2022 年天津市初中学业水平考试
一、选择题(本大题共12 小题,每小题3 分,共36 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.(2022 天津,1,3 分)计算(-3)+(-2)的结果等于( )
A.-5
B.-1
C.5 D.1
2.(2022 天津,2,3 分)tan 45°的值等于
( )
A.2 B.1 C.√2
2
D.√3
3
3.(2022 天津,3,3 分)将290 000 用科学记数法表示应为( )
A.0.29×106 B.2.9×105
C.29×104
D.290×103
4.(2022 天津,4,3 分)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4 个汉字中,
可以看作是轴对称图形的是( )
A
B
C
D
5.(2022 天津,5,3 分)下图是一个由5 个相同的正方体组成的立体图形,它的主
视图是( )
A
B
C
D
6.(2022 天津,6,3 分)估计√29的值在
( )
A.3 和4 之间
B.4 和5 之间
C.5 和6 之间
D.6 和7 之间
7.(2022 天津,7,3 分)计算a+1
a+2+ 1
a+2的结果是
( )
A.1 B. 2
a+2
C.a+2
D. a
a+2
8.(2022 天津,8,3 分)若点A(x1,2),B(x2,-1),C(x3,4)都在反比例函数y=8
x 的图
象上,则x1,x2,x3的大小关系是
( )
A.x1<x2<x3
B.x2<x3<x1
C.x1<x3<x2
D.x2<x1<x3
9.(2022 天津,9,3 分)方程x2+4x+3=0 的两个根为
( )
A.x1=1,x2=3B.x1=-1,x2=3
C.x1=1,x2=-3
D.x1=-1,x2=-3
10.(2022 天津,10,3 分)如图,△OAB 的顶点O(0,0),顶点A,B 分别在第一、四
象限,且AB⊥x 轴,若AB=6,OA=OB=5,则点A 的坐标是( )
A.(5,4)B.(3,4) C.(5,3)D.(4,3)
11.(2022 天津,11,3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,若M 是BC 边上任意一点,将
△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN,点M 的对应点为N,连接MN,则下列结
论一定正确的是
( )
A.AB=AN
B.AB∥NC
C.∠AMN=∠ACN
D.MN⊥AC
12.(2022 天津,12,3 分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,0<a<c)经过点
(1,0),有下列结论:
①2a+b<0;
②当x>1 时,y 随x 的增大而增大;
③关于x 的方程ax2+bx+(b+c)=0 有两个不相等的实数根.
其中,正确结论的个数是
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题(大题共6 小题,每小题3 分,共18 分)
13.(2022 天津,13,3 分)计算m·m7的结果等于 .
14.(2022 天津,14,3 分)计算(√19+1)(√19-1)的结果等于 .
15.(2022 天津,15,3 分)不透明袋子中装有9 个球,其中有7 个绿球、2 个白球,
这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1 个球,则它是绿球的概率是
.
16.(2022 天津,16,3 分)若一次函数y=x+b(b 是常数)的图象经过第一、二、三
象限,则b 的值可以是 (写出一个即可).
17.(2022 天津,17,3 分)如图,已知菱形ABCD 的边长为2,∠DAB=60°,E 为AB
的中点,F 为CE 的中点,AF 与DE 相交于点G,则GF 的长等于 .
18.(2022 天津,18,3 分)如图,在每个小正方形的边长为1 的网格中,圆上的点
A,B,C 及∠DPF 的一边上的点E,F 均在格点上.
(1)线段EF 的长等于 ;
(2)若点M,N 分别在射线PD,PF 上,满足∠MBN=90°且BM=BN.请用无刻度的
直尺,在如图所示的网格中,画出点M,N,并简要说明点M,N 的位置是如何找到
的(不要求证明)
.
三、解答题(本大题共7 小题,共66 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过
程)
19.(2022 天津,19,8 分)解不等式组{
2 x ≥x -1,①
x +1≤3.②
请结合题意填空,完成本题的解答.
(1)解不等式①,得 ;
(2)解不等式②,得 ;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为 .
20.(2022 天津,20,8 分)在读书节活动中,某校为了解学生参加活动的情况,随机
调查了部分学生每人参加活动的项数.根据统计的结果,绘制出如下的统计图①
和图②.
图①
图②
请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的学生人数为 ,图①中m 的值为 ;
(2)求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数.
21.(2022 天津,21,10 分)已知AB 为☉O 的直径,AB=6,C 为☉O 上的一点,连接
CA,CB.
