文档文本内容
2025-2026 学年高二数学上学期期末模拟卷
全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教 B 版 2019 选择性必修第一册+选择性必修第二册。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．计算
的值是（
）
A．41
B．70
C．76
D．82
【答案】C
【详解】
.
故选：C.
2．设
，
，
，
，且 ⊥ ，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】B
【详解】由 ⊥ ，可得
，解得
，
，故可设
，即
，
则
，解得
，即
，
则
，
故
.
1 / 16
故选：B
3．已知抛物线
的焦点为
，若
的准线被以
为圆心的圆截得的弦长为 2，则该圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题得抛物线焦点
，准线方程为
，
F 到准线距离为
，所以圆的半径为
，
所以该圆的方程为
．
故选：D．
4．已知随机变量
，且
，则当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【详解】由随机变量
，且
，得
，解得
，
由
，得
，当且仅当
，即
时取等号，
所以所求最小值为 .
故选：D
5．有 4 名男生､3 名女生和 2 个不同的道具（记作 和 ）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）
必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身
高各不相同）；两个道具
和 必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能
站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（
）
A．2400 种
B．3600 种
C．2880 种
D．4220 种
【答案】B
【详解】因为女生必须站在一起，且 3 名女生的站位是固定的，
所以 4 名男生､3 名女生的排列方法为
种，
2 / 16
然后在 7 人中选 2 人（不相邻）分配道具：共有
种，
则总方法数为
.
故选：B.
6．若
，则
（ ）
A．180
B．
C．360
D．
【答案】A
【详解】
，
故通项公式为
，
令
得
，故
，
故
.
故选：A
7．设椭圆
的左、右焦点分别为
，点 在椭圆上，且
.过 作
，满足
，则椭圆 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【详解】设椭圆
的左右焦点为
，其中
，
点 在椭圆上，且
.过 作
，满足
，
设
，则
，故
，得
，即
，
在
中， PQ 为斜边上的高，由射影定理得：
，
，根据椭圆定义，
，
3 / 16
即：
，
因此，椭圆的离心率为
.
故选：B.
8．有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有 1 个白球，乙盒中有 k（
）个白球和
个黑球，现从乙盒
中随机抽取 i（
）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为
，甲盒中含
有白球个数的期望为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】当
时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为
和
，
放入后，取出白球的概率分别为 1 和 ，
故
，
．
当
时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布，
取出两个白球的概率
，此时甲盒中取白球概率为 1；
取出两个黑球的概率
，此时甲盒中取白球概率为 ；
取出一白一黑的概率
，此时甲盒中取白球概率为 ，
则
，
且放入的两个球中白球数的期望
，
则
，
4 / 16
则
，
所以
，又
，
，故
．
故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．
的展开式中，下列结论正确的是（
）
A．展开式共 8 项
B．含 项的系数为 480
C．无常数项
D．所有项的二项式系数之和为 128
【答案】ACD
【详解】对于 A，易知
的展开式中共有 8 项，即 A 正确；
对于 B，设展开式中的第
项为
,
令
，解得
；
因此含 项的系数为
，所以 B 错误；
对于 C，令
，此时
不是正整数，因此展开式中不存在常数项，即 C 正确；
对于 D，易知所有项的二项式系数之和为
，可得 D 正确.
故选：ACD
10．已知抛物线
的焦点为
，过
的直线 与交于
，
两点，则（ ）
A． 的准线方程为
B．若
，则
C．
的最大值为 16
D．
为钝角
【答案】ABD
【详解】如图：
5 / 16
由已知得焦点
，准线方程为
，A 正确；
当直线的斜率不存在时，
，其中
，
当直线的斜率存在时，设其方程为
，
与抛物线方程联立，得
，
，
，
由抛物线定义知，
，
若
，则
，B 正确；
，
所以
的最小值为 16，C 错误；
由
，
所以
为钝角，D 正确.
故选：ABD
11．如图，圆锥
的轴截面是一个等边三角形，且侧面积为
，
为底面的一条直径，点
是母线
上
靠近 的三等分点，点 为
上的动点，则（
）
A．无论点 运动到
上哪一点，都不能使
平面
6 / 16
B．三棱锥
的体积与圆锥
的体积的最大比值为
C．若点 为
的中点时，直线
，
所成角的余弦值为
D．若点 为
的中点时，点 到平面
的距离为
【答案】AC
【详解】因为圆锥
轴截面是一个等边三角形，所以底面半径 等于母线
的一半，侧面积
，
所以圆半径
，母线
，圆锥的高
为 3.
