八年级下学期期末综合测评卷
时间:100 分钟
满分:120 分
一、选择题(共10 小题,每小题3 分,共30 分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.如图是运动员冰面上表演的图案,下列四个选项中,能由原图通过平移得到的是
( )
A.
B.
C.
D.
2.不等式2x-3≤3 的解集在数轴上表示为( )
A B
C D
3.下列用提公因式法分解因式正确的是( )
A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)
B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)
C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)
D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)
4.如果把分式xy
x + y 中的x 和y 都扩大为原来的4 倍,那么分式的值( )
A.扩大为原来的4 倍
B.扩大为原来的2 倍
C.不变
D.缩小为原来的1
2
5.若m2+n2=6mn(m≠0,n≠0 且m≠n),则(m+n)
2
(m-n)
2
的值为( )
A.1
2 B.2 C.3
D.4
6.如图,在▱ABCD 中,AB=4,BC=6.按以下步骤作图:①以点C 为圆心,适当长为半
径作弧,分别交BC,CD 于点M,N;②分别以点M,N 为圆心,大于1
2MN 的长为半径
作弧,两弧在平行四边形ABCD 的内部交于点P;③连接CP 并延长交AD 于点E,
交BA 的延长线于点F.则AF 的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.北京2022 年冬奥会开幕式冰花引导牌好美!如图(1)是中国体育代表团的引导牌.
观察发现,图(2)中的图案可以由图(3)中的图案经过对称、旋转等变换得到.下列
关于图(2)和图(3)中的图案的说法中,不正确的是( )
图(1) 图(2) 图(3)
A.图(2)中的图案是轴对称图形
B.图(2)中的图案是中心对称图形
C.图(2)中的图案绕某个固定点旋转,可以与自身重合
D.将图(3)中的图案绕某个固定点连续旋转若干次,每次旋转120°,可以设计出图
(2)中的图案
8.某医疗器械公司计划生产一批医用防护服42 万件,由于一线医护人员急需,于是
决定增加生产线,实际每天生产量是原计划每天生产量的2.5 倍,结果比原计划提
前了8 天完成,则原计划每天生产多少件?设原计划每天生产x 件,则可列方程为
( )
A.42
x - 42
2.5 x =8
B.420000
x
-420000
2.5 x =8
C.
42
2.5 x -42
x =8
D.420000
2.5 x -420000
x
=8
9.如果不等式组{
x
3 <1- x -3
6
,
x<m
的解集是x<3,那么m 的取值范围是( )
A.m<7
8 B.m≥7
8 C.m<3 D.m≥3
10.如图,顺次连接△ABC 三边的中点D,E,F 得到△DEF,其面积记为S1,顺次连接
△CEF 三边的中点M,G,H 得到△MGH,其面积记为S2,顺次连接△CGH 三边的中点
N,O,P 得到△PNO,其面积记为S3.设△ABC 的面积为64,则S1+S2+S3=( )
A.21
B.24
C.27
D.32
二、填空题(共5 小题,每小题3 分,共15 分)
11.因式分解:n-2mn+m2n= .
12.正十二边形的一个内角的度数为 .
13.若关于x 的分式方程3
x - 4 + x +m
4 - x =1 有增根,则m 的值是 .
14.如图,在锐角三角形ABC 中,BC=6√2,∠ABC=45°,BD 平分∠ABC,M,N 分别是
BD,BC 上的动点,则CM+MN 的最小值是 .
(第14 题) (第15 题)
15.如图,在平行四边形ABCD 中,E 是CD 的中点,F 是AE 的中点,CF 交BE 于点G,
若BE=8,则GE= .
三、解答题(共8 小题,共75 分)
16.(共2 小题,每小题4 分,共8 分)
(ⅰ)解不等式组{
x -2≥-5,①
3 x< x +2.②请按下列步骤完成解答.
(1)解不等式①,得 ;
(2)解不等式②,得 ;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
(4)原不等式组的解集是 .
(ⅱ)已知:(4x-2y-1)2+√xy -2=0,求4x3y-4x2y2+xy3的值.
17.(7 分)先将a+1
a-3
-a-3
a+2
÷a
2-6a+9
a
2- 4
化简,再从-2,0,2,3 四个数中选择一个合适的数
作为a 的值代入求值.
18.(9 分)如图,在△ABC 中,∠B=30°.