(1)如图①,若C 为´AB的中点,求∠CAB 的大小和AC 的长;
(2)如图②,若AC=2,OD 为☉O 的半径,且OD⊥CB,垂足为E,过点D 作☉O 的
切线,与AC 的延长线相交于点F,求FD 的长.
图①
图②
22.(2022 天津,22,10 分)如图,某座山AB 的顶部有一座通讯塔BC,且点A,B,C
在同一条直线上.从地面P 处测得塔顶C 的仰角为42°,测得塔底B 的仰角为35°.
已知通讯塔BC 的高度为32 m,求这座山AB 的高度(结果取整数).
参考数据:tan 35°≈0.70,tan 42°≈0.90.
23.(2022 天津,23,10 分)在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图象设计了一
个问题情境.
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上,阅览室离学生公寓1.2 km,
超市离学生公寓2 km.小琪从学生公寓出发,匀速步行了12 min 到阅览室;在阅
览室停留70 min 后,匀速步行了10 min 到超市;在超市停留20 min 后,匀速骑行
了8 min 返回学生公寓.给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离y
km 与离开学生公寓的时间x min 之间的对应关系.
请根据相关信息,解答下列问题:
(1)填表:
离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离/km
0.5
1.6
(2)填空:
①阅览室到超市的距离为 km;
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 km/min;
③当小琪离学生公寓的距离为1 km 时,他离开学生公寓的时间为 min.
(3)当0≤x≤92 时,请直接写出y 关于x 的函数解析式.
24.(2022 天津,24,10 分)将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中,点
O(0,0),点A(3,0),点C(0,6),点P 在边OC 上(点P 不与点O,C 重合),折叠该
纸片,使折痕所在的直线经过点P,并与x 轴的正半轴相交于点Q,且
∠OPQ=30°,点O 的对应点O'落在第一象限.设OQ=t.
(1)如图①,当t=1 时,求∠O'QA 的大小和点O'的坐标;
(2)如图②,若折叠后重合部分为四边形,O'Q,O'P 分别与边AB 相交于点E,F,试
用含有t 的式子表示O'E 的长,并直接写出t 的取值范围;
(3)若折叠后重合部分的面积为3√3,则t 的值可以是 (请直接写出两个
不同的值即可).
图①
图②
25.(2022 天津,25,10 分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a>0)的顶点为
P,与x 轴相交于点A(-1,0)和点B.
(1)若b=-2,c=-3,
①求点P 的坐标;
②直线x=m(m 是常数,1<m<3)与抛物线相交于点M,与BP 相交于点G,当MG
取得最大值时,求点M,G 的坐标.
(2)若3b=2c,直线x=2 与抛物线相交于点N,E 是x 轴的正半轴上的动点,F 是y
轴的负半轴上的动点,当PF+FE+EN 的最小值为5 时,求点E,F 的坐标.
2022 年天津市初中学业水平考试
1.A 由有理数加法法则可知(-3)+(-2)=-5.故选A.
2.B
3.B 较大数用科学记数法表示为a×10n,其中1≤a<10,n 为整数位数减1.故选B.
4.D 由轴对称图形的定义可知“业”是轴对称图形.故选D.
5.A 主视图是从前往后看得到的图形,故选A.
6.C 由√25<√29<√36得5<√29<6,故选C.
7.A a+1
a+2
+ 1
a+2
=a+1+1
a+2
=1.故选A.
8.B ∵A(x1,2),B(x2,-1),C(x3,4)都在反比例函数y=8
x
的图象上,
∴x1=4,x2=-8,x3=2.∴x2<x3<x1.故选B.
9.D 由x2+4x+3=0 得x2+4x=-3,
∴x2+4x+4=-3+4,
即(x+2)2=1,
∴x+2=1 或x+2=-1,
∴x1=-1,x2=-3.故选D.
一题多解
因式分解法解一元二次方
程:
∵x2+4x+3=0,
∴(x+1)(x+3)=0,
∴x+1=0 或x+3=0,
∴x1=-1,x2=-3.
公式法解一元二次方程:
x2+4x+3=0,
∵a=1,b=4,c=3,
∴Δ=b2-4ac=42-4×1×3=4>0,
∴x=-b±√b
2- 4 ac
2a
=- 4±√4
2×1
=-2±1,
∴x1=-1,x2=-3.
10.D 设AB 与x 轴的交点为C.
∵OA=OB,AB⊥x 轴,
∴AC=BC=1
2
AB=3,
∴在Rt△OAC 中,OC=√O A
2- A C
2=4.
