求此时m 的值.
(浙江省竞赛题)
麟题思路
对于(1) ，原二次函数图象的顶点P 的坐标含参数m ，消去
m 或对m 赋值，求出P 点所在抛物线的解析式.
倒6
(1)画出下列函数图象:
(
y= Ix 2 -x 一21 ;( y =x2 - 2 Ixl-3. 
(2) m 是什么实数时，方程工2- 6
I x l+ 6 = m 有四个互不相等的实数根?
鹏题思路
对于(2) ，将问题转化为讨论抛物线y =x 2 - 6
1 工1+ 6 与直
线y = m 交点的个数，借助图象，形象而直观.
倒7
如图，已知直线y = kx 十b 与抛物线Y = x 2 交于A ，B 两点，
ζ AOB=90 0 • 求证:直线AB 必过定点.
份析与证明
利用ζAOB=90 。构造相似三角
形基本图形.
设A(m ，m勺，B(n ，η2 ).过A 点作AD 上z 轴于
点D ，过B 点作BE_lx 轴于点E ，则DA∞ω.60EB ，
. AD 
OD 
Rn m 2 
一一=一，即-一=鸟，得mn =- l .
. OE 
BE' ~I' - n 
n >
i 咀=缸十b ，
又由r
2 
得X Z - kx - b=O , 
I Y-x , 
由根与系数关系得m + n = 走，mη =- b =- l ，:. b= l. 
故不论走为何值，直线y = kx + b 过定点(0 ，1) . 
之哇
y, 
x 
第
8
ì井
二次函数
求动点运动所形
成的直(曲)线方程一
般运用赋值法或消去
参数法.
求定点的基本方
法是:
(1)通过赋佳，
解方程纽;
(2) 转化为参数
为主元的方程问题，
由方程有无穷多解得
到系数为零.
对于例
7 ，进一
步思考的是:
(1)其逆命题成
立吗?
(2) 对于抛物线
y=GIZ 是否有类似
的结论?
至此，我们探寻
得抛物线内接直角三
角形的性质，这些性
质为我们深入研究函
数的性质、提出更一
般的问题带来有力的
支撑.
~~&:\ 
参数思想
食
，际女
食
食女
，曾
食女
对于含多个变元问题或通过恰当引入(参数) ，运用参数刻画运动过程
的变化状态，或以参数为媒介揭示变量之间的内在联系，参数在解题中相
消、相约或直接表示相关量.
倒8
已知二次函数Y =X 2 +2mx -3m 十1，自变量工及实数ρ
，q 满足
印2+9q2=2 ，tz+3ρq=l ，且y 的最小值为1，求m 的值
(全国初中数学联赛题)
份析与鹏
确定自变量工的变化范围是解题的关键，含参数ρ ，q 的条
件等式可联想转化为工的关系式.
.: (2ρ + 3q)2 = 2 + 12 户q ，6pq = 2 -x ，
λ 2ρX 3q=2- x ，2ρ +3q = ::1::J6=瓦，
则句，3q 为关于t 的方程t 2 平J6-2xt 十2 -x= 0 的两个实根，
二t:，.= ( 6 - 2x) - 4 (2 - x) = 2x -
2 二三0 且
6 -2x‘二三0 ，
:.1 ζzζ3
， 
二次函数顶点坐标为( - m ，-m 2 - 3m 十1) . 
(1)若mζ
3 ，则当x=3 时y 最小，即
9 + 6m -3m+ 1 =1 ，得m=-3;
(2) 若-3<m<-1 ，则- m 2 -3m + 1 = 1 ，无解;
(3) 若m 二三-1 ，则
1 十2m-3m+1=1 ，得m = 1.
故m=-3 或1.
1.抛物线y =ax2 + bx +c 与工轴交于A
，B 两点，与y 轴交于点C ，若
ßABC 是直角三角形，则ac =
(全国初中数学联赛题)
2. 不论m 取任何实数，抛物线y=x 2 + 2mx + m 2 + m-1 的顶点都在一条直
线上，则这条直线的解析式为
(山西省太原市竞赛题)
3. 在平面直角坐标系中，抛物线C 经过点A (3 ，的
，B(7 ，8)
，且与工轴恰有
一个交点，则抛物线C 上纵坐标为32 的两个点的距离为
("希望杯"邀请赛试题)
4.
已知A( x j , 2002) ，B(码
，2002) 是二次函数y = ax 2 +bx 十5(α 手0) 的图象
上两点，则当x=x j +X2 时，二次函数的值为
(浙江省绍兴市竞赛题)
5. (1)函数y=2x 2 + 4Ix l- 1 的最小值是
(浙江省竞赛题)
(2) 二次函数y=ax 2 十bx+c(α手0) 的图象如图所示，若
lax2 +bx 十cl =k(是手0) 有两个不相等的实数根，则
走的取值范围是
(甘肃省主州市中考题)
R6o j 
~ 
(第5 题)
学科精英大视野系列丛书
?悟巳阜蟹
事lJIIIIIIìiiir
，.唱国医
二次函数图象具
有对称性.
郑板桥的竹画中
是否也蕴含了平移对
称呢?平移对称、旋
转对称、翻折对称、破
缺对称，有时对称会
以一种非常微妙的方
式出现.
~~~ 
( 丸每缎)
齿，传
食
女食
食
女食
食
6 . 二次函数y= f(x) 的最大值是17 ，且f(5) = f(-3) = 1，则此二次函数的
表达式f(x) = 一一一一一·
7 . 如图，二次函数y =αt 十bx 十c (a 手0) 的图象经过点( - 1，2) ，且与工轴
交点的横坐标分别为町，巧，其中
2 <xl<- 1 ，0< 工2 < 1.下列结论:
①abc>O ; ②4α - 2b + c<0 ; ③
2α 
b<O ;(
b2 + 8α >4ac 中正确的
有(
) . 
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
( 广东省竞赛题)
y 
X 
x 
(第7 题)
(第8 题)
8. 已知二次函数y = 2X 2 十bx+ 1( b 为常数)
，当b 取不同的值时，其图象构
成一个"抛物线系" ，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二
次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上(图中虚线型的抛物线) ，这条
抛物线的解析式是(
) . 
A. y =- 2x 2 十l
C . y = - 4x2 十1
B. y= 一卡+ 1
D 
y = -t什I
( 河南省竞赛题)
9 . 在平面直角坐标系中，称横、纵坐标都是整数的点为" 整点"，将二次函数
y =-x2 + 6x一号的图象与工轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红
色区域内部及其边界上的整点的个数是(
) . 
A. 5 
B. 6 
C. 7 
D. 8 
(浙江省竞赛题)
10 设a ，b ，c 是6ABC 的三边长，二次函数y =(α 扑2 - cx α-f在
工= 1时取最小值卡，则6ABC 是(
A. 等腰三角形
C . 钝角三角形
B . 锐角三角形
D. 直角三角形
(全国初中数学联赛题)
11
若函数y = ÷旷一1仙十川十!工2 -1伽十196
1 ) ，则当自变量工取1，
2 ，3 ，… ，10。这100 个自然数时，函数值的和为(
) . 
A . 540 
B. 390 
C. 194 
D. 97 
(全国初中数学联赛题)
电6 1嘘
第
8 讲二次函数
I:íf:\&:.\.~ 
食
*
女
食
食女
食
，陆女
12. 已知正6AOB 的三个顶点都在抛物线y=it 上，其中O 为坐标原点，
2 
则正6AOB 的面积为(
). 
A.4 J3 
B. 12 J3 
c. 6 J3 
D. 24 
(全国初中数学联赛题)
13.
已知函数y 与自变量工的对应值列表如下:
| x--I 1 
1 2 
1 3 
1 4 
1 5 
1 6 
1 7 
1 8 
1... ...1 
|
y 
1 3 
1 7 
1 13 1 21 1 31 1 43 1 57 1 73 1......1 
求该函数的解析式.
(广东省深圳市"启智杯"数学思维与应用能力竞赛题)
14.
已知二次函数y =x 2 - 2(m 一l) x+m 2 - 2. 
(1)证明:不论m 为何值，二次函数图象的顶点均在同一直线上，求出此
直线的函数解析式;
(2) 若二次函数图象在z 轴上截得的线段长为4 ，求出此二次函数的解
析式.
(山西省太原市竞赛题)
15
如图，已知点M，N 的坐标分别为川，( 0 ，-1) ，点P 是抛物线y=卡
上的一个动点.
(1)判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线y =- l 的位置关系;
(2) 设直线PM 与抛物线y = it 的另一个交点为Q ，连接NP ，NQ ，求
4 
证:ζ PNM= ζ QNM.
y 
'p 
工
(第
1 5 题)
y 
x 
(第
1 6 题)
(全国初中数学联赛题)
y 
x 
(第
1 7 题)
16. 如图，抛物线y = x 2 的顶点为坐标原点。，过。作两条互相垂直的直线
分别与抛物线y = x 2 交于点P ，Q ，连接PQ.
(1)当PQ // x 轴时，求点。到PQ 的距离;
(2) 求点。到PQ 的距离的最大值.
(全国初中数学联赛题)
17. 如图，已知6ABC 的三个顶点均在y = 旷的图象上，边AC 的中线
BM// y轴，BM= 2 ，求6ABC 的面积.
(白俄罗斯竞赛题)
辈出
学科精英大视野系列丛书
~~~ 
( 丸每编)
女食
女食
人i
b心
食
* 
1 8.
已知当- l <x< O 时，二次函数y = x 2 - 4mx+3 的值恒大于1，求m 的
取值范围.
(山西省太原市竞赛题)
19 .
已知m ，n ，ρ Cm< n) 为正整数，设AC - m ,O) ，BCη ，0) ，CCO ，ρ) ，。为坐标
原点. 若ζ ACB=90 0 ，且OA 2 + OB2 + OC2 =3COA + OB+OC)
，求图象
经过A ，B ，C 三点的二次函数解析式.
( 全国初中数学联赛题)
20 .
已知二次函数y = ax 2 + bx 十c(b 为整数)图象上任意点均不在z 轴的下
方，该图象与y 轴的交点为C ，顶点为E ，对称轴在直线工= c - i 的右
12 
侧. "己
t =
α + 2b + 12c 
a 
(1)求
t 的最小值;
5 
(2) 当
t 取得最小值，且CE> 一时，求二次函数的解析式.
24 
(天津市"未来之星"数学邀请赛试题)
倒1
如图A( - a ，一二) ，B( x 1
，川码，0) , 
BC =I 鸟飞1= ,jCx 1 + 工2川机，-小α'- 4 斗=
品，
|
矿
| 点咱
由AD =
' ~- BC 得
I -
U~ I = v~o.J ( - }2a) ，解付a =- j6或α = O( 舍去) . 
2 I 
2 
，传
倒2
B 
(1 )(3)(5) 正确
对于(2) ，当
x =- 3 时
，y= 9 α
3b + c < 0; 对于
(4) ，抛物线与直线y =-3 的交点横坐标分别为码
，码
，x 1 <- 1 < 5 < 工，
.
倒3
I y=x' - 2x-3 ,E Cl, -4) ,BC= 3 }2, CE= }2, BE= 2 15 ，由BC '+ CE '=
4随
第
8
ì井
二灰函数
• 
…_-. • 
y 
A 
(例1)
CE 
1 
/ ~~ ~ OD 
1 
BE' 得L BCE = 90
0 , tan L三CBE = CB = τ ， tan ζ DBO = δB
τ ，则ζ DBO = ζ CBE. 故ζ DBC 一ζ CBE=
ζ DBC- L DBO= ζ OBC= 4 5 0 • 
倒4
设工，-x 1 = 句
句= …=工1
x 6 = d ，且工，对应的函数值为久，则
6., = YHl - y, = (aX!+l 十bXH1 + c) -
(ax! 十bx，十c) = a [ (x，十d) ' - X!J + b[ (x, + d) - X,J 
= 2adx, + (ad ' 十bd)
，
故
6.Hl- 6.，= 2ad( xHl-x，) = 2ad 2 ( 常数) . 
由给出的数据
y, : 51 
107 
185 
285 
407 
549 
717 
得_ 6., : 
56 
78 
100 
122 
142 
168 
6.H1 -
6., : 
22 
22 
22 
20 
26 
由此可见:549 是被算错的值，其正确值应该是55 1.
例5
(1) y = Cx + m 十1) 2 - m' - 3m ,P( - m - 1, - m2 - 3m)
，分别取m=O ，一1，1 得到三个顶点坐标为
P1 ( 一1 ，0) ,P, CO, 2) 'P 3 ( 一2 ，一的，过这三个顶点的二次函数表达式是y=-x'+ x + 2.
63 哇
食
食*
食
* * 
食
食食
学科精英大视野系列丛书
_.. 
(2)
由-m2 -3m=-m 一1+ 1，得m=O 或，m=-2. 
倒6 (1 )
y=x' - 21xl- 3 
y 
② 
y=lx'-x -21 
y 
① 
x 
x 
(例6)
(2) 原方手呈交形为
X2 -61xl +9=m+3. 如下图，当0<m+3<9 时，直线与抛物线有四个支点，
即
3<m<6 时，原方程有四个互不相等的实数根.
y 
y=x' - 61xl +9 
y=m+3 
x 
3 103 
(例6)
• 
~ _. .器翻
• 
设A(x1
，0) ，BC句，0) ，则X}
，x2 必异号，x ] 乓=二<0 ，OC2 =OA • BO ，即c2 =lx，岛
1 = 1 _E_ 1 ,ac = 一l.
a 
." 
a 
-EA 
1. 
4. 5 
S. (1) -1 
(2)
走>3
6. -x2+2x+16 
t支fCx)=aCx - 1) 2+ 17.
4ac= (a-c十2)2 ，又2a-b<0 ，即2a - (a+c-2)<0 ，得a-c+2<0 ，Ca - c十2)2>0. 故b2 +8a>4ac. 
( 
b 8-b2 ì
、民
b
8-b' 
原顶点坐标为l - ~ '8 
)，i~x =- ~ ，y= 丁一，消去b 得y = 1 -2x'
图象与工轴有两个交点(~，O).(~
，O) ，在工=?与工=?之间共有3 个整数2 ，3 ，4 当工=2 ，4
由工=一去>- 1 得2a
闷，由a - b+c=2 得b=a +c-2 ，从而b2 +8α -4ac= (α +C-2) 2 +8α 
7. D 
8. A 
民
5
J.h .;M--
~.t.. f! " , 
.-M-
~ -i='-
A 
A. 
.1, 
n 
ñ 
t_ 
9..J.J-
.... 
~ __ 
__ 9 
时
，y= 亏满足O ~y运王的整数是0 ，1，整点有4 个;当工=3 时，y = 王，满足O ~yζ王的整数是0 ，1，2 ，整点有
3 个.故共有7 个整点.
9. C 
5 
3 
由条件可得b = -7- a ，c = -7- a ，c ' + 旷二b2 .
4 -,-
4 
11. B 
因x
2 -100x 十196 = Cx- 2) (x- 98) ，故当
2 ζ 工运98 时，
1 x 2 -
100x + 196 1 =•
(x2 - 100x + 
196) ，从而当x=2 ，3 ，…，98 时，函数值为
0 ，而当工= 1，99 ，100 时，y=x ' →100x +196.
梦已j
2. y= - x 一1
3. 8 
抛物线的解析式为y =2(x-5 ) 2 .
1 / 
b 
b 
~ (x 1 + 鸟)=
去，x ，十几=一-，x == 一
代入得y=5.
c, 
c,a 
a 
a 
(2(工+1 川(训，
。
当工=0 时，γ 的最小值为一l.
2(X- 1) 2 •
3 
(x~O)
， -
--
-
"J 
10. D 
( 丸每编)
女食
食
女食，传
古食
食
第
8
ì井
二次函数
12. B 设千÷巾IJB( - t ，~仆由创=叫J弓t4 =叫得t=2 ./3
13.
设(n - 1'Y ，，~I )'( η ，y) 是该函数图象上的点，则y " -
Y ，，~ 1 = 2 η . 
于是:Y 2 ←Y l =4 ，只- Y2= 5 ，几
Y3 = 8 , … y" -
Y ，，~I = 2n ，以上(n- l) 个等式相加得Yn - Y l =4+5+
(4 + 2η) (η-1) 
8 + … + 2n =
2
= nz+ n2 ，则y ，，= n 2 + n - 2 + Y I = η2+ n + 1. 
14. (1)不论m 为何佳时，二次函数的顶点都在直线y = 2x-1 上.
(2) y = x 2 + 3x -
~ 
15. (1)设点川P 的坐标为仆(←工叶4
则PM=JX~+ (←: 一1) 2 =J (士机r 寸x~+ l;
又
~，P flJ 直线y =- l 的距离为卡~- C - 1) 寸x~+ l，
..以点P 为圆心、PM 为半径的因与直线y =- l 相切.
(2) 如图，分别过点P ，Q 作直线y =- l 的垂线，垂足分别为H ，R.
由(1)知PH = PM ，同理可得QM 二QR ，
:. PH ，MN ，QR 都垂直于直线y =- l，
Q此f
儿1P
. QR 
PH 
:. PH // MN 矿QR ，于是
~~.. ---
RN NH'" RN 
HN' 
因此Rt 6，PHN∞Rt 6，QRN ，
于是ζ HNP = ζ RNQ ，从而ζ PNM = L_ QNM.
16. (1)点。到PQ 的距离为1.
(2) i支点P( α ，α勺
，QCb ，t/) . 则
l 问
:y 二(α 十b) x- ab ，
t口1[->
: y= ax , 
(边
: y = bx . 
因为OP ..l OQ ，所以
，ab =- 1.
于是，l 向
:y = ( α + b)x 十1.
从而，直线PQ 必过定点M(O ，1).
故当PQ //x 轴时，点OflJ PQ 的距离的最大值为1.
? 
_.. _( a 十C
G 2 十c2 飞
17.
设点ACα ，α 2 )
，BCb ，b勺
，C(c ，c' )
，则M[ 一一一一一
|
\ 2 ' 
2 
) 
BM= ζ主:- b2= 豆主2
(旦土豆2
坠二三) 2 = 2 ，得c - a = 2 .f2
?, 
v 
2 
4 
4 
1 ... 
~._ 
~ .， 1 . . 
". ~ 
c ←a ，. ~ 
~ rn 
如图
，S 6AB( 二2S6AHM = 2 X
~ AK' BM= 2 X ~ Cb - a ) X 2 = 一亏一X 2 = 2 、2.
2.... 
~... _.. 2
臼←
y 
(第
1 5 题)
y 
α 
18. y = Cx - 2m) 2 + 3- 4m2 
(第17 题)
工
X 
(1)当工= 2m豆- 1，即m运
工时，要使二次函数的值在一1 < 工< 0 时恒大于1，只要Yr~~1 = 1 十4m +
2 
3.. 
3 
3 = 4m十4 二三1，解得m二三
4 '故
τζmζ 一言;
(2)
当工= 2m二三0 ，即m二三0 时，要使二次函数的值在
l<x<O 时恒大于1，只要YI~O = 3 二三1 即可，此时m 二三O .
1 
..---..... 
tr.. 
1.).. 
_ 
(3)
当工=2m 在区间
1 < 工<0 时，即一1 < 2m <0 时，得一言< m< O ，要使一次函数的位在
l < x< 
2........_ 
-, 
h T1 /.'Ø 
~ 
__ 
~ j2 ~L 
1 
0 时恒大于1，只要y最小值=Yr~2 "，二3 -4m'> 1 ，解得←τ < m< τ ，故
言<m< O . 综上可知，m 的取值范围是
55 "串
飞飞
r 
鸡11.
m 注-f
女
食
为
，传
食
1号
食
食女
学科精英大视野系列丛书
19.
依题意，设经过A.B.C 三点的二次函数解析式为y = aCx 十m)( x 一时，且- alnn = 户.因此，关键是由
已知条件求正整数m .n.p 的值.
.. ζ ACB=90 0 .OCj_AB. :.OA • OB=OC' . f!p mn= ρ ， 
又ON+OB ' 十OC' =3COA+ OB+OC). :.m2 +n2 + ρ 2 =3(m+n+ ρ) . 
.:m2 + n2 +p2 =(m十η+ρ) 2 -2(mn+mp+呻)=(m+n+ρ)2-2(扩+呻+呻)=(m+n+ρ)(m+n
抖，
:. (m+n+ ρ )(m+n 一ρ )=3(m 十n+ ρ) . 
.:m + n+p手O.:.m+n 一ρ=3. 即m + n = ρ +3
. 又mn= ρ2
，
:~!ll，n 是关于t 的一元二次方程t ' 一(户十3) t + 扩=0 的两个不相等的正整数根.
从而~=(ρ +3)' -4旷=-3(ρ+ 1) (ρ
3) 为完全平方数，
由~>O
. 得一1 < ρ<3
. .:p 为正整数，
.·.ρ = 1 或ρ =2 .
当p=l 时，今=12. 不是完全平方数;当户=2 时.~=9. 是完全平方数
.ρ=2. 从而m=1.n=4.
.图象经过A.B.C 三点的二次函数解析式为y = a(x+ 1) 归的，
将点
Cα(川
1 , 
,< , , 
. , 
d_ 
1 
0
, 3 
故所求二次函数解析式为y= 一: (x+1υ) (ωx-4ω) .即.y= 一一x' + 一Z 十2 .
2 ,- , - , ,-
.", J 
2 -
, 2 
20. (1)由a>0 .b2 - 4ac< 0. 得c注手
性G
3b' 
a+2b+ 一
、/、
a 十2 b + 12c'- ~ , ~V
， 
a 
.
, ~ 
b
, ~ ( b V _ (b , 
1
飞2
, 2 
二主
= 1+2 . ~+31 一1 =3 1 一+~ 1 +: . 
a 
a 
a 
- \.a) 
- \.a 
3)
' 3' 
.当a =-3b 且c= 一立时• t 取最小值三
12"".'-"'--' -:i 
1 ., 
._ ._.. 
b _ 
1 
(2)
由二次函数图象的对称轴在直线工=c-JL 的右侧，知一一> c 一
12 . ._'. " 
2a - ' 
12' 
由(1)知t 取最小值时，α =-3b 且c =
主
12' 
l<gl ~ 
1.1 
代入一> c 一一，得一>- .~~b一一=刊>- 3 .
2α
12"'6
-
12 v 
12 
又b= 一÷α<0 . 且b 为整数，得b = 一1 或一2
芳b=- l，得a=3.c= 上
12' 
, 
, 1. _ ( _ 1 ì _( 1 _ ì 
故y=3x'-x 十二. :. CI 0 →
I.E I 一.0 I 
J 
V~ 
~'
12 • . . ~ 
~ v . 12 ) • L.J ~ 6 • v ) 
J5 _ 5 
.. CE= 二〈一(不符合题意) . 
12 -24 
若b= 一2 .得时，c= 士，
, 
n 
, 1 
. _ ( ~ 1 ì _( 1
飞
故y=6x'-2x+ 丁• :. C/ o. 一
J .E/ 一.0 J 
6 ' 
- \, -' 6)'-\'6' " ) 
划2_
5 
..CE=!二>nV
，( 符合题意) . 
6 -
24 
综上，所求二次函数的解析式为卢
导f气q
19 00 年8 月
，第二次国际数学家大会在巴黎举行，著名
的德国数学家希尔伯特开始了影响整个世纪数学进程的演
讲" 有谁不想知道我们下一代的主要数学思潮将追求什么
样的目标? 在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带
来怎样的新方法和成果? "紧接着他向与会者提出了
2 3 个数
学问题，这便是数学史上极负盛名的"希尔伯特问题"
第9 讲
二次函数与二次方程
i
. -_马_ _ _ _.
'
知能概述
二次函数y = ax 2 + bx+c Ca 手的，令y= O ，得αx 2 + bx 十c=O ，这表明二
次函数与二次方程有深刻的内在联系，这种联系体现在:
二次方程实根个数、实根分布等问题常转化为二次函数问题解决;
抛物线与横轴交点、抛物线与直(曲)线交点个数、特征可以化归为二次
方程问题探讨.
'
问题解决
2 
I 
3 
2 
倒1
在直角坐标系中，抛物线y =x 十mx-~ m' ( m> O ) 与工轴交于两
4 
1 
1 
2 
点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离分别为OA ，OB ，且
n ，则
OB 
OA 
3 
m-一
( 全国初中数学联赛题)
鹏题思路
设A( x j
，川(码
，0) ,JnU X j +x2 = - m ,x j x 2 = 
护，把
OA ，OB 用工j
' 町的式子表示.
气
67娃
数学的无穷无尽
的诱人之处在于，它
里面最棘手的悖论也
能盛开出美丽的理论
之花.
一一戴维
函数与方程、不等式
中
如图
，y= ax' + 
bx 十c 值恒为正需满
足的条件是:
r> 0 ,
t:,= b' - 4ac< 0_ 
这表明，运用二
次函数与二次方程联
系，可进一步探讨不
等式问题.
~~、I~
食
食'(:{
食
食女
食
，际女
倒2
方程Ix- I (x-l)-k=O 有三个不相等的实根，则走的取值范围
是(
). 
A
士<k< O
B 问<l
C h> -t
DKi 
4 
(山西省太原市竞赛题)
鹅题思路
分类讨论，运用根的判别式，而借助函数图象解题，形象而
直观.
倒3
已知m ，η 均为正整数，若关于工的方程4x2 - 2mx十η=0 的两个
实根都大于1 且小于2 ，求m ，n 的值.
( 上海市竞赛题)
鹏题思路
设y= fCx) =4x2 -2mx + n ，则其图象为开口向上的抛物线，
顶点应在z 轴下方，且在x= l 与工= 2 之间，抛物线与z 轴的交点亦在x= l 与
A二三0 ，
f( 1) >O , 
x=2 之间，符合要求的m ，n 的值应满足下列不等式组:~f(2) >0 ，
1<-: < 2 
t-a 
倒4
已知抛物线y= x 2 与直线y=(走十2)x- (2k- 1) . 
(1)证明:无论是为何实数，该抛物线与直线恒有两个不同的交点;
(2)设该抛物线与直线的两个不同的交点分别为A( Xl 'Y l ) ，B(岛'Y 2 ). 
若町
，X2 均为整数，求实数走的值.
( 四川省竞赛题)
堕堕塾些
对于(2) ，联立方程，通过1肖元将问题转化为讨论一元二次
方程的整数解.
倒5
已知抛物线y =x 2 +ρz十q 上有一点M(xo 'Yo )位于工轴下方.
(1)求证:此抛物线与z 轴交于两点;
(2) 设此抛物线与z 轴的交点为A( xJ
，O ) ，B(岛，0) ，且x 1 <码，求证:
XJ<XO<X2 ' 
(天津市竞赛题)
在8)
学科精英大视野系列丛书
、
"
ι. 
方程与函数联系
密切. 在确定函数解
析式中的待定系数、
函数图象与坐标轴的
交点、函数图象的交
点等问题时，常将问
题转化为解方程纽;
而在讨论方程、方程
纽的解的个数、解的
分布情况等问题时，
借助函数图象能获得
直观简捷的解答.
用函数的观点讨
论复杂的二次方程实
根分布问题的基本步
骤是: 在直角坐标系
中作出对应函数图
大致位直的约束条件
G.\Gt.\t"'A.\ 
-(;(食
，传
( 丸每组)
飞去
食
，传
女食
食
第
9
ì卉
二次函数与二次万程
堕堕塾些对于Cl) ，即要证ρ 2 -4q > 0; 对于C 2) ，即要证(Xo -
X j
) X 
Cx。一句)<0.
倒6
二次函数Y=X2 +Cα
2)x + 3 的图象与一次函数y = x (l ~ x~ 2)
的图象有且仅有一个公共点，求实数α 的取值范围.
(四川省乐山市中考题)
份析与酶
抛物线簇只是位置不确定，两图象在一定范围内有且仅有
一个公共点，内涵丰富，需运用图形直观，全面讨论.
倒7
设m ，n 为正整数，且m手2 ，如果对一切实数
t ，二次函数y = 工2+
(3-mt)x-3mt 的图象与z 轴的两个交点间的距离不小于
1 2t + η
1 ，求m ，n
的值.
(全国初中数学联赛题)
份析由
工2 + C 3 - mt ) X -
3mt = 0 ，得X 1 = - 3
，工2 = mt ，由条件得
I mt + 3
1 注
1 2t + η
1 ，因此不等式对任意实数t 都成立.
解
由
I mt 十3
1 二三
1 2t 十n
1 ，得(mt + 3) 2 二三(2t + η) 2 , 
即(m 2 - 4)t2 + (6m -4n)t + 9 -n 2 二三O .
由题意知
，m2- 4 手0 ，且上式对一切实数
t 恒成立，
故户2- 4 > 0 ，
11::::.= C6m - 4n) 2 - 4Cm2 - 4) C9 - n2 ) ~ O. 
rm> 2. 
rm> 2 . 
rm = 3. 
rm = 6. 
即!
。
得! --
-
-
故!
-或!
1 4(mn - 6) ' "，二o • 
- 1 mn = 6 , 
- 1 n = 2, - -1 n = 1 
函数的零点式
对于函数y= f(x)
，我们把使f(x) =0 的实数x 称为函数y = f(x) 的零
点.函数y=f( 川的零点即为方程f(x) =0 的实根，也是函数y= f(x) 与x
轴交点的横坐标.
若Xl
，X2 是二次函数y= f(x) =ax2 +bx+ c( a 手。)的零点，则函数的零
点式为y= α (X-Xl )(X-X2). 
倒8
已知实系数方程X 3 + ax2 + bx 十c = O 有三个实根.若一2 ζ α 十
b + c~ O ，证明:这个二次方程至少有一个根属于区间[0 ，2].
(俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
麟题思路
一般地，若町，巧，…，X'I 为一元η 次多项式函数y = f( 工)的
n 个零点，则函数的零点式为y = aCx- Xl ) Cx -
X 2 ) … C x-x ，，)(a 手0) . 
设fCx) = x 3 + ax2 + bx + c 的三个实根为X
l
，X 2
' 岛，则f( 工) = ( X- X l )
( X-X2 )(工工3 ) .由- 2 '"二α + b十cζ o 建立关于工1
，且
，工3 的不等式.
飞
69 "牛
、是:"-._
/~‘民
方程实根的个
数、抛物线与工轴支
点的个数的探讨都可
转化为由根的判另1].式
今来讨论.特别地，设
A( 矶
，0) ,B(x, ，0) 为
抛物线与z 轴两个不
同的交点，则
(1)工，+ ι =- 主
且
C 
Z 】工2 -Z;
(2) AB = 
I X 1
工21
jfJ=石;
lal 
二次函数、二次
方程、二次不等式联
系紧密，以二次函数
为中介，在一定的条
件下可以相互转化.
德国著名数学家
希尔伯特说"数学科
学是一个不可分割的
有机整体，它的生命
力正是在于各个部分
的联系"
~~、~
食
食食
，传
食女
食
食食
1.已知对于任意实数a ，关于工的方程工2+ (α - l) x 十ab 一2 =0 都有两个
不相等的实数根，则实数b 的取值范围是
(世界数学团体锦标赛试题)
20 
2. 若对于任何实数x ，分式
(α 为常数)都有意义，则α 的取值范
工2+18x+ α
围为
("希望杯"邀请赛试题)
3. 在Rt.6ABC 中，ζ B=90 0 ,AC=5 ，AB ，BC 的值分别是抛物线y= x 2 一
7x + kC k 为常数)与工轴的两个交点的横坐标，则k z
q =t-
7x十走的最小值是
("希望杯"邀请赛试题)
4.
已知二次函数y=ax2 十bx+c(其中α 是正整数)的图象经过点A(- l，的，
点B(2 ，1) ，并且与工轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为
〈全国初中数学联赛题)
5
已知m 是整数，且方程旷+mx- 2 = 0 的两根都大于一;而小于手，则
η2= 
(全国初中数学联赛题)
6.
已知二次函数y = x2 + 2(m + 2n+ l) x十Cm 2 +4n 2 十50) 的图象在z 轴的
上方，则满足条件的正整数对(m ，n) 有
个.
(全国初中数学联赛题)
7. 已知二次函数y = -X2 + x+ 6 及一次函数y =
y 
-x+ m. 将该二次函数在z 轴上方的图象沿z
轴翻折到工轴下方，图象的其余部分不变，得到
一个新图象(如图所示) ，当直线y = -x + m 与
新图象有4 个交点时，m 的取值范围是(
). 
25 
A.
一τ<m< 3
25 
B. -Z〈m〈一2
c. - 2< m< 3 
D. -6< m<-2 
(第7 题)
(贵州省贵阳市中考题)
8. 若关于工的方程2x2- 3x+m = 0 的一个根大于一2 且小于一1，另一个根
大于2 且小于3 ，则m 的取值范围是(
) . 
A 
m<?
c. - 9< m< 5 
B. -1问〈?
D .
一1 4<m< 2
蚁。
(夭津市竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
追求知识或方法
的统一性是科学的不
懈追求.
函数视角下的方
程不等式，本质是将
所研究方程、不等式
这个局部的问题直于
函数的整体性质中把
握，将方程的根、不等
式的解集这一静态的
问题放在动态变化过
程中研究.
&\~~ 
( 丸每缎)
女食
-t? 
ìJ~ 
食
食
食
食
食
第
9
ì并
二灰函数与二灰7方程
9. 若对所有的实数x ，x 2 + ax 十α 恒为正，则(
). 
A .
α<0 
B. a> 4 
c. a <O 或α> 4
D. 0<α<4 
(江苏省竞赛题)
10. 方程2x-x2 = 主的正根的个数是(
). 
工
A. 0 
B. 1 
C. 2 
D. 3 
(江苏省竞赛题)
11. 若关于工的方程t 一ρx - q = O(p ，q 是正整数)的正根小于3 ，则这样的
方程的个数是(
) . 
A. 3 
B. 6 
C. 7 
D. 8 
(全国初中数学联赛题)
12 . 若函数f(x) =x2 - ax+ 2α 的零点为整数，则系数α 的所有可能值之和
为(
). 
A. 7 
B. 8 
c. 16 
D. 17 
E. 18 
(美国数学竞赛题)
13.
己知抛物线y=a(x- 1) 2 过点(3 ，1)
，D 为抛
Y 
物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式.
(2) 若点B ，C 均在抛物线上，其中~ B( 0, ! )且
ζBDC=900 ，求点C 的坐标.
(3) 如图，直线y=kx十4-k 与抛物线交于P ，
Q 两点.
①求证: ζ PDQ = 90 0 ;
②求f"-，PDQ 面积的最小值.
z 
(第
1 3 题)
(湖北省黄石市中考题)
14. 已知二次函数y = α (α + 1 )x 2 一(2a+ 1) x 十1，其中α 为正整数.
(1)若函数y 的图象与工轴相交于A
，B 两点，求线段AB 的长;
(2) 若α 依次取1，2 ，…，200 5 时，函数y 的图象与工轴相交所截得的
2005 条线段分别为人乱
，A 2 鸟，… ，A 2005 B 2则，试求这2005 条线段
长之和.
( 夭津市竞赛题)
15 . 抛物线C: y=-x 2 十x-m(m>O ) 与坐标轴有三个交点，这三点构成一
个三角形.若将C 向左平移2 个单位，三角形的面积变为原来的11 倍，
求m 的值.
("希望杯"邀请赛试题)
16. 如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A ，B 两点关于工轴对
IY 
称，过点A 任作直线交抛物线y=卡2 于P ，Q 两点
(1)求证: LABP = ζ ABQ;
X 
(2) 若点A 的坐标为(0 ，1)，且ζ PBQ = 60 0 ，试求所
'B 
有满足条件的直线PQ 的函数关系式.
(第
16 题)
(全国初中数学联赛题)
17 . 已知抛物线Y =x 2 与动直线y = (2t -
1 ) x -
c 有公共点
( x 1 , Yl ), 
, 7 1嘘
ll:í:\~~、
学科精英大视野系列丛书
食
食
3号
食
食女
食
食女
(x2 'Y2)' 且xî+乓= t 2 +2t-3. 
(1)求实数t 的取值范围;
(2) 当
t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.
C "((数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
18.
已知二次函数y=x 2 +bx-c 的图象经过两点p (1，α)
，QC2 ，lOa).
(1)如果a ，b ，c 都是整数，且c< b<缸，求a ，b ，c 的值;
(2) 设二次函数y =x 2 + bx -c 的图象与z 轴的交点为A
，B ，与y 轴的
交点为C ，如果关于工的方程x 2 + bx-c=O 的两个根都是整数，求
，6ABC 的面积.
(全国初中数学联赛题)
19.
已知二次函数y= αx 2 + bx+c 和→次函数y =
缸，其中a ，b ，c 满足α 〉
b>c ，α + b +c=O . (a ，b ，c 为实数) . 
(1)求证:两函数的图象有两个不同的交点A ，B;
(2) 过(1)中的两点A 、B 分别作z 轴的垂线，垂足为人
，B j . 求线段
AjB j 的长的取值范围.
(全国初中数学联赛题)
20. 已知抛物线y=x 2
α 与双曲线y =l在第一象限交于点A ，在第三象限
工
交于点B ，C .
(1)求所有的α 值，使得，6ABC 为直角三角形;
(2) 对于(1)中求得的α ，求此直角三角形的面积.
(白俄罗斯竞赛题)
价与=-m<O ，x j 工2
一卡2<0 ，
则抛物线的对称轴在y 轴的左侧，于是
I OA
I = Ix]1 =-x] ，OB = 码
，
1 
I 1 
2 
,,_x 1 + 工2
-
m 
所以
+--=-=一，即一一一一=一一一一=一，解得m=2 .
] 
x 2 
3 " 
x, x, 
3 
2 
3 
η1 
4 
由条件得Ixl(x- l)=走，
{ X 2 -X 
(x二三0)
令y ] = Ixl (x 一1) =!2
一
I x-xι
(x<O) , 
如图，其图象分别为C1
，C2 ，函数y=x 2 -
x(x注0) 的顶点坐标为(;，-~ ì
l 2' 
4) , 
C] 
• 
·…嚣
'
:. x 1 < 0 ，引> 0 ，又m> O ，
2 
倒1
Y2= k. 
A 
倒2
(例2)
由图象知当-t〈KO 时，直线C2 与曲线C1 有三个不同的支点
令fCx) =4x2-2mx+ n ，lí1'J y = fCx) 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x= 子
倒3
①
②
③
④
 
l
< m < 8
m2>4n , 
4+ n> 2m , 
16+η > 4m. 
如乙J
1 <子< 2 ，
由叫，工2<2 ，得{辽宁) =
于+砾。，
f (l) =4-2m + n> 0 , 
j(2) = 16-4m+ n> 0 , 
合食
食
1号，传
食
女，传
食
第
9 讲
二灰函数与二次为程
( 丸每缎)
由①知m =5 ，6 ，7 ，当m= 5 时，由②得η〈子，故雨，又由③得训，矛盾; 当m =6 时，得η= 9 ; 当归
时，由②得η~ 1 2 ，又由④得η> 1 2 ，矛盾. 故m = 6 ，n =9 .
由1 y-.::., 
ÌY=( 走十2 )X- ( 2走- 1)
(1 ) γ 6. = (k-
2) ' 十4 >0 ，:，该抛物线与直线恒有两个不同的支点.
(2) Xl 十X，= 走+ 2 ，xlx，=2k - 1
，消去走得XIX，-2X I - 2工，=-5 ，
得( xl-2)( 工，- 2 )=- 1，从而k= 2 .
(1) yo =x~ +时叫Xo 十~ )' _ p'~纽<0 ，则斗组>(Xo +手)' ~O ，有户2
句>0 .
flf ~ 4h 
线与工轴交于两点.
(2 ) X 1 +工2 二一ρ ，X1X，= q 代入工~ + ρXo+ q=yo <O 有: X: - (X1 +工，)Xo +工1 工，<O ，(Xo -X1 )(工。一句)<0 ，
故X 1 <工。<X，.
倒6
如图①，当两图象相切时，即方程工'+(a-2 )x + 3=x 有两个相等实数根，由.6 =(α-3 ) ' →4X3=0
得α =3-2 J3(x = J言) ，α =3 十2 J3(x= 一点，舍去) ; 
得工2 -
(k +2)x+ (2k - 1) =0. 
倒4
倒5
(l '+ (a - 2)X 1 +3 二三1，
ν 
如图②，③，当两图象相交时，图象在
l ~ x ζ 2 时有且仅有一个交点，则! ~ ， 
式
) 2 ' 十(α2)X2+3<2
叫
( 川α -2 ) X 1 + 3 < 1 ，解得
1 ~α〈一-
2' 十(a - 2) X2+ 3 二三2 ，
综上所述，实数α 的取值范围为a=3- 2 J3或一1 ζα〈÷ 
y 
VII2 
y 
y 
z 
图③
工
图②
(例6)
1 
。
工
图①
。
倒8
': -2豆α + b+c~O ，
'，- 1 ζ f(1 )= l + α + b十cζ 1 ，得
1 f (1) 1 = 1 (1- Xl) (1 - X, ) (1 - X3) 1 ~ l. 
二
1 1 - Xl 1 , 11 - x, 1 , 11 一句
| 中至少有一项不大于
1 ，
故该三次方程至少有一个根属于区间[0 ，2].
• • 
1. - 2< b< 1 
6.. < 0. 
2. a> 81 
x' 十1 8x + a手0 ，设y = x' + 1 8x + a ，则6. = 182 - 4a< 0. 
3. 1 2; 一士
由( α - b十c=4 ，
".护一α 一1 ，~ 
., 
叫
' 又6. =b' -4ac>0 月(
α- 1)'一臼(3 一μ)>0 ，得以，b +
4α + 2b +c = 1，
" 
) c=3 - 2α ， 
c = 一切+2ζ - 4.
6.，= α， - 2(2b十1) α+9 > 0 ，此不等式的左边是关于a 的二次函数，要使函数值恒为正，则
4 
4. 
r 3 X (
立ì' 十mx
l
立
1 - 2> 0 ，
由题意得~
~内斗/
内
，
~ / 
13 X l 亏
I + m X 亏一2> 0 ，
因为二次函数的图象在z 轴的上方，所以
6. =[ 2( m 十2η 十1) J ' - 4( m' 十4n' + 50) < 0 ，整理得
叫
〈
U
-
F
气
υ
1
i
-
A
哇
A
件
L
<
m 
<
8-n 
q
〈
υ
J 3哇
5. 4 
6. 15 
* 
食
3纭
，传女
食
食
，传
A 
飞:{-
学科精英大视野系列丛书
51 
4mn+2m + 4n< 49 ，即(m + 1) (2n十1) <一因为m ，n 为正整数，所以(m + l) ( 2 n十1) ζ 25 .
2 . 
25 
又m十l 二三2 ，所以2n + 1 <τ ，故n~ 5.
25.. 
~ 22 
当n=l 时
，m+1 ~ 一，故m~一，符合条件的正整数对(m ，n) 有7 个;
3 
当η=2 时
，m+1ζ 5 ，故m~4 ，符合条件的正整数对(m ，η) 有4 个;
25.. 
~ 18 
当n=3 时，m+1 ~ U"V ，故m~一，符合条件的正整数对(m ，的有2 个;
7 ' -- ..- - 7 
25
.. 
~ 16 
当
n = 4 时，m+ 1 ~ 一，故mζ
，符合条件的正整数对(m ，n) 有1 个;
9 
25
.. 
~ 14 
当n=5 时
，m+1 ~ 一，故m豆
，符合条件的正整数对(m ，n) 有1 个.
11 ,-- ..• -11 
综合可知: 符合条件的正整数对(m ，n) 有7 + 4+2 + 1+1=1 5 个.
7. D 
二次函数在z 轴上方的图象沿z 轴翻才斤到工轴下方的部分图象
的解析式为y = ( x +2)(x- 3)
，
l'lF y = x ' -
x - 6( 一2 ~二工运3).
当直线y =- x + m 经过点A( - 2 ，0) 时，得2 + m = 0 ，:.m=- 2 .
当直线y= -x 十m 与抛物线
y = x ' -
x -
6 斗目切时，则方程纽
(?zγ-6 ，有两纽相等实根，
y- -x-r m 
得x' -x - 6=- x十m ，~ = 0 - 4( -6 - m ) =0 ,m = - 6, 
. .当直线y=- x十m 与新图象有4 个交点时，m 的取值范围为- 6 <
m<- 2. 
8. C 
设j( x ) = 2x' -
3x + m ，由已知画出
y = j(x) 的大致图象，可得
j( - 2) > 0 ,j( -1) < 0 ,j(2) < 0 ,j(3) >0 ，联立解得
9< m< -5. 
y 
、
、
、
9. D 
10. A 分别画出卢z-t 与y=? 的图象
(第7 题)
工
11. C 
由y= x2 - pxγ q 图象知，当工=3 时y> O ，l'lf 3ρ + q< 9 ，解得: ρ = 1 ，1 ~q ~ 5 或ρ = 2 ，1 王三q ~ 2 .
12. C 
~ = a" - 8a = 扩(走为正整数) , ( α 
4+ k)(a - 4 一走) = 1 6 ，由α - 4 + 走，α - 4 - k 奇偶性相同有
(a - 4 十k ，α -4 - k) = (8 ，2) ，(4 ，的，( - 4 ，一的，(-2 ，
创.
13. (1) y= 士(厂1) 2
(2) 过点C 作CF上z 轴于点F ，DO ，0 ) ，设C(xo ，Yo ) ，由6B∞ω6DCF 得EQ=EERFL - 毕二旦
, DO - CF , r ,' 4 
Yo 
7-L一一，解得Xo = 17 'Yo = 64 , : . C(17 ,64) . 
τ (与一1)
(3) ①证明: 设点P 的坐标为( x ，
，y，)，点Q 为(巧，只) (其中x，< l <巧，y ，> O ，只> 0) , 
i y = iu-1)2, 
由~.Y
4 
得x 2 一(4k 十2) x +4走一1 5=0 ，
\ y = kx十4 - k
(计工2 = 4什2
] X2 = 份- 15
，'则(x，一1) ( X2 一1) = - 1 6 .
如图，分别过点P ，Q 作z 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，
则PM= y] =卡1 ←1) 2 ,QN= y2 = 士(x，- 1)' ,DM= 1 x] 一1 1 = 1 
x] ,DN= IX2•
11 =工，- 1
，
: . PM . QN= DM . DN= 16. 
. PM 
D儿f
"DN 
Q万-
又ζ PMD =ζ DNQ= 90 0 ，
:. 6 PMD ∞6DNQ. 
. ζMPD= ζ NDQ ，而ζ MPD+ζ MDP =90 0 ，
争辽〉
y 
(第
1 3 题)
z 
( 丸每组)
-R 
-
R
λ
V
 
A
朽
的
女
食
食
，传
食
第
9 讲
二灰函数与二灰75 程
.. ζ MDP + ζ NDQ = 90 0 ，即ζ PDQ = 90 0 .
②过点D 作z 轴的垂线交直线PQ 于点G ，则点G 横坐标为
1 ，代入y = kx十4 - k 得点G 纵坐标为
4 ，所
以DG = 4 .
56 Pω=÷DG · MN=÷ × 4 X I x ] 一句
|
= 2 J (x ] 忖，) ' - 4x ]x, = 8 fi可王
λ 当走= 0 时
，56 PDQ 取得最小值16 .
2α + 1 
] 
14. (1)设函数y 的图象与工轴支于两点A (x ] , 0) ,B(x, ，0) ，则X 1 + X?=
............. : :" ，X 1 X ? = 一
Á 一
IE
a(a + 1) ，~ ] ~ ，
α(α + 1) , 
, 
/ r 2α + 1
，' 
4 
Ir 
1 
, 
AB =I 工]- x，l=j (x] 坷) ' - 4x1x, = ~ 1 a~:石)
1 一石石) =~ 1 a(a+ D 1 =石石7(α 为正整数)
1 
(2)
当
α 依次取
1
，2 ，…
，2005 时，所截得的线段长分别为A ，B ，= ~ . A o R =
… , A OAAO BOM' 
] ~
] 
1 X 2 ' , " ~ ， 
2 X 3 
1 
1 
1 
1
, 11 
一一一一一一一. 故A ] B 1 + A,B,+… + A '005 B'005 = 一一一+一一一+ … +一一一一一一-::= 1 - ~ +
: -~ + … +~-"- - -
2005 X 2006 ' -- " ] - ] , ." - , ' 
, "
'005 -
'005 
1 X 2 ' 2 X 3 
' 2005 X 2006 
2 '
2 
3
' 
' 2005 
1 
2005 
2006 
2006' 
15. 设抛物线C 与工轴的两个支点为(工1 , 0) , (工，, 0) ，工1<句，则工2 - X1 = 
) 1-4m ，平移后的抛物线是
( m + 2) 汀- 4n1
, , " m ) 1 - 4m 
y = - ( X+ 2) 2 + (x + 2) - m = - x ' - 3x - 2 - m ，由题意得
2
V 
-
.... = 11 X 一一
2 一一，解得m = τ-
16. (1)分别过点P ，Q 作PC ..l y 轴于点C ，QD ..l y 轴于点D ，设A(O ，t)
，则B(O ，- t)，直线PQ 的解析式
为y = 走x+ t ，点P(xp ,y p) ,Q(xQ 'YQ). 
2 
"
. 
2 
, 
2 
.. BC
旦土t
王三二
l
τxp
τ工内=- E = EE ，又ζ BCP= ζ BDQ= 90 0 ，
. BD 
Vo + t 
2 
?
, 
2
? 
2
工o
QD 
…
τ工Q ' T' t 
3 工Q 】
τ工pXQ
、
二L BCPω L BDQ ，故ζ ABP = ζ ABQ.
13 
, ,_,. 
13 
(2) y = 
τ工十l 或y = τ x + L
17. (1)联立y =/ 与y = (2t 一1) x- c ，得x ' -
(2t - 1) x+ c = 0 有实根矶
，鸟，
1 r. 
". " 
,_ , 
] 
则工]+ 工，= 2t - 1 'X ]X2 = c,c=x1x, = τ [ (x 1 + x 2 ) ' - (x川1 十Z乓~ )汀J= 言(旷一6ωt + 4ω) , 
从而;m x'
工x' - (2μt h+ ÷(3川
由{尸z丘:忏+工4;〉= tf2T十2μt -一3?子O
在在
J
..L ] 
1
.Ã- 2 
t.. 
I 
'"''' 
v ::----- v ，得2 - v>C;;;，tζ2 十
) 6 = (2t - 1) ' - 2(3t' -
6t + 4) 二三0 ，"-::::
:::: 
3 / 
, " 
, 1 
.1.
, 
_
" 
.)2 .ù-
1l 一日. / ?
(2) c = 一(3t' - 6t+ 4) = ~ (t - 1) ' + 一，当
t = 2
号时，C" .H1 -一-7」二.
2 ,-
.. 
' 2 '-' -
2
吐
18.
由点P( l，α) , Q(2 , 10a) 均在二次函数y = x' + bx- c 的图象上，知
1 十b - c = α ，4 十2b - c = 10a ，
解得b = 9 α
3 ，c = 8α - 2. 
(1)由
c< b< 缸，知8α - 2 < 9α
3 < 8a=;>1 < a< 3. 
又因α 为整数，所以α = 2 ，b = 9α - 3 = 15
，c = 8α - 2 = 14 ，
(2) 设m ，n 是方程的两个整数根，且m ，ç;" n . 由根与系数的关系得m+ n =- b = 3 一切，mn = - c = 2 一缸，
消去α 得9mn - 8(m + η) =- 6.
两边同来以
9 再分解因式得(9m - 8) (9 η 8) = 10 , 
故(9m - 8 ，如
8) = ( 1，10)
，(2 ，日，( 一10 ，一1)，( -5
，一2) . 
(10 13\ ( 
2 
7 '\ (1 
2 ì 
解得(m ，n) = (1，2)
，l 石'百) , l 百' 百) , l τ ' τ j 
又m ，n 是整数，故(m ，η) = (1，2) ，因此
，b = - (m + n) = - 3 ,c= - mn = - 2, 
故二次函数的解析式为y=工"- 3x+ 2 ，易求得A (l，叫他0) ,C(O ，2) ，所以h =÷ × (2 一川归
(v = ax ' + bx+ c 
19. (1)由JY - U .Å.- ，
I U..A.. 
I "-，得ax ' + 2bx 十c = O ，
! y =- ox , 
，
哥
也
"‘ 
而
一
食
食
，传，传
，传女
食女
女
t.=4b2 -4ac=4( - a-c/- 4αc =4 r(a +: Y 
+立c2 1 >0 ，
1~ -
'
2}
'
C
I 
.两函数的图象有两个不同交点.
(2) 设方程ax2 +2bx+c=0 的两根为XJ 和工2 ' 
2b 
则几十几
，X ，工，
伞
a
a 
1 AJ BJ 1 2 = (XJ - X2)2 = (XJ 十X2 )2 -4xJx 2 
( 
2b '\ 2 . 4c 
4b2 - 4ac 
4(-a-c) 2 -4ac 
=
，一一
，
一一= 一=
\.. 
a) 
a 
a 2 
a2 
r ( c ,\ 2 , C , .1 
. r (c , 1 ,\ 2 , 3 1 
=4 11"::'" 
1 十一十11 =4 11 一+一
1
+ 一
|
1 ~α
)
'
a
'
~1 
ï~ a
'
2)
'
4
1 
.: a+b+c=O ,a> b> c, :. a>O ,c<O , 
μ〉
α -c>c ，解得一2<~<- ~ , 
a 
L 
:. 3< IAJBJI2 < 12 ，故J3< IAJBJ 1 < 2 J3. 
20. (1)设AIα)-ì,B(b,+ ì,c(c,l_ ì ，其中，a>O ，b<O ，c<O . 不妨设c< b.
\~' a )'~\v ， b )'~\c
， c) 
联立抛物线与双曲线的方程得z2 -a=l.
Z 
显然
，X手O
.
故X3 -ax- 1= 0. 
由韦达定理得α + b十c=O ,abc= 1. 
学科精英大视野系列丛书
因为点A 在第一象限，点B ，C 在第三象限，所以ζ BAC 为锐角.于是，ζABC 或ζACB 为直角.
1 
, 1
, 1 
句
: y= 一~X+ 一+γ ，
ao 
a 
0 
1 
, 1
, 1 
l AC : y= 一_:'_X+ 一十
, 
ac 
a 
c 
1 
, 1
, 1 
oc :y = 一-Ç--X+ 一+_:._ .
bc-
, b ' c 
若ζABC= 90 0 ，则ABj_BC ，( - ~ ì . (--Þ. ì=- 1. 
~ 
ab ) 
~ 
bc} 
~ • 
:. ab2 c= - 1 ,b= -1 ,a= -
(ab+bc十ac) =2. 
由x3 -2x- 1 = ( x十1) (X2 - X -1) ，知a ，c 为方程工2- x - l =0 的两个根.
一1 + J5
_ 1- J5 
因为α> 0 ，所以，a 一
2一，c=
-2一
又c> 一l = b ，与
b> c 矛盾，故ζABC 不可能为直角.
若ζACB = 90 0 ，则ACj_ BC.
故(-:c) ( -:c) 
一一11- 一
1 = -1 , :. abc2 =
•
1,c=- l. 
ac } ~ 
bc } 
_ 1+J5 , _ 1- J5 
由前面的关系有α = 2. 得α
一一":""::' ，b = 一τ一，满足b>c .
2'~ 
2 
因此，α 有唯一值2 ，使得L>ABC 为直角三角形.
ω 此时，hc = ÷AC -Bc ，其中，
? 
" 
, (1 
1
飞2
• (_ 
1 ì 
AC' = (c-a) 2 + 1 一一-:- 1 = (c-a) 2
1
1 十千τ 1=( α 十1) 2 (1 十b勺，
飞
c
a ) 
\ 
a" c" J 
? 
",, (1 
1 V 
. ( 
1
飞
BC' = (C - b)2 + I _:一一一
I
= (c- b) 2
1
1 十手，. )=(b+ 1) 2(l + a2). 
\.. c 
b) 
, -
~ , 
~ ~ , b2 c2 } 
因为a ，b 是方程x 2 - x - 1 = 0 的两个根，所以，
a2 = α十1 ,b2 = b + 1 ，且α +b= l ，ab = - 1. 
则AC . BC= 11 +a 11 1 十b
l J(2+ α)(2 十的=布，
c' 
_J5 
.. 电脑一言·
1690 年，瑞士数学家雅各布
· 伯
努利在德国《教师学报》上提出如下问
题"一根柔软而不能伸长的绳子自由
悬挂于两个固定点，求这绳子所形成
的曲线"这就是不同于抛物线的悬链
线.悬链线在悬索桥、架空电缆等工程
技术中有广泛的应用.
写10 讲
三次回兹的应: ]
如
知能概述
函数就是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧
面反映客观世界的动态性和相互制约性.
二次函数的应用主要在以下两个方面:
(1)建立二次函数模型，解决优化设计、方案决策、探求最值等问题;
(2) 构造二次函数，求解或求证相关问题.
'
问题解决
倒1
销售某种商品，如果单价上涨m %
，则售出的数量就将减少m
150' 
为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为
(全国初中数学联赛题)
踹题思路
设原商品单价为"元时，售出的数量为
b ，又设单价上涨
m % 时的销售总金额为y ，建立y 与m 的函数关系式.
倒2
如果抛物线y =x 2 -( 走一1 )x - k - 1 与工轴的交点为A
，B ，顶点
为C ，那么L:，ABC 的面积的最小值为(
). 
A. 1 
B. 2 
C. 3 
D. 4 
(全国初中数学联赛题)
鹏题思路
把AB 的长，C 点的纵坐标用关于走的式子表示.
77嘘
理FC主摸
4þ .--
跚跚岖
直身于数学领域
中不断地探索和追
求，能把人类的思维
活动升华到纯净和谐
的世界.
克莱因
总是整数
雅各布
· 伯努利
是均士著名数学家.
他对数学有着浓厚兴
趣，尤其是对自然数
方奉和的公式应用自
如，他曾发现下面问
题
: 无论n 为何自然
数，巳十巳十巳一旦
5 
2
' 3 
30 
总是整数.
t:::.~6:\ 
食
，际女
食
食女
食
食
女
倒3
通过实验研究，专家们发现:初中学生昕课的注意力指标数是随着
老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时
间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散.学生注意力指标数y 随时间z
(分钟)变化的函数图象如图所示(Y 越大表示学生注意力越集中).当oζzζ
10 时，图象是抛物线的一部分，当10~x~20 和20~x~40 时，图象是线段.
(1)当O~x~ lO 时，求注意力指标数y 与时间工的函数关系式;
(2) 一道数学竞赛题需要讲解24 分钟.问老师能否经过适当安排，使学
生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.
("信利杯"全国初中数学竞赛题)
麟题思路
对于(2) ，在求得相应函数解
川(指标数)
析式的基础上，将y = 36 代人解析式，先求出
讲解时间.
:1::Zj 
j 
(时阅，分)
σ 
倒4
如图，锐角f':.，ABC 的面积为4 ，D ，F 分别是AB
，AC 上的点，点E
AD 
AF 
DE 
在线段DF 上，且满足互B - 工'互C = Y'DF = Z ' X - YZ = 4 ' 求f':.，BDE 面积
的最大值.
(江苏省海门中学自主招生试题)
给析与鹏
问题条件涉及三个变量，充分运用面积
关系，把f':.，BDE 的面积表示为某个变量的函数关系式.
A 
B 
C 
倒5
当一1 ~x~ 2 时，函数y = 2X 2 - 4ax 十α 2 十2α 十2 有最小值2 ，求
α 所有可能取的值.
(山西省太原市竞赛题)
全暨
y=2(x-a) 2 - a2 + 2a 十2 ，图象的对称轴为工= α ，函数在何处取
得最小值?应分-1 ~a~ 2 ，α〈一1，α> 2 三种情况讨论.
理
当一1 ""二α~ 2 时，函数在工= α 处取得最小值2 ，故一旷十2α+ 2 = 2 ，
解得α = 0 或2_
当α<- 1 时，函数在x =- 1 处取得最小值2 ，代入函数式得2 + 4α +
G2 十2a 十2 =2 ，解得α =-3 -17.
当a> 2 时，函数在x = 2 处取得最小值，代人函数式得8 -8a+a 2 + 
2α + 2 = 2 ，解得a = 4.
故a 所有可能取的值为
3-17,0 ,2 ,4. 
倒6
有一种产品的质量可分成6 个不同的档次，若工时不变，每天可
生产最低档次的产品40 件，如果每提高一个档次，每件利润可增加1 元，但
学科精英大视野系列丛书
• 
函数应用题常通
过图象表达出来.读
圈、识图、析围，从图
象的形状特征、位直
特征、数量特征、变化
趋势等方面获取信
息，通过整理、分析、
加工等手段，探寻变
量间的关系，运用待
定系数法、数形结合
等方法解决问题.
化图象信息为数
式信息，具体包括:
(1)看图找点;
( 2 ) 见形想式;
(3) 建模求解.
设二次函数y=
α (X- h) 2 + k (m ~三
x~ n) 
(1)当α> 0 时，
①若h 在[ m ，n J
时，则x=h 时，y最小位=
k ; 
②若h 不在[ m ，
η] 内，则z 在m ，n 两
个数中，与
h 接近的
数上取得最小佳，而
在远离h 的数上取得
最大值.
( 2)
当
α < 0 时，
可仿上推出相应结论.
~~~ 
( 丸每级)
飞市
食
古
食
，传
A 
τ之二
每天要少生产2 件产品.
(1)若最低档次的产品每件利润
16 元时，生产哪一种档次的产品的利
润最大?
(2) 若最低档次的产品每件利润22 元时，生产哪一种档次的产品的利
润最大?
(3) 由于市场价格浮动，生产最低档次的产品每件利润可以从8 元到24
元不等，那么生产哪种档次的产品所获得的利润最大?
(河北省竞赛题)
鹏
(1)设生产第z 档产品时，每天所获利润为y 元，显然
1 运工~ 6 且
工为自然数.
则y =[40 - 2(x- 1) ][ 16 十(x - l) ]= -2x2 + 12工十630
= - 2Cx-3) 2 + 648. 
所以当x=3 时，y 最大.
即生产第二档次的产品利润最大.
M
h
们
们
i
·
e
·
(2)
与(1)类似得: y = [ 40 一2(x- 1) ][22 +
(x- 1) ]=- 2x 2 十882.
因为z 二三0 时，y 随工的增大而减小，且
1 运x~6 ，
所以工= 1 时，y 最大(如图实线部分所示) . 
即生产第一档次的产品获利最大.
(3) 设生产最低档次的产品每件利润为α 元，且8~a运24 ，则每天所获
利润y =[40-2(x- 1)][α+ (x- l) ] 
( 
22 - a~ 2
， a2 + 40a + 400 
=(42-2x)[(a 一1) 十z]= -2|z-E一|
22 
由8~a三三24 可得
1ζ一τ旦旦二7
根据二次函数单调性知:
。1I
6 
工
当- 1~斗E:~ 1 ，即2向ζ 24 时，生产第一档次产品和IJ 最大;
川、
22 - a
当1<千勺即10 < a < 20 61 , ìi与丁最接近的整数是m ，那么
生产第m 档次的产品获利最大.
构造函数
即找出作为自变量的因素或可以表示成某一变量的函数，或是用函数
的观点分析问题的条件、结构，通过函数性质或图象解决问题.
倒7
(1)凸五边形ABCDE 的边长依次为酌，哟'向，肉
，a 5 • 已知一个
关于工的二次三项式满足:
当工= α 1 及工=a z 十a 3 十a 4 十a 5 时，得到的二次二三项式的值均为5 ; 
当x= α 1 十a z 时，二次三项式的值为扣
当x=a 3 + α4+ α 5 时，二次三项式的值为q. 求ρ - q 的值.
("新知杯" 上海市竞赛题)
(2) 已知实数a ，b ，c 满足(α 十c ) (α 十b 十c ) < 0 ，求证:(b -C) 2>
4α (a 十b +c).
("手且J中之杯"竞赛题)
79 
嗦
* 
唱团
食
第
1 0 讲
二灰函数的应用
仔IJ
6 中，对于(1) , 
顶点(3 ，648) 的横坐标
满足自变量最值范围
0 ::;;;;工运6 的正整数) , 
顶点是抛物线的最高
占;
对于(2) ，抛物线
顶点(0 ，882 )不在图
象上，函数的最值由
函数的单调性和自变
量的取值范围来确定.
波利亚曾说"当
原问题看来不可解
时，人类的高明之处
就在于会迂回绕过不
能直接克服的障碍，
就在于能想出某个适
当的辅助问题"
171J 7 表明，利用
一元二次方程或根的
判别式构造二次函
数，能够形象、直观地
反映出两个变量之间
的关系，使问题获得
简解或巧解.
I!::\~~ 
食
女
食
食
食合
食女
女
给析与鹏对于(1) ，记二次三项式为f(x)= αx 2 +bx 十c(a 手0) ，并设
其图象的对称轴为工=x o .
由题意知
fCa ,) = fCa 2 +a 3 +向+α 5 ) =5 ，且α1 平-é. a 2 + α 3 十α 4 +α 5 .
故a ，+ Ca 2 + α 3 +a 4 十a 5 ) = 2xO. 
:. (a, + α 2 ) + Ca 3 +a4 + aS ) = 2x o' 
f(a, + α 2 ) = f(a 3 +a4 + α 5 ). 
λρ =q ，~导p-q=O.
对于(2) ，由所证结论联想到根的判别式，联想到抛物线与z 轴的交点，
构造二次函数.
设y= x 2 + Cb-c )x + α(α + b+c) , 
• (a+c) (a 十b + c) < O ，:.α+c 与α + b +c 均非零.
.当x = 一(a + b + c) 时，y=2Ca 十b +c ) (a 十c) < O ，
.·.抛物线y=x 2 + (b -c )x 十a(a+b + c) 与工轴有两个不同交点，
•• !:::,. = Cb- c) 2 一句(α + b十c ) > O ，即(b - C) 2>4α (a+b +c ).
1. (1)当x=m 或工= n(m 手n) 时，代数式工2 一2x+ 3 的值相等，则当x=
m 十η 时，代数式x2- 2x + 3 的值为
(江苏省宿迁市中考题)
(2) 若关于z 的方程
I X 2 - 4x + 3 I = b 至少有三个不等实根，则实数b 的
取值范围是
(海南省竞赛题)
2. 实数x ，y 满足2X 2 - 6x + y2 = 0 ，则zz 十/ + 2工的最大值是
(江苏省竞赛题)
3.
已知t 是实数，若a ，b 是关于工的一元二次方程x 2 -2x+ t- 1 = 0 的两个
非负实根，则Ca 2 -
1) Cb2 - 1) 的最小值是
(全国初中数学联赛题)
4. 如图，6ABC 的面积为1，点D ，G ，E 和F 分别在边
AB ,AC,BC J:.，BD< DA ，∞// BC, DE // AC, GF // 
1 
AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为
("新知杯"上海市竞赛题)
5. 若实数a ，b ，c 使得二次函数fCx)= αx 2 + bx+ c ，当
。三三x~ l 时，恒有
I fCx) I ~ 1，则
l a l+l b
l 十
I c I 的最
大值为
B 
(上海市竞赛题)
(第4 题)
C 
6
已知某商品涨1ft" x 成(1成即毗)后，销量将减少fz ，若要获得最大的
营业额，则需涨价(
)成.
A. 1 
B. 2 
c. 3 
D. 4 
(河北省竞赛题)
却8 0
学科精英大视野系列丛书
与F c丘摸
酒
习'回事
思维之花是世界
上最美丽的花朵，思
维由问题产生，从疑
问与惊奇开始.
科学巨匠爱因斯
坦曾说"我们所创造
的这个世界，是我们
思维的产物，不改变
我们的思维，就不可
能改变我们的世界"
~~~ 
，传
食
*
食
食
第
10 讲
二灰函数的应用
( 丸每绵)
食
在
古
朴
问
A 
N 
7. 设a.b. c 为实数，且a 手O. 抛物线y = ax 2 +bx+c 与工轴交于A.B 两点，
与y 轴交于点C. 且抛物线的顶点在直线y=-l 上.若L':，.ABC 是直角三
角形，则Rt L':，.ABC 面积的最大值是(
). 
A. 1 
B. J言
C. 2 
D. 3 
(广东省竞赛题)
8.
已知
I y l~ l，且2x 十y=l. 则2x2+ 16x + 3/ 的最小值是(
). 
19 
" 
~ 
~ 27 
A. 
~7v 
B. 3 
C . 
~7 
D. 13 
(山西省太原市竞赛题)
9. 设关于工的方程GZZ 斗(a 十2)x+9α=0 有两个不相等的实数根x j .x2• 
且工1 < 1 <町，那么α 的取值范围是(
). 
2 _ _ 2 
A.
一一< a <
7 -- - 5 
B. a>号
C. a<
主
D. - JL〈a〈O
11 
(全国初中数学联赛题)
10. 关于工的方程2工2-ax 十2α=-24 有且仅有一个正根，则α 的取值范围
是(
). 
A. a<-12 
C. a <- 12 或α =24
B.αζ 24 
D.α > 12 
("希望杯"邀请赛试题)
1 1.如图，在边长为
1 的正方形ABCD 中，动点E.F 分别在边AB.CD 上，
将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD
上(点M 不与点A.D 重合) .点C 落在点N 处.MN 与CD 交于点P. 设
BE 二工.
(1)当AM= t 时，求工的值
(2) 随着点M 在边AD 上位置的变化. L':，. PDM 的周长是否发生变化?
如变化，请说明理由;如不变，请求出该定值.
(3) 设四边形BEFC 的面积为S. 求S 与工之间的函数表达式，并求出
S 的最小值.
(江苏省宿迁市中考题)
A 
M 
D 
A 
M 
D 
ElN EN 
1J 
L----J 
B 
(备用图)
C 
B 
(第
11 题)
12.
已知二次函数y=x 2 + b工十c (b.c 为常数) . 
(1)当b =2 .c =-3 时，求二次函数的最小值;
(2) 当c =5 时，若在函数值y=l 的情况下，只有一个自变量工的值与
其对应，求此时二次函数的解析式;
(3) 当c=b 2 时，若在自变量工的值满足bζx~b 十3 的情况下，与其对
应的函数值y 的最小值为
2 1，求此时二次函数的解析式.
(天津市中考题)
哇哇
普p c主摸
'回哥哥'咱"
at\~~ 
食
食
食
食
食女
食女
'(;:( 
13.
已知ζ二次函数y=t-Z 一2 及实数a>-2.
求: (1)函、数在一2 <x~α 时的最小值;
(2) 函数在α ~x::::二α + 2 时的最小值.
( 山西省太原市竞赛题)
14.
已知
α 2 十b 2 = 
1 ，对于满足条件
O ~x ζ 1 的一切实数x ，不等式
a (1- x) (1-x-ax) -bx(b- x-bx) 注0 ①恒成立，当乘积ab 取最小值
时，求a ，b 的值.
(全国初中数学联赛题)
15. 如图，正方形ABCD 中，点A ，B 的坐标分别为
(0 ，10)
，(8 ，4) ，点C 在第一象限.动点P 在正
方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →
C→D 以每秒
1 个单位的速度做匀速运动，同
时点Q (1，O) 以相同速度在z 轴上运动，当P
点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的
时间为
t 秒.
(1)求正方形边长及顶点C 的坐标;
(2) 当P 在边AB 上运动时，求使t6.0PQ 的
面积最大时的点P 的坐标.
y 
D 
(第
15 题)
(湖南省竞赛题)
16.
已知二次函数Yl =ax2 +4x+ b 与Y 2 = bx2 +4x+ α 均有最小值，记Y l , 
Y 2 的最小值分别为m ，n.
(1)若m + n=O ，证明:对任意的实数z 均有Y l +Y2 二三0 ;
(2) 若m ，n 均大于0 ，且mn=2 ，记M 为m ，n 中的较大者，求M 的最小值.
(四川省竞赛题)
2 (x - b) (X - c) , b2 (工-c) (x - a) , C 2 (x- a) (x- b) 
17. 化简G (a-b)(a-c) 
(b -c)(b - a) 
(c - a)(c - b) 
("勤奋杯"竞赛题)
18.
已知a ，b ，c ，d 为四个正的常数，当实数x 'Y 满足ax 2 + by2 = 1 时，求
CX+dy2 的最小值.
(上海市竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
C 
z 
• 
.
踏.
(. 
m
飞
ab
倒
1
y = ab(1 + m %) 11 一一一
1 = 一一一(- m 2 +50m + 15000) 
J 
-- ,-
, ,. _, v , \ -
150) 
15000 
=」L[ 一(m- 25) 2 + 15625J , 
15000 L 
,... 
- -, '---- -...J 
..当m =25 时
，y 取得最大值.
倒2
A 
斤-2-，丁-
，
，-~ ~ (k - 1 
k 2 十2 走+5 飞
AB=
.j扩+2 走+5
，Q" 2 ~，一τ~
J
矿πT丁
1
k 2 +2 k 十51_ 1 
1,, 2 
I 
'" 
I ~，3 
1 
S 6ABC =严2+2走十5XI 一-「|=EJω 卅5) 于[川忖J3斗♂= 1
例3
(1) 当0ζ工运10 时，v=- lt+ 坐x+20 .
J 
5 -
, 5 
(2) 当20 ::::;;;x::::;;;4 0 时，y=f川6
飞
叫
/
­
f
Mg 
雯l~叫
J吨7 
4吃
食
( 丸每银)
z、f
食
4民
'{!; 
世r
4吃
第
丁o
ì井
二灰函数的应用
当
0~x~ 1 0 时，令y=36 ，解得x = 4 ，x = 20( 舍去) ; 
200 
~ ~ 4 
当
20~x~4 0 时，令y=36 ，解得x= 一一= 28
7 
- ~ 7' 
因为叫-4=叫>24 ，所以，老师可以经过适当的安排，在学生的均力指标数不低于36 时，讲授
完这道竞赛题.
S L;.ABF 
AF 
n 
_ 
S L;.ADF 
AD 
倒4
连接BF ，则ζ忑=互ξ = y , S L;.ABF = 句，又ζ;;7 = 互B
工，则
SL;.ADF = 
4Xy , S L;. BDF = 4y- 4xy , 
•• S 6BDE 
DE 
· ζBDF 
DF -z, 
(1\ , . 
. ( 
5\'
,
9 
:. S L;. BDE = 4yz- 4xyz= yz( 4 一位)= lx- 4 J(4-4x)=-4lx -
;3 J + 页'
故当工= 去时，L，BDE 面积的值最大，最大值为立
16' 
参考番事
1. (1) 3 
(2) O< b~ l 
考查直线y = b 与抛物线y = Ix' -4工+31 支点的个数.
( 例4)
• • 
A 
C 
2. 15 
由已知得y' = - 2x'+ 6x二三0 ，x'- 3x豆0 ，0ζzζ 3 ，原式=z2 十( - 2工'+ 6x) 十2工= - (x -4 ) '+ 1 6 ，
当x = 3 时，厉、式取最大值为
1 5 .
3. -3 
由!:::,.= (-2) ' - 4(t- 1) 二三0 ，α 十b =2 ，ab= t - 1 二三0 ，得1~t~2 ， 
原式=(αb) ' - (a' + b' ) +1 =t' -4 ，当t=l 时，房、式取得最小值为一3 .
上设主D
工，则应= 1
工= 豆豆，由三角形相似乒皿ιμ = (1 - x) ' 半旦
3 
y~ AB 
~，~ ， BA 
~ 
~ CA' ~ -
". , ,... .. ~ L;.ABC 
:S L;.八BC
:S L;.ABC 
。
?
( 
2 飞，
, 1 
S,, =nccr = 1-
xι - 2 (1 - X ) L=- 3
1 工一
| 十一
~ ~ 3) 
3 
当zz? 时，S#d'!DEFC *最大值÷
5. 17 
分别令z= 0 ，i ，1 得
1 c 1ζ 1，1α + 2b十4c l "三4 ，
1 α +b +cl ζ 1，设m =α +2b + 缸，η = α十b + c ，则
2 
a =- m +2 n+ 纭，b= m- n - 3c ，
l a
l ζ Iml + 21η1 +2
I cl "豆8 ，
1 b l ζI m l 十
I nl + 31cl ζ 8 ，
1 a 1 + 1 b 1 + 1 c 1 ~ 1 7 ， 
可验证f(户8 (工一÷) 2
1= 8t 
b十1 ，当O~x~ l 时，时| 川~ 1，故所求的最大值为1 7
( 
, 1 \ ' , 19 
6. A 
7. A 
8. B 
由一1ζ y~ l 得O~x~ 1，}，ft、式= 14 lx+γ
J +γ
( _ , 2 '\ 
，~ 
~ ," 
, I (? 
I 
~ ì 
9. D
由a手0 得x2 + 11 十.!:._
Ix + 9 = 0 ，设y= / 十
1 1 十:
I工+9 .
\ 
a
l 
\ 
U J 
如图叫< 1<叫卢时，y<O 月叫1 + !) X 1 +叫
解得-JL〈a〈0 .
11 
10. C 
由题意得
「α' -4 X2 (2α + 24) > 0 ，
日2(2计24) = 0
:…4} > O' .iJ\ 1旦=
α
或) 2α
卢24
或~
2 
一一一> 0 ，
--') 一一一< 0 ，
'1 
2X2 -
~
' 
\ 
~ 
1 一一一> 0 ，
83., '.. 
飞
骨!!?
~/币
L 2X2 
y 
(第9 题)
女
食
þ:
食
食女
食
食女
学科精英大视野系列丛书
解得a=24 或a< ←12.
J!F a 的取佳范围是α =24 或a <- 1 2 .
1 
11. (1)如图，在Rt6AEM 中
，AE = 1- x , EM= BE = 工，AM = 一，.: AE' + A M' = E此1'，:.(l -x )'+
3 
(÷)2=z2 , z=7 
(2) 6 PDM 的周长不变，为
2.
理由:设AM=y ，则BE=EM= 工，MD=l - y ，
在Rt6AEM 中，由勾股定理得AE' 十A M' = EM' , 
(1 - x)' + / = x' ，解得
1 +/=2工，
:.1 - y'=2 (1 -x) , 
.:Rt6A EMω Rt6 DMP ， 
.AE + E儿1+ AM
AE _ 
1
X+X+y 
1-x 
=一一，即
.DM + MP + DP - MD
，r'D丸1 + MP + DP
1-y' 
解得DM+ MP + DP = l -y' =2 
l -X 
:. 6 DMP 的周长为
2.