(1)用尺规作BC 边上的高AD,垂足为D(保留作图痕迹);
(2)若AC 平分∠BAD,求证:BC=2CD.
19.(9 分)阅读下列因式分解的过程:
x2-4y2-2x+4y=(x2-4y2)+(-2x+4y)=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).这种因式分解
的方法叫分组分解法,利用这种方法解决下列问题:
(1)因式分解:a2-4a-b2+4;
(2)△ABC 的三边a,b,c 满足a2-ab-ac+bc=0,判断△ABC 的形状.
20.(10 分)在①AE=CF;
OE=OF
②
;
BE
③
∥DF 这3 个条件中任选1 个补充在下面横
线上,并完成证明过程.
已知:如图,四边形ABCD 是平行四边形,对角线AC,BD 相交于点O,点E,F 在AC
上,连接BE,DF, (填写序号).
(1)求证:BE=DF;
(2)若连接DE,BF,求证:四边形DEBF 是平行四边形.
21.(10 分)如图,在▱ABCD 中,AB=12 cm,BC=6 cm,∠A=60°,点P 沿AB 边从点A
开始以1 cm/s 的速度向点B 移动,同时点Q 沿DA 边从点D 开始以2 cm/s 的速
度向点A 移动,用t(s)表示点P,Q 移动的时间(0≤t≤3).
(1)当t 为何值时,△PAQ 是等边三角形?
(2)当t 为何值时,△PAQ 是直角三角形?
22.(10 分)某商店购进冰墩墩、雪容融两种商品.已知每件冰墩墩的进价比每件雪
容融的进价贵10 元.用350 元购买冰墩墩的件数恰好与用300 元购买雪容融的件
数相同.
(1)求冰墩墩、雪容融每件的进价分别是多少元.
(2)计划购买这两种商品共50 件,且投入的经费不超过3 200 元,那么最多可购买
多少件冰墩墩?
(3)在(2)的条件下,若冰墩墩的售价为每件80 元,雪容融的售价为每件65 元,则这
50 件商品全部售出后获得的最大利润是多少?
23.(12 分)如图(1),在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,D 为AB 边上一点,连接
CD,∠ADC=120°.把△ADC 绕点A 逆时针旋转得到△AD'C'(旋转后点C,D 的对应点
分别为点C',D'),设旋转的度数为m(0°≤m≤360°).
(1)当m=30°时,如图(2),连接CC'并延长,交AB 于点E.请直接写出∠ACC'的度数;
(2)在(1)的条件下,请判断△DCE 的形状,并说明理由;
(3)①小明在探究的过程中发现:当m=90°时,如图(3),连接BC',CC',四边形
ACBC'为平行四边形,请证明小明的结论的正确性;
②请你再探究:在△ADC 绕点A 逆时针旋转的过程中,是否存在其他的情形,使以
A,B,C,C'四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请在备用图中画出旋转后的
图形,并直接写出m 的值;若不能,请说明理由.
八年级下学期期末综合测评卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
C
A
B
B
D
B
D
A
11.n(m-1)2
12.150°
13.-1
14.6
15.2
1.C
2.D 解不等式2x-3≤3,得x≤3,在数轴上表示为:
.故选D.
3.C 12abc-9a2b2=3ab(4c-3ab),故A 选项错误;3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2),故B 选项错
误;-a2+ab-ac=-a(a-b+c),故C 选项正确;x2y+5xy-y=y(x2+5x-1),故D 选项错误.
4.A 由题意得4 x·4 y
4 x + 4 y = 4 xy
x + y ,∴如果把分式xy
x + y 中的x 和y 都扩大为原来的4
倍,那么分式的值扩大为原来的4 倍.
(特殊值代入法)将x=1,y=2 代入原分式中,得xy
x + y
=2
3
,把分式xy
x + y
中的x 和y 都扩大为原来的4 倍,即将
x=4,y=8
代入分式中,得xy
x + y
=32
12
=8
3
,故分式的值扩大为原来的4 倍.
5.B ∵m2+n2=6mn(m≠n),∴原式=m
2+n
2+2mn
m
2+n
2-2mn
=6mn+2mn
6mn-2mn
=8mn
4 mn
=2.
6.B 根据题意可得
CF
平分
∠ BCD
,∴∠BCF=∠DCE.∵四边形ABCD 为平行四边
形,
AB
∴
∥CD,∴∠DCE=∠F,∴∠F=∠BCF, BF=BC=6
∴
, AF=BF-BA=6-4=2.