∴A(4,3).故选D.
11.C 由旋转的性质得AN=AM,∠NAM=∠CAB,∠NCA=∠B,
∵AB=AC,
∴AN
AC
= AM
AB
,
∴△ANM∽△ACB,
∴∠NMA=∠B.
又∠NCA=∠B,
∴∠NMA=∠NCA.故选C.
12.C ∵抛物线y=ax2+bx+c 经过点(1,0),
∴a+b+c=0,
∴b=-a-c,
∴2a+b=2a-a-c=a-c,
∵0<a<c,
∴a-c<0,即2a+b<0.故①正确.
∵2a+b<0,∴2a<-b,
又∵a>0,
∴抛物线开口向上,对称轴x=- b
2a
>1.
∴当x>- b
2a
时,y 随x 的增大而增大.故②错误.
Δ=b2-4a(b+c)=(-a-c)2-4a(-a-c+c)=(a+c)2+4a2.
∵0<a<c,
∴Δ>0.
∴方程有两个不相等的实数根.故③正确.
13.答案 m8
解析 由同底数幂的乘法法则可知m·m7=m8.
14.答案 18
解析 由平方差公式可得(√19+1)(√19-1)=19-1=18.
15.答案 7
9
解析 从袋子中随机取出1 个球是绿球的概率P=绿球的个数
球的总个数
=7
9
.
16.答案 1(答案不唯一,只需b>0 即可)
解析 一次函数y=x+b 的图象经过第一、二、三象限,如图,由图可知b>0.
17.答案 √19
4
解析 取DE 的中点H,连接HF,BD.
∵F 是CE 的中点,
∴HF=1
2
CD=1,HF∥CD.
在菱形ABCD 中,有AB∥CD,AB=AD,
∴HF∥AB.
∴∠EAG=∠HFG,∠AEG=∠FHG.
∵E 是AB 的中点,
∴AE=1
2
AB=1,
∴AE=HF,
∴△AEG≌△FHG.
∴AG=FG,GE=GH.
∵AB=AD,∠DAB=60°,
∴△ABD 是等边三角形.
∵E 是AB 的中点,
∴DE⊥AB,
∴在Rt△ADE 中,DE=√A D
2- A E
2=√3
.
∵H 是DE 的中点,GH=GE,
∴GE=1
2
HE=1
4
DE=√3
4
.
∴在Rt△AEG 中,AG=√A E
2+G E
2=√19
4
,
即GF=√19
4
.
18.答案 (1)√10 (2)连接AC,与网格线相交于点O;取格点Q,连接EQ 与射线PD 相交于点
M;连接MB 与☉O 相交于点G;连接GO 并延长,与☉O 相交于点H;连接BH 并延长,与射线PF
相交于点N,则点M,N 即为所求
解析 (1)由图可知EF 是直角边长分别为1、3 的直角三角形的斜边,∴EF=√1
2+3
2=√10
.
(2)由图可找到点Q,使EQ=BQ=EF=BF=√10,易得四边形EFBQ 是正方形,因为
BM=BN,∠MBN=90°,所以△BQM≌△BFN,点M 在EQ 上,所以EQ 与PD 的交点为M,BM、BN
与圆的交点为直径端点,通过BM 与圆的交点G 和圆心O 的连线与圆相交于H,所以H 在BN 上,
则延长BH,与PF 相交的点即为N.
19.解析 (1)x≥-1.
(2)x≤2.
(3)
(4)-1≤x≤2.
20.解析 (1)40;10.
详解:由题图可得,参加2 项活动的学生有18 人,占比为45%,则本次接受调查的学生有18
45 %
=40
人,
参加4 项活动的学生有4 人,则4
40
×100%=10%,
故答案为40;10.
(2)观察题中条形统计图,知平均数为
1×13+2×18+3×5+ 4×4
13+18+5+ 4
=2,
∴这组项数数据的平均数是2.
∵在这组项数数据中,2 出现了18 次,出现的次数最多,
∴这组项数数据的众数是2.
将这组项数数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是2,则这组数据的中位数是
2+2
2
=2.
21.解析 (1)∵AB 为☉O 的直径,
∴∠ACB=90°.
由C 为´AB的中点,得´AC= ´BC,
∴AC=BC,得∠ABC=∠CAB.
在Rt△ABC 中,∠ABC+∠CAB=90°,
∴∠CAB=45°.
根据勾股定理,有AC2+BC2=AB2.
又AB=6,∴2AC2=36.
