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专题20 电学计算
1．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极
管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结
构简化如图（a）所示，圆筒足够长。在O 点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大
小为
的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面
及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至
时，恰好没有电子落到筒壁上，
不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、
、
均为已知量）
(1)电子的比荷
;
(2)当磁感应强度大小调至
时，筒壁上落有电子的区域面积S。
2．（2025·安徽·高考真题）如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为
L，右端连接阻值为R 的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ 存在竖直向上的
匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ 左侧沿导轨水平向右发射第1 根导体棒，
导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0 时被锁定；从原位置再发射第2 根相同的导体棒，
导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0 时被锁定，以此类推，直到发射第n 根相同的
导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接
触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流
对原磁场的影响。
求：
(1)第1 根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率；
(2)第2 根导体棒从进入磁场到速度减为0 的过程中，其横截面上通过的电荷量；
(3)从第1 根导体棒进入磁场到第n 根导体棒速度减为0 的过程中，导轨右端定值电阻R 上
产生的总热量。
3．（2025·江苏·高考真题）如图所示发电机，内外转子角速度均为
，外转子的半径为
，
内转子的半径为
，磁感应强度为B，外部有四个线圈，ab、cd 长为L，线圈电阻为
。
(1)若内转子固定，求ab 产生的感应电动势E；
(2)若内转子固定，求一个周期内，abcd 产生的焦耳热Q；
(3)若内转子不固定，跟着外转子一起转，此时abcd 中的电流为I，求电流的一个周期T。
4．（2025·山东·高考真题）如图所示，平行轨道的间距为L，轨道平面与水平面夹角为α，二
者的交线与轨道垂直，以轨道上O 点为坐标原点，沿轨道向下为x 轴正方向建立坐标系。
轨道之间存在区域I、Ⅱ，区域I（−2L ≤ x < −L）内充满磁感应强度大小为B、方向竖直
向上的匀强磁场；区域Ⅱ（x ≥ 0）内充满方向垂直轨道平面向上的磁场，磁感应强度大小
B1 = k1t+k2x，k1和k2均为大于零的常量，该磁场可视为由随时间t 均匀增加的匀强磁场和
随x 轴坐标均匀增加的磁场叠加而成。将质量为m、边长为L、电阻为R 的匀质正方形闭
合金属框epqf 时放置在轨道上，pq 边与轨道垂直，由静止释放。已知轨道绝缘、光滑、
足够长且不可移动，磁场上、下边界均与x 轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，重力
加速度大小为g，不计自感。
(1)若金属框从开始进入到完全离开区域I 的过程中匀速运动，求金属框匀速运动的速率v
和释放时pq 边与区域I 上边界的距离s；
(2)金属框沿轨道下滑，当ef 边刚进入区域Ⅱ时开始计时（t = 0），此时金属框的速率为
v0，若
，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，ef 边移动的距离
d。
5．（2025·河南·高考真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区
域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（
）的粒子从磁场中的a 点以速度
向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为
，然后
粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b 点，通过b 点时其速度方向水平向右。a、b 距
水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为
。不计重力。
(1)求磁感应强度的大小；
(2)求电场强度的大小；
(3)若粒子从a 点以
竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大
小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度）
6．（2025·河南·高考真题）流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。
