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第十六章 二次根式(A 卷·知识通关练)
核心知识1二次根式的定义
1．(2021秋•古县期末)下列各式中，是二次根式的是( )
A． B． C． D．
√n2 √-4 √38 √3-π
2．(2022秋•射洪市期中)下列式子是二次根式的有( )个
√3
√a； ；√3 52；√-3；√x2-2xy+ y2；√-4×(-3)
2
A．2 B．3 C．4 D．5
3．(2022秋•诏安县期中)给出下列各式： ；②6； ；④ (m≤0)；⑤ ；⑥ ．
①√32 ③√-12 √-m √a2+1 √35
其中二次根式的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
核心知识2二次根式有意义的条件
1．(2022•浉河区校级模拟)若代数式√3x-1有意义，则实数x的取值范围是 ．
√x
2．(2022秋•江北区期中)代数式 有意义的条件是( )
x-1
A．x≠1 B．x≥0 C．x≥0 且 x≠1 D．0≤x≤1
√3x+9
3．(2022秋•顺庆区月考)要使式子 有意义，x的取值范围是( )
x-2
A．x≥﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x＞﹣3且x≠2 D．x≤﹣3且x≠2
3
4．(2022•阳信县模拟)代数式 有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
√1-x
A． B．C． D．
5．(2021秋•惠民县期末)若式子(x-1) 0在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
√x+1
1
6．(2022春•灵宝市月考)若式子√-a+ 有意义，则点P(a，b)在( )
√b
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
核心知识3二次根式的性质与化简
1．(2021秋•遂宁期末)下列等式正确的是( )
A．√ 9 ±3 B．√ 7 11 C． 3 D．√ 1 2 1
= -1 = √3 -27= (- ) =
16 4 9 3 3 3
2．(2022秋•莲湖区校级月考)计算下列各式：
√ 7 √ 9
(1) 2 ； (2)√0.81-√0.04； (3)√412-402； (4) 1- ．
9 25
3．(2022秋•偃师市月考)化简|a﹣3|+(√1-a)2的结果为 ．
4．(2022秋•崇川区校级月考)若2、5、n为三角形的三边长，则化简 的结果为( )
√(3-n) 2+√(8-n) 2
A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5
5．(2022秋•金水区校级期中)当a＝2022时，求a 的值．如图是小亮和小芳的解答过程：
+√a2-2a+1
(1) 的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(3)当a＞3时，求 |1﹣a|的值．
√a2-6a+9-6 ． (2022 秋 • 农 安 县 期 中 ) 已 知 ， 如 图 所 示 ， 实 数 a 、 b 、 c 在 数 轴 上 的 位 置 ． 化 简 ：
．
√a2-|a-b|+√(c-a) 2+|b+c|
7．(2022秋•唐河县月考)阅读下列解题过程：
例：若代数式 的值是2，求a的取值范围．
√(a-1) 2+√(a-3) 2
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝(1﹣a)+(3﹣a)＝4﹣2a＝2，解得a＝1(舍去)．
当1≤a≤3时，原式＝(a﹣1)+(3﹣a)＝2，符合条件．
当a＞3时，原式＝(a﹣1)+(a﹣3)＝2a﹣4＝2，解得a＝3(舍去)．
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题．
(1)当2≤a≤5时，化简： ；
√(a-2) 2+√(a-5) 2=
(2)若等式 成立，求a的取值范围．
√(3-a) 2+√(a-7) 2=4核心知识4 最简二次根式
1．(2022秋•静安区校级期中)下列二次根式中，最简二次根式是( )
√ 1
A．√a2b4 B． C．√a2+b2 D．√20a
2a
√a
2．(2022秋•虹口区校级月考)在√0.2，√12，√5， ，√a2b中，最简二次根式有 个．
2
3．(2022春•莱西市期中)将√4.5化为最简二次根式为 ．
√ 5
4．(2022秋•临汾期中) 化为最简二次根式是 ．
16
√1
5．(2022秋•晋江市校级期中)6 化简为最简二次根式的结果是 ．
3
6．(2022秋•虹口区校级月考)将√a2b3(a＞0，b＞0)化为最简二次根式： ．
4
核心知识5 二次根式的乘除
1．(2022春•新洲区校级月考)计算：√18= ，(2√7) 2= ，
√4
= ．
3
√12
2．(2022秋•南关区校级月考)计算：2√2× ÷√6= ．
4
3．(2022秋•闵行区校级期中)如果 • 成立，那么x的取值范围是 ．
√4x2-1=√2x+1 √2x-14 √3 2√12
4．(2022秋•青浦区校级期中)计算： ÷ = ．
3 5 3 5
5．(2022秋•蒲江县校级期中)如果 a＜0，b＜0，那么下列各式，①√a √a；②√a √b 1；③
= × =
b √b b a
√a
√ab÷ =-b，④(√ab) 2=-ab，正确的有 ．
b
√ 1
6．(2022春•朔州月考)把(1﹣a) - 根号外的因式移入根号内，化简后的结果是 ．
1-a
7．(2022•迁安市二模)已知√2×√12=√2×a√3=a√b，则a＝ ；b＝ ．
8．计算：
√ 2 √5
(1)2√14×3√7 (2) 1 ÷
3 6
(3) √9 √54 √3 (4) 3 1√b ．
