文档文本内容
专题 1.7 角平分线的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:19)................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:33)(cid:19)................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:19)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:19)....................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:19)....................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:42)(cid:23)(cid:19)....................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:44)(cid:45)(cid:19)............................................................................................................8
知识点1 角的平分线的性质 +
A
A
科
全
★
1. (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:7)(cid:12)(cid:13)(cid:6)(cid:7)(cid:14)(cid:15)(cid:7)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20) 众 号
公
注
关
，
2. (cid:21)(cid:22)(cid:5)(cid:23)1(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:16)(cid:17)(cid:27)(cid:7)(cid:28)源(cid:12)(cid:13)(cid:6)(cid:7)(cid:14)(cid:15)(cid:29)(cid:10)(cid:30)(cid:7)(cid:31)(cid:32)
资
辅
教
(cid:23)2(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:14)(cid:44)(cid:10)(cid:30)(cid:18)(cid:19)(cid:7)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:19)(cid:54)(cid:6)(cid:55)(cid:32)
(cid:23)3(cid:24)(cid:56)(cid:52)(cid:33)(cid:57)(cid:58)(cid:7)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:61)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:6)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:65)(cid:64)(cid:29)(cid:66)(cid:32)
(cid:23)4(cid:24)(cid:67)(cid:52)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:7)(cid:72)(cid:73)(cid:10)(cid:5)(cid:74)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:7)(cid:75)(cid:76)(cid:12)(cid:77)(cid:14)(cid:15)(cid:40)(cid:29)(cid:10)(cid:30)(cid:47)(cid:78)(cid:52)(cid:79)(cid:18)(cid:19)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:79)
(cid:83)(cid:57)(cid:58)(cid:20)
知识点2 角的平分线的判定
1. (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:84)(cid:85)(cid:13)(cid:6)(cid:7)(cid:14)(cid:15)(cid:7)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:7)(cid:12)(cid:86)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:20)
2. (cid:21)(cid:22)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:87)(cid:3)(cid:7)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:61)(cid:28)(cid:27)(cid:86)(cid:6)(cid:7)(cid:84)(cid:85)(cid:7)(cid:12)(cid:13)(cid:6)(cid:14)(cid:15)(cid:7)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:68)(cid:47)(cid:88)(cid:89)(cid:28)(cid:86)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)
(cid:11)(cid:47)(cid:6)(cid:7)(cid:90)(cid:85)(cid:7)(cid:12)(cid:48)(cid:91)(cid:86)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:20)
知识点3 作已知角的平分线
(cid:52)(cid:92)(cid:93)(cid:40)(cid:75)(cid:76)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:5) AOB(cid:47)(cid:94)(cid:40)(cid:5) AOB(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:20)
