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丰台区 2024~2025 学年度第一学期期末练习
九年级数学
考生须知：
1．本试卷共7页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号．
3，试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 在平面直角坐标系中，如果点 与点B关于原点对称，那么点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
.
3. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，OA是 的半径，AB是 的弦， 于点C，若 ，则OC的长为（
）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（ ）
A. B. C. D.
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6. 若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A. 16 B. 8 C. 8或 D. 4或
7. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为 ，且经过点
，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 当 时，
D. 是关于x的一元二次方程 的一个根
8. 勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用
出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，
b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再
根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（ ）
A. B. C. D.
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
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9. “射击运动员射击一次，命中靶心”，这个事件是__________事件（填“必然”，“不可能”或“随
机”）
10. 如图，A，B，C是 上的点，如果 ，那么 的度数是__________．
11. 如图， ， 是 的切线，A，C为切点．若 ， ，则直径 的长是
__________．
12. 在平而直角坐标系 中，抛物线 （ ）上部分点的横坐标x．纵坐标y的对应值
如下表：
x … 0 1 2 …
y … 0 5 …
则该抛物线的对称轴是__________．
13. 如图，有一个亭子，它的地基是半径为 的正六边形、则地基的周长为__________m．
14. 在平面直角坐标系 中，若点 绕原点O顺时针旋转 得到点 ．则点A运动到 的轨迹
的长度为__________．
15. 林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：
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移植总效n 10 50 400 750 1500 3500 9000 14000
成活数m 8 47 369 662 1335 3203 8073 12628
成活的频率
0.800 a 0.923 0.883 0.890 0.915 0.897 0.902
（结果保留小数点后三
位）
根据表中信息，回答下列问题：
（1）a的值为__________；
（2）估计幼树移植成活的概率为__________（结果保留小数点后一位）
16. 某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点 处，羽毛球发射的初始位置的
高为AB， ．若羽毛球从点 发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过
程中，在与点 的水平距离为 的点 处的正上方达到最高点，且高度为 ．在与点 的水平距离为
的点 处落地，则 的值是__________．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
.
17 计算：
18. 解方程：
19. 已知m是方程 的一个根，求代数式 的值．
20. 下面是小明设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
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已知：如图，点P在 外．
求作： 的切线，使它经过点 ．
作法：①作射线 交 于A、B两点；
②以点 为圆心，以 的长为半径作弧；以点 为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧相交于点 ， ；
③连接 ， 分别交 于点 ， ；
④作直线 ， ．
的
直线 ， 为所作 切线．
根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接 ．
在 中，点A，B，C在 上，
，
，
．
，
（ ）（填推理依据）．
∴直线 是 的切线（ ）（ 填推理依据），
同理可证，直线 是 的切线．
21. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根的积为3．求k的值．
22. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
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（1）求抛物级的解析式；
（2）若将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线G，直接写出抛物线G的解析式．
23. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中图古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．
某校科技节活动中，计划在如图所示的长 ，宽 的展板上展出介绍四大发明的海报，每辐海报
面积均为 ．若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为 的彩色纸带，求彩色纸带
的宽度．
24. 如图， 是 的直径，点C在 上，连接 ， ．作 交 于点D，交 于
点E．
（1）求证： ；
（2）过点D作 的切线交 的延长线于点F，若 ， ．求 的长．
25. 鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了 恒
温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小
和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，
A品类鸡蛋的蛋黄指数记为 ．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为 ，部分数据如下：
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x/ 1
0 7 21 28
天 4
.
0
0.4 0.3 0.1 0.1
2
5 5 8 3
6
.
0
0.4 0.3 0.2 0.1
2
5 3 6 5
8
通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画 与x， 与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角
坐标系 中．画出了函数 ， 的图象．
根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
（1）第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数；
（2）当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起
基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；
（3）当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约
为 （结果保留小数点后两位）．
26. 在平面直角坐标系 中， 是抛物线 上的两点．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）对于 ， ，都有 ，求m的取值范围．
27. P是正方形 边 上一点，连接 ， ．将线段 绕点P顺时针旋转 得到线段 ，
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将线段 绕点P逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．
（1）如图1，当点P为 中点时，直接写出线段 与线段 的数量关系；
（2）如图2，当点P为线段 上任意一点时，依题意补全图形，用等式表示线段 与 的数量关系，
并证明．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为 ．对于 的弦AB和点 ，给出如下定义：若在 上或
其内部存在一点 使得四边形 是菱形且AB是该菱形的对角线，则称点 是弦AB的“伴随点”．
（1）如图，点 ．
①在点 中，弦AB的“伴随点”是点 ；
②若点 是弦AB的“伴随点”且 ，则 长为 ；
（2）已知 是直线 上一点，且存在 的弦 ，使得点 是弦 的 伴随点 ．记点
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的横坐标为 ，当 时，直接写出 的取值范围．
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