仅含有一个A 细胞或B 细胞的小液滴从喷嘴喷出（另有一些液滴不含细胞），液滴质量均
为
。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B 细胞的液滴
分别带上正、负电荷，电荷量均为
。随后，液滴以
的速度竖
直进入长度为
的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小
为
。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方
处的A、B 收
集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求：
(1)含A 细胞的液滴离开电场时偏转的距离；
(2)A、B 细胞收集管的间距。
7．（2025·福建·高考真题）光滑斜面倾角为θ=30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀
强磁场，两区磁感应强度大小相等，均为B。正方形线框abcd 质量为m，总电阻为R，同
种材料制成且粗细均匀，Ⅰ区域长为L1，Ⅱ区域长为L2，两区域间无磁场的区域长度大于
线框长度。线框从某一位置释放，cd 边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab 边离开Ⅰ区域时
速度均为v，当cd 边进入Ⅱ区域时的速度和ab 边离开Ⅱ区域时的速度一致，则：
(1)求线框释放点cd 边与Ⅰ区域上边缘的距离；
(2)求cd 边进入Ⅰ区域时cd 边两端的电势差；
(3)求线框进入Ⅱ区域到完全离开过程中克服安培力做功的平均功率。
8．（2025·广西·高考真题）带电粒子绕着带电量为
的源电荷做轨迹为椭圆的曲线运动，
源电荷固定在椭圆左焦点F 上，带电粒子电量为
；已知椭圆焦距为c，半长轴为a，电
势计算公式为
，带点粒子速度的平方与其到电荷的距离的倒数满足如图关系。
(1)求在椭圆轨道半短轴顶点B 的电势；
(2)求带电粒子从A 到B 的运动过程中，电场力对带电粒子做的功；
(3)用推理论证带点粒子动能与电势能之和是否守恒；若守恒，求其动能与电势能之和；若
不守恒，说明理由。
9．（2025·云南·高考真题）磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，
区域存在垂直
平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为
（未知）。第一象
限内存在边长为
的正方形磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍
垂直
平面向里，其磁感应强度大小为
（未知），但满足
。某质量为
m、电荷量为
的带电粒子通过速度选择器后，在
平面内垂直y 轴射入
区域，经磁场偏转后刚好从ON 中点垂直ON 射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压
U、间距d、内部磁感应强度大小
已知，不考虑该粒子的重力。
(1)求该粒子通过速度选择器的速率；
(2)求
以及y 轴上可能检测到该粒子的范围；
(3)定义磁屏蔽效率
，若在Q 处检测到该粒子，则
是多少？
10．（2025·海南·高考真题）间距为L 的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙且平滑相接，
导轨上方接有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角
，处于垂直于导轨平面向上的
匀强磁场中，水平导轨处于垂直竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为
，两相
同导体棒
、
与水平导轨的动摩擦因数
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
两棒质量均
，接入电路中的电阻均为
，
棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动
过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不互相碰撞，忽略金属导轨的电阻，重力加速度
为
。
(1)锁定水平导轨上的
棒，闭合开关，
棒静止在倾斜导轨上，求通过
棒的电流；
断开开关，同时解除
棒的锁定，当
棒下滑距离为
时，
棒开始运动，求
棒
从解除锁定到开始运动过程中，
棒产生的焦耳热；
(2)此后
棒在下滑过程中，电流达到稳定，求此时
、
棒的速度大小之差；
(3)
棒中电流稳定之后继续下滑，从
棒到达水平导轨开始计时，
时刻
棒速度为
零，加速度不为零，此后某时刻，
棒的加速度为零，速度不为零，求从
时刻到某时
刻，
、
的路程之差。
11．（2025·贵州·高考真题）如图所示，
轴水平向右，
轴竖直向上，
轴垂直纸面向里
（图中未画出），在
平面里有竖直向上的匀强电场
，在
的平面下方存在垂
直纸面向里的匀强磁场
，
的平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场
（未知）。
有一带正电的粒子，质量为
，从坐标原点
出发，沿
轴正方向以速度
射出后做圆
周运动，其中
，
，
点坐标
。已知重力加速度为
，粒子
电荷量为
。求：
(1)电场强度
的大小及该粒子第一次经过
平面时的位置对应的
坐标值；
(2)当该带电粒子沿
轴正方向飞出到达
点时间最小时，求
的大小；
(3)若将电场
改成沿y 轴正方向，粒子同样从坐标原点
沿x 轴以速度
射出，求粒子
的轨迹方程。