∴AC=3√2(舍负).
(2)∵FD 是☉O 的切线,
∴OD⊥FD,即∠ODF=90°.
∵OD⊥CB,垂足为E,
∴∠CED=90°,CE=1
2
CB.
易得∠ACB=90°,∴∠FCE=90°.
∴∠FCE=∠CED=∠ODF=90°.
∴四边形ECFD 为矩形.
∴FD=CE,∴FD=1
2
CB.
在Rt△ABC 中,由AB=6,AC=2,∠ACB=90°得CB=√A B
2- A C
2=4√2
.
∴FD=2√2.
22.解析 根据题意,知BC=32 m,∠APC=42°,∠APB=35°.
在Rt△PAC 中,tan∠APC= AC
PA
,
∴PA=
AC
tan ∠APC
.
在Rt△PAB 中,tan∠APB= AB
PA
,
∴PA=
AB
tan ∠APB
.
∵AC=AB+BC,
∴AB+ BC
tan ∠APC
=
AB
tan ∠APB
.
∴AB=
BC tan ∠APB
tan ∠APC - tan ∠APB
=
32×tan35°
tan 42° - tan35°
≈32×0.70
0.90-0.70
=112(m).
答:这座山AB 的高度约为112 m.
23.解析 (1)0.8;1.2;2.
详解:小琪从学生公寓到阅览室,路程为1.2 km,时间为12 min,∴速度为0.1 km/min,
小琪在阅览室停留70 min,在此期间小琪离学生公寓的距离始终为1.2 km,
小琪从阅览室到超市,路程为2-1.2=0.8 km,时间为10 min,∴速度为0.08 km/min.
由以上信息可知:8 min 时小琪在去阅览室的路上,此时离学生公寓的距离为0.8 km,
50 min 时小琪在阅览室,此时离学生公寓的距离为1.2 km,
112 min 时小琪在超市,此时离学生公寓的距离为2 km.
(2)①0.8.
②0.25.
③10 或116.
详解:
当小琪离学生公寓1 km 时,由图可知,在点M,N 处均有可能,
∵点M 在OA 上,小琪的速度为0.1 km/min,∴离开学生公寓的时间为
1km
0.1km/min
=10 min,
∵点N 在DE 上,此时小琪骑行了1 km,速度为0.25 km/min,∴从超市返回学生公寓骑行了
1km
0.25km/min
=4 min.
∴他离开学生公寓的时间为112+4=116(min).
综上所述,当小琪离学生公寓的距离为1 km 时,他离开学生公寓的时间为10 min 或116 min.
(3)当0≤x≤12 时,设函数解析式为y=kx(k≠0).
∵y=kx 的图象过点A(12,1.2),
∴k=0.1.
∴y=0.1x.
当12<x≤82 时,y=1.2,
当82<x≤92 时,设函数解析式为y=ax+b(a≠0).
∵y=ax+b 的图象过点B(82,1.2),C(92,2),
∴{
1.2=82a+b,
2=92a+b,
解得{
a=0.08,
b=-5.36,
∴y=0.08x-5.36.
综上所述,y={
0.1 x(0≤x ≤12),
1.2(12< x ≤82),
0.08 x -5.36(82< x ≤92).
24.解析 (1)在Rt△POQ 中,由∠OPQ=30°,得∠OQP=90°-∠OPQ=60°,
根据折叠,知△PO'Q≌△POQ,
∴O'Q=OQ,∠O'QP=∠OQP=60°.
∵∠O'QA=180°-∠O'QP-∠OQP,
∴∠O'QA=60°.
如图,过点O'作O'H⊥OA,垂足为H,则∠O'HQ=90°.
∴在Rt△O'HQ 中,得∠QO'H=90°-∠O'QH=30°.
由t=1,得OQ=1,有O'Q=1.
由QH=1
2
O'Q=1
2
,O'H2+QH2=O'Q2,
得OH=OQ+QH=3
2
,O'H=√O' Q
2-Q H
2=√3
2
.
∴点O'的坐标为(
3
2 , √3
2 )
.
(2)∵点A(3,0),
∴OA=3.又OQ=t,
∴QA=OA-OQ=3-t.
同(1)知,O'Q=t,∠O'QA=60°.
∵四边形OABC 是矩形,
∴∠OAB=90°.
在Rt△EAQ 中,∠QEA=90°-∠EQA=30°,得QA=1
2
QE.
∴QE=2QA=2(3-t)=6-2t.
