专题10导数压轴大题三：双变量问题比值代换、韦达换元、放缩法、三变量（学生版）_2027版高中《压轴培优讲义》高二上学期（人教A版选择性必修第二册）

专题10 导数压轴大题三：双变量问题（学
生版）
解决双变量问题主要在于消元，消元，寻找双变量满足的关系式，将含双变量的不等式转化为含单变
量的不等式，根据求解方法的不同我们分为四个类型进行分析：
一、去参基础变形，比值代换构造函数
将双变量
1
2
,
x x 比值代换为
1
2
x
t
x

，比值代换时，要注意一些常见的变换结构，如以下的结构变换方法：
（1）引元：如设
1
1
2
2
x
t
x
tx
x 

，消元
1
x ，回代入已知等式解方程（组），进而消元，将所求证不等式
转化为( )
0
t


等形式，再构造函数可得；
（2）对数相加减：
1
1
2
2
ln
ln
ln x
x
x
x


，
1
2
1
2
ln
ln
ln
x
x
x x


；
（3）齐次分式：
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
,
x
x
x
x
x
x
x x



等；
（4）组合型：对数，分式，整式等形式加以组合，如
1
2
1
2
0
1
2
ln
ln
2
,
x
x
x
kx
x
x
x




等等.
二、巧用韦达定理消元
解到双变量
1
2
,
x x 满足一元二次方程不同两解的情况，用韦达定理可以找出双变量的确定关系，已知其
中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，可以构造关于
1
x （或
2
x ）的一
元函数，
三、存在量词与全称量词—用放缩法化简
通过巧妙的放缩变换，将给定的不等式转化为更易证明的形式，常见的放缩有加减放缩，乘除，取对
数，去倒数，切线放缩等.
四、三个变量或多变量题型
也用前面一至三的方法巧妙做转化换为一元.
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前面几种类型，在换元或放缩之后，构造函数，求导判断函数的单调性，求其最值；再回归双变量的
不等式的证明，把所求的最值应用到双变量不等式，即可证得结果.
题型一去参基础变形，换元构造函数
1．已知函数

