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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
专项训练九 圆
一、选择题
1．(2016·寿光市期末)下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆
心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦，其中错误的个数为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．(2016·涪城区模拟)如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点H，E是⊙O上的点，若
∠BEC＝25°，则∠BAD的度数为( )
A．65° B．50° C．25° D．12.5°
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3．(2016·河南模拟)如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝120°，则
∠ABC的度数是( )
A．100° B．120° C．140° D．110°
4．(2016·徐州模拟)如图，⊙O的弦AB＝8，P是劣弧AB中点，连接OP交AB于C，PC＝
2，则⊙O的半径为( )
A．8 B．4 C．5 D．10
5．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小
明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角
形的周长为( )
A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化
6．(2016·连云港中考)如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点
(格线的交点称为格点)．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个
在圆内，则r的取值范围为( )
A．2＜r＜ B.＜r＜3 C.＜r＜5 D．5＜r＜
第6题图 第7题图 第8题图
7．(2016·安徽中考)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个
动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为( )
A. B．2 C. D.
8．★(达州中考)如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O
于点E，连接OD，OC，下列结论中：①∠DOC＝90°；②AD＋BC＝CD；③S ：S ＝AD2：
△AOD △BOC
AO2；④OD：OC＝DE：EC；⑤OD2＝DE·CD，正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
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二、填空题
9．(2016·青岛中考)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则
∠ABD＝________．
第9题图 第10题图
10．(2016·安徽中考)如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条
切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC＝30°，则BC的长为________．
11．(2016·丹阳市校级模拟)若直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则它的外接圆
半径为________，内切圆半径为________．
12．(2016·苏州中考)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延
长线于点D，若∠A＝∠D，CD＝3，则图中阴影部分的面积为________．
第12题图 第13题图 第14题图
13．(2016·邹平县一模)如图，⊙C过原点并与坐标轴分别交于A，D两点．已知∠OBA＝
30°，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．
14．★(2016·灵璧县一模)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋
圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点
A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为(0，－3)，AB为半圆直径，半圆圆
心M的坐标为(1，0)，半径为2，则经过点D的“蛋圆”的切线的解析式为__________．
三、解答题
15．(2016·天津中考)在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
(1)如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的
大小；
(2)如图②，D为AC上一点，OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交
于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．
16．(2016·绵阳中考)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D是BC的中点，
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DE⊥AC于E，DF⊥AB于F.
(1)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若OF＝4，求AC的长度．
17．★★(2016·南京中考)如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F，G两点，与AB，
AC分别相切于点D，E，DE∥BC，连接DF，EG.
(1)求证：AB＝AC；
(2)已知AB＝10，BC＝12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．
参考答案与解析
1．C 2.C 3.B 4.C 5.B
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6．B 解析：如图，∵AD＝2，AE＝AF＝，AB＝3，∴AB＞AE＞AD，∴当＜r＜3时，以A
为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．故选B.
7．B 解析：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠PBC＝90°.∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP＋
∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时
CP的值最小．在Rt△BCO中，BC＝4，OB＝AB＝3，∴OC＝＝5，∴CP＝OC－OP＝5－3＝2，
∴线段CP长的最小值为2.故选B.
8．C 解析：连接OE.∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO＝
∠DEO＝∠OBC＝90°，∴DA＝DE，CE＝CB，AD∥BC，∴CD＝DE＋EC＝AD＋BC，选项②
正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL)，∴∠AOD＝∠EOD.同理
Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC＝∠BOC.又∵∠AOD＋∠DOE＋∠EOC＋∠COB＝180°，
∴2(∠DOE＋∠EOC)＝180°，即∠DOC＝90°，选项①正确；∵∠DOC＝∠DEO＝90°，又
∵∠EDO＝∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴＝，即OD2＝DC·DE，选项⑤正确；∵∠AOD＋
∠COB＝∠AOD＋∠ADO＝90°，∴∠ODA＝∠COB.又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AOD∽△BCO，∴＝＝＝，选项③正确；同理△ODE∽△COE，∴＝，选项④错误．故选
C.
9．62° 10. 11.5 2 12.
13．(－1，) 解析：连接AD，过点C作CE⊥OA，CF⊥OD于点F，则OE＝AE＝OA，OF
＝DF＝OD.∵∠AOD＝90°，∴AD为⊙C的直径．∵∠OBA＝30°，∴∠ADO＝30°.∵点D的
坐标为(0，2)，∴OD＝2，∴OF＝.在Rt△AOD中，OA＝OD·tan∠ADO＝2，∴OE＝1.∴点C的
坐标为(－1，)．
14．y＝－2x－3 解析：∵AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2，
∴A(－1，0)，B(3，0)．∵抛物线过点A，B，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)．又∵抛物
线过点D(0，－3)，∴－3＝a·1·(－3)，∴a＝1，∴y＝x2－2x－3.∵经过点D的“蛋圆”切线过
D(0，－3)点，∴设它的解析式为y＝kx－3.又∵抛物线y＝x2－2x－3与直线y＝kx－3相切，
∴x2－2x－3＝kx－3，即x2－(2＋k)x＝0只有一个解，∴Δ＝(2＋k)2－4×0＝0，解得k＝－2.∴
经过点D的“蛋圆”的切线的解析式为y＝－2x－3.
15．解：(1)连接OC.∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°.∵∠CAB＝
27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°.在Rt△OCP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝
36°；
(2)∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠AEO＝90°.在Rt△AOE中，∵∠EAO＝10°，
∴∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，∴∠ACD＝∠AOD＝40°，∴∠P＝∠ACD－∠CAB＝40°－10°
＝30°.
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16．解：(1)DE与⊙O相切．证明如下：连接OD，AD.∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，
∴ ∠ DAO ＝ ∠ DAC.∵OA ＝ OD ， ∴ ∠ DAO ＝ ∠ ODA ， ∴ ∠ DAC ＝ ∠ ODA ，
∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切；
(2)连接BC交OD于点H，延长DF交⊙O于G.由垂径定理可得OH⊥BC，BG＝BD＝
DC，∴DG＝BC，∴DG＝BC，∴弦心距OH＝OF＝4.∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，
∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线，∴AC＝2OH＝8.
方法点拨：本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已
知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这
条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．
17．(1)证明：∵AD，AE是⊙O的切线，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；
(2)解：连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE，DG.设⊙O的半径为r.∵
四边形DFGE是矩形，∴∠DFG＝90°，∴DG是⊙O的直径．∵⊙O与AB，AC分别相切于点
D，E，∴OD⊥AB，OE⊥AC.∵OD＝OE，∴AN平分∠BAC.∵AB＝AC，∴AN⊥BC，BN＝BC＝
6.在Rt△ABN中，AN＝＝＝8.∵OD⊥AB，AN⊥BC，∴∠ADO＝∠ANB＝90°.∵∠OAD＝
∠BAN，∴△AOD∽△ABN，∴＝，即＝，∴AD＝r，∴BD＝AB－AD＝10－r.∵OD⊥AB，
∴∠GDB＝∠ANB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△GBD∽△ABN，∴＝，即＝，∴r＝，∴四边形
DFGE是矩形时⊙O的半径为.
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