(3) 作FH j_ AB 于点H. 则四边形BCFH 是矩形.连接BM 交FE 于点。，交
FH 于点K.
在Rt6AEM 中
，AM= /x'- (1 -x)'= /2x- 1, 
.: 6ABM旦6 HFE ，
:.EH=AM = /2x-1 ,CF= BH=x- /2x- 1, 
:.5 = ~ (BE+CF) • BC 
= ÷(z+rz=T) 
= 
~ [( /2x- 1)2- /2x- 1+ 1] 
(~ 1\'
,
3 
=丁
I
/2x - 1 一一
| 十
2 ~ 
v 
-
-
~ 
2) 
, 8' 
..当在- 1= 扫，5 有最小值专
E~ "'J p 
Hi/\\\PN 
E二二二二二7F
B 
C 
(第
11 题)
12. (1) -4 
(2) y= 矿+4x+5 或y=x'- 4工+5
(3) ①若- ~ < b,J!F b>O ，lÌ1 3b'=叫b=几
②芳K一卡的，J!p-2ζb~0 , lÌ1 ( -
~ ) ' + b. ( -
~ ) + b' = ~ b' =叫b= ::!::2 汀( 舍去) ; 
③若?>町，即b<-2 ，由(的) ' + b(的) + b' =叫b=-4
.··f j 十J于x+7 或y=x'-4x十16.
( 
1 '\ ' 
9 
13.
原函数可化为
v =
l x 一一|
一
J 
~ -
2) 
4' 
(1)若
问〈÷，当〔时，函数有最小值a'- a-2; 若G÷ ，当工=÷时，函数有最小值? 
ω 若a> 一2 且川〈÷，FF
2<
G<
?，当x=a+2 时，函数有最小值a'+3a;
若a〈÷且a +位÷，即一卡α寸，当工=÷ 时，函数有在j、值- 7;
尘
f
却
( 丸每编)
女食
食
食食
，传
1与食
，传
第
1 0 讲
二灰函数的应用
若θ÷ ，当〔时，函数有最小值a2
α 2 
14 . 整理式①并将a 2 + 扩= 1 代入得cl 十a+b)x2 一(2a+ l) x+ α注O .
② 
2α+1 
在式②中，令x =O ，得a )'o O ; 令x = l ，得b二三O. 易知l +a+ b>O ，O<^ ，，~-:-'
~ .,<1. 
2 Cl + a 十b)
故二次函数y= Cl + α+ b) x' 一(2α + l) x+ α 的图象(抛物线)的开口向上，且顶点的横坐标在0 和l 之间.
由题设知，式②对于满足条件O~x~ l 的一切实数工恒成立，所以ß=(如1川0 +α+ b闷，阳斗
咱
E
A
=
, 
。
μ
0
1
-
4
+= 
2
'b 
GG 
组
。
主
4
万
φ
、
万
由
_
A 
J.l-
~2_ 2 - ../3J，: , _ 2+ ../3 
③ 消去b 得16α4 - 1 6矿+ 1 = 0 ，故α4一或a -
4一.
r ~ _./6-./2 
r _ ./6+ ./2 
./6 -./2 J.' 
./6 +./2 ~." 
~ < 0
1._ "" , L hn.. 
I α
-7一，
~. Iα-7一，
又训，故α = 一「U= 一4
于是，方程创刊为i
fc _l_ /r) Æi 
1 , 
./6+ ./2 
1 , 
./6-./2 
…一一
…一-
1-
4
町
，
1 u 
4 
,'- ",I ;,J. __./6- ./2 '-_ ./6+./2 á : __ ./6+./2 1
_ ./6- ./2 
所以
，ab 的最小值为一，此时，a ，b 的值有两组，勿别为a 一一一一~，b一一一一一或a= 一一一='，b= 一一一一
4 
",-
4 
,-
4 
15. (1)如图，过点B 作BFl_y 轴于点F ，BEl_x 轴于点E，则BF=8 ，OF=BE=4 . 于
P 
D 
是AF=10- 4 = 6 . 在Rt6AFB 中，AB= J8可62=10. 过点C 作∞l_x 轴于点G，与阳的
延长线交于点H. 因为ζABC= 900 ,AB= BC ，所以6ABF旦6BCH. 得BH= AF= 6 ，CH =
BF= 8. 于是α;= FH= 8 + 6 = 14 ，C卫=8 + 4 = 12. 故所求C 点的坐标为04 ，12).
(2) 过点P 作PM 上y 轴于点M ，PN 上z 轴于点N ，则6APMω 6ABF. 于是
AP 
AM
儿1P
"" t 
AM 
MP 
U~.. A' I 
3 
~. I 
4 
一一=一一= 一一，得一=一一.所以AM = : t , PM= -i- t , PN=OM= 10- : t , 
AB 
AF 
BF' " 10 
6 
8 ' . , ". • •••• 
5.'. ... 
5 
1 .. (. _ 3\" " 
3
, , 47 
ONZPM=ft ，设60PQ 的面积为5 ，则5 = 一X 11 0 一~t
l (l +俨
仆-:-::: t十
。
2
"
\ ~-
5 . ) ' . ' -' 
10.'10 
47 ,. 
^ 
_ __.. _" ~. 
., _. _ 
~ .., ,_.. (94 53'\ 
5CO~ t~ 1 0) ，当
t = τ 时，60PQ 的面积最大，此时P 点坐标为| 一
i ~ ) 
l15 '10) 
(第
15 题)
ab-4 , ab- 4 
16. Cl)由m+η=0 得
+ 一寸一=0 ，:. ab= 4. 
a 
0 
.: YI + Y2 =(α + b) 矿+8x + Cα+ 的，ß = 64-4Cα + b) 2 ζ 64-4(2 .J{;b)' =0 , 
. .对任意的实数工，均有YI 十Y2 二三O.
(2)
由mn = 2 得ab = 8 或2C 舍去) , 
4 
4
.，~ 4 
.，~ 4 
.m =_:_ ，n =~ ，M二三一，M二三
，. 
α
o 
a 
0 
16 
_
.，~ r;c-
:. M 2 二三.~=2 ，M二与2
，
α。
故M 的最小值为./2.
17 .
设1ft，、式= jC x ) , 
.: jCα) = 矿
，jCb ) = b' ,j(c) = c2, 
:. j(x ) = 矿，即原式=z2 .
d-adx2 
ad ( 
bc ì 2 
I d 
I bc2 
18 们=α+d/
，Ji!IJ k=cx+一厂= 一扎x- 2::d ) +γ 白'
1 ~ ~ 1 
由αx'+ b/= l 得ax' ζ 1 ，
一ζx~一
ra ~~ ~ ra' 
' x= 主~> O ，
2ad 
.当工
1二时，y = O ，是mf- f二
.Ja 
..;a 
已!哈
英国伦敦科学博物馆陈列着数学智慧的玻
璃制品，这就是克莱因瓶. 1882 年，德国数学家
克莱因0849- 1 925) 设计了这个著名的瓶子，
克莱因瓶是一个只有一个面的封闭曲面，是一
个没有瓶底的瓶子.一只爬在"瓶外"的蚂蚁，可
以通过"瓶颈"爬到"瓶内"去，其实克莱因瓶并
无内外之分.
、豆豆d
~{ 峰就(i7
一结ii 讲代数是值二
I
.:x茹蓓概述
有些代数问题，需求某个参数或代数式的最大值或最小值，这就是代数
最值问题.求代数最值问题的常用方法是:
(1)运用配方法求最值;
(2) 构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值;
(3) 建立二次函数模型求最值;
(4) 利用基本不等式或不等分析法求最值.
Ðt-雨11震要
倒1
设工为正实数，则函数内2 _ X寸的最小值是一一
(全国初中数学联赛题)
融题思路
原式含有i ，不能用二次函数的最值方法，不妨用配方法
工
试试.
如艺)
用美的态度对待
世界，不仅有助于艺
术的创造，也有助于
科学的创造，数学不
术，而且本身也是一
种艺术.
一一庞加菜
多种表征
已知实数工，y ，z
满足x+y +z= 1 ，求
x2 +i 十泛的最小值.
(复旦大学附中
自主招生试题)
Ct.\Gt.\1'::\ 
( 丸每缉)
1斗食
女
A 
ì':( 
食
，际
女
，传
倒2
若a ，b ，c ，d 是乘积为1 的四个正数，则代数式矿+ b 2 十c 2 + d 2 + 
αb+bc 十ac+ad+bd+cd 的最小值为(
) . 
A. 0 
B. 4 
C. 8 
D. 10 
(天津市竞赛题)
篇题思路
能用配方法吗?由abcd= 1 想到基本不等式x+ y注2 .rxy.
倒3
己知工，y ，z 为实数，且x+y + z=5
，xy+yz + zx = 3
，试求z 的最
大值与最小值.
(加拿大中学生数学竞赛试题)
麟题思路
工+ y=5 - z ,xy=3 - z(x + y) = 3- z(5 - z) = Z 2 -
5z 十3 .
运用韦达定理构造方程.
6工2 十4x + 3
倒4
已知y==
n. 
2 
I 
n 
1
"1'求y 的最大值.
J 
3x' +2x 十l
(山西省太原市竞赛题)
融题思路
因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真
分式的形式表示，通过配方法确定最大值;又由条件得关于工的方程式
(3y-6)x 2 十(2y-4)x + (y - 3) =0 ，可运用判别式求最大值.
:之哇
食
第
1 1 ì井
代数最值
不等式也是求最
值的有效方法，常用
的不等式有:
(l )a ' 注0;
(2)矿+ b' 二三2ab;
(3) 若α>O ，b>O ，
则α 土房2M;
(4) 若a > O ，b >
O ，x> O ，则主+ 孚二三
工口
2Jf 
以上各式等号当
且仅当
α = b( 或主=
工
?)时成立
简单分式函数求
最值的基本方法有
:
(1)形如
y=
x + b 
一一一的函数，从分
cx 十d
离整系数入手;
(2 )形如
y =
x ' +bx 十C
。
的函数，
dx ' 十ex 十f
通过变形使得只有分
母中含自变量，再对
分母的最值运用配方
法;或去分母，将问题
转化为关于工的一元
二次方程，运用6. 二三O
求最值.
~~&r.\ 
'峙
，传为
食
* * 
食
食
1与
倒5
(1)求代数式113 ♂百
11 0x 的最小值.
("我爱数学夏令营"竞赛题)
(2) 求使R平4+ JC8-x ) 2+ 1 6取得最小值的实数z 的值.
(全国初中数学联赛题)
篇题思路
对于(1) ，设y = 11 3 ♂石
110x ，即y 十11 0x = 
113 Jx 2 +3 ，两边平方后化为关于工的一元二次方程;对于(2) ，运用代数方
法难以求解，根据根式的几何意义构造图形求解.
1 
1 
倒6
若正数α ，b 满足ab = l ，求M= 一一一+一一一的最小值.
l 十a ' 1 + 2b 
(全国初中数学联赛题)
解法1
运用配方法
.:ab=l , 
λb= i ， 
α 
11111
二
..M=:;-一一+一一一=一一+一一一=一一+ 一ι - -L + 1
-L 一
1 + a ' 1 + 2b 
1 十α2
1 + a ' a 十2
1 + α
a +2 
1 十-
a 
1 一
a 一­
d 十3α+2 '
设
aE 十3α+2 ,!1m N= a + 1_+ ~ = (
庄1
N= 一
a
'则N= α + ~ +3= [ra-)主
1 + 3 十2 J2二月十2 J2
一飞
' V a ) 
(当α=J2时，取等号) . 
·. o〈is二一」一一=3- 2.)言，M= l - l_二月- (3 - 2 J2) =2 J2一2.
N ~ 2 J2十3
-
-. - ,- -
-
N 
故，当a =在，b=手时，
M 取得最小值2 J2-2.
麟法2
借助判别式
: ab= 1, 
二b= i ，
α 
M=a~+ 2α+2 
=τ一一一一~ > O ，
α " 十3a 十2
罗
学科精英大视野系列丛书
有些最佳问题涉
及多个变元，这类最
佳问题求解的常用策
(1)换元;
(2) 消元;
(3) 确定主元;
(4) 排序或放缩;
( 5 ) 不等分析.
e 
•
•
••• 
-
••
••••
•• 
4 
.....
..... 
.......
..... 
............ 
............ 
··········d 
.......... 
········
! 
, 
•••••••
• 
........
.. 
.........
.. 
............ 
............ 
........... 
.......... 
........ 
...... 
.... 
•• 
-E·· 
寻优与优化、数
据与规律、发展与变
化、计划与规划、随机
与概率、风险与决策、
竞争与博弈、模拟与
仿真、模式与分类等
人类在社会活动和科
技生产活动中经常需
要考虑的重要问题，
从数学的视角进行分
析思考，给出解这些
问题的定量化方法和
途径.
~~~ 
女食
，传
i'.r
食
食
û
食
食
:. (M- 1)旷十(3M-2) α 十2(M+ 1) =0.
γ b. = (3M-2)2 -4(M- 1) • 2(M+ 1) =M2 + 4M - 4 二三0 ，
:.M 二三2JZ-2 ，或Mζ -2 JZ-2. 
又M >O ，所以M注2 JZ-2. 
JZ 
故当且仅当α =JZ ，b= 一时，M 取得最小值为2 JZ-2. 
2 
逐步调整
逐步调整法是解离散量最值问题的有效方法，即先通过逐步调整变量
之间的关系来找出取到最值所需满足的必要条件，然后再求最值.
倒7
已知町，工2 ，…，句。都是正整数，且X 1 +工2 + …十罚。=58 . 设丘+
乓十… + X~。的最大值为A ，最小值为B ，求A 十B 的值.
(全国初中数学联赛题)
份析与鹏
因为把58 写成40 个正整数的和的写法只有有限种，故
丘+五十… +丘。的最小值和最大值是存在的.
不妨设工I ~二X 2 ζ … ζ工40 '若X I > l，则工l 十工2 =(X I - 1)+(工2+ 1) , 
且(X 1 一1) 2 十(工2 + 1)2 =X~ + X; + 2(工2- X I ) 十2 >x~ +X; . 
所以，当用x l - 1 ，x 2 十1 ，鸟，… ，X 40 来代替X)
，句，…
' X 40 时，它们的和仍
为58 ，但它们的平方和却增大了，这与工1 'Xz
' … ，罚。已使得X ~ + x ; + … + 
丘。取得最大值矛盾，故X 1 =1. 同理，工2
引= … =工39 = 1. 
于是，当鸟，岛，… ，X39 均为1，工40 =19 时，zi 十五+ … +丘。取得最大值，
即A = 1 2 十1 2 + … + 12 + 192 = 400. 
39个
若存在两个数X i ，句，使得Xj -Xj 二三2 (l ~ i <j~40) , 
则( X i + 1)2 + (xj -1)2 =X; + X~ -
2(xj
工i- 1 ) <X; +丘，
所以，当用工;+ 1 与Xj _ 1 来代替乱和X j
，其他数不变时，它们的和仍然是
58 ，但它们的平方和却减少了，这与X~+乓十… +丘。取得最小值矛盾.
所以，当x~ +乓十… +丘。取到最小时，町，町，… ' X 4 0 中任意两个数的差
都不大于
1.
于是，当工1- 工2
… =工22 =1 ,X 23 = 工24 = … = 叫。= 2 时，X~ +x; +… + 
丘。取得最小值，即
B = 1 2 十1 2 + … + 1 2 十2 2 十2 2 + … 22 = 94. 
」一一一一一-飞r一一一一一~
~一一一一~俨一一一一~
22个
18个
故A + B = 494 .
~~ 刻意练习
1. (1)实数x ，y 满足
2x 2 -
6x + j = 0 ，则
X 2 + y 2 十2工的最大值
为
(江苏省竞赛题)
;二:娃
第
11 讲
代数最值
例
7 是一类离散
量的最值问题，离散
量最值是指它的变量
取整数，求平面上有
限个点等离散量，在
某些条件下的最佳.
F.克莱因0849
1 925) ，德国数学家.
克莱因的主要贡献在
几何方面，他的著名
演讲《关于近代几何
学研究的比较评述》
所提出的几何群论观
点，利用交换群作工
具，以极其简洁方式
给出各种几何学的统
一定义，明确各种几
何学的研究对象，它
引导了其后
50 年左
右的几何学发展.
1'lif:\G.\~ 
食
女
女
-
R
λ
X
 
-m 
食
，传
*
(2) 若抛物线y=x 2 -kx 一走
2 与工轴的交点为A.B. 顶点为
C. 则
ßABC 的面积的最小值为
("希望杯"邀请赛试题)
2. (1)已知实数α .b.c 满足α + b +c=O . 矿+ b 2 十/ =6. 则α 的最大值
为
(江苏省竞赛题)
(2) 若实数工叨.z 满足x2 +l 十Z2 - (xy+yz+zx) =8 . 用A 表示Ix -y
l
.
Iy-zl
. lz-xl 的最大值，则A 的最大值为一一一一·
(全国初中数学联赛题)
3.
已知二次函数y =ax 2 + bx+c ( 其中a 是正整数)的图象经过点A( - 1.4)
与点
B(2.1). 并且与工轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值
为
(全国初中数学联赛题)
4. (1)若走个连续正整数之和为2010. 则走的最大值是
(江西省竞赛题)
(2) 将八个数一7. 一5. 一3. 一2 .2.4.6.13 排列为a.b. c .d.e.j.g.h. 使
得(α + b +c+ d) 2 + (e+ j+ g+h) 2 的值最小，则这个最小值
为
("新知杯"上海市竞赛题)
5. 将5 个1 、5 个2 、5 个3 、5 个4 、5 个5 共25 个数填入一个5 行5 列的表格内
(每格填入一个数) .使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2. 考虑每列
中各数之和，设这5 个和的最小值为M.则M 的最大值为
(全国初中数学联赛题)
6. 设x.y.z 为正数，且xyz ( x + y + z) = 4. 则(x+y)(y+z) 的最小值
为
( 上海市竞赛题)
1 , 
1 
7.
正实数x.y 满足xy=l. 那么τ+ 一丁的最小值为(
) . 
x" 
4y" 
I 
A.
一2 
B t 
5 
D. 4 
(广东省竞赛题)
8. 若实数x.y 满足关系式xy-x →y=l. 则z z 十y 2 的最小值为(
). 
A. 3-2 J2 
B. 6-4 J2 
C. 1 
D. 6+4 J2 
C. 1 
(全国初中数学联赛题)
5z2 十30xv+51 V 2 
.分式
2 
J 
J 的最小值为(
). 
x' +6xy+11y2 
A.
一5
B.
一3
C. 5 
D. 3 
(山西省太原市竞赛题)
10.
已知η (n二月)个实数a 1 .a2
• … ，a 'l 满足α1 = l, an = 1, lai+ l - ai I :::;;;20 :::;;; iζ 
n- l). 若a 1 +a2 + … +an = 2016. 则正整数n 的最小值为(
). 
杠〉
学科精英大视野系列丛书
~~~ 
( 丸每缎)
A. 61 
B. 62 
C. 63 
女食
食
女食
食
女，传
食
D. 64 
(四川省竞赛题)
1 1.已知y= Jx- 1 + J4-x(川均为实数) ，则y 的最大值与最小值的差
为(
). 
A. ,[6-3 
B. 3 
C. 15-13 
D. ,[6-13 
(湖北省武汉市竞赛题)
12. 某房屋开发公司用100 万元购得一块土地，该地可以建造每层1000 平
方米的楼房，楼房的总建筑面积( 即各层面积之和) 的每平方米的平均建
筑费用与建筑高度有关.楼房升高一层，整幢楼房每平方米的建筑费用
平均提高5 % . 已知建5 层楼房时，每平方米的建筑费用为400 元，为了
使该楼房每平方米的平均综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费
用之和) ，公司应把该楼建成(
) . 
A. 4 层
B. 6 层
C. 7 层
D. 8 层
(江苏省竞赛题)
13. 设实数α ，b 满足3α 2 -10ab+8b2 +5α - 1 0b =0 ，求u =9α 2 +72b十2 的最
小值.
( "((数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
1
, 
, 
, 
15 
14. 已知实数工，y 满足X 3 +y3 十
(x+y)= τ ，求工十y 的最大值.
4 ,-- . J' 
2 
(全国初中数学联赛题)
15.
已知α ，b ，c 是正整数，且二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象与工轴有两个
不同的交点A
，B . 若点A ，B 到原点的距离都小于1，求α 十b + c 的最小
值.
(天津市竞赛题)
16. 某单位花50 万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的眼踪调
查显示: 该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有
结论: 第工天应付的养护与维修费为[! (工一1 ) 十5 00 ] 元
(1)如果将该设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买
设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天
的平均损耗y( 元)表示为使用天数x( 天) 的函数.
(2) 按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小
值时，就应当报废.问该设备投入使用多少天应当报废?
(河北省竞赛题)
17. 已知n 个正整数工j' 町，… ，X'I 满足X j 十工2+ … +ι = 2008 ，求这n 个正
整数乘积X j X2 "' X" 的最大值.
(夭津市竞赛题)
18. 已知a ，b ，c ，d ，e 是满足a + b+c+ d +e= 8 ，α2 十b2 十c 2 + d 2 十/ = 16 的
实数，试确定e 的最大值.
(美国数学奥林匹克竞赛题)
J飞哇
第
1
1 讲代数量值
，&t:\Ql~ 
食
食
食
*
食女
食女
女
19.
已知正整数a ，b ，c 满足a + b2 - 2c -
2 = 0 , 3a2 - 8b + c = 0 ，求abc 的最
大值.
( "((数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
20. 设~
Xi 表示Xj +X2+ … +X10' 有十个数Xj ,X2' … ,X IO ，其中最大数为
i = l 
10 ，最小数为2. 已知~ xi=70 ，求~ X; 的最大值.
;= 1 
i= l 
(北京市竞赛题)
21 设川是非负娥，且满足FE+FE→，求xy 的最大值
( 上海市竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
• 
-~ . 
倒1
1 原式=(X- 1) 2+ (X+ l_ Î -1=(x一l) '+ (rx- ~Y+ l，当工=1 时，y 的最小值为1.
~ -L' x) 
i 
'-L 
i 
/ 
'
\
' 
-
rx ) 
倒2
D 
.: a'+b' 二三2ab ，c' + d ' 二三2cd ，:.
a 2 十b' +c' + d2 二三2( ab +cd) 汩d曰=4 ，
又
ab+cd二三2};百=2 ，bc 十ad泣，ac+bd泣，故原式最小值为
10 .
倒3
x ，y 可看作关于t 的一元二次方程t ' 一(5-z) t + z' -5z+3=0 的两实根，则
6. = (5-Z) 2_4 (z'-
5z十3) 二三0 ，
13 
即
3z ' - 10 z 一13ζ 0 ，(3z - 13)(z + 1) ::;;;0 ，得zζτ-
13 
故当工= y= τ 时
，z 的最大值为τ
, 'n 
" 
-1-
'<1_ 
, ,,- 12 - 4 
2 
倒4
y=2 十
而y=3x'+2x+1 有最小值一一一=一，故所求的最大值为
. 
.y 
'-"3x'+2x+1'''''
.Y 
v -L 
'
'-'-L
'
i
' rj 'f'o. -'
...,._ 
12 
3 
倒5
(1)设y=113 Jx'+3- 110x , I!F y+110x=113 ♂石，两边平方整理，得3 X 223矿-220yx+3X
1132 -y' =0 . 因工为实数，故6.= (220y) ' -4 X 3 X 223(3 X 113' - y') = 4 X 113' (y' - 3' X 223) 二三O. 所以y 二三
110 
3 ./22言，当且仅当工=一一时，_y 取最小值3 J223. 
J223 . 'J 
(2) 如图
，AB = 8 ，设AC 勺，则
BC = 8 -
x , AD = 2, CD =♂石，BE= 4 , 
_/气E
CE=J(卜x) '+ 16 ，BF = AD=2.
A p
-þf-
~B 
R丰4+ J(8-X)2 十16 =CD + CE 二三DE = J DF'+ EF' = J8'+(4+2)2 = 10 , 
D匹- ---一---_flF
当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时，6EBCω 6DAC ，有EEJ= EE = 主=
(例5)
CA 
DA 
2 
1 . ~ 
8 
2 ，从而x=AC =-;:-AB= 一故原式取最小值时x = 一
3 . -~ 
3 ' 
，9勺
T缸马4吉'
为，传
食
( 丸每组)
女*
fr 
值
最
数
代
讲
第
-R 
食
食
• • 
1. (1) 15 
由y2=- 2x2 + 6x二三0 得0 ~x~3 ，原式=_(X - 4) 2 十16 .
J (k 2 +4走+8) 3
( 2 ) 1 5 [;ABC = 
v '" 
8 
2. (1 ) 2 
c=- (a + 的，则a2 + b2 十[- (a + b)J = 6 , E!p b2 +ab+ a2 - 3 = 0 ，从而
/:::; = 矿-4(a2 - 3) 二三0 ，
2ζα运2 ，当α = 2 时，b =c = - l.
4.
民
( 2) 亏之
由已知等式得(x - y) 2 十( y-z) 2 + (z-x ) 2= 1 6 ，不妨设A =
l x- y
l
，则N=(X- y ) 2 =
4 J6 
[(y - z) + (z - x) J2 ~ 2[ (y- Z) 2 + (…)2J= 2[16- (x -
y) 2 J = 川一A勺，解得kf
l a- b+ c=4 , 
__ Ib=-a- l, 
3. - 4 
由!
得(
又
/:::; = b' - 4αc> O ，即(
α 
1) 2 →4α(3 - 2a) > 0 ，解得a > l ，
1 4α +2b+ c= 1， . 1 c=3 一句，
b +c=-3a + 2ζ- 4 ，且a =2 ，b =-3 ，c=- 1 时
，b + c 取到最大值.
4. (1 ) 60
设2 0 1 0 = ( n + 1) + (n +2)+ … + (η + 的，则
k(2n + 走+ 1) =4020 ，k < 2η 十k + l，而
4020 =
z2 X 3 X 5 X 67. 为使h 值最大，应将40 2 0 表示成最接近的一对因数之积，即为4020=6 0 X 67 .
(2) 34 
设工= α 十b +c+ d ，则房、式= x2 + (8 - X)2 = 2( x - 4 )2 + 32 . 从已知八个数中取四个数的和工是
整数，且不可能是4 . 得2( x - 4) 2 + 32 二三2 + 3 2 = 34 . 且当工= ( - 3 ) + ( 一2) + 4 + 6 = 5 时，上式等号成立.
5. 10 
依据5 个1 分布的列数的不同情形分别求M 的最大值，
若5 个
1 分布在同一列，则M=5 ;
若5 个
1 分布在两列中，则由题设知这两列中出现的最大数至多为
3 ，故
2Mζ
5 X 1 十5 X 3 = 20 ，所以M运1 0 ;
若5 个
1 分布在三列中，则由题设知这三列中出现的最大数至多为
3 ，故3M~二
5 X 1 +5 X 2 +5X 3 = 30 ，所以M~ 10 ;
若5 个l 分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3 ，与题设矛盾.
l 
4 
5 
2 
4 
5 
2 
2 
2 
4 
5 
3 
3 
3 
4 
5 
3 
3 
3 
4 
5 
右表说明M 可以取到
1 0 .
6. 4 
原式= xz十y( x + y + z ) 二三2 j xyz (工十y + z ) = 4. 
7. C 
8. B
设工+ y = t ，则xy = t + 1 ，x ，y 为关于m 的一元二次方程m 2 - tm 十t + 1 = 0 的两个实数根，由
( 第5 题)
A二三0 得t二三2 + 2 .fi或
t~ 2 - 2 .fi ，又矿+/ = ( x + y) ' -2月= (t- 1) 2 _ 3 .
9. D 原式=5 一/
4 、2
| 王十3 I + 2 
'- y 
) 
10. D 
先固定n . 记5n = a 1 + α2 + … + a n • 
当
n = 段时，5n 的最大值为
1 + 3 十… + (2 k - 1) 十(2走一1)+ … + 3+ 1 = 2走2 ;
当
n = 2k + 1 时，5 " 的最大值为
1 + 3 十… + (2走一1) + ( 2走+ 1) + (2走一1) 十… 十3 十1 = 2旷+ 2走十1.
注意到，
2016= 2 X 312+ 94 , 
① 
2016= 2 X 31 ' 十2 X 3 1 + 1 + 3 1.
②
若为式①，还需添加两项，知至少有64 项
;
也法
食
食
食
，传
食女
食女
女
学科精英大视野系列丛书
若为式②，就在3 1 的后面增加一个3 1，知至少也有64 项.
/ ( 
5V
, 9 
11. D /=3+2 J (x - 1) (4-x) =3+2 J- l x一τ ) + 王，3';;;;/';;;;6 ，!3';;;;y，;;;;J6
1000 , , _ _ , , _ _ , 
_, 
_ n / 
1000 
12. C 
设该楼房建成工层，每平方米平均综合费用为y ，则y= 一一+400 十400(x -5) • 5% = 一一+
z 
/1000 , , _ _ ,_ _ _ 
_ _ _ =- , _ _ _ .. 1000 
20x+300注2. /一一X 20x + 300 = 200j2 + 300 ，当一一=20x ，即z句7 时，等号成立.
'V 
x 
x 
13 .
由条件得(α - 2b) (3a - 4b+5) = 0 ，则α - 2 b = 0 或3α -4b+5= 0 .
(1)当α -2b =0 时，u =36b2 +72b+ 2=36(b+ 1)2 -34 ，当
b =- l，u 的最小值为一34 .
(2)
当3a-4b+5=0 时，u= 16b2 十32b十27= 16 ( b + 1) 2 + 11 ，当b =- l 时，u 的最小值为
1 1.
故u 的最小值为一34.
1 , 
, 
, 
15 _ ，~
， 
, 
, ,' 
,
' , , 1 , 
, 
, 
15 
14.
由工3+/+-;-(X +Y)= 一可得(x + y) (x2 - xy+ y2) +-;-(x+ y) = 一，I!r 
2 
(内) (X2 一月十什士) = 号，
① 
令x+y= 走，均到x2 -xy+y2 十上=仁之y 十二y2 十l〉0 ，故z十y= 走>0
4 
l -
2 ) , 4 J 
' 4 -
- , - - -
, J 
穹
1
，
15 
扩+
走一-
1 _ / 
, 2
" 
1 
Ll.. J.. '" _j.' = '-'" , 3 
" 
" 
1 , 
15 U_ ... 
" 
4 " 
2 
又因为x2 - xy+/+--;- = (x十y) ' - 3xy十一，故由①式可得扩- 3xyk+ 一走=一，所以xy =
吐
4 ,..- -. =- .. " '-
--J'" 
4" 
2 ' '' ''' ' -J 
3k 
3 
I 1 , 
15 
" , 1. 15 
扩十
k-
.,,-
k3 十一走一一
-_ -、
42
~ ". _
，~ " .. . 
" , 
'" 
4" 
2 
于是，x ，y 可看作关于t 的一元一次万程t2- kt+
-:. 
'" =0 的两根，所以~=(的2 -4.
我
二三0 ，
3k 
化简得走3 +k-30 ';;;; 0 ，即(k-3) ( 走2+ 3走+ 10) ';;;; 0 ，所以o< k';;;; 3 ，故x+y 的最大值为
3 .
15. 设A(矶，0) ，B(钙，0) ，其中x ，
' 码是方程ax2 + bx +c=O 的两个根，则有几+岛= 一主<O ，x，几=
a 
f〉0 ，得x ，< 0 ,x2< 0 , ù1 ~ = b2 -
4ac> 0 ，如> 2~ ，因为
1 OA 1 = 1 x , 1 < 1, 1 佣
1 = 1 x 2 1 < 1，所以一1<
x1 < 0 ，一1<x2 < 0 ，于是三=x ，x2 < 1 ，c< a. 由于α 是正整数，知抛物线开口向上，且当x=- l 时，对应的二
a 
次函数值大于0 ，即a - b +c> O ，a +c> b . 又叫，c 是正整数，有计应b十1 > 2 ~+ 1，从而a十c>2~+ 1，
则(.，fa- .fC) 2> 1 ,.,fa -.fC> 1 ，在>.fC十1泣，于是α> 4 ，即a二月，故b>2~二三2 汀灭1 = 2汀，即应5 . 因此，取
α = 5 ,b= 5 ,c= l ,y = 5x2 +5x+ 1 满足条件，故α + b十C 的最小值为
1 1.
16. (1)该设备投入使用工天，每天平均损耗为
y = 士[ 5000叫士×旧叫+ (士X 1 + 5叫+ (士X 2 + 5叫+ ... + (宁+500 ) ] 
1 r r ^ ^^^^ I r^^ 
1 "x(工一1) 1 
500000 
=...:... 1 5 00000 +5 00x + 一X =一一一
1 = 一一一一十一+ 499 一
x L" 
. - --- . 4 . 
2 
J 
x 
' 8 ' ovv 8 ' 
500000 I 
X 
I 'M 7......" /500000 " x 
, 
，~~ 7 
___ 7 
(2) y= 一一一+ 一+499 一~ 2./一一一一× →+499 一=9997
8 
I 
OVV 8 ::;"--"''Ij 
X 
/, S-
I ...,,,, 8 -
:1:1 :1 8 ' 
500000 
当且仅当-3一一= 言，即x = 2000 时，等号成立.
故这台设备投入使用
2000 天后应当报废.
17. 设x，x2 …巧的最大值为M.
由于工1 十工2+ … + xn = 2008 ，显然，M 中的每一个工
(i = 1，2 ，…
，n) 均大于1.
若其中有x; 二三4 ，可将工，分成x; 一2 和2 两个数，考查它们的乘积，有
如，94
/ 
( 丸每银)
)~ * 
气这
女
食
食
食
食
，传
第什
i井
代数最值
(X, - 2) X 2=2x, - 4 =x 十(工
4) 二三工, 
这样，所有大于或等于4 的正整数工分成工一2 和2 两个数后，其和不变，但使得来积交大.
于是，在最大值M=X 1 X2 … Xn 中不可能出现大于或等于4 的正整数.
故x . =2 或工=3 ，这就是说M 可以写成2 ρ
.
3 " 的形式.
又因为
2 +2+2=3+3 ，但2 3 <3 2 ，即在来和、中用
2 个3 替代3 个2 可使乘积增大，所以，ρ~2.
又2008=3 X668 十2+2 ，故儿1= z2 X 3668 . 
18. 设!(t) = (t - a)2 +(t-b)2 +(t _c) 2 + (t - d) 2 ，如'J !(t) =4t2 - 2(α + b +c+ d )t+( α2 +b2 +C2 +d2 ) 二三
2 " __.- '" 
.h7l /.-eJ' 
,,__..... 
___ 16 
0 ，即!(t) = 4l - 2C8 - e)t+ (1 6 - / ) 二三0 ，从而
t. = 4C8 - e ) 2 - 16C 16 - /) 运0 ，解碍。ζeζτ ，故E 的最大值
为16
-5 . 
19.
由已知α +b2 -2c- 2 =0 ，3矿- 8b+ c = 0
i肖去
c ，并整理得(b- 8 ) 2 + 6α2+ α= 66 . 由a 为正整数及
6α2 十a~66 ，可得
1 ~a ~3.
若α = 1 ，则Cb - 8) 2 = 59 ，无正整数解.
若a=2 ，则(b-8) 2 =40 ，无正整数解.
若a=3 ，则(b-8)2=9 ，于是可解得b = 11,b=5. 
(1)若b=l l，则c=61
，从而abc =2013 ; 
(2) 若b =5 ，则c=13 ，从而αbc= 195. 
故αbc 的最大值为
2013.
20
显然，要求L: x; 的最大值，每个X i 在总和不超过70 的情况下尽可能地大，可以最多取6 个
1 0 ，即
X]= 工2- … =与=10 ，则L: x ; =600 ，剩下4 个数不妨设为衍，句，岛
，X lO ' 问题变为
: 若x，+X8+X9 + 工] 0 -
10 ，求X; +x~ + x~ 十丘。的最大值. 假设工]0 是X"
工8
，马，X]。中的最大者，易知，X lO 三三4 ，否则
，工，+工8+ X9 十工10 >
2 + 2+2 十4 = 1 0 ，不合题意. 所以2 '"三工，Ci = 7 ，8 ，9 ，1 0 ) ~ 4. 下面证明
，X;+ X~ 十X~+X;。的最大值是28.
设xi=2 十ri , i = 7 ,8 , 9 ，1 0 ，因为工，二三2 且工7 十工8 十工9+ x 1O = 1 0 ，所以
ri 二三O 且r，+ η 十r9 + r1O =2 ，
于是X; +X~ 十X; +x;0= (2十r，)2+C 2十r8 ) 2 + C2+r9 ) 2 十C2十rlO ) 2 = 16十4( r，十r8 + r9 十rlO ) 十(讨十过+过+斤。)
=24 + (γ，+η+η+ r 1O )2 - 2( r, r8 + r,r9 + r，γ 10 +η r9 十r8 r 10 十r9 r]o) 
运24 十(r，+ γ8 十r9+ r1O ) 2= 28 .
事实上，当工，工8= 工9 = 2 ，X 1O = 4 时，X;+ X~+ X; + 丘。= 28 因此L: x; = 600 + 28 = 628 
i= l 
21 因为! = ( J 
1 - : 2 + J 
1 -
i~ J ζ2(1- X; + 1一二)
所以
工2
，y' ____7
一
4 十1 6 三三二8
f!p 
4x' 十y' '''二14 .
又
4工y三三4X2 + y2
，
所以，由①，②式得
7 
xy三二τ -
①式等号成立的条件是J1 -X; = J1 - i~→，即工4刊; ②式等号成立的条件是2x工
故当工=子
?ι
，旷
，y=汀时③式等号成立，
所以，xy 的最大位是?
95嗦
① 
② 
③ 
、岛与
吃:$f
主量h 苞F
20 世纪30 年代中期，一群法国青年数学家组成对现代
数学影响深刻的数学家集团，史称"布尔巴基学派"，该学派
提出"数学结构"观念，把数学看作是研究结构的学科，代数
结构、序结构、拓扑结构是数学的三种母结构.
迪厄多内(1 906- 1 992) ，布尔巴基学派创始人之一，研
究领域广阔.
←结ii 讲时结构: J
结构，是指事物自身各种要素之间的相互关联和相互作用的方式，包括
构成事物要素的数量比例、排列次序、结合方式和因发展而引起的变化.
关注整体与部分的联系，突出关键词、基本模式、基本组成，从结构上认
识代数问题，常能找到解决问题的关键.
倒1
已知实数α ，b 满足α 2 (b2 + 1) +b(b+ Za) =5 1 ，α (b + 1) +b=9 ，则
1
, 
1 
一-
ab ' a+b 
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
篇题思路
式子都是关于a ，b 的对称式，可用含α +b ，ab 的式子表示，
设工= ab ，y= α 十b ，可进一步简化问题.
fx+/ = 矿，
倒2
方程组怡2+ y3= Z4
，
(z3+j=z5, 
① 
②的实数解组数为(
③ 
A. 5 
B. 6 
C. 7 
D .
以上答案都不对
(北京大学博雅计划数学测试题)
堕堕塾暨
降次消元是解方程(组)的基本思想，就本例结构而言，应关
注从指数上怎样达到消元目的.
如96
激励数学家做研
究的主要动力是智力
上的好奇心，是谜团
的吸引力，是穷究真
理的需要.
一一边尼多内
对
称式
一个含有多个字
母的代数式，若把代
数式中所含的任意两
个字母互换，所得的
代数式与原代数式相
同，则房、代数式是关
于这些字母的对称
式.
如x + y , xy 是
最基本的二元对称
式，一个复杂的对称
式可以用简单的对称
ei:!\Cti\G.\ 
( 丸每银)
合食
肯食* 食
A 
平:(
倒3
设正数a ，b ，c 满足a 2 (a-1)+b 2 (b- 1) 十c 2 (c - 1) = a (a -1) + 
b(b - 1) 十c(c一1)，求代数式19 56矿+ 1986b2 + 2016c 2 的值.
(北京市竞赛题)
麟题思路
分别关于a ，b ，c 的式子部分都具有如下结构: X2 (x- 1)-
x(x- l) ，从这一结构出发，能使问题获得简解.
倒4
解方程工=)x- ~ +)1- ~ 
(加拿大数学奥林匹克竞赛题)
鹅题思路
若平方有理化，则得到关于工的高次方程，不妨构造对偶
式，即令y=)x- ~ -)1- ~，尝试与原式进行某种运算，而这种昂的结
果应是比较简单的.
倒5
设0<X<1 ,0< y< 1 ，0<z<1 ，求证:工(l -y)+y(l -z)+z(l -x)<l.
(俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
给析与踹
本例叙述明了简洁，是一道短小精练的不等式证明问题. 观
察问题的结构特点，从不同视角切人证明.
直接证明:
': O<x<l ,0< y < 1 ,0<z<1 , 
二(l -x) (l - y) (l -z ) >O ，
即
1 -x- y - z十xy+yz十zx - xyz> O ，
得x (l - y) 十y (l - z ) 十z (l 一工) < l - xyz< l，
故x (l - y) 十y (l - z ) +z (l -x) < l.
以形助数:
如图，作边长为1 的等边三角形ABC ，
?
J
Y
」
d
! 
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l 
A
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、
一
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l 
': S6ADE 十S6EFC +
S 6 DBF <
S 6 ABC ' 
1 
_ _ n
, 1
" 
,
. 
~ ~O ~ ] 
·寸x (1 -
y) sin60 0 + 卡( 1 - z) sin6们γ (1 一仇in6以÷× 1 ×
1 X sin60 o , 
化简得
x (l - y) + y (l - z) +z(l - x )< l. 
确定主元:
以z 为主元，即要证明C y+z- l) x-y-z+yz十1 > 0 ，
设fCx) = (y+z- l) x - y - z 十yz十1C 0<x< 1) , 
\主嘘
食
食
第
12 讲代数结同
部?巳主摸
罩'回......
....咽~
许多代数问题，
若能洞察其结构，则
能找到问题解决的突
破口，具体表现为: 观
察系数、指数特点、式
子的构成、整体与部
分的联系等.
巧思的发现来自
对问题本质的理解，
妙解的探求源于长久
的思考.
巧思妙解的背后
是数学思想方法的引
领、思维品质的灵魂、
审美直觉的顿悟.
1"i:\G.:\~ 
女
*
i~ 
食
食肯
食
食为
.: O<y<l ,0<z<1 , 
:. j(O) = (1 - y) (1- z) > O ,j (1) = yz> O, 
二当O<x< l 时，j(x)>O 恒成立，
故x (1 - y)+y (1 -z) 十z (1 - x)< l.
轮换对称式
一个含有多个字母的代数式，把其中的字母按任意次序轮换后，若所得
的代数式与原代数式相同(如ab+ bc+ca ，按α ，b ，c 顺次轮换变为bc +ca+ 
ab) ，则原代数式是关于这些字母的轮换对称式.
对称式一定是轮换对称式，反之不然.
例6
已知α +b+c = O ，α 2 +b2 十c2 =3 ，求旷+扩十c4 的值.
(世界数学团体锦标赛试题)
分析与解
条件等式、待求式都为轮换对称式，可从乘法公式变形视角分步求值，
下面通过构造函数，整体解决问题.
.: Ca + b+c)2 = 旷十b2 + ♂+2Cab十bc +α c ) , 
又α 十b十c = O ,a2 + b2 十c2 = 3, 
汕十b巾c= 一?
设jC走)=走(走-a)( 走-b)C 走-c)
= 扩一(α +b十c )扩+ Cab + bc +α c ) 走2 - abck 
=扩+ Cab十bc + ac)e - abc走，
当走= a ，k = b ，k = c 时，得
a 4 +Cαb+ bc十ac) α 2 -a2bc=0 , 
扩十Cab+bc+ac)b2 一αb2 c = 0 ，
c4 + Cab十bc + ac)c2 - abc2 = 0, 
由①，②，③，④得a 4 +b4 十c4 = ?
~ 刻意练习
1. 记实数M= CJ7+J3户，则不超过M 的最大整数为
(世界数学团体锦标赛试题)
2 . 已知ab手1，且4α2 - 2016α+ 7 = 0 ，7b2 - 2016b+4= 0 ，则至十乓=
b . b' 
一一一-一一
("希望杯"邀请赛试题)
3 在方程主+击+ 二百+主= X 2 -
5x -
4 的实数解中，最大的
是
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
拉艺j
学科精英大视野系列丛书
① 
极具数学美感的
轮换对称式，反映的
是字母地位相对相
称，而在处理轮换对
称式时常用到以下技
巧:
叠加叠乘、运用
主元、局部突破、整体
构造等.
②
③
④
 
对数学家而言，
更重要的往往是数学
中的" 结构"
~I::\~ 
( 丸每缎)
4
设正实数α ，b ，c 满足厂2b十3c=0 ，则主的最小值为
ac 
女食
食
有了
食
，传
1传
食
("希望杯"邀请赛试题)
22 + 1 I 32 + 1 I 
I 1002 + 1 
5. 计算寸一一十τ一一+ … 十一. -，一=
2"- 1 ' 3"-1' 
'
100牛一l
一一一-一·
rx + y 十z=3 ，
6 .
己知~ x 2 十y 2 + Z2 =7 ，求xyz 的值­
lx 3 十y 3 十Z 3 = 12 , 
(克罗地亚竞赛题)
(世界数学团体锦标赛试题)
7 . 在实数范围内解下列方程组:
rxy + z=-30 , 
(1) bz 十x = 30 ，
lzx + y=-18. 
「α (b 2 + c) =c(c+ ab) , 
(2)
忡(c 2 +a) =a(a 十bc) , 
lc(a2 + b) =b(b+ ca). 
(德国竞赛题)
(捷克竞赛题)
a 2 
C2 
2c 
8. 已知整数α ，b ，c 满足F工EZ + FIF=6丰二，求证: bc 为完全平方数.
(白俄罗斯数学竞赛题)
9.
已知正整数a ，b ，c 满足α 3 b3 + b3 C 3 + C 3 a 3 =α bc(a 3 十b 3 +c汀，证明:这三个
数中的某两个的乘积为完全平方数.
(白俄罗斯竞赛题)
。设川，z 为实数并满足x 疗丐+ 乒丐，fJ丐+
J弓，z=Jx 2 -316+Þ弓，求工，y ，z 的值
(美国数学邀请赛试题)
f- v 
9 
3 
倒1
立
x2+ / = 51 ，x+ y = 9 ，原式= 王T y 二一=一
工y
15 
5 . 
倒2
C
①×③
②2 ，得Xy' (X-y) 2= O .
若x=O 或y = O ，可得方程组的解有
(fO(=o[= 1
工= - 1
卢卢卢卡。
z = O: 
lz=l: 
lz= l: 
lz= - l. 
若x = y手0 ，可得方程组的解有
99娃
第
1 2 讲
代数结问
• • 
食
食女
节陆
女
A u 
学科精英大视野系列丛书
，传
食
食
叫
一2
叫
了
[ =- l 
y= - l, 
z=O ; 
1+ J5 
y = 一言一，
国
2
M2 
叫
了
综上:方程组的实数解纽数为
7.
倒3
注意到工2 (x- 1) - x(x一1) = (X2 - x) ( x一1) = x( x一1) 2
，
由已知得以α _ 1) 2 + b(b - 1) 2 十C ( C- 1) 2 = 0. 
.: a ，b ，c 为正数，
..原式=5 958 .
倒4
x + y = 2 JX- !
①; xy=x一1
②
由②得y= 王71 ，代入①得(0斗2 =0 ，
'. x= 弓主(负值已舍去)
• 
….. 
1. 7039 
设疗+ ./3= 工，)于一点= y ，得矿+ / = 7040. 
2. 882 
a ，士是方程4x2
川什7 = 0 的两个不同的根
~τ
ç _, __ 
>L _，~ X 
X 
X 
X 
2 
~ 
d_ 
~
~. 
1 
1 
1 
1 
3. 5 + -.) 7 十2 ./5
原方程整理得一一+ 一一+一一+~ =x'- 5x ，!1r x= O 或一一+一一一+一一+一- -
V
' 
，
~-V V 
"
' ''' 
" -= -~ "' x - 2 ' x-4 ' x -6 ' x - 8 
~ 
V~ " 
~ 
v 
-~x- 2 ' x -4 ' x-6 ' x-8 
一5 ，设y=x- 5 ，得土+_!
十
l
+-L =y 即
2y ~ + 22y . =y 得原方程的解为0 ，5 ，5士J7-.1::.2 ./5. 
y一3 ' y- 1 ' y+ 1 ' y十3'
F3F=I 一，
b2 ~ _ b2 
4. 3 
方程ax2 - 2 bx+ 3 c = 0 必有一实数根为
1 ，由
!:::. = 4b2 - 1 2ac二三0 得b2 二月αc=;> 一二月，一取最小佳时，
ac 
ac 
2b 
由一= 1 十1 = 2 ，= = l X 1 = 1
，得a = b = 3c .
a 
a 
1014849 
-" ~ 
,_" k 2 + 1 
_
, 
2 
_
, (
1 
1
飞
1
1 
1 
一一一一
考查一般式寸一一= 1 十寸一一= 1 +
1 一一一一一
1 ，原式=99 + 1 十一一一一一一一
10100 
-, -"-
'~-~ k2 - 1 
~
'k 2 -1 
~
'
l. k - 1
走+ 1
)' '''' -~ 
v
v
, ~ ' 2 
100 
101' 
6. 参见例
6
设!( t) = (t- x ) (t- y) (t - z) = t3 - 3t2 + t -
xyz ，进一步可得xyz= -2 .
7. (1)前面两个方程相加得xy十z+ yz+x= O斗( x + z ) (y十1) = 0 .
分两种情况讨论:
(x v- x =- 30 . 
①若x + z = O ，则原方程纽可化为! -./ 
_ 
--, 
! - x' + y= - 18 , 
工
30
0 
_ 
_ 
_ 
=;> y=~= x' - 1 8 ，!1r x 3 - 19x+ 30 = 0 
工
=;> ( x - 2) (x - 3) ( x + 5) = 0. 即( x ，y ，z ) = 
( 2 ，一1 4 ，- 2 )
，(3 ，- 9
，一3)
，( - 5 汀，5).
②若y + 1 = 0 ，则原方程纽可化为
(
山=- 3 0
' 斗(工，y ，z) = (1 5 土4 .jIT ，- 1，一1 5 :1: 4 .jIT) .
x z- 1= - 18 , 
'
V 
综上，房、方程纽的解为(工，y ，z) = (2 ，- 1 4 ，- 2)
，( 3 ，- 9 ，一3) ，( -5 ，7 ，日，(1 5 土4 刁言，一1，一1 5 土4 .jIT). 
ilO~ 
( 丸每编)
女食
食
1号食食
女食
，传
第
1 2 讲代数结问
(2) }.东方程纽可化为
[b(b一… -a)
①
bc(c-a) =a(a -b) ，
② 
ca(a - b) =b(b-c).
③ 
若α =b ，由式③得b =O 或
c.
若b=O ，由式①得c=O 或α.
故α =b =c.
下设α ，b ，c 两两不同
.
①②③相乘得
(abc) 2 (a -b) (b - c) (c-a) =abc(a -b) (b- c) (c-a) , 
故abc =O 或l.
若α=0 ，由式①，③得b=c =O . 矛盾.
于是
，abc= l. 
不妨设α 最大，则α> O( 否则
，a ，b ，c<O)
，α> b ，于是，α (a - b) >O ，
又bc = i〉0 ，c
a〈0 ，故bc(c-a) <0 , 
a 
这与式②矛盾，综上
，a=b =c .
8.
若b =O 或c=O
，则
bc 显然为完全平方数.
若a=O ，则b=c. 于是，bc 为完全平方数.
下面考虑a ，b ，c 均不为0 的情形.此时，
1 
1 
原式样一气τ+ 一一τ= 一一丁一一一.
1 + 乓
1 + 乓
1 + 旦.主
a" 
c" 
a 
c 
• 
b 
a
呵'
Z义工=一一
，y = 一一.则
a 
c 
1 
1 
2 
1+x2 ' 1+/ l+xy 
件(2 十zz 十y2) (1 +xy) =2 (1 + x 2) (1十/)
同x 3 y-2x 2 / + xy3 -x2 + 2xy •
y'=o 
样(x- y) 2 (xy-1) =0. 
若x-y=O=忖=y=>主=主=>bc= 矿，
a 
c 
此时
，bc 为完全平方数.
若xy = l=>主.丘= l=>b=c ，此时，bc 也为完全平方数.
a 
c 
9. .: (ab-c2) (ca -b2) (bc-a' ) =a 3 b3 + b3 c3 十c 3 a 3 -abc( 矿+ b3 +C 3 )=0 ，
:.ab =c 2 或ca=b2 或bc=a' . 
10.
如图，原问题可改为:
.. x 
y_z 
4 
5 
6' 
1 
1 
1 ,. 
一个三角形的三条边长为x ，y ，z ，以三边为底边的相应的高分别为一，一一求
4 ' 5 ' 6 'J-
z 
fh 
+ 
Fh 
(第
10 题)
8 
8 J7 
解得x = 一一二=」L ，
15 J7 
105 
2 疗
4 J7
进一步得
.y = 一--=--. z= 
y- 21 ,"'-
35 . 
i战
、坦d
"'Q)(满1 岳7
19 57 年，加德纳在《科学美国人》杂志上开设了一个数
学游戏专栏，直到
1981 年才宣告结束，这个专栏确定了加德
纳在趣味数学领域的地位.
一位著名的物理学家评价他说"他把无数青少年引进
了数学的殿堂，以数学本身所具有的魅力吸引他们将之作为
终生职业，真不愧是这门学科迄今为止最出色的宣传家、推
销员、带路人和牧师"
) 结ij 讲概率初步~ ]
'如知能概述
在自然界和人类社会中，严格确定性的现象十分有限，不确定性现象却
是大量存在的，而概率正是对随机现象的一种数学的描述，数学中用概率来
表示事件发生的机会大小，概率是一个比值，用字母P 表示，计算公式是:
一该事件发生的所有可能结果
事件发生概率P 一
所有可能结果
在具体的计算中，常用到树形图、列表、穷举等方法.
倒1
如图，用红、蓝、黄三色将图中区域A ，B ，C ，D 染色，要求有公共
边界的相邻区域不能染相同的颜色，则满足区域A 恰好染蓝色的概率
为
融题思路. 用列举法列出所有可能情形，或从整体
考虑.
#兰;
(江苏省竞赛题)
数学中所谓关的
问题是指一个难以解
决的问题，而美的解
答是指一个问题的简
单解答.
一一一狄德罗
蒙特卡罗方法
用一个正方形将
上面的阴影区域围
住，然后随机地往正
方形内掷"点"当所
掷"点"的数目
n 相当
大时，落入阴影区域
内的"点"数为m ，则
该区域的面积约为正
方形面积的m
n 
由于这种方法使
用随机数，与赌博的
随机性有关联，而世
界最著名的赌城是摩
纳哥的蒙特卡洛
( 罗) ，故这~ 方法被
命名为蒙特卡罗方
法，这种方法是由波
兰数学家乌拉姆所创
立的.
n.:\Ct.\~ 
( 丸每级)
1纭，传
食
食，传
食
为食
食
倒2
一项"过关游戏"规定:在第n 关要掷一颗假子n 次，如果这n 次
抛掷所出现的点数之和大于旦，则算过关，否则不算过关. 现有下列说法:
4 
___.. ,'_.L L 
_Ln:r ~ 
t:::::I 35 
①过第一关是必然事件; ②过第
关的概率是一· ③可以过第四关; ④过第
一切
'
五关的概率大于零.其中，正确说法的个数为(
) . 
A. 4 
B. 3 
C. 2 
D. 1 
(天津市竞赛题)
融题思路
在理解"过关"意义基础上，逐步计算相关概率.
倒3
设正方形AßCD 的中心为点。，在以五个点A ，ß ，C ，D ，。为顶点
所构成的所有三角形中任意取出两个，求它们的面积相等的概率.
(全国初中数学联赛题)
鹏题思路
以五个点A ，ß ，C ，D ，。为顶点可以构成多少个三角形? 从
中任意取出两个，有几种取法?其中面积相等的两个三角形的取法又有
几种?
倒4
任意选择一对有序整数(b ，c) ，其中每一个整数的绝对值小于或
等于5 ，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，求方程式x2 + bx+
c= O没有相异正实根的概率.
( 美国高中数学考试题)
鹏题思路
考虑问题的反面，即设方程x 2 + bx+c= O 有两个相异的正
实根坷，町，先求出b ，c 的值.
103 i 
L
唱
第
13 讲概率初步
计算概率的常用
方法有:
(1 )实验法;
( 2) 穷举法;
(3 ) 画树状图或
列表;
(4 )
由面积计算
几何概型;
(5 )乘法原理、
加法原理;
(6 ) 反面求解.
游戏与数学密不
可分，数学游戏为许多
古老和新兴的学科，如
图论、拓扑学、博弈论、
概率论等提供了素材，
促进了这些学科的诞
生与发展.
概率论起源于一
个关于赌博的游戏，
合理分配赌注问题成
为概率论创立的基本
问题之一.
1&:.\.1"í:\~ 
食
，传女
节峙* * 
食
食
合i
倒5
一场数学游戏在两个学生甲、乙之间进行. 裁判在黑板上先写出
正整数2 ，3 ，…，2006 ，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其
中的一个数(即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去另一个数，如此下
去) .若最后剩下的两个数互质，则判甲胜;否则，判乙胜.按照这种游戏规
则，求甲获胜的概率.
(四川省竞赛题)
给析与融
解题的关键是对数组进行恰当的分类，并根据裁判擦去的
数是奇数还是偶数进行讨论.
2 ，3 ，…，2006 中有1002 个奇数，1003 个偶数.
(1)若裁判擦去的是奇数，此时，乙一定获胜.因为乙不管甲擦什么数，
只要还有奇数，就擦奇数，这样，最后两个数一定都是偶数，从而所剩两个数
不互质;
(2) 若裁判擦去的是偶数，此时，甲一定获胜.设裁判擦去的数是2m ，则
将所剩的数配成1002 对: (2 , 3) ,… , (2m 一2 , 2m - 1) , (2m + 1 , 2m + 2) , 
(2005 ，2006). 这样，不管乙擦去哪一个数，甲都擦去所配对的数对中的另一
个数，最后剩下的两数必互质，故甲胜故甲获胜的概率为报
倒6
将20 个球放入两个袋中，每袋10 个球，各袋中的球分别标上自
然数1 到10 ，其中午袋中的球全为白色，另一袋中的球全为黑色.若从两个
袋中任意各取一个碟，求白球上的数比黑球上的数大的概率.
(香港中学生数学竞赛题)
全fi
首先确定白球、黑球上的数出现的概率，再将所得的结果相乘、
相加即可.
理
在白(黑)球的袋中任取一个球，取到数为1 到10 的球的机会是一
样的，因此取到各个球的概率都是l 现假设从白球袋中取得的球上的数为
10' 
咐率为剖，要使从黑球袋中取得的球上的数小于
能是9 ，8 ，. . . ，2 ，1(概率为古)同样，设从白球袋中取得的球上的数为9
(概率为古) ，要使从黑球袋中取得的球上的数小于9 ，那么黑球上的数只能
是8 ，"' , 2 , 1 (概率为古)依此类推，设从自球袋中取得的球上的数为2
(概率也为占).要使从黑球袋中取得的球上的数小于2 ，那么黑球上的数只
能是1(概率为占)因此，从两个袋中任意各取一个球，白球上的数比黑球上
的数大的概率为_1_ X 立+i ×立+上×工+ … + zL ×主+=L × 主=主
10 ' 10 " 10 ' 10 " 10 ' 
' 10 " 10 I 
l O /" l7i - "?门
神啸，幡咽'
04 
与E
学科精英大视野系列丛书
英国著名诗人蒲
柏在他的《人论》中写
道"所有的自然之物，
是人类未解的艺术/所
有的偶然都有看不见
是和谐未被人领悟"
当人们发现了某
规律，就会试图将其公
的基石之一.若找不出
规律，并不会将其归于
无知，而是把它称为
"随机性"，一个我们特
别爱用的概念.
从确定性思维到
随机性分析，在
2 0 世
纪形成的描述随机性
现象的数学学科，诞
生了概率统计方法，
通过数据进行推断是
概率统计方法的
本质.
( 丸每缎)
简约思维
为食
食
食，传
食
tr
食
食
当完成事件的层次较多或事件发生的可能性不相等时，求相关事件的
概率是困难的转换视角，从问题的对立面一一反面求解，常能化繁为简
倒7
随机取多少个整数，才能有O . 9 以上的概率使得这些数中至少有
一个偶数?
(清华大学自主招生试题)
篇题思路
至少有一个为偶数的情形确定吗?
由于所有的整数中，可以认为奇数与偶数的个数是"对等"的，所以，任
取一个整数，则得到的为奇数的概率与得到的为偶数的概率均为÷
~~ 刻意练习
1. 有6 个小球，其中黑色、红色、绿色各2 个，它们除颜色外其他都一样，将
它们放入一个不透明的袋子中，充分摇匀后，从中随机摸出
2 个球，摸出
的球颜色一样的概率是
2. 如图，有16 个三角形的房间，甲、乙两人随机入住两
个不同的房间，那么他们住在不相邻(指没有公共边)
房间的概率是
("希望杯"邀请赛试题)
3 . 从三边长均为整数且周长为
24 的三角形中任取一
个，其是直角三角形的概率为
(河南省竞赛题)
(第2 题)
(全国初中数学联赛题)
4. 如图，某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地
砖，现在向上抛掷半径为
6J言cm 的圆碟，圆碟落地后
与地砖间的间隙不相交的概率大约是一一一一·
(山西省太原市竞赛题)
5. 一个正三角形ABC 的每一个角各有一只蚂蚁，每只
蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角是随机选
择，则蚂蚁不相撞的概率为一一一一·
(第4 题)
(微软公司招聘面试题)
6 . 从分别写有数字1，2 ，3 ，4 ，5 的五张卡片中任意取出两张，把第一张卡片
上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两
位数，则所组成的数是3 的倍数的概率是(
). 
1105 , 
哺1
、』
电'也
第
13 讲概率初步
正难则反，直接求
解某个问题困难时可
从问题的对立面一一
反面入手求解.
某班有
n 个人
(η :S;; 365) ，那么至少
有两个人的生日在同
一天的概率是多大?
从反面考虑即先
求出
n 个人生日都不
在同一天的概卒，运
用来法原理可得上述
问题答案为:
l -~65X 364 X 3日× … X 2Xl
365" 
leJ:.\ca~ 
食
食食
，曾
食女
食
*女
A4B
立
c÷D÷
s 
~
. 10 
- . 5 
(全国初中数学联赛题)
7. 在一个正八边形中，随机地从八个顶点中选择三个点作为一个三角形的
三个顶点，则三角形至少有一条边为八边形的一条边的概率为(
). 
A.2h5
[ 115"
; 
B. ,t? 
C. 
~~ 
D. 
'7 
E. '7 
7
>. 42 
- . 14 
(美国数学竞赛题)
8. 一枚质地均匀的正方体假子六个面上的数字分别为1，2 ，3 ，4 ，5 ，6. 掷4 次
假子，依次得到朝上的面上的数字分别为a ，b ，c ，d ，则在a
，a 十b ，α +b+
c ，a 十b+c+d 中存在一个数等于4 的概率为(
). 
A33 
-
B.334 
二
1296 
C343433 
一一~
D 
一一-
1296 
~. 1296 
1296 
(全国初中数学联赛题)
9. 若α ，b ，c 是从集合{ 1
，2
，3 ，4 ，5 } 中任取的三个元素(不一定不同) ，则ab+
c 为偶数的概率为(
) . 
A. 主
h 
互旦
c 
l 
D 
64 
E 
3 
5. 
~. 125 
~
. 
2 
~. 125 
-. 5 
(美国高中数学考试题)
10. 一条绳子被任意割成两段，较长的一段至少是较短的一段的工倍的概率
为(
). 
l 
A. : 2 
2 
1 一
工
C - Z丰1
D. -=-
E 
一一-
x 
~. x+1 
(美国高中数学考试题)
1 1. 袋中有数字卡9 张，其数字分别为1~9 ，若随机一次抽出
3 张，求被抽出
的卡的数字全是奇数的概率.
(香港中学数学竞赛题)
12. 有两颗假子，每颗上都有1~6 点，如果同时掷出两颗假子，在掷出的点
数之和上押赌注，那么，在多少点上押赌注赢的可能性最大?
(加拿大数学竞赛题)
13.
如图，将3 枚相同的硬币依次放入一个4 X 4 的正方
形格子中(每个正方形格子只能放1 枚硬币) .求所放
的3 枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的慨率.
(四川省竞赛题)
14. 有A ，B ，C 三人，A 每说3 次话时有2 次是真话，B 每
说7 次话时有6 次是真话，C 每说5 次话时有4 次是
真话.如果有一句话
，A ，B 都说是对的，C 说是错的.
那么，"这句话是对的"的概率是多少? (用最简分数表示)
(第
13 题)
(世界数学团体锦标赛试题)
15. 阿诺德研究三种健康风险因子A ，B ，C 在男性人口中的流行性.在男性
中随机选一人，他仅有一种健康风险因子(但没有其他两种)的概率是
)( ~ ~) 
学科精英大视野系列丛书
~~~ 
( 丸每缎)
士:( * 
.,.A .... 
H 
J、
L、主
食
食
食
唱团
0. 1 j 他仅有其中两种健康风险因子(但没有第三种)的概率是0 . 14 . 在
同时有A ，ß 两种健康风险因子的男性中，有三种健康风险因子的男性
的比例是÷在没有健康风险因子A 的男性中，没有这三种健康风险因
子的男性的比例是且，其中户，q 是互质的正整数，求ρ + q 的值.
q 
(美国数学竞赛题)
16. 从6 2015 的正因数中任取一个，若这个数恰好是6 1 5 1 2 的倍数的概率为主
m 
(m ，η 互质) ，求m-n .
(世界数学团体锦标赛试题)
食
第
13
ì并
概率初步
• 
黯
倒1 ÷ 
由树形图知，共有12 种不同的染色情形，其中，A 处
/俨~
4 
1 
A
红蓝黄
染蓝色共有4 种情形，所求概率为12τ
~ ~ ~ 
3 
、
B
黄蓝红黄红蓝
倒2
B
要过第一关，点数需大于
4 '显然抛掷一颗锻子至少
I 
I 
I 
I 
I 
I 
C
蓝黄黄红蓝红
有l 点，故①对;要过第- 关，点数之和需大于立，!!r 占数之和至少是
/ '\ /'\ / '\ / '\ /'\ /'\ 
-'/\"'，.;-;: ，，
";li:^--_' I ~ m.........
.J 
4 
'
-
1
"
、
D
红黄红蓝红蓝黄蓝红黄蓝黄
3 ，而抛掷两次的点数之和至少为
2 ，因此，不能过第二关的只有一种
(例1)
可能: 两次抛掷的点数都是
1 ，即两次抛掷的36 种可能中，有35 种结采可以通过第二关，所以，过第二关的概
率为22 ，故②对;要过第四关，点数之和需大于主=20 1 ，若每次抛掷的点数均为6 ，则点数之和为24 ，大于
36'~""'_"'-"~/]'-"
~ ""'~~_
" 
,..,--, 4 
- - 4 
3 口
20 士，所以，第四关是可以通过的，故③对;要过第五关，占数之和需大于4 ' 显然，这是不可能的，所以，过第
五关是不可能的事件，概率为
0 ，故④错.本题选B.
倒3
不妨设正方形的面积为
1 ，容易知道，以五个点A ，B ，C ，D ，。为顶点所构成的三角形都是等腰直角
三角形，它们可以分为两类:
(1)等腰直角三角形的直角顶点为正方形AßCD 的四个顶拭一，这样的三角形有4 个，它们的面积都为÷ ;
(间腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的中心。，这样的三角形也有4 个，它们的面积都为士
所以以五个点A ，ß ，C ，D ，。为顶点可以构成4 十4 = 8 个三角形，从中任意取出两个，共有28 种取法.
妥使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第(1)类或者~取自第(2) 类，不同的取法有
1 2 种.
12 
3 
因此，所求的概率为一= 一
28 
7' 
倒4
从问题的反面考虑. 设方程矿+ bx 十c = O 有两相异的正实根矶，句，则
b2 - 4c> 0 , X I X 2 = C>0 , 
工!十工2 = - b> 0 ，lbl ζ 5 ，I c I ζ 5 . 于是b = - 3 且c = l 或2 ; 或b= - 4 且c= 1，2 ，3; 或b = ←5 且c = 1 ，2 ，3 ，4 ，
5 . 因此，有10 对有序整数可使方程有相异正实根，而可取的有序整数共有11
2 对.
10 
111 
故所求的概率是l 一
=一一
112 
121' 
食
，际合
食
食女
食
，传女
学科精英大视野系列丛书
._-………… 
倒7
随机取n 个整数，而其中均为奇数的概率为工，因此，至少有一个偶数的概率为1 一去，由l
去>0.9
2" 
1 _ 1 
得一〈一，n二三4 . 即随机取4 个(或4 个以上)的整数，才能有0.9 以上的概率使得这些数中至少有一个偶数.
2" -10 
1 
1 
5 
2 . . 1 
1 
摸出的2 个球都是黑球的概率是一×一=一所以摸出的球颜色一样的概
6 "5 
15 ' 
1 . . _ 
1 
率是一X3= : 
15 ' . ~ 
5' 
2
旦
. 20 
18 X 2 
17 
如图，因为每一对相邻房间对应一条粗线边，所以
，P = l- 一一一一=一
16 X 15 
20 ' 
3. .1. 
12 
设三角形三边长为α ，b ，c(α二三b二三c) ，可得8 :;Ç a< 12 ，符合条件的三角形共
有12 个，只有一个为直角三角形.
4. 4 
9 
欲使圆碟不压地砖间的间隙，则因碟的圆心必须落在与地砖同心、边与地砖边
彼此平行、距离为
6 J3cm 的小正六边形内. 如图A2 0 = A ] A2 = 36 ，作。C] .lA ] A 2 , C] C2 = 
6 J3,A 2C] =叫0=弘0= 叫，C2 02 =C]O-C] C2 =叫，又QO=fB20，得阴=
小正六边形面积
( B, B, ì 2 
(24 ì 2 
4 
24=B 丘，故p= .. -:- '.. ~ 
~ :' ':- ~ = I LJt立
1
=
1 一
1
= 一
2 ' 
大正六边形面积
\A]A2 ) 
\36) 
9' 
• 
.... . 
(第2 题)
(第4 题)
1 
5. -7-4 
选择一只蚂蚁A 作为参照标准，一旦A 确定了自己的运动方向，那么其他蚂蚁必须做相同方向
的运动才能避免相撞，蚂蚁B ，C 分别有÷的概率选择与A 相同的运动方向
1 ,, 1 
1 
故蚂蚁避免撞到一起的概率为一×一=一
2 ' 
2 
4 . 
6. C 
7. D 
若选择的三角形至少有一条边为正八边形的边，则表明选择的三个点中至少有两个点是相邻的.
若三个点均相邻，则共有8 种情况;若恰有两个点相邻，则这两个相邻的点有8 种情况，每一种情况中，另
外一点有4 种情况.
8 十8 X 4
5 
而选择三个点的方法数为C~ = 56 ，故所求概率为一-一一=
56 
7 
8. C 若α = 4 ，且惭率为士;由4=1 十3 = 2十2 = 3 + 1 知，a十阳的概率为1 ; 由4 = 1 + 1 +2=1 + 2 十
6' 
1=2+1 十1 知，a+b+c=4 的概率为去;若α +b十叫= 4 ，则只能是叫=c=d=l ，概率为去
注意到上述四种情况中任意两种不可能同时成立，因此a =4 ，或a 十b = 4 ，或α + b +c= 4 ，或a + b +
1 
, 3 
, 3 
,
1 
1 (, , 1 V 
343 
c+d = 4 的概率为一+ τ+τ+ 一=~ r1 +~
1
= 一-
6 
6" 
6' ' 64 
6 \ ~ , 6 ) 
1296' 
9. B 
从集合任取三个元素的总事件数为
53 = 125. 从{ 1，3 ，5} 中选一个，有3 种情况c 是奇数，从{ 2 ，4 }
中选一个，有2 种情况c 是偶数. 而ab 为奇数的情况有3 2 =9 种，为偶数的情形有5 2 -3 2 = 16 种. ab 十c 为偶
数的情形共有3 X 9 十2X16 =59 种.
~~O~) 
( 丸每缀)
1号
食
食
女
，传
食
1号
食
食
第
13
ì井
概率初步
10. E 
如图，设AB 是这种绳子
，P 是AB 上一点，使得AP: PB = l 
:
工，
所求截点在AP 上的概率为一立一
1 一又因为截点位于线段另一端B 同样
5 十口
1+ 工'
距离的线段上的可能性是一样的，则所求事件的概率是一旦一
工十l'
1 1.数字卡1，2
，3
，… J 中奇数卡有1，3
，5
，7 ，9 ，由这5 个奇数中的3 个奇数组成的所有不同的组合共有
5 X 4 X 3 
. ~. _ ~ " , .,., 
.>.. 
>- , 
~ ~ 
~ -'- ~_ ~ ." 
>-. ,._ " " 
N 
_,_ _ ~ " ,._ " ., _,_ 9 X 8 X 7 
一一一一=10 个，而直接由数字卡1，2 ，3 ，…，9 中取3 张卡组成的所有不同的组A 止有一一一一= 84 个，故从
1 X 2 X 3 
.J.. V 
I 
".，~ _E:L. r IJol. 
l,J-I -:lV'IO.. 
J 
..L ,1..1 'V , 
'v 
I -,,-
V 
.11--
I 
...... ~ 
/~^'" .." ,', . q -,. '.. ..." ......口/'
q 1X2X3 
sx 
A 
P 
B 
(第
10 题)
10 
5 
9 张卡1，2 ，… J 中抽出
3 张卡全是奇数的概率是
= 
84 
42' 
12. 在同时掷出两颗饺子的情况下，可能出现的结果共有36 种.
其中，点数之和为
2 的情况只有
1 种，即饺子一: 1 ;假子二:1.
点数之和为
3 的情况有2 种，即般子一: 1，2; 般子二: 2 ,1. 
点数之和为
4 的情况有3 种，即般子一: 1, 2 ，3; 般子二: 3 , 2 ,1. 
点数之和为
5 的情况有4 种，即般子一:1，2
，3 ，4; 般子二:4 ，3 ，2 ，1.
点数之和为
6 的情况有5 种，即般子一:1，2
，3
，4
，5; 般子二:5
，4 ，3
，2 ，1.
点数之和为
7 的情况有6 种，即般子一:1，2
，3 ，4
，5
，6; 假子二:6
，5
，4 ，3
，2 ，1.
点数之和为
8 的情况有5 种，即般子一:2 ，3
，4
，5
，6; 般子二:6
，5 ，4 ，3
，2.
点数之和为
9 的情况有4 种，即般子一: 3
，4
，5 ，6; 饺子二:6 ，5 ，4
，3.
点数之和为
10 的情况有3 种，即般子一:4 ，5 ，6 ;饺子二: 6 , 5 , 4. 
点数之和为
11 的情况有2 种，即般子一: 5 ，6; 般子二: 6 , 5. 
点数之和为
12 的情况也只有
1 种，即般子一: 6; 假子二: 6. 
故如采同时掷两颗骨盘子，押赌在点数之和为
7 上是最为有利的.
13.
总的放法数n=16X15X14=3360 种.第一枚硬币放入16 个格子有16 种放法，与第一枚硬币不同行
且不同列的第二枚硬币有9 种放法，与前两枚硬币不同行且不同列的格子有4 种放法，满足题意要求的放法
16 X9X4 
6 
有m=16X9 X 4=576 种，故所求概率为P = .~. = 16 X 
15 X ï 4 =写·
2 . . 6 . . 1 
12 
'" 
14. 如果这句话对，则A ，B 说了真话，C 说了假话，那么，"这句话对"的概率是τ × γ × τ
105 . 
ω 
1..1. .4 
4
点
如果这句话不对，则A ，B 说了假话，C 说了真话，那么，" 这句话不对"的概率是τ × γ × τ= 百5'
ω 
由①②可知，这句话可能是真话，也可能是假话，因为总计16 次中，12 次对，4 次不对，所以"这句话是对
12 
3 
的"的概率为一=
16 
4' 
15.
用文氏图，如图所示，设三种健康风险因子都有的概率为工，三种健康
路
川
!
UF 
巧
，
，
4
t
i
nuq" 
nunu 
----
ZVM 
得
解
-i 
nu 
× 
叫
〈
U
A
哇
-EA 
nu 
-
-
γ
以
=-
74A-1 
-
J
一
一
工
-
n
u
v
d
一
+
+
一
工
工
'
'
'
p
a
-
-
·
·
·
E
E
-
-
，
，
，
‘
、-
B
E
a
-
-
••• 
，
、
、
有
mm
<
vd 
为
率
概
的
有
没
都
子
因
ρ
y 
21 
以
一一一一一=一，flr p 十q =76 .
q 
y+0. 34 
55 
(2" , 3b , 
向电俨
16.
由
6 2015 =2川X 3 2015 得铲015 的正因数的形式为~: ..............
~ 1_''''''''''''''' '11\ 1 c" 
6川的
ì 0ζ a ，bζ2015
， 
正因数有2016 X 2016 个，又
6川的正因数中可表示为
6川的倍数的形式为
(61日2
，川，
共有504 X 504 个，
oζ x ，y~二2015-1512=503 ，
n 
504 X 504 
1 
一.m - n = 15.
m 
2016 X 2016 
16 ' 
:OJ始
(第
15 题)
;酣盟将i
午多
之处，细心观察又发现它们在布局、结
构上有惊人的相似之处，原来这些动
:躏→
、豆豆u
飞J;I 
'1\ (iJ7 
物的头骨是在不同坐标系下的表现
鹤善
十结i4 讲旋转交换二!