A.若点 运动到
上某一点时，使
，则过
的平面
，一定有
，
但由题可知
与
并不平行，所以无论点 运动到
上哪一点，都不能使
，故正确；
B.圆锥
的体积为
，而当点 运动到
中点时，点 离平面
的距离最大，
为
，
此时
，即最大比值应为
，故错误；
C.以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
，
，
故直线
，
所成角的余弦值为
，故正确；
D：在 选项的坐标系中，设
为平面
的一个法向量，
则
，令
，可得
，
7 / 16
记点 到平面
的距离为 ，则
，
故
，故错误，
故选：AC.
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知直线
（其中 k 为常数），圆
，直线 l 与圆 O 相交于 A，B 两点，
则
长度的最小值为
.
【答案】
【详解】由直线
，
所以该直线恒过
，
由圆的标准方程可知圆心坐标为
，半径为 ，
因为
，
所以点
在圆
内，
因此当
时，
有最小值，
则
，
故答案为：
13．某学习小组用计算机软件对一组数据
，进行回归分析，甲同学首先求出线性回归
方程为
，样本点的中心为
．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据
误输成
，数据
误输成
，将这两个数据修正后得到线性回归方程为
，则实数
8 / 16
．
【答案】
【详解】修正前样本点的中心为
，代入
，可知
．
假设甲输入的
为
，
为
，
则
，
，
得
，
，
修正后
，
，
则样本点的中心为
，将其代入线性回归方程
，
得
．
故答案为：
14．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为
，三人各射击一次，击中目标的次
数记为 ，则 的数学期望为
，在概率
中，若
的值最大，则实数 的取
值范围是
．
【答案】
【详解】
是“ 个人命中，
个人未命中”的概率．其中 的可能取值为
．
，
，
，
．
所以 的分布列为
0
1
2
3
9 / 16
的数学期望为
，
又
，
，
，
由
，和
，解得
.
故答案为：
，
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过
，
两点，
(1)求圆 C 的方程；
(2)过点
的直线 与圆 C 相交于 M，N 两点，且
，求直线 的方程.
【详解】（1）因为圆 的圆心在 轴上，所以设圆 的方程为
（
），................... 2 分
因为圆 经过
，
两点，
所以
，解得
， ............................................................................................................................4 分
所以圆 的方程为
； ............................................................................................................................... 6 分
（2）由
，可得圆心
，半径为
，
因为直线 与圆 相交于
两点，且
，
所以圆心 到直线 的距离为
， ............................................................................................ 9 分
当直线 的斜率不存在时，直线 为
，满足题意； ........................................................................................ 10 分
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为
，即
，
则
，解得
，
10 / 16
所以直线 的方程为
，即
，
综上直线 的方程为
或
. ................................................................................................................ 13 分
16．如图，在四棱锥
平面
，底面
是直角梯形，其中
，
为棱
上的点，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
所成角的正弦值.
【详解】（1）因
平面
，且
，
以点 为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系. .....................................2 分
则
、
、
、
、
.
于是，
，
, ............................................................................................................................... 3 分
设平面
的法向量为
，
则
，令
，可得
， ...................................................................................6 分
又
，显然，
，故得
平面
. ..................................................................................... 8 分
（2）设平面
的法向量为
，且
，
，
11 / 16
则
，令
，可得
. ....................................................................... 11 分
而平面
的法向量是
，........................................................................................................................... 13 分
所以
，即
因此，平面
与平面
所成夹角的正弦值为
. ........................................................................................ 15 分
17．（15 分）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有 1 道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一
人答对且另一人答错，则答对者获得 10 分，答错者得
分；若两人都答对或都答错，则两人均得 0 分．根
据以往答题经验，每道题甲答对的概率为 ，乙答对的概率为 ，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题
的结果也互不影响．
(1)求在一局比赛中，甲得 10 分的概率；
(2)设这次比赛共有 4 局，设 为甲得 0 分的次数，求 的分布列和数学期望；
(3)设这次比赛共有 3 局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．
【详解】（1）设
表示在一局比赛中甲得分，则“
”表示甲答对且乙答错的情况，
根据独立事件概率乘法公式，可得
； ................................................................................. 2 分
（2）
包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错，
甲、乙都答对的概率为
，
甲、乙都答错的概率为
，
根据互斥事件的概率加法公式，可得
， .............................................................................. 5 分
因为每局比赛甲得 分的概率为 ，且每次答题的结果互不影响，所以
.