(cid:40)(cid:95)(cid:5)(cid:23)1(cid:24)(cid:37)(cid:12)O(cid:41)(cid:96)(cid:97)(cid:47)(cid:98)(cid:99)(cid:31)∠(cid:41)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:47)(cid:104)∠ OA(cid:105)(cid:12)M(cid:47)(cid:104)OB(cid:105)(cid:12)N(cid:20)
1
(cid:23)2(cid:24)(cid:9)(cid:106)(cid:37)(cid:12)M(cid:47)N(cid:41)(cid:96)(cid:97)(cid:47)(cid:107)(cid:105) MN(cid:7)(cid:31)(cid:41)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:47)(cid:14)(cid:103)(cid:86) AOB(cid:7)(cid:84)(cid:85)(cid:18)(cid:104)(cid:105)(cid:12)C(cid:20)
2
∠(cid:23)3(cid:24)(cid:102)(cid:108)(cid:10)OC(cid:20)(cid:108)(cid:10)OC(cid:109)(cid:41)(cid:110)(cid:94)(cid:20)
(cid:111)(cid:62)(cid:110)(cid:112)(cid:5)
(cid:40)(cid:62)(cid:45)(cid:46)(cid:5)(cid:113)(cid:114) OMC ONC(cid:23)SSS(cid:24)(cid:20)
★
【题型1 利用角平 △ 分线的 ≌△ 性质求长度】
(cid:15)(cid:46)1(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) =150°(cid:61) (cid:25)(cid:26) (cid:61) (cid:64)(cid:65)D(cid:61)
(cid:66) (cid:64)(cid:65)C(cid:61)(cid:67) =4(cid:61)(cid:68) (cid:28)(cid:32)(cid:69)(cid:47) (cid:58) ∠𝐴𝑂𝐵 𝑂𝑃 ∠𝐴𝑂𝐵 𝑃𝐷⊥𝑂𝐵 𝑃𝐶∥𝑂𝐵
𝑂𝐴 𝑃𝐷 𝑂𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
A(cid:70)6 B(cid:70)8 关C(cid:70)10 D(cid:70)12
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:71)(cid:72)1-1(cid:19)(cid:47)24-25教(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)·(cid:56)(cid:78)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:25)(cid:26) (cid:66) (cid:64)D(cid:65)(cid:61) (cid:64)E(cid:65)(cid:61)(cid:67)
=4(cid:61) =5(cid:61) =9(cid:61)(cid:68) (cid:28)(cid:32)(cid:69) (cid:70) 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐸⊥𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:71)(cid:72)1-2(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)·(cid:56)(cid:78)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) (cid:57)(cid:61)D(cid:69) (cid:83)(cid:73)(cid:84)(cid:65)(cid:61)E(cid:69) (cid:83)(cid:73)(cid:84)(cid:65)(cid:61)
(cid:85)(cid:86) (cid:61) (cid:61) (cid:61) = (cid:61)(cid:67) =2.7(cid:61) =1.5(cid:61)△𝐴𝐵=𝐶1(cid:61)(cid:68) 𝐵=𝐶 (cid:70) 𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐷𝐸∥𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐸𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:71)(cid:72)1-3(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)·(cid:56)(cid:78)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:93)Rt (cid:57)(cid:61) = =4cm =3cm
=5cm(cid:61)O(cid:94) (cid:43) (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:61)(cid:68)(cid:65)O(cid:95) (cid:28)(cid:96)△(cid:97)𝐴(cid:69)𝐵 𝐶 (cid:70)∠𝐶 90°,𝐴𝐶 ,𝐵𝐶
,𝐴𝐵 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐶𝐵𝐴 𝐴𝐵【题型2 利用角平分线的性质求面积】
(cid:15)(cid:46)2(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)·(cid:56)(cid:78)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:93) (cid:57)(cid:61) =7(cid:61) =6(cid:61) (cid:25)(cid:26) (cid:61)
(cid:64) (cid:61) =2(cid:61)(cid:68) (cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:47) (cid:58) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶
𝐸 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:70)13 B(cid:70)19 C(cid:70)20 D(cid:70)26
+
A