12．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图（a），固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体
框
，置于始终竖直向下的匀强磁场中，
边与磁场边界平行，
边中点位于磁场
边界。导体框的质量
，电阻
、边长
。磁感应强度B 随时间t 连
续变化，
内
图像如图（b）所示。导体框中的感应电流I 与时间t 关系图像如
图（c）所示，其中
内的图像未画出，规定顺时针方向为电流正方向。
(1)求
时
边受到的安培力大小F；
(2)画出图(b)中
内
图像（无需写出计算过程）；
(3)从
开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，给导体框一个向右的初
速度
，求ad 边离开磁场时的速度大小
。
13．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，在
平面第一、四象限内存在垂直平面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从
点射入磁场，速度方向
与y 轴正方向夹角
，从
点射出磁场。已知粒子的电荷量为
，质
量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。
(1)求粒子射入磁场的速度大小
和在磁场中运动的时间
。
(2)若在
平面内某点固定一负点电荷，电荷量为
，粒子质量取
（k 为静
电力常量），粒子仍沿（1）中的轨迹从M 点运动到N 点，求射入磁场的速度大小
。
(3)在（2）问条件下，粒子从N 点射出磁场开始，经时间
速度方向首次与N 点速度方向
相反，求
（电荷量为Q 的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0 时，与该点电
荷距离为r 处的电势
）。
14．（2025·浙江·高考真题）如图所示，接有恒流源的正方形线框边长
、质量m、电阻
R，放在光滑水平地面上，线框部分处于垂直地面向下、磁感应强度为B 的匀强磁场中。
以磁场边界CD 上一点为坐标原点，水平向右建立
轴，线框中心和一条对角线始终位
于
轴上。开关S 断开，线框保持静止，不计空气阻力。
(1)线框中心位于
，闭合开关S 后，线框中电流大小为I，求
①闭合开关S 瞬间，线框受到的安培力大小；
②线框中心运动至
过程中，安培力做功及冲量；
③线框中心运动至
时，恒流源提供的电压；
(2)线框中心分别位于
和
，闭合开关S 后，线框中电流大小为I，线框中心分
别运动到
所需时间分别为
和
，求
。
1．(2025 届青海省西宁市大通县高三下学期二模物理试卷)如图甲所示，电阻R=3Ω，导体棒AB 的电
阻r=3Ω，AB 垂直放在倾角α=37°足够长的光滑平行导轨上。AB 的长度等于导轨宽度为
L=10cm，PQCD 区域内有垂直于导轨平面的匀强磁场，该区域面积S=0.6m2，匀强磁场的
磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示。将AB 在t=0 时由静止释放，在t=1s 时进入磁
场区域，并恰好做匀速直线运动，重力加速度g 取10m/s2，sin37°=0.6，导轨电阻不计，不
计空气阻力。求：
(1)AB 与PQ 的距离；
(2)AB 进入磁场时的感应电动势；
(3)在前1.5s 内电路中产生的内能。
2．(24-25 高三下·甘肃多校)电磁聚焦是约束带电粒子的重要方法。如图所示，粒子源S 能够瞬间
发出大量质量为m、电荷量为
的粒子，粒子的初速度为零，经过MN 之间的电场
加速，从O 点射出。由于电场的边缘效应，会使粒子出现微小的发散角
。在O 点右侧
区域加一沿x 轴正方向的匀强磁场，可以使粒子被约束在一定范围内而重新聚焦。在距离
N 板右侧L 处放置一个接收屏P，可使粒子打在接收屏上。已知MN 间电势差为U，在
较小时，
，
，忽略粒子间的相互作用。
(1)求粒子从O 点至到达光屏的时间；
(2)要使粒子聚焦于接收屏上，求磁场的磁感应强度大小；
(3)若磁感应强度大小为
，改变接收屏与N 的距离L，为使所有粒子均能被接收屏接收，
求接收屏的最小面积。
3．如图所示，O 点处有一粒子源，能够向xOy 平面内各个方向射出质量为
、
电量为
、初速度为
的高能粒子。为了减小粒子对周围环
境的影响，在以O 为圆心，半径R1=0.04m 处加上接地的网状电极，在内部产生沿半径方
向的电场，使粒子的速度减小到
。不计重力，不考虑粒子间的碰撞和相互
作用力，粒子可以穿过网状电极。
(1)求网状电极和O 点间电势差的大小U；
(2)为了使粒子离开电场后，离O 点的距离不超过R2=0.16m，可以紧贴网状电极在外侧施
加垂直于xOy 平面向里的范围足够大的匀强磁场（图中未画出），求磁场的磁感应强度
B1的最小值；
(3)为了使第一象限射出电场的粒子最终都能够沿y 轴正方向运动，需要紧贴电场区域外
施加垂直于xOy 平面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度为
。求满足
要求的最小磁场区域边界上的点x 坐标的最大值和y 坐标的最大值。
4．(24-25 高三下·江苏宿迁泗阳县·适考)如图所示，空间直角坐标系（z 轴正方向垂直纸面向外图
中未画出）中，在x<0 的区域I 内存在沿x 轴负方向的匀强电场，0≤x≤L 的区域II 内存在垂
直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B1，x>L 的区域III 内存在沿x 轴正方向
的匀强磁场，磁感应强度大小为B2。质量为m、电荷量为
的电子从原点O 以速度大小
v0、方向在xOy 平面内与x 轴正方向的夹角为30°射入区域II。
