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2025-2026 学年高一数学上学期期末模拟卷
参考答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
A
D
C
D
B
B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
BD
BCD
ACD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．
14．7
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【详解】（1）若
，则
．因为
，所以
．.........................................3 分
（2）当
时，
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，....................................................................................................................................5 分
所以
或
或
，
解得
或1．..................................................................................................................................................8 分
（3）若对于任意实数b，都有
，则
．
所以
，..................................................................................................................................10 分
所以
，解得
，
所以存在
，使得对于任意实数b（
且
），都有
．..............................................13 分
16．【详解】（1）M 是
所在平面内一点，延长
至
使
.
，
，
连接
，因为向量
和向量
平行且模相等，则四边形
是平行四边形...................................3 分
由于
，所以
，又
，所以
，
在平行四边形中，
，所以
与
的面积之比为
...................7 分
（2）
，
.
设
，
，
，
，
，.................................................................................................9 分
，.........................................................................................12 分
又
，
，解得
.
所以
........................................................................................................................................................15 分
17．【详解】（1）由题意，甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5 小时，1.5 小时以上
且不超过2.5 小时这三个时段的概率相同均为
，且三段时间费用分别为0，3，6 元，
故甲停车的费用不超过3 元的概率为
..............................................................................................3 分
（2）设甲停车付费
元，乙停车付费
元，其中a，
，
甲、乙两人停车付费
的所有可能情况为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，共9 种，且概率相等，............................................................................................................5 分
其中事件“甲、乙两人停车付费之和为9 元”包含
，
，共2 种情况，
故甲、乙两人停车付费之和为9 元的概率为
..............................................................................................7 分
（3）设甲停车的时长不超过半小时，乙停车的时长不超过半小时，丙停车的时长不超过半小时分别为事
件
，
，
，
甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5 小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5 小时，丙停车的时
长在半小时以上且不超过1.5 小时分别为事件
，
，
，
甲停车的时长为1.5 小时以上且不超过2.5 小时，乙停车的时长在1.5 小时以上且不超过2.5 小时，丙停车
的时长在1.5 小时以上且不超过2.5 小时分别为事件
，
，
，..........................................................9 分
则
，
，
，...................................................................................................11 分
甲、乙、丙三人临时停车付费相同的概率为
，..............................................................................13 分
甲、乙、丙三人临时停车付费不相同的概率为
.....................................................................15 分
18．【详解】（1）偶函数，理由如下：
由题意得
，则
，
所以
的定义域为
，关于原点对称，...........................................................................................2 分
由
，
则
，
所以
是偶函数............................................................................................................................................4 分
（2）因为
，
因为
，又因为
，则
，........................................................................6 分
①当
时，
为增函数，此时
，故
的值域为
，
②当
时，
为减函数，此时
，故
的值域为
................8 分
综上所述，当
时，故
的值域为
.
当
时，
的值域为
.......................................................................................................10 分
（3）由题意
，
设
，因为
为增函数，
为减函数，所以
为增函数，
所以
时，
，
所以
在区间
上的最小值为
，且对称轴为
，开口向上，...............................12 分
①当
，即
时，此时
在区间
上单调递增，
所以当
时，取得最小值为，不符合题意，故舍去；........................................................................13 分
②当
，即
时，此时
在区间
上单调递减，
在
上单调递增，则
时，有最小值为
，解得
（负值舍去），符合题意；15 分
③当
，即
时，此时
在区间
上单调递减，
所以当
时，最小值为
，解得
舍去.
综上所述，
的值为
....................................................................................................................................17 分
19．【详解】（1）令
，则
，
当
时，函数
的最大值为
，
所以
，即
，所以
为有界函数．.........................................................4 分
（2）
，
，
在
上递增，
，
，................................................................6 分
，所以
，
存在上界
的范围是
．........................................................................................................8 分
（3）由题意知，
在
上恒成立，
，
，
因此
在
上恒成立，
，............................................................................................................11 分
设
，由
知
，
设
，则
，.................................................14 分
在
上单调递减，
在
上单调递增，
在
上的最大值为
在
上的最小值为
，
．
的取值范围
．...........................................................................................................17 分