÷ × √ab3 ⋅(- √a3b)÷( )
√12 12 6 2 3 a
核心知识6 同类二次根式
1．(2022秋•沙坪坝区校级月考)下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是( )
√3
A．√12 B．√16 C．√18 D．
2
2．(2022秋•静安区校级期中)下列二次根式中，不能与√2合并的是( )
√1
A． B．√2a2 (a≠0) C．√18 D．√0.2
2
3．(2022秋•萧县期中)若最简二次根式√a+2与√2a-3是可以合并的二次根式，则a的值为( )1 3
A．5 B． C．﹣2 D．
3 2
4．(2022秋•杨浦区期中)下列各组二次根式中，不是同类二次根式的组是( )
√a √5
A． 与√ab3 B． 与√20a3b2
b a
C． 与 D．√ 4c 与√9a
√4ab √8ab3
a3b bc
5．(2022秋•射洪市期中)若二次根式a+ √b 4b与最简二次根式√3a+b是同类二次根式，则a、b的值分别为(
)
A．a＝0，b＝2 B．a＝1，b＝1 C．a＝0，b＝﹣2 D．a＝2，b＝0
核心知识7 二次根式的加减
√1
1．(2022秋•南岗区校级期中)计算6 -√27的结果是 ．
3
√1
2．(2022秋•铁西区期中)计算：√24+6 = ．
6
√1
3．(2022•阿城区模拟)计算：√12-(√27+ )= ．
3
4．计算下列各式：
√2 √9 √1 √1
(1)√5-√6-√20+ + (2)√12-√0.5-2 - +√18
3 5 3 8
√3 √a 1 2 √ y √ x √1
(3)√27a-a +3 + √75a3 (4) x√9x+6x + y -x2 ．
a 3 2a 3 x y x5．计算下列各题：
√1 √2 √1
(1)(√32+√12)-( +√27)； (2)(√24-√0.5+3 )﹣( -√6)．
2 3 8
核心知识8 二次根式的混合运算
1．(2022秋•桐柏县期中)下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
√2+√3=√5 (2√3) 2=6 √(-2) 2=-2 √32÷√2=4
2．(2021秋•洪洞县期末)计算：(√13+√2)(√13-√2)的结果是 ．
3．(2021秋•武宣县期末)(√32+√2)÷√8= ．
√1
4．(2022秋•新华区校级期中)计算√48+6 -(√3+2)(√3-2)＝( )
3
A．2√3+1 B．2√3-1 C．6√3+1 D．6√3-1
5．(2022秋•北碚区校级月考)计算：
(1)(√48+√20)-(√12-√5)； (2)√20+√5(2+√5)；
√1
(3)√48÷√3-2 ×√30+(2√2+√3) 2； (4)(2-√3) 2017 (2+√3) 2018-|-√3|-(-√2) 0．
56．(2022秋•北碚区校级月考)计算：
(1) (1-√2) 0+|2-√5|+(-1) 2022× 1 ×√45 ； (2) 2√2×3√10+√45+ √ 1 1 - 1 ；
3 4 2-√5
(3)(√3-1) 2- 4 -√3(√3- √3 )； (4) √ (1-√2) 2- 1 -(√48-√24)+√6．
√3-1 3 2-√3
核心知识9二次根式的化简求值
1．(2022秋•长泰县期中)先化简，再求值：(a-√3)(a+√3)-a(a-4)，其中：a=√3+1．
x- y x-2√xy+ y 1
2．(2022秋•浦东新区校级月考)先化简，再求值 + ，其中x＝5，y= ．
√x+√y √x-√y 5
3．(2022春•灵宝市月考)若a=√5+1，b=√5-1，求下列代数式的值．
(1)a2b+ab2；
(2)a2﹣ab+b2．1
4．(2022秋•静安区校级期中)先化简，再求值，如果a＝2-√3，b= ，求√a2-2ab+b2的值．
2-√3
√a √b
5．(2022秋•虹口区校级期中)已知a+b＝﹣4，ab＝1，求：a +b 的值．
b a
6．(2022秋•锦江区校级月考)已知x＝2-√3，y＝2+√3．
(1)求xy2﹣x2y的值；
(2)若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．
核心知识10二次根式的实际应用
1．(2022春•临淄区期末)已知一个矩形面积是√24，一边长是√2，则另一边长是( )
A．12 B．2√3 C．√6 D．3√2
2．(2022秋•郸城县月考)若等腰三角形的两边长分别为√12和√50，则这个三角形的周长为( )
A．2√3+10√2 B．4√3+5√2
C．4√3+10√2 D．4√3+5√2或2√3+10√23．(2022春•孝义市期末)如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影
部分的面积为( )
A．6√10cm2 B．21cm2 C．2√15cm2 D．4√6cm2
4．(2022秋•新蔡县校级月考)如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作
一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为√2cm．
(1)求长方体盒子的容积；
(2)求这个长方体盒子的侧面积．
5．(2022秋•南岸区校级期中)某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为√162
m，宽AB为√128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为(
√13+1)m，宽为(√13-1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？(结果化为最简二次根式)