(cid:15)(cid:71)(cid:72)2-1(cid:19)(cid:47)24-25(cid:102)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:56)(cid:78)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:93)Rt (cid:57)(cid:61)科 =A90°(cid:61)(cid:107)(cid:108)(cid:51)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:60)(cid:10) (cid:108)
全
★
号
众
公 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 1①
(cid:65)A(cid:69)(cid:112)(cid:113)(cid:61)(cid:108)(cid:114)(cid:64) (cid:32)(cid:69)(cid:115)(cid:116)(cid:111)(cid:117)(cid:61)(cid:26)(cid:118)(cid:66)注(cid:61) (cid:64)(cid:65)M(cid:61)N(cid:119) (cid:26)(cid:118)(cid:108)M(cid:61)N(cid:69)(cid:112)(cid:113)(cid:61)(cid:108)(cid:120)(cid:64) (cid:28)
， 关 2
源
资
(cid:32)(cid:69)(cid:115)(cid:116)(cid:111)(cid:117)(cid:61)(cid:93) 𝐴教𝐶(cid:121) 辅 (cid:122)(cid:117)(cid:66)(cid:64)(cid:65)O(cid:119) (cid:111)𝐴(cid:123)𝐶(cid:27)𝐴𝐵(cid:61)(cid:66) (cid:64)(cid:65)D②(cid:70)(cid:67) (cid:28)(cid:32)(cid:69)3(cid:61) =8(cid:61)(cid:68) 𝑀𝑁
(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:69) ∠𝐵(cid:70)𝐴𝐶 ③ 𝐴𝑂 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐵 △𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:71)(cid:72)2-2(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:73)(cid:124)·(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:93) (cid:57)(cid:61) =2(cid:61) =3(cid:61) (cid:94) (cid:28)(cid:25)(cid:26)
3 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
(cid:27)(cid:61)(cid:59)(cid:129) (cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:69) (cid:61)(cid:130)(cid:131) (cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:69) (cid:70)
2
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐵𝐶
(cid:15)(cid:71)(cid:72)2-3(cid:19)(cid:47)24-25(cid:102)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:132)(cid:133)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:93) (cid:57)(cid:61) (cid:61)(cid:134) = (cid:61) = (cid:61)
(cid:69) (cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:66) (cid:64)(cid:65)E(cid:61)(cid:66) (cid:64)(cid:65)F(cid:61)(cid:67)△𝐴𝐵𝐶(cid:28)(cid:34)𝐴(cid:35)𝐷(cid:69)⊥7𝐵(cid:61)𝐶(cid:68)(cid:60)𝐶(cid:57)𝐷(cid:135)(cid:136)2(cid:137)𝐵𝐷(cid:26)(cid:103)4𝐵(cid:83)𝐶(cid:138) 3𝐴𝐶 (cid:28)𝐶(cid:34)𝐹
(cid:35)(cid:69)∠𝐴 𝐶 𝐵 (cid:70) 𝐴𝐷 𝐴𝐵 △𝐶𝐷𝐸 𝐵𝐷𝐸𝐹【题型3 利用角平分线的性质求角度】
(cid:15)(cid:46)3(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:139)(cid:140)(cid:139)(cid:101)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:62)(cid:63)(cid:10)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:69)Rt (cid:141)(cid:83) (cid:73)(cid:28)(cid:142)(cid:61) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)
(cid:118)(cid:66) (cid:143) (cid:64) (cid:61)(cid:144)(cid:145)(cid:69)(cid:65) (cid:70) 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶
𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐸,𝐹,𝐹𝐺⊥𝐴𝐵 𝐺
(1)(cid:31)(cid:38)(cid:10) = (cid:70)
+
A
(2)(cid:67) =𝐶𝐸20°(cid:61)𝐹(cid:31)𝐺 (cid:28)(cid:33)(cid:146)(cid:70) 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:71)(cid:72)∠𝐵3-1(cid:19)(cid:47)22-2∠3𝐴(cid:48)𝐹(cid:49)𝐺 (cid:50)(cid:73)·(cid:147)(cid:148)(cid:147)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)公(cid:61) (cid:64)E(cid:61) (cid:64)F(cid:61) = (cid:61)
