专题 1.7 角平分线的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:19)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:33)(cid:19)................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:19)..............................................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:19)..................................................................................................................17
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:19)..................................................................................................................................19
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:42)(cid:23)(cid:19)..................................................................................................................................23
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:44)(cid:45)(cid:19)..........................................................................................................25
知识点1 角的平分线的性质 +
A
A
科
全
★
1. (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:7)(cid:12)(cid:13)(cid:6)(cid:7)(cid:14)(cid:15)(cid:7)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20) 众 号
公
注
关
，
2. (cid:21)(cid:22)(cid:5)(cid:23)1(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:16)(cid:17)(cid:27)(cid:7)(cid:28)源(cid:12)(cid:13)(cid:6)(cid:7)(cid:14)(cid:15)(cid:29)(cid:10)(cid:30)(cid:7)(cid:31)(cid:32)
资
辅
教
(cid:23)2(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:14)(cid:44)(cid:10)(cid:30)(cid:18)(cid:19)(cid:7)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:19)(cid:54)(cid:6)(cid:55)(cid:32)
(cid:23)3(cid:24)(cid:56)(cid:52)(cid:33)(cid:57)(cid:58)(cid:7)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:61)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:6)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:65)(cid:64)(cid:29)(cid:66)(cid:32)
(cid:23)4(cid:24)(cid:67)(cid:52)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:7)(cid:72)(cid:73)(cid:10)(cid:5)(cid:74)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:7)(cid:75)(cid:76)(cid:12)(cid:77)(cid:14)(cid:15)(cid:40)(cid:29)(cid:10)(cid:30)(cid:47)(cid:78)(cid:52)(cid:79)(cid:18)(cid:19)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:79)
(cid:83)(cid:57)(cid:58)(cid:20)
知识点2 角的平分线的判定
1. (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:84)(cid:85)(cid:13)(cid:6)(cid:7)(cid:14)(cid:15)(cid:7)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:7)(cid:12)(cid:86)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:20)
2. (cid:21)(cid:22)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:87)(cid:3)(cid:7)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:61)(cid:28)(cid:27)(cid:86)(cid:6)(cid:7)(cid:84)(cid:85)(cid:7)(cid:12)(cid:13)(cid:6)(cid:14)(cid:15)(cid:7)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:68)(cid:47)(cid:88)(cid:89)(cid:28)(cid:86)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)
(cid:11)(cid:47)(cid:6)(cid:7)(cid:90)(cid:85)(cid:7)(cid:12)(cid:48)(cid:91)(cid:86)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:20)
知识点3 作已知角的平分线
(cid:52)(cid:92)(cid:93)(cid:40)(cid:75)(cid:76)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:5) AOB(cid:47)(cid:94)(cid:40)(cid:5) AOB(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:20)
(cid:40)(cid:95)(cid:5)(cid:23)1(cid:24)(cid:37)(cid:12)O(cid:41)(cid:96)(cid:97)(cid:47)(cid:98)(cid:99)(cid:31)∠(cid:41)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:47)(cid:104)∠ OA(cid:105)(cid:12)M(cid:47)(cid:104)OB(cid:105)(cid:12)N(cid:20)
1
(cid:23)2(cid:24)(cid:9)(cid:106)(cid:37)(cid:12)M(cid:47)N(cid:41)(cid:96)(cid:97)(cid:47)(cid:107)(cid:105) MN(cid:7)(cid:31)(cid:41)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:47)(cid:14)(cid:103)(cid:86) AOB(cid:7)(cid:84)(cid:85)(cid:18)(cid:104)(cid:105)(cid:12)C(cid:20)
2
∠(cid:23)3(cid:24)(cid:102)(cid:108)(cid:10)OC(cid:20)(cid:108)(cid:10)OC(cid:109)(cid:41)(cid:110)(cid:94)(cid:20)
(cid:111)(cid:62)(cid:110)(cid:112)(cid:5)
(cid:40)(cid:62)(cid:45)(cid:46)(cid:5)(cid:113)(cid:114) OMC ONC(cid:23)SSS(cid:24)(cid:20)
★
【题型1 利用角平 △ 分线的 ≌△ 性质求长度】
(cid:15)(cid:46)1(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) =150°(cid:61) (cid:25)(cid:26) (cid:61) (cid:64)(cid:65)D(cid:61)
(cid:66) (cid:64)(cid:65)C(cid:61)(cid:67) =4(cid:61)(cid:68) (cid:28)(cid:32)(cid:69)(cid:47) (cid:58) ∠𝐴𝑂𝐵 𝑂𝑃 ∠𝐴𝑂𝐵 𝑃𝐷⊥𝑂𝐵 𝑃𝐶∥𝑂𝐵
𝑂𝐴 𝑃𝐷 𝑂𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
A(cid:70)6 B(cid:70)8 关C(cid:70)10 D(cid:70)12
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)B 教
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:41)(cid:77)(cid:61)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:61)(cid:25)(cid:82)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:83)(cid:61)30°(cid:24)(cid:84)(cid:24)(cid:80)(cid:24)
(cid:81)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:27)(cid:89)(cid:90)(cid:84)(cid:24)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:70)
(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:94)(cid:65)P(cid:95) (cid:61)(cid:96)(cid:97)(cid:69)E(cid:61)(cid:98)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:99) = =4(cid:61) = (cid:61)(cid:98)(cid:25)(cid:82)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:100)
(cid:101)(cid:38) =30°𝑃(cid:61)𝐸⊥𝑂𝐶 = (cid:61)(cid:99) = (cid:61)Rt (cid:57)𝑃(cid:61)𝐸 𝑃=𝐷 =∠8𝑃(cid:61)𝑂(cid:102)𝐷(cid:103)∠𝑃𝑂=𝐸 =8(cid:70)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)∠𝑃(cid:19)𝐶𝑂(cid:92)(cid:10)(cid:59)(cid:60)(cid:61)∠𝐶(cid:94)𝑃(cid:65)𝑂 P(cid:95)𝑃𝑂𝐸 𝐶𝑂(cid:61)(cid:96)𝐶(cid:97)𝑃(cid:69)E(cid:61)△𝐶𝑃𝐸 𝐶𝑃 2𝑃𝐸 𝐶𝑂 𝐶𝑃
𝑃𝐸⊥𝑂𝐶
(cid:25)(cid:26) (cid:61) (cid:61)
∵𝑂𝑃= ∠𝐴=𝑂4𝐵(cid:61)𝑃𝐷⊥𝑂=𝐵 (cid:61)
∴𝑃𝐸 𝑃𝐷(cid:61) ∠𝑃𝑂𝐷 ∠𝑃𝑂𝐸
∵𝑃𝐶∥𝑂+𝐵 =180°(cid:61)
∴∠𝑃𝐶𝑂 ∠𝐴𝑂𝐵= (cid:105)
∠𝐶𝑃𝑂 =∠𝑃𝑂𝐷 =30°(cid:61)
∴∠𝑃𝐶𝑂= 180(cid:105)°−150°
∠𝐶𝑃𝑂= 𝑃(cid:61)𝑂𝐸
∴R𝐶t𝑂 𝐶𝑃(cid:57)(cid:61) = =2×4=8(cid:61)
△=𝐶𝑃𝐸 =8𝐶(cid:105)𝑃 2𝑃𝐸
∴(cid:106)𝐶(cid:107)𝑂(cid:10)B𝐶(cid:70)𝑃
(cid:15)(cid:108)(cid:109)1-1(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)·(cid:56)(cid:115)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:25)(cid:26) (cid:66) (cid:64)D(cid:65)(cid:61) (cid:64)E(cid:65)(cid:61)(cid:67)
=4(cid:61) =5(cid:61) =9(cid:61)(cid:68) (cid:28)(cid:32)(cid:69) (cid:70) 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐸⊥𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸
+
A
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)2 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:94)(cid:65)D(cid:95) (cid:64)F(cid:61)(cid:116)(cid:117)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)公(cid:30)(cid:99)(cid:118) = (cid:61)(cid:119)(cid:116)(cid:117)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:120)(cid:32)(cid:7)(cid:109)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:100)(cid:70)
注
关
，
源
(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:28)(cid:91)(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝐷𝐹(cid:27)⊥(cid:28)𝐵辅(cid:29)𝐴(cid:30)资(cid:61)(cid:124)(cid:125)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:28)(cid:65)(cid:118)(cid:24)𝐷(cid:28)𝐸(cid:126)(cid:127)𝐷(cid:28)𝐹 (cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:78)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:70)
教
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:92)(cid:10)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:94)(cid:65)D(cid:95) (cid:61)(cid:66) (cid:28)(cid:131)(cid:32)(cid:27)(cid:64)F(cid:61)
𝐷𝐹⊥𝐵𝐴 𝐵𝐴
(cid:25)(cid:26) (cid:61) (cid:61) (cid:61)
∵𝐵𝐷= ∠(cid:61)𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐵𝐶 𝐷𝐹⊥𝐵𝐴
∴𝐷𝐸=4𝐷(cid:61)𝐹 =5(cid:61) =9(cid:61)
∵𝐴1𝐵 ×4× 𝐵𝐶 + 1 ×5× 𝑆△𝐴𝐵𝐶 =9(cid:61)
2 2
∴ 𝐷𝐹 𝐷𝐸
(cid:92)(cid:99)(cid:10) = =2(cid:61)
(cid:106)(cid:71)(cid:72)𝐷(cid:69)𝐸(cid:10)2.𝐷𝐹
(cid:15)(cid:108)(cid:109)1-2(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)·(cid:56)(cid:115)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) (cid:57)(cid:61)D(cid:69) (cid:127)(cid:110)(cid:136)(cid:65)(cid:61)E(cid:69) (cid:127)(cid:110)(cid:136)(cid:65)(cid:61)
(cid:137)(cid:138) (cid:61) (cid:61) (cid:61) = (cid:61)(cid:67) =2.7(cid:61) =1.5(cid:61)△𝐴𝐵=𝐶1(cid:61)(cid:68) 𝐵=𝐶 (cid:70) 𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐷𝐸∥𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐸𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐶(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)1.8
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:139)(cid:116)(cid:117) = (cid:61) (cid:61)(cid:38)(cid:39) = (cid:61)
𝐴𝐸 𝐸𝐷 𝐷𝐸∥𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐷𝐴𝐶
(cid:140)(cid:65) (cid:118) (cid:28)(cid:128)(cid:129)(cid:69) (cid:61)(cid:65) (cid:118) (cid:61) (cid:28)(cid:128)(cid:129)(cid:69) (cid:61) (cid:61)(cid:68) = (cid:61)(cid:119)(cid:98)(cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:141)(cid:100)(cid:99) = (cid:61)(cid:123)(cid:100)(cid:31)(cid:92)(cid:70)
𝐴𝐵 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:104)(cid:92)𝐴 (cid:19)𝐵(cid:92)𝐶(cid:10)
=
ℎ (cid:61)𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ℎ1 ℎ2 ℎ1 ℎ2 𝐴𝐶 𝐶𝐷
= ∵𝐴(cid:61)𝐸 𝐸𝐷
(cid:142)∴∠𝐵𝐴𝐷 ∠(cid:61)𝐴𝐷𝐸
∵𝐷𝐸∥𝐴=𝐶 (cid:61)
∴∠𝐴𝐷𝐸 =∠𝐷𝐴𝐶(cid:61)(cid:68) (cid:25)(cid:26) (cid:61)
∴(cid:140)∠(cid:65)𝐵𝐴𝐷(cid:118) ∠(cid:28)𝐷𝐴(cid:128)𝐶(cid:129)(cid:69)𝐴(cid:61)𝐷(cid:65) (cid:118)∠𝐵𝐴𝐶(cid:61) (cid:28)(cid:128)(cid:129)(cid:69) (cid:61) (cid:61)(cid:68) = (cid:61)
+
A
A
𝐴
=
𝐵1
2 1
𝐶
=
1
2 1
ℎ
(cid:61)
𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ℎ1 ℎ2
众
ℎ
号
1 ★ℎ2全 科
𝑆△𝐴𝐵𝐷 2𝐴𝐵⋅ℎ1 2𝐵𝐷⋅ℎ
注
公
关
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐶⋅ℎ2 𝐶𝐷⋅ℎ ，
2.7 1.5 源
(cid:68) = (cid:61)(cid:123)(cid:10) = (cid:61) 资