(1)若电子不能进入区域III，求电子速度大小v0的范围；
(2)若
，且电子经电场偏转后直接回到原点O，求电场强度的大小E；
(3)若
，求电子此后经过x 轴时对应的x 轴坐标。
5．(24-25 高三下·江苏宿迁泗阳县·适考)A、B 两个粒子的电荷量分别为+q、+2q，质量分别为m、
2m。粒子A 以已知速度v0向静止的B 飞去，由于静电力，它们之间的距离缩短到某一极
限值后又被弹开。设粒子A、B 的轨迹在同一直线上，已知静电力常量为k，A、B 间的最
小距离为d。
(1)当A、B 之间的距离最小时，求粒子B 的加速度大小a；
(2)从粒子B 开始运动至A、B 间距离最小的过程中，A、B 组成的系统增加的电势能
。
6．如图所示，在平面直角坐标系xOy 第二象限内存在一理想边界，边界下侧和x 轴上侧存在
垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，边界上侧与y 轴左侧存在沿x 轴负方向、
电场强度大小为E 的匀强电场，在第三、四象限内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为
2B 的匀强磁场，y 轴上半轴均匀分布着电荷量为q、质量为m 的带正电粒子，带电粒子由
静止被电场加速后进入磁场区域，均能垂直穿过x 轴，图中P 点坐标为（－L，0），不计
粒子受到的重力及粒子间的相互作用，求：
(1)边界曲线的方程；
(2)同一粒子在x 轴上、下方运动的轨迹半径之比k；
(3)粒子经过P 点时的最大速度vm。
7．新能源汽车的能量回收系统，利用电磁感应回收能量存储在电容器中。某同学用如图电路
研究利用电磁感应为电容器充电的现象，两间距为
、阻值可忽略不计的平行光滑
导轨沿水平方向固定，导轨左端连接
的电容器。两导轨间存在磁感应强度大小为
、方向竖直向下的匀强磁场。质量为
、阻值可忽略不计的导体棒垂直导
轨放置。在导体棒上施加一水平向右的恒力同时开始计时，导体棒产生的加速度大小恒为
。棒始终垂直导轨且与导轨接触良好。
(1)写出电容器带电量
随时间变化关系式；
(2)判断电容器充电时电流是否变化，并说明理由；
(3)求恒力的大小。
8．如图所示，在平面直角坐标系
的
区域、y 轴与
间有沿y 轴负方向的匀强电场
Ⅰ，在
区域、半径为R 的圆形区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅰ，磁场边
界分别与y 轴和
相切，
与y 轴平行，
右侧有垂直于坐标平面向里的匀强磁场
Ⅱ．在
上坐标为
的A 点沿x 轴正向射出一个质量为m、电荷量为q 的带正
电的粒子，粒子射出的速度大小为
，粒子恰好从坐标原点O 进入磁场Ⅰ，以垂直
的方向进入磁场Ⅱ，粒子经磁场Ⅱ偏转后再次进入磁场Ⅰ，并从O 点再次进入电场Ⅰ，不
计粒子的重力．
(1)求粒子第一次通过O 点时速度的大小与方向；
(2)求匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小；
(3)若在
右侧再加上竖直向下的匀强电场Ⅱ，电场强度大小为匀强电场Ⅰ电场强度大
小的8 倍，粒子仍以速度
从A 点沿x 轴正向射出，求粒子在磁场Ⅱ中运动过程离x 轴的
最大距离．
9．如图为某同学设计的光电效应研究装置，A、B 为金属板，频率为
的单色光照射到板A
上发生光电效应，经A、B 间的电场加速后，部分粒子从小孔a 进入图中虚线所示的圆形
匀强磁场区域，圆形匀强磁场半径为R，磁场区域的下方有一粒子选择及接收装置。P 在
磁场圆心O 的正下方，aO 与PO 垂直，接收板与PO 垂直。光电子经过电场加速后能从a
孔以不同的角度进入磁场，已知元电荷为e，电子的质量为
，AB 间的加速电压为
，
只有速度方向垂直接收板的粒子才能通过粒子选择器，其它粒子被粒子选择器吸收并立即
导入大地，通过选择器的粒子最终打在接收板上，被接收板吸收并立即导入大地。重力忽
略不计，不考虑粒子之间的相互作用力，不考虑缓慢变化的磁场产生的电场，只考虑纸面
内运动的电子，普朗克常量为h。
(1)磁感应强度
时，某光电子从A 板离开时的速度为0，求该电子经过a 进入磁场后
做圆周运动的半径
。
(2)粒子从a 孔进入时速度与aO 角度范围
，求粒子接收器上接收到粒子的长度
L。
(3)磁感应强度由
缓慢增大到
时，接收器上恰好不能再接收到粒子，求金属A 的逸出
功
。
10．如图所示，金属板
和
互相平行竖直放置，形成两条狭缝，金属板上的小
孔
和O 点共线，狭缝
的电势差与狭缝
的电势差均为U，一质量为
m，电荷量为
的粒子从小孔
飘入狭缝
（初速度为零），通过小孔
进
入金属板
和P 之间的区域I，区域I 中存在匀强磁场和匀强电场（未画出），其中匀强
磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。粒子沿直线
运动，经过
进入狭缝
，经O 点进入金属板
右侧区域II，区域II 具有和区域I 完全相同的电场和磁场。以
O 点为坐标原点，垂直于金属板向右的方向为
轴正方向，平行于金属板向上的方向为
轴正方向建立直角坐标系，不计粒子重力，不计粒子经过狭缝的时间。求：
(1)粒子刚进入区域I 时的速度大小
；
(2)区域I、区域II 电场强度E；
(3)粒子到达O 点开始计时，第二次到达距
轴最远处的速度
和需要的时间。
11．如图所示，平行光滑的金属导轨由水平和左右两倾斜导轨组成，水平导轨与两侧倾斜导
轨均有光滑绝缘圆弧轨道（长度可忽略）平滑相连。两侧倾斜导轨与水平面夹角均为
30°。左侧倾斜导轨由间距L 的导轨CE、DF 构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平
行金属导轨连接构成，其中EG、FH 段间距为L，有与竖直方向成60°斜向左上方的磁感
