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第十七届小学数学教学改革观摩交流活动(比的认识)
第十七届小学数学教学改革观摩交流活动(比的认识)比的认识数学课整节课的主线是：比表示两个量之间不变的倍数关系，与除法、分数相通，且能表达三个及以上的量；课末还辨析了生活中哪些“比”是数学意义上的比。 
一、情境导入：同一原料、不同口味的沙棘饮品 • 品尝活动：老师课前用沙棘原浆和水调了两杯饮品，请学生上台品尝。第一杯被评价为“酸酸甜甜”“特别喜欢”，第二杯被形容为“跟喝中药一样”。同样是沙棘饮品，口味差别很大。• 引出问题：老师由此提问“同样是沙棘饮品，为什么口味大不相同”，作为进入新课的起点。 二、从配方到比：2∶3 的产生1. 配方的三种表达方式• 除法：第一杯是 2 杯沙棘原浆配 3 杯水，学生用 2÷3 表示，得到沙棘原浆是水的 2/3。• 反向倍数：另有学生用水除以原浆，得到 3/2，即水是沙棘原浆的 3/2。• 比：还有学生直接用 2∶3 或 3∶2 表示两者的比例关系。老师指出，2∶3、2÷3、2/3 都表达沙棘原浆与水之间的倍数关系。 2. 三种新方案的判断 
• 任务：改变杯数，给出三种新配方，判断哪些与原来口味相同，要求“写一写、算一算，把理由讲清楚”。• 用除法判断：学生算出 1 号、2 号的倍数都是 2/3，3 号是 1/3，因 2/3＞1/3，所以 1 号和 2 号口味相同，3 号不同。 
• 用画图判断：另一名学生用画图说明：1 号把 2 杯原浆平均分成 2 份、水 3 杯分成 3 份，原浆占水的 2/3；2 号同理；3 号原浆 4 杯看作 1 份、水 12 杯看作 3 份，原浆占水的 1/3。 
• 用“份数”判断：有学生借助最大公因数把两组量都化成相同的“一份”：4 和 6 的最大公因数是 2，每份 2 杯，原浆 2 份、水 3 份；6 和 9 的最大公因数是 3；4 和 12 的最大公因数是 4。份数关系相同，口味就相同。 
3. 变与不变• 数量在变、关系不变：学生总结，沙棘原浆和水的具体数量在变，但两者的倍数关系不变。• 一份量在变、份数不变：也有学生指出，每份的量在变，但份数关系（2 份对 3 份）没有变。 
• 抽象表达：一名学生用字母概括，若一份量为 n，则始终是 2n 与 3n；另一名学生补充，2n 永远是 3n 的 2/3，3n 永远是 2n 的 1.5 倍。 
• 结论：正是这种不变的关系决定了饮品的口味。 三、比的意义与各部分名称• 定义：老师明确，2∶3 已不只是最初的两杯和三杯，而是 2n 与 3n，即两个量之间倍数关系的一种新表达。• 名称：中间的符号叫比号，比号前面的数叫前项，后面的数叫后项；表述为“沙棘原浆与水的比是 2∶3”。• 等价关系：2∶3＝2÷3＝2/3；3∶2 则表示水与沙棘原浆数量之比，同样对应相应的除法与分数。• 3 号方案的比：沙棘原浆与水的比是 1∶3。因为水的份数相同而原浆只有 1 份，所以口味更浓。 四、连比：比能表达三个及以上的量• 新配方记录：老师给出含蜂蜜的新配方（沙棘原浆 2 杯、水 5 杯、蜂蜜 1 杯），学生用 2∶5∶1 记录。 
• 为什么用比：学生指出，分数只有分子和分母，只能表示两个量；比可以表示三个甚至更多量之间的关系。• 从连比中读关系：由 2∶5∶1 可读出沙棘原浆是水的 2/5，原浆是蜂蜜的 2 倍（2∶1＝2），水是蜂蜜的 5 倍（5∶1＝5），蜂蜜占总量的 1/8（2＋5＋1＝8）。• 另一种写法：一名学生提出可用带分数形式表示三个量的关系，老师肯定这正说明比还有别的写法，如 2∶5∶1。• 比、除法、分数的关系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数，后项相当于分母、除数；用字母表示为 a∶b＝a/b，其中 b 不能为 0，因为除数、分母都不能为零，比的后项同样不能为零。 
五、生活中的比：读出面食的软硬与湖水的浓度• 花馍的面水比：山西非遗花馍制作中，面粉与水的质量比是 2∶1，即面是水的 2 倍。若调整为 1.5∶1，面只是水的 1.5 倍，含水量变多，蒸出的花馍会偏软、软塌不成形。 
• 盐湖与海水：运城盐湖可以漂浮游泳，原因是盐与湖水质量的比约为 30∶100，而天津海水中盐与海水质量的比约为 3.5∶100。盐的占比高得多，浮力更大。学生用 3.5n∶100n 与 30n∶100n 作比较，得出相差 26.5。 
• 小结：物体的长短轻重可用一个量度量，而口味的浓淡、面的软硬、湖水的浓度需要两个量之间的关系来刻画，这种关系就可以用比表达。 六、辨析：生活中的“比”是不是数学中的比 
• 青铜器的铜锡比 5∶1：是数学中的比，表示铜与锡在青铜器中的含量关系，铜是锡的 5 倍。老师补充，2000 多年前我国古人已把比用于青铜器制造。• 篮球比分 4∶2：不是数学中的比。比分只记录得分多少，随时会变（如变成 3∶1、5∶3），占比随之改变；数学中的比无论怎样变形，约分后的倍数关系不变。• 60 元∶5 克：学生因单位不同认为不能成比；老师没有下结论，表示不同量之间能否相比，留待以后进一步探究。