1 辅
𝐴𝐵 𝐵𝐷 教
𝐴𝐶 =1 𝐶 . 𝐷 8(cid:61) 𝐴𝐶
(cid:106)∴𝐴(cid:71)𝐶(cid:72)(cid:69)(cid:10)1.8(cid:70)
(cid:15)(cid:108)(cid:109)1-3(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:56)(cid:115)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:149)Rt (cid:57)(cid:61) = =4cm =3cm
=5cm(cid:61)O(cid:91) (cid:43) (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:61)(cid:68)(cid:65)O(cid:118) (cid:28)(cid:128)△(cid:129)𝐴(cid:69)𝐵 𝐶 (cid:70)∠𝐶 90°,𝐴𝐶 ,𝐵𝐶
,𝐴𝐵 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐶𝐵𝐴 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)1cm/1(cid:150)(cid:151)
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:83)(cid:153)(cid:43)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:154)(cid:155)(cid:3)(cid:28)(cid:121)(cid:122)(cid:61)(cid:26)(cid:156)(cid:94)(cid:65)O(cid:95)
(cid:61)(cid:137)(cid:138) (cid:61)(cid:157)(cid:99)(cid:65) (cid:149) (cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:61)(cid:101)(cid:158) = = (cid:61)(cid:159)
𝑂𝐸⊥=𝐴𝐶,𝑂=𝐹⊥𝐵=𝐶,𝑂(cid:61)𝐺⊥(cid:116)𝐴(cid:117)𝐵 =𝑂𝐶 + 𝑂 ∠+𝐴𝐶𝐵 (cid:61)(cid:112)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:31)(cid:92)(cid:123)𝑂(cid:100)𝐹(cid:70)𝑂𝐸 𝑂𝐺
𝑂(cid:15)𝐸(cid:104)(cid:92)𝑂(cid:19)𝐹(cid:92)(cid:10)𝑂𝐺(cid:26)(cid:156)𝑥(cid:94)(cid:65)O(cid:95)𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝑂𝐴𝐵 𝑆△𝑂𝐴𝐶 𝑆△(cid:61)𝑂𝐶(cid:137)𝐵(cid:138) (cid:61)
𝑂𝐸⊥𝐴𝐶,𝑂𝐹⊥𝐵𝐶,𝑂𝐺⊥𝐴𝐵 𝑂𝐶(cid:65) (cid:91) (cid:43) (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:61)
∵(cid:65)𝑂(cid:149)∠𝐶𝐴𝐵(cid:28)∠(cid:24)𝐶(cid:25)𝐵𝐴(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:61)
∴ 𝑂= ∠𝐴𝐶=𝐵 (cid:61)
∴(cid:159)𝑂𝐹 =𝑂𝐸 =𝑂𝐺 = (cid:61)
𝑂𝐸 =𝑂𝐹 𝑂𝐺+ 𝑥 + (cid:61)
∵(cid:149)𝑆△𝐴𝐵𝐶 (cid:57)𝑆△(cid:61)𝑂𝐴𝐵 =𝑆△𝑂𝐴𝐶 =𝑆△4𝑂c𝐶m𝐵 =3cm =5cm(cid:61)
1 × △ 3 𝐴𝐵 × 𝐶 4= 1∠ × 𝐶 90 + °,1𝐴 × 𝐶 + ,1𝐵 × 𝐶 (cid:61) ,𝐴𝐵
2 2 2 2
∴ 5𝑂𝐺 4𝑂𝐸 3𝑂𝐹
=6(cid:61)
+
A
∴6𝑥=1(cid:61) 科 A
全
★
号
众
∴(cid:65)𝑥 (cid:118) (cid:28)(cid:128)(cid:129)(cid:78)(cid:64)1cm(cid:70) 公
注
关
，
源
(cid:106)∴ (cid:71)𝑂(cid:72)(cid:69)𝐴𝐵(cid:10)1cm(cid:70) 辅 资
教
【题型2 利用角平分线的性质求面积】
(cid:15)(cid:46)2(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:166)·(cid:56)(cid:115)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:149) (cid:57)(cid:61) =7(cid:61) =6(cid:61) (cid:25)(cid:26) (cid:61)
(cid:64) (cid:61) =2(cid:61)(cid:68) (cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:47) (cid:58) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶
𝐸 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:70)13 B(cid:70)19 C(cid:70)20 D(cid:70)26
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)A
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:10)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:28)(cid:65)(cid:118)(cid:24)(cid:28)(cid:126)(cid:127)(cid:28)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:78)(cid:61)(cid:124)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:63)(cid:171)(cid:65)(cid:91)(cid:92)
(cid:71)(cid:74)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:70)
(cid:94) (cid:65)(cid:95) (cid:64) (cid:61)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:116)(cid:117)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:99)(cid:118) = =2(cid:61)(cid:172)(cid:173)(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:34)(cid:35)(cid:7)(cid:109)(cid:61)(cid:22)(cid:23)
𝐷 𝐷𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹 𝐷𝐹 𝐷𝐸= + (cid:174)(cid:82)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:100)(cid:70)
(cid:15)𝑆△(cid:104)𝐴𝐵(cid:92)𝐶 (cid:19)𝑆(cid:92)△𝐴(cid:10)𝐵𝐷(cid:59)(cid:60)𝑆(cid:61)△𝐴(cid:94)𝐶𝐷 (cid:65)(cid:95) (cid:64) (cid:61)
𝐷 𝐷𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹
(cid:25)(cid:26) (cid:61) (cid:61) (cid:61)
= =2(cid:61) ∵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐷𝐹⊥𝐴𝐵
∴𝐷𝐹 𝐷=𝐸 + (cid:61)
∴ = 𝑆1 △ × 𝐴𝐵 7 𝐶 ×2 𝑆 + △𝐴 1 𝐵𝐷 ×6× 𝑆△ 2 𝐴 (cid:61) 𝐶𝐷
2 2
=13(cid:70)
(cid:106)(cid:107)(cid:10)A(cid:70)
(cid:15)(cid:108)(cid:109)2-1(cid:19)(cid:47)24-25(cid:175)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:179)·(cid:56)(cid:115)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:149)Rt (cid:57)(cid:61) =90°(cid:61)(cid:180)(cid:103)(cid:51)(cid:181)(cid:182)(cid:95)(cid:60)(cid:10) (cid:103)
+
A
(cid:65)A(cid:69)(cid:183)(cid:184)(cid:61)(cid:103)(cid:185)(cid:64) (cid:32)(cid:69)(cid:186)(cid:187)(cid:95)(cid:188)(cid:61)(cid:26)(cid:156)(cid:66) (cid:61) (cid:64)(cid:65)
△
M(cid:61)
𝐴𝐵
N
𝐶 (cid:105)全(cid:26)科∠𝐶
(cid:156)
A
(cid:103)M(cid:61)N(cid:69)(cid:183)(cid:184)(cid:61)(cid:103)(cid:189)(cid:64)
1①
(cid:28)
号 ★ 2
众
公
(cid:32)(cid:69)(cid:186)(cid:187)(cid:95)(cid:188)(cid:61)(cid:149) 𝐴𝐶(cid:190)(cid:126)(cid:188)(cid:66)(cid:64)(cid:65)O(cid:105)关(cid:95) 注𝐴(cid:191)𝐶(cid:27)𝐴𝐵(cid:61)(cid:66) (cid:64)(cid:65)D②(cid:70)(cid:67) (cid:28)(cid:32)(cid:69)3(cid:61) =8(cid:61)(cid:68) 𝑀𝑁
，
源
资
辅
(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:69) ∠𝐵(cid:70)教𝐴𝐶 ③ 𝐴𝑂 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐵 △𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)12
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:153)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:95)(cid:60)(cid:61) (cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:116)(cid:117)(cid:95)(cid:60)(cid:100)(cid:99) (cid:69) (cid:28)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:116)(cid:117)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:100)(cid:99) = =3(cid:61)(cid:119)(cid:22)(cid:23)𝐷(cid:80)(cid:24)𝐷(cid:81)𝐸⊥(cid:34)𝐴(cid:35)𝐵(cid:121)(cid:122)(cid:7)𝐸(cid:109)(cid:31)(cid:92)(cid:123)(cid:100)(cid:70) 𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐵
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:92)(cid:10)(cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:64)(cid:65) 𝐶(cid:61)𝐷 𝐷𝐸
𝐷 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸
(cid:116)(cid:117)(cid:95)(cid:60)(cid:100)(cid:63) (cid:69) (cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)
= 𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐵
∵∠𝐶 90°,𝐷𝐸⊥𝐴𝐵= =3(cid:61)
∴𝐶𝐷=𝐷8(cid:61)𝐸
∵𝐴𝐵 = 1 = 1 ×3×8=12(cid:61)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸
(cid:106)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10)12
(cid:15)(cid:108)(cid:109)2-2(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:110)(cid:195)·(cid:196)(cid:197)(cid:167)(cid:198)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:149) (cid:57)(cid:61) =2(cid:61) =3(cid:61) (cid:91) (cid:28)(cid:25)(cid:26)
3 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
(cid:27)(cid:61)(cid:59)(cid:199) (cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:69) (cid:61)(cid:200)(cid:201) (cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:69) (cid:70)
2
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐵𝐶
9
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19) /0.9
10
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:94)(cid:65)D(cid:26)(cid:156)(cid:95) (cid:61) (cid:28)(cid:96)(cid:27)(cid:61)(cid:96)(cid:97)(cid:69)E(cid:204)F(cid:61)(cid:98)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
2 𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:30)(cid:100)(cid:99) = (cid:61)(cid:68)(cid:100)(cid:38)(cid:39) = = (cid:61)(cid:117)(cid:205)(cid:31)(cid:92)(cid:123)(cid:100)(cid:70)
3
𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:104)(cid:92) 𝐷 (cid:19) 𝐸 (cid:92)(cid:10) 𝐷 (cid:59) 𝐹 (cid:60)(cid:102)(cid:206)(cid:61)(cid:94) 𝑆 (cid:65) △𝐶𝐵 D 𝐷 (cid:26)(cid:156)𝐵𝐶(cid:95) (cid:61) (cid:28)(cid:96)(cid:27)(cid:61)(cid:96)(cid:97)(cid:69)E(cid:204)F(cid:61)科 A A +
全
★
号
众
𝐴𝐵 𝐵𝐶 公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:91) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61) (cid:61) (cid:61)
∵𝐵𝐷=∠𝐴𝐵(cid:61)𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐷𝐹⊥𝐵𝐶
∴𝐷𝐸 𝐷𝐹 1 2
=2 = = (cid:61)
1 3
𝑆△𝐴𝐵𝐷 2𝐴𝐵⋅𝐷𝐸 𝐴𝐵
∵𝑆△𝐶𝐵𝐷 𝐵𝐶⋅𝐷𝐹 𝐵𝐶
= 3 = 9 (cid:61)
3 2 10
∴𝑆△𝐶𝐵𝐷
+
𝑆△𝐴𝐵𝐶
9
(cid:106)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:105) (cid:70)
10
(cid:15)(cid:108)(cid:109)2-3(cid:19)(cid:47)24-25(cid:175)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:207)(cid:208)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:149) (cid:57)(cid:61) (cid:61)(cid:209) = (cid:61) = (cid:61)
(cid:69) (cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:66) (cid:64)(cid:65)E(cid:61)(cid:66) (cid:64)(cid:65)F(cid:61)(cid:67)△𝐴𝐵𝐶(cid:28)(cid:34)𝐴(cid:35)𝐷(cid:69)⊥7𝐵(cid:61)𝐶(cid:68)(cid:60)𝐶(cid:57)𝐷(cid:210)(cid:211)2(cid:212)𝐵𝐷(cid:26)(cid:176)4𝐵(cid:127)𝐶(cid:81) 3𝐴𝐶 (cid:28)𝐶(cid:34)𝐹
(cid:35)(cid:69)∠𝐴 𝐶 𝐵 (cid:70) 𝐴𝐷 𝐴𝐵 △𝐶𝐷𝐸 𝐵𝐷𝐸𝐹13
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:34)(cid:35)(cid:121)(cid:122)(cid:61)(cid:159) = (cid:61)(cid:68)(cid:155) = (cid:61) = (cid:61)(cid:94)(cid:65)E
(cid:95) (cid:64)(cid:65)G(cid:61)(cid:123)(cid:100)(cid:99)(cid:118) = (cid:61)(cid:172)(cid:173)(cid:116)(cid:117) (cid:100)(cid:99) 𝐵𝐷 =7(cid:61) 𝑎 (cid:172)(cid:173)(cid:100) 𝐵 (cid:99) 𝐶 3𝑎 = 𝐴1𝐶 4𝑎 =14(cid:61)
2
𝐸𝐺⊥𝐴𝐶 𝐸𝐷 𝐸𝐺 𝑆△𝐶𝐷𝐸 𝐷𝐸⋅𝑎 𝑆△𝐴𝐶𝐸 𝐴𝐶⋅𝐸𝐺
3 63
(cid:68) = + =21(cid:61)(cid:116)(cid:117) = = (cid:61)(cid:99)(cid:118) = (cid:105)(cid:213)(cid:83)(cid:100)(cid:99) = (cid:61)(cid:100)(cid:38)(cid:39) =
2 2
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐹 𝐵𝐶
= 𝑆 3 △ (cid:61) 𝐴𝐷 (cid:68) 𝐶 𝑆△𝐴𝐶 = 𝐸 3 𝑆△𝐶𝐷𝐸 = 27 (cid:61)(cid:123)(cid:100)(cid:99) 𝑆 (cid:118) △𝐴𝐷𝐶 𝐶 = 𝐷 𝑆△𝐴 = 𝐵𝐶 13 (cid:70) 𝐹𝑀 𝐹𝑁 𝐴𝐹 𝐴𝐶
4 7 2 阴影 2
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)𝑆(cid:92) △𝐵 (cid:10) 𝐶𝐹 (cid:159) 𝑆△ = 𝐴𝐵𝐶 (cid:61)(cid:68) = (cid:61) 𝑆 𝑆△𝐵𝐶𝐹−𝑆△𝐶𝐷𝐸
= (cid:61) 𝐵𝐷 𝑎 𝐶𝐷 2𝑎 A +
A
科
全
★
∴𝐵𝐶 =3𝑎 (cid:61) 众 号
公
注
关
∵4𝐵𝐶= 3(cid:61)𝐴𝐶 源 ，
资
辅
教
