九年级下册期末测试卷
时间 100 分钟 满分 120 分
题号
一
二
三
总分
分数
一、选择题(共10 小题,每小题3 分,共30 分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.下列各选项的坐标对应的点在反比例函数y=6
x 的图象上的是
( )
A.(2,3) B.(4,2) C.(-6,1)
D.(-2,3)
2.如图,2023 年春节档电影《满江红》中所使用的印信道具是中国悠久的金石文
化的代表之一,它的表面均由正方形和等边三角形组成,可以看成图(2)所示的几何
体,该几何体的主视图是( )
A B C D
3.如图,在平面直角坐标系中,从原点O 引一条射线,设这条射线与x 轴的正半轴的
夹角为α.若cos α=3
5,则这条射线是( )
A.射线OA B.射线OB
C.射线OC
D.射线OD
4.在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,
“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的
三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似
( )
A.①处 B.②处
C.③处 D.④处
(第4 题) (第5 题)
5.如图,在平面直角坐标系中,以P(4,6)为位似中心,把△ABC 缩小得到△DEF,若变换
后,点A,B 的对应点分别为点D,E,则点C 的对应点F 的坐标为( )
A.(4,2) B.(4,4)
C.(4,5)
D.(5,4)
6.如图,已知窗户高AB=m 米,窗户外面上方0.2 米的点C 处安装水平遮阳板,遮阳
板D 处到窗户底部B 处的距离BD=n 米.当太阳光线与水平线成α 角时,光线刚好
不能直接射入室内,则m,n 满足的关系式是
( )
A.n=mcos α-0.2 B.m=nsin α+0.2
C.m=nsin α-0.2 D.n=mcos α+0.2
(第6 题) (第7 题)
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=ax+b 和反比例函数
y=c
x (c≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A B C D
8.如图,在菱形ABCD 中,∠A=60°,点E 为边AD 上一点,连接BE,CE,其中CE 交对
角线BD 于点F.若AB=2,AE=DF,则AE= ( )
A.3±√5 B.3-√5
C.1
2 D.1
3
(第8 题) (第9 题)
9.如图是由10 个全等的小正方形拼成的图形,点P,X,Y,S 是小正方形的顶点,Q 是
边XY 上一点.T 是PQ 与SY 的交点,若线段PQ 恰好将这个图形分成面积相等的
两部分,则tan∠QTY 的值为
( )
A.1
4 B. 8
25 C.1
3 D.2
5
10.由12 个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形,且
∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°.若S△AOB=1,则图中与△AOB 位似的三角
形的面积为( )
A.(3
4)5
B.(4
3 )5 C.(4
3 )6 D.(3
4)6
二、填空题(共5 小题,每小题3 分,共15 分)
11.如图,白炽灯下有一个乒乓球,当乒乓球越接近灯泡时,它在地面上的影子
.(填“越小”“越大”或“不变”)
(第11 题) (第12 题)
12.如图,△ABC 的高AD,BE 相交于点O,写出一个与△AOE 相似的三角形,这个三
角形可以是 .
13.图(1)是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图(2)所示,此
时液面AB= .
图(1) 图(2)
14.我们给出定义:如果两个锐角的和为45°,那么称这两个角互为半余角.如图,在
△ABC 中,∠A,∠B 互为半余角,且BC
AC =√2
2 ,则cos A= .
(第14 题) (第15 题)
15.如图,已知在平面直角坐标系xOy 中,点A 在x 轴的负半轴上,点B 在y 轴的负半
轴上,tan∠ABO=3,以AB 为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C 的反比例函数
的解析式是y=1
x ,则图象经过点D 的反比例函数的解析式是 .
三、解答题(共8 小题,共75 分)
16.(6 分)如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4.求|1-cos B|+
sin A
4tan
230°的值.
17.(6 分)如图(1)是一种包装盒的表面展开图,将它围起来可得到一个几何体的模
型.如图(2)是根据a,h 的取值画出的几何体的主视图和俯视图(图中实线表示的是
正方形和三角形),请在网格中画出该几何体的左视图.
图(1) 图(2)
18.(8 分)如图,小明想要用撬棍撬动一块大石头,已知阻力为1 200 N,阻力臂长为
0.5 m.设动力为y(单位:N),动力臂长为x(单位:m)(杠杆平衡时,动力×动力臂=阻力
×阻力臂,撬棍本身所受的重力忽略不计).
(1)求y 关于x 的函数表达式.
(2)小明想使动力不超过300 N,在动力臂最大为1.8 m 的条件下,他能否撬动这块
石头?请说明理由.
19.(10 分)如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=6,M 是BC 边的中点.
(1)在线段AM 上求作一点E,使△ADE∽△MAB(尺规作图,不写作法);
(2)在(1)的条件下,求线段AE 的长.
