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数学试卷
（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项.）
1. 已知集合 ，则 （ ）
.
A B.
C. D.
2. 已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知三条不同的直线 和两个不同的平面 ，下列四个命题中正确的为（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
4. 设 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
5. 设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线 上一点， 于 .若，则抛物线 的方程为（ ）
A. B.
.
C D.
7. 已知点P是双曲线C：x2 1的一条渐近线y＝kx（k＞0）上一点，F是双曲线C的右焦点，若
△OPF的面积为5，则点P的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 在 中， ，则 边上的高等于（ ）
A. B. C. D.
9. 某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人.因特殊原因，电
梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层.假设这10位乘客的初始“不满
意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的
“不满意度”之和记为S，则S的最小值是（ ）
A. 42 B. 41 C. 40 D. 39
10. 有三支股票 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有 股票的人
中，持有 股票的人数是持有 股票的人数的2倍.在持有 股票的人中，只持有 股票的人数比除了持
有 股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有 股票.则只持有 股
票的股民人数是（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
.
11 已知向量 ，若 ，则实数 ______.
12. 设数列 的前 项和 ，则 __________；使得命题“ ，都有”为真命题的一个 的值为__________.
13. 已知圆 ，若点 在圆 上，并且点 到直线 的距离为 ，则满足条件的
点 的个数为__________.
14. 已知函数 满足： ，
，且在 上单调递减，则 __________； __________.
15. 已知集合 .由集合 中所有的点组成的图形如图中
阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：
①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为 ；
②在阴影部分任取一点 ，则 到坐标轴的距离小于等于3；
③阴影部分的面积为 ；
④阴影部分的内外边界曲线长为 .
其中正确的有__________.
三､解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）
16. 已知函数 .
（1）求 的值；
（2）从① ；② 这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数 在上的最小值，并直接写出函数 的一个周期.
的
17. 某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读 情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮
测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号 号 号 号 号 号 号 号 号 号
第一轮测试成绩 96 89 88 88 92 91 87 90 92 90
第二轮测试成绩 90 90 91 88 88 87 96 92 89 92
（1）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；
（2）为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测
试至少有一次大于90分的人数为 ，求 的分布列与数学期望；
（3）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为 ，考核成绩的平均数和方差分别为 ，
试比较 与 与 的大小.（只需写出结论）
18. 如图，正三棱柱 中， 分别是棱 上的点， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
19. 已知函数 ，其中 .
（1）若 是 的极值点，求 的值；（2）求 的单调区间；
（3）若 在 上的最大值是0，求 的取值范围.
20. 椭圆 的焦距为 为椭圆右焦点， .
（1）求椭圆 的方程与离心率；
（2）设 为原点， 为椭圆上一点， 的中点为 .直线 与直线 交于点 ，过 且平行于
的直线与直线 交于点 .求证： .
21. 有限数列 ： ， ，…， ．（ ）同时满足下列两个条件：
①对于任意的 ， （ ）， ；
②对于任意的 ， ， （ ）， ， ， ，三个数中至少有一个数是数列 中
的项．
的
（1）若 ，且 ， ， ， ，求 值；
（2）证明： ， ， 不可能是数列 中的项；
（3）求 的最大值．