∴(cid:94)𝐴(cid:65)𝐶 E4(cid:95)𝑎 (cid:64)(cid:65)G(cid:61)(cid:94)(cid:65)F(cid:26)(cid:156)(cid:95) (cid:61) (cid:28)(cid:96)(cid:27)(cid:61)(cid:96)(cid:97)(cid:26)(cid:156)(cid:69)M(cid:204)N(cid:61)
𝐸𝐺⊥𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶
(cid:25)(cid:26) (cid:61) (cid:61)
∵𝐶𝐹 = ∠𝐴(cid:61)𝐶𝐵 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐸𝐺⊥𝐴𝐶
∴𝐸𝐷 𝐸 = 𝐺1 = 1 =7(cid:61)
2 2
∵𝑆△𝐶𝐷𝐸 𝐷𝐸⋅𝐷𝐶 𝐷𝐸⋅2𝑎
=7(cid:61)
∴𝐷𝐸⋅𝑎 = 1 = 1 = =14(cid:61)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸 𝐴𝐶⋅𝐸𝐺 𝐷𝐸⋅4𝑎 𝐷𝐸⋅2𝑎
= + =21(cid:61)
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶 𝑆△𝐴𝐶𝐸 𝑆△𝐶𝐷𝐸3
= = (cid:61)
2
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶
∵𝑆△𝐴𝐷𝐶 𝐶𝐷
63
= (cid:105)
2
∴(cid:213)𝑆(cid:83) △𝐴 (cid:100) 𝐵𝐶 (cid:99) = (cid:61)
1
𝐹𝑀 𝐹𝑁
= =2 (cid:61)
1
𝑆△𝐵𝐶𝐹 𝐵𝐹 2𝐵𝐶⋅𝐹𝑀
∵𝑆△𝐴𝐶𝐹 𝐴𝐹 3 𝐴𝐶⋅𝐹𝑁
= = (cid:61)
4
𝐵𝐹 𝐵𝐶
∴𝐴𝐹 𝐴𝐶
= 3 = 3 (cid:61)
3 4 7
∴𝐵𝐹 + 𝐴𝐵 𝐴𝐵
= 3 = 27 (cid:61)
7 2
∴𝑆△𝐵𝐶𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐶
13
= = (cid:61)
阴影 2
∴𝑆 𝑆△𝐵𝐶𝐹−𝑆△𝐶𝐷𝐸
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
13
(cid:106)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10) (cid:70)
2
【题型3 利用角平分线的性质求角度】
(cid:15)(cid:46)3(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:214)(cid:215)(cid:214)(cid:166)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:62)(cid:63)(cid:10)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:69)Rt (cid:216)(cid:127) (cid:110)(cid:28)(cid:154)(cid:61) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)
(cid:156)(cid:66) (cid:204) (cid:64) (cid:61)(cid:96)(cid:97)(cid:69)(cid:65) (cid:70) 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶
𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐸,𝐹,𝐹𝐺⊥𝐴𝐵 𝐺
(1)(cid:31)(cid:38)(cid:10) = (cid:70)
(2)(cid:67) =𝐶𝐸20°(cid:61)𝐹(cid:31)𝐺 (cid:28)(cid:33)(cid:217)(cid:70)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)∠𝐵(cid:19)(1)(cid:218)(cid:92)(cid:73)∠𝐴𝐹𝐺
(2)55°
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:75)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:83)(cid:204)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:40)(cid:41)(cid:153)(cid:84)(cid:24)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:124)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:83)(cid:204)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:40)(cid:41)(cid:153)(cid:84)(cid:24)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:105)
(cid:47)1(cid:58)(cid:98)(cid:20)(cid:219)(cid:157)(cid:99) = (cid:61) = (cid:61)(cid:68)(cid:155) + = + =90°(cid:61)(cid:172)(cid:173)(cid:100)(cid:99)
= =𝐶𝐹 𝐹(cid:61)𝐺(cid:174)(cid:220)∠𝐶(cid:221)𝐴𝐹(cid:20)(cid:100)∠(cid:31)𝐵(cid:38)𝐴𝐹(cid:105) ∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐴𝐹𝐶
(cid:47) ∠𝐴 2 𝐸 (cid:58) 𝐷 (cid:98)(cid:47) ∠ 1 𝐴 (cid:58) 𝐹𝐶 (cid:100)(cid:99) ∠𝐶𝐸𝐹 = 1 =35°(cid:61)(cid:68)(cid:155) = =55°(cid:61)(cid:172)(cid:173)(cid:100)(cid:99) (cid:61)(cid:174)(cid:220)(cid:116)(cid:117)(cid:25)
2
∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐸𝐷 90°−∠𝐵𝐴𝐹 𝐶𝐷∥𝐹𝐺
(cid:82)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:100)(cid:174)(cid:82)(cid:31)(cid:92)(cid:70)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:47)1(cid:58)(cid:38)(cid:39)(cid:10) =90°(cid:61) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:156)(cid:66) (cid:204) (cid:64) (cid:61)
= (cid:61) = ∵∠𝐴𝐶(cid:61)𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐸,𝐹,𝐹𝐺⊥𝐴𝐵
∴𝐶𝐹 𝐹𝐺(cid:61)∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐹
∵𝐶𝐷⊥𝐴+𝐵 = + =90°(cid:61)
∴∠𝐵𝐴𝐹 =∠𝐴𝐸𝐷 =∠𝐶𝐴𝐹(cid:61)∠𝐴𝐹𝐶
∴∠𝐴𝐸=𝐷 ∠=𝐴𝐹𝐶(cid:105) ∠𝐶𝐸𝐹
∴(cid:47)𝐶2𝐸(cid:58)(cid:92)𝐶(cid:10)𝐹 𝐹𝐺=20°(cid:61)
= ∵∠𝐵 =70°(cid:61)
+
A
A
科
∴∠𝐵𝐴𝐶 = 910°−∠𝐵 =35°(cid:61) 号 ★ 全
2 众
公
注
关
∴∠𝐵𝐴𝐹 = ∠𝐵𝐴𝐶 =55°(cid:61) 源 ，
资
辅
教
∴∠𝐴𝐸𝐷 90°−∠𝐵𝐴(cid:61)𝐹
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵(cid:61),𝐹𝐺⊥𝐴𝐵
∴𝐶𝐷∥𝐹𝐺= =55°(cid:70)
∴(cid:15)∠(cid:108)𝐴𝐹(cid:109)𝐺3-1∠(cid:19)𝐴(cid:47)𝐸𝐷22-23(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:222)(cid:223)(cid:222)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:64)E(cid:61) (cid:64)F(cid:61) = (cid:61)
=25°(cid:61)(cid:68) (cid:28)(cid:33)(cid:217)(cid:91) (cid:70) 𝐷𝐸⊥𝑂𝐴 𝐷𝐹⊥𝑂𝐵 𝐷𝐸 𝐷𝐹
∠𝐴𝑂𝐷 ∠𝐸𝐷𝐹
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)130°
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:115)(cid:46)(cid:86)(cid:6)(cid:7)(cid:84)(cid:85)(cid:13)(cid:6)(cid:7)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:7)(cid:12)(cid:86)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:116)(cid:117)(cid:20)(cid:57)(cid:118)(cid:29)(cid:66)(cid:3)(cid:4)(cid:37)(cid:119)(cid:120)(cid:15)(cid:55)(cid:84)(cid:6)(cid:121)
360(cid:122)(cid:47)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:109)(cid:36)(cid:20)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:6)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:34)(cid:35)(cid:47)(cid:134)(cid:135)(cid:86)(cid:6)(cid:7)(cid:84)(cid:85)(cid:13)(cid:6)(cid:7)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:7)(cid:12)(cid:86)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:28)(cid:116)(cid:130)(cid:7)(cid:136)(cid:137)(cid:20)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:116)(cid:5) (cid:47) (cid:47) = (cid:47)
(cid:12) (cid:86) ∵(cid:7)𝐷(cid:8)𝐸(cid:9)⊥(cid:10)𝑂𝐴(cid:11)(cid:47)𝐷𝐹⊥𝑂𝐵 𝐷𝐸 𝐷𝐹
∴ 𝐷 =∠𝐴𝑂𝐵 =25°(cid:20)
∴∠𝐴𝑂𝐷=5∠0𝐵°𝑂𝐷
∴∠𝐵𝑂𝐴 =130°
∴(cid:138)3(cid:117)60(cid:139)°−(cid:41)90(cid:5)°−13900°°−50°
(cid:15)(cid:108)(cid:109)3-2(cid:19)(cid:47)23-24(cid:175)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:224)(cid:16)(cid:225)(cid:55)·(cid:196)(cid:197)(cid:167)(cid:198)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:226) (cid:227)(cid:228)(cid:229) (cid:230)(cid:231)(cid:61)(cid:65)A(cid:232)(cid:149)(cid:65) (cid:233)(cid:61)(cid:234)
′
(cid:235)(cid:236)(cid:97) (cid:25)(cid:26) (cid:25)(cid:26) (cid:61)(cid:67) =125°(cid:61)(cid:68) (cid:33)(cid:217)△(cid:69)𝐴 𝐵 𝐶 (cid:70) 𝐷𝐸 𝐴
′ ′
𝐴 𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶,𝐴 𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠1 ∠2
+
A
A
科
全
★
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)70°/70(cid:33)
众
号
公
注
关
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:237)(cid:230)(cid:108)(cid:238)(cid:28)(cid:29)源(cid:30)(cid:204)，(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:29)(cid:30)(cid:204)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:190)(cid:24)(cid:239)(cid:41)(cid:83)(cid:153)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:240)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)
资
辅
教
(cid:124)(cid:63)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:136)(cid:241)(cid:240)(cid:24)(cid:78)(cid:64)(cid:43)(cid:242)(cid:243)(cid:130)(cid:244)(cid:28)(cid:126)(cid:241)(cid:190)(cid:24)(cid:28)(cid:239)(cid:61)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:190)(cid:24)(cid:239)(cid:78)(cid:64)180°(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:70)(cid:137)(cid:138)
(cid:61)(cid:94) (cid:95) (cid:61)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:99)(cid:118) (cid:25)(cid:26) (cid:61)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:153)𝐴(cid:80)
′ ′ ′ ′ ′ ′
𝐴(cid:24)(cid:81)(cid:190)𝐴(cid:24)(cid:239)𝐴(cid:41)𝑀(cid:83)(cid:99)⊥𝐴(cid:158)𝐵(cid:130),𝐴(cid:42)𝑁(cid:24)⊥(cid:33)𝐵𝐶(cid:61),𝐴(cid:174)𝑃(cid:220)⊥(cid:31)𝐴(cid:99)𝐶 =70°(cid:105)(cid:119)(cid:116)(cid:117)(cid:230)(cid:231)(cid:100)𝐴𝐴(cid:63)(cid:61)(cid:99)∠(cid:158)𝐵𝐴𝐶= (cid:61)(cid:98)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:29)
′
(cid:30)(cid:99)(cid:158) = = (cid:61)(cid:36)(cid:173)(cid:22)∠(cid:23)𝐵𝐴(cid:240)𝐶(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:123)(cid:100)(cid:99)(cid:118)(cid:71)(cid:72)(cid:70) 𝐷𝐴 𝐷𝐴
′ ′
(cid:15)(cid:104)(cid:92)∠(cid:19)𝐷(cid:92)𝐴𝐴(cid:10)(cid:137)(cid:138)∠𝐷𝐴 𝐴(cid:61)(cid:94)∠𝐶(cid:95)𝐴𝐴′ (cid:61)(cid:59)(cid:60)(cid:102)(cid:206)(cid:10)
′ ′ ′ ′ ′
𝐴𝐴 𝐴 𝐴 𝑀⊥𝐴𝐵,𝐴 𝑁⊥𝐵𝐶,𝐴 𝑃⊥𝐴𝐶
(cid:25)(cid:26) (cid:61) (cid:25)(cid:26) (cid:61)
′ ′
∵𝐴 𝐵 = ∠𝐴𝐵=𝐶 𝐴 𝐶(cid:61) ∠𝐴𝐶𝐵
′ ′ ′
∴𝐴 𝑀 𝐴 𝑁 𝐴 𝑃(cid:25)(cid:26) (cid:61)
′
∴𝐴𝐴 =∠𝐵𝐴𝐶 (cid:61)
∴∠𝐷𝐴(cid:25)𝐴′(cid:26) ∠𝐸𝐴𝐴(cid:61)′ (cid:25)(cid:26) (cid:61)
′ ′
∵𝐴 𝐵
=
∠1𝐴𝐵𝐶
(cid:61)
𝐴 𝐶 ∠
=
𝐴𝐶1𝐵
(cid:61)
2 2
′ ′
∴∠𝐴 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵
=125°(cid:61)
∵ ∠1 + = = =55°(cid:61)
′ ′
∴ ∠𝐴 𝐵+𝐶 ∠𝐴=𝐶𝐵2( 180°+−∠1 1)8=0°1−1102°(cid:61)5°
′ ′
∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵 ∠=𝐴7𝐵0𝐶°(cid:61)∠𝐴 𝐶𝐵
∴(cid:226)∠𝐵𝐴𝐶 1(cid:227)80(cid:228)°−(cid:229)110°(cid:230)(cid:231)(cid:61)(cid:65)A(cid:232)(cid:149)(cid:65) (cid:233)(cid:61)
′
∵ △=𝐴𝐵𝐶(cid:61) 𝐷𝐸 𝐴
∴𝐷𝐴 𝐷=𝐴′ (cid:61)
∴∠𝐷𝐴𝐴′ =∠𝐷𝐴′𝐴 (cid:61)
∵∠𝐷𝐴𝐴′= ∠𝐶𝐴𝐴′= (cid:61)
+
A
A
科
∴∠𝐷𝐴(cid:91)𝐴′ ∠𝐷𝐴′(cid:28)𝐴(cid:136)(cid:241)∠𝐶(cid:240)𝐴(cid:24)𝐴′(cid:61)
★
全
号
众
′ 公
注
∵∠2= △𝐴 𝐷𝐴+ = + 关= =70°(cid:61)
，
源
资
辅
∴(cid:106)∠(cid:71)2(cid:72)(cid:69)∠𝐷(cid:10)𝐴7′𝐴0°(cid:70)∠𝐷𝐴教𝐴′ ∠𝐷𝐴𝐴′ ∠𝐶𝐴𝐴′ ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:108)(cid:109)3-3(cid:19)(cid:47)24-25(cid:175)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:132)(cid:223)(cid:245)(cid:246)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:28)(cid:240)(cid:24) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:43)(cid:190)(cid:24) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:66)(cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:67) =54°(cid:61)(cid:68) (cid:28)(cid:33)(cid:217)(cid:91) (cid:70) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐵𝐸𝐶
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)36°
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:240)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:42)(cid:23)(cid:61)(cid:131)(cid:32) (cid:61)(cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:95)
(cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:172)(cid:173)(cid:38)(cid:39) (cid:91) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:174)(cid:220)(cid:100)(cid:99) 𝐵𝐴 (cid:28)(cid:33)(cid:217)𝐸(cid:61)(cid:119)𝐸𝐹(cid:31)⊥(cid:158)𝐵𝐷 (cid:28)𝐹(cid:33)(cid:217)(cid:61)𝐸𝐺⊥𝐴𝐶
(cid:247)(cid:220)(cid:100)𝐺 (cid:99)(cid:71)𝐸(cid:72)𝐻(cid:61)⊥(cid:3)𝐵𝐴(cid:93)(cid:91)(cid:168)𝐻(cid:169)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝐴𝐸(cid:29)(cid:30)∠(cid:70)𝐶𝐴𝐻 ∠𝐶𝐴𝐻 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:92)(cid:10)(cid:131)(cid:32) (cid:61)(cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)
𝐵𝐴 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐵𝐷 𝐹 𝐸𝐺⊥𝐴𝐶 𝐺 𝐸𝐻⊥𝐵𝐴 𝐻(cid:28)(cid:240)(cid:24) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:43)(cid:190)(cid:24) (cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:66)(cid:64)(cid:65) (cid:61)
∵△𝐴𝐵=𝐶 (cid:61) ∠𝐴=𝐶𝐷 (cid:61) 𝐶𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐸
∴𝐸𝐻=𝐸𝐹(cid:61)𝐸𝐺 𝐸𝐹
∴𝐸𝐻(cid:91) 𝐸𝐺 (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)
∴𝐴𝐸 ∠=𝐶5𝐴4𝐻°(cid:61)
∵∠𝐶𝐴𝐸 = =108°(cid:61)
∴∠𝐶𝐴𝐻= 2∠𝐶𝐴𝐸 =72°(cid:61)
∴∠𝐵𝐴(cid:25)𝐶(cid:26)180°−(cid:61)∠𝐶𝐴(cid:25)𝐻(cid:26) (cid:61)
+
A
A
科
∵𝐵𝐸 =∠𝐴𝐵𝐶 𝐶(cid:61)𝐸 ∠𝐴=𝐶𝐷 (cid:61) ★ 全
号
众
公
注
∴∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝐸𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐶(cid:61) 2∠𝐸𝐵=𝐶 关+ (cid:61)
，
源
资
辅
∵∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐵𝐸𝐶 =∠教7𝐸2𝐵°𝐶(cid:61) ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐶=326∠°𝐵(cid:105)𝐸𝐶
(cid:106)∴(cid:71)∠𝐵(cid:72)𝐸𝐶(cid:69)(cid:10)36°(cid:70)
【题型4 利用角平分线的性质求最值】
(cid:15)(cid:46)4(cid:19)(cid:47)24-25(cid:248)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:249)(cid:250)(cid:224)(cid:251)(cid:252)(cid:253)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:149)Rt (cid:57)(cid:61) =90°(cid:61)(cid:65)D(cid:149) (cid:127)(cid:110)(cid:61)(cid:137)(cid:138)
(cid:61)(cid:94)(cid:65)D(cid:95) (cid:66) (cid:64)(cid:65) (cid:61) = (cid:61)(cid:65)P(cid:69)(cid:27)(cid:197) △(cid:110)𝐴(cid:136)𝐵𝐶(cid:254)(cid:65)(cid:61)∠𝐶(cid:137)(cid:138) (cid:61)(cid:67) =𝐴6𝐶(cid:61)(cid:68)(cid:27)(cid:197) (cid:28)
𝐵(cid:36)𝐷(cid:185)(cid:37)(cid:91) 𝐷(cid:70)𝐸∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐸 𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝑃 𝐶𝐷 𝐷𝑃
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)6
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:98)(cid:96)(cid:27)(cid:197)(cid:36)(cid:255)(cid:99)(cid:61)(cid:256) (cid:257)(cid:61)(cid:27)(cid:197) (cid:28)(cid:37)(cid:36)(cid:185)(cid:61)(cid:98)(cid:78)(cid:127)(cid:258)(cid:78)(cid:24)(cid:99) = (cid:61)(cid:116)(cid:117)(cid:25)(cid:82)(cid:27)
𝐷𝑃⊥𝐴𝐵 𝐷𝑃 ∠𝐵𝐷𝐸 ∠𝐷𝐵𝐸(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:99) = (cid:61)(cid:68) (cid:25)(cid:26) (cid:61)(cid:116)(cid:117)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:123)(cid:100)(cid:31)(cid:92)(cid:70)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)∠(cid:92)𝐵(cid:10)𝐷(cid:98)𝐸 (cid:96)∠(cid:27)𝐷(cid:197)𝐵(cid:36)𝐶(cid:255)(cid:99)(cid:61)𝐵𝐷(cid:256) ∠𝐴𝐵𝐶(cid:257)(cid:61)(cid:27)(cid:197) (cid:28)(cid:37)(cid:36)(cid:185)(cid:61)
= (cid:61) 𝐷𝑃⊥𝐴𝐵 𝐷𝑃
∵𝐷𝐸 𝐵𝐸= (cid:61)
∴∠𝐵𝐷𝐸 (cid:61)∠𝐷𝐵𝐸
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶= (cid:61)
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐷𝐵𝐶(cid:61)(cid:123) (cid:25)(cid:26) (cid:61)
∴∠𝐷𝐵=𝐸90°∠(cid:61)𝐷(cid:256)𝐵𝐶 𝐵𝐷(cid:257)(cid:61)(cid:27)∠𝐴(cid:197)𝐵𝐶 (cid:28)(cid:37)(cid:36)(cid:185)(cid:61)
∵(cid:27)∠𝐶(cid:197) (cid:28)(cid:36)(cid:185)𝐷(cid:37)𝑃(cid:91)⊥(cid:10)𝐴𝐵 = =𝐷𝑃6(cid:61)
∴(cid:106)(cid:71)(cid:72)𝐷(cid:69)𝑃(cid:10)6(cid:70) 𝐷𝑃 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:65)(cid:259)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:25)(cid:82)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:96)(cid:27)(cid:197)(cid:36)(cid:255)(cid:61)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:124)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:25)(cid:82)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:103)(cid:153)(cid:96)(cid:27)(cid:197)(cid:36)(cid:255)(cid:61)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:70)
(cid:15)(cid:108)(cid:109)4-1(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:260)(cid:261)·(cid:56)(cid:115)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:103) (cid:28)(cid:262)(cid:65)O(cid:69)(cid:183)(cid:184)(cid:61)(cid:263)(cid:256)(cid:32)(cid:69)(cid:186)(cid:187)(cid:264)(cid:188)(cid:61)(cid:26)(cid:156)(cid:66)
+
A
(cid:61) (cid:64)(cid:65) (cid:61) (cid:61)(cid:119)(cid:26)(cid:156)(cid:103)(cid:65)M(cid:239)(cid:65)N(cid:69)(cid:183)(cid:184)(cid:61)(cid:189) ∠𝐴 (cid:64) 𝑂1𝐵 (cid:32)(cid:69)(cid:186)全(cid:187)(cid:264)科(cid:188)(cid:47) A (cid:188)(cid:102)(cid:149)(cid:183)(cid:28)(cid:186)(cid:187)(cid:179)(cid:130)(cid:78)(cid:58)(cid:61)(cid:126)
2 号 ★
众
公
𝑂(cid:188)𝐴(cid:66)(cid:64)𝑂𝐵(cid:65)P(cid:70)𝑀(cid:264)(cid:191)𝑁(cid:27) (cid:61)(cid:95) (cid:64)(cid:65)C关(cid:61)(cid:209) 注 =2(cid:61) 𝑀(cid:91)𝑁(cid:191)(cid:27) (cid:110)(cid:136)(cid:241)(cid:254)(cid:65)(cid:61)(cid:68) (cid:28)(cid:36)(cid:185)(cid:37)(cid:69)
，
源
资
辅
𝑂教𝑃 𝑃𝐶⊥𝑂𝐴 𝑃𝐶 𝑄 𝑂𝐵 𝑃𝑄
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)2
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:96)(cid:27)(cid:197)(cid:36)(cid:255)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:105)(cid:98)(cid:95)(cid:141)(cid:99) (cid:91) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:98)(cid:96)(cid:27)(cid:197)(cid:36)(cid:255)(cid:99)
(cid:257)(cid:61) (cid:28)(cid:37)(cid:36)(cid:185)(cid:61)(cid:98)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:123)(cid:100)(cid:31)(cid:92)(cid:105)(cid:168)(cid:169)(cid:96)(cid:27)(cid:197)(cid:36)𝑂(cid:255)𝑃(cid:61)∠(cid:24)𝐴(cid:25)𝑂𝐵(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:70) 𝑃𝑄⊥𝑂𝐵
(cid:15)(cid:104)𝑃(cid:92)𝑄(cid:19)(cid:92)(cid:10)(cid:98)(cid:95)(cid:141)(cid:99)(cid:10) (cid:91) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)
(cid:256) (cid:257)(cid:61) (cid:28)(cid:37)(cid:36)𝑂(cid:185)𝑃(cid:61)∠𝐴𝑂𝐵
𝑃𝑄⊥𝑂𝐵(cid:61) 𝑃𝑄
∵𝑃𝐶⊥=𝑂𝐴 =2(cid:61)
∴𝑃 𝑄 (cid:28)𝑃(cid:36)𝐶(cid:185)(cid:37)(cid:69)2(cid:61)
(cid:106)∴(cid:71)𝑃(cid:72)𝑄(cid:10)2(cid:70)(cid:15)(cid:108)(cid:109)4-2(cid:19)(cid:47)22-23(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:265)(cid:133)(cid:133)(cid:52)·(cid:56)(cid:115)(cid:58)(cid:149) (cid:57)(cid:61)(cid:62)(cid:63) =6(cid:61) (cid:127)(cid:110)(cid:28)(cid:154) =4(cid:61) (cid:126)
(cid:241)(cid:190)(cid:24)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:130)(cid:66)(cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:94) (cid:95) (cid:64)(cid:65)△(cid:61)𝐴𝐵(cid:68)𝐶 (cid:28)(cid:36)(cid:189)𝐵(cid:37)𝐶(cid:91) 𝐵(cid:70)𝐶 ℎ △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)2 𝑂 𝑂 𝑂𝐷⊥𝐵𝐶 𝐷 𝑂𝐷
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:266)(cid:139)(cid:203)(cid:116)(cid:117)(cid:267)(cid:268)(cid:264)(cid:158)(cid:269)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:60)(cid:102)(cid:206)(cid:61)(cid:116)(cid:117)(cid:267)(cid:268)(cid:100)(cid:63)(cid:10)(cid:65) (cid:69) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:61)(cid:68) (cid:69)(cid:118)
(cid:270)(cid:127)(cid:28)(cid:128)(cid:129)(cid:61)(cid:116)(cid:117)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:10)(cid:118)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:80)(cid:267)(cid:127)(cid:28)(cid:128)(cid:129)𝑂(cid:130)(cid:78)△(cid:70)𝐴(cid:100)𝐵(cid:99)𝐶 (cid:61) (cid:61) 𝑂𝐷 (cid:28)
(cid:154)△(cid:179)𝐴𝐵(cid:91)𝐶 (cid:61)(cid:68) = + + (cid:61)(cid:36)(cid:173)(cid:116)(cid:117)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:80)(cid:127)(cid:3)(cid:271)(cid:123)(cid:100)△(cid:99)(cid:158)𝑂𝐴(cid:70)𝐵 △𝑂𝐵𝐶 △𝑂𝐴𝐶
(cid:15)(cid:104)(cid:92)𝑂(cid:19)𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝑂𝐴𝐶 𝑆△𝑂𝐵𝐶 𝑆△𝑂𝐴𝐵
(cid:92)(cid:10)(cid:59)(cid:60)(cid:10) (cid:65) (cid:69) (cid:126)(cid:241)(cid:190)(cid:24)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:61)
(cid:69)(cid:65) ∵(cid:118) 𝑂 △(cid:80)𝐴𝐵(cid:127)𝐶(cid:28)(cid:128)(cid:129) 𝑂𝐷⊥𝐵𝐶
(cid:159)∴ 𝑂𝐷= 𝑂 △𝐴𝐵𝐶
+
A
A
科
(cid:68) 𝑂𝐷 𝑟 = 1 × × = 1 ×( + + )× 号 ★ 全
2 2 众
公
注
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 ℎ 𝐴𝐵 𝐵𝐶，𝐴 关 𝐶 𝑟
(cid:272)(cid:273)(cid:217)(cid:117)(cid:99)(cid:10) = 24 资 源
6辅
教
𝑟 𝐴𝐵+𝐴𝐶+
+ >
∵ 𝐴𝐵+𝐴𝐶>𝐵6𝐶
∴ 𝐴𝐵 24𝐴𝐶
< =2
6 6
∴ 𝑟 (cid:28)+(cid:36)(cid:189)(cid:37)(cid:69)2
(cid:106)∴(cid:71)𝑂(cid:72)𝐷(cid:69)2
(cid:15)(cid:65)(cid:259)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:204)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:80)(cid:127)(cid:3)(cid:271)(cid:204)(cid:78)(cid:35)(cid:141)(cid:31)(cid:27)(cid:197)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:61)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:124)(cid:167)(cid:274)(cid:23)(cid:91)(cid:92)(cid:275)(cid:74)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:70)
(cid:15)(cid:108)(cid:109)4-3(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:52)(cid:53)(cid:276)(cid:55)·(cid:56)(cid:115)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:149) (cid:57)(cid:61) (cid:25)(cid:26) (cid:66) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:65) (cid:61) (cid:26)
(cid:156)(cid:91) (cid:239) (cid:110)(cid:28)(cid:254)(cid:65)(cid:70) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐷 𝑀 𝑁
𝐴𝐷 𝐴𝐵(cid:47)1(cid:58)(cid:67) =60 (cid:61) =40 (cid:61)(cid:68) (cid:28)(cid:33)(cid:217)(cid:69) (cid:105)
∘ ∘
(cid:47)2(cid:58)(cid:67)∠𝐵𝐴𝐶 =12(cid:61) ∠𝐶=8(cid:61)(cid:68) ∠+𝐴𝐷𝐵(cid:28)(cid:36)(cid:185)(cid:37)(cid:69) (cid:70)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)𝑆 △ 𝐴 𝐵𝐶 70°/70(cid:33)𝐴𝐶 3 𝐵𝑀 𝑀𝑁