ln
,
f x
a x
x a


R ．
(1)讨论

f x 的单调性；
(2)若存在不相等的实数
1
2
,
x x ，使得



1
2
f x
f x

，证明：
1
2
0
2a
x
x



．
2．已知函数



2
ln
2
f
x
a x
x
x
x




，其中
R
a 
.
(1)当
2
a
e

时，求

f x 的极值；
(2)当
0
a 
，
1
2
0
x
x


时，证明：




1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
x
x
x
x
f x
f
x
f x
f
x



















.
3．已知函数



2
1
ln
1
2
f x
x
m
x
mx




.
(1)当
0
m 
时，讨论函数

f x 的单调性；
(2)若函数

2
1
2
g x
f x
mx


有两个零点
1
x ，
2
x ，且
2
1
e
x
x

，求证：
1
2
2
e 1
x x 
(其中e是自然对数的底数).
4．已知函数





2
ln
1
1
R
f x
x
x
ax
a






.
(1)当
2
a 时，存在


1
2
,
0,1
x x 
，使得



1
2
f x
f x
M


，求M 的最大值；
(2)已知m，n 是

f x 的两个零点，记

f
x

为

f x 的导函数，若


0,
m n 

,
，且m
n

，证明：
0
2
m
n
f








.
练习题：
1．已知函数
2
1
( )
ln
(1
)
2
2
f x
x
ax
a x





.
(1)当0
1
x

时，试比较
(1
)
f
x

与
(1
)
f
x

的大小；
(2)若斜率为k 的直线与
( )
y
f x

的图象交于不同两点


1
1
,
A x y
，


2
2
,
B x
y
，线段AB 的中点的横坐标为
0x ，
证明：
0
(
)
f
x
k


.
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2．已知函数



ln
1
f
x
x a
x
x



，其中aR ．
(1)当
1
a 时，求证：

f x 在

0, 

上单调递减；
(2)若

0
f
x
x


有两个不相等的实数根
1
2
,
x x ．
（ⅰ）求实数a 的取值范围；
（ⅱ）求证：
2
1
2
e
x x


．
3．关于函数

ln
a
f
x
x
x


.
(1)讨论函数

f x 的单调性；
(2)若

f x 在

1,a 处的切线垂直于直线
0
x
y


，对任意两个正实数
1
x ，
2
x ，且
1
2
x
x

，有


1
2
f x
f x

，
求证：
1
2
2
x
x
a


.
4．已知函数

2
ln
f x
x
x
ax


．
(1)设函数

g x
f
x


，讨论
g x 在区间

0, 

上的单调性；
(2)若

f x 存在两个极值点
1
x ，
2
x （极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），且



1
2
2
1
0
x f x
x f x


，
证明：
1
0
2
a
e



．
题型二巧用韦达定理消元
1．已知函数



ex
f
x
a
x a


R ．
(1)当
1
a 时，求

f x 的单调区间；
(2)设函数


2
1 ex
g x
x
x
f
x




，当
g x 有两个极值点


1
2
1
2
,
x x
x
x

时，总有





2
2
2
1
2
g
2
e
3
x
t
x
x
x




成立，求实数t 的值．
2．已知函数


2
2
2
2
ex
f x
x
ax
a



.
(1)若
0
a 
，求

f x 的单调区间；
(2)若

f x 有两个极值点，分别为
1
x 和


2
1
2
x
x
x

，求




1
2
1
2
e
e
x
x
f
x
f
x


的最小值.
3．已知函数
2
( )
2ln
(
)
f x
x
ax a


R .
(1)试判断函数
( )
f x 的单调性；
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(2)已知函数( )
( )
2
g x
f x
x


，若( )
g x 有且只有两个极值点
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x

，证明：







1
2
1
2
2
1
g x
g x
a
x
x




.
4．已知函数
( )
ln
f x
x

，
2
( )
g x
x
x


．
(1)若
0x 满足


0
0
0
1
1
x
f x
x


，证明：曲线
( )
y
f x

在点


0
0
,ln
A x
x
处的切线也是曲线
ex
y 
的切线；
(2)若
( )
( )
( )
F x
f x
g x


，且





1
2
1
2
F
x
F
x
x
x




，证明：



1
2
4ln 2
7
F x
F x


．
练习题：
1．设函数



2
ln
f
x
x
x
ax a



R .
(1)当
3
a 时，求函数

f x 的单调区间；
(2)若函数

f x 有两个极值点
1
2
,
x x ，且


1
0,1
x 
，求




1
2
f
x
f
x

的最小值.
2．已知函数

ln
3
f x
x
x



.
(1)求曲线

y
f
x

在
1
x 处的切线方程；
(2)记函数

2
3
g x
x
bx
f
x




，设


1
2
1
2
,
x x
x
x

是函数
g x 的两个极值点，若
2
b 
，且


1
2
g x
g x
m


恒成立，求实数m 的最大值.
3．已知函数

2
1
2
ln
2
f x
x
ax
x



（a 为常数）．
(1)若函数

f x 是增函数，求a 的取值范围；
(2)设函数

f x 的两个极值点分别为
1
x ，
2
x （
1
2
x
x

），求




1
2
f
x
f
x

的范围．
4．已知函数
( )
2ln
a
f x
x
x
x



．
(1)当
3
4
a 
时，求
( )
f x 的单调区间；
(2)若
( )
f x 有两个极值点
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x

，从下面两个结论中选一个证明．
①




2
1
2
1
2
2
f x
f x
x
x
a




；
②


2
2
2ln2
2
3
f x
a



．
题型三存在量词与全称量词—用放缩法化简
例1．已知函数
( )
3
sin
ln



f x
x
x
a
x.
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(1)当
0
a 
时，
π
(0,
],
( )
2
x
f x
mx