∴
7.D 题图(2)中的图案既是中心对称图形,又是轴对称图形,且绕对称中心旋转,可
以与自身重合,故选项A,B,C 正确;将题图(3)中的图案绕某个固定点连续旋转若干
次,每次旋转60°,可以设计出题图(2)中的图案,故D 错误.
8.B 根据题意得420000
x
-420000
2.5 x =8.
9.D 解不等式x
3<1- x -3
6 ,解得x<3. x<m
∵
且不等式组的解集为x<3, m
∴≥3,故选D.
10.A ∵D,E,F 分别是△ABC 三边的中点, AD=DB
∴
,DF=1
2BC=BE,DE=1
2
AC=AF,∴△ADF≌
△DBE.同理可证△ADF≌△FEC.∵易证△ADF≌△EFD. S
∴
1=1
4S△ABC=16.同理可得S2=
1
4 S△FEC=1
4S1=4,S3=1
4S△CHG=1
4S2=1, S
∴
1+S2+S3=16+4+1=21.
11.n(m-1)2 原式=n(1-2m+m2)=n(m-1)2.
12.150° 正十二边形的每个外角的度数是360°
12
=30°,则每个内角的度数是180°-
30°=150°.
13.-1 方程两边都乘x-4,得3-(x+m)=x-4.∵原方程有增根, x-4=0
∴
,解得x=4.当x=4
时,3-(4+m)=4-4,解得m=-1.
14.6 如图,过点C 作CE⊥AB 于点E,交BD 于点M',过点M'作M'N'⊥BC 于点N'.
BD
∵
平分∠ABC, EM'=M'N'
∴
,易证CE 为CM+MN 的最小值. BC=6
∵
√2
,∠ABC=45°,
∴△BCE 是等腰直角三角形, CE=6
∴
, CM+MN
∴
的最小值为6.
(第14 题) (第15 题)
15.2 如图,取
BE
的中点
M
, 连接
FM
, CM, F
∵是AE 的中点,M 是BE 的中点,
MF=
∴
1
2AB,
FM∥AB.∵四边形ABCD 是平行四边形, DC=AB
∴
,DC∥AB. E
∵
为CD 的中点,
CE=
∴
1
2DC,
CE=FM
∴
,CE∥FM,∴四边形EFMC 是平行四边形, EG=GM. BM=EM=
∴
∵
1
2BE=1
2
×8=4,
EG=
∴
1
2×4=2.
16.【参考答案】(ⅰ)x≥-3
(1 分)
(2)x<1
(2 分)
(3)
(3 分)
(4)-3≤x<1
(4 分)
(ⅱ)∵(4x-2y-1)2+√xy -2=0,
4x-2y=1
∴
,xy-2=0.
解得2x-y=1
2,xy=2,
则原式=xy(4x2-4xy+y2)=xy(2x-y)2=1
2. (4 分)
17.【参考答案】a+1
a-3
-a-3
a+2
÷a
2-6a+9
a
2- 4
=a+1
a-3
-a-3
a+2
×
a
2- 4
a
2-6a+9
=a+1
a-3-a-3
a+2×(a+2)(a-2)
(a-3)
2
=a+1
a-3-a-2
a-3
=a+1-a+2
a-3
= 3
a-3. (4 分)
a=-2
∵
,2,3 时,原式无意义,
a
∴只能取0,
∴原式= 3
0-3=-1.(7 分)
18.
(2)作辅助线
CE=CD
BC=2CE
BC=2CD
【参考答案】(1)如图.
(4 分)
(2)证明:如图,过点C 作CE⊥AB 于点E.
AC
∵
平分∠BAD,AD⊥BD,
CE=CD.
∴
在Rt△BCE 中,∠B=30°,
BC=2CE
∴
,
BC=2CD.
∴
(9 分)
19.【参考答案】(1)a2-4a-b2+4
=(a2-4a+4)+(-b2)
=(a-2)2-b2
=(a-2+b)(a-2-b). (4 分)
(2) a
∵2-ab-ac+bc=0,
∴(a2-ab)+(-ac+bc)=0,
a(a-b)-c(a-b)=0,
(a-b)(a-c)=0,
a-b=0
∴
或a-c=0 或a-b=0 且a-c=0,
即a=b 或a=c 或a=b=c,
∴△ABC 是等腰三角形或△ABC 是等边三角形.