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:47)1(cid:58)(cid:116)(cid:117)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:77)(cid:61)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:240)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:123)(cid:100)(cid:31)(cid:92)(cid:105)
(cid:47)2(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:66) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:68) = =90 (cid:61)(cid:100)(cid:38)
′ ′ ′ ∘ ′
(ASA)(cid:61)(cid:99)(cid:118) =𝐵 𝐵(cid:61)𝐵 ⊥𝐴=𝐷 (cid:61)𝐺(cid:123)(cid:65)𝐴𝐶(cid:43)(cid:65)𝐵(cid:3)(cid:64) ∠𝐴(cid:258)𝐺(cid:277)𝐵 (cid:61)∠(cid:94)𝐴(cid:65)𝐺𝐵 (cid:95) (cid:64)△(cid:65)𝐴𝐵(cid:61)𝐺(cid:66)≌△𝐴(cid:64)𝐵(cid:65)𝐺 (cid:61)
′ ′ ′ ′ ′
(cid:98)(cid:278)(cid:258)(cid:277)(cid:28)(cid:29)𝐵(cid:30)𝐺(cid:100)(cid:63)𝐵(cid:61)𝐺(cid:65)𝐴𝐵(cid:123)(cid:69)𝐴(cid:279)𝐵 + 𝐵 (cid:36)(cid:185)𝐵(cid:28)(cid:65)(cid:61)𝐴𝐷 = + 𝐵 (cid:61)𝐵(cid:94)𝑁(cid:65)⊥𝐴(cid:95)𝐵 𝑁 (cid:64)(cid:65)𝐴𝐷(cid:61)(cid:98)𝑀(cid:80)(cid:24)
′
(cid:81)(cid:34)(cid:35)(cid:99)(cid:118) =3(cid:61)(cid:142)(cid:280)𝑀(cid:69) 𝐵𝑀(cid:91)(cid:78)𝑀(cid:79)𝑁(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:61)(cid:99)(cid:118)𝐵 𝑁 =𝐵𝑀 =𝑀3𝑁(cid:61)(cid:123) 𝐵+ 𝐵𝐸(cid:28)⊥(cid:36)𝐴𝐶(cid:185)(cid:37)(cid:91)𝐸3(cid:61)(cid:98)(cid:205)
′ ′
(cid:123)(cid:100)(cid:31)(cid:92)(cid:70)𝐵𝐸 △𝐴𝐵𝐵 𝐵 𝑁 𝐵𝐸 𝐵𝑀A +𝑀𝑁
A
科
全
★
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:92)(cid:10)(cid:47)1(cid:58) (cid:25)(cid:26) (cid:61) =60 (cid:61) 众 号
公
注
关 ∘
，
=
1
=
∵1𝐴
×
𝐷
60 =
∠
资
𝐵
30
𝐴𝐶 (cid:61)源∠𝐵𝐴𝐶
2 2 辅
教
∘ ∘
∴∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
= + (cid:61) =40 (cid:61)
∘
∵∠𝐴𝐷𝐵=∠30𝐶𝐴+𝐷40∠𝐶=7∠0𝐶(cid:70)
∘ ∘ ∘
(cid:47)∴∠2𝐴(cid:58)𝐷(cid:59)𝐵 (cid:60)(cid:61)(cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:66) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:68) = =90 (cid:61)
′ ′ ′ ∘
𝐵 𝐵𝐵 ⊥𝐴𝐷 𝐺 𝐴𝐶 𝐵 ∠𝐴𝐺𝐵 ∠𝐴𝐺𝐵
(cid:25)(cid:26) (cid:61)
∵𝐴𝐷 =∠𝐵𝐴𝐶 (cid:61)
′
∴∠𝐵𝐴=𝐺 (cid:61)∠𝐵 𝐴𝐺
∵𝐴𝐺 𝐴𝐺 (ASA)(cid:61)
′
∴△𝐴=𝐵𝐺≌△(cid:61)𝐴𝐵 =𝐺 (cid:61)(cid:123)(cid:65) (cid:43)(cid:65) (cid:3)(cid:64) (cid:258)(cid:277)(cid:61)(cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:66) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:98)(cid:278)(cid:258)(cid:277)(cid:28)
′ ′ ′ ′ ′
∴𝐵𝐺 𝐵 𝐺 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐵 𝐴𝐷 𝐵 𝐵 𝑁⊥𝐴𝐵 𝑁 𝐴𝐷 𝑀(cid:29)(cid:30)(cid:100)(cid:63)(cid:61)(cid:65) (cid:123)(cid:69)(cid:279) + (cid:36)(cid:185)(cid:28)(cid:65)(cid:61) = + (cid:61)(cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)
′
=12(cid:61)𝑀 =8(cid:61)𝐵𝑀 𝑀𝑁 𝐵 𝑁 𝐵𝑀 𝑀𝑁 𝐵 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐸
∵𝑆1 △
×
𝐴
8
𝐵𝐶
=1
𝐴
2(cid:61)
𝐶
2
∴ ⋅𝐵𝐸
(cid:92)(cid:99)(cid:61) =3(cid:61)
=𝐵𝐸 (cid:61)
′
∵𝐴𝐵 𝐴𝐵(cid:91)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:61)
′
∴△𝐴𝐵=𝐵 =3(cid:61)(cid:123) + (cid:28)(cid:36)(cid:185)(cid:37)(cid:91)3(cid:105)
′
∴(cid:106)𝐵(cid:71)𝑁(cid:72)(cid:69)𝐵(cid:10)𝐸 70°(cid:105)𝐵𝑀3(cid:70)𝑀𝑁
(cid:15)(cid:65)(cid:259)(cid:19)(cid:74)①(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:75)②(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:77)(cid:153)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:83)(cid:61)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:240)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:281)(cid:78)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:239)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:78)(cid:79)
(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:239)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:278)(cid:258)(cid:277)(cid:31)(cid:36)(cid:255)(cid:282)(cid:187)(cid:28)(cid:121)(cid:122)(cid:78)(cid:63)(cid:171)(cid:28)(cid:44)(cid:45)(cid:61)(cid:168)(cid:169)(cid:103)(cid:110)(cid:63)(cid:171)(cid:61)(cid:217)(cid:81)(cid:283)(cid:45)(cid:26)(cid:73)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:28)(cid:3)
(cid:93)(cid:70)
【题型5 利用角平分线的性质证明】
(cid:15)(cid:46)5(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:52)(cid:53)(cid:45)(cid:284)·(cid:56)(cid:115)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:91) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)C(cid:91)
A
+(cid:110)(cid:136)(cid:65)(cid:61) (cid:61)
A
科
全
★
(cid:61)(cid:96)(cid:97)(cid:26)(cid:156)(cid:69)D(cid:61)E(cid:61)(cid:65)F(cid:91) (cid:110)(cid:28)(cid:285)(cid:136)(cid:65)𝑂𝑀(cid:61)(cid:137) 众∠(cid:138)𝐴号𝑂𝐵(cid:61) (cid:70)(cid:31)(cid:38)(cid:10) 𝑂𝑀 = 𝐶(cid:70)𝐷⊥𝑂𝐴
公
注
关
，
𝐶𝐸⊥𝑂𝐵 源𝑂𝑀 𝐷𝐹 𝐸𝐹 ∠𝐷𝐹𝑂 ∠𝐸𝐹𝑂
资
辅
教
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)(cid:218)(cid:104)(cid:92)
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:240)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:281)(cid:78)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:286)(cid:287)(cid:168)(cid:169)(cid:130)(cid:3)(cid:29)(cid:30)(cid:190)(cid:288)(cid:91)(cid:92)
(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:70)(cid:139)(cid:98)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:99) = = = = (cid:283)(cid:45)(cid:240)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:99)
= (cid:61)(cid:280)(cid:69) = (cid:61)(cid:38)∠(cid:39)𝐷𝑂𝐶 ∠𝐸𝑂𝐶,∠𝑂𝐷(S𝐶AS)(cid:61)∠𝑂(cid:123)𝐸(cid:100)𝐶 (cid:95)9(cid:71)0(cid:70)°,𝐷𝐶 𝐶𝐸,
(cid:15)∠𝐷(cid:104)𝐶𝐹(cid:92)(cid:19)∠(cid:92)𝐸(cid:10)𝐶𝐹 (cid:91)𝐶𝐹 (cid:28)𝐶𝐹(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)△𝐷𝐹𝐶≌△(cid:61)𝐸𝐹𝐶 (cid:61)
= ∵𝑂𝑀 ∠𝐴=𝑂𝐵 = 𝐶𝐷⊥=𝑂𝐴 𝐶𝐸⊥𝑂𝐵
∴∠𝐷𝑂𝐶+ ∠𝐸𝑂𝐶,∠=𝑂𝐷𝐶 +∠𝑂𝐸𝐶 (cid:61)90°,𝐷𝐶 𝐶𝐸,
(cid:123)∴∠𝐷𝑂𝐶 =∠𝑂𝐷𝐶 (cid:61)∠𝐸𝑂𝐶 ∠𝑂𝐸𝐶
∠𝐷=𝐶𝐹 (cid:61)∠𝐸𝐶𝐹
∵𝐶𝐹 𝐶𝐹 (SAS)(cid:61)
∴△𝐷𝐹𝐶≌△𝐸𝐹𝐶= (cid:70)
(cid:15)∴∠(cid:108)𝐷𝐹(cid:109)𝑂5-1∠(cid:19)𝐸(cid:59)𝐹𝑂(cid:60)(cid:61) (cid:91) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61) = (cid:61)(cid:65)P(cid:149) (cid:110)(cid:61) (cid:61) (cid:61)(cid:96)(cid:97)(cid:26)(cid:156)(cid:91)M(cid:204)
N(cid:61)(cid:31)(cid:38)(cid:10) = 𝐵(cid:70)𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝑃𝑀⊥𝐴𝐷 𝑃𝑁⊥𝐶𝐷
𝑃𝑀 𝑃𝑁
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)(cid:218)(cid:92)(cid:73)
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:281)(cid:78)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:286)(cid:287)(cid:168)(cid:169)(cid:130)(cid:3)(cid:29)(cid:30)(cid:190)(cid:288)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:70)(cid:139)
(cid:99) = (cid:61)(cid:119)(cid:283)(cid:45) = (cid:61) = (cid:61)(cid:38)(cid:39) (cid:61)(cid:68) = (cid:61)(cid:280)(cid:69) (cid:61)
∠𝐴𝐵𝐷(cid:61)(cid:106)∠𝐶𝐵𝐷= (cid:70) 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐷 △𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷 ∠𝑀𝐷𝑃 ∠𝑁𝐷𝑃 𝑃𝑀⊥𝐴𝐷
(cid:15)𝑃𝑁(cid:104)⊥(cid:92)𝐶(cid:19)𝐷(cid:38)(cid:39)𝑃(cid:10)𝑀 𝑃(cid:91)𝑁 (cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
= ∵(cid:61)𝐵 𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
+
A
∴∠𝐴𝐵=𝐷 (cid:61)∠𝐶𝐵𝐷= (cid:61) 科 A
全
★
号
众
∵𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷 (cid:61)𝐵𝐷 公
注
关
，
源
∴△𝐴𝐵𝐷=≌△𝐶𝐵𝐷(cid:61) 辅 资
教
∴∠𝑀𝐷𝑃 (cid:61)∠𝑁𝐷𝑃 (cid:61)
∵𝑃PM𝑀=⊥𝐴P𝐷N(cid:70)𝑃𝑁⊥𝐶𝐷
∴(cid:15)(cid:108)(cid:109)5-2(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:132)(cid:223)(cid:253)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:25)(cid:26) (cid:61) (cid:61) (cid:61)(cid:96)(cid:97)(cid:26)(cid:156)(cid:69) (cid:61)
(cid:70)(cid:31)(cid:38)(cid:10) = (cid:70) 𝐴𝑂 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐶𝑂⊥𝐴𝐵 𝐵𝑂⊥𝐴𝐶 𝐷
𝐸 ∠𝑂𝐵𝐶 ∠𝑂𝐶𝐵
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:218)(cid:92)(cid:73)
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:281)(cid:78)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:40)(cid:41)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:78)(cid:127)(cid:258)(cid:78)(cid:24)(cid:61)(cid:139)(cid:98)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:99)(cid:118) = (cid:61)(cid:119)(cid:38)(cid:39) (ASA)(cid:99)(cid:118) = (cid:61)(cid:68)(cid:100)(cid:38)(cid:39) = (cid:70)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)𝑂𝐷(cid:19)(cid:38)𝑂(cid:39)𝐸(cid:10) (cid:25)(cid:26)△𝐵𝑂𝐷≌(cid:61)△𝐶𝑂𝐸 (cid:61) 𝑂𝐵(cid:61) 𝑂𝐶 ∠𝑂𝐵𝐶 ∠𝑂𝐶𝐵
= (cid:61) ∵𝐴𝑂= ∠𝐵𝐴=𝐶90𝐶°(cid:61)𝑂⊥𝐴𝐵 𝐵𝑂⊥𝐴𝐶
∴𝑂𝐷 𝑂𝐸 ∠𝑂𝐷𝐵 ∠𝑂𝐸𝐶(cid:142) = (cid:61)
∵∠𝐵𝑂𝐷 ∠𝐶𝑂𝐸(ASA)(cid:61)
∴△𝐵=𝑂𝐷≌(cid:61)△𝐶𝑂𝐸
∴𝑂𝐵 𝑂=𝐶 (cid:70)
∴(cid:15)∠(cid:108)OB(cid:109)C5-3∠(cid:19)O(cid:47)CB24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:176)(cid:177)(cid:289)(cid:132)·(cid:56)(cid:115)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:102)(cid:206)(cid:61)(cid:65) (cid:204) (cid:26)(cid:156)(cid:91) (cid:204) (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:28)(cid:65)(cid:61)
(cid:64)(cid:65) (cid:61) (cid:64)(cid:65) (cid:61) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:31)(cid:38)(cid:10) + =𝐴 (cid:70)𝐵 ∠𝑁𝑂𝑃 ∠𝑀𝑂𝑃 𝐴𝐵⊥𝑂𝑃
𝐸 𝐵𝐶⊥𝑀𝑁 𝐶 𝐴𝐷⊥𝑀𝑁 𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:218)(cid:92)(cid:73)(cid:70)
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:124)(cid:125)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:28)(cid:65)(cid:118)(cid:24)(cid:126)(cid:127)(cid:28)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:78)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:3)(cid:93)(cid:70)(cid:116)(cid:117)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:99)(cid:158) = (cid:61) = (cid:61)(cid:116)(cid:117)(cid:27)(cid:197)(cid:28)(cid:239)(cid:290)(cid:3)(cid:271)(cid:123)(cid:100)(cid:99)(cid:283)(cid:291)(cid:70)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:92)(cid:10) (cid:65) 𝐵(cid:204)𝐶 (cid:26)𝐵(cid:156)𝑃(cid:91)𝐴𝐷 𝐴(cid:204)𝑃 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:28)(cid:65)(cid:61) (cid:61) (cid:61) (cid:61)
+
A
A
科
= (cid:61) ∵ =𝐴 𝐵(cid:61) ∠𝑁𝑂𝑃 ∠𝑀𝑂𝑃 𝐴𝐵★⊥𝑂全𝑃 𝐵𝐶⊥𝑀𝑁 𝐴𝐷⊥𝑀𝑁
号
众
公
注
∴𝐵AD𝐶+B𝐵C𝑃=𝐴B𝐷P+A𝐴P𝑃=AB(cid:70) 关
，
源
资
辅