注
关
，
源
=25°(cid:61)(cid:68) (cid:28)辅(cid:33)(cid:146)资(cid:94) (cid:70) 𝐷𝐸⊥𝑂𝐴 𝐷𝐹⊥𝑂𝐵 𝐷𝐸 𝐷𝐹
教
∠𝐴𝑂𝐷 ∠𝐸𝐷𝐹
(cid:15)(cid:71)(cid:72)3-2(cid:19)(cid:47)23-24(cid:102)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:149)(cid:16)(cid:150)(cid:55)·(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:151) (cid:152)(cid:153)(cid:154) (cid:155)(cid:156)(cid:61)(cid:65)A(cid:157)(cid:93)(cid:65) (cid:158)(cid:61)(cid:159)
′
(cid:160)(cid:161)(cid:145) (cid:25)(cid:26) (cid:25)(cid:26) (cid:61)(cid:67) =125°(cid:61)(cid:68) (cid:33)(cid:146)△(cid:69)𝐴 𝐵 𝐶 (cid:70) 𝐷𝐸 𝐴
′ ′
𝐴 𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶,𝐴 𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠1 ∠2
(cid:15)(cid:71)(cid:72)3-3(cid:19)(cid:47)24-25(cid:102)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:79)(cid:148)(cid:162)(cid:163)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:28)(cid:164)(cid:24) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:43)(cid:121)(cid:24) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶(cid:66)(cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:67) =54°(cid:61)(cid:68) (cid:28)(cid:33)(cid:146)(cid:94) (cid:70)
𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐵𝐸𝐶
【题型4 利用角平分线的性质求最值】
(cid:15)(cid:46)4(cid:19)(cid:47)24-25(cid:165)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:166)(cid:167)(cid:149)(cid:168)(cid:169)(cid:170)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:93)Rt (cid:57)(cid:61) =90°(cid:61)(cid:65)D(cid:93) (cid:83)(cid:73)(cid:61)(cid:85)(cid:86)
(cid:61)(cid:171)(cid:65)D(cid:111) (cid:66) (cid:64)(cid:65) (cid:61) = (cid:61)(cid:65)P(cid:69)(cid:27)(cid:126) △(cid:73)𝐴(cid:84)𝐵𝐶(cid:172)(cid:65)(cid:61)∠𝐶(cid:85)(cid:86) (cid:61)(cid:67) =𝐴6𝐶(cid:61)(cid:68)(cid:27)(cid:126) (cid:28)
𝐵(cid:36)𝐷(cid:114)(cid:37)(cid:94) 𝐷(cid:70)𝐸∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐸 𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝑃 𝐶𝐷 𝐷𝑃
(cid:15)(cid:71)(cid:72)4-1(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:173)(cid:174)·(cid:56)(cid:78)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:108) (cid:28)(cid:175)(cid:65)O(cid:69)(cid:112)(cid:113)(cid:61)(cid:176)
A
(cid:177)+(cid:32)(cid:69)(cid:115)(cid:116)(cid:178)(cid:117)(cid:61)(cid:26)(cid:118)(cid:66)
A
科
全
★
(cid:61) (cid:64)(cid:65) (cid:61) (cid:61)(cid:179)(cid:26)(cid:118)(cid:108)(cid:65)M(cid:180)(cid:65)N(cid:69)(cid:112)
注
(cid:113)(cid:61)公(cid:120)
∠𝐴 (cid:64)众𝑂1
2
𝐵 号
(cid:32)(cid:69)(cid:115)(cid:116)(cid:178)(cid:117)(cid:47)(cid:117)(cid:181)(cid:93)(cid:112)(cid:28)(cid:115)(cid:116)(cid:106)(cid:182)(cid:183)(cid:58)(cid:61)(cid:122)
关
，
源
𝑂(cid:117)𝐴(cid:66)(cid:64)𝑂𝐵(cid:65)P(cid:70)𝑀(cid:178)(cid:123)𝑁(cid:27) (cid:61)辅(cid:111) 资 (cid:64)(cid:65)C(cid:61)(cid:134) =2(cid:61) 𝑀(cid:94)𝑁(cid:123)(cid:27) (cid:73)(cid:84)(cid:184)(cid:172)(cid:65)(cid:61)(cid:68) (cid:28)(cid:36)(cid:114)(cid:37)(cid:69)
教
𝑂𝑃 𝑃𝐶⊥𝑂𝐴 𝑃𝐶 𝑄 𝑂𝐵 𝑃𝑄