应强度大小为2B 的匀强磁场。MP、NQ 段间距为2L，有与竖直方向成（斜向右上方的磁
感应强度大小为B 的匀强磁场。右侧足够长的倾斜导轨PK、QJ 间距为2L，上端连接电
容为C 的电容器，有垂直右侧倾斜导轨平面向上的磁感应强度大小为5B 的匀强磁场。导
体棒甲的质量为0.5m、电阻为R，乙的质量为m、电阻不计，导体棒乙静止于MP、NQ
段。现使导体棒甲自斜面导轨上距水平导轨h 高度处静止释放，两金属棒在运动过程中
始终垂直导轨，且与导轨保持良好接触。若稳定时导体棒甲未进入MP、NQ 段，导轨电
阻和空气阻力均忽略不计。已知B=0.2T， m=0.4kg，h=0.45m，L=0.2m，R=0.3Ω，
，
。求：
(1)甲棒刚进入磁场时，乙棒的加速度；
(2)从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，通过乙棒的电量；
(3)从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，回路产生的焦耳热；
(4)稳定后，乙棒进入右侧倾斜轨道，随即撤去甲棒，求乙棒上滑的最大距离。
12．如图所示，空间直角坐标系Oxyz 中，Oz 方向竖直向上，M 点坐标为
，N 点坐标
为
，H 点坐标为
。已知质量为m、电荷量为q 的带正电小球以初速
度
从N 点沿y 轴正方向分别射入三种不同情况的复合场（均未画出）。小球
可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g。
(1)情况Ⅰ：在原点O 固定一电荷量未知的负点电荷，小球能运动到M 点，求小球到达M
点的动能
；
(2)情况Ⅱ：空间同时存在沿z 轴正方向、场强大小
的匀强电场和沿x 轴正方向的
匀强磁场，小球能运动到H 点，求小球从N 到H 的运动时间t；
(3)情况Ⅲ：空间同时存在沿z 轴正方向、场强大小
的匀强电场和从N 指向M 方
向的匀强磁场，小球能运动到M 点，求磁感应强度的最小值
。
13．如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径
略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量
，电荷量
，绝缘管
长为
。在管口所在水平面
的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度
的
匀强磁场，
面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度
的匀强磁场，
上下
的整个区域还存在着竖直向上、场强
的匀强电场。现让小车始终保持
的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直
方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大
小关系为
，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面
的距离为
。取
，不计其它阻力。求：
(1)小圆柱体刚进入磁场
时的加速度大小；
(2)小圆柱体的加速度为
时的速度大小；
(3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量；
(4)小圆柱体第二次经过水平面
时的速度大小。
14．如图所示，在水平虚线下方有正交的匀强磁场和匀强电场，其中磁场方向垂直纸面向里，
电场方向水平向右。在距离水平虚线h 高处以某一初速度水平向右抛出一个质量为m、带
电荷量为
的小球，通过水平虚线上的A 点进入电磁场中，一段时间后又从水平虚线上
的P 点沿与水平方向成
角斜向右上方射出电磁场区域，已知电场强度
，O 到
A 的水平距离及A、P 间距离均为2h，已知当地重力加速度为g，求：
(1)带电小球经过A 点时的速度；
(2)带电小球经过P 点时的速度大小及磁感应强度B 的大小；
(3)带电小球从O 到P 运动的时间。
15．如图所示的装置左侧是法拉第圆盘发电机，其细转轴竖直安装。内阻不计、半径
的金属圆盘盘面水平，处于竖直向上的匀强磁场
中，磁感应强度
。
圆盘在外力作用下以角速度
逆时针（俯视）匀速转动，圆盘的边缘和转轴分
别通过电刷a、b 与光滑水平导轨
，
相连，导轨间距
。在导轨平面内存
在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度
，导电性能良好的导轨上放置着一根质量
、电阻
的金属棒，不计其它一切电阻。
(1)比较a、b 两点电势的高低，并计算闭合开关瞬间通过金属棒的电流I；
(2)从闭合开关到金属棒刚达到最大速度
过程中，金属棒未离开
磁场区，求此过程
通过金属棒的电量q 和维持圆盘匀速转动外力所做的功W；
16．如图所示，边长为l 的n 匝正方形线框固定放置，线框的总电阻为R，线框内部有一边长
为
的正方形区域的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向与线框垂直，当磁场区域以
大小为v 的速度向右经过线框右边时，求：
(1)线框中的电流大小I；
(2)线框受到的安培力大小F。
17．如图所示，距离地面足够高的一水平面上固定一弹射器，每次均会弹射出质量为
、带电量为
的金属小球.弹射器出口O 在MN 线上，MN 右侧存在方
向垂直水平面向上的匀强磁场，整个水平面存在竖直向上的匀强电场（图中未画出），
电场强度大小为
，垂直于
方向放置一足够大的目标板、板面竖直放置，
且O 点到目标板的距离为
.小球初速度大小均为
，方向在水平面内且
可沿
、
之间的任意方向，
、
与MN 的垂线
的夹角为
，
.
