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2．1 两条直线的位置关系
第 1 课时 对顶角、补角和余角
1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；
2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．(重点，难点)
一、情境导入
如图，若把剪刀看成是两条相交的直线构成的，那么形成的角中小于平角的角有几个，
你能发现它们之间的联系吗？
二、合作探究
探究点一：对顶角及其性质
【类型一】 对顶角的概念
下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
解析：选项A中的两个角的顶点没有公共；选项 B、D中的两个角的两边没有在互为
反向延长线的两条直线上，只有选项C中的两个角符合对顶角的定义．故选C.
方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
【类型二】 直接运用对 顶角的性质求角度
如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．
解析：结合图形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据“对顶角相等”可得∠2的度
数．
解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝
70°.因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，所以∠2＝70°(等量代换)．
方法总结：两条相交直线构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．
在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已
知条件进行转化．探究点二：补角和余角
【类型一】 利用补角和余角计算求值
已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．
解析：根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多
30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．
解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°.又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多
30°，∴设∠B＝x，∴∠A＝3∠B＋30°＝3x＋30°，∴3x＋30°＋x＝90°，解得x＝15°，故
∠B的度数为15°.
方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程
问题，利用方程来解决．
【类型二】 补角、余角和角平分线的综合计算
如图，已知∠AOB在∠AOC 内部，∠BOC＝90°，OM、ON分别是∠AOB，
∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
解析：根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°.根据角的和差，可得∠AOB＋
∠BOM＝90°.根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB.根据解方程，可得∠AOB的度数．
根据角的和差，可得答案．
解：∵∠AOB 与∠COM 互补，∴∠AOB＋∠COM＝180°，即∠AOB＋∠BOM＋
∠COB＝180°.∵∠COB＝90°，∴∠AOB＋∠BOM＝90°.∵OM 是∠AOB 的平分线，
∴∠BOM＝∠AOB，即∠AOB＋∠AOB＝90°，解得∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOC＋
∠AOB＝90°＋60°＝150°.∵ON平分∠AOC得∠AON＝∠AOC＝×150°＝75°.由角的和差，
∴∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.
方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的
和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．
【类型三】 补角和余角的性质
如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
(1)如图①，若CE是∠ACD的角平分线，那么CD是∠ECB的角平分线吗？并简述理
由；
(2)如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？
并简述理由；
(3)在(2)的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由．
解析：(1)首先根据直角三角板的特点得到∠ACD＝90°，∠ECB＝90°.再根据角平分线的
定义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可；(2)∠ACE与∠DCB相等，根据“等角的余角相
等”即可得到答案；(3)根据角的和差关系进行等量代换即可．
解：(1)CD是∠ECB的角平分线．理由如下：∵∠ACD＝90°，CE是∠ACD的角平分
线，∴∠ECD＝45°.∵∠ECB＝90°，∴∠DCB＝90°－45°＝45°，∴∠ECD＝∠DCB，∴CD是∠ECB的角平分线；
(2)∠ACE＝∠DCB.理由如下：∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，∠ECD＝α，∴∠ACE＝
90°－α，∠DCB＝90°－α，∴∠ACE＝∠DCB；
(3)∠ECD＋∠ACB＝180°.理由如下：∠ECD＋∠ACB＝∠ECD＋∠ACE＋∠ECB＝
∠ACD＋∠ECB＝90°＋90°＝180°.
方法总结：此题主要查考了角的计算，关键是根据图形分清角之间的和差关系．
三、板书设计
1．对顶角相等；
2．同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．
本节课学习了对顶角及其性质．教学中可让学生自己画这些角，结合图形说出对顶角
的特征．对顶角的识别是易错点，可以结合例题进行练习，让学生在学习中不断纠错，不
断进步