'
知能概述
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的
图形变换称为旋转.
旋转前后的对应线段相等、对应线段的夹角等于旋转角、对应线段的垂
直平分线都经过旋转中心、对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角.
~~C 问题解族
例1
如图，边长为
1 的正6A ] B]C 1 的中心为0 ，将正6A ] B ] C] 绕中
心。旋转到6A 2 B 2 C2
，使得A 2 岛上B1C 1 ，则两三角形的公共部分(即六边形
ABCDEF) 的面积为
("新知杯"上海市竞赛题)
堕塑塾些
S六边形础CDEF= SAA2 B2C2 - 3SA I32CD ，解题
的关键是寻找CB] ,CB 2 ，CD ，C1 D 之间的关系.
B, 
倒2
如图，在RtMBC 中，AB=AC ，点D 为BC 中点，ζMDN= 900 ，
ζMDN 绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论:
i(，1~) 
一般说来，能够
被称为"数学美"的对
象和方法，应该是具
有在极度复杂的事物
中揭示出的极度的简
单性，在极度平凡的
事物中认识到的极度
的奇异性.
t余利治
罗素悖论
悖论是指自相矛
盾的命题，即从可接
受的前提出发推出自
相矛盾的论证. 悖论
于"荒诞"中蕴含着
哲理.
英国著名哲学家、
数学家罗素曾提出如
下著名悖论:
一理发师给自己
立了一条店规"只给
不给自己理发的人
理发"
~~、1Gti\
( 丸每绵)
、五年f
食
，传
τ了食
，传
有P
食
食
第
14
ì井
旋转变换
划2~~=~
___ 1 
①BE+CF=亏BC; ②S6AEF ζZ SAM ③S四肌田二AD
. EF; ④AD注EF;
⑤AD 与EF 可能互相平分.
其中正确结论的个数是(
). 
A. 
1 个
B. 2 个
c. 3 个
D . 4 个
(黑龙江省齐齐哈尔市中考题)
麟题思路
②、④是几何不等关系，恰当地代数
化( 如构造方程、函数)可有效降低问题的难度，怎样
设元?
yb々N
B 
C 
D 
倒3
如图，已知在6ABC 中
，AB = AC ，P 为主角形内一点，且ζAPB<
ζAPC ，求证:PB> PC.
(北京市竞赛题)
融题思路
以A 为中心，将6APB 旋转一个
A 
ζ BAC ，使
AB 边与AC 重合，这时6APB 到了
6A P'C 的位置.
P 
、
号
，
i
、
，
4
'
'
、
，
，
，
、，、
，
，
、
，、
，
B 
C 
倒4
已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF _l 
BD 交BC 于点F ，连DF ，G 为DF 中点，连EG ，CG.
(1)求证:EG =CG ;
(2) 将图①中6 BEF 绕B 点逆时针旋转45 0 ，如图②所示，取DF 中点
G ，连EG ，CG . 问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明，若不成
立，请说明理由
;
(3) 将图①中6BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连相应的线
段，问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得到什么结论?
A 
D 
A 
D 
A 
D 
|才川[
/尸
1
1
I~/\I 
I ___., F 
1 
C A纠
I
E~7们
I
Eo1 / 
B 
FC 
B 
C 
B 
C 
因①
囱②
图③
(山东省中考题)
111 
嗦
B 
E 
如图，已知CD =
CA ，ζ 1 =ζ 2 ，EC = 
BC ，那么可得:
( 1) 6ABC 旦
6 DEC ，可从旋转变
换认识;
(2) 旋转中心是
两个三角形共同的
顶点.
进一步连
AD ，
BE ，上述图形是由两
个相似且共顶角顶
点、顶角相等的等腰
三角形产生的.
从特殊到一般，
由静止到运动，在旋
转交换条件下，尽管
图形在旋转交换中会
发生很多变化，但也
有许多图形的性质保
持不变，这就是图形
的旋转不变性.
~~~ 
食
食
1与
食
食女
食
食女
篇题思路
题设条件有中点，利用中点构造三角形中位线，或利用中点
构造中心对称型全等三角形.
倒5
如图①，在Rt6ABC 中，ζ B=90 0 ，AB =4 ，BC = 2 ，点D ，E 分别
是边BC ，AC 的中点，连接DE. 将6CDE 绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角
为α.
(1)问题发现
AE 
①当α = 0。时=
'BD 
AE 
②当α=180 。时一一=
'BD 
(2) 拓展探究
AE 
试判断:当0 。运α< 360 。时一一的大小有无变化?请仅就图②的情形给
'BD 
出证明.
(3) 问题解决
6 CDE 绕点C 逆时针旋转至A
，B ，E 三点在同一条直线上时，求线段
BD 的长.
C 
C 
C 
D 
A 
图①
图②
备用图
(山东省东营市中考题)
麟题思路
在第(1)，(2) 问的基础上解决问题(3) ，全面、准确地画出图
形是解题的关键.
倒6
如图，已知凸五边形ABCDE 中
，AB = BC = CD = DE == EA , 
ζABC = 2ζ DBE ，求证: ζABC = 60 0 •
(北京市竞赛题)
麟题思路
将6ABE 以点B 为旋转中心顺时针旋转ζABC ，使得AB
与BC 重合，落在6 CBE' 位置，则6ABE旦6 CBE' ,AE = CE' ,BE = BE' , 
ζ CBE' = ζABE. 
东三
学科精英大视野系列丛书
下列情形，常实
施旋转变换:
(1)图形中出现
等边三角形或正方
形，把旋转角分别定
为
60 。、90 0 ; 
(2)
图形中有线
段的中点，将图形绕中
点旋转1800 ，构造中心
对称全等三角形;
( 3 ) 图形中出现
有公共端点的线段，
将含有相等线段的图
形绕公共端点旋转两
相等线段的夹角后与
另一相等线段重合.
Gtt\FA\c.\ 
合食
，陆
女食
，传
女食食
第
14 讲
( 丸每银)
旋转变换
理?巳主篝
潭
咱'"
学
问
敬
阳
的
脚
奇
嘟
"
神
刊
B~D 
气寸τ?气fu
. ζ EBE' = ζ ABC =2ζ DBE ， 
.·. ζ EBD= ζ E'B D
，连DE ' .
.: BD=BD ，ζ EBD = ζ E'BD ,BE=BE' , 
:. L,EBDC/) L，E'BD
，得ED=E'D=CD=CE' , 
:. L，CDE' 为正三角形，ζ DCE' = 60 0 • 
T~ 阳.，.，;;;
州I，r告er;er
-EURAZEZ 
气候真的在变暖
吗?太阳系会突然解
体吗?在网络上发送
信用卡号码安全吗?
如何才能在赌场
赢钱?
人类不断提出问
题，试图预测未来，数
学正是人类创造出来
的最强大的工具，帮
助我们应对所生存的
这个狂野而复杂的
又BC=CD 三CE' ，则ζ归D = 仨DCE' =3 0 。
、
.
ζ ABC= ζ EBE'=2 ζE'BD=60 0 • 
A 
相似与旋转
DE 
AD 
AE 
如图，若
= 
= 一，则易证:①L，ADE ω
• -~ BC 
AB 
AC 
L，ABC; ②L，ADBω L，AEC. 
表明:当L，ADE 绕它的顶点A 旋转一定的度数并使
各边长按一定的比例放大或缩小后得到的L，ABC 与原
L，ADE 相似，从而又生成L，ADB∞L，AEC.
倒7
如图，在L，ABC 中，ζ BAC = 60 0 ,AB = 2AC , 
点P 在L，ABC 内，且
PA =-J言，PB = 5 , PC = 
2 ，求
L，ABC 的面积.
世界.
(全国初中数学联赛题)
给析与解
L，ABC 是否有特殊性?分散的条件怎样集中?已有的经验
能迁移应用吗? 以退求进，实施旋转相似变换、对称变换或建立直角坐标系.
作L，ABQ ，使得ζ QAB = ζ PAC. ζABQ = ζACP ，则
义一__A
L，ABQω L，A CP ，从而可得L，ACBω L，APQ.
/ 
/ 
/乡/p
.: AB=2AC , 
;. 
B 
几何交换作为几
交换观点下的欧氏几
何的本质，能使千变万
化的几何论证具有一
定的统一性和规律性.
对于例
7. 能实
施对称变换吗?借助
解析法?读者不妨试
一试.
C 
:. AQ 二2AP=2 -J言，BQ=2CP=4
，
何论证的主要工具是
.. ζ ACB =L APQ =90 0 ， 
:.PQ = J3AP 二3.
:.Bp 2 二25 二BQ2+ PQ2
，从而ζ BQP =90 0 •
:. AB2 = pQ2 + (AP 十BQ) 2=2S+S J3.
J3 A n
? 
民十7 ,)3 
'.56础c = 
~ AB • ACsin60
0 = VSV AB乙二
2 气
读者可按下列方法继续探索.
y 
P 
/J←~子
//口|可P 3
二乒/\P\li
主乡"
\ 
\11 
B 吃之?寸7c
\、午'
P, 
~~I:.:\ 
工
B 
CP 1
，矶'P 3 分别是点P 关于AB
，BC ，AC 的对称点)
11法
C 
学科精英大视野系列丛书
• 
食
食食
食
食*
食
食
古
如
一
1. 如图，将边长为
1 的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转
60。至
AB'C'D' 的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是
(全国初中数学联赛题)
~B 
A' 
A 
B 
A 
C 
B 
c' 
B ' 
(第1 题)
(第2 题)
(第3 题)
2 . 如图，已知等边三角形的面积为
1 ，0 为""ABC 的中心(0 到""ABC 的各
边距离相等) ，将""ABC 绕中心。旋转
6 0 0 ，得""A'B' C ，'则""ABC 与
""A'B 'C '重叠部分的面积为
D' 
(江苏省竞赛题)
3. 如图，四边形ABCD 中，ζABC = ζ CDA = 90 0 ,AD = DC= 5,AB = 7 , 
BC = l ，则BD=
("希望杯"邀请赛试题)
4. 如图，在""ABC 中，AC=BC ，ζ ACB = 90 0 , D , E 是边AB 上的两点，
AD = 3 ，BE = 4 ，ζ DCE = 45 0 ，则""ABC 的面积=
(北京市竞赛题)
A 
D 
A 
C 
(第4 题)
(第5 题)
(第6 题)
5 . 如图，边长为1 的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O . 有直角
正三MPN ，使直角顶点P 与点。重合，直角边PM ，PN 分别与OA
，OB 重
合，然后逆时针旋转ζMPN ，旋转角为8(0 0 < 8< 90 0 ) ，PM, PN 分别交
AB ，BC 于E ，F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论:①EF 二
J20E ; ②S四边形OEBF
: 5正方形ABCD = 1 : 4;(
BE+ BF =J20A; ④在旋转过
程中，当""BEF 与""COF 的面积之和最大时，AE=?; ⑤∞
. BD= 
B 
A 
D 
E 
B 
AE2 + CF2 • 其中，正确的有(
A. 2 个
B .
3 个
D . 5 个
(湖北省随州市中考题)
6 . 如图，已知D 为锐角""ABC 内一点，满足AD = DC ，ζADC = 2 ζDBC ，
AB= 12 ,BC= 10 ，则""BDC 的面积为
C. 4 个
Gt.\I"J:\CA 
(北京市竞赛题)
棋乌jj
( 丸每级)
有食
食
吹了食
食
女食
，传
7. 如图，在Rt ，6，ABC 中，ζACB =90 0 ，ζA =30 0 ，AC =4 疗，BC 的中点为
D ，~夺，6，ABC 绕点CJ顿时针旋转任意一个角度得到，6，FEC ，EF 的中点为
G ，连接DG. 在旋转过程中，DG 的最大值是(
). 
A. 413 
B. 6 
C. 2+ 213 
D. 8 
(山东省济南市中考题)
D队λ
-----------心
k l 
(第7 题)
(第8 题)
(第9 题)
8 . 如图，已知P 为正方形ABCD 内一点，若PA : PB : PC= 1 : 2 : 3 ，则
ζAPB 的度数为(
). 
A. 120 。
C. 
1 50 。
B. 135 。
D .
以上都不对
( 江西省竞赛题)
9.
如图，P 为等边三角形AB C 内的一点，且点P 到三个顶点A
，B ，C 的距
离分别为3 ，4 ，5 . 则，6，ABC 的面积为(
) . 
25 J 3 
A.9 + 丁巳
25 J3 
B. 9 十万巳
C. 18十2513
D. 18十平
(山东省淄博市中考题)
10 . 如图，在，6，ABC 中，ζ BAC= 120 0 ，P 是，6，ABC 内一点，则(
). 
A . PA + PB 十PC<AB 十AC
B. PA+ PB+ PC> AB + AC 
C. PA+ PB+ PC= AB + AC 
D. PA 十PB + PC 与AB + AC 的大小关系不确定
Jλk 
(湖北省武汉市竞赛题)
A 
E 
B 
川
D 
C 
(第10 题)
( 第11 题)
11 .
如图，已知E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，A 关于DE 的对称点为
AB 
F ，ζ BFC = 90 0 ，求的值.
AE 
(四川省竞赛题)
12. (1)如图①，在四边形ABCD 中，AB = AD ，ζ BAD = 
60 0 ，ζ BCD = 
1 20 0 ，求证: BC十DC = AC.
( 2) 如图②，在四边形ABCD 中，AB = BC ，ζABC = 60 0 , P 为四边形
ABCD 内一点，且ζAPD=120 0 ，求证: PA + PD + PC~ BD .
(江苏省竞赛题)
11 生ι
.~~ ‘白峰，
第
1 4 讲旋转变换
，~~&.:\ 
，传
食齿
，传
食*
食
食女
心D
D 
\>
pa/
A
V
C
酶
nu 
图①
(第12 题)
13. (1)如图①，已知正方形ABCD 和正方形CCEF(CC> BC)
，B ，C ，C 在
同一条直线上，M 为线段AE 的中点.探究:线段MD ，MF 的关系.
(2) 如图②，若将正方形CCEF 绕点C
}I顶时针旋转4 5 0 ，使得正方形
CCEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为
AE 的中点.试问: (1)中探究的结论是否成立?若成立，请证明;若
不成立，请说明理由.
(3) 如图③，若将正方形CCEF 绕点C 顺时针旋转α ，M 为AE 的中点.
试问: (1)中探究的结论是否成立?
(辽宁省大连市竞赛题)
?F1E 
.LJ 
C 
G 
E 
A 
B 
E 
B 
G 
G 
图③
图①
图②
(第13 题)
14. 如图，已知六边形AC]BA ] CB] 中，AC] = AB] ,BC = BA] ,CA] = CB] , 
ζA 十ζB 十ζ C =ζA ] 十ζB ] 十ζ C] . 求证: 6ABC 的面积是六边形
AC ] BA ] CB] 的面积的一半.
(北京大学自主招生试题)
A :C; 
/仑~
A, 
(第14 题)
(第
1 5 题)
15 . 如图，在6ABC 中，AB = AC ，ζBAC = 120 0 , 6ADE 是正三角形，点D
在边BC 上，已知BD : DC = 2 : 3 ，当6ABC 的面积是50cm2 时，求
6ADE 的面积.
( 日本数学奥林匹克竞赛题)
16. 如图，在6ABC 中，已知ζABC = ζBAC = 700 ，P 为形内­
点，ζPAB= 40 0 ，ζPBA = 20 0• 证明: PA + PB= PC.
( 北京市竞赛题)
17. 在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一
步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究. 4 
A 
B 
(第
1 6 题)
#工j
学科精英大视野系列丛书
~~~ 
( 兔每篇)
女食
食
女食，传
1号食*
第
14 讲
(一)尝试探究
如图①，在四边形ABCD 中，AB=AD ，ζBAD=600 ，ζABC= ζADC=
900，点E ，F 分别在线段BC ，CD 上，ζEAF=300 ，连接EF.
(1)如图②，将，6ABE 绕点A 逆时针旋转60。后得到，6A'B'E' (A'B' 与
AD 重合) ，请直接写出ζE'AF=
度，线段BE ，EF ，FD 之
间的数量关系为
(2) 如图③，当点E ，F 分别在线段BC ，CD 的延长线上时，其他条件不
变，请探究线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系，并说明理由.
A 
B 
E' 
E' 
D 
B 
①
 
C
图
A
B 
F 
E 
图③
图③
(第17 题)
(二)拓展延伸
如图④，在等边，6ABC 中
，E ，F 是边BC 上的两点，ζ EAF=30 0 ，BE =
1 ，将，6ABE 绕点A 逆时针旋转60 0得到，6A'B'E' (A'B' 与AC 重合) , 
连接EE' ，AF 与EE' 交于点N ，过点A 作AM _l BC 于点M ，连MN ，求
线段MN 的长度.
(山东省济南市中考题)
18. 【图形定义】
如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60。后，发现旋转前后两图形有另
一交点。，连AO ，我们称AO 为"叠弦"; 再将"叠弦"AO 所在的直线绕点
A 逆时针旋转60。后，交旋转前的图形于点p ，连接PO ，我们称ζOAB
为"叠弦角"，，6AOP 为"叠弦兰角形"
E探究证明】
(1)请在图①和图②中选择其中一个证明"叠弦三角形"(即，6AOP) 是
等边三角形;
(2) 如图②，求证: ζ OAB = ζ OAE' .
【归纳猜想】
(3) 图①、图②中"叠弦角" 的度数分别为
( 4) 图@中，"叠弦三角形"一一一一一等边三角形(填"是"或"不是" ) ; 
(5) 图③中，"叠弦角" 的度数为一一一一一(用含n 的式子表示) . 
(:!给
旋转变换
1t;.\Ct.\~ 
A 
B' 
图①(n=4)
食
食
ì~
食
食古
食
食女
ρ 
<
p，/
、
, 
, 
… 
… 
E( I 
~ 
‘…, 
‘… 
‘川
、…
‘… 
A广\
C' 
n \ 
B' 
B' 
C' 
图②(n=5)
图③(n=6)
(第
18 题)
D 
B' 
C' 
图@
(江西省中考题)
19.
问题解决
如图①，在等边三角形ABC 中
，AC= 7 ，点
P 在
DABC 内，且ζAPC = 90 0 ，ζ BPC= 120 0 ，求DAPC
的面积.
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如
下想法:
想法一:将DAPC 绕点A 按顺时针方向旋转60 0 ，得
图①
到DAP'B
，连接pp' ，寻找PA ，PB ，PC 三条线段之间的数量关系;
想法二:将DAPB 绕点A 按逆时针方向旋转
60 0 ，得到DAP'C ，连接
pp' ，寻找PA ，PB ，PC 三条线段之间的数量关系.
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程(一种方法即可) . 
灵活运用
如图②，在四边形ABCD 中
，AE _l BC ，垂
足为点E ，ζ BAE = ζADC ，BE = CE = 2, 
A 
Aη?D 
CD =5 ，AD=kABC走为常数) ，求BD 的长
B 
(用含走的式子表示) . 
E 
C 
(江苏省淮安市中考题)
图②
(第
1 9 题)
倒1
如图，连OB 1 ,OB, ，B 1 B ，. 则OB 1= OB " ζ OB 1 B ，= ζ OB ，B l
.
又ζ OB 1 C = 30
0 =ζ OB ，C ，所以，ζCB 1 B ，= ζ CB，B 1
，故CB 1 = CB ，. 同理，
B,D= DC1. 
设CB 1 = 工，ýJ IJ CB, = 工，CD = J3x ，DC 1 = DB，= 缸，
于是，工+J3x+ 2x= 1 =忖
1一
3+J3 
故S六边!1J ABC町= S l:, A,B,C, -3S l:, B,CD = 主
3 × iz × JEz= 主一旦EZZ
4 
- . . 2 ~"' v ~~ 
4 
2 
3
J3 
4 
4 . 
倒2
C 
6AED旦6CFD ，设AB = AC =a ，AE=CF = 工，则AF=a-x ，
Sl:，店F=÷AE-AF=卡(α -x ) = -
~ (x- 卡) 2 +÷υ
封、18
学科精英大视野系列丛书
• 
、. . .. • 
B, 
(例1)
( 丸每缎)
丁纣食
食
女食
食
ù
食
食
第
14
ì井
旋转变换
EF2 =AE2 + AF2 =x2 + (a- X) 2 =2 ( x- -J-a Y +土α 2
\ -
2-)
' 2-' 
EF 最小值为fbE阳D
S叫MDF= SAADc= ÷AD2 ③④错误
倒3
6APB且6AP'C ，AP = AP'
，ζ APB = ζ AP 'C ，P'C= PB . 
连pp'
，由AP' = AP 得ζ APP' = ζ AP'P
，而ζ APB< ζ APC ，即ζ AP'C <ζ APC ，
.. ζ pp'C<ζ P'PC
，于是P'C > PC ，即PB> P C.
倒4
(1) CG= ~ FD ,EG= ~ FD , R CG= EG 
(2) (1)中的结论仍然成立，如图①，连AG ，过G 点作MN 上AD 于
点M ，与
EF 的延长线交于N 点，则6 DAG旦6 DCG ，得AG = CG ，又
6 DMG旦6 FNG ，得MG = NG ，在矩形AENM 中
，AM = EN ，进一步可
证明6AMG C/) 6 ENG ，故AG = EG = CG .
(3) (1)中的结论仍成立. 如图②，延长EG 至点M ，使得GM = EG ，
连接CE ，MC ，延长EF 交DC 于点p
，由6 FGE旦6 DGM 得DM = FE ，
DM// FE , :. ζ MDC = ζ DPF. .: ζ EBC + ζ EPC = 1 80 0 ，ζ EPC + 
A 
M D 
I 
『…
… 
J 
I 
_;.;j(G I 
E IT'二---，(:….' . \
I 
r /F N \ I 
B 
C 
国①
D .__,M 
_..，..~.，... • 
二.;.. 
二，
J
二
I 
JK.二.，p
.: 
--_.... 
I 
~..-\ 
I 
E~/F 
\ I ;' 
卜，
川，
二'
\U' 
\ 1 ' 
B 
C 
囱②
(例4)
ζ DPF = 180
0 ， :. ζ EBC = ζ DPF = ζ MDC ，而BC = CD , :. 6 EBC且6 MDC ，ζ ECB = ζ DCM.
.: ζ BCD = 
90
0 , :. ζ ECM=90 0
• 又EC = MC 且GM = EG ，:. EG = CG ，且EG上CG.
倒5
(1) }5 }5 
,., AE 
CE 
r;:- o_AE 
(2)
由6ACEω 6BCD 得一一=一一=布，即
的大小无变化.
BD 
CD 
v~.
， BD 
AE 
(3) 如图①
，AE=5
，BD = 一:!=. =}5 ;
划5
AE 
3J口
如图②
，AE=3 ，BD = 一~
一兰之
创5
5 
3 J5 
综上所述
，BD 的长为战f
卜\
图①
D 
(例
5)
C 
B 
E 
A 
图②
• • 
1. 2- .j3 
如图，过B' 作MN // AD ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，B'C' 交CD 于点K ，则B'M=AB' sin60 0 = 
手，即=1
手，AM=÷ ，RωK胆6RωKD ，ζ KAB' =ζ KAD = 15 0 , LADB' = 爪6ADKω6DNB' ，
DK 
AD 
=一一，DK = 2 一点，重叠部分面积=2Sl!，ADK =2 X 言X 1 X (2 - 13) = 2-13. 
NB' 
DN 
119 i 
、
啄
，传
食女
食
食女
食
，传女
2÷ 重叠部分为正六边形
3. 4 .fi 
4. 36 
参见例
2 ，DE2 = AD2 + BE2 ,DE= 5. 
5. C 
①②③⑤正确
学科精英大视野系列丛书
B 
6. 5 jIT
如图，设ζ DBC=8 ，则ζADC= 28 ，以D 为旋转中心，旋转LBDC 到
-
LADP 的位直.
Jl1IJ AD=DC,DP= DB ,AP=CB=10 , 
ζ DPA = ζ DBC= 8 ，ζ PDA =ζ BDC ，即ζ PDC十LCDA = ζ BDP+ ζ PDC.
于是'Lζ BDP= ζADC=28.
作DK j_ BP 于点K
，则
ζBPD=÷(l阶朋=90 0
。
. ζAPB = ζAPD+ ζDPB = 90 O， 
在RtLABP 中
，BP = j AB2 - Ap2 = 2 jIT. 
作DHj_AP 于是H 则四边形PHDK 为矩形，有DH=KP=扫P= jIT, B 
故S6配= S6PDA 寸X IO X Æ=5Æ 
7. B 
8. B 
9. A 
若将LAPC 绕点C 旋转到LBP'C 的位直，如图，连接p'p ，则P'C =
PC= 5 ，ζ P'CB 十ζ PCB = ζACP + ζ PCB = 60 0 ，
:. L P'CP 是等边三角形.
:.P'P= PC=5. 
又.: BP=4 ,P'B =AP=3 , 
:. p'p 2 = Bp2 + P'B 2. 
. ζ P'BP = 90 0 • 
只.n
:. S6PBP + S6PCP = S6CP'B + S6臼P = S6ACP 十S6æp = τ X 3 X 4 + 2 X 5 X 才二=
B 
C' 
D' 
(第
1 题)
C 
(第6 题)
A 
C 
(第9 题)
。巳
1':>.
6+ 千二若将LAPB 绕点B 旋转到L CP'B 的位直，可得LAPB=l旷，过点A 作AD j_ BP 于点D ，AD =
1 _ . 
3 
~ 
1 __
. _ 
1
"
.
，
，
3
叹5 J3 
: PA= : ,S^ ARP = : Bp . AD=: X 4 X 一= 3 ，故S^ ARr = 9 + 一」二-
2 ~ . ~ 
2
万
ι""r
2 - ~ 
. ~ -
2 " . . 2ι""~ 
10. B 
将LCPA 绕点A 逆时针旋转60。到LC'AP ' ，连pp' ，LAPP' 为等边三角形
，PB + P p' + p' C = 
PB +PA+PC>AB+AC=AB十AC.
11.
延长EF ，与BC 支于点M，连DM ，与CF 交于点G ，则LDFM旦L DCM ，M 为BC 中点，ζEDM= 45 0 ，
I 
EM= AE+MC. 设正方形边长为
1 ，AE= x ，由EB 2 十BM2 = EM2 有(1 -X) 2 + ( : ) 2 = (x+ : ) 2
，解得x = ~ ，故
2 
AB 
~ 
AE 
~ 
12. (1)延长BC 至E ，使CE=CD ，连DE ，证明LACD兽6.BED. 图略.
(2) 将LABD 绕A 点旋转60。到LACB' ，连B'D ，B'P ，则四边形AB'DP 符合(1 )的
条件，于是B'P = PA + PD ，连AC ，则LABD旦LACB' ，BD = B'C ，B'C ζ PB' + PC= 
PA+ PD+ PC ，从而BD~PA十PD+ PC.
13 ω 延长肌支EF 于N ，由LADM旦LENM ，得DM= MN ，MF = ÷ DN ，
FD= FN ，故MDj_MF ，且MD= MF.
ID 
(第
1 2 题)
( 丸每银)
会食
食
女食食
女食食
第
14 讲旋转变换
(2) 延长DM 交CE 于N ，连DF ，FN ，先证明t6ADM旦t6ENM ，再证明t6CDF C/Jt6ENF. (1)中结论仍成立.
(3) 结论仍然成立，延长DM 至N ，使MN=DM ，连DF ，FN ，证法同上
A
14. 旋转t6 BCA } 至t6 BC } A' }
，则t6 BCA} 旦t6 BC } A' }
，显然ζ AC}B+ ζ BA}C+
BJ 
ζ CB } A = 360
0
，ζACB+ ζ BC}A'} +ζ ACA'} =360 0 ，故ζ AB}C= ζ ACA'}
.
又C } A' } =CA } = B,C,AC} = AB }
，故t6ACA' } ~垒t6AB } C=>AA'} = AC, 
又A' } B = BC ，AB = AB ，故t6ABC旦t6ABA' }
.
所以56ABC= 56ABA' = 56ACIJ 十S6AB . C+ 56BCA 斗56础c= 4SA …
"
>…
1 5. 分析与解:直接解题有困难，将6ABC 绕点A 逆时针旋转120 0 ，240 。拼成正
t6MBC (如图) ，则正6ADE 变为正6AD ，E }
和正6AD ，E，. 易知，六边形
DED} E } D，E，是正六边形，t6 DD ，D，是正三角形，其面积是6ADE 面积的
3 倍. 因
此，设法由正t6 MBC 面积为
150cm' 求出6 DD } D，的面积，问题就解决了.
注意到BD
: DC= CD} : DJM= MD, : D,B =2 : 3 ，连接DM ，则
SMD=÷hc= 6Ocm2 ，而SADzrfSAmD=36cm2
同理可得56MD D = 5 6 DCD = 36cm'. 
因Ji:t,, 5 6DDD =150 一3 X 3拓6= 咀仙m
旷
n
、
2
C 
AJ 
16 .
延长BP 至点N 使PN = PA
，连AN ，CN ，则t6 APN 是等边三角形
，AC 为PN 的垂
直平分线.将t6 CAN 逆时针旋转到t6 CBM 的位直，作CH l_ AB 于点H ，交PM 于点K
，则
1 / ..__ 
1 
t6 NCP旦t6 MCP ，ζ NCA 二一ζ NCP = 一ζ NCM = 1 0 0 ，于是ζ NCB = ζ NCA + ζ ACB =
2 ~. . _. 
4 
ζ NBC ，得NB =NC ，故PC =NC=NB =N P 十PB = PA 十PB.
17. (1) L E'AF =30 0 ,BE+ DF= EF. 
(2) 在BE 上截取BC=DF ，连接AC ，可证明t6ABC旦t6ADF ，t6CAE旦t6 FAE ，得BE ­
DF=EF. 
AN AM J3 
(3) t6 AEE' 是等边三角形，由互E - 互Bτ ，ζ BAE= ζ MAN ，得t6 BAEω t6MAN ，
. MN 
AM '" 
>0 ' 
.)3 
. --:::::-=-一一，得MN = 工工
BE 
AB 
_ ......到:
C飞/
~B 
(第
14 题)
C 
(第
15 题)
A 
H 
B 
(第16 题)
18. (1)略
(2) 连AC ，AD'
，CD'. 证明t6AE' D' 且t6ABC ，t6ABO C/J 6 AE' 0 ，得ζ OAB =L OAE. 图
18 0 。
(3) 150 
24 0 
(4) 是
(5)
60 。一
n 十3
咯.
19 . 将t6A PB 绕点A 按逆时针旋转60 0 ，得到t6AP'C. 则t6 APP' 是等边三角形，
AP=P户手PC 又由AP' 十PC' =AC' 得PC= 2 j7，JjJ'j 5叫二÷AP · P白d
如图，将t6ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到t6ACF 位直，使AB=AC ，连接DF.
在图①基础上解决问题: 取DF 中点E' ，连接AE'
，则AE' 是t6ADF 的中线，由
旋转性质知
: AF=AD ，BD=CF ，ζ BAC= ζ DAF .
. AB 
BC
，，~ 1 
4 
'. t6A BCω t6 ADF. .
一一=一一
即一~，则DF = 性.
' AD 
DF'" k 
DF 
.: t6 A DF 是等腰三角形
，AE ' 是底边DF 上的中线，
:. AE' 也是底边的高与顶角平分线.
易知AE 平分ζ BAC ，
:. AE' 上DF ，正三DAE'= ζ BAE= ζ ADC.
:.CD// AE'
，则CD l_ DF ，即t6 CDF 是直角三角形.
:.BD =CF = ♂FτDF'= ♂可百万=刁百年五.
王2姑
F '" 
J L, 
; .......! 
í _,/ 
! 
._ 
\ l 
k气
4
B 
E 
C 
(第19 题)
hrILh 
I LJ\J 
WV 
lJV . TI 
小提琴奏出的乐声如图所示.
它的公式基础是
:
支撑现代科学的三角函数，本是数学定义
出来的计算工具，但可以非常好地描述波动等
众多的自然现象. 我们的世界不仅充满着电波，
还充满声音、可见光等各种各样的波.
!(t)
臼
0.06s inl 000 π t
+ 
0 . 02s in2000 πt +0 . O l s in3000 rrt 
、豆豆u
吃:J; r
在7
ZEi叫锐角斗画气;二i
'
知能概述
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥
梁之一.解相关问题常用到以下性质.
(1) 三角函数的有界性与单调性;
(2) 同角三角函数间的关系、互余角的三角函数间的关系.
善于促成线段比与三角函数的转化是解题的重要技巧.
~ ，~ 问题解决
倒1 如图所示的网格是正方形网格，则ζ l 十ζ2=
篇题思路
通过构造全等三角形，把分散
的ζ 1，ζ 2 拼成一个角
，或注意到
tan ζ 1 =
乞tanζ 2 = ÷ ，亦可运用三角函数解题
倒
2
如图，在
z 轴的上方，直角
ζ BOA 绕原点。按顺时针方向旋转，若
ζ BOA 的两边分别与函数y =- 1 ，y=JL
x 
x 
的图象交于B
，A 两点，则ζ OAB 大小的变
化趋势为(
). 
(北京市中考题)
r----r----T---- 寸-----，-----，
: 
: P: 
: 
: 
: 
r---- t"---~牛0;;;;，::---寸----寸-----1
, 
V', 
T、、、'
!~1' 
, 
, 
负可-- , 
A 
B 
y 
。
X 
A. 逐渐变小
B. 逐渐变大
c. 时大时小
D. 保持不变
(山东省滨州市中考题)
解题思路
当直接判断困难时，可将角的问题转化为线段比探讨.
量22
我认为数学家无
论是选择题材还是判
断能否成功的标准，
主要都是美学的.
一一冯·诺伊曼
12345 
如图，在矩形
ABCD
中，
i支AB = 
2α ，BF = a ，AD = 3α ， 
DE = a ，可得:
( tM
1= ÷; 
②tanζ 2 = ÷; 
③ζ 1 +ζ 2 = 45 0 • 
对于上述三个等
式，若已知任意两个
等式，则可推得第三
个等式.
A 民飞
--, D 
W45 。
飞飞~飞
l 
l1\
士〉tE
B 
T.' 
C 
F 
~~~ 
合食
贪
( 丸每级)
官食食
古食*
第
1 5 讲
锐角三角函数
1 
,
1 
1 
倒3
若α 为锐角，求证:
一+一一+一.1→>4.
smαcosα
s mαcosα 
( 浙江省宁波市竞赛题)
鲤理只需证明出
1) + (中一个(斗3 牛
倒4
如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是
A 
M 
D 
AD 上异于D 的点，且ζ NMB =ζMBC ，求tanLABM 的值
1
/ 
~ 1 
(全国初中数学联赛题)
I / 
"'iN 
AM 
1-- '_lI. _"'.I ..,..., 
A-
1.1. 
' _L ~LL.. ^ 
1/ 
I 
鹏题思路
ta 口ζABM= . :.; ，怎样利用条件构造全
1/ 
1 
一一一一一=
~""~.L--. ~ ---. .-
AB 7 .~， l' " 
.J I 
I .J /~... '
1 
r ~ ---=- __.__ 
v 
| 
等三角形、相似三角形，建立线段间关系，有丰富的解题
B 
路径( 如图①，②，③) . 
A
品1
D 
~ A1 
D 
A 
M 
D 
|/ 
、
旧户一一一- 一一斗N
B 
C一一-- -'..E
B 
C 
B 
C 
图①
图②
图③
倒5
已知:在RtDABC 中，ζ C= 90 0 , sinA , sinB 是方程工2 十ρx+ q =
0 的两个根.
(1)求实数ρ ，q 应满足的条件;
(2) 若户，q 满足(1)的条件，方程x 2 + ρ工十q = O 的两个根是否等于
RtDABC中两锐角A
，B 的正弦?
(江苏省竞赛题)
融题思路
由韦达定理、三角函数关系建立ρ ，q 等式，注意判别式、三
角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数ρ ，q 应
满足的条件.
例6
问题呈现
如图①，在边长为1 的正方形网格中，连接格点D ，N 和E ，C ，DN 与EC
相交于点P ，求ζ CPN 的值.
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出( 或构造出) 一个直角三
角形.观察发现问题中ζ CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行
线等方法解决此类问题. 比如连接格点M ，N ，可得MN//EC ，则ζ DNM =
ζ CPN ，连接DM ，那么ζ CPN 就变换到R tD DMN 中.
问题解决
(1)直接写出图①中国nζ CPN 的值为
(2) 如图②，在边长为
1 的正方形网格中，AN 与CM 相交于点P
，求
COSL乙CPN 的值.
123 
哈
求非特殊角三角
函数值的关键是构造
直角三角形.
由于三角函数的
实质是线段比，所以，
很多与三角函数相关
问题总与相似三角形
联系在一起，等角的
代换、线段比的转移
是解三角函数问题的
重要技巧.
a望~~~
食* * 
食女
女
食
，曲
，传
思维拓展
(3) 如图③，AB l_ BC ，AB =4BC ，点M 在AB 上，且AM=BC ，延长CB
到点N ，使BN=2BC ，连接AN 交CM 的延长线于点p ，用上述方法构造网
格求ζ CPN 的度数.
D 
|1 
1
J1 ~， 
A J!~: 
L←γ7 1" 
r ~ 
1 
C 
图①图②图③
(江苏省扬州市中考题)
篇题思路
平移变换能改变图形的位置，化分散为集中，化隐性为显
性，使条件在新的情境中建立联系.对于(3) ，解题的关键是依照前面累积的
经验，化未知为已知.
倒7
如图，在D.ABC 中，点D ，E ，F 顺次在边AB
，BC ，CA 上，设AD =
ρ
. AB ,BE=q ' BC ,CF = r ' CA ，其中川，r 是正数，且使ρ + q + r =? ，
旷+ q2+ r2=? 求56DEF
: 56ABC 的值
给析与鹅
把
56ADF , 5 6 BDE , 56 CEF 分别用含
5 6ABC 的式子表示.由三角形面积公式易得，如:
lAD - AF - mA 
5 6 ADF 
2 r H./ -
r u 
- ""JJ1. 
AD . AF 
5 ^ ARr 
1 A ~ 
A ~ 
•• 
AB . AC" 
o. JlliιlfAB-AC - sinA 
(上海市竞赛题)
A 
B 
.: AD = ρ
• AB ,BE= q • BC, CF= r • CA , 
:. BD= (1 一ρ) • AB ,CE= (l - q) • BC ,AF= (l - r) • CA , 
{13 56 ADF _ AD . AF _ . " 
, 56BDE 
BD. BE 
由三角形面积公式，得一一- 一一一一一= ρ (l - r) 一一=一一一一一=
5 6 ABC 
AB ' AC 
Y , Á 
, / , 5 6 ABC 
AB. BC 
5 ^ CEF 
CE ' CF 
q(l 
ρ ) 」旦旦'--
'5 6A旭BC
BC . AC 
"Á 
'1 
5 6 DEF = 5 6 ABC -
(56ADF + 5 6BDE + 56αF) 
=[ 1 十(ρq 十qr + rρ) 一(ρ + q + r) ] • 5 6 ABC ' 
又内+r=? ，户户r2 =二，
-(户十q + r) 2 一(ρ2+ l 十r2 )
1 
:. pq + qr+ rρ -
n
-
~ 
45 
;:, 6 DEF 
, , 1 
2 
16 
故三主旦旦= 1 + 一
-一
~ 6ABC 
-
. 45 
3 
45' 
三角法
通过解三角形，把几何问题转化为三角函数问题，运用三角函数迅速建
立边与角的关系，用解三角形代替几何证明，这种证明问题的方法称为三角
封:;J
学科精英大视野系列丛书
设L::.ABC 中，α ，
b ，c 为ζ A ，ζ B ，ζ C
的对边，R 为
L::.ABC
外接圆的半径，不难
证明: 与锐角三角函
数相关的几个重要结
论:
=
d 
co 
PLAd 
m
m
ω
 
LI-2 
一
­
ld 
r
飞
创
PL 
，
。
l-2 
C 
一
耐
[Ua-M
=兰工=2R
smC 
Q\~c.\ 
* 
4耐
咱k
*
食
第
1 5 讲
( 丸每级)
飞去
食
4飞y
h\ 
-i户E
法，其实质是将定性推理论证的问题转化为定量的计算问题.
三角法特别适用于含有直角三角形的问题.
倒8
如图，在Rt.6.ABC 中
，CD j_AB 于D ，DEj_AC 于E ,DF j_ BC 于
AE AC 
F. 求证· 一→二一一
'BF 
BC' 
证明
1
.: ζACB = 90 0 ，CD j_AB 于D
，
:. AC2 = AD. AB ,BC2 = BD . AB. 
(云南省昆明市竞赛题)
C ~ 
AC2 
AD /Q AC' 
AD2 
一丁=一一，得一一=一一τ
BC' 
BD' ，.~ BC 
BD2 
. CD j_AB ，DE上AC ，DFj_BC , 
: . AD2 = AE ' AC ,BD2 = BF ' BC. 
/
Q AC 
AE . AC cnAE AC3 
于是得
r"">.T"""'o 
r......-..' 即
=一--
BC 
BF ' BC' ~'-BF BC" 
证明2
设ζB=α ，则ζ CDF= ζ DCE= ζADE = α .
AE 
DE 
DF 
CE 
. DE=tanα 'CE = tanα 'BF - 豆'F = tanα ，
AE 
DE 
CE 
, 
(AC\' cnAE 
AC3 
. 一一
· 一一
· 一一= t a旷α=
1 一一
1
.即
= 
DE 
CE 
BF 
，~" ~ 
~BC)' ~ ，- BF 
BC3 ' 
A 
D 
B 
.. ~ 刻意练习
一
1.计算:
(1) (0. 25tan60 0 ) 200' • (4cot60 0 ) 2002 = 
(广西壮族自治区竞赛题)
(2) si 口2 48。十S1 且2 4 2 。一tan44 0
' tan45 0 
• tan460 = 
(山西省竞赛题)
2. (1)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点。，过0 点作OE上AC 交
AB 于E. 若BC= 4 ，.6.AOE 的面积为5 ，贝IJsinζ BOE的值为
(黑龙江省哈尔滨市中考题)
(2) 如图，在由
10 个完全相同的正三角形构成的网格图中，ζα ，ζ卢如图
所示，则cos(a 十卢) =一一一一一·
(四川省自贡市中考题)
A 
D 
E冈
B 
C 
[第20 )题]
[第2 ( 2) 题]
3. 已知m 为实数，且slna ，cosa 是关于工的方程3工2 - mr + 1 =0 的两根，则
sin4 α + cos 'l α 的值为
(全国初中数学联赛题)
4. 如图，等腰Rt .6.ABC 中，ζ C = 90 0 ，D 为BC 中点，将.6.ABC 折叠，使A
，
也
"‘ 
卢
h
J
V
口
一
院角三角函数
恭恭
争斗卷
ρ=川号。
ρ =asin4 f) 
在三角函数中还
有一些知名的美丽曲
'
线，它们就是蕃薇曲
线.图中是用蔷薇曲
线构成的美丽图案.
E这I~~
食
食
，传
食
食
食，(;:
女
DE 
点与D 点重合.若EF 为折痕，则sm ζ BED 的值为
一一的值
一一一一一' ，DF
为
(江苏省竞赛题)
D 
C 
J贮飞
\ 
E 
飞二f
B 
\吨
B 
C 
(第4 题)
(第5 题)
(第6 题)
5. 在矩形ABCD 中
，AD=2AB=4 ，E 是AD 的中点，一块足够大的三角板
的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点E 旋转，三角板的两直角边分别
交AB ，BCC 或它们的延长线)于点M ，N. 设ζAEM = α(0 0 < α < 90勺，给
出下列四个结论:
①AM=CN; ②ζAME= ζBNE; ③BN-AM=2; ④SAmN=17 · 
cosα 
其中，正确的序号是
(山东省德州市中考题)
6. 如图，在四边形ABCD 中
，AB=BC=CD= 26 ,AD= 30 j3，AC 与BD 交
于点。，ζAOB = 60
0
，则S四边形ABCD
一一一-一·
(全国初中数学联赛题)
7. x 为锐角，且满足sm工=3co日，则smxcos工的值为(
). 
A.÷B-i 
c
主
t> 
~ 
-. 5 
D. ~ 
-
10 
(江苏省竞赛题)
8. 已知。为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数y =lu>0) 的
工
图象上，位于第二象限的点B 在反比例函数y =
ib〈O) 的图象上，且
工
OA 上OB ，则
tanζABO 的值为(
A. ~ 
R J2 
2 
~. 2 
c. 1 
D. 2 
(全国初中数学联赛题)
9.
如图，锐角6ABC 中
，BE ，CF 分别是AC ，AB 上的
A 
高，则S L，AEF
: SL, ABC = ( 
). 
A. sin2 A 
c. tan2 A 
B. cos 2A 
D. cot2A 
(中学生数学智能通讯赛试题)
10.
如图，在梯形ABCD 中，AD 矿BC ，AD _l CD , 
Ë 
BC=CD = 2AD ，E 是CD 上一点，ζ ABE =45 0 ，
则tanζAEB 的值等于(
). 
3 
A. 
::: 2 
B. 2 
5 
c. 
::: 2 
￥. 26 
C 
(第9 题)
D. 3 
(天津市竞赛题)
学科精英大视野系列丛书
立民&
~~~ 
食
食
( 丸每银)
、食
食
yfz
食
食
第
15 讲
锐角三角函数
Aυ 
(第
1 0 题)
(第
11 题)
11.
如图，正方形ABCD 的边长为
2 ，点E 是BC 的中点
，AE 与BD 交于点
P
，F 是CD 上一点
，连接AF 分别交BD
，DE 于点M
，N ，且AF 上DE ，
连接PN ，则以下结论中:
2 J65 
( S L,ABM = 4SL, FDM ; (
PN = -
，VrV V; ①tanζ EAF = 一;④6 PMN ω
15 
6 DPE. 正确的是(
) . 
A. ①②③
B . ①②④
c .
①③④
D. ②③④ 
(新疆生产建设兵团中考题)
12 已知A ，B 都是锐角，且满足)Ê si创iι 十
+c时B = ?t ，川C旷A +忖忖
5创川
l川nω = ?f
则实数t 的值为(
)λ . 
A
号
B
-fcID1 或-3
13. 设α ，b ，c 是直角三角形的三边，c 为斜边，整数η 二月，求证
: a
ll + b
ll < c
ll •
(福建省竞赛题)
14 .
如图，在Rt6ABC 中
，CD ，CE 分别为斜边AB 上的高和中线
，BC = α ，
AC= b(b> a) ，若tanζ DCE= l ，求旦的值.
2 , ,- b 
F\ b人\
B 
(江苏省竞赛题)
A 
C 
(第14 题)
(第
15 题)
(第
16 题)
15.
如图，已知AB=CD= l，ζ ABC = 90 0 ，ζ CBD = 30 0 ，求AC 的长.
16 .
如图，已知6ABC 中，H 为垂心.
AH 
BH 
CH 
求证: (1) .:.:一一_ --- _ 一一一
cosA 
cosB 
cosC' 
(2) 2 (右+古+在) =古+击+ 市:
(加拿大数学竞赛题)
(上海市竞赛题)
17
设6ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为α儿且a+叫，b= 2 ，叫=t
(1)求a ，c 的值;
(2) 求sin(A -
B) 的值.
127 
嗦
(山东省高考题)
6昌、信埠。毒、
食
食
1々
食
食
1与了
食
食食
18. 是否存在实数工，使tanx +J3与cotx十J3均为有理数?
(北京大学自主招生试题)
19.
阅读理解
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如图①，一个矩形发生
变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的
一个内角为α ，我们把气L的值叫作这个平行四边形的变形度.
smα 
口c
D~~g护D
图①
图②
(第
19 题)
(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是12 0 0 ，则这个平行四
边形的变形度是
猜想证明
(2) 设矩形的面积为5 j ，其变形后的平行四边形的面积为5 2
' 试猜想
乱，乱，气L之间的数量关系，并说明理由.
-
smα 
拓展探究
(3) 如图②，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点，且AB2 = AE . 
AD ，这个矩形发生变形后为平行四边形AjBjCjD j
，Ej 为E 的对应
点，连接BjEj
，BjD j . 若矩形ABCD 的面积为4 Jr;;(m>O ) ，平行四
边形AjB jCj D j 的面积为2 J百(m> O ) ，试求ζA j EjBj + ζA j D j B j
的度数.
(湖北省成宁市中考题)
20. 如图①，正方形ABDE 和BCFG 的边AB
，BC 在同一条直线上，且AB =
2BC ，取EF 的中点M ，连接MD ，MG ，MB .
MB 
(1)试证明DMl__MG ，并求一一的值;
几1G
(2) 如图②，将图①中的正方形变为菱形，设ζEAB=2α(0<α< 90勺，其
MB;../.; r.r-+---:ft:- Ir~nõl
...... 
--H--
他条件不变，问(1)中一的值有变化吗?有有变化，求出该值(用含
MG 
α 的式子表示) ;若无变化，说明理由.
(山东省淄博市中考题)
E 
D 
E 
D 
F 
F 
图①
图②
(第20 题)
封兰J
学科精英大视野系列丛书
~~、I~
( 丸每级)
合食
女食
丁ff
食
食
食
食
第
15
ì井
锐角三角函数
• 
-
罐
罐
倒
1
45 。
OB 
倒2
D 
过点A 作AC _l x 轴于点C ，过点B 作BD _l x 轴于点D ，则
tan L三OAB = 一一，由6 BODω
OA 
OB 
OD 
β户阳)
J2
60AC 得一--一- -
陆出丘= 工二
OA 
AC
飞S L';，i\OC
2 ' 
(1 
. ì , (1 
. ì , ( 
1 
~ ì 
1 - sina , 1 -
cos日
1 - 2sinacos日
倒3
1
---:'一←11 +
1 一一一1
1 + 1---:-一一一-21 = 一一一一+一一一一+
\ sm日
J
\ cos日
J 
\ smacosa 
J 
smαcosαsmαcosα 
0: O< sina< l ，O <cos日<1，于是有1 ←sina>O ，1 - cosa>O , 
匕旦旦十匕旦旦+~ 创na- cosa) 2 > 0 ,
sma 
cosa 
smacos日
1 
,
1 
1 
flr 一一+_._+---;-一一二一> 4 .
smαcosαsmαco sα 
倒4
如图，过N 作NH // BC 交MB 于H ，则NH 是梯形MDCB 的中位线，
又ζ MHN= ζ MBC = ζ NMB ，
MN=NH ，设MD九B凹，则NH = MN = 午，
在Rt6MDN 中，1 2 十( ~ )2 
= (中) 2 ，
"_ .~ 
2 
整理得3工2 - 2ax = 0 ，解得工=-;::-a 或工= O( 舍去)
，得AM=Ea.
3 
AM 
1 
故
ta口ζABM= 一一=
AB 
3 ' 
V斗N
(例4)
6，= ρ2_ 4 q二三0 ，
si nA +sinB =
户，
1 sinA 0 sinB= q, 
倒5
(1)户，q 应满足以下条件~ ;'< ~i nA'<-l ， 
O<sinB< l , 
1
-2
一
一
/
词
句
八
U
Q
A
-
<<
L
Pop 
r
l
l
l
I
l
l
-
l
J
、
l
I
I
I
t
-
-
t
、
得
在A
寸
bu 
，
且
由
sin2 A 十cos2 A = l , 
/ ρ2_ 4q二三0 ，
(2) 先设方程工2 十ρ工+ q = O 的两个根为日，卢，若ρ ，q 满足(1)的条件，则日，卢满足{ O<日< 1 ，0<卢< 1 ，
1 α2 十卢= 1
，
故a ，ß 必定是Rt6ABC 两锐角A
，B 的正弦.
倒6
(1 ) tanL乙CPN = tanζ DNM = 2 .
(2) 如图①，连接AE ，EN ，得口AMCE ，ζ CPN= ζEAN. 由6AEQ 旦6 ENC 得6AEN 为等腰直角三角形，
cosLCPN=叫。=子
(3) 如图②，取格点D ，连接A D ，DN. 由网格图可知，显然四边形DNCM 是平行四边形，所以CP // DN , 
则LCPN = ζAND . 因为AD = DN ，ζADN = 90 0 ，所以ζAND = ζ DAN = 45 0 ，则ζ CPN = 45
0
•
Q 
C 
C 
AI M --
L斗/
~ 
卜\
B 
、
~ 
、
~ 
、
N 
飞
~~ 
、
~~~ 
~~~ 
D 
A 
图①
图②
129 
'fE 
y、
‘F
学科精英大视野系列丛书
• 
食
食齿'
食
食合
食
1厅
食
-
•••• • 
(2) 0 
1
(1)÷ 汀
连
EC 交OB
于F ，则6 0EF ∞6 CBF ，
si n ζ BOE= 
3 
5 
) 
-EA 
( 
2. 
EB 
3 
S InζEOF=sinζ ECB==== 
EC 
5 . 
如图，连接DE ，则ζ AED =90 0 ，设等边三角形边长为α ，则
(2) 手
AE =2α ，DE = ./3a ，AD = J7a . 
3÷ 
[第2(2) 题]
Jfr，、式= (sin2 日+ cos2 日) 2 一2( sinacos日) 2 .
4. 
~. 2 _12 
5' 3 
CF 
3 
,lL-
T'\. '-" I 
Tl....... 
'T"_
........ 
L ^ ro '-" T'\. ~_ ^ r-.""T"' 
/''Q DE 
DG 
S Inζ BED=s i nζ CDF=DF = τ ，作DGl_ BE 于G ，由6 EGDω6 DCF ，得DF = CF.
5. (((
6. 506 ./3 
t支OA = a ，OB = b ，OC =c ，OD = d. 则
SAM= ÷ω
• OBsin俨子ab ，
hc =÷OB · OGln旷=fbc ，
SMD=÷oc - ODSln俨fcd ，
56∞A=÷OD · 队SIn旷=fda
由余弦定理知
AB 2 = 矿+b2 -ab ,BC2 = b2 +c2 + bc , 
CD 2 = C2 十d 2 - cd , DA 2 = d 2 +a2 + da. 
故BC 十DA 2 -CD2 - AB 2
= ab+ bc+cd + da =2024 
斗S四边mrf附bc+cd+白)=506 ./3
7. D 
8. D 
9. B 
6 AEFω 6ABC 
1川o . D 
延长DA 至点F ，使AF= AD ，连BF ，四边形FBCD 是正方形
，BF = BC ，再延长AF 至点G. 使FG=
CE, 连BG, 则6BFG旦6 BCE ,AE= AG, 设CE= 工趴，BC=2μa ，则FG= 工x ，AF=AD= αa ，AE= AG= 工+a ，DE = 2μα 
• 
叫R ω 
D归
E 中，d:J由(ω
工计+忖αω
户)
FG 
~~ " 2a 
作出如图所示辅助线，由6EGNω 6 ECD ，得旦豆
EN
A 
DC 
ED' 
D 
A 
NG 
3 
解得NG=:
，则EG= 一一一一-一-­
tanζ DEC 5' 
过点P 作PK l_ BC 于点K ，则6 EPKω 6 EAB ，
11. 
C 
(第
11 题)
B 
设KE=x ，ýJ lj 王=12 ，解得z=L 则PQ=PK= 三
1 
2' 
1" r 
1'",
"""" 
3' ,r q 
...l "'l 
..l..l \. -
:i 
最主j
( 丸每级)
气:号'盹
斗过
.~ i、y
"
岛
食
食
食
言传
食
第
1 5 ì井
锐角三角函数
一14
~ I 1 _ 
8 
后节「寸才T
2
丘王
二PJ = BG - PQ = BE十EG - PQ→→
NJ 一一，则PN =
、PF + NF = 一口工
15"' J 
15 ''"'''' 
V 'J 
' ''J 
15 
故②正确;则LPMNL PDE 对应边不成比例，故④错误，故选人
12. C 
13. sina= 子，cosa= 子因sina< l ，c伽< 1，故当训时，灿<siμ cosna<c的，于是灿十cosna <
5白i旷h日+ c
忖∞d
叫
Omds矿白归
2、
' a=
俨叫=刮1，11月
F即咐
F
BC' 
a '
αb 
14.BD= - J = 
CD
一一一，DE = BE - BD = ~ Ja可百二iL一=
b'二三L
由
AB 
Ja牛万，L--L/
Ja可ET
2~4T O 
d牛万
2
Ja可巨'田
DE 
1 
b' -a' 
_._ 
ab 
t}-a' '" ' 1 , 
"_ ^ 
Im ,-'" a 
./5-] 
nζ DCE = 一一-
←一一一一一? 一一一一一=一一一，得矿+ab - b' = O ，解仔
v二一一
CD 
2 
2 
Ja可17
Ja可b'
2ab
' ,,-
，
-~ 
~ 
v , '''1 " J b 
2 
…叫…AB ……
由LDCE扣ωLD队AB ，得豆旦旦
C旦E 即一L=iz三王工工，(ωI十2υ)(ω工3 一→2) =0 ，解得工x= :';拓2，即AC =:';拓江
E立. 
AD 
AB'
工+ 1
.[3
一
BE 
• 
sinA 
L 
^ ~~ ~，_ ^ .~" ' ''' BC 
BE 
sinA 
0_ AH 
BC 
_~ ~ _ BH 
16. (1)一一= tanA= 
由LBECω LAEH ，得
= 
=一一→
即一一一=一一一= 2R ，同理一一-
AE 
caw . 
cosA'.... L .. H-'"--"'-' V 'L..O.' . "--" , 'PJ AH 
AE 
cosA'" cosA -
sinA -
,",n , I"J ~..t. cosB 
AC 
_~ CH 
AB 
_~
.. AH 
BH 
CH 
一一一= 况，一一一=一一一= 况，故一一→= 一一= ←­
sinB 
-,. , cosC 
sinC 
_.. , -- cosA 
cosB 
cosC 
BD , DC , AE , EC , AF . BF 
(2) 右边=
十
+ :::: + :::: + ::'_ + 
HD . HD . HE . HE ' HF . HF' 
BD 
AE 
，，_ __~ CE 
BF 
r ~__~ AF 
DC 
而
===tan丘B HD ，一一=一一=ta nζ BHF ，~一= 一一=tanζ AHF ，
HD 
HE 
<O UL_ '-' '' ~'EH FH 
caUL_ '-' ''' 'FH 
HD 
(BD , CE , AF'\ 
.右边= 2 ←一+~一+ :::.. 1 
\HD ' EH ' HF ) 
BD 
AB 
c 
~ _ CE 
BC 
a 
AF 
AC 
b 
由LABDω L CHD ，得
r; TT 
~ ，同理
一一=一一一一= 一一= 一一
HD 
CH 
CH
，n '~EH AH AH ' HF 
HB BH' 
右边=2 f
. ~T+土+土Î= 左边
\AH ' BH ' CH ) 
BD 
7 
17. (1)作CDj_AB 于点D ，由cosB = 一一= 一可设BD = 7走，BC = 9走，则AD = 6 - 16k . 由
BC 
9 
BC' - BD' = AC' - AD' 得走= ÷，于是α = 3 ，c二3
(2) L BCA 为等腰三角形，作ζ CAM= ζ B ，如j ζ MAB = ζA 一ζ B ，LACMω LBCA ，可得出
~ 
A 
MC=f ，BM= ? ，作MNj_AB 于川，设BN = 工，由BM' -BN '= AM 2 -AN ' 1寻(号) ' -x2 =
C 
35 ... _ .,.. 20 = .. 
/... " 
. r . 
~， 
MN 
10 rr; 
2 ' -(3 - x) '
，解得BN= 牙'从而MN= 575，故SInL三MAN= sin(A - B) = 互币
27 、2
18
芳tanx+再为有理数，则存在整数ρ ，q ，其中( ρ ，俨1 ，使得t山+点= ?，
若C∞otx
工+.[3为有理数，Ji!'，贝如川!
所以tan旧工= 主- .[3
①，川C∞ot口x = -丰手一z
(
. 
qι 
将①②两式斗目乘得.[3( qs十ρt) = 如+2 qt .
由于ρ ，q ，s, t 为整数，故q s + μ=O( 否则等式左边为无理数，得出矛盾) . 
故知十2 qt = 0 ，从而ρqs = - 2q' t= 
ρ， t. 
131 ! 
咆
(第
1 7 题)
食
食女
食
食女
食
食食
学科精英大视野系列丛书
-. 
由的得户2川而?= 士在，矛盾
故不存在符合条件的工使tanx + J3与cotx+ J3为有理数.
2 J3 
19. (1)才二
1 
5 t 
(2) 气一=zL
smα
二' 2
理由如下
:
如图，设矩形的长和宽分别为α ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，口出7
则护叫= GLS lna= 7 ，
.主= 丝=主土=立. . 土
5 t
. . 52 ah 
h' sina 
h' _ - sina 
52 
A. B , 
A. E , 
(3)
由AB 2 = AE
' AD ，可得A t B : =AtEt • A t D t
' 可fpp
又ζ B t A t Et = ζ D t A t Bt' :. 6 B t A t E t ∞6 D t A t B t
' 
. ζ A t B t Et= ζ A t D t Bt . 
': A t Dt // B t Ct
' 二ζAtEtBt= ζCtBtEt'
.. ζ A t E t Bt + ζ A t D t Bt=ζ Ct B t Et+ζ A t B t Et= ζAt B t Ct . 
1 
5 t 
_, 
1 
4 J m 
由(2) 中一一=」，可知
= ι二三=2
，
sina 
52" 
". sinL三AtBtCt
2 rm 
- sinAACl=÷ ，μ At Bt Ct = 30
0 , 
.. ζ A t EtBt+ ζ AtD t B t =30
0
• 
此1B
r=-
20. (1)一一= ..)5.
MG 
V~ 
MB 
(2) (1)中一一的值有变化.
MG 
理由如下: 如图，连接BE ，AD 交于点。，连接α-; ，CG ，BF ，DF ，CG 支BF 于
点。，
叩0=侃，DG= GB ，:. GO// AB ，∞= ÷AB 
': GF // AC, :. O ，G ，F 三点共线.
:GF= ~ AB , :. OF=AB=DE 
.: DE// AC ，AC矿OF ，:.DE// OF , 
.. 四边形EDFO 为平行四边形
，:. OD 与EF 互相平分，OM=MD .
': GD=GB = GO= GF , :. 四边形OBFD 是矩形，.. ζ OBF = ζ ODF= ζ BOD =90 0
• 
:OM=MD ,GO=GF , :. MG= ~ DF 
(第
19 题)
(第20 题)
设BC = m ，则AB =2m ，易知BE= 20B = 2 • 2m ' sina=4ms in日，BF= 2BO' =2m ' cosa,DF=OB=2m ' sina. 
1__ 
1 
~τ-;::;;-
: MB =: EF = 一JBE2 + BF2
2 ~~ 
2 
v ~~ 
，
~~ 
= j4m2 • sin2 日十m2 cos2 日，
MG= ÷DF=m ' s叩
ma
• MB 
j4m2 • s创m旷2α +m 2 • c∞
OS2 曰
j4s剖in 2 a+c∞
os2a
MG 
m ' s町iIn1a
sirnm 
la 
a 
已
拉马努扬0887- 1920) ，印度著名数学
家，主要靠自学成才，是迄今为止最具洞察力
的数学家之一，他思维开阔，不拘于严密的逻
辑中.他给出的许多公式是借直觉推演而出
的，包括曾给出
π 的计算公式. 当数学家将它
编成程序在计算机上运行时，发现它比通常
的计算π 的公式速度快得多
，因而很快将π
的值算到小数点后
17 00 万位.
第i叫圆的基本JEt i
'
知能概述
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，即一个圆
绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与自身重合.
垂径定理及推论、同圆或等圆中的圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间
的关系定理及推论，都是由圆的对称性导出，在计算与证明中有广泛的应
用，一般是通过作垂线构造直角三角形，与句股定理、解直角三角形联系在
一起.
熟悉以下基本图形、基本结论:
'
问题解决
例
1
①0 的直径长为5cm ，弦AB // 弦CD ，AB =3cm ，CD =4cm ，则梯
形ABCD 的面积5 =
(湖北省黄冈市竞赛题)
解题思路
求出梯形的高，并注意弦AB
，CD 位置不同的情形.
览
在眉苦k
数学教育还必须
将数学中所固有的关
展示给学生，使学生
不仅获得知识，而且
还受到美的熏陶.
一一- 第六届国际
数学教育大会
蝴蝶定理
如图，过圆的弦
AB 的中点M 引任意
两条弦CD ，EF ，连接
ED ，CF 分别交AB 于
P ，Q 两点，则
P儿~ =
QM. 
上述问题出现在
1815 年的杂志《男士
日记》上，因其几何形
象奇特，形似蝴蝶，故
名"蝴蝶定理"
~、t;:\G.t\
食
食为
女
食
τ￥
食
食女
倒2
P 是①O 内一点，①0 的半径为15 ，P 点到圆心。的距离为
9 ，通
过P 点、长度是整数的弦的条数是(
). 
A. 5 
B. 7 
C. 10 
D. 12 
(江苏省竞赛题)
解题思路
过点P 最长的弦为①0 的直径，最短的弦与OP 垂直(为什
么) ，可得过P 点的弦长范围.
倒3
如图，半径为2 的①0 中，弦AB 与弦CD 垂直相交于点p
，连接
OP ，若OP = l，求AB 2 + CD 2 的值.
(黑龙江省竞赛题)
鹏题思路
过圆心分别作AB ，CD 的垂线，为垂径定理
的运用创造条件.
il
D 
~
0
-J 
/
/
-
P
'
、
A
矿
|
|
|
|
|
半
l
飞
B
i1
C 
倒4
如图，已知弦CD 垂直于①0 的直径AB 于L
，弦AE 平分半径
。C 于H. 求证:弦DE 平分弦BC 于M.
(俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
理堕塾些
连BD ，由垂径定理知BC = BD ，欲证
M 为BC 的中点，只需证明BM = 4BD ，而HO =
~ 
A 
÷OA ，故只需证明ð.AOHω ð.DBM
例5
如图①，已知圆内接四边形ABCD 中，对角线AC _l BD 于点P.
(1)请写出图中四个不同类型的结论;
(2) 如图②，过点P 的直线EF 分别交一组对边于点E 和点F ，求证:若
PE _lAB ，则CF=DF;
B 
国②
D 
D 
i(3少
学科精英大视野系列丛书
园是一个对称图
形，注意圆的对称性，
可提高解与圆相关问
题的周密性，这反映
在考虑点、线与圆心
的不同位直上.
例
1 、例
2 都需要
考虑圆的对称性引发
的讨论，这样才能准确
全面地解答问题.
B 
园是简羊的封闭
曲线，但解与圆相关
的问题常用到直线形
(三角形、四边形)的
相关知识与方法，同
样，圆也为解直线形
问题提供了新的途径
与方法，善于促成同
圆或等因中不同名称
的等量关系的转化是
解与圆有关问题的重
要技巧.
对于例
5 ，可以
进一步追问:
1.问题(2 )的逆
命题成立吗?
2 . 求
证
: AB2 + BC2 + 
CD2 + AD2 为定值.
r:'\Ct.\,;:... 
才江
、k
食
，曾
食
食
食
( 丸篝缎)
t 
第
1 6
ì卉
圆的墓4' 性质
(3) 连接OF ，求证:OF= ÷AB;
(4) 求证:Ap 2 十Bp2+ Cp2+ DP 2 为定值.
堕堕塾些
对于(3) ，构造三角形中位线，将问题转化为线段相等问题
的证明;对于(4) ，即证AB 2 + CD 2 为定值.
倒6
已知直线
t 与①O 交于不同的两点E ，F ，CD 是①0 的直径，
CA _U ，DB上l ，垂足分别为A ，B . 若AB = 7 ,BD - AC= l ，AE = l ，试问在线
段AB 上是否存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形与以点P ，B ，D
为顶点的三角形相似?若存在，求出AP 的长;若不存在，请说明理由.
(夭津市竞赛题)
全塑主堕
直线J 与直径CD 位置关系不定，而相似三角形对应关系不
确定，故须全面讨论.
(1)若J 与直径CD 不相交，如图①.
( i )作OH j_AB 于H ，易得AE = BF ，此时
ðACEωðBED ，ðAFCωðBDF ， 
则E ，F 为满足条件的点.
故AP = AE = l 或AP =AF= AB - BF= 6. 
( ii )若除E ，F 外，还存在点
P ，使ðAPC (/)
ðBPD ，设AC = 工，BD = y ，则y →工= 1.
EB 
因为RtðACE∞RtðBED ，故王一=一- ，得x y=6 .
AE 
y 
".，
~ .)' 
于是x = 2 ，y = 3 或工=一3 ，y= - 2( 舍去) . 
图①
AP 
BP nnAP 
7- AP h~/n . ~ 14 
因为ðA PC∞ðBPD ，故一一=一一
即一= 一一一，解得AP =
AC 
BD ,>',' 2 
3 
14 
故存在第三个满足条件的点P ，且AP = τ-
14 
综合( I ) 、仆仆，满足条件的点P 有三个，AP 的长分别为1，6 ，τ
(2) 若J 与直径CD 相交，且交点为Q ，如图②.
( i )由ζAQC = ζ DQB ，得
Rt ðACQ ω 
Rtð BDQ. 则点Q 为满足条件的点.
设AC = 工，BD =y ，则y -x= 1.
又ζ DEB = ζ ECA ，则
Rt ðACE∞Rt ð BED ，
故AC
AE '
y 
一一= 一~ ，1导工y = 8.
BE BD' ,., ~ J 
图②
-/33- 1 
-/33十1 _
- -/33- 1 
- -/33+ 1 
于是x = 一一一一，.y =
吱x=
" 
，.y= 一一一一一(舍去) . 
.)' 
2 
- -^O ~ 
2 
, .)' 
135 
飞
飞在
A 
B 
C 
如图，特别地，当
弦与直径的夹角为
4 5 0 ，可以证明Cp2 +
Dp2 = 2R2 ( R 为①0
半径) . 
对于有'1
6 ，如图
①可以证明:
(1 ) AE=BF; 
( 2) AC . DB = 
AF . BF; 
( 3 )设. AC = α ， 
AB = b, DB = 
c ，则
tanL乙ACE ，
tan ζACF 
为方程α工2_ bx +c =O
的两个根.
，~~~ 
食
*女
食
，传女
*
食女
AQ AC 1<71/.8 ^r. 
231-7
、33
困为Rt L，ACQ∞Rt L，BDQ ，故一一=一一，解得AQ=
、
.Jd
QB 
BD "'," 
，
.~ ....... 
66 
AP AC 
( ii )若除Q 外，还存在点p ，使L，APC∞L，BDP ，则
=一-
BD 
PB' 
牛十八7
整理得Ap Z 一旧十8=0 ，解得AP= 寸土土工
231-7
飞
33
综合( i )、(
I仆，满足条件的点P 有三个，A P 的长分别为
飞ω
66 
7 十刁于
7- .JI于
2 
' 
2 
一中同长
我国战国时期科学家墨瞿在〈墨经〉中写道."圆，一中同长也"，即圆是
到定点的距离等于等长的点的集合，根据圆的定义，适当添出圆，可为圆的
优美性质的运用创造条件.
倒7
如图①，在边长为
2 的菱形ABCD 中，ζ A=60 0 ，M 是边AD 的
中点，N 是AB 上一动点，将L，AMN 沿MN 所在直线翻折得到L，A'MN
，连
接A'C ，求A'C 的最小值.
(四川省成都市中考题)
E 
r\ 
_~ 
(~为主C
Tλ7
二p
{坷υχ ，
\ 
v 
/ 
\-J~__￥二
A 
N 
B 
"-一./
A---Jý 
8 
图①图③图③
壁塑壁堕
由MA=MA'
，得点N 从A 到B 过程中A' 的运动轨迹是以
M 为圆心
，MA' 为半径的圆弧，将问题转化为圆外一点与圆上点的最短距
离，易证明下面结论:
如图②，当定点P 在半径为r 的①0 外时，则P 到①O 上的点的最小距
离为OP-r ，最大距离为OP+r.
如图③，当A' 在MC 上时，A'C 的长度最小，过点C 作CE ..l AD 交AD
的延长线于点E ，
JOJ
E 
B
R
μ
，
，
­
，
ι
 
':CD =2 ，MD =1
，ζ EDC=60 0 ， 
. ζ ECD=30 0 ,DE= l ，EC=疗，EM=2 ，MC=疗，
λ A'C =J于一1.
~~ 刻意练习
一『
1. 如图，已知点B ，C 在圆上，点A 在①O 内，ζA= ζB= 60 0 ,AB= 8cm , 
BC=12cm ，则①0 的半径长为
("希望杯"邀请赛试题)
提立J
学科精英大视野系列丛书
宏大如宇宙天
休，微小至原子电子，
人们的生活离不开
园，科技的进步离不
开园，在圆的简约的
外形下潜藏着无穷的
数学奥秘.
~I!::\I::墨、
( 丸每组)
C 
会食
*
t斗食
食
ü
食
食
第
16
ì卉
圆的墨本性质
(第
l 题)
(第2 题)
(第3 题)
2.
如图，①0 的半径为20 ，A 是①O 上一点，以OA 为对角线作矩形OBAC ，
且OC = 12 ，延长BC 交①O 于D
，E 两点，则CE - BD =
(全国初中数学联赛题)
3.
如图，①O 与RtDAOB 的斜边交于C ，D 两点，C ，D 恰好是AB 的三等分
点，若①O 半径的长等于
5 ，则AB =
(世界数学团体锦标赛试题)
4.
点P 为①O 内一点
，OP=4 ，①0 的半径为
5 ，则过P 点的弦中长度为整
数的弦有
条.
(湖北省黄冈市竞赛题)
5. 如图，在平面直角坐标系中，以原点。为圆心的圆过点A (l 3 ，O)
，直线
y二位
3是+4 与①O 交于B ，C 两点，则弦BC 的长的最小值为
(四川省内江市中考题)
y 
D 
(第5 题)
(第6 题)
6 .
已知①0 的半径。D 垂直于弦AB
，交AB 于点C ，连接AO 并延长交①0
于点E ，若AB=8 ，CD = 2 ，则D BCE 的面积为(
) . 
A. 12 
B. 15 
C. 16 
D. 18 
(全国初中数学联赛题)
7.
如图，点P 为弦AB 上的一点，连Op ，过点P 作PC _l OP ，PC 交①O 于
C . 若AP=8
，PB = 2 ，则PC 的长为(
). 
A. 4 
B. 2J2 
C. 5 
C 
\111''B 
、
、
、
、
、
、
, 
, 
C 
D. 无法确定
(黑龙江省竞赛题)
户、
飞~;
(第7 题)
(第8 题)
(第9 题)
8
如图，在①0 中，点C 在优ML 上，将走沿BC 折叠后刚好经过AB 的中
~~~ 
:主怯
，峙
*食
'曾
食女
食
食女
点D ，若①0 的半径为布，AB=4 ，则BC 的长是(
) . 
A . 2 .j言
B. 3 .)2 
c 于
♂E 
D 
一丁-
Z 
(湖北省武汉市中考题)
9.
如图，①0 的直径AB 与弦CD 交于点p ，交角为45 0 ，若PC2 + PD2 = 8, 
则①0 的半径为(
). 
A. .)2 
B. 2 
C. 2.)2 
D. 4 
(全国初中数学联赛题)
10. 如图，设AB 是①0 的弦，CD 是①0 的直径，且CD 与AB 相交，若m=
I S L.CAB - S L. DAB I ，n = SL.OAB
' 则(
A. m> 2n 
C. m< 2n 
L 
(第10 题)
(第
12 题)
B. m = 2η 
D. m 与2n 的大小无法确定
("希望杯"邀请赛试题)
(第13 题)
1 1. 要将三个边长为lcm 的正方形放在二个圆碟内，要求这三个正方形不能
某部分在碟边以外，且不能重叠. 试问:圆碟的半径至少是多少?
(澳门校际初中数学竞赛题)
12. 如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 和正方形jKLM 的顶点K ，L 在一个
以5 为半径的①O 上，点j ，M 在线段BC 上，若正方形ABCD 的边长为
6 ，求正方形JKLM 的边长.
(上海市竞赛题)
13. 如图，.6ABC 内接于①O ，AC> BC ，点D 为豆Elj 的中点，求证: AD2=
AC . BC+CD2. 
(天津市竞赛题)
14. 如图①，点。是正方形ABCD 两对角线的交点.分别延长OD 到点G ，
OC 到点E ，使α; = 20D ，OE = 20C ，然后以OG ，OE 为邻边作正方形
OEFG ，连AG ，DE.
(1)求证:DE土AG .
( 2 ) 正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点。逆时针旋转α 角(0 0<
α< 360 0 ) 得到正方形OE'F'G ' ，如图②.
①在旋转过程中，当ζ OAG'是直角时，求α 的度数;
②若正方形ABCD 的边长为1，在旋转过程中，求AF' 长的最大值
和此时α 的度数.直接写出结果，不必说明理由.
率已J
学科精英大视野系列丛书
。忠、I~r~
( 丸每缎)
女'吃
'随
才过* 
~f_r 
~眨
食
食
第
1 6 讲
圆的基本性质
F 
G 
G' 
A俨三兀台'"
// ~ 
丁F'
I'\. /I\~ 
'\. 
,/ I D 
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IV 飞
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1 V 
1 '\.. I 
B 
0也/
归队J飞吨JF
È 
B 
C 
~ 
国①
图③
(第14 题)
(第15 题)
15. 如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，且AC上BD ，
AB=AC= BD. 过点D 作DF上BD ，交BA 的延长线于点F ，ζ BFD 的
平分线分别交AD ，BD 于点M ，N.
(1)证明:ζ BAD = 3ζ DAC;
(2) 如果MN = MD ，证明:BF = CD+DF.
(全国初中数学联赛题)
16. 如图，已知①0 的直径AB 与CD 互相垂直，E 为OB 的中点，CE 的延长
DF 
线交①O 于点G ，AG 与CD 交于点F ，求一-的值.
FC 
(四川省竞赛题)
C 
A 
B 
f
\J\ 
D 
(第16 题)
(第17 题)
17. 如图，点B 是AC 的中点，点E 在弦AC 上，点F 在AC上，若AC所对的圆
心角为120 0 ，ζ B = ζ FEC = 90 0 ，AC所在的圆的半径为托，求EF 的长.