20.(10 分)如图,已知正方形ABCD 的边长为a,正方形CEFG 的边长为b(b<a),点E
在CD 边上,点G 在BC 的延长线上,点H 为BC 边上的点,连接DF,DH.
(1)当DH⊥DF 时,求证:△DEF∽△HCD;
(2)若H 为BC 边的中点,在(1)的条件下,求a 与b 之间满足的函数关系式.
21.(10 分)数学探究合作小组为了测量一条两岸平行的南水北调水渠的宽度,成员
们独立设计了三个不同的方案,他们在水渠东岸的点A 处测得水渠西岸的大树T
恰好在点A 的正西方向.测量方案与数据如下表.
课题
测量水渠的宽度
测量工具
测量角度的仪器,皮尺等
测量小组
卓越小组
复兴小组
格物小组
测量方案
示意图
说明
点B,C 在点A 的正北
方向
点B,D 在点A 的正北
方向
点B 在点A 的正北方
向,
点C 在点A 的正南方
向
测量数据
BC=88.6 m
∠ABT=72°
∠ACT=36°
BD=40 m
∠ABT=72°
∠BCD=36°
BC=142.6 m
∠ABT=72°
∠ACT=36°
(1) 小组的数据无法计算出水渠的宽度(填“卓越”“复兴”或“格
物”);
(2)请选择一个小组的方案求水渠的宽度(结果保留一位小数).(参考数据:sin
72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08,sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73.)
22.(12 分)问题背景:
(1)数学活动课上,老师拿出一个由五个边长均为1 的小正方形连成的L 形教具,如
图(1),将它放入一个直角三角形中,∠BCA=90°,∠B=30°,顶点D,E,F,G 刚好落在三
边上,求该直角三角形的面积.
问题提出与解决:
(2)小颖同学受到启发,将该教具放入如图(2)所示的直角坐标系中,顶点A,B,C 分别
落在坐标轴上,如果反比例函数y=k
x (x<0)的图象经过顶点D,求反比例函数的解
析式.
23.(13 分)请阅读以下材料,并完成相应任务.
问题背景:如图(1),矩形OABC 的边AB,BC 分别与反比例函数y=k
x
(x>0)的图象交于点D,E.
小红的探究:如图(2),过点D 作DF⊥y 轴于点F,过点E 作EG⊥x 轴于点G.根据反比例函数中|
k|的几何意义,可得CE·EG=AD·DF,又EG=AB,DF=BC, CE
∴
·AB=AD·BC,∴CE
CB
= AD
AB
.
小明说:“如图(3),连接DE,AC,在小红的结论的基础上继续探究,可以得到DE∥AC.”
图(1) 图(2) 图(3)
任务:
(1)小明的结论正确吗?若正确,请加以证明;若不正确,请说明理由.
(2)如图(4),直线MN 分别与x 轴、y 轴交于点N,M,与反比例函数y=k
x (x>0)的图象
交于点D,E.求证:EM=DN.
(3)如图(5),矩形OABC 的边AB,BC 分别与反比例函数y=k
x (x>0)的图象交于点
D,E,连接OD,OE,DE.若点D 为AB 的中点,则S△ODE= (用含k 的代数式表
示).
图(4) 图(5)
九年级下册期末测试卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
C
A
B
B
C
A
B
B
C
11.越大
12.△BOD(答案不唯
一)
13.3 cm
14.3√10
10
15.y=-3
x
1.A
2.C
3.A 由题意,设点A 的坐标为(3,4),则OA=5,∴cos α=3
5,∴这条射线是射线OA.故
选A.
4.B “帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为2,2√5,
4√2.“车”与“炮”之间的距离为1,“炮”与②之间的距离为√5,“车”与②之间的
距离为2√2.∵√5
2√5=2√2
4√2=1
2,∴“马”应该落在②的位置.故选B.
5.B
【图示速解】
如图,易知△DEF∽△ABC,且点F 在CP 上,∴点F 的坐标为(4,4),故选B.
6.C 由题意知,CB=CA+AB=(m+0.2)米.∵光线与水平线成α 角,∴∠BDC=α.∵
sin∠BDC=CB
BD, CB=n
∴
sin α,即m+0.2=nsin α,即m=nsin α-0.2.
7.A ∵二次函数y=ax2+bx+c 的图象开口向上, a>
∴
0.∵该二次函数的图象的对称
轴位于y 轴右侧, -
∴b
2a>0, ab<
∴
0, b<
∴
0.又该二次函数的图象交y 轴于负半轴,
c<
∴
0,∴一次函数y=ax+b 的图象经过第一、三、四象限,排除B,C 选项,反比例函
数y=c
x (c≠0)的图象在第二、四象限,排除D 选项,故选A.