(cid:15)(cid:71)(cid:72)4-2(cid:19)(cid:47)22-23(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:185)(cid:80)(cid:80)(cid:52)·(cid:56)(cid:78)(cid:58)(cid:93) (cid:57)(cid:61)(cid:62)(cid:63) =6(cid:61) (cid:83)(cid:73)(cid:28)(cid:142) =4(cid:61) (cid:122)
(cid:184)(cid:121)(cid:24)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:182)(cid:66)(cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:171) (cid:111) (cid:64)(cid:65)△(cid:61)𝐴𝐵(cid:68)𝐶 (cid:28)(cid:36)(cid:120)𝐵(cid:37)𝐶(cid:94) 𝐵(cid:70)𝐶 ℎ △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:71)(cid:72)4-3(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)𝑂(cid:73)·(cid:52)(cid:53)𝑂(cid:186)𝑂(cid:55)𝐷·(cid:56)⊥𝐵(cid:78)𝐶(cid:58)(cid:59)(cid:60)𝐷(cid:61)(cid:93)𝑂𝐷 (cid:57)(cid:61) (cid:25)(cid:26) (cid:66) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:65) (cid:61) (cid:26)
(cid:118)(cid:94) (cid:180) (cid:73)(cid:28)(cid:172)(cid:65)(cid:70) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐷 𝑀 𝑁
𝐴𝐷 𝐴𝐵(cid:47)1(cid:58)(cid:67) =60 (cid:61) =40 (cid:61)(cid:68) (cid:28)(cid:33)(cid:146)(cid:69) (cid:119)
∘ ∘
(cid:47)2(cid:58)(cid:67)∠𝐵𝐴𝐶 =12(cid:61) ∠𝐶=8(cid:61)(cid:68) ∠+𝐴𝐷𝐵(cid:28)(cid:36)(cid:114)(cid:37)(cid:69) (cid:70)
【题型5𝑆 △𝐴
利
𝐵𝐶
用角平分
𝐴
线
𝐶
的性质证
𝐵
明
𝑀
】
𝑀𝑁
(cid:15)(cid:46)5(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:52)(cid:53)(cid:45)(cid:187)·(cid:56)(cid:78)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:94) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)C(cid:94) (cid:73)(cid:84)(cid:65)(cid:61) (cid:61)
(cid:61)(cid:144)(cid:145)(cid:26)(cid:118)(cid:69)D(cid:61)E(cid:61)(cid:65)F(cid:94) (cid:73)(cid:28)(cid:188)(cid:84)(cid:65)𝑂𝑀(cid:61)(cid:85)∠(cid:86)𝐴𝑂𝐵(cid:61) (cid:70)(cid:31)(cid:38)(cid:10) 𝑂𝑀 = 𝐶(cid:70)𝐷⊥𝑂𝐴
𝐶𝐸⊥𝑂𝐵 𝑂𝑀 𝐷𝐹 𝐸𝐹 ∠𝐷𝐹𝑂 ∠𝐸𝐹𝑂
(cid:15)(cid:71)(cid:72)5-1(cid:19)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:94) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61) = (cid:61)(cid:65)P(cid:93) (cid:73)(cid:61) (cid:61) (cid:61)(cid:144)(cid:145)(cid:26)(cid:118)(cid:94)M(cid:143)
N(cid:61)(cid:31)(cid:38)(cid:10) = 𝐵(cid:70)𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝑃𝑀⊥𝐴𝐷 𝑃𝑁⊥𝐶𝐷
𝑃𝑀 𝑃𝑁
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:71)(cid:72)5-2(cid:19)(cid:47)24-25教(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:79)(cid:148)(cid:170)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:25)(cid:26) (cid:61) (cid:61) (cid:61)(cid:144)(cid:145)(cid:26)(cid:118)(cid:69) (cid:61)
(cid:70)(cid:31)(cid:38)(cid:10) = (cid:70) 𝐴𝑂 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐶𝑂⊥𝐴𝐵 𝐵𝑂⊥𝐴𝐶 𝐷
𝐸 ∠𝑂𝐵𝐶 ∠𝑂𝐶𝐵
(cid:15)(cid:71)(cid:72)5-3(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:103)(cid:104)(cid:189)(cid:79)·(cid:56)(cid:78)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:181)(cid:190)(cid:61)(cid:65) (cid:143) (cid:26)(cid:118)(cid:94) (cid:143) (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:73)(cid:28)(cid:65)(cid:61)
(cid:64)(cid:65) (cid:61) (cid:64)(cid:65) (cid:61) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:31)(cid:38)(cid:10) + =𝐴 (cid:70)𝐵 ∠𝑁𝑂𝑃 ∠𝑀𝑂𝑃 𝐴𝐵⊥𝑂𝑃
𝐸 𝐵𝐶⊥𝑀𝑁 𝐶 𝐴𝐷⊥𝑀𝑁 𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵
【题型6 角平分线的判定】