(世界数学团体锦标赛试题)
倒1
如图，作OMl_ AB 于点M ，直线OM 交CD 于点N ，可证明OMl_ CD 于点
3 
_.. 
~ 
. .. . 
~ 
3 
1 
... .. . 
~
，
3 
7 
N ，连OA ，OD ，则ON=
~ cm,OM= 2cm,MN= 2-
~ = : cm 或MN=2 + 一=~cm ，从
2 \""111 ,,,-,.1"..1. 
'-'\""1I 1 ,J."..l 1
'1 
l.J 
2 
2 \....111
........... ""..l 1 ,. 
l..i 
I 2 
2 
而5 = 1. 75 cm2 或5 = 12. 25cm2 • 
倒2
D 
过P 点最长的弦长为
30 ，最短的弦长为
24 ，在
2 4 和30 之间的整数有
2 5 ，26 ，2 7 ，28 ，2 9 五个，再由对称性知: 长度为整数的弦共有12 条.
倒3
过0 点作OE上AB 于E ，OFl_ CD 于F ，
连OD ，OA ，则AE = BE , CF= DF. 
OE2 = AOZ - AE2 = 4- ! AB2 , 
\.~3=~ 
• • 
(例1)
C 
食
AUA 
AX 
食
女
食
食
食
食
学科精英大视野系列丛书
OF2 =OD2 - FD2 = 4 一士CD2 ，
OE2 + OF2 = ( 4 - ! AB2 ) + (4 一士ω2)= P冉OF2 = Op2 = 12 , 
即4一士AB 2 +4-! CD2 = 1，故AB 2 +CD2 = 28
倒4
L乙CBA = ζ DBA ，CB = BD ，由ζAOC= ζ CBD ，ζA =ζ BDE ，得6AOHω( 例3)
6 DBM, 
HO BM 
1 
o_~.. 1 
=
一，即BM=: BC ，故DE 平分弦BC.
• AO 
BD 
2' . l
.u m 
2 
l 
倒5
(3) 作直径CH ，则OF=: DH. 又可证ζADB = ζ HCD ，得AB = DH ，
2 
故OF= ÷AB
(4) 设①O 半径为R ，原式= AB2 + CD2 = DH2 十cvz = CH2 = 4R2, 
故Ap2 + Bp2 + Cp2 + Dp2 为定值.
才〈主这
忆)
(例5)
-
.--':1 • 
1. 4 J3 
延长AO 交BC 于点D ，过点。作OE l_ BC 于点E. 图略.
28 
J L- ~ .. I ~~ ~_.. ~~ 
~~ 
，~.. 
~ ." 
，~.. 
~." 
~.. 
~ .. 64 
36 
28 
2. τ 作OMl_ DE 于M ,CE- BD= ( EM-CM) 一( DM- BM) = BM- CM= 
一一=一
5 
5 
5 . 
3. 3 fi百
作OEl_ CD 于E ，则CE= DE ，AE= BE ，OE= iAB = 立CD = 3CE. 连OC ，得(3CE) 2 + CE2 = 
2 ' --
2 
,__ 
Jl 门
5 '
，CE = 亏二
4. 8 
5. 24 
直线y = (x-3)k + 4 ，过定点P( 3 ，的，连Op ，当BCl_ OP 时，弦BC 的长最小.
6. A 
7. A
连OA ，OB ，OC ，则OA 2 = pd + PA
. PB= COC - PC) + PA . PB. 
8. B 
如图，连接OD ，AC ，DC ，OB ，OC ，作CEl_AB 于点E ，OFl_ CE 于点F .
..点D 为AB 的中点
，AB=4 ，
'.ODl_AB ,AD= BD= ; AB= 2 
在Rt60BD 中，OD= JOB2 - BD2 = J(万F=7= 1 ，
/""、、
/""‘、、
':AC和CD 所对的圆周角为ζABC ，
/""‘
/'""'、、
:. AC= CD ,AC= DC ,AE= DE= 1. 
易得四边形ODEF 为正方形，:. OF= EF= 1. 
在Rt60CF 中，CF= J(立严τF=2 ，江E= CF+ EF=2+ 1 = 3 ，
而BE = BD 十DE =2 十1 = 3 ，:. BC = 3 .fi.
(第8 题)
1 _ _ _ 
1 
9. B 
过点。作OH l_ CD 于点H ，则OH = HP= ~ ( PC- PD) ,CH= ~ (PC十PD) .
2'"-
- - , , _.. 
? 
10. B 
如图，过C ，O ，D 向AB 作垂线，垂足分别为E ，L ，F ，设CD 交AB 于点P ，6ACB 的外接圆半径
为r ，则CD = 2r.
址:fi
( 丸每缎)
1号，传
食
苦了食食
-{{食食
第
1 6
ì井
圆的基本性质
"
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一
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一
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-n 
是
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=2 
c?寸寸?
.J10 
11
如图①所示
，r] =z'" 扑l' =于cm;
( 第
1 0 题)
/~ 
\一/ w 
哥当
图①
图②
图③
(第
11 题)
图④
如图②、①所示，r2 = η =ff平?二f2cm;
如图④所示，考虑到它的对称性，圆碟的圆心应在正方形的边OD 上，设OC = 工，则OD 二2 ←X ，
OB' =/= 士+川'A' 工J =川2
工) '
1 
, 
L_'~ 
19 
: OA = OB , 
:. 士+x' = 1 + (2
工) ' ，解得工-16
t 
门勺
从而r = 一工土土，此时圆碟的半径最小.
16 
12 . 如图，过点。作直线。P _l BC ，分别交BC ，KL ，AD 于点P
，H ，N ，则ON _l AD ，
OH_l KL ,ì! DO ，LO ，在
Rt 6 NDO 中
，ON = ) OD' - DN' = ~ 
= 4 , OP = 
PN - ON =2 ，设HL = 工，如IJ PH = KL = 2工，OH = OP十PH = 2 + 2工.
在Rt6 HOL 中，/十C 2什2 ) ' = 5' ，解得x ，= -
3( 舍去) ，工2 =f ，所以正方形
14 
JKLM 的边长为τ -
13. 过D 作DE _lAC 于E ，DF_l BC 于F ，如IJ AD' 一CD' = CAE' + ED ' ) 一CCE'+
Eä) = AE' - CE' = CAE十CE) CAE- CE) = ACCAE- CE>.
① 
可证明Rt6A ED旦Rt6 BFD ，如IJ AE= BF. 
② 
又ζ DCF 二ζ BAD ，LACD = ζ ABD = ζ BAD ，CD = CD ，
得Rt6CED单Rt6CFD ，于是CE= CF.
③ 
综合①、②、③得，AO' -CO' = ACCAE一CE ) = ACCBF- CF> . 
而BC = BF - CF ，古文AO'= AC ' BC十CO' .
14. (1)略.
(2) ①α = 3 0 0 • 
②点。为定点，易求得OF' = OF= 2 ，所以点F' 在以0 为圆心，半径为2 的①0
上，当F' 为AO 的延长线与①0 的交点时，AF' 最大，最大值为AO+ OF'=手2
二4址
K 
(第12 题)
(第
1 3 题)
, 
万
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，
，
.
，
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、
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F
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，、，、
，
、
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、
，
、
，、，、
，
、
i' ' '''''''' 
食
食女
食
言与
女
食
食
，传
学科精英大视野系列丛书
此时α = 315 0
•
15. (1)在BE 上取一点p ，使得丘BAP = ζ DAC ，可证得L BAP旦LCAD ，LADE且LAPE ，得ζ BAD =
3L乙DAC.
(2) 设ζ DAC= 日，则ζ BAC=2 日，ζ BAD=3 日，
.: ACl_ BD , 
.ζ NDM=90 0 -a . 
':MN=MD , 
λζ MND= ζ MDN=90。日，
.ζ NMD=180 。
ζ MND-L三NDM=2 日，
.. ζ AMF=2a ， 
.. ζ AFM= ζ BAD ζ AMF =3日一2日= a.
':FN 平分ζ BFD ，
.. ζ BFD=2L三AFM=2 日.
在FB 上截取FQ = FD ，连QD ，则ζ FQD=90。一日，
又':AB=AC ，ζ BAC=2α ，
二ζ ABC=90 。一α ，
.. ζ FQD = ζ ABC ， 
:.QD//BC , 
. ζ QDB= ζ DB C. 
又..ζ DBC= ζ DAC ，
.正三QDB= ζ DA C.
又.: DB=AC ，ζ QBD = ζ DCA
， 
:. L QBD兽LDCA ，
:.BQ=CD. 
:. BF= BQ+ FQ= CD+ DF. 
16.
如图，连接DG ，AC ，设OC= 2 ，OF=x ，则OE=1
，DF=2-x ，CF=2+x ，
AF= J4+x' ，CE =汀，AC=2 j2，
OE 
DG 
由
sinL三DCG= :::::: = :::: ，得DG=: ./5. 
CE 
CD 
. AF 
AC
，，~ J4τ7 2 J2 
: LAFC∞LDFG ， 
一=一~，f!p ~一一=一一，解得x= 丁
'DF - DG'" 
2 -x
τ./5' ., " 
-
3 
.DF 2-x 
1 
FC x+2 
2' 
17.
如图，设AC所在的圆的圆心为0 ，连接OA ，OB ，OF.
设OB 与AC 交于点D ，过点。作OB 的垂线交FE 的延长线于G 点，
.[3 
T'm 
.[3 ~ ~ 
1 
则OA=汀，AD= 言，OD = 言，BD = τ ，DE = 2' 
/1 1 
FG= JOF2 -百= JOF2 -百2= 子，
,jIT .[3_ ,jIT-.[3 
:.EF=FG-EG=FG-OD= v ~~~ _ 
V~V = 一一一一一一
2 
2 
2 
、
F
M
)
C 
B 
D 
(第16 题)
AZNi 
(第
17 题)
、坦u
吃JiJ f
, .. 1\ Ð' 
1 998 年第
23 届国际数学家大会在德国的柏
林召开，左图是德国邮政发行的纪念邮票，邮票
主图是"矩形求方" 问题的一种解法，衬底图案和
边纸上都是无理数π 的小数形式.π 可以用无穷
1 , 1 
1 
多个数相加表示，如一~ = 1
十
一+ … ，当
4 
3 
5 
7 
代美国著名数学家赛尔伯格说"这个公式实在
美极了
，奇数1，3
，5 ，…，这样的组合可以给出π"
一
结i? 讲回中角
二
I
'
知能概述
圆中角主要有圆心角、圆周角，特别地，直径所对的圆周角是
90 0 ，圆内
接四边形的对角互补和外角等于内对角，弧是联系圆中角的桥梁.
角是几何图形中最重要的元素，是证明角平分线、两直线位置关系、判
定三角形全等和三角形相似的重要条件，而圆的特点，使得角能互相转化.
熟悉以下基本图形:
号。⑩0白吗岛
'
问题解决
例1
如图，在L. ABC 中
，AB 二AC= 布，BC=2 ，以AB 为直径的①0
分别交AC
，BC 于点D
，E ，则L. CDE 的面积为一一一一一·
鹏题思路作DF j_ BC 于F ，需求出CE ，DF 的长.由
AB 为①0 的直径作出相关辅助线.
14法
(海南省竞赛题)
在微妙而美丽的
大自然深处，蕴藏着
绝妙的合理性，人就
是因为被大自然的魅
力所引发，从而对它
的深奥产生求知的
欲望.
一一-福井谦一
西姆松线
如图，从三角形
外接圆上的任意一点
作三边的垂线，三个
垂足共线.
这是以英国数学
家西姆松命名的.
~~、i~
食
食食
食食女
食
食为
倒2
如图，若①0 的直径AB 的长为10 ，弦AC 长为
云一飞\
6 ，ζACB 的平分线交①O 于点D ，则CD 长为(
). 
//\ ~\ 
A. 7 
B. 7 J2 
气
\f)B
c. 8 J2 
D. 9
丁J
(湖北省武汉市中考题)
鹏题思路
考虑图中角平分线的性质，CD 与AC ，BC 的关系，丰富的联
想为问题解决的多路径探索提供了可能.
图①
图②
图③
对于图②，进一步可证明:
AC+ BC" ,_._,_._ 
，~ ， BC- AC 
(1)一一一-为定值;(2) 一一一一为定值.
CF 
/-J /"- <=, ，~ / 
BF 
类比追问: (1)如图④，在DABC 中，AB> AC ，ζA 的
一个外角平分线交DABC 的外接圆于点E ，过点E 作
AB- AC 
EF _lAB于点F. 求证:一一一一为定值.
AF 
(2) 如图⑤，在四边形ABCD 中，ζADB = ζACB =
90 0 ，AD = BD( 隐去圆，D ，C 在AB 同侧) ，则AC - BC =
J2CD. 
图④
五汽
A 
B 
图⑤
倒3
如图，已知四边形ABCD 外接圆①0 的半径为2 ，对角线AC 与BD
的交点为E ，AE= EC ，AB =J2AE ，且BD= U3 ，求四边形ABCD 的面积.
( 全国初中数学联赛题)
堕堕塾些
由AE = EC ，得SL). BDC = SL).础D (为什
么?) ，而BD = 2疗，需求BD 边上的高，条件AB=
J2AE的恰当运用是解本例的关键
B
92 
C 
学科精英大视野系列丛书
例
2 的一般情形
是:如图，设ζAPB=
a ，PH 平分ζAPB ，
则
PA + PB 
2PHmf 
H 
从静止到运动，
从特殊到一般，推广
原问题，产生新问题，
这是平面几何发现创
新的重要方法.
~~~ 
( 丸每银)
1与食
女食
" r\'l 
户占
，曲
食
倒4
如图，已知ABCD 为①0 的内接四边形，E 是BD 上的一点，且有
ζ BAE =丘DAC .
求证:(1) 6ABEω6ACD; 
(2) AB • DC 十A D • BC=AC • BD. 
(陕西省竞赛题)
鹏题思路
由(1)可类比猜想，为(2) 非常规问题的证
D 
明铺平道路.
倒5
如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，对角线AC ，BD 交于点E ，
延长DA ，CB 交于点F ，且ζ CAD=60 0 ，DC = DE ，求证:A 为6BEF 的外
JL、.
鹏题思路
即证明AF =AB=A E ，证明相关
的角相等，为证题方便，可设ζABE= ζ ACD =
ζ DEC = α . 
F 
例6
如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB=
CD = EF ，且对角线AD ，BE ，CF 相交于一点Q ，设AD
与CE 的交点为P .
F 
QD 
AC 
求证: (1)一一
-一·
ED EC' 
CP 
AC 2 
(2)
一一= 一一τ
PE
ιι-
(四川省竞赛题)
C 
C 
(全国初中数学联赛题)
给析与证明
解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似
三角形(1)证明6QDEω6ACE;(2) 易证言=茧，通过其他三角形相似
并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明.
l飞
，传
4随
第
17 讲圆申角
例4 被称为托勒
密定理，托勒密是希
腊天文学家，大约在
公元
15 0 年，写出天
文学巨著《数学体
系
)) ，托勒密定理是在
天文学家的推动下而
发现的几何定理.
托勒密地位、说
宇宙模型
川
对日
、月、星辰周
而复始运行的长期观
察与记录，人类试图
用恰当的几何模型解
养. 欧多克斯、托勒
密、哥白尼分别提出
同心球天体模型、池
，过4兑、日心-iJL
著名数学家谷超
豪院士曾说
"别看数
学表面枯燥，其实只
要深入进去，你就会
发现奥妙无穷，简直
是开发不尽的宝藏"
"研究数学如同爬山，
努力地翻过一个山
头，会发现眼前一亮，
前面的景色多美啊，
往上看又见叠叠的山
峰，只有不断地攀登，
才会有更广阔的视
野，才能看到更美的
风景"
民、&:.\~
食
食
食
食
食合
食肯
为
(1)由AB=CD=EF ，知AB=CD=EF ，连AE ，
ζ QED = ζ B EC十LCED= ζ B EC+ ζAEB= ζ AEC ，
QD _ AC 
又ζ QDE= ζACE ，:. DQDEω DACE ，: 
一一
.ED EC 
(2)
由CD=EF知，DE// CF ，
. CP _QC 
PE ED ' 
. ζ QED = ζAEC = ζ CDQ ， 
①
 
ζ DQE= ζ DQF
ζ EQF = ζ QDC + ζ QCD
ζ DEQ = ζ QCD ， 
QD 
QC 
.. D QDC∞D DEQ ，二一一=一一，QD 2 = QC
. DE , 
DE 
QD 
1ßCP _ QC _ QC. DE_QD2 _ AC2 
由(1)及①式得一一一一-一一一一一
PE DE 
DE 2 
DE2 
CE2 ' 
追本溯"圆"
一些表面与圆无关的问题，若能发现一些点在同一个圆上，揭示出隐含
的"圆"，就能运用圆的丰富性质为解题服务.
符合下列条件的一些点在同一个圆上.
---‘c 
/"" /\\ 
k......-
飞二正
: ----:-点
1
A ~
三
~B
A 
A γ~ u'-
: 
\ 
U 
\"........-
一_...... ￥\、/"
倒7
(1)如图
，RtDABC 中
，AB _l BC ，AB=6 ，BC=4.
P 是DABC 内部的一个动点，且满足ζ PAB = ζ PBC . 则线
段CP 长的最小值为(
). 
lh
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〕
、
i
j
k-----VB 
j
、
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、
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、
、
A
A
,,,,,‘‘ 
3 
A.
一2 
c. 8Æ 
13 
B. 2 
D. 12 Æ 
一
13 
B 
(安徽省中考题)
(2) 如图，在DABC 中
，BC= α ，CA=b ，ζACB= 60 0 , 
P 
DABD 为正三角形，P 为其中心，则CP 的长为
A/~
I 
一-一一一一-一
' 7飞，-
..-p I 
/ /E"- I 
理堕塾些
发现隐圆，能有效降低问题的难度，或找到问
cι一一------=::.i
题的简解.
对于(1)
，ζAPB =90 0 ，动点P 在以AB 为直径的半圆上;对于(2) ，连
PA ，PB ，则A ，C ，B ，P 四点共圆.
止;j
C 
学科精英大视野系列丛书
在冉巨
伊朗籍斯坦福大学
数学教授玛利亚姆
·
米尔扎哈尼于
2014 年
获得菲尔兹奖，她是78
年以来首位女性菲尔兹
奖得主.
1994 年，17 岁
的米尔扎哈尼在国际数
学竞赛中获得一枚金
牌，在竞赛的激励下，米
尔扎哈尼深深地爱上了
数学. 她说"为了发现
数学的美，你必须花一
些精力和努力"
开普勒《宇宙的奥
秘》中的行星运行模型.
开普勒( 1571-
1630 )是德国天文学
家、物理学家和数学
家，行星三大定律的发
现者，近代光学的奠基
人，出版了《宇宙的奥
秘))(( 宇宙和谐论》等著
作，介绍了宇宙和谐的
思想，为牛顿发现万有
引力奠定了基础.
~~~ 
( 丸每级)
~ 刻意练习
女食
食
有食
，传
1斗食，传
1.如图，在四边形ABCD 中
，AB = AC = AD ，若ζ BAC = 25 0 ，ζ CAD = 75 0 ，
则ζ BDC =
，ζ DBC = 
(江苏省竞赛题)
D 
B 
C 
(第
1 题)
(第2 题)
(第3 题)
2. 如图，已知AB = BC =CD ，弦AC 与BD 交于点E ，ζAED = 70 0 ，则
L_B = 
(江苏省竞赛题)
3. 如图，①0 的半径为5 ，点P 在①O 上，点A 在①O 内，且A P =3 ，过点A
作AP 的垂线交①O 于点B
，C ，设PB = 工，PC =y ，则y 与工的函数表达
式为
(江苏省泰州市中考题)
4. 如图，已知。为锐角DABC 的外心，ζ BAC = 60 0 ，延长CO ，与AB 交于
BD 
点D ，延长BO ，与AC 交于点E ，则一一=
CE 
(四川省竞赛题)
• 
B 
E 
(第4 题)
(第
5 题)
(第6 题)
5.
如图，在锐角DABC 中，已知BE l_ AC 于点E ，CD 上AB 于点D
，BC =
25 ，CE=7
，BD=15. 若BE 与CD 交于点H ，连DE ，以DE 为直径作圆，
该圆与AC 交于另一点F ，则AF =
(清华大学自主招生试题)
6.
如图，四边形ABCD 内接于①O ，AB 是直径，A D =CD ，分别延长BA ，
CD ，交于点E ，作BF 上EC ，并与EC 的延长线交于点F . 若AE = AO ，
BC = 6 ，则CF 的长为
(" (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
7.
已知在半径为2 的①0 中，圆内接DABC 的边AB = 2 疗，则ζC 的度数
为(
). 
A. 60 0 
B. 30 0 
C. 60。或
1 20 0
D. 30。或150 。
(广东省竞赛题)
8.
如图，锐角DABC 内接于①0 ，ζ ABC = 60 0 ，ζ BAC = 36 0 ，作OE l_ AB ，
147 I 
\轧
嗤
第
17 讲圆申角
Ci."\&.:\&.\ 
食
食为
食
食合
食
食
3号
交劣弧AB 于点E ，连EC 交AB 于F ，则ζ OEC 等于(
). 
A. 36 。
B. 24 0 
c. 18 。
D. 12 0 
(重庆市竞赛题)
P 
A 
D 
(第8 题)
(第
9 题)
(第
10 题)
9.
如图，已知ABCD 是一个以AD 为直径的圆内接四边形，AB= 5 ，分别延
长AB 和DC ，它们相交于
P. 若ζAPD = 60 0 , PC = 4 ，则①0 的面积
为(
). 
A. 25π 
B. 16π 
C. 15π 
D. 13π 
(浙江省绍兴市竞赛题)
10. 如图
，，6，ABC 内接于①O ，AD _l BC 于点D
，BE _lAC 于点E .AD ，BE 相
交于点H. 若BC=6 ，AH=4. 则①0 的半径为(
). 
A. 5 
B. 2 J3 
C. Æ 
D. 
1~1 
2 
(全国初中数学联赛题)
1 1.如图.AD 是Rt，6，ABC 斜边BC 上的高.AB=AC ，过A ，D 两点的圆与
AB
，AC 分别相交于E.F ，弦EF 与AD 相交于点G. 则图中与，6，GDE
相似的三角形的个数为(
). 
A. 5 
B. 4 
C. 3 
D. 2 
(广西壮族自治区竞赛题)
C 
B 
B 
C 
(第
11 题)
(第13 题)
12. 在圆内接四边形ABCD 中.BD =6. ζABD= ζ CBD= 30 0 ，则四边形
ABCD 的面积等于(
). 
A.8 J3 
C. 12 J3 
B. 9 J3 
D.
以上答案都不对
(北京大学博雅计划数学测试题)
13. 如图，已知四边形ABCD 外接圆①0 的半径为5 ，对角线AC 与BD 的交
点为E. 且AB 2 = AE. AC.BD=8. 求，6，ABD 的面积.
(全国初中数学联赛题)
14. 如图，在，6，ABC 中.D 为AC 边上一点，且AD=DC+CB. 过D 作AC
的垂线交，6，ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN. 交圆于N. 求
纪〉
学科精英大视野系列丛书
~I::.\I::.\ 
( 丸每缎)
证:MN 为DA BC 外接圆的直径.
M 
C 
N 
女食
食
女食
食
1与了
食
u胡北省开'J 门市竞赛题)
A 
B 
(第
14 题)
(第
15 题)
(第
16 题)
15.
如图，已知锐角三角形ABC 内接于①O ，OD l_ BC 于点D ，连接OA .
(1)若ζ BAC =60 0 ，
①求证:OD = ÷创;
②当OA = l 时，求DABC 面积的最大值;
(2) 点E 在线段OA 上，OE=OD . 连接DE ，设ζABC=m ζ OED ，
ζ ACB = ηζ OED(m ，n 是正数) .若ζ ABC<ζ ACB ，求证:m - n +
2=0. 
(浙江省杭州市中考题)
16.
如图，在①0 中，弦CD 垂直于直径AB
，点M 为OC 的中点
，AM 的延长
线交①O 于点E ，DE 交BC 于点N ，求证:BN = CN.
(四川省竞赛题)
17.
如图
，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB=AC=AE.
求证: (1 )ζ CAD = 2 L三DBE; (2) AD2 - AB 2 =BD • DC. 
(浙江省竞赛题)
A 
A 
C 
D 
B 
E 
C 
(第17 题)
(第18 题)
(第
19 题)
18 .
如图，在DABC 中
，AB = AC ，D 为边AC 上一动点，过D 作DE// AB , 
DE 与BC 交于点E
，F 为BD 的中点，0 1
，02 分别为D CDE ，D BDE 的
外接圆圆心.证明:
FA 
FO, 
(1 ) ζ AFO ， = 90"; (2) 一一--
1 
v v ,,- / F D 
F02 • 
(四川省竞赛题)
19 .
如图，D 为锐角DABC 内一点，使得ζADB = ζACB +9 0 0 ，且AC
. BD= 
AD. BC ，延长AD ，BD ，CD ，分别与DABC 的外接圆。交于点G ，E ，F.
只^ F1"
;
1 
证明: (1) EF= FG; (2) τ于巳=一
二3 θo
π
149 
k 啄
(北京市竞赛题)
，传
第
17 讲圆申角
守?巳丘挠
，圃'
苟'回眶
G.\~、I~
倒1
食
食女
食
食女
食
食女
学科精英大视野系列丛书
• 
ooo_' • 
4 J5 
连AE ，BD ，则AE l_ BC ，BD上AC ，CE = BE = 1 ,AE= 2 ，由AE. BC=AC. BD ，得BD = 亏二，
2J5 _ CD 
DF '-"~，..， 
4 
Ll." 
_ 
1 f'T' 
,,"'_ 1 " " / 4 _ 2 
CD='"~二，又一一=一一得DF= 一，故S L.CDE = ~ CE . DF = 一X 1 X 一=一
s'-"--CA -
AE
，
o"J~' 
5'~ ~ L. CDE 
2 ~~~. 2 " '" 5 
5 
13. 
倒2
B 
可以证明AC+ BC=J2CD. 
倒3
因为AB= J2AE ，AE = 町，所以AB 2 = 2AE2 = 2AE • AE= AE • A C. 
又因为ζ BAC= ζ BAC ，所以6ABEω 6ACB ，所以ζABD= ζ ADB ，
得AB=AD.
连AO 交BD 于H ，则BH =HD= 汀，且AOl_ BD ，
连BO ，由勾股定理，得HO= J 22 - (13)2 = 1 , 
得AH= l，因此SL.届D=~X2 13Xl=13 
又因为E 是AC 的中点，所以SL.CBE = S L.ABE ' S L.CDE = S L.ADE ' 于是SL. BCD = S L.ABD = 
故四边形ABCD 的面积是213.
C 
(例3)
倒4
(1)略
(2) 由6ABEω 6ACD ，6A DEω 6ACB 分别得AB • DC= AC. BE ,AD • BC= AC. 
DE ，两式作加法得AB.DC+ AD.BC = AC.BU
倒5
': DC = DE ，二ζ AEB = ζ DEC = ζ DCE.
又A ，B ，C ，D 四点共园，..
L三ECD= ζ ACD = ζ ABD= ζ ABE ，
，ζ AEB = ζ ABE=;>AB = AE. 
设ζ ABE = 日，则ζACD= ζ DCE = a.
，
ζADB=a - 60 0 ，ζ BDC = 180 0 - 2 日，ζ ABF = ζ FDC = ζ ADB + ζ BDC = 120 0 - a, 
ζ DCB= ζACB + ζ ACD= ζ ADB + ζ ACD=2 日- 60 0 ，
ζ DFC=180 。
正三FDC - L乙FCD= 180 0 -
(1 20 。
日) -
(2日
60 0 )= 120 0 - a. 
"ζ AFB = ζ DFC = ζABF ，AF = AB. 
于是，AF = AB = AE. 因此
，A 为6 BEF 的外心.
倒7
(l)B 
以AB 为直径作①0 ，当点。，p ，C 在一条直线上时，线段CP 的长最小，最小值为
CP =
OC- OP= j页丐BC 2 - OP =2 . 图略.
(2) ': ζAPB + ζACB = 180 0 ， 
C ，B ，P ，A 四是脯，PA Z PB=fAB ，
由托勒密定理得PA. CB + PB' AC= AB. CP , 
f!r]"AB川) = AB. 白，得臼=字叫)
• 
-……__..篝
.
1. 
12.5 0 ; 37.5 。
点B ，C ，D 在①A 上.
Q~500 
( 丸每缎)
二合食
食
1号，传食
tir
食食
第
17 讲圆申角
2 旷
L_AED= ~ CÁ[J十岛的度数可0 0 ，岛的度数=140。￡的度数=旷一(旷÷品的度
') --飞~
数)，; AD的皮数= 旷，AD的度数= 旷，L_ B= 15 0 
3. v= 30 
y 一-
z 
4. 1 
连OA ，DE ，由ζ COE= 60 0 = ζ DAE 得A
，D ，O ，E 四点共园，.·.ζ DEB = ζ DAO = ζ DBE ，得
DB=DE,CE=DE. 
5. 9 
连DF ，在Rt6ADC 中
，AD2 + 20 2 二CAE + 7)2 ，在Rt6AEB 中
，AE2 十24 ' =c CA D 十15) 2 ，解得
AD= 15 ,AE= 18 ,DF=÷BE=12 
3 ,j2 
,,10 
A r- n" "" ",1 ^ n r- r
, ~ ^ n A" '-'" BC 
BA 
~ ~，，// ~~ m DE 
OE 
6. 亏二连AC ，BD ，OD ，则6BCFω 6BAD ，得CF 二AD' 又OD// BC ，得DC - δi3 =2 .õf 证明6AEDω
AB 
3 
6CEB ，得DE. CE= AE. BE ,2AD. 3AD= 一.
~ AB ,AB= 2 J2AD, 
2 
2 
AD 
~~ 3J2 
故CF= 一一
• BC= 寸二.图略-
AB 
~ -
2 
7. C 
8. D 
L_ACE =仨ACB 二42 。
9. D
连AC ，BD.
10. C 
延长CO 交①O 于点F ，连接AF ，BF ，得BF _lL A H ，四边形FBHA 为平行四边形.
11. C 
6 GFA ，6 FDC ，6EDA 都与6 GDE 相似.
12. B 
由AB. CD+AD . BC= AC. BD, f!r ADCAB+ BC) =6 ..[3AD ，得AB +BC =6 币，:.5四边形础ω=
1 . ~ 
~~ 
,
__0
, 1 ~~ 
~~ 
. __0 
_ 
r::-
5"'ABD 十5"，臼D
士AB. BD • sÎn30 0+ ~ BC. BD • sÎn30 0 =9 .)3. 
2'--
--
~"
-- -
2- -
--
~..，--
-,-
2 
A T' 
A ~ '-'" AB AE 
13.
由AB 己= AE. AC ，得一-;:;
~，又ζ BAE= ζ CAB ，
AC AB 
:. 6ABE∞6ACB ，ζ ABE= ζ ACB = ζ ADB ， 
:. AB = AD ，连OA
，交BD 于F
，则BF = DF =4
，连OB ，由勾股定理得OF =3 ，
AF= OA-OF=2 ，故h = ÷BD-AF= 8
14.
延长AC 至E
，使CE =BC ，连MA ，MB ，ME ，BE.
.: AD = DC + BC = DC + CE = DE ，又MD l_ AE ，
:. MA = ME ，ζ MAE = ζ MEA. 
.. ζ MAE = L_ MBC ，又由CE = BC 得ζ CEB = ζ CBE ，
•• 正三MEB = ζ MBE ，得MA 二ME = MB ，
--飞
即M 为优弧AB 的中点，而MN l_AB ，
二MN 是①0 的直径.
15. 
(1) ①略.
N 
(第
14 题)
②6ABC 面积的最大值为?z
(2) 设ζ OED = 日，因ζ EOD = 180 0 - 2日，ζ EOD = ζ A OC十丘DOC = 180。一η日+ ma ，
故180 0 - 2a= 180 0 - na+ ma. f!r m- n+2=0. 
16.
本题解法较多，以下解法仅供参考.
如图，连AC.BD. 因为弦CD 垂直于直径AB. 则BC = BD.
所以，ζ BCD 二ζ BDC. 因OA=OC. 有ζ OCA = ζ OA C.
又ζ BDC = ζ OAC ，则ζ BCD = ζ OCA.
A 
(第
16 题)
U
雏
Ed
m 
门
、
飞
食
食女
食
*
þ专
食
食丁仕
CB 
CD 
故L，BCDω L，OCA=> 一一= 一一
CO 
CA' 
在f::，CDN 与f::，CAM 中，因为ζ DCN = ζACM ，ζ CDN = ζ CAM ，
CN 
CD 
CB 
CB 
所以，L，CDNω L，CAM. 从而一一一一=一一一=>CN=~CB .
'CM 
CA 
CO 
2CM 
故BN=CN.
17. 本题解法较多，以下解法仅供参考.
(1)连BC ，二• AB = AC ，:. ζ2=ζ5 . .: AB= AE, 
λ ζABE = ζAEB ，即ζ2+ ζ 3 =ζ 4 十ζ5 ，
.
ζ3=ζ4 ， :. ζ DAC= ζ DBC= ζ4 十ζ3=2ζ4 ，即ζ DAC=2正DBE.
(2) 延长DA 至G ，使AG = AE = AC ，则ζ DAC=2 ζ G ，
而由(1 )知ζ DAC=2L乙DBE ，:. ζ DBE= ζG. 又ζ BDE= ζ GDC ，
BD 
DE 
'. L，BDE∞L，GDC ，得DG - DC' 即DG. DE=BD ' DC, 
'. (AD+AG)(AD- AE) = BD. DC, 
.: AB=AE=AG.:. (AD+AB)(AD-AB) =BD . DC ，故AD' -AB'= BD
' DC. 
18. (1)如图，延长AF 至点G ，使FG= AF ，
从而，四边形ABGD 为平行四边形，
由DE// AB ，知D ，E ，G 三点共线，
于是，DG = AB = A C.
由条件知DE= DC ，
故L，DO，E呈L，DO，C ，
得ζ GDO，= ζ DEO，= ζACO"
又DO，=CO, ，则
L，DO，G旦L，CO，A ，:. 0, G= O,A , 
而AF= FG ，故O ，Fl_AG ，
:. L AFO, = 90 0 • 
(2) 因为①0，与①0，交于点D ，E ，所以，DEl_ O ，0, . 
又DE //AB ，则AB上0，0"
注意到
，AF上O，F ，FB l_ FO，
，!'!P L，ABF 与L，O】O，F 的对应边分别垂直，
• AF O,F 
故L，ABFω L，O，üF ，:. :::.. =一一-
j-' - ' -- BF O,F' 
FA 
F门­
又BF = FD ，从而，一-
一」
, , -
• 'F D 
FO, . 
学科精英大视野系列丛书
B 
D 
(第
17 题)
(第18 题)
19. (1)注意到，L，EFD ω L，CBD斗芷=苔，L，FDG ω L，ADC斗骂=22 ，ACJhAD - P
BC 
AC 
BD AD' 
故EF
FG 
一一= 一一斗EF = FG.
FD 
FD 
(2) 由ζ EFG= ζEFC+ζ CFG= ζ EBC+ζ CAG= ζADB一ζACB= 90 0 => L，EFG 为等腰直角三角形，
于是，EG 为①0 的直径，
~(2R) 2
噜
S~ 一，
4 ' --" 
] 
设①0 的半径为R ，则云里=一一石γ一= 土.
J ①o
π.n
π 
封三J
③贺5囚〉
当一个轮子在一条直线上
平稳地滚动，轮子上一个固定
点所留下来的轨迹曲线叫摆
线.17 世纪，惠更斯发现了摆线的等时性，设计出有钟摆的时钟
，摆线因此而得名. 伽
利略发现了与摆线相关的重要结论: 摆线弧长是轮子直径的4 倍; 摆线拱形面积是轮
子面积的3 倍.
第iS 讲
直线与圆二l
'
知能概述
圆心到直线的距离与圆的半径的大小的比较确定直线与圆的相离、相
切、相交三种位置关系. 直线与圆相切是研究直线与圆位置关系的重点，直
线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切
割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着下列基本图形、基本结论:
G <O 
。> æ
'
问题解决
倒1
如图，①0 的半径为
3 ，①0 切AC 于点F ，交BC 于点D
，DE l_
AC 于点E
，CE = l，AB = AC ，则AO= 一一一一一·
( 湖北省黄冈市竞赛题)
鹏题思路
连OD ，OF ，则四边形ODEF 是正方形
A 
(为什么?) ，设AO =x ，建立关于工的方程.
盐
、
一
并不是我特别聪
明
，我只是较执着于
解决问题;我并不是
天资聪颖，只是我有
无比的好奇心.
-一爱因斯坦
蒙日三固定理
如图，三个大小
不等的圆中，任意两
个圆的两条外公切线
都相交于一点，这三
个支点共线.
这是法国数学家
蒙日证明的定理.
C 
疆、~~&:\
食
，传
"2':t
食
食女
，传
食为
倒2
如图，在等腰L.ABC 中.0 为底边BC 的中点，以0 为圆心作半圆
与AB.AC 相切，切点分别为D.E. 过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交
h BM. CN 
AB.AC 于M.N. 那A 一一._.一的值等于(
) . 
1 
A. : 8 
BC 
BT 
c÷ 
鹏题思路分别从M.N 点着手，可运用切线长定
理，作出相应辅助线，探寻L.BMO 与L.CNO 的关系是
关键.
B 
D. 1 
(天津市竞赛题)
A 
C 
倒3
如图，已知AB 是①0 的直径，BC 是①0 的切线
，OC 平行于弦
AD. 过点D 作DE j_AB 于E ，连接AC 与DE 交于点P. 求证:PE=PD.
(全国初中数学联赛题)
堕堕塾些
图中有多对相似三角形，利用比例线
A 
段证明.
B 
C 
倒4
如图，在等腰L.ABC 中，已知AB = AC ，ζC 的平分线与边AB 交
于点P ，M 为L.ABC 的内切圆①I 与边BC 的
切点，作MD//AC. 交①I 于点D. 证明:PD 是
①I 的切线.
A 
(全国初中数学联赛题)
B 
C 
些理理些设①I 切AB 于S 点，连IM ，IS.ID ，直接证明ζ PD I =90 。
困难，不妨证明ζ PDI= ζ PS l，即证明L. PIS旦L. PID.
倒5
如图.PA.PB 与①0 切于A.B 两点.PC 是任意一条割线，且交
①O 于点E.C. 交AB 于点D. 求证:乓=但
I主C乙
BD'
(天津市竞赛题)
最二j
学科精英大视野系列丛书
~'=主窍
$. 
飞'周恩
证明线段相等常
用的方法有:
(1)运用会等三
角形性质;
(2) 运用等角对
等边;
(3 )运用比例
线段.
判定一直线为圆
的切线是平面几何中
一种常见问题，判定
的基本方法有:
(1)从直线与圆
的支点个数入手;
(2 )利用角证
明，即证明半径和直
线垂直;
(3) 运用线段证
明，即证明圆心到直
线的距离等于半径.
&-'\G.:\CA 
( 丸每缎)
…………………mz
理温
鹏题思路
连AE ，BE ，可得多对相似三角
形，导出丰富的比例线段.
P 
女食
女
女，传
食
食，传
食
倒6
如图，己知直径与等边三角形ABC 的高相等的圆与AB 和BC 边
相切于点D 和E ，与AC 边相交于点F 和G ，求ζ DEF 的度数.
(浙江省竞赛题)
给析与阎
本例从表面上看是一道关于圆的计算问题，实则为一道证明
题，解题的关键是确定圆心，而确定圆心的方法有多种，以下解法仅供参考.
如图，过点E 作BC 的垂线与圆交于点H ，与
AC 交于0 点，连AH ，DH ，作AM上BC 于M .
γ BD=BE ，ζ B = 60 0 ， 
:. 6DBE 为正三角形，得ζ BDE = ζBAC =
60 0 , 
A 
:. DE// AC ，DH上AC ，又AM=EH ，AM矿EH ，
B 
.
四边形AMEH 是矩形，得AH l_ HE ，即AH 是切线，则AD = AH.
'. AC 垂直平分DH
，AC 必过圆心，
二AC 与EH 的交点。是圆心
，OE = OF ，ζCOE = 30 0 ，ζ OFE =75 0 •
.: DE// AC ，二ζ DEF+ ζ OFE = 180 0 •
故ζ DEF = 10 5 0 •
倒7
如图，D 为6ABC 的边BC 上的点，作6ABD 和6ACD 的内切
圆，并作它们的外公切线(异于BC 的外公切线) ，交AD 于点K. 证明
: 线段
AK 的长度与点D 在BC 上的位置无关.
(俄罗斯莫斯科数学奥林匹克竞赛题)
份析
执果溯因，只需计算A K 的长度，并且这长度不依赖于D 点的位
置，计算的出发点是切线长定理.
证明
设AD 与两圆的切点分别为P ，Q ，两圆
另一公切线为MN ，BC 与两圆相切于E ，F 点，则
AK= AP- KP ,AK= AQ-
KQ.
① 
利用切线的性质可以计算得到AP = ~ CAB+ 所~
B 
E 
DF 
C 
AD- BD) ,AQ= ~ (AD+ AC- DC) ,KP+ KQ= KM+ KN= MN= EF, 
将上述三式代入①式，可得4AK = 2CAP + AQ) - 2( KP 十KQ ) = AB 十
AC一BC十2 CA D - EF) ，
② 
另一方面，可以算得2EF = CDE + DP ) 十C DF + DQ ) = CAD 十BD ­
AB) + ( AD十DC - AC) = 2AD 一CAB + AC - BC) .
③
②一③得2A K = AB 十AC-BC ，
1 5、
第
18 讲
亘线与圆
例
6 是由等且要梯
形内切圆问题改编
而成.
A 
G 
D 
飞
B 
E 
M 
C 
如图，①O 与等
腰梯形ABCD 的四
边分别相切于E
，F ，
G ，H 四点，则
(1) EG 为①O 直径;
(2)ζ AOB =90 0 ; 
(3) 将6A∞绕0 点
旋转180。到6MEO ，直
角梯形ABEG 就割补
成等腰6ABM;
(4) HE// AM. 
例
6 冲破了竞赛
中一些平面几何题繁
难的桂桔，叙述明了，
语言简洁，生成于平
面几何一个基本图
形
，有效地考查了直
觉思维与逻辑思维.
崎岖、坎坷，前路
漫漫，而引领大师们
不断攀登的动力是
"美"与"好奇心"
巴黎科学院院
士、布尔巴基学派的
代表人物边厄多内曾
说"激励数学家做研
究的主要动力是智力
上的好奇心，是谜团
的引力，是穷究真理
的需要"
,&:.\CAG.\ 
食
*
-,tr: 
食，佳女
现r
食
可见AK 之长只与6ABC 的三条边长有关，而与D 在BC 上的位置无关.
最佳视点
如图①，设墙壁上的展品最高处点P 距离地面a 米，最低处点Q 距离地
面b 米，站在何处观赏最理想?
所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF 上求
使视角最大的点.
如图②，当过P ，Q ，E 三点的圆与过点E 的水平线相切于点E 时，视角
ζ PEQ 最大，站在此处观赏最理想.
这是因为:对HM 上任一异于E 的点E' ，均有ζ PE'Q <ζ 1= ζ PEQ.
。
I
Qr三~二、
U
H 
E 
E'
川，
图①图②
例8
如图，点A 与点B 的坐标分别是(1，0)
，
Y 
(5 ，0) ，点P 是该直角坐标系内的一个动点.
(1)使ζ APB =30 。的点P 有
个;
(2) 若点P 在y 轴上，且LAPB=30 0 ，求满足条件
l~ 1 I 
I 
I p x 
。I
1 2 3 4 5 
的点P 的坐标;
(3) 当点P 在y 轴上移动时，ζ APB 是否有最大值?若有，求点P 的
坐标，并说明此时ζ APB 最大的理由
; 若没有，也请说明理由.
(山东省淄博市中考题)
给析与鹏
角在圆中可建立广泛的、自由的联系与转化，解决问题的关
键是构造圆，"圆"满地解决问题，从一般到特殊，从操作感知到理性思考.
(1)无数.
(2) 如图①，以AB 为边，在第一象限内作等边三角
形ABC ，则点C 的坐标为(3
，213) ，
以点C 为圆心
，AC 长为半径作①C ，交y 轴于点
Pj ，P 2
，此时ζ AP 1 B= ζAP 2 B = 30 0 ，①C 的半径为
4 ，
过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，连接CP 2 ，
': CP2 =4 ，CD=3 ，λ DP 2 = j4 2 -3 2 =J7, 
λ P 2 (0 ,213 -J7)，二P 1 (0 ，213十J7)，
同理，当P 点在y 轴负半轴上时，可得P3 (0 ，一2 J3十疗) 'P4 (0, -2 J3-J7)_ 
(3) 当过点A ，B 的①D 与y 轴相切于点P 时，ζ A PB 最大. 如图②，
①D 的半径为3 ，连接DA ，作DE 垂直z 轴，垂足为E ，得DE= J DA2 - AE 2 = 
A亡z2=币，
人P (O ，而.
当点P 在y 轴负半轴上时，可得PCO ，-$) ，
封l 56
学科精英大视野系列丛书
数
学
的
美
与
理
面
是
w
一个数字的世
界，我们需要你，
一个形的世界，
我们离不开你，
一个美丽的世
界，我们欣赏你的
韵律，
一个理想的世
界，我们探索你的
奥秘.
t::\~，~坠
71· 
·F JJ 
食
食
食
食
饵，每缎飞
理由:在y 轴正半轴上任取一点M(不与点P 重合)，
y 
连接MA ，MB ，MB 交①D 于点N ，连接NA ，则
LAPB = ζ ANB . 
.. ζA:\lß 是DAMN 的外角，
.. ζANB> 正AMB ，:. ζ A PB> ζ A MB.
若点P 在y 轴的负半轴上，同理可证得ζA PB >
L AMB. 
~'Ð 刻意练习
1.如罔
，AB 为①0 的直径，C 为①O 上一点，过B 点的切线交AC 的延长线
交干点O
，E 为弦AC 的中点
，AO = lO ，BO = 6
，若点P 为直径AB 上的
一个动点，连接EP ，当!iAEP 是直角三角形时.AP 的长为
(湖北省荆州市中考题)
D 
A 
卜\
C 
A!L-:1 . 
1B 
Il .0) 
~ 
~衣
B 
C 
A 
D 
B 
(第
l 题)
( 写)
2 题)
(第3 题)
2. 如罔，在!iABC 巾，AC: BC:AB = 5 : 12: 1 3 ，①ο 在!iABC 内自由移
动. 若①()的半径为1，且圆心。在!iABC 内所能到达的区域的面积为
10 
言，则!iABC 的周长为一一一一一
(江苏省无锡市中考题)
3. 如图，①0 是Rt!i I\ BC 的内切圆，切点为O ，F ，E ，若AF.BE 的长度是方
程.r 2 - 13工十30 = 0 的两个根，则DABC 的面积是
(江苏省竞赛题)
4 . 如罔，从①0 外一点A 作①0 的切线，切点是c;从OA 上一点β 作①0
8 
的切线，切点是E . 若BE = AB = 一，AC = 4 ，则AO =
; ①ο 的半
5 
一一←一一一
径的长为
( " 希望杯"邀请赛试题)
尸
A 
B 
A 
B 
(第4 题)
(第5 题)
(第6 题)
157 
嗦
费
合
第
1 8 讲
直线与圆
{和广~t竟
搭建拖
在盐1
食
女
女
食
λ
日
-R 
食
食
食
5 .
如图，已知点C 在以AB 为直径的①O 上，过点B ，C 作①0 的切线，且交
9 . ~ ",. ,PB 
于点P ，连接AC . 若OP=
~ AC ，则
= 
2"~ 
'/' ~ AC 
(全国初中数学联赛题)
6. 如图，①0 的直径AB 长为20 ，点P 在①O 外，PC 和PB 分别切①O 于点
_,_._ AE 
1 
C 和B
，弦CD j_ AB 于点E
，PA 交CD 于点M. 有一一---;-，则.6 PCM 的
BE 
4 
面积为
(世界数学团体锦标赛试题)
7. 如图
，AB 为①0 的直径，BC ，CD 是①0 的切线，切点分别为点B ，D. 点E
为线段OB 上的一个动点，连接OD ，CE ，DE. 已知AB =2 布，BC =2 ，当
CE 
CE+DE 的值最小时，则
的值为(
) . 
DE 
A. 旦
10 
2 
B. :: 3 
J5 
C . τ 
题
F
W
-
5件
2
一
区
治
D 
白
同
族
壮
西
、
厂
y 
D 
A 
。
C 
X 
;二:
B 
(第
7 题)
(第8 题)
(第
9 题)
3 
8 . 如图，已知直线
y=_:;:-x - 3 与工轴、y 轴分别交于A
，B 两点，P 是以
4 
C(O ，l) 为圆心，1 为半径上的圆上一动点，连接PA
，PB ，则.6 PAB 面积
的最大值是(
). 
口
2 1
~ 17 
A . 8 
B. 12 
C. '"_" 
n 
1. 1 
2 
-. 2 
(四川省乐山市中考题)
9. 如图，以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆0 ，过点D 作直线切半圆于
点F ，交AB 边于点E ，则三角形ADE 和直角梯形EBCD 周长之比
为(
). 
A. 3 : 4 
B. 4: 5 
C. 5 : 6 
D. 6: 7 
(浙江省杭州市中考题)
10 . 如图
，AB ，AC 分别和①O 切于点B
，C ，直线AO 交BC 于点M. 若OM=
1 ~~ 1 
,
1 
1 
BC ，一一τ+ ←丁--:- ，则.6 BOC 的面积为(
). 
3 - - , AB< ' B02 
4 
A . 2 
B? 
D. 3 
8 
C. 
::: 3 
("希望杯"邀请赛试题)
￥立j
学科精英大视野系列丛书
&.-\~、，~
有食
，传
σC百百3
A 
。
B 
E 
A 
1了食
，传
工;f
食
*
M 
D 
(第
1 0 题)
(第12 题)
(第13 题)
1 1. 如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这
个三角形的(
) . 
A. 外心
B.
内心
C. 垂心
D.
重心
(全国初中数学联赛题)
1 2.
如图，在矩形ABCD 中
，AB = 3 ，BC = 2 ，以BC 为直径在矩形内作半圆，
自点A 作半圆的叨线AE ，贝Us inLCBE的值为(
) . 
J6 
T~ 
2 
~ 1 
~ 
.J10 
A. 工二
B. 一
C . --=-
D. 
--"=二二
3 
~
. 3 
- . 10 
(全国初中数学联赛题)
13 .
如图，设正方形ABCD 的边长为
1 ，以AD 为直径的圆其圆心为M ，E 为
AB 上的一点，且满足CE 与①M 相切，求6BCE 的面积.
( 日本数学奥林匹克竞赛题)
1 4 . 在Rt6ABC 中，ζ A = 90 0 , AC= AB =4 , D ，E 分别是边AB
，AC 的中
点.若等腰直角三角形ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰直角三角形
ADIEj' 设旋转角为α(0 0<α~ 180勺，记直线B DI 与CE 1 的交点为P .
C 
C 
E, 
A 
D 
B 
E 、
国①
国②
(第
14 题)
(1)如图①，当α =90。时，线段BD j 的长等于一一一一一'线段CE 1 的长
等于
; (直接填写结果)
(2) 如图②，当α = 1 35 0时，求证: BDI 二CE j
，且BD j _l CE j
;
(3) ①设BC 的中点为M ，则线段PM 的长为
②点P 到AB 所在直线的距离的最大值为
一一
. (直接填写结果)
( 广东省梅州市中考题)
15 . 如图，①O 是等边6ABC 的内切圆，与AB ，AC 两边分别切于D ，E 两
点，连DE. 点P 是劣弧DE 上的一个动点(不与D ，E 重合) ，过点P 作
PM _lAB 于M ，PN _lAC 于N ，PK _l BC 于K ，PK 交DE 于L.
求证
: (l) P L 2 = PM . PN; 
(2) JPK= JPM十jP百.
(湖北省黄石第二中学理科实验J:Jl 自主招生试题)
159 
吨
地
第
18 讲
直线与圆
Ci\~&t.\. 
B 
A 
K 
食
食丁与'
食
食立与
食食为
C 
C 
(第15 题)
(第16 题)
(第17 题)
16. 如图，在等腰6ABC 中
，AB=AC ，。为线段AB 的中点.线段。c 与以
AB 为直径的①0 交于点D ，射线BD 与AC 交于点E. 若AE=CD ，证
明ζ BAC=90 0 •
(四川省竞赛题)
17. 如图，PA 为①0 的切线，PBC 为①0 的割线，AD 上OP 于点Ð. 求证:
AD2 = BD. CD. 
(全国初中数学联赛题)
18.
如图，在6ABC 中，已知ζ B=90 0 ，其内切
圆分别与边BC 、CA 、AB 依次切于点D ，E ，
F ，连AD ，与内切圆交于另一点P ，连PC ，
PE ,PF ,FD ,ED. 
FP EP 
(1) 1正明·一一=--.
'FD 
ED' 
(2) 若PE//BC ，证明:PC上PF.
A 
(福建省竞赛题)
(第18 题)
19. 如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 在射
A 
线BC 上(异于点B ，C)
，直线AP 与对角线BD 及射
线DC 分别交于点F ，Q.
(1)若F子，求ζ阳的度数;
(2) 若点P 在线段BC 上，过点F 作FG_l CD ，垂足为
G ，当6FGC C/) 6QCP 时，求PC 的长;
(3) 以PQ 为直径作①M.
①判断FC 和①M 的位置关系，并说明理由;
②当直线BD 与①M 相切时，直接写出PC 的长.
Q 
(第
19 题)
C 
(江苏省常州市中考题)
例
1
5 
AB=3+ 工，AC=3+x ，AF= 工
1，由
3'+ Cx - l) '=x' ，得x=5.
学科精英大视野系列丛书
--…四.. 
噩噩翻眩黯攘攘酣睡圈
• • 
B儿1[
OB 
倒2
B 
连OD ，OM ，OF ,ON , OE ，则6.MBO∞Aα:N 一一= 一一得BM. CN = OB. α:=~ BC. 
'co CN' 
EP 
AE 
例3
由Rt6.AEP∞Rt6.ABC ，得一=一一
BC AB' 
ED AE 
AE 
2AE 
由
Rt6.AED ω Rt6. 0BC ，得一一=一一=一→一=一一
BC 
OB 
1. ~ AB' 
EAB 
封立jJ
② 
岳
食
* 食
第
1 8
ì卉
唱E
食
节时
JFJ 
Y 
( 丸每缎)
直线与圆
A 
sr--吨、、
E泛、、飞\
/V 飞---...:.、I
\ " 
/m.了一~J
" 
ß L----
M
飞C
( 例4)
由①，②得ED= 2EP ，:. PE= PD. 
倒4
连切点半径IS ，IM 和半径ID ，
得IS = ID = IM ，ζ PS1 = ζ lMC= 丘1MB= 90 0 • 
设ζ B = ζACB =2α ，则ζ PCB= 日，ζ SP1 = ζ B + ζ PCB =3α ，
如l ζ SIP =90。一ζ SP1 = 90 0 -
3a. 
.: MD// AC, 
.. ζ DMB = ζACB=2日，ζ IMD=90。一ζ DMB = 90。一2日= ζ IDM ，
ζ DIM= 1 80 。一ζ 1DM←ζ lMD = 4日，而ζ MIC = 90 。一ζ ICM= 90 。一日，
.. ζ DIP 二1 800ζ DIM
ζ MIC =90 。一3日=ζ 5 1P.
..在6 PI5 与6 PID 中
，PI = Pl ，ζ 5IP =L乙D IP ，5I = DI ，
:. 6 PI5旦6 PID ，ζ PD[ = ζ P51 = 90 0 ，故PD 是①I 的切线.
AC 
PC _ _ BC 
PC 
连AE ，BE ，由6 PAC∞6 PEA ，得一一=一一，同理
一一=一一
AE PA ' ，- ，-~ 'BE PB' 
例5
E
-FU 
A
-B 
一
­
c-C 
A
-B 
nw
l 
p
妒
c-E 
B-B 
一
-
c-E 
A-A 
RU 
P 
一
­
A 
P 
AC AD AE ED 
在①0 中
，由6ACD ω6 EBD ，6AEDω 6CBD ，可得BE 
ED ' BC 
BD' 
D
-D 
A
-B 
= 
c-C 
A
-B 
故
D
-D 
A
-B 
一
­
E
-E 
A
-B 
f
u
一
户
L
A
-B 
而
人
iJ/ 
• 
AP 
AE , 
当ζ AEP = 90 。时，点P 与点。重合，AP = 4; 当ζ APE = 90。时
，EP // BD ，由一一= 一一得
AB 
AD 
64 
1. 4 或25 
A ~ N 
D r-也才飞........__
卜-v
.-......_、飞-....__ M
pvi\ 
~ 
--
64 
AP 三25' 
作出如图所示辅助线，6ACBω6 0 1 03 02 '()10 3 : 0 30 2 : 0 10 2 = 
1 
. . _ _ 
10 
5
: 12:13 ，设0 1 03 =5工，则α03 = 12x , 0 10 2 = 1 3工，则专X5xX 1 2x = τ ，解
2. 25 
(第2 题)
13 
得x = τ ，01 0，，=τ ，0，03 = 4 , 0 1()' =一. 设AC = 句，则BC= 12y ,AB= 13y , 
3 
8
, 
. 13 
AN= AD=句号，BM= BG = 12y - 5 ，由(5y
τ) + τ +02y-5)=13y ，得
AF二1 0 ,BE= 3 ,AB= 1 3 ，设CF = CE三工，则0 0 十X) 2 十(3 + x)' = 1 3 2 = 169 ，解得x = 2 .
AC' = OA 2 - ()B2 十BE2 = 2AB X OA. 
570 
•-
y 
3. 30 
4. 5 ;3 
逢倪，川j OP// AC ，6BACω6P侃，唏=窍，设OB= r ，Ij)IJ OP=3叫C=7 r ，PH dr
S. 3 J2 
CE 
AE . ~ . ~ ~ 
r丁τ一~
连{汇，OP ，AC ，则6CAEω 6POB
二一~ ，AE = 4 ，CE =
、AE ' BE = 8, PB = 20 ，由6AEMω
'PB 
OB'
、υ
.1. -'
L.JL.-
6ABP 得ME= CM= 4 ，故SAIr÷CM·BE= 32
作点D 关于AB 的对称点M ，连接DM 交AB 于点p ，连接CM 交AB 于点E ，此时DE+ CE 的值最
6. 32 
7. A 
小，由6AODω6BCD 得坐=坐=主ADJ ，设OP= a ，Ij)IJ AP=点+ α ，DP' = 5- a' = 1 ~0 -
(15+ιι= 
DB 
BC 
2 ，，.~ 3 
161 ' 
咱垂
学科精英大视野系列丛书
……… 
食
食女
女
食有
食
食为
J5 _ _ 
__ _ 20 
. 
^ _~ ~ ~ ^ • r~~ ，~ CE 
CE 
BC 
2 . ~ 9 
亏，DP=PM= τ' 由6 CBE'ω6 MPE 得一=一= 一=一=一
DE ME PM 
20 
10 
9 
x 
8. C 
如图，作直线
I I 矿l2 // AB ，且直线
I I 与①C 相切于点D ，l2 过圆心
C ，当点P 运动至点D 处时，此时6PAB 的面积最大.设点C 到AB 的距离为
一
16
h l
，连接AC ，由~ X BAXBCXsinLABO= ~ AB X 儿，得俨τ
-
2
-2 
0-O 
B-B 
.
一
+
2
'Z 
B-B 
A-A 
2
-
。
­
B-
2 
·-0 
2
-A 
B-
A-
2 
M 
B 
10. C 
9. D 
(第8 题)
用面积法证明.
11. B 
。CE
OC 
1 
连OE ，则ζ BAE = ζ COE ，又AB = AE ，OC=OE ，则6ABE∞L" OCE ，得豆E- 互B
τ ，BE =
,-
=~~" CE 
v' l 门
3CE,BC= JBE 2 +CE 2 = JfQCE ，故一=工立
BC 
10 
12. D 
C 
(第
14 题)
13
专
14. (1) 2 J5 ;2 J5 
(2)
由6D I AB旦6E 1 AC 可证得BD I =CE 1 ，且BDI l_ CEI
'
(3) (
212 
(
1+J3 
因为
Rt6ADE 是绕点A 逆时针旋转，所以叭，E I 在以A 为圆心
，AD
为半径的圆上.当BDI 所在直线与①A 相切时(如图) ，直线BDI 与CE 1 的支点P 到直
线AB 的距离最大，根据前面积累的经验，易知四边形AD 1 PE1 是正方形.
过点P 作PG 上AB ，交AB 所在直线于点
G. 在
Rt 6ABD 1
中，易求BD 1 =
J4 2 -2 2 =2 汀，进而求得ζABP= 30 0 • 由于四边形AD 1 PE 1 是正方形，所以PD 1 =
AD 1 = 2 ，所以PB = 2+2J3，故点P 到AB 所在直线的距离最大值为PG = ÷PB = l +在
15. (1)由6PLE∞6PMD ，6PLD∞6 PNE 得PL '= PM. PN. 
(2) DE 为6ABC 的中位线
，PM+PN + PK =2LK ，PM + PN = 2LK-PK ，( JPM十
JPJ\i ) 2 = PM十
PN+2 j pM. PN - PM+ PN + 2PL = 2LK - PK +2PL = 2(LK+ PL) - PK = PK ，故./PK = JPM 十
♂瓦
16.
连AD ，由6CDEω 6CAD ，得ζ BAC= ζ BAD+ ζ CAD 二ζ BAD+ ζ ABD=90 0 •
17.
连OA ，OB ，α7，由PB. PC=PD. PO = PA' 得D ，B ，C ，O 四点共园，从而ζ PDB = ζPαJ=ζ OBC =
PD 
BD 
ζOL汇，ζ PBD= ζαJD ，:. 6PBD ωAαJD ，:';:=;:::'，BD. CD=PD . OD= AD '. 
'而一白'
18. (1)由条件知
AP 
FP 
ζ AFP = ζ ADF ，且ζ FAP = ζ FAD ，则6AFP∞6ADF ，~': 一=
AF DF' 
EP 
AP _ 
，~ 
，~~. EP 
AP AP 
FP 
FP 
EP 
同理
- -一，又AF=AE ，则一一=一-一一;:::-:;::::;-，斗一一=一一
'DE - AE'~
.<H -.r>..L '''''DE-AE -
AF - DF'~FD - ED' 
(2)
因为PE//BC ，
所以，
ζ PED= ζ EDC=ζ DPE = ζ CED. 
EP 
PD 
故6DPEω 6CDE ，从而，:;:::;-;一=
, __'. 'ED 
DC" 
FP 
DP 
结合(1)知一一=一一，又ζ PFD = ζ PDC ，于是
，L" PFD∞6 PDC ，故ζ PCB = ζ PDF = ζ PFA ，
FD 
DC 
量62
力'
可耐
食
( 丸每级)
't.?
食
贪
因此，P ，F ，B ，C 四点共圆.
因为ζ B =90 0 ，所以ζ FPC = 900 :::> PCl_ p F. 
19. (1 ) ζ BAP =30 0 • 
(3) ①相切.
飞一./~
(2) PC = 丁巳
A 
图①
A 
(第
1 9 题)
( i )
当点P 在边BC 上时，如图①所示，连接MC.
': M 是PQ 的中点，ζ PCQ =90 0 ，:. CM= PM= MQ , 
. .点C 在①M 上，且ζ MPC= ζ MCP .
图②
..正方形ABCD 中
，AB = BC ，ζABF = ζ CBF ，BF = BF ，
:. 6ABF旦CBF ，:. ζ BAF = ζ BCF.
.. ζ BAF + ζAPB = 90 0 ，ζAPB= ζ MPC ，:. ζ FCP十ζ PCM= 9 0 0 ，
.. ζ FCM=90 0 ，点C 在①M 上
，:. FC 和①M 相切.
( ii ) 当点P 在边BC 延长线上时，如图②所示，由( i ) 知ζ BAF= BCF ，
.. ζ DAF = ζ DCF ，其余与(i ) 同.
②此时PC = f3- 1 或13十1.
(第
1 9 题)
苦苦
食
第
1 8 讲
直线与圆
( i ) 当点P 在边BC 上时，如图③，·.· 直线BD 与①M 相切于点E ，:. MEl_ BD ，由①知，FC 和①M 相切，
. ζ MEF = ζ MCF = 90 0 , .: ME= MC, MF二MF ，
:. Rt6MEF且Rt6 MCF ，:. ζ MFE = ζ MFC. 
设ζ MQC = 工，则ζ MCQ = 工，
. . ζ MFE = 45。十x= ζ MFC ，
ζ FCD = 90 0 - x ，:. ζ EFC = 90 0 + 2工，ζ EFC = 90 0 - x+ 4 5 0 ，
:. 90 0 + 2x = 90 0 - x 十45 0 ，解得工= 15
0 , f!p L三BAF = 15 0 • 
在AB 边上截取AN = PN ，如j ζ BNP = 30 0 •
设BP = a ，NP = 2α ，BN = f3a ，AN = 2α ，:. 2a + f3a = 1 ，解得a = 2 一点，
则PC= l 一(2-13)=13- 1.
(ii) 当点P 在边BC 的延长线上，如图④所示，同理可得，PC = f3+ 1.
163 I 
均在
硬说数学科学无
关可言的人是错误
的，关的主要形式是
秩序、匀称与明确.
一一一亚里士多德
圆球、圆罐类商品怎样排列最节省空
间?这是生活中常面临的问题.如图是最
常见的两种排列方式.若定义空间占用
率
圆罐总面军F
-"... 
1_ 
J t.-. J,,,, -.-.-<.... ，则可求得:正方排列
所占货架面积
的空间占用率为?句。阳，六方排列的
六方排列
正方排列
空间占用率为J3x 号句0.9069
唱73) i叫团与回
: J
' 
知能概述
两圆的位置关系通过两圆的交点的个数确定，或通过两圆的半径与圆
心距的大小量化确定.
为沟通两圆，常添加与两圆有联系的线段，如公共弦、连心线、公切线
等，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线.
熟悉以下基本图形、基本结论:
; 
「
·
。
一
{.q~ 
⑩
 
问题解决
h 
眼球定理
如图，过两个圆
的圆心分别作另一个
圆的切线，则切线与
两因相交的支点之间
的线段相等.
倒1
把两个半径为5 和一个半径为8 的圆形纸片放在桌面上，使它们
两两相切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆
形纸片的最小半径等于
(全国初中数学联赛题)
麟题思路
如图，能盖住这三个圆的最小圆形纸片的
圆心必在对称轴G]A 上，且与这三个已知圆内切，设这个
圆形纸片的半径为r ，由两圆相切性质建立方程.
Ct.\~昌、，~
封兰jv
C瓦气量级J
气K
食
，传
有食
食
食
，传
例2
如图，圆心为A ，H
，C 的三个圆彼此相切，且均与直线
J 相切. 若
①A
，①B ，①C 的半径分别为a
，b ，c(O < c <α 〈的，贝IJ a ，h ，c 一定满足的关系
式为(
) . 
A . 2h = α + c 
C. l_ = l_ + ~ 
一=一十
c 
a 
0 
叫
l
-
4
4
1-d 
dLJ 
BD 
鹅题思路
从两圆相切位置关系入手，分别探
讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的
基本辅助线.
(天津市竞赛题)
例3
如图，两圆相交于点A 和点B
，由点A 作两圆的切线，分别与两圆
相交于M 和N
，直线BM 和BN 分别与两圆交于点P
，Q ，求证
: MP = NQ.
(俄罗斯莫斯科数学奥林匹克竞赛题)
解题思路连AP ，AQ ，证明L，APM旦L，ANQ ，为
此需连AB ，沟通两罔.
P 
例4
如图，已知L，AHC ，以AB 为直径的①0 交BC
，AC 于点D
，E ，
L，DEC 的外接圆是①C ，求证:OD ，OE 都是①G 的切线.
(湖北省黄冈市竞赛题)
麟题思路连CD ，CE ，证明ζ ODC = ζ OEC=90
0
，
进一步作出相关辅助线，促使圆中角的转化.
165 
111:' 
嗖各
第
19 讲圆与圆
涉及两圆位直关
系的计算题，常作半
径、连心线，结合切线
性质等构造直角三角
形，将分散的条件集
中，通过解直角三角
形求解.
当两园相交时，
常作两圆的公共弦作
为沟通两圆的桥梁，
一般地，常用到圆内
接四边形的"对角互
补"和"外角等于内对
角"等性质.
解圆与园相关问
题时，既要注意圆的
性质、直线与圆的位
直关系等基础知识的
运用，又妥善于从不
同角度逐个看不同的
园，充分利用与圆有
关的三角形.
~~、i~
，际
训r
-{'-: 
食
食1:?
食
食女
倒5
如图，半径不等的两圆相交于A ，B 两点，线段CD 经过点A
，且分
别交两圆于C ，D 两点，连接BC ，BD ，设P ，Q ，K 分别是BC ，BD ，CD 的中
点，M ，N 分别是BC ，BD的中点.
BP _NQ 
求证: (1) 一一一一一·
MP 
BQ' 
(2) .6KPMω .6 NQK . 
(全国初中数学联赛题)
麟题思路
对于(1) ，只需证明.6BPMω
.6 NQB; 对于(2) ，在(1)的基础上，注意等线段的
代换，解题的关键是:由多个中点导出多个结论，
并添出相关辅助线.
倒6
如图，ABCD 是边长为G 的正方形，以D 为圆
D 
心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一
BN 
点p ，延长AP 交BC 于点N ，求
的值.
NC 
(全国初中数学联赛题)
A"""" 
飞
'β
份析与解
AB 为两圆的公切线，BC 为直径，怎样产生比例线段? 丰富
的知识、不同的视角激活想象，可生成以下解题策略与方法.
图①
图②
图③
就图①给出解答:
连CP 并延长交AB 于Q ，连BP ，得ζ BPC= 90 0 •
又QA 2 = QP • CQ= QB2 ，得AQ= QB= ÷AB
BQ2 _ Qp . CQ_QP _ 1 
在Rt.6 CQB 中，一寸一一一一一一一一一
Hι2 
Cp . CQ 
CP 
4 ' 
过Q 作QM //BC 交AN 于M ，则MQ= ; BN 
1s MQ _ QP _ 1 
由.6MQP∞.6 NCP ，得一一一一一一一
CN 
CP 
4 ' 
1
-2 
一
一
叫
一
例
一
­
N
-C 
B
-N 
b
λ
 
-
2
ι
 
￡:J 
学科精英大视野系列丛书
• 
C 
下面问题联系了
多个知识点，有丰富
的内涵，实现了" 数"
与"形"完美的组合，
对其探索，可提高我
们驾驭知识的综合
能力.
如图，半径分别
为
r ，R 的①0"
①Oz
外切于C ，AB ，CM 分
别为两圆的公切线，
0，02
与
AB 交于P
点，则:
(1) AB = 2 .fR二
(2) ζACB = 
ζ 0，MOz = 90 0 ; 
(3) PCz=PA . PB; 
( 4) s inζ P =旦二r
R 牛γ '
(5) 设_ C 到AB 的E巨
1 
, 1 
离为d ，则___:_+τ =
r 
f{ 
2 
d' 
二刁制飞V
D电气C (), 
lι 
~~~ 
，传
食
会
食
fJlJ7 
如图①，在6ABC 中，已知ζB 内的旁切圆与AC 切于D
，ζ C 内
的旁切圆与AB 切于E ，过DE 中点M 与BC 中点N 作直线，求证:直线
MN 平分6ABC 的周长，且与ζA 平分线平行.
(国际城市数学竞赛题)
'B 
图①图②
份析
"似曾相识燕归来"本例虽有圆的背景，但其实质是下面问题的
变形拓展.
如图②，在凸四边形ABCD 中
，AD=BC ，E ，F 分别为AB
，CD 的中点，
AD ，BC 的延长线分别交直线EF 于G ，H.
求证:(1) L_AGE= L_BHE; 
(2) AE 十AG = BE 十BK 十KG.
构造中位线易证明上面问题，于是，原问题的关键是证明BE=CD.
设BC = a
，CA = b ，AB =c ，BE 二BF= 工，CD = CG =y .
则AE 二AR =c- x ,AD=AS=b- y . 
由切线长定理得CF = CR
，BG = BS ，
即:α 十x= b 十(c - x ) ，a 十y=c 十Cb-y).
·. z= t附户y ，ßlPBE = CD
由引例知ζ B KN = ζ CHN ，
ζ BAC =2 L乙BKN
，AH = AK.
故直线MN 平分6 ABC 的周长，且与L_ A 平分线平行.
偶然与必然
英国著名诗人蒲柏在他的〈人论〉中曾写道."所有的偶然都有看不见的
方向;所有的不和，是和谐未被人领悟"
例8
(1)如图①，已知两个正方形彼此相邻且内接于半圆，设两正方
形的边长分别为a
，b( α 〉的，求证:a = 2b.
(2) 如图②，已知①0[ ，①O2 外切且都与①O 内切，①0 ] ，①O2 分别切
半圆的直径于点。，C ，设①0] ，①O2 的半径分别为R ，r ，求证:R 二2r.
斤下K
I 
I 
. 0 , 1 
....... 九
1\ 
;(.o,). 
A 
0 
C B 
国②
16马
食
第↑9
ì井圆与圆
"问渠哪得清如
许，为有源头活水来"
许多竞赛问题能
觅到源头或背景，对
经接问题的深化演绎
或变形拓展，是编制
新问题的重要方法，
而对经典问题深层剖
析、变式欣赏是开启
思路、启发智慧、提高
能力的重要路径.
民d散昂起~
食
，耐力
食
食女
食
冒险
作出辅助线，建立相关字母的等式.
拓展与引申
如图，在Rt L">ABC 内有边长分别为h
b ，c 的三个正方形，求a ，b ，c 满足的关系式.
你能提出什么问题?
4写〉刻意练习
A 
B 
1.如图所示，点A
，H 在直线MN 上
，AB=
广'\
r-\ 
llcm ，①A ，①B 的半径均为
lcm ，①A
M 
以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此
同时，①B 的半径也在不断增大，其半径
(第
1 题)
rCcm) 与时间
t (秒)之间的关系式为
r = l+tCt 注0 ) ，当①A 出发
后
秒两圆相切.
(辽宁省锦州市中考题)
2.
如图，单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆(与角两边及三角形内
切圆都相切的圆)的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为
(江西省竞赛题)
(第2 题)
(第3 题)
(第4 题)
3.
如图，①0] 和①O2 交于A ，B 两点，①0] 的弦AC 切①O2 于A 点，①O2
的弦AD 切①0 ] 于A 点，若L">ABC 与L">ABD 的面积之比是
3 : 4 ，则
①OJ 与①O2 的半径之比为
(世界数学团体锦标赛试题)
4. 如图，已知半径分别为1 和2 的两个圆外切于点p ，则点P 到两圆外公切
线的距离为
(全国初中数学联赛题)
5.
如图，在边长为
1 的正方形ABCD 中，分别以点A ，B ，C ，D 为圆心，作半
径为
1 的圆弧，将正方形分成九个小块，则中心小块的面积是
(江西省竞赛题)
事巴;'
学科精英大视野系列丛书
结采与原因一样
对称.正方形与园都
是完美的对称图形.
例
8 提出并分析问
题，揭示了知识之间
的内在联系和命题者
的构题方式，展示了
从偶然中探寻必然的
数学魅力.
i
gz 
. .. .心
常从新环境里寻
找尽可能多的信息，
喜欢日常生活中的不
确定性，乐于寻找新
鲜事物或新体验....
好奇心是人类探
索的动力.
&:.\/";军医1.:\
( 丸每细)
丁先食
食
女食食
女，传食
(第5 题)
(第6 题)
6. 如图，在边长为
2 0 18 的等边t6ABC 内有η 个依次外切的圆，记为①0 )
，
( O2 ，…，①。" ，它们都与边AB ，AC 相切，若①0 ) 的半径为1，则①。" 的
半径最大值为
("希望杯"邀请赛试题)
7.
已知①0)
，①O2 相交于点A ，B ，公共弦AB 与连心线。) 02 交于点G ，若
AB = 48 ，①0 1 ，①O2 的半径分别为
30 ，40 ，那么t6 AO) O2
的面积
是(
) . 
A. 600 
B. 300 或168
C. 168 
D. 600 或16 8
(广东省竞赛题)
8. 如图，两个半径为5 的等圆外切，且均与一个半径为
1 3 的大圆内切，切点为
A ，B . 记AB = 旦( m ，η 为正整数，且m ，n 互质) ，则m 十n 的值为(
). 
η 
A. 21 
B. 29 
C. 58 
D. 69 
E. 93 
(美国数学竞赛题)
(第8 题)
(第9 题)
9.
如图，①0 ) 与①O2 外切于点A ，两圆的一条公切线与①0 ) 相切于点B ，若
AB 与两圆的另一条外公切线平行，则①0) 与①O2 的半径之比为(
). 
A. 2 : 5 
B. 1 : 2 
C. 1 : 3 
D. 2 : 3 
(全国初中数学联赛题)
10. 如图，两个圆内切于点K ，大圆的弦AB 与小圆切于
L
，已知生主=主，AL = 10 ，则BL 的长为(
) . 
BK 
5 
K 
A. 24 
C. 26 
B. 25 
D .
以上答案都不对
(北京大学博雅计划测试题)
1 1.如图，分别以A 和B 为圆心、2 和
1 为半径的半圆内
(第
10 题)
切于以]K 为直径的半圆，且两个较小的半圆也相切. ①P 同时与两个
较小的半圆外切，与较大的半圆r 内切.则①P 的半径为(
). 
A? 
B
手
cf 
D. 55 
E ll 
一
- 8 
~ . 12 
(美国数学竞赛题)
169 
·在
第
19 讲圆与圆
民6革命~
J 
食
食，传女
食食*
食女
K 
(第
11 题)
(第12 题)
12 .