∴ 【题型6 角平分线的 教 判定】
(cid:15)(cid:46)6(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:265)(cid:133)(cid:131)(cid:52)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:91) (cid:190)(cid:212)(cid:28)(cid:136)(cid:267)(cid:191)(cid:27)(cid:61)(cid:65) (cid:149) (cid:110)(cid:61)(cid:137)(cid:138) (cid:204) (cid:61)
= (cid:61)(cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:61) (cid:61) (cid:61) (cid:26)(cid:156)𝐵𝑃(cid:91)(cid:96)∠𝐴(cid:97)𝐵(cid:61)𝐶(cid:209) = (cid:61)(cid:31)(cid:38)(cid:10)𝐷 (cid:25)𝐵𝑃(cid:26) (cid:70)𝐴𝐷 𝐶𝐷
𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝑃 𝑃𝑀⊥𝐴𝐷 𝑃𝑁⊥𝐶𝐷 𝑀 𝑁 𝑃𝑀 𝑃𝑁 𝐵𝑃 ∠𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)(cid:218)(cid:92)(cid:73)
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:281)(cid:78)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:40)(cid:41)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:83)(cid:61)(cid:124)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:83)
(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:3)(cid:93)(cid:105)
(cid:139)(cid:98)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:83)(cid:99)(cid:118) = (cid:61)(cid:119)(cid:38)(cid:39) SAS)(cid:61)(cid:99)(cid:118) = (cid:61)(cid:123)(cid:100)(cid:38)
(cid:39)(cid:283)(cid:291)(cid:70) ∠𝐴𝐷𝑃 ∠𝐶𝐷𝑃 △𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷( ∠𝐴𝐵𝑃 ∠𝐶𝐵𝑃
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:10) (cid:61) (cid:61) = (cid:61)
∵ 𝑃𝑀⊥𝐴𝐷 𝑃𝑁⊥𝐶𝐷 𝑃𝑀 𝑃𝑁(cid:69) (cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)
∴ 𝐷𝑃 ∠=𝐴𝐷𝐶 (cid:61)
∴ ∠𝐴𝐷𝑃 =∠𝐶𝐷𝑃(cid:61)
(cid:149)∴ ∠𝐴𝐷𝐵(cid:239)∠𝐶𝐷𝐵 (cid:57)(cid:61)
△𝐴𝐵=𝐷 △𝐶𝐵𝐷
=
𝐴𝐷= 𝐶𝐷,
∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐶𝐷𝐵,
𝐵𝐷 𝐵𝐷, SAS)(cid:61)
∴ △𝐴𝐵𝐷=≌△𝐶𝐵(cid:61)𝐷(
∴ ∠𝐴(cid:25)𝐵𝑃(cid:26) ∠𝐶𝐵𝑃(cid:70)
(cid:15)∴(cid:108)𝐵(cid:109)𝑃 6-1(cid:19)∠𝐴(cid:47)𝐵2𝐶2-23(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:224)(cid:16)(cid:292)(cid:55)·(cid:56)(cid:115)(cid:58)(cid:185)(cid:39)(cid:226)(cid:126)(cid:293)(cid:294)(cid:281)(cid:130)(cid:213)(cid:28)(cid:32)(cid:161)(cid:81)(cid:84)(cid:193)(cid:59)(cid:60)(cid:295)(cid:296)(cid:149) (cid:110)(cid:61)(cid:126)
(cid:293)(cid:84)(cid:193)(cid:28)(cid:138)(cid:297)(cid:65)(cid:69) (cid:61)(cid:127) (cid:43)(cid:192)(cid:57)(cid:136)(cid:293)(cid:84)(cid:193)(cid:127)(cid:298)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:69) (cid:61)(cid:65) (cid:204) (cid:149)(cid:299)(cid:293)(cid:84)(cid:193)(cid:110)(cid:28)(cid:300)(cid:33)(cid:301)(cid:217)(cid:26)∠𝐴(cid:156)𝑂(cid:91)𝐵 2(cid:204)5(cid:61)
(cid:68) (cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:91) 𝑃(cid:70) 𝑂𝐴 𝐶 𝐶 𝑃
𝑂𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)3cm
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:83)(cid:28)(cid:302)(cid:41)(cid:83)(cid:61)(cid:25)(cid:82)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:94) (cid:95) (cid:64) (cid:61)(cid:98)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:83)
(cid:28)(cid:302)(cid:41)(cid:83)(cid:101)(cid:158) (cid:25)(cid:26) (cid:61)(cid:99)(cid:118) = (cid:61)(cid:98)(cid:25)(cid:82)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)𝑃(cid:101)(cid:158)𝑃𝑁⊥𝑂𝐵= 𝑁 (cid:61)(cid:99)(cid:118)
= 𝑃(cid:61)𝑂(cid:280)(cid:205)∠𝐴𝑂=𝐵 (cid:61)(cid:98)∠𝐶𝑂=𝑃 ∠𝑁=𝑂𝑃3(cm)(cid:61)(cid:123)(cid:100)(cid:99)(cid:118) (cid:28)(cid:32)∠(cid:33)𝐶𝑃(cid:91)𝑂3cm∠(cid:70)𝑁𝑂𝑃
∠(cid:15)𝐶(cid:104)𝑂𝑃(cid:92)(cid:19)∠(cid:92)𝐶(cid:10)𝑃𝑂(cid:94) (cid:95) 𝑂𝐶 𝑃(cid:64)𝐶 (cid:61)𝑃𝐶 5−2 𝑂𝐶
𝑃 𝑃𝑁⊥𝑂𝐵 𝑁(cid:98)(cid:20)(cid:219)(cid:99)(cid:10) = (cid:61) (cid:61) (cid:61)
(cid:25)(cid:26) 𝑃𝑀 (cid:61)𝑃𝑁 𝑃𝐶∥𝑂𝐵 𝑃𝑀⊥𝑂𝐴
∴𝑃𝑂 =∠𝐴𝑂𝐵 (cid:61)
∴∠𝐶𝑂𝑃(cid:61) ∠𝑁𝑂𝑃
∵𝑃𝐶∥𝑂𝐵= (cid:61)
∴∠𝐶𝑃𝑂=∠𝑁𝑂𝑃(cid:61)
∴∠𝐶𝑂=𝑃 (cid:61)∠𝐶𝑃𝑂
∴𝑂(cid:204)𝐶 (cid:149)𝑃𝐶(cid:299)(cid:293)(cid:84)(cid:193)(cid:110)(cid:28)(cid:300)(cid:33)(cid:301)(cid:217)(cid:26)(cid:156)(cid:91)2(cid:204)5(cid:61)
∵𝐶 =𝑃 =3(cm)(cid:61)
∴𝑃𝐶(cid:28)(cid:32)5−(cid:33)2(cid:91)3cm(cid:70)
(cid:106)∴(cid:71)𝑂𝐶(cid:72)(cid:69)(cid:10)3cm(cid:70)
(cid:15)(cid:108)(cid:109)6-2(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:222)(cid:223)(cid:303)(cid:208)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:304)(cid:24) (cid:28)(cid:126)(cid:267)(cid:154) (cid:130)(cid:66)(cid:64)(cid:65)O(cid:61)(cid:209) = (cid:70)
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷,𝐶𝐸 𝑂𝐵 𝑂𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:31)(cid:38)(cid:10) = (cid:105)
(2)(cid:31)(cid:38)(cid:10)(cid:40)𝐵𝐸(cid:305)(cid:65)𝐶𝐷O(cid:91)(cid:306)(cid:149) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:61)(cid:307)(cid:308)(cid:39)(cid:83)(cid:98)(cid:70)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)(1)(cid:218)(cid:92)(cid:73) ∠𝐵𝐴𝐶
(2)(cid:65)O(cid:149) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:70)(cid:83)(cid:98)(cid:218)(cid:92)(cid:73)
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)∠(cid:20)𝐵𝐴(cid:75)𝐶(cid:76)(cid:152)(cid:281)(cid:78)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:61)(cid:103)(cid:153)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:239)(cid:40)(cid:41)(cid:61)(cid:92)(cid:275)(cid:205)
(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:91)(cid:309)(cid:118) (cid:70)
(cid:47)1(cid:58)(cid:116)(cid:117)(cid:78)(cid:127)(cid:258)△(cid:78)𝐵(cid:24)𝐸(cid:139)𝐶≌(cid:31)△(cid:158)𝐶𝐷𝐵 = (cid:61)(cid:119)(cid:38)(cid:39) (cid:123)(cid:100)(cid:92)(cid:275)(cid:221)(cid:20)(cid:70)
(cid:47)2(cid:58)(cid:139)(cid:98)(cid:47)1(cid:58)(cid:28)(cid:281)(cid:78)(cid:99)(cid:118) ∠𝑂=𝐵𝐶 (cid:61)∠(cid:119)𝑂𝐶(cid:99)𝐵(cid:118) = △(cid:61)𝐵(cid:123)𝐸𝐶(cid:100)≌(cid:99)△(cid:118)𝐶𝐷(cid:65)𝐵(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:70)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:47)1(cid:58)(cid:92)(cid:10) (cid:204)𝐵𝐷(cid:91)𝐶𝐸 (cid:28)(cid:154)(cid:61)𝑂𝐷 𝑂𝐸
= =9∵0°𝐵(cid:70)𝐷 𝐶𝐸 △𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐸=𝐶 ∠(cid:61)𝐶𝐷𝐵
∵𝑂𝐵 𝑂=𝐶 (cid:61)
(cid:142)∴∠𝑂 𝐵𝐶(cid:91)(cid:7)∠𝑂(cid:310)𝐶(cid:127)𝐵(cid:61)
∵ 𝐵𝐶(AAS)(cid:70)
∴△𝐵𝐸=𝐶≌△(cid:70)𝐶𝐷𝐵
(cid:47)∴2𝐵(cid:58)𝐸(cid:92)(cid:10)𝐶𝐷(cid:65) (cid:149) (cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:70)
(cid:83)(cid:98)(cid:59)(cid:51)(cid:10) 𝑂 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:61)
∵△𝐵𝐸=𝐶≌△(cid:61)𝐶𝐷𝐵
(cid:142)∴𝐵𝐷 =𝐶𝐸 (cid:61)
∵𝑂𝐵 𝑂=𝐶 (cid:61)(cid:123)(cid:10) =
(cid:142)∴ 𝐸𝐶−𝑂𝐶 (cid:61)𝐵𝐷−𝑂𝐵 (cid:61) 𝑂𝐷 𝑂𝐸
(cid:65)∵𝑂𝐷(cid:149)⊥𝐴𝐶 (cid:28)𝑂(cid:24)𝐸(cid:25)⊥𝐴(cid:26)𝐵(cid:27)(cid:110)(cid:70)
(cid:15)∴(cid:108)(cid:109)𝑂 6∠-3𝐵(cid:19)𝐴(cid:47)𝐶 24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:224)(cid:133)(cid:248)(cid:224)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:149)(cid:78)(cid:79) (cid:43)(cid:78)(cid:79) (cid:57)(cid:61) = (cid:61) = (cid:61)
= = (cid:61)(cid:137)(cid:138) (cid:239) (cid:130)(cid:66)(cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:66) (cid:64)(cid:65)△𝐴(cid:61)𝐵𝐶(cid:66) (cid:64)(cid:65)△𝐴(cid:70)𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸
∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸 𝛼 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝑃 𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝐷 𝑁
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:31)(cid:38)(cid:10) (cid:105)
(2)(cid:31)(cid:38)(cid:10)△(cid:25)𝐵𝐴(cid:26)𝐷≌△𝐶(cid:70)𝐴𝐸
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)(𝑃1𝐴)(cid:218)(cid:92)(cid:73)∠𝐵𝑃𝐸
(2)(cid:218)(cid:92)(cid:73)
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:281)(cid:78)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:239)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:83)(cid:61)(cid:124)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:103)(cid:110)(cid:63)(cid:171)(cid:65)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:70)
(cid:47)1(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:239)(cid:290)(cid:100)(cid:99) = (cid:61)(cid:283)(cid:45) = (cid:61) = (cid:61)(cid:123)(cid:100)(cid:98)SAS(cid:38)(cid:99)(cid:105)
(cid:47)2(cid:58)(cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:61)∠𝐵𝐴𝐷 ∠(cid:61)𝐶(cid:98)𝐴𝐸(cid:47)1(cid:58)(cid:100)𝐴(cid:63)𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸(cid:61)(cid:101)(cid:158) = (cid:61) = (cid:61)(cid:172)(cid:173)(cid:22)
(cid:23)(cid:34)(cid:35)(cid:7)(cid:109)𝐴(cid:174)(cid:220)𝐴𝐻(cid:99)⊥(cid:118)𝐵𝐷 =𝐴𝐹⊥(cid:61)𝐶𝐸(cid:116)(cid:117)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)△(cid:41)𝐵(cid:83)𝐴𝐷(cid:123)≌(cid:100)△(cid:40)𝐶𝐴(cid:41)𝐸(cid:70) 𝑆△𝐵𝐴𝐷 𝑆△𝐶𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:47)1(cid:58)(cid:38)(cid:39)(cid:10)𝐴𝐻 𝐴𝐹 = = (cid:61)
+ = ∵∠𝐵+𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸 𝛼
∴∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐶𝐴𝐷 (cid:61)∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷
(cid:142)∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶(cid:61)𝐴𝐸 = (cid:61)
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷(SAS𝐴)𝐸(cid:70)
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(cid:47)2(cid:58)(cid:38)(cid:39)(cid:10)(cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:61) (cid:61)(cid:59)(cid:60)(cid:61)
𝐴 𝐴𝐻⊥𝐵𝐷 𝐴𝐹⊥𝐶𝐸
(cid:98)(cid:47)1(cid:58)(cid:100)(cid:63) (cid:61)
= △𝐵𝐴(cid:61)𝐷≌△=𝐶𝐴𝐸(cid:61)
∴𝑆1 △𝐵𝐴 × 𝐷 𝑆△ = 𝐶𝐴 1 𝐸 × 𝐵𝐷 (cid:61) 𝐶𝐸
2 2
∴ 𝐵𝐷 𝐴𝐻 𝐶𝐸 𝐴𝐹
= (cid:61)
(cid:142)∴𝐴𝐻 𝐴𝐹 (cid:61) (cid:61)
∵𝐴(cid:25)𝐻(cid:26)⊥𝐵𝐷 (cid:70)𝐴𝐹⊥𝐶𝐸
【 ∴ 题 𝑃𝐴 型7 ∠ 角 𝐵𝑃 平 𝐸 分线的应用】 A A +
科
全
★
号
众
(cid:15)(cid:46)7(cid:19)(cid:47)2023·(cid:132)(cid:223)(cid:311)(cid:312)·(cid:80)(cid:313)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:176)(cid:127)(cid:81)(cid:314)(cid:315)公(cid:91)(cid:316)(cid:289)(cid:222)(cid:317)(cid:28)(cid:136)(cid:212)(cid:26)(cid:61)(cid:318)(cid:149)(cid:203)(cid:149)(cid:299)(cid:136)(cid:314)(cid:315)(cid:190)(cid:112)(cid:136)(cid:241)(cid:319)(cid:320)(cid:61)