8.B ∵四边形ABCD 是菱形,∠A=60°,∴△ABD 和△CBD 都是等边三角形,
AD=BD=AB=
∴
2. AD
∵
∥BC,∴∠EDF=∠CBF,∠DEF=∠BCF,∴△DEF∽△BCF,∴DE
BC
= DF
BF .又AE=DF,∴2- AE
2
=
AE
2- AE ,解得AE=3±√5, AE=
∴
3-√5.
9.B 如图,设小正方形边长为1,QY=x,则QM=x+1.∵线段PQ 恰好将这个图形分
成面积相等的两部分, S
∴
△PQM+1=10×1
2=5,即1
2PM·QM+1=5,即1
2×5(x+1)+1=5,解
得x=3
5,
QM=
∴
8
5. TY
∵
∥PM,∴∠QTY=∠QPM,∴tan∠QTY=tan∠QPM=QM
PM = 8
25.
10.C 在Rt△AOB 中,∠AOB=30°,cos∠AOB=OA
OB , OB=
∴
2√3
3 OA,同理可得,OC=
2√3
3 OB=
(2√3
3 )2OA,…,易得OG=(2√3
3 )6OA.由题意可知,△GOH 与△AOB 位似,且相似比为(
2√3
3 )6.
S
∵
△AOB=1, S
∴
△GOH=[(2√3
3 )6]2×1=(4
3)6.
【一题多解】
由题意可得,△GOH 与△AOB 位似.在Rt△AOB 中,tan 30°= AB
OA =√3
3 ,cos 30°=OA
OB
=√3
2 ,
AB=
∴
√3
3 OA,OB=2√3
3 OA, S
∴
△AOB=1
2OA·AB=√3
6 OA2.在Rt△BOC 中,同理可
得,BC=√3
3 OB
=2
3OA, S
∴
△BOC=1
2OB·BC=2√3
9 OA2=4
3S△AOB,…,∴易得S△GOH=(4
3 )6S△AOB.又S△AOB=1,
S
∴
△GOH=(4
3 )6×1=(4
3 )6.
11.越大
12.△BOD(答案不唯一)
13.3 cm 如图,过点O 作OM⊥CD,垂足为M,过点O 作ON⊥AB,垂足为
N. CD
∵
∥AB,
∴△CDO∽△ABO,相似比为CD
AB ,∴CD
AB =OM
ON . OM=
∵
15-7=8(cm),ON=11-7=4(cm),∴
6
AB=8
4,
AB=
∴
3 cm.
14.3√10
10
【图示速解】
如图,过点B 作BD⊥AC,交AC 的延长线于点D.∵BC
AC =√2
2 ,∴设BC=√2a,AC=2a.
∵∠A,∠ABC 互为半余角,∴∠DCB=∠A+∠ABC=45°.在Rt△CDB 中,BD=BC·
sin 45°=√2a×√2
2 =a,CD=BC·cos 45°=√2a×√2
2 =a. AC=
∵
2a,
AD=AC+CD=
∴
2a+a=3a, AB=
∴
√a
2+(3a)
2=√10a.在Rt△ABD 中,cos A= AD
AB =
3a
√10a=3√10
10 .
15.y=-3
x 如图,过点C 作CT⊥y 轴于点T,过点D 作DH⊥CT 交CT 的延长线于点
H.∵tan∠ABO= AO
OB =3,∴可以假设OB=a,OA=3a.∵四边形ABCD 是正方形,
AB=BC
∴
,
∠ABC=∠AOB=∠BTC=90°,∴∠ABO+∠CBT=90°,∠CBT+∠BCT=90°,∴∠ABO=∠B
CT,∴△AOB≌△BTC(AAS), BT=OA=
∴
3a,OB=TC=a, OT=BT-OB=
∴
2a, C
∴(a,2a).∵点
C 在y=1
x 的图象上,∴2a2=1,同法可证
△CHD≌△BTC, DH=CT=a
∴
,CH=BT=3a, D
∴(-2a,3a),设图象经过点D 的反比例函数
的解析式为y=k
x ,则有-2a×3a=k, k=-
∴
6a2=-3,∴图象经过点D 的反比例函数的解析
式是y=-3
x .
16.【参考答案】在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,
由勾股定理,得
AB=√A C
2+ BC
2=√3
2+ 4
2=5,(2 分)
∴sin A=BC
AB =4
5 ,cos B=BC
AB =4
5 . (4 分)
原式=|1-4
5 |+
4
5
4×( √3
3 )
2
=1
5+3
5
=4
5.(6 分)
17.【参考答案】如图所示.
(6 分)
18.【参考答案】(1)由题意可得xy=1 200×0.5,
则y=600
x ,
即y 关于x 的函数表达式为y=600
x . (4 分)
(2)他不能撬动这块石头.理由如下:
(5 分)
由(1)知y=600
x ,
当y≤300 时,
600
x ≤300,
解得x≥2.