如图，圆A ，B 的半径都为1，且相互外ÞJJ. 圆P ，Q ，R ，S 的半径都为r ，且圆
P 与圆A ，B ，Q ，S 都分别外切，圆Q 与圆P ，B ，R 都分别外切，圆R 与圆
A ，B ，Q ，S 都分别外切，圆S 与圆P ，A ，R 都分别外切，则r 的值为(
) . 
A. -3 十刁于
~ 
3+ .Jf于
~ 
4 + .Jf于
~ 4- .Jf于
~一
·
一
…
-
2
日
2
~
. 
2 
~. 
2 
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
D 
P 
Q 
A 
0 , 
。
C 
0 , 
B 
(第
13 题)
(第
14 题)
13 . 如图，PQ ，PO} ,O} Q 分别是以0}
，02
，03 为圆心的半圆C1 ,C2 ，C3 的直径，圆
G 内切于半圆C} 及外切于半圆C2
，C3 • 若PQ=24 ，求圆G 的面积.
(香港中学数学竞赛题)
14 . 如图，点C 在线段AB 上，分别以AB ，AC ，CB 为直径作半圆①0 、半圆
①O} 、半圆①O2 ，形成的阴影图形称作"皮匠刀形"，过点C 作AB 的垂
线与半圆①O 交于点D ，半圆①O } 、半圆①O2 的外公切线为EF. 证明:
CD=EF. 
(北京市竞赛题)
15 .
如图，已知①B ，①C 的半径不等，且外切于A ，不过A 的→条公切线切
①B 于D ，切①C 于E ，直线AF上DE ，且与BC 的垂直平分线交于F. 求
i正:BC =2A F.
(英国数学奥林匹克竞赛题)
E 
A 
F 
B 
(第
15 题)
(第16 题)
(第
17 题)
1 6 . 如图，点C 在以AB 为直径的①O 上，CD _l AB 于点D ，点E 在BD 上，
AE=AC ，四边形DEFM 是正方形
，AM 的延长线与①0 交于点N
，证
明:FN = DE .
(全国初中数学联赛题)
封f二;
学科精英大视野系列丛书
_.. 
Ct.\~、.~
( 丸每缎)
力，曾
1号食
A 
1、「
食
食
食
食
第
19
ì井圆与圆
17 . 如图，已知AB 为半圆。的直径，点P 为直径AB 上的任意一点，以点A
为圆心，AP 为半径作①A ，①A 与半圆。相交于点C ，以点B 为圆心，
BP 为半径作①B ，①B 与半圆。相交于点D ，且线段CD 的中点为点
M. 求证:MP 分别与①A ，①B 相切.
( " (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
-
E二·
40 
.r'\ 
A 
/ /,..., 
I 
,...." 2 
....2 
.,.....,k-....--v-'\ 
J-
T"IO 
^ 
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A 
_l_ 
/ 
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,... 2 
J 
/ ., r'\ 
I 
A 
,, 2 
hn ~e 
40 
倒1
τ O]A = J(8+5)' - 5' = 12 ，连∞2 在Rt6∞，A 中
，(r-5) ' =5' 十Cl 2 +8 - r)'
，解得r=于
倒2
D
连AB ，AA]
，BB ]
，作AB，l_ BB ]
，则AB ' = AB: + BB: , í!r (a + b)' = AB: + (b - a) '
，得AB: =
A]B: = 4ab. 
1 
1
, 1 
同理，A ] C : = 缸，C] B:=4此，由A ] B ] =A]C] + C] 乱，得JW;= ~+ 
ß瓦，故一=一十一
Fc ;;;' Jb. 
倒3
连AB ，PN ，QM ，AP ，AQ ，由ζ ANB = ζ BAM= ζ BQM 得AN // MQ ，同理，AM // PN ，
二
4三APN = L: APB + ζ NPB= ζ NAB+ ζ BAM= L: NAM= ζANP ，得AP = AN .
又ζ APB = ζ ANB ，L三AMB = ζ AQN ，
:. 6APM旦6ANQ ，故MP = NQ.
倒4
连GD ，GE ，(觅，延长DG 交①G 于点M ，连EM ，AD ，可证6GDOVJ6 GEO, :. ζ DαJ= ζ EαJ. 
. ∞_L DE ，ζ C= L:ADB一ζ CAD=900 - : ζ DOE =90。一ζ D∞=ζ ODE.
2 
· ζC = ζM ，ζ M+ζ MDE = 90 0 ， 
.. ζ ODE+ ζ MDE = 90 0 ,:. OD上GD .
:. OD 是①G 的切线. 同理
，OE 是①G 的切线.
倒5
(1)连AB ，由M 是BC 的中点
，P 为BC 的中点，得ζ BPM=90 0 ，同理ζ NQB =90 0
•
1
，" ~~0 
/~.~， 
~~O 
1 
.. ζ PBM= τζ CAB = 一(1 80 。
ζ DAB ) = 90
一ζ DAB =90 0 一ζ NBD = ζ QNB ，
2 L_~"~ 2 ，.~ ~ 
~ _.._
， 
vv 
2 
BP 
NQ 
'. Rt6BPM∞Rt6NQB ，得一一=一一
MP 
BQ. 
KQ 
(2) .: KP斗BD = BQ ，:
四边形PBQK 是平行四边形，得BP= KQ , BQ= KP , tb (1)式，得盯=
旦旦，又ζ KPM= ζ KPB 十900 =ζ KQB + 90 0 = ζ NQK ，:. 6 KPMω6 NQK.
KP 
I 
I 
O ，k _
厅τ头
倒8
(1)略
(2) 连O，C ，O]O" 作O，D上00] 于点D ，则0] D = R -
r , 0] 0, = R + / 
\ D P-…二月才
r ,oo, = 2R - r ，由O，D' = O，O，'- O] D'= oo;- OD' = oo; - O,C' , 
A 
o 
C B 
t寻(R + γ) ' 一(R- r)' = (2R-r)' -r' ，化简得R = 2 γ.
(例8)
• 
__感
.
11 
1. 3 ，τ ，1 1，1 3 
飞鸟
食
食
食
，传
，传女
食女
可命
(1)当两圆第一次外切时，由
11 一2t=1 + 1 + t ，得t=3;
11 
(2)
当两园第一次内切时，由
11 - 2t = 1 + t 一1 ，得
t = τ 3
(3) 当两圆第二次内切时，由2t-11 = 1 + t 一1 ，得t= l1;
(4) 当两圆第二次外切时，由
2t 一l1 = l + t + l，得t = 13.
学科精英大视野系列丛书
2 子-f
单位正三角形内切圆半径为r=子，其面积为S= πr2 = 言，每个角切圆面积为内切圆面积的
4 ，四个困面积之和为主S = 一，故所求二角形剩下部分的面积为坐一王
&
π
_ h 
_, •• _ 
~_ ., .. _ , _ .• .,j;j 
9 ' 
，~.
. 
-, - . 3 -
9 ' - _. , .- -
" . . Y
'''' '''''. ~ ,.." 4 
9 . 
3 f ulq dlA ，俐，由6ABCω6DBA 得一=一又6A01 02ω6BCA ，得→=
"..BC _./3 rt ^ Aro ro ，~ ^ n f' A ,,,, A01 BC 
BA 
2' ~ L_H ' V' l V'2-' L.>.u v
.fC\ , T'1 A02 - BA' 
4
f
连02A ，Ol B ，取02 P 的中协作QK土AB ，则2PT= 1+ QK ,2QK= PT+ 2 
s. ; + 1 - ./3
如图什4a + 4b = 1 , x + 2α +3b = 王，而由启，函，AB 所围区域的面
4 
积为子+2(? -f) = f
fFFZ+α+2b=? 一手，解得x= ; +1-./3. 
6. 243 
作如图所示的辅助线，则01A = 2r l = 2, 
r1 + η = 2(r，- r 1 )
，得r，= 3r1 ,r3 = 3r2' … ,rn = 3rn - 1. 
设m = (1 十2)+2 X 3 十2X3 2 十… +2X 3 ，，- 1
，
则3m = (1 X 3 十2 X 3)+2 X 3 ' 十2 X3 2 + … + 2 X 3" ，
解得m = 3" ,36 < 2018 X1_ < 3' 
所以一共可以剪6 个圆
，第
6 个团最大，半径为η = 3 6 - 1 r1 = 243. 
7. D 
8. D 
如图，记三个圆的圆心分别为X ，Y ，Z ，则点A ，B 分别在XY ，XZ 的延长
线上，满足:
XY= XZ= 13-5 = 8, YZ=5+5= 10 ,XA = XB= 13. 
由YZ // AB=> 6 XYZω 6XAB ，=各主主= 主主=>AB = 主主二ZZ = 豆豆，故m = 65 ，
AB 
YZ ' . . ~ 
XY 
4 
n= 4 ,m+ n= 69. 
9. C
连C01
，01 B ，01 02 ' 则ζ C01 B= ζ C01 A = ζA01 B= 120 0 • 
10. B 作两圆的公切线，则ζAKL = ζ LKB 生主= 生L
'BK - BL' 
11. B 
记圆F 的圆心为C ，连接PA ，PC ，PB . 在6ABP 中，由斯特瓦尔特定理有
AB • AC • BC+ AB • Cp 2 = AC • Bp2 + BC • AP2 .
① 
由已知的相切关系得AB = 3 ,AC= 1 ,BC= 2 ,AP= 2+ r ,BP= 1 十r ，CP = 3 - r ，
其中
，r 为①P 的半径.
代入式①得3 X 1 X2+川一户口+川2(2+ r问r= 手
12. B 连圆心，连切点与圆心，关注由此生成的三角形. 如图，连PS ，PA ，SA ，设
①A 、①B 相切于T ，又连PT ，则PA' - AT' = p r = PS2 - sr , I1f Cr+ D 2 - 12 = (r+ r) 2 一
? 
/n7/.e 
3+
八号
(r+2) 2
，解和=寸土工( 负值己的). 
#二〉
(第5 题)
B 
(第6 题)
(第8 题)
(第
1 2 题)
B 
( 丸每缎)
11f
食
食
1人食
食
食
食
·…-圄---画画""酣睡噩噩噩噩噩酣
第
1 9 讲圆与圆
13. 设①C ，的半径为
r ，连0，0，、0，03 ，': PQ = 24 ，:. ①C ，的半径为
12 ，①C"
①Cj 的半径为
6 ，从而
qo, = 12- r,030, = r+ 6 ，在Rt6q 03 0，中，由勾股定理得:qq + 0 ,0; = 03 C巧，即6 ' 十Cl 2 - r) '= Cr十6 户，解
得r= 4 ，故Søc = π X4' = 1 6π. 
14. 女口图J史。，C= α ，CO，= b .
则AB =2α + 2b.
由CD2 = AC
. CB斗CD' =2a
' 2b= 4ab. 
连接O，E ，O，F ，过，点0，作EF 的平行线，与O ，E 交于点P.
易知，在6 0 ，O，P 中，
①
 
B 
正三O，PO ，= 90 0 ,0, P = α -b ，O，O，二α +b.
故EF ' =O,P' = O,Cfz - 0 , p' = Cα + b)' - Ca-b)' =4ab. 
由式①，②得
CD2 = EF' =;'CD= EF. 
15.
连BD ，CE ，作BMl_ CE 于M ，作HN l_ CE 于N ，则BM // HN .
因H 是HC 的中，点，故N 是CM 的中点，
1 _.. 
1 . _ _ 
_ _ _ 
1 
'. CN=~CM=~(CE-EM)=~(CE-B D). 
2 _- -
2 .--
- " " 
2 
而AH = BH - AB = ~ BC- AB= ~ CAB + AC) - AB= +CAC- AB) , 
2 _ -
. -_ 
2 '" -_ . . . _, 
..-
2 
因此CN = AH.
由CEl_ DE ，AFl_ DE ，得CE // AF ，故ζ NCH= ζ HAF ，又ζ CN H 二ζ AHF二9 0 0 ，
② 
(第
14 题)
F 
(第
1 5 题)
得6CNH(/)6A HF ，从而BC=2C H = 2AF.
16.
连BC ，BN ，由6ACBω6ADC 得AC'= AD
. AB. 
又由DEFM 为正方形及CD 上AB 可知: 点M 在CD 上，
DE = DM= EF = 儿1F .
.. ζ NAH = ζ DAM ，正三ANB= ζADM ，
:. 6ANBω 6ADM ， 
AN 
AH 
AD 
A儿1 ' 
:.AD. AB=AM • AN , 
:.Ac' = AM . AN. 又AE = AC ，
人AE2 = AM' AN. 
以F 为圆心、FE 为半径作①F. 与直线AM 交于另一点p
，显然: ①F 与AB 切于点E. 于是，由切喜'J 线定
A 
(第
16 题)
理可得AE' = AM. AP. 
:.AN= AP, :. 点N
I!r 为点P ，:. 点N 在①F 上，
:. FN = FE二DE.
17.
连AC ，AD ，BC ，BD ，并且过C 点作CEl_AB 于E ，DFl_AB 于F ，则CE// DF.
.
ζ ACB = ζADB =90 0 ，:. PA' = AC' =AE ' AB ,PB' =BD2 =BF ' AB ，两式相
减，得CPA + PB)(PA - PB) = AB CAE- BF) = ABCPA -
Pß). 于是AE -BF = PA ­
PB ,l!r PA - AE= PB- BF ,:. PE = PF ，也就是说点P 是线段EF 的中点，因此MP 是
直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP l_ AB ，从而可得MP 分别与①A 与①β 相切. w::::::i 
AE P 
F 
B 
(第
1 7 题)
:
"
哪
一
、豆豆d
~f
她还7
在数学上，"包络"是指一组直线包围出另一个形状
的情形.如图，画一个大圆，把圆周等分成36 等份，并编
上序号
1 ，2 ，3 ，… ，36 ，把第n 点与第n 十7 点连接，可得
到圆形包络线;把第n 点与第2n 点连接，可得到心脏形
包络线.
3 20 讲
团中比例线气
I
角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形、得到比例线段提供了可
能.而圆幕定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其
本质是与比例线段相关.
相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幕定理.
(1)如图①，若圆内两条弦AB ，CD 相交于点p ，则PA
. PB=PC' PD. 
(2) 如图②，若从圆外一点P 引圆的切线AP 和割线PBC ，则PA2 =
PB ' Pc. 
(3) 如图③，若从圆外一点P 引圆的两条割线PAB ，PCD ，则PA
. PB= 
PC . PD. 
可
c(7P D~j 
图①
图②
图③
圆幕定理，从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系;
从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而
得到的等积式.
倒1
如图，已知6ABC 内接于①0，且AB = AC ，
直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 的中点，如果BD//CF ，
A 
BC=2 J5，则线段CD 的长度为
(四川省竞赛题)
it二
对数学之美的感
觉，对数与形之和谐
的感觉，对几何学之
优雅的感觉，这是一
种所有数学家都深知
的真正的美感.
一一庞加菜
斯坦纳圄链
如图
，先在大园
中间画一小园，然后
依次画与大、小圆相
切，并与前一个新圆
相切的园. 在一般情
况下，最后一个因与
第一个圆相切，这个
因链是闭合的.
这是瑞士数学家
斯坦纳
1 862 年证明
的定理.
~~、，~
( 丸每缎)
有食
肯
古了
，传
食
食
食
，传
第
20 讲
圆甲比例线段
堕堕塾些
设CD = 工，把相关线段用工的式子表示，并由相交弦定理布
列方程.
倒2
如图，在口ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD
相切，若AB = 4 ，BE = 5 ，则DE 的长为(
) . 
15 
~ 16 
A. 3 
B. 4 
C. ~ 
D
一
4
一
5
(全国初中数学联赛题)
鹏题思路
连A C，CE ，由条件可得许多等线段，为
D 
C 
切割线定理的运用创设条件.
倒3
如图，圆中的三条弦PPj ,QQj ，RR j 两两相交，交点分别为A ，B ，
C ，已知AP=BQ=CR ，AR j =BPj =CQj . 求证: 6ABC 是等边三角形.
麟题思路
三条弦两两相交，自然想到相交弦定
理，从化简等式入手，为叙述方便，可设BC = 工，CA = y ，
AB= z ,AP= BQ= CR = m ,AR j = BPj = CQj = n. 
(北京市竞赛题)
RJ p 
例4
如图，点P 为①0 外一点，过点P 作①0 的两条切线，切点分别为
A ，B ，过点A 作PB 的平行线，交①O 于点C ，连接PC ，交①O 于点E ，连接
AE 并延长AE 交PB 于点K. 求证:PE
. AC=CE . KB. 
(全国初中数学联赛题)
、
PE
KB .. '-'- ^ 
T? ~~_~ ^ 
，~~ 
~ 
篇题思路
即正一一=
易证6KPEω6ACE ，
一一一一一:a
to!p l-ltCE = AC ' 
PE KP 
得
= 一一，于是只要证明KP = KB.
CE 
AC 
C 
例5
如图，6AB C 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，BD =4DC . 已知
①O 过点C 且与AC 相交于F ，与A B 相切于AB 的中点G . 求证: AD j_BF.
(全国初中数学联赛题)
过7法
由于圆与直线形
的结合，其图形千变
万化，因此，它所涉及
的不仅限于比例线段
问题，而是拓展到证
明线段(或角)相等，
证明直线平行(或垂
直) ，证明线段(或角)
的和差倍分等，而证
明并利用圆中有关线
段的等积式是解答各
类问题的桥梁.
一些复杂的问
题，只要发现图中有
圆幕定理的因素，就
能大大降低问题的难
度.
iG.\~~、
食
食
食
食
食大
食肯
为
自尊题思路
即要证ζABF + ζ DAB = 90 0 , 
而ζ DAC + ζ DAB = 
90 0 ，需证ζABF= ζ DAC ，作
DEj_AC 于E ，将问题转化为两个直角三角形相似.
G 
倒6
如图，己知点P 是①O 外一点，PS ，PT 是①0 的两条切线，过点P 作
①0 的割线PAB ，交①O 于A ，B 两点，与ST 交于点c.求证.土=
. PC 
1 ( 1 
, 1 ì 
2lPA ' PBJ 
(国家理科实验班招生试题)
证明1
如图①，过P 作PH j_ ST 于H ，则H 是ST 的
P 
中点，由勾股定理得:
PC2 = PH2 +CH 2 
= PS2 -SH 2 +CH 2 
= PS 2 一(SH-CH)(SH + CH)
= PS2 - SC. CT 
又由切割线定理和相交弦定理，有:
PC2 =PA • PB - AC. CB 
=PA • PB 一(PC-PA)(PB ←PC)
= 2PA • PB-(PA + PB)PC十PC2
2PA • PB 
<>n 1 
1 (1 
, 
1 '\ 
•• PC = 一一一一一;:;-，即一一=
~ I 
十一一
|
PA 十PB ' -,' PC 
2 ~ PA ' P B ) 
主堕2
如图②，连PO 交ST 于D ，则POj_ ST ，连SO ，
作OEj_ PB 于E ，则E 为AB 的中点，于是PE=旦尹P
γ
C ，E ，O ，D 四点共圆，
λ
PC
. PE= PD • PO, 
.: Rt6 SPDω Rt60PS ， 
人PS2 =PD
. PO, 
又由切割线定理知PS 2 = PA. PB , 
PA 十PB _ ro A 
ro ro 
<>n 1 
1 (
1 
, 
1 '\ 
.. PC X 一一τ一一= PA • PB ，即一一=
~ I 一一+ _-'_1
2 
- . . 
-
~ , _., PC 
2 l P A ' P B ) 
整数几何
图①
P 
图②
我们把某些几何量(如图形的边长、周长、面积等)是整数的几何问题称
为整数几何，这类问题的解决需综合运用图形性质与整数性质.
倒7
如图，已知①0 的直径的长是关于Z 的二次方程x 2 + 2(走- 2)x+
走= o( 走是整数)的最大整数根，P 是①0 外一点，过点P 作①0 的切线PA
和割线PBC ，若PA ，PB ，PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求
PA 2 + PB 2 十PC2 的值.
(全国初中数学联赛题)
量l76
学科精英大视野系列丛书
在与圆有关的图
形中，很多数量关系
都集中于直角三角
形，如弦、半径、弦心
距构成的直角三角
形，直径上的圆周角
为一个直角，圆的切
线必垂直于过切点的
半径等。构造直角三
角形开辟了应用其丰
富性质的广阔天地.
在园中，又有丰
富的比例式，相交弦
定理、切害'J 线定理及
推论，为建立线段之
间的等量关系创造了
条件.
~~~ 
为食
食
( 丸每缎)
·肯食
*
古'食
食
第
2 0
ì井
圆申比例线段
给析与麟
先求出①0 的直径，再利用PB 的长不是合数讨论.
融
设方程工2 十2 ( 走一2) x + 走= 0 的两个整数根
为工]
，句，且工] >码，则X] + X 2 = - 2(k - 2) ' X]X2 = 走，
由上述两式知2x ]x 2 +x] + 工2 = 4 , 
即(2x ] + 1) (2工z+ 1) = 9 =9X l ，
又X]>岛，则
2 x] 十1 = 9, 2x2 + 1 = 1, 
即X] = 4 ，工2 =O ( 舍去) . 
于是，①0 的直径为4.
P 
注意到O<BCζ 4 ，且PA ，PB ，PC 为正整数，故BC= PC- PB 为正整
数，所以，BC= 1，2 ，3 ，4 .
由切割线定理知PA 2 = PB
. PC= PB (PB+ BC). 
① 
(1) 当BC = l 时，由式①得PA 2 = PB 2 + PB.
于是，PB 2 < PA 2 < ( PB 十1) 2 ，矛盾.
(2) 当BC = 2 时，由式①得PA 2 = PB2 +2PB. 
于是，PB 2 < PA 2 < ( PB + 1) 2 ，矛盾.
(3) 当BC=3 时，由式①得PA 2 = PB 2 +3PB , 
即( PA - PB)(PA 十PB) =3PB. 
又PB 不是合数，而PA - PB< PA + PB ，故只可能是
(PA - PB=l , 
lPA 十PB=3 PB;
(PA- P B= 3, 
l PA 十PB= PB;
(PAF凡
PA 十PB = 3 .
解得PA =2 ，PB = 1.
此时，PC= PB + BC= 1 + 3=4 ，所以，PA 2 + P B2 + P C2 =21. 
(4) 当BC = 4 时，由式①得PA 2 = PB2 +4P B. 
于是，( PB+ 1) 2< PB 2 十4 PB = PA 2 < ( PB +2 ) 2
，矛盾.
综上所述，PA Z 十PB 2 十PC2 = 21. 
~~ 刻意练习
1. 如图，PT 切①O 于点T ，PA 交①O 于A ，B 两点，且与直径CT 交于点
D ，CD = 2 ，AD = 3 ，BD = 6 ，则PB 的长为一一一一一
A 
P 
(第
1 题)
(第2 题)
( 四川省成都市竞赛题)
1 7飞
C 
A r-节γ丁B
υ D 飞-
F 
(第3 题)
"如何培养创新
人才? "这是科学大师
钱学森生前难以释怀
的世纪之问.
钱学森晚年曾
说"艺术上的修养，
不仅加深了我对艺术
作品中那些诗情画意
和人生哲理的深刻理
解，也让我学会了艺
术上大跨度的宏观形
象思维. 科学上的创
新光靠严密的逻辑思
维不行. 创新的思想
往往开始于形象思
维，从大跨度的联系
中得到启迪，然后再
用严密的逻辑加以
验j正"
赛尔伯格
如?=l 一t +
1 
1 
一一一十… ，当代美
5 
7 
国著名数学家赛尔伯
格说"这个公式实在
美极了，奇数1，3, 5, 
" ，这样的组合可以
给出π"
6号弘罐能
食
食
食
食
食
1纭
，际合
A u 
2.
如图，RtDABC 中，ζC=90 0 ,AC=2 ,BC= 1.若以C 为圆心，CB 为半径
AD 
的圆交AB 于点D ，则一--
DB 
("希望杯"邀请赛试题)
3. 如图，已知AB 是①0 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过A 作圆的切线与
CD 的延长线交于点F ，D 为EF 的中点若DE= ! CE ，AC=8 !5 则
AB= 
(全国初中数学联赛题)
4. 如图，在DABC 中，AB=9 ,BC=8 ,CA= 7 ，①01 经过点A ，且与直线BC
切于点B
，①O2 经过点A ，且与直线BC 切于点C. 设①01 与①O2 除点A
之外的另一个交点为D. 则AD =
f习飞
飞Y
(全国初中数学联赛题)
(第4 题)
(第5 题)
(第6 题)
5. 如图，已知AB 为①0 的直径，C 为圆周上一点，D 为线段OB 内一点(不
是端点) ，满足CDl_AB 于点D ，DE l_ CO 于点E . 若CE = 1 0 ，且AD 与
DB 的长均为正整数，则线段AD 的长为
(全国初中数学联赛题)
6. 如图，已知①0 的半径是2 布，弦AB ，CD 垂直相交于点E ,AE=6 ,ED= 
2 ，则EB 的长为(
) . 
A. !5 
B. 2 
c. 2!5 
D. 4 
("希望杯"邀请赛试题)
7. 如图，在R tDABC 中，ζABC= 90 0 ，BD l_ AC ，过A ，D 两点的圆交BA
于点E ，交CE 于点F. 若BE=3 ，BC=4 ，则BF 的长为(
) . 
4 
A. ~ 
5 
B 
(第7 题)
B. 5 
C 
A 
(第8 题)
c. 1_2 
-5 
D 16 
5 
("希望杯"邀请赛试题)
(第9 题)
封乌)
学科精英大视野系列丛书
~~~ 
( 丸每级)
女食
食
女食
，传
、台食*
第
20
ì并
圆申比例线段
8.
如图，已知ABCD 是一个半径为R 的圆的内接四边形，AB = 12 ,CD = 6, 
分别延长AB 和DC ，它们相交于P ，且BP=8
，ζ APO= 60 0 ，则R 等
于(
) . 
A. 10 
B. 2m 
C . 12J2 
D. 14 
(全国初中数学联赛题)
9.
如图，边长为26 的正6ABC 内接于圆，弦DE// BC ，分别交AB ，AC 于F ，
G ，如果AF 的长工和DF 的长y 都是正整数，则y 的值为(
) . 
A. 6 
B. 8 
C. 12 
D. 16 
(江苏省竞赛题)
10.
如图，若PA = PB ，ζ APB=2L乙ACB ，AC 与PB 交于点0
，且PB = 4 ，
PO=3 ，则AD. DC= ( 
). 
A . 6 
A 
B. 7 
P 
C 
B 
B 
C. 12 
D. 16 
(全国初中数学联赛题)
P 
(第
1 0 题)
(第
11 题)
(第
12 题)
11.
如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG=2 ，GF = 13
，
FC = l，H] = 7 ，求OE 的长.
(美国数学邀请赛试题)
12 .
如图
，PA
，PB 是①0 的两条切线，PEC 是一条割线，0 是AB 与PC 的
交点，若PE = 2
，CO = 1，求OE 的长.
(国家理科实验#1 招生试题)
13.
如图，已知AB 为①0 的直径，C 为①O 上一点，延长BC 至D ，使CO =
BC ，CE j_ AO 于E
，BE 交①O 于F
，AF 交CE 于P
，求证:PE = PC.
(山西省太原市竞赛题)
D 
P 
B 
(第13 题)
( 第
1 4 题)
14. 如图
，P 是①O 外一点
，PA 与①0 切于A
，PBC 是①0 的割线，AO j_ PO
PB 
PC 
于0 ，求证· 一一= 一一
.BO CO. 
(四川省竞赛题)
17飞
~~、1&.\
食
食
为
女
食
女
食
食
食
A 
1 5 . 如图，以锐角l::.ABC 的边BC 为直径的圆分别与边AC ，
AB 交于点D ，E. 证明:BE . BA+ CD . CA= BC . 
(北京市竞赛题)
16 . 如图，已知PA ，PB 是①0 的两条切线，又PEC 是一
条割线，D 是AB 与PC 的交点
8 'k::::::.
咀C
(1)当PEC 通过圆心时，求证:PE
. CD=PC . DE; 
(第15 题)
(2) 当PEC 不通过圆心时，PE
. CD= PC . DE 是否成立?说明理由.
( 国家理科实验班招生试题)
E 
E 
P 
B 
B 
M 
C 
(第
16 题)
(第17 题)
(第
1 8 题)
17 . 如图，在锐角l::.ABC 中，M 是BC 的中点，①0 过点A 且与直线BC 相切
于点C ，直线AM 与①O 交于另一点D
，直线BD 与①O 交于另一点E .
求证: ζ EAC = ζ BAC .
(陕西省竞赛题)
18 . 如图，已知点A ，B 是①O 外两个不同的点，且点A ，O ，B 不共线，连接
AO ，BO 并延长交①O 于点F ，E ，点P 在①O 上，PA ，PB 分别与①0 交
于点P 之外的点D
，C ，且AD • AP= BC • BP. 
(1)证明:EF //AB; 
(2) 设P 为质数，m 为正整数，若AD • AP= P(2P + 1) ,OA =m- l, 
①0 的半径为3 ，求OA 的长度.
("希望杯"邀请赛试题)
学科精英大视野系列丛书
• 
.... . 
倒1
16 
CE = BE=点，又BD // CF ，得6BDE三6CFE ，DE= EF= OF= ED. 
设OF=工，则OA = OD= 3工，AE= 5x. 由CE . BE=AE . ED ，得(15) 2 = xX 5工，x= l，CD= J CE 2+ DE2 = 16. 
DC2 
16 
倒2
D 
AC=BE= 5 ，又ζBAC= ζACD= ζABC ，则AC= BC=AD= 5 ，DC=AB=4 ，故DE= 一一=一
, - - --
AD 
5 . 
倒3
由相交弦定理得
[(m+Z) =mMY)
问= my
η (m + y) = m(n +z )
，即{ηy = mz ，三式相加得n(x+ y+ z ) = m(x十y十z ) . 
n(m+ z ) = m(n+x) , 
lnz= mx , 
故n = m ，从而x= y = z ，f!r 6ABC 为等边三角形.
倒4
.: AC矿PB ，:. ζ KPE = ζACE ，又ζ KAP = ζACE= ζ KPE ，
缸j
( 丸每缎)
合食
，传
为食
食
't'?食
贪
第
20 讲
园中比例线段
KP 
KE 
'. 6 KPEω6 KAP ，得-一=一' ~ ,f!r Kp2 = K E • KA , 
KA 
KP 
又由切割线定理得KB 2 = KE
' KA ,:. KP = KB. 
: AC// PB,:. 6KPEω6ACE ，1寻PE=KP 故EE = EE
FF PE - AC=CE - KB. 
CE 
AC ''''''CE 
AC' 
倒5
作DE上A C 于E ，则AC=fAE ，AG= ?DE
_ 
A T:' 
5 A r 
~L. 25 ",-.2 _ 
A T"' 
5 
由切割线定理得AG2 = AF . AC= AF . ~AE ，故-，~ DE' = AF ' ~AE ，即5DE2 = AF • AE. 
4 . .~ , - - 4 ~ 
~ 
, •• 
4 
AB 
AF 
因为AB =5 DE ，所以AB. ED= AF' AE ，于是一一=一一
AE 
ED' 
又ζ BAF = ζ AED=90 0 ，所以6 BAFω 6AED ，于是ζABF = ζ EAD .
因为ζ EAD + ζ DAB =90 0 ，所以ζ ABF+ ζ DAB =90 0 ，故AD _l BF.
• 
.... . 
1. 15 
2
? 
延长AC 交①C 于是F ，则AD
. AB=AE . AF
3. 24
设CE = 4工，AE= y ，BE=z ，连AD ，BC. 由EF 2 = AE 2 + AF 2 得
36矿= / 
+ 320 ，由6ADEω
6 CBE 得CE. DE= AE ' BE ，即yz = 12 x 2 ,/ + 320 = 3yz. 
又由AB 2 = AC' + BC2 得(y +z)2=320+ 拦，解得y=8 ,z= 16. 
33 
~.i. lL "" ~ nr _j_ 
1:: 
r 
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r"' r 
....I-.......h W 
tL I'\. 
_l.-
1tit rA 2 _ AB 2 十AC 2
BC' 
，~__ BE2 16 
4. -7-
延长AD 交BC 于点E ，则BE= CE ，由中线长公式得EA'= 一-一一一一
→一= 49 ，ED = 一一=一
EA 
7 ' 
a+ b 
5. 30 
连AC ，BC ，可得CE
' CO= CD2 = AD • BD ，设AD = α ，BD = b ，a ，b 为正整数，则
CO = - :2 ~，又
a+ b 
CE=lO
，得lo × -T=ab ，即ab =5 a +5 b.
6+x __ 
__ 
~_ 6-x 
6. B 
连接OA ，作OF _l AB 于点F ，设EB = 工，则AB=6 +x ，AF = FB =Z一，EF=FB - EB=-z一，由
1 ~ _ 
~ 
3x - 2 
~ . , 
~_ "
._ ， 
CE . ED= AE' EB 得CE =3x ，OF = : CD 一2 =~~~
- ，由OA' = OF' + AF ' 得x= 2 .
2 - -
-
2 
7. C
由
BC 2 = AC • DC = CF • CE ，ζ BCE = ζ ECB ，得6BCF∞6ECB ，ζ BFC= ζ EBC= 90 0 ，故
BC 2 
16 
后大「一大;=;0
12 
CF = 一一一= , _ v ,BF= .jBC' - CF' = 一
CE 
5 ,_. 
V --
-
-
8. B 
9. A 
x (26 -x ) =y (x 十y)
，x 2 + (y - 26) 工+y' = 0 ，f::，= (26 - 3y)(y 十26) 二三o ，26 - 3y二三0 ，
26 
f!r O<yζ[τ] =8 ，x ，y 的位均为偶数，且A 为完全平方数，则
y =6 .
10. B 
以点P 为圆心
，PA 为半径作园，延长BP 交①P 于点E ，则AD
. DC= BD ' DE= (4 - 3)(4 十3) = 7.
1 1.设AH = 工，由切割线定理得AH
. A] = AG . AF ，因为AG=2 ，GF=13 ，H] =7 ，所以AH (A H +7)=
2 ( 2 + 13) ,f!r A H 2 十7AH - 30 = 0 ，解之，得AH = 3 ，又因为AC = AB ，所以B] = (2 + 13 + D 一(3 + 7) = 6. 
la (l 6 一的= 6 X (6 + 7), 
再设BD = α ，CE = b ，由切事IJ 线定理得方程纽!1 b(l 6-a ) = 1 X (1 + 13) , 
l
U
W
地
M
L 
食
食
，传
ù
食
*
食
食
A 
ì-{ 
学科精英大视野系列丛书
{α =10- .J2言，
~ 
解这个方程组，得I
_ 
DE= 16- (a+ b) =2.)22 . 
I b= 6- .J2言，
12. 连PO 交AB 于H ，设DE=x ，则PA 2 = PE • PC = 2(x+ 3) ，在RtL':-，APH 中
，Ap2 =AH2 + PH2, 
f!r AH2 + PH2 =2(x+3) ①，在RtL':-，PHD 中
，PH2 + DH2 =(X+2)2 ②，又AD. DB=ED • DC , 
而AD' DB=(AH-DH )(AH + DH)=AH2- DH2 ,:. AH2 - DH2 = 工
. 1(, 
门7-3
由①②③得(廿2)2 日2(x+叫得DE=x= 丘乞一
13. 连OC ，则OC // AD ，可证得EC 为①O 切线，则PC = PF • PA ，又ζ PEA = 90 0 , EF j_ PA ，得
PE2= PF' PA ，故PE=PC.
14. 连OA ，OB ，OC ，CD ，则有PA 2 = PD' PO= PB • PC ，于是B ，C ，O ，D 四点共园
，L':-，PCDω L':-，POB ，
PC 
PO PO _ , 
^ ~ ~~__ ^ ~~~ ,gPO 
PB .. PB 
PC 
.一一=-一=一一，又由L':-，POC∞L':-，PBD 得-一=一一. 故一一=一一
CD 
OB 
OC'
- - ~ ~ -
--
~ - --"OC BD' -BD CD' 
15.
连CE ，与BD 交于点H ，则H 为L':-，ABC 的垂线，连AH ，与BC 交于点F ，则AF上BC.
易见，A ，E ，F ，C 和A
，B ，F ，D 分别四点共园，
则BE. BA= BF' BC,CD . CA=CF. CB , 
两式相加可得BE' BA+ CD ' CA = BC . 
16. (1)略.
(2) 等式仍成立，连接PO 交AB 于H ，则AH上PH ，PE. PC= pN , DE . CD = AD ' DB = ( ~ AB 
DH)( : AB 十DH) = ~AB2 - DH2 ，两式相减得PE. PC- DE • DC= ( pN - ~AB2 ) 十DH2 =PH2 +
4 ..-
- .. ,.. -, . ~ r.,,, - -
- -
- -
- -
".. 
4 
DH2 = PD2 = (PC-Cm (PE+ DE)
，展开移项目p 得.
17 . 如图，连接CE ，则ζACE= ζADE = ζ BDM.
.. 圆。与直线BC 相切于点C ，M 为BC 的中点，
BM MA 
:. BM2 = MC2 = MD • MA , f!r ~;一= 一一
MD 
BM' 
又ζ BMD= ζAMB ，:. L':-，BMD∞L':-，AMB .
.. ζ BDM= ζABM. 从而ζACE= ζABC.
又BC 与圆。相切，.. ζAEC = ζ ACB. 
:. L':-，ACEω L':-，ABC. 故ζ EAC = ζ BA C.
18. (1)如图，过点A 作①0 的切线A T，切点为丁，连接OT ，设①O 半径为R ，则AD.
AP=AT2= OA2- OT2 =OA2 - R2=BC . BP=OB2 - R 2
，二OA = OB ，
μOAB = 90 0- ~ ζAOB= 90 0 - ~ L_ EOF= ζOFE ， :.EF矿AB
2 - --- -
--
2 
(Z)P(2P + 1) = (m 一1) 2 - 9= (m- 4) (m+2 )> 0 , 
.: P 为质数且(P ,2P+ 1) = 1, :. P I (m - 4) 与p l (m + 2) 恰有一个成立.
若PI(m - 4)
，则m - 4 = kP(走为正整数) , 
如果走=1 ，则ZP + 1 = P +6 ,P=5 ,m=9 ,OA =8 ; 
如果走二三2 ，则m十2 = 走P + 6 > 2P + 1，矛盾.
若pl(m十2) ，则m十2 = 走P(走为正整数) , 
当走= 1，2 时，不存在质数P;
(第17 题)
E 
(第18 题)
当h二月时，2P + 1 = 走(走P - 6) ~ 3(3P - 6) ，得7 P~ 19 ，P = 2 ，但P = 2 时，(m - 4 ) (m + 2) = 1 0 元正整数
解，矛盾.故OA = 8 .
此)
如图，在桌上铺一张白纸，纸上放一只圆形盖子，把一端系
有铅笔的细线绕在盖子的圆周外面，手拿铅笔拉紧细线，让线
渐渐伸直放开，铅笔就在纸上画出一条螺旋形曲线，这条曲线
叫圆的渐伸线. 圆的渐伸线常用于斜齿轮齿面的形状，以便有
很好的啃合.
J卢乓
第21 讲辅助园
~ ]
'
知能概述
在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以
或更好地解决.而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆;有时虽
然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆) ，这就需要我们利用已知
条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来.添补辅助圆的常见方法有
:
1.利用圆的定义添补辅助圆.
2. 作三角形的外接圆.
3. 运用四点共圆的判定方法.
(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆.
(2) 同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆.
(3) 若四边形ABCD 的对角线相交于p
，且PA • PC = PB • PD ，则它
的四个顶点共圆.
(4) 若四边形ABCD 的一组对边AB
，DC 的延长线相交于p
，且PA
.
PB = PC ' PD ，则它的四个顶点共圆.
'
问题解决
例1
如图，直线AB 和AC 与①0 分别相切于B
，C ，P 为圆上一点
，P
到AB
，AC 的距离分别为4cm ，6cm ，那么
，P 到BC 的距离为一一一一
cm.
篇题思路
连DF ，EF ，寻找PD ，PE ，
PF 之间的关系，证明6 PDF∞6 PFE ，而发
现P ，D ，B ，F 与P
，E ，C ，F 分别共圆，突破角
A 
是解题的关键.
( 全国初中数学联赛题)
183 ; 
、
写E
B 
C 
在数学中，优美
的公式有如但丁《神
曲》中的诗句，黎曼几
何和普兰克的钢琴协
奏曲一样令人陶醉.
萨瓦利
九点共圆
如图，三角形各
边中点、三条高的垂
足、各顶点与垂心之间
的中点，这九点共圆.
食
食
食
食
*
食
1佳
女
八
〉ζ
倒2
如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 上任意一点，过E 作
EF _l AC 于点F ，延长BF 交直线AE 于点G ，则正BGC= ( 
). 
A. 30 0 
B. 45 0 
C. 60 0 
D. 75 。
(四川省竞赛题)
麟题思路
发现共圆的点，建立角与角之间的
A
D 
关系.
倒3
如图，在等腰三角形ABC 中，P 为底边BC 上任意一点，过P 作
两腰的平行线分别与AB
，AC 交于Q ，R 两点，又p' 是P 关于直线RQ 的对
称点.证明:p' 在6ABC 的外接圆上.
鹏题思路
即证P' ，B ，C ，A 四点共圆，连p'C ，
(全国初中数学联赛题)
A 
P'Q ，P'P
，证明ζ P'BA = ζ P'CA 即可.
B 
C 
倒4
如图，已知在凸五边形ABCDE 中，ζ BAE =3α ，BC =CD = DE ，
且正BCD= ζCDE=180 0 -2α.
求证:ζBAC= ζ CAD = ζ DAE.
(全国初中数学联赛题)
理塑理些
若凸五边形ABCDE 有一个外接圆，则
A 
结论显然成立.于是，将问题转化为证明A ，B ，C ，D ，E
五点在同一个圆上.
提兰J
B 
E 
学科精英大视野系列丛书
四点共圆既是一
类问题，又是平面几
何中一个重要的证明
方法，它和证明三角
形全等和相似三角形
有着同等重要的地
位，这是因为，某四点
共圆，不但与这四点
相联系的条件集中或
转移，而且可直接运
用园的性质为解题
服务.
西蒙斯是世界级
的数学家，也是最伟大
的对冲基金经理之一，
创立了文艺复兴科技
公司.从
1 989 年到
2008 年，该公司平均
年收益率达到惊人的
38.5 % ，而股神巴菲
特也不过大约20 %.
~、，&:\&.\
、古训r
食
( 丸每缎)
女食食
合食食
倒5
如图，P 是①O 外一点
，PA 切①0 于A
，PBC 是①0 的割线，
PB 
PC 
AD j_ PO 于D ，求证·一一=一一
'BD 
CD' 
解题思路
因所证比例线段不是对应边，故不能通过
判定t:，PBD 与t:，PCD 相似来证明. PA 2 = PD. PO = 
PB. PC ，B ，C ，O ，D 共圆，这样连OB ，就得多对相似三角
形，以此达到证明的目的.
(四川省竞赛题)
P 
倒6
如图，梯形ABCD 的两条对角线相交于点K ，分别以梯形的两腰
为直径各作一圆，梯形对角线分别交两圆于M ，N 点，点K 位于这两个圆之
外，求证:由点K 向这两个圆所作出的切线长度相等.
(俄罗斯莫斯科数学奥林匹克竞赛题)
给析与鹅
由切割线定理知，由点K 所作两
/一、ιγτ呆一\
圆的切线的长度的平方分别等于KM
. KA 与
{ 
乒不兰有\
ì 
KN . KD ，只需证明KM. KA = KN • KD ，即证V/' 
I 
\ 飞/
'--
/'、一-D
A
，D ，N ，M 四点共圆.
连MN ，': AB 为圆的直径，λ ζ BMC = ζAMB =90
0
，
同理ζ BNC =90 0 ，
'. B ，M ，N ，C 四点共圆，且BC 为圆的直径，
得ζ CMN= ζ CBN= ζ BDA.
ζ AMN 十ζ CMN = ζAMN 十ζNDA = 180
0
，
'. A
，M ，N ，D 四点共圆.
由切割线定理得KM
. KA = KN • KD ，从而由点K 向这两个圆所作
的切线长度相等.
倒7
如图，在t:，ABC 中，ζ A =60 0 ，t:，ABC 的
内切圆①I 分别切边AB ，AC 于点D ，E ，直线DE 分
别与直线BI ，CI 相交于点F ，G. 求证:BC =2 FG.
(中国东南地区数学奥林匹克竞赛题)
份析
折半、比例线段、含
30。的直角三角形
性质是证明线段倍分(2 倍)问题的基本方法，而由
B 
, 185
上
"'~--'" 
A 
E 
第
2 1 ì井铺团圆
当直线形与团结
合时就产生错综复杂
的图形，善于分析图
形是解与圆相关综合
题的关键，分析图形
可从以下方面入手:
(1)多视点观察
图形;
(2) 多元素分析
图形(图中有没有特
殊点、特殊线、特殊三
角形、特殊四边形、全
等三角形、相似三角
形) ; 
(3) 将以上分析
组合，寻找联系.
，G.t\c;:，.碍这
'眨
唱团
唱团
* * 
*女
女
'f{ 
条件出发，导出ζB 1C= 1200 , !:，A DE 为等边三角形，是进一步发现角的关
系的关键.
证法1
如图①，连接CF ，E I.
.: 1 为内切圆圆心，ζA=60 0 ，
'. !:'ADE 是等边三角形，ζ B 1C=120 0 ，
. . ζAED = ζ F 1C = 60 0 ， 
:. 1 ，C ，E ，F 四点共圆，且1E上AC ，
故ζ FE1 = ζ FC1 =30 0 ，
ζ 1FC=90 0 ，有2F1 = lC.
又由ζGF1 =L 1CE= ζ 1CB ，
GF 
F1 
1 
'. !:，G1F∞!:'B 1C ，得一-一
BC 
1C 
2 ' 
:.BC=2FG. 
证法2
如图②，连接GB ，CF ，E1.
取BC 中点H ，连接GH ，FH .
.: 1 为内切圆圆心，ζA = 60 0 ，
'. !:，ADE 是等边三角形，ζ B 1C = 1 20 0 •
· ζ FG1 = ζ CGE ，ζG1F = ζGEC = 120 0 ， 
二
!:，G1F∞!:'GEC ，
有ζGF1 = ζGCE= ζ GCB ，
所以G ，B ，C ，F 与E ，F ，l ，C 四点分别共圆.
又因ζ 1EC = 90 0 ，故ζ BFC = ζBGC = 90 0 ，
B 
图①
B 
有GH =FH 且ζBFH十ζGFB= ζFBC+ ζGCB= ζF 1C=60 0 ，
故!:，GHF 为正三角形，有BC=2FG .
A 
A 
学科精英大视野系列丛书
适当发现并添出
辅助园，就为圆的丰富
性质的运用创造了条
件，由于图形的复杂
性，有时在图中并不需
要画出园，可谓" 圈中
无圆，心中有圆"
古希腊数学家认
为"一切立体图形中
最美的是球形，一切
平面图形中最美的是
圆形"
发现或添出的辅
助园，是直线形和圆
之间度量关系或位直
关系相互转化的桥
梁.
例
7 中有多纽四
点共圆CB ，l ，D ，G 四
点共园
，A ，D ，l ，E 四
点共园，为什么?)
，正
是这些隐形的因为沟
j
通角之间的联系创造
正多边形与圆
了条件.
任意正多边形都有外接圆，恰当添出正多边形的外接圆，能充分沟通
弦、角的联系.
倒8
如图，已知AIA 2 A 3 …A g 是一个正九边形，AIA 2 =a ,A IA3 =b ，求
AIA s 的值.
(全国初中数学联赛题)
理堕塾些
直接计算较繁，添出正九边形的外接
A 
圆，计算角，为问题的解决创造条件.
A, 
A, 
A, 
A, 
~~~、
i{8.~j 
( 丸每缎)
~~ 刻意练习
食，传食
女食食
女食食
1. 如图，正方形ABCD 的中心为O. 面积为19 89cm 2 .P 为正方形内一点，且
ζ OPB = 45 0 .PA : PB = 5 : 1 4 . 则PB 的长为
(北京市竞赛题)
2. 如图，已知菱形ABCD. 在边AB.BC 上分别取点E I .F I
' 得DDE j F I 为
等边三角形;在边AB.BC 上再另外分别取点E 2 .F2
• 得D DE2 F 2 为等边
三角形，则ζ A =
(爱沙尼亚竞赛题)
C 
D_ 
C 
K 
A 
B 
A 
E, E, B 
5头Kt
(第
1 题)
(第2 题)
(第3 题)
3 . 如图.AB 为半圆。的直径.C 为半圆上一点，ζ AOC =60 0 • 点P 在AB 的
延长线上，且PB = BO =3 cm. 连接PC 交半圆于点D. 过P 作PE l_ PA
交AD 的延长线于点E. 则PE=
cm. 
( 江苏省竞赛题)
4 . 如图，已知D 是DABC 内一点.E 是AC 的中点
• AB = 6. BC = 10. 
4乙BAD = ζ BCD. ζ EDC = ζ ABD. 则DE =
俨人\
(全国初中数学联赛题)
A 
B 
(第4 题)
(第5 题)
(第6 题)
5 .
如图，已知AB 是①0 的直径.PQ 是①0 的弦.PQ 与AB 不平行.R 是
PQ 的中点，作PS 上AB.QT 上AB. 垂足分别为
S.T(S 手T)
• 并且
PQ 
ζ SRT = 60 0 • 则
的值为
AB 
("我爱数学夏令营"竞赛题)
6 .
如图，锐角三角形ABC 的三条高AD.BE.CF 交于H. 在A.B.C.D.E.
F.H 七个点中，能组成四点共圆的组数是(
). 
A. 4 
B. 5 
C. 6 
D. 7 
第
21 讲铺回圆
(山西省太原市竞赛题)
7 .
如图，已知AB=AC = AD. 如果ζ DAC 是ζ CA B 的走倍( 走为正数) .那
么ζ DBC 是ζ BDC 的(
) . 
~~~~ 
18% 
食
食
，传女
食
食女
食女
B. 2k f音
A . k 倍
c. 3k 倍
D . 以上答案都不对
("希望杯"竞赛题)
A 
P 
G 
D 
B 
(第7 题)
(第8 题)
(第9 题)
8 . 如图，在6ABC 中，AB = AC ，D 为BC 的中点，BE _l AC 于E ，交AD 于
P. 已知BP= 3 ，PE = l，AE = (
). 
J6 
A. 
V~V 
2 
B. J2 
c. J3 
D. J6 
(全国初中数学联赛题)
9. 如图，已知6ABC 内接于①0 ，过BC 的中点D 作平行于A C 的直线l ,l 
与AB 交于点E ，与①O 交于点G ，F ，与①O 在点A 处的切线交于点P .
若PE= 3 ，ED = 2 ，EF =3 ，则PA 的长为(
). 
A . J6 
B. J5 
C. J7 
D. 2 J2 
(清华大学自主招生试题)
10 . 已知一个正八边形中最长的对角线等于α ，最短的对角线等于b ，则这个正
八边形的面积等于(
) . 
A. a 2 十b2
B. a 2 -b2 
c. a + b 
D. ab 
( 北京市竞赛题)
11 . 如图，在等腰6ABC 中，AB=AC =布，D 为BC 边上异于中点的点，点
C 关于直线AD 的对称点为点E ，EB 的延长线与AD 的延长线交于点
F ，求AD
. AF 的值.
(全国初中数学联赛题)
A 
A 
D 
E 
B 
C 
(第
11 题)
(第
1 2 题)
(第13 题)
12. 如图，已知6ABC 内接于①O ，AD ，BD 为①0 的切线，作DE // BC ，交
AC 于E ，连接EO 并延长交BC 于F ，求证:BF= FC.
(山西省太原市竞赛题)
1 3. 如图，已知6ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD_lAB ，TE上AC.
求证: (1 ) ζAHD = ζA HE; 
BH CH 
(2) 一一=一一
BD 
CE. 
(陕西省竞赛题)
段:〉
学科精英大视野系列丛书
-. 
~~I::\ 
( 丸每缉)
女食
女*
A 
H 
食
食
食
食
第
2
1 讲铺团圆
14. 如图，已知①A 与①B 交于C ，D 两点，延长AC 与①B 交于点E ，延长
BC 与①A 交于点F. 求证:C 是.6 DEF 的内心.
(四川省竞赛题)
//\~P 
F 
A 
B 
(第
1 4 题)
(第
1 5 题)
(第
16 题)
15. 如图，在.6ABC 中，ζA: ζB: ζ C = l : 2 : 4 ，求ìiE: .1_ + J一
1一
'AB ' AC 
BC 
(上海市竞赛题)
16. 如图，已知PA ，PB 是由①O 外一点P 引出的两条切线，M ，N 分别是AP ，
AB 的中点，直线MN 与①O 交于点C ，E ，点N 在M 与C 之间
，PC 与①0
交于点D ，延长ND 与PB 交于点Q. 求证:四边形MNQP 为菱形.
(辽宁省竞赛题)
17.
如图，在.6ABC 中
，AT 为边BC 上的高，T 为垂足，设ζ ABC 的平分线
与AC 的交点为D . 若ζ BDA = 4 5 0 ，求ζ DTC 的度数.
(匈牙利竞赛题)
JF 
B 
D 
(第
17 题)
( 第
1 8 题)
18. 设.6ABC 的外接圆为①0 ，ζ BAC = 90 0 ，ζ ABC < ζ ACB. 过点A 作
①0 的切线，与BC 交于点D ，点A 关于BC 的对称点为E
，AH l_ BE 于
点H
，N 为线段AH 的中点
，BN 与①0 的另一个交点为P. 证明
:
(1) A ，N ，M ，P 四点共圆;
(2) BD 与.6ADP 的外接圆相切.
( 全国初中数学联赛题)
19 . 如图，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转到正
Q 
方形APQR
，连接CQ ，延长BP 与CQ 交于点E.
/ 
D.二~二与C
占
川
中
直
的
脚
QP
-E 
CB
-paA 
段
求
线
已为
B
E
·
凡
明
C
证
若
-
t
A
n
/
μ
 
R 
A 
(第
1 9 题)
Ci.\.，;t:\~ 
(四川省竞赛题)
f坠
食
食
食
食
食女
食为
A 
'H了
学科精英大视野系列丛书
-
"" ~-咱
黯
倒
1
2 16 连DF ，PB ，PC ，EF ，ζ DPF十比B = ζ FPE + ζC= 180 0 ，得ζ DPF = ζ FPE ，又ζ PDF =
ζ PBF = ζ PCE = ζ EFP ，:. 6 DPFω 6 FPE ，怦PF2 = PD
' PE. 
倒2
B
如图，连DF .
. . 四边形ABCD 是正方形，.. ζDCF=LkcF =4S 0 ,DC= BC 
:. 6 DFC旦6 BFC ，ζ FBC= L FDC .
又ζ ADE =90 0 ，ζ EFA =90 0 ，: . A ，D ，E ，引四点共园，ζ FAE = ζ FDC.
. . ζ CAG = ζ FAE = ζ FDC = ζ FBC = ζPBC ，:. G ，A
，B ，C 四，远共因.
.
ζ BGC = ζ BAC =4S 0 • 
倒3
如图，连P'C ，P'Q ，P'P .': PQ// AC ):. QP = QB. 
.: p ，p' 关于QR 对称，:.
QP = QP'
，有P'~ = QP = QB ，故Q 为6 P'BP
的外心，同理
，R 为6 P'PC 的外心.
ζ P'QB =2 L乙P'PB = 2 Cl 80 。一ζ P'PC)
=360。一ζ P 'PC
ζ P'PR 一ζ RRC
= 360 0 _ 
L乙P'PC - ζ PP'R 一ζ PCR = ζ P'RC
，
QP' 
RP' 
且QP' = QB ，RP'=RC ，即
=一一一= 1
QB 
RC 
(例2)
A 
B 
故6 P'QB ω 6 P'RC
，从而ζ P'BA = ζ P'CA
，故P' ，B ，C ，A 四点共园，即p' 在6ABC 的外接圆上.
倒4
连BD ，CE ，由
BC= CD = DE ，ζ BCD = ζ CDE = 18 0。一2 日，ζ CBD = ζ CDB = ζ DCE =
4三DEC = 日，得6 BCD旦6 CDE ，二ζ BCE = Cl 80。一2日)
日= 180 0 -3 a ，而ζ BAE =3日，:.
A ，B ，C ，E 共园，同
理可证A ，B ，D ，E 共园，故A ，B ，C ，D ，E 共园，': BC = CD = DE ，:. ζ BAC = ζ CAD = ζ DAE . 
倒5
.: PA2 = PD . PO= PB • PC , ': B ，C ，O ，D 四点共园，
PC 
PO 
PO 
~ 
'. 6 PCDω6 POB ，得
_-一=一-①
CD 
OB 
OC'
四
PO 
PB 
又6 POCω6 PBD ，得一一=一­
OC 
BD' 
PB 
PC 
由①、②得一一_-一
BD 
CD ' 
② 
倒8
如图，作正九边形A I A 2 A 3 … A 9 的外接因. 连接A 2 A 5
，A 3 A 5
' 并延长A 5 A 3 至
B ，使A 3 B = A2A3 = α ，由ζ A I A 5 A 2 = ζ A 3 A S A 2 = 20 0 , A3A5 = A3A I = b ，ζ A ，A 3 B = 
ζA 2 A I A 5 = 60
0 ，得6A 2 A 3 B 为等边三角形，有BA 3 =A3A2 = A 2 B =a ，6A 1 A 5 A 2 旦
6 BA5A 2' :. A 1A5 =BA5 =a+b. 
(例8)
• • 
1. 42cm 
连OA ，OB ，则ζ OPB = ζ OAB =4S 0 ，得A ，B ，O ，P 四点共园，ζAPB = ζ AOB =90 0 •
2. 60 。
由6 E I DE2 旦6 F I DF2 得ζ DE I E，= ζ DF I F" 从而
，D ，E I
，B ，F I 四点共因.
￥立)
( 丸每绵)
1与食
有责
L内A
食
食
苦苦* 
第
2
↑讲
铺田园
3. }3
连BD ，BE ，则ζADB = ζAPE = 90 0 ，故B ，D ，E ，P 在以BE 为直径的圆上，ζ EBP = ζ EDP =
LADC=护AOC=30 。
4. 4 如图，延长CD 至F ，使DF= DC ，9Jil DE斗AF ，LAFD = ζ EDC=
ζABD ，得A ，F . B ，D 四点共圆，故ζ BFD = ζ BAD = ζ BCD.BF = BC = 1 0 ，
1._ 
1 
~气T
BD l_ FC ，ζ FAB = ζ FDB = 90 0 , DE= •
AF= 
、
10 2三百=4 .
2'.. 
2 
v 
~ ~ 
5÷ 连OP.OR ，OQ. 则OR l_ PQ.O.R.P.S;O.R.Q. T 四点分别
圆. 可证明6 SR T. 6 0PQ 都为等边三角形.
6. C 
7. A 
C 
(第4 题)
8. B 
由P.D.C.E 四点共困得BD • BC= Bp . BE.BD = 币，DP = }3.
9. A 
P.A.D.B 四点共园.BE
. AE= PE . ED. 得BE = 币，PG = l，GE = 2 .
10. D 
作正八边形的外接圆.
1 1.
连AE.ED.CF . 可得A.E.B.D 与A.B.F.C 四点分别共圆.
.. ζ ABD = ζ ACB = ζ AFB. 
:. 6 ABD∞6 AFB. 得AD
' AF= AB2 =5. 
12.
连AO.OC. 则ζ AOD = ζ C. ': DE// BC. :. ζ A ED = ζ C. 
得ζ AOD = ζ AED. 则
D.A.E.O 四点共圆，得ζ DEO = ζ DAO =90 0 •
:. DEl_ EF .EF l_ BC. 故BF = FC.
13. (1) D.E ，H 在以AT 为直径的圆上，得ζ AHD = ζ ATD. ζ A HE = ζ ATE. 又ζ ATD = ζ ATE. 故
C 
\
飞
、
\
-
一
飞
/
\
\
\
一
题
A
A
r
\
工
-JI 
J
J
人
/
/
\
-
J
1
1 
J
长
Y
E
产
第
川
、
/
、
-
、
、
r
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/
飞
，
、
、
.
，
ι
、
、
: 
，
、
\
\
q
J
; 
，
、
i
、
、
、
、
飞
ι
 
4三A H D = 丘AHE ;
BH 
AH 
(2) Rt6AHB 与
Rt6 TDB 有公共角ζ B. 得6 AHBω 6 TDB. :
一一=一一
同理
，6 AHCω 6 TEC ，得
. BD 
TD' 
CH 
AH 
, 
_ 
~ _ 
~ _ N 
• BH 
CH 
=一一.由于TD = TE. 所以一一=
CE 
TE' ~， • ~ 
• ~，
，.
， .,. BD 
CE' 
14 .
连AD.AF.BD.BE ，ζ AFC = ζ ACF= 1 80 。一ζ ACB = 1 80。一ζ ADB. 得ζ AFB + ζ ADB = 1 80 0 .A.D.
B.F 四点共困. 同理.A.D.B ，E 四点共圆，故A.D.B.E.F 五点共园，由AD = AF ，DB = EB . 得ζ DEC = ζ FEC.
ζ DFC = ζ EFC ，故C 为6 DEF 的内心.
15.
如图，作6 ABC 的外接园，并作弦BD. 使BD =BC . 如l ζ BAD = ζ BA C.
又ζ CAB = ζ CDB. 正三BCD =L CDB.
ζ CAD = 2 L三CAB = ζ CBA = ζ ADC.
4乙ABD = ζACD= ζACB
ζ DCB =3ζ CAB = ζ CBA +ζ CDB = ζADB ，
:. AC= CD ,AB= AD. 
.: A.B.C.D 四点共园，
.
.
由托勒密定理得AD
' BC+ AC . BD= AB • CD. 
( 第
1 5 题)
1 
,
1 
1 
即AB • BC+ AC ' BC= AB . AC. 故
+一一=一一
AB ' AC 
BC' 
16.
如图，连OP .OA ，OC.EP. 显然.O.P ，N 三点共线，且OPl_AB. 
由于M ，N 分别是PA.AB 的中点，故MN = MP = MA .MN // PB斗PM' = A M' = ME ' MC~6 MPEω 
6 MCP~ ζ MPE = ζ MCP. 
电g
书
丛
=
列
。
C 
啤
M
罢
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乙
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P 
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一
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ι
 
凡
斗
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圆
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共
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、
口
占
川
形
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四
菱
E
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是
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)
接
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题
连
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M
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四
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N
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D
斗
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川
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所
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哨
刊
垂
四
回
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且
叶
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牛
扎
扎
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性
呻
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川
日
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四
点
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A
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D
B
D
是
A
B
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/
ι
)
向
D
。
-
A
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D
P
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E
南
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题
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h
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M
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/
L
h
/
L
四
过
/
L
一
一
一
-
J
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一
苟
且
F
E
π
I
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(
，
叭
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/
ι{
如
m
D
A
J
D
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B
丘
/
乙
A
/
L
因
故
由
肌
口
/
L
/
ι
 
食
食食
，传
女女
食
节~ * 
P 
B 
D 
B 
C 
(第18 题)
18. (1)略
(2) 延长PM ，与①O 交于点Q ，连AQ.
由MN // HE ，且AHj_ HE ，知ζANM=9q 。
又A ，N ，M ，P 四点共圆，则ζAPM= 90 0
•
I 
于是，ζAPN 所对的弦AQ 为①0 的直径.
注意到
，PM. MQ= AM. ME=OM. MD.I 
于是，O ，Q ，D ，P 四点共圆.
故ζAQP = ζ BDP.
又AD 为①0 的切线，则ζ PAD = ζAQP.
I
从而，ζ PAD= ζ BDP.
故BD 与h.ADP 的外接圆切于点D.
19. (1)连接AC ，AQ ，AE.
':AB = AP ，AC = AQ ，ζ BAP = ζ CAQ ， 
I 
:. h. BAPω h. CAQ ，正三ABP = ζACQ ，正三AßE = ζACE ，
:.A ，B ，C ，E 四点共园，得ζAEC + ζABC 丰= 180 0 ，AE土CQ.
又AC=AQ ，故E 为线手主CQ 的中点
ω
由A ，B ，C ，E 四点共圆知ζ CEP= ζ CFB =ζ CAB= 矿
R 
B 
:.PE = PC斗CE = J2PE.
( 第
1 9 题)
• BP 
^ 
'PE
μ 
由坦AP(/) h.αQ ，1!fJ2=色=匹=吐血E
BA 
BP
叫
BP
, 
纪j
巴西蝴蝶翅膀的颤动，可能会引起纽约
的一场大雨，在天气预报中
，这种现象被称为
"蝴蝶效应".20 世纪60 年代，美国气象学家
洛伦兹在探索热空气上升所引起的变化规律
时，发现混沌现象，并创立混沌理论，人们逐
渐认识到客观世界存在无序、混沌现象，信息
洛伦兹吸引子运动轨迹像蝴蝶翅膀
的微小误差可以导致混沌事件.
产生也
第22 讲三角形的四心
t 
.甸甸_____. 
'
知能概述
重心、外心、内心、垂心统称为主角形的四心，由于三角形的四心处在特
殊的位置上，它们具有丰富而独特的性质.
三角形的四心应用体现在:外，心、内心与圆相关;垂心常用来判定四点
共圆及构造相似三角形，而重心常用作相似变换.
熟悉以下基本图形、基本结论:
A 
A
去
A 
____ 、、
1 \ '-
/\\ 
/1\ 
/ 
/ / \ '-
yì飞、E
F,6 
I \ 
~/飞
1
/ 
/ \ \厅，飞
/'-._I>-E
F/d 1E 
I 
/ 
1 \ \万
1
,'-
/~飞
三三L之二乌
代一一~C
k_/"'-._ / 
........_主~~
B 
D 
C 
B =--t-古__，.._..，. C 
'----一../
B 
D 
C 
'
问题解决
倒
1
如图，设M 是6ABC 的重心，且AM = 3, BM = 4 , CM = 5 ，则
6A BC 的面积为
(上海市竞赛题)
篇题思路
将分散的句股数组集中到同一个三角
形中.
C 
E
\
气
一
\
M
二
\
半
D
A
A
、
气
/
-
F
-
/
/
一
B 
193 ι 
电I!
在民&
数学到了最后阶
段就遇到想象，在困
锥曲线、对数、概率
中，想象成了计算的
系数，于是数学也成
了诗.
一一雨果
三角形的内心和旁心
如图，与三角形
的三边都内切的圆是
唯一的，与三角形的
一边外切、与另两边
内切的圆有三个.
该三角形的三条
内角平分线和三条外
角平分线形成一个大
三角形及其三条高，
它们的交点是这些圆
的圆心.
,1"i:\1Ä\c.t\ 
女
食为
食
，传'Î_'{
食
食古
倒2
如图，已知点I 是锐角三角形ABic 的内心.A j
' 乱，C j 分别是点I
关于边BC ，CA ，AB 的对称点，若点B 在4A j B j C j 的外接圆上，则ζ ABC
等于(
). 
A. 36 0 
B. 45 。
. 60 0 
D. 
9 0 。
(全国初中数学联赛题)
自尊题思路
由
1A j = 1Bj = 1Cj = 2r(r 岗.6ABC 的
B 
内切圆半径) ，得I 同时是.6A j B j C j 外接圆的圆心
C j
C 
B j 
倒3 如图，叫.6ABC 中，…J 于D ，DE_lAC 于E.DF_lAB
于F. 。为.6ABC 的外心.
求证: (1) .6AEFω .6ABC; 
I 
( 2) AO_lEF. 
( "我爱数学夏令营"竞赛题)
麟题思路
圆，突破角是证题的关键
I
B 
D 
倒4
如图，不等边.6ABC 内接于①01，1 是其内心，且A山I，求证:
AB +AC =2B~ 
I 
( 四川省竞赛题)
瞠塾暨些
从川夕外外卡札JιL
用圆的性质，由角的关系导出线段的关系.
I 
倒5
如图，已知
Rt L'-.ABC 申.rn 且钊油AR
卡削
A 
), Oj ，02 分别是A
求证: (1) 0 10 _lC02 
( 2) OC= Oj 0 2 ' 
全堕主堕
在直角三角形中，斜边上的高将它分成的
B 
两个直角三角形和原三角形相似，得对应制相等，故通过证交角等于
9 0 。的
方法得两线垂直，再用全等三角形证两线段相等.
封兰J
学科精英大视野系列丛书
三角形的四心是
相对而言的，在不同
的三角形中
，某点的
须灵活运用四心性质.
如例
2 中的
I 点
三角形的四心在
几何证明与计算中有
广泛的应用
，应用的
基本策略是运用相关
定义或性质判断某点
再运用相关性质导出
线段或角的关系，为
解题服务.
例
5 展示了直角
三角形内心丰富而优
美的性质，而证明的关
键是立足于基本问题:
复杂的问题生成
于简单的问题，一位成
熟的解题者，解题时将
很多简单的问题融合
在一起，如围棋中的定
势、拳击中的纽合拳，
可发初于瞬间.
~~~ 
( 丸每级)
合食
τJ 
食
食
食
食
，陆
第
22 讲
三角形的四lω
(1) .: ζA = ζ DCB ，:. ζ EAC = ζ 02 CB ， 
.. ζ EAC+ ζACE = ζ02 CB + ζACE =90 0 ， 
即ζAEC =90 0 ，λ0 1 0上CO2 •
(2) 由于点。1
，02 分别在ζACD 和ζ DCB 的平分
线上，λ ζ01 CO2 =45 0 • 
由(1)有ζ 0I EC =90 0 ，:. CE = OI E. 
同理可证02 F上CF ，ζ002 E = 45 0 ,0 2E = EO, 
又ζ CEO= ζ O，E01
，
'. D CEO旦D01 E02 ，:. CO=01 0 2. 
对于例5 ，我们可进一步得到下面问题:
如图，已知AD 是RtDABC 斜边BC 上的高.
A 
点
ζBAC = 90 0 ，①01
，①O2 ，①0 分别是RtDABD ，
RtD ADC, RtDABC 的内切圆.圆心分别是01
，
O2
，0 ，求证: (1) DAB01 ωDCA02 ; 
B 
D 
C 
(2) S①ο
:S①02 =BD :CD; 
(3) S( o= S ( 01 + S ( 02· 
倒6
求证: (1) 三角形的一个顶点到垂心的距离，是外心到对边距离
的2 倍;
(2) 三角形的垂心、重心、外心在一条直线上，且垂心到重心的距离是外
心到重心的距离的2 倍.
证明
如图，H 是DABC 的垂心，0 是DABC
的外心，0Ml_ BC 于M. 作DABC 的外接圆①0 ，作
圆的直径CK ，连接AK ，BK ，则BK l_BC .
(1)因AD l_ BC ，于是AD // BK ，同理AK //
BE ，四边形AHBK 是平行四边形，AH = KB.
又OM 是D KBC 的中位线，OM= ÷BK ，
于是AH=BK=20M ，即三角形的一个顶点到垂心的距离，是外心到对
边距离的2 倍.
(2) 连接AM ，OH 交于G 点，显然DAHGωDMOG ，相似比为AH
:
OM=2 : 1. 于是AG: GM= 2 : 1，即G 是DABC 的重心.
故三角形的垂心、重心、外心在一条直线上.又HG
: GO= 2 : 1 ，即垂心
到重心的距离是外心到重心的距离的2 倍.
含60。内角的三角形
含60。内角的三角形的顶点与三角形的四心可生成系列有趣特征.
倒7
如图，在锐角DABC 中，AB > AC ，ζBAC = 60 0 ，点O ，H 分别为
DABC 的外心、垂心，直线OH 分别与AB ，AC 交于点P ，Q. 求证: PO=HQ.
("我爱数学夏令营"竞赛题)
19也
例
6 即为著名的
欧拉线.在任意三角形
中，若Q ，H ，G 分别为
外心、垂心和重心，则
它们在同一直线上，且
GH= 2α3 ，欧拉在
17 65 年发表了这一
令人赞美的定理.
著名数学家拉普
拉斯说过"读读欧
才土，他是我们所有人
的导师"瑞士数学家
欧拉是历史上最多产
的数学家
，28 岁时解
决了著名的哥尼斯堡
七桥问题.
~I:f:\~ 
，传
食
1-J
食
食女
食
食*
理塑塾些
由外心、垂心的性质作出辅助袋，将问题
转化为全等三角形.
问题拓展:
(1)求证:.6.APQ 为等边三角形;
/4~ 
(2) 如图①，在原条件下，若点I 为.6.ABcI的内心，则A I_lPQ ，且A1 平
分PQ;
(3) 如图②，在原条件下，若点I 为D.ABC 的市心.则B ，C ，H ，1 ，O 五点共圆.
/41i 」〈
D 
图①
C 
图③
司刻意练习j
1
如图，在.6.ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c l 若AC ，BC 上的中线BE ，AD
垂直相交于点。，则c 可酌，b 的代数式揭示为一一一
(江苏省竞赛题)
2. 如图，已知。为.6.ABC 的外心，AD 为自C 边上的高，ζ CAB = 66 0 , 
LABC= ι 那么，ζOAD=__ 
("我爱数学夏令营"竞赛题)
A 
A 
E 
C 
(第
1 题)
(第2 题)
3.
如图，在.6.ABC 中
，AB=7 ，BC=8 ，CA=9 1 ，过.6.ABC 的内切圆圆心I 作
DE//BC ，分别与AB ，AC 相交于点D
，E ，则DE 的长为
A 
A飞
B 
C 
(第3 题)
I 
(全国初中数学联赛题)
ç 
I 
ρ认
A 
n 
B 
D 
(第4 题) i 
C 
0 1 飞//
\ 
E)<..片i F
/0/
υ 2
\ 
A 
D 
B 
(第5 题)
4. 如图，设CD 是
Rt .6.ABC 的斜边AB i
l的高，1] , 1 2 分别是.6.ADC ，
.6.BDC 的内心，若AC=3 ，BC=4 ，则1J2 ←
(全国初中数学联赛题)
￡3 
学科精英大视野系列丛书
例
7 揭示了含
60
0 内角的三角形的
重要结论，一些简单
的问题只是结论的再
现，而一些复杂的问
题常能据此发现解题
的关键.
注重归纳与总
结，拓展与探究，并应
用于解决更为复杂的
问题，这是提高解决
问题能力的有效途径
B:.\1"I:\c，.~ 
( 丸每银)
1;{食
，传
食食
食
有食
食
第
22
ì井
三角形的囚lω
5. 如图，在6.ABC 中，已知ζACB =45 0 ，D 是边AB 上异于点A ，B 的任意
一点，6.ABC , 6.ADC, 6. B DC 的外接圆圆心分别为0 ，01
，O2 ，则
ζ01 002 的度数为
(四川省竞赛题)
6. 如图，已知6.ABC 的两条高线AD ，BE 交于点H ，其外接圆的圆心为0，过
。作OFj_BC 于点F ，OH 与AF 交于点G ，则S60FG : S 6GHA = ( 
). 
A. 1 : 4 
B. 1 : 3 
C. 2 : 5 
D. 1 : 2 
(清华大学自主招生试题)
B 
i1
C 
~
E
\
O
二
二
一
\
(
G
L
W
I
F
­
A
乔
咱
s
儿
汁
l
|
-
n
U
\
与
/
…
门
口
…
-
i
i
\
B 
(第6 题)
( 第7 题)
(第8 题)
7. 如图，在Rt 6.ABC 中
，CD 上AB ，AC= 3, BC = 4 ，分别用r ，r 1 ，r2 表示
6.ABC, 6.ACD , 6.BCD 的内切圆的半径，则r+ r 1 + r2 = (
). 
A . 1_2 
-5 
B. 3 
C . 4 
D. 5 
(四川省竞赛题)
8. 如图，已知H 是6.ABC 的垂心，6.ABC 的外接圆半径为R ，6.BHC 的外
接圆半径为r ，则R 与r 的大小关系是(
) . 
A. R= r 
B. R> r 
C. R< r 
D . 无法确定
("祖冲之杯" 竞赛题)
9. 已知锐角6.ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则
ζA 的度数是(
). 
A. 30 0 
B. 45 0 
C. 60 0 
D. 75。
( 全国初中数学联赛题)
10. 如果三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么，该直线必通过这个
三角形的(
). 
D . 垂心
(全国初中数学联赛题)
11. 如图，已知ζACE = ζ CDE = 90 0 ，点B 在CE 上，CA = CB = CD ，过A ，
C ，D 三点的圆交AB 于F ，求证: F 为6 CDE 的内心.
(全国初中数学联赛题)
A.
内心
B. 外心
C . 重心
A4 
E 
(第11 题)
(第
12 题)
(第
1 3 题)
~IÄ\~~ 
tJ:给
食
食
.~
食
食女
食
世f
"'i坛
12. 如图，已知I 是6ABC 的内心，A I. CI. ßl 的延长线分别交6ABC 的外
接圆于D
，E ，F ，求证:EF j_AD.
(加拿大数学奥林匹克竞赛题)
13. 如图，四边形A j A 2 A 3 A 4 内接于一圆
，f:!A j A 2 A 3 ,6A2A3A 4 ,6A3A 4A j 
的内心分别是1I' I 2' 1 3 . 求证:
(1) A 2 , I j , I 2 ，A 3 四点共圆;
(2)ζ I j I 2 1 3 =9 0
0
• 
(四川省竞赛题)
14. 如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线4 C ，BD 交于点G
，I I' I2' I 3 分别
为6ADC ，6 BDC , 6ABG 的内心.求ì~: 13Gj_ I j 12. 
(全国初中数学联赛题)
(第
14 题)
(第
15 题)
(第
16 题)
15.
如图，在6ABC 中，己知AB>AC ，O ，I
[分别是6ABC 的外心、内心，且
满足AB-AC=20I. 证明:
(1 )01// BC; 
(2)SMC汇
S 6AOB = 2S6 AO/ . 