(cid:15)(cid:46)6(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:185)(cid:80)(cid:191)(cid:52)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:94) (cid:121)(cid:137)(cid:28)(cid:84)(cid:192)(cid:123)(cid:27)(cid:61)(cid:65) (cid:93) (cid:73)(cid:61)(cid:85)(cid:86) (cid:143) (cid:61)
𝐵𝑃 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝑃 𝐴𝐷 𝐶𝐷= (cid:61)(cid:171)(cid:65) (cid:111) (cid:61) (cid:61) (cid:61) (cid:26)(cid:118)(cid:94)(cid:144)(cid:145)(cid:61)(cid:134) = (cid:61)(cid:31)(cid:38)(cid:10) (cid:25)(cid:26) (cid:70)
𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝑃 𝑃𝑀⊥𝐴𝐷 𝑃𝑁⊥𝐶𝐷 𝑀 𝑁 𝑃𝑀 𝑃𝑁 𝐵𝑃 ∠𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:71)(cid:72)6-1(cid:19)(cid:47)22-23(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:149)(cid:16)(cid:193)(cid:55)·(cid:56)(cid:78)(cid:58)(cid:114)(cid:39)(cid:151)(cid:122)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:182)(cid:197)(cid:28)(cid:32)(cid:198)(cid:138)(cid:199)(cid:200)(cid:59)(cid:60)(cid:201)(cid:202)(cid:93) (cid:73)(cid:61)(cid:122)
(cid:194)(cid:199)(cid:200)(cid:28)(cid:86)(cid:203)(cid:65)(cid:69) (cid:61)(cid:83) (cid:43)(cid:204)(cid:57)(cid:84)(cid:194)(cid:199)(cid:200)(cid:83)(cid:205)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:69) (cid:61)(cid:65) (cid:143) (cid:93)(cid:206)(cid:194)(cid:199)(cid:200)(cid:73)(cid:28)(cid:207)(cid:33)(cid:208)(cid:146)(cid:26)∠𝐴(cid:118)𝑂(cid:94)𝐵 2(cid:143)5(cid:61)
(cid:68) (cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:94) 𝑃(cid:70) 𝑂𝐴 𝐶 𝐶 𝑃
𝑂𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
(cid:15)(cid:71)(cid:72)6-2(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:147)(cid:148)源(cid:209)(cid:133)， ·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:210)(cid:24) (cid:28)(cid:122)(cid:192)(cid:142) (cid:182)(cid:66)(cid:64)(cid:65)O(cid:61)(cid:134) = (cid:70)
资
辅
教
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷,𝐶𝐸 𝑂𝐵 𝑂𝐶
(1)(cid:31)(cid:38)(cid:10) = (cid:119)
(2)(cid:31)(cid:38)(cid:10)(cid:40)𝐵𝐸(cid:211)(cid:65)𝐶𝐷O(cid:94)(cid:212)(cid:93) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:73)(cid:61)(cid:213)(cid:214)(cid:39)(cid:215)(cid:216)(cid:70)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)6-3(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)∠𝐵(cid:51)𝐴·𝐶(cid:149)(cid:80)(cid:165)(cid:149)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:93)(cid:183)(cid:217) (cid:43)(cid:183)(cid:217) (cid:57)(cid:61) = (cid:61) = (cid:61)
= = (cid:61)(cid:85)(cid:86) (cid:180) (cid:182)(cid:66)(cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:66) (cid:64)(cid:65)△𝐴(cid:61)𝐵𝐶(cid:66) (cid:64)(cid:65)△𝐴(cid:70)𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸
∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸 𝛼 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝑃 𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝐷 𝑁
(1)(cid:31)(cid:38)(cid:10) (cid:119)
△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(2)(cid:31)(cid:38)(cid:10) (cid:25)(cid:26) (cid:70)
【题型7 𝑃 角 𝐴 平分 ∠ 线 𝐵𝑃 的 𝐸 应用】