（不计空气阻力，忽略小球间的相互作用，取重力加速度大小为
、
、
，计算结果均保留1 位小数）
(1)若沿
出射的小球恰好与目标板相切，求磁场的磁感应强度大小
；
(2)若磁感应强度大小为
①若a、b 球先后分别沿着
、
出射且在MN 线相遇，求两球出射的时间间隔
；
②求沿
出射的小球击中目标板的点与MN 的距离
.
18．(24-25 高三下·湖南怀化多校联考·三模)如图，在
坐标系内，第一象限有垂直纸面向外的
匀强磁场，第二象限有沿
轴正方向的匀强电场，电场强度大小为
。一质量为
、电荷量为
的带电粒子从
轴上的
点以速度
沿与
轴正方向成
角的
方向射入磁场，恰好垂直于
轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求：
(1)磁感应强度
的大小；
(2)粒子再次经过
轴时的
坐标及粒子的速度大小。
19．某种新型智能化汽车独立悬架系统的电磁减震器是利用电磁感应原理制造的，下图为其
简化的原理图。该减震器由绝缘的橡胶滑动杆及多个相同的单匝矩形闭合线圈组成，线
圈相互靠近、彼此绝缘，固定在绝缘杆上，线圈之间的间隔忽略不计。滑动杆及线圈的
总质量为m，每个矩形线圈的电阻为R，ab 边长为L，bc 边长为
。某次减震过程中，
该减震器从距离磁场边缘高h 处由静止自由下落，当线圈2 恰好完全进入磁场时减震器的
速度大小为
。已知匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，不计空气阻力，
该减震器始终保持竖直，重力加速度为g。
(1)求线圈1 的ab 边进入磁场瞬间，减震器的加速度大小a；
(2)求减震器下落过程中，线圈1 和2 产生的热量之和；
(3)求从减震器开始下落到线圈2 恰好完全进入磁场所用的时间t。
20．如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为L
和2L，分别处于磁感应强度大小为2B 和B 的竖直向下匀强磁场中，导轨右端接一阻值为
R 的电阻。金属棒a、b 分别置于左、右两侧导轨上，a 的电阻为r、长度为L、质量为
m，b 的电阻为2r、长度为2L、质量为2m。初始时刻开关S 断开，静止的两棒用绝缘丝
线连接，两棒间置有劲度系数为k、压缩量为
的轻质绝缘弹簧，弹簧与两棒不连接。
剪断丝线，弹簧恢复原长时，a 恰好脱离导轨，b 速度大小为
，此时闭合S。已知弹簧
弹性势能
（x 为弹簧形变量），整个过程中两棒与导轨垂直并接触良好，右侧
导轨足够长，所有导轨电阻均不计，求
(1)初始时刻a 棒距导轨左端的距离
；
(2)弹簧恢复原长过程中，a 棒上产生的热量
；
(3)整个过程b 棒向右运动的距离d。
21．利用电磁场使质量为
、电荷量为
的电子发生回旋共振可获取高浓度等离子体，其简
化原理如下。如图甲所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为
：电场强
度大小为
、平行于纸面的匀强电场绕着过
点且垂直纸面的轴顺时针旋转；旋转电场
带动电子加速运动，使其获得较高能量，高能电子使空间中的中性气体电离，生成等离
子体。
(1)电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子___________（选填“做功”或“不做功”）。
(2)若空间中只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周
运动的角速度
。
(3)将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在如图乙所示的平
面内运动，电子在运动过程中受到与其速度
方向相反的气体阻力
，式中
为已
知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋
转电场力的夹角（小于
）保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场洛伦兹力、旋转电场
电场力及气体阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。
（i）若电场旋转的角速度为
，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小
