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专题 16 概率与统计（解答题）（文科专用）
1．【2022年全国甲卷】甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这
两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联
表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
n(ad−bc) 2
附：K2=
，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2 ⩾k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
2．【2022年全国乙卷】某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计
一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单
位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
x
i
材积量y 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
i
10 10 10
并计算得∑ x2=0.038,∑ y2=1.6158,∑ x y =0.2474．
i i i i
i=1 i=1 i=1
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区
这种树木的总材积量的估计值．
n
∑(x −x)(y −y)
i i
附：相关系数r= i=1 ,√1.896≈1.377．
√ n n
∑(x −x) 2∑(y −y) 2
i i
i=1 i=1
3．【2021年甲卷文科】甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，
为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统
计如下表：
一级
二级品 合计
品
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
4．【2021年乙卷文科】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的
某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指
标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为和 ．
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则
不认为有显著提高）．
5．【2020年新课标1卷文科】某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标
准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分
别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂
有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20
元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统
计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应
选哪个分厂承接加工业务?
6．【2019年新课标1卷文科】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女
顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附： ．
P
0.050 0.010 0.001
（K2≥k）
k 3.841 6.635 10.828
7．【2019年新课标2卷文科】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机
调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分
布表.
的分组
企业数 2 24 53 14 7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中
点值为代表）.（精确到0.01）
附： .
8．【2018年新课标1卷文科】某家庭记录了未使用节水龙头 天的日用水量数据（单位：
）和使用了节水龙头 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 天的日用水量频数分布表
日用水量
频数
使用了节水龙头 天的日用水量频数分布表日用水量
频数
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 天计算，同一组中的
数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