(cid:15)(cid:46)7(cid:19)(cid:47)2023·(cid:79)(cid:148)(cid:218)(cid:219)·(cid:220)(cid:221)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:103)(cid:83)(cid:138)(cid:222)(cid:223)(cid:94)(cid:224)(cid:189)(cid:147)(cid:225)(cid:28)(cid:84)(cid:137)(cid:26)(cid:61)(cid:226)(cid:93)(cid:227)(cid:93)(cid:206)(cid:84)(cid:222)(cid:223)(cid:121)(cid:75)(cid:84)(cid:184)(cid:228)(cid:229)(cid:61)
(cid:227)(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:95)(cid:122)(cid:192)(cid:230)(cid:231) (cid:61) (cid:28)(cid:96)(cid:97)(cid:182)(cid:183)(cid:61)(cid:134)(cid:95)(cid:232)(cid:233) (cid:143) (cid:28)(cid:96)(cid:97)(cid:182)(cid:183)(cid:234)(cid:235)(cid:41)(cid:228)(cid:229)(cid:28)(cid:236)(cid:202) (cid:70)
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴 𝐶 𝑃
(cid:15)(cid:71)(cid:72)7-1(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:147)(cid:148)(cid:57)(cid:79)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:61) (cid:61) (cid:94)(cid:220)(cid:192)(cid:182)(cid:237)(cid:66)(cid:238)(cid:28)(cid:7)(cid:231)(cid:61)(cid:226)(cid:227)(cid:93)(cid:220)(cid:192)(cid:7)
(cid:231)(cid:239)(cid:105)(cid:28)(cid:220)(cid:24)(cid:138)(cid:222)(cid:223)(cid:121)(cid:240)(cid:75)(cid:84)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:61)(cid:227)(cid:31)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:95)𝐴(cid:220)𝐵(cid:192)(cid:7)𝐴𝐶(cid:231)(cid:28)𝐵𝐶(cid:96)(cid:97)(cid:182)(cid:183)(cid:61)(cid:68)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:42)(cid:240)(cid:75)(cid:93)(cid:47) (cid:58)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:70) (cid:220)(cid:192)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:236)(cid:202) B(cid:70) (cid:220)(cid:192)(cid:142)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:236)(cid:202)
C(cid:70)△𝐴𝐵𝐶(cid:220)(cid:83)(cid:28)(cid:57)(cid:144)(cid:27)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:236)(cid:202) D(cid:70)△𝐴𝐵𝐶(cid:220)(cid:192)(cid:57)(cid:27)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:236)(cid:202)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)7△-2𝐴(cid:19)𝐵(cid:47)𝐶 22-23(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:139)(cid:140)(cid:120)(cid:85)·(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)△(cid:58)𝐴(cid:59)𝐵(cid:60)𝐶(cid:61)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120) (cid:121)(cid:122)(cid:64)(cid:54)(cid:44)(cid:14)(cid:14)(cid:18)(cid:104)(cid:7)(cid:123)(cid:124) (cid:65)
(cid:65) (cid:47)(cid:125)(cid:86) (cid:11)(cid:126)(cid:114)(cid:127)(cid:116)(cid:107)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:47)(cid:56)(cid:131)(cid:88)(cid:13) (cid:65) (cid:7)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:47)𝐶(cid:132)(cid:133)(cid:3)(cid:33)(cid:129)(cid:130)(cid:7)(cid:134)(cid:135) (cid:70) 𝑀𝑁
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑀𝑁 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑃
(cid:15)(cid:71)(cid:72)7-3(cid:19)(cid:47)23-24(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:121)(cid:245)(cid:246)(cid:247)(cid:180)(cid:248)(cid:249)·(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:58)(cid:220)(cid:192)(cid:7)(cid:231)(cid:122)(cid:122)(cid:182)(cid:66)(cid:64)A(cid:143)B(cid:143)C(cid:220)(cid:65)(cid:61)(cid:226)(cid:250)(cid:251)(cid:240)