；
（ii）旋转电场对电子做功的功率存在最大值，为使电场力的功率不小于最大功率的一半，
电场旋转的角速度应控制在
范围内，求
的数值。
22．如图所示，在平面直角坐标系
中，虚线垂直于x 轴，在y 轴和虚线之间的区域空间
有沿x 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小
未知，磁感应强度大小
；
在虚线的右侧区域空间有沿y 轴正方向的匀强电场和垂直于坐标平面向外的匀强磁场，
电场强度
，磁感应强度
。将质量为m、电荷量为q 的带正电的粒
子从坐标原点以与x 轴正方向成
角斜向上的速度
射入第一象限，粒子刚好在第
一次过x 轴时进入虚线右侧区域，且速度方向与x 轴正方向的夹角为37°，不计粒子的重
力，
，
．求：
(1)粒子在y 轴和虚线之间运动的时间；
(2)电场强度
的大小；
(3)粒子在虚线右侧运动过程中，离x 轴的最大距离。
23．如图所示，长方体区域被分成了三个边长均为L 的正方体区域，最左边的正方体区域内
分布着垂直平面CDHG 向里、电场强度大小为
的匀强电场，中间的正方体区域内分布
着垂直平面EHLI 向上的匀强磁场，最右边的正方体区域内分布着垂直平面JKON 向上、
电场强度大小为
的匀强电场。现有电荷量为q、质量为m 的带正电粒子以大小为
的
初速度从A 点沿AE 方向进入电场区域，经EH 的中点进入磁场区域，最后从NJ 上的某
处离开电场。已知匀强磁场的磁感应强度大小
，不计粒子重力。求：
(1)电场强度
的大小；
(2)带电粒子在磁场中运动的时间t；
(3)电场强度
的大小。
24．某离子注入工艺原理如图所示。离子源产生的离子经小孔进入加速电场，初速度可忽略
不计。加速后的离子竖直向上进入速度选择器，该区域存在水平向左的匀强电场和垂直
纸面向外的匀强磁场；通过速度选择器的离子射出后从小孔
进入电场分析器，电场分
析器内为
圆弧辐射状电场，离子沿半径为
（未知）的圆弧做匀速圆周运动；随后离
子从小孔
射出并沿水平方向进入磁场分析器，该区域存在垂直纸面向外的圆形匀强磁
场（未画出），离子偏转后沿
的方向竖直向下射入水平向左的匀强偏转电场，最
终打在水平放置的晶圆（硅片）上。已知加速电场两水平极板间的电压为U，速度选择
器电场、电场分析器内离子所经位置的电场强度大小均为E；速度选择器、磁场分析器中
的磁感应强度大小均为B；偏转电场的上下边界MN 和PQ 间距为L，水平方向足够宽。
晶圆半径为R，圆心为O，其上表面到PQ 边界的距离为d。不计重力及离子间相互作用，
忽略边缘效应，求：
(1)通过速度选择器离子的比荷
；
(2)离子在电场分析器中运动轨迹的半径
及运动时间t；
(3)磁场分析器中“圆形匀强磁场”区域的最小面积S；
(4)若离子需恰好打在晶圆上表面的边缘处，求偏转电场的电场强度大小
。
25．如图所示，间距均为L 的水平平行金属导轨PQ、
与倾斜平行金属导轨MN、
通过绝缘材料平滑连接，连接长度可忽略不计，倾斜导轨（足够长）与水平面的夹角为
，导轨间存在垂直导轨平面向下、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场，轨道左端接一
电动势为E、内阻为r 的直流电源。起初金属棒b 锁定在倾斜轨道上，将金属棒a 从水平
导轨上某处由静止释放，当金属棒a 到达
时恰好达到最大速度，经过QM、
后
速度与倾斜轨道平行而大小不变，与此同时解除金属棒b 的束缚。已知每根金属棒的质
量均为m、电阻均为R，金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，忽略所有摩擦及
金属导轨的电阻。
(1)求金属棒a 在水平轨道上的最大速度
；
(2)求通过电源正极的电荷量q；
(3)求整个过程中电源产生的热量Q；
(4)若金属棒a 在倾斜轨道运动时间t（未相撞）后速度变为
，求此时金属棒a 的加速度
大小
。
26．如图所示，空间中有一足够长光滑平行金属导轨，导轨平面与水平面间的夹角
，
导轨所在区域存在垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场，磁感应强度大小
。金属棒
a、b 放在导轨上，金属棒b 始终固定。
时由静止释放金属棒a，
时金属棒a 开
始匀速下滑，运动过程中金属棒始终与导轨垂直且接触良好。已知导轨间距
，金
属棒a 质量