，求实数的取值范围;
(2)若
1
2
1
2
,
(0,
),
x x
x
x




，使得



1
2
f x
f x

，求证：
2
1
2
4

x x
a ．
2．已知函数

ln
1
x
a
f x
x



，函数
2
2
(
3)
3(
1) ex
g x
x x
x




．
(1)求
g x 的单调区间；
(2)若




1
2
1,e ,
3,0
x
x




，使得



1
2
f x
g x

成立，求a 的取值范围．
3．已知函数
1
2
( )
(
1)ex
f x
x
mx




，当0
6
m


时，
3
4
( )
g x
x
mx
x



，


0,2
x
，若
1x

R ，


2
0,2
x 
，
使
1
2
( )
(
)
f x
g x

成立，求实数m 的取值范围．
4．已知函数
1
( )
ln
a
f x
a
x
x



，其中参数a<0 ．
(1)求函数

f x 的单调区间；
(2)设函数




2
2
3
0
g x
x f
x
xf
x
a a





，存在实数
2
1
2
,
1,e
x x 


，使得不等式




1
2
2g x
g x

成立，求
a 的取值范围．
练习题：
1．已知函数





2
1
1
ln
R
2
f x
mx
m
x
x m





，
2
1
1
2ex
g x
x


.
(1)讨论

f x 的单调性；
(2)当
0
m 
时，若对于任意的


1
0,
x



，总存在


2
1,
x 
，使得



1
2
f x
g x

，求m 的取值范围.
2．已知函数

3
2
1
1
3
2
f x
x
x
ax



，
1
e
ln
x
g x
x
x
x



，

f
x

，

g x

分别为

f x ，
g x 的导函数，且
对任意的


1
0,1
x 
，存在


2
0,1
x 
，使




1
2
2
f
x
g
x




．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)证明：
0
x

，有



g x
f
x ．
题型四
三个变量
1．设, ,
a b cR ，
0
a 
，6
0
a
b


，函数

3
2
f x
ax
bx
cx



，
1
4
f
a

．
(1)讨论函数

f x 的单调性；
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(2)若0
3
x


时，函数

e x
y
f x
x 

＝
有三个零点
1x ，
2x ，
3x ，其中
1
2
3
x
x
x


，试比较
1
2
3
x
x
x


与2 的大
小关系，并说明理由．
2．已知函数
e
( )
ln
x
f x
ax
a
x
x



.
(1)若
0
a 
，求函数
( )
y
f x

的极值点；
(2)若不等式
( )
0
f x 
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)若函数
( )
y
f x

有三个不同的极值点
1
x 、
2
x 、
3x ，且
2
1
2
3
( )
(
)
(
)
3e
e
f x
f x
f x




，求实数a 的取值范围.
3．已知函数

1
ln
f x
x
a x
x









.
(1)讨论

f x 极值点的个数；
(2)若函数

f x 恰有2 个极值点
1
2
,
x x 

1
2
x
x

，3 个零点1t ，2t ，3t （1
2
3
t
t
t


），探究：是否存在实数a ，
使得





2
1
3
1
3
1
2
2
2
ln
ln
f x
f x
t
t
t
t





.
4．已知函数f（x）＝2lnx﹣2mx+x2（m＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当
3 2
2
m 
时，若函数f（x）的导函数f′（x）的图象与x 轴交于A，B 两点，其横坐标分别为x1，x2
（x1＜x2），线段AB 的中点的横坐标为x0，且x1，x2 恰为函数h（x）＝lnx﹣cx2﹣bx 的零点．求证（x1﹣x2）
h'（x0）≥
2
3

+ln2．
练习题：
1．若函数



2
1
1
ln
0
2
2
f x
a
x
x
a
x





有两个零点
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x

．
(1)求a 的取值范围；
(2)若

f x 在

1,0
x
和

2,0
x
处的切线交于点

3
3
,
x
y
，求证：
3
1
2
2x
x
x


．
2．设函数
e
( )
ln (
0)
2
f x
x x
x



．
(1)求
( )
f x 的单调区间；
(2)已知,a bR ，曲线
( )
y
f x

上不同的三点












1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
x
f x
x
f x
x
f x
处的切线都经过点( , )
a b ．证
明：
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（ⅰ）若
e
a ，则
1
0
( )
1
2 e
a
b
f a










；
（ⅱ）若
1
2
3
0
e,
a
x
x
x




，则
2
2
1
3
2
e
1
1
2
e
e
6e
6e
a
a
x
x
a







．
（注：e
2.71828

是自然对数的底数）
3．已知函数


2
ln
,
a
x
f
x
g x
x
x


.
(1)若


h x
f x
g x


在1,e
e





单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)若
g x 的极值点为
0x ，设


x
x f
x
g x






，且





1
2
1
2
3,
x
x
x
x





证明：
3
0
1
2
e
x x x
a

.
4．已知函数



2e
2 e
x
x
f x
a
a
x




．
(1)当
0
a 
时，求曲线

y
f
x

在点



0,
0
f
处的切线方程；
(2)若函数

f x 存在两个零点，求实数a 的范围；
(3)当函数

f x 有两个零点


1
2
1
2
,
x x
x
x

，且存在极值点
0x ，证明：
①
1
2
1
0
x
x



；
②
2
1
2
0
1
1
2
2
x
x
x
a



．
题型
能力提升创新题
4．已知函数





2
ln
1
1
R
f x
x
x
ax
a






.
(1)当
2
a 时，存在


1
2
,
0,1
x x 
，使得



1
2
f x
f x
M


，求M 的最大值；
(2)已知m，n 是

f x 的两个零点，记

f
x

为

f x 的导函数，若


0,
m n

,
，且m
n

，证明：
0
2
m
n
f








.
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1.
已知函数
( )
1
ln (
)
f x
x
a
x a
R



