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7-1 导数的
及其意义、导数的运算
概念
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))
的导数．
7-1 导数的概念及其意义、导数的运算..........................................................................................................1
一、主干知识..................................................................................................................................................... 1
考点1：导数的概念................................................................................................................................ 2
考点2：导数的几何意义.......................................................................................................................2
考点3：基本初等函数的导数公式.....................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................3
二、分类题型..................................................................................................................................................... 3
题型一 导数的运算.................................................................................................................................4
题型二 导数的几何意义........................................................................................................................4
命题点1 求切线方程....................................................................................................................4
命题点2 求参数的值(范围)...................................................................................................... 5
题型三 两曲线的公切线........................................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6
1
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、
一
主干知识
考点1：导数的概念
1、导数的定义：如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立
f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）； 如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a 处的右导数
和端点b 处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称
导数．
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或
.f′(x0)＝lim ＝lim .
(2)函数y＝f(x)的导函数：f′(x)＝lim .
考点2：导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k 切线＝f′
（x0）＝
．
考点3：基本
函数的导数公
初等
式
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C 为常数） ②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R） ③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx ⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0 且a≠1）
⑦[logax）]′＝
*（logae）＝
（a＞0 且a≠1）⑧[lnx]′＝
．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x） ②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[
]′＝
．
3、导数的运算法则
2
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若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝f ′
( x )±
g ′
( x ) ；[f(x)g(x)]′＝f ′
( x ) g ( x ) ＋
f ( x ) g ′
( x ) ；
′＝(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf ′
( x ) ．
4、复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y 对x 的导数等于y
对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
【常用结论总结】
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
3
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、分
二
类题型
题型一导数的运算
【例题精析1】
（2023·上海·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1)
；(2)
；(3)
；
(4)
；(5)
；(6)
．
【例题精析2】
（全国·高考真题）设
，求
．
【例题精析3】
（2023·全国·高三专题练习）求函数
的导数
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求
导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
4
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【对点精练1】
（2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1)
；(2)
；(3)
；
(4)
；(5)
；(6)
．
【对点精练2】
（2023·全国·高三专题练习）求函数
的导函数.
【对点精练3】
（2023·全国·高三专题练习）求函数
的导函数
【对点精练4】
（2022·全国·高二专题练习）函数
的导函数是
，则
______________.
5
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题型二导数的几何意义
命题点1 求切线方程
【例题精析4】
（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）函数
在
处的切线方程为
________．
【例题精析5】
（2023 春·陕西西安·高二校考期末）若函数
为定义在
上的奇函数，则
曲线
在点
处的切线方程为________．
【例题精析6】
（2023·北京·高三专题练习）过坐标原点作曲线
的切线，则切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析7】
（2023·全国·模拟预测）已知函数
，其导函数为
，则曲线
过点
的切线方程为______．
【例题精析8】
（2023 春·天津滨海新·高二校考期中）过点
与曲线
相切的切线方程为
___________．
6
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【对点精练5】
（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）曲线
在点
处的切线方程为___________
【对点精练6】
（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知函数
为定义在R 上的偶函数，且
当
时，
，则函数
在
处的切线斜率为___________.
【对点精练7】
（2023·广东东莞·校联考模拟预测）函数
在点
处的切线方程为________.
【对点精练8】
（2023·全国·高三专题练习）过点
与曲线
相切的直线方程为
______．
【对点精练9】
（2023 春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）写出曲线
过点
的一条切线方程__________．
【对点精练10】
（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数
，过点
作曲线
的切线，
则的方程为___________.