又O'E=O'Q-QE,
∴O'E=3t-6.
如图,当点O'恰好落在边AB 上时,
OQ=O'Q=t,∠O'QA=60°,
∴在Rt△O'AQ 中,∠AO'Q=30°.
∴AQ=1
2
O'Q=1
2
t=3-t,
∴t=2.
而当t≥3 时,点Q 在点A 及其右侧,此时折叠后重合部分是三角形而不是四边形,不合题意,
∴2<t<3,
∴t 的取值范围是2<t<3.
(3)3,10
3
.(答案不唯一,满足3≤t<2√3即可)
详解:当0<t≤2 时,S△QO'P即为折叠后重合部分的面积,
∴S 重合=S△QO'P=S△QOP=1
2
QO·OP=1
2
t·√3t=√3
2
t2,
又∵0<t≤2,∴0<S 重合≤2√3.
∴0<t≤2 时,重合部分的面积不可能为3√3.
当2<t<3 时,折叠后重合部分为四边形QEFP.
由(2)可得O'E=3t-6,
∴O'F=O'E·tan 30°=(3t-6)·√3
3
=√3
3
(3t-6),
∴S 重合=S 四边形QEFP
=S△QO'P-S△EO'F
=√3
2
t2-1
2
(3t-6)·√3
3
(3t-6)
=-√3(t-3)2+3√3,
又∵2<t<3,
∴2√3<S 重合<3√3,
∴2<t<3 时,重合部分的面积不可能为3√3.
当t=3 时,点Q 与点A 重合,如图,
AO'=AO=3,∠DAO'=30°,
∴AD= AO'
cos30°
=
3
√3
2
=2√3,
∴S 重合=S△ADP=1
2
×2√3×3=3√3,
∴当t=3 时,重合部分的面积为3√3.
当点P 与C 重合时,OP=6,t=OP·tan 30°=6×√3
3
=2√3,
∴当3<t<2√3时,如图,重合部分为△DEP,
过D 作DF⊥y 轴于F,过P 作PH⊥AB 于H.
∴DF=AO=3,PF=HD=3√3,EH= 3
√3
=√3.
∴DE=HD-EH=3√3-√3=2√3,
∴S 重合=S△DEP=1
2
×2√3×3=3√3.
∴3<t<2√3时,重合部分的面积始终为3√3.
综上所述,3≤t<2√3时,重合部分的面积均为3√3.
25.解析 (1)①∵抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴相交于点A(-1,0),
∴a-b+c=0,又b=-2,c=-3,∴a=1.
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴点P 的坐标为(1,-4).
②当y=0 时,x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3.
∴点B 的坐标为(3,0).
设经过B,P 两点的直线的解析式为y=kx+n,k≠0,
则有{
3k +n=0,
k +n=- 4 ,解得{
k =2,
n=-6.
∴直线BP 的解析式为y=2x-6.
∵直线x=m(m 是常数,1<m<3)与抛物线y=x2-2x-3 相交于点M,与BP 相交于点G,
∴点M 的坐标为(m,m2-2m-3),点G 的坐标为(m,2m-6).
∴MG=(2m-6)-(m2-2m-3)=-m2+4m-3=-(m-2)2+1.
∴当m=2 时,MG 有最大值1.
此时,点M 的坐标为(2,-3),点G 的坐标为(2,-2).
(2)由(1)知a-b+c=0,又3b=2c,
∴b=-2a,c=-3a,
∴抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3a.
∵y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a,
∴顶点P 的坐标为(1,-4a).
∵直线x=2 与抛物线y=ax2-2ax-3a 相交于点N,
∴点N 的坐标为(2,-3a).
作点P 关于y 轴的对称点P',作点N 关于x 轴的对称点N',
得点P'的坐标为(-1,-4a),点N'的坐标为(2,3a).
当满足条件的点E,F 落在直线P'N'上时,PF+FE+EN 取得最小值,
此时,PF+FE+EN=P'N'=5,
延长P'P 与直线x=2 相交于点H,则P'H⊥N'H,
在Rt△P'HN'中,P'H=3,HN'=3a-(-4a)=7a,
∴P'N'2=P'H2+HN'2=9+49a2=25.
解得a1=4
7
,a2=-4
7
(舍).
∴点P'的坐标为(-1,- 16
7 )
,点N'的坐标为(2, 12
7 )
.
可得直线P'N'的解析式为y=4
3
x-20
21
.
∴点E(
5
7 ,0)
和点F(0,- 20
21)
即为所求.