则
，
，
，
12 / 16
，
，................................................................................................................................................. 8 分
则 的分布列为：
0
1
2
3
4
则 的数学期望
； ................................................................................................................................10 分
（3）甲最终获胜有以下四种情况：
① 三局都得 10 分，其概率为
，
② 两局得 10 分，一局得 分，其概率为
， ....................................................12 分
③ 两局得 10 分，一局得
分，其概率为
，
④ 一局得 10 分，两局得 分，其概率为
， ......................................................... 14 分
综上可得，甲最终获胜的概率为
. ...................................................... 15 分
18．（17 分）某地区对该地全体教师进行教育技术培训，培训分两步完成，第一步是线上培训，要求全体教
师自主学完网上的教学内容，第二步是线下考试，成绩分为合格与不合格．为了确保考试通过，有的学校
组织教师进行线下操作演练，考试结束后，抽取 200 个教师的考试成绩，制作了如下的
列联表：
合
不合
合 教师
格
格
计
参加学校演练
90
10
100
没参加学校演
70
30
100
练
13 / 16
合计
160
40
200
(1)根据表中数据，依据
的独立性检验，能否认为考试合格与参加学校演练有关联；
(2)现从表中不合格的教师成绩中，用分层随机抽样法抽取 8 人的成绩，再从这 8 个数据中随机抽取 3 个做
对比分析，记抽取的 3 个中没参加学校演练的人数为
，求
的分布列和数学期望；
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该地区 1000 名教师，记其中合格的人数为 ，
求使事件“
”的概率最大时 的取值．
参考公式及数据：
．
0.025
0.010
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
【详解】（1）零假设
为：考试合格与参加学校演练无关，
则
， ................................................................................................ 2 分
故依据
的独立性检验，参加学校演练与考试合格有关联； .................................................................. 3 分
（2）依题意，用分层随机抽样法抽取的 8 件产品中，
参加学校演练的有
人，没参加学校演练的有 6 人， ........................................................................... 5 分
从这 8 人中随机抽取 3 人，其中没参加学校演练的人数
的可能值有 1，2，3.
则
．....................................................... 7 分
故
的分布列为：
1
2
3
则
；........................................................................................................................ 10 分
（3）依题意，因随机抽取的合格率为
，故
，
则
， ................................................................................................ 12 分
14 / 16
由
， .................................................................... 14 分
故由
可解得
，因
，故当
时，
单调递增；
由
可解得
，即当
时，
单调递减．
故当事件“
”的概率最大时，
. ................................................................................................................. 17 分
19．已知 是曲线 上的动点，且动点
与定点
的距离和 到直线
的距离之比是常数
.
(1)求曲线 的方程；
(2)点
，
是曲线 上的两点，且位于 轴上方，点
为 轴上一点，是否存在实数 ，使得
是以 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【详解】（1）根据题意，动点
满足：
，............................................................... 2 分
平方并化简：
，
展开整理得：
，
故曲线 的方程为
. ............................................................................................................................................ 3 分
（2）存在实数 ，使得
是以 为直角顶点的等腰直角三角形．
由题意知，直线
的斜率存在，设
，直线
的方程为
，
联立
，得
， .......................................................................................... 5 分
由
，得
， .................................................. 6 分
则
，
15 / 16
， ................................................. 8 分
故
且
，故
，
当
时，
且
，则
，此时
，满足题意；
当
时，
的中点为
，又
，
故
，则
． ......................................................................................................... 11 分
，
则
，
则
，
即
，........................................................................................... 14 分
结合
，则
，
则
，故
，故
，
综上所述，存在实数
，使得
是以 为直角顶点的等腰直角三角形． ....................... 17 分
16 / 16