I 
(全国初中数学联赛题)
16. 如图，已知①O 为6ABC 的外接圆
，ζA= 60 0 ，I. H 分别为6ABC 的内
心、垂心，求证:OI=IH.
(天津市竞赛题)
17.
如图，锐角三角形6ABC 的外心为0，外接圆半径为R ，延长AO ，BO ，CO ，
L ，~ 1 
, 1 
,
1 
2 
分别与对边BC ，CA ，AB 交于点D ，E ，F. 棋证· 一一十一十一一=
门、
i AD ' BE ' CF 
R" 
(江西省竞赛题)
C 
A 
B 
(第
17 题)
I 
(第
18 题)
18.
如图，在锐角6ABC 中
，AC 手BC ，O ，M 分别为其外心，垂心，边BC ，
CA ，AB 上的高线的垂足分别记为A j ~ Bj ，C j
. 设D 为点C 关于直线
A j B j 的对称点，证明:O ，D ，M ，C j 四点提圆.
I 
(匈牙利竞赛题)
量98
学科精英大视野系列丛书
~~~~ 
( 兔每级)
食，曲
式t
食
食
食
常食
第
22
ì井
倒1
18 
延长MD 到N. 使DN = DM. 连CN . 则MN=AM=3 .CN= BM=4. 又
_ 
h 
_ , 
~ _
, 
., 1 
CM=5 . 则6MCN 为直角二角形，其面积为
2 X 3 X4=6. S6Aα = 3 ,S6 AßC =3 X 6= 18, 
例2
C 
连IB. 设IAJ 与BC 支点为D. 则IB = IA J = 2ID. 得ζ IBD =30 0 • 同理
ζ IBA = 30 0 • 于是ζABC = 60 0 ，
倒3
(1)由A.F.D.E 四点共园，得ζAEF = ζADF=90 0 - L乙BDF= ζ B. 又
ζA = ζA. 故6ABC∞6AEF.
(2) 延长AO. 交6ABC 的外接因于点K
. 连BK. 图略.
ζC= ζ K. ζABK = ζ ADC. 人ζ BAK= ζ DA C.
.. ζ AFE=LADE =L C . 
二ζ BAK 十LAFE = ζC+ζ DAC =90 0 • 故AOl_ EF.
倒4
如图所示，延长AI 交①O 于D. 连OA .OD.BD 和B I. 则AI= lD. 
又ζDBI =ζDBC+ζCBI=ζDAC+ζCBI= 土(ζBAC+ζABC) =ζ DIB.
2 
--、、
/""、、
放BD = lD = AI 又BD= DC.ODl_BC 于E. 则BE=tBC ，
作IGl_AB 于G. 可证RωDE白山ι 得AG= BE寸BC.
而AG= ~ (AB+ AC- BC) • 故AB+ AC=肌
三角形的四lω
• • 
c 
i :' :' ;' 
E
\
飞
一
，
，
)
:
1
1 
\
仁
\
「
L
N
对
\
d
k
\
D
ι
仆
A
八
二
一
F
一
/
/
-
B 
D 
(例4)
倒7
连AO.BO. 作ON上AB 于点N. 连BH 并延长交AC 于点E. 先证明6ANO且6AEH. 再证明
6AOP旦6AHQ. 得OP 二HQ .
问题拓展:对于( 3) .只需证明ζ BOC= ζ B IC = ζ BHC.
• 
1
c=tz吁吁∞= x.OE=川勾股定理得j+(2Y) ' =( ~ ) '
①. y' + (2x)' = (~)'
②， 
(2工) 2 十(2y) ' = c'
( . 
a2 + 1l 
a.....
. / 
2 
I 
2 " 
a2 + b2 
~ L
É<'l\/.'E1 
2 
. /
21 
2
α'+ b2 
①+②，得5( x'+ y' ) =~ . 即4(x'+ y' ) =~ . 又由①得c" =4(工十y" ) =~ .
4 
"
. ，~， J 
• 
5 
故c =士点a' + b寸
2. 26 。
延长AO.AD. 分别交①O 于E.F. 连BF.EF. ζ OAD = 90 。一ζ AEF=90 0 -( ζABC十ζ CBF ) = 
90 。一ζ CAD- L三ABC= 26 0 •
1 6
占
1
.
1 
τ 设6ABC 三边长为
a.b.c. 内切园
I 的半径为
r.BC 边上的雨为扎，则
: ah. = 
: 
( a + b +c 汁，得
2 -" a 
2 
ha- r DE" ~ ~ ha- r 
(, 
r 飞
(，
a 
ì
α ( b + c) 
一= 一一一一，由6ADEω6ABC. 得一一一=一一，故DE=_a，- • a= 1
1 一一
|α =
1
1 一一一一，
Ia =
h - a + b+ c' ..... L..>H
"__'.L.- -
'L..>"~'-" ,., h.. 
BC • ~ 
"__".L.-
h. 
~ 
\. ~ 
h .
)~ 
\. ~ 
a 十b+ cr
a+ b十c
4. J2设。为6ABC 的内心. 6ABC 内切园半径为r . 则r = ÷(AC+ BC
AB )= 1 ，连OC. d:7 19'J 6 知
L
嘘
一
，传
，传为
食
食
1号
食
*会
| 
学科精英大视野系列丛书
J
…
_....-.. 
........._................._............. .............._..........._...........-................_.1………………· 
I, 12 =OC=,/2r=,/2. 
S. 
135 。
αJ， _l_AC ，αJ，止BC ，C ，E ，O ，F 阳点共圆.
6. A 
由欧拉定理知OH 与AF 的支点。J为，0，.ABC 的重心.则FG: GA=l : 2, 
又，0，.OFG ω ，0，. HAG.
7. A 
r+r，+ η =CD. 
8. A 
延长AD 交园于G ，连BG ，CG ，可‘民明，0，.BHC且，0，. BGC.
9. C 
如图，设，0，.ABC 的外心为O ，D 为)3C 的中点，BO 延长线支①O 于点E ，连
CE ，AE ，则CE矿AH ，AE// CH,OB=AH= CB= 20D ，故ζOBD= 30 0 ，ζ BOD= ζA= 
60 0 • 
I 
10. A 
设平分，0，.ABC 的面积和周长的直线分别交AB ，AC 于D ，E ，且I 为，0，.ABC
的内心，广是，0，.ABC 内切圆的半径，如图所示J
于是有比IE-卡CAE+AD) , S BCEID = 卡CBD+ BC+ CE)
因为直线ED 平分，0，.ABC 的周长，故有A~+AD=BD+BC+ CE ，
所以
SADIE = SBCEID ' 注意到SL.ADE = S BCED ' 所以SL. IDE =0 ，即直线DE 经过I 点.
1 1.连AD ，CF ，DF ，EF ，ζ EDF= ζ CD，F = 45 0 , LCFD = 1 80。
ζ CAD= 1800 -
4三CDA= 180。一ζ CFA= ζ CFB ，L_乙DCF = 18扩一ζ CFD -
L_乙CDF = 180 。一ζ CFB­
LCBF= ζ BCF ，故F 为，0，.CDE 的内心
I
(第9 题)
(第
1 0 题)
12
连DF ，LD+ ζDFE= L D+ LBFD严BFE=卡ABC+ ~ ζBAC+护Bα = ÷ × 18h 旷，
ζ DMF=180 0 - 90 0 =90 0 ，故AD_l_ EF.
13. (1)连
I，人，I1A2' I,A3' I,A" 12 A3 ' 可证明ζA，I，A，= 90 0 + 土ζA，A ，A，，ζA2 12A3 = 900 + 
13 ' 
., 
,,_ "., ~.J.
.... 2 .... 1 .1. ....3 
'""v 
2 L__.J .l.z.l .1.r 
杠A，A，A3 ，而LA，A ，A3 = LA2A，A3 '从而A2问=LA2 I，儿，故儿，川，A3 四点共圆
(… 
?一ιν
3 12A3=
18创0
0
-
ζL I3
叫叫
ι以
M
川
3A，A3 -
180。一封卡
ζ川3
故U
ζ川= 
3旷
ζ
ρ4
川
L肝川
，12A3 • 
ζρ
L I3川川
3 12ι2A3 = 
言(ζA ，A，A3 +ζA ，A，A 3
印
3 ) = 90旷。
14. 延长IJ，分别与AD ，BC 交于点E ，车，连接I，C, I, D ，I，C ，I，D ，则D ，I，,I, ，C 四点共圆.
得ζ DI ，E= ζ DCI，
' ζ CI，F= ζCDI 1 
故ζGEF = ζ ED1l 十L DI ，E
= L ADI, - L ADB+ L DCI2 I 
= 言(ζADC+ ζ BCD) - ζAPB ，
ζGFE = ζFCI2 十ζ FI，C
=ζ BCI，- L_三BCA +ζ CDI 1
= 
~ CL ADC+ L BCD) - L ADB 
从而，ζGEF=ζGFE ，得GE= GF.
I 
又GI3 平分ζAGB ，故GI3 _l_ EF.
且(1)作OM止BC 于M ，IN上BC 于N I，设BC= a ，AC=b ，AB= c
易求得CM= ÷α ，CN= ÷(a+b- c) ，
| 
女食
*
1号，曲
，传
齿，传
食
第
22 讲
( 丸每缉)
三角形的四山
A 
/C2-会!
\ 
/ 
/.'.τ
平、二\飞
… 
… 
BC.
町V
M 
(第
1 5 题)
所以MN=CM
CN=÷(c 俨OI
又MN 恰好是两条平行线OM ，IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平行线
。'M ，1N 之间的垂线段，所以01矿MN ，所以OI// BC. 
(2)
由(1 ) 知OMNI 是矩形，连B1 ，C1 ，设OM= 1N=r( 即为，ð，ABC 的内切圆半径) ，则
SL.脏- SL.AOB = (SL.AOJ + SL.COJ + SL.AIC) - (SL.AJB - SL.AOJ - SL.BOJ ) 
= 2SL.AOJ + SL. BOJ + SL.COJ + SL.AJC - SL.AJB 
1 _ . 
, 1 
= 25 八川+ ~ . OI • r+~O I • r十一
. AC . r一一
. AB . r 
ι AUI ' 2 
- . 
"
2 _ . 
" 
2 
1
, 
1 
=2 5^川十r
' COI +~ b一
~ c) =2 5^州
凸AUI
" 
, - . 
, 2 ~ 
2
ι川
16 .
下列证法供参考.
如图，连BO 并延长交，ð，ABC 的外接圆①O 于p ，延长BH 交AC 边于点Q . 再连
B I，CI，CH 及AP
，则易知ζ 1 = ζ2 .
由三角形的外心、内心、垂心的张角公式，可得
ζ BOC =2L乙A= 120 0 ，
(第16 题)
L BIC=90。十卡A = 1 20 0 ，
ζ BHC = 180。一ζA = 120 0 •
所以
，0 ，B ，C ，H ，1 五点共圆.
又因BI 平分ζ ABC ，
得ζ AB I = 丘CB I.
于是，有ζ OB I = ζ HB1 ，
所以01 = H I. 
OD 
SL.佣c OE _ SL.Cl'IC OF SL.Cl'IB 
如图，延长AD 交①O 于M ，则互E 一ζ石'百一ζ忑'CF 一ζ忑'
17. 
①
 
一
­
PA-PE 
O-fu 
+ 
E-E 
O-B 
十
D-D 
O-A 
得
又OD
R - D儿1
，
R 
_ , 
R 
一一=一一一一一-:= 1
一一一一一-: = 1
一­
AD 
2R - DM 
~ 
2R - D儿1
.1. 
AD ' 
(第
1 7 题)
OE . 
R 
DF
咱
R
同理一一= 1
一一
一一= 1
一一
BE 
.1. 
BE ' CF 
~ 
CF 
代入①，得(1
元) + (1 是) +( 1 主)= 1
1 
, 1 
,
1 
2 
一一十一一+一一­
AD' BE ' CF 
R 
18.
如图，由ζ ACO= 90。一ζABC = 90。一ζ CB ，人，得CO上A ，乱
，
即C ，O ，D 三点共线.
设直线CD 与A ，B ，交于点E ，与，ð，ABC 的外接圆的支点为F ，则A ，F ，E ，B ，
四点共因.
(第1 8 题)
:. CB, • α = CE · CF= ÷CD· 2CO= CD · co 
由A ，C"
M ，B ，四点共困得，CB ，• CA = CM ' CC" 
:. CM . CC, = CD ' CO, 
故O ，D ，M ，C ，四点共圆.
鸣在
ot←巳豆革
洁'国E
丽圄属
科学的重要性并
不在于是否获奖，重
要的是做有趣的科学
研究.诺贝尔奖得主
们自己也许都没意识
到今后会获奖，他们
只是在研究上充满好
奇心，执着地做自己
喜欢的工作.
佛勒斯特姆
罗素0 872- 1 970)
，英国哲学家、数学家，20 世纪
西方最著名
、影响最大的学者和社会活动家，罗素的主
要贡献在数理逻辑方面
，1 903 年出版《数学的原理》一
书
，罗素提出的"理发师悖论" 引发了数学史上第三次
危机.
ddu 
…Ld 叫啦?;二j
i午瓦尔兹三角形
德国数学家许瓦
尔兹(1 8 43- 1 92 1) 第
一个用完全初等的方
法对下面命题给出了
一个漂亮的证明.
如图，在锐角
6ABC 中，若D ，E ，F
分别是三条高
AD ，
BE ，CF 的垂足，则在
6ABC 的所有内接
三角形中，以垂足为
顶点的6 DEF 的周
长最短.
~~~ 
知能概述
几何中的最值问题是指在一定的条件N ，求平面几何图形中某个确定
的量(如线段长度、角度大小、图形面积) 等的最大值或最小值，求几何最值
问题的基本方法有:
(1 ) 特殊位置与极端位置法:先考虑特F 位置或极端位置，确定最值的
具体数据，再进行一般情形下的推证
( 2) 几何定理(公理) 法:应用几何中的和等量性质、定理.
(3 ) 数形结合法:揭示问题中变动元素削代数关系，构造一元二次方程、
二次函数、运用不等式等.
' 
C 
A 
' 
倒1
如图，Rt 6ABC 中，AC = 1 ，BC L 2 ，p 为斜边AB 上一动点，
PE l_ BC 于E ,PF l_AC 于F ，则线段EF 长的最小值为
("新知杯"上海市竞赛题)
理堕塾些
四边形CEPF 为矩形，连仁p ，则EF = CP ，
号
将问题转化为求CP 的最小值.
E 
问题解决
F 
线段BC 边上的动点，将6EBF 沿U 所在直民折叠得到6EB'F ，连接B'D ，
则B 'D 的最小值是(
) . 
、
ω
J
P
I
山
罗
、
( 丸每缉)
女食
食
女冒险
食
1:了食
食
A. 2 刁百- 2
B.6 
C. 2 yT3- 2 
D.4 
(四川省自贡市中考题)
鹏题思路
无论怎样折叠
，B'E 长为定值，即点B'
♂ 
P 
在以E 为圆心、半径为2 的①E 上，通过探求动点运动
I B./ I 
轨迹求最小值
E忖丁
| 
B 
F 
C 
倒3
如图，设正6ABC 的边长为2 ，M 是AB 的中点，P 是BC 上任意
一点
，PA + PM 的最大值与最小值分别记为5 和t
，求/- t 2 的值.
(全国初中数学联赛题)
解题思路
设法求出
5 和
t
，PA 豆AC ，当P 处于
C 
6ABC 的顶点C 这一极端位置时，s = 2 + J3，而
t 则要
通过"两点之间，线段最短"的途径获得.
A 
'B 
倒4
如图，在矩形ABCD 中
，AB = 20cr口，BC = l O cm ，若在AC ，AB 上
各取一点M ，N ，使BM+ MN 的值最小，求这个最小值.
融题思路
作点B 关于AC 的对称点矿，连
B'M ，B'A
，则BM=B'M ，从而BM + MN = B'M +
MN. 要使BM + MN 的值最小，只需使B'M + MN
D 
的值最小，当
B' ，M ，N 三点共线且B'N 上AB 时，
B'M +MN 的值最小.
倒5
如图，在四边形ABCD 中
，AD = DC = l
，ζ DAB = ζ DCB = 90 0 ，
BC ，AD 的延长线交于p ，求AB • S 6PAB 的最小值.
(四川省竞赛题)
份析与鹏
将问题转化为函数探讨1':
设PD = x(x > l)，则PC = Jx 2 - 1，由
Rt 6 PCD ω
CD. PA 
x 十
A
Rt6 PAB ，得
AB
~~ ní: .. -
-;_主圭二，令
y = AB • 
PC 
" 工ζ 一l
川叶A础…
B扣拟川
x叩…
〈仔P
有下列不同思路:
(1)配方
y =于十二I叫EZ) 2 十4 ，
当冉=店，即当户3 时，y 楠、值4
之。地
第
23
ì并
几何最值
从特殊位置与极
端位置的研究中易得
到启示，常能找到解
题突破口，特殊位直
与极端位直是指:
(1)中点处、垂
直位直等;
(2)
端点处、临
界位直等.
求几何最值的几
何性质有:
(1)斜边大于直
角边;
(2) 两点之间线
段最短;
( 3 )垂线段最
短等.
运用几何性质寻
求最佳的关键是化折
为直、化曲为直，常用
到几何变换.
代数法解几何最
值问题时，恰当引元在
解题中作用很关键.恰
当引元的基本原则是:
既要使运算简单，又妥
使函数表达式简捷，便
于求最值.
~~a.t\ 
食
食
食
食
AX 
为
食
人
X
-R 
工- 1
，
2 
，
~ ...__ ~ 
/x-1 
2 
(2) 运用基本不等式
俨一一+一一+ 2注2
./一一
· 一一一+2=4.
J 
2 
'x- 1
气/
2 
x 一1
x- 1 
2 
当之五一=z=1 ，即当x=3 时.y 有最小值4.
(3) 借用判别式去分母得x 2 +2 (1 -y)x+ 1 +2y=0. 
由6.=4 (1 - y) 2 -4 (1 + 2y) =4y(y-4) 二三O. 得y二三4 .
00 y 的最小值为4.
倒6
如图，边长为2 的正L，ABC 内有一点P . 它到三边的距离分别为
PD.PE.PF. 求:
(1) PD十PE+ PF 的值;
(2) PD2 十PE2 + PF2 的最小值;
(3) L，DEF 面积的最大值.
(日本东京巢鸭高等学校招生试题)
份析
设PD = 工.PE = y.PF = z . 由面积法易得
A 
工+y十z= J3. 对于(2) 、(3). 把相关的式子用x.y.z 的
代数式表示，通过消元配方或判别式求最值.
踹
(1) x+y十z= J3.
(2) z=J3-x-y. 
B 
x 2 + y 2 + Z2 = x2 + y 2 十(J3- x - y) 2
=2x2 +2y2 + 2xy-2J3x-2J3y+3 
=2 1 x2 一(J3-y)x+ 1 圣二:x_r l+2/ -2J3v+ 
I 
~ 
2) I 
V 
'
v 
3 -亚严f
=2 (X-号:x_J 十~ (J3y- 1)2+ 1 
当且仅当工一号:X_ =O iiJ3y一1 =0 时，原式值最小，即工=y=z=手
时，原式的最小值为1.
(3) 如图所示，过E 作EK j_DP 于K . L.EPK = 6川K =手，S"'PDE = 
!_~ y J3.,= J3 ~ .， ~llII ^ Drr ^ o r. n "'h=~ l 'c OII .>.LJ3 
J3 
言xX v2~ Y 一τxy ，~百]理L，PEF ，L，PFD 的面积分别为4Yz ，τzx ，
SArfwyhz) 
0: xy十yz十zx =月十y(J3- x - y) +x(J3- x-y) 
=-t 十(J3-y)x-/ +J3y 
=一(x-午J-~ (J3y一1 ) 2 + 1 
当且仅当z 号主= 0 且J3y- 1 = 0 ，即x= y =z=手时，月十yz+zx
有最大值1，故L，DEF 的面积有最大值子
是:2
学科精英大视野系列丛书
'c 
例
6 从一道基本
的几何题出发，拓展
到线段的平方和、面
积的最佳计算，较好
地把代数变形计算与
几何图形性质融合在
一起.
从一个熟知的结
论出发，先推出一个
新的命题，再以该命
题为依据，探讨需要
解决的问题. 运用引
理，筑构平台，拾级而
上，这是数学学习、数
学研究的重要方法.
对于(2) 、(3 ) ，还
可以从判别式、不等
式角度去思考，读者
不妨一试.
&:\G..\Gt.\ 
( 丸每缎)
为食
食
女*
食
'{:f
食
食
第
23 讲
几何最值
倒7
锐角三角形中，所有内接三角形以垂足三角形的周长最短.
分析与解
问题要求证明某特定条件下的折线段长度为最短，运用对称变换化折
线为直线段.
如图①，作点D 关于AB
，AC 的反射点D 2
，D l
. 设内接三角形只有顶点
D 为垂足，记ζ BAC = ζA ，则
DE' + E'F' + F'D = Dl E' + E'F' + F'D 2 > Dl D2 = Dl E + EF+ FD2 
= DE+ EF+ FD= 2EIFl = 2ADsinA. 
当内接三角形三个顶点均不为垂足时，如图②.此时
D'E' + E'F' + F'D' = D'D' 2 = 2EoFo = 2AD' sinA > 2ADsinA = DE + 
EF+ FD. 
A 
A 
D 
图①
图②
应用: 在DABC 中，已知ζ A = 60 0 ，ζ C = 7 5 0 ，AB = 10 ，点D ，E ，F 分别
在边AB
，BC ，CA 上，求D DEF 周长的最小值.
( 全国初中数学联赛题)
a +kb 型最值
α +kb 型(其中α ，b 为线段，k 为正实数)涉及古老的"胡不归问题"和
"阿氏圆问题"，解决问题的关键是:构造与"kb" 相关的线段，将问题转化为
"两点之间线段最短"或"垂线段最短"
倒
8
如图①，在口ABCD
中，ζ DAB =
60 0 ,AB = 6 ，BC=2 ，P 为边CD 上的一个动点，
则PB +fPD 的最小值等于
(江苏省南通市中考题)
分析与解
手
由数字特点自然想到构造含
6ωO 。的直角三角形.
如图②，过点P 作PE _lAD 于点E ，过点B
D
/
/
ι
A
 
PYB 
图①
C
7 
p
γ
\
\
\
一
，
J
A
A
\一
-
1: 
1
时
'
'
「
一
D
/
/
一
作BF_lAD 于点F ，得PE =号凡
9lU PB 十号PD =附PE
当B ，P ，E 三点共线时PB + PE 最小，此时PB + PE = BF = 313.
故即fPD 的最小值为313
B 
A 
图②
\了法
• 
数学方法溯源
Stauxue Faøgfa S.y.an 
数学发展的历史
始终贯穿两条主线:
数学知识的发展和思
想方法的创新.数学
思想方法对数学知识
有巨大的凝聚力，是
联系知识的纽带，是
实现知识向能力转换
的桥梁.
1'::\~6:\ 
食
食女
食
食女
食
食女
1.如图，在l::.ABC 中，ζBAC= 60 0 ，ζABC= 45 0 ,AB = 212, D 是线段BC
上的一个动点，以AD 为直径画①0 分别交AB
，AC 于E ，F ，连EF ，则线
段EF 长度的最小值为
(浙江省宁波市中考题)
A 
B 
(第
1 题)
(第2 题)
(第3 题)
2. 如图，在矩形ABCD 中，AB =4 ，AD=3 ，以点C 为圆心作①C 与直线BD
AP 
相切，点P 是①C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则一一的最大值
AT 
是
(江苏省连云港市中考题)
3. 如图，已知l::.ABC 的内切圆半径为r ，ζA=60 0 ，BC=2.j言，则r 的取值范
围是
(江苏省竞赛题)
4. 如图，已知矩形ABCD ，AB = 12 ,AD= 3 ,E ，F 分别是AB
，DC 上的点，则
AF + EF + EC 的最小值为
ι/\j 
A 
F 
C 
E 
B 
(四川省竞赛题)
曰F
B 
E 
C 
(第4 题)
(第5 题)
(第6 题)
5. 如图，在Rt l::.ABC 中，ζC= 90
0 ,AC= 6 ，BC=8 ，点F 在边AC 上，并且
CF=2 ，点E 为边BC 上的动点，将l::.CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点
P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是
(江苏省淮安市中考题)
6. 如图，已知正方形ABCD 的边长为l. E ，F 分别为边BC ，CD 上的点，且
满足BE= CF ，贝U l::.AEF 面积的最小值为(
) . 
12 
A.τ 
../3 
B. 
v8~ 
l 
c. -=--
4 
D t 
(四川省竞赛题)
7 . 如图，l::.ABC , l::.EFG 均是边长为2 的等边三角形，点D 是边BC ，EF 的
中点，直线AG ，FC 相交于点M. 当l::.EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的
最小值是(
). 
A. 2-../3 
B. ../3+ 1 
c. 12 
D. ../3- 1 
(湖北省武汉市中考题)
在06
学科精英大视野系列丛书
~~~ 
( 丸每缎)
A 
A 
F 
B 
有食，传
古食食
古食，传
第
23 讲
几何最值
MDh
… 
JA
l 
(第7 题)
(第8 题)
(第9 题)
8 . 如图，在DABC 中
，AB =AC= 10 , tanA = 2 , BE _l AC 于点E ，D 是线段
J5 
BE 上的一个动点，则CD + v_v BD 的最小值是(
) . 
5 
A. 2 J5 
B. 4 J5 
C. 5 J3 
D. 10 
(湖南省长沙市中考题)
9 .
如图，ζMON = 90 0 ，矩形ABCD 的顶点A
，B 分别在边OM ，ON 上，当B
在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不
变，其中AB=2 ，BC= 1，运动过程中，点D 到点。的最大距离为(
) . 
A. J2+1 
B. J5 
C 罕
D?
(山东省济南市中考题)
10. 如图，已知边长为4 的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF =
2 ，BF=1 ，在AB 上的一点p
，使得矩形PNDM 有最大面积，则矩形
PNDM 面积的最大值是(
). 
A. 8 
B. 12 
C. 2_5 
·τD . 14 
(国家理科实验班招生试题)
y 
A 
D 
B 
(第
10 题)
(第
11 题)
(第
12 题)
(第
13 题)
1 1.
如图，已知y 轴正半轴上有两点A (0 ,a) ，B(O ，的，其中α > b >O ，在z 轴
上取一点C ，使ζ ACB 最大，求C 点坐标.
(河北省竞赛题)
12 . 如图，已知四边形ABCD 的面积为32
，AB ，CD ，AC 的长都是整数，且它
们的和为
16.
(1)这样的四边形有几个?
(2) 求这样的囚边形边长的平方和的最小值.
(全国初中数学联赛题)
13 . 如图，正方形ABCD 的边长为
1 ，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得
D CMN 的周长为
2. 求:
(1 )ζMAN 的大小;
(2) DAMN 面积的最小值.
(上海市竞赛题)
I~&:.\~ 
207 
\1.-
鸣'ι
食
食-(;:{
食
食女
食
食会
14.
如图，在Rt 6ABC 中，ζC= 90
0 , BC= 2 ，AC= 工，点F 在边AB 上，点
G ，H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE=
AC. 
(1)求y 关于工的函数解析式;
(2) 当z 为何值时，y 取得最大值?并求出y 的最大值.
(上海市竞赛题)
A 
C 
z 
B 
图①
图②
(第
14 题)
(第
15 题)
15. (1)如图①，在正方形ABCD 内，已知两个动圆①01 与①O2 互相外切，
且①0) 与边AB ，AD 相切，①Q 与边BC，CD 相切.若正方形ABCD 的
边长为
1 ，①0) ，①Q 的半径分别为
r)
，巧，试求:
( i ) r) 与η 的关系式;
( ii )①0 ) 与①O2 面积之和的最小值.
(2) 如图②，若将(1)中正方形ABCD 改为一个宽为1 、长为?的矩形，
其他条件不变，则①0) 与①O2 面积的和是否存在最小值?若不存
在，请说明理由;若存在，请求出这个最小值.
(天津市竞赛题)
16.
问题提出
(1)如图①，已知6ABC ，请画出6ABC 关于直线AC 对称的三角形.
问题探究
(2) 如图②，在矩形ABCD 中
，AB = 4 , AD = 6 ,AE = 4 , AF = 2 ，在边
BC ，CD 上是否分别存在点G ，H ，使得四边形EFGH 的周长最小?
若存在，求出它周长的最小值;若不存在，请说明理由.
问题解决
(3) 如图③，有一矩形板材ABCD ，AB =3 米，AD=6 米，现想从此板材
中裁出-个面积尽可能大的四边形EFGH 部件，使ζ EFG = 90 0 , 
EF = FG= J5.米，ζEHG =45 0 ，经研究，只有当点E ，F ，G 分别在边
AD
，AB ，BC 上，且AF< BF ，并满足点H 在矩形ABCD 内部或边
上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积
尽可能大的四边形EFGH 部件?若能，求出裁得的四边形EFGH 部
件的面积;若不能，请说明理由.
(陕西省中考题)
ζ二三三』
A 
C 
F巴Frl 
图①
E9 
学科精英大视野系列丛书
~Ct.\~ 
( 丸每组)
齿*
肯食
肯
17.
如图，在扇形OAB 中，ζAOB= 90 0 ,OA = 12 ，点C
A 
在OA 上
，AC=4
，点D 为OB 的中点，点E 为弧
AB 上的动点
，OE 与CD 的交点为F
~ 
(1)当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF;
(2) 求CE + 2DE 的最小值.
(全国初中数学联赛题)
0 
18.
已知抛物线y = x 2 - bx + c(b ，c 为常数，b > O) 经过
点A( - l，O) ，点M(m ，O) 是z 轴正半轴上的动点.
(1)当b = 2 时，求抛物线的顶点坐标;
(2) 点DCb'Y D ) 在抛物线上，当AM 二AD ，m=5 时，求b 的值;
(3) 点Q(b寸'YQ)在抛物线上，当.)2AM+ 2QM 的最小值为平时，
求b 的值.
(第
17 题)
(天津市中考题)
食
讲
第
-R 
-R 
-R 
几何最值
• 
… r _ 
2 J5 
.. 
_ ~
， 
. ~ . 
_ ~.... ~. 
~.
.L' _ ~ AC . BC 
2 J5 
倒
1
~ '1 二
当
CP 上AB 时
，CP 的长最小，最小值为
CP = "
- .
~ -= 一之二
AB 
5 
倒2
A 
连DE 与①E 交于点B' ，;lcl:. 时B'D 最小，最小值为DE - EB' ，
倒3
413 如图，作正，6，A'BC ，设M' 为A'B 的中点，则，6，PBM旦，6，PBM' , PM=PM' ，PA + PM' 二三MW ，连
CM' ，则ζ ACM' = 60 0 + 30 0 = 90 0 ,AM' = J AC 2 + CM f2 = J7. 故PA + PM' 的最小值为汀，f!r t =汀，/ -t2 = 413. 
A 
C 
A' 
r 一-一一------------，
'", 
B飞、、，
…
ι 
…, 
…, 
\_P ---. 
" 
十、，
. ., 1... 
--_、，
山町、…
J
川-_，
~ 
7
、_-~"'t.. l' 
川一
IIVI
I 
I 
\ 
_...-晶.. 
…, 
1/.....-
飞'
<7飞'
川、，
卜，
1
、，
T一一一-B
B' 
、
、
、
A
T
-
H
H门
,
-
J 
J ' , 
D 
A 
C 
(例3)
(例4)
AB • BC 
. r=-
~~， 
~ r=-
倒4
如图
，B'M + MN 的最小值为点B' 到AB 的距离B'F
，BE = 一一一一= 4 J5 cm , BB' = 8 J5 cm , 
AC 
. ，~ ~...， ~~ 
~，~ 
AE二JAB 2 -百= J 20 2 -
(4 J5) 2 = 8 J5cm 在，6，ABB' 中，由÷W
AE z ÷AB
· 町，得B'F=16cm
故BM + MN 的最小值为
16cm.
• • 
1. }3作OH j_ EF 于H ，则EF = 2EH = 2s in60 0
• OE= AD' sin60
0 , 
当AD上BC 时
，EF 的千直最小，此时AD = AB' sin45 0 = 2. 
AP 
AE 
2. 3 
如图，过点P 作PE // BD 交AB 的延长线于点E ，得豆于= 互B
l 十芋，需求BE 最大值过点B 作BF上PE 于川，得BE= tBF，只需求
L
W
电
m
k
一
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
川
A 
G 
B 
(第2 题)
食
食
1与了
食
食1:I
食
食为
学科精英大视野系列丛书
，~， ~，~， 
n~"" 
24 
BF 最大值，而BF 为平行线DB 与PE 之间的距离，其最大值为直径，如图中P'T' ,P'T' = 2CT' = τ ，即BF 最大
24 
值为τ-
1. . ~ ~O 
~ 
1" 
. , 
,,_ 1γ3 
设BC=a ，CA=b ，AB=c ，b+ c=213( γ十1)又一bcsin60 0 = 5 ^ ^~ = : (α +b+仇，即-7 bc. 巳=
，一.
....._ 2 v..... .:JJ..l.LV V 
"-'.ð.A缸
2 ,-
. - . - , ., , 2 --
2 
3.0<γ:::;;; 1 
~ [2 13+ 2 13(r+叶，bc=4时川，c 为方和2 -213叫)x+4r叫)=0 的两个根，由后叫什+1) 2:::;;;
Z!，因γ> 0 ，r+ 1> 0 ，故r+ 1 :::;;; 2 即O< r~S;;J.
4. 15 
如图，分别作A ，C 关于DC
，AB 的对称点A 1
，C 1
. 连A 1 C 1
，分别交AB ，DC 于点E 1
，F 1
' 连A 1 F ，
C1 E. 过人作BC 延长线的垂线，垂足为
G.
.,' A 1 G=AB=12 ，C1 G = 3AD = 9 ，则由勾股定理知A 1 C 1 = JA1G' +C1G' =15 , 
故AF + FE+ EC= A 1 F+ FE+ EC1 二三A 1 C 1 = 15.
当点E ，F 分别与丑
，F 1 重合时，取到最小值.
53 点P 在以F 为圆心、2 为半径的圆上运动，过点F 作FGl_AB 于点G，交①F 于点p ，此时PG 值最小.
6. D 
1 , 
1 " . 3 
设BE = CF =x ，则
5 ^ APP = 
: 
( x 一
:
) '十一
ι，~r 
2 ' -
2 ' 
. 8' 
7. D
如图，连AD ，DG ，可证明ζ PMG= ζ GDF=90 0 ，得ζ AMC = 90 0 ，故点M 在以AC 为直径的①0
上，连接BO 交①O 于点R ，则线段BR 的长为线段BM 长的最小值，最小值= BO-RO. 
?\)只~I
(第4 题)
生，一---"
A 
/1 i ""、~N
(F.\i、态0'、1
.\~ \;;.. 
飞亨
、M
/乓1---气丁二，可~G
B二百怡仨士"#r/P
F 
(第7 题)
B 
(第8 题)
8. B 
J5 
过点D 作DF l_AB 于点F ，过点C 作CH l_ AB 于点H ，则CD + VrV BD= CD+ DF ，当C ，D ，F 三点
5 
共线时
，CD十DF = CH 的值最小.
9. A 
取AB 中点p
，连PO ，PD ，PO+ PD> DO ，当O ，P ，D 三点共线时
，DO= PD 十PO.
PG 
AG 
延长NP 支AF 于G ，由L"，. PGA∞L"，. BFA 得
--一，设PG = 工，则GF=
BF 
AF 
10. B 
2 - 2工，PN = 4 -
x , PM=2x+ 2.5短形PNDM = (4 -
x ) (2x + 2) = 
-
2X2 + 6x + 8 = 
( 
3 \ ' , 25 
2l x一言) + 言(O :::;;;x:::;;; l)
，当x = l 时，5矩形叫的最大值为
12.
1 1.当过A ，B 两点的圆与z 轴正半轴相切时，切点C 为所求.作O'D l_ AB 于D ，
(a + bV 
(a - b\' 
O'D2= O'B2- BD2= l U;_U) 一l a~o) =川'D = 品，故C 占、坐标为(币，0)
12. (1)如图，记AB = a ，CD = b, AC = l ，并设L"，.ABC 中AB 边上的高为丸，
L"，.ADC 中DC 边上高为h ，.
1 . _ 
_ 1 
则S田地形ABCD =5 f::，皿c 十5 f::，ADC = →(h 1 a + h安的运
~ l(a + b) , 
2 "-1-
' ._'V , ~ 2 
仅当h 1 = h2 =l 时等号成立，即在四边形ABCD 中，当ACl_ AB 及AC上CD 时等
号成立.
由已知得32 :::;;; ~ l( α 十的，又由题设α +仨16 ←l ，
最;当
B 
y 
(第
11 题)
D 
(第
12 题)
z 
( 丸每缉)
-{:r
食
食
寸
食
，传
有
食
食
第
23
ì井
几何最值
可得64~ l (1 6 - l) = 64 -
(l - 8) 2 运64 ，
于是必有
l = 8 ，α +b = 8 ，且这时AC_lAB 及AC _l CD. 因此，这样的四边形有如下四个:
α =1
，b=7 ，l=8; α =2 ,b=6 ，l=8 川=3 ,b=5 ，l= 8 川= b=4 ，l= 8 .
它们都是以AC 为高的梯形或平行四边形.
(2) 又由AB = a ，CD=8-a ，则BC2 =8 2 + 矿
，AD2 =8 2 十( 8
α) 2 , 
因此，这样的四边形的边长的平方和为2a2 +2(8-a/ +2 X 82 =4(a-4/ + 192. 
故当α =b =4 时，上述平方和最小，且最小值为
192 .
13. (1)如图，延长CB 至L ，使BL = DN ，如1)
Rt 6ABL旦Rt 6ADN ，得AL = AN ，L1 = L2 ，又MN =
2 - CN - CM = DN + BM = BL + BM = ML ，且AM= AM ，ζ NAL= ζ DAB=90 0 ，
90 。
:. 6AMN旦6AML ，故ζ MAN = ζ MAL= 王一=4 5 0
•
(X十y+ z=2 ，
(x=2-y-z , 
(2) 设CM= 工，CN = y ，MN = z ，则~
2 1'" 2 
2
间{
2 I 
2 
2 
IX i y = z , 
IX T y =z 
于是(2 - y _ Z) 2 + / = Z2. 
整理得2/ 十(2z - 4) y + (4-4z) =0 , 
因y>O ，故6 = 4(z-2) 2 -32(1- z) 二三0 ，即(z+ 2 + 2 ./2) (z+2-2 ./2) 注O .
又因为z> O ，故z注2 ./2-2 ，当且仅当x=y=2- ./2时等号成立.
由于S屯ωA
幽川儿
、--
1 
_ __ 
. _ 
1 _ __ .. . . 
z 
A 
x-y 
B 
图①
D 
(第13 题)
(第14 题)
(第四题)
C 
B 
图②
14. (1)如图，延长
FE ，交AC 于D
点，DF // BC , Rt 6ADF ω Rt 6ACB , AE = AC = x , DE = 
x-y 
)2石τ了十y
一
仄工7
-/X2 一(X一;7= )2石=7 ，一一一
，2x-2y-xy=x 、2月- j ，两边平方整理得: (X2 + 2x+ 
.Y / 
V 
..........)' 
.)'
, 
x 
2
' - --
-./ 
--,./
>
d
2) / - (x3 + 2X2 + 4x) y+ 2X2 = 0 解得y=F击石h 舍去)
(2) 由(1)得y=-J一一ζ一
2 一=./2一1，当且仅当工=立，即X = ./2时，上式等号成立. 故当工=./2
J 
z十二十2~2
J2+ 2
' -
-
-
X 
工
时，y 取最大值在一l.
15. (1) ( i )如图①，在正方形ABCD 中，连AC.显然，点。1 与0，在AC 上，且AO[ = ./2r[ , 0 [0 2 = 
γ[+ r2 ,C02 =./2r2. 
由AC= AO[ 十0 ) O2 + C02 =./2，得J2r [ + r[ + r2 + ./2r2 = ./2. 
故r [ 十r2 = 2- J2. 
( ii )易知币j r2寸则r2 = 2 -d
rl寸，叫- J2~ r [寸
因①O[ 与①O2 的面积和5=π (r~ +r: ) , 
所以，手= ri 十(2 - ./2- r[问叫一2(2 - ./2) r) + 6- 4 ./2=2 (γ1
与/2)' + 3-2 ./2 
飞之与在
食
食*
食
食
1号
食食
*
学科精英大视野系列丛书
3 
=- ~ 2 - J2 _... 1 ,., 
2- J2 
由一-J2ζ一」三ζ一，知当
r ，= 一一一时，①O】与①0，是等圆，其面积和的最小值为(3-2 JZhr. 
2 
-......;: 2 '/''--
~ , 1 
2~ " 
1 ......... ....... j " "_'''''''z 
ω 如图②，作辅助线得Rω1 02 P ，!i!'j 01 02 =咐呐P=?fl
r2,0 2P=1-rl-r2 
在RtL:，01 02 P 中，由勾股定理得01 ~=01冉02 P2 =>时r2 ) 2 = ( ~ - r1 - r2 ) 2 + (1 - r1 -
r2 ) 2 
13 
=>(r1 +η ) 2 -5( r1 + η) +一=0=片十r，= 一+[3或一- [3.
4 
v. , 1 
3 
5
.. 
5 
由于r1 + r2< 1+言=τ ，故小2 -τ+汀，不符合题意，舍去从而小z=?一点
, 
，。一
(γ ，+ r, ) 2 
①01 与①O2 的面积之和为S = π (r: + r: )
，而斤+r: 二三一牛τ4一，当且仅当γ1 =r2 时，上式等号成立.
|主-J3Y π
/
~、
于是，如l 气时，①01 与①O2 面积之和存在最小值，且最小值为L=
二
)- ，flr f 红一旦旦
|
~ 
~ 8 
2) 
16. (1)略.
(2) 在BC ，CD 上分别存在满足条件的点G ，H ，使四边形EFGH 的周长最小，最小值为2 J5+10. 
(3) 能裁得，理由如下:
如图，': EF= FG=J言，ζ EFG= 90 0 ，ζA = ζ B = 90 0 ，ζ 1 =ζ2 ，
:. L:，AEF旦L:，BFG ，:.AF= BG,AE= BF. 
设AF=x ，则AE=BF=3 ←Z 川·. t 十(3- X) 2 = (J5)2, 
解得x=l 或工=2( 舍去) ，:.AF=BG=l ,BF=AE=2 , 
:.DE=4 ,CG=5. 
连接EG ，作L:，EFG 关于EG 对称的L:，EαJ ，则四边形EFGO 为正方形，ζEα3=
90 0 • 以点。为圆心，以OE 长为半径作①0，则使得ζ EHG= 45 。的点H 在①O 上.连FO
并延长交①O 于点H' ，则点H'在EG 中垂线上.连EH' ，GH' ，则ζ EH'G = 45 0 • 此时四
边形EFGH'是裁得的四边形EFGH 中面积最大的.连接CE ，则CE=CG=5 ，
..点C 在线段EG 的中垂线上，..点F ，O ，H' ，C 在一条直线上.
又':EG= 刁百，:. FO= EG= jI百.
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
(第16 题)
又':CF = 2 刁百，:.OC= 刁百.
又':OH' = OE = FG=点，人OH' < OC ，
..点H '在矩形ABCD 的内部，
·可以在矩形板材ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH'部件，这个部件的面积=÷m­
F H' = ; x JïO x (启明)= (5+5 f)c平方米) , 
. 当所裁得的四边形部件为四边形EFGH' 时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为
(子)
5+ " ~"' I 平方米.
17. (1)分别过点。，E 作CD 的垂线，垂足为M ，N.
由OD = 6 ，OC= 8 ，得CD = 10.
HAMD+ SAE「÷CD· (OM+ EN)寸CD. 但= τ ×
1 " 
C 
10 X 12= 60. 
当OE _l DC 时，S 取得最大值60 ，此时，EF = OE- OF = 1 2 一
E 
、:::忌、‘
---------- - -~~ .. 
B 
G 
(第
1 7 题)
在:2
( 丸每缉)
6 X 8 
36 
(2) 延长OB 至点G ，使BG=OB=12 ，连接GC，GE.
女食
食
女食
食
合食
，传
. OD 
OE 
1 
/ ~~~ 
/ ~~~
. 
^ ~~~_~ ^ ~~~ • DE 
一一=一一---:::-，ζ DOE= ζEαJ ，人L ODE∞L OEG
一一=一，故EG=2DE.
. OE 
CX; 
2 , L__ L/\._/L." 
L__ L.，，"-'\.J，.
.
L....::.\.../L/L.，，~...L-).\J'L.，，\.J '..EG 
2 
:.CE +2DE=CE十EG注CG = 刁歹丰82=8 刁古，当C ，E ，G 二点共线时等号成立.
故CE +2町的最小值为
8 JïO.
18. (1) Cl, -4) . 
(2) b=3 ./2-1. 
(3) Q(叶，一~ -! ),./2AM+2QM=2(1AM+ QM) 
可取点N(O ，l)，
如图，过点Q 作直线AN 的垂线，垂足为G ，QG 与工轴相交于点M ，有ζ GAM =
们寻fAM=GMAIl 此时主M 满足题意
过是Q 作QH _l x 轴于占、H ，则是H(叶，0)
在RtL MQH 中，可知ζ QMH = ζ MQH =45
0
•
:. QH= MH ,QM= ./2MH. 
.
. 点M(m ，O) , 
..0-( -~ -! ) = (b+ ~ ) - m ，解得m= 2 -t
./2AM+肌=平，
../2 [ (~ - !) -( 叮十2 ./2 [ (b寸) - (~寸)卜33产
飞了)在
第
23 讲几何最值
y 
z 
(第18 题)
1 93 1 年，奥地利数学家哥德尔发现了震撼科学界的定
理一一哥德尔不完全性定理. 该定理指出
: 包含初等数论在
内的任何一个数学分支都不能完全依靠公理推演，而且不
能保证自己内部没有矛盾. 哥德尔定理被认为是所有数学
定理中最重要的定理之一.
、挝u
<:Ji){ 
I 
~M7 
-
5第二叫九何由二
I
，问
:知能概述
几何定值，是指变化的图形中某些几何元素的几何量(如定长、定角、定
比等)保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系(如定点、定线、
定方向等)不变.
解几何定值问题的一般步骤是:
分清问题的定量及变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先
探求出定值，再给出一般情况下的证明.
倒1
如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST
的中点
，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证:不管ST 滑到什么位置，ζ SPM
是一定角.
( 加拿大数学奥林匹克竞赛题)
鹏题思路
定长的弦所对的弧、圆心角也是定值，
应探讨ζ SPM 与这些定值的关系.
F十\
草工)
9静巳丘鳞
数学家因为对发
现的纯粹爱好和其对
脑力劳动产品的关的
欣赏，创造了抽象和
理想化的真理.
一一卡迈查尔
不动点定理
一个曲面在某种
扭曲变形中，曲面上
至少有一个点保持
不动.
这是由荷兰数学
家布劳威尔(1881
19 6 6) 于
191 0 年最早
证明的，这个看似抽
象的结论不仅在数学
上极为有用，而且被
广泛应用于物理学、
经济学等领域，并取
定值问题的结构
特点，在于题设和结
论中既有不变的几何
量，注意挖掘那些隐
含着的定量及交量，
这是分析和解决定值
。~~~
( 丸每编)
1坛，何
食
i':?
食
食
食，传
食
倒2
如图，已知等边6ABC 内接于圆，在劣弧AB上取异于A
，B 的点
M ，设直线AC 与BM 相交于点K
，直线CB 与AM 相交于点N . 证明:线段
AK 和BN 的积与M 点的选择无关.
解题思路
即证AK' BN 为定值，圆的半径、等
边6ABC 的边长皆为定值，猜测AK
' BN 应与这些
定值有关联.
(湖北省竞赛题)
C 
倒3
设H 是等腰L:，ABC 的垂心，在底边BC 保持不变的情况下，让顶
点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积S6ABC
• S6 HBC 的值是变小?变大?
还是不变? 证明你的结论.
(全国初中数学联赛题)
踹题思路
当ζ BAC = 90 0 , A 与H 重合，S 6 ABC • 
S 〈HR「= | -LAB2 |2= i BC\ 当ζBAC = 600 , S M IBC 
6 H比
\ 2' --) 
16 
~S叫S^脏
- SAH
= i(SA脑)2 = 斗í ! BC2时ooì
2 = 
儿
A剧ι
凸A且
6.HBC
3 '~6ABC
' 
3 \ 2 - -
~... _- ) 
_l_BC 
16 
猜
÷扫BC 22 
f 1法
A 
B 
D 
C 
第
24
ì井
几何定值
探索出定值是解
定位问题的关键，这
是因为，若探求出定
值，则解题目标明确
，
定值问题就转化为一
般的几何证明问题.
探求定值的基本
方法有:
(1)特殊位直法，
即从图形运动处于特
殊位直时求得定值;
( 2) 极端位直法，
即运用运动变化观点
考察图形运动变化至
极限位直时的定值;
(3 ) 直接计算法，
即从一般位直的图形
中求出定值.
，';::"、I~~、
食
，传为
*
食女
食
食女
倒4
如图
，A 为①0 外一点，过点A 作①0 的割
线1 与①O 交于点B
，C ，点B' 为点B 关于OA 的对称
点.证明:OA 与CB' 的交点M 的位置与直线l 的选择
无关.
(白俄罗斯数学竞赛题)
A 
篇题思路设①O 半径为R ，则R ，OA 的值是确定的，要证"OA 与CB'
的交点M 的位置与直线J 的选择无关"，即用R ，OA 来表示OM 即可.考察1
与①0 的特殊位置关系，确定R ，OA ，OM 的具体关系，为证明寻找方向.
倒5
如图，已知等边6ABC 内接于半径为
1 的圆
。，P 是①O 上的任意一点，求证:PA 2 + PB2 + PC2 为定
值.
给析与麟
当P 点与C 点重合时，PA 2 + PB 2 +
PC2 = 2BC2 为定值，下面就一般情形证明.
ζ B PC =120 0 ，在6BPC 中，由余弦定理得BC2 =
PB2 + PC2•
2PB • PCcosζ BPC ， 
即PB 2 + PC2 十PB. PC=BC2, 
又由托勒密定理得BC. PA=PB. AC+ PC. AB, 
而AB=BC=AC ，:. PA=PB+PC, 
从而PA 2 + PB 2 + PC2 =(PB + PC) 2 十PB 2 + PC2
=2(PB 2 + PC2 十PB • PC) 
=2BC2 =2X (.)3) 2 = 6. 
故PA 2 + PB2 + PC2 为定值.
倒6
如图，已知A ，B 是平面上的两个定点，C 是位于AB 一侧的一个
动点，分别以AC ，BC 为边在6ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG. 求
证:不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变.
(四川省竞赛题)
全贯主堕先从特殊情况出发4 当6AβC 是等腰直角三角形时，点P
与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB 的距离为÷AB ，
如图①所示.
下面就一般情况来证明上面的结论(如图②所示) . 
过C ，E ，G 分别作直线AB 的垂线CH ，EM ，GN ，垂足分别是H ，M ，N.
容易证明6AEM旦6CAH ，6BGN 旦6CBH. 从而有AM=CH=BN ，
金三
学科精英大视野系列丛书
更一般地，数学
中有如下常见的定论
问题:定点、定线、定
值、定位、定形、定
式等.
"咬定青山不放
松，立根原在破岩中"
方程的同解变
形、代数式的恒等变
形、图形交换下的不
变量与不变性、几何
中的定值等，动中觅
静，以静制动，不变量
与不变性是数学的内
在追求.
物理学关注动量
守恒、能量守恒，化学
反应方程式遵守质量
守恒定律，经济学中
遵循产销平衡等.
在运动变化的世
界中，寻找不变量和
不变性是人类的理性
追求.
~~~ 
( 丸每缉)
1号食
食
1号，传
食
齿，传
食
EM=AH ，GN=B H. 这样，线段AB 的中点。也是线段MN 的中点. 连接
op ，则OP 是梯形EMNG 的中位线，从而OP _lAB ,OP= ~ CEM斗GN)=
÷(AH十BH)= ~AB 所以，不论点C 在AB 同一侧的位置如何，EG 中点
P 的位置不变.
D 
/' 
E垒。G
E 
: '\... 
/::~为G
A 
。
B 
M 
A 
OH B 
图①
图②
一类定值问题的发现
平面几何虽历经二千多年的发展，一代代平面几何爱好者探索发现了
无数如宝石般弥足珍贵的定理，但意外的发现常发生在某个转角处.
例7
如图，已知①0 是等边6A I A z儿的外接圆
，P
__.6_ 
是AIA z 上任一点. 求证: PA l + PAz= PA 3 .
/ 
/1 \ \ 
由问题可得如下结论:
\ / 
å \ ! 
P A 1 + P Az 
1 .>.L r'_"~ 
A:\::: i ;;;:;J'A, 
=一为定值
.~ζ二/
PA 1+PAz+ PA 3 
2 -"''''-= . 
P-
提出问题
如图①、②，若点P 是正四边形、正五边形外接圆上任意一
点，这个比值还是定值吗?恒为÷吗?
A. 
图①
囱②
猜想
如果点P 是正n 边形外接圆①0 的A
I A z 上任意一点，那么
PA 1 + PA 
a 
I 1. r1. 2
a
为定值.即正多边形外接圆上任意一点到与它
相邻两个顶点距离之和与该点到正多边形各顶点距离之和的比值为定值.
t 217. I 
气4一、
第
24 讲
几何E 僵
l 
布劳威尔(1 881
1 966) 荷兰数学家，拓
扑学的奠基人，他的突
出贡献是建立布劳威
尔不动点定理以及证
明维数的拓扑不变性.
布劳威尔把数学看作
心灵的自由创造，在博
士论文《论数学基础》
中开始建立直觉主义
的数学哲学.
在数学中
，寻找
未知曲线、未知曲面、
未知数串等问题，都
可转化为寻找不动点
问题.
不动点理论在博
弈论、经济学等领域
也应用广泛.
&A~1'Ií:\ 
食
食女
食
食
3号
，传
食合
中
一
1.如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD 上任
PA+PC 
意一点，求证.-一一一一为定值.
PB 
2. 如图，内接于①0 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD
垂直相交于点K
，设①0 的半径为R
，求证:
(1) AK 2 +BK 2 十CK 2 +DK 2 是定值;
P 
(第
1 题)
(2) AB 2 +BC2 +CD 2 +DA 2 是定值.
3.
如图，设P 为正6ABC 内部任意一点，自P 点分别向6ABC 的三条高AD ，
BE ，CF 引垂线，设垂足分别为L ，M ，N ，求证:AL+BM十CN 是一个定值.
(贵州省竞赛题)
A 
A 
C 
B 
(第2 题)
(第3 题)
(第4 题)
4. 如图，在正方形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点M 和K
，在线段MD
上取点p ，使得AM=AK ，ζ PCD= ζ PKA ，证明:ζAPM 是定角.
(苏联中学生数学奥林匹克竞赛题)
5. 如图，点M ，N 是以定长AB 为直径的半圆上的两个定点.试证明:不论点
P 在直径上移动到何处，tanζAMp. tanζBNP 为定值.
(安徽省竞赛题)
f以
P 
(第5 题)
(第6 题)
(第7 题)
6. 如图，已知①0 的半径为r ，A 为圆外一点，过点A 作直线l (与AO 不同) , 
交①O 于点B
，C ，作直线
l 关于AO 的对称直线交①O 于D
，E ，求证:四
边形BCDE 两条对角线的交点为定点.
(希腊数学奥林匹克竞赛题)
7. 如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧品上的一点，求证.坐±壁的
.CP+Dp H " 
值为定值.
(克罗地亚数学奥林匹克竞赛题)
ib 
学科精英大视野系列丛书
( 丸每级)
为*
*食
J.---s. 
8. 如图，T 为等边~ABC 内任意一点，孔，飞，Tc 是由点T 分别到边BC
，
ATc+ BTa + CT 
CA
，AB 所作垂线的垂足.求证~ ... ... c ' ............._ a 
I 
.._"
...._ b 为定值.
'TT a +TTb + TTc 
(匈牙利数学奥林匹克竞赛题)
C 
A 
'B 
N .... 飞
C k二叮L一~、B
G尺以A
A@) 
T, 
o 
D 
A M 
(第8 题)
(第9 题)
( 第
11 题)
9. 如图，扇形OMN 的半径为
1 ，圆心角是90 0 • 点B 是MN 上一动点
，BA _l
OM 于点A
，BC _l ON 于点C ，点D ，E ，F ，G 分别是线段OA ,AB ,BC ,CO 
的中点
，GF 与CE 相交于点P
，DE 与AG 相交于点Q.
(1)求证:四边形EPGQ 是平行四边形;
(2) 探索当OA 的长为何值时，四边形EPGQ 是矩形;
(3) 连接PQ ，试说明3PQ2 十ON 是定值.
(河南省竞赛题)
10. 考虑所有形如y = x 2 + ax + b(a , b 为任意实数)且与坐标轴交于三个不
同点的函数，对于每个函数，这三个点确定了一个圆.证明:这些圆有一
个公共点.
(匈牙利数学竞赛题)
1 1.如图，已知A ，B 为①上的两个点
，P 为劣弧AB 上的动点
，pp' 为①0 的
一条直径.证明:AP' • BP' - AP • BP 为定值.
(匈牙利数学竞赛题)
食
食
*
食
第
2 4
ì井
几何定值
• • 
l 
倒
1
连OM ，OT ，OS ，则OM_l ST ，ζ SOM=
ζ SOT ，由ζ SPO + ζ SMO = 180 0 ，知S ，P ，O ，M 四点共
2 
园，从而L SPM= ζ SOM=仨SOT 为一定角
倒2
.: ~ABKω 6. BNA ，:. AK' BN = AB ' ( 定值) .故AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.
倒3
如图，不妨设ζ BAC 为锐角
，AD ，BE ，CF 为6.ABC 的三条高，H 为高的支点
1
.: AB = AC ，:. ζ HBD = ζ HCD = ζ HAE ，DC= iBC ，又ζ HDC = ζ CDA = 90 0 ，
2 
:. Rt6. CHDωRωCD ，得AD. DH = DC '= 士BC '
c • S6HBC = ( ~ BC • AD) ( ~ BC • DH) = 占BC 4
1
娃
一
B 
D 
(例3)
食
食
食
食
食女
食
1号
女
学科精英大视野系列丛书
当ζA 二三90 。时，同理可证上式成立.由于BC 是不变的，故S"'ABC • S"' HBC 的值为定值.
倒4
当
J 为①O 切线时，B ，C 重合得R ' = OM. OA ，猜想:OM= 茬为定值下
面证明供参考.
如图，连OC ，CD ，由ζ1= ζ 2 ，得ζ3=ζ A ，可证明6 COMω 6 AOC ，
.OM 
OC
，，~ r... ,,_ R' 
一一=一一，即OM= 一一
• OC 
OA' . I 
~ ... 
OA' 
故OA 与CB' 的支点位直与割线l 的选择无关.
PA ，十PA ，
倒7
对于图①，参见"刻意练习"中第
7 题，可得【矗
l hJ i hf t ha 
PA,+ PA, 
=一一一为定值-
PA ，十PA ，+ C ./2十l) CPA 1 十PA ，)
./2十2
A 
(例4)
• 
一…..咽.
PA+ PC 
1.延长PC 至E ，使CE =AP ，连BE ，则6BCE旦6BA P ，及6 PBE 为等腰直角三角形，故
= 
PB 
CE+ PC 
PE 
""" 
PB 
PB'
>
2. (1)作OP上BD 于P ，OQ上AC 于Q ，连AO ，则Ad = r ~ (BK-DK) f + r ~ (CK + AK) f , 
I 2 ,_.. 
_.. , I ' I 2 ,_.. , .... , I 
又AK. CK=BK' DK ，得AK ' + BK' + CK' + DK' = 4R ' 为定值.
(2) 作直径DE ，连AE ，BE ，CE ，AB'+CD'=4R '
，AD'+ BC = 4R '
，故AB ' + BC + CD' + DA' =8R ' 为
定值.
3.
如图，因为AL + BM+ CN = CAD - LD) + CBE - ME) + CCF - NF) = 3AD-
.;\ 
CLD+ ME+ NF) ，过P 点分别引BC，CA ，AB 的垂线，垂足依次为X ，y ，Z ，则显然有PX=
LD ，PY=ME ，PZ=NF ，易知PX+ py十PZ=AD. 所以AL+ BM+CN=2AD 为常量.
4.·.· ζ PKA = ζ PCD ，:. 四边形PCDK 有外接园，设此外接圆交BC 于点L ，则
CDKL 为此圆的内接四边形，连KL ，A L.
· ζ KDC = ζ DCL = 90 0 ， 
:. CDKL 为矩形，得DK = CL ，且ζ LPD = 90 0 ，从而BL=AK=AM.
:. 6 AMDG0 6 BLA ，得AL上DM ，但LP_L DM. 
:. A ，P ，L 三点共线，即ζAPM 是直角，为定值.
S. 如图，连BM ，AN ，则ζ AMB = 90 0 ，ζ ANB = 90 0 • 过P 点分别作PE // BM 交AM
PE 
于E ，PF矿AN 交BN 于F. 在Rt6PEM 和Rt6PNF 中，tanζAMp. tanζBNP=函E'
PF ", 
/ '~'I 
/~ ... 
/ .__ 
/ ___ 
PE'PF 
一一①，cot ζABM.
cotζ BAN= cotζAPE • cot ζBPF= 一一一一②. 因为
PE // BM, 
NF
'-=-"y'-' ....，...
L.__"
~..~.._ 
............L
L-.l...J~.....l. 
..........,..L.__"........L..t 
.....v.. L__ .LJ.L.... 
AE. BF ~. ~ /',J 
..I.L.J / 
B 
XD 
(第3 题)
且在/
飞"，N
二
… 
f
、、...~飞、
C 
一E 1/' 
_./;;;.二:.t'\飞
'"斗，.À-
/......
. 、牛
‘ 
飞飞
缸_-、、飞_/-_.、、且
A 
P 0 
B 
(第5 题)
AE 
AP 
NF 
PF矿AN ，所以玩E = PB = BF' 得AE • BF = ME • N F ③.比较①②③得，tanζ AMP • tan 丘BNP =
cotζABM. cotζ BAN. 因为A ，B ，M ，N 为定点，所以ζABM ，ζ BAN 为定角，故tanζAMp.
tanL三BNP 为定值.
6. 延长AO 交①O 于A' ，由对称性知四边形BCDE 的两条对角线的交点P 一定在直线AO 上.因ζ CED =
乓〉
女食
*
女食
食
食，传
食
第
24 讲
( 丸每级)
几何定值
护COD= L_A'OD ，故O ，D ，E ，P 时、共圆，有Ap . AO=AD . AE=Ad-r' ，得AP=旦二三为定值，从而.P
AO 
为定点.
7. 设正方形的边长为α ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD 有:CP
. a=AP • a 十
Bp. j2;;, DP . a=BP • a + AP. /2言，两式相加并整理得(CP 十DP)a=(AP + BP )( α+
j2;;)，从而
C 
AP+BP 
一一-一一=12- 1 为定值.
CP+DP 
8. 如图，点T 为以α 为边长的等边三角形内任一点，过点T 作A ，B ，// AB , 
B, C, // BC,C,A, // CA. 分别交B C，CA ，AB 于A"A "
B 】.B "
C ，,C, . 
易知6 TA ，A ，.6 TB,B, ，6 TC ，C，均为等边三角形，它们的高分别为T叉
，TTb •
T T_. 
13. 
A 
，13~~ , 13 
则TTu + TTb 十TT，= 
V"V A, A, + V"V TB, + V"V C, T 
2 
A 
子(州十四，+巳T)=fa ，
AT，十BTα +CT" = (ACt + Ct T) + (BA t +A, TJ+ (CB t 十B ，T b ) 
= ( TB, + ~ C, T) + (风++A ，A ，) + (A ，T+ ~ TB,) 
= ~ (BA ，十A ，A，十AF)=?a
A T，十BTa 十CTb
言G
因此，对等边6ABC 内任意一点丁，有'T"'T"
1 'T''T'中中=IF=刷Æ i1i.. 
α 
2 
9. (1)略.
(2)
当ζ CED = 90。时，口EPGQ 是矩形，设OA = 工，AB =y ，由6AEDω 6 BCE
得y'= 2x' ，又川2= 1 ，解得工=子
(3) 如图，连GE 支PQ 于0 ' ，则O'P = O'Q ，O'G = O'E . 过点P 作OC 的平行线
分别交BC ，GE 于点B' ，A'.
(第9 题)
PG 
PE GE 
2 
由6 PCFω6 PEG 得一一=一一=一一=一
PF 
PC 
FC 
l' 
2 . , _ , 
1. __ . , 
1
_~ 1 
PA' = 毛A'B' =~AB ，GA ' = ~GE = ~OA 
3"~ 
3"~' - " 
3 --
3 
:.A'O' = ~ GE- GA' = ~ω 
在Rt6PA 'O' 中，PO' 2 = PA" + A'O" , 
PQ' 
AB' , OA' 
即一一=一一+ 一一，又AB' 十OA'= l ，
4 
9 
36 
:. 3叫= AB' 十÷ ，
句
1.
4 
:. OA ' 十3 PQ' = OA ' 十(AB' 十
) = 一
3 ' 
3 . 
10. 每个团均过点(O ，l)，P(O ，l) 即为这个公共点.易知b手O ，x' 十ax 十b = O 有两个不同的实根，记为
U
姐
一
食
食女
食
食女
，传
，传女
学科精英大视野系列丛书
• 
工1 <码，函数与坐标轴三个交点为A (x 1 ,0) ，B(码
，0) ,C(O ,b). 
若b> O ，则X 1 x2 =b> 0 ，IOAI • IOBI = Ix1 11x, I = Ix[x, 1 = 叫工2= b= lopl lOCI, 
·
且点A ，B 在点。同侧，点C ，P 在点。同侧，
由切割线定理的逆定理得，点P 在6ABC 的外接圆上.
若b<O ，同理可证点P 在6ABC 的外接圆上.
故P(O ，l) 为所有圆的公共点.
1 1.如图，连AB ，作PHj_AB 于点H ，P'H ' 上AB 于点H ' .
由6PAH∞6 PP'B 得，PA. PB=PH. pp' , 
由6 P'H'B∞6 P'AP 得，P'B • P'A =P'H' • PP'. 
作OHo j_AB 于点H o
' 设pp' 与AB 交于点T ，①0 的半径为R ，
则P'H' - PH = (P'T- PT) sinζ P'TH ' = [(R + OT) 一( R - OT>J sinζ P ' TH' = 
20TsinL三P'TH' = 20Ho ( 定值) . 
故AP' • BP'-AP. BP=4R' OHo 为定值.
(第
11 题)
瞥，巳主摸
'咽，
丽画画区
认识数学之美的
人对数学充满激情和
渴望，还没有其他任
何一门人类思维的产
物能像数学这样.
赫代
海森伯(1 90 1- 1 976)
，德国著名物理学家，因在量子
力学上提出的"不确定性原理" 而闻名
，即人们并不能在同
一时刻准确地测量到粒子运动的位置和速度，1932 年获
诺贝尔物理学奖. 他曾说
" 当大自然把我们引向一个前所
未见的和异常美丽的数学形式时，我们将不得不相信它们
是真的，它们揭示了大自然的奥秘"
飞平\ζ 
第25 讲点的轨迹
t 
. ------_. 
阿波罗尼斯圆
如图，设A ，B 是
两个定点
，a ，b 是已
知两条线段，α 子丘b ，动
PA 
奇、P 适合关系式
= 
PB 
是
数
他
是
迹
」
腊
在
制
轨
\
」
'
'
'
'
'
」
希
斯
圳
的
\
、
一
，
J
U
古
尼
如
占
叮
…
-
…
一
由
罗
陡
P
，
，
\
1
4
B
\
」
是
波
市
阶
园
t
y
'
'
'「
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」
这
阿
作
J
个
/
一
家
著
a
-
b
-
r
学
的
知能概述
面动成体、线动成面、点动成线，点是构成图形运动的最基本元素.
在几何中，把具有某性质的运动的点组成的集合叫作具有这种性质的
点的轨迹.
因点运动而生成的轨迹基本形式是:
L
如图①，到线段两端距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线.
2 _
如图②，到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长
为半径的圆.
3 .
如图③，对已知线段的张角等于定角α(0 0 <α<180 0 ) 的点的轨迹，是
以已知线段为弦，所含圆周角等于α 的两段弓形弧.
4.
如图④，和一条已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于已知
直线且位于直线两侧井和这条直线的距离等于定长的两条平行线.
5. 如图⑤，与过定点的已知直线夹角为定角的点的轨迹，是以定点为端
点的一条射线.
___h一一一
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
a，气
士
All-
-) 
~: 
' 
CàI'1í:.\I::.t\ 
图⑤
图④
. 22法
图③
国②
固①
食
食
1与'
食
*
1-坛
食
食女
倒1
如图，已知正方形ABCD 的边长为2 ，E 是边BC 上的动点，BF上AE
交CD 于点F ，垂足为G ，连接CG . 下列说法: ①AG>GE; ②AE=BF;
③点G 运动的路径长为π; ④CG 的最小值为J5 -1.其中正确的说法
是
(把所有正确说法的序号填上) . 
(湖北省成宁市中考题)
篇题思路
因ζAGB=90 。为定角，故可确定点G 因点
f 
D 
E 运动而形成的路径形态，这是解决问题③④的关键
1\
1 
|才F
|G/ I 
B 
E 
C 
倒2
如图，在等腰Rt~ABC 中
，AC = BC=2 .j2，点P 在以斜边AB 为
直径的半圆长上，M 为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点
M 运动的路径长是(
). 
A. .j2πB.π 
C. 2.j2 
D. 2 
(湖北省武汉市中考题)
解题思路
问题中的不变量是什么?显性的、隐性
P 
的中点引发怎样的联想?由此确定M 点轨迹.
A 
C 
倒3
阅读理解
我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫作符合这个条件的点
的轨迹.
例如:角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹.
问题:如图①，已知EF 为~ABC 的中位线，M 是边BC 上一动点，连接
AM 交EF 于点p
，那么动点P 为线段AM 的中点.
理由:·.·线段EF 为~ABC 的中位线
，:.EF// BC , 
由平行线分线段成比例得动点P 为线段AM 的中点.
由此你得到动点P 的运动轨迹是:
知识应用
如图②，已知E ，F 为等边~ABC 边AB
，AC 上的动点，连EF; 若AF=
BE ，且等边~ABC 的边长为8. 求线段EF 中点Q 的运动轨迹的长.
拓展提高
如图③，P 为线段AB 上一动点(点P 不与点A
，B 重合) ，在线段AB 的
同侧分别作等边~APC 和等边~PBD ，连接AD ，BC ，交点为Q.
(1)求ζAQB 的度数;
(2) 若AB=6 ，求动点Q 运动轨迹的长.
(山东省日照市中考题)
8 
学科精英大视野系列丛书
解点的轨迹这类
问题的关键是运用动
态思维，善于从特殊
情形、极端情形切入，
化动为静，把握运动
中的不变量，比照运
动状态，细心体会，寻
找轨迹.
~~~ 
B 
( 丸每银)
A 
F 
M 
C 
B 
C 
A 
n 
女食
，传
古食
食
ï坛，曲
，曾
D 
图①
图②
ιa
图③
B 
解题思路
对于图②，通过作出等边三角形基本辅助线，把等线段集中
于一个常见图形中，寻找点Q 运动轨迹.
倒4
如图，正方形ABCD 的边长为4 ，E 为BC 上一点，且BE = l
，F 为
AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边6 EFG ，连接C口，
求CG 的最小值.
(江苏省宿迁市中考题)
鹏题思路
点G 因点F 运动而改变位置.先发散思
A 
D 
维，确定点G 的运动轨迹，进而求CG 的最小值，是一个
A-二
门
| 
自然的分析方法
1\
7\ 1 
(1)如图①，通过特殊位置确定;
1 \ 
/ 
\ 
1 
(2) 如图②，③，借助几何变换确定;
IV 
\J 
(3) 如图④，利用代数法确定
B
E 
C 
Y 
D A 
D A 
D 
G I 
F卜~二
F '
1 
F 
|\ // \I 
Q 
F以G，
F, 
B 
E 
C E' B E 
C B E 
C 
B 1 E 
C X 
(点E' 为点E关
(作等边6BB' E ，将
f设点F(O ，t) ，
则点G的
于AB的对称点)
6BFE绕点E旋转60
0
) 生标为(t号t ，÷号)]
图①
图②
图③
图④
例5
如图，将边长为α 的正六边形A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 在直线J 上由图①
的位置按顺时针方向向右做无滑动滚动，当A j 第一次滚动到图②位置时，
求点儿所经过的路径的长.
(广西壮族自治区桂林市中考题)
A, 
A, 
V
, 
A, 
A6 
A, 
A, 
图①
图②
份析与融
每一次滚动都是正六边形绕点、以一定的长为半径旋转定
角，正百豆豆的路径的长是弧长，解题的关键是深入分析每次滚动.
兰巧地
第
25 讲
点的轨迹
解一般动态几何
问题时，我们习惯于
用运动与变化的视角
去认识、研究图形，注
重从整体角度把握
图形.
而解图形翻滚问
题，我们却需要更透
彻分析运动细节.
细节是一种长期
潜心的准备，是一份
日积月累的积淀，是
一个精心雕琢的
过程.
例
5 的解答就如
电影的慢镜头，通过
定格、分析细节而
获解.rì:.\l'if:l&à 
食
食为
食
食1:4
食
食为
A6 Aμ ; ) 
A~ 
图④
A, 
A, A μ;) A 了
A ，
Aμ ; ) A; 
图⑤
图⑥
图⑦
根据题意，整个滚动过程可以看作正六边形A j A 2 A 3 A 4 A S A 6 分别以
A6 ,As ,A4 
，A 3 和A 2 点为旋转中心，以60 。角为旋转角顺时针做了5 次旋转，
设每次旋转后的正六边形为A~A ~ A ~ A : A ~ A ~
，如图③~⑦，顶点A j 在整个
旋转过程中经过的路径长为5 个图形中A j A'j 之和.图③和图⑦中AjA'j = 
t-2…十a ，图④和图⑥中易求州叩3 =J3a ,:. ~ 
= ~ X 
川α牛α ，图⑤中，川丸.~寸X2π- 叶πa
2 
, 2 ../3 
,
2 
整个滚动过程中顶点A ，所经过的路程的长为
m 十」三rra+ :: rra = 
J
I/ I-.....L..... ........H -J......I-I
"
....L. H -J......../...I
3
.. ~1 
3 
.......
, 3 
4+2 J3 
3一πα.
思维起点
合理选择思维起点，才能有效组织演绎推理活动，顺利完成由条件到结
论的解题过程，寻找思维起点的常见路径有:从条件中寻找，从结论中寻找，
从观察和实验中寻找，模式识别.
由问题本身透露的信息，展开思维，并对当前成果不断反馈与评价，控
制解题方向或重新选择解题思路，是一种有效的思考方法.
倒6
如图①，在Rt6ABC 中，ζ C = 90 0 ,AC = 6 , BC= 8 ，动点P 从点
A 开始沿边AC 向点C 以每秒1 个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开
始沿边CB 向点B 以每秒2 个单位长度的速度运动，过点P 作PD // BC ，交
AB 于点D ，连接PQ. 点P ，Q 分别从点A
，C 同时出发，当其中一点到达端
点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t注0 ) . 
B KJ 
C -P 
A 
C -P 
A 
图①图②
(1)直接用含t 的代数式分别表示:QB=
,PD= 
(2) 是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形?若存在，求出t 的值;若不
存在，说明理由.并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动) ，使四边形PDBQ 在
某一时刻为菱形，求点Q 的速度.
(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长.
给析与鹏
(1)、(2) 略.
在2
学科精英大视野系列丛书
恰当引入参数
t ，
把动点P( 工，y) 的坐
标用含
t 的代数式表
示，I.!p x = f ( t) , y = 
g(t) ，消去参数
t ，得
到工，y 的函数关系
式，从而确定动点运
动轨迹，这是解点的
轨迹问题行之有效的
方法.
Ct.\1'J:.\~、
( 丸每缎)
讲
「
h
u
第
4
月
-R 
食
食
-R 
+
R
A
引
古
飞
f
吨
飞
，步
对于(3)
，线段PQ 中点M 所经过的路径长即为PQ 在t= O 和t=4 两
个时刻的中点的连线段的长度，为什么?作出一般情形下PQ 中点，解题的
关键是证明三点共线.
理主1
如图③，以C 为原点，以AC 所在直线为
工轴，建立平面直角坐标系.
依题意，可知0 :::;;; t :::;;;4 ，当t= O 时，点M] 的坐标为
(3 ,0) ; 
当t=4 时，点M2 的坐标为(1，4).
设直线M] M2 的解析式为y = kx + b ，
( 3h+叫解得广-2 ，
走十b =4 .
" ," ,., l b=6. 
二直线M] MZ 的解析式为y= -2x+6. 
.. 点Q(0 ，2t) ,P(6-t ,0) , 
在运动过程中，线段PQ 中点M 3 的坐标为(平t)
把工=ETI代入y= -2x+6 ，得y=-2X 于+ 6=t
二点M3 在直线M]M2 上.
过点M2 作M2 N _Lx 轴于点N ，则M2 N=4 ，M ] N = 2 .
λ M] M2 = 2 J5. 
二线段PQ 中点M 所经过的路径长为2 J5单位长度.
解法2
如图④，设E 是AC 的中点，连ME.
当
t =4 时，点Q 与点B 重合，运动停止.
设此时PQ 的中点为F ，连EF .
过点M 作MN _LAC ，垂足为N ，则MN // BC. 
:. 6 PMNω6 PQC . 
• MN PN 
P几f
儿tJN
PN 
1 
. 一一二一一= 一一，即一一=一一=
QC 
PC 
PQ' >'" 2t 
6 - t 
2' 
:. MN = t ，PN=3 一÷t ，
叶PC- PN = (6 - t) 一(3一忖= 3 ÷t, 
( ~ 
1 ì 
1 
:. EN = CE - CN = 3 一13 一
: tl =-::- t .