(9 分)
20.【参考答案】①(2 分)
证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
AB=DC
∴
,AB∥DC,
∴∠BAE=∠DCF.
在△BAE 和△DCF 中,{
AB = DC ,
∠BAE =∠DCF ,
AE =CF ,
∴△BAE≌△DCF,
BE=DF.
∴
(5 分)
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴∠ABD=∠CDB.
由(1)知,△BAE≌△DCF,
∴∠ABE=∠CDF,
∴∠EBO=∠FDO,
BE
∴
∥DF.
BE=DF
∵
,
∴四边形DEBF 是平行四边形.
(10 分)
②
(2 分)
证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
OD=OB.
∴
在△BOE 和△DOF 中,{
OB =OD,
∠BOE =∠DOF ,
OE =OF ,
∴△BOE≌△DOF,
BE=DF.
∴
(5 分)
(2)由(1)知BO=DO,
OE=OF
∵
,
∴四边形BEDF 为平行四边形.
(10 分)
③
(2 分)
证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
OD=OB.
∴
BE
∵
∥DF,
∴∠BEO=∠DFO.
在△BOE 和△DOF 中,{
∠BOE =∠DOF ,
∠BEO =∠DFO,
OB =OD,
∴△BOE≌△DOF,
BE=DF.
∴
(5 分)
(2)由(1)知BE=DF.
BE
∵
∥DF,
∴四边形BEDF 为平行四边形.
(10 分)
21.【参考答案】由题意可得,AP=t cm,AQ=(6-2t)cm.
(1)当△PAQ 是等边三角形时,AQ=AP,
即t=6-2t,解得t=2.
∴当t=2 时,△PAQ 是等边三角形.
(5 分)
(2)使△PAQ 是直角三角形,可分以下两种情况讨论.
①当∠AQP=90°时,∠APQ=30°,
AP=2AQ
∴
,
即t=2(6-2t),解得t=12
5 .
(7 分)
②当∠APQ=90°时,∠AQP=30°,
AQ=2AP
∴
,
即6-2t=2t,解得t=3
2. (9 分)
综上,当t=12
5 或t=3
2时,△PAQ 是直角三角形. (10 分)
22.【参考答案】(1)设冰墩墩每件的进价是x 元,则雪容融每件的进价是(x-10)元,
根据题意得350
x = 300
x -10,
解得x=70, (2 分)
经检验,x=70 是原方程的根,且符合题意,
x-10=60
∴
,
答:冰墩墩每件的进价是70 元,雪容融每件的进价是60 元.(4 分)
(2)设购买m 件冰墩墩,则购买(50-m)件雪容融,
则70m+60(50-m)≤3 200,
解得m≤20,
∴最多可购买20 件冰墩墩.
(7 分)
(3)设全部售出后获得的利润是w 元,
w=
∴
(80-70)m+(65-60)(50-m)=5m+250.
5>0
∵
,
w
∴
随m 的增大而增大,
m=20
∴
时,w 取最大值,
最大值为5×20+250=350(元).(10 分)
答:这50 件商品全部售出后获得的最大利润是350 元.
23.【参考答案】(1)∠ACC'=75°. (3 分)
解法提示:由旋转知AC=AC'.
∵∠CAC'=30°,
∴∠ACC'=180°-∠CAC '
2
=75°.
(2)△DCE 是等边三角形.(5 分)
理由:在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=AC,
∴∠ABC=∠BAC=45°.
由(1)知,∠ACC'=75°,
∴∠BCE=90°-∠ACC'=15°,
∴∠AEC=∠ABC+∠BCE=60°.
∵∠ADC+∠CDE=180°,∠ADC=120°,
∴∠CDE=60°,
∴∠CDE=∠DEC=∠ECD=60°,
∴△DCE 是等边三角形. (8 分)
(3)①证明:∵∠ACB=90°,∠CAC'=m=90°,
∴∠ACB+∠CAC'=180°,
AC'
∴
∥BC.
AC'=AC
∵
,AC=BC,
AC'=BC
∴
,
∴四边形ACBC'为平行四边形,∴小明的结论正确.(10 分)
②存在,旋转后的图形如图所示.m=270°. (12 分)
解法提示:当m=270°时,∠C'AC=90°,
∴∠C'AC=∠ACB, AC'
∴
∥BC.
AC'=AC=CB
∵
,
∴四边形AC'CB 为平行四边形.