(2)除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为 50元每平方米的地砖，若铺完
整个通道，则购买地砖需要花费多少元？核心知识11 新定义运算问题
1．(2022春•交城县期中)用“•”表示一种新运算：对于任意正实数a•b ，例如10•21
=√a2+b =√102+21=
11，那么√13⋅(√7⋅2)的运算结果为( )
A．13 B．7 C．4 D．5
2．(2022秋•海曙区校级期中)对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a
＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{√30，a}＝a，min{√30，b}=√30，且a
和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2
3．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[ ]＝0，[3.14]＝3，[√3]＝1，并且规定一个实数减去它
3
的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
(1)[√8(√5-√2)]＝ ，√8(√5-√2)的小数部分为 ；
(2)已知a，b分别是5-√5的整数部分和小数部分，求4ab﹣b2的值．
4．(2021春•江都区期末)用※定义一种新运算：对于任意实数 m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：
1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．
(1)求(﹣2)※√3；
(2)若3※m＜﹣6，化简 ．
√(2-m) 2+(√-m-2) 25．(2022春•铜梁区校级期中)阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个
式子的平方．
例如：3+2√2=(1+√2)2．善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a+b√2=(m+n√2)2，则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2．
a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为整数时，若a+b√5=(m+n√5)2，用含m、n的式子分别表示a、b，
则：a＝ ，b＝ ；
(2)若a+6√7=(m+n√7)2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)直接写出式子√49+20√6化简的结果．
核心知识12探究规律性问题
1．观察下列各式子，并回答下面的问题：
第一个： 第二个： 第三个： 第四个：
√12-1 √22-2 √32-3 √42-4
…
(1)试写出第n个式子(用含n的表达式表示)，这个式子一定是二次根式吗？为什么？
(2)你估计第16个式子的值应在哪两个连续整数之间？试说明理由．
2．观察下列等式：√52 −42 =1×3 √172 −82 =3×5 √372 −122 =5×7
① ＝1×3；② ；③5×7 ；
…
根据上述规律解决下列问题：
√652 −162
(1)完成第④个等式： ＝ × ；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明其正确性．
3．(2021秋•平阴县期末)阅读下面问题：
1 1×(√2-1) ；
= =√2-1
√2+1 (√2+1)(√2-1)
1 1×(√3-√2) ；
= =√3-√2
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2)
1 1×(√4-√3) ．
= =√4-√3
√4+√3 (√4+√3)(√4-√3)
1
试求：(1)求 = ；
√7+√6
1
(2)当n为正整数时 = ；
√n+1+√n
1 1 1 1 1
(3) + + +⋯+ + 的值．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√1004．(2022秋•福田区期中)观察下列二次根式的化简
S √ 1 1 1 1 1，
1= 1+ + = + -
12 22 1 2
S √ 1 1 √ 1 1 (1 1 1)+(1 1 1)，
2= 1+ + + 1+ + = + - + -
12 22 22 32 1 2 2 3
S √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 (1 1 1)+(1 1 1)+(1 1 1)，则S ( )
3= 1+ + + 1+ + + 1+ + = + - + - + - 2022 =
12 22 22 32 32 42 1 2 2 3 3 4 2022
2022 2024 1 1
A． B． C． D．
2021 2023 2022 2024
1
5．(2022春•东莞市期中)小芳在解决问题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
2+√3
1 2-√3
a= = =2-√3，∴a＝2-√3，
2+√3 (2+√3)(2-√3)
∴(a﹣2)2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
1 1 1 1
(1)计算： + + +⋯+ ．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √100+√99
1
(2)若a= ．
√2-1
①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；
②求a3﹣3a2+a+1的值．