注
关
，
源
(cid:203)(cid:31)(cid:319)(cid:320)(cid:118)(cid:126)(cid:267)(cid:321)(cid:282) (cid:61)辅(cid:28)资(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:78)(cid:61)(cid:209)(cid:118)(cid:273)(cid:322) (cid:204) (cid:28)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:78)(cid:323)(cid:287)(cid:41)(cid:319)(cid:320)(cid:28)(cid:324)(cid:296) (cid:70)
教
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴 𝐶 𝑃
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)(cid:218)(cid:92)(cid:73)
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:95)(cid:141)(cid:103)(cid:153)(cid:27)(cid:197)(cid:96)(cid:84)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:95)(cid:141)(cid:105)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:95)(cid:141)(cid:103)(cid:153)(cid:27)(cid:197)(cid:96)(cid:84)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:95)(cid:141)(cid:99)(cid:158)P(cid:65)(cid:123)(cid:100)(cid:70)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:59)(cid:60)(cid:102)(cid:206)(cid:10) (cid:65)(cid:123)(cid:69)(cid:102)(cid:31)(cid:70)
𝑃(cid:15)(cid:108)(cid:109)7-1(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:222)(cid:223)(cid:57)(cid:132)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:61) (cid:61) (cid:91)(cid:80)(cid:267)(cid:130)(cid:325)(cid:66)(cid:326)(cid:28)(cid:7)(cid:282)(cid:61)(cid:318)(cid:203)(cid:149)(cid:80)(cid:267)(cid:7)
(cid:282)(cid:327)(cid:178)(cid:28)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:314)(cid:315)(cid:190)(cid:328)(cid:112)(cid:136)(cid:329)(cid:86)(cid:330)(cid:331)(cid:61)(cid:203)(cid:31)(cid:86)(cid:330)(cid:331)(cid:118)𝐴(cid:80)𝐵(cid:267)(cid:7)𝐴𝐶(cid:282)(cid:28)𝐵𝐶(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:78)(cid:61)(cid:68)(cid:86)(cid:330)(cid:331)(cid:42)(cid:328)(cid:112)(cid:149)(cid:47) (cid:58)
A(cid:70) (cid:80)(cid:267)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:324)(cid:296) B(cid:70) (cid:80)(cid:267)(cid:154)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:324)(cid:296)
C(cid:70)△𝐴𝐵𝐶(cid:80)(cid:127)(cid:28)(cid:57)(cid:96)(cid:27)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:324)(cid:296) D(cid:70)△𝐴𝐵𝐶(cid:80)(cid:267)(cid:57)(cid:27)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:324)(cid:296)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)△A𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 ★ 全
号
众
公
注
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:28)(cid:65)(cid:118)(cid:24)(cid:28)关(cid:126)(cid:127)(cid:28)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:78)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:124)(cid:125)(cid:29)(cid:30)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:70)
，
源
资
辅
(cid:116)(cid:117)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:28)(cid:65)(cid:118)教(cid:24)(cid:28)(cid:126)(cid:127)(cid:28)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:78)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:92)(cid:71)(cid:70)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:92)(cid:10) (cid:86)(cid:330)(cid:331)(cid:149)(cid:80)(cid:267)(cid:7)(cid:282)(cid:327)(cid:178)(cid:28)(cid:25)(cid:332)(cid:110)(cid:209)(cid:118)(cid:80)(cid:267)(cid:7)(cid:282)(cid:28)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:78)(cid:61)
(cid:86)(cid:330)(cid:331)(cid:42)(cid:170)(cid:149)∵ (cid:80)(cid:267)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:233)(cid:70)
∴(cid:106)(cid:107)(cid:10)A △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:108)(cid:109)7-2(cid:19)(cid:47)22-23(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:214)(cid:215)(cid:189)(cid:137)·(cid:196)(cid:197)(cid:167)(cid:198)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145) (cid:146)(cid:147)(cid:64)(cid:54)(cid:44)(cid:14)(cid:14)(cid:18)(cid:104)(cid:7)(cid:148)(cid:149) (cid:65)
(cid:65) (cid:47)(cid:150)(cid:86) (cid:11)(cid:151)(cid:114)(cid:152)(cid:141)(cid:107)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:47)(cid:56)(cid:156)(cid:88)(cid:13) (cid:65) (cid:7)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:47)𝐶(cid:157)(cid:158)(cid:3)(cid:33)(cid:154)(cid:155)(cid:7)(cid:159)(cid:160) (cid:70) 𝑀𝑁
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑀𝑁 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑃
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)(cid:218)(cid:92)(cid:73)
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:40) (cid:7)(cid:6)(cid:8)(cid:9)(cid:10) (cid:47) (cid:161) (cid:7)(cid:104)(cid:12)(cid:13) (cid:7)(cid:14)(cid:15) (cid:47) (cid:7)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:111)∠(cid:62)𝐴(cid:110)𝑂𝐵(cid:112)(cid:5)(cid:40) 𝑂(cid:7)𝐷(cid:8)(cid:9)𝑂(cid:10)𝐷(cid:104)𝑀𝑁(cid:105)(cid:12) (cid:47)(cid:12)∠𝐴𝑂(cid:109)𝐵(cid:41)(cid:33)(cid:154)(cid:155)𝑂𝐴(cid:7)(cid:159)𝑂(cid:160)𝐵(cid:20)
∠𝐴𝑂𝐵 𝑀𝑁 𝑃 𝑃(cid:15)(cid:65)(cid:259)(cid:19)(cid:162)(cid:130)(cid:163)(cid:50)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:6)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:40)(cid:95)(cid:47)(cid:136)(cid:137)(cid:28)(cid:164)(cid:165)(cid:6)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:34)(cid:35)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:7)(cid:12)(cid:13)(cid:6)(cid:7)(cid:14)(cid:15)(cid:7)
(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:108)(cid:109)7-3(cid:19)(cid:47)23-24(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:190)(cid:333)(cid:334)(cid:335)(cid:239)(cid:336)(cid:337)·(cid:196)(cid:197)(cid:167)(cid:198)(cid:58)(cid:80)(cid:267)(cid:7)(cid:282)(cid:126)(cid:126)(cid:130)(cid:66)(cid:64)A(cid:204)B(cid:204)C(cid:80)(cid:65)(cid:61)(cid:318)(cid:121)(cid:338)(cid:328)
(cid:112)(cid:136)(cid:241)(cid:339)(cid:340)(cid:341)(cid:342)(cid:61)(cid:203)(cid:31)(cid:299)(cid:241)(cid:341)(cid:342)(cid:118)(cid:80)(cid:267)(cid:7)(cid:282)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:78)(cid:61)(cid:221)(cid:100)(cid:343)(cid:107)(cid:344)(cid:28)(cid:332)(cid:161)(cid:155) (cid:233)(cid:70)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)4
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)
(cid:205)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:75)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:302)(cid:41)(cid:83)(cid:10)(cid:118)(cid:24)(cid:28)(cid:126)(cid:127)(cid:28)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:78)(cid:28)(cid:65)(cid:149)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)(cid:70)
(cid:280)(cid:69)(cid:203)(cid:118)(cid:80)(cid:267)(cid:7)(cid:282)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:78)(cid:61)(cid:102)(cid:103)(cid:341)(cid:342)(cid:203)(cid:107)(cid:344)(cid:28)(cid:324)(cid:296)(cid:91) (cid:190)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:239)(cid:240)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:61)(cid:95)(cid:60)(cid:100)(cid:63)(cid:70)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19) △𝐴𝐵𝐶
+
A
(cid:92)(cid:10)(cid:59)(cid:60) 科 A
全
★
号
众
(cid:106)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10)4(cid:70) 公
注
关
，
源
资
辅
教
【题型8 角平分线的判定与性质的综合】
(cid:15)(cid:46)8(cid:19)(cid:47)24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:207)(cid:208)(cid:32)(cid:345)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:149) (cid:57)(cid:61)(cid:65) (cid:149) (cid:127)(cid:110)(cid:61) =100°(cid:61) (cid:28)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:66) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:61)(cid:96)(cid:97)(cid:69) (cid:61)(cid:209) △𝐴=𝐵𝐶50°(cid:61)(cid:137)(cid:138)𝐷 𝐵(cid:70)𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶
𝐴𝐶 𝐸 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹 ∠𝐴𝐸𝐹 𝐵𝐸
(1)(cid:31) (cid:28)(cid:33)(cid:217)(cid:105)
∠𝐷𝐴𝐸(2)(cid:31)(cid:38)(cid:10) (cid:25)(cid:26) (cid:105)
(3)(cid:67) =𝐵𝐸 =∠𝐴10𝐵(cid:61)𝐶(cid:80)(cid:24)(cid:81) (cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:91)16(cid:61)(cid:31) (cid:28)(cid:32)(cid:70)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)𝐴𝐷(cid:19)(16)4,𝐶0𝐷° 𝐴𝐶𝐷 𝐸𝐹
(2)(cid:218)(cid:92)(cid:73)
(3)2
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:239)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:190)(cid:24)(cid:239)(cid:41)(cid:83)(cid:61)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:240)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:124)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:110)(cid:28)(cid:65)(cid:118)(cid:24)(cid:28)(cid:126)(cid:127)(cid:28)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:78)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:3)(cid:93)(cid:70)
(cid:47)1(cid:58)(cid:116)(cid:117)(cid:96)(cid:84)(cid:99)(cid:118) =90°(cid:61)(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:240)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:99)(cid:118) =140°(cid:61)(cid:119)(cid:116)(cid:117)
= + ∠𝐴𝐹(cid:61)𝐸(cid:123)(cid:100)(cid:31)(cid:158) (cid:28)(cid:33)(cid:217)(cid:105) ∠𝐵𝐴𝐸
(cid:47)∠𝐵2𝐴(cid:58)𝐸(cid:94)(cid:65)∠𝐵(cid:95)𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷 (cid:61)(cid:116)∠(cid:117)𝐶𝐴(cid:24)𝐷(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:99)(cid:118) = = (cid:61)(cid:174)(cid:220)(cid:99)(cid:118) = (cid:61)(cid:119)(cid:116)(cid:117)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝐸(cid:40)(cid:41)𝐸𝐺(cid:41)⊥(cid:83)𝐴(cid:123)𝐷,(cid:100)𝐸𝐻(cid:38)⊥(cid:39)𝐵(cid:283)𝐶(cid:291)(cid:105) 𝐸𝐹 𝐸𝐺,𝐸𝐺 𝐸𝐻 𝐸𝐹 𝐸𝐻