．
（1）求函数
( )
f x 的极值；
（2）求证：若
( ) 0
f x 对
(0,
)
x
恒成立，则
1
a ；
（3）设a<0，对任意的
1
2
0
1
x
x


，都有
1
2
1
2
1
1
|
( )
(
) |
4(
)
f x
f x
x
x



成立，求实数a 的取值范围．.
2.
已知函数

2
1
ln
(
)
2
f x
x
a
x



，其中aR ．
(1)当
1
a 时，求函数

f x 在



1,
1
f
处的切线方程；
(2)讨论函数

f x 的单调性；
(3)若

f x 存在两个极值点






1
2
1
2
2
1
,
,
x x
x
x
f
x
f
x


的取值范围为3
15
ln2,
2ln2
4
8








，求a 的取值范围．
3.
已知函数
1
( )
ln
f x
x
a
x
x



.
（1）若
2
a 
，证明：当


1,
x



时，
( )
0
f x 
；
（2）若
( )
f x 存在两个极值点
1
2
,
x x (
1
2
x
x

)且
5
2
a 
，求
1
2
( )
(
)
f x
f x

的最大值.
4.
已知函数





1
1
ln
2
f
x
x
ax
x a
R




.
（1）当
1
2
a 
时，求

f x 的单调区间；
（2）若

f x 存在两个极值点
1
x ，
2
x ，且
1
2
x
x

，证明：



1
2
1
2
1
4
4
f x
f x
a
x
x



－
.
5.
已知函数
( )
n
f x
nx
x


，x
R

．其中n
N

．
2
n．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)设曲线
( )
y
f x

与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为
( )
y
g x

，求证：对于任意的正实
数x ，都有
( )
( )
f x
g x

；
(3)设
5
n ，若关于x 的方程
( )
(
f x
a a

为实数）有两个正实根
1
x ，
2
x ，求证：
2
1
|
| 2
4
a
x
x



．
6.
已知

2
4
6ln
f x
x
x
x



．
(1)求

f x 在



1,
1
f
处的切线方程；
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(2)对


1,
x

，有


2
1
6
1
12
xf
x
f
x
x
k
x












恒成立，求k 的最大整数解；
(3)令



4
6 ln
g x
f x
x
a
x




，若
g x 有两个零点分别为


1
2
1
2
,
x x
x
x

，且
0x 为
g x 的唯一的极值点，
求a 的取值范围，并证明：
1
2
0
3
4
x
x
x


．
7.
设方程

2
2
ex
x
a


有三个实数根
1
2
3
1
2
3
,
,
(
)
x x
x x
x
x


.
(1)求a 的取值范围；
(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4 分，
若选②则该小问满分9 分.
①证明：
1
2
(
2)(
2)
4
x
x



；
②证明：
1
2
3
1
2
3
1
1
1
3e
2
x
x
x
x
x
x






.
8.
已知函数
2
1
( )
ln(1
)
(
)
2
f x
a
x
x
x a




R ．
(1)若a＝1，求函数

f x 的单调区间；
(2)若函数

f x 有两个极值点
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x

，求证：


1
2
2
x
f
x

．
9.
已知函数
1
( )
ln
(
)
ex
f x
k
x
k


R .
(1)若函数
( )
y
f x

为增函数，求k 的取值范围；
(2)已知
1
2
0
x
x


.
（i）证明：
2
1
2
2
1
1
e
e
ln
1
e
e
x
x
x
x
x
x



；
（ii）若
1
2
1
2
x
x
x
x
k
e
e


，证明：




1
2
1
f x
f x

.
10.
已知函数


2
( )
e
ln
R
x
f x
x
x
x
ax a





．
(1)若
1
a ，求

y
f
x

在
1
x 处的切线方程；
(2)若

f x 有两个不同零点
1
x ，
2
x 证明：




1
2
1
2
e
1
f
x x
a x x


．
11.
设函数
3
2
( )
3
(3
)
1
f x
x
x
a x
b





，, ,
x a bR ．
(1)求
( )
f x 的单调区间；
(2)若
( )
f x 存在极值点
0x ，且



1
0
f x
f x

，其中
1
0
x
x

，求证：
1
0
2
3
x
x


．
版小初高资料
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