(cid:75)(cid:84)(cid:184)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:61)(cid:227)(cid:31)(cid:206)(cid:184)(cid:254)(cid:255)(cid:95)(cid:220)(cid:192)(cid:7)(cid:231)(cid:96)(cid:97)(cid:182)(cid:183)(cid:61)(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:28)(cid:261)(cid:198)(cid:262) (cid:158)(cid:70)
【题型8 角平分线的判定与性质的综合】
(cid:15)(cid:46)8(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:263)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:93) (cid:57)(cid:61)(cid:65) (cid:93) (cid:83)(cid:73)(cid:61) =100°(cid:61) (cid:28)(cid:25)
△𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶(cid:26)(cid:27)(cid:66) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:171)(cid:65) (cid:111) (cid:61)(cid:144)(cid:145)(cid:69) (cid:61)(cid:134) =50°(cid:61)(cid:85)(cid:86) (cid:70)
𝐴𝐶 𝐸 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹 ∠𝐴𝐸𝐹 𝐵𝐸
(1)(cid:31) (cid:28)(cid:33)(cid:146)(cid:119)
(2)(cid:31)∠(cid:38)𝐷(cid:10)𝐴𝐸 (cid:25)(cid:26) (cid:119)
(3)(cid:67) =𝐵𝐸 =∠𝐴10𝐵(cid:61)𝐶(cid:220)(cid:24)(cid:138) (cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:94)16(cid:61)(cid:31) (cid:28)(cid:32)(cid:70)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)𝐴𝐷8-1(cid:19)6,𝐶(cid:59)𝐷(cid:60)(cid:61) = =𝐴9𝐶0𝐷°(cid:61)M(cid:94) (cid:28)(cid:57)(cid:65)𝐸(cid:61)𝐹 (cid:25)(cid:26) (cid:70)(cid:31)(cid:38)(cid:10) (cid:25)(cid:26) (cid:70)
∠𝐵 ∠𝐶 𝐵𝐶 𝐷𝑀 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝑀 ∠𝐷𝐴𝐵
+
A
(cid:15)(cid:71)(cid:72)8-2(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:73)·(cid:99)(cid:264)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:93) (cid:57)(cid:61) =9 科 0°(cid:61)A (cid:64)(cid:65) (cid:61)
全
★
号
众
+ =180°(cid:61)(cid:65) (cid:93) (cid:73)(cid:61) = (cid:70) 公△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸
注
关
，
源
∠𝐵 ∠𝐴𝐹𝐷 𝐹辅𝐴𝐶资𝐵𝐷 𝐷𝐹
教
(1)(cid:31)(cid:38)(cid:10) (cid:25)(cid:26) (cid:119)
(2)(cid:31)(cid:38)(cid:10)𝐴𝐷= ∠𝐵+𝐴𝐶 (cid:70)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)8-3𝐴(cid:19)𝐵(cid:47)2𝐴4-𝐹25(cid:48)2𝐵(cid:49)𝐸(cid:50)(cid:51)·(cid:147)(cid:148)(cid:265)(cid:266)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:57)(cid:61)(cid:65) (cid:93)(cid:83) (cid:191)(cid:32)(cid:27)(cid:73)(cid:61) =
(cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:66) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:171)(cid:65) (cid:111) (cid:61)(cid:144)(cid:145)(cid:69) (cid:61)(cid:134)△𝐴𝐵𝐶 =55°𝐷(cid:70) 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 110°,∠𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐷 𝐸 𝐸 𝐸𝐻⊥𝐵𝐷 𝐻 ∠𝐶𝐸𝐻
(1) (cid:28)(cid:33)(cid:146)(cid:94) (cid:119)
(2)∠(cid:31)𝐴(cid:38)𝐶𝐸(cid:10) (cid:25)(cid:26) (cid:119)
𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐹(3)(cid:67) + = =8(cid:61)(cid:134) =21(cid:61)(cid:31) (cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:70)
𝐴𝐶 𝐶𝐷 14,𝐴𝐵 𝑆△𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐸
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