∵2>1.8,
∴他不能撬动这块石头. (8 分)
19.【参考答案】(1)如图,点E 即为所求.
(4 分)
(2)∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠B=90°.
M
∵
是BC 边的中点,BC=6,
BM=CM=
∴
3.
AB=
∵
4,
AM=
∴
√A B
2+ B M
2=√4
2+3
2=5.
∵△ADE∽△MAB,
∴AD
MA = AE
MB,
∴6
5= AE
3 ,
AE=
∴
18
5 .
(10 分)
20.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD,四边形CEFG 都是正方形,
∴∠DEF=∠HCD=90°,
∴∠HDC+∠DHC=90°.
又DH⊥DF,
∴∠HDF=90°,
∴∠HDC+∠EDF=90°,
∴∠EDF=∠CHD,
∴△DEF∽△HCD.
(5 分)
(2) H
∵
为BC 边的中点,
HC=
∴
1
2a.
CD=a
∵
,CE=EF=b,
DE=a-b.
∴
由(1)知△DEF∽△HCD,
∴DE
HC = EF
CD ,
∴
a-b
1
2 a =b
a,
a=
∴
3
2b,
即a 与b 之间满足的函数关系式为a=3
2b.
(10 分)
21.【参考答案】(1)复兴(4 分)
【提示】复兴小组给出的线段长度为BD 的长,△BCD 和△ABT 无法建立联系,无
法得到△ABT 的任何一边的长度,∴复兴小组的数据无法计算河宽
(2)选择卓越小组的方案. (5 分)
∵∠ABT 是△BCT 的外角,
∴∠BTC=∠ABT-∠ACT=72°-36°=36°,
∴∠BTC=∠ACT,
BC=BT=
∴
88.6 m,
AT=BT
∴
·sin 72°≈88.6×0.95≈84.2(m).
故水渠的宽度约为84.2 m. (10 分)
或选择格物小组的方案. (5 分)
设AT=x m,则CA=
AT
tan36°,AB=
AT
tan72°,
CA+AB=BC
∵
,
∴
x
0.73+
x
3.08≈142.6,
解得x≈84.2,
故水渠的宽度约为84.2 m. (10 分)
22.【参考答案】(1)如图(1)所示,
由题意知GD=2,GF=4,GF∥AB,∠B=30°,
∴∠CFG=∠B=30°,∠A=60°,
CG=
∴
1
2GF=2,AG= GD
sin 60°=4√3
3 ,
AC=
∴
4√3
3 +2,BC=AC·tan 60°=4+2√3,
S
∴
△ABC=1
2AC·BC=1
2×(4√3
3 +2)×(4+2√3)=14√3
3
+8,
∴该直角三角形的面积为14√3
3
+8.
(5 分)
(2)如图(2)所示,过点D 作DE⊥y 轴于点E.
由题意知AB=1,AD=4,CF=1,BF=3,∠DAB=∠ABF=∠CFB=∠AOB=∠DEA=90°.
在Rt△BCF 中,由勾股定理,得BC=√C F
2+ B F
2=√10.
∵∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠CBF,
∴∠BAO=∠CBF,∴△BAO∽△CBF,
∴AO
BF =BO
CF = AB
BC ,即AO
3 =BO
1 = 1
√10,
解得AO=3√10
10 ,BO=√10
10 .
(8 分)
同理可得△ADE∽△BAO,
∴AE
BO= DE
AO= AD
AB ,即
AE
√10
10
=
DE
3√10
10
=4
1,
解得AE=2√10
5
,DE=6√10
5
,
OE=AO+AE=
∴
7√10
10 ,
D
∴(-6√10
5
,7√10
10 ),
k=xy=-
∴
6√10
5
×7√10
10 =-42
5 ,
∴反比例函数的解析式为y=- 42
5 x .(12 分)
23.【参考答案】(1)正确.
证明:由CE
CB= AD
AB ,可得BE
CB =BD
AB .
又∠B=∠B,
∴△BED∽△BCA,
∴∠BED=∠BCA,
DE
∴
∥AC.
(4 分)
(2)证明:如图(1),过点E 作x 轴的平行线,交y 轴于点F,过点D 作y 轴的平行线,交x
轴于点G,连接FG,
则ED∥FG. (6 分)
又MF∥DG,EF∥GN,
∴四边形MFGD 和四边形FENG 都是平行四边形,
DM=FG=EN
∴
,
EM=DN.
∴
(10 分)
图(1)
(3)3
4k
(13 分)
解法提示:如图(2),连接AC,OB,则DE∥AC.
又BD=AD,
BE=CE
∴
,
S
∴
△OBE=S△OCE=1
2k,S△OBD=S△OAD=1
2k,S△BDE=1
2S△OCE=1
4k,
S
∴
△ODE=S△OBE+S△OBD-S△BDE=1
2k×2-1
4k=3
4k.
图(2)