~~ 
2~
) 
2"' 
MN 
'. tanL乙MEN = ':':~: = 2, 
EN 
.: ta nζMEN 的值不变，
.. 点M 在直线EF 上.
过F 作FH _LAC ，垂足为H . 则EH = 2 ，FH =4 . :.EF二2 J5.
.. 当
t = O 时，点M 与点E 重合; 当
t = 4 时，点M 与点F 重合.
二线段PQ 中点M 所经过的路径长为2 J5单位长度.
t写〉刻意练习
1.
如图，在直角坐标系中，点A ，B 分别在z 轴、y 轴上，点A 的坐标为( - 1，0) ，
ζABO= 300 ，线段PQ 的端点P 从点。出发，沿60BA 的边按。-B→A→0
运动一周，同时另一端点Q 随之在z 轴的非负半轴上运动，PQ=J3.
f
a
g
a
耶
L
咽
巧
，
，
n
k
飞
一
点的轨迦
4却理拳之类
X 
德国著名物理学
家海森伯曾说"在精
密科学中，丝毫不亚于
在艺术中，美是启发和
明辨的最重要的源泉.
我感到，透过原子现象
的外表，我看到了一个
美丽的内部结构，当想
到大自然如此慷慨地
将珍贵的数学结构展
现在我眼前时，我几乎
陶醉了
"
~~~ 
食
食
1纭
*
食女
食
食食
(1)当点P 从点。运动到点B 时，点Q 的运动路程为一一一一一·
(2) 当点P 按0→B→A→0 运动一周时，点Q 运动的总路程为一一一一·
(浙江省嘉兴市中考题)
A C P 
D B 
IH 
(第1 题)
(第2 题)
2. 如图，四边形ABHK 是边长为6 的正方形，点C ，D 在边AB 上，且AC=DB=
1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，AB 为边在线段AB 的同侧作正方
形AMNP 和正方形BRQP ，E ，F 分别为MN ，QR 的中点，连EF ，设EF 的中
点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为
(河南省竞赛题)
3.
如图，在矩形ABCD 中，AB=4 ，ζDCA =30 0 ，点F 是对角线AC 上的一
个动点，连接DF ，以DF 为斜边作ζ DFE=30。的直角三角形DEF ，使点
E 和点A 位于DF 两侧，点F 从点A 到点C 的运动过程中，点E 的运动
路径长是
D 
B 
A 
C 
题
考
C
…
BD 
贵
A
J
，
、
、
BIl--
\P+/ 
一
-
·
o
一
A
/
l
l
l
飞
(第3 题)
(第4 题)
(第5 题)
4. 如图，P 为①0 的弦AB 上的点，AP = m ，PB = n ，且m> n. 当AB 沿①0
运动一周时，点P 的轨迹为曲线C. 若①0 与曲线C 之间所围成的图形面
积为(m 2 -n2 )1'(，则旦的值为
n 
(上海市竞赛题)
5. 如图，在等边!:，ABC 中，AB = 10 , AD = 4 ,AE = 2 ，点P 从点E 出发，沿
EB 向点B 运动，以PD 为边，在PD 右侧按如图方式作等边!:'PFD ，当
点P 从点E 运动到点B 时，点F 运动的路径长是(
) . 
A. 8 
B. 10 
C. 3πD. 
5π 
(" 希望杯"邀请赛试题)
6. 如图①是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中!:，ABC 内接于①G ，AB
是①G 的直径，AB = 6 ，AC = 2 . 现将制作的几何探究工具放在平面直角
坐标系中(如图②) ，然后点A 在射线Ox 上由点。开始向右滑动，点B
在射线Oy 上也随之向点。滑动(如图③) ，当点B 滑动至与点。重合时
运动结束，在整个运动过程中，点C 运动的路径长是(
). 
B
咀
图①
Y 
B 
y 
。I A -x 
图②
(第6 题)
图③
载:2
学科精英大视野系列丛书
n.\Gt.\~ 
'Í~(食
食
( 丸每缉)
1号食
，传
为食
A.4 
B.6 
C.4 J2- 2 
D.I0-4 J2 
(江苏省扬州市中考试题)
7. 如图，等腰Rt~ABC 中，斜边AB 的长为2 ，0 为AB 的中点，P 为AC 边
上的动点
，OQ上OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动
到点C 时，点M 所经过的路径长为(
). 
A 子π
Bfπ 
C. 1 
D. 2 
( 湖北省荆门市中考题)
C 
A 
B 
C 
D 
(第7 题)
( 第8 题)
N 
B 
8. 如图
，AB 是①0 的直径，M ，N 是AB 上两点(异于A ，B)
，C 是MN 上一动
点，ζACB 的平分线交①O 于点D
，ζ BAC 的平分线交CD 于点E. 当点
C 从点M 运动到点N 时，则C ，E 两点的运动路径长的比是(
). 
A d 
B?c?Df 
( 湖北省武汉市中考题)
9.
已知~ABC 是等腰直角三角形，AC = BC=2 ，D 是边AB 上一动点(A ，B
两点除外) ，将~ CAD 绕点C 按逆时针方向旋转角α 得到~ CEF ，其中点
E 是点A 的对应点，点F 是点D 的对应点.
J、F
在
L
A 
D 
G 
B(E)
〓二τ?
飞
图①
图②
( 第9 题)
(1)如图①，当α = 90 。时，G 是边AB 上一点，且BG = AD ，连接GF. 求
证:GF // AC;
(2) 如图②，当90 0 :s二α~ 180 。时
，AE 与DF 相交于点M .
①当点M 与点C
，D 不重合时，连接CM ，求ζ CMD 的度数;
②设D 为边AB 的中点，当α 从90。变化到1创。时，求点M 运动的路径长.
( 江苏省宿迁市中考题)
10. 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究.已知AB = 8.
问题思考:
如图①，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，BP 为边在同侧作
正方形APDC 与正方形PBFE.
D 
C 
E 
K l 
E 
H 
F 
A 
P 
A 
P 
B 
A M 
P 
图①
图②
图③
(第
10 题)
22 立在
食第25 讲点的轨迹
精-c主篝
泪ø e 
--盲酬咽配
~~~ 
食
食
1号
食
食女
食
食女
学科精英大视野系列丛书
(1)在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗?如果是，求出;若
不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.
将巳阜赁
(2) 分别连AD ，DF ，AF ，AF 交DP 于点K ，当点P 运动时，在6APK
，
6ADK ，6DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形?请说
明理由.
潭......毡-区
问题拓展:
(3) 如图②，以AB 为边作正方形ABCD
，动点P ，Q 在正方形ABCD 的
边上运动，且PQ=8. 若点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路，
向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中
，PQ 的中点。所经过
的路径的长.
(4) 如图③，在"问题思考"中，若，部ð ，N 是线段AB 上的两点，且AM=BN=
1 ，点G ，H 分别是边CD ，EF 的中点.请直接写出点P 从M 到N 的运动
过程中，GH 的中点。所经过的路径的长及OM+OB 的最小值.
(江苏省连云港市中考题)
11 .
如图
，AB 为①0 的直径，且AB=4 ，点C 在半圆上，OC _L AB ，垂足为点
O ，P 为半圆上任意一点，过P 点作PE _l OC 于点E. 设60PE 的内心
为M ，连接OM ，PM.
(1)求ζ OMP 的度数.
(2) 当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长.
(贵州省贵阳市中考题)
y 
C 
。
工
B 
(第
11 题)
(第
12 题)
12.
如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点A Cl O ，8) 为圆心的①A 与y 轴相
切于D 点，点B 的坐标是(0 ，16) ，点C 是①A 上的任一点，点M 是线段
BC 的中点，求线段OM 的取值范围.
(世界数学团体锦标赛试题)
• 
. . .黯
.
倒1
②④ 当点E 与点C 重合时，点F 与点D 重合时
，AG = GE; 点G 在以AB
1. 
f飞
f飞
90π X 1π
为直径的BG 上运动
，BG=
U uís'o' 一-2; 连OC ，交半圆。于点G ，此时CG 的长度最小，
最小值为OC一α'] =15- 1.
例2
B 设。为AB 中点，连OC ，取OC 中点Q ，则MQ= ~ OP= l，故点M 的运
2 
动轨迹是以点Q 为圆心，1 为半径的半圆.
倒3
阅读理解
动点P 的轨迹是: 6ABC 的中位线
最:30
B 
(例
1)
讲
ζ
υ
 
第
食
食
食
食
食
-
R
女
ι
λ
 
ι
川
( 丸辈革级)
点的轨迦
知识应用
过点E 作EM // AC 交BC 于点M ，连接FM ，AM ，得EM= BE ，
λ EM_lLAF ，四边形AEMF 为平行四边形.
': Q 为EF 中点，λ Q 为AM 中点.
二Q 点的轨迹是DABC 的中位线，轨迹长为
4 .
拓展提高
(1 ) ζ AQB = 1 20 。
( 2 ) 点Q 的轨迹是弦AB 所对应的一段劣弧(不包括端点A ，B )
，设劣弧AB 所在因为①0 ，ζ AOB =
~v
，L12 0 
r> n 
4 ./3:π4 ./3 
12 0 0 ，AB 长为一一π
• OB = 一一一，即动点Q 的运动轨迹长为一一π.
180.. 
- -
3 
例4
由图②知FE'= FE= FG ，点E'
，E ，G 在以点F 为圆心、FE 为半径的困上. E' 为定点，ζGE'E =
iζGFE=30 。为定值，故点G 的运动路径是一条线段.当CG上GE' 时，CG 的值最小，最小值为
CE'= 
1 ~ ~， 
5 
2 - -
2' 
• • 
1. (1 )./3 
( 2) 4 
对于(1 )
，Q 点运动路程为PQ 的长度;
对于(2 )
，Q 点运动的总路程为./3+ 1 + 2- ./3+ 1=4. 
2. 2 
设KH 中点为S ，连PE ，ES ，SF ，PF ，PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，二G 为PS 的
中点，即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运动轨迹为D CSD 的中位线.
': CD = AB - AC- BD = 6- 1- 1=4 , 
λ 也G 移动的路径长为÷ × 4 = 2
D 
C(F) 
E ' 
D 
8 
R 
九
也
Y
s
t
E 
A 
B 
A(F) 
H 
K 
( 第4 题)
的./3y +
2 2 
生主
女口图，点E 的运动路径长为线段EE ' ,EE' = J DE2 + DE' 2 = ./
1 一了|
(第3 题)
(第
2 题)
34f 
一
1
, 
, 
, 
• I~ 
1 
如图，过点。作OM _l AB 于点M ，则MB = : (m 十η ) ,MP = ~ (m - n) ,OB2 = O~ 十
2 ' ''. ' .. ''....2 
t(m+认Op 2 = OM2 十~ ( m
η ) 2
，OM ，OP 为定值，曲线C 是以0 为圆心、OP 为半径的圆，COB2 
4 
OP 2 ) π = Cm 2 
η 2 ) π ，代入得m 2 - mn - n 2 =0. 
5. A 
连DE ，则DE _lAB ，过点F 作FH _l AC 于点H ，得D DEP旦DFHD ，FH = DE = 2 布，故
点F 运动的路径为一条线段，此线段到AC 的距离为
2 ./3 ，点F 运动的路径长为
8 .
点C 运动路线是直线，路线长为( 6-2 ) + (6 - 4 J2) = 10-4 J2. 
\23址
4. 1 +J5 
-
2 
6. D 
。IA
X 
起始位置→
，传
食言与
食
食女
，传
，传女
YI 
y , 
最远位置→
y 
'A X 
终点位置
A 
学科精英大视野系列丛书
• 
B 
(第6 题)
(第7 题)
7. C 
连接OC ，作PE l_AB 于点E ，MH l_AB 于点H
，QFl_ AB 于点F ，则6AOP旦6COQ ，AP =
J2/f"""I/"'\ I 
n
.......,. , 
J2 n......... 
_, 
..ITT 
1 f
T"'\T""'O 
I 
........T""'I" 
1 
CQ ，PE+QF= 亏(CQ + BQ) =vn~ BC=l ，MH= 一(PE + QF)=
~ ，即或M 到AB 的距离为言，点M 的
2~ -
~，..~~. 
2"~''''''' 
2 
运动路径为6ABC 的中位线.
8. A 
如图，连接MO ，NO ，BE ，设①0 半径为
r ，则ζAEB = 13 5 0 ，ζ DAE =
45 0 +ζ EAB=45 0 + ζ EAC ， 
. ζ DAE = ζ DEA ，DE=DA= J20A = J2r. 
以点D 为圆心，以DA 的长为半径作①D ，则点E 在①D 上，连接DM ，
DN ，分别交①D 于点H
，G ，则点C 的运动路径为MN
，点E 的运动路径为HG ，
(主απ J2r
①0 中，MN* l = ~~~ ，8 D 中，H印I
气E厂，则川两点的运动路径长
απr 
180 
的比为τ一一一一=疗，故选A.
言απ J2r
180 
9. 
(1)咯.
(2) ①由6CNAω6MND ，6CNMω6AND ，得ζ DMC = 135 0 •
②
.:D 是等腰直角6ABC 斜边AB 的中点，
λ AD =BD ，CD l_AB . 由①6CNMω6AND 得ζ CMN = ζ CDA =90 0 •
取AC 的中点。，连OM ，OD.
.: 6ACD 是等腰直角三角形，
:.OD= ~ AC= l，L C
ζ
L CωO∞D =ω 
同阳理，得O例
M=÷护AC归
=斗1 
二点M 在以AC 为直径的圆上.
当α=90 。时，M 在D 处.
当α=180 。时，M 在C 处-
:.M 点运动路径为弧CD.
.当α 从9 0。变化到180。时，点M 运动路径长为旦旦二l= l_ π
180 
2 " 
10.
问题思考:
(1)当点P 运动时，这两个正方形的面积之和不是定值.
设AP = 工，这两个正方形的面积之和为y ，则BP=8-x.
所以y=x 2 + (8 →X)2 =2x2 - 16x+ 64=2( x-4)2 十32 .
所以当工=4 时，这两个正方形的面积之和y 有最小值为
32.
(2) 6APK 与6 DFK 是面积始终相等的三角形.
由(1)知:AP= 工，BP=8-x.
当
O <x运4 时，因为EF //AP ，所以6A PKω6FEK.
-k食
食
( 丸每缎)
食*
食
女，传
食
第
25 讲点的轨迦
所以PK
生P 所以PK = 豆豆二丑，DK=x
豆豆二豆-z2
E K 
E F ' "
1 ". , " 
8' 
L/ " 
-
.L 
8 
- 8 . 
所以SMK=÷AP × PK=占x2 (8-川ArjDK × FE= 占x2 (8-x) 
S6ADK=~ DK X AP = ，1~x3 所以S ^ AP~ = S ^nr.1/' 
~~n 
~---
---
16
凸AJ-' K
......，L:'::. VI. κ 
当
4<x< 8 时，同理可得S6APK =S6 DFK' 
综上所述，6APK 与6 DFK 是面积始终相等的三角形.
问题拓展:
(3) 当点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路，向点D 运动时，不妨设点Q 在DA 边上，
若点P 在点A
，点Q 在点D ，此时PQ 的中点。即为DA 边的中点;
若点Q 在DA 边上，且不在点D ，则点P 在AB 上，且不在点A .
此时在RωPQ 中，。为PQ 的中是，所以AO= ÷PQ=4
所以点。在以A 为圆心，半径为
4 ，圆心角为
90 0的园弧上.
PQ 的中点。所经过的路径是三段半径为4 ，圆心角为
90。的圆弧.
所以PQ 的中点。所经过的路径的长为? × 拟4=6π
(4) GH 的中点。所经过的路径的长为
3 ，OM+OB 的最小值为vTIT.
11. 
(1 ) ζ OMP = 135 0 • 
(2) 如图，连接CM ，则60MC旦60MP ，ζOMC= ζOMP = 13 5 0 ，当点
P 在BC上运动时，点M 在以CO 为弦，并且所对圆周角为
45。的一段劣弧
上.过O ，M ，C 三点作①0'，连接o'C ，o'O ，在弦ω 所对的优弧上取一点G ，
连接GC ，GQ ，可得ζ CGQ= ζ180。一13 5 0 =45 0 ，则ζCo'O=900 •
12 /1.,.. 12 "\./ n 
In 
r:'I.l ~ 
I L 
1/ ,, 12 
'. 00' = "'n"OC= "'n" X2=J言，则OMC的长为巳π.
2 --
2 
同M理，当仨P 在d
石a2 上运动时，由对称四E丽丽的附长4
内'->M 所经过的路径长为24=在π
(第
11 题)
12. 
f!p 求OM 的最大值与最小值，点M 因点C 运动而运动，探寻点M 运动路径形状是解题关键，从
构造中位线切入.
如图①，连接AD ，AB ，AC ，取AB 中点N ，连
接NM ，过点N 作NQj_y 轴于Q 点，得NQ//AD.
.: A (1 0 ,8) ,B(O , 16) , 
:. AD = AC=川D = 8 ，MN = ~ AC= 5, 
NQ= ÷AD= 5 ，OQ=QD十OD =旧= 1 2 ，
二N( 5 ，12) .
.. 点N (5 ，12) 为定点，且MN =5 为定长，
二点M 在以点N(5 ，12) 为圆心、5 为半径的
圆上运动.
y 
y 
。
工
。
工
图①
图②
(第
12 题)
如图②，当直线OM 经过点N( 5 ，1 2) 时，与①N 的两个交点为Ml
，M2
' 则线段。'Ml 的长为最大佳，
线段。1M2 的长为最小值.
':ON= 13 , 
:.OMl = 18 ,OM2 =8. 
故线段OM 的取值范围是8 王三OMζ 18 .
' 233. ) 
飞、~. 
.,. 
冯
· 诺依曼及其传记《天才的拓荒者》
、也足u
'q量f
二童k 区F
在形形色色的竞争中，对应的双方
总在谋求对自己有利的最佳策略，对策
论可为决策者确定最佳策略提供强有力
的数学手段和依据. 1944 年，著名数学
家冯
· 诺依曼和经济学家摩根斯登合著
的《对策论与经济行为》一书的出版，标
志着对策论的正式诞生.
一
第26 讲自己方法
二!
护知能概述
把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式
的和的形式，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变式子的原有结构、揭示式子的非负性，是代数变
形的重要手段，是研究相等关系、讨论不等关系的常用技巧.
'
问题解决
倒1
已知实数x ，y 满足(2工十1) 2 +/+(y一旷= ÷，则x + y 的值
是
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
鹏题思路
恰当变形条件等式，确定工，y 的值.
倒2
方程3x 2 + xy + / = 3x -
2y 的非负整数解( x ，y) 的组数
为(
). 
A. 0 
B. 1 
C. 2 
D. 3 
(江苏省竞赛题)
堕堕塾些
把原方程整理为关于某个字母的→元二次方程，或另辟蹊
径，从3x 2 - 3x+xy = 一(y + 1) 2 + 1 人手.
i{，3~ 
尽管世界可以通
过理性来认识，但是
接受一个理论的准
则，归根结底是美
学的.
一一一爱因斯坦
奇点定理
1 9 1 5 年，爱因斯
坦发表了广义相对
论，广义相对论是现
代宇宙论的基础，它
还预言宇宙中存在着
一些不可思议的天
体一一" 黑洞" ，黑洞
的中心是一个物质密
度为无限大的
" 奇
占"
~&.\~ 
( 丸每缎)
11了食
~A7 
L 飞
斗、7
þ-4、
食
，传
食
食
倒3
若一个整数能够表示成x 2 + 2xy + 2/( 工，y 是整数)的形式，则称
该数为"好数"
(1)判断29 是否为好数;
(2) 写出
80 ，8 1，…
，100 中的好数;
(3) 如果m ，n 都是好数，证明:mη 也是好数.
("宗沪杯"数学竞赛题)
理堕塾些
工2+ 2xy 十2/ = Cx+ y) 2 十y 2 ，"好数"的特点是能表示为两
个整数的平方和的形式.
倒4
怎样的整数α ，b ，c 满足不等式α 2 + b2 +C2 +3<ab+3b+ 2c? 
(匈牙利数学奥林匹克竞赛题)
鹏题思路
一个不等式涉及三个未知数，怎样才能求出未知数的值?
不妨用配方法试试.
倒5
设整数α
，b ，c( α 二三b 二三c) 为三角形的三边长，满足α 2 十b 2 +C2 
ab - ac - bc = 13 ，求符合条件且周长不超过30 的三角形的个数.
(全国初中数学联赛题)
踹题思路
由已知等式可得(a - b) 2 + Cb - c) 2 十C a - c) 2 =26 ，令
7月=
a - b ，η = b -c ，则a-c = m + n ，其中m ，n 均为自然数，于是得m 2 + n2 + 
Cm 十η/ =26 ，这是解本例的关键.
倒6
求实数x ，y 的值，使得Cy_ 1) 2 + Cx+ y - 3)2 + C2x+ y -
6)2 达
到最小值.
鹏
原式=5工2 十6xy+3/ -30x-20y 十46
=5工2 十C6y -3 0 )x + 3/ - 20y 十46
(全国初中数学联赛题)
=5 (工十七-3r- 5 (;y- 3 r + 3/ 附46
=5 (x +; y - 3斗r 十:卡yj川
2 一寸2勾y
=5 (←工汁十?y
3) 2 十: (y-ty + 士
i 乏法
食
第
26
ì井配万法
利用自己方法解题
须注意:
(1)具有较强的
配方意识.
f!f 由已知
条件的平方特征或隐
含的平方关系
[ 如
m = ( .;;;)' ] 能联想
起配方法;
(2) 兼有整体把
握已知条件的能力­
f!f 善于把某项拆开又
重新与其他项组合，
得到完全平方式.
爱因斯坦一生喜
欢拉小提琴，常常与
朋友同事一起演奏.
爱因斯坦的儿子汉斯
说"与其说我的父亲
是物理学家，不如说
他是一位艺术家"
"他对一个好的
理论和一项做得好的
工作的最高评价并不
是依据其正确性和精
确性，而是其优美性"
含有两个字母的
二次多项式，一般选
择一个字母为主元，
分两步配方求解.
，;:.、~Cti\
，曾
食女
食
食
1号
，曲
，传女
I x+ 立v-3 = 。
当r
I 
~ Y 
,,- v. ~n 当x= 立，y二立时，上式取得最小值，最小值为t
1 
c; 
~，- __. -
2' -" 
6 
Iy 一ι=0 .
L-" 
6 
一步之遥
知识的系统、方法的贯通、视角的转换，使得相距千里的远与近、繁与
简、新与旧只是一步之遥.
设a ，b ，c ，d 为任意实数，因(a2 + b2 ) (c2 + d2 ) = (ac + bd) 2 + (ad - bc ) 2 , 
而(ad-bc)2 ~O ， 
故(ac + bd ) 2 ~ ( a 2 + b2 ) ( C2 + d2 ) ，当且仅当ad=bc 时等号成立.
这就是著名的柯西不等式.
倒7
已知a + 2b = 1 ，求J;;+ J4b的最大值.
(湖北省鄂州高中自主招生试题)
给析与麟
对比柯西不等式，厘清a ，b. c. d. 运用此不等式求最值.
.. α > O.b> O. 
:. cJ;;xff + j2b X J2) 2~ Cα + 2b) (1十2) .即cJ;;+ J4b) 2~ 3. 
得cJ;;+ J4b) ~二J言，
故J;;+ J4b的最大值为13.
何
一
一
1. 实数a.b.c 满足矿+ 6b = - 17. b2 + 8c = - 23. c2 + 2a = 1 4. 则a 十b + c =
( 上海市理科实验班招生试题)
2. 若a 是整数，且α2 +2004α 是一个正整数的平方，则α 的最大值为
(北京市竞赛题)
3. 方程m2 - 2mn + 1 4旷= 217 的自然数解是
(上海市竞赛题)
4. 设x.y 为实数，代数式5x 2 + 4/ -8xy+2x + 4 的最小值为
(江苏省竞赛题)
S . 方程Jx+ 1l-6 .rx石+Jx+27-10 Jx+2 = 1 的实根的个数为
(北京大学自主招生试题)
6. 已知实数x.y . z 满足C2x 2 + 8x+ 11) C/ -10y+ 29) C3z2 - 18z+ 32) ζ 
60. 则x+y-z=
(全国初中数学邀请赛试题)
化简J3 + Js一而工万Z
J6+J2 
A . J2 
J2 
B.τ 
C. 2 
D. 
~ 
2 
(江西省竞赛题)
9:.~ 
学科精英大视野系列丛书
例
7 叙述清晰，
背景简约，看似简单，
其实深刻，有开阔的
解题思路.
式的恒等变形、
非负数的性质、归纳
讨论在不同的解法中
得到充分的运用.
蕴万袅于胸，纳
百川于怀，归纳整理、
储备，知识与方法的
积累是创新思维的
基础.
I'J:\~忌.~
( 丸每缎)
食，传
食
女食
食
女食
食
8 . 已知.6ABC 的三边α ，b ，c 满足旷十扩- c4 + 工a2 b2 + abc2 = 0 ，则.6ABC
4 
一定是(
) . 
A. 锐角三角形
B . 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
(" 希望杯"邀请赛试题)
9 .
已知a ，b 是实数，x= α2 十b2 十20 , Y = 4 ( 2b - a) ，则x ，y 的大小关系
是(
). 
A. x~y 
B. x二三Y
C. X<y 
D. X>y 
( 山西省太原市竞赛题)
10 . 方程x 2 + 2xy+3y2 =34 的整数解(工，y) 的组数为(
). 
A. 3 
B. 4 
C. 5 
D. 6 
(全国初中数学联赛题)
11 . 若M =3x 2 - 8xy + 9/ - 4x+ 6y + 13 (工，y 是实数) ，则M 的值一定
是(
) . 
A. 正数
B . 负数
C . 零
D. 整数
(全国初中数学联赛题)
12. 设ρ ，q 均为大于3 的质数，则使ρ2+5问+4q2 为完全平方数的质数对
忡，q) 的个数为(
). 
A. 1 
B. 2 
C. 3 
13 已知什y +z= l ，求证:x2 +/+ω÷
4x2 
1+ 4x2=Y ' 
14. (1)解方程组~，:y，' τ = z ， 
1• 4y Z 
4Z2 
一一~
.
l 十4矿山
D. 4 
(全国初中数学联赛题)
(苏联奥尔德菜尼基市竞赛题)
(加拿大数学奥林匹克竞赛题)
( 2) 求所有由正整数组成的三元组(工，y ，z ) ，使得
(内十z = 2肌
① 
x 2 + y2 + Z2 - xy -
yz - zx = 3 .
② 
(沙特阿拉伯数学奥林匹克竞赛题)
15. 奥列格在一张空白的50 X50 方格表的每一列格的上方(表格之外)均写
了一个实数，在每一行格的左边(表格之外)也均写了一个实数. 已知他
写的所有100 个实数互不相同，且恰有有理数、无理数各50 个. 然后，奥
列格在每个格里写上该格所在行左边的数与所在列上方的数之和(得到
一个加法表) . 试问:该方格表中最多可能出现多少个有理数?
(俄罗斯竞赛题)
1 6. 求满足x 2 + / 十Z2 = 2 (yz + 1) 且x + y + z = 4018 的所有整数
解(工，y ，z ) .
(英国数学奥林匹克竞赛题)
17. 求所有四位数m ，满足m< 200 6 ，且存在正整数η 使得m - n 为质数，mn
是一个完全平方数.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
18. (1)证明:存在整数工，y 满足x 2 +4xy + y2 =2022 ; 
之3结
第
26 讲配万j圭
I~~~ 
可k
，传女
讪r
女
女
学科精英大视野系列丛书
讪r
食
食
(2) 问:是否存在整数工，y 满足x 2 +4xy+y2 =20 11? 证明你的结论.
("新知杯"上海市竞赛题)
(z2 一1)(/-1)
19. 已知正实数
x ，y ，z 满足
: xy + yz + zx 手1 且
ZYJ 
(/ -1) (z2-1 ) 十( Z2 -1) (x2- 12=4 
yz 
zx 
1 
, 1 
, 1 
(1)求一+ ~+一的值
xy 
yz 
zx 
(2) 证明
: 9(x+ y) (y+ z) (z+ x) 二三8xyz(xy+yz+zx).
(全国初中数学联赛题)
?静巳丘算
湿'圃'咽'咽，
20. 求所有的三元正实数组(工，y ，z)
，使得
工3+ 矿+主=1 ，
也Z
y3 +2Z2 + 丰=1 ，
Z3 +2X2 + 土=1.
哇y
(克罗地亚竞赛题)
• 
……__………-. • 
倒1 -3
原式可化为(3x+山3(y- X)2 =0 ,x = y= 一÷，z+y=
: 
倒2
D 
若z二三2 ，则
3x 2 -3x+xy注6 ，而右边ζ0 ，矛盾，则x~ 1. 取工= 1 ，得y =0 ，-3; 取工=0 ，得
y=O ，从而知有3 纽非负整数解.
倒3
(1)由29=5 2 +22 知29 是好数.
(2) 100 以内的完全平方数如下:0 ，1 ，4 ，9 ，16 ，25
，36 ，49 ，64 ，81
，100. 所求范周内的好数可由它们的和求
出(共9 个)
: 80 ，81
，82 ，85
，89
，90 ，97 ，饵，100.
(3) 设m = 矿+ b2
，n =c2 + 矿
，a ，b ，c ，d 都是整数，则mn =( α2 +b2) (/ +d2) = (αc+bd) 2 + (αd - bc) 2
，可
见mn 是两个完全平方数的和，故mn 为好数.
倒4
由整数性质得α2+ b2 +/+4~αb 十3b+2c ，
( 
b Y I J b 
1,2 I 
/ 
,, 2 _____^ .. ( 
b ,2 , J b 
. V 
配方得(α 一τ)
+3 l 言
1 )十(c- 1) ζ0 ，.: la-; J +3 lτ 1 J +(c 一1 / 泊，
( a -
~ ) 2 + 3 ( ~ - 1) 2 + (c - 1) 2 = 0 , dJ ~f ~ 4i '11. $-1-if- a -
~ = 0 ，~ 
G 一~ 1+31 ~-1
1 十(c 一1) 2=0 ，由非负数性质得a 一一=0
一1=0 ，c-1=0 ，
) 
~ \. 2 
~) ".... 
....., 
'-", .-, -'j 
-"" ~ 
,........,.:N. 
- I'~ 
"'" 
2 
v , 2 
解得a=1
，b=2 ，c= 1.
倒伽5
将叫示付为三纠个自M
然数削的乎忖方和，只网有两附种情阳况几川
:0川
(1)当m=3 ，n=1 时
，b=c+ l. α =b+3=c 十4 ，
由{!十c>α ，
/~ ^ 
_ 
~25 
得3 <c骂王一
a+b+c~30 ， 
因为
c 为整数，所以c=4 ，5 ，6 ，7 ，8. 从而有5 个符合条件的三角形.
(2)
当m=1
，n=3 时
，b=c 十3 ，a=b十l=c 十4 ，
由{!十以
23 
G 十b+c~30 ，得l<cζ王，c=2 , 3 , 4 , 5 ，6 ，7. 从而有6 个符合条件的三角形.
综上所述，满足条件的三角形共有5 +6= 11 个.
叫
川
〕
* ，传
( 丸每银)
1与
食
古
食
Jγ 
食
，传
1. -8 三式叠加得(ω + 1) 2 十(b + 3) 2 + ( c十4 ) 2 = 0 ，得α = - 1 ，b=- 3 ，c =- 4 .
第
26 讲配15 5去
• 
………，… …镶
.
2. 250000 
配方变形得(α + 1002)2 - m2 = 10022 = 22 X 32 X 1672 , f1P( a + 1002 + m ) ( α + 1002-m ) =22 X 
32 X 1672 
..
α + 1 00 2 + m ，a 十1002 - m 都是偶数，且α + 1 00 2 + m> a + 1 00 2-m> 0 ，
要求正整数α 的最大值，须有
(a+川+ m = 2 X 3 2 X 旷，
α + 1 00 2 - m = 2 ， 
解得α = 250000 ,m= 251000. 
217 
3. (1 3 ，3) ，(1，的，(7 ，4)
由( m - n) 2= 217 - 13旷二三0 ，得J ζ 一一< 17 ，
13 
故η = 1，2 ，3 ，4 ，(m ，的= (13 ,3) , (1 , 4) , ( 7 , 4) . 
( 
4 
I 1 Y I 4 / 
I , , 2 
4. 3 
原式= 5[ x- -Z-y+ + [ +一(y+ 1) '+ 3 ，当x =-1 ，y=-1 时，原式有最小值3 .
\ -
5 ..7 ' 5)
' 5 
5. 0 
原方程即为
I h丰王一31 十
I h丰王一5
1 =1.令h平2= t=>
l t- 3
1 十It- 5
1 =1 ，但It- 3
1 十
I t十5
1 二三
1 (t- 3)- (t-5 ) 1 =2 ，故原方程无实根.
6. 0 
原式左边= [2(x + 2)2 + 3J[ (y 一5 ) 2 + 4J[ 3(z- 3) 2 +5 Jζ 6 0 ，得x = 一2 ，y =5 ，z = 3.
7. D 
ab \ 2 2 I 
1~ 2 _ 
~2 _~ ab 
8. C 
由条件得( a 2 + b2 ) 2 = (C2 一一) 2 ,a2 + b2 = c 一一> 0 ,C2 = α 2 + b2 + : ab> a2 + b2. 
2 ' .-
，
~ 
2 
9. B 
x - y = ( α 十2) 2+( b -4 ) 2 二三O.
10. B 方程即( X+y ) 2 十2/= 34 ，x十y 必为偶数，设工+y = 2 t ，得2 t2 + / = 17. t= 土2 ，y = 士3.
11. A 
M= 2( x-2y ) 2 +( x - 2) 2 + ( y十3) 2 二三0 ，且x - 2 y ，x - 2 ，y+ 3 这三个数不能同时为0 ，故M >O .
12. B 
设扩+ 5 ρq + 4q2 = m2 (m 为自然数)
，则(ρ + 2 q) 2 + ρq = m2
， 
f1r ( m一ρ - 2q) (m十p + 2q) = pq ，由于户，q 为质数，且m + ρ + 2 q> ρ ，
m十ρ 十2 q> q ，所以m 一ρ -2q= l，m十ρ +2 q = ρq ，从而ρq-2ρ
4q= 1，
(ρ -4)( q -2 )=9 ，得(ρ ，q)=( 5 ，1l) 或(7 ，5 ) . 
13. 3(矿+ / + Z2 ) - 1 = 3 (矿+/+i ) 一(x + y + Z)2 = 2X2 + 2/ + 2Z2 -
2xy 一2yz- 2xz= (x -
y) 2 十
(y - Z)2 + (x -
Z) 2 二三O .
去+ 1 = 7 ，
14. 
(1 ) 原方程纽化为古+ 1 = 士，三M山西叫(丰一小(去一1) 2 + (去
1) 2 =0'
1 
, . 
1 
""'::' + 1= --=- , 
4z. 
x 
( 1 
1 
1 '\ 
'. ( x , y , z) = (0 ,0 , 0), I 一一
| 
, y , :.G }
-
\V , v , v/ ,\ 2 ' 2 ' 2 ) 
(2 ) 不妨设工二三y二三z . 则由式②得( x - y) 2 + (y - Z)2 + ( x - Z)2 = 6 . 由于6 分解成三个正整数的平方和只
能有6 = 2 2 + 12 + 1 2 一种形式，且(x - y) + ( y - z) =x-z , 
(x - y = l, 
:.} y - z = l ，
③ 
I x - z二2 .
由式①、方程组③解得( 工，y ，z ) = (67 1
，670 ，669 ) .
又因工巾，z 可轮换，所以，所求三元组为(x ，y , z ) = (671, 670 , 669 ) , (671, 669 , 670) , (670 , 669 , 671) , 
(670 , 671 , 669) , (669 , 670 , 671) , (669 , 671 , 670) . 
15. 该方格表中最多可出现
1 250 个有理数.
先证明: 方格表中至少会出现1 250 个无理数.
己?当
食
，传
食
食
食为
食
1佳
女
学科精英大视野系列丛书
假设奥列格在各行的左边一共写了工个有理数和50-x 个无理数.则其在各列的上方就一共写了
50-x
个有理数和工个无理数.
因为有理数与无理数之和必为元，理数，所以，方格表中无理数的个数不少于
x 2 +(50- X)2 =2x2 -100x+502 =2(x 一25)2 十2X25 2 二三2 X 252 = 1250. 
这表明，方格表中至多有2500-1250=1250 个有理数.
下面给出恰出现1250 个有理数的例子.
假设奥列格在各行的左边自上而下依次写出
1
，2 ，…，25 ，1 +./2，2+ ./2""，25 十疗，而在各列的上方依次
写出
26 ，27 ，…，50 ，26-)言，27 -./2,,,. ，50- ./2.则方格表中恰出现2 X 252 =1250 个有理数.
16.
由条件得矿+(y-z)2 =2 ，列表分析如下:
工
1 
一1
1 
y-z 
1 
1 
1 
一l
y+z 
4017 
4017 
4019 
4019 
y 
2009 
2008 
2010 
2009 
z 
2008 
2009 
2009 
2010 
:. (x ,y ,z) = (1 , 2009 ，200肘，(1
，2008
，2009)
，(-1
，2010 ，2009)
，(-1
，2009
，2010).
17.
由条件知m-n = ρ(ρ 是质数) ，则m=n 十户，设mn=n(n+ ρ ) =x2 ( 其中z 是正整数) ，那么
4旷+
4户π =4X 2
，即C2n + ρ) 2 _ p2 = C2X)2
，于是(2n 一2x + p) C 2n + 2x 十ρ)= 矿，注意到
ρ 为质数，所以
(2n一川= 1 ，
.;J:t"..-\-'.J.ct .J- 1~ __(ρ-ly 
印+1 \ 2 
2 两式非叫n =
1 一
I '进而m一|一) ' ，又100阶Q川寻叩+1 ~89 这样质
2η +2x+ ρ= 户，飞)
，~ • •.• 
~ 2 
数ρ 只能是67 ，7 1，73 ，79
，83. 从而满足条件的m 为
1156 ，1296
，1369 ，1600 ，1764.
18. (1) (x ，y)=(43 ，1) 满足方程x2 +4xy+ i = 2022. 
(2) 答案是否定的.
若存在整数x ，y 满足x 2 +4xy+i=2011
，则(x+ y)2 + 2xy= 2011 
①，从而x+y 是奇数，x ，y 为一奇
一偶，4 12xy . 由于奇数的平方除以4 余
1 ，于是式①的左边除以4 余1，而右边除以4 余3 ，矛盾.
故不存在满足方程的整数x ，y.
19. (1)去分母、因式分解得[xyz- (x + y+ z) ] (xy 十yz十zx 一1) =0.
.: xy+yz+zx手1，
:. xyz 一(x+y 十z)=o ，
l1r xyz=x+y+z , 
x+v+z 
..原式=~斗二=
xyz 
(2) .: x ，y ，z 为正数，
:.9( x+y)(y 十z) (z+ x) - 8xyz(xy+ yz 十zx)
= 9(x+ y) (y+z) (z+ x) -8(x+ y+z) (xy+ yz+zx) 
=X2y+X/ +X2Z+XZ2 +/Z+yz2 -6xyz 
=xCy- Z)2 + y(z- X)2 十z(x- y) 2 二三0 ，
:. 9(x+ y) (y+ z) (z十x) 二三8xyz(xy+yz十zx).
20. 将已知三式相加得
( x 3 + 2X2 + 4~) + (y3 + 2y2 + 41y ) + ( Z3 + 2Z2 + 41z) 
工3+2x2 十
1+ I y 3 + 2y2 + f- 1+ I Z3 十2Z2 十一1=3.
① 
/飞
4y) . ~ -
. --
. 4z) 
下面证明:对于所有的工>0 ，
有工3+2x2+ 主注1.
性工
因
4x>0
，则上式等价于
4x'+8x 3 + 1 二三4x件(2x 2 +2x_ 1) 2 二三0 ，
要使①式成立，则
2X2 十2x-1=0 ，
一1 +J3
解得x-
. . -2 工兰，
1 土问
类似的，原方程组的唯一解为工=y=z= →-742
者~
经济学中一个重要的概念叫纳什均衡，是由著名数学
家、诺贝尔经济学奖得主纳什在21 岁时提出的.
纳什描绘的均衡画面是:当利益相争时，每个人都按这
样一种原则做，如果别人不改变策略，仅靠个人单方面改变
策略时，不可能增加自身收益，或者说谁也不再有主动改变
自己策略的积极性，这就达到了一种均衡状态.
仇
第~ 2
1 讲反证法
: 
. .....… 
' 知能概述
反证法是通过证明命题的结论的反面不正确，来判定命题的结论正确
的一种间接的证题方法.用反证法解题的一般步骤是:
(1)反设:作出与结论相反的假设;
(2) 归谬:利用反设和已知条件推出矛盾;
(3) 作出结论:肯定原命题正确.
在下列情况下通常用反证法:
(1)某些结论以"至多川至少"的形式出现的命题;
(2) 某些结论以"唯一""无限"的形式出现的命题;
(3) 某些结论以"存在""不存在"的形式出现的命题;
(4) 某些非常规数学问题.
如
问题解决
倒1
证明:当η 为自然数时，2(2η 十1)形式的数不能表示为两个整数
的平方差.
(陕西省西安市竞赛题)
鹏题思路
由于η 为任意自然数，不可能逐个试凑，而命题的结论又是
否定形式，故可考虑用反证法.
24~k 
飞J阜
一个数学问题用
一个反例予以解决，
给人的剌激犹如一出
好的戏剧，为数学做
出的许多最优雅和艺
术性很强的贡献属于
这个流派.
一一盖尔鲍姆
千年论断的推翻
古希腊哲学家、
科学家亚里士多德曾
提出"不同重量的物
体从高空下落的速度
与其重量成正比"的
论断.
1 589 年，25 岁的
意大利科学家伽利略
在比萨斜塔做实验并
运用反证法推翻了亚
里士多德的论断.
~c..\&:\ 
食
食食
，传
食古
食
食女
倒2
已知
a 1 , a 2 , … , ag 都是正数，并且
a j 十a 2 + … +向= 20 , 
a j a 2 …句< 4. 证明:α1 ，句，…，向中至少有一个数小于1.
(湖北省竞赛题)
融题思路
要证"至少有一个数小于1" ，用反证法较方便.即假设a 1 ' 
肉，… ，ag 都不小于1，则可设a i =1 +biCbi 二三0 ，i= 1，2 ，…，8).
倒3
是否存在这样的实数b 和c ，使得方程x 2 + bx+c=O 与
2X2 + 
(b+ l) x 十c+ 1 = 0 分别都有两个整数根?
(俄罗斯数学竞赛题)
鹏题思路
假设存在这样的实数b 和c ，使得给定的两个方程分别都有
两个整数根，从根与系数关系人于，并结合奇偶分析法.
倒4
组装甲、乙、丙三种产品，需用A ，B ，C 三种零件.每件甲需用A ，B
各2 个; 每件乙需用B ，C 各1 个;每件丙需用2 个A 和1 个C. 用库存的A ，
B ，C 三种零件，如组装成ρ 件甲产品、q 件乙产品和r 件丙产品，则剩下2 个
A 和1 个B ，C 恰好用完.试证:无论怎样改变生产甲、乙、丙的件数，也不能
把库存的A ，B ，C 三种零件都恰好用完.
(全国初中数学联赛题)
堕堕塾些
假设改变产品的件数，使甲种产品m 件、乙种产品n 件、丙
种产品5 件，便能恰好将A ，B ，C 三种零件用完，建立方程组，设法推出矛盾.
倒5
在平面内有η 条两两不平行的直线，并过其中任意两条直线的交
点还有一条已知直线，求证:这n 条直线都通过同一点.
(吉林省竞赛题)
主堕
假设这n 条直线不通过同一个点，我们
朵
考虑这n 条直线的交点，交点的个数是有限的，我
/歹'''''
们可以求出这些点到已知直线的距离，这些距离的
欠/
I "" 
个数也是有限的，所以其中一定有一个距离是最小
D C 
E 
B 
ι 
的.不妨设由交点A 到直线t 的距离AE 是最小的距离(如图) . 
载:3
学科精英大视野系列丛书
利用反设和已知
条件推出矛盾是运用
反证法解题的关键，
这个矛盾可以是与已
知或反设矛盾，也可
以是与数学中已知的
公理、定理、定义等
矛盾.
解题是智力的特
殊成就，解一个问题就
是意味着从困难中找
出一条越过障碍的路;
解题是一种本领，就像
游泳、滑雪、弹钢琴一
样，你只能靠模仿和实
践才能学到它.
~I'JJ:\G.-\ 
( 丸每细)
ì~ 
~吃
食
飞过食食
衣食
食
根据题设条件，通过点A 至少有三条直线，设它们与直线J 分别交于B ，
C ，D ，显然B ，C ，D 三点中至少有两点位于点E 的同侧，不妨设C ，D 在点E
同侧，且CE~DE(C 不可能与E 重合) ，过C 作CF _lAD 于F. 则6 CFDω
曰CF
CD ~ DE 
6AED ，于正豆E
互D ~互ö< l，即CF < AE. 这与"点A 到直线I 的距离
AE 是最小的距离"矛盾.
故这n 条直线通过同一个点.
例6
一个8叫方…否用15 个"面"形(简川"时
一个"曰嗷简称"田"字)完全覆盖?
(全国初中数学联赛题)
份析
假设完全覆盖的方案存在，为了形象化说明问题，对8X8 的方格
棋盘染色.
证明
如图，把8 X8 的棋盘黑白相间染色.若有
一种方案能将棋盘完全覆盖. 一个"凸"字每次可完全
盖住三个小黑格和一个小白格(或三白一黑) ，所以
15
个"凸"字所能盖住的黑格与白格的总数都是奇数.而
一个"田"字盖住两个黑格和两个臼格，它们均是偶数.
这样，15 个"凸"字及一个"田"字所盖上的黑格总数及
自格总数均为奇数，但8 X 8 的棋盘共有32 个黑格和32 个白格，它们都是偶
数.若上述方案存在，就导致了奇数等于偶数的矛盾，这显然不正确. 所以这
种覆盖方案不存在.
正难则反
正难则反，直难则曲，人类的智慧在于面对困难时能恰当地绕过去.法
国著名数学家阿达玛关于反证法有一个精辟的论述."这种证法在于表明，
如若肯定定理的假设，而否定其结论，就一定会导致矛盾"
伊~ 7 
当户，q 都为奇数时，方程工2 十2ρ工十2 q =O 是否有有理数根?试
证明之.
(清华大学自主招生试题)
僻题思路
通过反证法，将有理根的判断转化为整数问题探讨.
~ 刻意练习
1.你能找到三个整数a ，b ，ι ，使得关系式(α + b十c )(a-b + c)( α 十b - C) (b + 
C一α) = 3388 成立吗?如果能找到，请举一例;如果找不对，请说明理由.
("希望杯" 竞赛题)
2. 某班参加校运动会的19 名运动员的运动服号码恰是1~19 号，这些运动
员随意站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的3 名运动员的运动服号码数
243 I 
嗦
第
27 讲反证法
例
5 是下面问题
的一个变形问题:
平面上η 个不全
共线的点中，总可以找
到一条直线，它仅通过
其中两个点.这是由英
国数学家西尔维斯特
(1 814- 1897) 提出的
一个问题，看似貌不惊
人，却使西尔维斯特十
分困惑.请你对照例
5 ，不妨一试.
染色是一种形象
化的分类讨论.解决
方格染色问题的关键
是确定用几种颜色给
方格染色以及用怎样
的方式给方格染色.
食
食*
食
1陆有
食
食~
之和不小于32 ，请说明理由.
("希望杯"竞赛题)
3. 设非零实数丸，ρ 2
，q]
，也满足关系式P] ρ 2 =4(q] +q2 ). 证明:方程工2+
ρ1 工+q ] =O 与X 2 +P2 X + q2=0 中至少有一个具有不等的实数根.
(北京市竞赛题)
4. 在7 X7 的方格表中共有49 个小方格，在每一个小方格中要么填上+1，
要么填上一1.我们把第一行所有格子中所填的数之积记为α ] ，把第二行
所有格子中所填的数之积记为龟，…，把第七行所有格子中所填的数之积
记为a7
，同样对各列格子中所填的数之积也分别记为b ] ,b2 ，… ，b7 . 证明:
a]+ α 2 + … +α 7+ bj+b2 + … + b7 手O.
(北京市竞赛题)
s. 证明:不存在正整数m ，n ，使得3 m +3n + 1 为完全平方数.
(克罗地亚竞赛题)
6. 设一次函数y=ax十b(α平均)有一组对应值工=J2，y=O ，试证明: y=ax+b
不可能有两组以上有理数的对应值.
(吉林省竞赛题)
7. 平面上有四点A ，B ，C ，D ，其中任何三点都不共线.求证:f"-，ABC ，
f"-,ABD , f"-,ACD , f"-，BDC 中至少有一个内角不超过45 0 •
( 天津市竞赛题)
8. 设P(n ) 表示正整数n 的所有正因子的乘积.例如:P( 20) = l X 2X4X5X
10 X 20 = 8000. 
(1)求P(n) = 1 5n 的全部正整数解;
(2) 证明:不存在满足P(n)=15旷的正整数n.
(尼德兰竞赛题)
9. 用
1 2 种颜色染正十二边形所有的边和对角线(每条线段染一种颜色) ，是
否存在这样的染色，使得对任意3 种颜色，总可以找到3 个顶点，而连接
它们的3 条线段恰好是这3 种颜色?
(俄罗斯数学竞赛题)
10. 已知整数a ，b 满足α > b ，且ab一1 与α + b 互质，ab十1 与α -b 互质.证
明: (α + b) 2 + (ab- 1) 2 不是完全平方数.
(伊朗数学奥林匹克竞赛题)
11. 是否存在八个两两不同的整数a ,b,c,d ，e ，j ，g ，h ，使得方程(x2 + ax 十b)
(x2 +cx+ d)(工2+ex十j)(x2 十gx十h) = O 的解为(a ，b ，c ，d ，e ，j ，g ，h) ?
(乌克兰数学竞赛题)
12. 在河的左岸有100 名体重分别为1，2 ，… ，100 磅的不会游泳的小矮人要
到河的右岸去.在河的左岸有一条载重为
1 00 磅的小船，由于水流的关
系，从右岸到左岸非常困难，每名小矮人从右岸到左岸只能划一次(小矮
人中任何一人均可以从右岸划到左岸，但中途不能换人) . 问:能否把所
有小矮人都渡到右岸?
(俄罗斯数学竞赛题)
在J;)
学科精英大视野系列丛书
a.\Gt.\t::.\ 
( 丸每缉)
倒1
假设2C2n十1) =a2 -b2 (a ，b 都为整数) . 
.: 2(2n+ 1) =(a十的(α 一的，而α 十b 与α -b 奇偶性相同，
1J * 
1::: 
A 
1:'{ 
:. 21 Cα+的
，21(a一的，得4
1 Ca 十的(α 一的，但4平2C2 n + 1)，矛盾.
假设不正确，原命题得证.
倒2
.: bl + b2 + … +乌=12 ，
食
食
，传
食* 
第
27 讲民证法
• 
…璐
.
'. aj a2…a8 = (1 十bl ) C 1 十b2 ) …(1十b8 ) = 1 + Cb】十b2 + … b8 ) + … + bj b2 … b8 注l+Cbj +b2 + … +乌) =
1 + 12 = 13 ，这与a j a2 … a8 < 4 矛盾，故叭'鸟，…，向均不小于1 是不可能的，即其中至少有一个数小于1.
倒3
这样的实数b ，c 不存在.
假设存在符合题目要求的实数b ，c 则方程x2 +bx+ c=O 与2X2 + Cb+ 1) x+c+ 1 =0 分别都有两个整数根.
I X ，十几=- b.
设工j
' 工2 为方程zz 十bx十c=O 的两整数根，则
l
'
. 
{ X j X 2=c , 
. 矶
，x2 都是整数，:.
b ，c 只能是全为偶数，或者一个是奇数，另一个是偶数.
( 
b+ 1 
| 引-r x，- 一')
, 
又设工3
' 引为方程2X2 + Cb+ 1)x+c+ 1 = 0 的两个整数根，则{
由此可知b ，c 必须均为
I 
c+ 1 
| 工3 叫一
2
奇数，上述两种情况导致矛盾.
满足题设条件的实数b ，c 不存在.
倒4
由条件得仓库内所存零件分别是:A 种零件均十2r十2 件，ß 种零件2ρ 十q + 1 件，C 种零件q + r
，2m+ 2s = 2ρ + 2r+2 ，
① 
件，则) 2m+ n = 2ρ十q+ 1 ，
②
\ n+ s = q + r.
③ 
① ②十①，1-1- 3s=3 r十1，即s= r十÷ ，这与5 为整数矛盾
故不论怎样改变各种产品件数，总不能将库存的A ，ß ，C 三种零件都恰好用完.
倒7
没有有理根.证明如下:
假设有有理根，设为?(r ，5 是互质的整数) ，则二+ 2ρ - f十2q= 0 ，f!r r2 十2prs+ 2qs2 = 0 
① 
若r 是奇数，则式①左边是奇数，右边是偶数，矛盾.
若r 是偶数，由于r ，s 互质，则
5 是奇数，r2 十2prs 是4 的倍数. 而2 qs2 不能被4 整除，故式①左边不能被4
整除，而右边可以被4 整除，矛盾.
综上，假设不成立. 故没有有理根.
-
~. .L.'黯
1.找不到满足条件的三个整数，Ca+b+c) ，C a- b十c) ，Cα+ b- c) , Cb+c-a) 奇偶性相同，运用奇偶分析说明.
2. 假设任意三名相邻运动员的服装号码之和都小于32 ，设圆周上逆时针顺序以1 号为起点，记运动员服
装号码为a j = 1 ，旬，旬，' " ,a j 8 ,a j 9 , 1j1IJ A j = a2 +α3+向';::;:; 3 1 ,A2 = a5 + a6 十a7 豆3 1 ,A3 = a. + α9 + a jO ζ 3 1，… ，人=
a l 7 +a18 + a I9 ';::;:; 1 ，其中a1 =1 ，a2 ，鸟，… ，a 1 8 ，a1 9 是2 ，3 ，… ，18 ，19 的一个排列，从而人+ A2 + … + A5+ A6 = α2 十
a3 十… 十a 18 + α19ζ 3 1 X 6 = 186 ，又2 + 3+4 + … + 18十19 = 1 89 ，':
189> 18 6 ，得到矛盾，故人，人
，... ，A6 中至少
有一个不小于3 2 .
辽4如
食
食*
女
节~
1-厅
食
食*
学科精英大视野系列丛书
3 . 假设两方程均无不等的实根，则ll.t= 户: -4q1 5三0 ，ll.2 =ρ; 一4qz 王三0 ，得P:+ ρ;- 4(q1 十q2 ) ζ0 ，即户: +
2 
L L _ ( . 
P2 ì 2 I 3 L2 
P: 
ρ l P2~ 0 ，而到+ P: - Pl P2 = l P1 
言) + ~ P:> O ，得到矛盾，故两方程中至少有一个具有不等的实根.
4. 设a 1 a 2 内向a S a6 a7 =c手0 ，则
b 1 b2b3 b, b5 b6b7 = c ，于是向句句句句句句句句b3 b，b5 b6 b7 二三c2 >0 . 假设a 1 + 
a2+ … + a7 + b1 +b2 十… + b7 =0 ，而矶，b; (i = 1 ，2 ，…，7) 为+ 1 或
1，所以这14 个数中必有7 个是十1，7 个是
一1，因而a 1 a2 "'a7 b1 b2 … b7 = ( 十1) 7
. (_1) 7 =_ 1，推出矛盾.
S. 假设存在正整数h 满足3 m 十3 " +1 = 矿，f!p 3m +3" =扩- 1，显然
，k 为奇数，而对于奇数走，k 2 - 1 可被8
整除.由于3 的正整数次采模8 余l 或3 ，则
3 m + 3 " 模8 余2 ，4 或6 ，所以
，3 m + 3 " 手k2 - 1. 
故不存在正整数m ，n ，使得3 m +3 " 十1 为完全平方数.
6. 把x= j2，y=O 代入y = ax+b 中，得y= α (x- j2).
① 
设此函数存在两组不同的有理数对应值(矶'Y l )' (工2 'Y2 )' 代入①得
.)'1
消去α ，得j2= ~ 1三L二巳上-
((Zl+Y 
T 刑一切
a(x 2 - j2) = Y2
'
只- Y l
② 
: 
(矶
，Yt)' (x2
' 只)不同，.. X1 手鸟'Yl 手YZ '
②式右端是有理数，它不可能等于无理数j2 ，
•• y= αx + b 不可能有两组以上有理数的对应值.
7 . 假设从四点中任意选出的三点构成的三角形的三个内角都大于45 0 •
.. 四点中任意三点不共线，.·. 连接四点可构成凸、凹两种四边形.
(1)当ABCD 构成如图①的凸四边形时，连接AC ，BD ，则ζ 1，ζ 2 ，ζ 3 ，… ，ζ 8 都大于45 0 ，
.
ζ 1 +ζ 2+ζ3 + … +ζ 8> 45 0 X 8=360 0 • 
这与四边形内角和为
360 0 矛盾，故当A ，B ，C ，D 构成凸四边形时，假设不成立.
(2 )
当ABCD 构成如图②的凹四边形时，则ζ L ζ 2 ，… ，ζ 6 都大于4 5 0 •
.. ζ 1 + ζ 2 + ζ3 + … + ζ 6 > 4 5 0 X 6 = 2700 • 
这与三角形内角和为
1 80 。矛盾，故当A ，B ，C ，D 构成凹四边形时，假设不成立.
A 
A 
B 
D 
B 
图②
(第7 题)
8. (1)由P( η) 的定义及P(n ) = 1 5 n ，知η 中必含有因子3 ，5 . 故n 为
1 5 的倍数.
若n> 1 5 ，则n 的因子中包含3 ，5 ，1 5 ，n ，
故P(n) 二月X 5 X 15 X n=225n, 
这与P( η ) =15η 矛盾，
因此，n = 1 5 .
验证得P (l 5) = 1 X 3 X5 X 15= 15 X 15 , 
故n = 1 5 为方程P ( 的= 1 5 n 的唯一解，
(2) 假设P(的= 1 5旷有解.
由(1 ) 知n 为
15 的倍数，
显然
，n = 1 5 不是解，
( 丸每缎)
则ρ30寸>5
于是，1 <3<5<旦〈旦〈η 为η 的6 个不同因子，
5 
- 3 
故P(n) 二三1 X 3 X 5X 旦×旦X n=η3> 15矿，
5 . . 3 . ' .. 
.. -
~~.. , 
这与假设矛盾.
因此，不存在满足P(n) = 15旷的正整数n .
9. 这样的染法是不存在的.
72'
食
1号食
ù 
食
'眨
食
食
第
27 讲民证法
假设存在满足题设的染法，今考察任一种颜色，例如红色，那么，一边为红色，另两边是不尽相同的另两种
11 X 10 
颜色的三角形数，恰好等于从余下的
11 种颜色中取出两种的纽合数，共一亏一一=55 个.
而一条红色边只能是10 个三角形的边，因此，红色线段不少于6 条，由于对每一种颜色都有这种要求，从
e 12 X 11 
而线段数不少于12 X6=72 ，但正十-边形的边及对角线昌、数及一一一一=66 ，出现矛盾.这说明满足题目要求
一，也
2
的染法不存在.
10.
设(a + b) 2 +(ab- 1) 2 =c2. 
则
c2 = α 2 +b2 + a2b2 + 1= (α2+ 1) (b 2 + 1). 
若存在质数ρ 使得ρ I(α2+ 1)，ρ
I Cb2 十1)，则ρ
l (a 2 -b2 ) .
于是，ρI (α - b) 或ρ Icα + b).
若ρI Ca 一的，则ρ
I Cab - b2 ) ，又ρI (b2 + 1)，故ρ I Cab+ 1) ，矛盾;
若pl (α +b) ，则ρ
I Ca2 +ab)
，又ρIcα2 + 1) ，故ρ I Cab 一1)，矛盾.
因此，矿+ 1 与
b2 + 1 互质.
于是，矿+ 1 与
b2 + 1 均为完全平方数.
由于a ，b 中至少有一个不为
0 ，从而，不可能均为完全平方数.
所以，Cα 十的2 + (ab一1) 2 不是完全平方数.
1 1.不存在.
假设存在满足题意的整数a ,b,c ,d ，e ，f ，g ，h . 分别令工2 +αz十b= 0 ，x2 + cx十d=0 ，x2 十ex+ f=0 ，x2 十
gx+h=O 的整数根为岛和码，工3 和衍
，矶和衍，工7 和工8 ，其中，{α ，b ，…
，h } ={x ，
，工2 ,… ,X8 }. 
由根与系数的关系有
b = X ，X2
，d = 工3 句
，f= XS X6
，h= 工7 工8 '
于是，bdfh = x ，X2 … X8 = ab"'h. 
若bdfh笋0 ，则αceg= l.
故α ，c ，e ，g ε {- 1，1}，这与α ，b ，…
，h 为互不相等的整数矛盾­
M、而
，bdfh = O.
不妨令h =O . 则x2 + gx+h = 0 的根为工8 = 0 和工，=- g.
此时，αbcdefg = x ，x2 巧与工s X6 x，= bdfC - g) .
类似的
，bdfg手O.
故ace =- l ，即a ，c ，e 仨{- 1，1 } ，这也与a ，c ，e 两两不同矛盾.
因此，不存在满足题意的八个整数.
12.
不能.
假设可以将所有小矮人都渡到右岸.
设重为50 ，51 ，…，1 00 磅的小矮人中从右岸划到左岸共划了n 次.而重50 ，5 1，…
，1 00 磅的小矮人中不可
能有两人同船，可见，船从左岸到右岸至少划了
5 1 十η 次.从而，船从右岸到左岸至少划了
50 + η 次.
又注意到，重
1 ，2 ，…，49 磅的小矮人从右岸到左岸至多为l 了
49 次.则所有小矮人中，从右岸到左岸至多
划船49+n 次，矛盾.
(4:~ 
匀称、简约、端庄，几何图形呈现着形状之美.左图是美
国雕塑家考尔德的作品，考尔德是20 世纪
3 0 年代兴起的现
代雕塑一一一活动雕塑的发明者.静态的雕塑包含着运动，通
过外形的弧线与曲线的投影而产生移动，这种活动雕塑随风
吹动产生动态平衡，彰显几何图形的动态之美.
、贝u
~I L;]\}\V 
第28 讲构造法
t 
.-_..._.. 
有些数学问题直接求解比较困难，可通过创造性构造转化问题而使问
题获解. 所谓构造法，即依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当
的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题
思路的方法.构造法是一种创造性思维，是建立在对问题结构特点的深刻认
识基础上的.
构造法的基本形式是以已知条件为"原料"，以数学关系为"支架"，以所
求结论为"方向"，构造一种新的数学形式，促使问题的转化与解决. 常用的
构造方法有: 构造方程;构造函数;构造图形;对于存在性问题，构造实例;对
于错误的命题，构造反例;构造等价命题等.
问题解决
倒1
已知a ，b ，c ，d 是四个不同的有理数，且(α+ c) (α + d) = 1, 
(b+c) (b+d) = 1，那么(a +c)( b+c) 的值为
(江苏省竞赛题)
鹏题思路
可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝
试，仔细观察已知等式特点，α ，b 可看作方程(x+ c) ( x + d) = l 的两根.
也
冒着过于简单化
的风险，我们可以说
数学由两大类一一证
明与反例组成，而数
学发现也是朝着两个
主要目标:提出证明
与构造反例.
一一盖尔鲍姆
百年错误的纠正
1 644 年，法国修
道士麦森宣布
lLfJ=
2 Þ - 1 型的数，当
ρ =
2,3,5,7,13 ,17,19 ,31 , 
67 ，127 ，257 时都是素
数，其实他只演算了前
面7 个.
1 903 年，美国数
学家科尔做了一个无
声的学术报告，他在黑
板上写了一个等式
267 -
1 = 193707721 X 
76 1838257287 ，当他回
到自己的座位上时，
会场上响起了雷鸣般
的掌声，这个反例纠
正了人们长达两百多
年的错误.
.~、1~1fi/A
( 丸每编)
1号食
食
女食
食
i~
食
食
倒2
三个整数a ，b ，c 的和是6 的倍数，那么，它们的立方和被
6 除，得
到的余数是(
). 
A. 0 
c. 3 
D. 不能确定
B. 2 
("希望杯"竞赛题)
篇题思路
构造多项式(旷+ b 3 十c 3 ) - (a + b+c)
，通过运算转化问题.
倒3
已知α ，卢是方程工2 一7x + 8 = O 的两根，且α 〉卢，不解方程，求
? +矿的值
("祖冲之杯"竞赛题)
篇题思路
待求式中α ，卢是不对称的，但是根与系数关系具有对称性，
为了体现这种对称性，不妨构造一个与待求式相对应的代数式，即令A=
? +协B =卡3α2
倒4
已知正数a ，b ，c ，A ，B ，C 满足:α + A = b 十B=c 十C= 是，求证:
α B + bC十cA < 走2
(苏联数学奥林匹克竞赛题)
融题思路
G 十A = b + B=c 十C = 走，可看作边长为走的正三角形，而从
扩联想到边长为走的正方形的面积.
h
u
电
m
L
一
第
28
ì并向适;五
应用构造法解题
的关键是:
(1)有明确的方
向，即为什么构造;
(2) 把握问题的
特点，确定构造什么，
怎样构造.
有些代数问题，
当用代数方法求解困
难时，不妨从形的角
度思考，通过构造几
何图形直观形象求
解，为此需熟悉一些
代数式的几何意义.
&:\&:\~ 
'岐
食识
* * * 
'眨
*
).这
倒5
已知函数y=
1 工+ 11 - 2 Ix- l l+lx+ 21.
(1)在直角坐标系中作出函数图象;
(2) 已知关于工的方程kx+3 = Ix+1 1-2 Ix-l l + Ix+21 
(k手0) 有三
个解，求走的取值范围.
("创新杯"竞赛题)
鹏题思路
对于(2) ，因h 值待求又关联着绝对值，故从方程的角度难以
求解，设Yl = kx十3 ，只= Ix+ 11 - 2I x一11 +
l x+ 21 ，所给方程有三个解，实际
上就是这两个函数的图象有三个交点. 借助函数图象思考，形象而直观.
倒6
试证: 世界上任何6 个人，总有3 人彼此认识或者彼此不认识.
(匈牙利竞赛题)
给析
构造图形解题，我们把"人"看作"点" ，把2 个人之间的关系看作
染成颜色的线段.比如2 个人彼此认识就把连接2 个人的对应点的线段染成
红色; 2 个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色.这样，有3 个人彼此认
识就是存在一个3 边都是红色的三角形，否则就是存在一个3 边都是蓝色的
三角形，这样本题就化作:
已知有6 个点，任何3 点不共线，每2 点之间用线段连接起来，并染上红
色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色.证明:不管怎么染色，总可以找出
三边同色的三角形.
证明
如图，考虑其中一点A j 引出的五条线段，则
必有三条线段同色，不妨设A 1 A 2 ,AJ A 3 ，A J A 4 同为红色，
接着考虑L;A 2 A 3 A 4 的三边，若有一边为红(设鸟儿为红
色) ，则存在红色三角形( L;A j A 2 A 3 ) ; 若任一边都为蓝色，
则L;A 2 A 3 A 4 为蓝色三角形，故命题成立.
另证
设A 是6 个人中的
l 个，假定A 和3 个人互
Al~~~~~~ AJ 
…
、
A1f-让4
À;. 
"A, 
相认识，如果这3 个人中有B ，C 相互认识，那么A ，B ，C 这3 个人便满足条
件;如果和A 认识的3 个人彼此都不认识，那么这3 个人也满足条件.
现在假设A 认识的人数少于3 人，那么有3 个人不认识A ，如果他们之
中有B ，C 彼此不认识，那么A ，B ，C 满足条件;如果和A 不相识的3 个人中，
任意2 个人彼此相识，那么这3 人也满足条件.
￡二J
学科精英大视野系列丛书
• 
构造反例就是举
出一个符合其命题的
条件，但命题结论不
成立的实例.
精彩的反例令人
拍案叫绝，绝妙的反
例让人良久回味.反
例在推动数学的发
展、纠正错误论断等
方面产生过重要
作用.
例
6 是
197 4 年
匈牙利数学竞赛中一
个问题，是纽合数学
中著名的拉姆赛问题
的最简单情形.
多少年来，这个
经典的问题被许多国
家反复变形、改造、推
广后用作竞赛题. 如
下面问题是国际数学
奥林匹克竞赛试题:
有
1 7 位科学家，
其中每一个人和其余
科学家都通信，他们
在通信中只讨论3 个
题目，而且每个科学
家之间只讨论1 个题
目.求证:至少有3 个
科学家相互之间只讨
论同一个题目.
G.i\&.\~ 
食
( 丸每级)
为，传
女
tz 
食
食
食
食
柯西不等式
柯西(1789-1857) 是法国著名数学家，27 岁时，柯西已被列为最优秀的
数学家之一，例7 是柯西在研究数学分析中的"流数" 问题时得到的.
倒7
设a 1 ,a2' … ,a. ,b1 ，b2
，…
，b. 都是实数.
求证: (a; + a~ + … +a~) (b; + b~ + … + b~) 二三(α 1 b 1 + α 2 b2 + … +α .b，，) 2 . 
给析
若直接展开比较，则证明困难. 若两边同乘以4 ，则可化为4αc二三
扩的形式，从而构造二次函数证明.
证明
(1)若叫十叫+ … + 叫=0 ，则α 1 -α 2 - … = 仇=0 ，原不等式
成立;
(2) 若a ; + a ~ + … +叫手0 ，构造二次函数.
y =(α;+a~+ … +a;，)x2 -2Ca1b1 + a2b2 +…+ a"b" )x+ Cb; +b~ +…+ b;, ) 
= (alx - b 1 ) 2+ Cα 2 工- b2 ) 2 + … 十(α "x - b ，，)2 二三O
又α;+α! 十… +a ;，二三0 ，即二次函数开口向上，抛物线与工轴元交点或
只有一个交点，故
6.::(0 ，即
6.=4(a1 b1 +α2 b2 + … +α，ι ) 2 -4(a; + a~ + … + a~ )(b; 十b~+ … +b;，)::(0, 
二(a ; +a ~ + … + α~) (b; 十b~+ … + b;，) 二三(a 1 b 1 +α 2 b2 +… + aþ ,, )2. 
~ 刻意练习
l. 设实数x ，y ，z 满足x 2 十y2 十Z2 - xy - y z - zx = 27 ，则Iy- zl 的最大值
为
(四川省竞赛题)
2 . 已知a> O ，b> O ，以R丰/7，R丰再2，)4歹+ b2 为三边长的三角形面
积为
("希望杯"竞赛题)
3.
当α 取遍0~5 的所有实数值时，满足3b= α(3α -8 ) 的整数b 的个数
为
(全国初中数学联赛题)
4. 当工分别取值-L -L -L
. .. i1 ，2 ，. .. ，2005 ，2006 ，2007 时，计算
2007' 2006 ' 2005 ' 
' 2 
代数式匕兰的值，将所得的结果相加，其和等于(
) 
l+ x ' 
A.
一1
B. 1 
C. 0 
D. 2007 
(全国初中数学联赛题)
5. 设关于工的方程ax 2 + ( α 十2 )x+9α = 0 有两个不等的实数根町
，町，且
工1 < 1 <码，那么
，a 的取值范围是(
). 
2 _ _ 2 
A .
一一〈α〈
7 --
~ 5 
B a > 3
之始
第
28 讲用适法
构造函数就是找
出作为自变量的因素
或可以表示成某一变
量的函数，或是用函数
的观点分析问题的条
件、结构，通过函数性
质或图象解决问题.
吨
电
~ 
主样倒是E
vdF 
11:学~资政提电典，.，.)
凶幽幽
成功解决问题的
关键在于心理因素和
非心理因素方面的战
略规划
、战术方法的
运用以及联系广泛的
思维视角自由转换.
,I'í:\GAa.-\ 
可k
*女
食*
* 
食
食
，传
C.a< -11
D. 一主〈α <0
11 
(全国初中数学联赛题)
6. 方程i
2=zz-b 实根的情况是(
). 
工
A. 只有一个实根
B. 只有两个实根
C.
只有三个实根
D . 无实根
(山西省太原市竞赛题)
7. 当代数式j9?丰4+ J9xz - 12xy+4/ + 1 + J4/-16y +20 达到最小
值时，求x.y 的值.
("我爱数学夏令营"竞赛题)
8. 设工.y.z 介于0 与1 之间，求证: x (1 - y) + y (1 -z) +z(1- x)<1. 
(俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
9.
已知a .b.x.y 为正实数，且α2 + bZ = 1.x Z 十y2 = 1. 求证:ax+ byζ 1.
(河北省竞赛题)
10 .
已知实数α .b.c 满足a + 2b+c>0. 且a-2b+c<0. 证明:bZ >ac .
(克罗地亚竞赛题)
1 1. 有十个人，每人均写下三个不同的正整数，其中，任两人写下的数中均至
少有一个相同.已知共有n 个人写下了整数1，且没有数被超过n 个人写
下.求η 的所有可能值.
(匈牙利竞赛题)
12.
证明:
mn(m+ n) 
(1)存在无穷多组正整数(m.n)(m手川，使得
?
I 
? 为整数;
m'+ mn + 旷
m n(m+ n) 
(2) 对于任意两个互素的正整数m.n.
2 
I 
2 均不为整数.
.n' m2 +mn十η
(四川省竞赛题)
13. 设a.b.c 为给定互异实数，证明: 方程(x- a) (x-b) = x - c. (x - b) (x一
c) = x - a. (x - c) (x - a) = x - b 中至少有两个有实根.
(俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
A
U
、
I
l
l
.
」
-
E
〕
「
α
扩
3
C
十
十
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a
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十
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+
yyy 
ahvc 
+
++ 
zxz 
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l
t
J
A
E
-
-
J
、
I
l
l
s
-
『
t
、
组
程
方
解
A
啡
'
且
(泼兰竞赛题)
15.
已知α2 十b2 =1. 对于满足条件Z十y= l，xy注0 的一切实数对(工，y) ，不
等式ay2 -xy十bx 2 二三0 恒成立，当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值.
(全国初中数学联赛题)
16. (1)是否存在正整数m ，n 使得m(m + 2) = n( n + 1)?
(2) 设走(走二月)是给定的正整数，是否存在正整数m.n. 使得m(m +的=
η(η+ 1) ? 
(全国初中数学联赛题)
学科精英大视野系列丛书
1'!I:\G..\Gt.\ 
( 丸每缉)
* * 
t 
女
，传
食
食
食食
例1 一1
a ，b 是方程(x十c) (x十d) 一1 =0 的两根，a 十b= 一(c + d ) ,ab=cd- 1. 
于是原式=αb +( α + b)c+ c2 =cd 一l 一(c+d)c+c2 =- 1. 
第
28
ì并向造j圭
• 
…想
黯
倒2
A 
(α3+ b3 +C3 ) _ ( α + b+c) = (α3- a ) + (b3 - b) 十(c3 - c) = α (a 一1) (α + 1) + bCb-
1) (b+ 1) + 
c(c 一l)(c + 1)，三个连续整数是6 的倍数.
倒3
设A = ? +轧B= 言+3日2
: a十卢= 7 ,aß= 8 , :. a
卢= J (α+卢)2 - 4aß= 刁于.
(1 , 
1 飞
~
I 
h 
n 
a+ ß 
'. A + B = 21 _:_+ 丁
1 + 3(旷+ 日
) = 2
' ~+ 3 [ (α+卢) 2- 2a卢'J= 1 00
~ , 
Lα
ß ) , ~ ' r-
αP 
A - B=2( l_一书+3(hh2 22十3(卢+叫户一号币，
飞回
ß ) , ~ ' r-
-
, 
-
aß 
由①、②，得A= ? +3F = 专(403 - 85 J17") 
① 
② 
倒4
如图，将αB + bC+ cA 看作边长分别为α 与B ，b 与C ，C 与A 的三个小矩形面积之和，将三个小矩
形不重叠地嵌入到边长为走的正方形中，显然aB + bC 十cA<走2
A 
a 
(- 5 
12x- 1 
倒5
(1 ) y= ~ 14x+ 1 
l5 
如图为此函数的图象.
B 
b 
(例的
(例5)
(xζ - 2) , 
(-2< x王三
1), 
(-1 <工运1)，
(x> 1). 
( 2 ) 设y = 走工十3 ，y = lx十1
1 -2Ix - 1
1 + lx + 2
1 (k手0) , 
因此，所给方程有三个解，实际上就是这两个函数的图象有三个交点. 如图，令A Cl，5) ，点B( 0 ，3 )
，如l
y= kx十3 的图象是过定点B 的直线.当y = kx十3 过点A 时，此直线之斜率k=2 ，显然，这两个函数的图象只
有两个支点; 故当0<走< 2 时，这两个函数的图象有三个支点，从而是的取值范围是0<走< 2 .
-
~ . 
1. 6 
将原等式整理为关于工的一元二次方程工2 一(y+z)x + / +Z2 - yz-27= 0 ,/:::,,= ( y十z) 2-4(/ 十
。t
学科精英大视野系列丛书
• 
食食
女
食
食
1与
，陆女
食
al/1\ I 
「1心|
z2_yz一27) 二三0 ，得(y- Z) 2 ζ 36 ， ly-zl~6. 
构造如图所示的矩形.
2?ab 
4 , 2 
16 >I_ >.t ..:s:. _ JJ. 
_ A. -
.;. :7'.;IU.. 
-r;!; J: ;,J., r _i_ _ 16 
b=(a 一一)
一是关于a 的一个二次函数，顶占为(一，一一) ，当a=5 时，b=
3 / 
9 _,..._ "'..... 