(cid:47)3(cid:58)(cid:116)(cid:117)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:7)(cid:109)(cid:31)(cid:158) =2(cid:61)(cid:119)(cid:116)(cid:117)(cid:47)2(cid:58)(cid:57)(cid:283)(cid:291)(cid:123)(cid:100)(cid:31)(cid:92)(cid:70)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:47)1(cid:58)(cid:92)(cid:10) (cid:61) 𝐸𝐻
+
A
=90°(cid:61) ∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 科 A
全
★
号
众
∴∠𝐹 =50°(cid:61) 公
注
关
，
源
∵∠𝐴𝐸𝐹 = + =辅90°资+50°=140°(cid:61)
教
∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐹 ∠+𝐴𝐸𝐹 =100°(cid:61)
∵∠𝐵𝐴𝐸 =∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷=,∠𝐵𝐴𝐷 =40°(cid:61)(cid:123) =40°(cid:70)
(cid:47)∴2∠(cid:58)𝐶𝐴(cid:38)𝐷(cid:39)(cid:10)∠(cid:94)𝐵𝐴(cid:65)𝐸−(cid:95)∠𝐵𝐴𝐷 14(cid:66)0°−1(cid:64)00(cid:65)° (cid:66)∠𝐷𝐴𝐸(cid:64)(cid:65) (cid:61)
𝐸 𝐸𝐺⊥𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐺,𝐸𝐻⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐻
= =50°(cid:61)
∵∠𝐹 9=0°,∠𝐴𝐸𝐹 =40°(cid:61)
(cid:98)∴(cid:47)∠𝐸1𝐴(cid:58)𝐹(cid:100)(cid:63)90(cid:61)°−50° =40°(cid:61)
= ∠𝐶=𝐴𝐷40°(cid:61)
∴∠𝐸(cid:25)𝐴𝐹(cid:26) ∠𝐶𝐴𝐷(cid:61)
∴𝐴𝐸 ∠𝐹𝐴𝐷 (cid:61)
∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐹,𝐸𝐺⊥𝐴𝐷= (cid:61)
∴𝐸𝐹(cid:25)(cid:26)𝐸𝐺 (cid:61)
∵𝐷𝐸= ∠(cid:61)𝐴𝐷𝐶,𝐸𝐺⊥𝐴𝐷,𝐸𝐻⊥𝐵𝐶
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐻
∴𝐸𝐹 𝐸𝐻 (cid:61)
∵𝐸𝐹(cid:25)⊥(cid:26)𝐵𝐹,𝐸𝐻⊥(cid:70)𝐵𝐶
(cid:47)∴3𝐵(cid:58)𝐸(cid:92)(cid:10)∠𝐴𝐵𝐶 =16(cid:61)
+∵𝑆△𝐴𝐶𝐷=16(cid:61)
∴𝑆1 △𝐴𝐷𝐸 𝑆 + △ 1 𝐶𝐷𝐸 =16(cid:61)
2 2
∴ 𝐴𝐷⋅𝐸𝐺 𝐶𝐷⋅𝐸𝐻
= = = (cid:61)
∵𝐴1𝐷
×6×
6,𝐶𝐷
+
11
×
0,𝐸
1
𝐺
0×
𝐸𝐻
=16(cid:61)
2 2
∴ 𝐸𝐻 𝐸𝐻
=2(cid:61)
∴𝐸𝐻=2(cid:70)
A
+
A
科
全
★
(cid:15)∴(cid:108)𝐸𝐹(cid:109)8-1(cid:19)(cid:59)(cid:60)(cid:61) = =90°(cid:61)M(cid:91) (cid:28)(cid:57)(cid:65)(cid:61) 众 (cid:25)号(cid:26) (cid:70)(cid:31)(cid:38)(cid:10) (cid:25)(cid:26) (cid:70)
公
注
关
，
∠𝐵 ∠𝐶 源 𝐵𝐶 𝐷𝑀 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝑀 ∠𝐷𝐴𝐵
资
辅
教
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)(cid:218)(cid:92)(cid:73)
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:239)(cid:40)(cid:41)(cid:28)(cid:42)(cid:23)(cid:61)(cid:124)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:242)(cid:346)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:105)
(cid:94)M(cid:95) (cid:64)E(cid:61)(cid:116)(cid:117)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:158) = = (cid:61)(cid:119)(cid:116)(cid:117)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:123)(cid:100)(cid:70)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)𝑀(cid:38)𝐸(cid:39)⊥𝐴(cid:10)𝐷(cid:94)M(cid:95) (cid:64)E(cid:61) 𝑀𝐸 𝑀𝐶 𝑀𝐵
𝑀𝐸⊥𝐴𝐷
(cid:25)(cid:26) (cid:61) =90°(cid:61) (cid:61)
∵𝐷𝑀 ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐶 𝑀𝐸⊥𝐴𝐷= (cid:61)
∴M𝑀𝐶(cid:69) 𝑀(cid:28)𝐸(cid:57)(cid:65)(cid:61)
∵ =𝐵𝐶 = (cid:61)
∴𝐵𝑀=9𝑀0𝐶°(cid:61) 𝑀𝐸 (cid:61)
∵∠𝐵(cid:25)(cid:26) 𝑀𝐸(cid:70)⊥𝐴𝐷
∴(cid:15)𝐴(cid:108)𝑀(cid:109)8-∠2(cid:19)𝐷𝐴(cid:47)𝐵24-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:110)·(cid:164)(cid:347)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:149) (cid:57)(cid:61) =90°(cid:61) (cid:64)(cid:65) (cid:61)
+ =180°(cid:61)(cid:65) (cid:149) (cid:110)(cid:61) = (cid:70) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸
∠𝐵 ∠𝐴𝐹𝐷 𝐹 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐹
(1)(cid:31)(cid:38)(cid:10) (cid:25)(cid:26) (cid:105)
(2)(cid:31)(cid:38)(cid:10)𝐴𝐷= ∠𝐵+𝐴𝐶 (cid:70)
+
A
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)(𝐴1𝐵)(cid:218)(cid:92)𝐴(cid:73)𝐹(cid:105)2𝐵𝐸 科 A
全
★
号
众
(2)(cid:218)(cid:92)(cid:73)(cid:70) 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:47)1(cid:58)(cid:98) +辅 资=180°(cid:61) + =180°(cid:61)(cid:68) = (cid:61)(cid:38)(cid:39)
教
(AAS)(cid:61)(cid:119)(cid:98)(cid:24)(cid:25)∠(cid:26)𝐶(cid:27)𝐹𝐷(cid:28)(cid:40)∠(cid:41)𝐴(cid:41)𝐹𝐷(cid:83)(cid:123)(cid:100)(cid:31)(cid:38)∠(cid:105)𝐵 ∠𝐴𝐹𝐷 ∠𝐶𝐹𝐷 ∠𝐸𝐵𝐷 △𝐶𝐷𝐹≌△𝐸𝐷𝐵
(cid:47)2(cid:58)(cid:139)(cid:38)(cid:39) (AAS)(cid:61)(cid:68) = (cid:61)(cid:102)(cid:103) = = + (cid:61)(cid:142) = (cid:61)(cid:172)(cid:173)(cid:272)(cid:273)(cid:31)(cid:38)(cid:123)
(cid:100)(cid:105) △𝐶𝐷𝐴≌△𝐸𝐷𝐴 𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐹𝐶 𝐶𝐹 𝐵𝐸
(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:281)(cid:78)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:239)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:239)(cid:40)(cid:41)(cid:41)(cid:83)(cid:61)(cid:213)(cid:24)(cid:28)(cid:348)(cid:24)(cid:130)(cid:78)(cid:61)(cid:124)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:63)(cid:171)(cid:65)(cid:28)
(cid:42)(cid:23)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:93)(cid:70)
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:47)1(cid:58)(cid:38)(cid:39)(cid:10) (cid:61)
= =90∵°(cid:61)𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
∴∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐸𝐷=180°(cid:61) + =180°(cid:61)
∵∠𝐶𝐹𝐷=∠𝐴𝐹𝐷(cid:61) ∠𝐵 ∠𝐴𝐹𝐷
∴∠𝐶𝐹=𝐷90°∠(cid:61)𝐸𝐵𝐷
∵∠𝐶= =90°(cid:61)
∴(cid:149)∠𝐶 ∠𝐵𝐸(cid:239)𝐷 (cid:57)(cid:61)
∴ △𝐶𝐷𝐹 △𝐸𝐷𝐵= =90°
= (cid:61)
∠𝐶 ∠𝐵=𝐸𝐷
∠𝐶𝐹𝐷 ∠𝐸𝐵𝐷
𝐷𝐹 𝐵𝐷 (AAS)(cid:61)
∴△𝐶=𝐷𝐹≌(cid:61)△𝐸𝐷𝐵
∴𝐷𝐸 𝐷𝐶(cid:61) (cid:61)
∵(cid:65)𝐷𝐸⊥(cid:149)𝐴𝐵 𝐷(cid:28)𝐶⊥(cid:25)𝐴(cid:26)𝐶(cid:27)(cid:110)(cid:61)
∴ 𝐷(cid:25)(cid:26)∠𝐵𝐴𝐶 (cid:105)
∴(cid:47)𝐴2𝐷(cid:58)(cid:38)(cid:39)∠(cid:10)𝐵𝐴𝐶 (cid:25)(cid:26) (cid:61)
= ∵𝐴𝐷(cid:61) ∠𝐵𝐴𝐶
∴(cid:149)∠𝐷𝐴𝐶 (cid:239)∠𝐷𝐴𝐵 (cid:57)(cid:61)
△=𝐶𝐷𝐴 △=𝐸9𝐷0𝐴°
= (cid:61)
∠𝐶 ∠𝐴=𝐸𝐷
∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐴𝐷 (AAS)(cid:61)
+
A
∴△𝐶=𝐷𝐴≌(cid:61)△𝐸𝐷𝐴 科 A
全
★
号
众
∴𝐴𝐶=𝐴𝐸= + (cid:61) 公
注
关
，
源
(cid:98)∴𝐴(cid:47)𝐶1(cid:58)𝐴(cid:99)𝐸 𝐴𝐹 𝐹𝐶 辅(cid:61)资
教
= (cid:61)△𝐶𝐷𝐹≌△𝐸𝐷𝐵
∴𝐶𝐹 =𝐵𝐸+ = + (cid:61)
∴𝐴𝐸 =𝐴𝐹+𝐹𝐶 =𝐴𝐹 +𝐵𝐸 (cid:61)
∴𝐴𝐵=𝐴𝐸+𝐸𝐵 (cid:70)𝐴𝐹 2𝐵𝐸
∴(cid:15)𝐴(cid:108)𝐵(cid:109)𝐴8-𝐹3(cid:19)(cid:47)2𝐵2𝐸4-25(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)·(cid:222)(cid:223)(cid:349)(cid:350)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:57)(cid:61)(cid:65) (cid:149)(cid:127) (cid:131)(cid:32)(cid:27)(cid:110)(cid:61) =
(cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:66) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:61)(cid:96)(cid:97)(cid:69) (cid:61)(cid:209)△𝐴𝐵𝐶 =55°𝐷(cid:70) 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 110°,∠𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐷 𝐸 𝐸 𝐸𝐻⊥𝐵𝐷 𝐻 ∠𝐶𝐸𝐻
(1) (cid:28)(cid:33)(cid:217)(cid:91) (cid:105)
(2)∠(cid:31)𝐴(cid:38)𝐶𝐸(cid:10) (cid:25)(cid:26) (cid:105)
(3)(cid:67) +𝐴𝐸 = ∠𝐶𝐴𝐹=8(cid:61)(cid:209) =21(cid:61)(cid:31) (cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:70)
𝐴𝐶 𝐶𝐷 14,𝐴𝐵 𝑆△𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐸(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:19)(1)35°
(2)(cid:38)(cid:39)(cid:218)(cid:92)(cid:73)
(3)12
(cid:15)(cid:26)(cid:73)(cid:19)(cid:74)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:75)(cid:76)(cid:152)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:190)(cid:24)(cid:239)(cid:41)(cid:83)(cid:28)(cid:42)(cid:23)(cid:105)
(cid:47)1(cid:58)(cid:139)(cid:31)(cid:158) =70°(cid:61)(cid:119)(cid:116)(cid:117)(cid:84)(cid:24)(cid:80)(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:126)(cid:241)(cid:304)(cid:24)(cid:325)(cid:351)(cid:100)(cid:99) =40°(cid:61)(cid:172)(cid:173)(cid:116)(cid:117)
= ∠𝐴𝐶𝐷 (cid:123)(cid:100)(cid:99)(cid:105) ∠𝐷𝐶𝐸
∠(cid:47)𝐴2𝐶(cid:58)𝐸(cid:94)(cid:65)∠𝐴(cid:95)𝐶𝐷−∠𝐷𝐶𝐸(cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:139)(cid:116)(cid:117)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:100)(cid:99) = = (cid:61)(cid:247)(cid:220)(cid:100)
(cid:99) = 𝐸(cid:61)𝐸(cid:119)𝑀(cid:116)⊥(cid:117)𝐵(cid:24)𝐹(cid:25)(cid:26)𝑀(cid:27)(cid:28)(cid:40)𝐸(cid:41)𝑁(cid:123)⊥(cid:100)𝐴𝐶(cid:99)(cid:38)(cid:105)𝑁 𝐸𝑀 𝐸𝐻,𝐸𝑁 𝐸𝐻
(cid:47)3𝐸(cid:58)𝑀(cid:94)(cid:65)𝐸𝑁(cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:68) = = (cid:61)(cid:159) = = = (cid:61)(cid:119)(cid:116)(cid:117)
+ 𝐸 𝐸=𝑀⊥𝐵𝐹 =2𝑀1(cid:239)(cid:80)(cid:24)𝐸𝑁(cid:81)⊥(cid:28)𝐴(cid:34)𝐶(cid:35)(cid:7)𝑁(cid:109)(cid:100)(cid:99)𝐸𝑀(cid:28)(cid:37)𝐸(cid:61)𝐻(cid:247)(cid:220)𝐸(cid:100)𝑁(cid:99) 𝐸(cid:28)𝑀(cid:37)(cid:61)𝐸(cid:172)𝐻(cid:173)(cid:22)𝐸𝑁(cid:23)(cid:80)𝑥(cid:24)(cid:81)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:7)
(cid:109)𝑆△(cid:123)𝐴𝐶(cid:100)𝐸 (cid:99)𝑆(cid:70)△𝐷𝐶𝐸 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝑥 𝐸𝑀
(cid:15)(cid:104)(cid:92)(cid:19)(cid:47)1(cid:58)(cid:92)(cid:10) =110°(cid:61)
= ∵∠𝐴=𝐶𝐵70°(cid:61)
+
A
∴∠𝐴𝐶𝐷 180°−∠=𝐴5𝐶5𝐵°(cid:61) 科 A
全
★
号
众
∵𝐸𝐻⊥𝐵=𝐷,∠𝐶𝐸𝐻 =35°(cid:61) 公
注
关
，
源
∴∠𝐷𝐶𝐸= 90°−∠𝐶𝐸𝐻 辅=35资°(cid:70)
教
(cid:47)∴2∠(cid:58)𝐴𝐶(cid:38)𝐸(cid:39)(cid:10)∠𝐴(cid:59)𝐶(cid:60)𝐷−(cid:61)∠(cid:94)𝐷(cid:65)𝐶𝐸 (cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)
𝐸 𝐸𝑀⊥𝐵𝐹 𝑀 𝐸𝑁⊥𝐴𝐶 𝑁
(cid:25)(cid:26) (cid:61) (cid:61)
= (cid:61) ∵𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐸𝑀⊥𝐵𝐹,𝐸𝐻⊥𝐵𝐷
(cid:98)∴(cid:47)𝐸𝑀1(cid:58)(cid:100)𝐸𝐻(cid:63)(cid:61) = =35°(cid:61)(cid:123) (cid:25)(cid:26) (cid:61)
= (cid:61) ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐷𝐶𝐸 𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐷
∴𝐸𝑁 =𝐸𝐻(cid:61)
(cid:142)∴𝐸𝑀(cid:65) (cid:149)𝐸𝑁 (cid:28)(cid:190)(cid:212)(cid:61)
∵ (cid:25)𝐸(cid:26) ∠𝐶𝐴𝐹(cid:70)
(cid:47)∴3𝐴(cid:58)𝐸(cid:92)(cid:10)∠(cid:59)𝐶(cid:60)𝐴𝐹(cid:61)(cid:94)(cid:65) (cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:95) (cid:64)(cid:65) (cid:61)
𝐸 𝐸𝑀⊥𝐵𝐹 𝑀 𝐸𝑁⊥𝐴𝐶 𝑁(cid:98)(cid:47)2(cid:58)(cid:62)(cid:99)(cid:10) = = (cid:61)
(cid:159) = = 𝐸𝑀= 𝐸(cid:61)𝐻 𝐸𝑁
𝐸𝑀 𝐸=𝐻21(cid:61)𝐸𝑁 𝑥
∵𝑆△𝐴𝐶𝐷+ =21(cid:61)
∴𝑆1 △𝐴𝐶𝐸 𝑆 + △𝐷 1 𝐶𝐸 =21(cid:61)(cid:123) 1 ( + )=21(cid:61)
2 2 2
(cid:142)∴ 𝐴𝐶⋅𝐸
+
𝑁
=
𝐶𝐷
14
⋅(cid:61)𝐸𝐻 𝑥 𝐴𝐶 𝐶𝐷
∵ = 𝐴𝐶2×2𝐶1𝐷 = 2×21 =3(cid:61)
14
∴𝑥
=
𝐴𝐶+
3
𝐶(cid:61)𝐷
+
A
A
科
∴𝐸𝑀=8(cid:61)
★
全
号
众
公
注
∵𝐴𝐵 (cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:69) 1 = 1 ×8×3，=1 关 2(cid:70)
2 资2 源
辅
教
∴△𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐵⋅𝐸𝑀