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命题点2 求参数的值(范围)
【例题精析9】
（2023 春·江苏南京·高二校考期末）已知函数
的图象在点
处的切
线斜率为1，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【例题精析10】
（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数
的图象在点
处的切线斜率为2，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”．
【对点精练11】
（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若曲线
的一条切线为
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练12】
（2023·全国·高二专题练习）已知函数
的图象在点
处的切线与直线
8
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互相垂直，则实数
________．
【对点精练13】
（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知
，
为正实数，函数
在
处的切线斜率为
，则
的最小值为 ______ ．
题型三两曲线的公切线
【例题精析11】
（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数
的图像关于原点对称，则与曲
线
和
均相切的直线l 有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【例题精析12】
（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线
与曲线
和曲线
均相切，
则实数
的解的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数
【例题精析13】
（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）若存在直线与曲线
都相切，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有
关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合
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列方程组求解．
【对点精练14】
（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数
，
，
若直线
为
和
的公切线，则b 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练15】
（2023·山东烟台·统考三模）若曲线
与曲线
有两条公切线，则
的值为
________．
【对点精练16】
（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数
，若曲线
与曲线
存在公切线，则实数
的最大值为__________．
【对点精练17】
（2023·福建南平·统考模拟预测）已知曲线
和曲线
有唯一公共点，且这两条曲
线在该公共点处有相同的切线l，则l 的方程为________．
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、分
三
层训练：课堂知识巩固
1．（2017•上海）在数列
中，
，
，则
A．等于
B．等于0
C．等于
D．不存在
2．（2022•甲卷）当
时，函数
取得最大值
，则
（2）
A．
B．
C．
D．1
3．（2020•全国）设函数
，若
，则
A．3
B．
C．
D．1
4．（多选）（2022•新高考Ⅰ）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
．若
，
均为偶函数，则
A．
B．
C．
（4）
D．
（2）
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5．（2022•上海）已知函数
为定义域为
的奇函数，其图像关于
对称，且当
，
时，
，若将方程
的正实数根从小到大依次记为
，
，
，
，
，则
．
6．（2019•上海）计算
．
7．（2020•新课标Ⅲ）设函数
，若
（1）
，则
．
8．（2019•全国）若函数
，
，则
．
9．（2018•天津）已知函数
，
为
的导函数，则
（1）的值为 ．
10．（2016•天津）已知函数
，
为
的导函数，则
的值为 ．
11．（2018•江苏）记
，
分别为函数
，
的导函数．若存在
，满足
且
，则称
为函数
与
的一个“
点”．
（1）证明：函数
与
不存在“
点”；
（2）若函数
与
存在“
点”，求实数
的值；
（3）已知函数
，
．对任意
，判断是否存在
，使函数
与
在区
间
内存在“
点”，并说明理由．
1 ．（2015• 莆田一模）常用以下方法求函数
的导数：先两边同取以
为底的对数
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，为自然对数的底数）得
，再两边同时求导，得
，即
．运用此方法可以求函数
的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是
A．
B．
C．
D．
2．（2014•鼓楼区校级模拟）下列求导运算正确的是
A．
B．
C．
D．
3 ．（2015• 莆田校级模拟）定义：如果函数
在
，
上存在
，
满足
，
，则称函数
是
，
上的“双中值函数”．已知函数
是
，
上的“双中值函数”，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
，
D．
，
4．（2023•漳州模拟）函数
的导函数为
，则
A．0
B．1
C．
D．
5．（多选）（2023•鼓楼区校级模拟）定义在
上的函数
、
，其导函数分别为
、
，若
，
，
，
，则
A．
是奇函数B．
关于
对称
13
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C．
周期为4
D．
（1）
（3）
（5）
6．（福建模拟）设
是函数
的导函数，且
．现给出以下四个命题：
①若
是奇函数，则
必是偶函数；②若
是偶函数，则
必是奇函数；
③若
是周期函数，则
必是周期函数；④若
是单调函数，则
必是单调函数．
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
7．（2023•思明区校级模拟）写出一个同时具有下列性质①②的函数
．
①
；②
．
8 ．（2023• 鲤城区校级模拟）已知函数
是偶函数，
是
的导函数，且
，当
时，
，写出满足条件的一个函数
．
9．（2022•鼓楼区校级模拟）已知函数
，则函数
．
1 ．（2019• 濮阳一模）已知
，若对任意两个不等的正实数
，
，都有
恒成立，则
的取值范围是
A．
，
B．
C．
D．
，
2．（2020•南充模拟）设
，函数
的导函数是
，且
是奇函数．若曲线
的一条切线的斜率是
，则切点的横坐标为
A．
B．
C．
D．
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3 ．已知
，且满足
的整数
共有
个，
的最大值为
，且
，
则实数
的取值范围为 ．
15