~ "' ...., 
I 
-
." -
_.... ~ , ~.....， 
，..、
3'
9 
3. 13 
35 .• •. _ __ 
__ _ _, 
16 ...- . ...- 35 
τ ，故当O~aζ5 时，一一ζbζ一，整数b 可取到的整数值有一1 ，0 ，1，2 ，"'，1 1.
9 
~-
~ 3 
nu 
--
n-n 
二
十
十
h
一
时
一
­
n-n 
二
+
+ 
\
I
l
l
-
4
、
1
1
l
l
/
1
-
n
一
1
-
n
/FIllt\
,,
fllt\ 
一
一
+
4. C 
S. D 
在同一坐标系中分别作出yl =i和Y2 = (X一1) 2+ 1 的图象.
x 
6. A 
7.
原式= )[0 一(-2) J +(3x-O)' + )(1 -0)2 +(2y-3土) 2 + )(3 _1) 2 十(4-2y)2
，建立如图所示的
直角坐标系，设A( 一2 ，0) ,B(O ,3x) ,C(1 ,2y) ,D(3 ,4) , 
则AB = )[0 一(-2)J+ (3x一0)' ,BC= ) (1 - 0)2 + (2y-3x)' , 
AB + BC+ CD注AD= AL 当且仅当B ，C 在线段AD 上时，原式取最小值JIT ，即主_ _i_ 2y = 生解
2 
5 ' 3 
5
' 町
CD= )(3- 1) 2+(4 一2y)2 ,AD= j5可42= JIT.
C(l,2y) 
rτ尹'D(3，4)
才fB (份0
(-2ζ，0创)A
咀
8
6 
侍x=15 ，y= τ-
R 
z 
(第8 题)
(第7 题)
8. 如图，构造边长为
1 的正6PQR ，分别在边上取点L ，M ，N ，使LR = y ，MP = z ，NQ = x ，则QL = l →y ，
RM=l-z,PN=l-x , 
. 13_r1 _ .., _l__13. .f1__ ' 113 " 
, ...-13 
: 
S[1阅L 十S[1LMR +SMMN< S[1邸，:. V
4- x (1 -
y ) + V
4- y (1 -
z) +v4
v z (1 - x) <V4
V X 1 X 1. 
IB 
A 
flF x (1 - y) +y(1 - z) + z (1 - x) < 1. 
9. 如图，作以AB = l 为直径的①0 ，在AB 两侧任作Rt 6ABC 和Rt 6ADB ，使得
AC=a ,BC=b,BD=x ,AD= y ，由勾股定理知α ，b ，x ，y 满足题设条件.根据托勒密定理有
AC.BD+BC.AD=AB.CD ，又CDζAB = l
，故ax十by~ 1.
, ,_. 
, 
• 
~ .. ._ r!(1) > 0, 
设f(x ) = ax' +2bx+c ，由条件得!If( - 1) < O, 
D 
10. 
(第9 题)
:. f(x) 有一个根在一1 与
1 之间，
.: f(x) =0 为二次方程，
:.t:. = (2的2- 4ac> 0 ，得b2 > ac .
( 丸每银)
11. n 的可能值为
5 ，6 ，…，10.
先证明:n注4 .
女食
食
古
食
食
食食
*
第
28
ì井相适法
任取一人，设其写下的三个数为
a ，b ，c . 则其他人均至少写下了
a ，b ，c 中的一个.而在这
9 人中写下α 的
人数、写下b 的人数、写下
c 的人数均不超过n - l，故
9 < 3(n - 1) =均二三4.
再证明:n = 4 不可能.
事实上，若n=4 ，仿上分析，知任一人写下的三个数在其他9 人所写的数中均各自出现三次.这表明，每
个被写下的数均总共出现四次.但所有人写下的数总共有30 个(含重复) ，不被4 整除，矛盾.
对η = 5 ，可构造例子如下:
{1, 2 , 3} , { 1, 2 , 3} , {2 ,4 , 6} , {2 , 4 , 6} , 
{ 1, 4 , 7} , { 1, 4 , 7} , {3 , 6 , 7} , {3 , 6 , 7} , 
{1, 5 , 6} , {2 , 5 , 7 }. 
而若将其中的
{2 ，4 ，肘
，{ 2 ，4 ，肘，{ 3 ，6
，7 } , {3 , 6 , 7} ，{ 2 ，5 ，7 } 逐个用
{ 1，2 ，3 } 取代，即得到n=6 ，7 ，…，10 的例子，
故n 的全部可能值为
5
，6 ，…，10.
12. (1)令n = km( 正整数h 二三2) . 
则m2 十mn + 旷= (l + k + 旷)m ' , 
mn(m 十n) = kO 十k)m3 •
取m = l + k + k '
，得n = 走3 十k ' 十走.此时，
mn(m 十的
H1 + A 、
。= 一一一一一芋= kO + k)( 整数) . 
m'+ mn 十n'
1 十k 十k ι
mn(m + η) 
所以，存在无穷多纽正整数(m ，时，使得
2 为整数.
m'+ mn+ n 
( m + n) 
(2) 假设存在两个互素的正整数m ，η ，使得
2 为整数.则
m'+ mn + n 
(m' + mn+ n' ) I mn(m寸η)
=;>(m' + mn + n' ) I [ mnCm + 的- n(m ' 十mn + 旷) J
=争(m 2 十mn 十η ' ) I n3 • 
类似的
，(m 2 + mn+ n2 ) 1m 3 • 
于是，(m 2 十mn 十n ' ) I (η 3
，m3 ) . 
由(m ，n) = 1斗(m 3
，η3 ) = 1 
=;> (m 2 十mn 十η ，) 11 
=争m2 十mn 十n 2 = 1, 
这与m ，n 为正整数矛盾，
因此，假设不成立，
从而，房、结论成立.
13.
不妨设α< b< c ，则
I J ( x ) = ( 工- b)( 工- c) - ( x- a) , 
1, (工) = (x- c) ( x- a) 一( x 一的，
1 3 ( 工) = ( x- a)( 工- b) 一(工- c).
注意到，它们的二次项系数为正，且1，(c) =b-
c< O ,11 (b) = a - b< O. 
J主党
食
食
AR 
AK 
食
为
食
学科精英大视野系列丛书
食
食
故1 1 = 0 ，/2= 0 均有实根.
14. 0: a ，b ，c 是方程t 3 +zl + yt +X= O 的三个根，
00 t3 + zt2 + yt+ x = (t - a) (t - b) (t-c) =t3 -
(a 十b+c)t2 十(ab+bc + ac )t - abc ，
比较对应项的系数得x = -abc ，y=ab十bc + ac ，z= - (a+b+ c) . 
15. 由z 十y=l
，xy二三0 知O~ x~ l，Oζ y~ 1.
2α + 1 
令x= O ，y=l
，得α 二三0; 令x=l ，y=O ，得b二三0 ，从而
1 + a + b> O ,O< A"--;-
, 7 " < 1. 
20 +a+ b) 
故二次函数y = O+ α + b) x2 一(2α 十l) x 十G 的图象的开口向上，且顶点的横坐标在0 和
1 之间.
又原不等式对于满足条件O ~x~ l 的一切实数z 恒成立，
所以~ = (2α + 1) 2- 40 +α+仇ζ 0 ，即α仿士
r__.f6-J2 
r _.f6+J2 
(a2+ b2= 1, 
l a 一一--一，
Iα 一一--一，
由!.
1
得{或{
l ab = 工，
1 ，再+ J2
1 , .f6- J2 
γ
… 一→
一
… 一-
L-
4 
L-
4 
16. (1)答案是否定的. 若存在正整数m ，n ，使得m(m 十2) =n(n 十1)，则(m + 1) 2 = n2 + n + 1 ①. 因为
η2< n 2 + η 十1 < (n + 1) 2 ，所以n2 + n + 1 不是平方数，与①式矛盾.
( 2 )
当走= 3 时，若存在正整数m ，n ，满足m(m + 3) =n(n + 1)，则4m2 十12m = 4n 2 + 4n , 
于是(m - n 十1) (m + n 十2) =2 . 而m + n + 2 > 2 ，所以上式不可能成立.
当k 二三4 时，若走= 2t(t 是不小子2 的整数) ，取m = t 2 -t ，n = t 2 一1，则m(m + k) = t' - t2 ，n( η + 1) = t' - t2. 
因此，这样的恼，η) 满足条件.和= 2t + 1( t 是不小于2 的整数) ，取m= 主二1 ，n = 主土ζ2 ，则m(m + 是)=
2 
士们ν
t 2 一川(n+ 1)=~ 川2t3 -
t2 -
2t) 因此，这样的(m ，叫足条件综上所述，当时时，答
1 
案是否定的;当k 二三4 时，答案是肯定的.
注:当h 二三4 时，构造的特例也可以是其他的形式.
出宅1吨~
~午时应ι11
|~暗?
I
飞豆豆d
在现代艺术设计领域，几何图形是艺术设计的重要元素，
设计者以抽象的几何图形为骨架，应用数学的规则、方法、思
想，表现对比与调和、形象与空间、统一与变化、韵律与节奏，形
成一种创作理念、思维方式，具有强烈的视觉效果.
-q{ 
也旺Y
叫许局部与整体二l
'
知能概述
局部与整体是矛盾的两个方面.
解数学问题时，我们总习惯把它分成若干个较简单的问题，然后再分而治
之，各个击破，或是集中力量先解决某一局部问题，这就是解题的局部化策略.
整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突
出对问题的整体结构的分析和改造，从整体上把握问题的特征和解题方向.
'
问题解决
倒1
在长方形内有1989 个点，以这1993 个点(包括长方形四个顶点)
为顶点画三角形，使每个三角形内部都不包含其他已知点，则这个长方形可
被分成
个三角形.
(全国部分省市数学通讯赛试题)
鹏题思路
虽然连线的方式多种多样，但是从整体上看，不管怎样连
线，这些小三角形的内角和是180。的整数倍，这就开辟了一条整体计数的
途径.
t 257 '1 
气~
数学是美丽的，
她的美丽来自追求心
灵的单纯、自由和
超越.
外尔
奇点定理的证明
英国两位数学物
理学家彭罗斯、霍金，
潜心研究"黑
J同"理
论，从数学上证明了
奇点定理.
对无限的研究，
有力地推动了数学和
物理学的发展.
I'::!\G.:\~ 
食
食食
食
食*
食
食女
倒2
设a ，b ，c 是不全相等的任意实数，若X= 矿-bc ，y=b2 - ac ,z= 
c2 - ab ，则z 巾，z 中(
). 
A. 都不小于零
B. 都不大于零
C. 至少有一个小于零
D. 至少有一个大于零
(湖北省黄冈市竞赛题)
堕堕塾暨
由于a ，b ，c 的任意性，若孤立地考虑x ，y ，z ，则很难把握h
y ，z 的正负性，可考虑整体求出z十y+z 的值.
倒3
有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将
前面的两位数的末尾添一个0 ，然后加上前、后两个两位数的乘积，恰好等于
原来的四位数，又知道原数的个位数字为5 ，试求这个四位数.
(江苏省竞赛题)
些堕要些
若设所求的四位数为再三，计算较繁，从整体出发，设前、后
两个二位数分别为m ，n ，可简化计算.
倒4
已知X j
'句，… ，X lOO 均为实数，走= 1，2 ，… ，98 ，均有
12冉
冉+ 1 1 = Xk+2 , 
12Xgg -
XlOO 1 =工1 , 
12x 100 -
X 1 1 =岛，
证明
: X 1 = x 2 = …=X lOO• 
(克罗地亚竞赛题)
理堕塾些
问题虽涉及多个实数、多个等式，但整体上看等式都有相同
的结构，证明的关键是怎样消去绝对值符号.
学科精英大视野系列丛书
印度诗人泰戈尔
无法得到一朵美丽的
鲜花"
解题有时如作
画，既要注重整体上
的构图气韵，又要注
意局部的刻画描摹.
~~IÄ\ 
( 丸每缎)
1号
食
食
有食
，传
')_.(
食
，传
第
29
ì-井
局面与整体
倒5
证明:只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续正整数，并
且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2 倍.
( " (( 数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
鹅题思路
把问题分解成两部分:
(1)当一个三角形有一个内角为另一个内角的2 倍时，三角形的三边有
什么关系?
(2) 在结论(1)的前提下，三边长是连续正整数时，三边长各是多少?
倒6
数字a 1 ，肉，句，…，a 1 987 是
1，2 ，3 ，…，1987 的任一种排列.证明:
1.a 1
，2.a 2
，3. 肉，…，1987 • a l987 这1987 个数中，最大者不会小于994 2 •
(国际数学奥林匹克竞赛题)
份析与解
该题是国际数学奥林匹克试题，但初中同学也能解答.为了
证明符合题意的"最大者"存在，我们只要对问题有一种整体性的认识，从整
体上证明最大者存在即可，即不从局部下于，求出最大者是多少.
由于1，2 ，…，1987 中，994 ，995 ，…，1987 这994 个数不小于994 ，故肉，
肉，…
，a 1987 中α 994
，α 995 ，…
，a川7 这994 个数中至少有一数不小于
994 C 即使
内，肉，…
，a 993 全不小于994) ，则994a阳
，995a 995
' …，1987a 1987 中至少有一个
数不小于994 2 ，问题得证.
系统思维
系统论是由美籍奥地利生物学家贝塔朗菲创立的，系统论的创立改变
了世界科学图景和人们的思维方式.系统思维是关于整体综合的思维方式，
普眼于整体和元素之间、整体同环境相互联系的关系中思考.
倒7
已知若干个正整数之和为1976 ，求其乘积的最大值.
(国际数学奥林匹克竞赛题)
给析设n 个正整数町，句，…，工"之和为1976 ，即工l 十X 2 + … 十X" 二
1976 ，由于和为1976 的不同正整数组只有有限多个，而它们的乘积也只有有
限多个，所以，乘积的最大值是存在的.从局部入手，逐步调整，求其最大值.
鹏
首先，关注一个大于4 的正整数.
如果町
，句，…，工n 中有一个大于4 ，比如引>4 ，把X; 拆成一个2 与一
个冉一2 的和，即引=2+Cxj -2).
l
"
思
?比啤镜
在微观上重析
理，在宏观上看结构.
既看局部，又看整体;
既见树木，又见森林，
两者互用，这是分析
问题和解决问题的普
遍而有效的方法.
在解一个较复杂
的问题时，常不能一
疏而就，若把问题分
成若干个局部问题，
且这些局部问题常是
梯次递进的，当这些
局部问题解决了，则
原问题就解决了，这
就是局部调整法中的
分步推进策略.
~~、，~
食
食女
食
食
1与
食
食为
学科精英大视野系列丛书
两个加数的乘积2(xj -2) =2xj -4=xj + (x j -
4) > x j • 
所以，第一步调整是把町，屿，…
，X n 中所有大于4 的数句，通过分拆为
2 与xj -2 ，全部换成不大于4 的正整数.
当然，不能让拆出的数中出现1，因为这时乘积不会变大.还要注意到，
如果拆出的数恰巧出现4 ，由于4=2 十2=2X2 ，所以把4 换成2+2 时，不会
使乘积变小.
因此，第二步调整是把z
中所有的4 全部换成2+2.
经过这两步调整，乘积将会变大，而且是把1976 拆成若干个2 与3 的和.
下面的注意力就放在2 和3 的调整上.
由于2 十2+2=3X2 ，但2 X 2X2 < 3 X 3 ，这说明，在对1976 的分拆中多
出现3 比多出现2 好.
于是，第三步调整是把1976 的分拆中，每三个2 换成两个3 ，即使分拆
中多出现3.
因1976=658X3+2 ，故经过这三步的调整把1976 分成658 个3 与
1
个2 之和.
这时的乘积最大，最大值为2 X 3658 
1.已知(矿十X+2) 5 =alO x 10 +a9x 9 + … 十a1x+α。，则a lO -a9 十α8 - a1+ … 一
a 1 十α。的值为
("华罗庚杯"香港中学数学邀请赛试题)
rX 十y + 工y=8 ，
2.
已知
x ，y ，z 为正数，且满足iy 十z+yz = 15 ，则
X + y + z + xy = 
Lz+x+ zx=35 , 
(新疆维吾尔自治区竞赛题)
3 已知实数川c 满足Jfb 寸，丘寸，Jfrt ，则ab + bc+
ca= 
(四川省竞赛题)
4. 若a=ß+3 ，则3a 3 -17α2 十3a 十4 的值是(
A. 0 
B. 1 
C. 2 
D. 3 
("希望杯"邀请赛试题)
5. 有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2 根，乙种1 根，丙种3 根共长23
米;甲种1 根，乙种4 根，丙种5 根共长36 米.则甲种
1 根，乙种2 根，丙
种3 根共长(
). 
A. 21 米
B.
22 米
C. 23 米
D. 24 米
(重庆市竞赛题)
￡) 
9任巳丘贯
酒'因哥
哥圄画画巨
041 3恤tzrrr惆阳
数学领:Ii巾的1>Ì幌心理学
"阳u…._n-响饵-…'"缸­
.....翩翩... 崎岖.... 
.
愧，j .;l:阿..
ι
• ...
幡施，
• ,… 
.~-!!!! 
在数学(乃至一
般的)发明创造过程
中，往往存在着创造
灵感，或称之曰"顿
悟"的现象，既不能简
单地归之于机遇，也
不能无为地说成是逻
辑推理，而是经历了
一种很复杂的"无意
识思维"过程之后的
结果.
n.:\Ct;\R.\ 
女食
食
食食
食
( 丸每缉)
飞去
食* 
6. 一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿
出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到
的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两
部分……如此下去，最后得到了
34 个六十二边形和一些多边形纸片.则
至少要剪的刀数是(
). 
A. 2004 
B. 2005 
C. 2006 
D. 2007 
(全国初中数学联赛题)
7. 如图，将
1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6
，7 ，8 ，9 ，10 这十个数分别填入图
中的十个圆圈内，使任意连续相邻的五个圆圈内的数
的和均不大于某一个整数M ，求M 的最小值并完成填
图.
(北京市"迎春杯"竞赛题)
8.
已知町，巧，…
，X1 5 取值为
1 或一1.记S= X1XZ + 
X Z X 3 + … + X1 5 X l' 求S 能取到的最小正整数的值.
(第
7 题)
(四川省竞赛题)
9. 设正有理数a ，b ，c 满足条件a 十b +c~4 且ab + bc + ca 二三4 ，试证明:下面
的三个等式中至少有两个成立
:
l a - bl ζ2
，lc- a lζ 2
，lb-cl~2. 
(湖南省理科实验班招生试题)
10. 小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之
间加上数字8 ，成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码
前加上数字2 ，成为一个八位数的电话号码. 小明发现，他家两次升位后
的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81 倍，那么小明家
原来的电话号码是多少?
(全国初中数学联赛题)
1 1.已知鸟，码，… ，X lO 都是正整数，且X 1 +工z+ … +x 1 0 = 99 ，求X;+乓+…+
zi。的最大值和最小值.
(全国初中数学联赛题)
12. 设α ，b ，c 均为实数，证明: (α +b十c) Z -9础，(α + b+d-9仗，(α +b+c)Z 
9ca 中至少有一个为非负数.
(克罗地亚数学奥林匹克竞赛题)
13. 在10 X 10 的方格表中写着自然数
1 ~ 100; 第
1 行从左到右依次写着
1 ~10; 第2 行从左到右依次写着1l ~20; ……如此下去.安德烈试图把
方格表全部分割成
1 X2 的矩形，并计算每个矩形中两个数的乘积，再把
所得的乘积相加. 他应当怎样分割，才能使所得和数尽可能地小?
(俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
14. 设实数工1 '町，…，工2014 满足
: IX1 1 =99 , IXn 1 = IXn- 1 + 1 1 ,n=2 ,3 ,…, 
2014 ，求X 1 十X Z + …十X 2 0 14 的最小值.
(上海市竞赛题)
15 有多少组正整数对川，使得肉，且4户28叫一个因子?
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
26结
第
29 讲
自由与整侬
守~ r: íi 摸
潭......
砸自咱巨
~~1'tI:\ 
食
食
AW 
AN 
食
λ
日
食
学科精英大视野系列丛书
食
食
• 
…-. • 
4 X 90 + 1989X360 
倒
1
可被分成
=3980 个小三角形.
180 
倒2
D h+z=÷[(α一仙( b -c) ' + (a - c) '问
n 
倒3
由题意得10m十mn = 100m+ η ，m= 一一一，由m>O ，n>O ，得η-90>0 ，又η 是两位数，且个位数字为
n - 90 
5 ，因此η = 95 ，从而m = 19 ，故所求的四位数为
1995.
倒4
将所给的等式平方得:
4x! - 4XkX H ，十zL1 = 工;十，'走=1
，2 ，…，98 ，
4x: 9 一位99 X 100 + X ~OO = X ~ ; 
4丘。。一位川x ，+ x:= 丘
，
将以上等式相加得，
4(x: +乓+ … +丘。0 ) -4( 工，x ，+句句+ … +工99 X lOO 十x lOO x，) =0 , 
配方得( x ，-x,)' + (x, -x 3 ) ' 十… 十( X 99 - X lOO ) ' 十(x' OO - x ,)' =0 , 
故工，= x，= … =X 1 00
•
倒5
(1)设ζA = 2 ζ B ，构造相似三角形可得α ，=b(b 十c).
(2) 在a ' =b(b + c) 的前提下，求出三条边长为三个连续正整数的值.
①
当α > c> b 时，设a = n 十1 ，c = η ，b = η
1，
则(n + l) '= (n - 1) (2 η
1)，解得η = 5 ，此时，α = 6 ，c=5
，b =4 .
②
当
c> a > b 时，设c = n + l，α = n ，b = η - 1，
则η'= (n - 1) 2 η ，解得n = 2 ，此时，α =2 ，b = l，c = 3 不构成三角形.
③
当
a > b> c 时，设α = n 十1
，b = n ，c = η - 1
，
则(n + 1) 2 = n(2n - 1)，此方程无整数解.
综上所述，只存在唯一一个三角形，其三边长为
4 ，5
，6 是连续正整数，且其中一个内角为另一个内角的
2 倍.
• 
---11 • 
1. 
32
取工= -1.
2. 15 
由工+ y 十xy = 8 ，得(1 + x) (1 十y) = 9 ，类似的，(1 +y) (1 +z) = 16 , (1 +z) (1 +x) =3 6 ，则(1 +x )
(1忖)(1 + z) = 3 X 4 X 6 ，解得z = 74= l ，z = 7
3. 1 
1 
I 1 
~ 1 , 1 
. 1 , 1 
~ 
_, _ 1 , 1 , 1 
由条件有一+-;:-= 3 ，一十一= 4 ，-=-- +一= 5 ，从而
十一+-=--=6 .
b 
V' b 
c -... , C 
I -; -
J , /y\_ "'J -; -, b -, ~ 
由条件得a ' ←6α + 3 = 0 ，α ' =6α
3 ，旷十1 =6α - 2.
4. B 
5. B 
6. B 
根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360 0 •
于是，剪过走次后，可得走十1 个多边形，这些多边形的内角和为(k + 1) X 360 0 • 因为这是+1 个多边形中有34
证j
( 丸篝缎)
女食
食
f芋*
食
为
x
食
第
29 讲
自由与整体
个六十二边形，它们的内角和为
34 X (62 -2)X 180 0 =34 X 60X 1 80 0 ，其余多边形有(k 十1) -34= k -33 个，而
这些多边形的内角和不小于(走一33) X 1 80 0，所以，(走十1) X 360 。二三34 X 60 X 180 0 + (走一33) X 1 80 0 ，解得走二三
2005. 当按如下的方式剪200 5 刀时，可以得到符合条件的结论:先从正方形上剪下
1 个三角形，得到
1 个三角
形和
1 个五边形;再在五边形上剪下
1 个三角形，得到
2 个三角形和
1 个六边形…… 如此下去，剪了
58 刀后，
得到
58 个三角形和
1 个六十二边形.再取出
33 个三角形，在每个三角形上各剪一刀，又可得到
33 个三角形
和33 个四边形.对这33 个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪
58 刀，使得到
33 个六十二边形和
33 X 58 个
三角形.于是，共剪了
58 +3 3 十33 X5 8=200 5 ( 刀) . 
7. 设满足已知条件填好的数依次为
a 1
，a z
，…，α '0 ' 
则α l 十a 2 + a 3 + α4 十α 5 ~M
a 2 + a 3 + α4 十α5+ a 6 ζM
a,o + a, + a2 + a3 + α4ζM 
所以5(a ，+ α2+ … + a ，o )~10M 
r 5X1~X ll 
一一一~ ~ 10M ，解得M 二三27.5.
(第
7 题)
而M 为整数，故M 的最小值为
2 8 ，将1，2 ，…，1 0 分成
1 0 ，7 ，6
，3
，2 与
9
，8 ，5
，4
. 1 两组，依次填入图中-
8. 令Yi= 工iX i+' (i = 1 , 2 ，…，1 日，约定工1 6= X j
，则Yi= l 或
1. 
在y ，
，只，… 'Y 15 中，设有α 个取1，b 个取
1 ，显然，α + b = 15 . 
又
1 " ( 一1) b= Y'Y2… Y15 = ( 均工2 … X 15 ) 2 = 1 ，故b 为偶数.
由S 为正整数知5 = a - b = 1 5-2 b二月，此时
，b 二6 .
另一方面，在句，巧，…
，X 1 5 中，乃= X5 =X8 = - 1 ，其余全取1，则5 =3 .
因此，5 能取到的最小正整数是3.
9. .: (a - b) 2 十(b - c) 2 + (c-a)2 = 2(a 2 十b2 十J 一ωb - bc - ca)
= 2(a + b 十C ) 2 -6(ab + bc 十ca) ζ2X4 2 -6X4=8 ，
'. (a - b) 2 ,(b -
c) 2 ，(c - a) 2 中至少有两个不超过
4 .
即
l a - b l~ 2
，
I b -clζ 2
，
l c-a l~ 2 中至少有两个成立.
10. 设原来电话号码的六位数为abcdeJ ，则经过两次升位后电话号码的八位数为2α 8bcdeJ .
根据题意，有81 X abcdeJ=写百cdeJ ，记工= b X 104 +cX 103 + d X 102 +eX 10 + J , 
则
81 X α X 10 5 + 81x= 208 X 105 + a X 106 +工，
解得X= 1250(208 一71a) . 
足
1 28 _ 
~ 208 
因为0运工< 1 0 5 ，所以0 '"二1250(208 一7 1a) < 10
5
，故7τ 〈αζ 7了·
因为α 为整数，所以a=2
，于是X= 1250 X (208 - 71 X 2) = 82500 ，故小明家原来的电话号码为28250 0 .
1 1.因为把99 写成10 个正整数的和的写法只有有限种，因而，一定存在一种写法，使得这1 0 个正整数的
平方和达到最大;也一定存在一种写法，使得这1 0 个正整数的平方和达到最小. 假定鸟，码，…
，X lO 满足X ，+
工2 十… 十X ，O = 99 ，且使得丘+X ~ + … +丘。取得最大佳，不妨设.T ，~工2ζ … ζ X 1 0 '
若X ，> 1，因为工1 十工2 = (x，-1) 十(工2 十1)，
且(X ，_ 1) 2 十(X 2 十1) 2 =X: + X~ 十2( 工，- X ，) 十2>x:+ 丘，
所以，当用x ，- 1
，x2 + 1 ，码，…，X IO 来代替x ，
' 鸟，…
' X lO 时，它们的和仍然是99. 但它们的平方和却增加
了.这与工，
' 鸟，… 'X lO 已使得乓+乓十… +丘。取得最大值矛盾，故x ，= 1. 
同理，工，- x 3 = … = 工9 = 1 ，于是，x ，o= 90 .
, 263 , 
k
吆
食
食为
食
食言传
食
食为
故X:+X:+ … +x:。的最大值为
1 2 +1 2+ … + 1 2 十90 2 =8109 . 
下面求X:+X : + …+丘。的最小值.
学科精英大视野系列丛书
假定X1
，X2
，… 'XlO 满足X1 十与+ … 十xlO =99 ，且使得zi 十X:+ … +丘。取得最小值，不妨设工1~与ζ…运工10 .
若存在Xi 叫(l~i<j~ lO) ，使得Xj-Xj 二三2 ，因为(工J 一1) 2 +CXi + 1) 2 一CX; +X~)=2 CXi -xj )+2ζ- 2<0. 
所以，当用x i + 1 和xj - 1 来代替X i 和鸟，其他数不变时，它们的和仍然是99 ，但它们的平方和却减少
.了，这与乓+ 五十… +丘。已取得最小值矛盾.
于是，当X:+ 乓+ … +丘。取得最小值时' X 1
' 码，… d 】。中任意两个数的差的绝对值不超过1，从而，这10
个数只能为
1 个9 ，9 个10. 故X:+ 乓+ … +丘。的最小值为
9 2 十10 2 + … 十10 2 = 981. 
12. 对任意的实数a ，b ，c ，若有(α + b+d -9ab < 0 , (a+b+d -9bc< 0 , ( α +b+C) 2 -9ac<0. 三式相加得
a2 + b2 +/ - ab- bc-ac<O ，即i [ (a- b) 2+ (b-c) 2+ (c- a) 2]〈0 ，显然矛盾，故原式中至少有一个为非负数.
2 
13 .
将
1 X2 的矩形称为"多米诺"设在第
z 号多米诺中所写的两个数为a j
，b i • 则
a;+ b; 
(ai- bY 
a ，O ，= 一一一一一一一一一一一一一一
υ2 
2 
对每个多米诺都写出这样的表达式，求和后得知，所要考虑的
50 个乘积的和S 为
s=':;+ a~+ … + a ;o + b; + b~ + … + 悦。
C a 1 - b1)2 + Ca2 - b2)2 + … + CaSO - bSO ) 2 
2 
2 
12+ 22+ …+ 1002 
上式右边第一个分式等于
，其值与分割方式无关，而第二个分式的分子中的每一项，都
2 
或者为
1 2 ，或者为
10 2 ，这取决于多米诺是横向的还是纵向的.因此，当所有的多米诺都为纵向时，其中每一项
都是100.
故第二个分数达到最大时，s 的值为最小.
14. 参见例4 得
4014 =z:+ 2(工I+ X2+ … + X2013 ) + 2013 , 
:.2C x 1 十X2 十… + X201• ) = X:01• + 2x四14-20 13
4=(Z2014 十1) 2 -2014 - 992. 
由于码是奇数，由题设的条件知，鸟是偶数，句是奇数，… d川是偶数，
从而CX20 1 • + 1) 2 二三1，故X ，+X，+ … +z
〉l(l 一2014-99 2 ) = 一59 07.
1 I 
...,(.,2 I 
I 
..L2014::;;'- 2 
又X 1 =-99 ，与=-98 ，…
，X" = - 1 'X100 =0 ,X101 = - 1 ,X102 =0 ，工1 03 = - 1 ,X10. =0 ，…，工20 13 = -1 ,X201• = 
0 时等号成立.
所以'X 1 +X 2 + …十X20 14 的最小值为一5907 .
15.
注意到，2 835=3 4 X5X 7. 
令在f= 走(k 为2阳的一个酌，如IJ X2 +问(内)
当走=3 时，若x ，y 均不能被3 整除，则它们的平方和也不能被3 整除，矛盾;若工，y 中有一个被3 整除，
则另一个必被3 整除，从而工，y 均被3 整除.
类似的，当k=7 时
，x ，y 均被7 整除.
于是，可消去所有含3 与7 的因子，得到X2 + l =k' (x+ y) Ck' = 1 或5) . 
若k' = l ，则(2x - 1) 2 + C2y_ 1) 2 =2 ，没有符合X< y 的解.
若k'=5 ，则(2x-5) 2 十(2y-5) 2 =50 ，解得( x ，y) =(3 ，的或(2 ，6).
故X 2 + y 2 = k (X + y) 满足工< y 的解为( X ，y) = (立走，主kìÄ (主走，立川，其中5
1 k
\. 5 ." 5" r'l 5
~' 5 ~ ) 
而2835 有10 个正因子被5 整除，因此，所求的正整数对(X ，y) 共有20 纽.
￡) 
飞ζi{
','![-‘ 
1985 年，科学家用激光使石墨棒气
化，得到一个由
60 个碳原子组成的空心
球体结构的C60 分子，而在此之前，人们只
知道碳有三种形态
: 金刚石、石墨、碳纤
维.
C60 的形体是阿基米德体中的"五六
六式多面体"，有
32 个面、60 个顶点，每
个顶点上有一个碳原子，是一个美丽而精
致的球体.
J 第30 许以追求进二
I
'
知能概述
人们认识事物的自然趋向是向前推进，但推进的过程又不平坦，有时需
以退求进.
从简单情形看问题、从特殊情形看问题是以退求进的常用策略.
退，即从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从空间退到平
面，先解决简单的情形，先处理特殊的对象，再联想、猜想、归纳一般性的结论.
'
问题解决
Cx+1)'" 
, 
Cx+ l) ρ 
例1
设m ，n ，户，q 为非负数，且对一切工>0 ，一
n 一-1= 一
G 一恒
工工
A
成立，则Cm 2 +2η + ρ ) 2 q = 
(全国初中数学联赛题)
解题思路
一般条件下成立的结论，特殊条件下一定成立，对z 取值，
求出m 州，ρ ，q 的值.
毛飞法
善于"退"，足够
地"退"，退到原始而
不失去重要性的地
方，这是学好数学的
一个诀窍.
一←华罗庚
四色问题
1852 年，英国青
年数学家格思里在绘
制地图时发现，只要
四种颜色就可以给相
邻地区涂上不同颜
色.
1878 年，英国数
学家凯莱正式向伦敦
数学学会提出这个问
题，这个看似简单的
问题，其实是一道超
级数学难题.
&.\~&.\ 
食
食女
食
，陆女
食
食、市
倒2
如图，在四边形ABCD 中
，M ，N 分别是AB
，CD 的中点.AN ，
BN ，DM ，CM 划分四边形所成7 个区域的面积分别为鼠，5 2 '且，乱，民，忌，
鸟，那么恒成立的关系式是(
). 
A.52 +56 = 54 
C.52 + 5 3 =54 
B. 5] + 5 7 = 5 4 
D. 5] + 5 6 = 5 4 
(湖北省武汉市竞赛题)
麟题思路
存在着四边形为等腰梯形的特殊情形.
D 
C 
倒3
在Rt6ABC 中
，a ，b 分别为两条直角边，c 为斜边.当n 是正整数
时，试确定an+ b n 与c n 的大小关系.
(匈牙利数学奥林匹克竞赛题)
鹏题思路
对于一般的n ，不易确定矿+ 扩与c n 的大小关系，可从n=
1 ，2 ，3 ，4 ，…这些特殊情形入手.当n = 3 时，比较矿+矿与J 的大小仍不易.
不妨进一步作特殊化的处理，取三边长为
3 ，4 ，5 的直角三角形.
倒4
如图，五个圆顺次相外
____b 
切，且又都与直线a ，b 相切，如果其
----<γ气"r
\ 
~ 
• '{ .", 1 
.αj 
中最小圆与最大圆的直径分别为
18 -6f lrt ^ 
lJ3人
α'A
_'J 
和32 ，求①03 的直径.
a 
(天津市竞赛题)
鹏题思路
从三个圆顺次外切的简单情形入
手.如图，①0] ，①O2 '(0 3 )1四次相切，且又都与直
线a ，b 相切.设其半径依次为
r] ,r2 ,r3 ，作出常用
辅助线，由比例线段建立r ] ,r2 ，r3 的关系.
岛
a 
b 
学科精英大视野系列丛书
以追求进有下列
作用:
(1)提示解题方向;
(2)发现解题路径;
(3) 直接解答问题.
特殊或简单情形
的结论，常给我们以
有益的启示，是打开
解题思路的钥匙，是
通向一般结论的
驿站.
IÄ\~、，G.\
( 丸每缎)
合食
食
女食食
丁古食食
倒5
请问: 算式[J2008 + ) 2008 + J 2008 + ". + J 2008 ] 之值是多
少?
(这里的2008 共出现了2008 次，[工]表示不超过工的最大整数)
( 国际城市数学竞赛题)
麟题思路
记a" = ~2008叫2008 + )2008 +
十而商(共η 个
2008)
，n=1
，2 ，3 ，… ，先计算内，向的值.
倒6
P j ，P 2
，…
，P " 是平面上n 个不同的点，已知其中任意三点为顶点
的三角形的面积都不超过1.求证:存在一个三角形满足:
(1)面积不超过4;
(2) P j ，P 2
，…
，P " 都在该三角形的内部或边上.
(澳大利亚数学奥林匹克竞赛题)
份析
因为一个三角形能否覆盖一个平面点集，既与它的面积有关，又
与它的形状有关，所以直接用一个面积不超过4 的三角形去覆盖Pj ,P 2 ,…, 
P..
，并不是正确的方法(不一定盖得住) ，故应以P j ，矶，…
，P " 中的某些点为
顶点，先构造出一个面积适当的三角形，在此基础上进行适当地扩展，得到
满足要求的三角形.那么，什么类型的三角形更容易扩展为符合要求的三角
形呢?当然是面积最大的三角形，我们就从这个面积最大的三角形切入.
证明
若P j
，P 2
，… 'P n 在一条直线上，结论显然成
. 
文
P
A~ 工L-，B
立，排除这种情况
\
1 /飞
/ 
假定Pj , P 2 , … , P n 不全在一条直线上，如图，那么
p;f--• pl 
以其中任意三点为顶点的三角形中，必有一个面积最大
v 
的，不妨设为LiP j P 2 P 3
' 由条件可知5 L，P\ P2 P3 ζ 1.
c 
过P j 作P 2 氏的平行线a ，则孔'P 5
' … ，P " 和P 2' P 3 都在α 的同旁(有
些点可能在a 上) ，否则，若存在点P 与P 2 在G 的两旁，则必有SA PP 2 P3 〉
5 L，p\ p，勺，与题设矛盾. 过P 2 作P j P 3 的平行线b ，与a 相交于A
，则孔，
P 5
，… 'P n 和P j 'P 3 都在b 的同旁，再过P 3 作P j P 2 的平行线C ，分别交a ，b
于B ，C ，则孔'P 5
' …
，P " 和P j 'P 2 都在c 的同旁，从而P I' P 2'… 'P ll 中的
任意一点都在LiABC 内部或边上，显然SAABc= 4SAhP2 F3ζ 4 .
2结
第
30
ì并
以退求道
特殊与一般是对
立统一的，在一定条件
下可以互相转化.相对
于一般而言，特殊的事
物往往更简单、更直
观、更具体，因而人们
常常通过特殊去认识
一般;另一方面，一般
概括了特殊，一般比特
殊更为深刻地反映着
事物的本质，所以人们
也往往通过一般去了
解特殊.
1'Jí::l&:\~ 
食
，际女
食
食
3号
食
食女
倒7
在线段AB 的两个端点上，一个标以蓝色，一个标以红色，在线段
中间插入n 个分点，且在各个分点上随意地标上红色或蓝色，这样就把原线
段分为n 十1 个不重叠的小线段，这些小线段的两端颜色不同者称作标准线
段.证明:标准线段的个数为奇数.
给析与鹏
最简单的情形就是在AB 之间不插入点，这时AB 就是一条
标准线段，即标准线段只有一条，其个数显然为奇数.
其次，在AB 之间有一个点，这个点可能是红色，也可能是蓝色，这时三
个点为(红，红，蓝)或者(红，蓝，蓝) .由于(红，红)或(蓝，蓝)是非标准线段，
不在考虑之内，当然只有一条标准线段.
再次，在AB 之间有两个点，则四点的颜色按顺序有(红，红，红，蓝)、
(红，红，蓝，蓝)、(红，蓝，红，蓝)、(红，蓝，蓝，蓝) .由于相邻两点同色时为非
标准线段，可以不考虑，即可以不把它们看作线段(或叫作零线段) .则以上4
种情况相应的标准线段的条数依次为1.1.3. l.
从以上分析，可以得到本题的解法:
设AB 之间插入n 个点，我们再把问题简单化，即只着眼于标准线段，因此只
需把非标准线段作一些加工:因为非标准线段的两个端点同色，则可把这两个端
点重合，即把一切非标准线段化为零线段，这时，线段AB 上的所有点就成为红、
蓝相间的点，而A.B 两个端点又是一红、一蓝，所以标准线段的个数是奇数.
巧用任意性
"任意性"是指题设中有"对任意的整数成立"或"对……恒成立"的条
件，巧用任意性，即可以从思考特殊值、临界值及极端情形开始.
倒8
(1)证明:若当z 取任意整数时，二次三项式αx 2 十bx 十C 总取整
数值，则句.a+b.c 都是整数.
(2) 写出(1)的逆命题，判断其真假，并证明你的结论.
(全国初中数学联赛题)
鹏题思路
运用"工的任意性"，是解本例的切人点.
~ 刻意练习
1.若( x 2 - X-2)6 = α] 2 工]2 十G1lZI I 十a lO x]O + … 十a]x +α。，则α] 2 十α lO十a8 +
a 6 十a4 十a 2 等于(
). 
A. -32 
B. 0 
C. 32 
D. 64 
("五羊杯"竞赛题)
~) 
学科精英大视野系列丛书
?静c旦蟹
?薯，回事
、，国医
一般与特殊，是
知识之间联系的一种
重要形式，知识常常
在一般到特殊或特殊
到一般的变化过程
中，不断地得到延伸
与拓展.
著名数学家希尔
伯特曾说"在讨论数
学问题时，我相信特
殊化比一般化起着更
为重要的作用，我们
寻找一个答案而未能
成功的原因，就在于
这样的事实，即有一
些比手头的问题更简
单、更容易的问题没
有完全解决，这一切
都有赖于找出这些比
较容易的问题，并且
用尽可能完善的方法
和能够推广的概念来
解决它们"
&:.\Ci.\~ 
( 丸每银)
为，传
食
女食
食
1号食
食
2.
如图，在LABC 中，AB = AC= m ，点P 为BC 上任意一点，则PA2 + PB.
PC 的值为C
) . 
A. m 2 
B. m2 + 1 
A 
B 
P 
C 
C. 2m2 
D. Cm+ 1) 2 
F 
C 
("希望杯"邀请赛试题)
A_____.( U 
/ 
~‘~ T 
B( 
P_' L 
\冒rJI"
/S 
CQt
4 
(第2 题)
(第3 题)
(第4 题)
3. 如图，在矩形ABCD 中
，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，线段AE ，AF 与
对角线BD 分别交于点G ，H . 设矩形ABCD 的面积为5 ，则以下4 个结
论中:
( AG : GE= 2: 1; 
( Sl + S2+S3=ts; 
正确的结论有(
). 
( BG : G H : H D = 1 : 1 : 1; 
( 52 : 54 : 56 = 1 : 2 : 4. 
A. 1 个
B.
2 个
C. 3 个
D. 4 个
(江苏省竞赛题)
4. 如图，两个全等的正六边形ABCDEF ，PQR5TU ，其中点P 位于正六边形
ABCDEF 的中心，如果它们的面积都为1，则阴影部分的面积是(
). 
A t 
l 
B. 2 
c÷Df 
(" 希望杯"邀请赛试题)
5. 对于自然数n ，将其各位数字之和记为a n
，如α 2009 = 2 + 0 十O 十9 = 11 , 
a 20 1o = 2 + 0+ 1 十0 = 3 ，则a\ 十a 2 十α 3 十… 十a2008 十a 2009 十a20 10 = ( 
) . 
A. 28062 
B. 28065 
C . 28067 
D . 28068 
(全国初中数学联赛题)
6. 直线上分布着1990 个点，我们来标出以这些点为端点的一切可能的线段
的中点，试问: 至少可以得出多少个互不重合的中点?
(陕西省西安市竞赛题)
7. 证明: 任意η 个给定的正方形都可以把它们剪成适当的形状之后拼成一
个大正方形.
8. 如图
，LABC 的周长为
1 992 cm ，一只小松鼠位于边
AB 上( 点A 、B 除外)的点p ，小松鼠首先由点P 沿平
行于BC 的方向跑到AC 边上的点P\ 后，立即改变方
向，再沿平行于AB 的方向奔跑，当跑到BC 边上的
P 2 后，又立即改变方向，沿平行于CA 边的方向奔跑，
占6也
( 河北省竞赛题)
A 
P_L一4P1
R二「乙~B
B'
二
~C
~ 2 
"' 5 
(第8 题)
第
30
i井
以遐求进
.~~、~
哺E
*会
食女
食
食
*
A u 
学科精英大视野系列丛书
当跑到AB 边上的P 3 后，又立即改变方向，沿平行于BC 的方向奔
跑，……此后可按上述规律一直跑下去，问小松鼠能否再返回到点P? 如
果能再回到点p ，那么至少要跑多少路程?
(五城市联赛题)
9. 无限大方格表上的每个格点都被染成三种颜色之一，并且每种颜色的格
点都有.证明:可以找到一个直角三角形(它的直角边不一定在方格线
上) ，它的三个顶点分别被染上三种不同的颜色.
(俄罗斯圣彼得堡数学奥林匹克竞赛题)
10 求如=0x+ 2 Jx + "' + 2 日万的所有不同实数解(ρ3)
n 项
(上海交大自主招生试题)
11. 有多少个小于
2018 的正整数恰可表示成它的三个互不相同的正因子
之和?
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
• 
、
理疆
• 
3 
1 
倒
1
9 
令x=l
，得Zm - ZÞ = 1,:. m = 1
，ρ = 0 ，令x = Z
，得一一一= 1 ，:.
n=q = l
，原式=9.
Z" zq 
倒2
B 
连MN ，5，所在的四边形被MN 分成的两个三角形的面积分别等于5 1 和5，.
倒3
当n=l 时，a 十b> c; 当η=2 时，矿+ b2 = C 2
; 当
n二三3 时
，a" + b"< c".
: 
a n 十b"-c" = a" + b"- c"-2 ( α2+ b' ) = 矿(α ，，-，-C " - 2 ) 十b' (b"- ' -c "
勺，
且n-2注1
，a < c ，b<c ，则
a "-' < c"- ' ,b"- ' < c"-' • 
••• a
'1 十扩- c" < O ，即矿+ b" < c " .
三土二
三土豆
γ 
r3 .1..-
--..-"rt.. r2 •
r3 
几
γ 
倒4
由γ
γ = γ 一铲，利用合分比定理得"一，从而可设一
一= 一=
..:...l.. = 走，即2r，= Z γ 1 走，2γ
' 2 
' 1 
' 3 
' 2 
r} 
r2 
r] 
r2
γ3 
r4 
J 
2r，走=2咐，
，Zη =2r l k 3 ,Zrs = 2rl k'
. 人
(Zr3 ) '= 4付= 2rl X 2r5 ，得2r3 = j2可丁Z;:;-= JI百五=24.
倒5
由44 < 刁而百< 45=> [ a l J = 44. 
又45 ' < 2052 = 2008 + 44< 2008 十刁而否< Z008 十45 = 2053 < 46 ' ，则[a2 J =[ J2008 十刁而百J = 45.
若[aJ = 45 ，有如1
扫而百丰言，45 < 刁百王< aHI < 刁百4< 46 .
所以
，[aH1 J= 45(k 二三Z) ，因此[ a '008 J = 45. 
倒8
(1)记M= αx2 + bx + c. 当x = O 时，M 为整数，即M= c 为整数;
当x=l 时，M 为整数，f!r M= a + b + c 为整数.于是，a 十b = (a + b十c) - c 为两个整数之差，也是整数;
当工=Z 时，M 为整数，即M=4α 十2b十c 为整数.从而
，Za= (4α + 2b + c) - Z( α + b)-c 为整数的代数和，
当然也是整数.
(2) 逆命题为:如果2α ，α 十b.c 都是整数，则当工取任意整数值时，二次三项式ax2 十bx十c 总取整数值.
这是一个真命题.为了利用条件，改变二次三项式αx'+ bx十C 的形式
:
stZJ 
( 丸每级)
力食
食
吭'食
食
为严食
食
第
30 讲
以退求进
GZ2 十bx十c =ax2 -ax+ax+bx+c 
fL 
C+ 
+
z 
z
的
的
十
+
LU 
G 
(
+ 
+
口
­
D
二
z
一
王
;
工
/
飞
一
「
飞
工
­
ZG 
G?" 
一
一
一
一
当工是任意整数时，上式中工，Cx - l)是仰的整数，故其中必有一个是例，于是坐严是整数;又
2α ， Cα +b) ，工，c 都是整数，则ax2 + bx+ c 是整数.
• 
… D • 
1. A 
2. A 不妨设点P 与点B 或点C 或BC 的中点重合.
3. D 
存在着矩形为正方形的特殊情况.
A 
F(U )
• 
4. C
如图，存在所示的特殊情况，S阴影= 于
广7γ一飞
s. D 
这是一个计数问题，把1 到
2 0 1 0 之间的所有正整数均看作四位数(如采n 不
B飞
P\ ，}E
)S 
是四位数，则在前面加0 ，补足四位，这样做不会改变α" 的值).
c'-τ忘了一饺
l 在千位上出现的次数为
103
，1 在百位上出现的次数为2 X 102 ，1 在十位和个位上出现的
(第4 题)
次数均为2 X 102 + 1.因此，1 在所有四位数中出现的次数为
103 + 2 X 10' X3+ 2=1602 ; 
2 在千位上出现的次数是
1 1，2 在百位和十位上出现的次数均为2X 1 0 2
，2 在个位上出现的次数为
2 X
102 + 1.因此，2 在所有四位数中出现的总次数为
11 + 2 X 10' X 3+ 1= 612 ; 
类似的，可求得走(走= 3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9) 在所有四位数中出现的总次数均为
2 X 1 0 2 X3 十1= 60 1.
故a ，十a，十α3+ … 十a 2009 十a2川= 160 2+2 X 612 十( 3 + 4 +5+6+ 7 + 8 + 9) X 601 = 28068. 
说明
: 因为我们只关心η 的各位数字，所以关键是准确计算出数码1，2 ，3 ，…
，9 在所有自然数n 中出现的
总次数，因此需要探索规律.将所有自然数n 都补足四位数，是本题的切入点，也是一个难点.
6.
为了使计算不重复，我们取出这199 0 个点中距离最远的两点A 和B . 显然以A 为端点的线段，除AB
l 
外只有
1 988 条，这些线段的中点有
1 988 个，它们互不重合，且到A 点的距离小于
AB . 对B 点作类似的讨
2 
论，又可得1 988 个互不重合的中点，它们圭IJ B 点的距离小于土AB. 这两类中点互不重合，加上AB 的中点共
2 
有19 88 X 2 十1 =3977C 个) .另一方面，当这
1 99 0 个点每相邻两点的间隔都相等时，不同的中点的个数恰是
3977 个，故所有可能线段的不同中点的最小数目是3977 个.
7. 如图
，n=2 时，即两个正方形可拼成一个正方形，而拼出的这个正方形可以与第三个正方形再拼接为
一个正方形，…… 依此类推，对于n 个任意的正方形
，可以通过(11 - 1)次拼接，得到一个正方形.
A 
a 
川
C 
B 
(第7 题)
(第8 题)
8. (1)当P 点是AB 的中点时，小松鼠由此出友，按题设的妥求奔跑，是能回到IJ P 点的. 当它第一次回到
27址
食
食
1与r
食
食女
食
食食
学科精英大视野系列丛书
-一------ - --- ------------- ----------
------------. 
P 点时所跑的路程为÷ × M=阳cm)
( 2) 如图，若P 不是AB 的中点，按照规定的方式，可依次产生P l
，PZ
，P3
' 尺
，P5
，P6 点.由于PP ，// BC// 
AP AP1 
BPz 
BP3 
CP. 
CP5 AP6 
P3P. ,PIPZ // AB// P. 尺
，PZ P3 // CA // P5 P6
，则有一=
= 
= 
= 
=一一= 一一
PB 
P1C 
PzC 
P3A 
P. A 
P5B 
P6 B' 
因P'P 6 在AB 上，又PP 1 // BC ,P 6 P 1 // BC ，故PP 1
，P6 P 1 在同一直线上，点P 与P 6 重合，即小松鼠变向
五次后回到原来的点.
因四边形AP I P Z 尺
，APP 5 氏
，BPP I P Z
，BP 3 凡尺
，CP Z P 3 P，
，CP 5 PP 1 都是平行四边形，故小松鼠Z色的路
非呈为BP z + BP+ CP. +CP z 十AP + P.A =AB +BC十CA= 1992(cm). 
9.
分三种情况:
(1)假定每条水平方格线上的格点都只有一种颜色，将三种颜色的格点各取一个，设这三个格点所在的
水平方格线自上而下分别为a 1
，句，鸟，以向为z 轴，以其上任一格点为原点。建立直角坐标系，设a z 上的点
的纵坐标为拢
，a 1 上点的纵坐标为
Y l' 在向上取格点A (Yz , Yz)
，在α 1 上取格点B (2yz - Yl ' Yl ) ，易知
OA l_AB ，命题成立.
(2) 假定存在一条水平方格线m ，它上面只有红、蓝两种颜色的点，用A ，B 分别表示m 上的红点和蓝
点，过每个红点和蓝点作m 的垂线a ; 码，必存在某个a ; 或哉，它上面必存在一个第三种颜色的点(否则所有的
格点只有红蓝两种颜色，与题设矛盾) ，故命题成立.
(3) 若存在一条水平方格线户，它上面三种颜色的点都有，则过每个格点与p 垂直的直线上只要有一个
格点与垂足颜色不同，命题成立，否则就转化为情形(1) ，命题仍成立.
10. 当n= 3 时，方程为x= E+z 占石在，方刷刷工= O ，x=3 ，即原方程的解就是工z=3工的解，f!p x= 
3 可以证明:如= Jx+2 fx石夜，如=J3x 更一般情形是:如=J:十2 Jx+ "' + 2 占石万言，
n 项
则x =Æ.
1 1.令n =a 十b +c ，其中
，a > b>c> O 且为n 的因子，则
立+ 立+ 二=1.
n 
n 
n 
将上式化为最简分数后，每一项的分子均为1.当且仅当三种方式将1 表示成三个如下分数之和，即
1 , 1 
, 1 
1
, 1 
, 1 
1
, 1 
, 1 
1 = 一+ 一+一=
十一+ 一= →+ :+一
3 ' 3 '3 
2 ' 4 ' 4 
2 ' 3 ' 6 
显然，只有最后的表达式才符合三个分母互不相同.
因此，η = 悦，a =3 走，b =2 走，c= k( 走为正整数) . 
因为
2018 =6X336+2 ，所以，走可取1，2 ，…，335
，336 内的任何整数.
￡i) 
、岛要u
<;;iJ { 
'\宣Y
左图是1967 年加拿大蒙特利尔世界博览
会美国馆的网格球顶，设计者是美国著名建
筑设计师富勒.
富勒的洞察力在于他看到了传统的多面
体、球和建筑之间的联系，这一联系的具体
化，便成了网格球顶，即把正十二面体的正三
角形分成多个相同的三角形，将这些相同的
正三角形内接于球体内.
一第3i 讲极端原理二
i
'
知能概述
对于数，在有限个实数中，一定有一个最大数、一个最小数，在一组自然
数中
，一定有一个最小数;
对于形，几何元素有最大值、最小值、最长、最短等，或运动中的点是线
段的端点、三角形的顶点.
极端原理是以对象数量或位置上的极端情形为出发点，是一种从特殊
对象看问题并寻找解题突破口的方法.
'
问题解决
倒1
把2000 分拆成若干个不同的正整数之和，至多能分拆成一一一一一项.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
融题思路
要求至多，想到"极端"一一每一项尽可能小.
倒2
某公司总共有
50 间办公室，新上任的管理员拿
50 把钥匙去开
门，他知道每把钥匙只能打开其中一扇门，但不知哪扇门与哪把钥匙配套，
则他最多要试(
)次才能打开这50 扇关闭的门.
A . 1250 
B. 900 
c. 2500 
D . 1225 
(" 五羊杯"竞赛题)
27法
错误中往往孕育
着比正确更丰富的发
现和创造因素，发现
的方法就是试误法.
一一波普尔
四色问题的证明
一直到
19 世纪
末，进入
20 世纪后，
四色问题的证明逐渐
取得了进展.
1 976 年，美国数
学家阿佩尔和哈肯利
用计算机工作了
1200 机时作了
100
亿个逻辑判断，证明
了四色问题，这是人
类首次利用计算机的
帮助证明了数学
难题.
&.:\~~、
女
食女
食
食
古
食
食
丁
篇题思路
考虑最差情况是第一扇门需要试的次数，以此类推.
倒3
平面上给定100 个点，已知其中任意两点的距离不超过1，且任意三
点所成的三角形是钝角三角形证明:这100 个点被一个半径为÷的圆覆盖
(北京市"迎春杯"竞赛题)
(100 X 99, 
麟题思路
每两点有一个距离，在这有限个数|一
2 一|中，一定有最
大数，不妨设A ，B 两点间的距离最大，以线段AB 为直径作圆，证明余下的
点都在此圆内.
倒4
证明:方程工2 十/ = 3(Z2+ U 2 ) 不存在正整数解( x ，y ，z ，u).
(俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
堕塑塾些
假设原方程有正整数解x ，y ，z ，u ，由于工2 十y 2 是正整数，则
在所有的工2+ / 中必有一个最小的，所以，从使x 2 +/ 最小的(考察极端)
那组正整数解(工，y ，z ，u) 出发，推出矛盾.
倒5
世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛.每场比赛胜队
记3 分，败队记0 分，平局时两队各记1 分.小组赛全赛完以后，总积分最高
的两个队出线进入下轮比赛.如果总积分相同，那么还要按净胜球及胜负关
系排序.问:
(1) 一个队至少要积几分才能保证本队必然出线?并简述理由.
(2) 在上述世界杯足球小组赛中，若有一个队只积3 分，问:这个队有可
能出线吗? 为什么?
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
学科精英大视野系列丛书
极端原理作为一
种解题思想，在数论、
图论、几何、组合数学
例
3 可以一般化
为:平面上给定
η 个
点，任两点距离小于常
数a ，任三点是某个钝
角三角形的顶点.求
证:存在直径不超过α
的圆，覆盖这n 个点.
极端化的假设实
际上为问题增加了一
个条件，使得有些问题
的求解有了着眼点、着
力点.
极端原理常与反
证法结合在一起，解决
不少与存在性相关的
问题.
~~、~
( 丸每缎)
合食
食
古食
，际
女食
，传
第
31 讲极瑞原理
些塑塾些
四个队比赛，每队比赛3 场，得分最高为9 分，最低为0 分，四
个队共比赛6 场，总分最多为18 分，最少为12 分(考察极端) ，由此展开推理.
理?巳主摸
倒6
在平面上有n 个(n 二三2) 不全共线的点.试证: 一定存在一条直线
恰好通过这n 个点中的两个点.
证明
考虑n 个点中的每」个点，除这点之外，每两点均作一直线(这
直线不一定仅过其中的两点) ，再从这点向每一条所作直线作垂线，就得到
若干个这个点到所作直线的距离.由于已知点只有n 个，所以上述的点到直
线的距离也只有有限个，在这有限个距离中一定有一个最短距离，设点P 到
直线t 的距离最短.
下面证明
: l 上仅有已知点中的两个点.
若l 上有已知η 个点中的三个点，过点P 作PFj_ l
于F ，则必有两点在点F 的同侧，设点X 、点Y 在点F
的同侧(如图) ，且YF > XF ，设过点P 与点Y 的直线
为m ，这时点X 到m 的距离XZ 小于点P 到1 的距离
PF ，与假设PF 最小矛盾.
所以，直线l 上仅有已知点中的两个点，l 即为所求.
押1
2 I 
1 2
、
G 2 十b2
倒7
正整数α 与b 使得ab + 1 整除α 十b"
，求证·一一一是某个整数的
• ab+ 1 
平方.
(国际数学奥林匹克竞赛题)
人旷十b2
证明
一一一=走，用反证法，设走不是完全平方数.我们讨论不定方程
之< ab+i 
a 2 - kab+ b2 = k .
① 
显然，这个不定方程的解(α ，的，不会有ab< O . 因为若ab< O ，α 与b 是整
数，则-ab> O斗- ab二月斗-kab二列:::::>a 2 -kab+b2 > k ，与①矛盾.
设(α ，b) 是①的解中适合α > O ，b> O 且使α + b 最小的那组解，不妨设
α二三b. 固定走与b ，把①看成关于α 的一元二次方程，它有一个根为α ，另一个
根为α。，由根与系数的关系可得:
广。= kb
②
α o a=b2 -k
( . 
由②知α 为整数，由③知α 手O . 否则将有走= b2 为完全平方数，与题设
~7~~ 
潭'咽哥
哥'回医
例
6 是由英国著
名数学家西尔维斯特
( 1814- 1897) 提出的，
看似简单的问题，但
他生前没能解决它，
50 年后的
1 947 年，
这个问题被一个"无
名氏"解决了，原来证
明是如此简单、绝妙，
极端原理之所以
为人们所重视，与例
6 是分不开的.
竞赛数学中充满
了出神入化的技巧，
而且这些技巧本质上
是一种高级思维方
法、高智力水平的策
略思想具体化.
例
7 的解法是由
保加利亚一名选手给
出的，因其解法的简
单独创，该选手获得
特别奖.
，~~~ 
食
食女
食
食*
食
食女
不合.由α> 0 ，故α 。> 0. 这时有:
'b2 - k ___..a 2 - k 
α 。=~~一一~~α ，
?
αα 
这时(a o
' 的为①的解
，a o > O ，b > O 但有ao+ b < α +b ，这与(α ，的是使
α +b最小的那组解的选法矛盾，所以h 必是完全平方数.
a2 + b2 
RP 一一一是某个整数的平方.
ab+ 1 
必胜策略
博弈论又称为对策论，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和
方法.博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化
策略.
倒8
两人轮流往一张圆桌上平放一枚同样大小的硬币，条件是后放的
硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止.规定:
放入最后一枚硬币者获胜.问:先放的人有没有必胜策略?
麟题思路
设所放硬币总数为n(n 二三1)
，一般性的问题较复杂，可先将
其极端化.
~ 刻意练习
1. 一副扑克牌共
54 张，其中
1 ~ 13 点各
4 张，还有
2 张王牌，至少取
出
张牌，才能保证其中必有4 张牌点数相同.
2.
从1，2 ，3 ，…，30 中至少要取出
个数是5 的倍数.
(甘肃省竞赛题)
个不同的数，才能保证其中有一
(江苏省南京市竞赛题)
3. 100 名少年运动员胸前的号码分别是1，2 ，3 ，…，的，100 ，选出其中的h 名
运动员，使得他们的号码数之和等于2008 ，那么，是的最大值是
4. 在给定的2 X 8 的方格表中，第一行的8 个方格内，依次写着1，2 ，3 ，4 ，5 ，
6 ，7 ，8. 如果再把1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 按适当的顺序分别填入第二行的方格
内，使得每列两数的差(大数减小数)两两不同，那么第二行所显示的八位
条:2
学科精英大视野系列丛书
青年时代的冯·
诺依曼曾对博弈论甚
济活动的分析应用，
为了说明经济活动的
竞争现象，他常举例
~1'J:.\Gt.\ 
( 丸每银)
女食
食
*食
，传
为食
，传
第
31 讲
极揣原理
A
峰
一
-
-
q
毛
υ
-
­
是
一
:
一
一
值
-2
一
­
U
已
-
-
­
A
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F
|
l
l
fl
l
l
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可
一
一
一
大
-
l
一
一
最
一
一
一
的
I
l
-
-
数
5 
I
6 I 
7 
I 
8 
I 
|I 
I 
部?哇第
泪'圃'
泪'咱巨
("我爱数学夏令营"竞赛题)
5. 从
1
，2 ，…
，2004 中任选走个数，使所选的企个数中，一定可以找到能构成
三角形边长的3 个数(这里要求三角形三边长互不相等) ，则满足条件的
走的最小值为
( 山东省竞赛题)
6. 一个半径为α 的圆中放入η 个点，这n 个点两两之间的距离都大于α
，则
η 的最大值为
7. 平面上给定n 个点，其中没有三点共线.证明:存在通过其中三点的圆，它
的内部(圆上除外)不包含任何一个已知点.
8 . 有η 个男生、m 个女生(η ，m 二三2) ，每个男生至少与一个女生彼此相识，每
个女生不全认识n 个男生.证明:他们当中有两个男生与两个女生，其中
每个男生恰好认识其中一女生，其中每个女生恰好认识其中一男生.
9. 证明:不定方程x 3 + 2/ = 4z 3 没有正整数解(立，y ，z).
10. 今有一组硅码，具有如下性质:
(1)其中有5 个硅码的质量各不相同
;
(2) 对于任何2 个硅码，都可以找到另外2 个硅码，它们的质量之和相同.
问这一组硅码最少可以有多少个?
(俄罗斯数学奥林匹克竞赛题)
1 1. 平面上有n(n二月)个点，将它们用红、蓝两色染色.设任何三个同色点不
共线. 求证:存在一个三角形使得:
(1)它的三个顶点染有相同颜色;
(2) 这个三角形至少有一条边上不包含另一种颜色的点.
(加拿大数学奥林匹克竞赛题)
12 .
由
9 位裁判给参加健美比赛的12 名运动员评分，每位裁判对他认为的
第1 名运动员给1 分，第2 名运动员给2 分，…… ，第12 名运动员给
12
分，最后评分结果显示:每名运动员所得的9 个分数中高、低之差都不大
于3. 设各运动员的得分总和分别为C ]
，勺，… ，C ]2
' 且C] :::;; c 2 ζ … ζ C ]2 ' 求
C ] 的最大值.
(江苏省竞赛题)
13 . 将一个有正实数解的一元二次方程工2 十ρ工十q = O 写在黑板上. 甲乙两
人根据规则改变方程的系数: 甲将常数项减去某个实数解，同时将一次
项系数加上
1 ;乙可以选择将常数项改为任意实数或选择给常数项加上
黑板上方程较大的实数解，同时将一次项系数减去1，但是，当黑板上方
程的两个实数解的差不超过1 时，乙只能选择前一种方案.无论是谁，只
要使得方程无实数解或有非正数解，都为甲胜.问:甲是否有必胜策略?
(爱沙尼亚数学竞赛题)
Ci:\~1'/i:.\ 
277 ì 
L 嘘
食
食为
女
食女
食
食女
学科精英大视野系列丛书
• 
…... • 
倒1
62 
令2000=a 1 + α 2 + … +仇，1::::二α 1 <α2< … 〈句，叭，鸟，… ，向均为正整数，则矶的最小值为
1 ，
内的最小值为
2 .
1 . , . 
, _, 
，~. ~ 1 
由2000二月+2 十3+ … + 是= : k(k + 1)，得走~: (刁而百
1)，即走ζ62 .
2" ' ''
'
- '
'
'
'
''
~
2 
又当a 1 = 1 ，向= 2 ，… ，α61 =61 ,a62 = 109 ，有2000 = a 1 十a2 + … + a 62 ，故至多可分拆成62 项.
倒2
D 
最多试49 +48+ … +3+2+ 1 = 1225( 次) . 
倒3
如图，以线段AB 为直径作①0，则其半径R斗
在其余的98 个点中任取一点C ，
.: AB二三AC ，AB二三BC ，又6ABC 是钝角三角形，
..ζC 一定是钝角，则点C 位于以AB 为直径的园内­
t!r 这100 个点被这个团所覆盖.
A~俨二、
飞J
(例3)
倒4
由于x2 +l 是3 的倍数，则工和y 必都能被3 整除(否则，若z 和y 只有一个能被3 整除时，x2 +
y2 被3 除余1，若工和y 都不能被3 整除时，x2 + l 被3 除余2 ，与x2 +l 是3 的倍数矛盾) ~ 
于是，可设工= 3m ，y = 切，其中m ，n 都是正整数，从而有9m2 十9 n2 = 3(Z2 十u勺
，Z2 + u2 = 3(m2 + n2). 
此时，z ，u ，x ，y 也是方程的一纽解，而由已知方程可知Z2+ U2 <x2 +l ，这与x2 +/ 为最小相矛盾.
所以，方程不存在正整数解.
倒5
(1)一个队要保证出线，最不利情况是这个小组的第四名得了
0 分，18 分由前面3 名均分，每队得
6 分，这种情况是可能发生的，例如A 胜B ，D 得6 分;B 胜C ，D 得6 分;C 胜D ，A 得6 分.于是A ，B ，C 三队总
有一队不出线，这说明得6 分还不能保证出线.
但如果某队得了
7 分，则该队肯定出线，因为四个队总分最多为
18 分，某队得了
7 分，其余3 队得分的和
至多为
11 分，不可能有两队得分都达到或超过7 分，又由于这个队得7 分，说明这个队赛3 场，两胜一平，没
有败场，于是另一得分高的队与其比赛时至多是打平，所以得分不可能超过7 分，这样这个队必然是这个小组
的前两名，因此，保证能出线.
(2) 如果某队只得了
3 分，由于四个队得分之和最少可以是
1 2 分，所以可能每个队都得了
3 分，这也是可
能的. 例如，6 场球都打成平局，则每队都得3 分，于是总有两个队得了
3 分但还出线，所以一个队得3 分还有出
线的可能.
倒8
这道题可以这样思考:一般性的问题比较复杂，先将其极端化.
注意到所放硬币总数η二月，取其极端情形n = l ，即假设桌子小到只能放下一枚硬币，得出特殊问题的解，即先
占中心者为胜. 然后根据圆桌的对称性，先放者把硬币放在中心位直0，若后放者把硬币放在C 处，则先放者把硬币
放在与中心位直0 的对称点C'处，这样只要后放者能放下硬币，先放者总能根据对称性，放下硬币，最终获胜. 
• 
…~.. . .……. • 
1. 42 
最不利的情况是:先取出2 张王牌和1 ~ 1 3 点各3 张，共2 + 3 X 1 3 =4 1 张，若再取1 张牌，则就有
4 张牌点数相同，故所求张数为42
5-长.
2. 25 
1 ~ 30 的自然数中，有24 个不是5 的倍数，最不利的情况是:如采取出了这24 个数，仍未取出一
最:2
丁鸟'
食
( 丸每级)
个5 的倍数，故必须取出
25 个数，才能保证其中必有一个5 的倍数.
3. 62 
选出的62 名运动员，可以是: 1,2 , 3 ,…, 7 , 9 ,…, 62 , 63. 
._i间'
N 
J、7
川
食
食
食
食
食
第
3
1
ì卉
极踹原理
4. 87541362 
因为八个差数最大可能为
7 ，最小可能为
0 ，但又要求两两不同，所以这个差数应是0 ，1，2 ，
3 ，4 ，5 ，6 ，7. 经试算可得最后所填最大数为875413 6 2 .
S. 17 
这一问题等价于:在1，2 ，…，2004 中选k-1 个数，使其中任何3 个数都不能成为一个三角形三边
( 互不相等)的长，试求满足这一条件的走的最大值. 构造数列
1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，34 ，55 ，8 9 ，14 4 ，2 33 ，377 ，61 0 ，
980 ，1 597①共
1 6 个数.对符合上述条件的任一数纽肉
，a2 ' … ,a" ' 对于每个
i (l ~ i~η) ，总有a ，大于或等于①
中的第
1 个数，故n~ 1 6 '"三k - l，从而走的最小值为
1 7 .
6. 5 
这η 个点中任何点都不能是圆心。，由O 引
n 条射线分别通过这η 个点，按逆时针编号为人，
鸟，…，人，如IJ OA j <a ，OA 2 <α ，…
，0A ，，< a ，得ζ A ，OA 2 > 60 0 ，ζ A 2 0A 3 >60 0 ，…，ζ A "OA
，>60 0 ，即η
. 600< 
360 0 ，解得η 的最大值为
5 .
7.
给定的η 个点总存在具有最小距离的两个点，不妨设为A ，B . 以线段AB 为直
径画①0 ，则其余的(n - 2) 个点与A ，B 的距离均不小于AB
，它们都位于①0 的外面，
将这(n - 2) 个点分别与点A ，B 连接，所得视角依大小
}'I9i序排成一列
，有ζ AP j B ζ
ζ AP2 B运… ζζ AP ，_2 B< 18 0 0 •
现过A ，B ，P "_2 三点作圆(如图所示) ，显然该园内部不包含任何一个已知点，即为
所求.
8. 设a j 是认识男生最多的女生.
由题设，每个女生不全认识η 个男生，则a j 至少与一个男生不相识，设a j 与男生
b ，不相识.由于每个男生至少与一女生相识，则可设b ，与女生α2 相识.由于α2 认识的
男生不比α l 认识的男生多，所以必有一个男生鸟
，b，与女生a ，相识，并且与女生a ，
不相识.这样，男生b ，
'鸟，女生叭
，α2 符合题目要求.
9. 假设方程有正整数解，设(矶'Y j
，Z j ) 是所有正整数解中使工最小的一纽解.
由于工:十2y~ =4z:
，所以，zi 是偶数，故X ，是偶数.
设工，= 2句，则8x~ + 2y: = 4z: ，即4x~ + y~ = 2z~ ，故y ，是偶数.
设y ，= 2拢，则4x: 十8y~= 2 z~
，即2x~ + 4y~ = 丘，故Z j 是偶数.
设Zj = 2z"
则
2x: + 4y: = 8z~
，!lr X: + 2y: = 4z: . 
所以，(码，为
，Z2 ) 也是房、方程的一纽正整数解，且工2< Xj
' 矛盾.
因此，原方程没有正整数解.
P, 
(第7 题)
10. 设A 是其中最轻的法码的质量，而B 是质量轻重紧接A 之后的法码质量.显然，法码纽悦，目的质量之和
只能与质量分别与它们相等的2 个法码的质量之和相等，因此，其中至少有2 纽这样的法码. 显然，法码纽{ A ，A } 的
质量之和又只能与质量分别与它们相等的2 个法码的质量之和相等，从而，其中至少有4 个最轻的法码.
同理，其中至少有4 个最重的法码(将它们的质量记作E) 和至少2 个质量次重的法码( 将它们的质量记
作D) .
此外，由(1 ) 知，至少还有1 个法码的质量与A ，B ，D ，E 都不相同(记为C). 这样一来，在法码纽中就至少
有4 + 4十2 + 2 + 1 = 1 3 个法码. 另一方面，容易看出，质量分别为{ 1 ，1 ，1 ，1 ，2 ，2 ，3 ，4 ，4 ，5 ，5 ，5 ，5 } 的
1 3 个法码
可以满足题中条件.
11.由于点数η二三5 ，且所有的点只染两种颜色，所以，至少有三点同色. 因此，存在三个顶点同色的三角形.
在这些顶点同色的三角形中，取一个面积最小的三角形.如果这个三角形的每一条边上都有一个另一种
颜色的点，那么，就找到了另一个三个顶点同色的三角形，且这个三角形具有更小的面积，这是不可能的.
f7、
食
食女
食
食女
食，传为
因此，满足要求的二角形一定存在.
学科精英大视野系列丛书
12. 9 位裁判不可能给某5 名或5 名以上的运动员评为1 分.因为5 名或5 名以上的运动员中，至少有一
名运动员被某裁判评的分不小于5 ，而按照题意，这5 名运动员中的每一名被各裁判所评的分不大于4 ，矛盾.
因此，9 位裁判至多给某4 名运动员评为
1 分.
下面分情形讨论.
(1)如采所有裁判都给某一名运动员评为
1 分，那么
C 1 =9. 
( 2) 如采9 位裁判许出的9 个1 分集中在两名运动员名下，那么，其中必有一名运动员至少被5 位裁判都
评为
1 分，于是，由题设可知，其余裁判给该运动员的许分不大于4 ，从而
，C1 ζ 5X 1 +4X 4=2 1.
(3) 如果9 位裁判评出的9 个1 分集中在三名运动员名下，那么，这三名运动员各自所得的总分之和不
大于9 X 1 +9 X 3+9 X 4=72 . 从而，3c1ζ C 1 十C2 十C3ζ 72. 故C 1 :%二24 .
(4) 如采9 个1 分为四名运动员拥有，那么，这四名运动员各人所得总分之和等于9 X 1 + 9 X2+9X3 十
9X4 = 90. 从而，4c1 :::三90 ，故cl <23 .
综上可知，C1 ζ 24.
C1 =24 这种情形是可以实现的，见下表，所以们的最大值是24 .
A I 
A 2 
A3 
A4 
A s 
A6 
BI 
1 
4 
3 
2 
5 
6 
B2 
4 
3 
2 
5 
6 
B3 
1 
4 
3 
2 
5 
6 
B4 
4 
3 
1 
5 
2 
7 
Bs 
4 
3 
l 
5 
2 
7 
B6 
4 
3 
1 
5 
2 
7 
B7 
3 
l 
4 
2 
5 
9 
Bg 
3 
l 
4 
5 
2 
9 
Bg 
3 
1 
4 
2 
5 
9 
合计
24 
24 
24 
30 
33 
66 
13.
甲的必胜策略为确保使常数项减去方程较小的解.
假设游戏一直能进行下去.
A7 
A g 
7 
9 
7 
9 
7 
9 
9 
6 
9 
6 
9 
6 
6 
7 
6 
7 
6 
7 
66 
66 
A g 
A IO 
AII 
A 12 
10 
8 
11 
12 
10 
8 
11 
12 
10 
8 
11 
12 
8 
11 
10 
12 
8 
11 
10 
12 
8 
11 
10 
12 
11 
10 
8 
12 
11 
10 
8 
12 
11 
10 
8 
12 
87 
87 
87 
108 
每轮过后，一次项系数要么增加L 要么不变.若乙无限地用前一种选择，则一次项系数最终变为正数.据
韦达定理，知黑板上的方程要么无实数解，要么至少有一个负数解，甲取胜.进而，乙一定从某轮开始，只用后
一种选择. 记此时方程的解为坷，工2 (工1<工2) . 则在甲操作之后，方程变为
t 一(X I +X2 一1) X+XI( 工2 一1) = 0.
该方程有两个实数解XI 与工2 一1.
若|工l - x21> 1 ，则新得到的两个实数解的差将变小;若
I Xl 一句
| ζ L 则新得到的两个实数解的差仍然不
超过L 此时，乙只能继续选择前一种方案，矛盾.
因此，游戏不会无限进行下去，只能以甲胜利结束.
爱〉