，两棒的长度均为
、电阻均为
，导轨电阻不计，重力
加速度
。求：
(1)金属棒a 匀速下滑时的速度大小；
(2)
到
时间内，回路中产生的焦耳热。
27．如题图所示，平面直角坐标系xOy 中，第一象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，第三、
四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的带电粒子，从y 轴上的
以一定的初速度沿x 轴正方向射入第一象限，到达
时速度大小为
v，又经x 轴上的M 点射入磁场，最后从x 轴上的N 点离开磁场，M、N 关于O 点对称，
均不计粒子重力，求：
(1)M 点的坐标；
(2)磁感应强度B 的大小；
(3)撤掉甲图中的电场和磁场，在一、二象限加上图乙所示的磁场，磁场方向垂直纸面向
外，磁场关于y 轴对称，一簇相同的带正电的粒子从N 点以不同方向射入，速度方向与x
轴正方向的夹角0<θ<90°，所有粒子穿越磁场后都汇聚于M，已知所有粒子在磁场中做圆
周运动的半径均为r，求磁场边界的函数方程。
28．如图所示，
平面内，在
的区域存在匀强电场，电场强度大小为
，方向与
方向夹角为
；在
轴下方存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外。一质量为
、电
荷量为
的带正电的粒子以大小为
的初速度从原点
沿
轴正方向射出，一段时间后
粒子第一次从
点进入磁场，在磁场中运动一段时间后回到原点
再进入电场。不计粒
子的重力，取
,
。
(1)求粒子从
到
点的时间；
(2)求磁感应强度
的大小；
(3)若在
正半轴上另放置
个质量也为
的不带电微粒(按碰撞顺序标号依次为1、2、
)，使带电粒子最初从
点出发后每次从电场进入磁场时都恰好与一个不带电微粒
发生正碰，碰后结合为一个整体，该整体仍可视为质点，且总质量与电荷量不变，不计
重力。求第
个微粒的位置坐标
。
29．如图甲为某款医用治疗装置，该装置由粒子源、直线加速器和偏移器等部件构成。直线
加速器由一系列带孔的金属漂移管组成，每个漂移管两端圆板横截面面积相等且依次排
列，中心轴线共线，漂移管的长度按照一定的规律依次增加。序号为奇数的漂移管和交
变电源的一极相连，序号为偶数的漂移管和电源的另一极相连。交变电源两极间电势差
的变化规律如图乙。在t=0 时，奇数漂移管相对于偶数漂移管的电势差为正值，此时位于
序号为0 的圆板中央的粒子源静止释放出一个电子，电子在圆板和漂移管1 间的狭缝电场
中由静止开始加速，沿中心轴线冲进漂移管1，在漂移管1 内做匀速直线运动。每次电子
在漂移管内运动时间恰为交变电源周期的一半。已知电子的质量为m、电荷量为e，交变
电源电压的绝对值为
，周期为T，忽略电子在狭缝内运动的时间及相对论效应，不考
虑电子的重力及其他因素的影响。
(1)求电子进入漂移管1 时的速度v1的大小；
(2)为使电子运动到漂移管之间各狭缝中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断
加速，求第n 个漂移管的长度；
(3)该电子加速到最大动能Ekm后，恰好沿O'O 方向射入偏移器，偏移器为一棱长为L 的正
方体，正方体内充满匀强电场和匀强磁场，O'为偏移器左侧面的中心点，当偏移器内电
场强度和磁感应强度均为0 时，电子恰好沿O'O 射到目标平面中心O 点处（O 点和偏移
器左、右侧面中心点共线），目标平面和偏移器右侧面平行且相距为L，当偏移器同时加
上如图所示的匀强电场和匀强磁场（方向均垂直于前、后侧面）时，电子在极短的时间
内穿过偏移器，打在目标平面上（
）处，求偏移器中电场强度E 和磁感应强度B
的大小。（当α 很小时，有
）
30．如图所示，空间交替分布着宽度均为L 的匀强电磁场区域，磁场垂直xOy 平面向里，磁
感应强度大小为
电场沿x 轴负方向，电场强度大小为
一带正电的粒
子从坐标原点O 沿与x 轴负方向成θ 角、初速度大小为
进入匀强磁场区域，虚线边界
有磁场。粒子的质量为m、电荷量为q，不计重力，取
。
(1)若粒子第一次经磁场偏转后恰好不越过该磁场区域左边界，求此时θ 大小；
(2)若粒子只能经历两个完整的电场区，求
满足的条件；
(3)若θ=0，粒子以
的初速度从O 点进入匀强磁场区域，电场强度大小变为
求当粒子竖直位移大小为
时的运动时间。
